Jacques Brunschwig

 

Texto traducido por Alicia Messiga y David Krapf  Revisión técnica: David Krapf  Extraído de: Cahier pour l´Analyse, Nº 10, Hiver 1969,  La Formalisation, Formalisation, Éditions du Seuil. Jacques Brunschwig  La proposición particular y las pruebas de no-concluencia en Aristóteles 

Formal sin ser formalista: así Lukasiewicz caracteriza la lógica de Aristóteles, por oposición a la de los estoicos1. Es formal, porque las expresiones que le pertenecen propiamente son leyes silogísticas que no comportan ningún término concreto, sino sólo para términos la deidea este según género, zamientos marcados por símbolos literales. La “emplazamientos” tradición aristotélica ha los identificado la emplacual la lógica es un instrumento (Ôrganon) de la filosofía, y no una de sus partes (mšroj), con la idea según la cual sólo pertenecen a la lógica las leyes expresadas con la ayuda de variables, con exclusión de sus aplicacione aplic aciones, s, es decir, expresi expresiones ones donde los términos concretos son sustituido sustituidoss por variables variables2. La noción de forma en referencia a la cual la lógica aristotélica puede ser considerada formal es, pues, la “noción fil filosóf osófica ica tan abstr abstract actaa [...] [...] de la  forma  forma   en su oposición a la materia” 3. Lukasiewicz describe así los elementos característicos de la forma silogística, definida como lo que queda cuando se elimina la materia del silogismo: silogismo: “A la forma del silogism silogismoo pertenecen, además del número y la disposición disposición de variables, variables, lo que se llaman las constantes lógicas. Dos de ellas, las conjunciones “y” y “si”, son expresiones auxiliares y forman parte, como veremos más tarde, de un sistema lógico que es más fundamental que el de Aristóteles [la lógica proposicional]. Las cuatro constantes restantes, a saber “pertenecer a todo”, “no pertenecer a ningún”, “pertenecer a algún” y “no pertenecer a algún”, son características de la lógica aristotélica. Estas constantes representan relaciones entre términos universales4.” Formal en este sentido, la lógica de Aristóteles no es, sin embargo, formalista. Pero no lo es, no  porque ella haga amplio uso del lenguaje natural y no conoce con oce otros símbolos que aquellos de los cuales se sirve para denotar los términos. La adopción de un enteramente artificial es, en efecto, más quelas unvariables medio dedesatisfacer la exigencia esencial delsimbolismo formalismo, que es, para retomarnouna vez más los términos de Lukasiewicz, la siguiente: “El formalismo requiere que el mismo pensamiento sea siempre expresado por medio de una serie exactamente la misma de palabras, ordenada de una manera exactamente la misma. Cuando una prueba es puesta en forma según este principio, estamos en condiciones de controlar su validez sobre la base de su forma exterior solamente, sin hacer referencia a la significación de los términos empleados en la prueba”5. Nada impide, en principio, hacer del lenguaje natural un uso formalista; pero ello sería al precio de una ascesis constante, difícil y bastante poco económica, puesto que habría que hacer abstracción de la significación de los términos y reinventarles una gramática que no sería necesariamente, ni del todo la misma, ni del todo otra que su gramática natural; empresa que se emparentaría a aquella del inventor que se había fatigado tanto, para retirar del caucho su elasticidad. Aristóteles no emplea el lenguaje con tanto lujo de precauciones. Apuntando siempre al significado a través del significante, él se autoriza constantemente sustituciones que parecen intuitivamente evidentes, porque sustit sus tituto uto y sus sustit tituid uidoo “qu “quier ieren en decir decir lo mi mismo” smo”6, pe pero ro qu quee no so sonn ex expl plíc ícit itam ament entee le legi giti tima mada dass por  definiciones y reglas ad hoc. hoc. El ejemplo más claro que se puede dar es precisamente la expresión de las relaciones a, e, i y o: se sabe que Aristóteles sustituye libremente unas por otras, por ejemplo, las siguientes expresiones:            

A pertenece (Øp£rcei) a todo B. A es predicado (kathgore‹tai) de todo B. A se dice de (lšgetai) todo B. A procede de (¢kolouqe‹) todo B. B es en A como en un todo (™n Ólw). Todo B es A.

1

  Cf. J. J. Lukas Lukasiewicz, iewicz, Aristotle’s  Aristotle’s Syllogistic from the standpoint sta ndpoint of modern fformal ormal logi logicc , 2nd ed. enlarged, Oxford, Clarendon Press, l957, p. 15: “The Aristotelian logic is formal without being formalistic, whereas the logic of the Stoics is both formal and formalistic.” 2   Cf. Ammonius, Ammonius,  In Aristotelis Aristoteli s Analyticorum Analyti corum Priorum Librum I Commentarium , de. Walliers, Berlin, l899, p.10, 1. 36 s., citado por Lukasiewicz, op. cit. cit.,, p.13, nº. 1. 3 on à la log logique ique contemporaine, contempor aine, Paris, Colin, l957, p.18.  R. Blanché, Introducti Blanché, Introduction 4   Lukasiewicz, op. cit., p.  p. 14. Sería más exacto decir: “pertenece a todo”, “no pertenece a ningún”, etc. Notaré más adelante estas relaciones con la ayuda de las vocales tradicionales a, e  e,, i i,, yy o  o.. 5 cit., p. 16.   Lukasiewicz, op. cit., Cf. An. Pr. I, 39, 49 b 3: de‹ d kaˆ metala Cf. An. metalamb£n mb£nein ein § tÕ aÙtÕ dÚnat dÚnatai, ai, Ñnoma Ñnomata ta ant\ Ñnom£ Ñnom£twn twn kaˆ lÒgouj lÒgouj ¢ntˆ lÒgon. Lukasiewicz comete un error al citar esta frase interrumpiéndola luego de lÒgwn (op. (op. cit., cit., p.18, nº 2), dando así falsamente la impresión de que Aristóteles sólo autoriza los intercambi inter cambios os “words “words for words and phrases phrases for phras phrases”, es”, en tanto que él admit admitee tanto los intercambios intercambios “palabras “palabras por expresiones” expresiones” y viceversa viceversa.. Observemos también que comentando un ejemplo, algunas líneas más abajo, Aristóteles precisa explícitamente que el  significad  significadoo de los términos sustituibles es idéntico (taÙtÕn g¦r tÕ shmainÒmenon, 49 b 8).

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Esta multiplicidad de expresiones intercambiables por una misma “constante lógica” muestra que lo que interesa a Aristóteles es el significado único al que él apunta a través de ellas. El manejo de las diversas constantes queda guiado por su sentido natural; Aristóteles no busca por principio definirlas integralmente por una gramática tan explícita y rigurosamente formulada como para que sea suficiente aplicar “ciegamente” sus reglas para poder manejar correctamente los significantes de las constantes. Su lógica no es un cálculo; la noción de forma en referencia a la cual puede no ser considerada formalista es la “noción concreta, visual [...] de la forma la  forma en  en el sentido geométrico, o al menos, topológico: unos diseños sobre una hoja, combinados según ciertas reglas, y susceptibles de ser transformados en nuevos diseños según ciertas otras reglas”7.  

* Describir los efectos de esta formalidad sin formalismo, sería sin duda retomar el examen de toda la silogística aristotélica. Me propongo aquí estudiar una incidencia particular con algún detalle: el problema que plantean el sentido y el uso de la proposición la  proposición particular , especialmente en relación con el rol que ella  juega en los procedimientos p rocedimientos por los cu cuales ales es demostrada la no-concluencia de los pares pa res de premisas distindistin tas a los modos silogísticos válidos. En efecto, espero mostrar que los textos relativos a estas cuestiones manifiestan una modificación significativa de la actitud de Aristóteles, y que permiten asir el meollo del trabajo del lógico, de entrada víctima de los equívocos del lenguaje natural, tomando luego de esos equívocos una conciencia progresiva, por la fuerza interna de los problemas mismos, y arribando al fin a dominarlos. Al término de esta evolución, la proposición particular abandona aquellas de sus connotaciones usuales usual es que perturba perturbann su manej manejoo lógico, y es definida sólo por su lugar en un sistema de oposiciones, oposiciones, con todas las consecuencias que ello comporta. La proposición particular tradicional, se sabe, es una fuente de problemas espinosos 8. Aquellos que releva su “alcance existencial” son bien conocidos; todas las consecuciones del universal al particular  (subalternas, conversión “parcial” de la universal, modo Darapti modo  Darapti)) las muestran claramente9. Otro problema, 0 no menos conocido por comportan los lógicos, eles mismo el de la sujeto ambigüedad sistema de sus1relaciones conpresentar las otras tres  proposiciones cuando y el del mismo predicado . Se puede este  problema observando que, en su uso natural, la proposición particular parece comprometida en tres relaciorelacio nes que son incompatibles entre ellas:

contradicción (o (a) Su verdad está en relación de contradicción  (o alternativa) con la de la universal de calidad opuesta. A pesar del proverbio, cada cual admite que la excepción invalide la regla. Y el uso común emplea sin cesar las equivalencias11:    

AaB AaB   ~ AoB AeB  AeB  ~ AiB

(b) Su verdad parece implicada por la de la universal de igual calidad, su “subalternante”:  

AaB   AiB AaB    AeB AeB    AoB

A decir verdad, el uso común adopta respecto de la subalternación una actitud vacilante. Supongamos un interlocutor X que esté persuadido que todos los B son A; si un interlocutor Y emite delante suyo la opinión que algunos A son B, X podrá, según el humor y las circunstancias, responderle, o bien: “Usted tiene razón, mi estimado, y más todavía de la que usted piensa, ya que en realidad todos los A son B”, o  bien: “Usted se equivoca, mi amigo: no hay que decir que algunos algunos A  A son B, hay que decir que todos todos los  los A son B”. Pero yo supongo que en el segundo caso, Y sería llevado a replicar: “Entonces estamos de acuerdo;  puesto que usted admite que todos los A son B, acordará conmigo, con más razón, que algunos A son B”. (c) Su verdad parece implicar, y ser implicada por, la de la particular de calidad opuesta: la proposición “Algunos A son B” es ordinariamente utilizada en situaciones donde la proposición “Algunos A no 7

 R. Blanché, op. cit., cit., p. 18. Logic , Londres 1881, p. 169, citado por R. Blanché, Structures intellectuelles intellectuelles,, Paris,   “These troubleso troublesome me propositions”, propositions”, decía J. Venn, Venn, Symbolic Logic, Vrin, l966, p. 38. 9   Cf. la exposición reciente de W. y M. Kneale, The Development of Logic, Logic , Oxford, 1962, p. 56-61. 10 intellectuelles, lles, especialmente  Cf. sobre este punto R. Blanché, Structures intellectue  especialmente el capítulo III, p. 35-46. 8

11 Adopto aquí la notación utilizada en una obra a la cual este estudio se refiere constantemente: Gunther Patzig,  Die aristotelische aris totelische Syllogistik  Syllogist ik , 2da. ed., Göttingen, Vandenhoeck und Ruprecht, 1963. La minúscula designa una de las cuatro relaciones tradicionales a, e  e,, i i,, o  o;; las mayúsculas designan las variables de los términos, la que figura a la izquierda de izquierda  de la minúscula representa el predicado el  predicado,, y la que figura a la derecha representa derecha  representa el sujeto. el sujeto.  AaB debe  AaB  debe entonces ser leído “ A pertenece a todo B”, B ”, o aún “Todo “Todo B es A”. A”. Sobre las justificaciones de esta notación, que reproduce el uso aristotélico más frecuente, Cf. Patzig, op. cit., cit., p. 19 s.

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son B” es igualmente considerada verdadera 12. Tomo un ejemplo al azar, en un libro al alcance de mi mano: es claro que al escribir “Hay algunos silogismos donde esta palabra [ sic [ sic.. ¢n£gkh] es omitida 13”, Lukasiewicz quiere hacer entender que existen también otros otros silogismos  silogismos donde este término no es omitido. El uso común admite entonces fácilmente la equivalencia AiB equivalencia  AiB    AoB  AoB.. Ahora bien, es evidente que no se puede mantener conjuntamente las tres relaciones ( a), (b) y (c). Si se tuvieran las tres por verdaderas, de  AaB  AaB supuesta  supuesta verdadera se podría deducir a la vez ~  AoB  AoB,, por (a (a), y  AoB  AoB,, por (b (b) y (c), lo que es contradictorio. Para un uso lógico no contradictorio de la particular, es necesario entonces abandonar al menos una de las tres relaciones (a), (b) y (c). Se obtendrá así tres “cuadrados de oposiciones”, tres sistemas de relaciones teóricamente concebibles 14. I. Si se abandona la relación (c ( c), es decir, la equivalencia de las dos particulares, se obtiene el “cuadrado” tradicional. Se conservan ( asubcontrarias ), es decir, lasi-contradicciones a-o y e-recíprocamente i, y las relaciones (b (b), es decir, las subalternas a-i  ylase-relaciones o; pero las(a o dejan de implicarse  para devenir simplemente compatibles (ellas pueden ser las dos verdaderas, pero no deben ser las dos verdaderas; solamente deben no ser las dos falsas). Correlativamente, las dos universales son contrarias entre ellas: no pueden ser las dos verdaderas, pero pueden ser las dos falsas. La interpretación que debe aquí recibir la particular es: “algún A al menos es menos es B (no estando excluido que todo A sea B)”; lo mismo  para la negativa. Llamaré a esta pproposición roposición particular  particular minimal , y la notaré i1 o o1. El cuadrado correspondiente es bien conocido:  Aa 1  B  B     Ai1 B   B 

 Ae1 B  B contradicción contrarios implicación compatibilidad

 Ao1 B   B 

II. Si ahora se Las abandonan las relaciones ( b), manteniendo (b las relaciones (a) que (a y (c),lossepares obtiene tema bien diferente. dos particulares se implican una a la otra; si se quiere a-oun   y sise-i  permanezcan contradictorias, uno es conducido cond ucido paradojalmente a admitir que cada un unaa de las particulares, particulares ,  por una parte excluye la universal de igual calidad, y es excluida por ella, por otra parte continua excluyendo la universal de calidad opuesta y siendo excluida por ella: en efecto, cada una de las universales no puede contradecir una particular sin contradecir a la otra, que le es equivalente. Se sigue, además, que las dos universales son ahora equivalentes, pues contradicen dos proposiciones equivalentes. El cuadrado deviene entonces el siguiente:   Aa 2 B   B   Ae B  2 B  

 Ai 2 B  B

Ao2 B  B

Estas paradojas se aclaran fácilmente si se da de la particular la interpretación siguiente: “Algún A al menos y como máximo es máximo  es B” (que llamaré aquí particular aquí  particular maximal , designándola i2 o o2). En los térmi2 1 nos del  y ore2 son aánlaambas conjunción  conjunción   o1; y si sedequiere a  yeno,efecto i  y eambas e2  se def ambas  man manten tener ercuadrado las contra contradicional, tradic diccio ciones nesi entre ent , a2  y equivalentes defin inir irán   por  lai   .negación esta conjunción, es decir (en virtud de las leyes de dualidad) por la disyunción disyunción ~  ~ii1 v ~  ~oo1, en otros términos, términos, a1 v 15 e1 .

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 Cf. Blanché, Structures intellectuelles, p. intellectuelles,  p. 36-37. cit., p. 10.  Lukasiewicz, op. cit., 14   Una solución, solución, naturalm naturalmente ente mejor sobre el plano teóri teórico, co, consiste en modificar modificar la estructura estructura cuadrática cuadrática tradicional tradicional para dar lugar lugar a dos tipos distintos de particulares, satisfaciendo a ellas dos las tres relaciones ( a), (b (b) y (c (c). Tal es el hexágono lógico de lógico de M. Blanché, donde figuran, además de los cuatro puestos tradicionales a, e, i i,, o,  o , dos puestos nuevos: y nuevos:  y,, definido como la conjunción conjunción de  de i y o, y u, definido como la contradictoria de y de  y,, es decir, como la disyunción disyunción de  de a y de e. Cf. sobre este punto, además de Structures intellectuelles intellectuelles ya  ya citado, las dos exposiciones preliminares de R. concepts, in Théorie 19 (1953) 89-130, y Opposition et négation, négation , in  Revue Philosophique Philosophiq ue 147 Blanché: Sur l’opposition des concepts, in Revue  147 (1957) 187-216; ver  igualmente G. Kalinowski, Axiomatisation Kalinowski,  Axiomatisation et formal formalisation isation de la théorie hexagonale de l’opposition l’o pposition de  de M.  M. R. Blanché, Blanché , in in Les  Les Études Philosophiques Philosophiq ues 22 (1967) 203-209. Si prefiero aquí plantear en términos de elección elección entre  entre varios “cuadrados” posibles un problema del cual M. Blanché ha sabido integrar  los   los elementos en una estructura más compleja y más comprehensiva, es, como se verá más claramente por lo que sigue, porque esta  presentación ha parecido susceptible de aclarar la naturaleza de los problemas que se le plantearon a Aristóteles. Señalemos que un sistema de oposiciones donde figuran los mismos puestos que los de M. Blanché, pero designados bajo otros nombres y esquematizados de una manera diferente, ha sido presentado por Paul Jacoby, A Jacoby,  A triangle of opposite oppositess for types of propositions proposi tions in Aristotel Aristotelian ian Logic, Logic , en The new Scholasticism 24 Scholasticism 24 (1950) 32-56, con la ambición (de una coherencia quizás discutible) de ser “fiel a la teoría lógica de Aristóteles mismo, rellenando algunas pequeñas lagunas para 13

satisfacer las exigencias de un esquema completo y coherente” (p.47). 15  Las dos particulares dos  particulares significan: “A pertenece a algún B y no pertenece a algún (otro) B”; las dos dos universales  universales significan: “A pertenece a todo B o no  pertenece a ningún B”, o en otros términos: “A pertenece universalmente a B, sea afirmativamente sea negativamente”. Se puede pues decir que no hay más acá cuadrado cuadrado de  de oposición, sino un simple  segmento  segmento de  de oposición, cuyos términos son a 1 v e1 por una parte, i1 .  o1 por otra. La combinación de este segmento con el cuadrado tradicional daría precisamente el hexágono de M. Blanché.

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III. Se puede, por último, imaginar a título recreativo, un sistema en el cual se conservarían las relaciones (b (b) y (c ( c), sacrificando esta vez las relaciones de contradicción (a ( a). Mantener las implicaciones a  i y e  o, y de equivalencia i  o, impondría entonces admitir las implicaciones a  o y e  i; el sistema no comporta contradictorias; si i y o son particulares, a y e ya no pueden ser universales. La relación entre los puestos a  y e  queda indeterm indeterminada: inada: dos proposicion proposiciones es que impli implican can una tercera (aquí la conjunción conjunción i . o) no están ligadas por ninguna relación necesaria. Si, para que el nuevo “cuadrado” de oposición merezca todaví tod avíaa ese nombr nombre, e, ele elegim gimos os int introdu roducir cir ent entre re a  y e  una relación de contradicción, se obtiene esta consec con secuen uencia cia sup suplem lement entaria aria,, que las dos particul particulares ares son siempr siempree verdader verdaderas: as: ell ellas as están están en efecto efecto implicadas por dos proposiciones en las que ha sido admitido que una de las dos es siempre verdadera. Este cuadrado teórico tendría entonces el aspecto siguiente: Aa3B

Ae3B

Ai3B

Ao3B

Admite esta interpretación: para a  y e, “un gran número de A son (no son) B”; para i  y o  “un  pequeño número al menos de A son (no son) B”, quedando entendido que toda relación universal es excluida entre A y B. Este tercer sistema evidentemente, no tendría título alguno para ser conservado. Pero sí los otros dos, tanto uno como el otro. El primero tiene el mérito de la simplicidad, pero se aparta del uso ordinario abandonando la equivalencia de las particulares; el segundo tiene las ventajas y los inconvenientes inversos 16 . * Aristóteles ha optado, sin la menor sombra de duda, por la interpretación mínima de la particular 17;  pero esta elección no parece haber sido efectuada de entrada con la plena conciencia de todas sus exigencias e implicaciones; las connotaciones maximales de la particular “natural” han ejercido sobre su tra trabaj bajoo una acción pertu perturbad rbadora. ora. A esta esta aus ausenc encia ia de decisión decisión él  él pagó un fuerte tributo de labor y de complicaciones, como veremos ahora. La definición que da Aristóteles de la particular está contenida en las líneas de  An  An..  Pr . I I, 24  a 18 20: “Llamo universal pertenece a todo , o no pertenece pertenece a ningún , particular pertenece a algún o no pertenece a algún , indefinida pertenece o no pertenece , sin la  18 universalidad o la particularidad” 18 . Tomada Tom ada litera literalme lmente nte,, la defini definició ciónn de la par partic ticula ularr afi afirmat rmativa iva es eviden evidentem tement entee mi minim nimal. al. La  presencia de dos expresiones distintas para la particular negativa ( m¾ tin… - m¾ pant…) revela, sin embargo, un problema: la conjunción ½ que las separa, ¿tiene el mismo valor que la que las precede, es decir, el de la disyunción exclusiva aut ? Nada impide teóricamente pensar que Aristóteles distingue aquí tre tress particu particular lares: es: la afirmat afirmativa iva,, la negati negativa va minima minimall (m¾ pant pant…, …, en tanto tanto que simple simple negaci negación ón de la universal, no puede sinoarunsusentido minimal) la negativa (m¾ tin…, a lo que dar este sentido paratener justific justificar disyu disyunción nción con ym¾ pant…). maximal Pero se puede descartar estahabría hipótesis, hipóteque sis,  primeramente porque si Aristóteles hubiera distinguido aquí o1  y o2, deb deber ería ía ha habe berr di dist stin ingu guid idoo simult sim ultáne áneame amente nte i1  y i2; luego, porque en el curso de su silogística, no retoma sistemáticamente la 16

  Se podría mostrar que Aris Aristótel tóteles es se encontró en el dominio de la modalida modalidad, d, frente a un problema de elección elección estructuralmen estructuralmente te análogo. análogo. La  p”” es en efecto comprometida, en su uso natural, en dos relaciones incompatibles; por una parte, está implicada  proposición modal “es posible que  p  por su “subalternante modal”, “es necesario que p que  p”, ”, puesto que, si un estado de cosas es considerado necesario, se debe aparentemente afirmar que es a fortiori posible; fortiori  posible; por otra parte, ella equivale a su “subcontraria modal”, “es posible que no- p no- p”, ”, puesto que, si no-  p no p no fuera posible, se afirmaría de  p que  p que es necesario, y no posible. Pero no se puede admitir las dos relaciones a la vez, puesto que la necesidad de  p  p implicaría  implicaría mediatamente la p. Hay que elegir, entonces, entre una interpretación minimal  de menos posible que p  posibilidad de no-  p.  de la problemática (“es al menos posible que p”) ”) y una interpretación maximal  (“es   (“es al menos y de más posible más posible que p que p). ). Como se sabe, las hesitaciones de Aristóteles han tomado en el dominio de la modalidad una forma más nítida y más espectacular que en el dominio de la calidad; allí él no sacrificó la interpretación maximal. 17  Pongo en duda, pues, directamente las conclusiones de Takeo Sugihara,  Particular and indefinite proposition propositio n in aristotelian aristoteli an logic , en en Memoirs  Memoirs of  o f   Liberal Arts College, College , Fukui University Universit y  3 (1954) 77-86. He tomado conocimiento de este artículo por una referencia de Y. M. Bochenski,  A History of   Formal Logic, Logic , Notre-Dame Press, 1961 (traducción por Ivo Thomas de  Formale Logik , Freiburg-München, Alber 1956), p. 58 y 472; de él pude consultar una impresión especial, gracias a la cortesía de M. Sugihara y a la amable intermediación de M. Takefumi Tokoro, a quienes agradezco  profundamente. El artículo está en japonés; él mismo incluye un resumen inglés de dos páginas, a partir del cual trabajé, y que citaré literalmente,  porque Bochenski le hace decir al autor exactamente lo contrario de lo que dice. Cf. Bochenski, op. cit. p.58: cit. p.58: “In the particular sentence, ‘some’ mean ‘at least one, not excluding all’. Whereas, as Sugihara has recently shown, an indefinite sentence should probably be interpreted in the sense: ‘at least one A is B and at least one A is not B’ ”. La tesis de M. Sugihara es al contrario: “Aristotelian ‘particular’ is bilateral [ i. e. e. “A  “A applies to some of B and puesto does not the others of B”], más and ‘indefinite’ unilateral [ i. e. e. “A  “A da applies to someenofapoyo B”]”. de Espero que la exactitud del resumen inglés no sea en apply duda. to Señalaré y discutiré adelante losistres argumentos que M. Sugihara su tesis. 18  Lš  L šgw d kaq kaqÒlo Òlouu m n tÒ pan pantˆ tˆ À mhd mhdenˆ enˆ Øp Øp£rc £rcein ein,, ™n mšr mšrei ei d  tÕ tinˆ tinˆ À m¾ tinˆ tinˆ À m¾ pantˆ pantˆ Øp£rcei Øp£rcein, n, ¢diÒr ¢diÒrist iston on d  tÕ Øp£rc Øp£rcein ein À m¾ Øparcein ¥neu toà kaqÒlou À kat¦ mšroj. Traduzco aquí ¢diÒriston por indefinido indefinido,, conforme por otra parte al uso. Desde el punto de vista lógico, se sabe que Aristóteles asimila el indefinido a la particular: Cf. por ejemplo I, 4, 26 a 28-30, 32-33, 39, etc.

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distinción m¾ pant… - m¾ tin…, y parece tratar las dos expresiones, en aquellos pasajes donde aparecen, como estrictamente equivalentes19. Por lo tanto hay que considerar que en la frase definicional la ½ que separa m¾ tin… y m¾ pant… tiene, contrariam contrariamente ente al que les precede, el sentido de un sive un  sive identificador;  identificador; la significación de un m¾ tin…, que queda poco claro, debe ser entonces determinado como siendo la misma que aquella de un m¾ pant…, que es unívoco y minimal. Por otra parte, es bien harto conocido que Aristóteles, si bien no trazó explícitamente el tradicional cuadrado de oposiciones, admite sus dos relaciones esenciales, las contradicciones a-o  y e-i, y las subalternas a-i  y e-o20. Él rechaza implícitamente toda equivalencia entre las subcontrarias i  y o en el análisis que da en su relación: después de haber dicho de entrada que es una relación de contrarios (™nant…wj) al mismo título que la relación a-e, y por oposición a las contradicciones a-o  y e-i, él precisa luego que el 21

contrario i-opero no es una verdadera oposición, sino en la forma verbal . Eso significa que ambas pueden ser  verdaderas, naturalmente no que deban serlo. Hay que reconocer no obstante que en los ejemplos concretos que da de las proposiciones particulares, Aristóteles utiliza regularmente términos que están entre ellos en relación de pertenencia particular ma ximal , uno de los términos pudiendo ser incluido ( hombre hombre--animal ) o no (blanco (blanco--animal ) en el otro 22: hombre conviene a algún animal, no a todos, blanco conviene a algún animal, no a todos. Sin embargo, no es  posible extraer de allí argumentos, como lo hace M. Sugihara, para afirmar af irmar que q ue la particular aristotélica es maximal: eso sería en efecto confundir la situación habitual en la cual una proposición es utilizada con la significación de esta proposición23, los ejemplos capaces de ilustrar Ai ilustrar  Ai2  B siendo B siendo a fortiori capaces fortiori capaces de ilustrar Ai trar  Ai1 B,  B, no se puede afirmar sin petición de principio que es  Ai2 B que  B que pretenden ilustrar. A lo sumo se  puede notar la repugnancia de Aristóteles a emplear ejemplos que ilustrarían  Ai1 B sin  B sin ilustrar al mismo  Ai2 B,  B, y agregar que esta repugnancia comporta un peligro de equívoco o malentendido. tiempo Ai tiempo * Estos malentendidos, ligados a las adherencias del lenguaje natural, aparecen claramente en el 24

dominio de las pruebas las pruebas de válidas, no-concluencia Se sabe que Aristóteles se pares contentó con establecer cuales son las formas silogísticas sino que .demuestra igualmente quenolos de premisas formalmente distintas de aquellas que entran en las formas válidas son, por su parte, incapaces de autorizar una conclu con clusió sión. n. Est Estos os proc procedi edimie miento ntoss de rechazo rechazo   han, a justo título, llamado la atención de los lógicos modernos. El procedimiento que Aristóteles utiliza más a menudo, para demostrar que un par de proposiciones es no-concluyente, fue designado por Ross con el nombre de “prueba por instancias contrastadas” 25. Su estructura lógica fue excelentemente analizada por G. Patzig 26; me bastará resumir aquí lo que dice este auconcluyentes,, es decir, que ella impone tor. Decir que un par de premisas pertenece a el conjunto de pares concluyentes necesariamente la asignación, entre sus dos términos extremos, de una o de la otra de otra de las cuatro relaciones a, e, i, o, para toda tríada de conceptos ABC. conceptos ABC. Decir  Decir que un par de premisas pertenece al conjunto de pares no-concluyentes, es entonces decir que no pertenecen al conjunto de pares concluyentes, y por lo tanto que no impone la asignación, entre sus dos extremos, de ninguna ninguna de  de estas cuatro relaciones. Pues, la necesidad de una conclusión de tipo AxC  tipo AxC   es es contradicha por la existencia de una tríada de conceptos que satisfacen a la vez la pareja de premisas consi considerada derada y una tercera tercera proposición de forma ~  AxC . Se ve entonces que la no-concluencia de un par de premisas será demostrada si es posible exhibir cuatro tríadas de conceptos que satisfagan, la pareja cuestión, y poro,otra laciones ~ apor , ~ una e, ~ parte, i, ~ o (es decir, en respectivamente i, e,parte, a). respectivamente cada una de las cuatro reSi se admite las leyes de las subalternas, subalternas , es posible simplificar esta prueba. En efecto, la tríada de conceptos concept os que sati satisface sface la relaci relación ón AaC   AaC   permite permite entonce entoncess elim eliminar, inar, no solamente solamente la conclusión conclusión AoC   AoC , sino también a fortiori la fortiori la conclusión conclusión AeC;  AeC; lo  lo mismo para la tríada que satisface satisface  AeC . Es suficiente entonces,  entonces,  y

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 Cf. por ejemplo I, 4, 26 a 37, 26 b 4-5.  Cf. An.. Pr . II, 15, 63 b 23-30. Sobre la subalterna, Cf. Top.  Cf. An Top. II, 1, 109 a 3-6; III, 6, 119 a 34 s.; y los textos que reencontraremos más adelante, An adelante,  An  Pr . I, 4, 26 b 15-16 y 5, 27 b 21-22. 21  Cf. An  Cf. An Pr  . . II, 15, 63 b 27-28: tÕ g¦r tinˆ kat¦ t¾n lšxin ¢nt…keitai mÒnon. . 22  Cf. la lista de los 14 ejemplos de particulares concretas que figuran en la silogística asertórica, en Sugihara, art .  cit . (sin embargo, habría que transferir el ejemplo nieve-blanco nieve-blanco del  del segundo grupo al primero). 23 op. cit ..,, p. 191: “Umgangssprachlich bedeutet freilich ein Satz der Form “A kommt  Cf. sobre este punto las observaciones importantes de G. Patzig, op.  Bedeuten kann einigen B nicht zu” fast stets, dass einige B allerdings A sind. Dies ist indessen noch eine oberflächliche Ansich der Sache:  Bedeuten  kann der Satz  AoB auch  AoB  auch umgangssprachlich nicht, dass auch AiC  auch  AiC   [  sic; sic ; leer AiB leer AiB]] gilt. Aber er wird meist nur in Situationen benutzt , in denen auch  AiC  [la   [la misma observación obser vación]] gilt, und die Umgangss Umgangssprache prache has die Tendenz, Tendenz, die gewöhnlic gewöhnliche he Situation, Situation, in der ein Satz venwendet   wird, wird, seiner seiner  Bedeutung  zuzurechnen.” (Subrayado por el autor). 24  Cf. sobre esta parte de la silogística Lukasiewicz, op. cit., cit., p. 67-72, p. 94-99, p. 100-132; Patzig, op. cit., cit., p. 180-197. 25   Cf. Aristotle’s Cf.  Aristotle’s Prior and Posterior Analytics, Analytics , a revised text with introduction and commentary by W. D. Ross, Oxford, Clarendon Press, l949,  p.302. 26  G. Patzig, op. cit., cit., p. 187-190. 20

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es así como procede Aristóteles 27, exhibir dos tríadas solamente para eliminar las cuatro conclusiones eventuales. El procedimiento de Aristóteles fue a menudo calificado de extra-lógico, porque las tríadas de conceptos que él alega están compues compuestas tas por conceptos conceptos concretos, como animal , hombre hombre,, caballo28. Patzig ha defendido a Aristóteles contra esta crítica, mostrando que el carácter “natural” de estos conceptos no es más que un aspecto accidental de la prueba, y que Aristóteles habría podido, sin ningún riesgo de cambiar  la es esen enci ciaa del pro proce cedi dimi mient ento, o, construir artificialmente  artificialmente  los con concept ceptos os que le resulta resultaban ban necesa necesario rioss29. Tomemo Tom emoss un ejemp ejemplo lo para aclara aclararr est estee punt punto. o. En  An  An..  Pr . I 4, 26  a  2-9, Aristóteles demuestra la noconcluencia del par de la primera figura AaB figura  AaB.  AeB  AeB,, exhibiendo las dos tríadas animal , hombre hombre,, caballo (que satisf satisface ace las prem premisa isass y  AaC ) y animal , hombre hombre,,  piedra  piedra   (q (que ue sa sati tisfa sface ce las premi premisa sass y  AeC )30. Desarrollando las sugerencias Patzig,: se puede  AaC  indicar construcción posible de un tercer término de término  de de las dosde primeras primeras: animal-no-hombre (del animal-no-hombre cada tríada, a partir satisfará satisfará AaC   el una  el concepto “artificial”  (del cual el concepto “natural” caballo caballo,, elegido por Aristóteles, no es más que un sub-concepto); satisfará AeC satisfará  AeC el concepto no-homb no-hombre-no-ani re-no-animal mal (del cual el concepto “natural” piedra “natural”  piedra no  no es a su vez más que un sub AaB,, siempre concepto). En suma, una vez dados dos conceptos “naturales” A y B, satisfaciendo la mayor  AaB se puede encontrar un concepto C que satisface la menor  BeC y AaC , esto será (A . ~B), y otro concepto C que satisfaga BeC  satisfaga BeC  y AeC   y AeC , será (~A . ~B). Se puede dar un paso más en el sentido indicado por Patzig, y construir artificialmente, no solamente uno de los conceptos a partir de los otros dos, sino dos de los conceptos a partir solamente del  tercero;; así solamente se descartará enteramente el reproche de introducir en lógica proposiciones que, tercero como “animal es adecuado a todo hombre”, no son tesis lógicas. En el ejemplo que hemos tomado hace un instante, insta nte, la primera tríada sería A, (A . B), (A . ~B) que satisface formalmente las condiciones requeridas, ya que la ley no-lógica “animal es adecuado a todo hombre” es reemplazada por la ley lógica “A pertenece a todo (A . B)”; la segunda tríada sería entonces A, (A . B), (~A . ~B). Este procedimiento de construcción  puede ser generalizado, y se obtendrá en todos los casos las tríadas requeridas por sumas s umas o productos lógilógi cos de variables conceptuales. Si Aristóteles prefirió trabajar con conceptos “naturales”, designando con un término únicomás del evidentes; lenguaje corriente, puedesuponer admitir que con es Patzig que esprocedimientos para tornar susde demostraciones intuitivamente pero nos se permite mediante construcción del tipo descripto más arriba que ha determinado los conceptos “naturales” de los que ha hecho uso. * La prueba por instancias contrastadas no es, sin embargo, la única que Aristóteles haya utilizado  para sus demostraciones de no-concluencia. Se sabe, en efecto, que él emplea también para esta ocasión, otro procedimiento, que ha retenido la atención porque es el simétrico negativo de la demostración de validez del modo concluyente, por “reducción” a otra ya conocida o admitida como concluyente: la noconcluencia de ciertos pares de premisas, igualmente entraña la de ciertas otras. Este esbozo de un sistema deductivo del rechazo ha dado lugar a investigaciones célebres de Lukasiewicz y su escuela 31. El aspecto del problema que nos retendrá aquí será menos el análisis del procedimiento mismo que el de las circunstancias en las cuales Aristóteles lo emplea, y las modalidades de este empleo. Aristóteles llama a este procedimiento la prueba la  prueba por la indeterminada 32. La posibilidad de deducir, a partir de una no-concluencia ya conocida, una no-concluencia nueva, descansa en efecto sobre lo que él design designa a bajo nombre indeterminación la particular  , es decir,essobre el hecho quetérminos, ésta puede AoB ser  verdadera tanelbien si sude subalterna es falsa,de como si esta subalterna verdadera; ende otros  AeB (A supuesta verdadera (A no es adecuado a algún B) no implica ni excluye la verdad de  AeB  (A puede que, no sea adecuada a ningún B, y entonces a fortiori no fortiori no ser adecuada a algún B, como no ser adecuada a algún B y ser adecuada a algún otro B). Lo mismo ocurre para la afirmativa 33. Se ve fácilmente que esta in27

 Cf. por ejemplo An ejemplo  An..  Pr . I, 4, 26 a 2-9, dond dondee la relevanci relevanciaa de las leyes de las subalternas subalternas es expresamente expresamente subrayada ( kaˆ g¦r pantˆ kaˆ mhdenˆ mhdenˆ ™ndšctai tÕ prîton tù ™sc£tJ Øp£rcein, éste oÜte tÕ kat¦ mšroj oÜte tÕ kaqÒlou g…netai ¢nagka‹on). 28  Cf. Lukasiewi Lukasiewicz, cz, op. op.  cit ..,, p. 72: “This procedure is correct, but it introduces into logic terms and propositions not germane to it. “Man” and “animal” are not logical terms, and the proposition “All men are animals” is not a logical thesis. Logic cannot depende on concrete terms and op. cit .,., p. 28-29, y en muchos otros. statements”. Crítica del mismo tipo en Ross, op. 29  Cf. Patzig, op. op. cit .,., p. 196. 30  A,, medio B  Recordemos que en primera figura, los términos de las tríadas se dan en el orden: mayor  A medio B,, menor C . 31  Cf. Lukasiewicz, op. op. cit .,., p. 94-99, y el conjunto del capítulo V. 32  ’Ek toà ¢dior…stou. Traduzco aquí por indeterminado indeterminado,, para marcar la diferencia entre este empleo de la palabra y el que he traducido más arriba  por indefinido indefinido (Cf.  (Cf. nota 18). La necesidad de esta diferenciación será justificada en la nota siguiente. 33  Cf. An  Cf. An.. Pr . I, 4, 26 b 14-16: ™peˆ ¢diÒriston tÕ tinˆ tù G tÕ B m¾ Øp£rcein, ¢lhqeÚetai ¢lhqeÚetai dš, kaˆ e„ mhdenˆ Øp£rcei kaˆ e„ m¾ pant…, Óti tinˆ oÝk  Øp£rcei. Øp£r cei. 5, 27 b 21-22: ™peˆ g¦r ¢lhqeÚetai tÕ tinˆ m¾ Øp£rcein tÕ M tù X kaˆ e„ mhdenˆ Øp£rcei. 6, 28 b 28: ¢dior…stou g¦r Ôntoj toà tinˆ m¾ Øp£rcein Øp£r cein kaˆ tÕ mhdenˆ Øp£rcon Øp£rcon ¢lhqj e„pe‹n tinˆ m¾ Øp£r Øp£rcein. cein. Esta indeterminación no es naturalmente propia de la particular negativa: sobre el caso caso de la afi afirma rmativ tivaa Cf. 5, 27 b 23-28. Es absolutamente imposible apoyarse sobre estos textos para identificar la particular minimal con la “indefinida” aristotélica, como lo hace L. Sugihara: la palabra ¢diÒristoj no puede tener la misma significación cuando denomina una propiedad no cuantificada   (la pro cuantificada propos posici ición ón indefinida indefinida,, Cf. más arriba arriba nota 18) y cua cuando ndo denota denota una propieda propiedadd per perten teneci ecient entee a la pro propos posici ición ón cuantificada  particularmente  particula rmente (la indeterminación de la proposición particular interpretada en sentido minimal). La distinción de estas excepciones ha sido algunas veces bien percibida (Cf. Waitz, Organon Organon,, Leipzig, 1844, t. I. p. 383; H. Maier, Die Maier,  Die Syllogistik des Aristoteles, Aristoteles , Tübingern, 1896, t. I, p. 162-163);  pero también a menudo ha permanecido oculta, porque se la ha confundido lo que dice Aristóteles de la indetermina indeterminación ción de la particular  con  con lo que

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determinación de la particular no pertenece sino a la particular minimal  y   y que ella es solidaria de la legitimidadd de las subalternas. timida subalternas. Ella permite permite deducir, de la no-concluencia no-concluencia del par de premisas que comportan comportan una universal, la no-concluencia del par que se obtiene reemplazando esta universal por la particular subalterna; en efecto, la indet indeterminac erminación ión de la particula particularr implica implica que el segundo par no podría ser concluyente concluyente sin que el primero lo sea, lo que es ya conocido como falso. La ley proposicional aquí en juego, como lo ha mostrado Patzig (op (op.. cit . p. 193, nº 2), es:  s)] [~ ( p ( p . q  r ) . (  (qq   s )]

 p .  s  s  r ) ~ ( p

Aristóteles no ha sistematizado este procedimiento, que habría podido aplicarse teóricamente a todos los la pares no-concluyentes quecontratadas, comportan una particular. Él lo emplea sólo su procedimiento habitual, prueba por instancias encuentra ciertos obstáculos, quecuando precisamente son ellos también relativos a la cuestión de la interpretación de la particular. Las ocurrencias de la prueba por la indeterminada son siete: (1) An (1)  An.. Pr . I, 4, 26 b 14-20; (2) 2 b 20-21; (3) 5, 27 b 28; (4) 27 b 28; (5) 28 b 28-31; (6) 29  a 3-6; (7) 15, 35  b 11. Concie Conciernen rnen respec respectiv tivame amente nte a la no-conc no-conclue luenci nciaa de los pares a-o y e-o en la  primera figura, figura , e-o y a-i en la segunda figura, a-o y e-o en la tercera figura, y por último a-o en la primera figura con mayor contingente y menor asertórica. Estos pasajes han sido a menudo estudiados; pero jamás han sido, que yo tenga conocimiento, objeto de examen que tome todos sistemáticamente en consideración 34 . Los casos (1) y (2) por una parte, (3), ( 4), (5), (6) por otra, no presentan diferencias bajo la relación que nos interesa, nos bastará por lo demás con tres análisis para extraer el beneficio de este examen. * La primera ocurrencia de la prueba por la indeterminada aparece en las demostraciones de la noconcluencia de los pares a-o  y e-o en la primera figura ( An ( An..  Pr . I, 4, 26  a  39  s.). s.). Se presenta aquí como  prueba  prueba secundaria  secundaria, , yuxtapuesta  yuxtapuesta a  a una prueba contrastadas; ésta última no de es sin embargo por  del a la vez de vez tipo habitual; las condiciones particulares del por casoinstancias en estudio son responsables la adopción Aristóteles de una variante insólita (y por otra parte lógicamente defectuosa) de la prueba por instancias contrastadas y de la adición, igualmente insólita, de una prueba suplementaria por la indeterminada. Cuando las premisas son de la forma AaB forma  AaB .  BoC   ó  AeB .  BoC , comenta Aristóteles, no hay silo35 gismo . En el primer caso, agrega, la mayor A podrá estar ligada a la menor C tanto por la relación a como  por la relación e36; lo que constituye el comienzo usual de una prueba por instancias contrastadas 37. Pero esta prueba no se efectúa como de costumbre. En lugar de exhibir dos dos tríadas  tríadas de conceptos, satisfaciendo una a AaC  a AaC  y   y otra a AeC  a  AeC , Aristóteles exhibe una sola (animal  ( animal , hombre hombre,, blanco blanco), ), de la cual se verificará fácilmente que satisface bien AaB bien  AaB .  BoC  BoC , pero que no satisface ni AiC  ni  AiC   y AoC  y  AoC  al  al mismo tiempo. Él  prosigue entonces construyendo construyendo el  el concepto “blanco “blanco--nono-hombre hombre”” (C (C . ~B), que es un sub-concepto de la blanco,, luego determina al interior de este concepto “artificial” dos conceptos “naturales” de los meno me norr blanco cuales uno, cisne cisne es  es A, y el otro, nieve nieve es  es ~A38. Estando la mayor animal  universalmente  universalmente afirmada de cisne cisne y  y univers uni versalm alment entee nega negada da de nieve nieve,, Aristóteles estima que la ausencia de conclusión silogística está de39 mostrada . Este procedimiento inhabitual se explica por la repugnancia de Aristóteles a utilizar, en sus ejemplos particulares distintas las la maximales. En en caso que nos ocupa,ysela puede encontrar  una tríadaconcretos, de conceptos que satisfacen satisfac en a laavez menor BoC  menor  BoC    enel un sentido maximal relación relación AaC   AaC   40; dice en otra parte (Cf. más arriba, nota 18) de la equivalencia lógica entre la indefinida y la particular . particular . Este equívoco de la palabra ¢diÒristoj contribuyó igualmente a desfigurar enteramente el texto de un pasaje de los Topiques Topiques (III,  (III, 6, 120 a 6 s.) casi en la totalidad de la tradición manuscrita, en la totalidad de las ediciones modernas y en todos los comentadores que se han ocupado de ellos; una corrección poco afortunada, y que se remonta mucho en el tiempo, transformó en indefinida indefinida lo  lo que en este texto no era sino  particular indeterminada indeterminad a. Para el detalle de esta cuestión, no puedo hacer aquí sino permitirme reenviar a mi edición de Topiques Topiques,, t. I, Paris, Les Belles Lettres, l967, p. 77 y 163-164. 34  Por ejemplo, Lukasiewicz trata solamente el caso (3); Patzig analiza muy precisamente el caso (1), pero señala más rápidamente el caso (3) e ignora el caso (7); Sugihara enumera solamente los casos (1) a (6). El caso (7) debe a su lugar en los capítulos de silogística modal la negligencia de la que ha sido objeto; pero los comentadores mismos de la silogística modal no han prestado allí gran atención. Albrecht Becker ( Die ( Die aristotelische aristoteli sche Theorie der Möglichk Möglichkeitsschlüsse eitsschlüsse,, Berlín, 1933) lo declara exactamente similar a los casos presentados en la silogística asertórica (“In genau dem selben Sinn… aufzufassen”, p. 71, nº 2). Veremos que no hay nada de eso. El comentario de Ross ad locum ( locum (op. op. cit., p. cit., p. 343-344) es también insensible a las  particularidades de este pasaje. 35  OÙd' Ótan Ótan tÕ mn prÕj tû me…zoni me…zoni ¥krJ ¥krJ kaqÒlo kaqÒlouu gšnhtai gšnhtai À kathgorikÕn kathgorikÕn À ster sterhtikÒ htikÒn, n, tÕ d  prÕj tù ™l£tton ™l£ttonii sterhtikÕn sterhtikÕn kat¦ kat¦ mšroj, mšroj, oÙk œstai œstai sullogismÕj ¢dior…stou te kaˆ ™n mšrei lhfqšntoj. Las seis últimas palabras están suprimidas por Ross, como “a pointless repetition of the previous cit. p. 304), lo que no es un buen argumento: la línea precedente dice que la menor es particular negativa, esta sería la misma si ella fuera line” (op. (op. cit. p. indefinida. Esta corrección discutible es tácitamente aprobada por Patzig, op. cit., cit., p. 191, nº 1. 36  ‘Wi g¦r ¥n tini m¾ Øp£rcV tÕ m™son, toÚtJ toÚtJ kaˆ oÙdenˆ ¢kolouq»sei tÕ prîton . Sobre el sentido de ¢koulouq»sei, Cf. la pertinente observación de Patzig, op. cit., p. cit.,  p. 190, nº 2 y p. 30, nº 2. 37  Cf. 26 a 5-6. 38  Eta kaˆ ïn m¾ kkathgo athgore‹tai re‹tai leukîn leukîn Ð ¥ntrwpo ¥ntrwpoj, j, e„l»fq e„l»fqw w kÚkn kÚknoj oj kaˆ cièn. Es claro que en lugar de estos conceptos “naturales”, Aristóteles habría  podido, en el impulso, continuar construyendo los conceptos “artificiales” ( C   . ~B  ~B  . A  A)) yy   (C  . .  ~B .  ~A),  ~A), de la cual cisne cisne y  y nieve nieve no  no son más que subconceptos. 39  OÙkoàn  OÙko àn tÕ zzùon ùon toÙ mn pan pantÕj tÕj kathgor kathgore‹tai e‹tai,, toà d oÙdenÒj oÙdenÒj,, éste oÙ oÙkk œst œstai ai sul sullogis logismÒj mÒj. 40  En términos abstractos: A abstractos: A,, (( A  A .  B  .  C ), ), ( A ( A .  B).  B ). En términos concretos, por ejemplo: animal, ejemplo:  animal, hombre, mamífero. Nada mamífero.  Nada impide naturalmente utilizar  tanto una tríada que daría una menor demasiado fuerte: en términos abstractos,  A  A,, (  A A  .  B), (  A A  .  ~B ~B); ); en términos concretos, por ejemplo, animal,

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 pero no se puede encontrar e ncontrar allí que satisfaga a la vez vez Bo  Bo2C   y AeC  y AeC , porque Bo porque Bo2C  implica BiC   implica BiC  y  y porque el par   AaB  .  BiC   AaB BiC  dada  dada por Darii por  Darii la  la conclusión AiC  conclusión AiC , la cual contradice la relación buscada AeC  buscada  AeC . La única solución sería adoptar una tríada que satisfaría la menor en un sentido minimal  solamente,  solamente, es decir, sin implicar BiC  implicar  BiC ; en otros términos, esta menor satisfaría BeC  satisfaría  BeC  y  y por lo tanto también Bo también Bo1C , pero solamente a fortiori 41. Aristóteles creyó evitar esta necesidad, y poder conducir logradamente su prueba por instancias contrastadas, recurriendo a un artificio del cual Patzig ha mostrado su carácter ilegítimo 42. Para decirlo en dos palabras, él ha intentado conciliar los inconciliables, jugando a la vez sobre dos tableros, el de la interpretación interpr etación maxim maximal al de la particular particular y el de las exigencias exigencias de la prueba por instancias instancias contrastadas. contrastadas. Su tríada inicial (animal  (animal , hombre hombre,, blanco blanco)) satisface Bo satisface Bo2C ; pero no permite ninguna relación universal entre los extremos. Las dos tríadas que allí se sustituyen (animal  ( animal , hombre hombre,, cisne cisne;; animal , hombre hombre,, nieve nieve), ), satisfacen 2 1  bien  AaC    y  AeC  ; contrariamente, ya no satisfacen Bo satisfacen  Bo   sin sinoo) solament solam ente e  Bo Dichoa ladeprueba; otro modo, la blanco cuando  Bo2C , cisne cisne (o nieve) menor es blanco  cuando hay que satisfacer Bo satisfacer  (oC nieve cuando hay queC .llegar estando la sustitución simplemente autorizada por el hecho que cisne cisne   y nieve nieve están  están incluidas en blanco blanco (son  (son algún blanco). blanco ). Aristóteles ha creído erróneamente que esta sustitución podía hacerse sin modificación de la cantidad de la menor; de hecho, como lo dice Patzig, la sustitución transforma la menor de particular en universal 43. Se pierde entonces en una mano lo que se gana en la otra; sólo un Quaternio terminorum  permite disimular la situación y creer que se ha ganado todo. Después de algunas líneas que trasponen este procedimiento al caso del par  AeB.  BoC  BoC  44, Aristóteles  pasa a una nueva prueba, prueba, introdu introducid cidaa por el tér términ minoo œti œti:: es la prueba prueba por la indetermi indeterminada nada.. El razonamiento es el siguiente: BoC  siguiente:  BoC  es   es verdadero también cuando BeC  cuando  BeC  es   es verdadero ( se trata entonces en tonces de Bo1C ));; si el par AaB par  AaB.  BoC  BoC  fuese  fuese concluyente, la pareja AaB pareja AaB   .  BeC BeC debería entonces serlo también; ahora bien, se 45 ha demostrado más arriba  que no lo era; entonces AaC entonces  AaC .  BoC  no   no lo es tampoco. Este razonamiento es aplicado igualmente en las líneas siguientes a la pareja AeB pareja  AeB .  BoC  BoC . Habien Hab iendo do sid sidoo perf perfect ectame amente nte anal analiza izada da por Pat Patzig zig46  la estructura lógica de la prueba por la indeterminada, me contentaré con notar la situación paradojal en la que se encuentra aquí Aristóteles 47. Por  apego a las connotaciones maximales de la particular , remozó de manera errónea, su prueba por instancias

co cont ntra rast stad adas as;; lueg luego pres esen entó tó co como un una a pr prue ueba alternativa  alternativa   un una a de demo most stra raci ción ón fu funda ndada da so sobre bre la indeterminación deola pr particular, esmo decir, decir, sobre  sobre elba a bandono abandono de sus connotaciones maximales maximales. . Esta actitud sin coherencia estaba destinada a transformarse; veremos seguidamente que lo ha hecho. * En el caso ( 3) de la lista que hemos dado más arriba ( 5, 27  b  12 sq.), Aristóteles se propone demostrar la no-concluencia del par de segunda figura MeN  figura  MeN  .  MoX  MoX . El comienza por decir que este par es compatible con las dos relaciones NaX  relaciones  NaX   y NeX  y  NeX  entre   entre los extremos, lo que anuncia una demostración por instancias 48 contrastadas . A continuación da una primera tríada (negro ( negro,, nieve nieve,, animal )49, que satisface las premisas ( MoX   MoX  en  en senti sentido do maximal) y la relación relación NeX   NeX  entre   entre los extremos50. Pero agrega, lo cual es digno de subrayar, que no se puede encontrar tríada que satisfaga NaX si la particular MoX tiene sentido maximal 51. Inmediatamente da la demostración: la relación buscada NaX  buscada  NaX , apareada con la primera primera premisa MeN  premisa  MeN , libra  por Celarent  (con  (con inversión del orden de las premisas) la conclusión MeX  conclusión  MeX ; ahora bien, ésta contradice MiX  contradice  MiX , 52 y por lo tanto Mo tanto Mo2 X   X   . hombre, cisne. 41  En términos abstractos: A abstractos:  A,, (  A  A . B),  B), (~A (~A  . ~B ~B). ). En términos concretos, por ejemplo: animal, hombre, nieve. 42  Patzig, op. cit., cit., p. 191-192. 43  “Einige weisse Dinge” ist ein anderer  Begriff  Begriff als “Weisses”; und der zweite Satz würde durch die Einsetzung die Form “Mensch kommt einigen cit., p. 192). Subrayado por el autor. weissen Dingen allgemein nicht  zu”  zu” erhalten (Patzig, op. cit., 44  26 b 10-14. 45  Por instancias contrastadas, cf. 26 a 2-9. 46  Op. Cit.,p. Cit.,p. 193-194. 47  Sobre este punto, Patzig comete, me parece, un error escribiendo a propósito del pasaje que nos ocupa (p.190): “Wegen dieser ‘Unbestimmtheit’ ‘Unbestimmtheit’ [la indeterminación de la particular] ist es nun in einigen Fällen nicht möglich, zwei Begriffstripel der verlangten Art zu finden, die Prämissen, z. B. ao  ao  ae zu razón por a-o sin der ersten Figur ertüllen, ohne auch ae  zu erfüllen”. En realidad, la razón  por la cual es imposible encontrar premisas que satisfagan a-o  sin satisfacer también a-e no a-e  no es la indeterminación de la particular, sino la contradicción inherente a la conjunción  AaB . BoC  . . ~BeC  . . AeC ; y la indeterminación de la particular no es la razón de esta situación, sino al contrario la condición bajo la cual una tríada que satisface a-e será considerada como satisfaciendo también a-o a-o.. Dicho de otro modo, si Aristóteles se hubiera atenido a la doctrina de la indeterminación de la particular, sin dejarse confundir por el uso corriente, no hubiera experimentado dificultades para conducir a buen término, en el caso que nos ocupa, su prueba por instancias contrastadas; más abajo lo veremos en detalle, y por lo demás Patzig lo dice excelentemente él mismo, p.191 (“Diese Schwierigkeit würde durch den Hinweis sofort beseitigt, den Aristoteles später ja auch aufnimmt, dass dass BoC   BoC  nicht  nicht bedeuten muss muss,, dass auch auch  BiC   BiC  gilt;  gilt; dass BoC  dass BoC  vielmehr  vielmehr auch wahr ist, wenn BeC  wenn  BeC  wahr  wahr ist. Dann Könnte man z.B. Lebewesen, Mensch, Schnee als Begriff A Begriff A,, B  B,, C , einsetzen, die sowohl AaB sowohl  AaB und  und BoC   BoC  wie  wie  AeC   erfüllen. erfüllen. Diesen Weg geht Aristoteles aber hier noch nicht”). 48  'Endšcetai d¾ kaˆ pantˆ kaˆ mhdenˆ tù X tÕ N Øp£rcein (15-16). 49  En segunda figura, los términos son dados en el orden: medio M  medio  M , mayor N  mayor N , menor X  menor X . 50  En términos abstractos: A, (~A . ~B . C), [(A . B) U (~A . B)]. La particular aquí es maximal: negro negro conviene  conviene también a algún animal . 51  Toà d¾ d¾ pantˆ pantˆ Øp£rcein Øp£rcein ooÙk Ùk œ œsti sti labe‹n, labe‹n, eˆ tÕ M tù X tinˆ mn Øp£rcei Øp£rcei ttinˆ inˆ d m» (16-18). 52  Demostración más directa en Alejandro de Afrodisia, in. An.. Pr.. 87, Pr.. 87, 9-28: Mo2X implica MiX, que, acoplado con la primera premisa MeN  premisa  MeN , da da NoX   NoX   por Festno  por  Festno;; esta conclusión contradice NaX  contradice NaX , relación que se quería obtener.

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Este desarrollo marca una conciencia mucho más clara de los datos del problema. En efecto, nada impedía a Aristóteles a proceder como lo había hecho en el primer caso que hemos examinado 53; no ha hecho nada semej semejante. ante. Es curioso consta constatar, tar, sin embargo, que luego de haber señalado señalado claramente claramente la condición bajo ción  bajo la cual fracasa necesariamente la prueba por instancias contrastadas, no pensó en llevar al extremo esta prueba levantan levantando do esta condició condición, n, como igualmente igualmente habría podido hacerlo54. En lugar de ello, toma partido por el fracaso de la prueba por instancias contrastadas, y se lanza sobre la prueba por la indeterminada, presentada como un recurso que se ha tornado necesario por este fracaso : “En estas condiciones, entonces, no es posible tomar términos , sino que hay que hacer una demostración por  la indeterminada”55. Esta demostración no ofrece dificultad: habiendo sido demostrada la no-concluencia de MeN de MeN .  MeX  MeX  por  por instancias contrastadas en 27 a 20-23, la de MeN de MeN .  MoX  MoX  se  se deduce de ella. A pesar cumplido, situación en la quela se encuentra Aristótelescomo no esunmenos inrecurso coherente que endelelprogreso caso precedente. Enlaefecto, él presenta prueba por laahora indeterminada 56 contra el fracaso de la prueba por instancias contrastadas . Ahora bien, es la interpretación maximal de la  particular que tornaba este fraca fracaso so necesario, y Aristóteles lo ha visto cclaramente; laramente; pero es evidente que esta interpretación tornaría igualmente imposible la prueba por la indeterminada, puesto que la universal no im plica la  plica  la particular maximal. Dicho de otro modo, la prueba por la indeterminada no conduce a término más que si se levanta la condición que había hecho fracasar la prueba por instancias contrastadas, y la  prueba por instancias contrastadas habría sido lograda si se hubieran admitido las condiciones bajo las cuales puede llegar a término la prueba por la indeterminada. indeterminada . Las dos pruebas son, de hecho, condenadas a lograrse o a fracasar juntas; y es un error ver en una el remedio al fracaso de la otra. Antes de pasar al estudio del caso (7), que nos mostrará que la actitud de Aristóteles se modificó una vez más, puede ser de alguna utilidad examinar algunos de los comentarios que han sido consagrados a nuest nue stro ro probl problem ema; a; el mo mome ment ntoo pa para ra ha hace cerl rloo es está tá bi bien en es esco cogi gido do,, porqu porque, e, co como mo lo he di dich cho, o, es esto toss comentarios dejan regularmente este caso (7) de lado. H. Maier, comentando el texto que acabamos de analizar, escribe: “Esta observación (la indeterminación de la particular) habría dado la posibilidad de conducir a su término la demostración inicial (por instancias Esta manera demostración seguramentesusedemostración ha presentado originariamentecontrastadas) al espíritu de[...]. Aristóteles. Perode enconcluir lugar de su proseguir así, él interrumpe inicial. La representación del carácter indeterminado de la particular negativa le recuerda que esta propiedad permite efectua efec tuarr una demos demostra tració ciónn indepe independi ndient ente. e. Tambié Tambiénn ret retoma oma con renovad renovados os esfuerz esfuerzos: os: ™k d toà adior… adior… 57 stou deiktšon” . Esta reconstrucción psicológica de los procesos mentales de Aristóteles no es muy convincente: ¿Aristóteles habría interrumpido su demostración inicial si hubiese visto la posibilidad de llevarla hasta su término? ¿Habría presentado la segunda prueba como un remedio para el fracaso de la primera si hubiese visto que contenía el medio de evitar este fracaso? Eso no es muy verosímil. Lukasiewicz comenta nuestro texto con rapidez, y su comentario no es diferente al de Maier; luego de haber notado que la prueba por instancias contrastadas podía fácilmente ser llevada a su término, agrega: “Aristóteles, sin embargo, no termina su prueba de esta manera, porque ve otra posibilidad” 58. Un modo de redacción tan versátil, interrumpido y desviado por ideas transversales, es tanto menos verosímil de parte de Aristóteles cuanto el caso ( 1), dejando de lado por Lukasiewicz, permite descartar la hipótesis: este caso (1), en efecto, la visión de “otra posibilidad” no había impedido a Aristóteles llevar a su término, al precio de un esfuerzo laborioso y por otra parte desdichado, la prueba ya iniciada por instancias contrastadas. T. Sug Sugih ihara ara,, por así su toda pa part rte, e,diferencia tr trat ataa si simu mult ltán ánea eame ment ntee situaciones la lass se seis is oc ocur urren renci cias as de prueb pruebaa hemos po porr la indeterminada, borrando entre las dos que hasta aquílanosotros distinguido. “Él escribe: “En lo concerniente a estos seis modos, es posible si la premisa es indefinida [...]. Todos estos enunciados de Aristóteles sobre los modos pueden ser interpretados correctamente sólo si su 53

 MeN   y Mo X , por ejemplo madera madera,, animal , blanco blanco,, en términos abstractos A B), [(A. C) U   Habría tomado una primera tríada satisfaciendo satisfaciendo MeN  y Mo2  X  abstractos A,, (~ A .  B), B . C ), (~ A . C )]. A continuación hubiera tomado, en las cosas blancas que no son de madera (~ A (~ A . C ), ), un concepto de fórmula (~ A (~ A  .  B  ), por ejemplo cisne,, y luego un concepto de fórmula (~ A cisne (~ A . B  B . ~C   ~C ), ), por ejemplo nieve nieve;; y hubiera tenido las relaciones NaX  relaciones  NaX   y NeX  y NeX  por  por satisfechas, una por cisne cisne,, la otra por nieve nieve,, al precio de la sustitución ilegítima descripta más arriba. 54  Bastaba tomar una tríada que satisfaga MeN  satisfaga  MeN  . MeX   MeX , y entonces a entonces  a fortiori  fortiori MeN   MeN  . Mo  Mo1  X  X : Aristóteles tenía una al alcance de la mano, puesto que él línea,, animal , hombre hombre;; había demostrado la no-concluencia de MeN  de  MeN  . MeX   MeX , en 27 a 20-22, por instancias contrastadas. La tríada que satisface  NaX   era era línea en términos abstractos, (~ A (~ A . ~ B),  B), A  A,, ( A  A . B).  B). 55

 OÛtw  OÛt w mn oân ooÙk Ùk ™gcwr ™gcwre‹ e‹ labe‹n labe‹n Órouj, Órouj, ™ ™kk d toà ¢d ¢dior… ior…stou stou ddeiktš eiktšon on  (20-21). OÛtw no puede tener otro sentido que “si tomamos una  particular de tipo Mo tipo Mo2  X X ”. 56 a-i de segunda figura (27 b 27-28 : toà d  Lo mismo ocurre en todos los otros casos enumerados más arriba, salvo (7). Cf. los descartes de los pares a-i de  pantˆ oÙk œstai labe‹n di¦ t¾n aÙt¾n a„t…an ¼nper prÒteron, ¢ll'™k toà ¢dior…stou deiktšon), deiktšon ), a-o a-o de  de tercera figura (27 b 24 24-28 28 : toà toà d mhde mhdenˆ nˆ e-o de oÙk œsti labe‹n Órouj […] ¢ll/ésper ™n to‹j prÒtepon lhptšon: ¢dior…stou g¦r Ôntoj toà tinˆ m¾ Øp£rcein ktl.), e-o  de tercera figura (29 a 3-6: toà d'Øp£rcein oÙk œsti labe‹n […] ¢ll' ™k toà ¢dior…stou deiktšon). 57 Aristoteles , Tübingen, 1896-1900, t. II a, p. 85 (86), nº I: “Diese Beobachtung hätte nun die Möglichkeit gegeben, den  H. Maier, Die Maier, Die Syllogistik des Aristoteles, ursprünglichen Beweis zu Ende au führen. [...]. Offenbar schwebt dem Aristoteles ursprünglich Beweisabschluss vor. Anstatt so fortzufahren, bricht et vielmeher den ursprünglich dieser Beweisabschluss vor. Anstatt jedoch sodieser fortzufahren, bricht et vielmehr denjedoch ursprünglichen Beweis ab. Die Erwägung, dass das part.-vwerneinende Urteil umbestimmten Charakter hat, erinnert ihn daran, dass sich aus dieser Eigenschaft ein selbständiger Beweis füren lässt. So setst er völlig neu an, usw.” 58  Lukasiewicz, op. cit., cit., p. 71: “Aristotle, however, does not finish his proof in this way, because he sees another possibility.”

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“particular” es bilateral [= maximal] y su “indefinida” unilateral [= minimal] 59. Aristóteles no dice de ningún modo que la no-concluencia de estos seis modos es indemostrable por instancias contrastadas si la  premisa es particular: en el primer caso, efectúa esta demostración (equivocándose, pero poco importa); en el segundo caso, dice que es imposible si imposible  si la particular es maximal (o bilateral ). ). Él no dice, además, además, que la indefinida;; el muestra que lo es si no-concluencia es demostrable cuando la premisa es indefinida es  si la particular es minima min imall (o unilateral ). ). Estos equívocos muestran hasta qué punto es necesario distinguir bien los dos sentidos aristotélicos de ¢diÒristoj, de los cuales uno designa una propiedad que puede pertenecer o no a la  particular, en tanto que el otro designa una proposición prop osición distinta que la particular. G. Patzig, en fin, luego de haber analizado con una claridad inigualada el caso ( 1), se contenta un  poco rápidamente con asimilarle los casos siguientes. Él escribe específicamente: “Aristóteles utiliza la  prueba ™kconceptos toà ¢dior…stou allí, yhallar sólo allí, dondeque [.. [...] .]nosesatisfagan encuentratambién esta dificultad, para una dos también la universal  tríadas de no se puede términos  la formaque  dede  de la las menor. Que sea de hecho esta dificultada la que en tales casos lo haga recurrir a la ley que ha sido descripta (ley de derivación de una no-concluencia a otra), eso surge del texto en todos estos pasajes. Basta citar aquí la  prueba de no-concluencia de e-o en segunda figura (sigue la traducción de las líneas 27  b  16-21)”60. Este comentario marca exactamente lo que hay de común en los diversos casos examinados y no hace justicia a sus diferencias. * El caso (7), que falta ahora examinar, figura en la silogística modal ( 15, 35  b  11); él es, salvo error  de mi parte, único en su especie. La circunstancia es ya notable. La lista de seis ocurrencias de la prueba  por la indeterminada en la silogística asertórica podía justificarse fácilmente sobre el plano teórico: las hay tantas como modos concluyentes con menor particular, es decir, seis ( Darii ( Darii   y  Ferio  Ferio   en primera figura,  Festino y  Festino  Barroco en  Ferison en  y Barroco  en segunda, Datisi segunda, Datisi y  y Ferison  en tercera). En efecto, si se reemplaza las menores de estos modos por sus subcontrarias, se obtendrán pares de premisas que hallarán necesariamente el obstáculo que conocemos, se intente demostrar pornuevo instancias premisa, si es tomadacuando en sentido maximal, podrá su serno-concluencia reemplazada de por sucontrastadas: subcontraria,la ysegunda el par devendrá simple y sencillamente concluyente. La lista de los seis casos está entonces determinada por sustitución de i por o y de o por i en la lista arriba mencionada: a-o y e-o en primera figura, e-o y a-i en segunda, a-o y eo en tercera. En cuanto a los modos en los cuales es la mayor la que es particular, ellos son concluyentes  Bocardo); cualquiera sea la calidad de esta mayor ( Disamis ( Disamis   y  Bocardo ); éstos caen por lo tanto fuera de esta enumeración. El aislamiento del caso ( 7), por contraste con la organización en sistema de los seis primeros casos, conlleva un problema sobre el que hará falta volver. El texto mismo es muy breve. Aristóteles se propone allí allí des desech echar ar la com combin binaci ación ón  AaB .  BoC   con la mayor contingente y menor asertórica (que nosotros anotarem anot aremos os  MAaB .  BoC   61). Él se contenta con declarar que en este caso “no habrá ahí silogismo. Términos de atribución: blanco blanco,, animal , nieve nieve;; de no-atribución, blanco blanco,, animal ,  pez  pez.. Es, en efecto, por  62 medio de la indeterminada que hay que tomar la demostración .” Este texto llama a numerosos comentarios. Subrayemos de entrada que nada impedía teóricamente a Aristóteles proceder como lo había hecho en el caso que hemos estudiado en último término. Anunciando una demost demostración ración por inst instancia anciass contrastadas contrastadas63, él habría mostrado que se puede encontrar una tríada de 64

conceptos que  NAeC  satisfagan premisas y las relaciones NAaC  relaciones , peromaximal; que no se hallarinmediatamente los que satisfagan la relación NAeC  relación  si lalas  si premisa particular es tomada NAaC  en sentido lo puede cual habría 65 demostrado . Luego de lo cual, habría hallado recursos en la prueba por la indeterminada, y habría deri59

 T. Sugihara, art.cit. art.cit.,, p. 194: “Concerning the following 6 moods it is impossible to prove by contrasted instances that there is no syllogism if the  premiss is particular, while while is possible if the premiss premiss is indefinite. [...] All these these statements of Aristo Aristotle tle about the moods can’t be interp interpreted reted rightly, unless his ‘particular’ is bilateral, and ‘indefinite’ is unilateral.” 60  G. Patzig, op. cit., cit., p. 194: “Das Verfahren ™k toà ¢dior…stou […] werdet er dort und nur dort an, wo […] die eben erörtete Schwierigkeit besteht, dass man für eins der beiden Begriffstripel keine Termini finden kann, die nicht auch die allgemeine Form derzweiten Prämisse erfüllen. Dass nun tatsächlich diese Schwierigkeit Aristoteles in solchen Fällen auf das beschriebene Gesetz zurückgreifen lässt, ghet auss dem Text an allen diesen Stellen bervor. Es genügt, den Bewieis für die Unschlilss Unschlilssigkeit igkeit von eo in der zweiten Figur hierherzusetzen.” 61  Siempre en conformidad con el uso adoptado por G. Patzig, anoto la proposición contingente con el prefijando la letra  M , la apodíctica prefijando la letra N  letra  N ; la ausencia de letra prefijada denota la asertórica.  M   denota, denota, conforme a la definición “fuerte” de la contingencia: ni necesario ni imposible.  No encararemos aquí las complicaciones complicaciones nacidas de la competencia de la definició definiciónn “débil” ((no-imposible no-imposible ). 62  OÙk œstai œstai sullogismÒ sullogismÒj.“Opoi j.“Opoi toà mn Øp£rcein leukÒ leukÒn-zùon-p…tta: n-zùon-p…tta: di¦ g¦r to toàà ¢dior…stou lhptšon tt¾n ¾n ¢pÒdeixin (35 b 9-11). 63  Esta se presenta bajo una forma modificada en silogística modal, siendo el número de relaciones a exhibir entre los extremos multiplicado por el número de las modalidades que pueden afectar estas relaciones; teóricamente, habría que exhibir entonces seis tríadas para eliminar todas las relaciones posibles. Aristóteles se contenta, sin embargo, con exhibir dos tríadas en las cuales las relaciones entre los extremos son universales y apodícticas.. Esta simplificación está justificada en 14, 33 b 3-17: al exhibir la relación NAaC  apodícticas relación  NAaC , se excluyen las conclusiones negativas negativas apodíctica  apodíctica y asertórica, y la conclusión afirmativa afirmativa problemática  problemática (porque lo necesario no es contingente); es contingente); exhibiendo la relación NAeC  relación  NAeC , se excluyen las afirmativas apodíctica y asertórica, y la conclusión negativa problemática. negativa  En términosafirmativas concretos, apodíctica por ejemplo: blanco,, animal  blanco , blanco blanco--como como-nieve nieve. problemática. . En términos abstractos: A, [(A . B) U (~A . B)], [(A . B . C) U (A . ~B .  C)]. 65  Por ejemplo mostrando que BiC  que  BiC  implicado  implicado por la menor maximal Bo maximal  Bo2C , se combina con la mayor MAaB mayor MAaB para  para dar (por Darii con mayor contingente y menor asertórica, cf. 35 a 30-35) la conclusión MAiC  conclusión  MAiC , que contradice la relación buscada NAeC  buscada  NAeC .

6conclusiones 4

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vado la no-concluencia de MAaB de MAaB .  BoC  BoC  de  de la de MAaB de MAaB .  BeC  BeC , ya demostrada por instancias contrastadas en 35 a 20-24. En lugar de lo cual, Aristóteles se contenta con procurar la prueba por instancias contrastadas, exhi biendo dos tríadas de conceptos, de los cuales una satisface satisface NAaC   NAaC   (blanco (blanco,, animal , nieve nieve))66, y la otra NAeC  otra NAeC  67 blanco,, animal ,  pez  pez)) , y en las cuales la menor particular no es verdadera sino a fortiori  fortiori  (puesto que (blanco 68 animal  no   no conviene de hecho a ninguna nieve nieve,, y a ningún pez ningún  pez)) ; son, entonces, las mismas tríadas que las que permitían desechar MAaB desechar  MAaB .  BeC  BeC  (cf.  (cf. 35 a 20-24). Y agrega: es, en efecto por efecto por medio de la indeterminada que hay que tomar la demostración. Esta expresión, significativamente diferente de las que han sido relevadas más arriba69, muestra que la indeterminación de la particular no sirve ya aquí para fundar una “prueba por la indeterminada” que sería el sustituto de una “prueba por instancias contrastadas” en falla, sino ahí quemás ella dos asegu asegura ra en adela adelante nte simplemente simplem entesola, el éxito de la prueba por instancias instacontrastadas ncias contrastadas. contrastadas. Ahora  Ahora hay pruebas distintas distintas, , sino una la prueba por instancias que utiliza en no la ocasión el resorte sobre el cual reposa la segunda. Esta clarificación de la situación corresponde ahora a una liquidación ahora integral de las connotaciones maximales de la particular; el g£r de la línea 35 b  11  permite por po r ssíí solo afirmar que la particular no tiene, en adelante, otro sentido que el que le da su estatuto de simple negación de la universal. La particular “lógica” ha tenido ciertas dificultades para matar la  particular “natural”; pero ha terminado por lograrlo. logr arlo. * Falta, sin embargo, una pieza aún a nuestra demostración. Se ha subrayado más arriba que la referenc refe rencia ia de 35  b  11  a la indeterminación de la particular estaba aislada en la silogística modal. Este aislamient aisla mientoo es sorprendente sorprendente:: a priori  priori  es inverosímil que la situación que provoca esta referencia no se  produzca más que una vez sobre ciento veintiocho (número de combinaciones posibles de las premisas modalizadas). Por lo tanto se está lógicamente conducido a suponer que Aristóteles ha debido algunas veces hacer uso de la indeterminación de la particular sin particular  sin decirlo expresamente; expresamente; esta manera de hacer, si se verificara, permitiría decir esta vez que la particular maximal no está solamente muerta sino simple y sencillamente enterrada. La verificación de esta hipótesis exigiría un estudio sistemático de las pruebas de no-concluencia en silogística modal, estudio que comportaría desarrollos y complicaciones considerables. Me limitaré aquí a algunas indicaciones. (1) La prueba por instancias contrastadas no es la única prueba de no-concluencia utilizada por  Aristóteles en lógica modal. Cuando él estudia un par de premisas modalizadas correspondiente a un par  asertórico concluyente, le resulta posible mostrar que las demostraciones de concluencia del par asertórico se tornan ineficaces por la modalización de las premisas 70. Luego, no poder demostrar la concluencia, es demostrar la no-concluencia. (2) La prueba por instancias contrastadas conserva un lugar importante, pero reviste formas nuevas, y a veces sorprendentes. En las combinaciones de premisas más fuertes que las combinaciones asertóricas (una o dos premisas apodícticas), tomemos nuevamente el caso de pares que corresponden a un par asertórico concluyente. El único problema es en este caso saber si el par modalizado es capaz de una conclusión apodíctica, más fuerte que la de un par asertórico, o si no es capaz más que de la conclusión asertórica. En esta situación, ya no es necesario exhibir dos tríadas de conceptos, una para desechar las eventuales conclusiones afirmativas, la otra para desechar las conclusiones negativas; si el pareasertórico tiene una conclusión negativa, el par modalizado noeventuales podría tener una conclusión afirmativa, inversamente; tríada de conceptos será suficiente entonces para excluir la única conclusión que haga seriamente acto de candidatura71. 66

 En términos abstractos: A abstractos:  A,, [(  A A . B  B . ~C ) U (~ A . B   B . ~C ))], ], ( A  A . ~ B . C ). ). . . . U . .  En términos abstractos: ( A ( A   ~C ), ), [( A   A   B   B  ~C )  (~ A  B  B ~C )], )], (~ A . ~ B . C ). ). 68  NAeC . Si Aristóteles lo ha adoptado  Esta manera de proceder no es indispensable, lo hemos visto, más que en uno de los dos casos, el de la relación relación NAeC  en los dos casos, es en principio porque se contentó con reproducir las tríadas de las que se había servido para demostrar la no concluencia de  MAaB .  BeC  (cf.  (cf. 35 a 20-24); y también, sin duda, porque estaba sujeto a presentar dos tríadas conteniendo dos términos comunes. Esta coacción favorece la evidencia intuitiva de la prueba por instancias contrastadas; pero no pertenece a la esencia de la prueba (cf. Patzig, op. cit., cit., p.196). Este punto es, con el uso de conceptos “naturales”, el único sobre el cual Aristóteles parece no haber tomado la exacta medida de lo que había de esencial y de accesorio en su procedimiento. 69  Cf. nota 56. 70  Cf. por ejemplo la demostración de no-concluencia de MAeB de  MAeB  . MAaC   MAaC  (17,  (17, 37 a 32 s.), par de segunda figura cuyo correspondiente asertórico es el Cesare.. Cesare Cesare podía modo concluyente Cesare  podía reducirse a Celarent   por por conversión de la mayor; pero la universal negativa no se convierte más cuando es contingente. Cesare Cesare podía  podía también demostrarse por el absurdo; esta demostración no ya no es posible con premisas contingentes, para las cuales las leyes de incompatibilidad de las asertóricas no son ya válidas ( AeC  ( AeC  es  es incompatible con AaC  con AaC , pero MAeC  pero MAeC  no  no lo es con MAaC  con  MAaC )).. 71  Cf. por ejemplo el descarte de NAaB de  NAaB  . AeC   AeC    NBeC  (10,  (10, 30 b 18 s.), par de la segunda figura cuyo correspondiente asertórico es el modo concluyente Camestres. Aristóteles Aristóteles demuestra sucesivamente este descarte (I) reduciendo este modo, por conversión de la menor, a un modo de  primera figura del cual ya ha demostrado que que la conclusión no es apodíctica; (2) por el absurdo; absurdo; (3) por “producción de términos concretos” (Órouj ™kqšmenon). Esta última demostración consiste en la exhibición de una tríada única, sobre la cual deberemos volver ( animal , hombre hombre,, blanco blanco), ), que  permite excluir la conclusión NBeC  conclusión NBeC . Es inútil buscar una tríada capaz de excluir la conclusión  NBaC , siendo ésta a fortiori excluida fortiori  excluida por la conclusión  BeC  de  de Camestres Camestres.. 67

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(3) La “conversión complementaria” de las contingentes72 introduce naturalmente grandes novedades en el sistema. Por lo pronto, cierto número de pares que no eran concluyentes en la lógica asertórica llegan a serlo en lógica modal, gracias a la conversión complementaria de una premisa negativa en premisa afirmativa. Por otra parte, esta conversión complementaria va a permitir en ciertos casos a la prueba por  instancias contrastadas hacer la economía de una tríada de conceptos, permitiendo una tríada única ahora descartar las dos conclusiones eventuales. Supongamos por ejemplo que se estudia un par de dos premisas contingentes. La conclusión, si la hay, no puede ser sino contingente; las cuatro conclusiones posibles son  Ma,,  Me  Ma  Me,,  Mi  Mi,,  Mo  Mo.. En lógica asertórica, se ha visto, era posible reducir de cuatro a dos el número de conclusiones a descartar, en virtud de la subalternación la  subalternación (la exclusión de o entrañando a fortiori la fortiori la de e, y la exclusión de i entrañando a fortiori la fortiori la de a). Hasta aquí, siempre es posible reducir de cuatro a dos el 73

número núm eroóndedeconc co nclu lusi sion ones asmo de desc artar, ar,pope pero esta ta ve vez z en virtu rtud d de  Mi la  conversión complementaria : la.  Mo   Mo  Ma,  Ma  Mi   Me. ex excl clusi usión   es alesmi mism oscart ti tiem empo larodees , la exclu excvi lusi sión ón es al mism mismo o ti tiem empo po la de  Me Retomemos el ejemplo de la demostración de no-concluencia de MaeB de  MaeB .  MAaC  MAaC   (( 17, 37 a 32 s.), ya evocado 74 más arriba desde otro punto de vista . Luego de las dos demostraciones de las que hemos hablado, Aristóteles presenta una tercera mediante términos concretos 75. En principio, sería necesario exhibir dos tríadas de conceptos, conceptos, de las cuales una permiti permitiría ría excluir las conclusiones conclusiones eventuales eventuales  MBaC   y  MBo1C  satisfaciendo su negación común NBaC  común NBaC   v  NBo1C , y la otra permitiría excluir las conclusiones eventuales  MBeC   y  MBi1C   satisfaciendo satisfaciendo su negació negaciónn común  NBeC   v  NBi1C . Pero el carácter disyuntivo de estas negaciones va a permitir a Aristóteles utilizar la misma tríada de conceptos para conceptos para excluir los dos pares de conclusiones eventuales. En efecto, una tríada de la cual los extremos satisfarían la relación  NBeC  (en   (en el ejempl eje mploo de Aristót Aristótele eles, s,  A   A  blanco blanco,,  B   B  hombre hombre,, C   caballo caballo)) satisfará el segundo término de la primera disyun dis yunció ciónn (por sub subalt alterna ernació ciónn  NBeC    NBo1C )),, y por lo tanto esta disyunción misma; y satisfará igualmente el primer término de la segunda disyunción, y por lo tanto esta disyunción también. Las cuatro soluciones contingentes posibles son eliminadas de un golpe por la producción de una tríada cuyos extremos están ligados por una relación apodíctica. (4) Analizando el único pasaje modal donde Aristóteles hace explícitamente recurso a la indetermi35  b nación la particular   11), hemos vistoservirle que Aristóteles probabalaque había terminado porparcomprender  las de mismas tríadas(de conceptos conceptos podían que  podían para demostrar no-concluencia de un de premisas que comportan una universal y para demostrar (“gracias al indeterminado”) la del par obtenido por sustit tituci ución ón a est estaa uni univer versal sal de su sub subalt altern erna: a: las tríadas tríadas blanco blanco--animal -nieve nieve   y blanco blanco--animal - pez   pez  habían servido contra MAaB contra MAaB   .  BeC   en 35  a  20-24, vuelven a servir contra MAaB contra  MAaB   .  BoC   en 35  b  8-11. Este descubrimiento libera a Aristóteles del cuidado de encontrar tríadas de conceptos distintas para cada una de las demostraciones de no-concluencia que quiere efectuar. Una vez descubierta una tríada apropiada a la demostración mostra ción de no-concl no-concluencia uencia de una “combinaci “combinación-madre”, ón-madre”, esta tríada será considerada como demostrativa de la no-concluencia de todas las “combinaciones-hijas”; entiendo por combinaciones-hijas las que se obtienen reemplazando las premisas de la combinación-madre por las que ellas implican por subalternas, o que le son equivalentes por conversión complementaria. El juego particular y el juego combinado de estos dos factores, subalternas y conversión complementaria, hará necesariamente que el número de combinaciones-hija ciones -hijass sea considerab considerable; le; así se explican estas verdade verdaderas ras “horneadas” “horneadas” de demostracione demostracioness de no-concluencia que Aristóteles efectúa de un golpe, diciendo que los mismos términos concretos son concretos son determinan76 tes en todos los casos reunidos . (5) Si dos términos concretos ligados de hecho por hecho por una relación universal a  o e pueden ser con-

siderados (y lo cree ahora sin segundas intenciones) satisfaciendo a forti fortiori   latérminos relación  particular i1  uAristóteles o1, esta situación comporta una contrapartida: haycomo que admitir también queori  dos concretos ligados de hecho por hecho por una relación relación particular particular maximal (i (i1 .  o1) sean considerados considerados como pudiendo como  pudiendo 72

 Ross ha bautizado con este nombre (op. cit., p.298) al conjunto de leyes admitidas por Aristóteles sobre la base del principio según el cual, si un estado de cosas es contingente, su negación también lo es. Estas leyes son las siguientes:   MAaB   MAeB MAaB    MAaB   MAoB MAaB    MAeB   MAaB MAeB    MAeB   MaiB MAeB    MAiB  MAiB   MAoB   MAoB   MAiB MAoB  Hay que notar que de las dos expresiones MAaB expresiones  MAaB y  y MAiB  MAiB,, ninguna en lo sucesivo implica a la otra. Del mismo modo para para MAeB  MAeB y  y MAoB  MAoB.. 73  En efecto, MbaC  efecto, MbaC    MBo1C   ~  NbaC   . ~ NBo  ~  NBo1C ;  MBeC    MBi1C   ~  NbeC   . ~  ~ NBi  NBi1C . Las negaciones son naturalmente equivalentes también: ~ MBaC   ~  MBo  MBo1C   ~ NbaC  v NBo  NBo1C ; ~ MBeC  ~ MBeC   ~ MBi1C    NbeC  v NBi1C . 74

 Cf. nota 70.  Di¦ tîn Órwn (37 b 1-2). 76  Por ejemplo, después de haber demostrado gracias a una tríada única ( blanco blanco,, hombre hombre,, caballo caballo,, cf. más arriba parágrafo 3) la no conclusividad de  Me Me- Ma en  Ma en segunda figura, Aristóteles agrega: “La demostración será la misma si la negativa es transpuesta [ Ma [ Ma--  Me], Me], si las premisas son ambas afirmativas [ Ma Ma- Ma]  Ma] o negativas [ Me [ Me-- Me]  Me] (la demostración se hará en efecto por efecto  por los mismos términos t érminos concretos concreto s, di¦ tîn aÙtîn Órwn); lo mismo cuando una es universal y la otra particular [ Ma [ Ma-- Mi,  Mi, Ma  Ma-- Mo,  Mo, Me Me- Mi,  Mi, Me Me- Mo,  Mo, Mi Mi- Ma,  Ma, Mi  Mi--  Me, Me, Mo  Mo-- Ma,  Ma, Mo  Mo--  Me] Me] o ambos particulares [ Mi  Mi--  Mi, Mi, Mi  Mi-- Mo,  Mo,  Mo-- Mi,  Mo  Mi, Mo  Mo-- Mo]  Mo] o indefinidos, o de todas las otras maneras que en que se podrá tomar las premisas; la demostración se hará siempre, en efecto, por los mismos términos concretos, ¢eˆ g¦r œstai di¦ tîn aÙtîn ¹ ¢pÒdeixij (37 b 10-16). Aristóteles supone que, puesto que de hecho algunos hombres son  blancos y algunos hombres no son son blancos, ninguna de las cuatro relaciones a, e, i, o es nec necesaria esaria entre los términos blanco blanco y  y hombre hombre,, y que estos términos satisfacen las cuatro relaciones Ma relaciones  Ma,, Me,  Me, Mi,  Mi, Mo  Mo,, que figuran todos en las mayores de los pares enumerados aquí. 75

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 satisfacer  las  las relaciones universales a o e. Por ejemplo, si es verdad  verdad que de hecho algún animal es blanco y algún animal no es blanco, las proposiciones “Todo animal es blanco” o “Ningún animal es blanco” son las dos falsas pero falsas pero no imposibles. imposibles. Desde entonces, el primer paso franqueado por Aristóteles podía prolongarse en un segundo: el primero había consistido en admitir que una relación particular es satisfecha por dos fortiori; el segundo consistirá en admitir que una relación universal términos concretos que la satisfacen a fortiori; es satisfecha por dos términos concretos que podrían que  podrían   (aunque no lo hagan de hecho) satisfacerla. Este  procedimiento sutil es utilizado en el desecho de  NAab  NAab   .  AeC    NBeC   (10, 30  b  18 sq.), que ya hemos 77 hombre,, evocado más arriba . La tríada que permite desechar la conclusión NBeC  conclusión  NBeC  es   es en efecto animal , hombre blanco.. Esta tríada está dada como satisfaciendo AaC  blanco satisfaciendo  AaC , es decir, la menor asertórica “animal  no  no pertenece a ni ning ngún ún blanco blanco”; ”; y en efecto, explica Aristóteles, “ puede “ puede suceder   qquue animal   no pertenezca a ningún 78

blanco” blanco ”eles.s Pasando aserción de la unaconc posibilidad a   la posibilidad de una aserción, Ari Aristót stótele usa est estaa osadamente est estrat ratage agema ma de parala mostrar mostra r que conclus lusión ión  BeC  (hombre hombre    no pertenece a ningún blanco), blanco ), que por su parte ella es también falsa pero no imposible, sigue necesariamente de premisas supuestas verdaderas, pero no es en sí misma apodíctica. misma apodíctica. En este nuevo avatar, la prueba por los términos términos concretos toma un sentido radicalmente nuevo: el lector de Aristóteles ya no es invitado a constatar, en el mundo real, las relaciones lógicas que mantienen mutuamente los animales, los hombres, los colores, sino a transportarse a un mundo imaginario, pero posible, donde por ejemplo ningún ser blanco sería viviente, y a  preguntarse qué rresultaría esultaría de ello79. Es inúti inútill subrayar en que medida la prueba por térmi términos nos concretos, en estaa amp est ampli liaci ación, ón, pie pierde rde su “evide “evidenci ncia” a” intuit intuitiva iva;; inútil inútil igualm igualment entee hacer hacer notar notar cuán fáci fácill result resultaa a Aristóteles, reencontrando el mundo real donde algunos seres blancos solamente son inanimados, declarar   NAaB   .  AoC   se demuestra “con la ayuda de los mismos que la no-c no-concl oncluenc uencia ia del par subalt subalterna ernado do  NAaB términos que han servido para los silogismos universales”80. Lo contrario habría sido sorprendente. * En el curso de la evolución que acaba de ser retrasada, Aristóteles ha, entonces, progresiva y paralelamente liquidado las connotaciones maximales la particular, abolida la distinción entreen unavirtud “prueba instancias contrastadas” y una “prueba por la de indeterminada”, ablandado los criterios de por  los cuales se puede reconocer que dos términos concretos “satisfacen” una relación dada. Es una suerte que no hayaa teni hay tenido do la volu volunt ntad ad o el ti tiem empo po de es espar parci cimi mient entoo par paraa re re-es -escri cribi birr el co conj njun unto to de lo loss  Primeros  Analíticos para  Analíticos  para ponerlos en armonía con el último estado de su pensamiento lógico: el edificio que nos ha dejado su andamiaje. Hablando de sus predecesores, él ha dicho a menudo que ellos habían sido constreñidos “por la cosa misma” a modificar sus posiciones primitivas 81; “el ha tenido, como se ve, el  buen gusto de no escamotearse a esta constricción82.

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 Cf. nota 71.  'Endšcetai g¦r tÕ zùon mhdenˆ leukù Øp£rcein (30 b 35). 79  Señalemos una consecuencia de este deslizamiento. Si, para eliminar una conclusión silogística, ya no es necesario señalar la existencia en el mundo real  de  de tres términos A términos A,, B  B,, C , que la invaliden y es suficiente señalar la existencia de tales términos en un modo posible, resulta de ello a  contrario que contrario  que las variables de las conclusiones silogísticas válidas son sustituibles tanto por seres posibles como por seres reales. 80  Oƒ g¦r aÙtoˆ Óroi œsontai prÕj t¾n ¢pÒdeixin o†per ™pˆ tîn kaqÒlou sullogismîn (31 a 14-15). 81  De  De Part   Part . Anim  Anim.. I I, 642 a 27-28; cf. Metaph cf.  Metaph.. A3, 980 a 18; Phys 18; Phys.. I 5,188 b 27. 82  Al momento en que corrijo las pruebas de este artículo, tomo conocimiento del libro reciente de Lynn E. Rose, Aristotle’s Rose,  Aristotle’s  Syllogistic Syllogistic,, Springfield, by  counterexample ) y IX Thomas, 1968, que trata con precisión los problemas que he examinado, en particular en sus capítulos VI ( Invalidatio ( Invalidationn  by (Subalternation Subalternation). ). Yo decía más arriba (nº34) que las ocurrencias de la prueba por la indeterminada nunca habían sido exhaustivamente y sistemáticamente examinadas. Ya no es cierto: M. Rose da allí la misma lista lista que yo, p. 40 de su libro. El estudia en detalle el caso 3, I y 7 en su capítulo VI (p. 40-49), y el caso 5 en su capítulo IX (p. 86-88, donde se notará sin embargo que él se limita a re-copiar, con algunas transposiciones necesarias, lo que había dicho p. 41-43 sobre el caso 3). Me alegra constatar entre sus análisis y los mío una convergencia que va a veces hasta sorprendentes encuentros. Sin embargo, en primera aproximación y bajo reserva de un estudio más acabado, notaré un desacuerdo sobre dos puntos. De entrada, creo que M. Rose no tiene suficientemente en cuenta el trabajo de Patzig (que conoce y cita en la ocasión): también ignora la crítica muy  precisa que este autor ha hecho del procedimiento utilizado utilizado en 26 b 3-14 (cf. más arriba, nº. 38-88) así como la defensa que ha presentado del carácter  lógico, al menos de derecho, de la técnica de descarte por ejemplos contrastadas (cf. más arriba nº. 28-30). En segundo lugar, M. Rose estudia diversos procedimientos adoptados por Aristóteles Aristóteles en un orden arbitrario: ellos aparecen como tentativas un poco desordenadas para salir de una situación difícil; la originalidad del caso 7, entrevista p.49, no está verdaderamente despejada. He intentado mostrar, por el contrario, que estos  procedimientos se ordenaban según una línea precisa, precisa, manifestaban una toma de conciencia progresiva progresiva de los datos del problema y de las condiciones condiciones de su solución, y permitían asistir, en cierta forma, al trabajo de la formalización formalización.. 78

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