Jenis – Jenis Jenis Graf dan Graf Bipartisi Edi Sutomo
email
:
[email protected] twitter : @ed_1st
Abstrak mekalah ini membahas tentang pengklasifikasian graf serta termasuk mengupas tentang Graf Bipartisi. secara umum graf dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya edge edge yang paralel atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada atau tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan graf yang yang lain. Selain berdasarkan berdasarkan ada atau tidaknya sisi yang paralel atau loop, loop, graf dapat pula di-kelompokan berdasarkan berdasarkan arah sisinya dan bisa juga ditinjau dari jumlah titik (vertex) vertex) yang menyusun suatu graf. Terdapat beberapa poin dari pembahasan graf bipartisi suatu graf yaitu himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan dan setiap pasang titik di (demikian pula dengan titik – titik titik di ) tidak bertetangga. Kata Kunci: Jenis Graf, Graf Bipartisi
1. Pendahuluan
Teori graf sebagai sub cabang dari matematika diskrit dengan objek kajian segala sesuatu
yang berbeda dan dan saling terpisah (lawan dari kontinu)
dipergunakan untuk menampilkan
obyek-obyek obyek-obyek diskrit dan dan hubungannya. hubungannya.
Representasi visual dari graf graf adalah dengan menyatakan
obyek sebagai
noktah, bulatan atau titik, sedangkan sedangkan hubungan hubungan antara obyek
dinyatakan
dengan garis (Munir, 2003). Secara kontekstual graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada sebagai visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti. Tiap-tiap diagram memuat sekumpulan obyek (kotak, titik, dan lain-lain) beserta garis-garis garis -garis yang menghubungkan menghubungkan obyek-obyek tersebut. Garis bisa berarah ataupun tidak berarah. Garis yang berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan antar objek-objek. Urut-urutan objek akan mempunyai arti yang lain jika arah garis diubah. Sebagai contoh adalah garis komando yang menghubungkan titik-titik struktur sebuah organisasi. Sebaliknya, garis yang tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antar objek-objek yang tidak mementingkan urutan.
2. Dasar – dasar Graf
Telah diketahui bersama, secara umum terdapat 3 (tiga) komponen graf, yaitu; (1) titik (vertices) atau noktah yang merepresentasikan objek pada suatu graf, (2) sisi (edge) yaitu garis yang menunjukan menunjukan keterhubungan antar titik titik tersebut, dan (3) loop atau sebuah sisi yang menghubungkan titik pada dirinya sendiri.
Gambar 1. Graf yang memuat loop Definisi 1
Suatu graf G terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik-titik
dan himpunan garis-garis yang dipasangkan degan aturan tertentu dan dinotasikan dengan tidak kosong
Contoh 1:
dengan dan maka penggambaran graf yang dimaksud Diberikan
adalah
Gambar 2. Graf . Dua
titik
dikatakan
menghubungkan
berhubungan
keduanya.
Titik
(adjacent )
yang
tidak
jika
ada
garis
yang
mempunyai
garis
yang
berhubungan dengannya disebut Titik Terasing ( Isolating Point ) Graf yang tidak mempunyai titik (sehingga tidak mempunyai garis) disebut graf kosong.
Jika semua garisnya berarah maka graf-nya disebut Graf Berarah ( Directed Graph, atau sering disingkat digraph). Jika semua garisnya tidak berarah, maka graf-nya disebut Graf Tak Berarah (undirected graph). Dalam kajian ini, jika hanya disebutkan graf saja, maka yang dimaksud adalah graf tak berarah. Definisi 2
dikatakan menghubungkan titik dan . Jika adalah sisi pada graf , maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), dan serta dan disebut terkait langsung (incident). Untuk selanjutnya, sisi ditulis dengan . Sisi
Definisi 2 dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 3. Sisi e = (u, v).
sisi di , maka dan disebut terhubung langsung (adjacent ), sedangkan dan serta dan disebut terkait langsung (incident ). Karena
Definisi 3
disebut “order ” dari dan dilambangkan dengan , unsur di disebut “ size” dari dan dilambangkan dengan
Banyaknya unsur di dan banyaknya
. Definisi 3 bisa digambarkan melalui salah satu graf berikut,
Gambar 4. Graf dengan order 4 dan size 4.
Gambar 4 menunjukan bahwa graf
dan .
tersebut diperoleh dari
Definisi 4
Graf disebut subgraf dari graf
jika himpunan titik di adalah subset dari himpunan titik di dan himpunan sisi di adalah subset dari himpunan sisi di , atau ditulis dengan dan . Jika adalah subgraf , maka dapat ditulis . Deskripsi dari definisi 4 bisa dilihat pada gambar berikur,
Gambar 5. subgraf . Definisi 5
, maka merupakan subgraf dari dengan himpunan titik dan sisinya adalah semua sisi di yang tidak terkait langsung dengan
Misal
adalah graf dengan
dan
Penggambaran dari definisi 5 adalah,
Gambar 6. Penghapusan vertex pada graf Melalui gambar bagian
jumlah
.
vertex maupun edge nya makin
lama makin berkurang jumlahnya. Definisi 6
dan ,maka adalah subgraf yang himpunan titiknya adalah dan himpunan sisinya adalah .
Jika terdapat graf
Definisi 6 digambarkan melalui contoh berikut,
Gambar 7. Penghapusan sisi dari Graf Gambar 7 merupakan penurunan dari gambar
menghilangkan sisi . dan gambar
dengan menghilang sisi dari gambar dengan
merupakan penurunan
3. Beberapa Jenis Graf
Secara umum graf dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya edge yang paralel atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada atau tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan graf yang lain. Berikut ini adalah jenis graf berdasarkan ada tidaknya sisi yang paralel atau loop. i. Graf Sederhana ( simple graph) , g raf ini merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung sisi ganda ataupun loop. Contoh gambar graf sederhana adalah,
5
Gambar 8. contoh graf sederhana. ii. Graf tak sederhana (unsimple graph)¸graf tak sederhana merupakan inverse dari graf sederhana, sehingga setiap graf yang memiliki sisi ganda dan atau loop masuk dalam kategori graf tak sederhana. Secara umum, graf tak sederhana dibagi dalam dua kategori, yaitu:
a. graf ganda (multigraph), yaitu graf yang mengandung lebih dari satu sisi untuk dua titik yang sama. Salah satu representasi graf ganda ditunjukan oleh gambar 9 dibawah ini,
7
6
5
gambar 9. graf ganda b. graf semu ( pseudograph), graf ini merupakan graf yang memiliki loop, termasuk juga graf yang memiliki loop dan sisi ganda. Salah satu representasi dari graf semu ditunjukan oleh gambar 10 dibawah ini,
7
6
5
Gambar 10. Graf semu Selain berdasarkan ada atau tidaknya sisi yang paralel atau loop, graf dapat pula
di-kelompokan
berdasarkan
berdasarkan
arah
sisinya.
Graf
ini
dikelompokan dalam dua kategori, yaitu: a. graf berarah (directed graph atau digraph) yaitu graf yang setiap sisinya memiliki arah, pada graf berarah kondisi
,
b. graf tak berarah (undirected graph) merupakan graf yang setiap sisinya tak memiliki arah. Bila ditinjau dari jumlah titik (vertex) yang menyusun suatu graf, secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis, yaitu:
a. graf berhingga (limited graph), yaitu graf yang jumlah titiknya berhingga. Gambar 1 sampai gambar 10 diatas merupakan representasi dari graf berhingga. b. graf
tak berhingga (unlimited graph), merupakan graf
titiknya
yang jumlah
tak berhingga. Gambar dibawah ini merepresentasikan graf tak
berhingga,
Gambar 11. Graf tak berhingga.
4. Beberapa Graf Sederhana yang Khusus
Selain pengelompokan graf seperti diatas, terdapat juga graf sederhana yang khusus. Beberapa graph sederhana khusus yang sering dijumpai dan banyak didiskusikan adalah, a. Graf Lengkap (Complete Graph) Graph lengkap merupakan graph sederhana yang setiap titiknya terhubung ke setiap titik yang lain. Graph lengkap dengan dinotasikan dengan
.
Setiap titik
pada graf lengkap yang terdiri dari
berderajat .
buah titik Jumlah sisi
. Contoh buah titik adalah
graf lengkap direpresentasikan oleh gambar berikut,
Gambar 11. Graf Lengkap. b. Graf Kosong Graf kosong pada
titik yang dinotasikan dengan merupakan graf
yang himpunan sisi – sisinya merupakan himpunan kosong. Dengan
kata lain graf yang tidak memiliki sisi sehingga setiap titik tidak saling terhubung. Contoh graf kosong direpresentasikan oleh gambar berikut;
Gambar 12. Graf Kosong c. Graf Komplemen Apabila terdapat graf
,
maka komplemen dari
yang
dinotasikan
̅ merupakan graf yang titiknya adalah titik dari graf , namun ̅ komplemen sisinya bukanlah sisi dari graf atau ditulis dengan . Perhatikan gambar dibawah ini, oleh
Gambar 13. Graf
̅
dan komplemennya
d. Graf Lingkaran (cycles) Graph lingakaran merupakan graf sederhana yang setiap titiknya
buah titik dilambangkan dengan . Jika titik – titik pada adalah maka sisisisinya adalah dan
berderajat dua. Graph lingkaran dengan
Gambar 14. Graf lingkaran 7 . e. Graf Teratur ( Reguler Graph) Syarat dari graf teratur adalah setiap titiknya memiliki derajat yang sama. Apabila derajat setiap titik adalah graf teratur berderajat
.
maka dikatakan sebagai
Jumlah sisi pada graph teratur
. Graf kosong merupakan
dengan
buah
titik adalah
graf reguler dengan
.
Gambar berikut merupakan contoh dari
berderajat
graf teratur,
Gambar 15. Graf teratur. 5. Graf Bipartisi(Bipartisie Graph)
yang himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian misal dan sedemikian sehingga setiap sisi di dalam menghubungkan sebuah titik di ke sebuah titik di merupakan graf Bipartisi dan dinotasikan dengan . Dengan kata lain, setiap pasang titik di (demikian pula dengan titik – titik di ) tidak bertetangga. Gambar 16 Suatu graf
merupakan contoh graf Bipartisi,
Gambar 16. Graf Bipartisi. Apabila setiap titik di terkoneksi dengan semua simpul di
disebut
sebagai
(complete Bipartisie graph), dinotasikan dengan Bipartisi lengkap adalah .
graph
Bipartisi
, maka lengkap
. Jumlah sisi pada graf
Teorema 1
Graf jika dan hanya jika tidak terdapat sikel ganjil (odd cycles) Bukti
Harus ditunjukan bahwa terdapat sikel ganjil bukanlah graf bipartit.
merupakan titik dari sikel ganjil pada . Jika merupakan graf bipartisi, maka akan menjadi bagian dari atau , maka karena merupakan tetangga dari dan karena merupakan tetangga dari dan seterusnya hingga diperoleh . Akan tetapi apabia dan saling bertetangga Misalkan
hal ini menimbulkan kontradiksi dan merupakan dirinya sendiri, sehingga partisi yang dilakukan tidak valid untuk graf
.
Selanjutnya, kita tetapkan sebuah partisi dari dari
dengan aturan :
2. Selanjutnya perlu ditunjukan bahwa memang partisi dari . Andaikan dan adalah dua titik di , sehingga . Misalkan menjadi lintasan terpendek , menjadi lintasan terpendek dan menjadi titik temu pertama dari dan . Jelas bahwa sejak dan adalah lintasan – lintasan terpendek, maka bagian juga merupakan lintasan terpendek . Faktanya mereka memiliki panjang yang sama. Andaikan dan berturut – turut adalah bagian dan dari dan . Karena dan memiliki panjang yang sama menyebabkan dan juga memiliki kesamaan yang sama. maka tidak ada dua titik di yang bertetangga. Begitu juga di , tidak terdapat dua titik yang saling bertetangga. Maka memang sebuah partisi di . Gambar dibawah 1.
ini merupakan contoh graf yang bisa dipartisi,
Gambar 17. Graf yang bisa dipartisi. Graf
diatas
tidak memiliki cycle ganjil sehingga bisa dibipartisi
menjadi graf bipartisi tanpa menghilangkan satupun titik ataupun sisi yang dimilikinya sebelum dibipartisi. Sebuah graf terhubung memiliki bipartisi yang unik. Berikut adalah gambar graf bipartisi dari graf
Gambar 18. Gambar bipartisi graf
pada gambar 17 diatas.
dari (bentuk lain dari gambar 17).
Terlihat bahwa graf tersebut bukanlah graf bipartisi komplit sehingga graf tersebut tidak dapat dijadikan biclique subgraf dari graf itu sendiri. Jika suatu graf tidak dapat dibipartisi dengan tetap mempertahankan semua titik dan sisinya maka graf tersebut bukanlah graf bipartisi tapi hanya akan memiliki subgraf bipartisi saja.
Gambar 19. Biclique dari subgraf .
Graf G pada gambar 19 memiliki cycle dengan panjang ganjil maka graf tersebut tidak dapat dipartisi tanpa menghilangkan satupun titik ataupun sisi didalamnya. Dengan kata lain graf tersebut bukanlah graf bipartisi. Untuk graf yang ada disampingnya tersebut merupakan sebuah subgraf bipartisi komplit (biclique) dengan
dan .
Sebuah subgraf
biclique dapat disebut subgraf biclique maksimal jika kita tidak mungkin
〈 〉, yang berarti subgraf tersebut mengandung tepat semua sisi yang berawal di dan berakhir di . menambahkan sisi lagi ke himpunan sisi
Definisi 7
disebut biclique jika untuk setiap dan sebuah sisi antara dan , yaitu {
Sebuah bipartisi
terdapat }.
5.1 Subgraf Bipartisi
terdiri dari himpunan titik dan himpunan . Diasumsikan merupakan sebuah graf tak
Sebuah graf sisi
dengan
dan setiap adalah pasangan sisi tak berurut. Sebuah graf 〈 〉 yang dilambangkan dengan kurung siku adalah sebuah subgraf dari graf jika dan hanya jika dan . Himpunan sisi dari biclique dapat ditentukan dengan dua himpunan titik dan , maka kita dapat mengabaikan himpunan sisi dan menunjukkan sebuah biclique sebagai . Diberikan adalah sebuah graf tak berarah, dan adalah dua subset dari . Jika dan semua sisi-sisi antara dan membentuk sebuah biclique subgraf dari , maka dan dikatakan membentuk sebuah biclique subgraf dari . Berdasarkan definisi tersebut, untuk setiap subset dari , dan membentuk sebuah biclique subgraf dari . berarah dan tanpa lup, yaitu tidak terdapat
Definisi 8
〈 〉 adalah maksimal biclique subgraf jika adalah biclique subgraf dari sedemikian sehingga dan adalah Sebuah graf
maksimal dengan artian bahwa tidak terdapat subgraf bipartisi komplit lain
〈 〉 dari dengan dan sedemikian sehingga dan 6. Penutup
Secara umum graf dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya edge yang paralel atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada ata u tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan graf yang lain. Selain berdasarkan ada atau tidaknya sisi yang paralel atau loop, graf dapat pula di-kelompokan berdasarkan berdasarkan arah sisinya dan bisa juga ditinjau dari jumlah titik (vertex) yang menyusun suatu graf. Terdapat beberapa titik tekan dari graf bipartisi suatu graf
yaitu
himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan dan setiap pasang titik di (demikian pula dengan titik – titik di ) tidak bertetangga.
7. Referensi
Harris, John M, Hirst, Jeffry L, Mossinghoff, Michael J. 2008. Combinatorics and Gra[h Theory (Second Edition). Springer Science+Business Media, LLC Godsil C and Gordon Royle. 2000. Algebraic Graph Theory. Graduate Texts in Mathematics 207. Springer. Asratian A. S, Tristan M. J. Denley and Roland Haggkvist. 1998. “Bipartite Graphs and Their Application”, Cambridge Tracts inMathematics 131.
