Jawaban Tugas Akhir Modul 2 PPGJ Matematika Profesional
July 12, 2019 | Author: Amir Hulopi | Category: N/A
Short Description
bagi teman - teman yang membutuhkan, silahkan di download...
Description
TUGAS AKHIR MODUL 2 AMIR HULOPI Username 19300318010065 Materi : Aljabar & Program Linear
180-Matematika - UNIMA - S22019-KelasA-Siklus 2 - 2019
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
TUGAS AKHIR MODUL 2
Kerjakan soal-soal berikut.
1. a. Menggunakan algoritma pembagian, tentukan FPB (1488,868). b. Tentukan nilai m dan n sehingga FPB (1488,868)= 1488 x m + 868 x n . c. Tentukan KPK [1488,868]. 2. Diketahui SPL
{3−+2 ==00 .
a. Tunjukkan bahwa untuk setiap nilai a, maka SPL tersebut selalu konsisten. b. Tentukan nilai a agar agar SPL tersebut hanya mempunyai solusi trivial. c. Tentukan nilai a agar SPL tersebut mempunyai tak hingga banyak solusi. 3. Buktikan bahwa semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang sama. 4. Buktikan bahwa masalah program linear berikut ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas.
: : = 3 − 4 + 3 − + + ≤ −3 −2 − 3 + 4 ≤ −5 h.m: −3 + 2 − ≤ −3 ,, ,, ≥ 0 5. Buktikan bahwa jika G grup komutatif dengan elemen identitas e, maka
x ∈ G | x = e} merupakan subgrup G.
H=
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
JAWABAN SOAL
Jawaban Soal Nomor 1 a. Dengan menggunakan algoritma pembagian, akan ditentukan FPB(1488,868) Penyelesaian
1488 1488 = 868.8.86 1 + 620620 868 = 620.1 + 248 620 = 248.2 + 124 248 = . 2 + 0
, , =
124
b. Akan ditentukan nilai nilai m dan n sehingga FPB(1488,868)=1488xm + 868xn Penyelesaian : Lanjutan dari pengerjaan pengerjaan bagian a. diketahui a. diketahui bahwa FPB(1488,868) = 124 sehingga
124124 == 620620 –– 868248.2– 620.. 620 2 124124124 == 1488 620.0.6214838 –– 868.868868..1.12.3 – 868.2 124 = 1488.8. 148 3 – 868.5
= = = +
c. Akan ditentukan KPK[1488,868] KPK[1488,868] Penyelesaian :
KPK [a,a, b]xFPBa, xFPBa,b=ab
Menurut teorema 2.1.14, jika a dan b bilangan bulat positif maka
KPK [a,a, b] = FPBa,ab b
Atau dapat ditulis;
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Jawaban Soal Nomor 2 a. Akan ditunjukan untuk untuk setiap nilai a, a, SPL
3+=0 2=0 {2=0
selalu konsisten
Suatu SPL dikatakan konsisten apabila mempunyai penyelesaian
0x2y=0 3x+y=0 Diperoperolle≠h penype0 nyelelesesaiaianan x=x = 0 dandan y=y = 0 2=0 = 2 3+=0 yaa+ 6 = 0 ,diperoleh y=y = 0 3 (2ya )+y= 6ya + y = 6y+aya ax2y=0 =a x2y=0 ≠ 0 { 3x+y=0 x = 0,0,y = 0 a3x+y=0 x2y=0 {ax2y=0 Untuk a = 0 maka
Untuk a
maka
Bila disubtitusikan ke persamaan
diperoleh
Sehingga untuk a
mempunyai penyelesaian
maka SPL
Karena untuk setiap nilai a, SPL
mempunyai penyelesaian, maka
dapat disimpulkan SPL tersebut selalu konsiten
b. Menentukan nilai a agar SPL tersebut hanya mempunyai solusi trivial. Menurut teorema Sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian trivial, jika dan hanya jika jika matriks koefisien koefisien A berukuran identitas.
ekuivalen baris dengan matriks
10 01
Karena SPL di atas merupakan SPLDV maka maktriks identitasnya I=
a3x+y=0 x2y=0 {ax2y=0 = 3 21 Untuk a = 0, maka A = 03 21 dapat ditulis dalam matriks
Sehingga
jelas a = 0 tidak menyebabkan
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
a3x+y=0 x2y=0 untuk a≠a ≠ 0 {ax2y=0 x = 0,0,y = ax2y=0 0a x2y=0 {3x+y=0 63 12 = a3x+y=0 x2y=0 = 36 12 = 0 {ax2y=0 ≠ ≠ ∀∀ ∈
Sedangkan pada bagian a sudah ditunjukan
SPL
mempunyai penyelesaian
Selanjutnya untuk a = - 6 maka
Dimana
mempunyai matriks
, sehingga untuk a = -6
memiliki solusi banyak (tak hingga).
Dengan demikian agar SPL tersebut hanya mempunyai solusi trivial (tunggal) maka niai
c. Menentukan nilai a agar SPL tersebut hanya mempunyai tak hingga banyak solusi. Suatu SPL memiliki solusi banyak apabila determinan matriks koefisien-nya nol.
a3x+y=0 x2y=0 3 21 {ax2y=0 = 21 = = 3 = = 6 6 =0, =6 = {+=
Karena Maka
Jadi agar
mempunyai matriks
memiliki solusi banyak maka a = -6
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Jawaban Soal Nomor 3 Akan dibuktikan bahwa semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang sama. Penyelesaian
, = , , … } = , , … } ≤ ≤
Ambil sebarang Misal
vektor berdimensi hingga. dan dan
adalah basis untuk sebuah ruang adalah
vector yang berdimensi berhingga. Karena P basis maka P himpunan bebas linear, demikian juga karena Q basis maka Q himpunan bebas linear. l inear. Selanjutnya jika P basis dan Q himpunan bebas linear maka himpunan bebas linear maka
….(i). Sedangkan jika Q basis dan P
…. (ii). Dari (i) dan (ii) (ii) diperoleh m = n, dengan
demikian dapat disimpulkan banyak vektor P dan Q pada ruang vektor berdimensi hingga adalah sama.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Jawaban Soal Nomor 4 Akan ditunjukan bahwa bahwa masalah program linear berikut merupakan masalah masalah dengan solusi tak terbatas.
+ =+ 3≤ ≤– 343 + 3 hm∶23+4≤5 3+2≤3 , , ≥0
Adapun dalam pembuktian ini saya menggunakan metode tabel simplek.
+ =+ 3≤ ≤– 343 + 3 hm∶23+4≤5 3+2≤3 , , ≥0 , ℎ =, ℎ; : = 3 – 4 4 +3 + 3 + 0 + 0 + 0 23+4+ + + + + = =35 3+2+ = 3 Langkah Penyelesaian
Adapun dengan menambahkan variabel surplus
Model matematika Maks
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Program Awal (Tabel 1)
CB
VDB
Q
3
-4
3
0
0
0
x
y
z
S1
S2
S3
Penilaian
0
S1
-3
-1
1
1
1
0
0
3
0
S2
-5
-2
-3
4
0
1
0
5/2
0
S3
-3
-3
2
-1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
-3
4
-3
0
0
0
Zj Zj-Cj
Kolom Kunci Angka Kunci Baris Kunci
a. Transformasi Transformasi baris kunci (B3)
Dengan cara membagi setiap angka pada baris kunci dengan elemen kunci yakni -0.04. Diperoleh
Awal Hasil Transformasi
-3
-3
2
-1
0
0
1
1
1
-2/3
1/3
0
0
-1/3
b. Transformasi (B1) dan (B2) Melakukan transformasi baris-baris yang lain yaitu baris baru = baris lama – bilangan bilangan pada kolom kunci yang bersesuaian dengan baris lama (baris yang akanm ditransformasikan)
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Tabel Simpleks (2) CB
VDB
Q
3
-4
3
0
0
0
x
y
z
S1
S2
S3
Penilaian
0
S1
-2
0
1/3
4/3
1
0
-1/3
-3/2
0
S2
-3
0
-13/3
14/3
0
1
2/3
-9/14
3
x
1
1
-2/3
1/3
0
0
-1/3
3
3
3
-2
1
0
0
-1
0
2
-2
0
0
-1
Zj Zj-Cj
Kolom Kunci Angka Kunci Baris Kunci
a.1Transformasi a.1Transformasi baris kunci (B1)
Dengan cara membagi setiap angka pada baris kunci dengan elemen kunci yakni -0.04. Diperoleh
Awal
-2
0
1/3
4/3
1
0
-1/3
Hasil Transformasi
-3/2
0
1/4
1
3/4
0
-1/4
b.1Transformasi (B2) dan (B3)
Melakukan transformasi baris-baris yang lain yaitu baris baru = baris lama – bilangan bilangan pada kolom kunci yang bersesuaian dengan baris lama (baris yang akanm ditransformasikan) dikalikan nilai baru baris kunci. Adapun hasil perhitungannya dengan bantuan excell diperoleh
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Tabel Simpleks (3) CB
VDB
Q
3
-4
3
0
0
0
x
y
z
S1
S2
S3
Penilaian
3
z
-3/2
0
1/4
1
0
0
-1/4
-
0
S2
4
0
-32/6
0
-7/2
1
11/6
0
3
x
-9/2
-2
-37/12
11/3
-4/9
1
1/12
-3/2
-18
-6
-17/2
14
-4/3
3
-1/2
-9
-9/2
11
-4/3
3
-1/2
Zj Zj-Cj
Kolom Kunci Angka Kunci Baris Kunci
a.2Transformasi a.2Transformasi baris kunci (B3)
Dengan cara membagi setiap angka pada baris kunci dengan elemen kunci yakni -0.04. Diperoleh
Awal
-9/2
-2
-37/12
11/3
-4/9
1
1/12
Hasil Transformasi
9/4
1
37/24
-11/6
-2/9
-1/2
-1/24
b.2Transformasi (B1) dan (B2)
Melakukan transformasi baris-baris yang lain yaitu baris baru = baris lama – bilangan bilangan pada kolom kunci yang bersesuaian dengan baris lama (baris yang akanm ditransformasikan) dikalikan nilai baru baris kunci. Adapun hasil perhitungannya dengan bantuan excell diperoleh
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Tabel Simpleks (4) CB
VDB
Q
3
-4
3
0
0
0
x
y
z
S1
S2
S3
Penilaian
3
z
-3/2
0
1/4
1
0
0
-1/4
3
0
S2
4
0
-32/6
0
-7/2
1
11/6
0
3
x
9/4
1
37/24
-11/6
-2/9
-1/2
-1/24
-18/11
9/4
3
43/8
-5/2
-2/3
-3/2
-5/8
0
75/8
-11/2
-2/3
-3/2
-5/8
Zj Zj-Cj
Kolom Kunci Angka Kunci Baris Kunci
Walaupun fungsi tujuan belum optimal karena masih ada nilai Zj-Cj yang negatif. Iterasi dihentikan dihentikan sampai disini. Karena ditemukan pengulangan baris pada iterasi yang dilakukan di atas, hal ini terjadi dimana elemen pada Baris 1 dan Baris 2 pada tabel 3 sama dengan dengan elemen Baris 1 dan Baris 2 pada tabel 4. 4. Dengan demikian fungsi tujuan pada program linear ini mempunyai solusi optimal, sehingga dapat disimpulkan bahwa program linear tersebut mempunyai penyelesaian tidak terbatas.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Jawaban Soal Nomor 5
∈| ∈ | = } ≠ ∅ ⊆ , ∈ , ∈ Karena e ∈G e =e∈H a, b ∈H a =e,b−= e ab ∈ H ab− ∈ −H ab−−abab−− = abab−−∈ −− − aba−b = = − = =. = abab = , ∈ ∈ ab ∈H = ∈ ∈ | = }
Akan dibuktikan bahwa jika G grup komutatif komutatif dengan elemen identitas identitas e, maka merupakan subgrup G. merupakan
2
=
Penyelesaian
Lemma Misalkan dan berlaku
maka
, H disebut subgrup dari G, jika dan hanya jika untuk setiap
.
sehingga H bukan himpunan kosong.
Ambil sebarang Sehingga
Akan ditunjukan Misal
maka (
Sehingga Karena
Dengan demikian terbukti bahwa
maka
(Bukti (Bukti Selesai) Selesai)
merupakan subgrup G. merupakan
View more...
Comments
