Jee 2014 Booklet5 Hwt Solutions Integral Calculus 1

Vidyamandir Classes

Solutions to Home Practice Test/Mathematics Integral Calculus-1 1.(C)

I

n cos n  1

 1  sin x 

n

n  sec x  sec x  tan x  dx

  sec x  tan x    n sec xdx

dx 

HWT - 1

 sec x  tan x n  1

n

Put  sec x  tan x   t and sec x  sec x  tan x  dx  dt 

2.(CD)

I

t

ndt



n 1

1 t

n

1



 sec x  tan x 

 cos n x



n

1  sin x n

 tan 2 x . tan 3x . tan 5x dx   tan 5x  tan 2 x  tan 3x  dx

[Using tan 5 x  tan  2 x  3x  ]

1 1 1 log sec 5 x  log sec 2 x  log sec 3x  k 5 2 3



 log sec 1 2 2 x . sec 1 3 3 x . sec1 5 5 x  k a

 3.(D)

 x  x   x  Put  2 x I

3t

5.(D)

 x 2t  x t

 2x

 3x t  6

2t

   2 x

1t

 x 2t 1  x t 1

3t

1 5







and

a 3  b 3  c 3  3a 1b 1c 1

1t

dx



1t

 3x 2t  6 x t



ab  bc  ca  0

dx

3t 1

dx



 3x 2t  6 x t  u and 6t x 3t 1  x 2t 1  x t 1 dx  du I



 u 1 t du   u 1 t  1





1  6t   1 t 

6t

2x

3t

 3x 2t  6 x t 6 1  t 





Put xe x  t, e x  xe x dx  dt to get :

 cos  xe    cos 2

I



dt

x

 x  1 dx

 x 1  xe   x

I



2

2

t 

 sec

dt

2



e x dx

x

 t 1  t    1  t  dt

dt

2

 1  t    t dt   1  t   1  t  dt

1

dt

dt

2

2

1 1  t   c  log  c  1 t  1 t  1 t

 1 c   1  xe x 

  2  e  e  1 . Put e x

 t  dt  tan  t   tan  xe x   c

1  t   t  dt  2 t 1  t 

1  t   t  dt  t 1  t 

 xe x  log   1  xe x 

I

2

. Put xe x  t to get e x  x  1 dx  dt

 t 1  t    



 log  t   log 1  t  

7.(B)



 x 2t 1  xt 1 x 2 x 2t  3 xt  6

e x 1  x  dx

6.(B)

c

and

3t 1

3t



1 1 ,b  2 3

x

 t to get: e x dx  dt

 t  2    t  1 dt dt      t  2  t  1   t  2  t  1

I 



 1

1 

  t  1  t  2  dt

 ex 1   t 1   n  t  1  n  t  2   c  n   c  n  x c  e 2 t2  

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

43

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes 8.(B)

I

  x  5

1



9.(D)

x4

I

 e

x

dx . Put x  4  t 2 to get dx  2t dt

 t  1 t  2 t 2t dt

2

dt 2

 2 tan 1  t   c  2 tan 1

1





x4 c



sec x  e x . log  sec x  tan x   dx  e x log  sec x  tan x   sec x  dx  d   log  sec x  tan x    dx  e x . log  sec x  tan x   c  e x log  sec x  tan x   dx  



 e x . log  sec x  tan x   c 10.(A)

I



 sin 1 x  cos 1 x   1  dx   sin x  cos 1 x  

4    sin 1 x  1 dx .   





 4t

   sin 2

1



x  cos 1 x dx 

2

   2 sin

1

x

Put x  sin 2 t to get dx  sin 2t dt



    1 sin 2t dt    t sin 2t dt   sin 2t dt

I

4

4  t cos 2t  cos 2t    cos 2t  2 sin 2t 4 cos 2t  dt    t cos 2t    c    2 2 4  2   2  





2  1 2 x 1 x 4 1  2 x  2 sin x 1  2 x      c   sin 1 x  2 x  1  x 1  x   x  c   4  2  



Integral Calculus-1 5.(B)

 x log 1

ex

 dx 2 

e log

e2 x

e dx 

1 



HWT - 2 

 x  log e  log x   2 log e  log x  dx   x 1  log x   2  log x  dx log e

log e

1

1

1

Let log x  k

e

1



k

1 1 ek dk  1  k   2  k 

 1

1 

  1  k  2  k  dk

 1 k   log   2  k  f  x   k  log x



lim

x0

6.(D)

lim

x0

log  x  1  0   0 form   from L.H. rule x  

1 1 x 1

Let x  3  t 2

  t  1 t   t



7.(CD)



1  t  1   2  log   t  1   2  1

2t dt

2 dt

2

2

 log

x  3 1 x  3 1

Let 1  x3  t 2





xdx 1  x3

2dt

 3x



2 cos 1  1  x3  3  

32





2 3



dt 1  t2



2 cos 1  t  3

 

But cos 1 1  x3 can also be written as sin 1 x3 2

2

2 x log  2  dx  2 x e x  log 2 I

I

9.(B)

Form perfect square in denominator

10.(B)

Let e x  k

x

e x dx  2 x e x 

e

8.(B)



x

e

x



f  x   sin 1 x and g  x   x3 2  x x



I

2x . ex c 1  log 2



sin e x dx  sin k dk   cos k   cos e x

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

44

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes

Integral Calculus-1 1.(C)

e

x

 tan x  log cos x   e x log cos x  c  e x log sec x  c

 3.(C)

e x has range R+.

Let x 2  t

Let

6.(D)

x

8.(D)

1 2

1 4

 x  1

34

4

t

1



1



2

 x  1 2

2

34

 1  x5 1   x4  

34

dx

1 t1 4  C   t1 4  C , where t  4 14

dt  

14

1 1

1

 1    1   x4  

C

x4

x  sin x

 1  cos x dx x   2 sec Let I 

2x



1 4



x

2

x x  tan dx  2 2

dx 

1 log 2



 x 2 sec 1

1 1  t2

2





K

dt

 

1 1 t sin 1    C  sin 1 2 x  C log 2 1 log 2  

1 . log 2

Putting tan 1 x  t and



etan

1 x

dx 1  x2

 1  x  x2   1  x2 

 dt , we get :  1  dx  et tan t  sec 2 t dt  et tan t  C  etan x . x  C  

 



 g  x   f  x   f   x  dx  g  x  f  x  dx  g  x  f   x  dx      f  x  g  x  dx   f   x  g  x  dx dx  g  x  f   x  dx        f  x  g  x   g  x  f   x  dx  g  x  f   x  dx  C     g  x  dx  g  x    f  x g  x  C    Integral Calculus-1

1.(D)



x x x x x x dx  tan dx  x tan  tan dx  tan dx  C  x tan  C 2 2 2 2 2 2

2 x  t, 2 x log 2dx  dt I

10.(C)

dx 

ex

x t

Putting

9.(A)



x e

5.(A)



dx 

t t tet  et e dt  2 2

3 x2



7.(A)

HWT - 3

HWT - 4

  sin x  4 sin x  1 dx 1



1 5



 sin x  4   sin x  1  sin x  4 sin x  1

1 5

 2t  4 1  t  2 dt 1 dt   1 5  t  2t  1 10  t  t 1 

1 5

 2t  1  t

dx 

2dt

2



1 5

2

2dt

2

 sin x  1 dx  5  sin x  4 dx 1

1

1

x    Putting tan 2  t   

2

2

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

45

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes 2 5



 t  1 1

1 10

dt 

2



1

 15  1  t  4    4      2

2

dt 

 4t  1  2 1 2  tan 1  C 5  t  1 5 15  15 

x    4 tan 2  1  1 2 1  tan  C x 15   tan  1 5 15   2   x 4 tan  1 2 2 2 A ,B , f  x  5 5 15 15

2  . 5

 2.(C)

 1  2 tan x tan x  sec x  dx  1  tan x  tan x  2 tan x sec x dx   sec x  tan x  2 tan x sec x  dx     tan x  sec x  dx  log sec x  log  sec x  tan x   C  log sec x  sec x  tan x   C  tan x tan x I  sin x cos x dx   tan x sec x dx 1   t dt , where t  tan x 12

2

3.(A)

12

2

2

12

2

2

I  2t1 2  C  2 tan x  C

4.(C)

Putting

5x

 t , we have

55

x 55 5 x x

5 5  log 5 dx  dt , we get :

5

5

55

5.(A)

x

3

5x

.5

. 5 dx  x

1

 log 53

3

C 

55

 log 53

C

 1  sin x dx   1  cos    x  dx 1

1

2 



 

1  x  x sec 2    dx   tan     b 2 4 2    4 2



  x  tan      b ,  4 2 a

 6.(C)

 1 dt   log 5

5x

t

where b = const.

 ,bR 4

  f  x  g   x   f   x  g  x  dx 

 f  x  g   x  dx   f   x  g  x  dx   f  x  g   x    f   x  g   x  dx    g  x  f   x    g   x  f   x  dx 

 f  x g  x  f  x g  x

7.(C)

4e x  6e x

 9e

x

 4e

x

dx 

4e2 x  6

 9e

4e2 x

2x

4

dx

 9e



2 6 log 9e2 x  4  log 9  4e 2 x  C 9 8



2 3 3 log 9e 2 x  4  log 9e 2 x  4  log e 2 x  C 9 4 4



3 35 x log 9e 2 x  4  C 2 36

2x

4

dx  6

 9e

18e2 x



1 4

2x















VMC/Solutions/Integral Calculus-1

dx 

2 9

 9e

2x

4

dx  6

e2 x

 9  4e

2 x

dx







46

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes 8.(B)

 x

I

Putting

x  1  t 2 , dx  2t dt , we get :

I 2

x2  1

x

4

1

t

2



9.(B)

x2

Let

3

2

 3x  3

t 1 2

4

tan

dx

x 1

dt  2

 t2  1

1





1 1   t

2

dt

2

1 t  t   3  

1   t t  2 x tan 1   C   3 3   3 x  1      

1  1 x   x  1 x  dx 1  1 x  dt    1  dx   t  2

 C  

2

dx 

2

2

2

2

where t  x 

2

x 2   2 x  

 x2  1   t  1 tan 1  tan 1  C C   2x  2 2  2  

1



10.(A)

Putting,

1 x

l r 1  x   t and

 xl

1 xl  x  l

1 dx 2

 x  . . . .l r  x 

2

 x  l 3  x  . . . .l r  x 

dx  dt , we get :



 1 . dt  t  C  l r 1  x   C

Integral Calculus-1

HWT - 5

1.(B) 2.(A)

Putting x n  1  t and n x n 1dx  dt , we get : 1  1

1

 x  x  1 dx  n  t t  1 dt  n   t  1  t  dt 1

1

1

n



3.(B)

x  t and

Putting

 4.(BC)

a

x

x

 xn  1 1  t 1 log   C  log  C   xn  1  n n  t   

1 2 x

dx  dt , we get :



dx  2 a t dt 

2a t 2a x C  C log a log a

 5  4 cos x dx 1





Hence,

x 2 dx  5 1  tan 2 x 2  4 1  tan 2 x 2

 

1  tan 2

 



t

2dt 2

9

, where t  tan

x 2

2 2  tan x 2  t tan 1    C  tan 1  C 3 3 3    3 

A

2 1 and B  3 3

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

47

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes

5.(AC)



log  x  1  log x x  x  1



dx 

1  log 1   x  dx 2 x x

 



1  log 1   x log t  dx   dt , t 1  x 2 1   x 





where t  1 

1 x

2

6.(A)





2 1 1 1  1  log t 2  C   log 1     C   log  x  1  log x   C 2 2  x  2



1 log  x  1 2 

x tan 1 x 1 x

2



2 2    log x 2  2 log  x  1 . log x   C   12 log  x  1  12  log x 2  log  x  1 . log x  C



1 2

dx 

 tan

1

x.

2x 1  x2

dx

 1 1  1 1 2 . 2 1  x 2 dx    2 1  x 2 tan 1 x  2 tan x . 2 1  x  2 1  x2  2 



 1  x 2 tan 1 x  log  x  1  x 2 

C  

Hence,



 dx   1  x2 1

f  x   tan 1 x and A = 1.

7.(C) 8.(BD)



ex

Let

I

Putting

1  ex  t 2

x

dx

1  ex





x  log t 2  1 , we get :

i.e.

     1    t2 I  2 log t 2  1 dt  2 t log t 2  1  2 dt   2 t log t 2  1  2 1     dt  2 2 t  1     t  1    

 





 



 

 1  ex  1    t  1  x x C  2 t log t 2  1  2t  log    C  2 x 1  e  4 1  e  2 log    1  ex  1   t  1    



1  ex  1

f  x   2 x  4  2  x  2  and g  x  

Hence, 9.(C)



1  ex  1

Putting sin x  t in the given integral, we get :





1  t2  1  t2



2

dt 

t2  t4



1  t  2  t  dt 2

2

t2  t4

 2 6  2  1   dt  t   6 tan 1  t   C 2 2  t t 1 t  



 sin x  2  sin x 

10.(AD)

  x  1  x 1

2

Therefore,

2

4



1

 6 tan 1  sin x   C

dx 

1  1 1     dx 3  x2  1 x2  4 



1 1 x tan 1 x  tan 1  C 3 6 2

A



1 1 and B   3 6

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

48

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes

Integral Calculus-1 1.(C)

 e tan sec x

2

HWT - 6



x  sec x  sec 2 x  tan x sec 2 x  tan x sec x dx







 e sec x  sec x tan x  sec x  tan x   sec x tan x  sec 2 x  dx   

e

sec x

sec x tan x .  sec x  tan x  dx 

e

sec x

  sec x tan x  sec x  e

  sec x  tan x  e sec x 

2





. sec x tan x  sec 2 x dx

sec x

dx 

 e  sec x tan x  sec x  dx sec x

2

 e sec x  sec x  tan x   C 2.(B)

sin8 x  cos8 x

 1  2 sin

2



3.(A)





 sin

2

x  cos 2 x

  sin

4

x  cos 4 x

1  2 sin x cos x 2

ax 2  b



x c 2 x 2  ax 2  b



4.(A)

dx

x cos 2 x





2

dx 

2



a  b x2



b  c   ax   x 

2

  cos 2 xdx   2 sin 2 x  C 1

dx

2

1 b  c 2   ax   x 

2

b   ax  x  b  1 d  ax    sin  k x   c     

We have

4e x  6e x 9e x  4e x



4e2 x  6 9e2 x  4

  6  A  9e

 dxd 9e  4   18Be

Let

4e 2 x  6  A 9e 2 x  4  B .

i.e.

4e2 x

2x

2x

4



2x

Comparing the coefficients of e2x and the constant term, we have 3 35 4  9 A  18B and 6  4 A  A   and B  2 36 d A 9e2 x  4  B 9e2 x  4 4e x  6e x dx dx  dx  9e x  4e x 9e2 x  4











 







 Ax  B log 9e2 x  4  C   A

Hence,

 x  x  1 dx  3  t  1 t dt , where t  x

6.(A)



1

1

1

3

1 x  2x  1 





3 35 ,B and C is any constant. 2 36

5.(B)

2



3 35 x log 9e 2 x  4  C 2 36

dx 



1

 x  1

1 dx   x 1



2

3

1 

 x3 1  1 1 1 t 1 1   dt  log  C  log    1  x3 3  t 1 t  3 t 3 



 C  

dx

1 dx x 1

 x  1  x  1  0      x  1    x  1 

  log x  1  C



A  1

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

49

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes 7.(C)

The anti-derivative of f  x   e x

g  x 

 f  x   e

x2

2

is given by

dx  2e x

C

2

. . . .(i)

The curve y  g  x  passes through the point (0, 3).

3  3e0  C  C  1



Putting C = 1 in (i), we get :

g  x   2e x 8.(A)

2

1



We have f  x  tan 1 xdx  C



 x tan 1 x 

1 x dx  C 2 1 x

 x tan 1 x 

1 2t 2 dt  C , where x  t 2 2 1  t2

 x tan 1 x 



t2  1 1



t2  1

dt  C

 x tan 1 x  t  tan 1 t  C  x tan 1 x  x  tan 1 x  C

Since

y  f  x  passes through (0, 2). Therefore, C  2 .

f  x   x tan 1 x  x  tan 1 x  2

Hence,

Integral Calculus-1 5.C

 tan

1

HWT - 7



1 x dx  c 2 1 x

x dx  xtan 1 x 

= xtan 1 x  = xtan 1 x 

2t 2

1 2

1  t



t 2  1 1

2

t2  1

 c, where x  t 2 dt  c

= xtan 1 x  t  tan 1  t   c =  x 1 tan 1 x 

x c

Since y = f (x), passes through (0, 2), c = 2. 7.(B)

8.(C)

f  x   1  3x log 3 F  2  7



C  4

F  x  0



x 1.

F  x  Put

 cos

dx 2

x 1  tan x

F  x 

Put

F  x   x  3x  4







sec 2 x dx 1  tan x

tan x  t to get : F  x   F  0  4

9.(A)

F  x   x  3x  C



 4  3cos



dt  2 1  t  C  2 1  tan x  C 1 t

C=2

dx 2



x  5 sin x 2



tan x  t to get F  x  

sec 2 x dx

 4 1  tan x   3  5tan 2

 9t

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

dt 2

1

2

x

1 1  C  tan 1  3t   C  tan 1  3 tan x   C 3 3

50

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes 10.(C)

F  x 



tan x sec 2 x dx  tan x



tan x dx  sin x .cos x

tan x  t to get F  x  

Put





sec 2 x dx tan x

dt  2 t  C  2 tan x  C t

  F 6  C 4 4

Integral Calculus-1 1.(D)

 dx dx 1 1 1     2  2  dx 4 2   2 2 3  x 1 x  4   x  5 x  4  x  1 x  4 

I 

1 1 x I  tan 1 x  tan 1    C 3 6 2



2.(C)



f  x   x 1  x 2 dx 

 x  x  1 dx



4

I

x

2 x4  2 x2  1

2

2 x

5.(D)

4

C

4

2

Put

32

 x  x  1

 x  1 dx 3



1 dt 1 1 1    dt 4 t  t  1 4  t t  1 





 x4  1 1  t  log   C  log  4 C   x 1  4 4  t 1   



4.(D)



1 2 3 2 1  t C  1  x2 2 3 3

4 x3 dx

1 4

x 4  t to get : I 

Put

1  x 2 dx

7 8  C 3 3

f  0 

I

1

 2   2 x 

1  x 2  t to get : f  x  

Put

3.(B)

HWT - 8

2



1 x

4





 1 1   3  5  dx x  x 2 1 2 2  4 x x

 t to get : I  2



1 2t dt t 4  C  t 2

2 x4  2 x2  1 2 x2

C

Integrating by parts we get :





Given integral =  3 x  1 sin x  3 sin x dx  1  2 x  cos x  2 cos x dx   3 x  1 sin x  3 cosx  1  2 x  cos x  2 sin x   3 x  3 sin x   2  2 x  cos x

6.(C)

I

Put

sin 2 x

 cos

6



 



tan x  t to get : I  t 2 t 2  1 dt  

7.(C)







dx  tan 2 x sec 2 x . sec 2 x dx  tan 2 x 1  tan 2 x . sec 2 x dx

x

t5 t3  C 5 3

tan5 x tan3 x  C 5 3

Let e x  C1 and e x  C2 be the two antiderivatives. Then difference between them is C1  C2 which is fixed and equal to 2.

8.(B)

x  sin x

 1  cos x dx  2  x sec 1



2

x sin x  2  dx  1  cos x dx  



1 x  x   x  2 xtan    2 tan   dx   tan   dx 2 2 2      2





  x   x  tan     C   2 

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

51

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes 9.(C)







tan3 x  3



  sec

2



x  1 dx

tan3 x  tan x  x  C 3



10.(C)



I  tan 4 x dx  tan 2 x . sec 2 x  1 dx 



 e3 x  e x dx   I   4 x 2 x   e  e 1   



t

e  t to get I 

Put



 1 1  2 t 



 1 1  2  t

t  1 dt 

x

2

4

t

 t2 1

2

1 

  dt  1 t2

  dt  . 2

1  t  t  1  

u

1 Put t   u to get I  t

du 1

2



 tan 1  u   tan 1 e x  e  x



Integral Calculus-1 1.(B)

3 cos x  2 sin x    4 sin x  5 cos x   m  4 cos x  5 sin x 





23 2 and m  41 41



The given integral is

2.(B)

Differentiate on both sides to get f  x  

3.(D)

I

Put



1 xx

32

dx 

x  t to get

 cos ec 2 x dx  2 log

5.(D)

I

7.(B)

1

 cos

2 xdx x x  x3 2



2t dt t t 2

dx 

x  sin x 4

Put

t 2  u to get I 

x

2

x

4



 x2  1

12

 1 u

dt  4 1 t  C  4 1 x  C 1 t f  x 

1 log  x  and g  x   tan x 2

4



du

dx 



 tan 1  u   tan 1 tan 2 x

2

 x  1 x  1 dx  2

2

1

x3 x 2  1 

x

1  t to get I  x



Put

t 2  1  u to get I 

1 2

x2  1

  x  1   x  1 2



2t dt

x

 x  12 dx 

sin x x



 1 t

Put

I



1  tan 4 x

tan x  t to get I 

I



2 tan x .sec 2 x dx



Put

x4  1

2

3

23 2 4 cos x  5 sin x 23 x 2 dx  dx   log 4 sin x  5 cos x  C 41 41 4 sin x  5 cos x 41 41

.

tan x  C

sin 2 x 4

2

I

4.(B)

6.(D)

HWT - 9

2

 tan 1 x 

2

t dt t 1 2





  x  1

x 1



f  x   tan 2 x

1  1    x  x  1  2  dx   x  2

1   x  x  1  

2t dt t 2 1 x4  x2  1 C x

2 x dx 2

1



du  u C  u

dx 

2

1 2



2



2

C

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

52

HWT-5/Mathematics

Vidyamandir Classes 8.(A)

x  2  u to get I 

Put

x

x dx 2



 4x  8

4

du





2

9(C)

2

x2  2 C  

1 

Put tan 1 x  u to get



I  etan

1 x  1 

  dx  eu 1  tanu  tan 2 u du  

 

x  x2   1  x2 

 





 eu tanu  sec 2 u du  eu .tanu  C  etan

10.(C)



1 2u du 1 u du  2 2  log u 2  4  tan 1    C 2 u2  4 2 2 u 4

 1  log  x  4 x  8   tan 2 

u2

u

I



dx 2  3x  x 2



  x

dx 2

  

 3x  2

1 x

.x  C

dx 2  3  17    x     2 4  





 3  x  2   C  sin 1  2 x  3   C  sin   2   17  17  17  3    x   2  4  2 dx

Integral Calculus-1 1.(D)

I





1 

HWT - 10

 2 sin 2  2 x   cos 4 x  1  . sin x . cos x dx dx    cos 2 x  sin 2 x  cot x  tan x  



1  cos 2  2 x 



1 1 t2 1 t2  . dt   log t    C 2 t 2  2 

cos  2 x 

x

2.(D)

I

 5  4 cos x   51  t   4 1  t  , where t  tan  2   2 t

3.(B)

I

 sin x  cos x  2 

4.(D)

I

  x  1 x

5.(A)

I



dx

2 dt

2

cos x dx

1

dx

2

4

2

 cos x  sin x    cos x  sin x  . dx sin x  cos x



dt 2

cos  2 x  1 log cos 2 x  C 2 4



1 2  x  tan 1  tan     C 3  2  3

9

1  cos x  sin x  1 1 dx   x  log sin x  cos x   C 2  sin x  cos x  2



1  1 1  1 1  x   dx   tan 1  x   tan 1     C 3  x 2  1 x 2  4  3 2  2 

  

fog  x  cos x dx 

t2

2



2



. sin  2 x  dx 

sin 2 x

 1  sin

2

cos x dx . Put sin x  t to get x

 1  1 1 dt  1   dt  t  tan  t   C  sin x  tan  sin x   C  1 t2 

I

 1 t

6.(D)

I

 x log

7.(A)

I  e sec x . sec3 x sin 2 x  cos x  sin x  sin x . cos x dx  e sec x .sec x tan 2 x  sec x  sec x . tan x  tan x dx

8.(C)

9.(C)

2



1

  e 

ex

 e  dx  



sec x









 sec xtan x  sec x  tan x   sec 2 x  sec x . tan x  dx  e sec x  sec x  tan x   C  

  f  x  g  x   f   x  g  x  dx  f  x  g   x   f   x  g   x  dx   g  x  f   x   g   x  f   x  dx   f  x  g   x   g  x  f   x      f   x   e x  x  1 x  2  . Since e x  0 for all x  R f  x  0 

10.(B)

1 1  dx  log e 1  log e x   C x 1  log e x

I



 x  1  x  2   0

 x  1, 2 

1   dx  1  dx  2 2  1  sin x  1  sin x 

 x

sin 2 x

1 tan 1 2







 sec 2 x  1   dx  1  2 tan 2 x   



2 tan x  C

VMC/Solutions/Integral Calculus-1

53

HWT-5/Mathematics