Jawaban Teori Bilangan

BAB 2 BILANGAN CACAH 1) Jasa Diofantus dan Fibonacci (Leonardo da Pisa) dalam pengembangan teori bilangan Jawab : a. Diofantus Pada akhir zaman Yunani, Diofantus (Bapak Aljabar) karena beliau adalah orang pertama merumuskan pemikirannya secara singkat dan sistematis dengan menggunakan lambang hasil rancangannya sendiri dan jugakrena ia memecahkan apa yang sekarang disebut pers. Tidak tentu (pers Diofantus) Pers. Tidak tentu tidak mengandung keterangan yang cukup untuk mnjawabnya dengan bilangan tertentu tetapi tidak cukup untuk mengelompokkan jawabannya dalam jenis tertentu. Dengan menggunakan bilangan tidak terhingga yang dihubungakan dengan persamaan Diofantus, maka ahli matematika modern dapat menelaah sifat berbagai bilangan bulat dan dapat memahami beberapa kaidah dasar yang diikuti bilangan dalam likulikunya. Analisis bilangan yang tumbuh dari persamaan Diofantus dinamakan teori bilangan. Pengembangan persamaan itu oleh Diofantus telah membantu ahli aljabar untuk memandang dari pada sehingga hubungan antar bilangan dalam satu soal khusus saja. b. Fibonacci (Leonardo da Pisa) Pada kesempatan, Fibonacci sedang menggarap soal keuangan dan melihat bahwa soal itu tidak mungkin dipecahkan kecuali jika menggunakan bilangan negatif. Bilangan negative dapat ditafsirkan dengan berbagai cara lain. Bilangan itu menunjukkan jarak pada penglihatan ke belakang, suhu di bawah nol waktu sebelum sekarang, menit sebelum jam tertentu, tingi suatu tempat yang berada 1 meter di bawah permukaan laut, dan sebagainya. 2) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dan a b dan b c maka a c Jawab : Ambil a,b,c C a b [diberikan] a k b [ k C ] b c [diberikan] b k c [ k C ]

a k a

c c

[karena “b k c” atau “ b c”] [Definisi kurang dari]

3) Alasan mengapa pengurangan dan pembagian bilangan cacah tidak bersifat tertutup Jawab : Karena jika pengurangan dan pembagian bilangan cacah dan apabila dioperasikan maka hasilnya bukan bilangan cacah. Pada pengurangan akan menghasilkan bilangan bulat negatif dan pada pembagian menghasilkan bilangan pecahan Contoh : Pengurangan : 2 dan 3 adalah bilangan cacah, tetapi 2 – 3 = -4 Pembagian : 4 dan 5 adalah bilangan cacah, tetapi 4 : 5 = 0,8 4) Alasan mengapa pengurangan dan pembagian bilangan cacah tidak bersifat komutatif Jawab : Karena jika pengurangan dan pembagian bilangan cacah bersifat komutatif dan apabila posisi dipertukarkan pada operasi hitung maka hasilnya berbeda. Contoh : Pengurangan : 5 – 4 ≠ 4 – 5 Pembagian : 2:1≠1:2 5) Alasan mengapa pengurangan dan pembagian bilangan cacah tidak bersifat asosiatif Jawab : Karena jika pengurangan dan pembagian bersifat asosiatif dan apabila posisi penggabungan dipertukarkan maka hasilnya berbeda. Contoh : Pengurangan : (5 – 3) – 2 ≠ 5 – 3(3 – 2) Pembagian : (5 : 3) : 2 ≠ 5 : (3 : 2) 6) Apakah unsur identitas dari operasi bilangan asli? Jawab : Unsur identitas pada bilangan asli adalah unsur identitas perkalian yaitu suatu bilangan asli apabila dikalikan dengan 1, hasilnya adalah bilangan asli itu sendiri. Secara matematis, pernyataan tersebut ditulis sebagai berikut : Untuk setiap bilangan asli α selalu berlaku α x 1 = 1 x α = α

7) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dan a=b maka axc=bxc Jawab : Ambil a,b, dan c C sehingga a c C [sifat tertutup pada perkalian bilangan cacah] a c=a c [sifat refleksif] a c=b c [karena a=b] 8) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dan a=b dan c=d, maka a+c = b+d Jawab : Ambil a, b, dan c C sehingga a+c C [sifat tertutup pada perkalian bilangan cacah] a+c = a+c [sifat refleksi] a+c = b+c [karena a=b] a+c = b+d [karena c=d] 9) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dan a+c=b+c maka a=b Jawab : Ambil a,b,c C sehingga a+c C [sifat tertutup pada penjumlahan bilangan cacah] a+c = b+c [diberikan] (a+c) c = (b+c) c [masing-masing ruas dikurangi c / definisi pengurangan] a+(c c) = b+(c c) [sifat asosiatif] a+0 = b+0 [karena “c c=0”] a= b [sifat identitas penjumlahan bil. Cacah] 10) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dengan c≠0 dan ax c=b c maka a=b Jawab : Ambil a,b,c C, sehingga axc C [sifat tertutup pada perkalian bilangan cacah] a c =b c [diberikan] (a c):c = (b c):c [masing-masing ruas dibagi c / definisi pembagian] a (c:c) = b (c:c) [sifat asosiatif] a 1 =b 1 [karena “c:c=1”] a =b [sifat identitas perkalian bil. Cacah]

11) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah, dan a