JENNY Turbines) Cours-TD 2010

Deuxi` eme ann´ ee ´ D´ epartement Energie : Production, Transformation

Module SE143

Machines ` a fluides - Turbomachines Mathieu Jenny

Ann´ ee universitaire 2010 - 2011

Table des mati` eres Cours de machines ` a fluides de Mathieu Jenny, ENSMN.

Introduction

1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage 1.1

1.2

3 5

Cin´ematique : composition des mouvements par changement de r´ef´erentiel . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

R´ef´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Vecteur rotation d’un r´ef´erentiel tournant autour d’un axe fixe Oz . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Composition des d´eriv´ees temporelles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5

Composition des acc´el´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Cin´etique des masses et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Distribution de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2

Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3

R´esultante et moment cin´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4

Tenseur d’inertie d’un solide ind´eformable : g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5

Tenseur d’inertie : th´eor`eme de Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.6

Tenseurs d’inertie de solides homog`enes de forme simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4

Probl`eme de l’´equilibrage d’un rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Pompes 2.1

21

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1

R´esultats du cours de m´ecanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2

Pompes volum´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3

Configuration d’une turbopompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3

Principe de quantit´e de mouvement angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4

Notions de charge relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5

Caract´eristique d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.1

Caract´eristique th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.2

Caract´eristique r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.3

Bilan de rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6

Pompes ` a h´elices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7

Probl`emes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.7.1

Point de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.2

Hauteur d’aspiration et amor¸cage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2

Table des mati` eres 2.7.3

Groupement de pompes : s´erie et parall`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.8

2.7.4 Cavitation - rudiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ´ Etude dimensionnelle et similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.9

NPSH (Net positive Suction Hed) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.10 TD : Pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.10.1 R´epartion de pompes sur un ol´eoduc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.10.2 Choix d’une pompe par similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ´ 2.10.3 Etude d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ´ 2.10.4 Etude d’une pompe multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.10.5 Exemple d’utilisation du NPSH (R. Jouli´e, M´ecanique des fluides appliqu´ee) 3 Turbines hydrauliques 3.1

. . . . . 43 45

G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1

Les turbines ` a action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2

Les turbines ` a r´eaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2

Bilan d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3

Turbine ` a action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4

3.5

3.3.1

La turbine Pelton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2

Turbine Crossflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.3

Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Turbines ` a r´eaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.1

Organes communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.2

Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.3

Caract´eristiques g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.4

Diffuseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.5

Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.6

Limite de la hauteur d’aspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

TD : Turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5.1

Turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.2

Dental drill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.3 3.5.4

Tourniquet hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 ´ Etude d’une turbine Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5.5

Turbine aux ench`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Introduction Ce document de cours-TD de Machines ` a fluides - Turbomachines est destin´e aux ´el`eves de deuxi`eme ann´ee de l’´ecole nationale sup´erieure des Mines de Nancy ayant ´ choisi le d´epartement Energie : Production, Transformation. Il correspond au module SE143. Une version pdf de ce document est accessible sur www.mines.inpl-nancy.fr/mathieu.jenny . Ce cours se situe ´evidemment dans la continuit´e du cours de m´ecanique des milieux continus solides et fluides de premi`ere ann´ee (Plaut 2009b), et de celui de m´ecanique des fluides de deuxi`eme ann´ee (Plaut 2009a). Nous utilisons les mˆemes notations : les caract`eres gras surmont´es d’une barre (exemple : v) d´esignent les vecteurs, les caract`eres gras surmont´es de deux barres (exemple : D) d´esignent les tenseurs d’ordre 2. Pour ´echanger de l’´energie entre un fluide et un syst`eme m´ecanique, on utilise ce qu’on appelle des machines `a fluides. Ce sont souvent des machines tournantes ou turbomachines. Le transfert de l’´energie de la machine vers le fluide se fait grˆace `a des pompes. La transformation inverse est faite par des turbines. Ces derni`eres peuvent alors, soit transmettre directement l’´energie m´ecanique ` a une autre machine ` a faire fonctionner, soit, `a leur tour, ´echanger leur ´energie m´ecanique avec un alternateur pour la transformer en ´electricit´e. L’´energie des fluides provient soit de leur ´energie potentielle, dans le cas d’une chute d’eau et de l’´energie - renouvelable ! - hydraulique, soit d’une source d’´energie thermique : ´energie nucl´eaire ou ´energie de combustion. Les turbomachines sont donc en premi`ere ligne pour la production d’´energie utilisable par la soci´et´e que ce soit `a des fins industrielles ou de consommation domestique. On pr´esente dans le chapitre 1, r´edig´e par Emmanuel Plaut, la probl´ematique de l’´ equilibrage des machines tournantes. Les chapitres 2 `a 3, r´edig´es par Mathieu Jenny, pr´esentent les pompes puis les turbines hydrauliques. Ces chapitres sont tr`es largement inspir´es du cours de Souhar (2009–2010). On pr´esentera les notions th´eoriques n´ecessaires au choix des turbomachines en fonction d’un cahier des charges et de leur int´egration dans un circuit hydraulique. Pour pr´eparer la premi`ere s´eance de ce cours, on vous demande de lire tr`es attentivement le chapitre 1 de ce document, sujet de TD compris (dans la derni`ere section du chapitre). Le cours durera seulement 45 minutes, et on enchainera sur le TD `a 9h30. Les quatres s´eances suivantes de ce cours porteront sur les chapitres 2 et 3. Le contrˆole se fera sous la forme d’un test ´ecrit. Il aura lieu lors de la sixi`eme s´eance et sera suivi d’une correction.

4

Introduction

La derni`ere s´eance de ce cours sera donn´ee par Jean Marc Dorey, de EdF R&D, et sera d´edi´ee a` une pr´esentation scientifique et technique des turbines ` a vapeur. Je remercie tr`es vivement Emmanuel Plaut pour la r´edaction du chapitre 1 et Mohamed Souhar, professeur `a l’ENSEM, chercheur au LEMTA, pour m’avoir permis de reproduire en grande partie dans mes chapitres 2 et 3 son cours de turbomachines. Nancy, le 11 avril 2011. Mathieu Jenny.

Chapitre 1

Effets des forces d’inertie sur les turbomachines - Probl´ ematique de l’´ equilibrage Une machine ` a fluides tournante est un objet solide en interaction avec un ou plusieurs fluides environnants, `a qui elle communique ou de qui elle tire son ´energie cin´etique de rotation. Dans ce chapitre on s’int´eresse ` a un aspect important de la « m´ ecanique des solides » qui constituent des machines tournantes, ` a savoir l’effet de la force d’inertie centrifuge sur ces solides. On va red´emontrer (cf. les ´equations 1.21 et 1.59) que, si ω est la vitesse (constante dans le temps) de rotation angulaire de la turbomachine autour de l’axe fixe Oz, dans le r´ef´erentiel tournant li´e ` a cette machine la force volumique d’inertie d’entrainement centrifuge fie = −ργ e

(1.1)

avec ρ le champ de masse volumique de la machine, γ e = ωez ∧ (ωez ∧ OM)

(1.2)

le champ d’acc´el´eration d’entrainement, M d´esignant le point de l’espace o` u ces champs sont consid´er´es. En utilisant un syst`eme de coordonn´ees cylindriques (r, θ, z) d’origine O et d’axe Oz, on obtient γ e = −ω 2 rer

=⇒

fie = ρω 2 rer

(1.3)

qui est d’autant plus grande que ω est grande. Cette force d’inertie va devoir ˆetre ´equilibr´ee par des r´ eactions de liaison des paliers qui supportent l’arbre de la machine. Minimiser la contribution de cette force d’inertie ` a ces r´eactions de liaison est exactement le but de l’´ equilibrage des rotors, que l’on pr´esentera ci-apr`es dans la cadre de la m´ ecanique des solides ind´ eformables. Se pr´eoccuper de la r´ esistance des mat´ eriaux d´ eformables constituant la machine tournante aux contraintes internes engendr´ees par la force volumique (1.3) serait l’´etape suivante, que nous ne pourrons malheureusement pas aborder, faute de temps. Nous renvoyons le lecteur int´eress´e ` a G´eradin & Rixen (1996). Un calcul d’ordre de grandeur montre l’importance des forces (1.3). Une turbine a` vapeur de centrale thermique ou nucl´eaire tourne, dans le cas d’un couplage avec alternateur `a 2 pˆoles, ` a

6

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

3000 tr/mn, ce qui donne, en unit´es SI, ω = 3000

2π rad = 314 rad/s . 60 s

Les pales de cette turbine ´etant de taille m´etrique, l’acc´el´eration d’entrainement correspondante est γe ' (314 rad/s)2 1 m ' 98700 m/s2 ' 10000 g avec g l’acc´el´eration de la pesanteur, qui constitue une r´ef´erence... Une approche scientifique du probl`eme de l’´equilibrage des rotors n´ecessite des bases en m´ ecanique des solides ind´ eformables ; c’est l’objet de ce chapitre que de les donner. On ne se limite pas strictement aux notions qui seront utilis´ees pour l’´equilibrage, de fa¸con `a fournir un document de cours un peu ´etoff´e, qui pourra ˆetre utile dans d’autres contextes 1 . L’´equilibrage proprement dit sera trait´e en TD, lors de l’´etude du probl`eme de la section 1.4.

1.1

1.1.1

Cin´ ematique : composition des mouvements par changement de r´ ef´ erentiel R´ ef´ erentiels

Un r´ ef´ erentiel est un observateur r´eput´e immobile qui mesure des mouvements. Se donner un r´ef´erentiel c’est donc se donner un mouvement solide ind´ eformable de r´ ef´ erence, `a savoir le mouvement de la chaise sur laquelle l’observateur imaginaire est assis. Le mouvement d’un r´ ef´ erentiel relatif R dans un r´ ef´ erentiel absolu R0 d’origine O est en cons´equence un mouvement de solide ind´eformable, caract´eris´e d’apr`es le chapitre 2 de Plaut (2009b) par une translation, mouvement en bloc avec la vitesse vR0 (A ∈ R, t) =

dOA dt R0

(1.4)

d’un point particulier A de R, et une rotation, caract´eris´ee par le vecteur vitesse de rotation instantan´ ee 2 ω, ω = ω R/R0 (t) . (1.5) Le champ des vitesses des points M de R dans R0 est ainsi le champ de moments vR0 (M ∈ R, t) = vR0 (A ∈ R, t) + ω(t) ∧ AM(t) .

1.1.2

(1.6)

Vecteur rotation d’un r´ ef´ erentiel tournant autour d’un axe fixe Oz

Dans ce cas souvent rencontr´e, en notant φ(t) l’angle de la rotation effectu´ee entre les instants 0 et t, les positions instantan´ees sont donn´ees par l’action de l’op´erateur de rotation correspondant ROz,φ(t) selon OM(t) = ROz,φ(t) · OM(0) 1. On ignore aussi volontairement le fait que certains, en fonction de leur classe pr´eparatoire, ont d´ej` a vu telle ou telle notion ; cela ne leur fera pas de mal de « r´eviser »... 2. Ou, de fa¸con plus concise, vecteur rotation.

1.1 Cin´ ematique : composition des mouvements par changement de r´ ef´ erentiel

7

avec, dans la base fixe {eX ,eY ,ez }, 

Mat ROz,φ(t)

  cos φ(t) − sin φ(t) 0 n o   , eX ,eY ,ez =  sin φ(t) cos φ(t) 0 . 0 0 1

Par d´erivation de OM(t) par rapport au temps on obtient pour le champ de vitesse instantan´e ˙ v(M,t) = v(O,t) + φ(t)e z ∧ OM(t) , o` u, en fait, v(O,t) = 0. Par identification avec (1.6) on voit que le vecteur rotation instantan´ee vaut dans ce cas ˙ ω(t) = φ(t)e (1.7) z o` u le point d´esigne la d´eriv´ee par rapport au temps. Ce vecteur caract´erise bien compl`etement la rotation ROz,φ(t) , sachant que φ(0) = 0. On notera que dans le cas d’une rotation `a vitesse angulaire constante, o` u φ(t) = ωt, on obtient ω(t) = ωez .

1.1.3

(1.8)

Composition des d´ eriv´ ees temporelles de vecteurs

Soit w(t) un vecteur de nature physique (vecteur mat´eriel ´eventuellement, mais aussi, peutˆetre, vecteur vitesse, vecteur acc´el´eration, vecteur force, etc...) ´evoluant au cours du temps. On se pose la question de savoir comment les deux observateurs pr´ec´edemment nomm´es peuvent relier leurs mesures de dw(t) . dt Pour cela on part de l’´ecriture de w(t) dans une base {ex (t),ey (t),ez (t)} li´ee au mouvement solide de R : w(t) = x(t)ex (t) + y(t)ey (t) + z(t)ez (t) . (1.9) Par d´efinition, puisque cette base est fixe pour R, dw(t) ˙ ˙ ˙ = x(t)e x (t) + y(t)e y (t) + z(t)e z (t) . dt R

(1.10)

Dans R0 par contre non seulement les composantes de w(t) mais aussi les vecteurs ex (t), ey (t) et ez (t) ´evoluent dans le temps, et pour calculer dw(t) dt R0 il faut en cons´equence d´eterminer les valeurs des d´eriv´ees dex (t) , dt R0

dey (t) dt R0

et

dez (t) . dt R0

Pour cela on peut noter que chacun de ces vecteurs de base peut ˆetre vu comme un bipoint reliant l’origine A(t) de R ` a un point fixe de R, par exemple ex (t) = AB(t) .

8

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

En appliquant l’´equation (1.6) on obtient dex (t) = vR0 (B ∈ R,t) − vR0 (A ∈ R,t) = ω R/R0 (t) ∧ AB(t) = ω R/R0 (t) ∧ ex (t) , (1.11) dt R0 cette forme de relation ´etant en fait valable pour n’importe quel vecteur fixe de R, d’o` u en particulier dey (t) dt R0 dez (t) dt R0

= ω R/R0 (t) ∧ ey (t) ,

(1.12)

= ω R/R0 (t) ∧ ez (t) .

(1.13)

En appliquant la formule de Leibniz ` a (1.9) on obtient la loi de composition des d´ eriv´ ees temporelles de vecteurs : dw(t) dw(t) = + ω R/R0 (t) ∧ w(t) dt R0 dt R

1.1.4

(1.14)

Composition des vitesses

Consid´erons maintenant le probl`eme consistant `a relier les observations de vitesse d’un certain point mat´eriel mobile M(t) faites • par l’observateur immobile li´e au r´ef´erentiel absolu R0 : va (t) =

dOM(t) vitesse absolue de M(t) ; dt R0

(1.15)

• d’autre part par l’observateur mobile, li´e au r´ef´erentiel relatif R : vr (t) =

dAM(t) vitesse relative de M(t) . dt R

(1.16)

Par transitivit´e puis application de (1.14) on obtient va (t) =

dOA(t) dAM(t) dAM(t) = vR0 (A ∈ R,t) + + + ω R/R0 (t) ∧ AM(t) . dt dt dt R0 R0 R

Il apparaˆıt ve (t) = vR0 (A ∈ R,t) + ω R/R0 (t) ∧ AM(t) = vR0 (M ∈ R,t)

(1.17)

vitesse du point du r´ef´erentiel mobile R co¨ıncidant `a l’instant t avec M(t) (cf. l’´equation 1.6) ; ve (t) est la vitesse d’entrainement du point M(t). Au bilan on obtient la loi de composition des vitesses, dite aussi « loi de Galil´ ee » : va (t) = vr (t) + ve (t) vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d’entrainement.

(1.18)

1.2 Cin´ etique des masses et inertie

1.1.5

9

Composition des acc´ el´ erations

Posons maintenant la question du lien entre • l’acc´ el´ eration absolue d’un point mobile M(t) vue par l’observateur immobile li´e au r´ef´erentiel R0 : d2 OM(t) γ a (t) = (1.19) , dt2 R0 • et l’acc´ el´ eration relative de ce mˆeme point mobile M(t) vue par l’observateur mobile li´e au r´ef´erentiel R : d2 AM(t) γ r (t) = (1.20) . dt2 R Dans ce but partons de l’´equation (1.18), que l’on explicite sous la forme dAM(t) dOA(t) dOM(t) = + + ω R/R0 (t) ∧ AM(t) . dt dt dt R0 R R0 Par d´erivation par rapport au temps dans le r´ef´erentiel R0 et utilisation de la loi de d´erivation compos´ee (1.14) on obtient d2 OA(t) dAM(t) dAM(t) ˙ γ a (t) = γ r (t)+ω R/R0 (t)∧ + +ω R/R0 (t)∧AM(t)+ω R/R0 (t)∧ . dt dt2 dt R R0 R0 Apr`es application au dernier terme de la loi (1.14) on voit apparaˆıtre • l’acc´el´eration du point du r´ef´erentiel mobile R co¨ıncidant `a l’instant t avec M(t), acc´ el´ eration d’entrainement du point M : γ e (t) =

d2 OA(t) + ω˙ R/R0 (t) ∧ AM(t) + ω R/R0 (t) ∧ [ω R/R0 (t) ∧ AM(t)] , (1.21) dt2 R0

que l’on obtient par d´erivation par rapport au temps de (1.6) ; • l’acc´ el´ eration de Coriolis du point M : γ c (t) = 2ω R/R0 (t) ∧ vr (t) .

(1.22)

Au bilan on peut ´ecrire la loi de composition des acc´ el´ erations : γ a (t) = γ r (t) + γ e (t) + γ c (t)

(1.23)

acc´el´eration absolue = acc´el´eration relative+acc´el´eration d’entrainement+acc´el´eration de Coriolis.

1.2

Cin´ etique des masses et inertie

Les objets de la m´ecanique des solides sont pesants. On va d´efinir et caract´eriser pr´ecis´ement cette distribution de masse, notamment grˆace `a la notion de centre d’inertie. D’autre part on peut noter qu’un solide ind´eformable poss`ede, en vertu de la structure de champ de moments de son champ de vitesse, 6 degr´es de libert´e : 3 degr´es de libert´e de translation et 3 degr´es de libert´e de rotation. Il faut donc d´efinir, pour caract´eriser pr´ecis´ement son mouvement autour d’un point O de r´ef´erence, sa quantit´e de mouvement de translation ou r´ esultante cin´ etique 3 et sa 3. ‘Linear momentum’ en anglais.

10

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

quantit´e de mouvement de rotation ou moment cin´ etique 4 . C’est ce que nous allons faire dans cette section, en terminant par l’introduction du tenseur d’inertie, outil commode pour le calcul du moment cin´etique.

1.2.1

Distribution de masse

En g´en´eral la masse est distribu´ee dans le volume de la machine consid´er´ee, volume que nous noterons Ωt . La masse totale peut donc s’´ecrire ZZZ

d3 m

m =

(1.24)

Ωt

avec d3 m = ρ d3 x

(1.25)

l’´el´ement de masse, d3 x ´etant l’´el´ement de volume, ρ la masse volumique. Dans certains cas on pourra mod´eliser une partie du syst`eme, tr`es mince dans une ou deux directions, en consid´erant qu’elle est ` a distribution surfacique ou lin´eique de masse ; on remplacera l’int´egrale triple dans des formules d´efinissant des quantit´es extensives du type (1.24) par une int´egrale double ou simple, l’´el´ement de masse ´etant proportionnel `a un ´el´ement de surface ou de longueur. On pourra aussi consid´erer que certaines masses sont « ponctuelles » ; alors l’int´egrale sera une somme discr`ete.

1.2.2

Centre d’inertie

Le centre d’inertie du syst`eme est d´efini comme le point G barycentre de la distribution de masse du syst`eme, tel que ZZZ

OM d3 m .

∀O, mOG =

(1.26)

Ωt

1.2.3

R´ esultante et moment cin´ etiques

Dans le r´ef´erentiel R0 o` u O est fixe, nous d´efinissons la quantit´ e de mouvement de translation totale du syst`eme, ZZZ

v(M,t) d3 m =

p(t) := Ωt

ZZZ

˙ ˙ OM(t) d3 m = mOG(t) .

(1.27)

Ωt

La commutation de la d´eriv´ee par rapport au temps et de l’int´egrale sur la distribution de masse, ZZZ p = Ωt

dOM 3 d d m = dt dt

ZZZ

OM d3 m ,

(1.28)

Ωt

r´esulte en fait de la conservation de la masse, et de la formule de transport d’une densit´e massique, ZZZ ZZZ d de 3 3 ed m = d m, (1.29) dt Ωt Ωt dt 4. ‘Angular momentum’ en anglais.

1.2 Cin´ etique des masses et inertie

11

d´emontr´ee dans la sous-section 3.1.3 de Plaut (2009b). Comme on l’a expliqu´e au d´ebut de cette section, on doit aussi introduire la quantit´e de mouvement de rotation du syst`eme par rapport ` a ce point O, soit ZZZ

OM(t) ∧ v(M,t) d3 m

σ(O,t) :=

(1.30)

Ωt

En utilisant la relation de transitivit´e AM = OM − OA ainsi que la d´efinition (1.27), on observe que ∀O,A, σ(A,t) = σ(O,t) + p(t) ∧ OA

(1.31)

ce qui montre que σ est un champ de moments de r´esultante p. On d´esigne pour cette raison σ(O,t) comme le moment cin´ etique du syst`eme par rapport au point O, et p(t) comme la r´ esultante cin´ etique du syst`eme.

1.2.4

Tenseur d’inertie d’un solide ind´ eformable : g´ en´ eralit´ es

On se place toujours dans un r´ef´erentiel R0 o` u un point O du solide S ´etudi´e est fixe. Si S est un solide ind´ eformable, on peut utiliser le fait que son champ de vitesse est un champ de moments. La formule des champs de moments donne alors v(M ∈ S,t) = v(O ∈ S,t) + ω ∧ OM(t) = ω ∧ OM(t) ,

(1.32)

ω = ω S/R0 (t)

(1.33)

avec le vecteur vitesse de rotation instantan´ee de S dans R0 . Le produit OM ∧ v `a int´egrer pour obtenir le moment cin´etique (1.30) s’´ecrit donc     h i OM ∧ ω ∧ OM = OM2 ω − OM · ω OM = OM2 1 − OM ⊗ OM · ω . Introduisons le tenseur d’inertie de S par rapport au point O, ZZZ

h

I(O,t) =

i OM2 (t)1 − OM(t) ⊗ OM(t) d3 m .

(1.34)

Ωt

Ce tenseur d’inertie est de fait l’application lin´eaire qui, au vecteur vitesse de rotation instantan´ee ω, associe le moment cin´etique en O, I(O,t) : R3 −→ ω

R3

7−→ σ(O,t) = I(O,t) · ω .

.

(1.35)

On a int´erˆet `a expliciter ce tenseur dans un rep`ere Oxyz li´e `a S, car il y aura des composantes ind´ependantes du temps. En coordonn´ees cart´esiennes, le vecteur OM ´etant rep´er´e par OM = xex + yey + zez , l’´equation (1.34) s’explicite selon   Ixx Ixy Ixz h i    =  Ixy Iyy Iyz  Mat I(O), ex ,ey ,ez Ixz Iyz Izz

(1.36)

12

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

o` u apparaissent les moments d’inertie par rapport aux axes x, y, z, ZZZ ZZZ ZZZ 2 2 3 2 2 3 Ixx = (y + z ) d m , Iyy = (z + x ) d m , Izz = (x2 + y 2 ) d3 m , Ωt

Ωt

Ωt

(1.37) et les produits d’inertie : ZZZ

xy d3 m ,

Ixy = Iyx = − Z Z ZΩt Iyz = Izy = −

yz d3 m ,

Ωt

ZZZ

zx d3 m .

Izx = Ixz = −

(1.38)

Ωt

On peut noter que ZZZ

HM2 d3 m

Izz =

(1.39)

Ωt

avec H le projet´e orthogonal de M sur l’axe Oz. Ainsi Izz est d’autant plus grand que la masse de S est en moyenne loin de l’axe Oz. D’autre part Ixy > 0 (resp. < 0) indique qu’en moyenne la masse de S est dans le demi-espace xy < 0 (resp. > 0) ; Ixy = 0 indique que la masse de S est ´equir´epartie entre les demi-espaces xy < 0 et xy > 0. Le calcul des int´egrales (1.37) et (1.38) ne pose pas de probl`emes dans son principe ; des r´esultats types seront donn´es en sous-section 1.2.6. En pratique, dans le cas de solides de forme compliqu´ee, les logiciels de Conception Assist´ee par Ordinateur effectuent automatiquement et num´eriquement tous ces calculs. De mani`ere g´en´erale, I(O,t) ´etant sym´ etrique peut se diagonaliser dans une certaine base orthonorm´ee li´ee au solide S. Les axes Ox, Oy, Oz correspondants sont appel´es axes principaux d’inertie du solide, tandis que les ´el´ements diagonaux correspondants Ixx , Iyy , Izz sont appel´es moments principaux d’inertie du solide. Sans aller ´eventuellement jusqu’` a cette diagonalisation compl`ete, on a souvent int´erˆet `a calculer le tenseur d’inertie dans une base o` u le solide pr´esente certaines sym´etries. Par exemple, si le solide admet xOy comme plan de sym´ etrie, on observe, en faisant le changement de variable z 7→ −z dans les int´egrales, que Ixz = Iyz = 0 . Ceci prouve que l’axe Oz est axe principal d’inertie du solide ; alors les deux autres axes principaux se trouvent forc´ement dans le plan xOy. Si l’un des axes de base, par exemple Oz, est axe de sym´ etrie du solide, alors le changement de variable (x,y) 7→ (−x, − y) montre qu’on a aussi Ixz = Iyz = 0 . L`a encore l’axe Oz est axe principal d’inertie. Si Oz est axe de r´ evolution on aboutit aux mˆemes r´esultats. De plus, en faisant le changement de variable (x,y) 7→ (−y,x) correspondant `a une rotation de π/2, on montre que Ixy = 0

1.2 Cin´ etique des masses et inertie

13

et Ixx = Iyy . Ceci signifie que les axes Ox, Oy, Oz sont axes principaux d’inertie, et que les deux premiers moments principaux d’inertie sont ´egaux.

1.2.5

Tenseur d’inertie : th´ eor` eme de Huyghens

Afin d’examiner le lien entre les tenseurs d’inertie en deux points origines diff´erents O et A, ins´erons la relation de transitivit´e OM = OA + AM dans le tenseur ´el´ementaire ` a int´egrer pour calculer I(O) ´equation (1.34). Il vient   OM2 1 − OM ⊗ OM = OA2 + 2OA · AM + AM2 1   − OA ⊗ OA + AM ⊗ OA + OA ⊗ AM + AM ⊗ AM . On en d´eduit par int´egration, et en utilisant l’´equation (1.26) pour A `a la place de O, la relation h  i I(O) = m OA2 + 2OA · AG 1 − OA ⊗ OA + AG ⊗ OA + OA ⊗ AG + I(A) . (1.40) Cette relation se simplifie remarquablement si A co¨ıncide avec le centre d’inertie G du solide ; on aboutit alors au th´ eor` eme de Huyghens :   I(O) = m OG2 1 − OG ⊗ OG + I(G)

(1.41)

Ce th´eor`eme, qui permet de d´eduire I en un point quelconque O de la connaissance de I(G), justifie que l’on ne donne dans le formulaire de la section 1.2.6 que les valeurs de I(G).

1.2.6

Tenseurs d’inertie de solides homog` enes de forme simple

Donnons les tenseurs d’inertie de solides homog`enes de forme g´eom´etrique simple. Pour le premier exemple ci-dessous, les calculs se font en coordonn´ees cart´esiennes, avec lesquelles OM = xex + yey + zez , d3 x = dx dy dz .

(1.42)

Un calcul pr´eliminaire de la masse totale, selon l’´equation (1.24), donne la valeur de ρ. On peut alors calculer I(G) ` a partir de l’´equation (1.34). Exemple 1 : parall´ el´ epip` ede rectangle droit : z

V = {(x,y,z) ∈ [−a,a] × [−b,b] × [−c,c]} , ρ = 2b

G

2c y 2a

x

m , 8abc



 2 + c2 b 0 0 h  i m  Mat I(G), ex ,ey ,ez = c2 + a2 0  .  0 3 0 0 a2 + b2 (1.43)

14

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage Pour les exemples 2 ` a 5 suivants, les calculs se font en coordonn´ees cylindriques, avec lesquelles
OM = r cos θ ex + sin θ ey + zez , d3 x = r dr dθ dz .

(1.44)

Exemple 2 : cylindre creux de r´ evolution :

z

V = {(r,θ,z) ∈ [a,b] × [0,2π] × [−h,h]} , ρ =

y 2h

G x 2a 2b

a2 + b2 h2 +  4 3  h  i  Mat I(G), ex ,ey ,ez = m 0   0

2π(b2

m , − a2 )h



 0 a2

+ 4

b2

0 +

h2 3

0

   . 0    2 2 a +b 2 (1.45)

Exemple 3 : cylindre de r´ evolution : ce cylindre plein peut ˆetre vu comme un cylindre creux avec a = 0 :

z

V = {(r,θ,z) ∈ [0,b] × [0,2π] × [−h,h]} , ρ =

G

b2 h2 4 + 3  h  i  = m Mat I(G), ex ,ey ,ez 0   0

m , 2πb2 h



y 2h

x 2b

 0 b2 4

+ 0

h2 3

0   . 0   2 b 2 (1.46)

Exemple 4 : anneau torique :

z a G 2b

x

√ √ V = {(r,θ,z) ∈ [b− a2 − z 2 ,b+ a2 − z 2 ]×[0,2π]×[−a,a]} , m ρ = , 2π 2 a2 b  2  5a b2 0 0  8 + 2    h 2 2  i   5a b Mat I(G), ex ,ey ,ez = m . 0 + 0   8 2   2 3a 0 0 + b2 4 (1.47)

1.3 Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts

15

Exemple 5 : cerceau : Se d´eduit du pr´ec´edent dans la limite a → 0, d’o` u

y

b2 2 h  i  Mat I(G), ex ,ey ,ez = m 0 

x

G

0

0 b2 2 0



0   . 0

(1.48)

b2

2b Pour les derniers exemples, les calculs se font en coordonn´ees sph´eriques, avec lesquelles 
 OM = r sin θ cos φ ex + sin φ ey + cos θez , d3 x = r2 sin θ dr dθ dφ . (1.49) Exemple 6 : sph` ere creuse :

z b

V = {(r,θ,φ) ∈ [a,b] × [0,π] × [0,2π]} , 3m ρ = , 4π(b3 − a3 ) 2 b5 − a5 I(G) = m 3 1. 5 b − a3

a y

G

(1.50)

x Exemple 7 : sph` ere : Dans le cas a = 0 on obtient pour une sph`ere pleine de rayon b que I(G) =

1.3

2 m b2 1 . 5

(1.51)

Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts

On se place dans un premier temps dans un r´ef´erentiel R0 r´eput´e galil´ een, o` u les seules forces agissant sur un syst`eme S sont les forces physiques : • densit´ e volumique de forces fvol agissant dans le volume Ωt , par exemple fvol = ρg pour le poids, g ´etant le champ gravitationnel, fvol = ρe (E + v ∧ B) pour la force ´electromagn´etique, ρe ´etant la densit´e volumique de charge, E le champ ´electrique, B le champ magn´etique ; • densit´ e surfacique de forces T agissant sur la fronti`ere ∂Ωt de Ωt . La premi`ere loi de Newton est la loi d’´ evolution de la r´ esultante cin´ etique, p˙ = Rext r´esultante des efforts ext´erieurs appliqu´es ext

R

ZZZ

3

=

ZZ

fvol d x + Ωt

T d2 S .

(1.52) (1.53)

∂Ωt

D’apr`es les ´equations (1.27) et (1.29), on peut ´ecrire la d´eriv´ee par rapport au temps de la quantit´e de mouvement de deux fa¸cons diff´erentes, ZZZ ¨ . ˙p = γ R0 (M) d3 m = mOG (1.54) Ωt

16

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

La deuxi`eme loi de Newton est la loi d’´ evolution du moment cin´ etique, ˙ σ(O) = Γext (O) moment en O des efforts ext´erieurs appliqu´es ext

Γ

ZZZ

3

ZZ

OM ∧ T d2 S .

OM ∧ fvol d x +

(O) = Ωt

(1.55)

(1.56)

∂Ωt

D’apr`es (1.29), la d´efinition (1.30) et la formule (1.35), on peut ´ecrire la d´eriv´ee par rapport au temps du moment cin´etique de deux fa¸cons diff´erentes, ZZZ i dh ˙ σ(O) = OM ∧ γ R0 (M) d3 m = I(O) · ω S/R0 . (1.57) dt Ωt Il importe de constater que le champ de vecteurs Γext (O) pr´esente une structure de champ de moments, de r´esultante Rext : ∀A, O,

Γext (A) = Γext (O) + Rext ∧ OA = Γext (O) + AO ∧ Rext .

(1.58)

Ceci justifie le terme « moment des efforts » ; on parle aussi de « couples » appliqu´es pour d´esigner des contributions ` a Γ. Si maintenant on se place dans un r´ef´erentiel non galil´ een R dont le mouvement est connu par rapport au r´ef´erentiel absolu galil´een R0 , on peut injecter dans les membres de gauche des lois de Newton, ` a savoir (1.54) et (1.57), la formule de composition des acc´el´erations (1.23). On observe que les lois de Newton restent valables dans le r´ef´erentiel R `a condition d’introduire des forces d’inertie volumiques dans les membres de droite, fi =

fie |{z}

+

force d’inertie d’entrainement

1.4

= −ργ e − ργ c .

fic |{z}

(1.59)

force d’inertie de Coriolis

Probl` eme de l’´ equilibrage d’un rotor

On consid`ere un rotor S solide ind´eformable, de masse totale m, comprenant un axe Oz en rotation sur un chassis grˆ ace ` a des liaisons pivots situ´ees aux points P1 et P2 :

S

x

y

G

z P1

P2

On choisit un rep`ere de travail Oxyz li´e au solide S, d’origine O = P1 . On a alors OP2 = lez . D’autre part le centre de gravit´e G de S est rep´er´e par OG = OH+HG avec H projet´e orthogonal de G sur l’axe Oz, OH = cez , HG = aex + bey . On s’int´eresse au r´egime de rotation o` u la vitesse angulaire ω de S dans le r´ef´erentiel absolu du laboratoire R0 est constante. Dans ce r´ef´erentiel, le rotor est soumis `a des efforts au niveau des liaisons pivots :

1.4 Probl` eme de l’´ equilibrage d’un rotor

17

• le champ de forces exerc´e au niveau de la liaison P1 a une r´esultante ´egale `a la r´ eaction de liaison R1 et un couple en P1 ´egal au couple de liaison Γ1 ; • le champ de forces exerc´e au niveau de la liaison P2 a une r´esultante ´egale `a la r´ eaction de liaison R2 et un couple en P2 ´egal au couple de liaison Γ2 . D’autre part des efforts dˆ us ` a l’environnement, par exemple l’action de fluides, existent ; on env env note R leur r´esultante, Γ leur couple en O. Enfin l’action de la gravit´ e terrestre constitue une troisi`eme source d’efforts. La moiti´e des mini-groupes de TD traitera la question 1 ci-dessous par la voie a, l’autre moiti´e par la voie b. 1 Explicitez les lois fondamentales de la dynamique de ce syst`eme 1.a soit dans le r´ef´erentiel R0 du laboratoire, 1.b soit dans le r´ef´erentiel R li´e ` a S, donc en rotation par rapport `a R0 avec le vecteur vitesse instantan´ee de rotation ω = ωez . Dans les deux cas faites intervenir les composantes Ixz et Iyz de la matrice repr´esentant le tenseur d’inertie I(O) de S dans la base tournante {ex ,ey ,ez }. 1.c On fait l’hypoth`ese que les liaisons pivots sont « parfaites » au sens o` u, en l’absence d’actions dues `a l’environnement, les couples de liaison Γ1 et Γ2 sont nuls. Observant d’autre part que le syst`eme d’´equations que l’on vient d’obtenir est lin´eaire vis-`a-vis de tous les efforts appliqu´es, on s’int´eresse dans ce qui suit aux r´eactions de liaison R1 et R2 qui compensent seulement les termes inertiels, dˆ us aux membres de gauche des ´equations de la dynamique (1.52) et (1.55) dans le calcul de 1.a, ou aux forces d’inertie dans le calcul de 1.b. Montrez que ces r´eactions sont d´efinies par le syst`eme R1 + R2 = ω 2 R , OP1 ∧ R1 + OP2 ∧ R2 = ω 2 S ,

(1.60)

en donnant la d´efinition des vecteurs R et S tournants li´es `a S, qui ne d´ependent que de la g´eom´etrie de la distribution des masses de S. Proposez une interpr´etation physique expliquant l’origine et la nature des termes −ω 2 R et −ω 2 S. 2.a D´eterminez autant que possible les composantes de R1 et R2 , en notant qu’il demeure une composante inconnue de liaison. 2.b Montrez que l’´equilibrage complet du rotor, i.e. l’annulation des termes sources R et S dans le syst`eme (1.60), revient aux conditions suivantes : • condition d’´ equilibrage statique : le vecteur « balourd » mHG = 0, i.e. a = b = 0, i.e. le centre d’inertie G se trouve sur l’axe de rotation Oz ; • condition d’´ equilibrage dynamique : les moments d’inertie Ixz = Iyz = 0, i.e. l’axe de rotation Oz est axe principal d’inertie de S. Montrez en sus que la condition d’´equilibrage statique revient `a assurer que le terme de couple dˆ u u il est ind´ependant du temps. au poids, OG ∧ mg, est effectivement statique au sens o`

18

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

3 On d´esire ´equilibrer le rotor en disposant sur S une masse ponctuelle mα au point A de son bord rep´er´e par OA = xα ex + yα ey + zα ez et une autre masse ponctuelle mβ au point B de son bord rep´er´e par OB = xβ ex + yβ ey + zβ ez . 3.a Calculez les coordonn´ees a0 , b0 et c0 du centre de gravit´e G0 du syst`eme S 0 = S ainsi modifi´e, et explicitez la condition d’´equilibrage statique de S 0 . 0 et I 0 , du syst` 3.b Calculez les produits d’inertie en O, Ixz eme S 0 , et explicitez la condition yz d’´equilibrage dynamique de S 0 .

3.c Pourquoi ne doit-on pas en g´en´eral disposer les masses mα et mβ dans un mˆeme plan perpendiculaire `a l’axe de rotation, d’´equation z = constante ? 4 D’un point de vue pratique, comme on n’a pas acc`es directement `a la position du centre d’inertie ou aux moments d’inertie, on utilise la m´ ethode des coefficients d’influence pour ´equilibrer un rotor. Pour cela on caract´erise quantitativement le d´es´equilibre du rotor, en r´egime de rotation `a vitesse angulaire constante ω, en mesurant dans le r´ef´erentiel R0 une des composantes de R1 et R2 grˆace `a deux capteurs de forces, plac´es en P1 et P2 , et orient´es perpendiculairement `a l’axe de rotation. Si on appelle eX la direction de mesure de ces capteurs, on peut former une base fixe dans R0 `a l’aide des vecteurs   eX , eY , eZ = eX , ez ∧ eX , ez .  Dans cette base fixe la base li´ee au rotor ex , ey , ez est tournante, avec un angle de rotation   , ex (t) = ωt , φ(t) := eX\ et on mesure donc s1 (t) = R1 · eX grˆ ace au capteur 1,

s2 (t) = R2 · eX grˆace au capteur 2.

4.a En utilisant les r´esultats de la question 2.a, donnez l’expression g´en´erale de s1 et s2 . Montrez que l’on peut associer naturellement ` a ces signaux temporels oscillants des amplitudes complexes z1 et z2 dont on donnera l’expression. Vous introduirez enfin les amplitudes complexes normalis´ees Z1 = z1 /ω 2 et Z2 = z2 /ω 2 . Indication-commentaire : vous constaterez que la r`egle utilis´ee en traitement de signaux oscillants, s(t) = sx cos(ωt) − sy sin(ωt) = Re[z exp(iωt)]

←→

amplitude z = sx + isy ,

se marie harmonieusement, ici, avec la r`egle utilis´ee en analyse complexe pour associer un complexe `a un vecteur. 4.b Quelles conditions doit-on r´ealiser pour ´equilibrer le rotor ? 4.c La strat´egie propos´ee par la m´ethode des coefficients d’influence consiste `a ´equilibrer le syst`eme en positionant des masses ` a la p´eriph´erie de deux disques faisant partie de S, situ´es l’un en z = zα , l’autre en z = zβ 6= zα . On rep`ere la valeur de ces masses et leur position dans les plans de ces disques par les « balourds » bα = mα (xα + iyα ) , bβ = mβ (xβ + iyβ ) en notations complexes.

1.4 Probl` eme de l’´ equilibrage d’un rotor

19

On commence par mesurer les amplitudes complexes normalis´ees Z1 et Z2 sur S tournant seul ; on note les valeurs correspondantes Z10 et Z20 . On arrˆete alors S, et on place mα en un point A du premier disque de S. On mesure - apr`es retour au r´egime de rotation permanent - les nouvelles valeurs Z1α et Z2α des amplitudes complexes normalis´ees des signaux s1 et s2 . Montrez que l’on a alors Z1α = Z10 + c1α bα , Z2α = Z20 + c2α bα o` u l’on peut faire apparaˆıtre (i.e. mesurer pratiquement) des coefficients d’influence c1α et c2α dont on donnera la valeur th´eorique. On arrˆete `a nouveau le syst`eme, on enl`eve mα , et on dispose mβ en un point B du deuxi`eme disque de S. On mesure ensuite les nouvelles valeurs Z1β et Z2β des amplitudes complexes normalis´ees des signaux s1 et s2 . Montrez que l’on peut introduire des coefficients d’influence c1β et c2β de sorte que Z1β = Z10 + c1β bβ , Z2β = Z20 + c2β bβ . Dans le cas g´en´eral o` u on dispose mα en A point du premier disque et mβ en B point du deuxi`eme disque, montrez que les amplitudes vibratoires de s1 et s2 sont donn´ees par : Z1αβ = Z10 + c1α bα + c1β bβ , Z2αβ = Z20 + c2α bα + c2β bβ . D´ecrivez `a partir de ces r´esultats une m´ethode pratique d’´equilibrage. Vous noterez que, d’un point de vue th´eorique, cette m´ethode fonctionne si la matrice des coefficients d’influence ! c1α c1β [C] = c2α c2β est inversible ; vous v´erifierez th´eoriquement que cela est bien le cas. 5 En prenant un peu de recul par rapport `a ce probl`eme, on peut remarquer que l’on a privil´egi´e un point particulier O de l’axe de rotation dans tout le traitement. Montrez donc que si le rotor S est ´equilibr´e vis ` a vis de O, alors il est ´equilibr´e vis `a vis de tout autre point O0 de l’axe de rotation.

Chapitre 2

Pompes 2.1

Introduction

Une pompe est une machine hydraulique qui permet d’augmenter la charge H d’un fluide moyennant une puissance ext´erieure Pext > 0 fournie au fluide. Cette puissance est en g´en´eral fournie par un rotor en rotation.

2.1.1

R´ esultats du cours de m´ ecanique des fluides ω

S

s

S

v

e

s

v

e

Fig. 2.1 – Section d’une turbopompe.

On consid`ere un tube de courant de fluide incompressible en r´egime permanent (figure 2.1). On a donc la loi de conservation de la masse qui s’applique : X

v.ndS = 0

⇒

qv = ve Se = vs Ss

(2.1)

δΩ

Le bilan ´energ´etique dans un tube de courant qui contient une source (ou un puits) d’´energie s’´ecrit en l’absence de perte de charge : Pext = ρgqv (Hs − He )

(2.2)

avec les charges d’entr´ee He et de sortie Hs du tube de courant. On rappelle la d´efinition de la charge H (voir l’´equation (1.33) du cours de m´ecanique des fluides Plaut 2009a) : H=

p hvi2 +z+α ρg 2g

(2.3)

22

Chapitre 2 Pompes

p est la pression du fluide au point d’altitude z. La vitesse hvi d´esigne la vitesse d´ebitante `a travers une surface S et α est le coefficient d’´energie cin´etique qui sont d´efinis par les relations (1.34) du cours de m´ecanique des fluides Plaut 2009a. Si la puissance ext´erieure est ´echang´ee via un rotor en rotation, alors elle peut s’exprimer comme : Pext = Cext ω

(2.4)

ce qui fait intervenir le couple appliqu´e au rotor Cext et sa vitesse angulaire de rotation ω. On appellera Hth = Hs − He > 0 la charge th´eorique atteinte lorsqu’il n’y a pas de perte dans la pompe. D’apr`es la d´efinition de la charge, on en d´eduit que : "  2 # Se ρ qv2 1− ps − pe = ρgHth + (2.5) 2 2 Se Ss En g´en´eral dans une pompe, Se . Ss ce qui rend le deuxi`eme terme n´egligeable. On a donc une augmentation de pression ` a travers une pompe (∆p = ps − pe > 0). Plac´ee dans un circuit, une pompe peut-ˆetre consid´er´ee comme une singularit´e qui augmente la charge. Dans une turbopompe (en g´en´eral hydromachines qui incluent les turbines), il n’y a aucun organe d’´etanch´eit´e entre l’entr´ee et la sortie. On peut traverser la machine par un chemin continu trac´e dans le fluide. Il y a d’autres classes de pompes o` u ce n’est pas le cas, par exemple, les pompes volum´etriques.

2.1.2

Pompes volum´ etriques

piston

e

1

2

s

Fig. 2.2 – Sch´ema d’une pompe ` a piston (volum´etrique). Clapet d’aspiration 1, clapet de refoulement 2.

– En phase d’aspiration, le clapet 1 est ouvert et le 2 ferm´e. – En phase de refoulement, le clapet 1 est ferm´e et le 2 ouvert. Dans ce cas l’entr´ee est d´econnect´ee de la sortie et on ne peut pas passer par un chemin continu entre les points e et s. Il existe d’autres types de pompes volum´etriques : – pompes ` a palettes, – pompes ` a engrenages, – pompes ` a ´ecrasement de tuyaux, – ...

2.1 Introduction

23

air

q fluctuant

P

q presque constant eau

Fig. 2.3 – Capacit´e pneumatique.

dont les principales caract´eristiques sont un faible d´ebit mais de grandes pressions de refoulement. De plus, ces pompes conduisent ` a des d´ebits fluctuants dans le temps, ce qui n´ecessite assez souvent la mise en place de capacit´e pneumatique pour stabiliser le d´ebit (figure 2.3). Les machines volum´etriques sont surtout utilis´ees comme organes de puissance (∆p grands) ou commande de puissance.

2.1.3

Configuration d’une turbopompe

Il existe plusieurs technologies de pompes. On peut les classer en deux cat´egories principales : les pompes volum´etriques et les turbopompes. Les pompes volum´etriques sont celles qui permettent le saut de pression le plus important mais cela n’est vrai qu’avec des fluides incompressibles et cela se fait en g´en´eral au d´etriment du d´ebit et de sa r´egularit´e. Enfin, du fait de l’´etanch´eit´e interne ` a la pompe (le volume de fluide captur´e ne doit pas pouvoir s’´echapper), ce sont souvent des pompes fragiles qui tol`erent mal les fluides charg´es en particules solides et abrasives comme, par exemple, du sable. C’est pourquoi les turbopompes sont tr`es largement utilis´ees dans un contexte industriel. Dans une turbopompe, le transfert d’´energie s’effectue entre le fluide et une roue mobile. La th´eorie g´en´erale est la mˆeme quelque soit le sens de transfert (pompe ou turbine). On distingue : – les machines ` a passage tangentiel, surtout pour la turbine Pelton o` u l’on peut encore raisonner en turbomachine car il existe des pompes `a passage tangentiel, mais il est difficile de les consid´erer comme des turbomachines. qv

ω

– Les machines ` a passage radial (pompes centrifuges).

H

24

Chapitre 2 Pompes

Fig. 2.4 – Exemples de pompes volum´etriques.

2.2 Triangle des vitesses

25 sortie

entree

– Les machines ` a passage axial ou h´elico¨ıdal (pompes `a h´elices). ω

La disposition g´en´erale d’une turbomachine comporte : – Une roue mobile o` u se fait le transfert d’´energie. – Des dispositifs fixes (dans certains cas orientables) d’entr´ee - sortie destin´es `a amener ou ` a ´evacuer le fluide en lui donnant une orientation convenable. – La roue mobile est munie soit d’augets (g´en´eralement `a l’air libre) soit d’aubes g´en´eralement noy´ees dans le fluide.

2.2

Triangle des vitesses

Consid´erons une pompe centrifuge :

v

e w

S2

u M

M’

ω r

R1

R1

S1 O ω

R2

R2

b

Fig. 2.5 – Triangle de vitesse sur une roue de pompe centrifuge.

Soit un point M du rotor (aube), sa vitesse d’entrainement est u : u = ω ∧ OM;

|u| = rω

(2.6)

avec w la vitesse relative du fluide telle que sur le rotor w.nrotor = 0. La vitesse absolue est donn´ee par v = u + w. On d´efinit l’angle β = (u, w) ce qui permet de dessiner le triangle des vitesses ` a l’entr´ee et `a la sortie.

26

Chapitre 2 Pompes w1

v1 w2

vn1 β

S1 R1

n1

1

R ω 1

v2 β

S2 u1

R2

entree

vn2

2 R ω 2

n2

u2

sortie

Fig. 2.6 – Triangle des vitesses entr´ee et sortie

Le d´ebit qv =

RR S

v.ndS se conserve. Si n est le nombre d’aubes, on a donc : qv = vn1 (2πR1 − ne1 )b1 = vn2 (2πR2 − ne2 )b2

(2.7)

avec ei l’´epaisseur des aubes ` a l’entr´ee (1) et `a la sortie (2). On fait une hypoth` ese importante : le triangle des vitesses dans le fluide au point M’ situ´e 0 entre 2 aubes est le mˆeme au point M situ´e sur le rotor si |OM| = |OM |. En r´ealit´e ceci n’est pas tout `a fait exact et mˆeme en fluide parfait, de part et d’autre d’une aube, wintrados 6= wextrados . De plus, comme les fluides sont visqueux, on a w(M ) = 0 (adh´erence). Ainsi, la th´eorie qui suit est une th´eorie approch´ee.

2.3

Principe de quantit´ e de mouvement angulaire

Le principe de quantit´e de mouvement angulaire s’´ecrit : ZZZ ZZ ZZZ X    ∂  d OM ∧ (ρv)dV = OM ∧ (ρv) dV + OM ∧ (ρv) v.ndS = Γext (O) dt ∂t V S V (2.8) On fait l’hypoth`ese que le r´egime est quasi-permanent, c’est-`a-dire que ∂/∂t = 0. Consid´erons un S volume de contrˆ ole fluide V limit´e par une surface ferm´ee S = 6i=1 Si en pointill´e sur la figure 2.7.

S2 n2

S5 S6

S3 S1

S4

M

O Fig. 2.7 – Volume fluide de contrˆole autour du rotor.

Calculons le terme

ZZ



 OM ∧ (ρv) v.ndS

S

de la relation de conservation de quantit´e de mouvement 2.8.

2.3 Principe de quantit´ e de mouvement angulaire

27

– Sur S5 et S6 , n5 = −n6 donc la contribution est nulle. – Sur S3 et S4 , on a ZZ ZZ ZZ     OM ∧ (ρv) v.ndS = OM ∧ (ρv) u.ndS + S3 ∪S4

S3

  OM ∧ (ρv) u.ndS (2.9)

S4

car v = u + w et w.n = 0. De plus, si l’on fait l’hypoth`ese que l’aube est de faible ´epaiseur, alors, u3 = u4 , w3 ' w4 ⇒ v3 ' v4 et n3 ' −n4 . On en d´eduit que ZZ   OM ∧ (ρv) v.ndS ' 0 (2.10) S3 ∪S4

– Enfin, on trouve : ZZ



ZZ



  OM ∧ (ρv) v.ndS

OM ∧ (ρv) v.ndS =

(2.11)

S1 ∪S2

S

Calculons maintenant le terme X

ext

Γ

ZZ OM ∧ t(M )dS

(O) = S

de l’´equation 2.8. t(M ) = −pn d´esigne la contrainte au point courant M. RR – Sur S5 et S6 , S5 ∪S6 OM ∧ t(M )dS = 0 car n5 = −n6 . RR – Sur S3 et S4 , S3 ∪S4 OM ∧ t(M )dS = Crotor→f luide . RR RR – Sur S2 (ou S1 ), S2 OM ∧ t(M )dS = S2 OM ∧ (−p2 n2 )dS avec OM = R2 n2 d’o` u ZZ OM ∧ t(M )dS = 0 S1 ∪S2

Ainsi, on trouve la relation qui existe entre le bilan de quantit´e de mouvement angulaire et le couple qu’exerce le rotor sur le fluide : ZZ   OM ∧ (ρv) v.ndS = C (2.12) S1 ∪S2

En multipliant les termes de l’´equation 2.12 par ω et en utilisant la propri´et´e du produit mixte : ω.(OM ∧ ρv) = OM.(ρv ∧ ω) = ρv.(ω ∧ OM) = ρv.u D’o` u l’expression de la puissance hydraulique : ZZ Pext = C.ω =

(ρu.v)v.ndS

(2.13)

S1 ∪S2

Comme u et v sont constants sur S1 et S2 , que − Pext = ρgqv Hth , on en d´eduit que : Hth =

RR S1

v1 .n1 dS =

u2 .v2 − u1 .v1 g

RR S2

v2 .n2 dS = qv et que

(2.14)

On voit donc que Hth est directement li´ee aux triangles des vitesses et donc `a la configuration (dessins des aubes). Hth ne d´epend pas du fluide v´ehicul´e. Remarque 1 : Si u et v ne sont pas constants sur S1 et S2 , on prend une valeur moyenne. C’est le cas des pompes ` a h´elices par exemple. Remarque 2 : On trouve le mˆeme r´esultat pour les turbines avec un signe −, c’est-`a-dire que Hth = (u1 .v1 − u2 .v2 )/g.

28

Chapitre 2 Pompes

2.4

Notions de charge relative

On a Hth = Hs − He , donc Hs − u2g.v2 = He − u1g.v1 . Comme ui .vi = ui .(ui + wi ) = u2i + ui wi , Hi −

pi w2 − u2i ui .vi = + zi + i g ρg 2g

(2.15)

en posant H1 = He et H2 = Hs . On appelle la charge relative, la quantit´e : Hr =

p w2 − u2 +z+ ρg 2g

(2.16)

et on a alors, Hr (2) = Hr (1)

(2.17)

La charge relative se conserve dans une turbomachine.

2.5 2.5.1

Caract´ eristique d’une pompe centrifuge Caract´ eristique th´ eorique

Compte tenu de la configuration d’une pompe centrifuge (2.5), on peut concevoir que l’´ecoulement est radial en R1 . On admet qu’il reste radial `a l’entr´ee de S1 , d’o` u le triangle des vitesses ` a l’entr´ee 2.8. w1

v1

β

vn1 2 u1

Fig. 2.8 – Triangle th´eorique `a l’entr´ee.

On a u1 .v1 = 0 d’o` u: Hth =

w2

u2 .v2 g

(2.18)

v2 β

vn2

2 u2

Fig. 2.9 – Triangle th´eorique `a la sortie.

u2 .v2 = u22 + u2 w2 cos(β2 )

(2.19)

2.5 Caract´ eristique d’une pompe centrifuge

29

Comme on a w2 = vn2 / sin(β2 ), vn2 S2 = qv et ω = 2πN avec N le nombre de tour par seconde, on peut ´ecrire : Hth =

(2πR2 )2 2 2πR2 cos(β2 ) N + N qv g gS2 | sin(β2 )|

(2.20)

Ainsi, la caract´eristique th´eorique Hth (qv , Nf ixe ) est donn´ee sur la figure 2.10.

βπ/2 qv Fig. 2.10 – Caract´eristique th´eorique d’une pompe centrifuge.

2.5.2

Caract´ eristique r´ eelle

Perte par choc ` la sortie de S2 , on installe des ´el´ements fixes (redresseurs) qui permettent de mieux canaliser A le fluide vers la sortie de la pompe (figure 2.11).

w 2 w2

v2

qv w

β 2

β 2 a

v2

u2

2

b

β v 2 2

u2

c

u2

Fig. 2.11 – Redresseurs N fix´e.

– Pour le cas a, on voit que l’´ecoulement rentre sans chocs dans les redresseurs. Ceci se produit pour un d´ebit qv = qa (d´ebit d’adaptation). – Pour le cas b, le d´ebit qv > qa et il se produit un choc entre l’´ecoulement et les redresseurs. Il y a donc des pertes de charge par choc. De mˆeme, dans le cas c, o` u qv < qa . ` A l’entr´ee de S1 , on a le mˆeme sc´enario, sauf que le choc se fait `a l’entr´ee de l’aube. Comme les pertes de charge s’´ecrivent en Kqv2 et comme il n’y a pas de perte de charge par choc pour le d´ebit d’adaptation qa , on admet que les pertes de charge par choc s’´ecrivent : ∆Hchoc = Kc (qv − qa )2 avec Kc un coefficient de perte de charge par choc.

(2.21)

30

Chapitre 2 Pompes

w

v

1

w1

1

v1

qv

a

w1

β 1

β 1 u1

b

u1

v1 c

β 1 u1

Fig. 2.12 – a : qv = qa , b : qv > qa et c : qv < qa .

Perte par frottement et par singularit´ e L’´ecoulement du fluide sur les parois des aubes et les parois des redresseurs induisent une perte de charge par frottement visqueux analogue `a celle rencontr´ee dans les tubes. Pour simplifier, on prend une loi de type rugueux (Moody) : ∆Hf = Kf qv2

(2.22)

De plus, l’´ecoulement depuis l’entr´ee `a la sortie traverse plusieurs singularit´es : coudes, ´elargissement, changement de directions complexes, etc ... Ces singularit´es causent aussi des pertes de charge singuli`eres qu’on mod´elise par : ∆Hs = Ks qv2

(2.23)

d’o` u la perte de charge par frottement et singularit´e : ∆Hf s = Kf s qv2

(2.24)

avec Kf s = Kf + Ks . On appelle alors la perte de charge interne ∆Hi : ∆Hi = ∆Hchoc + ∆Hf s

(2.25)

et la charge nette Hn de la pompe est Hn = Hth − ∆Hi

(2.26)

Le rendement interne est donn´e par : ηi =

Hn Hth

(2.27)

Ainsi, on en d´eduit la caract´eristique r´eelle de la pompe figure 2.13. En g´en´eral, on trace Hn et ηi sur la mˆeme courbe. La partie ascendante de Hn peut conduire a` une instabilit´e de pompage.

2.5.3

Bilan de rendements

Le bilan d’´energie peut-ˆetre sch´ematis´e comme suit figure 2.14. Sur la cascade d’´energie, on distingue :

2.5 Caract´ eristique d’une pompe centrifuge

31

15

Hth

∆ Hchoc ∆H

fs

Hn

H (m)

10

5

qc qa

0 0

2

4 −2 3 6 qv (x10 m /s)

8

10

Fig. 2.13 – Caract´eristique r´eelle `a N fix´e.

pm ρgq ∆H v i

Cω ρgq H v th ρgq H v n

transfert Fig. 2.14 – Cascade de l’´energie dans une pompe.

– – – – –

Cω la puissance disponible sur l’arbre fournie par le moteur. pm la puissance perdue par frottement m´ecanique dans les paliers. ρgqv Hth la puissance th´eorique. ρgqv ∆Hi la puissance perdue par choc et frottement visqueux. ρgqv Hn la puissance r´eellement r´ecup´er´ee par le fluide.

On introduit donc trois types de rendement : – Rendement m´ecanique : ηm = ρgqv Hth /Cω. – Rendement interne ou hydraulique : ηi = Hn /Hth . Ce rendement peut atteindre 90% pour les pompes de grandes puissances. – Rendement total : η = ηm ηi . Ce dernier prend en compte tous les types de pertes aussi bien m´ecanique qu’hydraulique.

32

Chapitre 2 Pompes

2.6

Pompes ` a h´ elices

L‘’´ecoulement est principalement axial (h´elico¨ıdal dans la roue). Le fluide entre par un convergent et ressort par un divergent appel´e diffuseur. La figure 2.15 pr´esente le sch´ema de principe. pales distributeur

redresseur

M Rm ω

Fig. 2.15 – Sch´ema de principe d’une pompe `a h´elice.

Une coupe de la pale au point M au rayon moyen Rm conduit `a la construction du triangle des vitesses figure 2.16. distributeurs fixes

u1

u2

w2

γ

vn1

γ α 11 w1 v1 β 1

pales

vn2

α 2 2 v2

redresseurs fixes

β 2

Fig. 2.16 – Triangle des vitesses dans une pompe `a h´elice.

On a : u1 = u2 = Rm ω

et vn1 = vn2 =

qv S

(2.28)

Dans certaines configurations (notamment en turbine), les distributeurs sont orientables, ainsi que les pales de l’h´elice. Les angles les plus pertinents sont les angles qui indiquent les directions des distributeurs et des pales par rapport `a la direction principale de l’´ecoulement, c’est-`a-dire α1 et γ2 , compt´es alg´ebriquement. Dans ce cas, on a : gHth = u2 .v2 − u1 .v1

(2.29)

ce qui donne :

gHth

 = u[u + vn (tan(γ2 ) − tan(α1 ))] = u u + 2vn

sin(γ2 − α1 ) cos(γ2 + α1 ) + cos(γ2 − α1 )

 (2.30)

2.7 Probl` emes g´ en´ eraux

33

Comme on sait que u ∝ N et vn ∝ qv , on retrouve : Hth =

(2πRm )2 2 2πRm N qv (tan(γ2 ) − tan(α1 )) N + g gSm

(2.31)

Selon les valeurs de γ2 et de α1 , la caract´eristique th´eorique a l’allure suivante : tan(γ )-tan(α )>0 2 1

Hth

tan(γ )-tan(α )=0 2 1

tan(γ )-tan(α )