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Jean-Paul Collette Historia de las matemáticas II 4a. edición

siglo veintiuno editores

Traducción de A lfonso C asal P ica

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS. II

por

J ean -P aul C ollette

siglo

verrtiuno ecitores

m ___________ siglo veintiuno editores, sa de cv CERRO DEL AGUA 248, DELEGACIÓN COYOACÁN, 04310 MÉXICO, D.F.

primera edición en español, 1985 cuarta edición en español, 2000 © siglo xxi editores, s.a. de c,v. en coedición con © siglo xxi de españa editores, s.a. isbn 968-23-1361-9 (obra completa) isbn 968-23-1363-5 (tomo2) primera edición en francés, 1979 © éditions du renouveau pédagogique, montréal título original: histoire des mathématiques derechos reservados conform e a la ley impreso y hecho en méxico/printed and made in mexico

INDICE

Prefacio

xi

PRIMERA PARTE: EL SIGLO XVII LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XVII

1.

LAS MATEMÁTICAS EN LA ÉPOCA DE DESCARTES Y DE FERMAT

3 7

Introducción, 7.—Descartes, 8 .—Los primeros trabajos científi­ cos de Descartes, 9.—La geometría de Descartes, 10.—Sistema de coordenadas, 17.—Método de las tangentes, 18.—Descartes y el análisis, 20.—Fermat, 21.—El Isagoge de Fermat, 22.—Paralelismo entre las geometrías de Descartes y Fermat, 26.—El método de máximos y mínimos de Fermat, 27.—Fermat y el método de las tangentes, 29.—La integración ^ Fermat, 32.—Fermat y la teoría de números,. 32.—Fermat y la" teoría de probabilidades, 35.—Roberval, 36.—Su geometría de los indivisi­ bles, 38.—Roberval y la cicloide,39.—El método de las tangentes de Roberval, 40.—La geometría analítica de Roberval, 42.—^Torricelli, 42.—^Torricelli y el análisis, 43.—Sus trabajos sobre la tangente, 45.—Pascal, 50.—El Ensayo sobre las cónicas, 52.—La máquina aritmética de Pascal, 53.—Pascal y las probabili­ dades, 54.—Pascal y el análisis infinitesimal, 56.—Désargues, 58.—El Borrador, 60.—Bibliografía, 63.—Ejercicios, 6 6 . 2.

PERIODO DE TRANSICIÓN.

Introducción, 67.—Lenta asimilación de la geometría analítica, Schooten, 69.—Bartholin, 69.—Hudde, 70.—De Witt, 71.—De Sluse, 74.—La Hire, 75.—Mohr, 77.—Saint-Vincent, 79.—Mengoli, 80.—Huygens, 81.—Wallis. 83.—Rectificación de curvas, 87.—Gregory, 8 8 .—Mercator, 91.—Barrow, 92.—Bi­ bliografía, 96.—Ejercicios, 98. 6 8 .—Van

67

Indice

VI

3.

NEWTON y LEIBNIZ ...........................................................................

100

Introducción, 100.—Newton, 101.—E1 teorema del binomio, 104.—E1 De analysi, 107.—E! método de las fluxiones, 108.—El De quadratura curvarum, 112.—Los Principia, 114.—Leibniz, 117.—Las notas manuscritas sobre el cálculo, 121.—La Nova methodus pro maximis et minimis, 127.—Otros trabajos de Leib­ niz, 128.—La célebre controversia entre Newton y Leibniz, 132.—Bibliografía, 133.—Ejercicios, 135. SEGUNDA PARTE: EL SIGLO XVIII LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XVIII............ ........................................

139

4. LOS DISCIPULOS DE LEIBNIZ Y NEWTON Y LAS PRIMERAS DIFICULTA­ DES DEL ANÁLISIS..........................................................................................................

143

Introducción, 143.—La familia Bernoulli, 144.—^Jakob Bernoulli, 144.—Sobre las series infinitas, 145.—Sobre problemas popula­ res, 146.—El Ars conjectandi, 148.—Johann Bernoulli, 150.—De L’Hospital, 151.—Análisis de los infinitamente pequeños de L’Hospital, 152.—Contribuciones matemáticas de Johann Ber­ noulli, 155.—Nikolaus III, 156.—Daniel Bernoulli, 157.—Los otros Bernoulli, 159.—De Moivre, 160.—De Moivre y las pro­ babilidades, 162.—De Moivre y la trigonometría, 163.—Co­ tes, 164.—Stirling, 165.—Maclaurin, 166.—Maclaurin y la geo­ metría, 168.—Maclaurin y el análisis, 169.—Maclaurin y el álge­ bra, 170.—Cramer, 171.—^Taylor, 171.—Algunos matemáti­ cos italianos, 174.—Primeras dificultades del nuevo análisis, 179.—Bibliografía, 182.—Ejercicios, 184. 5.

LA ÉPOCA DE EULER ........................................................................

186

Introducción, 186.—Euler, 187.—La noción de función en Euler, I9 l.—^Las notaciones de Euler, 193.—Las ideas de Euler sobre los fundamentos del cálculo, 195.—El logaritmo y el número com­ plejo en E.uler, 197.—Euler y las series infinitas, 200.—Los trabajos de Euler en teoría de números, 203.—Otras contribucio­ nes matemáticas de Euler, 206.—D’Alembert, 212.—Clairaut, 216.—Goldbach, 220.—Waring, 220.—Lambert, 221.—^Buffon, 222.—Bibliografía, 224.—Ejercicios, 226. 6. LAS MATEMÁTICAS EN LA ÉPOCA DE LA REVOLUCION FRANCESA

228

Indice

VII

Introducción, 228.—Lagrange, 229.—Los trabajos matemáticos de Lagrange en Turin, 233.—La actividad matemática de Lagran­ ge en Berlín, 235.—Las contribuciones matemáticas de Lagrange durante la Revolución, 238.—Condorcet, 240.—Monge, 242.—La geometría descriptiva de Monge, 246.—Los trabajos de Monge en geometría analítica, 248.—Algunos otros trabajos matemáticos de Monge, 250.—Laplace, 251.—La teoría de las probabilidades de Laplace, 253.—Legendre, 257.—La geometría y el postulado de las paralelas, 258.—Teoría de números de Legendre, 259.—Otras contribuciones de Legendre, 260.—Carnot, 261.—Los trabajos matemáticos de Carnot, 263.—Wessel, 266.—Dudas sobre el futuro de las matemáticas a fines del siglo xviii, 268.—Bibliografía, 269.—Ejercicios, 271.

TERCERA PARTE: LOS SIGLOS XIX Y XX LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO X IX .......................................................

275

Idea somera de las contribuciones matemáticas, 275.—Con­ diciones nuevas del progreso, 279.—Principales centros de actividad matemática, 280.—Las revistas y sociedades matemá­ ticas, 282. 7.

LA ÉPOCA DE GAUSS Y CA U CH Y .......................................................

285

Introducción, 285.—Gauss, 286.—Gauss, el hombre de ciencia, 292.—El teorema fundamental del álgebra, 293.—Disquisitiones arithmeticce, 294.—Otros resultados de Gauss en teoría de núme­ ros, 301.—Los trabajos geométricos de Gauss, 302.—Algunos otros trabajos matemáticos de Gauss, 305.—Cauchy, 308.—Cauchy y el rigor en el análisis, 311.—Cauchy y las series infinitas, 316.—Las funciones de variable compleja en Cauchy, 317.—Otras contribuciones matemáticas de Cauchy, 320.—Dirichlet, 322.—^Abel, 324.—^Jacobi, 327.—Bolzano, 330.—Poisson, 334.—Green, 336.—Ostrogradsky, 331 .— Biblio­ grafía, 338.—Ejercicios, 340. 8 . LA ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS .................................................

Introducción, 342.—Liberación del concepto de función, 343.—Fourier, 344.—Riemann, 349.—Weierstrass, 354.^Creación de los números reales, 357.—Números algebraicos y trascen­ dentes, 358.—Liouville, 358.—Trascendencia de e y Jt,

342

vili

Indice

360. —Teoría de los números irracionales, 361.^Hamilton, 361. —Trabajos de Hamilton sobre los números irracionales, 362. —Méray, 364.—Weierstrass y su teoría de los números irracionales, 365.—Cantor, 367.—^Teoría de los números irracio­ nales de Cantor-Heine, 369.—Dedekind, 371.—^Teoría de los números irracionales de Dedekind, 372.—^Teoría de conjuntos, 376.—La teoría de conjuntos de Cantor, 378.—Bibliografía, 382.—Ejercicios, 384. 9.

EL NACIMIENTO DEL ÁLGEBRA MODERNA

386

Introducción, 386.—^Teoría de la resolubilidad de las ecuaciones, 387.—Galois, 388.^—^Teoría de la resolubilidad de Galois, 391.—El álgebra y la Analytical Society de Cambridge, 394.—Woodhouse, 395.—Peacock, 396.—Las concepciones alge­ braicas de De Morgan, 400.—El álgebra de las parejas de Hamilton, 401.—Los cuaterniones de Hamilton, 403.—Grassman, 407.—Maxwell, 413.—El análisis vectorial, 415.—La teoría de determinantes, 417.—Sylvester, 417.—Otras contribuciones a la teoría de determinantes, 419.—La teoría de matrices, 420.—Cayley, 421.—La teoría de matrices de Cayley, 422.—Las álgebras de dimensión finita, 426.—Los primeros trabajos de lógica matemática, 428.—Los trabajos en lógica de De Morgan, 428.—Boole, 431.—Los trabajos de lógica después de Boole, 434.—Bibliografía, 437.—Ejercicios, 439. 10.

LA RENOVACIÓN DE LA GEOMETRÍA EN EL SIGLO XIX

441

Introducción, 441.—Renovación de la geometría sintética, 444.—Brianchon y Dupin, 444.—Poncelet, 445.—Chasles, 451.—Gergonne, 454.—Steiner, 455.—Von Staudt, 457.—La renovación de la geometría analítica, 460.—Los predecesores de Plücker, 460.—-Lamé y Bobillier, 460.—Möbius, 463.—Plücker, 465.—Los sucesores inmediatos de Plücker, 471.—Las geome­ trías no euclídeas, 472.—Los coinventores de las geometrías no euclídeas, 473.—Progresos posteriores de las geometrías no euclí­ deas, 479.—Bibliografía, 480.— Ejercicios, 482. 11.

LOS ALBORES DE LAS MATEMÁTICAS DEL SIGLO XX

Introducción, 483.—Klein, 484.—^La génesis del programa de Erlangen, 486.—El contenido del programa de Erlangen, 491.—Klein y la topología, 495.—Peano, 497.—Los trabajos de análisis de Peano, 497.—Los fundamentos de las matemáticas en

483

Indice

IX

Peano, 502.—La lógica matemática de Peano, 503.—Frege, 507.—Su Begriffsschrift, 508.—Los Grundgesetze der Arithmetik, 514.—Los fundamentos de la aritmética de Frege, 518.—Poincaré, 524.—Poincaré, científico universal, 525.—^Teoría de las funciones fuchsianas, 526.—El método del barrido, 529.—Teoría de los problemas de contorno, 531.—La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, 531.—Teoría de las series asintóticas, 534.—La topología combinatoria, 537.—Otras contribuciones de Poincaré, 539.—La obra filosófica de Poincaré, 540.—La creación matemática, 544.—Los funda­ mentos de las matemáticas, 550.^—Las paradojas de la teoría de conjuntos, 552.—La axiomatización de la teoría de conjuntos, 557.—Las escuelas de pensamiento en matemáticas, 561.—La escuela logística, 562.—Russell y Whitehead, 563.—Los Principia mathematica, 564.—La escuela intuicionista, 570.—La escuela formalista, 577.—Hilbert, 577.—El formalismo de Hilbert, 580.—Bibliografía, 586.—Ejercicios, 590. Indice de autores Indice temático

593 603

PR EFA C IO

Esta obra es el com plem ento natural de nuestro tom o l, porque cubre todo el período que se extiende desde el comienzo del siglo X V il hasta las grandes escuelas del pensamiento del siglo XX. Se trata de iniciar al lector en la historia de tas m atemáticas y, para ello, hemos creído conveniente, una vez más, presentar un manual de historia de las m atemáticas más que un tratado, con el fin de exponer, sobre todo, la vida de los matemáticos y las nociones históricas com únm ente aceptadas por los historiadores, con el fin manifiesto de facilitar la comprensión de su contenido. Está dividida en once capítulos repartidos en tres grandes perío­ dos: el siglo XVII, el siglo xviii, y el XIX y comienzos del XX. Se encontrará en la introducción a cada período un estado de la evolución de las m atemáticas en la época correspondiente, así como un balance sum ario de las realizaciones principales. Los once capítu­ los presentan el contenido en orden cronológico y cada capítulo com prende una introducción que pone de manifiesto los puntos im portantes y las principales ideas que se tratan en él; el desarrollo que sigue se presenta bajo la forma de parágrafos señalados con un título, nom bre propio o tem a particular, y el capítulo se term ina con una bibliografía abundante y ejercicios de recapitulación. Se encontrará también al final de la obra un índice de los principales nom bres de autores, y un índice de los temas tratados. Si recurrir a la historia es adquirir perspectivas nuevas y atrayen­ tes, adecuadas para iluminarnos sobre la naturaleza enorm em ente abstracta de las m atem áticas, esperam os entonces que el contenido de esta obra será una fuente de motivación para el estudiante, el profesor y el lector, en donde podrán beber a voluntad para explotar sus riquezas y sus caminos prom etedores. E l autor

PRIMERA PARTE

EL SIGLO XVII

LAS MATEMATICAS EN EL SIGLO XVII

Tras haber tomado contacto con la ciencia antigua a mediados del siglo X V , los matemáticos europeos manifestaron durante cerca de dos siglos una innegable voluntad de creación en ramas tales como la teoría de ecuaciones, la trigonometría y el álgebra simbólica. Durante este período, produjeron más de lo que los griegos habían realizado durante cerca de diez siglos, porque la educación europea se extendió lo suficiente como para promover el desarrollo de matemáticos, principalmente en Francia, en Inglaterra, Alemania, Holanda e Italia. Pero en el siglo xvii asistimos a una eclosión de una ciencia nueva, llamada a desarrollos considerables en el curso de los siglos siguientes y que está en el origen de la ciencia «moderna». Aunque todavía percibían mal numerosos hechos científicos fundamentales, los pioneros de esta nueva ciencia tenían que encon­ trar sus fundamentos, y lo consiguieron. A pesar de su carácter evidente de complejidad, el porqué histórico que está en el origen de esta revolución puede ser asociado al «milagro griego». En efecto, los pensadores de la Grecia antigua habían rechazado, contrariamente a sus predecesores, el aspecto empírico del conoci­ miento para elaborar teorías matemáticas con un rigor poco repro­ chable. Si algunos vieron en esta aproximación antigua una especie de milagro, no podemos dejar de comprobar que tal aproximación está en el origen de la nueva ciencia «moderna». Del mismo modo que los griegos, los sabios del siglo xvii, al innovar en sus procedi­ mientos, supieron mirar el mundo con ojos nuevos e inventar principios que permanecerían eficaces y útiles en lo sucesivo. El genio del siglo xvii se revela no sólo en la expansión conside­ rable de las actividades científicas, sino también en el enriqueci­ miento aportado a los temas clásicos y en la creación impresionante de nuevas ramas de las matemáticas. Fermat, por ejemplo, con su estudio sobre Diofanto, aporta resultados originales y revela aspee-

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Jean-Paul Collette

tos nuevos de un cam po bien establecido. Por otra parte, la interpre­ tación original de la geom etría por Désargues ilustra bien el naci­ miento de una nueva ram a de las m atem áticas; la fusión del álgebra y la geom etría (geom etría analítica), los comienzos de la geom etría proyectiva, el desarrollo fulgurante del cálculo diferencial e integral, son otros tantos ejem plos para ilustrar las contribuciones fundam en­ tales de este siglo. La ciencia nueva, como se recuerda, fue creada en prim er lugar en las obras de científicos aislados, y se desarrolló muy frecuente­ m ente al m argen de la ciencia oficial detentada por las universida­ des, cuyo conservadurism o y dogm atism o, controlados por la reli­ gión oficial, contribuyeron en gran m edida a frenar la creación y la difusión del conocimiento. A ntes de 1550, el desarrollo de las m atem áticas reposaba esen­ cialm ente en el trabajo individual de aficionados. Los resultados, comunicados oralm ente en general, no eran conocidos más que en círculos muy restringidos, y los raros textos manuscritos circulaban penosam ente de una persona a otra. A pesar del futuro prom etedor que presentaba la invención de la im pjenta en el siglo x v , la difusión de los conocimientos matem áticos estaba frenada por diver­ sos problem as ligados a la débil dem anda de textos científicos, la escasez de buenos im presores, la comercialización, evidentem ente basada en la rentabilidad de las operaciones, etc. No es extraño, pues, que el científico se encerrara en un secreto prudente, que trabajara aislado del resto del m undo y que com unicara, en la m edida de lo posible, sus resultados a sus amigos utilizando el anagram a para ocultarse de las miradas indiscretas o de las filtracio­ nes desafortunadas. A fortunadam ente, a comienzos del siglo x v ii, un núm ero cada vez m ayor de científicos participaron en el desarrollo de las m atem á­ ticas e intentaron comunicarse con los dem ás, con el fin legítimo de intercam biar, confrontar ideas y, de rebote, estim ular su propia motivación para hacer avanzar esta ciencia. A dem ás, esta actividad casi secreta y reservada condujo, en ausencia de revistas científicas, a la edificación de encrucijadas de correspondencia y a la fundación de sociedades científicas. El P. M arin M ersenne, por su parte, se distinguió facilitando el intercam bio de correspondencia entre va­ rios m atem áticos conocidos, como Ferm at, Descartes, Désargues, Pascal, Torricelli, etc. Las sociedades científicas se constituyen a

Lus maiemálicas en el siglo XVII

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partir de reuniones de científicos y, desde 1603 en Italia, se asiste al nacimiento de la Academia dei Lincei, de la que Galileo form ará parte en 1611. Después surgen otras academias a partir de agrupa­ ciones naturales constituidas en Inglaterra, Francia, Alem ania y Rusia. La A cadem ia de M ersenne, y después la de Le Pailleur, quien le sucedió, son buenos ejem plos de ello. Sociedades tales como la Académie Royale des Sciences (carta de 1666), la Royal Society o f L ondon (carta de 1662), la Academia de Ciencias de Berlín (carta de 1700), no sólo favorecieron los contactos entre los científicos y los intercambios de ideas, sino que contribuyeron también directam ente a la edición de revistas científicas. En 1665, el Journal des Savants se publica por prim era vez, y esta fecha marca el comienzo de la aparición de revistas científicas, que no han dejado de crecer desde entonces en núm ero y en calidad.

1.

LAS M ATEM ATICA S EN LA E PO C A D E DESCA RTES Y D E FE R M A T

INTRODUCCIÓN

En el capítulo 2 del tom o l, tratam os de las contribuciones impor­ tantes de los principales matemáticos de principios del siglo xvil. Se trataba, en efecto, de poner de relieve los rasgos dom inantes de los trabajos originales de una época de transición que nos ha legado 1) Un álgebra literal heredada de los trabajos de la escuela italiana y de Vieta, y una notación algebraica fijada; 2) Tablas de funciones trigonom étricas cada vez más precisas y aportes nuevos a la trigonom etría plana y esférica; 3) Los elementos fundamentales que perm itieron, en el siglo XVII, la eclosión de una teoría de las ecuaciones algebraicas; 4) Un cálculo logarítmico capaz de decuplicar los m étodos de cálculo de los astrónom os; 5) El m étodo de los indivisibles de Cavalieri y una técnica análoga de K epler que marcan un nuevo enfoque del cálculo integral. La m uerte prem atura de Torricelli impidió probablem ente a Italia continuar ocupando el prim er puesto en el desarrollo de nuevas ramas de las matemáticas. Fue así como, durante el segundo tercio del siglo XVII, los Descartes, Ferm at, Désargues, Roberval y Pascal perm itieron a Francia convertirse en el centro indiscutible de las actividades matemáticas. Esta época está marcada principalm ente por el desarrollo de la geom etría analítica, el nacimiento del cálculo de probabilidades y de la geom etría proyectiva, una contribución algebraica im portante a las bases del cálculo diferencial e integral, la aparición de métodos eficaces de integración y de diferenciación, aportes nuevos y origi­ nales en el cam po de la teoría de núm eros y sobre temas específicos.

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tales como la inducción matemática, las combinaciones, la rectifica­ ción y representación gráfica de curvas particulares, la mecanización del cálculo aritmético, etc. El período que nos interesa aquí es también fértil en controver­ sias que enfrentan a tos matemáticos en polémicas a veces vivas y personales. Estas nacen, en general, de ataques que aspiran a poner en duda bien la veracidad de los resultados obtenidos, bien la paternidad de la invención o incluso el valor objetivo de los métodos utilizados.

DESCARTES

René Descartes (1596-1650), uno de los fundadores de la biología, físico de talento, matemático por accidente, fue uno de los primeros grandes filósofos modernos. Nacido el 31 de marzo de 1596 en el pueblo de La Haye, en Turena, pertenecía a una familia de la pequeña nobleza, originaria de la región de Poitou. Desde 1606 hasta 1614, fue alumno de los jesuítas en el colegio de la Flèche, donde imperaban los manuales de Clavio; a continuación estudió derecho y medicina en la universidad de Poitiers. Después de haber recibido sus títulos de bachiller y licenciado en derecho en 1616, Descartes empipó «el resto de su juventud en viajar, ver cortes y ejércitos». Así, en 1617, se enrola como voluntario en el ejército de Mauricio de Nassau y durante nueve años alterna el servicio en algún ejército como simple soldado con viajes y tiempos de estudio. El 10 de noviembre de 1619 es una fecha memorable en la vida de Descartes porque, habiéndose retirado a Alemania para pasar allí el invierno, descubrió ese día los fundamentos de una «ciencia admirable». Descartes no dice cuál es esa ciencia, pero se puede suponer razonablemente que descubrió, en primer lugar, un método para resolver todos los problemas de geometría, método que, por generalización, podía aplicarse a todas las cosas susceptibles de ser reconocidas. En el curso de este período de viajes, conoció a varios científicos eminentes en diferentes partes de Europa y se jnteresó de cerca por las matemáticas, así como por la teoría y la construcción de instrumentos de óptica. En el otoño de 1628, se sintió por fin maduro para realizar su propósito; se instaló en Holanda para poder trabajar en paz, al

Las matemáticas en la época de Descartes y de Fermat

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abrigo de cualquier molestia. Vivió allí durante cerca de veinte años redactando sus célebres obras y m anteniendo a la vez una corres­ pondencia im portante con científicos del resto de Europa. En 1649, la reina Cristina de Suecia invita a Descartes a su C orte. Tentado por los honores duda, pero acaba por aceptar. Cae enferm o poco después de su llegada a Suecia y m uerte de una neum onía en Estocolm o, el 18 de febrero de 1650.

Los primeros trabajos científicos de Descartes La prim era contribución m atem ática de Descartes se rem onta al comienzo de su período de viajes y se refiere al descubrim iento de la fórmula, atribuida generalm ente a Euler, s +f - a + 2 donde s, f y a representan, respectivam ente, el núm ero de vértices, de caras y de aristas en un poliedro simple. En 1628 escribe su prim er tratado, Regulae ad directionem ingenii; a continuación una obra de cosmología titulada El m undo o Tratado de la luz, que estaba ya en manos del im presor cuando sobrevino la condena de Galileo., Se abstuvo, pues, de publicar su física, con el fin de no exponerse a polémicas y quizá, incluso, a persecuciones. Sin em bargo, se vio obligado, para com pletar su obra científica, a recurrir a los poderes públicos para obtener del Estado créditos suficientes. Es tam bién el fin que persigue publican­ do, en 1637, su célebre Discurso del método y algunos de sus descubrimientos científicos. Publicado sin el nom bre del autor en Leiden en 1637, el Discurso servía como prefacio a tres tratados científicos, Geometría, Dióptrica y Meteoros. La Geometría, que fue la única obra de Descartes sobre m atem áticas, contiene sus ideas sobre la geom etría de coorde­ nadas y el álgebra. Pueden encontrarse sus restantes contribuciones matem áticas en diversas cartas dirigidas a sus correspondientes. El contenido del Discurso es descrito por Descartes en estos términos: Si este discurso parece demasiado largo para ser leído todo de una vez, se podrá dividir en seis partes. E n la primera se encontrarán diversas conside-

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raciones que se refieren a las ciencias. En la segunda, las principales reglas del método que el autor ha buscado. En la tercera, algunas de las reglas de la moral que ha extraído de este método. En la cuarta, las razones mediante las que demuestra la existencia de Dios y del alma humana, que son los fundamentos de su metafísica. En la quinta, el orden de las cuestiones de física que ha investigado y, en particular, la explicación del movimiento del corazón y de algunas otras dificultades pertenecientes a la medicina, y también la diferencia que existe entre nuestra alma y la de los animales. En la última, qué cosas cree que se requieren para ir más allá en la investiga­ ción de la naturaleza de lo que ha ido, y qué razones le han hecho escribir. En resum en, el Discurso del método contiene las soluciones aporta­ das por Descartes a los principales problem as de la filosofía, y su valor biográfico es tal que nos revela la evolución de su m ente y m enciona acontecimientos de su vida en la m edida en que explican la formación de su pensam iento. En una palabra. Descartes se revela en él por entero, y podem os ver, cómo se forma y desarrolla una vocación filosófica. Para Descartes, el conocimiento m atem ático es el m odelo de todo conocimiento verdadero y, si se deben estudiar las m atem áti­ cas, es para acostum brar al espíritu a «alimentarse de verdades» y a «no contentarse en absoluto con razones falsas». Por otra parte, al ser concebida la verdad sobre el m odelo m atem ático, lo probable queda excluido de la ciencia. En sus Reglas para la dirección de la mente, Descartes deduce de su m étodo m atem ático los principios que aseguran el conocimiento exacto de toda actividad científica. Así, cualquiera que sea el campo de investigación, el científico no debe ocuparse de ningún objeto del que no pueda tener una certeza igual a la de las dem ostraciones de la geom etría, y no debe tener en cuenta más que conocimientos tan ciertos y evidentes como los de los geómetras.

La geometría de Descartes En una carta escrita a origen de la geom etría carta que los progresos los últimos nueve años

Isaac Beeckm ann en 1628 encontram os el analítica de Descartes. Subrayaba en esta realizados en aritm ética y en geom etría en eran tales que ya no estaba interesado en

Las matemáticas en la época de Descartes y de Fermat

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proseguir estudios en esos campos. Y justificaba esta afirmación dando ia regla para construir todas las cúbica^ y las cuárticas por medio de una parábola. M ediante este enfoque geom étrico, se situaba en la prolongación directa de los trabajos de Vieta, ya que la construcción de las raíces de las ecuaciones algebraicas determ ina­ das había sido uno de los principales tem as de estudio de éste último. Así, este esfuerzo por utilizar la geom etría para resolver ecuaciones algebraicas ilustraba bien el enfoque fundam ental que desarrollaría en su Geometría. Había descubierto, según parece, que las interrelaciones entre el álgebra y la geom etría resultaban más inteligibles m ediante el uso de coordenadas en el estudio de las ecuaciones con dos incógnitas, y su m étodo, esencialmente nuevo, consistía en utilizar la representación gráfica de las ecuaciones indeterminadas. Descartes com probó el valor de su m étodo cuando resolvió en poco tiem po el problem a de lugar de Pappus con tres y cuatro rectas, propuesto por Golius. A unque tenía la impresión de que los antiguos no habían podido resolver este problem a, se dio cuenta de las posibilidades que ofrecía su enfoque y, consecuentem ente, dio a conocer la geom etría analítica a sus contem poráneos con su célebre tratado. La Geometría de Descartes está dividida en tres libros; el prim e­ ro trata de los problem as que se pueden construir em pleando sólo circunferencias y rectas. El segundo se refiere a la naturaleza de las curvas, m ientras que el tercero abarca la construcción de «proble­ mas sólidos o más que sólidos». La geom etría cartesiana, en el sentido de Descartes, perseguía un fin muy diferente de nuestra geom etría analítica m oderna. En efecto, en el prim er párrafo de la Geometría, puede leerse: Todos los problemas de geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales que no hace falta más que conocer la longitud de algunos segmentos rectos para construirlos. No se trata, pues, de reducir necesariam ente la geom etría al álge­ bra, sino más bien de realizar una construcción geométrica. Así, desde las prim eras páginas del libro l. Descartes proporciona una base geom étrica al álgebra m ostrando que las cinco operaciones aritm éticas corresponden a construcciones sencillas con la regla y el

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compás. Por ejem plo, la raíz cuadrada, que es la quinta operación aritm ética, se ilustra como sigue:

FIGURA 1.1

«Si hace falta extraer la raíz cuadrada de GH, le añado en línea recta FG, que es la unidad; entonces, dividiendo FH en dos partes iguales en el punto K, desde el centro K trazo el círculo FIFI; después, trazando desde el punto G una línea recta hasta /, con ángulos rectos con respecto a FH, G I es la raíz buscada.» Después, Descartes introduce su notación algebraica, y en parti­ cular su notación exponencial para las potencias. Resalta a conti­ nuación el hecho de que las potencias tales como a^, b^, b^, a^b, etc ., se interpretan geom étricam ente como segmentos simples y no, según los griegos, como cuadrados o cubos; en esto rom pe con la tradición griega. Para la resolución de un problem a en geom etría. Descartes indica cómo se debe proceder: Se debe, en primer lugar, considerarlo como ya hecho, y dar nombres a todas las líneas que aparecen necesarias para construirlo, tanto las que son desconocidas como las otras. Después, sin considerar ninguna diferencia entre las líneas conocidas y desconocidas, se debe recorrer la dificultad, según el orden que muestre más naturalmente en qué medida dependen mutuamente unas de otras, hasta que se haya encontrado el medio de expresar una misma cantidad de dos maneras: lo que se llama una ecuación. Como dice tan acertadam ente Boyer, este pasaje caracteriza un enfoque analítico de la geom etría, pero no representa la geom etría de coordenadas en su uso habitual. Descartes afirma a continuación que, si un problem a puede ser resuelto m ediante la «geometría de

Las matemáticas en la época de Descartes y de Fermat

13

líneas rectas y circulares trazadas sobre una superficie plana» —geo­ m etría de la regla y el compás— , la ecuación final contendrá «un cuadrado desconocido» y este segm ento se encuentra fácilmente. Porque, prosigue, si tengo por ejem plo = az + bb

h

L

M

FIGURA 1.2

construyo un triángulo rectángulo N L M con el lado L M igual a b, la raíz cuadrada de la cantidad conocida b", y el otro lado, L N igual a i la mitad de la otra cantidad conocida que está multiplicada por z, la cual es el segm ento desconocido por hipótesis. Prolongando MÍV, la hipotenusa de este triángulo, hasta O, de m anera que NO sea igual a N L, el segmento O M es la línea z buscada. Esto se expresa de esta form a';

* Descartes escribió esta expresión así: z X f -h

donde ^ era equivalente a nuestro signo = . Notemos que aa = a~.

14

Jean-Paul CoUelle

Descartes aplica su m étodo a otras ecuaciones de segundo grado y subraya a continuación que las raíces obtenidas en estos ejem plos podían encontrarse por otros m étodos, y que los m atem á­ ticos antiguos no parecían haber descubierto un m étodo tan eficaz para el mismo género de problem as. Lo enlaza a continuación con el célebre problem a de lugar de Pappus y, después de una larga exposición sobre el tem a, intenta dem ostrar que su m étodo le perm ite resolver el problem a, incluso si el núm ero de rectas es m ayor de seis u ocho. El libro 11 es el que se acerca más a nuestra concepción m oderna de la geom etría analítica. D espués de una exposición crítica sobre las distinciones aportadas por los griegos en el tem a de la clasifica­ ción de las curvas —curvas planas, sólidas y lineales— propone una nueva clasificación que reposa esencialm ente sobre «la exactitud del razonam iento». Las curvas geom étricas como la recta, la circunfe­ rencia y las cónicas, son curvas algebraicas descritas exactam ente, por oposición a las curvas mecánicas como la cuadratriz y la espiral logarítmica, que son más bien curvas trascendentes descritas inexac­ tam ente. La clasificación de Descartes perm itió abrir el cam po de las curvas admisibles, que era muy restringido entre los griegos, y preparar el camino de una clasificación de las curvas basada en parte en la existencia de ecuaciones algebraicas. D espués de haber obtenido una clasificación general de las curvas. D escartes em prende la dem ostración de la solución del problem a de Pappus para el caso de cuatro rectas. Propone los datos del problem a com o sigue: Tomemos los cuatro segmentos AB, AD, EF y GH dados más arriba y tratemos de encontrar otro segmento en el cual se encuentren una infinidad de puntos como C, desde el que, habiendo trazado los cuatro segmentos CB, CD, CFy CH, con ángulos dados respecto de los segmentos dados, CB multiplicado por CF produzca un resultado igual a CD multiplicado por CH.

D escartes denota A B m ediante x y B C m ediante y. Expresa las distancias CD, CF y C H como expresiones lineales en x y en y, con coeficientes determ inados por las distancias fijas y por los ángulos determ inados entre los segmentos. M ediante consideraciones geo-

Las matemáticas en la época de Descartes y de Fermat

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métricas y el uso de abreviaturas apropiadas, llega a una ecuación de la forma = ay — bxy + ex — dx^. Esta ecuación general representa una cónica que pasa por el origen de coordenadas pero, para D escartes, los coeficientes litera­ les deben ser considerados como positivos. Indica a continuación las condiciones que hace falta im poner a los coeficientes para que la cónica se convierta en una recta, una parábola, una elipse o una hipérbola. A propósito del problem a de Pappus, subrayamos este caso particular: cuando las cuatro rectas son paralelas y están a igual distancia a, y la quinta es perpendicular a las otras, el lugar correspondiente es una cúbica que Newton llamó «parábola carte­ siana» o tridente x^ -

2

ax^ - á^x -1- 2 a^ = axy

El trazado de esta curva, aunque aparece frecuentem ente en su Geometría, es esbozado solam ente por Descartes, porque su interés por esta curva estaba motivado sobre todo por el propósito de 1) obtener su ecuación como un lugar de Pappus;

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Jean-Paul Collette

2 ) m ostrar su generación m ediante el m ovimiento de curvas de grado inferior; 3) utilizarla a su vez para construir raíces de ecuaciones de grado superior.

Se encuentran tam bién en el libro H lugares llamados «óvalos de Descartes», que son muy útiles en óptica. En efecto, sirven para generar la superficie que separa dos medios tales que los rayos luminosos que salen de un punto del prim er medio encuentran la superficie, y que después de su refracción en el medio converjan en un punto. La definición m oderna de esta curva es el lugar de puntos M que satisfacen la condición FM + kF 'M = 2a donde F y F' son dos puntos fijos, 2a es cualquier núm ero real m ayor que FF' y k es un núm ero real cualquiera. Por ejem plo, si A: = 1, la curva es una elipse. El libro III de la Geometría vuelve al tem a desarrollado en el libro I, es decir, la solución de problem as de construcciones geom é­ tricas y, en particular, la construcción de raíces de ecuaciones determinadas.. D escartes resuelve así problem as de construcciones geom étricas en los que las longitudes desconocidas (raíces) satisfa­ cen ecuaciones de tercer grado y grado superior. Nos dice que «para la construcción de cada problem a hace falta tener cuidado de escoger siem pre la más sencilla de aquellas m ediante las que es posible resolverlo»; se debe, pues, conocer bien la naturaleza de las raíces de las ecuaciones a estudiar y saber, en particular, cuándo una ecuación es reductible. Este últim o libro constituye una exposición elem ental de la teoría de ecuaciones, escrita en un lenguaje y con una notación que se parecen mucho a los de nuestros libros m odernos. Se encuentran en él reglas para com binar, factorizar, transform ar y resolver ecua­ ciones. Tam bién se m uestra cómo descubrir las raíces racionales cuando existen, disminuir el grado de una ecuación cuando se conoce una raíz, aum entar y disminuir las raíces, cam biar su signo, determ inar el núm ero posible de raíces positivas y negativas —ver­ daderas y falsas en el lenguaje de Descartes— m ediante la célebre «regla de los signos», etc. E n la búsqueda de la solución de problem as de construcciones geom étricas. D escartes no recurre al m étodo gráfico apropiado a un sistema de coordenadas. Utiliza esencialm ente la construcción geo-

Las matemáticas en la época de Descartes y de Fermat

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m étrica, el conocimiento de una longitud desconocida que satisface una ecuación y las propiedades geom étricas de las cónicas. Su solución ofrece un aspecto puram ente algebraico, y se sirve de las ecuaciones de las cónicas para deducir hechos referentes a las curvas y a su construcción geométrica. Su clasificación de los problem as reposa sobre el grado de las ecuaciones algebraicas obtenidas a partir de la formulación algebraica de los problem as de construc­ ción. Es así como una construcción realizada por medio de rectas y circunferencias se form ula en térm inos de una ecuación de prim ero o de segundo grado. Los grados tres y cuatro de una ecuación implican la utilización de las secciones cónicas. En particular, Des­ cartes afirm a, de m anera incidental, que la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo son de grado tres, porque las rectas y las circunferencias no bastan para su construcción. Si el grado de una ecuación es superior a cuatro, se pueden necesitar curvas más complicadas que las secciones cónicas para asegurar su construcción geométrica. El grado de la ecuación de una curva resulta ser, en Descartes, una especie de m edida de su simplicidad. Nos recuerda, por otra parte, al final de su libro, que ha presentádo las construcciones más sencillas posibles para problem as de diferentes clases, lo que signifi­ ca que ha utilizado el grado m enor posible para resolver un proble­ ma de construcción.

Sistema de coordenadas En lo que se refiere a las expresiones «sistema de coordenadas cartesianas» y «producto cartesiano», podem os decir que son ana­ cronismos. E n efecto. D escartes no elaboró un sistema de coordena­ das que le habría perm itido localizar puntos como pudiera hacerlo un geógrafo, de la misma m anera que sus coordenadas no son consideradas como parejas de núm eros. Lo que D escartes hizo, fue utilizar una recta {A G en la figura 1.3) como una línea de base con un origen en el punto A . Los valores de x son entonces longitudes medidas sobre esta recta, m ientras que los valores de y son longitu­ des medidas desde la recta ^4G y que forman un cierto ángulo constante con esta última. Esto era, de hecho, recurrir a coordena­ das oblicuas para situar puntos en el plano, pero D escartes prefirió

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Jean-Paul Collette

insistir en la idea misma de coordenadas en lugar de servirse de ellas para trazar las curvas. Oresme representaba una ley trazando el gráfico de la función correspondiente, y la curva obtenida ilustraba geométricamente esta relación de dependencia entre dos variables. A Descartes no le interesaban los lugares de puntos que satisfacen una ecuación dada, sino la posibilidad de construir estos puntos. Por otra parte, en la Geometría no se encuentra ninguna curva trazada directamente a partir de su ecuación. En lo que se refiere a la utilización de cantidades negativas, aunque sabía que los segmentos negativos están dirigidos en el sentido opuesto a los segmentos positivos, no se preocupó de establecer un principio general aplica­ ble en un sistema de coordenadas.

Método de las tangentes Descartes abordó el problema de las tangentes en 1637 intentando determinar la «normal» a la curva de un punto M dado:

Si N es el punto donde la normal (perpendicular) corta al eje de las la circunferencia descrita con este punto como centro, con radio NM, será tangente en M a la curva. Pei^ si N no coincide exacta­ mente con el pie de la normal, el radio NM cortará a la curva en un segundo punto P que se aproximará indefinidamente a M, cuando N

X,

Las matemálicas en la época de Descartes y de Fermat

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se aproxime indefinidamente al punto que coincide con el pie de la normal. Este método está fundado en el principio siguiente: una línea cualquiera variable que corta a una curva dada en un punto fijo M dado y en un segundo punto P variable que se aproxima indefini­ damente a M, llega a ser tangente a esta curva cuando los dos puntos de intersección coinciden. Consideremos el ejemplo de la parábola =

2

mx;

la normal A M , de coordenadas {x, y), pasa por el centro de la circunferencia, de abscisa Xi, cuya ecuación es (x - x i f + y^ -

=

0

La intersección de la curva con la circunferencia proporciona (x - Xi)^ -I- 2m x -

= 0

y, desarrollando x^ — 2 (xi — m )x + x \ —

=

0

Si se quiere que los puntos M y P coincidan, hace falta que el discriminante de esta última ecuación se anule, de donde la raíz doble será X = Xi — m

Conociendo la abscisa x del punto de tangencia y el valor m de la parábola dada, se encuentra Xi, y conociendo el centro de la circunferencia se conocerán la normal y la tangente. Este primer método de las tangentes apareció en el libro II de la Geometría, y fue seguido de otros dos métodos propuestos por Descartes para apoyar su argumentación en la polémica que le enfrentó a Fermat. El segundo método consistía en «determinar la tangente a una curva considerándola como la posición particular de una secante que gira en torno al pie de la tangente, hasta que dos de sus puntos de intersección con la curva llegan a coincidir». Fue propuesto como respuesta a las modificaciones y correcciones he­ chas por Descartes a la regla de los máximos de Fermat. El último método de Descartes, que dio a conocer algunos días después del segundo, expresa el punto de vista generalmente adoptado ahora: la tangente está determinada por una recta que gira alrededor del

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Jean-Paul Collette

punto de contacto dado, hasta que el otro punto en el que aquélla corte a la curva venga a coincidir con el prim ero. Volveremos sobre esta polém ica de las tangentes con ocasión de la presentación de los trabajos de Ferm at sobre esta cuestión.

Descartes y el análisis A unque D escartes m anifestara antes de 1637 un cierto interés por los m étodos infinitesimales, no participó en su desarrollo porque sus trabajos m atem áticos, hay que recordarlo, no representan más que un episodio en el desarrollo de su filosofía. Sin em bargo, con motivo de la polémica con F erm at, puso de manifiesto su interés m atem áti­ co en el problem a de las tangentes. Descartes se dio cuenta plena­ m ente de la im portancia de este problem a en los siguientes térm i­ nos; Por esto creeré haber puesto aquí todo lo que se requiere para los elementos de las líneas curvas, cuando haya ofrecido, en general, la manera de trazar líneas rectas que formen ángulos rectos en aquellos de sus puntos que se quiera escoger. Y me atrevo a decir que éste es el problema más útil y más general, no sólo que yo sepa, sino incluso que yo haya deseado jamás conocer en geometría. Hay que señalar que el m étodo de D escartes es puram ente algebrai­ co y no recurre a conceptos de límite o de infinitésimo. Sin em bargo, queriendo corregir la regla de los máximos y mínimos de Ferm at, utiliza un procedim iento que es prácticam ente equivalente a definir la tangente como límite de la secante. D escartes evitó el uso de m étodos infinitesimales a causa de los riesgos que presentaban y debido a la ausencia de bases teóricas para el razonam iento infinite­ simal. Se oponía así a un movimiento im portante de su época. Aplicó el m étodo de las tangentes a problem as difíciles y, en particular, a una curva cúbica llamada «folio de Descartes» (óvalo), que tiene por ecuación

_ 2,axy Propuesta desde 1638 por D escartes, esta curva fue representada en un principio por una hoja situada en el prim er cuadrante.

l.íi.'i niíiií'máticas en la época de Descartes y de Fermat

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Descartes se sirvió de ella no para ilustrar su propia geom etría, sino más bien como un desafío al m étodo de los máximos y mínimos de Fermat.

FIGURA 1.5

En resumen, el área de la hoja v a le ^ f-, lo que es igual también al área com prendida entre la curva y la asíntota, cuya ecuación es X + y + a = 0.

FERMAT

Fierre Ferm at (1601-1665) nació en 1601 en Beaumont-deLom agne, cerca de M ontauban. Su padre, comerciante de cueros, después de haberle dado una instrucción sólida en su familia, le envió a estudiar D erecho a Toulouse. Allí pasó toda su vida, ejerciendo D erecho; después, a partir de 1631, fue consejero en el

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Jean-Paul Collette

Parlam ento, y m urió en Castres en 1665. Ferm at tuvo una carrera apacible, caracterizada por un cuidado ejem plar de hacer bien su tarea y, en sus m om entos de ocio, supo crearse ocupaciones litera­ rias y apasionarse por las matem áticas. Ferm at publicó rara vez sus descubrim ientos; apenas algunas notas como apéndices a tratados escritos por otros. Com o trabajaba para entretenerse, sus resultados más bellos aparecen en los m árge­ nes de estos tratados, y un gran núm ero de sus trabajos se han perdido. M antuvo correspondencia con todos los científicos de su época; su reputación de m atem ático com petente fue inm ensa, y la estim a en la que se le tuvo fue general. Pascal confesó que era «aquel a quien tengo por el gran geóm etra de toda Europa», y este personaje tan atrayente, de un carácter constante, afable, poco susceptible, sin orgullo, contribuyó am pliam ente a la evolución de las m atem áticas en campos tan variadas como la geom etría analíti­ ca, el cálculo diferencial e integral, la teoría de núm eros,y la teoría de probabilidades. Los principales escritos de Ferm at fueron f>ublicados, después de su m uerte, por su'hijo Sam uel,én 1679, bajo el título de Varia opera mathematica. A unque esta publicación no encierra más que una parte de su producción,, bastá por sí sola para clasificar al célebre habitante de Toulouse cómo el más im portante m atem ático francés del siglo xvii.

El Isagoge de Fermat El trabajo de restauración de los grandes clásicos de A lejandría em prendido por sus predecesores interesó a Ferm at después de 1621 hasta tal punto que se propuso reconstruir los dos libros de Apolonio sobre los Lugares planos a partir de informaciones contenidas en la Colección matemática de Pappus. Este trabajo le condujo al problem a de las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de Apolonio, que generalizó en térm inos de esferas tangentes a cuatro esferas dadas. E sta prim era actividad m atem ática de Fer­ m at le llevó en 1629, a la edad de 28 años, a un estudio analítico de los máximos y los mínimos. Luego, algún tiem po después, aplicó el análisis de Vieta a los problem as de lugares geom étricos y, en un corto ensayo titulado A d locos planos et solidos isagoge, que data como mucho de 1636, presentó en un estilo m oderno, con las

Las malemálicas en la época de Descartes y de Fermai

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notaciones de Vieta, los principios fundamentales de la geometría analítica. Esta obra, muy corta, como todos sus ensayos, comienza con una alusión al hecho de que los estudios sobre lugares geométricos han podido hacer que en ciertos casos los antiguos parezcan difíciles a causa de su incapacidad de enunciar el problem a en una forma general. Es así como se propone som eter la teoría de los lugares geométricos a un análisis que indique el camino hacia un estudio general de los problem as de lugares. Prosigue, a continuación, enunciando el principio fundamental de la geom etría analítica: Cuando una ecuación contiene dos cantidades desconocidas, hay un lugar correspondiente, y el punto extremo de una de estas cantidades describe una línea recta o una línea curva. Según Boyer, esta proposición constituye uno de los enunciados más significativos de la historia de las matemáticas. En efecto, introduce no sólo la geom etría analítica, sino también la muy útil idea de variable algebraica. En la terminología de Vieta la cantidad desco­ nocida representaba una magnitud determ inada, mientras que en Ferm at el extrem o de una de las variables puede ocupar diversas posiciones consecutivas, de m anera que represente una línea.

F IG U R A 1.6

El extrem o de E (nuestra y) es fijo (B) cuando la longitud de A (nuestra x) está determ inada a partir de un punto O, que se toma como origen, y hasta el punto C. Así, Fermat utiliza coordenadas

24

Jean-Paul Collette

oblicuas, aunque el eje de las y no exista explícitam ente y aunque no em plee coordenadas negativas. Estas cantidades desconocidas A y E son verdaderas variables que utiliza en ecuaciones algebraicas que representan lugares. Subrayemos que ni Descartes ni Ferm at utiliza­ ron el térm ino «sistema de coordenadas» o la idea de dos ejes, y que Ferm at se limitó a hacer representaciones geom étricas en el prim er cuadrante solam ente. En su presentación, introduce la división clásica de los lugares en tres tipos — plano, sólido y lineal— de la m anera siguiente: si el extrem o de E describe una línea recta o una circunferencia, tenem os un lugar plano; si describe una parábola, una hipérbola o una elipse, es un lugar sólido; para todas las dem ás curvas, el lugar correspon­ diente es un lugar lineal (locus linearis). Según F erm at, las ecuacio­ nes pueden visualizarse fácilmente cuando las dos cantidades desco­ nocidas son tales que form an un ángulo dado, que ordinariam ente es recto.

Ferm at introduce el estudio de la ecuación lineal utilizando las vocales (A y E) para representar, como lo había hecho V ieta, las cantidades desconocidas. Partiendo de una recta N Z M donde N es fijo, tom a N Z com o la cantidad desconocida A y e\ segm ento Z I,

Las matemáticas en la época de Descartes y de Fermat

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aplicado sobre la recta con un ángulo N Z I, como igual a la otra cantidad desconocida E. Cuando «D in A aequatur B in £» es decir, D A = B E donde D y B son constantes, el punto I describirá un lugar geom étrico representado por la sem irrecta NI. La ecuación lineal más general de la forma D x + By = c^, donde x = A e y = E corresponde a la recta M I con M Z — c^lD — A . Ferm at enuncia que todas las ecuaciones de prim er grado representan líneas rectas. Subrayemos que los coeficientes literales, así como las coordenadas, son positivos, tendencia que persistirá a lo largo de todo el siglo. Afirma que todos los problem as de lugares que incluyen una recta pueden ser descritos por esta ecuación lineal, en particular la séptima proposición del libro 1 de Apolonio sobre los Lugares planos y una «proposición muy bella» que él, Ferm at, ha descubier­ to gracias a su m étodo. El segundo tipo de ecuación que presenta Ferm at corresponde a la forma «A in E aequatur Z pl» y es la ecuación de la hipérbola xy = k^. Después vienen las ecuaciones que com prenden los cuadrados de las incógnitas, com en­ zando por = y^. E sta ecuación y todas las que son homogéneas en X y en y representan una línea recta. Ferm at dem uestra también que x^ = By, y^ = D x y ± x^ = By son parábolas. Después de haber dem ostrado que x'^ + y'^ + 2D x + 2By = es una circunferencia, Ferm at pretende haber llegado a reconstruir todas las proposiciones del libro ll de Apolonio. Finalm ente, ha­ biendo dem ostrado que b^ — x^ = ky^ es una elipse y que b^ + x^ = ky^ es una hipérbola, Ferm at se ve inducido a estudiar la ecuación más difícil de todas, la que contiene no sólo x e y, sino tam bién xy. Analiza el caso b^ - 2 x ^ = 2xy + y^

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Jean-Paul Collette

que, como dem uestra, representa una elipse. El tratado se term ina con la proposición siguiente: «Dados dos puntos N y M, encontrar el lugar de puntos tal que la suma de cuadrados de IN, IM esté en una razón dada con el triángulo IN M » (véase la figura 1.7). V

En el apéndice del Isagoge, se encuentra «La solución de proble­ mas sólidos m ediante lugares», texto en el que Ferm at hace patente su m étodo para dem ostrar que todos los problem as de ecuaciones cúbicas y cuárticas pueden construirse m ediante una parábola y una circunferencia. Por ejem plo, la ecuación jr'* - z^x -t= 0 se re­ suelve m ediante la intersección de la parábola \ / 2 by = y áe la circunferencia 2 b^x^ -f 2 b^y^ = z^x + b'* -P d'*.

Paralelismo entre las geometrías de Descartes y Fermat Muchos autores se han ocupado de los trabajos de Descartes y Ferm at, y sus apreciaciones parecen diferir en varios puntos. Por eso nos contentarem os con poner en claro brevem ente algunos

Las matemáticas en la época de Descartes y de Fermat

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hechos y ciertas características que se deducen de sus geom etrías, dejando a los especialistas la tarea de proseguir la discusión. Ni Descartes ni Ferm at inventaron el uso de las coordenadas o de m étodos analíticos, y ni uno ni otro fueron los prim eros en aplicar el álgebra de la geom etría o en representar gráficamente las variables. La contribución independiente de cada uno reposa esen­ cialmente en el_ reconocim iento de que una ecuación dada con dos incógnitas puede considerarse como la determ inación de una curva plana, con respecto a un sistema de coordenadas. A dem ás, si se añaden a esto los m étodos algorítmicos desarrollados por cada uno para unir estrecham ente la ecuación y la curva correspondiente, todo ello bastará para atribuirles el m érito de ser los fundadores de la geom etría analítica. Los dos autores continuaron los trabajos de Vieta en direcciones algo diferentes. Descartes adopta el objetivo de Vieta, la construc­ ción geom étrica de las raíces de ecuaciones algebraicas, pero conti­ nuándolo en conjunción con un simbolismo algebraico mucho más apropiado. Ferm at conserva la notación de Vieta, pero la aplica a un campo nuevo, el estudio de los lugares geométricos. Ferm at pone de relieve la idea fundam ental de la ecuación de una curva de una m anera más esclarecedora que Descartes. Por otra parte, D escartes cubre un campo más amplio y general que el de las ecuaciones de prim ero y segundo grado de Ferm at. Este último ofrece una exposición sistemática más accesible que la de Desearles, cuyas proposiciones da la impresión de que ha evitado clarificar. Se percibe m ejor en Ferm at que la ecuación con dos incógnitas es una expresión algebraica de las propiedades de la curva. M ientras que Descartes sugiere clases de curvas generadas por movimientos sim­ ples, Ferm at introduce grupos de curvas dadas por ecuaciones algebraicas. En general, se puede decir que Descartes comienza con un problem a de lugar geom étrico a partir del cual obtiene una ecuación del lugar, m ientras que Ferm at se preocupa más de partir de una ecuación y de deducir las propiedades de su curva. El métjydo de máxim os y m ínimos de Fermat En 1629, Ferm at había desarrollado su geom etría analítica y, poco tiem po después, hizo dos descubrim ientos im portantes estrecha-

28

Jean-Paul Collette

m ente ligados a sus trabajos sobre los lugares. El más im portante es, sin duda, una regla para la determ inación de los extrem os de las funciones algebraicas que sería descrita, sin dem ostración, en un pequeño tratado titulado M ethodus ad disquirendam maxim am et minimam, escrito en 1637. Se puede enunciar su m étodo de la m anera siguiente: se trata de buscar el máximo o el mínimo de la función / cuya variable es A ; reemplacemos A por A + E (donde E desem peña el papel de nuestro x habitual) en /, y hagamos f{A + £ ) = f{ A ), dividamos cada térm ino por E y, finalm ente, eliminemos todos los térm inos que contengan E. La ecuación resultante se anula para uno o varios valores de la variable A , y estos valores corresponden a máximos o mínimos. Apliquem os su m étodo al problem a de dividir un núm ero en dos partes de forma que el producto sea máximo. Sea N el núm ero conocido y A la cantidad desconocida. Tendrem os f{ A ) = A { N - A ) = A N - A^. Hace falta hacer /m á x im o , por consiguiente f(A + E) = (A + E )N - (A + E f = = A N + EN - A^ - 2AE y como f{ A ) = A { N - A ) se tiene A N - A ^ = A N - A ^ A E N - 2 A E - E^ de donde, dividiendo por E y después de simplificar, obtenem os 2A - N - E = 0. Finalm ente, haciendo E = 0 en la última igualdad, tendrem os 2A = N. Es decir, / es máximo cuando

Las matemáticas en la época de Descartes y de Fermat

29

Es im portante señalar que este m étodo algorítmico es equivalen­ te a calcular lim/ í ^ ^ ^ ) - / W

£^0 ^ aunque Ferm at no poseía el concepto de límite. Sin em bargo, el cambio de variable de a -I- £ y los valores próximos utilizados por Ferm at constituyen la esencia del análisis infinitesimal. Subraye­ mos además que el m étodo de Ferm at no perm ite distinguir entre un máximo y un mínimo.

Fermat y el método de las tangentes Hacia 1632, Ferm at aplica su m étodo de los extremos a la determ i­ nación de las normales y tangentes o, más precisam ente, de las subtangentes a una curva. Utiliza la parábola para ilustrar su método:

Sea D el vértice de la parábola, B parabólica, C el pie de la ordenada tangente corta al eje. Hagamos CD = mos una ordenada en el punto / que tangente en O.

el punto tangente a la curva de B, E el punto donde la b, C E = s, CI = e, y eleve­ corte la parábola en y la

30

Jean-Paul Collette

Para todos los puntos de la parábola, cuya ecuación es = px, la razón del cuadrado de la ordenada a la abscisa es constante; se tiene, pues, como afirma Ferm at flgZ _ d7

DC

y, en consecuencia, o'fl ^ TO

DC

Si el punto O se desplaza sobre la tangente, la razón

será

mínima cuando este punto esté en B. A hora bien, según el m étodo b CPa _ ^ y a continuación,

de los extrem os, Ferm at debe igualar _

reem plazando los cuadrados de O I y de B C por cantidades propor­ cionales, dependientes solam ente de los segm entos situados sobre el eje, obtiene Efi

^

TO

2>C

O (s — e)^ d ~ e

_ d

y, elim inando denom inadores, encuentra por reducción que j = 2d.

En este caso, la incógnita C E es el doble de la abscisa del punto de contacto. Ferm at añade que su m étodo es general. U na vez más, el m étodo de las tangentes de Ferm at se reduce a m ostrar que el valor del E^O

^

es la pendiente de la curva en el punto de abscisa x = A . Desgracia­ dam ente, las explicaciones dadas por Ferm at no eran suficientes y Descartes consideró que la distancia del pie E de la tangente a los diferentes puntos de la parte convexa de la parábola debía ser máxima. A hora bien, aplicando la regla de Ferm at a este pretendido máximo. Descartes llegó a un resultado absurdo. Sacó, pues, la

31

Las matemáticas en la época de Descartes y de Fermat

conclusión de que había un defecto en esta regla, y propuso modifi­ caciones. La discusión había com enzado, y uno y otro intentaron justificar su m étodo, adoptando cada uno un punto de vista diferen­ te: Descartes consideraba que líneas rectas o curvas que tienen dos puntos comunes y que se aproximan indefinidam ente se convierten en tangentes cuando estos dos puntos coinciden, m ientras que Ferm at llevaba la cuestión de la tangente a su m étodo de máximos y mínimos. En particular. Descartes desafió a Ferm at para que aplica­ ra su m étodo a la curva que lleva su nom bre -f

= cxy

donde y es una función implícita de x. Sustituyamos x por la variable x + E e. y por y (l + -f-) (obteni­ da m ediante triángulos sem ejantes, es decir, f

■ Se tiene

(x + E)^ + y \ l + -f-)^ - cy(x + £)(1 + - f ) = 0

y E{3x^ + ^

- cy) + E \ 3 x + ^ ~

+ E{1 + -^ ) = Q

Dividiendo por E, se tiene 3x^ +

cy + E(3x +

-

~ ^ ) + £^(1 -I- -^) = 0

Basta ahora eliminar E y aislar a

3x^ + ^ -^ -cy =0 y se obtiene

Conscientes uno y otro de que sus métodos no podían aplicarse así más que a las curvas «geométricas». Descartes y Ferm at intenta­ ron poner remedio a esta situación cada uno a su m anera. Descartes lo intentó una sola vez con éxito al tratar de obtener las tangentes a la cicloide. Asimismo, Ferm at estableció el principio de que es posible sustituir las ordenadas de las curvas por las de las tangentes y los arcos de curvas por las porciones de tangente que tengan la misma proyección sobre el eje, aplicando su m étodo a la ruleta. Llegó así a determ inar las tangentes de varias curvas trascendentes.

Jean-Paul Collette

32

La integración en Fermai El m étodo de integración llam ado de los indivisibles de Cavalieri (véase el tom o I, p. 314) m uestra principalm ente que x" dx = para todas las potencias enteras positivas. Sin em bargo, después de la publicación de este resultado en 1635, no proporcionó ninguna dem ostración com pleta más que para « = 4. En 1635, Ferm at dem ostró rigurosam ente este resultado general y, en la misma época, consiguió extenderlo a las potencias fracciona­ rias positivas por m edio de parábolas generales de la forma y"'a" = b'^x". A dem ás, encontró las cuadraturas y los centros de gravedad de estas parábolas. Se interesó por la cruadratura de la hipérbola fraccionaria aplicando una técnica equivalente a la que se utiliza para el cálculo de la integral definida: división del área bajo la curva en pequeños elem entos, estimación de la suma de los elem en­ tos del área m ediante rectángulos y de la ecuación analítica de la curva, procedim iento utilizado por Ferm at para expresar el equiva­ lente de lo que se obtiene sirviéndose del límite de la suma. Según Boyer, Ferm at llegó a reconocer todos los aspectos de la integral salvo el de la integral misma. El procedim iento utilizado por Fer­ m at, prosigue Boyer, consiste en encontrar una cuadratura, es decir, en resolver un problem a geom étrico específico. Subrayemos, final­ m ente, que la rectificación de curvas atrajo la atención de Ferm at, que efectuó la de la parábola semicùbica.

Fermat y la teoría de números Fue sobre todo en la teoría de núm eros, inaugurada por Diofanto en la A ntigüedad, donde Ferm at se reveló sin rival, como Pascal atestigua en una carta: Buscad en otra parte quien os siga en vuestras invenciones numéricas; os confieso que me superan con mucho; no soy capaz más que de admirarlas.

Las matemáticas en ¡a época de Descartes y de Fermat

33

Los trabajos de Ferm at en teoría de núm eros están contenidos en sus «observaciones», escritas en los m árgenes de su ejem plar del Diofanto de Bachet^ y en su «correspondencia». Para hacerse una idea más exacta de las contribuciones de Ferm at a la reina de las ciencias m atem áticas, según Gauss, hay que tener en cuenta sus dos fuentes: la correspondencia aporta un com plem ento precioso a sus observaciones. Los prim eros estudios de Ferm at en teoría de núm eros se rem ontan a 1636, año en el que consigue dilucidar el problem a siguiente: «Sea + 2{a + b)x = + b^, donde a y b son racionales. D em ostrar que si x es raíz, entonces es una diferencia de dos núm eros inconmensurables.» Después, viene el período más fecundo, que se extiende desde 1638 hasta 1644, en el que Ferm at dem uestra su verdadero talento. En efecto, da a conocer las proposiciones siguientes: 1) Ningún triángulo rectángulo tiene por área un cuadrado. 2) Las ecuaciones jc"* + y'* = z"* y son irresolubles en térm inos de núm eros racionales, así como = z^. 3) Ningún núm ero de la forma 8 /c — 1 es cuadrado o suma de dos o tres cuadrados. 4) Todo núm ero es la suma de tres números triangulares o más, de cuatro núm eros cuadrados, de cinco núm eros pentágonos, etc. Las proposiciones 1, 2 y 4 fueron dem ostradas, según parece, por su m étodo de «descenso infinito», que está fundado en una especie de inducción inversa. En efecto, si se supone que un número goza de una propiedad específica, y se puede probar que un núm ero inferior goza tam bién de esta propiedad, por iteración se llega a la conclusión del absurdo de la suposición, porque los núm eros no pueden decrecer indefinidam ente. Ilustrem os este m étodo aplicándolo a la demostración de que ^/3 no es racional:

■ Claude-G aspard de Bachet (1591-1639) editó en 1621 la Aritmética de Diofanto:

34

Jean-Paul Collette

Supongamos que V 5 =

donde p i y qi son enteros positivos,

tales que p i > q^. Com o

^ , aislemos el \/3 del nu­

2

m erador y reem placem os el otro p o r -f-. Se tiene 9i ■ V3 Es evidente que 3qi ~ de la desigualdad

Px'j P\

- Pi

Pi -

'

— q\ son enteros positivos en virtud

? < j£L >

2

S ean p 2 y ^ 2 cada uno, respectivam ente, inferior a p i y

entonces 3a-V '

H abiendo introducido los símbolos | y d, que son de hecho operadores, Leibniz m uestra que operan a la inversa uno de otro y parece convencido al principio de que | aum enta la dimensión y de que d la disminuye. Sin em bargo, reconoce a continuación que j representa realm ente la suma de rectángulos o una suma de áreas. Adem ás, observa que, partiendo de y, para llegar a dy le hace falta obtener las diferencias de y. Por ello, algún tiem po después, pasa de y a dy, no divide ya por d, sino que escribe simplemente dy. El «cálculo de diferencias» que ha desarrollado hasta ahora se basa esencialmente en sucesiones de términos. En un m anuscrito fechado el 11 de noviembre de 1675, vuelve al problem a inverso de la tangente y utiliza | para la suma y ^ para la diferencia, diciendo que f¡ es dx, la diferencia de dos valores conse­ cutivos de X . Pero, aparentem ente, el dx de que se sirve es igual a la

125

Newton v Leibniz

unidad. A partir de esas consideraciones, afirma que «la integración en cuanto proceso de sumación es la inversa de la diferenciación». Al tener Lcibniz que establecer una relación entre la «diferencia de las X», es decir dx, y la «diferencia de y», es decir dy, se interesa por el significado de expresiones como

d(uv). d(itlv), d(u ■ v), etc.

El cociente ^ se encuentra especialm ente en la resolución de un problema que consiste en determ inar una curva cuya subnormal os inversamente proporcional a la ordenada. Lcibniz basa su argum en­ tación en el triángulo característico que Pascal y Barrow habían utilizado anteriorm ente.

f -------- V-------- > FIG U R A 3.1

El triángulo característico es el triángulo PQK constituido por dy, dx y el arco PQ. Por sem ejanza de triángulos, Pascal había visto que y, para un intervalo R R pequeño, el segm en­ to de recta PQ es identificable con el arco PQ, en valor numérico. Leibniz concluye que Lo que Pascal no había visto es la determ inación de la tangente m ediante la diferencia de las ordena­ das QR dividida por la diferencia de las abscisas, CR. En la figura 3.1, la normal es DB, y la subnormal w es A B . Por sem ejanza de los triángulos PQ K y D A B , Leibniz puede escribir ^ n f

ó

pdxnydy.

Jean-Paul Coltelle

126

Como la curva tiene la propiedad de que b w r-i n donde b es una constante de proporcionalidad bf-nydy

y

dx n

entonces ¡dxnl^ dy,

x n j ; ¡ y^dy,

xHj;^

En una nota m anuscrita del 26 de junio de 1676, Leibniz afirma que la m ejor m anera de encontrar las tangentes es determ inando donde dy y dx son diferencias, y ^ un cociente. Se da cuenta, pues, que la determ inación de la tangente a una curva depende de la razón de las diferencias de ordenadas y abscisas cuando se hacen infinitam ente pequeñas (punto éste que no vio Pascal). En noviem bre de 1676, Leibniz descubre la diferenciación en cadena y establece que J x" m ientras que el 11 de julio de 1677 consigue, con dificultad, establecer las reglas exactas de la diferencial de una sum a, diferencia, producto y cociente de dos funciones, sin incluir no obstante las dem ostraciones de estos resul­ tados. Hacia 1680, el dx resulta la diferencia de las abscisas y el dy la di­ ferencia de las ordenadas. Llam a dy al increm ento m om entáneo en y cuando la ordenada se desplaza a lo largo del eje de las x. Se en­ cuentra, en particular, en este manuscrito una fórm ula para la longi­ tud de arco, ds = Vcb^' + d p', y el volum en de un sólido de revolu­ ción obtenido por la rotación de la curva alrededor del eje de las x viene dado por V = Ji ¡ y^dx. El conjunto de estas notas m anuscritas nos revela a un Leibniz que busca una representación simple y eficaz de los elem entos y de las operaciones de base en los procedim ientos infinitesimales y que inventa la notación para el cálculo infinitesimal. D urante todos estos años de investigaciones, no está esencialm ente preocupado por la invención de m atem áticas nuevas, sino que, de pasada y con motivo

Newton y Leibniz

127

de la resolución de problem as, se ve conducido a proponer técnicas nuevas. Su enfoque se basa fundam entalm ente en el concepto de sumas y diferencias finitas y, cuando las aplica a curvas, pueden llegar a ser infinitam ente pequeñas. Su fin no es establecer teorem as sino elaborar, lo más eficazmente posible, un m étodo m ediante el cual, sin recurrir a diagramas, ciertas propiedades de las figuras puedan ser determ inadas por medio de su «cálculo de las diferen­ cias».

La Nova m ethodus pro maximis et minimis La prim era publicación de Leibniz sobre el cálculo diferencial aparece en Acta Eruditorum en 1684, bajo el título de Nova m etho­ dus pro maximis et minimis, itemque tangetibus, qua nec irrationales quantitates moratur (Nuevo m étodo para los máximos y mínimos, así como para las tangentes, el cual puede tam bién aplicarse a las cantidades fraccionarias e irracionales). En esta prim era obra, Leib­ niz presenta las reglas generales de la diferenciación y se sirve de las diferenciales más que de las derivadas por medio de la notación «d». Las diferenciales dx, dy se definen como increm entos finitos, pero en una ocasión define dy com o dy : dx = y : subtangente, donde dx es una constante arbitraria, lo que implica una cierta ex­ presión de la subtangente, aunque entonces la definición no es cier­ tam ente com pleta. Proporciona las fórmulas obtenidas en 1677: d(xy) = xdy -t- ydx (la no inclusión del térm ino dxdy se basa en la noción de infinitam ente pequeño), d(^) = y d(x'') = n x " ~ ', para los productos, cocientes y potencias o raíces, todo ello acom pa­ ñado de aplicaciones geométricas tales como la búsqueda de tangen­ tes, de los máximos y mínimos, y de los puntos de inflexión. En particular, se encuentra allí la condición dv = 0 para un máximo o un mínimo, y ddv para un punto de inflexión. Introduce por prim era vez la expresión «cálculo diferencial», pero se observa la ausencia del térm ino función. Este texto no se caracteriza precisam ente por su claridad, pues ya los herm anos Bernoulli lo consideraban como «un enigma, más que una explicación». En la segunda m em oria, publicada en 1686 en la misma revista, Leibniz expone las reglas fundam entales del cálculo integral. Titula-

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128

da De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitarum (Sobre una geom etria altam ente escondida y el análisis de los indivisibles e infinitos), este texto trata del problem a inverso de las tangentes y contiene en particular el símbolo Publicada bajo la forma de un informe crítico de un libro publicado por John Craig, m atem ático escocés y discípulo de Newton, esta m em oria ilustra dos puntos fundam entales: l.°, la gran utilidad del símbolo de la sumación com binado con el de la diferenciación de la m anera siguiente: si ydy - xdx, entonces | yd y = ¡ xdx, e inversam ente, lo que traduce el carácter inverso de las operaciones ¡ y d; 2 °, la potencia del m étodo para representar las cantidades «transcendentes», que están prácticam ente inexploradas. Se encuentra tam bién en ella la ecuación de la cicloide, bajo la forma y = V2x -

+ I V2F ^

las diferenciales de las funciones logarítmicas y exponenciales, y una exposición que trata de la curvatura y de la teoría de las envolven­ tes. Leibniz publicó tam bién otras m em orias en la revista Acta Eruditorum en 1692 y 1694, adem ás de m antener correspondencia con los herm anos Bernoulli sobre diferentes tem as relativos al cálculo. E n particular, intentó en vano definir las diferenciales de orden superior, comenzó una tabla de integrales e ilustró geom étri­ cam ente el teorem a fundam ental del cálculo. E n 1714, Leibniz escribió una Historia et origo calculi differentialis en la que pasa revista al desarrollo de su pensam iento m atem ático. Sin em bargo, esta historia no parece lo suficientem ente objetiva en los hechos como para que constituya un testim onio en el que se pueda confiar para evaluar sus contribuciones en el campo de las matem áticas.

Otros trabajos de Leibniz La gran contribución de Leibniz a las m atem áticas es, sin ninguna duda, su Cálculo de las diferencias, pero algunos de sus trabajos de m enor im portancia m erecen que nos detengam os en ellos. Hem os visto que Leibniz se interesó desde muy pronto por la

Newton y Leibniz

¡29

lógica, y el m étodo mecánico propuesto por Ram ón Llull para producir nuevas ideas m ediante com binaciones de ideas ya existen­ tes le condujo a elaborar un cálculo que perm itiera a los hombres razonar en todos los campos de actividades sin esfuerzo. Los dos aspectos fundam entales de su Characteristica generalis consistían en la creación de un «lenguaje universal» y de un simbolismo apropia­ do. Según Leibniz, los signos se utilizan no sólo para com unicar los pensam ientos, sino tam bién para facilitar el proceso mismo del pensam iento. En su form a simbólica, las operaciones con símbolos deberían reflejar todas las combinaciones permitidas de los objetos que representan, y deberían poner de manifiesto las combinaciones imposibles. La «característica universal», según Leibniz, debía ser la fuente de una verdadera álgebra lógica que fuera aplicable a dife­ rentes expresiones del pensam iento. Concebida como un plan lógico, la «característica universal» es un sistema de símbolos rigurosam ente definidos que puede ser utilizado en lógica y otras ciencias deductivas para denotar los elem entos simples de los objetos a estudiar por una ciencia dada. Las ideas complejas podrían entonces ser expresadas como com bi­ naciones de ideas simples procedentes de un «alfabeto» del pensa­ m iento hum ano, y estas com binaciones se efectuarían teniendo en cuenta un conjunto de reglas que no sólo describieran las propieda­ des formales de las transform aciones de los símbolos, sino que adem ás consideraran los procedim ientos que clarifican las represen­ taciones simbólicas. La «característica universal» designa m ediante letras a todos los elem entos simples, las fórmulas están constituidas por las combinaciones permitidas de estos elem entos, y los enuncia­ dos o proposiciones se designan m ediante ecuaciones. En suma, Leibniz busca la elaboración de un álgebra de la lógica. A pesar de sus tres intentos de construir un cálculo lógico, los trabajos de lógica de Leibniz, que no serán publicados hasta principios del siglo XX, ejercerán en la práctica una influencia muy escasa sobre sus suceso­ res. A dem ás, la historia m uestra que su «característica universal» resulta una em presa irrealizable. Sin em bargo, su idea de algebrizar la lógica se ha concretado gracias a los trabajos de los lógicos de los siglos XIX y XX. En general, se atribuye a Leibniz el hecho de haber sido el prim ero en Occidente en utilizar un m étodo para la resolución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, anterior al m étodo de los

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determ inantes. E n una carta fechada en 1693 y dirigida al m arqués de L’Hospital, Leibniz anuncia que, ocasionalm ente, hace uso de un sistema de indices para los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas x e y: M étodo m oderno

M étodo de Leibniz

10 + U x + 12y = 0 20 + 2ÍX + 22y = 0

o

30 + 3 \x + 32y = 0

f lio

+

«20

+

«30

+

UuX +

a^2y =

0

+ «2 zy = o « 3 ,X

+

«32y

= 0

donde, eliminando y entre la primera y segunda ecuación, se debería tener 10.22 + 11.22x:

(«io«22 “ « 12^ 20 ) +

—12.20 — 12.21...

+ («n«22

«i2«2i) ~ 0

y eliminándola entre la primera y la tercera ecuación, se tiene 10..32 + 11.32jc

( « io «,32

—12.30 — 12.31...

~ «i 2«3o) +

+ («n«32 ~ «i2«3i)jf = 0

Queda por eliminar x, y se debería obtener entonces 1 ( ) .2 i .3 2

1o.2 2 .3

«10«21«32

i

« I0 « 2 2 « 3 1

1].22.3o = lj.2o.32

+ «n«22«30 = + «U«20«.32

12.2o.3]

+ «12^20«31

12.2).3o

+ «12«21«30

y si se trasponen todos los términos a un mismo miembro, se tendrá «I0«21«32 “ «10«22«3I + « jj«22«3o

« ii «2o«32 — 0

+ «12«20«31 “ «12«21«30

10 11 12 O

20 21 22 — o 30 31 32

El determinante nulo significa que existen una x y una y que satisfacen las tres ecuaciones del sistema original. Esta anticipación no será conocida hasta 1850.

Newton y Leibniz

131

Leibniz se interesó tam bién indirectam ente por los núm eros com plejos estudiando el álgebra de Bombelli. No estaba de acuerdo con la afirmación de Bombelli de que la fórmula de C ardan era inadecuada para el caso «irreducible» de la ecuación cúbica. Y se propuso dem ostrar las tres proposiciones siguientes: 1) La fórm ula de C ardan es válida en todos los casos. 2) Toda ecuación cúbica puede resolverse por medio de esa fórmula. 3) Las raíces de todas las potencias pares pueden formularse de m anera que contengan las imaginarias, que son de hecho reales. D em ostrando la proposición 3 encontró la fórmula

Vó = Vi + V=3 + Vi - V=3 que fue obtenida m ediante una analogía con el estudio algebraico de las curvas de segundo grado. E ste resultado sorprendió a un m ate­ mático de talento, Huygens. Se encuentra tam bién en los trabajos de Leibniz la descomposición de V -I- a* en la form a m oderna

X, =

X2 =

a V

^

.2 ^

X3 = —ay/ —i, X4 = a y —i A propósito de esta descomposición, Leibniz, en 1702, describe estas raíces im aginarias en térm inos teñidos de «teologismo»: Un recurso elegante y maravilloso para la inteligencia humana, un naci­ miento contra natura en el campo del pensamiento, casi un anfibio entre el ser y el no ser. Leibniz y Johann Bernoulli (1667-1748) intercam biaron una corres­ pondencia im portante entre el 16 de m arzo de 1712 y el 29 de julio de 1713 a propósito de los logaritmos de los núm eros negativos, que requieren, evidentem ente, la presencia de V ~ 1 - Se estableció otra correspondencia entre ellos en 1701 a propósito de un sistema binario en aritm ética. En 1703, Leibniz había publicado en las Mémoires de VAcadem ie Royale des Sciences una «Explicación de la aritm ética binaria», la prim era exposición sobre este tem a, que tendrá cierto im pacto en la com unidad científica.

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La célebre controversia entre Newton y Leibniz

Sabemos que Leibniz fue el prim ero en publicar un informe de sus trabajos sobre el cálculo en 1684, m ientras que Newton dio a conocer el suyo en 1687 en sus Principia. Parece, sin em bargo, que la controversia no se desencadenó hasta 1699. Pero ya en 1695 se producen dos acontecim ientos. En prim er lugar, Wallis informa a Newton por carta de que circulan rum ores de que en H olanda su noción de fluxión es bien acogida pero bajo el nom bre de «Leibniz calculus differentialis». A continuación, Johann Bernoulli desafía a los m atem áticos europeos a resolver dos problem as (braquistócrona) en seis meses. Leibniz obtiene de Bernoulli una prórroga de un año para perm itir la participación de todos los matem áticos del mundo. D urante este año adicional, Newton recibe los dos proble­ mas, los resuelve por la noche, y a la m añana siguiente entrega las soluciones al presidente de la Royal Society. Leibniz escribe en su revista, algún tiem po después un texto en el que adm ite las solucio­ nes de Newton; sin em bargo, da a entender que Newton es su alum no y que ha llegado a las soluciones gracias a su conocimiento del cálculo. Estos dos acontecim ientos revelan ya una cierta rivalidad oculta que se transform ará en hostilidad abierta cuatro años más tarde. En 1699, Patio de Duillier, m atem ático suizo de G inebra, afirma en un texto presentado en la Royal Society que Newton fue el prim er inventor del cálculo y que Leibniz fue el segundo o que tom ó sus ideas de Newton, prefiriendo él mismo dejar a otros la tarea de com probarlo a partir de los textos de Newton. Es la salida, la prim era insinuación de que Leibniz ha plagiado a Newton, y el prim ero responde ignorando la cuestión de la prioridad e insistiendo en sus derechos a ser el prim er inventor del cálculo. M ientras tanto, Newton se m antiene apartado del debate, pero la revista de Leipzig se niega a publicar la réplica de Duillier a Leibniz. El debate se reanuda a raíz de la publicación de Opticks en 1704, cuando una crítica anónim a, aparecida en Acta Eruditorum, sobre la teoría de las fluxiones, despierta la ira de los matem áticos ingleses. Se forman entonces dos grupos, el de los Bernoulli con Leibniz y el de los matem áticos ingleses que apoyan a Newton, defendiendo cada uno con ahínco sus concepciones, de forma que la polémica entre los dos

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grupos engendra una animosidad larga y amarga entre los m atem áti­ cos ingleses y los del continente europeo. D e todo ello resulta un completo cese de intercambios entre los matemáticos ingleses y continentales. Los matemáticos ingleses, profundam ente influenciados por los trabajos de Newton y su utilización demasiado conservadora de los métodos geométricos, continúan preconizando el instrum ento geométrico durante cerca de un siglo. Los matemáticos del continente, por su parte, adoptan los métodos analíticos de Leibniz, los desarrollan y los perfeccionan considerablem ente durante el siglo xviil. Adem ás, los métodos de Leibniz resultan ser mucho más eficaces que los de Newton, de m anera que los matemáticos ingleses se ven relegados a un segundo plano durante todo este período, privando así a las m atemáticas de los aportes nuevos que se habría podido esperar de ellos.

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EJERCICIOS

1. Describir el enfoque del cálculo de Newton. 2. Distinguir los tres intentos de Newton de elaborar su cálculo y mostrar las diferencias fundamentales entre cada uno. 3. Describir el enfoque del cálculo de Leibniz. 4. Comparar las contribuciones de Newton y Leibniz a la notación del cálculo. 5. Comparar la forma newtoniana del teorema del binomio con la forma actual, y demostrar que son equivalentes. 6 . Integrar la función y = ¿-3 - sirviéndose del método de las series de Newton. 7. Efectuar la diferenciación de + 2>x^ — 5xy ■¥ y^ = Q por el método de fluxiones. 8 . Derivar la función y = x^ por el método de las «primeras y últimas razones».

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9. Explicar cómo llega Newton a definir la noción de diferencial. 10. ¿Cómo concebía Leibniz su célebre «característica universal»? Explicar esta concepción. 11. ¿Cuál fue el papel de Pascal en la evolución del análisis de Leibniz? 12. Resolver por el método de Newton la cúbica - 6x -h 3 = 0 para una raíz comprendida entre 2 y 3.

SE G U N D A PARTE

E L SIGLO X V III •

LAS M A TEM A TICA S EN EL SIG LO XVIII

D urante el siglo X V lll, las contribuciones matem áticas en álgebra, geom etría analítica y cálculo son tales que el aspecto de la ciencia m atem ática se modifica profundam ente, hasta el punto de hacerse casi irreconocible. La inmensidad de los progresos realizados suscita una gran confianza en el valor explicativo y en el poder práctico de la ciencia. E n particular, la implicación de las m atem áticas en las ciencias hace nacer problem as com plejos y apasionantes, m ientras que el entusiasm o y la curiosidad intelectuales, suscitados por el éxito de la mecánica de Newton, conducen a nuevos trabajos y a nuevos descubrim ientos. A dem ás, la m ayor parte de los soberanos de E uropa rivalizan en la fundación y el m antenim iento de acade­ mias, que perm iten así a un m ayor núm ero de científicos trabajar en el desarrollo de las ciencias, así como en una m ayor difusión de éstas, factor prim ordial de la aceleración del progreso. La tarea esencial de los m atem áticos del siglo XVIII será precisar y distinguir, extender, coordinar y aplicar los descubrimientos re­ cientes. V erdaderos virtuosos de la técnica, los ingeniosos m atem á­ ticos del siglo XVIII se esforzarán por desarrollar el cálculo diferen­ cial e integral y utilizar nuevos instrum entos para deducir de él capítulos im portantes: series infinitas, ecuaciones diferenciales, ecuaciones en derivadas parciales, geom etría diferencial y cálculo de variaciones. A unque menos espectaculares, los progresos realizados en los dem ás campos de las m atem áticas m erecen, sin em bargo, ser señalados. Sin ap ortar innovaciones brillantes, el campo de las ciencias algebraicas es objeto de num erosos perfeccionam ientos que preparan la revolución del siglo siguiente; se em prende el estudio de las ecuaciones de grado superior a cuatro, así como la ampliación de la aplicación de los núm eros complejos y su representación geom é­ trica; la teoría de núm eros, abandonada por un tiem po, ocupa un lugar im portante en los trabajos de E uler y Lagrange; y el cálculo de probabilidades se convierte en una ciencia nueva que conoce sus prim eras aplicaciones. Los progresos de la geom etría analítica reali-

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zados en el curso de este siglo llevan verdaderam ente a la geom etría analítica m oderna. Gracias a los trabajos de M onge, la geom etría descriptiva, esta nueva ram a de la geom etría cuyos prim eros ele­ m entos se rem ontan a D urerò, se hace clásica. A unque ciertos trabajos anteriores estuvieran consagrados al estudio de la geom e­ tría infinitesimal según los estudios de Euler, es en M onge en quien recae el honor de haber aportado los resultados de m ayor im portan­ cia, así como una renovación com pleta de los m étodos de estudio en este campo. La producción m atem ática en E uropa durante el siglo XVIII difiere considerablem ente de un país a otro. Francia y Suiza son las naciones que ejercen una cierta supremacía, m ientras que A lem a­ nia, los Países Bajos', Italia y los dem ás, no participan casi en la marcha del progreso. La escuela inglesa es muy próspera a com ien­ zos de siglo; Newton y sus discípulos reinan en ella. Pero la servidum bre dem asiado estricta a la tradición new toniana y el aislamiento casi total de los matem áticos ingleses, ocasionado por la célebre controversia entre Newton y Leibniz, ocasionarán un decli­ ve bastante rápido de esta escuela en la prim era m itad del siglo. Por el contrario, en el continente, los matemáticos discípulos de Leibniz desarrollan las grandes líneas del «cálculo de diferencias» de este último y am plían considerablem ente el campo de investigación. Los principales representantes de esta escuela son los herm anos Jakob y Johann Bernoulli y L ’Hospital. La escuela francesa no comienza a brillar verdaderam ente hasta la generación de M aupertuis, Clairaut y D ’A lem bert, y el considerable prestigio que adquirirá a finales de siglo se debe en gran parte a las actividades matem áticas de Lagran­ ge, Laplace, Legendre y Monge. El movimiento de fundación de academias y revistas científicas del siglo XVII adquiere un desarrollo considerable en el siglo si­ guiente, gracias al estímulo de los m onarcas de diferentes países como Prusia y Rusia. Estos centros de investigación y enseñanza instauran una política de im portación de talentos que atrae a la A cadem ia de Berlín nom bres tan prestigiosos como Euler, Lam ­ bert, Lagrange; a la Academ ia de San Petersburgo a los científicos de Basilea Daniel y Nikolaus Bernoulli, así como a E uler, que se unirá a ellos en 1727. M ientras que las universidades dispensan una enseñanza científica netam ente insuficiente, las academ ias ayudan económ icam ente a los científicos, y la difusión de sus trabajos se

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efectúa cada vez más m ediante revistas científicas publicadas con fondos que provienen principalm ente del Estado. A dem ás, la fecun­ da emulación que suscitan las numerosas academias y los concursos que convocan, disputados por los científicos de E uropa, vivifica la vida científica y estim ula la formación de matemáticos profesionales. Si se admite que Roberval fue uno de los raros matemáticos profesionales del siglo xvii, la aportación del siglo xvill es casi exclusivamente obra de científicos profesionales. A parte de algunos matemáticos aficionados, son sobre todo los profesores de universi­ dad, los miembros de las academias o los matemáticos itinerantes los que hacen progresar las matem áticas durante ese siglo. Estos matem áticos profesionales del siglo xvlll se inspiran direc­ tam ente en los problem as físicos planteados a partir de los trabajos de Galileo y Newton en física y en astronom ía. Así se puede decir que la mecánica celeste se convierte en el paraíso de los m atem áti­ cos, pues ofrece una mina de problem as nuevos por explorar, para cuya solución las m atemáticas constituyen un instrum ento casi indis­ pensable. La física estudiada por los científicos del siglo XVIII se enriquece progresivam ente con las aportaciones de las m atemáticas, las cuales, a su vez, se benefician grandem ente de las fuentes fecundas ofrecidas por la ciencia. Más todavía que en el siglo anterior, las matemáticas del siglo Xv iii, lejos de limitarse a la pura teoría, tratan tanto los problemas prácticos como los tecnológicos. E uler, pOr ejem plo, se interesa por los navios, la acción de las velas, la balística, la óptica y la cartogra­ fía. D ’A lem bert, filósofo y literato, se ocupa de la mecánica aplica­ da y la astronom ía, y tom a parte activa e im portante en la redacción de la Enciclopedia. Monge habla de los problemas de excavación, terraplenes y molinos de viento con la misma minuciosidad que de los problem as de geom etría diferencial. Eñ esta época, con toda certeza, la actividad del científico no se limita por lo general a un solo cam po de estudio, y habrá que esperar todavía cerca de un siglo para que se comiencen a dibujar divisiones más netas entre las diferentes actividades de los científicos. Hemos visto que, durante el último tercio del siglo XVll, el análisis infinitesimal emerge como el desarrollo principal de las m atemáticas. U na vez bien definidas las reglas de operación del análisis, los sucesores de Leibniz y Newton confían ciegam ente en el simbolismo y se lanzan con entusiasm o al cálculo forma!. Habiendo

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form ulado los problem as físicos en form a m atem ática, los virtuosos se ponen a trab ajar y, atentos ante todo a la eficacia, m anipulan las fórmulas y encuentran conclusiones. A m enudo los m atem áticos se sirven de la física para verificar sus conclusiones y justificar ciertas etapas en la elaboración de sus dem ostraciones. Sin em bargo, esos matem áticos son conscientes de la necesidad de las dem ostraciones y de la falta de rigor de sus procedim ientos. Pero com o las tentativas em prendidas para clarificar el cálculo resultan infructuosas, y se com prueba la incom petencia de los contradictores (lógicos) en lo que respecta a los problem as técnicos m atem áticos propiam ente dichos, los m atem áticos de ese siglo no pueden dejar de escoger la vía de las aplicaciones, ya que prefieren construir, elaborar e inventar, más que asegurar las bases lógicas del análisis. El siglo XVIII asiste a la aparición de un núm ero im ponente de m anuales de m atem áticas, algunos de los cuales dan a conocer los trabajos de los grandes m atem áticos de la época. La extensión de la enseñanza de las m atem áticas lleva consigo una justificada dem an­ da, cada vez m ayor, de obras didácticas, y algunos científicos como E uler, C lairaut, M aclaurin, Thom as y R obert Simpson, Bézout, no dudan en escribir obras destinadas a lectores poco o nada iniciados en matem áticas. Los m anuales de álgebra indican una tendencia a acentuar el uso del algoritm o pero, al mismo tiem po, se observa una incertidum bre m arcada a propósito de los fundam entos lógicos de las m atemáticas. La m ayor parte de los m anuales de geom etría, con excepción de los de Inglaterra, abandonan el rigor y el formalismo euclídeo para adoptar una presentación más concreta, más natural y m ejor adap­ tada al que aprende. Sin em bargo, a finales de siglo, los m anuales de Legendre y Lacroix ilustran bien una vuelta al rigor que va a exten­ derse am pliam ente por la enseñanza de la geom etría en varios países. A finales de siglo, las m atem áticas com prenden varias ramas nuevas, en las cuales surgen problem as cada vez más complejos. Por otra parte, enfrentados con la dificultad creciente de los problem as m atem áticos y la ausencia casi total de m étodos generales para resolverlos, algunos m atem áticos m anifiestan un cierto pesimismo en cuanto al futuro de las m atem áticas y dudan de los progresos futuros que pueden esperarse en este campo. A fortunadam ente, e l siglo XIX se encargará de devolver la confianza en el futuro de las m atemáticas.

4.

LOS D ISC IPU LO S D E L E IB N IZ Y NEW TON Y LAS PR IM E R A S D IFIC U LTA D ES D E L ANA LISIS

INTRODUCCIÓN

La prim era m em oria consagrada por Leibniz al «cálculo de diferen­ cias», publicada en 1684 en las Acía Eruditorum, pasa casi inadverti­ da, pero algún tiem po después Jakob Bernoulli dem uestra que conoce bien el nuevo cálculo y comienza a publicar m em orias a partir de 1689. Después inicia a su herm ano Johann, quien, a raíz de una estancia en París en 1690-1691, da a conocer los m étodos de Leibniz a los científicos franceses y, en particular, al m arqués de L ’Hospital. Muy pronto, los herm anos Bernoulli dan a conocer el cálculo de Leibniz en todo el continente europeo gracias a sus numerosos trabajos publicados en las Acta y a una correspondencia m antenida con varios matemáticos. De padre a hijo, de tío a sobrino, la familia de los Bernoulli se distingue en diversos campos de las matemáticas: cálculo de probabilidades, cálculo de variaciones, ecuaciones dife­ renciales, problem a de la braquistócrona, logaritmos; en una pala­ bra, pocos aspectos de las m atem áticas les son ajenos. En Francia, el marqués de L’Hospital publica el prim er tratado de cálculo diferencial, que perm ite difundir ampliam ente los princi­ pios y m étodos del nuevo cálculo. Varignon y él se convertirán en los dos principales discípulos franceses de Leibniz. La difusión del m étodo de fluxiones de Newton fue más lenta que la del análisis de Leibniz, a causa principalm ente del aspecto dem asiado geom étrico del m étodo y de una notación simbólica menos eficaz que la de Leibniz. Sin em bargo, a pesar de la publica­ ción tardía de los trabajos de Newton, algunos matemáticos ingle­ ses, Cotes, Stirling, Maclaurin y Taylor, discípulos de Newton, se esforzarán en desarrollar y difundir los métodos newtonianos. M e­ recen subrayarse los trabajos de A braham de Moivre sobre el cálculo de probabilidades y la trigonom etría.

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E n Italia, aunque no se realice ningún descubrim iento funda­ m ental, merecen «er m encionados los trabajos de los matem áticos italianos Ceva, Fagnano, Saccheri y Grandi. Este período de la historia de las m atem áticas, m arcado desde el principio por la célebre polémica Newton-Leibniz, lo será a conti­ nuación por las prim eras críticas form uladas por el holandés Nieuw entijt, el francés Rolle y el inglés Berkeley a las bases lógicas del nuevo cálculo. A unque estas críticas no fueran muy fructíferas, al m enos forzaron a los autores a precisar m ejor sus conceptos y a dedicar una atención m ayor a las cuestiones de lógica.

LA FAMILIA BERNOULLI

La familia Bernoulli, originaria de A m beres, fue una de las num ero­ sas familias protestantes obligadas a dejar los Países Bajos en 1583 para escapar de la persecución religiosa española. En un principio se refugió en Francfort, y después se estableció en Basilea, Suiza, en 1622. C om prende ocho representantes repartidos en tres generacio­ nes, que se distinguieron en el cam po de las m atem áticas, y al menos tres de sus descendientes cultivaron las m atem áticas con cierto talento. D e padre a hijo, de tío a sobrino, los Bernoulli m erecieron ser reconocidos como la familia de m atem áticos que más se distin­ guió en el desarrollo de las m atem áticas, y cuatro de entre ellos fueron elegidos m iem bros de la A cadem ia de Ciencias de París. Los dos prim eros representantes, y los más célebres, son los hermanos Jakob y Johann.

JAKOB BERNOULLI

Jakob Bernoulli (1654-1705) nació el 27 de diciem bre de 1654 en Basilea, quinto hijo de una familia num erosa, cuyo padre, Nikolaus, estaba considerado como un com erciante próspero. Hizo sus prim e­ ros estudios en las escuelas públicas de Basilea y recibió clases particulares de un profesor de griego de la universidad de esta ciudad. Estudió teología durante algún tiem po con el fin de satisfa­ cer la firme voluntad de su padre, quien se oponía a que em prendie­ ra estudios de astronom ía y m atemáticas. Sin em bargo, abandonó

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rápidam ente la teología y se orientó hacia lo que le interesaba verdaderam ente; la astronom ía, la física y las m atem áticas. Viajó bastante, sobre todo por Francia, Bélgica e Inglaterra, tanto por interés personal como para conocer a científicos extranjeros. En 1676, se encuentra en G inebra, donde enseña a una joven ciega los rudim entos de la ciencia y la escritura. A partir de esta experiencia, publicará un libro titulado Método para enseñar matemáticas a los ciegos. D urante su estancia en Londres, tuvo el honor de asistir a reuniones privadas de académicos ingleses como Boyle, H ooke, etc. A su vuelta a Basilea en 1682 se consagra enteram ente a estudios de física y m atem áticas, y en el mismo año publica un ensayo sobre los cometas. A proxim adam ente en la misma época se interesa vivam ente por el nuevo cálculo de Leibniz y, en una carta, intenta com unicar sus im presiones a este últim o, pero deberá esperar tres años antes de que Leibniz, que estaba de viaje, le responda. D urante este tiem po, Jakob Bernoulli asimila por sí mismo el cálculo diferencial a partir de los trabajos de Wallis y Barrow, así como las dos m em orias de Leibniz publicadas en 1684 y 1686 en la revista Acta Eruditorum. En 1687, fue nom brado profesor de m ate­ máticas en la universidad de Basilea y conservó su cátedra hasta su m uerte, acaecida el 16 de agosto de 1705.

Sobre las series infinitas El conjunto de los trabajos de Jakob Bernoulli se encuentra, en gran parte, en m em orias publicadas en las Acta Eruditorum. En particu­ lar, de 1689 a 1704, publicó cuatro memorias sobre las series infinitas, cuyo contenido trata de la utilización de las series que representan funciones con objeto de diferenciar e integrar estas funciones, obtener las áreas encerradas bajo las curvas y las longitu­ des de las mismas. Estas representaciones de funciones m ediante series constituyen una contribución sustancial al análisis, pero hay que señalar que Bernoulli manipula las series sin demasiadas pre­ cauciones. E studió, entre otras cóáas, la serie armónica, y dem ostró que la suma es infinita, subrayando, sin em bargo, que su herm ano Johann había sido el prim ero en dem ostrar la divergencia de esa serie (O resm e y Mengoli fueron los precursores de Jakob Bernoulli en

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este tem a). E n una ocasión, sustituye el térm ino general por una suma o diferencia de dos térm inos y obtiene un resultado falso, porque la serie utilizada es divergente, y él opera como si fuera convergente. A propósito de la serie de los recíprocos de la potencia n-ésim a de los núm eros naturales:

1 + 42"r +

3»

+

...

+ -^ + P"

dem uestra que la sum a de los térm inos de orden im par es a la su­ ma de los térm inos de orden par com o 2" — 1 es a 1. E sta relación es válida para n ^ 2, pero Bernoulli no duda en aplicarla para n = l y n = - ; e n este últim o caso, subraya que el resultado obte­ nido es paradójico. D em ostró tam bién que la suma de la serie 1 + es infinita utilizando el «criterio de com para­ ción con la serie armónica. Bernoulli dedicó una atención particu­ lar a la serie [ l - l - t - l - l - f l — 1 -1- . .. ] , cuya sum a debería ser igual a cero, pero haciendo la suma igual a S indica, reagrupando

los térm inos, que 5 = 1 - 5, de donde 5 = | . Leibniz y Grandi llegaron al mismo resultado de form a diferente. E n particular, Leibniz sugirió tom ar el prim er térm ino, después la suma de los dos prim eros, la suma de los tres prim eros, etc., lo que proporciona 1 ,0 , 1 ,0 , 1, . .. y , como 1 y 0 son équiprobables, Leibniz considera entonces que la m edia aritm ética, será el valor más probable. P a­ rece que esta solución fue aceptada por Jakob y Johann Bernoulli.

Sobre problemas populares En 1690, Jakob Bernoulli estaba al corriente de los problem as populares de la época, y resolvió el problem a de la línea isócrona propuesto por Leibniz en 1686. El problem a consistía en determ inar la curva según la cual un móvil desciende con una velocidad vertical uniform e; es la curva de ecuación = a ^ . E n la solución a este problem a encontram os por prim era vez el térm ino «integral» que Leibniz adoptará en lo sucesivo para sustituir su expresión «cálculo sum atorio» por «cálculo integral». Bernoulli se interesa por nu­ merosas curvas, entre las que podem os m encionar lás cáusticas, las

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curvas engendradas por rodadura, la curva elástica, la hipocicloide. En 1694, Jakob hace, en las Acta, una descripción de una curva llam ada en la actualidad «lemniscata de Bernoulli», cuya ecuación en coordenadas polares es /^ = a eos 26, y es la prim era vez que estas coordenadas polares aparecen en un texto publicado (Newton había precedido a Bernoulli en este tipo de coordenadas en su m étodo de fluxiones). La lemniscata es el lugar geom étrico de un punto P, cuyo producto de distancias a dos puntos fijos y F2 (dos focos que distan una constante 2a) es igual a una constante a^, es decir, (F^P) {F2 P) = a^. Al año siguiente, Bernoulli presenta la ecuación diferencial que lleva su nom bre

^ + P(x)y = q {x )f y en 1696 proporciona una solución de la misma m ediante el m étodo de separación de variables, que había sido propuesto por Leibniz. Jakob Bernoulli se interesó igualm ente por problem as que están en la base del cálculo de variaciones, el prim ero de los cuales se refiere al célebre problem a de la braquistócrona, uno de los pro­ puestos por su herm ano Johann en un desafío lanzado a los m atem á­ ticos en general. El problem a consiste en determ inar la trayectoria descendente según la cual un móvil pasa de un punto A a otro B, no situado directam ente debajo de A , en un mínimo de tiem po. Recor­ demos que Jakob Bernoulli, Newton y Leibniz encontraron solucio­ nes exactas, así como L ’Hospital; es de hecho la curva de descenso más rápido; la cicloide. Un segundo problem a se refiere a la determ inación de las geodésicas, es decir, de las trayectorias de longitud mínima entre dos puntos de una superficie, m ientras que un tercer problem a, el de los isoperím etros, consiste en determ inar, entre un conjunto de curvas planas cerradas con un perím etro dado, la que rodea un área máxima. Con ocasión de un problem a de este tipo, salieron públicam ente a la luz desavenencias entre los herm a­ nos B ernoulli, aunque éstas no eran las primeras. La solución de Jakob a este género de problem as le perm itió establecer las bases del prim er m étodo del cálculo de variaciones. La espiral logarítmica^ m encionada por Descartes y rectificada p or Torricelli, fue probablem ente la curva que más le fascinó. Por lo dem ás, dem ostró varias propiedades inéditas de esta curva: la evoluta de una espiral logarítmica es una espiral logarítmica igual.

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cáustica por reflexión y su cáustica por refracción son tam bién espirales. Siendo ya de edad avanzada, Jakob Bernoulli imitó a A rquím edes pidiendo que se grabara sobre su tum ba la spira mirabilis con la divisa Eadem mulata resurge para m ostrar que el renacim iento de esta curva es un símbolo de la resurrección. SU

El A rs conjectandi Su obra pòstum a, titulada A rs conjectandi, fue publicada en 1713, ocho años después de su m uerte. Es la prim era contribución teórica im portante a la teoría de las probabilidades que contiene, además, una reedición com entada del De ludo aleae de Huygens y de un tratado de análisis com binatorio. D e las cuatro partes de esta obra, la prim era com prende el tratado de Huygens acom pañado de un com entario de Bernoulli, la segunda está consagrada a la teoría de perm utaciones y com binaciones, la tercera com prende las solucio­ nes a veinticuatro problem as diversos sobre juegos de azar y, en la cuarta, Jakob Bernoulli se propone aplicar la teoría de probabilida­ des a tem as de interés. El prefacio de esta obra fue escrito por Nikolaus Bernoulli, sobrino de Jakob, quien m enciona que la cuarta parte nc fue acabada por el autor antes de su m uerte. El com entario al tratado De ludo de Huygens contiene dem ostraciones suplem entarias de las proposiciones del pequeño tratado, así como nuevos problemas acom pañados de su solución. En la segunda parte, consagrada a la teoría de perm utaciones y combinaciones, es de notar una dem ostración del teorem a del binomio para potencias enteras m ediante inducción m atem ática com pleta (expresión que Bernoulli no utiliza) y la suma de un núm ero finito de térm inos de la serie de los núm eros elevados a una potencia c-ésima dada por

1 n‘^ = c i'i

+ \ n ‘^ + j An^^~^

1 C-C ~ l-{n), núm ero de enteros inferiores a « y primos con n (aunque la notación (p{n) fue introducida por Gauss). D em uestra que «si a es un núm ero prim o con n, entonces — 1 es divisible por n». Por ejem plo, partiendo de Q9( 1 ) = 1, 4, a pesar de múltiples tentativas, todas han fracasado salvo para n = l , 2, 3 y 4 (para n = 4, la fórmula proporciona 65537, un núm ero primo). E uler se interesó igualmente por el problem a de particiones y por la determ inación del núm ero de descomposiciones posibles de un núm ero N en una suma de m términos. Entre los resultados que dejó Euler, podemos m encionar la demostración del enunciado de Ferm at: «Todo núm ero prim o de la forma 4/i + 1 se descompone de

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m anera única en una suma de dos cuadrados»: las dem ostraciones de que «todo divisor de la suma de dos cuadrados primos entre sí es la suma de dos cuadrados», que X4 +, 4y

y X4 — y 4

no pueden ser cuadrados y que «un núm ero primo de la forma 3n + 1 se descompone de m anera única en la forma x^ + 3y~». En 1747, Euler añadió tres pares de números amigos a la lista de Ferm at y más tarde, en 1750, enum eró 62 pares, dos de los cuales resultaron más tarde inexactos. En una memoria pòstum a, dem os­ tró el recíproco del teorem a de Euclides: «Todos los números perfectos pares son de la forma dada por Euclides, es decir, 2»-1(2» _ 1)^ donde 2" - 1

es un núm ero primo». Subrayemos que la existencia de números perfectos impares es todavía un problem a no resuelto. Los progresos introducidos por Euler en la teoría de las fraccio­ nes continuas y el uso de la ecuación de Fell (atribuida falsamente a John Fell (1611-1685) por Euler) le permitieron m ejorar la reso­ lución de las ecuaciones indeterm inadas, y en 1759 ofreció un mé­ todo de resolución de la ecuación de Fell, x^ —Ay~ = 1, expresando \ [ Á como una fracción continua, pero su método no es entera­ mente satisfactorio. La teoría de los residuos cuadráticos suscitó igualmente impor­ tantes investigaciones de Euler y el descubrim iento más original, si no el más im portante, del siglo xviii en teoría de núm eros, la ley de reciprocidad cuadrática. En el lenguaje de Euler, si existe un x tal que x^ — p es divisible por q, entonces p es un residuo cuadrático de í/; si no, p no es un residuo cuadrático de q. En 1808, Legendre estableció la formulación actual: Fara todo núm ero p y todo núm ero primo q 1

si p es un residuo cuadrático de q

iplq) = ■ —1 si p no es un residuo cuadrático de q, y la ley de reciprocidad, en su forma m oderna, enuncia que si p y q son dos números primos distintos, entonces (p/ 1 y diverge para n < \ . Enunció tam bién el «criterio del cociente», atribuido a Cauchy: si

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es m enor que uno, la serie converge, si es mayor que uno, diverge, y si el limite es igual a uno, no se puede concluir nada respecto de la convergencia. Adem ás de la conjetura de Goldbach enunciada sin dem ostra­ ción, Waring presenta en sus Meditationes diversos resultados im­ portantes. Se encuentran allí, entre otras cosas, el «teorem a de Waring» —todo entero es, o bien un cubo , o bien la suma de, como mucho, nueve cubos— y el enunciado de que «todo entero es, o bien una potencia cuarta o la suma de, como mucho, diecinueve poten­ cias cuartas». El teorem a de W aring no sería dem ostrado hasta principios del siglo X X . Se encuentra tam bién en esta obra un teorem a que recibió el nom bre de su alum no y amigo John Wilson (1741-1793), estudiante de m atem áticas brillante, aunque se dedicó a la m agistratura. Wilson enuncia, sin dem ostración, el teorem a siguiente: «Para cada núm ero prim o p, ú {p - 1)! -f- 1 es divisible por q, q es un núm ero primo». Lagrange ofrecerá una demostración de este teorem a en 1773.

LAM BERT

Johann Heinrich Lam bert (1728-1777) adquirió celebridad gracias a sus trabajos sobre las fracciones continuas y a su tentativa de dem ostrar el postulado de las paralelas. D e una habilidad excepcio­ nal, se interesó por muchas cosas diferentes: cosmografía, cartas geográficas, lógica, geom etría descriptiva, filosofía de las m atem áti­ cas, etc., y, convencido de que podía dom inar toda la ciencia, sus esfuerzos dispersos le im pidieron contribuir más am pliam ente en el campo de las m atemáticas. Lam bert utilizó los trabajos de E uler sobre las fracciones conti­ nuas para dem ostrar que «si x es un núm ero racional diferente de cero, entonces e* y tg x no pueden ser racionales». Demostró tam bién que no sólo es irracional para x entero positivo, sino que todos los núm eros racionales tienen logaritmos en base e irraciona­ les. En 1761 presentó en la Academ ia de Berlín la prueba de que «n es un núm ero irracional» que se deduce de la irracionalidad de tg x. En efecto, como tg k IA = 1, un núm ero racional, se deduce que idA no puede serlo y por tanto tam poco Jt. Lam bert dem ostró también que el desarrollo de tg x en fracciones continuas es convergente.

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Hacia 1757, Vincenzo Riccati (1707-1775), hijo de Giacom o, quien introdujo la ecuación de Riccati, sugirió el desarrollo de las funciones hiperbólicas a partir de la relación observada entre el área encerrada bajo la circunferencia de radio a, dada por dx y el área encerrada bajo la hipérbola de parám etro a, dada por I'S/x^ dx. Esta relación conducía a desarrollar una idea que relacionaba las funciones trigonom étricas y logarítmicas m ediante los núm eros complejos. Lam bert em prendió un estudio com pleto de estas funciones hiperbólicas, y fue quien introdujo las notaciones m odernas de sh x, ch x y th x, además de prom over estas nuevas funciones. Lam bert es tam bién conocido por haber intentado dem ostrar el postulado de las paralelas. Según B onola, los trabajos de Saccheri influyeron en Lam bert, quien em prendió un estudio sobre este postulado. En efecto, en la Theorie der ParallelUnien de Klügel, Lam bert cita pasajes relativos a los trabajos de Saccheri y ciertas partes de su estudio recuerdan claram ente al del célebre jesuíta italiano. En 1766, Lam bert redacta Die Theorie der ParallelUnien, que no será publicada hasta después de su m uerte en 1786. Su estudio comienza con un cuadrilátero que tiene tres ángulos rectos (el cuadrilátero de Saccheri no posee más que dos) y aplica al cuarto ángulo las hipótesis del ángulo recto, obtuso y agudo. Las tres hipótesis son estudiadas m inuciosam ente, a la m anera de Sac­ cheri, y Lam bert llega a las mismas conclusiones que su predecesor. Sin em bargo, apunta ideas y observaciones muy sugestivas; la prim era tiene que ver con la existencia de una «geometría plana», basada en la validez de la segunda hipótesis, la cual presenta sem ejanzas con la geom etría esférica; una observación que estipula que la geom etría esférica es independiente del postulado de las paralelas; por últim o, una tercera idea a propósito de la tercera hipótesis consiste en concluir que esta tercera hipótesis debería tener lugar en el caso de una esfera imaginaria (superficie real que será estudiada en el siglo X lX con el nom bre de seudoesfera).

B U FFO N

George-Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788), se hizo célebre por su monum entai obra titulada Historia natural, pero manifestó.

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tam bién un interés real por las matem áticas. Sus contribuciones en este campo se refieren sobre todo a una traducción de las Fluxiones de Newton, a un Ensayo de aritmética moral y a la probabilidad geométrica. Su prim era contribución matem ática fue una traducción de la versión inglesa de Colson de el Método de fluxiones de Newton. En un largo prefacio, expresa su entusiasm o por el gran maestro Newton y reconoce que Leibniz es un gran m atem ático; después presenta sus ideas personales sobre el concepto de límite, en las cuales parece haber confusión entre el infinito cardinal y el infinito ordinal. La obra m atem ática más im portante de Buffon es su Ensayo de aritmética moral, publicada en 1777 en el cuarto volum en del Suplemento a la historia natural, que fue com puesto al parecer en 1760. Distingue, al comienzo de su Ensayo entre la certeza física, basada en una larga sucesión ininterrum pida de éxitos, y la certeza m oral, que descansa esencialm ente en un núm ero restringido de casos similares; más tarde m uestra que el valor aritm ético del dinero es diferente de su valor m oral, el cual depende del estado de la fortuna del que desea obtener el dinero. Por ejem plo, el valor moral de diez coronas es muy diferente para el que posee sólo cinco o para la persona muy acaudalada. Aplica a continuación este principio a los juegos de azar para dem ostrar que, en general, el juego «es un pacto mal entendido, un contrato desventajoso para ambas partes, cuyo efecto es hacer que la pérdida sea siempre m ayor que la ganancia...». Discute largam ente la paradoja de San Petersburgo, que le había sido propuesta por Cram er en 1730, y prsenta diversas razones que hacen imposible dicha paradoja. A propósito de esta paradoja, recordem os que hizo jugar a cara o cruz a un niño, y después de haber lanzado la m oneda 2 084 veces, el resultado obtenido reveló que la media para cada parte era igual a 5. Después de m encionar que sólo ha utilizado la aritm ética para estim ar las probabilidades, se propone dem ostrar, m ediante ejem ­ plos, que tam bién la geom etría puede servir como instrum ento en la teoría de probabilidades. Se ocupa de las probabilidades geom étri­ cas simples, y después presenta ejem plos más complicados que requieren el em pleo del cálculo integral. Buffon presenta, a conti­ nuación, su célebre «problem a de la aguja»; un plano está reglado con líneas paralelas que equidistan una longitud d. U na aguja de

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longitud I < d es lanzada al azar sobre el plano. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta atraviese una de las líneas? Su respuesta es correcta; 2 1 1 ná. Su Ensayo incluye tam bién discusiones sobre las bases de los sistemas aritm éticos (recom ienda el uso de la base duodecim al), las unidades de longitud y la cuadratura del círculo, así como una colección de tablas que contienen los nacimientos, m atrim onios y defunciones ocurridos en París de 1709 a 1766.

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EJERCICIOS

1. ¿Cuál fue el papel de las academias en la vida profesional de Euler? 2. ¿Qué ramas de las matemáticas fueron las más activas en la época de Euler? Precisar la respuesta mediante ejemplos. 3. Describir las contribuciones importantes de Euler a las notaciones matemáticas. 4. Las ideas de Euler a propósito del concepto de función evolucionaron en el curso de su vida. Precisar esta evolución mediante ejemplos adecuados. 5. Precisar las concepciones de Euler sobre los fundamentos del cálculo. 6 . Euler fundó la teoría de las funciones de los logaritmos de los números negativos e imaginarios. ¿Por qué se le puede atribuir esta contribu­ ción? 7. Demostrar las tres identidades de Euler: sen X = ^ -2 ¡ ‘.., eos x = 8.

9. 10. 11.

12.

, e" = eos x + / sen x.

Encontrar el ln(l -h i) mediante las identidades de Euler y dar el resultado en la forma a + bi. Escribir sen (1 -I- i) en términos de un número complejo de la forma a + bi. Transformar en un número complejo de la forma a + bi. Si (m) es el número de los enteros inferiores a m y primos con m, demostrar que 23'® — 1 es divisible por 60. Demostrar que la ecuación diferencial de Riccati y' = P(.x)y^ + z~

=

0 ,

o laplaciano de una función, verificada por el potencial, se encuen­ tra en su Mecánica. En una memoria sobre la teoría de las atraccio­ nes de los esferoides y la figura de los planetas, incluida en su célebre tratado de astronom ía, Laplace desarrolla el concepto de potencial, una función cuya derivada direccional en cada punto es igual a la com ponente del campo de intensidad en la dirección dada. De la misma m anera que su «teoría analítica de las probabilida-

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des» fue acom pañada de una exposición elem ental sobre el cálculo de probabilidades, su Mecánica celeste fue precedida de su Exposi­ ción del sistema del m undo (1796). E n esta Exposición Laplace presenta en algunas páginas su célebre hipótesis cosmogónica sobre el origen del sistema del mundo. Recordem os que esta hipótesis consiste en explicar el origen del sistema solar m ediante una nebulo­ sa primitiva que habría ocupado el em plazam iento actual de ese sistema. Esta nebulosa estaría constituida por un núcleo fuertem en­ te condensado, a una tem peratura muy alta, que gira como una sola pieza alrededor de un eje que pasa por su centro, todo ello rodeado de una atm ósfera. Por enfriam iento de las capas exteriores, la rotación de conjunto habría engendrado anillos sucesivos que, por condensación, se convertirían en los planetas, m ientras que el núcleo central habría form ado el sol. Esta hipótesis encierra ideas que habían sido ya elaboradas por el filósofo Kant y por Thomas Wright. Laplace se interesó igualm ente por otros aspectos de las m ate­ máticas. M encionemos brevem ente la extensión de la noción de soluciones singulares a las ecuaciones de grado superior y a las ecuaciones diferenciales de tres variables; la utilización de coorde­ nadas esféricas para expresar la «ecuación potencial»; la generaliza­ ción del m étodo de V anderm onde para el desarrollo de los determ i­ nantes en productos de m enores; la dem ostración para el caso de seis planetas que se m ueven en la misma dirección de que las seis raíces características son reales y distintas; la utilización de las funciones de variables com plejas para calcular integrales, pasando de una integral real a una integral com pleja con el fin de calcular la integral real. (Laplace consideraba que este paso de lo real a lo imaginario podía considerarse como un m étodo heurístico.) La potencia del talento de Laplace, la unidad y la amplitud de sus concepciones le valieron muchos elogios y admiración. La cita que sigue, tom ada de Poisson, ilustra bien las contribuciones cientí­ ficas de Laplace: Sin duda Laplace se mostró como un hombre de talento en la mecánica celeste; dio prueba de la sagacidad más penetrante para descubrir las causas de los fenómenos; y fue así como encontró la causa de la aceleración del movimiento de la Luna y la de las grandes desigualdades de Saturno y Júpiter, que Euler y Lagrange habían buscado infructuosamente. Pero

L a s m a te m á tic a s e n la é p o c a d e la r e v o lu c ió n f r a n c e s a

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puede decirse que fue todavía más en el cálculo de probabilidades donde se manifestó como un gran geómetra; porque las numerosas aplicaciones que hizo de este cálculo dieron origen al cálculo de diferencias finitas parciales, a su método para la reducción de ciertas integrales como series, y a lo que él llamó la «teoría de las funciones generatrices». [...] Creamos, pues, que un tema que llamó la atención de semejantes hombres es digno de la nuestra; e intentemos, si nos es posible, añadir algo a lo que ellos encontraron en una materia tan difícil y tan interesante.

LEG EN D R E

A drien-M arie Legendre (1752-1883) es originario de Toulouse, Francia. Al contrario de la de Lagrange o M onge, la vida de Legendre transcurre tranquila, como la de los científicos de la era m oderna. Distinguido por el abate M arie, su m aestro en el colegio de M azarino, ocupa un puesto de profesor de matem áticas en la Escuela M ilitar de París de 1775 a 1780. Ingresado en la Academia de Ciencias en 1783, Legendre form a parte de la comisión encarga­ da en 1787 de las operaciones geodésicas que deben unir el observa­ torio de París al de Greenwich. Participa luego en la preparación de las operaciones geodésicas bajo la Revolución, en el m om ento de la adopción del sistema métrico. Legendre no desem peñó ningún papel político durante la Revo­ lución, contentándose más bien con ocupar diversos puestos como consejero en la Universidad, profesor en la Escuela Normal y exam inador en la Escuela Politécnica. Hacia el final de su vida, Legendre fue privado de su pensión porque se opuso a la introm i­ sión del gobierno en la m archa de la Academ ia de Ciencias. Murió en París en 1833, sin haber cesado nunca de trabajar con pasión y regularidad. Su nom bre va unido a un gran núm ero de proposiciones muy variadas, lo que atestigua la diversidad de sus investigaciones. En su trabajo, m uestra una gran tenacidad y no duda en adentrarse por caminos difíciles, pero no tiene la originalidad y profundidad de visión de M onge, Lagrange o Laplace. A unque se significó particu­ larm ente en teoría de núm eros, contribuyó tam bién de m anera original en otros campos: ecuaciones diferenciales, cálculo de varia­ ciones, teoría de funciones, geom etría euclídea e integrales elípti­ cas. Sus tratados de matem áticas fueron durante mucho tiem po los

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clásicos por excelencia: Elementos de geometría (1794); Ensayo sobre la teoría de números (1798); Ejercicios de cálculo integral (1811-1819); Tratado de las funciones elípticas y de las integrales eulerianas (1825-1832); y Teoría de números (1830).

La geometría y el postulado de las paralelas En sus Elementos de geometría de 1794, Legendre rom pe con las ideas platónicas de Euclides y presenta un tratado elem ental de geom etría que constituye un perfeccionam iento pedagógico cierto de los Elementos del geóm etra griego. Publicado durante el Año del T error, Legendre escribe en su prefacio que el objeto de su tratado consiste en satisfacer al espíritu, aunque consta de elem entos muy rigurosos. Las veintiuna ediciones sucesivas aparecidas en vida del autor son un testim onio del notable éxito de este tratado, que fue tam bién traducido a diversas lenguas. En particular, la traducción inglesa de su tratado llegó a ser casi un sinónimo de geom etría en América. El postulado de las paralelas ha llamado la atención de num ero­ sos geóm etras, y Legendre le consagró mucho tiem po. Antes de Legendre, ios geóm etras se habían contentado con poner de relieve las dificultades del problem a y enunciar su opinión sobre el tema. Con Legendre, el punto de vista cambia porque trata de construir con él un teorem a. Sus diferentes estudios, repartidos entre las numerosas ediciones de sus Elementos, fueron reunidos en una memoria de la Academ ia de Ciencias, publicada en 1833 bajo el título de Reflexiones sobre diferences maneras de demostrar la teoría de las paralelas o el teorema sobre la suma de los tres ángulos del triángulo. D urante un período de veinte años, Legendre se esforzó por proponer diferentes tentativas para dem ostrar el postulado de las paralelas, y la más interesante se parece mucho al enfoque de Saccheri. En efecto, decidió estudiar la cuestión de la suma de los ángulos rectos. Así Legendre consiguió descartar la hipótesis de Saccheri del ángulo obtuso, ya que llegó a establecer que «la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es inferior o igual a dos ángulos rectos». En suma, Legendre no añade nada nuevo a los trabajos anterio-

! . ( i \ m a l c m á li c a .s e n l a é p o c a d e l a r e v o l u c i ó n f r a n c e s a

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res de Saccheri y Lam bert, a no ser la forma simple y elegante de sus demostraciones, que atrajo la atención de un gran núm ero de lectores y suscitó tam bién un interés creciente por ideas de esta naturaleza.

Teoría de números de Legendre Su Ensayo sobre la teoría de números constituye el prim er tratado consagrado enteram ente a esta teoría. Después de Euler y Lagrange, Legendre constituye definitivamente esta teoría, pues presenta un im ponente núm ero de resultados interesantes. A unque en ella no se encuentra ninguna innovación im portante, su Teoría de números contiene, entre otras cosas, la célebre ley de reciprocidad cuadráti­ ca, una dem ostración del último teorem a de Ferm at para u = 5, la hipótesis de que jt(n) se aproxima a «n/ln n — 1.08366» cuando n aum enta indefinidam ente y fórmulas válidas para determ inar los números primos. En 1808 Legendre inventó un simbolismo apropiado para expre­ sar la ley de reciprocidad cuadrática. Esta ley había sido ya, recordé­ moslo, observada por Euler dos años antes del descubrimiento independiente de Legendre, y este último intentó en vano demos­ trarla rigurosam ente. La última demostración de Legendre es in­ com pleta, porque suponía que había un núm ero infinito de números primos en cierta progresión aritm ética. La hipótesis de Legendre relativa al teorem a de los núm eros primos está basada en la existen­ cia de un núm ero muy grande de éstos. Esta hipótesis no está muy lejos del teorem a dem ostrado en 1896 por Hadam ard: jt{n) = 0(n/ In n). Además de dem ostrar que no existe ninguna función algebrai­ ca racional que proporcione siempre un núm ero prim o, Legendre observó que la fórmula n~ + n E \ 1 proporciona un núm ero primo para 1 < n < 16 y la fórmula 2n^ + 29 lo hace cuando 1 < n < 28. (E uler había dem ostrado anteriorm ente que para 1 < « < 40, la fórmula - u -I- 41 da un núm ero prim o). Legendre se interesó también por la teoría de las formas, cuyo origen se rem onta a Euler y, sobre todo, a Lagrange.

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Otras contribuciones de Legendre Las investigaciones de Legendre sobre las integrales elípticas co­ menzaron en 1786 y continuaron hasta el fin de su vida. En su Tratado de las funciones elípticas, parte de las integrales elípticas y, de una form a muy m etódica, dem uestra que la integral elíptica general

donde P(x) es una función racional cualquiera de j : y R{x) el polinomio general de cuarto grado, puede reducirse a tres tipos simples que han conservado su nombre

El prim er tipo de integral elíptica se encuentra naturalm ente en la resolución de la ecuación diferencial que m odela el movimiento del péndulo simple. El segundo tipo aparece, en particular, cuando se desea determ inar la longitud de arco de una elipse. Pero a pesar de la im portaneia de sus trabajos y el interés de sus resultados, no tuvo la inspiración de dos jóvenes geóm etras ex­ tranjeros, Abel y Jacobi, quienes, por el sencillo procedim iento de la inversión, les darían una orientación nueva: las funciones elípti­ cas. Los magníficos trabajos de Abel y Jacobi suscitaron su adm ira­ ción y, posiblem ente con un poco de am argura, los expuso en un tercer volumen de su tratado. Legendre pasó rozando uno de los descubrimientos más im portantes de su época. En sus Ejercicios de cálculo integral, Legendre hizo un estudio profundo de las integrales eulerianas y obtuvo la célebre fórmula de la duplicación de la función gamma:

1/2 '2) -2 x - m r ( 2x) = (2jr)-*'2

r(x)E(x+ I).

La participación de Legendre en las operaciones geodésicas le condujo a investigaciones interesantes sobre las líneas geodésicas de

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las superficies, y en particular sobre las de los esferoides y los triángulos que pueden formar. Nos dejó un m étodo que permite calcular el área de un triángulo esférico como si fuese plano, aplicando ciertas correcciones a los ángulos. Los «polinomios de Legendre» se encuentran en su memoria sobre la atracción de los esferoides, así como la ecuación diferencial de Legendre (1

- x^)y' -

2

xy' + n{n + l)y =

0

cuyas soluciones polinómicas para valores enteros de n son los polinomios de Legendre. Asimismo, esta participación le condujo a desarrollar el m étodo estadístico de los mínimos cuadrados en el que, sin mezclar ninguna consideración teórica, sólo vio el medio más práctico de establecer una especie de equilibrio entre los errores. Legendre abordó también el problem a de la segunda variación en el cálculo de variaciones, dejándose guiar por el hecho de que en el cálculo ordinario el signo de la derivada segunda / ' en un va­ lor Xf, tal que/'(A :i) = 0 , determ ina la existencia de un máximo o de un mínimo de la función /. Formuló de esta m anera un criterio necesario para la determ inación del máximo o del mínimo de J = ^^^f{x, y, y ')d x en térm inos de la segunda variación ó^J..

CARNOT

Lazare-Nicholas-M arguerite Carnot (175.3-1823), llamado también el «Organizador de la Victoria» o el «Gran Carnot», fue un político francés que destacó tam bién en geometría. Nacido en Nolay, en Borgoña, el 13 de mayo de 1753, fue el octavo de los dieciocho hijos de un notario. M iem bro de una familia de clase media, Carnot entró en la Escuela Militar de M ézieres, abierta a los plebeyos, pero donde, al no tener título sólo podía llegar, a lo sumo, al grado de capitán. Alum no de Monge en Mézieres, comenzó en 1773 su carrera como ingeniero militar, y sus trabajos cotidianos en m ateria de fortificaciones le dejaron tiem po suficiente para leer y escribir. Escribió tanto sobre cuestiones científicas como sobre problemas de interés más amplio. En 1783, C arnot publica su Ensayo sobre las máquinas en general, obra que se refiere a los principios, las leyes generales del

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choque, y que com prende la ley de conservación del trabajo. En la misma época, presenta una m em oria sobre los dirigibles a la Aeademia de Ciencias, creyendo firm em ente en su gran utilidad en la guerra. C arnot no puede esperar un ascenso rápido, y su espíritu dem asiado independiente le lleva a enem istarse con las autoridades del real cuerpo de ingenieros militares a propósito de su «Elogio de Vauban», en el que alaba los m éritos de los m étodos de asedio del mariseal Vauban. Si se añade a esto su imposibilidad de contraer el m atrim onio que desea con su am ada Ursula, a causa de su m odesta extracción, no hace falta nada más para enfrentarle a las institucio­ nes y las autoridades del antiguo régimen, R eform ador ardiente del gobierno, en 1791 es diputado en la Asam blea legislativa, en donde encarna entonces los méritos y las pretensiones de la burguesía de talento; su resolución y su actividad le aseguran rápidam ente una notoriedad local. La guerra le propor­ ciona la ocasión de desplegar sus aetividades y la Convención le llama, en 1793, para dirigir los destinos del ejército del norte. Su victoria de W attignies le valdrá el título de el «Organizador de la Victoria». A su vuelta a París, vota la m uerte de Luis XVI, ya que no retroeede ante ningún obstáeulo cuando lo exige la razón de Estado. C arnot aparece ante los ojos de todos como un antiguo terrorista, un hom bre sin partido, íntegro y a veces violento. Miem­ bro del Directorio en octubre de 1795, huye después del golpe de Estado del 18 de Fructidor de 1797, porque se le acusa de complici­ dad con la causa realista. M ientras tanto, publica sus Reflexiones sobre la metafísica del cálculo infinitesimal, con las cuales C arnot intenta dem ostrar que los m étodos de Newton y Leibniz son algorit­ mos equivalentes al m étodo de exhaustión de Arquím edes. Su exilio dura dos años y, en 1799, es ministro de la G uerra bajo el Imperio y miem bro de la Tribuna; luego vuelve a ocupar su sillón en la Academ ia. Osa pronunciarse abiertam ente contra el Im perio, lo que le m antiene apartado en lo sucesivo, sin convertirse no obstante en enemigo de Napoleón. Por otra parte, arruinado por sus empresas coloniales, es socorrido por N apoleón, quien le otorga una pensión. Cuando la situación m ilitar pone de nuevo a Francia en peligro, C arnot defiende la plaza de A m beres en calidad de gober­ nador, hasta la caída de París. M ientras tanto, sus actividades políticas no le impiden consagrar algún tiem po a las actividades académicas. En 1801 publica De la correlación de las figuras de

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geometría, que será desarrollada y enriquecida en su Geometría de posición de 1803. El nom bre de Lazare C arnot ha quedado unido a un teorem a contenido en su Ensayo sobre la teoría de transversales, publicado en 1806. Napoleón salvó literalm ente a C arnot de una ruina económica segura en 1809, y le invitó al mismo tiem po a com poner un tratado sobre las fortificaciones para ser utilizado en las escuelas. El resulta­ do fue una obra considerable, de 600 páginas, titulada De la defensa de las plazas fuertes (1810), que abarca todos los aspectos del tem a y cuyo texto va acom pañado de numerosos ejemplos ilustrados. Bajo la Restauración, Luis XVIII le acoge sin entusiasmo y C arnot se atrae las iras del gobierno por su Memoria al rey, escrita con el fin de condenar los abusos del poder y la falta de respeto a la Carta. D urante los Cien Días, acepta el cargo de ministro del Interior de B onaparte y el título de conde del Im perio, con la esperanza de que, esta vez, se resucitará la Carta. Después de W aterloo, suplica en vano a Napoleón que no abdique; al regreso de Luis XV III, Carnot se ve forzado a exiliarse de nuevo. Se refugia en M agdeburgo, donde vive en medio de una pobreza digna, repartien­ do su tiempo entre escribir y publicar sonetos y trabajos científicos hasta su m uerte, acaecida el 2 de agosto de 1823, a los setenta años. Su hijo Hippolyte servirá a Francia como ministro de Instrucción Pública en 1848, y su hijo mayor Sadi llegará a ser un físico célebre. El hijo m enor de Hippolyte, Sadi II, será el cuarto presidente de la Tercera República.

Los trabajos matemáticos de Carnot En su Ensayo de 1783, cuya segunda edición ligeramente modifica­ da será publicada en 1803 bajo el título de Principios fundamentales del equilibrio y el movimiento, Carnot estudia la mecánica en cuanto teoría de los movimientos y, de una m anera más específica, en cuanto teoría de las leyes de la comunicación de los movimientos que es necesario basar en la experiencia. Sus dos postulados funda­ m entales son: la fuerza del impacto de dos cuerpos que entran en colisión: a) depende sólo de su movimiento relativo; b) es siempre directam ente perpendicular a su superficie común en el punto de contingencia. C arnot sustituye los desplazamientos virtuales por

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J e a n - P a u l C o lle lle

movimientos finitos (geom étricos), y a continuación estudia las leyes generales del choque, el teorem a relativo a las fuerzas vivas perdidas, que lleva su nom bre, y llega al principio general que preside el uso de las m áquinas en movimiento: se pierde siempre en tiem po o en velocidad lo que se gana en fuerza. En su popular tratado Reflexiones sobre la metafísica del cálculo infinitesimal (1797), obra am pliam ente difundida y traducida a diversas lenguas, C arnot trata de hacer más riguroso el cálculo de Newton y Leibniz. D em uestra que todos los m étodos elaborados para presentar este nuevo análisis deben tener una lógica interna basada en la del m étodo de exhaustión. Llega a proponer un principio unificador para arm onizar estas diversas interpretaciones en conflicto. Desgraciadam ente su elección es deplorable, porque sugiere el «principio de com pensación de los errores». Por ejem plo, las cantidades infinitesimales son, según C arnot, «cantidades ina­ preciables» que, como los núm eros imaginarios, sólo son introduci­ das para facilitar los cálculos y desaparecen al obtener el resultado final. Asimismo, las «ecuaciones imperfectas» se vuelven «perfecta­ m ente exactas» en el cálculo m ediante la eliminación de cantidades tales como los infinitésimos de orden superior, que son una fuente de errores. A unque sus ideas sobre la metafísica del cálculo no consiguieran llegar a una síntesis satisfactoria de las diferentes concepciones, tuvieron el m érito de contribuir a eliminar los «pe­ queños ceros abominables» del siglo XV I I I . Observem os que el Gran C arnot consideraba que el uso de los núm eros negativos conducía a conclusiones erróneas. Carnot es célebre en la historia de las m atem áticas sobre todo y principalm ente por sus contribuciones a la geom etría. En su obra titulada De la correlación de las figuras en geometría (1801), Carnot intenta establecer una universalidad de la geom etría pura parecida a la que posee la geom etría analítica. De esta m anera dem uestra que varios teorem as de Euclides pueden ser considerados como casos particulares de un teorem a más general que los engloba. Para ilustrar esta universalidad se aportan num erosos ejemplos. Pero es en su Geometría de posición de 1803 donde el geóm etra francés hace gala de las cualidades que le perm itirán, con Monge, fundar la geom etría pura m oderna. Su inclinación hacia la generalización le conduce a formas elegantes equivalentes de teorem as bien conoci­ dos: C arnot extiende la ley de los cosenos en trigonom etría al caso

Las matemáticas en la época de la revolución francesa

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del tetraedro. Esta misma inclinación le incita a realizar investiga­ ciones para determ inar las coordenadas «intrínsecas», es decir las coordenadas naturales de la curva. Por ejem plo, las coordenadas de un punto sobre una curva podrían ser el radio vector y el radio de curvatura, y este último puede ser reem plazado por una longitud de arco de la curva. A finales del siglo XI X, Ernesto Cesaro (1859-1906) en su Geometría intrínseca, obra clásica sobre las coordenadas naturales, utilizará la longitud de arco y el radio de curvatura como coordenadas intrínsecas de los puntos de una curva. El nom bre de C arnot ha quedado unido a un teorem a que aparece en su Ensayo sobre la teoría de las transversales de 1806. Este teorem a constituye una generalización de un teorem a de M eneiao de Alejandría: dada una curva algebraica cualquiera de orden n que corta a un triángulo A B C , sea el producto de las n distancias, reales o imaginarias, de A a los n puntos de intersección de la curva con el lado A B , y lo mismo para fi| y Cj, definidas por los lados B C y CA; sean A 2 , B 2 y C2 los productos sem ejantes correspondientes a los lados AC , CB y BA, respectivamente. En­ tonces,

A, 5 |C| =

A

2

B

2

C

2

.

Si la curva es una línea recta, es el teorem a de M eneiao; si la curva es una cúbica, del teorem a de Carnot se deduce que los tres puntos de inflexión se sitúan en una línea recta, resultado bien conocido en esa época. Las obras de C arnot conocieron un gran éxito e influyeron considerablem ente en las investigaciones geométricas de principios del siglo XI X, por la difusión del conocimiento de numerosos teore­ mas, de los que un gran núm ero eran de naturaleza proyectiva, popularizando la geom etría de la regla y volviendo a habituar a los geóm etras al estudio de las transform aciones geométricas, como la involución y la homografía. Si bien es verdad que durante la época de la Revolución francesa los m atemáticos franceses dom inaron el campo de las matemáticas, otros matemáticos, fuera de Francia, contribuyeron de una manera más modesta al desarrollo de las mismas, salvo el príncipe de los matemáticos, Gauss. Querem os aquí subrayar más en especial, dados los objetivos perseguidos en este libro, los trabajos de Wessel sobre la representación geom étrica de los números complejos.

Jean-Paul Collette

266 WESSEL

Gaspar Wessel (1745-1818), agrimensor danés, publicó en 1799 la primera explicación satisfactoria de la representación geométrica de los números complejos. D esgraciadam ente esta contribución, publi­ cada en forma de m em oria de la Academ ia Real de Dinam arca, no despertó ningún eco manifiesto en los matemáticos europeos antes de 1897, fecha en la que fue publicada de nuevo, pero esta vez en versión francesa titulada Essai sur la représentation analytique de la direction. El interés de Wessel se centra en la creación de métodos geométricos, y su representación de los núm eros complejos está subordinada a este fin primordial. La idea de Wessel para introducir los núm eros complejos m ediante consideraciones geométricas es tan sencilla que puede tom arse, razonablem ente, como m étodo de enseñanza. La adición y la sustracción de los núm eros reales pueden ser representadas por vectores situados sobre una recta y provistos de una dirección positiva y negativa, respectivam ente. Así, 5 -f ( - 4 ) se representa como sigue 0 -4

5-h

-4

5

FIGURA 6.1

la regla común resulta: desplazar uno de los vectores hasta el extrem o del otro. La multiplicación de dos vectores situados en la misma recta es igualmente sencilla, salvo el caso de ( - 1 ) • (-^1) = L Wessel gene­ raliza a continuación este cálculo de vectores sobre una recta a un cálculo de vectores en el plano. La adición y la sustracción son fáci­ les de generalizar en el plano por medio del desplazamiento de uno de los vectores, conservando siempre su dirección. Sin em bargo, la multiplicación presenta ciertas dificultades: ¿cómo form ar el vector a ■ b a partir de los vectores a y b de m anera que

= f?

Las matemáticas en la época de la revolución francesa

267

El agrim ensor danés observa que se debe form ar a ■ b a partir de b de la misma^manera que se form a a a partir de 1. Pero el vector a se obtiene de 1 modificando su longitud y haciéndole girar un ángulo 6:

por lo que se obtendrá a ■ b modificando la longitud de b lo mismo que la de 1 a tt, y aum entando después el ángulo a de ¿> el mismo ángulo 6 que hacía falta girar 1 para obtener a (véase la figura 6 .2 ). La regia de la multiplicación es, pues, multiplicar las longitudes de los dos vectores y sum ar sus ángulos respectivos. Así, el resultado de ( —1) ■ ( —1) = 1 se hace intuitivo a partir de esta regla. En particular, Wessel deduce que el producto i ■ i = —1 (él em plea la letra e para designar el vector i, perpendicular al eje horizontal). Después, hace e = y /— 1 e introduce las funciones trigonométricas para expresar los núm eros complejos. Por ejemplo: (eos V + e sen v) (eos u + e sen u) = eos (v + u) + e sen (v + u)

y r eos V + re sen v = r(cos v + e sen v). En el desarrollo de su m étodo, Wessel denota los vectores

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Jean-Paul Collette

unitarios m ediante l ,e , —1 y - e , respectivam ente. D e esta m anera, -1 = y, en lo sucesivo, está en condiciones de establecer las operaciones fundam entales con los núm eros complejos. D ado que los trabajos de Wessel fueron pura y simplemente excluidos de la red de influencias durante la prim era m itad del siglo XIX, fue Jean R obert Argand (1768-1822) quien tuvo el honor de unir su nom bre a esta representación.

D U D A S SOBRE EL FUTURO DE LAS MATEMÁTICAS A FINES DEL SIGLO XVIII

A nte el edificio cada vez más im ponente de las matem áticas, algunos matemáticos, a fines del siglo x v iil, m anifestaron algunas dudas con respecto a los progresos futuros de las m atemáticas. La complejidad de los problem as a resolver, la diversidad de los métodos utilizados, la ausencia casi com pleta de técnicas y métodos generales susceptibles de simplificar el estudio y la búsqueda de soluciones, fueron otros tantos factores que engendraron un estado de ánimo algo pesimista. El 21 de septiem bre de 1781, Lagrange escribía a D ’Alem bert que le parecía tam bién que la mina de las matem áticas era ya muy profunda y que, al menos que se encontraran nuevas vetas, se debería necesariam ente abandonarla durante un período de tiempo más o menos largo. Proseguía subrayando que la física y la química eran ahora los campos más prom etedores a causa de su riqueza, de sus métodos de investigación más accesibles, y del enorm e favor de que gozaban esos campos de estudio en su época. Asimismo, Euler y D ’A lem bert parecían de acuerdo con estas ideas y D iderot, en 1754, no tem ía afirm ar que no habría más de tres grandes geómetras en Europa a comienzos del siglo x ix , y que las m atemáticas conoce­ rían rápidam ente un estancam iento cuando los científicos de la época hubieran dejado de existir. En su Inform e histórico sobre los progresos de las ciencias matemáticas desde 1789 y sobre su estado actual, publicado en 1810, Jean-Baptiste D elam bre (1749-1822), secretario perm anente de las secciones de matem áticas y física, manifiesta tam bién un estado de ánimo no muy tranquilizador con respecto al futuro de las m atem áti­ cas. Según D elam bre, es muy difícil, y quizá insensato, analizar las

Las malemálicas en la época de la revolución francesa

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posibilidades de progresar en m atemáticas. Prosigue poniendo de relieve el hecho de que cada ram a de las m atemáticas presenta dificultades insuperables a quien quiere avanzar a toda costa, y la perfección de los detalles parece ser la única cosa que queda por hacer. Más adelante, sin em bargo, añade que estas dificultades m uestran la necesidad de modificar nuestros puntos de vista, nues­ tros enfoques, e inventar nuevas hipótesis susceptibles de abrir nuevos campos de actividad. La predicción más sensata fue la de Condorcet, quien en 1801 subrayaba que se estaba lejos de haber agotado todas las aplicacio­ nes del análisis a la geom etría y que se debería más bien reconocer que el estado de la ciencia se encontraba todavía en sus comienzos, ante la inmensa carrera que se dibujaba. Añadía que estas huevas aplicaciones, al margen de su propia utilidad, eran necesarias para el progreso del análisis, y que daban origen a nuevas teorías. En suma, era a través de las aplicaciones como las m atemáticas estaban llamadas a progresar, y estas aplicaciones constituían la fuente de donde brotarían nuevas teorías, nuevas ramas de las matemáticas y nuevas aplicaciones, sin que el proceso se detuviera nunca. Condorcet tenía razón en mostrarse optimista, porque el si­ glo XIX sería todavía más fecundo que el siglo x v i l l , tanto al nivel de la riqueza de los conceptos, como al de la innum erable cantidad de contribuciones que serían realizadas en él.

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EJERCICIOS

1. ¿Influyeron las exigencias de la Revolución francesa en la naturaleza de las matemáticas francesas estudiadas en aquella época? Justificar la respuesta. 2. La Revolución francesa fue beneficiosa para sus matemáticos. Comen­ tar y proporcionar ejemplos concretos. 3. Tres matemáticos franceses, Lagrange, Laplace y Legendre, no toma­ ron parte activa en las actividades politicas de la Revolución. Justificar esta afirmación con ejemplos. 4. Describir el método algebraico de Lagrange para hacer más riguroso el cálculo infinitesimal. ¿Cuáles son sus ventajas y sus inconvenientes? 5. Precisar el papel de Condorcet en las aplicaciones de las matemáticas. Dar ejemplos. 6. Describir brevemente la activa participación de Monge en la Revolu­ ción francesa. 7. Precisar el papel preponderante de Monge en el desarrollo de la geometría descriptiva. 8. ¿Cuál fue el importante papel desempeñado por Lacroix en la difusión de las matemáticas durante la Revolución francesa? 9. Precisar el papel preponderante de Laplace en el desarrollo de la teoría de probabilidades. 10. El nombre de Legendre ha quedado unido a numerosas proposiciones matemáticas. Identificar al menos cinco de ellas. 11. Verificar la fórmula de Legendre de que -t- n -f 17 es un número primo para valores enteros positivos de n inferiores a 17.

Jean-Paul Colìeile

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12. Encontrar M{n) para n = 100 y comparar ei resultado con las fórmulas n/{ln n — 1) y n/{ln n — 1.08366). 13. Demostrrar que la integral o vTi - .1-6 (I - k'-x'-)

se reduce a una de las formas de Legendre mediante la sustitución X = sen t.

14. Precisar las ideas de Carnot sobre la metafísica del calculo. 15. ¿Cuál fue el papel de Carnot en la fundación de la geometría pura moderna? Dar ejemplos.

TERCERA PARTE LOS SIGLOS XIX Y XX

LAS M A TEM A TICA S EN EL SIG LO XIX

El aspecto de las m atem áticas en el siglo x ix es diferente del que nos han ofrecido hasta ahora. Si es cierto que la herencia de los siglos XVII y XVIII constituye la sólida base sobre la que se edifican las teorías nuevas, hay que hacer notar que el siglo XIX m atemático es un período de intenso desarrollo, caracterizado por una extensión y una diversificación continuas del cam po de las investigaciones.

IDEA SOMERA DE LAS CONTRIBUCIONES MATEMÁTICAS D urante el siglo XVIII, los matem áticos trabajaron mucho para enriquecer el análisis m atem ático con num erosos algoritmos y des­ cubrim ientos interesantes: m encionemos las soluciones explícitas de problem as de geom etría y de mecánica recurriendo a funciones familiares, las relaciones explícitas entre las funciones exponenciales y logarítmicas, etc. Por el contrario, las dem ostraciones del teorem a fundam ental del cálculo y del resto de Taylor, para no citar más que dos ejem plos, siguen siendo imprecisas e intuitivas. En el siglo xix, la preocupación por el rigor se manifiesta con la máxima intensidad, y los matem áticos se dan cuenta de las grandes diferencias entre las propiedades de las funciones de variables reales y las de variables complejas. De ello resultará una integración armoniosa de los resultados ingeniosos de los siglos precedentes y de las teorías sistemáticas de las funciones de variable real y de variable compleja. En el campo del álgebra, a principios del siglo XIX, el problema central sigue siendo el de la resolución de las ecuaciones de grado superior a cuatro, y la solución de este problem a no se obtendrá hasta que la teoría de grupos y de cuerpos esté suficientemente elaborada, gracias a los trabajos de Gauss, A bel, Galois, Jordan, Sylaw, K ronecker, Cayley, Klein y Lie. La im portancia concedida al

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Jean-Paul Collette

estudio de los problem as lineales se m anifiesta en num erosos tra­ bajos eonsagrados a los determ inantes y a las matrices, en el estudio de las formas algebraicas y de los invariantes, en la teoría de los cuaterniones de Ham ilton y de los núm eros hipercom plejos y, por último, en la introducción del concepto de tipos nuevos de álgebra. Paralelam ente, asistimos a la difusión del cálculo vectorial, al consi­ derable auge del análisis vectorial y a los comienzos del cálculo tensorial. La renovación de la geom etría pura está asegurada por los trabajos de Poncelet, que marcan la verdadera creación de la geom etría proyectiva como una ram a autónom a de la geometría. Las innovaciones im portantes de M öbius, completadas por los trabajos de Steiner y de Chasles constituyeron verdaderam ente la doctrina proyectiva, independientem ente de toda noción métrica (distancia, ángulo, etc.) y sobre la única base de axiomas relativos a la posición o al orden de los elem entos fundam entales. Es durante el siglo XIX cuando los trabajos críticos em prendidos desde mucho tiem po antes para profundizar en la significación del postulado de las paralelas conducen por fin a la fundación de la geometría hiperbólica, gracias a los trabajos independientes de Gauss, Lobachevski y Bolyai. La geom etría elíptica, introducida por Riemann a m ediados del siglo XIX, ilustra un segundo ejemplo de geometrías no euclídeas, que serán am pliam ente difundidas e interpretadas después de 1868. A lo largo del siglo, la revisión cada vez más atenta de los fundam entos del análisis, reforzada por la difusión de las geom etrías no euclídeas, lleva a los geóm etras a un análisis crítico de los principios y de los fundam entos de la geom etría clásica. La notable síntesis de Hilbert en este campo inspirará grandem ente a la escuela axiomática del siglo XX. La geom etría analítica, por su parte, conoce una expansión brillante, marcada por los trabajos de la escuela francesa sobre las notaciones y el principio de los multipli cadores, por el papel dom inante de Plücker en la renovación de los m étodos y la extensión del concepto de coordenadas, por la intro­ ducción de la geom etría reglada y de los espacios de n dimensiones y por la intervención del álgebra lineal. Tam bién durante el siglo XIX, la renovación de los m étodos de estudio de las curvas y superficies algebraicas suscita el desarrollo de una disciplina nueva: !a geom e­ tría algebraica, que tom ará su forma definitiva en el siglo XX y conocerá entonces un desarrollo rápido. La geom etría diferencial

Las matemáticas en el siglo XIX

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m oderna será obra de los trabajos fundamentales de Monge, Gauss y Riemann. A unque la topología había sido presentida antes por Leibniz bajo el nom bre de geom etría de situación, y a ella están ligados problemas célebres como el de los puentes de Königsberg, el de los nudos y el de coloreado de un m apa geográfico, esta disciplina no comienza a dibujarse como tal hasta los trabajos de Cayley, Listing y Möbius. Fue Riem ann quien fundó verdaderam ente esta nueva ram a de las m atem áticas, a la que consideró como el estudio de las propiedades invariantes bajo el efecto de transform aciones biunívocas continuas. El ulterior desarrollo de la topología fue influenciado por la célebre teoría de conjuntos de C antor, por los progresos de la teoría de los núm eros reales de Dedekind y de Bolzano, y por el estudio de las funciones de variables reales. Ya desde el siglo x v ii, Leibniz había intentado extender los límites de la lógica de Aristóteles y abordar el estudio de las operaciones lógicas con proposiciones m ediante el análisis de las formas del lenguaje habitual y del pensamiento científico. Este ambicioso proyecto de Leibniz tuvo poca resonancia, y hará falta esperar hasta mediados del siglo XIX, con los trabajos de la escuela inglesa, para asistir a la colocación de las verdaderas bases de la lógica matem ática. Al comienzo de este siglo, algunos autores ingleses (Peacock, Babbage y J. Herschel) resaltan el fundamento lógico de las m atemáticas; después. D e Morgan se preocupa por presentar la lógica bajo una forma matem ática y por analizar, bajo la perspectiva lógica, el conjunto de los símbolos, las operaciones y las leyes matemáticas. George Boole dio un impulso decisivo a esta doble corriente de investigaciones, lo que le valió el ser considerado como el verdadero creador de la lógica m atemática m oderna. Bajo la influencia de Boole, se constituyó una escuela de lógica simbólica que preparó la unificación progresiva de la lógica y la matemática. La im portancia adquirida por la lógica matem ática desde finales del siglo XIX proviene de los trabajos emprendidos por D e Morgan y Boole, que se desarrollaron gracias a las contribuciones de los matemáticos Jevons (inglés), Peirce (americano), Schröder, Elankel y Frege (alemanes) y Peano (italiano). Los Principia mathematica de Russell y de W hitehead, marcan un momento culminante en la edificación de la lógica matem ática a principios del siglo XX. En teoría de números, el siglo XIX se abre con la notable obra de

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Gauss: Disquisitiones arìthmeticce, que ocupó el centro de la litera­ tura sobre el tem a. D espués de Gauss, la teoría de núm eros se ha enriquecido, entre otros, con los imaginarios de Galois, con el m étodo fundam ental de reducción continua de H erm ite, con im por­ tantes resultados obtenidos en el tem a del enigmático teorem a de Ferm at, con teorías sobre los cuerpos de núm eros algebraicos y de núm eros ideales, con resultados im portantes sobre la distribución asintótica de los núm eros primos y sobre los núm eros trascendentes. La escuela biom ètrica inglesa contribuyó grandem ente durante el siglo XIX al desarrollo de la teoría de probabilidades y de la estadística. A nim ada por G alton, W eldon y Pearson, esta escuela, a la que debem os m ucho, nos ha legado la noción de correlación y de esperanza m atem ática y las prim eras com probaciones de hipótesis estadísticas, y fue la responsable de la introducción de conceptos como el de regresión y dispersión condicionada. En el tem a de los fenómenos colectivos aleatorios, es im portante la obra del m atem á­ tico belga Q uetelet. Los trabajos de los m atem áticos rusos Chebychev, M arkov y Liapunov son notables por lo que se refiere a la teoría de errores (introducida por Laplace) y las propiedades de la convergencia en probabilidad. Asimismo, los m atem áticos franceses Poisson, Poincaré y Borei destacan tam bién por sus estudios sobre el azar y consideraciones de conjunto de sucesiones infinitas de ensayos, etc. Subrayemos, por últim o, que problem as propuestos por la física, como los de la teoría cinética de la m ateria (m ovim ien­ to browniano) y de los gases, de la distribución del conjunto de sistemas mecánicos son el origen de investigaciones interesantes sobre las leyes de distribución estadística (Poisson, Maxwell, Boltzm an, etc.). A principios del siglo XX no hay cam po científico en el que sea ignorado el concepto de variable aleatoria. El siglo XIX asiste igualm ente a la creación y considerable expan­ sión de la física m atem ática, con los trabajos de Fourier, Sadi C arnot, Poisson, G reen, Kelvin, Stokes, Maxwell y Gibbs. Utilizan­ do los recursos del instrum ental m atem ático, proporcionará fecun­ dos temas de estudio y orientará así la evolución de ciertas ramas matem áticas.

L a s m a te m á tic a s e n e l s ig lo X I X

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C O N D IC IO N ES N U EV A S D E L PR O G R E SO

Las condiciones del trabajo científico en el siglo Xix cambiaron profundam ente con respecto a las que prevalecían en el siglo anterior. La Revolución francesa, y después el Im perio, crearon condiciones extrem adam ente favorables para el desarrollo futuro de las m atemáticas, además de preparar el camino a la revolución industrial en el continente europeo. La reform a de la enseñanza superior, científica y técnica, realizada en Francia por la Revolu­ ción, estimuló el cultivo de las ciencias físicas y creó nuevas clases sociales que consideraban las cosas de form a diferente y cuyo interés por la educación científica y técnica era manifiesto. Las ideas democráticas invaden la vida académica, las formas antiguas de razonam iento se vuelven a discutir seriam ente, la enseñanza se organiza sobre bases renovadas. La democratización creciente de la enseñanza superior, el creci­ m iento cierto del sentim iento nacional y la profesionalización de la actividad del m atem ático constituyen el factor decisivo en el des­ arrollo de las diferentes ramas de las m atemáticas en el siglo xix . De ello resultará directam ente un aum ento considerable del núm ero de investigadores, y se asistirá a una verdadera explosión del número de publicaciones científicas. En las universidades y las escuelas superiores, se reserva a las matemáticas un lugar mucho más im portante que en el pasado; el álgebra, la geom etría, el análisis y la mecánica figuran ventajosa­ m ente en los planes de estudio. Los estudiantes reciben así una enseñanza que les perm ite adquirir una base sólida sobre la que podrán edificar a continuación. Los que se sienten atraídos por la investigación científica saben que pueden orientarse hacia la carrera del profesorado, porque ésta está dotada de una im portante función social que libera al profesor de las preocupaciones m ateriales más inmediatas. Los m aestros a quienes se confían las principales cáte­ dras se complacen en comunicar a sus alumnos sus descubrimientos, e incluso les asocian a ellos; las comunicaciones entre científicos son más continuadas y sus trabajos se conocen más rápidam ente. La reform a de la enseñanza ha favorecido la eclosión de vocaciones mucho más num erosas, poniendo la enseñanza en contacto con la investigación y abriéndola a clases más amplias de esta sociedad renovada.

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En el siglo XIX se contem pla tam bién el desarrollo de un senti­ m iento nacional mucho más profundo que anteriorm ente, período en el cual científicos em inentes como Huygens, los Bernoulli, E uler, Lagrange habían dividido una parte im portante de su vida entre diferentes países. Muy al contrario, tales intercam bios serán raros en el siglo X IX , y el verdadero oficio del m atem ático profesio­ nal se ejercerá en la patria de origen, constituyendo así un factor em inente de progreso científico. E sta corriente de origen francés se extiende a los otros países de Occidente, particularm ente a Alem ania, con la acción eficaz de Von H um boldt, y la expansión geográfica de la cultura m atem ática se m anifiesta a finales del siglo XIX en num erosos países, incluyendo Estados Unidos y Rusia. R esultará de ello un crecimiento manifies­ to de la productividad científica de acuerdo con una ley de creci­ m iento exponencial'. Según T aton, el total anual de las publicacio­ nes se duplica entre los años 1870 y 1909.

PR IN C IPA L E S C E N T R O S D E A C T IV ID A D M A T E M Á T IC A

Los focos principales se sitúan en las universidades y las escuelas, más que en las academ ias, que abandonan algo su papel de inspira­ doras para limitarse a difundir, m ediante sus publicaciones, los descubrim ientos más recientes de la ciencia. D urante el siglo X IX , Francia, A lem ania e Inglaterra son los principales centros m atem á­ ticos, m ientras que Italia vuelve a salir a la superficie y los Estados Unidos y Rusia hacen su aparición por prim era vez en este campo. Cuna indiscutible de los estudios matem áticos desde la Revolu­ ción francesa, Francia siguió siendo durante todo el siglo XIX uno de los prim eros centros de enseñanza de las m atem áticas. Fundada en 1794, la Escuela Politécnica de París form ará durante cerca de 50

' E n general, el núm ero de científicos o de publicaciones tiende a duplicarse en el curso de un período de diez a quince años. A dem ás, cada vez que se duplica la población, el núm ero de científicos se triplica, y hay aproxim adam ente siete científi­ cos vivos por cada ocho que hayan existido en toda la historia. Sin em bargo, el crecim iento exponencial de la ciencia alcanza un límite (curva logística), más allá del cual la tasa de crecim iento dism inuye y la curva alcanza entonces un límite de saturación previsible.

Las matemáticas en el siglo XIX

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años una pléyade de m atem áticos, y la lista de los antiguos alumnos que alcanzan la celebridad en este campo es larga. Gracias a la enseñanza im partida por sus profesores, un gran núm ero de estu­ diantes y de investigadores extranjeros se sentirán atraídos por París durante el prim er tercio de siglo. La creación de la Facultad de Ciencias, de la Escuela Normal Superior, de las Escuelas Especiales de Minas, de Caminos y de Ingenieros Navales pondrá fin hacia mediados de siglo, al casi monopolio de la politécnica, pero m ante­ niendo siem pre el renom bre de la enseñanza francesa. Felix Klein calificaba los cursos publicados por la Escuela Politécnica en los siguentes términos: «Toda una serie de tratados clásicos admirables que siguen siendo aún hoy la base del estudio m atem ático de toda Alemania». D om inada por el m atem ático más grande de la época, Gauss, la escuela m atem ática alem ana conoce éxitos resonantes en numerosos campos, y supera incluso a la escuela francesa, tanto por el número de sus centros de actividad matem ática como por sus representan­ tes. E ntre los centros más activos, es preciso citar a Gotinga, m arcada por la talla im ponente de Gauss, y a finales de siglo, por el em inente geóm etra H ilbert y su escuela; Berlín, donde W eierstrass form ará a num erosos discípulos; Königsberg, con sus siete puentes, es célebre en topología, por la enseñanza del matem ático Jacobi y, principalm ente, por una escuela de física matemática. La escuela británica no se liberó de su sujeción dem asiado servil a la tradición new toniana hasta principios del siglo x ix , gracias a la modernización de los m étodos de enseñanza y, especialm ente, a la aceptación gradual de los beneficios de la notación infinitesimal de las matem áticas continentales. Los resultados no se hicieron espe­ rar, y la escuela británica desem peño un papel preponderante en la elaboración de la lógica m atem ática, del álgebra lineal y de la geom etría algebraica, en el desarrollo de la física m atem ática y en la fundación de la célebre escuela de biom etría inglesa. Italia conoce una renovación m atem ática im portante durante la segunda m itad del siglo X IX , gracias a una notable obra original en geom etría algebraica y en geom etría diferencial. Los matemáticos italianos van a significarse tam bién en el estudio lógico de los principios matemáticos. O tros países producirán algunos matem áticos de talento. Es el caso de Suiza, Bélgica y los Países Bajos, m ientras que nuevas

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regiones entrarán en el cam po de las m atemáticas: Escandinavia con Abel, Rusia con Lobachevski, M arkov y Liapunov, Hungría con Bolyai y Checoslovaquia con Bolzano. Subrayemos finalmente la entrada en escena, por prim era vez, de los Estados Unidos de América en la segunda m itad del siglo x ix con las im portantes contribuciones de Benjam ín Peirce, G. W. Hill y Josiah W. Gibbs.

LA S R E V IS T A S Y S O C IE D A D E S M A T E M Á T IC A S

Si el siglo X V II fue la época de las correspondencias y las po­ lémicas entre científicos^ y el xvili desem peñó un papel prepon­ derante en la fundación de las academias, el siglo x ix (el siglo de las revistas) se caracteriza porque los investigadores publican rápida­ m ente sus descubrim ientos, facilitando así la difusión de los conoci­ mientos. Esta extensión de las investigaciones se verá favorecida grandem ente por la creación de revistas científicas en diversos países. Después de la Revolución francesa, la prim era de estas revistas parece ser el Journal de l’Ecole Polytechnique (1795); después vienen los célebres Annales de mathématiques de Gergonne, que aparecen en Nimes entre 1810 y 1831, y son durante bastante tiempo las únicas revistas consagradas exclusivamente a las matemáticas. Entre tanto, Alem ania tom a la iniciativa con la fundación en 1826 del Journal fü r die reine und angewandte Mathematik de Creile, que existe todavía en la actualidad. Poco después, Joseph Liouville funda en París, en 1836, el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, que tam poco ha dejado de publicarse desde entonces. En la misma época, los Comptes Rendus Hebdomadaires de l ’Acadé­ mie des Sciences de Paris, fundados en 1835, aseguran la rápida difusión de los nuevos resultados. En Francia, Pasteur funda, en 1864, los Annales de l ’Ecole Normale Supérieure, y a continuación Darboux crea el Bulletin des Sciences Mathématiques en 1870. En 1872, la Société Mathématique de France edita su im portante bole2 La tendencia a las polémicas por una prioridad calurosam ente defendida disminuye a medida que se hace familiar la idea de lo inevitable. Así, el porcentaje de controversia es del orden del 92% en el siglo xvii, del 72% en el siglo xviii, y baja al .S9'X. durante la segunda m itad del siglo xix.

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tin. Subrayemos la aparición de las prim eras revistas consagradas a la enseñanza de las m atemáticas: los Nouvelles Armales de Mathé­ matiques (1842) y L ’Enseignement Mathématique, fundado por Laisant- y Fehr en 1899. Fuera de Francia, encontram os los Philosophical Transactions de Londres, los Mathematische Annalen de Leipzig (1868), los Acta Mathematica de Estocolm o (1882), el American Journal o f Mathe­ matics (1878), y otros muchos. Subrayemos que la prim era revista consagrada principalm ente a la pedagogía de las matem áticas fue fundada por J. C. J. Hoffm an en 1870. El siglo XIX vio nacer igualm ente las sociedades m atem áticas de diversos países: L ondon Mathematical Society (1865), Société Ma­ thématique de France (1872), Edinburgh Mathematical Society (1883), Circolo Matemático di Palermo (1884), American Mathema­ tical Society (1888), Deutsche Mathematische Vereinigung (1890). Estas sociedades científicas publican revistas especiales tales como los Proceedings o f L ondon Mathematical Society, los Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, el Bulletin de la Société Mathémati­ que de France, etc. A finales del siglo XIX se desarrolla la institución de los congre­ sos matem áticos internacionales, en donde se reúnen los m atem áti­ cos del m undo entero. Sus exposiciones y conferencias raram ente carecen de interés y son, a veces, la ocasión de confrontaciones apasionantes. El prim ero de todos fue el de Zürich en 1897, y el segundo, celebrado en París en 1900, fue la ocasión ofrecida a H ilbert para establecer a la vez el notable balance de las investiga­ ciones recientes y una lista de 23 problem as particularm ente difíciles de resolver.

7.

LA E PO C A D E GAUSS Y C A U C H Y

IN T R O D U C C IÓ N

Las figuras dom inantes en esta época son, evidentem ente, Gauss, el príncipe de las m atem áticas, y Cauchy, uno de los más ilustres matemáticos que haya dado Francia. La im ponente talla de Gauss m arca, por así decirlo, la transición entre el siglo X V III y el X IX porque, por una parte, su gusto pronunciado por el trabajo solitario, su habilidad para m anejar igualmente bien las matem áticas puras y las aplicadas, su preocupa­ ción constante por la astronom ía y su frecuente uso de la lengua latina están ligados de alguna m anera a las actividades del si­ glo X V III y, por otra parte, la naturaleza de sus trabajos anuncia ya el espíritu del nuevo período. Sus Disquisitiones aritmeticce son una colección de aportaciones im portantes de sus predecesores; contienen un enriquecim iento tal que marca el comienzo de la m oderna teoría de núm eros. Sus trabajos en astronom ía, en geodesia y en cartografía contribuyeron grandem ente a enriquecer el patrim onio de las ciencias experim en­ tales y aplicadas. Preocupado por diversos problem as teóricos plan­ teados por estas ciencias aplicadas. Gauss desarrolló un marcado interés por la geom etría en general y, en particular, por la geom etría no euclidea. Se interesó tam bién por casi todas las ramas de las matem áticas y, en la m ayoría de estos campos, sus originales contribuciones prepararon el camino hacia nuevas cimas o nuevos descubrimientos. A utor de más de setecientas memorias y libros, Cauchy intro­ dujo innovaciones en diversos aspectos de las matem áticas. Funda­ dor de la teoría de las funciones analíticas, hizo progresar de modo gigantesco la teoría de determ inantes y la teoría elástica de los cuerpos y contribuyó, de una m anera sistemática, a instaurar el rigor en el análisis. Cauchy tocó num erosos tem as científicos, y sus

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cientos de memorias constituyen una obra que le coloca entre los más grandes por su calidad intrínseca. D urante este fértil período, querem os tam bién rendir hom enaje a algunos científicos que se significaron tam bién en el campo de las m atem áticas. Al no poder citarlos a todos, m encionarem os sólo a algunos, como Dirichlet, A bel, Jacobi y Bolzano, dando una breve exposición de sus contribuciones en cada caso.

GA USS

Karl-Friedrich Gauss (1777-1855) nació en Gotinga (A lem ania), el 30 de abril de 1777. Su m adre era una m ujer inteligente pero poco instruida, y su padre, llamado G erhard, fue calificado por Karl como «digno de estim a», pero tam bién como «dom inante, rudo y poco refinado». Su m adre había sido sirvienta antes de convertirse en la segunda esposa de su padre, que vivía pobrem ente ejerciendo diversos oficios; jardinero, jornalero, contram aestre para el m ante­ nim iento de las canalizaciones, tesorero de una pequeña caja de seguros, etc. De niño, Karl debía ser respetuoso y obediente con un padre que no veía la utilidad de instruir a su hijo. Por el contrario, su m adre esperaba mucho de su «maravilloso» Karl, y aunque su m atrim onio fue bastante desgraciado, se consagró enteram ente a la carrera de su hijo. Gauss testim onió mucho afecto y gratitud duran­ te toda su vida a su m adre, que murió a los noventa y siete años, habiendo pasado los últimos veintidós años de su vida en la casa de Karl. Sin ayuda de ningún tipo. Gauss aprendió a «calcular antes de hablar». A los tres años, corrigió un error en la paga de los obreros de su padre, y por sí solo estudió y profundizó la aritm ética. A los ocho años m ostró su genio precoz con ocasión de un problem a propuesto por su profesor de la escuela elem ental para ocupar a sus alumnos: encontrar la suma de los cien prim eros núm eros naturales. Gauss asom bró literalm ente al tosco y autoritario profesor revelán­ dote rápidam ente la respuesta escrita en su pizarra. Com pletam ente estupefacto ante este rasgo de genio, el profesor tuvo la sabiduría de procurarle libros de aritm ética para que el joven Gauss pudiera proseguir su aprendizaje de las m atemáticas. A los once años Gauss conoció a M artin B artels, entonces

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profesor ayudante de la escuela y más tarde profesor de Lobachevski. Im presionado por su inteligencia, Bartels habló de él al duque Carlos Guillerm o, quien le envió a estudiar a sus expensas, prim ero a un colegio de la ciudad y luego a la universidad de Gotinga, en 1795. Ya a su entrada en el colegio Gauss poseía una formación clásica y científica que sobrepasaba netam ente, en esa época, la de un estudiante de quince años. Además de estar familiarizado con la geom etría elem ental, el álgebra y el análisis, Gauss había adquirido habilidades muy excepcionales con respecto a los números. D urante su estancia en el colegio, perfeccionó sus conocimientos de aritm éti­ ca de los núm eros, estudió los Principia de Newton y el Ars conjectandi de Bernoulli, y ello simplemente porque la mayor parte de las otras obras clásicas de m atemáticas no estaban disponibles. Ello no le impidió formular el m étodo de los mínimos cuadrados, descubrir la ley de reciprocidad cuadrática, formular la hipótesis del teorem a de los núm eros primos y encontrar resultados compatibles con una geom etría no euclídea. A los diecinueve años, Gauss duda todavía entre la filología y las m atem áticas, pero el 30 de marzo de 1796 obtiene, a partir de un estudio sistemático de las ecuaciones ciclotómicas, la construcción del polígono regular de diecisiete lados con sólo la regla y el compás. Su elección está hecha, se hará m atemático y, desde ese día, consigna la prim era anotación en su célebre diario matem ático en el que, durante dieciocho años, inscribirá 146 enunciados extrem ada­ m ente breves de los resultados de sus trabajos. El interés científico e histórico de ese diario personal de tan sólo diecinueve páginas es indiscutible. Revela una visión íntima del m atemático sorprendido al natural en su actividad profesional y nos perm ite seguir el desarrollo de su talento. Gauss, a quien le gustaban el rigor y la perfección, publicaba muy poco y muy tarde, y por ello su diario es precioso para establecer la fecha y la autenticidad de ciertos resulta­ dos, lo que perm ite dilucidar cuestiones relativas a la prioridad de algunos descubrim ientos. Este diario no fue encontrado hasta 1898, y su contenido fue publicado por prim era vez por Félix Klein en 1901. En 1798, Gauss vuelve a Braunschweig para continuar allí sus trabajos en solitario, y al año siguiente obtiene el doctorado por la Universidad de Helm sted bajo la dirección, según parece, del m ate­ mático wurtem burgués Johann Friedrich Pfaff, quien se convierte

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luego en su amigo. Su tesis de doctorado contiene una dem ostración de que toda ecuación polinómica, p {x ) = 0 , posee al menos una raíz, cualquiera que sea la naturaleza real o imaginaria de los coeficientes de la ecuación. D ará más adelante otras tres dem ostra­ ciones del mismo teorem a fundam ental del álgebra en trabajos subsiguientes. E n 1801, Gauss escribe y publica su gran tratado titulado D isquisitiones aritmeticce, en el que presenta un resum en de los trabajos aislados de sus predecesores, da soluciones a las cuestio­ nes más difíciles, form ula conceptos y cuestiones que indicarán, durante al menos un siglo, las líneas m aestras de la investigación en teoría de núm eros. A lo largo del mismo año, Giuseppe Piazzi (1746-1826) descubre el planeta Ceres, pero no llega a determ inar exactam ente su posición. Gauss decide localizar este planeta, y de septiem bre a diciembre de este mismo año, utiliza una teoría orbital de los planetas fundam entada en la elipse y recurre a m étodos numéricos basados en el m étodo de mínimos cuadrados, para llegar finalm ente a la determ inación exacta de la trayectoria de este planeta. Esta hazaña coincide con el comienzo de sus investigacio­ nes astronóm icas, que absorberán una buena parte de sus energías durante casi veinte años. Las dos prim eras contribuciones im portantes de Gauss en el cam po de la ciencia le valieron el ser nom brado, en 1807, profesor de astronom ía y director del observatorio de Gotinga. A parte de una visita a Berlín en el marco de un congreso de científicos, Gauss perm aneció en su ciudad natal el resto de su vida. Sus trabajos de astronom ía, que com enzaron con el estudio de Ceres, le llevaron, después de algunos años, a publicar su Theoria m otus corporum coelestium in sectionibus conicis solem am bientium en 1809, en el cual Gauss desarrolla sistem áticam ente su m étodo del cálculo orbi­ tal, en el que utiliza el m étodo de mínimos cuadrados. El período 1801-1809 marca una etapa decisiva en la vida de Gauss. En el plano profesional, es la época en la que se opera la transición del m atem á­ tico al astrónom o y al físico. A unque el duque de Brunswick había aum entado sus em olum entos en 1801, Gauss buscaba un puesto que le garantizara una m ayor seguridad, y la astronom ía parecía enton­ ces una alternativa atrayente. Poco interesado en hacerse profesor de matem áticas para confinarse a enseñar casi exclusivamente a estudiantes más o m enos motivados, consideraba tam bién Gauss que las m atem áticas no eran lo suficientem ente útiles por sí mismas.

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Además, el puesto de astrónom o profesional llenaba en gran parte sus expectativas: poca enseñanza que im partir y mucho tiempo disponible para la investigación. Tam bién durante este período Gauss em prende una correspondencia personal y profesional con los científicos de la época sobre num erosos temas de investigación salvo, posiblem ente, las matem áticas. En efecto, aparte de algunas cartas intercam biadas con su amigo Wolfgang Bolyai sobre los fundam entos de la geom etría y alguna correspondencia dispersa con otros matem áticos (la escuela de París), Gauss será toda su vida un m atem ático solitario que no tendrá ni colaboradores, ni correspon­ sales, ni siquiera estudiantes que trabajen en estrecha colaboración con él. Sin em bargo, Gauss inspirará a num erosos matemáticos, entre los cuales se cuentan Dirichlet y Riemann. En el campo de las ciencias, por el contrario, estará rodeado de num erosos estudiantes, colaboradores y amigos y, en particular, Von Hum boldt y Von Lindenau desem peñarán un papel privilegiado en la vida profesional de Gauss y en el desarrollo de la ciencia en Alem ania. Gracias a m ejoras económicas sucesivas, otorgadas por el du­ que, a los veintiocho años Gauss se encuentra en condiciones de contraer m atrim onio con Johanne Ostof, el 9 de octubre de 1805. D e su unión nacen Joseph y M inna, y durante cuatro años Johanne hace que la atm ósfera familiar sea alegre y atrayente. Pero en 1807 una prim era desgracia se abate sobre Gauss al enterarse de que su amigo y protector, el duque Fernando, ha m uerto a la cabeza de los ejércitos prusianos contra Napoleón. Ya Gauss veía en Napoleón la personificación de los peligros de la revolución y, a raíz de este trágico accidente, sus opiniones políticas y nacionalistas evolucionan de tal m anera que se convierte en un fiel nacionalista y realista. En 1809 nace un tercer hijo, de nom bre Louis; de las secuelas de este nacimiento m uere su am ada Johanne, y además el niño sólo sobrevi­ ve algún tiem po. Estos dos acontecim ientos desgraciados, sucedidos en este corto período, sum ieron a Gauss en una soledad tal que no fue capaz ya nunca de superarla com pletam ente. El 4 de agosto de 1810 se casa por segunda vez con la amiga íntima de su primera esposa, M inna W aldeck, y de este m atrim onio nacen dos niños y una niña. Se dice que Gauss dom inaba a sus dos hijas y discutía con sus hijos m enores quienes, por otra parte, emigraron a los Estados Unidos. Sólo después de la m uerte de su segunda esposa Minna, en 1831, m ejoró bastante el clima familiar, gracias sobre todo a su hija

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Thérèse, la más pequeña de la familia, que se convirtió en la acom pañante intima de su padre durante sus veinticuatro últimos años. D urante los prim eros años en Gotinga, Gauss realiza estudios y lleva a cabo investigaciones en diversos frentes a la vez y redacta num erosas memorias: un prim er estudio riguroso de las series y la introducción de las funciones hipergeom étricas (1813); una contri­ bución im portante a la aproximación de las integrales y uno de los prim eros análisis de los estim adores estadísticos (1816); trabajos en astronom ía, inspirados por su estudio del planeta Palas y una memoria notable sobre la determ inación de la atracción de un planeta a su órbita. Se interesa también por el estudio de las líneas paralelas, la declinación de las estrellas, la teoría de núm eros, las cantidades imaginarias, etc. Mientras tanto, Gauss em prende la edi­ ficación del observatorio de Gotinga, que, después de muchos es­ fuerzos consagrados a su realización m aterial, comienza a funcionar en 1816, aunque no a pleno rendim iento hasta 1821. También en la misma época Gauss som ete a su reflexión sus prim eras concepciones relativas a una geom etría no euclídea y, de una m anera lenta y gradual, m adura sus ideas y piensa incluso en publicar su nueva geom etría. Pero en 1831 Gauss conoce los trabajos de Janos Bolyai, y decide escribir al padre de Janos, Farkas, para hacerle saber que él ya está en posesión de tal geom etría. Después de saber que Lobachevski tam bién había concebido una nueva geom etría, Gauss se negó a utilizar su prestigio e influencia para apoyar y m antener el valor intrínseco de estas nuevas geometrías. Desde 1817 a 1847, Gauss consagró una buena parte de su vida a trabajos de geodesia, en particular a la triangulación de H annover y a la invención del heliotrofo. Los problem as de agrim ensura con que tropezó Gauss están en la base de sus ideas sobre el m étodo de mínimos cuadrados y de la estadística m atemática. En 1828, Gauss redacta un informe de sus ideas sobre la figura de la Tierra, los errores experim entales y el cálculo de las observaciones. También durante el mismo año, Gauss viaja a Berlín para asistir a un congreso científico, invitado por Hum boldt, quien será un anfitrión cordial durante todo el congreso. A partir de 1829, Gauss em prende estudios de física que le conducen a trabajos de física teórica, mecánica, capilaridad, acústica, óptica y cristalografía. Gauss se quejaba desde hacía algunos años de una salud más

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bien delicada y de una fatiga persistente; los esfuerzos físicos que debía hacer para llevar a cabo sus trabajos de agrim ensura le condujeron a sufrir de asma y de una enferm edad del corazón. Por ello, decidió abandonar su participación activa en los trabajos de triangulación en 1825 y limitarse en lo sucesivo a una vida sencilla y regular, evitando los viajes y las consultas del médico. Sin em bargo, los años 1830-1831 fueron particularm ente difíciles para m antener esta regularidad tan deseada por Gauss. En efecto, su esposa, que sufre de tuberculosis y neurosis histérica desde 1818, se agravó de pronto, su hijo m ayor deja la casa familiar y emigra a los Estados Unidos después de una discusión con su padre sobre el tem a de la juventud libertina, y la nación alem ana conoce un período de disturbios que Gauss desaprueba com pletam ente. A pesar de todo, llega a superar todas estas dificultades, pero su m ujer m uere el 13 de septiem bre de 1831. A fortunadam ente, un joven y brillante físico, Wilhelm W eber (1804-1891) llega a Gotinga algunos días más tarde, y comienza una colaboración estrecha y de una sincera amistad entre los dos científicos, am istad que se interrum pirá súbitam ente en 1837 a causa de una cuestión de fidelidad política, cuando W eber se declara contrario al nuevo rey E rnesto Augusto. En 1848, cuando W eber pudo volver al desem peño de sus funciones en Gotinga, continuó solo su brillante carrera, pues no podía contar ya con la colaboración de Gauss. A proxim adam ente a partir de 1840, las actividades profesionales de Gauss decrecen gradualm ente, aunque sea todavía un hombre muy ocupado. E n efecto, prosigue sus observaciones astronóm i­ cas, ocupa frecuentem ente el puesto de decano de la Facultad de G otinga, establece un fondo para las viudas de profesores falle­ cidos de Gotinga sobre bases actuariales sólidas, aprende a leer y a escribir el ruso y continúa trabajando sobre una amplia variedad de problem as m atem áticos, adem ás de asegurar una enseñanza a estu­ diantes cada vez m ejor preparados, entre los que están Dedekind y Riem ann. D espués de 1850, el estado de su corazón se deterioró rápida­ m ente y debió reducir considerablem ente sus actividades. En 1851, Gauss aprobó la tesis doctoral de Riem ann sobre los fundam entos del análisis com plejo y en junio de 1854, cuando ya se encontraba bajo los cuidados de un médico desde hacía varios meses, asiste feliz al curso inaugural de Riem ann en Gotinga. Obligado a guardar

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cam a, pone al día su correspondencia y prosigue sus lecturas hasta su m uerte, acaecida el 23 de febrero de 1855 durante el sueño.

Gauss, el hombre de ciencia C om parado con los más grandes matem áticos de todos los tiempos, Gauss se impone por su talento universal y la calidad de sus contribuciones científicas. Llamado frecuentem ente el «príncipe de los matem áticos», marca la transición entre el siglo x v iil y el X IX . A pesar de algunas innovaciones im portantes que indujeron a otros matemáticos a enriquecerlas, no es menos cierto que Gauss fue un científico orientado más hacia el pasado que hacia el futuro. Gauss, como decía Felix Klein, es la «cima im ponente que domina a todos los matemáticos del siglo XVIII». Se distinguió tanto en matem ática pura como aplicada. Sabemos ya que Gauss no publicó más que la mitad de sus contribuciones científicas durante su vida; el resto aparece en notas, correspondencias e informes de instituciones oficiales. Gauss estaba convencido, por experiencias vividas, que tenía poco que ganar queriendo comunicarse e intercam biando información con los de­ más. Por ello prefirió aislarse casi com pletam ente del campo de las influencias de la actividad matem ática de la época. Sin em bargo, encontró más fácil y más útil comunicarse con los experim entadores y los técnicos y, en particular, colaboró estrecham ente con W eber en sus experiencias sobre el magnetismo durante cerca de ocho años. Gauss fue un hom bre frío y poco comunicativo, con la ambición de conseguir éxito personal y gran renom bre. D etestaba todo lo que tenía que ver con cerem onias y formalidades, desaprobaba las controversias y durante toda su vida hizo alarde de un conservadu­ rismo y un nacionalismo respetuoso. Fuera de la ciencia, sus gustos e intereses fueron poco desarrollados. Educado pobrem ente, buscó durante mucho tiem po una seguridad financiera creciente y, habién­ dola obtenido, rehusó sin em bargo el vivir como un advenedizo. Gracias a su prestigio y a su gran renom bre, y a pesar de su aislamiento voluntario. Gauss influenció e inspiró a varios jóvenes matemáticos de su época. Los trabajos de Jacobi y Abel sobre las integrales elípticas se iniciaron gracias a una insinuación contenida

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en las Disquisitiones arithmeticce. El grado de acabado de sus resultados en ciertas ramas de las matem áticas fue tal que aparecie­ ron nuevos tem as en teoría de núm eros, geom etría diferencial y estadística. Gauss es probablem ente, con Cauchy, uno de los últi­ mos genios universales que han marcado el desarrollo de las m ate­ máticas a través de los tiempos.

E l teorema fundam ental del álgebra La prim era demostración satisfactoria del teorem a fundamental del álgebra, enunciado en 1629 por G irard, aparece en la tesis doctoral de Gauss titulada Demonstrado nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unios variabilis in fac­ tores reales prim i vel secundi gradus resolví posse (nueva dem ostra­ ción del teorem a de que toda función algebraica racional de una variable puede ser descompuesta en producto de factores reales de prim ero o de segundo grado). En las primeras secciones hace un análisis crítico de las dem ostraciones de la existencia de una raíz de la función X de la forma x"' -)- A x ^ ^ ^

B x^ - ^

L x + M.

D em uestra que la raíz compleja a + bi de X (x + iy) = 0 corresponde al punto {a, b) del plano, y si X (x + iy) = g{x, y) -t- ih{x, y) entonces el punto (a, b) debe ser la intersección de las curvas g = 0 y ú = 0. Su argum ento, sum am ente original, depende del gráfico de las curvas, y era difícil dem ostrar que debían tener al menos una intersección no vacía. En la segunda demostración de este teorem a fundam ental publicada en 1816, Gauss abandona las consideracio­ nes geométricas y presenta una demostración enteram ente algebrai­ ca, pero conservando todavía los coeficientes reales. La tercera demostración se basa en lo que se conoce actualm ente como el teorem a de la integral de Cauchy. Finalmente, la cuarta dem ostra­ ción (1849) es una variación de la prim era, en lo que respecta al m étodo de presentación, y Gauss extiende el campo de variación de

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resolverse de más de m m aneras diferentes o no puede tener más de m raíces no congruentes con relación a p. En la sección III, Gauss em prende un estudio de los residuos de las potencias y, en particular, se encuentra allí una dem ostración, en térm inos de congruencias, del pequeño teorem a de Ferm at y una generalización del teorem a de Wilson. Considerado por Gauss como un teorem a elegante y de una gran utilidad, el teorem a de Ferm at se enuncia de la m anera siguiente: Si p e s u n n ú m e ro p rim o q u e n o d iv id e a a y si a ' e s la m e n o r p o te n c ia d e a q u e e s c o n g ru e n te c o n la u n id a d c o n re la c ió n a p, el e x p o n e n te t s e rá ig u al a p —\ o u n fa c to r d e e se n ú m e ro .

En el artículo 76, Gauss se refiere al teorem a de Wilson y, después de haber discutido las contribuciones de Lagrange y de Euler a la dem ostración de este teorem a, presenta una generaliza­ ción del mismo en los siguientes términos: E l p ro d u c to d e to d o s los n ú m e ro s in fe rio re s a u n n ú m e r o d a d o / I y al m ism o tie m p o p rim o s c o n re la c ió n a e s e n ú m e r o , e s c o n g ru e n te re la tiv a m e n te a A c o n m ás o m e n o s la u n id a d .

Así, cuando A es de la forma p'" ó 2p"' en donde p es un núm ero primo diferente de 2, y tam bién cuando A = 4, Gauss afirma que se debe tom ar —1 ; en caso contrario, + 1 . En la cuarta sección se presentan las congruencias de segundo grado, que plantean la cuestión de los residuos cuadráticos. Según Gauss, todos los núm eros pueden dividirse en dos clases, una que contiene ios núm eros que son congruentes con un cuadrado, y la otra todos los demás. Los núm eros de la prim era clase se llaman «residuos cuadráticos del núm ero tom ado como módulo» y los otros no son residuos cuadráticos de ese núm ero. Así, según Gauss, si p es un módulo prim o, la mitad de los núm eros 1, 2, 3, ..., p —1, serán residuos cuadráticos, es decir habrá ( p - l ) / 2 residuos y otros tantos núm eros que no lo serán. A continuación, Gauss dem uestra una serie de teorem as prelim inares sobre los residuos cuadráticos, que prepara su célebre dem ostración de la ley de reciprocidad cuadráti­ ca. E ntre estos teorem as, se pueden señalar algunos:

La época de (iaussy C'auchy

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—• —1 es un residuo cuadrático de todos los números de la forma 4n + 1 y un no residuo de todos los números de la forma 4n + 3; ----- 1-2 es un no residuo, —2 es un residuo de todos los números primos de la forma 8 « -I- 3; -----h2 y —2 son no residuos de todos los números primos de la forma Hn + 5; ----- 3 y +3 son no residuos de todos los números primos de la forma 12n -I- 5; -----3 es un no residuo, -1-3 es un residuo de todo núm ero primo de la forma 1 2 « -f 1 1 . Gauss formula su «teorem a fundamental» de la m anera siguien­ te: Si p es u n n ú m e ro p rim o d e la fo rm a 4 « -1- l , + p se rá un re s id u o o u n no re s id u o d e to d o n ú m e ro p rim o q u e , to m a d o p o s itiv a m e n te , se a u n re s id u o o un n o re s id u o d e p . Si p es d e la fo rm a 4 n + 3, —p te n d rá la m ism a p ro p ie d a d .

Después de haberlo dem ostrado de una m anera muy rigurosa, afirma en el artículo 151 que su demostración es la más sencilla que se puede encontrar, estando incluso al corriente, como estaba él, de los trabajos de E uler y Legendrc sobre el tem a. Refiriéndose a estos trabajos, Gauss emite un juicio sobre el valor de estos estudios y afirma, con razón, que sólo su dem ostración de la ley de reciproci­ dad cuadrática debe ser considerada la prim era. Gauss había descu­ bierto una demostración de esta ley en 1796, y publicó en total cuatro, dos de las cuales aparecen en las Disquisitiones. Llamada por Gauss theorema aureum (joya de la aritm ética), esta ley funda­ mental de las congruencias fue objeto de no menos de cincuenta dem ostraciones posteriores a las de Gauss. La sección V, consagrada a las formas y a las ecuaciones indeter­ minadas de segundo grado, cubre más de la mitad de su célebre tratado. Gauss sistematiza y desarrolla considerablem ente la teoría de las formas, que nace en los trabajos de Lagrange, y que volverá a tom ar y desarrollar Legendre. Escribe, a este respecto, en el artícu­ lo 2 2 2 : C o m o m u c h a s c o sa s q u e h e m o s e x p lic a d o h a s ta a q u í lo h a n sid o ta m b ié n p o r o tr o s g e ó m e tra s , n o p o d e m o s sile n c ia r su s tra b a jo s . E l ilu s tre L a g ra n g e

Jean-Paul Collette

298

ha hecho investigaciones generales sobre la equivalencia de las formas (1773 y 1775) en las que ha mostrado sobre todo que, para un determinante dado cualquiera, se puede encontrar un número finito de formas tales que toda forma del mismo determinante sea equivalente a una de ellas y que, por lo tanto, todas las formas de un determinante dado pueden distribuirse por clases. Más tarde, el distinguido Legendre ha descubierto varias propieda­ des elegantes de esta clasificación, aunque la mayor parte por inducción, y nosotros las daremos aquí con las demostraciones. Por lo demás, nadie había pensado todavía en hacer la distinción entre equivalencia propia e impropia, aunque ésta se revela como un instrumento muy eficaz para investigaciones más delicadas. El famoso problema (artículo 216) de encontrar todas las soluciones que sean números enteros de la ecuación general de segundo grado con dos incógnitas ha sido resuelto completamente por Lagrange (1767 y 1768). Euler lo había abordado también anteriormente, pero había limitado su investigación a deducir todas las soluciones de una sola, que suponía conocida; además, sus métodos no dan todas las soluciones más que en un pequeño número de casos. Gauss define en prim er lugar la equivalencia de formas. Sea F = ax^ + 2bxy + cy^ una forma binaria que puede ser transform ada en una forma F' sustituyendo x e y por x = ax' + ¡5y', y = yx' F ó y ', donde a, ¡3, y, ó son enteros. La forma f se convierte, después de la sustitución, en F = a 'x 'x ' -b Ib 'x 'y ' -b c 'y 'y ' y obtenem os, según Gauss, tres ecuaciones a' = aa^ -b 2 b a y + cy^ b' = aaP + b(aó + /3y) -b cyó c’ = + 2 bpò -b cá^ M ultiplicando la segunda ecuación por sí misma, la prim era por la tercera, y por sustracción, se obtiene bb' — a'c' = {b^ - ac) (aó — y/3)^ Se deduce, pues, que el determ inante de la form a F es divisible por el determ inante de la forma F, y que el cociente es un cuadrado, por lo que los dos determ inantes tendrán el mismo signo. Adem ás, prosigue, si la form a F puede transform arse en la form a F m ediante

La época de Gauss y Cauchy

299

una transform ación similar, los determ inantes de las formas F y F serán iguales, y {aó — = 1. En este caso, las formas se dicen equivalentes. A dem ás, la igualdad de los determ inantes es una condición necesaria para la equivalencia de las formas, pero no suficiente. Si (a ó - fiy) = 1, F y F se dicen propiam ente equiva­ lentes, y si (a ó - fiy) = - 1 , se dicen im propiam ente equivalentes. Gauss dem uestra a continuación diversos teorem as sobre equivalen­ cia de formas. Por definición, dos formas equivalentes tienen el mismo discriminante D = - ac, y Gauss dem uestra que todas las formas con un discrim inante D dado pueden distribuirse en clases, de m anera que todo elem ento de una clase sea propiam ente equiva­ lente a cada uno de los elem entos de la clase. Gauss da también criterios para la representatividad de la clase, y la forma más sencilla que posee un determ inante D tiene las características siguientes: a = 1 , ó = 0 , c = —D; ésta se llama entonces la forma principal, y la clase a la que pertenece lleva el nom bre de clase principal. Se encuentra tam bién, en esta larga sección, un estudio de la composi­ ción de formas (producto), así como la form a ternaria cuadrática, tratada de m anera sem ejante a como estudia las formas binarias. El objetivo principal considerado por Gauss en su estudio de la teoría de las formas consiste en elaborar un conjunto de teorem as de la teoría de núm eros. A dem ás, m uestra cóm o utilizar esta teoría de las formas para dem ostrar cierto núm ero de teorem as sobre los enteros. Por ejem plo, Gauss dem uestra que todo núm ero primo de la form a 4n + 1 puede ser representado como una suma de cuadra­ dos, de una única m anera, y que todo núm ero primo de la forma 8 n + 1 ó 8 n -f 3 puede ser representado m ediante la forma -1- 2y^ (para x t y enteros), de una única m anera, etc. Subraye­ mos algunas aplicaciones a propósito de las formas ternarias: la prim era dem ostración del teorem a de que todo núm ero puede ser representado como una suma de tres núm eros triangulares y una prueba de que todo entero positivo se expresa como una suma de cuatro cuadrados (dem ostrado por Lagrange). Gauss consagra la sección vi a diversas aplicaciones de la teoría de núm eros a diferentes ramas de las m atemáticas. Así, trata de la resolución de fracciones por descomposición en fracciones simplifi­ cadas y la conversión de fracciones ordinarias en fracciones decima­ les. A continuación, presenta un nuevo m étodo de exclusión, aplica­ ble a la resolución de las ecuaciones indeterm inadas de segundo

Jean-Paul Collette

300

grado. Finalmente, Gauss ofrece métodos nuevos para distinguir los números primos de los núm eros com puestos, que perm iten encon­ trar los factores primos de los núm eros compuestos. En la última sección de sus Disquisitiones, Gauss establece la teoría general de las funciones circulares. Partiendo de la ecuación ciclotómica (ecuación para la división de un círculo) x" — 1 = 0 , establece en prim er lugar que n debe ser un núm ero primo impar. En virtud del teorem a de De Moivre, las raíces de esta ecuación son Xj — eos — ---- h i sen

donde k — 1 , 2 ,

n.

Los números complejos Xj son los vértices de un polígono regular de n lados que se encuentran sobre la circunferencia del círculo. Gauss demuestra que las raíces de esta ecuación pueden expresarse racio­ nalm ente en términos de las raíces de una sucesión de ecuaciones W

,

=

o

,

V L z

=

0

,

. . .

Los grados de W¡ son precisam ente los factores primos de « — 1. Como cada W¡ — 0 puede resolverse m ediante radicales, se deduce que la ecuación ciclotómica tam bién lo es. Este resultado es im por­ tante para la resolución de la ecuación algebraica general de grado n, porque dem uestra que es posible, por ejem plo, resolver por radicales una ecuación de grado 7 si éste es factor de n - 1. Asimismo, el resultado de Gauss es particularm ente significativo para el problem a geométrico de la construcción de los polígonos regulares de n lados. Convierte la división del círculo en n partes en la solución de tantas ecuaciones (W¡) como factores haya en n — 1, si n es un núm ero prim o, y el grado de las ecuaciones está determ i­ nado por la magnitud de los factores. Si « - 1 es una potencia de 2, lo que ocurre si el valor de n es 3, 5, 17, 257, 65, 513, etc. (donde n = 2 "'p i P 2 ... Pi con m entero positivo cualquiera y p¿ números primos de Ferm at distintos) el seccionamiento del círculo se reduce a ecuaciones cuadráticas solam ente (el grado de cada IL, es necesa­ riam ente 2) y las funciones trigonom étricas de los ángulos Pin, 2P/n, etc., (P es el período 2jt) pueden expresarse m ediante raíces cuadra­ das. De esta m anera estamos en condiciones de construir todos los polígonos de un núm ero prim o de lados n si n - 1 es una potencia de 2. E n particular, Gauss consiguió construir el polígono regular de

Lu epoca de Gauss y Cauchy

301

17 lados gracias a este resultado, de una importancia capital, así como dar el valor del coseno del ángulo F/17:

eos (-^) = --¡J + -¡VVÍ7 + -iVV(34 - 2VT7)+ + |V [ 1 7 +

3V I 7

-

V (3 4 -

2 V T 7)

-

2 V (3 4 +

2V 17)]

De la misma m anera se puede construir tam bién un polígono regular si n es un núm ero primo de la forma 2"'' + 1. Gauss term ina su tratado presentando una condición necesaria para la construcción de un polígono regular de n lados, condición que será dem ostrada por Wantzel en 1837.

Otros resultados de Gauss en teoría de números Recordem os que el contenido de las Disquisitiones de Gauss es una obra de juventud que será enriquecida con trabajos subsiguientes en teoría de números. D urante el segundo decenio del siglo X IX , Gauss em prendió investigaciones con el fin de establecer leyes de recipro­ cidad para las congruencias de grado superior a dos. Consiguió form ular una ley de reciprocidad bicuadrática hacia 1830, así como una ley de reciprocidad cúbica. Con ocasión de estas investigacio­ nes, Gauss utilizó los «enteros complejos», con el fin de garantizar que su teoría fuera sencilla y elegante. Introducido por Euler y Lagrange, el entero com plejo adquirió una importancia considera­ ble en teoría de núm eros gracias a los trabajos de Gauss. Núm ero de la form a a -f- bi donde a y b son enteros, el entero complejo posee cuatro unidades: ± 1 , y ±/. Es com puesto si es el producto de dos enteros diferentes de las unidades. Por ejem plo, 5 = (1 -f- 2i) (1 - 20 es com puesto, m ientras que 3 es un entero complejo primo. A de­ mas, Gauss m ostró que el conjunto de los enteros complejos posee esencialmente las mismas propiedades que el de los enteros habitua­ les. En particular, el teorem a de la factorización única se aplica a los enteros complejos con tal de que las cuatro unidades no sean consideradas como factores distintos. Gauss se interesó tam bién por el teorem a de la distribución de

Jean-Paul Coltelle

302

los núm eros primos y, m ediante la tabla de núm eros prim os, for­ muló la hipótesis de que Ji{x) difiere poco de • A dem ás, Gauss conocía la relación C.K ‘ii lim .t— » X

--- á

=

1

lo g

pero no sabemos si disponía de una dem ostración de ese teorem a. H abrá que esperar a los trabajos de Chebichev, La Vallée-Poussin y H adam ard para establecer definitivam ente este teorem a fundam en­ tal de la teoría analítica de números.

Los trabajos geométricos de Gauss El interés de Gauss por la geom etría se manifestó en num erosos trabajos geométricos surgidos principalm ente de sus preocupaciones por diversos problem as teóricos planteados por la astronom ía, la geodesia y la cartografía. Consciente de la necesidad de una concep­ ción más amplia de la geom etría, fue inducido a interesarse por diversos problem as de naturaleza geométrica: ciclotomía, pentágo­ nos esféricos, rotación de una recta que pasa por el origen en tres dimensiones, formas cuadráticas, curvatura de superficies y geom e­ tría no euclídea. La publicación, en 1827, de sus Disquisitiones circa generales superficies curvas supone una contribución definitiva a la geom etría diferencial de superficies en el espacio de tres dimensiones. Partien­ do de la representación param étrica de Euler de las coordenadas (x, y, z) de todo punto de una superficie X

= x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

Gauss obtiene las ecuaciones siguientes para expresar el vector tangente dx = adu -f a'dv, dy = bdu + b'dv, dz = edu + c'dv donde a = jc„, a' = x^, b = y„, b' = y^, c = z,„ c ' = z„. Para simplificar las representaciones, introduce los determ inantes a a'

b b'

303

La époc a de Gauss y Cauchy

que son tres com ponentes de un vector norm al, y supone que A =

+ C éO

La longitud de un arco de una superficie en relación

viene dada por la

ds^ = dx^ + dy^ + dz^ que Gauss transform a de la m anera siguiente: ds^ = E{u, v)du^ + 2F{u, v)dudv + G{u, v)dv^ donde E -

+ (p-, F = aa' + bb' + cc', G = a'^ + b'^ + c'^.

E sta expresión para ds, el elem ento de distancia sobre la superficie, constituye esencialm ente la prim era etapa en el desarrollo de la geom etría de Riem ann. En posesión de estas relaciones fundam en­ tales, Gauss em prende un estudio sistemático de la teoría de superfi­ cies. Expresa en prim er lugar el ángulo entre dos curvas de una superficie en térm inos del coseno de ese ángulo, y después aborda el tratam iento de la curvatura de una superficie y hace la observación de que las propiedades de una superficie dependen únicamente de las cantidades E, F y G definidas más arriba. En particular demues­ tra que si dos superficies son isométricas (aplicables la una sobre la otra) el producto de los dos radios de curvatura principales es el mismo en dos puntos correspondientes (theorema egregium). En su memoria de 1827, Gauss trata tam bién del problem a de determ inar las geodésicas sobre las superficies. En térm inos de coordenadas polares, donde p y q representan respectivam ente el radio y el ángulo. Gauss obtiene

ds^ = dp^

-f-

Gdq^

y, en virtud de su theorema egregium, con £ = ____ L _ Vg

dp^

donde K es la llam ada curvatura gausiana.

1

yF =

0

, se tiene

Jean-Pau! Colletle

3Ü4

Provisto con este resultado, Gauss consigue dem ostrar un teore­ ma célebre sobre la curvatura de un triángulo cuyos lados son geodésicas.

D eterm ina que la curvatura total de un triángulo geodésico abe viene dada por j ¡ K d s = a + b + c - Ji Sus trabajos en geom etría diferencial dem uestran que el estudio de la geom etría de una superficie puede hacerse concentrándose esencialm ente en la superficie misma. A dem ás, revelan que la superficie puede ser un espacio en sí misma, porque todas sus propiedades están determ inadas por la cantidad ds^. Así, las «líneas rectas» sobre la superficie son las geodésicas y, por consiguiente, la geom etría de la superficie es no euclidea. D urante esos prim eros años, en Gotinga, Gauss m aduró su concepción de la geom etría no euclidea, que se rem ontaba ya a su adolescencia en 1792, en la que concebía como posible una geom e­ tría lógica sin el postulado de las paralelas de Euclides. Convencido de la ineficacia de las diversas tentativas anteriores para dem ostrar el postulado de las paralelas, Gauss, a pesar de su profundo conser­ vadurism o y su miedo al ridículo, acepta cada vez más la idea de que se debe salir de los senderos trillados e intentar más bien elaborar una nueva geom etría. A partir de 1813 desarrolla esta nueva geom e­ tría, llamada sucesivamente antieuclídea, geom etría astral y, por fin, geom etría no euclidea. D e 1813 a 1831, Gauss elabora su geom etría y encuentra num erosos resultados nuevos, pero no se

La época de Gauss y Cauchy

■ 305

decide a publicarlos antes de su m uerte. Sin em bargo, en 1831 escribe un ensayo sobre las líneas paralelas, y en una carta dirigida a H. K. Schumacher puede leerse lo que sigue: Después de haber meditado durante casi cuarenta años sin escribir nada... me he tomado la molestia al menos de poner por escrito algunas de mis ideas, con el fin de que no desaparezcan conmigo. Es tam bién al año siguiente cuando conoce los trabajos de Janos Bolyai y, en una carta dirigida al padre de Janos, le comunica sus propios trabajos sobre el tem a y reivindica, de alguna m anera, la propiedad de sus descubrim ientos en estos términos: Si digo que soy incapaz de elogiar este estudio, quizá le extrañe. Pero no puede ser de otra manera, porque ello equivaldría a alabar mis propios trabajos. En efecto, el enfoque preconizado por vuestro hijo y los resulta­ dos que ha obtenido coinciden casi enteramente con las ideas que han ocupado mi espíritu desde hace 30 ó 35 años. No tengo la intención de publicar estas meditaciones durante mi vida, pero he decidido escribirlas para que puedan conservarse. Es, en consecuencia, una sorpresa agradable para mí ahorrarme este trabajo, y me llena de alegría el pensamiento de que es precisamente el hijo de mi amigo de siempre el que me ha suplantado de forma tan notable... D ejam os de lado la presentación del contenido m atem ático de su nueva geom etría; volveremos sobre ello más adelante, con motivo de la exposición de los trabajos de Bolyai y Lobachevski. Subraye­ mos, sin em bargo, que el contenido de esta carta hirió profunda­ m ente a Janos y le desanim ó de tal m anera que abandonó sus actividades científicas desde entonces.

Algunos otros trabajos matemáticos de Gauss De sus otras memorias m atem áticas, muy num erosas, nos contenta­ remos con señalar algunos resultados específicos. A pesar de los trabajos de Wessel y Argand sobre la representación de los números com plejos, habrá que esperar a las contribuciones de Gauss sobre el tem a para asistir a la aceptación de los núm eros complejos. Las ideas de Gauss sobre las cantidades imaginarias se rem ontan a

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Jean-Paul Coltene

mucho antes porque, ya en 1799, en su disertación inaugural, presupone una correspondencia biunivoca entre los puntos del plano cartesiano y los núm eros complejos. R epresenta el núm ero X iy m ediante las coordenadas (x, y ) de un punto en el plano real. Pero sus ideas se hacen más explícitas algunos años después, pues puede leerse en una carta dirigida a Bessel en 1811 que: De la misma manera que puede representarse el dominio entero de todas las cantidades reales mediante una línea recta indefinida (la recta de los reales), puede imaginarse el dominio entero de todas las cantidades, las cantidades reales y las imaginarias mediante un plano indefinido en el que todo punto, determinado por su abscisa « y su ordenada b, representa, por así decirlo, la cantidad a + bi. Este pasaje revela que la concepción gausiana de los números complejos implica una relación directa entre los reales a y ò de la form a a + b i y los ejes de coordenadas de un sistema en el plano. Gauss añade tam bién que es posible ir de un punto a otro del plano com plejo siguiendo diversas trayectorias. En 1831 Gauss hace públi­ ca su descripción de la representación geom étrica de los núm eros complejos, en una m em oria sobre los restos bicuadráticos presenta­ da a la Sociedad Rea! de Gotinga. Presenta la representación de a + b i como un punto (no como un vector como hacían Wessel y Argand) en el plano com plejo y describe la adición y la multiplica­ ción geom étrica de esos números. Según Gauss, la representación geom étrica revela «la significación intuitiva de los núm eros com ­ plejos com pletam ente establecidos y, adem ás, no es necesario adm i­ tir esas cantidades en el dominio de la aritmética». Adem ás, añade que si las unidades 1 , - 1 , y y f - l hubieran sido llamadas directa, inversa y lateral en lugar de positiva, negativa e im aginaria, toda la mística que envolvía a esos núm eros probablem ente no habría existido. Finalm ente, fue Gauss quien introdujo los «números com ­ plejos» en oposición a las cantidades imaginarias y utilizó la letra i para designar V “ 1 • Gauss introdujo tam bién ideas fundam entales sobre las funcio­ nes de variable com pleja y, más precisam ente, en lo que respecta a la necesidad de tener en cuenta los límites de integración cuando son núm eros complejos, a propósito de la integral logarítmica. Así, afirma que «el paso continuo de un valor de x a otro en el plano

La época de Gauss y Cauchy

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com plejo tiene lugar sobre una curva, y puede incluso suceder que ese paso se haga sobre diversas trayectorias». Después, prosigue, «afirmo ahora que la integral ¡d (z)d x posee un solo valor incluso sobre diversas trayectorias, con tal que 6 (z) sea unívoca y que z, no se haga infinita en el espacio limitado por las dos trayectorias. En el tem a del caso particular de Jdz/z, Gauss afirma que, partiendo de z = 1 y para valores de a + bi, se obtiene un valor único si la trayectoria no contiene el punto z = 0 ; si no, se debe añadir 2 m ó —2 m al valor obtenido al pasar de z = 1 a z = a + 6 í , om itiendo el valor z = 0. Así, existen varios logaritmos para un a + bi dado. En diversos puntos, los trabajos de Gauss en teoría de núm eros y en el tem a del m étodo de mínimos cuadrados coinciden con los de Legendre. En 1785, Legendre había presentado y dem ostrado par­ cialm ente la ley de reciprocidad cuadrática y Gauss la presentó en sus Disquisitiones arithmeticœ con el «teorem a fundam ental», ha­ ciendo alusión vagam ente a los trabajos de Legendre sobre el tema. Algunos años después, Legendre publica, en 1805, sus Nouvelles méthodes p o ur la détermination des orbites des comètes (Nuevos m étodos para la determ inación de las órbitas de los cometas) en los que presenta el m étodo de mínimos cuadrados, m ientras que Gauss afirm a en 1809, sólo con respecto a este m étodo, que «nuestro principio, que hemos utilizado desde 1795, fue publicado tardíam en­ te por Legendre [...]». Legendre replica en el mes de mayo de 1809 a las declaraciones de Gauss m ediante una carta cuyo contenido es nada menos que un ataque personal intentando dem ostrar la inexac­ titud de la expresión «nuestro principio», utilizada por Gauss. Esta disputa sobre la prioridad de la invención del m étodo de mínimos cuadrados prosiguió hasta 1820, y constituye un ejem plo entre tantos otros en el que se trata de establecer un compromiso entre la fecha de publicación, por una parte, y la naturaleza y calidad del tem a tratado, por otra. Por lo dem ás, cuántos descubrimientos m atem áticos no habrán sido atribuidos falsam ente a ciertos m ate­ máticos, al ser la cuestión de la prioridad a m enudo un asunto de justicia en el que debían intervenir num erosos factores antes de pronunciarse el veredicto. Podem os m encionar tam bién los estudios de Gauss sobre la función gam m a en sus trabajos consagrados a la función hipergeométrica; en particular, desarrolló los resultados de Legendre sobre las funciones eulerianas y encontró la fórmula de multiplicación para

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r{n x). Se distinguió igualm ente por sus trabajos sobre las integrales elípticas, por el descubrim iento de la doble periodicidad de estas funciones en 1800, m ediante la integral que da el arco de la ¡emniscata, por su estudio de la ecuación potencial, de las series hipergeom étricas y de la teoría de las singularidades, sin olvidar sus trabajos en mecánica y astronom ía.

CAUCH Y

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nació el 21 de agosto de 1789 en París, casi seis semanas después de la caída de la Bastilla. Era el mayor de una familia pobre de seis hijos y creció durante la Revolución. A pesar de la buena voluntad de su padre, LouisFrançois, Augustin-Louis sobrevivió al T error pero heredó una salud insegura y delicada. Su educación prim aria quedó asegurada enteram ente por su padre, porque las escuelas en aquella época eran prácticam ente inoperantes. El 1 de enero del año 1800, su padre fue elegido secretario del Senado y el joven Augustin-Louis continuó sus estudios en el despacho de su padre. Fue así como conoció a los grandes matem áticos franceses de la época, Laplace y Lagrange, y este último manifestó ya entonces, con respecto a él, una cierta admiración: «Nos va a reem plazar a todos como m atem á­ tico». Sin em bargo, su padre no descuidó su educación literaria, preocupándose de que su hijo no se limitara exclusivamente a las matem áticas. Hacia los trece años, Cauchy entró en la Escuela C entral del Panteón, y allí obtuvo prim eros premios en griego y en composición latina. En 1804, hace su prim era comunión, deja su escuela y em prende durante diez meses estudios intensivos de m atem áticas, bajo la dirección de un tutor. En 1805, Cauchy es el segundo en el concurso de entrada en la Politécnica, pero, a causa de su salud, Lagrange y Laplace le aconsejan consagrarse a las matem áticas. Diplom ado por el Cuerpo de Ingenieros de Caminos, Cauchy participó a partir de 1810 en las obras del puerto de Cherburgo, pero abandonó pronto su trabajo como ingeniero para consagrarse a la ciencia pura. En efecto, vuelve a París en 1813 y, a los veinticuatro años, Cauchy atrae ya la atención de los m atem áti­ cos experim entados de Francia por sus trabajos de investigación sobre los poliedros y las funciones simétricas.

La época de Gauss y Cauchy

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En el mes de febrero de 1811, presenta su prim era memoria consagrada a la teoría de los poliedros, en la que Cauchy muestra que no existen más poliedros regulares que los que tienen 4, 6 , 8 ,12 ó 20 caras, además de desarrollar la célebre fórmula de Euler que une las aristas, caras y vértices de un poliedro. Estimulado por Legendre, publica una segunda memoria sobre el tem a en enero de 1812. Después, en 1814, presenta una Mémoire sur la theorie des intégrales définies (M em oria sobre las integrales definidas), seguida en 1815 de una memoria fundam ental sobre los grupos de sustitu­ ción, así como una dem ostración de un im portante teorem a de Ferm ât: todo entero positivo puede expresarse como una suma de tres núm eros triangulares, cuatro núm eros cuadrados, cinco núm e­ ros pentagonales, etc. El año siguiente, Cauchy es m erecedor del G ran Premio que ofrece la Academ ia por su memoria sobre Une théorie des ondes sur l(i surface d ’un fluide dense de profondeur infinie (Un estudio de la teoría de las ondas sobre la superficie de un fluido denso de profundidad infinita). A sus veintisiete años de edad, Cauchy es propuesto para ocupar el próximo puesto vacante en la Academ ia, enseñando al mismo tiem po álgebra en la Facultad de Ciencias, física m atem ática en el Collège de France y mecánica en la Escuela Politécnica. Nom brado académico por decreto en 1816, en el lugar de Monge que había sido excluido por N apoleón a su regreso de la isla de Elba, Cauchy desarrolló una actividad matem ática increíble, tanto por su producción incesante como por la calidad incomparable de sus memorias sobre prácticam ente todas las ramas de las matemáticas. Su reputación se extendió por toda Europa, y num erosos oyentes acudían de Berlín, M adrid, San Petersburgo, etc., para asistir a sus maravillosas conferencias, en las que Cauchy presentaba los resulta­ dos originales de sus investigaciones, particularm ente en análisis y en física m atem ática. Se casó, en 1818, con Aloise de B ure, hija de una familia cultivada. D e su unión, que duró cerca de cuarenta años, nacieron dos hijas que fueron educadas según los principios estrictos de la religión católica. Siguiendo la tradición establecida en la Escuela Politécnica, Cauchy fue estim ulado a escribir los apuntes de sus cursos, y así aparecieron sucesivamente los Cours d ’analyse de L ’Ecole Polytech­ nique (1821) (Curso de análisis de la Escuela Politécnica), el Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823) (Com pendio de las

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Jean-Raul CoUeUe

lecciones sobre cálculo infinitesimal), y las Leçons sur le calcul différentiel (1829) (Lecciones sobre el cálculo diferencial). En estos tres libros, Cauchy presenta el cálculo diferencial e interal con un gran rigor, y el concepto de límite constituye la piedra angular de su análisis. A partir de 1826, publicó una especie de diario personal titulado Exercices de mathématiques (Ejercicios de matem áticas) que será proseguido, después de 1830, bajo el título de Exercices d ’analyse mathématique et de physique (Ejercicios de análisis m ate­ mático y física) en el que publicará m ensualm ente sus trabajos de m atem áticas puras y aplicadas. Pero en 1830 las intrigas políticas modificaron durante algunos años su carrera de hom bre de ciencia. En efecto, ardiente realista y partidario de los Borbones, perdió su em pleo por haberse negado a prestar juram ento a la m onarquía de julio, y decidió expatriarse voluntariam ente. Se fue a Suiza por algún tiem po, y después aceptó una cátedra en Turin, dejando su familia en París y conservando siem pre su sillón en la Academia. Llam ado a Praga en 1833 por Carlos X, quien le confió la educación científica del conde de C ham bord, aceptó esta invitación declarando que no podía «servir m ejor los intereses de su patria que revelando al heredero de Luis XIV todo el secreto de esa alta filosofía que hizo brillar el gran siglo con un resplandor tan grande». Su familia se reunió con él un año más tarde. Su trabajo de tutor fue pesado y agotador, y Cauchy conseguía difícilmente librar­ se de él de vez en cuando para proseguir sus investigaciones. Pudo al menos escribir una larga m emoria sobre la dispersión de la luz durante este período de tutela. Pero en 1838, presionado por sus amigos de París que le incitaban a volver, Cauchy se excusó ante sus anfitriones pretextando que debía volver a París para celebrar las bodas de oro de sus padres. De regreso en Francia con el título de barón, Cauchy enseñó en varios establecim ientos religiosos y fue elegido miembro de la Oficina de Longitudes en 1839, pero el gobierno de Luis Felipe no ratificó esa propuesta. La República restaurada después de la revolución de 1848 le nom bró profesor de astronom ía m atem ática en la Facultad de Ciencias, y en la Sorbona, aunque era un legitimista declarado. Después del golpe de Estado de 1852, Napoleón III le dispensó del juram ento, y a este gesto condescendiente del em perador respondió, por principios, distri­ buyendo todo su sueldo entre los pobres de Sceaux, donde residía. D urante los diecinueve últimos años de su vida, escribió más de

La época de Gauss y Cauchy

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500 memorias sobre todas las ramas de las matem áticas, incluyendo la mecánica, la física y las m atemáticas. H om bre universal, interesa­ do por todo, y en particular por la poesía, autor de un trabajo sobre la prosodia hebraica, profesó siempre con fervor la fe católica. Pasó con quietud y paz los últimos años de su vida y su m uerte, acaecida en Sceaux el 23 de mayo de 1857, dejó el recuerdo de una personali­ dad algo ambigua. Hom bre sociable, m oderado y sincero, fue un profesor adm irable y un hábil conversador. En cambio, fanático de la religión, intentó toda su vida dem ostrar su superioridad, y su insaciable deseo de producir siempre más le impidió probablem ente ayudar a aquellos que, como Abel y Bolzano, habrían podido beneficiarse de su inmensa influencia para dar a conocer sus tra­ bajos. La obra científica que realizó le coloca entre los más grandes m atem áticos de todos los tiempos. A utor de más de setecientas memorias (sólo Euler le sobrepasa en núm ero), su obra inmensa, en la edición m oderna, llena veinti­ siete volúmenes en cuarto. Cauchy fue el fundador de la teoría de las funciones analíticas. Hizo experim entar inmensos progresos a la teoría de los determ inantes, además de introducir el rigor en el análisis. Sus contribuciones originales se refieren en especial a las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, a la teoría de los grupos de sustitución, a la clarificación y a la formula­ ción de los conceptos de la teoría de curvas, a los núm eros com­ plejos y a las congruencias polinómicas. En mecánica, escribió im portantes memorias sobre el equilibrio de varillas y placas elásti­ cas, sobre la teoría de ondas que Fresnel acababa de establecer, así como sobre el tem a de la dispersión y la polarización de la luz.

Cauchy y el rigor en el análisis Cauchy desarrolló el cálculo diferencial e integral sobre la base del concepto de límite en sus Lecciones sobre el cálculo infinitesimal, publicadas por prim era vez en 1823. E n el prefacio de su tratado clásico, afirma que su principal objetivo es conciliar el rigor con la simplicidad que resulta de la consideración de las cantidades infini­ tam ente pequeñas. Cauchy prosigue rechazando el desarrollo de las series divergentes y dejando la fórmula de Taylor para el cálculo integral, pues el resto de Taylor está formulado bajo la forma de una

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Jean-Paul Collette

integral. A dem ás, estaba al corriente de que Lagrange había utiliza­ do la fórm ula de Taylor com o base de la teoría de la derivada. Pero, añade, la mayoría de los geóm etras dudan en al actualidad de la utilidad de las series divergentes. A dem ás, en ciertos casos, cuando la serie de Taylor converge, la suma de esta serie difiere, según Cauchy, de la función dada. El concepto de límite se desarrolló gradualm ente a partir del m étodo de recubrim iento de los griegos hasta el m om ento en que Newton lo expresó a su m anera en sus Principia. Ya algunos autores como D ’A lem bert y Lacroix habían hecho de ese concepto la base fundam ental del cálculo. Sin em bargo, durante todo este largo período, el cálculo era concebido como un instrum ento que se ocupaba de las relaciones entre cantidades implicadas en problem as geométricos. U nicam ente E uler y Lagrange se esforzaron, sin d e­ m asiado éxito, por establecer el cálculo sobre el formalismo de su concepto de función analítica. C on toda certeza, antes de Cauchy, todos los autores salvo Bolzano habían popularizado la idea de límite en sus trabajos, pero la m ayor parte de su concepción seguía siendo geométrica. E n los textos de Cauchy, el concepto de límite se convierte, claram ente y de m anera definitiva, en un concepto aritm ético sin apoyo geom étrico, como puede constatarse en su definición siguien­ te: Cuando los valores sucesivamente atribuidos a una misma variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que llegan a diferir tan poco como se quiera de él, este último se llama el límite de todos los demás. E sta definición da cuenta exacta de la idea intuitiva de límite, pero es verbal más que num érica. Cauchy se sirve a continuación de esta definición para definir un infinitam ente pequeño, que resulta ser sim plem ente una cantidad variable dependiente con un límite igual a cero: Cuando los valores numéricos sucesivos de una misma variable decrecen indefinidamente de manera que disminuyen por debajo de todo número dado, esta variable resulta ser lo que se llama un infinitamente pequeño o una cantidad infinitamente pequeña. Una variable de esta especie tiene cero como límite.

La época de Gauss y Cauchy

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Cauchy se sirve de esta última definición para establecer órdenes sucesivos de infinitesimales, con el fin de hacer más útil y más operativo ese concepto de infinitesimal. Así, toda cantidad variable tal que su razón con a (un infinitésimo) posea un límite finito cuando a decrece, puede clasificarse como un infinitésimo de prim er orden. Lo mismo ocurre con el segundo orden, en el sentido de que toda variable cuya razón con posee un límite finito cuando a decrece es un infinitésimo de segundo orden, y sí sucesivamente, las potencias de a , es decir, a , o^, oP, a" son infinitésimos de prim ero, segundo, tercero y n orden, respectivam ente. Cauchy utilizó de nuevo su definición de límite para definir la continuidad de una función: Sea f{x) una función de la variable x, y supongamos que esta función posee un valor único y finito para cada valor de x en un entorno dado. Si para un valor de x en este intervalo, se añade un valor infinitesimal h, la función aumenta en la diferencia f(x + h) —f(x), que depende, a su vez, de la nueva variable h y del valor de x. Establecido lo anterior, la función f{x) será continua con respecto a x entre los límites dados si, entre esos límites, un crecimiento infinitamente pequeño de la variable produce siempre un crecimiento infinitamente pequeño de la función. Se dice, además, que la función f(x) es continua en el entorno de un valor particular atribuido a la variable, siempre que sea continua entre dos límites de X , incluso muy próximos, que contengan al valor de que se trata. E sta definición de la continuidad equivale a decir f(x ) será continua en a si f(x ) se aproxim a al límite f{a) cuando x se aproxima al límite a. Sin em bargo, dada su am bigüedad, ciertas expresiones como «suficientemente pequeña», «llega a ser y sigue siendo», serían eliminadas más adelante para ser sustituidas por expresiones numéricas bastante más rigurosas, gracias a los trabajos de Karl W eierstrass (1815-1897). Inexistente en el Curso de análisis, la definición de derivada de una función aparece así en el Compendio de 1823: Cuando la función y = f{x) es continua entre los dos límites dados de la variable X, y se asigna a esta variable un valor comprendido entre los dos límites de que se trata, un crecimiento infinitamente pequeño atribuido a la variable produce un crecimiento infinitamente pequeño de la función. Por

Jean-Paul Collette

314

consiguiente, si se hace íix = i, los dos términos de la razón de diferencias Ay ^ Ax

f(x + i) + f{x)

i

serán cantidades infinitamente pequeñas. Pero, mientras que estos dos términos se aproximarán indefinida y simultáneamente al límite cero, la razón podrá converger hacia otro límite, sea positivo o negativo. Este límite, cuando existe, tiene un valor determinado para cada valor determi­ nado de X, pero varía con x. Esta definición es esencialm ente la de la derivada de una función utilizada en la actualidad, si se exceptúa la utilización del límite a la izquierda y del límite a la derecha, que no aparece en Cauchy. El punto fundamental de esta definición es, evidentem ente, la expre­ sión de la derivada como un límite particular de una función. El concepto de diferencial es definido por Cauchy en térm inos de la derivada: si dx es una cantidad finita, entonces la diferencial dy de y — f(x ) está definida simplemente como f{ x )d x . Se puede decir también que las diferenciales dy y dx son cantidades escogidas de m anera que la razón dy/dx coincida con la «última razón», o el límite y' = f { x ) de la razón A ylA x. Cauchy se sirve a continuación del concepto de diferencial expresado en térm inos de la derivada para definir las diferenciales de orden superior. Por ejem plo, como la diferencial dy = f{ x ) d x es, de hecho, un función de x y de dx, m anteniendo dx fijo, la función f ( x ) d x tendrá por derivada f'{x )d x y una diferencial de orden dos d^y = f'(x)d x^. En general, d"y = P {x)dx", d o n d e /”(x) es llamado por Cauchy el «coeficiente diferencial». La noción de diferencial sólo tiene una significación lógica cuando está directa­ m ente relacionada con la derivada. D urante todo el siglo xvill, la integración fue tratada como una operación inversa de la diferenciación. La definición de Cauchy de la derivada de una función está formulada de tal m anera que la continuidad de la función resulta ser una condición necesaria para la diferenciación de la función. Es probable que Cauchy, al desarrollar una exposición rigurosa del cálculo integral sobre la base de una concepción de la integral como límite de una cierta suma, tuviera buenas razones para adoptar esta concepción que va en contra de los trabajos de sus predecesores del siglo XVlll. C onsideraba, por otra

La época de Gauss y Cauchy

315

parte, que esta m anera de proceder tenía la ventaja de proporcionar siem pre valores reales para las integrales correspondientes a funcio­ nes reales y que era muy apropiada para todos los casos, incluso para aquellos en los que no se puede pasar generalm ente de la función bajo el signo J a la función primitiva. Es por esto por lo que, según parece, Cauchy define la integral definida en térm inos del límite de las sumas integrales de là m anera siguiente. Para una función y = f(x ) continua entre los límites dados xq y X , subdivide este intervalo m ediante los valores JCo, JCi, JÍ2 , ..., conx„ = ^ , y forma la suma característica de los productos S„

=

(x i

+

x o )/(x o ) { X

-

-I- ( X

2

-

X „^0f(X n

x ,)/(x ,) -

-I- ...

1 ).

Si los valores numéricos de las diferencias x ¡+1 - x¡ decrecen indefi­ nidam ente, el valor de S„ alcanzará un cierto límite S que depen­ derá únicam ente de la forma de la función f{x) y de los valores lí­ mites Xo y X . Este límite es llam ado, según Cauchy, una integral definida. D enota al límite S con la notación sugerida por Fourier ¡xj{x)d x en lugar de la sugerida por Euler

para designar la antidiferenciación. A continuación Cauchy demues­ tra el teorem a fundam ental del cálculo f ( x ) d x = f(b ) - f(a ) Sin em bargo, su dem ostración no era enteram ente rigurosa, porque no conocía el concepto de continuidad uniforme. Al definir la integral sin recurrir a la derivada de la función, Cauchy se vio obligado a dem ostrar la relación fundam ental entre la derivada y la integral sirviéndose del teorem a de la media: si/(x ) es continua en el intervalo cerrado [a,b\ y diferenciable en el abierto (a,h), entonces existe al menos un Xq tal que a < Xq < b y f(b ) - f{a) = {b - a)f{xo) (Cauchy dem uestra la relación Ay = f { x -f 0Ax)Ax 0 < 0 < 1 y Ax es el intervalo dado.)

donde

316

Jean-Pau! Collette

A pesar de todo e! rigor introducido por Cauchy en el análisis, quedan todavía puntos por clarificar: la relación entre la función continua y la función diferenciable no está com prendida perfecta­ m ente (Cauchy cree que toda función continua admite necesaria­ mente una derivada), la eliminación de ciertas frases vagas como «llega a ser y sigue siendo más pequeña que toda cantidad dada» para ser reemplazadas por una formulación más aritm ética, la elaboración de una definición rigurosa del concepto de «número», en una palabra, la aritmetización del análisis está todavía por hacer, pero se ha dado un paso inmenso gracias a este gran m atem ático francés.

Cauchy y las series infinitas Los trabajos de Cauchy sobre las series infinitas constituyen la prim era exposición im portante sobre el tem a y contribuyen a intro­ ducir un cierto rigor en el aspecto de la convergencia de las series infinitas. En su Curso de análisis, Cauchy dice a propósito de las sucesiones: Una serie (sucesión) es una sucesión infinita de cantidades, «o, u\, U2 , ..., que se suceden en virtud de una ley determinada. Estas cantidades son los diferentes términos de la sucesión considerada. A continuación, pasa al concepto de convergencia de una serie como sigue: Sea = «o + « 1 + U2 + ... -Ila suma de los n primeros términos, donde n es un entero (número natural). Si la suma s„ tiende hacia un cierto límite s para valores crecientes de n, entonces la serie se dice convergente, y el límite en cuestión se llama la suma de la serie. Por el contrario, si la suma no se aproxima a un límite determinado cuando n aumenta indefinida­ mente, la serie es divergente y no tendrá suma. Cauchy muestra claram ente en este pasaje que el concepto de límite está directam ente implicado en la definición de convergencia de una serie, y pone de relieve el hecho de que una serie infinita puede tener una suma en el sentido de un límite. A continuación, enuncia el criterio de convergencia que lleva su nom bre: una sucesión

La época de Gauss y Cauchy

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converge hacia un límite S sólo si la diferencia de S„+r y de S„, para todo valor de r y de n suficientem ente grande, puede hacerse m enor en valor absoluto que cualquier cantidad dada. Cauchy dem ostró que esta condición era necesaria a partir de la definición de conver­ gencia, pero no pudo dem ostrar la suficieneia porque no disponía de una definición rigurosa de los núm eros irracionales para apoyar su dem ostración. Después de haber dem ostrado la condición necesaria de su criterio de eonvergeneia, Cauchy enuncia y dem uestra criterios específicos para la convergencia de series de térm inos positivos. Se encuentran, entre otros, los criterios de la raíz n-ésima, de la razón, de com paración, del logaritmo. Dem uestra también que la suma u„ + v„ de dos series convergentes converge hacia la suma de las sumas distintas, y un resultado sem ejante para el producto. Cauchy m uestra a continuación que las series de térm inos negativos conver­ gen cuando las series de los valores absolutos de los térm inos convergen, y deduce de ello el criterio de Leibniz para las series alternantes. Se interesó tam bién por las series cuyos térm inos son funciones unívocas y continuas o funciones de la variable compleja. A propósito de las series de Taylor y, en particular, de las series de M aclaurin, Cauchy formula una observación muy im portante que estipula que una serie infinita de Taylor converge hacia la función que ha sido desarrollada si el resto de Taylor tiende a cero. M ediante un ejem plo, la función e~^ -Idem uestra que la serie de Taylor correspondiente no converge hacia esta función. A pesar de algunas falsas interpretaciones, como la relativa a la integración térm ino a térm ino de una serie, y el hecho de que no llegara a com prender el concepto de convergencia uniform e, C au­ chy hizo una contribución im portante a la elaboración de una teoría coherente de las series infinitas convergentes. Debem os a Cauchy un buen núm ero de definiciones preeisas y de métodos rigurosos del ánalisis m oderno.

Las funciones de variable compleja en Cauchy Cauchy nos dejó un m onum ento. Se trata de su teoría de funciones de una variable com pleja y de su integración, una de las grandes contribuciones m atem áticas del siglo XIX. Los prim eros indicios de

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318

esta teoría se encuentran en su célebre M émoire sur la théorie des intégrales définies (M em oria sobre la teoría de las integrales defini­ das), leída ante la A cadem ia de París en 1814, pero cuya publicación se retrasará hasta 1827. Cauchy se interesa en esta m em oria por la validez de una técnica utilizada en aquella época, que consistía en calcular integrales definidas m ediante variables com plejas. Intenta hacer riguroso este paso de la variable real a la variable com pleja, utilizado por E uler desde 1759 y por Laplace desde 1782 en la evaluación de las integrales definidas. Cauchy estudia, de hecho, en esa m em oria la posibilidad de intercam biar el orden de integración en las integrales dobles; X2 fy2

f(x, y)d yd x =

. X, J y¡

fyi f^2

f{x, y)dxdy

J y\

Se puede pasar del prim er m iem bro al segundo con tal de que/(j;, y) sea continua en el interior y en la frontera de la región. A continua­ ción, Cauchy introduce dos funciones auxiliares U(x, y) y S{x, y) tales que 3U dy

^ dx

y

-

3U 3x

as dy

(ecuaciones de Cauchy-Riem ann). Estas funciones fueron obtenidas por E uler hacia 1777, cuan­ do observó que toda función áe z = x + iy tom a la form a M + iN, donde M y N son funciones reales, y que para z = x — iy se obtie­ ne la form a M - iN. D espués Cauchy considera la función f(x , y) dada por ^ escribe

~

p

Jx\ j y]

y por sustitución de / en la integral doble,

§dydx =

p p

§dxdy

(1)

^dxdy

(2 )

Jyi Jxi

Asimismo, si/(j;, y) viene dada por 3U _______^ dx dy

se tiene

Ín

ÍX2

yi Jx,

La época de Gauss y Cauchy

319

Estas dos últimas ecuaciones pueden ser utilizadas para evaluar integrales dobles en uno u otro orden de integración. Sin em bargo, Cauchy considera las dos ecuaciones entre las funciones U y S como las que contienen toda la teoría. Por otra parte, habrá que esperar a 1821 para que Cauchy se ocupe de los núm eros complejos y las variables complejas de una m anera explícita en su Curso de análisis. En 1822, Cauchy parte de las ecuaciones (1) y (2) y deduce el teorem a de la integral que lleva su nom bre por combinación de esas ecuaciones, con el fin de expresar F(z) - S + iU, donde z = x + iy y el teorem a en que F{z)dz =

F(z)dz

E sta integral ilustra el caso sencillo de una integración com pleja a lo largo de la frontera de un rectángulo y m uestra que el resultado obtenido es independiente del contorno elegido. Pero es en 1825 cuando Cauchy publica un artículo, reconocido por muchos como el más im portante de los suyos. Titulado Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires (M emoria sobre las integrales definidas entre límites imaginarios), Cauchy presenta en él, en prim er lugar, el problem a de evaluar la integral siguiente V + id

f(z )d z J a + ib

donde z = x + iy. A quí x + iy es definitivam ente un punto del plano com plejo y la integral está calculada sobre una trayectoria del plano complejo. Es, de hecho, la definición de la integral entre dos límites complejos como el límite de una suma. Resulta de ello una generalización de su resultado para los rectángulos. Cauchy muestra tam bién que si la función y su derivada están acotadas y son continuas, entonces el límite obtenido es independiente del contor­ no escogido. Cauchy continuó m odificando y afinando sus ideas sobre la integración com pleja a partir de 1826. En efecto, en 1827, una nota incluida en sus Ejercicios de matemáticas subraya la im portancia del concepto de «valor principal» en la teoría de los residuos. El concepto y el desarrollo de los residuos constituyen una contribu­ ción muy im portante de Cauchy. En 1831 obtiene su «fórmula

320

Jcan-Pmil Colicué

integral» y, a partir de 1846, Cauchy aborda el estudio de la teoría de funciones de variable com pleja por sí misma y elabora las bases de esta teoría. En 1851, introduce térm inos nuevos; monotípica o m onódrom a para designar la función unívoca para cada valor de z en un dominio cualquiera; una función es monògena si para cada z posee una sola derivada (o la derivada es independiente del contor­ no); una función m onogénea que no se hace infinita se Warm sinéctica (holom orfa).

Otras contribuciones matemáticas de Cauchy Entre sus muchas otras contribuciones a las diferentes ramas de las m atemáticas no podem os más que citar algunas de las más sencillas. Cauchy m ejoró la formación de los conceptos y clarificó una buena parte de la teoría de curvas en el espacio en sus Leçons sur les aplications du calcul infinitesimal a la géométrie (Lecciones sobre las aplicaciones del cálculo infinitesimal a la geom etría) de 1826. Tras haber descartado los infinitésimos constantes y los ds, disipó la confusión entre las nociones de crecim iento y de diferencial y acentuó la significación de ds~ = dx~ -I- dy^ + dz~ en térm inos más explícitos, de \iii ' = &

+

(f)

Su desarrollo de la geom etría de curvas es prácticam ente m oderno y deduce fórmulas m odernas para los cosenos directores, la curvatura de las curvas, etc., adem ás de introducir el plano oscilador como el plano form ado por la tangente y la normal principal. Lina de las prim eras contribuciones de Cauchy a la teoría de los determ inantes fue una m em oria publicada en 1815 en la que propor­ ciona la prim era exposición sistemática de los determ inantes en una forma casi m oderna. Se le debe, entre otras cosas, la disposición de los elementos en filas y columnas y la notación de los índices dobles a,j, así como el térm ino «ecuación característica» para p(A ) = 0 donde p representa un polinomio matricial. Es en esa m em oria

321

La época de Gauss y Cauchy

donde se encuentran num erosos teorem as generales como el de la multiplicación de los determ inantes: i«/yi •

donde

= \c¡j\

|a,y|

y

\b¡j\

son determ inantes de orden n y

El térm ino de la fila i y la columna y del producto es la suma de los productos de los elem entos correspondientes de la fila i de |a,,| y de la colum na y de \b¡j\. Cauchy m ejoró el desarrollo de Laplace de los determ inantes. En 1829 encontró la prim era demostración general de que los valores propios de una m atriz simétrica son reales y de que la forma cuadrática correspondiente puede ser transform ada en una suma de térm inos cuadrados (diagonalización), m ediante una sustitución ortogonal (o transform ación lineal). Se encuentra, por últim o, en una m em oria de 1826, una demostración directa de que la ecuación característica es invariante respecto de transformaciones ortogonales, con motivo de la reducción de una forma cuadrática de tres variables, y una dem ostración de que las raíces de la ecuación característica son reales. Cauchy fue el prim er m atem ático que consideró la cuestión de la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales y consiguió dar dos m étodos apropiados. R edactó una serie de memorias sobre el tem a que m ovieron a los matem áticos a preocuparse del problem a de los teorem as de existencia en ecuaciones diferenciales. Se intere­ só tam bién activam ente, desde 1844, por la geom etría analítica del espacio, y obtuvo resultados interesantes: entre otros, una fórmula general para la transform ación de coordenadas oblicuas y la ecua­ ción de una línea recta bajo la forma X ~

u

eos

a

y eos

— b /5

,

z eos

— c y

(fue el prim ero en escribirla bajo esa form a). En el tem a de las congruencias de polinomios, Cauchy dem ostró, en particular, que para todo polinomio /(/) = flo + «d +

+ •••

322

J e a n - P a u l C o lle tte

se tiene

/(O = flo — ^ 2 + «4 ~ ••• +

(« 1

-

«3

+

«5

-

módulo p- + 1

(Cauchy introdujo i en lugar de x, porque i representaba para él una cantidad realm ente indeterm inada). Se interesó tam bién por la teoría de los grupos de sustitución y consagró un buen núm ero de m em orias a la cuestión. E n particular, dem ostró la afirmación de Galois de que todo grupo finito de sustitución cuyo orden es divisible por un núm ero prim o p contiene al menos un subgrupo de orden p, adem ás de trata r abundantem ente los valores no numéricos que pueden adoptar funciones de n letras por perm utación de las letras, y encontrar funciones que tom an un núm ero dado de letras. El nom bre de Cauchy se ha m antenido en un prim er plano en campos tan variados como el análisis, la mecánica o la física m ate­ mática. Si bien es cierto que las dos figuras dom inantes de la prim era m itad del siglo XIX fueron, sin discusión, Gauss y Cauchy, tam bién se hicieron notar, en esta época, una pléyade de matemáticos de talento. Q uerem os, en las páginas siguientes, hacer justicia particu­ larm ente a un cierto núm ero de ellos, m encionando brevem ente algunas de sus contribuciones.

DIRICHLET Peter Gustav L ejeune Dirichlet (1805-1859), m atem ático alemán que term inó sus estudios en París, fue discípulo de Gauss al que sucedió en Gotinga en 1855. Su gran tratado, titulado Vorlesungen über Zahlentheorie (Lecciones sobre teoría de núm eros) es, de hecho, una explicación de las Disquisitiones arithmeticæ de Gauss que com prende adem ás un núm ero im ponente de resultados origi­ nales. Dirichlet se vio obligado a utilizar los recursos del análisis para tratar problem as de la teoría de núm eros. Partiendo de una sucesión aritm ética general de la form a a, a + b, a + 2 b, ..., a + nb, ..., donde a y b son primos entre sí, Dirichlet m ostró que esta sucesión contiene un núm ero infinito de núm eros primos. Enunciado anteriorm ente por Euler y Legendre, este teorem a fue dem ostrado por Lejeune Dirichlet en 1837 y constituye una genera­ lización del teorem a de Euclides sobre el núm ero infinito de núme-

323

L a ép oca de G au ss y C a u ch y

ros primos en la sucesión de núm eros naturales 1, 2, 3, etc. Para dem ostrar esta generalización, Dirichlet recurrió a una prueba analítica larga y complicada, en la que se utiliza lo que se llama actualm ente la serie de Dirichlet,

donde las a„ y z con com plejas. En relación con el resultado de su teorem a, dem ostró tam bién que la suma de los recíprocos de los núm eros primos de la sucesión {a + nb} diverge. Dirichlet nos legó tam bién una dem ostración del último teorem a de Ferm at para el caso n — 5. Hemos visto que Lejeune Dirichlet term inó sus estudios científi­ cos en París y, de 1822 a 1825, se relacionó a m enudo con Fourier, quien le ayudó a obtener un puesto de profesor en Alem ania recom endándole a Von Hum boldt. Parece que Dirichlet desarrolló un interés m arcado por las series de Fourier como consecuencia de sus encuentros con él en París. Fue el prim ero en form ular un conjunto de condiciones suficientes para asegurar la convergencia de las series de Fourier hacia la función estas condiciones son: 1.

q u e / s e a unívoca y acotada; . q u e /s e a continua a trozos, es decir, que acepte solam ente un núm ero finito de discontinuidades en el período; 3. que / sea m onótona a trozos, es decir, que posea solam ente un núm ero finito de máximos y mínimos en un período. 2

Tam bién con motivo de este estudio, Dirichlet ofreció en 1829 un ejem plo de función que se define así V para todo x e Q (racionales) d para todo x e IR/Q (irracionales).

Se debe tam bién a Dirichlet una definición de la función unifor­ me que se utiliza frecuentem ente en la actualidad: y es una función de jc si a cada valor de x en un intervalo dado corresponde un valor único de y. E n resum en, sus trabajos se refieren sobre todo a la teoría de núm eros y a la teoría de las series e integrales trigonom étricas, así como a la de las ecuaciones en derivadas parciales.

324

J e a n - P a u l C o lt e lle

ABEL

Niels H enrik Abel (1802-1829) fue el mayor matem átieo que haya producido Noruega. Hijo de un pastor, se crió en una familia pobre y desunida, pero gracias a su profesor B erdt Michael Holm boe, quien reconoció en él al futuro m ayor m atem ático del m undo, y al gobierno noruego, pudo llevar sus estudios a térm ino. Después de realizar estudios en Christiana y Copenhague, recibió una beca que le llevó a visitar Europa. Abel residió en París, pero fue práctica­ m ente ignorado por los matemáticos franceses. Viajó tam bién a Italia y después a Berlín, donde conoció a Creile. Al volver a su país tuvo todo tipo de dificultades, pero sus trabajos comenzaron a atraer la atención de los matem áticos de la época. Desgraciadam en­ te, enferm ó de tuberculosis y murió casi en la miseria en A rendal, cuando tenía tan sólo veintiséis años. Los siglos x v u y XVIII fueron testigos de innum erables tentativas infructuosas de resolver la ecuación general de quinto grado m e­ diante radicales. D urante sus prim eras investigaciones, Abel creyó haber encontrado una solución utilizando el enfoque preconizado por Gauss para la ecuación binómica. Pronto descubrió un error, e intentó dem ostrar la imposibilidad de tal solución. Algún tiempo después consiguió dem ostrar el teorem a siguiente: las raíces de una ecuación resoluble por radicales pueden ser formuladas de forma que cada radical que aparece en la expresión de las raíces pueda expresarse como una función racional de las raíces de la ecuación y ciertas raíces de la unidad. Hacia 1826, Abel se sirve de este teorem a para probar que la ecuación - ay‘^ -f by^ - cy^ + dy - e =

0

no es resoluble por radicales, es decir, que y no puede ser expresada en térm inos de a, b, c, d y e utilizando un núm ero finito de veces las cuatro operaciones aritm éticas fundam entales además de la extrac­ ción de raíces. E studiando ciertas ecuaciones especiales, como la de la lemniscata (x" - 1 = 0, equivalente a la ciclotomía de Gauss), llegó a una clase de ecuaciones algebraicas, llamadas «ecuaciones abelianas», que son resolubles por radicales. Por ejem plo, la ecua­ ción ciclotómica x" — 1 = 0 , en donde n es un núm ero primo, es una ecuación abeliana. Abel introdujo tam bién dos nociones nue­ vas: cuerpos y polinomios irreducibles en un cuerpo dado. Un

325

L a é p o c a de G a u ss y C a u c h y

cuerpo de núm eros significa, según A bel, una colección de números tales que la suma, la diferencia, el producto y el cociente de toda pareja cualquiera de la colección son cerradas en la colección (son tam bién números de la misma colección). Así, los núm eros raciona­ les, reales y complejos form an, respectivam ente, un cuerpo. D urante su estancia en París, A bel escribió una carta a un amigo, en la que el extracto siguiente es particularm ente revelador de las dificultades personales con las que se enfrentó para darse a conocer: Todo principiante tiene dificultades enormes para hacerse notar aquí. Acabo precisamente de terminar un tratado considerable sobre una cierta clase de funciones trascendentes [...] pero el Sr. Cauchy se propone mirar este trabajo sólo por encima. Por consiguiente, A bel confió la m emoria a Cauchy con la esperanza de que éste la analizara en profundidad, pero Cauchy la extravió, por descuido o voluntariam ente, lo que no se sabrá probablem ente nunca. Titulado M émoire sur une propriété générale d ’une classe très étendue de fonctions transcendantes (M emoria sobre una propiedad general de una clase muy extensa de funciones trascendentes), este texto largo y difícil de com prender debía ser evaluado por Cauchy y Legendre. Como se sabe, Cauchy perdió su pista y Legendre sim plem ente lo olvidó, pero después de la m uerte de Abel la A cadem ia buscó la m emoria y la publicó en 1841, cuando fue encontrada, como reconocim iento pòstum o a este joven genio de las m atemáticas. M ientras tanto, otros matemáticos publicaron antes de 1841 resultados sobre las funciones elípticas, varios de los cuales estaban ya contenidos en la memoria de Abel. La idea profundam ente original de Abel fue realizar la inversión de la integral elíptica de prim era especie. F{k, c¡>) =

d

dx

V i — IF sen^ (j)

V(1 - x^) (1 - k^x^)

tom ando su valor como variable independiente y su límite superior como función. Como x = sen 6 , Abel propuso estudiar x como una función de F. La introducción de los números complejos en las integrales elípticas le perm itió desarrollar lo que se llama habitual­ m ente «teorem a de adición para las funciones elípticas». Pero Abel

326

J e a n - P a u l C o lle lle

hizo, en 1828, un descubrim iento im portante que despertó el entu­ siasmo de num erosos m atem áticos, com enzando por Legendre y Jacobi. Hablam os de la propiedad fundam ental de las integrales llamadas actualm ente abelianas. Por el estudio de una generaliza­ ción de las integrales elípticas e hiperelípticas y)dx, donde R{x, y) es una función racional de jc y de y con y^ = P{x) y el grado de P al menos cinco), Abel se vio conducido al estudio de la integral siguiente:

donde P(x) es un polinomio de grado superior o igual a cinco. Invirtiendo la relación entre m y v, obtiene evidentem ente v = /(« ), y esta función es un caso especial de lo que se llama una «función abeliana». La im portancia de esta generalización es ilustrada clara­ m ente por las palabras de Emile Picard en 1893: No hay, en la historia de la ciencia, proposición tan importante obtenida a partir de consideración tan sencilla. Abel se ocupó tam bién del problem a general del rigor en análisis y, en particular, se inspiró en el rigor de los trabajos de Cauchy. En el tem a de la convergencia de las series infinitas, fue el prim ero en dem ostrar la convergencia de la serie binóm ica, adem ás de haber corregido un error de Cauchy sobre la continuidad de la suma de una serie convergente de funciones continuas sirviéndose de la idea de la «convergencia uniforme». Después de su m uerte su talento fue reconocido por dos hechos notables. Dos días después de su m uerte, Crelle anunciaba en una carta su nom bram iento para un puesto de profesor en la Universi­ dad de Berlín. Con Jacobi, A bel recibió el G ran Prem io de la A cadem ia de París del año 1830. H a habido pocos matemáticos cuyo nom bre haya quedado unido a tantos conceptos de la m atem á­ tica m oderna; baste m encionar los teorem as de A bel, las integrales abelianas, las ecuaciones abelianas, los grupos abelianos, las fórm u­ las de Abel.

327

L u é p o c a d e G a u s s -y C a u c h y

JA C O B I

Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), m atemático alemán cuyos estudios, realizados en Berlín, le llevaron en 1827 a enseñar m ate­ máticas en Königsberg. Su padre, rico banquero, le procuró cuanto era necesario para com pletar su formación filológica y matemática. Profesor nato, conoció una carrera brillante, como docente y como investigador, pero renunció a sus funciones en 1842 por razones de salud y se retiró a Berlín con una pensión del gobierno prusiano. Jacobi es célebre en matemáticas principalmente por sus tra­ bajos sobre las funciones elípticas y los determ inantes funcionales, llamados tam bién jacobianos. En 1829 Jacobi utiliza por primera vez los determ inantes funcionales que llevan su nombre. Algunos años después, expresa los cambios de variable en las integrales m últiples, m ediante determ inantes. Por ejem plo, la integral doble \\F{x, y)dxdy, m ediante el cambio de variables x = f(u, v), y = g{u, v), se convierte en fu

/v

gu

gy

dudv

V) donde

H(u, v) = F(f{u, v), g{u, v)) y el determ inante fu

/ ..

JL

JL

dn

dv

- J L J

Su

3u

l

ÖU

J

l

dv

JL Js. dv

du

dv

se llama el jacobiano de j : e y con respecto a m y a v. Se dice que Jacobi estaba tan entusiasm ado con los determ inantes funcionales que insistía en concebir los determ inantes numéricos ordinarios de orden n como jacobianos de n funciones lineales de n variables. Adem ás, en 1841, se tom ó el trabajo de publicar una larga memoria consagrada exclusivamente a los determ inantes funcionales. En esta memoria pone claram ente de manifiesto que el determ inante fun­ cional es, en varios aspectos y para las funciones de varias variables, análogo al cociente diferencial de una función de una sola variable. Jacobi insiste tam bién en el papel de este determ inante para definir

Jean-Paul Collette

328

las condiciones de dependencia e independencia de un conjunto de ecuaciones o de funciones. Así, considera n funciones vj, V2 , v„, tales que cada una es una función de las n variables X],X 2 , ■■■, x„, y propone la cuestión de cóm o, partiendo de estas n funciones, las n variables pueden ser elim inadas de m anera que las v, estén relacio­ nadas m ediante una ecuación. D em ostró que si el jacobiano de las v, con respecto a las x¡ se anula, las n funciones son m utuam ente dependientes, y a la inversa. Se puede tam bién subrayar la presencia en esta m em oria del teorem a del producto para los jacobianos: si las V, son funciones de las y¡ y éstas son funciones de las x¡, entonces el jacobiano de las v, con respecto a las x¡, dv\ ^x^

dv2

d jfi

3v\

3vi

3X 2

3 xt,

3 x „

3 xt^

3 x „

d iJ ,, d x,

dV2

d i> z 3X 2

3 iJ n 3X2

3v„ 3x^

3t> n 3 x „

es el producto del jacobiano de las v, con respecto a las y¡ y del jacobiano de las y¡ con respecto a las x¡. Finalm ente, Jacobi dem os­ tró tam bién, como lo había hecho Cauchy, que todo determ inante real simétrico de cualquier orden tiene raíces características reales. D ado que Gauss publicó muy pocos de sus resultados originales, fueron Abel y Jacobi los que influyeron más en el desarrollo ulterior de las integrales elípticas. Parece ser que A bel y Jacobi estuvieron influenciados al principio por los trabajos de Legendre, y los dos matem áticos com parten la gloria de haber reconocido, independien­ tem ente uno del otro y de cualquier otro, por una parte la necesidad de invertir las integrales elípticas de Legendre y de trabajar en todo el cam po de la variable com pleja, y por otra parte la necesidad de referirse a la integral misma con el fin de deducir sus principales propiedades, la fundam ental de las cuales quizá sea la de la doble periodicidad, es decir, que existen dos núm eros complejos Z\ y Z2 tales que V = /(« ) = f{u + z,) = /(« -f

22)

La época de Gauss y Cauchy

329

donde dx V(1 - ^0 (1 y 2 ] y Z2 son dos períodos distintos de la función elíptica. Jacobi publicó en 1827 sus prim eros trabajos sobre el tem a, cuatro años después de la m em oria de A bel; estas dos mem orias fueron editadas en la misma revista científica, La revista de Crelle (la prim era revista m atem ática alem ana). Jacobi recogió en un cuerpo de doctrina sus propios descubrim ientos sobre las funciones elípticas; varios de estos resultados fueron tam bién obtenidos por A bel, en los Funda­ menta nova theoriee functionum ellipticarum de 1829. Después de 1829, Jacobi tom ó conciencia de que el m étodo de base utilizado en sus Fundamenta nova resultaba inapropiado y, en consecuencia, intentó expresar las funciones elípticas m ediante fun­ ciones auxiliares. Fue así como introdujo las funciones zeta, que son ilustradas m ediante 0 (z ) =

cc ^

^-nh+2niz

n —-'x>

donde z y t son com plejas, y expresó entonces las funciones elípticas seno am plitud (sn u), coseno amplitud (en u) y delta amplitud (dn u) en térm inos de estas funciones. Obtuvo tam bién diversas expresiones para las funciones zeta bajo la forma de series infinitas y productos infinitos. En una im portante m em oria de 1835, Jacobi dem ostró que si una función unívoca de una sola variable es doblem ente periódica, la razón de los períodos no es un núm ero real, y que es imposible que tal función tenga más de dos períodos distintos. Este descubrim iento abría un nuevo campo de investiga­ ción; el problem a de encontrar todas las funciones doblem ente periódicas. Aplicó así las funciones zeta a la teoría de números. Jacobi se interesó tam bién por el cálculo de variaciones, y su principal descubrim iento se refiere a la existencia del concepto de puntos conjugados. Finalm ente, mencionemos en teoría de números sus dem ostraciones, las prim eras sobre las leyes de reciprocidad bicuadrática y cúbica.

330

Jean-Paul Collette

BOLZANO

B ernhard Bolzano (1781-1848), filósofo, lógico y m atem ático checo, nació en Praga en 1781. E ra hijo de un anticuario italiano y de una alemana. Al term inar sus estudios se piensa en él para la cátedra de m atemáticas recientem ente vacante en la Universidad de Praga. Después de haberse consagrado como sacerdote, enseña filosofía y religión en la Universidad, pues el puesto de m atem áticas había sido adjudicado a un candidato que poseía m ayor experiencia pedagógi­ ca que la suya. Acusado de racionalismo, se le incoó un proceso que condujo, en 1820, a su expulsión de la Universidad y a la prohibición de publicar sus obras. D urante la estancia de Cauchy en Praga, Bolzano m enciona en una carta de 18 de diciembre de 1843 dirigida a su alumno Fesl en Viena que «nos visitamos varias veces durante los días que pasé en Praga». En su memoria de 1817, titulada Demostración puramente analí­ tica del teorema: entre dos valores cualesquiera que dan dos resulta­ dos de signos opuestos se encuentra al menos una raíz real de la ecuación, Bolzano presenta definiciones rigurosas de la función continua y de la derivada de una función, así como una concepción clara de las relaciones que unen la diferenciabilidad y la continuidad de una función. Bolzano da la definición siguiente de la continuidad de una función:

Que una funciónf{x ) varíe según la ley de continuidad para todos los valores de x situados en el interior o en el exterior de ciertos límites, equivalealosiguiente:six escualquierade talesvalores,sepuede hacer que ladiferencia /(x-(->v)- f(x ) seamáspequeñaquetodamagnituddadasisepuedetomarw tanpequeña como sequiera. Se observa que esta definición no difiere esencialmente de la de Cauchy, y que convierte tam bién en un elem ento fundam ental el concepto de límite. O curre lo mismo con la definición de derivada de una función propuesta por los dos autores. A ñadam os que Bolzano subrayó el hecho de que la derivada d e / n o es un cociente

La época de Gauss y Cauchy

331

de ceros o de cantidades evanescentes, sino un núm ero hacia el que se aproxima el cociente. A dem ás, intentó dem ostrar el teorem a siguiente:

Toda función continua de x que es positiva parax = a y negativa para debe anularseparaciertovalorintermediosituadoentrea y p.

X = p,

pero afirma que, «reflexionando de m anera más precisa sobre ello», en el fondo esta proposición es idéntica al teorem a sobre el que versa su memoria. Siempre a propósito de la continuidad de las funciones, Bolzano distingue entre función continua y función diferenciable, cosa que Cauchy no hizo porque creyó durante casi toda su vida que una función continua era siempre diferenciable. En efecto, en 1834, Bolzano, en su Théorie des fonctions (Teoría de

F IG U R A 7.2

332

Jean-Paul Collette

funciones) separa el concepto de continuidad del de derivabilidad: cuarenta años antes de W eierstrass, había construido una función de una variable real, continua en un intervalo cerrado, que no tiene derivada en ningún punto de ese intervalo. Sea A B vlíi segmento de recta y M su punto m edio. Se dividen A M y M B en cuatro partes iguales. Sean A'-^, y B'^ las reflexiones de A 3 y Bj, por el espejo. La línea quebrada AA^MB\

C D \a x ^

1

donde es una constante que depende de la naturaleza del sóli­ do. En particular, a tem peratura constante (con el tiem po), la ecuación se convierte en

a)

I

á^v

=

0

a la que hay que añadir condiciones en el contorno. Para resolver este problem a, Fourier hace v = F{x)f(y), y por el m étodo de separación de variables obtiene a partir de la ecuación a) Z l i l , _ZM = 0 . F (x) ^ f( x ) Suponiendo que "7 ^ = m y que - = —m (donde m es una constante), obtiene las soluciones de v en térm inos de v{x, y) = e ^ ”^ eos my. En virtud de las condiciones en el contorno, el parám etro m

Jean-Paul Collette

debe ser positivo, im par y entero. Por superposición, Fourier obtie­ ne un valor más general de v que es b)

v(x, y) = ae~^ eos y + be~^^ eos 3y -f ce~^^ eos 5y -I- ...

O tra condición de contorno impone que v(0, y) = 1, de donde se deduce que la ecuación b) debe satisfacer c)

1 = fl eos y -y b eos 3y + c eos 5y + d eos 7y + ...

donde los coeficientes a, b, c, d, cuyo núm ero es infinito, están determ inados, según Fourier, por esta identidad. Es precisam ente el cálculo de los coeficientes de la ecuación c) lo que marca el comienzo del tratam iento de las series trigonom étricas por Fourier. Después de haber efectuado de una m anera algo dudosa las diferen­ ciaciones térm ino a térm ino, se sirve de la ortogonalidad y de la integración por partes para dem ostrar que d)

f = eos y - ^ eos 3y + -j eos 5y -

7

eos 7y -I- ...

Fourier subraya que la función es periódica de período n sin, por otra parte, dem ostrar este resultado. Un poco más adelante en su texto, dem uestra que la serie de d) converge hacia

7

y ob­

tiene tam bién series para f y log (2 cos f ) . A continuación, Fou­ rier dem uestra que toda función periódica par {f{x) = f { —x)) o im par(/(x) = - f { - x ) ) puede ser desarrollada en series de senos o cosenos, respectivam ente. Finalm ente, Fourier trata de generalizar el problem a: dada una función arbitraria 4>{x), encontrar los coefi­ cientes a„ y b„ tales que la ecuación

n= l

donde f(t) eos m í dt, b„ = ^

y

o

f(t) sen m t dt

347

La ariímeiización del análisis

sea una identidad sobre un intervalo dado del eje de las x. Es así como obtiene la fórm ula integral de los coeficientes a„ y (obteni­ dos anteriorm ente por Clairaut y E uler para funciones específicas), de una m anera algo larga y tortuosa y que adolece de una cierta falta de rigor. Sin em bargo, su Tratado contiene resultados de una im portancia indiscutible para el desarrollo futuro de las m atem áti­ cas. Su principal contribución fue la idea, esbozada por Daniel Bernoulli, de que toda función/(x) puede ser representada por una serie de Fourier. A unque no se encuentra en su tratado una dem os­ tración com pleta de este enunciado, Fourier parecía muy convenci­ do de la veracidad de esta proposición, pues reposaba, según él, en una evidencia geom étrica que traduce la «función arbitraria» por la expresión «función trazada arbitrariam ente». Esta idea, excesiva­ m ente am plia, de función arbitraria tiene sin em bargo el gran m érito de haber provocado un replanteam iento del concepto mismo de función. En efecto, sea, por ejem plo,/(x) = x la función definida en el intervalo — Ji ^ x ^ jí , que se representa m ediante la serie de Fourier de senos /(x ) = 2 sen x — sen 2x

-I-

f sen 3x

y en cada intervalo de longitud 2:i, se representa m ediante el gráfico siguiente

FIGURA 8.1

U na función sem ejante no puede representarse m ediante una expre­ sión analítica finita, m ientras que los predecesores de Fourier

Jean-Paul Collette

348

insistían en que una función debía ser representable m ediante una sola expresión analítica. A dem ás, Fourier afirma que sus series pueden representar funciones que tienen diferentes expresiones analíticas en diferentes partes de un intervalo dado ( —jt, jt). Por ejem plo, la función siguiente O si - ;r < jr

/(^ ) =

Í

X

o

si 0 < Jr < ,;r

posee un desarrollo en serie de Fourier en el que

^0

7t 2’

(-») " - .l jt n ~

y

b„

L z J tlL

y la gráfica de esta función es la siguiente:

FIGURA 8.2

Fourier añade tam bién que las expresiones diferentes para cada parte de un intervalo dado pueden corresponder a una gráfica compuesta de curvas juntas o disjuntas en ese intervalo. A dem ás, Fourier considera que sus trabajos sobre las series trigonom étricas dem uestran de una vez por todas que la solución de Daniel Bernoulli es la única aceptable en el tem a del problem a de la cuerda vibrante. Los trabajos de Fourier m uestran tam bién que se puede repre­ sentar una función en un intervalo com pleto, m ientras que la serie de Taylor representa una función solam ente en un entorno de un punto para el cual la función es analítica. A dem ás, hacen más

La ariímelización del análisis

349

aceptables las representaciones de funciones efectuadas por Euler y Laplace por m edio de las funciones de Bessel y los polinomios de Legendre, y m uestran cómo se puede resolver una ecuación diferen­ cial teniendo en cuenta las condiciones en los límites impuestas a la solución de la ecuación. Finalm ente, Fourier, Cauchy y Poisson obtuvieron, aproxim adam ente en la misma época, las integrales dobles, llamadas «integrales de Fourier» para representar funciones arbitrarias y para resolver diversos tipos de ecuaciones diferenciales.

RIEMANN

B ernhard R iem ann (1826-1866), nació el 17 de septiem bre de 1826 en Breselenz, H annóver, en una familia pobre pero feliz. Su padre, pastor luterano, se ocupó personalm ente de instruirle en historia, aritm ética y geom etría, y com pletó su prim era educación. Más tarde, a los catorce años, comenzó sus estudios secundarios, y su timidez acentuada constituyó para él una fuente de numerosos sinsabores. D urante sus estudios en el colegio, Riem ann dem ostró ya un talento natural y prodigioso para las matemáticas. En 1846, entra en la Universidad de Gotinga como estudiante de filosofía y teología. En esta época, R iem ann quería ser pastor como su padre, pero su interés por los cursos de m atem áticas de Gauss le llevó a seguir la carrera de m atem ático, con el consentimiento de su padre. Después de un año en Gotinga fue a Berlín, en donde fue alumno de Jacobi, D irichlet, Steiner y Eisenstein. Volvió a Gotinga para redactar su tesis doctoral bajo la dirección de Gauss. En 1851 presentó la tesis, titulada Grundlagen fü r eine allgemeine Theorie der Functionem einer veränderlichen complexen Grösse (Fundam en­ tos para una teoría general de las funciones de una variable com­ pleja), que cambió com pletam ente la teoría de funciones de varia­ bles com plejas y en la que introdujo las célebres superficies que llevan su nom bre. Después de haber ocupado diversos puestos de enseñanza en la Universidad, fue nom brado profesor extraordinario en 1857, y sucedió a Dirichlet en 1859 en la cátedra de m atemáticas de Gotinga. E n 1862, aproxim adam ente un mes después de su m atrim onio con Elise Kich, cayó gravem ente enferm o y el gobierno alemán le concedió fondos para proseguir su convalecencia en Italia, esperando que el clima más clem ente le perm itiera recuperarse

Jean-Paul Collette

350

com pletam ente. Interrum pida por viajes a G otinga, su estancia en Italia no le perm itió curarse, y murió el 20 de julio de 1866 en Selasca, cuando sólo tenía treinta y nueve años. Hemos visto que Bolzano separó, en 1834, el concepto de continuidad del de derivabilidad, y que ilustró esta separación m ediante una función continua en un intervalo cerrado que no es derivable en ningún punto de ese intervalo. D ado que los trabajos de Bolzano no fueron conocidos hasta finales del siglo x ix , se debe a R iem ann la prim era distinción neta entre la continuidad y la diferenciabilidad, la cual será form ulada en una m em oria de 1854 escrita como m érito para el puesto de Privatdozent en Gotinga. En esta m em oria, consagrada a la posibilidad de representar una fun­ ción m ediante una serie trigonom étrica, Riem ann presenta una función definida com o sigue. Sea (a:) una función que denota la diferencia entre a : y el entero más próxim o, y sea (a) = 0 si a está a m itad de camino entre dos enteros. Entonces —

< (a) <

■

Sea ahora /(a ) definida m ediante /(a) =

^

^

¿

^

1

La serie converge para todo valor de a . Sin em bargo, para a = pl2n donde p es un entero primo con n, /(a ) es discontinua, con un salto cuyo valor es Para cualquier otro valor de a , / ( a ) es continua. A dem ás, / ( a ) es discontinua un núm ero infinito de veces en cual­ quier subintervalo. Por otra parte, / ( a ) es integrable y P(x) = \f{x)dx es continua para todo a pero no es diferenciable en los puntos en los que / ( a ) es discontinua. Este ejem plo de función continua pero no diferenciable no fue publicado hasta 1868, algunos años antes de la función patológica que presentó W eierstrass. En esta misma m em oria, R iem ann se dio cuenta de que debía reconsiderar la noción de integral definida form ulada por Cauchy, con el fin de hacer progresar la utilización de las series de Fourier para representar funciones cada vez más irregulares e incluso pato­ lógicas. En lugar de postular la continuidad puntual para el inte-

La aritmelización del análisis

351

grande, corno había hecho Cauchy, Riem ann busca funciones más generales y determ ina las restricciones necesarias para las que pueden existir las integrales de esas funciones. De esa m anera llega a la generalización del concepto de integral que engloba las funcio­ n e s/(x ) definidas y acotadas en un intervalo cerrado [a, h]. Subdivi­ de este intervalo en subintervalos Axi = Xj — a, Ax2 = X2 — Xj , ... Ax„ = b — x„_i, y a continuación define la oscilación de /(x) sobre Ax, como la diferencia entre el valor m ayor y m enor de /(x ) en Ax,. Hagamos S„ = AX]/(fl -I- ái£i) -f AX2/ ’(Xi +

6 2

E2 ) -f ... -f

-I- A xJ(x„_i -I- 6 „e„) donde 0 < e, < 1 para todo i. Si S„ se aproxima a un límite fijo, A , cuando todos los Ax, tienden a cero, independientem ente de la elección de los Ax, y de los e„ entonces A es el valor de la integral definida £ f(x)d x. La definición habitual de la integral definida en un intervalo, en térm inos de sumas superiores y sumas inferiores, se conoce generalm ente bajo el nom bre de Riem ann, pues fue él el prim ero en dar esta definición en su m em oria de 1854 a propósito de la condición necesaria y suficiente para que una función acotada/(x) sea integrable en [a, b\. Riem ann la formula como sigue: S = M idi -t- ... -I- M„ó„ s = ntidi -I- ... -I- m„ón donde M¡ y m¡ son los valores maximales y minimales, respectiva­ m ente, d e /(x ) en ó,. Hace entonces D,- = M, - m, y enuncia que la integral de /(x ) en [a, b] existe sólo si lim

max 0,—^0

= I D ió i -f D 2 6 2 + •■■ + D„6 „ \ = 0 V.

J

para todos los ó, que cubren enteram ente el intervalo [a, b], Riem ann estudió durante algún tiem po bajo la dirección de Dirichlet en Berlín, y este último se interesó mucho por los trabajos de Riem ann. E n particular, Riem ann estudió con gran interés las series de Fourier, quizá a partir de los trabajos de su m aestro,

Jean-Pau! Collellc

352

Dirichlet, sobre esas series. Este último, recordém oslo, fue el prim ero en enunciar un conjunto de condiciones suficientes para que la serie de Fourier que representa una función/(x) converja y lo haga a /(x ). La dem ostración de Dirichlet es un refinam iento de la que esbozó Fourier en la última sección de su Teoría analítica del calor. Las condiciones de convergencia de Dirichlet son las siguien­ tes: 1.

q u e /(x ) sea uniform e y acotada; . q u e/(x ) sea continua a trozos y no acepte más que un núm ero finito de discontinuidades en el período 2 jt; 3. que f{x) sea m onótona a trozos y no acepte más que un núm ero finito de máximos y mínimos en un período. 2

Sabemos que una serie de Fourier no converge siempre hacia la fu n ció n/(x) de la que se obtiene la serie, pero Dirichlet dem ostró que, para todo valor de x, la suma de la serie e s /(x ) con tal que la función sea continua para todo valor de x, y que en los puntos de discontinuidad la serie converge hacia la media aritm ética del límite a la izquierda y el límite a la derecha de la función, es decir, hacia i \f{x -

0)

+ /(x +

0 )].

Riem ann em prende sus trabajos sobre el tem a en 1854 en su H abilitationsschrift (M em oria de habilitación) en G otinga, y los prosigue en una obra que trata Sobre la posibilidad de representar una función mediante una serie trigonométrica, sin hacer ninguna suposición sobre la naturaleza de la función. Riem ann procede a la dem ostración del teorem a fundam ental dividiendo la serie trigono­ m étrica en dos partes: Partiendo de

hace ^¿>0

=

a„ sen nx + b„ eos nx = A„,

a continuación forma la serie

La aritmetización dei análisis

353

y llama Q a la suma y f(x ) a su valor, donde f(x ) estará determ inada solam ente para los valores de x para los cuales la serie converge. Es necesario que A „ - ^ 0 cuando n “ para asegurar la convergencia. Si los coeficientes a„ y b„ tienden a cero, los térm inos de Q tienden a cero para todo x. R iem ann dem uestra, pues, que si f{x) es acotada e integrable en [ - n , n\ entonces los coeficientes a„ y b„ tienden a cero cuando n tiende a infinito; es el teorem a fundam ental. Subrayemos aquí un problem a aún no resuelto: determ inar las condiciones necesarias y suficientes d e /(x ) para que su serie de Fourier converja h a c ia /( j:). Se encuentran tam bién en su últim a obra otros teorem as im portantes sobre las series de Fourier: f{x) puede ser integrable sin ser necesariam ente representable m ediante una serie de Fourier; hay funciones no integrables para las cuales las series trigonom étri­ cas Q convergen para un núm ero infinito de valores de x , tom ados entre dos límites próximos cualesquiera; una serie trigonom étrica puede converger para un núm ero infinito de valores de x en un intervalo arbitrariam ente pequeño incluso si a„ y b„ no tienden a cero para todo x. R iem ann se significó en muchas otras ramas de las m atem áticas, en particular en la teoría de núm eros, dem ostrando la importancia de la función dsda en la teoría aritm ética de los números primos; en ecuaciones diferenciales, proponiendo un nuevo m étodo para resol­ ver el problem a de valores iniciales de la ecuación de ondas; en geom etría diferencial, con la introducción de la noción de superficie de Riem ann (form ada de planos superpuestos, en núm ero igual al grado de una ecuación algebraica, y ligados por líneas de paso) que transform a una función no uniform e en una función uniform e sobre la superficie en oposición al plano Z. Sus trabajos sobre las relacio­ nes entre la teoría de funciones y la teoría de superficies han conducido al estudio de problem as de naturaleza topològica. Sub­ rayem os tam bién sus im portantes trabajos en geom etría, que serán analizados en un capítulo posterior al presentar los trabajos funda­ mentales de geom etría del siglo XIX. Los trabajos de Riem ann cam biaron com pletam ente la teoría de funciones de variables com­ plejas, y aportaron puntos de vista nuevos sobre la teoría de las integrales elípticas, adem ás de sus m em orias sobre el calor, la luz, la teoría de los gases, el m agnetismo, la dinámica de fluidos y la acústica. Riem ann consideraba que sus investigaciones sobre las leyes de la física eran las que más le interesaban. Como m atem ático.

354

Jean-Faul Collelle

se sirvió librem ente de la intuición geom étrica y de argumentos físicos.

WEIERSTRASS Karl Wilhelm Theodor W eierstrass (1815-1897) nació el 31 de oetubre de 1815 en O stenfelde, W estfalia, en una familia católica pero liberal. Karl era el mayor de una familia que eontaba además eon otro hijo y dos hijas, pero ninguno de ellos se casaría, probable­ m ente a causa de la actitud dom inadora de su padre. Después de brillantes estudios secundarios, entró en la Universidad de Bonn eomo estudiante de D erecho, pero sus múltiples actividades le impidieron eom pletar sus estudios universitarios. Se dedieó a las matemáticas sólo a partir de 1838, pero no llegó a term inar sus estudios de doctorado. Karl se orientó más bien hacia la enseñanza, y de 1841 a 1854 fue profesor en un colegio privado. Después de haber debutado como m aestro en M unster, y luego en DeutschD rone y Braunsberg, fue nom brado profesor en 1856 en el Instituto Profesional de Berlín, sobre todo gracias a algunos resultados que fueron publicados en un período durante el cual no mantuvo prácti­ cam ente ningún contacto con los matemáticos de su tiem po, excepto con Christophe G uderm an (1798-1851) que estaba interesado parti­ cularm ente en la representación de funciones m ediante series de potencias. Encargado de curso en 1856 en la Universidad de Berlín, Karl se convirtió en profesor titular de esta universidad a partir de 1863. Permaneció en su puesto hasta su m uerte, a los ochenta y dos años, el 19 de febrero de 1897. Metódico y cuidadoso, W eierstrass intentó fundam entar las m atem áticas, y en particular el análisis, con el máximo de rigor posible más que recurrir a la intuición. Al haber publicado muy poco, se dio a conocer por sus enseñanzas en la universidad. Su influencia se hizo sentir a través de las publicaciones matem áticas de sus num erosos discípulos, y en el Congreso Interna­ cional de París, en 1900, H erm ite dirá de él: «W eierstrass es el m aestro de todos nosotros». Los trabajos de W eierstrass sobre la aritmetización del análisis com pletaron los de Bolzano, Abel y Cauchy, y serían conocidos sólo a partir de 1859 por sus enseñanzas en la Universidad de Berlín. La

La i a r ii m c t iz ü c i ó n d e l a n á lis is

355

expresión «una variable se aproxima a un límite» que se encuentra en las definieiones de Cauchy y Bolzano sugiere implíeitamente el tiem po y el movimiento. W eierstrass, por su parte, resalta el coneepto aritm étieo e interpreta sencillamente una variable como «una letra que representa cualquier valor de un conjunto dado», elimi­ nando así la idea de movimiento. Una variable continua es una variable tal que si ato es cualquier valor del conjunto de los valores atribuidos a la variable y ó es un núm ero positivo cualquiera, hay otros valores de la variable en el intervalo (xq - 6, Xq + 5). La prim era definición de límite de una función en térm inos de e y 6 propuesta por W eierstrass puede encontrarse, según parece, en su curso de cálculo diferencial im partido en 1861. La formulación de W eierstrass precisa la expresión vaga «llega a ser y sigue siendo tan pequeña como cualquier cantidad dada», que puede encontrarse en las definiciones de Cauchy y Bolzano, en estos términos:

Si e s p o s ib le d e te r m in a r u n a c o ta ó tal q u e p a r a to d o v a lo r d e h , m ás p e q u e ñ o e n v a lo r a b s o lu to q u e ó , f { x + h) — f {x ) se a m á s p e q u e ñ a q u e u n a c a n tid a d e ta n p e q u e ñ a c o m o se q u ie r a , e n to n c e s se d irá q u e se h a h e c h o c o r r e s p o n d e r a u n a v a ria c ió n in fin ita m e n te p e q u e ñ a d e la v a ria b le u n a v a ria c ió n in fin ita m e n te p e q u e ñ a d e la fu n c ió n .

La definición de la continuidad de una función propuesta por W eierstrass proviene de una simplificación de un teorem a dem ostra­ do anteriorm ente por Dirichlet. Equivalente a las de Bolzano y Cauchy, esta definición tiene el m érito de ser más precisa y menos ambigua: f{x) es continua en x = Xq, si para un núm ero positivo arbitrariam ente pequeño e, es posible encontrar un «entorno» de Xq de am plitud Ò tal que para todos los valores en ese entorno la diferencia \f{x) - / ( x q )] < e cuando [x - Xo| < 6 . W eierstrass ex­ tiende la continuidad de la función en un intervalo m ostrando que es continua en cada punto de ese intervalo. D espués de 1861 W eierstrass se planteó la cuestión de la cons­ trucción de una función continua que no es derivable en ningún punto. La célebre función de W eierstrass fue comunicada en una carta de 1874 a Du Bois-Reymond. Fue a partir de esta correspon­ dencia cuando los m atem áticos se plantearon un nuevo y com pleto examen de los fundam entos del análisis (las funciones de Bolzano y

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R iem ann, aunque encontradas anteriorm ente, no habían llamado la atención de los m atem áticos). Su función se define como sigue: f{x) = ¿

h” eos (a".7rA:)

n=0

donde x es una variable real, a un entero im par m ayor que 1 , b una constante positiva m enor que 1, y a¿> > 1 + ^ . La serie es unifor­ m em ente convergente y define así una función continua. Esta función continua pero no derivable en ningún punto precipitó la crisis que engendró la construcción del sistema de los núm eros reales. Ya en el siglo XIX este género de funciones suscitaba la indignación de los m atem áticos, y H erm ite decía: «Me alejo con espanto y horror de esta plaga lam entable de funciones continuas que no tienen derivada.» U na parte im portante del curso de 1861 fue el estudio de la derivación de las series infinitas, en el que W eierstrass introdujo la noción de convergencia uniform e. A unque esta noción fuera reco­ nocida y en 1848 por el físico matem ático G. G. Stokes (1819-1903), cuyo nom bre ha quedado unido a un im portante teorem a que transform a una integral de superficie en una integral simple, y por P. L. Seidel (1821-1896), ni uno ni otro dieron una formulación precisa como la de W eierstrass. Sabemos que la convergencia uniforme exige que, dado un e cualquiera, exista un N tal que para todo n > N, 5' -

X1

< £

para todo x en el intervalo considerado, donde S es la suma de la serie. W eierstrass utilizó esta noción de convergencia uniform e para dem ostrar que el límite uniforme de funciones continuas es una función continua, y tam bién para dem ostrar los teorem as de deriva­ ción e integración térm ino a térm ino de una serie de funciones. W eierstrass se distinguió en num erosas ramas de las m atem áti­ cas: fue el prim ero que utilizó am pliam ente las series de potencias para representar funciones en dominios diferentes; sus estudios sobre las funciones elípticas expresadas como cocientes de series de potencias le condujeron a com pletar y rem odelar la teoría de estas funciones; sus trabajos referentes al cálculo de variaciones engen-

La aritmetización del análisis

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draron un nuevo interés y estim ularon las actividades de m atem áti­ cos dedicados a esta disciplina. W eierstrass se ocupó igualmente de las álgebras de dimensión finita, de las integrales abelianas y de la geom etría algebraica. Finalm ente, sus estudios sobre los fundam en­ tos de la aritm ética y su teoría de los núm eros reales, como veremos más adelante, m arcaron profundam ente el desarrollo de los funda­ m entos lógicos de las matemáticas. Creación de los números reales La fundación lógica del sistema de los núm eros reales no fue realizada hasta finales del siglo x ix , lo que aparece como uno de los hechos más sorprendentes de la historia de las m atemáticas. El concepto de núm ero aparece muy pronto en la historia de la hum anidad, y ciertos factores nos perm iten pensar que el hom bre primitivo poseía ya una'vaga idea del concepto de núm ero. G radual­ m ente, el hom bre aprendió a servirse de él para sus necesidades prácticas y utilitarias, y ya en la época de los griegos el núm ero se había convertido en un objeto que podía ser estudiado por sí mismo. A través de los siglos, se constituyó un álgebra en la que las operaciones estaban de alguna m anera ligadas a la veracidad de las soluciones obtenidas. Así, de una m anera lenta y progresiva, los conceptos de núm eros natural, cero, núm ero negativo, fracción, núm eros racional e irracional y núm ero complejo emergen tímida­ m ente a la superficie, pero la propia existencia de esos números reposa esencialmente sobre consideraciones de naturaleza geom étri­ ca o algebraica. A m ediados del siglo XIX los matemáticos se contentaban con una comprensión intuitiva de esos núm eros, y la m ayoría de ellos parecían satisfechos operando sobre esta base más concreta que lógica. No es sorprendente, pues, constatar cómo las sencillas propiedades de los núm eros racionales positivos y negati­ vos no son establecidas lógicamente, e incluso ni siquiera definidas antes del siglo XIX, lo que constituye una prueba de que el desarro­ llo de las matem áticas no progresa siem pre de m anera lógica. La introducción del rigor en el análisis puso de manifiesto la falta de claridad y la imprecisión del sistema de los números reales. El estudio más preciso de los límites dem ostró la necesidad de llegar a una comprensión lógica de los núm eros, y en particular del hecho de que lina sucesión de núm eros racionales puede tener como límite un

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núm ero irracional e inversam ente. Los trabajos de Cauchy sobre la convergencia de las series infinitas, el teorem a de la m edia dem os­ trado por Bolzano y el estudio de las funciones discontinuas repre­ sentables m ediante series de Fourier revelaron esta misma lagu­ na, que exigía una estructuración lógica de los números sobre bases esencialm ente aritméticas. A ntes de abordar el desarrollo del sistema de los núm eros reales a través de las teorías de los núm eros racionales e irracionales, intentarem os hacer un breve resumen histórico de los trabajos sobre los números algebraicos y trascendentes.

Números algebraicos y trascendentes La distinción entre los núm eros irracionales algebraicos y los núm e­ ros irracionales trascendentes apareció en el siglo XVIII, en la época en que Euler dem ostró sustancialm ente que e y e^ son irracionales y en que Lam bert dem ostró que Ji es irracional. Los trabajos de Legendre sobre la hipótesis de que n podía no ser una raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales señalaron el camino hacia la existencia de núm eros irracionales de diferentes tipos. Por ejem plo, toda raíz de una ecuación algebraica polinómica con coeficientes racionales es llamada «núm ero algebraico», m ientras que todo núm ero que no sea algebraico es llamado trascendente. Recordem os que Euler reconocía la distinción entre estos dos géneros de irracionales ya en 1744. H abrá que esperar casi un siglo antes de que se establezca claram ente la existencia de los irraciona­ les trascendentes, sobre todo gracias a los trabajos de Liouville, Herm ite y Lindemann.

LIOUVILLE

Joseph Liouville (1809-1882) nació en Saint-O m er en 1809 e hizo estudios de ingeniero, figurando entre los m ejores discípulos de Cauchy. Enseñó matem áticas en las grandes escuelas y en la Facul­ tad de Ciencias de París. Liouville fundó en 1836 el Journal de Mathématiques Pures y Appliquées, que se conoce actualm ente bajo el nom bre de Journal de Liouville, el cual sustituyó a los Annales de

La aritmetización del análisis

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G ergonne, ya desaparecidos en esa época. A unque su nom bre no vaya unido a ningún descubrim iento realm ente fundam ental, escri­ bió sobre aritm ética, geom etría y física, y se distinguió particular­ m ente como analista. En efecto, un teorem a de análisis lleva su nom bre: s i/(z ), una función analítica entera de una variable com­ pleja z, está acotada en el plano com plejo, entonces/(z) es constan­ te. El teorem a fundam ental del álgebra puede ser considerado como un corolario del teorem a de Liouville. Se le deben tam bién estudios sobre las propiedades generales de las funciones monógenas (analí­ ticas) y la prim era teoría com pleta de las funciones elípticas conside­ radas como casos particulares de las funciones de una variable imaginaria. En 1844 Liouville m ostró que todo núm ero de la forma ai 10

I

02

102!

I - r

03

|( p .

I

-1- . . .

donde las a, son enteros cualesquiera tales que O < a, < 9 es un núm ero trascendente. Por ejem plo, el núm ero 0,10010001... es un núm ero trascendente así como todos los números de la forma particular

Liouville dem ostró que si p!q es una aproximación de un número irracional algebraico x de grado n, con p y q enteros, entonces existe un núm ero positivo M tal que

Pudo dem ostrar así, m ediante la teoría de las fracciones continuas, que ni e ni podían ser la raíz de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. La siguiente etapa im portante será la demos­ tración de la trascendencia de e por Herm ite.

HERMITE

Charles H erm ite (1822-1901), nació en Dieuze en 1822. Fue diplo­ mado de la Escuela Politécnica, donde más tarde ocupará una

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los cinco años tan sólo, Ham ilton podía leer el latín, el griego y el hebreo; tres años más tarde añadía a su bagaje lingüístico el italiano y el francés; a los diez años aprendió el árabe y el sánscrito y finalm ente, a los catorce años, el persa. Su encuentro con el joven calculador americano Z erah Colburn le hizo abandonar provisional­ m ente el estudio de las lenguas para lanzarse al estudio de las matemáticas. En 1823 se encuentra en el Trinity College de Dublín, y ya entonces presenta una m em oria sobre las causticas que será leída en 1824 en la Academ ia Real de Irlanda. Corregida y aum enta­ da, esta memoria será presentada de nuevo a la misma A cadem ia en 1827 con el título de A theory o f systems o f rays (U na teoría de los sistemas de rayos), que erigía la óptica geom étrica en un verdadero cuerpo de doctrina e introducía las funciones características de la óptica. En 1830 y 1832, Ham ilton publicó tres suplem entos a esta célebre memoria. M ientras tanto, sucedió en 1827 a John Brinkley en la cátedra de astronom ía del Trinity College, donde destacó como profesor. Es conocido sobre todo por su teoría de los cuaterniones, que será objeto de estudio en el próximo capítulo, pero H a­ milton se distinguió tam bién en muchos otros campos: estudio de la dinámica sirviéndose de sus célebres funciones características; sec­ ciones cónicas, a las que dedicó varias mem orias, así como a la resolución de la ecuación de quinto grado y al prim er tratam iento sistemático de los núm eros irracionales, que es el tem a que más nos interesa en este capítulo.

Trabajos de Hamilton sobre los números irracionales En dos memorias leídas ante la A cadem ia Real de Irlanda en 1833 y 1835 respectivam ente, y que serían publicadas con el título de Algebra as the science o f pure times... (El álgebra como la ciencia del tiempo p u ro ...), Ham ilton escoge el tiem po como el concepto fundamental del que deduce la noción de unidad. Citado por M anheim , escribe:

La idea de lacontinuidad de laprogresión de un momento a otro en el tiempoenglobalaideadeunaprogresióncontinuademanerasemejanteen lascantidades [...]Prosiguiendoestasucesióndeideas,nosvemos obliga­ dosaconcebir[...]laexistenciadeunnúmerodeterminadoodeunarazón

La aritmetizución del análisis

363

a que es la raíz cuadrada exacta de todo número positivo propuesto o razón b. Influenciado por el pensam iento de Newton, Hamilton funda­ m enta su teoría del álgebra sobre el concepto de tiem po, base intuitiva insatisfactoria para erigir los núm eros en sistemas, ya que cree necesario recurrir al universo físico para justificar ante sus contem poráneos esas nociones abstractas. Partiendo de los enteros positivos y de sus conocidas propiedades elem entales, considera una serie equidistante de mom entos ... E "E ’E A B B 'B "... donde cada letra representa un instante o un m om ento de tiem po tal que los intervalos de tiem po entre dos m om entos sucesivos son todos iguales unos con respecto a otros. El m om ento cero, denotado con A es el patrón y todos los demás deben com pararse con él, m ientras que B recibe el nom bre de «el prim er m om ento positivo». El operador a perm ite pasar de un m om ento a otro cuando se coloca a la derecha, de la m anera siguiente B = a + A , B ’ — a + B — 7.Ü + A , ... A continuación, Ham ilton introduce los ordinales, 6, 0, 1, 2, 3, ... donde 6 = - 1 , de forma que sea posible representar la serie de las etapas formadas a partir del m om ento cero como sigue ... 30a, 20a, Í0a, Oa, la, 2a, 3a, ... donde 30a = —3a = E" = —3a -t- A Si a, ¡3, y, (1) son los ordinales de esta serie, Hamilton dem uestra a su m anera propiedades tales como a + fi = l3 + a , afi = ¡3a, 00 = 1, y la asociatividad y distributividad. Introduce las fracciones raciona­ les de m anera sem ejante y afirma, en particular, que el símbolo fraccionario 1/0 denota un acto imposible. Después de esta presen­ tación de los núm eros racionales, Hamilton sugiere la idea de la partición de los racionales en dos clases (cortadura de Dedekind) y define un núm ero irracional como el representante de tal partición. Hamilton asegura que existe un conjunto infinito de núm eros entre

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dos números racionales. Si ^4 y 5 son dos conjuntos infinitos de números racionales tales que cada elem ento de A es inferior a todo elem ento de B, y adem ás, si los elem entos de A y B están definidos en extensión, puede ocurrir que no haya ningún núm ero racional entre y B. A partir de una intuición de la continuidad del tiem po, Hamilton sugirió, en esta etapa, que esos conjuntos A y B podían servir para determ inar los núm eros irracionales. Partiendo de una media proporcional entre dos núm eros positivos, enuncia que si a > n'¡m! cuando < b y si a < rí'lm" cuando rí'^lrri'^ > b, entonces a = \fb . Así, la \/5 es una partición determ inada por dos sucesiones |/r,} y jv,j con la propiedad de que fij < b < vf, donde i, j = 1 ,2 , ... Hamilton no desarrolló más su teoría de los núm eros irracionales, y toda ella se basaba esencialm ente en determ inar los núm eros irra­ cionales m ediante los núm eros racionales.

MÉRAY

Charles Méray (1835-1911), matem ático francés, nació en Chalonsur-Saône en 1835, y fue un apóstol de la aritmetización de las matemáticas. Encargado de curso en 1866 en la Facultad de Ciencias de Lyon y después profesor en la misma institución en 1867, M éray fue el prim ero en publicar un desarrollo aritm ético de los sistemas de números. En 1869 publicó una m emoria titulada Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limite à des variables données (Observaciones sobre la naturaleza de las cantidades definidas por la condición de servir de limites a variables dadas) en la Revue des Sociétés Savantes, en la que señala, en prim er lugar, algunas im portantes lagunas en el razonam iento de los m ate­ máticos desde la época de Cauchy, y reconoce las dificultades con que tropezaron esos matemáticos. De hecho, M éray pone de m ani­ fiesto el hecho que consiste en definir el núm ero irracional como el límite de una sucesión de núm eros racionales, sin tener dem asiado en cuenta que la existencia misma del límite presupone una defini­ ción de los números reales. M éray em plea la palabra «número» para designar el núm ero

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La urilmetización del análisis

racional, y una cantidad es llamada «variable progresiva» si puede tom ar un núm ero infinito de valores sucesivos de un conjunto |ju„j; M éray define a continuación la convergencia de la variable progresi­ va fi en térm inos de \fi„+p - /U„| 0 con lln , cualquiera que sea el valor asignado al límite. Así, existen dos tipos de sucesiones conver­ gentes. La prim era verifica la condición de que existe un N tal que para todo £ > 0 existe un n tal que para todo m < n, \N -

< £ => lun+p - /x„|

0

con \ln , y la segunda corresponde a la condición siguiente: el N definido anteriorm ente no existe y /r no tiene límite, pero puede verificarse \l^n+p - iU„| ->

0

con l/n

Las sucesiones convergentes sin límite se llaman «límites ficticios» y, en térm inos de núm eros, M éray las llama «números ficticios». A continuación, M éray m uestra cómo la ordenación de estos números ficticios puede ser referida al esquem a de la ordenación de los núm eros, así como extiende todas las operaciones entre núm eros racionales a estos núm eros ficticios, que nosotros llamamos núm e­ ros irracionales. A título de ejem plo, M éray explica la significación de V a cuando a no es un cuadrado. Según su teoría, y/a es el límite ficticio de toda variable progresiva ¡j. cuyo cuadrado se aproxima a a, y si la variable v es tal que n¡ — vy ^ 0 , se dice entonces que el límite ficticio de v es tam bién y/a.

Weierstrass y su teoría de los números irracionales W eierstrass intentó separar el cálculo diferencial e integral de la geom etría y hacer reposar todo ese cálculo sobre el concepto de núm ero. Para realizar este nuevo enfoque, de la misma m anera que M éray, se dio cuenta de que era necesario definir el núm ero irracional independientem ente del concepto de límite. Sus investiga­ ciones sobre la aritm etización no fueron publicadas, y por ello debem os basarnos sobre todo en las notas publicadas por sus alumnos (V. D antscher, A. Pringsheim y G. M ittag-Leffler) para extraer de ellas las ideas esenciales.

;Vi6

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W eierstrass define una «cantidad numérica» como un conjunto dado de elem entos de los que se conoce el núm ero de veces que cada elem ento aparece en el conjunto. El núm ero de elem entos es finito o infinito, pero el núm ero de veces que un elem ento aparece en el conjunto es necesariam ente finito. E n el caso finito, el conjunto se dice finito, y es igual a la suma de los elem entos. La igualdad de dos conjuntos finitos se obtiene cuando las sumas respectivas son iguales. Los enteros como 1, 2, ... se llaman «canti­ dades numéricas absolutas» m ientras que las partes de un entero, como por ejem plo 1/3, son las fracciones. U na cantidad num érica absoluta a contiene un núm ero racional absoluto r si un agregado parcial a igual a r puede ser sustraído de a. La cantidad num érica absoluta a se dice finita si existe un núm ero racional p tal que todo núm ero racional contenido en a es más pequeño que p. D os cantidades numéricas absolutas finitas a y b serán iguales sólo si todo núm ero racional contenido en a está tam bién contenido en b. En el caso de que a contenga un núm ero racional que no sea elem ento de b, se dice que a es m ayor que b. La suma de a y b es la cantidad num érica c definida como el conjunto cuyos elem entos son aquellos que aparecen en a o en b, de m anera que cada elem ento de c sea igual al núm ero de veces que un elem ento a aparece en b. El producto de a y b se define como la cantidad num érica absoluta que se obtiene con los agregados cuyos elem entos se obtienen form ando de todas las m aneras posibles los productos de cada elem ento de a y cada elem ento de b. W eierstrass extiende esta definición a la suma de un núm ero finito de cantidades num éricas absolutas, de m anera que cada cantidad de esta suma sea la suma de las com ponentes, y pasa a continuación a la suma de un núm ero infinito de cantidades de una m anera com pletam ente análo­ ga. En efecto, la suma de un núm ero infinito de cantidades a, b, c, ... es la cantidad num érica absoluta 5 (agregado) cuyos elem entos aparecen al menos en una de las a, b, de m anera que cada uno de los elem entos e está tom ado un núm ero de veces igual al núm ero de veces que aparece en a, más el núm ero de veces que aparece en b, y así sucesivamente. Para asegurarse de que s es finita y determ i­ nada, es necesario que cada uno de sus com ponentes aparezca un núm ero finito de veces en s. Adem ás es tam bién necesario y suficiente que se pueda asignar un núm ero N tal que la suma de todo núm ero finito de cantidades a, b, c, ..., sea inferior a N. D e estas

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definiciones, se sigue que toda cantidad absoluta es la suma de los elem entos de los que está compuesta. En la teoría de W eierstrass, los núm eros irracionales son, pues, agregados de núm eros racionales más que sucesiones ordenadas de núm eros racionales, y esta teoría ofrece la inmensa ventaja de evitar el tener que recurrir de antem ano a la existencia de límites. C antor em prendió tam bién algunos estudios con objeto de efectuar la aritm etización, elaborando una teoría de los núm eros irracionales que sería posteriorm ente m odificada en parte por su alumno E. H eine (1826-1881).

CANTOR

G eorg Ferdinand Ludwig Philipp C antor (1845-1918) nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo, en una familia de tres hijos. Su padre era un próspero com erciante de origen judío que se había convertido al protestantism o. Educado prim ero bajo la dirección de un tutor, frecuentó después la escuela elem ental de su ciudad natal, donde m ostró ya un interés marcado por el estudio de las m atem áti­ cas. Sin em bargo, su padre deseaba que su hijo m ayor hiciera la carrera de ingeniero m ilitar y, después de realizar estudios secunda­ rios en colegios privados de Francfort, en 1859 entra en la Escuela Politécnica de D arm stadt. D eja la escuela de ingeniería m ilitar en 1862 para em prender estudios superiores en Zurich, que abandona en 1863 después de la m uerte de su padre. E n otoño de 1863, entra en la Universidad de Berlín, donde estudia m atem áticas, física y filosofía. Kum m er, W eierstrass y K ronecker eran en aquél entonces los tres grandes matem áticos alemanes y, en particular, Kronecker estimuló vivamente a C antor para que se interesara por la teoría de núm eros. Sin em bargo, será W eierstrass quien ejercerá, con mucho, la mayor influencia en la carrera científica del joven Cantor. E n 1867 recibe el doctorado después de haber presentado una disertación sobre las Disquisitiones arithmeticae de Gauss y la Teoría de números de Legendre. A continuación comienza su carrera como profesor en la Universidad de Halle y publica sus prim eros trabajos, todos consagrados a la teoría de núm eros. En 1872 conoce en Suiza a Richard D edekind, y ese encuentro será el comienzo de una larga amistad entre estos dos célebres m atem áticos. El año 1874 fue muy

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im portante para C antor, pues fue el año de su m atrim onio con Vally G uttm an, y el del nacimiento de la teoría de conjuntos, m arcado por la publicación de un artículo en la revista de Crelle. El contenido de esa m em oria fue considerado paradójico en esa época, y a medida que su teoría progresaba, se hacía más fuerte la oposición a la misma, en particular por parte de K ronecker. C antor tenía, sin em bargo, tam bién defensores, entre los que se contaban Weierstrasss y D edekind. D esde 1879 hasta 1884 publicó prácticam ente toda su teoría de conjuntos, y las num erosas dificultades con que tropezó C antor durante ese período, como el retraso en la impresión de su tratado de 1878 y el movimiento de contestación dirigido por K ronecker, le afectaron de tal m anera que cayó en una profunda depresión nerviosa durante el año 1884. Según parece, a la luz de los acontecim ientos, la oposición constante de K ronecker a los trabajos de C antor no se dirigía personalm ente contra este últim o, sino más bien contra la naturaleza de los conceptos cantónanos, sobre la base de las convieciones científicas personales de K ronecker. La m uerte del influyente K ronecker en 1891 y, al mismo tiem po, la amistad sincera de hom bres influyentes como M ittag-Leffler, unida al afecto personal de W eierstrass, hicieron probablem ente más tolerable la vida de Cantor. Después de 1891, los trabajos de C antor com enza­ ron a ser justam ente reconocidos y su persona recibió merecidos honores. Murió el 6 de enero de 1918 en una clínica psiquiátrica de Halle, después de asistir a las prim eras m anifestaciones de la considerable influencia que su teoría ejereería en el m undo de las m atem áticas y constatar igualm ente el justo reconocim iento general que tanto había deseado. C antor se había interesado desde el comienzo de su carrera científica por los estudios en teoría de núm eros; más tarde redactó un cierto núm ero de m em orias sobre las series trigonom étricas. Fue este estudio de las series trigonom étricas el que llevó a C antor a la teoría de conjuntos de puntos y a los cardinales transfinitos. A de­ más, en su décima m em oria, publicada en 1872, C antor presentó por prim era vez su teoría de los núm eros irracionales. Volveremos más tarde sobre su teoría de conjuntos, pero a continuaeión nos ocuparem os de su estudio de los núm eros irraeionales.

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Teoría de los números irracionales de Cantor-Heine U no de los problem as im portantes de la época en el tem a de las series trigonom étricas consistía en establecer la unicidad del des­ arrollo trigonom étrico a propósito de las series generales, es decir, aquellas cuyos coeficientes no tienen necesariam ente la forma inte­ gral de Fourier. D esde 1870 a 1872, C antor redactó cinco memorias sobre las series trigonom étricas en las que prestó especial atención al teorem a de unicidad, y en noviem bre de 1871 añadió una exten­ sión a ese teorem a incorporándole la frase: la convergencia o la igualdad de la suma de la serie trigonom étrica puede no verificarse en un agregado infinito de x en el intervalo 0 ... 2 :7t sin que por ello el teorem a deje de ser válido. Es entonces cuando C antor intenta describir la estructura de tal agregado presentando aclaraciones sobre la naturaleza de las cantidades numéricas tanto finitas como infinitas. H eine sugirió algunas simplificaciones a la teoría de C an­ to r en una m em oria publicada en la revista de Crelle, en 1872, bajo el título Die Elemente der Funktionenlehre (Los elementos de la teoría de funciones) y fue así como se convino en hablar de la teoría de C antor-H eine, aunque el prim ero hubiera publicado en 1883 una m em oria más detallada sobre la teoría de los núm eros irracionales. Introducen una nueva clase de núm eros, los núm eros reales, que contiene los núm eros racionales y los irracionales. La construcción de los núm eros reales se efectúa sobre la base de los números racionales partiendo de una sucesión de núm eros racionales {a,\ que satisface la condición de que, para todo n dado, todos los miembros salvo un núm ero finito difieren uno del otro de m anera que lim (a„ - a„+r) =

0

para un núm ero r cualquiera. Esta sucesión, llam ada «fundam ental», es por definición un núm ero real, m ientras que una sucesión que verifique la propiedad lim a„ = 0 se llam a «elemental». D os sucesiones fundam entales ja,j y j¿,| son iguales o representan el mismo núm ero real sólo si la sucesión \a¡ — h,j es elem ental. A propósito de estas sucesiones elem entales, Cantor-H eine definen la

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sucesión nula, la sucesión positiva y la negativa. D ado un núm ero racional arbitrario, si los térm inos de la sucesión para un N suficien­ tem ente grande son todos inferiores en valor absoluto a ese núm ero racional dado, entonces la sucesión se dice nula. La sucesión se dirá positiva si para un N suficientem ente grande, todos los térm inos son superiores a un núm ero racional positivo dado, m ientras que si todos los térm inos son inferiores a un núm ero racional negativo dado, la sucesión se dirá que es negativa. A cada sucesión funda­ m ental ja,| cuyos térm inos son Ui, ü2 , Uj, ... a„ asocian el símbolo A y, en particular, si a¡ = a para todo i, el símbolo asociado a A es a. Esta elección del simbolismo perm ite así encastrar los núm eros racionales en un nuevo conjunto, la sucesión fundam ental. Por ejem plo, toda sucesión [a,) con a¡ = a para todo i donde a sea un núm ero racional define el núm ero racional a. D adas dos sucesiones fundam entales {a,j y ¡v,j, representadas por A y V, puede dem ostrarse que [a¡ -f v,), (a,- • v,) y lfl,7v,) (con v¡ 4= {O}) son sucesiones fundam entales. Esto define la suma A + V, el producto A ■ V, y e\ cociente A !V (V + 0) de dos núm eros reales. Asimismo, se define la igualdad y la desigualdad de la misma m anera: A = V, A > V o A < V según sea A — V, igual, m ayor o m enor que cero. D efinen a continuación el límite de una sucesión fundam ental (a,) de la m anera siguiente: si existe un núm ero racional A tal que lim (A — a„) = 0, entonces A es el límite de {«,). Después m uestran que si los térm inos de una sucesión fundam ental tienen el límite racional A , entonces el símbolo A es tam bién el asociado a la sucesión. Por ejem plo, las fracciones 0.1, 0.11, 0.111, ... tienen como límite 1/9, y 1/9 es él núm ero asociado a la sucesión {0.1, 0 .1 1 , 0 .1 1 1 , ...j.

La extensión del concepto de límite a los núm eros irracionales se efectúa de la m anera siguiente: si A es un símbolo (racional o no) y si lim (A — a.) = 0,

i —*00

entonces A es el límite de |n,). Con ello puede dem ostrar el teorem a

La aritmetización del análisis

371

siguiente: si {a,j es una sucesión cualquiera de núm eros reales (racionales o irracionales) y si lim

- a,) =

0,

para un r cualquiera, entonces existe un núm ero real A único, determ inado por la sucesión fundam ental de los núm eros a¡ lim a¡ = A . Es así com o, determ inando el límite de una sucesión fundam ental (o sucesión que satisface el criterio de convergencia de Cauchy) por medio de los núm eros existentes, llegaron a dem ostrar que esos núm eros reales form an un sistema com pleto. Bastaba entonces poner de m anifiesto que los núm eros irracionales se for­ man a partir de sucesiones fundam entales que no son racionales y dem ostrar que todas las sucesiones fundam entales no son necesaria­ m ente racionales.

DEDEK IND

Julius Wilhelm R ichard D edekind (1831-1916) nació el 6 de octubre de 1831 en Brunswick, Alem ania. Se orientó desde muy pronto hacia las ciencias físicas. Fue probablem ente el último alumno conocido de Gauss, quien fue su director de tesis hasta 1852, año en que D edekind obtuvo su doctorado. Fue luego profesor en el Politécnico de Zurich, y después en la Escuela Técnica Superior de Brunswick. Amigo personal de C antor, de personalidad muy origi­ nal, profesó una gran sim patía hacia las ideas, muy discutibles en aquella época, de este último. Toda su carrera científica se desarro­ lló prácticam ente en la som bra, y no le fue ofrecido ningún puesto im portante de profesor. M urió el 12 de febrero de 1916, casi dos años antes que C antor, sin conocer nunca la gloria. El nom bre de D edekind se ha hecho célebre por sus numerosas contribuciones originales en m atem áticas. Subrayemos, entre otras, su teoría de los núm eros algebraicos, que es una generalización de los enteros com plejos de Gauss y de los núm eros algebraicos de Kum m er; su formulación abstracta de la noción de carácter de un grupo aplicada a los grupos abelianos y probablem ente la prim era definición abstracta de un grupo finito; su enfoque aritm ético en el tratam iento de las curvas algebraicas, cuya idea central proviene de

372

Jean-Paul Collette

SUS trabajos sobre los núm eros algebraicos; su libro sobre la natura­ leza y la representatividad de los núm eros, donde se trata de conjuntos infinitos, etc.; su introducción de clases de núm eros algebraicos llamados «ideales» en honor de Kummer. Sin em bargo, su celebridad se basa sobre todo en sus Ensayos sobre la teoría de números, publicados en 1872, que se ocupan del concepto de continuidad y los núm eros irracionales.

Teoría de los números irracionales de D edekind Encargado de curso de cálculo diferencial e integral en el Politécni­ co de Zurich en 1858, D edekind se dio cuenta muy pronto de que la aritm ética de los núm eros reales no poseía un fundam ento lógico adecuado. Más específicamente, se negaba a recurrir a la evidencia geom étrica para dem ostrar el teorem a siguiente: toda magnitud que crece de una m anera continua pero no sin límite, debe ciertam ente aproximarse a un valor límite. Desde un punto de vista didáctico, encontraba útil el recurrir a la intuición geom étrica con el fin de no perder dem asiado tiem po, pero en ningún caso este recurso, según D edekind, podía considerarse científico. Por eso se dedicó a medi­ tar sobre la cuestión durante mucho tiem po pero no encontró un fundam ento puram ente aritm ético y perfectam ente riguroso de los principios del análisis matem ático. Dedekind estaba convencido, adem ás, de que el concepto de continuidad no había sido bien definido todavía, y que el teorem a enunciado más arriba constituía una base suficiente sobre la que fundam entar el análisis. Se dedicó, pues, a encontrar el origen de este teorem a en la aritm ética y, al mismo tiem po, a dar una definición real de la esencia de la continui­ dad. Encontró lo que buscaba el 24 de noviem bre de 1858. En varias ocasiones había querido escribir un libro sobre la continuidad y los núm eros irracionales, pero su obra no será realizada hasta 1872. La m em oria de H eine titulada Los elementos de la teoría de funciones, que D edekind recibió en el mes de marzo de 1872, le reafirm ó en la resolución de escribir su libro. A ntes de abordar el estudio de los núm eros irracionales, D ede­ kind presupone el desarrollo de la aritm ética de los núm eros racio­ nales, pero llama la atención sobre un cierto núm ero de puntos que él juzga im portantes, estableciendo una comparación entre los

La arifmetización del análisis

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núm eros racionales y los puntos de la recta numérica. A continua­ ción, presenta su estudio de la continuidad de la línea recta, haciendo notar, desde el comienzo, el hecho de que en una línea recta L existe una infinidad de puntos que no corresponden a ningún núm ero racional. Por consiguiente, la recta L es infinitam ente más rica en puntos individuales que el dominio R de los números racionales en núm eros individuales. Esto nos conduce, según dice, a com pletar R creando nuevos núm eros de m anera que el campo de los núm eros adquiera la misma compleción o, como puede decirse, la misma continuidad que la línea recta. Insatisfecho con los m éto­ dos habituales para introducir los números irracionales, los cuales se basan directam ente en la concepción de longitudes prolongadas, propone en su lugar «que la aritm ética se desarrolle a partir de sí misma» y el problem a se reduce entonces a la determ inación aritm é­ tica de la continuidad. Como intenta definir com pletam ente los números irracionales sólo m ediante los núm eros racionales, y dado que la comparación del dominio R de los núm eros racionales con la recta le lleva al reconocim iento de «agujeros», de una cierta discontinuidad de los núm eros, D edekind plantea así la cuestión: «¿En qué consiste esta continuidad? Todo depende de la respuesta a esta cuestión y, sólo m ediante ella obtendrem os una base científica para la búsqueda de todos los dominios continuos». El problem a consiste, pues, según D edekind, en indicar una característica precisa de la continuidad que pueda servir de base para deducciones válidas. En la sección precedente (la consagrada al dominio R ) se ha puesto de manifiesto, prosigue, que cada punto p de una línea recta produce una separa­ ción en dos porciones tal que cada punto de una porción está situado a la izquierda de cada punto de la otra porción. Tom ando la recíproca de esta proposición, D edekind encuentra la esencia de la continuidad, y form ula así su principio: Si todos los puntos de una línea recta se sitúan en dos clases tales que cada punto de la primera dase se encuentra a la izquierda de cada uno de los puntos de la segunda clase, entonces existe un único punto que produce esta división de todos los puntos en dos clases, esta separación de la línea recta en dos porciones. Dedekind añade tam bién que esta proposición no puede ser

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Jean-Paul Collette

dem ostrada y que, por consiguiente, no es nada más que un axioma por el que se atribuye a la línea recta su continuidad. En la sección iv , titulada Creación de los números irracionales, D edekind introduce su célebre «cortadura» al considerar la división de los núm eros racionales en dos clases tales que todo núm ero de la prim era clase es inferior a todo núm ero de la segunda. Esta división de los núm eros racionales se llama una «cortadura». Si las clases se designan m ediante Ax y A 2 , entonces la cortadura se designa m ediante {A i, A 2 ). Puede decirse, según D edekind, que cada núm ero racional a produce una cortadura que posee la propiedad de que, entre los núm eros de la prim era clase, existe un núm ero que es el m ayor o que, entre los núm eros de la segunda clase, existe un núm ero que es el m enor. Inversam ente, toda cortadura en los núm eros racionales para los que existe el m ayor de los núm eros en la prim era clase o el m enor de ellos en la segunda, está determ inada por un núm ero racional. Pero D edekind añade que es fácil m ostrar que existen infinidad de cortaduras que no están determ inadas por núm eros racionales. Si situamos en la prim era clase todos los núm eros racionales negativos y todos los núm eros positivos cuyo cuadrado es inferior a 2 , y en la segunda clase todos los dem ás núm eros racionales, entonces esta cortadura no está determ inada por ningún núm ero racional. Para cada una de estas cortaduras, «creamos un nuevo núm ero irracional a que está com pletam ente definido m ediante esta cortadura; debe­ ríamos decir que el núm ero a corresponde a esta cortadura o que produce esta cortadura». D edekind estudia, a continuación, las relaciones entre las corta­ duras, con el fin de obtener una base para la disposición ordenada de todos los núm eros reales. La com paración de dos cortaduras (A i, A 2) y {Bx, B 2 ) nos perm ite definir la identidad y la desigualdad entre estas dos cortaduras: la identidad se denota m ediante a = ¡3 — a donde a y (3 son los núm eros reales que producen, respectivam ente, las cortaduras {Ax, A 2 ) y {Bx, B 2 ), m ientras que la desigualdad implica a > f} ó p > a. E n \a sección v , presenta las tres propieda­ des fundam entales de los núm eros reales: I. S i a > / 3 y / 3 > y entonces a > y y se dirá que el núm ero ¡3 se encuentra entre a y y. II. Si a, y son dos núm eros cualesquiera diferentes, entonces existe

La aritmetización del análisis

375

una infinidad de núm eros diferentes ¡3 que se encuentran entre

«y yIII. Si a es un núm ero real cualquiera, entonces todos los números reales se dividen en dos clases /Ij y A 2 , de m anera que cada una de ellas posee un núm ero infinito de elem entos, cada miembro de y4] es inferior a a y cada miembro de A 2 es superior a a. El núm ero a puede ser asignado a cualquiera de las clases. Adem ás de estas tres propiedades, D edekind añade que el dominio de los núm eros reales posee tam bién la propiedad de la continuidad, que se expresa de la m anera siguiente; Si el sistema de los números reales está dividido en dos clases Ai y A 2 de tal manera que cada miembro de A] es inferior a todos los miembros de A 2 , entonces existe un único número a por el cual se produce esta separación. D edekind pasa a continuación a las operaciones con los números reales en la sección VI, y tan sólo define de una m anera explícita la operación de adición; las otras operaciones son definibles, según el autor, de una m anera análoga. La adición de (A i, A 2 ) y de (fii, S 2 ) se define así: si c es un núm ero racional cualquiera, lo situamos en la clase Ci, si está en la clase A i y ¿i está en la clase Bi de m anera que Ui + bi 2 : Ci, y todos los demás núm eros racionales los situa­ mos en la clase C2 . Esta separación form a una cortadura (C i, C2 ), porque cada miem bro de Ci es inferior a cada uno de los de C2 . Dedekind introduce tam bién en esta sección la noción de intervalo, y term ina sus Ensayos volviendo a su teorem a de análisis que motivó sus investigaciones, el cual dem uestra m ediante la noción de corta­ dura, y subraya que este teorem a es equivalente al principio de continuidad. A pesar de ciertas imprecisiones en su teoría de los números irracionales, como por ejem plo de dónde proviene el núm ero irra­ cional a que produce la cortadura, o por qué ese núm ero a es distinto de la cortadura, D edekind presentó una teoría satisfactoria lógicamente. Más tarde, se hicieron posibles algunas modificaciones de su teoría, como la de Russell para la construcción de los números reales. Todo este movimiento, em prendido con el fin de realizar la aritmetización del análisis, fue aceptado por la mayoría de los matemáticos. Sin em bargo, algunos se opusieron vigorosamente a

376

Jean-Paul Coltelle

estos program as de aritm etización, como Paul du Bois-Reymond (1831-1889), que veía en esta aritm etización una tentativa para destruir la unión necesaria entre el núm ero y la noción de cantidad. Léopold Kronecker (1823-1891), por su parte, basaba sus objecio­ nes no en el proceso mismo de aritmetización sino, por el contrario, en su insuficiencia. Finalm ente, H erm ann H ankel, creador él mismo de una teoría lógica de los núm eros racionales, se oponía al trata­ miento formal de los núm eros irracionales sin la ayuda del concepto geométrico de cantidad, porque conducía, según él, a cosas artificia­ les y molestas cuyo valor científico no era muy grande. Añadam os que tam bién se dirigieron ciertas críticas contra estos program as de aritm etización, y especialm ente los de C antor y D edekind. Q uedaba por elaborar una teoría lógica de los núm eros raciona­ les adecuada, lo que sería obra de varios m atem áticos, entre los que se puede m encionar a M artin Ohm (1792-1872), herm ano del céle­ bre físico, W eierstrass y su idea de la pareja de núm eros, D edekind y la utilización de las ideas cantorianas sobre conjuntos, y Giuseppe Peano (1858-1932) y los axiomas fundam entales de los núm eros naturales.

Teoría de conjuntos Hemos visto que la clarificación del concepto de función es el fruto de los trabajos em prendidos con el fin de estudiar más a fondo la representación de las funciones m ediante series de Fourier. De la misma m anera, a través de teorem a de unicidad de la representación de funciones m ediante series trigonom étricas, algunos matemáticos se decidieron a ocuparse del estudio de los conjuntos infinitos de puntos, en particular H eine, Du Bois-Reym ond y, evidentem ente, Cantor. Desde la época de los griegos, la atención de los matem áticos y los filósofos se sintió atraída por las nociones de infinito, de infinita­ m ente grande y de infinitam ente pequeño. Algunos de ellos recha­ zaban categóricam ente toda noción actual de una colección infinita de elem entos; para otros, la correspondencia biunívoca entre dos conjuntos infinitos conduce a resultados que son incompatibles con la razón. Gauss, el príncipe de los m atem áticos, protesta contra la

La ariímeíización del análisis

377

utilización de una cantidad infinita como una entidad m atem ática real, porque el infinito no es para él más que una m anera de hablar. Cauchy rechaza la correspondencia entre una parte y el todo en un conjunto infinito, porque es una contradicción. En las polémicas inacabables sobre problem as ligados a los conjuntos intervinieron razonam ientos y argum entos de naturaleza metafísica e incluso teológica. La actitud general de los matem áticos con respecto a estos problem as consiste, muy frecuentem ente, en ignorar lo que no llega a resolver. Com o hecho paradójico, si es que lo es, cabe m encionar que evitan reconocer los conjuntos infinitos reales, pero utilizan am pliam ente series infinitas y conjuntos infinitos como el conjunto de los núm eros racionales o reales. La aritmetización del análisis obliga a los m atem áticos a considerar la existencia de conjuntos de puntos, lo que conduce a la fundación de la teoría de conjuntos. Bolzano fue el prim ero, antes que C antor, en considerar seria­ m ente la elaboración de una teoría de conjuntos. Recordem os brevem ente que defendió la existencia de conjuntos infinitos reales y que llamó la atención sobre la noción de equivalencia de dos conjuntos (correspondencia biunivoca). Observó que esta equiva­ lencia, en el caso de conjuntos infinitos, conducía a que una parte fuera equivalente al todo, e insistió en que este resultado fuera aceptado. Finalm ente, Bolzano asignó núm eros a conjuntos infini­ tos, asignación que implicaba la existencia de núm eros trasfinitos diferentes (el m odo de asignación de Bolzano se reveló inexacto según la teoría cantoriana). Pero las investigaciones de Bolzano sobre el infinito se centraron dem asiado en el aspecto filosófico de las cosas, y el propio Bolzano decidió abandonar toda tentativa de proseguirlas más a fondo. Los trabajos de Heine sobre las series trigonom étricas dieron origen al interés de C antor por el estudio de estas mismas series. Du Bois-Reym ond se interesó tam bién por el estudio de las series trigonom étricas y, en particular, por las relacio­ nes entre conjuntos de puntos. Tratadas desde un punto de vista casi enteram ente filosófico (em pirism o), estas relaciones le llevaron a distinguir entre conjunto denso y conjunto no denso y, por extrapo­ lación a partir de la continuidad que caracteriza a la recta numérica, exigió que sus órdenes de infinitud fueran no sólo densos sino tam bién continuos. O tros matem áticos como Riem ann, Lipschitz, H ankel y W eierstrass aislaron conjuntos infinitos en sus investiga-

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Jean-Paul Collette

ciones, pero ninguno de ellos sintió la necesidad de desarrollar una aritm ética de los conjuntos infinitos como hizo Cantor.

La teoría de conjuntos de Cantor El nacimiento de la teoría de conjuntos de C antor comienza con su decim otercera m em oria, publicada en 1874 en la revista de Crelle bajo el título de Deber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen (Sobre una propiedad del conjunto de todos los núm eros reales algebraicos). Sin em bargo, en una m em oria de 1872 sobre las series trigonom étricas, C antor presenta ya considera­ ciones sobre los conjuntos de puntos, y escribirá más tarde varias memorias sobre el tem a así como cartas personales que precisarán ciertos puntos específicos referentes a su teoría. Según C antor, un conjunto es una colección de objetos definidos y separados, que pueden ser concebidos por la inteligencia, y para la que podem os decidir si un objeto dado pertenece o no a la colec­ ción. R efutando los argumentos de sus predecesores. C antor afirma la existencia de conjuntos infinitos actuales, y m uestra que un conjunto es infinito si existe una correspondencia biunívoca entre él mismo y una de sus partes. En su décima m em oria, publicada en 1872, C antor introduce, en particular, el límite de un conjunto de puntos, el conjunto derivado y los conjuntos de prim era especie. Para un conjunto de puntos P en un intervalo finito, un punto límite de P es cualquier punto de la recta tal que en todo intervalo que com prenda ese punto hay una infinidad de puntos de P. Todo punto de P que no es un punto límite de P es llamado por C antor punto aislado. El conjunto de todos los puntos límites de P se llama el conjunto derivado del conjunto de puntos P. Si P', el conjunto derivado, no es finito, se puede encontrar un segundo conjunto derivado P", y así sucesivamente. Si el n-ésimo conjunto derivado de un conjunto de puntos P es finito, entonces se dice que P es un conjunto de orden n o de prim era especie. U n conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos límites y es abierto si todo punto del conjunto es un punto interior, es decir, si cada punto puede conside­ rarse contenido en un intervalo que com prende solam ente puntos del conjunto original. U n conjunto cerrado es perfecto si contiene solam ente puntos límites.

La arilmetiza'ción del análisis

379

La idea fundam ental en la teoría de C antor, la eorrespondeneia biunívoea, le sirve entre otras cosas para definir la equivalencia entre dos conjuntos: si dos conjuntos bien definidos pueden ser puestos en correspondencia biunívoea, tienen entonces la misma potencia o son equivalentes. En el caso finito, el concepto de potencia de un conjunto se corresponde con el núm ero de elem entos del conjunto, y la equivalencia entre dos conjuntos finitos se esta­ blece con el núm ero de elem entos de cada conjunto (más adelante el térm ino potencia se convertirá en el de cardinal). Un subconjunto de un conjunto P (subconjunto propio) se define como otro conjun­ to cuyos elem entos son tam bién elem entos de P. Un subconjunto de un conjunto finito P tiene siem pre una potencia inferior a la del conjunto P, lo que no es cierto en el caso de los conjuntos infinitos. D edekind se sirvió de esta constatación para dar, en 1887, la definición siguiente del infinito, independientem ente de Bolzano y Cantor: se dice que un sistema S es infinito cuando es similar a una parte propia de sí mismo; si no, se dice que el sistema S es finito. C antor ilustra esta constatación m ostrando que el conjunto de los núm eros naturales tiene la misma potencia que el subconjunto form ado por los núm eros naturales pares. Por el contrario, puede ocurrir que dos conjuntos tengan potencias desiguales. Por ejem plo, si M y N tienen potencias desiguales y el conjunto M es equivalente a un subconjunto de N, solam ente se puede concluir que la potencia de M es inferior a la de N. C antor intentó tam bién ilustrar sus conceptos de equivalencia y de potencia m ediante conjuntos de núm eros. En esta ocasión intro­ duce el térm ino «num erable» para designar todo conjunto que pueda ponerse en correspondencia biunívoea con los núm eros natu­ rales (enteros positivos). M uestra así que es el conjunto infinito más pequeño en térm inos de potencia, y que todo subconjunto infinito de este conjunto de los núm eros naturales es necesariam ente num e­ rable. Por ejem plo, el conjunto de los cuadrados perfectos y el conjunto de los núm eros triangulares son num erables. A unque esos conjuntos parecen ser más pequeños que el conjunto de los números racionales (fracciones). C antor dem ostró en 1847, y después en 1895, que este último conjunto es tam bién num erable. La dem ostra­ ción siguiente es la dada por C antor en 1895: dispongamos los núm eros de la m anera siguiente:

Jean-Paul ( 'olh-itc

Í81)

F IG U R A 8.3

Puede observarse que todos los núm eros racionales que se encuen­ tran en una misma diagonal tienen la misma suma en el num erador y en el denom inador. Partiendo de j , se siguen las flechas j , 4, f , Y, etc., y así se encontrarán todos los núm eros racionales, y a cada uno se le asigna un núm ero entero positivo dado. Desde ese momento, el conjunto así ilustrado de los núm eros racionales (en el que se encuentran los mismos números más de una vez, j , f , f , etc.) estará en correspondencia biunívoca con los núm eros natura­ les. Por consiguiente, el conjunto ilustrado es num erable y el conjunto de los núm eros racionales, como subconjunto de este conjunto, es tam bién num erable. C antor dem ostró tam bién un resultado sorprendente en su memoria de 1874: el conjunto de todos los números algebraicos es num erable. Pero todos los conjuntos infinitos no tienen la misma potencia, y por consiguiente no son todos numerables. C antor dem ostró que el conjunto de los núm eros reales tiene una potencia superior a la del conjunto de los núm eros naturales; para ello utilizó dos dem ostraciones, una de las cuales es la reduc­ ción al absurdo (1892): supongamos que se pueden num erar los números reales entre 0 y 1 ; expresémoslos en forma de decimales puros (que no se term inan, como 0,33333... para

y,

0,4999... para

Y, y así sucesivamente); si esos núm eros reales son num erables, se

,W1

La arilmelización de! análisis

puede entonces asignar a cada uno un entero positivo tal que 1

-i—► Q,a\\a] 2 Ciu-■ ■

2

4 no es resoluble por radicales, porque el grupo G de la ecuación está com puesto de n\ sustituciones (de orden n), el subgrupo norm al máximo o grupo alternativo es de orden «!/2 , y el único subgrupo norm al de un grupo alternativo es el elem ento identidad, puesto que los índices son 2 y n!/2, pero el núm ero n\l2 para n > 4 no es nunca prim o, por lo que esta ecuación no es resoluble para n > 4. Galois desarrolló tam bién una teoría similar para el estudio de ecuaciones con coeficientes numéricos, adem ás de haber dem ostra­ do cierto núm ero de teorem as sobre la teoría de ecuaciones. H ará falta esperar a los trabajos de Jordán para ver prolongarse de m anera significativa los trabajos de Galois. M ientras tanto, varios matemáticos explicitarán ciertos razonam ientos de su teoría o consi­ derarán aplicaciones a diversos campos de las matem áticas. El álgebra y la Analytical Society de Cambridge La universidad de Cam bridge, en los prim eros años del siglo x ix , no era seguram ente el lugar donde se podían encontrar nuevos desarro-

El nudmiento del álgebra moderna

395

líos en matem áticas. Es cierto, sin em bargo, que fue el alma mater de Isaac Newton, pero por chovinismo y a causa de la célebre y tenaz controversia sobre la prioridad de la invención del cálculo diferen­ cial e integral, los m atem áticos ingleses se aislaron del resto del m undo durante cerca de un siglo. Sin em bargo, fue precisam ente en G ran B retaña donde comenzó un movimiento, en el prim er tercio del siglo X IX , para reform ar la enseñanza y modificar las notaciones, ya arcaicas, de Newton. Hablam os de la formación, en 1815, en el Trinity College de Cam bridge, de la Analytical Society por tres jóvenes diplomados de Cambridge: el algebrista G. Peacock, el astrónom o J. Herschel y el pionero inglés de las m áquinas de calcular, C. Babbage. Si añadim os a esta lista a De M organ, H am ilton, Cayley y B oole, tendrem os a los principales reform ado­ res del álgebra en G ran B retaña. Esta reform a del álgebra fue em prendida para intentar justificar las operaciones algebraicas efectuadas en expresiones simbólicas o literales. Como no había sido desarrollada todavía ninguna lógica para los diferentes sistemas de núm eros, se efectuaban las operacio­ nes con letras o expresiones literales sin saber muy bien a qué se referían esas operaciones. ¿E ra el álgebra en sí misma una simple generalización de la aritm ética o había que pensar más bien que el álgebra de las expresiones literales poseía una lógica interna que garantizaría su eficacia y su exactitud? Fue a partir de estas conside­ raciones com o nació una reform a del álgebra em prendida por los m atem áticos ingleses con el fin de dilucidar y elaborar una especie de lógica capaz de asegurar la validez de las operaciones algebraicas, una fundación del álgebra sobre «la perm anencia de forma». El pionero de este m ovimiento fue W oodhouse.

W OODHOUSE

R obert W oodhouse (1773-1827), nació en Norwich el 28 de abril de 1773. Fue educado en el Caius College de Cam bridge, del que más adelante fue consejero. Profesor en la universidad, vivió en Cam­ bridge hasta su m uerte, acaecida el 23 de diciembre de 1827. Su prim er tratado, titulado Principies o f analytical calculation (Principios de cálculo analítico) fue publicado en Cam bridge en 1803. En esta obra W oodhouse explica detalladam ente la notación

Jean-Paul Collette

tlifercncial (en el sentido de Leibniz) y sugiere insistentem ente su utilización. Por el contrario, critica severam ente los m étodos utiliza­ dos por los discípulos de Leibniz y subraya sus frecuentes suposicio­ nes con respecto a principios no evidentes. En particular, considera el signo de igualdad en la serie =

1

+ r ^ p- + ...

y afirma que tiene «una m ayor extensión» en el caso de una igualdad numérica. D e hecho, la ecuación sólo es válida si la serie no diverge. Es la prim era vez que un m atem ático inglés hace uso del «principio de la perm anencia de forma». Fue igualm ente el autor de una obra sobre trigonom etría plana y esférica, así como de un tratado histórico sobre el cálculo de variaciones y los problem as isoperimétricos. A unque fue el prim er matem ático inglés en desvelar las carencias lógicas de los métodos habituales en el análisis continental, ejerció poca influencia en sus contem poráneos. E ste m ovimiento de reform a iniciado por Woodhouse será recogido y desarrollado por los fundadores de la Analytical Society.

PEACOCK George Peacock (1791-1858), fue el miem bro más influyente de esta nueva escuela. Nació en D enton el 7 de abril de 1791. Educado en el Trinity College de Cam bridge, fue más tarde consejero y tutor de ese College. Gracias a sus múltiples esfuerzos, erigió el observatorio de la universidad y en 1836 llegó a ser profesor de astronom ía y geom etría en Cambridge. Adm inistrador anim ado de un celo in­ com parable, Peacock tom ó parte activa en la modificación de los estatutos de la universidad y en la fundación de sociedades científi­ cas. D eán de la catedral de Ely durante los veinte últimos años de su vida, m urió el 8 de noviembre de 1858. Peacock no inventó cosas extraordinarias en m atem áticas, pero su papel no fue por ello menos im portante para la reform a del álgebra en G ran B retaña. E n Cam bridge, como en muchos centros de m atem áticas, se m antenía un punto de vista conservador tanto en álgebra como en geom etría o en análisis. Por otra parte, m ientras

El micimietuo del álgebra moderna

397

que en el continente los matemáticos Wessel, A rgand, Gauss, etc., desarrollaban la representación gráfica de los núm eros complejos, en Inglaterra ciertos matem áticos exponían sus dudas incluso sobre la validez de los núm eros negativos. Con el fin de justificar una concepción más amplia del álgebra, Peacock publicó en 1830 una obra de álgebra titulada Treatise o f algebra (Tratado de álgebra), en la que intentaba dar al álgebra una estructura lógica com parable a la de los Elementos de Euclides. Al principio, Peacock estableció una distinción entre el álgebra aritm ética y el álgebra simbólica, lo que le permitió elaborar un conjunto de reglas aplicables a los núm eros y otro conjunto de reglas aplicables esta vez a las magnitudes en general. El álgebra aritm ética se refería exclusivamente al estudio de los enteros positi­ vos o de los núm eros naturales. Así, los símbolos + y - debían ser tom ados en el sentido habitual y la expresión a — b tenía un sentido sólo s\ a > b. De la misma m anera, a " V = a"''^" era válido en este álgebra siempre que m y n fueran núm eros naturales. En el álgebra simbólica, las reglas de las operaciones se refieren esencialmente a los núm eros negativos, racionales, irracionales y complejos, y las reglas válidas para el álgebra aritm ética se extienden y son aplica­ bles sin restricción al conjunto de los números. Así, según Peacock, «todos los resultados obtenidos en el álgebra aritm ética, cuyas expresiones son generales desde el punto de vista de la forma, pero particulares, específicas, al nivel de los valores, son resultados igualmente en el álgebra simbólica, en donde son entonces genera­ les tanto en la forma como en el valor». En el álgebra simbólica, la expresión general a — b &s válida cualquiera que sea el valor de a y de b, y lo misnjo ocurre para (a -I- b)" y a"'a'’ = La argumentación de Peacock es conocida con la expresión de «principio de la perm anencia dé forma», cuya formulación explícita aparece en su Report on recent progress and present State o f certain branches o f analysis (Inform e sobre los progresos recientes y el estado actual de ciertas ramas del análisis) de 1833, que marca el comienzo de los resúm enes de los progresos científicos en curso que aparecerán a partir de entonces en las Transactions o f the British Association. En el tem a del álgebra simbólica, Peacock afirma en ese informe que el símbolo en sí es ilimitado, tanto en el plano del valor como en el de su representación, y que las operaciones que se efectúan con esos símbolos, cualesquiera que sean, son posibles en

398

Jean-Paul Collette

todos los casos. A ñade que las leyes de combinación de los símbolos son tales que conciden universalm ente con las del álgebra aritm ética cuando los símbolos son cantidades aritm éticas, y las operaciones que se efectúan con esos símbolos llevan el mismo nom bre que en álgebra aritm ética. Es de estos principios de los que Peacock creía poder deducir el principio de la perm anencia de forma: Las formas algebraicas son equivalentes, cualesquiera que sean, cuando los símbolos son generales por la forma pero específicos por el valor (números naturales); serán equivalentes igualmente cuando los símbolos sean genera­ les tanto en valor como en forma. La aceptación de este principio sugiere, en particular, que las leyes del álgebra son las mismas cualquiera que sea la naturaleza de los objetos o los núm eros a los que se refieran las operaciones. Sin em bargo, el consentim iento explícito a la validez empírica de este principio es evidentem ente correcto, pero la lógica de base falla. En efecto, podrían enunciarse propiedades específicas de los núm eros pares en form a simbólica y pretender a continuación que esos enunciados simbólicos fueran generales. La argumentación de P ea­ cock es desarrollada todavía más en una segunda edición de su tratado (1842-1845), además de introducir en ella una ciencia formal del álgebra que com prende, entre otras cosas, la formulación de las leyes fundam entales; la asociatividad y la conm utatividad para la adición y la multiplicación, y la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. El conjunto de las leyes algebraicas, según Peacock, dicta las operaciones a efectuar, y estas últimas tienen un sentido en la m edida en que se ajustan a esas leyes. Peacock deduce aquí el principio de la perm anencia de forma a partir de la adopción de un cierto núm ero de axiomas. A unque su intento no resultara muy eficaz, tuvo el m érito de preparar el camino a desarrollos más abstractos del álgebra. Parece ser que Charles Babbage (1791-1871) había expuesto lo esencial de las ideas de Peacock en una obra relativa a la reform a del álgebra escrita en 1821, pero que perm ane­ ció inédita, con el título de The philosophy o f analysis (La filosofía del análisis). Subrayemos que Babbage se interesó sobre todo por el cálculo autom ático efectuado con la ayuda de m áquinas. Llegó, después de num erosos esfuerzos, a construir algunos prototipos. Peacock aplicó tam bién el principio de la perm anencia de forma

399

El nacimiento del álgebra moderna

a las operaciones con las series divergentes en su tratado de 18421845. En efecto, según Peacock, puesto que r < 1, la serie = 1 + r -ies válida, m ientras que para r = 00

=

1

-f

1, 1

-i- ...

se obtiene

-f-l

-f-

...

A dem ás, para r > 1, se tiene un núm ero negativo en el prim er m iem bro, y como los térm inos en el segundo m iem bro aum entan continuam ente, se tiene una cantidad m ayor que oo a la derecha. Todo esto lo acepta Peacock, pero lo que quiere hacer notar es que la serie representa 1 / ( 1 — r) para todo r porque, según dice, si las operaciones algebraicas son generales y los símbolos sobre los que se aplican esas operaciones no tienen límite en su valor, será imposible evitar la formación de series convergentes o divergentes. Pero si tales series, prosigue, son consideradas como resultados de opera­ ciones que son definibles aparte de las mismas series, entonces no será im portante entrar en el estudio de la relación de los valores aritm éticos de los térm inos sucesivos con el fin de asegurar la convergencia o la divergencia. Porque en esas condiciones, añade, deben ser consideradas como formas equivalentes que representan su función generatriz y que poseen, con respecto a tales operacio­ nes, propiedades equivalentes. En sum a, Peacock intenta no excluir la utilización de las series divergentes al nivel de las operaciones simbólicas, porque ello implicaría necesariam ente una limitación de la universalidad de las fórmulas y de las operaciones algebraicas, lo que sería contrario al espíritu de la ciencia. Se puede subrayar aquí, de pasada, los trabajos de D uncan F. Gregory (1813-1844), descendiente en tercera generación del m ate­ mático Jam es Gregory, ligados a la naturaleza real del álgebra simbólica. Según D uncan, el álgebra simbólica es la ciencia por la cual las leyes de combinación rigen ellas solas las operaciones, lo que conduce a dem ostrar ciertas relaciones entre las diferentes clases de operaciones que, cuando se expresan entre los símbolos, se llaman «teorem as algebraicos». El autor llamó la atención tam bién sobte las leyes de conm utatividad y distributividad, térm inos que fueron introducidos por prim era vez por François-Joseph Servois (1767-1847) hacia 1814. D e M organ, m atem ático inglés, proseguirá este movimiento de reform a del álgebra.

400

Jean-Paul Collette

D E M O RG AN

Augustus D e M organ (1806-1871), nació en M adura, India, en junio de 1806, y fue educado tam bién en el Trinity College de Cambridge. E n 1828 fue nom brado profesor en la nueva University College dé Londres; por su enseñanza e investigaciones, ejercerá una influencia considerable sobre los m atem áticos ingleses. Tuerto de nacim iento, su inofensiva excentricidad se traducía en com portam ientos no ortodoxos, como negarse a votar en una elección, detestar la vida rural u olvidar inscribirse como m iem bro de la Royal Society. Su Budget o f paradoxes (Colección de paradojas), sátira ligera sobre las modas de la cuadratura del círculo, com prende una colección de enigmas y juegos de inteligencia que ilustra bien su m arcada atrac­ ción por esas cosas. Célebre por sus trabajos en lógica m atem ática, de lo que hablarem os más adelante, se distinguió tam bién por sus investigaciones algebraicas, su tratado sobre el cálculo diferencial e integral y su tratam iento de las series infinitas.

Las concepciones algebraicas de De Morgan D e M organ fue uno de los que puso en duda la validez de los núm eros negativos, y en su libro On the study and difficulties o f mathematics (Sobre el estudio y las dificultades de las m atem áticas) dice que las expresiones s j —a y s j —b se parecen en que cualquiera de ellas que aparezca como solución de un problem a implica una inconsistencia o un absurdo. En el plano del significado verdadero, las dos son igualm ente imaginarias, según D e M organ, porque 0 — a es tan inconcebible como s j —a . Después ilustra su punto de vista con un problem a práctico e insiste en que es absurdo conside­ rar los núm eros inferiores a cero. El célebre lógico inglés escribió varias m em orias sobre la ciencia de los símbolos y las leyes de sus combinaciones (álgebra) y, en particular, escribió un tratado titulado Trigonometry and double algebra (Trigonom etría y álgebra doble) (1849), que contiene sus puntos de vista sobre el tem a. En el álgebra de Peacock, los símbolos eran generalm ente entendidos como núm eros (naturales) o magnitudes (todos los dem ás núm eros), pero D e M organ va mucho más lejos, porque considera los símbolos por sí mismos, sin

E l n a c im ie n t o d e l á lg e b r a m o d e r n a

401

significación de ninguna especie. Según D e M organ, «[...] con una sola excepción, ninguna palabra o signo de la aritm ética o del álgebra tiene una parcela de significación a través de todo este capítulo, cuyo objeto son precisam ente los símbolos y sus leyes de combinación, proporcionando un álgebra simbólica que puede con­ vertirse en lo sucesivo en la gram ática de un centenar de álgebras distintas». La excepción a la que se refiere es el símbolo de la igualdad, porque pensaba que en a = b los símbolos a y b debían tener la misma significación resultante, cualesquiera que fueran las etapas por las que se hubieran pasado. En resum en. De Morgan sostenía que el álgebra estaba constituida por una colección de símbolos vacíos de sentido y por unas operaciones definidas entre los símbolos: los símbolos eran 0 , 1 , -f, —, x , -^, ( ) y las letras del alfabeto. Las leyes del álgebra son, por ejem plo, las leyes de conm utatividad, de distributividad, de los exponentes, de los signos, b — b = 0 , b ^ b = 1 , etc. Peacock, Gregory y D e M organ intentaron hacer del álgebra una ciencia independiente de las propiedades de los núm eros reales y com plejos, proponiendo como postulado de base que las mismas propiedades fundam entales son válidas para cualquier clase de núm ero. No parecieron darse cuenta de la naturaleza enteram ente arbitraria de las reglas y de las definiciones del álgebra y, en particular, no vieron que una fórm ula que es válida para una interpretación de los símbolos (la conm utatividad en los reales) no tiene por qué ser cierta para otra interpretación (la conmutatividad de la multiplicación de matrices). D e M organ clasificaba las álgebras de la m anera siguiente: 1 .°) la aritm ética universal que abarca el álgebra de los núm eros naturales (el álgebra aritm ética de Peacock); 2 .°) el álgebra simple, cuyo objeto es el estudio de los números negativos, y 3.°) el álgebra doble, la de los núm eros complejos. Hamilton dem ostrará que es posible construir otras clases de álge­ bras, en particular el álgebra de los núm eros complejos fundam enta­ da en las propiedades de los núm eros reales.

E l álgebra de las parejas de Hamilton En 1831, al m enos cinco matemáticos habían descubierto o publicado, independientem ente unos de otros, la representación

402

J e a n - P a u l C o lle t t e

geom étrica de los núm eros complejos. Estos autores eran Wessel, Gauss, A rgand, W arren y Mourey. Fue gracias al prestigio y a la autoridad de un Gauss por lo que esta representación fue am pliam ente difundida y cada vez más aceptada. Sin em bargo, ninguno de ellos había llegado a extender esta representación al espacio de tres dim ensiones, y entre los que intentarán, después de 1831, encontrar una representación adecuada para ello figura sir William Rowan Ham ilton. Sin em bargo, si la historia de la representación geom étrica de los núm eros complejos constituye una línea de desarrollo que desemboca en los cuaterniones, existe otra que fue establecida por el mismo Ham ilton en su largo e im portante ensayo publicado en 1837 con el título Theory o f conjugate functions, or algebraic couples; with a preliminary and elementary essay on algebra as the science o f pure time (Teoría de las funciones conjugadas o parejas algebraicas, con un ensayo prelim inar y elem ental sobre el álgebra como ciencia del tiem po puro). R ecorde­ mos que la segunda sección de este ensayo trata de la teoría de los núm eros irracionales que hemos presentado en el capítulo 8 . En la tercera sección de esta obra, consagrada a las parejas algebraicas, Ham ilton desarrolla los núm eros complejos en térm inos de parejas ordenadas de núm eros reales de una m anera casi idéntica a la que se utiliza en las matem áticas m odernas. Como Ham ilton creía en la representación geom étrica era útil para la intuición pero no satisfactoria para la justificación lógica de esos núm eros, buscó otro medio de representarlos. Así, introdujo el par ordenado de núm eros reales {a, b) y definió operaciones sobre ese par. Todas esas operaciones se efectúan teniendo en cuenta reglas que son válidas para los núm eros reales

+ (fli, ü j) = ( b i + a u ¿2 + «2) {bi, b ) - (fli, «2) = (bi - ai, ¿2 - «2) (bi, ¿>2)(«I,«2) = ( b u ¿2) X ( a u «2) = ( b i a i - Mi, Mi ~ ¿»iM { b u b2) 2

(b^.h,) («i.a,)

/ ¿|í¡, + fc,«: " | ■ + " 2■

\ «i’ + 02 ^

^

Hamilton se cuida de añadir, inm ediatam ente después de esas reglas, lo siguiente:

E l n a c im ie n t o d e l á lg e b r a m o d e r n a

403

Estas definiciones, aunque arbitrarias, no son contradictorias una con respecto a otra, ni con respecto a los primeros principios del álgebra, y es posible extraer conclusiones legítimas, mediante un razonamiento mate­ mático riguroso, a partir de las premisas aceptadas arbitrari&mente de este modo: pero las personas que han leído con atención las observaciones precedentes de esta teoría, y las han comparado con el ensayo preliminar [sección i del libro], verán que esas definiciones no están escogidas arbitra­ riamente, en realidad, y a pesar de que otras podrían haber sido propuestas, ninguna otra sería igualmente apropiada. Al final de esta sección, afirma con determ inación que el par así considerado es equivalente al núm ero com plejo {a + bi) de la m anera siguiente: En la teoría de los números simples (reales), el símbolo V~1 es absurdo, y designa una raíz imposible, o un número imaginario simple; pero en la teoría de las parejas, el mismo símbolo V ~ 1 es significativo, y designa una raíz posible, o una pareja real, la raíz cuadrada principal de la pareja (—1 , 0). Además, en esta última teoría, no en la primera, el signo V~1 puede ser propiamente utilizado; y podemos escribir, si escogemos para toda pareja (fli, «2). cualquiera que sea, (« 1, flz) = ai + a z V ^ [••■]■ Con esta teoría de las parejas, Ham ilton estaba bien preparado para descubrir y aceptar como legítimos los núm eros complejos de «cuatro dim ensiones», incluso aunque no se dispusiera de ninguna justificación geom étrica. Por otro lado, al final de su ensayo de 1837, Ham ilton dice que está investigando tripletos de núm eros reales. Los cuaterniones de Hamilton H am ilton, después de su teoría de las parejas, se fijó la tarea de extender la teoría de los núm eros complejos al espacio de tres dim ensiones. E n una prim era etapa, intentó probablem ente elabo­ rar un álgebra de tres unidades para establecer una correspondencia con las tres dim ensiones espaciales, pero sabemos actualm ente que tal álgebra no puede existir^. Pero Ham ilton no lo sabía, y debió de ' Véase el artículo de Kenneth O. May citado en la bibliografía.

404

J e a n - P a u l C o lle t t e

tardar mucho tiem po en convencerse de que no llegaría nunca a alcanzar su objetivo. ¿Cóm o llegó más tarde a buscar un álgebra con cuatro unidades que respondiera a sus expectativas? Por lo que sabemos, la respuesta a esta cuestión no ha sido establecida todavía, pero suponiendo que se hubiera convencido de la pertinencia de esta investigación, H am ilton debía, por otra parte, trasgredir la ley de la conm utatividad de la multiplicación para alcanzar su objetivo, los cuaterniones. Com o había hecho C ardano con la existencia de las raíces com plejas, Ham ilton decide aceptar lo que era com ún­ m ente inaceptable en aquella época, que la multiplicación de los «cuádruplos» no es conm utativa. El 16 de octubre de 1843, Hamil­ ton se paseaba a la orilla del canal real cuando de pronto, después de largos meses, e incluso de largos años de espera, a partir de un flujo continuo de ideas, em erge el resultado que había esperado tanto tiem po: f = f = ijk = —1. H am ilton no pudo evitar el grabar esta relación fundam ental en la m adera del puente de Brougham. Ham ilton presentó la form a definitiva de su teoría de los cuater­ niones en sus Lectures on quaternions (Lecciones sobre los cuater­ niones) (1853), y en una obra en dos volúm enes publicada después de su m uerte bajo el título de Elements o f quaternions (1886) (Elem entos de los cuaterniones). E n 1843, Ham iltón presentó sus cuaterniones sirviéndose, como en el caso de su teoría de los irracionales, del concepto de tiem po de la m anera siguiente: llama «cuaternión m om ental» a un conjunto {A i, A 2 , A ^, A 4 ) de cuatro m om entos de tiem po. Dos cuaterniones son iguales sólo si los m om entos correspondientes son iguales. Escribe el cuaternión en la form a q = {a, b, c, d). El operador i tiene la propiedad de cambiar la pareja («i, 0 2 ) por la pareja ( —« 2 . « 1) en su teoría de las parejas. De la misma m anera, en la teoría de los cuaterniones, los operado­ res i, j, k son tales que iq = {—b, a, —d, c) jq

=

kq -

(-C ,

d, a, - b )

{—d, —c, b, a)

A continuación, Ham ilton define {ij)q de m anera que obtenga i{jq) y llega a su célebre relación fundam ental f = f = k^ = -

1

, ijk = -

1.

405

E l n a c im ie n t o d e l á lg e b r a m o d e r n a

E n lugar de proseguir paso a paso la exposición de su teoría tal como él la presentó, preferim os recordar brevem ente, sirviéndonos de la notación m oderna, los principales resultados a los que llegó, y que es encuentran en sus publicaciones de 1853 y 1866. Recordemos brevem ente que un cuaternión es un núm ero «hipercomplejo» de la forma w + xi + yj + z k donde w, x, y, z, son núm eros reales, i, j y k son vectores unitarios, dirigidos según los ejes x, y, y z respectivam ente. La parte real del cuaternión es w, la cual se llama tam bién la parte «escalar» del cuaternión, y el resto constituye la parte «vectorial». Los vectores unitarios obedecen a las leyes siguientes: ij = k,

jk = i,

ki = j

ji = ~ k ,

kj — —i,

ik = —j

ii = jj = k k = —1 . La igualdad de dos cuaterniones q y p consiste en la igualdad de su parte real y la de los coeficientes respectivos de i, j y k. Si p = 3 + / + 3/ + 2k, q = 5 + 2i + 3j + k, p + ? -i- bix +

¿2

=

0

—0

se efectúa multiplicando la segunda ecuación por x, y la resultante por X, así como la prim era ecuación por x, de donde se obtiene

U q X '*

+ ü iX ^ + Ü 2X ^

a()X^

box^^

-f

+

U jX

=

0

-I-

Ü2X

=

0

=

0

+ b ix ^ + b2X^

box^ + biX^ + b2X

=0

b(yx^ -t- b ix + b = 0

El nacimiento del álgebra moderna

419

A continuación, se escribe el determ inante del sistema de estas cinco ecuaciones flo

ai

0 2

aj

0

0

Uq

«1

0 2

0 3

bo

bi

¿>2

0

0

0

bo

bi

bj

0

0

0

bo

bi

Ò2

e igualándolo a cero se obtiene la condición necesaria y suficiente para que las dos ecuaciones polinómicas originales posean una raíz común. Por lo que respecta a las norm as cuadráticas, se sabía ya que n i. i = 1

podía siempre ser reducido a una suma de r cuadrados m ediante una transform ación lineal

i

con I = 1, 2, 3, ..., n, donde el determ inante es no nulo. Sylvester dem ostró, gracias a su ley de inercia, que el núm ero s de térm inos positivos y el núm ero r — í de térm inos negativos son siem pre los mismos, cualquiera que sea la transform ación utilizada. E n 1851, Sylvester se decidió a proponer un m étodo de clasificación de los haces de cónicas y de superficies cuádricas, y en este m étodo introduce la noción de divisores elem entales.

Otras contribuciones a la teoría de determinantes E n 1825, H einrich F. Scherk (1798-1885) form uló las reglas para la adición de dos determ inantes que tienen en común una fila o una colum na, y para la multiplicación de un determ inante por una

420

Jean-Paul CoUelle

constante. Enunció tam bién que el determ inante de una matriz^ en la que una línea es una combinación lineal de dos o más líneas es nulo, y que el valor de un determ inante diagonal es igual al producto de los elem entos de la diagonal principal. En 1858, W eierstrass formuló un m étodo general para reducir sim ultáneam ente dos for­ mas cuadráticas a sumas de cuadrados. Además com pletó la teoría de formas cuadráticas y la extensión a la teoría de las formas bilineales en la que una form a bilineal puede representarse m edian­ te b u Xi yi + bi2Xiy2 +

... +

b„„x„y„

W eierstrass contribuyó tam bién a enriquecer la teoría de los diviso­ res elem entales de Sylvester. Las nociones de matriz de los coeficientes y de matriz ampliada fueron introducidas por H enry J. S. Smith (1826-1883) con ocasión de la resolución de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Cayley, fundador de la teoría de matrices, aportará tam bién resultados nuevos a la teoría de determ inantes, y durante el último cuarto del siglo XIX Charles L. Dodgson (1832-1898), más conocido por el seudónim o de Lewis C arroll, y algunos otros, enriquecerán esta teoría con num erosos resultados nuevos y complementarios.

La teoría de matrices El estudio de los determ inantes em prendido desde m ediados del siglo XV III proporcionó una multitud de resultados interesantes gracias a las necesidades experim entadas por los matemáticos que buscaban m edios de expresar de una m anera más com pacta cosas como, por ejem plo, transform aciones de coordenadas y cambios de variables en las integrales múltiples, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales, etc. Tarde o tem prano, debían interesarse más específicamente por la disposición rectangular de los núm eros que aparecen en el determ inante con vistas a acotar un dominio de estudio específico. Sin em bargo, mucho antes de que se

^ El térm ino de m atriz no se utiliza en el vocabulario habitual de la época, porque no sería introducido por Sylvester hasta 1850.

El nacimiento del álgebra moderna

421

desarrollara la teoría de matrices, los matemáticos habían descu­ bierto ya un buen núm ero de propiedades relativas a esta teoría. U na vez más, la historia de las,matemáticas revela qne el desarrollo de las teorías y los conceptos no se hace necesariam ente de una m anera lógica, y aunque la noción de matriz precede lógicamente a la de determ inante, fue esta última la que se desarrolló primero. Como Cayley fue el prim ero en extraer la idea de matriz del determ inante y en publicar una serie de artículos sobre esta nueva noción, es considerado generalm ente como el fundador de la teoría de tnatrices.

CA Y LEY

A rthur Cayley (1821-1-895), nació el 16 de agosto de 1821, en Richmond (Surrey), en una vieja familia inglesa de talento. Fre­ cuentó una escuela privada en Blackheat, antes de entrar en el King’s College de Londres a los catorce años. D otado para las matem áticas, su talento fue reconocido inm ediatam ente por sus profesores; gracias a presiones externas, su padre, que anteriorm en­ te se había negado a que su hijo se hiciera m atem ático, decidió, sin em bargo, que ingresara en el Trinity College de Cambridge en 1838. Diplom ado con grandes honores en 1842, fue nom brado asistente tutor durante un período de tres años. No queriendo tom ar las órdenes sagradas, Cayley dejó la enseñanza y se consagró a sus investigaciones y, en 1849, fue elegido para el foro. Al tiem po que practicaba su profesión de abogado durante varios años, se las arregló para que su trabajo rem unerado no entrara en conflicto con sus investigaciones en m atemáticas. D urante este período, publicó cerca de 200 memorias de m atemáticas. En 1863, acepta un puesto de m atemáticas puras en Cambridge, y perm aneció en él hasta 1895, excepto un sem estre en que fue invitado por Sylvester para que diera un curso sobre las funciones abelianas y la función zeta en John Hopkins. Murió el 26 de enero de 1895 en Cambridge, y legó a la posteridad una obra tan extensa como las de Euler y Cauchy. A diferencia de Sylvester, Cayley poseía un tem peram ento dulce y un juicio sobrio, y estaba anim ado de una serenidad proverbial. Escritor muy prolífico, contribuyó de una m anera original a num e­ rosos temas m atem áticos, en particular la geom etría analítica en n

422

Jean-Paul Coltelle

dim ensiones, las transform aeiones lineales que son el origen de su teoría de m atrices, la teoría de superficies y la de determ inantes, por no m encionar su colaboración con Sylvester en la fundación de la teoría de los invariantes y sus trabajos sobre las álgebras de dim en­ sión finita.

La teoría de matrices de Cayley Cayley se interesó por el concepto de matriz a partir de sus trabajos comenzados en 1841 sobre la teoría de los invariantes, trabajos que fueron motivados en sus orígenes por las investigaciones originales de Boole sobre los invariantes algebraicos. H em os visto anterior­ m ente que una form a binaria cuadrática / = ax^

-I-

2bxy + cy^

—

puede trasform arse, si se aplica a jc y a y una transform ación lineal Ti definida m ediante X = ax' -f b y ', y = ex' + dy'

donde ad — be = r. La aplicación de Ti a /p ro d u c e una nueva form a f = a'x'^ + I b 'x 'y ' + c'y'^ La aplicación de otra transform ación T2 a / produce una nueva forma de /, por ejem plo f , y se pueden entonces estudiar las composiciones de transform aciones T 1 T2 ó T2 T 1 y m ostrar que esta composición no es conm utativa. A continuación se introduce el concepto de invariante considerando toda función I de los coeficien­ tes de / que satisface la relación /(« ', b', c') = r^/(a, b, c) entonces / se llama invariante de /. Al utilizar la representación rectangular para representar las transform aciones en sus estudios de los invariantes algebraicos, Cayley introdujo el concepto de matriz:

423

El nacimiento del álgebra moderna

No he obtenido ciertamente la noción de matriz de ninguna manera de los cuaterniones; fue más bien a partir de un determinante o como una manera cómoda de expresar las ecuaciones x' = ax -I- by y' — cx + dy. La prim era m em oria en la que introdujo las nociones básicas de las matrices fue redactada en francés y publicada, con el título de Remarques sur la notation des fonctions algébriques (Observaciones sobre la notación de las funciones algebraicas) en la revista de Crelle en 1855. A unque su presentación matricial fuera expuesta para matrices de orden n x m o matrices rectangulares n x m, utilizare­ mos más bien matrices 2 x 2 ó 3 x 3 para facilitar la comprensión y para mayor brevedad. En esa m em oria, introduce las matrices para simplificar la notación en la representación de las ecuaciones lineales simultáneas. El conjunto de ecuaciones

§ = ax + Py + q = a'x -I- p'y -f y'z Ç = a"x + p"y + Y'z se escribe como

(§, q, C) = (a, P, y) (x, y, z) a', P', y' a", p", Y' donde (

) representa evidentem ente

Esboza rápidam ente en esa misma m em oria la idea de la matriz inversa y de la multiplicación de matrices o «composición de m atri­ ces». Pero su prim era m em oria im portante sobre el tem a, titulada Memoir on the theory o f matrices (M em oria sobre la teoría de matrices), fue publicada en las Philosophical Transactions o f the

424

Jean-Paul Collette

Royal Society o f L ondon en 1858. Introduce la m atriz nula y la m atriz unitaria, respectivam ente, m ediante

(0,0,0 )

(1,0 0 )

0 0 0

0 1,0

0 0 0

0 0 1

,

,

,

,

,

,

,

Cayley define la adición de dos matrices de la m anera siguiente {a, b, c

+

{a, P, y )

=

a + a, b + p, c + y )

a', b', c'

a ', 15', r

a' + a ', b' + 15', c' + y '

a", b", c"

a", P", y"

a" + a", b" + 15", c" -f- y '

y enuncia, sin dem ostrarlo, que las matrices son conm utativas o «convertibles» y asociativas. Cayley presenta dos tipos de multipli­ cación: la prim era es la «multiplicación por un escalar»; la segunda designa la multiplicación habitual o «composición». Si m es un escalar y A una m atriz, entonces m A está definida, según Cayley, como la m atriz cuyos elem entos son, cada uno, m veces el elem ento correspondiente de A . E n cuanto a la multiplicación habitual de dos matrices, Cayley se sirve directam ente de la composición de dos transform aciones. Así, ilustrem os para dos matrices de orden 2 ese producto: íx ' = a „ x + fli2y

' [y' = «21-^ + «22y seguida de 2

¡x" = b u x ' + bi^y' |y " = b 2 ix' -H ¿>22y'

entonces las relaciones entre x" e y", y x e y, vienen dadas por x" = (b ú a ,, + b i 2fl2 i > + (bnO u + bua22)y y" = (bzifln -t- b 2 2 a2 i)x + { b u a u + b 2 2 U2 2 )y El producto de dos m atrices es definido por Cayley de la m anera siguiente (en notación m oderna) / b n b i 2\ \ b 2 \b 2 2 j

({B, A ). Se puede leer |— 4>{A), com o que «A posee la propiedad de ’2

para cada punto singular perm itía obtener conclusiones sobre el com portam iento de las soluciones particulares alrededor de los puntos singulares de la ecuación de segundo orden. Fuchs, alumno y sucesor de W eierstrass en Berlín, partiendo de la memoria de Riem ann, em prendió el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n cuyos coeficientes son funciones racionales de la variable x. M ediante un análisis minucioso de la convergencia de las series que satisfacen form alm ente la ecuación, encontró que los puntos singulares de la ecuación son fijos, es decir independientes de las constantes de integración, y pueden encontrarse antes de pasar a la integración porque son los polos de los coeficientes de la ecuación diferencial. M ostró a continuación que un sistema funda­ m ental de soluciones experim enta una transform ación lineal cuando la variable independiente describe una trayectoria que rodea al punto singular. Del com portam iento de esas soluciones obtuvo expresiones válidas en una región circular que rodea ese punto y que se extiende hasta el próximo punto singular. E sta m em oria, de la que sólo se han m ostrado algunos resulta­ dos, atrajo la atención de Poincaré, que, guiado por la teoría de las funciones elípticas que habían desarrollado Fagnano, Euler, Lagrange, Abel y Jacobi, transportó el principio de inversión, la extensión de la concepción de la periodicidad y las funciones de Jacobi al campo de las ecuaciones diferenciales lineales y descubrió las funciones autom orfas. Las integrales de las funciones algebraicas se reproducen, aum entadas por constantes, cuando se gira alrede­ dor de puntos singulares, lo cual es la fuente de la periodicidad de las funciones elípticas. D e la misma m anera, el conjunto de las integrales fundam entales de una ecuación lineal de coeficientes algebraicos se reproduce cuando se gira alrededor de un punto singular, según una transform ación lineal. En una ecuación de segundo orden, la razón de dos integrales fundam entales experi­ m enta una sustitución lineal cuando se recorre un camino cerrado alrededor de una singularidad (Fuchs). Por lo tanto, la variable

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independiente z, considerada como función de la razón de dos integrales, debe perm anecer invariante con respecto a transform a­ ciones lineales de esta razón. E ra la propiedad que debía sustituir a la periodicidad y, al mismo tiem po, al principio de inversión. Poincaré se quedó con esta idea fundam ental y com enzó un estudio sistemático de esas sustituciones, que forman parte de un mismo grupo discontinuo. Subrayemos que la función sen z no cambia si z se sustituye por z -I- 2kji donde k es un entero; en otras palabras, la función no cambia cuando z experim enta una transfor­ mación del grupo z ' = z -I- Ik n . A dem ás, la función elíptica no cambia cuando se sustituye z por el grupo de transform aciones z’ = z kw -P k 'w ' donde w y w' son los períodos de la función. Estos dos grupos de transform aciones forman parte de un conjunto de grupos que Poincaré llamó «discontinuos», porque todas las transform aciones de un punto cualquiera m ediante el grupo de transform aciones están en núm ero finito en el interior de toda región acotada. Poincaré obtuvo la clase de las funciones autom orfas cuando consideró la función inversa de la razón de dos soluciones lineal­ m ente independientes (integrales) de la ecuación de segundo orden, ^

-f P{w, z ) ^ + Q(w, z)n = 0

(1)

donde w y z están ligadas por la ecuación polinómica p{w, z) = 0 y P y Q son funciones racionales. Es la clase de las funciones fuchsianas autom orfas, constituida por funciones m eromorfas uniformes que no cambian frente a la transform ación t

_

az

+

b

cz + d

donde a, b, c, d son reales sujetos a la condición ad — be = 1 . Estas transform aciones dejan invariable una circunferencia, la circunferencia fundam ental de Poincaré, y form an un grupo llamado el «grupo fuchsiano». Poincaré distinguió dos especies de grupos, los que llamó grupos kleineanos, que son los grupos discontinuos más generales, y los grupos fuchsianos. En la segunda memoria de una serie de cinco consagradas a las funciones autom orfas (18821884), Poincaré construyó las funciones que perm anecen invariables

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Los albores de las matemáticas del siglo X X

frente a sustituciones de ese grupo, por m edio de su serie zeta: sean las transform aciones del grupo 2

' _

OiZ c¡z

+ +

bi d¡

tales que a¡d¡ — b¡c¡ = 1, donde ¿ = 1, 2, 3, se obtienen así Zj, Z2 , Zj, las transform adas de z. Sea H (z) una función racional; la serie zeta de Poincaré es la función (p{z) = ^

(c¡z - d¡)

k> 1

í=0

y para dos series zeta 0 i( z ) y © 2 ( 2 ) con el mismo k, Poincaré for­ ma las razones de estas 0 -fuchsianas y m uestra que perm a­ necen inalteradas cuando se som ete la variable a las sustituciones del grupo. Así, F{z) = 0 ^ es una función autom orfa del grupo fuchsiano o del grupo kleineano, dependiendo de si 0 (z) es una serie fuchsiana o kleineana con respecto al grupo de sustitución. Poincaré distinguió dos especies de funciones fuchsianas, la que existe en el plano entero y la que no existe más que en el interior del círculo fundam ental. Las funciones fuchsianas sirven para integrar las ecuaciones diferenciales del tipo (1). Extendió tam bién la trans­ formación homográfica al caso de los coeficientes complejos, y distinguió, entre las transform aciones obtenidas, familias diferentes, cuyos grupos correspondientes fueron llamados kleineanos, en ho­ nor de Klein, quien se había interesado por las funciones fuchsianas. Las propiedades de las funciones kleineanas son análogas a las de las funciones fuchsianas, pero sus regiones difieren.

E l método del barrido En 1847, Lord Kelvin (Thom son) anunció el principio de Dirichlet (llam ado así por Riem ann) que puede presentarse como sigue: sea la clase de todas las funciones U que poseen derivadas continuas de segundo orden en el interior y en el exterior de las regiones T y T , respectivam ente, y una superficie S que separa esas dos regiones. Las funciones í / deben ser continuas en cada punto, y supongamos

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que una función / tom a sus valores sobre S; la función V que hace mínima la integral de Dirichlet

satisface la relación AK = 0 y tom a el valor d e / e n la frontera de S. La solución del problem a de Dirichlet consiste en hacer mínima la función I, es decir, en establecer la existencia de una solución de A L = 0 directam ente o m ediante el principio de Dirichlet. El único m étodo riguroso dado con anterioridad al de Poincaré había sido el de Karl G. Neumann (1832-1925) —com entarista de los trabajos de R iem ann y autor del prim er manual de topología— que conducía, m ediante el procedim iento de las medias aritméticas, a desarrollos en serie cuya convergencia no se podía dem ostrar más que si la superficie era convexa. O tro m odo de presentación, propuesto por Riem ann en su tesis doctoral, no era del todo riguroso pero presentaba sin em bargo un gran interés para la teoría de funciones de variable com pleja, como instrum ento muy apropia­ do para obtener resultados fundam entales. Esta laguna del razona­ miento de R iem ann será colm ada en 1899 por H ilbert, que ofrecerá condiciones más generales en 1901. La idea fundam ental del «m étodo del barrido» de Poincaré, utilizado en su m em oria de 1890 y publicado en el American Journal o f Mathematics, es la misma que la que se encuentra en la base del m étodo de las imágenes eléctricas de Thomson; se puede, sin cam biar el potencial en el exterior de una esfera, sustituir toda la carga interior por una distribución conveniente y simple de una carga igual sobre la superficie de la esfera. Se llega así, sin cambiar el potencial en el exterior, a barrer las cargas interiores de la esfera para llevarlas a la superficie form ando una capa equivalente. Esta operación, repetida una infinidad de veces, perm ite obtener des­ arrollos convergentes para la densidad superficial de equilibrio eléc­ trico en un punto de una superficie de form a cualquiera, con tal que la superficie posea efectivam ente dos radios de curvatura en el punto considerado. Este m étodo equivale a form ar una sucesión de funciones no armónicas en la región pero que, tom ando los valores en la frontera exactos, se hacen cada vez más armónicas (se dice que una función de potencial V es arm ónica si se dan sus valores en la frontera de la región y satisface A L = 0 en la región).

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Teoría de los problemas de contorno En una m em oria aparecida en 1894 en los Rendiconti de Palermo que tiene como título Sobre las ecuaciones de la física matemática, Poincaré parte de los trabajos de H erm ann A m andus Schwarz (1843-1921), en los que se encuentra, en particular, la dem ostración analítica de la existencia del sonido fundam ental (prim er arm ónico), y que fue quien determ inó la solución general del problem a de los sonidos debidos a las vibraciones de una m em brana encontrando todos los valores de una cierta razón. Este problem a pertenece al cálculo de variaciones; hacía falta, pues, distinguir los máximos y los mínimos, lo que le condujo a plantear la cuestión siguiente: una función de dos variables se anula en la frontera de un dominio de dos dimensiones. La razón de su parám etro de segundo orden a su valor es una constante negativa en todos los puntos del dominio. ¿Cuál es el m enor valor absoluto de esta razón? Schwarz determ inó el valor mínimo, m ientras que Poincaré encontró todos los demás valores, adem ás del mínimo de esa razón. Las investigaciones de Poincaré se concretan en la dem ostración de la existencia y de las propiedades esenciales de todos los valores propios de Au + ku = f con X com plejo, en una región cerrada de tres dimensiones en la que M = 0 en la frontera. A dem ás, dem ostró que u{X) es una función m erom orfa de la variable com pleja X y que los polos son reales, que son precisam ente los valores propios X„.

La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales E n el célebre problem a de los tres cuerpos, puede plantearse la cuestión de si uno de los cuerpos perm anecerá siempre en una cierta región del cielo o podrá alejarse indefinidam ente, si la distancia entre dos cuerpos aum entará o disminuirá infinitam ente, o si perm a­ necerá com prendida entre ciertos límites. Es el problem a de la estabilidad del sistema solar, es decir, la cuestión de saber si, en el curso de los siglos, las dimensiones de. las órbitas del sistema planetario variarán poco o si, por el contrario, se perderán en el infinito o se precipitarán sobre el Sol. A dem ás, el problem a de las

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Órbitas planetarias ha revelado la im portancia de las soluciones periódicas en la teoría de las ecuaciones diferenciales. Lagrange había encontrado, en 1772, soluciones particulares periódicas del problem a de los tres cuerpos en su m em oria titulada Essai sur le problém e des trois corps (Ensayo sobre el problem a de los tres cuerpos). La determ inación de soluciones periódicas sería proseguida eficazmente por el prim er gran m atem ático am ericano George William Hill (1838-1914) en sus trabajos sobre el m ovimien­ to de la Luna que fundan la teoría m atem ática de las ecuaciones diferenciales lineales hom ogéneas con coeficientes periódicos. D es­ graciadam ente, los trabajos de Hill fueron prácticam ente ridiculiza­ dos hasta el m om ento en que Poincaré dem ostró que el procedi­ miento de Hill era convergente y edificó la teoría de los determ inan­ tes infinitos y de los sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales. Poincaré inauguró un nuevo enfoque para la búsqueda de solu­ ciones periódicas de las ecuaciones diferenciales que gobiernan los movimientos planetarios. Como esas ecuaciones diferenciales no son lineales, Poincaré tuvo que crear m étodos com pletam ente nue­ vos, porque aunque es cierto que las ecuaciones diferenciales ordi­ narias no lineales habían aparecido mucho antes, pensemos en la ecuación de Riccati y en la ecuación del péndulo por ejem plo, no había sido propuesto ningún m étodo general para resolverlas. Puesto que las ecuaciones del m ovimiento de tres cuerpos celes­ tes no pueden ser resueltas en térm inos de funciones conocidas, y dado que el problem a tiene incluso una infinidad de soluciones, Poincaré concentró su atención en las relaciones que existen entre estas soluciones. Este enfoque es sem ejante al que preconizaron los algebristas de los siglos x v ili y x ix cuando se decidieron a conside­ rar sim ultáneam ente todas las raíces que buscaban en lugar de buscar una raíz determ inada de la ecuación propuesta. Su teoría «cualitativa» se presenta en cuatro m em orias fundamentales (publi­ cadas entre 1881 y 1886) que tratan todas sobre las curvas definidas po r una ecuación diferencial, y propone considerar las relaciones m utuas de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales. El problem a planteado en lenguaje astronóm ico consiste en saber si las órbitas son estables o inestables, lo que puede traducirse en lenguaje m atem ático m ediante preguntas como las siguientes: El punto móvil ¿describe una curva cerrada? ¿Permanece en el interior de una cierta porción de plano?

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Los albores de las matemáticas del siglo X X

Poincaré se dedicó en prim er lugar al caso más sencillo, el de una sola ecuación de la forma ár _ d x

P(x, y) 0 ( x ,

y )

donde P y Q son analíticas en j: y en y. La solución de la ecuación es de la forma/(;c, y) = 0, y define un sistema de líneas a trazar sobre una superficie dada. Poincaré se dio cuenta, por el análisis de estos tipos de soluciones, de la im portancia de los puntos singulares (los puntos para los cuales P y Q se anulan) porque dos curvas integrales diferentes no pueden cruzarse más que en un punto singular. Poincaré examinó con cuidado lo que pasa en el entorno de un punto singular cualquiera y encontró cuatro especies diferentes: nudo, puerto (punto de silla), centro y foco. Los nudos son los puntos de cruce de una infinidad de curvas integrales (soluciones); los puertos son los puntos de silla en los que, por ejem plo, las fuerzas magnéticas debidas a imanes se equilibran; los puntos rodeados de curvas cerradas que se encierran ellas mismas m utuam ente se llaman «centros», m ientras que los focos son los puntos de donde nacen espirales (soluciones) que se desarrollan progresivam ente. Poincaré encontró numerosos resultados, entre los que se pueden m encionar los ciclos, los ciclos límite, los ciclos sin contacto, etc. Por ejem plo, los ciclos límite son curvas cerradas que son soluciones (integrales) de la ecuación diferencial tales que todas aquellas que no acaban en puntos singulares se enrollan alrededor aproximándose cada vez más, en la forma de una espiral de reloj. El caso de la ecuación de prim er orden sobre la esfera o sobre la Tierra es el tem a de las tres prim eras m em orias, mientras que la cuarta memoria (1886) trata de los sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden. En su m em oria prem iada en el concurso de 1889, Poincaré prosigue esas mismas investigaciones y considera una teoría aún más general, aplicada esta vez al problem a de los tres cuerpos celestes. M uestra que existen, en general, una infinidad de posiciones inicia­ les y de velocidades iniciales tales que las distancias mutuas entre los tres cuerpos son funciones periódicas del tiempo. Su gran tratado titulado Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste (Los m éto­ dos nuevos de la mecánica celeste) (1892-1899) extiende los resulta­ dos obtenidos anteriorm ente y se encuentra allí desarrollada, entre

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Otras cosas, una nueva clase de soluciones, llamadas «soluciones asintóticas», que se aproxim an indefinidam ente a soluciones perió­ dicas para valores infinitam ente grandes, positivos o negativos, del tiem po, así como sus ideas sobre el problem a de los n cuerpos. La obra de Poincaré sobre el problem a de la estabilidad del sistema solar fue parcialm ente coronada por el éxito. Por otra parte, la estabilidad sigue siendo todavía una cuestión abierta; en particu­ lar la inestabilidad de la órbita de la Luna no parece ser aceptada unánim em ente. Los trabajos de Poincaré serán proseguidos y am ­ pliados por los de A. Liapunov e I. Bendixson.

Teoría de las seríes asintóticas D urante el siglo X V I I I los m atem áticos y los astrónom os utilizaron abundantem ente las series divergentes, sin conocer dem asiado la naturaleza misma de la divergencia, porque a m enudo eran muy apropiadas para estim ar los valores de las funciones con ayuda de unos pocos térm inos solam ente. Pero el rigor m atem ático introduci­ do por Cauchy tuvo bastante influencia en que los matem áticos rechazaran el uso de tales series, aunque algunos de ellos, como Peacock, M artin O hm , D e M organ, siguieran prom oviendo su utilización para expresar analíticam ente o calcular las funciones. Abel y Cauchy se opusieron vigorosam ente a la utilización incondi­ cional de esas series en las dem ostraciones de teorías, pero Cauchy persistió en utilizarlas en algunas ocasiones y escribió incluso una m em oria titulada Sur l ’emploi légitime des séries divergentes (Sobre el uso legítimo de las series divergentes) en 1843. Cauchy m ostró en esa m em oria que la serie de Stirling para el log L(jc) (log ni), aunque sea divergente para todo x, puede ser útil en el cálculo de log r(A:) cuando x tiene un valor positivo muy grande. Los descubrim ientos de las geom etrías no euclídeas y de nuevas álgebras contribuyeron a crear una atm ósfera en la que las m atem áticas se perciben como una ciencia instituida por hom bres que deben sentirse libres para inno­ var, inventar e incluso transgredir ciertos principios considerados como inmutables. A ntes de que Poincaré fundara la teoría de las series asintóticas, algunos matem áticos se habían interesado por aplicar las series divergentes a diversos problem as. M encionem os brevem ente los

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trabajos de Laplace en su Théorie analytique des probabilités (Teo­ ría analítica de las probabilidades) (1812) sobre la aproximación de la función de error y de n! y el uso de una serie asintótica para calcular la integral g(í)e"'*^'Ví,

f{x) =

los trabajos de Stokes, lord Kelvin y George N. W atson (18861965) sobre la estimación de la integral de Airy, las estimaciones de integrales realizadas m ediante series de potencias por Cauchy y Poisson, y el uso de las series divergentes en la solución de ecuacio­ nes diferenciales por Liouville y G reen, etc. Poincaré y Thom as Jan Stieltjes (1856-1894), célebre por sus trabajos sobre la teoría analítica de las fracciones continuas en los que introdujo en 1894 1895 la integral que lleva su nom bre, de m anera independiente reconocieron la naturaleza de las series di­ vergentes y propusieron las bases de una teoría formal de esas series. M ientras que Stieltjes habla de series semiconvergentes y estudia los aspectos de cálculo de esas series m ediante un enfoque centrado en las fracciones continuas, Poincaré introduce el térm ino «asintótico» para calificar esas series, y su punto de partida es el estudio de las soluciones periódicas de las ecuaeiones diferenciales en mecánica celeste. A prim era vista, puede com prenderse que es poco probable, en un caso práctico cualquiera, que las condiciones iniciales del movi­ m iento de los cuerpos celestes sean tales que correspondan a una solución periódica. Sin em bargo, Poincaré observó que se puede tom ar una de esas soluciones como punto de partida de una serie de aproxim aciones sucesivas y estudiar o desarrollar las que difieren de ella muy poco. Llegó así a aislar y a formular las propiedades esenciales de esas series asintóticas, pues proporcionaban aproxima­ ciones suficientes para las necesidades de la práctica. U na serie de la forma _

,

ai

,

«o + - r + donde las a¡ son independientes de x, se dice que representa a la función f{x) asintóticam ente para grandes valores de x, cuando lim X" [/(;c) - (flo +

+^ + -

+ ^ )] = 0, (n = 0, 1, 2...)

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Se denota la relación entre f{x) y su serie asintotica m ediante el símbolo ~ de m odo que /(x)~ao+

...

Poincaré no consideró más que valores reales de x en un entorno del infinito, pero se pueden definir tam bién esa series para x com pleja con la norm a así como generalizar esas series para considerar un entorno de cero. E n general, el orden de m agnitud del error com etido utilizando esas series es igual a la magnitud del prim er térm ino om itido. Poincaré dem ostró que la sum a, diferencia, pro­ ducto y cociente de dos funciones están representados asintóticam ente por la sum a, diferencia, producto y cociente de las series respectivas, con tal que el térm ino constante en la del denom inador sea diferente de cero. Puede, evidentem ente, representarse una integral m ediante una serie asintótica generalizando la definición inicial. Poincaré aplicó su teoría de las series asintóticas a las ecuaciones diferenciales, y su volumen 2 de los Métodos nuevos de la mecánica celeste contiene num erosos ejem plos aplicados a ecuacio­ nes de segundo orden. Los estudios de Poincaré sobre las series asintóticas serían proseguidos y desarrollados por Jakob H orn (1867-1946), George David Birkhoff (1884-1944), lord Rayleigh y R ichard Gans (18801954). Subrayemos que el problem a inverso de la determ inación de las series asintóticas, la «sumabilidad», consiste en saber si, partien­ do de una serie divergente en el sentido de Cauchy puede asignarse una suma a esa serie. Las prim eras investigaciones sobre el tem a fueron em prendidas por E uler, Poisson, A bel, Fróbenius, H ôlder y E rnesto C esaro; más tarde Stieltjes hizo avanzar el tem a con su original enfoque (fracciones continuas), pero el desarrollo sistem áti­ co de la teoría de las series «sumables» comienza en 1895 con los trabajos de Emile Borei (1871-1956), uno de los grandes m atem áti­ cos franceses de la prim era m itad del siglo, que se distinguió en teoría de la m edida, topología y cálculo de probabilidades, y cuyo nom bre quedará unido al célebre teorem a de Heine-Borel. Léopold F ejér (1880-1959) m ostró el valor del concepto de «sumabilidad» en la teoría de las series de Fourier y sus trabajos están en la base de investigaciones fructíferas em prendidas en el siglo XX sobre el tem a.

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La topología combinatoria La topología constituye en el siglo XX una ram a im portante de las m atem áticas en varios aspectos. Sin em bargo, puede dividirse en dos subramas muy distintas: la topología com binatoria (la geom etría de situación) y la topología de los conjuntos de puntos. Hemos visto (véase Klein y la topología) que los prim eros trabajos en topología com binatoria se rem ontan a principios del siglo XIX y que su des­ arrollo fue obra de num erosas contribuciones individuales a lo largo de ese siglo. Poco entusiasm ado por la topología de los conjuntos de puntos, cuyo desarrollo a lo largo del siglo anterior había estado íntim am ente ligado a la aritm etización del análisis, Poincaré será el prim ero en em prender un estudio sistemático de la teoría com bina­ toria de las figuras geom étricas, y se le considera generalm ente como el fundador de esta nueva teoría. A ntes de Poincaré, sólo había sido suficientem ente estudiada la teoría de las superficies cerradas, y los trabajos de Betti m arcan el comienzo de una teoría general, precisam ente la de Poincaré. La topología com binatoria o analysis sitas es el estudio de los aspectos cualitativos intrínsecos de las configuraciones espaciales que perm anecen invariantes frente a transform aciones biunívocas. En efecto, como recuerda Poincaré en su memoria sobre el Analysis sitas (1895), «el dicho según el cual la geom etría es el arte de razonar bien sobre figuras mal hechas es exacto, pero esas figuras, para no confundirnos, todavía deben satisfacer una condición.» Prosigue diciendo que las proporciones pueden alterarse grosera­ m ente, pero las posiciones relativas de las diversas partes no se deben desordenar. Las transform aciones biunívocas deform an tanto como queram os la configuración espacial, pero no producen, a lo largo de esta deform ación, ni desgarro ni, por el contrario, adheren­ cia entre las partes prim itivam ente separadas. Cuando Poincaré em prendió el estudio de las disposiciones de las curvas integrales de una ecuación diferencial, constató que la influencia de la form a que afecta, en el sentido de la geom etría de situación, a la superficie sobre la que se trazan esas curvas es capital y absoluta. Por ejem plo, después de haber estudiado el caso de la esfera, pasó a continuación al toro y constató que, en ese caso, aparecían una m ultitud de circunstancias nuevas, no permitidas en el caso de la esfera. Sus trabajos sobre la teoría cualitativa de las

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F IG U R A 11.3 Problem a clásico de topología: una cám ara de aire ¿es reversible? Suponiendo que esté hecha de un caucho muy m aleable, se le da la vuelta; 1) estirando el agujero de la válvula (A , B) para obtener dos bandas estrechas (C , D ); 2) imprim iendo a éstas un m ovim iento de torsión para exponer el revés (E ); 3) estirando ai revés (F, G , H , I).

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ecuaciones diferenciales son fundam entalm ente topológicos, a causa principalm ente de la form a de las curvas integrales y de la naturale­ za de los puntos singulares (nudo, puerto, centro y foco). Esos trabajos le indujeron a determ inar la estructura de las superficies de cuatro dim ensiones, las cuales sirven para representar funciones algebraicas f(x , y, z) = 0 donde x, y y z son complejos. La puerta estaba abierta y Poincaré decidió franquear el umbral y abordar el problem a general de la geom etría de situación de las configuracio­ nes espaciales de n dimensiones. Sus escritos sobre el tem a figuran en las Comptes Rendas de 1892 y 1893, en la célebre m em oria de 1895 publicada en el Journal de l’Ecole Polytechnique y en otras cinco m em orias publicadas en diferentes revistas entre 1895 y 1904. El contenido m atem ático de sus trabajos es demasiado técnico para que consideráram os la posibilidad de presentar en el marco de nuestra obra el detalle de los mismos. Baste simplemente mencionar su técnica de triangulación y sus conceptos de símplex y cómplex, que sirvieron para edificar la teoría entrevista por Riem ann (intro­ ducida por B rouw er), el concepto de espacio de invariantes topoló­ gicos como los núm eros de B etti, los núm eros de torsiones y los núm eros de intersección, su noción del grupo fundamental de lazos, etc. Los trabajos de Poincaré abrieron un vasto campo de investiga­ ciones en el que num erosos matem áticos desarrollaron y profundi­ zaron los conceptos fundam entales introducidos por sus investiga­ ciones. M encionarem os entre los principales a Brouwer, Jam es W. A lexander (1888-1971), Oswald Veblen (1880-1960), Lev S. Pon­ trjagin (1908-1960), Emmy N oether (1882-1935).

Otras contribuciones de Poincaré E n tre sus m últiples trabajos científicos, podem os subrayar sus m e­ morias sobre la aritm ética, sobre las representaciones de números m ediante sus form as, sobre los núm eros complejos, sobre las frac­ ciones continuas y sobre las formas cuadráticas. E n álgebra, consa­ gró parte de su tiem po a estudios sobre las formas cúbicas y cuaternarias; en geom etría, propuso un m odelo de geom etría hiper­ bólica y, en probabilidad, escribió num erosas notas que prolonga­ ban los trabajos de Laplace y de los analistas del siglo XIX.

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Sus Leçons sur les hypothèses cosmogoniques (Lecciones sobre las hipótesis cosmogónicas) de 1911 constituyen una síntesis notable del conjunto de los conocimientos relativos a la génesis de los mundos, y contribuyeron a hacer progresar la mecánica celeste. No menos enriquecedora es la serie de memorias consagradas a la física m atem ática, y en particular a la elasticidad, la propagación del calor, la term odinám ica, la teoría cinética de los gases, la óptica, la electricidad, las oscilaciones eléctricas, la difracción de las ondas hertzianas y la telegj"afía sin hilos. Sus últimos librós estuvieron consagrados a la filosofía de las ciencias y constituyen su obra filosófica.

La obra filosófica de Poincaré Lo esencial de esta obra filosófica se encuentra en los volúmenes siguientes: La science et l’hypothèse (La ciencia y la hipótesis) (1902), La valeur de la science (El valor de la ciencia) (1905), Science y méthode (Ciencia y m étodo) (1908) y Dernières pensées (Ultimos pensamientos) (1913). Poincaré, según la expresión de Boutroux, era un autodidacto en filosofía y experim entaba una desconfianza particular hacia los sistemas filosóficos convencionales. Poincaré no perdió nunca de vista los hechos y en sus especulaciones más audaces, más paradóji­ cas en apariencia, permaneció firm em ente ligado a ellos. La verdad, en el sentido de Poincaré, es la expresión filosófica de las condicio­ nes implicadas por la existencia real de las ciencias positivas. A partir de las geom etrías no euclídeas, Poincaré se percató de que sus trabajos de análisis m atem ático le perm itían arrojar una nueva luz sobre el célebre postulado de las paralelas, y ése fue el punto de partida de sus prim eras reflexiones filosóficas que se pueden encontrar en La ciencia y la hipótesis. Se admitía la posibili­ dad teórica de las geometrías no euclídeas, pero se podía pensar que esas geometrías eran construcciones artificiales y sin relación con la geom etría real. R iem ann y Beltram i habían probado que los teore­ mas de geom etrías no euclídeas pueden ser considerados siem pre, si se quiere, como teorías de geom etría euclídea. Al revés de sus predecesores, Poincaré utiliza las proposiciones no euclídeas para

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dem ostrar que la geom etría euclídea tiene un sentido, y así, traduce esas proposiciones con ayuda de un diccionario, construido a la m anera de los diccionarios habituales, a teorem as de la geom etría ordinaria. Por ejem plo, el espacio se traduce por «la porción de espacio situada por encima del plano fundam ental», y el plano se convierte en «la esfera que corta ortogonalm ente al plano funda­ mental». El teorem a de Lobachevski, «la suma de los ángulos de un triángulo es m enor de dos rectos», se traduce, según Poincaré, por «Si un triángulo curvilíneo tiene por lados arcos de circunferencia que prolongados cortarían ortogonalm ente al plano fundam ental, la suma de los ángulos de ese triángulo curvilíneo será m enor de dos rectos.» A continuación, Poincaré propone el problem a de la natu­ raleza de los axiomas y afirma, después de algunas discusiones, que «los axiomas geom étricos no son, pues, ni juicios sintéticos apriori, pues tendrían entonces un carácter de necesidad, ni hechos experi­ mentales». Esto son convenios, y nuestra elección perm anece, pues, libre y no está limitada más que por la necesidad de evitar toda contradicción. Si se plantea entonces la pregunta: ¿es verdadera la geom etría euclídea? Poincaré responde de entrada que no tiene ningún sentido, pero añade que es más cómoda. E n el capítulo IV de esa misma obra, Poincaré aborda un análisis filosófico del concepto de espacio, en el cual separa las propiedades del espacio geom étrico — continuo, infinito, de tres dimensiones, hom ogéneo, e isótropo— , después lo com para con el espacio repre­ sentativo, es decir el m arco de nuestras representaciones y nuestras sensaciones, constituido por los espacios visual, táctil y m otor, y llega a la conclusión de que «el grupo de los desplazamientos constituye el objeto de la geometría». Después de esto, Poincaré, partiendo de la conclusión de que «la geom etría no es más que el com pendio de las leyes según las cuales se suceden las imágenes de nuestras sensaciones», más que un marco impuesto a cada una de nuestras sensaciones, imagina entonces una serie de representacio­ nes, sem ejantes en todo punto a nuestras representaciones ordina­ rias, pero que se suceden de acuerdo con leyes diferentes de aquéllas a las que estam os acostum brados. Poincaré describe a continuación un m undo imaginario encerrado en una gran esfera y som etido a ciertas leyes, de m anera que es la geom etría de Loba­ chevski la que se im pone a sus habitantes, que es la más cómoda, al contrario de lo que sucede en nuestro m undo en el que es la

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geom etría euclídea la que se im pone. Después de haber descrito ese m undo im aginario, concluye en estos términos: Seres educados allí encontrarían sin duda más cómodo crear una geometría más cómoda, que se adaptara mejor a sus impresiones. En cuanto a nosotros, respecto de esas mismas impresiones, es seguro que encontraría­ mos más cómodo no cambiar nuestras costumbres. En La naturaleza del razonamiento matemático, contenida en la obra ya citada, Poincaré plantea en prim er lugar la cuestión de que si todas las proposiciones que enuncia la ciencia m atem ática pudie­ ran deducirse unas de las otras m ediante las reglas de la lógica form al, cómo es que la m atem ática no se reduce a una inmensa tautología. A ñade que el razonam iento silogístico sigue siendo incapaz de añadir nada a los datos que se le proporcionan, y estos datos se reducen a algunos axiomas, por lo que no se deberían encontrar otras cosas en las conclusiones. Hace falta, pues, adm itir que a partir de las consecuencias que implica el uso de un razona­ m iento silogístico, el razonam iento m atem ático tiene por sí mismo una especie de virtud creadora, y por consiguiente se distingue del silogismo. Es así como llega a m ostrar que el razonam iento por recurrencia, por su carácter esencial de contener una infinidad de silogismos, es el razonam iento m atem ático por excelencia. A dem ás, según dice, no se puede concebir una inteligencia lo bastante poderosa para percibir de un solo vistazo el conjunto de las verdades m atem áticas. La respuesta es fácil si uno se sirve del razonam iento por recurrencia, porque es un instrum ento que perm ite pasar de lo finito a lo infinito, y sin la idea del infinito m atem ático «no habría ciencia porque no habría nada general». El m atem ático no es un analista en el sentido aristotélico de la palabra. Procede por cons­ trucción, y va de lo particular a lo general. Se encuentra tam bién en la cuarta parte de esta misma obra, titulada La naturaleza, un texto que contiene sus reflexiones filosófi­ cas sobre el cálculo de probabilidades y cuyo fin es exam inar el valor de este cálculo en las ciencias físicas y analizar qué confianza merece. Según Poincaré, la definición habitual de la probabilidad de un suceso en térm inos de la razón del núm ero de casos favorables al núm ero total de casos posibles es incom pleta, e ilustra esta afirm a­ ción con un ejem plo del juego de dados. D espués em prende una

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clasificación de los problem as de probabilidades teniendo en cuenta el concepto de probabilidad subjetiva (probabilidad prevista según las leyes antes de que el fenómeno se produzca) y el concepto de probabilidad objetiva (los sucesos observados se reparten de acuer­ do con las leyes del cálculo de probabilidades). Según Poincaré, existen las probabilidades de las ciencias m atem áticas, de las cien­ cias físicas, de los juegos de azar y finalm ente de la teoría de errores. Sin aportar, según dice, soluciones a los problem as planteados, Poincaré constata sin em bargo que existen ciertos puntos de se­ m ejanza en estas diferentes aplicaciones de las probabilidades. Así, al principio hace falta adoptar una hipótesis o un convenio que com porta siempre un grado de arbitrariedad, y la elección de este convenio reposa esencialm ente en el principio de razón suficiente. Desgraciadam ente, subraya Poincaré, este principio es muy vago y muy elástico, y tom a muchas formas diferentes. La form a más usual de este principio es la creencia en la continuidad, creencia sin la que toda ciencia sería imposible. Finalm ente, Poincaré añade que los problem as en los que el cálculo de probabilidades puede ser aplica­ do con aprovecham iento son aquellos en los que el resultado es independiente de la hipótesis hecha al principio, con tal que esta hipótesis satisfaga la condición de continuidad. En resum en, se atribuyen al azar los sucesos que son producidos por causas com­ plejas, pero ¿cómo se puede calcular lo que no se conoce?, ¿cómo puede ser que el azar tenga leyes? A dm itiendo que la probabilidad de un suceso determ inado es una función continua de este suceso, sin tener ninguna razón a priori para presum ir las leyes del azar, hay que adm itir que la variación del suceso implica en consecuencia una variación de su probabilidad. Así, dos sucesos muy próximos uno de otro son, salvo pequeñas diferencias, igualm ente probables. La continuidad de los fenóm enos aleatorios está en la base de la ciencia del azar. Poincaré reflexionó sobre muchos otros tem as que se refieren bien a la m atem ática, bien a la física o incluso a la física m atem ática, entre los que hemos escogido la noción del «continuo» y la «creación m atemática». Serán abordados otros tem as en el m om ento de la presentación de las escuelas de pensam iento creadas a comienzos del siglo XX con el fin de aportar respuestas a la crisis de los fundam entos de las m atem áticas, la cual era particularm ente aguda en esa época.

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En La ciencia y la hipótesis, Poincaré trata de la magnitud m atem ática y de la experiencia y, desde la prim era frase, afirma que si se quiere saber lo que los m atem áticos entienden por un continuo, no hay que preguntárselo a la geom etría. Se interesa, pues, por los trabajos de los aritm éticos, y en particular por la escuela de Berlín. Según Poincaré, K ronecker concibe el continuo m atem ático como una pura creación de la inteligencia. H ablando de las cortaduras de D edekind, subraya que según el punto de vista de D edekind, el núm ero inconm ensurable \ J l no es más que el símbolo de ese m odo particular de reparto de los núm eros inconm ensurables. Pero, aña­ de, contentarse con ello sería olvidar com pletam ente el origen de esos símbolos, porque, ¿tendríam os la noción de esos núm eros si no conociéramos de antem ano una m ateria que concebimos como divisible hasta el infinito, es decir como un continuo? La doctrina contraria es la de los em piristas, según los cuales el continuo m atem ático está sim plem ente extraído de la experiencia física. Ninguna de las dos soluciones propuestas satisface a Poincaré, y por ello aborda la creación del continuo m atem ático en dos etapas; la prim era consiste en intercalar entre A y B un núm ero conm ensura­ ble de térm inos, lo que constituye un conjunto num erable de térm inos, y la segunda consiste en introducir los inconm ensurables intercalándolos en el conjunto num erable constituido en la prim era etapa. Poincaré llega entonces a la conclusión siguiente: «La inteli­ gencia tiene la facultad de crear símbolos, y es así como ha construi­ do el continuo m atem ático, que no es más que un sistema particular de símbolos. Su potencia está limitada sólo por la necesidad de evitar toda contradicción; pero la inteligencia no hace uso de ella más que si la experiencia le proporciona una razón para ello.» En los Ultimos pensamientos pueden encontrarse tam bién refle­ xiones de Poincaré sobre el continuo, pero ligadas esta vez al análisis sitas y a las cortaduras.

La creación matemática E n una célebre conferencia pronunciada en la Sociedad de Psicolo­ gía de París en 1908, y reproducida en Ciencia y método, Poincaré abordó directam ente el estudio de esta facultad misteriosa, la inven­ ción, y nos confió sus observaciones sobre las relaciones entre el

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consciente y el inconsciente, entre lo lógieo y lo fortuito, relaeiones que están en la base del problem a. Tam bién quiso dar a las observaciones que presentaba un carácter personal, por no deeir autobiográfico. El estudio de la invención en general ha sido objeto en el pasado de num erosas investigaciones por em inentes psicólogos, pero cuan­ do se trata de estudios sobre la invención en matem áticas la dificul­ tad es doble porque el tem a se refiere a dos disciplinas: la psicología y las matem áticas. Para tratarlo de m anera adecuada, habría que ser a la vez m atem ático y psicólogo. El tem a ha sido, sin em bargo, estudiado por m atem áticos, psicólogos e incluso neurólogos. Recordem os brevem ente que el eélebre Gall, quien se interesó por la frenología y fue un precursor de la noción de localización cerebral, deducía de su principio que la capacidad m atem ática debía earacterizarse por una «protuberancia» especial de la eabeza, cuyo em plazam iento indieaba incluso. Las ideas de Gall fueron reeogidas en 1900 por el neurólogo Möbius (nieto del m atem ático), que realizó un estudio bastante largo y profundo de las capacidades m atem áticas consideradas desde el punto de vista de un naturalista. C ierto núm ero de datos se refiere, por ejem plo, a la herencia en el seno de familias de m atem áticos, a la longevidad y a capacidades de distintos tipos. Señalemos de paso que Francis G alton (1822-1911) había consagrado un largo capítulo de Hereditary genios (1869) a los hom bres de ciencia. E n cuanto a los psicólogos, algunos habían sostenido que la invención se produce por puro azar, y otros, por el contrario, perm anecían fieles a la teoría más clásica de la lógica y del razonam iento sistemático. M. E. Maillet hizo una prim era encuesta entre matem áticos a principios de este siglo, cuyos resultados aparecieron en la revista L ’Enseignement Mathématique desde 1901 hasta 1908 (tom o lll a tom o X). Más de cien m atem átieos respondieron al cuestionario, que com prendía treinta preguntas relativas a sus hábitos mentales y a sus m étodos de trabajo, variando considerablem ente el núm ero de respuestas de una pregunta a otra. Hay que reconocer que la calidad de la m edida de ese cuestionario, así como la pertinencia de algunas de las cuestiones, dejaba bastante que desear. Sin em bargo, se pueden apreciar algunos índices reveladores: la mayoría de los que contestaron se habían sentido atraídos por las m atem átieas antes de los quince años; el gusto por las m atem átieas no parecía ser heredi-

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tario, y si lo era, provenía de la ram a paterna; los dos tercios de los que respondieron se interesaban por las m atemáticas puras, y el interés por las diferentes ramas estaba dividido; los m étodos de trabajo y los gustos personales de los encuestados tam bién estaban muy divididos; el papel del azar y de la inspiración en los descubri­ mientos matemáticos eran cuestiones respecto de las cuales no habría unanim idad, aunque sí la habrá respecto del trabajo sosteni­ do, la necesidad del estudio y de la reflexión; la inspiración m atem á­ tica era más frecuente al despertar que durante el sueño, m ientras que las circunstancias que conducían al descubrim iento eran a m enudo extrañas, sin vínculo aparente con el tem a. Los descubri­ mientos matemáticos no nacen nunca, al parecer, por generación espontánea; suponen siem pre un terreno sem brado de conocimien­ tos previos y bien preparado para un trabajo a la vez consciente y subconsciente. Por otra parte, todo descubrim iento, por su misma novedad y su originalidad, contrasta forzosam ente con lo que le precede, y parece tanto más sorprendente cuanto más inopinada­ m ente surge de una incubación latente prolongada. Se com prende, pues, que según los casos y los individuos, en ocasiones sea la dependencia del trabajo voluntario anterior la que sorprende más a su autor cuando reflexiona sobre ello retrospectivam ente; otros opinan que el abuso de las lecturas paraliza el desarrollo de la inteligencia, por lo que haría falta leer sobre todo a los clásicos, las obras m aestras, etc.; se habla tam bién a m enudo de la preocupación constante por las analogías en la invención, del orden caótico de los teorem as, etc. Las costum bres de la vida de los matemáticos son sensiblemente las mismas que las de la mayoría de las personas. Poincaré afirma al comienzo de su exposición que tuvo conoci­ miento de los resultados de esa encuesta cuando su texto estaba prácticam ente term inado, pero añade que, de forma general, la m ayoría de esas opiniones confirman sus conclusiones. E ntra en lo más im portante del tem a planteando la pregunta siguiente: ¿cómo es posible que tanta gente no com prenda las m atemáticas? Poincaré responde a esta pregunta m ostrando que la aptitud para las matem áticas reposa esencialmente en una buena m em oria y en una fuerza prodigiosa de la atención. Sin em bargo, la dem ostración m atem ática exige que los silogismos se coloquen en un cierto orden, y es precisam ente ese orden lo que es im portante. Porque, según dice, si «tengo la sensación, la intuición de este or-

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den de forma tal que percibo de un vistazo el conjunto del razona­ m iento, no tem o ya olvidarm e de uno de los elementos porque cada uno de ellos vendrá a colocarse en su sitio, sin ningún esfuerzo de m emoria». Es aquí donde el m atem ático se diferencia de los demás por esta «intuición del orden matemático» que le perm itirá crear, lo cual no está al alcance de todos. La creación m atem ática, según Poincaré, consiste precisam ente en no hacer combinaciones inútiles sino las que son útiles, las cuales, sin em bargo, están en m inoría. «La invención es discernimiento, elección». Procediendo por analogía entre los hechos m atemáticos y otros tipos de hechos, llegaremos, según Poincaré, al conocimiento de las leyes m atem áticas. Después añade que, entre las diferentes com binaciones, las más fecundas serán aquellas form adas con ele­ m entos extraídos de campos muy alejados unos de otros. Inventar es elegir pero, según dice, la palabra no es del todo exacta, y para ilustrar su punto de vista decide narrar el célebre descubrimiento que consagró su gloria, la teoría de las funciones fuchsianas. Des­ pués de haberse dedicado en vano al tem a durante un par de sem anas, y queriendo probar que no podían existir tales funciones, describe la noche de insomnio en la que dem ostró precisam ente la falsedad de esta idea: Una noche tomé café solo, contrariamente a mi costumbre, y no pude dormirme; las ideas surgían en tropel; las sentía como chocar, hasta que dos de ellas se enganchaban, por decirlo así, para formar una combinación estable. A la mañana siguiente, había establecido la existencia de una clase de las funciones fuchsianas, las que provienen de las series hipergeométricas; no tenía entonces más que escribir los resultados, lo que hice en sólo algunas horas. E ste fenóm eno bastante excepcional de sentir la coexistencia del yo consciente y el yo subconsciente, fue expresado por Poincaré de la m anera siguiente: «Parece que, en estos casos, asiste uno mismo a su propio trabajo inconsciente, que ha llegado a ser parcialm ente perceptible para la consciencia sobreexcitada, y que no por ello ha cam biado de naturaleza. Entonces uno se da cuenta vagam ente de lo que distingue a los dos mecanismos.» Poincaré intentó luego encontrar una expresión para esas funcio­ nes, y he aquí cóm o llegó a su resultado:

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Quise representar estas funciones mediante el cociente de dos series; esta idea fue perfectamente consciente y reflexionada; la analogía con las funciones elípticas me guiaba. Me preguntaba cuáles debían ser las propie­ dades de esas series si existían y llegué sin dificultad a formar las series que llamé zetafuchsianas. En ese punto, me fui de Caen, en donde vivía entonces, para tomar parte en una excursión geológica emprendida por la Escuela de Minas. Las peripecias del viaje me hicieron olvidar mis trabajos matemáticos; llegados a Coutances, subimos a un ómnibus para no sé qué paseo; en el momento en el que ponía el pie en el estribo, me vino la idea, sin que nada en mis pensamientos anteriores pareciera haberme preparado para ello, de que las transformaciones que había utilizado para definir las funciones fuchsianas eran idénticas a las de la geometría no euclídea.»

Añade que comprobó este resultado, más tranquilamente, a su vuelta a Caen, y después prosigue; Me puse entonces a estudiar cuestiones de aritmética sin grandes resultados aparentemente y sin sospechar que ello pudiera tener la más mínima relación con mis investigaciones anteriores. Cansado por mi falta de éxito, fui a pasar unos días al borde del mar, y pensé en cosas absolutamente diferentes. Un día, paseándome por un acantilado, me vino la idea, siempre con las mismas características de brevedad, certeza inmediata y subitanei­ dad, de que las transformaciones aritméticas de las formas cuadráticas ternarias indefinidas eran idénticas a la de la geometría no euclídea.

Así, Poincaré se dio cuenta de que existían otros grupos fuchsianos, y por consiguiente otras funciones fuchsianas, además de las ya descubiertas en su célebre noche de insomnio. A continuación, Poincaré se dedicó a los casos más generales y, una vez más, después de un esfuerzo consciente persistente, no llegó a superar la dificul­ tad más que de una manera inesperada y sin preparación, en el momento de su servicio militar. Poincaré formula finalmente algu­ nas observaciones pertinentes a propósito del acto de invención que, en resumen, son rasgos característicos de la creatividad en general. Por ejemplo, subraya que el papel del trabajo inconsciente en la invención matemática le parece indiscutible (período de incuba­ ción), de la misma manera que el papel eficaz de las conspiraciones repentinas cuando van precedidas y seguidas de períodos de refle­ xión conscientes. Añade que las ideas nuevas que surgen no pueden ser reglas mecánicas o fórmulas algebraicas acabadas, porque estas

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Últimas son estrictas y complicadas y, por consiguiente, exigen disciplina y mucha atención, y pertenecen, por tanto, al trabajo consciente. Finalmente, reconoce que esa noche de insomnio fue una noche de excitación, muy a pesar suyo, porque asistió, sin intervenir conscientemente, al trabajo de su subconsciente. Que sepamos, Poincaré fue el primer matemático célebre que expuso sus observaciones sobre la creatividad en matemáticas, y esta conferencia pronunciada en 1908 llevará al mundo científico a inclinarse seriamente hacia el estudio de la creatividad. En efecto, algunos años más tarde, fue llevada a cabo por varios matemáticos con la ayuda de Claparède y Fournoy una encuesta más importante que la de Maillet, cuyos resultados fueron publicados también en L ’Enseignement Mathématique. Además, en 1937, tuvieron lugar en el Centro de Síntesis de París una serie de conferencias sobre las diversas clases de invenciones con la participación de Claparède. Más tarde, en 1945, aparecía en los Estados Unidos una célebre obra escrita por Jacques Hadamard (1865-1963) que fue traducida al francés después, y que llevaba por título Ensayo sobre la psicología de la invención en el dominio de las matemáticas (1959). Hadamard era también un matemático de gran clase, y sus contribuciones en el campo de las matemáticas son imponentes: generalizó la teoría de las características a las ecuaciones diferencia­ les en derivadas parciales de cualquier orden; fue uno de los primeros matemáticos que realizó importantes aplicaciones de la teoría de los números transfinitos al análisis; hizo estudios sobre las operaciones funcionales mediante el cálculo de variaciones, y se le debe el término funcional; se le debe igualmente una demostra­ ción del célebre teorema de los números primos mediante la función zeta, en 1896, así como investigaciones sobre los determinantes. El Ensayo de Hadamard es ciertamente el primer libro impor­ tante publicado sobre la creatividad en general y, por añadidura, está aplicado al campo de las matemáticas. En la segunda mitad del siglo X X , asistiremos a un recrudecimiento de las investigaciones en este campo, y son de señalar particularmente las contribuciones americanas e inglesas. Entre los autores importantes, podemos citar a J. P. Guilford, L. Hudson, P. E. Vernon, E. P. Torrance, E. de Bono, A. E. Osborn, W. J. J. Gordon, A. Beaudot, G. y B. Veraldi, S. Arieti, S. J. Parnés, C. S. Cotteli.

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L O S FU N D A M E N T O S D E LA S M A TE M Á TIC A S

Cuando consideramos desde un punto de vista lógico el desarrollo de las matemáticas a finales del siglo X IX , podemos constatar que la noción misma de verdad matemática se ha separado del mundo sensible. En efecto, la creación de los números comple|os e hipercomplejos, el advenimiento de las álgebras de dimensión finita y de la teoría cantoriana de los números transfinitos, el desarrollo de esta teoría y de la de los números reales, forzaron, por así decirlo, a los matemáticos a no contar ya con la realidad sensible para verificar sus teorías. Como en muchos casos las matemáticas se reducían a una colección de estructuras, cada una de ellas desarrollada sobre un sistema de axiomas que le era propio, la euestión de la consisten­ cia de esos axiomas se hacía cada vez más acuciante, y varios matemáticos se preocuparon de ese problema. Los modelos pro­ puestos por Beltrami y Poincaré, alrededor de 1880, hicieron posi­ ble la consistencia de las geometrías no euelídeas. Después de 1880, fueron Peano y su escuela quienes se ocuparon del problema de los fundamentos de la aritmética. Aproximadamen­ te en la misma época, Frege elabora una tentativa seria para reducir toda la aritmética a la lógica. Mientras tanto, Hilbert consigue establecer la consistencia de la geometría euclídea sobre la hipótesis de que la aritmética es consistente. Pero la carta de Russell a Frege, en 1902, planteó un segundo problema importante para los funda­ mentos, la presencia de paradojas en el seno de la teoría de conjuntos, lo que hizo fracasar las tentativas de Peano y Frege. En poco tiempo, paradojas tales como las de Russell, Burali-Forti, Richard, Grelling y Nelson plantearon controversias y sumieron al mundo de las matemáticas en una verdadera crisis que hizo tambalear­ se toda la confianza de los matemáticos. A principios del siglo X X , las preocupaciones principales de un buen número de matemáticos estaban centradas en este problema de los fundamentos, pero no por ello hay que creer que esto impidió el desarrollo y el progreso de muchos otros temas de las matemáticas. En particular, bajo la influencia de la teoría de conjuntos, se desarrolló considerablemen­ te la teoría de la medida, alrededor de 1900, con los trabajos de Jordan, contenidos en su Cours d’analyse (Curso de análisis) (1893), las Leçons sur la théorie des fonctions (Lecciones sobre la teoría de funciones) (1898), de Borel, la tesis de René Baire (1874-1932),

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titulada Sur les fonctions des variables réelles (Sobre las funciones de variables reales), en la que introduce el concepto im portante de «conjunto abierto» y, evidentem ente, con la tesis de Lebesgue, en 1902, y sus famosas Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (Lecciones sobre la integración y la búsqueda de funciones primitivas), de 1903, en donde desarrolla su célebre integral. Paralelam ente, el surgimiento de la topología de los conjuntos de puntos proviene de la extensión de la teoría de conjuntos em prendida por Giulio Ascoli (1843-1896) con una me­ moria que trata del estudio de los conjuntos de curvas (1883); después, Vito V olterra (1860-1940) publicó sus primeras investiga­ ciones sobre los funcionales en 1886; a continuación, H adam ard propuso en 1897 (en el I Congreso Internacional de Matemáticos) un estudio sobre el conjunto de las funciones continuas en el intervalo (0, 1) con valores dados en los extremos; en 1903, Borel propuso también un estudio, esta vez sobre los conjuntos cuyos elementos son rectas o planos, y sugirió una m anera de extender la noción de entorno en una m emoria titulada Quelques remarques sur les ensembles de droites ou de plans (Algunas observaciones sobre los conjuntos de rectas o planos; en el mismo año, Ivar Irik Fredholm (1866-1927) publicó una m em oria que perm itía la exten­ sión del concepto de argum ento a las mismas funciones; en 1906, el concepto de espacio abstracto fue generalizado en la tesis de M auri­ ce Fréchet (1878-1973), en la que intentaba unificar en términos abstractos las ideas de sus predecesores bajo el vocablo de cálculo funcional; después, H erm ann Weyl (1885-1955) propuso un des­ arrollo de las variedades generales en dos dimensiones en términos de entorno; y, finalm ente, Félix H ausdorff (1868-1942) se sirve del concepto de entorno en sus Gründzüge der Mengenlehre (Rasgos fundam entales de la teoría de conjuntos) (1914) para elaborar una teoría definitiva de los espacios abstractos, con lo que la topología de los conjuntos de puntos se convierte entonces en una disciplina autónom a. Sin em bargo, la cuestión de los fundam entos constituye en esta época una preocupación principal que no se puede ignorar, a causa de la influencia que ejerció en num erosas investigaciones posteriores. E n las páginas que siguen, expondrem os brevem ente la cuestión de las paradojas o antinomias de la teoría de conjuntos, y después las investigaciones que condujeron a la axiomatización de esta teoría, y.

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finalm ente, analizaremos los trabajos ligados a las tres escuelas de pensam iento que se form aron con el fin de exponer su propia concepción de la m atemática.

LAS P A R A D O JA S D E LA T E O R ÍA D E CO N JU N TO S

En su uso habitual, los térm inos «paradojas» o «antinomias» son considerados a m enudo como sinónimos. Se habla frecuentem ente de las «paradojas de la teoría de conjuntos» cuando se hace referen­ cia a las contradicciones observadas en esta teoría. El térm ino «antinomia» significa un enunciado o una proposición contradictoria en sí, que puede ser representada form alm ente m ediante una equi­ valencia entre la proposición y su negación. Por el contrario, un teorem a verdadero es una paradoja si aparece como incorrecto sobre la base de consideraciones previas muy precisas. A dem ás, hablar de paradojas es establecer un hecho psicológico, y lo que aparece como paradójico para uno puede parecer com pletam ente aceptable o natural para otro. A pesar de esta distinción de matiz entre los dos térm inos, em plearem os más a m enudo la palabra paradoja, porque es el térm ino más utilizado por los m atem áticos para designar las contradicciones de la teoría de conjuntos. Ya en 1895, C antor tenía conciencia de la paradoja del con­ junto de todos los ordinales y, en la misma época, parecía estar al corriente de la paradoja del conjunto de todos los conjuntos. En una carta dirigida a D edekind, en 1899, expone sus puntos de vista sobre las antinomias inherentes a ciertos conjuntos, y en particu­ lar estudia el sistema de todos los ordinales. Un conjunto w es un núm ero ordinal si puede ser bien ordenado de m anera que para todo elem ento v de w el segm ento inicial I{v) de w sea igual a v, d o n d e/(v ) = jO, 1 ,2 , . . . v - l|. Por ejem plo, el núm ero natural 3 es un núm ero ordinal, porque /(3) es igual a 3, y de la misma m anera todo núm ero natural es un núm ero ordinal. A dem ás, el conjunto w de todos los núm eros naturales situados en el orden natural es tam bién un núm ero ordinal. Según C antor, si Q fuera un conjunto, habría un ordinal 6 , el cual sería m ayor que todos los ordinales a , y en particular á sería m ayor que ó, lo que es absurdo. Es entonces cuando subdivide las «multititudes» en dos categorías: las que pueden coleccionarse en

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una entidad y las que no pueden concebirse como un objeto único sin provocar una contradicción. C antor distingqe las prim eras de las segundas m ediante los térm inos «multitudes consistentes» y «multi­ tudes inconsistentes», respectivam ente. Es im portante señalar aquí que C antor anuncia ya que ciertas clases de objetos no pueden ser consideradas como form ando un nuevo conjunto. Se encuentran tam bién en esta carta otros ejemplos de «multitudes inconsistentes» com o la colección de los álefs Ko, K,, ... donde Xq designa la cardinalidad de todos los conjuntos num erables, etc. D ado un núm ero transfinito que designa la cardinalidad de un conjunto, puede obtenerse otro «mayor» siem pre, en particular el que designa la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de partida. Ello plantea, en prim er lugar la célebre paradoja de C antor al considerar si habría núm ero transfinito posterior al corres­ pondiente al conjunto cuyos elem entos son todos los posibles conjuntos, y en segundo lugar, la cuestión de si entre dos números transfinitos construidos de esa forma existen otros intermedios. Todo esto condujo a la hipótesis del continuo propuesta por Hilbert en la lista de veintitrés problem as que presentó en el Congreso Internacional de M atem áticos celebrado en París en 1900. Cesare Burali-Forti (1861-1931) publicó en 1897 una memoria titulada Una questioni sui numeri transfiniti (U na cuestión sobre los núm eros transfinitos) en la que formulaba la paradoja que lleva su nom bre con el simbolismo introducido por Peano: si el conjunto Q de todos los ordinales está bien ordenado, también es un ordinal. E ntonces, para cada ordinal a se tiene que a < Q, y en particular Q - I- 1 < Q , lo que es absurdo. La publicación de esta paradoja originó algunas discusiones entre los matem áticos, y en particular Poincaré presentó en Ciencia y m étodo una discusión de esta para­ doja, cuya existencia parecía im putar a la lógica simbólica, además de form ular algunas exigencias a los que quisieran utilizar correcta­ m ente el lenguaje de la lógica. H adam ard tam bién se ocupó de esta contradicción de la teoría cantoriana de conjuntos, y llegó a la conclusión de que había que rechazar la existencia de una colección de todos los ordinales en un conjunto. Con motivo del Congreso Internacional de París, presidido por Poincaré, Russell conoció personalm ente a Peano y, a la vista de las discusiones de los participantes, el joven m atem ático inglés subraya

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en su autobiografía que Peano había m ostrado la máxima precisión en sus declaraciones, y que cuando se entablaba una discusión era invariablem ente el más fuerte. Russell añade que era gracias a su lógica m atem ática como Peano lo conseguía. Influenciado por Peano, y trabajando en estrecha colaboración con W hitehead, Russell hizo progresos notables en la nueva lógica. En el verano de 1901, conoce algunas antinomias de la teoría de conjuntos de C antor, y algún tiem po después form ula su célebre paradoja de las clases ( x ¡ X í x). Sea w = [x\x ^ x] la clase de todas las clases que no son elementos de sí mismas; se dem uestra fácilmente que si w e »v ó w $ w, cada proposición conduce a una contradicción. Según R us­ sell, la contradicción proviene de un tipo de razonam iento circular que él llama «círculo vicioso» y que implica una argumentación falaz. En 1903 publicó una exposición de este tipo de contradicción en sus Principies o f mathematics (Principios de matem áticas). M ien­ tras tanto, Frege había publicado un apéndice en el segundo volu­ men de sus Grundgesetze (1902) en el que expresaba su am argura al ver desm oronarse, por así decirlo, toda su obra como consecuencia de la carta de Russell que contenía la paradoja de las clases. Intentará resolver el obstáculo considerando diversas sugerencias, la prim era de las cuales se refiere a la posible existencia de conceptos para los cuales no existirían clases correspondientes. Por ejem plo, si el concepto de una clase que no es elem ento de sí misma es un concepto que no corresponde a una clase, la paradoja de Russell no se mantiene. Pero Frege preferirá modificar su quinto axioma en lugar de conciliar esta concepción revolucionaria con su pro­ pia teoría, y desgraciadam ente, las modificaciones aportadas a su teoría no eran suficientes para liberar a su sistema de toda antino­ mia. Parece que Russell hizo caso de la prim era sugerencia de Frege, es decir que ciertas funciones de enunciado no determ inan verdade­ ras clases, y que el problem a del lógico consistía en elaborar reglas m ediante las cuales estas funciones no predicativas, como él las llamaba, pudieran ser distinguidas de las otras. En un artículo publicado en 1906, Russell admitía la posibilidad de resolver el problem a únicamente con la condición de eliminar la utilización de la notación de clase, de la misma m anera que se habían eliminado las cantidades infinitesimales en el cálculo diferencial e integral. Adem ás, consideraba que era im portante determ inar qué porción

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de las m atem áticas podría ser presentada sin recurrir a la notación de dase. En el m om ento en que Russell publicaba su sugerencia de las funciones de enunciado no predicativas, Poincaré tom aba parte muy activamente en una disputa con Peano y sus discípulos a propósito del razonam iento m atem ático. En Las matemáticas y la lógica (Ciencia y método), Poincaré recuerda que el razonam iento por recurrencia es la fuente por excelencia en m atem áticas y que, al depender de la intuición del paso al infinito, no puede ser reducido a una regla formal. En un segundo artículo (1906), Poincaré m uestra que las paradojas provienen de una falsa concepción de las m atem á­ ticas, y aunque esté de acuerdo con la distinción de Russell entre función predicativa y función no predicativa, añade que la verdade­ ra explicación de esta diferencia debe buscarse en los comentarios de Richard a propósito de la paradoja propuesta por este último en 1905. Poincaré llega, a partir de todo ello, a la conclusión siguiente; «Así, las definiciones que deben ser consideradas como no predica­ tivas son las que contienen un círculo vicioso.» Es razonable pensar que las declaraciones de Poincaré tienden a dem ostrar que faltan ciertas definiciones m atem áticas y que el círculo vicioso que da origen a las paradojas está ligado a la tentativa de querer tratar un conjunto infinito como una entidad. A dem ás, añade esta observa­ ción m ordaz a propósito de los cantónanos: «No existe el infinito actual. Los cantónanos lo han olvidado y han caído en la contradic­ ción.» Russell respondió a Poincaré que las paradojas eran todas debidas a círculos viciosos, pero que no estaba de acuerdo con él en su interpretación del principio y no aceptaba relacionar la fuente de las paradojas con una falsa concepción de los conjuntos infinitos de C antor. Russell creía que la naturaleza de las antinomias era más lógica que m atem ática, ya que eran esencialm ente del mismo género que la antigua paradoja de Epim énides o el mentiroso: si un hom bre dice «miento», su expresión es contradictoria y no puede ser ni verdadera ni falsa. E ntre las otras paradojas propuestas en esta época, se puede m encionar la enunciada por K urt Grelling (1886-1941) y Leonard Nelson (1882-1927) en 1908: algunos adjetivos, cuando se aplican a ellos mismos, siguen siendo adjetivos. Por ejem plo, corto y polisíla­ bo se describen m ediante ellos mismos, es decir, el adjetivo corto es corto, el adjetivo polisílabo es polisílabo, y son verdaderos por sí

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mismos según los autores. Por el contrario, los adjetivos largo y monosílabo no lo son, porque el adjetivo largo no es largo y el adjetivo monosílabo no es m onosílabo. Estos adjetivos que no son descriptivos de ellos mismos, se llaman «heterológicos», y la cues­ tión es: ¿es el adjetivo «heteroiógico», a su vez, heterológico? Esta cuestión implica una contradicción ya se responda de una m anera afirmativa o negativa. En 1918, Russell propuso su célebre paradoja del barbero: «En un pueblo hay un barbero que afeita la barba a todos los que no se afeitan a sí mismos; la cuestión es saber si el barbero se afeita a él mismo. La paradoja proviene del hecho de que sólo se afeita si no se afeita.» U na reseña histórica de estas para­ dojas está incluida en la obra de Fraenkel y Bar-Hillel (véase la bibliografía). Russell y W hitehead señalan que la causa de estas paradojas está en el hecho de que un objeto es definido en térm inos de una clase de objetos que contiene precisam ente al objeto a definir. La distinción entre función predicativa y función no predicativa no es suficiente para eliminar toda contradicción. En efecto, es evidente que la clase de todos los hombres no es por sí misma un hom bre, m ientras que la clase de todas las ideas es, por sí misma, una idea. Esta distinción perm ite separar las clases en dos categorías m utuam ente excluyentes: aquellas que son elementos de sí mismas y aquellas que no lo son. Pero se puede probar que si M denota la prim era categoría y N la segunda, N pertenece tanto a M como a sí misma. Por consiguien­ te, la utilización de la definición no predicativa debe ser excluida de la teoría de conjuntos. A dem ás, Zerm elo había observado en 1908 que este tipo de definición servía en análisis, en particular para definir las cotas inferiores de un conjunto de núm eros. Por añadidu­ ra, la demostración de C antor de que el conjunto de los núm eros reales no es num erable, recurría tam bién a una definición no predicativa de los conjuntos. Estas paradojas conmovieron a los m atem áticos hasta tal punto que D edekind, por ejem plo, se desanimó tanto que retrasó a sabiendas durante ocho años la publicación de la tercera edición de su obra Was sind und was sollen die Zahlen (La naturaleza y el significado de los números). Algunos de ellos, perplejos ante estas antinomias, aceptaron compromisos no sólo a nivel de la teoría de conjuntos, sino tam bién en partes im portantes del análisis. O tros, por fin, entre los que hay que contar a Zerm elo y Russell, decidle-

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ron em prender una revisión sistemática de la teoría de conjuntos, el prim ero de ellos elaborando una axiomatización, y el segundo, con la colaboración estrecha de W hitehead, llevando a cabo una siste­ matización de las m atem áticas en el m onum ental tratado de los Principia mathematica (1910-1913).

L A A X IO M A T IZ A C IÓ N D E LA T E O R ÍA D E CO N JU N TO S

Ernst Zermelo (1871-1953) em prendió en 1904 la tarea de dem ostrar la comparación entre los núm eros cardinales de conjuntos que no están bien ordenados. E n esta época, la propiedad de ser com para­ dos de dos cardinales cualesquiera m y n, es decir, de establecer las relaciones m > n, m < n ó m = n, no había sido dem ostrada. La m em oria de Zerm elo de 1904 (y la de 1908) sum inistraba la prueba de que cualquier conjunto podía ser bien ordenado, prueba que C antor había intentado obtener en vano desde 1883. H ilbert presen­ tó el enunciado de este teorem a en el Congreso Internacional de París como uno de los problem as que perm anecía sin demostración. La demostración de Zerm elo se basaba en un principio que formuló inm ediatam ente después de su dem ostración, el «axioma de elec­ ción», que puede enunciarse como sigue: para toda familia de conjuntos no vacíos y disjuntos, existe una función que perm ite escoger un solo elem ento en cada conjunto de m anera que se pueda form ar un nuevo conjunto. Añadam os que el axioma de elección, el teorem a de la buena ordenación y la comparación de dos conjuntos m ediante sus cardinales respectivos son principios equivalentes. (Véase Rubin y R ubin, en la bibliografía.) Desde su aparición, el axioma de elección fue objeto de una controversia, en particular con Peano, quien acusaba a Zerm elo de no haberlo dem ostrado, y con varios matem áticos franceses (Hadam ard, Lebesgue, Borel y B aire), que consideraban en sustancia que la función no había sido especificada, y por ello no se podía considerar este axioma como un principo suficientem ente significati­ vo. U na excepción im portante, Poincaré, consideraba este axioma como un juicio sintético, a priori, sin el cual la teoría de los cardinales sería imposible, tanto para los conjuntos finitos como para los conjuntos infinitos. U n ejem plo popular, sugerido por Russell, sirve para clarificar las circunstancias en las que el axioma

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de elección es necesario. En una colección infinita de pares de zapatos, este axioma no es necesario para establecer la existencia de un conjunto escogido de forma que contenga exactam ente un ele­ m ento de cada par, pues basta enunciar una regla para escoger los zapatos del pie derecho. Pero en el caso de una colección infinita de calcetines (medias), todos sem ejantes en cuanto al color, el tam año, etc., no se dispone de ninguna regla; se debe entonces recurrir al axioma de elección si la afirmación consiste en decir que existe un conjunto que contiene exactam ente un calcetín de cada par de la colección. Señalemos que se propusieron varios axiomas de elección a continuación del de Zerm elo, com o, por ejem plo, el «axioma multiplicativo», publicado por Russell en 1905, y otros que serían utilizados, en particular, en la teoría de la medida y en análisis. La equivalencia lógica de estos «axiomas de elección», desem peñó tam bién un papel im portante en la controversia, y algunas objecio­ nes formuladas en aquella época han sobrevivido hasta nuestros días. Sin em bargo, los trabajos de Paul J. Cohen (1934) han permitido establecer la independencia de la hipótesis del continuo y, de este m odo, han contribuido a clarificar el estatuto del axiom a de elección y de los teorem as que no pueden ser dem ostrados sin ese axioma. La axiomatización de la teoría de conjuntos por Zerm elo está contenida en su m em oria de 1908, titulada Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (Investigaciones sobre los fundam en­ tos de la teoría de conjuntos), publicada en los Mathematische Annalen. Zerm elo comienza su m em oria considerando que la defi­ nición de C antor del concepto de conjunto requiere seguram ente algunas limitaciones, pero nadie ha llegado a sustituirla todavía por otra definición, igualm ente sencilla, esta vez exenta de toda duda. Frente a tal situación, Zerm elo considera que no tiene elección, y por ello decide invertir el orden, es decir partir de la teoría existente y buscar los principios que se requieren como bases de esta discipli­ na matem ática. A ñade a continuación que el problem a debe resol­ verse de tal m anera que los principios se hagan lo suficientemente limitados como para excluir todas las contradicciones, pero sean todavía lo suficientemente amplios como para que todo lo que es válido en esta teoría pueda ser preservado. Zerm elo esperaba así que axiomas claros y explícitos clarificaran la significación de un conjunto y las propiedades que deberían poseer los conjuntos.

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Adem ás, pensaba que, reduciendo los conjuntos a la categoría de los conjuntos consistentes de C antor, ello sería suficiente para las m atem áticas. Su plan consistía en presentar la teoría de conjuntos como una teoría com pletam ente axiomatizada en la que el concepto de conjunto (Menge) debería perm anecer indefinido, exceptuando las propiedades que le fueran atribuidas por los axiomas. En su teoría, se encuentran tres nociones primitivas: conjunto (Menge), «urelem ento» y la relación de pertenencia e , y además un cierto campo de objetos abstractos B\ los objetos o cosas (Dinge) se representan m ediante letras, y la igualdad a = b debe tom arse como la afirmación de que los dos símbolos a y b designan la misma cosa. Los conjuntos (Menge) se distinguen de los «urelementos» por la propiedad de poseer elem entos, salvo el conjunto vacío. A conti­ nuación, Zerm elo presenta sus axiomas como lo haría un geóm etra m oderno en el caso de un conjunto de axiomas para una geom etría no euclídea. D e hecho, los presenta de una m anera que respeta el espíritu de la axiomatización de la geom etría de H ilbert. Como la teoría no está form ulada en el lenguaje formal, Zerm elo quiere precisar los tipos de proposiciones que son significativas para su teoría. Define tam bién una proposición P como bien definida si las relaciones fundam entales del dominio m ediante axiomas y leyes universales válidas de lógica determ inan sin arbitrariedad cuando es o no válida. Presenta a continuación siete axiomas: 1. Axiom a de extensionalidad: si cada elem ento de un conjunto x es un elem ento del conjunto y y viceversa, entonces x = y (todo conjunto está determ inado por sus elementos). 2. Axiomas de los conjuntos elementales: la existencia del conjunto vacío, del singletón, y si x e y son dos objetos, entonces el conjunto {x, y ) contiene precisam ente a x y a y. Los axiomas 3, 4 y 5 perm iten la formación respectiva de subcon­ juntos, del conjunto potencia y de la reunión de conjuntos, mientras que el 6 es el axioma de elección. El últim o axioma de Zerm elo, el axioma del infinito, garantiza la existencia en B de un conjunto Z con los elementos 0, {O}, {{O}), ... Se puede así utilizar para presentar la sucesión 0, 1, 2, ... de los núm eros naturales o el conjunto num erable de referencia en el sistema de Zerm elo. Después de la presentación de sus axiomas, consagra la otra parte de su m em oria a una discusión detallada de la equipotencia de los conjuntos. La

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noción de «bien definida» fue introducida por Zerm elo para tener en cuenta su tercer axioma, que precisa qué tipos de propiedades definen los subconjuntos. Esta noción será revisada precisam ente por Fraenkel en 1922. Subrayemos que la m em oria de Zerm elo fue com entada y criticada por Poincaré en una m em oria titulada La logique de l’infini (La lógica del infinito), de 1909 (incluida en sus Ultimos pensamientos). E n resum en, Poincaré pretende que los axiomas no le satisfacen porque no sólo, según dice, no le parecen evidentes, sino que «cuando se me pregunte si están exentos de contradicción, no sabré qué responder». El autor, subraya, ha creído evitar la paradoja del m ayor cardinal prohibiéndose toda especulación fuera del recinto de un Menge (notem os que Poincaré se niega a utilizar el térm ino francés ensemble (conjunto) porque la palabra Menge, según dice, no parece haber conservado en estos axiomas el sentido intuitivo de la palabra conjunto). Finalm ente, añade que estaría tranquilo si Zerm elo hubiera dem ostrado que estaba a cubierto de la contradicción, pero sabe tam bién que no podría hacerlo dentro del marco estricto de sus axiomas. A braham A . Fraenkel (1891-1965) modificó el tercer axioma de Zerm elo en 1922 a fin de elim inar su imprecisión, dem ostró la independencia del axioma de elección e introdujo el axioma de sustitución, utilizando el signo = como una noción primitiva del mismo tipo que e . El mismo año, el m atem ático noruego Thoralf Skolem presentó puntos de vista sem ejantes a los de Fraenkel en el V Congreso de M atem áticos Escandinavos celebrado en Helsinki, con variantes que hacían más flexibles el tratam iento y la visualización del sistema. A partir de los trabajos de estos tres m atem áticos, el sistema axiomático de la teoría de conjuntos, propuesto inicial­ m ente por Zerm elo, lleva en la actualidad el nom bre de «teoría de Fraenkel-Zerm elo». M ientras tanto fue introducido el concepto de par ordenado, y los trabajos subsiguientes de Von Neum ann, Paul Bernays y K urt Godei perm itieron refinar la teoría de conjuntos y hacer respetables los conjuntos inconsistentes de C antor. Las inves­ tigaciones posteriores se refirieron sobre todo a la consistencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo, la independencia de esta últim a hipótesis, los grandes cardinales y la teoría de juegos y estrategias. (Véase Van D alen y M onna en la bibliografía.)

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LAS ESCUELAS D E PENSAM IENTO EN MATEMÁTICAS

En la época en que fue difundida la teoría de conjuntos, K ronecker atacó duram ente esta concepción revolucionaria de las m atem á­ ticas sobre la base de sus propias concepciones «intuicionistas». Varios m atem áticos participaron tam bién en el debate, y otros perm anecieron prácticam ente neutrales, pero lo que es tam bién digno de mención es que esta situación favoreció los intercam ­ bios de ideas entre m atem áticos, al mismo tiem po que reveló la existencia m anifiesta de puntos de vista fundam entales, de concep­ ciones profundas sobre la naturaleza y los fundam entos de las m a­ temáticas. A unque no se puedan separar fácilmente todas las va­ riantes de estas concepciones, es relativam ente fácil, por el con­ trario, percibir tres grandes corrientes filosóficas, tres grandes es­ cuelas del pensam iento en m atem áticas que, a través de sus investi­ gaciones, sus publicaciones y sus críticas, reflejan elocuentem ente la unidad de pensam iento propia de cada una de ellas. Querem os hablar aquí de las escuelas logística, formalista e intuicionista, las cuales contaron en sus filas con un cierto núm ero de matem áticos y cuyas cabezas dirigentes fueron, respectivam ente, Russell y Whitehead, Hilbert, Brouwer y Weyl. Es importante señalar que muchos matem áticos en esta época no m anifestaron abiertam ente su inclina­ ción por una u otra de estas escuelas y que, por consiguiente, no pueden ser consideradas como representativas del conjunto de los m atem áticos activos hacia 1900. Sin em bargo, su im portancia es muy m anifiesta si se analizan sus contribuciones a la ciencia m ate­ mática, tanto a nivel del contenido m atem ático como en el plano de sus concepciones profundas sobre la naturaleza y los fundam entos de esta ciencia. E n 1893, Klein distinguía claram ente tres categorías de m atem á­ ticos, en sus Lectures on mathematics (Lecciones de m atem áticas), en estos términos: Entre los matemáticos en general, se pueden distinguir tres grandes catego­ rías; y los nombres de lógicos, formalistas e intuicionistas pueden servir quizás para caracterizarlos. 1) La palabra lógico es utilizada aquí, evidente­ mente, sin hacer referencia a la lógica matemática de Boole, Peirce, etc.; se trata solamente de designar con esta palabra a un grupo de hombres cuya principal fuerza se basa en su potencia lógica y crítica, en su habilidad para

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proporcionar definiciones estrictas y extraer de allí deducciones rigurosas. Es bien conocida la influencia sana y preponderante ejercida por Weierstrass en Alemania en esta dirección. 2) Entre los matemáticos, los formalis­ tas se destacan principalmente en el hábil tratamiento formal de una cuestión dada y en la invención de un algoritmo apropiado para esta regla. Digamos que Cayley y Sylvester deben pertenecer a este grupo. 3) Final­ mente, los intuicionistas son los que recurren particularmente a la intuición geométrica (Anschawung), no sólo en geometría pura, sino en todas las ramas de las matemáticas. Lo que Benjamin Peirce ha llamado «geometrizar una cuestión matemática» parece expresar la misma idea. Lord Kelvin y Von Staudt son representantes de esta última categoría. A ñadam os que Poincaré, en su discurso inaugural del Congreso Internacional de París expresó puntos de vista muy parecidos a las distinciones de Klein. E n la misma época, las paradojas de la teoría de conjuntos obligaron a los m atem áticos a em prender una revisión sistemática de la teoría que llevará a Zerm elo, Fraenkel y Skolem a elaborar una teoría axiomática de conjuntos. A unque esta axiomatización haya servido como base lógica de las m atem áticas existentes, el enfoque preconizado por estos tres matem áticos no era satisfacto­ rio para un buen núm ero de ellos. A dem ás, la cuestión de la consistencia del sistema de los núm eros reales y de la teoría de conjuntos no había sido todavía resuelta, y la utilización del axioma de elección suscitaba controversias. Pero la cuestión de los funda­ m entos seguía siendo un problem a im portante y no se llegaba a identificarlo claram ente, tanto más cuanto que las axiomatizaciones logradas hacia 1900 habían sido realizadas sirviéndose de la lógica m atem ática existente, la cual era aceptada como algo establecido. Se asiste entonces a una especie de protesta general en la que los matem áticos quieren replantear los fundam entos mismos de las matem áticas: es el comienzo verdadero de las escuelas de pensa­ miento.

LA ESCUELA LOGÍSTICA

Hem os visto anteriorm ente la tentativa de Frege para reconstruir la lógica sobre bases más estrictas y formales, así como sus intentos de edificar la aritm ética a partir de la lógica. D esgraciadam ente, la aparición de la paradoja de Russell tuvo el efecto de hacer su

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sistema inconsistente y, a pesar de las m ejoras aportadas a los axiomas de su sistem a, Frege no llegó a disipar com pletam ente la inconsistencia de su teoría. Pero, afortunadam ente, este plan no fue abandonado, pues Russell y W hitehead habían em prendido, con independencia de Frege, la tarea m onum ental de derivar toda la m atem ática a partir de la lógica.

RUSSELL Y W HITEH EAD

Bertrand Russell (1872-1970), m atem ático, filósofo y sociólogo bri­ tánico, nació en Trellek (País de Gales) en 1872. Escribió en su autobiografía: «Me he im aginado sucesivamente como liberal, so­ cialista o pacifista, pero no he sido nunca ninguna de estas cosas, en ningún sentido profundo. Siempre el intelecto escéptico, cuando más he querido acallarlo, me ha inspirado dudas, me ha aislado del entusiasm o fácil de los otros y me ha transportado a una soledad desolada.» E ntre sus m últiples publicaciones, podem os m encionar su Essay on the foundations o f geometry (Ensayos sobre los fundam entos de la geom etría) (1897), en el que considera que la geom etría proyectiva constituye una form a a priori de toda geom etría del espacio físico. Después, en 1903, publicó sus Principies o f mathematics (Principios de m atem áticas) donde esboza sus ideas de derivar las m atem áticas de la lógiea; las ideas de Russell serán desarrolladas en detalle a continuación en los Principia mathematica (3 vols., 19101913) con la colaboración de W hitehead. E n 1914, publicó Nuestro conocimiento del m undo exterior y los métodos científicos, que será seguida, en 1918, de Misticismo y lógica y de la Introducción a la filosofía matemática, en 1919. A lfred North Whitehead (1861-1947), filósofo y m atem ático inglés, fue profesor en Londres desde 1911 hasta 1924 y después en la Universidad de H arvard hasta 1937. Sus principales obras m atem áti­ cas son Tratado de álgebra universal, publicado en 1898, e Introduc­ ción a las matemáticas (1911). E n sus Principios de matemáticas, Russell define la verdadera naturaleza de las m atem áticas como sigue;

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Las matemáticas puras son la clase de todas las proposiciones de la forma «p implica q», donde p y q son proposiciones que contienen una o varias variables, las mismas en cada proposición, y ni p ni {x), 4>{x, y ), etc., los cuantificadores por (x)(px, para «todo X», y (3 x)(j)x para «existe un x». Se encuentra también un signo específico para la aserción o el juicio, es el signo «h» que, colocado delante de una proposición, sirve para realizar un juicio sobre la proposición. Por ejem plo, «\-(p p)» debe tomarse como una aserción com pleta que dice que el autor es culpable de error a m enos que la proposición p ^ p sea verdadera (como lo es). Una expresión como «p p» sin el signo de aserción debe de ser com prendida como tom ada en consideración solam ente, es decir que no se emite ningún juicio sobre esa proposición. Los puntos «.» sirven para dos fines: bien para reem plazar a los paréntesis o bien para indicar el producto lógico o la conjunción de dos o más proposiciones. Por ejemplo p \ / q. ZD . q M p significa la proposición «p o q» implica «q o p», mientras que con la expresión siguiente

h: p V q-^ q V P afirmamos la misma proposición, en lugar de tom arla simplemente

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en consideración; los «:» significan que lo que es afirm ado es todo lo que sigue al signo t-. Russell y W hitehead introdujeron tam bién definiciones, y su definición «es una declaración de que un cierto símbolo o com bina­ ción de símbolos introducidos significa lo mismo que otra cierta combinación de símbolos cuyo significado es conocido». Por ejem ­ plo, la expresión p ■=> q.= . ~ p y q D f es una definición, porque la significación de p ^ es conocida, m ientras que la de ~ p V í no lo es. E ntre las proposiciones primitivas (postulados) del cálculo de proposiciones de Russell y W hitehead, se pueden mencionar: (1) toda cosa im plicada por una prem isa verdadera es verdadera (es la regla que justifica la inferencia); (2) h: p V p => P (si P o p es verdadera, entonces p es verdadera); ( 6 ) h: .p => r.=>: p \J q . ^ . p y r {ú p implica r, entonces «p o q» implica «p o r»). Partiendo de estos postulados, los autores proceden a la deduc­ ción de teorem as de la lógica y después, eventualm ente, de la aritm ética y del análisis. Señalemos que las reglas silogísticas usuales de A ristóteles aparecen en form a de teorem as. H e aquí algunos ejem plos de teorem as: h: .p = ) ~ p . = > ~ p

(principio de redueción al absurdo) h: . - (p ~ p ) (ley de contradicción) t-: . p

Z3 q . z 3 . ~ q z d ~

p

(si p implica q, entonces no q implica no p ). El cálculo de proposiciones es evidentem ente una etapa hacia el cálculo de funciones de enunciado que trata de los conjuntos m ediante propiedades más que nom brando los elem entos del conjunto. Por ejem plo, (a) lo expresa si