James R. & Roy H. Wirshing - Introducción a la Topografía

SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

TEORÍA Y PROBLEMAS de

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA JAMES R. WIRSHING, B.S. NCO-in-Charge, Drafting Department Vandenberg Air Force Base

ROY. H. WIRSHING, B.I.E. Registered Professional Engineer

Traducción: Santiago Martínez Hernández Ingeniero Civil, UIA Profesor y coordinador de Ingeniería Civil, Universidad Iberoamericana Revisión técnica: Mario Guevara Sálazar Ingeniero Topógrafo y Geodesta Ingeniero Civil, UNAM Jefe de Departamento de Topografía y Profesor de asignatura Facultad de Ingeniería. UNAM

McGRAW-HILL MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA MADRID • NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI PARÍS • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS SIDNEY • TOKIO • TORONTO

A la familia Wirshing, quienes colaboraron en esta obra: Colette, Andree y Susan

JAMES R. WIRSHING es actualmente Sargento directivo en la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Se encuentra en un escuadrón de ingeniería civil instalado en la Base de la Fuerza Aérea en Vandenberg, California, donde es suboficial a cargo del departamento de proyectos. Recibió el grado en Administración de Negocios (B.S.) y el grado de Asociado en Administración (A.M.) de la University of Maryland. Es coautor del libro Civil Engineering Drafting, publicado por McGraw-Hill, y cuenta con experiencia en el trabajo de campo de ingeniería, así como en los problemas del ramo. ROY H. WIRSHING, actualmente retirado de la ingeniería civil y de la docencia, es ingeniero con licenciatura en ingeniería industrial de la Ohio State University. Su experiencia en ingeniería civil incluye la solución de problemas y el diseño de carreteras. Es coautor del libro Civil Engineering Drafting.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 1987, respecto a la primera edición en español por, LIBROS McGRAW-HILL DE MÉXICO, S.A. DE C.V. Atlacomulco 499-501, Fracc. Industrial San Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 465

ISBN 968-451-680-0 Traducido de la primera edición en inglés de SCHAUM'S OUTLINE INTRODUCTORY SURVEYING Copyright © MCMLXXXV, by McGraw-Hill Book Co., U.S.A. ISBN 0-07-071124-0

Impreso en México Esta obra se terminó de imprimir en octubre de 1987 en Impresora Roma, S.A. Tomás Vázquez No. 152 Col. Ampliación Moderna Delegación Benito Juárez 03510 México, D.F. Se tiraron 5 000 ejemplares

Printed in México

Prefacio

Hemos intentado escribir un libro que complemente los cinco libros de texto de topografía de mayor venta, utilizados en universidades y en escuelas técnicas. Ochenta por ciento del material que cubren esos textos se incluye también en éste. Adicionalmente, este libro es un buen complemento de cualquiera de los textos más importantes que se utilizan en los cursos elementales de ingeniería civil. La mejor forma de aprender a resolver problemas de ingeniería y de topografía consiste en practicar con un gran número de problemas. La mayoría de los textos que se utilizan en los cursos de topografía y de ingeniería proporcionan únicamente unos cuantos ejemplos completamente resueltos, pero este compendio contiene muchos más problemas en comparación con los libros de texto populares, y las soluciones detalladas se dan en forma simple y lógica. El seguimiento de los diferentes tipos de problemas, concentrándose en el método de solución, hace más simple la comprensión de la topografía elemental que si se Utiliza un texto en el que se explican únicamente unos cuantos tipos de problemas. El estudio cuidadoso del texto y sus ejemplos, y del desarrollo de sus problemas resueltos, contribuirá a asegurar el éxito a los estudiantes del curso. Queremos agradecer a nuestro editor Jeff McCartney y a nuestra supervisora de edición, Nancy Warren, por encargarse de los detalles del libro. Agradecemos al Departamento de transportación de Florida su cooperación en los problemas de diseño de carreteras y a la Armada y Fuerza Aérea de los Estados Unidos por permitirnos la utilización de materiales de sus manuales. También se hacen reconocimientos a David White Instruments, Charles Bruning Co., Dietzgen Corporation, Keuffel and Esser Co., y Faber-Castell Corporation. JAMES R. WIRSHING ROY H. WIRSHING

Contenido

Capítulo

1 TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS .................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13

Capítulo

2 REGISTROS DE CAMPO ....................................................................................................... 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Capítulo

Trigonometría ......................................................................... .......................................... Ángulos y su medición........................................................................................................... Expresión de la parte fraccionaria de un grado en minutos y segundos...................................... Expresión de un arco en radianes ........................................................................................... Conversiones angulares ......................................................................................................... Operaciones con ángulos expresados en grados, minutos y segundos........................................ Área de triángulos ............................................................................................................. Ángulos interiores de un triángulo.......................................................................................... Ángulos exteriores de un triángulo........................................................................................ Teorema de Pitágoras ........................................................................................................... Posición estándar de un ángulo ............................................................................................. Relaciones trigonométricas .................................................................................................... Funciones trigonométricas en una calculadora ......................................................................

Justificación para llevar registros de campo........................................................................... Requisitos para hacer buenas anotaciones ............................................................................. Tipos de libretas de campo .................................................................................................... Clases de anotaciones ........................................................................................................... Arreglo de anotaciones de campo ......................................................................................... Recomendaciones para la toma de notas................................................................................. Métodos correctos ................................................................................................................ Cifras significativas............................................................................................................... Redondeo de números ...........................................................................................................

3 DISTANCIAS HORIZONTALES.......................................................................................... 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14

Métodos de medición ............................................................................................................ Medición por pasos ............................................................................................................ Lecturas de odómetro ........................................................................................................... Visuales horizontales por estadía ........................................................................................... Mediciones electrónicas de distancias .................................................................................... Precisión de diversos métodos de medición ........................................................................... Medición con cinta................................................................................................................ Procedimiento de medición con cinta en pendiente................................................................. Correcciones ......................................................................................................................... Cálculos en pendientes ......................................................................................................... Colocación de estaciones....................................................................................................... Registro de notas .................................................................................................................. Fuentes de error.................................................................................................................... Errores comunes....................................................................................................................

1 1 1 1 2 3 4 6 7 8 8 8 9 10

25 25 25 26 26 26 28 31 35 35

42 42 42 43 43 45 45 46 47 50 51 52 54 54 55

Capítulo

4 TRÁNSITOS 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18

Capítulo

5 NIVELACIÓN ....................................................................................................................................... 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14

Capítulo

.................................................................................................................

Información general ......................................................................................................................... Diferencias entre tránsitos y teodolitos ........................................................................................... Relaciones entre ángulos y distancias .................................................... ......................................... Anteojo o telescopio ........................................................................................................................ Línea de visión .................................................................................................................................. Vernieres ............................................................................................................................................ Geometría del tránsito ...................................................................................................................... Brújula ............................................................................................................................................ Declinación magnética ..................................................................................................................... Variaciones en la declinación magnética ......................................................................................... Atracción local .................................................................................................................................. Fuentes de error en trabajos con brújula ......................................................................................... Errores en trabajos con brújula....................................................................................................... Determinación de rumbos precisos con brújula.............................................................................. Medición de un ángulo horizontal ................................................................................................... Registros de campo .......................................................................................................................... Registro de las notas de campo......................................................................................................... Fuentes de error en trabajos con tránsito........................................................................................

Introducción ...................................................................................................................................... Tipos de nivelación .......................................................................................................................... Equipo de nivelación ........................................................................................................................ Órdenes de precisión ........................................................................................................................ Bancos de nivel ................................................................................................................................. Nivelación diferencial....................................................................................................................... Distancias visadas ............................................................................................................................ Igualación de distancias para lecturas hacia adelante y lecturas hacia atrás.................................. Curvatura y refracción..................................................................................................................... Ajuste del nivel ................................................................................................................................. Procedimiento de campo .................................................................................................................. Toma de registros.............................................................................................................................. Nivelación de perfil .......................................................................................................................... Nivelación trigonométrica ...............................................................................................................

6 MEDICIÓN ANGULAR.................................................................................................................. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13

Información general......................................................................................................................... Dirección ........................................................................................................................................... Medición de ángulos por repetición................................................................................................. Prolongación de una línea librando un obstáculo por medio de ángulos...................................... Tipos de ángulos horizontales ......................................................................................................... Cierre del horizonte .......................................................................................................................... Azimut ............................................................................................................................................... Rumbos.............................................................................................................................................. Comparación de rumbos y azimutes............................................................................................... Cálculo de rumbos ............................................................................................................................. Cálculo de azimutes ........................................................................................................................... Factores que afectan las observaciones angulares.......................................................................... Errores comunes................................................................................................................................

61 61 63 63 64 65 65 67 69 69 69 70 70 71 71 72 72 74 74

84 84 84 84 88 88 89 90 91 92 92 94 95 97 100

121 121 121 121 125 126 127 127 129 129 130 131 131 133

Capítulo 7 POLIGONALES...................................................................................................................... 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Capítulo

Definiciones ...................................................................................................................................... Uso de las poligonales ...................................................................................................................... Trabajo de campo en poligonales..................................................................................................... Cálculos de poligonales..................................................................................................................... Procedimiento para ligar poligonales..............................................................................................

8 LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS ................................................................... 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12

Definición de levantamiento topográfico ....................................................................................... Escalas............................................................................................................................................... Representación topográfica............................................................................................................. Curvas de nivel ................................................................................................................................. Métodos de campo ........................................................................................................................... Métodos de sección transversal....................................................................................................... Configuración de los puntos ............................................................................................................ Interpolación .................................................................................................................................. Otros métodos para obtener la topografía ..................................................................................... Método de coordenadas rectangulares ........................................................................................... Localización geométrica de puntos de las curvas de nivel ............................................................... Fuentes de error en levantamientos topográficos ...........................................................................

9 TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

143 143 143 143 145 154

173 173 173 173 174 177 177 179 179 180 180 182 184

.......................................................................... Introducción...................................................................................................................................... Métodos .......................................................................................................................................... Transferencia de datos a estacas para la construcción .................................................................... Método de línea base y desplazamiento (offset) ............................................................................. Método de ángulo y distancia .......................................................................................................... Planos de complejos: método de coordenadas ......................................................................... ... Establecimiento de una línea en el campo: marca de posición........................................................ Establecimiento de niveles: marcando elevaciones ........................................................................ Métodos para establecer niveles ......................................................................................................

194 194 194 194 195 196 199 200 201 201

Capítulo 10 ESTACADO DE TALUDES .........................................................................................................

219 219 219 220 226 226

Capítulo

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Definición.......................................................................................................................................... Método ............................................................................................................................................. Información necesaria...................................................................................................................... Resumen de procedimientos para estacado de taludes .................................................................. Notas de campo................................................................................................................................

Capítulo 11 MOVIMIENTO DE TIERRAS........................................................................................... 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Importancia de los movimientos de tierras...................................................................................... Secciones transversales ..................................................................................................................... Áreas ................................................................................................................................................. Método de conteo de cuadros........................................................................................................... Método geométrico .......................................................................................................................... Método de franjas ......................................................................................................... Método de dobles distancias meridianas .........................................................................................

239 239 239 239 240 241 242 242

11.8 11.9 11.10 11.11 11.12

Área por coordenadas ...................................................................................................................... Volúmenes ...................................................................................................................................... Volumen por promedio de áreas extremas...................................................................................... Volumen usando la tabla de áreas extremas ................................................................................... Volumen por la fórmula del prismoide ...........................................................................................

245 246 246 247 250

Capítulo 12 CURVAS HORIZONTALES......................................................................................... 267 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

Introducción ...................................................................................................................................... Tipos de curvas horizontales ............................................................................................................ Elementos de una curva simple......................................................................................................... Fórmulas de la curva simple (definiciones de arco y cuerda)......................................................... Solución de una curva simple .......................................................................................................... Estacado de una curva horizontal simple ....................................................................................... Curva compuesta ..............................................................................................................................

267 267 267 270 271 272 277

Capítulo 13 CURVAS VERTICALES................................................................................................................ 300 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Por qué se usan curvas verticales .................................................................................................... Definiciones ..................................................................................................................................... Cálculo de curvas verticales: método de intervalos regulares ......................................................... Cálculo de curvas verticales: método directo................................................................................. Curva vertical en columpio ..............................................................................................................

300 300 301 304 306

Capítulo 14 DIBUJO DE PLANOS .......................................................................................................... 334 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14

Introducción...................................................................................................................................... Tipos de planos ................................................................................................................................. Enlaces horizontales ........................................................................................................................ Enlaces verticales.............................................................................................................................. Escala del plano ............................................................................................................................... Dibujo de planos .............................................................................................................................. Trazo de puntos de control............................................................................................................... Trazo de ángulos............................................................................................................................... Símbolos topográficos....................................................................................................................... Realización del plano en papel de dibujo ....................................................................................... Flecha del meridiano ........................................................................................................................ Cuadro de títulos .............................................................................................................................. Papel .................................................................................................................................................. Fuentes de error en el dibujo de planos ...........................................................................................

ÍNDICE

334 334 334 337 339 339 340 340 342 342 342 344 344 345

.................................................................................................................................................. 357

Capítulo 1 Trigonometría para ingenieros topógrafos 1.1 TRIGONOMETRÍA La trigonometría hace posible el cálculo de las relaciones que existen entre las longitudes de los lados de un triángulo y las magnitudes de sus ángulos. Es un eslabón entre la medición de una línea recta y una medición angular; tiene muchos usos y es esencial en cálculos de topografía. 1.2 ÁNGULOS Y SU MEDICIÓN Un ángulo es la figura que se forma cuando una línea o raya gira de alguna posición inicial OC a una posición final, OD (véanse Figs. 1-1 y 1-2). Cuando la raya gira en el sentido contrario al de las manecillas de un reloj (CCW), como se ilustra en la figura 1-1, el ángulo es positivo. Cuando gira en el sentido de las manecillas del reloj (CW), como se ve en la figura 1-2, genera un ángulo negativo.

Un grado (°) es una unidad de medición angular que es igual a 1/360 de revolución (rev ). Cuando se gradúa un círculo, al dividirlo en grados.

La parte fraccionaria de un grado debe expresarse como una fracción común o como una fracción decimal; los ángulos escritos en forma decimal en ocasiones se denominan grados decimales. EJEMPLO 1.1 Exprésese lo siguiente en grados o grados decimales: 1/2 rev, 3/4 rev, 1/50 rev, 1/48 rev y 1/200 rev. Solución:

1.3 EXPRESIÓN DE LA PARTE FRACCIONARIA DE UN GRADO EN MINUTOS Y SEGUNDOS En lugar de utilizar grados decimales, se puede expresar la parte fraccionaria de un grado en minutos y segundos. Se pueden utilizar grados decimales.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

2

[Capítulo 1

Un minuto (') se define como un sesentavo de grado (1/60 de grado). De esta forma,

un segundo (") se define como 1/60 de minuto. En esta forma,

1o = (60 minutos por grado) (60 segundos por minuto) = 3 600 segundos. Los minutos y segundos pueden expresarse en revoluciones, en la forma siguiente:

EJEMPLO 1.2 ¿Cuántos minutos hay en 0.6 grados? Solución: (0.6 grados) (60 minutos por grado) = 36 minutos.

Resp.

EJEMPLO 1.3 Exprésense 0.016 grados en segundos. Solución: (0.016 grados) (3 600 segundos por grado) = 57.6 segundos.

Resp.

1.4 EXPRESIÓN DE UN ARCO EN RADIANES Un radián (rad) es el ángulo central subtendido por un arco que es igual al radio de un círculo. Puesto que un arco igual a la circunferencia de un círculo subtiende un ángulo de 360 grados, y como la circunferencia es igual a 2π por el radio r, entonces EJEMPLO 1.4 Conviértanse 2.50 rad a grados decimales. Solución: Como 2π rad = 360 grados, π rad = 180°. Por tanto,

Los grados también pueden expresarse en radianes. Utilícese la siguiente fórmula:

EJEMPLO 1.5 Exprésense 83.9 grados en radianes. Solución:

Nota: Las siguientes conversiones serán útiles en la solución de problemas:

Todos los ejemplos y problemas se resuelven fácilmente mediante el uso de una calculadora de bolsillo.

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

3

1.5 CONVERSIONES ANGULARES

Los ángulos se convierten en la misma forma que otras unidades. El factor de conversión se escribe como una fracción con las unidades a cancelarse escritas en el denominador. Multiplíquese el ángulo dado por la fracción y redondéese el resultado al mismo número de cifras significativas que aparece en el ángulo dado. Conversión de revoluciones a grados EJEMPLO 1.6 Conviértanse 0.5100 rev a grados. Solución: Úsese el factor de conversión Por tanto, Conversión de revoluciones a grados

Al convertir revoluciones a grados, el factor de conversión a utilizarse es

EJEMPLO 1.7 Conviértanse 0.8450 rev a radianes. Solución: El factor de conversión es Por tanto,

Conversión de grados y revoluciones a radianes EJEMPLO 1.8 Conviértanse 151.3 grados a revoluciones Solución: El factor de conversión es Por tanto, EJEMPLO 1.9 Conviértanse 92.572 grados a a) revoluciones y b) radianes. Solución:

Conversión de radianes a grados y revoluciones EJEMPLO 1.10 Conviértanse 1.5362 rad a a) grados y b) revoluciones Solución:

4

[Capítulo 1

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

1.6 OPERACIONES CON ÁNGULOS EXPRESADOS EN GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS Conversiones

Un ángulo expresado en grados, minutos y segundos (DMS, siglas de Degree-Minute-Second) que haya de convertirse a cualquier otra unidad, deberá primero convertirse a grados decimales. El ángulo en grados decimales podrá entonces convertirse en un ángulo expresado en otras unidades. EJEMPLO 1.11 Conviértanse 49°18'37” a grados decimales.

Solución: Conviértanse primeramente los segundos a grados:

En seguida conviértanse los minutos a grados:

Exprésese esta respuesta en cuatro cifras para igualar los cuatro lugares contenidos en las conversiones de segundos a grados (0.0103). Finalmente, súmense los grados, minutos y segundos. 49.0000 + 0.0103 + 0.3000 = 49.3103°

Resp.

Nota de instrucciones: una calculadora de bolsillo con tecla de DMS simplifica el trabajo de resolver este tipo de problemas. Entonces, la solución podrá encontrarse en la forma siguiente: Entre grados y oprímase la tecla de punto decimal. Entre minutos y oprímase la tecla de punto decimal. Entre segundos y oprímase la tecla DMS. La lectura que aparece en la pantalla indica los grados decimales con cifras significativas adicionales. Redondéese a cuatro cifras decimales. Nota: Utilícese el 0 para cualquier entrada que sea de una sola cifra; es decir, entrar Io (o 1' o 1") como 01. Conversión de grados, minutos y segundos a radianes EJEMPLO 1.12 Conviértanse 5°46'12" a radianes.

Solución: Primeramente conviértase a grados decimales.

Súmese: Luego conviértanse los grados decimales a radianes:

Conversión de grados decimales a grados, minutos y segundos EJEMPLO 1.13 Conviértanse 66.4941° a DMS.

Solución: Conviértase la parte decimal a minutos.

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

5

Conviértase la parte decimal de 29.65 minutos a segundos:

Uniendo los resultados se obtiene: 66°29'39". Resp. Nota de instrucciones: Si su calculadora de bolsillo tiene tecla DMS, se puede utilizar la tecla de Inverso y ND (con la tecla (DMS). Entonces la solución podrá obtenerse como sigue: Grados decimal: 66.4941 Oprimir la tecla IND. Oprimir la tecla DMS. Lectura = 66.2939 = 66°29'39". Suma y resta

Súmense o réstense los grados, minutos y segundos separadamente. Elimínense los múltiplos de 60 de las sumas de minutos y segundos y determínese cuántos grados están contenidos en la suma de minutos y cuántos minutos están contenidos en la suma de segundos. EJEMPLO 1.14 Súmense 35°42'28" y 5,7°31'59".

Solución:

Súmese: Elimínense los múltiplos de 60 y súmense a la siguiente columna:

EJEMPLO 1.15 Restar 25°33'42" de 28°13'28".

Solución: Tómese de la columna de minutos y grados para que la sustracción pueda efectuarse.

Por tanto,

Multiplicación y división

El método para multiplicar y dividir ángulos es como sigue: 1. Conviértase el ángulo dado a grados decimales. 2. Efectúese la multiplicación o división. 3. Conviértase nuevamente a grados, minutos y segundos.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

6

[Capítulo 1

Multiplicación de ángulos EJEMPLO 1.16 Multiplíquese 13°28'35" por 2,7354.

Solución: Conviértase a grados decimales:

Multiplíquese: Conviértase de nuevo a grados, minutos y segundos:

Por tanto, División de ángulos EJEMPLO 1.17 Divídase 72°32' entre 2.831.

Solución: Conviértase a grados decimales.

Divídase:

Conviértase a grados, minutos y segundos:

Por tanto, 1.7 ÁREA DE TRIÁNGULOS

El área de cualquier triángulo es igual a 1/2 del producto de la base por la altura a esa base. (Véase la Fig. 1-3). La fórmula es donde A = área b = base h = altura o altitud

Capítulo 1]

EJEMPLO 1.18

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

Dados: un triángulo con una base de 8 ft y una altura de 6 ft (véase Fig. 1-4), encuéntrese el área del

triángulo. Solución: La fórmula para el área de un triángulo que tiene lados de longitudes a, b y c es como sigue: fj,

EJEMPLO 1.19 Dado un triángulo con lados a = 81 (cm) b = 50 (cm), y c — 60 (cm) (véase Fig. 1-5), encuéntrese el

área en cm2.

Solución: Utilícese la fórmula s = (a + b + c)/2 para encontrar s:

Utilícese la fórmula para encontrar el área:

1.8 ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180 grados. La fórmula es

donde A, B y C son tres ángulos interiores del triángulo. EJEMPLO 1.20

Dado un triángulo con ángulos B = 80° y C = 65°, encuéntrese el ángulo A.

Solución: A + B + C = 180°. Por tanto,

7

8

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 1

1.9 ÁNGULOS EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO En la figura 1-6, el ángulo Q se denomina ángulo exterior. Un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos. La fórmula es

EJEMPLO 1.21

ángulo Q.

Véase la figura 1-6. Dado un triángulo con ángulos A = 30°, B = 100° (véase Fig. 1-6), encuéntrese el

Solución:

1.10 TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras se aplica a un triángulo rectángulo (es decir, cualquier triángulo que tenga un ángulo recto). El cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados o catetos. En forma de ecuación,

EJEMPLO 1.22 Dado un triángulo con cateto a = 3.6 pulgadas (in) y cateto b = 4.7 (in) (véase Fig. 1-7), encuéntrese la

hipotenusa c.

Solución: Utilícese el teorema de Pitágoras:

Por tanto,

1.11 POSICIÓN ESTÁNDAR PARA UN ÁNGULO La posición estándar para un ángulo es en el eje de coordenadas con el vértice del ángulo en el origen y el lado inicial del ángulo a lo largo del eje x positivo (véase la Fig. 1-8). La figura 1-8 muestra los cuatro cuadrantes

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

Fig. 1-8 Posición estándard para un ángulo. del sistema de coordenadas cartesianas, y el signo de las funciones trigonométricas (véase Sec. 1.12) de acuerdo con el cuadrante. 1.12

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Sea A un ángulo en la posición estándar (véase Fig. 1-9). Desde cualquier punto R en el lado terminal del ángulo, se dibuja una perpendicular al eje x. Esto hace formar un triángulo rectángulo ORS. El lado OR es la hipotenusa del triángulo y tiene una longitud p; RS es el ángulo opuesto a A y tiene una longitud y; OS es el ángulo adyacente a A y tiene una longitud x. Las seis relaciones trigonométricas se definen a continuación en función de las coordenadas del punto R, así como en función de los lados del triángulo rectángulo ORS.

Fig. 1-9 Triángulo el que se muestran las relaciones trigonométricas.

10

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 1

EJEMPLO 1.23 Dado un punto R en el lado terminal de un ángulo en posición estándar con las coordenadas de (9.3, 5.2) (véase Fig. 1-10), encuéntrense las seis funciones trigonométricas de A.

Solución: Calcúlese la distancia OR mediante el teorema de Pitágoras.

Por tanto, Entonces, utilizando las ecuaciones para las seis relaciones trigonométricas, se tiene:

1.13

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UNA CALCULADORA

Seno, coseno y tangente Regístrese el ángulo y oprímase la tecla SEN, COS o TAN.

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

11

EJEMPLO 1.24 Encuéntrese el seno de 47.7° hasta cuatro cifras decimales. Solución: Cerciórese de que la calculadora se encuentra en el modo de grados y no en radianes. Entrar 47.7 Oprímase la tecla SEN. Se leerá 0.7396. Por tanto, Cotangente, secante y cosecante

La mayor parte de las calculadoras no tiene teclas para estas funciones. Se pueden utilizar las relaciones recíprocas:

Se pueden obtener los recíprocos en la calculadora con la tecla 1/X. EJEMPLO 1.25 Encuéntrese Cot. 21.4° hasta cuatro cifras significativas. Solución: La calculadora debe estar en el modo de grados. Entre 21.4; oprímase la tecla TAN; oprímase la tecla 1 /X; leer 2.5517. Portante,

Problemas Resueltos 1.1

Exprésese lo siguiente en grados o grados decimales: 1/3 rev; 2/3 rev, 1/8 rev, y 1/4 rev. Solución:

1.2

Exprésense las siguientes revoluciones fraccionarias como grados decimales: 1/52, 2/32, 1/32, 3/32 y 1/16. Solución:

12

1.3

[Capítulo 1

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Exprésense los siguientes grados decimales en minutos: 0.5°, 0.3°, 0.33° y 0.43°. Solución: 0.5°(60 minutos por grado) = 30 minutos 0.3°(60 minutos por grado) = 18 minutos 0.33°(60 minutos por grado) = 19.8 minutos 0.43°(60 minutos por grado) = 25.8 minutos

1.4

Resp. Resp. Resp. Resp.

Exprésense los siguientes grados decimales en minutos: 0.95°, 0.80°, 0.75° y 0.71°. Solución: 0.95°(60 minutos por grado) = 57 minutos 0.80°(60 minutos por grado) = 48 minutos 0.75°(60 minutos por grado) = 45 minutos 0.71 °(60 minutos por grado) = 42.6 minutos

1.5

Resp. Resp. Resp. Resp.

Conviértanse 0.01° a segundos. Solución: 0.01°(3600 segundos por grado) = 36 segundos Resp.

1.6

Conviértanse 0.006° a segundos. Solución: 0.006°(3600 segundos por grado) = 21.6 segundos Resp.

1.7

Exprésense 2.32 rad en grados decimales. Solución:

1.8

Exprésense 1.34 rad en grados decimales. Solución:

1.9

Exprésense 65.2° en radianes. Solución:

1.10

Exprésense 89.7° en radianes. Solución:

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

1.11 Conviértanse 0.8240 rev a grados. Solución: Utilícese el factor de conversión 1 rev = 360°.

1.12

Conviértanse 0.7351 rev a grados. Solución: Utilícese el factor de conversión 1 rev = 360 grados.

1.13

Conviértanse 0.6932 rev a grados. Solución: Utilícese el factor de conversión 1 rev = 360°.

1.14 Conviértanse 0.7215 rev a radianes. Solución: Factor de conversión: Por lo tanto,

1.15 Conviértanse 0.6130 rev a radianes. Solución: Factor de conversión: Por lo tanto,

1.16 Conviértanse 0.5125 rev a radianes. Solución: Factor de conversión: Por tanto,

1.17 Conviértanse 85.253° a revoluciones y radianes. Solución:

1.18 Conviértanse 79.213° a revoluciones y radianes. Solución:

13

14

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

1.19 Conviértanse 61.111° a revoluciones y radianes. Solución:

1.20 Conviértanse 1.4002 rad a a) grados b) revoluciones. Solución:

1.21 Conviértanse 1.3210 rad a a) grados y b) revoluciones. Solución:

1.22 Conviértanse 1.2513 rad a a) grados y b) revoluciones. Solución:

1.23

Conviértanse 26°27'28" a grados decimales. Solución: Conviértanse los segundos a grados.

Conviértanse los minutos a grados.

Súmese

[Capítulo 1

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

1.24 Conviértanse 10°15'39" a grados decimales. Solución: Conviértanse los segundos a grados .

Conviértanse los minutos a grados.

Súmese: 1.25

Conviértanse ll°50'30" a radianes. Solución: Conviértanse primero a grados decimales.

Súmese: Conviértanse los grados decimales a radianes.

1.26

Conviértanse 23°46'16" a radianes. Solución: Conviértanse primeramente a grados decimales.

Súmese: Conviértanse los grados decimales a radianes.

1.27

Conviértanse 77.5921° a grados, minutos y segundos. Solución: Conviértase la parte decimal a minutos.

15

16

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Conviértase la porción decimal de 35.53' a segundos.

Súmese:

1.28

Conviértanse 79.7979° a grados, minutos y segundos. Solución: Conviértase la porción decimal a minutos.

Conviértase la porción decimal de 47.87 a segundos.

Súmese:

1.29 Súmense 37°46'26" a 61°21'10". Solución: Súmese: Elimínense los múltiplos de 60 y pasarlos a la siguiente columna de la izquierda.

1.30

Súmense 107°47'10" a 102°20'5". Solución:

Súmense:

1.31

Réstense 10° 10´ 10” de 13 ° 20'20''. Solución: Tómese de la columna de grados y minutos (si es necesario).

En este caso no fue necesario tomar de las columnas de grados y minutos.

[Capítulo 1

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

1.32 Multiplíquense 10º10'10" por 5.3216. Solución: Conviértase a grados decimales.

Súmese: Multiplíquense: Conviértase de nuevo a grados, minutos y segundos.

Por tanto, 1.33

Divídase 110°6' entre 4.500. Solución: Conviértase a grados decimales. Divídase:

Conviértase a grados, minutos y segundos.

Por tanto,

1.34 Dado un triángulo de base 12.5 ft y altura de 10.12 ft, encuéntrese el área de dicho triángulo. Solución:

1.35 Dado un triángulo de base 32.16 ft, y altura de 22.49 ft (véase Fig. 1-11) encuéntrese el área de dicho triángulo. Solución:

17

18

1.36

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 1

Dado un triángulo de altura 7.69 ft y base de 2.79 ft (véase Fig. 1-11), encuéntrese el área de dicho

triángulo. Solución:

1.37

Dado un triángulo con lados a = 7.5 in, b = 8.9 in y c = 10.2 in (véase Fig. 1-5), encuéntrese el área. Solución:

Utilícese la fórmula s = (a + b + c)/2 para encontrar 5.

Y mediante la fórmula para encontrar el área:

1.38 Dado un triángulo con lados a = 11.32 in, b = 13.23 in y c= 14.92 in (véase Fig. 1-5), encuéntrese el área. Solución:

Utilícese la fórmula 5 = (a + b + c)/2 para encontrar s.

Y mediante la fórmula para encontrar el área:

1.39

Dado un triángulo con lados a = 93 cm, b = 72 cm y c = 23 cm (véase Fig. 1-5) encontrar el área. Solución: Utilícese la fórmula:

Y mediante la fórmula para encontrar el área:

1.40

Dado el triángulo ABC con B = 87° y A = 38° (véase Fig. 1-12), encuéntrese el ángulo C. Solución:

1.41

Dado el triángulo ABC, con C = 60° y B = 71° (véase Fig. 1-12) encuéntrese el ángulo A. Solución:

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

Fig. 1-12 Ángulos interiores de un triángulo.

1.42

Dado el triángulo ABC, con A = 37° y B = 56° (véase Fig. 1-12), encuéntrese el ángulo C. Solución:

1.43

Véase la figura 1-6. Dado el ángulo Q = 120° y A = 30°, encuéntrese el ángulo B. Solución:

1.44

Véase la figura 1-6. Dado el ángulo Q = 127°, B = 32°, encuéntrese el ángulo A. Solución:

1.45

Véase la figura 1-6. Dados los ángulos Q = 131°30' y A = 37°20', encuéntrese el ángulo B. Solución:

1.46 Véase la figura 1-6. Dados los ángulos A = 40° y B = 30°, encuéntrese el ángulo Q. Solución:

1.47

Véase la figura 1-13. Dados los lados a = 7.12 in y b = 8.35 in, encuéntrese el lado c. Solución:

Por tanto,

19

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

20

[Capítulo 1

Fig. 1-13 Triángulo rectángulo.

1.48 Véase la figura 1-13. Dado el lado b = 10.25 ft y el lado c = 25.32 ft, encuéntrese el lado a. Solución: Por tanto,

1.49 Véase la figura 1-13. Dado el lado a = 171.2 ft y la hipotenusa c = 23,7.22 ft, encuéntrese el lado b. Solución: Por tanto,

1.50

Véase la figura 1-13. Dado el lado a = 7.54 ft y el lado b = 9.81 ft, encuéntrese el lado c. Solución: Por tanto,

1.51 Véase la figura 1-14. Dado un punto en el lado terminal del ángulo con coordenadas de (12.30, 6-10), escríbanse las seis funciones trigonométricas de A.

Solución: Calcúlese p mediante el teorema de Pitágoras.

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, se tiene

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

De lo que resulta Sustituyendo en las seis relaciones trigonométricas en forma de ecuación,

1.52 Véase la figura 1-14. Dado un triángulo en donde x = 7.0 y y = 4.7, encuéntrese la hipotenusa y las seis funciones trigonométricas. Solución: Calcúlese p mediante el teorema de Pitágoras.

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, se tiene

Sustituyendo en las seis razones trigonométricas en forma de ecuación

1.53 Utilizando una calculadora de bolsillo encuéntrese el seno de 22.3°, 42.6°, 51.3°, 89.1° y 76.5°. Solución: Entre 22.3 y oprímase la tecla SEN = 0.3795 Entre 42.6 y oprímase la tecla SEN = 0.6769 Entre 51.6 y oprímase la tecla SEN = 0.7837 Entre 89.1 y oprímase la tecla SEN = 0.9999 Entre 76.5 y oprímase la tecla SEN = 0.9724

Resp. Resp. Resp. Resp. Resp.

21

22

1.54

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Utilizando una calculadora, encuéntrese el coseno de 3.2°, 21.6°, 33.5°, 60°, 30°. Solución:

1.55

Entre 3.2 y oprímase la tecla COS = 0.9984

Resp.

Entre 21.6 y oprímase la tecla COS = 0.9298

Resp.

Entre 33.5 y oprímase la tecla COS = 0.8339

Resp.

Entre 60 y oprímase la tecla COS = 0.5000

Resp.

Entre 30 y oprímase la tecla COS = 0.8660

Resp.

Usando una calculadora encuéntrese la tangente de 9.4°, 17.2°, 21.I o , 35°, 88°. Solución: Entre 9.4 y oprímase la tecla TAN = 0.1655

Resp.

Entre 17.2 y oprímase la tecla TAN = 0.3096

Resp.

Entre 21.1 y oprímase la tecla TAN = 0.3859

Resp.

Entre 35 y oprímase la tecla TAN = 0.7002

Resp.

Entre 88 y oprímase la tecla TAN = 28.6362

Resp.

Problemas Complementarios 1.56

Exprésense los siguientes grados decimales en minutos: a) 0.69°, b) 0.62°, c) 0.51°, d) 0.49°. Resp. a) 41.4 minutos; b) 3,7.2 minutos; c) 30.6 minutos; d) 29.4 minutos.

1.57

Exprésense 3.72 rad en grados decimales.

Resp. 213.14°

1.58

Exprésense 4.73 rad en grados decimales.

Resp. 271.01°

1.59

Exprésense 5.03 rad en grados decimales.

Resp. 288.20°

1.60

Exprésense 6.12 rad en grados decimales.

Resp. 350.65°

1.61

Exprésense 97.8° en radianes.

1.62

Exprésense 201.6° en radianes.

1.63

Conviértanse 0.5871 rev a grados.

Resp. 211.36°

1.64

Conviértanse 0.4192 rev a grados.

Resp. 150.9°

1.65

Conviértanse 0.4159 rev a radianes.

Resp. 2.613 rad

1.66

Conviértanse 0.3250 rev a radianes.

Resp. 2.042 rad

Resp. 1.71 rad Resp. 3.52 rad

[Capítulo 1

Capítulo 1]

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

23

1.67

Conviértanse 0.2222 rev a radianes.

Resp. 1.396 rad

1.68

Conviértanse 59.103° a revoluciones y radianes.

Resp. 0.16417 rev, 1.03154 rad

1.69

Conviértanse 41.123° a revoluciones y radianes.

Resp. 0.11423 rev, 071773 rad

1.70

Conviértanse 1.0021 rad a a) grados y b) revoluciones.

1.71

Conviértanse 148.2° a revoluciones.

Resp. 0.4117 rev

1.72

Conviértanse 132.7° a revoluciones.

Resp. 0.3686 rev

1.73

Conviértanse 89°56'32" a grados decimales.

Resp. 89.9422°

1.74

Conviértanse 78°51'52" a grados decimales.

Resp. 78.8644°

1.75

Conviértanse 47°16'23" a radianes.

Resp. 0.82507 rad

1.76

Conviértanse 56° 1,7'2,7" a radianes.

Resp. 0.98246 rad

1.77

Conviértanse 89.5960° a grados, minutos y segundos.

1.78

Súmense 119°67'51" a 03°10'17".

1.79

Súmense 09°59'59" a 05°51'51 // .

1.80

Réstense 13°22'16" de 78° 10'06".

1.81

Multiplíquense 23°26'15" por.7.6521.

1.82

Divídanse 140°58 ´ entre 2.000.

1.83

Dado un triángulo de base 10.42 ft y altura de 10.42 ft (véase la Fig. 1-11), encuéntrese el área.

1.84

Dado un triángulo de base 104.97 ft y altitud o altura de 56.25 ft (véase Fig. 1-11), encuéntrese el área.

Resp. a) 57.416°; b) 0.15949 rev

Resp.

89°35'45.6"

Resp. 123°18'08" Resp. 15°51'50" Resp. 64°47'50 // Resp. 179°20'31.2"

Resp. 70°29'2.4" Resp. 54.29 ft2 Resp.

2

2952 ft 1.85

Dado un triángulo con lados a = 20 ft b = 21 ft y d = Resp. 49.92 ft 2

10 ft (véase la Fig. 1-5), encuéntrese el área.

1.86

Dado el triángulo de lados a - 21.2 in, b = 20.1 in y c = 30.2 in (véase Fig. 1-5), encuéntrese el área. Resp. 212.56 in2

1.87

Dado el triángulo ABC, B = 50° y C = 55° (véase Fig. 1-12), encuéntrese el ángulo A.

Resp. 75°

1.88

Dado el triángulo ABC, con A = 55° 10' y B = 60°20' (véase Fig. 1-12), encuéntrese el ángulo C. Resp. 64° 30'

1.89

Véase la figura 1-6. Dado el ángulo A = 29°30' y el B = 36°20', encuéntrese el ángulo Q.

Resp. 65°50'

24

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 1

1.90

Véase la figura 1-13. Dado el lado a = 153.27 in, y el lado b = 120.10 in, encuéntrese el lado c.

Resp. 194.72 in

1.91

Véase la figura 1-13. Dado el lado a = 19.21 cm y el lado c = 27.32 cm, encuéntrese el lado b.

Resp. 19.43 cm

1.92

Véase la figura 1-14. Dado el triángulo ORS, cuya coordenada y es 22.39 y la coordenada x = 45.21, encuéntrese p y las seis funciones trigonométricas para este triángulo. Resp. p = 50.45, sen A = 0.44, cos A = 0.90, tan A = 0.50, cot A = 2.02, sec A = 1.16, esc A = 2.25

1.93

Véase la figura 1-14. Dado el triángulo en el cual x = 14.31 y = 14.31, encuéntrese p y las seis funciones trigonométricas. Resp. p = 20.24, sen A = 0.71, cos A = 0.71, tan/4 = 1.00, cot .4 = 1.00 sec A 1.41, csc.4 = 1.41

1.94

Véase la figura 1-14. Dado un triángulo en el cual x = 10.00 y y = 20.00, encuéntrese p y las seis funciones trigonométricas. Resp. p = 22.36, sin A = 0.89, cos A = 0.45, tan A = 2.00, cot A = 0.50, sec A = 2.24, esc A = 1.12

1.95

Mediante una calculadora encuéntrese el seno de los siguientes ángulos: a) 10.7°, b) 21.6°, c) 42.7°, d) 70°, e) 82°. Resp. a) 0.1857; b) 0.3681; c) 0.6782; ¿00.9397; e) 0.9903

1.96

Mediante una calculado encuéntrese el coseno de los siguientes ángulos: a) 33.1°, b) 45°, c) 63.2°, d) 80°, e) 85.1°. Resp. a) 0.8377; b) 0.7071; c) 0.4509; d) 0.1736; e) 0.0854

1.97

Mediante una calculadora encuéntrese la cotangente, la secante y la cosecante de lo siguiente; a) 51°, b) 22.7° y c) 18.3°. Resp. a) 0.8098, 1.5890, 1.2868; b) 2.3906, 1.0840, 2.5913; c) 3.0237, 1.0533, 3.1848

Capítulo 2 Registros de Campo 2.1

JUSTIFICACIÓN PARA LLEVAR REGISTROS DE CAMPO

Las anotaciones de campo hechas por los topógrafos* en cualquier proyecto de construcción son el único registro permanente del trabajo efectuado en el campo. Si son incorrectas o incompletas, se perderá la mayor parte del tiempo invertido en hacer mediciones precisas. Una libreta de campo reunida durante semanas valdrá miles de dólares. Las anotaciones de campo deben contener un registro completo de las medidas realizadas durante el levantamiento, así como todos los diagramas, croquis o narraciones que ayuden a las anotaciones. El personal de oficinas normalmente utiliza estos datos que aparecen en la libreta de campo para hacer sus dibujos y cálculos. Por tanto, las anotaciones deben ser legibles, sin que haya necesidad de mayores explicaciones para cualquier persona que vea la libreta de campo. El estilo gótico o escritura inclinada, o el sistema Reinhardt se utilizan generalmente para mayor calidad y rapidez. Las anotaciones se hacen todas a mano libre, y la claridad y rapidez son las cualidades más importantes. Las libretas de campo son documentos legales y se utilizan con frecuencia en los juzgados para establecer los límites de propiedad. Por tanto, son un factor importante en casos de litigios. Se les puede utilizar como referencias en transacciones de tierras hechas durante generaciones, de modo que deben indizarse y conservarse en forma adecuada. Los recibos de dinero en efectivo en la oficina de un topógrafo pueden guardarse en el cajón de un escritorio sin llave, pero las anotaciones de campo se guardan siempre en una caja fuerte a prueba de incendio. Las anotaciones originales son las que se toman en el momento de hacer las mediciones. Cualquier cosa hecha con posterioridad es una "copia" y deberá marcarse como tal. Las anotaciones copiadas no son aceptadas en los juzgados; puede presentarse alguna duda sobre posibles omisiones en las notas, o aun adiciones a las mismas. El valor de las distancias o ángulos que se anote en las libretas de campo hecho de memoria con cinco o diez minutos después de que se hayan hecho las observaciones, es poco confiable. La observación debe anotarse en el momento mismo en que se haga. No se deberán escribir o garrapatear notas en hojas de papel de desecho para pasarlas posteriormente en una forma más nítida a una libreta de campo. Esto a veces lo hacen incluso grupos de topografía veteranos, y realmente se considera una práctica mala. Debe recordarse que el mejor levantamiento de campo es de poco valor si las anotaciones no son completas o claras. Las anotaciones de campo son el único registro que se conserva una vez que el grupo de topografía salga del lugar. 2.2 REQUISITOS PARA HACER BUENAS ANOTACIONES Los puntos siguientes son muy importantes al valorar un conjunto de anotaciones de campo: 1. Precisión. Ésta es la número uno para todas las operaciones de topografía. Si son incorrectos los ángu los y las distancias, así como la anotación de todos estos datos, todo el levantamiento no tiene sentido. 2. Legibilidad. Las anotaciones que sean ilegibles no tienen valor alguno. 3. Integridad. Todas las mediciones deberán anotarse en el momento de hacer la observación. Un solo detalle que se pase por alto nulificará todo el levantamiento. Nunca se "inflen" las notas para mejorar los cierres. [Cierre, que se estudiará completamente en el capítulo,7, se refiere al cierre de una poligonal geométrica hecha de una serie de líneas consecutivas que tienen longitudes y direcciones conocidas (una poligonal). Un cierre es una comprobación de los ángulos y distancias medidos; por tanto, las ano taciones de campo nunca deben alterarse para indicar un cierre perfecto, pues de otra forma el efecto de comprobación quedaría nulificado.] * Donde se mencione topógrafo, se entiende ingeniero topógrafo.

26

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

4. 5.

[Capítulo 2

Claridad. Deberá planearse el levantamiento de modo que las anotaciones no estén amontonadas o haya omisiones en los detalles. Arreglo. Utilícense formas para las libretas de campo que sean apropiadas para el levantamiento de que se trate. Esto ayudará a la legitimidad, precisión e integridad de las anotaciones en la libreta de campo.

2.3 TIPOS DE LIBRETAS DE CAMPO Se pueden comprar varias clases de libretas de campo. Las que se usan con más frecuencia son las empastadas y las de hojas desprendibles. Las libretas de mala calidad no deben utilizarse; los valiosos datos contenidos en las libretas de campo deben ser permanentes y económicamente no será factible dejar que el material se pierda por el deterioro de las libretas de campo. Las libretas empastadas tienen fascículos cosidos en el lomo y también tienen tapas duras de imitación de cuero o lona impregnada; normalmente contienen 80 hojas. También hay libretas empastadas que pueden utilizarse para duplicar anotaciones usando papel carbón. Cada tercera página está perforada en estas libretas, de manera que la página alterna se pueda cortar fácilmente. Las libretas de hojas desprendibles ofrecen varias ventajas: 1. 2. 3. 4. 5.

Se pueden archivar fácilmente las anotaciones de los proyectos. Se pueden pasar con facilidad conjuntos parciales de notas entre el campo y la oficina. Se pueden utilizar diferentes espacios de rayado en la misma libreta. Cuestan menos que una libreta empastada. Hay menos desperdicio que en las libretas empastadas; sólo se utilizan las hojas requeridas para el levantamiento de que se trate.

2.4 CLASES DE ANOTACIONES Hay tres tipos generales de anotaciones; en la práctica se utiliza comúnmente una combinación de estos tres tipos, que son los siguientes: 1.

2.

3.

Tabulaciones. Las mediciones numéricas se registran en columnas de acuerdo con un plan prescrito que depende del instrumento que se use, del orden de precisión del levantamiento y del tipo de medi da. (Véase Fig. 2-1). Bosquejos. Los bosquejos aclaran las anotaciones de campo y deben usarse con abundancia. Se pueden dibujar a escala real o aproximada o exagerada para lograr mayor claridad. Un plano en plancheta es un ejemplo de un bosquejo dibujado a escala. Las mediciones deben escribirse directamente sobre el bosquejo, o marcarse en clave de alguna forma, para datos tabulares. La legibilidad es un requisito muy importante en cualquier bosquejo. (Véase Fig. 2-2.) Descripciones. Las tabulaciones con o sin bosquejos también se pueden complementar con descripciones. Una descripción puede consistir en una o dos palabras para aclarar las mediciones registra das, o puede ser una exposición bastante amplia, si ha de usarse en el futuro, posiblemente años des pués, para ubicar un monumento. Cuando exista duda sobre la necesidad de información, inclúyase ésta y hágase un bosquejo. Es preferible contar con información en exceso que tener muy poca. (Véase Fig. 2-3.)

2.5 ARREGLO DE ANOTACIONES DE CAMPO Las páginas del lado izquierdo y las del lado derecho de una libreta de campo se utilizan siempre en pares y llevan el mismo número. El título del levantamiento deberá escribirse en la parte superior de la página del lado izquierdo y con frecuencia se extiende hasta la página del lado derecho. Los títulos pueden abreviarse en las páginas siguientes para el mismo proyecto de levantamiento.

Capítulo 2]

REGISTROS DE CAMPO

Fig 2-1 Descripción legible en una página de la libreta de campo.

Figura 2-2 Bosquejo en una libreta de campo.

27

28

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 2

Fig. 2-3 Tabulación de los datos. (Cortesía de U.S.A Air Force)

La ubicación y el tipo de trabajo se escriben inmediatamente abajo del título. La forma de las anotaciones puede ser bastante flexible siempre y cuando las notas resultantes sean claras para el lector. Para que se facilite la localización de los datos deseados, la libreta de campo debe tener una tabla de contenido que se actualice diariamente. La parte superior de la página izquierda o de la derecha debe contener cuatro datos, que son los siguientes: 1. Brigada. Las primeras iniciales y los apellidos de los miembros de la brigada, así como sus funciones. Los puestos se pueden indicar con un símbolo de un teodolito para indicar un instrumentista, la letra griega minúscula phi (ø)para el portabandera, N para el anotador y HT para el cintero delantero. 2. Fecha, AM o PM (mañana o tarde) y hora de inicio y terminación del trabajo. 3. Clima. La velocidad del viento y la temperatura son datos importantes. La lluvia, nieve, intensa luz solar y la niebla tienen un efecto importante en las operaciones de topografía. Los detalles del clima son necesarios cuando las anotaciones de campo se revisan; también se necesitan para aplicar correc ciones a las medidas de cinta debido a las variaciones de temperatura. 4. Tipo y número de instrumentos. La identificación de la instrumentación será útil para localizar erro res durante el levantamiento. 2.6 RECOMENDACIONES PARA LA TOMA DE NOTAS Las siguientes sugerencias se ofrecen como guía para tomar notas con claridad: 1. El nombre y dirección del propietario de la libreta será escrito en la tapa y en la primera página, pre ferentemente con tinta china. 2. Utilícese siempre un lápiz duro 3H o 4H; consérvelo siempre bien afilado. 3. Escríbanse las lecturas en forma directa en la libreta de campo, inmediatamente después de hacerse la medición. 4. Es preferible escribir en el sistema Reinhardt. Las letras mayúsculas se pueden utilizar para dar más énfasis.

Capítulo 2]

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REGISTROS DE CAMPO

Tabla 2-1 Notaciones estándard para libretas de campo*

Abreviatura A.M. & Asf. Av. Prom. P.C. Edif. Blvd. BN L.A. PCV Col. Cem. Fo.Fo. Conc. Esq. Ctro. (c)3 Ale. Decl. °,grad. Barr Diám. P.V. E PT Elev. E/d Etc. Exist. H L.F. L.D. ft gpm PendJefe Cad. AI Ca. Horiz. Alt. LID/N in Inst.

Significado Antes Meridiano

Abreviatura T.H.

(mañanas) y Ángulo Asfalto Avenida Promedio Principio de curva Edificio Boulevard Banco de nivel Lectura atrás Principio de curva vertical Coladera Cemento Tubo de hierro fundido Centro de línea, eje de calle Concreto Esquina Centro cúbico Alcantarilla Declinación grado Barreno Diámetro Pozo de visita Este Principio de Elevación Al este de Existente Hidrante Línea de flujo Lectura adelante pie galones por minuto

Lat. Pozo lamp. Lin. ft Long. Izq. N.A.MIN

Significado Tubo de hierro

Latitud Pozo de lámpara pies lineales Longitudinal Izquierda Nivel de aguas mínimas Max. Máximo MGD Millones de galones por día Pzo. Pozo Buzón Buzón NAME Nivel aguas extraordinarias NPMA Nivel de pleamar media alta NBM Nivel de bajamar media NMM Nivel medio del N Norte No. Número N/d Al Norte de Diám. ext. Diámetro exterior Op. Opuesto a Pág. Página Pav. Pavimento Jef. de brig. Jefe de brigada P.I. Punto de intersección Lin. Prop. Línea de propiedad P.M. Pasado Meridiano (tarde) Pto. Princip. Punto de inicio Perf. Perfil Pto. Punto Cad. atr. Cadenero de atrás Tub. Concr. ref. Tubo de concreto reforzado Carr. Carretera Muro cont. Muro de contención Pendiente Lámp. Lámpara Jefe de cadeneros FFCC Ferrocarril Altura del Der. Derecha instrumento D/v Derecho de vía Casa ø Estadal o baliza Horizonl S Sur Altura Sanit. sanitario Lectura intermedia B.T. Boca de tormenta hacia adelante Secc. Sección pulgada S/d Al sur de Instrumento

Abreviatura el.

Significado clavo

ft2 Dren. Sanit. Calle Est. Estaca B.NT

pies cuadrados Drenaje sanitario Calle Estación Estaca Banco de nivel temporal

Telef. Temp. Pozo de prue. Tach. Polig.

Teléfono (poste) Temperatura Pozo de prueba Tachuela Poligonal Tránsito Señal de tráfico United States Geological Survey

S.T. USGS Topog. PL S.R. W W/d Secc. transv. Niv. agua

Topográfico Punto de liga Sentido recorrido Oeste al oeste de Sección transversal nivel de agua

C/ c.v. Vert.

con curva vertical Vertical

* Si un término o trazo se usa sólo una vez o dos veces, se recomienda no abreviarlo. Las observaciones que se usan, pero no se enlistan aquí, deben definirse en las mismas notas.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 2

5. Utilícese una regla y un transportador para trazar líneas y ángulos. 6. Háganse bosquejos con abundancia. Son más claros que las tabulaciones. 7. No se borren los datos anotados. Córrase una línea sencilla en la anotación incorrecta y anótese el valor correcto ya sea arriba o abajo. 8. Exagérense los detalles de los bosquejos si la claridad se mejora con ello. 9. Úsense las abreviaturas estándar (véase Tabla 2-1). Las abreviaturas correctas son importantes para que las anotaciones sean compactas y perfectamente claras. 10. Úsense los símbolos convencionales para hacer los cálculos. 11. Trácese una flecha que apunte hacia el norte en todos los bosquejos. 12. Repítanse en voz alta los valores antes de anotarlos en la libreta de campo. Así podrán ser verifica dos por la persona que maneje la cinta y por el instrumentista. 13. Utilícese un cero antes del punto decimal para números menores de 1. 14. Utilícense cifras significativas, es decir, anótese 7.90 en lugar de 7.9, si la lectura se ha hecho en centésimas. 15. Complétense todos los cierres y las relaciones de error al estar en el campo. 16. Fírmese con el apellido e iniciales en la parte inferior derecha de la página del lado derecho de las anotaciones originales. EJEMPLO 2.1 La esquina sureste (SE) de la casa número 105 de la avenida Bay y la esquina noreste (NE) de la casa colindante número 103 de la misma avenida se encuentran a 29.3 pasos de distancia. En este caso el topógrafo J. Doe, quien funge como jefe de la brigada, ha encontrado que él tiene que dar 39 pasos para recorrer 100 ft. Las dos casas están desplazadas 25 ft con respecto a la avenida Bay. Hágase el bosquejo en la libreta de campo para mostrar estas dimensiones en pasos. No se olvide la flecha que apunta hacia el norte.

El desplazamiento es de 25 ft, así que 25/2.56 = 9.77 pasos (redondéese a 10 pasos, dada la imposibilidad de medir menos de un paso) desde el frente de las casas al borde poniente de la avenida. La distancia entre las casas se dio en los datos como 29.3 de los pasos de J. Doe.

Fig. 2-4 Esquema en la libreta de tránsito para mostrar medición con pasos.

Capítulo 2]

REGISTROS DE CAMPO

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2.7 MÉTODOS CORRECTOS

La siguiente información se ha tomado directamente de las libretas de campo de una gran compañía de consultores de ingeniería, y las tablas de la 2-1 a la 2-6 son las instrucciones y diagramas dados a sus empleados para asegurarse de que todos ellos siguen los procedimientos correctos en el campo. La tabla 2-2 da la lista del equipo que se lleva en los recorridos de campo, y las tablas 2-3 a la 2-6 presentan un formato básico para escribir en las libretas de campo. Las anotaciones de campo deben escribirse cuidadosamente, ya que son muy importantes para la satisfactoria terminación del levantamiento. El jefe de la brigada o el apuntador deben recordar que las anotaciones serán interpretadas por otras personas. Un objetivo de esta sección es asegurarse de que los datos del levantamiento se escriben con ciertos límites de forma aceptados, arreglos, nitidez, etcétera, y que cada conjunto de notas tendrá una gran similitud con otras anotaciones así escritas. Tabla 2-2

Equipo de la brigada de topografía

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Tabla 2-3

Títulos y listas para la iniciación de cada trabajo.

Tabla 2-4 Ejemplo de nivelación

[Capítulo 2

Capítulo 2]

REGISTROS DE CAMPO

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Tabla 2-5 Ejemplo de un levantamiento topográfico.

Las situaciones de levantamientos bajo las cuales se requiere que un jefe de brigada ejerza su juicio personal son diversas. Algunos aspectos de los levantamientos son diferentes. Sin embargo, el apuntador debe seguir los lineamientos establecidos tan estrechamente como sea posible. Un buen conjunto de anotaciones de campo debe ser: • Nítido y legible (usar lápiz bien afilado) • Completo (revisar las notas) • Explicativo (ampliar los detalles y dibujar bosquejos) • Preciso (registrar las medidas reales, no las estimadas) • Comprobable (por sí mismo) • Indizado (para archivarse de una manera lógica) La calidad de un levantamiento depende de la calidad de las anotaciones de campo; éstas deben explicarse por sí mismas, y su interpretación no debe hacer necesario recurrir a la persona que las hizo, quien puede o no estar en la oficina, o aún en la compañía. Es frecuente que el jefe de grupo reciba un plan o material similar no firmado, estando incompleto el recuadro del título del dibujo, debiendo usarlo así. El jefe de grupo debe protegerse anotando el nombre de la persona que proporcionó la información, la naturaleza del material y cualquier otra información que allí se encuentre. • El registro incorrecto de datos puede provocar pérdidas de tiempo y dinero, repetición de viajes al sitio de trabajo y errores de diseño. Los datos deben ser precisos, ya que en ocasiones respaldan a las personas o a la compañía en acciones legales o personales. • Deben utilizarse bosquejos o descripciones escritas de las situaciones especiales que se presenten con

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 2

Tabla 2-6 Indización

objeto de completar las notas. Debe registrarse cualquier discusión con el cliente, con representantes del municipio o con otros. • A menudo, los residentes de obra proporcionan información que es importante para los jefes de brigada. Por ejemplo, le informan a un jefe de brigada que alguien está destruyendo las estacas del trazo. Asuntos de esta naturaleza deben ser registrados. Si se requieren líneas de poligonales, las estaciones de la poligonal deben marcarse de forma que puedan encontrarse e identificarse en el campo después de pasar un tiempo. Las distancias que hay entre los puntos de la poligonal deben medirse dos veces y los ángulos deben duplicarse. En el caso de construcción de drenajes, las nivelaciones que se realizan para fijar bancos de nivel (BN) deben llevarse por dos caminos diferentes o cerrarse en circuito. Asimismo, todos los bancos de nivel y puntos de liga deben comprobarse y registrarse en los apuntes de campo. Todas las hojas de una libreta deben estar numeradas. En otras palabras, se numera en forma consecutiva únicamente la página de la derecha en su parte superior. La indización y subdivisión, usando títulos de página, encabezados para la página y referencias cruzadas adecuadas, mejoran la continuidad de los registros de campo. • Es responsabilidad del topógrafo indizar el trabajo al final de cada trabajo o de cada etapa del mismo. Los índices se arreglan cronológicamente, al terminar cada segmento del trabajo. La existencia de un índice maestro en el archivo no libera al jefe de la brigada de realizar el índice dentro de las notas de campo.

Capítulo 2]

REGISTROS DE CAMPO

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El apuntador de notas debe usar abreviaturas estándard, símbolos y claves para ahorrar tiempo, espacio y asegurar claridad, con objeto facilitar la toma de notas puede utilizarse la lista de anotaciones estándard de campo que se proporciona en la tabla 2-1. 2.8 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Un elemento importante que indica la precisión alcanzada al escribir medidas, es el número de cifras significativas que se anotan. El número de cifras significativas de valor está formado por los dígitos conocidos más únicamente un dígito estimado. Por ejemplo, una distancia anotada de 375.63 ft se escribe en cinco cifras significativas. Los primeros cuatro dígitos son ciertos, y el quinto dígito puede ser estimado. Todos los datos deberán anotarse con el número correcto de cifras significativas. Si se desecha alguna cifra significativa cuando se anoten los valores, se pierde el tiempo empleado en hacer una medición precisa. En igual forma, los datos anotados con más cifras significativas de las reflejadas por la medición, dan al levantamiento una precisión falsa. No deben confundirse las cifras significativas con el número de lugares decimales. Éstos se utilizan para mantener el número correcto de cifras significativas, pero no indican cifras significativas. A continuación se escriben algunas cifras significativas: Dos cifras significativas: 4.4; 0.44; 0.0044; 0.40 Tres cifras significativas: 56.4; 0.000564; 0.0440; 0.404 Cuatro cifras significativas: 87.65; 0.0008765; 44.00 2.9 REDONDEO DE NÚMEROS Cuando se redondea un número, se desechan uno o más dígitos, en forma que la respuesta contenga sólo el número de cifras significativas para los cálculos subsiguientes. Si el dígito que se desechará es menor de cinco, el dígito precedente sigue igual. En esta forma, 85.493 se convierte en 85.49. Cuando el dígito que se desechará es cinco, el número par mas próximo se utiliza para el dígito precedente. En esta forma, 85.375 se convierte en 85.38, y 85.385 también se redondea a 85.38. Cuando el dígito que se desechará es mayor de cinco, el dígito precedente aumenta en 1. Por tanto, 85.376, se convierte en 85.38.

Problemas Resueltos Los siguientes problemas utilizan diversos términos de topografía que se estudiarán más completamente en los posteriores capítulos. Para facilitar la solución de problemas aquí, los términos se definen previamente como sigue: Una lectura atrás resulta de una visual tomada hacia atrás, es decir, opuesta a la visión hacia adelante de un levantamiento, hacia un estadal sostenido en un punto de elevación conocida o supuesta. Otro nombre para la retrovisual es lectura positiva ( + ). Una lectura adelante resulta de una visual en la dirección hacia adelante en el levantamiento, hacia un estadal cuya elevación haya de determinarse; una lectura adelante también se conoce con el nombre de lectura negativa (-). Una poligonal es una serie de ángulos y distancias, rumbos y distancias o azimuts y distancias que conecta puntos sucesivos. 2.1

En un edificio debe determinarse tanto la longitud como la anchura mediante pasos. Al caminar los pasos el jefe de grupo, se encuentra que 155 pasos se hacen en una distancia de 400 ft. Para obtener este promedio, J. Doe caminó una distancia de 400 ft hacia el norte y hacia el sur, dos veces, y encontró un promedio de 155 pasos. El edificio mide 208 pasos en la dirección norte-sur, y 100 pasos en la dirección este-oeste. Háganse las anotaciones de campo requeridas para el problema. Asegúrense de dibujar el bosquejo, con la flecha que apunte hacia el norte; muéstrense los pasos originales de J. Doe para conocer su longitud de pasos y convertir los pasos en pies para obtener la longitud del edificio en pies.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

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[Capítulo 2

Figura 2-5 Determinación del tamaño del edificio por medición de pasos. Solución: La parte A de la figura 2-5 muestra el bosquejo de los pasos en 400 ft en la dirección norte-sur para establecer la longitud de los pasos de J. Doe. El número promedio de pasos para 400 ft = 155 La parte B en la página del lado izquierdo describe los pasos en dos direcciones para promediar el número de pasos de los dos lados del edificio:

Finalmente conviértanse los pasos a pies, multiplicando el número promedio de pasos por la longitud del paso: Norte-sur = 208 pasos Este-oeste = 110 pasos Finalmente conviértanse los pasos a pies, multiplicando el número promedio de pasos por la longitud del paso: 208(2.58) = 537 ft Para la distancia AD 110(2.58) = 284 ft Para la distancia AB Escríbase esta información en la libreta de campo, como se muestra en la figura 2-5.

2.2

Supóngase que existen bancos de nivel en dos edificios adyacentes en los terrenos que rodean la Universidad del Estado de Ohio. Estos edificios son el de Ciencias Militares y el dormitorio para mujeres.

Capítulo 2]

REGISTROS DE CAMPO

37

El punto de referencia 1 tiene una elevación de 1053.182. Está ubicado en el escalón inferior de la entrada principal al edificio de Ciencias Militares. Es una marca cincelada en el escalón de concreto. Una lectura atrás desde un punto de liga donde el nivel está estacionado da una lectura de estadal de 1.605. Tres lecturas hacia adelante se efectúan al banco de nivel 2. Se hacen otras tres para promediar las lecturas; el tiempo está despejado pero frío, haciendo difícil lograr las lecturas precisas. Las tres lecturas frontales en el punto de referencia 2 indican 11.304, 11.302 y 11.291, El punto de referencia 2 es una cruz en el primer escalón de la entrada del dormitorio para mujeres. El levantamiento entonces se invierte y el nivel se vuelve a colocar en otro punto de liga colocado entre los edificios. Desde este punto, una lectura atrás al banco de nivel 2 indica 12.203 y tres lecturas separadas al banco de nivel 1 son 2.517, 2.526 y 2.523. Sin valerse de un bosquejo háganse las anotaciones de campo para el levantamiento de nivelación recíproca entre estos dos edificios. Solución: Véase la figura 2-6. Las lecturas atrás están marcadas con un signo (+), dado que se suman en los cálculos de levantamientos. Las lecturas adelante están marcadas con un signo (—), dado que se restan en los cálculos del levantamiento.

Para encontrar la diferencia de elevación réstense la lectura atrás y la lectura adelante:

La elevación del BN 2 es 1043.488, así que resulta:

Encuéntrese la diferencia de elevación al restar la lectura adelante y la lectura atrás:

Para encontrar la diferencia de cierre de la nivelación encuéntrese la suma de lectura hacia atrás (+) y réstese la suma de lecturas hacia adelante (—):

Divídase la diferencia de cierre de la nivelación de —0.013 entre 2 para obtener la diferencia promedio de cierre de la nivelación: Réstese la diferencia promedio del cierre de la nivelación de la elevación del BN 2 para obtener la elevación media:

38

2.3

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 2

Una mojonera marcada con el número 1 072, puesta en 1945 por la Oficina de Estudios Geológicos de Estados Unidos a 50 ft al poniente de la esquina NE del gimnasio para mujeres, está numerada como BN 3 y su elevación es 1 046.122. La lectura atrás al BN 3 a partir de un punto de liga es 2.011. Tres lecturas adelante tomadas desde el punto de liga son 10.671, 10.675 y 10.670. Ahora se ejecuta la nivelación de regreso al BN 3; se toma la lectura del BN 4 a partir del PL 2, la cual es 10,992; las lecturas hacia adelante tomadas al BN 3 son 2.327, 2.330 y 2.332. El banco de nivel 4 se ubica a 50 ft al norte de la esquina NW de la alberca. Sin usar un bosquejo, calcúlense los datos que se anotarán en la página correspondiente de la libreta de campo. Solución: Véase Fig. 2-7.

Capítulo 2]

REGISTROS DE CAMPO

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Figura 2-7 Notas de nivelación. 2.4

Tómense los datos del problema 2.3 y dibújese un croquis del problema. Solución: Véase la figura 2-8.

2.5

Se tiene una poligonal en Pershing Field; los datos son: la flecha del norte magnético estará a 10° al occidente del norte verdadero. El punto A se localiza en la intersección del radio de un círculo de 27 ft con centro en un roble de 10 in y el radio de un círculo de 31 ft con centro en el hidrante para incendio que está cerca. El punto B se ubica en la intersección de un círculo de 15 ft de radio con centro en un objeto de 15 in y un círculo de 19 ft de radio cuyo centro es la esquina SW de una boca de tormenta de concreto. El punto C está en la intersección de una línea perpendicular de 16.8 ft de longitud medida a partir de un camino de concreto. Esta línea es intersectada por un círculo de 30 ft de radio con centro en un pino de 8 in. El punto D se obtiene de la intersección de dos círculos, uno con centro en un radio de 6 in y un radio de 26 ft, y el otro con centro en un poste de luz y con 41 ft de radio. El punto final E se localiza a partir del cruce de un radio de 33.6 ft con centro en la esquina SE de Buler Hall y un círculo que tiene su centro en un roble de 12 ft y un radio de 21 ft. Esta poligonal se trazará por medio de pasos. Una distancia de 400 ft se recorrió en 160 pasos, por lo que la longitud de un paso es de 2.50 ft. El número de pasos necesario para recorrer los diferentes lados de la poligonal se muestra en la tabla anexa.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 2-8

Figura 2-9

Poligonal en Pershing Field.

[Capítulo 2

Capítulo 2]

REGISTROS DE CAMPO

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Expóngase este problema como aparecería en una libreta de campo. Solución: Véase la figura 2-9. Muchos otros tipos de registros se explicarán a lo largo del texto, por lo que no se presentan aquí más problemas resueltos. Se encontrarán otros ejemplos viendo las figuras 14-3, 14-5, 14-6, 14-19 y 1421 al 14-23.

Capítulo 3 Distancias Horizontales 3.1

MÉTODOS DE MEDICIÓN

A continuación se detallan diversos métodos de levantamientos topográficos para obtener mediciones lineales: 1. Medición por pasos 2. Lecturas de odómetro 3. Lecturas por estadia 4. Equipo electrónico de medición de distancia 5. Medición con cinta La medición de distancias de un punto a otro es una parte fundamental de un levantamiento. Con el moderno equipo hoy existente se puede leer en la pantalla de un instrumento electrónico para medir distancias (EDM) y ver correctamente la distancia exacta, pero en vista de que estos aparatos son muy costosos, no siempre se dispone de ellos. En este capítulo se estudiará el método de medición de distancias utilizando una cinta convencional de acero y clavos. El equipo para medición de distancias que se utiliza hoy en día comprende cintas de acero, instrumentos de microondas e instrumentos electroópticos que se utilizan en el sistema de medición a base de ondas de luz, también tablas taquimétricas, así como instrumentos calibrados con el método de estadia. Cuando se les utiliza correctamente, los métodos de medición a base de microondas y de ondas de luz (véanse Figs. 3-1 y 3-2), dan resultados muy precisos en distancias que van desde menos de 5 ft [1.5 metros (m)] hasta más de una milla [1.6 kilómetros (km)]. Desafortunadamente esta capacidad también se refleja en el costo inicial del equipo. Por lo antes expuesto, la mayor parte de las escuelas enseñan los métodos de medición con cinta y de estadia. No obstante, el conocimiento de estos dos métodos básicos es muy valioso para entender las otras técnicas de medición de distancia y otros aspectos de los levantamientos.

Figura 3-1 Un equipo para medición electrónica de distancias utilizado en la carretera estatal A-l-A. (Midsouth Engineering Co.) 3.2 MEDICIÓN POR PASOS La exactitud lograda al medir con pasos es suficiente en muchos levantamientos, en geología, agricultura y croquis o bosquejos de campos militares, por mencionar sólo unos pocos. Este método también se puede utilizar con eficiencia para detectar errores ocurridos ya sea al medir con cinta o en lecturas taquimétricas.

Capítulo 3]

DISTANCIAS HORIZONTALES

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Figura 3-2 Personal sosteniendo un prisma óptico que refleja la señal directamente al medidor electrónico de distancias. (Midsouth Engineering Co.)

El método de medir con pasos consiste en contar el número de pasos dados al medir una distancia. Primeramente, deberá determinarse la longitud de un paso de la persona que haga la medición. El método para realizar esta operación consiste en caminar en pasos naturales en una y otra dirección sobre una línea a nivel de medida de aproximadamente 400 ft de longitud. Se toma el promedio al dividir la distancia total entre el número de pasos dados. Las figuras 2-1, 2-4, 2-5 y 2-9 dan las notas requeridas en una libreta de campo para diversos problemas de medición por pasos. Es posible dar un paso de aproximadamente tres pies de longitud, pero esto es extenuante para una persona de estatura promedio, así que el método de promediar los pasos en una distancia más larga se prefiere al de utilizar un solo paso de tres pies. Para distancias largas se puede llevar un instrumento de bolsillo llamado cuenta-pasos; este instrumento registra la distancia recorrida a pie. Medir con pasos es un método valioso. No requiere equipo y las personas experimentadas pueden medir distancias de 100 ft o mayores con una precisión de 1:100 si el terreno es plano. 3.3 LECTURAS DE ODÓMETRO La figura 3-3 muestra a un topógrafo utilizando un marcador de rueda, también llamado odómetro, en una calle pavimentada de un nuevo fraccionamiento. Un odómetro es una rueda que gira sobre la superficie del suelo y convierte el número de revoluciones a una medición de pendiente-distancia. El odómetro es fácil de usar y muy rápido, aunque no tan preciso como una cinta bien utilizada. Es un buen método para comprobar las mediciones hechas con otro método. Se puede esperar una precisión de 1:200, con una mayor precisión en superficies lisas. El odómetro se puede utilizar desde un vehículo para realizar levantamientos preliminares en proyectos de localización de carreteras o caminos. 3.4 VISUALES HORIZONTALES POR ESTADIA Con objeto de simplificar la teoría de la estadia, aquí se hará caso omiso de un caso de óptica relacionado con los telescopios de teodolitos. Supóngase que se utilizan telescopios enfocados externamente. Estos instru-

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 3

Figura 3-3 Odómetro, o medidor de rueda, siendo utilizado.

Figura 3-4 Principio de la estadía. mentos tienen un tornillo de enfoque que hace que el lente objetivo se mueva (véase Fig. 3-4), en donde se desea determinar la distancia D desde el centro del instrumento hasta el estadal. Esta distancia es igual a c (distancia desde el centro del instrumento hasta el centro del lente objetivo) más/(la distancia focal) más d (que es la distancia desde el punto focal o el estadal). Si la distancia desde el hilo superior de la retícula de estadía al hilo inferior de la retícula de estadía es /, por triángulos semejantes se puede escribir la siguiente ecuación y a partir de ella determinar la distancia D. donde s = distancia interceptada sobre el estadal

Capítulo 3]

DISTANCIAS HORIZONTALES

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En la mayor parte de los teodolitos el valor de ///, o K, [constante multiplicadora] como normalmente se le designa, es 100, y el valor de c + /, denominado constante aditiva de estadía varía desde aproximadamente 0.8 hasta 1.2 ft con un valor promedio de 1 ft, que se usa con más frecuencia en la fórmula. Si no es 1, sustitúyase la constante real de estadía que se muestra en la caja del instrumento. Los fabricantes indican el valor exacto de la constante de estadía en la caja del instrumento. Generalmente, con el telescopio en posición horizontal, la distancia horizontal H desde el centro de la baliza hasta el centro del instrumento es La refracción desigual, así como la inclinación no intencional del estadal por la persona que lo opere, hace mayores los intervalos de estadia de lo que realmente son. Para compensar esta característica de los errores de medición por estadia, generalmente se desprecia la constante aditiva de estadia. Muchos teodolitos de reciente manufactura tienen telescopios de enfoque interno. Y estos instrumentos tienen una constante aditiva de estadia de sólo unas pocas décimas de pie y es más razonable despreciarla. EJEMPLO 3.1 Supóngase que un teodolito con f/i = K = 101.5 y la constante aditiva de estadia c + /= 1.0 ft. La distancia interceptada sobre el estadal por la visual horizontal es 4.62 ft. Encuéntrese la distancia de estadia. Solución: Distancia horizontal = H

Constante aditiva de estadia = c + f = 1.0 ft s = distancia interceptada sobre el estadal = 4.62 ft Fórmula 3.5

H = Ks + 1 H = 101.5(4.62) + 1 = 468.93 + 1 = 469.93 = 470 ft

Resp.

MEDICIONES ELECTRÓNICAS DE DISTANCIAS

Los descubrimientos en las últimas décadas han hecho posible la medición de las ondas de luz, ondas electromagnéticas o de rayos láser para medir distancias en una forma muy precisa. Algunas de estas ondas son afectadas por los cambios de temperatura, presión y. humedad, pero los efectos son pequeños y se pueden corregir en una forma muy precisa. Normalmente, las correcciones apenas llegan a unos cuantos centímetros en varias millas. Diversos dispositivos electrónicos portátiles utilizan este tipo de ondas y se han perfeccionado. Estos dispositivos para realizar mediciones electrónicas permiten la medición de distancias con una extrema precisión. Estos dispositivos no han sustituido a las cadenas y a las cintas, pero normalmente son utilizados por grupos de topógrafos de empresas privadas y del gobierno. Sus precios, aunque todavía son prohibitivos para la mayor parte de las escuelas, están llegando a un nivel accesible para muchas compañías privadas. Los dispositivos electrónicos para la medición de distancias tienen sus ventajas sobre otros métodos de medición; fácilmente miden líneas que son de difícil acceso, como son lagos, ríos, carreteras, cosechas todavía sin levantar, etcétera. Para medir distancias de varias millas, el tiempo requerido para medir con precisión esas distancias, es de sólo unos minutos. Un grupo de topógrafos que utilice cintas necesitaría varias horas para efectuar el mismo trabajo. Dos operadores adiestrados pueden hacer ese trabajo mejor y más rápido que un grupo regular de topógrafos compuesto por cuatro personas. Las desventajas de las mediciones hechas con estos dispositivos electrónicos son el costo, el tamaño y el peso del equipo. Estos dispositivos miden distancias en pendientes desde la unidad electrónica hasta el reflector. Deben tomarse las medidas necesarias para obtener el ángulo vertical por diferencia de elevación entre el dispositivo electrónico y el reflector. El sistema de medición por cinta es todavía el método ordinario de medir distancias cortas, aunque también los dispositivos electrónicos se pueden utilizar con el mismo objetivo. 3.6 PRECISIÓN DE DIVERSOS MÉTODOS DE MEDICIÓN En la siguiente sección se tomará el método de medir con cinta como el apropiado para medir distancia. Primeramente, algunos de los métodos de medición se valoran por su precisión. El método de medir con pasos,

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 3

tiene una precisión de 1:50 a 1:200 y normalmente se utiliza para el reconocimiento de terrero y la planeación no precisa. El odómetro tiene una precisión de 1:200, y también se le utiliza en planeaciones no precisas. El método de taquímetro tiene una precisión de 1:250 y 1:1000 y es muy común para trazar mapas, hacer levantamientos no muy precisos y comprobar otros tipos de mediciones. El método ordinario de medir con cinta tiene una precisión de 1:1000 a 1:5000 y se utiliza en levantamientos comunes en terrenos sin construcción de edificios. La medición precisa con cinta tiene una precisión de 1:10 000 hasta 1:30 000 y se le utiliza en levantamientos muy precisos en terrenos, trabajo de precisión en construcciones, así como levantamientos topográficos en ciudades. El equipo electrónico para la medición de distancias tiene una precisión de ±0.1:0.4 ft (constante de instrumento) ± 1:300 000 de la distancia medida. En el pasado, dependencias gubernamentales lo han utilizado para obtener levantamientos precisos, y en la actualidad es más común usarlo en el fraccionamiento de terrenos y en trabajos muy precisos de construcción. 3.7 MEDICIÓN CON CINTA Hay dos métodos básicos para medir distancia con una cinta. Estos métodos son medición en pendientes y medición horizontal. En el método de medición en pendientes la cinta se sostiene como sea necesario respecto a la pendiente del terreno; se mide la pendiente de la cinta y se calcula la distancia horizontal. En el método de medición horizontal la cinta se sostiene horizontalmente y se proyecta con una plomada la graduación requerida en el terreno. Bajo ciertas condiciones cada uno de estos métodos de medición tiene sus ventajas. La medición en pendiente es la más precisa y se le utiliza siempre para medir líneas de bases y distancias de poligonales de segundo y más alto orden. Nota: Un levantamiento de primer orden es el más exacto. (Véase Secc. 5.4.) Las mediciones de poligonales de tercer orden se hacen generalmente utilizando el método de cinta en pendiente; la medición horizontal se puede utilizar, pero no es recomendable. El método de medición horizontal se utiliza generalmente para poligonales de orden inferior en proyectos de mapas y levantamientos de construcción. Organización de la brigada La figura 3-5 muestra un grupo de personas tomando mediciones con cinta. El número mínimo de personas para tomar mediciones horizontales es de dos personas. Esto no se recomienda, excepto en levantamientos de orden muy bajo. El grupo estándar para tomar mediciones con cinta consta por lo menos de cuatro personas: un apuntador, una persona que jale la cinta y otras dos personas, una en cada extremo frontal y posterior de la cinta, como se muestra en la figura 3-5.

Figura 3-5 Brigada de cuatro personas efectuando mediciones.

Capítulo 3]

DISTANCIAS HORIZONTALES

47

Brigada niveladora

En el caso de mediciones precisas, la pendiente de la cinta se obtiene generalmente por nivelación directa (diferencial). Este tipo de nivelación requiere de un operador del instrumento (véase Fig. 3-6), un estadalero y un apuntador. Para mediciones con cinta de tercer orden o de orden inferior, la pendiente se determina con un nivel topográfico de mano Abney. Cuando se utilice este nivel de mano, los cadeneros o personas encargadas de medir con cinta, serán los responsables de la medición en pendiente.

Figura 3-6 Operador de instrumento, utilizando tránsito nivel universal. (David White Instruments)

3.8 PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA EN PENDIENTE En el método de medición con cinta en pendientes, la cinta puede colocarse sobre terreno liso, sobre un camino pavimentado o en otro terreno sin irregularidades o con pendiente uniforme, o bien sujetada por soportes para la cinta o estacas. Los procedimientos que siguen se utilizan al medir distancias sobre poligonales de tercer o menor orden. Generalmente el equipo para efectuar estos trabajos consiste en una baliza, un juego de fichas para medición con cinta, una cinta de acero, un termómetro para la cinta y un nivel de mano Abney. La baliza se coloca sobre la línea por medirse y ligeramente detrás del punto hasta el que llegará la medición con cinta. La persona que detiene el extremo posterior de la cinta, se coloca en el punto de inicio de la medición con una de las 11 fichas con que cuenta para el trabajo. La persona que detiene el otro extremo (frontal) de la cinta y las 10 fichas restantes se mueve hacia el punto final de la medición; al recorrer prácticamente la longitud total de la cinta, la persona del extremo posterior le grita "cinta" para que se detenga. El cadenero del extremo posterior pone entonces la última graduación de la cinta sobre el punto inicial y dirige al que está en el otro extremo de la cinta para alinearle con la baliza antes fijada. El cadenero frontal tensa entonces la cinta, alineándola. Las personas encargadas de la medición tensan y sostienen la cinta (se supone que no hay encargadas ex profeso para hacerlo). Al llegar la graduación exacta al punto inicial, la persona posterior grita "marca" o "deténgase" y la persona frontal marca la distancia clavando una ficha a 45° en el terreno y perpendicular a la cinta en la graduación cero de la cinta. La persona del extremo frontal de la cinta grita "marcado" o "detenido" y ambos sueltan la tensión de la cinta.

48

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 3

Se considera una práctica correcta comprobar esta medida inmediatamente. Cuando están listos para repetir la medición, el cadenero de adelante grita "comprobación" y la medición se repite para comprobar. Después de esto la distancia es registrada junto con temperatura de la cinta, y se toma ahora la lectura del nivel Abney y se registra un conjunto con la línea con la que coincide o paralela a la pendiente de la cinta. El nivel de mano Abney y el clinómetro tienen un campo limitado de aplicación en la medición de ángulos verticales y pendientes y en la nivelación directa. Tiene incluido un arco graduado en grados hasta 90°, un vernier con aproximación hasta 10 minutos y varias escalas para pendientes variables entre 1:1 y 1:10. Antes de moverse hacia adelante, la persona de atrás de la cinta saca la ficha posterior y se la lleva; el de adelante deja la ficha que colocó en su posición, quedando así una ficha siempre en el terreno, siendo el número de fichas que trae el cadenero posterior el número de longitudes de cinta completas que hay del punto inicial a la ficha remanente. Las dos personas se mueven hacia adelante y hacen otra medición completa a partir de la ficha que marca el final de la medición previa. Cuando la distancia medida rebasa de 10 veces la longitud de la cinta, la persona que mide adelante le hace una seña al de atrás, indicándole que traiga las 10 fichas. Ambas personas checan el número de fichas, comprobando que no se haya extraviado alguna. El de adelante ve que se tengan 10 distancias medidas, lecturas de temperatura y mediciones de pendiente; recibe las 10 fichas y prosigue con la medición. Al final de la línea, el cadenero de adelante pone la graduación cero de la cinta sobre el punto final. El cadenero de atrás jala entonces la cinta y la tensa, sosteniendo la graduación completa y apropiada en la ficha de medición. A continuación el cadenero frontal hace la lectura de la fracción medida, en un procedimiento que depende del tipo de cinta y su graduación extrema. En esta etapa hay que tomar en cuenta que si se está midiendo menos que una longitud de cinta, debe prorratearse la tensión que se le aplica a la cinta. Esto se hace dividiendo la magnitud de la tensión que se aplica a una longitud completa de cinta entre la longitud de la cinta y luego multiplicando el resultado por la fracción de longitud por medirse. EJEMPLO 3.2 La tensión que se aplica a una cinta de 300 ft (91 m) es generalmente de 20 libras (Ib) (89 newtons (N)). La fracción de longitud de cinta que se midió al final de una línea es de 45 ft (14 m) (aproximado a 1 ft). Calcúlese la tensión que deberá aplicarse a la cinta para medir el segmento final.

Por tanto, deberá aplicarse una tensión de 3 Ib (13 N) al segmento final de la medición (sección de 45 ft (14 m).

Resp.

Alineación de la cinta Uno de los requisitos de la medición de distancias con cinta, consiste en que la distancia debe tomarse sobre una línea recta que une las estaciones o puntos deseados. El orden de precisión especificado para los trabajos, marca los límites de error de alineamiento entre las estaciones. En mediciones precisas la tolerancia de error en alineamiento es muy pequeña haciéndose necesario el uso de un teodolito para mantener dentro de los límites al alineamiento de la cinta. En mediciones de tercer orden y de orden inferior la persona que está en el extremo posterior de la cinta puede hacer el alineamiento "a ojo". En la figura 3.7 se muestra un error de alineamiento de 6 in, calculándose el error total en la forma siguiente: la distancia entre A y B se midió en tres longitudes de cinta de 100 ft. La primera medición de 100 ft está desplazada 6 in de la línea recta entre A y B. Podemos deducir que la distancia en línea recta que estamos midiendo será menor que 100 ft. Utilizando el teorema de Pitágoras, podemos encontrar el error por mal alineamiento.

Por tanto el error es +0.001 ft.

Capítulo 3]

DISTANCIAS HORIZONTALES

49

Figura3-7 Error de 6-in por mal alineamiento. (Tomado de C. A. Herubin, Principles of Surveying, Reston Publishing, Reston, Va., 1982)

Continuando la medición obtenemos la segunda medida sobre la línea en la dirección hacia adelante, pero como arrancamos de un punto que está desplazado 6 in, tenemos de nuevo el mismo triángulo rectángulo que se tuvo en la primera medición. Esto significa que el error por mal alineamiento es dos veces la magnitud del error de + 0.001 o sea + 0.002 ft en los 30 ft totales del levantamiento (véase Fig. 3-7). Tenemos una precisión de 1:150,000. El error por mal alineamiento de 6 in en 100 ft no es significativo ya que los errores accidentales en medición de distancias son generalmente de mayor magnitud. EJEMPLO 3.3 Se tuvo un error de alineamiento de 0.01 ft después de una medición de 100 ft. Determínese si éste causa un error medible en esta distancia. (Un error medible en alineamiento sería del orden de 1 ft fuera de línea.) Solución: Véase figura 3-8.

Este es un error medible cuando la medición de distancias se hace hasta la segunda décima.

Figura 3-8 Error significativo causado por mal alineamiento. (Tomado de C. A. Herubin, Principles of Surveying, Reston Publishing, Reston, Va, 1982)

50

[Capítulo 3

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Por tanto,

De la figura 3-8,

Por lo que:

Error de alineamiento = 0.1411 (100 ft) = 1.41 ft

Se deduce que el error de alineamiento en este ángulo es de 1.41 ft en 100 ft de la longitud de cinta, por lo que se concluye que esto causa un error medible. 3.9 CORRECCIONES

Un error significativo es aquel que podría reducir la precisión del levantamiento a un nivel menor que el especificado. Estos errores deben corregirse una vez que puedan determinarse su magnitud y dirección. Los errores sistemáticos como son los causados por los cambios de longitud de la cinta debido a variaciones de la temperatura (ver abajo) pueden y deben ser corregidos para obtener la precisión requerida del levantamiento. Otro tipo de error es el error accidental, tal como una técnica impropia de medición con cinta (véase Secc. 3.13) y generalmente no puede corregirse ya que la dirección del error no se conoce. Correcciones por temperatura

El acero se expande y contrae con los cambios de temperatura. Un índice del cambio de tamaño que sufre el acero debido a las variaciones de temperatura es el coeficiente de expansión del acero. El coeficiente de expansión es el porcentaje que se expande o contrae cualquier longitud de cinta con un cambio de temperatura de I o . Un coeficiente de 0.01 indica que hay un cambio de 1 por ciento en longitud por Io de cambio de temperatura. Por ejemplo 1 ft de longitud se expande a 1.01 ft con un aumento de Io de temperatura y a 1.05 ft con 5o de aumento. Una longitud de 100 ft aumenta a 101 ft con 1 ° de aumento en la temperatura y se contrae a 99 ft con un descenso de 1 ° en la misma. Las cintas de acero tienen un coeficiente de expansión de 0.00000645. Este número es muy importante en trabajos topográficos. Una cinta de acero se expande 0.00000645 ft por cada pie de su longitud original con cada 1 ° de aumento en la temperatura ambiente. Las tapas están estandarizadas para 68 °F (20° C). A 68° F la cinta tiene la longitud marcada correcta. EJEMPLO 3.4 Se tiene una cinta de 100 ft a 68°F. Es un día cálido en el verano, con temperatura de 93°F. Se ejecuta un levantamiento donde la distancia medida a 93°F es de 1609.42 ft. Encuéntrese la corrección que debe de aplicarse a la cinta, así como la distancia medida más la corrección. Solución: La distancia real es mayor que la distancia medida en la cinta ya que ésta se expande y se alejan los números de la misma. El error es así negativo, haciendo positiva la corrección. La corrección que debe aplicarse se obtiene multiplicando 0.00000645 por la distancia medida de 1609.42 ft y por la diferencia entre la temperatura 93° y la temperatura en la que son precisas las medidas (69° F). Corrección = 0.00000645(1609.42)(93 - 68) = 0.26 ft Resp. Distancia + corrección = 609.42 + 0.26 = 1609.68 ft

Resp.

Nota: La corrección se resta para temperaturas abajo de 68°F. Ajuste por temperatura en mediciones y trazos

Hay dos tipos de operaciones de medición: trabajos de medición en los que se toman medidas de distancia entre dos puntos fijos (ya establecidos en el campo) y trabajos de trazo, en los que se fija un segundo punto a partir de un primero ya conocido.

Capítulo 3]

DISTANCIAS HORIZONTALES

51

Una cinta se expande (se alarga) o contrae (se hace corta) con respecto de su longitud verdadera a 68°F (20°C), dependiendo de la temperatura ambiente. En los trabajos de medición, si la temperatura es mayor de 68°F y la cinta está más larga, no cubre la distancia fijada y la distancia registrada es menor que la real teniéndose que sumar la corrección. Si la cinta está más corta, ocurre lo contrario. En trabajos de trazo, si la cinta es más larga (temperatura mayor de 68°F), cubre más distancia sobre el terreno y la corrección debe restarse. Si la cinta es menos larga, ocurre lo contrario. Los ajustes se resumen en la tabla siguiente. Signo de la corrección

EJEMPLO 3.5 Se traza un punto fijándolo a 1409.39 ft de un punto conocido, utilizando la misma cinta que se usó en la medición original. La temperatura es de 96 °F ¿Qué distancia debe medirse en la cinta? Solución: La distancia real (1409.39 ft) es mayor que la distancia leída en la cinta, ya que la temperatura en este día es de 96 °F en vez de los 68 °F para los que la cinta tiene su longitud verdadera. Por tanto, la longitud que se lee en la cinta debe ser menor de 1409.39 ft. La distancia que trazará (es decir que deberá medirse en la cinta), es la distancia real menos la corrección. Distancia trazada = 1409.39 ft - 0.00000645(1409.39 ft)(96 - 68) = 1409.39 - 0.25 = 1409.14 ft Resp.

3.10 CÁLCULOS EN PENDIENTES Al medirse la distancia existente entre dos puntos es preferible a menudo medir sobre la pendiente y determinar el ángulo a de inclinación o el desnivel d (véase Fig. 3-9), en vez de interrumpir la medida con cinta a cada pocos pies. Es una gran ventaja utilizar cintas largas de 200 a 500 ft para medir en pendientes. En la figura 3-9, contándose con el ángulo a, puede obtenerse la distancia horizontal existente entre los puntos A y B, a partir de la relación. H = L cos a (3-2) donde

H = distancia horizontal entre los puntos L = distancia en la pendiente entre los puntos a = ángulo vertical a partir de la horizontal, obtenida generalmente con el nivel de mano Abney, clinómetro o tránsito.

EJEMPLO 3.6 Se tiene una medición en pendiente con L de 581.25 ft y un ángulo en pendiente a de 4o. Encuéntrese

la distancia horizontal H.

Figura 3-9 Medición en pendiente.

52

[Capítulo 3

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Solución: Véase la figura 3-9. Úsese la ecuación (3-2). H = L eos a = 581.25 eos 4o = 581.25(0.9975641) = 579.83 ft

Resp.

Fórmula aproximada de pendiente para trabajos de línea base El desnivel, d (véase Fig. 3-9), entre los extremos de la cinta, se encuentra por medio de nivelación y la proyección horizontal calculada. De la figura 3-9.

Por tanto La fórmula aproximada deducida de lo anterior es

El error en la fórmula aproximada para longitud de cinta de 100 ft se incrementa al hacerse mayor la pendiente. Las respuestas para pendientes menores de 10° están correctas hasta en un 0.001 de ft. EJEMPLO 3.7 Calcúlese las correcciones por pendiente para un desnivel de 5 ft y una longitud en pendiente de 500.00 ft y

calcúlese la distancia horizontal H usando el teorema de Pitágoras; compárense los resultados. Solución: Véase la figura 3-9. Utilícese la ecuación (3-3).

Por el teorema de Pitágoras

Los resultados coinciden.

3.11

COLOCACIÓN DE ESTACIONES

En el trazo de carreteras, el eje o centro de línea se mide a partir de un punto inicial al cual se denomina 0 + 00 o 10 + 00 o algún otro. El término estación cerrada se aplica para cada 100 ft de longitud, distancia en la cual se clava una estaca generalmente. La posición de cualquier otro punto está dada por su distancia total con respecto al punto inicial. Por ejemplo, en la figura 3.10, la estación 145 + 60 es un punto único ubicado a 2560.00 ft de la estación inicial 120 + 00 (14 560 ft - 12 000 ft). Se tienen 60 ft excedentes a la estación cerrada en este caso. EJEMPLO 3.8 En el proyecto cercano a Lago Mead, la estación inicial es 120 + 00.00. Si la estación final tiene un cadenamiento de 186 + 73.12, encuéntrese la longitud total del proyecto. Solución: Véase la Fig. 3-10.

Capítulo 3]

DISTANCIAS HORIZONTALES

53

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

54

[Capítulo 3

3.12 REGISTRO DE NOTAS

Los apuntos típicos de operaciones de medición con cinta se muestran en las tablas 3-1 a 3-3. La tabla 3-1 muestra los registros de campo de una medición con cinta de 100 ft, sin correcciones. La tabla 3-2 representa un juego típico de apuntes de campo para una medición con cinta de 200 ft incluyendo correcciones por temperatura y de la cinta. La tabla 3-3 muestra una página típica de la libreta de campo para un levantamiento realizado con cinta de 200 ft y distancias en pendiente. 3.13 FUENTES DE ERROR Errores sistemáticos 1. Diferencias entre la longitud de trabajo de la cinta y su longitud estándard. Si la cinta tiene un error pequeño, puede usarse. Si el error se hace grande al compararla con una cinta de longitud estándard, la cinta debe ser reemplazada. 2. Cambio en la longitud de cinta debido a variación de la temperatura. Estos errores deben corregirse (véanse problemas 3.15 a 3.22).

Tabla 3-1 Notas de campo, sin correcciones

Capítulo 3]

DISTANCIAS HORIZONTALES

55

Errores accidentales Las fuentes más comunes de errores accidentales son las siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.

Estimar incorrectamente la lectura del segundo decimal en la cinta. No colocar la cinta a plomo correctamente sobre un punto. Uso de tensión inapropiada en la cinta. Error de alineamiento, tanto vertical como horizontal. El viento que al soplar de costado sobre la cinta, la hace curvearse hacia un lado. Para evitar ese problema debe registrarse y decirse en voz alta el número al mismo tiempo. El otro cadenero debe verificar d número. Esto puede controlarse aplicando mayor tensión y midiendo distancias más cortas.

3.14 ERRORES COMUNES Los errores más comunes en los levantamientos son los siguientes: 1. Equivocarse al leer un número. Para evitar este problema, los números deben leerse a ambos lados de la marca por registrarse. Adicionalmente, con esto se evitan errores tales como apuntar 96 ft en vez de 69 ft. 2. Registro incorrecto de números. Para evitar este problema, el número debe decirse en voz alta al mismo tiempo que se apunta. El otro cadenero deberá escuchar y verificar el número. Tabla 3-2 Apuntes de campo, con correcciones por temperatura y cinta.

[Capítulo 3

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

56

Tabla 3-3 Distancia en pendiente, usando una cinta de 200 ft.

3. Ubíquese incorrectamente el cero de la cinta. Chéquese si el cero de la cinta está en el anillo del extremo de la cinta o dentro de la misma. 4. Omítase una longitud de cinta medida. Esto puede pasar fácilmente por lo que hay que hacer la comprobación necesaria para eliminar este problema. 5. Permítase que la cinta toque el pasto u otros objetos y no cuelgue libremente entre los dos puntos de los que se mide la distancia.

Problemas Resueltos 3.1

Dados: Valor K del tránsito = 101.0 Constante aditiva de estadía = 1.0 ft Distancia interceptada sobre el estadal s = 3.96 ft Encuéntrese la distancia horizontal H. Solución: Úsese la ecuación (3-1). H = Ks + 1 = 101.0(3.96) + 1 = 399.96 + 1 = 401 ft

Resp.

Capítulo 3]

3.2

DISTANCIAS HORIZONTALES

57

Dados: Valor K del tránsito = 100.3 Constante aditiva de estadía = 1.1 ft Distancia interceptada sobre el estadal s = 3.74 ft Encuéntrese la distancia horizontal H Solución: H = K s + 1 . 1 = 100.3(3.74)+ 1.1 = 375.12+1.1 = 376 ft

3.3

Resp.

Dados K = 101.2; s = 3.12 ft; con constante aditiva de estadía = 0.8 ft. Encuéntrese la distancia horizontal H. Solución: H = Ks + 0.H= 101.5(3.12) +0.8 ± 317 ft ''

Resp.

3.4

Dados: K = 101.2; s = 3.01 ft; constante aditiva de estadía = 1 ft. Encuéntrese la distancia horizontal H. Solución: H = Ks + 1 = 101.2(3.01) + 1 = 306 ft Resp.

3.5

Dados: K = 99.7; 5 = 2.71 ft; constante aditiva de estadia = 1 ft. Encuéntrese la distancia horizontal H. Solución: H= Ks+ 1 = 99.7(2.71)+ 1 = 271 ft

3.6

Resp.

Dados: K = 101.3; s = 3.98 ft; constante aditiva de estadia = 0.9 ft. Encuéntrese la distancia horizontal H. Solución: H + Ks + 0.9 = 101.3(3.98) + 0.9 = 404 ft

3.7

Resp.

Aplíquese una tensión normal de 20 lb (98 N) a una cinta de 300 ft (91 m) La parte fraccionaria de cinta que se midió al final de la línea es de 96 ft (30 m), aproximada a 1 ft. ¿Cuánta tensión se necesita aplicar en el segmento final de la cinta? Solución:

0.0666(96) = 6.394 Ib

Resp.

Por tanto debe aplicarse una tensión de 6.4 lb (28 N) al segmento final de 96 ft (30 m) de la cinta. 3.8

Aplíquese una tensión normal de 20 lb (89 N) a una cinta de 100 ft. La medida final tomada en la serie de cintas es de 77 ft (24 m) ¿Qué tensión debe ser la apropiada para aplicarse al resorte de balance del final de la cinta en esta fracción de 77 ft? Solución:

0.200(77) = 15 lb

Resp.

Por tanto, aplíquense 15 lb (67 N) de tensión a la fracción de 77 ft de cinta.

58

3.9

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 3

En un día caliente de verano con temperatura de 96°F se hace una medición de 1782.51 ft. Encuéntrese la corrección y la distancia medida, más la corrección para esta medición. Solución:

3.10

Corrección = 0.00000645(1782.51)(96- 68) = 0.32 ft

Resp.

Distancia + corrección = 1782.51+0.32= 1782.83 ft

Resp.

En un día de otoño con temperatura de 78°F se tomó una medición de 2132.61 ft. Encuéntrese la corrección y la distancia medida más la corrección para esta medición. Solución Corrección = 0.00000645(2132.61)(78- 68) = 0.14 ft Distancia + corrección = 2132.61 + 0.14 = 2132.75 ft

3.11

Resp. Resp.

Se tiene una medición de 1372.13 ft a 13°F de temperatura. Encuéntrese la distancia medida ajustada con la corrección. Solución: Distancia corregida = 1372.13-0.00000645(1372.13)(68- 13) = 1372.13- 0.49 = 1371.64ft

3.12

Resp.

Se tiene una medición de 697.13 ft a 72°F de temperatura. Encuéntrese la distancia medida corregida a esta temperatura. Solución: Distancia corregida = 697.13 + 0.00000645(697.13)(72-68) = 697.13 + 0.02 = 697.15 ft

3.13

Resp.

Ubíquese un punto a 1721.71 ft de un punto conocido, con la misma cinta y la misma temperatura. La temperatura en este día es de 79°F. ¿Qué distancia debe trazarse en la cinta? Solución: La distancia real es mayor que la distancia por trazarse, o medirse, en la cinta debido a que la temperatura es de 79° en vez de 18° que son los tomados para la longitud estándard de la cinta. Por tanto, la distancia por trazarse es la distancia real menos la corrección. Distancia de trazo = 1721.71 - 0.00000645(1721.71)(79-68) = 1721.71-0.12= 1721.59 ft Resp.

3.14

Fíjese un punto a 6791.19 ft de un punto conocido, con la misma cinta y a la misma temperatura de 87°F. Solución: La distancia por trazarse es la distancia real menos la corrección. Distancia de trazo = 6791.19- 0.00000645(679!. 19)(87- 68) = 6791.19-0.83 = 6790.36 ft

3.15

Resp.

Se tiene una medición en pendiente de 791.32. El ángulo medido con un nivel de mano Abney es de 5 o 30'. Encuéntrese la distancia horizontal //correspondiente a esta distancia en pendiente. Solución: Véase la figura 3.9. Use la fórmula H = L cos a, donde a = 5°30' = 5.5°. H = L cos 5.5 = 791.32(0.9953962) = 787.68 ft

Resp.

Capítulo 3]

3.16

DISTANCIAS HORIZONTALES

59

Se tomó una distancia de 900.00 ft en pendiente con ángulo de 7°30'. Encuéntrese la distancia horizontal H. Solución: Véase la figura 3-9. Use la fórmula = L cos a, donde a = 7°30' =

3.17

Se tiene una distancia en pendiente de 400 ft con un desnivel de 6 ft calcúlese la distancia horizontal H por la fórmula aproximada C = cP/2L y compárense los resultados con los que se obtuvieron por el teorema de Pitágoras. Véase la figura 3-9.

Por el teorema de Pitágoras

Los resultados coinciden. 3.18

Con referencia en la figura 3-10, determínese la longitud del primer puente si éste comienza en la estación 147 + 20. Solución: Véase la figura 3-10.

3.19

Con referencia en la figura 3-10, determínese a que distancia en pies está del extremo del segundo puente, el final del proyecto. Solución: Véase la figura 3-10.

60

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 3

Problemas Suplementarios 3.20

Dados: valor K del tránsito = 100.5; constante aditiva de estadía = 1 . 0 ft; distancia interceptada sobre el estadal s = 3.89 ft. Encuéntrese la distancia horizontal H. Resp. 392 ft.

3.21

Dados: valor A" del tránsito = 100.5 ft; constante aditiva de estadía = 1.0 ft; s = 3.27. Encuéntrese la distancia horizontal H. Resp. 330 ft.

3.22

Dados: K = 101.5; constante aditiva de estadía = 1 ft; s = 2.96 ft. Encuéntrese la distancia horizontal H. 301 ft.

Resp.

3.23

Dados: K = 101.5; constante aditiva de estadía = 1 ft; s = 4.07 ft. Encuéntrese la distancia horizontal H. 414 ft.

Resp.

3.24

Aplíquese la tensión normal de 20 lb (89 N) a una cinta suspendida en los dos extremos. La tensión se hace varia en proporción a la longitud del segmento final medido, el cual es de 45 ft (14 m), de la serie de cintas que se acumulan en la medición. ¿Cuál es la tensión que debe aplicarse en este segmento final?. Resp. 9 lb (40 N) deben aplicarse al segmento final de la cinta 45 ft.

3.25

Al final de una distancia de 100 ft medida con una cinta de la misma longitud hay un error de alineamiento de 0.02 ft. Determínese si este es un error medible. Véase la figura 3-8. Resp. Error de alineamiento = 2.01 ft en 100 ft. Este es un error medible que no sería aceptado en el levantamiento.

3.26

La temperatura al momento del levantamiento fue de 31°F; la medición arrojó 782.13 ft. Encuéntrese la corrección y la distancia medida. Resp. Corrección = 0.19 ft. Distancia = 781.94 ft.

3.27

Fíjese un punto a 3212.69 ft de un punto conocido, utilizando una cinta de 100 ft a una temperatura constante de 59°F. ¿Qué distancia debe trazarse con la cinta? Resp. 3212.88 ft.

3.28

Se tiene una medición en pendiente con valor de 879.21 ft y un ángulo de la pendiente de 6o 15'. Encuéntrese la distancia horizontal H. Véase la figura 3-9. Resp. 873.98 ft.

3.29

Se midieron 1000.06 ft sobre una pendiente que tiene un ángulo de 5°30'. Encuéntrese la distancia horizontal H. Véase la figura 3-9. Resp. 995.46 ft.

3.30

Se midió una distancia en pendiente de 325 ft venciéndose un desnivel de 3.5 ft. Calcúlese la distancia horizontal H con la fórmula aproximada C = cP/2L y compárense los resultados con los que se obtienen con el teorema de Pitágoras. Resp. Usando la fórmula aproximada, H = 324.98 ft, usando el teorema de Pitágoras, H = 324.98 ft. Los resultados coinciden.

3.31

Se tiene una medición en pendiente de 267 ft con un desnivel de 4.27 ft. Calcúlese la distancia horizontal H usando la fórmula aproximada C = cP/2L y compárese el resultado con el que se obtuvo con el teorema de Pitágoras. Resp. Usando la fórmula aproximada, H = 266.87 ft. Usando el teorema de Pitágoras, H = 266.97 ft. Los resultados coinciden.

Capítulo 4 Tránsitos 4.1

INFORMACIÓN GENERAL

El tránsito para ingenieros topógrafos es conocido con frecuencia como el aparato universal de topografía, debido a sus múltiples aplicaciones. Puede ser utilizado para observar ángulos horizontales y/o direcciones, para observación de ángulos verticales y diferencias de elevación para prolongar líneas rectas y para medir distancias por estadía. Aunque los tránsitos de los diversos fabricantes difieren en apariencia, las partes y los procedimientos de operación son esencialmente los mismos. La figura 4-1 muestra las componentes de un tránsito común, las cuales se listan e identifican aquí: 1. Niveles de plato o círculo horizontal. En adición al nivel del telescopio (el cual se localiza directamente debajo del mismo; no se muestra en la figura 4-1), el tránsito tiene también dos niveles del círculo horizontal que sirven para nivelar el aparato con el plano horizontal. 2. Brújula. El transito cuenta con una brújula integrada para aquellos trabajos que requieren lecturas de direcciones magnéticas. La brújula está graduada a Io y numeradas en cuadrantes. El oeste y el este de la brújula están invertidos con respecto a la posición normal en los mapas, ya que la superficie graduada está unida al aparato y gira con él. La aguja permanece en una línea fija e indica la dirección a la que el telescopio está dirigido. 3. Tornillo fijador de la brújula. El tornillo fijador de la brújula desconecta la aguja para reducir el des gaste en el pivote de la aguja, cuando la brújula no está en uso.

Figura 4-1 Tránsito para ingenieros. (David White Instruments)

62

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

4. 5.

6.

7.

[Capítulo 4

Tornillo de presión del movimiento vertical. El telescopio puede fijarse en un ángulo vertical aproximado usando el tornillo de presión del movimiento vertical. Tornillo tangencial del movimiento vertical. Pueden hacerse ajustes pequeños a la posición vertical con este tornillo. Para que el tornillo tangencial funcione, debe sujetarse con firmeza al tornillo de presión. Tornillo de presión del movimiento general o inferior. El tornillo de presión del movimiento particular o superior asegura el círculo horizontal a los soportes. El tornillo de presión del movimiento gene ral asegura el círculo horizontal a la cabeza de nivelación. Tripié. El tripié (véase Fig. 4-2) es el sostén o base que soporta al aparato topográfico y lo mantiene en posición estable durante las observaciones. Consta de una cabeza del tripié a la cual se sujeta el aparato, tres pies de madera o de metal que se insertan a la cabeza y puntas metálicas en cada pie para presionar el ancla en el suelo y obtener una posición firme.

La figura 4-3 es un buen ejemplo del tránsito para ingenieros; el tripié puede verse soportando firmemente al instrumento. Están a disposición del ingeniero topógrafo dos tipos de tripiés: el de pies fijos y el de pies extendibles. En el primer caso los pies del tripié están hechos de una sola pieza de material, y, por esta razón, deben colocarse

Figura 4-2 Tripié. (David White Instruments)

Figura 4-3 Tránsito para ingenieros montado en un tripié.

Capítulo 4]

TRÁNSITOS

63

hacia adentro o hacia afuera en diferentes proporciones con objeto de nivelar la cabeza y controlar la altura del aparato. En el tripié con pies extendibles se tienen dos secciones que se deslizan hacia arriba y abajo. Esta característica es muy útil para instalarse en terrenos abruptos. 4.2 DIFERENCIAS ENTRE TRÁNSITOS Y TEODOLITOS No existe una aceptación universal en cuanto a la diferencia entre los términos tránsito y teodolito. Transitar significa la inclinación, vuelta o inversión del telescopio, de ahí el término "tránsito". De esta manera, el tránsito es un nivel universal con un telescopio montado de manera que puede ser transitado o girado completamente. Las características básicas divergentes entre el tránsito y el teodolito determinan qué instrumento es cada uno. Los tránsitos tienen círculos de metal que se leen por conducto de verniers (escalas graduadas deslizantes). Los teodolitos tienen círculos de vidrio de los que se toman lecturas a través de escalas de vidrio finamente graduadas con precisión o micrómetros vistos a través de sistemas ópticos microscópicos internos. En general, los teodolitos tienen mayor precisión en mediciones angulares que los tránsitos y están adquiriendo aceptación en los Estados Unidos. El tránsito para ingenieros se diseña para cada caso de necesidad en topografía y fue el tipo más utilizado en Estados Unidos en el pasado; es aún ampliamente usado para instrucción en escuelas. Operando correctamente el tránsito para ingenieros medirá ángulos horizontales hasta la precisión que se requiera más frecuentemente. Los ángulos verticales pueden medirse con precisión de ± 10 segundos, y las elevaciones hasta precisiones de tercer orden. Todos los problemas en este texto son para el tránsito de ingenieros. Si un ingeniero topógrafo domina el uso de este aparato, puede emplear el tránsito o el teodolito con facilidad debido a la similitud en el funcionamiento entre estos dos instrumentos básicos. 4.3 RELACIONES ENTRE ÁNGULOS Y DISTANCIAS Al realizar medidas de ángulos con el tránsito son importantes las siguientes relaciones entre ángulos y distancias (véase la Fig. 4-4): seno de 1 minuto de arco = tangente de 1 minuto = 0.0002909 sen 1 o = tan 1 o = 0.01745 1 minuto de arco = 0.03 ft en 100 ft, o 3 cm en 100 m. 1 minuto de arco = 0.09 ft o aproximadamente 1 in en 300 ft.

Figura 4-4 Relación entre ángulos y distancias. (Tomado de R. C. Brinker and P. R. Wolf, Elementary Surveying, IEP Publishing, Dun-Donnelley, New York, 1977)

64

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 4

1 segundo de arco = 1 ft en 40 mi, o 0.5 m en 100 km. Todas las anteriores, son cantidades aproximadas. Nota: Sólo instrumentos de laboratorio como el Wild T-4 pueden leerse o están graduados con precisión de 0.1 segundos de arco. De acuerdo con estas relaciones, con el uso de un teodolito, el cual es ligeramente más preciso que un tránsito, se podría leer, en teoría, con aproximación a un 0.1 de segundo y medir el ángulo entre dos puntos que estén separados 1 ft a una distancia de 40 mi. EJEMPLO 4.1 Dada: una distancia de 500 ft y un ángulo de 1 minuto, encuéntrese la distancia perpendicular a 500 ft para un ángulo de 1 minuto. Solución: Dibújese una figura con lados de 500 ft y un ángulo de 1 minuto (exagérese el ángulo).Véase la figura 4-5. De las relaciones entre ángulos y distancias (véase Fig. 4-4): Distancia = 0.00029.x donde x = 500 ft Distancia = 0.00029 (500) = 0.145 ft Resp.

Figura 4-5

4.4 ANTEOJO O TELESCOPIO El anteojo o telescopio es común al nivel topográfico y al tránsito. El telescopio moderno (véase Fig. 4-6) consiste en lo siguiente: 1. 2. 3. 4.

Una retícula con los hilos cruzados cerca de la parte posterior del tubo telescópico. Un lente ocular que amplifica los hilos y que debe enfocarse a ellos de acuerdo con la visión de cada topógrafo. Un lente del objetivo en el extremo del telescopio (el extremo opuesto al ocular). El lente forma una imagen dentro del telescopio. Un lente para enfocar que puede moverse hacia adelante o atrás con objeto de enfocar la imagen en los hilos.

Los telescopios de imagen directa son aquellos que enderezan la imagen que normalmente se vería invertida. Los telescopios de imagen inversa son aquellos en que la imagen se ve de cabeza. La mayor parte de los telescopios se diseñan para obtener la imagen directa. Cuando la imagen se enfoca en los hilos, éstos parecen formar parte de la misma. Cuando el observador mira a través del ocular, ve el objeto amplificado alrededor de 24 veces, con los hilos grabados en él.

Figura 4-6 Visión en el telescopio.

Capítulo 4]

TRÁNSITOS

65

4.5 LÍNEA DE VISIÓN Cuando se observa un punto de un objeto a través del telescopio, éste quedará en una línea recta que pasa por el centro óptico de los lentes del objetivo. Una línea recta que pase por los hilos de la retícula a través del centro óptico de los lentes tocará el punto en el objeto donde el observador ve localizados aparentemente los hilos. Por tanto, la línea de visión de los lentes del telescopio queda definida por los hilos y el centro óptico del objetivo. Un telescopio enfocado correctamente permite al observador mover su ojo ligeramente sin cambiar la posición de los hilos con respecto al objeto visado. En la mira de un rifle, el ojo debe alinearse con precisión con la misma para determinar a dónde se está apuntando. Este no es el caso con el anteojo en el tránsito. Puesto que el telescopio amplifica el objeto 24 veces, el diámetro del campo visual es pequeño, aproximadamente de 1 o , o 1.75 ft en 100 ft. 4.6 VERNIERES Los vernieres son escalas auxiliares cortas, paralelas y adyacentes a la escala principal. El vernier está construido de tal manera que cuando se coloca de manera que tanto la escala principal y la de aquél tienen una línea en posiciones coincidentes, la parte fraccionaria de la división más pequeña en la escala principal pueda obtenerse sin interpolación. Como se ilustra en la figura 4-7, el vernier tiene n divisiones en un espacio cubierto por n — 1 de las divisiones más pequeñas en la escala. En esta forma:

donde d es la longitud de la división de la escala principal y v es la longitud de una división del vernier. EJEMPLO 4.2 Dados: en la fig. 4-7, n = 10, d = 0.01 ft, y v = 0.09/10 = 0.009 ft. Muéstrense tres posiciones del vernier. ¿Cuáles serán las lecturas del vernier para la figura 4-7 a, b y c? Nota: los números en la escala principal representan décimas de un pie. Solución: De la lectura de la figura 4-7a, se obtiene 0.400 ft.

Resp.

Figura 4-7 Vernieres

66

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 4

En la figura 4-1 b, el vernier se mueve de tal manera que su primera graduación a partir de cero coincida con la primera graduación de la escala más allá de 0.400. Así, el índice del vernier se ha movido una distancia igual a d - v = 0.01 - 0.009 = 0.001 ft La lectura para la figura 4-lb es, por tanto: 0.4 + 0.0001 = 0.401 ft

Resp.

Si el vernier se mueve de tal modo que la segunda graduación del vernier coincida con la representación de 0.42 en la escala principal, el movimiento desde la posición en la figura 4-la es 2{d — v) = 0.002 ft. Para determinar la lectura de la figura 4-1 c, búsquese la posición donde coincidan el vernier y la escala principal; la escala del vernier está en posición de 8. Dado que cada división del vernier es igual a 0.001 ft, en una lectura de 8 indica 0.008 ft. A esto se le suma la lectura de la escala principal de 0.4 ft para obtener 0.4+0.008 = 0.408 ft

Resp.

Cuando se usa el vernier, d — v es la lectura más pequeña que se puede efectuar sin interpolar. A ésta se le denomina aproximación o lectura mínima del vernier. Se expresa como sigue:

Para estar seguros de que la escala y el vernier están siendo leídos correctamente, el observador debe determinar la aproximación. Al seleccionar la línea del vernier coincidente con una división de la escala, el observador debe situarse directamente opuesto a las líneas para evitar errores por paralaje. La segunda graduación de cada lado de las líneas coincidentes debe verificarse para comprobar que se forma un patrón simétrico basado en ellas. Por ejemplo, en la figura 4-7c, las graduaciones 6 y 10 caen dentro (hacia la división 8) de las graduaciones de la escala principal en distancias iguales; de ahí que, 8 (esto es, 0.008) es la lectura correcta. A continuación se mencionan los errores más comunes en las lecturas del vernier en minutos y segundos. 1. No usar lentes para amplificación. 2. No determinar correctamente la aproximación del vernier. 3. Leer en la dirección equivocada a partir de cero. 4. Omitir 10, 15, 20 o 30 minutos cuando el índice está más allá de estas marcas. Es común el uso del vernier doble. En éste existen juegos completos de divisiones que se deslizan a ambos lados de una línea común de cero. Estos vernieres indican direcciones en contra y en el sentido de las manecillas del reloj en el caso que se necesite. Los vernieres se colocan para leerse desde la parte del círculo más cercana al observador; un ángulo en el sentido de las manecillas del reloj se lee de derecha a izquierda. En este caso se usa el juego de divisiones del vernier que se encuentra a la izquierda de la marca central. Los formatos de las líneas en los círculos graduados y en los vernieres están estandarizados. El círculo superior en la figura 4-8 tiene tres longitudes de líneas. Las más largas indican graduaciones de 5o ; las que siguen en longitud se usan para posiciones de un grado. Las líneas más cortas indican incrementos de \°. Las posiciones de 10° están numeradas. Cada posición de 10° (excepto cero) tiene dos números, uno para la dirección a favor y otro para la dirección en contra de las manecillas del reloj. En la figura 4-8, los otros dos vernieres que se muestran tienen características similares pero diferentes graduaciones de la escala. El vernier de la ilustración central tiene una graduación en 20 minutos para leer hasta 30 segundos, y el vernier de la ilustración inferior está graduado en 15 minutos para leer hasta 20 segundos. En los vernieres de un minuto se utilizan dos longitudes de líneas. Las más largas representan graduaciones de cinco minutos, y las más cortas, de un minuto. Las posiciones de 10 minutos están numeradas. Nota: El vernier doble es el más utilizado generalmente. Para mayor entendimiento del vernier, lo mejor es practicar leyendo varios tipos de estos instrumentos. De esta manera, se puede calcular y representar la aproximación o lectura mínima para diferentes combinaciones de escala y divisiones del vernier.

Capítulo 4]

TRÁNSITOS

67

Figura 4-8 Vernieres. {Tomado de P. Kissam, Surveying Practice, McGraw-Hill, New York, 1978. Courtesy of Keuffel and Esser Co.)

4.7

GEOMETRÍA DEL TRÁNSITO Las siguientes son condiciones geométricas necesarias en cualquier tránsito (véase Fig. 4-9): 1. Las superficies ahusadas inferior y exterior del centro o carrete externo deben ser concéntricas. Si es to no se cumple, la alidada no permanecerá a nivel cuando se gire el círculo horizontal. 2. Los ejes horizontal y vertical deben ser perpendiculares. 3. Los carretes o ejes interior y exterior y los soportes del eje horizontal deben estar ajustados perfecta mente. En esta forma, el aparato dará vuelta alrededor de líneas geométricas. 4. El eje vertical, el eje horizontal y la línea de visual deben encontrarse en el centro del aparato y ser perpendiculares mutuamente (véase Fig. 4-10). 5. La línea de colimación debe ser perpendicular al eje horizontal. Los lentes usados para enfocar se de ben guiar en forma tal que cuando lo hagan, no cambien la dirección de la visual (véase Fig. 4-11). 6. El círculo vertical debe marcar cero cuando la visual es perpendicular al eje vertical. 7. Debe haber concentricidad entre las graduaciones del círculo vertical y el eje horizontal. 8. El círculo vertical debe ser concéntrico y perpendicular al eje horizontal. 9. Las graduaciones en el círculo horizontal deben ser concéntricas con el eje vertical. 10. El círculo horizontal graduado debe ser concéntrico y perpendicular al eje vertical.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 4

Figura 4-9 Tránsito en el que se muestran la alidada, la cabeza de nivelación y el círculo.

11. La burbuja del telescopio debe estar centrada cuando la línea de visual es horizontal. 12. Las burbujas del plato deben estar centradas cuando el eje vertical está en posición vertical. En la práctica la brigada de topografía opera el aparato de tal manera que si no se cumplen exactamente estos requerimientos geométricos se neutralicen los errores inducidos y sus efectos sean eliminados. Los errores humanos aleatorios y errores sistemáticos como tener los soportes sueltos no pueden ser eliminados.

Figura 4-10 Ejes horizontal y vertical del tránsito

Figura 4-11 Círculo del vernier con lectura cero.

Capítulo 4]

TRÁNSITOS

69

4.8 BRÚJULA Los tránsitos para ingenieros están equipados con una brújula. La mayor parte de los tránsitos tiene una caja de brújula integrada en el plato superior entre los soportes. La aguja de la brújula tiene al centro un cojinete de forma cónica que descansa en un pivote de acero. La brújula tiene un mecanismo de tornillo y palanca que sirve para levantar la aguja separándola del pivote cuando no se encuentre en uso. Cuando la aguja está en su lugar, cualquier pequeña sacudida puede causar que el cojinete dañe el punto fino del pivote y la aguja se mueva con lentitud. La pérdida de magnetismo rara vez es un problema en la aguja de la brújula. Una aguja lenta corresponde usualmente a un pivote defectuoso. En la aguja hay un pequeño serpentín de alambre de cobre (el cobre no se afecta por magnetismo) que puede moverse a lo largo de la aguja para balancear el efecto de atracción del campo magnético terrestre. La aguja se alinea con la componente horizontal del campo magnético terrestre. Esta componente se denomina meridiana magnética. El círculo que rodea la aguja está marcado en grados y mitades de grados y numerado para mostrar el rumbo de la línea de visual del telescopio. En virtud de que el círculo gira con la alidada y no con el círculo de la brújula, las indicaciones de este y oeste deben mostrarse en la carátula del marcador de la brújula en posiciones invertidas, de manera que los rumbos puedan leerse directamente.

4.9 DECLINACIÓN MAGNÉTICA El ángulo horizontal entre el meridiano magnético y el meridiano geográfico verdadero se denomina declinación magnética. El término utilizado por las fuerzas armadas para éste es desviación, así como variación de la brújula por los navegantes. Se obtiene una declinación este si el meridiano magnético se localiza al este del norte verdadero. La declinación oeste se obtiene si el meridiano magnético está al oeste del norte verdadero. El valor de la declinación en una ubicación determinada se obtiene estableciendo el meridiano verdadero por medio de observaciones astronómicas y luego leyendo la brújula mientras se visa el meridiano verdadero. La figura 4-12 es un mapa de la United States Geological Survey (Programa de Cartografía Geológica de Estados Unidos) del año 1975 que muestra la distribución de la declinación magnética en los Estados Unidos. Una línea agónica es una línea que une localidades que tienen declinación cero. A lo largo de esta línea, la aguja magnética apunta tanto al norte verdadero como al norte magnético. Una línea isogónica es aquella que conecta localidades que tienen la misma declinación.

4.10 VARIACIONES EN LA DECLINACIÓN MAGNÉTICA Con el transcurso del tiempo ocurren variaciones en la declinación magnética. Hay cuatro tipos de variaciones, las cuales se listan a continuación: 1. Variación secular. Es la más importante, ya que es la más grande y cambia en periodos largos de tiempo. En años anteriores, los valores de la variación se obtuvieron refiriéndose a tablas y cartas compiladas mediante la observación a lo largo del tiempo. Para el nuevo trazo de linderos en propiedades, que fueron determinados con brújula debe tomarse en cuenta la diferencia entre la declinación magnética en el momento del levantamiento original y la de la fecha presente. 2. Variación diaria. Cada día se tiene una variación de la declinación de la aguja magnética en un pro medio de un arco de ocho minutos. La aguja alcanza su posición extrema al este a las 8:00 horas (h). La lectura más hacia el occidente ocurre a las 13:30 h. La variación diaria puede ignorarse, ya que está dentro del rango de error que puede esperarse en lecturas con brújula. Otro término que se usa para la variación diaria es el de variación diurna. 3. Variación anual. La variación anual es menor que un minuto de arco y puede ignorarse. 4. Variación irregular. Las perturbaciones magnéticas y las tormentas eléctricas pueden ocasionar variaciones a corto plazo, con valores hasta de I o .

70

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 4

Figura 4-12 Mapa del United States Geological Survey para el año 1975. 4.11

ATRACCIÓN LOCAL

Los objetos metálicos (metales ferrosos) y la corriente eléctrica directa ocasionan atracción a la aguja de la brújula. Si la fuente de atracción local es fija, todos los rumbos tomados en esa estación tendrán un error valuado en una misma cantidad. Sin embargo, los ángulos calculados de rumbos leídos en esa estación estarán correctos. Puede deducirse si la atracción local está presente cuando los rumbos tomados hacia adelante y hacia atrás de una línea difieren en más que lo que el error que se obtiene en observaciones normales. EJEMPLO 4.3 a) Dados: un rumbo de brújula para la línea AB de N23°15'W luego se observó un rumbo inverso de

S23º10´E. b) Dados: rumbo CD de N62° de N62°00'E y rumbo inverso DC de S63°30'W. Determínese en cada caso si existió atracción local y si es así, la ubicación de la atracción. Solución: a) Restando 23° 10' de 23° 15' queda 00°05'. Esta diferencia es tan pequeña que se puede deducir que es sólo un error normal de la observación. Ésta indica que no está presente la atracción local. b) Réstese CD de DC para obtener una diferencia de 1 ° 3C. Esta es una diferencia grande, mayor que la que debería ocurrir en una observación normal. Por tanto, se tiene una atracción local en el punto D o C. Si la atracción local está en D, la aguja de la brújula está siendo desviada l°30' al oeste del norte.

4.12 FUENTES DE ERROR EN TRABAJOS CON BRÚJULA Algunas causas de error usando la brújula del tránsito son las siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.

Variación magnética. Atracción local. Magnetismo débil en la aguja. Brújula no nivelada. Pivote, aguja o pínulas dobladas.

Capítulo 4]

TRÁNSITOS

71

Son causas probables de atracción local: 1) fichas, 2) varas metálicas, 3) hachas, 4) carpetas con argollas, 5) navajas, 6) un metal en una bolsa de la camisa, 7) líneas cercanas de energía, 8) un vehículo estacionado. Cualquiera de estos objetos puede crear una atracción local a la aguja de la brújula. 4.13 ERRORES EN TRABAJOS CON BRÚJULA A continuación se mencionan algunos errores comunes al trabajar con brújula: 1. 2. 3. 4. 5.

4.14

No verificar los rumbos directos e inversos cuando sea posible. Leer el extremo equivocado de la aguja. Asignar la declinación al lado erróneo del norte cuando se intente observar rumbos verdaderos. No hacer un dibujo mostrando datos conocidos y buscados. Paralaje. (Efectuar lecturas desde un lado de la aguja en vez de hacerlas alineado con ella.)

DETERMINACIÓN DE RUMBOS PRECISOS CON BRÚJULA A continuación se menciona el procedimiento para determinar rumbos precisos con brújula:

1. 2. 3.

4. 5.

Asegúrese de que el norte (cero) en el círculo de la brújula esté en el cero del arco de la declinación. Colóquese en un punto donde no haya atracción local. Véase un punto bien definido. Léase el ángulo en cada extremo de la aguja. Véase el punto con el aparato invertido y vuélvase a leer el ángulo en cada extremo de la aguja. Obténgase el promedio de los cuatro ángulos y adiciónense las letras correctas para la dirección del punto usado. Al leer la posición de la aguja alíniese el ojo con la aguja y aproxímese cada lectura a los cinco minutos más cercanos. El valor obtenido puede corregirse por hora del día y día del año utilizando valores obtenidos del Na tional Geodetic Survey.

EJEMPLO 4.4 Se tiene: una línea AB con un rumbo magnético de N26°E. Se sabe que existe una declinación este de 20°. Encuéntrese el rumbo verdadero de AB. Solución: Dibújese un croquis. (Véase la Fig. 4-13). En éste, el norte se dibuja verticalmente, la aguja está apuntando al norte, pero tiene una desviación en esta ubicación en particular de 20° hacia el este. En esta forma, la desviación se muestra 20° al este del norte verdadero, y luego el rumbo magnético de la línea AB, observando, se muestra colocado a 26° en el sentido de las manecillas del reloj desde la línea de la aguja de la brújula. Cálculos:

EJEMPLO 4.5 Dado: el rumbo magnético AB, tomado en el año 1868, con valor N48°30'E. En 1983 la misma línea fue observada con un rumbo de N10°27'E y representada por la línea AD. Encuéntrese el cambio o variación del rumbo magnético con el paso de los años. Solución: Dibújese un diagrama (véase Fig. 4-14). Réstese AD de AB.

El cambio en el rumbo magnético es de 38°03' y ha estado progresando hacia el Este.

72

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 4-13 Rumbos.

4.15

[Capítulo 4

Figura 4-14 Rumbos.

MEDICIÓN DE UN ÁNGULO HORIZONTAL

Para medir un ángulo horizontal, úsese el siguiente procedimiento: 1. 2.

3. 4. 5.

Aflójense ambos movimientos y fíjese el vernier A con el cero en el movimiento superior (léase el vernier B si es necesario); véase la información sobre el tornillo de presión al principio de este capítulo. Apúntese hacia el objeto o marca inicial (a la izquierda) usando el movimiento inferior. Fíjese la posición con el tornillo de presión inferior llegando hasta el punto u objeto marcado usando el tornillo tangencial del movimiento inferior con movimiento en el sentido de las manecillas del reloj. Aflójese el tornillo de presión superior, vísese al segundo punto u objeto usando el movimiento superior y continué como se describe en el paso número 2. Aflójese el movimiento inferior. Léase el vernier A en la dirección de las manecillas del reloj (y el vernier B si es necesario).

Nota: Si a través del cálculo se usa el vernier A, la lectura en éste se toma como valor del ángulo. Si se usa también el vernier B, el valor del ángulo es el promedio de las lecturas en A y B menos la lectura inicial, la cual es el promedio de las lecturas en A y B cuando el vernier está fijado en cero.

4.16 REGISTROS DE CAMPO Generalmente sólo se usa el vernier A. En este caso casi cualquier forma de registro del ángulo es satisfactoria. En la figura 4.15 se muestra una forma común de registro cuando se usa también el vernier B. La explicación del registro para los dos ángulos se da en la tabla 4.1. Nota: Las lecturas en el vernier A se registran en su totalidad. De las lecturas en el vernier B sólo se registran los minutos y los segundos. Cuando una lectura en B es un minuto mayor que el número de minutos en el registro A agréguense 60 segundos al número de segundos en el registro B. Cuando la lectura en B es 1 minuto menor que en el registro A, agréguese una línea o raya sobre el número de segundos en el registro B. EJEMPLO 4.6 Se tiene el registro A y la lectura B que se muestran en las primeras dos columnas de la tabla que acompaña el ejemplo. Determínese el registro B y el promedio de los registros de campo.

Capítulo 4]

TRÁNSITOS

73

Figura 4-15 Páginas de la libreta de campo. Tabla 4-1 Ángulos para lectura directa de vernieres.

Solución: Véanse las dos últimas columnas de la tabla adjunta. Nótese cómo se agregan 60 segundos al número de segundos en el registro B debido a que el número de segundos en el registro B es más grande que el número de minutos en el registro A. Nótese que cuando la lectura B es menor en un minuto que la del registro A, se coloca una raya sobre el número de segundos en el registro B. El promedio inicial se obtiene a partir de los valores del número de segundos de los registros A y B cuando el vernier está fijo en cero. Para el ángulo en el primer renglón de la tabla:

Se suma un minuto al número de minutos en la tabla de promedios, y el número de segundos se convierte en cero. El promedio es, así, 87°11'00". Para el ángulo en el segundo renglón de una tabla, el promedio se obtiene como sigue:

En esta forma el ángulo promedio es 17°19'52.5".

74

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

4.17

[Capítulo 4

REGISTRO DE LAS NOTAS DE CAMPO

Los registros de campo no son complicados pero requieren práctica para desarrollarse. Los cálculos necesarios deben escribirse en la forma habitual en papel para ensayar hasta que se logre familiaridad con el sistema. EJEMPLO 4.7 Véase la tabla 4-1 y la figura 4-15. a) Dado: el ángulo BAC, el cual tiene una lectura inicial del vernier A del tránsito de 0°00/00// para la línea AB, la lectura del vernier B es 180°00'15". Para la línea AC se lee en el vernier A 125°32'45", y la lectura del vernier B 305°33'15". Calcúlese el ángulo resultante. b) Dado: ángulo EDE, que tiene una lectura inicial el vernier A del tránsito de 0°00/00" y una lectura del vernier B de 179°59'45", en la línea DF del vernier A la lectura es 145°27'30" y en el vernier B es 325°27'15//. Calcúlese el ángulo resultante. Solución: a) Véase la tabla 4-1.

b) Véase la tabla 4-1 y la figura 4-15. Promedio inicial visando hacia E - 59°52'5" = —0.75 segundos Visando hacia F el promedio es 145°27'22.5". Para calcular el ángulo, réstese el promedio inicial del rumbo promedio. Ángulo final = 145°27'22.5" - (-07.5") = 145°27'30"

Resp.

Nota: La raya que se coloca sobre el valor 52.5 segundos en la figura 4.15 significa que hay un doble negativo — una cantidad negativa se resta del valor DF; un doble negativo da un valor positivo; por tanto, se suman 07.5 segundos para obtener el ángulo.

4.18

FUENTES DE ERROR EN TRABAJOS CON TRÁNSITO

Los errores se clasifican usualmente en tres categorías: errores del aparato, errores naturales y errores personales. Son errores del aparato: 1. Burbujas de los platos desajustados 2. Los centros en los vernieres están ligeramente excéntricos 3. Los ejes de la burbuja del telescopio no están paralelos al eje de visión 4. Los ejes horizontal y vertical no son mutuamente perpendiculares 5. El eje de visión no es perpendicular al eje horizontal Son fuentes naturales de error: 1. El viento 2. Colocación del tripié 3. Refracción 4. Los cambios de temperatura Los errores humanos más comunes son: 1. Mal enfoque del telescopio 2. Tripié inestable 3. Mala interpretación del vernier

Capítulo 4]

TRÁNSITOS

75

4. Burbujas centradas en forma incorrecta 5. Fijación incorrecta del instrumento sobre el punto 6. Uso incorrecto de los tornillos tangenciales 7. Colocación descuidada de la plomada sobre la estación de observación 8. Mala posición de la plomada en el objeto visado Además de los errores mencionados, los siguientes son comunes en el trabajo con tránsito: 1. 2. 3. 4.

Visar o colocarse en un punto equivocado Girar el tornillo tangencial equivocado Leer el círculo erróneo Dictar o registrar un valor incorrecto

Problemas Resueltos 4.1

Dados: una distancia de 1 000 ft y un ángulo de un minuto, encuéntrese la abertura proyectada de este ángulo. Solución: Para las relaciones mostradas en la figura 4-4, Si x = 1000 ft: Distancia perpendicular = 0.00029* = 0.00029(1000) = 0.29 ft

4.2

Resp.

Dado: un segundo de arco y una longitud de 100 ft para un lado del ángulo, ¿cuál es la abertura proyectada a esta distancia? Solución: Véase la figura 4-4. Si la abertura proyectada (offset)* para un minuto = 0.00029.x, entonces la abertura proyectada para un segundo es un sesentavo del de un minuto.

4.3

Dado: el radio de un arco = 50 mi. Encuéntrese la abertura proyectada de un ángulo de un segundo. Solución: Distancia perpendicular de 1 minuto = 0.00029.x

Ya que 1 mi = 5280 ft, entonces Distancia perpendicular = 0.0000048(50)(5280) = 1.27 ft Nota: "offset" puede ser abertura proyectada o distancia perpendicular.

Resp.

76

4.4

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 4

Dado: el vernier mostrado en la Fig. 4.16a, encuéntrese la lectura angular correcta. Solución: Leyendo en el sentido en que giran las manecillas del reloj en el círculo, se obtiene 58° primero (graduación corriendo hacia la izquierda). Después, se está más allá de los 30 minutos en la escala principal, así que encuéntrese la línea coincidente en el vernier. Ésta es 17. Súmense 30 minutos, pues el índice del vernier pasó la marca de 30 minutos; 17 + 30 = 47 minutos. En esta forma, la lectura para la figura 4.16a es 58°47'. Leyendo en sentido contrario al de las manecillas del reloj en la figura 4.16a, se encuentran 301° en la escala principal. Este índice está antes de la marca de 30 minutos en la escala principal, de tal modo que, leyendo las líneas coincidentes en el vernier y en la escala principal del vernier se encuentra coincidencia en la marca de 13 minutos. La lectura correcta es, por consiguiente, 301°00" + 301°13", Nótese que el vernier se lee siempre en la misma dirección a partir del índice, tal como se numera la escala; esto es, en el lado del doble vernier, en la dirección en que se incrementa el ángulo. La suma de los dos ángulos = 360°00´.

Figura 4-16 Diferentes tipos de vernieres. (Tomado de R. C. Brinker and P. R. Wolf, Elementary Surveying, IEP Publishing, DunDonnelley, New York, 1977. Courtesy ofKeuffel andEsser Co.)

4.5

Dado: el vernier mostrado en la figura 4.166, encuéntrese la lectura angular correcta. Solución: Leyendo el conjunto interior de números del vernier doble se obtiene 91 °20'. La línea coincidente en el vernier está en siete minutos. Por tanto, sumando los minutos: 20 minutos + 07 minutos = 27 minutos En esta forma, el ángulo correcto es 91°27' Leyendo el conjunto de valores exteriores se obtiene 268°20' y 20 minutos + 1 3 minutos = 33 minutos El ángulo correcto es 268°33'.

Capítulo 4]

4.6

TRÁNSITOS

77

Dado: El vernier mostrado en la figura 4.16c, encuéntrese la lectura angular correcta. Solución: La lectura en el índice del vernier es 117° en la escala que gira en el sentido de las manecillas del reloj. Después la línea que coincide en la escala del vernier está en 5'30", por lo que la lectura es 117°05'30". Nota de instrucción: Este es un vernier con doble numeración, de manera que cuando se lee en el sentido de las manecillas del reloj partiendo de cero, se lee 15 a la izquierda del cero y de 15 a 30 a la derecha del cero. Léanse los números exteriores (corriendo hacia la derecha) en la figura 4.16c. Primero se lee 242°30' en la escala; la coincidencia se encuentra en 24'30" en la escala del vernier leído en contra de las manecillas del reloj, por lo que se tiene 242°30' + 24'30" = 242°54'30".

4.7

Léase la figura 4.16d Solución:

La escala marca 321°10'. El vernier 3'20", por lo que 321º10' + 3'20" = 321°13'20" Para un ángulo leído en el sentido de las manecillas del reloj. Resp. 4.8

Dado: [Fig. 4-8 (arriba)] El vernier doble de la lectura directa graduado a 30 minutos, con la lectura hasta de un minuto, ¿cuál es la lectura angular correcta? Solución: Léase la escala interior: 342°30'. La línea coincidente está a cinco minutos en el vernier. Así 342°30' + 5 minutos = 342°35'

Resp.

Léase la escala exterior en el mismo vernier doble: 17° + 25 minutos en el vernier. Así, se tiene 17°25' 4.9

Resp.

Dado: Fig. 4-8 (centro) El vernier doble de la lectura directa graduado a 20 minutos con lectura hasta de 30 segundos, ¿cuál es la lectura angular correcta? Solución: Léase la escala interior: 49°40'. Agréguense 10 minutos en el vernier. Así 49°40' + 10 minutos = 49°50'

Resp.

Léase la escala exterior en el mismo vernier como en la primera parte del problema: 130°. El vernier coincide en 10 minutos. Así, 130° + 10 minutos = 130°10'

4.10

Resp.

Dado: [Fig. 4-8 (abajo)] El vernier doble de la lectura directa graduado a 15 minutos con lectura hasta de 20 segundos, ¿cuál es la lectura angular correcta? Solución: Léase la escala interior: 8o 15'. El vernier marca 10'00”. Así, 8°15' + 10'00" = 8°25'00"

Resp.

o

Léase la escala exterior: 35 1 30'. Agréguese la lectura de seis minutos del vernier. Así, 351°30' + 6 minutos = 351°36'

4.11

Resp.

Dados: un rumbo BC de N77°40 W y un rumbo inverso CB de S77°40'E. Determínese si hay alguna variación o atracción local.

78

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 4

Solución: Réstese CB de BC. Se obtiene 0o. Por tanto, no existe atracción local en estas estaciones y no hay error en la observación. 4.12

Dado: rumbo magnético AB de N35° 15'E, declinación de 15° este, encuéntrese el rumbo verdadero de AB. Solución: Dibújese un diagrama (véase Fig. 4-17). Cálculos:

Figura 4-17 Rumbos.

Figura 4-18 Rumbos.

4.13 Dado: el rumbo magnético AD de N14°21´E tomado en el año 1790, la misma línea mostrada como AC tiene un rumbo tomado en 1982 de N15°27/W. Encuéntrese la variación en la declinación magnética de 1790 a 1982. Solución: En la figura 4-18a puede verse que uno de los cuadrantes que ocupan los dos rumbos es este y el otro oeste, de tal manera que los rumbos deben sumarse para obtener la respuesta.

El rumbo resultante está en el cuadrante oeste, de tal modo que la declinación magnética es N29°48;W y el meridiano magnético se ha movido hacia el este desde el año 1790. 4.14 En cierta localidad la declinación fue 4°10'W en 1760; 1°35'W en 1810 y 4°10'W en 1982 (véase Fig. 4-186). Si la línea tiene un rumbo verdadero de N2°30'W, ¿cuál fue su rumbo magnético en á) 1760, b) 1810, c) 1982? Solución:

El rumbo magnético en 1760 fue N1°40'W.

Resp.

Capítulo 4]

4.15

TRÁNSITOS

El rumbo magnético en 1810 fue N00°55'W.

Resp.

El rumbo magnético en 1982 fue N1°40'W.

Resp.

79

Conviértanse los siguientes rumbos magnéticos a rumbos verdaderos: a) N74°39'E, declinación 10o 10'W, b) S10°30'E, declinación 10°45'W. Solución: a) En el diagrama (véase Fig. 4-19a), calcúlese lo siguiente:

b) Véase la figura 4-19b.

Ya que 20°75' = 21° 15', el rumbo verdadero es S21°15'E.

Resp.

Figura 4-19 Rumbos.

4.16

Conviértanse los siguientes rumbos magnéticos a rumbos verdaderos, a) N2°30'W, declinación de 5°40'E; b) S4°35'W, declinación 5°40'E. Solución: Úsese la siguiente regla para resolver este problema. Regla: los rumbos magnéticos pueden ser cambiados a rumbos verdaderos sumando declinaciones al este en los cuadrantes noreste y suroeste y restando declinaciones al este en los cuadrantes sureste y noroeste.

[Capítulo 4

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

80

a) En el diagrama (véase Fig. 4-20) obsérvese que el rumbo magnético está en el cuadrante noroeste. Por tanto, la declinación se resta, y como lo muestra el diagrama, el rumbo verdadero es este.

b) De acuerdo con la regla dada, sumando la declinación este en el cuadrante suroeste, como lo muestra el diagrama, el rumbo verdadero es oeste.

9°75' = 10°15'

Por lo que el rumbo verdadero = S10°15'W

Resp.

Figura 4-20 Rumbos. 4.17

Dado: rumbo magnético de N3°50'W declinación de 3°15'E, encuéntrese el rumbo verdadero (véase Fig. 4-21). Solución: Puesto que el rumbo magnético está en el cuadrante noroeste, la declinación este se resta. El dibujo muestra que el rumbo verdadero está en el cuadrante este.

4.18 Dado: rumbo magnético de S5°30'W y declinación de 5°30'E. Encuéntrese el rumbo verdadero (véase

Fig. 4-22). Solución:

10°60' = 11°

Por lo que el rumbo verdadero = S11°00'W

Resp.

4.19 El rumbo magnético de una línea en un levantamiento antiguo se registró como N10°30'E; ahora es N2°45'W. ¿Cuál ha sido el cambio de la declinación magnética y su dirección? (véase Fig. 4-23).

Capítulo 4]

81

TRÁNSITOS

Figura 4-21 Rumbos.

Figura 4-22 Rumbos.

Solución: La declinación magnética ha cambiado 13° 15' hacia el este.

Resp.

4.20 El rumbo magnético de la línea de un levantamiento antiguo se registró como N17°30'E. En el presente, el rumbo magnético se lee como N3°15'E. ¿Cuál es el cambio en la declinación magnética y su dirección? (Véase Fig. 4-24). Solución

La declinación magnética cambió de 14° 15' hacia el este.

Resp.

4.21 El rumbo observado de una línea es N87°35'E, y el rumbo verdadero, S89°25'E. Calcúlese el valor y la dirección de la atracción local.

Figura 4-23 Rumbos.

Figura 4-24 Rumbos.

Figura 4-25 Rumbos.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

82

Capítulo 4]

Solución:

4.22 Dado: Un ángulo BAC que tiene una lectura de vernier A de 0°00'00" con el tránsito apuntando de A a B. El vernier B lee ahora 180°00'10". El vernier ,4 marca 130°30'10" cuando en el tránsito se apunta a C desde A. El vernier B marca 210°31'10" en esta ocasión. Calcúlese el ángulo. Solución: Véase la tabla 4-1 y el ejemplo 4.7 para recordar cómo manejar este tipo de problema.

Réstese el promedio inicial. El ángulo debe escribirse en el registro de campo, como sigue (véase Fig. 4-15).

4.23 Dado: un ángulo BAC, el cual tiene una lectura del vernier A de 0°00'00" con el tránsito apuntando desde A hacia B. El vernier B marca en esta visual 180°00'30". El tránsito marca 140°30'00' en el vernier A cuando se visa desde A hacia C. El vernier B en esta ocasión muestra 220° 30 '20". Calcúlese el ángulo final. Solución:

Réstese el promedio inicial

[Capítulo 4

TRÁNSITOS

83

4.24 Dado: un ángulo BAC, el cual tiene una lectura del vernier A de 0°00'00" cuando se visa con el tránsi-

to desde A hacia B. El vernier B marca en este visual 180°00'50". El vernier A marca 156°15'00" cuando el tránsito se visa desde A hacia C. El vernier marca esta vez 336° 14W. Calcúlese el ángulo final. Solución:

Réstese el promedio inicial.

Problemas Suplementarios

4.25

Dado: lado de un arco de 300 ft y ángulo central de 1°-, encuéntrese la abertura proyectada*. Resp. = 5235 ft

4.26

Dado: radio de un arco = 400 km. Encuéntrese la abertura proyectada para un ángulo de un segundo (véase Fig. 4-4). Resp. = 2 m

4.27

Dado: rumbo DE de N89°36'E y ED de 288°26'W. Determínese si existe atracción local. Resp. Réstese ED de DE para encontrar una diferencia de 1o 10'. Esto es más que un error de observación, por lo que existe la atracción local en D o E.

*Distancia perpendicular o abertura proyectada.

Capítulo 5 Nivelación 5.1 INTRODUCCIÓN Una parte fundamental de los trabajos topográficos es la medición de la diferencia de elevación entre puntos de la superficie terrestre. Estas diferencias de elevación pueden determinarse usando diversos métodos de nivelación. A la operación que consiste en determinar la diferencia de elevación (desnivel) entre puntos de la superficie terrestre se le conoce como nivelación. Se establece un plano de comparación o datum y se le asigna una elevación. A este valor asignado se le suman o restan las diferencias de elevación con el plano para obtener las elevaciones en los puntos. Una superficie de nivel es aquella cuyos puntos son perpendiculares a la dirección de la línea de la plomada. Es diferente de una superficie plana, que es perpendicular a la línea de plomada sólo en un punto. Una masa de agua en reposo puede considerarse una superficie de nivel. La superficie oceánica podría considerarse como superficie de nivel si se eliminaran las influencias de las mareas, las corrientes, los vientos, la presión atmosférica y la rotación terrestre. Para obtener una superficie de nivel del océano se determinan promedios de una serie de observaciones de las alturas de mareas a lo largo de un Ciclo metónico (aproximadamente 19 años de calendario). Este promedio, llamado nivel medio del mar, es el nivel de referencia más común que se usa en las nivelaciones asignándole normalmente una elevación de cero. Este nivel permanece, en efecto, hasta que, después de realizar observaciones continuas se nota una diferencia significativa y se justifica cambiar a un nuevo nivel. En Estados Unidos está aún en efecto el nivel medio del mar aprobado en 1929. 5.2 TIPOS DE NIVELACIÓN Las operaciones de nivelación se dividen en dos categorías principales. Nivelación directa o topográfica, conocida frecuentemente como nivelación diferencial. En este método se utilizan niveles precisos o semiprecisos y estadales para medir distancias verticales y obtener la diferencia entre una elevación conocida y la altura del aparato y, luego, la diferencia de elevación de la altura del aparato con respecto a un punto cualquiera. Este es el único método que proporciona resultados con precisión de un tercer o más alto orden. El segundo método de nivelación, la nivelación indirecta, se subdivide en dos métodos distintos, nivelación trigonométrica y nivelación barométrica. El método de nivelación trigonométrica aplica los principios de la trigonometría para determinar diferencias en elevación; se usa un ángulo vertical (hacia arriba o abajo del plano horizontal) y una distancia horizontal o distancia con pendiente (medida o calculada) para obtener la distancia vertical entre dos puntos. Este método se usa generalmente para efectuar nivelaciones de baja precisión, en aquellos terrenos en donde sea prohibitivo ejecutar una nivelación directa. En la nivelación barométrica, las diferencias en elevación se determinan utilizando las que se observen en la presión atmosférica medida con un barómetro o altímetro. Este es el método que menos se usa y el menos preciso para determinar diferencias en elevación. Debe usarse únicamente en levantamientos que no permitan aplicar alguno de los otros métodos o cuando aquéllos sean muy costosos y se tengan plazos de ejecución limitados. Debido a las restricciones en su utilización, el método de nivelación barométrica no será tratado con más detalle en este libro. 5.3 EQUIPO PARA NIVELACIÓN Niveles Los niveles para ingenieros pueden compararse con los niveles que utilizan los albañiles. La diferencia entre ambos niveles es que el de ingeniero se monta en un tripié (para sostenerlo firmemente) y se visa a través de un anteojo o telescopio con objeto de transferir la línea de nivel a otro punto. Mientras que con el nivel del

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

85

albañil se puede determinar si dos puntos separados unas cuantas pulgadas entre sí están en un plano nivelado, el nivel para ingenieros permite deducir si dos puntos separados entre sí unos cientos de pies están en una línea de nivel. En la misma forma que hay varios tipos de niveles de albañil —por ejemplo, niveles de manguera y de regla— también hay diversos tipos de niveles para ingenieros. Aunque algunos niveles tienen características diferentes en relación a otros, todos tienen en común ciertos componentes básicos. La figura 5-1 indica los componentes más importantes de un nivel para ingenieros. 1. Lente ocular. Es el lente ajustable a través del que mira el observador. El ocular se rota para enfocar los hilos cruzados. 2. Telescopio o anteojo. Es el tubo que sostiene a todos los lentes y mecanismos de enfocado en su posición correcta. 3. Protección para el sol. Extensión de metal o plástico que puede colocarse sobre el lente del objetivo para protegerlo de cualquier daño y reducir el deslumbramiento cuando el nivel esté en uso. 4. Perilla para enfocar. Es una perilla de ajuste que enfoca internamente el nivel en el objeto deseado. 5. Círculo horizontal. 6. Tornillos niveladores. Son tornillos ajustables para nivelar el aparato. 7. Base. Se trata de una base de rosca de 3y por 8 in (89 por 203 mm), la cual asegura el aparato al tripié. 8. Plomada, gancho y cadena. El gancho y la cadena están centrados debajo del nivel y en ellos se inserta la plomada si es necesario girar ángulos. Estos artefactos no se muestran en la ilustración. 9. Centro de desplazamiento. Permite ubicarse en forma exacta sobre un punto dado. 10. Placa con el nombre y el número de serie. 11. Tornillo tangencial del movimiento horizontal. Es un tornillo de ajuste que permite alinear en forma exacta los hilos cruzados y el objeto visado dentro del plano horizontal.

Figura 5-1 Nivel universal. (David White Instruments)

86

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

12. Tornillo de presión del movimiento horizontal. Es un tornillo de ajuste que permite alinear en forma aproximada los hilos cruzados y el objeto visado dentro del plano horizontal. 13. Tubo de nivel. Es un tubo de vidrio graduado, lleno de un líquido, paralelo a la línea de visual del te lescopio.

Tripiés El tripié sostiene la plataforma o base del nivel y la mantiene estable durante las observaciones (véase la Fig. 4-2). Para obtener una explicación completa de los tripiés véase la sección 4. 1.

Estadales Para ver una buena foto de un estadal, véase la figura 4-2. Un estadal es, en esencia, una cinta que se sostiene en forma vertical y que sirve para medir una distancia vertical (diferencia en elevación o desnivel) entre una visual y un punto específico que esté abajo o arriba de ella. El punto puede ser una estación permanente, como un banco de nivel o una superficie natural o artificial. Existen diferentes tipos de estadales. El estadal Florida, el estadal California y el estadal tipo Detroit son algunos de ellos, pero el estadal tipo Filadelfia es, con mucho, el más utilizado. El estadal tipo Filadelfia estándar es una vara de madera graduada que consta de dos secciones. Puede extenderse de 7.1 a 13.1 ft (2.2 a 4.0 m). Las graduaciones en la regla son en pies, décimos de pie y centésimos de pie. En lugar de utilizar una línea pequeña o alguna señal para marcar los centésimos, los espacios entre pares alternos de graduaciones se pintan de negro sobre un fondo blanco. En esta forma, la marca para cada centésima es la línea entre los colores, correspondiendo valores pares a la parte superior del negro y valores impares a la inferior. Los décimos de pie y los pies están numerados en negro y rojo, respectivamente. Por lo regular el observador lee directamente el estadal mientras mira a través del telescopio. Este estadal puede usarse junto con el nivel, el tránsito, el teodolito y, ocasionalmente, con el nivel de mano, para medir la diferencia en elevaciones. Miras para el estadal. Algunas condiciones que entorpecen las lecturas directas, tales como la baja visibilidad, las distancias largas o las observaciones obstruidas por arbustos u hojas hacen necesario usar miras del estadal. (Véase Fig. 5-2). La mira se utiliza también cuando se desea fijar una lectura en el estadal para asignar numerosos puntos con respecto a la misma elevación desde una posición del aparato. Las miras en el estadal tipo Filadelfia son ovales, generalmente, con el eje largo formando ángulo recto con el estadal y los cuadrantes pintados de rojo y blanco en forma alterna. La mira se sujeta en su sitio por medio de un tornillo de mariposa. Tiene una abertura rectangular de ancho aproximadamente igual al del estadal y una altura de 0.15 ft (4.5 cm), a través de la que se puede observar el estadal. Se monta una escala de vernier en la orilla de la abertura, de modo que coincida el cero con la línea horizontal de la mira para lecturas de milésimas de pie.

Niveles de mano El nivel de mano, como todos los niveles topográficos, es un instrumento que combina un tubo para nivelar y un ocular. (Véase Fig. 5-3). El nivel de mano del localizador debe su nombre a que es sostenido manualmente enfrente del ojo. Para obtener mayor estabilidad, el nivel de mano puede apoyarse en un árbol, en una vara, herramienta o en cualquier objeto que esté a la mano. El nivel incluye una línea horizontal de referencia. El tubo de nivel está montado en una ranura en la que se fija un espejo a 45°. Esto permite al observador visar a través del nivel y ver al mismo tiempo el terreno o el objeto, la posición de la burbuja y la línea índice. Las distancias que se observan con nivel de mano son cortas, ya que éste no tiene capacidad de amplificación. El nivel de mano Abney es más especializado y contiene un arco graduado que permite la lectura del ángulo vertical y los porcentajes de grado. Este nivel topográfico tiene un arco reversible montado en un extremo. El arco está dividido en grados en un lado y en porcentajes de grado en el otro. El nivel está unido al eje

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

Figura 5-2 Mira del estadal. (Tomado de P. Kissam, Surveying Practi-ce, McGraw-Hill, New York, 1978. Courtesy of Keuffel and Esser Co.)

Figura 5-3 Nivel de mano. (David White Instruments)

87

88

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

de rotación del brazo graduado. La burbuja se centra moviendo el arco y no el tubo del nivel, como en los niveles descritos antes. Así, la diferencia entre la línea de visual y el eje de la burbuja de nivel puede ser leída en grados o porcentajes de grado a partir de la posición del índice del brazo del arco. El espejo a 45° y el mecanismo para efectuar observaciones (y que permite observar el terreno, la burbuja y la línea de referencia) son iguales que en los niveles de mano para localización.

Cintas Las cintas (véase Fig. 5-4) se usan en topografía para medir distancias horizontales, verticales y en pendiente. Por lo común, se usan cintas o bandas de acero. Estas últimas son las más precisas entre los diversos tipos de cintas para medir y pueden usarse en trabajos en que se midan distancias con una precisión de hasta un segundo orden.

Figura 5-4 Uso de la cinta en el campo. (Midsouth Engineering Co.)

5.4 ÓRDENES DE PRECISIÓN Cuando se establecen las especificaciones que debe cumplir un levantamiento, es poco práctico limitar el grado exacto de precisión que debe obtenerse en cada medición. Por esta razón, las especificaciones se basan en el menor grado de precisión permitido para cada aparato en particular. La precisión de los levantamientos es de primer, segundo y tercer orden, y de orden menor. Las mediciones en levantamientos de primer orden son las más precisas, y las de otros órdenes son progresivamente menos precisas. El orden de precisión se especifica para levantamientos tales como triangulación, poligonales y nivelación. Para las medidas hechas en cartografía, el orden de precisión se especifica por las observaciones astronómicas para establecer posición y azimut. Como un ejemplo del rango que existe entre los órdenes de precisión, considérese la tolerancia para cerrar una poligonal. El primer orden especifica 1:25 000 o mejor; el segundo orden, 1:10 000, y el tercer orden, 1:5 000. Los levantamientos considerados en este libro requieren precisión de tercer orden o inferior.

5.5 BANCOS DE NIVEL Un banco de nivel es un objeto natural o artificial, relativamente permanente, con una marca grabada y una elevación conocida. El banco de nivel puede clasificarse, además, como permanente, temporal o suple-

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

89

mentado. El objetivo del levantamiento es lo que determina si sus puntos estarán marcados en forma permanente o temporal. Cuando se sabe que la estación o punto se va a reutilizar después de un periodo de varios años, debe usarse una marca permanente. Un banco de nivel permanente se conoce con la abreviatura BN, y un banco de nivel temporal, con la abreviatura BNT. 5.6

NIVELACIÓN DIFERENCIAL

En la nivelación directa se utiliza un nivel con una burbuja sensible, en el que se establece una línea visual horizontal. Al nivelarse el instrumento la línea visual se ajusta de tal modo que sea paralela al eje del nivel. Si éste se nivela, la visual del instrumento, forma un plano horizontal si el aparato se rota alrededor de su eje vertical. Véase la figura 5-5. Este procedimiento se conoce como nivelación diferencial o de burbuja, y es descrito en el ejemplo 5.1.

Figura 5-5 Nivelación directa. EJEMPLO 5.1 Dados: La cota en el banco de nivel 35 es 154,375 m. La lectura atrás (LA) sobre el BN 36 es de 1.255 (65 m) en el punto A; luego, 65 m al punto 2, donde la lectura adelante (LD) es de 1.100. En seguida, 75 m del punto 2 al punto B, la lectura atrás de 0.465; 90 m del punto B al punto 3, lectura adelante 2.095; 60 m del punto 3 al punto C, lectura atrás, 0.130; 105 m del punto Cal punto 4. La lectura atrás del punto Cal punto 3 = 0.130, la lectura adelante en el punto 4 es de 0.245. La distancia del punto 4 al punto D es 110 m. La lectura atrás en el punto 4 es 3.765; la distancia entre el punto D y el punto 5 (el cual es el BN 36) es 50 m. La lectura adelante en el punto 5 es 0.345. El BN 36 tiene una cota o elevación conocida de 156.205. Calcúlese la nivelación. Solución: Primero dibújese un esquema que muestre los puntos y las elevaciones (véase Fig. 5-6). Método: La nivelación (véase Fig. 5-6) consiste en colocar inicialmente un estadal en forma vertical en un punto de cota o elevación conocida. En seguida se toma una lectura conocida como lectura atrás (LA) por conducto del telescopio visando el estadal; esta operación permite obtener la distancia vertical de la cota del terreno a la línea de visual. Si esta lectura hacia atrás se suma a la cota conocida se obtiene la elevación de la línea de visión conocida con el nombre de altura del instru-

Figura 5-6 Procedimiento de nivelación.

90

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

mentó (AI). A continuación se coloca otro estadal sobre un punto de elevación desconocida y se toma una lectura hacia adelante (LD). Si se resta la lectura hacia adelante del instrumento, se encuentra la elevación de este nuevo punto. Después de que se concluye la lectura hacia adelante y dejando el estadal en ese punto, se mueven el aparato y el estadal de atrás hacia posiciones adelante. La nueva visual sobre el estadal de atrás es ahora la lectura atrás para obtener la nueva altura del instrumento, y la visual sobre el estadal colocado adelante da la lectura adelante para una nueva elevación. Los puntos en los que se colocan los estadales para tomar las lecturas hacia atrás y hacia adelante se denominan puntos de liga (PL). Este procedimiento se repite cuantas veces sea necesario para transferir la elevación de un punto de cota conocida a otro punto con cota desconocida. A otras lecturas hacia adelante sobre puntos que no están a lo largo de la línea principal de recorrido se les denomina visuales auxiliares o de apoyo. Refiérese a la sección 5.8 para encontrar la explicación de los motivos por los que deben ser iguales las lecturas hacia atrás y hacia adelante.

La elevación del BN 36 que se dio en los datos es 156.205 m, por lo que el desarrollo es correcto. Los apuntes de orden de precisión que deben hacerse en el registro de campo están en la figura 5-7.

5.7 DISTANCIAS VISADAS Generalmente, en los casos de tercer o mayor orden de nivelación las distancias visadas son menores de 75 m (245 ft), excepto cuando se necesita librar algún obstáculo. Para líneas de orden inferior, la longitud visada depende de las características ópticas del aparato y de las condiciones atmosféricas, con un máximo de uncís 600 m (1968 ft) en condiciones ideales. Es conveniente efectuar un reconocimiento del terreno antes de iniciar la nivelación. Gracias a dicho reconocimiento previo se puede anticipar la ubicación de los puntos de liga y las posiciones del aparato. En la nivelación es de primordial importancia tomar en cuenta la pendiente del terreno. La altura común del instrumento en cualquier configuración es de aproximadamente 1.5 m (4.9 ft). En pendientes descendentes uniformes, el terreno en el que se coloca el aparato no debe estar más de 1 a 1.5 m (3.3 a 4.9 ft) abajo del punto de liga para una lectura a nivel hacia atrás. En la lectura hacia adelante puede colocarse el estadal extendido a 4 m (13.1 ft) sobre el terreno y permitir aún que sea tomada la lectura. Esto quiere decir que hay una tendencia a hacer lecturas hacia adelante más largas, cuando se recorren pendientes, descendentes, y lecturas hacia atrás cuando las pendientes recorridas son ascendentes. Durante el reconocimiento previo pueden estimarse visuales apoyándose en un nivel de mano. Esto ayuda a determinar ubicaciones posibles para el aparato y los estadales. Las distancias entre estos puntos se miden con pasos para balancear las lecturas hacia adelante y las lecturas hacia atrás. El procedimiento consiste en visar al punto pendiente arriba con el nivel de mano, asegurándose de que la visual queda arriba del terreno. Se mide con pasos la distancia del punto de liga propuesto a la posición propuesta del aparato y se camina esa misma distancia para establecer el siguiente punto de liga. Una vez que se determina la distancia entre los puntos y el aparato, esta misma cantidad puede repetirse mientras la pendiente del terreno sea la misma. Este procedimiento iguala las distancias y proporciona la seguridad que una línea a nivel caerá en el estadal. La igualación de las distancias para lecturas hacia adelante y hacia atrás es muy importante en la nivelación, como se apunta en la Secc. 5.8.

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

91

Figura 5-7 Registro de la nivelación de orden inferior. (Cortesía de U.S. Air Force, T O 00-25-103)

5.8

IGUALACIÓN DE DISTANCIAS PARA LECTURAS HACIA ADELANTE Y LECTURAS HACIA ATRÁS

Si la visual no es paralela al eje del nivel de burbuja, al rotarse el eje vertical se distorsiona el plano horizontal y se convierte en un plano cónico arriba o abajo de la horizontal. Las distancias desiguales entre las posiciones del estadal para lecturas hacia atrás y lecturas hacia adelante causarán un error que se incrementará en proporción a la diferencia de las distancias (véase Fig. 5-8). Si la misma visual (hacia adelante o hacia atrás) es muy larga, el error crecerá. Para eliminar esta fuente de error, el nivel debe colocarse a la mitad entre los puntos de liga. Esto no siempre es posible, pero se recomienda que siempre que se pueda se igualen las distancias para lecturas hacia adelante y hacia atrás. En la práctica, las distancias del estadal de atrás y del estadal de adelante del aparato se miden y registran en cada posición de lectura. Se lleva un registro por separado de las distancias totales en lecturas atrás y en lecturas adelante; los dos totales deben estar balanceados continuamente, sin esperar hasta las últimas posiciones de lectura antes de cerrar la línea y sin realizarla combinan-

Figura 5-8 Error por distancias desiguales.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

do una visual muy larga con una muy corta. De cualquier manera, si la desigualdad se produce por una visual larga, debe igualarse en una visual antes que ocurra un cambio o refracción. La igualación en las lecturas hacia atrás y hacia adelante reduce los errores ocasionados por el hecho de que la visual no sea horizontal. Esta igualación no corrige los errores de curvatura y refracción (véase la Secc. 5.9), los cuales son función del cuadrado de la distancia.

5.9 CURVATURA Y REFRACCIÓN La superficie de nivel, tal como fue definida anteriormente, sigue la curvatura terrestre. Una línea que une directamente dos puntos, contenida en esta superficie, se denomina línea de nivel. Una visual horizontal a través del telescopio es perpendicular a la línea a plomo únicamente en el telescopio y es, por lo mismo, una línea recta, no una línea de nivel (véase Fig. 5-9). La línea OH es una horizontal perpendicular a la línea a plomo en el punto A. La línea OL es una línea de nivel que corre paralela a la superficie terrestre. En cada punto, OL es perpendicular a la línea a plomo. En la nivelación, a medida que la distancia entre puntos se incrementa, debe aplicarse la corrección por curvatura terrestre para tomar en cuenta la diferencia entre una línea a nivel y una línea horizontal o visual.

Figura 5-9 Curvatura y refracción. También debe tomarse en cuenta la corrección por refracción atmosférica. La atmósfera terrestre refracta o cambia de dirección un rayo de luz debido a las diferencias en la densidad del aire entre el punto donde está el aparato y el punto visado. Esto se ilustra en la figura 5-9. Debido a la diferencia en la densidad atmosférica, el rayo de luz seguirá la trayectoria OR. Cuando se ve a través del telescopio, el punto R parace estar ubicado en el punto H. Para efectuar las correcciones por curvatura y refracción deben hacerse cálculos para obtener la ubicación de los puntos R y H y luego determinar la corrección para pasar el punto R y al punto L y establecer una línea de nivel. En la práctica se calculan combinadas las dos correcciones. RH es del orden de un octavo de LH y su valor está dado en la siguiente fórmula: h = 0.0000676M2 donde

h = corrección en milímetros M = distancia entre los puntos en metros

5.10 AJUSTE DEL NIVEL Debe realizarse una comprobación de ajuste al aparato antes de salir al campo. Esta operación debe llevarse a cabo cada día antes de comenzar los trabajos, así como cuando el aparato sea golpeado o sacudido y al final del día de trabajo. El aparato debe instalarse y nivelarse aproximadamente usando ambos pares de tornillos, ya que la revisión incluye la parte óptica y los hilos cruzados, y el objetivo debe enfocarse claramente usando un objeto bien definido que esté a una distancia de 50 m (160 ft), con el fin de evitar el paralaje. La revisión y los ajustes se realizan en tres etapas que se describen subsecuentemente. Deben ejecutarse en el orden listado, con la indispensable aprobación del instructor.

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

93

Nivel de burbuja El ajuste del nivel de burbuja (véase Fig. 5-10) hace que el eje del nivel de burbuja sea perpendicular al de rotación (eje vertical). Fíjese el instrumento sobre los tornillos niveladores diametralmente opuestos y céntrese la burbuja cuidadosamente (véase Fig. 5-10, parte 1). Gírese el telescopio 180° y nótese el movimiento de la burbuja desplazándose lejos del centro si el aparato está mal ajustado. (Véase Fig. 5-10, parte 2). Regrésese la burbuja hasta la mitad de la distancia que hay con respecto al centro del tubo, usando los tornillos de ajuste localizados en el extremo del tubo. (Véase Fig. 5-10, parte 3). Renívelese con los tornillos niveladores (véase Fig. 5-10, parte 4) y gírese el aparato 180°. Repítase el paso anterior si la burbuja no permanece en el centro del tubo. Revísese el ajuste final observando que la burbuja permanezca en el centro del tubo, dando una revolución completa alrededor del eje vertical.

Figura 5-10 Ajuste del tubo de nivel de burbuja. Hilo horizontal El hilo horizontal se ajusta (véase Fig. 5-11) para hacer que se encuentre en un plano perpendicular al eje vertical. Nivélese cuidadosamente el aparato. Fíjese un extremo del hilo horizontal en un punto bien definido que se encuentre a unos 50 m (160 ft). Gírese el telescopio lentamente alrededor de su eje vertical usando el tornillo de movimiento lento. Si el hilo horizontal está ajustado, permanecerá en el punto en toda su longitud. Si no lo está, libérense los tornillos de ajuste de la retícula adyacente y muévase la retícula golpeando ligeramente los dos tornillos opuestos. Fíjese la visual de nuevo en el punto, y si éste no se mueve sobre el hilo horizontal, gírese el anillo nuevamente. Repita el procedimiento las veces que sea necesario, hasta que el punto permanezca en el hilo horizontal en toda su longitud. Luego apriétense los tornillos de ajuste.

Figura 5-11 Ajuste del hilo horizontal.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

Línea de visual El ajuste de la visual hace que ésta sea paralela al eje del nivel de burbuja. Este método se conoce con el nombre de prueba de los trompos. Instálese el nivel (véase Fig. 5-12, parte 1). Clávese un trompo A a unos 50 m (160 ft) y otro B, a la misma distancia en la dirección opuesta. Tómese una lectura del estadal a sobre el trompo A y una lectura de b sobre el trompo B. Con el aparato colocado exactamente a la mitad entre los dos trompos, b - a es el desnivel verdadero entre ellos. Muévase el aparato cerca del trompo A (véase Fig. 5-12, parte 2), de modo que el ocular pueda moverse a 10 mm del estadal. Tómese una lectura c de estadal en el trompo A a través del objetivo y una lectura d del estadal en el trompo B en la forma acostumbrada. Si el aparato está ajustado d - c será igual que b - a. Si el instrumento está desajustado, calcúlese cuál será la lectura corregida e (e = b + c — a). Muévase el hilo horizontal a la lectura correcta para el trompo B, soltando el tornillo de ajuste vertical adecuado y apretando el tornillo opuesto. Revísese el ajuste del hilo horizontal. El anillo puede haber girado durante el ajuste de la visual. Vuélvase a ejecutar la prueba de los trompos para verificar el ajuste.

Figura 5-12 Prueba de los dos trompos.

5.11

PROCEDIMIENTO DE CAMPO

La nivelación requiere trabajo de equipo del operador del nivel y los estadaleros en el momento de tomar las lecturas, con objeto de obtener resultados consistentes. La exactitud del levantamiento depende del cuidado con que se procure que la visual sea horizontal, la habilidad con que los estadaleros mantengan la verticalidad de sus instrumentos, y la precisión con que se tomen las lecturas. La precisión que se tiene con instrumentos de nivel de burbuja debe considerar el ajuste del tubo de nivel y la precisión con la que las directrices de la burbuja y la línea de visual puedan hacerse paralelas. No debe haber asentamientos del aparato entre el tiempo de lectura hacia atrás y adelante en el punto donde se coloca el aparato. Operación del instrumento El nivel debe estar ajustado antes de empezar la nivelación. La operación del nivel consiste en fijarlo, nivelarlo y tomar lecturas con la precisión especificada. La lectura consiste en determinar la posición donde aparenta intersectar el hilo central al estadal y registrar este valor. Cada posición del aparato requiere una lectura hacia atrás para establecer la altura del instrumento y al menos una lectura hacia adelante para determinar la elevación de un punto adelante. (Ya sea un punto de liga u otro). La aproximación en la lectura es de 0.01 ft, a menos que se use una mira en el estadal. Una sola lectura puede estar sujeta a error accidental. Pueden hacerse otras visuales hacia adelante con dirección de otros puntos que sean visibles desde la ubicación del nivel si las elevaciones de esos puntos también se requieren. Dependiendo del tipo de levantamiento y del instrumento utilizado, puede usarse el hilo central, los tres hilos o el método de micrómetro para efectuar lecturas.

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

95

Método de un hilo En este método sólo se utiliza el hilo central. El operador del instrumento, visando a través del telescopio, lee el valor en el que el hilo central aparenta intersectar el estadal. Si el levantamiento requiere lecturas más precisas, se utilizan la mira y su vernier. En este caso el nivelador ve a través del instrumento y hace señales al estadalero para que mueva la mira hacia arriba o hacia abajo hasta que el hilo bisecta la línea horizontal que está entre los cuadrantes alternos de color rojo y blanco de la mira. Cuando se concluya esta operación, el nivelador indica "correcto" y el estadalero fija la mira en esta posición hasta que se termine la lectura. Una vez fijada la mira se hace una lectura de comprobación con objeto de revisar que la mira no se haya deslizado al fijarla. La persona que toma registros debe encontrarse cerca del nivel para apuntar lecturas directas, o cerca del estadalero para registrar las operaciones de ajuste de la mira. Antes de hacer cualquier lectura, el nivelador debe revisar la burbuja del nivel y regresarla al centro si es necesario. La secuencia para tomar una lectura de nivel es la siguiente:

1. Se instala el instrumento y se nivela. 2. Se apunta el telescopio en tal forma que su hilo vertical quede ligeramente a un lado del estadal y luego se fija a esa posición el instrumento. 3. Se enfoca el objetivo y se elimina el paralaje. 4. Se centra la burbuja del nivel. Se ajusta en caso necesario. 5. Se hace la lectura del estadal y se registra ese valor. 6. Se vuelve a verificar que la burbuja esté centrada. En caso contrario, se centra de nuevo y se repite la lectura. 7. Una vez que el nivelador está seguro de que la burbuja ha permanecido en el centro mientras tomó la lectura, se lee el hilo superior y el hilo inferior para medir la distancia del nivel al estadal. Esta medida se toma para igualar la distancia en lecturas hacia adelante y hacia atrás y no necesita tomarse con una aproximación mayor que al siguiente centímetro. 8. El nivelador le indica al estadalero que se cambie a la siguiente posición. 9. Se libera el telescopio, se gira, se apunta a la siguiente posición del estadal y se enfoca. Se elimina el paralaje, se revisa que la burbuja esté centrada, se toma la lectura del estadal y se vuelve a verificar que la burbuja esté centrada. 10. Estos pasos se repiten hasta que se tome el número deseado de lecturas hacia adelante y se establezca un punto de liga. Se lee y registra la distancia que hay del estadal al punto de liga. Entonces, el estadalero se mantiene en el punto de liga. 11. Se mueve el nivel a su siguiente posición y se repite el procedimiento.

El procedimiento para fijar la mira requiere que el operador del nivel dé señales con la mano o con la voz al estadalero indicándole que la mueva hasta que el hilo la bisecte. La figura 5-13 muestra algunas señales comunes que se hacen con las manos. Si el estadal necesita ser extendido se fija la mira y aquél es movido hacia arriba o hacia abajo hasta que se tome la lectura. Luego se asegura el estadal. Después que el nivelador termine la operación y señale "correcto", el operador lee el estadal y el vernier si es necesario.

5.12 TOMA DE REGISTROS Los registros de campo son la historia permanente del levantamiento; las notas deben ser legibles para poder interpretarse en una sola forma. Ningún registro topográfico se considera completo hasta que los apuntes y cálculos han sido revisados y firmados por el jefe de la brigada u otra persona designada por él mismo en su representación.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

Figura 5-13 Señales manuales. (Tomado de R. H. Wirshing and J. H. Wirshing, Civil Engineering Drafting McGrawHill, New York, 1983, p. 317)

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

97

Existen diferencias en los formatos que se usan para los registros de los tres tipos de lecturas de nivelación (ejemplo: método de un hilo, de tres hilos o del micrómetro); sólo se analizará aquí el método de un hilo. El registro que se ilustra en la figura 5-7 se basa en la operación de nivelación que se muestra en la figura 5-6. A continuación se expone una descripción de los registros que se anotan en la libreta de campo en el ejemplo 5.1 (véase Fig. 5-7). Los apuntes de la nivelación comienzan con una elevación conocida o banco de nivel, dato que generalmente se obtiene en levantamientos previos. La identificación de este punto y su elevación o cota se registran en la columna adecuada en la página del lado izquierdo de la libreta. En la página del lado derecho debe anotarse la fuente de la que se obtuvo el dato de la elevación y su descripción. En ocasiones se ejecuta una nivelación para determinar un desnivel y la elevación exacta sobre un datum no es ni necesaria* ni está disponible. En un caso como éste se selecciona un punto más o menos permanente, el cual servirá como punto inicial, y se le asigna un valor ficticio en elevación para usarlo en el levantamiento. Esta elevación y todas aquellas que se obtengan a partir de ella pueden ligarse a una elevación que se conoce posteriormente. La primera lectura es hacia atrás (LA = 1.255), la cual se suma a la elevación (154.375) para obtener la altura del instrumento (AI = 155.630). La siguiente lectura es hacia adelante (LD = 1.100), la cual se resta de AI para obtener la elevación (154.530) del siguiente punto (ELI en las notas de muestra). La primera posición del instrumento, A, fue seleccionada a la mitad entre el banco de nivel 1 y el punto de liga 2. En la columna de distancia se lee 65 m en el lado izquierdo para indicar la distancia entre el banco de nivel y la posición del instrumento, y en el lado derecho indicando la distancia del instrumento al punto de liga. El instrumento se mueve a la siguiente posición, B, mientras que el estadal permanece en el punto de liga 2. Se lee y registra la lectura hacia atrás (0.465) y la distancia del estadal (75 m) y se calcula la altura del instrumento (AI), de 154.995 m. El instrumento apunta ahora al punto de liga 3 y se toma la lectura hacia adelante (2.095) y la distancia (90 m). Se calcula la elevación (152.900). Este método continúa hasta que el levantamiento llega al siguiente banco de nivel. Se ejecuta la igualación o balanceo de distancias (la suma de distancias en lecturas hacia adelante debe ser igual a la suma de distancias en lecturas hacia atrás), al avanzar el levantamiento. La igualación debe lograrse antes de llegar al último banco de nivel. Los cálculos pueden verificarse sumando en forma separada las lecturas hacia atrás y las lecturas hacia adelante. La diferencia entre los dos totales es el desnivel que hay entre la elevación inicial y la final. La suma (o resta) de este total a la elevación inicial debe dar como resultado la elevación final. Cualquier variación se debe a un error de los cálculos, por lo que éstos deberán ser revisados. En el ejemplo no se aplicarían las correcciones por curvatura y refracción, ya que la corrección para la distancia más larga (110 m) será únicamente de 0.8 mm (0.03 m), y éste es un valor muy pequeño para efectuar una de las lecturas. EJEMPLO 5.2 Dada: La figura 5-14, la cual muestra a) una planta y b) un perfil de un problema de nivelación con banco de nivel. Elevación BN 1 = 30.476, elevación BN 19 = 22.181, elevación BN 20 = 18.557 y elevación BN 21 = 22.355. Las lecturas hacia atrás y hacia adelante se muestran en el perfil del problema de nivelación (Fig. 5-14¿>). Calcúlese la nivelación en el formato de registro de la figura 5-15. Solución: Empezando con el BN 1, anótese su elevación en la columna de elevaciones. Luego regístrense las lecturas hacia atrás en la columna 2, marcada con un signo más (+ ). Súmense la elevación y las lecturas hacia atrás para obtener la altura del instrumento (AI) que se apunta en la tercera columna. Las lecturas hacia adelante, marcadas con un signo menos (-), se restan a las de la columna de AI. En esta forma se obtienen las elevaciones de la columna 6.

5.13

NIVELACIÓN DE PERFIL

Con el proceso de nivelación de perfiles longitudinales se obtienen las elevaciones de una serie de puntos a lo largo de una línea continua. Los resultados se grafican en la forma de una sección transversal continua denominada perfil. La escala vertical se dibuja siempre más grande que la horizontal, generalmente en una relación 10:1. En el ejemplo 5.3 se desarrolla el método para la nivelación de perfiles.

98

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 5-15 Registro de nivel.

[Capítulo 5

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

99

EJEMPLO 5.3 Dada: Una serie de puntos nivelados a lo largo del eje central de la calle Robbins, empezando en la calle Main desde el BN 7 con elevación 40.476. El BN 19, que es el banco de nivel final, tiene una elevación ajustada de 31.190. Las figuras 5-16 y 5-17 indican los datos necesarios. Calcúlese la nivelación. Solución: Refiérase a las figuras 5-16 y 5-17. Se colocan marcas a cada 50 ft a lo largo del eje central deseado. Cada punto a 100 ft es una estación y se numera progresivamente a partir de cero. Los puntos entre las estaciones tienen un signo más que indica el número de pies que se miden a partir de la última estación. Esta numeración (cadenamiento) se muestra en la figura 5-16. El nivel de instala cerca de la estación 0 + 50. En el BN 7 se toma una lectura en más de 2.587. Esta se suma a la elevación 40.476 para obtener la AI de 43.063. Se toma la lectura del estadal en la estación 0 + 0, 4.2. Esta lectura del estadal se coloca en la columna de ese nombre y se resta de AI para obtener la elevación en la estación 0 + 0, 38.9. Desde esta ubicación del instrumento, se toman todas las lecturas de estadal hasta que la visual sea obstruida o hasta que se requiera una lectura a más de 150 ft de distancia. Cuando esto ocurra se establece un punto de liga. Se toma una lectura en menos de 3.782 en el PL1 y se resta de la AI 43.063, que da una elevación de 39.281 para el PL1. El instrumento es movido y se repite el procedimiento entre el PL1 y PL2, y así, sucesivamente. El trabajo debe concluir en un banco de nivel de elevación conocida para que pueda efectuarse la comprobación. La elevación de cada estación se calcula restando la lectura del estadal de la AI "correcta". Es esencial, por tanto, que se registren todas las lecturas de estadal desde una AI antes que las lecturas negativas al siguiente PL. También la lectura en menos de los siguientes PL deben ser tomadas después de todas las lecturas al estadal así que, si la comprobación de campo no indica un error, esto es una indicación inmediata de que el nivel no ha cambiado su altura de instrumento. Estas dos consideraciones dictan el orden que debe seguir el procedimiento, esto es, que todas las lecturas de estadal deben tomarse en cualquier AI antes de que se efectúe la lectura en menos al siguiente PL. La nivelación de perfil es idéntica a aquella en la que se consideran sólo bancos de nivel, con la diferencia de que en muchos puntos AI, se efectúan lecturas laterales de estadal. Con esa salvedad, todas las reglas de la nivelación con bancos de nivel son aplicables.

Figura 5-16

100

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

Figura 5-17 Notas de nivelación de perfil. 5.14

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA

En la nivelación trigonométrica se aplican los principios de la trigonometría para determinar desniveles. (Véase Fig. 5-18). Hay dos aplicaciones de este método en levantamientos topográficos; en líneas largas que se usen para triangulación y poligonales trazadas por métodos electrónicos, y en líneas cortas de poligonales convencionales y líneas de nivel. Los procedimientos y las técnicas que se desarrollan en este texto corresponden únicamente a aplicaciones en líneas cortas. La nivelación trigonométrica se utiliza sólo cuando se requiere precisión de bajo orden donde el terreno impida la nivelación diferencial o cuando se requiera una nivelación en conexión con triangulación y poligonación. La figura 5-18 muestra las fórmulas que se utilizan en la nivelación trigonométrica. Este tipo de nivelación no se describe en la mayoría de los libros de texto de uso común que hablan de este tema, por lo que no se incluyen ejemplos aquí.

Problemas Resueltos 5.1 Dado: un problema de nivelación del BN 25 al BN 26. La elevación del BN 25 = 160.151 ft. El nivel se coloca a la mitad entre todas las estaciones. Las distancias y lecturas adelante y atrás son las que se mencionan a continuación (véase Fig. 5-19). Primero: BN 25 y PL2 = 120 ft Segundo: PL2 y PL3 = 140 ft

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

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Figura 5-18 Fórmulas para nivelación trigonométrica.

Figura 5-19 Operación de nivelación. (Cortesía de U.S. Air Force, T O 00-25-103)

Tercero: PL3 y PL4 = 130 ft Cuarto: PL4 y BN 26 = 150 ft LA A a BN 25 = 4.321 LA A a PL2 = 3.672 LA B a PL2 = 1.100 LD B a PL3 = 3.102 LA C a PL3 = 1.750 LD C a PL4 = 0.431 LA D a PL4 = 4.413 LD D a BN26 = 1.102 El BN 26 tiene una elevación de 163.428 ft. Calcúlese la nivelación y muéstrese cómo se anota en el registro de campo (véase Fig. 5-20).

102

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 5-20 Registros de nivelación. (Cortesía de U.S. Air Force, T O 00-25-103) Solución Dibújese un esquema del problema (Fig. 5-19).

Esquema (véase Fig. 5-19) y registro de campo (véase Fig. 5-20).

[Capítulo 5

NIVELACIÓN

Capítulo 5]

103

5.2 Se dan los datos para la nivelación del BN 10 con elevación de 145.250 al BN 11 con elevación de 148.325. Las distancias y las lecturas atrás y adelante se mencionan a continuación. Calcúlese la nivelación.

Solución Dibújese un esquema del problema. (Véase Fig. 5-21). Háganse los cálculos correspondientes.

Ya que la elevación del BN es coherente, el problema está correcto como se dibujó.

Figura 5-21

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

104

5.3

[Capítulo 5

Dado: un problema de nivelación con cuatro estaciones de tránsito. La elevación del BN 33 es 75.00. Las lecturas atrás y adelante son las siguientes.

Encuéntrese la elevación del BN 34. Solución Dibújese un esquema del problema (véase Fig. 5-22).

La elevación del BN coincide al efectuar las operaciones aritméticas. No se sabe, sin embargo, si la elevación del BN es correcta al no ser éste un polígono cerrado [hay dos tipos de poligonales (véase Cap. 7) al punto inicial y forma un polígono cerrado, de tal modo que todos los ángulos y distancias pueden comprobarse. En este caso no hay un polígono cerrado, pero la poligonal cierra matemáticamente, ya que termina en un punto conocido (BN 34)].

Figura 5-22

Capítulo 5]

5.4

NIVELACIÓN

105

Se da una línea de niveles que se correrán del BN al BN 11. En el BN 10 la elevación es 101.325. El nivel se coloca en A, B, C y D. Las lecturas atrás y adelante son las siguientes:

Todas las posiciones del nivel son equidistantes entre los puntos de lectura atrás y adelante para reducir los errores. Calcúlese la nivelación para encontrar la elevación del BN 10. Solución

5.5

Se da una elevación del BN20 = 51.275; se coloca el nivel en A, B, C y D. Las lecturas atrás y adelante son las siguientes:

Todas las posiciones del nivel son equidistantes entre los puntos de lectura atrás y adelante para reducir errores. Calcúlese la nivelación para encontrar la elevación del BN 21.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

106

[Capítulo 5

Solución

5.6

Se da una línea de niveles que se correrá del BN 36 al BN 37. La elevación del BN 36 es 81.751. El nivel se coloca en A, B, C y D. Las lecturas atrás y adelante son las siguientes:

Calcúlense los niveles para encontrar la elevación del BN 37.

Solución

Capítulo 5]

5.7

NIVELACIÓN

107

Se correrá una nivelación del BN 2 al BN 3. Hay cuatro estaciones de nivel; la elevación del BN 2 = 89.123. Las lecturas atrás y adelante son las siguientes:

Calcúlense los niveles para encontrar la elevación del BN 3. Solución

5.8

Se correrá una nivelación del BN 31 al BN 32 para verificar la elevación en el BN 32. La elevación del BN 31 es conocida con un valor de 705.013. Las lecturas atrás y adelante son las siguientes:

Calcúlese la nivelación para encontrar la elevación del BN 32.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

108

Solución

5.9

La elevación del BN 104 es 692.123. Las lecturas atrás y adelante son las siguientes:

Encuéntrese la elevación del BN 105. Solución

[Capítulo 5

[Capítulo 5

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

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5.10 Se tiene una serie de puntos de nivelación que se alternan sobre la Avenida Frot, desde el BN 10 con elevación 15.610 pasando por el PL1 de elevación 14.521, BN 11 con 11.841, BN 12 con 9.859 hasta un punto final en la casa 99 de la misma avenida (véase Fig. 5-23). Calcúlese la nivelación en la libreta de campo.

Figura 5-2$ Solución Véase la Fig. 5-24.

5.11 Se tiene el perfil de una serie de puntos nivelados en la calle Beacon (véase Fig. 5-25). A partir de estos niveles, encuéntrese la elevación del último banco de nivel (no se da en la figura). Solución

NIVELACIÓN

110

Figura 5-24 Registro de nivel.

Figura 5-25

Comprobación matemática:

Capítulo 5]

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

111

5.12 Se tiene el perfil (véase Fig. 5-26) de una serie de puntos nivelados en la calle Dow. Encuéntrese la elevación del punto final del levantamiento.

Figura 5-26 Solución

Comprobación matemática:

5.13 Se tiene un perfil de los niveles tomados en la Avenida Riverview (véase Fig. 5-27). Encuéntrese si la elevación dada para el BN 36, concuerda con la elevación que se obtiene al calcular la nivelación. En caso contrario ¿de qué valor es el error?

Figura 5-27

112

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

Solución

En los problemas del 5.14 al 5.20 se dan una serie de niveles, como se muestra en la figura que se indica. Para cada problema obténgase un registro de campo completo, mostrando la diferencia en elevación y la comprobación de cada solución. 5.14 Véase la Fig. 5-28a. Solución

Desnivel en elevación de BN = suma de lecturas atrás — suma de lecturas adelante = 30.417 - 30.413 = 0.0004. Comprobación.

5.15 Véase la Fig. 5-286. Solución

Desnivel en elevación BN = suma de lecturas atrás - suma de lecturas adelante = 28.923 - 28.925 = -0.002. Comprobación.

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

Figura 5-28 Datos de la nivelación con BN. 5.16

Véase Fig. 5-28c. Solución

Desnivel de elevación BN = suma de lecturas atrás - suma de lecturas adelante = 29.960 - 29.940 = -0.020. Comprobación.

113

114

5.17

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

Véase la Fig. 5-29a. Solución

Desnivel en elevación BN = suma de lecturas atrás - suma de lecturas adelante = 26.660 - 26.660 = 0.000. Comprobación.

5.18

Véase la Fig. 5-296. Solución

Desnivel en elevación BN = suma de lecturas atrás - suma de lecturas adelante = 34.293 - 34.292 = 0.001. Comprobación.

5.19

Véase la Fig. 5-30a. Solución

Desnivel en elevación BN = suma de lecturas atrás - suma de lecturas adelante = 26.767 - 26.764 = 0.003. Comprobación.

Capítulo 5]

NIVELACIÓN

Figura 5-29 Datos de la nivelación con BN.

Figura 5-30 Datos de la nivelación con BN.

115

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

116

5.20

[Capítulo 5

Véase la Fig. 5-30b. Solución

Desnivel en elevación BN = suma de lecturas atrás - suma de lecturas adelante = 19.262 - 19.257 = 0.005. Comprobación.

Para la solución de los problemas 5.21 a 5.24 se listan las lecturas de estadal en la tabla 5-1, en el orden en que se tomaron en la nivelación con bancos de nivel. La elevación del banco de nivel inicial se da en el encabezado de cada columna. La última lectura se toma en el banco de nivel inicial como comprobación. Obténgase el registro de campo completo de cada problema. Muéstrese la comprobación artimética y los errores. Tabla 5-1 Lecturas de estadal para los problemas 5.21 al 5.24

5.21

Véase la Tabla 5-1. Solución

Capítulo 5]

5.22 Véase la Tabla 5-1. Solución

5.23 Véase la Tabla 5-1. Solución

5.24 Véase la Tabla 5-1. Solución

NIVELACIÓN

117

118

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 5

En los problemas 5.25 y 5.26 se presentan juegos de datos de campo, tomados, en el orden que se indica, durante la nivelación de perfil. Preséntese cada conjunto de datos en la forma estándar de una libreta de campo y dibújese el perfil en escala horizontal 1 in = 100 ft y, vertical 1 in = 10 ft. 5.25 Se tienen los datos de la tabla 5-2. Tabla 5-2 Datos para el problema 5.25

Solución Tabla 5-3 Solución del problema 5.25

Comprobación:

Véanse en la figura 5-31 las elevaciones graneadas.

NIVELACIÓN

Capítulo 5]

Figura 5-31

Gráfica de elevaciones.

5.26 Se tienen los datos de la Tabla 5-4. Tabla 5-4 Datos para el problema 5.26

Solución Véase la Tabla 5-5.

Tabla 5-5 Solución del problema 5.26

119

120

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Comprobación:

Véase la figura 5-32 las elevaciones graneadas.

Figura 5-32 Gráfica de elevaciones.

[Capítulo 5

Capítulo 6 Medición Angular 6.1

INFORMACIÓN GENERAL

Los ángulos y las direcciones constituyen una parte fundamental de la información topográfica. Deben aprenderse los diversos sistemas que se utilizan para medir direcciones (ángulos horizontales, azimutes, rumbos, etcétera), así como los procedimientos de campo que se emplean para realizar esas medidas. La topografía es la ciencia en la que se determinan las posiciones relativas de puntos que están localizados sobre la superficie terrestre o cerca de ésta. En el estudio de la geometría es evidente que un punto puede ser ubicado midiendo únicamente las distancias que lo separan de dos puntos conocidos. Los ingenieros topógrafos encuentran que en ocasiones este método de dos distancias es muy práctico y su uso es deseable. Sin embargo, en muchos trabajos en los que se requiere localizar un punto, los topógrafos utilizan la distancia que lo separa de un punto conocido o algunas veces solamente las direcciones (sin distancias) tomadas desde dos puntos conocidos. La información que se presenta en este capítulo en relación con los ángulos y las direcciones, aparece simplificada en la mayoría de los casos para permanecer en el ámbito de la topografía plana.

6.2

DIRECCIÓN

En la topografía y la cartografía, la dirección es la relación angular de una línea con respecto a otra. La dirección de una línea está referida a otra línea definida que actúa como valor cero, por lo que se le debe asignar un valor para distinguir la variación que se tenga con respecto a esa línea origen. Una dirección horizontal puede ser observada o medida en dos formas: en el sentido de las manecillas del reloj o contra él. Es práctica común medir las direcciones o ángulos a favor de las manecillas del reloj (hacia la derecha) con base en la línea de referencia, a menos que se indique lo contrario. 6.3

MEDICIÓN DE ÁNGULOS POR REPETICIÓN

Este capítulo está relacionado con la medición angular. Puede obtenerse mayor precisión en las medidas usando el procedimiento de repetición del ángulo. Todos los topógrafos deben entender claramente este procedimiento. El método de repetición elimina automáticamente o reduce de manera sustancial todos los errores residuales de la geometría del tránsito, con la excepción de los soportes sueltos. También reduce los errores debidos a los vernieres que no pueden leerse con precisión. Procedimiento para duplicar un ángulo Debido a su importancia, se repite aquí el resumen de pasos necesarios para medir un ángulo horizontal (véase Cap. 4). 1. Aflójense ambos movimientos y fíjese el vernier A en cero utilizando el movimiento superior (véase el vernier B si es necesario). 2. Visar al punto inicial (localizado a la izquierda), usando el movimiento inferior. 3. Visar al segundo punto, usando el movimiento superior. 4. Aflójese el movimiento inferior. 5. Léase el vernier A (y el vernier B, si es necesario) en el sentido de las manecillas del reloj. Nótese que cuando se ha girado el ángulo una vez y se afloja el movimiento inferior (paso 4), el valor del ángulo se mantiene en los vernieres A y B. Nada cambia estos valores. La alidada puede girarse, pero las lecturas permanecen. Pero aun si se pone de cabeza (invertido) el telescopio, no habrá cambio.

122

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 6

Se deduce que, si se invierte el telescopio y se visa al punto a la izquierda L, el vernier marcará todavía el valor del ángulo. Así, después del paso 5, inviértase el telescopio y vise a L con el movimiento inferior. Luego, vise con el telescopio al segundo punto usando el movimiento superior. Habrá ahora un segundo valor del ángulo sumado a la lectura original. Esto se muestra esquemáticamente en la figura 6-1. Invertir el telescopio en esta forma elimina muchos de los errores residuales en la geometría del tránsito.

Figura 6-1 Repetición de un ángulo 1 DI. Naturalmente, ahora se deberá dividir entre 2 para obtener el ángulo deseado. Esto corta los errores de lectura a la mitad. La lectura de los vernieres tomada en el primer giro, da un valor aproximado del ángulo, que es suficiente para hacer una verificación superficial del ángulo total calculado. El proceso de repetición de un ángulo con dirección inversa (1 DI) se ilustra en la figura 6-1. El vernier A empieza en cero y se mueve 45°. Mientras se mantiene la presión del movimiento superior, se invierte el telescopio y se visa a L, de tal modo que el vernier A permanece aún en 45° como en la figura de la derecha. Cuando se recorre de nuevo el ángulo, el vernier A se mueve a 90°. EJEMPLO 6.1 Véase la figura 6-2 y la tabla 6-1. Véase de G a H con lectura en el vernier A de 0°00'00"; en el vernier B

se lee 180°00/40//. Visando de G a I, la lectura en el vernier A es 28°10'30//; en el vernier B es 208°10'20". ¿Cuál es el ángulo final?

Figura 6-2 Notas de campo.

Capítulo 6]

MEDICIÓN ANGULAR

123

Tabla 6-1 Datos del ejemplo 6.1.

Solución: Escriba los datos como se muestra en la tabla 6-1 anotando el promedio para H: 00 + 40/2 = 20 segundos. También el promedio para I, que es 30 + 20/2 = 25 segundos; si hay un ángulo de 28°10/25//, para completar el ángulo se debe restar el promedio inicial de 20 segundos, lo cual da 28°10'05". Ahora mida el ángulo I con la dirección invertida. Los 20 segundos leídos en el vernier A y los 00 segundos del vernier B promedian como sigue: (20 + 00)/2 = 10 segundos, dando un ángulo de 56°19'50//. Este ángulo debe ahora ser dividido entre 2, ya que invertimos el telescopio y tomamos dos lecturas. Así:

Más repeticiones

Puede obtenerse mayor precisión si se hacen más repeticiones. Con la presión del movimiento inferior aflojada, repítase el procedimiento tantas veces como se desee. Luego divídase la lectura entre el número de veces que ejecutó las medidas. El procedimiento usual consiste en medir el ángulo una vez, como se muestra en el ejemplo 6.1 y en los problemas del 6.1 al 6.4. Sin embargo, es posible medir un ángulo una vez, dos, seis o 12 veces. El telescopio se invierte después de que se complete la mitad de las mediciones. Repeticiones mayores de 12 ocasiones producen ventajas. La tabla 6-2 proporciona las denominaciones y símbolos para estas operaciones. Tabla 6-2 Denominaciones y símbolos en operaciones angulares

Pasos para efectuar el procedimiento de repetición 1. 2. 3. 4. 5.

Aflojar ambos movimientos del tránsito. Fijar el vernier en cero utilizando el movimiento superior. Leer el vernier B. Visar el punto localizado más a la izquierda, usando el movimiento inferior. Visar el segundo punto, usando el movimiento superior. Aflojar el movimiento inferior y gritar fuerte "uno". Esto ayuda a recordar el número de mediciones. El grito debe hacerse al soltar la presión del movimiento inferior. 6. Leer los vernieres A y B.

124

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 6

7. Invertir el telescopio si el número anunciado es la mitad del número de mediciones que se utilizarán. En cualquier caso, visar al punto localizado a la izquierda utilizando el movimiento inferior. 8. Repetir el proceso las veces que se desee, pero el vernier no se lee nuevamente hasta que se complete el número de mediciones planeadas. EJEMPLO 6.2 Se tiene el ángulo BAC medido directo 3 veces e inverso 3 veces (3 DI). Las lecturas del tránsito son las siguientes:

Represente los datos como se haría en una libreta de campo. Determine el ángulo final. Solución: Vea la figura 6-3, donde se muestran los datos como se requirió. En una medición 3DI, el círculo se recorre varias veces. Por tanto, debe agregarse un número de unidades de 360° a la lectura del ángulo. Generalmente se agrega cierto número de unidades de 60° (el cual es ¿x 360°) a un sexto del valor del ángulo leído. El número de unidades de 60° se escoge de tal modo que el ángulo final sea prácticamente igual que el valor del ángulo en una lectura directa (ID). En la Fig. 6-3, para el ángulo BAC:

Verifíquese que el ángulo final sea casi igual que el ángulo 1 D de 126°32'42.5". Nota: Para dividir el ángulo entre 6 puede procederse como sigue:

1. Divídanse los grados entre 6 y úsese el residuo como primer dígito de los minutos en el cociente. Así: 39/6 = 6 con un residuo de 3. El 6 es el número de grados y el residuo 3 es el primer dígito del número de minutos. ¿Se tienen ahora 6°3'?. 2. Divídanse los minutos entre 6 usando el cociente como segundo dígito de los minutos y el cociente como primer dígito del número de segundos. Así: 15/6 = 2 minutos, con un residuo de 3. ¿Ahora se tiene: 6°32'3"?

Figura 6-3 Notas de campo.

Capítulo 6]

MEDICIÓN ANGULAR

125

3. Divídanse los segundos entre 6, usando el resultado para completar los segundos. Así: 42.5/6 = 7.1 segundos. Esto se suma al resultado ya obtenido. El ángulo final será = 6O32'37.1". Cuando se efectúan repeticiones de un ángulo hay que llevar a cabo comprobaciones para evitar errores. El ángulo final debe estar coincidiendo con el ángulo de una lectura directa (ID) en un margen de aproximadamente 15 segundos, sin importar el número de mediciones realizadas. Puede tenerse la-confianza de que al leer ángulos con un procedimiento 3DI se tendrá un valor cercano en 3 a 6 segundos en relación con el valor verdadero. 6.4 PROLONGACIÓN DE UNA LÍNEA LIBRANDO UN OBSTÁCULO POR MEDIO DE ÁNGULOS A menudo las líneas trazadas se ven bloqueadas por obtejos tales como edificios, postes telefónicos, árboles y muchos otros. Los siguientes son dos métodos en los que se utilizan ángulos para prolongar líneas salvando obstáculos: 1) método del triángulo equilátero y 2) método de ángulos rectos (formando un "offset" o línea desplazada). Método del triángulo equilátero Véase la figura 6-4a. En un punto de la figura, se gira un ángulo de 120° a partir de una visual inversa hacia J, y se mide una distancia KL de 70.00 ft (o cualquier distancia necesaria, sin exceder lo que mide una cinta) para ubicar el punto L. Luego se desplaza el tránsito al punto L. Se visa atrás al punto K; se da un giro de 60° en los círculos del tránsito y se mide una distancia LM = KL = 70.00 ft para marcar el punto M. El tránsito se mueve ahora al punto M, se visa atrás a L y luego se gira un ángulo de 120. La línea visada MN está ahora sobre la prolongación de JK si se ha trabajado sin error. Puede ser adecuado medir los ángulos con una lectura directa y una inversa (1 DI).

Figura 6-4 Prolongación de una línea para salvar un obstáculo. (Tomado de R. C. Brinker and P. R. Wolf, Elementary Surveying, IEP Publishing, Dun-Donnelley, New York, 1977) Método de ángulos rectos (apertura proyectada con ángulos rectos) El tránsito se coloca en los puntos S, T, U, K(Fig. 6-46), girándose ángulos de 90° en cada posición. Las distancias TU y ST (esta última igual a UV) se plantean de tal manera que libren el obstáculo, aunque es posible que se den más largas, con lo que se incrementa la precisión del trazo. EJEMPLO 6.3 Véase la figura 6-4. Dadas: La línea JK en la figura 6-4a y la línea RS en la figura 6-46, las cuales están obstruidas por un edificio que se ve como cuadrado de 40 ft de lado, prolónguense las líneas JK y RS usando el método del triángulo equilátero y el método de ángulos rectos. Solución: Como se muestra en la figura 6-4a, se detiene el trazo de la línea JK cerca de llegar al obstáculo, en el punto marcado como K, y se desvía en un ángulo de 120° midiendo luego 60.00 ft para establecer el punto L. De aquí se gira un ángulo interior de 60° con el tránsito y se miden otros 60.00 ft para fijar el punto M. En éste se gira un ángulo de 120 y se tiene la prolongación de la línea JK. La figura 6-4ft describe adecuadamente el método de ángulos rectos para librar un obstáculo.

126

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 6

6.5 TIPOS DE ÁNGULOS HORIZONTALES Un ángulo puede definirse como la diferencia entre los valores de dos direcciones observadas desde la misma dirección inicial. A veces la dirección a varios detalles del levantamiento debe observarse desde una posición del instrumento, o se deben determinar las direcciones cambiantes en una serie de líneas conectadas entre sí. Esa serie de líneas puede representar un límite que, empezando en un punto, se extiende alrededor de un área específica y regresa (cierra) al punto inicial. Por ejemplo, las líneas podrían representar el eje de una carretera que arranca en un punto y se extiende (recorre) hasta otra localidad o punto a una distancia. El equipo para determinar direcciones y ángulos sirve para medir los cambios en dirección (ángulos) entre las líneas que están en serie. En algunos tipos de levantamientos se observan los ángulos que se seleccionan previamente. Para identificar las diferentes maneras en que se observan los ángulos en levantamientos de poligonales y para construcción, se les dan a estos ángulos nombres especiales, como ángulo en la estación, ángulos exteriores de la estación y ángulos de deflexión (véase Fig. 6-5). En la triangulación sólo se observan las diferencias en direcciones y se usan como ángulos en los cálculos.

Figura 6-5 Disposición de ángulos. Ángulo de la estación y ángulo exterior de la estación Cuando dos puntos conocidos son visibles entre sí (por ejemplo, Z y A en la figura 6-5) y el levantamiento empieza desde uno de estos puntos (desde A, en el ejemplo), el instrumento se sitúa en A y se visa atrás hacia Z para obtener la dirección cero. Se gira luego un ángulo para visar hacia B, que es el primer punto de la nueva línea. Como se ha visto, el ángulo se recorre y lee habitualmente en el sentido de las manecillas del reloj (hacia la derecha). A este ángulo se le conoce como ángulo de la estación. Generalmente se requiere apuntar una vez en forma directa y una inversa para medir el ángulo en cada estación al ejecutar trazos. La forma directa de apuntar se refiere al telescopio en posición directa, así como la inversa será con el telescopio invertido. La medida directa/inversa (D/I) se hace para eliminar el error de colimación en el instrumento. Para efectuar una lectura directa/inversa, se toma el ángulo de la estación, luego se invierte el telescopio y se visa el punto adelante (B en la figura 6-5) y se toma la lectura. Se recorre el ángulo necesario para llegar al punto Z y se hace la lectura; este ángulo se denomina exterior de la estación y debe ser igual a 360° menos el ángulo de la estación. EJEMPLO 6.4 Dado un ángulo de la estación de 150°58'20" en la figura 6-5, encuéntrese el ángulo exterior de la estación. Solución: La suma teórica del ángulo en la estación y el ángulo exterior de la estación siempre igualan 360°. En esta forma, habrá que restar el ángulo de la estación a 360° para obtener el ángulo exterior de la estación.

Capítulo 6]

MEDICIÓN ANGULAR

127

Ángulos de deflexión En algunos levantamientos se utilizan ángulos de deflexión en los cálculos. Éstos pueden obtenerse a partir de los ángulos en la estación o los exteriores de la estación, o medirse directamente usando un tránsito o un teodolito de un minuto de aproximación. Se coloca el instrumento en A (véase Fig. 6-5) y se vista hacia atrás a Z, como se hizo para el ángulo de la estación. El telescopio se invierte primero en vez de rotarlo horizontalmente. El ángulo B se recorre hacia la izquierda. A este ángulo se le conoce como deflexión. Se le registra como "delta" A o un signo menos antepuesto al valor angular. En la figura 6-5 se muestra una deflexión izquierda para la línea que va al punto B y una deflexión derecha para la que llega a C, si es que este último fuera el punto requerido. Las deflexiones a la derecha se registran como D o con un signo + antepuesto al valor angular. Al tomarse lecturas de deflexiones se debe tener un cuidado especial en distinguir las deflexiones izquierdas o derechas para efectuar los registros adecuadamente. Ángulos interiores y exteriores En algunos trazos se sigue el borde o límite de una figura o área para cerrar con el punto inicial. Los ángulos formados adentro de la figura se conocen como ángulos interiores, mientras que los ángulos que faltan a 360°, serán los ángulos exteriores. Los ángulos interiores o exteriores podrán ser leídos como ángulos directos o de estación, dependiendo del sentido o dirección en la que se ejecute el trazo. Los otros ángulos (exterior o interior) serán entonces externos de la estación. Los ángulos interiores y exteriores no se registran al efectuar los trazos, sino como direcciones directas e inversas. 6.6 CIERRE DEL HORIZONTE Si se desea comprobar la suma de ángulos que se forman alrededor de un punto, esto puede hacerse usando un procedimiento conocido como "cierre al horizonte". Esto significa simplemente que todos los ángulos que rodean a un punto deben sumar 360°00/00". EJEMPLO 6.5 Dados los ángulos que se muestran en la figura 6-6 y las lecturas: en B el círculo marca 7°26' y el rumbo magnético es N33°38'. En C la lectura es 49°38' y el rumbo magnético es N75°53'E; en D se lee 99°04' y el rumbo magnético es S54°41'E. Hágase el cierre del horizonte y calcúlese el error del cierre. Solución: El problema se resuleve en la tabla 6-3. El error en el cierre es 0°00'.

Figura 6-6 Cierre del horizonte. (Tomado de R. C. Brinker and P. R. Wolf, Elementary Suverying, IEP Publishing, Dun-Donnelly, New York, 1977)

6.7 AZIMUT Una forma de describir las direcciones en topografía es mediante el uso de azimutes. El azimut de una línea es la dirección horizontal, medida en el sentido de las manecillas del reloj, a partir de 0, una dirección cero,

128

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 6

Tabla 6-3 Notas de campo: cierre del horizonte (Ejemplo 6.5)

la cual apunta al norte en la estación en que esté ubicado. Cada línea tiene dos azimutes, dependiendo de la posición en que se encuentre el observador. Por ejemplo, en la figura 6-7, un trazo va de A hacia B. El ángulo a es el azimut directo de esta línea. Para designar la dirección de B a A, se usa el ángulo b; éste se conocerá como azimut inverso de la línea. En la topografía plana los azimutes directo e inverso de una línea difieren exactamente 180°. El azimut cero se basa en el norte verdadero, de cuadrícula o magnético. Los azimutes directos se convierten en inversos, y viceversa, sumándoles o restándoles a su valor 180°.

Figura 6-7 Azimutes en un trazo.

Capítulo 6]

MEDICIÓN ANGULAR

129

Por ejemplo, si el azimut marcado con 45° en la figura 6-8 fuera a ser tomado en sentido contrario, sería 45° + 180°, o 225°. También, si el azimut de 217°43 fuera invertido, seria 217°43' - 180° = 37°43'. Los azimutes se miden de norte a sur, y los ángulos varían de 0 a 360° (véase el círculo interior de la figura 6-8). Nota informativa: Por conveniencia en el manejo de tablas, las calculadoras de bolsillo pueden aceptar valores de 0 a 360°.

Figura 6-8 Rumbos y azimutes. 6.8 RUMBOS

El uso de los rumbos mantiene a todos los ángulos de los levantamientos con valores menores a 90° (véase cálculo en la figura 6-8). El rumbo de una línea es su dirección (dentro de un cuadrante), referida a un meridiano (línea del norte o del sur). Los rumbos se miden a favor o en contra de las manecillas del reloj, dependiendo del cuadrante, a partir de la línea norte o sur. Para identificar un rumbo, se nombra primero el extremo del meridiano a partir del cual se mide (norte o sur), luego, el valor del ángulo, y finalmente, la dirección (este u oeste) que forma a partir del meridiano. Por ejemplo, una línea que está en el cuadrante suroeste, formando un ángulo de 37°43' con el meridiano sur de referencia, tiene un rumbo de S37°43'W. Una línea que forma un ángulo de 47°25' con el meridiano norte, localizada en el cuadrante noroeste, tiene un rumbo de N47°25'W. Los rumbos nunca exceden de 90°. Los rumbos, como los azimutes, pueden ser verdaderos, y magnéticos, dependiendo del meridiano que se use como referencia. Si el meridiano es una línea norte-sur verdadera, el rumbo será verdadero. El uso de líneas norte-sur de cuadrícula como referencia, provoca rumbos de cuadrícula, así como usar el norte o sur magnético conduce a obtener rumbos magnéticos. La brújula que se incluye con el tránsito y los teodolitos de un minuto puede usarse para leer rumbos magnéticos. 6.9 COMPARACIÓN DE RUMBOS Y AZIMUTES

Los rumbos y azimutes se encuentran en la mayoría de operaciones topográficas. En la tabla 6-4 se muestra un resumen comparativo de sus propiedades. Pueden calcularse rumbos fácilmente a partir de los azimutes fijándose en qué cuadrante está el azimut. Puede convertirse un rumbo a un azimut como se describe en la tabla 6-4.

130

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 6

Tabla 6-4 Explicación de rumbos y azimutes

6.10

CALCULO DE RUMBOS

Una sucesión de líneas en particular requiere el cálculo de rumbos (o azimutes). Ese recorrido consiste en una serie de ángulos y distancias, distancias y rumbos o azimutes y distancias, las cuales conectan puntos sucesivos de colocación del instrumento. Las líneas de lindero de propiedades forman un recorrido cerrado o polígono cerrado. Los trazos de carretera de ciudad a ciudad son generalmente polígonos abiertos. Los cálculos de rumbos se simplifican si se hace un dibujo para cada línea en el que se muestren los datos. La figura 6-9 muestra un polígino cerrado con ángulos leídos en sentido contrario al de las manecillas del reloj (hacia la izquierda). Los ángulos interiores se leen generalmente en el sentido de las manecillas del reloj (ángulos hacia la derecha). Se recomienda que en los trazos se tomen los ángulos hacia la derecha para prevenir confusiones resultantes de tomar lecturas de ángulos en ambos sentidos. EJEMPLO 6.6 Véanse las figuras 6-9 y 6-10. Se tiene la línea AB con rumbo N45°35'E. Si en el punto B se gira un ángulo izquierdo (en sentido contrario al de las manecillas del reloj) de 127° 11', encuéntrese el rumbo de la línea BC.

Figura 6-9 Ángulos interiores medidos en contra de la manecillas del reloj en un polígono cerrado.

Figura 6-10 Cálculo del rumbo BC.

Capítulo 6]

MEDICIÓN ANGULAR

131

Solución: Dibújese un diagrama en el que se incluyan los datos conocidos y calculados. El mejor método para dibujar el diagrama consiste en la utilización de un transportador para representar los ángulos a escala. En esta forma se podrá detectar cualquier error, ya que al trabajar a escala se obtienen líneas en los cuadrantes correctos, lo cual permite asignar direcciones y rumbos adecuados. 45° 35' en el punto A = ángulo en B Ángulo ABC —45°35'= 81°36'

Así:

Este es el ángulo girado a patir de la línea norte-sur, por lo que sumando las direcciones se obtiene: Rumbo de la línea BC = S81°36'E 6.11

CÁLCULO DE AZIMUTES

Es más sencillo trabajar con azimutes que con rumbos. Puesto que las funciones trigonométricas proporcionan los signos correctos en las latitudes y los alejamientos (véase Cap. 7), muchos topógrafos prefieren su uso al trazar poligonales. Al igualar que con los rumbos, es conveniente dibujar un diagrama para acompañar los cálculos con rumbos. EJEMPLO 6.7

Véanse las figuras 6-9 y 6-11. Encuéntrense los azimutes a partir del norte de las líneas AB y BA, BC.

Figura 6-11 Cálculo del azimut de BC. Solución: Dibújese un diagrama (véase Fig. 6-11). El azimut BA se obtiene sumándole 180° al azimut AB. Entonces, el ángulo en B de 127°11' medido en contra de las manecillas del reloj se resta el azimut BA para obtener el azimut BC.

La figura 6-12 indica claramente al estudiante la diferencia entre un nivel y un tránsito. En este capítulo se está usando el tránsito para trabajar. 6.12 FACTORES QUE AFECTAN LAS OBSERVACIONES ANGULARES Existen tres tipos de errores que afectan las observaciones angulares. Estos errores pueden ser debidos al instrumento, al observador o al medio ambiente. El topógrafo debe reducir o evitar los errores completamente.

132

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 6

Figura 6-12 Diferencia entre un tránsito y un nivel.

Errores debidos al instrumento Hay varios tipos de errores debidos al instrumento y que afectan la medición de ángulos horizontales: 1. Errores de ajuste en el tránsito 2. Excentricidad del círculo horizontal 3. Pequeños errores de graduación en el círculo, los vernieres o en la escala del micrómetro Exceptuando el último error, los efectos de los errores debidos al aparato pueden eliminarse o reducirse ajustando correctamente el instrumento y usando procedimientos sistemáticos en la observación. Errores del personal Los errores que comete el personal y que afectan las mediciones angulares son: 1. Errores al centrar el aparato y las balizas en su posición 2. 3. 4. 5.

Errores al nivelar el instrumento Errores al visar con el aparato Errores de lectura del círculo y los vernieres Errores al interpretar la coincidencia en las escalas al efectuar las lecturas

Estos errores pueden reducirse utilizando procedimientos correctos y con una buena capacitación. Errores debidos al ambiente Este tipo de errores que afectan también la medición del ángulo, se deben a diferenciales de temperatura dentro del mismo instrumento, a refracción horizontal de la visual y a desfasamiento de esta última.

Capítulo 6]

6.13

MEDICIÓN ANGULAR

133

ERRORES COMUNES

Son errores comunes al medir ángulos, los que se mencionan a continuación: 1. 2. 3. 4. 5.

Mezclar rumbos y azimutes, Adoptar como línea de referencia una línea difícil de reproducir Orientar un instrumento volviendo a visar el norte magnético Confundir rumbos magnéticos y verdaderos No incluir el último ángulo para recalcular el rumbo inicial a manera de comprobación.

Problemas Resueltos 6.1 Se tiene el ángulo BAC; véanse la figura 6-13 y la tabla 6-2 como referencias. Al visar AB el vernier A marca 0°00'00", y el vernier B, 180°00'00". El telescopio se usa una vez directo (1 D) y una inversa (1 DR). Al visar AC el vernier A marca 30° 10'30" y el vernier B 210° 10'20". En la lectura 1 DI el vernier A da 60°20'25" y el vernier B 240°20'10". Calcular el ángulo final. Solución Póngase la información en una tabla, calculando el promedio para cada lectura.

Divídase el ángulo entre el número de repeticiones para obtener el ángulo final.

Compárese la respuesta con el ángulo ID de 30° 10'10".

Figura 6-13

6.2

Se tiene el ángulo BAO, véanse la figura 6-13 y la tabla 6-2. Visando B se lee en el vernier A 0°00'00'' y en el vernier B, 180°00'40". El telescopio se usa una vez en forma directa y otra inversa (1 DR). Visando C se lee en el vernier A 36°20'30", y en el B 216°20'20". En la lectura 1 DR el vernier A marca 72°40'58", y el vernier B 252°40'10". Calcúlese el ángulo final.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

134

[Capítulo 6

Solución Póngase la información en una tabla, calculando el promedio para cada lectura.

Divídase el ángulo entre el número de repeticiones para obtener el ángulo final.

Compárese la respuesta con el ángulo 1 D de 36°20'05".

6.3 Se tiene el ángulo BAC; véase la figura 6-13 y la tabla 6-2 como referencias. Línea AB: vernier A = 0°00'00"; vernier B = 180°00'36". Línea AC: vernier .4 = 40°00'20", vernier B = 220°00'10 ” . El telescopio se usa una vez en forma directa y una vez en forma inversa. La lectura 1 DR es la siguiente: vernier A = 80°00'40" , vernier B = 260°00'30". Calcúlese el ángulo final. Solución Póngase la información en una tabla, calculando el promedio para cada lectura.

Divídase el ángulo entre el número de repeticiones para obtener el ángulo final.

Compárese la respuesta con el ángulo 1 D, de 39°59'57". 6.4

Se tiene el ángulo BAC. Véanse la figura 6-13 y la tabla 6-2 como referencias. Línea AB: vernier A = 0°00'00", vernier B = 180°00'18". Línea AC: vernier A = 60°00'30", vernier B = 240°00/10". El telescopio se usa una vez directo y una vez inverso. La lectura 1 DR es la siguiente: vernier A = 120°00'58", vernier B = 120°00'54 // . Calcúlese el ángulo final. Solución Póngase la información en una tabla, calculando el promedio para cada lectura.

Capítulo 6]

MEDICIÓN ANGULAR

135

Compárese la respuesta con el ángulo 1 D de 60°00'11".

6.5 Se tiene el ángulo calculado BAC para la lectura 1 D con valor 144°01 '58" [éste se muestra en las notas de campo en el renglón C(l D)]. En el renglón C (3 DR) se tiene una lectura de 144° 11'44". Calcúlese el ángulo BAC para la lectura del tránsito (medida seis veces). Solución Divídase 144° 11 '44" (la lectura 3 DI) entre 6. 1. 144/6 = 24° con 0 de residuo. 2. 11/6 = 1 minuto, con 5 de residuo que se suma a los segundos. 3. 44/6 = 7.3 segundos, precedido del residuo de 5 obtenido en el paso 2 para obtener 57.3 segundos. Así:

Ángulo = 24°01'57.3"

Finalmente, súmese 2 (60) = 120° al ángulo anterior. Ángulo obtenido en seis mediciones = 120° + 24°01'57.3" = 144°0l'57.3"

Resp.

Éste se aproxima al valor de la lectura 1 D de 144°01'58".

6.6 Se tiene el ángulo calculado BAC para la lectura 1 D con valor 156°01'25'' [éste se muestra en las notas de campo en el renglón C (1 D)]. En el renglón C (3 DR) se tiene una lectura de 216°07'58". Calcúlese el ángulo BAC para la lectura del tránsito (medida seis veces). Solución Divídase 216°07'58" (la lectura 3 DR) entre seis: 1. 216/6 = 36° con cero como residuo. 2. 07/6 = un minuto, con uno de residuo para la lectura de segundos. 3. 58/6 = 9.7 para la continuación de los segundos. Este número debe estar precedido de 1, obtenido en el pa so número 2, con lo cual se obtienen 19.7 segundos. Así Súmese 2(60) = 120° para obtener:

Ángulo = 36°01'19.7//. 120° = 36°01'19.7" = 156°01'19.7l/

El ángulo obtenido en seis mediciones = 156°01'19.7" Resp. Éste se aproxima en forma adecuada a la lectura 1 D de 156°01'25".

6.7

Se tiene el ángulo calculado BAC para la lectura 1 D con valor de 164°01 '28". En el renglón C (3 D I) de las notas de campo se lee un ángulo calculado de 264° 10' 10". Calcúlese el ángulo BAC para la medición de 3 DR.

136

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 6

Solución Divídase 264° 10'10" entre 6. 1. 264/6 = 44° con 0o para agregar a los minutos. 2. 10/6 = 1 . 0 minuto, con 4 para llevar a los segundos. 3. 10/6 = 1.7 segundos para añadir al 4 que viene del paso número 2. Así:

Ángulo = 44°01'41.7" 44°01'41.7" + 2(60)= 44°01'41.7"+ 120°= 164°01'41.7"

Resp.

o

Éste se aproxima adecuadamente a la lectura 1 D de 164 01'28".

6.8 Se tiene un ángulo calculado BAC para la lectura 1 D con valor de 190°06'46". En el renglón C (3 DI) de las notas de campo se muestra un ángulo de 60°40'20". Calcúlese el ángulo BAC para la medición 3 DR. Solución Divídase 60°40'20" entre 6. 1. 60/6 = 10° con cero para llevar a los minutos. 2. 40/6 = 6 minutos, con 4 para agregar a los segundos. 3. 20/6 = 3.3 segundos añadidos al 4 obtenido del paso 2. Ángulo = 1O°O6'43'33;'

Así:

10°06'43.3" + 3(60) = 10°06'43.3" + 180° = 190°06'43.3"

Resp.

Éste se aproxima adecuadamente a la lectura 1 D de 190°06'46"

6.9

Se tiene el ángulo calculado BAC para la lectura 1 D con valor de 130°11'01". En el renglón C(3 1) de las notas de campo se lee un ángulo de 61°06'08". Calcúlese el ángulo BAC para la medición 3 DR. Solución Divídase 61°06'08" entre 6. 1. 61/6 = 10° con residuo 1 para agregar a la columna de minutos. 2. 06/6 = 1 minuto que se agrega al 1 que viene del paso 1 y 0 para llevar a la columna de segundos (así, los minutos son 11). 3. 08/6 = 1.3 segundos para redondear la columna de segundos. Así:

Ángulo = 10° 11'01.3" 10°ll'01.3" + 2(60)= 10°ll'01.3"+ 120°= 130°ll'01.3"

Resp.

Éste se aproxima en forma adecuada a la lectura 1 D de 130° 11 '01".

6.10 Se tiene el ángulo de la estación de 39°37'25" (véase Fig. 6-5). Encuéntrese el ángulo exterior en esta estación. Solución Ángulo en la estación + ángulo exterior de la estación = 360°

Capítulo 6]

MEDICIÓN ANGULAR

137

6.11 Se tiene el ángulo en la estación de 127°56'59". Encuéntrese el ángulo exterior de la estación. Solución

6.12

Se tiene un tránsito colocado en A. Al visar al punto B se tiene una lectura en el plato de 10°20'. Hasta este punto se tiene un rumbo magnético de N20°30'E. Se gira un ángulo de 40°40' obteniendo una lectura cuando se apunta a C, de 51°00'. Aquí el rumbo magnético es N61°23'E. Efectúese el cierre del horizonte en esta estación. Solución Véase la tabla anexa.

Ya que el ángulo final es 359°62' = 360°02', Cierre = 360°02' - 360° = 0°02' Por tanto, el ángulo de cierre del horizontal fue 319°22' y el error de cierre fue 0°02'. 6.13 Se tiene un tránsito colocado en A. Al visar el punto B se tiene una lectura en el plato de 0°25' y un rumbo magnético de N0°59'E. El tránsito gira apuntando a Cy se tiene una lectura en el plato de 75°25' y el rumbo magnético de N76°20'E. Efectúese el cierre del horizonte en esta estación.

Solución Véase la tabla anexa.

Ya que el ángulo final es 360°:

138

6.14

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 6

Se tiene la línea BC con rumbo S81°36'E. Se gira un ángulo a la izquierda (en sentido contrario al de las manecillas del reloj) en el punto C, con valor de 92°35". Encuéntrese el rumbo de las líneas CD. Solución Primero dibújese un diagrama (véase Fig. 6-14; hágase referencia a la figura 6-9) e incluyanse en él todos los ángulos calculados y dados como dato. Puede verse en el diagrama que restando la suma 81°36' + 92°35' de los 180° de la línea norte-sur en C, se obtendrá el rumbo a partir de la línea norte-sur. Así: 180°00' - (81°36' + 92°35') = 05°49' Se agregan las direcciones sur y oeste al ángulo para obtener el rumbo de la línea CD de S05°49'W Resp.

Figura 6-14 Cálculo del rumbo CD. 6.15

Se tiene la línea CD con rumbo S05°49'W y un ángulo girado hacia la izquierda en D, de 134°30//; encuéntrese el rumbo de la línea DE. Solución Dibújese un diagrama (véase Fig. 6-15) y hágase referencia a la figura 6-9. Puede verse que 134°30' - 05°49' = 128°41'. Este es el ángulo formado con la línea norte-sur, pero se necesita restar 180° de una línea recta con D como centro. Así:

En esta forma, la línea DE está en el cuadrante suroeste. Rumbo de la línea DE = S51°19'W 6.16

Resp.

Se tiene la DE con rumbo S51º19´W; ángulo DEF = 134°42' medido hacia la izquierda en E. Encuéntrese el rumbo de la línea EF. Solución Dibújese un diagrama (véase Fig. 6-16) y hágase referencia a la figura 6-9. Cálculos de los ángulos:

Capítulo 6]

139

MEDICIÓN ANGULAR

Figura 6-15 Cálculo del rumbo DE.

Figura 6.16 Cálculo del rumbo EF.

Por tanto, la línea EF está en el cuadrante noroeste. Rumbo de la línea EF = N83°23'W 6.17

Resp.

Se tiene la línea EF con rumbo N83°23'W y un ángulo izquierdo de 115°51* enf. Encuéntrese el rumbo de la línea FA. Solución Dibújese un diagrama (Fig. 6-7; refiérase a la Fig. 6-9).

Puede verse en el diagrama que debe sumarse a 06°37' un ángulo de 90°. Así:

Este ángulo debe restarse de los 115°51' que se giraron hacia la izquierda F.

Ya que la línea FA está en el cuadrante noroeste: Rumbo de la línea FA = 19° 14'W 6.18

Resp.

Se tiene el rumbo de la línea FA de N19o 14'W y un ángulo girado en A de 115°11´. Encuéntrese el rumbo de la línea AB. Solución Dibújese un diagrama (Fig. 6-18; refiérase a la Fig. 6-9).

140

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 6-17 Cálculo del rumbo FA.

[Capítulo 6

Figura 6-18 Cálculo del rumbo AB.

Para encontrar el ángulo que se forma con la línea norte-sur, primero súmese:

Este ángulo se resta de los 180° de una línea recta con centro en A.

Ya que esta línea está en el cuadrante noreste: Rumbo de la línea AB = N45°35'E

Resp.

Nota: Este ángulo es el mismo que el encontrado en el primer trazo de la línea AB en la figura 6-9. Esto comprueba que todos los rumbos encontrados en los problemas del 6.14 al 6.18 son correctos.

6.19 Se tiene el azimut de la línea BC = 98°24' hacia la izquierda y el ángulo C = 92°35'a la izquierda (úsese la Fig. 6-9 como referencia). Encuéntrense los azimutes de CB y CD, DC a partir del norte. Solución Dibújese un diagrama (no se muestra en el texto).

Capítulo 6]

MEDICIÓN ANGULAR

141

6.20 Se tiene la línea CD con azimut de 185°49'. Se da un ángulo izquierdo en D de 134°30'. Encuéntrense los azimutes a partir del norte, de las líneas DC y DE. Solución Véase la Fig. 6-9.

6.21 Se tiene una línea DE con azimut de 231 ° 19'. El ángulo izquierdo en E es de 134°42'. Encuéntrense los azimutes a partir del norte de las líneas ED y EF. Solución Véase la Fig. 6-9.

6.22 Se tiene la línea EF con azimut de 276°37" y un ángulo izquierdo en F de 115º51'. Encuéntrense los azimutes a partir del norte, de las líneas FE y FA. Solución Véase la Fig. 6-9.

6.23 Se tiene el azimut de la línea FA = 340°46' y un ángulo en A = 115 ° 11'. Encuéntrense los azimutes a partir del norte, de las líneas AF y AB. Solución Véase la Fig. 6-9.

Éste coincide con el azimut inicial.

142

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 6

Problemas Suplementarios 6.24

Se tiene el ángulo BAC con un valor de 143°27'22" calculado para la lectura 1 D. En el renglón C (3 DR) de la libreta de campo se muestra un ángulo calculado de 140°44'44'. Calcúlese el ángulo BAC para la medición 3 DR. Resp. 143°27'27.3//.

6.25

Se tiene un ángulo exterior de la estación de 212°12'35". Encuéntrese el ángulo en la estación. 147°47'25".

Resp.

6.26

Se tiene el ángulo de 180°07'28" en la estación. Encuéntrese el ángulo exterior de la estación. 179°52'32".

Resp.

6.27

Se tiene el ángulo de 193°56'57'' en la estación. Encuéntrese el ángulo exterior de la estación. 166°03'03".

Resp.

Capítulo 7 Poligonales 7.1 DEFINICIONES Una poligonal es una serie continua de líneas cuyas longitudes se han determinado mediante mediciones de campo. Estas líneas conectan a su vez una serie de puntos denominados estaciones de poligonal. Las poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Las poligonales abiertas (véase Fig. 7-1), terminan sin cierre de posición. Se usan en el trazado de caminos, pero deben evitarse, de ser posible, ya que pueden ser comprobadas adecuadamente. Al trazar poligonales abiertas, las mediciones deben ser repetidas para evitar errores.

Figura 7-1

Poligonal abierta.

Hay dos tipos de poligonales cerradas: 1. Poligonales de circuito. Forman un circuito cerrado continuo (véase Fig. 7-2a). 2. Poligonales ligadas en sus dos extremos. Comienzan y terminan en puntos con posición y dirección conocidas (véase la Fig. 7-2b). Tanto los ángulos como las longitudes medidas en una poligonal, pueden ser comprobadas. 7.2 USO DE LAS POLIGONALES Las poligonales se usan para encontrar la posición de un número pequeño de estaciones marcadas. A partir de estas estaciones pueden realizarse medidas menos precisas para ubicar o referir otros puntos de interés, sin acumular errores accidentales. En esta forma las poligonales sirven de trazos de control. Cuando se dibujan planos de construcción es posible usar las estaciones de la poligonal como puntos iniciales o base de los trabajos del levantamiento. Cuando se va a ejecutar alguna obra de construcción se establece en el terreno un sistema de estaciones de poligonales que funcionarán como apoyo. Tratar de evitar el uso de las poligonales en estos casos es costoso y provoca revisiones serias de los planos. 7.3 TRABAJOS DE CAMPO EN POLIGONALES El trabajo de poligonación en campo puede describirse en una serie de pasos que se mencionan a continuación: 1. Las estaciones de la poligonal deben ubicarse lo más cerca posible de los objetos que serán referidos a partir de aquélla.

144

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 7

Figura 7-2 Poligonales cerradas. 2. Deben marcarse las estaciones utilizando estacas con tachuelas o con monumentos de piedra o concreto empotrados en el suelo, con un punto preciso en su superficie superior, como puede ser una cruz cincelada, un agujero hecho con barreno, o una placa de bronce. 3. Las mediciones de ángulos y distancias deben practicarse como se describió en los capítulos 3 y 6. 4. Se deben utilizar señales en cada estación para el trazo. a) Usando una barra o vara clavada en el suelo para basar las mediciones con cinta. b) Una baliza cuidadosamente colocada y balanceada sobre el punto, puede emplearse para medir ángulos. c) En líneas cortas, puede sostenerse una plomada o balancear un lápiz sobre el punto, con objeto de medir ángulos. Dirección hacia adelante Al trazar poligonales debe establecerse cuál será la dirección en la que se hará el levantamiento (hacia adelante) y la contraria (hacia atrás). Las poligonales de circuito se trazan en contra del sentido de las manecillas del reloj. Dirección en la medición de ángulos Los ángulos de una poligonal deben ser medidos en el sentido de las manecillas del reloj, partiendo de la dirección atrás hacia la dirección adelante. En trazos de caminos y en otras poligonales ligadas en sus extremos y abiertas, la medición de ángulos se lleva a cabo por deflexiones. Un ángulo de deflexión es el que forma la prolongación de la línea de atrás con la de adelante (véase Fig. 7-3). También puede definirse como el cambio de dirección de la poligonal en una estación de ella. La dirección, izquierda o derecha de la deflexión, debe ser registrada correctamente; de otro modo, se tendrán errores. Medición de ángulos de deflexión Mídase el ángulo total que forma la línea de atrás con la línea de adelante y réstense 180° al resultado. Si la diferencia es positiva, se tiene un ángulo de deflexión derecha. Si es negativa, el ángulo de deflexión es izquierdo. Algunas recomendaciones para medir ángulos de deflexión son las siguientes:

Capítulo 7]

POLIGONALES

145

Figura 7-3 Dirección de la medición del ángulo. 1. 2. 3. 4.

Póngase el vernier en cero, Dése una visual atrás con el telescopio invertido, usando el movimiento inferior. Dar la visual adelante, con el telescopio directo, usando el movimiento superior. Regístrese el ángulo en el sentido de las manecillas del reloj contra él, que fue leído y que sea menor que 180°. Si éste fue el que se leyó en el sentido de las manecillas del reloj, la deflexión es derecha; en caso contrario, la deflexión es izquierda. 5. Para obtener una lectura 1 DR, déjese el vernier como está en el paso número 4 y dése una visual atrás con el telescopio directo, usando el movimiento inferior. 6. Vise hacia adelante con el telescopio invertido, usando el movimiento superior. 7.4 CÁLCULOS DE POLIGONALES Generalmente, se necesita transformar los datos de campo de la poligonal a la forma de coordenadas rectangulares de las estaciones. Los ejemplos y los problemas que se muestran en este capitulo, enseñan cómo lograr lo anterior. Debe dibujarse a escala la poligonal. En este dibujo debe mostrarse la denominación de cada una de las estaciones de la poligonal. Esto ayudará a comprobar, evitando errores en los cálculos.

Figura 7-4 Cálculo de la poligonal.

146

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 7

Cálculo de dirección La primera operación debe ser calcular las direcciones de dos líneas sucesivas aplicándole el ángulo de cambio a una línea para obtener la dirección de la siguiente. Si se utilizan los rumbos para expresar las direcciones, la operación puede lograrse mejor si se dibuja un diagrama en cada estación de la poligonal, en el que se muestren el meridiano y las dos líneas implicadas. Esto hará que las matemáticas requeridas sean evidentes. También pueden utilizarse dibujos cuando se trabaje con azimutes. Si se miden los ángulos en la forma recomendada, podrá ahorrarse tiempo en los cálculos de direcciones usando la regla de los azimutes. Esta regla, que se ilustra en la figura 7-6, es:

B = A + C± 180° donde B = azimut de la línea subsecuente A = azimut de la línea precedente C = ángulo de la poligonal

Figura 7-5 Cálculo de direcciones.

Capítulo 7]

POLIGONALES

147

Figura 7-6 Regla del azimut para calcular direcciones: Súmese el ángulo de la poligonal a el azimut previo y luego súmese o réstese 180°. (Tomado de P. Kissam, Surveying Practice, McGraw-Hill, New York, 1978)

En la figura 7-6, nótese que A ± 180° es el azimut inverso de la línea precedente. Entonces puede añadirse C, ya que está medido en forma expresa el incremento en azimut del azimut inverso de la línea precedente al azimut directo de la línea subsecuente. A menudo se requiere sumar o restar 360° para evitar ángulos negativos o ángulos que sean mayores de 360°. EJEMPLO 7.1 Se tiene una poligonal de circuito ABCDE con rumbo en el lado DE de S71°42' 15"E y los siguientes ángulos: A = 60°53'30", B = 215°58'00", C = 65°10'10", D = 111°00'00",E= 86°58'45". 1) Calcúlese el error angular. 2) Compénsese los ángulos, y 3) calcúlense los rumbos. Solución: Primero dibújese un diagrama a escala, representando los datos del problema (véase Fig. 71. Calcúlese el error angular. Por definición, La suma de ángulos en un polígono cerrado = (n — 2)(180°) donde n = numero de ángulos. Así la suma de ángulos de la poligonal debe igualar (5 - 2)(180°) = 540° Encuéntrese la suma de ángulos como se midieron:

Por tanto: 540°00'25" - 540° = 25 segundos de error Ya que hay cinco ángulos, el error debe ser repartido proporcionalmente.

Normalmente se acepta hasta 1 minuto de error por ángulo, por lo que el error en este caso es aceptable. 2. Compénsense los ángulos. Réstense cinco segundos de cada ángulo de la poligonal.

Comprobación

148

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 7

3. Calcúlense los rumbos. Empezando con el rumbo conocido de DE = S71°42'15"E, calcúlense los rumbos aplicando sucesivamente los ángulos corregidos (véase Tabla 7-1). Nótese en esta tabla que el lado de la poligonal con rumbo conocido es el punto de inicio del cálculo. Latitudes y alejamientos

Una línea con cierto rumbo (o azimut) y de una longitud definida tiene una componente o proyección Δ y y una componente o proyección Δ x sobre los ejes vertical o eje y y el horizontal o eje x respectivamente. La proyección en y se denomina latitud, y la proyección en x, se denomina alejamiento. La latitud de una línea se obtiene con la siguiente ecuación: donde

Δ y = latitud l = longitud de la línea β = rumbo de la línea

El alejamiento de una línea se obtiene con la siguiente ecuación: donde

Δx = alejamiento l = longitud de la línea β = rumbo de la línea Nota: Para las latitudes, la dirección norte (N) es positiva, y la dirección sur (S), es negativa. Para los alejamientos se considera positiva la dirección este (E) y negativa la oeste (W). En los ejemplos y problemas que siguen, úsese una calculadora para hacer las operaciones con funciones trigonométricas. No se utilizarán las operaciones con logaritmos que son más incómodas. Tanto las calculadoras como las computadoras son usadas en forma universal por las brigadas de topografía, haciendo que raramente se usen logaritmos. Compensación de latitudes y alejamientos

Hay dos métodos para efectuar la compensación de latitudes y alejamientos, que consisten en asegurarse de que la suma algebraica de latitudes y alejamientos sea igual a cero. Estos métodos son: la regla de la brújula y la regla del tránsito. La regla de la brújula aplica correcciones proporcionales a la longitud de los lados del polígono. La ecuación es la siguiente (se indica la corrección a la latitud o al alejamiento):

donde

C = error total en la suma de latitudes o alejamientos, con signo cambiado L = longitud total del polígono S = longitud del lado del polígono

La regla de la brújula es matemáticamente más correcta que la del tránsito; sin embargo, cambia las latitudes y los alejamientos de tal modo que tanto los rumbos como las longitudes de los lados son cambiados. La regla del tránsito aplica correcciones proporcionalmente a las magnitudes de las latitudes y los alejamientos. La ecuación es la siguiente:

donde

C = error total en la suma de latitudes y alejamientos con signo cambiado l = suma de la latitud o alejamiento, sin tomar en cuenta el signo s = magnitud de una latitud o longitud dada

La regla del tránsito cambia a las latitudes y los alejamientos de tal manera que las longitudes de los lados de la poligonal cambian ligeramente, pero los rumbos permanecen prácticamente iguales.

Capítulo 7]

POLIGONALES

Tabla 7-1 Cálculo de rumbos del ejemplo 7.1

149

150

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 7

Tanto la regla de la brújula como la del tránsito, deben observar lo siguiente: 1. La suma de las correcciones por latitud debe ser igual al error en latitud, con su signo cambiado. 2. La suma de las correcciones por alejamiento debe ser igual al error en alejamiento, con su signo cam biado. Algunas veces, debido a que las correcciones calculadas son redondeadas, puede ser necesario cambiar ligeramente alguna de las dos correcciones para cumplir con estas relaciones. Generalmente estos cambios se aplicarán a los valores mayores. EJEMPLO 7.2 Se tiene una poligonal ABCDE con las distancias, los rumbos y las coordenadas siguientes: el punto E está ubicado en las coordenadas N100.00, E1400.00. Los ángulos interiores son:

DE tiene un rumbo S84°50'00"E. 1) Calcúlese el error angular; 2) Compénsense los ángulos; 3) calcúlense los rumbos; 4) calcúlense las latitudes y los alejamientos; 5) calcúlese el error; 6) calcúlese la tolerancia; 7) compénsense las latitudes y los alejamientos; 8) calcúlense las latitudes y los alejamientos compensadas; 9) calcúlense las coordenadas. Solución: Primero hágase un diagrama a escala. Se obtendrá mayor precisión al hacer el diagrama más grande (véase Fig. 7-7). Un papel de 12 in x 18 in proporciona una precisión adecuada. El método de la tangente (véase Cap. 14) para graficar ángulos de la poligonal es fácil y preciso; también puede usarse un transportador. Supóngase que se está usando una hoja de papel de 12 in x 18 in. Dibújese una línea vertical para formar una cuadrícula, a 1— in de margen izquierdo. Luego dibújense líneas verticales de cuadrícula a 500 (5 in a la derecha de la primera línea); 1000 (10 in a la derecha de la primera línea) y a 1500 (15 in a la derecha de la primera línea). Ahora dibújense las líneas horizontales de la cuadrícula. En la parte de abajo de la hoja, a 1 in arriba del borde inferior de la misma, trácese una línea horizontal, a la que se le llamará 0. La línea 500 estará arriba a 5 in de la línea cero. Se deberá dibujar otra línea horizontal más a 1000 (10 in sobre la línea cero). Ahora debe tenerse una cuadrícula etiquetada con cero horizontalmente y verticalmente en su extremo inferior izquierdo (véase Fig. 7-7), y que es de tamaño suficiente para contener a la poligonal completa.

Figura 7-7 Poligonal de circuito.

Capítulo 7]

POLIGONALES

151

La estación E se describe en los datos. Póngasele en la cuadrícula (véase Fig. 7-7) en las coordenadas N100.00 y E1400.00. Para dibujar después los ángulos puede usarse el método de la tangente, que es bastante preciso, o un transportador, que es menos preciso, pero más rápido. El rumbo conocido de la línea DE es S84o50'00"E, por lo que puede dibujarse la línea a partir de E. Dibújese un diagrama del punto DEA (véase Tabla 7-2) para obtener los ángulos requeridos para dibujar las coordenadas en la cuadricula. Primero debe verse cuál es el error angular de la poligonal. 1. Calcúlese el error angular. La suma de los ángulos debe ser:

Por tanto: Este es un error muy pequeño y, por tanto, aceptable. 2. Compénsense los ángulos. Corrija cada ángulo con la misma cantidad ya que las probabilidades de error son las mismas.

3. Calcúlense los rumbos. Empezando con el rumbo conocido DE = S80°50'00"E, calcúlense los rumbos aplicando sucesivamente los ángulos corregidos (véase Tabla 7-2). 4. Calcúlense las latitudes y los alejamientos. Véase la Tabla 7-3. Úsense las ecuaciones (7-1) y (7-2) y una calculadora para encontrar las funciones trigonométricas. 5. Calcúlese el error. La poligonal empieza y termina en el mismo punto, por lo que la suma de las latitudes y la suma de los alejamientos debe ser en ambos casos cero. Si se suman las columnas puede encontrarse el valor del error. El error en latitud es - 0.19; el error en alejamiento es - 0.03. El error total es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estos valores. 6. Calcule el error de cierre, el cual es la relación del error total a la longitud total del trazo. La suma de las longitudes de los lados es 4129.86, por lo que: Error de cierre= 0.192 : 4129.86 = 1: 21 510 En una poligonal trazada con un tránsito de un minuto, este valor puede dar una relación del orden de 1:3000. Si es menor la relación, puede existir un error. Este levantamiento es aceptable. 7. Compensación de latitudes y alejamientos. Hay dos métodos para efectuar la compensación, como se explicó en la sección 7.4: a) Regla de la brújula. Apliqúense las correcciones proporcionalmente a las longitudes de los lados (véase Tabla 7-4). Úsese la ecuación (7-5). Habrá que redondear la longitud total de la poligonal de 4130 para los cálculos. Los resultados obtenidos de las correcciones en la tabla 7-4 se suman a los de la tabla 7-3. ti) Regla del tránsito. Las correcciones se aplican a las latitudes y los alejamientos proporcionalmente a las longitudes de estas últimas. Véase la tabla 7-5. Úsese la ecuación (7-4). 8. Calcúlense las latitudes y los alejamientos corregidos. Súmense algebraicamente las correcciones a las latitudes y los alejamientos originales o sin corregir. Véase Tabla 7-3. 9. Calcúlense las coordenadas. Escójanse las coordenadas de manera que siempre tengan un valor positivo. El punto E está en el extremo más al sur, tiene una coordenada y o norte de 100.00, y el punto C es el punto más hacia el occidente, con una coordenada x, u este, de 100.00. Las coordenadas se calculan sumando algebraicamente en forma sucesiva las latitudes y los alejamientos corregidos. Puede hacerse una comprobación si los cálculos se llevan al punto inicial, el cual debe tener las mismas coordenadas que al principio. La tabla 7-6 muestra la compensación de la poligonal usando la regla del tránsito. Véase también la tabla 7-5.

152

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Tabla 7-2 Cálculo de rumbos del ejemplo 7.2

[Capítulo 7

Capítulo 7]

POLIGONALES

Tabla 7-3 Cálculos del ejemplo 7.2

Tabla 7-4 Compensación de latitudes y alejamientos por medio de la regla de la brújula (Ejemplo 7.2)

153

154

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 7

Tabla 7-5 Compensación de latitudes y alejamientos por medio de la regla del tránsito

Tabla 7-6 Ejemplo 7-2. Poligonación compensada con la regla del tránsito

7.5 PROCEDIMIENTO PARA LIGAR POLIGONALES La figura 7-8 es un dibujo para calcular una poligonal ligada en sus dos extremos a partir de las posiciones conocidas de las estaciones de triangulación Mouse y Fox. La estación de cierre es Rat, con la dirección de Rat-Duck. Los datos marcados en la figura se obtuvieron en la triangulación y directamente en el campo. Las coordenadas de las estaciones de triangulación deben mantenerse fijas y la poligonal se ajusta a ellas. El ejemplo 7.3 describe cómo se trabaja con una poligonal como ésta.

Capítulo 7]

POLIGONALES

155

Figura 7-8 Poligonal ligada en sus dos extremos. EJEMPLO 7.3 Véase la figura 7-8. Se tiene: coordenadas de Mouse = N1500:00, E900.00. Distancia Mouse a Fox = 480.36 con un rumbo de S23°37'15", azimut 156°22'45". Ángulo en Fox = 271°38'00"; distancia de Fox a A = 346.21; ángulo en A = 116°52'45". Distancia de A a B = 448.62; ángulo en B = 93°46'15", distancia de B a Rat = 502.74; distancia de Rat a Duck = 270.86, rumbo S85°11'27", azimut = 94°48'33". Coordenadas de Rat = N407.49, E1229.99. Calcúlese la poligonal. Solución: Véase la figura 7-8. 1. Calcúlese el error angular. Calcúlense las direcciones de las líneas fijas sobre las que empieza y termina la poligonal.

156

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 7

Empezando con una dirección conocida, calcúlense las direcciones de las líneas aplicando los ángulos de campo sucesivamente; véase tabla 7-7. Pueden usarse rumbos o azimutes. Los azimutes deben evitarse si no se tienen tablas de funciones de ángulos con valores hasta 360°. Nota: Los rumbos noroeste y sureste son ángulos negativos.

Calculando el error por azimutes: Error por ángulo = 94°49'45" - 94°49'09" = 0'36"

o

9 segundos por ángulo

Supóngase que se permite un error de 30 segundos por ángulo; el error angular es aceptable. 2. Compénsense los ángulos. Corríjase cada ángulo en la misma cantidad, ya que la probabilidad de error es la misma.

3. Calcúlense las direcciones; véase la tabla 7-8. 4. Calcúlense las latitudes y los alejamientos. La forma de cálculo, usando funciones naturales, se muestra en la tabla 7-9. 5. Calcúlese el error. 6. Calcúlese el error de cierre.

Error de cierre = 0.28 :1298 = 1 : 4636

Tabla 7-7 Cálculo de las direcciones en el ejemplo 7.3

Capítulo 7]

POLIGONALES

157

Tabla 7-8 Cálculo de direcciones para los ángulos compensados

Tabla 7-9 Cálculos del ejemplo 7.3

7. Calcúlense las correcciones a las latitudes y los alejamientos. Véase la tabla 7-10. 8. Calcúlense las latitudes y los alejamientos corregidos. 9. Calcúlense las coordenadas. Empezando por las coordenadas fijas del principio de la poligonal, calcúlense las coordenadas de cada estación mediante suma algebraica sucesiva de las latitudes y alejamientos corregidos. Puede ha cerse una comprobación aritmética cuando las coordenadas de Rat concuerden con sus coordenadas fijas. Véanse las columnas a la derecha en la tabla 7-9. Las coordenadas calculadas de Rat son 407.49, 1299.99, iguales a las que se dieron como dato fijo, por lo que se tiene la comprobación. 10. Grafíquese la poligonal. Esto puede hacerse usando tangentes de ángulos, con transportador y escalímetro, o por coordenadas. Ya que se tienen las coordenadas, es conveniente usarlas. Es más preciso que dibujar ángulos. Veáse la figura 7-9.

158

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Tabla 7-10 Compensación de latitudes y alejamientos Ejemplo 7.3

Figura 7-9 Gráfica de coordenadas.

[Capítulo 7

Capítulo 7]

POLIGONALES

159

Problemas Resueltos 7.1

Se tiene una poligonal de circuito ABCDE, donde el lado DE tiene un rumbo S80°50'30"E. Los ángulos son los siguientes:

Calcúlense todos los rumbos sobre la poligonal ABCDE. Solución Dibújese la poligonal con todos los ángulos a escala; véase la figura 7-10. Primero calcúlese el error angular.

Se permite un error angular de un minuto por cada ángulo, por lo que la poligonal es aceptable.

Figura 7-10 Cálculo de la poligonal.

160

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 7

Iníciese con la estación E, ya que el rumbo es conocido S88°50.33"E. En el punto E se tiene un ángulo dado de 100°39/40", Ángulo corregido = 100°39'40"-00°00'10"= 100°39'30" Dibújese un diagrama de la estación E; ver figura 7-1 la. DE = S88°50'30"E

Por tanto:

Rumbo EA = N11°49'00"E

Dibújese un diagrama de la estación A; véase la figura 7-116.

Por tanto:

Rumbo AB = S58°09'10"W

Dibújese un diagrama de la estación B; véase la figura 7-1 le.

Por tanto:

Rumbo, BC = N7()°20'50"W

Dibújese un diagrama de la estación C; véase la figura 7-1 Id.

Por tanto:

Rumbo CD = S09°20'50"E

Dibújese un diagrama de la estación D; véase la figura 7-1 le.

Restar de 180°

Por tanto:

Rumbo DE = S88°50'30"E

Este también es el rumbo de DE al principio de la poligonal, por lo que coinciden sus ángulos.

Capítulo 7]

POLIGONALES

161

Figura 7-11 Direcciones. (Tomado de P. Kissam, Surveying Practice, McGraw-Hill, New York, 1978)

7.2

Se tiene una poligonal triangular ABC con un rumbo AB de N78°49'50"E. Los ángulos son los siguientes: A = 62°29'20"; B = 50°20'20"; C = 67°10'26". Calcúlense los rumbos de los tres lados de la poligonal. Solución Véanse las figuras 7-12 y 7-13. Calcúlese el error angular.

Figura 7-12 Cálculo del error angular.

162

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capitulo 7

Figura 7-13 Direcciones. Ya que la figura es un triángulo,

Por tanto, será necesario restar 2 segundos de cada ángulo. Dibújese la estación B, ya que se tiene un rumbo conocido de A y B; véase la figura 7-13a.

Por tanto: Dibújese la estación C; véase la figura 7-13b.

Por tanto:

Rumbo CA =S16°20'32"W

Dibújese la estación A; véase la figura 7-13c.

Por tanto:

Rumbo AB = N78°49'50"E

Este rumbo es igual que el inicial y comprueba la poligonal.

Capítulo 7]

7.3

POLIGONALES

163

Se tiene la poligonal de circuito ABCDE con un rumbo conocido en el lado DE de S74°56'40"E. Los ángulos son los siguientes:

Calcúlense los rumbos en la poligonal. Solución Dibújese un diagrama de la poligonal; véase la figura 7-14.

Figura 7-14 Poligonal de circuito. 1. Calcúlese el error angular.

Se permite un error de un minuto por ángulo, por lo que el error angular existente es aceptable. 2. Compénsense los ángulos. Corríjase cada ángulo en la misma cantidad, ya que la probabilidad de error es la misma en todos los ángulos.

Comprobación

164

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

[Capítulo 7

3. Calcúlense los rumbos. Empenzando con el rumbo conocido DE de S74°56'40"E, calcúlense los rumbos aplicando sucesivamente los ángulos corregidos. Véase la tabla 7-11.

7.4

Se tiene la poligonal de circuito ABCDE. Las coordenadas del punto A son N692.00, El 100.00. El rumbo de la línea EA es N11°29'20"E. Los ángulos interiores son (véanse las figuras 7-15 y 7-16):

Calcúlense las coordenadas y la compensación por la regla de la brújula.

Solución 1. Calcúlese el error angular; véase la figura 7-15.

2. Compénsense los ángulos.

3. Calcúlense los rumbos. Iníciese con el rumbo conocido EA de N11°29'20"E; calcúlense los rumbos aplicando sucesivamente los ángulos corregidos; véanse las figuras 7-15 y 7-16.

Capítulo 7]

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Tabla 7-11 Cálculo de rumbos para el problema 7.3

165

166

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

Figura 7-15 Error angular.

4. Calcúlense latitudes y alejamientos; ver tabla 7-12. 5. Calcúlese el error; véase la tabla 7-12.

6. Calcúlese el error de cierre (relación entre el error total y la longitud de la poligonal). Suma de longitudes de los lados (véase la tabla 7-12) = 3187.98. Error total = 0.326:3188 = 1:9780

[Capítulo 7

Capítulo 7]

POLIGONALES

Figura 7-16 Direcciones. Tabla 7-12 Cálculos para el problema 7.4

167

168

TRIGONOMETRÍA PARA INGENIEROS TOPÓGRAFOS

[Capítulo 7

7. Compénsense las latitudes y los alejamientos usando la regla de la brújula. Úsese la ecuación (7-3). Véase la tabla 7-13. Súmense las correcciones que se encuentran en la tabla 7-13 a los valores de la tabla 7-12. 8. Calcúlense las latitudes y los alejamientos corregidos. Súmense algebraicamente las correcciones a las latitudes y alejamientos originales o sin corregir. 9. Calcúlense las coordenadas. Se sabe que las coordenadas del punto A son N692.00 y El 100.00, como se ven los datos del problema. Entonces a este dato se le aplican los valores obtenidos de la tabla 7-12 para obtener todas las coordendas. Nótese que la poligonal está correcta, ya que las coordenadas finales calculadas para el punto A son exactamente iguales a las que se dieron como datos para el mismo punto. Tabla 7-13 Compensación de latitudes y alejamientos (Prob. 7.4)

7.5

Se tiene una poligonal de circuito con cuatro lados, ABCD. El rumbo de la línea BC es N77°28'17"W. Las coordenadas del punto A con N100.00, E1400.00. Los ángulos interiores son:

Calcúlese la poligonal, haciendo correcciones con la regla del tránsito. Solución Empiécese haciendo un diagrama a escala; véase la figura 7-17. 1. Calcúlese el error angular.

Este es un error pequeño y es aceptable.

Capítulo 7]

POLIGONALES

169

Figura 7-17 Poligonal. 2. Compénsense los ángulos.

3. Calcúlense los rumbos; véase la figura 7-18. Empezando con ql rumbo dado BC = N77°28'17"W, calcúlense los rumbos aplicando sucesivamente los ángulos corregidos.

170

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 7-18 Calculando direcciones.

Tabla 7-14 Cálculos del problema 7.5

[Capítulo 7

Capítulo 7]

POLIGONALES

171

4. Calcúlense las latitudes y los alejamientos; véase la tabla 7-14. 5. Calcúlese el error; véase la tabla 7-14. 6. Calcúlese el error de cierre (relación entre el cierre total y la longitud de la poligonal). La suma de longitu des de los lados es 3483.90; así: Error de cierre = 0.045 : 3483.90 = 1:77 420 7. Compénsense las latitudes y los alejamientos usando la regla del tránsito. Úsese la ecuación (7-4); véase la tabla 7-15. Tabla 7-15 Compensación de latitudes y alejamientos (Prob. 7;5)

8. Transfiéranse los valores obtenidos en la tabla 7-15 a la compensación de la poligonal que se ve en la tabla 7-14. 9. Con las correcciones aplicadas en la tabla 7-14, se podrán calcular las coordenadas. Ya que las coordenadas dato en el punto A son N100.00, E1400.00, ahora deben ponerse en la tabla 7-14 y sumarse o restarse los va lores requeridos para obtener todas las coordenadas en las estaciones de la poligonal.

7.6

Se tiene una poligonal ligada en sus dos extremos en la que se conoce la distancia de Mouse a Fox de 538.52, con rumbo S21°48'05"E. El ángulo en Fox es 260°10'10", la distancia de Fox a A = 300.00; el ángulo en A = 120°20'10"; la distancia entre A y B = 500.00; el ángulo en B = 95°10'00"; la distancia entre B y C = 450.00; el ángulo en C = 170°30'10"; la distancia de C a Rat = 300.00; el ángulo en Rat = 220°20'30". El rumbo de Rat a Duck = S52°4105"E, distancia = 450.00. Calcúlese el error angular por rumbos. Solución Primero dibújese la poligonal; véase figura 7-19. Calcúlese el error angular. Calcúlense las direcciones de las líneas fijas sobre las cuales empieza y cierra la poligonal.

El error angular se calcula en la tabla 7-16.

172

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 7-19 Poligonal. Tabla 7-16 Cálculo del error angular por medio de rumbos (Prob. 7.6)

[Capítulo 7

Capítulo 8 Levantamientos Topográficos 8.1

DEFINICIÓN DE LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

Los trabajos mediante los cuales se determinan las posiciones de los diferentes rasgos naturales (configuración) del terreno, así como de detalles o puntos de interés hechos por el hombre, todos éstos sobre la superficie terrestre, se conocen con el nombre de levantamientos topográficos. El propósito de un levantamiento topográfico es registrar los datos necesarios para ejecutar la representación gráfica de esos rasgos topográficos. A esta representación gráfica se le denomina plano o carta topográfica. Un plano topográfico mostrará el tipo de vegetación existente, utilizando símbolos convencionales, así como las distancias horizontales entre los rasgos y sus elevaciones tomando como base un datum conocido. En los levantamientos topográficos se hace uso de métodos terrestres. En éstos, las herramientas utilizadas son el tránsito, el nivel, la plancheta y la cinta. Los niveles de mano son usados a menudo para realizar la configuración del terreno. Actualmente se utiliza la fotografía aérea para hacer la mayor parte de los planos topográficos a escalas pequeñas; este proceso se conoce con el nombre de fotogrametría. Sin embargo, aun utilizando métodos fotogramétricos, una cierta parte del trabajo debe realizarse en el campo. Estos métodos se describen en este capítulo. El primer paso en la planeación y el diseño de una obra de ingeniería es la preparación de un plano topográfico y los trabajos necesarios de control. 8.2

ESCALAS

En un plano topográfico se representa en un área pequeña de un medio o papel para dibujo, una porción de la superficie terrestre. Por esta razón, la distancia entre dos puntos cualquiera del plano debe guardar una relación conocida con la distancia existente entre esos dos mismos puntos en el campo. A esta relación se le conoce como escala del plano. La relación se expresa como un número de unidades de distancias medias en el plano, que corresponden a cierta distancia en el terreno. Las escalas pueden identificarse usando una correspondencia directa o una relación. Por ejemplo, una escala típica es 1 in = 100 ft. Expresada como relación sería 1:1 200 o 1/1 200. Una escala de 1:2 000 o 1/2 000 indica que a 1 unidad en el plano, corresponden 2 000 unidades en el terreno. Algunas escalas comunes son las siguientes: 1 in = 200 ft, en reconocimiento de carreteras. 1 in = 2 000 ft, en los planos del U.S. Geological Survey. 1 in = 50 ft, en planos de edificios. 8.3

REPRESENTACIÓN TOPOGRÁFICA

Para expresar la topografía en un plano pueden usarse las curvas de nivel o el sombreado del terreno. Este último puede realizarse por medio de hachures, que son una serie de líneas cortas que se dibujan en dirección de la pendiente. Cuando hay pendientes muy pronunciadas, las líneas son oscuras y su espaciamiento es muy corto. En el caso de pendientes suaves, el espaciamiento de las líneas es amplio y la intensidad al dibujar es menor, con lo cual se obtienen líneas claras. Los hachures proporcionan una idea general de la configuración del terreno, pero no son utilizadas para obtener elevaciones reales de él. Una curva de nivel es una línea que une puntos con la misma elevación. La traza de la intersección de una superficie de nivel con el terreno, sería representada en un plano como una curva de nivel. La línea costera de un lago en reposo sería una curva de nivel en la naturaleza. El intervalo entre curvas de nivel (equidistancia) es la distancia vertical o desnivel constante entre dos curvas adyacentes. En los planos, las curvas de nivel se dibujan en sus posiciones horizontales verdaderas con respecto a la superficie del terreno. Los planos topográficos con curvas de nivel proporcionan información referente a pendientes del terreno, como montañas, valles, cumbres, y las elevaciones de estos rasgos.

174

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 8

Figura 8-1 Representación del terreno con curvas de nivel. (Cortesía de U.S. Army, General Drafting, T M 5-230) EJEMPLO 8.1 Si se tiene una vista en planta y en perfil de un terreno (véase Fig. 8-1), examine ambas vistas y explique el

significado de los rasgos que muestran. Solución: Hay una corriente que serpentea en un valle localizado entre el acantilado que se ve a la izquierda y la loma que está al lado derecho. La corriente puede identificarse mejor en la vista en planta (viendo de arriba a abajo), donde se nota que descarga en un pequeño cuerpo de agua o laguna. En la planta, se ven las curvas de nivel o representación topográfica del terreno que se muestra en la parte superior de la figura 8-1. El intervalo o equidistancia entre las curvas de nivel es de 20 unidades, las cuales pueden representar 20 ft o 20 m. Donde las curvas se juntan, el acantilado es muy pronunciado. Si observamos las curvas de nivel, se nota que en su proporción izquierda, la pendiente es muy fuerte en el acantilado, así como en el borde sur de la colina que se ve a la derecha. Esto se deduce del espaciamiento más cerrado de las curvas de nivel. Las curvas de nivel con espaciamientos amplios indican que el terreno asciende o desciende suavemente. Un espaciamiento cerrado indica descenso o ascenso fuerte del terreno. En la parte superior de la figura 8-1 se ven varias crestas; todas se muestran también en el plano de curvas de nivel donde éstas corren hacia las crestas y producen líneas en forma de V.

8.4 CURVAS DE NIVEL Las reglas básicas para dibujar curvas de nivel son las siguientes: 1. Las curvas de nivel no quedan sin cerrar, sino que se encuentran, no obstante que no se vea en algunos planos tampoco se cruzan, exceptuando los casos no muy comunes en los que se tengan cuevas o peñas que sobresalgan como voladizo. En esto último, se cruzan aparentemente pero se representan con línea punteada para distinguirlos. 2. El espaciamiento de las curvas de nivel debe ser uniforme, a menos de que se dispongan datos para hacer lo contrario. 3. Al dibujarse las curvas de nivel, el terreno que queda arriba de cada curva se encuentra siempre del mismo lado con respecto a ésta. 4. Ya que la Tierra es una superficie continua, todas las curvas de nivel deben cerrar en sí mismas.

Capítulo 8]

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

175

Aunque este cierre ocurra dentro del área que se está levantando, a menudo no aparece en los límites del plano que se esté dibujando. 5. Las curvas de nivel son perpendiculares a la dirección de máxima pendiente. 6. El espaciamiento de las curvas de nivel es un indicativo de la pendiente del terreno. Si están muy jun tas, la pendiente es muy fuerte (véase el espaciamiento en la fig. 8-1, en el lado occidental del valle con la corriente). Si las curvas están muy separadas, la pendiente es suave (véase el espaciamiento amplio en las curvas en el lado este de la corriente, en la figura 8-1). 7. Una serie de curvas cerradas, concéntricas, que crecen en elevación, indican promontorios o cimas. En la figura 8-2 se tiene una representación gráfica de una cima, vista en tres direcciones. 8. Las curvas de nivel que forman un circuito cerrado alrededor de terrenos bajos se llaman curvas de depresión. Se ponen hachures adentro del contorno más bajo, apuntando hacia la parte baja de la de presión cerrada, para hacer más fácil la interpretación del plano. 9. Las curvas uniformes, sin cambios bruscos, indican la presencia de terrenos con pendientes graduales. Las curvas irregulares muestran terrenos accidentados o disparejos. 10. Las curvas de nivel no pueden ramificarse o dividirse en dos curvas con la misma elevación. 11. En los valles se tienen curvas de nivel con formas de V y en las cimas con forma de U. 12. Las "V" que forman las .curvas cuando cruzan una corriente apuntan siempre aguas arriba.

Figura 8-2 Colina en tres dimensiones, mostrando las curvas de nivel. (Tomado de R. C. Brinkerand P. R. Wolf, Elementary Surveying, IEP Publishing, Dun-Donnelley, New York, 1977) Las curvas de nivel ofrecen la máxima posible información del terreno en el área del plano y no opacan a otros detalles esenciales el plano. Muestran también la elevación y configuración del terreno. La elevación de cualquier punto que no se encuentre sobre la curva de nivel puede encontrarse interpolando entre las dos curvas de nivel que estén a ambos lados del punto. Debe enfatizarse que una curva de nivel puede no terminarse dentro del plano; ésta comienza y sale en los bordes del plano o cierra en sí misma dentro de él. En este último caso, se tiene una serie de curvas de nivel que forman círculos u óvalos en el plano, indicando que hay una depresión o una cima. En el caso de un promontorio o cima se tienen elevaciones ascendentes que terminan en la curva de nivel interior, la cual tiene la elevación mayor. En el caso de una depresión, será a la inversa, y la elevación menor estará en la curva de nivel cerrada interior al conjunto. En este caso pueden usarse hachures para indicar la dirección de la depresión. En el caso de las cimas no se utilizan hachures, lo cual se hace evidente cuando se está en presencia de una depresión.

176

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 8

Cuando las curvas de nivel están espaciadas a distancias iguales con respecto a una línea normal a las curvas, la pendiente del terreno es constante. Cuando se tienen curvas de nivel rectas, paralelas y espaciadas en distancias iguales, se está en presencia de rellenos o excavaciones hechos por el hombre. Para mayor conveniencia al leer elevaciones de un plano topográfico, cada quinta curva de nivel se dibuja con mayor fuerza con el lápiz o con una línea más gruesa. A esta línea se le denomina curva índice. Si el intervalo entre curvas es 1 ft, las curvas de nivel con elevaciones que sean múltiplos de 5 ft serán dibujadas con líneas gruesas. Si el intervalo es de 10 ft, las líneas gruesas correspondientes a elevaciones que sean múltiplos de 50 ft. EJEMPLO 8.2 Se tienen tres diferentes intervalos o equidistancias de las curvas de nivel, dibujadas a la misma escala en

la figura 8-3. A partir del espaciamiento de las curvas y de la equidistancia de las mismas, coméntese cómo es la pendiente del terreno. Evalúese cada representación. Solución: La pendiente es más fuerte en la figura 8-3a, la equidistancia de 10 ft. Las elevaciones ascendentes en las curvas de nivel de la figura 8-3a nos indica que es una cima o promontorio. Las elevaciones descendentes y los hachures que apuntan hacia la elevación menor en la figura 8-3 b, representan una depresión. Las elevaciones de las curvas de nivel en la figura 8-3c y que van de arriba hacia abajo nos indican que se tiene un barranco. Si fuera al contrario, sería una cresta o cima.

El agente principal que conforma el terreno es el drenaje. Nótese en la figura 8-4 cómo se ve su influencia en la forma de las curvas de nivel. Las curvas de nivel que cruzan barrancos, corrientes o cualquier forma de drenaje, se muestran como "V" modificadas apuntando aguas arriba. El material que se encuentre abajo determina la forma de las "V". En material grueso y granular se tienen formas de V con puntas agudas. Si el material del suelo es fino, se tienen V con puntas redondeadas.

Figura 8-4 Eelevaciones de puntos, complementando las curvas de nivel. (Tomado de P. Kissam, Surveying Practice, McGraw-Hill, New York, 1978)

Capítulo 8]

8.5

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

177

MÉTODOS DE CAMPO

Los factores que afectan la selección del método de campo que se emplea para obtener los datos que se necesitan en un plano topográfico son los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Escala del plano Equidistancia de las curvas de nivel Naturaleza del terreno Tipo de proyecto Equipo disponible Precisión requerida Tipo de control existente Área del levantamiento

El método topográfico empleado comúnmente para la elaboración de planos de carreteras y ferrocarriles se denomina método de la sección transversal (véase Secc. 8.6)). El método de localización directa de curvas de nivel se utiliza para estudios de ingeniería que implican drenaje, almacenamiento de agua o irrigación o en áreas de proyecto con relieve despejado. Cada curva de nivel se localiza en forma exacta en su posición horizontal correcta siguiéndola en el terreno. El método de cuadrícula para obtener la topografía se usa cuando tenemos áreas pequeñas y pendientes constantes; los puntos que forman la red o cuadrícula se ubican en el campo o terreno y se determinan sus elevaciones. El método de puntos de control se utiliza cuando el área por levantar es extensa. Este método usa las elevaciones de puntos o rasgos escogidos del terreno para obtener a partir de éstas, curvas de nivel determinadas por interpolación. El técnico que elabora el plano obtiene las formas de las curvas aplicando su juicio y experiencia.

8.6

MÉTODO DE SECCIÓN TRANSVERSAL

El equipo más común para el levantamiento de secciones transversales es: 1. Tránsito y cinta 2. Tránsito y estadal

3. Nivel y cinta 4. Nivel de mano y cinta

El control horizontal se establece trazando una poligonal con teodolito y cinta, con un equipo electrónico de medición de distancia (siglas en inglés, EDM) o por estadía entre puntos fijos de control. Dependiendo del terreno, colóquense estacas a intervalos pertinentes a lo largo de un eje o línea de la poligonal. Generalmente los intervalos son de 50 o 100 ft, pero puede incluirse ocasionalmente un intervalo especial para servir de apoyo en el registro de algún rasgo o detalle especial del terreno. El control vertical, que puede hacerse antes o durante el levantamiento se obtiene con una nivelación de perfil que arroja elevaciones del eje planteado. Cuando se usa el teodolito y la cinta, el operador del instrumento se coloca en cada estación o punto deseado sobre la línea. Él o ella determina entonces la altura del instrumento (AI) sosteniendo el estadal a un lado del instrumento y observando la altura del eje horizontal. Gírese un ángulo recto (90°) a partir de la línea, y el estadalero, sosteniendo un extremo de la cinta, camínese a lo largo de esta normal hasta que ocurra un cambio en la pendiente. Si es posible, el operador del instrumento toma una visual a nivel del estadal y registra la lectura y la distancia al punto. El estadalero procede entonces hasta el siguiente quiebre o cambio de la topografía o al siguiente intervalo de 50 o 100 ft y repite el procedimiento.

EJEMPLO 8.3 Se tienen los datos registrados en la tabla 8-1 de nueve secciones transversales espaciadas a intervalos de 50 ft (véase Fig. $-5) las elevaciones del eje se obtuvieron de una nivelación de perfil previa de las estaciones del mismo. Descríbase el método de registro de datos para secciones transversales en la libreta de campo.

178

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Tabla 8-1 Datos registrados para secciones transversales (Ejemplo 8.3)

Figura 8-5 Curvas de nivel interpretadas de notas de sección transversal.

[Capítulo 8

Capítulo 8]

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

179

Solución: Si la nivelación se lleva a cabo a la vez que se toman las medidas para la selección transversal, pueden aparecer notas de esta nivelación en la parte izquierda de la libreta. Esto se hace en combinación con los apuntes de las secciones transversales que se ponen en el lado derecho. Los apuntes de la sección transversal son los siguientes: 1. Número de la estación (cadenamiento de la estación). 2. La distancia horizontal medida a la derecha o izquierda del eje o centro de línea (centerline), se registra como denominador de la fracción que se muestra. 3. La elevación del punto de registra como numerador de la fracción. [En algunas ocasiones se registra la lectura del estadal en el numerador con la elevación correspondiente arriba del valor anterior.] 4. Los cadenamientos crecen de abajo hacia arriba en la página de la derecha de la libreta de campo. Nota: Si ve la página derecha de la libreta de campo, (Tabla 8-1) imagínese que está viendo hacia adelante sobre la línea. Si se para en el centro (Q, y ve hacia adelante, los valores a la derecha de C o a la izquierda de C quedan registrados tal como se ubican en el campo. Basta entonces recordar qué números constituyen el numerador y denominador de la fracción utilizada para indicar ubicación y elevación del punto. 8.7

CONFIGURACIÓN DE LOS PUNTOS

El graneado o configuración de los puntos puede hacerse estando en el campo o en la oficina. Las posiciones de las curvas de nivel se obtienen interpolando entre las elevaciones de los puntos configurados, como se estudiará en la sección 8.8. Cuando se configura usando secciones transversales, la posición de rasgos o detalles planimétricos como bardas, edificios, líneas de propiedad y canales, puede ubicarse con base en la línea de control. Luego se grafican en el plano topográfico. 8.8

INTERPOLACIÓN Los puntos de las curvas de nivel pueden determinarse matemáticamente o mecánicamente.

EJEMPLO 8.4 Véase figura 8-6. Se tienen dos puntos, a y b cuyas elevaciones son 673.4 y 696.2 ft, respectivamente. Sabemos que si la equidistancia de las curvas de nivel es de 5 ft, las curvas con elevación 675, 680, 685, 690 y 695 caerán entre a y b. La distancia horizontal entre los puntos o y ¿7 es de 2.78 in. Encuéntrense los puntos sobre la línea donde se localizan las curvas de nivel.

Figura 8-6 Puntos de intersección de la curva de nivel. Solución: La distancia horizontal entre a y b es de 2.78 in. La distancia vertical o desnivel correspondiente es de 696.2 — 673.4 = 22.8 ft. El desnivel entre a y la curva de 675 ft es 675.0 — 673.4 = 1.6 ft. La distancia horizontal de o a la curva de 675 ft es:

La distancia entre dos curvas de nivel con equidistancia de 5 ft adyacentes es:

180

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 8

Los puntos restantes se encuentran sumando sucesivamente 0.61 a cada punto de curva de nivel; los puntos se listan a continuación. Punto a = 0.00 in Curva de 675 ft. = 0.19in Curva de 680 ft. = 0.80 in Curva de 685 ft. = 1.41 in Curva de 690 ft. = 2.02 in Curva de 695 ft. = 2.63 in Punto b = 2.78 in

8.9

OTROS MÉTODOS PARA OBTENER LA TOPOGRAFÍA Otros métodos usados comúnmente para la obtención de la topografía son los siguientes: 1. Método de radiaciones 2. Método de estadía 3. Método de la plancheta 4. Método de coordenadas rectangulares

En el método de radiaciones las estacas de la poligonal se recorren utilizando tránsito o teodolito. Se miden los ángulos a los puntos deseados y las distancias por medio de cinta o por estadia. Puede usarse también la medición electrónica de distancias en lugar de la cinta si es que se cuenta con el instrumento necesario. Pueden localizarse así, construcciones hechas por el hombre como esquinas de edificios, puentes, etcétera. Las longitudes, los anchos y las proyecciones son medidas y registradas en la libreta de campo. El procedimiento es preciso, pero es el más lento y generalmente es muy caro para trabajos ordinarios. Un sistema similar se sigue en el método de la estadia. Las distancias se obtienen por conducto de estadia. Este procedimiento es rápido y proporciona una aproximación adecuada en la mayoría de los levantamientos topográficos. Se utiliza la estadia para medir azimutes, ángulos verticales y distancias de las líneas que son radiadas a los puntos deseados. En el método de la plancheta se visa con la alidada (la que es la parte superior del tránsito) al estadal que se sostiene en el punto que se va a ubicar. Luego, se leen la distancia de estadia y el ángulo vertical. La dirección de la línea se traza a lo largo de la regla de la alidada. Esto elimina la necesidad de medir y registrar ángulos horizontales. Se evita la medición de ángulos verticales, si es posible, usando la alidada como nivel. El operador del instrumento gráfica las curvas de nivel mientras mira al área del levantamiento.

8.10

MÉTODO DE COORDENADAS RECTANGULARES

El método de coordenadas rectangulares también conocido como método de cuadrícula es usado a menudo, por lo que será explicado más ampliamente. Este método es mejor para configuración del terreno que para tomar datos de tipo cultural aunque puede usarse en ambos casos. El terreno en que se requiere el levantamiento se divide en cuadrados de 10,20, 50 y 100 ft de lado con estacas en los vértices. Las distancias dependen de la precisión requerida y del tipo de terreno. Las líneas se trazan a ángulos rectos, usando tránsito o teodolito (véase Fig. 8-7) Nótese que las líneas AD y D3 forman ángulos rectos al igual que todas las otras líneas del área levantada, integrando la cuadrícula. Las líneas AD y D2 sirven de base para cuadricular usando las distancias requeridas y los puntos interiores son cruces (que se marcan con estacas) de las líneas que se trazan a partir de esas líneas base. Un número y una letra de las líneas se intersectan, identifican los vértices. En caso de que no se cuente con un tránsito, el levantamiento puede hacerse con cinta. Para obtener las elevaciones de los vértices, colóquese un nivel a la mitad del área o en una posición conveniente, a partir de la cual sea posible tómense lecturas de nivel a cada punto. Las curvas de nivel son

Capítulo 8]

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

181

Figura 8-7 Elevaciones en una cuadrícula.

interpoladas entre las elevaciones de los vértices (por los lados de los cuadrados o sobre las diagonales de los mismos) calculando distancias proporcionales. En configuraciones por el método de cuadrícula, las elevaciones que se hacen sobre las diagonales no coinciden con aquellas que se obtienen a lo largo de los lados de los cuadrados, debido a las deformaciones del terreno. EJEMPLO 8.5 Se tiene el levantamiento de una parcela de terreno que se muestra en la figura 8-7. Las elevaciones están marcadas en las estacas que se ubican en los vértices de la cuadricula. Los cuadrados tienen 100 ft de lado. Las curvas de nivel están a intervalos de 5 ft. Dibuje las curvas de nivel en la cuadrícula. Solución: Véase la figura 8-8. Para encontrar las curvas de nivel tendrán que interpolar donde cruzan éstas a los lados de la cuadrícula y las diagonales que pasan por el centro de los cuadrados. Dibújense tenuemente las líneas diagonales; véase la figura 8-8 en un plano dibujado a escala 1 in = 100 ft. Las curvas de nivel estarán a una equidistancia o intervalo de 5 ft, así que sus elevaciones serán 410, 415, 420, 425, 430, 435 y 440 ft. El punto más alto del plano es el punto A3, con elevación 443.1 y el punto más bajo es DO con elevación 407.4. Las curvas de nivel que se listaron anteriormente, estarán contenidas entre la elevación más alta y la más baja del plano. Empiécese con la línea D0 – D1; el desnivel totales 411.7 - 407.4 = 4.3 ft. La distancia de DI a la curva de nivel 410 es de 411.7 — 410 = 1.7 ft; 1.7/4.3 = 0.395 ó 0.40. Esto es el 40 por ciento de la distancia de DO a DI. Ya que esta línea tiene exactamente una longitud de 1 en el plano, (1 in) (0.40) = 0.40 in. Mida 0.40 in hacia el sur a partir del punto DI y ponga una marca. Nota: ya que el plano está a una escala 1 in = 100 ft, pueden hacerse lecturas directas de la escala 10 en un escalímetro para ingenieros. Empiécese en el punto D0 y diríjase al noroeste sobre la diagonal. Los desniveles son 414 - 407.4 = 6.9 ft. Con la curva 410, 414.3 — 410 = 4.3 ft, de forma que 4.3/6.9 = 0.62. Así, la curva de nivel 410 está localizada a un 62% de la longitud de la diagonal medida desde el punto C1. Mida 0.87 in hacia el sureste sobre la diagonal. Esto se obtiene porque la diagonal mide 1.4 in, esta distancia debe multiplicarse por el porcentaje calculado de la longitud de línea: 1.4 (0.62) = 0.87 in. Empiécese en C0, regresando al punto D0: El desnivel total es 412.3 — 407.4 = 4.9 ft. Se tiene 412.3 — 410 = 2.3 ft desde C0 hasta el punto de la curva de nivel, y 2.3/4.9 = 0.47 porciento de la distancia de 1 in o sea 0.47 in a partir de C0. Mida 0.47 in desde C hasta D y localice el punto de la curva de nivel. Ahora podrá dibujarse la curva de nivel 410 en el plano, si unimos estos puntos. Ubíquese la curva de nivel 415 mediante interpolación. B0 = 418.3 — C0 = 418.3 - 412.3 = 6.0; 418.3 — 415 = 3.3; 3.3/6.0 = 0.55. Así, el 55 por ciento de la distancia de B a C = 0.55 in, al este del punto B. Marque esta distancia sobre la linea BC. Empiece la diagonal de C0 al punto B1: 422.5 - 412.3 = 10.2; 422.5 - 415 = 7.5; 7.5/10.2 = 0.74 o 74 por ciento de la longitud de la diagonal. La diagonal mide 1.4 in por lo que 1.4 (0.74) = 1.03 in. Mida 1.03 in hacia el sureste sobre la diagonal y marque un punto.

182

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 8

Figura 8-8 Curvas de nivel en una cuadrícula. Puede observarse desde el punto C1 que la curva de nivel debe pasar al noroeste de este punto ya que la elevación de C1 es 414.3 y la curva de nivel es 415. Por tanto debemos encontrar la intersección entre los puntos B1 y C1: 422.5 — 414.3 = 8.2; 422.5 — 415 = 7.5; 7.5/8.2 = 0.91 o 91 por ciento de la distancia de B1a C1 (la cual es 1 in). Por tanto, 0.91 (1) = 0.91 in a partir del punto B1, por lo que mida 0.91 in al este de B1 sobre el lado del cuadrado y marque el punto de la curva de nivel. Ahora recorra hacia arriba sobre la diagonal que va del punto D1 hacia el noroeste hasta el punto C2. 417.4 — 411.7 = 5.7; 417.4 — 415 = 2.4; 2.4/5.7 = 0.42 o 42 por ciento de la longitud de la diagonal, la cual es 1.4 in. Así 1.4 (0.42) = 0.59 in. Mida 0.59 in sobre la diagonal a partir de C2 y marque un punto. La curva de nivel se dirige al noroeste del punto DI ya que DI tiene una elevación 413.2 y la curva de nivel de 415. Encuentre el punto de cruce de la curva de nivel con la línea C2 — DI: 417.4 — 413.2 = 4.2; 417.4 — 415 = 2.4; 2.4/4.2 = 0.57 o 57 por ciento de 1 in. Mida 0.57 in al este de la línea C1 — D1 para encontrar el punto de cruce de la curva de nivel. Ya que D2 tiene una elevación de 413.2, la curva 415 pasa al noroeste de ese punto; así recorra la diagonal D2 — C3. Entonces, 427.3 - 413.2 = 14.1; 427.3- 415 = 12.3; 12.3/14.1 = 0.87 o 87 por ciento de la longitud de la diagonal. La diagonal mide 1.4 in, por lo que 1.4 (0.87) = 1.22 in. Mida 1.22 in sobre la diagonal de C3 hacia D1 y marque un punto. La curva de nivel tiene que pasar todavía entre DI y ¿33 ya que estas dos elevaciones están arriba y abajo de 415:418.3 413.2 = 5.1; 418.3 -415 = 3.3; 3.3/5.1 = 0.65 o 65 por ciento de 1 in = 0.65. Ponga una marca a 0.65 del punto Di. En este punto, la curva de nivel sale del plano. Los cálculos anteriores muestran el método de interpolar los cruces de las curvas de nivel con los lados y diagonales de la cuadrícula. Sólo se encontraron dos curvas de nivel, pero se incluyen las demás curvas en la figura 8-8. El método se usa en la misma forma para proporcionar el espaciamiento sobre las líneas de la cuadrícula y ubicar las curvas de nivel. 8.11 LOCALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE PUNTOS DE LAS CURVAS DE NIVEL Un método para localizar puntos de las curvas de nivel se ilustra con el ejemplo 8.6 que está a continuación. Éste es un ejemplo del método geométrico para dividir una línea en un número cualquiera de partes iguales. EJEMPLO 8.6 Véanse las figuras 8-9 y 8-10. Se tiene una línea AB la cual mide 2.78 in, la elevación en A = 673.4 ft y la elevación en B = 696.2 ft. El intervalo de las curvas de nivel es 5 ft. Localícense los puntos de las curvas de nivel. Solución: Se sabe que habrá cinco curvas de nivel que pasan entre las elevaciones 673.4 y 696.2. Estas curvas tienen las elevaciones 675, 680, 685, 690 y 695. Un escalímetro triangular para ingenieros (que tenga las divisiones en décimos y no en octavos o dieciseisavos) y una escuadra se requieren para proceder a la separación mecánica de las curvas a sus puntos adecuados. Usando las tres últimas cifras de las elevaciones dé los puntos A y B, tomamos A = 673.4 como 7.34 en el escalímetro y para B = 696.2 usamos 9.62 en el escalímetro.

Capítulo 8]

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

183

Figura 8-9 Combinación con escuadra para la separación mecánica de las curvas de nivel a su localización correcta. (Cortesía de U.S. Army, General Drafting, T M 5-230)

Figura 8-10 Método geométrico para la separación de una línea en partes. (Cortesía de U.S. Army, General Drafting, TM 5-230) Póngase la marca de 7.34 in del escalímetro sobre el punto A como se muestra en la figura 8-9. Colóquese la esquina de la escuadra en la marca de 9.62 in. Gírese el escalímetro y la escuadra, manteniéndolos unidos, hasta que el borde de la escuadra pase por B, cuya elevación es 696.2. Luego, se mantiene el escalímetro en su lugar mientras que el borde de la escuadra se mueve sucesivamente a los puntos 9.50, 9.00, 8.50, 8.00 y 7.50 del escalímetro. El punto en el que el borde de la escuadra cruza la línea AB en estas posiciones es el punto donde las curvas de nivel cruzan la línea. Este es un método rápido y preciso para ubicar curvas de nivel y elimina todos los cálculos matemáticos. Puede utilizarse cualquier borde del escalímetro triangular, pero la longitud de la escala correspondiente al desnivel entre los dos grupos graneados debe de ser más corta que la longitud de la línea recta que une los

184

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 8

puntos en el plano. Cuando el desnivel es grande y la distancia en el plano es corta, una división del escalímetro puede representar varios pies de elevación. Por ejemplo, si la división más pequeña del escalímetro puede corresponder a un desnivel de 10 ft en lugar de 1 ft. Si cambia el valor de una división, siempre podrá usar algún lado del escalímetro sin importar el desnivel de la línea en el plano. 8.12 FUENTES DE ERROR EN LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS Las principales fuentes de error que pueden tenerse en levantamientos topográficos se mencionan a continuación: 1. No revisar y ajustar los puntos de control antes del levantamiento topográfico. 2. Que las distancias entre puntos de control sean muy grandes. 3. No seleccionar correctamente los puntos de control. 4. Pobre selección de puntos para configuración. Son errores comunes en los levantamientos topográficos: 1. Selección incorrecta de la equidistancia de las curvas de nivel. 2. Equipo impropio para un levantamiento en particular y para las condiciones existentes del terreno. 3. Control horizontal y vertical insuficientes. 4. No se toman suficientes curvas de nivel. 5. Perder detalles topográficos importantes, como quiebres o cambios de pendientes o puntos locales altos o bajos.

Problemas Resueltos 8.1

Se tienen dos conjuntos de curvas de nivel que se muestran en las figuras 8-1 la y b. Interprétense estas curvas de nivel. Solución El intervalo o equidistancia de las curvas de nivel es el desnivel entre las líneas. En a) la equidistancia es 5 ft. En b) es también de 5 ft. En a) las curvas representan un terreno con pendiente bastante uniforme ya que las líneas están espaciadas prácticamente igual. En b), las curvas de nivel representan una colina. El punto A marcado cerca de la elevación 362.5 es el más alto de la colina. El círculo cerrado (aunque no está marcado en la figura), tiene una elevación de 360. El espaciamiento cerrado de las curvas en la parte superior derecha indica una pendiente fuerte o pronunciada.

Figura 8-11 Pendiente uniforme y una colina.

Capítulo 8]

8.2

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

185

Se tienen dos figuras representándose en una, curvas de nivel y en la otra un sombreado con hachures. (Véase Fig. 8-12.) Interprétense estas figuras.

Figura 8-12 Curvas de nivel y hachures. Solución

La figura 8-12a representa una pendiente suave, indicada por el intervalo o equidistancia cerrada entre las curvas de nivel. El desnivel entre curvas es únicamente de 1 ft. La mayor elevación está hacia el norte. La línea que pasa a través de las curvas de nivel representa una corriente. Ya que las curvas de nivel siempre se doblan hacia la dirección de aguas arriba cuando cruzan arroyos o ríos, el origen de esta corriente está en el norte. La corriente fluye hacia el sur y probablemente no rápidamente, ya que las elevaciones descienden únicamente 1 ft con cada curva de nivel indicada. La figura 8-126 muestra dos áreas bajas, las cuales probablemente, estén llenas de agua ya que se observa una carretera con un puente que pasa sobre un área baja que contiene un terreno inundado o una pequeña corriente. El dibujo se forma con sombreado de hachures el cual indica únicamente las elevaciones altas o bajas por medio de su espaciamiento y longitud. Si los hachures se juntan, se representa una pendiente más fuerte que la que indican aquellos con longuitudes mayores. 8.3

Véase la figura 8-13. Se tienen dos puntos A y B, cuyas elevaciones son 101.35 y 126.25 ft respectivamente. Las curvas de nivel están a intervalos de 5 ft, cruzando a la línea AB en las elevaciones 105,110,

Figura 8-13 Puntos de intersección de la curva de nivel para problemas resueltos.

186

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 8

115, 120 y 125. La distancia horizontal entre A y B es de 2.96 in. Encuentre las posiciones de las curvas de nivel sobre la línea. Solución La distancia horizontal entre los puntos A y B es 2.96 in. La distancia vertical o desnivel correspondiente es 126.25 - 101.35 = 24.90 ft.

Súmense 0.59 in para encontrar los puntos sucesivos de cruce de las curvas de nivel. Póngase la respuesta en forma de lista: Punto a =

= 0.43 in

Curva de 110 ft.

= 1.02 in

Curva de 115 ft.

= 1.61 in

Curva de 120 ft.

= 2.20 in

Curva de 125 ft.

= 2.79 in

Punto B =

8.4

0.00 in

Curva de 105 ft.

2.96 in

Véase la figura 8-13. Se tiene la elevación del punto A = 210.20 ft y la elevación del punto B = 235.15 ft. El intervalo de las curvas de nivel es de 5 ft. La distancia horizontal entre los puntos A y B: 5.73 in. Encuéntrense las posiciones de las curvas de nivel sobre la línea. Solución Distancia horizontal entre A y B = 5.73 in Distancia vertical o desnivel = 235.15 — 210.20 = 24.95 ft correspondiente Las curvas de nivel cruzarán a la línea AB en las elevaciones 215, 220, 225, 230 y 235 ft. Desnivel entre A y la curva de 215 ft = 215.0 — 210.20 = 4.8 ft

Súmese 1.15 in para encontrar los puntos sucesivos de cruce de las curvas de nivel; póngase la respuesta en forma de lista: Punto A =

0.00 in

Curva de 215 ft. = 1.10 in Curva de 220 ft. = 2.25 in Curva de 225 ft. = 3.40 in Curva de 230 ft. = 4.55 in Curva de 235 ft. = 5.70 in Punto B =

8.5

5.73 in

Véase la figura 8-13. Se tiene la elevación del punto A = 337.05 ft y la elevación del punto B = 361.25 ft. La equidistancia de las curvas de nivel es de 5 ft. La distancia horizontal entre A y B es de 7.32 in. Encuéntrense las posiciones de las curvas de nivel sobre la línea.

Capítulo 8]

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

187

Solución La distancia horizontal entre A y B = 7.32 in El desnivel correspondiente = 361.25 — 337.05 = 24.20 ft Las curvas de nivel cruzarán la línea AB en las elevaciones 340, 345, 350, 355 y 360 ft. Desnivel entre A y la curva de 340 ft = 337.05 — 340.00 = 2.95 ft

Súmese 1.51 in para encontrar los puntos sucesivos de cruce de las curvas de nivel; póngase la respuesta en forma de lista: Punto A = 0.00 in Curva de 340 ft. = 0.89 in Curva de 345 ft. = 2.40 in Curva de 350 ft. = 3.91 in Curva de 355 ft. = 5.42 in Curva de 360 ft. = 6.93 in Punto B = 7.32 in

8.6 Se tiene un terreno trazado como se muestra en la fig. 8-14. Todas las elevaciones se han marcado en las estacas que se ubican en los vértices de la cuadrícula. Los lados de los cuadrados miden 100 ft. El intervalo o equidistancia de las curvas de nivel es de 5 ft. Dibújense las curvas de nivel.

Figura 8-14 Cuadricula con elevaciones. Solución Véase la figura 8-15. Para encontrar las curvas de nivel, estimaremos los puntos donde éstas cruzan a los lados y las diagonales de la cuadrícula. Este procedimiento no será tan preciso como el método matemático usado en el

188

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 8

Figura 8-15 Curvas de nivel en una cuadrícula. ejemplo 8.6, pero es mucho más rápido. En la figura 8-14 se muestra tan sólo el terreno con las elevaciones de los vértices de la cuadricula. Antes de ver la figura 8-15 en la que se muestran las curvas de nivel, trate de estimar la posición de las curvas de nivel. Un buen lugar para empezar es en la elevación 440 ft (punto F6). La curva correspondiente puede estimarse o deducirse como un óvalo que cierra dentro del olano. En seguida se tienen varias elevaciones de 435 ft. Siguiendo estas elevaciones ud. se dará cuenta de que la curva de nivel entra y sale del plano en el cuadrante superior derecho. Continúe con las otras elevaciones, de 430 ft a 400 ft. Después de que dibuje lo que aparentemente sea un buen plano de curvas de nivel basado en esta cuadrícula, refiérase a la figura 8-15 y compárese el plano que se muestra en esta figura con su solución.

8.7

Se tiene el terreno trazado con una cuadrícula de 100 ft de lado que se muestra en la figura 8-16. La equidistancia de las curvas de nivel es de 5 ft. Dibújense las curvas de nivel sobre la cuadrícula. Solución Estime los puntos donde las curvas de nivel de 5 ft cruzarán los lados de la cuadrícula. Sobre la figura 8-16 trate de dibujar las curvas de nivel que ud. deduzca con las elevaciones dadas. Después de que haga su dibujo, compárelo con el plano de curvas de nivel de la figura 8-17.

8.8

Véanse las figuras 8-18 y 8-19. Se tienen las elevaciones en una cuadrícula trazada con lados de 100 ft. La equidistancia de las curvas de nivel es de 5 ft. Dibújese una estimación suya de las curvas de nivel. Solución Después de que haya dibujado sus curvas de nivel sobre la figura 8-18, compárelas con las que se muestran en el plano de la figura 8-19.

8.9

Véanse las figuras 8-20 y 8-21. Se tiene una cuadrícula pequeña, con las elevaciones de sus puntos como se indican. La equidistancia de las curvas de nivel es de 5 ft. Dibújense, a partir de las elevaciones que se muestran, las curvas de nivel.

Capítulo 8]

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

189

Figura 8-16 Elevaciones en una cuadrícula. Solución Estímese sus curvas de nivel y dibújelas en el plano. Compárese después su dibujo con el que se muestra en el plano de la figura 8-21.

8.10 Véanse las figuras 8-22 y 8-23. Se tienen las elevaciones en los vértices de la cuadrícula de 100 ft de lado. La equidistancia de las curvas de nivel es de 5 ft. Dibújense las curvas de nivel sobre esta cuadrícula. Solución Dibújese su plano de curvas de nivel, estimando los cruces de las mismas con la cuadrícula (Úsese la figura 822). Al terminar su plano, compárelo con el que se muestra en la figura 8-23.

8.11 Véase figura 8-13. Se tienen los mismos datos del problema 8.3. Las elevaciones son, en A = 101.35 ft y en B = 126.25 ft. El intervalo o equidistancia entre las curvas de nivel es de 5 ft, por lo que cruzan en las estaciones con elevación 105, 110, 115, 120 y 125. La distancia horizontal entre A y B es de 2.96 in. Encuentre usando el método mecánico, los puntos sobre la línea en los que cruzan las curvas de nivel. Compruebe su solución con-aquella encontrada por el método matemático en el problema 8.3. Solución Se toman las tres últimas cifras de las elevaciones de A y B para utilizarlas en nuestro escalímetro. En este problema, para tener mayor precisión, debemos duplicar la longitud a escala de la línea AB. Así, 2 (2.96) = 5.92; note que después de obtener los puntos que se piden, las medidas que se tomen sobre la línea AB deberán dividirse entre dos. Esto incrementa la precisión de las medidas sobre la línea si esta es corta. Colóquese la cifra 1.35 en el

190

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 8-18 Elevaciones en una cuadrícula.

[Capítulo 8

Capítulo 8]

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

191

Figura 8-19 Curvas de nivel en una cuadrícula.

Figura 8-20 Cuadrícula con elevaciones. escalímetro, en el lado que tenga divisiones con base diez, con la escuadra descansando en el borde frontal del escalímetro; véase la figura 8-9. Ahora, la esquina de 90° de la escuadra debe colocarse en el 6.25 del escalímetro; gírense juntos el escalímetro y la escuadra hasta que el ángulo recto de la escuadra intersecte al punto B. Para obtener las intersecciones de las curvas de nivel, trácense líneas perpendiculares al escalímetro, usando el borde del escalímetro. Dibújense líneas en los siguientes números del escalímetro: 6, 5,4, 3,2. Éstas representan las curvas de nivel de 105, 110, 115, 120 y 125 ft. Mida las distancias a los puntos de intersección sobre la línea AB, y ya que multiplicamos por dos la longitud de la línea para obtener mayor precisión en las medidas, divídanse las dimensiones obtenidas entre dos para obtener los valores reales.

192

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 8-21

Figura 8-22 Cuadrícula con elevaciones.

Figura 8-23

[Capítulo 8

Capítulo 8]

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

193

Primera curva (estación a) 105 Segunda curva (estación b) 110 Tercera curva (estación c) 115 Cuarta curva (estación d) 120 Quinta curva (estación é) 125 Punto B Compárense estos valores con los resultados tabulados del problema 8.3; las respuestas anteriores se aproximan a las que se obtuvieron en forma matemática, la imprecisión más grande es en la curva de nivel 105. 8.12 Véase la figura 8-13. Se tienen los mismos datos del problema 8.4. Elevaciones: en A = 210.20, en B = 235.15 ft. Equidistancias de las curvas de nivel de 5 ft. Distancia horizontal entre A y B de 5.73 in. Encuéntrense los puntos donde las curvas de nivel cruzan a la línea, usando el método mecánico. Compruébese su solución con la que se encontró por el método matemático en el problema 8.4. Solución

A = 210.20, use 0.20 en el escalímetro. B = 235.15, use 5.15 en el escalímetro. Localícese el número 0.20 del escalímetro, sobre el punto A, con la escuadra y el escalímetro colocados como se muestra en la figura 8-9. Colóquese el borde de la escuadra sobre 5.15 del escalímetro y gire los dos juntos hasta que el borde de la escuadra, el cual es perpendicular al escalímetro, pásese por el punto B. Pónganse unas marcas sobre la línea AB en los puntos 5, 4, 3, 2 y 1 del escalímetro. Estas marcas sobre AB representan los cruces de las curvas de nivel sobre la línea. Nota: No duplicamos la escala para obtener mayor precisión en la lectura, así que las dimensiones se toman directamente del escalímetro. Las dimensiones son: a = 0.94 in, b = 2.18 in, c = 3.30 in, d = 4.42 in, e = 5.60 in y al punto B, 5.73 in. Estos valores son muy aproximados a los que se obtienen en la solución matemática del problema 8.4.

Capítulo 9 Topografía en Construcción 9.1 INTRODUCCIÓN En los trazos para construcción, el ingeniero topógrafo proporciona todas las marcas de referencia necesarias para que cada parte de la nueva obra o mejora se ubique correctamente dentro de la propiedad en que se construye. Una vez que se cuenta con el plano para realizar un proyecto, pueden ejecutarse los planos detallados de su construcción. El ingeniero topógrafo prepara un plano del sitio de la construcción en el cual muestra las relaciones entre el terreno y todas las etapas de obra que serán erigidas, marcando sus posiciones horizontales y sus elevaciones. Este proceso comienza antes que los trabajos y continúa a lo largo del periodo constructivo. El trabajo del ingeniero topógrafo debe hacerse a un ritmo tal que proporcione las marcas necesarias justo antes del momento en que las va a requerir el constructor en las operaciones de cada día. El ingeniero topógrafo no debe adelantarse demasiado, ya que las marcas podrían destruirse por la misma construcción. Este proceso topográfico se denomina topografía de la construcción o topografía de localización y requiere técnicas especiales. Los procedimientos de topografía de construcción que se utilizan en estructuras comunes son los que se estudian en este capítulo. 9.2 MÉTODOS Los planos de construcción proporcionan las posiciones y elevaciones de las partes de la nueva obra, con respecto a puntos de control de trazo o a estructuras existentes, ya sea mostrándolas a escala o en dimensión real. Las dimensiones de la nueva construcción, anotadas en los planos, dan los datos extra necesarios para el levantamiento de la construcción. EJEMPLO 9.1 Véase la figura 9-1. Una casa se va a construir a 30 ft de un monumento; las dimensiones son las que se muestran (largo total de 40 ft). El lindero (línea de propiedad) oeste, comienza a partir de un monumento que está a 30 ft al oeste del lado ubicado más hacia el occidente de la casa; este monumento tiene una elevación de 150.11 ft. El lindero frontal se extiende 100 ft hacia el este hasta llegar a otro monumento cuya elevación es 150.41 ft. El primer piso de la nueva casa debe estar 200 ft más alta que el monumento, cuya elevación es de 150.41 ft. Los reglamentos de la ciudad requieren que la construcción esté separada 25 ft del lindero. Encuéntrese la disposición de las estacas necesarias para marcar la posición y la elevación de la casa. Solución: Visando desde un monumento hacia el otro, sobre la línea de propiedad o lindero, colóquese la primera estaca a 30 ft hacia el este sobre esa línea. Colóquese la segunda estaca avanzando 14 ft adicionales. Luego aváncese 16 ft más para colocar la tercera estaca. Regrésese a la estaca uno y gire un ángulo de 90° a partir de una visual hacia atrás (estaremos ahora en la dirección norte) y mida 25 ft. Con esto se obtiene el espacio libre de 25 ft requeridos por los reglamentos de la ciudad. Esta estaca (número 4) corresponde a la esquina suroeste de la nueva casa. Prolónguese esta misma línea 16 ft. Con esto llegamos a la parte posterior de la casa sobre la normal. Regrésese a la estaca número 2 sobre el lindero y gírese de nuevo 90° a partir de una retrovisual (llega a la dirección norte). Sobre esta visual mídase inicialmente 41 ft y póngase una estaca. Prolónguese esta línea y mídase 24 ft adicionales y colóquese otra estaca. Se llega así a la esquina noroeste de la casa. Colóquese en la estaca 3 y gírese 90° con respecto a la retrovisual (llega a la dirección norte) y póngase una estaca a 25 ft de la estaca 3. Prolongúese la línea 40 ft a partir de este punto y fije otra estaca. Esta última estaca marca la esquina noreste de la casa. Finalmente, en cada estaca márquese la elevación 152.41, con lo que se indica el desnivel requerido con respecto a la mojonera de elevación 150.41 ft. Nota: Las estacas pueden colocarse en las esquinas o en otros puntos cercanos en donde no se vean afectadas por la construcción. Estos puntos seguros pueden localizarse utilizando una regla de carpintero y haciendo la transferencia de niveles con un nivel de carpintero. 9.3

TRANSFERENCIA DE DATOS A ESTACAS PARA LA CONSTRUCCIÓN El equipo que se usa para transferir el alineamiento y el nivel que se fija en las estacas fijadas en el levan-

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

195

Figura 9-1 Dimensiones de una casa (arriba); método para el estacado de una casa, que muestra las estacas colocadas a ángulos y distancias medidos (abajo). tamiento de la construcción, es familiar a la mayoría de las personas. Este equipo está formado de reglas plegadizas de 6 ft de largo, cintas de tela ahulada, nivel de carpintero, plomada e hilos. Un nivel de carpintero usado con un estadal o una regla plegadiza de 6 ft, es un nivel sencillo de ingeniería, el cual lo puede usar en la misma forma el carpintero. Este nivel tiene un campo de visión muy pequeño, sin amplificación y con sensibilidad menor en su burbuja. Sirve para transferir niveles en distancias hasta de 50 ft. Los niveles de carpintero y de albañil son marcos largos de madera o de metal en los que se fijan dos niveles de burbuja. Uno es perpendicular al eje largo del nivel y el otro es paralelo a éste. El uso de los niveles se ilustra en la figura 9-2. Los niveles de hilos pueden usarse también para transferir niveles de las estacas a la construcción; (véase Fig. 9-2). Consisten en un nivel de burbuja con ganchos en los extremos que permiten que el nivel quede suspendido en hilos nivelados, por lo cual indica si una línea está o no a nivel. El nivel se coloca siempre a la mitad de la distancia cubierta por el hilo, ya que su peso produce un pandeo en el hilo. En el punto central puede obtenerse una lectura correcta. La línea nivelada es precisa en distancias hasta de 30 ft. 9.4 MÉTODO DE LÍNEA BASE Y DESPLAZAMIENTO (OFFSET) Existen varios sistemas para referenciar una obra con respecto al terreno o a otras construcciones que estén en él. El ejemplo 9.1 y los problemas 9.1 al 9.3 son problemas en los cuales las esquinas de un nuevo proyecto de construcción están marcadas con estacas que se localizan directamente en el punto en el que se va a llevar a cabo la obra. En la práctica generalmente esto no se lleva a cabo, ya que la misma construcción destruiría la estaca con la posición y elevación del punto. El método de línea base y desplazamiento (offset) elimina el problema serio que causa la vulnerabilidad de las estacas en el sitio de la construcción. Este método consiste en transferir las posiciones y elevaciones al punto que se va a construir a partir de estacas que han sido colocadas desplazadas con respecto al sitio real de la construcción; para ello se utilizan la regla y el nivel de carpintero. Las estacas se desfasan de 3 a 10 ft con respecto al punto real de construcción. El método se utiliza a menudo cuando las áreas cercanas a la estructura propuesta están pavimentadas.

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INTRODUCCIÓN A TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

Figura 9-2 Equipo que el constructor utiliza para transferir línea y niveles a la obra. (Tomado deC.A. Herubin, Principles of Surveying, Restom Publishing, Reston, Va. 1982.)

El ejemplo 9.2 demuestra la ubicación de un edificio en relación con dos líneas de lindero, definidas con marcas en las esquinas. El edificio se construirá paralelo a ambos linderos. EJEMPLO 9.2 Véase la figura 9-3. Se tiene una propiedad de largo y ancho no determinados, aunque cuenta con marcas en las esquinas. Se construirá un edificio paralelo a ambas líneas de propiedad o linderos. Las estacas deberán estar desplazadas 10 ft del sitio de la construcción. Deberá existir un espacio libre de 25 ft medidos a partir del lindero frontal (este) y del lateral (sur). El edificio tiene 50 ft de ancho y 135 ft 4 in de largo. El frente del edificio mira hacia el este. Determine la posición de las estacas. Solución: Instálese el tránsito sobre una esquina de la propiedad. El alineamiento se obtiene visando a la otra esquina. Mídanse las distancias mostradas en la figura 9-3 sobre la línea de propiedad a partir de la esquina sureste. Pónganse clavos en el terreno en las ubicaciones correctas para medir a partir de éstos las distancias desplazadas normales para llegar a las estacas. Tómense retrovisuales en cada esquina de la propiedad a menos que las marcas de las esquinas puedan verse con el tránsito cuando se coloque sobre los claros. En este caso, el tránsito se coloca sobre cada clavo y se visa atrás a la esquina más lejana de la propiedad. Las estacas deben colocarse a ángulos rectos a la distancia correcta. Márquese la elevación final del piso en todas las estacas.

9.5 MÉTODO DE ÁNGULO Y DISTANCIA La posición de las estacas puede obtenerse por medio de ángulos y distancias. Este método se ilustra en el ejemplo 9.3. EJEMPLO 9.3 Véase la figura 9-4. Se tiene el plano en un terreno como el que se muestra en la figura 9-4, con un edificio de 50 ft de ancho y 134 ft 4 in de largo. Se requieren espacios libres de 25 ft con respecto al lado este (frente) de la propiedad y a la línea de propiedad sur. Las estacas se colocarán desplazadas 10 ft de las esquinas del edificio para que no se vean afectadas por la construcción. Encuéntrese el ángulo y la distancia de las estacas en relación con los puntos de control sureste y noreste. Solución: Fíjese un punto de control en la esquina sureste de la propiedad. A partir de éste, se colocarán cuatro estacas desplazadas. Las fórmulas que se utilizarán son las siguientes:

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

197

Figura 9-3 Estacado con línea de base y desplazamiento (offset).

donde

TV = distancia medida hacia el norte desde el lindero sur de la propiedad (TV puede ser también la distancia hacia el sur a partir del punto norte del control), en ft. W = distancia hacia el oeste, medida a partir del lindero este, en ft. a = ángulo entre la línea de propiedad y la línea que une la estaca y el punto de control. L = distancia del punto de control a la estaca, en ft.

Las distancias del espacio libre requerido y de desplazamientos a los puntos pueden tabularse y calcularse fácilmente, basándonos en la figura 9-4. La estaca 1 está 25 ft al norte y 15 ft al oeste de las líneas de propiedad. Úsese la fórmula para encontrar tan a:

Buscando 0.60000 en una tabla de funciones trigonométricas o con una calculadora y encontramos: Encuéntrese el seno del ángulo a (úsese una tabla de funciones trigonométricas o calculadora):

Ahora utilícese la siguiente fórmula dada:

Hágase una tabla de los valores como se muestra en la figura 9-4. La estaca 2 está a 15 ft al norte y 25 ft al oeste de las líneas de propiedad. Apliqúense estos valores en la fórmula:

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

Figura 9-4 Problema de ángulo y distancia. Tabla para estacas colocadas a partir del punto de control sur

Tabla para estacas a partir del punto de control norte

Ahora utilícese la fórmula dada: Regístrese este valor en la tabla. La estaca 3 está a 15 ft al norte (25 ft de espacio libre - 10 ft del desplazamiento) y 70 ft al oeste (50 ft del ancho del edificio + 25 ft de espacio libre). Úsese la fórmula:

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

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Úsese la fórmula: La estaca 4 está a 25 ft al norte de la línea de propiedad y a 85 ft al oeste de la línea de propiedad. (10 ft de desplazamiento + 50 ft de ancho del edificio + 25 ft de espacio libre). Úsese la fórmula:

Úsese la fórmula:

Con el procedimiento descrito así, se ubican las cuatro estacas desplazadas que están al sur del edificio. Para obtener el punto de control norte, vise a lo largo del lindero y mídase una distancia de 185.33 ft (el espacio libre de 25 ft en el sur + 135.33 ft de longitud del edificio + 25 ft adicionales al norte), para que las cifras igualen a las que se obtuvieron en el lado sur del edificio. Este punto es nuestro punto de control en el lado norte del edificio. Realícense los mismos cálculos de funciones matemáticas que se hicieron para el punto de control sur; estos se muestran en la segunda tabla de la figura 9-4. Ya que se suma la misma distancia de 25 ft en el norte como en la parte sur por requerimientos de reglamento a la longitud del edificio, las respuestas van a ser las mismas en ambas tablas. La única diferencia es que cambia la dirección, de norte en la primera, a sur en la segunda tabla. Nota informativa: Hay posibilidades de errores al redondear cifras. Por ejemplo, para la estaca 3 se elimina 0.40 de minuto al redondear a 41 minutos; 0.4 de minuto de ángulo afecta el seno y, por tanto, la longitud. Usando 41 minutos para encontrar L obtenemos un valor de 76.483, mientras que si usamos 41.4 minutos el resultado es 76.4857. En este caso la diferencia es despreciable, pero podría ocurrir un error significativo si la longitud medida es mayor. La utilización del método de ángulos y distancias para colocar estacas conduce a ahorro de tiempo en el campo, ya que las distancias por medir son generalmente más cortas, aun cuando deba realizarse alguna medición larga entre los puntos de control norte y sur. En la oficina se deberá contar con una persona extra, quien ejecuta los cálculos en este método. Esto se ve compensado por el hecho de que la brigada de campo (formada de varias personas) ahorra tiempo al colocar varias estacas con base en una o dos posiciones del instrumento. El método de ángulos y distancias tiene algunas limitaciones. Las condiciones del sitio pueden limitar la visibilidad, haciendo imposible su utilización. El tamaño del proyecto puede requerir mediciones de distancias mucho más largas, en cuyo caso el método estará sujeto a errores. En la mayor parte de los casos que se presentan el método es adecuado ya que ahorra tiempo y dinero. El método de línea base y desplazamiento (véase Secc. 9.4) es más fácil de visualizar en el campo, lo que ayuda a prevenir errores. Con cualquier método, los resultados pueden verificarse midiendo diagonales. La longitud correcta de estas diagonales puede calcularse antes de ir al campo, o bien pueden medirse dos para comprobar que sean iguales en longitud. Las diagonales pueden medirse a partir de clavos colocados en los sitios reales de las esquinas, o de estaca a estaca. 9.6 PLANOS DE COMPLEJOS: MÉTODO DE COORDENADAS Si el diseño de una instalación es complejo, como en el caso de una planta de procesamiento químico, los proyectistas proporcionan a menudo coordenadas de puntos claves de la construcción, las cuales están basadas en líneas base perpendiculares entre sí. Se establece una monumentación para fijar las líneas de base. El ingeniero topógrafo puede usar monumentos permanentes, como lo son varillas ahogadas en concreto (mojoneras). Éstas podrán permanecer como control en caso de que se realicen reparaciones o modificaciones después de la construcción de la planta. El constructor fijará estacas durante el procedimiento de construcción tantas veces como éste lo requiera, tal como lo haría si utilizara otros métodos. Podrían emplearse el método de línea base y desplazamientos o el método de ángulo y distancias, utilizando puntos sobre la línea base, para colocar el instrumento.

200

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

9.7 ESTABLECIMIENTO DE UNA LÍNEA EN EL CAMPO: MARCA DE POSICIÓN Para dar u obtener una línea se establecen ángulos y distancias predeterminadas y se coloca una serie de marcas alineadas, normalmente separadas a una distancia dada. Para cumplir con este trabajo se utiliza el tránsito (ángulos y alineamientos) y una cinta de acero (distancias). Fijando un ángulo predeterminado Se menciona a continuación el procedimiento empleado para establecer un ángulo. Primero, fíjese el tránsito en el punto o vértice en el cual se va a medir el ángulo; luego, síganse otros pasos: 1. Fíjese el vernier A en cero, usando el movimiento superior. 2. Vísese la marca deseada, usando el movimiento inferior. 3. Gírese el ángulo, usando el movimiento superior y fijando el vernier A en forma precisa en el valor del ángulo. 4. Póngase una marca en la línea nueva. Este ángulo puede fijarse con una aproximación de hasta el siguiente medio minuto. Cuando se requiera mayor precisión, la medida del ángulo debe llevarse a cabo por repeticiones y la tachuela que se pone en la parte superior de la estaca debe ajustarse de acuerdo con este procedimiento. La distancia que debe desplazarse la tachuela puede calcularse usando trigonometría (véase Fig. 9-5). Si el error es menor que 3 minutos de arco, la siguiente fórmula es precisa: Donde

D = 0.00000485 SR D = Distancia de desplazamiento de la tachuela 0.00000485 = número de radianes en un segundo de arco S = segundos de error R = distancia del tránsito a la estaca

Figura 9-5 Ejemplo de una visual de 400 ft a la tachuela.

Un procedimiento adecuado incluye la comprobación del ángulo final por repeticiones. Si se cuenta con más de una marca sobre una línea de visual, siempre utilícese la marca más lejana para reducir el error al visar. EJEMPLO 9.4 Véase la figura 9-5. Se tiene una distancia sobre la línea visada de 400 ft para llegar a una tachuela. El ángulo que se pretendió dar fue de 90°00'00". El ángulo real medido por repeticiones fue de 90°00'08". Determínese qué distancia hay que mover la tachuela en la parte superior de la estaca para ajustar el ángulo. Solución: Úsese la fórmula:

90°00'08" — 90°00'00" = 08 segundos de error D = 0.00000485S/? = 0.00000485(08)(400) = 0.016 ft

Por tanto, la tachuela debe moverse 0.016 ft a la derecha.

Respuesta

Capítulo 9]

9.8

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

201

ESTABLECIMIENTO DE NIVELES: MARCANDO ELEVACIONES

Al proceso de marcar elevaciones se le denomina dar niveles o estacado de niveles. Se lleva a cabo fijando marcas, como lo son la parte superior de las estacas, clavos en superficies verticales o marcas pintadas con crayones en las elevaciones requeridas. Pueden fijarse marcas a elevaciones cualesquiera, con indicaciones referentes a las distancias verticales a las que los proyectos futuros serán construidos, ya sea arriba o abajo de ellas. Estas marcas de nivel se colocan cerca de la zona de trabajo y pueden transferirse a éste por medio de niveles de carpintero y reglas como se explicó anteriormente en este capítulo. Definiciones Los topógrafos usan la palabra nivel más bien libremente. En este libro el cambio de niveles se usa para significar la elevación de la construcción futura. No se usará nivel para significar elevación. Tasa de cambio de niveles. El cambio de niveles conocido generalmente como gradiente expresa la relación del cambio de ebvación con respecto a la distancia horizontal. EJEMPLO 9.5 Se tiene una distancia de 100 ft sobre una calle que corre hacia abajo. La calle baja 1 ft. Encuéntrese la tasa de cambio de niveles.

Desnivel sobre la marca y debajo de la marca de nivel. Cuando el nivel está arriba de la marca de nivel, se escribe la notación "sobre la marca x ft y y in" en la marca, como en S.M 3 ft 6 in. Cuando se tiene un nivel abajo de la marca de nivel se usa "debajo de la marca" como en D.M. 1 ft 10 in. 9.9 MÉTODOS PARA ESTABLECER NIVELES Para colocar estacas de nivel se utilizan dos métodos: 1) niveles por líneas paralelas; 2) indicar las elevaciones sobre y debajo de la marca de nivel. Niveles por líneas paralelas Si se van a colocar marcas manteniendo una tasa de cambio constante de elevaciones, se puede ahorrar trabajo de campo y de cálculos utilizando este método. Este proceso no es independiente; requiere primero establecer una estaca o marca en cada extremo de la pendiente uniforme. Se coloca después un tránsito o nivel en uno de los extremos (véase la Fig. 9-6). Se mide la diferencia de alturas entre el instrumento y la marca (4.07) y se coloca la mira del estadal en este mismo valor. El estadal se ubica sobre la marca que está en el otro

Figura 9-6 Tránsito y estadal en obtención de niveles con líneas paralelas.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

extremo de la pendiente, y la visual se dirige hacia la baliza. Esto hace que la visual sea paralela a la línea de pendiente a una altura conocida arriba de ella. Con esta disposición puede ponerse una marca de nivel en donde se desee, sosteniendo el estadal y bajándolo o subiéndolo hasta que la mira quede en la visual. Luego se marca la posición al pie del estadal. Véase la figura 9-6. Deben establecerse visuales adelante sobre la línea si se van a dar varios niveles. Cuando sólo se necesiten unos cuantos, la pendiente de la visual debe verificarse al terminar los trabajos, sosteniendo el estadal en la marca original y asegurándose de que la visual coincida con la mira del estadal. Indicación de desniveles sobre y debajo de la marca de nivel

El método más rápido y el mejor en la mayoría de los casos consiste en indicar los desniveles que hay sobre o debajo de los objetos colocados adecuadamente cerca del trabajo. Generalmente se hace referencia a las partes superiores de las estacas u otras marcas que estén sobre la línea. Las elevaciones de estas marcas se obtienen por medio de nivelación diferencial y los valores de los desniveles se calculan comparando la elevación de cada marca con el nivel propuesto en cada posición; se calculan en centésimas de pie, convertidas a pulgadas y marcadas sobre las estacas o cerca de las marcas (véase Ejem. 9.6). Las partes superiores de estacas u otros objetos de referencia, se pintan con crayón, indicando que la elevación debe medirse a partir de esos puntos. Conversión de centésimas de pie a pulgadas Una pulgada es igual a 83 centésimas de un pie. Cada ¿ft (llamado cuarto de punto) puede expresarse en forma exacta en centésimas y pulgadas. Si sumamos y restamos 8 al cuarto de punto más cercano, los valores en pulgadas pueden calcularse en centésimas de pie con aproximación hasta un tercio de centésima. La tabla 9-1 proporciona estos valores. Para cambiar de centésimas a pulgadas, escójase el valor de pulgada más cercano y corríjanse las centésimas impares, llamándoles octavos de pulgada. Por ejemplo:

En el uso de la tabla 9-1 no se tiene un error mayor que 0.005 ft.

Tabla 9-1 Conversión de centésimos de pie a pulgadas

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

203

Procedimiento para colocar estacas de nivel Deben llevarse al campo los datos de los bancos de nivel, las elevaciones requeridas y los diagramas de los trabajos que deberán realizarse. El ejemplo 9.6 ilustra el procedimiento para establecer niveles. EJEMPLO 9.6 Véase la figura 9-7. Se tiene una losa de concreto con elevación 74.00 ft. A ésta se le añadirá una plataforma cuya elevación será 76.17 ft. Se colocan estacas sobre la línea y se ejecuta una nivelación del perfil. Las estaciones y sus elevaciones son las siguientes: estación 0 + 0, elevación = 72.13; estación 0 + 50, elevación = 72.75; estación 1 + 0, elevación = 73.05; estación 1 + 50, elevación = 71.81; estación 2 + 0, elevación = 71.42; y estación 2 + 50, elevación = 71.02. Encuéntrense las diferencias en elevaciones y el desnivel sobre la marca o debajo de ella en todas las estaciones.

Figura 9-7 Losa y plataforma que muestran desniveles medidos arriba y debajo de las marcas. Solución: Hágase una tabulación de la estación, elevación, nivel propuesto de elevación y desnivel entre elevación. Si se resta el nivel en el cual estará colocada la plataforma, de la elevación de cada estación, obtenemos el desnivel. En otras palabras, la distancia vertical desde el suelo a la elevación iguala al desnivel que hay entre el objeto y la marca, arriba o abajo de ésta medido en centésimas. Luego conviértase este valor a pulgadas y anótese en la columna de corte o relleno. Si la diferencia de nivel es negativa, se indica un desnivel sobre la marca; si es positiva se indica un desnivel debajo de la marca.

Los cálculos son los siguientes: Elevación - nivel = 72.13 - 76.17 = -4.04 ft Conviértase — 4.04 ft a pulgadas, usando la tabla 9-1: Ya que la diferencia es negativa, márquese S.M indicando desnivel sobre la marca.

204

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

Nota: Después que el ingeniero topógrafo ha colocado las marcas para líneas y niveles es necesario generalmente utilizar un hilo o alambre que servirán como guía para la construcción del proyecto. Estos hilos se sostienen generalmente en clavos o puntales para efectuar el alineamiento (Véase Fig. 9-8).

Figura 9-8 Puntales. {Tomado de P. Kissam, Surveying Practice, McGraw-Hill, New York, 1978)

Problemas Resueltos 9.1 Véase la figura 9-9. Se tiene una planta de una casa en la que el espacio libre frontal es de 25 ft El espacio con respecto al lindero oeste es 35 ft. La elevación del monumento es 78.06 y el primer piso terminado debe estar 2 ft arriba de la elevación del monumento. El frente de la casa es de 50 ft de largo El lado oeste de la casa mide 34 ft y el lado este 24 ft. Se tiene un lado defasado de 28 ft en la parte trasera de la casa, empezando desde la pared oeste. Encuéntrense los ángulos y distancias que deben ser medidos y las estacas que han de colocarse para construir la casa. Solución Colóquese el tránsito en la estaca de límite de propiedad de la casa en el oeste y vise hacia la esquina este. Sobre esta línea, mídase 35 ft a partir de la estaca límite y póngase una estaca (estaca 1). Mídanse 28 ft adicionales hacia el este sobre la línea y colóquese la estaca 2. Mídanse otros 22 ft sobre la línea y ponga la estaca 3

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

205

a) Dimensiones de una casa.

b) Método de estacado de una casa por ángulos y distancias.!

Figura 9-9

Regrésese a la estaca 1 y gírese un ángulo derecho de 90° (visando de la estaca 1 al monumento de la esquina oeste). Mídanse 25 ft hacia el norte sobre la línea de la izquierda (occidental) y colóquese la estaca 4 (llegamos al extremo izquierdo u occidental de la casa). Mídanse 34 ft sobre la misma línea y fíjese la estaca 5. Regrésese a la estaca 2; ahí gírese 90° a la derecha sobre la retrovisual que se hace sobre la esquina oeste y mídanse 49 ft para colocar la estaca 6. Mídanse 10 ft adicionales sobre la misma línea y colóquese la estaca 7. Regrésese a la estaca 3 sobre el lindero y gírese 90° como se hizo anteriormente. Mídanse 25 ft y póngase la estaca 8; continúese 24 ft sobre la misma línea y fíjese la estaca 9. Márquese la elevación final de piso de 80.06 en cada estaca.

9.2 Véase la figura 9-10. Se tiene la planta (Véase Fig. 9-10a) donde A = 27.5 ft, B = 25.0 ft, C = 46 ft, D = 20 ft, E = 26 ft, F = 40 ft, G = 28 ft, K = 12ft,H= 50.03 ft. Encuéntrese la ubicación de las estacas y los ángulos necesarios para preparar la construcción de esta casa. Solución Vísese con el tránsito del monumento oeste, al monumento este, sobre el lindero. Mídanse 27.5 ft desde el monumento oeste y colóquese la estaca 1. Sobre esta línea póngase el monumento 2 a 20 ft al este de la estaca 1. De nuevo sobre la línea de lindero, mídanse 26 ft hacia el este a partir de la estaca dos y póngase la estaca 3. Regrésese a la posición de la estaca 1 y gírese 90° a la izquierda para alinear la estaca 4, la cual estará a 25 ft medidos desde la estaca 1. Sobre esta misma línea mida 40 ft a partir de la estaca 4 y colóquese la estaca 5. En la estaca 2 sobre el lindero y visando hacia el monumento de elevación H, gírese 90° a la izquierda. Sobre esta línea mídanse 53 ft y colóquese la estaca 6. Sobre esta misma visual, mídanse 12 ft más y fíjese la estaca 7.

206

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

a) Dimensiones.

b) Esquema que muestra las estacas y los ángulos y distancias medidos.

Figura 9-10 Regrésese al lindero al punto de la estaca 3 y visando hacia el este al monumento de elevación H, gírese 90° a la izquierda. Sobre esta línea mida 25 ft y colóquese la estaca 8. Sobre la misma línea, colóquese la estaca 9, pasando 28 ft después de la estaca 8. Márquese la elevación final de piso de 52.03 en cada estaca.

9.3

Véase la figura 9-10. Se tiene la planta de una casa con las dimensiones siguientes: A = 25 ft, B = 25 ft, C = 60 ft, D - 30 ft, E = 30 ft, F = 24 ft, G = 20 ft, K = 4 ft, H = 47.05 ft, M = 49.05 ft. Encuéntrense los ángulos y distancias a los que se colocarán las estacas para esta casa. Solución Instálese el tránsito sobre el monumento oeste y vise hacia el monumento este sobre la línea de lindero. Mídanse 25 ft y colóquese la estaca 1; mídanse luego 30 ft adicionales y colóquese la estaca 2; continúese 30 ft y fíjese la estaca 3. Regrésese a la estaca 1 y visando sobre la línea de lindero hacia el este, gírese 90° en contra de las manecillas del reloj. Sobre esta línea mídanse 25 ft y colóquese la estaca; continuando sobre esta línea, mídanse 24 ft y póngase la estaca 5. Regrésese a la estaca 2 sobre el lindero con el tránsito apuntando al este. Gírense 90° a la izquierda, mídanse 45 ft y fíjese la estaca 6; sobre la misma línea mídanse 4 ft más allá y colóquese la estaca 7. Regrésese a la estaca 3 sobre el lindero; con el tránsito apuntando al este gírese 90° a la izquierda. Sobre esta línea mídanse 25 ft desde la estaca 3 y colóquese la estaca 8. Sobre la misma línea mídanse 20 ft adicionales y fíjese la estaca 9. Márquese la elevación final de piso de 49.05 en todas las estacas.

9.4

Véase la figura 9-11. Se tiene un lote marcado con monumentos en las esquinas. El monumento SE tiene una elevación de 51.22 ft y la elevación de piso terminado debe ser 53.22 ft. El lado frontal y lateral (este y sur) deberán estar desplazados 25 ft de los linderos. Las estacas de control deben estar a 10 ft

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

207

Figura 9-11 Estacado con línea base y desplazamientos.

de las esquinas de la construcción. Las dimensiones son las siguientes: A = 50 ft, B = 170 ft, C = 15 ft, D = 25 ft, E = 75 ft, F = 85 ft, G = 15 ft, H = 25 ft, K = 195 ft, L = 205 ft. Determínense las posiciones de las estacas. Solución Mídanse las distancias dadas sobre los linderos y colóquense todas las estacas utilizando el tránsito y la cinta de acero. Márquense todas las estacas desplazadas, las cuales son ocho, así como la elevación de piso de 53.22.

9.5 Se tiene el plano del edificio que se ve en la figura 9-12. Las estacas tienen un desplazamiento (offset) de 8 ft. Los espacios libres son de 25 ft a partir de ambos linderos. El tamaño del edificio es: dimensión de A = 52 ft, dimensión B = 140 ft. Encuéntrense el ángulo y la distancia de las estacas a partir de los puntos de control. Si el punto sur de control es un monumento con elevación 125.07 ft y el piso terminado debe estar 0.5 ft arriba, dense las elevaciones de piso correctas para cada estaca. Solución El monumento ubicado al sur del lote será el punto de control sur. Calcúlense las coordenadas N y W para las cuatro estacas. Estaca 1: N = 25 ft, W = 17 ft (25 ft espacio; 8 ft desplazamiento) Estaca 2: N = 17 ft (25 ft espacio; 8 ft desplazamiento), W = 25 ft Estaca 3: N = 17 ft (25 ft espacio; 8 ft desplazamiento), W = 11 ft (52 ft ancho edificio + 25 ft espacio) Estaca 4: N = 25 ft, W = 85 ft (52 ft ancho edificio + 25 ft espacio + 8 ft desplazamiento) La segunda tabla sería igual, excepto que la columna norte deberá cambiarse al nombre columna sur. Estaca 1

208

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 9-12 Disposición para problemas con múltiples ángulos y distancias. Tabla para el punto de control sur

Tabla para el punto de control norte

Formula: Estaca 2:

Fórmula: Estaca 3:

[Capítulo 9

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

209

Formula: Estaca 4:

Formula:

Pónganse estos valores en la tabla superior; véase figura 9-12. D = 25 ft espacio + 140 ft largo del edificio + 25 ft (idéntico a espacio sur) = 190 ft. La elevación del monumento es 125.07 y el piso terminado deberá estar 0.5 ft arriba, por lo que 125.07 + 0.5 = 125.57 ft. Márquense las estacas desplazadas (offset) con la elevación de piso de 125.57.

9.6

Véase la figura 9-6. Se tiene una fábrica con dimensiones A = 200 ft y B = 452 ft. Los espacios libres serán de 30 ft al este y sur de los linderos. Las estacas estarán desplazadas 6 ft de las esquinas del edificio. La elevación de la mojonera es de 632.08 ft y el piso terminado estará 1.5 ft arriba. Encuéntrense D, los ángulos y distancias a las estacas y la elevación de piso terminado que se marcará en las estacas. Solución Estaca 1: N = Estaca 2: N = Estaca 3: N = Estaca A: N =

30 ft, W = 24 ft (30 ft espacio — 6 ft desplazamiento) 24 ft, W = 30 ft 24 ft, W = 230 ft (ancho del edificio + espacio libre) 30 ft, W = 236 ft (espacio + ancho del edificio + desplazamiento)

La segunda tabla será igual que la primera, ya que se sumará una distancia igual a la del espacio libre al sur para lograrlo. D = 30 ft espacio al extremo sur + 452 ft largo del edificio + 30 ft en el extremo norte de la línea = 512 ft. La elevación del monumento es 632.08. Súmese la elevación requerida de 1.5 ft sobre el monumento. Esto da 633.58 como elevación de piso terminado, lo cual se marcará en las estacas desplazadas.

Estaca 1:

Formula: Estaca 2:

Formula: Estaca 3:

Formula:

210

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

Estaca 4:

Formula:

9.7

Se tiene el edificio que se muestra en la figura 9-12 con las dimensiones, estacas desplazadas (offsets) y espacios libres que siguen: A = 26 ft 6 in; B = 108 ft 3 in. Espacios libres de 25 ft; las estacas se desplazarán 3 ft. Elevación de mojonera 101.06; con piso terminado 1 ft arriba del monumento. Encuéntrense las distancias y los ángulos de las estacas partiendo de los puntos de control, la distancia D y la elevación del piso terminado. Solución

Elevación del monumento = 101.06 + 1.0 = 102.06, que se marcará en las estacas desplazadas como elevación de piso terminado. Estaca 1:

Formula: Estaca 2:

Formula Estaca 3:

Formula: Estaca 4:

Formula:

9.8 Se tiene el edificio que se muestra en la figura 9-12 con las dimensiones, estacas desplazadas y espacios libres que siguen: A = 46 ft; B = 118 ft. Todos los espacios libres al este y sur de los linderos son de 25 ft. Las estacas se desplazarán 5 ft de las esquinas del edificio. La elevación del monumento es 65.00. La elevación de piso terminado será 2 ft arriba de la del monumento. Encuéntrese D, la elevación final de piso y el ángulo y la distancia para desplazar las estacas a partir de los puntos de control.

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

211

Solución Estaca 1: N = 25ft, Estaca 2: N = 20 ft, Estaca 3: N = 20 ft, Estaca 4: N = 25ft,

W/ = 20ft W = 25 ft W = 71 ft W = 76ft D = 25-ft espacio + 118 ft + 25 ft = 168 ft

Estaca 1:

Fórmula: Estaca 2:

Fórmula: Estaca 3:

Fórmula: Estaca 4:

Fórmula:

9.9

Se tiene el edificio que se muestra en la figura 9-12 con los espacios libres, dimensiones y estacas desplazadas que siguen: A = 58 ft. B = 176 ft. Todos los espacios libres a partir de los linderos este y sur, son de 25 ft. las estacas estarán desplazadas 10 ft con respecto a las esquinas del edificio. La elevación del monumento es 68.08. La elevación de piso terminado será de 2 ft arriba de la del monumento. Encuéntrese D, la elevación de piso terminado y el ángulo y la distancia a las estacas desplazadas, desde los puntos de control.

Solución Estaca 1: N = 25ft, W=15ft Estaca 2: N = 15 ft, W = 25 ft Estaca 3: N = 15 ft, W = 83 ft Estaca 4: N = 25 ft, W = 93 ft D = 25+176 + 25 = 226ft Elevación de piso terminado que se marcará en todas las estacas = 68.08 + 2.00 = 70.08

212

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

Estaca 1:

Formula: Estaca; 2:

Formula: Estaca 3:

Formula: Estaca: 4:

Formula:

9.10 Se tiene el edificio que se muestra en la figura 9-12 con los espacios libres, dimensiones y estacas desplazadas que siguen: A = 98 ft, B - 180 ft. Todos los espacios libres a partir de los linderos este y sur, son de 25 ft. Las estacas estarán desplazadas 10 ft con respecto a las esquinas del edificio. La elevación del monumento es de 710.51 ft y el piso terminado estará 2 ft arriba. Encuéntrese D, la elevación del piso terminado y el ángulo y distancia a las estacas desplazadas, desde los puntos de control. Solución Estaca 1: N = 25 ft, Estaca 2: N = 15 ft, Estaca 3: N = 15 ft, Estaca 4: /V = 25ft,

W = 15 ft W = 25 ft W = 123 ft W = 133 ft Elevación de piso terminado

Estaca 1:

Formula: Estaca 2:

Formula:

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

213

Estaca 3:

Formula: Estaca 4:

Formula:

9.11 Véase la figura 9-13. Se tiene un ángulo real medido a = 89°59'53" y R = (distancia) = 500 ft. Encuéntrese la dirección y la distancia que se moverá la tachuela. Solución Reste el ángulo medido del ángulo deseado: 90°00'00" - 89°59'53" = 07 segundos S = 07 segundos R = 500 ft Úsese la fórmula: D = 0.00000485SR = 0.00000485(07)(500) = 0.017 ft Ya que el ángulo medido es menor que 90°, mueva la tachuela 0.017 ft hacia la izquierda.

Figura 9-13 Disposición para movimiento de tachuela. 9.12 Véase la figura 9-13. Se tiene un ángulo medido a = 90°00'08” ; la distancia R = 600 ft. Encuéntrese la dirección y la distancia que se moverá la tachuela. Solución S = 90°00'08" - 90°00'00" = 08 segundos Úsese la fórmula: D = 0.00000485SR = 0.00000485 (08)(600) = 0.023 ft El ángulo medido es mayor de 90°, por lo que la tachuela se mueve 0.023 ft a la derecha.

214

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

9.13 Véase la figura 9-13. Se tiene el ángulo medido a = 89°59'54"; la distancia R - 462 ft. Encuéntrese la dirección y la distancia que se moverá la tachuela. Solución S = 90°00'00" - 89°59'54" = 06 segundos Úsese la fórmula: D = 0.00000485SR = 0.00000485(06)(462) = 0.013 ft Ya que el ángulo medido es menor de 90°, muévase la tachuela 0.013 ft hacia la izquierda.

9.14 Véase la figura 9-13. Se tiene un ángulo medido a = 90°00'05"; y la distancia R = 673 ft. Encuéntrese la dirección y la distancia que se moverá la tachuela. Solución S = 90°00'05" - 90°00'00" = 05 segundos Úsese la fórmula: D = 0.00000485SR = 0.00000485(05)(673) = 0.016 ft Ya que el ángulo medido es mayor de 90°, muévase la tachuela 0.016 ft hacia la derecha.

9.15 En un levantamiento de construcción la distancia sobre la calle es de 200 ft, y baja verticalmente 3 ft. Encuéntrese la tasa de cambio de elevaciones. Solución

9.16 Se tiene una distancia de 723 ft en la cual la elevación vertical sube 12.32. Encuéntrese la tasa de variación de elevación.

9.17 Se tiene una distancia de 531.23 ft en la que se baja en elevación 15.17 ft. Encuéntrese la tasa de variación de elevación. Solución

9.18 Se tiene una bajada vertical de 30.08 ft en 650 ft. Encuéntrese el gradiente. Solución

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

215

9.19 Se tienen las siguientes medidas en pies con decimales: 2.81, 4.78, 8.23, 7.91. Transfórmense estas medidas a pies y pulgadas. Solución Úsese la tabla 9-1

9.20 Las siguientes medidas están en pies con decimales: 5.64, 3.85, 1.92, 0.38, 9.25. Conviértanse estas medidas a pies y pulgadas. Solución Úsese la tabla 9-1.

9.21 Véase la figura 9-14. Se tiene un edificio con elevación de piso de 102.31 ft y su plataforma de carga con elevación de 100.81 ft. Las elevaciones marcadas en pies en la parte superior de las estacas son las siguientes: estación 0 + 0 = 97.20; estación 0 + 50 = 96.51; estación 1 + 0 = 96.03; estación 1 + 50 = 97.81. Encuéntrense los espesores de desnivel sobre o debajo de las marcas en cada estación.

Figura 9-14 Esquema de cálculo de desnivel sobre las marcas o debajo de ellas en la plataforma de carga.

216

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

Solución Póngase la información en forma de tabla.

Los cálculos son los siguientes: Estación 0 + 0:

Elevación — nivel = 97.20 — 102.32 = —5.11 ft

Transfórmese —5.11 ft a —5 ft 13/8 in usando la tabla 9-1.Ya que la diferencia de nivel es negativa, se marca S.M. Estación 0 + 50:

Elevación — nivel = 96.51 — 102.31 = —5.80 ft = —5 ft 9| in

Estación 1 + 0:

Elevación — nivel = 96.03 — 100.81 = —4.78 = —4 ft 9^ in

Estación 1 + 50:

Elevación — nivel = 97.81 — 100.81 = —3.00 = — 3 ft 0 in

9.22 Véase la figura 9-14. Se tiene un edificio con elevación de piso de 45.00 ft y su plataforma de carga con elevación de 43.00 ft. Las elevaciones marcadas en pies en la parte superior de las estacas son las siguientes: estación 0 + 0 = 43.25; estación 0 + 50 = 42.51; estación 1 + 0 = 42.26; estación 1 + 50 = 43.01. Encuéntrense los espesores de desnivel sobre o debajo de las marcas en cada estación. Solución Póngase la información en forma de tabla

Los cálculos son los siguientes:

Nótese que la estación 1 + 50 tiene un grado de elevación positivo, por lo que la respuesta final es cortar en lugar de llenar.

9.23 Véase la figura 9-14. Se tiene un edificio con elevación de piso de 10.23 ft y su plataforma de carga con elevación de 9.71 ft. Las elevaciones marcadas en pies en la parte superior de las estacas son las siguientes: estaciono + 0 = 9.65; estación 0 + 50 = 9.90; estación 1 + 0 = 9.75; estación 1 + 50 = 10.00. Encuéntrense los espesores de desnivel sobre o debajo de las marcas para cada estación. Solución Póngase la información en forma de tabla.

Capítulo 9]

TOPOGRAFÍA EN CONSTRUCCIÓN

217

Los cálculos son los siguientes:

Problemas Suplementarios 9.24

Véase la figura 9-11. Se tiene un espacio libre (25 ft), desplazamiento (10 ft) como en el problema 9.4. Las dimensiones del edificio son: ancho 52 ft 4 in, largo 152 ft 8 in. La elevación del monumento (esquina SE) = 87.02 ft; el piso terminado debe estar 2 ft arriba. Calcúlense las posiciones de las estacas desplazadas. Resp. A = 52.33 ft, B = 152.67 ft, D = 25 ft, C = 15 ft, E = 77.33 ft, F = 87.33 ft, H = 25 ft, G = 15 ft, K = 177.67 ft, L = 187.67 ft, elevación de piso terminado = 89.02

9.25

Véase figura 9-11. Se tiene la misma información de espacios libres y desplazamientos planteados en el problema 9.4. La elevación del monumento (esquina SE) es de 72.09 y el piso terminado estará 2 ft arriba. Las dimensiones del edificio son: A = 40 ft 8 in, B = 148 ft 4 in. Encuéntrense las posiciones de las estacas desplazadas. Resp. A = 40.67 ft, B = 148.33 ft, D = 25 ft, C = 15 ft, E = 65.67 ft, F = 75.67 ft, H = 25 ft, G = 15 ft, K = 173.33 ft, L = 183.33 ft, elevación de piso terminado = 74.09

9.26

Véase la figura 9-11. Se tiene la información de espacios y desplazamientos planteados en el problema 9.4. El mo numento ubicado en la esquina SE tiene una elevación de 103.51 ft y el piso terminado debe estar 2 ft arriba. A = 48 ft y B = 154 ft. Encuéntrense las posiciones de las estacas desplazadas. Resp. A = 48ft, B=154ft, D = 25ft, C=15ft, E = 73ft, F = 83ft, H = 25ft, G = 15ft, K=179ft, L = 183.33 ft, elevación de piso terminado= 105.51

9.27

Véase la figura 9-13. Se tiene un ángulo medido a = 90°00'07//; la distancia R = 434 ft. Encuéntrese la distancia y la dirección en que se moverá la tachuela. Resp. 0.015 ft a la derecha

9.28

Se tiene un ascenso vertical de 25.07 ft en una distancia horizontal de 452 ft. Encuéntrese el gradiente. Resp. +0.0555 o 5.55%

218

9.29

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 9

Se tiene un ascenso vertical de 50.16 ft en una distancia de 751 ft. Encuéntrese el gradiente. Resp. +0.06679 o 6.68%

9.30

Dadas las siguientes medidas en pies con decimales: 3.53, 4.79, 8.23, 10.15, 7.56, transfórmense estas medidas a pies y pulgadas.

9.31

Dadas las siguientes medidas en pies con decimales: 6.25, 7.50, 2.75, 4.02, transfórmense estas medidas a pies y pulgadas. Resp. 6.25 ft = 6 ft 3 in, 7.50 ft = 7 ft 6 in. 2.75 ft = 2 ft 9 in, 4.02 ft = 4 ft i in

9.32

Véase la figura 9-14. Se tiene una elevación de piso de 52.23 ft y la elevación de la plataforma de carga es 49.21 ft. Las elevaciones en pies, marcadas en la parte superior de las estacas, son las siguientes: estación 0 + 0 = 48.01; estación 0 + 50 = 47.60; estación 1 + 0 = 47.21; estación 1 + 50 = 49.00. Encuéntrense los espesores de desnivel sobre o debajo de las marcas para cada estación.

9.33 Véase la figura 9-14. Se tiene la elevación de piso de 26.75 ft y la elevación de la plataforma de carga es de 25.80 ft. Las elevaciones marcadas en pies en la parte superior de las estacas son las siguientes: estación 0 + 0 = 24.50; estación 0 + 50 = 24.25; estación 1 + 0 = 24.20; estación 1 + 50 = 26.00. Encuéntrense los espesores de desnivel sobre o debajo de las marcas para cada estación.

9.34

Véase la figura 9-14. Se tiene la elevación de piso de 600.00 ft y la elevación de la plataforma de carga de 597.00 ft. Las elevaciones marcadas en pies en la parte superior de las estacas son las siguientes: estación 0 + 0 = 597.08; estaciono + 50 = 596.75; estación 1 + 0 = 597.00; estación 1 + 50 = 597.50. Encuéntrense los espesores de desnivel sobre o debajo de las marcas para cada estación. Resp. Estación 0 + 0, F 2 ft 11 in; estación 0 + 50, F 3 ft 3 in; estación 1 + 0, 0 ft 0 in; estación 1 + 50, C 0 ft 6 in

Capítulo 10 Estacado de Taludes 10.1 DEFINICIÓN Para dar línea y nivel en la construcción de superficies de talud cuando éstas cruzan terrenos irregulares se utiliza un procedimiento llamado estacado de taludes. Se aplica en el caso de muros de contención y en la preparación de excavaciones y rellenos de tierra. Las estacas de taludes se colocan cada 50 ft antes de que inicie la construcción de una carretera o de una vía férrea. Los procedimientos para colocar estacas en taludes son similares en todos los tipos de construcciones, por lo que al dominarlos para una clase de obra, se podrá aplicarlos a las demás. El estacado de taludes se usa principalmente para marcar los cortes y terraplenes en la construcción de carreteras. \ 10.2 MÉTODO Las estacas se colocan sobre la superficie existente del terreno, una a cada lado de la estaca de la línea central o eje del camino, fijándolas donde quedarán los extremos del corte o del terraplén (ceros) cuando se termine el movimiento de tierras (véase Fig. 10-1). En la figura 10-1 se muestra que se ha clavado la estaca central y se han fijado las estacas laterales o estacas de talud en los lugares donde se ubicarán los límites del movimiento de tierras. En cada estaca de talud deberá marcarse la distancia horizontal que se mide a la izquierda o a la derecha del eje hasta la estaca, así como la distancia vertical del terreno en que se fija la estaca basta la elevación del piso de un corte o de la parte superior de un terraplén, o sea, a la elevación de una línea base como subrasante (véase Fig. 10-2). Todas las estacas deben marcarse con el cadenamiento de la estación.

Figura 10-1 Colocación de las estacas.

220

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capitulo 10

Figura 10-2 Secciones de corte y terraplén. La posición de la estaca depende de lo siguiente: 1. Elevación y pendiente de la base o subrasante 2. Ancho de la base o subrasante 3. Taludes laterales 4. Elevación del terreno en el sitio donde se coloca la estaca Generalmente la posición de la estaca debe encontrarse por tanteos. Si se han levantado secciones transversales precisas, la posición de las estacas puede fijarse con una buena aproximación sin necesidad de efectuar muchos cálculos. La figura 10-2 enseña cómo se marcan las estacas, incluyendo el cadenamiento de la estación. Nótese que la C (corte) o T (terraplén), no significan los cortes o terraplenes en la posición de la estaca, sino la distancia vertical medida desde el terreno hasta la elevación de la base o subrasante. La figura 10-3 muestra secciones típicas en corte y terraplén de una carretera, como se dibujan en los planos de este tipo de obras. La línea arbitraria CA se ubica a un cierto número de pies abajo del perfil formado por la superficie de la corona, comúnmente en el nivel de subcorona, o sea, donde el corte o el terraplén son construidos inicialmente. 10.3 INFORMACIÓN NECESARIA

La figura 10-3 es una muestra de dos mitades de secciones típicas como se ven en los planos de carreteras. Hay una sección en corte y una en terraplén. Estas secciones se les llama también secciones de plantilla y son

Capitulo 10]

ESTACADO DE TALUDES

221

Figura 10-3 Secciones típicas de carretera. repetidas en cada sección de la carretera hasta que cambie o se presente alguna condición no común que requiera el uso de una sección transversal especial. Generalmente la base (CA) o superficie de la subrasante, es la línea que indica hasta dónde se construye un corte o terraplén. La línea CA puede ser horizontal o tener una pendiente con elevaciones diferentes debajo del perfil de la subcorona. En las curvas se inclina toda la mitad de sección hacia arriba o hacia abajo en cantidades diferentes. Las elevaciones y distancias del punto A siempre pueden determinarse a partir del juego de planos de la carretera. El procedimiento de estacado de taludes se describe en los ejemplos 10.1 al 10.3, en los que se ilustran las condiciones que se encuentran generalmente. En estos ejemplos se supone que la superficie de la subrasante o base es horizontal y que se ha calculado su elevación. Las lecturas del estadal son las que se proporcionan y no incluyen unidades (pueden ser metros o pies). Los taludes laterales se dan en función de la distancia horizontal dividida entre la distancia vertical (véase Fig. 10-4). En los ejemplos del 10.1 al 10.3 el talud se considera

EJEMPLO 10.1 En la figura 10-5 la primera lectura de altura del instrumento (AI) se toma en el punto E. De una nivelación previa se conoce su elevación de 97.72. A partir de ahí empiezan los cálculos. Se toma una lectura de estadal sobre la estaca central, de aquí que se use la notación 0 para esta posición de estadal. Determínese la posición de cada estaca. Solución: Los pasos numerados que siguen muestran el orden en que se realizan los cálculos. Éstos se presentan en la tabla 10-1. 1. Calcúlese la lectura de subrasante (LS), o sea, la lectura teórica que ocurriría si el estadal estuviera colocado sobre la elevación deseada, tomándola desde la AI. AI = 97.72 y la elevación deseada es la de la subrasante, mostrada en los planos como 70.00. La fórmula para obtener la lectura de la subrasante es la siguiente:

222

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capitulo 10

Figura 10-5

Este cálculo se registra en la primera columna de la tabla de cálculo (Tabla 10-1). 2. Léase el estadal cuando lo sostengan sobre la estaca central (lectura de terreno = 9.12). Calcúlese el corte en el centro de línea. La fórmula es: Corte al centro = LS — lectura del terreno Corte al centro = 27.72 - 9.12 = 18.60 En esta forma, se tiene que la elevación del piso terminado estará 18.60 ft abajo del terreno en la estaca central C. Nota: Si este valor es negativo, representa un terraplén. Una vez que se conoce la lectura de subrasante (27.7) y el espesor de corte al centro (18.60), puede procederse a colocar la primera estaca. 3. Colóquese la estaca lateral izquierda /. Calcúlese la distancia a la estaca lateral izquierda /, basándose en la experiencia. Si se han dibujado las secciones transversales, puede hacerse una suposición muy aproximada al ver la sección transversal con la que se está trabajando. A continuación se describe un método de campo práctico para esta operación. (Véanse los cálculos en la tabla 10-1):

Tabla 10-1 Cálculos del ejemplo 10.1

Capítulo 10]

ESTACADO DE TALUDES

223

Pero el terreno baja, haciendo que el corte en la estaca / sea menor que en el centro. Por tanto, la distancia debe ser algo menor que 74.5 para el talud de Pruébese la distancia de 55. El estadal se sostiene a una distancia de 55, la cual se muestra en la figura 10-5 en el punto 1. Las distancias se miden a menudo con una cinta de género. La distancia calculada para esta lectura de estadal se tiene en la segunda columna de la tabla 10-1; tiene un valor de 69.7. 4. Procedimiento de control. Se sabe ahora que el corte medido en la distancia 55 debe ocurrir a 69.7. Esto indica que debemos mover el estadal de 55 hacia 69.7. Se necesita entonces el procedimiento de control. Consiste en determinar en qué dirección debe moverse el estadal. Es necesario conocer los dos taludes, el del terreno y el lateral del movimiento de tierras. Las reglas del procedimiento de control son las siguientes: á) Cuando las direcciones de los taludes son contrarias (por ejemplo, uno sube y el otro baja), muévase el estadal menos distancia que la que piden los cálculos. b) Si las direcciones de los taludes son las mismas (por ejemplo, ambos suben o ambos bajan), muévase el estadal más distancia que la que piden los cálculos. En este ejemplo las pendientes son opuestas, por lo que el estadal se moverá menos que lo indicado. Por ejemplo, inténtese con 69 en la figura 10-5 y bajo el punto 2 de la tabla 10-1. En 69, la distancia calculada es de 65.8; el estadal debe moverse de 69 hacia 65.8, pero no toda esta distancia. Pruébese con 66. Aquí se obtiene una distancia calculada de 66.4. Esta distancia es suficientemente cercana a la posición real del estadal (diferencia = 66.4 - 66 = 0.4). Una diferencia de 0.5 o menor es suficiente. Colóquese la estaca a la distancia calculada (66.4) y supóngase que la lectura del estadal es la misma que la que se tomó a 66. Márquese la estaca así:

tal como se muestra en la tabla 10-1. 5. Colóquese la estaca lateral derecha R. Del trabajo anterior se conoce que el corte en el centro es de 18.6. Con un terreno horizontal se tiene una distancia calculada de 74.5, como se vio anteriormente. En este caso las pendientes del talud son en el mismo sentido, por lo que hay que moverse más. Pruébese con 88, mostrado en el punto 3 de la figura 10-5. La distancia calculada es 95.7. Muévase de 88 hacia 95.7, pasando esta distancia. Pruébese con 102. La distancia calculada es 100. Muévase de 102 hacia 100, pero pasando de esta distancia. Pruébese con 99. La distancia calculada es de 98.7, la cual está lo suficientemente aproximada. Por tanto, las estacas deben marcarse y ubicarse como sigue:

Los cálculos se realizan en la tabla 10-1 y están resumidos en la tabla 10-2. EJEMPLO 10.2 La figura 10-6 muestra una sección de carretera en la que se requiere un terraplén. En la estación son ambas de 40.0. Los taludes latera23 + 50 se ha fijado la estaca central. Las distancias a les son de La elevación de subrasante se ha designado como 75.00. La elevación del instrumento en E es de 68.12 y en Fes de 59.21. Encuéntrese la ubicación de las estacas laterales izquierda y derecha a partir de la estaca central. Solución: Dibújese en papel cuadriculado la sección con la información dada; véase la figura 10-6. Ejecútense los cálculos. Úsense como guía los pasos numerados del ejemplo 10-1. Nótese que la lectura de subrasante (LS) desde la AI en E es negativa (-6.9). El desnivel calculado es -20.0, por lo que se trata de un terraplén. Los tanteos están resumidos en la tabla 10-3. Los cálculos se muestran en la tabla 10-4 y su resumen está en la tabla 10-2. EJEMPLO 10.3 En la figura 10-7 se tienen corte y terraplén en la misma sección de la carretera. La estación es la son iguales a 50.6 En el lado derecho el talud 41 + 50. La elevación de subrasante es 103.91. AI en E = 121.06 y AI en F= 89.00. Determínese la ubicahacia abajo es y en el izquierdo es hacia arriba de ción de las estacas laterales izquierda y derecha. Solución: Grafíquese la sección transversal con la información dada; véase la figura 10-7. El desnivel en el centro tuvo que tomarse de un AI que no se muestra y que resultó ser -13.9, dando una distancia calculada de 71.5. Véanse en la tabla 10-5 los cálculos; éstos se presentan resumidos en la tabla 10-2. Nota: A la derecha de la estaca central, el valor obtenido de restar la lectura de estadal de 6.3 de la LS de -14.9 resulta - 21.2, por lo que siendo un valor negativo, indica un terraplén.

224

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Tabla 10-2 Cálculos de los ejemplos del 10.1 al 10.3

Figura 10-6

[Capítulo 10

Capítulo 10]

ESTACADO DE TALUDES

225

Tabla 10-3 Cálculo de tanteos del ejemplo 10.2

Tabla 10-4 Cálculo del ejemplo 10.2

• Nótese que cuando usamos la altura del instrumento F, el terraplén del centro es de 20.0 al tomarse a la izquierda, al igual que cuando se hace la lectura a la derecha. Esto comprueba que las dos alturas del instrumento estuvieron correctas.

Figura 10-7

226

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capitulo 10

Tabla 10-5 Cálculos del ejemplo 10.3

10.4 RESUMEN DE PROCEDIMIENTOS PARA ESTACADO DE TALUDES Memorícense estas reglas: 1. LS = AI — elevación de subrasante 2. Corte o terraplén = LS — lectura del terreno 3. Distancia calculada = corte o terraplén + \ corte o terraplén + distancia 4. Muévase "hacia" la distancia calculada 5. Taludes opuestos, muévase menos 6. Taludes en la misma dirección, muévase más El primer tanteo se basa en la diferencia de elevación entre la elevación en el eje al centro y la elevación de la estaca izquierda o derecha. Después de que se encuentra la distancia calculada para este primer tanteo, el siguiente es generalmente más aproximado. La pendiente del terreno es normalmente uniforme entre estación y estación, por lo que una vez que se colocan las primeras estacas de talud, los tanteos para las siguientes se van haciendo cada vez más exactos. El topógrafo siente cuánto debe moverse en este proceso. El número de tanteos varía considerablemente. Se usaron tres tanteos en los ejemplos, número que es suficiente en forma general para ubicar con precisión las estacas. El nivel puede moverse como se desee, poniendo notas ordinarias de nivelación entre las lecturas AI que se requieran. A menudo es posible colocar varias estacas pendientes arriba o abajo con base en una posición del instrumento. La nivelación debe empezar y concluir en bancos de nivel. 10.5 NOTAS DE CAMPO Las notas de campo son exactamente iguales a las notas ordinarias de una nivelación, excepto cuando se tomen lecturas para varias estacas a partir de una posición de instrumento (AI). La forma de los seis AI usados en los ejemplos se muestra en la tabla 10-2. La última lectura de estadal observada, esto es, donde se coloca la estaca lateral, se registra en la columna de lecturas de estadal. Se calcula la elevación y se determinan el corte y el terraplén a partir de esta elevación y de la del subrasante. La fórmula es la siguiente:

Capitulo 10]

ESTACADO DE TALUDES

227

Corte o terraplén = elevación del terreno — elevación de subrasante El resultado positivo indica corte, y el negativo, terraplén. Estos valores deben coincidir con los cortes o terraplenes calculados con el método de lectura de subrasante y de estadal. En el lado derecho de la tabla 10-2 está el registro de las marcas que se hacen en las estacas laterales de talud.

Problemas Resueltos 10.1

La figura 10-8 muestra una estación de una carretera donde el terreno sube de izquierda a derecha. La estaca central en la estación 11 + 50 ya se ha fijado. La elevación de subrasante es 60.0. El extremo inferior izquierdo y derecho del talud está a 30.0. La altura del instrumento topográfico en E es de 81.10, y en el punto F, de 90.0. Los taludes laterales son de \\: 1. Determínese la posición donde se deben colocar las estacas a la derecha e izquierda del centro de línea.

Figura 10-8

Solución Dibújese la sección; véase la figura 10-8; háganse los cálculos como se muestra en la tabla 10-6. Tabla 10-6 Cálculos del problema 10.1

228

10.2

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 10

En la figura 10-2 se muestra la sección transversal 12 + 50 de una carretera. El terreno está inclinado partiendo de un punto bajo a la izquierda hacia un punto alto a la derecha. La información dispoElevación del instrumento en E = 86.0 y nible es: elevación de subrasante 63.0; Determínese la ubicación correcta de las estacas laterales en F = 88.0. Los taludes laterales son izquierda y derecha.

Figura 10-9 Solución Dibújese una sección en papel para granear (papel milimétrico); véase la figura 10-9; háganse los cálculos como se muestra en la tabla 10-7. Tabla 10-7 Cálculos del problema 10.2

10.3

Se tiene una sección transversal de una carretera en la estación 8 + 00. El terreno sube de izquierda a derecha. La elevación del instrumento en E = 73.0 y en F = 83.2. La elevación de subrasante es 50.0; Los taludes laterales son La estaca central ya ha sido colocada. Determínese la posición de las estacas laterales con respecto a la estaca central. Solución Dibújese la sección en papel cuadriculado; véase la figura 10.10; háganse los cálculos como se muestra en la tabla 10-8.

Capítulo 10]

ESTACADO DE TALUDES

229

Figura 10-10 Tabla 10-8 Cálculos del problema 10.3

10.4

Se tiene una sección transversal de una carretera, localizada en la estación 7 + 50. La estaca central ya La elevación de ha sido clavada, sobre el eje de trazo de la carretera. Los taludes laterales son de La altura del instrumento en E = 49.7 y AI en F = 43.5. subrasante es 23.6; Determínese a qué distancia de la estaca central deberán colocarse las estacas laterales. Solución Dibújese la sección en papel cuadriculado; véase la figura 10-11; háganse los cálculos como se muestra en la tabla 10-9.

10.5

Se tiene una sección transversal de una carretera, localizada en la estación 27 + 00. Esta sección está en una parte plana de terreno, con una elevación de subrasante de 75.80. Los taludes laterales son La altura del instrumento en E = 105.9 y AI en F = 106. Determínese la ubicación de la estaca izquierda y de la estaca derecha. Solución Dibújese la sección en papel cuadriculado; véase la figura 10-11; háganse los cálculos como se muestra en la tabla 10-10.

230

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Figura 10-11

Tabla 10-9 Cálculos del problema 10.4

Figura 10-12

[Capítulo 10

Capítulo 10]

ESTACADO DE TALUDES

231

Tabla 10-10 Cálculos del problema 10.5

10.6

Se tiene una sección de carretera en terraplén, el cual se desplantará hasta una elevación de subrasante de 83.91. Los taludes laterales son de La estación es la 21 + 00 con Determínese la ubicación de la estaca a la La altura del instrumento en izquierda y de la estaca a la derecha de la estaca central. Solución Dibújese la sección en papel cuadriculado, a partir de la información dada; véase la figura 10-13.

Figura 10-13

Nota: Se puede añadir el terreno natural después de encontrar las elevaciones de sus cálculos. Háganse los cálculos como se muestra en la tabla 10-11. Nótese que cuando se usan las dos elevaciones de instrumento en E y F, el terraplén de 23.9 del centro coincide. Esto significa que tenemos las lecturas correctas del instrumento en estas posiciones.

232

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capitulo 10

Tabla 10-11 Cálculos del problema 10.6

10.7

Se tiene la sección transversal 16 + 50 de una carretera. La elevación de subrasante a la que se ha asignado la sección es 37.23. Las distancias A en la sección no son iguales; está a 40.9 mientras que está a 23.2. Los taludes laterales son los comunes de La altura del instrumento topográfico en E es de 21.17. En F no hay una nueva lectura de instrumento, ya que el terreno en este sitio es relativamente plano. Determínese la ubicación de las estacas. Solución Usaremos la lectura E del instrumento para ambos lados (izquierda y derecha) de la sección; véase la figura 10-14. Realícense los cálculos como se muestra en la tabla 10-12. Los tanteos, tomados de los cálculos, se muestran en la tabla 10-13.

Capitulo 10]

ESTACADO DE TALUDES

233

Tabla 10-12 Cálculos del problema 10.7

Tabla 10-13 Tanteos de los cálculos del problema 10.7

Solución

Dibújese la sección a partir de la información dada; véase la figura 10-15. Se puede terminar la figura en papel para graficar, al concluir los cálculos. En ese momento se tendrá la ubicación del primer, segundo, tercer y cuarto tanteos. Con esto se tiene la suficiente información para dibujar el terreno natural. Realícense los cálculos; véase la tabla 10-14.

Figura 10-15

234

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 10

Tabla 10-14 Cálculos del problema 10.8

10.9

Se tiene una sección de carretera en la estación 31 + 50, asignada a una elevación de subrasante de El terreno natural asciende de derecha a izquierda. La altura del instrumento topográfico en E es 25.00, y en F, de 22. 12. El talud izquierdo es 1: 1 y en la derecha es de Encuentre los puntos en que se clavarán las estacas izquierda y derecha. Nota: En este problema el talud del lado izquierdo es poco usual; el talud es casi siempre de ya que así se tiene la estabilidad del suelo. Sin embargo, en este caso se tiene un talud de 1 : 1 por lo que cuando se calcule más; terraplén" se tendrá cero como valor de este renglón. Solución Dibújese la sección en papel cuadriculado, a partir de la información dada; véase la figura 10-16; realícense los cálculos, véase la tabla 10-15.

Figura 10-16

10.10 Se tiene una sección transversal con una elevación asignada de subrasante de 708.10, ubicada en la estación 511 +00. Los taludes laterales son los usuales de Las dimensiones A, a l a izquierda y

Capítulo 10]

ESTACADO DE TALUDES

235

Tabla 10-15 Cálculos del problema 10.9

derecha, son ambas de 26.0. AI en E = 692.00, AI en F = 699.10. Determínese dónde colocar las estacas laterales en relación con la estaca del centro. Solución Primero dibújese la información dada en papel cuadriculado; véase la figura 10-17. Los cálculos proporcionan la información suficiente para dibujar el terreno natural. Realícense los cálculos; véase la tabla 10-16.

Figura 10-17

10.11 Se tiene la sección de la estación 20 + 00 de una carretera donde el terreno baja sucesivamente desde un área alta en la izquierda a una baja en la derecha. Los taludes laterales son 40.6. Elevación de subrasante = 57.61. La altura del instrumento topográfico en E = es 66.91 y en F es 54.41. Encuéntrese la distancia que hay que partir de la estaca central (estación 28 + 00) hasta las estacas laterales izquierda y derecha.

236

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA Tabla 10-16 Cálculos del problema 10.10

Figura 10-18 Tabla 10-17 Cálculos del problema 10.11

[Capítulo 10

Capítulo 10]

ESTACADO DE TALUDES

237

10.12 En la estación 29 + 00 (véase Fig. 10-19) se tiene una estaca central colocada en el eje de trazo del proyecto carretero. El terreno en esta ubicación desciende desde un punto alto en la izquierda a uno bajo en la derecha. La elevación propuesta de subrasante es 113.62 ft Los taludes laterales son los comunes de 1 a ambos lados. La altura del instrumento en £ es de 125.10 y en F de 106.21. Determínese la posición de las estacas laterales con respecto a la estaca central. Solución

Primero dibújese un diagrama con la información dada en papel cuadriculado; véase la figura 10.19. Se tendrá información suficiente para el dibujo del terreno natural a partir de los cálculos que realice; véase la tabla 10-18.

Figura 10-19

Tabla 10-18 Cálculos del problema 10.12

238

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 10

10.13 Se tiene la estación 23 + 50 donde el terreno asciende de una posición baja en la izquierda a una alta en la derecha. Los taludes laterales a la izquierda y derecha son La altura del instrumento en E es 37.10 y en F, AI = 48.21. Calcúlense las distancias a las que se deberán poner las estacas laterales con respecto a la estaca central, previamente fijada. Solución Primero dibújese tanto como se pueda de la sección, con base en la información dada; véase la figura 10-20. Los cálculos aportarán la información suficiente para dibujar el terreno natural; realícense los cálculos; véase la tabla 10-19.

Figura 10-20

Tabla 10-19 Cálculos del problema 10.13

Capítulo 11 Movimiento de Tierras 11.1

IMPORTANCIA DE LOS MOVIMIENTOS DE TIERRAS

Una de las operaciones más importantes en la construcción de carreteras, vías férreas y aeropuertos es el movimiento de grandes volúmenes de tierra, conocido como movimiento de tierra, el cual requiere un gran esfuerzo de ingeniería que se reflejará tanto en los trabajadores como en el equipo que realiza la obra. Para obtener una operación adecuada del proyecto constructivo, es de vital importancia llevar a cabo la planeación, programación y supervisión de las actividades de movimiento de tierra. Para efectuar la programación es necesario contar con las cantidades de obra en actividades como el desmonte, el desenraice y la limpieza de la zona en la que se construirá, así como la posición y los volúmenes de los cortes y terraplenes; en esta forma podrán asignarse a estas actividades los tipos y número de unidades de equipo de movimiento de tierras que lleven a cabo en la forma más eficiente el trabajo; podrá asignarse asimismo el número adecuado de personas y programas un tiempo correcto para cada fase del proceso constructivo. Los cálculos de movimiento de tierras incluyen la obtención de volúmenes o cantidades, la determinación de niveles definitivos, la compensación de cortes y terraplenes y la planeación de los acarreos más económicos de material. Se utilizan los apuntes de campo y las elevaciones calculadas para graficar las secciones transversales, las cuales estarán a intervalos regulares de estaciones o en estaciones intermedias que pueden haberse establecido en puntos críticos. Las áreas de la sección transversal son aquellas que están limitadas por la línea que representa el terreno natural existente y las líneas que representan el corte o terraplén propuesto. Estas áreas y la distancia medida sobre el eje de la carretera son utilizadas para calcular volúmenes de movimiento de tierras. 11.2 SECCIONES TRANSVERSALES La sección transversal usada en los cálculos de movimiento de tierras, es una sección vertical, perpendicular al eje o centro de línea de la carretera, localizada en estaciones cerradas o intermedias y que representa los límites de un corte o terraplén propuesto o existente. En la figura 11-1 se ilustran unas secciones transversales típicas sobre el terreno de asiento de una carretera. La determinación de las áreas de las secciones transversales se simplifica si éstas se dibujan en papel cuadriculado (papel milimétrico para gráfica). Las secciones se grafican generalmente utilizando una escala igual que la horizontal, es de práctica común el uso de 1 in = 10 ft. Sin embargo, si el corte o terraplén vertical es de magnitud pequeña en comparación con el ancho, puede exagerarse la escala vertical para obtener mayor precisión al graficar esas secciones. Sin embargo, había que tener cuidado para obtener el área correcta de este tipo de secciones; por ejemplo, si se tiene una escala de 1 in = 10 ft en los dos sentidos, vertical y horizontal, un cuadro tendrá un área de 100 ft2, pero si se tiene una escala horizontal de 1 in = 10 ft y vertical de 1 in = 2 ft, el área es únicamente de 20 ft2. El talud lateral se determina generalmente de acuerdo con las especificaciones de diseño, las cuales están basadas en la estabilidad del suelo del corte o del terraplén. Sin embargo, a menudo se toma en cuenta la economía de las operaciones constructivas, por ejemplo, los taludes de un corte podrán tenderse más de lo que se requiera por características del suelo solamente con el objetivo de producir material suficiente para un terraplén cercano en vez de emplear un préstamo de banco para obtener este material. 11.3 ÁREAS Las áreas de secciones transversales que se emplearán en los cálculos de volúmenes de movimiento de tierras se determinan generalmente usando uno de los métodos siguientes: contando los cuadros, por la geometría de trapecios y triángulos, por el método de franjas, por el método de distancia de doble meridiano o con un planímetro. El método de franjas y el de conteo de cuadros son muy sencillos y dan resultados apro-

240

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

Figura 11-1 Secciones transversales típicas en el terreno de asiento de una carretera. (Cortesía de U.S. Army, General Drafting, TM 5-230)

ximados, mientras que los otros métodos arrojan resultados tan precisos como lo permitan los datos que se tienen de la sección transversal. En la práctica común, las áreas de secciones donde hay corte y terraplén simultáneamente, se calculan por separado. 11.4 MÉTODO DE CONTEO DE CUADROS Para obtener un valor aproximado del área de una sección transversal dibujada en papel cuadriculado para secciones transversales, cuente el número de cuadros que se encuentren dentro de los límites de la sección. Luego multiplique el total de cuadros contados por el número de pies cuadrados asignados como área de un sólo cuadro. EJEMPLO 11.1 La figura 11-2 muestra una sección en corte dibujada a escala vertical y horizontal de 1 in = 10 ft. Determínese el área contando los cuadros. Solución: Los cuadros de i in son más fáciles de contar. Hay 24 cuadros de \ in aproximadamente. Cada cuadro de \ in representa 5 ft de lado, por lo que su área es de 5 x 5 = 25 ft2. Multiplíquese el área de un cuadro, por el número total de cuadros contados en la sección: 25(24) = 600 ft2

Resp.

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

241

Figura 11-2 Sección en corte. 11.5

MÉTODO GEOMÉTRICO

Para calcular el área de una sección transversal con el método geométrico (se le conoce algunas veces como método trapezoidal), subdivida el área en figuras geométricas simples, calcule el área de cada figura de acuerdo con su geometría y luego sume los resultados. No hay ninguna regla fija para efectuar las subdivisiones, por lo que la persona que está efectuando los cálculos aplica el juicio para seleccionar las subdivisiones de manera que se obtengan los resultados más directos y precisos. La figura 11-2 ilustra la división de una sección típica de tres niveles en tres triángulos y un trapecio. Las fórmulas usadas son las siguientes: Área de un triángulo:

Área de un trapecio:

EJEMPLO 11.2 La figura 11-2, que se usó para demostrar el método de conteo de cuadros, se divide en tres triángulos:

AEF, EFG y FGB y un trapecio AECB. Determínese el área por el método geométrico. Solución: Encuéntrese el área de cada triángulo:

Encuentre el área del trapecio:

Súmense las áreas para encontrar el área total:

242

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

11.6 MÉTODO DE FRANJAS Para determinar el área de una sección transversal graficada, subdivídase el área en franjas con líneas verticales espaciadas a intervalos constantes. Mídase la longitud total de estas líneas, acumulando sucesivamente la longitud de cada línea a lo largo del borde de una franja que puede ser de papel o plástico. Luego multiplíquense las longitudes promedio acumuladas por el ancho de la franja. Los intervalos constantes de 3, 5 o 10 ft en función de lo irregular del terreno, son anchos de franja adecuados para obtener resultados satisfactorios. Hay que tener cuidado con las escalas horizontal y vertical y de la sección transversal. El procedimiento, es ilustrado en la figura 11-3, como sigue: a) La franja que se muestra tiene 5 cuadros (= {in) de ancho, por 60 cuadros de largo. b) Se coloca el índice cero de la franja en la intersección del terreno y de la línea de talud lateral de la sección, en el extremo izquierdo de la misma. c) La franja ha sido movida un intervalo de cinco cuadros a la derecha, con la lectura cero en la parte inferior. d) La franja ha sido movida otros cinco cuadros a la derecha, con la lectura superior previa (2.5), adyacente ahora a la línea inferior. é) De nuevo se ha movido la franja cinco cuadros a la derecha, haciendo coincidir la lectura anterior de 6.0 con la línea inferior. Este proceso consistente en moverse cinco cuadros a la derecha y pasar la lectura superior a la parte inferior y continuar hasta que la franja llega al extremo derecho de la sección, con la lectura final de 53.0. Multiplíquese esta última lectura (53.0) por el ancho de la franja en número de cuadros (5), para obtener 265.0, que es el número de cuadros contenidos en la sección. Multiplíquese el número de cuadros por el área de un cuadro, en pies cuadrados, para obtener el área total, en pies cuadrados, de la sección. EJEMPLO 11.3 Usando el método de las franjas encuéntrese el área de la sección geométrica que se muestra en la figura 11-2 y compárese la respuesta con los 600 ft2 que se obtuvieron al usar los métodos de conteo de cuadros y geométrico. Solución: Prepárese una franja colocando una hoja de papel de cuaderno sobre el papel cuadriculado de la sección (véase Fig. 11-2). Esto se hace con objeto de que se tenga la marca adecuada de 1 in en la franja sobre el papel de cuaderno, ya que no conocemos sobre éste esa medida y también la franja quedará acorde con el papel cuadriculado de la sección. La franja se corta a un ancho de cinco cuadros. Se tendrá ahora una franja de papel de ancho de 5 cuadros y longitud de 70 u 80 cuadros. Empiécese con el punto cero de la franja colocado en el extremo inferior de la primera columna de 5 cuadros que esté dentro de la figura (en la escala horizontal es el punto 20 y verticalmente 95). Mídase la distancia que hay hasta la línea superior. El primer valor de la franja es 6; el segundo, 18; el tercero, 31; el cuarto, 45; el quinto, 60. Regrésese ahora al cero en su franja y comiéncese con el siguiente valor. Primero, 16; segundo, 33; tercero, 51.2; cuarto, 60.3. Súmese el total de los valores:

Multiplíquese el total por el ancho de la franja, que es 5: 5(123) = 601.5. Cada cuadro tiene un área de 1 ft2, por lo que 601.5(1) = 601.5 ft2. Esta respuesta se aproxima a la de 600 ft2 obtenida utilizando los métodos geométrico y de conteo de cuadros. El método de franjas es rápido y usado a menudo por empresas de ingeniería y consultoría, así como por los departamentos estatales de carreteras en el diseño de estas obras. 11.7

MÉTODO DE DOBLES DISTANCIAS MERIDIANAS

Con el método de dobles distancias meridianas se obtienen valores más precisos de áreas de secciones transversales que con el método de la franja. Sin embargo, requiere más esfuerzo y tiempo. Es esencial que se conozcan las elevaciones (latitudes) y la desviación o distancia a partir del eje o centro de la línea (alejamientos) de todos los puntos de una sección transversal. El método se basa en el hecho de que el área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del producto de los dos lados. Ya que las latitudes y alejamientos forman ángulos rectos entre sí, el área limitada por la distan-

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

243

cia, la latitud y el alejamiento es un triángulo rectángulo. Esta área puede determinarse tomando la mitad del producto de la latitud y el alejamiento. Sin embargo, el triángulo puede exceder o faltar del área total de la figura irregular, dependiendo de su posición. Para evitar la determinación de áreas positivas o negativas de cada triángulo, se hace un pequeño refinamiento. La desviación o el alejamiento se suman dos veces; primero, al determinar la DMD (siglas en inglés de

Figura 11-3 Método de franjas para calcular el área. (Cortesía de U.S. Army, General Drafting, T M 5-230)

244

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

dobles distancias meridianas) y luego, cuando se determina la DMD del siguiente lado. Si multiplicamos la DMD de cada lado por su latitud, obtenemos el doble del área y el signo de este producto indica si el área se suma o resta del área de la figura. EJEMPLO 11.4 Se tiene la sección y la tabla de la figura 11-4. Sígase un procedimiento que muestre paso a paso la obtención del área de la figura por el método DMD. Solución: 1. Calcúlense y regístrense las proyecciones o latitudes y alejamientos en la tabla. 2. Selecciónese como primer punto, la estación ubicada hacia la izquierda, (£>) y también la línea DE, para evitar áreas negativas en las DMD. 3. La DMD del primer lado es igual al alejamiento del lado, 4.0. 4. La DMD de cualquier otro lado (por ejemplo, EF) es igual a la DMD del lado previo (EF). Por tanto: DMD de EF .= 4.0 + 4.0 + 30.0 = 38.0

Figura 11-4 Método de dobles distancias meridianas para calcular el área.

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

245

Para el lado siguiente, se continúa con el mismo procedimiento; así: DMD de FI = DMD del lado precedente + alejamiento del lado precedente + alejamiento del lado calculado = 38 + 30.0 + 30.0 = 98.0 5. La DMD del último lado es numéricamente igual al alejamiento, pero con signo contrario (+ 14.0). 6. Cada valor de la DMD se multiplica por su latitud, registrando los productos positivos en áreas dobles norte, y los negativos, en áreas dobles sur. 7. La suma de las dobles áreas sur, menos la suma de las dobles áreas norte, sin importar el signo, es igual al doble del área de la sección transversal. El valor obtenido, dividido entre dos, es el área real de la sección transversal. Todos los cálculos se han llevado a cabo en la tabla que se anexa en la figura 11-4. 11.8 ÁREA POR COORDENADAS

Usando las coordenadas de los puntos con los que se forma una figura podemos calcular el área en la forma siguiente: 1. Dibújese un eje de ordenadas (línea "Norte-Sur") en el punto más a la izquierda ("Oeste") de la figura de la que se quiere determinar el área. 2. Dibújese un eje de las abcisas (línea "Este-Oeste" en el punto que esté más abajo (al "Sur") de la figura. 3. Lístense las coordenadas x y. 4. Dibújese una serie de líneas continuas empezando con el punto ubicado más a la izquierda y recorriendo la figura en el sentido de las manecillas del reloj. Nota: En la figura 11-4 las líneas continuas son desde D en la coordenada x a E en la coordenada y; de E en la coordenada x a F en la coordenada y, etcétera. 5. Dibújese una serie de líneas punteadas empezando con el punto más a la izquierda y recorriendo la figura en contra del sentido de las manecillas del reloj. Nota: En la figura 11-4, las líneas punteadas van de D en la coordenada x a C en la coordenada y, etcétera; véase la tabla 11-1. 6. Efectúese la multiplicación de los valores de línea continua y de línea punteada. 7. Súmese cada juego de productos. 8. Divídase la diferencia de las sumas entre dos. El resultado es el área en unidades cuadradas. Tabla 11-1 Área por coordenadas (Ejemplo 11.5)

246

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

EJEMPLO 11.5 Se tiene la sección que se muestra en la parte superior de la figura 11-4. Encuéntrese el área por el método de coordenadas. Compárese su respuesta con la que obtuvo por el método de DMD. Solución: Dibújese un eje de ordenadas (línea "Norte-Sur") en el punto más hacia la izquierda ("Oeste"). Dibújese un eje de las abcisas (línea "Este-Oeste") a través del punto colocado más abajo (más al "Sur"). Hágase una lista de las coordenadas xy. Ejecútese los procedimientos de línea continua y línea punteada tal como se listaron en la sección 11.8; véase la tabla 11-1. La respuesta concuerda con la que se encontró con el método DMD. 11.9

VOLÚMENES

El cálculo de volúmenes de movimientos de tierras es básicamente un problema de geometría sólida. Estos volúmenes se determinan principalmente mediante uno de los siguientes tres métodos: 1. El método del promedio de áreas extremas 2. La fórmula del prismoide 3. El método de la línea de contorno 11.10 VOLUMEN POR PROMEDIO DE ÁREAS EXTREMAS El método de promedio de áreas extremas se utiliza generalmente para calcular el volumen existente entre dos secciones transversales o áreas extremas. Las fórmulas para áreas extremas que se muestran en seguida arrojan buenos resultados cuando las dos áreas extremas son aproximadamente iguales en forma y tamaño. Sin embargo, al crecer las diferencias en la forma entre las dos áreas, crece también el error en el volumen calculado, y cuando un área tiende a hacerse un punto (valor cero), el error llega a un máximo. Si las dos áreas extremas adyacentes son idénticas en forma y tamaño, la figura geométrica sólida que se forma es un prisma. El volumen V de un prisma se obtiene con la fórmula siguiente:

donde

V = volumen en unidades cúbicas A1, A2 = las áreas extremas respectivas en unidades cuadradas L = La distancia perpendicular entre las áreas extremas, en unidades lineales

Nota: Si A1 = A2, V = AL Cuando una de las áreas extremas es cero, la figura geométrica es una pirámide cuyo volumen es igual a un tercio del área de la base multiplicada por la longitud La fórmula del método supone que el volumen contenido entre áreas extremas sucesivas es un producto del promedio de las dos áreas extremas y la distancia perpendicular que hay entre ellas. Esto se expresa con la fórmula mencionada anteriormente: V = (A1 + A2)L/2. Si se desea obtener Fen yardas cúbicas (yd3) y A1 y A2 se expresan en pies cuadrados y £ en pies, la fórmula sería:

Para L - 100 ft, espaciamiento normal que hay entre secciones transversales y expresando A{ y A2 en pies cuadrados: EJEMPLO 11.6 Se tienen dos áreas extremas, separadas 100 ft. A1 es el área que se muestra con la figura 11-2. A2 es

igual al área mostrada en la figura 11-5. Calcúlese el volumen de material existente entre estas dos áreas extremas.

Solución: Encuéntrese geométricamente el área de la figura 11-2. Los cálculos se llevan a cabo en el ejemplo 11.2 A1 = 600 ft2.

Capítulo 11 ]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

247

Figura 11-5 Sección en corte (división geométrica). A continuación, encuéntrese el área de la figura 11-5. Úsese la fórmula y la fórmula A para encontrar el área del trapecio.

para encontrar el área de un triángulo

Úsese la fórmula para obtener las yardas cúbicas de material en una distancia de 100 ft.

11.11 VOLUMEN USANDO LA TABLA DE ÁREAS EXTREMAS Otra forma de encontrar el volumen por áreas extremas consiste en sumar las dos áreas extremas y aplicar la tabla 11-2. La tabla se ha construido para usarse con la suma de las áreas extremas, y por tanto, no es necesario calcular el promedio de las áreas extremas. El ejemplo 11.7 ilustra la forma de aplicación de la tabla 11-2. EJEMPLO 11.7 Dos secciones separadas 100 ft entre sí, tienen áreas de 121.1 y 316.2 ft2, respectivamente. Encuéntrese el volumen de la sección, aplicando la tabla 11-2. Solución: Suma de áreas extremas = 121.1 + 316.2 = 437.3 ft2 Véase la tabla 11-2. El valor 437 se encuentra a la izquierda de la línea gruesa abajo de la columna encabezada por 800. En el mismo renglón con 437 y bajo la columna encabezada 0.3, se encuentra el valor 9.81. Sume estos dos valores para encontrar el volumen: 800 + 9.81 = 809.81 = 810 yd3 Resp. Este es el volumen existente entre las dos estaciones. Nota: En el caso de que la distancia entre las estaciones sea diferente a 100 ft, multiplíquese el resultado obtenido por la distancia real que hay entre las estaciones y divídase entre 100. En el caso de que las sumas de las áreas sea mayor que 1673.9 ft2, divídase la suma en partes que caigan en los valores contenidos en la tabla y súmense los resultados para obtener el volumen total.

248

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Tabla 11-2 Obtención del volumen a partir de áreas

Fuente: P. Kissam, Sunxying Praclice, McGraw-Hill, New York, 1978.

[Capítulo 11

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

Tabla 11-2 (cont.)

249

250

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

11.12 VOLUMEN POR LA FÓRMULA DEL PRISMOIDE

Cuando se requieren valores más exactos de los volúmenes de movimientos de tierras, se utiliza la fórmula del prismoide. Esta fórmula se aplica a menudo para determinar volúmenes de materiales costosos de construcción con formas complicadas, tales como las del concreto colocado en el sitio. El volumen del prismoide se expresa con la siguiente fórmula:

donde

el volumen en unidades cúbicas áreas extremas en unidades cuadradas el área de la sección localizada a la mitad de la distancia entre A1 y A2, en unidades cuadradas distancia perpendicular entre las áreas extremas, en unidades lineales

Am se obtiene dibujando primero la sección media a partir del promedio de las dimensiones de las secciones A1 y A2 y calculando luego el área de esta sección nueva y no promediando el área de A1 y A2. EJEMPLO 11.8 En la figura 11-6, A¡ = 175.2 ft y A2 = 116.8 ft2 son las áreas calculadas para las secciones transversales 110 + 00 y 111 + 00 respectivamente. El área Am = 144.4 ft2, de la estación 110 + 50 se determinó a partir de la sección resultante de promediar las dimensiones lineales de A1 y A2. Encuéntrese el volumen existente entre las áreas extremas A1 y A2 usando la fórmula del prismoide.

Figura 11-6

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

251

Solución: Los valores medios de 70.7 y 16.1 que se tienen en la intersección del terreno natural y el talud lateral izquierdo en son iguales a la mitad de la suma de los valores que corresponden a esa posición en respectivamente, o sea

Los valores 68.1 y 3.0 así como 69.3 y 19.8 se calculan usando el mismo procedimiento. Los valores 74.0 y 10.0 son constantes en las tres secciones. Sustituyendo en la fórmula del prismoide, el volumen del movimiento de tierra entre las estaciones 110 + 00 y 111 + 00 es

Divídase este número entre 27 (el número de pies cúbicos en una yarda cúbica)

Con el método del promedio de áreas extremas se obtienen 541 yd3 en este mismo caso, un valor que es 0.99 por ciento mayor, por lo que el error es obviamente despreciable.

Problemas Resueltos 11.1 Se tiene una sección transversal en corte; véase la figura 11-5. La escala vertical es 1 in = 5 ft. La escala horizontal es 1 in = 10 ft. Encuéntrese el área limitada por la figura ABCD por el método de conteo de cuadros. Solución Use cuadros de in de lado. Encuéntrese el área de un cuadrado: Distancia horizontal: Distancia vertical: En esta forma:

Área de un cuadrado de

Cuéntense los cuadros en la figura 11-5, haciendo una estimación del número cubierto cuando los cuadros no estén completos. El resultado es de aproximadamente 42 cuadros.

11.2

Se tiene el área limitada por la unión de los puntos RSTUV; véase la figura 11-7. Estímese el valor del área por conteo de cuadros. Solución Use cuadros de in de lado. Encuéntrese el área de uno de los cuadros:

252

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

Figura 11-7 Sección en corte (conteo de cuadros). Distancia horizontal Distancia vertical: En esta forma: Cuéntense los cuadros en la figura; la suma es aproximadamente 35. Por tanto

11.3

Se tiene la sección en corte ADCB con una escala vertical de 1 in = 5 ft y horizontal de 1 in = 10 ft; véase la figura 11-5. Encuéntrese por geometría el área ADCB. Solución Divídase el área en cuatro triángulos, AEF. EFG. FGHv GHB y un trapecio ADCE y utilícense las fórmulas: para el trapecio. para los triángulos y

11.4

Se tiene la sección limitada por ABCDEF; véase la figura 11-8. Encuéntrese su área por el método geométrico. Solución Divídase el área en los triángulos AlB, AFG y CDE, un cuadrado FGIJ y un rectángulo JECB. Encuéntrese el área de cada figura y luego súmense todas. Úsese la fórmula para encontrar el área de los triángulos y A = bh para el cuadrado y el rectángulo.

Capítulo 11 ]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

253

Figura 11-8 Área limitada por ABCDEF.

11.5

Se tiene el área ABCDE (véase Fig. 11-9) con una escala horizontal de 1 in = 10 ft y la escala vertical de 1 in = 2 ft. Encuéntrese el área de esa figura.

Figura 11-9 Área limitada por ABCDE. Solución Divídase ABCDE en los triángulos EAF, EGK, DHK, BCJ y CDH y los rectángulos KGFI y ABJI y súmense para los triángulos y A = bh para los rectángulos. sus áreas. Úsese A

254

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

11.6 La figura 10-11 representa una sección en corte, con el terreno natural en la parte superior. El área está limitada por las líneas que unen A con K. La escala horizontal es 1 in = 10 ft; la escala vertical es 1 in = 5 ft. Encuéntrese por geometría el área de esta sección. Solución Aun cuando no puede dividirse esta sección en una forma geométrica que encaje perfectamente con la línea del terreno natural, el resultado de la suma de áreas tendrá una aproximación suficiente. Subdivídase la sección en triángulos y trapecios. Úsense las fórmulas siguientes: Área de un triángulo: Área de un trapecio: donde

Figura 11-10 Área irregular de corte.

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

255

En los problemas del 11.7 al 11.10 use papel cuadriculado para obtener las coordenadas como se dan en la figura indicada.

11.7 Se tiene el área limitada por la línea ABCD, ver figura 11-5. El área se ha encontrado contando los cuadros (problema 11.1), y se obtuvo un resultado de 131 ft2. Geométricamente encontramos un área de 131.9 ft2 (problema 11.3). Encuentre el área por el método de franjas. Solución Si realizó los cálculos del ejemplo 11.3, cuenta ya con una franja de papel. Si no, haga la franja de papel como se explicó en el ejemplo. Empiece la medida en la franja sobre la figura 11-5 colocándola en la primera columna que indique 5 cuadros y que esté dentro de esta figura. Su ubicación es 15 horizontalmente y 71.25 verticalmente. La colocación del punto en su franja se facilita usando la punta de un compás ordinario o de un compás de puntas rectas. Valor de la primera franja = 2.5 Valor de la segunda franja = 9.0 Valor de la tercera franja = 15.7 Valor de la cuarta franja = 22.7 Valor de la quinta franja = 30.5 Valor de la sexta franja = 38.0 Valor de la séptima franja = 44.5 Valor de la octava franja = 49.0 Valor de la novena franja = 51.5 Valor de la décima franja = 52.4 total 52.4 (Ancho de franja de 5) = 262

Así

11.8

horizontalmente 1 in = 10 ft verticalmente 1 in = 5 ft 10(5) = 50 ft2 por 100 cuadros = 0.5 ft2 por cuadro Área = 262(0.5) = 131.00 ft2 Resp.

Se tiene la figura 11-10. El área tiene un terreno natural irregular y está limitada por los puntos del A al K. Encuéntrese el área por el método de franjas. Solución Aunque aparentemente es un problema difícil debido a lo irregular del terreno natural, el cálculo con franjas es muy simple y arroja resultados precisos. Recórrase el área empezando con una primera sección de 5 cuadros en el punto K (15 horizontalmente, 93.1 verticalmente). La lectura total en la franja es 68. La franja tiene 5 cuadros de ancho, por lo que 68(5) = 340. La escala horizontal = 10 ft; escala vertical = 5 ft. Por lo que 10(5) = 50 ft2 por 100 cuadros o sea 0.5 ft2 por cuadro. Así Área por franjas = 340(0.5) = 170 ft2

Resp.

Esta respuesta se aproxima a la obtenida por geometría 170.6 ft2 (véase el problema 11.6).

256

11.9

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

Se tiene el área limitada por ABCDEF; véase la figura 11-8, la escala horizontal es 1 in = 10 ft, la escala vertical es 1 in = 5 ft. Encuéntrese el área por el método de la franja. Solución La lectura total sobre la franja es de 122. Cada franja tiene 5 cuadros de ancho, por lo que se debe multiplicar 122(5) = 610. La escala vertical = 5 ft; la escala horizontal = 10 ft. Así, 10(5) = 50 ft2 por 100 cuadros, o sea, 0.5 ft2 por cuadro; por tanto Área = 610(0.5) = 305 ft2 Resp.

11.10 Se tiene un área limitada por ABCDKE; véase la figura 11-9. Encuéntrese el área por el método de franjas. Solución Empiece a medir la franja en D (posición 20 y 0). La lectura total sobre la franja es de 174.4. La respuesta que se obtuvo en el problema 11.5 donde el área se calculó en forma geométrica fue de 175 ft2. Las respuestas son muy parecidas, y el método de franjas es muy rápido. Es por esta razón que se usa universalmente en oficinas de carreteras para calcular áreas.

11.11 Se tiene un área limitada por ABCDEFG; véase la figura 11-11. La escala vertical es 1 in = 2 ft y la escala horizontal es 1 in = 10 ft. Encuéntrese el área por el método de dobles distancias meridianas.

Figura 11-11 Método de dobles distancias meridianas para calcular el área.

Capítulo 11 ]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

257

Solución

En la figura 11-11 se muestran todos los cálculos. Primero, a partir de la figura calcule los datos para cada punto. Empezando en el punto A, la latitud del lado AB es +1.0 y el alejamiento es + 5.0. El primer lado tiene entonces un DMD de 5.0. Área doble Norte = 5.0(1.0) = 5.0 El lado BC tiene una latitud de +1.0 y un alejamiento de +20.0. La DMD de este lado es 5.0 + 5.0 + 20.0 = 30.0. Área doble Norte = 30.0(1.0) = 30.0 Calcúlense todos los lados como se muestra en la figura 11-11. De acuerdo con esto: Área = 120 ft2

Resp.

11.12 Se tiene el área ABCDEFG; véase la figura 11-12. Calcúlese el área por medio del método de dobles distancias meridianas. Solución Todos los cálculos se muestran en la tabla anexa en la figura 11-12.

Figura 11-12

258

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

11.13 Se tiene el área ABCDEFG; véase la figura 11-13. Calcúlese el área por el método de dobles distancias meridianas. Solución Todos los cálculos se muestran en la tabla anexa a la figura 11-13.

Figura 11.13

11.14 Se tiene el área ABCDEF; véase la figura 11-14. Calcúlese el área por el método de dobles distancias meridianas. Solución Todos los cálculos se muestran en la tabla anexa a la figura 11-14.

11.15 Se tiene la figura 11-11. Calcúlese el área por el método de coordenadas. Solución Hágase una tabla con las coordendas x y y (véase la tabla 11-3); ejecútense los productos de línea continua y línea punteada. Súmese cada juego de productos. Divídase la diferencia de las sumas entre dos, como se ilustra en la tabla 11-3. Área = 120 ft2

Resp.

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

Figura 11-14 Tabla 11-3 Área por coordenadas. (Prob. 11.15)

11.16 Se tiene la figura 11-12. Encuéntrese el área con el método de coordenadas. Solución Plantéese una tabla y ejecute los cálculos como se indicó en el problema 11.15 (véase la tabla 11-4). Área = 257.5 ft 2

Resp.

259

260

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

Tabla 11-4 Área por coordenadas. (Prob. 11.6)

11.17 Se tiene la figura 11-13. Encuentre el área por el método de coordenadas. Solución Hágase una tabla y realícense los cálculos requeridos (véase la tabla 11.5). Área = 173.75 ft 2

Resp.

Tabla 11-5 Área por coordenadas. (Prob. 11.17)

11.18 Se tiene la figura 11.14. Encuéntrese el área por el método de coordenada.'.. Solución Hágase una tabla y realícense los cálculos requeridos (véase la tabla 11-6). Área = 157.5 ft 2

Resp.

11.19 Se tienen dos secciones de carretera separadas entre sí 100 ft. La primera área extrema se muestra en la figura 11-7. La segunda no se ilustra pero su forma es la misma que la de la primera. Sabemos que el área de esta segunda sección es de 138.9 ft2. Encuéntrese el volumen de material que hay entre estas dos áreas extremas en la distancia de 100 ft.

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

261

Solución Se encontró que el área de la figura 11-7 es de aproximadamente 109.4 ft2 (véase el problema 11.2). Úsese la fórmula para encontrar el volumen de material en yardas cúbicas en una distancia de 100 ft:

11.20 Se tiene una sección de una carretera, la cual se ilustra en la figura 11-10, y otra sección a 100 ft de distancia de la primera. El área de la segunda sección es de 223.5 ft2. Encuéntrese el volumen de material contenido entre estas dos áreas extremas en la longitud de 100 ft. Solución Se encontró que el área de la figura 11-10 es de aproximadamente 170 ft2 (véanse los problemas 11.6 y 1L8). Úsese la fórmula para encontrar el número de yardas cúbicas de material en la longitud de 100 ft.

11.21 Se tienen dos secciones de carretera. Se han calculado las dos áreas de estas secciones por el método de distancia de doble meridiano: Encuéntrese el volumen de material contenido en los 100 ft entre las dos áreas extremas. Solución Se conocen ambas áreas, por lo que resta aplicar la fórmula para obtener el volumen (en yardas cúbicas), contenido en la longitud de 100 ft.

11.22 Se tiene el área extrema que se muestra en la figura 11-7 y una segunda área de 138.9 ft2. Encuéntrese el volumen usando la tabla 11-2 y compárese la respuesta con la que se encontró en el problema 11.19. Solución Área de la figura 11-7 = 109.4 ft2 Segunda área extrema = 138.9 ft2 Total = 248.3 ft2

262

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

Véase la tabla 11-2. El valor 248 cae bajo la columna encabezada 400.00 (volumen). En el mismo renglón, bajo la columna encabezada 0.3 está 59.82. Súmenlos para encontrar el volumen total. 400.00 + 59.82 = 459.8 yd3

Resp.

Esto concuerda con la respuesta obtenida en el problema 11.19 mediante la fórmula del volumen (459.78 yd3).

11.23 Se tienen las áreas extremas que se utilizaron en el problema 11.20. El área de la sección en la figura 11-10 es de 170 ft2 y el área de una segunda sección separada 100 ft es de 223.5 ft2. Usando la tabla 11-2, encuéntrese el volumen existente entre las dos secciones y compárese su respuesta con la que encontró en el problema 11.20. Solución Súmese:

170 + 223.5 = 393.5 ft2

Encuéntrense 393 ft2 en la columna encabezada 700 yd3. En el mismo renglón vea bajo la columna 0.5 encontrando 28.70 adicionales. Súmese: 700 + 28.70 = 728.70 yd3 Resp. Esta es la misma respuesta que la obtenida con el método de fórmulas en el problema 11.20.

11.24 Se tienen dos estaciones, la 115 + 00 y la 116 + 00. Las coordenadas de las secciones se muestran en la figura 11-15. La escala vertical es 1 in = 5 ft y la escala horizontal es de 1 in = 10 ft. Por el método de las franjas se encuentra que Ax = 170.00 ft2 y A2 = 101.25 ft2. Encuéntrese el volumen con la fórmula del prismoide.

Figura 11-15

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

263

Solución se obtiene calculando el área de una sección dibujada con el promedio de las dimensiones de El área media por el método de franjas y obténCalcúlese el área y no obteniendo el promedio de las áreas Sustitúyanse los datos en la fórmula del prismoide: ganse las coordenadas de El área

Divídase entre 27 para poner la respuesta en yardas cúbicas.

11.25 Se tienen las estaciones 87 + 00 + 88 + 00; véase la figura 11-16. Se dan las coordenadas de las secciones en esas dos estaciones. La escala vertical es 1 in = 5 ft y la escala horizontal es de 1 in = 10 ft. Encuéntrese el volumen por la fórmula del prismoide.

Figura 11-16

264

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

Solución Obténgase el promedio de las coordenadas de la estación 87 + 00 y 88 + 00 para poder dibujar la estación intermedia 87 + 50.

El resto de las coordenadas son las mismas. Dibújese la sección en 87 + 50 entre A1 y A2 (es más fácil hacerlo en papel cuadriculado para graficar). Obténgase el área de la estación 87 + 50 por el método de franja. En la figura 11-16 se dan las áreas de A1 yA2. Ahora se cuenta con toda la información necesaria para calcular el volumen con la fórmula del prismoide. Sustitúyase en la fórmula

Divídase este número entre 27 (número de pies cúbicos en una yarda cúbica).

Problemas Suplementarios 11.26 Se tiene la figura 11-17. La escala vertical es 1 in = 5 ft. La escala horizontal es 1 in = 10 ft. Encuéntrese el área de la figura por el método de conteo de cuadros. Resp. 275 ft2

Figura 11-17 11.27 Calcúlese el área de la figura 11-18 contando los cuadros.

Resp. 287.5 ft2

11.28 Calcúlese el área de la figura 11-19 contando los cuadros.

Resp. 587.5 ft2

11.29 Encuéntrese el área limitada por la figura 11-17 por el método geométrico.

Resp. 283.8 ft2

11.30 Encuéntrese el área limitada por la figura 11-18 por el método geométrico.

Resp. 293.76 ft2

11.31 Encuéntrese el área limitada por la figura 11-19 por el método geométrico.

Resp. 597.50 ft2

11.32 Encuéntrese el área dentro de la figura 11-17 por el método de franjas.

Resp. 278.75 ft2

Capítulo 11]

MOVIMIENTO DE TIERRAS

265

Figura 11-18

Figura 11-19

11.33 Encuéntrese el área de la figura 11-19 por el método de franjas. Note que las escalas horizontal y vertical son ambas de 1 in = 10 ft. Resp. 592.50 ft2 11.34 Encuéntrese el área de la figura 11-17 por el método de dobles distancias meridianas.

Resp. 285 ft2

11.35 Encuéntrese el área de la figura 11-18 por el método de dobles distancias meridianas.

Resp. 293.75 ft2

11.36 Encuéntrese el área de la figura 11-19 por el método de dobles distancias meridianas.

Resp. 600.0 ft2

11.37 Se tiene la figura 11-17 con un área extrema encontrada por el método DMD de 285 ft2. A 100 ft de distancia sobre la carretera está otra área calculada de 119.5 ft2. Calcúlese el volumen de material existente entre estas dos áreas extremas. Resp. 749.1 yd3 11.38 Se tiene una carretera con un área extrema en la sección 96 + 00 de 456.6 ft2. La siguiente estación, la 97 + 00 tiene un área extrema de 489.40 ft2. Calcúlese el volumen de material existente entre estas dos estaciones por el método del promedio de las áreas extremas. Resp. 1752 yd3 11.39 Se tienen dos secciones de carretera separadas 100 ft entre sí. La primera sección tiene un área extrema de 341.8 ft2 y la segunda tiene un área de 389.7 ft2. Encuéntrese el volumen de material existente entre estas dos secciones por el método de promedio de las áreas extremas. Resp. 1355 yd3

266

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 11

1751.84 yd3

11.40 Resuélvase el problema 11.38 usando la tabla 11-2.

Resp.

11.41 Resuélvase el problema 11.39 usando la tabla 11-2.

Resp. 1354.63 yd3.

11.42 Se tienen dos estaciones con áreas de 121 y 135 ft2 respectivamente. A la mitad entre ellas, a 50 ft se ha determinado un área exacta de 129.5 ft2. Determínese el volumen del tramo de 100 ft de la carretera usando la fórmula del prismoide. Resp. 477.80 yd3 11.43 Se tiene un área extrema de 234.6 ft2 en la estación 56 + 00 y otra de 257.20 ft2 en la estación 57 + 00. Se ha determinado que a la mitad en un punto a 50 ft de cada una, el área es de 245.30 ft2. Determínese el volumen existente entre las estaciones 56 + 00 y 57 + 00, usando la fórmula del prismoide. Resp. 909.30 yd3

Capítulo 12 Curvas horizontales 12.1 INTRODUCCIÓN Las curvas horizontales pueden ser simples, compuestas, inversas o espirales. Las curvas compuestas e inversas se estudian como una combinación de dos o más curvas simples, mientras que la curva espiral resulta de radios variables. Las curvas que tienen radios cortos (generalmente menores que la longitud de una cinta), pueden trazarse en campo sosteniendo un extremo de la cinta en el centro del círculo y describiendo un arco con la misma, al tiempo que se marcan en el terreno tantos puntos como se desee. A medida que la longitud de la curva se incrementa, la cinta ya no es práctica para el trazo y el ingeniero topógrafo debe usar otros métodos para estos trabajos, como efectuar la medición de ángulos y distancias sobre líneas rectas por medio de los cuales pueden ubicarse puntos selectos llamados estaciones, localizados sobre la circunferencia del arco.

12.2 TIPOS DE CURVAS HORIZONTALES A continuación se describen brevemente los cuatro tipos de curvas horizontales: 1. Curva simple. La curva simple es un arco de círculo (véase Fig. 12-la). El radio del círculo determina lo cerrado o abierto de la curva. A mayor radio, la curva es más abierta. Este es el tipo de curva más utilizado. 2. Curva compuesta. Frecuentemente se necesita adaptar al terreno una curva compuesta. Esta curva consta generalmente de dos curvas simples unidas, del mismo sentido; véase la figura 12-16. 3. Curva inversa. Consiste en dos curvas simples juntas, de diferente sentido; véase la figura 12-lc. Por razones de seguridad este tipo de curva se usa muy poco en carreteras, ya que provoca que un auto móvil tienda a salirse del camino. 4. Curva espiral. La curva espiral es una curva cuyo radio varía en forma continua. Se usa en ferrocarriles y en algunas carreteras modernas. Su propósito es proporcionar una transición de la tangente a una curva simple o entre las curvas simples que forman una curva compuesta; véase la figura 12-1d. Esta curva no será explicada con mayor detalle ya que rebasa los alcances de este libro de texto.

Figura 12-1 Curvas horizontales.

12.3 ELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLE A continuación se mencionan los elementos principales de una curva simple; véase la figura 12-2. 1. Punto de intersección. El punto de intersección (P/) es el punto donde se intersectan la tangente de atrás o de entrada y la tangente de adelante o de salida. Es una de las estaciones correspondientes a la poligonal preliminar.

268

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

Figura 12-2 Elementos de una curva circular simple. 2. Ángulo de intersección. El ángulo de intersección (I) es el ángulo de deflexión en el PI. Su valor se calcula a partir de los ángulos de estación de la poligonal preliminar, o bien, se mide en el campo. 3. El radio. El radio (R), es el radio del círculo del cual la curva es un arco. 4. Principio de curva. Es el punto donde comienza la curva. La tangente de atrás es tangente a la curva en este punto. (PC) 5. Principio de tangente. El PT marca el final de la curva. La tangente de adelante es tangente a la cur va en este punto. 6. La longitud de la curva. La longitud de la curva (L) es la distancia entre el PC y el PT, medida sobre la curva. 7. La subtangente. La subtangente (ST) es la distancia, medida sobre las tangentes, del PI al PC o al PT. Estas distancias son iguales en una curva simple. 8. El ángulo central. El ángulo central (Δ) es el ángulo que se forma entre dos radios que unen él centro del círculo (O) con el PC y el PT. El ángulo central es igual en valor al ángulo de intersección o deflexión de las tangentes (Δ = I). 9. Cuerda larga. La cuerda larga (CL) es la cuerda que une el PC con el PT. 10. Externa. La externa (E) es la distancia que hay del PI al punto central de la curva. La externa bisecta el ángulo interior del PI. 11. Ordenada media. La ordenada media (M) es la distancia del punto central de la curva al punto localizado a la mitad de la cuerda larga. La prolongación de la ordenada media bisecta al ángulo central. 12. Grado de curvatura. El grado de curvatura (G) define si la curva es cerrada o abierta. Hay dos definiciones comunes para el grado de curvatura (véase Fig. 12-3) que son las siguientes:

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

269

Figura 12-3 Grado de curvatura.

a) Definición de cuerda. En esta definición se establece que el grado de curvatura es el ángulo que se forma por dos radios que parten del centro del círculo a los extremos de una cuerda de 100 ft de longitud; véase la figura 12-3 a. Esta definición se aplica principalmente en construcción de ferrocarriles civiles y en la fuerza armada para carreteras y ferrocarriles. b) Definición de arco. En esta definición se establece que el grado de curvatura es el ángulo forma do por dos radios que parten del centro del círculo (punto O en la figura 12-2) a los extremos de; un arco de 100 ft de longitud. Esta definición se aplica principalmente en carreteras; véase la figura 12-3 b. Note que mientras más grande es el grado de curvatura, la curva es más cerrada y el radio es más corto. 13. Cuerdas. En las curvas que tienen un radio largo no es práctico estacar su trazo ubicando el centro del círculo y describiendo un arco con la cinta. Estas curvas se replantean colocando estacas en los extremos de una serie de cuerdas; véase la figura 12-4. Ya que los extremos de las cuerdas se locatizan sobre la circunferencia de la curva, queda definido el arco en el campo.

Figura 12-4 Ángulos de deflexión.

270

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

La longitud de las cuerdas varía con el grado de curvatura. Se acostumbra usar las siguientes longitudes de cuerda para reducir la discrepancia que hay entre la longitud de cuerda y la longitud de arco:

Las longitudes de cuerda dadas en la tabla anterior son aquellas distancias máximas para las que la diferencia entre la longitud del arco y la longitud de la cuerda cae dentro del error permisible al medir con cinta, el cual es de 0.02 ft por 100 ft en la mayoría de los levantamientos topográficos. Las estacas de la curva podrán colocarse a partir de mayores o menores longitudes de cuerda de las que se recomiendan en la tabla, dependiendo de las condiciones del terreno y de las necesidades del supervisor del proyecto. 14. Ángulos de deflexión. Los ángulos de deflexión son los ángulos que se forman entre la tangente y los extremos de las cuerdas, con el PC como vértice; véase la figura 12-4. Se usan para determinar la dirección en la que se trazarán las cuerdas. La suma de los ángulos de deflexión es igual a la mitad del ángulo de intersección de las tangentes ( ½ I). Esta suma sirve de comprobación de los ángulos de deflexión calculados. 12.4 FÓRMULAS DE LA CURVA SIMPLE (DEFINICIONES DE ARCO Y CUERDA) Para el cálculo de una curva simple se utilizan las siguientes fórmulas, las cuales se aplican tanto para las definiciones de arco como para las de cuerda, con excepción de aquellas que tengan una nota al respecto. Véase la figura 12-5.

Figura 12-5 Una curva simple.

donde L = longitud de arco (exacta) para la definición de arco y es la distancia aproximada sobre la cuerda, para la definición de cuerda.

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

271

Ángulos de deflexión

donde

d = ángulo de deflexión en minutos C = longitud de cuerda en ft G = grado de curvatura Las ecuaciones (12-11a) y (12-11b) son exactas si se usa la definición de 100 ft de arco y aproximadas con la definición de la cuerda. donde

C = longitud de cuerda en ft R = radio

donde

d = ángulo de deflexión en minutos a = longitud de arco en ft R = radio

La ecuación (12-11c) es exacta para la definición de cuerda.

12.5

SOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLE

Para resolver una curva simple deben conocerse tres elementos: el punto de intersección (PT), el ángulo de intersección o de deflexión de las tangentes / y el grado de curvatura. Este último es un dato de las especificaciones del proyecto, o bien, se calcula a partir de alguno de los elementos que haya sido limitado por el terreno. El Pi e I se determinan generalmente a partir de la poligonal del trazo preliminar del cambio o del proyecto que se estudie, aunque pueden determinarse por triangulación cuando el PI es inaccesible. EJEMPLO 12.1 Suponga que se conocen los siguientes datos de una curva: PI = 18 + 00,7 = 75° y G = 15°. o) Resuelva la curva aplicando la definición de arco, b) Resuelva la curva aplicando la definición de cuerda. Solución: Haga un diagrama de la curva como referencia; véase la figura 12-5. Utilice una calculadora de mano en vez de una tabla para encontrar las funciones matemáticas, ya que con aquélla no se redondean las cifras y se obtendrán resultados más precisos.

272

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

12.6 ESTACADO DE UNA CURVA HORIZONTAL SIMPLE

Los ingenieros topógrafos necesitan estacar a menudo el trazo de las curvas horizontales. Esto se logra de diferentes maneras, por lo que se menciona a continuación un procedimiento común para hacerlo; una vez que sea entendido este procedimiento será fácil seguir otros sistemas para trazo en campo de curvas horizontales. Una curva simple está compuesta de un solo arco de círculo. Generalmente la curva debe replantearse como la unión de dos líneas rectas denominadas tangentes, las cuales están marcadas sobre el terreno en varios PT(Puntos sobre tangente); véase la figura 12-6a; la primera tangente o tangente de entrada se marca generalmente en estaciones. Se trazan las dos tangentes a su punto de intersección, localizando así el PI(punto de intersección). Se miden el cadenamiento del PI y el ángulo x ;véase la figura 12-66. Con estos valores y cualquier valor de R (el radio deseado para la curva), pueden calcularse los datos que se requieren para trazar y estacar la curva. Se coloca el tránsito en el PC (principio de curva), a una distancia ST(subtangente) del PI, apuntando al Picón el vernier fijado en cero. Luego se procede a colocar las estacas sobre el trazo de la curva, generalmente a intervalos de 50 ft, midiendo la cuerda calculada a partir del punto anterior localizado sobre la curva y alineándose con la visual del tránsito el cual ha sido girado un ángulo de deflexión apropiado, tal como se muestra en la figura 12-7. El punto en el que termina la curva, sobre la tangente de salida es el PT(principio de tangente).

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

Figura 12-6 Procedimiento de estacado de una curva.

Figura 12-7 Método para colocar estacas sobre el trazo de una curva de 350 ft de radio.

273

274

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

EJEMPLO 12-2 Véanse las figuras 12-7 y 12-8. Se tiene R = 350 ft; I = 70°00'10"; cadenamiento del PI = 20 + 40.00. Calcúlese y elabórese el registro de trazo de esta curva.

Figura 12-8 Registro de campo para trazo y colocación de estacas en una curva. Solución: 1. Fije el PI intersectando las dos tangentes. 2. Mida el cadenamiento del PI 40 ft a partir de la estación 20 + 00, así: Cadenamiento del PI = 20 + 40.00 3. Mídase el ángulo I. El ángulo x debe medirse y calcularse. I = 180° - x = 179°59'60" - 109°59'50" = 70°00'10" 4. Calcúlese ST.

ST=Rtan ½I I = 70°00'10"

hl = 35°00'05"

Conviértase 05 segundos a parte decimal de grado

En esta forma Sustitúyase ahora en la fórmula: 5. Calcúlese L, que es la longitud real sobre el círculo. Úsese la tabla 12-1. Esta tabla transforma grados a radianes. Sepárese el valor de I en partes, tal como se muestra. Para encontrar valores de los dígitos sencillos, divídase entre 10 el valor que corresponde en la tabla al dígito multiplicado por 10. La suma de las partes es la longitud de una curva que tiene el ángulo I dado y un pie de radio. Para obtener L (la longitud del arco de círculo), multiplíquese la longitud calculada por el radio R. Tenemos I = 70°00'10"; use la tabla 12-1 para calcular L.

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

Como comprobación, aplique las ecuaciones (12-12) y (12-14):

Tabla 12-1 Longitud de curva para un radio de 1 ft

6. Calcúlense los cadenamientos. Las estaciones se colocan en forma continua a partir de la tangente de entrada, sobre la curva y siguiendo en la tangente de salida; véase la figura 12-7.

7. Calcúlense los ángulos de deflexión. El primer ángulo de deflexión subtiende un arco que une el PC con la primera estación múltiplo de 50 ft que esté dentro de la curva. Primero calcúlese la longitud del arco.

Ahora aplíquese la ecuación

Note en dónde se apunta este ángulo en los registros de campo (Fig. 12-8).

275

276

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

El segundo ángulo de deflexión es igual al primer ángulo de deflexión más el ángulo que subtiende a 50 ft.

Conviértanse los minutos a grados: Hay 60 minutos en 1 °. El múltiplo de 60 más cercano a 245.57 es 4(60) = 240. Por tanto: Tenemos ahora 4°5.57'. Conviértanse 0.57 minutos a segundos: (0.57 minutos)(60 segundos por minuto) =34.2 egundos En esta forma:

245.57' = 4°5'34.2"

En las notas de campo, los segundos se redondean al siguiente múltiplo de 15 segundos. El ángulo anterior se registraría entonces como 4°5'30". El valor de 4°05.57' se suma para cada punto de 50 ft sobre la curva hasta llegar al punto previo al PT 22 + 22.53. El arco hasta el PT es entonces de 22.53. El ángulo de deflexión de este arco se calcula a continuación:

Con estos valores pueden calcularse los ángulos de deflexión (véase tabla anexa). El ángulo de deflexión que corresponde al PT debe ser igual a \l, o sea 35°00'05". En la tabla se obtiene un valor para este ángulo de 35°00'15". El pequeño error es debido al redondeo de cifras. Cuando se tienen errores grandes hay una equivocación en los cálculos. 8. Calcúlense las longitudes de las cuerdas. Ya que la longitud de cada cuerda es ligeramente menor que la longitud del arco al que subtiende, es necesario calcular las longitudes de cuerda. Úsese la Tabla 12-2. Búsquese abajo de la columna R el radio de 350. Avance el renglón hasta la columna encabezada 20 (cerca de 22.53 ft). Ahí se lee 0.003. Réstese la corrección para encontrar la longitud de la cuerda: 22.53 - 0.003 = 22.527 - 22.53 Repita este proceso para cada arco. Los valores se registran en la tabla anexa.

9. Fije el PT. Mida 57" = 245.09 ft a partir del PI para colocar sobre la tangente de salida. 10. Fije el PC. Mida 94.91 ft a partir de la estación 17, alineándose. 11. Fije las estaciones. Colóquese en el PC, ponga el vernier en cero y vise al PI. Gírese a la izquierda el ángulo de deflexión para la estación 18 + 00.00 (0°25'00") y fíjese la estación midiendo la distancia de la cuerda a partir del PC (5.09) y haciéndola coincidir con la línea de visual. A continuación póngase el vernier en el siguiente ángulo de deflexión (4°30'30") y colóquese la estación 18 + 50.00 alineado con esta visual y a una distancia de cuerda de (49.96 ft) a partir del 18 + 00.00. Prosígase en esta forma, dando sucesivamente cada ángulo de deflexión y midiendo la longitud requerida de cuerda a partir de la estación previa hasta colocar el último punto previo al PT (22 + 22.53). 12. Mídase hasta el PT. Supóngase que desde el 22 + 00.00 al PT se midió 22.40 ft en vez de la longitud de cuerda de 22.53 ft, teniendo un error de 0.13 ft. Gírese el tránsito al ángulo de deflexión para el PT (35°00'05"). Mídase la distancia perpendicular de la línea de visual al PT. Supóngase que ésta es 0.152 ft. Calcúlese el error total, usando la fórmula siguiente:

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

277

Cálcalo de ángulos de deflexión para el problema 12.2

13. Calcúlese la relación de error con la fórmula siguiente:

La longitud total del trazo = 2ST + L = 2(245.09) + 427.62 = 917.80 ft Relación de error:

La relación de error es 1:4859. La máxima relación que se aceptaría es de 1:3000 por lo que en este caso el error es aceptable.

12.7 CURVA COMPUESTA

A menudo se unen dos curvas de diferente radio, como se muestra en la figura 12-9. El punto P se denomina punto de curva compuesta (PCC). La línea GH es una tangente. El subíndice 1 identifica la curva de menor radio.

278

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Tabla 12-2 Correcciones a subarcos para subcuerdas, dado R (restar)

[Capítulo 12

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

Tabla 12-2 (cont.)

279

280

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

Figura 12-9 Una curva compuesta.

Se mide el ángulo: se tienen siguientes variables. A partir de la figura:

Para encontrar los datos de las dos curvas se calculan las

Estacado de las curvas

Para colocar las estacas de las curvas, se calculan los ángulos y las cuerdas para las dos curvas en forma separada. Al llegar al punto P, el tránsito se orienta hacia la segunda curva haciendo que se lea cero en el vernier cuando se vise sobre una tangente común imaginaria GH. Para lograr esto vise hacia cualquier punto localizado sobre la primera curva, con el telescopio invertido y el vernier colocado a la derecha (si la primera curva es izquierda), en el ángulo de deflexión del PCC de la primera curva menos el ángulo de deflexión del punto visado. Una vez que Ud. esté orientado en esta forma, pueden aplicarse los ángulos de deflexión calculados para la segunda curva. Tenemos una curva compuesta para la que se conocen los siguientes datos: cadenamiento del PI = 22 Refiérase a la figura 12-9. Calcule los cadenamientos del PC, PCC y PT, así como la longitud STC2. EJEMPLO 12.3

Solución: 1. Mídase el ángulo 2. Encuéntrese

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

281

Nota: Para encontrar las funciones trigonométricas, ponga los ángulos en grados y decimales.

En esta forma: 3. Encuéntrese ST1

Sustitúyanse estos valores en la ecuación (12-16).

Encuéntrese

Póngase este resultado en grados con fracción decimal y encuentre la tangente.

4. Encuéntrese GH. 5. Encuéntrese VG.

Sustitúyase en la ecuación (12-18).

6. Encuéntrese VH. Sustitúyase en la ecuación (12-19).

7. Encuéntrese STC1. Sustitúyase en la ecuación (12-20) 8. Encuéntrese STC2. Sustitúyase en la ecuación (12-21).

9. Encuéntrense L1 y L2 (las longitudes de los arcos de círculo de las dos curvas. Úsese la tabla 12-1 para encontrar las longitudes de cada fracción de los ángulos.

282

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

10. Resumen del ejemplo:

Problemas Resueltos Para resolver estos problemas, dibújese un diagrama y escríbanse las fórmulas necesarias. 12.1 Se tiene el cadenamiento del PI 104 + 50.00; I = 8°00'00" der (der significa que la curva es derecha); G = 2°00'00". Dibújense arcos simples para el centro de línea o eje de trazo y para el de la construcción. Resuélvase para el eje de trazo encontrando R, ST, PC, L, PT, E, M y CL por la definición del arco. Solución Dibújese la curva; véase la figura 12-10a. Sustitúyanse los datos en las fórmulas de la curva simple. Úsese la ecuación (12-1) para el radio:

Aplíquese la ecuación (12-3) para encontrar la subtangente:

Encuéntrese el punto de curva (PC), usando la ecuación (12-5).

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

283

Figura 12-10 Esquema de los ejes de trazo y construcción. Encuéntrese la longitud de la curva L, usando la ecuación (12-4)

Encuéntrese el punto de tangencia PT, aplicando la ecuación (12-6).

Encuéntrese la externa E, con la ecuación (12-8).

Encuéntrese la ordenada media

Encuéntrese la cuerda larga, usando la ecuación (12-14).

12.2 Se tienen los mismos datos del problema 12.1. El eje de construcción está a 23 ft a la derecha del eje de trazo; véase la figura 12-10a. Encuéntrese la sabtangente (ST), el radio (R) y la cuerda larga (CL) del eje de construcción. Solución Calcúlese el nuevo radio R. Ya que el eje de construcción está 23 ft a la derecha, hágase la resta para encontrar el nuevo radio.

12.3 Se tienen los siguientes datos sobre el polígono base de trazo. Cadenamiento del PI = 109 + 94.56; I = 8°00'00" izq. (izquierda); G = 2°00'00". Encuéntrese, usando la definición de arco, R, ST, PC,

L, PT y CL. Solución

284

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

12.4 Se tienen los mismos datos del problema 12.3, excepto que el eje de construcción está a 23 ft a la derecha de la línea base del trazo, y no se da un nuevo grado de curvatura G para el eje de construcción. Encuéntrense, usando la definición de arco, R, ST, PC, G, L, PT y CL. Solución Encuéntrese el nuevo radio R del eje de construcción.

12.5 Se tiene la información siguiente de una curva horizontal: cadenamiento del PI Encuéntrense Solución

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

285

Encuéntrese la ordenada media:

La siguiente serie de problemas se resolverá con la definición de cuerda.

12.6

Se tiene el cadenamiento de PI = 104 + 50.00; / = 8°00'00"; G = 2°00'00"; véase la figura 12-10a. Determínese el eje del trazo, usando la definición de cuerda. Encuéntrense R, ST, PC, L, E, M y CL. Solución Sustitúyanse los datos en las fórmulas para la definición de cuerda de la curva simple.

12.7 Se tienen los datos del problema 12.6; I = 8°00'00". El eje de construcción está ubicado a 23 ft a la derecha del eje de trazo; véase la figura 12-10a. Resuélvase la curva del eje de construcción. Encuéntrense R, ST y CL. Solución

12.8 Un centro de línea o eje de construcción está desplazado 23 ft a la derecha de la poligonal base del trazo (este problema es muy común en diseño de carreteras). Se cuenta con los datos del eje de trazo:

286

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

PI = 109 + 94.56; I = 8°00 / 00" izq; G = 2°00'00". Resuélvase el eje de trazo por la definición de cuerda. Encuéntrense R, ST, PC, PT y CL. Solución Dibújese un esquema de los arcos; véase la figura 12-10ft.

12.9 Se cuenta con los mismos datos del problema 12.8, excepto que el eje de construcción se localiza a 23 ft del eje de trazo. El grado de curvatura no es un dato y deberá recalcularse, ya que ha variado el radio

R. Encuéntrense R, G, ST, PC, L, PT y CL. Solución Dibújese un diagrama de los arcos; véase la figura 12-10b.

12.10 Se tiene el PI de estación 100 + 00.00; I = 23°08 08' izq.; G = 2°00'00". Encuéntrense R, ST, PC, L, PT, M y CL por el método de cuerda. Solución

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

Para encontrar la tangente de

287

conviértase este valor a grados y fracción decimal.

Encuéntrese la ordenada media.

12.11 Se tienen los siguientes datos de una curva simple. Calcúlese y realícese los registros de campo. Solución 1. Fíjese el PI. 2. Mídase el cadenamiento del PI. Mídanse 40.00 ft a partir de la estación 7 + 00.00: PI = 7 + 40.00. 3. Mídase el ángulo I. El ángulo x debe medirse generalmente dos veces directa e inversa, al menos 1 DI y calcularse a partir de esto. 4. Calcúlese ST. Conviértase

grados con fracción decimal para obtener la función tangente en la calculadora de mano.

Sustituyendo este valor en ST

5. Calcúlese L. Úsese la tabla 12-1 después de fraccionar I en la forma que se muestra, para calcular las longitudes.

L = (longitud de curva para un radio de 1 ft) R = 1.34001 (300) = 402.00 ft 6. Calcúlense los cadenamientos

288

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

7. Calcúlense los ángulos de deflexión.

Háganse los cálculos para cuerdas de 50 ft.

Cálculos para el arco final.

Cálculo de ángulos de deflexión para el problema 12.11

Por tanto:

Ángulo total de deflexión = 38°23'30"

La pequeña diferencia entre estos dos valores es debida al redondeo de cifras. Como comprobación, Véase la tabla 12-3, donde se muestran los registros de campo.

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

289

Tabla 12-3 Registros en la libreta de campo para el problema 12.11

8. Calcúlense las longitudes de cuerda. Usando la tabla 12-2.

12.12 Se tiene G = 15°; PI = 18 + 00; I = 75°. Plantéese el estacado de esta curva simple y sus notas de campo. Solución 1. Fíjese el PI. 2. Mídase el cadenamiento del PI. No hay diferencia con la estación 18 + 00.00 ft, así es que la añadidura de PI es 0. 3. Mídase el ángulo I. Debe medirse y calcularse el ángulo x. 4. Calcúlese ST. Primero encuentre el radio (definición de arco)

5. Calcúlese L usando la tabla 12-1 y fraccionando I = 75° en las partes que se muestran.

6. Calcúlense los cadenamientos.

290

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

7. Calcúlense los ángulos de deflexión. Primera estación múltiplo de 50 ft

Úsese la fórmula: Para arcos de 50 ft: Último arco:

Cálculo de ángulos de deflexión para el problema 12.12

Nótese que el ángulo de deflexión en cada estación es un total acumulado. Véanse en la tabla 12-4las notas de la libreta de campo.

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

291

Tabla 12-4 Registros en la libreta de campo para el problema 12.12

8. Obténganse las longitudes de cuerda.

9. Fíjese el PT. Mídase ST de 293.10 ft a partir del PI y sobre la línea de la tangente de salida, colóquese el PT. 10. Fíjese el PC. Mídase 06.90 ft a partir de la estación 15 + 00 y de línea. 11. Fíjense las estaciones. Colocándose en el PC, póngase el vernier en cero y vísese el PI. Gírese a la izquierda el ángulo de deflexión para la estación 15 + 50 (3°14'00") y a una distancia del PC igual a la cuerda de 43.08 ponga esa estación. Fíjese el vernier en el segundo ángulo de deflexión (6°59'00") y fíjese la estación 16 + 00 alineado a la distancia de la cuerda de 49.96 a partir del 15 + 50. Continúese de esta manera, marcando cada ángulo de deflexión sucesivo para 50 ft. El último punto se fija antes de llegar al PT (20 + 06.90).

12.13 Calcúlense los datos necesarios y hágase el registro de campo para la siguiente curva horizontal. Véanse estaciones de 50 ft. Se tiene el PI = 54 + 32.2; I = 24°20'; G = 4°00'. Solución 1. Fíjese el PI intersectando las dos tangentes. 2. Mídase el cadenamiento del PI, avanzando 32.2 ft a partir de la estación 54 + 00; en esta forma: Cadenamiento PI = 54 + 32.2 3. Mídase el ángulo I. El ángulo x debe medirse y calcularse I.

4. Calcúlese ST. Primero encuentre R.

292

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

5. Obténgase L. Por la fórmula,

6. Obténgase el cadenamiento.

7. Calcúlense los ángulos de deflexión.

Nota El ángulo de deflexión es de 12°10', el cual es el valor de los. Véanse en la tabla 12-5 los registros en la libreta de campo

por lo que se comprueban los cálcu-

Tabla 12-5 Registros en la libreta de campo para el problema 12.13

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

Cálculo de ángulos de deflexión para el problema 12.13

8. Calcúlense las longitudes de cuerda.

Nota: Como el radio es tan largo, las correcciones serán despreciables al ser tan pequeñas. 9. Fíjese el PT. Mídase ST = 308.83 ft a partir del PI, alineándose con la tangente de adelante. 10. Fíjese el PC, midiendo 23.37 ft a partir de la estación 51 + 00.00 y dando línea. 11. Fíjense las estaciones como se llevó a cabo en los problemas anteriores.

293

294

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

Cálculo de los ángulos de deflexión para el problema 12.13

12.14 Se tiene: I = 23°18'; G = 4°00'; estación del PI = 40 + 53.87. Calcúlense los datos necesarios para resolver esta curva usando la definición de cuerda y háganse los registros de la libreta de campo. Solución 1. Fíjese el PI. 2. Mídase el cadenamiento del PI. A partir de la estación 40 mida 53.87 ft, obteniendo el cadenamiento del PI = 40 + 53.87. 3. Mídase el ángulo I. Debe medirse el ángulo x y calcularse I. 4. Obténgase ST. Primero encuentre R (definición de cuerda):

5. Calcúlese L usando la tabla 12-1 y fraccionando I = 23°18' para obtener las longitudes por incrementos.

6. Obténganse los cadenamientos.

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

295

7. Calcúlense los ángulos de deflexión.

El último arco:

Nota: El ángulo total de deflexión checa con el ángulo hacen en la libreta de campo.

Véase en la tabla 12-6 los registros que se

Tabla 12-6 Registros en la libreta de campo para el problema 12.14

8. Obténganse las longitudes de las cuerdas.

9. Fíjese el PI, midiendo ST = 295.39 ft a partir del PI y alineándose con la tangente de salida. 10. Fíjese el PT. Mídase 58.48 a partir de la estación 37, dando línea. 11. Fíjese el resto de las estaciones como se explicó en los problemas anteriores.

12.15 Se tienen los siguientes datos de una curva compuesta: cadenamiento del PI = 16 + 30.12; Calcúlense los cadenael primer radio R1 = 500 ft; mientos del PC, PCC, PT y la longitud STC2.

296

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Solución

10. Resumen del problema:

[Capítulo 12

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

297

12.16 Se tienen los siguientes datos para una curva compuesta. Cadenamiento del PI = 24 + 16.10; Calcúlense los cadenamientos del PC, PCC, PT y la longitud STC2. Solución 1. Mídase el ángulo 2. Encuéntrese 3. Encuéntrese

4. Encuéntrese GH. 5. Encuéntrese VG.

6. Encuéntrese VH.

7. Encuéntrese STC1. 8. Encuéntrese STC2. 9. Encuéntrese L1 y L2.

10. Resumen del problema:

298

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 12

Problemas Suplementarios 12.17

Se tienen los datos siguientes de una curva horizontal: Estación del PI = 106 + 50.12; I = 6°00'00" der; G = 2°00'00". Encuéntrense R, ST, PT y CL por la definición de arco. Resp. R = 2864.79 ft;ST= 150.14 ft; PT= 107 + 99.98; CL = 299.86 ft

12.18

Se tienen los siguientes datos de una curva simple: Estación PI = 110 + 80.25; I = 4°00'00" izq; G = 3°00'00". Encuéntrense R, ST, PT y CL con la definición de arco. Resp. R = 1909.86 ft; ST = 66.69 ft; PC = 110+ 13.56; PT = 111 + 46.89; CL = 133.33 ft

12.19

Se dan los siguientes datos de una curva simple: PI = 100 + 00.00; I = 27° 10'12" izq; G = 2°00'00". Encuéntrense ST, PC, L y M usando la definición de arco. Resp. ST = 692.27 ft; PC = 93 + 07.73; L = 1358.50 ft; M = 80.15 ft

12.20

Se tienen los siguientes datos de una curva simple: PI = 105 + 56.18; I = 8°00'00" der; G = 4°0000". Encuéntrense el PC, L, PT, E y CL usando la definición de cuerda. Resp. PC = 104 + 56.00; L = 200 ft; PT = 106 + 56.00; E = 3.50 ft; CL = 199.88 ft

12.21

Se tienen los siguientes datos de una curva simple: Estación del PI = 109 + 94.56; I = 8°00'00" izq; G = 2°00'00". Encuéntrense R, PC, L y CL usando la definición de cuerda. Resp. R = 2864.93 ft; PC = 107 + 94.22; L = 400 ft; CL = 399.70 ft

12.22

Se cuenta con los siguientes datos de una curva simple: Estación del PI = 100 + 00.00; I = 23°08'08” ; G = 2°00'00". Encuéntrense ST, PC, M y CL usando la definición de cuerda. Resp. 5r= 586.41 ft; PC = 94+ 13.59; M = 58.19 ft; CL = 1148.99 ft

12.23

Háganse los registros de campo para el estacamiento de la siguiente curva y resuélvase la curva con la definición de arco. Se tienen: R = 400 ft; I = 66° 18'24"; PI = 68 + 25.32. Resp. ST = 261.29 ft; L = 462.91 ft; primer ángulo de deflexión = 2°34.58'; ángulo de deflexión para 50 ft de arco = 3°34.88'; ángulo de deflexión en las estaciones: 66 + 50 = 6°09'26' ; 68 + 00 = 16°54'00". PT = 33°09'12"

12.24

Háganse los registros de campo para el estacamiento de la siguiente curva, si se cuenta con R = 500 ft; I = 58°08'40"; PI = 78 + 17.25. Resp. ST = 277.98; L = 507.41 ft; PC = 75 + 39.27; ángulo de deflexión para un arco de 50 ft = 2°51.90'; ángulo de deflexión en las estaciones: 76 + 00 = 3°28'45"; 77 + 50 = 12°04'30"; 80 + 00 = 26°23'51"

12.25

Háganse los registros de campo para el estacamiento de la siguiente curva, la cual se resolverá usando la definición de arco. Se tienen: R = 600 ft; I = 42°34'28"; PI = 08 + 37.42. Resp. ST = 233.78 ft; L = 445.84 ft; PC = 6 + 03.64; PT = 10 + 49.98; ángulo de deflexión para un arco de 50 ft = 2°23.24'

12.26

Se conocen los siguientes datos de una curva compuesta: PI = 32 + 87.93; 68°32'54"; 350 ft; Calcúlense los cadenamientos del PC, PCC, PT y la longitud STC2. Resp. Véase figura 12-11.

12.27

Se conocen los siguientes datos de una curva compuesta: Calcúlense los cadenamientos del PC, PCC, PT y la longitud Resp. figura 12-12.

Capítulo 12]

CURVAS HORIZONTALES

Figura 12-11

Figura 12-12

299

Capítulo 13 Curvas verticales 13.1 POR QUÉ SE USAN CURVAS VERTICALES Las carreteras formadas de una serie de líneas rectas (o tangentes) no son prácticas en la realidad. Para prevenir la existencia de cambios abruptos en la dirección vertical de los vehículos en movimiento, los segmentos adyacentes con diferente pendiente se conectan mediante una curva ubicada en el plano vertical, la cual se denomina curva vertical. Generalmente la curva vertical es el arco de una parábola. Los arcos parabólicos se adaptan correctamente al cambio gradual de dirección y permiten el cálculo fácil de las elevaciones de los puntos que están en ellos. Hablando en forma práctica, un vehículo que llega al fondo de un alineamiento descendente chocaría y aquellos que llegan a la parte superior de una pendiente ascendente, saldrían volando en la cresta de la curva. Es por esto que se aplican ciertas normas al diseñar curvas verticales. Normas generales 1. Proporcionar una pendiente suave, con cambios graduales, de acuerdo con el tipo de terreno y el tipo de carretera. 2. Evitar vados escondidos, esto es, vados que el conductor de un vehículo no puede ver. 3. Cuando sea posible, reducir la pendiente cerca de la parte superior del ascenso sobre pendientes largas y pronunciadas. 4. Como regla general, mientras sea más alta la velocidad de proyecto de la carretera, será menor el porcentaje de pendiente permitido. Por ejemplo, una carretera diseñada con una velocidad máxima de 30 millas por hora (mi/h) puede tener tangentes verticales que se unirán con una curva con pendiente de 6 a 8%. Una carretera diseñada para 70 mi/h puede tener una curva vertical cuyas tangentes tengan una pendiente de 3 a 5% solamente. 13.2 DEFINICIONES Una curva vertical es una curva parabólica en un plano vertical, la cual se utiliza para conectar dos tangentes con pendientes diferentes. Estas tangentes se conocen como tangente de entrada o tangente de atrás y tangente de salida o tangente de adelante, respectivamente. El punto de intersección de las tangentes se denomina punto de intersección vertical (PIV). La tangente de atrás entra al PIV y la tangente de adelante sale del PIV. El principio de la curva vertical se denomina PCV. El punto final, o sea, el punto donde termina la curva se denomina punto de tangente vertical PTV. Elementos base de las curvas verticales

En una curva vertical la variación de la pendiente comienza en la tangente de entrada (o en el PCV) y cambia a una variación constante hasta que llega al PTV, donde se transforma en la pendiente de la tangente de salida. Se trata de una parábola con un eje vertical; véase la figura 13-1. H es el desnivel que hay entre la prolongación de la tangente de entrada y el PTV. (véase la Fig. 13-1). Para encontrar H apliqúese la fórmula siguiente: i

donde

p1, p2 = pendientes de entrada y salida, respectivamente. L = longitud de la curva, en ft.

La longitud de la curva se segmenta en unidades de 25 o 50 ft, y se llama a cada unidad intervalo o segmento. En cada segmento se colocan estacas de nivel. C es la expresión utilizada para efectuar una corrección a la tangente en cada punto del intervalo escogido. Para encontrar C, úsese la siguiente fórmula:

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

301

Figura 13-1 Elementos de una curva vertical.

donde

desnivel entre la prolongación de la tangente de entrada y el PTV [Ec. (13-1)] número de intervalos o segmentos en que se divide la longitud de la curva distancia medida a partir del PCV, en número de intervalos, al punto para el cual se está determinando C.

Con el objeto de investigar condiciones de drenaje, rellenos sobre tubería, espacios libres o gálibos abajo de estructuras, etcétera, es necesario determinar algunas veces la elevación y ubicación del punto más bajo de una curva en "columpio" o el punto más alto de una curva en "cresta". La fórmula es la misma para ambos

donde

Una vez que se ha determinado a, se puede encontrar la corrección C correspondiente con la fórmula siguiente.

13.3 CÁLCULO DE CURVAS VERTICALES: MÉTODO DE INTERVALOS REGULARES

Existen varios métodos de cálculo de curvas verticales. El método de intervalos se describirá primero. Este método puede llevarse mejor a cabo con una calculadora de bolsillo de memoria constante. Cuando se realicen los cálculos de una curva vertical habrá que referirse a la información disponible que está en los planos de planta y de perfil de la carretera. Toda la información que se necesita generalmente se incluye en la parte inferior del plano. EJEMPLO 13.1 Se tienen los planos de una carretera en los que aparece la información siguiente en referencia a una curva vertical. Cadenamiento de la estación PIV = 11 + 02.43 con elevación 43.32 ft. Pendiente de la tangente de entrada (p,) = + 5.00%

302

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva L = 550 ft Supóngase que las estacas se han colocado a intervalos de 50 ft. Resuélvase esta curva vertical por el método de intervalos. Solución: Para encontrar el número de intervalos, n, divídase la longitud (L) de la curva (obtenida de los planos) entre la distancia de cada intervalo.

En la tabla 13-1 se muestra la forma correcta de establecer la información necesaria. Póngase la numeración de los puntos de intervalo en la columna encabezada como x. Pónganse los cuadrados de estos números bajo x2. Luego síganse los pasos que se listan abajo. Tabla 13-1 Forma de calcular una curva vertical en cresta por intervalo (ejemplo 13.1)

1. Calcúlese el cadenamiento y la elevación del PCV y del PTV. Nótese que las distancias horizontales a cada uno de ellos, medidas a partir del PIV son iguales a L/2 = (L = 550 ft, así que L/2 = 275 ft). Los valores utilizados se obtienen de los planos del proyecto.

Nota: Siempre dibújese un esquema de la curva (véase Fig. 13-2). La tangente de entrada se prolonga siempre hasta el último intervalo, de manera que se puede calcular H, que es el desnivel entre esa prolongación de la tangente y el PTV. 2. Calcúlese H. Use la ecuación (13-1).

3. Obténgase C. Use la ecuación (13-2).

4. Calcúlense los valores de la columna C (véase tabla 13-1), multiplicando cada número de la columna de x2 por - 0.1818. Obsérvese que C para el PTV es igual a H.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

303

Figura 13-2 Curva vertical en cresta. 5. Calcúlese las elevaciones sobre la tangente de entrada en cada estación de intervalo, empezando con el PVC y suman do 5% × 50 = 2.5 ft sucesivamente. Véase la tabla 13-1. 6. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando la corrección C a las elevaciones de la tangente; véase la tabla 13.1 Por ejemplo:

7. Calcúlese la elevación en el punto requerido de intervalo. Examínese la figura 13-2 y la tabla 13-1. Obsérvese que en la figura 13-2 se muestra una línea vertical que indica la ubicación del séptimo intervalo. (Se pudo haber tomado cualquier otra ubicación; la estación de intervalo 7 se escogió arbitrariamente). Calcúlese la elevación de la curva en esta estación:

Con una tabla como la 13-1 puede encontrarse cualquier punto de una curva vertical en cresta. 8. Para checar los cálculos realizados, sígase el siguiente procedimiento: calcúlese la elevación del PIV usando la prolongación de la tangente de salida; véase la figura 13-2 y la tabla 13-1 Se tiene el PTV 13 + 77.43 con una elevación sobre la curva de 35.07; p2 = — 3%. Retrocédase a partir del PTV usando la fórmula siguiente:

Por tanto, el desnivel al que se encuentra el PIV arriba del PTV es de 8.25 ft. En esta forma, si se suman la elevación del PTV de 35.07 y el desnivel de 8.25 obtenemos 43.32 ft, que es la elevación correcta del PIV. 9. Calcúlese el punto más alto de la curva. Úsese la ecuación U3-3)

Encuéntrese la corrección C y aplíquela a la elevación que se tiene sobre la tangente a 343.75 ft del PCV.

10. Encuéntrese la estación y la elevación del punto más alto. Cadenamiento de la estación PCV Cadenamiento del punto alto

304

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

13.4 CÁLCULO DE CURVAS VERTICALES: MÉTODO DIRECTO Otro método para calcular curvas verticales es el método directo. Este método tiene una desventaja; los números calculados serán muy largos, por lo que será esencial usar una calculadora con capacidad de memoria y de poder llamar a ésta, así como tener función para elevar al cuadrado. Este método directo para cálculo de curvas verticales es el mejor en el trabajo de campo, ya que es más práctico colocar las estacas en las estaciones cerradas de la carretera y hacer mediciones a partir de ahí. En el método directo sólo hay distancias diferentes a la longitud de una estación cerrada al principio y al final de la curva. Todas las medidas adicionales serán los incrementos normales de 50 o 100 ft. En el método de los intervalos las estacas se colocan a intervalos regulares, los cuales a menudo no coinciden con las estacas cerradas. Así, en el ejemplo 13.1 el PCV = 8 + 27.43 y los puntos son 8 + 77.43, 9 + 77.43, etcétera, los cuales no son estaciones cerradas. Si el cadenamiento del PIV y la longitud L han sido escogidas en tal forma que el PCV caiga en un punto múltiplo de 50 ft (como se hace a menudo), es posible utilizar las estaciones cerradas. Si esto no es posible (como ocurrió en el ejemplo 13.1) y se tiene la necesidad de colocar las estacas de nivel en estaciones cerradas, debe utilizarse el método directo. Aplicaremos el método directo en la misma curva para la cual usamos el método de intervalos. EJEMPLO 13.2 Los valores que siguen se encuentran en la parte correspondiente al perfil (parte cuadriculada) de un plano que contiene la planta y el perfil de una carretera. (Nota: son los mismos valores que se dieron para calcular la curva vertical en cresta por intervalo en el ejemplo 13.1). Cadenamiento del PIV = 11 + 02.43 con elevación de 43.32 ft Pendiente de la tangente de entrada (p1) = +5% Pendiente de la tangente de salida(p2) = - 3% Longitud de la curva L = 550 ft Encuéntrese el cadenamiento de PCV, PTV y sus elevaciones, H, C, las elevaciones sobre la tangente de entrada en las estaciones, las elevaciones de la curva y el punto más alto. Solución: Dibújese un esquema de la curva (véase Fig. 13-3) y hágase una tabla de cálculo (véase la tabla 13-2).

Figura 13-3 Curva vertical en cresta para calcularse por el método directo.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

305

Tabla 13-2 Forma de calcular elevaciones de la curva por el método directo (ejemplo 13.2)

1. Calcúlese el cadenamiento y la elevación del PCV y del PTV. Obsérvese que las distancias horizontales medidas desde el PIV a cada uno de esos puntos es igual a L/2.

Los valores se obtendrán en pies; véase la tabla 13-2. Los valores en la columna de o son distancias tomadas a partir del PCV, aproximadas al 0.1 de ft mas cercano. 2. Calcúlese H (El desnivel que hay entre la prolongación de la tangente de entrada y el PTV).

3. Calcúlese C hasta con cuatro cifras significativas.

4. Obténganse los valores de la columna C, multiplicando cada valor de a2 por - 0.00007273. 5. Calcúlense las elevaciones sobre la tangente de entrada en las estaciones cerradas. Recuérdese que p, = tangente de entrada = 5Vo. Con esto, la primera elevación es 22.6 (0.05) = 1.13 ft y la última elevación es 27.4 (0.05) = 1.37 ft. Todas las otras elevaciones son 50 (0.05) = 2.5 ft. Pónganse las elevaciones de la tangente en la tabla de cálculo; véase la tabla 13-2. 6. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando las correcciones C a las elevaciones de la tangente. 7. Encuéntrese el punto más alto.

Encuéntrese la corrección C a la tangente, aplicándola a las elevaciones de la tangente que se tiene a 343.75 ft del PCV.

306

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

8. Encuéntrese el cadenamiento y la elevación del punto más alto.

9. Compruébense los cálculos. Calcúlese la elevación del PIV usando la prolongación de la tangente de salida; véase la figura 13-13. Se tiene: PTV = 13 + 77.43 con elevación 35.07; p2 = 3%. Retrocédase a partir del PTV, usando la fórmula: Por tanto, la elevación del PIV concuerda con la suma de la elevación del PTV más el desnivel hacia arriba: 35.07 + 8.25 = 43.32 ft = elevación PIV. 13.5 CURVA VERTICAL EN COLUMPIO

Para evitar cambios abruptos en la dirección vertical de vehículos en movimiento cuando llegan a la parte baja de una curva tanto en carreteras como en ferrocarriles, se emplea también el principio de la parábola. El diseño de curvas en columpio y en cresta es una función de las pendientes de las tangentes que se intersectan. Otros factores que se toman en cuenta son la distancia de parada o de rebase, el drenaje de la carretera y la distancia que cubre el haz luminoso de los faros del vehículo. Una curva en columpio puede resolverse por el método de intervalos o por el método directo. Método de intervalos EJEMPLO 13.3 Se tiene en los planos: Cadenamiento del PIV = 21 + 25.00 con elevación 82.79 ft Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de tangente de salida Longitud de la curva L Supóngase que las estacas de nivel se colocarán a cada 50 ft de distancia; la distancia de 50 ft es el intervalo. Háganse los cálculos necesarios para diseñar la curva vertical en columpio por el método de intervalos. Solución: Dibújese la curva, véase la figura 13-4. Calcúlese el número de intervalos n.

1. Obténgase el cadenamiento y la elevación de PCV y del PTV.

2. Obténgase H. 3. Obténgase C.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

307

Figura 13-4 Curva vertical en columpio para calcularse por el método de intervalos. 4. Obténganse los valores de la columna C multiplicando cada valor de x2 por 0.1944. Véase la tabla 13-3. 5. Calcúlense las elevaciones de cada punto límite de intervalo sobre la tangente de entrada, empezando con la eleva ción del PCV y restando sucesivamente 4% (50 ft) = 2.99 ft. 6. Obténganse las elevaciones de la curva aplicando las correcciones C a las elevaciones de la tangente. Llénese la tabla de cálculo; véase la tabla 13-3. 7. Obténgase el punto más bajo de la curva.

8. Encuéntrese el cadenamiento de la estación donde se encuentra el punto más bajo y su elevación.

Tabla 13-3 Forma de calcular una curva vertical en columpio por el método! de intervalos (ejemplo 13.3)

308

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

Método directo

El método directo se usa con más frecuencia para el cálculo de curvas verticales en columpio, ya que las operaciones necesarias pueden llevarse a cabo fácilmente con la ayuda de una computadora y la medición de cuerdas en el campo se simplifica. EJEMPLO 13.4 Se tiene en los planos: Cadenamiento del PIV = 32 + 11.61 con elevación 64.18 ft

Nota: Este es un problema teórico. Rara vez se tendría una pendiente en una longitud tan corta de curva, pues eso provocaría una sensación de "montaña rusa". Encuéntrense los cadenamientos de las estaciones del PCV y PTV; calcúlense H, C, las elevaciones de las estaciones cerradas sobre la tangente de entrada, las elevaciones de la curva y el punto bajo. Dibújese la curva y realícese el planteamiento de la tabla de cálculo. Solución: Dibújese la curva; véase la figura 13-5.

Figura 13-5 Curva vertical en columpio. 1. Calcúlense los cadenamientos del PCV, del PTV y sus elevaciones.

2. Obténgase H.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

309

3. Calcúlese C.

4. Obténganse los valores de la columna C multiplicando cada valor de a2 por 0.00008333. Véase tabla 13-4. 5. Calcúlense las elevaciones de las estaciones cerradas, sobre la tangente de entrada. Primero reste la elevación del PCV, 4% a) = 0.04 (38.4) = 1.54 ft, tomado de la elevación PCV: 76.18 — 1.54 = 76.64. Luego réstese, 0.04 (50) = 2.00 ft, sucesivamente, hasta llegar a la última estación en donde se tendrá para cerrar un desnivel de (11.6 ft)(0.04) = 0.46 ft. Pónganse todos los valores en la tabla 13-4. 6. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando a las elevaciones de la tangente las correcciones C. Termínese la tabla de cálculo; véase la tabla 13-4. Tabla 13-4 Forma de calcular elevaciones de la curva para el ejemplo 13-4

7. Calcúlese el punto más bajo.

8. Encuéntrese el cadenamiento y la elevación del punto más bajo.

310

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

Problemas Resueltos 13.1

A partir del plano de perfil de una carretera se obtuvo la información de una vertical que se menciona a continuación: Cadenamiento del PIV = 17 + 60.03 con una elevación de 703.21 ft Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva vertical en cresta Supóngase que los límites de intervalo serán a cada 50 ft, y resuélvase esta curva por el método de intervalos. Dibújese la curva y elabórese una tabla de cálculo, la cual será llenada después de obtener lo siguiente: cadenamientos de las estaciones del PCV y PTV y sus elevaciones, H, C, elevaciones de los puntos de intervalo sobre la tangente de entrada y elevaciones de la curva. Encuéntrese el punto más alto sobre la curva. Solución

Dibújese un esquema de la curva; véase la figura 13-6. Prepárese una tabla de cálculo similar a la que se muestra en el ejemplo 13.1; véase la tabla 13-5. Repítanse todos los pasos que se enseñaron en el ejemplo.

1. Calcúlense los cadenamientos de las estaciones del PCV y PTV y sus elevaciones. Obsérvese que las distancias horizontales medidas a partir del PIV hasta cada uno de ellos, son iguales a L/2.

2.

Calcúlese H.

3. Obténgase C.

Escríbase C en la tabla de cálculo (tabla 13-5).

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

311

Tabla 13.5 Tabla de cálculo para el problema 13.1

4. Obténganse los valores para la columna de C multiplicando cada valor de x2 por — 0.125 ft. Obsérvese que el valor de C para el PTV es igual a H. Escríbanse todos los valores de C en la tabla de cálculo. 5. Calcúlense las elevaciones de los puntos de intervalo sobre la tangente de entrada, empezando con la elevación del PCV y sumando en forma sucesiva 4% x 50 ft = 2.00 ft. 6. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando las correcciones C a las elevaciones de la tangente. Compruébese el PIV utilizando la prolongación de la tangente de salida hasta llegar al PIV.

Esta elevación concuerda con la elevación dada del PIV. 7. Calcúlese el punto alto de la curva (a = distancia a partir del PCV, en ft)

Encuéntrese la corrección a la tangente C y aplíquela a la elevación de la tangente que se tiene a 400 ft del PCV.

Cadenamiento de la estación PCV

13.2 Con base en la información que se lista en seguida, encuentre el cadenamiento de la estación en el PCV y PTV y sus elevaciones. Dibújese la curva y prepare y llénese la tabla de cálculo después de encontrar lo siguiente: H, C, elevaciones de los puntos de intervalo sobre la tangente de entrada y las elevaciones de la curva. Encuéntrese el punto alto de la curva. Supóngase que se tendrán límites de intervalo a cada 50 ft. Dados:

312

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Curva en cresta de longitud L = 600 ft Cadenamiento del PIV = 36 + 00 con una elevación de 55.29 ft Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Solución 1. Calcúlese el PCV y el PTV. Cadenamiento de la estación PIV

Cadenamiento de la estación PIV

Cadenamiento de la estación PCV

Cadenamiento de la estación PTV

Dibújese un esquema (véase la figura 13-7) y prepárese la tabla de cálculo (véase la tabla 13-6).

Figura 13-7 Curva vertical en cresta.

[Capítulo 13

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

313

2. Calcúlese H.

3. Obténgase C. (Nota: número de intervalo n = 600/50 = 12).

4. Obténganse los valores de C y escríbalos en la tabla 13-6. Multiplíquese x2 por - 0.0885. 5. Calcúlense las elevaciones sobre la tangente. Empiece con la elevación del PCV y súmese en forma sucesiva 1.5% x 50 ft = 0.75 ft. 6. Obténganse las elevaciones de la curva aplicando a las elevaciones de la tangente las correcciones de la misma. 7. Compruébese la elevación del PTV. Un método para encontrar si las correcciones fueron calculadas correctamente consiste en prolongar la tangente de salida y aplicar la distancia H.

Esta elevación concuerda con la elevación calculada para el PTV de 47.04. Este procedimiento puede entenderse fácilmente viendo la figura 13-7. 8. Calcúlese el punto alto de la curva.

Cadenamiento de la estación PCV

13.3 Este problema es la adaptación del problema real de un proyecto de construcción de carreteras del departamento estatal de transporte. En la figura 13-8 se muestra una pequeña parte de un plano de planta y perfil de la carretera, usado en el trabajo. De éste se deducen varias cosas: Primero, el PIV se localiza en la estación 349. Su elevación es de 202.87. La pendiente de la tangente de entrada se muestra como + 3%. En la parte inferior del perfil en el plano se indica que la longitud de la curva vertical es de 1800 ft. Supóngase que cada intervalo es de 100 ft. Esta es toda la información que se requiere para resolver el problema. Encuéntrense todos los elementos que se necesitan para diseñar una curva vertical de 1800 ft con la pendiente de las tangentes y el PIV que se dan en la figura 13-8. Determínense las cantidades pertinentes y establezca la tabla de cálculo. Solución 1. Calcúlense los cadenamientos de las estaciones del PCV y PTV y sus elevaciones.

314

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

Figura 13-8 Vistas de una curva en cresta.

Obsérvese que la elevación del PTV de 175.87 coincide con el perfil mostrado en la figura 13-8. Las elevaciones del PCV y PTV son en ambos casos, de 175.87 y también se concuerda en el cadenamiento de esos puntos. Generalmente el PCV y el PTV no se leen directamente de los planos de la planta y perfil de la carretera. Dibújese el esquema (véase Fig. 13-9) y hágase la tabla de cálculo (véase tabla 13-7) aun cuando se cuente con el plano de perfil de la curva. El esquema se pone al principio del problema junto con los cálculos de cadenamientos del PCV y PTV y sus elevaciones. Nótese que en este problema son iguales las pendientes de entrada y de salida y tanto el PCV como el PTV tienen la misma elevación. 2. Calcúlese H. 3. Obténgase C. 4. Obténgase los valores de la columna C de la tabla 13-7, multiplicando cada valor de x2 por - 0.1667. 5. Calcúlense las elevaciones de los puntos de intervalo sobre la tangente de entrada, iniciando con la eleva ción del PCV y sumando en forma sucesiva (3%)(100 ft) = 3 ft. Escríbase esta operación en la tabla de cálculo. 6. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando la corrección a la tangente C, a las elevaciones de la tan gente. Escríbase esta operación en la tabla de cálculo.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

315

Figura 13-9 Curva vertical en cresta con el terreno natural sobrepuesta. Tabla 13-7 Tabla de cálculo para el problema 13.3

7. Compruébese la elevación del PTV. En la figura 13-9 es evidente que L/2, o sea, 900 ft, multiplicado por la pendiente de - 3%, dará como resultado la elevación del PTV.

Esta elevación coincide con la elevación calculada del PTV de 175.87.

316

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

8. Encuéntrese el punto alto.

Cadenamiento de la estación PCV Cadenamiento de la estación PIV Cadenamiento de la estación PCV Elevación de la tangente Cadenamiento del punto alto Nota: Debido a que esta curva es simétrica, puede verse que el punto más alto de la curva está a la mitad de la misma.

13.4 De un conjunto de factores dados, debemos determinar todos los elementos necesarios para diseñar una curva vertical por el método directo. Dibújese un esquema de la curva y prepárese y llénese la tabla de cálculo. Dados: PIV = 472 + 25.00 con elevación de 610.20 ft Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva L Solución Dibújese un esquema de la curva; véase la figura 13-10. 1. Calcúlense los cadenamientos de las estaciones del PCV y del PTV.

Figura 13-10 Curva vertical en cresta resuelta por el método directo.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

317

2. Calcúlese H.

3. Obténgase C.

4. Calcúlense las elevaciones de las estaciones cerradas sobre la tangente de entrada. El primer desnivel, para el punto de estación 468 + 50, será de 2.8% x 25 ft = 0.705 ft. Los desniveles restantes hasta la estación 476 + 00 corresponden a intervalos de 50 ft, o sea: 0.0282(50) = 1.41 ft por estación Escríbanse los cálculos en la tabla 13-8. Tabla 13-8 Tabla para calcular elevaciones de una curva en cresta por el método directo (problema 13.4)

5. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando la corrección a la tangente C a las elevaciones de la tangente. Para hacer la comprobación, calcúlese la elevación del PIV usando la prolongación de la tangente de salida.

Con esto se comprueba la elevación calculada del PIV de 610.20. 6. Encuéntrese el punto más alto.

Encuéntrese la corrección a la tangente C y aplíquela a la elevación que se tenga sobre la tangente a 356.96 ft del PCV.

318

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

Cadenamiento de la estación PCV =

13.5 Resuélvase el problema 13.1 por el método directo. Los datos siguientes se obtienen del perfil de los planos de carretera. Cadenamiento del PIV = 17 + 60.03 con elevación de 703.21 ft Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva L = 600 ft Solución Dibújese la curva vertical, véase la figura 13-11. 1. Calcúlense los cadenamientos del PCV y PTV y sus elevaciones.

2. Calcúlese H. 3. Obténgase C. Obsérvese el número de cifras significativas que se obtienen para la respuesta.

Figura 13-11 Curva vertical en cresta resuelta por el método directo.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

319

4. Calcúlense los valores de C multiplicando cada valor de o2 por - 0.000050000. 5. Obténganse las elevaciones de las estaciones cerradas sobre la pendiente de entrada (0.04a para cada estación). 6. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando la corrección a la tangente C a la elevación de la tangente. Llénese la tabla de cálculo; véase la tabla 13-9. Tabla 13-9 Tabla para calcular elevaciones de la curva por el método directo (problema 13.5)

7. Encuéntrese el punto alto.

Cadenamiento de la estación PCV

13.6 Resuélvase la siguiente curva vertical usando el método directo. Dados: PCV = 34 + 25.00 con elevación de 30.15 PIV = 36 + 25.00 con elevación de 31.60 PTV = 38 + 25.00 con elevación de 29.75

Encuéntrense H, C, las elevaciones de las estaciones sobre la tangente de entrada y las elevaciones de la curva. Dibújese un esquema de la curva y haga una tabla completa de cálculo.

320

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

Solución Ya que se dan los datos de PCV y el PTV, así como el PIV, se elimina el primer paso, que ha consistido en encontrar los datos de esos puntos. El dibujo de la curva es muy fácil (sólo falta el valor H); véase la figura 13-12. El primer paso es calcular H.

Figura 13-12 Curva vertical en cresta resuelta por el método directo.

1. Calcúlese H.

2. Obténgase C con cuatro cifras significativas.

3. Obténganse los valores de la columna C multiplicando cada valor de a2 por - 0.00002063. 4. Calcúlense las elevaciones de las estaciones cerradas sobre la tangente de entrada. La distancia a la primera estación, la 34 + 50, es únicamente de 25 ft, por lo que se tiene 25(0.00727) = 0.18 ft. Las distancias siguientes son de 50 ft, por lo que habrá que sumar en forma sucesiva 50(0.00727) = 0.36 ft. 5. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando las correcciones a la tangente Ca las elevaciones de la tan gente. Llénese la tabla de cálculo; véase la tabla 13-10. Tabla 13-10

Tabla de cálculo para el problema 13.6

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

321

13.7 Se tiene en el plano de planta del proyecto 54001 -3402 lo siguiente: (véase Fig. 13-13). Cadenamiento del PIV = 332 + 00 con elevación 151.87 Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva en columpio Úsense intervalos de 100 ft (800/100 = 8 intervalos). Sin dibujar un diagrama, obténganse los elementos necesarios a partir del perfil de la figura 13-13 en la curva en columpio con PIV en la estación 332 + 00. Compárense sus resultados con los que se muestran en la figura. Prepárese y llénese una tabla de cálculo. Solución 1. Calcúlense los cadenamientos de las estaciones del PCV y PTV y sus elevaciones.

2. Calcúlese H.

3. Obténgase C .

4. Obténganse los valores en la columna C, multiplicando cada valor de x2 por 0.09875 (véase tabla 13-11). 5. Calcúlense las elevaciones de los puntos de intervalo sobre la tangente de entrada, comenzando con la elevación del PCV y sumando en forma sucesiva (1.42%)(100 ft) = 1.42 ft. 6. Calcúlense las elevaciones de la curva, aplicando las correcciones de la tangente C a las elevaciones de la tangente. Fíjense en que sus cálculos coincidan con las elevaciones de la curva que se muestra en el proyecto 54001-3402 (véase Fig. 13-13), entre las estaciones 328 + 00 y 336 + 00. Debido a que se contó con un perfil muy claro del proyecto, se pudo eliminar el dibujo de la curva; en caso contrario deberá hacerse el esquema correspondiente.

13.8 Se diseñará una curva en columpio en el proyecto 54001-3402 (véase el problema 13.7 y la figura 13-13). Trabájese de nuevo, sin hacer un esquema. Inténtese localizar esta curva en el perfil. En éste sólo faltan la prolongación de la tangente y la distancia H. Tómense de la figura 13-13 los siguientes datos: Cadenamiento del PIV = 316 + 50 con elevación 129.86 Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva en columpio Úsense incrementos de 50 ft para los intervalos. Utilícense todos los valores disponibles en el perfil para encontrar los componentes necesarios de diseño de esta curva en columpio. Solución Número de intervalos

322

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

323

Tabla 13.11 Tabla de cálculo para una curva vertical del proyecto 54001-3402 (problema 13.7)

1. Calcúlense los cadenamientos de las estaciones del PCV y PTV y sus elevaciones.

Nota: En el plano de esta obra estatal hay un error en la elevación del PCV, la cual se marca como 134.08. Debería decir 134.18. Nadie es perfecto —ni siquiera los ingenieros profesionales. 2. Calcúlese H.

3. Obténgase C.

4. Obténganse los valores de C multiplicando cada valor de X2 por 0.03906. 5. Calcúlense las elevaciones de los puntos de intervalo sobre la tangente de entrada, comenzando con la elevación del PCV y restando en forma sucesiva 1.08% x 50 ft = 0.54 ft. 6. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando la corrección a la tangente C a las elevaciones de la tangente. Llénese la tabla de cálculo; véase la tabla 13-12. 7. Calcúlese el punto más bajo.

324

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

Tabla 13-12 Tabla de cálculo de elevaciones del proyecto 54001-3402 (problema 13.8)

13.9 Datos obtenidos de los planos: Cadenamiento del PIV = 22 + 00 con elevación 85.00 Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva Utilícense intervalos de 50 ft y los datos proporcionados para los cálculos de diseño de una curva en columpio con el método de intervalos. Dibújese un esquema y llene la tabla de cálculo. Solución Dibújese un esquema de la curva (véase Fig. 13-14).

1. Calcúlense los cadenamientos de las estaciones del PCV y PTV y sus elevaciones.

2. Calcúlese H. 3. Obténgase C.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

325

Figura 13-14 Curva vertical en columpio resuelta por el método de intervalos. 4. Obténganse los valores de la columna de C multiplicando cada valor x2 por 0.1550. 5. Calcúlense las elevaciones de los puntos de intervalo sobre la tangente de entrada, comenzando con la elevación del PCV y restando en forma sucesiva 3% x 50 ft = 1.5 ft. 6. Calcúlense las elevaciones de la curva aplicando las correcciones a la tangente C a las elevaciones de la tangente. Véase la tabla 13-13. Tabla 13-13 Tabla para calcular elevaciones de la curva por el método de intervalos (problema 13.9)

7. Calcúlese el punto bajo de la curva.

326

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

13.10 Se tienen los siguientes datos: Cadenamiento del PIV = 3 2 +11 .61 con elevación 60.00 Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva L = 600 ft Calcúlense todos los elementos necesarios para diseñar esta curva en columpio utilizando el método directo. Dibújese un esquema de la curva y llénese una tabla de cálculo. Solución 1. Calcúlense los cadenamientos de las estaciones PCV y PTV y sus elevaciones.

Dibújese la curva; véase la figura 13-15.

Figura 13-15 Curva vertical en columpio resuelta por el método directo. 2. Calcúlese H.

3. Obténgase C.

4. Obténganse los valores de la columna de C multiplicando cada valor de a1 por 0.00009167. Véase la tabla 13-14. 5. Calcúlense las elevaciones de las estaciones cerradas sobre la elevación de la tangente de entrada. La pri mera distancia, para llegar a la estación 29 + 50 es de sólo 38.39 ft, por lo que el desnivel por sumar es de 38.39 (—0.04) = 1.54 ft. La distancia a partir de este punto es de 50 ft, por lo que habrá que sumar en forma sucesiva 50( —0.04) = -2 ft. 6. Calcúlense las elevaciones de la curva, aplicando las correcciones a la tangente C a las elevaciones de la tangente. Llénese la tabla de cálculo (véase la tabla 13-14). 7. Calcúlese el punto bajo de la curva.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

327

Tabla 13-14 Tabla para calcular elevaciones de una curva vertical en columpio por el método directo (problema 13.10)

Problemas Suplementarios No se darán las respuestas a estos problemas. En su lugar, se proporcionan varias elevaciones a intervalos para que puedan verificarse los procedimientos de cálculo. MÉTODO DE INTERVALOS PARA CURVAS EN CRESTA 13.11 Encuéntrese el punto más alto de la curva y todas las elevaciones de la curva, utilizando la información siguiente. Supóngase que cada intervalo es de 100 ft. PIV =184 + 00 con elevación 127.24 Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva en columpio L = 1 000 ft Resp. H = - 16.3; C = - 0.1630x2; elevación de la estación 186 + 00 = 120.97; punto más alto en la estación 181 + 63.80 con elevación 124.08 ft.

328

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

13.12 Basándose en la información siguiente, encuéntrese la elevación de la curva en el límite de cada intervalo. Intervalo = 50 ft PIV =175 + 00 con elevación 120.02 ft

Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva L = 600 ft

Pendiente de la tangente de entrada

13.13

Se va a diseñar una curva en cresta para un camino rural. Encuéntrense las elevaciones de la curva y el punto más alto, a partir de la información siguiente: Intervalo = 100 ft

Pendiente de la tangente de salida

PIV = 200 + 50 con elevación 88.27 ft

Longitud de la curva L = 800 ft

Pendiente de la tangente de entrada Resp. Cadenamiento del punto más alto + 201 + 10 con elevación de 84.36 ft.

13.14 Utilizando la información siguiente, encuéntrense las elevaciones de la curva que se requieren para diseñar esta curva en cresta y localícese la estación y elevación del punto más alto. Intervalo = 50 ft PIV = 301 + 10 con elevación 421.03 ft

Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva L = 700 ft

Pendiente de la tangente de entrada Resp. Estación del punto más alto + 301 + 10 con elevación 442.03 ft.

13.15 Utilizando la información siguiente, encuéntrense el punto más alto y todas las elevaciones de la curva. Intervalo = 50 ft PIV = 13 + 02.24 con elevación 48.32 ft Pendiente de la tangente de entrada

Pendiente de la tangente de salida Longitud de curva L = 650 ft

Capítulo 13]

Resp.

CURVAS VERTICALES

329

Estación del punto más alto = 1 3 + 4 8 . 6 7 con elevación de 42.75 ft.

MÉTODO DIRECTO PARA CÁLCULO DE CURVA EN CRESTA 13.16 Utilizando la información siguiente, encuentre el punto más alto y las elevaciones de la curva. PIV = 210 + 00 con elevación 255.00 ft Pendiente de la tangente de entrada

Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva L = 800 ft

Resp. Estación del punto más alto = 208 + 23.63 con elevación de 222.02 ft.

13.17

Basándose en la información siguiente, encuéntrense todas las elevaciones de la curva utilizando el método directo. PIV = 178 + 50 con elevación 123.75 ft Pendiente de la tangente de entrada

13.18

Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva L = 750 ft

Se va a calcular una curva en cresta para un camino rural. Se tiene la información siguiente: PIV = 204 + 55 con elevación de 95.95 ft Pendiente de la tangente de entrada

Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva L - 700 ft

Encuéntrense las elevaciones de la curva y la estación del punto más alto.

330

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

Resp. Estación del punto más alto = 205 + 25 con elevación de 92.59 ft.

13.19 Calcúlense, a partir de la información siguiente, la estación y elevación del punto más alto de la curva en cresta y las elevaciones de la curva, utilizando el método directo. PIV = 15 + 75.02 con elevación 49.76 ft

Pendiente de la tangente de salida p2 = - 3.18%

Pendiente de la tangente de entrada px = + 4.30%

Longitud de la curva L = 600 ft

Resp. PIV = 18 + 75.02 con elevación 40.22 ft. Estación del punto más alto = 16 + 19.94 con elevación de 44.28 ft.

13.20 Se tienen los siguientes datos pertinentes para un camino en las montañas Smoky. PIV = 18 + 61.67 con elevación 1700 ft Pendiente de la tangente de salida p2 = —2.87% Pendiente de la tangente de entrada p, = +2.45% Longitud de la curva L = 550 ft Calcúlense las elevaciones de la curva y la estación y elevación del punto más alto. Resp. Estación del punto más alto = 18 + 39.96 con elevación de 1696.37 ft.

MÉTODO DE INTERVALOS PARA CÁLCULO DE CURVAS EN COLUMPIO 13.21

Utilizando la información siguiente, encuéntrese el punto más bajo de la curva y las elevaciones de la misma aplicando el método de intervalos. Intervalo = 50 ft PIV = 245 + 50 con elevación 201.00 Pendiente de la tangente de entrada P1 + - 2.6%

Pendiente de la tangente de salida p2 = +2.8% Longitud de la curva L = 400 ft

Resp. Punto más bajo en la estación 245 + 42.59 con elevación 203.70 ft.

Capítulo 13]

CURVAS VERTICALES

331

13.22 Se cuenta con los siguientes datos para una curva en columpio en una carretera cercana a el Lago Buckeye, en Ohio. Encuéntrense las elevaciones de la curva usando el método de intervalos. PIV =186 + 00 con elevación 496.04 ft Pendiente de la tangente de entrada p1 = - 2.1%

Pendiente de la tangente de salida p2 = +2.6% Longitud de la curva L = 450 ft

13.23 Utilizando el método de intervalos, encuéntrense todas las elevaciones de la curva y la estación y elevación del punto más bajo en esta curva corta. PIV = 162 + 50 con elevación 181.05 ft

Pendiente de la tangente de salida p2 = +2.10%

Pendiente de la tangente de entrada p1 = — 1.76%

Longitud de la curva L = 500 ft

Resp. Estación del punto más bajo 162 + 27.98 con elevación 183.44 ft.

MÉTODO DIRECTO PARA CÁLCULO DE CURVAS EN COLUMPIO 13.24

Se cuenta con la información siguiente tomada de los planos de una carretera en la zona montañosa de Colorado. Obsérvense las pendientes bajas de las tangentes. Resuélvase la curva obteniendo sus elevaciones y el punto bajo.

PIV = 19 + 20.15 con elevación 6201.85 ft Pendiente de la tangente de entrada p1 = - 0.031%

Pendiente de la tangente de salida p2 = +0.45% Longitud de la curva L = 500 ft

Resp. Cadenamiento del punto bajo = 18 + 74.10 con elevación 6202.31ft.

332

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 13

13.25 Utilizando el método directo, encuéntrense todas las elevaciones de la curva y el punto más bajo de la siguiente curva: PIV = 34 + 32.00 con elevación 103.76 ft Pendiente de la tangente de entrada p1 = - 1.7%

Pendiente de la tangente de salida p2 = +1.3% Longitud de curva L = 550 ft

Resp. C = 0.00002727a2; cadenamiento del punto bajo = 34 + 68.67 con elevación de 105.79 ft.

13.26 Una curva sobre la ruta 666 de las montañas de Arizona tiene las siguientes características: PIV = 3 2 4 + 1 0 con elevación 4106.82 ft

Pendiente de la tangente de salida p2 = + 1.4%

Pendiente de la tangente de entrada p1 = - 3.8%

Longitud de la curva L = 450 ft

Encuéntrense las elevaciones de la curva. Resp. C = 0.000005778a2.

13.27 Se tienen los siguientes datos de una curva en columpio. Aplíquese el método directo para encontrar las elevaciones de la curva y la ubicación y elevación del punto más bajo. PIV = 450 + 94 con elevación 60.67 ft Pendiente de la tangente de entrada p1 = — 4.0%

Pendiente de la tangente de salida p2 = +3.5% Longitud de curva L = 450 ft

Resp. H = 16.88; Cadenamiento del punto más bajo = 451 + 09.00 con elevación de 64.87 ft.

Capítulo 13]

13.28

CURVAS VERTICALES

333

Basándose en la información siguiente de una curva en columpio, calcúlense las elevaciones de la curva y localice el punto más bajo; dense también su elevación. Utilícese el método directo. PIV = 376 + 64 con elevación 765.78 ft Pendiente de la tangente de entrada p1 = - 2.4%

Pendiente de la tangente de salida p2 = +2.6% Longitud de la curva L = 1000 ft

Resp. C = 0.000025a2; Cadenamiento del punto más bajo = 376 + 44 con elevación de 772.02 ft.

Capítulo 14 Dibujo de Planos 14.1 INTRODUCCIÓN

Los planos tienen una gran influencia en las actividades humanas. Hoy en día, la demanda de planos es mayor que antes, pues son necesarios en diversos campos de la ingeniería, en la planeación urbana y regional, en la administración de la protección del ambiente, en trabajos de conservación, agricultura, geología, en operaciones militares y en muchas otras actividades. Los planos o cartas pueden contener características tales como límites de propiedad, topografía, tipo de suelo, vegetación y rutas de transporte. La mayoría de nosotros usamos un mapa de carreteras para guiarnos al trasladarnos. Algunos usos de los planos en la ingeniería son la localización de proyectos, el diseño de componentes de éstos y la estimación de cantidades de obra del contrato. Los servicios militares necesitan el flujo continuo de mapas y cartas actualizados; durante la segunda guerra mundial se imprimieron 500 millones de copias de mapas que abarcaron 400 000 millas cuadradas de la superficie terrestre. 14.2 TIPOS DE PLANOS Hablando en forma general, en las operaciones topográficas hay dos tipos básicos de planos o mapas: planos de área y planos de franjas. Los planos de área se utilizan para el desarrollo de áreas tales como proyectos de fraccionamientos, levantamientos para plantas y aeropistas. Los planos de franjas se utilizan para la construcción de todo tipo de vías de comunicación con desarrollos formados por una línea, tales como ferrocarriles, calles, líneas de ductos y, principalmente, carreteras. El control (es decir, el marco de punto fijos de referencia) que se utiliza en un plano de área, consistirá generalmente en poligonales cerradas y algunas veces en poligonales ligadas en sus extremos con base en trabajos de triangulación. Se necesitará también un sistema de bancos de nivel, conectado a través de la nivelación correspondiente. En el caso de los planos de franjas, el control consiste en una poligonal sencilla y larga y en los bancos de nivel adyacentes a esta poligonal. Casi siempre la línea de la poligonal y sus bancos de nivel se localizan a lo largo del eje del proyecto. En los planos se muestran las posiciones y elevaciones de todos los rasgos topográficos. Deben incluirse edificios, corrientes, carreteras y curvas de nivel. Se realizan mediciones horizontales y verticales para conectar estos rasgos con el sistema de control. Cuando se tiene un proyecto lo suficientemente grande se hacen las ligas o referencias aprovechando la fotogrametría analítica (levantamientos tales como fotografía analítica). El uso de este método en lugar de procedimientos terrestres puede llegar a reducir hasta 50% el costo de un levantamiento grande. Sin embargo, para realizar la cartografía aérea se requiere instalar un sistema de control horizontal y vertical en el terreno, el cual incluye la liga con puntos selectos que aparecen en las fotografías. En las secciones siguientes se describen los métodos para implantar el sistema básico de control, así como las ligas o referencias en el terreno. Las referencias pueden tener una gran longitud y extenderse en ocasiones a media milla del control. 14.3 ENLACES HORIZONTALES Una liga o enlace horizontal debe consistir al menos en dos medidas que se realizan entre el control y el punto que se va a localizar. Estas medidas son las siguientes: 1) un ángulo y una distancia, 2) dos distancias, 3) dos ángulos. En la figura 14-1 se muestran varias combinaciones de estas medidas. Como comprobación, pueden realizarse otras medidas. Lugares geométricos

Un lugar geométrico es un conjunto de todos los puntos, líneas o superficies que satisfacen un requerimiento dado. En cada medición se establece una línea en la que la característica topográfica debe colocarse sobre el plano. Esta línea es el lugar geométrico de la característica. El lugar en donde se cruzan las líneas (lu

Capítulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

335

gares geométricos) de dos mediciones es la ubicación del punto específico. La figura 14-1 muestra que estos lugares geométricos son siempre líneas rectas o círculos.

Figura 14-1 Métodos para hacer ligas o enlaces horizontales.

Creación de lugares geométricos. Hay cuatro métodos principales para crear lugares geométricos: 1. Una sola distancia medida a partir de un punto del sistema de control muestra que el punto topográfico está localizado en alguna posición sobre un círculo cuyo centro está en el punto de control y cuyo radio es la distancia medida. 2. Al realizar una medición de distancia a partir de una línea del sistema de control se muestra que la característica topográfica está en alguna posición sobre una línea recta paralela a la línea de control y a la distancia medida a partir de ésta. 3. Una medición de ángulo realizada en un punto de control muestra que la característica topográfica está en alguna posición sobre una línea recta que se extiende desde el punto donde se midió el ángulo y en la dirección indicada por el valor de este ángulo. 4. Una medición de ángulo realizada en la característica topográfica entre las direcciones de los dos puntos de control muestra que la característica topográfica está en un círculo que pasa dentro de los dos puntos de control y el punto topográfico. Fuerza de los enlaces horizontales

Los enlaces horizontales son más adecuados o "fuertes" cuando sus lugares geométricos se intersectan a 90°. A medida que los ángulos se alejan de 90°, la referencia se "debilita". Si la ubicación de una característica en el plano tiene un error que excede el de medición, estamos en presencia de enlaces "débiles". Los enlaces o ligas presentados en la figura 14-1 están en orden de importancia. El método 1 de enlace se utiliza principalmente en planos de área. El método 2, en planos de franjas. Casi exclusivamente se utilizan estos dos métodos. Ángulo y distancia EJEMPLO 14.1 Utilícese el método de ángulo y distancia para ubicar los dos edificios que se muestran en la figura 142 y muéstrense las notas de campo.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

Figura 14-2 Mediciones de ángulos y distancias. Solución: Se localizan dos esquemas de cada edificio. A partir de esta operación mídanse las dimensiones de los edificios sobre sus costados. Si se van a construir más edificios en conexión con los existentes, mídanse los ángulos con mucha precisión. Las distancias deben medirse con una cinta de acero. Puede usarse una cinta de género si las distancias no son grandes, aunque se obtendrá mayor precisión con una cinta de acero. En la figura 14-3 se muestra cómo quedarán las notas de campo.

Figura 14-3

Distancia y desplazamiento EJEMPLO 14.2 Utilícese el método de distancia y desplazamiento para ubicar el edificio que se muestra en la figura 14-4 y prepárense las notas de campo.

Capitulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

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Figura 14-4

Solución: Primero se marca la poligonal en estaciones alineadas con el tránsito. El cadenero de atrás pone el cero de la cinta en el 1 + 0. El cadenero de adelante se pone en línea con las estaciones marcadas y sobre el punto de la línea en el cual estima que una perpendicular que parta de la línea de la poligonal llegará a la esquina del edificio. A continuación se toma la distancia que se excedió de la estación ( + 50) y luego se miden los 14.1 ft para llegar a la esquina del edificio. Estos 14.1 ft se denominan desplazamiento u "offset". En este caso la medición se hizo hacia la izquierda, teniéndose así un desplazamiento a la izquierda. (DI). Para la esquina siguiente, el cadenero de atrás se ubica en la estación 2 + 0 y se repite el proceso. Por último, se miden las dimensiones del edificio. Las notas de campo se muestran en la figura 14-5.

Figura 14-5

Precisión

La precisión con las que se miden las ligas o referencias horizontales es función del propósito del levantamiento. Si se requiere alto grado de precisión se utiliza una cinta de acero en todas las mediciones. Luego se ponen los valores en el plano. Se utilizan cálculos matemáticos para obtener otras distancias que se requieran para el dibujo de planos. Si las distancias que se miden para el dibujo de los planos no están muy lejos de la línea de control, pueden tomarse con una cinta de género. 14.4 ENLACES VERTICALES Las ligas o enlaces verticales para los planos de área se miden utilizando la nivelación tal como se describió en el capítulo 5, o bien, por el método de la estadia descrito en el capítulo 3. En el caso de planos de franjas, las ligas se efectúan con nivelación.

338

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

Nivelación para planos de franjas

La nivelación se lleva a cabo por secciones transversales cuando el proyecto es muy pequeño para el uso de métodos fotogramétricos. Este proceso se muestra en el ejemplo 14.3. EJEMPLO 14.3 Véase la figura 14-6. Se han establecido la poligonal y la línea de bancos de nivel aproximadamente sobre el eje del proyecto; tómese un perfil corto a ángulos rectos de la poligonal en cada cambio de dirección y a cada punto de 50 o 100 ft. Resuélvase el proceso de nivelación para este proyecto.

Figura 14-6 Marcas de poligonal y bancos de nivel en la libreta de campo.

Capítulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

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Solución: Las elevaciones que se encuentren a cada lado de la línea base deberán ser suficientes para cubrir todas las posibilidades de movimiento de tierra. Hágase la estimación de los ángulos rectos, tomando las elevaciones en el eje, en los quiebres y en los extremos de cada sección del terreno. Mídanse las distancias perpendiculares a partir del eje a cada quiebre de pendiente, y determínense los cadenamientos y distancias a las características o rasgos topográficos. La nivelación se lleva a cabo por medio de niveles ordinarios de banco a banco de nivel, tomando lecturas laterales a los puntos donde se determinan las elevaciones. Generalmente sólo se determinan las elevaciones del eje con el nivel de ingeniero, así como las curvas de nivel. La poligonal empieza en la estación 79 + 66.2. Se extiende 284.1 ft con un rumbo calculado de N78°18'E cambiando luego a un rumbo calculado S76°10'E en 329.3ft. Este punto es la estación 85 + 79.6 a 43 ft a la derecha de la estación 80 + 0 la elevación es 45; a 18 ft a la izquierda la elevación es 50 y a 57 ft a la izquierda es 55. A 20 ft a la derecha se encuentra la estación 8 1 + 0 con una elevación de 55; a 57 ft a la derecha de la elevación es 50 y a 106 ft a la derecha es 45. A 23 ft a la izquierda la elevación es 60; a 60 ft a la izquierda la elevación es 65 y a 80 ft a la izquierda la lectura de elevación es de 70 ft. Estando el dibujo de la poligonal a escala se puede dibujar el diagrama de la hoja derecha de la libreta de campo y pueden deducirse las elevaciones a partir de ello. Nota: La sección ubicada adelante del 82 + 50.3 no toma en cuenta el cambio de dirección del eje. 14.5

ESCALA DEL PLANO

La escala que se escoge para un plano es función del tamaño del proyecto, la precisión requerida y el objetivo para el que se diseña el plano. Las escalas de los planos se dan en tres formas: 1. Fracción representativa o relación como 1/2000 o 1:2000. 2. Ecuación, tal como en 1 in = 200 ft. 3. Gráficamente. Aun cuando cambie de dimensiones el papel en el que se dibuja un plano, se podrán ejecutar mediciones precisas contando con dos escalas gráficas, a ángulos rectos una de otra. También con esto se obtendrán escalas correctas al obtener copias reducidas del plano. Las escalas de planos se clasifican como grandes, medias o pequeñas. Una escala grande sería 1 in = 100 ft (1 :1200) o mayor. Una escala media sería 1 in = 100 ft al 000 ft (1 :2000 a 1 : 12 000). Una escala pequeña sería 1 in = 1 000 ft (1 :1 200) o más pequeña. 14.6 DIBUJO DE PLANOS Los planos se dibujan en dos etapas. La primera consiste en elaborar un original del plano y la segunda es el dibujo del plano definitivo. Generalmente el original se hace a lápiz en un papel pesado. Todos los rasgos y contornos se ubican en este plano con detalle absoluto. No es necesario en este punto colocar letreros con demasiado cuidado. Al hacer planos originales con cuidado, aseguramos una alta calidad del plano definitivo y se cuenta con un medio para comprobar las distancias y los ángulos calculados. La versión definitiva de los planos se dibuja a tinta o se traza en papel plástico. Cualquiera de estas dos formas se obtiene a partir del original del plano, con lo cual se hace evidente la importancia de la cuidadosa preparación de éste. Si se dibuja con tinta, el original se coloca en un restirador y se calcan los rasgos o detalles en un material transparente que se le sobrepone. En este caso se acostumbra poner primero los letreros y luego trazar los detalles planimétricos y contornos en el material sobrepuesto. En el grabado de trazos se utilizan herramientas especiales que permiten variar la calidad de las líneas y hacer símbolos estándar, para poner la información sobre un material de base estable, transparente, el cual está recubierto con una emulsión opaca. Las líneas del plano original se transfieren al recubrimiento mediante un proceso de laboratorio. Las líneas que representan detalles y contornos se preparan cortando y raspando para remover el recubrimiento de la denominada capa de grabado. Este proceso es generalmente más rápido y sencillo que el entintado de plano, por lo que su popularidad se ha incrementado. Preparación de un original a lápiz

Para preparar un original a lápiz síganse estos pasos: 1. Grafíquese el control

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

2. Grafíquense los detalles 3. Dibújense la topografía y los datos especiales 4. Termínese el plano, incluyendo títulos y letreros. 14.7 TRAZO DE PUNTOS DE CONTROL El graficado del control depende de la forma en que se proporcionen sus datos. Una poligonal de control puede granearse como una serie de ángulos (usando un método descrito en la sección 14.8) con distancias dibujadas a la escala seleccionada para el plano. Si se está utilizando el sistema estadounidense, las escalas son generalmente de 1 in = 10, 20, 40, 50 o 100 ft. En el sistema métrico, las escalas son 1 : 100, 1 : 200, 1 : 500 o 1 :1 000 en unidades métricas. Puede usarse un escalímetro junto con reglas metálicas y compás de puntas secas para marcar los puntos de control con una precisión de 0.02 o 0.01 in, o aún mejor. En una poligonal en que se tengan ángulos y distancias deben dibujarse los rumbos y las longitudes de los lados en forma paralela a las líneas, lo cual permite la lectura fácil cuando el usuario mira el plano desde la parte de abajo o de la derecha. Los rumbos se deben mostrar en la dirección hacia adelante, en forma continua a lo largo del recorrido de la poligonal. Es necesario poner una flecha que indique la dirección correcta del rumbo cuando la poligonal corre de derecha a izquierda y los rumbos se leen de izquierda a derecha. Si se calcularon los valores x y y de cada estación, el sistema de coordenadas puede utilizarse en vez del de ángulos y distancias para el graficado de poligonales. En este caso, la hoja para el dibujo del plano se coloca cuidadosamente sobre una cuadrícula que tenga cuadrados unitarios de tamaño adecuado, como lo son 100, 400, 500 o 1 000 ft, los cuales se comprueban midiendo las diagonales. Estas líneas de cuadrícula se marcan con sus valores de coordenada. El origen de las coordenadas debe corresponder con la estación de la poligonal que se halle más hacia el Oeste y hacia el Sur, aun cuando ésta se encuentre fuera del plano, con lo que se asegura que todos los valores sean positivos. Los puntos de control son graficados midiendo las coordenadas x y y a partir de las líneas guía de la cuadrícula. Se utilizan círculos de 1/8 in para marcar las estacas de estación. Pueden detectarse los errores al graficar si comparamos las distancias medidas a escala y los rumbos de las líneas del dibujo con las longitudes y direcciones medidas en el campo. En la mayoría de los planos topográficos se omiten las posiciones de las estacas de estación o bien se dibujan con tinta azul clara de manera que no resalten en el dibujo. 14.8 TRAZO DE ÁNGULOS Se utilizan tres métodos para graficar ángulos: el método de la tangente, el método de la cuerda y el método del transportador. Método de la tangente En el ejemplo 14.4 se ilustrará el método de la tangente para graficar un ángulo, el cual es usado extensivamente para graficar ángulos de deflexión. EJEMPLO 14.4 Véase la figura 14-7. Se tiene una poligonal que empieza en la estación 0 + 00 y corre en línea recta hasta la estación 5 + 20. Ahí gira un ángulo de 14°20' y avanza a la estación 11 +64. En la estación 11 + 64 gira de nuevo un ángulo de 16°16' y procede en línea recta hasta llegar a la estación 18 + 21. Encuéntrense los ángulos por el método de la tangente. Solución: Escójase una distancia conveniente y mídala a lo largo de la línea de referencia para que sirva como base. Siguiendo la figura 14-7, dibújese un ángulo de deflexión de 14°20' en el punto A y márquese la longitud AB de 10 in sobre la prolongación de la línea de atrás. Si en su papel es muy grande la distancia de 10 in, selecciónese otra unidad, como puede ser 10 cm; sin embargo, recuérdese que la precisión del ángulo que se construye aumenta al ser mayor esta distancia. Encuéntrese la tangente natural de 14°20' = 14.3333°. tan 14.3333° = 0.25552 Ya que la línea AB tiene 10 unidades de longitud, multiplíquese 0.25552 por 10, con lo que se obtiene 2.55 in o cualquier otra unidad que haya elegido. Con esto se localiza el punto C y se produce el ángulo deseado con la línea AB.

Capítulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

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Figura 14-7 Gráfica de ángulos por el método de la tangente. Nota: Puede utilizarse cualquier longitud de base, pero la distancia de 10 provoca que sólo se tenga que mover el punto decimal del valor de la tangente obtenido en la calculadora o en un juego de tablas. En la estación 11 + 64 se emplea el mismo procedimiento. Se prolonga la línea AD10 unidades a partir de £>, trazando una perpendicular de 2.92, con lo que obtenemos el triángulo DEF, el cual proporciona el ángulo de 16° 16'. Encuéntrese la tangente de 16° 16'.

Multiplicando 0.29179 por 10 unidades se obtiene la longitud de la línea DF de 2.92 in (o centímetros, o la unidad que se haya considerado para hacer la línea de base). Método de la cuerda

Para dibujar un ángulo por el método de la cuerda, utilícese la fórmula siguiente: donde

C = cuerda para el ángulo deseado r = radio del círculo del cual es parte el arco que subtiende el ángulo A = ángulo

Figura 14-8 Método de la cuerda para trazar un ángulo. EJEMPLO 14.5 Véase la figura 14-8. Se tiene un ángulo de 36°32' sobre la línea BA. Dibújese este ángulo por el método de la cuerda. Solución: Dibújese la línea BA como se muestra en la figura 14-8. Dibújese la base BA con una longitud conveniente de 10 unidades (pulgadas, centímetros o unidades de un papel milimétrico). Úsese B como vértice para girar un arco que tenga 10 unidades de longitud. Ahora, con el punto D como centro y un radio igual a la cuerda del ángulo deseado, dibújese otro arco. La intersección de los dos arcos ubica el punto E. La línea que conecta B y E forma el otro lado del ángulo. Úsese la fórmula de la cuerda para el ángulo deseado. Multiplíquese dos veces la distancia BD por el seno de la mitad del ángulo.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

Método del transportador Los transportadores son artefactos, fabricados generalmente de plástico o de metal, para medir ángulos. Forman círculos completos o semicírculos y tienen graduaciones angulares en su circunferencia. Un punto fino identifica el centro del círculo. Para usar el transportador, centre el punto fino ubicado al centro del mismo con el centro del ángulo que se va a trazar. Ponga la línea del cero a lo largo de un lado del ángulo y el ángulo correcto marcado en la orilla del transportador dará el punto que deberá unirse con el vértice. Podrán dibujarse ángulos con mayor rapidez y facilidad en máquinas de dibujo, pero ni éstas ni el transportador son adecuados para trabajos de alta precisión en poligonales o control. 14.9 SÍMBOLOS TOPOGRÁFICOS Con objeto de mostrar muchos detalles en un solo plano se ha desarrollado un conjunto de símbolos estándar para representarlos. Estos símbolos representan detalles o rasgos topográficos especiales; en la figura 14-9 se muestran unos cuantos símbolos de los cientos existentes para los planos topográficos. El dibujante necesita tener una práctica considerable para ejecutar estos símbolos bien y a una escala adecuada. Antes de colocar los símbolos en el plano, se dibujan y entintan los caminos, límites de propiedad y edificios; después, el dibujante coloca los símbolos, ya sea dibujándolos directamente o recortándolos de hojas estándar que tienen adhesivo en la parte posterior y pegándolas con cuidado sobre el plano. Ya que a menudo un plano es preparado por varios dibujantes, pueden eliminarse las diferencias de calidad utilizando símbolos que se cortan y pegan. 14.10 REALIZACIÓN DEL PLANO EN PAPEL DE DIBUJO La apariencia del plano definitivo determina notablemente su valor. Los planos que están desarreglados, con letreros sin cuidado y con apariencia tosca, no inspiran confianza. El plano debe tener líneas de margen, de grueso considerablemente mayor que otras líneas. Con esto se mejora su presentación. El primer paso en el arreglo de un plano consiste en balancear correctamente el control y la topografía. En la figura 14-10 se muestra una poligonal sin topografía, colocada correctamente en el papel de dibujo. Antes de dibujar el plano determine la escala adecuada que corresponda a un tamaño dado del papel de dibujo. EJEMPLO 14.6 Véase la figura 14-10. Se tiene una tira de papel de dibujo de 18 x 24 in. Existe un margen de 1 in a la izquierda del papel y de — in en todos los otros lados. Selecciónese la mejor posición en la que se puede dibujar la poligonal de control para que el plano esté bien proporcionado en la franja de papel. Selecciónese la escala correcta para este plano. Solución: A es el punto ubicado más al occidente, por lo que es el origen de las coordenadas. Divídase el alejamiento total del punto más al Este C, entre el número de pulgadas disponible para graficar en la dirección Este-Oeste. La máxima escala posible en la figura 14-10 es 774.25 (la coordenada x del punto C) dividida entre 22.5 (24 in de ancho del papel menos 1- in del ancho del margen), obteniéndose 1 in = 34 ft. La escala estándar más cercana a 1 in = 34 ft es 1 in = 40 ft. Se debe ver ahora que la escala de 1 in = 40 ft sea adecuada también en el eje y (o dimensión vertical). Divídase la coordenada y total de 225.60 + 405.57 = 631.17 ft entre 40 ft. Se obtiene 15.8 in como requerimiento en la dirección nortesur. Se tienen disponibles 17 in en esta dirección, por lo que la escala de 1 in = 40 ft es satisfactoria. En la figura 14-10 la poligonal está centrada en la hoja de dibujo en la dirección y haciendo m igual o sea 0.61 in. Manténgase la poligonal de control a la izquierda de la franja de dibujo para que haya espacio para el título, las notas y la flecha del norte. En esta forma m puede ser de aproximadamente 1 in. Si por algún motivo la poligonal y la topografía se van a dibujar por otro medio que no sea de coordenadas, debe hacerse un esquema en el que se muestren las características de control. Si se hace el esquema en papel para calcar, puede orientarse el plano para obtener la mejor apariencia en el papel disponible de dibujo rotándolo y moviéndolo sobre este último.

14.11 FLECHA DEL MERIDIANO La flecha del meridiano, denominada generalmente flecha del norte, debe colocarse en todos los planos con propósitos de orientación. Debe estar cerca de la parte superior del papel para dibujo y en su esquina derecha.

Capítulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

Figura 14-9 Símbolos topográficos.

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

Figura 14-10

La flecha no debe dibujarse tan oscura que sobresalga demasiado. En la práctica, la flecha se traza a partir de una hoja de símbolos estándar, o bien, se corta y pega en el plano. 14.12 CUADRO DE TÍTULOS El cuadrado debe colocarse en un sitio tal que se obtenga un balance de papel dibujo. Debe quedar fuera de los límites de propiedad en el caso de levantamientos catastrales. Generalmente el cuadro de títulos se encuentra en la esquina inferior derecha del papel para dibujo. Algunas empresas de arquitectura e ingeniería tienen formas impresas con los nombres e información de títulos ubicadas en la parte superior o inferior de la franja de papel; en este caso puede evitarse tener que mover la poligonal a la izquierda. Se pide lo siguiente en el cuadro de títulos: Tipo de plano Nombre de la propiedad o proyecto Propietario del terreno o proyecto La calidad o área Fecha de terminación Escala Intervalo de las curvas de nivel (si éstas se presentan) Datos verticales y horizontales utilizados Nombre del ingeniero topógrafo El estilo de los letreros debe ser simple y no de ornato. Se muestran un ejemplo de títulos en la figura 14-11. 14.13 PAPEL El papel para dibujo de planos topográficos debe ser de excelente calidad. Debe soportar borraduras, no deteriorarse con el paso del tiempo y tomar la tinta bien. Comúnmente se utilizan papel café para detalles y papel blanco de dibujo, ambos de buena calidad. En trabajos importantes se usan franjas de papel blanco forrado de tela.

Capítulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

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Figura 14-11 Cuadro de títulos.

A menudo se dibujan planos en materiales transparentes de poliéster, como el papel Mylar, el cual es el más común en los despachos de ingeniería. Este tipo de papel es estable dimensionalmente, durable, y con agua puede borrarse fácilmente la tinta, características que lo hacen de uso muy común. 14.14 FUENTES DE ERROR EN EL DIBUJO DE PLANOS Las siguientes son las fuentes más comunes de errores en la elaboración de planos o cartas: 1. No usar distancias a escala al graficar con coordenadas. 2. Usar franjas de papel para dibujo con dimensiones variantes. 3. Dibujar con una calidad muy suave en el plano original. 4. Usar transportador para dibujar ángulos cuando se requiere gran precisión.

Problemas Resueltos 14.1 Muéstrense las notas que pondrá en la página derecha de la libreta de campo para la topografía que se muestra en la figura 14-12.

Figura 14-12

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

Solución Véase la figura 14-13. Obsérvese que en esta solución se utiliza la estación 1 + 0 como punto de control sobre la poligonal para referenciar los árboles. Pueden utilizarse las estaciones 2 o 3 en vez de la estación 1. Los ángulos se han girado hacia la derecha, tal como lo indica la flecha. Para ubicar los puntos que se requieren en la localización de la casa, se ha utilizado la estación 3. Los ángulos se giran a la derecha, como lo indica la flecha.

Figura 14-13

14.2 Muéstrense las notas que se tendrán en la página derecha de la libreta de campo para la topografía que se muestra en la figura 14-14.

Figura 14-14 Solución

Véase la figura 14-5. Obsérvese que la estación 1 se utiliza como puntos de control y que los ángulos se giran a

Capítulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

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la derecha. Los dos puntos que se necesitan para ubicar el restaurante está a 50.0 ft. con 102° y a 71.5 ft con 135°. La estación 2 se utiliza para localizar el poste de señales y la estación de servicio.

Todos los ángulos se miden a la derecha; para obtener los dos puntos que se requieren para ubicar la estación de servicio se miden 106.0 ft a 221°30"y 77.5 ft a 221°30".

14.3 Muéstrense las notas que se tendrán en la página derecha de la libreta de campo para la topografía que se muestra en la figura 14-16.

Figura 14-16 Solución

Véase la figura 14-17. En esta solución se utiliza 1 para ubicar el árbol; girando el ángulo hacia la derecha. Esta misma estación se usa para localizar el astabandera (ángulo girado a la derecha). Para ubicar la casa de departa-

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

Figura 14-17

mentos y la tienda utilícese la estación 2, girando ángulos a la derecha. El segundo árbol se ubica a partir de la estación 3, con el ángulo girado hacia la derecha.

14.4 Muéstrense las notas de campo que se tomarán en las páginas izquierda y derecha de la libreta de campo y que se requieren para dibujar el plano de la figura 14-18.

Figura 14-18 Solución La explicación se da en la figura 14-19.

14.5 Muéstrense las notas de campo que se tomarán en las páginas izquierda y derecha y que se requieren para dibujar el plano de la figura 14-20. Solución La explicación se da en la figura 14-21.

14.6 Véase la figura 14-22. Descríbase el proceso de nivelación para este proyecto. Solución La poligonal, que es una línea recta en este caso, comienza en la estación 61 + 80, corre a lo largo del camino en una distancia de 501.10 con un rumbo calculado de N12°29'E. La poligonal termina en la estación 66 + 81.1. Las elevaciones son las siguientes:

Capítulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

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Figura 14-19

Figura 14-20

Estación 62: 30 ft a la izquierda, elevación 35 10 ft a la izquierda, elevación 40 7 ft a la derecha, elevación 35 25 ft a la derecha, elevación 30 47 ft a la derecha, elevación 25 Las demás elevaciones a ambos lados del eje pueden deducirse de las curvas de nivel dibujadas en la página derecha del registro de campo. El edificio, que es una pequeña estación de servicio, tiene 16 ft de ancho por 68 ft de largo.

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14.7

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

Figura 14-21 Véase la figura 14-23, que es un levantamiento corto sobre el sendero Tiger Creek, en el bosque del mismo nombre. Descríbase el procedimiento de nivelación para este proyecto. Solución La poligonal comienza en la estación 136 + 00 y recorre 151.1 ft con un rumbo calculado de N89°47'E. De ahí avanza 169.1 ft con un rumbo calculado S78°01'E. A partir de ahí, 159.9 ft con un rumbo calculado N73°00'E. La poligonal termina en la estación 140 + 80.1. Debido a que el plano de curvas de nivel dibujado en la página de la derecha de la libreta de campo está a escala, es posible escoger distancias a ambos lados del eje y las elevaciones de las curvas de nivel en esos puntos.

14.8

Véase la figura 14-24. Se tiene una poligonal que comienza en la estación 0 + 00 y avanza en línea recta hasta la estación 6 + 40. En este punto gira a la izquierda 24° 17 . Recorre una distancia de 1090 ft has ta la estación 17 + 30 donde gira de nuevo a la izquierda un ángulo de 36°51'; de ahí avanza 910 ft más hasta llegar a la estación 26 + 40. Grafíquense los ángulos por el método de la tangente. Solución Prolónguese en A la línea que une el 0 + 00 con B. Fíjese la línea AB en 10 unidades de longitud (pulgadas, centímetros o la unidad que escoja). Encuéntrese la tangente natural de 24° 17' usando una calculadora o una tabla de tangentes. tan 24° 17' = tan 24.28333° = 0.45117 Ya que la línea AB tiene 10 unidades de longitud, multiplíquese 0.45117 por 10 obteniendo: 10(0.45117) = 4.51 unidades de longitud. Trace una perpendicular de 4.51 unidades de longitud, en el punto B; éste será el punto D. Nota: en este problema el punto que se obtuvo resultó ser la estación 17 + 30. Esto no ocurre a menudo. Tenemos ya el ángulo de 24° 17' izquierda. A partir de la estación 17 + 30 giramos 36° 51' a la izquierda y procedemos a la estación 26 + 40 avanzando 910 ft. Prolónguese la línea AD en 10 unidades más hasta la posición F donde se trazará una perpendicular a la izquierda. Encuéntrese la tangente natural de 36°51' ( = 36.85°) y multiplíquela por 10 unidades de longitud (tan 36.80° = 0.74946): 0.74946 (10) = 7.49 unidades de longitud. Por tanto la línea FE mide 7.49 unidades. Una D y E obteniendo así el ángulo de 36°51' que hay entre las líneas AFy DE. Mídanse 910 unidades sobre la línea DE y deténgase en la estación final la cual es la 26 + 40.

Capítulo 14]

14.9

DIBUJO DE PLANOS

351

Véase la figura 14-25. Se tiene una poligonal que empieza en la estación 0 + 00 y avanza 830 ft hasta A, donde gira 48°01' hacia la derecha. Luego recorre 870 ft hasta D, donde gira 42° 12'. A partir de ahí sigue 1300 ft hasta la estación 30 + 00 en donde termina. Encuéntrense los ángulos por el método de la tangente.

Figura 14-22

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

Solución

Prolónguese la línea base que empieza en 0 + 00 hasta A. Sobre la prolongación de la línea mida 10 unidades partiendo de A hasta B. El ángulo gira a la derecha, por lo que debe trazarse una perpendicular de AB a la derecha. Calcúlese la tangente natural de 48°01' ya sea en su calculadora de bolsillo o con una tabla de tangente. tan 48°01' = tan 48.01667° = 1.11126 Multiplíquese 1.11126 por 10 = 11.11 unidades de longitud. Ahora mídase 11.11 unidades sobre la línea AB para establecer el punto C. Únanse los puntos A y C, con lo que obtiene la deflexión de 48°01'. Mídase 870 ft a partir de A, sobre la línea AC y de acuerdo con la escala que haya seleccionado para la poligonal y establezca el punto D como la estación 17 + 00. A partir de aquí la poligonal gírese un ángulo de 42°21' a la

Figura 14-23

Capítulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

Figura 14-24

Figura 14-25

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INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

izquierda. Por tanto, prolónguese la línea ADC, estableciendo así la base para el ángulo de deflexión. Mídanse 10 unidades de longitud a partir de D, llegando a F. El ángulo de deflexión fue girado a la izquierda, por lo que la perpendicular se trazará a partir de Fen este mismo sentido. Encuéntrese la tangente natural de 42° 12': tan 42° 12' = tan 42.2° = 0.90674. Multiplíquese 0.90674 por 10 = 9.07 unidades. Mídanse 9.07 unidades sobre la perpendicular para encontrar el punto E. Únanse lo puntos D y E y habrá establecido el ángulo de deflexión de 42° 12'. Mídase la escala escogida para la poligonal una distancia de 1 300 ft y llegará al final de la misma estación 30 + 00.

14.10 Véase la figura 14-26a. Se tiene un ángulo de 11°30', dibújese el ángulo por el método de la cuerda. Solución Dibújese una base de 10 unidades. Esta se muestra como la línea BD en la figura 14-26a. Trácese un arco con esta base de 10 unidades. Úsese la fórmula para encontrar ED.

Con D como vértice, trácese un arco de 2.00 unidades de longitud. Donde se intersectan los arcos de 10 unidades y de 2.00 unidades, está el punto E. Una E y B; el ángulo entre las dos líneas resultantes es de 11°30'.

Figura 14-26 Ángulos por el método de la cuerda. 14.11 Véase la figura 14-266. Se tiene un ángulo de 25°24' con su vértice en M. Trácese el ángulo con el método de la cuerda. Solución Dibújese una base de 10 unidades; esta se muestra como la línea MN de la figura 14-266. Trácese un arco con esta base de 10 unidades. Use la fórmula para encontrar PN.

Capítulo 14]

DIBUJO DE PLANOS

355

Trácese un arco de 4.40 unidades de longitud de Na P, donde el arco de 10 unidades intersecte al arco de 4.40 unidades. Dibújese una línea del vértice Ai a la intersección P de los arcos, para obtener el ángulo de 25°24' que forma esta línea con la línea de base. 14.12 Véase la figura 14-26c. Se tiene un ángulo de 60° 10' con su vértice en R. Obténgase el ángulo de 60° 10' por la definición de cuerda. Solución Dibújese la línea de base RS de 10 unidades de longitud. Trácese un arco de S a T con radio de 10 unidades y vértice en R. Úsese la fórmula para encontrar 75.

Trácese un arco de 10.03 unidades de longitud a partir de S. A partir del punto donde se intersectan este arco y el radio de 10 unidades en T, dibújese una línea al vértice R. Este es el ángulo deseado de 60° 10'. 14.13 Véase la figura 14-10. Se tiene una franja de papel para dibujar de 18 x 24 in. La poligonal de control tiene la estación E con coordenadas E440.02, S350.00 y la estación B con E270.45, N210.00. Ubíquese en el plano la estación C de coordenadas E750.00, N78.76 y diga la escala que debe utilizarse. Solución Primero determínese una escala apropiada: se cuenta con 22.5 in en la dirección este-oeste. El punto más al este de la poligonal es 774.25: por tanto:

La escala estándar que más se ajusta es 1 in = 40 ft. Compruébese que esta escala se ajusta en la dirección y. La suma de las coordenadas y es 210.00 + 350.00 = 560 ft, por lo que se requieren 560/40 = 14 in en la dirección norte-sur. Como se tienen disponibles 16 ½ in, la escala 1 in = 40 ft es correcta. Céntrese la poligonal en la dirección y haciendo cada distancia m igual a 1.5 in en ambas direcciones X y Y. 14.14 Véase la figura 14-10. Se tiene una franja de papel para dibujo de 18 x 24 in. Las coordenadas de la poligonal de control son las siguientes: estación B = E210.01, N200.10; estación E = E440.00, S325.25; estación C = E810.05, N78.00. Encuéntrese la escala correcta y las dimensiones y localización de cada m. Solución La máxima escala posible al este y oeste es 810.05/22.5 = 36.00 ft. La escala estándar que más se ajusta es 1 in = 40 ft. Compruébese que la escala también es correcta para la dirección y: suma de coordenadas y = 200.10 + 325.25 = 525.35 y (525.35 ft)/(40 ft/in) = 13.33 in de espacio requerido. Ya que se tienen 17 in entre márgenes, la escala de 1 in = 40 ft es adecuada. Céntrese la franja en la dirección y:

Por tanto, las estaciones E y B estarán a 1.9 in adentro de los márgenes. La estación C está en E810.05, por lo que se tiene 810.05/40 = 20.25 in. Si se cuenta con 22.5 disponibles entre márgenes, quedarán 22.5 — 20.25 = 2.25 in. Si quiere dividir la distancia sobre el eje x en forma igual, 2.25/2 = 1.12 in que corresponden al margen izquierdo; m = 1.12 in. Una mejor solución podría ser poner este punto inicial de 0.5 al in separado del margen izquierdo para proporcionar más espacio para la flecha del norte y el cuadro de títulos.

14.15 Véase la figura 14-19. Se tiene una franja de papel para dibujo de 18 x 24 in. Las coordenadas son, para la estación B = E270.00, N310.00; estación E = E440.00, S460.00; estación C = E950.00, N78.00. Encuéntrese la escala apropiada y las dimensiones m para las direcciones Xy Y.

356

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

[Capítulo 14

Solución La máxima escala posible al este y oeste es 950.00/22.5 = 42.22 ft; la cual es mayor que la escala estándar de in = 40 ft, por lo que la poligonal de control se saldría del papel. La siguiente escala estándar, que será la que aplicaremos es de 1 in = 50 ft. Debe checarse ahora que esta escala se ajuste a la dirección norte-sur. Total de las coordenadas Y: 310.00 + 460.00 = 770.00 ft. Por lo que se requieren (770 ft)/(50 ft) = 15.4 in. Se tienen disponibles 17 in entre márgenes, por lo que la escala de 1 in = 50 ft es apropiada. Céntrese la franja de dibujo en la dirección Y.

En esta forma las estacieones B y E estarán a 0.8 in de los márgenes. La estación C está en E950.00, por lo que se tiene: 950/50 = 19 in. Hay 22.5 in disponibles en la dirección X, y queda un espacio de 22.5 - 19 = 3.5 in. Si se divide en cada lado de la poligonal, se tienen 3.5/2 = 1.75 como valor de m. Para crear espacio para la flecha del norte y el cuadro de títulos, haga que el m izquierdo sea de 1 in. 14.16 Véase la figura 14-10. Se tiene una franja de papel para dibujar de 18 x 24 in. Las coordenadas de las estaciones son: estación B = E270.00, NI 15.10; estación E = E440.00, S190.50; estación C = E410.00, N78.00. Encuéntrese la mejor escala para dibujar el plano. Encuéntrese la dimensión m para las direcciones X y. Y. Solución La máxima escala este-oeste la determina la estación C: 410.00/22.5 = 18.22 ft. Ésta cae en la escala estándar de 1 in = 20 ft. Compruébese esta escala en la dirección norte-sur. Súmense las coordenadas Y; estación B 115.10 + estación £190.50 o 115.10 + 190.50 = 305.60 ft. Por tanto, se requieren (305.60 ft)/(20 ft) = 15.28 in. Se tienen disponibles 17 in, por lo que la escala de 1 in = 20 ft es correcta. Céntrese la franja en las direcciones Y:

En esta forma las estaciones B y E estarán a 0.86 del margen superior y del margen inferior. La estación C está en E410.00, por lo que se tiene 410/20 = 20.5 in. Se dispone de 22.5 in, con lo que el espacio es de 22.5 - 20.5 = 20.5 in. Se distinguen como (2 in)/(2 espacios) = 1 in, por lo que el valor de m en la dirección X es de 1 in en cualquier lado.

Índice Ajuste del nivel, 92 Alejamientos y latitudes, 148-150 (Véase también Latitudes y desviaciones) Alineamiento de la cinta, 48-49 Altura de instrumento (AI), ilustrada, 89 Ángulo(s):

planímetro, 239 trazado de franjas, 239, 2421 de triángulos, 6-7 Azimut, 127-130

cuadrantes de, 9 definición de, 1 dirección al medir, 121 y distancia para localización, 335-337 expresados en grados (Véase Grados, ángulos expredos en) funciones trigonométricas de, ilustradas, 9 métodos de graficación: cuerda, 340-341 tangente, 340-341 transportador, 340, 342 posición estándar para, 8-9 procedimiento para establecer, 200 prolongación de una línea librando un obstáculo por medio de, 125 relación de distancias y, 63-64 tipos de: deflexión, 126-127, 144-145, 270-271 exterior de la estación, 126 exterior, 127 horizontal, 72, 126-127 interior, 127 negativo, 1 positivo, 1 Anotaciones, de campo copias de, 25 errores comunes en, 55-56 en libretas, ilustradas, 54-55 lincamientos para formular, 31-33 métodos correctos para apuntar, 31-35, 95-98 notaciones estándar en, 29 en procedimientos para poner estacas en taludes, 226-227 recomendación para la toma de, 28-30 requisitos para, 25-26 Arco expresado en radianes, 2 Área(s):

Banco de nivel (BN) definición de, 88 ilustrado, 38-40 permanente, 88-89 temporal, 88-89 tipos de, 88-89 Base de nivel, 85 Brigada: de nivelación, 47 organización de la, 46 Brújula, 69-71 errores al usar: ambientales, 70-71 personal, 71

conteo de cuadrados, 239-241 dobles distancias meridianas, 242-245 geométrico, 241 por coordenadas, 245-246 sección transversal: métodos de solución por:

Cálculo de funciones trigonométricas con calculadora, 10-11 Cálculos en pendientes, 51 fórmula para, 51 para trabajo de linea de base, 52 Centro de desplazamiento, 85 !5 Ciclo metónico, 84 Ciclo del horizonte, 127 Cifras, significativas, 35 Cintas: de acero, 88 coeficiente de expansión en, 50 de tela ahulada, 88 Círculo horizontal, 85 Colocación: del control de mapas, 340 en estación, 52-53 Conversiones: de ángulos (Véase también Grados, conversión de ángulos), 3 de centésima de pie a pulgada, 202 Coordenadas parta obtener áreas (Véase Áreas, sección transversal) Cuadrantes de ángulos, 8-9 Curva, compuesta, 277-280 Curvas: en columpio, 306

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horizontales: tipos de: compuestas, 267 espirales, 267 inversas, 267 simples, 267 de nivel, 173-176 simples horizontales: elementos de: ángulo de intersección (I), 268 ángulo central (Delta), 2681 ángulos de deflexión, 270-271 cuerda larga (CL), 268 cuerdas, 269-270 externa (E), 268 [E), 268 grado de curvatura (G), 268 longitud de curva (L), 268 ordenada media (M), 268 principio de curva (PC), 268 principio de tangente (PT), 268 punto de intersección (PI), 267 radio (R), 268 estacado de, 272-277, 280-282 fórmulas para, 270-271 verticales: en columpio, 306 definición de, 300 elementos de, 300-301 método directo de cálculo de, 304-306 métodos de intervalos regulares para calcular, 301-304 Curvatura y refracción, 92 Datos de libretas de levantamientos (Véase Anotaciones de campo) Declinación magnética, 69 definición de, 69 variaciones en, 69-70 Dirección de ángulos, 121 Distancia y ángulo para localizaciones, 335-337 Distancias: horizontales: medición electrónica de, 45 métodos para medir, 42 estadía, 43-45 odómetro, 43 por pasos, 42-43 relaciones de ángulos y, 63-64 medidas sobre y debajo de la marca, 201 indicación de desniveles, 202

ÍNDICE

sobre y abajo de la marca, 201 indicación de, 202 visadas, 90 de visibilidad, 90 Drenaje, 176 Enlaces: horizontales, 334-335 verticales al trazar planos, 337 Equipo electrónico para medir distancias, 42-45 Error significativo, 50 Errores: en levantamientos, 55-56 (Véase también Medición de ángulos, errores en: Errores al medir con cinta; Números; Trazado de mapas topográficos, errores en) al medir con cinta, 48-50 accidentales, 50 sistemáticos, 54 Escala del plano, 339 Escalas de mapas, 173, 339 Estacado de taludes: anotaciones de campo para, 226 definición de, 219 método para, 219-220 Estaciones de poligonal, 143 Estadal para nivelación, 86 Estadales (Véase tipos específicos) Flecha del meridiano, 342 Fotogrametría, 173 Funciones trigonométricas, 10-11 ilustradas, 9 uso de calculadoras para encontrar, 10-11 Gradiente, 201 Grados, ángulos expresados en: conversión de: a grados decimales, 4 a revoluciones y radianes, 3-4 suma y resta de, 5 Graficación: de ángulos, métodos para: cuerda, 340, 341 tangente, 340-341 transportador, 340, 342 del control de mapas, 340 Hachures, 173 Horizonte, cierre del, 27

ÍNDICE

Latitudes y alejamientos, 148-150 ajuste de, 148 cálculos para, 150-154 regla de la brújula en, 148-150 regla del tránsito o teodolito en, 148-150 Lectura: hacia adelante: definición de, 35 igualación de, 91 mínima 66, (Véase también Vernier) positiva (+), 35 de visual atrás: definición de, 35 igualación de, 91 Lentes, objetivo, 64 Levantamientos: construcción, 195195 de localización, métodos para, 194 topográficos, 173 Libretas de campo, 26 Línea: de contorno de índice, 176 establecimiento de, en el campo, 200 de nivel, 92 de visión, 65 ilustrada, 94 Líneas: de nivel, 203 paralelas, 201, 202 Lista de equipo, 31 de brigada de levantamiento, ilustrada, 31 Localización geométrica de puntos de curvas de nivel, 182-184 Lugares geométricos, 334-335 Marcado de posición, 200 Medición: con cinta: ajuste de temperatura en, 8-51 [ errores en (Véase Errores al medir con cinta) de distancias por pasos, ilustrada, 41-42 electrónica de dstancia, 45 de pendientes con cinta, 46-48 Mediciones de ángulos: definición de, 1 dirección en, 121 errores en: ambientales, 132 instrumentos, 132 personal, 132-133 registros de campo de, 72-73 por repetición, 121-125 Método:

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de coordenada para control de topografía, 180 de coordenadas rectangulares para obtener topografía, 180 de cuadrícula para obtener topografía, 180-182 de la cuerda para graficar ángulos, 341 directo de calcular curvas verticales, 304-306 de las dobles distancias meridianos para obtener área, 242-245 de estadía para obtener topografía, 180 por franjas para obtener áreas, 239, 242 geométrico para obtener áreas, 241 de un hilo para nivelación, 95 de plancheta para obtener topografía, 180 del planímetro para obtener áreas, 239 de radiaciones para obtener topografía, 180 de tangentes para graficar ángulos, 340-341 del transportador para graficación de ángulos, 340, 342 por variaciones para calcular curvas verticales, 301-304 Minuto, 2 Mira para estadal tipo: California, 86 Detroit, 86 Filadelfia, 86 Florida, 86 Miras, 86 Movimiento de tierras: importancia de, 239 métodos para determinar volúmenes de: fórmula prismoidal, 246, 250-251 línea de contorno, 246 promedio de áreas extremas, 246-247 secciones transversales usadas en, 239 volúmenes de, 246 Nivel: de carpintero, 195 de línea, 195 de mano, 86 topográfico Abney, 86, 88 medio del mar, 84 Nivelación: ajustes antes de la, 94 barométrica, 84 diferencial, 84, 89 directa, 84, 89 indirecta, 84 método barométrico de, 84 método trigonométrico de, 84, 99-100 para mapas de franjas, 338-339 con nivel de burbuja, 84, 89 de perfil, 96, 97 de plano por franjas, 338-339 procedimiento de campo en, 94

360

Niveles: ajuste de, 92 hilo horizontal en, 93 establecimiento de, 201 por líneas paralelas, 201-202 de mano, 86 método de un hilo para establecer, 95 obtención de, 201 tasa de variación de, 201 tipos de: de carpintero, 195 de ingeniero, 84, 86 de mano, topográficos Abney, 86, 88 Números: errores accidentales en la estimación de, 55 lectura errónea de, 55 redondeo de, 35 registro de, 54, 72 Ocular, telescopio, 64, 85 ordenes de precisión, 88 Organización de brigada, 46 Perilla de enfoque, 85 Placa de datos, 85 Planos: colocación de, en hojas, 342-343 cuadro de títulos en, 343 dibujo de, 334-339 graficación de ángulos para, 340 graficación de control para, 340 escala de, 339 fuentes de error al trazar, 345 papel para, 344-345 tipos de, 173, 334 tipos de mediciones requeridas para: enlaces, 334-337 horizontales, 334-337 verticales, 337 lugares geométricos, 334-335 Plomada, 85 Poligonales, 143-172 abiertos, 143 ángulos de deflexión en, 44 cálculo para, 145-154 cerrados, tipos de, 143 154 circuito, 143, 150-154 liga, 154-158 dirección hacia adelante para, 144

ÍNDICE

dirección de medición de ángulos en, 144 uso de, 143 Precisión de ligas o referencias horizontales, 337 Procedimiento para ligar poligonales, 154-158 i8 Prueba de dos trompos, 94 Puntales, 204 Puntos: de liga (PL), 90 90 de curvas de nivel localización geométrica de, 182-184 Radianes: conversión a grados y revoluciones, 3 conversión de grados, minutos y segundos a, 4 definición de, 2 Raya, 1 Refracción, atmosférica, 92 Relaciones, trigonométricas, 9-11 Repetición al medir ángulos, 121 Representación topográfica, 173-176, 342 ilustrada, 343 Revoluciones: conversión de grados a radianes y, 3 conversión a grados, 3 conversión de radianes a grados y, 3 conversión a radianes, 3 Rotulaciones en anotaciones de campo: góticas, 25 Reinherdt, 25 Rumbos, 129 cálculo de, 130-131 de brújula, determinación de la precisión de, 7 Secciones transversales, 239 Segundo, 2 Señales: de mano, ilustradas, 96 para trabajar con instrumentos, 96 Símbolos, topográficos (Véase Representación topográfica) Superficie de nivel, 84 Tasa de cambio de niveles, 201 Telescopio: como parte del nivel de un ingeniero, 85 de imagen directa, 64 de inversión, 64 Teorema de Pitágoras, 8 Topografía en la construcción:

361

ÍNDICE

control de línea de base y desplazamiento (offest) en, 195-196 método: de control de ángulo y distancia en, 195-196 de coordenadas para control en, 199 métodos para, 194 transferencia de 194-195 Tornillo tangencial del movimiento horizontal, 85 Tornillos:

sección transversal, 177-179 Trazados cerrados, 150-154 Triángulos: ángulo interior de, 7 ángulos exterior de, 8 fórmulas para encontrar áreas de, 6-7 teorema de Pitágoras aplicado a ángulos rectos, 8 Trigonometría, definición de, 1 Tubo de nivel de burbuja, 86, 93, 195

de presión del movimiento horizontal, 86 de nivelación, 85 Trabajo de campo en poligonales, 143-144 Trazado de mapas topográficos: errores en levantamientos, 184 graficación de puntos para, 179 influencia del drenaje en, 176 interpolación en, 179 métodos para obtener topografía en: campo, 177 coordenadas rectangulares, 180 la cuadrícula, 177 punto de control, 177

Vernieres: lectura o aproximación mínima en, 66 definición de, 65 errores al leer, 66 fórmula para, 65-66 graduación de, 66-67 lecturea negativa (—), 35 Volúmenes, movimiento de tierra: métodos para obtener: área sección media, 250-251 fórmula prismoidal, 250-251 línea de contorno, 246 tabla de área extrema, 247-249

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