Jesús Mosterín - Lógica de Primer Orden

I

Jesus Mosterfn LOCICA DE PRIMER ORDEN Desde finales del siglo XIX, y despues lie un letar­ go de 2.000 afios, la logica se : ha desarrollado a un r itmo acelerado, convir tiendose en UJ,1a de las cien­ cias formales mas solidas y bien establecidas. Ac­ tualmente, algunos conocimientos basicos de 16­ gica resultan imprescindibles al fil6sofo y al mate­ matico, e incluso al Iinguista, al programador 'y al in teresado poria teo ria de la informacion 0 la ci­ berne tica. Las ramas de la filosofia contemporanea que han logrado un progreso indudable y un rico acopio de resultados y aclaramientos fecundos - tales co­ mo la filosofia de la ciencia y la filosoffa del len­ guaje - se basan en la aplicacion de tecnicas y coriceptos logicos al analisis de sus problemas. In­ cluso en campos tan aparentemente alejados como la etica se empieza a hacer uso de la logica como potente instrumento de dilucidacion y sistematiza­ cion, Y no pocos filosofos actuales piensan que la filosofia entera no es o tra cosa sino la actividad del analisis logico. El progreso de la logica llevo a principios de si­ glo al descubr-imiento de las paradojas de la teor ia de conj untos y, con ello, a la mas grave "crisis de fundamentos" de la materna tica moderna. Pero pre­ cisamente con ayuda de la logica se encontraron tambien las diversas soluciones a la crisis: teorias axiornaticas de conjuntos, teoria de tipos, materna­ tiea intu icion ista, etc. Las relaeiones entre logica y ma ternatica son estrechas y sus fronteras arbi­ trarias. Respecto a los conceptos fundamentales de la teoria de conjuntos nadie sabria afirmar si son logicos 0 maternaticos. Y en la metamatematica 10­ grarnos obtener resultados inequivocamente mate­ maticos POI' procedimientos logicos y resultados ti­ picamente logicos POI' procedimientos maternaticos. En cierto modo, se puede decir que la maternatica so reduce a la logica, pues la actividad materna­ liea consiste en deducir eonsecuencias (teoremas) " par IiI' de axiomas dados. En otro sentido se pue­ de dccir que la logica se reduce a la matematica, de la que consti tuye la parte mas general. L" ",i'"ilaeion de las nociories y tecnicas logicas "iP""·IlI"h·s Iacilrta grandemente la labor del lin­ ,'.iii . .In, d,,) programador, del ciberrie tico, etc. Re­ ..,"··r d.· . ,,· I" iuiportancia de la logica en el desa­ rr "II" .I,. I" I,·" r in gl'neral de la computabilidad 0 .I•. I,,:. ,,,i"l,,i,,,,:: .I" 'I'uring. Recuerdeso tarnbien que 1,1'. 1'11!"lle'III,':; I illl-:'iiisl.icas mas recientes - grama­ I n-" , •.•. ",."" ivn .Y truusf'ormacional de Chomsky, 1\. d:. d,' I,." I."" ,)" "I> toner para los leriguajes lllllillillc':, t·tlll.llllll(l~; 10". Observese que, mientras las sentencias son verdaderas 0 falsas, las forrnu­ las abiertas no son ni 10 uno ni 10 otro. "5 7 >10" es cierto, pem "x y > 10" no es ni cierto ni fa lso, Si en un designador sustituimos un designador por una variable (0 varios designadores por varias variables), el resultado es 10 que llamamos un

+

+ +

+

termino abierto. Asi, sustituyendo el designador "Luis" por la variable "x" en el desig­ nador "Ia madre de Luis", obtenemos el termino abierto "la madre de x". De igual modo, sustituyendo "el ultimo rey de Francia" por "z" en el desig­ nador "la cabeza del ultimo rey de Francia", obtenemos el termino abierto "la cabeza de z". Y sustituyendo el designador "8" por "x" y el designador "9" por "y" en "(8 9)2", obtenemos el termino abierto "(x y)2". Observese aqui tambien que, mientras los designadores designan 0 se refieren a un individuo u objeto determinado, los terminos abiertos no se refieren a individuo u objeto alguno. Asi, por ejemplo, "(8 9)2" designs al numero 289, pero "(x y)2" no designa numero alguno. De ahora en adelanto, llamaremos formulas tanto a las formulas abier­ tas como a las sentencias. Y lIamaremos terminos tanto a los terminos abier­ tos como a los designadores. Segun la tenninologia que hemos adoptado, "El padre de Enrique es amigo del alcalde de Reus" es una formula y, en especial, una sentencia. "x es amigo de y" es una formula y, en especial, una formula abierta. "Madrid es la capital de Espana" es una formula y, en especial, una senten­ cia (en este caso, verdadera). ",5 x = 10" es una formula y, en especial, una formula abierta (ni verdadera ni falsa). "La capital de Francia" es un termino y, en especial, un designador (que designa Paris). "El padre de Fe­ lipe II de Espana" es un termino y, en especial, un designador (que designa a Carlos I de Espana). "5 6" es un terrnino y, en especial, un designador (que designa al numero II). "La capital de x", "el padre de z" y "5 y" son terminos y, en especial, son terminos abiertos, que no designan objeto alguno. El siguiente cuadro resume 10 dicho:

-+

+

+

-+

8. Cuantificadores A veces nos encontramos con expresiones lingiiisticas que nos sirven para decir algo de todos los objetos de una clase detenninada. Por ejemplo, la expresion "todos los" en "todos los chinos aman a Mao", 0 la expresi6n "cada" en "cada uno tiene sus gustos", 0 la expresi6n "el" en "el hombre es un mamifero", Otras expresiones nos sirven para decir algo de algunos objetos de una dase determinada, para afirrnar que en esa clase hay al menos un objeto que cumple 10 que se dice. Por ejemplo, la expresi6n "unos" en "unos tipos sospechosos me seguian", 0 la expresi6n "algunos" en "algunos chinos aman a Liu Chao-chi", 0 la expresi6n "hay" en "hay personas que pesan mas de 120 kg". A todas estas expresiones las llama­ remos cuantificadores. A las primeras ("todo", "cada", "el" ... ), cuantifica­ dores universales, a las segundas ("algun", "unos", "hay", ... ), cuantificado­ res particulares. Al cuantificador universal 10 representaremos por ..A", al particular por "V". Despues del cuantificador escribiremos siempre una variable, a la que llamaremos variable cuantificada:

Ax, Ay, Vz, Vw ... A partir de formulas abiertas podernos construir formulas cuantificadas, anteponiendo cuantificadores, seguidos cada uno de una variable. Si digo "todos mis amigos son gentes de fiar" quiero decir que, de cualquier x, se puede afirmar la formula abierta:

+

+

-+

f abierto

21

si x es amigo mio, entonces x es de fiar es decir,

x es amigo mio

~

x es de fiar.

Para simbolizar enteramente la sentencia "todos mis amigos son gente de fiar", he de afiadir el cuantificador universal: Ax (x es amigo mio

~

x es de fiar).

0, simbolizando los relatores " ... es amigo rnio" y " ... es de fiar" por "P" y "Q", respectivamente: Ax (Px ~ Qx).

termino .,

t designador (designa un objeto I abierta

Iorrnula

t scnrcncia (es verdadera falsa)

0

0

individuo)

Observese que, desde el punto de vista granco, el cuantificador univer­ sal, A, es como un conyuntor mas grande, mientras que el cuantificador particular, V, parece un disyuntor de gran tamafio. Tambien a nivel intui­ tivo existe una semejanza funcional entre estos dos pares de signos. En efecto, si tomamos una clase finita como ambito de referencia, entonces la cuantificacion universal equivale a una conyunci6n repetida, mientras que la cuantificacion particular es como una disyuncion iterada,

22

23

INTRODUCCION

DESCRIPCIONES

Asi, por ejemplo, si en un club solo hay tres socios: Juan, Pedro y Enri­ que, decir "todos los socios son honrados" equivale a decir "Juan es honrado y Pedro es honrado y Enrique es honrado"; y decir "algun socio es un Iadron" equivale a decir "Juan es un ladron 0 Pedro es un ladron 0 Enrique es un ladron", Simbolizando "Juan" por a, "Pedro" por b y "Enrique" por e, el relator" ... es honrado" por H y " ... es un ladron" por L, y convi­ niendo que nuestras variables se refieren a socios del club, tenemos que

0, mas completamente, simbolizando el relator " ... mato a... " por M, y el nombre "Robert Kennedy"por k:

tX

Mxk

Si simbolizamos el relator monadico ":., es habitante de Barcelona" por H y el relator diadico " ... es mas anciano que ... " por M, podernos simbolizar el designador "el mas anciano habitante de Barcelona" por:

Ax Hx equivale a Ha /\ H') /\ He

V x Lx equivale a La v Lb v Lc

~x

(Hx /\ -Ny (Hy /\ Myx))

que, en lectura detailada, dice:

Claro esta que esto solo oeurre, como ya hemos indicado, en el caso de que hablemos de una clase finita, como la de los miembros de un club. En el caso de clases infinitas, como la de los numeros naturales, la cuantifica­ cion es insustituible. Si queremos decir que todos los numeros naturales poseen una determiriada propiedad P, podemos escribir:

el x tal que: xes habitante de Barcelona y no hay ningun habi­ tante de Barcelona que sea mas anciano que el. Hagamos que nuestras variables se refieran a numeros naturales, sim­ y el predicado bolicemos el relator diadico ":., es divisor de ... " por diadico " ... es menor 0 igual que ... " por " 1) marcas Una linea interrogada es una fila formada por lila formula precedida de un interrogante intachado ?: '? 0:, ? /3, ... Una linea es una linea utilizable 0 una linea marcada 0 una linea inte­ rrogada.

I:

III

I.

II r III r

(2) Una de las lineas utilizables siguientes es la negaci6n de otra de elias.

(3) a ~ (/3 '--71) Y una de las Iineas utilizables siguientes cs

Las formulas de r que de acuerdo con 2 se introducen en la semideduc­ cion como lineas se Haman premisas.

2.3. r sea un conjunto de sentencias del formalismo 2. A continuacion caracterizamos exhaustivamente las semideducciones en 2 a partir de r.

2.4. Nota. Para facilitar el control, conviene numerar por la izquierda las lineas de cada semideduccion y anotar par la derecha el nombre abre­ viado de la regIa de inferencia empleada y los numeros correspondientes . a las lineas a las que se ha aplicado la regIa,

Definicion: Una semideducoion en 2 a partir de r es una sucesion finita de lineas obtenidas confonne a las siguientes reglas: IX

2. Para cualquier

IX E

2.5.

de 2, se puede escribir como linea

?IX

I', se puede escribir como linea

"j­

(4) GI: == AXl' . _', X n /3, ninguna de las variables Xl, ... , x" esta libre en las lineas utilizables anteriores a ?a, y una de las lineas utilizables siguien­ tes os /3.

2.2. Como metavariable para referirnos indistintamente a lineas cuales­ quiera, introducimos la letra griega "A" (can subindices de diferenciacion, cuando sea necesario): A}, A:!, As, '"

1. Para cualquier formula

53

DEDUCCIONES

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

0;

sea una formula de 2 y

r

sea un conjunto de sentencias de 2.

Definicion:

\

I

Una deduccion en 2 de a a partir de r es una semiderluccion en Ii' a partir de.T, tal que su primera linea es P 0: y sus restantes lineas estan todas marcadas.

IX

3. Si? IX es una linea ya escrita, como linea inmediatamente siguiente se puede escribir

\

~IX

4. Si ? IX --7/3 es una linea ya escrita, como linea inmediatamente si­ guiente se puede escribir IX

5. Si 0: es inferible de Iineas utilizables anterio res par medic de una regIa de inferencia otra que EP, entonces se puede escribir como linea

\! I

IX

6. Si 0: es inferible de lineas utilizables anteriores par media de la regIa de inferencia EP y la variable nueva (critica) no esta en ninguna linea anterior, entonces se puede escribir como linea

es deducible en 2 a partir de r si y solo 51 hay una deduccion en Sf! de a a partir de r. 'T I-£' a" sea una abreviatura para" 0: es deducible en 2 a partir de I'", Cuando la referencia a 2 no sea relevante, escribiremos simplemente "1' I- a", "aI, ... , IXn I-£' /3" sea una abreviatura para "lQ:I, ... , 0:,,) I-£, /3", GI:

2.7. Una formula 0: de 2 es un teorema logico de 2 si y s6lo si a es deducible sin premisas en 2, es decir, si y solo si cf> 1-2' 0:.

"I-£' a" sea una abreviatura para "cf> I-£, IX".

2.8. Teorema de finitud para la deducibilidad:

r I-£' 0; si Y solo si hay un numero finito de formulas II, ... , "j" de que 11, .. " In I-£' IX.

a 7. Si? a es la ultima linea interrogada, entonces se pueden marcar todas las lineas siguientes y tachar el interrogante de ? 0:, si uno de estos cuatro casos ocurre:

2.6. Definicion:

j

\

r,

tales

Dicho en otras palabras:

r

I-£' IX si Y solo si hay un subconjunto finito 6. C E5tO se sigue de la definicion dada en 2.3.

r,

tal que .i!-z IX.

54

2.9. De la definicion de la deducibilidad se sigue tambien:

a) Si A 1-2 a y A c T, entonces I' 1-2 0:.

b) Si 0: I--'l' f3 Y f3 1-2' I, entonces 0: 1-", j.

c) Si 1-2' c, entonces r 1-2' ix.

En efecto, 1-.2' 0: significa que X = t I x =t t =t El, 2.

2 3 4 5

x no este en t

I

51 :

Regia de la simctria de la identidad

t1

== t~

t:!

=t

1

justificacion: 1 t) = t~ 2 yt~ = t 1 3 It,) = t: I 4 Ax (x ~= t~ -> t~ = x) II, 3 5 i t., = t~ ----'i> t 2 = t 1 EG,4 6 t 2 = t, MP, 5, 1

I

X

no este en

I

Reglas de la transitividad de la identidad TI: IC, 5,7 R,3 R,l

= =

i1 t2 t2 t:J ---t1

=

fa

=t = t'2 ----_. t = t:1 t, t:J 1

2

t2

::::':

t,

t: 1­ _t 2.=_ t , = t;;

t2

=t

1

t:J = t'2 t 1 = t::

.-~--_._.-

t~

56

SINTAXIS: UN C."'LCULO DEDUCTIVO

Justificaci6n: 1 t l = t z 2 t z = fa 3 'rt 1 = t a 4 I\x (x = t z ~ X = ta) II,2 5 EG,4 t l = t z ~ tt = t« 6 MP,5,1 t] == t«

x no este en t z

De igual modo se justifican las otras ires reglas. Reglas de negaci6n del generalizador

NG:

,I\x a Vx, a

Vx,a -,I\xa

justificacion: 1 ,I\x a 2 ?Vx, O! ·3 r--1VX'0! y I\x IX 4

5 6 7 8 9

I? I ~x\,

,Vx,(X

Justificaci6n: 1 VX"O! 2 ? , I\x O! ,-II\X a 3 4 I\xa

5 6

,5"a SUa"' •X

Justificacion: 1 2 3 4

5 6

I,Vxa I\x,

GEG:

I\Xl, 51

, Xn a

l, in J!I, ..• , ,r

51

1. . . . ,

Gran regIa de eliminacion del particularizador

a

, Vxa x,a

NP: -1\- - ­

GEP:

I\x, 0: , Vxa

In

a

Xl' " ' , .1:jJ

VXI, ... , X n

Vx1 ,

, .. ,

SUlJ .." Xl'

DN,3 EP, 1; u no este en a EG,4

a

Xu a

11 n

a

"',0 J'f/­

clonde Ul, ... , Un son variables distintas entre si que no aparecen en linea an­ terior alguna. Gran regIa de negaci6n del particularizador GNP:

VX1, ... , X n a I\x], ... , x" ' a

I\x], ... , x"' c>; ,VX1, ... , Xn a

i

11.4. Ejercicios de deduccion DN,4

IP,5

R,l

O!

r, Vxa "Vxa Vxa 5'"x a: ,Sua x

an (a1/\ ... /\ an)

Gran regIa de introduccion del particularizador GIP:

I

I ..,

GIC:

n

IP,6 R,3 R,1

justificacion: 1 ,Vxa 2 y I\x, a ?,a 3 4 i,'a

6 7

al

Gran regIa de eliminacion del generalizador

Reglas de negacion del particularizador

eu

Para pasar de n lineas aI, ... , an a una nueva linea (0:1/\ ... /\ an) nece­ sitamos aplicar n - 1 veces la regIa de introduccion del conyuntor, IC. Por media de la gran regIa de introduccion del conyuntor, GIC (que a con­ tinuacion introduciremos) realizaremos en un paso 10 que hasta aqui solo podiamos realizar en n - 1. Lo mismo sucede en otros casos. He aqui varias reglas derivadas, cuya correccion puede ser trivialmente mostrada, y que en determinadas ocasiones abrevian considerablemente las deduccio­ nes. Las designaremos anteponiendo una "G" a la abreviatura cle la corres­ pondiente regIa simple.

Gran regIa de introducci6n del conyuntor

c>;

,I\x a

.57

EJERCICIOS DE DEDUCCION

DN,3 EP,4;

EG,1

u no este en a

Una de las principaies finalidades practicas de la 16gica consiste en ensefiar a deducir correctamente. Por medio de deducciones fonnales pode­ rnos probar que una deterrninada senten cia es un teorema de una teoria, que una determinada argumentacion, presentada en el lenguaje ordinaria, es correcta, etc. Aunque las deducciones ya han sido definidas en 2.5, es necesaria alguna practica para llegar a dominar el arte de deducir. Por eso ofrecemos al lector a continuacion .35 ejercicios de deduccion. Es conveniente que el lector trate de hacerlos Dar su cuenta v solo mire las deducciones corresL

_

58

SINTAXIS:

UN CALCULO DEDUCTIVO

pondientes despues de haberlas hecho el mismo. La deduccion que se le ocurra al lector puede ser correcta y no coincidir con la aqui presentada,

Si I' I- 0:, hay un nurnero infinite de deducciones distintas de 0: a partir de r.

Deduccion correspondiente al ejercicio mimero 3.

Ejercicio numero 1. 0:1':=;

Ax

(0:

-? a)

1

'i' V x Px -? V X Qx

2

I VxPx

3

I

4

Pruebese:

I- 0:1'

NOTA: Observese que 0:1 no es una formula, sino un esquema deinfinitas formulas. Deduccion correspondiente al ejercicio numero 1.

1

'i' Ax(o:-?o:)

:3

'i' (o:-?o:)

3

o:~ =0

Ax Rxx al

EG,4

I

Pu -~ Qu

6

I

Qu VxQx

IP,6

Vy (Fy -? Ax Fx)

==0

1- (Xl'

2,Vy(Fy-?AxFx) I-

(X2.

2

Axy (Rxy v Ryx)

premo

3

Rxx v Rxx

GEG,2

4

?Rxx

5

--.Rxx

6

Rxx

(Xl

ED,3,5

3

Ay , (Fy -? Ax Fx)

4

r

5

I, (Fy -? Ax Fx)

EG,3

6

I Fy /\ -. Ax Fx

NCC,5

7

r

8

I Fx/\ -. AxFx

EG,4

9

I Fx

EC,8

Fx /\' Ax Fx

EG,4

10

11

AxFx

I ,AxFx

:Xl

== Ax (Px -? Qx)

Ejercicio numero 5.

::t2

= V X Px -? Vx Qx

0:1'==

I- 0:2.

Vy (Vx Fx -? Fy)

Pruebese:

NP,2

Ay (Fy /\ -. Ax Fx)

Ejcrcicio numero 3.

al

MP,5,3

1 J Vy (Fy -? Ax Fx)

'i' Ax Rxx

Pruebese:

0:1

Deduccion eorrespondiente al ejercicio numero 4.

Deduccion correspondiente al ejcrcicio numero 2.

1

premo

Pruebese:

Ejercicio numero 2.

Pruebese:

Ax (Px -? Qx)

5

7

(Xl

I

Axy (Rxy v Ryx)

EP,2

Pu

Ejercicio numero 4.

II~

0:1 ==0

59

EJERCICIOS DE DEDUCCION

1--

(Xl.

EC,10

60

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Deduccion correspondiente al ejercicio nurnero 5.

1 !'

Ejercicio numero 7.

Vy(VxFx~Fy) III

2 I -.Vy(VxFx~F!J)

3 I

61

EJERCICIOS DE DEDUCCION

l\y,(VxFx~Fy)

41'

(Vx Fx ~ Fy)

NP,2 EG,3

5

VxFx/\-.Fy

NCC,4

6

VxFx

EC,5

7

Fz

EP,6

8

y VxFx->Fz

= I\x

(Vy (Lye /\ Cxy)

~,

I\y (Lym ~ Cxy))

1l2"""

Vx I\y (Lye v Lym ~ Cxy)

Ila'='=

Vy (Lye

Pruebese:

(%1,

~

I\x Vu Cxu)

a2 I-- aa·

Deduccion correspondiente al ejercicio mimero 7.

1 !' Vy (Lye I

~

I\x Vu Cxu)

\Ix I\y (Lye v Lym ~ Cxy)

premo

3

I\y (Lye v Lym -;. Cxoy)

EP,2

Ejercicio numero 6

4

Lwe v Lwm

al ~ Vx (Rxx /\ ,Rxx) v I\xy (Rxy v Ryx) I\x Rxx

5

y Lwe ~ I\x Vu Cxu

Pruebese: al

7 I I LwevLwm

ID,6

8/1 Cx.u: 9 Lwe /\ Cx.u:

MP,4,7

9

10

I Fz

Vy (Vx Fx

~

Fy)

R,7

2

IP,8

Ct2 . -

I

~

Cx.so

EG,3

6 I I Lwe

I-- a2.

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 6. 1 ? I\x Rxx

2

Y Rxx

10

3

,Rxx

4

Vx (Rxx /\ -. Rxx) v I\xy (Rxy v Ryx)

5

!' , Vx (Rxx /\ --. Rxx)

premo

6

"

7

Vx (Rxx / \ ' Rxx)

8

RUf1 /\ ,

9

Ruu

EC,8

-. Buu

EC,8

10

Ctl

Vx (Rxx /\ ,Rxx)

Ruu

Ct2

DN,6

II

I\xy (Rxy v Ryx)

ED, 4,5

12

Rxxv Rxx

GEG,l1

13

Rxx

ED, 12,.3

~, I\y (Lym ~ Cxy))

11

Il\x (Vy (Lye /\ Cxy)

12

I Vy (Lye /\ Cx"y) -;., I\y (Lym ~ Cxoy)

13

, I\y (Lym ~ exoy)

14

Y I\y (Lym ~ Cx"y)

15

I!' Lym ~ CXoy

16

I

Lym

17

I

Lye v Lym

EP,7

11

Vy(Lye/\CxoY)

IC,6,8

I LyevLym~exoY

18

I

19

II

20

Vy (Lye

premo at EG,l1

MP, 12, 10

ID,16 EG,3 MP, 18, 17

CXo!! ~

IP,9

I\x Vu Cxu)

IP,5

62

SINTAXIS: UN CALCUI,O DEDUCTIVO

J 'I

Ejercicio numero 8.

cr:, = I\xy (Vu tRxu /\ Ryu)

1

~

Rxy)

)

I\x V Y Rxy

el2

=:0

cr:~

== I\xyz (Rxy /\ Ryz ~ Rxz)

Pruebesc: a" a2 I---

'J,

)

Rxy /\ Ryz l

Rxy

EC,.3

Ry::

EC,3

I

.5

6

I\x (Aex

~

Hx /\ , Axx)

= He

as =, Vx Aex

ell,

a2

I--- CCs.

NOTA: Este ejercicio puede interpretarse como una formalizacion de la siguiente argumentacion: "Carlos afeita a todos los habitantes de Sitges que no se afeitan a si mismos y solo a enos. Carlos es un habitante de Sitges. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie".

r Rxy /\ Ryz .~ Rxz

4

=

al

Pruebese:

O::j.

1 Y I\xyz (Rxy /\ Ry::. ~ Rxz)

3

Ejercicio numero 9.

el2

Deduccion corrcspondiente al ejercicio mrmero 8.

2

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 9.

,

1

\

r,

Vx Aex

2 I I\x (Aex

~

Hx /\ , Axx)

premo al

1

I\x Vy Rxy

premo a2

! I

3

lIe

premo

4

Acc ~ He /\ , Ace

EG,2

7

VyRzy

EG,6

8

Rzw

EP,7

5

Acc

9

Rzw

R,8

6

He /\ , Ace

Rzw /\ Rzw

IC, 8, 9

7

P Acc

10

6.3

EJERCICIOS DE DEDUCCION

11

Vu (Rzu /\ Rzu)

IP,10

12

I\xy (Vu (Rxu /\ Ryu) ~Rxy)

premo

13

Vu (Rzu /\ Rzu)

14

Rzz

~

Rzz

J

1

a1

CEG,12

15

Hzz /\ Ryz

IC, 14,5

16

Vu (Rzu /\ Ryu)

IP,15

17

Vu (Rzu /\ Ryu) ~ RZll

GEG,12

18

Rzy

MP, 17, 16

19

Rxy /\ Rzy

rc, 4, 18

20

Vu (Rxu /\ Rzu)

IP,19

21

Vu (Rxu /\ Rzu)

22

Rxz

-'J>

Rx;,;

GEG,12

MP, 21, 20

(

He /\ , Ace

EB,4

~

EB,4

Ace

8

,Ace

9

He /\ ' Ace

IC, 3, 8

Ace

MP,6,9

10

MP, 13,11

~

CC2

11

II c /\ , Ace

MP,5,7

12

,Ace

EC,11

Ejercicio numero 10. at"'" I\x (I\y (Fy ~ Rxy) ~ I\y (Py ~ Rxy»

j

I

I

\

I

1

a2 zss Vxy (Py /\ -, Rxy)

as -

Vy (Fy /\' I\x Rxy)

Pruebese:

a" CC2 I--- CCs.

NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de la siguiente argumentacion: "Quien desprecia a todos los fanaticos des precia 5. -

LOGICA DE PRIMER ORDEN"

I

I

~ 64

I

SINTAXIS; UN CALCULO DEDUCTIVO

tambien a todos los politicos. Alguien no desprecia a un determinado poli­ tico. Por consiguiente hay un fanaticn aI que no todo el mundo desprecia". Deduccion correspondiente aI ejercicio numero 10.

I 11

1 ? Vy (Fy /\, Ax Rxy) 2

Ax (Ay (Fy

3

Vxy (Py /\ ,Rxy)

premo ct;!

4

Pu rc :» Rwu

GEP,3

5

Ay (Fy -7 Rwy)

61

? ,Ay(PY-7Rwy)

7

I, ,

-7

Rxy)

-7

-7

Ay (Py -7 Rxy))

Ay (Py -7 Rwy)

premo ctl

Ay (Py -7 Rwy)

DN,7

9

Pu -7Rwu

EG,8

Pu

EC,4

Rwu

MP,9,1O

11

I

13

, Ay (Fy -7 Rwy)

EC,4 MT,5,6

14

Vy, (Fy

-7

NG,13

1.5

, (Fyo

Rwyo)

16

Fyo /\, Rwyo

NCC,15

17

Fyo

EC,16

18

,Rwyo

EC,16

19

Vx, Rxyo

IP, 18

20

,Ax Rxyo

NG,19

21

Fyo /\ , Ax Rxyo

'IC, 17,20

22

Vy (Fy /\ , Ax Rxy)

IP,21

Rwy)

EP,14

Ejercicio mimero 11.

ctl

~

(Vx Px -7 (Vx Gx

Pruebese:

I- Ill'

-7

Ax Hx)) ~ Axyz (pz /\ Gy

-7

Hz)

1 l' (Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)) 2

l' (Vx Px -7 (Vx Gx

3

l.vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)

r

Axyz (Px /\ Gy

5

r

6

I Px /\ Gy

Px /\ Gy

-7

-7

~

Ax Hx))

Axyz (Px /\ Gy

-7

-7

Axyz (Px /\ Gy

Hz)

-7

Hz)

Hz)

Hz

-7

7

}lX

EC,6

I

8

VxPx

IP, 7

I

9

Vx Gx

I'j·

Ii

II Ii

-7

Ax Hx

MP, 3, 8

10

~

E~6

11

Vx Gx

IP,1O

Ax Hx

MP, 9, 11

Hz

EG,12

.I I

12 "~I

12 I I ,Rwu

-7

(i 11

Ay (pY-7 Rwy)

Deduccion correspondiente al ejercicio numero ll.

4

i

EG,2

8

10

65

EJERCICIOS DE DEDUCCION

]3 14 15 16

r I

Axyz (Px /\ Gy

-7

Hz)

Axyz (Px /\ Gy

-7

Hz)

r

VxPx

18

r

Vx Gx -7 Ax IIx

19

VxGx

20

? AxHx

I

22 I I I I I 23

l' Hx Pu

EP, 17

I Gw

EP,19

24

Pu /\ Gw

25

Pu /\ Gw

26

Hx

27

(Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx))

Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)

17

21

-7

(Vx Px -7 (Vx Gx

IC, 22, 23 -7

Hx

GEG,15 MP,25,24

-7

Ax Hx))

~

Axyz (Px /\ Gy

-7

Hz) lB,2, 14

66

67

EJERCICIOS DE DEDUCCION

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Ejercicio mimero 12. Deduccion correspondiente al ejercicio numero 13. a1

= /\x ((Bx

a2

= /\x (fx = a ~ Bx)

Nx) /\ , (Bx /\ Nx))

y

1 ? /\x Hx

a3 =fa = a a4 = --'i /\x

Nx

2

-, Vx (/\y (y

3

Vx. Hx

I?

4 'Pruebese:

0:1,

a2, 0:3 I- 0:4.

5

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 12.

= a ~ Py) ~ Hx)

premo

a[

/\x(Pa /\. Hx)

premo

a2

i-e r»

/\x (Pa /\ -, Hx)

I /\x. (/\y (y

6

• (/\y (y

7

/\y (y

= a ~ Py) ~ Hx)

= a ~ Py) ~ Hx)

NP,2 EG,5

1 ? ,/\x Nx

8

= a ~ Py) / \ ' Hx /\y (y = a ~ Py)

2

"

9

Pa

EI,8

3

/\x Nx

DN,2

10

rv Hx

EC,7

4

Na

EG,3

11

Pa /\ rv Hx

IC,9,10

5

/\x (fx = a ~ Bx)

premo

6

fa=a~Ba

EG,5

7

fa=a

premo

8

Ba

9

/\x ((Bx

/\xNx

y

Nx) /\ , (Bx /\ Nx))

- , . /\x iPas ;» Hx)

DN,4

13

,Vx.Hx

MT,3,12

a;1

14

/\x,.Hx

NP,13

MP,6,7

15

,

rv Hx

EG,14

prem·

16

lIx

011

(Ba

II

,(Ba /\ Na)

EC,10

12

(Ba /\ Na)

rc, 8, 4

Na) /\ , (Ba /\ Na)

Ejercicio numero 13. a1

=, Vx (/\y (y =

a ~ Py) ~ Hx)

0;2

"::.CO

Vx, Hx

~,

/\x (Pa /\', Hx)

2;\

~C'

/\x 1I x

Pruebcse:

aI, a2 I- a:].

EC,7

12

Q;2

10

y

NCC,6

EG,9

DN,15

Ejercicio numero 14. 0:1 -

a2

/\yz (/\x (XEy ~ XEZ) ~ Y = z)

= /\uw (/\x (XEU ~ Ex /\ a) /\ /\x (XEW ~ Ex /\ a) ~ U = w)

Pruebese:

a1 I- a2.

NOTA: a1 se puede interpretar como el axioma de extensionalidad de la teoria de conjuntos. a2 se puede interpretar del mismo modo como el teorema de la teoria de conjuntos (tipo Quine) que dice que para cada condicion a hay a 10 sumo una clase de todos los elementos que satisfacen a.

68

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 14.

CIS

1 l' Auw (Ax (XEU ~ Ex /\ 2) /\ Ax (XEW ~ Ex r. a) ~ u = w) 2

Ir

69

EJERCICIOS DE DEDUCCION

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Ax (XEU ~ Ex /\ IX) /\ Ax (XEW ~ Ex /\ a) -7 u = w

==.

a = he

Rcc -7 Rcc

0:1 == ,

Pruebese:

C(l,

C(~,

as I- at·

Deducci6n oorrespondiente al ejercicio numero 15. o

~

Ex /\ a) /\ Ax (XEW

~

Exr. a)

3

Ax (XEU

4

Ax (XEU H Ex /\ a)

EC,3

5

/\x (XEW H Ex r. a)

EC,3

6

l' Ax (XEU

~

1 l' • Rcc

XEW)

7 I I I l' XEU H XEW E~4

Ex /\ a:

E~5

10

XEU -o Ex r. a

E~8

11

Ex /\ cc

E~8

12

XEW

13

Ex /\ cc

XEU

~

9

XEW

~

14

II

15

16

I

II

Ex /\

E~9

C(

E~9

~XEW

Ex r. XEW

a

I

23

Ayz (Ax (XEy

24

Ax(xEU O(-~XEW)

25

U=tlJ

premo CCs

fcc == e

6 \ Ax (x =

EG,3

II,4

a = !Ix)

C 0--'70 ,

7

fcc =p ~ • a = hfcc

EG,6

8

, a = !lfcc

MP,7,5

9

AxRxx

ED, 2, 8

Ree

EG,9

10

Ejercicio numero 16. al = , (. fa = fb v , I-

Hfa) -) Hfb

CCI'

2

I ,(, fa =

H

Y '--= z)

XEZ)

-30

~u

= W

fll v· Hfa)

4

r fa = fb I I ,fa = fb

5

I

6

I -, (, fa =

7

r Ilfa

3

«-+XEW

Ejercicio numero 15.

al ~. a = hfce v Ax Rxx

C

,a=hc

MP, 13, 16

MP, 11, 20

I

=--=:

4

1 l' , (0 fa = fb v ' Hfa) ~ Hfb

MP, 12, 19

22

a:! = Ax fcx

premo cc:!

I

I xeu XEU

Axfcx = c

I

Ex /\ cc .

3

MP, 10,15

XEW

I

premo CCI

I

Deduccion correspondiente al e[ercicio numero 16.

r XEW ~XEU

19

a = hf€C v Ax Rxx

2

Pruebese:

I

18

21

XEU

~

i::~Xw=z)

2

Vz I\x (fxz = X/\ Vy fxy = z)

premo

EC, 2

3

I\x (fxzo = x /\ Vy fxy

EP,2

EC,2

4

l' I\w (I\x fxw

prem.1I:1

5

I l'

GEG,5

6

II

~

Vy Ryx)

2

I\x (Exu ~ I\v Rvx) /\ I\x (Exw

+-l>

Vy Ryx)

3

I\x (Exu

~

I\v Rvx)

4

,I\x (Exw

~

Vy Ryx)

5

I\yz (I\x (Exy

~

Exz)

~

6 I I\x (Exu ~ Exw)

-'> U

= w

7

y = z)

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 20. 1

I\v Rvx) /\ I\x (Exw

1 l' I\x (Exu

~

u=

tV

I l' I\x (Exu ~ Exw)

8

EB,8

9

Ryx

EG,4

10

Exu:

EB,lO

11

Exa +-l> I\v Rvx

9

Exu

~

7

EG,3

8

I\v Rvx

I

I fXzo = X/\ Vy fxy = I fxzo=x I I

I\u (u =

Zo ~

12

l' Exu~ Exw

12

I

13 I I 'F I\x [xu: = x

I'

\

15

II\V Rex Rvx

1~ III ': Ryx

1,

,

18

I tI

Exso

= tV

Prucbcsc:

0: J,

x~w

MP,11,6 ~

w=

15

fxw=x

IP,15

16

fxzo = X/\ V y txy

MP, 11, 16

17

fxzo = x

MP,6,7

18

I\XyllW ijxu

21 22

'ass

Vz I\w (I\xfxw =

[xu: = x

EG,14

= /\xy.UtV (fxu , = Y. /\ [xu: = y' ~ u = w), Vz /I,x (fxz = X/\ Vy fxy = z)

I f xz1J = fXzo

= z)

23 24

a:! !--- a:\.

NOTA: a] y c::~ son dos tcorcrnas de 1a tcoria de grupos, que en los cjercicios 23 y 22, rcspeetivamcnte, son dcducidos a partir de los axiomas de esa teoria. a;l es eI tcorerna de la teoria de grnpos que afirrna la existen­ cia univoca de un elemento neutro.

Zo

'I

X /\

EG,14 EG,3

= Y /\ fxw = y ~ u = w)

fxw = X ~ zo = W

= X /\ fxw = x

I ~x [xu: = x ~ w= V I\w (I\x [xu: - x H N

premo

(1.1

GEG,18 IC, 17, 15 MP, 19,20

= w

= /\xyz ftxyz = tXfyz o::! I\x fxhx = k =

= Zo

EC,16

Ejercicio numero 21. 0:]

Zo

I W=Zo

I

II,9

EG,10

I\xfxw = x

20

EC,8

w=zo~txw=x

14

19

EG,3

Zo

fxu = x)

MP, 9,13

Ejercicio numero 20.

C(:;

w=zo l' I\x [xu: = x

V Y Ryx

, Exu

X +-l>

= Z(l) W = zo)

(1.::1

~ I\x [xu: = x

11

14

0:::1

Zo

Exw~ Vy

13

(1.1

W=

=

10

-';0

73

EJERCICIOS DE DEDUCCION

SI,21 Zo . _

tv -

~ "')

IB,13,5 IP,4

74

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO Il;{ =

Ax fkx = x

1l'4 =

Axy Vz fxz

Pruebese: aI,

\

=y

a2,

as

I- a4.

I I I

Deduccion eorrespondiente al ejercicio numero 22.

1 l' Axy V z fXZ = Y

3

Axfxhx = k

4 jAXfkX

premo as [= 5~ fxy

= y]

5

fky = Y

6

= y) fxhx = k -+ ftxhxy = Y fxhx = k ffxhxy = Y

11,5

Az ftxhxz = fXfhxz

GEG,2

7 8 9 10

Ax (x = k -+fxy

EG,3

TI,9,11

= Y

IP,12

Ejercicio numero 22.

(

=

Axyz fXfyz = ffxyz 1l'2~ Axy Vz fxz = y ,2a""" Axy Vz [zx = Y ,24 == Vz Ax (fxZ = X /\ Vy fxy

1l'1

If Ax (fxu

EP,3

= X/\ Vy fxy =

i

y as son los axiomas de Hamilton para la teoria de grupos. 7 4 es el teorema de la teoria de grupos que dice que hay un elemento neutro y qut" para cada elemento del grupo hay un inverso. NOTA: 1l'1, a2

u)

7

Vz fZy = x

GEG,6

8

fwy=x

EP,7

9

Av (v

= y ~ fWD

= x)

12

= Y -+ fwfyu = fwfYIl = x Axyz fXfyz = ffxy::

13

fwfyu = ffwYll

fyu

I

ffwyu

11,8

x

EG,9 MP,10,4 prem.al

GEG,12

=x

TI, 13, 11

15

Av (v = fwy -+ [ou = x)

I1,14

16

x = fwy -+ [xu = x

EG,15

17

x=fwy

51,8

18

[xu = x

MP, 16, 17

19

VZfxz = u

GEG,2

20

=u II Vy fxy = u fXzo

EP,19 IP,20

rc, 18,21

fxu = x /\ Vy fxy = u

23 I Vz Ax(fxz = X/\ Vy fxy

,I

GEG,2

premo as

22

Pruebese: al, a2, a;j I- a4'

prem.a2

Axy V Z fZx= y

21

= z)

z)

6

14

MP,7,8

12 I fxfhxy = Y

5

11

EG,6

EG,10

fyu= y

10

EG,4

11 I ftxhxy = fxfhxy

13 I VzfxZ

(

premo az

=x

4

2 I

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 21.

premo at

3

= x /\ Vy fxy = Axy V z fxz = y VZfyz = Y

1 F Vz Ax (f:CZ

NOTA: aI, a2 y IlS constituyen una axiomatizacion posible de la teoria de grupos. 1l'4 seria en esta interpretacion el teorema que dice que siempre hay un cociente porIa derecha.

2 I Axyz ftxyz = fx fyz

= z)

IP,5

Ejercicio numero 23.

= ffxyz = Axy Vz fxz = y as = Axy V z fZX = Y a4 raa Axyuw (fxu = Y /\ [xu: = Y -+ U III

=, Axyz fXfyz

12'2

I

l.

75

EJERCICIOS 0;-: DEDUCCION

-

w)

76

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Pruebese: 0:1, 0:2,

AS \---

EJERCICIOS DE DEDUCCION

25 I I f{Z2XW

0:,1.

0:1, 0:2 Y O:s son los axiomas de Hamilton para la teoria de grupos. 124 es el teorema de la teoria de grupos que dice que para cada dos elemen­ tos del grupo hay a 10 sumo un cociente porIa derecha. NOTA:

Deduccion correspondiente al ejercicio numcro 23.,

= Y /\ fxw = Y -,) U = w)

r fxu = Y /\ fxw = y -,) u = w

fxu = Y /\ fxw = Y

1 Y Axyuw (fxu 2 3

6

=Y fxw = y fxw = [xu

7

Axy Vz fzx

8

I VZfzu = u

9

11

=u Vz [zx = Zl f Z X = Zl

12

/\xy VZ fxz

13

Vzfuz= w

4 5

10

14 15

16

17

18 19 20 I 21 22

23

24 I

fxu

= fZ2X -,) fZ1W

28

Zl

= fZ2X

29

fZ1W = u

30

Av (v

35 36

GEG,7

EP,8

GEG,7

= u)

II, 25

=u

EG,26 SI,11 MP,27,28

= w -,) fZ1V = u)

II, 29

= w -,) fzduz s = u f Z1 fUZ3 = u fZl fUzs = ff z1UZS ffz1UZS = U Av (v = fZ1U -,) fVZ3 = u) I U = fZ1U -,) fUzs = U fUzs

37

U = fZ1U

38

{uzs

39

u=w

EG,30 MP,31,14 GEG,18 TI,32,33 II, 34 EG,35 SI,9

=U

MP, 36, 37 TI,38,14

EP,lO

2

=Y

prem.0:2

=w Av (v = Zj -,) fvu = u) fZ2X = Zl -,) ffz'2XU = U ffz2XU = U Axyz fx fyz = ffxy;:, f Z2 fxu = ff::"21'11 I fZ2 fxu = u Av (v = [xu -,) fz:>.v

Ejercicio numero 24.

GEG,12

fUzs

=

u)

= fxu -,) fZ:>. [xu: = u fZ2 fxw = u I fZ2 fxw = ffz2XW fxw

Zl

34

prem.o:s

fZ1U

27

33

TI,5,4

=y

Av (v = fZ2X -,) fvw

32 EC,3

TI,24,23

26

31 EC,3

=u

77

a1

EP,13

0=:=

Vy (Ax (Sx /\ Gx ~ 1'= y) /\ Y =

a:!:=:o Ax (Sx /\ , X = r -,) Arx)

II, 9

as ~ Vx (Sx /\ Gx /\ Apx)

EG,15

a4 = Axy (Axy -,) , Ayx)

MP, 16,11

a" ="

premo

r)

Sp,

al

Pruebese: aI, a2, as, a4

GEG,18 TI,19,17

NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de la siguiente argumentaci6n: "S610 hay un sofista que ensefia gratuitamente, y este es S6crates. S6crates argumenta mejor que ningun otro sofista. Plat6n argumenta mejor que algun sofista que ensefia gratuitamente. Si una per­ sona argumenta mejor que otra segunda, entonces, esta segunda no argu­ menta mejor que Ia primera. POI' consiguiente, Plat6n no es un sofista".

II, 20

EG,21

MP, 22, 6 GEG,18

I- iX5.

I

I

79

EJERCICIOS DE DEDUCCION

78

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

2811

Deducci6n correspondiente al ejercicio numero 240

29

I

1

r

j

,Sp

2 I "Sp 3

Sp

DN,2

4

Vx (Sx J\ Gx /\ Apx\

premo

5

Su /\ Gu /\ Apu

EP,4

6

Vy (Ax (Sx /\ Gx ~ x = y) /\ Y = 1')

premo

7

Ax (Sx J\ Gx

8

Ax (Sx /\ Gx ~ x = w)

EC,7

9

Su/\ Cu e- u = w

EG,8

10

~

x = w) /\ W = r

I Su /\ Gu ---,> u =

11

o;;{

GEG,19

30

I,App

MP,29,28

31

Sp /\ , P = r ---,> Arp

EG,22

32

Sp /\' P =

IC, 3, 23

33

,(Sp /\' P = r)

t

MT,31,21

Ejercicio numero 25.

0;1

EP,6

MP,27,26

App App ---'>,App

( I

0;1

=

Ax (Px ~ x

Pruebese:

I-

= a)

---,> ~x

Px = a

0;1'

EB,9

w

Su /\ Gu

EC,5

Deducci6n correspondiente al ejercicio numero 25.

r

Ax (Px ~ x = a) ---,> tX Px ~ a

12

I

u= w

MP, 10, 11

1

13

I

w=r

EC,7

2 I Ax (Px ~ x = a)

14

r=u

TI, 13, 12

3 I Vy Ax (Px ~ x = y)

15

Apu

EC,5

4

r« Px

16

Ax (x = u

11,15

5

Pvx Px ~

Px = a

E~2

17

r = u ---,>Apr

EG,16

6

Pix Px ---,> ~x Px = a

E~5

18

Apr

MP, 17, 14

7

~x

M~~4

19

Axy (Axy

20

Apr---'>,Arp

GEG,19

21

' Arp

MP, 20,18

22

Ax (Sx J\

23

j',p=r

[ 5:: Apx] ---,>

Apx)

Ayx)

---,> ,

,

X

= r

---,>

premo

Arx)

premo

D~3 ~x

Px = a

0;4

0;2

24

"p=r

25

p=r

DN,24

26

p=u

TI, 25,14

27

P = u---,>App

EG,16

Ejercicio numero 26. 0;1

=,

Vx 0;

Pruebese:

6. -

LbcICA DE

I-

IP,2

---,> tX 0;

=

0;1'

PRIMFR ORDEN

~u

u

=u

80

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 26. 1 ? , V x IX

~

tX

(X

= tU U =

81

EJERCICIOS DE DEDUCCION

Ejercicio mimero 28.

U

121

2 I,VXIX

= Vy (Ax (Hx ~ x = y) A By) ~ B tX Hx

Pruebese: \-

121'

3 I ? , Vy Ax (IX ~ X = y) "

41I"VYAX(IX~X=Y) 5 VyAx(IX~x=y)

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 28. DN,4

6

5""'" IX :r;

DP,5

7

VXIX

IP,6

8

,Vx IX

R,2

1 ? Vy(Ax(Hx~x=Y)I\By)~BtxHx

I

2

Vy (Ax (Hx ~ x = y) 1\ By)

3

Ax (Hx ~ x = u) 1\ Bu

EP,2

4

Ax(Hx~x=u)

EC,3

5

Vy Ax (Hx ~ x = y)

IP,4

6

HtxHx

DP,5

7

H

8

H vx Hx s-o ix Hx

9

txHx=u

MP,8,6

10

Bu

EC,3

11

Ax (x = U ~ Bx)

12

eX Hx

13

B «u«

:1

9

:l

DI,3

tXIX= tUU= U

II " Donde y es una variable que no esta libre en IX.

I

Ejercicio numero 27.

\ i

I

R efa a:! - Ax (Rxfa~x = c)

121-

123 =c= R

tX Rxfa fa

Pruebese:

121,

1%2 \-

J

123.

I

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 27. 1 ? R tX Rxfafa 2

txHx=u s-:

U

[-5: Bx]

= u

~

B ex Hx

EG,4 EB,7

II, 10 EG,11 MP,12,9

Ejercicio mirnero 29.

I Refa

prem.a1

3

Ax (x = e ~ Rx fa)

4

Ax (Rxfa

5

? Ax (Rxfa~x = c)

~

x = c)

e~Rxfa

6

x=

7

Rxfa~x

8

Bxia co « = e

9

txHx~

10 I Rex Rxfafa

~

ct1'

Deduccion correspondiente al ejercicio nurnero 29. EG,4 IB,6,7

x = y)

= Vy (Ax (IX ~ x = y) 1\ By) ~ B tX IX, donde y no esta en

Pruebese: \-

prem.1%2

EG,3

= e

Vy Ax (Rxfa

121

II,2

IP,5 DP,9

\

I,

1 ? Vy(Ax(a~x=Y)I\By)~B~xa

2

Vy (Ax (a~ x = y) 1\ By)

3

Ax (a ~ x = u) 1\ Bu

EP,2

4

Ax (a ~ x = u)

EC,3

5

VyAx(a~x=y)

IP,4

ct.

82 6 I 5""" a IV

Ejercicio numero 31.

DP,5

a ~ eX a = u

Si,~a

8

5 IVtax a ---c> ex a =

9

exa=u

MP,8,6

(X4

~

10

Bu[- S'~,f. Bx]

EC,3

a~

= txAxa = p

11

Ax (x

=

II,10

Pruebese:

12

eX a = u -v B eX a

EG,ll

13

B exa

MP, 12,9

U ---c>

EG,4

u

(Xl

EB,7

Bx)

= Ax (Px ~ x

Pruebese:

= eX Px) H

(X:2

= eX Amx

(Xa

= ex Aax = p

Am eX Axa

aJ, :;t2, :;ta, a4 I- 116­

NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de 1a siguiente argumentacion: "Maria ama solamente a un hombre. E1 hombre amado por Maria es aque1 a quien Apo1onia ama. Pituso es e1 hombre a quien Apo1onia ama. Maria ama a1 hombre que ama a Apo1onia. Por cons i­ guicnte, e1 hombre que ama a Apo1onia es Pituso".

Ejercicio numero 30. al

Vy Ax (Amx ~ x = y) = eX Aax

7

'"

83

EJERCICIOS DE DEDUCCION

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Vy Ax (Px ~ x = y)

I- 111.

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 31. 1

r 'exAxa = p

1

?

Ax(Px~x= exPx)~VyAx(Px~x=y)

2

Am exAxa

premo

124

2

I

YAx(Px~x- exPx)---c>VyAx(Px~x=y)

3

Vy Ax (Amx ~ x = y)

premo

al

4

AmtxAmx

DP,3

5

Ax (Amx ~ x

I Ax (Px

3 4

~x =

eX Px)

II VyAx(Px~x=y) Vy Ax (Px ~ x

IP,3

= y) ---c> Ax (Px ~ x = eX Px)

5

'f

6

I VyAx(Px~x=y)

= u)

EP,3

7

=u Am eX Amx ---c> eX Amx = u

EB,6 MP,7,4

6

Am

exAmx~exAmx

EG,.5

7

Ax(Px~x=u)

EP,6

8

exAmx=u

8

P cx Px

DP,6

9

Am ex Axa ~ eX Axa

9

= u

P eX Px ---c> eX Px = u

EG,7

10

Am exAxa

EB,9

11

txAxa =u

MP,1O,2

MP, 10, 8

12

ex Amx

TI, 8,11

II,7

13

EG,12

14

MP, 13, 11

15

IB,2,5

16

= eX Axa eX Amx = eX Aax tX Axa = ex Aax exAax = I' txAxa = p

P eX Px

10

~

11

l/tXpx= u

12

I

13 14 15

eX Px

= U ---c> Ax (Px ~ x = w)) eX Px = u ---c> Ax (Px ~ x = ex Px) Ax (Px ~ x = eX Px) Ax(Px ~x = ex Px) ~ Vy Ax (Px ~x = y) Aw (w

L

---c>

=u

EG,5

exAxa = u

EB,9

premo

:;t2

TI, 12, 13 premo

:;t3 •

TI,14,15

84

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

EJERCICIOS DE DEDUCCION

Ejercicio numero 32.

Ejercicio mimero 33.

= t = ex Axc

Cl1

011 ~

Srk

Cl2 '== I Cl3

= Ax (-. Sxk -? Axc)

Cl4

= Vy Ax (Axc ~x= y)

Cl5'==

Pruebese:

= y) -?

X

tX

Px =

tZ Z

=

Z

I-- 011.

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 33. Cl2,

OIl,

013, 014 I-- Cl5'

NOTA: Este ejercicio puede considerarse Como una formalizaci6n de la siguiento argumentacion, "Toribio es el hombre que ama a Clotilde. A Ro­ berto no Ie cae simpatioa Carina. Todo el mundo que no simpatiza con Carina ama a Clotilde. Unicamente una persona ama a Clotilde. Por con­ siguiente, Toribio y Roberto son la misma persona". Deduccion correspondiente al ejercicio numero 32.

.

Vxy (Px 1\ Py /\ I

t= r

Pruebese:

1

85

? t=r

2

Ax (-. Sxk

3

I

Srk

4

I

Srk

5

Arc

MP,3,4

6

Vy Ax(Axe~x = y)

premo Cl4

7

A exAxee

DP,6

8

Ax (Axe~x = u)

EP,6

9

A ex Axe e ~

-?

Axc)

~Arc

prem· EG,2

prem·

= u

tX Axe = u

tX

013

Axe

012

EG,8

10

A

11

txAxe =u

12

Are~r=

u

13

Are-?r=

II

14

r=u

15

ex Axe

16

t

= txAxe

prem·

17

t

= r

TI,16,15

tX

Axe e -?

= r

EB,9

MP, 10, 7

EG,8

1

l' Vxy (Px 1\ Py

2

I Vxy (Px 1\ Py 1\

3

Pu

4

l'

Pw

1\

X

1\ I I

= y) -? eX Px = tZ Z = Z

X = y)

U= w

1\ I

I

Vy /\x(Px~x = y)

5

I

I

6

Vy Ax(Px~x =y)

7

Ax(Px~x

8

Pu~u=v

EG,7

9

Pu-?u

=v

EB,8

Ax(Px~x

Vy

= c)

EP,6

EC,3

11

u=v

MP,9,10

12

Pw~w=v

EG,7

13

Pw-?w=v

EB,12

14

Pw

EC,3

15

w=v

MP, 13, 14

16

u=w

TI, 11, 15

17

IU=W

EC,3

18

tXPx= tZZ

=Z

Ejercicio mimero 34. OIl"=- tX,

Vy (Py 1\ Myx) = d

(};2=Pd Cl3

DN,5

Pu

TI,11,14

011

= y)

10

EB,12

MP,13,5

GEP,2

= Vx (Px 1\ Ex)

DI,4

86

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Ejercicio mimero 35.

Pruebese:

al

a1,

a2, a3, a4 I- 1Z5.

NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de la siguiente argumentacion: "Dios es el ser mayor que eI cual nada puede ser pensado. Dios puede ser pensado. Algun ser puede ser pensado y existe. Cualquier ser que pueda ser pensado y exista es mayor que cualquier otro que solo pueda ser pensado, pero no exista. POI' consiguiente, si Dios no existe, entonces hay un ser que puede ser pensado y que es mayor que aquel mayor que eI cual nada puede ser pensado". Observese que en esta formalizacion la existencia se considera como un predicado y no como un cuantificador,

Deduccion correspondiente aI ejercicio numero 34.

1

? I Ed ~ Vz (Pz 1\ Mz

IX IVy

87

EJERCICIOS DE DEDUCCION

= Ax (Px 1\ Ex ~ Ay (Py 1\ I Ey ~ Mxy» a5 = I Ed ~ Vz (pz 1\ Mz eX IVy (Py 1\ Myx» a4

(Py 1\ Myx»

=x a2 - Axyuw (fxu = Y 1\ fxw = Y ~u -: w) a3 = Ax fx ty Ax fxy = x = x = Vz Ax fxz

Pruebese: aI, a2 I- a3'

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 35.

=x= x

1

? Ax fx ey Ax fxy

2

Vz Ax fXz= x

premo al

3

AXfxzo = x

EP,2

4

? Ay (Axfxy

= XHy = zo)

I ~ Ax fxy = X Y = Zo

? Ax fxy = x ~ y = Zo

2

rv Ed

3

Vx (Px 1\ Ex)

prem. a3

6

4

Pu 1\ Eu

EP,3

7

Axfxy = x

5

Ax (Px 1\ Ex ~ Ay (Py 1\ I Ey ~ Mxy»

premo a4

8

fxy=x

EG,7

6

Pu 1\ Eu ~ Ay (Py 1\ I Ey ~ Muy)

EG,5

9

fXzo = x

EG,3

7

I,y (Py 1\ I Ey ~ Muy)

MP,6,4

10

Axyuw (fxu = Y 1\ fxw

8

Pd 1\ I Ed

EG,7

11

fxy

9

Pd

premo a2

12

fxy - X1\ fXz'O

IC,9,2

13

y=zo

MP,8,10

14

II, 11

15

premo al

16

Au (u = Zo ~ Ax [xu = x)

II, 3

17

y = Zo ~ Ax fxy

EG,16

5

~

Mud

10

Pd 1\ I Ed

11

Mud

12

Aw(w=d~Muw)

13

tX, Vy (Py 1\ Myx) = d

14

eX IVy (Py 1\ Myx) = d ~ Mu

15

Mu

16

Pu

17

Pu 1\ Mu ex IVy (Py 1\ Myx)

IC, 16, 15

20

18

Vz (Pz 1\ Mz tX IVy (Py 1\ Myx»

IP,17

21

IX

tX

IVy (Py 1\ Myx)

IVy (Py 1\ Myx) EG,12 MP, 14, 13 EC,4

H

= Y~u =

= X1\ fXzo = x ~ y =

Zo

=X

w) premo a2 GEG,lO IC,8,9 MP, 11,12

I I I or y = Zo ~ Ax fxy = x I

y=zo

18 I

19

Axfxy = X

Ax fxy I I

=x

=X

H

MP, 17, 15

Y = Zo

= XHy = z) Ax fx ty Ax fxy = x = x Vz Ay (Axfxy

IB,6,14 IP,4 DP,20

88

TEOREMAS SINTACTICOS SOBRE LA DEDUCIBILIDAD

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

'I

11.5. Teoremas sintacticos sobre la deducibilidad 5.1. Primer teorema de la deducci6n:

1%

sea una sentencia de 2. Si

IX 1-"", (3, entonces 1-"", (IX -...,.. (3). Prueba: Sea IX 1-"", (3, es decir, haya una deduccion 9J1 en 2 de (3 a partir de IX, y tenga esta deduccion n Iineas, Entonces, consideremos la deduccion .@2: 1 ?' (IX --+ (3)

2 2+1

I

de 9J 1 en que IX habia sido introducida como premisa obtenemos IX por apli­ cacion de la regIa de repeticion a la Iinea 3. As], pues, las unicas premisas introducidas en 9J2 son las que provienen de r y, por tanto, r I-z' IX. Con 10 que (1) queda probado. De igua,l modo se prueba (2). 5.4. Teorema:

Si t es un termino de 2, entonces I- z V X X = t.

a ?'(3

Prueba:

2+ n) I ~ +

(i

+

cuyas lineas 2 1, ... ,2 n solo se diferencian de las n lineas de 9J 1 en poseer una marca mas. En los lugares de 9J2 correspondientes a aquellos de 9J 1 en que IX habia sido introducida como premisa obtenemos 1% par aplicacion de la regIa de repeticion a la linea 2. As], pues, 9J 2 es una de­ duccion sin premisas y, par tanto, I-z (a --+ (3).

5.2. Segundo teorema de la deduccion: r sea un conjunto de senten­ cias. Si r I-z IX, entonces hay un numero finito de formulas 11, •.. , I" E r, tales que I-z hI /\ ... /\ "[" --+ IX). Prueba: Sea r I-z 1%. Por 2.8, hay un numero finite n de formulas "[I, ... , "["Er, tales que ·(1) ... ,I,,l-z01. Por 2.9 d), (11/\ ... /\"[,,)-l-zlX. Y por 5.1 I-z (11/\ ... /\ I" --+ IX).

r

r

U lIXI, y tenga esta deduccion

2

I"a

3 1 a 3+1 ?',a

DN,2

3+n

+

+

cuyas Iineas 3 1, ... ,3 n solo se diferencian de las n lineas de 9J 1 en poseeruna marca mas. En los lugares de ~2 correspondientes a aquellos

rI

3 5

Vxx=t ,Vxx=t Ax ---, x = t ,t=t t= t

NP,2 EG,3 I

5.5. Teorema: Si x no esta libre en

1%

y I-z (IX --+ (3),entonces 1-"", (IX --+ Ax (3).

Prueba: x no este en IX. Sea I-z (IX --+ (3).

1 ? (IX --+ Ax (3)

2

IX

3 4

"? Ax (3

I? Ct. --+ (3

m

U 11X11-z' IX, es decir, haya una deduccion 9J1 en 2 de n lineas, Entonces, conside­ remos la deduccion 9J2 : 1 't , !% ­ Prueba: Sea

1 2 4

5.3. Teorema: Sea ct una sentencia de 2. (1) Si r U jctll-",' ct, entonces r 1-"" a. (2) Si r U 1,all-z c, entonces I' I-z a.

---, IX a partir de

89

I . I:

I I

(3

pues 1-2 (IX --+ (3)

MP, 4, 2

Luego t-z (~ --+ Ax (3). 5.6. Teorema: Sean ts, t 2 Y ft l , ... , t" terminos de 2, en los que ninguna de las variables x, y, Xl ... x" este lihre. Sea Pt l , ... , t: una formula de 2. Entonees:

a) I-z Pt h

"',

t" B

VXh ... ,

b) 1-2 X . ttl, "', t n BVX1'

x" (Xl = t 1 "',

c) I-z t l = t 2 B Vxy (x = t 1

/\

x" (Xl

/\ ... /\ X"

=t

Y = t2

/\

1 /\ ... /\

x= y)

= t n /\ PxI , ... , x,,) Xn

= t.; /\ X=-fXI, ... , XII)

90

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

TEOREMAS SINTACTICOS SOBRE LA DEDUCIBILIDAD

Prueba de c): 1

2

3 4

5 6

Prueba:

= t~ ~ Vxy (x = t, 1\ Y = t~ 1\ X = y) I ? t) = t~ -+ Vxy (x = t 1\ Y = t~ 1\ X = y)

I t] = t~ ? Vxy (x = t] 1\ Y = t 1\ X = y) , Vxy (x = t, 1\ Y = t~ 1\ X = y) GNP, 5 Axy, (x = t) 1\ Y = t 1\ X = y) r

t1

1

= t)

t~

t~ 1\ t 1

=

t~)

=

t) = t 1

I

9

t2 = t2

I

10

tl

= t,

= t~ t 1 1\ t 2 = t~ 1\ t)

(t 1

=

11

I

12

l' Vxy (x = t 1

\

1\

1\ t~

1\

Y=

13

Vxy (x = t 1 1\ Y =

14

u = t 1 1\

15

u = t)

16

=

tJ

= y) -+ t) = t

t~ 1\

X

t~ 1\

X = y)

lAX (IX ~ /3) r Ax IX -+ Ax /3

II

5 6

GEG,6

8

(t l

2

4

2

,

y Ax IX ~ Ax f3

3

2

7

1

7

(I

9

Ax a y Ax /3

ill :~/3

8

I

EG,4

EG,2

a-+/3

EB,7

(3

MP,8,6

IC,8,9

10

IC, 10,3

11

AX/3

12

r Ax a

2

premisa

? Ax /3 -+ Ax a

13

,Ax a

14

Vx,a

NG,13

EC,14

15

,5"a J!

EP,14

u = t1

EC,15

16

5~ a~5:;/3

EG,2

17

u=w

EC,14

17

5~/3 -+

EB,16

18

t1 = w

TI,16,17

19

w = t~

EC,15

20

t)

21

t)

=

W

= t2

1\ W

= t«

1\ U

=

-GEP, 13 ft,

W

TI, 18, 19

t2

= t~ ~ Vxy (x = t, 1\ Y =

t 2 1\

X

= y)

W

no eaten en I" t,

r

(i

I !

18

' 5~/3

19

5~/3

20

i

Ax a ~ Ax /3

5::, a

MT, 17, 15 EG,11 IB,3,1O

IB, 2, 12 5.8. Teorema: Sea ): una formula de 2. w no este en rz a.

De igual modo se prueban a) y h) de 5.6. Entonces: 5.7. Teorema: Sean a y f3 formulas de 2. Entonces: !\X ():

~

/3)

he

Ax ): ~ Ax {3.

1-2' X

= ~z

IX ~

(Az (a ~;:::

= x) v (-, Vw Az: (a ~ z = w) 1\ X = ty y = y)).

91

92

,

I

Prueba: !Z

IX ~ (Az (IX ~ Z

A X

2 I?

I

3 4

I

X

= ty y =

Az (IX ~

Z

= w)

tyy =y))

f --, Vw Az (IX ~ Z = w) ~ I (Az (IX ~ z = x) V (--, Vw Az (IX ~

tZ

IX =

ty

Z

= w) A X = ty y =

Y =Y

y))

DI, 5

7

x = ey y

8

--, Vw Az (IX ~ z::;::: w) A X = ty y = Y

9

Az (IX ~ Z = x) V

=y

TI, 3, 6

(--,

Vw Az (IX ~

Z

= w) A

IC, 5,7 X:-

Y Vw Az (IX ~ Z = w) ~ (Az (IX ~ Z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A

I I I Vw Az (IX ~ Z =

w)

(

I

ty y = y)ID, 8 X

= ty y =

y))

y)

''':=

ID,18

Vw Az (IX ~ Z = w) V --, Vw Az (IX~Z = w) ~ (Az (IX ~ z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X = ty y = y)) IDA, 10, 4

26

Vw Az (IX ~ z= w) v --, Vw Az (IX ~z = w)

27

Az (IX ~

Z

= x) v (--, Vw

Az (IX ~ Z = w)

AX

TND

= ty y = y)

5'za IX z

13

Az (IX ~ Z = u) (donde uno esta en IX y U ¢ z), pues 5;:'IX = IX, ya que w no esta en IX

I

= x) ~ x = tZ IX

28

y Az (IX ~ Z

29

Az(IX~z

30

VwAz(IX~z=w)

31

5'za IX z

32

5'za IX ~ z

tZ

IX =

33

5'za z IX . ~

tZ

IX

34

tZ

X

MP, 33, 31

35

x = rz IX

SI,34

IX =

=x)

38

--, Vw Az (a. ~ z = w)

EP,ll

39

rz IX

tZ

IX = U

EG,13

40

x= tyy=y

15

5'za IX ~ z

tZ

IX = U

EB,14

41

X

16

iz IX =

MP, 15,12

42

17

u=X

TI,16,3 43

= x)

I--'Az(IX~z=x) [=5~--,Az(IX~Z=U),

ya que 5~ IX = IX, porque u no esta en

20

Au (u = x ~ --, Az (IX ~ Z = u))

21

u

22

--, Az(IX~z

23

Az(IX~z=u)

= x ~ --, Az (IX ~ Z = u)

= u)

=

~ w) A

X

= ty y = y ~ x =

= w) A X =

tZ

DI,38

EC,37

IX

IX~(Az (IX~Z

V (--,

IX

EC,37

TI, 39, 40

(Az (IX~ z = x) v (--, Vw Az (Cf.~Z A X = ty y = y)) ~ x = iz IX

X = tZ

tZ

tY Y = Y

= ty Y = Y

IX ~

Z

EB,32

--, Vw Az (IX ~ Z

5~za

III Y Az (IX ~

EG,29

X

37

14

U

=

X

y --, Vw Az (IX ~ Z

DP,11

IP,29 DP,30

.36

.

12

19

= tY Y

MP,25,26

6

18

.~

25

I

Az (IX ~ Z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X

= rz IX

--, Vw Az (a. ~ z = w)

11

!

y))

= ez IX ~ (Az (IX ~ Z = X) V (--, Vw AX=

X

= x) v (--, Vw Az (IX ~ Z = w)

5

10

24

f

1 f x=

93

CUASIELIMINACION DE DESCRIPTORES

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

= X)

Vw Az (IX ~ Z

= w)

AX

= w)

= ty Y =

IDA, 28, .36

y))

IB,2,42

IX] II, 19

11.6. Cuasieliminacion de descriptores

EG,20 MP, 21, 17 R,13

6.0. En los lenguajes que posean al menos una constante individual podemos hallar formulas y terminos sin descriptores en cierto modo equi­ valentes a cualesquiera formulas y terminos dados, identificando para ello

94

SINTAXIS: UN, CALCULO DEDUCTIVO

~

una de las constantes individuales con una descripcion impropia. EI teore­ rna siguiente expresa esto con mas exactitud.

6.2. Demostracion de 6.1 por induccion semiotica simultanea:

v. x no este en t, e. d., x =1= C

+.,> X

=V

= ty Y = Y 1-2' X = V

+.,> X

=v

=



t l /\ .", /\ XII,

... , Xn (Xl

= tl

= tn. /\ PXI, ... , Xn) /\ ... /\ XII

=

t n 0 Px I, ... , x n )

VXI, ... , Xn ( a'. b) Para cada termino t de .2 y cada variable x que no este en t hay una formula sin descriptores /3'. Entonces, C = ty y = Y 1-2 -, /3 +.,> - , /3'.

Luego bay una formula sin descriptores a' de .2 con las mismas varia­ bles libres que -, /3 y tal que C = ty y = Y 1-2 ex +.,> a'; a saber, a' ­ -, /3'. Sea a ­ (f3 /\ Y). 7. --

LOGIC'\. DE PR.IMER ORDEN

96

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

POl' hipotesis inductiva, hay dos formulas sin descriptores {3' y or' de 2, con las mismas variables libres que {3 y T, respectivamcnte, y tales que

c = ey y = y 1-2 {3 -B {3'

C = ey y = y 1-2 T -B 1'. POl' tanto,

c = ty y = Y 1-2 {3 1\ T -B {3' 1\ 1'.

Luego hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas varia­ bles libres que ({3 1\ T) Y tal que C = ty y = Y 1-2 a -B a'; a saber, a' = ({3' 1\ 1'). De igual modo se prueba el teorema para

a-({3VT)

a = ({3 --'}> T) Y

a = ({3 -BT).

Sea a = Ax {3.

POl' hipotesis inductiva, hay una formula sin descriptores {3' de 2, con las mismas variables libres que {3 y tal que c = ey y = y 1-2 {3 -B h'. POl' tanto, 1-2 C = ty y = y --'}> ({3 -B {3') pOl' 5.1 1-2 C = ty y = y --'}> Ax ({3 -B {3') pOl' 5.5 C = ty y = Y 1-2 Ax ({3 -B {3')

Ax ({3 -B {3') 1-2 Ax {3 -B Ax {3' pOl' .5.7

C = ty y = Y 1-2 Ax {3 -B Ax {3' pOl' 2.9, b)

Luego hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas varia­ bles libres que Ax {3, y tal que C = ty y = Y 1-2 a -B a' ; a saber, !x' = Ax {3'. De igual modo se prueba el teorema para a~

VX{3.

Sea t= rz a.

x no este en t

POl' hipotesis inductiva, hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas variables lib res que a y tal que C = ey y = y 1- 2 a -B a'. Ahora bien, pOl' 5.8, 1-2

x = tZ a -B (Az (ex -B Z = x) V (-, Vw Az (a B Z POl' tanto,

= w) 1\ X =

1-2 X

= tZ a -B (Az (a -B Z = x) V (, Vw 1-2 X

c= tY Y = Y 1-2 X

Az (a -B z= w) 1\

tY Y

Luego hay una formula sin descriptores cp de 2, con las mismas varia­ bles libres que x = rz a, y tal que C

= ty y = Y ~-'2 X = t "''"). 9;

a saber,

'jJ =

!\z (a' B

Z

= x) V

(,

Vw Az (a' -B Z = w)

1\ X

= c)

q.e.d.

II.7. Consistencia y contradicelon 7.0. Consistencia y contradiccion son propiedades de formulas 0 de eon juntos de formulas. Supongamos que r es un conjunto de formulas de un forrnalisrno £7. Si una de las formulas de r es la negacion de otra de las formulas de r, diremos que r es contradictorio. Si ese es el caso, enton­ ces todas las formulas del formalismo 2 seran dedueibles a partir de r. Cuando se descubre una contradiccion en una teoria de la matematica o de alguna ciencia empirica, inmediatamente es rechazada la teoria, pues carece de todo valor, ya que cualquier cosa se sigue de ella, tanto una afirrnacion cualquiera como su negacion. Para definir la contradiccion de un conjunto de formulas eligiremos pre­ cisamente la propiedad de que cualquier formula sea deducible de el.

7.1. Definicion: Un conjunto I' de formulas de 2 es contradictorio en cC£ si y s610 si cada formula de 2 es deducible de r. Un conjunto r de formulas de 2 es consistente en 2 si y solo si r no ('5 contradictorio en 2. \I Es dccir, un coni unto r de formulas de /L' es consistente en 2 si v solo '\ si hay alguna foml~la de 2 que no es deducible de r. ­ 1 Una formula IX de /£ es contradictoria (resp., consistente) en 2 si y solo si la! es contradictorio (resp., consistente) en 2.

= y)) '1.2. Teorema:

c= tY y=y

c= tY Y - Y

97

CONSISTENCIA Y CONTRADICCION

X

= tY Y = y))

= tZ a -B (Az (a -B Z = x) V (, Vw Az (a -B Z = w) 1\ X = c))

= tZ ex -B (Az (!X' -B Z = x) V ( , Vw Az (a' -B Z = w) 1\ X = c))

r es consistence en 2 y A c r, entonces A es consistente en ;t:. SI r es contradictorio en 097 y r C li, entonces L\ es contradictorio

a) 51 b) en 2,

Prueba de a): Sea r consistente, Si L1 fuese contradictorio en oC£', enton­ ces toda formula de 2 seria deducible a partir de /). y, pOl' 2.9, a) a partir

98 de I', con 10 que tambien A.

r

el teorema 5.3, que a su vez esta restringido a sentencias. En la otra direc-. cion, no, pues Ia prueba no haoe uso para nada del hecho de que a sea una sentencia. Es deoir, para cualquier formula a: si 1-2 a, entonces ' 0: es contradictoria en 2. Y para cualquier formula , a: si 1-2' a, entonces a es contradictoria en 2.

seria contradictorio. Pero I' es consistente y, por tanto,

De igual modo se prueba b). 7.3. Teorema: r es contradictorio en 2 si y solo si hay una formula 0: de 2, tal que r 1-2 (0: / \ ' 0:). Prueba: r sea contradictorio en 2. Entonces, cualquier formula de 2 es deducible a partir de r. En especial, la formula de 2 (0: /\ ' il) es dedu­ cible de I': r 1-2 (il/\' 0:). Sea r 1-2 (0: / \ ' 0:). Entonces, cualquier formula 13 de 2 es deducible a partir de r. En efecto,

7.5. Dado un forma1ismo 2 al que posiblemente no pertenece Ja cons­ tante individual c, designemos mediante "2 U lei" al formalismo que re­

sulta de afiadir a 2 la constante e. Teorema: Si { e no esta en il

1 ? {3 2 I ? (Cl./\' 0:)

1-2u{ej 5~, il

{ pues

es una deduccion en 2

r

1-" (0: /\ ,

il)

7.6. Teorema: Si r U IVx ill es consistente en 2 y e no esta en entonces r U {Vx il} U {5:;'il} es consistente en .2 Ulel· Prueba: r U {Vx «} sea consistente en 2; c no este en r U {Vx il}. Pro­ baremos el teorema indirectamente. Supongamos que r U IVx ill U {5.~ o:} fuera contradictorio en 2 U {c}. Entonces,

de {3 a partir de I'.

T U IVx ill

7.4. Teorema: Sea a una sentencia de 2. (1) , a es contradictoria en 2 si y solo si 1-2 a. (2) aes contradictoria en 2 si y solo si 1-2' a.

Prueba de (1): Sea, a una sentencia contradictoria en 2. Entonoes,

, U

ill-2 0:

I, 0:11-2 il

1-2 0: 1-2 il

pOl'

5.3

2

+n I

,a

U lVx ill U 15~ 0:1 I- £ule} ,

r

U

r

U {VX «} I- .Pule] 5~ 5~, 0:; U no este en

{Vx il}

I-

.Pule}'

1-2' (11

pues 1-2 a premisa

es una deduccion en 2 de {3 a partir de a, en la eual la unica premisa in­ troducida ha sido , a. Con 10 que (1) queda probado. De igual modo se prueba (2). dEs neoesatia la restriccion a sentencias en la Iormulacion del teorema 7.4? En la direccion de izquierda a derecha, si, pues Ia prueba se basa en

5~ il

s- il

por 5.3.

II!

r U {Vx c} pues 5~ 5~ , il - 5 e• '

1-2U{cj 5~ (11

?{3

I 'i' a

r

I-£'u{('} 11/\'" /\

Sea 1-2 Cl.. Entonces , 0: es contradictoria, pues para cualquier formula {3 de 2, , 0: 1-2 {3. En efecto,

1 2

entonces: 1-2 il

Con ayuda de este ,teorema, que aqui no probamos, podemos pasar a demostrar el siguiente teorema 7.6.

EC 2 EC 2

0: ,0:

99

CONSISTENCIA Y CONTRADICCION

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

In /\ Vx 0: ~5~,5~,

/\ ... /\

/\ ... /\

por 5.2

'J.

In /\ Vx il ~ 5~, a..)

pues u no esta en I], ... , In, Vx 0:

In /\ Vx il ~ 5~, 0:)

\Vx!111-2,5~0:

r

U

r

U IVx 0:1 he({3/\

por 7.5 pues 5~,o:-,5~a

Sea {3 una formula de 2 en la que no este u. Entonces, ,13)· En efeeto, 1 ? (13/\ ,{3) 2 V X il Premisa 3 5~Cl. EP,2 4 ? ,5,~!1 Puesto que

r

l

0: = , 5~, il

U !Vxilll-2"5.~a..

100

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

CONSISTENCIA Y MAXIMA EJEMPLIFICACION

Luego, por 7.3, r u 1V x 17,1 es contradictorio en 2, contra Ja hipotesis. Luego u lVx 0:1 u 15~0'.1 es consistente en 2 U leI.

r

7.7. Teorema: Si el conjunto r de formulas de 2 es consistente en 2 y c no pertenece a 2, entonces rUle ty Y Yl es consistente en en 2u leI. Prueba: Sea r consistente en 2 y c '12. Prueba indireeta. Supongamos que I' U [c ey y Yl es contradictorio en 2 U [c]. 19'

=

=

=

=

Yl I-zu{cl --1 c = :y Y = Y r i-zu{cl -, c ty Y Y Por 5.2, hay Y1, ..., y.. Er, tales que

rUle = ty Y=

=

I-Z\*l ('h /\ ... Ii I" ~, c u no este en 11, ... , I'"

=

por 5.3

= ey y = y)

pues 5~(11/\ ... /\ 1.. ~' u=ey y = y) = (11/\ ... /\ 1,. -30S~, 1-,2' (11/\

/\ 1'n ~ -. U = ty y = y)

U

= ey y=y)

por 7.5

1-2' (11/\ /\ 'Tn ~ Au, U = ty Y = y) 1-2 Au, u = ey y = y

por 5.5

r

1-.2"

Au, u = ey y = y. En efecto, 1

2 3 4 5

r 1-2' I Au I r 1-2' Au I

U U

r

I I

-, Au I

I

I

= ty y = Y I Au I u= ty y = y. Au , u = ty y = Y ty Y = Y. ty Y = Y ty Y = Y = ey Y = Y

= ty y = y = ey y = y A

DN,2 EG,3 I por 2.9, e)

Au -. u

8.2. Teorema: Si r es un conjunto maximamente consistente de senten­ cias de 2, entonces para cualesquiera sentencias 0: y /3 de 2:

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

= ty y = y

Si r I- 0:, entonces 0: E r Si I- r:t., entonces 0: Er ,r:t. Er si y s6lo si 0: ti r (0: /\ /3) Er syss 0: Er y /3 Er (0: v /3) Er syss o:E r 0 /3 Er «(]; 4 /3) E r syss si 0: Er, entonces /3 Er (a: ~ /3) Er syss: 0: Er syss /3 Er

Prucha de 8.2: Sea r un conjunto maximamente consistente de senten­ cias de 2. Prueba de (1): Sea r I- 0:. Supongamos que 0: f1. I',

rU

Ial es contradictorio r U 10:11-, 0: fl-'O: fl-(O:/\'O:)

pues r es maximarnente consistente por 5.3

Entonces, I' seria contradictorio, por 7.3, contra la hipotesis, Luego 0: E r.

U

I

r es ejemplificado si y solo si para cualquier sentencia Vx 0: de 2: si 5~0: Er.

Vx a: E I', entonces hay un designador t de 2, tal que

(7)

I-zulcl (11/\ ... /\ Yn ~ 5~, u = :1] Y = Y pues 5~ -1 U = ty Y = Y """ -. c = ty y = Y I-zu{cl S~ (11/\ ... /\ In -30 - , U = ty y = y)

101

por Ie

Luego r seria contradictorio en 2, por 7.3, contra la hip6tesis. Por con­ siguiente, rUle = ty Y = Yl es consistente en 2 U leI. q.e.d.

Prueba de (2): Si I- 0:, entonces r I- 0:, por 2.9, e). Luego 0: Er, por (1).

Prucha de (3): Sea 10: Er. Si 0: E r, r .seria contradictorio, contra Ia hipotesis. Luego 0: f1. r.

Sea 0: tir.

Si l a f1. I', entonces r U I" 0:1 es contradictorio, pues r es maximarnen­

te consistente r U 1"0:11- 0: por 5.3 rI-O: por (1) O:Er en contradiccion con 0: ti r. Luego

II.8. Consistencla maxima y ejempliftcaelen

8.1. Definicion: Sea r un conjunto de sentencias de 2. r es maximamente consistente si y solo si r es consistente y para cual­ quier sentencia a: de 2: si ex ti r, entonces r U 10:1 es contradictorio,

I

O:E r.

Prueba de (4): Sea (0: /\ /3) E r.

(0:/\/3)1-0: y (0:/\/3)1-/3 rl-r:t.yrl-/3 aErY/3Er

pues (r:t. /\ /3) E r por (1)

102

Sea

IX.

E r y f3 EI' IX.,

f3

(3) f I-- ((0, (3) ((XI\ (3) E r I-- ((0,

pues a, f3 Ef par (1)

De igual modo se prueban (.5), (6) Y (7). q.e.d. 8.3. Teorema: Si f es un conjunto maximarnente consistente y ejempli­ ficado de sentencias de 2 y a es una formula de 2 en la cual a 10 sumo la variable x esta libre, entonces:

(1) Vx IX. E I' syss hay un designador t de 2, tal que 5~a Ef (2) Ax a Ef syss para cada designador t de 2: 5~ a Ef Prueba de 8.3: f sea un conjunto maximamente consistente y ejempli­ ficado de sentencias de 2. Prueba de (1): Sea Vx a Ef. Hay un designador t de 2, tal que 51 a E I', pues f es un conjunto ejemplificado. Sea 5~ a E I", para algun designador t de 2. a I-- V x IX. par IP f I-- V X IX. pues 5; IX. EI' V x IX. E I' par 8.2, (1), pues f es maximamente consistente

5;

I !

ficado de sentencias sin descriptores de 2 U Cf5, donde Cf5 es una clase numerable y disjunta can 2 de constantes individuales, tal que r C r-. Prueba de 8.4: F sea un canjunto consistente de sentencias sin descrip­ tares de 2. Cf5 sea un conjunto infinito numerable de constantes individuales, tal que 2 n Cf5 =.p. Las constantes de Cf5 esten numeradas. Partimos de una enumeracion ao, aI, a2, a3, ... , de tadas las sentencias sin descriptores del lenguaje 2 U Cf5. (Una tal enumeracion existe, pues el conjunto de las sentencias sin descriptores, que es un subconjunto del con­ junto de las formulas, de un lenguaje es numerable.) Par induccion aritmetica definimos en funcion de I' una sucesion f j de conjuntos de sentencias de la siguiente manera: fo=f

f; f

j +1

=

5 IVt a Ef Sea 5; a Ef

para cada designador t "

" " " " " pata cada designador t

de 2, par EG

" pues Ax a Ef " par 8.2, (1) de 2.

No hay ningun designador t de 2, tal que 5~ a ~ f ,5~a E f 5~, a E

Vx, a ~ f ,Vx,aEf , V x , a I-- Ax a f I-- Ax a AxaEf

par 8.2 (3)

f

par 8.3 (1) par 8.2. (3) par NP pues ,V x , a Ef par 8.2 (1)

q.e.d, 8.4. Teorema: Para cada conjunto consistente f de sentencias de 2 sin descriptores hay un conjunto f" maxirnamente consistente y ejempli-

rj rj

si

r,

U

r,

i U lajl U !5 "E a'jl'

jajl

si

,

. SI

U

!ajl

es contradictorio

U

Iajl

es consistente una particularizacion

{ aj no es r j U Iajl

j

es consistente a. j = Vx a'.J c es la constante de minima muicc de Cf5, que no esta en I', U la)l.

A la union de todos los conjuntos que forman esta sucesion le llamare­ mas I'". 00

Prueba de (2): Sea Ax a E f. Ax a I-- 5~ a I' I-- 5~ a

103

CONSISTENCIA Y MAXIMA EJEMPLIFICACION

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

a)

r

r- = U r, r-. j=O

C

En efecto,

r =f o y f o C

00

U

r, = r-.

Luego

r C r-.

)=0

b) Para cada ;, I', es consistente. Prueba par induccion aritmetica sabre [. foes par hipotesis consistente, ya que f 0 =T.

Supongamos que I', es consistente. Entonces, tambien 10 es f)+l' En efecto, distingamos los tres casas de la definicion de f)+]. En el primer caso, f j+l = f j. Luego f j +1 es consistente, pues f j 10 era. En el segundo caso, fj+l = I', U la)l, y I', U la)l es par construccion consistente. Luego f j +1 es consistente. En el tercer caso, f j+ 1 = r, U IVx a~l U 15~a:l, r j U IV x a~ I es par construccion consistente y c no esta en U IV x a~ I. Luego fj+l es consistente, par 7.6. Asi, pues, para cada i. f j es consistente. c) I'" es consistente. Prueba indirecta. Si f" fuese contradictorio, entonces habria pol' 7.3 una

r.

104

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

sentencia 1% de .2 U Yif, tal que I'''' I!, ... , In E I"\ tales que I!, ... , In I'lc

I- (GC 1\ -,

I- (1% 1\ -, IX).

Por 2.8, habria n sentencias

a)

sea el I', de minimo subindice, tal que I!, ..., In

E

I'i'

C, I- (IX 1\ -, a) I', seria contradictorio, por 7.3, contra 10 que homos probado en b). Luego I'" es consistente. d) Sea Ol una sentencia de .2 U Yif. Si

pues f

j

U

\aj!

C

T''' U 10:jl

=0

c) I''' es maximamente consistente. Se sigue de c) y d), por definicion.

f) I'''' es ejemplificado. Sea ctj - Vx ex una sentencia de .2 U Yif. Sea Vx ex E I''''.

r, U lVx al es consistente, por 7.2, a), pues I'; U !Vx1%1 C I''' y I'''' es consistente. V x IX E I' j+], por construceion de I' j+l, en el tercer caso. Para algun c, 5~ ex E r i + ], por construccion de f j+1, en el tercer caso de la definicion. Luego hay un designador t de.2 U Yif (a saber, t = c), tal que S~a E I';+l, y, par tanto, tal que 5~IX E I''', pues I';+l C r-. Asi, pues, I''' es ejcmplificado. En I'" no hay descriptores, pues no los habia en I' 0 ni se han introducido en la sucesion de los Tj, Con esto y con a), e) y f) queda probado que I'" es un conjunto maximamente consistente y ejemplificado de sentencias sin descriptores de .2 U Yif, donde Yif es una clase numerable y disjunta con .2 de constantes individuales, tal que I' C I'"

PARTE TERCERA ( .

SEMANTICA

I11.1. Interpretaciones

(

1.0. El alfabeto de los formalismos esta constituido pOl' un conjunto de signos. Colocando unos signos detras de otros formamos filas de signos. Y de entre las filas de signos elegimos algunas -los terminos y las formu­ las- y les prestamos especial atencion. Con ayuda de las formulas forma­ mas lineas, A determinadas sucesiones de lineas les llamamos semideduccio­ nes, y a determinadas semideducciones, deducciones. As! establecemos la re­ lacion de deducibilidad entre formulas. Hasta aqui todo ha sido, pues, como un juego -mas 0 menos complicado- con figuras graficas. Ahora, gracias a la introduccion de las interpretaciones, nuestros for­ malismos se convertiran en lenguajes formales, nuestro juego con figuras adquirira una dimension signiflcativa 0, al menos, refereneiaL Interpretar un formalismo consiste principalmente en indicar un universo o conjunto no vacio de individuos, al que se referiran nuestras variables, y en asignar a cada constante individual del formalismo un individuo del universo, a cada functor n-adico del formalismo una Funcion n-adica en el universo, y a cada relator n-adico del formalismo una relacion n-adica en el universo. La interpretacion de un formalismo consta, pues, fundamen­ talrnente, de dos partes: la indicacion de un universo al que se refieran las variables y la asignacion de significados 0 referencias adecuadas a los sil:,111oS peculiares del formalismo. Ademas, habra que elegir en cada cuso un individuo cualquiera del universo como "cabeza de turco" al que atribuir todas las descripciones impropias que propiamente no designarian nada, a fin de que cada designa­ dol' del fonnalismo designe efectivamente un individuo del universo. Con estos tres elementos (determinacion de un universo, asignacion de referencias a los signos peculiares y eleccion arbitraria de un individuo

r

108

como referencia comun de todas las descripciones impropias) queda defini­ da una interpretacion. Por conveniencias tecnicas afiadiremos a la inter­ pretacion una asignacion de un individuo del universo a cada variable. El concepto de interpretacion es el concepto basico de la semantica Iogica.

1.1. Definicion:

07 es una interpretacion del formalismo donde

oa

se si y solo si 07 = (oa,

fit, a>,

oa

1.0 es una clase no vacia, es decir, # 4>. 2.° fie es una aplicacion 0 asignacion tal, que a cada constante indivi­ dual de ::t' le asigna un individuo de 91, a cada functor n-adico de 2 le asigna una funcion n-adica en '11, a cada relator n-adico de 2 le asigna una relacion n-adica en y a cada variable le asigna un individuo de 3.° a es un individuo de a E '11.

oa.

oa.

oa,

oa

1.2. De ahora en adelante, para referirnos al individuo de que la aplicacion ?If asigna a una constante a de 2 0 a una variable x, en vez de escribir "?If(a)" 0 "?If(x)" escribiremos "J(a)" e "07 (x)". 19ualmente, en vez de "?If(ft 0 "?If(P)", escribiremos "J(f)" e "J(P)". No hay confusion posible. 1.3. si. 07 es una interpretacion del formalismo 2, mediante "J~" (donde x E designaremos la interpretacion que coincide con 07 absoluta­ mente en todo, can la posible excepcion del individuo que asigna a la va­ riable x. J~ asigna a la variable x el individuo x en cualquier caso, y cual­ quiera que sea la asignacion que 07 le atribuya. Es decir, para toda variable z:

oa)

J~(z)

=f I.

Con "JXY" designaremos a (J'x)y. my II ,1]

Con "J~;~" designaremos a ((J~)~)~. etc.

1.4. De 1.3 se desprende que:

(1) Si x ~ z, entonces J~,~ = J~~

(2) Para todo x:

IH.2. Denotacion y satisfaccion 2.1. Dada una interpretacion 07 de 2, cada termino de 2 denota en 07 un elemento del universo de J. Para indicar que t denota x en 07, escri­ biremos "J(t) = x".

oa

Dada una interpretacion 07 de 2, cad a formula de 2 es satisfecha 0 no satisfecha por J. Para indicar que 07 satisface 0:, escribiremos, abrevia­ damente, "_7 sat a". 2.2. Definicion por induccion semiotica simultanea de la denotacion de un termino de 2 en 07 y de la satisfaccion de una formula de 2 por 07, donde .7 es una interpretacion cualquiera de 2. Sea 07 = ?If, a).

(oa,

= .7(x) 07(a) = 07(a) J(x)

JWtt, ... , t n) = J(fn) J(t 1 ) , ••• , J(t n) 07 sat pntl, ... , t« syss (J(t 1 ) , ... , J(t,,) E 07 (P") (en especial, 07 sat t 1 = t 2 syss J(t 1 ) J(t 2 ) ) 07 sat --, ex syss no 07 sat 0: 07 sat (ex /\ (3) syss 07 sat ex y 07 sat (3 07 sat (ex v (3) syss 07 sat 0: 0 07 sat. (3 07 sat (IX -7 (3) syss (si 07 sat 0:, entonces 07 sat (3) 07 sat (IX ~ (3) syss (07 sat 0: syss 07 sat (3) 07 sat Ax IX syss para todo x E oa: J~ sat 0: 07 sat Vx 0: syss para alglin x E oa:J~ sat 0: el unico x Eq1, tal que J~ sat 0;, si hay. un tal x 07 (tX ex) = y solo uno

=

{

J(z), si z =1= x x , si z -x

L

J:~,j~

= Jz

109

DENOTACION Y SATISFACCION

SEMANTICA

, si no

a

2.3. La definicion de satisfaccion es al mismo tiempo una definicion precisa del concepto semantico de verdad en los lenguajes formales. Una sentencia 0: es verdadera en una interpretacion 07 si y solo si 07 satisface a.

2A. Teorema: Si x no esta libre en t, entonces J~(t) = J(t) Si x no esta libre en a: JX:v sat

0;

svss J ~'

sat ex

llO

De igual modo: J~ sat Vz 0: syss J

2.5. Demostracion de 2.4 par induccion semiotica simultanea. En cada paso suponemos que x no esta libre en el termino a formula considerado. J~~) J~(a)

= J(z) = J(a)

[pues z ¢ x, ya que x no esta libre en z]

J~

sat pnt1 ,

••• ,

a) Sea z ¢ x y haya un unico z con J~( rz ~

syss J~(tl) = J~(t2) syss J (t1 ) = J (t2 ) syss J sat t 1 = t 2 )

[sup. induct.]

syss no J~ sat 0: syss no J sat 0: syss J sat. 0:

[sup. induct.]

JXsat.o: a!

a!

syss J sat 0: y J syss J sat (a 1\ (3)

JXa! sat (0: v (3)

ex

syss para todo syss syss syss J

Z E

JX(~z

'"

JZz sat 0:

a!

sat

(:1

[sup. induct.]

J:: sat 0:

a) = el unico z, tal que J~: sat 0:

=

" , tal que J~

[pOI' 1.4.(2)]

sat 0:

0:)

=

J~:

J (tZ 0:)

sat 0:.

a

[pOI' 1.4.(1)] [suo induct.]

= a = J:(tZ 0:)

d) Sea z = x y no haya un unico z tal que J~: sat 0:. J~(~z 0:) = a No hay un {mica z, tal que

J: sat 0:

, tal que J~ sat 0:

J(~z

0:)

= a = JX(tZ 0:)

[pOI' 1.4.(2)]

a!

q.e.d.

III.3. Interpretacion y sustitucion [pOI' 1.4.(1)] [sup. induct.]

sat I\z 0:

b) sea z ­ x J~ sat I\z 0: syss para todo Z E '1L: J~: sat 0: JZZ sat 0: syss syss J sat I\z 0:

[por 1.4.(1)] [sup. induct.]

sat 0: No hay un unico z, tal que JXZ ;.vz Z X , tal que •7 zx sat 0: tal que JZe sat 0:

vlL: J:: sat 0:

JZX sat 0: Za!

,tal que J~: sat 0: tal que J~ sat 0:

c) Sea z ¢ x y no haya un unico z tal que

Para mostrar que el teorema vale/para 'las generalizaciones I\z 0:, distin­ ( guircmos dos casos posibles: que z ¢ ~ Y que z '= X. I" a) sea z ¢ x sat I\z

~

"

=J(tZ 0:)

syss J sat (0: v(3) syss J sat (0: ~ (3) syss J sat (0: ~ (3)

JX:r sat (0: ~ (3)

iinico z, tal que JXZ sat 0:

b) Sea z = x y haya un unico z con J:(~z

De igual modo:

J: sat (0: ~ (3)

J~~ sat 0:.

J (tZ 0:)

syss JX sat 0: y JX sat 13

JXa! sat (0: 1\ (3)

= el

0:)

=

t.; syss (J:(t 1 ) , • ", J~(tn) E J~(pn) syss (J(t 1 ) , ••• , J(t n) E J(pn) [sup. induct.] syss J sat pnt1 , ... , t;

(en especial, J~ sat t 1 = t 2

J~

sat Vz 0:

Finalmente veamos que el teorema tambien vale para las descripciones,

= J~(fn) J~(tl)' , J~(tn) = J(fn) J(t 1), ,J(tn) [supuesto inductivo] = J(fnt 1 , "', t n)

J:(fntl, ... , t n)

111

INTERPRETACION Y SUSTITUCION

SEMANTICA

[par 1.4.(2)]

i

I

I

3.1. Teorema: Para todo terrnino to: J~(t)(t()) = J(5~to) Para toda formula 0:: J ~(t) sat 0: syss J sat

5~0:

3.2. Demostracion de 3.1 pOl' induccion aritmetica sobre la longitud de las expresiones. 8. -

LOGICA DE PRIMER ORDEN

112

113

SEMANTICA

INTERPRETACH)N Y SUSTITUCION

El teorema vale para las expresiones de longitud 1:

Sea to - z. Distinguiremos dos casos posibles: que z ¥= x y que z = x.

a) Sea z =1= X.

Para mostrar que el teorema vale para las generalizaciones I\z IX, dis­ tinguiremos los tres casos posibles: 1.0: que x no este libre en I\z rx; 2.°: que x si este libre en I\z rx, pero z no este en t; 3.°: que x si este libre en I\z rx y z este en t. En cada uno de los tres casos probamos 10 que afirrna el teorema: o7:;,(t) sat I\ZIX syss 07 sat S~AzIX

o7J(t)(z) ~

= o7(z) = o7(st z)

x

b) Sea z =

X.

o7J(t)(z) = o7(t) = o7(Stx z)

Sea to""" a.

o7J(t)(a) = o7(a) =.7 '(Stx a)

x ~

1.

o7;(t) sat I\z IX syss para todo z e UU: 07:;'(0: sat IX

=o7(fn) o7(S~t1)' ... , o7(S~t,,) =.7. (rS t t 1 ... St tn) =o7(S;fnt1, ... , t,,)

.7~(t)(t,,»

= o7~(t)(t2) syss 07 (S~ t1) = 07(S~ t 2)

syss 07 sat

o7J(t) sat ',IX IN

S~(t1

J

.T:(t) sat (IX /\ 13)

Del mismo modo o7;(t) sat o7:;,(t) sat o7:;,(t) sat

Ii I

[sup. induct. ]

j

i'

'i

[sup. induct.]

(

syss 07 sat

Z

IX

est a en t; v no este en I\z IX ni en t;

o7;(t) sat I\ZIX syss para. todo zeOLI: syss

r:': sat IX

o7J(tJzz. .'1J

,:

VZ

sat IX [por 2.4, ya que'v no esta en IX]

syss

o7J(t)Z o7J(t)z(v) e v sat IX x v z

syss

[pues o7~(t)~(v) = z] o7J(t)Z 'sat Svz IX [sup. induct.] :c v o7zJ(t) sat s- IX vx z

syss 07~ (t) sat. IX y 07~(t) sat (3

se prueba:

(av(3) syss 07 satS;(aV(3)

(a -+ (3) syss 07 sat S~(a -+ (3)

(rxHf3) syss 07 satS~(IX-H>f3)

S~ I\z

II

'"

[sup. induct I

[pues o7~ (t) = o7(t), por 2.4, ya que z no esta en t] sat S~ IX [sup. induct.]

syss 07 sat I\z S~ IX

3:' caso: x esta libre en I\z IX; :1

ex

syss 07 sat stx IX y 07 sat stx f3 syss 07 sat (S~ IX /\ 5~) syss 07 sat 5~ (IX /\ (3)

o7~

syss

= t 2»

syss no 07 sat S~ IX syss 07 sat " stx 0:

st "

eJ:

induct.]

syss no 07~ (t) sat IX

svss 07 sat

o7z.o7:(t) sat IX

E

syss 07,; (t) (t1 )

[por 1.4.1, ya que

sat IX

x ¥= z]

syss

o7(P") syss , donde fl{" es la aplicacion ~e de .7, restringida a los signos de 21' Por tanto, .7' interpreta todos los signos peculiares de 2 1 (que tambien 10 son de 2 2) de igual modo que .7. Puesto que .7 e .7" s610 se difereneian respecto a signos peculiares que no estan en 21, .7 e .7' interpretan del mismo modo las formulas de 2 1 , Por tanto, para toda 0; E r 1 : .7' sat a. Es decir, .7' sat 1'1' Ahora bien, .7' es por definicion una interpretacion de 2 1 sabre OU. Luego I', es satisfacible en £\ sobre el mismo universo OU sobre el que 1'2 era satisfacible en 22' q.e.d.

es insatisfacible.

a syss para toda .7: si .7 sat I', ent.,.7 sat a syss " " : si .7 no sat a, .7 no sat r syss " " : si .7 sat I a, .7 no sat r syss no hay ninguna .7 que satisfaga I a y I', syss r U I' IXl es insatisfacible.

1n.5. Independencia 5.1. Si una sentencia a de 2 no es una consecuencia de un conjunto r de sentencias de 2, decimos que a es independiente de I', Por tanto, dada una sentencia cualquiera a y un conjunto cualquiera r de sentencias, siem­ pre ocurre que a es una consecuencia de roque a es independiente de I'.

118

119

SEMANTICA

EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA

5.2. Definicion: Cl es independiente de r si y solo si Cl no es una con­ secuencia de r. Si ee fuese una consecuencia de I', todas las interpretaciones que satis­ faciesen r satisfarian tambien a. Al no ser Cl una consecuencia de I', no sera el caso que todas las interpretaciones que satisfacen r satisfagan tam­ bien a, es decir, habra alguna interpretacion que satisface T, pero no a. Por tanto, otra manera de formular la definicion seria: a es independiente de f si y s610 si hay una interpretacion 07 de 2, tal que 07 satisface r, rero 07 no satisface oc. Para probar que una sentencia a es independiente de un conjunto r de sentcncias hay que probar que a no es una consecuencia de r. Para ello hay que ofrecer una interpretacion 07, tal que 07 satisface I', pero no a. No hace falta especificar la interpretacion 07 en todos sus detalles. Basta COIl indicar cual es el universo Cfi de la interpretacion elegida 07 y como interpreta 07 los signos peculiares de 5£ que aparecen en r y a. (Si aparecen descriptores en r 0 en ee, hay que indicar tambien cual es eJ individuo a de °d al que habran de referirse las descripciones impropias.)

En otras palabras: r es independiente si y solo si cada sentencia de r es independiente de las demas: si y solo si ninguna sentencia de r es una consecuencia de las demas, Para probar que un conjunto finito r lal, ..., anl de n sentencias de 2 es indcpcndicnte hay que mostrar que ninguno de sus elementos es una consecuencia de los demas, Para ello hay que ofrecer n interpretaciones 071, ... ,07"., tales que para cada j (1 < j < n), .r, satisface r ---)oc:d, pero o7j no satisface aj. Bastara con indicar el universo, la interpretacion de los signos peculiares de !e y la interpretacion de las descripciones im­ propias (caso de que aparezcan descriptores en I', si no, no hace falta) par~ cada 07j (1 < i < n).

5.3. En la conversacion ordinaria, en e1 comercio, en la politica, en los tribunales, etc. se usa con frecuencia de la argumentacion. En una argu­ mentacion sacamos una conclusion a partir de una sene de datos, conside­ raciones 0 premisas. Una argumentacion es correcta, valida 0 concluyente si y solo si su conclusion es una consecuencia de sus premisas; incorrecta 0 invalida, si su conclusion es independiente de sus premisas. Para controlar una argumentacion enunciada en el lenguaje ordinario hemos de empczar por formalizarla, es decir, por simbolizar cada una de sus premisas y su conclusion' en un formalismo logico. Probar la incorreccion o invalidez de la argumentacion consistira entonces en probar la indepen­ dencia de Ia formula-conclusion respecto al conjunto de las formulas-pre­ misas, 5.4. A veces hablamos no de la independencia de una formula 0 sen­ tencia respecto a un conjunto de sentencias, sino de la independencia de un conjunto de sentencias entre S1. Asi se dice que determinados sistemas de axiomas son independientes, que Hilbert probo la independencia de su axiomatizacion de la geometria euclidea, etc. Al decir que un conjunto de sentencias es independiente (en este segundo sentido) queremos decir que cada sentencia de este conjunto es independiente (en e1 primer sentido) de las demas,

a

5.5. Definicion: I' es independiente si y solo si para cadasentencia es independiente de r - I Cll.

0: E

I':

=

nut

Fj~rcicios

de prueha de independencia

Asi como para aprender a deducir no basta con conocerIa definicion de la .deduccion, sino que es necesario ejercitarse en el arte de hacer deduc­ ciones, asi tambien no basta con haber leido la definicion de Ia indepen­ dencia para saber probar la independencia de una sentencia respecto a un conjunto de sentencias 0 la independencia de las sentencias de un conjunto entre si, Si sospechamos que una determinada argumentacion 0 una presunta prueba es valida, la formalizamos y tratamos de obtener una deduccion de su conclusion a partir de sus premisas. Si, por el contrario, sospeehamos que es incorrecta 0 invalida, hemos de tratar de obtener una prueba de independencia de su conclusion respecto a sus premisas. A continuacion ofrecemos a1 lector unos cuantos ejercicios de prueba de independencia. Es conveniente que el lector trate de haeerlos por su cuenta y solo mire las pruebas de independencia correspondientes aqui presenta­ das despues de haber hecho 61 mismo los ejercicios. £1 hecho de que 1a prueba de independencia que se le ocurra al lector sea distinta de Ia aqui presentada no significa en modo a1guno que est6 mal. Siempre que Cl es independiente de r hay un numero infinite de pruebas distintas de la inde­ pendencia de a respecto a r.

Ejercicio numero 1. a1 == a2

Ax (Sx ---7 Mx)

== --, Sa

a3 == --, Ma

Pruebese:

CIa

es independiente de

IClI, cc21·

120

. SEMANTICA

EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA

NOTA: Este ejercicio puede interpretarse como una prueba de que 1a siguiente argumentacion es incorrecta: "Cualquiera que pueda solucionar este problema es un maternatico. Antonio no puede solucionar este proble­ ma. POl' consiguiente, Antonio no es un matematico".

Ejercicio numero 3. al ~= Axy (Vu (Rxu /\Ryu)

a2 ~

Prueba de. independencia correspondiente a1 ejercicio numero 1. Sea ]

-?

Rxy)

Ax Vy Rxy

aa = Axyz (Rxy /\ Ryz

una interpretacion con

-?

Rxz)

, { (1): a2 es independiente de Ia1, asl

Pruebese: (CJ) • d di d e Ia2, aa! ~ : al es ill epen iente

=

oIL lGl ](a) = 0 ](S) q:. ](M) = !Ol

=

NOTA: aa no es independiente de la1,