Jee 2014 Booklet4 Hwt Solutions Inverse Trigo & Prop of Triangle

Vidyamandir Classes

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Solutions to Home Work Test/Mathematics Inverse Trigonometry

1.(C)

HWT - 1

1 1 1 1 1 1    cos  cos 1  2 sin 1   cos cos 1  sin 1  sin 1   cos   sin 1  5 5 5 5 5 2 5      1  1    sin  sin 1   5 5 

4.(C)

 2x sin 1   1  x2

5.(D)

  sin 1 x  cos 1 x  tan 1 x   min  max

7.(D)

 1   2 tan x for 1  x  1 or x  1 

  tan 1 x 2    occurs when x = 1 and  min    2 4 4   occurs when x = 0 and  max   0  2 2

a : b : c = 1: 3 : 2  

2 R sin A : 2 R sin B : 2 R sinC  sin A : sin B : sinC   sin

or

8.(C)

9.(D)

1 3 : :1 2 2 1 3 : :1 2 2

   : sin : sin 6 3 2

A: B :C 

   : : 1:2:3 6 3 2

A b  c sin B  sin C cot    2 a sin A



cos

A  B C   cos   2  2 



B

 2

 BC   BC   A  BC  2 sin   cos  2  cos  2  . cos  2  2         A A A A 2 sin . cos sin . cos 2 2 2 2

or

A B C  2 2

or

A+C=B

In option (A) we know A, B  we know C. We know a side.  We know a unique triangle. In option (B) we know all the sides of the triangle 

We know a unique triangle.

In option (C) we know R using which we can calculate sin A from a and hence A. We already know B. Now this case is same as case in option (A). In option (D) we know definitely only one side and the opposite angle. In this case, we can draw many triangles.

VMC/Inverse Trigo & Properties of Triangle

1

HWT-Solutions/Mathematics

Vidyamandir Classes Inverse Trigonometry 2.(A)

Let tan 1 x  A, tan 1 y  B and tan 1 z  C 

tanA  tan B  tanC  tan A . tan B . tanC



tan  A  B  C   0





 

r

 s

4

2

  4  x  14 

Also

  s  s  a  s  b  s  c  



4  x  14   48 x  x  14 

or

16  x  14   48 x  x  14 

or

x  14  3 x



 x  14

 x  14  x  6 8 6

2

 3 

x7

or



  84

b 2  ac and

2  log 2b  log 3c    log a  log 2b    log 3c  log a 

or

 2b   c   3c    2b     



9c 2  ac 4 Check that cos A  0

2b  3c or

b

or

2  log 2b  log 3c   log 3c  log 2b

3c 2

9c 4 A is an obtuse angle a

or 

cos A cos B cos C cos A cos B cos C      a b c 2 R sin A 2 R sin B 2 R sin C



cot A  cot B  cot C  A  B  C  60   

A, B, C are in AP  B  

Now,

10.(D)

8

84  3  3

b 2  ac gives

8.(C)



4

  x  6    x  8  14

2

7.(D)





or

and 6.(C)



 



 tan 1 2n 

5.(B)

A  B  C    tan 1 x  tan 1 y  tan 1 z

or

 2r  1  n   n 2r  1   tan 1   tan 1  tan 1 2r  tan 1 2r  1  1  22r 1   1  2r .22r 1  r 1   r 1   r 1 n

3.(B)

HWT - 2

3  a2  3 4

 a 2  c2  b2 1  cos B   3 2ac 2

a 2  c 2  ac  b 2

ac a  ac  c 2 2

 AC   AC  2 sin  . cos    a  c sin A  sin C  2   2   2 cos  A  C      2  b sin B B B   2 sin   . cos   2 2

Let f  x   sin 1 x  cos 1 x  tan 1 x Domain of f (x) is x  1, 1 Now, in its domain f  x  

  tan 1 x 2      2 4 4   3 b   2 4 4

f (x)min. occurs at x  1 . f  x min  a  f (x)max. occurs at x  1 . f  x max

VMC/Inverse Trigo & Properties of Triangle

2

HWT-Solutions/Mathematics

Vidyamandir Classes Inverse Trigonometry

1.(D)

  sin cot 1  x  1   sin  sin 1   

 1 cos tan 1 x  cos cos 1  1  x2

 1   1  x2

We have x 2  2 x  2  1  x 2

or



2.(C)



 x cos cot 1 x  cos  cos 1  1  x2 





 sin cot 1 x  sin  sin 1 



Now,

x  2x  2

1 2

 x   1  x2 

1







2

 x cos cot 1 x  sin cot 1 x   1  x 2  

 







2

12

  1 

 x 1  x2

According to the question

cos 1     cos 1     cos 1     

or       1

      3



7.(C)

2

 1  2  x 1  1  x2





x

1

 1  x 2  x cos cot 1 x  sin cot 1 x 

 4.(B)

   2  x  1  1  1

HWT - 3

1  3 4  r  2 1 5 3 45 2

Inverse Trigonometry

1.(D)

 2a sin 1   1  a2

 1 1 1   2 tan  a   2 tan  b   2 tan x 

tan 1 x  tan 1  a   tan 1  b 

 5.(C)

 1  2b   sin    1  b2

HWT - 4

ab x  tan tan 1  a   tan 1  b      1  ab

or

 a  b  c  b  c  a    b  c 2  a 2   b2  c 2  a 2   2bc  bc b2  c2  a 2 2 bc



2 cos A  2  

or

As A is the angle of a triangle maximum value of  occurs when A 

 1 or cos A  which is 3. 3 2

6.(C)

sin 1 cos 1  cos x   sin 1  sin x    sin 1  2  x    x  2    sin 1 0  0  

7.(A)

a 2 cos 2 B  cos 2 C  b 2 cos 2 C  cos 2 A  c 2 cos 2 A  cos 2 B









 

 





 4 R 2 sin 2 A  1  sin 2 B  1  sin 2 C   4 R 2 sin 2 B  1  sin 2   

VMC/Inverse Trigo & Properties of Triangle

 C   1  sin A    4 R  2

3

2



 



sin 2 C  1  sin 2 A  1  sin 2 B   0  

HWT-Solutions/Mathematics

Vidyamandir Classes Inverse Trigonometry

3.(B)

HWT - 5

 x  x2  1  x3  x4  tan 1 x1  tan 1 x2  tan 1 x3  tan 1 x4  tan 1  1    tan  1  x x 1 2   1  x3 x4 

  x x x1  x2  3 4   1  x1 x2 1  x3 x4   tan 1  x1  x2   x3  x4    1   .  1  x1 x2  1  x3 x4     x1  x2  x3  x4     x1 x2 x3     sin 2   cos  1  tan 1    tan   1  x1 x2 x3 x4    x1 x2     1    sin    cos 2    cos   2 sin   1   1  tan 1    tan  cot      sin  2 sin   1 2    

5.(A)

bc ca ab   k 11 12 13



b  c  11k , c  a  12k , a  b  13k

Solve to get a  7 k , b  6k , c  5k

cos A 

6.(A)

b 2  c 2  a 2 36k 2  25k 2  49k 2 12k 2 1    2bc 2  6 k   5k  60k 2 5

8R 2  a 2  b 2  c 2





8 R 2  4 R 2 sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C

or

1  cos 2 A  1  cos 2 B  sin 2 C  2



cos  A  C  . cos  A  C   cos 2 B  0



 cos B cos  A  C   cos B   0



 cos B cos  A  C   cos  A  C    0



2 cos Acos B cos C  0



cos A  0



 A 2 sin B 2 sinC

7.(B)

cos A 

9.(D)

If A, B, C are in AP B  b  c

cos B  0 or

cos C  0

or

 B 2

or



or sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  2

cos 2 A  sin 2 C  cos 2 B  0

or

b2  c2  a 2 b  2bc 2c



c2  a2

C

 2



ca

 3

3 sin B 3   2 sinC 2 sinC

A   B C  

or





sinC 

1 2

or

c

 4

  5   3 4 12

VMC/Inverse Trigo & Properties of Triangle

4

HWT-Solutions/Mathematics

Vidyamandir Classes Inverse Trigonometry 3.(C)

HWT - 6

 5 5 2   to get cos  Put cos 1  and sin   3  3 3  

1  5  sin  23 3 5   tan  cos 1       tan     2 5  2  1  cos   2  3   1 3

4.(D)

Let

1 tan 1     , 5

tan  A  B  

6.(B)

tan  A   tan  B 

1  tan  A  tan  B 

 3 sin 1 x  cos 1 x  cos 1   2   

  1    7  tan  2 tan 1       5  4  17  sin 1 x  cos 1 x 

 3

or

x  sin

1 22  52  y 2 29  y 2   2 2  2   5 20



y 2  19

sin 1 x  cos 1 x 

So, we have sin 1 x 

cos 60 

  1  5  tan  2 tan 1      5   12 

2 tan  1  tan 2 



and

7.(A)

then tan  2  

cos120 

 6

 2  3  3 2

1 32  x 2  y 2 9  x 2  19   2 2  3 x  6x



3 x  x 2  10

or

x 2  3 x  10  0

or

 x  5 x  2   0

or

x  5 , 2

Reject

x  5

and

accept x  2

s  s  b s s  c   s  a  s  c   s  a  s  b 

s 2s a  b  c 4a    2 s  a 2 s  2a b  c  a 2a

8.(C)

B C cot   . cot    2   2

9.(C)

 sin A  sin B  sin C   sin A  sin B  sin C    sin A  sin B 2  sin 2 C

10.(A)





sin 2 A  sin 2 B  2 sin A . sin B  sin 2 C  3 sin A .sin B



sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  sin A . sin B

or

sin 2 A  sin  B  C  . sin  B  C   sin A . sin B

or

sin 2 A  sin A . sin  B  C   sin A . sin B

or

sin A  sin  B  C   sin  B  C    sin A . sin B

or

2 sin A sin B cos C  sin A sin B



As A, B, C are in AP B  60 and cos B  

ac  c 2  a 2  b 2



2b 2  c 2  a 2



a 2 , b 2 , c 2 are in AP

or

cos C 

1 or C  60 2

1 c2  a 2  b2  2 2ac

b2  c2  a 2  b2

VMC/Inverse Trigo & Properties of Triangle

(As sides a, b, c are in GP b 2  ac )

5

HWT-Solutions/Mathematics

Vidyamandir Classes Inverse Trigonometry 1.(B)

Let the sides be 3k, 7k, 8k.

R  2.(B)

HWT - 7

abc  4 4

 3k   7k  8k   9 k   6k   2 k   k 

7k



and r 

3

 9k   6k   2k   k 

  s

9k



2k 3

R : r = 7 : 2.

sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C

gives

sin 2 A  sin 2 C  sin 2 B  sin  C  B  . sin  C  B   sin  C  B  . sin  A 



sin  A   sin  C  B 

or

ACB

1 b 2  c 2  a 2 9  c 2  16   2 2bc 6c

3.(A)

cos A  cos 60 

5.(A)

a sin A  b sin B gives 2 R sin 2 A  2 R sin 2 B or A = B or a = b

8.(AB)

or



A+B=C



c 2  3c  7  0



sinA = sin B

C  90

tan 1  x  1  tan 1  x   tan 1  x  1  tan 1  3x  , then tan 1  x  1  tan 1  x  1  tan 1  3x   tan 1  x 

9.(B)



  x  1   x  1   3x  x  1 tan 1    tan    1   x  1 x  1   1   3 x  x  



 2x   2x  tan 1   tan 1   2 2 x   1  3x 2 

2x



2  x2



2x 1  3x 2

1 1 , 2 2



cos 1 x  cos 1 y    cos 1 z

or

cos cos 1 x  cos 1 y   cos   cos 1 z  or xy  1  x 2 1  y 2   z or xy  z  1  x 2 1  y 2    

or

x 2 y 2  z 2  2 xyz  1  x 2

or

x 2  y 2  z 2  2 xyz  1



 1  y   1  x 2

2

 y 2  x2 y 2

HWT - 8

 2    tan    tan  15  5  2         tan     tan    3   2     5 15  3 1  tan   . tan  15   5    or

6.(C)

x  0,

cos 1 x  cos 1 y  cos 1 z  

Inverse Trigonometry

3.(D)



 2 tan   5

    2      tan  15   3 tan  5  . tan  15   3       

     tan  tan      tan    3 3      tan  

3  tan  1  3 tan 

tan   3 1  3 tan 









tan  1  3 tan 2   8 tan  1  3 tan  2



3 tan 3  tan   3 3 tan  tan     3 tan  3   k  3 2 1  3 tan  1  3 tan 2  2





3

VMC/Inverse Trigo & Properties of Triangle

6

HWT-Solutions/Mathematics

Vidyamandir Classes

7.(D)

tan A  tan B tan  A  B    1  tan A . tan B

 8.(D)

x 3  2k  x  x 3  1   2k  x   

2k 2  2 x 2  2kx 2 3k 2  2 3 x 2  2 3kx



2x  k k 3  2x  k  .   k 3 

1

 1  A  B  tan 1    30  3



3

We have

PQ QR PR    R  PQ  PR 2 sin R 2 sin P 2 sinQ 1 2



sin R  sinQ 



P    R  Q 

R  Q 



 6

2 3

Inverse Trigonometry

HWT - 9

2

2.(D)

2

1  1  4 s  s  a  s  b  s  c   4 2  4  ab sinC   4  ab  1  a 2b 2 2 2     C  90 as c 2  a 2  b 2   

3.(D)

b 2 sin 2C  c 2 sin 2 B  b 2  2 sinC cos C   c 2  2 sin B cos B   2  b sin C  b cos C   2  c sin B  c cos B   2  c sin B  b cos C   2  c sin B  c cos B 

c   b  sin B  sin C   2c sin B b cos C  c cos B   2ac sin B  4  

5.(B)

sa 3



2 s  2a  b  c  a  6

and

sc  2



b=5

Also,

b  a  c  25

c  a 1

2



 2 s  2c  a  b  c  4

c  a 1

and 2

2

a 2  c 2  2ac  1

or

2ac  24

or ac = 12

12  a  1 or a 2  a  12  0 or a 12 4 a = 3 and c  3

6.(B)

 A C 1 tan   . tan    2 2 3 s b 1  s 3



9.(B)

10.(C)



 s  b  s  c  .  s  b  s  a  s s  a s s  c



2 s  3b  a  b  c

12 a



1 3

 2b = a + c  a, b, c are in A.P.

 a b   a 1  b  1  x x  tan    tan    tan   a x  x 1  . b  2  x x  1 



c

 a  4   a  3  0

c  a  1 gives 

or



1

a b . 0 x x

or

x 2  ab

x is geometric mean of a and b.

sin 1 x  sin 1 1  x   cos 1 x 

sin  sin 1 x  sin 1 1  x   sin  cos 1 x     



x 1  1  x   1  x 2 1  x   1  x 2



x 2 x  x 2  1  x 2 1  x   1  x 2



x 2 x  x 2  x 1  x 2  x  0,

2

Inverse Trigonometry VMC/Inverse Trigo & Properties of Triangle

1 2

HWT - 10 7

HWT-Solutions/Mathematics

Vidyamandir Classes

3.(B)

  d tan tan 1    1  a1a2

   d d 1  1   . . . .  tan    tan  1  a a 1  a 2 3  n 1an   

   

   a  a1   1  a3  a 2  1 a n  a n  1  tan tan 1  2   . . . .  tan    tan  1  a a 1  a a  1 2  2 3    1  an  1an

   





 tan tan 1  a2   tan 1  a1   tan 1  a3   tan 1  a2   . . . .  tan 1  an   tan 1 an 1    a a  tan tan 1  an   tan 1  a1    n 1   1  an . a1

 4.(C)

1  sin x  sin



7.(A)

a1   n  1 d  a1 1  an .a1



x x  cos and 2 2

 n  1 d 1  an a1 1  sin x  sin

x x  cos 2 2

 x x  x x    sin  cos    sin  cos     1  sin x  1  sin x 2 2 2 2         tan 1  tan x    x 1  tan 1    tan     x x x x 2 2    sin  cos    sin  cos    1  sin x  1  sin x        2 2  2 2  

  35  18  10  7  210 The greatest altitude is  to shortest side 

8.(D)

1  17  greatest altitude 2

 2  cot 1 x  cot 1 y   cot 1 z 2

420 17



greatest altitude =



1  1 1 tan 1    tan 1     tan 1   x z  y 2

cot 1 x  cot 1 y  cot 1 z   or



9-10.

210 

   1  1  1  tan tan 1    tan 1     tan   tan 1    x y 2    z       1 1  x y x y   z z 1 xy  1 1 xy

x  y  z  xyz

9.(A) 10.(C) Note that the triangle is right angled at B.  Orthocentre is at B and circumcentre is the mid-point of AC.

VMC/Inverse Trigo & Properties of Triangle

8

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