Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman-Análisis básico de variable compleja-Trillas (1996).pdf

. ANÁLISIS BÁSICO DE

VARIABL PL JA C JERDOLD E. MARSDEN MICHAEL J. HOFFMAN

EDITORIAL

lRILLAS ·

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Mtxtco, Argentina, Eapalla Colombia, Puerto Aleo, Venezuela

e

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lndice de contenido Prólogo Cap. l. Funciones analíticas

5 11

1.1. Introducción a los números complejos, 11. 1.2. Propiedades de los números complejos, 22. 1.3. Algunas funciones elementales, 36. 1.4. Funciones continuas, 53. 1.5. Funciones analíticas, 73. 1.6. Diferenciación de las funciones elementales, 96. Ejercicios de repaso del capítulo 1, 105

Cap. 2. Teorema de Cauchy

109

2.1. Integrales de contorno, 109. Suplemento de la sección 2.1: sumas de Riemann, 124.

2.2. El teorema de Cauchy: versión intuitiva, 126. 2.3. El teorema de Cauchy: versión precisa, 139. Suplemento A de la sección 2.3, 157. Suplemento B de la sección 2.3, 161.

2.4. Fórmula integral de Cauchy, 165. 2.5. El teorema del módulo máximo y funciones armónicas, 185. Ejercicios de repaso del capítulo 2, 199.

Cap. 3. Representación en series de funciones analíticas

203

3.1. Series convergentes de funciones analíticas, 204. 3.2. Series de potencias y el teorema de Taylor, 226. 3.3. Series de La:urent y clasificación de singularidades, 243. Ejercicios de repaso del capítulo 3, 257.

9

10 Cap. 4. Cálculo de residuos

261

4.1. Cálculo de residuos, 261. 4.2. El teorema del residuo, 274. Suplemento a la sección 4.2: residuos y comportamiento en infinito, 280. 4.3. Evaluación de integrales definidas, 288. 4.4. Evaluación de series infinitas y expansiones en fracciones parciales, 321. Ejercicios de repaso del capítulo 4, 330.

Cap. 5. Mapeos conformes

335

5.1. Teoóa básica de los mapeos conformes, 335. 5.2. Fraccionales lineales y transformaciones de Schwarz-Christoffel, 342. 5.3. Aplicación de los mapeos conformes a la ecuación de Laplace, la conducción del calor, electrostática e hidrodinámica, 362. Ejercicios de repaso del capítulo 5, 378.

Cap. 6. Desarrollo adicional de la teoría

383

6.1. Continuación analítica y superficies de Riemann elementales, 383. 6.2. El teorema de Rouché y el principio del argumento, 402. 6.3. Propiedades de las funciones analíticas como mapeo, 417. Suplemento A del capítulo 6: familias normales y el teorema del mapeo de Riemann, 423. Suplemento B del capítulo 6: la dinámica de los mapeos analíticos complejos, 429. Ejercicios de repaso del capítulo 6, 432.

Cap. 7. Métodos asintóticos

436

7 .l. Productos infinitos y la función gamma, 436. 7.2. Expansiones asintóticas y el método del descenso más pronunciado, 456. Suplemento a la sección 7.2: variación acotada y la demostración de la fórmula de la fase estacionaria, 475. 7.3. La fórmula de Stirling y las funciones de Bessel, 483. Ejercicios de repaso del capítulo 7, 491.

Cap. 8. La transformada de Laplace y aplicaciones

495

8.1. Propiedades básicas de las transformadas de Laplace, 495. 8.2. L a fórmula de inversión compleja, 509. 8.3. Aplicación de las transformadas de Laplace a las ecuaciones �iferenciales ordinarias, 514. Suplemento de la sección 8.3: la transformada de Fourier y la ecuación de onda, 516. Ejercicios de repaso del capítulo 8, 530.

Respuestas a los ejercicios impares

533

Índice analítico

567

1 Funciones analíticas En este capítulo se introducen las ideas básicas acerca de los números comple­ jos y de las funciones analíticas. La organización del texto es análoga a la de un li­ bro de cálculo elemental que empieza con la recta real R y una funciónf(x) de una variable real

x

y entonces estudia la diferenciación de f De manera similar, en el

análisis complejo empezamos con los números complejos z y el estudio de funcio­ nes diferenciablesf(z) (éstas son llamadas funciones analíticas). La analogía es, sin embargo, engañosa, porque el análisis complejo es una teoría mucho más rica; pue­ de decirse mucho más acerca de una función analítica que acerca de una función di­ ferenciable de variable real. Las propiedades de las funciones analíticas se desarro­ llarán por completo en capítulos subsecuentes. Además de familiarizarse con la teoría, el estudiante debe alcanzar alguna faci­ lidad con sen

z

-

las funciones estándar (o elementales) -tales como polinomios, e'-, log z,

que son usadas en el cálculo. Estas funciones se estudian en la sección 1.3 y

aparecen frecuentemente a lo largo del texto.

1.1.

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Bosquejo histórico La siguiente discusión presupone cierta familiaridad con las principales pro­ piedades de los números reales.

El sistema de los números reales fue el resultado

de la búsqueda de un sistema (un conjunto abstracto con ciertas reglas) que incluyera a los racionales, pero que también proporcionara soluciones a ecuaciones polinomiales tales como >.2

-

2

=

O.

Históricamente, una consideración similar dio origen a la extensión de los números real es . A principios del siglo

XVI,

ecuaciones cuadráticas (y cúbicas) tales como x2

Geronimo Cardano consideró +

2x

+

2

=

O que no son satisfe,

11

12

CAP.

1.

FUNCIONES ANALÍTICAS

chas por ningún número real x. La fórmula cuadrática

2

ax2

(-b :±: { b2- 4ac)/2a da ex­ + bx + e = O. Pero

presiones "formales" para las dos soluciones de la ecuación

esta fórmula puede requerir raíces cuadradas de números negativos, por ejemplo,

-1 :±: f-1 para

la ecuación x + 2x +

2

=

O.

Cardano notó que si estos "números

f-=f f�f -1, estos, resolvían en efecto las ecuaciones. A la importante expresión ¡....::¡ se le da ahora la ampliamente aceptada designación de i H . Una convención alternativa es segui­ da por muchos ingenieros eléctricos, quienes prefieren el símbolo j \1-1, puesto que ellos desean reservar el símbolo i para la corriente eléctrica. Sin embargo, en el complejos" son tratados como números ordinarios con la regla

=

•

=

=

pasado se sentía que ningún significado podría realmente ser asignado a tales expresiones, que fueron entonces llamadas "imaginarias". Gradualmente, en espe­ cial como resultado del trabajo de Leonhard Euler en el siglo

e

e

xvm,

estas cantidades

imaginarias llegaron a desempeñar un papel importante. Por ejemplo, la fórmula de Euler ei9

=

cos

+ i sen

reveló la existencia de una profunda relación entre

los números complejos y las funciones trigonométricas. Se encontró que la regla

ei O, log y puede definirse como la función inver­ sa de ex; esto es, e10g Y= y. Otro enfoque que es usado frecuentemente en libros de cálculo es empezar por definir logy = para

J

y l

1 -dt t

y> O y entonces definir ex como la función inversa de log y. (Nota: Muchos li­

bros de cálculo escriben In y para el logaritmo con base en e. Como en la mayoría de los textos avanzados de matemáticas, a lo largo de este libro escribiremos Iog y en vez de In y.) En esta sección, se extenderán estas funciones al plano complejo. En otras pala­ bras, se definirán las funciones sen z, cos z, ez y log z para complejos z y sus restric­ ciones a la línea real serán los usuales sen x, cos x, ex y log x. La extensión a los números complejos debe ser natural en el sentido que muchas de las propiedades familiares de sen, cos, exp y log se conserven. Estas funciones, así como la función potencia z n, se estudiarán geométricamente más adelante en esta misma sección. Primero extenderemos la función exponencial. Sabemos del cálculo que para un número real x, ex puede representarse por su serie de Maclaurin: x

x2

x3

1!

2!

3!

ex= l + -- + -- + -- + Así. debe ser de lo más natural definir eiY por

1+

(iy) (iy? --l!

+

2!

+

para y e R. Por supuesto, esta definición no es muy legítima, ya que la convergen­ cia de series en C no ha sido aún discutida. En el capítulo 3 se mostrará que esta se­ rie efectivamente representa un número complejo bien definido para cada y, pero por el momento, la serie es usada informalmente como la base de la definición que sigue, la cual será precisa. Un ligero reordenamiento de la serie (usando el ejercicio 16, sección l. l.) muestra que

5!

...)

38

CAP.

1.

FUNCIONES ANALÍTICAS Pero reconocemos que esto es simplemente cos y + i sen y. Por lo tanto, defi­

nimos. eiy=cos y+ i sen y. Hasta aquí, hemos definido ez para z a lo largo de los ejes real e imaginario. ¿Cómo definimos ez =ex+ iy? Deseamos que nuestra extensión de la exponencial conserve las propiedades familiares y entre estas está la ley de los exponentes: ea+ b = e a ·eh. Este requisito nos obliga a definir ex+ iy =ex· eiY. Esto puede expresarse en una definición formal:

Definición 1.3.1. Si z =x + iy, entonces definimos ez como e (cos y + i sen y). Nótese que si z es real (esto es, si y=0), esta definición coincide con la función exponencial usual ex. El estudiante debe ser cauto en este punto, no estamos pen­ sando a ez como "e elevado a la «potencia» z" puesto que el concepto de expo­ nentes complejos no ha sido definido aún. La notación eZ es meramente una abrevia­ tura de la función definida como ex(cos y+ i sen y). Existe también otra razón, puramente formal, para definir eiY = cos y + i sen y. f(y) + ig(y), notamos que puesto que queremos que e0 = 1, debemos tener f(O) =1 y g(O) =O. Al derivar con respecto de y nos da ie;Y = f' (y) ' ' + ig'(y), por lo tanto, cuando y= O, obtenemosf (O) =O, g (O) = l . Al diferenciar nuevamente nos queda -eiY =f''(y) + ig"(y). Si comparamos estos resultados con e iy =f(y) + ig(y ), obtenemos que f' '(y) + f(y) =O, f( 0) = 1, f' (O) =O, de modo Si escribimos eiY

=

quef(y) =cos y; y g"(y) + g(y) =O, g(O) =O, g'(O) = 1, de modo que g(y) =sen

y, por la definición de sen y y cos y en términos de ecuaciones diferenciales. Así, obtenemos que eiY =cos y+ i sen y, como en la definición 1.3.1. Algunas de las propiedades importantes de eZ están resumidas en la siguiente proposición. Para enunciarlas necesitamos recordar la definición de función periódi­ ca, a saber, una función j: C � C se llama periódica, si existe Un W E C (llamado periodo) tal quef(z + w) =f (z) para toda z E C.

Proposición 1.3.2 (i) ez+w = ezew para toda z,w E C. (ii) ez nunca es O. (iii) Si x es real, entonces ex > 1 cuando x > O, y ex O y entonces definir ex como la función inversa de log y. (Nota: Muchos li­

bros de cálculo escriben In y para el logaritmo con base en e. Como en la mayoría de los textos avanzados de matemáticas, a lo largo de este libro escribiremos Iog y en vez de In y.) En esta sección, se extenderán estas funciones al plano complejo. En otras pala­ bras, se definirán las funciones sen z, cos z, ez y log z para complejos z y sus restric­ ciones a la línea real serán los usuales sen x, cos x, ex y log x. La extensión a los números complejos debe ser natural en el sentido que muchas de las propiedades familiares de sen, cos, exp y log se conserven. Estas funciones, así como la función potencia z n, se estudiarán geométricamente más adelante en esta misma sección. Primero extenderemos la función exponencial. Sabemos del cálculo que para un número real x, ex puede representarse por su serie de Maclaurin: x

x2

x3

1!

2!

3!

ex= l + -- + -- + -- + Así. debe ser de lo más natural definir eiY por

1+

(iy) (iy? --l!

+

2!

+

para y e R. Por supuesto, esta definición no es muy legítima, ya que la convergen­ cia de series en C no ha sido aún discutida. En el capítulo 3 se mostrará que esta se­ rie efectivamente representa un número complejo bien definido para cada y, pero por el momento, la serie es usada informalmente como la base de la definición que sigue, la cual será precisa. Un ligero reordenamiento de la serie (usando el ejercicio 16, sección l. l.) muestra que

5!

...)

38

CAP.

1.

FUNCIONES ANALÍTICAS Pero reconocemos que esto es simplemente cos y + i sen y. Por lo tanto, defi­

nimos. eiy=cos y+ i sen y. Hasta aquí, hemos definido ez para z a lo largo de los ejes real e imaginario. ¿Cómo definimos ez =ex+ iy? Deseamos que nuestra extensión de la exponencial conserve las propiedades familiares y entre estas está la ley de los exponentes: ea+ b = e a ·eh. Este requisito nos obliga a definir ex+ iy =ex· eiY. Esto puede expresarse en una definición formal:

Definición 1.3.1. Si z =x + iy, entonces definimos ez como e (cos y + i sen y). Nótese que si z es real (esto es, si y=0), esta definición coincide con la función exponencial usual ex. El estudiante debe ser cauto en este punto, no estamos pen­ sando a ez como "e elevado a la «potencia» z" puesto que el concepto de expo­ nentes complejos no ha sido definido aún. La notación eZ es meramente una abrevia­ tura de la función definida como ex(cos y+ i sen y). Existe también otra razón, puramente formal, para definir eiY = cos y + i sen y. f(y) + ig(y), notamos que puesto que queremos que e0 = 1, debemos tener f(O) =1 y g(O) =O. Al derivar con respecto de y nos da ie;Y = f' (y) ' ' + ig'(y), por lo tanto, cuando y= O, obtenemosf (O) =O, g (O) = l . Al diferenciar nuevamente nos queda -eiY =f''(y) + ig"(y). Si comparamos estos resultados con e iy =f(y) + ig(y ), obtenemos que f' '(y) + f(y) =O, f( 0) = 1, f' (O) =O, de modo Si escribimos eiY

=

quef(y) =cos y; y g"(y) + g(y) =O, g(O) =O, g'(O) = 1, de modo que g(y) =sen

y, por la definición de sen y y cos y en términos de ecuaciones diferenciales. Así, obtenemos que eiY =cos y+ i sen y, como en la definición 1.3.1. Algunas de las propiedades importantes de eZ están resumidas en la siguiente proposición. Para enunciarlas necesitamos recordar la definición de función periódi­ ca, a saber, una función j: C � C se llama periódica, si existe Un W E C (llamado periodo) tal quef(z + w) =f (z) para toda z E C.

Proposición 1.3.2 (i) ez+w = ezew para toda z,w E C. (ii) ez nunca es O. (iii) Si x es real, entonces ex > 1 cuando x > O, y ex log z son inversas, se han 1.3.2). Notemos que una línea y = constante, descrita iy conforme x varía, son mapeados por la función z f--'.> ez en

Los dominios correctos sobre los cuales z discutido ya (véase figura por los puntos x + puntos

exeiY, que es un rayo con argumento y. Conforme

x varía de

-oo

a +oo, el

punto imagen sobre el rayo va desde O hasta infinito (véase figura

1.3.7). Similar­ mente, la línea vertical x = constante es mapeada en un círculo de radio ex. Si res­ tringimos y a un intervalo de longitud 21t, el círculo imagen es descrito una vez, pero si no se restringe y, el círculo imagen es descrito un número infinito de veces

el, mapea puntos en la dirección contraria a ez, como se muestra en la figura 1.3.7. Debido a la natu­ raleza especial de las regiones en forma de banda en las figuras 1 .3.2 y 1.3.7 (sobre ellas ez es uno a uno) y debido a la periodicidad de eZ, estas regiones merecen un nombre. Ellas son usualmente llamadas bandas de periodicidad de é. conforme y varía de

-oo

a +oo. El logaritmo, que es la inversa de

log z � z

V

�

x

= constante

u

--------�--�--� x X

y = constante -

-

-

--

- - - - ·

-

-

- - -

1 1 1 1

Figura 1 .3.7. Geometría de e" y log

z.

Ejemplos resueltos 1.3.13. Encuentré las partes real e imaginaria de exp e'. (exp

w

es otrafonna de escribir ew.)

Solución. Sea z = :Jt + iy; entonces e' = ex cos y + ie x sen y. De este modo exp e ' = ee'cos Y [cos (ex sen y) + i sen (ex sen y ) ]. En consecuencia, Re (exp ens/d,.r.r> Jn

n ci6n 1 frnn_ifon.a

z � sen z.

Muestre gue líneas paralelas al eje real

son transformadas en elipses y que líneas paralelas a l eje imaginario son transformadas en h ipérbolas. Solución. Usando la proposición

1 .3.4 (véase también el ejemplo 1 .3. 14), obtenemos

sen z = sen(x + iy) = sen x cos(iy) + sen(iy) cos x = sen x cosh y + i senh y cos x 2 La palabra mapping, en el original, transformada, excepto en algunos casos que México. (N. del E.)

se tradujo indistintamente por función,

se

tradujo como

mapeo

transformación

o

para ajustarse al uso establecido en

50

CAP. 1 . F U NCIONES A NALÍTICAS

donde

cosh y =

y

----

2

senh y

2

Suponga que y = y 0 es constante; entonces, si escribimos sen z = u + iv tenemos

----

cosh2 y0

Puesto que sen 2 x + cos- x = o

Similarmente, si x

=

+

senh2 Yo

= l

'

1 . Esta es una elipse.

x0 es constante, de la ecuación cosh2 y - senh2 y

=

1 obte­

nemos

= 1

la cual es una hipérbola. 1.3.18. Sea f(z) = z2 y suponga f(z0) = a + bi. Describa las curvas definidas implícitamente

en el plano xy por las ecuaciones Re f(z) = a e Im f(z) = b. Demuestre que estas curvas son perpendiculares una de la otra en el punto z0•

Solución. Si z = x + iy, entonces f(z) = x 2 - y 2 + 2xyi. Las curvas deseadas son las hipérbolas x 2 - y 2 = a y xy = b/2, las cuales están esbozadas en la figura 1 .3.8 para el caso en que a > O y b > O. Estas curvas son las curvas de nivel de las funciones u(x, y) = x 2 - y 2 y v(x, y)= 2xy. Los vectores normales a ellas están dadas, del cálculo, por sus gradientes. Vu =

(2x, -2y)

y Vv = (2y,

2x)

En un punto z0 = x0 + iy0 sobre ambas curvas, su producto punto es V u · Vv =

4x0y 0 - 4y0x 0 = O. Los vectores normales son entonces perpendiculares uno del otro en z0 y de esta manera las curvas lo son también.

51 y

t

1

\ \ \ \ \

' ' Zo

- - -

' ' \ \ \ \ \

1

Figura 1 . 3.8.

Los conjuntos de n ivel de Re f(z) e lm f(z) para f(z) = z2•

Ejercicios l.

Exprese en la forma a + bi: a)

e2 + i

b) sen ( l + i)

2. Exprese en la forma a + bi: a) 3.

e3- i

b) cos (2 + 3t)

Resuelva: 3 a) cos z = - + i/4 4

b) cos z = 4

4. Resuelva 3 a) sen z = - + i/4 4

b) sen z = 4

5. Encuentre todos los valores de: a) log 1

b) log i

6. Encuentre todos los valores de: a) log (-i)

b) log ( l + i)

52

CAP. l . FUNCIONES ANAlÍTICAS 7. Encuentre todos los valores de:

a)

(-i);

8. Encuentre todos los valores de:

a) (- 1 ); 9.

¿Para qué valores de z se satisface (e iz) = eiz?

1 la raíz cuadrada particular definida por v r(cos e + sen e) = r 12 [cos 1 sen (e/2)] , O :::; e < 2n; la otra raíz es r 12 cos[(e 2n)/2] sen [(e + 2n)/2] .

10. Denótese por (e/2)

+i

¡-

[

¿Para qué valores de

z

se cumple la ecuación

i +i

+

j

f;.2 = z?

1 1 . ¿ Sobre qué rayos a través del origen (un rayo está determinado por arg z = costante) existe lím lezl? Z -4 00

12. Pruebe que z = tan 2

[ 1 l (l +iz )l/2] + iy. -:- og

. l - lZ

1

13. Simplifique e z , e iz, y ellz donde z = x

Para e l/z especificamos que

14. Examine el comportamiento de ex + iy cuando cuando

y

x --7 ±oo

z ""'

O.

y el comportamiento de e x + iy

--7 :±:oo.

15. Pruebe que sen (-z) = -sen z, que cos (-z) = cos z, y que sen (n / 2 - z) = cos z. 16. Defina senh y cosh sobre todo C como senh

z

= (e 2

-

e-2)12 y cosh z =

(e2

+ e-z)/2.

Pruebe que:

a) b)

cosh2 senh

z

- senh2 z = 1

(z 1 e) cosh (z 1 d ) senh (x e) cosh (x 17.

z2)= senh z 1 cosh z2

+ + iy + iy)

+ z 2) = cos z 1 cosh z ) = senh x cos

yl

S lsen zl

cosh z 1 senh z 2 senh z 1 senh z 2

cosh

y i y+i

= cosh x cos

Use la ecuación sen z = sen lsenh

+

2

+ +

x sen

y y y+i y

senh x sen

x cosh

senh

cos

x,

donde

z

=

x+

iy

para probar que

:5: lcosh yl.

18. S i b es real, pruebe que 19. 20.

lahl = la l h. ¿Es cierto que la bl = la11h1 para toda a, b E

C?

a) Para los números complejos a, b, e, pruebe que ahac = ab + e, usando una rama fija del log. b) Demuestre que (ab)c = aCb c si escogemos ramas tales que log (ab) = log a + log b (sin 2nni extra).

21.

Usando coordenadas polares, demuestre que z

�

z +

llz

mapea el círculo l z l = 1 en e l

intervalo [-2, 2] sobre e l eje x.

22.

a) ¿Sobre qué mapea la función z � z3 al primer cuadrante? b) Discuta la geometría de � :VZcomo fue hecho en el texto para [Z:

z

23. La función z

�

1 /z toma al exterior del círculo unitario en el i nterior (excluyendo al

cero) y viceversa . ¿ En qué son transformadas las líneas arg z = constante?

1 .4. FUNCIONES CONTIN UAS

24.

25. 26.

53

¿Cuál es la imagen de líneas horizontales y verticales bajo z cos z? ¿Bajo qué condiciones se satisface que log ah = b log a para números complejos a, b? (Use la rama del log con -1t ::;;; 9 < 1t ). a) Demuestre que bajo la función z z2, líneas paralelas al eje real son transformadas en parábolas. rz. líneas paralelas al eje real son transfor­ b) Demuestre que bajo (una rama de) z madas en hipérbolas. Demuestre que las n raíces n-ésimas de la unidad son 1 , 2, 3, , -1, donde 2!tiln . e = Demuestre que las identidades trigonométricas pueden deducirse si se supone que e Hx1 + x2) = e ix' · e ix2. Demuestre que sen z = O si z = k:n, k = O, ± 1 , ± 2 . . Demuestre que el seno y el coseno son periódicas con periodo mínimo 21t, esto es, que >-+

>-+

>-+

27.

w, w

w

•

•

•

w

n

w

28. 29. 30.

,

.

.

a) sen (z + 21t) = sen z para toda z. b) cos (z + 21t) = cos z para toda z. e) sen (z + ro) = sen z para toda z, implica que ro = 21tn rara algún entero n. d) cos (z + ro) = cos z para todo z implica que ro = 21tn para algún entero n.

31. Encuentre el máximo de leos zl en el cuadrado O :S Re z :S 21t, O :S Im z :S 21t. 32. Demuestre. que el log z = O si z = l , usando la rama con -1t < arg z :S 1t. 33. Calcule numéricamente, hasta dos cifras significativas, lo siguiente: e 3 2 + 6· 1 i, log ( 1 .2 - 3. 0i), sen (8. 1 i - 3.2). 34. Demuestre que sen z mapea la banda -1t/2 < Re z < 1t/2 sobre C\{ z 1 Im z = O y !Re zl ·

�

I j.

35. Discuta la función inversa sen- 1 z, cos-1 z. Por ejemplo, ¿es el sen z uno a uno en O :S Re z < 21t? 1.4.

FUNCIONES CONTINUAS En esta sección y en la siguiente, serán analizadas las nociones de continuidad y diferenciabilidad para funciones con valores complejos de una variable compleja. Los resultados son muy similares a aquellos aprendidos en e l cálculo de funciones de variables reales. Estas secciones se dedicarán principalmente a la teoría básica. Esta teoría será aplicada a las funciones elementales en la sección 1 .6. 2 Dado que e es R con la estructura adicional de la multiplicación compleja, va­ rios conceptos geométricos pueden ser trasladados de R 2 a la notación compleja. Esto ya ha sido hecho para el valor absoluto, lzl, el cual es igual a la norma o longitud de z considerado como un vector en R2 . Más aún, muy pronto el estudiante será capaz de usar sus conocimientos del cálculo de funciones de dos variables en el estu­ dio de funciones de una variable compleja.

Conjuntos abiertos Primero es necesario poder disponer de la noción de un conjunto abierto. Un con­ 2 junto A e e = R es abierto, cuando para cada punto z en A, existe un número

0

54

CAP.

l.

FUNCIONES ANAlÍTICAS

z E A siempre que lz - z01 < E (véase figura 1 .4. 1 ) . Note que el va­ lor de E depende de z0, conforme z0 se acerca a la "orilla" de A, E se hace más pe­

real E > O tal que

queña. Intuitivamente, un conjunto es abierto si no contiene a ninguno de sus puntos "frontera" u "orilla". y

Figura 1 .4.1 .

Un conjunto abierto.

Para un número r > O, la r-vecindad o r-disco en torno a un punto define como el conjunto

D(z0; r) { z e =

estudiante debe probar que para cada

e tal que

Wo E

z0 en e, se

lz - z01 < r j. Como práctica, el = ¡ z E e tal que

e y r > O, el disco A

lz - w01 < r j es en s í mismo, abierto. Una r-vecindad agujerada, es una r-vecindad cuyo centro ha sido removido. Por lo que una vecindad agujerada tiene la forma

D(z0; r)\ {z0), la cual representa al conjunto D(z0; r) menos el conjunto con un solo elemento {z0} (véase figura 1 .4.2). Una vecindad de un punto z0 es, por definición, un conjunto abierto que contiene a z0. Así podemos reformular la definición de "abierto" como sigue; un conjunto A es abierto, si para cada z0 en A, existe una r­ vecindad de z0 totalmente contenida en A. Las propiedades básicas de los conjuntos abiertos se recopilan en la propo­ sición 1 .4. 1 .

a) Figura 1 .4.2.

Una vecindad (a) y u na vecindad agujerada (b).

b)

1 .4.

FU NCI O N ES CONTI N UAS

55

Proposición 1.4.1

(i) (ii) (iii) (iv)

e es abierto.

El conjunto vacío, 0, es abierto. La unión de cualquier colección de subconjuntos abiertos de C es abierta . La intersección de cualquier colección finita de subconjuntos abiertos de e es abierta .

Demostración. Las dos primeras afirmaciones son válidas casi por definición; la primera I?orque cualquier E servirá para cualquier punto z0 y la segunda porque no hay puntos para los que se requiera encontrar una e. Al lector se le pide dar la demostración d e las últimas dos afirmaciones en los ejercicios 1 9 y 20, al final de esta sección. •

Funciones, límites y continuidad '·

Sea A un subconjunto de C. Recordemos que una función f : A ---? C asigna u n punto específico f(z) en C a cada punto z en A. El conjunto A es llamado el dominio de f y decimos que f está definida en A. Cuando el dominio y el rango (el conjunto de valores que toma f) son ambos subconj untos de C, como aquí, h a b l a m o s d e f c o m o u n a función c o mp leja de u n a va riab l e c omp leja . Alternativamente, podemos pensar a f como 1ma función f : A e R 2 ---? R 2; en t a l c a s o f e s l l am a d a u n a fu n c i ó n d e d o s v a ri a b l e s re a l e s c o n v a l ores vectoriales. Para f : A e e ---? e, podemos escribir z = X + iy = (x, y) y definir u (x, y) = Re f(z ) y v (x, y ) = Im f(z). E n tonces u y v son simplem e n te las componentes si se piensa a f como una función vectorial . Por tanto, podemos escribir, de manera única, f(x + iy)= u(x, y) + i(x, y), donde u y v son funciones reales defi nidas en A . Enseguida vamos a transcribir l a noción d e límite a la notación de números complejos. Definición 1.4.2. Sea f definida en un conjunto que contiene alguna r-vecindad agujerada de z0. La expresión

lím f(z) = a

z � z0

significa que para cada E > O, existe una o > O tal que z E D(z0; r), z # z0, y lz - z01 < O implica que lf(z) - al < E.

La expresión en esta definición tiene el mismo significado intuitivo que el que tiene en cálculo, a saber,f(z) está cerca de a cuando z está cerca de z0. No es nece­ sario definir f sobre toda la vecindad agujerada para tener una teoría de l ímites válida, pero se usan aquí las vecindades agujeradas por motivo de simplicidad y también porque tal tratamiento será más apropiado a lo largo del texto. Exactamente como con los números reales y con las funciones de valores reales,

56

CAP.

l.

FUNCIONES ANALÍTICAS

una función no puede tener más de un límite en un punto y los límites se comportan bien con respecto de las operaciones algebraicas. Éste es el contenido de las siguientes dos proposiciones.

Proposición 1.4.3. Los límites son únicos, si existen. Demostración, Suponga que lím f (z) = a y que límf (z) = b con a =F b. Sea 2E z � z0

=

z � z0

la - bl, de modo que E > o. Existe u na a > o tal que o < lz - Z ol < a implica que lf(z) - al < e y lf(z) - bl < e. Elíjase un punto tal que z =F z0 (puesto que f está d e finida en u n a veci ndad agujerada de z 0) . Entonces, por l a desigualdad del triángulo, la - bl � la - f(z)l + lf( z) - bl < 2e , lo cual es una contradicción. Por lo tanto a = b. • Proposición 1 .4.4. Si lím f(z) = a y lím g(z) = b, entonces z � z0

(i)

z � z0

lím [ f(z) + g(z)] = a + b. Z � ZO

(ii) lím [ f(z) g(z)] = ab . Z � ZO

(iii) lím [ f(z)/g(z)] = a / b si b =F O. z -+ z 0

Demostración. Únicamente se probará aquí la afirmación (ii). L a demostra­ ción de la afirmación (i) es fácil y la demostración de la afirmación (iii) es l igera­ mente más retadora, pero el lector puede obtener las claves necesarias a partir del correspondiente caso de variable real. Para probar la afirmación (ii), escribimos

lf(z)g(z) - abl � lf( z)g(z) -f(z)bl + lf(z)b - abl = lf( z)l lg(z) - bl + lf(z) - al lbl

(desigualdad del triángulo)

(factorizando)

Queremos estimar cada término. Para hacerlo, escojamos a1 > O de modo que

0 < lz - z01 < a 1 implique que lf(z) - al < 1 y, por lo tanto, lf( z)l < lal + ] , y a q u e lf(z)l - al � lf(z)l - lal, por la proposición 1 .2.5 (vi).

Dada e > O, podemos escoger a2 > O, tal que O < lz - z 01 < o 2 implique que

lf(z) - al <

{

�

si b =F 0

1

si b = O

2 bl

y o 3 > O tal que si O < lz - z 01 < 03, entonces

lg(z) - bl <

E

---

2 (lal + 1 )

1 .4. F U NCIONES CONTI NUAS

57

Sea o la menor de o 1 , 0 2 , 0 3• Entonces, s i O < lz - z 01 < o, 1/(z)g(z) - abl � 1/(z)llg(z) - bl + 1/(z) - al lbl

<

E 2(1al + 1 )

1/( z)l +

E _ _

21bl

I bl (si b =F O; si b = O reemplace el segundo término por O)

E

O, y el

segmento de línea -1 � y � l , x = O. Este conjunto es conexo pero no por trayectorias.

1 .4.

FU NCIONES CONTI N UA S

63

Debido a la importancia de los conj untos abiertos y conexos, éstos se. designan frecuentemente mediante un término especial. Aun cuando su uso no e s completa­ mente estándar en la bibliografía, las palabras región y dominio se usan frecuentemen­ te. En este texto, estos términos serán usados como sinónimos de un subconj unto abierto y conexo de C. El lector debe tener cuidado y debe checar el significado de estas palabras cuando las encuentre en otros textos. La noción de conjuntos conexos será u sada por nosotros en varias ocasiones. Una observación es que una función continua no puede separar un conj unto conexo.

Proposición 1.4.16. Si f es una función continua definida en un conjunto conexo C,

entonces el conjunto imagen f(C) también es conexo.

Demostración.

S i U y V s o n conj u n tos abi ertos que desconectan a /( C),

entoncesj- 1 ( U) y ¡- 1 ( V) son conjuntos abiertos que desconectan a C. • Tenga c uidado, esta proposición trabaj a en la dirección opuesta a aquella acerca de conjuntos abiertos y cerrados . Para funciones continuas, la imagen inversa de conj untos abiertos es abierta y la imagen inversa de conjuntos cerrados es cerrada. Pero es para las imágenes directas para l as que se garantiza la conectividad y no para las imágenes inversas de conjuntos conexos. (Podría pensar en algún ejemplo.) La misma situación se presentará con la clase de conj untos estudiados en la siguien­ te subsección, los conj untos compactos.

Conjuntos compactos La siguiente clase de conjuntos especiales que q ueremos introducir es la de los conjuntos compactos. Éstos resultarán ser aquellos subconj untos K de C que son acotados en el sentido que existe un número M tal que lzl :::;; M para toda z en K y que son cerrados. Una de las agradables propiedades de estos subconjuntos es que toda sucesión de puntos en el conjunto, debe tener una subsucesión la cual converja a algún punto en el conjunto. Por ejemplo, la sucesión 1 , __1_, --'-. __1_, �. _l_, !_, __1_, �• 2

en

] 0, 1 [

tiene la subsucesión 1 , _1_, __1_, 2

el intervalo abierto

]0, 1 [,

3

• • •

2

3

3

4

4

5

5

• • •

de puntos

, la cual converge al punto O, que no está en

pero está en el i ntervalo cerrado

[0, 1 ] .

Nótese que en la

propiedad pretendida, no se asegura que la sucesión misma converja. Todo lo que se pretende es que algunas subsucesiones lo hagan; el ejemplo dem uestra que esto es necesario. Como sucede frecuentemente en matemáticas, el estudio consiste de tres partes: (i) Una caracterización fác ilmente reconocible: cerrado y acotado. (ii) U na propiedad que queremos: la e x i s tencia de subsucesiones conver­ gentes. (iii) Una definición técniCa, útil en demostraciones y problemas. En el caso en cuestión, la definición técnica involucra la relación en tre compaci­ dad y conj untos abiertos. Una colección de conjuntos abiertos Va. para

a

en algún

conjunto de índices s'l es l lamada u n a cubierta (o una cubierta abierta) de un

64

CAP.

1.

FUNCIONES ANALÍTICAS

K, si K está contenida en su unión: K e uae .sll U

conjunto

o:

Por ejemplo, la colección

de todos los discos abiertos de radio 2 es una cubierta abierta de u_ = '

D(z; 2)

Ce

Uz e C

e:

D(z; 2)

Podría ser, como aquí, que el proceso de recubrimiento haya sido excesivo, al usar más conjuntos de los necesarios. En ese caso, podríamos usar sólo algunos de los conjuntos y hablar de una subcubierta, por ejemplo, e e un. me z D(n + mi; 2), donde Z denota al conjunto de enteros. Definición 1.4.17. Un conjunto K es compacto si toda cubierta abierta de K tiene

una subcubierta finita.

Esto es, si U a es cualqu ier colección de conj unto s abi ertos cuya unión contiene a K, entonces existe una subcolección finita Uo: . Uo: , . . . , Uo: tal que 2 ¡, l

K e ua. ,

u

Ua

2

u · · · u

ua..

Proposición 1.4.18. Las siguientes condiciones son equivalentes para un subcon­

junto K de

e (o de R):

(i) K es cerrado y acotado. (ii) Toda sucesión de puntos en K tiene una subsucesión que converge a algún punto en K.

(iii) K es compacto. Esta proposición requiere un estudio más profundo de las propiedades de com­ pletez de los números complejos del que es necesario para llegar hasta aquí, por lo que se omite la demostración. Ésta puede encontrarse en la mayoría de los textos de cálculo avanzado o análisis (tal como Elemental}' Classical Analysis, de J. Marsden, Nueva York, W.H. Freeman and Co., 1 974). Es fácil ver porque (i) es necesaria para (ii) y (iii). Si K no es acotado, podemos escoger z 1 en K y sucesivamente elegir z 2 con lz 2 1 > lz 1 1 + 1 y , en general, zn con lz nl > lz n _ 1 1 + l . Esto da una sucesión que no contiene una subsucesión convergente. Los discos abiertos D(O; n ), n = 1 , 2, 3, . . . serían una cubierta abierta sin ninguna subcubierta finita. Si K es un conjunto en e que no es cerrado, entonces existe un punto w en e\K y una sucesión z l' z 2, . . . de puntos en K que converge a w. Puesto que la sucesión converge, w es el único posible 1ímite de una subsucesión, por lo tanto, ninguna subsucesión puede converger a un punto de K. Los conjuntos \z tal que lz - wl > 1 /n j para n � 1, 2, 3, . . forman una cubierta abierta de K sin ninguna subcubierta. La utilidad de la definición técnica 1 .4. 1 7 se ilustra en Jos siguientes resultados. .

Proposición 1.4.19. Si K es un conjunto compacto y f es una función continua

definida en K, entonces el conjunto imagen f(K) también es compacto.

1 . 4.

65

FUNCION ES CONTINUAS

Demostración. Si Ua es una cubierta abierta de f( K), entonces j- 1 ( UJ forma una cubierta abierta de K. La selección de una subcubierta finita nos da.

por lo tantof(.K) e u U ¡

U • • • U

u ak· .

1.4.20. Teorema del valor extremo. Si K es un conjunto compacto y f : K

�

R es

continua, entonces f alcanza sus valores máximo y m ínimo, y ambos son finitos.

Demostración. La imagen f( K) es un compacto, por ende cerrado y acotado.

Puesto que es acotado, los números M = sup \ J( z) 1 z E K J y m = inf \ J( z) 1 z son finitos. Ya quef(K) es cerrado, m y M están incluidos enf(K). •

E

K

J

Otra ilustración del uso de la compacidad está dada por el siguiente lema, el cual establece que l a distancia de un conjunto compacto a un conjunto cerrado es positiva. Esto es, debe haber u n espacio entre los dos conjuntos. Lema de la distancia. 1.4.2 1 . Suponga que K es compacto, C es cerrado y K

n

C = 0. Entonces, la distancia d(K, C ) de K a C es mayor que O. Esto es, existe un número p > O tal que lz - wl > p siempre y cuando z esté en k y w esté en C.

Demostración. El complemento de C, U = C \ C , es un abierto, y K e U, por lo que cada punto z en K es el centro de algún disco D(z; p(z)) e U. La familia de discos más pequeños D(z; p(z)/2) también cubre a K y, por la compacidad, existe una co­ lección finita de ellos, que denotamos por Dk = D(zk ; p(zk )/2), k = 1 , 2, 3, . . . , N, que cubre a K (véase figura 1 .4.6). Sean p k = p(z k )l 2 y p = min (p 1' p 2, , p n) . Si z está en K y w está en C, entonces z está en Dk para alguna k, y por ende lz - z kl < Pt- Pero lw - zkl > p(zk) = 2pk . Así que l z - wl > p k > p . • •

Figura 1 .4.6.

•

•

La distancia entre u n conj unto cerrado C y un conjunto compacto K es mayor que cero.

66

Continuidad uniforme Recuérdese que una función se dice que es continua en un conjunto K si es

continua en cada punto de K. Éste es un ejemplo de lo que se llama una propiedad

local. Ésta se define en términos del comportamiento de una función en o cerca de

cada punto, y puede determinarse para cada punto mirando solamente cerca de éste

y no al conjunto en su totalidad. Esto está en contraste con las

propiedades globa­ les de una función, las cuales dependen del comportamiento en todo el conjunto. Un ejemplo de una propiedad global es el de ser acotada. Decir que una fun­

ción f es acotada por algún n úmero M en un conjunto K, es una afirmación que de­

pende de la totalidad del conjunto. Si la función es continua es, ciertamente, acotada cerca de cada punto, pero esto no diría automáticamente que es acotada en todo

el conj unto. Por ej emplo, la función f(x) = llx es continua e n el i ntervalo abierto ]0, 1 [, pero ciertamente allí no es acotada. Hemos visto que si f es continua en un

conjunto compacto K, entonces es acotada en K y que, en efecto, las cotas son alcan­

zadas. Así la compacidad de K nos permite llevar la propiedad local de ser acotada

cerca de cada punto, dada por la continuidad, a todo el conj unto. Con frecuencia, la compacidad puede ser usada para llevar una propiedad local a una global. La siguiente es una versión global de la continuidad.

Una función f : A � C (o R) es uniformemente continua en A, si para cualquier elección de E > O existe o > O tal que 1 f(s) -f(t)l < E siempre que s y t estén en A y l s - ti < o.

Definición 1.4.22.

Nótese que la diferencia entre ésta y la definición ordinaria de continuidad, es

que ahora la elección de

o puede hacerse de modo que la misma o trabaje en cual­ quier parte del conjunto A . Obviamente, las funciones uniformemente continuas son continuas. En un compacto, lo opuesto también es verdad.

Proposición 1.4.23.

Una función continua en un conjunto compacto es uniforme­

mente continua.

Demostración. Supóngase que f es una función continua en el conjunto com­ pacto K y sea e > O. Para cada apunto t en K, existe un n úmero o(t) tal que lf (s) ­

f( t)l < E/2 siempre que ls - ti < o. Los conjuntos abiertos D(t; o(t)/2) cubren a K y, , tN tales que los por compacidad, existe un número finito de puntos t " t , 2 conjuntos D = D(t ; o(t k)/2) cubren a K. Sea o = o{t k)/2 y sea o igual al mínimo de k k k ol' o , , o N. Si ls - t i < o, entonces t está en D k para alguna k y, en consecuencia, 2 lt - tk l < o k. Así, lf (t) -f(tk )l < e/2. Pero también •

.

.

•

ls - tk l = ls - t + t - t kl :s; ls - ti + lt - t kl :=;; o + ok :s; o (t k)

•

•

1 .4.

FUNCIONES CONTINUAS

67

y así lf(s) -f( tk)l :5 E/2. Por lo tanto

lf( s) -f( t) 1

=

+ f( tk)

l f( s) -f( t k)

:5 1 f( s) -f( tk)

< E/2

+

€/2

+

=

- f( t)l

lf( t k) -f(t)l E

Hemos producido una sola ó que trabaja en todas partes de K y, por lo tanto, ¡ es uniformemente continua. •

Lema de la cubierta de una trayectoria La noción de continuidad uniforme es muy poderosa y no será de utilidad varias veces, la usaremos primero en conjunción con el lema de la distancia y algunas

propiedades de los conjuntos compactos, para establecer un útil lema geométrico acerca de curvas en subconj untos abiertos del plano complejo. Este lema será útil en

el texto posteriormente, en particular para estudiar integrales a lo largo de tales cur­ vas. Éste nos dice que una curva puede ser cubierta con un número finito de discos

cuyos centros están a lo largo de la curva, de tal manera que cada disco está con­

tenido en el conjunto abierto y cada disco contiene tanto el centro del disco anterior como el del siguiente, a lo largo de la curva (véase figura 1 .4.7).

Figura 1 .4.7. Una trayectoria continua en un conjunto abierto puede ser cubierta por

un número finito de discos que se traslapen adecuadamente.

Lema de la cubierta de una trayectoria. 1.4.24. Supóngase que y: [a, b] --+ G es

una trayectoria continua del intervalo [a, b] en el subconjunto abierto G de C. Enton­ ces existe un número p > O y una subdivisión del intervalo a = t0 < t1 < t2 . < tn = b tal que .

(i) D(y(tk); p) C G (ii) y(t)

E

D (y(t0); p)

(iii) y(t)

E

D (y(tk); p)

(iv)

y(t)

E

D(y(tn); P)

para toda k para t0 :5 t :5 t 1 para tk 1 :5 t :5 t k + 1 _

para t n - l :5 t :5 tn

.

68

CAP.

l.

FUNCIONES ANALÍTICAS Demostración. Dado que y es continua y el intervalo cerrado [a, b] es compac­

to, la curva imagen K = y( [a, b]) es compacta. Del lema de la distancia 1 .4.2 1 , existe un número p tal que cada punto de la curva está a una distancia de al menos p del complemento de G. En consecuencia, D(y(t); p) e G para todo t en [a, b]. Ya que y es continua en el conjunto compacto [a, b], es uniformemente continua y existe un número o > O tal que l y(t) - y(s)l < p siempre y cuando ls - ti < o . Así, si la subdivi­ sión se toma lo suficientemente fina de modo que t k - t k_ 1 < o para toda k = 1 , 2, 3, .

. . , N, entonces las conclusiones del teorema se satisfacen. •

La esfera de Riemann y el "punto al infinito" Para ciertos propósitos es conveniente introducir un punto "oo" además de los puntos z e C. Uno debe ser cauteloso al hacerlo, pues esto puede llevar a confusión

y abuso del símbolo oo, pero con cuidado esto puede ser útil y, ciertamente, queremos ser capaces de hablar inteligiblemente sobre límites infinitos y l ímites al infinito. En contraste con la recta real, en la cual +oo y -oo pueden ser agregados, tene­ mos sólo un oo para C. La razón de esto es que C no tiene un orden natural, como el que tiene R. Formalmente, agregamos el símbolo "oo" a C para obtener el plano

complejo extendido, C, y definimos las operaciones con oo mediante las "reglas" z + OO = OO z • OO = OO OO + OO = OO

siempre que z #- O

00 • OO = CO

� 00 = 0 para z E C. Nótese que algunas cosas no están definidas: oofoo, O

•

oo, oo - oo, y así

sucesivamente, son formas indeterminadas por la misma razón, esencialmente, que l o son en el c álculo de n úmeros reales. También defi n imos apropiadam e n te conceptos de l ímite: lím/(z) = z0 significa: Para cualquier E > O, existe R > O tal que 1/ (z) - z 01 < E

z ---t oc

siempre que lzl � R. l ím /(z) = oo significa: Para cualquier R > O, existe una o > O tal que 1 / ( z)l > R

z -+ z0

siempre que lz - z01 < o.

·

y para sucesiones: lím z = oo significa: Para cualquier R > O, existe una N > O tal que lzn 1 > R siem-

n -+ oo

n

pre que n � N. Así un punto z E C está "cerca de oo" cuando está situado en el exterior de u n círculo grande. Este tipo d e cercanía puede ilustrarse geométricamente por medio d e la esfera de Riemann, mostrada en la figura 1 .4.8. Por el método de proyección

esterográfica ilustrado en esta figura, un punto z ' sobre l a esfera es asociado con cada punto z en C. Se ha omitido exactamente un punto sobre la esfera S - e l polo

1 .4.

FUNCIONES CONTIN UAS

69

"norte"-. Asignamos oo en C al polo norte de S. Geométricamente vemos que z está cerca de oo si y sólo si los puntos correspondientes sobre la esfera de Riemann están cerca en el sentido usual de cercanía en R 3• La demostración de esto se pide en el ejercicio 24.

Figura 1 .4.8. la esfera de Riemann.

La esfera de_!{iemann S representa una ilustración geométrica conveniente del plano extendido C = C u Joo). La esfera destaca un hecho acerca del plano extendido el cual es algunas veces útil en la teoría subsecuente. Puesto que S es un subcon­ junto cerrado y acotado de R3, es compacto. Por lo tanto, toda sucesión en él tiene una subsucesión convergente. Puesto que la proyección estereográfica hace que la convergencia en S coincida con la convergencia de la sucesión de puntos correspon-

-

-

dientes en C, lo mismo es cierto aHí. Esto es, C es compacto. Toda sucesión de puntos

-

-

en C debe tener una subsucesión convergente en C. Cuidado: Ya que la convergencia se da en el plano extendido, el límite podría ser oo, en cuyo caso podríamos decir normalmente que el límite no existe. Básicamente, hemos añadido el punto al infinito como otro límite disponible, de forma tal, que sucesiones que formalmente no tenían un límite, ahora lo tengan. La esfera puede usarse para ayudar a visualizar así como para hacer precisas algunas nociones acerca del desarrollo de funciones "al infinito" que nos encontraremos en capítulos posteriores.

Ejemplos resueltos 1 .4.25.

¿Dónde es continua la función f(z)

Solución.

z3 + 2z + 1

?

z3 + 1

Puesto que las sumas, productos y cocientes de funciones continuas son

continuas , excepto donde el denominador es el plano excepto en las raíces cúbicas de

-

l

.

O, esta función es continua sobre todo Esto es, sobre C\(e"i13, e5"í13, - 1 ).

70

CAP. 1 . FU NCIONES ANALÍTICAS 1.4.26.

Demuestre que {zl Re

z>

Oj es abierto.

Solución. Una demostración puede basarse en las siguientes propiedades de los números complejos (véase ejercicio 1): Si w E e, entonces (i) IRe wl

:s;

lwl

(ii) llm wl :s; lwl (iii) lwl :s; IRe wl

+

Sea U = {ziRe z

>

llm wl

Oj y sea z0 en U. Suponga que z está en el disco D(z O' Re z0). = IRe (z - z0)1 :s; lz - z01 < Re z 0 y, por lo tanto, Re z > O y z está en U. Así D(z0; Re z0) es una vecindad de z0 que está contenida en U. Puesto Entonces IRe z - Re z01

que esto puede hacerse para cualquier punto z0 que esté en U, el conjunto U es abierto. Véase figura

1 .4.9.

y

Figura 1 .4.9. El sem iplano derecho ab ierto.

1.4.27. Demuestre la siguiente afinnación: Sea A e e abierto y Zo E A. y suponga que Dr =

lz tal que 1 z - Zol :s; rl e A. Entonces, existe un número p > r tal que D (zo; p) e

A.

Solución. Sabemos del teorema del valor extremo ( 1 .4.20), que una función continua de valores reales en un conjunto cerrado y acotado de e, alcanza su máximo y su mínimo en algún punto del conjunto. Para z en D, seaf( z) = inf { lz - wl tal que w

E

e \A j. (Aquí "inf' significa la más grande de las cotas inferiores.) En

otras palabras, f(z) es la distancia de z al complemento de A. Puesto que A es abierto, f( z) > O para toda z en D,. Podemos también verificar que fes continua. De este modo, f alcanza su mínimo en algún punto z 1 en D, . Tome p

cheque que esta p tiene las propiedades deseadas. Véase figura.

=

1 .4.10.

f( z 1)

+

r, y

71 y

-

- -

/ - -

_

_

_

_

/

,_..

--+-------� X

Figura 1 .4.1 O. U n disco cerrado en u n conju nto abierto puede ser agrandado. 1.4.28. Encuentre , 1 liD

Z -> 00

3z 4 + 2z 2 - z + l

------,-----

z4 +

1

Solución.

usando lím z-1 = O y las propiedades básicas de límites. z -t 00

Ejercicios l. Demuestre que si w

e

C, entonces

a) !Re wl ::;; lwl 2.

e) lwl ::;; !Re wl + 11m wl

a) Demuestre que IRe z 1 - Re z 21 ::;; lz 1 - z 21 ::;; !Re z 1 cualesquiera dos números complejos z 1 y z • 2

-

Re z 2 1 + 11m z 1

-

Im z 2 1 para

b) Sif( z) = u(x, y) + iv(x, y), demuestre que límf(z) = lím u(x, y) + i lím v(x, y) z�

z:0

x ---7 x0 Y ---7 Yo

x ---7 x0 Jl ---7 Yo

existe si ambos límites en el lado derecho de la ecuación existen. Recíprocamente, si el límite de la izquierda existe, demuestre que ambos límites de la derecha también existen y que la igualdad se cumple. Demuestre quef(z) es continua si u y

v

lo son.

72

CAP. l . FUNCIONES ANAlÍTICAS 3. Demuestre: Si fes continua y J(z0) o¡f O, existe una vecindad de z0 en la cualfes o¡f O. 4. Si z 0 E

e, demuestre que el conjunto 1 z0 J es cerrado.

5. Demuestre: El complemento de un número finito de puntos es un conjunto abierto.

6. Use el hecho de que una función es continua si y sólo si la i magen inversa de todo

conjunto abierto es abierta, para demostrar que una composición de dos funciones continuas es continua.

7. Muestre que f( z)

=z es continua.

8. Muestre quef(z) = lzl es continua. 9. ¿Cuál es el conjunto más grande sobre el cual la funciónf( z) = 10. Demuestre o dé un ejemplo si es falso: Si lím J(z) Z � Zo

11(1 - e') es continua?

= a, h está definida en los puntosf(z},

y lím h(w) = e, entonces lím h(J(z)) = c. [Sugerencia: Podríamos tener h(a) o¡f e). w�a

z � z1

·

n

1 1 . ¿Para qué valores de z converge la sucesión zn = nz ? 12. Defina f :

e � e haciendof( O) = O y J( r [cos 9 + i sen 9]) = sen 9 si r > O. Muestre que

fes discontinua en O pero es continua en cualquier otro lugar.

13. Para cada uno de los siguientes conjuntos, establezca (i) si es o no es abierto y (ii) si es o

no es cerrado

a) lz tal que lzl < J j

b} lzl O < lzl � 1 J

e) lz 1 l � Re z � 2)

1 4 . Para cada uno de Jos siguientes conjuntos, establezca (i) si es o no es abierto y (ii) si es

o no es cerrado.

a) lz l l m z > 2)

b) lz 1 l � lzl � 2)

e) lz 1 - l < Re z � 2)

15. Para cada uno de Jos siguientes conjuntos, establezca (i) s i es o no es conexo y (ii) si es

o no es compacto.

a) e)

b) lz tal que lzl � 3 y IRe z l 2:: I j

l z l l � lzl � 2 j

1 z tal que IRe z l �

Jj

d)

l z tal que IRe z l 2:: 1 J

16. Para cada uno de los siguientes conjuntos establezca (i) si es o no es conexo y (ii) si es

o no es compacto.

a) l z 1 1 < Re z � 2) e)

b) { z 1 2 �

lzl � 3 )

1 z tal que lzl � 5 y llm zl 2:: l )

17. Si A e

e yf; e � e, muestre que e \j-1 (A) =J-1 (e\A ). A e e � C es continua si y sólo si z n � z0 e n A implica que f(zn)

1 8. M uestre que f :

� f·

1 9 . Muestre que la unión de cualquier colección de subconjuntos abiertos de C es abierta. 20. Muestre que la intersección de cualquier colección finita de subconjuntos abiertos de

es abierta.

e

21. Dé un ejemplo para mostrar que la afirmación en el ejercicio 20 es falsa si se omite la

palabra "finita".

1 .5 . F U NCIONES ANALÍTICAS 22.

Demuestre la parte (ii) de la proposición 1 .4.6. usando la parte (i).

23.

Muestre que si lzl

24.

Introduzca la métrica cordal p en e haciendo p(z l ' z 2)

>

n

l , entonces nlím (z tn) -> w

73

= oo.

d(z { . z � ) donde z ; y z ; son d es l a distancia usual entre

=

los puntos correspondientes en la esfera de Riemann y

puntos de R3•

a) Muestre que z n --t z en e si y sólo si p(z n' z) --t O. b) Muestre que zn --t oo si y sólo si p(z n' oo) --t O. . e) Si f( z)

1.5.

=

(az + b)l(cz + d) y ad - be "" O, muestre quejes continua en oo.

FUNCIONES ANALÍTICAS Aun cuando la continuidad es un concepto importante, su importancia en el análisis complej o es ensombrecido por el concepto de derivada compleja. Existen varios enfoques de la teoría de diferenciación compleja, Empezaremos por definir la derivada como el límite del cociente de diferencias, exactamente como se hace en el cálculo de variables reales. Varias de las propiedades de las derivadas y, en par­ ticular, de las reglas para calcularlas, se siguen de las propiedades de límite, j usto como se hace en el cálculo de funciones de variables reales. Sin embargo, existen algunos resultados sorprendentes y hermosos exclusivos de la teoría compleja. Se emplean varias palabras diferentes para describir a las funciones que son di­ ferenciables en el sentido complejo; por ejemplo, "regular", "holomorfa" y "analí­ tica". Nosotros usaremos el término "analítica", la misma palabra que se usa en el cálculo para describir a las funciones cuya serie de Taylor converge al valor de la función. Un elegante resultado del análisis complejo justifica la elección de este len­ guaje. En efecto, veremos en el capítulo 3 que, como una drástica distinción con el caso de una sola variable real, la suposición de que una función es diferenciable en el sentido de la variable compleja, garantiza la validez de la expansión de Taylor de dicha función.

Diferenciabilidad Definición 1.5.1. Sea f : A � C, donde A C C es un conjunto abierto. Entonces se dice que f es diferenciable (en el sentido complejo) en z0 E A si

lím

z -> 'u

f(z) - f(z 0) z - z0

existe. Este límite se denota por f'(z0), o algunas veces por df/dz(z0). Así f '(Zo) es un número complejo. Se dice que f es analítica en A si f es compleja-diferenciable en cada z 0 E A. La palabra "holomorfa", la cual es usada algunas veces, es sinó­ nimo de la palabra analítica. La frase analítica en z0 significa analític a en una vecindad de z0.

74

CAP. 1 . F U NCIONES ANALÍTICAS

Nótese que

está indefinida en z0 = z y ésta es la razón por la que se usaron vecindades agujera­ das en la definición de límite. Se previene al estudiante que aun cuando la definición de la derivada f'(z0) es similar a la de la derivada usual de una función de una variable real y aun cuando varias de sus propiedades son semejantes, el caso complejo es mucho más rico. Nó­ tese también que en la definición de f' (z0), dividimos por el número complejo z - z 0 y l a naturaleza especial de l a división d e números complejos e s u n a consideración clave. El límite cuando z � z0 se toma para una z arbitraria que se aproxima a z0 y no a lo largo de alguna dirección particular. La existencia de f' implica mucho acerca de f Se probará en la sección 2.4. que si f' existe, entonces todas las derivadas de f existen (esto es, f", la derivada [compleja] def' existe y así sucesivamente). Esto está en marcado contraste con el caso de una función g(x) de la variable real x, en el cual g '(x) puede existir sin l a existencia de g"(x). El análisis de las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann, en el teorema 1 .5.8, mostrará cómo la derivada compleja de f se relaciona con las usuales derivadas parciales de f como una función de las variables reales (x, y), y proporcionará un criterio útil para determinar la existencia de f' (z0). Como en el cálculo elemental, la continuidad de f no implica la diferenciabilidad; por ejemplo, J(z) = lz l es con­ tinua pero no es diferenciable (véase el ejercicio 10 al final de esta sección). Sin embargo, como en el cálculo de una variable, una función diferenciable debe ser continua: Proposición 1.5.2.

Si f ' (z0) existe, entonces f es continua en z0.

Demostración.

Por la regla de suma para límites, sólo necesitamos mostrar que lím [f(z) -f( z0)]= O z � z0

Pero

lo cual, por la regia del producto para límites, es igual af'(z0) · O = O.

•

Las reglas usuales del cálculo -la regla del producto, la regla del cociente, la regla de la c adena y la regla de l a función i nversa- pueden emplearse cuando se diferencien funciones analíticas. Ahora expondremos estas reglas en detalle.

75

1 . 5 . F U N C I O N ES ANALÍTICAS

Proposición 1 .5.3. Suponga que f y g son analíticas en A, donde A C e es un con­

junto abierto. Entonces

(i) af + bg es analítica en A y (af + bg) ' (z) = af '(z) + bg'(z) para cuales­ quiera números complejos a y b. (ii) fg es analítica en A y (fg) ' (z) = f' (z)g(z) + f(z)g ' (z). (iii) Si g(z) � O para toda z

E

A, entonces flg es analítica en A y f ' (z)g(z) - g ' (z)f(z) [g(z)]2

(iv) Cualquier polinomio a0 + a 1 z + • rivada a 1 + 2a z + • • • + na 0 zn - 1 2 (v) Cualquierfunción racional

• •

+ a0z" es analítico en todo e con de­

a O + a 1 z + • • · + a zn bO + b 1z + · · · + b z m m

n ------------------

es analítica en el conjunto abierto consistente de toda z excepto aquellos puntos (a lo más, m) donde el denominador es cero. (Véase ejercicio de re­ paso 24 para el capitulo 1 .) Demostración. Las pruebas de (i), (ii) y (iii) son similares a las demostraciones

de los resultados correspondientes encontrados e n el cálculo. El procedimiento puede ilustrarse con la demostración de (ii). Al aplicar los teoremas de límites y el hecho de que límj(z) = f( z0) (proposición 1 .5.2.), obtenemos Z � Zo

l ím

f(z)g(z) -f(z 0)g(z0) z - z0

=

l ím

z � z0

[ /(z)g(z) -/( z)g(z0) z - z0

+

/(z)g(z0) -/(z 0) g(zo) z - z0

]

Para probar (iv) debemos primero mostrar que f' = O si f es constante. Esto es i nmediato de la defi nición de derivada porque f(z) - f( z0) = O. Es igualmente senciHo mostrar que dz/dz = l . Entonces, usando (ii), podemos probar que d -- z 2 = 1 dz

•

z +z

•

1 = 2z

y

d d z 3 = -- (z · z2) = 1 · z 2 + z · 2z = 3z 2 dz dz

--

•

76

CAP. 1 . FUNCIONES ANALÍTICAS

-

En general, vemos por inducción que dzntdz = nz n esto y de (i) y (v) se sigue de (iv) y de (iíi). •

1•

Entonces (iv) se sigue de

Por ejemplo.

d dz

(z 2 + 8z - 2) = 2z + 8

( )

y

d

1

--;¡¡_- z + 1

= -

1 (z + 1 )2

El estudiante también recordará que una de las reglas más importantes para la diferenciación es la regla de l a cadena o la regla de la "función de una función". Para i l ustrar,

Este procedimiento para diferenciar debe ser fam iliar y se justifica con el si­ guiente resultado.

Regla de la cadena. 1.5.4. Sean f : A � e y g: B � e analíticas (A, B son conjuntos abiertos) y asuma que f(A) C B . Entonces g o f (z) = g(f(z)) es analítica y d dz

g

o

f( z) = g ' ( f ( z))

•

f ' (z)

La idea básica de la demostración de este teorema es que si w = f( z) y w 0 =

f(z0), entonces

g(f( z)) - g(f(z0))

g(w) - g(w0)

z - z0

w - w0

y si hacemos que z

f(z) - /(z0) z - z0

z0, también tenemos que w � w 0 y el lado derecho de l a ecuación precedente resulta ser g' (w0)f ' (z0). El problema e s que aun si z � z0, po­ dríamos tener w = w 0. Debido a esta posibilidad, damos una demostración más cui­ �

dadosa. (Aun cuando aquí la regla de l a cadena puede deduci rse de la regla de la cadena para la derivada usual de funciones de varias variables -véase la demostra­ ción de 1 .5.8.-, una demostración independiente es instructiva.)

{

Demostración. Sea w0 =f(z0) y defínase, para w e h(w) =

:

g(w) - g(w o) - g ' (w o) - w0

B,

1 .5. FU NCIONES ANALÍTICAS

77

Dado que g ' (w 0) existe, h es continua. Como la composición de fu nciones continuas es continua. lím h(f( z)) == h( w 0)

==

O

z � z0

De la defi nición de h y haciendo w

/(z) - g(w 0) == [h (f(z)) + g ' (w0 )] [ f(z) - w0 ] . Nótese que esto se satisface aun si /(z) == w 0 . Para z #= z 0, obtenemos =

f(z), obtenemos que g

o

Como z � z 0, el lado derecho de la ecuación converge a [O + g ' (w 0)] así que el teorema queda demostrado. •

•

[f' (z 0)],

y : ]a, b [ � C es d i ferenciable, podemos diferenciar la curva cr(t) == f( y(t)) y obtener cr' (t) == f' (y( t)) y' (t). Aquí y' 2 " (t) es la derivada de y como una función ]a, b[ � R , esto es, s i y(t) == (x(t), y(t)), entonces y' (t) == (x ' (t), y ' (t)) == x' (t) + iy ' (t) . Un argumento similar a éste, muestra que si

•

Esta última versión de la regla d e la cadena nos permite desarrollar una versión

compleja del teorema d e cálculo que establece que una función cuya derivada e s idénticamente O , debe s e r constante. El resultado ilustra l a importancia de las

regiones, o conjuntos abiertos y conexos, en los cuales podemos, de acuerdo con la proposición

1 .4. 1 5, conectar cualesqu iera dos puntos distintos mediante una trayec­

toria diferenciable.

Proposición 1.5.5. Sea A e e abierto y conexo y sea f: A � e analitica. Si f' (z) ==

O en A, entonces f es constante en A .

Demostración. Sean z 1 ' z 2,

e

A. Queremos mostrar quef( z 1 ) == /(z 2 ). Sea y(t)

una trayectoria que une z 1 con z 2• Por la regla de la cadena, df(y(t))ldt == f' (y(t)) • y' (t) == O, ya que f' == O. De este modo, si f == u + iv, tenemos que du(y(t))ldt = O y

dv(y(t))ldt

=

O. Del cálculo, sabemos que esto implica que u(y(t)) y v(y(t)) son

funciones constantes de t. Si comparamos los valores en t

/( z l ) = /( z 2 ).

=

ay t

=

b nos da que

•

Claramente, se necesita la conexidad puesto que si A consiste de dos piezas dis­ juntas, podríamos hacer f = 1 en una de las piezas y f = O en la otra. Entonces f' (z) sería igual a O, pero / no sería constante en A.

Mapeos conformes La existencia de la derivada compleja/' da lugar a severas, pero muy útiles, res­ tricciones sobre f. La primera de estas restricciones será aquí discutida brevemente. Otra restricción se mencionará cuando se analicen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el teorema

1 .5.8.

78 y

y e

f ......----...

--4-------� x

Figura 1 .5.1 .

U n mapeo conforme en

--;-------� x

z0.

Se mostrará que "infinitesimalmente" cerca de un punto z 0 en el cualf' (z 0) � O, f es u n a rotación por arg f' (z 0 ) y una amplificación por lf '(z 0) 1 . El térm i n o "infinitesimalmente" se define más precisamente después, pero intuitivamente esto significa que localmente fes aproximadamente una rotación junto con una amplifi­ cación (véase figura 1 .5 . 1 ). Si f' (z 0) = O, la estructura de f es más complicada.

(Este punto será estudiado más adelante, en el capitulo

Definición 1.5.6. Un mapeo f : A

conforme en Zo

si existe una e E [0, 21t[ y una r > O tal que para cualquier curva y( t) que es diferenciable en t = O, para la cual y( t) E A y y( O) = Zo• y que satisface y' (O) � O, la curva a(t) = f(y( t)) es diferenciable en t = O y, haciendo u = cr'(O) y v = y'(O), tenemos que l u l = r lvl y arg U = arg V + e (mod 21t). �

e es llamado

6.)

En este texto, un mapeo será llamado conforme cuando es conforme en todo punto. Así, un mapeo conforme meramente rota y alarga vectores tangentes a curvas. Éste es el significado preciso de "infinitesimal" como se usó previamente. Debe no­ tarse que un mapeo conforme preserva ángulos entre curvas que se intersectan. (Por definición, el ángulo entre dos curvas es el ángulo entre sus vectores tangentes; véase figura 1 .5.2.) y

y

f ......----...

--4-------� x Figura 1 .5.2 .

--;-------� x

Preservación de ángulos por u n mapeo conforme.

1 . 5. FUNCIONES ANALÍTICAS

79

1.5.7. Si f : A � e es analítica y si f' ( z0) =F O, entonces f es confo rme en z0 con e = arg f ' ( z0) y r = l f' (z0)1, verificando la definición 1.5.6.

Teorema del mapeo conforme

La demostración de este teorema es notablemente simple:

Demostración.

Usando la notación precedente y la regla de la cadena, obtene­

mos u = cr' (O) = f'(z 0 ) l u l = l f '(z 0)1

·

•

y'(O) = f' (z 0)

•

l v l , como se pedía. •

v. Así, arg u = arg f' (z 0)

+

arg v (mod 27t) y

El punto en esta demostración es que el vector tangente v a cualquier curva se multiplica por un número complejo fijo, a saber, f ' (z 0) sin importar en qué direc­

ción está apuntando v. Esto se debe a que, en la definición de f' (z 0), l ím se "toma en todas las posibles direcciones" cuando z

�

z .

0

z -> z,

Ecuaciones de Cauchy- Riemann Recordemos que si f : A e e = +

R2 � R2 y si f(x, y) = (u(x, y),

v(x, y)) = u(x, y)

iv(x, y), entonces la matriz jacobiana de f se define como la matriz de las deriva­

das parciales dada por

Df(x, y) =

en cada punto (x, y). Vamos a relacionar estas derivadas parc iales con la derivada compleja. Desde el punto de vista de las variables reales, se dice que f es diferencia­

ble con derivada la matriz Df(x 0, y 0) en (x0, y 0) si para toda e > O , existe una o > O tal que lx , y 1 - (x , y)l < o implica 0 0 l f(x, y) - f(x0 , y 0) - Df(x0, y 0 )[(x, y) - (x0 , y 0)] 1 :$; el (x, y) - (x0 , y 0)1 donde Df(x 0, y0 ) (columna)

•

[(x, y) - (x0 , y 0)] significa la matriz Df(x0 , y 0) aplicada al vector

y lwl representa la longitud de un vector w.

Si f es diferenciable, entonces las parciales usuales duliJx, ()uf()y, dvliJx y dvf()y

existen y Df(x , y ) está dada por la matriz j acobiana. La expresión Df(x , y ) [ w] 0 0 0 0 representa la derivada de f en la dirección w. Si las parciales existen y son conti­ nuas, entonces/es diferenciable. Generalmente, entonces, la diferenciabilidad es un

80

CAP.

l.

FUNCIONES ANA LÍTICAS

poco más fuerte que la existencia de las parciales individuales. (Las demostraciones

de las afirmaciones precedentes no están incluidas aquí pero pueden encontrarse en

cualquier texto de cálculo avanzado, tal como

Elementary Classical Analysis, de J. 1974 cap. 6. El pri ncipal resultado

Marsden, Nueva York, W.H. Freeman and Co., que relaciona las derivadas parciales teorema.

y la analiticidad se enuncia en el siguiente

Teorema de Cauchy-Riemann 1.5.8. Sea f :

A C C � C una función dada, con un conjunto abierto. Entonces f' (z0) existe si y sólo si f es diferenciable en el sentido de las variables reales y en (x0, y0) = z0, u y v satisfacen A

au

ax -

av ay

au ay

y

= -

av ax

--

(llamadas las ecuaciones de Cauchy-Riemann). Así si auJax, auJay, avtax, y avtay existen, son continuas en A y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es analítica en A. Si f' (z0) existe, entonces =

au --

ax

. av ax

+

av

1

. au

= -- - 1

ay

af

--

--

ay

= --

ax

1

=

-

i

af --

ay

Demostración. Vamos primero a demostrar que si f' (z0) existe,

satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann . En el l ímite

/'(z ) o

=

l ím

uy v

/(z) -/(zo) z - zo

z -> :,

vamos a tomar el caso especial en el que z

entonces

=

x + iy. Entonces

u(x, y0) + iv(x, y0) - u (x0, y0) - iv(x0, y0) z

-

z0

X - X0

=

Conforme

x

�

u(x, y0) - u(x0, y0) X - X0

+

i

v(x, y0) - v(x0, y0)

--=----=-.::...._

-

x0, el lado izquierdo de la ecuación converge al límite f' (z0)

.

Entonces tanto la parte real como la imaginaria del lado derecho deben converger a u n límite (véase el ejercicio

2 de l a sección 1 .4). De la definición de derivadas par­ ciales, este límite es (au/ox)(x0, y0) + i(avtax)(x0, y0). Así f' (z0) = ou/ax + i avtax evaluadas en (x0, y0). Enseguida hágase z = x0 + iy. De modo similar tenemos que

81

u(x0, y) - u(x0, y0)

=

+

i(y - Yo)

v(x0, y) - v(x0 , y 0)

--�------��-

Cuando y � y0, obtenemos

1

i

au --

ay

+

ov --

ay

=

dv

.

--

ay

-1

du

--

ay

De este modo, puesto que/' (zo) existe y tiene el mismo valor sin importar cómo

z se aproxima a z0, obtenemos

Al comparar las partes real e imaginaria de estas ecuaciones, deducimos las

ecuaciones de Cauchy-Riemann, así como las dos fórmulas paraj'(z0).•

Otro argumento para esta dirección de la demostración y uno para la implicación

contraria, puede basarse en la representación matricial desarrollada en el ejercicio 10

de la sección. 1 . 1 :

Lema 1.5.9. Una matriz

representa, bajo la multiplicación de matrices, la multiplicación por un número

complejo si a = d y b =

-

c El número complejo en cuestión es a + ic = d - ib. .

Demostración. Primero, vamos a considerar la multiplicación por e l número

complejo a + ic. Ésta manda x + iy a (a + ic) (x + iy) = ax - cy + i(ay + ex), que es lo mismo que

(

ax - cy cx + ay

Recíprocamente, supongamos que

( )( ) a

b

c

d

x

y

= z

•

(x + iy)

)

82

CAP. l . FUNCIONES ANALÍTICAS

para un número complejo

z = a + iJ3. ax +

Entonces obtenemos

by = a.x - J3y

y

ex + dy = ay +

J3x

x, y. Esto implica (haciendo x = 1 , y = O y luego x = O, y = 1 ) b = -J3, e = J3 , y d = a, por lo tanto la demostración está completa. � para toda

Podemos ahora completar la demostración del teorema

que

a = a,

1 .5.8.

De l a definición d e f ' , l a afirmación d e que f ' (z 0) existe es equivalente a la s i ­ E > O, existe u n a o > O tal que O < lz - z 1 < () 0

guiente afirmación : Para cualquier implica

Primero vamos a suponer que f' (z

0)

ciendo

z = (x, y)

y

Df(x 0, y 0) e s la > O existe una () > O tal que, ha­

existe. Por defi n ición,

única matriz con la propiedad que para cualquier

E

z 0 = (x0 , y 0), O < lz - z 01 < o implica

Si comparamos esta ecuación con la precedente y uno recuerda que l a multipli­ cación por un n úmero complejo e s una transformación lineal, concluimos quejes di­ ferenciable en el sentido de las variables reales y que la matriz multiplicación por el número complejo f' (z

0).

au ax

--

av ax

--

--

--

con

Df( z 0)

representa la

Así, al aplicar el lema a la matriz

au ay

a = autax, b = autay, e = avtax, d = avtay,

av ay

tenemos

a = d, b = - e,

las cuales

son las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Recíprocamente, si se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann,

DJ( z 0)

representa la multiplicación por un número complejo (por el lema) y entonces, co­ mo arriba, la definición de diferenciabilidad en el sentido de variables reales se reduce a la de la derivada compleja. La fórmula paraf' (z

0)

se sigue de l a última afirmación del lema.•

Podemos también .expresar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en términos de coordenadas polares, pero debe hacerse con cuidado, puesto que el cambio de coor­

r = Jx2 + y 2 y e = arg (x + iy) es un cambio diferencia­ ble sólo si se restringe e al intervalo abierto ]0, 21t[ o a cualquier otro intervalo abierto de longitud 21t y si se omite el origen (r = 0). Sin tal restricción, e es discon­ tinua porque salta 21t al cruzar el eje X. Si usamos axtar = cos e, aytar = sen e,

denadas polares definido por

vemos que las ecuaciones de Cauchy-Riemann son equivalentes a decir que

83 au

a;-

1 r

=

-

av a9

--

av

a;-

=

-1 r

--

au a9

--

en una región contenida en otra región tal como aquel1a mostrada en la figura Aquí estamos empleando un usual abuso de notación al escribir

1 .5.3. u(r, 9) = u(r cos 9,

r sen 9). (Para un enunci ado más preciso, véase e l ejercicio 1 2 al final de esta sec­

ción.)

y

y

Figura 1 .5.3. Dos regiones de va l i dez de las coordenadas polares.

Funciones inversas Un teorema básico del análisis real es el teorema de la función inversa:

Una función continuamente diferenciable es uno a uno y sobre en un conjunto abierto y tiene una inversa diferenciable en alguna vecindad de un punto donde el determi­ nante jacobiano de la matriz derivada no es O. Daremos aquí una demostración de l a contraparte compleja de este resultado, l a cual supone que l a derivada/' es conti­

nua y depende del correspondiente teorema para funciones de variables reales. Des­

pués de que hayamos probado el teorema de Cauchy en el capítulo la continuidad de f' es automática y en el capítulo

2, veremos que 6 probaremos el teorem a de otra

manera que no depende del teorema de variable real . La demostración dada aquí, de

cualquier modo, ilustra la relación entre variables reales y complejas, y la relevancia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Teorema de la función inversa 1.5.10 Sea f : A � C analítica (con f' continua) y suponga que f ' ( z0) "# O. Entonces existe una vecindad U de z0 y una vecindad V de f(z0) tal que f : U � V es una biyección (esto es, es uno a uno y sobre) y su función inversa f- 1 es analítica con su derivada dada por d dw

f-

1

(w)

=

1 f'(z)

donde w = f(z)

Se previene al estudiante que l a aplicación del teorema de la función inversa

permite a uno únicamente concluir la existencia de una inversa ejemplo, vamos a considerar /( z)

= z2 definida en A = C\jO).

local para f. Por Entoncesf'(z) = 2z "# O

84

CAP. 1 . FU NCIONES ANALÍTICAS

en cada punto de A . El teorema de la función inversa dice que f tiene una in versa analítica local, que es, en efecto, simplemente alguna rama de la función raíz cua­ drada. Pero f no es uno a uno en todo A, ya que, por ejemplo, f(

1 ) = f( -1 ) . Así f

será u n o a u n o ú nicamente dentro de u n a vecindad s uficientemente pequeña alrededor de cada punto. Para demostrar este teorema, recordemos el enunciado para variables reales en dos dimensiones:

Teorema de la función inversa para funciones de variable real. Si f : A e R2 �

R2 es continuamente diferencíable y Df(x0, y0) tiene determinante diferente de cero, entonces existen vecindades U de (x0, y0) y V de f(x0, y0) tales que f : U � V es una biyección, f- 1 : V � U es diferenciable, y Df- 1 (f(x, y)) = [Df(x, y)]-1 (ésta es la inversa de la matriz de las parciales ). La demostración de este teorema puede encontrarse en textos de cálculo avan­ zado. Véase, por ej emplo, Elementary Classical Analysis de J. Marsden (Nueva York: W.H. Freeman and Co., miendo que en el teorema

1 974), capítulo 7. Aceptando este enunciado y asu­

1 .5 . 1 O,f' es continua podemos completar la demostración.

Demostración del teorema 1.5.10. Para funciones analíticas tales como f(z), hemos v isto que la matriz de las derivadas parciales es

du

du

Df =

dx

dy

dv

dv

dX

dy

dU

-Ou

dX

dX

dV

du

dX

dX

-- --

-- --

=

-- --

-- --

que tiene determinante

ya que f' (z) = CJu/dx + i éJvléJx. Todas estas funciones son evaluadas en el punto (x0, y o)

= z 0. Ahora f' (z0) #- O, por lo tanto, Det Df(x0, y 0) = lf ' (z0)12 #- O. Por ende, se

aplica el teorema de la función inversa para funciones de variable real. Por el teore­ ma de Cauchy-Riemann sólo necesitamos verificar que los elementos de [Df(x, y)] -1

satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann y dar (/- 1 ), como se estableció. Como acabamos de ver

dU Df =

dU

dX

ay

dV dX

�

dV

1 .5 .

FUNCIONES ANALÍTICAS

85

y la inversa de la matriz es

1

av

- av

ax

ay

Det Df

-av

dU

ax

ax

Por lo tanto, si escribimos¡- ! (x, y) "" t(x, y) + is(x, y), entonces, comparando

y 1

-dV

Det Df

ax

dS ax

-

:;:;

1

au

Det Df

ay

_ _ _ _

evaluada enf(x0, y 0)

Similarmente, at ()y

:;:;

1

av

Det Df

ax

-----,-

y

dS ay

1

av

Det Df

ay

:;:; -=-----=---:-

Así las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen para t y s ya que se satisfacen para u y v. Por lo tanto, ¡- 1 es compleja-diferenciable. Del teorema de Cauchy­ Riemann vemos que en el puntof( z0)

Una manera alternativa de demostrar que (f- 1 )'(f(z)) "" llf'(z) se bosquej a en el ejercicio 7.

Funciones armónicas y armónicas conjugadas Las partes real e imaginaria de una función analítica debe satisfacer las ecuacio­ nes de Cauchy-Riemann. La manipulación de estas ecuaciones nos lleva directa­ mente a otra propiedad muy importante, la cual ahora separaremos. Una (�nción dos

86

CAP.

1.

FU NCIONES ANALÍTICAS

veces continuamente diferenciable l lamada

u :A

�

R definida en u n conj unto abierto A e s

armónica si (1)

La expresión

\T2u se llama el laplaciano de u y es una d e las operac iones más

básicas en matemáticas y en física. Las funciones armónicas j uegan un papel fun­ damental en los ejemplos físicos discutidos posteriormente en los capítulos 5 y 8. Por el momento vamos a estudiarlas desde el punto de vista matemático. Para que

( 1) tenga sentido, l a función u debe ser dos veces diferenciable. En el ca­ 3 se mostrará que una función analítica es infinitamente diferenciable. Así sus

la ecuación pítulo

partes real e imaginaria son infinitamente diferenciables. Vamos a aceptar (o a asumir) estas propiedades aquí. En particular, las segundas derivadas parciales son continuas y así, un resultado usual del cálculo dice que las parciales cruzadas son iguales. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden entonces ser usadas para mostrar que estas funciones son armónicas.

Proposición 1.5. 1 1 Si f es analítica en un conjunto abierto A y f = u + iv (esto es, si u = Re f y v = Im f ) , entonces u y v son armónicas en A. Demostración. Usamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ()uf()x = ()vJ()y y ()uf()y = - av!ax. Diferenciando la primera ecuación con respecto de x y la segunda ecuación con respecto de y obtenemos (2)

y

Del cálculo sabemos que las segundas parciales son simétricas :

Si sumamos las ecuaciones en el conjunto de ecuaciones

(2) nos da

La ecuación para v se prueba en la misma forma. •

u y v son funciones con valores reales definidas en un subconjunto A de C tal que la función con valores complejos / = u + iv es analítica en A , decimos que u y v son armónicas conjugadas en A. Por ejemplo, Si

u(x, y) = x2 - y 2

y

v(x, y) = 2xy

son armónicas conjugadas una de la otra ya que el las son las partes real e imaginaria

1 .5 . FU NCIONES ANALÍTICAS def( z) = z 2 • En e l ejemplo resuelto 1 .3 . 1 8 vimos que las curvas de nivel d e u y

87 v

se

intersectan en ángulos rectos. Esto no es accidental, la demostración de s u validez general para funciones armónicas usa la misma idea que en 1 .3 . 1 8 y también las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Proposición 1.5.12. Sean u y v amwnicas conjugadas en una región A Suponga que u(x, y) = constante = c 1

y v(x, y)= constante = c2

definen curvas suaves. Entonces estas curvas se intersectan ortogonalmente (véase la figura 1 .5.4.)

y

u =

constante

v

Figura 1 .5.4. Armónicas conjugadas en el caso

u =

x2 - y2,

= constante

v=

2xy, f( z)

=

z2•

Aceptamos, del cálculo, el hecho que u (x, y) = e 1 define una curva suave si el gradiente grad u(x, y) = (oulox, ou/oy) = (oulox) + i(ouloy) es diferente de cero para x y y que satisfacen u(x, y) = e 1 • (El estudiante debe enterarse de este hecho aun cuando es un punto técnico que no juega un papel mayor en los ejemplos concre­ tos.) También es cierto que el vector gradiente u es perpendicular a la curva (véase figura 1 .5.5). Esto puede explicarse como sigue. Si (x(t), y(t)) es la curva, entonces

u(x(t), y(t)) = e 1 , de modo que d

dt [u(x(t), y(t))] = O

88

CAP. l . FUNCIONES ANALÍTICAS

y así, por la regla de la cadena

dU -dx

Esto es,

•X

( dxau

--

' (t) + dU · y ' (t) = Q ay

au

)

ay

·

(x ' (t), y'(t)) = O

grad u

u(x,y) = constante Figura 1 .5.5.

los gradientes son ortogonales a los conjuntos de nivel.

Demostración de la proposición 1.5.12. Debido a las anteriores observaciones, es suficiente mostrar que grad u y grad v son perpendiculares . Su producto interior es

grad u · grad v

du av = -- · -ax dx

+

au dy

--

•

el cual es cero debido a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

dv dy

--

•

Esta propiedad de ortogonalidad de las armónicas conjugadas tiene una impor­ tante interpretación física que se empleará en el capítulo

5. Otra forma de ver por

qué se debe satisfacer esta propiedad es considerar mapeos conformes y el teorema

de la función inversa. Esto se ilustra en la figura 1 .5.6. S i f = u + iv es analítica y f' (z0) =F O, entonces ¡- ! es analítica en una vecindad V de w0 =/(z0) y (/- 1)' (w0) =F O debido al teorema de la función inversa. Si w 0 = e 1 + ie2, entonces las curvas u(x, y) = e 1 y v(x, y) = e 2 son las imáge!les de la lín�as vertical y horizontal que pasan a través de w 0 bajo el mapeo ¡- 1 • Estas deben cruzarse en ángulos rectos ya que ¡- 1 es conforme por el teorema

1 .5.7.

89

y

V

u(x,

1 ---...

y) = c 1

1 ¡-

- - - - -- - - - -

�

=� -

··

� .tJ17v - "'". i. �.· 12· ·. - . .

1

-------

·

--+------T---� !1 • e 1 1 .

Figura 1 .5.6. Puesto que fy {- 1 son anal íticas, son conformes y, por lo tanto, preservan ortogonali dad. La proposición

1 .5. 1 1 dice que la parte real de una función analítica es armónica.

Una pregunta natural es lo opuesto: ¿Toda función armónica es la parte real de una función analítica? Más precisamente: Dada una función armónica

u en un conjunto A, v tal que f = u + iv es analítica e n A? La res­ puesta cabal es un poco tortuosa y depende del conj unto A. Sin embargo, l a respuesta ¿necesita haber una armónica conj ugada

es más simple si nos confiamos nosotros mismos a vecindades pequeñas. En efecto, la propiedad de ser armónica es lo que se llama una propiedad mónica en un conjunto s i las ecuaciones

local. La función u es ar­

{ 1 ) son válidas en todo punto de ese conjunto u cerca de

y la validez de estas ecuaciones depende únicamente del comportamiento de

ese punto.

Proposición 1.5.13.

Si u es una función armónica dos veces diferenciable en un conjunto abierto A y z0 E A, entonces existe una vecindad de z0 en la cual u es la parte real de una función analítica. En otras pal abras, existe una

Oy

v definida en el disco abierto D(z0; r) tal que u y v son armónicas conjugadas en D(z0; r). En efecto, D(z0; r) puede ser tomado como el disco más grande centrado en z0 y contenido en A . Una demostración directa de esto se bosquej a en el ejercicio 32. Una demostración dis­ tinta de un resultado ligeramente más fuerte se dará en el capítulo 2. Ya que las ecuaciones de Cauchy-Riemann deben satisfacerse, v está únicamente determinada r>

una función

excepto por la suma de una constante. Estas ecuaciones pueden usarse como un método para encontrar

v

cuando

u es dada. (Véase el ej emplo resuelto 1 .5.20.)

Ejemplos resueltos 1.5.14.

¿En dónde es analítica f(z) Calcule la derivada.

=

?

90

CAP. 1 . F U NCIONES ANALÍTICAS

Solución. Por la proposición 1 .5.3. (iii) fes analítica en el conjunto A = { z E e lz 3 + 1 � O ). esto es, f es analítica en todo el plano excepto en las raíces cúbicas de -1 = elti: a saber, los puntos e"i13, elti y e5"il3 Por la fórmula para derivar un cociente, la

derivada es f' (z) =

(z 3 + 1 )(3z2 + 2) - (z3 + 2z + 1 )(3z2)

(z3 + J )2

=

1.5.15.

Considere f(z) = z3 +

l . Estudie el comportamiento infinitesimal de f en Zo = i.

Solución. Usaremos el teorema del mapeo conforme ( 1 .5.7). En este caso f'(z0) = 3i2 = -3. Así frota localmente un ángulo 1t = arg (-3) y multiplica longitudes por 3 = lf ' (z0)1 . Más precisamente, si e es cualquier curva que pasa a través de z0 = i,

la curva imagen tendrá, en f(z0), su vector tangente rotado por 1t y alargado por un factor 3. 1.5.16.

Demuestre que f( z) =z no es analítica. Solución. Seaf(z) = u(x, y) + iv(x, y) = x - iy donde z = (x, y) = x + iy. Así u(x, y) = x, v(x, y) = -y. Pero au!ax = 1 y a v/ay = - 1 , en consecuencia au!ax -,.6 av/ay y, por

lo tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann no se satisfacen. Por ende, f(z) = z no puede ser analítica, por el teorema de Cauchy-Riemann ( 1 .5.8). 1.5.17.

Sabemos, por la proposición ! .5.3, que f(z) = z 3 + 1 es analítica. Verifique las ecua­ ciones de Cauchy-Riemann para estafunción.

Solución Si f( z) = u(x, y) + iv(x, y) cuando z = (x, y) = x + iy, entonces en este caso u(x, y) = x 3 - 3 xy2 + l y v(x, y) = 3x2y - y3• Por lo tanto, au1ax = 3x2 - 3y2, aulay = -6.xy, av/ax = 6xy y avtay = 3x2 - 3y2, de lo cual vemos que aulax = av/ay y au/ay = -avtax. 1.5.18.

A* = [z 1 z E A). Suponga que f es analítica en A y defina unafunción g en A* como g(z) = f(z). Demuestre que g es analítica en A*.

Sea A un subconjunto abierto de e y

Sif(z) = u(x, y) + iv(x, y), entonces g(z) =f(z) = u(x, -y) - iv(x, -y). eheca­ mos las ecuaciones de Cauchy-Riemann para g como sigue:

Solución.

a

·

__ (Re g) ax

=

a --

ax

au u(x, -y) - ax

--

1

(x. -y)

a a = - [-v(x, -y)] = ay ay

-

av --

(I m g )

ay

l

x.

-y)

1 .5 . y

a

-

ay

(Re g)

=

=

ay a

FU NCIONES ANALÍTICAS

ay au

u (x, -y) =

a

1

(x. -y)

=

av ax

1

91

(x, -y)

a

- � [-v(x, -y)] = - � (Im g)

Puesto que las ecuaciones de Cauchy-Riemann s e satisfacen y g es diferenciable e n el sentido d e l a s variables reales (¿por qué?), g e s analítica en A * por e l teorema d e Cauchy-Riemann. (Uno puede resolver directamente este ejercicio apelando directa­ mente a l a definición de diferenciabilidad.) 1.5.19. Suponga que f es una función analítica en una región (un conjunto abierto conexo) A y que lf(z)l es constante en A . Muestre que f(z) es constante en A .

Solución. Usaremos las ecuaciones de Cauchy-Riemann para mostrar que f'(z) = O en todo A . Sea f = u + iv. Entonces l f l2 = u2 + v2 = e es constante. Si e = O, entonces lf( z)l = O y, por tanto, f( z) = O para toda z en A. Si e � O, tomamos las derivadas de

u 2 + v2 =

e

con respecto a x y y para obtener

2u � + 2v � = O dX

dX

iJv du 2u -- + 2v -- = 0 ay ay

y

Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann esto s e convi erte en dU

dU

dX

dy

u -- - v -- = 0

dU

dU

v -- + u -- = 0 ay ax

y

Como u n sistema de ecuaciones para las dos incógnitas iJuliJx y iJu!iJy, l a matriz de coeficientes tiene determ inante u2 + v 2 =

e,

que es d i ferente de O. Así l a única

solución es iJu!iJx = iJu!iJy = O en todos los puntos de A. Por lo tanto, f' (z) = iJuliJx

+ i(iJvlox) = O en todo A. Puesto que A es conexo,f es constante (por la proposición

1 .5.5). 1 .5.20. Encuentre las armónicas conjugadas de las siguientes funciones armónicas en C:

b) u(x, y) = sen x cosh y Observación: E l estudiante podría reconocer x2 - y2 y sen x cosh y como las partes reales de z2 y sen z. z = x + iy. A partir de esta observación se sigue que las conj u­ gadas, excepto por la suma de constantes, son 2xy y senh y cos x. (Vamos a ver e n la siguiente sección que sen z e s analítica.) Es i nstructivo, sin embargo, resolver el problema directamente usando las ecua­ ciones de Cauchy-Riemann, debido a que el estudiante no si empre podría reconocer una función anal ítica apropiadaf( z) por simple i nspección.

92 Solución a) Si v es una armónica conjugada de u, entonces iJvliJx = 2y y iJvliJy = 2x. Por lo tanto, v = 2yx + g 1(y) y v = 2xy + g 2(x). Así g 1 (y) = g 2(x) = constante y, por tanto, v(x, y) = 2yx + constante. b) iJvliJx = -sen x senh y y iJvliJy = cos x cosh y. La primera ecuación implica que v = cos x senh y + g1(y) y la segunda ecuación implica que v = cos x senh y + g2 (x). En consecuencia g 1 (y) = g 2 (x) = constante. Por lo tanto, v(x, y) cos x senh y + constante. =

1.5.21. Muestre que u (x, y) = log J x2 + y2 es armónica en

C\jOj. Discuta las posibles ar­

mónicas conjugadas. Solución. Un cálculo directo muestra que

la ecuación de Laplace, ecuación ( 1 ), se satisface y, por lo tanto, la función es ar­ mónica. Si v(x, y) es una conjugada armónica, entonces

iJu

iJv

-- = - -- = -

iJx

iJy

y

____::.....__,.

x2 + y2

iJv

-- =

y

iJy

iJu --

iJx

=

X

x2 + y2

---

Como resultado de integrar la primera ecuación, v = -tan-1 (x/y) + g1(y), y de la segunda, v = tan -1 (ylx) + g2(x). Pero tan-1 (y/x) + tan-1 (x/y) = 1t/2 (¿ por qué ?) y, por ende, v tan-1 (y/x) + constante. =

Nótese que si z = x + iy, entonces lzl = J x2 + y 2 y u(x, y) es la parte real de log z = log lzl + i arg z. Si z0 .� O, podemos escoger el intervalo para el argumento de forma tal que la correspondiente rama del logaritmo esté definida y sea continua en una vecindad de z0• Nuestra función u(x, y) = log lzl es la parte real de ésta. La función v(x, y) = tan-1 (x/y) = arg z es una armónica conjugada para u en una vecindad de z0 y las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen, y, por tanto, log ZfS analítica (Véase figura 1 .5.7.) y

Figura 1 .5.7. Una rama del logaritmo es anal ítica en una vecindad de z0•

/

/

1 .5. Sin embargo, aun cuando u es armónica en todo

FUNCIONES ANALÍTICAS

e\!OJ, no hay

93

forma de escoger una

armónica conjugada que trabaje en todo este conjunto al mismo tiempo, ya que se debe hacer una elección de tan-1

(ylx).

Tal conjugada debería ser una elección de una rama

del argumento, y no hay forma de hacer esto sin una discontinuidad de salto en algún lado. (V amos a estudiar log z más sistemáticamente en las siguientes secciones.)

Ejercicios l.

Determine los conjuntos en los cuales son analíticas las siguientes funciones y calcule sus derivadas: l

b) z + ­ z

a) (z + 1 )3

d)

(z3 - 1 ) (z2 + 2)

2. Determine los conjuntos en los cuales las siguientes funciones son analíticas y cal­ cule sus derivadas:

a) 3z2 + 1z + 5

b) (2z + 3)4

3z - 1 3 -z

e)

3. ¿En qué conjuntos son analíticas las si guientes funciones? Calcule la derivada para cada una de ellas.

a) z", b)

n es un entero (positivo o negativo)

(z + l /z) 2

e) z/(z n - 2),

n es un entero positivo.

y: ]a, b[ � e diferenciable y f : A � e analítica, con y( ]a, b [ ) C A pruebe que cr = f o y es diferenciable con cr'(t) = J'(y( t))y' (t) imitando la demostración de la regla de la cadena ( 1 .5.4).

4. Para

5. Estudie el comportamiento infinitesimal de las siguientes funciones en los puntos indi­ cados:

a) f(z) = z + 3, z0 = 3 + 4i

e) f(z) =

z2 + z + l z-I

b) f(z) = z 6 +3z, z0 = O

, z0 = 0

6. Estudie e l comportamiento infinitesimal de las siguientes fu nciones en los puntos indicados:

94 j(z) = 2z + 5, I j y que autCJx + CJv!CJy = O en A . Demuestre que existe una constante real e y una constante compleja d tal que /( z) = -iez + d en A . 18. Seaf(z) = z5/lzl 4 si z � O y /(0) = O. a) Muestre quef(z)lz no tiene un límite cuando z ---; O b) Si u = Refy v = lmf, muestre que u(x, O) = x, v(O, y) = y, u(x, O) = v(x, O) = O. e) Concluya que las parciales de u y v existen, y que las ecuaciones de Cauchy­

Riemann se satisfacen, pero que f' (O) no existe. ¿Contradice esta conclusión el teorema de Cauchy-Riemann? d) Repita el ejercicio e), haciendo f = l en los ejes x y y, y O en cualquier otro lado.

e) Repita el ejercicio e) haciendo f(z) = flxyl� 19. Seaf(z) = (z + 1 )/(z - 1 ).

a) ¿Dónde es/analítica? .'-

b) ¿Es/conforme e n z = O? e) ¿Cuáles son las imágenes de los ejes x y y bajof? d) ¿En qué ángulo se intersectan estas imágenes? 20. Seaf una función analítica en un conjunto abierto conexo A y suponga que¡ 0}, círculo {z tal que lzl = exoJ , véase l a

La,línea determinada por y = y0 es mapeada en el rayo

1 .3. 7 .

E l ángulo entre cualquiera de tales rayos y e l vector tangente a l círculo

en el punto de contacto del rayo y el círculo es

1t/2. Así los ( 1 .5.7).

ángulos se preservan. Esto

es consistente con el teorema del mapeo conforme

1.6.8. Muestre que puede definirse una rama de la función w � fW de tal forma que z � � z2 - 1 es analítica en la región sombreada en la figura 1 . 6.5. y use las nota­ ciones de esa figura para muestrar que � z2 - 1 = ,¡r;r; eí(O¡ + 92)12, donde o < el < 21t, -1t < e2 < 1t.

1 04

y

Figura 1 .6.5. Dominio de anal iticidad de

Solución. Si

v z-

1

� z2

-

1.

es una raíz cuadrada de z - 1 y � z

+

1 es una raíz cuadrada de

z + 1,

1 fZ+T es una raíz cuadrada de z2 - 1 (¿por qué?). Para z � ,¡ z - 1 podemos escoger�-definida y analítica en C\jx + iy 1 y = O y x � O]; así z � h - 1 es analítica en C\!x + iy 1 y = O, x � 1 ]. Para z z + 1 podemos escoger¡-definida y analítica en C\ jx + iy 1 y = O y x :5: Oj; por lo tanto, z � JZ+Tes analítica en C\jx + iy 1 y = O, x :5: - 1]. Por ende; z � z - 1 fZ+1 es analítica en C\�� + iyl y = O, lxl � 1 ] con las ramas apropiadas de J-, como se indicó. Con estas ramas tenemos fZ=T = fr;eif!¡l2 y J z + 1 = Ir; ei9f2l, por lo tanto JZ=] h + 1 = v r1 r2ei 0

b) lím z

Z

sen lzl

--7 0

z

4. Debemos si existen los siguientes límites complejos y encuentre sus valores, si existen:

a) lím

z -> 1

-z - 1 b) lím --z --> 1 z-1

log z z-1

5. ¿Es verdad que lsen zl :O (por lo que

a

es creciente), a.(a) =a y a.(b)

=

b

implican que y recorre la curva en el mismo sentido que lo hace y. Éste es e l sig­

nificado preciso de la afirmación que y y

y representan

la misma curva geomé-

2.1. I NTEGRALES DE CONTORNO

trica (orientada) (véase la figura

y'

2 . 1 .4). También, los puntos en [a,

b]

a a los puntos de [a, b] en los que a tiene una inversa e1 estrictamente creciente.)

no existe corresponden, bajo

(Esto se debe a que

1 13

en los que

y no existe.

b

a

b

Figura 2.1 .4. Rep a r ametrización .

Proposición 2.1.5. Si y es una reparametrización de y, entonces

para cualquier f continua definida en un conjunto abierto que contiene a la imagen de y= imagen de y.

Demostración.

e1• Por definición

Si separamos

I

[a, b]

en subintervalos, podemos asumir que

y/= J: f(y(t)). y'(t) dt

y'(t) = d y(t)ldt = ay(a(t))ldt = Y'Ca(t)) a, y s de tal manera que s = ii cuando t

Por la regla de la cadena,

s = a(t) una nueva t = b. Entonces

variable,

y es

=

J: f(y(t))y'(t) dt

=

J:f(y(a(t)));y'(a(t))

��

•

=

a'(t).

Sea

b cuando

dt

= J:f(y(s))'y'(s) ds El cambio de variables en la integral compleja (en este caso

t por s),

se justifi­

ca al aplicar la regla usual para variables reales a las partes real e imaginaria. •

114

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY Esta proposición "justifica" el uso de cualquier curva y que describa a una cur­ va geométrica orientada dada, para evaluar la integra1.1 Esta afirmación se puede ilustrar con un ejemplo. Vamos a evaluar dz, donde y es la línea recta de z = O a z = 1 + i (véase la figura 2.1.5). Elegimos la curva y: [0, l] � C, definida por y(t) = t + it. Por supuesto, cuando escribimos x en dz, nos referirnos a la función que da la parte real de un número complejo (esto es,f(z) =x =Re z). Por ende

J1x

f1x

Así

fr

Jr

Figura 2.1.5. Curva de O a 1

x

dz =

x

+

dz

=

J� x

fol

t(1

o

y(t)"('(t) dt

+ t) "

dt = 1

+

i

2

-

y

i.

Con frecuencia, la orientación es descrita diciendo que "y va de z 1 a z2". Sin embargo, si y es una curva cerrada sobre la cual z1 = z2, necesitamos describirla de un modo diferente. Cuando se resuelven ejemplos, donde las curvas se pueden siem­ pre visualizar fácilmente, el estudiante deberá asumir que una curva cerrada se reco­ rre en contra del sentido de las manecillas del reloj, a menos que se indique lo contrario. Del cálculo, la longitud de arco de una curva y: [a, b] � C se define como /(y)=

J:

ly' (t)ldt=

J: � x'

'

(t)2 +y (t)2 dt

1 Hablando estrictamente, esta afirmación no es correcta, ya que dos transformaciones con la

y'(t) =O.

misma imagen no necesariamente son reparametrizaciones una de la otra. Sin embargo, ellas son repa­ rametrizaciones si ignorarnos los puntos donde

La proposición puede generalizarse para que

cubra esta situación, pero las complicaciones que resultan de la generalización para cubrir este caso, pue­ den omitirse para simplificar la exposición.

2.1. INTEGRALES DE CONTORNO

115

La longitud de arco también es independiente de la pararnetrízacíón, la demos­

2.1.5. El estudiante está familiarizado con el hecho de que la longitud de arco del círculo unitario es 21t, el perímetro del cuadrado tración es similar a la de la proposición

unitario es 4, etcétera.

El siguiente resultado proporciona una importante forma de estimar integrales.

Proposición 2.1.6. Sea f continua en un conjunto abierto A y sea "( una curva C1 por tramos en A. Si existe una constante M � O tal que lf(z)l

t

g'(t) dt

'(t) dt=[u(I)-u(O)]+i [v(l)-v(O)]

= [u(l)+iv(I)]- [u(O)+ iv(O)]=g(l) -g(O) = F(y(l))- F(y(O))

•

Usar este resultado puede ahorrar muchos esfuerzos al resolver ej emplos. Por

f

ej emplo, considere 1z3 dz donde

=

1

así

y es

x 2 + 4y2 = 1 que une z notamos que z3 =t(dz4/dz) y

la porció n de la elipse

con z = i/2. Para evaluar la i ntegral s i mplemente

¡Note q ue ni s iquiera necesitamos parametrizar la curva! Al aplicar el teore­

ma fundamental habríamos obtenido la misma respuesta para cualquier curva q ue una . estos dos puntos. En la siguiente subsección investigaremos, en un contexto general, la i ndependencia del valor de una integral con respecto de la trayectoria particular usada.

El teorema fundamental tiene much rs aplicaciones y ramificaciones, una de las cuales es la s iguie nte demostración de una propiedad de los conj untos abiertos conexos, que apareció por primera vez como la propo s ición

1.5.5. El análogo del

siguiente principio en el dominio complejo, es muy útil en el cálculo. Una función cuya derivada es idénticamente O es constante.

Corolario 2.1.8.

conexo G

e C,

Si f es una función definida y analítica en un conjunto abierto y si f'(z) =O para cada punto z en G, entonces fes constante en G.

Demostración. Fije un punto Zo en G y suponga que

G. Por la proposición

z

es cualquier otro punto en

1.4.15, existe una trayectoria suave y, de Zo a z en G. Por el últi­ Jy/'(1;) di;=O. En consecuencia,f(z) =f(z0). El valor dejen

mo teorema,f(z)-f(z0) =

cualquier punto de G es asi el mismo que s u valor en Zo· Esto es,fes constante en G. •

1 18

Independencia de las integrales con respecto de la trayectoria La idea de que una integral indefinida es una antiderivada no se traslada direc­ tamente al dominio complejo. ¿Qué debemos entender por la integral entre dos pun­ tos? Existen varias trayectorias posibles. La conexión surge en el análisis de uno de los problemas centrales que estudiaremos en este capítulo: ¿Bajo qué condiciones el va­ lor de una integral es independiente de la trayectoria particular que se escoja entre los dos puntos? Considere los siguientes dos ejemplos.

Ejemplo. Sea z0 = 1 y z1 = -1 y sea f(z)

=

3z 2•

Entonces F(z)

=

z3

es una

antiderivada de f en todo el plano complejo. Por lo tanto, por el teorema fundamen­ = que tomemos, tendremos que yf(z) de Zo a

tal, no importa la trayectoria

y

J

z1

dz

F(z1) - F(z0) = 13 - (-1 )3 = 2. El valor de la integral no depende de la trayectoria particular seleccionada, sino tan sólo de la función y de los dos extremos. �

y1

Ejemplo. Nuevamente, sean Zo = 1 y z

1

=

-1, pero ahora tómesef(z) = 1/z. Sea

la mitad superior del círculo unitario de 1 a -l. Entonces

por

y(t) = eit para O ::; t::; 1t. Por lo tanto

Ir1

f(z)

dz =

fJto f(y1(t))Yt (t) dt

y2 la mitad inferior de� círculo _ parametrizada por y (t) = e-•t para O ::; t::; 1t, y 2 Ahora sea

=

y1

está parametrizada , '

{Jte-it ieir dt = 1ti Jo

unitario de

1 a -l. Entonces

y2 está

Los valores de la integral entre Zo y z 1 ahora difieren para dos trayectorias distintas.

�

La dependencia de la trayectoria en el segundo ejemplo, está relacionada al pro­

blema de las antiderivadas. "La" antiderivada def(z) tiene que ser log z. Como vimos

en el capítulo 1, es perfectamente posible definir una rama de la función logaritmo que

sea analítica a lo largo de cada una de las dos curvas, pero

no es posible definir consis­

tentemente una sola rama del logaritmo en un conjunto abierto, que contenga simultá­ neamente ambas curvas. Este modo de ver la dificultad se precisa en el siguiente teorema.

Suponga que f Entonces las siguientes

Teorema de la independencia con respecto de la trayectoria 2.1.9.

es una función continua en un conjunto abierto conexo proposiciones son equivalentes: (i)

G.

Las integrales son independientes de la trayectoria: Si z0 y z1 son dos puntos distintos cualesquiera en G y y0 y y1 son trayectorias en G ile Zo a zl' entonces JY.f(z) dz = f1,f(z) dz.

2.1. 1 NTEGRALES

DE CONTORNO

119

Las integrales a lo largo de curvas cerradas son iguales a 0: Si r es una curva cerrada (aro) contenido en G. entonces r f( z) dz = O. (iii) Existe una antiderivada (global) de f en G: Existe unafunción F definida y analítica en todo G tal que F'(z) = f(z) para toda z en G. (ii)

f

Demostración

La equivalencia de (i) y (ii) se obtiene en la dirección (ii) => (i). al

(i) (ii)

unir las curvas

y0 y -y1 para formar la curva cerrada r y en la di­ z0 y z1 a lo largo de una cur­

rección (i) => (ii). al tomar dos puntos

va cerrada. y pensar que ésta está hecha de dos curvas. una de un punto al otro y la otra de regreso de éste al primero. La construc­

ción se ilustra en la figura 2.1.6. y el cálculo es como sigue:

I

r

f(z) dz

=

I

f(z) dz

'Yo

+

J

-y.

f(z) dz

=

I

'Yo

f(z) dz-

I

"(¡

f(z) dz

Así. la integral a lo largo de un aro cerrado r es O . si y sólo si las

integrales a lo largo de las trayectorias (iii) => (i)

y0 y y1 son iguales.

Esta implicación se sigue del teorema fundamentaL El valor de las

integrales

F(z1) - F(Zo) independientemente de la trayectoria que

se considere.

(i) (iii) Intentaremos usar un extremo

z de la integral para definir el valor de la antiderivada en z. Sea z0 cualquier punto fijo en G y sea z cual­

quier otro punto en G. Puesto que G es abierto y conexo. es conexo

por trayectorias. y de la proposición 1.4.15, existe al menos una tra­

z. Sea y cualquiera de estas trayecto­ rias y hágase F(z) = f(l;) di;. Esto define una función F en G sin ambigüedad alguna. p es (i) dice que el valor de F(z) depende de z yectoria suave en G de z0 a

f 1

y

Figura 2.1.6. 'Yo

120

-

Y1

=

r.

CAP. 2 . TEOREMA DE CAUCHY

120

CAP. 2 . TEOREMA DE CAUCHY

y no de la trayectoria particular elegida, en tanto ésta se encuentre en G. (Por supuesto, también depende de Zo· pero éste se ha fijado a lo largo de toda la discusión .) Decimos que F está bien definida. Nos queda la tarea de verificar que F es diferenciable y que F' =f. Este cálculo se il ustra en la figura 2.1.7. Sea E > O. Ya que G es abierto y f es continua en z, existe un nú­ mero o > O tal que el disco D(z; o) C G y lf(�) -f(z)l < E siempre que 1�-zl < o. Suponga lw-zl < o. Conecte z a w con un segmento de línea recta p. Entonces todo p descansa en D(z; o) y F(w)-F(z) = Así F(w)-F(z) w-z

f

y +p

f(�) d�-

f(z)

_

= _

-

=

�

f

y

f(�) d� =

f

f(�) d�

p

IF(w)- F(z)- (w-z)J(z)l lw-zl l fpf(�) d�- J(z)

JP

l d�l

lw-zl l f [f(�)-f(z)]d�l p lw-zl E

longitud (p) lw-zl

=

E

lw-zl

lw -zl

=E

Por lo tanto, el límite del cociente de diferencias esf{z) y, en conse­ cuencia, Fes diferenciable y F' = J, como se quería•

y

Figura 2 .1.7. Defi n i endo una antiderivada como una integral.

2.1. INTEGRALES DE CONTORNO

121

El lector que esté familiarizado con campos de fuerza conservativos en cálcu­ lo, podrá reconocer la construcción en la última demostración. La integral de un campo de fuerzas a lo largo de una trayectoria, define el trabajo realizado por la fuerza (o al moverse en contra de ella) a lo largo de la trayectoria. El campo se llama conservativo si el trabajo neto realizado a lo largo de una trayectoria es siempre O o, equivalentemente, si el trabajo realizado entre dos puntos es independiente de la trayectoria que se toma entre dichos puntos. Si éste es el caso, entonces tal integral define una cantidad llamada la energía potencial, cuyo gradiente es el campo de fuerza original.

Ejemplos resueltos

2. 1.1 O. Evalúe las siguientes integrales: a)

b)

Jyx dz (y es el contorno del cuadrado unitario). fyez dz (y es la parte del círculo unitario que une 1 a i en la dirección contraria al de las manecillas del reloj).

Solución

a) Defínase y: [0, 4]

� C como sigue: cuadrado unitario son:

y= y1 + y2 + y3 + y4, donde los cuatro lados del Yit) = (3 - t) + i; 2 :5; t :5; 3 y4(t)=o+ (4- t)i; 3 :5; t :5; 4

y 1(t) = t + Oi; O :5; t :5; 1 y2(t)= 1 +(t .- l )i ; 1 :5; t :5; 2 Calculamos como sigue:

I I

y,

y,

I

r,

I Por tanto

Ir

x

4

X

dz = I

1

o

[Re

(Y¡(l))Jy;(t) dt= rl t dt=

Jo

+

2

x dz= J2 [Re (Yit))Jy;(t) dt = J i dt= i 1

x

1

dz = J3 [Re (y3(t))Jy;(t) dt = J3 -(3- t) dt=2 2 4

+

x dz = J4 [Re (Yit))]y� (t) dt = J Odt =o

3

3

dz=I x dz + J x dz + f �

�

�

x

dz + f

�

x

dz=

� + i ++ O =i -

b) e' es la derivada de la función e' y e' es analítica en todo C. Así, cualquiera que sea la parametrización que usemos para la parte del círculo unitario que une 1 a i en sentido contrario al de las manecillas del reloj, tendremos f e' dz = ei- e1, por el

1

122

CAP. 2. TEOREMA D E CAUCHY

122

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

teorema fundamental. También podemos usar la definición original para evaluar la integral directamente. Defínase y(t)

J

Y

ez dz

J:/2 Jrc/2 ·J"'2 0

+1

=

=

2.1.11.

cos t + i sen t,

q_ ,.

'!

O :5: t :o;; 1t/2. Así .

e"0' t+ i se n' (-sen t + i cos t) dt

=

=

=

[- é05 t cos (sen t)

o

•

sen t- e"05' sen (sen t)

[-e"05 1 sen (sen t)

ecos r + i sen t

7tl2

o

et

=

o

t)

+ ie"05 t sen (sen

_

•

cos t] dt

rt/2

o

e1

Claramente, el primer método es más fácil y debe usarse siempre que sea posible.

Sea y la mitad superior del círculo unitario descrito en el sentido contrario al de las manecillas de reloj. Muestre que

f

ez

y

z

Solución. Usaremos la proposición

l(y)

ya que podemos tomar y(t)

=

eil,

:5: 1te

2.1.6. La

f�

=

dz

longitud de arco de y es

ly'(t)l dt = 1t

O :5: t :5: 1t, y y' (t)

=

ieit así ly' l(t)l

to, esto es lo que esperábamos. El valor absoluto de élz, con z sen t, se estima de acuerdo con

ez

z

ya que cos t :5: l . Así, e

=

=

ews.l --

1

=

Sea y el círculo de radio r, alrededor de a E =

O

,

:±: 1,

=

l . Por supues­

ei' = cos t

+

i

M es una cota para lé/zl a lo largo de y y, por lo tanto,

f

entero n

=

:5: e

e' - dz :5: MI(y) y z

2.1. 12.

cos t] dt

sen t + e"05 1 cos (sen t)

•

7t/2

é05' cos (sen t)

•

:±:2, ...

Solución. Primero, sean� O. Entonces

e1t

C.

Evalúe

fy(z

- a)n dz para todo

123 1 d -(z- a)" =(z- a)"+ 1 dz n + 1

que es la derivada de una función analítica y, por tanto, por el teorema fundamental 2.1.7,

Ir

(z- a)" dz =O ·

Segundo, sean � -2. Entonces, otra vez ,

(z-a)"= !!_ -1 (z-a)" dzn + l

1

+

que es analítica en A= C\{aJ. (Nótese que esta fórmula falla sin=-l.) Ya que y está en A, nuevamente el teorema fundamental muestra que f/z- a)" dz =O. Finalmente, sea n = -1. Lo más fácil es proceder directamente. Parametrizamos y como y(6) = rei8 + a, O � e � 2rc (véase la figura 2.1.8). Por la regla de la cadena, y'(6)= riei8, y así

f

1 --dz =

yZ-a

En resumen

2". I 0

21t

I

1 ire;s d6 = (rei8+a)-a

I

r

(z- a)" dz =

{

0

0

i de = 2rci

n""' -1 .

2nz

n =-1

Ésta es una fórmula útil y tendremos ocasión de usarla más tarde. 2 .1.13. Demuestre que no existe una función analítica f definida en C\{Oj tal que f' (z) = 1/z. Solución. Si tal f existiera, entonces, usando el teorema fundamental concluiríamos que J,(l/z) dz = O, donde y es el círculo unitario. Pero por el ejemplo resuelto 2.1.12, [7(1/z) dz= 2ni, por tanto, talfno puede existir. y

Figura 2.1.8. Parametrización del círculo de radio

r con

centro en

a.

124

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

Observacíón. Aun cuando d(log z)/dz = 1/z, esto no contradice este ej emplo, puesto z no es analítica en C\IOJ; es analítica únicamente en C menos el eje x nega­

que log

tivo incluyendo al cero.

SUPLEMENTO DE LA SECCIÓN 2.1: SUMAS DE RIEMANN La teoría de integrales de contorno complejas, puede basarse directamente en una definición en términos de aproximaciones por sumas de Riemann, como en el cálculo. Si y es una curva de a aben el plano complejo y f es una función definida a lo largo de , Z11_ 1 =b en y y formar la suma y, podemos elegir puntos intermedios a = Zo· z1, z2, •

.

•

n

Lf(zk)(zk- zk_1)

k=l

(véase la figura 2 . 1.9). Como en el cálculo, si estas sumas se aproximan a un límite conforme al máximo de lzk- zk 11 tiende a O, tomamos ese límite como el valor de la integral f1J(z) dz. Las propiedades de la integral dadas en la proposición 2. 1 .3 se siguen en este enfoque, en mucho, de la misma manera que se siguen las propiedades correspon­ dientes en el cálculo de variable real. Para ver que esto lleva al mismo resultado que la definición 2. 1. 1, cuando y es una curva C1 , suponga que z(t) = u(t) + iv(t) es una pa­ rametrización continuamente diferenciable de y con z(tk) = zk. El teorema del valor medio garantiza que hay números ti: y ti', entre tk _ 1 y tk, tales que zk- zk _ 1 = _

[u'(t�) + iv '(t�')] (tk- tk- 1). Así, las sumas de Riemann Z:.f(zk) (zk- zk 1) corres­ ponden a las sumas de Riemann de ff(y(t)) (y'(t)) dt, después de separar las partes _

real e imaginaria. Este enfoque de la integral, puede ser usado para curvas más generales y es, al­ gunas veces, útil para escribir aproximaciones a la integral. Por ejemplo, la propo­ sición 2. 1.6 puede establecerse usando la desigualdad del triángulo: para cualquier aproximación por una suma de Riemann tenemos que ,Y

b

y

a

-f------_. x Figura 2.1.9.

Una aproximación pol i gonal a y.

125

::; M/(y) El último paso usa el hecho que lzk - z k _11 es la longitud del segmento de línea de zk a zk -1' el cual no es mayor que la distancia entre ellos a través de y. Como la estimación es válida para cada aproximación, debe ser válida para la integral, que es su límite.

Ejercicios l. Evalúe lo siguiente:

JY y dz, donde y es la unión de los segmentos de linea que unen a O con i y luego con i +2. Ir sen 2z dz, donde y es el segmento de línea que une a i + 1 con -i. e) JyZez2 dz, donde y es el círculo unitario.

a)

b)

2. Evalúe lo siguiente:

a) b)

J'Yxdz, donde y es la unión de los segmentos de línea que unen a O con i y luego con i + 2. [ y(z2 + 2 z + 3) dz, donde y es el segmento de línea recta que une a 1 con 2 + i.

e)

[yz

� 1 dz,

donde y es el círculo de radio

2

centrado en

1,

recorrido una vez en

sentido contrario al de las manecillas del reloj.

3. Evalúe

JY (1/z)dz, donde y es el círculo de radio 1 centrado en 2, recorrido una vez en senti­

4. Evalúe

fr

do contrario al de las manecillas del reloj.

1 dz donde y es la curva del ejercicio 3. z 2 - 2z ,

5. ¿Es Re {f fdzj = frRef dz? y 6. Demuestre la proposición 2.1.3. 7. Evalúe lo siguiente:

a)

fr i dz, donde y es el círculo unitario recorrido una vez en dirección contraria al sen­ tido de las manecillas del reloj.

, b)

8.

J/x2 y2) dz, donde y es la línea recta desde O a -

Evalúe

a)

i.

fr z2 dz a lo largo de dos trayectorias que unen (0, 0) con (1, 1) como sigue:

y es la línea recta que une

(0, 0) con (0, O)

b) y es la línea quebrada que une

En vista de su respuesta a 8 de alguna función analítica

a)

(1, 1).

con

( 1,

O) y luego une (1, O) con ( l,

1)

.

y b) y el teorema fundamenta], ¿podría ser z2 la derivada

F(z)?

126

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

9. Estime el valor absoluto de

f

y

10.

dz

2 + z2

donde y es la mitad superior del círculo unitario. Sea C el arco del círculo lzl = 2 que está en el primer cuadrante. Muestre que

11. Evalúe lo siguiente:

a) b)

J.zl: : f.,¡: ��; J.zl: z

1

;

1

1

dz z

I�ZI

fy z2 dz donde y es la curva dada por y(t)

=

eit

sen3

t,

O� t� n/2.

12. Sea y la curva cerrada que está enteramente en C\{z 1 Re z � Oj. Muestre que f (1/z) dz = O. 1 13. Evalúe f z sen z2 dz donde y es el círculo unitario. 1 14. Dé algunas condiciones sobre una curva cerrada y que garanticen que f ( 1/z) dz = O. 1 15. Sea y el círculo unitario. Demuestre que

f

y

16.

2.2.

sen z

z2

dz

<

_

2ne

Demuestre que la longitud de arco /(y) de una curva no cambia si se reparametriza.

EL TEOREMA DE CAUCHY: VERSIÓN INTUITIVA En matemáticas es importante tener un conocimiento intuitivo y ser capaces de expresar es intuición en forma precisa. En esta sección se discutirá de manera un tanto informal el teorema de Cauchy; las demostraciones serán simples, y las defi­ niciones, algo casuales (aunque enteramente adecuadas para l a mayoría de las apli­ caciones). En la sección 2.3 se dan definiciones más precisas, teoremas más finos y demostraciones más completas. Esa sección puede omitirse, pero tal omisión es re­ comendable sólo si existe el deseo de pasar rápidamente a secciones posteriores so­ bre aplicaciones del teorema. Una forma del teorema de Cauchy establece que si y es una curva cerrada sim­ ple (la palabra "simple" quiere decir que y se intersecta con ella misma sólo en sus extremos)2 y sif es analítica en y dentro de y, entonces

(véase la figura 2.2.1). 2 En situaciones apropiadas, y realmente no tiene que ser simple. Este caso, en la sección 2.3.

más

general, se discute

127

fes analítica aquí

Figura 2.2.1. Teorema de Cauchy:

JY f =O.

Si la función f no es analítica en todo el interior de y, entonces la integral puede o no ser O. Por ejemplo, sea y el círculo unitario y f(z) = 1/z. Entonces,fes analítica en todo punto excepto en z =O y la integral no es cero. En efecto

por el ejercicio resuelto 2.1.12. Por otro lado, sif(z) = 1/z2, entoncesfes también analítica en todo punto excepto en z = O, pero ahora la integral es O. _ELv _ ªlm· O no rc;:sulta del teorem_ª de Cauchy -fno es analítica en todo el interior de y- sino del hecho de quef tiene una antiderivada en C\jO}, a saber, fes la antiderivada de -1/z. El teorema de independencia con respecto de la trayectoria (2.1.9) muestra que la conclusión del teorema de Cauchy está íntimamente ligada a la existencia de una antiderivada de f. Esto se hace explícito en la proposición 2.2.5. Nuestra demostración del teorema de Cauchy en esta sección utiliza un teorema del cálculo avanzado llamado el teorema de Creen. (La demostración que se da en la sección 2.3 no se basa en este teorema). El teorema de Creen establece que dadas las funciones P (x, y) y Q(x, y),

(1)

Recuerde que si y: [a, b]

JI'

�

C, y(t) =(x(t), y(t)), entonces definimos

P(x, y) dx

=

J:

P(x(t), y(t))x'(t) dt

128

CAP.

2.

TEOREMA DE CAUCHY

y

f Q(x, y) dy J: Q(x(t), y(t))y'(t) dt =

1

En la ecuación ( 1

), A

representa el "interior" de y, y se recorre e n una direc­

ción contraria al sentido de las manecillas del reloj, y P y

Q son lo suficientemente

suaves --es suficiente que sean de clase C1-. (Véase un texto de cálculo tal como J.

Calculus 1/1, Nueva York; Springer-Verlag, 1 985, pp. 908y Tromba, Vector Calculus, 2a. ed. , Nueva York, W.H. Freeman

Marsden y A. Weinstein,

91 1, o J. Marsden and Company, 198 1, pp. 404-413, para una demostración de la ecuación ( 1 ).)

En este punto el lector podría preguntar, "¿Qué es, precisamente, el interior de y?"

Intuitivamente, el significado de "interior" debe ser claro. La expresión precisa de este

concepto se basa en el teorema de la curva de Jordan ("Cualquier curva cerrada simple tiene un 'interior ' y un 'exterior'"), el cual será enunciado en el suplemento de la

próxima sección.

Versión preliminar del teorema de Cauchy Teorema 2.2.1. Suponga que f es analítica, con la derivada f continua sobre y en el interior de una curva cerrada simple y. Entonces

(2)

Demostración. Al poner

f= u

+

iv, tenemos

Lf= L f(z) dz = L (u + iv)(dx i dy) = J v dy) i J dy v dx) +

Y

(u dx-

+

Y

(u

+

Al aplicar el teorema de Green, ecuación (1 ), a cada integral, obtenemos

f f= Jf [- axav _aauyJ dx dy Jf [aaux oyav] y

A.

+

¡

_

A

dx

dy

Ambos términos son O debido a las ecuaciones de Cauchy-Riemann. •

f'

En la sección 2.3 se da una demostración de una versión más precisa del teore­ ma de Cauchy, debida a Édouard Goursat, en la cual no se asume que

es continua.

2.2. VERSIÓN INTUITIVA

129

La continuidad de f' se sigue automáticamente, pero esto no es obvio. Esto también elimina la suposición de que la curva es simple. En muchos casos, la suposición de simplicidad puede evitarse viendo la trayectoria como si estuviera formada de dos o más tramos simples. En la figura 2.2.2, la "figura en forma de ocho" es tratada como dos aros simples. Como un ejemplo del uso de la ecuación (2), sea y el cuadrado unitario y sea f(z ) = sen (ez2 ). Entonces, fes analítica sobre y en el interior de y (en efecto, f es = O. entera) y así

f.,/

-

---

-

-

Figura 2.2.2. Tratamiento de una curva no simple como si estuviera formada por varios aros simples.

Teorema de deformación Es importante poder ser capaces de estudiar funciones que no son analíticas en todo el interior de y y cuya integral, en consecuencia, podría no ser O. Por ejemplo, f(z ) = 1/z no es analítica en z = O, y 1f = 2ni , donde y es el círculo unitario. (El punto z = O se llama una singularidad de f). Para estudiar tales funciones es

f

f1Jpor J:yj, donde y es una curva simple (digamos, un círculo). Entonces, con frecuencia, f:yfpuede ser evaluada. El procedimiento que

importante poder remplazar

nos permite pasar de y a y se basa en el teorema de Cauchy y es el siguiente.

2.2.2. Sea f analítica en una región A, y sea y una curva cerrada simp le en A. Supóngase que y puede deformarse continuamente en otra curva cerrada simple y sin salirse de la región A. (Decimos que y es homotópica a y en A). Entonces Versión preliminar del teorema de Cauchy

(3) NoTA. La definición precisa de "homotópica" se da en la sección 2.3, y la suposición de que las curvas son simples será eliminada.

130

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

El teorema de deformación se i l ustra en la figura 2.2.3. Nótese q uefno necesi­

y, por lo que el teorema de Cauchy n o i mplica q ue las i ntegrales en l a ecuación (3) son O. En e l enunciado del teorema de deforma­ ta ser analítica en el interior de

ción, implícitamente se considera que tanto

y como

c ontraria al sentido de las manecillas del reloj .

Figura 2.2.3.

y son recorridas en una dirección

Teorema de deformación.

Demostración. Considérese la figura 2.2.4, en la cual e s tá d i b uj ada una curva

"(0 q ue une a y con

Y, asumiremos que tal c urva puede ser trazada (esto se puede en

todos los ejemplos prácticos). Obtenemos una nueva curva formada por l uego

-y, y l uego - y0,

, en ese orden.

y, luego y 0,

2.2.4. En esta (2)) nos da

El interior de esta c urva es la reg ión sombreada en la figura

región,fes analítica, por lo que el teorema de Cauchy (ecuación

( f= O Jr+Yo-Y-Yu Estrictamente hablando, esta nueva curva no es una c urva cerrada simple, pero

esta objeción puede eliminarse al trazar dos copias paralelas de

conforme las dos copias se j untan. De

r J= O Jy+yu -Y-Yo obtenemos

JY fYo fY- JYo f+

esto es

como se pedía. •

f-

f-

f= o

y0 y tomar el l ímite

2.2.

VERSIÓN INTUITIVA

131

La idea básica de esta demostración es también la base de la demostración más técnica de la versión precisa del teorema de deformación considerado en la sección 2.3, pero en esta demostración más técnica, la sencillez de las ideas clave se pierde al­ gunas veces.

La curva empieza

� y termina aquí

Figura 2.2.4. Curva usada para demostrar el teorema de deformación.

Regiones simplemente conexas

Una región A C C se llama simplemente conexa, si A es conexo y cualquier z0 e A; va y en A puede ser deformada en A en alguna curva constante y(t) también podemos decir que y es homotópica a un punto o es contrictible a un punto. Intuitivamente, una región es simplemente conexa cuando no tiene hoyos; esto se debe a que una curva que rodea a un hoyo, no puede reducirse a un punto en A sin salirse de A (véase la figura 2.2.5). En consecuencia, el dominio en el cual una función analítica tiene una singularidad, como /(z) llz, no es simplemente conexo. Tales regiones son importantes porque deseamos estudiar singularidades en detalle en el capítulo 4. =

=

a}

b}

e)

Figura 2.2.5. Región simplemente conexa (a) y regiones que no son simplemente co­ nexas (by e).

132

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY Al aplicar el teorema de la curva de Jordan (véase el suplemento de la sección

2.3) podemos demostrar que una región es simplemente conexa si, para cada curva cerrada y en A, el interior de y también está en A. Esta conclusión es, intuitivamente, bastante obvia y el estudiante deberá tratar de convencerse de que así es. Podemos

también aplicar el teorema para probar que el interior de una curva cerrada simple

es simplemente conexo.

Podemos reescribir el teorema de Cauchy en términos de regiones simplemente

conexas como sigue.

Corolario 2.2.3. Sea f analítica en una región simplemente conexa 1 curva cerrada simple (C por tramos) en A. Entonces

f'Y

A y

sea y una

f=O

Independencia con respecto de la trayectoria y antiderivadas En el teorema de la independencia con respecto de la trayectoria

(2. 1 .9), vimos

cómo relacionar la anulación de integrales a lo largo de curvas ceiTadas con la inde­

pendencia de las integrales entre dos puntos con respecto de la trayectoria y la existencia

de antiderivadas en regiones. Podemos sacar partido de estas ideas en el presente contexto.

Suponga que f es analítica en una región simplemente conexa Entonces, para cualesquiera dos curvas y 1 y y2 que unen dos puntos z0 y z1 en (como en la figura 2.2.6), tenemos fy1 f = h/·

Proposición 2.2.4. A.

A

-

A

Figura 2.2.6. Independenci-a de la trayectoria.

Demostración� Considere la curva cerrada y = y2

y1• (En esta demostración suponemos, debido a que anteriormente hemos asumido la simplicidad, que y es una curva ceiTada simple. Como se señaló, mostraremos en la siguiente sección que esto no es necesario.) Por el teorema de Cauchy,

-

133

O= y así

I I J-I I ¡-f 'Y

f=

"12

"12

como se quería.

•

Exactamente como en el teorema antiderivada paraf en la región.

'Y¡

2.1.9,

Teorema de la antiderivada 2.2.5. Sea

'Y¡ f

f

también obtenemos la existencia de una

definida y analitica en una región simplemente conexa A Entonces existe una función analítica F definida en A excep­ to por la adición de una constante, tal que F'(z) = f(z) para toda z en A Decimos que F es la antiderivada de f en A.

f

Demostración. La existencia de la antiderivada se sigue del teorema de la inde­ pendencia con respecto de la trayectoria. (Estrictamente hablando, debemos primero deshacernos de la suposición de curvas simples.) La aseveración sobre la unicidad quiere decir que si Fes cualquier otra de tales funciones, entonces F0(z) = F(z) + C, para alguna constante C. Esto se sigue debido a que la región es conexa y (F0 - F)' (z) = Fó (z) - F'(z) = f(z)- f(z) = O para toda z en A. Así, F0- Fes constante en A por el corolario 2.1.8. •

Si A no es simplemente conexa, el resultado no se satisface. Por ejemplo, si A = e \jo¡ y f(z) = l lz, no existe Fdefinida en todo A con F' =f. {Véase el ejemplo resuel­ to 2.1.3.) En algún sentido F debiera ser el logaritmo, pero no podemos definir éste de una manera consistente en todo A. Sin embargo, en cualquier región simplemente conexa que no contenga al O, podemos encontrar tal F. Ésta es la base de la siguiente discusión. Proposición 2.2.6. Sea

A una región simplemente conexa tal que O ii!O A. Entonces existe una función analítica F(z), única bajo la adición de múltiplos de 2ni, tal que eF(z) = z. El logaritmo otra vez

Por el teorema de la antiderivada, existe una función analítica = F con F'(z) l lz en A. Fijemos un punto z0 E A. Entonces Zo está en el dominio de alguna rama de la función log definida en la sección 1.6. Si ajustamos Fal sumarle una constante de tal manera que F(z0) = log z0, entonces en Zo· eF(zo) = z0• Quere­ mos ahora mostrar que eF(z) z es cierto para toda A. Para hacer esto, hacemos g(z) = eFtz. Entonces, puesto que O e A, g es analítica en A, y ya que F'(z) = 1/z, Demostración.

=

g'(z) =

Z

1

•

z_ _

•

eF(z) -

z2

l

.

eF(z)

=O

134

CAP.

2.

TEOREMA DE CAUCHY

A.

Así g es constante en Pero g = 1 en > < F consecuencia, e z = z en todo

A.

z0, por lo tanto, g es 1 en todo

A.

En

F y G funciones analíticas e n A y sean eF(z) = z y eG = z. Entonces eF- G(z) = 1, y así, en un punto fijo z0, F(z0)- G(z0) = 21tni para algún entero n. Pero F'(z) = 1/z = G'(z), por lo tanto, tenemos d(F- G)ldz = O, de lo cual concluimos que F- G = 21tni en todo A. • Para la unicidad; sean

Escribimos

F(z) = log z y llamamos a tal elección de F una

rama

de Iog en

A.

Claramente, este procedimiento generaliza el procedimiento descrito en la sección

1.6 y obtenemos el log usual como se definió en esa sección, si

y e l eje real negativo. Nótese que este conjunto

embargo, el conjunto

A

A

A

es C menos el O

es simplemente conexo. Sin

en esta proposición, puede ser más complicado, como se

describe en la figura 2.2.7.

y

Figura 2.2.7. Un posible dominio para la función log.

Ejemplos resueltos 2.2.7.

Evalúe las siguientes integrales: a) b) e)

,//

d)

f1ez dz, donde y es el perímetro del cuadrado unitario. f111z2 dz, donde y es el circulo unitario. [yllz dz, donde y es el circulo 3 + eí9, o� e� 21t. f1z2 dz, donde y es el segmento que une 1 + i con 2.

Solución

a) eZ es entera:

da simple. Alternativamente,

b)

e)

f1e' dz =O, ya que y es una curva cerra­ derivada de ez, y puesto que y es cerrada,

así, por el teorema de Cauchy,

ez

es la

podemos aplicar el teorema de la independencia con respecto de la trayectoria (2.1.9).

llz2 está definida y es analítica en c\(oj y es la derivada de -1/z, que está definida y es analítica en C\!0]. Por el teorema (2.1.9) y el hecho que el círculo unitario está en C\!O], tenemos J11/z2 d z =O. Alternativamente, podemos usar el ejemplo resuelto 2.1.12, para nuestra solución.

y= 3 + ei9, O� e� 21t, no pasa por el O ni lo incluye en su interior. En consecuencia, 1/z es analítica sobre y y en el interior de y, así por el teorema de Cauchy, f1llz dz =O. Una solución alternativa, pero menos directa, es la siguiente.

El círculo

2.2.

La región

!x

+ iy 1

x > Oj

VERSIÓN INTUITIVA

es simplemente conexa y

llz

1 35

es analítica allí. Por lo

tanto, por la proposición 2.2.6, 1/z es la derivada de alguna función analítica F(z)

(una de las ramas del log z) y así, ya que y es cerrada, tenemos, por el teorema de la independencia con respecto de la trayectoria, que

fyllz dz =O.

d ) z2 es entera y es la derivada de z3/ 3 , que es también entera. Por el teorema 2.1.9,

f

y

z2 dz = _1 3

z3

2

(2)3

=- 3 l+i

(1 + í)3 3

_

10

2i

-3-3

Observación. En a) y en e) el primer método usa el teorema de Cauchy; el método

alternativo se basa en el hecho más elemental de que si f(z) es la derivada de otra

función analítica, entonces la integral de

f alrededor

de un contorno cerrado, es O

(véase el teorema de independencia con respecto de la trayectoria). Por otro lado, tenemos el teorema de la antiderivada, que establece que cualquier función analítica

definida en una región simplemente conexa es la derivada de otra función analítica.

Se le recuerda al estudiante que requerimos del teorema de Cauchy para poder

demostrar el teorema de la antiderivada.

2.2.8. Evalúe f-y

O tal

O, está enteramente en el interior de y. Nuestra intuición debe decimos que podemos deformar y en y sin pasar a través del O (esto es, permaneciendo en la región de analiticidad de llz, C\jO]; véase la figura

que e l círcu l o

y de radio r y centrado

2.2.9). Por lo tanto, el 2. 1 . 1 2 muestran que

en

teorema de deformación y los cálculos en el ejemplo resuelto

f

y

1 - dz = z

I

1 - dz = 2xi

'Y z

y

Figura 2.2 .9. Deformación de y e n el círculo y.

2.2. 1 O.

Bosqueje una demostración de esta extensión del teorema de defonnación. Suponga que yl '

.

, 'Yn san curvas cerradas simples y que y es una curva cerrada simple Yn (véase la fig ura 2.2. 10). Entonces

con f analítica en la región entre y y y1 , .

.

I

y

f=

n

l:

k= 1

•

•

•

f

yk

,

f

1 37

Figura 2.2.1 0. Teorema de deformación generalizado.

Yn que unen y con y1 , Solución. Dibuje curvas y l ' y2 , Yn• respectivamente, como se muestra en la figura 2.2. 1 1 (a). Denótese por p a la curva dibujada en l a figura 2.2. 1 1 ( b) . E l interior de p es u n a región d e analiticidad de f, y a s í f �� O, •

•

•

,

•

•

•

,

=

-Yn' y cada Y; recorrida dos veces en direcciones pero p consiste de y, -y 1 , y2 opuestas y, por tanto, tas contribuciones de cada una de estas últimas porciones se cancelan. Así -

0 = ( f+ Jy

f

,

-Y¡

•

•

•

,

f + ··· +

f f= f !- ± f f -Yn

Y

;

=

1

Y;

como se pedía.

Figura 2.2.1 1 . Trayectoria usada para demostrar el teorema de deformación genera­ lizado.

2.2. 1 1 . Sea f(z) analítica en una región simplemente conexa A, excepto que posiblemente no es analítica en Zo E A. Suponga, sin embargo, que el valor absoluto de f está aco­ tado cerca de z0. Muestre que, para cualquier curva cerrada simple y que contiene O. a z0,

f/ =

Solución. Sea f: > O y sea yE el círculo de radio f: y con centro en z0. Por el teorema Sea lj(z)l :5; M cerca de Zo- Así de deformación,

J.yf = f1J.

f

'Y.

j(z) dz :5; 2nf:M

138

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

Por tanto, para cualquier E > O,

Haciendo E

L

�

f(z) dz :5: 2rtEM

O, concluimos que f1 f = O.

Ejercicios l. Evalúe las siguientes i ntegrales:

a) f1 (z3 + 3) dz, donde y es la mitad superior del círculo unitario. b) f1 (z3 + 3) dz, donde y es el círculo unitario.

e) f1 e 11' dz, donde y es un círculo de radio 3 centrado en 5i + l .

d) J1cos [3 + J / (z - 3)] dz, donde y es el cuadrado unitario con esquinas en 0, 1 , 1 + i e i.

2. Sea y una curva cerrada simple que contiene al O. Argumente informalmente que

f -4 y

3. Seafentera. Evalúe

z

dz = O

para k un entero, k 2: l . 4. Discuta la validez de la fórmula log z = log r + i8 para el log en la región A que se muestra en la figura 2.2.7. 5. ¿Para qué curvas cerradas simples y se satisface lo siguiente: ,.

L

6. Evalúe f < z - ( 1 /z)) dz, donde y es la trayectoria de la línea recta de 1 a i. y 7. El teorema de Cauchy se satisface separadamente para las partes real e imaginaria de

f?. Si así es, demuéstrelo, si no Ió es, dé un contraejemplo.

8. Sea y1 el círculo de radio l y sea y2 el círculo de radio 2 y centrados en el origen

(recorridos en sentido contrario al de las agujas del reloj). Muestre que

I

Y1

z3(/:

l O)

=

I

12

�

z3

(/: 1

O)

9. Evalúe f1[Z dz, donde y es la mitad superior del círculo unitario primero directamente,

luego, usando el teorema fundamental (2. 1 . 7).

10. Evalúe f1� z2 11. Evalúe

_

·

1 dz, donde y es un círculo de radio + centrado en O.

2z2 - l 5z + 30 dz z3 - l 0z2 + 32z - 32

2 . 3 . VERSIÓN PRECISA donde y es el círculo lzl nador es z

=

2.)

=

1 39

3 . (Sugerencia: Use fracciones parciales; una raíz del denomi­

2.3. EL TEOREMA DE CAUCHY: VERSIÓN PRECISA En la sección 2.2 se desarrolló cierta familiaridad con los teoremas del tipo de

Cauchy, siendo el tema básico el de que si una función es analítica en todo el interior de un contorno cerrado, entonces su i!ltegral sobre el contorno debe ser O. El objetivo

principal de esta sección es dar la demostración precisa de una de las formas del teore­ ma conocida como

versión homotópica del teorema de Cauchy.

Se toma este enfoque

porque hace precisa la noción intuitiva, presentada en la última sección, sobre la defor­

mación continua de una curva. El objetivo principal será dar la formulación precisa y la demostración, de los teoremas de deformación que dicen, someramente, que si una cur­ va se deforma continuamente dentro de una región donde una función es analítica, en­

tonces la integral a lo largo de la curva no cambia. En el curso de la demostración de los resultados no se usará el teorema de Green. En su lugar se usará un enfoque dife­

rente. El lector notará también que en esta sección no se hace referencia a las "curvas

cerradas simples" (excepto al final de la sección, donde se establece la conexión entre el teorema de Cauchy y el teorema de la curva de Jordan) sino tan sólo a "curvas cerra­

das". Ésta es otra ventaja técnica del enfoque que se usa aquí.

Versión local del Teorema de Cauchy Empecemos por analizaL e l importante caso especial en el cual la curva está

contenida en un disco en el q .ie la función es analítica. El método es el clásico y ele­

gante procedimiento de bisección, introducido por Édouard GoU:rsat en 1 883 (véase

Acta Mathematica, Vol. Society, Vol. 1, 1 900, pp.

1 4, 1 884, y 1 4- 16).

Transactions of the American Mathematical

En la mayor parte de esta sección, por "curva" se entiende "curva

C1 por tramos".

Sin embargo, en cierto punto del desarrollo, resultará importante que esto se pueda de­

sechar y que podamos considerar curvas continuas si estamos interesados tan sólo en

integrar funciones analíticas en un conjunto abierto que contenga a la curva. El proce­

so para llevar esto a cabo es un tanto indirecto y es tratado en el suplemento A de esta

sección.

Teorema para un disco de eauchy-Goursat 2.3.1. D = D(z0; p ) C e,

analítica en un disco

entonces

Suponga que

f: D � e

es

tiene una antiderivada en D, esto es, existe una función F: D � e que es analítica en D y que satisface que F' (z) = f(z) para toda z en D. y Si r es cualquier curva cerrada en D, entonces Ir f = O.

(i) f

(ii)

De la discusión en la sección 2. 1 sobre la independencia de la i ntegral con res­

pecto de la trayectoria (véase el teorema 2 . 1 .9), sabemos que (i) y (ii) son equiva­

lentes, en el sentido de que una vez que una de ellas se establece primero, la otra será una consecuencia inmediata. Nuestro problema es cómo obtener alguna de

140

CAP.

2.

TEOREMA DE CAUCHY

el las. En la demostración del teorema de la i ndependenci a con respecto de l a trayectoria (2. 1 .9), se mostró que (ii) se sigue fácilmente d e ( i ) y l a construcción de una antiderivad a para obtener (i) fue proporcionada por la i ndependenc i a con respecto de la trayectoria de las integrales. El plan es ahora curiosamente indirecto. Primero: Segundo:

Tercero:

Demostrar (ii) directamente para el muy especial caso en que y es la frontera de un rectángulo. Mostrar que esta versión limitada de la independencia con respecto de la trayectoria es suficiente para ll evar a cabo la construcción de una antiderivada, similar a aquella de la demostración del teorema de la independencia con respecto de la trayectoria. Con (i) así establecida, la parte (ii), en su total generalidad, se sigue del mismo modo que en el teorema de independencia con respecto de la trayectoria.

El primer paso está incluido en el siguiente: Suponga que R es una trayectoria rectangular con lados paralelos a los ejes y que f es una función definida y analítica en un conjunto abierto G que contiene a R y a su interior. Entonces JRf=O '

Teorema de Cauchy-Goursat para un rectángulo 2.3.2.

Una demostración de esto puede basarse prácticamente en el teorema de Green, como se delineó en la sección 2.2. S i se interpreta la integral, en términos del cálculo de variable real , como un par de integrales de línea de una función con valores vecto­ riales en tomo a la curva R, el teorema de Green convertirá esto en i ntegrales dobles de c iertas cantidades en el interior de R. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann para f dicen que dicha cantidad debe ser O, por lo que la integral debe ser O. La dificultad con esto es que para aplicar el teorema de Green no sólo debemos saber que J es dife­ renciable sino que también la derivada es continua. Nosotros preferimos no tener que asumir eso. Esto resulta ser verdadero, pero usaremos el teorema de Cauchy para de­ mostrarlo, por lo que lo mejor será no usar dicha suposición en la demostración del teorema de Cauchy o nos veremos atrapados en un círculo lógico muy estrecho. En 1 883, Édouard Úoursat notó un modo inteligente de establecer el teorema directa­ mente sin recurrir al teorema de Green. Éste es esencialmente el método que presen­ tamos aquí. Éste tiene la ventaja lógica que acabamos de mencionar, además de que no requiere que el lector éste familiarizado con el teorema de Green.3 Sea P el perímetro de R y 8. la longitud de su diagonal. Divida el rectángulo R en cuatro rectángulos congruentes más pequeños RO ), R(2), R(3>, R(4). Si cada uno de ellos es orientado en la dirección contraria al sentido de las agujas del reloj, entonces la cancelación de los lados comunes nos da Demostración.

3 También se han dado otras demostraciones; por ejemplo, Pringshe i m ( Transactions of tf1e

American Mathematical Society, Vol. 2, 1 902) usa triángulos en lugar de rectángulos, lo cual tiene algu­

nas ventajas. La demostración original de Cauchy es más parecida a la que se dio en la sección anterior

(él tenía implícitamente el contenido del teorema de Green en su demostración; de hecho, Green no formuló el teorema de Green como tal, hasta cerca de 1 8 30, mientras que el teorema de Cauchy está dado en Mé­

moire sur les intégrales définies prises éntre des limites imaginaires, que apareció e n 1 825). Una demostración de Dixon

se

da en S. Lang, Complex Variables, Nueva York, Spring-Verlag, 2a. ed., 1 985,

y una demostración basada en homologías se da en L. Ah l fors, Complex Analysis, Nueva York, McGraw-Hill, 2a. ed., 1 966.

1 41

I J

J

J

J

R t = R ( l ) t + R(2) t+ R (3) t+ R (4) f

Puesto que

para al menos a l guno de l os rec tángulos, debemos te ner q u e l

fR d � {-1 JRfl. (<

l

Llámesea este subrectángulo R 1 • Note que e l perímetro y la diagonal d e R 1 son l a mitad d e los d e R (figura 2 . 1 .3). Repita ahora este proceso d e bisección para obtener una sucesión R 1 , R2, R3, de rectángulos cada vez más y más pequeños tales que •

(i)

fR,

f

•

•

� -� JrR

f

4

n - l

(ii) Perímetro (Rn)

=

� ··· � � JrR t 4

dn perímetro (R) ;,1 =

'Y

G

l

11 11

Figura 2.3.1 . Proced im iento de b i sección. (iii) Diagonal (Rn ) = 1 diagonal (R) 2n

Figura 2.3.2. Repet ición del proceso de bisección de Gou rsat para l a demostrac ión del teorema de Cauchy para un rectángu lo.

1 42

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

=

� 2n

-

1

1 42

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY Dado que estos rectángulos están anidados uno en el otro y se tiene que las

O, deben reducirse a un solo punto wo- Para ser precisos, sea zn l a esquina superior izquierda de Rn . Si m > n, entonces lzn - zml :::;; diagonal (Rn ) = A /2n , por lo que zn forma una sucesión de Cauchy que debe converger a algún punto w0 . Si z es cualquier punto dentro del rectángulo Rn , entonces puesto que toda zk' para k � n, está dentro de Rn , la distancia de z a w0 no puede ser mayor que l a longitud d e l a diagonal d e Rn . Esto es, lz - w01 :::;; A/2n para z e n Rn. De (i) vemos que lfR /1 :::;; 4n lfR fl . Para obtener u n a estimación suficientemen­ n te buena del lado derecho de esta desigualdad, usaremos la d i ferenciabilidad de f en el punto w0 . Para e > O, existe un número o > O tal que

diagonales tienden a

[ J

/(z) -f(w0) Z - W0

�

-

-

/ ' ( w0)

lz - w0 1 < o. S i escogemos sea menor q ue o, entonces siempre que

para todo punto

n

< e

suficientemente grande de modo qu e

A/2n

z dentro del rectángulo Rn . Más aún, por el teorema de indepen­ (2. 1 .9),

dencia con respecto de la trayectoria

( jR,

I dz = O

y

Ya que z es una antiderivada de la trayectoria Rn es cerrada. Así,

= 4n

L JRn n

:::;; 4n :::;; 4n

:s;;

r ) Rn

4n

1 , (z - w0)2/2 es una antiderivada de (z - w0), y

L

f(z) dz -f(w0)

n

ldz -f'(w0)

t

n

(z - w0) dz

[ f(z) -f(w0) - (z - w0)/'( w0)] dz

f(z) -j(w0) - (z - Wo)j' (Wo) idz l

(�)

· perímetro

(Rn)

:5: eAP Puesto que esto es válido para toda

tanto

JR f = O, como se deseaba. T

e

> O, debemos tener que IJR J I = O y por

2.3.

VERSIÓN PRECISA

1 43

Podemos ahora llevar adelante el segundo paso de la demostración del teorema de Cauchy-Goursat para un disco (2.3. 1 ) . Puesto que la función,J, es analítica en el disco D D(z.o; p }, el resultado que se acaba de mostrar para un rectángulo, muestra que la integral de f es O a lo largo de cualquier rectángulo en D. Esto es suficiente para construir una antideri vada deJen forma muy similar a como se hizo en la demostración del teorema de la independencia con respecto de la trayectoria (2. 1 .9), y establecer así la parte (i) del teorema. Nuevamente definiremos la antiderivada F(z) como una integral de z a z0. Sin embargo, no sabemos aún si tal integral es i ndependiente de la trayectoria. En su lugar especificaremos una elección particular de la trayectoria y usaremos la nueva información dispon ible -la analiticidad de f y la geometría de la si tuación, conj untamente con el caso rectangular del teorema de Cauchy- para mostrar que obtenemos una antiderivada. Durante la duración de esta demostración usaremos la notación ((a, b)) para denotar la trayectoria poligonal que va de un punto a a un punto b que consta de dos segmentos, primero uno paralelo al eje x y después uno paralelo al eje y, como en la figura 2.3.3. Si el punto b está en el disco D(a ; o) centrado en a, entonces la trayectoria ((a, b)) está contenida en ese disco. Así, para z E D, podemos definir la función F(z) como =

F(z) y

=

LZo.

z))

/( �) d�

X

Figura 2.3.3. La trayectoria ((a, b)). Queremos mostrar que F' (z) l ím

w -> z

=

=

f(z) . Para ello necesitamos mostrar que

F(w) - F(z) w-z

f(z)

Fijando z E D y E > O, usamos el hecho de que D es abierto y fes continua en D para elegir o > O suficientemente pequeña, de modo que D(z; o) C D y 1/(z) -/(�)1 < E para � E D(z; o). Si w E D(z; o), entonces la trayectoria ((z, w)) está contenida en D(z; o) y por tanto en D. Las trayectorias ((z0, z)) y ((z0, w)) están también contenidas en D y estas tres trayectorias se ajustan exactamente a una trayectoria rectangular R,

144

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

también contenida en D, y que tiene una esquina en z, véase la figura 2.3.4. Podemos escribir, para los dos casos de la figura 2.3.4,

I

��

Figura 2.3.4.

/(�) d� ::!::

f

R

/(�) d� +

J

��

/(�) d� =

J

. /(�) d� ��

Dos posibles configuraciones para R, zO' z y w.

Por el teorema de Cauchy-Goursat para un rectángulo (2.3.2), así la ecuación precedente toma la forma

F(z) +

J( z. w))

JR! (�) di;, = O,

f(l;,) di; = F(w)

Ya que ninguno de los lados del triángulo rectán gulo definido por ((z, w)) puede ser mayor que su hipotenusa, la cual tiene longitud lz - wl concluimos que la longitud de (((z, w))) � 21z - w , y por tanto

l

F(w) - F(z) -/(z) w-z

=

=

=

�

<

1

Lz. w) J{(z. w)) I w)) Lz. w)) lf(l;,) - di;,l lJ

/(!;,) di; - f(z)(w - z)

lw - zl 1

lw - zl

1

((z.

lw - z

1

- l w - zl

l di;

/(z) ]

lw - zl

1

f(l;,) d� -f(z)

¡(z. w))

1/(i;) - /(z)l ldt;,l

E longitud (((Z. w))) � 1

1

w - z1

E · 21w - zl = 2E

2.3. Así, lím =

w --> z

F(w) - F(z) w-z

VERSIÓN PRECISA

1 45

=f(z)

y en consecuencia F' (z) =f(z), como se deseaba. Puesto que f tiene una antideriva­

y es una curva cerrada en D, tenemos que fy f = O por el teorema de independencia con respecto de la trayectoria (2. 1.9). Esto establece la

da definida en todo D y

parte (ii) del teorema y así la demostración está completa. •

Vecindades agujeradas Por razones técnicas que serán evidentes en la sección

guiente variante de

2.4, será útil tener la si­

(2.3.2).

Lema 2.3.3. Supóngase que R es una trayectoria rectangular con lados paralelos a los ejes, y que fes una función definida en un conjunto abierto G que contiene a R y su interior, y que fes analítica en G excepto en algún punto fijo z1 en G que no está sobre la trayectoria R Suponga que en z l ' la función f satisface que lím (z - z1) f(z) = O. Z --> z1 Entonces. fR f=O. Nótese que la condición en este lema es válida baj o cualquiera de las tres situa­

ciones siguientes:

(i) Si f es acotada en una vecindad aguj erada de z 1 •

o

(ii) S i f es continua en G (iii) S i lím f(z) existe z � z1

Demostración. Si z1 está fuera de R, entonces la situación es j ustamente la del teorema de Cauchy-Goursat para un rectángulo (2.3.2), así que podemos asumir que

z1 está en el interior de R. Para E: > O, existe un número o > O tal que lz - z1 1 1/(z)l < E:, siempre que lz - z1 1 < o. Escójase o suficientemente pequeña para lograr eso y de modo que el cuadrado

o centrado en Zp esté completamente S tenemos que 1/(z)l < e:/ lz - z11. Ahora di­ vida R en nueve subrectángulos extendiendo los lados de S como se muestra en la figura 2.3.5.

S

de lados con longitud

dentro de R. Entonces, a lo largo de todo

y

1

8

¡

Figura 2.3.5. La construcción de S y la subdivisión de R para la demostración del lema 2 . 3 .3 .

-8•Z

¡

S

1 46

CAP.

2.

TEOREMA DE CAUCHY

Debido al teorema de Cauc hy-G oursat para un rec tángulo ( 2 . 3 .2}, l a s integrales d e f alrededor de los ocho subrectángulos distintos de S son iguales a O, por lo tanto fsf = [Rf. Pero a lo largo de S tenemos 2E E E < -- = o lz - zl l o/2

lf(z)1 < ya que lz - z 1 1

�

o/2 a lo largo de S. Así

f

s

.

f � Iongitud (S )

2E 2E = 8E = 4o 8 �

Por consiguiente,lfR fl � l f5f l o 8E para E > O. Así, debemos tener que I[Rfl = O y así JR¡ = O, como se deseaba. -y S i reforzamos l a suposición sobre f y asumimos que es continua en z 1 , entonces podemos desistir de la condición que z 1 no está sobre la trayectoria R. Suponga que R es una trayectoria rectangular con lados paralelos a los ejes, y que f es una función definida y continua en un conjunto abierto G que contiene a R y su interior, y que f es analítica en G excepto en algún punto .fijo z1 en G. Entonces [Rf = O. Lema 2.3.4.

El único problema real es estar seguros que la integral se comporta bien si el rectángulo R pasa por z 1 • En este caso, la subdivisión es un poco diferente, pero los cálculos son más sencillos. Otra vez, sea E > O. Podemos escoger o de tal manera que lf(z) - f(z1)1 < E, siempre que lz - z1 1 < o. Si z1 no está sobre R, entonces se aplica el lema 2.3.3 . Si está sobre R, sea S la mitad del cuadrado de lado o, y subdivídase R como se muestra en la figura 2.3.6. Demostración.

y

i

8

S

j

Figura 2. 3.6. Lo q ue pasa si z1 está en R.

8/2

Por el teorema de Cauchy-Goursat para rectángulos (2.3 .2), las integrales de f a l o largo de los cinco subrectángulos distintos de S son iguales a O y , por tanto, fsf=

2 . 3 . VERSIÓN PRECISA

JR¡ Pero a lo largo de S tenemos que lf(z)l que o +• obtenemos

J f :5:

<

s

Así,

De este modo, s i también pedimos

(S) E = 2 oE < E

lfR fl :5: l fs fl

:5: E para toda = O, como se deseaba. Y

Por lo tanto,

JR J

longitud

< E.

1 47

E >

O y así debemos tener que

lfRf l

= O.

S i usamos el lema 2 . 3 . 4 e n vez del teorema de Cauchy-Goursat para u n

rectángulo (2.3.2) en la demostración del teorema 2.3 . 1, obtenemos las correspon­ dientes conclusiones:

Las mismas con­ clusiones que en el teorema de Cauchy-Goursat para un disco (2.3. 1) son válidas, si asumimos únicamente que la función es continua en D y analítica en G\lz 1 l para algún punto fijo z 1 en D. Teorema fortalecido de Cauchy-Goursat para un disco 2.3.5.

Note q ue se asume l a co�tinuidad en

lema 2.3.4 y estar seguros que la integral

z1 •

z1•

Nuevamente se necesita aplicar el

J.yf está definida aun si y pasa a través de

Nótese también que una versión más complicada, pero paralela, del m ismo

argumento producirá la misma conclusión, si hay un n ú mero finito de puntos "malos" en

G, en vez de sólo uno.

Homotopía y regiones simplemente conexas Para extender el teorema de Cauchy a regiones más generales que discos o

rectángulos, y demostrar los teoremas de deformación, debemos clarificar el con­

cepto de deformación de curvas u homotopía que se discutió informalmente en la

sección 2.2. Hay dos situaciones a ser tratadas: dos curvas diferentes entre los mis­

mos dos extremos y dos curvas cerradas que pueden no cruzarse en absoluto. Por

conveniencia, supondremos que todas las curvas están parametrizadas en el i nter­

valo [0, 1 ] , a menos que se especifique otra cosa. (Esto puede hacerse siempre, re­

parametrizando si es necesario.)

Definición 2.3.6. Suponga que y0: [0, 1] � G y y1 : [0, 1] � G son dos curvas con­ tinuas de z0 a z 1 en un conjunto G. Decimos que y0 es homotópica con extremos fijos a y1 en G si existe unafunción continua H: [0, 1 ] X [0, 1] � G, del cuadrado unitario [0, 1] X [0, 1] en G, tal que (i) H(O, t) = y0(t)

(ii) H( l , t) = y1(t)

(iii) H(s, 0) = z0

para O :5: t :5: 1 para O :5: t :5: 1 para O :5: s :5: 1

y (iv) H(s, l ) = z 1

para O :5: s :5:

1

1 48

CAP.

2.

TEOREMA DE CAUCHY

La idea detrás de esta definición es simple. Conforme s varía de O a 1 tenemos una familia de curvas que cambian o se deforman continuamente, de y0 a y1 , como en la figura 2.3.7. El lector debe tener en cuenta que el dibujo no necesita ser de apariencia tan simple como esta il ustración. Las curvas pueden virar, torcerse o cruzarse sobre sí mismas o con respecto de la otra. No se hace l a suposición que las curvas son simples, pero usualmente esto no importa. Un poco más de notación puede hacer más claro el asunto. Si hacemos Y/1) = H(s, t), entonces cada Ys es una curva continua de z0 a z 1 en G . La curva i nicial es y0 y corresponde al l ado iz­ quierdo del cuadrado unitario. La curva final es y1 y corresponde al lado derecho del cuadrado. Todo el lado i nferior va a z0, y todo el lado superior va a z 1 • Las curvas Ys son una familia de curvas intermedias que cambian continuamente. Por ejemplo, el segmento de línea recta de O a 1 + i, el cual es parametrizado por y0(t) = t + ti, es homotópico con extremos fijos a la trayectoria parabólica que va de O a 1 + i, parametrizada por y1 (t) = t + t2i; véase la figura 2.3.8. Una posible homotopía de una curva a la otra es ,

H(s, t) = t + t 1

+s

i

X

Figura 2.3.7. Homotopía con extremos fijos.

X

Figura 2.3.8. U n a t rayectoria rect i l ínea y u na trayectoria paraból ica de O a 1

+

i.

149

2 . 3 . VERSIÓN PRECISA

Por supuesto existe más de una forma de obtener una homotopía entre estas dos curvas. Otra manera de hacer que H(s, t) siga la línea recta entre t + ti y t + Pi:

H(s, t) = s(t + ti) + ( 1 - s)(t + t2i) = t + [st + ( 1 - s)t2]i Se requiere una definición ligeramente diferente para la deformac ión de una curva cerrada en otra. Definición 2.3.7. Suponga que y0: [0, 1 ] � G y y1 : [0, l ] � G son dos curvas cerradas continuas en un conjunto G. Decimos que y0 y y1 son homotópicas como curvas cerradas en G, si existe una función continua H : [0, 1 ] X [0, l ] � G, del cuadrado unitario [0, 1 ] X [0, l ] en G, tal que

y

(i) H(O, t) = yo( t) (ii) H( l , t) = y1(t) (iii) H(s, O)

=

H(s, 1 )

para O :::; t :::; l para O :::; t :::; 1 para O :::; s :::; 1

Otra vez, si hacemos Yit) = H(s, t), entonces cada y,. es una curva continua en G. La tercera condición dice que cada una de ellas es una curva cerrada; véase la figu­ ra 2 .3.9. y

_ ___ _ ...

.,.. -

.,.. ...

-- - ---- - - - - - ..

..

... .... ... '

�

�

t

OL-....L.-..J--.J...._ S Figura 2.3.9. Homotopía de curvas cerradas.

..,

'

' '

.

• 1 '

, ,

\\ ... ..

- - - - - - - - - - - -- - - - -

__

.... ...

-

--

-- -

---

,

\ \ 1 \ 1 1 ' 1 1 , ,

,-'

�----- x

Por ejemplo, el círculo uni tario puede ser parametrizado como y0(t) = cos t + i sen t, y la el ipse x2/4 + y2 = 1 , como y1 (t) = 2 cos t + i sen t. Estas curvas son homotópicas como curvas cerradas en el anillo G = < < 3). Una posibil idad

tzl -+ lzl

para l a homotopía es H(s, t) = ( 1 + s) cos t + i sen t. (Véase la figura 2 . 3 . 1 0.) Si en la figura 2.3 . 1 0 el hoyo no estuviera en medio de G, pero tuviéramos en lu­ gar de eso el disco sólido D = lz tal que < 3j, entonces cualquiera de las dos curvas podrá ser deformada continuamente en un punto. Por ejemplo, H(s, t) = ( 1 - s) y0(t) es una homotopía que contrae al círculo y0, hasta una curva constante en el punto O. Las c urvas intermedias Ys son círculos de radio ( 1 - s) centrados en el O. Si y0 fuera cualquier otra curva en D , entonces la misma definición de H nos daría una homoto­ pía que cambia continuamente la escala de la curva hasta contraerla a un punto. Así, cualquier curva en D es homotópica a un punto en D. Si hubiera un hoyo en el con-

lzl

1 50

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

junto, como lo hay en el anillo de la figura 2.3.10, entonces no podría hacerse esto si la curva rodeara el hoyo. Esto nos conduce a una definición más precisa de la no­ ción de regiones simplemente conexas que aquella que se introdujo informalmente en la sección 2.2. Definición 2.3.8. Un conjunto es llamado simplemente

conexo si toda curva cerra­

da "( en G es homotópica (como una curva cerrada) a un punto en G, esto es, a alguna curva constante. y

Figura 2.3.1 O. Un círculo

homotópico a una elipse.

segunda homotopía entre la línea recta y la parábola en la figura 2.3.8, que se siguió a lo largo de segmentos de línea recta y la homotopía de un círculo hasta un punto en el disco, son sugestivas y nos conducen a la definición de dos impor­ tantes clases de conjuntos simplemente conexos. Recuérdese que si z0 y z 1 son dos puntos cualesquiera y O ::;; s ::;; 1 , entonces el punto sz 1 + (1 - s)Zo están en el segmento de línea recta entre los dos. La

Definición 2.3.9. Un conjunto es llamado

convexo si contiene el segmento de línea

recta entre cualquier pareja de sus puntos. Esto es, si Zo y z1 están en A, entonces también lo está sz1 + (1 - s)z O ' para cualquier número s entre O y 1, (figura 2.3.11 .)

e)

Figura 2.3.11. U n conjunto que es convexo (a) y dos que no lo son (b y e).

2.3. VERSIÓN PRECISA

151

Proposición 2.3.1 0. Si A es una región convexa, entonces cualesquiera dos curvas

cerradas en A son homotópicas como curvas cerradas y cualesquiera dos curvas con los mismos extremos son homotópicas con extremos fijos. Demostración. Sean y0: [0, 1 ) � G y y1 : [0, 1 ] � G dos curvas y defina H(s, t) como H(s, t) = sy1(t) + ( 1 - s) y0(t). Entonces H(s, t) descansa sobre el segmento de línea recta entre y0(t) y y1(t) y, por tanto, está en el conj unto A . Ésta es una función continua, ya que y0 y y1 son continuas. En s = O obtenemos y0{t), y en s = 1 obtenemos y1 (t). S i éstas son curvas cerradas, entonces H(s , O) =

sy1 (0) + ( 1 - s)y0(0) = sy1( l ) + ( 1 - s)y0( 1 ) = H(s, 1 )

y, por tanto, es una homotopía con curvas cerradas en tre las dos. S i ambas van de

z0 a Zp entonces H(s, O) = sy1 (0) + ( 1 - s) y0(0) = sz0 + ( 1 - s)z0 = z0, y H(s, 1 ) = sy1 ( 1 ) + ( 1 - s) y0( l ) = sz1 + ( 1 - s)z1 = z 1 y, por tanto, H es una homotopía de ex­ tremos fijos entre las dos . •

Corolario 2.3.11. Una región convexa es simplemente conexa. Demostración. Sea z0 c ualquier p u n to e n l a región c o n v e x a A y sea y

A . La curva constante en z0, y1 (t) = z0 para toda t, es c iertamente cerrada y las dos son homotópicas por la proposición 2.3. 1 0. • cualquier curva cerrada en

Un tipo l i geramente más general de región simplemente conexa llamada

región estrellada (o en forma de estrella) será considerada en los ejercicios. Para

regiones más complicadas, a menudo nos atenemos a n uestra i ntuición geométrica para determinar cuando dos curvas son homotópicas. En otras palabras, tratamos de

determinar cuándo podemos deformar continuamente una curva en otra sin aban­

donar nuestra región. Una razón es que, en la práctica, raramente usamos las ho­

motopías, H, explícitamente; éstas son, usualmente, herramientas teóricas cuya

existencia nos permite postular algo más. Frecuentemente ésta es la i gualdad de

dos i n tegrales. E n algunas situaciones también podría ser muy complicado real­

mente escribirlas. S i n embargo, debemos estar preparados para j ustificar nuestra intuición geométrica, o con una H explícita o con una demostración de su exis­ tencia en alguna situación particular.

Teorema de deformación Teorema de deformación 2.3.12. Suponga que f es una función anaUtica en un

1 conjunto abierto G y que Yo y y1 son curvas C por tramos en G. (i)

Si y0 y y1 son trayectorias de extremos fijos, entonces

z0

f f "Yo

f=

a z 1 y son homotópicas en G con

"Y¡

f

1 52

CAP.

2.

TEOREMA DE CAUCHY

Si 'Yo y y1 son curvas cerradas que son homotópicas como curvas cerradas en G, entonces

(ii)

f f 'Yo

f-

'Y¡

f

Demostración. La suposición de homotopía significa que existe una función

[0, 1 ] � G, del cuadrado unitario en G, que lleva a cabo una deform ación continua de y0 a y1 en G. Para cada valor de s, l a función "(,(t) H(s, t)

continua

H: [0, 1 ]

X

=

es una curva intermedia tomada durante l a deformación. Similarmente, para cada

t, la fu nción y1(s) H(s, t) describe una curva que cruza desde H(O, t) y0(t) hasta H( l , t) y1 (t). Así, una malla de l íneas horizontales y verticales en el

valor fij o de =

=

=

cuadrado define una correspondiente malla de curvas en G, con el lado izqui erdo

y0, y el lado derecho a y1 . En el caso de extremos y0(s) es una curva constante en z0, y y1 (s) es una curva constante en z 1 • En el caso de curvas cerradas, éstas son la misma curva, de y0(0) ( y0( 1 )) a y1 (O) ( y1 ( 1 )). (Véanse l a s figuras 2.3. 1 2 y 2.3. 1 3 .) Se previene al lector que la malla de del cuadrado correspondiendo a

fij os,

=

=

curvas en G no necesita lucir tan bonita como en esta i l ustración, ya que puede tor­ cerse y cruzar sobre sí misma, resultando algo de apariencia tan enmarañada como una red para peces arrojada sobre la playa. Sin embargo, esto no i mporta para l a demostración. La idea de l a demostración es usar la continuidad uniforme para restringir el problema a discos más pequeños, usar el teorema de Cauchy para u n disco, y l uego reunir n uevamente l as piezas para obtener el resultado deseado. Deseamos u n a

[0, 1 ] t0 < t1

partición del c uadrado < ••• <

sn

=

1 y O

=

X

<

[0, 1 ] tomando puntos intermedios O s0 < s 1 < s2 t2 < · · · < tn 1 l o suficientemente cercanos, para =

=

formar c u adrados tan pequeños, que cada más pequeño c u adrado de l a m a l l a resultante sea mapeado dentro d e u n disco que está completamente contenido e n G,

H

t

1 r-�-"""T'"-T"""--,

0��---L--�--� ��

S

Figura 2.3. 1 2 . Homotopía con extremos fijos.

1 53 y H

t

o !--___.___.__...._.¿ ._ 1-

s

Figura 2.3. 1 3 . Homotopía de cu!Vas cerradas.

como se muestra en la figura 2.3 . 1 4. Podremos entonces apli car el teorema de Cau­ chy para un disc o a l a integral alrededor de cada una de estas trayectorias más pequeñas. Hacer l a subdivisión no es ningún, problema la fu nción H es continua en e l conjunto compacto ( [0, l ] X [0, 1 ] , y así su imagen es un subconjunto compacto de G, por la proposición 1 .4. 1 9. Por el lema de la distancia ( 1.4.2 1 ), se mantiene una d istancia positiva p del conjunto cerrado C\G. Esto es, IH(s, t) zl < p implica que z E G. Pero sabemos (por la proposición 1 .4.23 ) que H es de hecho uni­ formemente continua en el cuadrado. Por lo tanto, existe un número o tal que IH(s, t)-

Figura 2.3.1 4. La subdivisión para 1 a demostración del teorema de deformación.

i(s - s; )2 + (t - t ' ) 2 < o . Si H(s ' , t')l < p, siempre que la distancia ((s, t), (s' , t')) escogemos puntos intermedios igualmente espaciados, para partir [0, l ] X [0, 1 ] en cuadrados pequeños con lados de longi tud 1 /n, la diagonal de cada subcuadrado tendrá una longitud menor que o si n > f21o. S i Rk es el rectángulo con esquinas J en (sk - I ' t1 _ 1 ), (sk, t1 _ 1 ), (sk, tj ), (sk - I ' entonces todo el rectángulo es tran sfor­ mado dentro del disco Dk . D(H(sk - 1 ' t . _ 1 ); p) el cual está contenido en G. Sea rk . 1 l a curva cerrada descrita or H(Rk .) con la orientación que se obtiene al orientar R e n la dirección contraria al sentid de las agujas del reloj . La imagen de cada lad =

t).

p

=

6

: ci'

154

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

de cada uno de los subcuadrados R"' forma parte de dos de las curvas cerradas rk., pero con direcciones opuestas, exc�pto por aquellos subcuadrados sobre los lado"s exteriores, donde t o s es O o l . Note que, de hecho, al juntar estos lados forman las curvas Ys(t) y A-/s) discutidas más arriba. Si sumamos las integrales en torno a todos los aros rki' todos los lados que se usan dos veces se cancelan y tan sólo nos queda

j� k�l f

r,j

f

=

f f J f Á¡¡

f+

f f- fY¡ A.¡ 'Yo

(véase 1a figura 2.3.1 5). Puesto que í kj es una curv a cerrada cornp\etarnente contenida dentro del disco Dk . en el cual la función f es analítica, el teorema de Cauchy para un disco implica que cada una de las integrales en la suma del lado iz­ quierdo es O y en consecuencia el lado derecho también es O. Así

Esto es (l)

Hasta este momento las demostraciones para el caso con extremos fijos y el caso de las curvas cerradas han sido iguales. Ahora divergirán un poco.

Figura 2.3.1 5. Cancelación de los lados de los subcuadrados en la demostración de los

teoremas de deformación.

Para el caso con extremos fijos, "-o(s) H(s, O) = z0 para toda s; y A.1 (s) H(s, 1 ) z1 para toda s. Ambas son curvas constantes, esto es, puntos sencillos, y así ff..of f�c/ O. =

=

=

=

=

2.3.

Para el caso de la curva cerrada, A-0 y

A-0(s) así que

VERSIÓN PRECISA

1 55

A- 1 son la misma curva:

= H(s, O) = H(s, 1 ) = A-¡ (.\') para toda s

fA ! = JA f. S J

En c alqui r caso, l a ecuación

mente lo que quenamos.

( 1 ) toma la forma

•

f�f = fY¡f, que es

exacta-

La demostración que acabamos de dar no es del todo válida. La dificultad

podría parecer ser una sutileza poco interesante, pero es crucial. Se asumió que la

función H es continua, pero no se hizo ninguna suposición acerra de la diferencia­

bilidad. Así, las curvas Ys{t) y A-1(s) son continuas, pero no tienen porque ser C1 por tramos . Desafortunadamente, toda nuestra teoría sobre integrales de contorno está basada en curvas C 1 por tramos. Así que las i ntegrales que aparecen más arriba no necesariamente tienen sentido. Lo tendrían, y todo sería correcto, si todas las cur­ vas en cuestión fueran C 1 por tramos. En consecuencia, haremos una definición y una suposición provisionales.

Definición 2.3.13. Una homotopía H: [0, 1 ] X [0, 1 ) � G se llanuz suave, si las cur­ vas intermedias y5(t), como funciones de t, son C1 por tramos para cada s y las curvas transversales J.t K, tenemos que lp(z)l :2: M. Por lo que si lzl > K, tenemos 1 /lp(z)l < 1 /M. Pero en el conjunto de z para las cuales lzl :::;; K, l lp(z) está acotada en valor absoluto, pues es continua. S i ésta cota para l lp(z) se denota por L, entonces, en C, obtenemos que 1 / l p(z)l < máx ( 1/M, L) y, por lo tanto, lf(z)l está acotada en C. • Otro argumento para mostrar que f(z) � O conforme z � oo, que es un tanto más senci11o pero acepta la validez de varios de los teoremas de límites, es el siguiente f(z) =

-::-1::----c anzn + an - zn - l + · ·· + aO

-

-

-

1

Al hacer z �

oo,

obtenemos lím f(z)

z -4 "'

o

= -----...,... =

a + 0 + · ·· + 0 n

O

puesto que a =F O. n Teorema de Morera

.

El siguiente teorema es un recíproco parcial del teorema de Cauchy. Sea f continua en una región A y suponga que J / = O, para cualquier curva cerrada en A. Entonces, f es analítica en A , y f =F' para alguna función analítica F en A . Teorema de Morera 2.4.10.

La existencia de la antiderivada se sigue de que las integrales a lo largo de curvas cerradas se anulan y del teorema de independencia con respec­ to de la trayectoria (2. 1 .9). La antiderivada F es, ciertamente, analítica (su derivada es f). Por l o tanto, por la fórmula i n tegral de Cauchy para l as derivadas, es infinitamente diferenciable. En particular F" = f' existe. • Demostración.

Al aplicar el teorema-de Morera, con frecuencia sólo se quiere mostrar que fes analítica en una región. Si la región no es simplemente conexa, f podría no tener una antiderivada en toda la región. Pero para mostrar la diferenciabilidad cerca de un punto, uno podría restringir la atención a una veci ndad pequeña del punto y a cierto tipo de curvas, si así conviene. Esta idea se ilustra en el siguiente corolario y en los ejemplos resueltos 2.4. 1 6 y 2.4. 17.

2.4. FÓRMULA I NTEGRAL DE CAUCHY

1 75

j }

Corolario 2.4.11. Sea f continua en una región A y analítica en A\ Zo para algún

punto z0 e A. Entonces f es analítica en A.

z0,

Demostración. Para mostrar la analíticidad en

podemos concentrarnos en un disco pequeño E) C A. Si y es cualquier curva cerrada en el disco, entonces = O , por la versión fortalecida del teorema de Cauchy para un disco (2.3.5). Así, el teorema de Morera implica quejes analítica en este d i sco. Ya sabemos que es analí­ tica en el resto de A. •

D(z.o,

f1¡

Demostración técnica del teorema 2.4.5 Diferenciabilidad de integrales del tipo de Cauchy 2.4.5. Sea y una curva en C

y

sea g una función continua definida a lo largo de la curva, en la imagen y([a, b]). Hágase G(z)

=

1 -. 21ti

J

g(l;) dl; y l; - z

Entonces G, es analítica en C \y([a, b]); en efecto, G es infinitamente diferenciable, con la k-ésima derivada dada por G(k)(z)

=

f

g(l;) dl; y (l; - z) k + 1

� 21ti

k

=

1 ' 2, 3, . . .

(2)

DelllQstraremos esto bajo una suposición sobre g, un tanto más débil que la con­ tinuidad. Todo lo que suponemos es que la función es acotada e integrable a lo lar­ go de y. Llamamos a tales funciones admisibles. Demostración. Usaremos primero varios hechos del cálculo avanzado des­

arrollados en la sección 1 .4. La curva imagen y es un conj unto compacto, pues es la no está en y entonces, por i magen continua de un intervalo cerrado y acotado. Si el lema de la distancia, éste está a una distancia positiva o de la curva. Si tomamos 11 = 0/2 y U COmO eJ 11-disco en torno a entonces E U y S en y implica que � 11 pues - l;l � � 211 - 11 (véase la figura 2.4.4).

Zo

l; l

lz

Empezamos ahora con el caso k l ím

z __, zo

Z

Zo•

ll; - z.ol - IZo - zl

=

[ G(zz) -- GZo(z.o)

_

lz ­

1 . Queremos mostrar que 1

_ _ _

21tl

I

g(l; ) d l; y (l; - Zo )2

]

=

O

La expresión entre paréntesis puede escribirse como

G( z) - G(Zo) z - Zo

_

1

_ _

21t i

f

g( l;) dl; (z - Zo) 21ti y (l; - Zo)2 =

f ' (l; - z0g()2l;()l; - z) dl; y

1 76

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

la cual se obtiene al usar la identidad

l

u

y([a, b]) Figura 2.4.4. U n p unto de y.

z0

q u e no está sobre u n a c u rva y, está a u n a d istan c i a positiva

Sea U la 11 -vecindad de Zo construida como previamente se describió y sea M el máximo de g en y. Entonces l(l; - Zo)2 (s - z)l � 112 11 = 11\ con lo que tenemos la estimación lg(l;)/[(s- z0)2 (s - z)]l ::;; Mrc 3 (M una constante fij a independiente de l; en y, y z, z0 E U). Así •

z - Zo 2 1ti

f

y

g(l; ) d� � (s - Zo)Z( - z)

M 11_3 y) ::;; l z - zo i __ /( 21t

Esta expresión se aproxima a O conforme z � z0 y en consecuencia el l ímite es O, como se q uería. Para demostrar el caso general procedemos por inducción sobre k. Supóngase que se sabe que el teorema es válido para toda función admisible y para todo valor de k entre 1 y n - l . Queremos demostrar que funciona para k = n. Formulamos la hipótesis de i nducción de esta manera ya que no sólo la aplicaremos a g, sino también a g( � )l( � z0), la cual también es acotada e integrable a lo largo de y. Sabemos que G puede diferenciarse n - 1 veces en C\y y que -

c

<

lf(z)l _ lzl

Figura 2.5.2. Lema de Schwarz.

Si l/(z0)1 = lz01, z0 =F O, entonces lg(Zo)l 1 es un máximo en Ar, donde IZol < r < 1 y, por lo tanto, g es constante en Ar. La constante es independiente de r (¿por qué?), y el teorema está demostrado. • =

2.5. TEOREMA DEl MÓD U lO MÁXIMO

1 91

El lema de Schwarz es una herramienta para muchos elegantes resultados geo­ métricos, y ocasionalmente útiles, del análisis complejo. Una generalización que es útil para obtener estimaciones precisas de cotas para funciones, es conocida como

principio de Linde/Of, el cual es el siguiente: Supóngase que f y g son analíticas lzl < 1 , que g transforma a lz l < 1 en forma uno a uno y sobre en un conjunto G, que f(O) = g(O), y que la imagen de f está contenida en G. Entonces lf'(O)I ::; lg'(O)I, y la imagen de lzl < r bajo f, para r < 1 , está contenida en su imagen bajo g. Este el

en

principio se hace particularmente útil por la conveniente disponibilidad de las trans­ = formaciones fraccionales parciales, para el papel de éstas tienen la forma

(az + b)l(cz + d).

g,

g(z)

Como demostraremos en el capítulo 5, éstas mandan círculos en

círculos, así que l a i magen baj o

g

del disco lzl

(véase el ejercicio 4 para detalles adicionales).

<

r es

usualmente fácil de encontrar

Para un estudio provechoso de los resultados más geométricos y una bibliogra­

fía, véase T. H. MacGregor, "Geornetry Problerns i n Cornplex Analysis",

can Mathematical Monthly, mayo

1 972, p. 447.

Ameri­

Funciones armónicas y armónicas conjugadas Si fes analítica en

A y f = u + iv,

sabemos que

u y v son

infinitamente diferen­

ciables y que son armónicas (por el teorema 2.4.6 y l a proposición 1 .5. 1 1 ) . Vamos

ahora a mostrar que el recíproco también es cierto.

Sea A una región en C y sea u una función armónica, dos veces continuamente diferenciable en A. Entonces u es C"' , y en una vecindad de cada punto z0 e A, u es la parte real de alguna función analítica. Si A es simplemente conexa, existe una función analítica f en A tal que u = Re f. Proposición 2.5.8.

Así, una función armónica es siempre l a parte real de una función analítica (o la parte imaginaria de l a función analítica

if)

al menos localmente y en todo el

dominio de la función, si el dominio es simplemente conexo. Demostración. Demostremos primero la última afirmación del teorema. Vamos a considerar la función mos

g=

U+

iV donde

g = (CJu/ox) - i(oloy). Sostenernos que g es analítica. Si hace­ U = ou!CJx y V = -CJu/CJy, debernos verificar que U y V tienen

primeras parciales continuas y que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riernann. En efecto, las funciones ción y son iguales cruzadas,

()UfCJx = o2u !ox2 y CJV!CJy = -o2 u/oy2 son continuas por suposi­ ya que V 2u = O. También, por l a igualdad de l as parciales au

oy

=

()2u CJy ox

=

Así concluirnos que g es analítica. Más aún, si A es simplemente conexa, exis­

A tal que f' = g (por el teorema de la antiderivada, 2.2.5 o 2. 3 . 1 6) . Sea f = Ü + iV. Entonces/' = ()ufox) - i(CJu/CJy) y , por tanto, ou!ox = oÜ!CJy = ouloy. Por ende u difiere de u por una constante. Si ajustamos jsustrayendo esta constante, obtenernos u = Re f te una función analítica/ en

192

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

Demostremos ahora la primera afirmación. Si D es un disco alrededor de Zo en A , es simplemente conexo. Por lo tanto, como resultado de lo que acabamos de demostrar, podemos escribir u = Refpara algunafanalítica en D. Así, puesto quef es e "', u es también e "" en una vecindad de cada punto en A y, por lo tanto, es e "' en A. • Recuérdese que cuando existe una función analíticaftal que u y v están relacio­ nadas porf= u + iv, decimos que u y v son armónicas conjugadas. Ya quejes ana­ lítica, -v y u son también conjugadas armónicas. ¡Cuidado! El orden importa; si v es una armónica conjugada de u, entonces u probablemente no es una armónica conju­ gada de v. ¡En cambio, -u lo es! La proposición precedente dice que en una región simplemente conexa A, cualquier función armónica tiene una armónica conjugada V = Im f. Ya que las ecuaciones de Cauchy-Riemann ( ou tax = avtay y fJu /fJy -fJvlfJx) se deben cumplir, v está determinada únicamente excepto por la adición de una constante. Estas ecuaciones deben usarse como un método práctico para encon­ trar v cuando u está dada (véase el ejemplo resuelto 1 .5.20). Otra forma de obtener la armónica conjugada de u en un disco, definiéndola directamente en términos de una integral, se indicó en el ejercicio 32 de la sección 1 .5. =

Propiedad del valor medio y principio del máximo para funciones armónicas

Una razón de por qué la proposición 2.5.8 es importante, es que nos permite deducir propiedades de las funciones armónicas a partir de las correspondientes propiedades de las funciones analíticas. Esto se hace en el siguiente teorema. Propiedad del valor medio para funciones armónicas 2.5.9. Sea

una región que contiene un círculo de radio r alrededor de terior. Entonces

u armónica en z0 = x0 + iy0 y a su in­ (3)

Por la proposición 2.5.8, existe una función analítica f definida en una región que contiene este círculo y su interior, tal que u = Re f. Esta región de contención puede escogerse para que sea un disco ligeramente más grande. La existencia de un círculo ligeramente más grande en A es intuitivamente clara; la de­ mostración precisa se da en el ejemplo resuelto 1 .4.28. Por la propiedad del valor medio paraf, Demostración.

Al tomar la parte real en ambos lados nos da el resultado deseado. • A partir de este resultado podemos deducir, en una forma similar a la manera en que deducimos el teorema 2.5. 1 , el siguiente hecho.

2 . 5 . TEOREMA DEL MÓDULO MÁXIMO

1 93

Principio del máximo para funciones armónicas (versión local) 2.5.10. Sea u armónica en una región A. Suponga que u tiene un máximo relativo en z0

E

A

(esto es, u(z) � u(z0} para z cerca de z0). Entonces u es constante en una vecindad de z0•

En este teorema "máximo" puede ser remplazado por "mínimo" (véase el ejer­ cicio

6).

En lugar de llevar a cabo realmente una demostración para u(z) similar a la de­

mostración del teorema 2.5. 1 , podemos usar ese resultado para dar una demostra­ ción rápida.

Demostración. En un disco alrededor de z0, u = Re f para alguna f analítica.

Entonces ef = u - Ü. Entonces 4> es armó­ nica y 4> = O en fr (A ). Debemos mostrar que 4> = O. Por el principio del máximo para funciones armónicas, (x, y) � O dentro de A. Similarmente, del correspondiente principio del mínimo, (x, y) � O en A . Por lo tanto, 4> = O. •

Queremos encontrar la solución al problema de Dirichlet para el caso donde la región es un disco abierto. Para hacerlo así, deducimos una fórmula que exprese explícitamente los valores de la solución en términos de sus valores en la frontera del disco. Fórmula de Poisson 2.5.13. Si u está definida y es continua en el disco cerrado [z tal que lzl < r} y es armónica en el disco abierto D(O; r) = (z tal que lzl < rj, entonces, para p < r,

2 2 u(pél>) = r - p 21t

i2Jt o

u{rei 9 ) de r2 - 2rp cos ce - 4>) + p 2

J zx u(rei9) lrei9r2 --lzl2zl2

o

1 u(z) = 21t o

de

(4)

(4')

NOTAS

(i) Las partes técnicas de la siguiente demostración requieren un conocimiento de la idea de convergencia uniforme. El estudiante que no ha estudiado con­ vergencia uniforme en cálculo avanzado, podría releer esta demostración después de estudiar la sección 3. 1, donde se discuten las ideas relevantes. (ii) Si hacemos z = O en la ecuación {4'), recobramos la propiedad del valor medio para funciones armónicas. Puesto que u es armónica en D(O; r), y D(O; r) es simplemente conexa, existe una función analíticajdefinida en D(O; r) tal que u = Re f. Sea O < s < r y sea 'Ys el círculo lzl = s. Entonces, por la fórmula integral de Cauchy, tenemos Demostración.

f

1 j(z) = -. 21tl 'Y,

j(�) �-z

d�

para toda z tal que lzl < s. Podemos manipular esta expresión de una forma conve­ n iente para tomar las partes reales. Sea z= s21Z. la cual es llamada la reflexión de z en el círculo 1�1 = s. La reflexión se ilustra en la figura 2.5.3. Así, si z está dentro del círculo, entonces z está fuera del círculo, y en consecuencia f{�) �-z

d� = O

1 95 y

Figura 2.5.3.

Reflexión de un número complejo en un círculo.

para lzl < s. Podemos sustraer esta fórmula integral de /(z) = -1. 21tt

( JY,

para obtener f(z) = -121ti

( )y,

Jj 2 = s2 + p 2 - 2sp

las partes reales en ambos lados de la ecuación, obtenemos

.

1 u(pe') = 21t

f 2n: 2 u(se2 i6)(s2 - p2) o

s

+

cos(9 - ) y tomamos

d9

p - 2sp cos (9 - )

p y a fijos, observamos que esta fórmula es cierta para cualquier s tal que p < s < r. Ya que u es continua en la cerradura de D(O; r) y dado que la función s2 + p 2 - 2sp cos (9 - ) nunca es O cuando s > p, concluimos que para s > p, [u(sei6)(s2 - p 2 )]/[s2 + p 2 + 2sp cos (9 - )] es una función continua de s y 9 y, por tanto, (con p, fijas) es uniformemente continua en el conjunto com­ pacto, O :$ 9 :$ 21t, (r + p )/2 :$ s :$ r. Consecuentemente, conforme s � r, Si mantenemos a

uniformemente en 9, lo cual implica que cuando

s � r,

(Vea la proposición 3. 1 .9, si no está fami liarizado con este resul tado acerca de la

convergencia de i ntegrales.) Así

u(pei)

=

r2 - P1 21t

f2n: o

u(re'·a) d9 • r2 + p 2 - 2rp cos (9 - )

La fórmula de Poisson (ecuación (4)) también nos permite encontrar una solu­

ción al problema de Dirichlet para el caso en el que la región es un disco. Supónga­ = se que hemos dado la función continua definida en el círculo Definimos

por la fórmula (4):

izl r.

u

r y u(rél>) = u0(reí). Mientras que es relativamente simple mostrar que u D(O; r) (véase el ejercicio de repaso 1 8), es más difícil mostrar que u es continua en la cerradura de D(O; r). La expresión debe ser examinada en el caso crítico en que p � r en cuyo caso el integrando toma la forma i ndeterminada

para

p

u0

<

es armónica en

010 cerca de 9 = tj>. No se dará aquí una demostración.

Ejemplos resueltos 2.5. 1 4. Sea f analítica y distinta de cero en una región A. Muestre que

lfl no tiene un míni­ mo local estricto en A. Si f tiene ceros en A, muestre, mediante un ejemplo, que esta conclusión no se satisface.

2.5.

Solución.

TEOREMA DEL MÓDU LO MÁXIMO

1 97

Puesto que f es analítica y distinta de cero en

A , l lf es analítica en A . Por el A , a menos que 1/lfl sea constante. Así 1 / lfl no tiene un máximo local estricto en A . Por l o tanto, lfl no puede tener un mínimo local estricto en A . La función identidad /: z � z es

teorema del módulo máximo, 1 /lfl no puede tener un máximo local en

analítica en el disco unitario y 111 tiene u n míni mo estricto en el origen.

2.5. 1 5 . Encuentre el máximo de lsen zl en (0, 21t]

Solución.

Puesto que el sen

z

X [0,

21t].

es entero, podemos aplicar el principio del módulo

máximo, el cual nos dice que el máximo ocurre en la frontera de este c u adrado. Ahora lsen zl2 senh2

y +

senh y, sen2 x + cos 2 x

sen2 x debido a que sen (x

= 1

+ iy)

= sen xcosh

y + i

como máximo 1 ; para x = O el máximo es senh2 27t, ya que senh

y

zl 2

ocurre en x = 1t/2,

tanto, el máximo de lsen

zl

y

= 21t, y e s senh2 21t

en [0, 21t] X [0, 27t] es cosh 27t.

+ 1

+ l.

Así,

= cosh2 21t. Por lo

2.5. 1 6. Encuentre el máximo de u(x, y) = sen x cosh y en el cuadrado unitario [0, 1 ]

Solución. u(x, y ) e s

•

crece con y; para

x = 27t el máximo es otra vez senh2 27t; para y = 21t, el máximo es senh2 21t el máximo d e lsen

cos x

, y cosh2 y - senh2 y = l . En la frontera y = O , lsen zl 2 tiene

x [ O,

1].

una función armónica y n o e s constante, así que e l máximo d e

u

en el cuadrado un itario (0, 1 ] X [0, 1 ] ocurre en l a frontera. El máximo de sen x cosh

y

es sen ( 1 ) cosh ( 1 ) , ya que tanto el sen como e l cosh son crecientes en e l

i ntervalo [0, 1 ] .

2.5 . 1 7 . Sea A un conjunto. Demuestre que el (A) = A

u fr (A).

Solución. A e el (A) y fr (A ) e el (A), y por ende A d i rección, si z está en el (A) y no está en A , entonces zE

(lím

(A ))

n

( C \ A ) e el (A)

Por lo tanto, el (A) e A u fr (A).

n el

u fr

(A) e el (A). En la otra

(C\A) = fr (A)

2.5. 1 8. Demuestre lo siguiente: Bajo las condiciones del lema de Schwarz, si l f' (0)1 = 1 , entonces f(z) = c z para toda z en D(O; 1 ), para alguna constante e, con lcl= 1 .

Solución.

Sea C el círculo

lz

tal que

lzl

=

lf(z)l e n C . P o r e l lema d e S c h w arz, s i

entonces M <

r.

rj

con

f(z )

r<

1, y

sea M el valor máximo d e

n o e s u n m ú l ti plo constante d e

z,

Usemos ahora l a fórmula i ntegral de Cauchy para derivadas:

lf' (0)1 =

1. 2nt

( )e

1 M f(z) dz $ - 27tr < 1 2n r2 z2

Por lo tanto, la desigualdad lf' (0)1 $ 1 , dada por el lema de Schwarz, debe ser estric­ ta, a menos quef(z) sea un múltiplo constante de

z.

2.5 . 1 9. Suponga que f y g son funciones analíticas uno a uno del disco unitario D sobre D, que

satisfacen

f(O) = g(O) y g'(O) = f'(O) � O.

Demuestre que f(z)

= g(z) para

toda z en D.

Solución. La función h(z) = g-1 ( f( z)) es analítica de D a D, y h(O) = g-1 (f(O)) = g-1 (g(O)) = O. Ya que g(h(z)) = J(z), tenemos g '(h(O)) h'(O) = f' (O), por tanto h' (O) = f' (0)/g' (0) = l . El ej emplo 2.5. 1 8 muestra que h(z) = cz para alguna constante e, pues h ' (O) = 1 , e = l . Asíf(z) = g(h(z)) = g(z). •

1 98

CAP. 2. TEOREMA D E CAUCHY

Observación. En el capítulo 5 veremos que la suposición de quefy g son uno a uno, obliga a la derivada a no ser O, así que esta suposición es realmente superflua.

Ejercicios l. Encuentre el máximo de le 1 ]. Muestre que si Y, es el círculo de radio r > 1 y centro en O, entonces f"f fes independiente de r. 4. Sea j(z)

=

=

r

P(z)/Q(z), donde P y Q son polinomios, y el grado de Q es mayor que el de P, en al menos 2 unidades más.

a)

Argumente que si R es suficientemente grande, existe una constante M tal que

P(z)

M lzl2

�

Q(z)

para lzl � R

b) Si y es un círculo de radio r y centro en O, con r suficientemente grande para que f sea analítica fuera de y, demuestre que f j(z) dz = O. (Sugerencia: use el ejercicio 4 y 1 haga r � oo)

e) Evalúe f1 dz/( l + z2) donde y es un círculo de radio 2 y centro en O.

= x 2 + iy 2 y y es la línea que une a 1 con i. 1 6. Sea u una función armónica y acotada en C. Demuestre ·que u es constante. 7. Sea/ analítica en un conjunto conexo y acotado A, y suponga que existe una z0 E A tal que lf(z)l � lf(Zo)l para toda z E A. Entonces muestre quejes constante en A. 8. Seanfentera y 1/(z)l � M para z en el círculo lzl = R, con R fijo. Entonces demuestre que

S. Evalúe f f, dondef(x + iy)

<

1/(kl( re ;e)l

_

k!M

(R

_

r) k

k = O, 1 , 2, . . .

para toda O � r � R.

9. Encuentre una armónica conjugada para

u(x, y)

=

x2 + y 2 - x (X - 1 ) 2 + y 2

en un dominio apropiado. 10. Seaf analítica en A y sea f' (Zo) =F O. Muestre que si y es un círculo con centro en Zo• suficientemente pequeño, entonces ·

21ti

!' (z0)

=

J

y

dz /(z) - /(z0)

(Sugerencia: use el teorema de la función inversa.)

1 1 . Evalúe

2I 1t o

12.

Sean f y

g

201

e -i9e"� de g'(z) # O para toda z E A ; sea g uno para z q u e no está en y, demuestre que

analíticas en una región A, y sea

sea y una curva cerrada en A . Entonces,

(Sugerencia:

Jv

��;)

f(z)l(y, z) =

{

) dl; j(f;, g (f;,) - g(z)

•

aplique el teorema de la integral de Cauchy a

h(l;)

=

/(l;) (s - z) g ( ) g(z) f;, J g' (l;)

z

#

z=

l;

r;,

g(z) = e" ) elog i; i; ; ¡Iog(n. log log (- i) 13. S i mplifique: 14. Sea A = C menos a l ej e real negativo y e l O. Mue stre que log Aplique este resultado al caso en el que

15.

16. 17. 18.

.

z

donde yz es

Sea f analítica en una región A y sca f distinta de O. Sea y una curva homotópica a u n

punto e n A . Muestre que

f

Y

J ' (z) dz = O J(z)

Seafanalítica sobre y en el i nterior del círculo unitario. Suponga que la imagen del círculo u n i tario

lzl

=

1

está en el di sco D =

{z

tal que

lz - z01 < r].

Mue stre que la imagen de todo

el interior del círculo unitario está en D. lustre esto con e"

¿La i ntegral

J'Yx dx + x dy e s

.

siempre O s i y e s una curva cerrada?

M u e stre que l a fórmula de Poisson puede escribirse como

para demostrar que si de ella. Sea f =

u + iv

u(l;)

e s continua en la frontera, entonces

u. Utilice esta fórmula u(z) e s armónica dentro

analítica e n u n a región A. Indique cuáles de las siguientes expresiones

son analíticas en A :

a) u - iv 20.

z = JY df;,ll;,

cualquier curva en A que une a 1 con z. ¿A es simplemente conexo?

Entonces escriba una fórmula para la armónica conjugada de

19.

a uno y

b)

U

-

-

C)

lV

S i fes analítica sobre y en el interior del disco unitario, entonces muestre que

1 f(rél•) = 21t

J21t o

1

f(ei9)

- rei - e¡

de

r<

1

IU - V

202

CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY

21. Calcule las raíces cúbicas de

Si.

22. Discuta el siguiente bosquejo de una demostración para el teorema de Cauchy: Suponga que f es analítica en una región convexa G que contiene al

O, y que y es una curva ( t) t f.yf(tz)dz para O � t � l . El teorema de Cauchy dice que O. Calcule que F' (t) J..¡ l(tz)dz t fr zf' (tz)dz, e integre por partes la segunda

cerrada en G. Defina F F( l )

=

=

+

=

integral, para obtener

F' (t)

=

f,

f(t 1 y diverge a oo (esto es, las n= 1 sumas parciales crecen sin cota) si p :::; l . an + 1 existe y es estrictamente (iv) Criterio de la razón: Suponga que lím 00

0 -+ OC

1

a0.

!

menor que l . Entonces l: an converge absolutamente. Si el límiJe es estrictaOO

n=

1

mente mayor que 1, la serie diverge. Si el límite es igual a 1 , el criteriofalla.

n (v) Criterio de la raíz: Suponga que lím (lanl)i/ existe y es estrictamente menor 00

n � oo

que l . Entonces l: an converge absolutamente. Si el límite es estrictamente n= 1 mayor que 1 , la serie diverge; si el límite es igual a uno, el criterio falla. Hay algunos otros criterios del cálculo que vamos a requerir ocasionalmente, tales como el criterio de la serie alternante y el criterio de la integral. Suponemos que el lector revisará éstos, conforme surja la necesidad.

Convergencia uniforme Supóngase que fn: A � C es una sucesión de funciones, todas ellas definidas en el conjunto A . Se dice que la sucesión converge puntualmente si, para cada z E A , la sucesión fn (z) converge. El l ímite define una nueva función f(z) en A . Una clase más importante de convergencia es la llamada convergencia uniforme y se define como sigue.

3.1.4. Una sucesión fn: A � C de funciones definidas en un conjunto A, se dice que converge uniformemente a una función f, si para cada e > O, existe una N tal que n � N implica que l fn(z) - f(z) l < e para cada z E A Esto se escribe como "fn � f uniformemente en A". Definición

Se dice que una serie l: gk(z) converge puntualmente, si las correspondientes n k= 1 oo sumas parciales sn(z) = � gk(z) converge puntualmente. Se dice que una serie � gk(z) k 1 k 1 converge uniformemente si sn(z) converge uniformemente. 00

Obviamente, l a convergencia uniforme implica l a convergencia puntual. La di­ ferencia entre convergencia uniforme y puntual es la siguiente. Para la convergencia puntual , dada e > O, a la N requerida se le permite variar de punto a punto: mientras que para la convergencia uniforme, debemos poder encontrar una sola N que fun­ cione para toda z. Es difícil dibujar la gráfica de una función con valores complejos de variable compleja, ya que requeriríamos cuatro dimensiones reales, pero las correspondien­ tes nociones para funciones de valores reales son instructivas para ejemplificar. El significado geométrico de la convergencia uniforme se muestra en la figura 3 . 1 . 1 . Si e > O, entonces para n suficientemente grande, la gráfica y = fn(x) debe permanecer ·

3. 1 . SERIES CONVERGENTES

207

dentro del "E-tubo" alrededor de la gráfica de f. Es importante notar que el «oncepto de uniformidad depende no sólo de las funciones involucradas, sino también del con­ junto en el cual estamos trabajando. La convergencia podría ser unifom1e en un conjunto, pero no en un conjunto mayor. El siguiente ejemplo ilustra este punto. y

Figura 3.1 . 1 . Convergencia u n iforme en un i ntervalo ra, b] .

a

La sucesión de funciones f,.(x)

b =

O, para x en el intervalo semiabierto

xn converge puntualmente a la función O f(x) =

[0, 1 [, pero la convergencia no es uniforme. Al valor de la función xn, le toma mucho más acercarse al O para x cerca de 1 que para x cerca del O; tomando x suficientemente cerca de 1 , necesitamos valores de n arbitrariamente grandes. La convergencia es uniforme en cualquier subintervalo cerrado [0, r] , con r < l . Ya que el peor caso es cuando x = r, cualquiera que sea la n que ahí funcione, también lo hará para toda x menor. Véase la figura 3 . 1 .2. ,

y

Figura 3.1 .2. La convergencia de xn a O no es u n i forme en {x l O s; x < 1 }.

208 Criterio de Cauchy 3.1.15

(i) Una sucesión fn(z) converge uniformemente en A si, para cualquier e > O, existe una N tal que n � N implica que !fn(z) - fn + (z)l < e para toda z E A P y toda p = 1 , 2, 3, . . .

(ii) Una serie L gk(z) converge unifomzemente en A si, para toda o:;

k= l

una N tal que n � N implica que

e >

O, existe

n+p

1:

k=n+ l

para toda z E A y toda p = 1 , 2, . . .

El siguiente resul tado establece una propiedad básica de ]a convergencia uni­ forme.

3.1.6. Si la sucesión fn consiste de funciones continuas definidas en A si fn � f uniformemente, entonces f es continua en A Similarmente, si las funcio-

Proposición

y

nes gk(z) son continuas y g(z) = continua en A.

I: gk(z)

cc

k= l

converge unifomzemente en A, entonces g es

(Los resultados 3. 1 .5 y 3. 1 .6 también son demostrados al final de la sección. ) En otras palabras, u n l ímite uniforme de funciones continuas es continuo. S i la convergencia no es uniforme, entonces el límite puede ser discontinuo. Por ejem­ plo, sea

y f(x) =

{�

-l

para x � - 1 /n para - 1 /n < x < 1 /n para 1/n � x para - oo < x < O para x = O para O < x < oo

como se il ustra en la figura 3. 1 . 1 3. Las funciones fn convergen puntualmente a f en toda l a l ínea, pero l a convergencia no es uniforme en cualquier i ntervalo que con­ tenga al O, ya que para valores de x distintos de O y muy pequeños, n tendría que ser muy grande para llevar a fn(x) dentro de una di stancia específica de f(x). Cada una de las funcionesfn es continua, pero la función límite no lo es.

El criterio M de Weierstrass El criterio M de Weierstrass es una de las herramientas teóricas y prácticas más útiles para mostrar que una serie converge uniformemente. Éste no siempre funciona, pero es efectivo en muchos casos.

3.1.

SERIES CONVERGENTES

209

El criterio M de Weierstrass 3.1.7. Sea gn una sucesión defunciones definidas en un conjunto A C C. Suponga que existe una sucesión de constantes reales M0 ;::: O tal que

(i) l gn(z)l :::; M n para toda z E A. y

(ii) 2: M0 converge. ""

n=l

y

Figura 3.1.3. Un límite no uniforme de funciones continuas, no necesariamente es continuo.

Entonces 2: g0 converge absoluta y uniformemente en A. 00

n=l

Demostración. Puesto que 2: Mn converge, para cualquier e > O, existe una N

tal que n ;::: N implica 2: Mk < e para toda p = l , 2, 3, n+p

k =n+I n p

luto no se necesitan en

i

k =n+l

k =n+l

. (Las barras del valor abso-

Mk, pues M ;::: 0.) Así n;::: N implica n

n+p

l:

. . .

giz)

n ... p

L :::; k =n +l

n +p

lgk(z)l:::;

L

k = n +l

Mk < e

y, por lo tanto, por el criterio de Cauchy, tenemos el resultado deseado. •

00 n Por ejemplo, considere la serie g(z) = 2: z ln. Se demostrará que esta serie con-

n=I

verge uniformemente en los conjuntos Ar= {z tal que lzl :Sr} para cada O :Sr< l. (No podemos hacer r = 1.) Aquí gn (z) = znln y lg (z)l =lzl n¡n :Sr nln ya que lzl:::; r. Por lo n 00 tanto, hacemos M =rnln . Pero r nln :S rn y rn converge para O :Sr< l. Así, 2: Mn n� 1 n converge y, por el criterio M de Weierstrass, la serie dada converge uniformemente en Ar. Ésta converge puntualmente en A= {z tal que lzl < 1 }, ya que cada z E A está en alguna Ar, para r suficientemente cerca de1 (véase la figura 3.1.4).

21 0

CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES

Sin embargo, esta serie no converge uniformemente en A. En efecto, si lo hiciera, L xntn convergería uniformemente en [0, 1 [. Suponga que esto fuera cierto, entonces para cualquier e > O existiría una N tal que n �N implicaría que

xn xn+l xn+ p -+ +···+

O existe una N tal que n ;;::: N

1, 2, ...

�

Pero

criterio de Cauchy, por la desigualdad del triángulo (véase la sección 1.2). Así, por el 00

l:

k=l

ak converge.ll

Proposi1Ción.

3.1..3

(i) Serie geométrica: Si lrl

� r" converge a 1/(1- r), y diverge 1, entonces ��o

<

00

00

(ii) Criterio de comparación: Si l: bk converge y O � ak � bk, entonces l: ak

converge. Si

00

l: ck diverge y

k=l

00

k=l

00

O � ck � dk, entonces l: dk diverge.

(iii) Criterio de la p-serie: l: n-P converge si p k=l

>

k=l

k=l

1, y diverge a oc (esto es, las

sumas parciales crecen sin cota) si p � l. ..

.

""

,

(iv) Criterw de la razon: Suponga que hm

nor que

l.

Entonces

co

n-Jo

l: a

n= 1

00

3n+ l

--

an

existe y es estrictamente me-

n converge. absolutamente. Si el límite es estricta-

mente mayor que 1, la serie diverge. Si el límite es igual a 1, el criterio falla.

(v) Criterio de la raíz: Suponga que lím ( lanl}1 1n, existe y es estrictamente menor

que l . Entonces

00

l:

n=l

n->ao

� converge absolutamente. Si el límite es estrictamente

mayor que 1, la serie diverge. Si el límite es igual a 1, el criterio falla.

215 Demostración (i) Por álgebra elemental. 1

+

r+r

2

+

·

·

•

rn+ l +rn = ----1 r 1-

-

r# l.

Ya que�+ 1 --+O conformen--+ oo si rl < 1, y puesto que --+ oo si rl > 1, tenemos la convergencia si 1 rl < 1, y la divergencia si

si

1

1

Obviamente, .I:

1 rl

>

1

l.

rn diverge si 1 rl = 1, ya que rn � O. Las sumas parciales de la serie I: bk forman una sucesión de Cauchy y así k=l 00

n=O

(ii)

1 rln +

00

las sumas parciales de la serie I: ak también forman una sucesión de Cauchy, 00

k= 1

+ ak+ k y p, tenemos ak + ak+ 1 + p :S; bk+bk+ 1 + +bk+p · Por lo tanto, *-;1 ak converge. Una serie positiva puede diver-

pues para cualquier ·

·

•

·

•

•

00

ger únicamente a +oo y, por tanto, dada M > O, podemos encontrar ko tal que k� k0 implica que c1 + c2 + • · • +ek� M. Por lo tanto, para k� k0, d1

dk �M y así k=l .I: dk también diverge a Primero suponga que p :S; 1; en este caso 1/ n P � lln para todan =

+

(iii)

d2 +

•

•

•

00

+

oo.

1, 2, . . .

En consecuencia, por (ii), I: 1/n P divergirá si .I: 1/n diverge. Recordemos 00

00

n=l

n=l

ahora la demostración de esto del cálculo.2 Si sk = 111 + 1/ 2 + • • • + 1/ k, entonces sk es una sucesión estrictamente creciente de números reales positivos. Escribamos s2k como sigue:

Por tanto,

sk puede hacerse arbitrariamente grande, si k es suficientemente

grande; así .I: 1/n diverge. 00

n=!

2 También podemos demostrar (iii) usando el criterio de la integral para series positivas (véase cualquier libro de cálculo). La demostración que se da aquí, también demuestra el criterio de condensación

de Cauchy: Sea I: a, una serie de términos positivos con a,+

1

s;

a,.

Entonces I: a,. converge si

"'

.

j� 1 2 Ja i 2

converge (véase G. J. Porter, "An Altemative to the Integral Test for lnfinite Series", American MathetrUl­ tical Monthly, vol. 79, 1972, p. 634).

216

CAP.

3. REPRESENTACIÓN EN SERIES

Supóngase ahora que p > l. Si hacemos

1 1 1 1 ++· ••+Sk=-P +kP 2P 3P 1

entonces s k es una sucesión creciente de números reales positivos. Por el otro lado,

(..!.._ + ) +(..!.._ +

..!.._ S2 = P + t-1

1

+

(

2P

1 3P

4P

..!.._) +• ••

1 _!_ - + + 5P 6P ?P

1 ... + 1 + (2k-1)P (2k- 1) P

)

1 +-1 +-1 +...+ =-}P-1 2P-1 4p -1

1 + 2 + 4 + 2k -1 _ _ ----:- _ ..,.. _ 1P 2P 4P (2k - I )P

S_

1 (2k -1)p-1

---

< -

1

_

1 --:1/2P-I

(¿Por qué?) Así, la sucesión {sk} es acotada, de lo anterior, por 1/(1-l/2 P-1); por tanto,

l:

ce

n=l

1/n converge. P

(iv) Suponga que lím

n--+OO

que n � N implica

1 an+a 1 = 1

n

r < 1. Escoja r' tal que r < r'< 1 y sea N tal

<

r'

laN+pl laNl (r')P . Considere la serie la11 +· · +laNl +laNI r' +laNI (r')2 + laNI (r')3 +· · · . Esto converge a Entonces

<

·

la11 +

·

·

·

+laN- 11 + ¡aN1

1 -r

Por (ii) podemos concluir que

,

i: lakl converge. Si lím

1 aan+1l a 1

Por tanto,

n->""

laN+ P1 > (r')P laNI, y así el lím laNI = n-+oo

oo,

:

1+1+1+···,y .

1 a n+ 1 = 1 1

n-+oo

n-+oo

n =l

la/1n= r

<

<

r'.

l:

ce

k=!

l an+l

ak

di-

.

considere las series

i llnPpara p > i �n a:bos casos, lím

pero la primera serie diverge y la segunda converge. (v) Suponga que lím

r> l,

mientras que el límite

tendría que ser O si la suma converge (véase el ejercicio 10). Así verge. Para ver que el criterio falla si lím

=

�: 1 1

escogemos r' tal que 1 < r' < ry sea N tal que n �N implica qu k=l

an

1 = 1,

l. Escoja r' tal que r < r' < 1 y N tal que n�N

3.1. SERIES CONVERGENTES

217

1

/ n < r'; en otras palabras, que lan l < ( r')n . La serie la11 + converge a la11 + la21+ la _11 + (r')N (r')N+

implica que l a

1

+ o oo + la21 + o o o + • o o+ N co 1n laN_11 + (r')N/(1 -r'), y así, por (ii), L a k converge . Si Iím la 1 1 = r > 1 , n4oo n k;; 1 n escójase 1 < r' < r y N tal que n � N implica que lanPi > r' o, e n otras 00 n palabras, que l aJ > ( r' ) . Por tanto, lím l an 1 = oo. Por consiguiente 1: ak din�oo k=l 1n verge. Para mostrar que el criterio falla cuando lím lan 1 1 = 1, usamos estos n�oo H

límites del cálculo: lím

n--tXl

( ) 1

-

1/n

n

=

1

y

lím

n---+

00

( )1/n 1 n

2

=

1

(tome logaritmos y use la regla de L'Hopital para mostrar que (log x)lx � O conforme x � oo). Pero

1:

00

n=l

lln d iverge y

1:

00

n=l

lln 2 converge.

•

Criterio de Cauchy 3.1.5 (i) Un a sucesión f0 (z) converge un iformemente en A si para cualquier E> O, existe una N tal que n � N implica que lf0 (z) - f0 + P (z)l O, existe

una N tal que n � N implica n+p

l:

k=n+l

para toda z

E

Ay p

=

1, 2, . . .

Demostración (i) Primero demostraremos el "si". Seal (z)

=

límln (z), el c ual e xiste porque

n-->»

para cada z.ln(z) es una sucesión de Cauchy. Queremos mostrar queln �1 uniformemente en A. Dada e > O, escogemos N tal que IJ;. (z) -J;. + /z)l < e/2, para n � N y p � l . El primer paso es mostrar que para cualquier z y cualquier n � N, ll n (z ) -l (z)l < e. Para z E A, escójase p suficientemente grande, tal que lln + /z) -l (z)l < e/2, lo cual es posible por la convergencia puntual. Entonces, por la desigualdad del triángulo, ll n (z) -l (z) 1 $; ll n (z) -In + p (z)l !In + /z) -l (z)l < E/2 + e/2 = e. (Nótese que aun cuando p depende de z, N no.) Recíprocamente, si In � 1 uniformemente, dada e > O escogemos N tal que n � N implica ll n (z) -l (z)l < E/2 para toda z. Ya que n p� N, ll n (z)­ In + P (z )l $; I J;. (z) -l (z )l +ll (z) -In + /z )l < E/2 E/2 = e. (ii) Aplicando (i) a las sumas parciales, deducimos (ii). •

+

+

+

218

CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES

Proposición 3.1.6. Si las funciones f0 son continuas en A, y f0 � f uniformemente, entonces fes continua. Similarmente, si las funciones g k(z) son continuas y g(z) = ce

1:

g k(z) converge uniformemente en A, entonces g es continua en A

k=l

Demostración. Es suficiente con demostrar la afirmación para sucesiones (¿por qué?). Queremos mostrar que para Zo E A, dada e > O, existe una o > O tal que lz - .zol < o implica que l f(z) -f(.zo)l < e. Escójase N tal que l fN (z) - f(z)l O tal que l fN (z) -fN(Zo)l < e/3 si lz - z0 1 < o. Así, l f(z) -f(.zo)l � l f(z) -fN(z)l + l fN(z) - fN(z0) 1 + l fN(z0) -f(z0)1 < e/3 + e/3 + e/3 = E. • Note que en el último paso, necesitamos una N que sea independiente de z para concluir que tanto l fN(z) - f(z)l O, entonces lf (x)- j(x)l = larctan ( nx)- n:/21. Sabemos que arctan n (nx) es una función creciente de x cuyo límite es 7r/2 conforme x -t oo. Por lo tanto, larctan

(nx)

-

n:/21

<

E

si y sólo si nx >tan

(n:/2

-

E).

Para cualquier valor particular

de x, funcionarán valores de n suficientemente grandes, pero al tomar x cerca del O,

podemos forzar a la n requerida a ser muy grande. Así, tenemos convergencia pero no convergencia uniforme. (Discusiones similares se aplican para el caso x �

0.)

Uno puede ver indirectamente que la convergencia no debe ser uniforme. Si esto fuera, entonces la función límite sería continua, por la proposición 3.1.6, pero esto no es así.

y

5

--t-------�--�� X 5

-

Fi�ura 3.1.8. y= arctan (nx) para n de 1 a 5. Los siguientes tres ejemplos desarrollan el importante caso especial de las series geo­ métricas, y muestran cómo las herramientas de esta sección pueden aplicarse para obtener algunos resultados interesantes. El desarrollo de estos ejemplos es típico de las series de po­ tencias más generales, estudiadas en la siguiente sección.

3.1.12.

00

Muestre que la serie � zn converge en el disco unitario abierto D n=O

=

D(O; l ) a lafun-

z). Demuestre que la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado Dr = { z tal que lzl � r} con r < l .

ción analítica f(z) =

Solución. Si

zE

1/(1

-

D, entonces z E D, siempre que lzl � r < l . Así, la convergencia en

z se sigue del segundo enunciado. Para demostrarlo, suponga, que entonces

1zn1

<

rn. Ya que� rn converge (proposición

z

está en Dr'

3.1.13 (i)), se aplica el

criterio

M de Weierstrass, con M = rn y nuestra serie converge uniforme y absolutamente n en D r. Nos hemos internado en uno de los inconvenientes de herramientas tales como el criterio M de Weierstrass: hemos mostrado que la serie converge pero no hemos identificado el límite. Para hacer esto, note que

1 así que

-

zn+ l =

(1 - z)(l

+

z + z2 +

. . . +

zn)

220

CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES

n

L

1- z Ya que

r

< l, esto tiende a

k=O

r"+

1

O conformen� oo, y obtenemos nuestro resultado.

3.1.13. Muestre que la serie I:. nz" -I = I:. (n 00

l

zk = --- � --11 -zl 1- r lzl"+

n=l

00

n=U

+

1)z" converge en el disco unitario abierto

D, a g(z) = 1/(1 - z)2• La convergencía es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado contenido en D.

Solución. Si B es cualquier disco cerrado contenido en D, entonces B C Dr, para algún disco cerrado Dr, como en el último ejemplo. La serie I:. z" converge uniforme y absolutamente aj(z) = 1/( l - z) en D, y, por tanto, en B. Por el teorema de la con­ vergencia analítica (3.1.8(ii)), la serie de las derivadas converge uniformemente en

cualquier disco cerrado D aj'{z). Esto es, I:. 00

nz"- 1=j'(z)= l l( l -z )2, como

n= 1

La convergencia es absoluta por comparación. Si pero I:.

se quería.

lzl � r < 1, entonces l nz"- 1 1

nr"- 1 converge, por el argumento que se acaba de dar.

<

nr"- 1 ,

3.1.14. Muestre que la serie L (-l )"-1z"/n converge uniforme y absolutamente a log (1 + z) 00

n=l

en el disco unitario abierto, donde log (pei9) = log p

+

¡e con -1t < e < 1t.

Solución. Sabemos que la fórmula dada para el log, define una rama del logaritmo en el disco de log w =

D( l; l ).

En efecto, ésta es la misma que se describió en la construcción

fr (1/�) d�. donde y es la trayectoria rectilínea de

1a

w. Por la indepen­

dencia con respecto de la trayectoria, garantizada por el teorema de Cauchy, pode­ mos integrar primero a lo largo del arco circular de un rayo a partir del origen figura 3.1.9). Esto da

f

l _

1 � y

Figura 3.1.9.

d�=

fa

O

(e

(r = 1 constante) y luego a lo largo

constante), para llegar a l a w = pei 9 (véase la

e - i +

f

p --. ei9 dr =

1

l

re'9

Trayectorias para calcular log w en D (1; 1 ).

;e + log p

3.1 . SERIES CONVERGENTES

221

Al cambiar las variables a � = t,;- l nos da log w= {¡¡ l l(� + 1) d� = f11 11[1 - (- �)] d�. siendo la trayectoria Jl una línea recta de l a z = w- l en el disco umtario abierto D = D(O; l ). Por el ejemplo resuelto 3. 1.12, el integrando puede ser expandido en una seoo

rie infinita 1: (- �)",la cual converge uniformemente en Jl. El teorema de convergencia n;O

analítica nos permite integrar término a término para obtener

=

oo

L

n;i

( - 1)"-l(w- 1)"

-----

n

Esto funciona para toda wen D (1; 1). Haciendo z = w- 1 nos da log (z

+

00

1) =1: (-1) " -1 n;J

z"/n para toda z en D (O; 1). Nuevamente,la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier Dr' con r < 1 . En efecto, ya que lz l � r implica que 1( -1)"z"/nl � r"/n � r" y 1: r" converge,el criterio M de Weierstrass es aplicable con M, = r".

3.1.15. Muestre que lafunción 'de Riemann, definida como 00

'(z) =

L

n;J

es analítica en la región A = {z 1 Re z

>

n-z 1 }. Calcule ''(z) en ese conjunto.

Solución. Usamos el teorema de convergencia analítica (3.1. 8). Debemos tener cui­ dado de tratar de demostrar la convergencia uniforme únicamente en discos cerrados en A y no en todo A. En efecto, en este ejemplo no tenemos convergencia uniforme en todo A (véase el ejercicio 8). Sea B un disco cerrado en A y sea o su distancia de la línea Re z = 1 (figura 3.1.10). 00

Mostraremos que 1: n -zconverge uniformemente en B. Aquí n -z=e -zlogn, donde n;

l

log n significa el log usual de números reales. Ahora ln-' 1=le z Iog n 1 = e-x log "=n -x. Pero x;:::: 1 + o si z E B y, por tanto, ln-z 1:::; n- (l+o) para toda z E B. Escojamos, por lo tanto,M,=n-O +ól. oo -

Por la proposición 3. 13(iii). 1: M, converge. Así, por el criterio M de Weierstrass, 00

n= 1

nuestra serie 1: n-z converge uniformemente en B. Así t,; es analítica en A. También n;J

por el teorema de convergencia analítica, podemos diferenciar término a término para obtener l,;'(z) = -

00

L

n=l

(log n) n-z

la cual sabemos también debe converger en A(y uniformemente en discos cerrados de A). 3. 1.16. Muestre que f (z) = es analítica en A= {z tal que l z 1

<

oo

L

n= 1

z"

-

n2

1 }. Escriba una serie paraj'(z) .

222 )' A

Rez= 1

--------�---+--�� x

Figura

3.1.10. El dominio de analiticidad de la función zeta de Riemann.

Solución.

Usamos otra vez el teorema de convergencia analítica. (Nótese que ésta es una serie de potencias que puede ser abordada de modo alternativo, después que el estudiante haya leído la sección 3.2). En este caso tenemos realmente la convergencia uniforme en todo A. Sea Mn = lln2• Claramente, I: M, converge y lz"/n21 < l/n2 = M, para toda z E A. Así, por e l criterio

M de Weierstrass,

I: 00

n= 1

z"ln2 converge uniformemente en A;

verge en cualquier disco cerrado de A. Así, la suma I:

co

en A. Más aún.

n=l

J'(z) =

00

�

nzn-1

n

n2

co

por lo tanto, la serie con-

z"/n2 es una función analítica

z"- t

= L.1--n n=

(Esta serie, para f' (z), no converge para z = l, por lo que f no puede ser extendida analíticamente en ninguna región que contenga al disco unitario cerrado.)

3.1.17. Calcule

donde y es un círcuÍo de radio

+·

Solución. Sea B un disco cerrado en A = { z tal que lz 1 lzl l . Para z E B, lz nl lzl" ::; (1 ·_O)" con n �O.

círculo

=

=

notamos que I: M, es convergente. Por lo tanto, I:

00

n=U

< 1 } a una distancia o del Escogemos M, = ( l -O)" y

z" es uniformemente convergente

3.1. SERIES CO NVERG ENTES

en B, así, por el teorema de convergencia analítica, :E co

n=O

n z

223

es analítica en A. Por lo tanto,

por e l ejemplo 2.1.12 y el teorema de Cauchy.

3.1.18. Este ejemplo y el siguiente, ilustran cómo la fórmula integral de Cauchy, puede a menudo ser usada para obtener uniformidad donde podría no ser esperada.

Definición. Unafamilia defunciones ':J' defmida en un conjunto G, se dice que es uni­ formemente acotada en los discos cerrados de G si para cada disco cerrado Be G, existe un número M(B) tal que lf(z)l � M(B) para toda z en B y para toda f en ':J'.

Demuestre lo siguiente: Si f1, f , f3, es una sucesión defunciones analíticas en una 2 región G, la cual es uniformemente acotada en los discos cerrados de G, entonces la sucesión de las derivadas r;. r;. r;. . . . es también uniformemente acotada en los discos cerrados de G. . • •

Solución. Suponga que B = {z tal que lz- Zo 1 � r } es un disco cerrado de G. Puesto que B es cerrado y G es abierto, el ejemplo resuelto 1.4.28 muestra que existe un número p con Be D (Zo; p) e G. Sea R = (r + p) 12 y D = { z tal que lz-z01 � R}. Por hipótesis, existe un número N(D) tal que lf, (z)l � N(D) para toda n y toda z e n D. res e l círculo frontera d e D, la fórmula integral de Cauchy para derivadas nos da, para cualquier z en B,

IJ'(z)l n

=

1

--

2ni

f

r

fn((,)

((,-z) 2

d(,

1

�

_ I

21t

[

=-]

N( D ) -_ _ _ (R- r)2

Así, si ponemos M(B) = N (D)RI(R- r ) 2, tendremos lf�(z)l para toda z en B, como se quería.

2nr

� M (B)

para toda n y

Definición 3.1.19. Unafamilia ':J' de funciones definidas en un conjunto B es llama­ da uniformemente equicontinua en B, si para cualquier € >O existe un número 8 >O tal que lf ((,) - f (t)l < € para toda f en ':J', siempre que r, y� estén en B, y ! (,-�� < 8.

Esto es, para cada € > O, la misma 8 funciona para todas las funciones en la familia ':J' , y en todo el conjunto B. Demuestre: Si fl' f , f3, . .. es una sucesión defunciones analíticas en una región G, 2 que es unifonnemente acotada en los discos cerrados de G, entonces, esta familia defunciones es uniformemente equicontinua en todo disco cerrado de G. Solución. Sea B un disco cerrado en G. Por el último ejemplo, existe un número M(B) tal que lf � (z)l � M(B) para cada n y para toda z en B. Sea y una línea recta de r, aten B. Ya que la línea recta está contenida en B, tenemos lfn ( /;) - fn (t)l = 1 fyf�(z) dzl � f'Y lf�(z)l ldzl � M(B) ll;; -�1. Así, dada E > O, podemos satisfacer la definición de equicontinuidad uniforme en B haciendo 8 = eiM(B).

224

Ejercicios l. ¿Convergen las siguientes sucesiones? Si Jo hacen, ¿cuáles son sus límites?

a) zn = (

-

I)n

+

n

+

n!

b) zn =

---

l

2. Sea e una constante compleja. Sean Zo =O y z1 = e y defina una sucesión haciendo zn +

= z� +c.

a) Muestre que si lcl

>

2, entonces lím zn = n-->"'

oo.

1

(Sugerencia: Haga r =lcl- 1 y use in-

ducción para mostrar que l z) > lcl r " -l para toda n.) b) Muestre que si lcl ::;; 2 y existe un valor de k con lzk l

>

2, entonces lím z n = oo. n�oo

(Sugerencia: Haga r =lzkl - 1, y muestre que lzk +PI ;;::: lzkl rP para toda p ;;::: O.) Observación: Aquellos valores de e para los cuales la sucesión zn' definida en esté

problema, permanece acotada, forman un conjunto muy interesante con varios patrones

agradables, llamado el conjunto de Mandelbrot. Véase A. K. Dewdney, "Computer Recreations", Seientific American, agosto de 1985. Véase también la figura 6.S.B.l.

3. ¿Cuál es el límite de la sucesiónf/x) = (1 ""

4. a) Muestre que la serie :E l/(n2 n=O

+

+

x)11", x ;;::: O? ¿Converge uniformemente?

z) converge en el conjunto C\{z =ni 1 n es un entero}.

b) Muestre que la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado con­ tenido en esta región.

5. a) Muestre que la sucesión de funcionesfn(z) = z" converge uniformemente a la función

Of(z) =O en cualquier disco cerrado D, = { z tal que lzl ::;; r} con r < l . b) ¿La convergencia es uniforme en el disco unitario abierto D(O; 1)? 6. a) Muestre que la sucesión de funcionesfn(z) = cos( x/n) converge uniformemente a la función constantef(x) = 1 para x e [0, 7t]. b) Muestre que converge puntualmente a 1 en todo R. e) ¿La convergencia es uniforme en todo R? 7.

Examine la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes series. 00

a) L, -2

log

n

1· L.-oc

i"

b)

l

n

n

8. Demuestre que 1

00

l;(z) =

L-

n=

1

no converge uniformemente en A = {z 1 Re z

9.

nl

>

1}.

00

Si :E gk(z) es una serie de funciones continuas que converge uniformemente y si zn k= 1

muestre que 00

L

oc

L giz)

gk( zn) = nlím k -->"' =l k=l

--+

z,

3.1. SERIES CONVERGENTES 00

00

k=l

k=l

225

10. Si I: ak converge, demuestre que ak � O. S i I: gk(z) converge uniformemente, muestre 11.

que gk(z) � O uniformemente. Muestre que oc

1

1:-

n= 1

z"

es analítica en A = {z tal que lzl > 1} . 12. Muestre que 00

1

1:-

n=l

n!z"

es analítica en C\{0}. Calcule su integral alrededor del círculo unitario. 00

13.

Muestre que I: e-n sen nz es analítica en la región A = {z 1 -1 n=l

<

Im z

<

1}.

14. Demuestre que la serie

n=l

2 1 +z "

converge tanto en el interior como en el exterior del círculo unitario y representa una función analítica en cada región. 00 k 15. Muestre que I: (log n) n -z es analítica en {z 1 Re z > 1}. (Sugerencia: utilice e l resultado n=l

tado del ejemplo resuelto 3.1.15.) Seafuna función analítica en el disco D(O; 2) tal que lf (z)l � 7 para toda z E D(O; 2). Demuestre que existe una o> O tal que si Zp z2 E D(O; 1) y si lz1 - z21 < o, entonces lf(z1)-f(z2)1 < 1/10. Encuentre un valor numérico de o independiente de J, que tenga esta propiedad. (Sugerencia: use la fórmula integral de Cauchy.) 17. Si!, (z) � f(z) uniformemente en una región A, y si f, es analítica en A, ¿es cierto que f� (z) �f' (z) uniformemente en A? (Sugerencia: vea el ejemplo resuelto 3.1.16.) 18. Demuestre: f, � f uniformemente en cualquier disco cerrado en una región A si f, � f uniformemente en cualquier subconjunto compacto (cerrado y acotado) de A. 19. Encuentre una región apropiada en la cual 16.

00

1:

n=l

20.

(2z- 1) " n

sea analítica. Sea!, analítica en una región acotada A y continua en el (A), n = 1, 2, 3, ... Suponga que las funciones f, convergen uniformemente en fr (A). Entonces demuestre que las funciones J, convergen uniformemente a una función analítica en A. (Sugerencia: utilice el teorema del módulo máximo.)

226 3.2. SERIES DE POTENCIAS Y EL TEOREMA DE TAYLOR En esta sección se considerará una clase especial de series, llamadas series de oc

potencias, las cuales tienen la forma :E an (z- z0)n. Vamos a examinar sus propien=o

darles de convergencia y a mostrar que una función es analítica si es representable localmente como una serie de potencias convergente. Para obtener esta representa­ ción, primero necesitamos establecer el teorema de Taylor, el cual establece que si f es analítica en un disco abierto centrado en Zo• entonces la serie de Taylor de J, oc

n=O

n!

converge en e l disco y es igual af(z) en todo ese disco. Para demostrar los resultados de esta sección, usaremos las técnicas desarro­ lladas en la sección 3. 1 y la fórmula integral de Cauchy.

Convergencia de series de potencias oc

Una serie de potencias es una serie de la forma :E an (z- Zo)n. (Aquí a y Zo E e n=O n son números complejos fijos.) Cada término a (z- Zo)n es entero y, por tanto, para n demostrar que la suma es analítica en una región, podemos usar el teorema de convergencia analítica (3.1.8). El hecho básico a ser recordado acerca de las series de potencias, es que el dominio apropiado de analiticidad, es el interior de un círculo centrado en Zo· Esto se establece en el primer teorema. oc

Teorema de convergencia de series de potencias 3.2.1. Sea :E a8(Z- z0)" un a sen=o

ríe de poten cias. Existe un único número R � O, posiblemente + oo; llamado el tal que si lz - z01 < R, la serie converge y si lz - z01 > R, la serie diverge. Más aun, la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en A = { z E C tal que lz - Zol < R}. No se puede hacer un enun ciado general acerca de la convergencia si lz- z01 = R. (Véase la figura 3.2. 1.)

radio de convergencia,

Así, en la región A = {z E C tal que lz- Zol < R} la serie converge y tenemos divergencia en z, si lz- Zol > R. El círculo lz- Zol = R es llamado el círculo de con ­ vergencia de la serie de potencias dada. Los métodos prácticos para calcular R uti­ lizan los criterios de la razón y de la raíz (3.2.5).

Demostración. Sea R = sup { r � O .

1

oc

:E l anlrn converge}, donde sup significa n=O

la más chica de las cotas superiores de ese conjunto de números reales. Vamos a mostrar que R tiene las propiedades deseadas. El siguiente lema es útil a este res­ pecto.

2 27 y

__..-

Círcu l o de convergencia

-------4--� x

Figura 3.2.1. Convergencia de series de p otencias. Las series convergen dentro de un círculo, las series divergen fuera del círculo.

Lema d e Abel-Weierstrass 3.2.2. Suponga que r0;::: O y que la0lr 3 R, entonces na rB- 1 sería 1 n acotada. Así anro = (nanro- )(r0/n) sería también acotada y, por tanto, � a (z- Zo)n n convergería para R � lz - .zol < r0, por el lema de Abel-Weierstrass. Pero esto con­ tradice la propiedad máxima de R, del teorema de convergencia de las series de potencias (3.2.1). Esto establece el enunciado acerca del radio de convergencia. Para identificar a los coeficientes, hágase z = Zo en la fórmula que define f(z), para encontrarf(Zo) = a0. Procediendo inductivamente, encontramos 00

¡""

lím

(ii)

existe, en tonces es igual a R, el radio de converg encia de la serie. Criterio de la raíz: Si p = lím � l a01 existe, entonces R = 1/p es el radio n-> oc

de converg encia. (Hágase R = oo si p = O; hágase R = O si p = oo.) Demostración. Para demostrar ambos casos, mostramos que R :l:

00

n=O

=

sup { r

lanlrn < oo}. (i)

Por el criterio de la razón (proposición

3.1.3 ) ,

sabemos que

converge o diverge conforme

n->oo

lím

lan+l rn+ 11

<

o

l

>

:l: 00

n=O

�O 1

lan lr n

1

esto es, de acuerdo a si >

n->oo

lím

r

o

< r

n->oo

lím

R en el teorema de convergencia de series de potencias (3 .2.1 ), el límite es igual a R. 00

Así, por la caracterización de (ii)

Por el criterio de la razón (proposición n�oo

ge o diverge conforme lím

r

<

1/lím n�oo

(lan1 rn) lln

lan111n

o

r

>

3. 1 .3) <

sabemos que :l:

l o

1/lím

n-too

>

n=o

1;

lanlrn conver-

esto es, de acuerdo a si

lan111n

230

CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES

El resultado se sigue como en (i). • Por ejemplo:

La serie I: z!' tiene radio de convergencia 1, pues an 00

lím

n--+""

n�o

l y, por tanto, tenemos

=

la/an +JI= l.

La serie I: Z11ln! tiene radio de convergencia R 00

n�o

=

entera), ya que a11 = 1/n ! y, por tanto, la/a11 +JI= n + 1

+ oc

(esto es, la función es

---+oc.

La serienI: n! Z11 tiene radio de convergencia R=O pues lan lan+JI= ll(n + 1) ---+ O . oc

::;O

(Esta función no tiene una región no trivial de analiticidad.)

Obsen.>ación. Al refinar el criterio de la raíz, es posible mostrar que R= 1/p, don­

de p = lím sup n-.oo

� el cual siempre existe (lím sup en = lím (sup {en , en+ n----+oo

n-7oc

i'

. . . }),

por definición. Ésta es conocida como la fórmula de Hadamard para el radio de convergencia.) No existe un refinamiento análogo para el criterio de la razón (conocido por nosotros.)

Teorema de Taylor

Es obvio, a partir de los cálculos precedentes, que sif : A ---+ C es igual, en un disco pequeño alrededor de cada Zo E A, a una seri� de potencias convergente, enton­ cesfes analítica. El inverso es también cierto: Sifes analítica, es igual, en cualquier disco de su dominio, a una serie de potencias convergente. Esto se hace explícito en el siguiente teorema. Teorema de Ta�;lor 3.2.7. Sea f analítica en una región A Sea z0 E Ay sea Ar= { z tal que lz -/z01 < r} contenida en A (usualmente se usa el disco más grande posible: si r= oc, Ar=A= C) (véase la figura 3.2.2). Entonces, para cada z E Ar, la serie 00

L

n=O

converge en Ar (esto es, tiene un radio de convergencia :2: r), y tenemos f(z)

00

=L

n=O

f(n)(zo) --�-(z- zo)n n!

( 1)

(Usamos la convención de que O ! = 1.) La serie de la ecuación ( 1) es llamada la serie de Taylor de f alrededor del punto z0.

Figura 3.2.2. Teorema de Taylor. Antes de demostrar este resultado. vamos a estudiar un ejemplo que ilustre su utilidad. Considere f(z) = eZ. Aquí fes analítica y ¡(z) = eZ para toda n. así que ¡(O) = 1 y, por tanto, "" zn (2) ez = I: -n=O n! la cual es válida para toda z e C. ya que eZ es entera. La tabla 3. 2. 1 registra las series de Taylor de algunas funciones elementales comunes. La serie de Taylor alrededor del punto z0 = O es algunas veces llamada la serie de Maclaurin. Todas las series de la tabla 3. 2. 1 son importantes y útiles. Éstas pueden esta­ blecerse tomando las derivadas sucesivas y usando el teorema de Taylor. Las series Tabla

3.2.1. Algunas expansiones comunes.

Series de Taylor alrededor de O

Función l

""

L

I-z

n=O

Donde es válida lz 1 < l

z"

(serie geométrica)

"'

l:

n=o

z" n!

z3

zs

3!

senz

todoz

-

5!

z--+-- •

+

z ._ L (-l )n 1 --:-=::...--:-:"7 ""

• • =

n=l

2"-I (2n-l)!

todoz

cos z

todoz

log(1 +z)

(rama principal)

(1 +z)"

(rama principal

con a e e

fija)

00

(-l)n-1

n=l

n

l:

(� ()

*

n

O

z l l< 1

zn

(serie binomial), donde

a

n

=

a(a-l)···(a-n+l) n!

�)

(sea(:) cero si a es un entero< n y Sea(

=

l

)

232

CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES

binomiales pueden ser familiares a partir del álgebra. Las series de Taylor de algunas funciones pueden encontrarse por otros medios, si se usan las propiedades especia­ les de las series de potencias que nos permiten su manipulación. Algunas de éstas se presentan en los ejemplos resueltos. Ya hemos encontrado la serie geométrica para 11(1-z) y la serie para log (1 + z) en los ejemplos resueltos 3.1.12 y 3.1.14. Es particularmente importante advertir que hemos hecho esto para la serie geo­ métrica, ya que la usaremos en la demostración del teorema de Taylor que sigue. Demostración del teorema de Taylor. Sea O <

[

( ) z 11

1 z

J

1 1 1 1 1 +··· =2 +2 - · · ·) = 2 (1 + - + z z z3 z z

1 ). mientras que en A = { z tal que O < l z l < 1 }. tiene la expansión 1 1 2 = - - ( 1 + z + z + · · ·) = z(z - 1 ) z

- (1 z

+1

2 +z+z +

·

··

)

(válida para O < l z l < 1 ). Por la unicidad, éstas son las expansiones de Laurent para las regiones apropiadas. Demostración del teorema de la expansión de Laurent. Como con la de­

mostración del teorema de Taylor. empezamos con la fórmula integral de Cauchy. Primero mostraremos la convergencia uniforme de las series establecidas en Bp Py2• donde an y bn están definidos por el par de ecuaciones (2) . Puesto que todos los círculos y de radio r, son homotópicos uno con respecto a otro en A. mientras que r1 < r < r2 (¿por qué?. los números an y bn son independientes de r y así 1 = __

an

y bn

21ti

-

I

'Yt

I

J(t;,) dt;, (t;, z )n + 1 o

1 f( t;,)( t;, ___ 21tl 'Y2

- z )n o

1

dt;,

donde y1 es un círculo de radio p1 y y2 es un círculo de radio p2• y donde r1 < p 1 < P 1 < P2 < p2 < r2 (véase la figura 3.3.2) . Para z

E

BP 'P , /

tenemos

1 f(z) = -21ti

J

'Y2

/( t;,) dt;, t;, - z

- _I_

21ti

I

'Yt

J(t;,) dt;, t;, - z

por la fórmula integral de Cauchy (véase el ejercicio 5). Como en el teorema de Taylor, para t;, en y2 (y z fijo dentro de y2).

la cual converge uniformemente en t;, sobre y2•

246

Figura 3.3.2. Construcción de las curvas

y1 y y2 •

Podemos integrar término a término (por la proposición 3 . 1 .9, y por el hecho de quef(�) es acotada ( véase el ejercicio 2 1 , sección 3 .2) y obtener así

Puesto que esta serie de potencias converge para z en el i nterior de y2 , converge uniformemente en discos estrictamente más pequeños (en particular en

BP.'P) ·

- 1

(

1

) --- --

-- = ------ =

�-z

(z - Zo) 1 -

� - z0

Z - Zo

1

z - Zo

+

� - z0

----"'� 2 +

(z - Zo)

(� - .zo)2

(z - z0)3

+ . . .

converge uniformemente con respecto de � en y • Así 1

Esta serie converge para z. en el exterior de y , así que la convergencia es uni­ 1 forme fuera de cualquier círculo estrictamente mayor. Este hecho puede demostrarse de la misma manera que el hecho análogo para series de potencias, usando el lema de Abel Weierstrass de la sección 3.2. (Otro método consiste en hacer la transformación 00 w = 1 /(z - Zo) y aplicar el resultado de series de potencias a L b w n.) Se le pide al n n; 1 estudiante hacer esto en el ejercicio 1 5 .

3.3. SERIES DE LAURENT

247

Hemos demostrado ahora la existencia de la expansión de Laurent. Para demostrar la unicidad, vamos a suponer que tenemos una expansión paraf :

Si ésta converge en A, esta convergencia será, por las observaciones preceden­ tes, uniforme en el círculo y, así que podemos formar

la cual también converge uniformemente. Podemos entonces integrar término a tér­ mino. Por el ejemplo resuelto 2. 1. 12, tenemos

m ;é -l m = -1 Así, si k 2: O, la integral alrededor de y1 de cada término de la segunda serie y todos los de la primera, excepto aquel para el que n = k, es O. Por lo tanto

I

f(z)

r

1

-----

(z - Zo)k +

dz = 2mak

Similarmente, si k :5; -1, la integral de todos los términos es O, excepto aquel de la segunda serie con n =- k y , por tanto

I

f(z)

r (z - Zo)k+

Esto es,

bn =

1.

-

2m

1

----

J

r

dz = 2mb-k

f(z)(z- Zo) n - l dz

para n 2: 1

Así, los coeficientes an, bn están determinados en forma única por f y , por tanto, la demostración está completa. •

Singularidades aisladas: clasificación de puntos singulares Queremos examinar con más detalle el caso especial del teorema de la expan­ sión de Laurent cuando r1 = O. En este caso, f es analítica en { z 1 O < lz Zol < r2 }, que es la r2 -vecindad agujerada de Zo (véase la figura 3.3.3) y decimos que Zo es una singularidad aislada de f. Así, podemos expander f en una serie de Laurent, como sigue: -

248 (3)

(válido para O < 1 z - .zol < r2).

A

Figura 3.3.3.

Singularidad aislada.

A que contiene alguna e - vecindad agujerada de z0, entonces z0 es llamada una singularidad aislada. (Así, la expan­ sión de Laurent precedente (ecuación (3)) es válida en tal e-vecindad agujerada.) Si z0 es una singularidad aislada de f y si todos tos, bn, excepto un número fini­ to, en la ecuación (3) son cero, entonces Zo es llamado un polo de f. Si k es el mayor entero tal que bk #- O, Zo es llamado un polo de orden k. (Para enfatizar que k #- oo, algunas veces decimos "un polo de orden finito k ".) Si Zo es un polo de primer orden, también decimos que es un polo simple. Si un número infinito de b es distinto de k cero, z0 es llamada una singularidad esencial. (Algunas veces esta z0 es llamada un polo de orden infinito. ) "Polo ", significará siempre un polo de orden finito. Llamaremos a bl' el residuo de f en ZoSi todos los bk son cero, decimos que z0 es una singularidad removible. Una función que es analítica en una región A excepto para los polos en A, es llamada meromorfa en A La frase "f es una función meromoifa " significa que f es meromoifa en C.

Def"mición 3.3.2. Si f es analítica en una región

Por lo tanto,/tiene un polo de orden k si su expansión de Laurent tiene la forma

La parte

que es llamada a menudo la parte principal de f en Zo• nos dice justamente "que tan singular" esfen Zo·

3 . 3 . SERI ES D E LAU R ENT

249

S i f tiene una singularidad removible, entonces

f(z )

00

= L

n=O

an(z - Zo)n

es u na serie de potencias convergente. Así. si hacemos f(Zo) = a0, f será analítica en Zo· En otras palabras, f tiene una singularidad removible en Zo si f puede definirse en z0• de tal fo rma que f resulte analitica en z0. Como veremos e n e l capítulo 4. encontrar l a expansión d e Laurent no e s tan i mportante como poder calcular el residuo b 1 , y este cálculo puede hacerse a menu­ do sin calcular l a serie de Laurent. Las técnicas para hacer esto serán estudiadas en la sección 4. 1. La importante propiedad de b p no compartida con los otros coefi­ cientes, se establece en el siguiente resultado.

Proposición 3.3.3. Sea f analítica lada en Zo> con residuo b 1 en z0.

en una región A que tiene una singularidad ais­ Si "( es cualquier círculo alrededor de z0 en A cuyo interior, excepto para el punto z O y un entero k � 1 tales que

l f(z)l

�

M

--­

lz - zrl

en una vecindad agujerada de Zo 1 2) lím (z - z0)k + f(z) = O z � 11}

3) lím (z - z0)k f(z) existe z .....

'o

(iv) z0 es un polo de orden � 1 si existe una función analítica . definida en una vecindad U de z.o, tal que U\{z.o} C A, (z0) ::1:- O, y f(z) (z)/(z - z0)k para toda z E U, z ::1:- z0• =

Demostración

(i) Si Zo es una singularidad removible, tenemos entonces que en una vecindad agujerada de Zo,f(z)

=

00

n::oan(z - Zo)n . Ya que esta serie representa una fun-

ción analítica en una vecindad no agujerada de Zo• obviamente se satisfacen las condiciones 1 , 2 y 3. Cada una de las condiciones 1 y 2, implican ob­ viamente la condición 3 y, por tanto, sólo resta mostrar que la condición 3 implica que Zo es una singularidad removible paraf Debemos demostrar que cada bk en la expansión de Laurent alrededor de Zo es O. Ahora bien

donde 'Yr es un círculo en A cuyo interior está en A (excepto por Zo)· Sea e > O dada. Por la condición 3, podemos escoger r > O con r < 1 , tal que en 'Yr• tenemos la estimación lf(/;) 1 < t/1 1; - z01 e/r. Entonces =

Por lo tanto lbkl � e. Ya que e fue arbitrario, bk O. Usaremos (iii) para demostrar (ii), así que (iii) se demuestra en seguida. (iii) Esta afirmación se sigue al aplicar (i) a la función (z - Zo)kj(z), la cual es analítica en A: (El estudiante debe escribir los detalles.) (ii) Si Zo es un polo simple, entonces, en una vecindad agujerada de Zo· =

3.3. SERIES DE LAURENT

251

donde h es analítica en z0 y donde b1 # O, por la expansión de Laurent. Así, lím (z - Zo)f(z) = Jím [b1 + (z - z0)h{z)] = b1• Por otro lado, suponga z -+ :o

z -+ .zo

que Jím (z - z0)f(z) existe y es diferente de O. Por lo tanto, lím (z - Zo)2 z -+ �

z -+ �

J(z) = O. Por el resultado obtenido en {iii), esto muestra que

para alguna constante b1 y una función analítica h, donde b1 puede ser o no ser O . Pero entonces (z - Zo)f(z) = b1 + (z - Zo) h (z) y en consecuencia lím z -+

Zo

(z - Zo)f(z) = b1 • Así, en efecto, b1 # O y, por lo tanto,f tiene un polo sim­ ple en Zo· (iv) Por definición, Zo es un polo de orden k � 1 si f(z) =

=

b"

(Z - Zo) k 1

(z - z0) k

+

�bk

bk - 1

(z - z0)/c - l +

+ . . . +

bk- 1(z - Zo) +

·

·

·

+

bl

Z - Zo

+

00

L an{z - Zo)n

n=O

b1(z - z(Y'" -

1

� + k.

n a (z - Zo) + n =O n

�

(donde bk =F- 0). Esta expansión es válida en una vecindad agujerada de Zo· Sea cp (z) = b" + bk _ 1(z-Zo) +

• • • +

b(z - Zo)" -

1

oc

+ �

n =0

a (z - Zo)n + "· Entonces n

cp (z) es analítica en la correspondiente vecindad agujerada (ya que es una serie de potencias convergente) y cp(z0) = b k =F- O . Recíprocamente, dada tal cp, podemos desandar este camino para mostrar que z0 es un polo de orden k '?. l . •

Ceros de orden k Seaf analítica en una región A y sea Zo e A. Decimos que f tiene un O de orden k en z0 sif(z0) = O, . . . , J lz - z¡l > o) para alguna > O. r

r

bm

m�l - (z - z )"' es llamada l a parte singular de la expansión de l a serie de Laurent y que ésta converge uniformemente en Por lo tanto,

C\jz J, en el exterior de cualquier círculo lz - Z¡l =

E >

O.

C\lz;f (véase la proposición 3 . 1 .8). Denote a la parte singular de la ex­ pansión de Laurent de/ alrededor de z;, por S¡ (z). es analítica en

4.2.

TEOREMA DEL RES I DUO

2 79

Considere la función n

g (z) = f(z) - :L S; (z) i= 1

A\{z1 zJ y puesto que S ¡(z) es analítica en C\{z ¡}, g e s , analítica e n A\[zl ' . . . zJ Todas las z i son singularidades removibles de f porque, en una vecindad aguje­ rada {z 1 r > lz - z ;1 > 0), la cual no contiene ninguna de las singularidades, tenemos •

Ya que f es analítica en

•

.

•

,

f(z) = L an(z - z 1 )n + S ¡(z) 00

n=O

y, por lo tanto,

g(z)

=

oo

i-1

n

L an (z - Z ¡)n - L sj (z) - L Sj (z) j= l

n=O

S}.,j # i, son analíticas en C\{z1.}, sabemos que lím g(z) existe ��� y es igual a a0 - l:S .(z ) Consecuentemente, z . es una singularidad removible de g. } Puesto que las funciones n

j= 1

j .. i

.

l

.

1

g puede definirse en los puntos Z ; de tal forma que g sea analítica en todo A, podemos aplicar el teorema de Cauchy (2.3. 14), para obtener que J.Y g = O. Así Debido a que

f J = i f S¡ i= 1

y

Enseguida considérese la integral

y

J'Y si" La función S¡(z) es de la forma

00

m=l la cual, como hemos observado, convergente uniformemente fuera de un disco peque­

Z¡· Por lo tanto, la convergencia es uniforme en y. (Ya que C\{y ( [a, bD} conjunto abierto. cada Z; tiene un pequeño disco alrededor de ella, que no

ño centrado en es un

corta a

y.) Por la proposición 3 . 1 .9.

I S. y

Pero, para m

>

1 yz #

l

=

iJ

m= 1

y

Z;,

1

d

b m!....- dz ___, (z - z¡)m

[ (z - Z¡) 1 - m ] l -m

280

CAP. 4. CÁLCULO DE RESI DUOS

y, por lo tanto, por la proposición 2. 1 . 7 y el hecho de que y es una curva cerrada, todos los términos son cero, excepto el término para el cual m = l . Así

f f h¡ y

S¡ =

y

Z - Z¡

dz = b 1

f

y

1 --- dz

Z - Z¡

Por la definición 2.4. 1 para el índice, esto es igual a b 1 (f, Z¡)] /(y, z¡). Por lo tanto,

•

21ti /(y, Z¡) = 21ti[Res •

y el teorema está demostrado. •

SUPLEMENTO A LA SECCIÓN 4.2: RESIDUOS Y COMPORTAMIENTO EN INFINITO

Si una función f es analítica para toda z suficientemente grande (esto es, fuera de algún círculo grande), entonces es analítica en una vecindad agujerada de en el sentido de la esfera de Riemann y el punto al infinito, como se definió en la sec­ ción 1 .4. Podemos pensar al como una singularidad aislada def, quizá removible. Sea F(z) = f( l lz ). Si z = O, hacemos llz = . (Equivalentemente, 1/z ---7 conforme en términos del z ---7 0). Así que tiene sentido discutir el comportamiento de f en comportamiento de F en O. oo,

oo

oo

oo

oo,

Definición 4.2.2

(i) Decimos que f tiene un polo de orden k en si F tiene un polo de orden k en O. (ii) Decimos que f tiene un cero de orden k en , si F tiene un O de orden k en O. (iii) Definimos Res(f, ) = -Res(( llz2) F(z), 0). oo,

oo

oo

Observe, en particular, que un polinomio de grado k tiene un polo de orden k en Esto coincide con lo que vimos en la demostración del teorema fundamental del álgebra en la sección 2.4. Conforme z ---7 un polinomio de grado k se comporta de modo similar a z k. Véase también el ejemplo resuelto 4.2.8. La definición de residuo en puede parecer un poco extraña, pero es ideada para hacer que funcionen correctamente las dos siguientes proposiciones.

oo .

oo,

oo

> tal que f (!S analítica en (z E e Ro· r es el círculo de radio R centrado en O, y r es recorrida una vez en sentido contrario al de las manecillas del reloj, entonces rf = -21ti Res (f, oo ) .

Proposición 4.2.3. Suponga que existe una Ro

tal que lzl

>

R0}. Si R

>:

o

J

Demostración. Sea r = 1 /R, y sea y el círculo de radio r centrado en O y recorri­ do en sentido contrario al de las manecillas del reloj . Si z está dentro de y, entonces

S U P L EMENTO A LA SECCIÓN 4.2.

281

llz está fuera de r, así que la función g(z) =f( 1/z)/z 2 es analítica en todo el interior de y, excepto en O. Así

f [f( llz)lz2]dz = j21t0 f(r-1 e -ir)r-2 e -2i1reir dt = m1t f(Re -i')Rrit dt = f� f(ReiS)Reis ds = f�1t f(Reis)Reis ds 21t =f f

21ti Res (g, O) =

.

1

r

La penúltima igualdad se sigue de la 21t perioditicidad de �-• La elección del signo menos se sigue del hecho de que, conforme avanzamos a lo largo de una curva cerrada simple en e en sentido contrario al de las manecillas del reloj , la región que normalmente pensamos como el interior, está a la izquierda. (Mire cualquiera de las figuras de esta sección.) El punto al infinito, está a la iz­ quierda si avanzamos en la dirección opuesta a lo largo de la curva. De aquí el signo menos. Para las curvas de la última demostración, si z avanza en la dirección contra­ ria al sentido de las manecillas del reloj a lo largo de r, entonces 1/z avanza en la di­ rección de las manecillas del reloj a lo largo de y. Ya que f es analítica fuera de r, excepto, posiblemente, en la proposición 4.2.3 puede ser interpretada diciendo que ( l /2xi)fr f es el residuo negativo deffuera de r. En general esto es correcto. oo,

oo,

Proposición 4.2.4. Sea y una curva cerrada en e recorrida una vez en sentido

contrario al de las manecillas del reloj. Sea f analítica a lo largo de y y suponga que f tiene únicamente un número finito de singularidadesfuera de y. Entonces

L

f

= -

27ti L {residuos de f fuera de y, incluyendo al oo)

Aplique el teorema del residuo a la curva compuesta, tal como la de la figura 4.2.6. Escójase r un círculo lo suficientemente grande para que contenga a y y a todas las singularidades finitas de f en su interior. Se le pide al lector que proporcione los detalles restantes de una demostración informal, en el ejercicio 14 • Demostración.

.

Figura 4.2.6. Curva u sada en la demostración del teorema del residuo para el exterior de una curva . .

282

Ejercicios resueltos 4.2.5.

Sea y el círculo de radio ...!... 2

, parametrizado por y(t) = ei1f2, O :s; t :s; 21t. Evalúe.

Solución. Las singularidades ocurren en los puntos para los cuales el denominador se

anula. Estos puntos son

Z¡

=

-1 + � 1 - 4 = 2

-1 + ,ij¡ 2

-1 - � l - 4

-1 - .[3¡

y

z2 =

2

2

1 , así que tanto

z1 como z2 están fuera del círculo de ra­ dio T· Ahora, y es homótopica a O en C\lz,J y 1 /(z - z1) es analítica en C\{z1l y, por ende, del teorema de Cauc hy , /(y, z1) = O. Similarmente, /(y, z2) O Por lo tanto, del teorema del Es fácil verificar que

lz1 1 = 1�1 =

=

=

residuo,

.

Alternativamente, podríamos notar que y es homotópica a O en C\lz1, z2l (figura y l/(z 2 + z + 1 ) es analítica en C\{zl ' z2J; entonces, por el teorema de Cauchy,

f : Y

•

d z2 + + 1 y

Z¡

Figura 4.2.7.

=

-1 + jj¡

dz Y z2 + z + l

f

2

= O.

=

O

4.2. 7)

SU PLEMENTO A L A SECCIÓN 4.2.

4.2.6.

283

Evalúe

I

dz . --4,...y z + l

donde

y consiste de la porción del eje -2, centrado en O.

superior desde 2 a

desde -2 a +2 y el semicirculo en el semiplano

Solución. Los puntos si ngulares del i ntegrando ocurren en las cuatro raíces de 1t l e i 4 , e

>

1.

0:

Sea y la curva mostrada en la figura 4.3.2, donde O y x l ' x2, y 1 son escogidas lo suficientemente grandes para que y

Demostración. Para

xl ' x2

ro >

=

contenga todos los polos de f en e l semi plano superior. Por el teorema del residuo,

J"Y e iwz f(z) dz

=

21ti I: [residuos de f(z) eiú)z en el semiplano superior] . y

..

--------�--�--_.-.- x Figura 4.3.2. la curva y usada para la demostración de la p ro po sició n 4 . 3.4.

Estimemos ahora los valores absolutos de las tres integrales /1

=

f"' n

e iw (x2 + yi) f(x2 +

yi ) i

dy

294

J

/3 = o y

1

eíro (-x, + yl) f(-X¡

+ iy)i dy

como sigue. Sea E > O y escójase R como en (i). Sea M1 = máx [ lf(x2 + iy)l tal que O :S; y :S; y1 ) M2 = máx [ lf(x + iy1)1 tal que -x1 :S; x :::;; x2} M3 = máx [ lf(-x1 + iy)l tal que O :S; y :S; y1) Si y1 > x1 > R y y 1 > x2 > R , entonces M1 < e, M2 < e y M3 < e. Entonces M1

e-roy dy = -(1)

(1

-

M1

e -roy,) :::;; -(1)

Similarmente 1/31 :::;; M/00. Finalmente,

< e.

Ya que ro> O, podemos hacer a y1 1o suficientemente grande para que e-roY, (x1 + Xz) que

Puesto

tenemos

J::. eíroxf(x)

y

dx - 21ti .L [residuos def(z)é1>z en el

semiplano superior) = - (/1 + /2 + /3)

por lo tanto,

IL: e iroxf(x)

�siduos de f(z)eiroz en el semiplano superior} !

dx - 21ti .L [r

puesto que E es arbitraria, eiroxf(x) dx

4.3.

EVALUACIÓN DE I NTEGRALES DEFI NIDAS

·. .

295

existe y tiene el valor requerido. Al estudiante se le deja el ejercicio de demostrar, como u n hecho del cálculo, que la existencia de este doble límite es lo mismo que la existencia de

y

lím

.XI -+ ce

Jo

-XI

e iorc

f(x) dx

Así, hemos demostrado la existencia (en el sentido condicional) de

J� y que

J: eiroxf(x) dx

=

e irox f(x)

21ti l: {residuos de f(z)e i(l);O en

La parte (iii), ara f(z) = >

1 + grado P(x), se sigue como en la demostración de la proposición 4.3. 1 : lzl 2! 1 existe una M1 > O tal que IP(z) l M1 1zln donde n = grado P(x), y existe una 1 y una M2 > O tales que, para lzl 2! R tenemos que IQ(z)l 2! M2 lzln + 1 • Por lo tanto,

Q(x) >

}

el semiplano superior .

P(x)IQ(x), donde P y Q son polinomios con grado

<

Para

R

dx

para

lzl 2! R; y las partes (i) y (iii) son satisfechas.

La demostración de la parte (ii) (el caso donde

ro <

O) es

similar a la demostra­

ción precedente, excepto que la curva apropiada es un rectángulo en el semiplano

inferior. •

Observe que

[",

cos

roxf(x)

}

plano superior . (Esta fórmula

es

dx no es

21ti l: { residuos de

(cos roz) f(z) en el semi­

en realidad falsa.) Las hipótesis de las proposiciones

4.3 . 1 y 4.3.4 simplemente no se aplican, una lf(z)l

2 � M/lzl •

Existe otro método para demostrar esta proposición, el cual el estudiante inte­

lema de Jordan : Si f(z) � O conforme lzl --) =, uniformemente en el arg z. O � arg z � 1t, y si .f(z) es analítica cuando lzl > e, e

resado puede desarrollar. Está basado en el una constante,

O � arg z �

1t,

entonces

pe'-a ,

J'Y e p

iml.f(z)

dz --) O conforme p

--) =, donde

'Yp(e)

=

O � e � 1t. (Consúltese E. T. Whittaker y G.N. Watson, A Course of Modem Analysis, Nueva York; Cambridge University Press, 1927, p. 1 15.

Ejemplo 4.3.5. Muestre que para b > O

J

c os x --::,...__� dx x2 + b2 o ""

·. '

_/

296

CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS

Solución. Ya que (cos x)l(x 2 +

foo

b 2) es una función par, tenemos dx

COS X

o

x2 + b2

f"'

_!. 2

=

-00

COS X

x2 +

dx

b2

Debemos encontrar los residuos de eízt(z 2 + b 2) en el semiplano superior. El úni­ co polo en el semiplano superior está en b¡ y el polo es simple, por lo tanto

(Tabla 4. 1 . 1 , fórmula 4, página 270), y en consecuencia

f

�

os

"' -"' x +

[

x

dx = Re 21ti

b2

( � )] : e b

1t -b

=

2cb

Integrales trigonométricas Proposición 4.3.6. Sea R(x, y) una función racional de x, y cuyo denominador no

2lt

se anula en el círculo unitario. Entonces

J

o

R(cos e, sen e) de = 21ti L [residuos de f(z) dentro del círculo unitario]

donde R f(z)

=

( ( ) _!_ 2

z

+

_!_ z

.

'

l

_

2i

IZ

(

z

_

_!_ z

))

Demostración. Si z = x + iy está en el círculo unitario, entonces

2

x = ..!._ (z + z)= __!_

2

( ..!.).. z+

z

y

Y

• =.

2l

( ) z - 1... z

Ya que R no tiene polos en el círculo unitario, tampoco los tiene f, así que si y es el círculo unitario, tenemos, por el teorema del residuo,

2x

Por lo tanto,

J

0

JY

f = 21ti L (residuos de f dentro de y)

R(cos e, sen e) de =

2" ( J

lo cual demuestra el teorema. •

0

R

e i9 + e - i9

----2

4.3.

EVALUACIÓN DE INTEGRALES DEFINIDAS

f�"

Si usted olvida la fórmula para J. siempre puede empezar con R (cos e, sen e) de y seguir el método de la demostración precedente (esto es, escribir cos e = (ei9 + e-i9)/2, y así sucesivamente). La fórmula parafresultará entonces evidente.

Ejemplo 4.3.7. Evalúe 1=

f21t o

de ---:--.,-----:---::- a

1 + a2 -2a cos e

>

O, a =F

1

Solución. Por la proposición 4.3 .6, dz

- J'Y · [ 1

[-

=

I

(

�

1

)]

2a 1 + a 2 - -- z + z 2

lZ

i [-az2 + ( 1 + a 2)z - a ]

=

J

i� 1

(z - a ) (az - 1 )

Los polos del integrando están en z = a y z = lla. Primero, suponga que a < 1 ; el polo dentro del círculo está entonces en z = a. El residuo es l

Si suponemos que a

>

1 , el integrando tiene un polo en z = l la y el residuo es

------ ---i

a( lla - a)

Así

21t 1=

21t

=

l

l - a2

si a < 1 si a > 1

Las tres últimas proposiciones dan cuenta de algunas de las clases más comu­ nes de integrales. Ahora vamos a integrales más especializadas. La primera involu­ cra la función multivaluada z � za.

Integrales del tipo

f; xa -

1

f(x) dx: Transformadas de Mellin

4.3.8. Sea f analítica en C, excepto para un número finito de singula­ ridades aisladas, ninguna de las cuales está en el eje real estrictamente positivo Sea a > + iy l y = O y x (esto es, todas están en el complemento del conjunto

Proposición

{x

> o)).

298

4. CÁLCULO DE RESIDUOS

CAP.

O con la restricción de que a no es un entero, y suponga que (i) existen constantes M 1 , R 1 > O y b > a tales que, para lzl � Rl ' lf(z)l 5 M¡llzlb; y (ii) existen constantes M2 , � y d, con �. R2 > O y O < d < a, tales que, para O < lzl 5 �. lf(z)l 5 Mflzld. Entonces la integral convergente), y

oo

J

xa - 1 f(x) dx = -

O

J:

xa - l f(x) dx existe (en el sentido de ser absolutamente

1te -ruú sen (a1t)

1 L. \residuos de za- f(z) en las singularidades de f, excluyendo el residuo en O)

Aquí za - I = e O; y y4 y y2 forman cada uno un ángulo 11 > O con el eje positivo x. Escogemos e suficientemente pequeña, r suficientemente grande, y 11 suficientemente pequeña de

J�

y

Figura 4.3.3. 'Y = Y1

+ Y2 + 'Y3 + 'Y4 ·

4.3. EVALUACIÓN DE I N TEGRALES DEFINIDAS

299

modo que (i) e :::;; R2 , (ii) r ;;:: R ; y (iii) y = y + y2 + y3 + y4 encierre a todos los polos 1 1 defi.z) excluyendo al polo en O. Por :é' - 1 queremos decir e(a- l )log z. donde Iog z denota la rama del log con O O de los semicírculos pequeños se escogió suficientemente pe­ queño para que y encerrara a todos los polos de f en el semiplano superior, sin incluir a aquellos sobre el eje real. También pedimos que la integral alrededor del semi­ círculo se aproxime a O conforme r � y que los límites de las integrales alrededor •

oo

•

•

303 y

Figura 4.3.4. La c u rva y para eva l u a r e l valor pri nci p a l de Cauchy. de los semicírculos pequeños existan y sean finitos conforme mientos. junto con el hecho de que

f,1 f

=

e �

O. Estos requeri­

2ni L. (residuos en el semi plano s uperior.

fuera del eje real). aseguran la existencia de V.P.

roo

f(x) d.x y nos permiten calcular

su valor. Estos requerimientos son satísfechos en la proposición 4.3. 1 1 . en la cual se deduce

roo

una fórmula explícita para V.P .

f(x) d.x. Este teorema se reduce a l a proposición

4 . 3 . 1 en el caso en el que ningún polo esté en el eje real. Proposición 4.3. 1 1 . Sea f analítica en un conjunto abierto que contiene al semi­

plano superior H aisladas. Sean X p polos simples. Si

{z 1 Im z ;;::: o} excepto para

=

.

.

•

•

un número finito de singu la ridades xm singularidades sobre el eje real y suponga que éstos son

(i) f satisface la condición de la parte (i) de la proposición 4.3 . 1 (excepto para los polos sobre el eje) ( i i ) f(z) eíazg(z) con a > y g satisfaciendo la condición de la parte ( i ) de la

O

=

proposición 4.3 .4. entonces V.P. V .P.

J�oo

f(x) dx

=

[,

f(x ) dx existe y

21ti L (residuos de f en el semiplano superior Im z > O) +

{

1ti L residuos de f sobre el eje x

}

Naturalmente. exi sten resultados correspondientes para el plano inferior.

Proposición 4.3.12. Sea f analítica en un conjunto abierto que contiene al semi­ plano inferior L z 1 Im z :5: excepto para un número finito de singularidades aisladas y suponga que aquellos polos sobre el eje real son simples. Si =

{

O}

304

CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS

(i) f satisface la condición de la parte (ii) de la proposición 4.3. 1 . (ii) f(z) = eiazg(z) con a O y g satisfaciendo la condición de la parte (iii) de la proposición 4.3.4, entonces

<

V.P.

r.,

f(x) dx

=

-21ti

L \residuos de f en el semiplano abierto Im z < o}

-ni L (residuos de f sobre el eje real)

Observación. La siguiente demostración asume que la condición (i) se satisfa­ ce. La demostración que asume la condición (ii) difiere en un sentido: los tres la­ dos del rectángulo grande en el semiplano superior podrían ser más apropiados que

el semicírculo mayor, justo como en la proposición 4.3.4. Note que

L:

+e

e�-E f(x) dx y

f(x) dx son integrales convergentes para toda E > O, en el caso en que la condi­

ción (ii) se cumple. Esta conclusión se sigue de la demostración de la proposición 4.3.4. Si consideramos la curva y en la figura 4.3.4, vemos que para demostrar la proposición 4.3. 1 1 , necesitamos saber cómo manejar integrales sobre círculos pe­ queños. Este resultado es proporcionado por el siguiente lema. Lema 4.3. 13. Si f(z) tiene un polo simple en Zo y Ye es una porción de un arco

circular de radio E y ángulo a (véase al figura 4.3.5). Entonces

J

lím

e --+ 0

Figura 4.3.5.

1e

f = ai Res (f, z0)

La curva yE

Demostración del lema. Cerca de Zo podemos escribir f(z) = b ¡f(z - z0) + h(z), donde h es analítica y b 1 = Res (f, z0) (¿por qué). Entonces

f J 1,

f=

1,

1 dz + J h(z) dz : z z0 Y,

4.3.

EVALUACIÓN D E INTEG RALES DEFIN I DAS

305

Por lo tanto,

Aquí Ye(9) = + Ee iO ' l . Sin embargo, al cruzar en el región -1 < x < 1 cambian ambos factores, así que el pro­ ducto no cambia sino que es continuo a través de este segmento. Así, es analítica a través de este segmento, por el corolario del teorema de Morera, establecido en el ejemplo resuelto 2.4. 1 7. Podemos usar esta función para definir nuestro integrando de manera que sea analítica en C\lz 1 Im z = O y IRe zl � 1 Por el teorema del residuo,

}.

308

y

Figura 4.3.7.

La curva y. y

y

-1

-1 (i)

Figura 4.3.8. Cortes de

f

rama que se necesitan para Jz2

Y

dz z Jz2 - l

=

21ti Res

(

1

(ii) 1;

(i) para v

z Jz 2 - l

, ) O

z-

1;

(ii) para J z + 1 .

= 21t

El estudiante debe verificar que a) la integral sobre el semicírculo incompleto de radio

r

se aproxima a O conforme

r � oo

(el integrando es menor o igual que M/lzl2

para lzl grande), b) la integral sobre los círculos incompletos de radio E se aproxima a

cero conforme E

�

O (la integral es acotada por una constante por El [E= [Een esos

círculos), y e) para E y

r fijas,

la integral sobre las líneas horizontales se aproxima a

309 Tabla 4.3.1.

Evaluación de Integrales definidas.

l. tf(x)dx

2.

¡�-� P(x) dx Q(x)

f(z) no tiene polos en el eje real; un número finito de polos en C; l ftz)l :>: Mllzj2 para lzl grande P, Q polinomios; grado Q � 2 + grado P; Q no tiene ceros reales

ro> O;

lf(z)l S Mll zl para lzl grande y ningún polo de f sobre el eje real, o f(z) =P(;;)JQ(z) donde grado Q(z)� l + grado P(z)y Q no tiene ceros reales b.

J:� cos(rux)f(x)dx t sen(úh:)/(x)dx �

f real en el eje real

4.

J:• R(cos 9, sen 9) d9

R racional y R(cos 9, sen 9) continua en 9. (Sin polos en el círculo unitario.)

5.

t

a> O y/tiene un número finito de polos, ninguno en el eje real positivo; lf(z)l :>: MJizt b, b > a, para lzl grande, y lft z) 1 :>:, MI lzJd, d O, b

4.3.1,

>

O

excepto que se permite a f tener un

número finito de polos simples sobre el eje real positivo (estrictamente). Muestre que

V.P.

f""o

xa -l t"' y, puesto que

3

+ ...

-1t2 3

z = O, la fórmula de la adición resulta

i� + i: � )= n n

n=-N

1

= 1,

n=l

3

l/(-n )2= l/n2, obtenemos lím

N->oo

N

}

L -2- = n =l n

1t2 6

Concluimos que 00

l = .Ln2 n=l

1t2 6

•

Expansiones en fracciones parciales

Síj(z) =p(z) /q(z) es una función racional, conocemos un truco del álgebra que f puede ser expandida en "fracciones

es a menudo útil en el cálculo: La función

parciales" en términos de los ceros del denominador. Algunas veces una función meromorfa puede pensarse en algo así como una función racional con, posiblemen­ te, una cantidad infinita de ceros en el denominador y uno dese aría saber si es posible una expansión similar. Aun cuando uno podría no tomar muy en serio esta analogí a, algo acerca de esto puede hacerse. Primero damos un ejemplo específico que muestra cómo puede usarse el teorema de la adición, el cual será usado en el capítulo 7. Luego daremos un resultado un poco más general.

4.4.

EVALUACIÓN DE SERIES INFINITAS

327

Proposición 4.4.4. Sea z cualquier número complejo que no sea un entero; entonces

�( 1 00

z-n

n

:)

+

""

y

1

�

- �)

z+n

l(

n

son series absolutamente convergentes y 1t cot

1tZ

=

__1 z

+

:E

n= l

(--_1 _ ) +

z- n

• n

--

:E (- -_ 1 _-

+ n=l

z+n

1)

n

Esta ecuación también puede escribirse como

1t cot 1tz =

-1z

i:'

+

n=-oo

--1-- + I n ( z-n

)

donde la "prima" indica que se han omitido los términos correspondientes a n Demostración. Para n suficientemente grande,

lz -ni

>

=

O.

n/2. Por lo tanto,

21zl

1 z-n Al comparar con la serie convergente

21zl·

1 -- +

--:-1 (n

( n2

vemos que

�

n

1 + (-z--- -n-

)-2-

+ •

•

.

)

!)

es absolutamente convergente. Similarmente.

00

n�l

(

es absolutamente convergente. Fíjese

1

1 z + n -n) z

y considérese la función

Esta función es meromorfa; su único polo está en fácil ver que

posición adición

lwf(w)l

está acotada para

w

f(w) = 1/(w- z). z, el cual no es un entero y resulta

suficientemente grande (como en la pro­

4.3.1). Por la proposición 4.4.2, vemos que las hipótesis del teorema de la

se

satisfacen y así

lím

i

N ..... oo n=-N

--1-- { n-z

=

- residuo de

1t

cot 1tw

W-Z

a

w

=

z

}

=

-1t cot 1tZ

328

CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS

Notamos que N

+L

n=1

y,

por tanto, 1

z+n

-

i n

)

= 1t cot 1t z

•

También podríamos haber obtenido la expansión para la cotangente a partir del siguiente teorema. Teorema del desarrollo en fracciones parciales 4.4.5. Suponga que f es mero­

morfa con polos simples en al' a2 , a 3 , con O< la11 :::; 1�1 :::; ...y residuos bk en ak. (Estamos suponiendo que f es analítica en 0). Suponga que existe una sucesión R l ' R2 , R 3, con la propiedad de que lím �=coy curvas cerradas simples CN n ..... que satisfacen •

.

•

.

.

.

00

(i) lzl2::: RN para toda z en C N" (ii) Existe una constante S con longitud (CN) :::; SR N para toda N. (iii) Existe una constante M con lf(z)l :::; M para toda z en CN y para toda N. (La misma M debe funcionar para toda N.) Entonces

f(z) = f(O)

+n�l

(

b -z - a n

_: +

b _ _a -

:

)

Demostración. Si z0 oF O no es un polo de f, sea F(z) = f(z)/(z - z0). Entonces

F tiene polos simples en z0 y en a 1' a 2 , a 3 ,

.

.

•

Claramente

Res (F; zo) = lím (z- z0)F(z)= f(z0) Z�Zo

y

Por el teorema del residuo,

1

. 2m

--

1 --

. 21tz

I

eN

I

eN

f(z)

z - z0 /(z)

--

z

dz = /(Zo) + L

dz=/(0) + L

¡

¡

b n

b n an- z0

--

an

1

an

1

}

all está dentro de e N

}

está dentro de e N

4.4. EVALUACIÓN DE SERIES INFINITAS

329

Al restar, Zo

2ni

JeN

f(z) z (z- z0)

b dz=J(z0)-f(O) +L -- _,.

[

__

a,.-z0

l a,.está dentro deeN}

b " a,.

A lo largo deeN, lzl '?. R N y lz-z01 '?. IRN- lz011 y, por lo tanto, la integral de la úl­ tima desigualdad está acotada superiormente por M

R NI R N-lz011

-----

Esto se va a cero conforme N dentro dee N" Por lo tanto, /(z0) =/(0) -lím

N->"'

00

=f(O)-:L n=l

( (

L

[longitud ce N)] :::;; � oo

y

lz 01MS

-=---- -

--

2rt IR N -lz 011

cada una de las a,. está eventualmente

¡f a,. �z0 -� l a,. está dentro dee N} ) a,.

b" a,.-Zo

b -"-

) a,.

Y

a que esta fórmula se satisface en toda establecido el teorema. •

"' =J (O) + L

n=l

z0

(

bn Zo-an

b +-"a ,.

)

para la cual f es analítica, hemos

Los contornos usados comúnmente para las e N' son círculos de radio R N o cua­ drados grandes como aquellos de la figura 4.4.1. La expansión dada en el teorema del desarrollo en fracciones parciales es un caso especial de un resultado más ge­ neral conocido como el teorema de Mittag-Leffler, 2 nombrado así en honor del fa­ moso matemático sueco Gosta Mittag-Leffler (1846-1927).

Ejercicios l. Muestre que 00

:L

n=1

1 -

n4

1t4

=90

2. Muestre que

2 Puede encontrarse, por ejemplo, en Peter Henrici,

vol. l, Nueva York, Wiley-Interscience,

Applied and Computational Complex Analysis, 1974, pp. 655-660 y Nueva York, Springer-Verlag, 1986.

330

CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS

3. Muestre que

1

n=O

----

n2+a2

=

-1t

2a

coth 1ta +

-1

2a2

para

a> O

4. Muestre que 00

1t2

---

sen 2 1t z

=

L

1

n=-co

(Sugerencia: empiece con la expansión de 1t cot 1tZ.) 5. Desarrolle un método para evaluar series de la forma

00

k

n=-00

(-l)n f(n) donde fes una fun-

ción meromorfa en C con un número finito de polos, ninguno de los cuales es un entero. En otras palabras, desarrolle teoremas análogos al teorema de la adición ( 4.4.1) y la proposición 4.4.2. (Sugerencia: 1t/sen 1tZ tiene polos en los enteros con Res (1t/sen 1tZ, n) = (-1 )n. Discuta cómo podría manejar la adición si alguno de los polos de/estuviera en los enteros; véase la proposición 4.4.4.) 6. Muestre que si 2z -1 no es un entero, entonces

1 1 4 = + COS1t Z n

:E [

n

=l

2z-1 (2z-1)2-4n2

+

(Sugerencia: cos(x + iy )= cos x cosh y + i sen x senh y, Utilice el cuadrado con esquinas

±N±Ni para las eN dadas en el teorema de desarrollo en fracciones parciales (4.4.5).

Finalmente, combine los términos n y -n.) 7. Use el teorema del desarrollo en fracciones parciales para mostrar que

1 ' cot z = - +L z

(

)

1 1 00 +-- = -+ L =1 z -n1t n1t z n 1

1

---::---::--::-z2 -n21t2

donde k ' significa que la suma es sobre todo n � O.

-

2 1122+ 113 -1142 +... = 1t2f12. 3 9. Trate de evaluar la suma I: (1/n ). (No se desanime demasiado si no tiene éxito. Vea las 8. Demuestre que

1

00

n=l

observaciones en las respuestas a los ejercicios impares al final del libro.)

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 l. Evalúe

2. Evalúe

JY

J

2o"

__d_e

__

2-sen e

1 --- --- d z donde (z -1) (z-2)

a) y es el círculo con centro en O y radio l.. recorrido una vez en sentido contrario al de 2 las manecillas del reloj.

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4

3.

b)

Igual que en

a)

e)

Igual que en

a) pero

S.

Calcule

8.

con radio ;.

I�

Evalúe

f_�

- dx -x4 -:- - I-

senx ------

xx ( +1)(x2 + 1)

I�

Evalúe

1 x6 + 1

J:

n es un entero positivo.

dx

dx

d8

2 cose+ 3

Seafanalítica en una región que contiene el semiplano superior z { 1 Im z;;::: o]. Suponga que para alguna a > O, lfz ( ) ::;; Mllzla para z l l grande. Muestre que para Imz > O, f( z) =

9.

�

x

Jc zne11zdz siC es el círculo unitario centrado en O y

Evalúe

7.

�­

pero con radio

Evalúe

4.

6.

331

1 . 21tl

--

""J

10. Muestre que

dt= ��

sen kt

t

i

zl

1

(e-z)

-=:---_;_

__

z2

dx

k>O

k=O

-1

cos =

x-z

-00

Evalúe

1 1 . Evalúe

f(x)

k 2 . Escoja Zo=O. 14.

Muestre que

f"' o

15. 16.

17.

sech x dx=_:: 2

(Sugerencia: considere el rectángulo con esquinas en ( ±R , ±R+ni).) ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor de 1/ cos z alrededor de z =O? Explique cuál es el error en el siguiente razonamiento. Sabemos que a z= ez Iog a, así que daZ/dz =(log a)a'. Por otro lado da ztdz = z a'- 1 • Por lo tanto, z a z - 1 = a2(log a), así que z =a log a. Encuentre los residuos de las siguientes funciones en cada singularidad: b)

00

¿Dónde es analítica I:0 zn e-izn? n19. Seaf(z) con un cero de orden k en .zo, Muestre que Res (f'IJ, z 0)=k. Encuentre (f"/f', Zo) y Res (f"lf, z0). 20. Seaf entera y suponga que Ref es un polinomio enx,y. Demuestre quejes un polinomio. 21. Explíque cuál es el error en el siguiente razonamiento, luego calcule el residuo correc­ tamente. La expansión

18.

1

=---..,... (z-1)2 z(z-1)2

---

1 l+(z-1)

-----

=

.

•

.

+

1

1

--:- +

----

-

(z-1)5

(z-1)4

1

---7'""

(z-1)3

es la expansión de Laurent; puesto que no hay término en 1/(z- 1), el residuo en z = 1 es cero. 22. Verifique el principio del máximo para funciones armónicas y el principio del mínimo para funciones armónicas, para la función armónica u(x, y) = x2- y2 en [0, 1] X [0, 1]. 23.

Evalúe

J

r

1 z(z-l)(z-2)

donde y es el círculo centrado en O, con radio

;

dz

.

24. Lo mismo que en el ejercicio 23 pero con radio � . 25. Determine el radio de convergencia de las siguientes series: b)

� ( 1--;)n zn "'

¡

EJERCICIOS D E R EPASO D E L CAPÍTULO 4

26.

333

Establezca lo siguiente: senh ax

----

senh 1tX

a 1 dx =-tan-

para

2

2

-1t O e Im z > O} y B = { z 1 Im z > O}. Entonces el mapeo f: A 2 -; B definido por z -; z , es conforme. (El estudiante puede verificar esto fácil­ mente.) La figura 5.1.1 ilustra el teorema mostrando la preservación de ángulos en este caso. Si f' (Zo) = O, los ángulos no necesariamente se preservan. Por ejemplo, para el mapeo z-; z 2, los ejes x y y se intersectan en un ángulo rt/2, pero las imá­ genes se intersectan en un ángulo rt. Un punto tal en donde f'(z0) = O para una función analítica¡, es llamado un punto singular. Los puntos singulares se estudian con mayor detalle en el capítulo 6.

y

y

1

Figura 5.1.1. Un mapeo conforme. Proposición 5.1.2

(i) Si f: A-; Bes conforme y biyectiva (esto es, uno a uno y sobre) entonces f-1 : B-; A es también conforme. (ii) Si f: A -; By g : B -; C son conformes y biyectivas, entonces g o f: A -; C es conforme y biyectiva. Demostración

(i) Ya que f es biyectiva, el mapeo¡-1 existe. Por el teorema de l a función inversa (1.5.10),J-1 es analítica con df-1(w)ldw = 1/[d f(z)ldz] donde w = f(z). Por lo tanto, df -1(w)ldw 7'= O, así que f-1 es conforme. (ii) Ciertamente, g o f es biyectiva y analítica, pues g y f lo son. (La inversa de g o f es¡-1 o g-1.) La derivada de g o f en z es g'( f(z)) f'(z) 7'= O. Por lo tanto, g o fes con . forme, por definición. • •

Debido a las dos propiedades de la proposición 5. 1 .2 (y el hecho obvio de que el mapeo identidad z -; z es conforme), podemos referirnos justificadamente al conjunto de mapeos conformes biyectivos de una región fija en sí misma, como un grupo.

337

5.1. TEORÍA BÁSICA DE LOS MAPEOS CONFORMES

La propiedad (i) es importante porque podremos usarla para resolver varios problemas asociados con una región dada (como el problema de Dirichlet). El mé­ todo consistirá en encontrar un mapeo conforme biyectivo f: A � B, donde B es una región más simple en la cual se puede resolver el problema. Para obtener la respuesta en A, transformamos entonces nuestra respuesta de B a A, mediante ¡-1• El problema de Dirichlet involucra funciones armónicas, así que debemos verificar que las funciones armónicas permanecen armónicas cuando las componemos con un mapeo conforme. Para hacer esto demostramos el siguiente resultado. armónica en una región By sea f: A � fes armónica en A.

Proposición 5.1.3. Sea

Entonces

u

o

u

B

analítica.

Sea z E A y w = f(z). Sea U un disco abierto en B alrededor de w y sea V =f-1 (U). Es suficiente mostrar que u f es armónica en V (¿por qué?). Por la proposición 2.5.8, existe una función analítica g en U tal que u = Re g. En­ tonces u f = Re (g f) (¿por qué?) y sabemos que g fes analítica, por la regla de la cadena. Así, Re (g f) es armónica. • Demostración.

o

o

o

o

o

Teorema del mapeo de Riemann

Hay un teorema básico, pero más sofisticado, concerniente a mapeos confor­ mes, que garantiza la existencia de tales mapeos entre regiones dadas A y B. En la siguiente sección se verifica la validez de este teorema en algunos casos especiales. El teorema general no tiene siempre un valor práctico inmediato, porque no nos dice explícitamente cómo encontrar los mapeos conformes. Sin embargo, es un im­ portante teorema que debemos conocer. Vamos a demostrar aquí la unicidad, pero dejaremos la existencia para el suplemento al capítulo 6; véase también E. Hille, Analytic Function Theory, Vol. II (Boston: Ginn, 1959), pág. 322, o L. Ahlfors, Complex Analysis (Nueva York: McGraw-Hill, 1966), pág. 222. Teorema del mapeo de Riemann 5.1.4. Sea A una región simplemente conexa tal que A "# C. Entonces existe un mapeo conforme biyectivo f: A � D, donde D = { z tal que lzl < 1 }. Más aún, para cualquier z0 E Afija, podemos encontrar una ftal que f(Zo) = O y f '(z0) >O. con tal especificación fes única.

A partir de este resultado, vemos que si A y B son dos regiones simplemente conexas con A "# C, B "# C, entonces existe un mapeo conforme biyectivo g: A � B. En efecto, si f: A � D y h: B � D son conformes, podemos tomar g = h 1 o f (véase la figura 5.1 .2). Dos regiones A y B son llamadas conformes si existe un ma­ peo biyectivo conforme de A a B. Así, el teorema del mapeo conforme de Riemann -

implica que dos regiones simplemente conexas (distintas de C) son conformes.

Suponga quefy g son mapeos conformes biyectivos de A sobre D, con /(z0) = g(z0) = O, f '( Zo) >O y g '(Zo) >O. Queremos mostrar que f(z) = g(z) para toda z en A. Para hacer esto, defínase h en D como h(w) = g( f-1 (w)) para w E D. Entonces h: D � D y h(O) = g(f-1 (O)) = g(Zo) = O. Por el lema de Schwarz (2.5.7), l h(w) l � lwl para toda w E D. Exactamente el Demostración de la unicidad en el teorema 5.1.4.

338

CAP.

5.

MAPEOS CONFO RMES

mismo argumento se aplica a h-1 = f o g-1 , así que lh-1 (�)1 ::;; 1�1 para toda � E D. Con � = h(w) esto da lwl ::;; lh(w)l. Al combinar estas desigualdades, obtenemos lh(w)l = lwl para toda w E D. El lema de Schwarz nos dice ahora que h(w) = cw para una constante e, con lcl = l . Así, cw = g( f -1 (w)). Con z = f- 1 (w) obtenemos cf(z) = g(z) para toda z E A . En particular, cf' (z0) = g' (z0). Ya que tanto f' (z0) como g'(Zo) son números reales positivos, también lo es c. Así, e = 1 y, por tanto,f(z) = g(z), como se quería. •

Figura 5.1 .2. Para transformar A en B, componemos h- 1 con f.

La condición j'(z0) > O es equivalente a decir que arg f'(Zo) =u. Usando el ar­ gumento precedente, uno puede modificar la afirmación de unicidad de tal manera que f(Zo) y arg f' (Zo) se especifiquen. Se le pide al estudiante demostrar esto en el ejercicio 7. Aquí está otro hecho útil que debemos conocer acerca de los mapeos confor­ mes. Sean A y B dos regiones (conexas) con fronteras fr (A) y fr (B). Suponga que f: A � f(A ) es conforme. Si f(A) tiene frontera fr (B) y si, para alguna z0 E A, te­ nemos f(z0) E B, entonces f(A) = B. En otras palabras, para determinar la imagen de un mapeo conforme, solamente necesitamos considerar la frontera y un punto interior. Para demostrar esto argumentamos lo siguiente. Puesto que B es abierto, B n fr (B) = 0. La cerradura de B es B u fr (B), así que podemos descomponer al pla­ no en la unión ajena C =B u fr (B) u ext B, donde ext B es abierto. Ya que f' nunca se anula en A , el teorema de la función inversa muestra que f(A) es abierto. Por ende f (A) n fr (f(A)) = 0. Pero fr ( f(A)) = fr (B), así quef(A) está contenida en la unión de los conjuntos abiertos ajenos B y ext B. Puesto quefes continua en el conjunto co­ nexo A,f(A) es conexo. Por lo tanto, f(A) e B o f (A) e ext B. Como f(Zo) E B, debe­ mos tener quef(A) e B. Ya quef(A) es abierto, es abierto relativo de B. Finalmente. f(A)

f(A) n B =[ f(A) n B] u [fr (B) n B] [ f(A) n B] u [fr ( f(A)) n B] = [ f(A) u fr ( f (A))] n B = el ( f(A)) n B =.

=

así que f (A ) es cerrado relativo de B. Como B es conexo, f (A ) proposición 1 .4 . 1 3).

=

B (véase la

5 . 1 . TEORÍA BÁSICA DE LOS MAPEOS CONFORMES

339

La conectividad simple, es esencial en el teorema del mapeo de Riemann. Es fáci l mostrar (véase el ejemplo resuelto 5. 1 . 7) que sólo una región simplemente co­ nexa puede ser mapeada biyectivamente mediante un mapeo analítico sobre D. Un resultado relacionado que puede demostrarse es que los anillos O < lzl < 1 y 1 < lzl < 2 no son conformes: véase el ejemplo resuelto 6. 1 . 1 4 .

Comportamiento en la frontera El teorema del mapeo de Riemann y la mayoría de nuestras otras observacio­ nes acerca de los mapeos conformes han discutido el desarrollo en regiones, que son conj un tos abiertos conexos. En particular, el teorema del mapeo de Riemann no dice que pasa en la frontera de A o de D. Sin embargo, muchas de las aplicaciones implican encontrar algo dentro de una región, a partir de la información en la fron­ tera. Así que el comportamiento de los mapeos conformes en la frontera puede ser importante. En la siguiente sección investigaremos algunos casos concretos que in­ volucran regiones tales como discos, semiplanos, cuadrantes y demás, y los mapeos seguirán usualmente un buen comportamiento en la frontera. Esto no es casual, como lo muestra el siguiente teorema, pero no es automático. Los conjuntos abier­ tos conexos y simplemente conexos para los cuales se aplica el teorema del mapeo de Riemann, pueden ser bastante complicados . Por ejemplo, considere el conjunto A obtenido al suprimir del cuadro S = { zl O < Re z < 2 y O < Im z < 2 } los segmentos verticales Jn = {z = l ln + yiiO � y � 1 } , n = 1 , 2, 3, . . . (Véase la figura 5. 1 .3.) El teorema del mapeo de Riemann garantiza que existe un mapeo conforme de A sobre D, pero el pretender extenderlo continuamente a la frontera de A, particularmente a O, crea problemas. (Una descripción detallada del comportamiento en la frontera de los mapeos conformes se puede encontrar en el li bro Theory of Functions of a Complex Variable, de A. l. Markushevich, Nueva York. Chelsea Publ. Co. , 1 977, Vol. 3, cap. 2. Para regiones bien comportadas existe un bonito resultado, el cual establecemos sin demostración:

y

y 2 �------, A

--fU�-'---'-------'2'----;o.. Figura

X

5.1 .3. Aun cu ando A tiene una frontera compl icada, puede m apearse confor­ memente en O.

340

CAP. 5. MAPEOS CON FORMES

Si A 1 y A2 son regiones simplemente conexas acotadas, cuyas fronteras y1 y y2 son curvas cerradas, continuas y sim­ ples, entonces cualquier mapeo conforme uno a uno y sobre de A 1 en A2, puede extenderse a un mapeo continuo uno a uho y sobre, de A1 u y1 en A2 u y2• Teorema de Osgood-Caratheodory

5. 1.5.

Una vez que se conocen las fronteras que son transformadas continuamente, podemos obtener información acerca de las regiones mismas. El siguiente teorema

bosquej a tal procedimiento. Las condiciones son lo suficientemente restrictivas que no necesitamos verificar un punto z0

E

A.

Sea A una región acotada con f: A � C u n mapeo conforme bi­ yectivo sobre su imagen f(A). Suponga que f se extiende continuamente a el (A) y que f transforma la frontera de A sobre un círculo de radio R. Entonces f(A) es igual al interior de ese círculo. Más generalmente, si B es una región acotada que, junto con su frontera, puede transformarse conformemente sobre el disco unitario y su frontera, y si f transforma a fr (A) sobre fr (B), entonces f(A) = B . Teorema

5.1.6.

Demostración. Al componer f con el mipeo conforme h que manda a B al

círculo unitario, es suficiente considerar el caso especial en el que B es i gual a D = { z tal que lzl <

1 }.

Sobre fr (A), 1/(z)l =

1

y, por lo tanto, por el teorema del módulo

máximo, 1/(z)l :S: 1 en A. Puesto que f no puede ser constante, /(A) C D. En otras

palabras, en ninguna z

E

A se alcanza el máximo 1/(z)l = l . Hemos supuesto que

f(fr (A)) = fr (D), pero esto también es igual a fr ( /(A)). Para ver esto, use la com­ pacidad de el (A), la continuidad def, y el que D 11 fr (D) = /(A)

n

fr ( /(A)) = 0.

Así que nuestro primer argumento se aplica para mostrar quef(A) = D. •

Ejemplos resueltos 5. l.7. Encuentre un mapeo conforme biyectivo que mande una región acotada a una región

no acotada. ¿Puede usted encontrar uno que mande una región simplemente conexa a una región que no es simplemente conexa ? Solución. Considere J(z) = 1/z en A = { z 1 O < lzl < 1 } Claramente, A es acotada. También, B = f(A) = { z tal que lzl > 1 } ; f es conforme de A en B y tiene i nversa g-1 .

(w) = l lw. Pero B no es acotado. La respuesta a la segunda parte de la pregunta es no. Si A es simplemente conexa y si f A � B es un mapeo conforme biyectivo, entonces B debe ser �implemente conexo. Para mostrar esto, sea y una cur.va cerrada _en B y sea y = ¡ -1 o y. Entonces, si H(t, s) es una homotopía que contrae y a un punto, Jo H(t, s) es una homotopía que contrae y a u n punto. 5. 1.8. Considere lafunción armónica u(x, y) = x + y en la región A = { z 1 O < Im z < 21t} . ¿ Cuál es la correspondiente función armónica en B = C\(eje positivo real) cuando A es transformada mediante z � ez? Solución. Sea J(z) = e'. Sabemos, del capítulo l , que f es uno a uno sobre B y que f' (z) = e' ,t O. Así que f es conforme de A a B y, por lo tanto, por la proposición

5. 1.3, la funciórt correspondiente en B es armónica. Esta función es:

341 v(x, y) = u(J- 1 (x, y)) = u(log (x + iy))

(

= u Iog = log

J r + y2 + i tan-1

:)

J r + y2 + tan-1 � X

donde tan-1 (y/x) = arg(x + iy) está en ]0, 2x[. Note que verificar directamente que v es armónica sería un poco tedioso, pero sabemos que esto debe ser así por la proposi­ ción 5. 1 .3. 5. 1 .9. ¿ Cuál es la imagen de la región A = { z 1 (Re z)(lm z) > l y Re z > O, Im z > O} bajo la transformación z -7 z2? '

Solución. En el semiplano derecho {z 1 Re z > 0 } , sabemos que f(z) = z2 es conforme (¿por qué?) . Para encontrar la imagen de A primero encontramos la imagen de la cur­ va xy = l . Sea w = z2 = u + iv. Entonces u = x2 - y2, v = 2xy. Así, la imagen de xy = 1 es la curva v = 2 . Debemos verificar la localización de la i magen de un punto en A, digamos, z = 2 + 2i. Aquí z2 = 8i y, por lo tanto, la imagen es la región sombreada B t.. en la figura 5. 1 .4. y

V

Figura 5.1.4. Imagen del conjunto A bajo el m apeo conforme

z

�

2 z •

Ejercicios l. 2.

¿Cuál es la imagen del primer cuadrante bajo el mapeo z � z3? Considere/ = u + iv, donde u(x, y) = 2x2 + y2 y v = y2/x. Muestre que las curvas u = cons­ tante y v = constante se intersectan ortogonalmente pero quefno es analítica. 3. ¿Cerca de qué puntos son conformes los siguientes mapeos? a) /(z) = z3 + z2

b) f(z) = z/( 1 + 5z)

4. ¿Cerca de qué puntos son conformes los siguientes mapeos? a ) /(z) = z

b) f(z) = (sen z)/(cos z)

342

CAP.

S.

MAPEOS CONFORMES

2

2

S. Considere la función armónica u(x, y) = l - y + xl(x + y ) en el semi plano superior y > O. ¿Cuál es la correspondiente función armónica en el pqmer cuadrante x > O, y > O,

2

bajo la transformación z � z ? 6. Sean A y B regiones cuyas fronteras son arcos suaves. Seafconforme en una región que incluye A u fr (A) y que transforma A sobre B y fr (A) sobre fr (B). Sea u armónica en B y u = h(z) para z en la frontera de B. Sea v = u o f de tal manera que v es igual a h o f en la frontera de A. Demuestre que iJvliJn = O en Zo si iJuliJn = O en f(z0), donde Zo E fr (A) y iJ/iJn denota la derivada en la dirección normal a la frontera. 7. Sean A y B regiones como en el teorema del mapeo de Riemann. Dadas Zo E A, w0 E B y un ángulo 90, y suponiendo este teorema, demuestre que existe un mapeo conforme f: A � B conf(;¡) = Wo y argf'(;¡) = eo; también demuestre que tal fes única. 8. Seaf A � B una función tal que iJfliJx y iJfliJy existen y son continuas. Suponga quef es uno a uno y sobre, y que preserva ángulos; demuestre que f es analítica y conforme. ¿Puede el mapeo del ejercicio 2 preservar todos los ángulos? (Sugerencia: sea c(t) una curva con e( O) = z0 y sea d(t) = f(c(t)). Demuestre ,

1

d (t) = 2

(

a¡

--

iJx

.

-1

a¡

)

--

iJy

,

1

e (t) + 2

(

a¡

--

. a¡

+ 1 -iJx iJy

)

,-

e (t)

y examine la afirmación d' (O)/c'(O) tiene argumento constante, con el fin de establecer las ecuaciones de Cauchy-Riemann paraf) 9. Si f: A � B es biyectiva y analítica con inversa analítica, demuestre que fes conforme. 10. Seaf: e � C, z � az + b. Muestre quefpuede ser escrita como una rotación, seguida de una amplificación, seguida de una traslación. 1 1. El teorema del mapeo de Riemann explícitamente excluye de ser considerado el caso en que A = e.

a) ¿Existe un mapeo conforme uno a uno y sobre de C en el disco unitario D? b) ¿Existe un mapeo conforme uno a uno y sobre de D en C? 12. Muestre que toda transformación conforme biyectiva de C en e es del tipo descrito en el ejercicio 1 O. 13. Suponga que fes un mapeo conforme de una región acotada A en una región no acotada B. Muestre que f no puede ser extendida de tal manera que sea continua en A u fr (A). (Observación: no se necesita toda la fuerza de la conformalidad en este problema.)

5.2. FRACCIONALES LINEALES Y TRANSFORMACIONES DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL En esta sección se investigan algunas maneras de obtener mapeos conformes específicos entre dos regiones dadas. No se puede dar una prescripción general para obtener estos mapeos; sin embargo, después de un poco de práctica, el estu­ diante debe ser capaz de combinar transformaciones fraccionales lineales (estudiadas en esta sección) con otras transformaciones familiares (como z 2, e"- o sen z) y así poder manejar muchas situaciones útiles. Para ayudar en este esfuerzo, se ilustran algunas transformaciones comunes en la figura 5.2. 1 1 , al final de esta sección. Además, se estudiará brevemente la fórmula de Schwarz-Christoffel, aun cuando da respuestas que usualmente sólo pueden ser dadas en términos de integrales.

343

Transformaciones fraccionales lineales Se discutirá primero la clase más simple, y una de las más útiles, de mapeos conformes. Una transformación fracciona/ lineal (también llamada una transfor­ mación bilineal o transformación de Mobius) es un mapeo de la forma

T(z) =

az + b

(1)

-­

ez + d

donde a, b, e y d son números complejos fijos. Supondremos que ad - be oF O, puesto que de otra manera T sería una constante (¿por qué?) y queremos omitir este caso. Las propiedades de estas transformaciones se desarrollarán en las siguientes cuatro proposiciones. Proposición 5.2. 1.

El mapeo T, definido por la ecuación ( 1 ), es biyectivo y

conforme, de

{

A= z

d cz + d oF O, esto es, z oF c

}

{

sobre B = w

w oF

:}

De hecho, la inversa de T es también una transformación fracciona[ lineal dada por - dw + b T- 1 (w) = (2) cw - a ----

Demostración. Ciertamente T es analítica en A y

S(w) = (-dw + b)l(cw - a) es analítica en B. El mapeo T será biyectivo si podemos mostrar que T o S y S o T son la identidad, ya que esto significa que T tiene a S como su inversa. En efecto, esto se ve en estos cálculos: a T(S(w)) =

-dw + b cw - a

) )

+b

------

-dw + b

+d cw - a -adw + ab + bcw - ab c

=

( (

-cdw + be + dcw - da (be - ad) w =w = bc - ad Podemos cancelar porque cw - a oF O y be - ad oF O. Similarmente, ST(z) = z. Finalmente, T(z) oF O pues

d --

dz

S(T(z)) =

d --

dz

z=1

344

CAP. 5. MAPEOS CON FORMES

y así

S'(T(z)) Por lo tanto, T (z)

� O.

·

T'(z) = 1

•

Algunas veces es conveniente escribir T(-d/c) = oo (aunque, como siempre, de­ bemos ser cuidadosos para evitar las respuestas erróneas que obtendríamos si can­ celamos oofoo o

0/0).

En efecto, podemos mostrar que todas las tr�nsformaciones

fraccionales lineales son mapeos conformes del plano extendido Algunos casos especiales deben señalarse. Por ejemplo, si

a

=

1,

C en sí mismo. e =

O

y

d

=

1,

obtenemos T(z) = z +b, la cual es una traslación o "deslizamiento" que únicamente traslada por el vector resulta T(z) =

a z.

la figura

5.2. 1 ).

En el caso en que

b

=e=

O, d = 1 , T

a, es una rotación por arg a y una lal. El estudiante debe revisar el significado geométrico en este T(z) = 1/z es una inversión. Esto se ilustra en la figura 5.2.2.

Este mapeo, multiplicación por

amplificación por caso. Finalmente,

b (véase

y

y

. b

Figura 5.2.1 . Traslación.

y

Figura 5.2.2. Inversión.

5.2. FRACCIONALES LINEALES

Cualquier mapeo conforme de D { z tal que l zl mismo es una transformación fracciona/ lineal de la forma Proposición

5.2.2.

<

345

1 } sobre sí

(3)

T(z) = ei6

para a lguna z0 e D fija y e e [O. 27t[; más aún, cualquier T de esta forma es un mapeo conforme de D sobre D. Demostración. Primero verificaremos que para T de esta forma, lzl = 1

implica que I T(z)l = l . En efecto,

lz - z01 z - z0 ___:__ I T(z)l = 1 --.::...._ = lzl lz- 1 :fol l - ZoZ _ _

-

Pero lzl = 1 y, por tanto, z-1 = z. Así, obtenemos I T(z)l =

lz - Zol tz- :fot

= 1

ya que lwl = lwl. La única singularidad de T está en z = �- l , que está fuera del círculo unitario. Entonces, por el teorema del módulo máximo, T transforma D e n D. Pero por la proposición 5 .2. 1 ,

T-I( w) = e-i6

[

w - (-ei67�)

.�

l - (-e-'6 z0)w

J

la cual, puesto que tiene la misma forma que T. es también un mapeo de D en D. Así que T es conforme de D sobre D. Sea R: D � D cualquier mapeo conforme. Sea Zo = R-1(0) y sea e = arg R'(Zo)· El mapeo T definido por la ecuación (3), también tiene T(Zo) = O y e = arg T' (z0); en efecto,

el cual, en z = Zo• es igual a

una constante real por ei6. Así, por la unicidad de los mapeos conformes (véase e l teorema del mapeo de Riemann (5 . 1 .4) y e l ejercicio 7. sección 5. 1 ). R = T. •

346

CAP. S. MAPEOS CONFORMES

El resultado de esto es que la única forma de transformar un disco sobre sí mismo conformemente, es por medio de una transformación fracciona} lineaL Esta transformación tiene dos propiedades adicionales, como se mostrará en los dos re­ sultados que siguen. Proposición 5.2.3. Sea T una transformación fraccional lineal. Si L e e es una lí­ nea recta y S e e es un círculo, entonces T(L) es una línea recta o un círculo, y T(S) es una línea recta o un círculo.

Una línea puede transformarse en un círculo o en una línea. Si vemos a las líneas como círculo de radio infinito, entonces este resultado puede resumirse diciendo que círculos se transforman en círculos. T3 o T2 o TI ' donde T1(z) = z + die, Tiz) = llz, T3(z) = (be - ad)z/c y Tiz) = z + ale. (Si e = O, sólo escribimos T(z) = (ald) z + bid). Esto es fácil de verificar (véase el ejercicio l l ). Es obvio que TI ' T3 y T4 Demostración.

Escribiremos T = T4 2

o

transforman líneas en líneas, y círculos en círculos. Así que si podemos verificar la conclusión para T(z) = 1/z, la demostración estará completa. Sabemos, de la geo­ metría analítica, que una línea o un círculo está determinado por la ecuación

para constantes A, B, C, D, con A, B, C, no todas 2cero.2Sea z = x + iy suponga que 2 z oF O y sea llz = u + iv, de modo que u = xl(x + y ) y v = -y(xl + y ). Así, la ecuación precedente es equivalente a ,

2 2 Au - Bv - D(u + v )

=

-C

la cual es también un círculo o una línea. • Otra propiedad de las transformaciones fraccionales lineales se describe en el siguiente resultado. Dados dos conjuntos de puntos distintos z 1 , �· z3 y w 1 , w2, w3 (esto es, z1 oF z2, z 1 oF z3, z2 oF z3 y w 1 oF w2, w2 oF w3, w 1 oF w3, pero podemos tener z1 = w2, y así sucesivamente), existe una única transformación fracciona[ lineal T que manda z¡ � W¡, i = l , 2, 3, De hecho, si T(z) = w, entonces

Razón cruzada 5.2.4.

=

(4) z-�

El estudiante encontrará que frecuentemente es más fácil proceder directamen­ te que tratar de recordar lá ecuación (4) (véase el ejemplo resuelto 5.2. 1 3). Demostración. La ecuación (4) define una transformación fraccional lineal w = T(z) (¿por qué?). Al sustituir directamente vemos que tiene las propiedades deseadas 20.) Vamos a probar que es única. Defina T(z.) = w1., i = 1 , 2, 3. (Véase el eiercicio .., 1

347 S(z) =

Z - Z¡ z - z2

y z2 a Entonces S es una transformación fracciona) lineal que manda z 1 a O, z3 a· (z2 es la singularidad de S.) Sea R cualquier otra transformación fracciona}

1,

oo.

lineal, R(z) = (az + b)/(ez + d) con R(z 1 ) = O, R(z3 ) = y R(z2 ) (esto es , e� + d Entonces az 1 + b = O, ez2 + d = y (az3 + b)l(ez3 + d) = l . De este modo obtenemos que a = -b/z 1 y e = -dlz2, así que la última condición da b(z 1 - z 3 )/z 1 =

=

0.)

1

O

= oo

d(z2 - z3 )1z2 . Al sustituir en R, vemos, después de simplificar (lo cual debe hacer el estudiante), que R = S.

Usamos este resultado para probar que T es única, como sigue. Sea T cualquier transformación fracciona! líneal que manda

Z¡

a W;, i = 1 , 2, 3, La transformación

fracciona! lineal sr-1 manda W ¡ = Tz ¡ a O, w3 = Tz3 a y w2 = Tz2 a oo. Por lo tanto, sr-1 está determinado de esta manera única, por los cálculos precedentes. Así, T está determinada de manera única, ya que T = (ST- 1 )- 1 8. •

1,

Se sigue que podemos usar una transformación fracciona! lineal para transfor­ mar cualesquiera tres puntos en otros tres. Tres puntos están en un único círculo o línea y así, por la proposición 5.2.3, la transformación manda el círculo ( o línea) a Zp

z2 , z3 , en el círculo (o línea) que pasa por w l ' w2 , w3 , Por ejemplo, po­ demos tener la situación descrita en la figura 5.2.3. El interior del disco se transforma

través de

en uno de los dos semiplanos. Para determinar cuál, uno puede ver a dónde va el y

y

--------�---4� X

Figura

5.2.3. Efecto de u n a transform ación fracciona! l i nea l .

centro del círculo ( o cualquier otro punto, especialmente s i sucede que el centro va

) . Otra m a n era de hacer e s to es comprobando la orientac i ó n . Conforme avanzamos desde z 1 , a través de z2, hasta z 3 , localizados como en la figura 5.2.3,

a

oo

vamos en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del círculo con el disco a

la derecha. La imagen debe avanzar desde w l ' a través de w2, hasta w3, a lo largo de l a línea, con la imagen del disco a la derecha, como se muestra. El semiplano que es la imagen puede cambiarse al intercambiar z 1 y z 3 • Suponga que Z p z 2 , z 3 y w l' w2 , w3 determinan los círculos C 1 y C2 que acotan a los discos D 1 y D2 • Si la transformación fraccional lineal que manda z l ' z2 y z3 a wl ' w2 , y w3 es analítica en D l ' entonces debe transformar a D 1 sobre D2 y al exterior de C1 sobre el exterior de C2 •

348

CAP.

5.

MAPEOS CONFORMES

Si el cero del denominador está en Dl ' entonces transforma a D 1 en el exterior de e2, j unto con el punto al infinito. Otra vez puede determinarse la situación al examinar la orientación de los puntos a lo largo de los círculos y puede i nvertirse al cambiar la orientación de una de las ternas de puntos. Algunas de estas ideas y técnicas se ilustran en el ejemplo resuelto 5 .2 . 1 5 . Como mencionamos antes, las transformaciones fraccionales lineales pueden combinarse con otras transformaciones para obtener una clase bastante grande de mapeos conformes. Esto se ilustra en los ejemplos resueltos.

Reflexión en un círculo La idea de la reflexión en un círculo, que fue usada en la demostración de la fórmula de Poisson en la sección 2.5, puede generalizarse rápidamente a círculos con centros distintos de O. Esto puede discutirse en forma puramente geométrica y funciona también para transformaciones fraccionales lineales. En el espíritu de esta sección, las líneas rectas pueden ser pensadas como círculos de radio infinito. En este caso la nueva noción de reflexión resulta la reflexión usual. En particular, la reflexión en el eje real es la conjugación complej a. La proposición clave es una bo­ nita ilustración del uso del análisis complejo en un contexto aparentemente pura­ mente geométrico. Proposición 5.2.5. Sea C un círculo (o una línea recta) y z un punto que no está en

C. Entonces, todos los círculos (o líneas) a través de z que cruzan a C en un ángu­ lo recto, se intersecan uno con respecto de otro en un solo punto z. (Si sucede que z es el centro de C, entonces z es el punto al infinito. )

Demostración. Sea j una transformación fraccional lineal que manda a e a la línea real y al interior de e al semiplano superior. La familia de círculos que pasan por z y cruzan a e en un ángulo recto deben transformarse en la familia de círculos que pasan a través de w = j(z) y cruzan el eje real en un ángulo recto, ya que f transforma círculos en c írculos y preserva ángulos: Pero en la última familia clara­ mente todos se intersecan en w. En consecuencia, en l a primera familia deben todos cruzarse uno a otro en un solo punto z = ¡-1 (w). Véase la figura 5.2.4. •

Figura 5.2.4. los círc u l os que emanan de z y que cruzan C en ángu l os rectos, todos pasan a través de

z.

FRACCIONALES LINEALES

5.2.

349

Definición 5.2.6. Sea C un circulo o una linea recta y z un punto que no está en C. El único punto z obtenido en la proposición 5.2.5 es llamado la reflexión de z en C. Si z está sobre C. hágase z = z. Puesto q u e las transformacione s frac c ional e s l i neales mandan círc u los e n c írculos y preservan ángulos, la siguiente afirmación n o debe ser sorprendente. Proposición 5.2. 7.

Si g es una transformación fracciona/ lineal y C es un circulo (o una linea), entonces g manda la reflexión de z en C a la reflexión de g(z) en g(C). Esta afirmación puede ser parafrase ada en la siguiente forma. algo impreci s a

pero fác i l de recordar:

Una transformación fracciona/ lineal preserva reflexiones

en circulos: esto es, g(Z)

=

[ g(z) r

Demostración. La familia de c írc ulos ortogonales a e que pasan por z es lle­

vada a la fam i l i a d e c írculos ortogo nales a g ( e ) que pasan por g(z), ya que g

manda c írculos en c írculos y preserva ángulos. De este modo, la i n tersección de l a primera fam i l i a , que e s fami l ia. que es

g(Z). •

z.

debe transformarse e n l a intersección d e l a segunda

De hecho, la reflexión es casi una transformación fracciona) l ineal por sí misma. Proposición 5.2.8.

Si C es un circulo (o una linea), entonces el mapeo z � z de reflexión en C, es una composición de transformaciones fracciona/es lineales y conjugación compleja. Si C es el círculo con centro z0 y radio R, entonces

Demostración. Seaf como en la demostrac ión de l a proposición d e esa demostración fue la ecuación

z = f-1 (w)

=

5.2.5.

El final

f 1 ( f (z)). l a cual es justamente la -

afirmación general de la proposición. Para obtener l a fórmula concreta. construi­

mos una función f que manda e al c írculo unitario mediante z � (z - z0)/R, y en­

tonces componemos con el mapeo del c írculo unitario al semiplano superior dado en l a figura

5.2. 1 1

(vi). (Véase tam bién el ej emplo resuelto

f(z)

Hágasef(Z)

=

=

i

5 .2. 1 3.) El

resultado es

R + z - z0

-=-

-

R - z + z0

f(z) y resuelv a para z. para obtener la fórmula deseada. •

A partir de la fórm ula de la proposición

otra descripción geométrica de

z.

5 .2.8,

podemos rápidamente calc ular

350

CAP. S. MA PEOS CONFORMES Proposición 5.2.9. Si e es un círculo con centro

z0

y radio R y si z � zO' entonces z es el punto sobre el mismo rayo que va de z0 a z, y se selecciona de modo que el producto de las distancias desde z0 es R 2 : i.e.,

Demostración. Use el hecho de que

lz - Zol

lz - 2o1 y calcule

lz

-

Zol lz - 2o1 •

usando la fórmula de la proposición 5.2.8. (Véase el ejercicio 23 y la figura 5.2.5.) • =

y

Figura

5 .2.5 . La refl exión de

z

en C.

A partir de las caracteri zaciones anteriores, la mayoría de los siguientes resul­ tados deben resultar ahora claros.

Proiwsición 5.2.10 (i)

z

z.

z no es conforme, pero se preserva la magnitud de los ángu­ los y se invierte su dirección (justo como en la conjugación compleja). (iii) Si e es una línea recta, z es el punto sobre la línea perpendicular a e a través de z y a una distancia igual en el lado opuesto de C. (iv) El mapeo z >---? z manda círculos en círculos (las línea rectas cuentan como círculos de radio infinito). =

(ii) El mapeo

z >---?

La fórmula de Schwarz-Christoffel La fórmula de Schwarz-ehristoffel da una expresión integral para transformar el semiplano superior o un círculo unitario, en el interior de un polígono dado. El caso del semiplano superior se discutirá aquí; el caso de un c írculo se deja como ejercicio.

351

5 . 2 . F RACC IO NAL ES L I N EAlES

Fórmula de Schwarz-Christoffel 5.2.11. Suponga que P es un polígono en el w­ plano, con vértices en w i ' w2, . . . , wn y con ángulos exteriores 1t O } sobre B, el interior de P, tienen la fo rma

f(z) = a

(J: (� - x 1 )- al

•

•

•

)

(� - xn _ 1 )- an - J d� + b

(5)

donde a y b son constantes y la integración es a lo largo de cualquier trayectoria en A que une a z0 E A con z; se usa la rama principal para las potencias en el integrando. Más aún,

(i) Se pueden escoger arbitrariamente dos de los puntos x l ' . . . , xn. (ii) a y b determinan el tamaño y la posición de P; (iii) f(x¡) = wi + 1 ' í = 1, . . . , n - 1 ; y

(iv) f manda el punto al infinito a w 1 •

Figura 5.2.6.

l a fórmu l a de Schwarz-Ch ristoffe l .

El significado geométrico de las constantes a y b se explica con más detalle en la siguiente demostración. Se puede mostrar que la función /puede extenderse para que sea continua en el eje x y que/ transforma al eje x en el polígono P. Sin embar­ go, la función f no es analítica en el eje x, porque no preserva ángulos en x Pero f será analítica en A misma. Unicamente se darán las principales ideas de la demostración de la ecuación (5), puesto que dar una demostración absolutamente precisa sería bastante tedioso.

.

l

'

El primer paso es mostrar que si Xp · · · · xn 1 han sido ya escogidos, entonces f transforma al eje real en un polígono que tiene los ángulos correctos. Sea Bosquejo de la demostración de la fórmula de Schwarz-Christoffel. _

así que, en A , f (z) = g(z). Entonces '

352 =

arg a - a 1 arg (z - x 1 )

-

•

•

n-1

· -a

arg (z - xn - 1 )

En un punto donde f' (z) existe, arg f' (z) representa la cantidad que f rota a los vectores tangentes. Así, conforme f se mueve a lo largo del eje real, f(z) se mueve a lo largo de una línea recta, para z en cada uno de los segmentos ]-oo, x1 [, , ] x,, x, + 1 [, , arg f(z) salta por una cantidad a¡1t. (Si z - X¡ < O, Conforme z cruza x oo[. . , , . • ]xn 1 , arg(z - x¡) = n ; si z - X¡ > O, arg(z • X¡ ) = 0. ) En consecuencia, el eje real es trans­ formado en un polígono con los ángulos correctos. El último ángulo del polígono • • •

_

n

está determinado pues debemos tener L a.n = 2 1t. i= t

l

Enseguida, ajustamos este polígono para obtener P. La igualdad de los ángulos obliga a la semejanza de polígonos sólo para triángulos. (Por ejemplo, no todos los rec­ tángulos son cuadrados. ) Ésta es la razón básica de por qué deben escogerse arbitrariamente dos de los puntos (tres, si contamos el punto al infinito). Las posi­ ciones de los otros puntos relativa a estos puntos, controla las razones de las longi­ tudes de los lados del polígono imagen. Al escoger la x, correctamente, obtenemos entonces un polígono similar a P. Otra manera de entender este problema es consi­ derar la transformación del semiplano superior en un disco. Sabemos que esto puede ser efectuado mediante una transformación fraccional lineal y que esta trans­ formación está determinada completamente por su valor en tres de los puntos fron­ tera. (Dos de los puntos finitos y el valor en el infinito son especificados.) Escoger apropiadamente a a y b significa realizar un ajuste de escala, una rotación y una traslación para llevar este polígono a P. •

Ejemplos resueltos 5 .2.12. Enc u entr e un m ap eo confonn e q u e m and e a A = { z 1 O < conÍ unto D = { z tal que lzl < 1} . Sol uc ió n. La

respuesta no está dada por

z � .t,

sobre D; su imagen omite al eje real positivo. Primero considere z

� z 2•

arg

z < 1t/2, O < lzl < 1} al

porque este mapeo no transforma A

Éste transforma A en B, donde B es la intersección de D y

del semi plano superior (fi gura

5 .2.7).

Enseguida (consulte la figura

transforme a B en el primer cuadrante mediante

5 . 2. 11(iv))

z � (1 + z)/(1 - z) y eleve al cua­ z � (z - i)l(z + i)

drado para obtener el semiplano superior; entonces transforme para obtener el círculo unitario.

Así obtenemos nuestra transformación mediante sustituciones consecutivas: w,

=

z 2; wz =

l +

wl

l - w1

=

. w =w2 2 1- z2 ' 3

1 + z2

( (

1 + zz

) )

2

=

_i

(

l z2 = -.,-----;---

1 + z2 l

- z2

2

+

i

5.2.

FRACCIONALES L I N EALES

353

Por lo tanto.

es la transformación requerida.

l +z 1 -z

z-i z+i -

Figura 5.2.7. Transformaciones sucesivas que mandan a l cuarto de círculo en el círculo completo. 5.2. 1 3.

Verifique la figura 5.2. l l (vi). Solución. Buscamos una transformación fracciona} lineal T(z) = (az + b)l(cz + d) tal que

T(-1 ) = i, T(O) = -1 . T( l ) = -i . Así (-a + b)l(-c + d ) = i. b = -d, y (a + b)l(c + d ) =

-i. Al resolver resulta -a -d = i(-c + d), b = -d, a - d = - i(c + d ) . A l sumar la primera y la última ecuaciones, obtenemos -2d = i(-2c) o d = ic y al restar nos da a

= -id. Podemos hacer, digamos, b = 1 (pues el numerador y el denominador se pueden multiplicar por una constante), así que d =

T(z) =

iz + 1

iz - 1

=

-

1 a = i. e = i y en consecuencia ,

z-i z+i

Debemos comprobar que T(i) está dentro del círculo unitario. Esto es cierto pues

T(i ) = O. (Si se encontrara fuera, podríamos intercambiar A = - 1 y B = 0.) 5.2. 1 4. Encuentre un mapeo confonne que mande al semiplano mostrado en la figura 5.2.8

sobre el disco unitario.

354 y

y

Figura 5.2.8. Mapeo de un sem iplano rotado en el di sco. Solución. Considere S(z) = e -ia z. Éste transforma la región A en el semi plano supe­ rior (¿por qué?). Entonces, al usar la figura 5 . 2. 1 l (vi) obtenemos

como la transformación requerida. 5.2. 1 5. Estudie la acción de las funciones f(z) = (z - 1 )/(z - 3) y g(z) = (z el círculo unitario, el disco unitario y el eje real.

+

l )/(3z

+

1 ) en

Solución. Primero calculemos las imágenes de algunos puntos adecuados a) f( l ) = O

e) /(-1 ) = 1 2 e) /(3) = oo

1 g(I ) = _ 2

b) ji(i) = � -1 i 5

g(-1) = o

d) /(0) = +

1 ) 00 g (- = 3

5

2 1 g( l) = - -l 5 5 "

o

g(O) = 1

Así,/ manda al círculo que pasa por 1 , i y - 1 , al círculo que pasa por O,

+ - +i y +·

El mapeo g manda al círculo unitario al mismo círculo pero con la orientación in­ vertida, f manda al disco unitario al interior del círculo imagen mientras que g lo manda al exterior. Esto puede determinarse al examinar las imágenes de O o al notar que g(= oo. Podría no ser obvio cuál es el círculo imagen, pero es más fácil después de observar que tanto f como g mandan al eje real sobre el eje real. (La línea que pasa por - 1 , O

+)

2

y 1 , va a la línea que pasa por 1 , O, 1 y

1

3

-

y O, en el caso de fy va a la línea que pasa por

+• en el caso de g. Considere a dónde van las diferentes partes de la línea.) El

círculo unitario cruzá al eje real en ángulo recto en debe cruzar el eje en ángulo recto en O y centrado en

±

1 y, por ende, el círculo imagen

+· Entonces, es el círculo de radio + cen­

+ compruebre que éste pasa por + - + i. Los efectos de este mapeo se

indican en la figura 5.2.9.

355

y

e

d

Figura 5.2.9. los m apeos para e l ejemplo resuelto 5 . 2 . 1 5 .

5.2. 1 6. Sea A = { z 1 I m z > O } \ { z 1 Re z = O y O � Im z � l } .

a) Encuentre un mapeo confonne f uno a uno y sobre, de A en el semiplano superior. b ) Encuentre un mapeo conforme g, uno a uno y sobre, de A en el disco unitario. Considere las siguientes funciones:

Primera solución.

= -iz = z2 = z2 - 1 = lz (corte = iz 1 -z f6(z) = l +z f1 (z) f2(z) f,(z) J4(z) f5(z)

de rama en el eje real negativo)

--­

El mapeo

h

rota a A 90° para obtener el semi plano derecho con u n corte de

lo extiende a todo el plano con u n corte desde un corte desde

f5

- oo

a

O. f4

-oo

a

semiplano derecho a l disco unitario.

Calculamos

a),

y

a l.

f2

manda esto de regreso al semi plano derecho. Finalmente,

rota e l semiplano derecho en el semi plano su perior, mientras que

para la parte

O

1 , y f3 traslada esto al plano con

f6

manda a l

Así f(z) = f5(f4(f3( fz(f1 (z))))) debe funcionar g(z) = f6(f4 (fif2(f1 (z))))) debe funcionar para la parte b) .

356

CAP. 5. MAPEOS CONFORMES

,J-1 con cuidado: -1

Escójase

i(-i) v z2 + 1 = � z2 +

está en el corte de rama. Con

v'=I = -i tenemosj(z) =

l y la i magen es el semiplano superior. Para llegar al disco

unitario, tómese

g(z) = f6(-i ..J z2 + l ) =

Véase la figura

l + i Jz2 + l --­

--

t - i Jz2 + 1

5.2. 1 0.

y

X

t

�

f3

y

y

!4

_...._ X

X

y

lx Figura 5.2.1 O.

�

los mapeos conformes f, a (6 usados en el ejemplo resuelto 5 . 2. 1 6.

Segunda solución

(para la parte

a)).

La región A puede ser considerada como un po­

lígono (extraño) con ángulos exteriores de

0°

en

oo.

90°

en

O, -1 80°

en

i, 90°

O, y - ..[2, O y ,[2

otra vez en

Pruebe la fórmula de Schwarz-Christoffel usando los puntos

en el eje x. La fórmula de Schwarz-Christoffel debe dar u n mapeo que manda a el semiplano superior, en w en A. Así, probamos

w

= f(z) = a

I f

=a

(t; + m-1/2 t;(t; - Jz)-112 dt; + b t;

� r;z - 2

dl; + b = a h?- - 2 + b

z

en

5.2. FRACCIONALES LI NEALES

357

Si a = llffy b = O, éste manda al semiplano superior a A , con O yendo a i. Por lo 2 2 tanto obtenemos w = v z - 2112. Al resolver para z nos da z = ff.J w + 1 como un mapeo de A en el semiplano superior. La función / obtenida en la primera solución ha sido multiplicada por ..[2. Pero esto es correcto ya que transforma al semiplano superior en sí mismo. T La figura 5.2. 1 1 recopila algunas de las transformaciones comunes.

Ejercicios l. Seaj(z) = (z - 1 )/(z + 1 ). ¿Cuál es la imagen bajo f de

a) la línea real?

b) el círculo con centro en O y radio 2? e) el círculo con centro en O y radio 1 ?

d) el eje imaginario?

2. Sea f(z) = (z - i)l(z +

i). ¿Cuál es la imagen bajo f de

a) la línea real?

b) el círculo con centro en O y radio 2 ? e) el círculo con centro en O y radio 1 ?

d) el eje imaginario?

3. Encuentre las transformaciones fraccionales lineales para i = 1 , 2, 3 si

f, que satisfagan que f(z;) = w;,

a) z1 = -l , z2 = l, z3 = 2; w1 = 0, w2 = -l, w3 = -3

b) z 1 = -1 , z2 = 1 , z3 = 2; w1 = -3, w2 = - 1 , w3 = O 4. Encuentre las transformaciones fraccionales lineales para i = 1 , 2, 3, si

a) z1 = i, z2 = O, z3 = -l ; w1 = O, w2 = - i, w3 = b) z1 = i, z2 = O, z3 = -1 ; w1 = - i, w2 = O, w3 =

f, que satisfagan que f(z;) = w;,

oo oo

S. Encuentre una transformación fracciona! lineal que mande al disco unitario en el semi­ plano superior, con f(O) = 2 + 2 i. 6. Encuentre una transformación fraccional lineal que mande al disco unitario en el semi plano derecho, conf(O) = 3.

+ a +· Encuentre un mapeo conforme del disco unitario sobre sí mismo que mande + a - +

7. Encuentre un mapeo conforme del disco unitario sobre sí mismo que mande 8.

·

9. Encuentre un mapeo conforme uno a uno, de A = { z tal que lz - 1 1 < ,[2y lz + 1 1 < .[2} sobre el primer cuadrante abierto. 10. Transforme la región del ejercicio9, en el semiplano superior. 1 1. Demuestre: Cualquier transformación fracciona! lineal, con e "" O, puede escribirse como T = T4 o T3 o T2 o T1, donde T1(z) = z + die, T2(z) = 1/z, T3(z) = [(be - ad)lcl]z, y Tiz) = z +ale. Interprete geométricamente a T.

358

CAP. 5. MAPEOS CONFORMES 12. Demuestre que si tanto T como R son transformaciones fraccionales lineales, entonces también lo es T o R. 13. Encuentre un mapeo conforme del disco unitario sobre sí mismo que mande al O.

-}

14. Muestre que K(z) = z/( l - z) 2 manda en forma uno a uno y sobre, al disco unitario abierto 1

e n C\{z 1 Re z = O e lm z < - 4 } .

15. Encuentre todos Jos mapeos conformes que manden al disco d e radio R y centro e n O, sobre el disco unitario. 16. Establezca las partes (iii), (iv) y (v) de la figura 5.2. 1 1 . 17. Demuestre: La transformación conforme más general que manda al semiplano superior sobre el disco unitario e s T(z) = e ;e

( ) z - A.

z - A.

donde lm A. > O.

B

A

e

------ -----------

B'

C'

A'

(i)

21ti

z � e' log z � z (ii)

(ii i)

z� A

1 -z l +z

1 +z

l -z

�z

(iv) Figura

D'

5.2.1 1 . Algu nas transformaciones comu nes.

A'

B'

35 9

A'

A z� B e

z-1 z+1 B'

z+ 1 ( z- 1 )�z

C'

(v)

A' z� A

B

e

-i

z-i z .!... i B'

z+ 1 ( z+i )�z

C'

(vi)

z � e' log z � z -1

(vii)

z � eZ log z � z

1tÍ

1

-1

o

(viii)

l

z�z+­ z - 1 =A

l =B

z+� 2

(ix)

l z�­ z

(x)

- 2 = A'

C'

2 = B'

360

z � sen z

sen-1 z +-1 z

A=

-1t

B

--

2

C=� 2

A' = - 1

(xi)

B

C' = 1

z � sen z 1 sen- z +--< Z

A

1t

B=2

Figura 5.2.11.

(xii)

A

B= 1

(Continuación.)

18. Suponga que a, b, e y d son números reales y que ad > be; muestre que T(z) = ( az + b)l ( cz + d) deja invariante el semiplano superior. Muestre que cualquier mapeo conforme del semiplano superior sobre sí mismo, es de esta forma. 19. Encuentre un mapeo conforme que mande a ( z 1 O < arg z < 1t/8 } sobre el disco unitario.

20. La razón cr uzada de cuatro puntos distintos Zp z2, z3, z4, está definida como

21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28.

Muestre que cualquier transformación fraccional lineal tiene la propiedad de que [T(z1 ), T(z2), T(z3 ), T( z4 )] = [Zp z2• z3, z4 } . ( Sug er en cia: utilice el ejercicio 1 1 .) Sean y1 y y2 dos círculos que se intersecan ortogonalmente. Sea T una transformación fracciona! lineal. ¿Qué podemos decir acerca de T(y1 ) y T(y2)? (Véase el ejercicio 20.) Mt!estre que [ zp z2, z3, z4] es real si Zp z2, z3, z4 están en una línea o en un círculo. Use el ejercicio 20 para dar otra demostración de la proposición 5.2.3. Complete los cálculos en la demostración de la proposición 5.2.9. Muestre que una transformación fraccional lineal T que no es el mapeo identidad, tiene a lo más dos puntos fijos (esto es, puntos z para los cuales T(z) = z). Dé un ejemplo para mostrar que T no necesariamente tiene puntos fijos. Encuentre los puntos fijos de

T(z) = z/( z + 1).

Transforme conformemente a A = { z 1 R e z < O, O < Im z < 1t } sobre e l primer cuadrante. Transforme conformemente a A = { z tal que l z - 1 1 < 1 } sobre B = { z 1 Re z > 1 } . Transforme conformemente a C\{eje real no positivo} sobre la región A = { z l-1t< 1m z < 1t} . Demuestre que los mapeos conformes que mandan l zl < 1 al interior de un polígono con zn en el círculo unitario l zl = 1 , a los puntos vértices wl' . . , wn, y a los puntos Zp w , . . . , wn, están dados por 1 . • •,

.

.

donde las

a;

f(z)

=a [J:

(/;-z1 )-«1

•••

J

(/; - zn )-«n di; + b

son como en la fórmula de Schwarz-Christoffel (5.2. 1 1 ).

5 . 2 . FRACCIONALES L I N EALES 29.

Muestre que

/(z)

=foz

361

d� ----;:= : ==== � �(� - l )(� - e)

donde e > O, transforma al semi plano superior en un rectángulo. Esta i ntegral es llama­

30. 31.

32. 33. 34.

da una

integral elíptica y generalmente no se puede calcular explícitamente.) 5 . 2. 1 1 .

Verifique la parte (ix) de la figura

¿Es posible transformar conformemente al semiplano superior en un triángulo, usando

transformaciones fracciona les lineales? Invente una fórmula que esté basada en la fórmu­

la de Schwarz-Christoffel.

Verifique, a partir de la fórmula de Schwarz-Chri stoffel, que z

conforme del semiplano superior en {z

�

1 sen- z es un mapeo

1 Im z > O y -rrl2 1 y lz - 21< 2 } en la banda B = { z 1 l < Re z< 2 } .

Muestre quefiz)

Suponga que C1 y C2 son dos círculos tangentes, con C2 en el interior de C1 . Muestre que se pueden colocar un número infinito de círculos en la región comprendida entre C1 y C2 , cada uno de ellos tangente a C1 y C2 y cada uno tangente al siguiente, como se muestra en la figura 5.2. 1 2. Muestre que los puntos de tangencia de cada círculo con el

siguiente, están en u n círculo.

Figura 5 .2 . 1 2.

35.

(Sugerencia: considere el ej ercicio 33.)

Se puede u tilizar una transformación fracc i ona! lineal para llenar el disco con círculos.

Considere una transformación fraccional lineal de la forma f(z) Muestre que

=a

(

z-b z-d

)

a) Los círculos que pasan por los puntos b y d, son transformados en líneas que pasan por el origen.

b) Los círculos de Apolonio, con ecuación l(z - b)/(z - d ) l = rila!, son transformados en círculos con centro en O, radi o r. e) Los círculos en a) y b), cuando están localizados en el plano z, son llamados círculos de Steiner. Bosquéjelos y verifique que tanto estos círculos como sus imágenes se i ntersecan en ángulos rectos.

362

5.3. APLICACIÓN DE LOS MAPEOS CONFORMES A LA ECUACIÓN DE LAPLACE, LA CONDUCCIÓN DEL CALOR, ELECTROSTÁTICA E HIDRODINÁMICA Estamos ahora en posición de aplicar la teoría de los mapeos conformes, desa­ rrollada en las secciones

5 . 1 y 5.2, a algunos problemas físicos. Al hacer esto, re­

solveremos el problema de Dirichlet1 y algunos problemas relacionados, para ciertos tipos de regiones bidimensionales. Aplicaremos entonces estos resultados a las tres clases de problemas físicos que se mencionan en el título de esta sección. Sólo se necesita un escaso conocimiento de l a física elemental, para entender estos ejem­ plos. Se previene al estudiante que la variedad de problemas que se pueden resolver explícitamente de esta manera, es un tanto l i mitada y que los métodos discutidos se aplican únicamente a problemas bidimensionales.

Los problemas de Dirichlet y de Neumann Recordemos que se dice que

u(x, y) satisface la ecuación de Laplace (o es

armónica) en una región A, cuando

Además de esta condición, generalmente se especifica cierto comportamiento en la frontera, determinado por el problema físico a resolver. Este comportamiento en la frontera (o condiciones de frontera) usualmente determinan a Por ejemplo, el teorema de unicidad para el problema de Dirichlet una función armónica

u en forma única. (2.5. 1 2) indica que

u(x, y), cuyos valores en la frontera de A son especificados,

está determinada en forma única. También tendremos ocasión de considerar condi­ ciones de frontera en las que

iJuliJn

= grad u

•

n se especifica en la frontera.

es igual a la derivada en la dirección normal a la fr definida, la frontera de

(fJuliJn (A)). (Para que iJuliJn esté bien

A debe ser, al menos, suave por tramos, de modo que tenga exterior de n puede defi­

una dirección normal bien definida.) La dirección normal

n irse precisamente, pero ya que el énfasis general de esta sección está en los méto­ dos de cálculo, no se dará aquí un tratamiento matemático preciso. Así, aceptaremos como conocido lo que se entiende por normal unitaria exterior n (véase la figura

5.3. 1 ). El problema de encontrar una función armónica

u, con iJuliJn especificada en problema de Neumann. No podemos especificar cp = iJuliJn arbitrariamente porque si tal u existe, entonces afirmamos que l a frontera, e s llamado el

J �=0 r

iJn

1 El problema de encontrar una función annónica en una región A cuyos valores estén especificados

en la frontera de A, es llamado el problema

de Dirichlet. Este problema fue discutido en

la sección 2.5.

363

Figura

5.3. 1 . Problema de Neumann. A. Para demostrar esto, aplicamos el teorema de Green 2 .2), que puede escribirse en su forma di vergente (frecuentemen­

donde y es la frontera de (véase la sección

te llamado el teorema de Gauss)

f1

X

·

n

f

ds =

A

div X d.x dy

donde X e s una func ió n vectorial dada, con componentes

(X1 , X2) y donde la

divergencia de X se define como

div X =

ax 1 --

ax

Al aplicar la ecuación ( 1 ) a X = grad

f

y

� ds = an

f

y

puesto que div grad

u

(grad

=

u)

· n ds =

f

A

ax2

+ --

{1 )

ay

u, nos da div grad u d.x dy =

J

A

V2 u d.x dy = 0

V2 = O. Esto demuestra nuestra afirmación. de se interpreta como sigue: Líneas a lo largo de las cuales «!> es constante, son l íneas a lo largo de las cuales viajaría una pequeña carga prueba. Éstas son llamadas líneas de flujo. Los vectores tangentes a

5.3.

369

E, llamado el

campo eléctrico (véase la fi gura 5 .3 .8). Así, las líneas de flujo y las líneas equipotenciales (líneas donde es constante) se intersecan ortogonalmente.

tales líneas son -grad



APLICACIÓN DE LOS MAP EOS CONFORMES

=

Líneas donde es constante :-- Líneas donde

1 1

Figura



es constante

5.3.8. Potencial e l éctrico.

El problema de Dirichlet surge en electrostática cuando la frontera s e mantiene en un potencial dado (por ejemplo, por medio de una batería o haciendo tierra) .

Ejemplo 5.3.3. Considere el círculo unitario. El potencial eléctrico es mantenido en = O en el semicírculo inferior y en = 1 en el semicírculo superior. Encuentre la interior. Solución. Usamos el procedimiento general para resolver el problema de Dirichlet transformando nuestra región dada en el semiplano superior. En el pre­ sente caso, podemos usar una transformación fracciona} l i neal (véanse las figuras

5 .2 . 1 1 (vi) y 5 . 3 .9).

Figura

5.3.9. Mapeo conforme uti l i zado para resolver el problema de Dirich let en el disco.

3 70

CAP. 5. MAPEOS CONFORMES

Como con la temperatura, es físicamente razonable que el potencial esté acota­ do. Así, por la ecuación (2), la solución en el semiplano superior es 1 ct>0(x, y) = 1 tan �

-

y

1

( ) y ---:;-

por lo tanto, la solución en el círculo unitario es cp(x, y) = cl>0(f(x, y))

donde f( z) = (z - 1 )/i(z + 1). Si hacemos (z - 1 )/i(z+ 1 ) = u + iv, entonces y

Por ende, la solución es 1 cp(x, y) = 1 - - tan-1 1t Las líneas equipotenciales y de flujo se muestran en la figura 5.3. 10.

Figura 5 .3.10. Líneas equ i potenciales y de flujo para el poten c i a l .

Este ejemplo también pudo haber sido resuelto usando la fórmula de Poisson. Las dos respuestas deben· ser iguales, aun cuando esto podría no ser obvio a partir de sus formas. T 5.3.4. La función armónica cp(z) = (Q/21t) log lz - z01 + K para una cons­ tante K, la cual es la parte real de (Q/21t) log (z - z0) + K, representa el potencial

Ejemplo

5.3.

APLICACIÓN DE LOS MAPEOS CONFORMES

3 71

de una carga Q localizada en z0. (Esto es debido a que es un campo radial tal que si E = -grad es el campo eléctrico de fuerzas, entonces la integral de E n alrededor de una curva rodeando a z0 es Q, por el teorema de Gauss). 3 La cons­ tante K puede ajustarse de modo que en cualquier luga r conveniente, como infini­ to, o algún objeto conectado con tierra, tenga potencial O. (Esto es razonable ya que únicamente la fuerza E es realmente observada y no hay cambio al variar K.) Bosqueje las líneas equipolencia/es para dos cargas de signos iguales u opuestos. •

El potencial de dos cargas se obtiene al sumar los respectivos poten­ ciales. Por lo tanto, dos cargas Q > O, localizadas en z1 y z2, tienen el potencial electrostático ( Q/21t) log ( lz - z 1 1 lz - z21 ) ; una carga Q > O en z 1 y -Q en z2• tienen potencial (Q /21t) log (l z - z 1 1/lz - z21) . Las líneas equipotenciales se bosquejan en la figura 5 . 3 . 1 1 . Las curvas = constante en el dibujo de la izquierda son llamadas lemniscatas; en el dibujo de la derecha son llamadas círculos de Apolonio. Las lí­ neas de fuerza son la familia de círculos ortogonales a ellos que pasan a través de dos puntos. Juntos forman los círculos de Steiner que se discutieron en el ejercicio 3 5 de la sección 5.2. "f' Solución.

lz - z 1 1 = constante

·

lz - z2 1

!:--"" Líneas de fuerza

\

\

Figura 5 . 3 . 1 1 .

lz - z 1 1

·

lz - z21 = constante

El campo de cargas iguales

(derecha).

(izquierda) y el campo de c argas opuestas

Suponga que una carga puntual de + 1 se localiza en z0 = + y el círculo unitario es un conductor conectado a tierra mantenido a un potencial O. Encuentre el potencial de cada punto z � Zo dentro del círculo unitario. Ejemplo 5.3.5.

La funciónf(z) = (2z - 1 ) /( 2 - z) transforma al disco unita­ rio D en sí mismo mandando Zo = a O. La función u (z) = ( l /21t) log l z l es una solución en el disco imagen (carga puntual de + 1 en O y potencial O alrededor del círculo unitario). Así, q>( z) = u ( f(z)) = ( l /21t) log 1(2z - 1 )/(2 - z)l resuelve el pro­ blema original. (Véase la figura 5 .3 . 1 2.) Primera solución.

+

3 Este e s el potencial para una carga en e l plano. En e l espacio esto corresponde al potencial pro­ ducido por una carga lineal.

372 y

y

R

Figura 5 . 3.1 2 . El mapeo conforme

f, traslada l a carga pu ntual de

z0

=

+ a O.

Segunda solución. Damos una segunda solución que ilustra el método de re­ flexión en un círculo de la sección 5.2 y una interesante idea de la electrostática llamada carga imagen. Necesitamos un campo para algu­ na (j> llamada potencial de velocidad. Así, (j> es armónica pues V2q> = div grad (j> = div V = O. Entonces, cuando resolvemos para (j> obtenemos V al tomar V = grad (j>. El conjugado 'V de la función armónica (j> ('!' existirá en cualquier región sim­ plemente conexa) es llamada la función de corriente y la función analítica F = $ + i'l' es llamada el potencial complejo. Líneas donde 'V es constante tienen a V como sus tangentes (¿por qué?) y, por lo tanto, las líneas donde 'V es constante, pueden ser interpretadas como las lfneas a lo largo de las cuales se mueven las partículas del fluido; de allí el nombre de función de corriente (véase l a figura 5.3. 1 4). Líneas de corriente

'JI = constante

:

1

1 Figura 5.3.1 4. E l flujo de u n flu ido.

1 1

1

\ \

374

CAP. 5 . MAPEOS CONFORMES

La condición natural en la frontera es que V debe ser paralela a la frontera. (El fluido fluye paralelo a las paredes.) Esto significa que ()cp/éJn = O, así hemos llega­ do al problema de Neumann para cp. Vamos a considerar otra vez al semiplano superior. Un movimiento físicamen­ te aceptable se obtiene al hacer V(x, y) = a = (a, 0) o cp(x, y) = ax = Re (az), donde a es real. El fluido correspondiente a V es paralelo al eje x, con velocidad a. Observe que ahora cp no está acotada; en consecuencia el comportamiento en oo para fluidos, para la temperatura y para el potencial eléctrico, es diferente debido a las diferentes circunstancias físicas (véase la figura 5.3. 1 5).

y

Velocidad

a

Potencial complejo

=

az

--------�--� X Figura

5.3.1 5.

Flujo en el semiplano su perior.

Así, para encontrar el fluido en una región, debemos transformar la región en el semiplano superior y usar la solución cp (x, y) = ax. a debe especificarse como la velocidad al infinito. Debe ser claro que fes un mapeo conforme de la región dada en el semiplano superior, el potencial complejo requerido está dado como F(z) = aj(z).

Ejemplo 5.3.6. Encuentre el fluido alrededor de la mitad superior del circulo unitario, si la velocidad es paralela al eje x y es a en infinito. Solución. Vamos a transformar el exterior de la región dada en el semiplano superior. Tal mapeo conforme es z .- z + 1 /z (figura 5.3. 1 6). En consecuencia F0(z) = az es el potencial complejo en el semiplano superior y, por lo tanto, el po­ tencial complejo requerido es y

z � z + llz

y

........-----..

X ----+----.-

Figura

5.3. 1 6.

Efecto de z >-+ z +

1 /z.

3 75

Es conveniente usar coordenadas polares

ry

e para expresar o. S. Encuentre un mapeo conforme que mande a la región A

f'( ! )

< 2 } sobre B = { z 1 0 < Re z < l } . 6. Sean Z ¡ , z2 E e y a E R, a > o. Muestre que

z - z1 z - z2

+

= { z tal que lz - 1 1 > 1 y lz - 21

=a

define un círculo y que Zp z2 son puntos inversos en el círculo (esto es, son colineales 2 con el centro Zo• y lz1 - .zol 1� - .zol = p , donde p es el radio del círculo). 7. Examine la imagen del conjunto { z E e; Im z � O, O � Re z � 7t/2} bajo el mapeo z � sen z. considerando que es la composición de los mapeos z � eiz, z � z - 1/z, z � z/2i. 8. Seaf: A � B un mapeo conforme, sea y una curva en A y sea y = f o y. Muestre que •

l( 'V) =

J:

lf ' (y(t))l · ly'(t)l dt

Si f preserva las longitudes de todas las curvas, demuestre que f(z) alguna a E e y para 9 E (0, 21t(.

=

e'"Bz

+

a para

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTU LO 5

{ z tal que lz - il < 1 } sobre B = { z tal que lz - 1 1 < l } . Muestre que la funciónf(z) (z - 1 ) /(z + 1 ) transforma la región { z tal que lzl > 1 y lz - 1 1 < 2 } en forma uno a uno y sobre, en B { z 1 O < Re z < + } . La región en el ejercicio 1 0 está acotada por dos círculos, como lo es la región { z 1 1 < lzl < 2 } . ¿Puede transformarse conformemente esta región en B, mediante una transfor­ mación fracciona} lineal? Si se puede, muestre la función. Si no se puede, por qué no. Sea T(z) (az + b)l(cz + d). Muestre que T(T(z)) z (esto es, T o T identidad) si y sólo si a -d. ¿Es posible encontrar un mapeo conforme del interior del círculo unitario sobre su exterior? ¿Esf(z) 1 /z tal mapeo? Encuentre un mapeo conforme del cuadrante { z 1 Re z > O e Im z > O } uno a uno y sobre en el disco unitario, que mande l + i al O, con derivada posi tiva en 1 + i. Sean F1 y F2 mapeos conformes del disco unitario sobre sí mismo y sea F1(z¿J FiZo ) = O para alguna z0 fija, IZol < l . Muestre que existe 6 e [0, 21t[ tal que F1 (z) e i9F2(z). Suponga que f es un mapeo conforme uno a uno y sobre, del semi plano superior en si mismo, conf( - 1 ) O,f(O) 2 y f( 1 ) == 8. Encuentref( i). Dé una lista completa de todos los mapeos conformes del primer cuadrante { z 1 Re z > O e Im z > O } sobre sí mismo.

9. Encuentre un mapeo conforme que mande 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

A= =

379

=

A ==

=

A=

A=

=

=

{A =

=

=

=

}

= = A=

z+3 z tal que 1 -_--1 < 3 . (Sugerencia: ¿f(z) (z + 3)/(z - 1 ) z- l manda qué puntos al círculo lwl 3?). 19. Encuentre un mapeo conforme que mande la región de la figura 5.R. 1 en el semiplano superior. Utilice este mapeo para encontrar el potencial eléctrico cp con las condiciones de frontera establecidas. (Sugerencia: considere una rama de z � ..fi.2- 1 después de rotar la figura 90°. Véase también el ejemplo resuelto 5.2. 1 6. ) 18.

Describa la región

=

y

i -r

�--�------

----

4> = 0

= l �--�------ x

----

4> = 0

Fi gura S.R.l . Datos de frontera para e l ejqrcicio 1 9 . 20. Encuentre el flujo de un fluido en la región mostrada en la figura 5.R.2. 21. Utilice el ejercicio 1 9 o el ejemplo resuelto 5 .2. 1 6 para encontrar el fluido de un fluido sobre el obstáculo de la figura 5 .R.3 y trace unas cuantas líneas de corriente. 22. Sea B el primer cuadrante abierto, esto es, B { z 1 Re z > O e Im z > O } y sea S = { z 1 O

=

< lm z < 1t } .

a) Encuentre una función analítica que transforme en forma uno a uno y sobre a B en S. b) Encuentre una función u armónica en B y continua en la cerradura de B excepto en (0, 0) la cual satisface que u(x, y) O y u(iy) 1t para y > O.

=

=

380 y

Figura 5 . R.2. La región para el ejerc i ci o 20.

y

Figura 5.R.3. Flujo sobre u n obstácu lo. 23.

Encuentre el potencial eléctrico en la región mostrada en la figura 5.R.4.

y

Figu ra 5. R.4. Datos de frontera para el ejercicio 2 3 . + l se coloca en z0 = i en el semi plano superior y que el eje es un conductor conectado a tierra, mantenido con potencial constante O. Encuen­ tre el potencial en cualquier punto z o¡6 i en el semi plano superior.

24. Suponga que una carga puntual de

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTU LO

5

381

25. Use la fórmu l a de Schwarz-Christoffel para encontrar un mapeo conforme entre las dos regiones mostradas en la figura 5.R. 5(A = -1 B = 1 , B' = 0.)

y

B= l

A = -1

Figura

26.

y

5.R.5. Regiones para los ejercicios 2 5 y 26.

Use el ejercicio

25

para encontrar las líneas de flujo sobre el escalón del lecho del canal

profundo que se muestra en la figura

5.R.5.

27. Encuentre la temperatura en la región ilu strada en la figura 5.R.6. (Sugerencia: use z

�

sen-1 z.)

y

-a

Figura

a

Aislada

T= O

X

5.R.6. Datos de frontera para e l ejercicio 2 7 .

28. Sea gn una sucesión de funciones analíticas definida en una región A. Suponga que :E 00

lgn (z)l converge uniformemente en A . Demuestre que :E

n=l

en los discos cerrados de A . 29. Evalúe mediante residuos:

J

oo

o

30.

COS X

---

x2

+

3

lg 'n(z)l converge uniformemente

dx

Sea f analítica en C\{ 0 } . Suponga que f(z) � oo conforme z � O y f(z) �

z �

oo.

n=l

Demuestre quefpuede escribirse en la forma

oo

conforme

38 2 f(z)

para constantes

31. Si

1: O

· De ¿

e;

c

=

k -+ .. k z ·

+

c

1 -+ c0 + d z + 1 z

·

·

·

+

d z1 1

y dr

anz" tiene radio de convergencia p, ¿cuál es el radio de convergencia de

1:

n=O

a2z" ? n

1:

n=O

32. Encuentre la expansión de Laurent def( z) =z41(1 - z2) que sea válida en el anillo 1

<

anz2"? lzl < oo.

Desarrollo adicional de la teoría En este capítulo se continúa el desarrollo de la teoría de las funciones analíti­ cas que se empezó en los capítulos 3 y 4. Las principales herramientas usadas en este desarrollo, son las series de Taylor y el teorema del residuo. El primer tópico de este capítulo es la continuación analítica; esto es, el esfuerzo de hacer el dominio de una función analítica lo más grande que sea posible. Inves­ tigaciones adicionales de las funciones analíticas nos conducen naturalmente al con­ cepto de superficie de Riemann, el cual será brevemente discutido. Propiedades adicionales de las funciones analíticas se desarrollan en las subsecuentes secciones. Algunas de estas propiedades tienen que ver con tópicos como el conteo de ceros de una función analítica; otros son generalizaciones del teorema de la función inversa. 6.1. CONTINUACIÓN ANALÍTICA Y SUPERFICIES DE RIEMANN ELEMENTALES

El primer teorema que se demostrará en esta sección, es llamado el principio de continuación analítica, el cual también es referido como el teorema de identidad. Este teorema y su demostración, conducen a la discusión de las superficies de Rie­ mann, las cuales facilitan un tratamiento más satisfactorio de lo que previamente fue referido como "funciones multivaluadas", tales como log z y ¡z. La discusión es heurística, está pensada principalmente para motivar trabajos más avanzados. Continuación analítica

Si dos funciones coinciden en una parte pequeña de una región (conexa), en­ tonces ellas coinciden en toda la región en la cual ambas son analíticas. Esto se establece precisamente en el siguiente teorema. 383

384

CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL

Principio de continuación analítica o teorema de identidad 6.1.1. Sean f y g ana­

líticas en una región A. Suponga que existe una sucesión z l ' z2, de puntos distintos de A que converge a Zo E A, tal que f(z0) = g(z0) para toda n = 1 , 2, 3, . . . Entonces f = g en todo A (véase la figura 6 . 1 . 1 ). La conclusión es válida, en particular, si f = g en alguna vecindad de algún punto en A. • . .

•

Figura 6.1 .1 . El teorema de identidad:

o

Z¡

{ f = g en z 1 , z2, • • •j � { f(z) = g(z) para toda z E

A J.

Demostración. Debemos demostrar quef- g = O en A . Haremos esto demostran­ do que para una función analítica h en A , las siguientes cuatro afirmaciones son equivalentes: (i) Para alguna

z0, la n-ésima derivada en z0 se anula: z0•

(ii) h = O en alguna vecindad de es alguna sucesión de puntos distintos que converge a (iii) h (z k) = O, donde (iv) h = O en todo A .

zk

z0.

Después que estas equivalencias sean demostradas, el teorema se sigue al tomar f- g = h y aplicar (iv). Primero, (i) {::::> (ii), por el teorema de Taylor. (El estudiante debe escribir los detalles de esta afirmación si ésta no es clara.) Enseguida mostramos que (iii) � (ii) al mostrar que los ceros de una función analítica h son aislados, a menos que h = O en una vecindad de Zo· En efecto, si h no es idénticamente O en un disco alrededor de podemos escribir h(z) = donde � O y k es un entero � 1 (¿por qué?). Ahora bien, =F O en toda una vecindad de por continuidad, así que en esa vecindad h(z) =F O excepto en = Esta afirmación contradice el que h ( ) = O puesto q ue, para n suficientemente grande, está en la vecindad y podemos suponer que Z n =F Claramente, (iv) � (iii). La demostración estará completa cuando demostremos que (ii) � (iv). Sea B = E A 1 h es cero en una vecindad de Por definición, B es abierto y es no vacío por hipótesis. Vamos a demostrar que B es también cerrado en A , mostrando que si � E B, entonces E B. Es suficiente (por el resultado previo (i) � (ii) aplicado al punto probar que h (n l( ) = O para toda n. Pero h ( )( ) = lím h ( )( k) = O. Entonces, B es cerrado, abierto y no vacío y , por lo tanto, B = A , k � oo

z0,

�(z)

zn

(z - z0l�(z),

�(z)

z z0.

zn

z0•

[z

zk

n z

z0,

z)

z, zk

z)

z

z

.

n z

6.1 .

CONTI N UACIÓN A NALÍTICA

385

puesto que se supone que A es conexo (recuerde que una región es abierta y conexa, por definición). • Una interesante aplicación de este teorema es la siguiente. Existe exactamente una función analítica en C que coincide con ex en el eje x, a saber, ez. Ésta es una consecuencia inmediata del teorema de identidad puesto que el eje x contiene una su­ cesión convergente de puntos distintos (por ejemplo, 1/n). Las siguientes consecuencias del teorema de identidad son lo suficientemente importantes que merecen ser enunciadas explícitamente. Corolario 6.1.2. Los ceros (o, más generalmente, los p untos donde se asume un

valor especifico) de una función analitica no constante, son a islados en e l siguiente sentido. Si f es analítica y no constante e n una región A, y f(z0) = w0 para un punto z0 en A, entonces existe un número E > O tal que f(z) no es igual a w0 para ninguna z en la vecindad agujerada {z 1 O < lz - z 01 < Ej.

S i no existiera tal E, entonces f coincidiría con la función cons­ tante h (z) = w 0 al menos en alguna sucesión de puntos que convergen a z0. Pero entonces coincidiría con h en todo A , por el teorema de identidad y, por lo tanto, sería constante. • Demostración.

Observe que puede haber un punto límite de ceros en la frontera de la región de analiticidad. (Esto se ilustra en el ejemplo resuelto 6. 1 . 1 1 con la función sen ( 1/z).) El teorema de identidad dice que una función no constante no puede tener un punto límite de ceros en el interior de la región de analiticidad. Corolario 6.1.3. Sean

Suponga que A

n

f:

A

B # 0y

�

f= g

B � C analíticas en las regiones A y B. en A n B. Definase

C y

g

{

:

f(z) h{z) = g (z)

· sz si

zE zE

A

B

Entonces h es analítica en A u B y es la única función analítica en A u B que es igual a f en A (o a g en B). Decimos que h es una continuación analítica de f (o de g) (véase la figura 6. 1 .2).

Figura

6. 1 .2 . Conti n uación analítica.

386

CAP. 6. DESARROllO ADICIONAL Demostración. Que h es analítica es obvio, ya quef y g lo son. La unicidad de h resulta a la vez del teorema de identidad y de los hechos de que A v B es una re­ gión y de que A n B es abierto. •

La continuación analítica es importante porque proporciona un método para hacer el dominio de una función analítica tan grande como sea posible. Sin embar­ go, puede ocurrir el siguiente fenómeno: Sea f en A. continuada a la región A 1 y sea A 2 como se muestra en la figura 6.1 .3. Si continuarnos / para que sea analítica en A P luego continuarnos esta nueva función de A 1 a A 2, el resultado no necesariamente

Figura 6.1 .3. Conti nuación de u n a fu nción de A a A1 y de A1 a A2•

coincide con la función originalf en A. Un ejemplo específico puede clarificar este p u nto. Considere e l log z. la rama principal (-1t < arg z < 1t) en la región A , consistente del semiplano derecho unión e l semiplano inferior. L a función log puede continuarse ú nicamente para que incluya a A 1 = el semiplano superior, en su dominio. Similarmente, podemos continuar otra vez el log, del semiplano s uperior a fin de que incluya a A 2 = el semiplano izquierdo, en su dominio, al escoger la rama O < arg z < 21t. Pero estas ramas no coinciden en el tercer cuadrante; difieren en 21tí (véase la figura 6. 1 .4). Por lo tanto, al continuar una función, debemos estar seguros de que la función, en la región extendida B, coinciden con la original en toda la intersección A n B y no únicamente en una p arte de ella. y

Figura 6 . 1 .4. Conti nuación del log.

6 . 1 . CONTINUACIÓN ANALÍTICA

No siempre ejercicio

es

387

posible extender una función analítica a un dominio mayor. En el

5 se le pide al lector confirmar que la serie de potencias l:

n=O

z n! converge a

una función analítica f(z) en el disco unitario abierto, pero que esta función no puede

ser continuada analíticamente a ningún conj unto abierto más grande. El círculo

unitario es llamado una frontera natural para esta función. En las dos siguientes subsecciones examinaremos las técnicas mediante las cuales puede algunas veces llevarse a cabo la continuación analítica.

Principio de reflexión de Schwarz Hay un caso especial de continuación analítica que puede tratarse directamente como sigue.

Principio de reflexión de Schwarz 6.1.4. Sea

A una región en el semiplano supe­

rior cuya frontera fr (A) intersecta al eje real en un intervalo [a, b] (o en la unión finita de intervalos ajenos). Sea f analítica en A y continua en A u ] a, b [. Sea A = ( z 1 z e A}, la reflexión de A (véase la figura 6. 1 .5), y defina g en A como g(z) = f(z). Asuma que f es real en ]a, b [ . Entonces, g es analítica y es la única conti­

nuación analítica de f en A u ]a, b [ u A. y

Figura 6. 1 .5 . A es la reflexión de A

Demostración. El teorema de identidad implica la unicidad, porque f es igual a g en un conjunto (a saber, ]a, b[) que contiene una sucesión convergente de puntos distintos; note que f = g en el eje real porque aquí, z = z y f =f. (fes asumida real en el eje real.) La analiticidad de g en A se sigue directamente de las ecuaciones de Cauchy-Riemann y fue establecida en el ejemplo resuelto

1 .5. 1 8. Si h está definida

en A u]a, b [ u A, al hacer la igual af(z) en A u ]a, b[ y a g(z) en

A, entonces h es

(z = z y !=fallí, puesfes real en el eje real). Así, h continua en A u]a, b[u A. La analiticidad en todo el

continua ya quef= g en el eje real. es analítica en A y

A,

y es

conjunto se sigue del teorema de Morera y fue establecida en el ejemplo resuelto

2.4. 17 . •

388

CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL

Este resultado es notable pues únicamente necesitamos que f sea continua y real en ]a, b[. Se sigue automáticamente que fes analítica en ]a, b[ cuando se continua a través del eje real. Para ayudar a ver que g (y, por lo tanto, h) es continua en A, consi­ dere el mapeo en tres pasos: z

�

z;

z � f{i) ;

f(z)

�

f(z)

El mapeo de enmedio es conforme; el primero y el último son anticonformes en el sentido que éstos invierten ángulos. Puesto que los ángulos son invertidos dos veces, el resultado preserva ángulos. El mapeo total es entonces conforme. Un principio de reflexión relacionado puede formularse usando círculos en lugar del eje real y remplazando la conjugación compleja por la reflexión en el círculo. El teorema de reflexión de Schwarz (6. 1 .4) es un caso especial de líneas que son tratadas como círculos de radio infinito, como en el capítulo 5. Sea A una región en el interior o en el exterior de un círculo C 1 (o en uno de los lados de una linea) con parte de su frontera un arco y de C1• Suponga que f es analítica en A y continua en Principio de reflexión de Schwarz para u n círculo 6.1.5.

A u y y f(y) es un arco r rf:.e otro círculo (o !fnea) C :z- Sea A { z 1 z e A) la reflexión A en C 1 y defina g en A como g(z) = [f(z)] - (el segundo -denota la reflexión en C2). Entonces g es analítica y es la única continuación analítica de f hasta A u y u A. =

de

Asumimos que A es interior a C 1 y que f(A) es interior a C 2. Los otros casos son similares. Sean T¡. i 1 , 2, transformaciones fraccionales li­ neales que mandan a C ¡ en el eje real y a sus interiores en el semiplano superior. Para w en T1(A), h(w) = Tif(T � ' (w))) es analítica y, por el principio de reflexión de Schwarz (6. 1 .4), h (w) da una continuación analítica de T1(A). Usando el hecho de que las transformaciones fraccionales lineales preservan la reflexión en círculos (pro­ posición 5.2.7) (y que la conjugación compleja es una reflexión en el eje real), encontramos que [f(z)] - = T2_ , (h (T1 (z))) y, por lo tanto, es una continuación analítica def (Véase la figura 6. 1 .6.) • Demostración.

=

Un argumento similar al usado anteriormente para establecer el ejemplo resuelto 2.4. 1 7 y el principio de reflexion de Schwarz (6.1 .4) se pueden usar para establecer lo siguiente, a partir del teorema de Morera. Sean A y B dos regiones simple­ mente conexas ajenas cuyas fronteras se intersecan en una cun;a simple suave y. Sea C = A u (y interior) u B (donde y interior significa la imagen de y sin los extremos) y suponga que Continuación analítica por continuidad 6.1.6.

(i) (ii)

Cada punto en y interior tiene una vecindad en C.

f es analítica en A y continua en A u y.

389

h

Figura 6.1 .6. Conti nuación analítica mediante reflexión.

(iii) g es analítica en B y continua en B (iv) Para t E y, Jím f (z) = lím g (z) z4t z eA

u

y.

z ---+ t ze B

Entonces, existe unafunción analítica h en C que coincide con f en A y con g en B.

Continuación analítica por series de potencias a lo largo de curvas Suponga que fes analítica en una vecindad U de z 0 y que y es una curva que une a z 0 con algún otro punto z ' (como en la figura 6. 1 . 7). Si queremos continuarfa z ' , podemos proceder como sigue. Para z 1 sobre y en U, considere la serie de Taylor defexpandida alrededor de z 1 :

serie de potencias puede tener un radio de convergencia tal que l a serie de potencias sea analítica a lo largo de y más allá de la porción de y en U. La serie de po­ tencia así obtenida, define entonces una continuación analítica de f Podemos conti­ nuar este camino a lo largo de y en espera de llegar a z ' , lo cual será posible si los su­ cesivos radios de convergencia no se contraen a O antes de alcanzar z ' . Si tenemos éxito, decimos que f puede ser continuada analíticamente a lo largo de y. Sin em­ bargo, debemos ser cuidadosos, pues la continuación analítica defasí definida, podría no ser una función univaluada si y se interseca a sí misma (como en la figura 6. 1 .8). Esta

390 z'

Figura 6.1.7.

Conti nuación med i ante series de potencias.

Figura 6.1.8.

La conti nuación puede l levar a autointersecc iones.

Los coeficientes de la serie de potencias alrededor del nuevo centro, z 1, pueden

calcularse en términos de los coeficientes para la serie de Taylor de f alrededor del centro original z0• (Véase el ejemplo resuelto manera a

z'

6. 1 . 1 3.) Si se puede llegar de alguna

mediante este proceso, entonces esto se puede hacer en un número

finito de pasos. Esto se debe esencialmente al lema de l a cubierta de una trayectoria. 7.) Así, la continuación de z ' puede calcularse en términos de la

(Véase el ejercicio

función original. (Una discusión de esto que incluye los aspectos numéricos de los

3 de Applied and Computational Complex Analysis, de Peter Henrici, Nueva York: Wiley-Interscience, 1974.) cálculos se puede encontrar en el capítulo

! El ejemplo I:. z n que se mencionó anteriormente, muestra que puede ocurrir

que no haya dirección en la cual una serie de potencias pueda ser continuada. Afor­ tunadamente éste no es siempre el caso. Sin embargo, siempre debe haber una di­ rección en la cual esto no sea posible.

Proposición 6.1.7. < oo.

Suponga que f(z) = f

n=O

a0(z - z0f

tiene radio de convergencia

Entonces, debe haber al menos un punto z P con lz0 - z 1 1 = R, tal que f no pueda ser continuada analíticamente a algún conjunto abierto que contenga a z 1 • R

6.1 .

CONTINUACIÓN ANALrTICA

391

Demostración. Sea B = { z tal que lz - z01 < R } y sea C su círculo frontera {z tal

que lz - z 01 = R

}.

Vamos a demostrar que si la afirmación fuera fal sa entonces f

podría ser continuada analíticamente a un conj unto abierto que contiene al disco cerrado B

u

C. Si se hiciera esto, el ej emplo resuelto 1 .4.28 mostraría que A contiene

J

[

u n disco más grande BE = z tal que lz - z 01 < R + (Véase l a figura 6. 1 .9.) Habríamos continuado fa un disco mayor con el mismo centro. Esto no es posible ya que esto implicaría un radio de con vergencia mayor que R. {Véase el ejemplo resuelto 6. 1 . 1 2.)

Figura 6.1 .9.

Si A es un conjunto abierto que contiene a B y a su frontera, entonces A contiene a un disco ligeramente más grande.

Para obtener A, procedemos como sigue. Para cada

cindad B w de

w sobre C existe una ve­

w y una continuación analítica fw de f a A w = B

u

B w· {Véase la fi­

gura 6. 1 . 1 0.) Entonces A = (unión de todas las A w) e s un conjunto abierto que con­

tiene a B

u

C. Tratamos de definir una continuación de f a A haciendo g (z) = fw(z)

para z en A w. S i esto tiene un significado no ambiguo, ciertamente será analítica en

A , ya quefw es analítica en A w. Para que g tenga sentido, necesitamos saber que si z está en A w n A w , entonces fw (z) = fw (z). Pero esto es cierto. Las dos funciones z t 1 2 son ambas analíticas en la región A w n A w y ambas son iguales a f en el conjunto 1 2 abierto B e A W ¡ n A W . Por lo tanto, ellas deben coincidir en toda la región, por el z

teorema de identidad. Así, la definición de g tiene sentido. Esto no depende de la

A w que contiene a z que hayamos seleccionado. •

Figura 6.1 . 1 O.

El conjunto Aw

=

B v Bw-

392

CAP. 6 . DESARROLLO ADICIONAL

Consecuentemente, el radio de convergencia de una continuación analítica es muy independiente del método que se use para obtenerlo. Esto coincide con lo que fue visto en el capítulo 3; el radio de convergencia debe ser la distancia a la singularidad más cercana que no se puede evitar.

Suponga que f es analítica en una vecindad de un punto z0 de una región A y que f puede ser continuada analíticamente a lo largo de cualquier curva que une a z0 con cualquier otro punto z1 de A . Entonces, el radio de convergencia de la serie de Taylor en z 1 para cada una de tales continuaciones a z 1 es la misma y es al menos tan grande como la distancia de z1 al complemento de A . Proposición 6.1 .8.

Demostración. Suponga que no. Entonces, al extender la curva radialmente de

z 1 a cualquier punto sobre el círculo de convergencia, la extensión podría ser conti­ nuada analíticamente aun más allá en toda dirección desde z 1' contrario a la propo­ sición 6. 1 . 7 . •

La proposición no asegura que todas las continuaciones son l a misma. Esto podría no ocurrir, como lo demuestra el ejemplo del logaritmo. Podríamos obtener simplemente funciones locales definidas en discos pero que no necesariamente coinciden en los traslapes. Esta construcción es una forma básica en la cual surgen las funciones multivaluadas. Un punto es llamado un punto rama si una continua­ ción analítica alrededor de una curva cerrada que lo rodee, puede producir un dife­ rente valor al regresar al punto inicial. Los siguientes resultados básicos dicen que las funciones multivaluadas no surgen a partir de continuaciones a lo largo de cur­ vas en regiones simplemente conexas.

Sea A una región simplemente conexa y sea Zo E A. Sea f analítica en una vecindad de z0. Suponga que f puede ser continuada analíticamente a lo largo de cualquier arco que une a z0 con cualquier otro punto z E A. Entonces, esta continuación define una continuación analítica ( univalua­ da) de f en A Principio de monodromía 6.1.9.

Demostración. Necesitamos demostrar que si z 1 es cualquier otro punto de A,

entonces el proceso de continuación a lo largo de una curva y de z0 a z 1 a través de siempre producirá el mismo valor en Zp sin importar la curva que se haya usado. Con este fin, sean Yo y y1 dos curvas de z0 a z 1 en A. Puesto que A es simplemente conexa, éstas son homotópicas con extremos fijos, en A. Esto es, existe una función continua H: [0, 1 ] X [0, 1 ] � A del cuadrado unitario en A, tal que H(O, t) = y0 (t), H ( l , t) = y1 (t), H(s, O) = z0, y H(s, 1 ) = z 1 para toda s y t entre O y 1 , inclusive. Las funciones .ys(t) = H(s, t) son una familia de curvas de z0 a z 1 en A , que se deforman continuamente de y0 a y 1 • Véase la figura 6. 1 . 1 1 . Hay una conti­ nuación analítica fs de f, desde z0 hasta z 1 , a lo largo de cada curva Ys· Vamos a probar que fs(z 1 ) no puede cambiar conforme s es trasladada continuamente desde O hasta l y , por lo tanto, que f0(z 1 ) = /1 (z 1 ). Esto es exactamente lo que necesita­ mos para establecer el teorema.

A,

393

t

l

.. . .

·

.

·•

..

· .. . ·

·. ..

·. .

.

. .· .

•

••

. . .

.

H

•••

.

. ..

.•

o

S

1

Figura 6. 1 . 1 1 . Homotopía entre y0 y y1 •

La imagen de un cuadrado es un subconj unto cerrado y acotado de A . Así, por

el lema de l a distancia ( 1 .4.2 1 ) ésta está a una distancia positiva p del complemen­ to de A. Por l a proposición (6. 1 . 8), el radio de convergencia siempre es al menos p,

conforme continuamos anal íticamente a f a lo largo de cualquiera de las curvas y ·

s

Por el lema de la cubierta de una trayectoria ( 1 .4.24), l a continuación a lo largo de

cualquier "(5, debe ser completada hasta z l ' en un número finito de pasos, usando discos de radio p. Para cada s, este procedimiento produce una continuación analítica de f en una función fs analítica sobre un "tubo" A

s

alrededor de "(5, como en la fi­

gura 6. 1 . 1 2. Con un poco de cuidado, podemos seleccionar un número finito de pun­

tos O = s0

< s 1 < s2 <

<

s N = 1 y los valores de t que definen Jos centros de los d i scos, haciendo que los tubos A estén lo suficientemente cerca para que ys s k esté contenido en el tubo precedente A . y en el tubo subsiguiente A . . Esto se · • ·

5k + i

'k - 1

hace usando la continuidad uniforme de H, exactamente como en l a demostración

del teorema de deformación (2.3. 1 2); véase, en particular, la figura 2.3. 1 4. Las funcio­

nesf �c son, cada una de ellas, analíticas en la región A . n A

s

junto abierto D (z0; p) C A

sk

nA

sk + 1

,

'*

sk

•

•

y coinciden en el con-

y, por lo tanto, coinciden en toda la región, por

el teorema de identidad en particular,.f (z 1 ) =.f = •

sk- i

sk + i

(z1 ), así quej,0(z 1 ) =.f (z 1 ) =.f (z 1 )

= fs (z 1 ) =f1 (z 1 ). La continuación de j a lo l argo de y0 hasta N

S¡

Zp

s2

coincide con

aquella a lo l argo de y1 en el punto yl " Esto es lo que necesitábamos mostrar. •

F i gura 6. 1 . 1 2. Cada y5

k+1

está contenida en A5 • k

394

CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL

Para regiones que no son simplemente conexas, podemos obtener diferentes va­ lores para la continuación de f, cuando recorremos dos trayectorias diferentes. Este hecho fue ya mencionado en el inicio de esta sección en conexión con log

z.

Por

6. 1 . 13, al empezar con log definido cerca de 1 y al continuar a lo largo de y l ' obtenemos log (-1 ) 1ti, mientras que a lo largo de y2, obtenemos log (-1) 1ti. Esto se debe a que la región C\(0) no es simplemente conexa.

ejemplo, en la figura

=

=

-

y

El log z definido cerca de z = 1 X

-1

Figura 6.1 .1 3. Continuación del log

z

a lo largo de dos arcos diferentes, desde 1 a -1 .

Superficies de Riemann de algunas funciones elementales El fenómeno que se acaba de describir, puede l levar al estudiante a preguntarse si existe una definición del log que no introduzca líneas de rama artificiales (las cuales, después de todo, pueden escogerse arbitrariamente). La respuesta está dada por una brillante idea de Georg Riemann en su tesis doctoral en crita aquí brevemente.

1 85 1 , la cual es des­

z

se hiciera univaluada, deberíamos considerar a y 1 y

6. 1 . 14.

Se muestra sólo una parte de la escalera de caracol

Para el logaritmo, si log

y2 en la figura 6. 1 . 13 como si terminaran en lugares distintos. Esto puede represen­ tarse como en la figura

M, con ejes sobre el origen -ésta deberá extenderse indefinidamente hacia afue­ ra-. Si cortamos desde el

O hacia afuera en cualquier nivel y

en el nivel inmedia­

tamente abajo de éste, obteneínos una parte de la superficie llamada una hoja (la porción sombreada en la figura

6. 1 . 14).

Esto puede ser identificado con el dominio

de cada una de las ramaS del log. Así, hemos apilado una cantidad infinita de copias

del campo complejo C unidas a través del

6. 1 . 14.

O y pegadas como se muestra en la figura

Ahora los arcos y1 y y2 van a diferentes puntos, así que podemos asignar

diferentes valores de log

z

a cada uno, sin ambigüedad.

395

Figura 6. 1 .1 4. la su perficie de Riemann para log z.

La principal propiedad de esta superficie, que nos permite definir a log z = log lzl + i arg z como una función univaluada, es que en esta superficie, el arg z está bien definido y las diferentes hojas corresponden a los diferentes intervalos de lon­ gitud 21t en las cuales el arg z toma sus valores. Así, podemos considerar a las funciones multivaluadas introduciendo un dominio más grande en el cual la función resulte univaluada. Consideremos brevemente otro ejemplo, la función raíz cuadrada: z � .fZ = .fre ;an. Aquí l a situac ión es ligeramente diferente a la de l a función log. S i rodeamos al origen una vez, rztoma un diferente valor, pero si lo rodeamos dos veces (9 incrementado por 41t), regresamos al mismo valor, así que queremos estar en el mismo punto en la superficie de Riemann. La superficie se ilustra en la figura 6. 1 . 15.

Hoj a 2 Figura 6.1 .1 5. la s u perficie de Riemann para J z.

Aun cuando parece que las hojas en esta figura se intersecan, se supone que no lo hacen . La falla es nuestro intento de visualizarla en R3• Uno puede considerar que la superficie de Riemann está en R4 o en C2. La figura 6. 1 . 1 5 es una ilustración de su "sombra" en R 3• Aquí está otra manera de pensar cómo se relaciona a la su­ perficie con la continuación analítica. Sea y el círculo unitario recorrido dos veces en

396

CAP.

6.

DESARROLLO A D ICIONAL

contra de las manecillas del reloj, al hacer que t cambie suavemente desde O hasta 41t en y(t) = e ir. Entonces, f(t) = e it/2 da una raíz cuadrada que cambia suavemente para y(t). En el inicio, y(O) = 1 y f(O) = 1 = "fl." Conforme hacemos el primer tránsito alrededor del círculo, y(t) toca sucesivamente a los puntos B, C y D (i, -1 y -i), y f(t). toca los correspondientes puntos en el círculo imagen. En t = 21t, y(t) ha regresado a 1, pero f(t) ha alcanzado la otra "raíz cuadrada", - l . En el segundo tránsito alrededor del círculo, y(t) retoma los puntos que tocó en el primer circuito, mientras que f(t) va a través de las otras posibles raíces cuadradas en el semiplano i n ferior. Al final del segundo circuito y(41t) = 1 y f(41t) = 1 ha regresado al valor original . (Véase la figura 6 . 1 . 1 6. ) y

)'

F B

C'

H D

G'

e

Figura 6.1 .1 6. Sigu iendo a

.JZ

conforme uno recorre

el círculo un itario.

Para funciones más complicadas como cos-1 (z), la superficie de Riemann se puede construir como sigue. En ciertas regiones de e, cos z es uno a uno y defini­ mos cos-1 (z) como la función inversa. Las bandas de periodicidad definidas en la sección 1 .3 son ejemplos de tales regiones para eZ y log z. Tal región para cos z se ilustra en la fi gura 6 . 1 . 1 7.

X

Figura 6 . 1 .1 7. Una región sobre la cual cos z es u n o a uno.

El interior de cada una de tales bandas es transformada conformemente sobre e menos las porciones ]-=, - 1 ] y [ 1 , oo[ del eje real, con los semiplanos correspon­ dientes a las semibandas, como se muestra en la figura 6. 1 . 1 8. Cada una de esas porciones no consideradas es la imagen de dos diferentes porciones de la frontera de cada banda. Cada hoja de la superficie de Riemann es una copia de e cortada a lo largo de estas porciones del eje real. La superficie es entonces construida al "pe­ gar" l as hojas a lo largo de estos cortes en tal forma que los semiplanos estén uni­ dos en la misma forma que las correspondientes semibandas preimágenes.

397

y

y z

�

cos z

......---

X

F i gura 6.1 . 1 8. Construcción de l a superficie de R i em a n n para cos --1 z.

l

Una sección cruzada de la superficie sobre el círculo e = z tal que lzl

dibuj arse algo así como en la figura

6. 1 . 1 9 .

=

2) podría

Los puntos negros en el di agrama de la

derecha, i ndican los lugares en la superficie sobre

2 y -2, donde e l círculo e cruza

los cortes a lo largo de las cuales las hojas son pegadas. Para construir el modelo, uno

debería enrollar el diagrama de la derecha en un cilindro que una la base y la tapa de tal forma que las marcas sobre las hoj as coincidan. Entonces uno podría colocar el cilindro sobre el círculo de tal manera que las hileras de puntos negros estén sobre y

2

-2. Si seguimos una curva escogida adecuadamente que dé vuelta alrededor de 1 y

-1

y que pase algunas veces entre ellos, y algunas veces sobre los cortes de rama,

podemos pasar desde cualquier hoja a cualquier otra, para obtener todos los posibles valores de cos-1 z.

y

sobre

z=2

-2

X

sobre

z = -2

Fi gura 6.1.19. Sección tra nsversal de l a s u perficie de R i ema n n para cos-1 z sobre el círculo lzl = 2.

398

Ejemplos resueltos 6. 1 . 1 O. Sea f una función entera que es igual a un polinomio sobre el eje real. Muestre que f es un polinomio.

n

en [0, 1 ]. Entonces /(z) y a0 + a 1z + + coinciden para z E [0, l ] y ambas son analíticas en C (esto es, ambas son enteras). Entonces, por el teorema de identidad, son iguales en todo C, ya que [0, l ] contiene una sucesión convergente de puntos distintos (por ejemplo, zn = l ln). Esto demuestra la afirmación. Solución. Seaf(x) = a0 + a 1 x +

a nz

n

•

•

+ an x

·

·

•

•

6. 1 . 1 1 . Demuestre que si zn 4 O y zn � O y si f está definida en una vecindad agujerada de

O, con f(zn) = O, entonces f tiene una singularidad no removible en z = O, a menos

que f sea idénticamente O. Ilustre con sen( l /z).

Solución. Si la singularidad de f en O fuera removible, entonces (por definición)

podríamos definir /(0) de tal manera que f fuera analítica en O. Así, si /(zn) = O, el teorema de identidad implicaría que fes idénticamente O. (Las zn tienen una cantidad infinita de valores distintos -¿por qué?-.) Esto es cierto con sen(l /z) = f(z), pues para zn = Il1tn,zn 4 O, perof(zn) = O. Por lo tanto, la singularidad es no removible.

Podemos ir un paso más allá. Para talf, la singularidad debe ser esencial, porque sif tuviera un polo en O, entonces f(z) se iría a infinito conforme z � O (véase el ejercicio 7, sección 3.3). 00

6 . 1 . 1 2. Sea f(z) = L a0(z - Zo)" con un radio de convergencia R > O. n=O

a) ¿Existe siempre una sucesión zn• con lzn - Zol < R para n = tal que f(zn) 4 oo?

1 , 2, 3, , . . . y lzn - Zol 4 R,

b) ¿Puede f ser continuada analíticamente al disco lz - z01 < R + E para alguna E > O? Solución a) Tal sucesión no necesariamente existe. Considere la serie

de la razón, el radio de convergencia es

1

= lím n

-t oo

(n + 1 )2

----

l: 0

z n/n2• Por el criterio

= 1

Pero para lzl $ 1 , tenemos

1L 71 oc 1 ""

o

z"

1

lzl" 1 z" "" $ .L 7 = l: y $ l: 7 < oo o

Así, 1/(z)l está acotada por que/(zn) 4 oo.

oo

o

o

i l ln2 en lz tal que lzl < 1 J y, 0

por ende, es imposible

b) No. Suponga que existe una función analítica g en l z - zJ < R + E con g(z) = f(z) para

l z - zJ < R; Ya quef y g son analíticas y coinciden en l z - Zol < R, la serie de Taylor de 00

g, L an(z o

Zo)". es válida para l z - O tal que el polinomio q(z) = bnz" + bn

j=

_

l , 2, ... , k siempre que lbm- a m i � o para cada m = O,

],

2, ..., n.

Demostración. Sea Y; el círculo {z tal que lz- w) =E} . Entonces Jp(z)l nunca es O en y 1 u · · · u yk, y ya que es continua, tiene un mínimo A distinto de cero en este conjunto compacto. Sea M= max (lw11,

lbm- ami

. .. , l wkl)

� o para toda m, y z está en l p(z)- q(z)l

+E y escoja

n

o< A/(2 .I: M m). m=O

Entonces, si

y1 u · · · u'Yk' tenemos

n

� L lam- bmi • l zl m=O

m

n

� L oMm O. Muestre que para n suficientemen8. Sea gn k=O te grande, gn no tiene ceros en D(O, R). 9. (Teorema fundamental del álgebra) Utilice el teorema de Rouché para demostrar que si a0 + a1z + • • · + a nz , n � l y an #O, entonces/tiene exactamente n-raíces. f(z) 10. Proporcione los detalles de la siguiente demostración del teorema de Rouché: Bajo las hipótesis del teorema 6.2.5, la función H(s, t) sg(y(t)) + ( l - s) fly(t)) es una homotopía de curvas cerradas entre las curvas/ y y g y en C\{0), Se sigue que/(/ y, 0) /(g o y, 0). La conclusión del teorema de Rouché se sigue a partir de esto y del principio del argumento. 1 1 . Extienda el teorema del conteo de polos y raíces (6.2.1) para incluir el siguiente resultado. Si fes analítica en A excepto para los ceros ena1 ' . .. , a y los polos en b1' bm (cada uno repetido de acuerdo a su multiplicidad), si h es analítica en A y si y es una curva ce­ rrada homotópica a un punto en A, que no pasa por ningún a1, , an, bl' ... , bm, entonces n z -'----h(z) dz 21ti L h(a¡) /(y, a¡)- L h(bk)l(y, bk) =

=

_

=

,

=

=

=

=

=

n

=

n

o

=

o

o

n

.

•

I

1

f(z) f()

=

[

m

i=I

k=t

•

•

]

.

•

,

=

416

CAP. 6. DESARROLLO A DICIO NAL 12. Proporcione los detalles de la siguiente demostración del teorema de Rouché (debida a

Caratheodory): La función �

F(11.) =

l

--

2 ni

I

A.g'(z) g(z)

-r

+

+

( l-A.)f'(z)

( l -A.)/(z)

dz

es una función continua de A. para O � A. � l. Pero su valor es siempre un entero y, por lo tanto,

13.

Si Of(z) es un polinomio, utilice el ejercicio l l para demostrar que

l

-2 ni

I

J'(z) /(z)

-r

zdz

es la suma de los ceros defsi el círculo y es suficientemente grande.

14. a) Sea f: A � B analítica, uno a uno y sobre. Sea w e B y sea y un círculo pequeño en

A con centro en Zo· Utilice el ejercicio 1 1 para demostrar que

1 ¡-'(w)=- 2 ni

I

f'(z)z -r

f(z)-w

dz

para w suficientemente cerca def(z¿J. b) Explique el significado de

J'(z) f(z) -w 15. Seaf(z) un polinomio nde grado n, n

dz

� l . Muestre que/transforma a

C sobre C.

16. Suponga que gn(z) = :E l l(k'zk), y sea E> O . Paran suficientemente grande, ¿todos los k=O

ceros de g n están e n el disco D(O; E)?

17. Síf(z) es analítica y tienen ceros dentro de la curva cerrada simple y, ¿podría concluirse

quef'(z) tiene n

-

l ceros dentro de y?

18. Localice los ceros (como se hiz o en el ejemplo resuelto 6.2.1 ) para el polinomio z4- z + 5=O.

19. Encuentre una r> O tal que el polinomio z3 - 4z2 + z-4 tenga exactamente dos raíces

dentro del círculo lzl =r.

20. Sea f analítica dentro y sobre lzl = R y sea /(0) � O. Sea

M = máx 1/(z)l sobre lzl = R. Muestre que el número de ceros defdentro de lzl= R/3 no excede a l ---·

log 2

log

M ---

lf(O )I

(Sugerencia: sea h(z)=f(z)l[(z-z1) (z-z n)] donde zn son los ceros def dentro de lzl =R/3 y aplique el teorema del módulo máximo a h.) •

•

•

21. Muestre que z � z2 + 3z es uno a uno en z tal que lzl < l

[

}.

22. ¿Cual es el disco más grande alrededor de .zo =O sobre el cual la función en el ejercicio

2 1 es uno a uno?

6.3. PROPIE DADES DE LAS FUNCIO N ES ANALÍTICAS

417

23. Demuestre que la siguiente afirmación es falsa: Para toda función/analítica en el anillo

�

<

lzl

<

�

,

existe un polinomio p tal que lf(z)-p(z) l

24. Sea/analítica en C y sea 1/(z)l �

<

�

para lz l = l.

5 fiZf para toda lzl � l. Demuestre quefes constante.

6.3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

ANALÍTICAS COMO MAPEO

En esta sección se demostrarán propiedades adicionales de las funciones analí­ ticas, que son de naturaleza local (esto es, que dependen únicamente de los valores de /(z) para z en una vecindad de un punto dado z0). Se darán aquí demostraciones adicionales del teorema de la función inversa (1 .5. 10), del teorema del módulo má­ ximo (2.5.6) y del teorema del mapeo abierto (establecido formalmente por primera vez en esta sección, pero mencionado previamente por primera vez en esta sección, pero mencionado previamente en el ejercicio 8, sección 1 .5). Podemos demostrar estos teoremas y también obtener información concerniente al comportamiento de una función cerca de un punto, usando la fórmula del conteo de raíces (véase el corolario 6.2.2):

1 2rti

f

f' (z) --,7-..,.----dz = número de raíces de f(z) = w dentro de y, contando multiplicidades 1/(z) - w

Comportamiento local de las funciones analíticas Si j(z0) = w0 con multiplicidad k, en el sentido quej(z) - w 0 tiene un cero de or­ den k en z0, entonces mostraremos que f es arbitrariamente k a uno, cerca de z0• La formulación precisa del teorema es algo rebuscada y confusa. Empezamos con la mo­ tivación y el típico ejemplo y parafraseamos el teorema en forma un tanto imprecisa antes de formular y demostrar la versión más precisa. (El lector debe tener en mente el ejemplo y seguir la argumentación precisa a la que se refiere la figura 6.3. 1 .) Con-

f

�

Figura 6.3. 1 . Esta función es dos a uno cerca de

z0•

41 8

CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL

sidere el caso especial en el que f(z) = z". Esta función tiene un cero de orden k en z0 = O (aquí w0 = 0). Entonces, para toda w cerca de O, z" = w tiene exactamente k solu­ ciones cerca de O. Para ver que este comportamiento es heredado por una función / más general para la cual f(z0) = w0 con multiplicidad k, considere la expansión en series de potencias de/alrededor de z0: 00

f(z) - w0 = L a (z - z0)n n n =k Para lz- z01 suficientemente pequeño, podríamos conjeturar (correctamente) que el comportamiento del término de menor grado que no se anula, a (z - z0)", dominará. "

Suponga que f toma el valor w0 en z0, con multiplicidad k. Entonces, para toda w suficientemente cerca de w 0, f toma el valor w exactamente k veces cerca de z0 (contando multiplicidades). Para toda w aun más cerca de w0, las k raíces de f(z) = w cerca de z0, son distintas. Teorema del mapeo: versión informal 6.3.1.

La formulación más precisa es la siguiente:

Sea f analítica y no constante en una región A y sea Zo E A. Suponga que f(z) - w0 tiene un cero de orden k 2:: 1 en Zo· Entonces existe una TI> O tal que para toda e E ]0, TI], existe una o >O tal que si lw - w 01 < O, entonces f(z) - w tiene exactamente k rafees (contadas con sus multiplicidades) en el disco lz - z01 O (probablemente menor que TI) tal que para toda E E ]0, A], existe una O > O tal que si O < lw - w 01 < O entonces f{z) - w tiene exactamente k raíces distintas en el disco O< lz - Zol O tal que para lz - z01:::;: Tl. /(z)- w0 no tiene otros ceros que z0. En el conjunto compacto z tal que lz - Zol =e (el círculo y en la figura 6.3.1), /(z) - w0 es continua y nunca es cero. Por lo tanto, existe una o > O tal que !f(z) - w 01 ::;; o >O para lz - z01 =E. Así, si w satisface lw - w01 (x0)(x - x0) Jk! + converge? Sea J : A � B analítica y sobre; asuma que Zp z2 E A , z 1 # z2 implica queJ(z 1 ) # J(z2). 1 Demuestre queJ- es analítica. ·

•

•

·

•

•

Sea J un polinomio. Muestre que la integral def'/Jalrededor de todo círculo suficiente­ mente grande centrado en el origen, es 2xi veces el grado def

12. a)

Demuestre el teorema de convergencia de Vitali. Sea fn analitica en un dominio A

tal que

(i) Para cada disco cerrado B en A, existe una constante M8 tal que lfn(z)l ::;; M8

para toda z

E

Byn=

1 , 2, 3, . . . .

(ii) Existe una sucesión de puntos distintos zk de A que converge a

que lím fn(zk) existe para k =

n ->oc

1 , 2,

z0

E

A tal

. . .

Entonces fn converge unifonnemente en todo disco cerrado en A ; el límite es una función analítica. (Sugerencia: primero tome el caso de un disco B con

R y zk � z0 = centro de B. Utilice el lema de IJn (z) -Jn(z0)1 ::;; 2Miz - z0VR. Entonces muestre que

radio

Schwarz para mostrar que

434

CAP.

6. DESARROLLO ADICIONAL

y deduzca quefn(z0) converge. Sea

y concluya que gn(z0) converge. Muestre que en general, si fn(z) = L a n. iz - Zo) k k;() entonces an . k � ak conforme n � oo. Deduzca quefn (z) converge uniformemen­ te en lz - z01 < R E. Luego utilice la conectividad de A para deducir la conver­ gencia uniforme en cualquier disco cerrado.) b) Muestre que si se omite la condición (i), la conclusión es falsa. (Seaf,(z) = z n.) -

13.

Sea f analítica en una región A y sea y una curva cerrada en A homotópica a un punto. Muestre que

14.

Seaj(z) analítica en {z 1 O < lzl < 2) y suponga que, para n = O, 1 , 2, . . .

15. 16.

I

18.

z "J(z) dz = O

Muestre que ftiene una singularidad removible en z = O. Seaf analítica y acotada en A = {z tal que lzl < l ). Muestre que si fes uno a uno en {z 1 O < lzl < 1 J, entonces fes uno a uno en A. Sea lf(z)l � l cuando lzl = 1 y seaj(O) -1 , conjanalítica. Demuestre que 2

lf(z)l � 17.

lzl ; 1

� l �

para toda lzl � _!_ 3

para _!_3 � lzl � 1

Seanjy g continuas para lzl � 1 y analíticas para lzl < l . Suponga quef= g en el círculo unitario. Demuestre quef= g. Si j(z) es analítica para lzl < l y si lf(z)l � 1/( 1 - lzl), muestre que los coeficientes de la expansiónf(z) = � a nz n están sujetos a la desigualdad n ; !l "'

19.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? radio de convergencia de i 2nz2 n es 1 / Q n;O b) Una función entera que es constante e n el círculo unitario es constante.

a)

El

435

EJERCICIOS DE REPASO DEl CAPÍTULO 6

e)

• El residuo de l /[z 1 0 (z - 2)] en el origen es -(2) - 1 0

d ) S i fn es una sucesión de funciones enteras que convergen a una función / y si la con­

vergencia es uniforme en el círculo unitario, entonces fes analítica en el disco unita­

rio abierto.

e) /)

J

"'

0

de a

+ cos

21t

e

= ----,---

a2 - 1

Para / suficientemente grande, sen z transforma al exterior del disco de radio r

que lzl > r

b en cualquier vecindad preasignada de

(j z tal

oo.

g) Sea f : C

-7 C analítica en el disco unitario abierto y sea f con una singularidad no

h) Sea f : C

-7 C analítica y no constante, y sea

removible en i. Entonces el radio de convergencia de la serie de Taylor de fen O, es l . forma la frontera de D en la frontera de f(D).

D un dominio en C. Entonces / trans­

i) Sea / analítica en {z 1 O < lzl < 1 ] y suponga que 1/(z)l ;S; log ( 1 /lzl). Entonces f tiene una singularidad removible en O.

J)

Suponga que j : C -7 C es entera y que f tiene exactamente

k

ceros en el disco uni­

tario abierto pero ninguno sobre el círculo unitario. Entonces existe una E >

que cualquier función entera g que satisface 1/(z) - g(z)l < E para lzl

=

bién tener exactamente k ceros en el disco unitario abierto.

O

tal

1 , debe tam­

20. Demuestre el teorema de Phragmen-Lindelof:

a) Suponga que f es analítica en un dominio que incluye la banda G = {z E e 1 o ;S; Re z ;S; 1 }. Si lím f(z) = O y si lf(it)l S 1 y lf( 1 + it)l S 1 para todo real t, entonces l f(z) l S 1 para z -> oo ze G

toda Z E G.

b) Si

g es analítica en un dominio que contiene a

lg( l + it)l

G,

si lím g(z) z -> oo ze G

= O y si

lg(it)l

;S;

M y

S N para todo real t, entonces lg(z)l S M 1 - Re z N Re z.)

(Sugerencia: aplique el resultado de a) af(z) 2 1 . ¿Es correcto decir que 1 /Jz tiene un polo en z

=

=

g(z)IM1 - 'N'.)

O?

22. Demuestre que para el valor principal del logaritmo, llog zl S r/( 1 - r) si 1 1 - zl S r < l . 23. a) Sea f : C

b)

-7 C continua en C y analítica en C \ R. ¿Esjen efecto entera?

Sea f : C -7 C analítica en C \ R. ¿Es /entera?

24. Sea P(z) u n polinomio. Demuestre que

J

lzl =

P(z) dz = -21tiP' (O) 1 00

25. Encuentre el radio de convergencia de la serie I: 2!' z n. o 26. Muestre que j(z) = (z2 + l )/(z2 - 1 ) es uno a uno en {z 1 Im z > algún conj unto mayor?

oj.

¿Es uno a uno e n

7 Métodos asintóticos En este capítulo se dará una introducción a la teoóa de los métodos asintóticos� esto es, al estudio de funciones f(z) conforme z � oo. Este capítulo empieza con productos infinitos y la función gamma. Estos tópicos son interesantes por sí mis­ mos pero también proporcionan al estudiante una motivación para el estudio de expansiones asintóticas, las cuales son analizadas en la sección 7.2. Una de las prin­ cipales técnicas utilizadas en este análisis, el método del descenso más pronuncia­ do, y su variante, el método de la fase estacionaria, son también considerados y son aplicados a la fórmula de Stirling y a las funciones de Bessel, en la sección 7.3. 7.1. PRODUCTOS INFINITOS Y LA FUNCIÓN GAMMA

Para estudiar la función gamma y los tópicos subsecuentes, vamos primero a desarrollar algunas propiedades básicas de los productos infinitos. Éstos son un tanto análogos a las sumas infinitas consideradas en la sección 3. 1 . Para orientarse y motivarse, el estudiante debe notar que cualquier polinomio p(z) puede ser escri­ to en la forma n

p(z) = an(z - O, vamos a establecer la siguiente fórmula, conocida como la integral de Euler para

r(z):

( 1 8) El estudiante podría pensar que esta expresión puede ser evaluada mediante los métodos de la sección 4.3. Desafortu nadamente, las hipótesis del teorema 4.3.8 no se satisfacen en este caso y se necesita entonces otro método para demostrar la ecuación ( 1 8). Vamos a empezar por definir

y

a mostrar que

Fn(z) =

-------­

z(z + I ) · · · (z + n)

( 1 9)

446

CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS

Por la fórmula de Euler (ecuación ( 1 5)), tendremos entonces demostrado que F/z) � r(z) conforme n � oo. Para demostrar la ecuación ( 1 9), notamos que al cambiar variables y al hacer t = ns,

n

F (z) = n4

-

f ' ( 1 s)"sz O

I

ds

Ahora, integramos esta ecuación por partes sucesivamente, el primer paso es

Repitiendo este procedimiento, integramos por partes

Fn(z) = nz

n • (n - 1 ) · · · 1

z(z + l ) · · · (z + n - l )

n veces y obtenemos

n !nz f ' sz + n - l ds o z(z + l ) · · · (z + n)

lo cual establece la ecuación ( 1 9). A partir del ejercicio 1 5, obtenemos una fórmula que debe ser bien conocida del cálculo

( - �Y 1

�

e-1

conforme n � oo

(20)

Si hacemos n � oo en la ecuación ( 1 9), la validez de la ecuación ( 1 8) parece asegurada. Sin embargo, tal afirmación no se justifica tan fácilmente. ' Para hacerlo, procedemos como sigue. De las ecuaciones ( 1 5) y ( 1 9), sabemos que ·

r(z)

=

lím

n -> ""

Ion ( _!_)n n z - 1 1-

t

dt

(2 1)

J: e-1 t z - 1dt. Esta integral converge ya que le-trz - 1 1 � e-tf?e z - 1 y Re z > O (compare con J; e-1tP dt y J� tP dt, p > -1 ). Necesitaremos saber "que tan rápido" [ 1 - (tln)]n � e-1• La siguiente desigualdad se cumple: Seaf(z) =

(22) (Esto se sigue de un lema del cálculo cuya demostración se pide en el ejercicio 1 5.) De la ecuación (2 1 ) y de la definición de f, tenemos

1

Al lector que ha estudiado los teoremas de convergencia en la teoría de integración de Lebesque

se le apremia para que los aplique a esta integral.

7.1 . PRODUCTOS I NF I N ITOS Y LA F U NCIÓN

Para mostrar que el límite (ecuación forme n �

oo.

(23)) es cero note que

GAMMA

447

r e-ttz - 1 dt � O conn

En efecto, si t > 1 , entonces le-ttz - 1 ¡ s; e-1f", donde m ;;:: Re z > O, es

un entero. Pero del cálculo (o directamente, usando integración por partes), sabemos que

J: e-trm dt

<

oo,

así que

r e-ttm dt � O conforme n �

J: [ ( �rJ e-1 -

Por la desigualdad

t -

oo.

Resta mostrar que

t z - 1 dt � O conforme n

�

oo

(22),

la cual se aproxima a cero conforme n �

oo,

ya que la integral converge. Esto com­

pleta la demostración de la ecuación ( 1 8) ; esto es, para Re z > O,

De hecho, si examinamos esa demostración, vemos que conforme O s; lzl s; R y

< € <

R,

(-Tt/2) + o s; arg z s; (Tt/2) � O, O > O, l a convergencia es uniforme en

E z

(véase el ej ercicio 1 8).

Demostraciones técnicas de los teoremas 7.1.2 y 7.1.6 Teorema de convergencia para productos 7.1.2. oc

(i) Si n ( 1 + z0) converge, entonces zn � O. n= 1

(ii) Suponga que lz01 n :::; l

00

n=l

=

1 , 2, . . . de modo que Z0 =¡6 - 1 . Entonces

( 1 + zn) converge si y sólo si L log( l + Z0 ) converge. (log es la rama

principal; lz01 (iii) n

1 para toda n

oc

00

n

<

<

n=l

1 implica que log( l + Z0) está definido.) "'

"'

n=l

n=l

( 1 + lz01) converge si L lz01 converge. (En este caso decimos que n ( 1

converge absolutamente.) oc

=

n=l

n=l

(iv) Si n ( 1 + lz 0 1) converge, entonces n ( 1 + lz01) converge.

+

z0)

448 Demostración

(i) Podemos asumir que zn � -1 para toda n. Sea Pn =

[! p + zk ); por suposición, n

Pn � P para alguna P � O. Así P/Pn _1 � 1 , por el teorema de cocientes para límites. Pero P/P, 1 = 1 + zn . En consecuencia, zn � O. _

n

(ii) Sea Sn = l: log( 1 + z •.) k�I

..

y sea Pn = kn� I ( 1 + z.. ). Entonces, Pn = én. Es claro que n

..

si Sn converge, entonces también P, converge pues eZ es continua. Recíprocamente, suponga que P, � P � O. Para mostrar que Sn converge, es suficiente mostrar que para n suficientemente grande, toda Sn está en una banda de periodicidad (en la cual eZ tiene una inversa continua). No podemos escribir log l: ( 1 + zk ) = log n

k=I

P,. porque Pn

podría estar en el

eje real negativo. En vez de eso, para los propósitos de esta demostración, vamos a escoger la rama del log tal que P esté en su dominio A. Ahora P, � P, así que pn E A, si n es grande y, por lo tanto, podemos escribir sn = log � + kn 21ti para un entero kn. Así •

Puesto que el lado derecho de la ecuación es puramente imaginario, Por (i), zn + 1 � O y en consecuencia, arg (1 + zn + 1) � O. También, arg � � arg P y, por lo tanto, kn + 1 - kn � O conforme n � oo . Ya que las kn son ente­ ros, deben ser igual a un entero fijo k, para n grande. En consecuencia, Sn = log Pn + k 21ti, así, conforme n � oo, Sn � S = 1og P + k 21ti. (iii) Por (ii), es suficiente mostrar que para xn 2:: O, L xn converge si l:. log (1 + xn) converge. En efecto, puesto que •

•

z3 z2 log ( 1 + z) = z - -- + -- para lz l 3 2 vemos que log ( 1 + z) z z2 = 1 - - + -- - . . . 2 3 z •

•

•

O, O :5 log ( 1 + xn) :5 ( 1 + e)xn para n suficientemente grande. Por el criterio de comparación, l: log ( 1 + xn) converge. Si usamos ( 1 - E)xn :5 log ( 1 + xn), obtenemos el inverso.

7.1 .

PRODUCTOS INFINITOS Y LA FU NCIÓN GAMMA

449

(iv) S uponga que ll( l + lz l) converge. Entonces, por (ii), I: log (1 + lz l) conver­ n n ge. (Debemos empezar con términos tales que se satisfagan las condiciones de (ii).) En efecto, el argumento en (iii) muestra que I: Iog (1 + z ) converge n absolutamente y , por tanto, converge. Así, por (ii), TI( l + z ) converge. •

n

Teorema sobre productos canónicos 7.1.6. Sea al ' a , una sucesión dada (posi­ 2 blemente finita) de números complejos distintos de cero tal que • • •

00

I:

n=l

-l 12 1

<

an

00

Entonces, si g(z) es cualquier función entera, la función

(1) es entera. El producto converge uniformemente sobre discos cerrados, tiene ceros en a l ' �· · · ·· y tiene un cero de orden k en z = O, pero no tiene otros ceros. Más aún, si f es cualquier función entera con estas propiedades, puede ser escrita en la misma forma (ecuación (1)). En particular, f es entera sin ceros, si y sólo si f tiene la for­ ma f(z) = eg(z) para alguna función entera g.

n

Demostración. Primero mostramos que ll( l - z/a )ezfa es entera. Para cada R n > O, sea AR = {z tal que lzl :S; R } . Puesto que a � oo, únicamente un número finito n de a n está en AR, digamos, a l ' . . . , aN 1• Por lo tanto, para z e AR, únicamente un número finito de términos (1 - z/a ) se anulan. n Para efectuar la demostración, expresemos el siguiente lema: _

Lema 7.1.7. Si

1 + w = (1 - a)ea y lal < 1, entonces lwl

:S;

lal2 ---1 - lal

Demostración. Tenemos

(1 - a)ea = l -

a2 -

·

·

·

-

(t - 1 ) n

2

an _ _ _ _ _

(n -

1)!

Así

1(1 - a)ea - 1 1 = lwl :S; :S;

=

lal2 -2

+

•

•

+

•

(n n!

1)

laln +

lal2 + l a1 3 + lal2 ya que la l < 1 Y 1 - lal

----

•

•

·

·

•

·

450

CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS

El siguiente paso en la demostración es mostrar que la serie

converge uniforme y absolutamente en ARn· Esto mostrará que

es entera (por el teorema 7.1 .5). En efecto, para n 2: N, lzla111 < 1 si lzl '5. RI2 y, por ende, por el lema precedente,

(R/2)2

1 -t

1 la11 12

ya que lzl '5. R/2 y la111 2: R para n 2: N. Por lo tanto, lw11(z)l '5.

R2 --

2

1 •

---

la11l2

= M11

Por suposición, 'LM11 converge y en consecuencia, por el criterio M de Weierstrass, 'Lw11(Z) converge uniforme y absolutamente. 00

Así,f1 (z) =zk n [ 1 n=

l

-

(z/an )]ezlan

es entera. A partir de la definición del producto

es claro que /1 tiene exactamente el número requerido de ceros. Por lo tanto, tam­ bién egh los tiene. Si f tiene el número dado de ceros, entonces /1/1 será entera y no tiene ceros (por la proposición ). Por lo tanto, únicamente necesitamos demostrar el siguiente lema.

4. 1 .1

y

i

Figura 7.1 .2. El contorno para l a fó rmu l a de Hankel.

451

Propiedades de la función gamma.

Tabla 7.1.1.

Definición:

[ 00

r(z) = -

1

z

) ],

-

ze7Z D (

l. 2. 3. 4.

5.

7.

r(z) =

1 0. 1 1. 1 2.

1 3.

r(z) =

-J1t;

r(n +

�) =

1 +

lím

1 6.

•

;n. (2n

5 •

-

•

- log

n) ""' 0.577.

.

1) ..fit.

n --> ""

1

n!n' z(z + 1) ··· (z + n)

------­

r(z)r (z + � ) • . • �z + n : 1 )

=

(21t)(n - 1

V2n012l -nznnz).

22z - 1 r(z)r (z + +) = iltr(2z). El residuo de r en -m es igual a (- l)mlm!.

r(z) = J: rz- l e-t dt para Re z > O. La convergencia es uniforme y absoluta para -'lt/2 + o � arg z � 1t/2 - o, o > O y para E � lzl � R, donde O < E < R. (La integral de Euler)

r' (z) = -y - � + f r(z) z 1 n

(�-

( Fórm ula de H ankel) 7. 1 .2.)

1 5.

3

1

-� + ••· + -:

+ }] [( � )z ( + � t ]

resuelto 7 . 1 . 1 1 .) 1 4.

n e -zl

..

r(-4-) =

9.

+ --¡;

y =}� ( 1 + ""

r es meromorfa con polos simples en O, -1 , -2, . r(z + 1 ) = zr(z), z ""' O, -1, -2, . . . . r(n + 1 ) = n!, n = O, 1 , 2, . . . . r(z)r(l - z) = 1t/sen 1tz. r(z) ""' O para toda z.

6.

8.

1

donde

= -i- e 21t r(z)

J

1

r(z +

1)

=

1

z+n

) = feo (_!C_ o

t

�

e-z

1 -e

1

)

dt. (Véase el ejemplo

1 r(z) = - ----- fe (-t)z - 1 e-' dt. (C como en la figura 2i sen 1tz

(-t)-ze-' dt. (C como en la figura 7. 1 .2.)

,J21t z z 1 12e-z para lzl grande, Re z > O. sección 7.3.) +

cual será demostrada en la

(Ésta es la fórmula de Stirling, la

452

CAP.

7.

MÉTODOS ASINTÓTICOS

Lema. Sea h(z) entera y sin ceros. Entonces, existe una función entera g(z) tal que

h = e8.

Demostración. No es del todo correcto hacer g(z) = log h(z). porque no es obvio que h(C) sea simplemente conexo y, por ende, no sabemos si log tiene una rama analítica en h(C). Sin embargo, podemos evitar este problema tomando como guía la diferenciación logarítmica. Puesto que h 'lh es entera, podemos escribir h '(z)

= a0 + a 1 z +

----

h(z)

•

·

·

; esto es g ¡ = h '/h.

(La serie para g 1 tiene un radio de convergencia infinito ya que l: a ¡!l lo tiene.) Seaj(z) = eg¡(z), entonces n

y hacer g 1 (z) = a0z + a 1 z212 + a z3/3 +

2

J' (z) ---

J(z)

•

•

•

, = g, (z) =

h ' (z) ---

h(z)

y , por lo tanto, (dldz) (flh) = O, así h = K · f, para una constante K. Si hacemos z = O, vemos que K = h(O) # O. Puesto que K # O, podemos hacer K = é, para alguna

así que h = e" · eg• = eg, donde g = g1 + c. •

e,

Ejemplos resueltos

7.1 .9. ¿Para qué z( l es 11(1

-

z).

+

00

z) n ( l n=l

+

z2n) converge absolutamente? Muestre que el producto

oc

Solución. Por el teorema 7 . 1 .2(iii), tenemos la convergencia absoluta si I: z2n conn=l

verge absolutamente. Esto ocurre para lz 1 < 1 , ya que el radio de convergencia de la serie es l . Por ende, el producto converge absolutamente para lz 1 < l . La evaluación del producto requiere de un truco el cual, en este caso, es bastante simple. Nuestro producto es (l + z)(l + z2)(l + z4)(1 + z8) Note que ( 1 + z) (l + z2) = 1 + z + z2 + z3 y, por ende, ( 1 + z) ( 1 + z2) ( l + z4) = 1 + z + z2 + z3 + + z7• •

En general, ( l

+ z)

n

--

+

k

z2 ) = 1

converge a 1 /( 1 z) conforme n de z = O para 1/(l z). 7. 1 . 10. Demuestre que

•.

·

n (l

k= l

•

sen z = z

+

z + z2

� oo

+

•

·

·

+

z2

n+ 1

-1 •

·

·

Sabemos que esta serie

ya que ésta es la serie de potencias alrededor

n(• -

n=

1

Solución. Los ceros de sen z ocurren en O y en ±n1t; definamos a1 = 1t, a2 = -1t, a3 = 21t , a4 = - 21t, . . . . Todos los ceros son simples, y I:lllai converge. Por lo tanto, por

el teorema sobre productos canónicos, podemos escribir

453

(al agrupar los términos en parejas). Así que resta mostrar que es = l . Esto no es muy simple y no se esperaría que el estudiante efectuara el siguiente ra­ zonamiento de una manera rutinaria; éste es, definitivamente, un truco. Sea

Sabemos que P,(z) � sen z (uniformemente sobre discos), así que P � (z) � cos z. Entonces

P� (z) P, (z)

__.:.:.._ _

� cot z

z ,p o. -+-1t,

para

Pero

± 21t,

• • •

[

(

)]

z2 d_ d _P --'�"-(_z_)- = _ log Pn (z) = __ g(z) + log z + 't log 1 _-k= 1 k21t2 P, (z) dz dz n

1 z

= g'(z) + - + 1:

k= 1

(

Sin embargo sabemos, de la sección 4.3, que oc

1 cot z = - + _L z 1 n

=

2z

z2 - n21t2

----­

para

-

z "" n1t

Así, g'(z) = O y, por ende g(z) es una constante, digamos c. Por lo tanto,

Hágase z � O. El lado izquierdo se aproxima a 1 mientras que el lado derecho se aproxima a é (¿por qué?). En consecuencia é = 1 y tenemos nuestra fórmula.

7. 1 . 1 1 .

Demuestre que

r'(z)

n

1 = - "(- - + lím _L r(z) z k= 1

Solución. Tenemos

n -> oo

(

1

k -

454 1

fi

ze"/1.

í(z)

n= 1

(

1 + ..:...) e-zln n

Tomando logaritmos (que sabemos podemos hacerlo cerca de cada z para las cuales tengamos convergencia), obtenemos

� [ ( : - :]

- log í(z) = yz + log z +

log

1+

)

Diferenciando, obtenemos

Éste es el resultado que se quería.

Ejercicios l. Muestre que 2. Muestre que

3. Muestre que tamente.

( �2 � . fi ( _!__ 1

[\

1-

n=2 00

rr

n=l

)=

-

2

)=

n(n + 1)

3

(1 + zn) converge absolutamente si

00

L

n=l

log

(1 + zn) converge absolu-

4. Complete la demostración de la analiticidad de productos infinitos (7. 1 . 5). S. Utilice el ejemplo resuelto 7. 1 . 1 0 para establecer la f6rm ula de Wallis,

2

1t

2

4

4

6

6

- = - · - · - · - · - · - ····

(). Muestre que

00

I1

n =2

(

2

1

2

1

-

7. Demuestre la fórmula

3

3

5

5

7

2

n3 + 1

) = -.

3

2 de la tabla 7 . 1 . 1 .

00

rr ( 1 + zn ) converge (suponiendo que Zn � -1) si, para toda E > o. existe n=l una N tal que n � N implica que

8. Muestre que

1(1 + Zn )

•

•

•

(1 + Z

< ) n +p - 1\ E

para toda p =

(Sugerencia: use el criterio de Cauchy para sucesiones.)

9. Demuestre la fórmula 4 de la tabla 7. l . l . 10. Sean a l ' a2 , puntos en C, con a1 � O, y sea • . .

:E 1

1

:--:- < 00 l+h

_ _ _

lanl

O, 1 , 2, . . .

7.1 . PRODUCTOS I N F I N I TOS Y LA F U NCIÓN GAMMA para un entero fijo

a1 • a

11. 12. 13.

2

•• • •

h � O.

455

Muestre que la función entera más general que tiene ceros en

y u n cero de orden k en O, es

(Cada uno de los puntos a¡ debe ser repetido un número finito de veces.) (Suge rencia: • • • + ahth para lal < 1 , entonces w = ( 1 - a)e a + a212 +

Demuestre e l siguiente lema: Si l + lwl :$; l a l h + 1 /( 1 - l a l ) . )

Demuestre la fórmula 8 de la tabla 7. 1 . 1 .

Utilice la fórmula de Euler (fórmula 7 de la tabla 7. 1 . 1 ) para demostmr que r(z +

zr(z).

l) =

Muestre que en la vecindad lz + mi < l , para m entero positivo fijo,

r(z)

(-l )m -

---­

m ! (z + m)

es analítica (esto es , tiene una si ngularidad removible en z = -m). 14. a ) Sea E(z. h) = ( 1 - z ) e z + Z212 + • • - + /'lh_ Muestre que l a función entera más general que tiene ceros en al ' a , , cada uno de ellos repetido de acuerdo a su multiplicidad, 2 � oc, y que tiene un cero de orden k en O, es

(

. . •

donde an

f(z) = e &z

k

z E - , n)

fi

n= 1

-

an

(éste es el teorema de factorización de Weierstrass.)

15.

16.

b)

Concluya que toda función meromorfa es el cociente de dos funciones enteras.

Demuestre que, para O :$; t :$; n , o :$; e -1-

Demuestre que, para Re z � O,

r ' (z) r(z)

-

_

( �y 1

f"" ( o

:$;

-

e-t

--

t

(Sugerencia: Re z � O, entonces ll(z + n) =

-

J""

+ l ln - log n) y el eJemplo resuelto 7. l . 1 1 .)

1 - e-t

) dt

e -rdt. Utilice y = l ím ( l + -1- +

n � oo

O

•

e-u

17. Seag y el círculo de radi o + alrededor de z0 = O. Muestre que J.., r(z) dz = 18. Establezca la convergencia uniforme en la fórmula 12 de la tabla 7 . 1 . 1 . 19. Demuestre lafónnula de Hankel (fórmula 1 4 de la tabla 7. 1 . 1 ): 1

--r(z) --2i sen xz

f

e

2

·

·

•

2xi.

(- t) " - 1e - 1dt

donde C es el contorno ilustrado en la figura

7. 1 .2.

Utilice r(z) r( l - z) = 1t /sen 1tZ, pam concluir que

¿Para qué z es válida la fórmula?

456 1_

_ _

r(z)

=

_ i

_

21t

f (-t)-ze-tdt e

20. Para contestar esta pregunta, consulte la sección 6. 1 . Defina r(z) =

z > O.

J:

rz -

l e-' dt para Re

a) Demuestre directamente que r(z) es analítica en Re z > O para mostrar que

Jn t - 1e-r dt 0

z

converge uniformemente en discos cerrados conforme n � oo. b) Muestre que r(z + 1 ) = zr(z), Re z > O. e) Utilice b) y la continuación analítica para demostrar que r(z) puede ser extendida a una función meromorfa que tiene polos simples en O, -1 , -2, . . (Sugerencia: el pro­ cedimiento usado es análogo al que se utilizó al demostrar el principio de reflexión de Schwarz; véase la sección 6. 1 .) .

..[ity que J: y2e-Y' dy [it12 utilizando la función gamma. (Sugerencia: Relacione estas ecuaciones integrando por partes y use r oo

Entonces a 0 = ii0. Suponga que hemos demostrado que a0 = ii0, . . . , an = iin. Vamos a mostrar que an + 1 = iin + 1 • Dada E > O, existe u na R tal que si lzl � R, tenemos

y

zn+ { [

zn + 1

f(z) -

f(z) -

( (

a0 +

:

+

iio

:�

+

+

1

•

•

•

•

•

•

+

an + 1 n z +1

+

iin + 1 n z +1

Por lo tanto, por la desigualdad del triángulo, lan + ! - iin + l = l z" + I¡ l

lan

)] )]

(t) = o( l ltn), lím t cj>(t) = O. Dada E > O, existe una x0 > O tal que n -> oo n t > x0 implica que lt $(t)l < E. Por l o tanto, para x > x0, •

•

•

•

•

•

•

•

S,)

•

•

_

•

•

•

t

•

·

$(t) dt

::;;

feo X

E n t

dt =

L""

cj>(t) dt

--

•

1 n- 1

y así, para x > x0, xn - 1 n Por lo tanto, lím x - 1 x ----+ oo

::;; E

J""' cj>(t) dt = O, y en consecuencia J"" cj>(t) dt = o( 1 x n X

X

/

-

1 ). •

462

Fórmulas asintóticas y equivalencia asintótica Si una función tiene una serie asintótica como se acaba de describir, entonces las sumas parciales de esa serie pueden ser usadas para obtener aproximaciones a la función para z grande. Sin embargo, el rango de aplicabilidad de este método es un poco restringido. Si/tiene la serie asintótica f(z) - S(z) = a0 +

al

--

z

+

a2

--

z2

+

·

·

·

entonces f(z) - a0 = o( 1 ); esto es, lím f(x) = a0 y por lo tanto, ftiene un límite finito X � "'

en infinito, en el sector especificado. Esto es demasiado restrictivo. Nosotros esta­ mos interesados comúnmente en funciones que crecen conforme x crece. Los dos ejemplos mencionados al inicio de esta sección, r(z) y 1t(z) ciertamente hacen eso. Así, también escribiremos

(

f(z) - g(z) a0 +

a1 --

z

+

a2

--

z2

+

·

·

que quiere decir

[

f(z) = g(z) a0 +

a1 --

z

+

·

·

•

+

a

n +o zn

--

·

)

( )] 1

--

zn

En otras palabras, si g(z) #= O, entonces f(z) --

g(z)

- ao +

a1 --

z

+

a2

--

z2

+ . . .

la esperanza es que, al menos en algún sentido, g(z) sea una función más fácil de manejar para x grande que lo que fes. Incorporando al factor a0 en g, tenemos f(z) - g(z)

(

bl b 1 + -+ 2 z

--

z2

+

·

·

.

)

A menudo estaremos interesados principalmente en obtener el primer término. Éste proporcionará una función g(z) con f(z) = g(z) [ l + 0(1/z)], o un poco más ge­ neralmente, f(z) = g(z) [ 1 + o( l )] . En este caso decimos que f y g son asintótica­ mente equivalentes.

Dos funciones f(z) y g(z) son asintóticamente f(z) = g(z) [ l + o(l ) ] . En este caso escribimos f(z) - g(z).

Definición 7.2.4.

equivalentes

si

Observe que si g(z) #=0, esto dice quef(z)lg(z) - 1 = o( l ), así que lím [f(z)lg(z)] Z � ""

= 1 en el sector especificado. La expresión g(z) está pensada en cómo dar una fórmula

463

7.2. EXPANSIONES ASI NTÓTICAS

asintótica paraf(z). Es en este sentido que son interpretados la fórmula de Stirling y el teorema de los n úmeros primos. El próposito de todo esto es usar a g(z) para aproximar f(z) para z grande. Pero se requiere cuidado. La aproximación

no

necesariamente mejora conforme z �

oo

en el sentido que lo hemos estado usando hasta aquí en este texto. Esto es, el valor absoluto del error 1:1f = g(z) - f(z) no necesariamente se reduce. En vez de esto es el

error relativo o error porcentual, el

error expresado como la fracc ión del valor

verdadero, el que tiene que reducirse. El error relativo es 1:1 f --

=

g(z) - f(z) -----

f

f(z)

=

g(z) --

-

J(z)

1

y esto se va a O conforme z se va a infi nito en el sector específico, ya que es El siguiente ejemplo simple puede aclarar esto. Sea f(z) f(z)

-

ez;

esto es, g(z)

=

ez

=

o( 1 ).

zé/( 1 + z). Entonces

es una fórmula asintótica para .f. El error asintótico en

el que se incurre al usar g(z) para aproximar f(z) es IJ.f = eZ -f(z)

=

eZf( 1

+ z). Este

error se va a infinito conforme z crece a lo l argo del eje real positivo, el error absoluto expresado como una fracción del valor verdadero, es IJ.f --

=

!

eZ ---

1 +z

1 +z

1

zeZ

z

--- = -

el cual se va a O conforme z crece. Es también importante observar que la fórmula asintótica no es única. La mis­ m a función puede tener dos fórmulas asintóticas de diferente aspecto aun cuando la razón de las dos tiende a 1 conforme z crece en el sector especificado. Algunas de las funciones que uno desea estudiar surgen de, o pueden ser con­ vertidas en, i ntegrales de la forma f(z)

=

J

Y

ezhg(�) d�

La función r misma es

En la siguiente sección seguiremos esta idea para obtener la fórmula de Stirling a partir de uno de los resultados del final de esta sección. El plan de ataque general es encontrar un punto

to sobre

la curva tal que el factor

ahí pero resulte muy pequeño lejos de

to a

ezh(�)

sea bastante grande

lo largo de la curva, para z grande. La

mayor contribución de la integral vendrá de la parte de l a curva cerca de

to y po­

dríamos estimarla en términos del comportamiento de h y g cerca de

Primero

to·

volveremos nuestra atención a algunos casos en los cuales h sea lo suficientemente simple para que podamos obtener todos los términos de las series.

464

La transformada de Laplace La transformada de Laplace es una construcción muy parecida a la transforma­ da de Fourier que vimos anteriormente. Siempre y cuando la integral tenga sentido, la transformada de Laplace de una función g definida en el eje real positivo es

g(z) =

J: e-ztg(t) dt

Dedicaremos considerable atención a esta construcción y a algunas de sus aplicaciones en el capítulo 8. Aquí veremos cómo las series asi ntóticas pueden arrojar alguna luz en el comportamiento de g(z) para z grande. Proposición 7.2.5. Suponga

que g es analítica en una región que contiene al eje real positivo y acotada en el eje real positivo. Sea � a0 z0 la serie de Taylor para g centrada en O y sea g(z)

=

00

n=o

J; e-zt g(t) dt. Entonces

conforme z � oo, arg z = O. Demostración. Sea h(z)

= [g(z) - (a0 + a 1 z +

•

•

•

+ an 1 z n - 1 )]/zn. Entonces h _

es acotada en el eje real positivo porque, primero, g es acotada, segundo, el término polinomial en el numerador tiene grado menor que n y tercero, el límite conforme z tiende a O es an . Así, existe una constante M con para toda t � O y, por lo tanto, para z real ,

J:

e-zt[g(t) - (a0 + a 1 t +

g(z) -nÍ,l ak k=O

•

i"" O

•

•

+

an _ , t n - I )] dt

e -z trk dt

::;;;

M

i

"'

::;;;

M

L"'

e -ztt n dt

zt n d 0 e- t t

Haciendo x = z t, obtenemos

-1

g(z) - nL ak k =o

---

r(n + 1 ) r(k + l ) ::;;; M zn + 1 zk + 1

que es exactamente lo que queríamos. •

=

_ M _n_!_ = 0 zn + 1

(-) l zn

7.2. EXPANSIONES ASINTÓTICAS

La suposición de analiticidad para la función

465

g, embona adecuadamente dentro

del tema de este texto y hace posible que la demostración que

se

acaba de dar sea

tan simple. Vale la pena observar, y es importante para muchas aplicaciones, que el mismo resultado se satisface con suposiciones ligeramente diferentes sobre analiticidad no es tan esencial como el que

g sea infinitamente diferenciable.

g.

La

Proposición 7.2.6. Suponga que g es infinitamente diferenciable en el eje real po­ sitivo y que g y cada una de sus derivadas son de orden exponencial. Esto es, existen constantes An y B n tales que l g(n) (t)l :::;; AneBnt para t � O. Sea g(z) = e-ztg(t) dt. Entonces

J�

g(O)

g' (O)

g (z) - -- +

_

z2

z

conforme

z � oo , arg z

=

Demostración. Fij e

+

g' ' (O)

z3

+

•

.

•

+

g(O)

zn + 1

+

•

•

•

O. �

n

O y suponga z > máx(B0, B p · · . , Bn). Entonces, la repe­

tida integración por partes da

ya que

l e-zrg(1)1 :::;; AkeT, y este último término se va a O conforme T crece.

Por lo tanto,

z l�z)l - Sn (z)l :::;; n

y esto se va a O conforme El segundo resultado

z

i"" o

le -ztg(t)ldt :::;;

f"" o

A ne

así que f(z) como se quería. •

1

---- _ --;=::::�=-::::;-

.J2ii fZ.J- h" ( �o> e z h

+

•

.

·)

4 72

CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS

Observe que para obtener los términos de orden mayor en la expansión

(

A1 A2 + · . . 1 + -- + -z2 z

)

(2)

uno debe poder calcular más términos de la serie l; = � + a 1 w + a w 2 + · · · en la 2 demostración precedente. En casos simples, estos términos de orden mayor pueden ser evaluados explícitamente; véase el teorema de Watson (7.2.7). No se darán aquí los detalles del método para obtener términos de orden mayor, porque estos términos se necesitan únicamente en cálculos muy refinados. El término principal que se dio en el teorema del descenso más pronunciado, es el importante. Las aplicaciones de este teorema, que se dan en la siguiente sección, tratan principalmente con el caso en el que z es real y positivo. Claramente, en ese caso, las condiciones (iii) y (iv) del teorema pueden ser escritas equivalentemente con o sin l a z. Una demostración similar a la dada anteriormente conduce a lo siguiente. (Véase el ejercicio 8.)

7.2.9. Si se satisfacen las condiciones del teorema del descenso más pronunciado (7.2.8), pero f tiene la for­ ma f(z) = ezh(/;;)g(l;) dl; donde g(l;) es una función continua y acotada sobre y, con g(� ) -:;6 O. Entonces

Teorema generalizado del descenso más pronunciado

[1

f(z) -

ezh(�\f21i g(l;0)

fZJ-h"(�)

Método de la fase estacionaria Si el exponente del integrando del teorema 7 .2.8 es puramente imaginario, pode­ mos obtener un resultado relacionado conocido como el método de la frase estacio­ naria. Este método fue desarrollado en parte por Lord Kelvin en 1 887 y se aplicará al estudio de las funciones de Bessel en la siguiente sección. Teorema de la fase estacionaria

7.2.10. Sea [a, b] un intervalo acotado en el eje real. Sea h(t) analítica en una vecindad de [a, b] y real para todo real t. Sea g(t) una función de valores reales o complejos en [a, b] con derivada continua. Suponga f(z)

=

J:

eizh(Og(t) dt

Si h ' (t) = O en exactamente un punto lo en ]a, b[ y h"(lo) forme z � oo en el eje real positivo, tenemos

-:;6

O, entonces, con­

7.2.

Se utiliza el signo más si h " (1Q)

>Oy

EXPANSI ON E S A S INTÓTICAS

se usa el signo menos si h " (t0) <

473

O.

La fórmula asintótica para j se puede escribir como l ím

,fZe-izh(t0)

z -> + ""

fb a

e izh(t)g(t) dt =

,j21te±1til4g(tO) J +h" (t0)

Esta fórmula también tiene sentido cuando g(t0) = O y lo estableceremos en esa forma. Observamos que al dividir a g en sus partes real e imagi naria, es suficien­ temente demostrar el teorema para g con valores reales. El nombre "fase estacionaria" viene de la interpretación de que el integrando es una cantidad complej a con amplitud (magnitud) g(t) y ángulo fase zh(t). La intui­ ción detrás de la fórmula es que la contribución principal de la integral debe venir de la vecindad de t0, donde el ángulo fase varía tan lentamente como es posible. Para ver por qué, piense a la integral en términos de sus partes real e imaginaria:

j(z)

=

J:

g(t) cos (zh(t)) dt + i

J:

g(t) sen (zh(t)) dt

Si z es muy grande, entonces zh(t) cambia muy rápidamente en las regiones donde h'(t) no es cero. Así, cos (zh(t)) y sen (zh(t)) oscilan rápidamente. La figura 7 .2.4 ilustra esto con h(t) = t2 para las gráficas de cos ( 10 r2) y cos (20 r2). Si g es del todo razonable, las oscilaciones resultantes de la i ntegral deben tender a cance­ larse excepto cerca de los puntos donde h' (t) = O. y

X

y

n

X

V Figura 7.2.4. Las gráficas de

a)

(a) y = cos (1 Ot2) y (b) y = cos (20t2).

b)

474

CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS

Podría también esperarse que los extremos del intervalo de integración contri­ buyeran, pero resulta que en el peor de los casos esta contribución es proporcional a 1/z y, por lo tanto, no interferirá con el resultado que esperamos demostrar: que la integral se comporta como 1 /JZ. Debemos ser capaces de estimar la integral, para z grande, usando únicamente una porción de la trayectoria cercana a t0• En este corto intervalo aproximamos en­ tonces a g(t) mediante la constante g(t0), y a h(t) mediante su aproximación de Taylor de segundo orden h(to) + [h"(t0 )/2](t - t0)2 , para obtener f(z) � eíz h(tJ g(to)

f

e iz h "(t0)(t- r0)2n dt

donde la integral es sobre algún intervalo pequeño centrado en to- Al cambiar va­ riables se produce f(z) =

eizh(to) g(t0)

nf

..¡z� h"(to)

2 e'x dx o

Ahora la integral es sobre algún intervalo de la forma [-AJZ: Ak]. Sabemos, de las integrales de Fresnel en 1 ejercicio resuelto 4.3. 17, que conforme z se va a infinito, _ esta integral converge a 1t/2( 1 + i) = .fitex•/4• Esto nos deja con exactamente el re­ sultado que queremos, con la obvia modificación para el caso en el que h"{t0) < O. Veremos algo de la aplicabilidad de esta fórmula en la siguiente sección, cuan­ do estudiemos las funciones de Bessel. Kelvin las usó para estudiar el modelo de las olas de la proa y la popa de un barco en movimiento. En cualquier aplicación particular, la amplitud g(t) usualmente se comporta bien, pero al volver a la de­ rivación intuitiva que se dio en la demostración es un poco engañoso. El primer paso requiere que la función g sea lo suficientemente suave para que cuando se multiplique por las rápidamente oscilantes cos(zh(t)) y sen (zh(t)), aporte algo para lo cual efectivamente la integral se cancele lejos de t0 y para lo cual cualquier can­ celación no sea efectiva cerca de t0. Esto no pasa si g en sí misma tiene muchas os­ cilaciones en muy altas frecuencias. La continuidad sola no es suficiente para pre­ venir esto, como se puede ver en el siguiente ejemplo.

�

Ejemplo 7.2. 1 1. Encuentre una función continua g para la cual sea falsa la con­ clusión del teorema de /ajase estacionaria (7.2. 10). 00

Solución. Sea cj>(t) = .I: (llk2) cos (k!'t). Esta serie converge uniforme y absoluk= l

tamente para t e R, ya que el k-ésimo término está dominado por l /k2. Así, el> es continua. Defina g(t) en el intervalo 1 = [- fiit, fiit] como g(t) = 2t cj>(t2) cuando t � O, y como g(t) = O cuando t < O, y considere la integral f(z)

=

f

I

e -iz r2 g(t) dt

Ésta satisface el modelo de (7.2. 10), con h(t) embargo, para un entero positivo n, tenemos

=

-t2 , t0 = O y h"(O) < O. Sin

475

f(n) = =

I f

1

e-intl

g(t) dt

21t

e-inx cjl(x)

21t -=L J(of = L -o

00

1

k= l

k2

k= 1

k2

00

1

dx

= Jf2iie-int2 cjl(t2)2t dt o =

e-inx

21t

o

f1t [00L -o

e-inx

1

k=l

k2

]

cos (k6x) dx

cos (t6x) dx

cos (nx) cos (k6x) dx - i

f

21t

o

sen (nx) cos (k6x) dx

=

]

Estas integrales son todas O excepto la primera, en el solo caso en que k 6 n y en el que es 1t . Asíf(k6) Ttlk 2• En otras palabras, para un entero positivo z. tenemos f(z) O a menos que z sea una sexta potencia, en cuyo caso f(z) 1t P JZ. Por lo tanto, ,jiJ(z) no permanece acotada y la condición del teorema 7.2. 1 0 no puede ser posible que se satisfaga. 'Y

=

=

=

En este ejemplo, la función g no es lo suficientemente suave para hacer que funcione el teorema 7.2. 10. Tiene demasiada influencia de sus componentes de alta frecuencia, y se necesita alguna condición para prevenir esto. El requerimiento de una primera derivada continua (en el sentido de una variable real), especificada en el teorema 7 .2. 1 O, es una de tales condiciones. Esto implica una propiedad que es formulada en términos de las oscilaciones de g y la cual es de central importancia en la teoría de i ntegración, llamada variación acotada. Algunas de las ideas acerca de esta propiedad y una demostración del teorema 7 .2.1 O se bosquejan en el suple­ mento de esta sección, el cual se puede considerar opcional.

SUPLEMENTO A LA SECCIÓN 7.2: VARIACIÓN ACOTADA Y LA DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE LA FASE ESTACIONARIA En el método de la fase estacionaria, vimos que necesitamos imponer algunas condiciones en la amplitud que limitarían Ja cantidad de oscilaciones de alta fre­ cuencia que pueda tener. Esta clase de cosas es a menudo necesitada en la teoría que involucra integrales; la noción de variación acotada provee las herramientas adecuadas para tratar con esta situación. Definición 7.2.12.

Suponga que f: [a, b]

� R.

t = b, entonces = t0 t1 n la variación de f en [a, b] relativa a P es V f = k;l lf(tk) - f(tk _ 1 ) 1 . P La variación total de f en [a, b] es V[a.blf = sup {V f) , donde la mínima cota superior se toma de todas las posibles particiorl'es. (Puede ser +oo.)

(i) Si P es una partición de [a, b] dada por a

(ii)

<

n

<

•

•

•

<

476

CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS (iii)

Si

V¡a, bJ f < oo, decimos que f es de variación acotada y escribimos f E

VA ([a, b]).

Algunos ejemplos importantes de tales funciones se incluyen en la siguiente: Proposición 7.2.13 (i)

Si f es monótona y acotada en [a, b], entonces f E lf(b) - f(a)l .

VA ( [a, b]) y

V[a,bl =

Si f es diferenciable en u n intervalo acotado [a, b ] y l f '(x)l < M para toda x E [a, b], entonces f E VA ( [a, b]) y f =:;; lb - aiM. (iii) Si f tiene una derivada continua en el intervalo acotado [a, b] -esto es, si 1 f E C ([a, b])- entonces f E VA ([a, b]). (ii)

V[a, bl

Demostración. El primer resultado es inmediato, ya que las diferencias sucesivas de punto a punto entre cualquier partición son todas del mismo signo y Jos valores en puntos intermedios se cancelan. Lo segundo se demuestra al aplicar el teorema del

valor medio a cada subintervalo de c ualquier partición y el tercero se sigue ya que sif' es continua en el intervalo compacto [a ,

b], entonces es acotada. •

Es posible para una función continua el no tener variación acotada. En [- 1 , 1 ] hágase f(O) = O y f(x) nemos lf( l/n1t)

-

= x cos( l lx) para x # O. (Véase la figura 7 .2.5 .). Entonces te­

/( 1/(n

+ 1 )1t)l

= (2n + 1 )/n (n + 1 )1t > 1 /n1t. Ya que las series

armónicas divergen, se pueden crear particiones usando estos puntos que dan una variación arbitrariamente grande. y

\

Figura 7.2.5. La función continua x cos ( 1 /x) tiene variación no acotada . Algunas de las propiedades importantes de las funciones de variación acotada se ennumeran en la siguiente proposición. Proposición 7.2.14. Supo.nga que f E VA ( [a,b]). (i) (ii)

Si [e, d]

entonces f E VA ([e, d]) y =:;; si a < e < b. x f es una función creciente acotada en [a, b], con (Vf)(a)

C [a, b],

V¡a, c] f + V¡c, b]f = V¡a, bj Í Y¡a, J o y (Vf) (b) = v[a. b l

(iii) (Vf)(x) =

V[c, dl V¡a, b{

=

SUPLEMENTO A LA SECCIÓN 7 . 2

477

(iv) Si a :::;;;; x :::;;;; y :::;;;; b, entonces (Vf)(y) - (Vf)(x) = V[x, Y l (v) f es la diferencia de dos funciones crecientes acotádas: f = f1 f2, con f1 = (Vf + f)/2 y f2 = (Vf - f)/2. -

Demostración. La primera afirmación se sigue de que cualquier partición de

[e, d] puede ser extendida con los intervalos [a, e] y [d, b] para obtener una parti­ ción de [a, b] , proporcionando un candidato más grande para V[a, bJ f Para la segunda, únanse particiones de [a, e] y [e, b] para obtener una partición de [a, b] y muestre que V[a cJf + V[c bJ ¡:::;;; V[a bJf Para la desigualdad opuesta, sea a = t0 < t1 < < tn = b , , ,

•

n

cualquier partición de [a, b], con l: lf(tk) -f( tk _ 1 )1 -1 ke :::;;;; tN 1 • Entonces

>

+

v[a, b]f < <

N

N+ 1

o

N

·

•

V[a' bJ - E . Tómese N con tN :::;;;;

:r. lf(tk) -f(tk - l ) l + L lf( tk) -f( tk - l ) I + E N

n

:r. lf( tk) -f(tk - 1 )1 + lf(c) -f(tN)I + lf(tN + 1 ) - /(c)l + L lf(tk) -f(tk _ 1 )1 + E N+2

o

Ya que esto se satisface para cualquier E � O, tenemos l a desigualdad deseada. La tercera afirmación es clara y la cuarta se sigue de ésta y de la segunda. Para la úl­ tima afirmación, use (iv) para mostrar que las funciones indicadas son crecientes.•

La última propiedad será la que se utilice directamente en la demostración del teorema 7.2. 1 0. La herramienta mediante la cual l a usaremos, será el segundo teo­ rema del valor medio para integrales. Segundo teorema del valor medio para integrales 7.2.15.

ciente en [a, b] y g es integ rable, entonces existe un punto e

fb

f(t)g(t) dt = f(a )

a

Demostración.

fe

g(t) dt + f(b)

a

Sea F(x) = f(a)

Entonces F(a ) = f(b)

f(a )

J:

g(t) dt + f(b )

J: g(t) dt y F(b) = f(a) J:

J:

g(t) dt :::;;;;

J:

J:

fb e

Si f es acotada y cre­ en [a, b] tal que

g(t) dt

g(t) dt

g( t) dt y

f( t)g(t) dt :::;;; j(b)

J:

g(t) dt

Puesto que F es continua en [a, b], la conclusión se sigue del teorema del valor intermedio.•

478

CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS También necesitamos las siguientes estimaciones.

Lema 7.2.16. Si f es diferenciable en [a, b] y lf '( x) l � M para toda x en [a, b], entonces l f(y) - f(x ) l , I(Vf)(y) - (Vf)(x)l, l f1 (y) - f1 (x)l, y l f2(y) - fix)l son

acotadas superiormente, cada una de ellas, por Mly - xl.

Demostración. La primera conclusión se sigue del teorema del valor medio, y la segunda de la proposiciones 7.2. 1 3 (ii) y 7.2. 14(iv). Las últimas dos se siguen de la pri­ mera y de l a segunda, y las fórmulas para

/1

/2

y

dadas e n l a propo s i c i ó n

7.2 . 1 4(v) . ... El primer paso en la derivación intuitiva del teorema 7.2. 1 0 fue que las contri­ buciones a la integral de las partes del intervalo lej anas a

t0,

tienden a cancelarse y

pueden omitirse al compararlas con la contribución de intervalos cortos cercanos a

t0• El único punto crítico de h estaba en t0 y h' y h" eran continuas, así que lejos de t0, la derivada permanece alejada en O y podemos aplicar el siguiente lema. Suponga que h tiene una segunda derivada continua en [a, b¡, que h'(x) nunca es O en [a, b] y que g tiene una derivada continua en [a, b]. Entonces J: dzh(t) g(t) Lema 7.2.17. dt = 0( 1/z).

Demostración.

'lf(x) = g(x)lh'(x)

tiene una derivada continua en [a,

b]

y, por

lo tanto, tiene variación acotada y puede escribirse como la diferencia de dos

funciones crecientes, 'lf = '1ft - 'lf2• Entonces

Ib a

1

eízh(t>g(t) dt = Z

Ib Ib a

1 -Z

i 'lf1(t) cos (zh(t)) zh'(t) dt + -

a

Z

'lf2(t) cos

fb a

'lf 1 (t) sen (zh(t)) zh'(t) dt

b I .

(zh(t))zh'(t) dt - ' Z

a

'lf2(t) cos

(zh(t))zh'(t) dt

Cada una de estas integrales puede manejarse mediante el segundo teorema del

valor medio para integrales. La primera es típica. Existe u n punto x entre

J:

'lf 1 (t) cos (zh(t))zh'(t) dt =

'lf1{a)

+ 'lf 1 (b)

f

J:

a y b con

cos(zh(t))zh'(t) dt

b cos (zh(t)) zh'(t) dt

X

=

l'lf1(a)[sen

+ 'l'¡ (b)

(zh(x)) - sen (zh(c))]

[sen

:S 2l'lf1 (a)l

Las otras se tratan similarmente para obtener

(zh(b)) - sen (zh(x))] l

+ 2l'lf1 (b)l

479

J:

4 :5 -

eizh(t)g(t) dt

[ l'lf1 (a)l + l 'lf1 (b) l + l 'lf (a)l + l'lf (b)l] 2 2

z

como se necesitaba. T

7 .2. 1 O. Ya que t0 es el único punto crítico de h e n [a, b] , sabemos que para toda o > O, h ' (t) nunca es o e n [a, to - o] o en [to + o, bJ, y así, por el último lema, las integrales de e iz h(t) g(t) sobre cada uno son 0( 1/z) y, por lo tanto, o( l l >lz). Así, para establecer el teorema 7 .2. 1 O es suficiente mostrar que Ahora estamos listos para completar la demostración del teorema

l ím

z -> 00

donde J

.- •' h(1o ) ..Jze-

f

�21t e •.z h (1)g(t) dt = --;::::=;:=;::;::;::=;:- e :!:1t''/4g(t0) �-+- h" (to)

J

= [t0 - o, t0 + o] . Podemos fij ar o tan pequeña como queramos mientras z. En el transcurso de la demostración encontrare­

que s u elección no dependa de

mos condiciones para esa elección.

t0. Por el ej emplo resuelto 6.3.7 existe una función analítica w(t) tal que h(t) = h(t0) -+- [w(t)f para t cercana a t0 y w es localmente uno a uno. Podemos escoger w de tal manera que sea real y estric­ tamente creciente en J si se selecciona a o lo suficientemente pequeña. Éste es nuestro primer criterio para o. Escogemos el signo más si h" (to) > O y el signo menos si h"(t0) < O. Puesto que w(t0) = O y w es continua, w(t0 + o) = e y w(t0 - o) = d, donde e < O < d. El cambio de variables x = w(t) da Sabemos que h es analítica en una vecindad de

1 1 'lf(x) = g(w- (x))l(w- )'(x). La función 'lf tiene una derivada continua e n [e, d] . El punto x = O corresponde a t = t0, y h" (t0) = -+-2w(t0)w"(t0) -+- 2[w'(t0)]2. En­ 1 tonces, ( w- )'(O) = 1 /w'(t0) = � -+- h " (t0)/2. Puesto que V' es contin ua, 'lf tiene variación acotada y puede escribirse como la diferencia 'lf 1 - '1'2 de dos funciones crecientes. Sea E > O, puesto que e y d se van a O conforme o � O, podemos usar el lema 7 .2. 1 6 para seleccionar a o lo suficientemente pequeña de tal modo que las cantidades l 'lf1 (e) - '1' 1 (0)1, l'lf1 (d) - f 'l 1 (0)1, l'lfie) - '1'2(0)1, y l'lfid) - '1'2(0)1 sean donde

todas menores que

.Jze -izh (t0)

J

J

E.

Por lo tanto,

eizh(l)g(t) dt =

.Jz

J: J:

=

-

J:

e :!: izx2'1f(X) d.--e

cos(zx2) 'lf1 (x)

cos

..fZ dx -+-

(zx2)'1f (x) ..fZ dx + i 2

J: J:

i

sen

(zx2) 'lf1(x) ..fZ dx

sen

(zx2) 'lf (x) ..fZ dx 2

480

CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS

Como en la demostración del lema 7.2. 1 7, cada integral puede ser manejada mediante el segundo teorema del valor medio para integrales y la primera es típica. Existe un punto y entre e y d, con

Utili zando l as integrales de Fresnel del ej emplo resuel to 4 . 3 . 1 7 , éstas convergen conforme z se va a + oo. Puesto que e < O < d, el límite es '1'1 (d) �rt/2 si y < O, es '1'1 (e) �rt/2 si y > O y es H'l'1(e) + '!11 (d)]12 Un12 si y = O. Pero cada una de ellas está a una distancia e�7t/2 de '1'1 (0) �7t/2. Argumentos similares para las otras tres integrales muestran que toda la suma converge al límite que es

con un error no mayor que e� 7t/2 en cada término. Así, obtenemos un límite que no está a una distancia mayor que 2e {21tdel punto ['1' (0) - 'l'i0)] ( 1 + i) � 7t/2 = 1 '!1(0) Fe± ltil4 = � 21tg(t0)e ± ltíl4f � +h"(t0), justo como se deseaba. Esto completa la demostración del teormea 7 .2. 1 O. •

Ejemplos resueltos 7.2. 18. Suponga que f(z) y que

=

I(z) + J(z), que l(z)/J(z)

J(z) - g(z)

Muestre que f(z) - g(z)

=

0( 1/zM) para todo entero positivo M,

( -- -- ) ao +

a, z

+

a2 z2

+...

( -- -- ) a0 +

a, z

+

a2 z2

+···

Solución. Puesto que /(z)/J(z) = O( lfzM), sabemos que zMJ(z)IJ(z) permanece acota­ da y, por lo tanto, zM- 1/(z)/J(z) � O. Asf, /(z)/J(z) = cr(l/7!') para todo entero N ?. O. Existe una función B (z) tal que z NJ(z) = B (z)J(z) y B (z) � O conforme z � oo. N N N Calculemos ahora

l [ zN .

(z) f - SN(z) g(z)

]

�

+ zN

[-J(z)

g(z)

- SN(z)

]

SUPLEME NTO A LA SECCIÓN

7.2

481

El primer término se va a O, ya que BJ._z) � O y J(z)lg(z) � a0• El segundo término se va O puesto que J(z) - g(z)(a0 + a¡lz + a.Jz2 + • • • ) . Esto completa la demostración. 7.2. 1 9.

Sea h(�) = �2• �o = O. Encuentre una curva y que satisfaga las hipótesis del teorema del descenso más pronunciado. (En otras palabras, encuentre una trayectoria de descenso más pronunciado. ) Tome arg z = O, esto es, z es real, z > O.

Sea h(�) = u + iv, así que si � = � + i11 , u = �2 - 112 y v = 2�. La discusión que sigue al teorema de descenso más pronunciado, indica que la trayectoria de descenso más pronunciado está definida por v = constante (puesto que en nuestro caso z es real, z > 0). En consecuencia, la línea de descenso más pronunciado a través de � = O es � = O o 11 = O. Ya que u debe tener un máximo en � = O, la curva y está definida por � = O.

Solución.

7 .2.2 0.

f_�

Demuestre que f(z)

=

z � oc; arg z

conforme Solución.

� 21t ---

e-zy2n cos y dy

.JZ

= O.

1 1 1 - -- + --( 2z

Aplicamos el teorema de Watson. Aquí

yt

y2

cos y = 1 - -- + -- - · · · 5! 2!

Por lo tanto, a0 =

y entonces

1

-1

1 , a = --, a4 = 2 2!

,

--

4!

1 3 4!z2 •

• •

• ·•

·)

=

�

(

1-

:z

+

� z-2 --=2� 2

-• •

·)

Ejercicios l. Muestre que s i f(z)

bg(z) = O(h(z)).

= O(h(z)), g(z) = O(h(z)), y a y b son constantes, entonces af(z) +

2. Muestre que la equivalencia asintótica es una relación de equivalencia, en el sentido de que se satisfacen las siguientes tres propiedades:

a) Reflexiva: f f b) Simétrica: S i f - g, entonces g - f e) Transitiva: Sif- g y g - h, entonces/ - h. -

3.

Si f(x)

- alx2 + a/x3 + · g(x) =

· · para x E [0, oo[, muestre que

foo

f(t) dt -

X

a

2

--

X

+

a

3

--

2x2

+

a4 3x3

--

+

•

• •

482

CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS 4. Seaf(x)

=

J; e-1/t dt. Use integración por partes para mostrar que f(x)

5. Muestre que

f(x) =

_

(

1 e -x _ x

2 · _ 1 _ + _1__

_ _

x2

x3

foo --- - -- -e -xt

o

dt -

1 + t2

1

x

-

2!

x3

+

4! -· · · x5

g(z) analítica en Zo y sean g'(zo) = O y g" (¡o) =F O, de tal manera que cerca de Zo• g(z) - g(Zo) = [w(z)] 2 con w analítica, w' (Zo) =F O. Demuestre que existen exactamente dos curvas perpendiculares sobre las cuales Re g (respectivamente, Im g) son constantes a través de Zo· (Recuerde que la proposición 1.5. 1 2 muestra que si f '(zo) =F O, Re ftiene exactamente una curva de nivel a través de Zo·) Muestre también que las líneas de Re g e Im g constantes se intersecan a 45°. a) (Véase el ejercicio 2 1 , sección 7. 1.) Muestre que si z > O, entonces, para enteros k 2: O,

6. Sea

7.

f

00

-oo

y

e -zy212y2k dy = V1 2 1t

J_:

- -:---:-=:--

1 • 3 • 5 • • • ( 2 k- 1 ) zk + 1/2 -

-

e-zy212y 2k + 1 dy = 0

b) Muestre que para enteros m 2: O,

foc -oo

2

e-Y 12y2m dy =.[1f

y

8. Sea

hn(t)

=

1 • 3 • 5 • • • ( 2 m- l ) 2m

=

( 2 m) ! ,j1t m!22 m

n ..¡ne- il. El área bajo la gráfica de hn(t) es ,fit y para toda E > O, hn(t)

� O uniformemente fuera de ]- E, E[. Tal sucesión es llamada una sucesión aproximante a o. Véase la figura 7. 2 .6.

J:: g(t)hn(t) dt L"' g(t)hn(t) dt

a) Muestre que si g(t) es continua y O < N < oo, entonces conformen � oo. b) Muestre que si g(t) es continua y acotada, entonces conformen � oc.

"'

� �

g(O)['if g(O) [1t

9. La expansión

fue discutida en· el ejemplo 7. 2. 2. Calcule Sil O) y S5( 1 0) numéricamente y encuentre una cota superior para los errores respectivos. Discuta cómo cambian los errores en Sn(x) conformen y x crecen. Por ejemplo, para una x dada, ¿se reducen los errores si to­ mamosn muy grande?

483

y

Figura. 7.2.6. Sucesión aproximante a B. 10. Bosquej e la demostración del teorema generalizado del descenso más pronunciado (7.2.9) usando el ejercicio 8. 11. Encuentre una expansión asintótica para

/(z)

=

f_�

e-•Y212 sen y2

dy

(Asuma que z --+ oo, z > 0.) 12. Muestre que si j(z) = O(cp(z)) y g(z) = o(h(z)), entoncesj(z)g(z) = o(!p(z)h(z)). 13. Encuentre la trayectoria del descenso más pronunciado a través de t0 = O si h(t)

14.

(Tome z real, z > 0.) Demuestre que

mostrando que

J

e

e-Y2

dy ,[n. donde C es =

f1

f

e

e-y2

dy

=

f

oo

la línea a 45°, z

-oo

e-y2

=

t +

it con

- oo

=

cos

< t <

t. oo

dy

(Sugerencia. Muestre que e-1;2 d� --+ O conforme x --+ que une a x con x + ix o use bl ejemplo resuelto 4.3. 1 7 .)

oo,

donde 'Yx es la línea vertical

15. Repita el ejercicio 13 pero bajo la suposición que z está en el eje i maginario positivo . 16. Muestre que el primer término en el teorema de Watson puede ser obtenido como un caso 17.

especial del teorema generalizado del descenso más pronunciado, si g ;:: O en el eje real. Encuentre la fórmula asintótica para j cuando la trayectoria encontrada en el ejercicio

1 3 es usada en el teorema del descenso más pronunciado.

18. Use

el teorema del descenso más pronunciado para obtener la fórmula asintótica para /

usando la trayectoria y que se obtuvo en el ejemplo resuelto 7 .2. 1 9.

19. Encuentre la fórmula asintótica para/ cuando la trayectoria y encontrada en el ejercicio 1 5 es uti lizada en el teorema del descenso más pronunciado.

7.3. LA FÓRMULA DE STIRLING Y LAS FUNCIONES DE BESSEL En esta sección se aplicará la fórmula del descenso más pronunciado para de­

r(z). Se desarrollarán también Bessel Jiz), que están definidas

mostrar la fórmula de Stirling para la función gama algunas de las propiedades de las funciones de

484

CAP. 7. MÉTODOS ASI NTÓTICOS

para n = . . . , -1, O 1 , . . . , y se usará el método de la fase estacionaria para obtener una fórmula asintótica para estas funciones. Fórmula de Stirling

Fórmula de Stirling 7.3.1

(1) conforme z �

oo

en el eje real positivo.

Observación. Una extensión de la demostración dada aquí muestra que este re­ sultado también se satisface para -x/2 + o ::;; arg z ::;; rc/2 o, para toda o > O (véase la figura 7.3.1). -

Figura 7.3.1 . La reg ión de val idez para la fórmula de Sti rli ng.

Demostración. Recuerde, de

la fórmula 12 en la tabla 7 . 1 .1, que para Re z > O,

tenemos la integral de Euler r(z)

=

f:

e-t�z - l dt

Hemos estado preocupados en el caso en el que z es real y positivo. Queremos reescribir la integral de tal manera que se pueda aplicar el teorema del descenso más pronunciado (7.2.8). Para hacer esto, hacemos el cambio de variable t = z't. Obtenemos

7.3. LA FÓRMULA DE STIRLING

485

Así, r(z + 1 )/zZ + 1 tiene la forma

fr

e z hoo

f:� e-'Y212 cos y2 dy (conforme z � oo, z > 0). Demuestre que x nJn(x) = fo t nJn _ 1 (t) dt, n = 1, 2, . . .

13. Obtenga una expansión asintótica para 14.

15. Demuestre que Jn(iy) - i"eYN 2ny (conforme y � oo, y > 0).

EJERCICIOS D E REPASO DEl CAPÍTULO 7 16. En este ejerc i c i o se le pide desarrollar algunas propiedades de las

Legendre (véase el ejercicio de repaso 34, capítulo 3).

493

funciones de

Estas fu nciones se encuentran en

el estudio de las ecuaciones diferenciales (específicamente en la ecuación de Laplace en tres dimensiones, la cual describe una amplia gama de fenómenos físicos), cuando se utilizan coordenadas esféricas. 2

a)

Para -1 <

x < 1 , hágase P,(x) =

----

2n + 11ti

J

dt

y

donde y es el contorno que se muestra en la figura 7.R. l . A l d i ferenciar bajo el signo de la integral (véase el ejemplo resuelto 2.4. 1 5), muestre que P,(x) resuelve la

ecuación de Legendre: (l

-

x2)y" -2xy' + n(n

1 )y = O

1

X

-1

+

y

Figura 7.R.1 . El contorno para la fu nción de Legendre.

b)

e)

Para un entero

n, deduzca lafórmula de Rodrígues:

Esta fórmula da una extensión analítica obvia de Muestre que

P (x) = n

Pn(z).

dn 1 -n ! dtn (t2 - 2tx + 1 )112 1

--

------

t=O

y deduzca del teorema de Taylor que

d)

Desarrolle relaciones de recurrencia para los coeficientes de las soluciones de la ecuación de Legendre. Luego use estas relaciones para mostrar que las soluciones enteras deben ser de la forma

2

Consulte, por ejemplo, G.F.D. Duff y D. Naylor,

Nueva York, Wiley, I965.

Dijferential Equations of Applied Mathematics,

494

'JI(x) o de l a forma

p(x)

00

=

L a�2k,

lc = O 00

=

k L bkx2 + 1 , k=O

n par

n impar

ak y bk se anulan para k

Muestre que éstos son en realidad polinomios, esto es, que grande.

e) Utilice e) para mostrar que nP,(x) = (2n - 1 )xP, _ 1 (x) - (n f) Demuestre que P0(x) = l , P1(x) = x, Pix) = (3x2 - 1)/2. g) Muestre que

1 )P, _ 2(x).

n ,., m n =m (Sugerencia: utilice

17.

b) para demostrar el caso en el que n

mostrar el caso en el que n

Obtenga la fórmula asintótica parte b) del ejercicio

1 6.

= m.)

P,(z)

-

""' m; utilice e) para de­

[ (2n)!/2"(n!Plz" conforme z

�

oo,

usando la

La transformada de Laplace y aplicaciones Este capítulo final da una introducción a la transformada de Laplace y a algunas de sus aplicaciones. La primera sección introduce dos propiedades claves que hacen a la transformada de Laplace útil para las ecuaciones diferenciales: Primero, ésta se comporta bien con respecto de la diferenciación, y segundo, se puede recuperar una función si se conoce su transformada de Laplace. La cercanamente relacionada trans­ formada de Fourier también disfruta de estas propiedades. Esto se discutió en la sección 4.3; véase también el complemento a la sección

8.3. 8.2 se desarrollan técnicas para invertir la transformada de La­ place; en la sección 8.3 se consideran algunas aplicaciones de la transformada de En la sección

Laplace a las ecuaciones diferenciales ordinarias.

8.1. PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS

TRANSFORMADAS DE LAPLACE La transformada de Laplace es una poderosa herramienta que es utilizada tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Es importante, por lo tanto, tener una buena comprensión tanto de su teoría básica como de su utilidad. Considere una función (de valores reales o complejos)f(t) definida en

j

] O, oo[. La transformada de

Laplace def como la función de una variable compleja z dada por

(1)

!estará bien definida para aquellas C para las cuales la integral converja. Otras notaciones comunes para l una son ;;E (f) o simplemente F. z E

495

496

CAP.

8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Por razones técnicas, será conveniente imponer una leve restricción a las fun­ ciones que consideremos. Vamos a querer que f: [O. oo[ � e (o R) sea de orden exponencial. Esto significa que debe haber constantes A > O, B R. tales que

E

lf(t)l :::;; AetB

(2}

para t � O. En otras palabras,f no debe crecer demasiado rápido; por ejemplo, cual­ quier polinomio satisface esta condición (¿por qué?). Se supondrá que todas las funciones en el resto de este capítulo son de orden exponencial. También se supon­ drá que en cualquier i ntervalo finito [O. a], f es acotada e i ntegrable. (Si, por ejemplo, suponemos que jes continua a trozos. esta última condición se satisface.)

Abscisa de convergencia El primer resultado importante concierne a la naturaleza del conjunto en el

cual f (z) está definida y es analítica.

Teorema de convergencia para las transformadas de Laplace 8.1 . 1 . Sea f:

[0, oo[ � e (o R) de orden exponencial y sea f(z) =

J:

e-zt f(t) dt

{

Existe un único número a,-oo :::;; a < oo, tal que

ooI O

e-ztf(t) dt

converge si Re z > a diverge si Re z < a

[

Más aún, fes analitica en el conjunto A = z IRe z d - f(z) = dz

fooo

para Re z > a. El número a es llamado al número p como p = inf

{B E

(3)

>

a y tenemos

j

(4)

te-21f(t) dt

la

abscisa de convergencia, y si definimos

Rl existe una A > O tal que l f(t}l :::;; Ae81

J

(5)

entonces a :::;; p. El conjunto

{z ! Re z > a } es llamado el semiplano de convergencia. (Si a =

-oo, éste es todo C.) Véase la figura 8. 1 . 1 . En general, es difíci l decir cuando j(z) convergerá en la línea vertical Re z = a.

8. 1 .

PROPIEDADES BÁSICAS

497

La demostración de este teorema y resultados de convergencia más detallados, se dan en el suplemento al final de esta sección. para o p(f) para p. Si hay algún peligro de confusión, podemos escribir Una manera conveniente de calcu lar se describe en los ejemplos resueltos

cr(f)

cr(j)

cr

8. 1 . 1 2 y 8. 1 . 1 3 . El mapeo ¡ .- f es claramente lineal en el sentido de que (af +bg)­

al+ bg, válido para Re z > máx [cr(j), cr(g)]. Es también cierto que el mapeo es uno a uno; esto es, j g implica que f g; una función (z) es la transformada de =

=

=

Laplace de a lo más una función. De manera precisa: y

]diverge

1

!converge

Figura 8.1 . 1 . Semíplano de convergencia de l a transformada de laplace. Teorema de unicidad para las transformadas de Laplace

8.1.2. Suponga que f

f(z) h(z) para Re z > y0, para alguna y0. Entonces, f(t) [0, oo[.

h son continuas y que h(t) para toda t e

y

=

=

Este teorema no es tan simple como parece. No hay suficiente maquinaria para dar una demostración completa, pero al final de esta sección se dan las ideas prin­ cipales de una demostración. Usando las ideas de la teoría de integración, podemos extender el resultado del teorema de unicidad a funciones discontinuas también, pero tendríamos que modificar lo que queremos decir con "igualdad de funciones". Por ejemplo, si f(t) cambia en un solo valor de t, f no cambia. El teorema de unicidad nos permite dar una respuesta significativa al proble-

g

j g",

ma, "Dada (z), encontrarf(t) tal que = porque resulta claro que puede haber a lo más una de tales f (continua). Llamaremos a f la transformada de Laplace inversa de g: en la siguiente sección se consideran los métodos para encontrar a f cuando está dada.

g

Transformadas de Laplace de derivadas La

principal utilidad de la transformada de Laplace es que nos permite trans­ formar problemas diferenciales en problemas algebraicos. Cuando estos últimos han sido resueltos, las respuestas a los problemas originales se obtienen usando la transformada de Laplace inversa. El procedimiento se basa en el siguiente teorema.

498

CAP.

8.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Proposición 8.1.3. Sea f(t) continua en [0, oo[ y C1 a trozos, esto es, continuamente diferenciable a trozos. Entonces, para Re z > p (como se definió en el teorema de convergencia (8. 1 . 1 )) ,

( )

-

df

dt

(z) = zf(z) - f(O)

(6)

Demostración. Por definición,

( ) f

df d f (z) = "' e-zt (t) dt dt dt o

Integrando por partes, obtenemos

lím

fo ---> co

(

e-zt f(t)

10

O

) f"' +

O

ze -ztf(t) dt

Por la definición de p, Je-81•· j(t0)1 :5 A para alguna B < Re z. Así, obtener le-z1• j(t0)1 = le- máx [0, p{t)],

(8)

Los teoremas de traslación y de convolución En la tabla 8 . 1 . 1 , al final de esta sección, se enlistan algunas fórmulas que son

útiles para calcular j(z). Las demostraciones de estas fórmulas son directas y están .

8.1 . PROPIEDADES BÁSICAS

499

incluidas en los ejercicios y ejemplos. Sin embargo, tres de estas fórmulas son lo suficientemente importantes para que se dé una explicación por separado, lo cual se hace en los siguientes tres teoremas. Primer teorema de traslación 8.1.5. Fije a para Re z > a(f) - Re a, tenemos

e

E

y sea g(t)

=

e-at f(t). Entonces,

(9) Demostración. Por definición

lo cual es válido si Re (z + a)> a.• Segundo teorema de traslación 8.1.6. Sea

H(t)

si t < O =

{:

si t 2: O

(Ésta es llamada lafunción de saho unitario o de Heaviside.) También, sean a � O y g(t) = f(t - a)H(t - a); esto es

g(t)

=

si t < a

{o

f(t - a)

si t 2: a

(véase la figura 8. 1 . 1 2). Entonces, para Re z > O, existe una t0 tal que t" t2 � t0 Demostración.

Sea h(x) = J-�e-zi f(t) dt-Jo e-zif(t) dt, de tal manera que

implica que

para toda z e S9. Se sigue que f� e-Zif(t)dt converge uniformemente en S9 conforme

x ---?

oo, por el criterio de Cauchy. Haremos uso de la función Escobase

h(x)

como sigue.

Si integramos por partes, obtenemos (como el estudiante puede fácilmente ve­ rificar)

Dada e > O, escójase Entonces, para t2 > t0,

ya que

t0 tal que lh(t)l

<

e/3 y

lh(t)l

<

e'= e/(6 sec

9) si t � t0•

le-t,¡ = e- Re z0• Similarmente, para t1 > t0• le- < sec e

Figura 8.1.5. Algo de geometría

en la región

59•

Combinando las desigualdades precedentes, obtenemos

si

t1 , t2 ;::: t0 para toda z

E

Se, completando así la demostración del lema....

Demostración del teorema de convergencia. Sea a = inf E R 1 e-xr converge , donde inf quiere decir "la máxima cota inferior". Notamos, del lema

)

[x

f

f0"'

j(t) dt

8. 1 .8, que si converge, entonces, más específicamente ftz) converge si Re Re Zo· puesto que z está en alguna Se para Zo (¿por qué?).

z>

z > a. Por la definición de a, existe una x0 < Re tal que J;e-x.r¡(t) dt converge. Por lo tanto, f cr, así como lo harán todas las derivadas literadas. Resta mostrar que cr � p. Para demostrar esto únicamente necesitamos demos­ trar que cr � B si lf(t) l �Ae81• Esto se cumplirá, por lo que hemos demostrado, si flz) converge siempre que Re z > B. En efecto, vamos a demostrar la convergencia ab­ soluta. Observe que le-Zfj(t)l = le- y0,

El lema crucial que usamos para demostrarla es el siguiente. Lema 8.1. 10. Sea

O,

f continua en [0, 1 , 2, . . . Entonces f = O.

1] y suponga que n tDf(t) dt = o para toda n =

8 . 1 . PROP I E DA DES BÁSICAS

Esta afirmación es razonable ya que se sigue que quier polinomio P.

505

f� P(t)f( t) dt = O para cual­

La demostración precisa depende del teorema de aproxima­ ción de Weierstrass, el cual establece que cualquier función conti nua es el límite uniforme de pol i nom ios; véase, por ejemplo, J. Marsden, Elementa ry Classical Analysis, Nueva York, W.H. Freeman and Company, 1 974, cap. 5. Por este teore­ ma, obtenemos que ff.g(t)f(t) dt = O para cualquier g continua. El resultado se sigue Demostración.

al tomar g = f Yo aplicar el hecho de que si la integral de una función continua no negativa es cero entonces la función es cero. T Demostración del teorema

flz) =

8.1.9. S uponga q ue

J: e-zr¡(t) dt = O

siempre que Re z > a. Fije x0 > y0 real y hágase s = e-t. Al cambiar variables para expresar a las integrales en términos de s, obtenemos, en z = x0 + n para n = O, 1 , 2, . . . , n

donde h(s)

= e -V +'J(t). Así, por el

= O, 1 , 2, . . .

lema 8. 1 . 1 0, h y, en consecuencia/, es cero.•

Observación. Es útil notar que flz) � O conforme Re z � oo. Esto se sigue de los argumentos utilizados para demostrar el teorema 8 . 1 . 1 (véase el ejercicio de repaso 10) . Tabla

8.1.1. Algunas transformadas de Laplace comunes.

J:

Definición: f- (z) = l g(z) . donde (/ •

*

g)(t) =

I:

�

(t)

O�t 1t o 7. f(t) = t sen at 8. f(t) = t senh at

508

CAP. 8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 9. f(t) = t cos at

10. Utilice los teoremas de traslación para mostrar lo siguiente:

a) Si f(t) =e-at cos bt, entonces z +a f(z) = (z + a)2 + b2 b) Si f(t) =e-atrn, entonces

flz) = r(n + 1 )

(z + a)n +l

¿A qué es igual cr(f) en cada caso? 1 1. 12. 13. 14. 15.

Demuestre la fórmula 1 O de la tabla 8. 1 . 1 Demuestre la fórmula 1 1 de la tabla 8. 1 . 1 Demuestre la fórmula 1 2 de la tabla 8. 1 . 1 Demuestre la fórmula 1 3 de la tabla 8. 1 . 1 Suponga que fes periódica con periodo p (esto es,f(t + p) =f(t) para toda t � 0) . De­ muestre que p

f O. (Sugerencia. Desarrollef(z) como una suma infinita.)

16. Utilice el ejercicio 1 5 para demostrar que

l 1- e- z f(z) =-· z l - e 2'

donde f(t) es como se ilustra en la figura 8. 1 .8.

f

1

¡...--;-!---,

r-1 1 1

Figura 8.1 .8. La fu nción de pulso unitario. 17. Sea g(t)

=

f'

o

.

e-s sen s ds. Calcule g(z). Calcule ](z) si f(t) = tg(t).

18. Seaf(t) = (sen at)lt. Muestre que ](z) =tan-1(a/z). 19. Demuestre la proposición 8. 1 .4. Primero establezca que p(g) :5: máx [0, p(f)].

8.2. FÓRMULA DE I NVERSIÓN COMPLEJA

20. Dé una demostración directa de que f * g

(8. 1 .7)).

=

g

*

509

f (véase el teorema de convolución

21. Seaf(t) = e-er, t � O. Muestre que cr(f) = -oo. 22. Con respecto del teorema de convergencia (8. l . l ) muestre que, en general, cr ofi p. (Sugerencia: Considerej(t) = e1 sen e' y muestre que cr = O , p = l .) ,

8.2. LA FÓRMULA DE INVERSIÓN COMPLEJA

Es importante poder calcular f(t) cuando se conoce f(z).Una fórmula general para tal cálculo, llamada la fórmula de inversión compleja, se establecerá en esta sección. También, usando las fórmulas de la tabla 8. 1 . 1 en forma inversa, podemos obtener un número de útiles técnicas alternativas. (Véanse los ejemplos resueltos 8.2.4 y 8.2.5.) Fórmula de inversión compleja

La demostración de la fórmula de inversión compleja se basa en muchos de los puntos principales que se desarrollaron en los primeros cuatro capítulos de este libro. Ésta debe ser vista como uno de los resultados clave de nuestro análisis de la transformada de Laplace. Fórmula de inversión compleja 8.2.1. Suponga que F(z) es analítica en e excepto para un número finito de singularidades asiladas y que F es analítica en el semiplano {z 1 Re z > crj . Suponga también que existen constantes positivas M, R y !3 tales que IF(z)l :::; M/zl� siempre que lzl � R; esto es cierto, por ejemplo, si F(z) = P(z)/Q(z) para polinomios P y Q con grado (Q) � 1 + grado (P). Para t � O, sea

f(t) = L (residuos de eztF(z) en cada una de sus singularidades en e} Entonces

(1)

f(z) = F (z) para Re z > cr.

Demostración. Sea a > cr y considere un rectángulo grande r con lados a lo largo de Re z = + x l ' Im z = y2 e lm z = -y 1 seleccionados lo suficientemente gran­ des para que las singularidades de F estén dentro de r y lzl > R en todo r. Divida

a r en una suma de dos trayectorias rectangulares y y y mediante una línea vertical a través de Re z = a. (Véase la figura 8.2. 1 .) La demostración de la fórmula de in­ versión compleja ( 1 ) puede también efectuarse usando un círculo grande en lugar del rectángulo r. De hecho, en el último parágrafo de la demostración, r es ligera­ mente deformado hasta tal círculo. Sin embargo, la trayectoria rectangular será útil en el corolario 8.2.2, en el cual éste juega un papel parecido al de la trayectoria rec­ tangular en la demostración de la proposición 4.3.4, concerniente a la evaluación de las transformadas de Fourier. Puesto que todas las singularidades de F están dentro de y, tenemos

J'Y

ez1F(z) dz = 21ti

L ( residuos de ez1F(z)}

=

21tif(t)

51 0

CAP.

8.

LA TRANSFORMADA OE LAPLACE

así que

(r e-zt r -> "" J o

2Ttij(z) = lím

[f

y

]

er.1F(�) d� dt = lím

r -> oo

f(

r e 1F(�) dt d� y Jo

y 1

!

1 1 1

Yz

!

�

tl !

/� - X¡ ¡ Singula�dades de F

1 1

a

¡a

�

�

t X¡

X

1

¡ Y¡

y

1 1 1

y r

figura 8.2.1 . r = y + y. Pudimos intercambiar el orden de in tegración porque ambas integrales están sobre intervalos finitos. Por lo tanto.

f

(�) d� (e oo y � -z Con

z

z > a. el término eO

Xy

-u (y)v(x)lw

x-y

Aquí u y v son soluciones de la correspondiente ecuación homogénea y w es su wronskiano, w = uv'- vu'. En este caso, tenemos u = ei(J)JC y v = e-í(J)JC. Recobrarnos la ecuación (9") al hacer y = O.

SUPLEMENTO DE lA SECCIÓN 8.3

523

Debemos resolver la ecuación de onda en cada región

iJ2$ 1 - 2 2 dx c1 () 2$ 1

--

-- =

dx2

{)2 $ d t2 () 2$

-

•

--

para las regiones 1, III

-

·

--

para la región 11

c2 2

dt2

No es irrazonable esperar soluciones de las siguientes formas:

$ (x, t) = ei(xlc, - t)ro + Rei(- xlc, - t)ro $�¡(X, t) = Aei(xlc, - t)ro + Be i(-xlc, - t)ID 0+ para e > 0.)

526

CAP. 8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Tome el contorno de la figura 8.3.6 y aplique el teorema de Cauchy af(�)/(� - z). • Demostración.

y

Figura 8.3.6. El contorno usado en la demostración de l a proposición 8.3.5.

Si, además de las hipótesis de la proposición 8.3.5,/(z) también satisface la re­ lación f(z) = f(z), esto es, si u(x, e) + iv(x, e) = u(x, -e) - iv(x, -e), de tal manera que la parte real de f es continua mientras que la parte imaginaria es discontinua, entonces obtenemos f(z) = lím __!._ E-+0+ 1t

J00a 1X

-Z

Im f(x + ie) dx

En efecto, cuando z se mueve sobre el eje real, podemos tomar las partes rea­ les de cada lado de la ecuación precedente para obtener V.P. E->0+ 1t

Re f(x0) = lím

( oo )a

l

x - x0

Im f(x + ie) dx

La ecuación de onda en tres dimensiones

Las ideas que se han desarrollado hasta ahora en esta sección para el movimiento de onda en una dimensión, pueden extenderse fácilmente a problemas de dimensión mayor. En dos dimensiones, la cuerda vibrante es remplazada por una membrana vi­ brante. En tres dimensiones podemos pensar en las ondas del sonido que se propagan en el aire. La presión cp(r, t) satisface entonces la ecuación de movimiento, 1

c2

•

.

()2 cp 012 (r, t)

=

V 2cp(r, t) + F (r, t)

donde F representa alguna fuente externa de ondas, r

=

(x, y, z), y

( 14)

SUPLEMENTO DE LA SECCIÓN

8.3

527

es el operador de Laplace. Cuando la ecuación ( 14) es expresada en términos de coordenadas rectangulares, las soluciones homogéneas y no homogéneas de l a ecua­ ción ( 14) se obtienen en mucho en la misma forma en que se obtuvieron previamen­ te. El nuevo y excitante aspecto de la ecuación ( 1 4) que no está presente en una dimensión, surge en el problema de dispersión, y éstos son más interesantes y mane­ jables c uando el medio de dispersión tiene simetría esférica. Considere una onda i ncidente plana e i (xlc - ro)t que viaja desde la izquierda del eje x y que tropieza con una pelota localizada en el origen (figura 8 . 3 .7). Una parte de la onda puede penetrar la pelota, parte de la onda se dispersa por la superficie de l a pelota y l uego viaj a radialmente hacia afuera, y el resto de l a onda simplemente evita a la pelota. Para resolver para cp, procedemos como anteriormente. Primero obtenemos las soluciones para cp en las regiones 1 y 11 separadamente y luego re­ querimos que cp y l a derivada radial é1cplé1r sean continuas en la superficie de l a pelo­ ta. Eventualmente, este procedimiento especifica la onda total que resulta de la "impureza" del medio de la región 11.

ei0 1tl

. -

+

lím

e--.O+

_!_ 1t

1

[A(s a sJ( 0+

2t

- A(s - ie, t + iB) + A(s - ie, t - iB)].

La ecuación ( 1 7) es la representación para A(s, t) obtenida primero por S. Mandelstam en 1958.

529

Ejercicios

Resuelva las ecuaciones diferenciales en los ejercicios del 1 al 9 usando transformadas de Laplace. l. y" - 4y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1

2. y" + 6y - 7 = O, y(O) = l , y'(O) = O

3. y" + 9y = H(t - l ), y(O) = y'(O} = O 4. y' + y = e 1, y(O) = O

5.

y' + Y +

J:

y ('t) dt = f(t) donde y( O) = 1 y

ftt) =

e

o ::;; t < t . t � 2

6. y " + 9y = H(t), y(O) = y'(O) = O .

7. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones para y 1 (t), Yit) usando trans­

formadas de Laplace.

8. y' + y = cos t, y(O) = 1 9. Resuelva y" + y = t sen t, y(O) = O, y'(O) = l . 10. Estudie l a solución de y" + ro�y = sen rot, y(O) = y'(O) = O, y examine el compor­ tamiento de las soluciones para varias ro, especialmente aquellas cercanas a ro = ro0• Interprete estas soluciones en términos de oscilaciones forzadas. 11. Aplique las condiciones de frontera de la página 523 para obtener expresiones par T(ro), R(ro) y B(ro). Verifique que cuando ro es real, f IT(ro)l2 + IR(ro)¡2 = 1

(Esta última relación expresa la "conservación de la intensidad": En un medio sin pérdida disipativa, la intensidad unitaria de la onda incidente de la figura 8.3.5 es igual a la suma de la intensidad de la onda R reflejada hacia atrás en la región I y la intensidad de la onda T trasmitida en la región III.) 12. Ya que la ecuación ( 1 1 ) resuelve el problema de Dirichlet para el semiplano supe­ rior, aplíquelo al problema ilustrado en el lado derecho de la figura 5.3.5 y obtenga la misma solución. Así, tenemos dos métodos para resolver la ecuación de Laplace; el mapeo conforme y las relaciones integrales del tipo descrito por la ecuación ( 1 1). 13. Como una aplicación de la proposición 8.3.5, sea l _ r-11 e-i91 2 f(z) = _ 2 = rz

definida en el plano igualdad resulta?

z

para O < 9 < 21t

con una línea rama a lo largo del eje real positivo. ¿Qué

530

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 8 l. Calcule la transformada de Laplace y la abscisa de convergencia para f(t) sen (t - 1). 2. Calcule la transformada de Laplace y la abscisa de convergencia para f(t)

+ 3e- l

Seaf(t) una función acotada de t. Muestre que cr(f) :S O.

5. Calcule la transformada de Laplace y la abscisa de convergencia para

e1- 1 f(t) = t

­

6.

"

-

Sif(t) = O para t < O, entoncesf(y) = f(iy) es llamada la transformada de Fourier de f Use el corolario 8.2.2 para mostrar que, bajo condiciones adecuadas,

1

foo

f(x) = 21t

1\

f(y)e ixY dy

-oo

teorema de inversión para transfonnadas de Fourier.)

7. Calcule la transformada de Laplace inversa y la abscisa de convergencia para

(Este resultado es llamado el

F(z) = 8.

e-z z2 + 1

Calcule la transformada de Laplace inversa y la abscisa de convergencia para F(z) =

(z

1 + 1 )2

9. Calcule la transformada de Laplace inversa y la abscisa de convergencia para

F(z) = 10.

z

(z

+

1 )2

+

e-z

-z

a) Seaj(z) la transformada de Laplace def(t). Muestre quej( z) -7 0 conforme Re z -7 oo. b) Utilice a) para mostrar que, bajo condiciones adecuadas, zf(z) -7/(0) conforme Re z -7 oo.

e) ¿Puede un polinomio distinto de cero ser la transformada de Laplace de algunaf(t)? d) ¿Puede una función entera F distinta de cero ser la transformada de Laplace de una función/(!)?

1 1 . Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando transformadas de Laplace:

a) y " + 8y + 15 = O, y(O) + 12.

Suponga que f(t) ;;?;

l , y'(O)

=O

b) y' + y = 3 , y(O) = O

O y es infinitamente diferenciable.

Demuestre que

(-1)"f¡ = 1 2-1 1 = pero la11b1 = 2. Si lzl =1 , entonces z = e i9 para alguna 6 y, por lo tanto, z + llz = e i9 + e- ;e = 2 cos 6. Como 6 varía desde O hasta 21t, esto cubre el intervalo [-2, 2] dos veces. Puesto que l l/zl = 1/lzl, el mapeo intercambia el interior y el exterior del círculo unitario. Los círculos de radio r son transformados en círculos de radio 1/r. Si z = rei9, entonces llz = ( 1/r)e-;9 y en consecuencia, el radio deñnido por arg z = 6 es transformado en el radio con argumento -6. Esto se satisface si b log a tiene su parte imaginaria en [-1t. 1t]. De otra manera, la fórmula se lee log ah = b log a + 21tik. Éstas son las raíces n-ésimas de 1 , puesto que (w.ty' = [(e2•ifn)k]n = ilflki = l . Todas ellas j)ln = l . Por la proposición 1 .3.2 (vii), son diferentes, ya que wj = wk implica que e2•Kk esto obliga a que (k - J)/n sea un entero.

536

RES PUESTAS A LOS EJERC I C IOS IM PARES

29. 31. 33. 35.

sen z = O si y sólo si eiz = e-iz o e2iz = l. Por la proposición 1 .3.2 (vii), esto sucede exactamente cuando 2iz = 2xni, o z = nx. El máximo es cosh (2x) = 267 y se alcanza en z = 2xi, x + 2xi y 2x + 2xi. a) = 24 - i4.5 b) = l . l 7 - i( l . 1 9) + 2xni e) = 96. 1 6 - i l 644.43 No, sen z no es uno a uno en O :s; Re z < 2x. Por ejemplo, sen (O) = sen (X) = O. Sabemos que sen z = sen (z + 2x). Supongamos ahora que sen z = sen w. Entonces +w z - w cos z-0 = sen z - sen w = 2 sen z -2 2 y por el ejercicio 29 y un resultado similar para el coseno, z - w = 21at

o

z + w = n1t

k = O, ± 1 ± 2, . . . n = ± l , ±3, ±5, . . .

Utilizando el ejercicio 34 y este resultado, para cada Zo E C existe precisamente una w, con -x/2 :s; Re w :s; x/2 tal que sen w = z0, siempre que, por ejemplo, se omita la porción de la frontera que está abajo del eje real. Al tomar este valor de w se define una rama de sen-1 Zo· Las otras están dadas por el par de fórmulas . La discusión para cos-1 es análoga. 1.4. Funciones continuas

l. 3.

S. 7.

� W

Puesto que lwl2 = (Re w)2 + ( lm w)2, las tres afirmaciones se siguen de la observación de que si a � O y b � O, entonces a :s;; ,Ja2 + b2 :s; a + b. Puesto quefes continua, existe una o > O, tal que lz - Zol < o implica lf(z) -f(Zo)l < lf(Zo)l /2. Así, /(z) � O, puesto que si /(z) fuera igual a O, entonces lf(z0)1 sería menor que lf(Zq)V2, lo cual es absurdo. Sea \ap � ,an) un conjunto finito de puntos y sea Zo su complemento. Sea ok = IZo - ak! y sea o = mín \o¡12, . . . , �)/2) . Entonces ninguna ak puede estar en D(z.o, o) ya que o < lz.o - a kl. Sea E > O y O = E. Si lz - Zok O, entonces 1/(z) -/(Zo)l = IZ - zol = l(z - Zo)l = lz - z01 < E. Así, para cualquier Zo E C,zlím/(z) = /(z.o). •. . .

C\\2xnil

..... ""

n es un entero)

Abierto, no es cerrado. e) No es abierto, cerrado. b) Ni abierto ni cerrado. a) Conexo y compacto. b) Compacto, no conexo. d) Ni compacto ni conexo. e) Conexo, no compacto. f(z) 17. z E C\f-1(A) � ze: ¡-1 (A) � e: A � f(z) E C\A � z E ¡-1 (C\A) 19. Si los U son conjuntos abiertos y z E 'd. U entonces z E U para alguna a0. Puesto que U es abierto, existe una E > 0 tal que D(z, E) e Ua. e u U Esto muestra que la unión es abierta, ya que esto se puede hacer para cualquier z. 21. ñ D(O; 1/n) = \O), y este conjunto no es abierto. , � Sea R > O. Necesitamos mostrar que existe una n tal que lz n/n l � R siempre que n >N. Un \.../ poco de aritmética muestra que esto es equivalente a (nR) 11n :s;; lzl. Pero se puede usar la regla de L'Hópital para mostrar que lím (nR)11n = l . (Primero tome logaritmos y utilice la regla de L'Hópital para mostrar que log (nR)11n � 0.) Puesto que lzl > 1 tenemos la desigualdad que necesitamos para n suficientemente grande. 13.

lzl O , entonces lcot zl =

=

e iz

z

� O. Si

+ e -iz

e iz _ e -•z

k 2 ix - 2y + 1 �2 ix - 2y 1 _

( N + T) 1t > 1 y, por lo tanto, lcot zl S: 2/( l - e-2) S: 4. Sobre los lados verticales, x = ± ( N + � ) 1t y, por lo tanto, e 2 ix = - 1 , y sobre la horizontal superior del cuadrado y =

lcot z l S: y,

9.

-

e

?Y _ 1

< 2. En cualquiera de los casos, 1/(z) l S: 4 + 2/1t para

en consecuencia, con R =

z

sobre eN

( N + t) 1t, M = 4 + 2/1t, y S = 8 , las condiciones del

teorema de fracciones parciales (4.4.5) se satisfacen y los datos en los polos se pueden introducir para dar la fórmula deseada. No se conoce una respuesta exacta a este aparentemente simple problema. La suma es l;(3), donde l; es la función zeta de Riemann, importante en el análisis y en teoría de nú­ meros y una fuente de varios problemas abiertos famosos en matemáticas. El método 00 del teorema de la adición (4.4. 1 ) puede ser usado para sumar l; (p) = !: ( 1 /nP) para p 1 par, como en la proposición 4 .4.3 y el ejercicio l . Uno obtiene l;(2m) = (-1 ) m + 1 (21t)2m

B m 2

2(2m)!

donde las B m son los números de Bernoulli involucrados en Ja expansión de la función 2 cotangente. (Véase también el ejercicio de repaso 33 del capítulo 3.) Este método falla para p impar básicamente porque l l(-n )P + 1/nP = O, no a 2/n P. Un valor aproximado es l;(3) 1 .2020569, no se sabía si l;(3) era irracional. Esto se mostró en 1 978 por R. Apery (véase Mathematical lntelligencer, vol. 1 ( 1 979), pp. 1 95-203.) Aun cuando la irraciona­ lidad l;(p) es todavía desconocida para otros valores impares de p. =

552 Ejercicios de repaso del capítulo 4 l.

2 1tli3

3.

(1t /2) 12

5.

� [ 2 - -1-- - cos ( 1 ) ] -

7. 1tlf5 9.

2 1t

1 1. 2 1ti sen ( 1 )

1

13. a)

T

3 7 + 4 z + g z2 +

•

1 3 7 15 b) +-+- +-+ 3 z2 z z4 zs

•

•

·+ •

•

2

+

"

+ 1 -

2,+1

1

z"

2 "- 1 + zn + l

•

+ •

•

•

•

•

.

15. 1tl2

Res (f, 0)=-l. Los otros residuos están en z . con z2= 2 1tni , n= ± 1 , ± 2 , . . , y son son iguales a -

17. a)

f.

b) Res (f, n1t)= 2 7tn cos ( n21t2) 19.

Res

(!

21.

1 + 23. -1ti 25.

( ) _

1)

e) cos ( l )

(f' )

/" /'' z / '' =k- 1 y Res

2k = k+ 1 0

¡ O

Hágase f(z) = h-1(e i9g(z)) para z e A y verifique quefmanda a A en forma uno a uno y sobre en B, que/( be cz2 + d

17.

F(z) =

19.

f(z) = ..¡ z2 + 1

donde ¡-debe tomarse como la rama definida en

(Z::: : )

C\{ eje

real positivo ) ,

l a cual toma valores en e l semiplano superior. El potencial deseado es

21.

El potencial complejo deseado debe ser

y2 =

av

F(z) =

K- l

2x2 + K -

1

q>(z) = _!_ arg

z2 + l . La fórmula

+ K- 1 2

---

25.

K > 1 , da líneas de '1' constante, las cuales son líneas de corriente. 4>(x, y) = 1 - 1 arctan ex sen y . Los valores de arctan se escogen entre O y 1t. 1t ex cos y - 1 h ,--/(z) = - (v z2 - J + cosh- 1 z)

27.

T(x. y)

23.

29.

•

para

-

:+- �

Re

( �) m=n

,-----

2 31. v p; p

6.1. Continuación analítica y superficies elementales de Riemann

l.

a)

No, no lo es. Una condición i mportante del teorema de identidad

b)

punto límite Zo debe estar en

A.

No. Sea A el disco unitario. Sea

S.

que el

u1 (z) = Im z y uz(z) = Im e'. Tanto u1 como u2 son

armónicas en A y son cero a lo largo del eje real, pero éstas no son idénticamente O, no coinciden una con otra en

3.

(6. 1 . 1 ) es

A.

z , sería constante en todo A, por el teorema de f (z1) a ser O,2 lo cual no es cierto. Si z = re 2 triplq, entonces zn! = rn! siempre que n � q. Cualquier conjunto abierto que contenga a A, contiene un punto e 2 triplq = z0• S i / fuera continuada analíticamente para in­ cluir a Zo• debería tener un límite finito en z0, pero 1ím f(re 2 triplq) = oo. Verifique esto Si

f fuera

constante en· una vecindad

identidad. Esto obligaría a

'

uti lizando la primera observación.

r->

1

RESPUESTAS A LOS EjERCICIOS IMPARES

557

7. La unión de los conj untos Uk es un conjunto abierto que contiene a y. El lema de la dis­ tancia da una distancia positiva p de y al complemento de A. Puesto que la continuación es analítica en cada Uk , el radio de convergencia es al menos p en cada punto a lo largo de y. El lema de la trayectoria cubriente da una cadena finita de discos traslapados con centros a lo largo de y, donde cada uno contiene el centro del siguiente, así que éstos pueden ser usados para implementar la continuación mediante series de potencias. 9. La situación es algo parecida a aquella para ..[Z, excepto que ahora hay tres hojas, cada una copia del plano cortado a lo largo del, digamos, eje real negativo. Éstas se unen a lo largo de estos cortes de tal manera que al seguir una trayectoria que gira una vez al­ rededor de cero, uno es llevado desde la primera hoja hasta la segunda. Cuando la tra­ yectoria gira una vez más alrededor del cero, uno es llevada a la tercera hoja; cuando la trayectoria gira una tercera vez alrededor del cero. uno es llevada de regreso a la primera hoja. 11. f(z) = l / ( 1 + z) la extiende a C\l- 1 ]. 13. Use el ejemplo resuelto 2.4. 1 6. (El teorema de la función implícita puede usarse para ase­ gurar que la mayoría de los rectángulos pequeños se intersecan con y a lo más dos veces.)

6.2. El teorema de Rouché y el principio del argumento l. Cinco. Considere g(z) = z6 - 4z5 + z2 - 1 y /(z) = - 4z5 y utilice el teorema de Rouché. 3. Para R suficientemente grande, la curva yR mostrada, incluirá a cualquier número finito

S.

7.

9. 11. 13. 15. 17. 19. 21.

23.

de posibles soluciones en el semi plano derecho. Sean g(z) = z + e-z - 2 y f(z) = z - 2. A lo largo de Yw lf(z) - g (z)l = e -Re z s; 1 < 1/(z)l, y /tiene exactamente una solución. Por lo tanto, g tiene una solución. Sean h(z) = f(z) - z y g (z) = -z. Sobre el círculo lzl = 1 , lh(z)l - g(z)l = lf(z)l < 1 = lg(z)l y, por lo tanto, el teorema de Rouché muestra que h tiene un O en el interior de { z tal que lzl = 1 } . Un O de h es un punto fijo def Sea rn = 1 - 1 /n y fn (z) = f(rnz). Utilice el ejercicio 5 para obtener zn• con J, (zn) = zn. (Utilice el teorema del módulo máximo para obtener lf(rnz)l < 1 si lzl = 1 .) Las zn están todas en el disco cerrado D = { z tal que lzl s; 1 } y, por lo tanto, existe una subsucesión que converge a un punto Zo E D, digamos zn, � z0• Verifique lo siguiente: rn, zn , � Zo y por lo tantof(rn, zn) � f(zo), perof(rn • z n ) = zn, � Zo y en consecuenciaf(z.o) = Zo· , , n Sea g(z) = anz , estimef(z) - g (z) a lo largo de círculos grandes, como en demostración del teorema fundamental del álgebra (2.4.9). y aplique el teorema de Rouché. Use el método del teorema 6.2. 1 para calcular el residuo de f'(z)h(z)/f(z). obteniendo kh(a) si /tiene un O de orden k en a., y -kh(b1 ) si ftiene un polo de orden k en b 1 • Aplique el ejercicio 1 1 , con h(z) = i. (Los ceros se repiten en la suma de acuerdo a sus multiplicidades.) Aplique el teorema fundamental del álgebra al polinomio f(z) - w. No. Sea.f(z) = el - l . / tiene tres ceros en el i nterior de un círculo de radio 37t y centro en O, pero f'(z) no tiene ceros. Cualquier r tal que 1 < r < 4, dará el resultado deseado, el teorema de Rouché funciona con r = 2 y g (z) = - 4 z2• Suponga que e;a y e i'll están en el círculo frontera. Si ei'P #- e i 'll, entonces una ecuación (ei9)2 + 3(e i9) = (ei'll) 2 + 3(e;'l') se convertiría en (é9)2 - (e i '11) 2 = 3(e;a - e i 'll) o (e;a + ei'll) (ei9 - ei'll) = 3(e ;a - é'��) , requiriendo que e;a + e i 'll = 3. Esto no es posible ya que e ;a y e i\JI tienen ambas valor absoluto l . La función es uno a uno en la frontera del círculo y, por lo tanto, en toda la región, por el teorema de la función uno a uno (6.2. 1 0) . Considere f(z) = 1 /z y aplique e l teorema de Rouché; usted obtendrá que - 1 "es igual a" un número no negativo.

558 6.3.

Propiedades de mapeo de las funciones analíticas

l.

a)

{ z tal que lzl < � }

b) { z tal que lz - 1 1

"' N

n o - 114n2) 1

5.

a)

{ z tal que lzl <

b)

1}

lím

N -> «>

fi 1

(4n - 1 )(4n + 1 ) (4n - 2)(4n + 2)

{z i Re z > l }

7. f(z) - ei O, la segunda converge a l/2(z + ia).

2

(Véase el ejemplo resuelto 8. l . l l .) Así, para Re z > 11m al f(z) converge a

1 /(z + ia)] = z/(z2 + a2).

� [ 1 /(z - ia) +

u = z t para obtenerJ(z) = [;'; e-"u

-1 ,

esto converge a

real positivo. El lema

8. 1 .8

nos da la convergencia sobre el semiplano derecho abierto.

El teorema de identi dad muestra que /(z)

8. 1 . 1 3 muestra que cr(j) = O.

resuelto

1 5.

19.

21.

r(a +

1 )Iza + 1

para Re z >

O

y el ejemplo

flz ) = Jo e-