IV Bim - RM - 2do. Año - Guía 2 - Móviles

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2º

¿Cuáles son las raíces de la !

2

ecuacin 2  " " ! #

 D

os de esas esas raíces raíces son eviden evidentes tes:: x = 2 y x = 4.  Más trazando traz ando los gráficos de las funciones y = 2 x  y y = x 2 , constatamos que hay una raíz negativa, negativa, como se ve en la figura de la derecha. os  !reguntamos. 1. "#s tal raíz un n$mero racional o irracional% o&tenerla !or un !roceso !roceso !uramente 2. "#s !osi&le o&tenerla alge&raico%  #stamos condicionados a !referir m'todos (alge&raicos) (alge&raicos),, f*rmulas f*rmulas tales como la de la ecuaci*n ecuaci*n de 2+  grado, o artificios es!ecíficos !ara cada ecuaci*n que enfr enfren enta tamo mos. s. l ado! ado!ta tarr este este !unt !unto o de vist vista, a, no o&stante, estamos olvidando dos "cosas%- cam&iar 2 as!ectos: a) na (f*rmula cerrada), cerrada), como la que existe !ara ecuaciones ecuaciones de 2+, /+ y 4+ grado, es much muchas as vece vecess una una vict victori oria a iluso ilusoria ria-- ni siqui siquier era a nos nos da una idea del del orde orden n de la magnitud de las soluciones. resoluci*n de una ecuaci*n ecuaci*n recae, tarde o tem!rano, en un cálculo cálculo b) 0odo !roceso de resoluci*n num'rico que dará el resultado final, con las a!roximaciones deseadas:  #n el caso en cuesti*n, la raíz negativa de la ecuaci*n 2 x  = x2 !uede ser o&tenida, de modo sim!le, !or el m'todo de las a!roximaciones deseadas:  #l resultado es x = 134565, con 7 cifras decimales exactas. hora a&ordemos las !reguntas !reguntas.. 8a !rimera !rimera res!uest res!uesta a es negativa, negativa, esto es, la raíz raíz negativ negativa a de la ecuaci ecuaci*n *n  !ro!uesta es un n$mero irracional. #sto se !rue&a !or reducci*n al a&surd o. 9u!ongamos que !q fuese una fracci*n irreducti&le !ositival tal que 2-p/q = ;1!q< 2.  #liminando denominadores y elevando am&os miem&ros a la !otencia q, tendríamos entonces 2 p . !2q = q2q.  hora &ien, si ! es im!ar, im! ar, el !rimer miem&ro de esta $ltima igualdad es un entero que cont contien ienee un n$mer n$mero o im!ar im!ar de fact factore oress igual iguales es a 2, mient mientra rass que el segun segundo do miem miem&r &ro o contiene un n$mero !ar ;tal vez cero< cero< de factores 2. 9i, al contrario, ! es !ar entonces q será im!arim!ar- luego el !rimer !rimer miem&ro miem&ro es divisi&le divisi&le !or 2, mas el segundo segundo no lo es. e cualquier cualquier -r  manera, se tiene la contradicci*n: no existe n$mero racional r = !q tal que 2  = ;1r< 2 , donde r > .  8a segunda !regunta equivale a indagar si nuestra soluci*n negativa es un n$mero alge&raico. ?ecordemos que un n$mero ;real o com!le@o< se llama alge&raico cuando es raíz de alguna ecuaci*n de ti!o !;x< = , donde !;x< es un !olinomio con coeficiente entero.  Aor e@em!lo, todo n$mero que se o&tiene a !artir de n$meros racionales,  someti'ndolos a un n$mero finito de o!eraciones de adici*n, sustracci*n, multi!licaci*n, divisi*n y extracci*n de raíces ;de cualquier índice< es alge&raico. n n$me n$mero ro que que no es alge alge&r &raic aico o se llama llama tras trasce cende ndent nte. e. Aor Aor e@em!l e@em!lo, o, y e son n$meros trascendentes. CO$E%IO &RE'NIVER(ITARIO )TRI$CE*

11

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2º

 8a res!uesta a la segunda !regunta tam&i'n es B. 8a raíz negativa de la ecuaci*n 2  ,= x2 no !uede ser o&tenida !or m'todos !uramente alge&raicos, !orque es un n$mero trascendente.  x 

12

CO$E%IO &RE'NIVER(ITARIO )TRI$CE*

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2º

“ El El Amor no tiene edad, siempre está naciendo”  Observa este Ejemplo 

VV == e/t e/t

¿En que tiempo “! alcan"a a “#!. $1 = % m&s

+ora

$2 = ' m&s

estudiaremos “,-.iles! A

B 30 m

¿Hallar el tiempo de encuentro? V1 = 4 m/s

Soluci ó n 

V2 = 6 m/s

Se suman

80 m

Soluci ó n:  Espacio 4 + 6 = 10 m

Ts

80 m

Espacio % ( ' =2m

Ts

'0 m

Por Regla de Tres

Se suman

Tiempo 1s

Tiempo 1s

2T = '0

T = 1% s

Mét Método Método odo e ico Pr áctico Práct áctico T 

Por Regla de Tres

10 T = 80 .

$1 ( $2

T  / Tiempo de alcance. T  AA/ Tiempo de alcance. $$1 $$2/ /$elocidades. $elocidades.

T=8s

1

2

e/e/Espacio Espaciode deseparaci-n separaci-ninicial. inicial.

Método Mét Método Método odo Pr Práctico áctico ácteico te

$1

$2

tte/ /Tiempo Tiempode deencuentro. encuentro. e $$1 $$2/ /$elocidades. $elocidades. 1

Observa el Siguiente Ejemplo y  Completa  Trans)ormar '6 *m& a m&s. El resultado sale en m&s

2

e/e/Espacio Espaciode deseparaci-n separaci-ninicial. inicial. CO$E%IO &RE'NIVER(ITARIO )TRI$CE*

actor de conersi-n

1'

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2º 36

Km

x

h

  5        =  18  

10

m s

Ahora

veamos

el

otro 

Caso  ¡Ahora practica t ú!   

Ejemplo:  onertir 20 m&s a *m&

onertir %4 *m& a m&s 54

Km

    

x

h

    =  

Soluci ó n  m

20

s

m 18  s %

Aa respuesta esta en *m& 32 actor de onersi-n

oloca el )actor de conersi-n.

¡Practica!  18

Km

x

h

72

Km

x

h

144

Km

x

h

90

Km

Km h

     =  

m

    

    =  

m

         

x

h

126

    

x

    

    =  

70

% 18

7 m&s

18 %

2. ompleta/

te

te e 14

e $1 $2

= 999999999999  = 999999999999 

x

m

x

s m s

40

m s

m

120

s

m s

x

    

     =  

Km

   

      =

Km

    

     =  

Km

x

    

h

h

h

    =  

Km h

m s

1. 5ne con una )leca el )actor de conersi-n que le corresponda/

a7 *&

m s

s

    =       =  

60

s

$1 $2 = 999999999999 

3. :artiendo del mismo lu;ar dos ciclistas salieron

en sentido contrario < con elocidades de 8 *m& < 3 *m&. ¿En cunto tiempo lle;arn a estar 4% *m el uno del otro? >ato  $ = e&T e = espacio T = Tiempo $ = $elocidad7. a7 '  d7 0 

7 2 e7 @..

c7 1 

4. Hallar el tiempo en que el auto alcan"a a la cica. V2 = 20 m/s

V1 = 80 m/s

CO$E%IO &RE'NIVER(ITARIO )TRI$CE* '60 m

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2º

a7 %0 s d7 80

7 60 e7 B0

c7 30

5. ¿En que tiempo cru"ar un tren de 40 m de lon;itud a un puente de 200 m de lar;o si el tren tiene una elocidad de '0 m&s? >ato  $ = e&T e = espacio T = Tiempo $ = $elocidad7.

a7 6 s d7 B

7 3 e7 10



7

40

c7

50

d7

60

m

x

s m

x

s

m

x

s m s

x

    

     =  

Km

    

    =  

Km

    

    =  

Km

   

     =

Km

h

h

h

h

11. T e = '0 s ta = 100 s e = 600 m 

= ' 200 m.

Hallar/ $1 < $2 a7 1' < 3 m&s

7 10 < 40 e7 @..

. oloca el sDmolo

20

c7 8

6. Caiendo te = 40 s < t a = 80 s Hallar/ $1 < $2

a7 20 < 60 m&s d7 %6 < 24

a7

c7 20 < 10

7 20 < 6

c7 10 < 12

d7 11 < 10 12. os autos an con elocidades constantes <

- =

opuestas 8 m&s < 6 m&s si en un momento 32 m&s

determinado estn separados por %00 m. ¿En

7 20 *m&

%% m&s

cunto tiempo ms estarn separados en 200m por se;unda e"?

c7 10 *m&

'2 m&s

a7 10 s

7 20 s

d7 40 *m&

166 m&s

d7 40 s

e7 %0 s

a7 '0 *m&

c7 '0 s

13. os camiones parten de dos polaciones 8. ompleta/

apartadas %00 *m. 5no de los camiones iaa a ta

e $1 ( $2

ta

= 999999999999 

e

= 999999999999 

'0 *m& < el otro a 20 *m&. ¿untas oras transcurrirn asta el momento en que se crucen?

$1 $2 = 999999999999  !. onierte a m&s.

a7 7

360

Km h

720

Km h

c7

162

d7

180

Km h Km h

  x       x      x      x    

a7 10 

7 20

d7 40

e7 %0

c7 '0

14. :artiendo de casa Fuan < Foel iaaron en

     =        =         =      =  

m s m

icicleta pero en sentidos opuestos. Ci uno de ellos ia a 8 *m& < el otro a 3 *m&. ¿En cunto tiempo lle;aron a estar a 4% *m el uno del otro?

s m s

a7 ' 

7 4

d7 6

e7 8

c7 %

m

15. ,anuel sali- en su carro con una elocidad de

s

40 *m&. os oras despuGs arla sali- del mismo lu;ar. Ella mane- por la misma

10. onierte a *m&.

carretera a %0 *m&. ¿untas oras ms CO$E%IO &RE'NIVER(ITARIO )TRI$CE*

1%

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2º ar maneado arla cuando alcan"- a ,anuel?

1. os motocicletas parten de dos ciudades apartadas %00 *m uno de los motociclistas iaa a 6% *m& < el otro a 60 *m&. ¿untas oras transcurrirn asta el momento en que se crucen?

a7 4  d7 8

7 % e7 @..

a7 '  d7 8 

7 %  e7 @..

c7 3 

3. 5n tren parte de una estaci-n < iaa a una elocidad de 100 *m& < otro tren parte de dos oras ms tarde en el mismo sentido < a 110 *m&. ¿unto tardar el se;undo tren en alcan"ar al primero?

a7 20  d7 4

7 10 e7 @..

c7 %

4. :artiendo de una estaci-n un tren iaa al norte a la elocidad de 110 *m& dos oras despuGs otro tren parte de la misma estaci-n acia el sur a B0 *m&. ¿untas oras transcurrieron antes de que se encuentren separados por una distancia de 420 *m?

a7 %  d7 8

7 ' e7 @..

c7 3

5. 5n tren sali- de una estaci-n a las ' pm < ia- a 100 m&  otro tren sali- de la estaci-n a las 4 pm  < ia- en el mismo sentido a 12%*m&. ¿ quG ora alcan"- al primer tren?

a7 4 p.m. d7 10

7 8 e7 @..

a7 200 *m d7 %00

7 400 e7 @..

a7 20 '0 *m& 16

7 16 24

c7 '0 %0

e7 @..

c7 '0

7 10 e7 6

c7 8

!. os m-iles separados 300 m parten al mismo tiempo al encuentro con elocidades de 24 m&s < 26 m&s. ¿espuGs de que tiempo se encontrarn?

a7 1' s d7 16

7 14 e7 @..

c7 1%

10. os ciclistas parten al mismo tiempo de un mismo punto con elocidades de B m&s < 16 m&s. ¿l cao de cuanto tiempo uno estar 280 m delante del otro?

a7 %0 s d7 20

7 40 e7 @..

c7 '0

11. os autos separados 200 m parten simultneamente en sentidos opuestos siendo la elocidad de uno de ellos 4 m&s. ¿ul es la elocidad del otro si emplean 12 se;undos en separarse 40 m por se;unda e"?

a7 10 m&s d7 12 m&s

7 18 m&s e7 16 m&s

c7 20 m&s

12. os m-iles distan '60 m < an al encuentro con elocidades de ' m&s < 3 m&s. espuGs de que tiempo estn separados 140 m por primera e".

a7 '6 s d7 '2 s

7 22 s e7 28 s

c7 24 s

13. 5n ciclista corre con rapide" constante de 1%m&s. ¿on quG elocidad recorrer el Jltimo tramo epresada en *m&?

a7 23 *m& d7 %4

7 '0 e7 @..

c7 40

14. os m-iles separados 1 880 m an al encuentro uno del otro. en sentido contrario ¿En cunto tiempo se encontrarn con elocidades de 8 < 12 m&s?

a7 %0 s d7 13 s

c7 '00

. 5na lanca puede iaar a 20 *m& en a;uas tranquilas. Ci la corriente tiene una elocidad de 4 *m&. ¿IuG tan rpido nae;a la lanca rDo arria >contra la corriente7? ¿IuG tan rpido iaa a )aor de la corriente?

d7 40

a7 1% s d7 B

c7 B

de su casa a la pla