Juan León - Dinámica de Máquinas (1)

Este texto ha sido concebido con la finalidad de cerrar la brecha que el estudiante de Ingeniert'a Mecánica encuentra entre las asignaturas Mecánica Racional y Diseño Mecánico. A lo largo del libro se presenta, en forma concisa, una metodolog(a basada en los principios fundamentales.de la mecánica, que permite analizar tanto sistemas mecánicos como sus componentes, e ilustrada con una serie de ejemplos resueltos y propuestos. Entre los tópicos tratados destacan los siguientes:

I

•

• /

• • • • •

Ecuación fundamental de los sistemas mecánicos rotativos. Aplicación al análisis de volantes y a la determinación de tiempos de arranque y parada. Estudio de transmisiones: juntas universales, acoplamientos r(gidos, transmisiones hidráulicas, transmisiones por engranajes, correas y embragues. Dispositivos de frenado mecánico. Equilibrado de máquinas rotativas. Análisis de mecanismos de barras. Aplicación al caso de un mecanismo motor y al equilibrado de máquinas alternativas. Vibraciones libres y forzadas de sistemas de un grado de libertad. Elementos de simulación analógica.

Por su claridad de exposición y la buena organización del material, es un excelente libro de texto para estudiantes de Ingenierla Mecánica. Además, es de gran utilidad para profesores e ingenieros especializados en esta rama.

z

•

.-• •

ACERCA DEL AUTOR, El Profesor Juan Léon L. se graduó de Ingeniero Mecánico en la Universidad Central de

Venezuela, Caracas, en 1966, ingresando de inmediato como Instructor en la misma Uni· versidad. En 1970 obtuvo el título de "Master of Setenee" en el "California Institute of Techno-

logy" (Pasadena, Callf

0J~-

tt

1E

Figura 1.13.

e) Transmisión por correas (figura 1.14): La conexión entre los ejes de entrada y salida se logra a través de dos poleas de radios rE Y r s unidas entre sí mediante una correa flexible. Bajo la hipótesis de que la correa no desliza sobre las poleas, la relación de transmisión en este caso es también constante e igual a

Figura 1.14.

Ecuación fundamental de los sistemas mecánicos

1.2.2. Eficiencia de la transmisión:

25

1)

En general, el efecto de las resistencias pasivas inherentes a un dispositivo de transmisión, tales como fricción, viscosidad, etc., provocan una disipación de la energía mecánica transmitida en la forma de calor. Como medida de la intensidad de la disipación se introduce un parámetro,llamado eficiencia de la transmisión: 1],que relaciona la potencia mecánica en el eje de salida Ps con la potencia mecánica en el eje de entrada Pe' esto es

(1-2)

Una transmisión se califica de ideal cuando '1 = 1, esto es cuando la energía mecánica que fluye a través de ella se conserva. Como el mecanismo de disipación de energía mecánica depende de múltiples y complejas variables, en la práctica se determina el valor del parámetro adimensional'l por medios experimentales. La relación entre las magnitudes de los pares en los ejes de salida y entrada de una transmisión puede evaluarse directamente en función de los parámetros n y 'l. En efecto, recordando que (1-3) esto es, la potencia transmitida por un eje viene dada por el producto del par que transmite y su velocidad angular, las expresiones (1-1) y (1-2) permiten escribir

1:;

=

1 n

'11

(1-4 )

Finalmente el lector debe observar que las definiciones (1-1) y (1-2) son independientes de la posición relativa de los ejes de entrada y salida.

1.3 ECUACION FUNDAMENTAL DE LOS SISTEMAS MECANICOS ROTATIVOS A continuación se establecerá la ecuación general que rige el comportamiento dinámico de los sistemas rotativos. Con este fin considere un dispositivo mo· tor que se conecta con una carga mediante una transmisión, de manera tal que la configuración de los ejes conductor y conducido sea arbitraria, tal como sugiere la figura 1.15.

26

Sistemas mecánicos

I 11

, I

E

i

',: '1' T,"fl'misión

,1\

Figura 1.15.

De acuerdo alos sentidos de rotación indicados en la figura 1.15 se pucden construir los "semidiawamas de cuerpo libre" (figura 1.16) para los ejes conductor y conducido. Suponga que estos ejes son rigidos

Figura 1.16

en donde l m ,l,

Mm, M,

ME, M.

representan los momentos de inercia polares de todas las masas asociadas al eje motor y al eje conducido, respectivamente. representan las magnitudes del par de carga y del par motor. Observe que en la figura se han orientado estos pares en forma consistente con los sentidos de rotación de los ejes correspon· dientes. representan las magnitudes de los pares de entrada y salida, respectivamente, de la transmisión

, Ecuación fundamental de los sistemas mecánicos

27

Al aplicar las ecuaciones de Euler para la rotación de un cuerpo rígido al eje motor y al eje de la carga se obtiene, respectivamente

dW

m

(1.5 )

dt

(1.6)

Ahora bien, estas ecuaciones no son independientes ya que están relacionadas entre sí mediante los parámetros de la transmisión r¡

1

= Wc Wm

(1.7)

M.

-r¡=n ME

(1.8)

El conjunto de ecuaciones 1.5, 1.6, 1. 7 Y 1.8 describen el comportamiento dinámico del sistema en estudio, y en particular permiten reducir el sistema multi-eje dado por uno más sencillo. En efecto, de 1.7 Y 1.8 se tiene Wc =

n

Wm

M. = .!L ME

n

y al sustituir en (1.6) dw m

1

r¡-ME -Mc(nw ) =/cn n . m

dt

y al eliminar ME entre esta última expresión y 1.5 se concluye que:

2

+--1L¡ ) r¡ c

dW m dt

(1.9)

Esta es la llamada ecuación fundamental del sistema mecánico referida al eje motor, la cual expresa que todo sistema mecánico rotativo puede reducirse a un sistema de un solo eje que gira con la velocidad angular del eje motor W m : cuyo momento de inercia, llamado momento de inercia equivalente del sistema referido al eje motor viene dado por

(1-10)

28

Sistemas mecánicos

y sobre el cual se aplica un par de magni tud

n l)

llamado par aceleran te del sistema. La figura 1.17 resume lo expuesto anteriormente

Ma Figura 1.17,

Las expresiones 1.10 y 1.11 permiten establecer las siguientes reglas .;c.-L'''' transferencia de momentos de inercia y pares desde el eje conducido 11M eje motor:

a) Todo momento de inercia en el eje conducido se refleja en el eje rn afectado por el factor n 2/7), siendo n y l) los parámetros de red y eficiencia de la transmisión, respectivamente. b) Todo par aplicado sobre el eje conducido se refleja sobre el eje ro afectado por el factor n/l), siendo n y l) los parámetros de la trans .

Al aplicar la regla (b) el lector debe prestar atención al carácter motor o. ten te del par que pretende reducir, ya que éste se debe conservar despllC:5 realizada la reducción. El criterio de reducción expuesto anteriormente genera un sistema n· equivalente al sistema dado no sólo desde el punto de vista de la segun universal de la mecánica (análisis de momentos) sino desde él de la t ley universal (análisis de energía), tal como se verificará a continuación: e es sabido la ecuación de la energía para un sistema rígido en rotación dado por

(W

Jw

Mwdt = o

(t

Pdt

J to

o equivalente, al derivar con respecto al tiempo P=lwOl

siendo P la potencia genel!llda por los pares aplicados al sistema, mientra> _ w y Ol representan, respectivamente, la velocidad y aceleración angular dri_

Ecuación fundamental de los sistemas mecánicos

29

Aplicando 1-12 a los ejes motor y conducido del sistema mecánico se obtiene respectivamente: =1

m

= le

wm

01.

m

W e OI.e

siendo: Pm = lW m W m , PE = ME W m , Ps = Msw s Y Pe = Al e w e . Recordando que: Ps = 11 PE, las dos ecuaciones anteriores pueden combinarse entre sí para obtener

o equivalentemente

Las expresiones 1.10 y 1.11 permiten escribir la ecuación anterior en la forma

lo que demuestra la equivalencia entre el sistema original y el sistema reducido desde el pun to de vista de la tercera ley universal de la mecánica. Ejemplo 1.2: Tiempo de arranque de un sistema mecánico rotativo Un motor de característica J\1 m (w m) acciona una carga de característica Me (w e ) a través de una transmisión de parámetros n y 11. Se desea calcular el tiempo requerido por el motor para llevar la carga desde el reposo hasta la condición de régimen permanente. Con el fin de responder a la pregunta formulada suponga reducido el sistema al eje motor. De acuerdo a los resultados del párrafo anterior, el compor· tamiento dinámico del sistema está gobernado por la ecuación

(a) siendo

W

la velocidad angular instantánea del eje motor,

,\le (w)

= .\1", 2 11

+-

11

(w)

le

-r¡n

Me (n w)

el par acelerante, ('

el momento de inercia equivalente del sistema

30

Sistemas mecánicos

Al arrancar el sistema, la velocidad del eje motor empieza a aumentar desde cero hasta alcanzar el valor W o para el cual cesa la acción aceleradora. Esta es la llamada velocidad de régimen del sistema. Se tiene así que la velocidad de régimen W o viene determinada por la ecuación n M. (w o ) = Mm (w o )Me (nw o ) =

°

-:;¡

Lcorresf!~nde al punto de~ntersgciónde curvas características del motor y dela carga, reducida esta r tIma al e'e motor (figura 1.18). Deacuerdo-a (a) el tiempo de arranque t viene dado por

t

le

M

[O

dw M. (w)

~

(e)

M e (1Jw)

j

Mm(w)

w

Figura 1.18.

Con relación a esta expresión, el lector debe observar que la integral es impropia, consecuentemente el tiempo requerido para alcanzar la condición de régimen permanente es infinitamente grande. Desde el punto de vista práctico, se define el tiempo de arranque a aquel que requiere el sistema para llevar su velocidad angular desde cero hasta un valor vecino a W o escogido convenientemente. Se tiene así que: dw

(d)

siendo usualmente

0,95";;; €

__.L....\_

0.7

0.8

0.9

-

1.0

Figura 1:26

Mecanismo porta-herramienta: • Longitud de la manivela • Longitud de la biela • Eficiencia del mecanismo

T

= 5 cm

1= 50 cm "173 = 0.93

Del diseño del mecanismo es sabido que la máxima fuerza permisible actuando sobre el pistón porta-herramienta es P mi*m

J

w e dt

= 2 l' M*m

ciclo

siendo M': un valor intermedio del par motor medido ~n el eje de la carga_ Recordando (a), la expresión anterior se puede escribir como e~ = 21'

'11 '12

,Q".

(j)

nI n2

siendo Mm un valor intermedio del par motor medido en su propio eje, esto es:

Suponiendo que Mm puede evaluarse como la media aritmética de los valores máximo y mínimo de Mm' durante el ciclo

fJ m =

i(

M m1n

+ M máx

)

= 1.35

(k)

Mp

se tiene que

e*m

-

2

l'

_ -,-11,,-1--=11."-2_

X 1.35 Mp

= 248.52

Mp

(1)

Comparando entonces (i) y (1) se obtiene que M p = 22 Nw-m, por lo que se requiere una potencia nominal de

Nw-m = 4,46 c.v. seg Se selecciona un motor de 5 C.V. con un par nominal = 24,65 Nv.rm.

I

Efecto de volante en sistemas mecánicos

45

Determinación de la inercia del volante Al aplicar la ecuaclón(d) durante una perforación se tiene:

siendo (wc)f y (wC)i fo.....vafores de la velocidad angular del eje de la carga al finalizar y al iniciarse la perforacion respectivamente.

a) Estimación de la energía entregada por el motor durante una perforación ( E m*) p.,r

=

J M m*

w e dt

aplicando el teorema del valor medio de la integral anterior se obtiene:

--*

(dh)pnf = M ro siendo

M:'

(n)

(J p

un valor intermedio del par motor que se supone correspon-

de al promedio de sus valores extremos, esto es:

M* m mientras que (J p corresponde al ángulo girado por el eje de la carga durante la perforación, tal como se indica en la figura 1.29.

\

~

Ll~+e-j.j...

~I

di

I

I

Figura 1.29

Determinación de

(J p:

observe en primer lugar que: r

sen rf¡ p = -1- sen esto es:

(J p

,;;;

r

46

Sistemas mecánicos

por lo que se puede supon"r que cos .. -;-- este problema resulta conveniente exp= ' ~==~¿5:==::. de Mm' Combinando así a) y b) se obti~ _1_ e

L

b

Análisis de la etapa de trabajo

e)

=

O,¡;; t ,¡;;

En este caso la ecuación (e) se transforma en

le b

dMm dt

+

JI

=

cuya solución general es

Determinando la constante K mediante la con cuando se obtiene

(j) Del enunciado del problema se tiene que cuando ; = T

Mi - Mo

= (M 2

JI

= MI' esto es

.l!,

-Mo);re

Despejando l,. Y utilizando (e) se concluye que 1e

T Ln(Mo

M2 l

Ln(M o M¡)

(g)

Efccto dc volante cn sistemas mecánicos

49

Observe que el momento de inercia calculado mediante (g) es la suma de los momentos de inercia de la carga, del motor y del volante.

Análisis de la etapa de aceleración T"'; t ",; T p En esta etapa la ecuación fundamental (a) toma la forma dM m dt

le b

+

Mm

=

O

cuya solución general es

La constante K puede evaluarse a partir de la condición

cuando t = T

Mm = M 1 obteniéndose

-f Mm

Mi e

=

(t-T)

e

(h)

La determinación del período de la carga puede determinarse a partir de (h) ya que cuando t = Tp , Mm =M 2 , concluyéndose que

~= T

1

+

M

M

M

o - MI

Ln (o

')

Caso Il Cargas continuas Considere el caso de un dispositivo motor accionando una carga continua. Suponga que las característi s motriz y resistente son conocidas en función del tiempo (o de otro parámetro CI ico), y que satisfacen las condiciones deacoplamiento descritas anteriormente. Dado que las tasas instantáneas de entrega y demanda de energía son diferentes, la velocidad del sistema variará de acuerdo a la expresión 1.14 dentro de ciertos límites, esto es

W,

mm

~w~w_

ma.

l

50

Sistemas mecánicos

De acuerdo a la tercera ley universal de la mecánica, la máxima variación de energía mecánica del sistema: E máx , esto es, la energía mecánica neta entregada por el sistema cntre los instantes para los cuales la velocidad angular alcanza sus valores extrelllOS W mln , y W _ viene dada por max ,

Emax ,=

t m áx

1M -M)wdt e

(1.15)

) t,' m mm

consecuentemente, el momento de inercia equivalente requerido para que la velocidad angular del sistema fluctúe dentro de los límites w mm, y w max ,ven, drá dado por

(1.16)

Con el fin de cuantificar la variación de velocidad del sistema se introduce el llamado coeficiente de fluctuación de velocidad e r- definido como

ef

(1.17)

siendo w el valor medio de la velocidad angular

W; ):

wdt

A título ilustrativo se indican a continuación algunos valores típicos de C,:

Bombas • Máquinas herramientas • Generadores • Alternador • Motores de combustión interna

0,05 0,02 0,005 0,002 0,003

•

Tal como sugiere la tabla anterior en muchas aplicaciones el coeficiente de fluctuación es muy pequeño, esto es

ef < <

1

Efecto de volante en sistemas mecánicos

51

lo que equivale a decir que el sistema gira con una velocidad angular esencialmente constante: w, luego l' j

w máx +

y

wmín '"

2W

Combinando estas expresiones con 1.17 y 1.16 se obtiene

1e

(1.18)

A continuación se presentan dos ejemplos que ilustran el cálculo de volantes para el caso de una carga continua.

Ejemplo 1.6 Un dispositivo motor que gira con una velocidad angular esencialmente constante de 500 rpm acciona una carga mediante una reducción de parámetros: n =0,5

1)

= 1.00_

tal como sugiere la figura 1.32. Con el fin de garantizar un coeficiente de fluctuación de velocidad de C, = 0,02, medido en el eje motor, se coloca un volante solidario al eje de la _ carga_ . Suponiendo que las características motriz y conducida vienen dadas por

Mm

=

Me

= 5000

2500

+ +

e 2e

675 sen 2

(Nw-m)

540 sen

(Nw-m)

siendo e el ángulo de rotación del eje de la máquina correspondiente, calcular la inercia del volante requerido. Suponga adicionalmente que

Figura 1.32.

b

52

Sistemas mecánicos

Solución Al reducir el sistema al eje motor se tiene:

= 2500 +

Mm siendo

675 sen 2

e

(u)

e el ángulo de rotación del eje motor. De igual manera M~

= 0.5 (5000

+

540 sen 2(

~ e) ) =

2500

+ 270

sen

e,

(b)

ya que el ángulo de rotación del eje de la carga es la mitad del rotado por el eje motor. La inercia equivalente viene dada por I e = Im

+

n 2 (1e + I v ) = 7,3

+ 0,25 I u

(e)

siendo Iv la inercia del volante. En la figura 1.33 se representan las características M m y

M~

e.

referidas al ángulo

4000

E

ID

2000

¡, I.

¡I

1000 78.41

I.

0

o

281.38

I 90

270

180

360

o

i

\ Figura 1.33.

en donde los puntos de corte son soluciones de la ecuación

Mm

= M*e

esto es

2500

+

675 sen 2

e = 2500

+

270 sen

e

I

Efecto de volante en sistemas mecánicos

53

obteniéndose los siguientes valores: 0°; 78.41°; 180°; 281.38°; 360° De inmediato se verifica que el área encerrada por las curvas Mm Y Me *, entre dos puntos IJ 1 Y IJ 2 del ciclo, es igual a la correspondiente variación de la energía mecánica del sistema. En efecto, recordando que w =~ se tiene d t

E

=

r

(Mm -

1

M~) w dt

=

~:

(Mm

-~) dIJ

Consecuentemente, por simple inspección de la figura anterior se tiene que la máxima variación de energía mecánica ocurre entre los puntos B y e (o entre e y D), siendo su valor o

E ouix

= (ISO

o

(675 sen 2 IJ - 270 sen IJ) dIJ

=

972Nw-m

) 78.41

De acuerdo a la expresión simplificada 1.18 se tiene que

le

= 7.3 +

0.25 Iv

972 0.02 (~.~ ')2

12.31

luego

II" =

20 kg - m 21

Observe que de colocarse el volante en el eje motriz se requeriría un momento de inercia cuatro veces menor, pero girando con una velocidad angular dos veces mayor.

Ejemplo 1.7 Un dispositivo motor acciona directamente una carga constante, de manera que el conjunto gira con una velocidad angular esencialmente constante Suponiendo que el motor entrega un par

w.

M=M (IJ)

.~,===============~-----

54

Sistemas mecánicos

e

siendo el ángulo de rotación del eje del sistema, el cual es periódico (período (8); y que el coeficiente de fluctuación de velocidad es conocido

e¡ < <

1

construir un diagrama de flujo que permita evaluar:

a) El par requerido por la carga. b) El momento de inercia equivalente del sistema.

Solución En la figura 1.34 se muestra el diagrama rquerido.

SI

T

I

.....-=---'-.-."76-,-.~¡

,

NO

E> SUP

SI SUP=E

Figura 1.34.

Ejercicios

55

Observe que la máxima variación de energía mecánica puede expresarse como

consecuentemente el algoritmo presentado se basa fundamentalmente en determinar los valores máximo y mínimo de la función

E(O) =

~: (M-Me) dO

para una partición del período de amplitud /',0. 1.5

EJERCICIOS

1.1 A partir de la característica del motor de pistón indicado en la figura 1.4 obtenga la curva potencia/velocidad angular del motor. A partir de ella obtenga la máxima potencia entregada por el motor y la velocidad de rotación del motor cuando entrega 140 c.v. 1.2 Calcular el par resistente medio por ciclo requerido por la máquina cepilladora del ejemplo 1.1. Dibuje la correspondiente curva característica, justificando su respuesta. Dibuje adicionalmente 1'1 curva de potencia contra velocidad angular. 1.3 Encontrar la ecuación fundamental de un sistema mecánico rotativo referida al eje conducido. Comente brevemente cómo se vería afectada esta ecuación si se toma en cuenta el efecto de la fricción 1.4 Reducir al eje motor cada uno de los sistemas indicados (figura 1.35). ,. 1 •:> Con relación al sistema indicado en el ejemplo 1.2, determinar la relación de transmisión requerida: n si se desea un tiempo mínimo de arranque. Como se vería afectado su resultado si se considera un motor de gran deslizamiento 1.6 Considere un carro de l~ siguientes características: • Motor y caja de velocidades descritos en el ejemplo (1.3) • Parámetros del diferencial (transmisión entre el eje de salida de la caja n = 0,31 1) = 0,97 de velocidades y el eje trasero del vehículo) • Peso del carro W = 1800 kg d = 70 cm • Diámetro efectivo de las ruedas • Resistencia al avance, en newtons 0,0149 W + 1,1316 y2 siendo Wel peso del carro, en newtons, y V su velocidad en m/seg. Si el carro parte del reposo, calcule el tiempo mínimo (mariposa totalmente abierta) requerido para alcanzar una velocidad de 90 km/hr, así

56

Sistemas mecánicos

a) Carga accionada por un

I

motor mtdiantt una transmisión por correas.

Motor

hf--1'

~

b) Accionamiento de un ascensor con contra~so mediante un motor.

Cuga

U ,}

F (t)

rrrr

"",bm:;,q¡;,:¡,:;¡;;i7PP'~';;¡'-

c) Una cremallera accionada por un motor mediante un piñón.

Figura 1.35

como la correspondiente distancia recorrida. Suponga la masa total del carrO incrementada en un 20% para tomar en cuenta el efecto de la inercia rotativa de los distintos mecanismos. 1. 7 En la figura se muestra un disco de inercia lA girando con velocidad angular constante W o conectado a una transmisión de parámetros n y TI. Si súbitamente se acopla la salida de la transmisión con un disco de inercia lB' inicialmente en reposo, determine la velocidad de rotación de cada eje después de finalizado el impacto. J

lB

r,I

I

1 I ----1 I

, 1 1 ,

L"

Figura 1.36

1.8 El tambor de arrollado de una grúa es accionado por un motor eléctrico a través de una reducción de tres etapas idénticas (figura 1.37). • • • • • •

Reducción de la transmisión: 48 Eficiencia de la transmisión: 0,75 Diámetro del tambor: 630 mm Inercia del eje motor: 4,6 kgm2 Inercia de los ejes intermedios: 16 kgm' Inercia del tambor: 640 kgm2

Ejercicios

57

• Determinar la potencia del motor cuando la grúa levanta un peso de 15 ton. a una velocidad de 0,12 m/seg

Figura 1.37

Suponiendo que el motor entrega un par constan te, determine el tiempo requerido para nevar la carga desde el reposo hasta la velocidad de ascenso. 1.9 Un motor de inducción clase D, de alto par de arranque y gran deslizamiento tiene la siguiente característica

w/w I m

1.00

0.99

0.85

0.66

M/M m

O

1

2

3

0.40

0.20

3.3

3.2

0.10 3

siendo W m y Mm los valores nominales de W y M. El motor acciona una carga constante (que requiere un par igual al nominal) bajo condicioncs permanentes cuando el voltaje de la red cae súbitamente en un 50% y permanece así por 0.6 seg. hasta que se recupera el voltaje nuevamente. Se desea saber si el motor se para debido a la caída de tensión. Si la respuesta es negativa, determine el tiempo requerido por el motor para alcanzar nuevamente su velocidad de régimen. La inercia del conjunto es tal que se requieren 1,2 seg para nevar el sistema desde el reposo hasta la velocidad nominal cuando se le acelera con un par constante igual al nominal. El par entregado por un motor de inducción es proporcional al cuadrado del voltaje de su armadura.

58

Sistemas meclnicos

1.10 En instrwnentación es frecuente encontrarse con sistemas mecánicos en los que la inercia de la carga es prácticamente despreciable, y la única función del elemento motor es lograr un movimiento del eje de salida, venciendo por supuesto la resistencia debido a la fricción. En este tipo de problema resulta pues importante diseñar la transmisión de manera que, sin modificar la relación de transmisión total, el momento de inercia del tren referida el eje motor sea mínimo. Considere una transmisión de engranajes de dos etapas, de manera que las ruedas motrices en cada escalón sean idénticas. Verifique que, para una relación de transmisión total n, la relación entre el momento de inercia de la primera rueda motriz es mínima cuando

2

6

ni

+

n

2

4

ni - n

2

=o

siendo ni la relación de transmisión para la primera etapa de la reducción. Considere que el momento de inercia de un engranaje es proporcional a la cuarta potencia de su radio primitivo. Represente entonces la relación momento de inercia del tren/momento de inercia de la primera rueda conductora cn función de la relación de transmisión total, y compare con el caso de una transmisión de una sola etapa. 1.11 Calcular la variación de velocidad que experimenta la máquina punzona· dora descrita en el ejemplo 1.4 cuando se la utiliza para perforar agujeros de 2 cm de diámetro en una placa de acero de un centímetro de espesor. Suponga que en el límite de fluencia. T

= 30.000 Nw/cm 2

1.12 Obtenga un programa Fortran que permita resolver el ejemplo 1.4. Con este fin suponga que la característica del motor puede ser asimilada a una línea recta. 1.13 Un motor cuya característica viene dada por una expresión del tipo Mm = a -b w 2 acciona una carga cuyo ciclo de trabajo, expresado en función del angulo de rotación de su eje: e, se indica en la figura 1.38.

..

Mll-----~"

I I I I I I

M2f-------+----~ L-

...L (,JI

-'_-t_ W

~

I I

-~

I I I I I I : I

~:~.~-----.~ 8p e Figura 1.38. e

e

Ejercicios

59

Determine el ángulo rotado por el eje del sistema entre dos operaciones consecutivas~ así como el tiempo transcurrido entre ellas. 1.14 Un motor cuya característica viene dada por Mm

= 1600 +

300 sen20 (Nw-m)

siendo O el ángulo de rotación de su eje, acciona directamente una carga que ofrece un par resistente Me = 1600

+

170 senO (Nw-m)

Si la máxima velocidad angular del sistema es de 200 rpm, determinan

a) el coeficiente de fluctuación de velocidad b) la potencia media desarrollada por el motor La inercia equivalente del conjunto es le = 50 kg m 2 1.15 En la figura 1.39 se muestra un motor diesel accionando un generador eléctrico a través de una reducción ideal (n = 0.25,1/ = 1,00). Mediciones hechas sobre el sistema indicado muestran unas variaciones cíclicas en su velocidad de 1.22 rpm cuando el motor gira a su velocidad nominal de 250 rpm. Ahora bien, las especificaciones del generador establecen que para un funcionamiento adecuado el coeficiente de fluctuación no debe ser mayor de un 0.02% por lo que se debe modificar los requerimientos . de volante del sistema. ,-----, Volante

Moto'

Transmisión

~.--~

J~;m;;;.~,,.,.

r

f-

Carga

7;:-,., ",l;;;;;;;¡;;;;J"..

Figura 1.39.

Analice las dos alternativas siguientes, y establezca conclusiones

a) añadir un volante solidario al eje del generador. b) incrementar el tamaño del volante del motor.

1.16 Considere un sistema constituido por un motor~ un volante y un generador eléctrico acoplados directamente. El generador, que se utiliza para suministrar potencia eléctrica a un molino, absorbe 750 Kw del eje del volante durante un período de 10 seg y 60 Kw durante los próximos 5 segundos, después de los cuales se repite el ciclo.

60

Sistemas mecánicos

Sabiendo que el motor entrega una potencia constante, y que las velocidades máximas y mínimas del eje son 500 y 400 rpm, calcular:

a) la inercia del volante requerido. b) expresiones para la velocidad del sistema en función del tiempo, ca· rrespondientes a las etapas de aceleración y desaceleración. 1.17 La figura 1.40 muestra una idealización de la curva característica de un motor en combustión interna de cuatro tiempos, monocilíndrico, que gira a una velocidad esencialmente constante de 1.200 rpm. M(Nw· m)

500'!--'----'--, 400 300

200 100

,-

f-~~_+~-+~+~_+_'~+-~~__,-,('

)

-100 -200

I

180

I

I 540

360

Figura 1.40

~

'"

¡tí,,;

Vá) Determinar la potencia del motor. ,-~ tií~ w ," 0". 'tlT ¿ b) Determinar la inercia equivalente del sistema requerida para accionar una carga constante con un coeficiente de fluctuación de 0.1 %. e) Resolver de nuevo el ejercicio suponiendo que el motor posee 4 cilindros del tipo descrito y cuyas carreras útiles (carreras de potencia) están distribuidas uniformente sobre el ciclo.

1.18 En la figura 1.41 se muestra esquemáticamente una máquina de elevación usada para desplazar una carga verticalmente. Suponiendo que

Dispositivo Motor

A Mm (NW'm) 1600 r-------,

'---------'-_W'" Figura 1.41. ,

240

('1'm)

Ejercicios

• • • •

Radio del tambor D Radio polea B Masa polea B . ..........•.....•... Carga útil (W)

61

30 cm 30 cm 12 kg 10.000 Nw

Ñlomentos de inercia:

= 13,25 kg m 2 = 1.00 kg m 2

.Ion

• Eje motor • Polea B

/B

se desea saber:

a) elementos de reducción del sistema al eje motor. b) ticmpo requerido para llevar la carga desde el reposo hasta la velocidad de régimen.

1.19 Un motor de característica conocida (ver figura 1.42) acciona una carga constante mediante un acoplamiento rígido de manera que el conjunto funciona bajo un régimen periódico con velocidad media de 600 RPM. Se desea saber si el montaje cumple con la siguiente especificación dada por el fabricante de la máquina conducida "la máxima desviación permisible en la velocidad angular del eje de la máquina, referida a su velocidad nominal, es de 0.5 RPM". La inercia equivalente del conjunto es de 1.00 kg m 2 Mm(Nw-m)

22 20

"-

18

¡-- ¡-._::;~

I

I

1

I

I

,

I

I

,----1 ' I I I I

!

I

I

1

I

I

1

,

i

i 240

o

I Figura 1.42.

I

480

L\ \

o

I 120

o

8

62

Sistemas mecánicos

1.20 Un motor de combustión interna, cuya característica se señala en la figura 1.43, b se utiliza para accionar una carga a través de un reductor de velocidades. Sabiendo que la carga requiere una potencia de 10 C.V., Y que la eficiencia del reductor es 1] = 95% , calcular la velocidad angular a la que debe funcionar el motor.

,...., I

Motor

Reductor

I

' q"

: CaIga

I

Figura 1.43 a. PaI

N w· m

40 30

c'

20

,, 10

1000

2000

3000

4000

w (",m)

Figura 1.43 b.

1.21 Un motor de potencia constante igual a 20 C.V., y con una velocidad nominal de 1800 rpm, acciona dos cargas, una directamente el, y la otra median te una transmisión por correa, tal como sugiere la figura: La carga 1 realiza una operación continua, requiriendo una potencia constante de 10 C.V.

Motor

I

1

l

J

...

tt

C2

"¡ CI

Figura 1.44.

'1

Ejercicio~

63

Parámetros de la transmisión por correa 1J = 100%

n = 1/3

La carga 2 realiza una operación intennitente, requiriendo de una potencia constante de 40 C.V, durante 5 seg., repitiéndose con una periodicidad de 20 seg. 2 Momentos de inercia: Eje motor: 1m = 3 kg.m 2 Eje carga 1: 1, I = 9 kg.m = 4 kg.m 2 Eje carga 2: 1 '2

Si las condiciones de funcionamiento del conjunto exigen que la velocidad del motor no experimente desviaciones mayores de 20 rpm., con respecto a la velocidad nominal, discuta las necesidades. de volante. 1.22 Para el montaje indicado en la figura, se dispone de la siguiente información: • • • • • • •

Velocidad angular del eje motor Radio de las poleas matrices (PI y P2) Radio de la polea conducida P3 Radio de la polea conducida P4 Potencia requerida por la carga 1 Potencia requerida por la carga 2 Momentos de inercia de los ejes: motor carga 1 carga 2

PI Motor

1800 rpm. 15 cm 30cm 45cm 4CV 8CV 2 kR.m 2 4 kg.m 2 15 kR.m 2

P2

I I

11-----------

TU

P3

w

P4

1800 Carga 1 "''''1'/.

'~/I'

Carga 2

,

I'¡¡'/'/'I'

Figura 1.45 a.

M p . .. par de placa Wp = 1800 rpm (vel. ang. nominal)

Figura 1.45 b Curva característica del motor.

64

Sistemas mecánicos

Se desea saber:

a) Potencia del motor b) Reducir el conjunto al eje motor. e) Encontrándose el sistema en condición de régimen se produce la rotu· ra de la correa que conecta el eje motor con la carga 1. Describa el comportamiento subsiguiente del sistema y "estime" el tiempo requendo para su estabilización. Ante esta situación de operador decide apagar el motor para proceder a la reparación corresp.ondiente. ¿Cuánto tiempo transcurre para que el conjunto se deten~a? 1.23 En el montaje señalado en la figura 1.46, la rueda central gira a razón de 1800 rpm. en el sentido indicado. Determinar la velocidad con que se desplaza el peso P.

96 dientes

---~

84 dientes

El)

50cm diámetro

Figura 1.46.

EL

Capítulo 2

TRANSMISIONES

2.1 GENERALIDADES Tal como fuera indicado en el capítulo 1, se llama transmisión a todo dispositivo utilizado para unir dos componentes de un sistema mecánico. En este capítulo se procederá a analizar el comportamiento mecánico de las transmisiones en tre ejes en rotación. Según su funcionamiento se clasifican las transmisiones en dos grandes categorías :

a) Transmisiones permanentes: tal como lo sugiere su nombre son aque· Has transmisiones que establecen una conexión permanente entre los ejes. Tal es el caso de los acoplamientos rígidos y flexibles, transmi· siones hidráulicas, correas, engranajes, ... etc. b) Embragues; esta categoría corresponde a los acoplamientos tempora· les, utilizados para conectar o desconectar ejes a voluntad de un operario externo. Como ejemplos se tienen los embragues de dientes, de fricción, hidráulicos, centrífugos, etc.

2.2 ACOPLAMIENTOS RIGInOS Son aquellos acoplamientos que por su construcción no permiten ningún grado de flexibilidad angular, axial o rotacional entre los ejes vinculados. Consecuentemente se les utiliza para acoplar ejes colineales. 65

66

Transmisiones

2.2.1 Acoplamientos de brida Tal como sugiere la figura 2.I,las bridas colocadas en los extremos de los ejes se fijan entre sí mediante tornillos, luego la transmisión se logra mediante fricción entre los platos apretados por los tomillos, o simplemente por corte en los tomillos.

-i-jJI . JFigura 2.1 Acoplamiento de brida.

2.2.2 Acopiamientos de collar Consiste de un collar cilíndrico que se ajusta a presión con los ejes a conectar, y asegurados mediante tomillos para prevenir su deslizamiento (figura 2.2). Esta categoría de acoplamientos es muy sencilla y de bajo costo, y su único inconveniente es que requiere que los ejes a conectar estén perfectamente alineados para evitar esfuerzos de flexión severos y el desgaste excesivo de los cojinetes.

Figura 2.2 Acoplamiento de collar.

2.3 ACOPLAMIENTOS FLEXIBLES Dentro de esta categoría se encuentran aquellos acoplamientos susceptibles de experimentar cierto grado de movilidad, tal como excentricidad entre los ejes, desplazamiento axial o angular de los ejes, angularidad entre los ejes, etc. 2.3.1 Acopiamiento de material elástico Tal como indica la figura 2.3, el acoplamiento entre los dos ejes se logra mediante una pieza de material elástico (neopreno, teflón, .. ) permitiéndose así un alto grado de movilidad.

. 'f-~~-n.

MatenaJ elastico----

Figura 2.3 Acoplamiento de material elástico.

Acoplamientos flexibles

6-7

2.3.2 Acoplamiento de OIdham Tal como sugiere la figura 2.4, el acoplamiento se logra a través de un disco que lleva solidario dos guías diametrales, una en cada una de sus caras, perpendiculares entre sí, de manera que cada guía calza en las ranuras practicadas en las bridas de los ejes de entrada y salida. El diseño de cste dispositivo permite pues acoplar dos ejes paralelos no colineales, e independientemente de la excentricidad existente el conjunto gira con una velocidad angular única.

\

i

,

-

er Figura 2.4 Acoplamiento de Oldham.

<

2.3.3 Acoplamiento de Hooke Este acoplamiento consiste fundamentalmente en un miembro cruciforme y rígido AA 'OBB' que se articula a los ejes de entrada y salida, y cuyos brazos AA' Y BB' son perpendiculares entre sí. Esta disposición permite acoplar ejes que se cortan en el punto O (centro de la cruceta) (figura 2.5).

r

Figura 2.5 Acoplamiento de Hooke.

Análisis cinemática: A continuación se procederá a detem1inar la relación de transmisión en un acoplamiento de este tipo: Con este fin se definen los siguientes vectores unitarios (figura 2.6):

,J '"i'

68

Transmisiones ~

: Vector director del eje conductor.

e;: Vector director del eje de salida.

n: Vector unitario perpendicular al plano definido por los ejes 1 y 2, o

-

tado según la posición inicial del brazo OA o .

Figura 2.6.

Observe que los vectores n y Clxn definen una base ortonorm..plano del movimiento del brazo AA'. De igual forma ñ y e,xii form base ortonorrnal en el plano de movimiento del brazoBB', con e2x ñ 0"-."";;;do según la posición inicial OB o .

Si se denota por Ol Y O2 a las rotaciones experimen-tadas por lo entrada y salida al cabo de un tiempo t, las nuevas posiciones de los pun° y B vendrán dadas por

OA = cos ol

n

+ sen O,

(e; x ñ)

OB=COS02 (e;xn)-sen02 n Como en cualquier configuración OA y OB son perpendiculare que [cosO,n+senO, (el xñ)

J'

[cos O2 (e2 xil)-sen O2 nJ=O

o sea

-cosO,sen02 +senO, cosO, cosll=O ya que el ángulo formado por (e, xñ) y (e2 xn) es igual al ángulo d

e

Derivando (2.2) con respectó al tiempo se obtiene la aceleración del eje de salid,;,:

cos f3

(2.3)

En la figura 2.7 se representan las expresiones (2.2) y (2.3) para algunos valores del parámetro ~: En ella se observa que la fluctuación de la velocidad angular en el eje de salida aumenta rápidamente con el ángulo~, con el consecuente incremento del par de inercia, lo que afecta las características del par de salida, produce vibraciones e incrementa el nivel de esfuerzos del dispositivo.

1,30

........ 1,20

1,10

1,00 0,90

0,80

0,70

Figura 2.7 Diagrama de fluctuación de la velocidad angular en un acoplamiento de Hookc.

70

Transmisiones

/$/

>j2~

~~

Figura 2.8.

"'-

La utilización de un acoplamiento doble de Hooke, tal como sugiere la figura 2.8, permite acoplar ejes que forman un ángulo apreciable, manteniendo la fluctuación de velocidad dentro de límites tolerables.

2'00t

~

-1.00

-2,00

Figura 2.9.Diagrama de aceleración angular en un acoplamiento de Hooke, cuyo eje de entrada gira con velocidad angular constante

Análisis dinám ico: A continuación se procederá a determinar la variación del par de salida en un acoplamiento de Hooke en función de sus parámetros dinámicos (figura 2.10). Con este fin se aplica la ecuación de Euler tanto al eje de entrada como al de salida, obteniéndose:

MI

Figura 2.10.

W,

Acoplamientos flexibles

M¡ -Me =1 1

WI

M , -M 2 =12

w

71

(2.4)

(2.5)

2

- ode M e y M, representan los pares de entrada y salida de la transmisión, ""'"min

(e"",/,en

~

-

1)

El error de este procedimiento es producto de considerar Tml'n como constan· te a efectos de la derivación, cuando la expresión (2.50) y (2.49) ponen de manifiesto la dependencia de T m .n . con W (ver ejercicio 2.10).

Ejemplo 2.10 Una polea de IODO mm de diámetro gira a 200 rpm y se conecta mediante un. correa de cuero a otra polea girando a IODO rpm, siendo el ángulo de abrace

Transmisiones por correas

127 \

..., la última de 175°. Si la tensión inicial de la correa puede ajustarse entre .Vw y 1400 Nw, ¿cuál es la máxima potencia que puede transmitirse? __• n"" que la tensión máxima admisible para la correa es de 1600 Nw, y ·onalmcnte que

f.l =0,25

-, v

A = 0.5 kg/m

ció n

ordando la definición de relación de transmisión, se tiene que el radio de

lea pequeña vendrá dada por r

= 0,5

200 rpm _ O v' m c:-::-::c:--'-,1 m 1000 rpm

otando por TAf y T m a las tensiones máxima y mínima de la correa en condición genérica, la potencia transmitida se p'J-ede expresar como

P=rw(T-T)V M m ~do

(a)

r y w el radio y velocidad angular de lapolea pequeña, respectivamente.

Ahora bien, la potencia máxima a transmitirse está limitada por dos fac. a saber, la tensión máxima permisible y la condición de deslizamiento ¡nente que aparece en la polea pequeña. Dado que estos dos factores son ependientes, se procederá a analizarlos por separado: •

Si la correa no desliza, la máxima capacidad de transmisión de potencia dependerá dc la tensión permisible en la correa (y de la tensión inicial: To),Recordando que

(b)

al p"ede re-escribirse como P=2rvJ (T", -Tol ~o,

si Tp representa la tensión permisible TM

(e) ~

Tp ' consecuentemente

P0 Bajo estas condiciones los dos ejes comienzan arotar con velocidades distintas, produciéndose una condición de deslizamiento en..e embragt!e. El movimiento del eje motor viene dado por la solución de la ecuación diferencial

dw

I ----..!!!...-= M m - ft1 máx e m dt

sujeta a la condición inicial w m (o) eje conducido está gobernado por

= O. De igual manera, el movimiento del

Embragues

dw dt

1 _ _,_= M e

w

e

máx

e

139

-M e

(0)=0

.-\hora bien, la condición de deslizamiento finalizará al cabo de un tiempo 7: definido por

w m (l ) = w e (t) = W esto es, cuando las correspondientes soluciones se cortan. Esta situación se ha tratado de representar en la figura 2.63: curva II para el eje motor y curva 1 para el eje de la carga. A partir de ese instante los ejes motor y conducido ~ran solidariamente, esto es, sin deslizamiento. El par transmitido por el embrague se reduce apropiadamente a fin de garantizar el tipo de movimiento descrito anterionnente. Así Me < 1\1e máx.

M

m

e

'-

,¿.-_

W

w 1

-----_"¡4

l. ...__ Figura 2.63.

I

DESLIZAMIENTO

NO

"1 C' w

DESLlZAMIE~TO

140

Transmisiones

El movimiento del conjunto estará gobernado por la ecuación diferencial dw +I)_=M -M, e dt m

w(t)=w y cuya solución se representa mediante la curva III. Observe su carácter asintótico con la línea w = siendo la velocidad de régimen del sistema. El tiempo de arranque:ta* se calcularía entonces mediante

w,

w

w(ta *)

=E W

siendo E un factor cercano a la unidad.

1.2 Sea

MO

_M máx

_ _m",--::---",_ _

< Mmáx-M e e

1m

1,

r:i."" ~ J e Nc 1_,l.·.L).p,

La relación anterior pone de manifiesto que el embrague transmite un par menor que su capacidad: M, < M máx ya que la aceleración inicial del eje motor no puede ser menor que la de! eje de la carga (figura 2.64). Se tiene así que e! embrague no desliza, y por consiguiente, e! conjunto gira solidariamente de acuerdo a la ecuación

t •

~._.

-._._._._.-

Figura 2.64.

Embragues

141

dw

+l)-d e t =M m -Me

w (o) = O En este caso el tiempo de arranque t a * vendrá dado por

A1 máx -Mo

1.3

e

e

EPSI • WO' ~--'---."¡ TMCIN =TMC(I) f-----' '------r-----'

, ARRANQUE CON EMBRAGUE ACOPLADO - EL CONJUNTO GIRA SOLIDARIAMENTE DESDE EL COMIENZO HASTA ALCANZAR EL PUNTO DE OPERACIQN VELOCIDAD DE OPERACION DEL SISTEMA

=WOP

TIEMPO DE ARRANQUE

'=TARR

Apéndice - Sistemas mecánicos que incorporan un embrague

I

r

I = 1 • TMIN =0.• TCIN =0.

W(I) =1

*W

, WS(I) = (1 + 1)

•

155

I

I

I

*H

1=1 +1

I

PAR(W(I) , WS(I) ,MM(I) ,MMS(I) ,MC(I) ,MCS(I) ,ME(I) ,MES(I»)

.-

'--

TIEMP(H, INM, MM(I) - ME(I), MMS(I) - MES(I) , TMIN , TM(I) , TMS(I))

1

TCIN =TC(I) TMIN =TM(I)

TIEMP(H,INC,ME(I) - MC(I), MES(I) - MCS(I) , TCIN, TCU) , TCS(I))

.

TMS(I) >TCS(I)

r

J

• SI TDESL =TM(I) , WDESL =W(I)

r

"

J=I TMCIN=O.

NO

" I

1

IWMC(I) =WDESL +H * I , WMCS(I) =WDESL +(1 + 1) * H I

1=1+1

.

PAR (IVMC (1), WMCS(I), MM(I), MMS(I), MC(I), MCS(I), ME(I), MES(I)

•

T1EMP (H,INM +INC, MM(I) - MC(I) ,MMS(I) - MCS(I) , TMCIN , TMC(I), TMCS(I»>

(

",

IVMC,(I) >EPSI SI

TSOL =TMC(I)

,

* IVOP

~

TMCJN =TMC(I)

TARR =TDESL + TSOL.

ARRANQUE CON EMBRAGUE ACOPLADO - EL CONJUNTO DESLIZA INICIALMENTE HASTA ALCANZAR LA VELOCIDAD COMUN WDESL PARA LUEGO GIRAR SOLIDARIAMENTE HASTA ALCANZAR LA VELOCIDAD DE OPERACION WOP DURACION DE LA ETAPA DE DESLIZAMIENTO =TDESL VELOCIDAD FINAL EN LA ETAPA DE DESLIZAMIENTO =WDESL DURACION DE LA ETAPA DE NO DESLIZAMIENTO =TSOL VELOCIDAD DE OPERACION DEL SISTEMA =WOP TIEMPO DE ARRANQUE TOTAL =TARR.

156

Transmisiones

fl =1 ,TMIN =0., TC IN =ol

I

1+1

1-

TMIN =TM(I) ; TCIN =TC(I)

f---

I

WM (1) =WVAC - H' I ,WMANT=WVAC - H' (1 +1) WC (1) =H '1 , WCS(I) =H ' (1 +1)

t PAR(WM(I), WMANT(I), MM(I), MMANT(I), MC(I), MCANT(I), ME(I), MEANT(I»

• •

TIEMP (H, INM, MM(I) - ME(I), MMANT(I) - MEANT(I), TMIN, TM(I), TMANT(I))

PAR(WC(I), WCS(I), MM(I), MMS(I), MC(I), MCS(I), ME(I), MES(I) )

.

TIEMP (H, INC, ME(I) - MC(I), MES(I) - MCS(I), TCIN, 'Te(I), TCS(I) )

t (

NO

WCS (1) > WMANT (1)

t

-

SI

ITDESL = máximo {TC(I), TM(I) }; WDESL =(WM(I) +WC(I))/21

~

r

1=1, TMCIN=O.

l

IWMC(I) -IVOESL +H '1 ; WMCS(I) -WDESL + H ' (1 + 1)

. I

•

I

1

1+1

PAR (WMC(I), WMCS(I),MM(I),MMS(I),MC(I),MCS(I),ME(I),MES(I))

1 TIEMP (H,INM +INC, MM(I) - MC(I) ,MMS(I) - MCS(I) , TMCS , TMC(I), TMCS(I»

1

(

I

TSOL =TMC(I)

WMCS(I) >EPSI 'wop '\ NO

,

_:

• e, TARR= TVAC +TDESL +TSOL

r

TMCIN -TMC(I)

I

I

'EL MOTOR SE LLEVA INICIALMENTE A LA CONDlCION DE YACIO, WVAC, TOMANDO PARA ELLO UN TIEMPO TVAC 'A CONTINUAClON SE ACOPLA EL EMBRAGUE PRODUCIENDOSE UNA CONDlCION DE DESLIZAMIENTO HASTA QUE AMBOS EJES ALCANZAN LA VELOCIDAD WDESL EN UN TIEMPO TDSL 'FINALMENTE SE PRODUCE EL MOVIMIENTO SOLIDARIO DEL CONJ UNTO HASTA ALCANZAR LA VELOCIDAD DE OPERACION WOP, TOMANDO PARA ELLO UN T1EMPO TSOL 'TIEMPO DE ARRANQUE TOTAL = TARR.

1...

Apéndice - Sistemas mecánicos que incorporan un embrague

157

SOL(M.\4, ME, WWOP)

I WM(l) :

WVAC - H' l

, WMANT(I): WVAC - H '(1 +1)

t PAR (WM(I), WMANT(I), MM(I), MMANT(I), MC(I), MCANT(I), ME(I), MEANT(I))

TIEMP (H, INM, MM(I) -ME(I), MMANT(I) -MEANT(I), TMIN, T'vl(I), TMANT(I»)

WMANT(I)

< (2. -

EPSI) 'WWOP

NO

TMIN =TM(I)

SI TOP : TM(I) ; TARR : TVAC

+ TOP

, EL MOTOR SE LLEVA INICIALMENTE A LA CONDICION DE VACIO, WVAC, TOMAN· 00 PARA ELLO UN TIEMPO TVAC 'A CONTINUACION SE ACOPLA EL EMBRAGUE. LA CARGA PERMANECE ESTACIONARIA MIENTRAS EL MOTOR SE ESTABILIZA EN LA VELOCIDAD wwor, TOMANDO PARA ELLO UN TIEMPO TOP-NOTE QUE EL EMBRAGUE SE ENCUENTRA EN UNA CON· DICION DE DESLIZAMIENTO CONTINUO 'TIEMPO REQUERIDO PARA ALCANZAR LA VELOCIDAD WWOP=TARR.

2.11. EJERCICIOS 2.1

Utilizando el teorema de composición de velocidades angulares para un cuerpo rígido en rotación, determine la relación de transmisión en un acoplamiento de Hooke. Sugerencia: Observe que la velocidad angular de la cruceta puede expresarse indistintamente como

W¡+W c. 1=W 2 +Wc. 2 siendo W I y W 2 las velocidades angulares absolutas delos ejes 1 y 2, respectivamente; ¡;j" I la velocidad angular de la cruceta relativa al eje de entrada 1, siendo su dirección la definida por AA' ; y la velocidad angular de la cruceta relativa al eje 2, de dirección BB'. c,2

w

2.2

En la bibliografía de dinámica de máquinas es frecuente encontrarse con el siguiente planteamiento: "Una junta doble de Hooke proporciona una relación constante entre las velocidades angulares de los ejes de entrada y salida".

158

Transmisiones

Utilice 2.1 Y 2.2 para discutir la validez de dicho planteamiento. Obtenga adicionalmente llna expresión que relacione la fluctuación de velo-

cidad en una junta doble de Hooke con la fluctuación que se experimentaría si se utilizase una junta simple. Represente gráficamente su resul· tado. 2.3 Verifique que en un acoplamiento de Hooke los valores máximos y mÍnimos de la magnitud de la velocidad angular de salida vienen dados por ú..llmín

=W 1

cos~

w2máx

= W1/cos{J

Calcule entonces el llamado coeficiente de fluctuación de velocidad del acoplamiento, definido como (ú..2:máx -w2,m~)-;-wl

Determine adicionalmente los puntos para los cuales w¡ =

W2.

2.4

Demostrar 2.13,2.17 Y 2.18 utilizando las técnicas del análisis dimensional.

2.5

Cuando la razón 7 = M,/Me en un convertidor de par es menor que la unidad se tiene una eficiencia T1 = n r< n, esto es, la eficiencia del convertidor es menor que la de un acoplamiento hidráulico operando con la misma relación de velocidades. Un diseño que permite aprovechar las bondades de ambos, convertidor y acoplamiento, es el siguiente. El estator de un convertidor se monta sobre rolineras, y su eje se provée de un mecanismo tal que le permita rotar libremente en la dirección del movimiento del eje entrada, pero no es sentido contrario. Así, cuando M , > M e el estator se mantiene fijo y el conjunto opera como un convertidor. Cuando NIs < Me el "estator" rota libremente, por lo que la cantidad angular de movimiento del fluido no se afecta y consecuentemente el conjunto se comporta como un acoplamiento hidráulico. Este dispositivo se llama un convertidor hidráulico de dos fases. Obtenga las curvas de eficiencia y de relación de momentos para un convertidor de dos fases. Generalice los resultados obtenidos_

2.6

Se disponen de tres convertidores hidráulicos de diámetros efeetivos

d¡=50cm

d2

= 55 em

d3

= 63,5 cm

de características definidas por la tabla siguiente W, We

M,

M; M,

pw; d

S

.6

.8

LO

2,05

1,50

1,05

0,60

0,0111

0,0086

0,0058

°

.2

.4

3

2,6 0,01305

0,0144

en donde [ W

l = rpm , [ M l = Nw

- m , [d

l =m .

0,0033

Apéndice - Sistemas mecánicos que incorporan un embrague

159

Seleccione el convertidor que mejor se ajusta a un motor de característica

w: rpm

1000

1200

1400

1600

1800

2000

M:Nw-m

884

877

857

830

783

729

sabiendo que la velocidad del motor debe estar comprendida entre 1100 y 1400 rpm cuando la velocidad del eje de salida del convertidor es nula. ¿Cuál es el par de salida y la efic~neia del convertidor cuando el motor gira a su velocidad máxima de 2000 rpm? Peso específico del fluido del convertidor: 0.85. 2.7

2.8

Un tren epecíclico de ruedas cilíndricas de dientes rectos consiste de un brazo, un anillo de 60 dientes y un planeta de 20 dientes, ambos de módulo m = 2.5 mm. El tren no posee rueda central (sol). El planeta está articulado al brazo y engrana con la rueda anular, y cuyo eje es paralelo al eje común de rotación del brazo y el anillo. El momento de inercia dcl brazo es de 1,8 gr - m 2. El planeta tiene una masa de 1 kg Y un radio de giro (polar) de 20 mm. Inicialmente el anillo está rotando en sentido horario a 150 rpm, y el brazo a 100 rpm, también en sentido horario. Si se aplica un par de frenado al anillo que lo detiene, determinar la nueva velocidad del brazo. En la figura 2.68 se muestra un tren epicíclico cuyo anillo D se impide de rotar mediante dos pistones hidráulicos.

Figura 2.68.

160

Transmisiones

El eje conductor se conecta al sol B, engranado a los tres planetas e, los cuales a su vez engranan con la rueda anular D. Solidarios a las ruedas e, los planetas E engranan con F, e! cual está acoplado al ,eje conducido. Si e! eje conductor gira a 5000 rpm, calcule la potencia transmitida cuando la presión de! fluido es de 1,75 X lO· Nwfm 2 , y la aceleración inicial de D cuando el par ejercido sobre B se incrementa instantáneamente en 1,8 Nw-m y la inercia del eje conducido es muy grande. B Cada planeta D F Brazo

----,

Número de dientes Masa .tKg) Radio de giro (m·m) 2.9

65

21

2

3

50

40

61

12,5

360

5

140

En la figura 2.69 se muestra un dispositivo utilizado para medir e! deslizamiento entre los ejes primario y secundario de un acoplamiento hidráulico que gira con una velocidad angular nominal de 1500 rpm. Estudie e! comportamiento del sistema para verificar que la carcaza de! diferencial gira con una velocidad angular proporcional al deslizamiento. ¿Indique cómo procedería para determinar e! deslizamiento experimentado por e! acoplamiento en un instante dado?

,_.,

1

SIN FIN

1

.~

' 1

T.:f=~is?;;Jl.' 1

'1

i

~. .I

I~ .

I .

~ L_

! i' ¡--.-

I 1.-/

SO'I

'1

l)

.'--._.I Figura 2.69. DIFERENCIAL

2.10 Reducir e! sistema mostrado al eje motor. Denote por 1, Inercia del eje (1) y de la rueda B. -[M Inercia del motor y del piñon A, 1D Inercia de! planeta D.

Apéndice

~

Sistemas mecánicos que incorporan un embrague

e

161

A D

Motor

Carga E

B

Figura 2.70.

le Inercia de la carga y del anillo C. MD Masa del planeta.

y suponga las siguientes relaciones entre los números de dientes.

2 A =2 D =2 2 B =2 E =22 2 e =42 2.11

~cu-0'"0

Una correa en V de 0.2 kg/m se utiliza para la transmisión de potencIa) 'lJ-'!. '!.),\1cj,L entre dos poleas, de diámetros 100 mm y 200 mm respectivamente, cont E

+1------",1 F

250

+--

Tambor I

Figura 3.21.

Datos:

AB =BC = 300 mm

CD=60 mm FG=320 mm GJ=550mm

DE= 150 mm EF= 230 mm HG= 100 mm Racüo tambor: 250 mm.

Ejercicios

195

3.2. Un freno de doble bloque con zapatas de madera en un tambor de hierro colado (11 = 0.3), está dispuesto como se muestra en la figura. Determinar la fuerza P requerida para absorber 35 hp con una velocidad del tambor de 300 rpm. en sentido contrario a las agujas del reloj. B

A-----

e IG I I I

. .................... H

lO

AC :;;;;6U cm

--~j'~----./.

BC:;;;;lOcm

1

BD:;;;;60 cm CF:;;;;50 cm

I I

DE ::30

IF

cm

HA :;:30 cm ~=30°

I

lE

Figura 3.22.

3.3. Calcule la capacidad del dispositivo de freno mostrado en la figura 3.23 constituido por dos zapatas idénticas accionadas por un sistema de pa· lancas. Suponga que ambas zapatas contribuyen igualmente en la acción de frenado. En la figura 3.24 se muestra gráficamente la relación lineal entrc el par de frenado yel par generado por la fuerza externa (actuante sobre la zapata) alrededor del pivote, para una zapata idéntica a la usada en el freno de la figura 3.18 correspondiente a los dos sentidos de rotación y debidamente acotadas por la presión de contacto admisible.

~====:=;"l91¡----t 400 kg

.

1

300

·!~p·t 1200-+

330

~----+ Figura 3.23

196

Dispositivos mecánicos de frenado

Capacidad de frenado de una zapata

~ 20

M,1'

"'''1'(

Esto es, a pesar' de tratarse de un rotor debidamente equilibrado el hecho de que el eje de rotación esté animado de movimiento provoca la aparición de fuerzas reactivas de tipo giroscópicas a saber, fuerzas a lo largo del eje de rotación y una pareja perpendicular al plano formado por las velocidades angulares W r y n, cuyas magnitudes son tanto mayores cuanto mayores sean las magnitudes de las velocidades angulares involucradas.

4.4 DISPOSITIVOS PARA EL EQUILIBRADO DE ROTORES a) Equilibrado estlÍlico: balanc('o de rotores planos

Quizás la forma más sencilla de detectar el estado de desequilibrio de un rotor plano, consiste en colocarlo sobre un par de ríeles lisos y paralelos, ubicados en un mismo plano horizontal, tal como sugiere la figura 4.5.

208

Equilibrado de máquinas rotativas

Figura 4.5. Equilibrado de un rotor plano.

El procedimiento de detección consiste en imprimirle al rotor varias posiciones angulares y permitirle que busque libremente su configuración de equilibrio estático, para luego marcar e! punto más bajo de su periferia: • Si estas marcas se distribuyen en la periferia del rotor, se trata de una posición de equilibrio indiferente, esto es, el centro de mas~ del rotor está ubicado sobre el eje de rotación, tratándose en consecuencia de un rotor equilibrado. • Si las marcas coinciden es porque el rotor adopta una posición de equilibrio estable, consecuenteme~te su centro de masas no coinciden con e! eje de rotación, tratándose de un rotor desequilibrado. El procedimiento antes descrito permite ubicar la posición radial de la masa de desequilibrio, ya que la coincidencia de las marcas definen el jada "pe· sado" del rotor. Sin embargo, la magnitud de! desequilibrio queda indeterminada. Así pues, la corrección del desequilibrio deberá hacerse por aproximaciones sucesivas, añadiendo una masa correctiva en el la· do "liviano" del rotor. Se deberán colocar tantas masas correctivas como sea necesario hasta alcanzar un estado de equilibrado aceptable.

El método antes descrito tiene la dificultad que debe procederse a tantear la magnitud de una masa correctiva. Una manera de.evitar este tanteo se logra al utilizar el dispositivo indicado en la figura 4.6, e! cual consiste de una I I

¿ I I

/

/'...../: fI

I

Figura 4.6. Equilibrado de un rotor plano.

Dispositivos para el equilibrado de rotores

209

plataforma perfectamente balanceada vinculada a un bastidor mediante una articulación esférica ideal. Al colocar un rotor desequilibrado R sobre la plataforma P de manera que sus ejes geométricos coincidan, el conjunto adopta una nueva posición de equilibrio, siendo e! ángulo de inclinación una medida de la magnitud de! desequilibrio de! rotor. La dirección de máxima inclinación del conjunto ubica la dirección radial del desequilibrio. Una manera de medir directamente estas dos variables se logra fijando a la plataforma una pantalla graduada de forma tal que cada circunferencia represente un cierto desequilibrio (figura 4.7), por ejemplo en gr- cm. Si el interior de la pantalla está lleno de un fluido, una burbuja de aire serviría como indicador de la magnitud y dirección del desequilibrio.

e

Figura 4.7.

b) Equilibrado de rotores en dos planos* En la figura 4.8 se muestra un rotor colocado sobre un bastidor que se apoya sobre dos pivotes móviles Pe< y P ~' colocados en los planos de corrección el< y (3. Dos uniones elásticas son fijadas en ambos extremos de! bastidor. Se supone que dichas uniones poseen una rigidez infinita en dirección perpendicular al plano de la figura. Finalmente se disponen de dos transductores de vibraciones (T.V.) para medir la amplitud de las oscilaciones verticales en los cojinetes A yB.

El procedimiento para e! balanceo de! rotor se cumple en dos fases:

• Primera fase. Determinación de la magnitud de la masa correctiva que se requiere en e! plano e = 10Sgr en (-40; 10;0) cm m p = 108gr en (40,-10,0) cm

ubicadas como sugiere la figura 4.12, equilibran totalmente el sistema.

Figura 4.12.

. ,

4.5.

EJERCICIOS

4.1.

Balancear el sistema de tres rotores planos indicado en la figura 4.13 mediante dos masas correctivas colocadas en los planos ex y (3.

mI ~-----40

+-6cm:

cm-------jf..-

16cm

~

, Wi-'

m_2_50cm

O()

ROTOR

m(kg)

1

0,250

4

2

2.000

1,2

300

3

0,600

2,2

135

,(cm)

Figura4.1~

30° 0 0

Ejercicios

4.2

217

El engranaje mostrado en la figura 4.14 ha sido balanceado en el taller añadiendo tres masas puntuales (1 y 2 en la cara anterior, y 3 en la posterior) sobre una superficie cilíndrica de 10 cm de radio. Los engranajes producidos son de acero colado, y las especificaciones establecen que las correcciones para e! equilibrado deben hacerse taladrando orificios en las paredes laterales, de espesor 6 mm a igual distancia de! eje. Determinar la ubicación y los diámetros de las perforaciones requeridas para balancear el cngranaje sabiendo que las magnitudes de las masas correctivas son mI = 40gr; m2 = 70gr; y m3 = 80gr.

---

-

§ oc

-

----

-

Ji

l-

Figura 4.14.

/

~4.3.

La figura 4.15 muestra una máquina de balanceo con un rotor rígido que debe ser balanceado mediante la remoción de metal en los planos 1 y II. Con el rotor colocado en la posición mostrada y girando a la velocidad de funcionamiento de la máquina de balanceo se observa que e! indicador de la escala oscila con una amplitud de 5 mm. 4. Una masa correctiva de 15g fue fijada al rotor en e! plano I, sobreuna circunferencia de radio 125 mm en las posiciones A, B. Y e sucesivamente observándose amplitudes de vibración de 6.3 mm; 11.8 mm y

218

Equilibrado de máquinas rotativas 11

EB A

."

R_O_T_OR_

B

gt~?====~-~?~~====C=J Figura4.1~

10.5 mm respectivamente. Estime la cantidad de metal que debe ser removida del rotor en el plano l, sobre una circunferencia de 75 mm de radio, y determine la posición en la que debe practicarse la perfora>i@. Colocando a continuación el plano de corrección l sobre el pivote y haciendo girar el conjunto se obtienen los siguientes valores: a) con el sistema corregido con una masa puntual de 15 g colocada en II sobre una circunferencia de 125 mm en las posiciones, A, B Y e se observan vibraciones de amplitud 3.67 mm; 6.25 mm y 13.55 mm respectivamente. b) Las vibraciones del sistema sin corregir tiene una amplitud de 8 mm. Estime la cantidad de metal que debe removerse en el plano II sobre una circunferencia de radio 75 mm. ¿En qué posición debe practicarse la perforación?

;..-(4.

El rotor de la turbina de vapor de un barco pesa 50 toneladas. La turbina gira a razón de 11,000 rpm y está montada de forma tal que su LINEA DE INCLINACION /

/

/

/

/

/

PROA

. -\---------~--- - - - - --/

\

/

,

,••

/

/

.:

/ /

/

Figura 4. Ui,

, \,

\ ."'"

'.

Ejercicios

l' . 1

219

eje de rotación es paralelo al casco del barco. Los cojinetes principales están separados 4.72 m y el radio de giro del rotor es de 24.76 cm. Determine la magnitud y dirección de las reacciones máximas en los cojinetes cuando el navío oscila alrededor del eje de inclinación con una amplitud de ± 5°, con una frecuencia de un ciclo cada 15 seg (figura 4.16). l.Db -=. "'-

'*

~.

,-'-

Balancear el conjunto formado por dos rotores planos unidos a un eje que pasa por sus centros geométricos. Los rotores se colocan de forma tal que los planos definidos por el eje de rotación y las normales al rotor son perpendiculares entre sí. Estas normales están inclinadas el mismo ángulo 8 con respecto al eje de rotación, tal como sugiere la fígura 4.17.

..

\.c- _

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8

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J""\

n

'....

,1

-+---Q-~---Q--~1---Q

•

Figura 4.17.

4.6.

En la tabla siguiente se muestran las amplitudes de vibración que experimenta un rotor plano, todas ellas correspondientes a una misma velocidad. Masa correctiva

Ubicación angular

ninguna

Amplitud de vibración

0,036 cm

84 gr

0°

0,025 cm

84 gr

90°

0,056 cm

84 gr

180

0

0,056 cm

220

Equilibrado de máquinas rotativas

Detennine la magnitud de la masa correctiva requerida para balancear el rotor así como su ubicación. 4.7.

Se quiere equilibrar un rotor plano y para ello se dispone de un vibrómetro y una lámpara estroboscópica. Sobre el rotor se colocó un papel polar, produciéndose el destello de la lámpara justo cuando el rotor está en el punto de máximo acercamiento al vibrómetro (figura 4.18).

_w t"p'áf"'jiMi

~-------

la lámpara está frente al rotor.

Figura 4.1&

Un técnico puso a girar el rotor a una velocidad muy superior a la velocidad crítica y encontró que cuando la lámpara destellaba, el vibróme0 tro señalaba 220 en el papel polar pegado al rotor. Repentinamente la lámpara se dañó, por lo que un ingeniero sugirió seguir el siguiente procedimiento para determinar la magnitud de la masa desequilibrante y su ubicación:

a) Puso a girar el rotor a 1000 rpm. Sabiendo que esta velocidad era menor que la crítica, midió la amplitud de la vibración, que resultó ser de 0.5 mm.

b) Colocó una masa muy pequeña comparada con la masa total, con un momento lineal igual a 8 gr - cm, en la dirección correspondien0 te a 0 en el papel polar.. c) Hizo girar el rotor otra vez a 1000 rpm y midió la amplitud de vibración, siendo ésta de 0.7 mm.

a) ¿Cuánto vale la magnitud de la masa desequilibrante? b) ¿Dónde está ubicada? e) ¿Por qué la masa de prueba era muy pequeña y puso a girar el rotor otra vez a 1000 rpm?

Ejercicios

221

d) Diga dónde colocaría usted un contrapeso para balancear el rotor y la magnitud del mismo en gr - cm.

e) Explique CÓmo fue el razonamiento del ingeniero y justifíquelo.

Capítulo 5

ANALISIS DINAMICO DE MECANISMOS

5.1 MECANISMOS Se llama mecanismo a todo conjunto de cuerpos rígidos vinculados entre sí, capaz de permitir un movimiento definido entre sus componentes o miembros.

Ejemplos: a) Mecanismo de cuatro barras articuladas. Por acción de la rotación del miembro 1, el miembro 3 describirá un movimiento oscilatorio o de rotación (figura 5.1). Nomenclatura: 1. 2. 3. O.

manivela conductora biela palanca oscilante o manivela conducida bastidor (miembro fijo)

b) Mecanismo motor. Al rotar el miembro 1 se producirá un movimiento rectilíneo oscilatorio del miembro 3 (figura 5.2). Nomenclatura: 1. manivela 2. biela 3. pistón o corredera O. bastidor Mecanismo de retomo rápido. En la figura 5.3, los pasadores A y B pueden deslizar libremente a lo largo del miembro 2. Cuando la manivela 1 rota alrededor de su eje, la palanca 2 oscila, obligando a la corredera 3 a describir un movimiento de traslación oscilatorio. 223

224

Análisis dinámico de mecarusmos

777777/7

® Figura 5.1. Mecanismo de cuatro barras articuladas.

~~lllllll//// Figura 5.2. Mecanismo motor.

d) Mecanismo de PeaucellieT. Si en el mecanismo de 8 barras articuladas mostrado en la figura 5.4 se tiene que: CDEF es un paralelogramo; AE =AD; BC =AB; el punto F describe exactamente una línea recta. e) Planetario. En la figura 5.5 se muestran 5 engranajes 1, 3,4,5, Y O. El brazo 2 gira alrededor de su eje, arrastrando en su mo,imiento a los centros de 3, 4, 5, los que a su vez hacen girar al engranaje 1 alrededor de su eje. Debe observarse que en el mecanismo que se está describiendo, la rueda (1) no está vinculada directamente al brazo (2), y que el engra· naje (O) está fijo a tierra, consecuentemente el conjunto posee un solo grado de libertad. Este mecanismo recibe su nombre por su ana·

~láquina

Figura 5.3. Mecanismo de retomo rápido.

E

~_--9F

~--..,6D

Figura 5.4. Mecanismo de PeauceIlier.

I//'

/ I Figura 5.5. Planetario (tren epicíclico).

225

226

Análisis dinámico de mecanismos

logia con e! movimiento planetario: la rueda (1) se llama sol, y las ruedas (3), (4) Y (5) se llaman planetas.

5.2 MAQUINA Se llama máquina a todo conjunto formado por uno o más mecanismos con la finalidad de tnmsmitir potencia, y en consecuencia, para realizar trabajo. Por ejemplo, un motor de combustión interna de 6 cilindros es una máquina constituida fundamentalmente por 6 mecanismos motores. Adicionalmente esta máquina incorpora otros mecanismos, tales como una transmisión por engranajes entre e! cigüeñal y e! árbol de levas, 12 mecanismos de levas con sus respectivos seguidores, cada uno de ellos accionando un mecanismo de palancas que a su vez acciona a una válvula (de admisión o escape) ... etc.

5.3 ANALISIS DINAMICO DE UN MECANISMO - INTRODUCCION

La determinación de las distintas fuerzas y momentos involucrados en la transferencia de potencia de una máquina juegan un papel muy importante en e! diseño de sus mecanismos componentes, ya que e! carácter variable de dichas solicitaciones será responsable de la transmisión de ruidos y vibraciones y de la generación de esfuerzos cíclicos apreciables. Resulta pues de gran importancia en e! diseño de un mecanismo el determinar, en función de la fuerza o pareja que lo acciona así como de sus parámetros geométricos, másicos y cinemáticos:

• El par o fuerza generado por la componente conducida de! mecanismo . • Las reacciones generadas entre cada par de componentes del mecanismo, incluyendo las ejercidas por el bastidor. Si e! mecanismo motor indicado en la figura 5.6 forma parte de un motor de combustión interna; y si se denota por: P

M

1';¡

fuerza actuante sobre e! pistón (acción conductora), la reacción al par de salida del mecanismo, fuerza generada por el miembro i sobre el miembro j (note que por acción y reacción F ij = F ji ),

e! análisis dinámico del mecanismo conducirá a la determinación de

en función de P y de los parámetros geométricos, másicos y cinemáticos del problema.

Análisis dinámico de un mecanismo - Introducción

227

Figura 5.6. Mecanismo motor.

F'3---EJ~

o_

V~,

i

F,",

Ff?

Figura 5.7. Diagramas de cuerpo libre de los componentes de un mecanismo motor.

El despiece señalado en la figura 5.7 muestra que el problema* tiene solución, ya que la aplicación sistemática de las leyes de la mecánica a cada componente permite escribir un total de 8 ecuaciones (3 para la manivela, 3 para la biela y 2 para el pistón), suficientes para determinar las 8 incógnitas del problema. Ahora bien, el procedimiento arriba esbozado reviste un alto grado de complejidad algebraica que dificulta la interpretación de los resultados obtenidos. Surge así la necesidad de introducir un procedimiento simplificado para realizar el análisis dinámico del mecanismo. Con este fin se presenta el concepto de sistemas rígidos planos dinámicamente equivalentes, con el cual se podrá sustituir un cuerpo rígido por otro más simple, de manera que este último produzca sobre sus vecinos el mismo efecto que el sistema original que pretende sustituir. Así, al reemplazar un cuerpo rígido por otro dinámicamente equivalente, tanto las relaciones cmemáticas como las reacciones entre cada par de componentes se verán inalteradas.

·Note que se desprecia el efecto de la fricción.

228

Análisis dinámico de mecanismos

DossiStemas ngidosplanossondinámicamettte equivalentes ú poseen la misma geometrza, la mt·sma masa, el mt·smo centro de masas y el mismo momento de inercia con respecto al centro de masas.

A continuación se verificará que una barra de longitud Q, masa m e inerciale (con respecto a su centro de masas) puede sustituirse por un sistema rígido constituido por dos masas puntuales mI Y m2, a distancias Q¡ y Q, del centro de masas respectivamente (figura 5.8). En efecto, la condición de sistemas dinámicamente equivalentes conduce a las siguientes ecuaciones:

• Igualdad de masas: mi + m2 = m • Coincidencia del cen tro de masas: mlQl=m2 Q2

• Igualdad del momento de inercia referido al centro de masas ml

221 +

2

m2 Q2

= le = m k 2e

siendo k e el radio de giro de la barra referido al centro de masas. Se obtiene así que

(5.1) (5.2) (5.3) Como puede observarse, el problema de sustituir una barra por un sistema de dos partículas dinán).icamente equivalente admite infinitas soluciones, por lo que usualmente se fija la ubicación de una de las masas en un punto conveniente, quedando ahora determinado el problema. Cuando se

Figura 5.8. Sistema dinámicamente equivalente a una barra rígida..

Análisis dinámico de un mecanismo -- Introducción

229

analiza una biela, se ubica una de las masas en el pasador que une la biela con el pistón (bulón). Si lo que se analiza es una manivela, se ubica una de las masas sobre su eje de rotación. Observaciones

a) La geometría y distribución de masas de una biela es tal que, en general QA ~ Q¡ ~--;;-Q

«1

A

luego se puede suponer la masa m 1 ubicada sobre el pasador que une la biela con la manivela. Este nuevo modelo conduce a resultados exactos desde el punto de vista de la primera ley, esto es, para el análisis de fuerzas. Sin embargo, los resultados provenientes de la segunda ley (análisis de momentos) serán aproximados. b) En el caso particular de estar considerando una manivela que gira a velocidad angular constante, se la puede sustituir por dos masas puntuales, una ubicada sobre el eje de rotación y la otra sobre el pasador que lo une a la biela, de manera que el sistema así formado tenga la misn1a masa y el mismo centro de masas que la manivela original (figura 5.9). Se tiene entonces que m,

Aunque estrictamente hablando, el sistema generado no es dinámicamente equivalente al dado, la hipótesis de velocidad angular constante permite sustituir el uno por el otro sin que se modifique el comporta· miento dinámico del mecanismo. En efecto, la ecuación FE = miZc se ve inalterada, mientras que la segunda ley se reduce a M~ = O (ya que Q = O), en consecuencia la di ferencia en los mamentos de inercia no la afectan.

(O

§le

,

'"

O)

I

I

'" 1

Of---'"'--------COil :~~

m,

'e

I~

"1

Figura 5.9. Sistema equivalente a una manivela animada de rotación uniforme..

En las figuras siguientes se muestran cualitativamente la sustitución de un mecanismo por otro dinámicamente equivalente, en los que la manivela conductora gira con velocidad angular constante: w.

230 Análisis dinámico de mecanismos

a) mecanismo motor mB

w 1111 11 JlIf Figura 5.10. Mecanismo motor: reducción exacta.

Fracciones de masa de la manivela en los pasadores A y}J. Fracción de masa de la biela en el pistón más la masa del pistón. Fracción de masa de la biela, cercana al pasador B.

/71771/777 Figura 5.11. Mecanismo motor: reducción aproximada.

b) Mecanismo de cuatro barras (figura 5.12). Y mBI' Fracciones de masa de la manivela conductora en A y B. m B 2 Y m e2 • Fraccion de masa de la biela en la posición cercanaaB,y ene. m C 3 Y m D3' Fracciones de masa de la manivela conducida en la posición cercana a e y en D.

mAl

a) Reducción exacta

b) Reducción aproximac.:

Figura 5.12. Mecanismo de cuatro barras..

5.4. ANALISIS DINAMICO DE UN MECANISMO MOTOR En la figura 5.13 se muestra un mecanismo motor cuya manivela gira con una velocidad angular constante w. Suponga que tanto la biela como la manivela se reducen a sendos sistemas de dos masas puntuales de acuerdo al criterio

Análisis dinámico de un mecanismo motor

177777777

CiV

231

);))/;)//77

Figura 5.13. Reducción aproximada de un mecanismo motor.

expuesto en las observaciones del apartado anterior; consecuentemente, la distribución de masa del mecanismo se reduce a tres masas puntuales, colocadas respectivamente en los puntos O,A y B: m a , mA Y mB'

En adición se establece la siguiente nomenclatura: T.

Q.

M. P. ;ado vendrá dado por A

7

M(/J) = k M(/J k~O

+ k 90°)

ya que las 8 carreras de expansión están desfasadas entre sí un ángulo de 90°. A continuación se muestra la ¡>;fáfica resultante (figura 5.21).

Fuerzas de trepidación

237

PAR MOTOR .\tOTDR DE cmlBUSTION INTER.'lA m: 1 CILINDRO

>00

20

100 o,f--------')(P + maaa ) tg ¡¡,

(5.9) (5.10) (5.11)

Observaciones: • La fuerza de trepidación resultante generada por un mecanismo motor es independiente de la fuerza actuante sobre el pistón: P. Es así una fuerza de naturaleza dinámica.

Fuerzas de trepidación

239

• El par de trepidación resultante tiene dos componentes, una dependiente de la fuerza P, Hamada componente estática: Me

Me

=-

(r cos wt

+ Q cos - - - '23 a

_1,--.-_ _ ~2 a ------..!I Plano de la bancada:

----r~

xz

Figura 5.28.

5.6.2 Disposición en "V"

~ dice que una máquina alternativa tiene sus cilindros dispuestos en "V" cuando está constituida por dos bancadas de cilindros unidas a un mismo

sen

250 Análisis dinámico de mecanismos

cigüeñal. En la figura 5.29 se muestra esquemáticamente una posible configuración de una máquina en "V". El ángulo '" entre las dos bancadas debe escogerse en función del estado de equilibrado de la máquina y de la uniformidad con que se distribuyen las carreras útiles. La gran ventaja de una máquina de este tipo es su compacidad: se logra una máquina compacta de gran potencia.

Figura 5.29. Motor en .. V".

En esencia, el análisis dinámico de una máquina de este tipo se reduce a evaluar la contribución de cada mecanismo motor a la fuerza y par de trepidación resultante, para luego proceder a su suma vectorial. En la figura 5.30 se muestra esquemáticamente el bastidor de una máquina multicilíndrica en "V". Si se denota que

n=l 2, ... ,N J

al ángulo formado por la manivela del n-ésimo mecanismo motor con respecto a la manivela del primer mecanismo motor; y definiendo dos sistemas de coordenadas ortogonales

de bases {i¡,j¡, k¡}

e {i z , iz, kz }, con k ¡

= kz = k

orientadas de acuerdo al sentido de rotación del cigüeñal, tal como sugiere la

Estado de equilibrado de máquinas

J

\. 1

BANCADA ¡

"- !.

"\"

1II I

I I

/

I

../

I

I y .~'

J#¿

w/ _

'2

!I

BANCADA 2

/ \

251

I

~I

..., "

../

~w"--J

~

"-

"- ..... '2

Figura 5.30. Análisis de un motor con cilindros dispuestos en "V:'

figura, se puede establecer que las componentes de trepidaci6n actuan"tes sobre el bastidor de la máquina son, de acuerdo a la nomenclatura definida por 5.18, 5.19 Y 5.20: • Para la primera bancada: Sist~ema d" f=~as dt!

{F.

1

trepidación

(wt+4>n)i, +Fy

-

,

(wt+ Q4

Q3

Q2>Q4 +Q3 -Q¡

Q2

> Q4 < Q3 + Q¡

-

Q4

En estc caso al miembro conducido se le llama manivela conducida. e) Un mecanismo de 4 barras puede utilizarse como un generador de funciones, en el sentido de que a cada desplazamiento angular de la manivela: ex corresponde una única rotación {3 del miembro conducido, esto es {3 = f (a) donde f (a) depende de la geometría del mecanismo. Supóngase que se desea tener (3 = g (a). El problema de sintetizar el mecanismo se reduce a que f (a) '" g (a) sobre un intervalo dado, siendo f(a) = g(a) en uno o varios puntos, llamados puntos de precisión. Verifique que si a representa la excitación y {3 la respuesta, en general se tendrá: cos (a - (3)

= b, cos a + b 2

Figura 5.45.

cos {3

+ b3

262 Análisis dinámico de mecanismos

en donde bi (i = 1, 2, 3) dependen de la geometría del mecanismo. Como ejemplo considere el caso de sintetizar un mecanismo de 4 barras que permita elevar al cuadrado a una cantidad dada x, O,;;; X,;;; l. Suponga que los intervalos de trabajo son tJ.0/ = 90 0 Y tJ./3 = 120 0 , que el punto de arranque de la manivela es o/, = 0° y del miembro conducido /3, = 60°. Los puntos de precisión considerados son: o/, = O, O/, = 60° Y 0/3 = 90°. d) Considere ahora queQ, = 15 cm, Q2 = 46 cm, Q3 = 30,5 cm y Q4 = 53 cm. La velocidad angular de la manivela es constante y de magnitud w = 10 radfseg. Los miembros del mecanismo son uniformes, de masas m, = 1,36 kg, m, = 4,08 kgy m, = 2,72 kg, Ycentros de masas ubicados en sus puntos medios. . Suponiendo que no hay par resistente, determine el par que se requiere sobre la manivela para mantener su velocidad angular constante. Represente gráficamente el par motor vs. la posición de la manivela; así como el diagrama polar de las fuerzas constantes sobre los pasadores. Determine además las componentes de trepidación. e) Suponga que la manivela y el miembro conducido están completamente balanceados. Responda exactamente las mismas preguntas d) y compare resultados. 5.14. En la posición mostrada, para la cual el mecanismo se encuentra en reposo, el resorte está comprimido en 4.1 cm (figura 5.46).

AB = 45,72 cm 04B m2 m4

= 21,24 cm = 1,1 - kg

AG, = 22,86 cm 04 G4= 6,12 cm m3= 0,7 kg

0,7 kg

1, = 4,74 kg- cm 2

14 = 0,24 kg-cm'

Suponiendo que cuando la manivela ha rotado un ángulo de 106°, su velocidad angular es de 100 r.p.m determinar la constante elástica del resorte y el tiempo que se requiere para alcanzar dicha posición.

A

Figura 5.46.

Estado de equilibrado de máquinas

263

5.15. En la figura 5.47 se muestra un mecanismo llamado "Yugo escocés" el cual actúa sobre un resorte líneal de constante K que se apoya sobre la componente oscilante. Calcule el par motor requerido en función del tiempo, suponiendo que • el resorte se encuentra sin deformar cuando el pasador se encuentra en la vertical trazada por el centro de rotación del disco, • el miembro oscilante tiene una masa m, • el disco gira con una velocidad angular constante de magnitud ¡;¡, • el roce se desprecia entre las superficies en contacto.

I I

Figura 5.47.

5.16. Análisis dinámico de un motor de un solo cilindro (4 tiempos)

i) Datos terrnodt"námicos Ciclo Otto (Procesos de expansión y compresión isentrópicos) Relación de compresión . . . . . .. 6 Relación de presiones " 2.5 (presiones máximas en los proccsos dc cxpansjón y compresión) Relación dc calorcs cspecíficos .. 1.4. Presión atmosférica . 10.3 Nwfcm'

ú") Datos geométrt"cos Arca del pistón Carrera del pistón Longitud dc la biela

. . .

100,3 cm' 12,5 cm 24,0 cm

t"iz") Datos sobre la distribución de masas

Masa del pistón Masa dc la biela Masa dc la manivela

. . .

1,1 kg 1,6 kg 0,9 kg

264 Análisis dinámico de mecanismos

Fracción de masa de la biela ubicada en el pistón ..... 0,545 kg. Centro de masas de la biela ubicado a 10 cm del pasador de la manivela. Contrapeso de la manivela. . . . .. 1,7 kg El contrapeso se considera concentrado a una distancia radial igual a la longitud de la manivela. t'v) Datos cz'nemátt'cos. El motor gira a una velocidad angular constante w = 1800 rpm. Hacer un análisis dinámico del motor que conduzca a los siguientes resultados:

a) Característica del motor b) Suponga que el motor considerado posee 8 (ocho) cilindros idénticos al descrito en este ejercicio, cuyas carreras útiles se distribuyen unifonnemente en el tiempo. Representar gráficamente la caracte~ rística del motor. e) Diagrama polar de la fuerza aplicada sobre el bulón. d) Determinar el par motor medio, la potencia nomina! del motor y la máxima variación de energía experimentada por ciclo.

5.17. En la figura 5.48 se muestra esquemáticamente una máquina cepilladora constituida fundamentalmente por un mecanismo de retroceso rápido accionado por un motor eléctrico que lleva acoplado un volante.

A

- ---

o

15 cm

e

15 cm

Figura 5.48. Mecanismo de retroceso rápido.

Estado de equilibrado de máquinas

265

La fuerza resistente que produce el material es idealizado por una fuerza horizontal de magnitud F o cuando la cuchilla avanza, y nula cuando ésta retrocede. Para una nerramienta de acero rápido con ángulo de ataque de 30°, profundidad de corte de 2 mm y avance de material de 1 mm, la fuerza de corte F. puede ser estimada en 300 Nw. Suponiendo que todas las componentes del mecanismo son ideales, que la masa de las correderas son despreciables y que las barras son uniformes, determine

a) La curva característica del par motor en función del ángulo e = wt, suponiendo w esencialmente constante. b) ¿Cuál debe ser el momento de inercia que se requiere para que el coeficiente de fluctuación de velocidades sea del 0.5%? e) La potencia del motor. d) La fuerza generada entre la barra DA y la corredera n. Adicionalmente es sabido que: • • • •

La barra DA de 40 cms de longitud tiene una masa de 20 kg. La barra en de 6 cms de longitud tiene una masa de 5 kg. El carro porta-cuchilla tiene una masa de 4 kg. La manivela en gira a razón de 60 rpm, constante.

5.18. Un compresor de aire de dos etapas, de tipo alternativo, está accionado por un motor eléctrico de cOITiente continua. La etapa de baja presión está constituida por dos cilindros idénticos que toman aire de la atmósfera y lo entrega en la etapa de alta presión, la cual está constituida por un único cilindro. Todas las bielas están conectadas a un mismo cigüeñal, con las manivelas de los cilindros de baja presión dispuestas a 180°, una con respecto a la otra, y la del cilindro de alta presión a 90° con respecto a cada una. El cigüeñal lleva un volante solidario y gira por acción de un motor eléctrico, con una velocidad angular de

300 rpm esencialmente constante. En la figura 5.49 se muestran los diagramas indicadores correspondientes a los cilindros de alta y baja presión. • Los diámetros de los cilindros de alta y baja presión son respectivamente 140 mm y 200 mm. • Las manivelas son idénticas y tienen una longitud de 87 mm. • Las bielas son idénticas y de longitud 350 mm. • La inercia del volante es de 40 kg-m 2 • La rigidez torsional del cigüeñal es de lO' N w - mirad. Obtenga la curva característica del compresor M(Ii) suponiendo despreciable el efecto de las masas alternativas.

266 Análisis dinámico de mecanismos

1.0 ,

O. 5

I

--

, i ~~':!'1!~':!.~~

~.

100

50

0.6

->-T 150

0.5

0.4 0.5

I

0.2

1\

0.1

iO

1'\ t'-.

1"-

..... ¡... .-!-=-.3;tm,?s!é1c!. .... I I 50

lOO

150

Desplazamiento del pistón (m.m)

Figura 5.49

Suponiendo que el motor· entrega un par constante, estime la amplitud de las vibraciones torsionales producidas por la componente fundamental del par acelerante.

Capítulo 6

VIBRACIONES MECANICAS

6.1

INTRODUCCION

. -o fundamental de este capítulo el analizar la respuesta de un siste=='="co elástico a una perturbación, y en consecuencia, poder predecir su ==~,¡ comportamiento vibratorio. Por ejemplo, cuando a la borla de un pén::r.aremático se le imprime una rotación inicial, éste empezará a oscilar de su posición de equilibrio. En este caso, la perturbación se reduce condición inicial impresa sobre el péndulo. Otra situación que ilus=puesta dinámica de! péndulo se presenta cuando su soporte se obliga . .c::i:bir un movimiento armónico horizontal, tal como sugiere la figura 6.1. 1).

Este caso corresponde físicamente a amortiguaciones grandes. Las raíces de la ecuación característica son reales y negativas, y vienen dadas por

en consecuencia, la solución general de 6.5 vendrá dada por

X(t) = A,e'"

+ A 2e'2'

(6.13 )

Dada la naturaleza de los parámetros s 1 y S2' la expresión anterior tiende asintóticamente a x = 0, lo que físicamente se traduce en que la respuesta sobreamortiguada de un sisll'ma consiste en un regreso lento a la posición de equilibrio, sin oscilación alguna. Observando que las raíces de la ecuación característica pueden expresarse en la forma 51,2 = - tWn ± CJa , siendo a = wn.J ~2 - 1, la expresión 6.13 puede escribirse como

w

Usando las definiciones de las funciones hiperbólicas sen h y cos h, y siguiendo un procedimiento similar al empleado para sumar dos armónicas de igual rrccllcncia, se concluye rinalmente que la respuesta sobreamortiguada toma la forma

(6.14) siendo A Y 'Y constantes a determinar en función de las condiciones iniciales.

276

Vibraciones mecánicas

Caso 4. Respuesta ü·bre críticamente amortiguada

(\ = 1)

Este es evidentemente el caso límite en que la respuesta cambió completamente de naturaleza, pasando de un movimiento no oscilatorio (\ > 1) a un movimiento donde la influencia recuperadora de los elementos elásticos es mayor que la influencia de la amortiguación, con la consiguiente oscilación (\ < 1). Las raíces de la ecuación característica son reales y repetidas, e iguales a - w n ,por lo que la respuesta viene dada por

(6.15 ) siendo Al Y A 2 constantes a determinar en función de las condiciones iniciales. Así pues, la respuesta de W1 sistema críticamente amortibruado consiste de una función no periódica que tiende asintóticamente a la posición de equilibrio. En la figura 6.7 se muestra comparativamente la respuesta libre de un sistema amortiguado para los tres casos estudiados anteriormente, sujeto a las mismas condiciones iniciales. Observe que, indistintamente del grado de amortiguación existente, se cumple que lím x(t)

O

I~

x(t)

Xo

Vibraciones libres amortiguadas Casos: sobre, sub y críticamente amortiguadas

Figura 6.7 Respuesta libre de un oscilador amortiguarlo.

Respuesta libre de sistemas de un grado de libertad

277

Ejemplo 6·1 Una plataforma ci:cular (figura 6.8), de masa m y radio r, se suspende en po· sición horizontal mediante n cuerdas idénticas, de longitud L, uniformemente distribuidas sobre una periferia. Suponga Q

> r:

a) Encuentre las ecuaciones que gobiernan las oscilaciones libres del conjunto cuando al disco se le imprime una rotación inicial alrededor de su eje.

b) Linealice las ecuaciones anteriores a fin de determinar el período de las oscilaciones pequeñas.

Solución

a) Bajo la hipótesis que el disco no experimenta desplazamientos laterales (figura 6.9), el conjunto posee un solo grado de libertad (siempre que las cuerdas se mantengan tensas). Sin embargo, para describir su configuración se utilizan las tres coordenadas que se indican a conti· nuación

e

Rotación del disco alrededor de su eje Rotación de la cuerda referida a la vertical Z Traslación del plano del disco



Lógicamente, entre estas tres coordenadas se pueden establecer dos relaciones geométricas independientes: Observando el triángulo OPP'y el segmento PoD, se tiene Z

=

Q(l-cos

(a)

T

En este caso

1;

[1-u(r - T)] [1-cos w n (t-r )]dr

=

T-

sen W n t wnT

= J:

[1-cos wn(t-r)]dr =

t'------=T'-')c.. + ..:.s..:.enc:....:.w,-,n,::;,-( wnT

esta última igualdad es resultado de la identidad

11 --+6

Vibraciones mer:ánicas

J:

----'

T

Figura 6.65 .

....

.\ partir de la expresión de la respuesta obtenida en el ejemplo (6-12) (\ = O): t

<

t> ~tablecen

T

(6.50)

T

(6.51)

las siguientes conclusiones:

a) Valores máximos de la amplitud alcanzados durante la aplicación del pulso. a.l. Si w T < 11, la expresión (6.50), representa una función monótonancrecien te, consecuen temente el valor máximo alcanzado por la respuesta durante la aplicación del pulso será: Fa

= -h a.2.

Si w T>

"

Fa 2 (1 -cosw T) =2- sen n k 11,

WnT

2

(6.52)

la expresión (6.50) alcanza su valor estacionario

(6.53 )

350

Vibraciones mecánicas

b) Valores máximos de la amplitud alcanzados después de aplicado el pulso. Dado que la expresión (6.51), tiene validez para un intervalo de tiempo de duración infinita: t > T, sus valores estacionarios se alcanzan en los instantes correspondientes a la solución de la ecuación

dx _ di - -

Wn

Fa ¡;[sen W n (1 -

T) - sen wnl] =0

esto es, cuando

sen W n (1 - T) =sen wnl o equivalentemente cuando (ex ... entero) Así, los instantes para los cuales (6.51), es estacionario vienen definidos por la sucesión

Los valores estacionarios de x serán entonces

x(t,,) =

Fa W nT 2T sen (~

sen

t"2) Ci.1r

= (-1)

a+l

de donde se desprende que el valor máximo de la respuesta alcanzado después de la aplicación del pulso viene dada por: x mdx =

Fa

wnT

2 k Isen -2- 1

(6.54) La figura 6.66 resume los resultados definidos por (6.51), (6.52) Y (6.53).

/,x)

Fa máx

2

1T 2rr _ : Máximos durante la aplicación del pulso. _ : Máximos de:spués de la aplicación del pulso.

Figura 6.66.

Excitación arbitraria

351

::",~plo 6-17

enninar el espectro de respuesta de un oscilador armónico a la excitación ada en la figura 6.67.

T

Figura 6.67.

ución ->..

como fuera indicado en el ejemplo 6-1 !;,la re'f'uesta de un oscilador arrnóa una excitación del tipo anteriormente descrito viene dada por

Fa t sen wnt x(t) = [- 1 k T wnT

O tI

o

a

<

to

Apéndice - Transfonnada de Laplace

357

sión

- F(s)

= .L

{f( t)} entonces

1

c'fi OO

fi( t) =_1 2ni

e- i

(A.9)

e't F(s )ds 00

eorema de los residuos (Cauchy)

la funciónf(z) se desarrolla en serie de Laurent en un entorno de un punto gular aislado Zo , o sea, si se escribe +~

= 1:

f(z)

Un

(z -

Zo

r

llama residuo de fez) en Zo y se lo indica por Res {f(z) 10' a! coeficiente U-l

=

fe f(z) dz

2:i

- nde e es una curva que encierra a Z()o Se puede demostrar que si e es una curva q~e encierra un número finito ':1' Z2' . . . ,Zn }de puntos singulares, se cumple que

f f(z) dz

n

= 2 ni I: Res {f(z)} z

e

k=l

k

"fllicando este teorema a A.9 se tiene

f(t)

= .L -1

{F(s)}

= Rel ~

Res {c't F(s)}

$h

tallsformada inversa cuando F(s) es una fracción raciona! En este caso se recomienda una descomposición en fracciones parciales y se

an inversas de cada una de ellas, en virtud de la propiedad lineal de la :::'2llSformación. ?roducto por convolución

Se:m f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas, definidas para t;;' O. : definición se llama producto por convolución de las dos funciones f y g, se escribe f* g), a la expresión

358 •

Vibraciones mecánicas

f' g = J'o f( 'T) g( t -

T)

dr

Transformada de un producto por convolución

f. {!.j' g) (t))

= f.

{f(t) } f. {g(t) }

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

F (s)

= f.

{f (t)}

f (t)

1

s"

1

(S-a;"

1

s

a

s

a

s

sen at

eos at

sh at

eh at

u (1 - a)

Apéndice - Transformada de Laplace

359

EJERCICIOS - 1.

Determínese la frecuencia natural de vibración del sistema mostrado en la figura 6.72, suponiendo que se puede despreciar la masa de la barra rígida mostrada.

k

Figura 6.72. - ?

Una barra vertical de masa m y longitud ~ oscila bajo el efecto de su peso y de un resorte lateral, como lo indica la figura 6.73. Encontrar la ecuación diferencial del movimiento, la frecuencia angular de la oscilación y la condición para que dicha oscilación exista.

·1-wWk~-1I-t

r

~~""'"'~~~~",,;,.,. Figura 6.73.

El eje de torsión AB de acero, sostiene una pieza de 200 kg. Y radio de giro T x = 50 cm. Si .1'1 = 10 cm, h =90 cm, calcúlese el diámetro de la barra, sabiendo además que ~ = 1 m y que el período natural de oscilación del sistema ha de ser por lo menos de t n = 3 seg (figura 6.74).

360

Vibraciones mecánicas

6.4.

Determínese la ecuación diferencial del movimiento del sistema indicado en la figura 6.75 donde el momento de inercia de W y la barra alrededor de O es Jo. Mostrar que el sistema se hace inestable cuando 2

b »Ka w

a

b o

-+-

Q

Figura 6.75.

6.5.

Un automóvil arrastra un remolque a una velocidad constante vo , me· diante una conexión compuesta de un resorte y un amortiguador tal como indica la figura 6.76. Si en cierto instante el automóvil se detiene de repente, se pregunta:

a) Cuál es el movimiento del remolque posterior a la inmovilización del automóvil, tomando en cuenta las condiciones iniciales impuestas por el problema. b) Dibujar el diagrama x = x(t) del movimiento del remolque para el caso en que la amortiguación es una quinta parte de la crítica, con los siguientes valores numéricos: mg

= 100 kg., k = 1000 kg/cm., V o = 20 km/h. V

o

---

I

.x

~~~""~L Figura 6.76.

6.6.

Una biela se apoya sobre una cuchilla en el punto A, observándose que el período de oscilación para pequeñas amplitudes es de 0,985 seg. Si se apoya sobre la cuchilla en el punto B se observa un período de 0,850 seg. Se desea determinar:

a) La posición del centro de masa de la biela. b) El radio de giro de la biela con respecto a un eje que, pasando por el centro de masa, sea perpendicular al plano de la figura.

Apéndice - Transformada de Lap1ace

361

I

I A

28.7 cm

I I

I I

Figura 6.77.

6.7.

El sistema mostrado en la figura 6.78 gira alrededor del eje vertical con velocidad angular constante de magnitud n. Determinar la frecuencia angular natural de la masa m para oscilaciones de la barra en un plano vertical. La barra está empotrada en el punto A.

El

~1A=u ... ~ __ ~

m

Figura 6.78.

6.8.

Los cojinetes de una máquina empleada en operaciones de equilibrado estático de rotores, están inclinados un ángulo CI respecto de la vertical, figura 6.79. Si un rotor de momento de inercia] respecto de su propio eje se monta en esta máquina, se pide escribir la ecuación diferencial del movimiento del rotor sabiendo que tiene una masa de desequilibrio m, colocada a una distancia T de su eje. Linealizar esta ecuación y determínese la frecuencia natural de oscilación.

362

Vibraciones mecánicas

Figura 6.79.

6.9.

Una barra de torsión k t tiene en su extremo un disco de momento de inercia J que está sumergido en aceite, figura 6.80. Su frecuencia de oscilación es entonces J2' Cuando oscila al aire libre (amortiguación despreciable) su frecuencia de oscilación es J,. Se pide, en función de estos datos el coeficiente de amortiguación Gt .

Figura 6.80.

6.10. El eje delgado que se representa, tiene una constante de torsión K y está rígidamente unido a un pequeño volante de momento de inercia Jo (figura 6.81): El sistema gira con velocidad angular constante w,

,, I'j" ,, I I

I :

'+'o

9fD -.. I I ,

,

I

I'. ,,

.~---

-.~

W

L ••

---~--"

Figura 6.81.

Apéndice

~

Transfonnada de Laplace

363

dentro de un baño de aceite, el cual asegura una amortiguación viscosa equivalente C. Si de repente el eje es detenido, se pide encontrar:

a) La ecuación del movimiento subsiguiente, cuenta habida de las con· diciones iniciales impuestas por el problema. b) Representación gráfica del movimiento del volante a partir del instan· te en que el eje se detuvo. '.11. Una placa delgada de área A y peso P se fija en el extremo de un resor· te elástico y se le permite oscilar en un fluido viscoso midiéndose el período T 2 ; cuando el mismo sistema oscila en aire el período es TI (figura 6.82). Demuestre que si la fuerza viscosa sobre la placa viene dada por Fv = 2¡;A V, en donde V representa su velocidad, el coeficiente de proporcionalidad /1 viene dada por

sz

sz

Figura 6.82.

6.12. Utilice el método de Rayleigh para estimar la frecuencia natural de una barra empotrada en un extremo y con un bloque de masa m en el otro extremo para oscilaciones longitudinales del conjunto (figura 6.83).

Figura 6.83.

6.13. Encontrar la frecuencia natural asociada a vibraciones transversales del sistema mostrado en la figura 6.84. M

Figura 6.84.

364

Vibraciones mecánicas

6.14. Para el eje de máquina indicado en la figura 6.85, el cual lleva n rotores de masas M¡, M 2 , • • • , ~, la frecuencia natural puede estimarse mediante la relación

k M; Y;

2 Wn

= k M;

11 g

en donde Y; representa la deflexión experimentada por el rotor de masa Mi.

Figura 6.85

6.15. Utilice el método de Rayleigh para estimar la frecuencia natural del eje mostrado en la figura 6.86, construido de un material homogéneo de densidad P y módulo de elasticidad E. A ..

-~--_

A_,~~_¡~

__

Sección AA

BB

Figura 6.86.

6.16. Un sistema con un grado de libertad y de muy débil amortiguación está oscilando cerca de las condiciones de resonancia. La amplificación es entonces tan grande y la excitación tan pequeña, que los instrumentos de medida no pueden determinar la amplitud estática DA con la suficiente precisión. Lo que se alcanza a medir es la amplitud máxima Xm , amplitud x, en dos puntos distantes de 2 6w, la diferencia de frecuencias 26w y la frecuencia natural W n .

Apéndice - Transformada de Laplace

365

x

Xm

+------ji

x,

I

I

I I or------¡-~_;_---r_+--- W

wn

Figura 6.87.

Dedúzcase el valor de factor de amortiguación suponiendo que J2 es Ce f',w

pequeño, así como

-w;;--

Resp. 6.17. La masa m está sometida a una fuerza oscilante F cos wt, figura 6.88. o Determínese el factor- de amplificación para la masa m. definido por

K) donde Aes la amplitud del movimiento permanente. o

Focos wt

m

Figura 6.88.

366

Vibraciones mecánicas

6.18. Un motor eléctrico que pesa 500 kg. está montado sobre resortes con una k = 200 kgfcm y amortiguadores con un factor de amortiguación total 1= 0.2 (figura 6.89). El motor está desequilibrado y e! peso excéntrico equivalente es 20 kg. con una excentricidad de e = 10 cm. Determínese la amplitud de! movimiento vertical, e! ángulo de fase, la transmisibilidad y la fuerza transmitida a la fundación cuando: 1) El motor opera a 200 revolfmn. 2) El motor opera a 600 revolfmn.

I

/-e;;-.m\

,....._....

\

!

2 • ./

,

I (

G~ ',. ' .:'!

J!..2 ,,,uf

Figura 6.89.

6.19. Considere un oscilador amrtiguado de un grado de libertad (figura 6.90). Cuando es excitado mediante una fuerza del tipo: Fa sen wt (Fa constante) se observa que la máxima amplitud de la respuesta permanente se produce cuando w = W 1 . Si se le excita con una fuerza de! tipo mrw 2 Sen wt (mr constante), la máxima amplitud de la respuesta permanente se produce cuando w=w 2 " Determine la frecuencia angular natural W n y e! coeficiente de amortiguación ~ del sistema en función de WI Y W2' exclusivamente.

Figura 6.90

6.20. El rotor de una turbina de peso 150N está colocada en e! punto medio de un eje apoyado sobre cojinetes (separación entre cojinetes 40 cm.). Es sabido que e! rotor tiene un desequilibrio de 4 onzas-pulg. Determine la fuerza ejercida sobre los apoyos a una velocidad de 6000 rpm., si e!

Apéndice - Transformada de LapIace

367

diámetro del eje de acero es de 2,5 cm. Compare este resultado con el obtenido para el mismo rotor cuando se le coloca sobre un eje de acero de 2, O cm. de diámetro. Suponga que el eje está simplemente apoyado sobre los cojinetes. 6.21. Demuestre que para pequeñas amortiguaciones, la amplitud de las vibraciones laterales de un eje sometido a la condición de resonancia (vueltas críticas) crece de acuerdo a la ley r = ;. (1 - e- !W n '), en donde e representa la excentricidad. I 6.22. Cuatro resortes idénticos de característica F

=

600X

+

x.... cm

12.000X2 ,

F.... N

serán utilizados para soportar una máquina rotativa de peso 4000N

a) Determinar la frecuencia natural del sistema para pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. b) Si el rotor tiene una masa de 100 kg. y su centro de masas se encuentra a una distancia de 1 cm. de su eje geométrico, detenninar la fuerza total transmitida a la fundación sabiendo que la máquina debe operar a una velocidad de régimen de 1.000 rpm. e) ¿ Recomienda usted la instalación de un sistema de amortiguadores li·· neales para reducir la fuerza transmitida a la fundación? En caso de ser afirmativa su respuesta, qué tipo de amortiguador escogería: Tipo A

¡; = 0.1

Tipo B

¡;

=

0.2

=- 3. En la figura 6.91 se muestra la característica de un amortiguador no

lineal:

F=

- ex ,-2ex

x

>

O

x

<

O

en donde e es constante. Un amortiguador de este tipo se emplea para vincular un bloque de masa m a una fundación (ver figura). a) Determine la constante, equivalente del amortiguador dado. b) Si sobre el bloque se aplica una fuerza Fa sen wt, determinela fuer· za transmitida a la fundación.

368

Vibraciones mecánicas

,,,¡'//,.I '1

l

k

I

.,1.

'1' I ;;,'

ro

e

I

Figura 6.91.

6.24. Un motor de un solo cilindro está unido a una fundación mediante resortes. Determinar la amplitud de las vibraciones del motor a 250 rpm., la transmisibilidad y la fuerza transmitida a la fundación a esta velocidad, sabiendo • • • • •

Peso del motor: 4500 N Peso del pistón: 150 N Longitud de la biela: 40 cm. Peso de la biela: 100 N Distancia del centro de gravedad de la biela a uno de sus extremos: 13,3 cm. • Carrera del pistón: 20 cm. • Deflexión estática de los resortes debida al peso del motor: 5 cm. • Relación de dos amplitudes sucesivas cuando el motor vibra librementel: 0,42. 6.25. Análisis de un aislador idealizado de vibraciones: Amortiguador viscoso conectado elásticamente a la fundación (figura 6.92). Nomenclatura:

s

=

,/klm

=

v'(S

+ ¡)klm

Apéndice

r

~

Transformada de Laplace

369

=

a) Determine analíticamente la amplitud de la respuesta permanente. Represente gráficamente sus resultados, considerando el caso particular en que s = 3 Y poma los valores O; 0.1; 0.2; 0.5; 1; 2; 8. Conclusiones. b) Determine analíticamente la transmisibilidad en función de s, r. Represente gráficamente la transmisibilidad correspondiente al valor ~= 0.2 Y con s = O; 1; 2; 5;00. Conclusiones. e) Encuentre la transmisibilidad máxima (correspondiente a resonancia), en función de s y Represente gráficamente sus resultados para los valores s = 0.5; 1; 1, 5; 3; 5; 8. Conclusiones. d) Determine analíticamente los valores óptimos de esto es, aquellos para los cuales la transmisibilidad máxima es mínima. Represente gráficamente la transmisibilidad óptima (correspondiente al caso óptimo) vs la relación de frecuencia: r. ConsidereIos casos s = 1; 1.5; 2; 3; 5; 8. Conclusiones.

r,

r.

r,

r

--

Fa sen wt

f

m

lo .J 'k

k

¡

e 1

=sk

Figura 6.92.

6.26. Un volante V de acero de 200 kg. de peso se monta en un eje de acero de sección circular de 10 cm. de diámetro tal como se indica en la figura 6.93 a) Despreciando la flexibilidad de los soportes, encuentre la velocidad crítica del conjunto. b) Si los apoyos son t1exibles, con una elasticidad Ka = 8.10 4 ~ equivalente en cualquier dirección normal al eje, encuentre el cambio experimentado por la velocidad crítica del conjunto. Eaeem

=

2.10· kg/cm 2

370

Vibraciones mecánicas

v

L -----+----{] 60 cm

41

40

cm

------r-

Figura 6.93.

6.27. Un motor eléctrico está montado sobre una viga en voladizo(fi)(Ufa6.94). Si el motor se desplaza .64 cm., la vibración del motor y la viga disminuye a menos de .04 cm. en 4 ciclos. Estime los valores del parámetro adimensional mX/m o e para vibración forzada en resonancia, si la armadura estuviera desbalanceada.

Figura 6.94.

6.28. Dos barras uniformes de masa m y longitud 2L se articulan a un disco J, tal como se indica en la figura 6.95. Suponiendo que la velocidad angular del disco n es suficientemente alta como para despreciar el efecto de la gravedad, determinar las frecuencias naturales del sistema para pequeñas oscilaciones.

1

2L

, ,,

,,

,,

2b

2L

Figura 6.95.

,

,I ,,

Apéndice - Transformada de Laplace

371

6.29. Considere un sistema de un grado de libertad con fricción de Coulomb, excitado por una fuerza armónica Fosen wt. Suponiendo que 4uN < 7f F o, verifique que la transmisibilidad es menor que 1 cuando

~n >fi, mayor que 1 cuando ';; 1T Encontrar e! espectro de la respuesta de la estructura a un desplazamiento del tipo: pulso rectangular.

-¡----a --j--

¡-----i-ct ----.. -t %:a

Placa

F('l

%a

!---~:-+ , ,

l=L fundación

..

Z(t)

Di

Figura 6.104a

Apéndice - Transformada de Laplace

377

Represente la amplitud máxima de la respuesta contra la duración del pulso (formas adimensionales). d) Suponga ahora que la fundación es fija y que sobre la placa se aplica una fuerza armónica F( t) = Fosen wt. tal como se indica en la figura 6.104b. Determine la fuerza total transmitida a la fundación en la condición de régimen permanente.

zt_~ Zo

1_ _-'-----,,

....

t

T

Figura 6.104 (b).

- ~ 1. Determinar el espectro de la respuesta de un oscilador armónico a las excitaciones que se indican en la figura 6.105. ! a)

Pulso sinusoidal

b)

• IL

,, ,

----'--__--:!':'::-_ _0.