Jorge Arturo Juarez Rivera - 11002453 -Matriz Grafo

Universidad Virtual del Estado de Guanajuato

Jorge Arturo Juárez Rivera - 11002453

Matemáticas Computacionales

Conversión de matriz a grafo y obtención de ruta óptima

martes, 09 de octubre de 2012

Grafo Matriz Nodo 1 2 3

1

1

2 0 15 25

3 15 0 10

25 10 0

Equivalencias

3

2

Permutaciones 3 3 2 2 1 1

2 1 3 1 3 2

Caminos 1 2 1 3 2 3

2-3 1-3 2-3 1-2 1-3 1-2

Análisis de Resultados En este ejemplo podemos observar, un grafo con 3 vertices y 3 caminos, lo cual nos conduce a una sola ruta que conecta los 3 puntos, variando solamente en el punto de inicio y la direccion.

1-2 1-2 1-3 1-3 2-3 2-3

1-3 2-3 1-2 2-3 1-2 1-3

1-2

1-3

2-3

15

25

10

Total

15 15 15 15 15 15

25 25 25 25 25 25

10 10 10 10 10 10

50 50 50 50 50 50

Ruta Única

1

3

2

Grafo

Matriz

1

Nodo 1 2 3 4

2

1 0 10 20 30

2 10 0 40 50

3 20 40 0 60

4 30 50 60 0

4 3 Equivalencias

Ruta 3

Ruta 2

Ruta 1

Permutaciones 1 1 2 2 3 3 4 4 4 2 2 1 1 4 3 3 3 3 4 4 1 1 2 2

2 3 1 4 1 4 2 3 3 1 3 2 4 1 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4

Ruta 1

4 4 3 3 2 2 1 1 2 4 4 3 3 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1

3 2 4 1 4 1 3 2 1 3 1 4 2 3 4 2 2 1 2 1 4 3 4 3

Caminos 1-2 1-3 1-2 2-4 1-3 3-4 2-4 3-4 3-4 1-2 2-3 1-2 1-4 1-4 2-3 3-4 1-3 2-3 1-4 2-4 1-3 1-4 2-3 2-4

2-4 3-4 1-3 3-4 1-2 2-4 1-2 1-3 2-3 1-4 3-4 2-3 3-4 1-2 1-2 1-4 1-4 2-4 1-3 2-3 2-3 2-4 1-3 1-4

3-4 2-4 3-4 1-3 2-4 1-2 1-3 1-2 1-2 3-4 1-4 3-4 2-3 2-3 1-4 1-2 2-4 1-4 2-3 1-3 2-4 2-3 1-4 1-3

1-3 1-2 2-4 1-2 3-4 1-3 3-4 2-4 1-4 2-3 1-2 1-4 1-2 3-4 3-4 2-3 2-3 1-3 2-4 1-4 1-4 1-3 2-4 2-3

1-2

1-3

1-4

2-3

2-4

3-4

10

20

30

40

50

60

Total

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0 0 0 0 0 0 0 0

20 20 20 20 20 20 20 20 0 0 0 0 0 0 0 0 20 20 20 20 20 20 20 20

0 0 0 0 0 0 0 0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

0 0 0 0 0 0 0 0 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

50 50 50 50 50 50 50 50 0 0 0 0 0 0 0 0 50 50 50 50 50 50 50 50

60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 0 0 0 0 0 0 0 0

140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140

Ruta 2

1

2

4 3

Ruta 3

1

1

2

2

4

4 3

3

Análisis de Resultados Al analizar los datos revelados, podemos observar 3 rutas posibles las cuales al sumar los datos nos dan invariablemente el mismo valor, por lo cual la elección de una u otra ruta es intrascendente.

Grafo

1

2

5

Matriz

4

Nodo 1 2 3 4 5

1 0 10 30 50 80

2 10 0 55 95 105

1-2

1-3

1-4

1-5

10

30

50

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50

3

3 30 55 0 120 155

4 50 95 120 0 200

5 80 105 155 200 0

Equivalencias

Ruta 4

Ruta 3

Ruta 2

Ruta 1

Caminos 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1

2 1 3 1 4 2 5 3 5 4 2 1 3 2 4 1 5 4 5 3 3 2 2 1 5 1 5 4 4 3 3 1 2 1 5 2 4 3 5 4

3 4 2 5 1 5 1 4 2 3 4 3 1 5 2 5 1 3 2 4 1 4 5 3 2 4 3 1 2 5 2 4 3 5 1 4 1 5 3 2

4 3 5 2 5 1 4 1 3 2 3 4 5 1 5 2 3 1 4 2 4 1 3 5 4 2 1 3 5 2 4 2 5 3 4 1 5 1 2 3

1 2 1 3 2 4 3 5 4 5 1 2 2 3 1 4 4 5 3 5 2 3 1 2 1 5 4 5 3 4 1 3 1 2 2 5 3 4 4 5

-2 1-5 3-4 1-4 3-4 2-3 2-5 2-3 1-5 1-4 2-5 1-5 3-4 2-4 3-4 1-3 2-5 2-4 1-5 1-3 3-5 2-5 2-4 1-4 3-5 1-3 2-5 2-4 1-4 1-3 3-5 1-5 2-4 1-4 3-5 2-3 2-4 2-3 1-5 1-4

2-3 1-4 2-3 1-5 1-4 2-5 1-5 3-4 2-5 3-4 2-4 1-3 1-3 2-5 2-4 1-5 1-5 3-4 2-5 3-4 1-3 2-4 2-5 1-3 2-5 1-4 3-5 1-4 2-4 3-5 2-3 1-4 2-3 1-5 1-5 2-4 1-4 3-5 3-5 2-4

3-4 3-4 2-5 2-5 1-5 1-5 1-4 1-4 2-3 2-3 3-4 3-4 1-5 1-5 2-5 2-5 1-3 1-3 2-4 2-4 1-4 1-4 3-5 3-5 2-4 2-4 1-3 1-3 2-5 2-5 2-4 2-4 3-5 3-5 1-4 1-4 1-5 1-5 2-3 2-3

1-4 2-3 1-5 2-3 2-5 1-4 3-4 1-5 3-4 2-5 1-3 2-4 2-5 1-3 1-5 2-4 3-4 1-5 3-4 2-5 2-4 1-3 1-3 2-5 1-4 2-5 1-4 3-5 3-5 2-4 1-4 2-3 1-5 2-3 2-4 1-5 3-5 1-4 2-4 3-5

-1 2-5 1-4 3-4 2-3 3-4 2-3 2-5 1-4 1-5 1-5 2-5 2-4 3-4 1-3 3-4 2-4 2-5 1-3 1-5 2-5 3-5 1-4 2-4 1-3 3-5 2-4 2-5 1-3 1-4 1-5 3-5 1-4 2-4 2-3 3-5 2-3 2-4 1-4 1-5

2-3

2-4

2-5

3-4

3-5

4-5

80

55

95

0 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80

55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95

105

120

155

200

Total

0 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

225 410 410 410 410 410 410 410 410 410 430 430 430 430 430 430 430 430 430 430 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435

Ruta 5 Ruta 6 Ruta 7 Ruta 8 Ruta 9 Ruta 10

5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1

4 2 5 1 2 1 5 3 4 3 3 2 3 1 5 4 5 1 4 2 4 1 5 2 2 1 4 3 5 3 3 1 3 2 5 4 4 1 5 2 4 2 5 3 4 1 5 1 3 2 4 1 5 3 4 2 3 1 5 2

1 3 2 3 5 4 4 1 5 2 4 1 5 2 2 1 3 4 3 5 2 3 1 3 4 5 5 1 4 2 4 2 5 1 1 2 3 5 3 4 3 1 2 1 5 2 4 3 4 5 3 2 1 2 5 1 4 5 4 3

3 1 3 2 4 5 1 4 2 5 1 4 2 5 1 2 4 3 5 3 3 2 3 1 5 4 1 5 2 4 2 4 1 5 2 1 5 3 4 3 1 3 1 2 2 5 3 4 5 4 2 3 2 1 1 5 5 4 3 4

2 4 1 5 1 2 3 5 3 4 2 3 1 3 4 5 1 5 2 4 1 4 2 5 1 2 3 4 3 5 1 3 2 3 4 5 1 4 2 5 2 4 3 5 1 4 1 5 2 3 1 4 3 5 2 4 1 3 2 5

4-5 2-5 4-5 1-4 2-3 1-3 2-5 2-3 1-4 1-3 3-5 2-5 3-4 1-4 3-5 3-4 2-5 1-2 1-4 1-2 4-5 1-5 4-5 2-4 2-3 1-3 2-4 2-3 1-5 1-3 3-5 1-5 3-4 2-4 3-5 3-4 2-4 1-2 1-5 1-2 4-5 2-5 4-5 3-4 3-4 1-3 2-5 1-2 1-3 1-2 4-5 1-5 4-5 3-4 3-4 2-3 2-3 1-2 1-5 1-2

1-4 2-3 2-5 1-3 2-5 1-4 4-5 1-3 4-5 2-3 3-4 1-2 3-5 1-2 2-5 1-4 3-5 1-4 3-4 2-5 2-4 1-3 1-5 2-3 2-4 1-5 4-5 1-3 4-5 2-3 3-4 1-2 3-5 1-2 1-5 2-4 3-4 1-5 3-5 2-4 3-4 1-2 2-5 1-3 4-5 1-2 4-5 1-3 3-4 2-5 3-4 1-2 1-5 2-3 4-5 1-2 3-4 1-5 4-5 2-3

1-3 1-3 2-3 2-3 4-5 4-5 1-4 1-4 2-5 2-5 1-4 1-4 2-5 2-5 1-2 1-2 3-4 3-4 3-5 3-5 2-3 2-3 1-3 1-3 4-5 4-5 1-5 1-5 2-4 2-4 2-4 2-4 1-5 1-5 1-2 1-2 3-5 3-5 3-4 3-4 1-3 1-3 1-2 1-2 2-5 2-5 3-4 3-4 4-5 4-5 2-3 2-3 1-2 1-2 1-5 1-5 4-5 4-5 3-4 3-4

2-3 1-4 1-3 2-5 1-4 2-5 1-3 4-5 2-3 4-5 1-2 3-4 1-2 3-5 1-4 2-5 1-4 3-5 2-5 3-4 1-3 2-4 2-3 1-5 1-5 2-4 1-3 4-5 2-3 4-5 1-2 3-4 1-2 3-5 2-4 1-5 1-5 3-4 2-4 3-5 1-2 3-4 1-3 2-5 1-2 4-5 1-3 4-5 2-5 3-4 1-2 3-4 2-3 1-5 1-2 4-5 1-5 3-4 2-3 4-5

2-5 4-5 1-4 4-5 1-3 2-3 2-3 2-5 1-3 1-4 2-5 3-5 1-4 3-4 3-4 3-5 1-2 2-5 1-2 1-4 1-5 4-5 2-4 4-5 1-3 2-3 2-3 2-4 1-3 1-5 1-5 3-5 2-4 3-4 3-4 3-5 1-2 2-4 1-2 1-5 2-5 4-5 3-4 4-5 1-3 3-4 1-2 2-5 1-2 1-3 1-5 4-5 3-4 4-5 2-3 3-4 1-2 2-3 1-2 1-5

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80

55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200

440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 460 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465 465

Ruta 11 Ruta 12

5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1

4 3 5 1 5 2 3 1 4 2 4 3 5 2 5 1 4 1 3 2

1 2 3 2 4 1 5 4 5 3 2 1 3 1 4 2 5 3 5 4

2 1 2 3 1 4 4 5 3 5 1 2 1 3 2 4 3 5 4 5

3 4 1 5 2 5 1 3 2 4 3 4 2 5 1 5 1 4 2 3

4-5 3-5 4-5 1-4 3-5 2-3 2-3 1-2 1-4 1-2 4-5 3-5 4-5 2-4 3-5 1-3 2-4 1-2 1-3 1-2

1-4 2-3 3-5 1-2 4-5 1-2 3-5 1-4 4-5 2-3 2-4 1-3 3-5 1-2 4-5 1-2 4-5 1-3 3-5 2-4

1-2 1-2 2-3 2-3 1-4 1-4 4-5 4-5 3-5 3-5 1-2 1-2 1-3 1-3 2-4 2-4 3-5 3-5 4-5 4-5

2-3 1-4 1-2 3-5 1-2 4-5 1-4 3-5 2-3 4-5 1-3 2-4 1-2 3-5 1-2 4-5 1-3 4-5 2-4 3-5

3-5 4-5 1-4 4-5 2-3 3-5 1-2 2-3 1-2 1-4 3-5 4-5 2-4 4-5 1-3 3-5 1-2 2-4 1-2 1-3

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155

200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200

Posibles rutas ordenadas en orden descendente. Ruta 1

Ruta 2

1

1

2

5

4

2

5

3

4

Ruta 3

Ruta 4

1

1

2

5

4

3

3

2

5

4

3

470 470 470 470 470 470 470 470 470 470 490 490 490 490 490 490 490 490 490 490

Ruta 5

Ruta 6

1

1

2

5

4

2

5

3

4

Ruta 7

Ruta 8

1

1

2

5

4

2

5

4

3 Ruta 9

3 Ruta 10

1

1

2

5

4

3

3

2

5

4

3

Ruta 11

Ruta 12

1

1

2

5

4

3

2

5

4

3

Análisis de Resultados La matriz 3 nos genera un total de 120 permutaciones, de entre las cuales podemos observar 12 rutas posibles. La ruta 1 es la optima al necesitar 410 unidades para recorrerla.

Conclusiones El calculo de caminos, es fundamental en la logística al ayudarnos a generar una ruta optima lo cual reduce costos y mejora las cadenas de suministros. Aun así esta es una variante del problema del viajante, el cual actualmente se considera un problema NP-Completo, por lo cual se considera que entre mas vértices el problema se vuelve mas complejo; en las ciencias computacionales esto se demuestra por los tiempos computacionales que conlleva. De la misma manera podemos observar esta complejidad al mostrar como se expotencian los cálculos que se requieren para lograr encontrar las rutas optimas en un numero de nodos tan pequeño como 5.

Referencias R. Sedgewick, Junio 1977, "Permutations Generation Methods" Matemáticas Computacionales

Wikipedia (2012), "El problema del Viajante" Recuperado el 08 de Octubre de 2012 de: http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_del_viajante Wikipedia (2012), "NP- Completo" Recuperado el 08 de Octubre de 2012 de: http://es.wikipedia.org/wiki/NP-completo Universidad Autónoma de Madrid (2008), "permutaciones en C" Recuperado el 08 de Octubre de 2012 de: