istp

LE GRAFCET 0 m.c.f1.f2.f3 1

AV c

2

AV c

3

5

4 p2

p1 OP1

OP2

p1

OP3

p3

p2

f1 19

p3

f2 20

f3 21

m

m

Laboratoire d'automatique de l'E.N.I.S.E.

_________________________________________________________________________

Sommaire Chapitre 1 Règles de représentation d'un système séquentiel par le GRAFCET 1.1. Définitions.......................................................................................................... 2 1.1.1. Principe du GRAFCET ........................................................................ 2 1.2.1. Exemple ............................................................................................... 2 1.2. Règles fondamentales d'évolution ................................................................... 5 1.2.1. Règles de complément ......................................................................... 6 I.3. Types d'actions associées aux étapes ............................................................... 8 1.3.1. Actions inconditionnelles .................................................................... 8 1.3.2. Action conditionnelle........................................................................... 8 1.3.3. Action impulsionnelle.......................................................................... 8 1.3.4. Action temporisés ................................................................................ 8 1.3.5. Action sur l'état du graphe lui même ................................................... 9 1.3.6. Action représentées par une sous séquence ......................................... 9 I.4. Types de receptivités associées aux transitions .............................................. 9 1.4.1. Niveau logique de résultat d'une équation logique .............................. 9 1.4.2. Changement de niveau logique............................................................ 9 1.4.3. Résultat d'une comparaison logique, numérique ou analogique.......... 9 1.4.4. Temps écoulé depuis le début d'activité d'une étape quelconque ........ 10 1.4.5. Etat interne du GRAFCET (ou d'un autre GRAFCET) ....................... 10 1.4.6. Cas particulier : transitions sources et transitions puits ....................... 10

Chapitre 2 Utilisation du GRAFCET pour décrire un système séquentiel 2.1. Etapes du projet d'un système séquentiel....................................................... 13 2.2. Décomposition fonctionnelle et synchronisation de GRAFCET .................. 13 2.3. Graphe d'état .................................................................................................... 14 2.3.1. Propriétés d'un sous graphe d'état ........................................................ 15 2.3.2. Obtention d'un sous graphe d'état ........................................................ 15 2.4. Modes de fonctionnement : citons quelques procédés................................... 16 2.4.1. Marches automatique et manuelle ....................................................... 16 2.4.2. Marche cycle par cycle ou pas à pas.................................................... 16 2.4.3. Arret d'urgence..................................................................................... 16 2.5. Partage de ressources et structures d'arbitrage ............................................ 17 2.6. Réduction d'un GRAFCET ............................................................................. 18 2.6.1. Transitions redondantes ....................................................................... 18 2.6.2. Etapes redondantes .............................................................................. 18 2.6.3. Etapes fusionnables.............................................................................. 18

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Chapitre 3 Synthèse des systèmes sans conflit 3.1. Solutions câblées ...................................................................................................... 21 3.1.1. Principe ................................................................................................ 21 3.1.2. Applications ......................................................................................... 21 3.1.3. Utilisation de relais ordinaires ............................................................. 25 3.1.4. Aléas de séquence possible.................................................................. 25 3.1.5. Utilisation de séquenceurs industriels ................................................. 26 3.2. Solutions programmées (systèmes sans conflit) .................................................... 27 3.2.1. Principe de réalisation .............................................................................. 27 3.2.2. Niveau de synchronisme........................................................................... 28 3.2.3. Structure des programmes de commande ................................................. 29 3.2.4. Cas d'un GRAFCET général avec activités simultanées .......................... 30 3.2.5. Cas des actions conditionnelles ................................................................ 35 3.2.6. Cas d'un GRAFCET constitué d'un graphe d'état unique......................... 36

Chapitre 4 Synthèse des systèmes avec conflit 4.1. Remarque préliminaires ......................................................................................... 39 4.2. Application de la règle 4 seule ................................................................................ 39 4.2.1. Exemple .................................................................................................... 39 4.3. Application simultanée des règles 4 et 5 ................................................................ 44 4.3.1. Exemple .................................................................................................... 44

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Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

1

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

1.1. Définitions :

Opérateur Extérieurs

Automate

Action-

Processus

neurs

logique

Capteurs

Le processus logique, avec les actionneurs et capteurs constitue la partie opérative de l'automatisme. Cet ensemble est piloté par des actions issues de l'automate (qui constitue la partie commande). L'automate agit en fonction d'un programme et d'informations extérieures, d'une part, et issues des capteurs du processus logique, d'autre part. 1.1.1. Principe du GRAFCET - (graphe de commande étape transition) Il s'agit d'un graphe comportant : - des étapes associées à des actions - des transitions associées à des réceptivités - des arcs orientés reliant étapes et transitions Chaque étape correspond à un état stable de la partie commande et est caractérisée par un état actif ou inactif. On peut marquer sur le GRAFCET les étapes actives à un instant donné. Lorsqu'une étape est active, toutes les actions associées doivent être effectives et cesser avec la fin d'activité de l'étape. L'évolution des étapes actives ou inactives se fait par le franchissement de transitions. La situation de l'automate (état interne) est entièrement définie par l'ensemble des étapes actives. Le formalisme du GRAFCET est le même que celui des réseaux de Pétri (aux conventions de représentation près), par contre les règles d'évolution diffèrent. 1.2.1. Exemple : Soit la chaîne de transfert où les pièces suspendus (présentes de manière aléatoire) doivent subir 3 opérations OP1, OP2, OP3 à trois postes. Un capteur c détecte l'avance de la chaîne et les capteurs p1, p2, p3 détectent la présence des pièces. L'avance a lieu pour AV = 1. Les informations F1, F2, F3 sont égales à 1 à partir de la fin d'une opération et jusqu'à ce que l'opération soit lancée de nouveau. (Chaque opération comporte plusieurs étapes qu'on a pas représentées).

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2

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

p1

p3

p2

OP2

OP1

f1

OP3

f2

f3

Le GRAFCET ci dessous fait apparaître les étapes sous la forme d'un carré (l'étape initiale O est représentée par un double trait). Lorsqu'une action est associée à une étape, elle est écrite à l'intérieur d'un rectangle. L'orientation générale est implicite du haut vers le bas ; lorsque tel n'est pas le cas ou qu'il y a risque d'ambiguïté, il est nécessaire d'expliciter le sens de cette orientation par une flèche.

0 m.c.f1.f2.f3 1

AV c

2

AV c

3

5

4 p2

p1 OP1

OP2

p1

OP3

p3

p2

f1 19

p3

f2 20

f3 21

m

m

A titre indicatif, on donne ci-dessous le même GRAFCET en utilisant les conventions de représentation des réseaux de Pétri. On constate que le formalisme est presque le même sauf en ce qui concerne l'orientation qui n'est jamais implicite : les flèches sont toujours indiquées. Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

3

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

On peut voir dans ce GRAFCET les différents types de structure, notamment les sélections de modes de fonctionnement et les branches fonctionnant en parallèle. Les étapes 19, 20 et 21 sont des étapes d'attente permettant de terminer correctement le fonctionnement en parallélisme des trois branches. Les étapes 3, 4, et 5 sont nécessaires bien que leur durée d'activité soit très brève : on ne pourrait par faire suivre la transition assurant la sélection des 3 opérations. On peut noter que les transitions assurant les sélections sont ici exclusives l'une de l'autre (p1 et p1, p2 et p2 ainsi que p3 et p3).

0 m.c.f1.f2.f3 1 c 2 c

3

4 p2

p1

p1

6

5

7

f1

p3 p2

8 f3

f2 21

20

19

m

p3

m

1.2. Règles fondamentales d'évolution : Règle de base : Il s'agit de "l'alternance étape - transition" - Deux étapes doivent toujours être séparées par une transition. - Deux transitions doivent toujours être séparées par une étape.

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4

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

Règle 1 : "L'initialisation" précise la ou les étapes qui seront actives au début du fonctionnement (soit à la mise sous énergie soit par action sur un bouton I = Initialisation).

Règle 2 : "Conditions de franchissement d'une transition". Une transition est validée si toutes les étapes d'entrée de la transition sont actives. Une transition est franchissable si elle est validée et si l'événement associé à la transition est vrai. En appelant Xi la variable logique attachée à l'activité de l'étape i, on pourra écrire la condition logique de franchissement de la transition dans l'exemple ci dessous : X5 . X6 . X7 . E

5

6

7

5

6

E = 0 ou 1

8

9

7

5

6

E=0

8

9

transition non validée transition validée

7

5

6

E=1

8

9

transition franchissable

7

E = 0 ou 1

8

9

transition franchie

Règle 3 : "Evolution des étapes actives" Le franchissement d'une transition entraîne simultanément l'activation de toutes les étapes de sortie de la transition et la désactivation de toutes les étapes d'entrée de la transition. Bien entendu, les actions associées à ces étapes doivent suivre simultanément l'évolution ainsi définie (comme elle apparaît dans l'exemple ci-dessus).

1.2.1. Règles de complément : La plupart des problèmes peuvent être représentés correctement à l'aide des règles énoncées ci dessus. Dans certains cas, les deux règles suivantes peuvent être utiles : Règle 4 : "Evolutions simultanées". Plusieurs transitions simultanément franchissables doivent être simultanément franchies.

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5

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________ 10

Cette simultanéité peut se produire dans deux GRAFCET indépendants ou dans des branches à évolution parallèle (comme ci-contre). Dans ce cas il n'y aura pas de problème particulier de réalisation.

0

e1

1

e2

2

20

ma 11

ma 21

Par contre, lorsque deux transitions (comme ci-contre), si les événements e1 et e2 sont vrais simultanément, les étapes 1 et 2 deviennent actives et l'étape 0 inactive. Pour que cela soit possible, il est nécessaire d'appliquer un traitement synchrone à ce franchissement simultané.

En effet, un traitement asynchrone qui considérait l'événement e1 en premier conduirait à l'activation de l'étape 1 et la désactivation de l'étape 0 ; la considération à ce moment de l'événement e2 ne permet plus le franchissement de la transition puisque le traitement précédent a entraîné la désactivation de l'étape 0 : on dit que les deux transitions sont en conflit (cela ne peut pas se produire si les événements e1 et e3 sont exclusifs). Pour respecter la règle 4, il est donc nécessaire de recouvrir à un traitement synchrone si les transitions sont en conflit.

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6

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

0

*1 a

* 2 ab d

c

7

6

f

e

8 X1. X2 ... X6 . X7

Par exemple, le GRAFCET ci-après comporte deux transitions associées aux événements a d'une part et ab d'autre part. Si b = 0, l'une des branches ne sera pas activée et si b = 1, les deux branches doivent être activées par application de la règle 4. Il s'agit dans ce cas de "parallélisme interprété" par opposition au " parallélisme structural" déjà vu. Il est prudent d'éviter ce parallélisme interprété, mais si on l'utilise, il est bon de marquer les transitions en conflit par deux astérisques qui soulignent cette volonté. Au contraire, lorsqu'on utilise des sélections, il est bon de s'assurer de l'exclusivité des événements associés aux transitions. On peut noter, dans l'exemple donné la dernière transition qui ne peut être franchie que lorsque les deux branches sont "désactivées".

Règle 5 : "Activation et désactivation simultanées". Lorsque, par application des règles de franchissement de transition, une même étape doit être activée et désactivée, elle reste active. A titre d'exemple, une partie du problème exposé à la définition pourrait se représenter comme cidessous en considérant les évolutions possibles à chaque montant de c. Dans ce cas, l'étape 0 reste toujours active, par application de la règle 5. De plus, dans le cas (banal) où des pièces se suivent, on aura des étapes successives qui devront être à la fois activées et désactivées.

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0 p1.c

1

OP1 c

2

OP2 c

3

OP3 c

7

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

1.3. Types d'actions associées aux étapes : 1.3.1. Actions inconditionnelles :

5

A

B1

6

A

7

B0

Action maintenue par ordre répété : l'action A (électrovanne par exemple) est maintenue pendant l'activité des étapes 5 et 6 par répétition. Action maintenue par ordre mémorisé : l'action B est maintenue pendant l'activité des étapes 5 et 6 par l'intermédiaire d'une mémoire inscrite (B1) au début d'activité de l'étape 5 et effacée (B0) au début d'activité de l'étape 7.

1.3.2. Action conditionnelle : e 6

A

L'action A sera effective si l'étape 6 est active et si la condition est vraie.

1.3.3. Action impulsionnelle :

7

A * 5s

L'action A sera effective à partir du début d'activation de l'étape 7 et ceci pendant 5 sec seulement.

1.3.4. Action temporisée :

10

A t/10/8s

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L'action A sera effective seulement 8s après le début d'activation de l'étape 10. Rmq : si l'activité de l'étape 10 dure moins de 8 sec, l'action A n'est pas réalisée.

8

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

1.3.5. Action sur l'état du graphe lui même :

Désactivation de toutes les étapes

0

Fortement déconseillé en général. En voici un exemple simple.

1.3.6. Action représentée par une sous séquence : La sous séquence S10 est représentée par le GRAFCET 10/13. Dans le GRAFCET principal, l'utilisation de sous séquence est matérialisée par l'action S10 (côtés verticaux doublés).

10 3

S10

X3 + X5 11

X13 4

12 S10

5

13

X13

X3 . X5

1.4. Types de réceptivités associées aux transitions : 1.4.1. Niveau logique de résultat d'une équation logique : cas particulier : réceptivité toujours vraie

(a+b).c

1

1.4.2. Changement de niveau logique : Pour faire apparaître le changement d'état, on utilisera les symboles : passage de 0 à 1 et pour le passage de 1 à 0.

$

a

%

a

1.4.3. Résultat d'une comparaison logique, numérique ou analogique :

(a

b.c )

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d = 142

f > 50mm

9

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

1.4.4. Temps écoulé depuis le début d'activité d'une étape quelconque : 5

Lorsque l'étape 5 sera activée, l'action A sera effective. Au bout de 3 mn la transition sera franchie, l'étape 5 désactivée et l'action A s'arrêtera.

A t / 5 / 3 mn

1.4.5. Etat interne du GRAFCET (ou d'un autre GRAFCET) : On en a eu un exemple au paragraphe 1.4.6 pour la représentation des sous séquences ou sous programmes. Très utilisé pour la synchronisation de plusieurs GRAFCET les uns par rapport aux autres (à utiliser avec précautions). 1.4.6. Cas particulier de transitions - transitions sources et transitions puits : p1.c Source Dans l'exemple illustrant la règle 5 1 OP1 au paragraphe 1.3, l'étape 0 est toujours c active, donc la 1ère transition est 2 OP2 toujours validée et la dernière transition débouche sur une étape c active. On peut alors simplifier le 3 OP3 GRAFCET ainsi : c Puit A titre indicatif, on peut donner une solution plus précise en tenant compte des séquences OP1, OP2, OP3 et du GRAFCET décrivant l'avance de la chaîne. Dans ce GRAFCET, une étape d'attente 3 est nécessaire pour distinguer le début de travail de la fin de ce travail. p.c 10

0

0

OP1

1 f1 19

c

c

OP2

AV

2

AV

c

c 20

AV

1

AV

2

c

m.c.f1.f2.f3

m.c.f1.f2.f3

3

3

f1+f2+f3+m +X10.....X39

t/3/5s f2 29 c 30

OP3

La transition de l'étape 3 à l'étape 0 peut se faire par temporisation.

Ou encore par les conditions logiques de début de travail, ou d'arrêt en l'absence de pièce au poste.

f3 39 c

Il est alors possible d'exprimer c ↑ ainsi : c ↑ = c.X2

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10

Chapitre 1 ______________________________________________________________________________________

Avant de passer au chapitre suivant, il est bon d'insister sur le fait que le parallélisme interprété doit être évité. Dans l'exemple donné à la page 6, le GRAFCET comporte deux transitions en conflit. IL est possible ici de remplacer ce GRAFCET par celui ci contre où la règle 4 n'a pas lieu de s'appliquer (et où on trouve un exemple de réceptivité toujours vraie). La règle 4 est surtout faite pour assurer la synchronisation entre GRAFCET ou branches //.

0 a.b

a.b

2

1 c

d

6

7 e

f

8

9

X1...X7.X9 1

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

11

Chapitre 2 ______________________________________________________________________________________

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

12

Chapitre 2 ______________________________________________________________________________________

2.1. Etapes du projet d'un système séquentiel : Début Cahier des charges

Le cahier des charges permet le tracé d'un schéma fonctionnel. Généralement, il est possible et souvent souhaitable de décomposer l'ensemble en sous machines. Dans ce cas, il faut régler les couplages entre sous systèmes et les conflits éventuels ainsi que les partages de ressources communes. Il est bon d'envisager dès le début les modes de fonctionnement et, par cela, on pourra utiliser avec profit le GEMMA. On peut suivre l'organigramme ci-contre :

Schéma Fonctionnel

Décomposition possible? Décomposition Fonctionnelle

Etude des modes de fonctinnement Utilisation du GEMMA Choix des étapes initiales Tracé de ou des GRAFCET

Inclusion de tous les modes

Fin

2.2. Décomposition fonctionnelle et synchronisation de GRAFCET G1

Soient deux GRAFCET G1 et G2 décrivant les structures de commande C1 et C2 des sous machines M1 et M2. Nous ne considérons que les couplages existant entre les commandes C1 et C2.

C1

M1

C1

M1

G2

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13

Chapitre 2 ______________________________________________________________________________________

Citons quelques relations possibles entre G1 et G2 : G1

t2

G1

G2

G2

G1

G2

t2

t1

Franchissement de t1 après t2

Conrôle du franchissement de t2 et suppression du marqueur dans G1

Placement d'un marqueur dans G2

On peut donner, en exemple de décomposition fonctionnelle, celui du problème de la page 2. On considère alors les 4 GRAFCET des 4 sous ensembles suivants : - 3 GRAFCET indépendants pour les 3 postes OP1, OP2, OP3. - 1 GRAFCET pour le système d'avance de la chaîne. On constate cette fois que la synchronisation peut se faire par les états internes d'un GRAFCET (ou encore par des variables logiques d'un sous ensemble) agissant comme réceptivités sur les autres GRAFCET. 10

0 1

AV

30

20 p1.X3

m.c.f1.f2.f3 11

OP1

p3.X3

p2.X3 21

OP2

31

OP3

c 2

AV c 19

3 t/3/5s

39

29 f1

f2

f3

2.3. Graphe d'état : Un GRAFCET représente souvent des actions simultanées et comporte donc plusieurs étapes actives simultanément. Lorsqu'un GRAFCET ne comporte jamais qu'une seule étape active, il s'agit d'un graphe d'état. Le graphe de transitions de la méthode d'Huffmann correspond au graphe d'état. De plus l'organigramme classique de l'informatique peut correspondre à un graphe d'état. Certaines méthodes de synthèse utilisent la notion de graphe d'état. Il est toujours possible de transformer un GRAFCET quelconque en un graphe d'état, mais cela n'est pas intéressant ni facile en général. Par contre, il peut être utile de décomposer un GRAFCET en sous graphes d'état.

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14

Chapitre 2 ______________________________________________________________________________________

2.3.1. Propriétés d'un sous graphe d'état : → Une seule étape est active à la fois. → Chaque transition ne peut avoir plus d'une étape d'entrée et une étape de sortie. → Il est toujours possible de trouver un chemin non orienté conduisant d'une étape quelconque à une autre. 2.3.2. Obtention d'un sous graphe d'état : Une méthode (mais ce n'est pas la seule) pour obtenir des sous graphes d'état consiste à ôter les transitions qui ne correspondent pas à la propriété 2 en vérifiant que le franchissement des transitions ainsi supprimées ne conduise pas à placer 2 marqueurs dans un des sous graphes d'état. On voit ci-contre le GRAFCET de la page 2 décomposé en 4 sous graphes d'état. (On suppose que les séquences non représentées, décrivant les opérations OP1, OP2, OP3, ne comportent qu'une étape active à la fois).

0 m.c.f1.f2.f3 1

AV (2)

c 2

c

AV

(3) 3

4 c

6

7

c OP2

p1

8

p3

f2

19

f3

20

(19) (20) (21)

21

(19) (20) (21)

m (0)

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

OP3

p2

f1

(5)

5 c

OP1

(4)

m (1)

15

Chapitre 2 ______________________________________________________________________________________

2.4. Modes de fonctionnement : citons quelques procédés. 2.4.1. Marches automatique et manuelle La plupart du temps, les actions manuelles se commandent par un poussoir tel que MA, MB, MC pour les actions A, B, C. Un inverseur à deux positions (Auto et Manu) peut alors être utilisé ou encore deux commandes (qu'il faudra dans ce cas verrouiller l'une par rapport à l'autre).

Manu

Auto

MA A

MB B

MC C

Cycle automatique

2.4.2. Marche cycle par cycle ou pas à pas :

En plus des commandes Manu et Auto, il faut prévoir les commandes :

Auto+Mcc.Bcc +Mpp.Bpp a.(Auto+Mpp.Bpp )

* Marche cycle par cycle : Mcc * Marche pas à pas : Mpp

b.(Auto+Mpp.Bpp )

Les départs de cycles auront lieu par appui sur le bouton Bcc (Bcc ↑). Les départs de chaque pas auront lieu par appui sur le bouton Bpp (Bpp ↑).

f.(Auto+Mpp.Bpp )

2.4.3. Arrêt durgence : - sans séquence d'urgence : Une technique consiste à inhiber les actions, ce qui entraîne l'arrêt de l'évolution en général. Une autre technique consiste à figer l'automate en annulant les réceptivités (il ne faut pas l'utiliser seule).

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

a.Au

Au

A1 b.Au

Au

A2 c.Au

16

Chapitre 2 ______________________________________________________________________________________

- avec séquence d'urgence :

Au

Si Au = 1, toutes les étapes sont désactivées et conduisent à la séquence d'urgence qui ramène ensuite à l'état initial. On peut aussi utiliser un symbole de regroupement :

Séquence d'urgence

Au

a.Au Au

Identique

b.Au Au c.Au

2.5. Partage de ressources et structures d'arbitrage : Illustrons cela par l'exemple suivant : soient deux machines M1 et M2 pouvant alimenter à tour de rôle un poste de travail commun et y déclencher un travail P (chacune y effectuera elle même un travail). a1, a2, c1, c2 sont les fins de course. b1 et b2 délimitent la zone commune. Préparation

AR1

AV1

AR2

Poste travail P

m1

AV2

M1

M2

a1

c1

c2

b1

Préparation m2 a2

b2

m1.a1

m2.a2

AV1

AV2

b1

b2

b1

Conflit

b2.b1 AV2

AV1 c1

Priorités

Travail M1 f1

AR1

AR1 a1

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

Travail M2

Travail P f

1

c2

f2

1 AR2

AR2 a2

17

Chapitre 2 ______________________________________________________________________________________

2.6. Réduction d'un GRAFCET : 2.6.1. Transitions redondantes : Elles n'apparaissent que rarement en cours de conception, mais plutôt en cours de simplification : les transitions t1 et t2 ont mêmes étapes d'entrée et de sortie et peuvent donc être regroupées en une transition unique t.

1

2

1

2

t t1

t2

a

a+b.c

b.c 3

3

2.6.2. Etapes redondantes : Là encore ces étapes apparaissent en cours de simplification. L'étape 9 est activée en même temps que 6 et désactivée en même temps que 8, on peut la supprimer et reporter l'action A9 qui lui était associée sur les étapes 6, 7 et 8, sauf si l'action A9 est impulsionnelle, auquel cas on ne doit la reporter que sur l'étape 6. On dit que l'étape 9 est implicite de l'ensemble d'étapes 6, 7, 8.

b f 6

A6

9

b

A9

6

A7

7

d 8

A6

A9

c

c 7

f

f A7

A9

d

A8 8 e

f A8 A9

e

Dans certains cas, on n'a pas intérêt à supprimer une étape implicite d'un ensemble E = 1, 2 ... n si n est grand ; car si on perd une mémoire on gagne en simplicité du combinatoire relatif à l'action associée. 2.6.3. Etapes fusionnables : Pour supprimer t2 et fusionner 1 et 2 en l'étape r1 12, on utilise r2 comme t1 condition dans les actions 1 A1 A1 et A2. Cela n'est possible que si r2 est vraie t2 r2 pendant toute l'activité de 2. 2 A2 Dans le cas contraire, on ne peut pas fusionner 1 et 2. La t3 r3 nouvelle réceptivité r est égale à r r2r3 pour être sûr que r est faux pendant toute l'activité de l'étape fusionnée 12.

r1

r2

r3

r r1 r2

r2 12

r2

A1 A2

r2 r=r1.r2

Toutefois, si l'on peut être certain que r3 est faux pendant toutes les durées d'activité de 1 et 2 avant fusionnement, alors il est possible d'écrire r = r3. Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

18

Chapitre 2 ______________________________________________________________________________________

D'une façon générale, il ne sera possible de fusionner plusieurs étapes successives que si on peut caractériser l'état actif de chaque étape par une condition logique écrite à partir des réceptivités que l'on va supprimer et que toutes ces conditions logiques soient exclusives les unes des autres. La figure ci contre montre comment fusionner j étapes successives en utilisant les conditions logiques c1, c2, , ci, ..., cj. Les actions Ai associées aux étapes i avant fusionnement seront associée à l'étape fusionnée et deviendront conditionnelles des conditions logiques ci. D'autre part, la transition de sortie de l'étape fusionnée sera associée à une réceptivité r égale au produit logique de la condition logique cj (caractérisant l'état actif de la dernière étape j avant fusionnement) par la réceptivité rj (en sortie de cette même étape j) : r = rj.cj.

r0 1

A1

r0 c1

r1 2

A2

c2

r2 c2

c1 ri-1 i

Ai

1

A1

A2

ci Ai

cj Aj

ci

ri rj-1 j

Aj rj

cj r = cj.rj

De la même manière que pour le fusionnement de 2 étapes, si on peut être certain que rj est faux pendant toutes les durées d'activité de toutes les étapes avant fusionnement alors il est possible d'écrire r = rj. (Cette simplification n'est possible si rj = 1 ; dans ce cas, on aura r = cj).

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19

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

20

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

3.1. Solutions câblées : 3.1.1. Principe : On associe à chaque étape une mémoire de type RS. Lors du franchissement d'une transition (définie par la condition logique d'évolution énoncée à la règle 2), il faut donc assurer l'inscription des mémoires de sortie en même temps que l'effacement des mémoires associées aux étapes d'entre de la transition. Or, les mémoires d'entrée de la transition interviennent dans la condition d'évolution qui va donc avoir une durée théoriquement nulle, si bien qu'en utilisant cette condition d'évolution pour effectuer inscription et effacement, on aura certainement un aléa de séquence. Il faut donc se résoudre à donner au franchissement d'une transition une durée non nulle en assurant, dans un premier temps, l'inscription des mémoires associées aux étapes de sortie de la transition et ensuite l'effacement des mémoires associées aux étapes d'entrée de cette transition : La condition d'évolution permettant le franchissement 1 2 de la transition ci-contre peut s'écrire : e.X1.X2.X3 = 1 Cette condition est donc utilisée pour assurer l'inscription des mémoires 4 et 5, donc on aura les e fonctions d'inscription : S4 = e.X1.X2.X3 et S5 = e.X1.X2.X3. L'effacement des mémoires 1, 2, 3 se fera ensuite lorsque les deux mémoires 4 et 5 seront égales à 1, d'où les 4 5 équations : R1 = X4.X5 R2 = X4.X5 R3 = X4.X5 Dans certains cas, on utilisera aussi l'événement e : R1 = e.X4.X5 R2 = e.X4.X5 R3 = e.X4.X5 (très rarement)

3

3.1.2. Applications : nous prendrons deux exemples simples. Exemple 1 : On considère une tête de perçage capable de réaliser les deux cycles décrits cidessous selon que les pièces à percer sont minces ou épaisses. Le GRAFCET correspondant tient compte de ce que la pièce est retirée pour pouvoir regagner l'étape initiale.

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21

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

H

pièces épaisses

a

pièces minces

0 m.a.f

c

B

1

B

2

d.g H c

3

B

d e m Départ de cycle

g.e

e 4

g

g = détection pièce épaisse

f

f = présence de pièce

H a

5 f

Dans la solution câblée, les mémoires peuvent être de nature diverse (air comprimé, électronique, relais à accrochage, etc.) mais seront utilisées comme des mémoires de type RS. Dans le cas où ces mémoires ne comportent pas de commande annexe de prépositionnement , il faudra pouvoir initialiser l'automate à l'aide d'une variable de commande I qui apparaît dans le schéma : m a c d e f g I

Syst. Comb.

S0 = /f.X5 + I S1 = m.a.f.X0 S2 = d.g.X1 S3 = c.X2 S4 = e.(X3 + /g.X1) S5 = a.X4

S0 R0

X0

S1 R1

X1

S2 R2

X2

Syst.

S3 R3

X3

Comb.

S4 R4

X4

S5 R5

X5

H

B

R0 = X1 R1 = X2 + X4 + I R2 = X3 + I R3 = X4 + I R4 = X5 + I R5 = X0 + I

ainsi que les équations des sorties : H = X2 + X4 B = X1 + X3

Exemple 2 : Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

22

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

On considère une machine capable de réaliser le cycle décrit ci-dessous dans lequel la dernière partie ne peut pas être précisée exactement car les deux mouvements B et D sont indépendants et la trajectoire dépend des vitesses et des par-cours ; on peut donc établir le GRAFCET : 0 m.a.f

G

e

D

H

1 e

G

2 m

H

c

e

j B

3

c

c

B

a B

4 a f

j

j

D

6

a

f

5

7

f 1

On peut aussitôt écrire les équations des mémoires associées aux 8 étapes, en tenant compte, là encore de l'initialisation : S0 = X5.X7 + I S1 = m.a.f.X0 S2 = e.X1 S3 = j.X2 S4 = c.X3 S5 = a.X4 S6 = c.X3 S7 = f.X6

R0 = X1 R1 = X2 + I R2 = X3 + I R3 = X4.X6 +I R4 = X5 + I R5 = X0 + I R6 = X7 + I R7 = X0 + I

ainsi que les équations des sorties : H = X1 G = X2 B = X3 + X4 D = X6

Dans le cas de solutions câblées, il est souvent intéressant de réduire le GRAFCET de manière à diminuer le nombre des mémoires de l'automate. Cette réduction doit rester simple de ne pas trop compliquer le combinatoire des sorties. On procède d'abord à une première étape de fusionnement, les étapes 1, 2, 3 d'une part et les étapes 6 et 7 d'autre part :

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23

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________ m.a.f

e

j

c

f

c.j 0

0

m.a.f

m.a.f c1 = j . e

H

1 e 2

G

c2 = j . e

B

c3 = j

1

j.e

j.e

j

H

G

B

j 3 c B

4

c.j D

6

a

f

5

B

4

f D

6

a 5

7 1

f

Puis on pourra fusionner l'étape 6 avec les étapes 4 et 5 et enfin, on pourra fusionner les étapes 4 et 5, d'où les équations : 0 m.a.f

0

j.e 1

j.e

H c.j

G

m.a.f

j

j.e

B 1

f 4

B

a

D 2

a f 5

H c.j B

j.e G

j

S0 = a.f.X2 + I S1 = m.a.f.X0 S2 = c.j.X1

R0 = X1 R1 = X2 + I R2 = X0 + I

B

H = j . e .X1 G = j.e.X1 B = j.X1 + a .X2 D = f .X2

f D

a.f

D f

L'automate est alors une structure de Méaly : H Syst. e j

m

a

c

S0

Syst. f

I

Comb.

G

X0

R0 S1 R1

X1

S2

X2

B Comb. D

R2

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24

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

3.1.3. Utilisation de relais ordinaires : Il est bien entendu possible de réaliser une mémoire à l'aide d'un relais. Soit une mémoire i de fonction d'inscription Si et de fonction d'effacement Ri, on aura Xi = (Si+xi). Ri pour un effacement prioritaire et Xi = Si+ Ri .xi pour une inscription prioritaire. On réalisera alors le schéma représenté à la figure ci-contre dans laquelle on remplacera Si Xi Si et Ri par le réseau à contact correspondant. On Ri peut utiliser cette méthode pour une synthèse à xi l'aide de tout système à réaction directe, quel qu'il soit, ainsi que dans le cas où on utilise un automate programmable avec langage booléen. Bien entendu, les équations des sorties s'expriment toujours de la même manière. Dans l'exemple 1, les relais s'écriront :

X0 = (f .x5 + I + x 0 ).x1

X 3 = (c.x 2 + x 3 ) x 4 .I

X1 = (m.a.f .x 0 + x1 )x 2 . x 4 . I

X 4 = e. x 3 + g.x 1 x 5 .I .x 5 .I

X2 = (d.g.x1 + x 2 )x 3 . I

X 5 = (a.x 4 + x 5 ).x 0 .I

[(

) ]

On note qu'une expression telle que R1 = x 2 .x 4 .I ; c'est ainsi que dans l'exemple 2 avant fusionnement l'expression R 3 figurant dans l'équation du relais X 3 = (S3 + x 3 ).R 3 est telle que l'on aura X 3 = ( j.x 2 + x 3 ).(x 4 + x 6 ).I 3.1.4. Aléas de séquence possibles : - Cas de deux étapes bouclées : Si on écrit les équations des mémoires des étapes 2 et 3 sans précaution, on aura :

1 r1

r3

2

3 r4

r2

4

S3 = r2 .x 2 S2 = r1 .x1 + r3 .x 3 On constate par les deux mémoires, que, lors de l'inscription on a aussi un ordre d'effacement. R 3 = x2 R 2 = x3 + x4 Dans ce cas, il faut modifier les fonctions d’effacement en tenant compte des réceptivités r2 et r3 qui sont exclusives l'une de l'autre : on aura donc R 2 = x 4 + r2 .x 3 et R 3 = r3 .x 2 ; on pourrait d'ailleurs utiliser aussi R 2 = x 4 + r3 .x 3 et R 3 = r2 .x 2 . - Cas d'étapes fugitives : Au moment où l'on franchit la transition t1, si la réceptivité r2 est déjà vraie, il faudra aussitôt franchir aussi t2 si bien que la mémoire de l'étape 2 risque de rester à l'état 1 pendant un temps assez court, insuffisant pour effacer à coup sûr la mémoire de l'étape1.Dans ce cas, on peut n'inscrire la mémoire d'étape 3 qui lorsque 1 est inactive. On aura donc l'équation de la fonction d'inscription de 3 : S3 = r2 .x 2 .x1 .

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Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

3.1.5. Utilisation de séquenceurs industriels :

Plusieurs constructeurs proposent des structures modulaires capables de matérialiser les étapes d'un GRAFCET à l'aide de mémoires RS en respectant les principes que nous venons de voir. Ces réalisations existent en technologies électronique, électrique à relais, pneumatiques, et sont surtout bien adaptés aux GRAFCET comportant des suites d'étapes sans trop de divergences. A cet égard, la décomposition en sous graphe peut être utilisée avec profit en affectant un séquenceur simple par sous graphe d'état. r n-1

Xn

Chaque module assure la (Module n-1) (Module d'étape n) (Module n+1) fonction de mémorisation de l'activité d'une étape et X n-1 Sn Xn ET délivre le signal Xn commandant les actions OU Rn Xn associées à cette étape. Xn X n+1 L'inscription Sn de la I mémoire tient compte de l'activité de l'étape précédente (variable Xn-1) et de la valeur de la réceptivité (variable rn-1) associée à la transiton séparant les étapes n-1 et n. L’effacement Rn de la mémoire se fait par l’activité de l’étape suivante (variable Xn+1 ou par un signal I d'initialisation). On voit donc que la liaison entre étapes successives est particulièrement simple. Par contre, dès qu'il y a des divergences, il faut introduire entre les modules (en les désolidarisant par conséquent) des fonctions logiques conformément aux principes déjà vu. De même, il ne sera pas possible de traiter directement le cas d'une boucle de 2 étapes sans risque d'aléas : là aussi, il faudra séparer les deux modules en introduisant des fonctions logiques. Xn rn Les réalisations (Module d'étape n) (Module n+1) peuvent être légèrement différentes sans X n-1 Sn Xn ET modifier sensiblement les principes énoncés. OU Rn Xn On peut citer à titre Xn d'exemple une autre X n+1 solution ci-contre. I

Dans ce cas on voit que l'inscription se fait par la fonction Sn de sortie du module précédent et la fonction de sortie du module n tient compte de l'activité de l'étape n (variable xn) et de la réceptivité rn associée à la transition séparant les étapes n et n+1. L'effacement se fait de la même manière que dans la solution précédente.

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Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

3.2. Solutions programmées (systèmes sans conflit) : 3.2.1. Principes de réalisation

ACQUISITION ENTREE

CALCULATEUR NUMERIQUE

Mémoires - Images des entrées

AFFECTATION SORTIES

Mémoires - Images des sorties

L'automate est réalisé à l'aide d'un calculateur numérique (système à micro processeur ou automate programmable). le programme automatique du cycle à réaliser est alors enregistré dans la mémoire du calculateur sous forme programmée (au lieu d'être câblée). Dans ce programme, les variables d'entrée et de sortie sont représentées par des identifications dont les valeurs sont mémorisées dans des mémoires images des véritables entrées et sorties en relation avec le calculateur. Les liaisons entre entrées et calculateur (ainsi qu'entre calculateur et sorties) se font à l'aide de circuits spécialisés programmables (PIA ; VIA ; PTM etc.). La programmation de ces circuits permet de réaliser deux opérations fondamentales de liaison calculateur processus : Acquisition des entrées :

Consiste à transférer des les valeurs des Entrées dans les mémoires images des entrées. Affectation des sorties :

consiste à transférer les valeurs contenues dans les mémoires images des sorties vers les sorties. Outre ces répertoires d'acquisition , le calculateur doit effectuer toutes les opérations de traitement ; ce sont en particulier : - calcul des conditions d'évolution - tests de franchissement de transitions - évolution de l'activité du GRAFCET. Ces instructions de traitement n'agissent que sur les zones mémoires images des entrées et des sorties, ainsi que sur la zone mémoire image des variables internes.

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Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

En désignant ar E, S, T les opérations E : acquisition, on pourra représenter symboliquement le déroulement cyclique d'un programme de commande à partir d'un GRAFCET : E

T

S

T

S

E

T

S

T

S

3.2.2. Niveau de synchronisme : 1er niveau :

Tout système programmé fonctionne à partir d'une horloge principale : C'est un système synchrone. Le niveau de synchronisme ne présente pas d'intérêt dans le traitement d'un GRAFCET. En effet, le cycle décrit ci dessus par exemple, est implanté sur une machine synchrone mais il présente des risques d'aléas du fait de l'asynchronisme de l'acquisition des entrées. 2ème niveau :

Synchronisme de l'acquisition des entrées. On a alors deux types de cycles :

E

E

T

T

S

T

S

S

T

S

On constate qu'au cours d'un cycle complet, toutes les entrées sont acquises simultanément en début de cycle. 3e niveau - Synchronisme du traitement :

Il s'agit du synchronisme du calcul des conditions d'évolution afin que l'évolution effectuée ensuite respecte les règles 4 et 5 dans les cas où il y a risque de conflit entre transitions. Pour que ce 3ème niveau de synchronisme soit acquis, il est nécessaire que le 2ème niveau le soit d'abord.

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28

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

3.2.3. Structure des programmes de commande :

Nous supposerons ici que les structures programmables utilisées possèdent une instruction de rupture de séquence conditionnelle avec branchement vers n'importe quel point du programme. Cela exclue donc les automates programmables ne comportant qu'une instruction de saut vers l'avant ou pas d'instruction de saut du tout, pour lesquels existent des méthodes spécifiques. Citons toutefois les automates programmables possédant un langage booléen ou une représentation par réseaux électriques à contacts : dans ce cas, il suffit simplement de programmer les équations des relais obtenues par la méthode de synthèse déjà étudiée pour les systèmes câblées. La structure générale de ces programmes est bien entendu bouclée puisqu'il s'agit de scruter régulièrement toutes les conditions d'évolution du GRAFCET et de recommencer sans arrêt. Le cycle de scrutation est en général assez court (quelques millisecondes à quelques dizaines de millisecondes selon le nombre de variables à traiter). Rappelons qu'on peut s'arrêter au 2ème niveau de synchronisme, le 3ème niveau n'étant pas requis puisque les systèmes à programmer sont sans conflit et qu'il n'y a pas lieu d'appliquer les règles 4 et 5 de complément.

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Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

3.2.4. Cas d'un GRAFCET général avec activités simultanées : Traitement par l'examen des conditions d'évolution :

Prenons l'exemple 2 déjà traité (GRAFCET de la page 19) : Début

INITIALISATION

Test des conditions d'évolution

AFF. SORTIES

évolutions

ACQ. ENTREES

mafX0

X0=0 = 0 H=1 X1=1

eX1

X1=0 H=0 X2=1 G=1

jX2

X2=0 G=0 X3=1 B=1

cX3

X3=0 D=1 X4=1 X6=1

aX4

X4=0 B=0 X5=1

fX6

X6=0 D=0 X7=1

X5X7

X5=0 X0=0 X7=0

H=1

I

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Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

Commentaires explicatifs : Init : Initialisation de la partie commande, c'est à dire, ici X0 = 1 H = B = G = D = 0 X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = X6 = X7 = 0 Aff. Sorties : affectation des sorties. A noter que l'interface de sortie réalise lui même la fonction de maintien de la sortie à la valeur prévue. Si bien que, dans le programme, on trouve des instructions qui assurent le maintien des actions par ordre mémorisé (dans l'interface), même si, dans le GRAFCET, les actions doivent être maintenues par ordre répété. Acq Entrées : acquisition des entrées. On remarque ici que ce mode de programmation réalise le synchronisme de niveau 2. Traitement : les tests sont symbolisés de manière simplifiée :

m.a.f.X0

OUI

m.a.f.X0

NON L'organigramme présenté ne réalise pas le synchronisme de niveau 3 puisque l'évolution du marquage et des actions suit immédiatement la validation d'une condition d'évolution. Traitement par l'examen préalable des étapes actives :

Dans l'organigramme ci-après qui traite le même GRAFCET de la page 19), on voit que la boucle de scrutation est parcourue plus rapidement puisque toutes les entrées ne sont pas examinées ; seules les réceptivités associées à une transition validée sont examinées. Par suite, le temps de cycle est diminué, ce qui est favorable dans le cas d'un grand nombre de variables. Il est possible de diminuer encore le temps de réalisation d'un cycle en décomposant le GRAFCET en sous graphes d'état et en utilisant une mémoire supplémentaire par sous graphe.

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31

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

Début

INITIALISATION

AFF. SORTIES

ACQ. ENTREES

X0 maf

X0=0 = 0 H=1 X1=1

e

X1=0 H=0 X2=1 G=1

j

X2=0 G=0 X3=1 B=1

c

X3=0 D=1 X4=1 X6=1

a

X4=0 B=0 X5=1

f

X6=0 D=0 X7=1

X7

X5=0 X0=0 X7=0

H=1

X1

X2

X3

X4

X6

X5

I

Traitement par l'utilisation des sous graphes d'état :

Si on décompose le GRAFCET de la page 19 en sous graphes d'état, on a par exemple la solution ci dessous : (ce n'est pas la seule)

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32

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

Sous-graphe 1

Sous-graphe 2

0

4

Sous-graphe 3

B

6

D

m.a.f a

f

H

1

5

7

e 2

G (3) c

j 3

B

(5)

(7)

(6)

(4)

=1 (0)

Il est bien entendu indispensable de tenir compte des transitions reliant les sous graphes entre eux. Pour cela, on associe chaque transition de liaison à l'un des sous graphes. Par i les diverses possibilités, citons deux solutions : Solution 2

Solution 1

0

6

D

m.a.f 4

0 m.a.f

f

D

5

7

2

=1

3

j

=1 (0)

B c

B

(6) 4

c (4)

G j

(0)

7

(5)

e

(7)

G

3

H

1

f

e 2

6

a H

1

B

B a

(6) 5

- La solution 1 conserve les 3 sous graphes d'état trouvés au départ. - La solution 2 qui consiste à regrouper deux des sous graphes de départ n'est possible que si ce regroupement constitue lui même un sous graphe d'état (impossible avec les sous graphes 2 et 3).

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33

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

Nous adapterons la solution 1 en associant aux sous graphes 1, 2 et 3, les mémoires Y1, Y2 et Y3. On obtient alors l'organigramme ci dessous : Début

INITIALISATION

AFF. SORTIES

ACQ. ENTREES

Init :

X0 = 1 Y1 = 1

H=B=G=D=0

X 1 = X 2 = X 3 = X 4 =X 5 = X 6 = X 7 = 0 Y1 X0 maf

X0=0 = 0 H=1 X1=1

e

X1=0 H=0 X2=1 G=1

j

X2=0 G=0 X3=1 B=1

c

X3=0 D=1 Y1 =0 Y3 =1 X4=1 X6=1 Y2 =0

a

X4 =0 = 0 B=0 X5 =1

X7

Y2 =0 X5 =0 Y1 =1 X0 =0 Y3 =0 X7 =0

H=1

X1

X2

X3

Y2 X4 H=1

X5

Y3 X6 f

X6 =0 = 0 D=0 X7 =1

H=1

I

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34

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

3.2.5. Cas des actions conditionnelles :

Il faut tout d'abord remarquer que la réduction de GRAFCET par fusionnement d'étapes n'apporte aucun avantage pour la programmation, au contraire. Par suite, il faut réserver ce type simplification aux seuls systèmes câblés lorsqu'on est certain d'obtenir un gain sur le matériel (en n'oubliant pas le temps passé à l'étude de cette réduction). Dans ces conditions, on n'aura que des GRAFCET sans actions conditionnelles (il s'agit alors d'automates de Moore) ou alors quelques rares actions conditionnelles qui auront été installées d'emblée sur le GRAFCET lors de la conception. Puisque nous nous plaçons ici dans le contexte d'un GRAFCET général à activités multiples, on peut simplement le transformer légèrement de manière faire disparaître ces actions conditionnelles et d'appliquer ensuite la méthode générale. En voici un exemple ci-dessous en supposant que le GRAFCET de la page 19 a été utilisé en ajoutant des commandes manuelles par les boutons MH, MB, MG, MD : MH 0

H

MB B

MG G

MD D

maf 1

H e

Le début du GRAFCET ci-dessus avec commandes manuelles est tout à fait équivalent au GRAFCET ci-dessous dans lequel on a simplement adjoint au GRAFCET principal un ensemble de 4 étapes avec transitions sources et transitions puits dont le traitement serait alors facile par la méthode générale décrite précédemment.

X0 M B

X0 M H 0 H

B

X0 + M H

X0 + M B

X0 M G

X0 M D

maf 1

H e

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

G

D

X0 + M G

X0 + M D

35

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

Mais avec cette solution, on remarque que les transitions sources vont rester franchissables durant toute la période d'activité des mémoires, ce qui, dans une solution programmée, nécessitera d'affecter les sorties, après test, en permanence (et interdira donc l'examen des transitions suivantes). On adoptera donc par exemple, la solution ci dessous : (pour une mémoire)

X0 M H

Début

INITIALISATION Init :

X 0 = X 10 = X 20 = 1

H=B=G=D=0

X1= X 2 = X 3 = X 4 = X5 = X 6 = X 7 = X 11 = X 12 = X 21= X 22 = 0

AFF. SORTIES

ACQ. ENTREES

X10 X 0 M H

X10 =0= 0 H=1 X11 =1

X10 X 0 M B

X10 =0 B=1 X12 =1

X20 X 0 M G

X20 =0 G=1 X21 =1

X20 X 0 M D

X20 =0 D=1 X22 =1

X11( M H +X 0 )

X11 =0 H=0 X10 =1

X12( M B +X 0 )

X12 =0 B=0 X10 =1

X21( M G +X 0 )

X21 =0 G=0 X20 =1

X22( M D +X 0 )

X22 =0 D=0 X20 =1

maf X 0

X0 =0 H=1 X1 =1

H=1

0 X0 M H

H 1

X0 + M H

H X0 + M H

On adoptera la solution ci dessous (et ci contre) en verrouillant de plus les mouvements antagonistes : 10 X0 .M B

X0 .M H 0 H

11

B

12

m.a.f 1

X0 + M B

X0 + M H

H e

20 X0 .MD

X0 .MG 21

G X0 + M G

D

22

X0 + M D

e X1

X1 =0 X2 =1

H=0 G=1

On constate que cela ne change pas le nombre de tests dans le programme.

3.2.6. Cas d'un GRAFCET constitué d'un graphe d'état unique :

La caractéristique de ce GRAFCET est de n'avoir qu'une seule étape active à la fois. Par suite, il n'est pas nécessaire d'avoir une mémoire pour chaque étape, il suffit d'identifier la mémoire de l'étape courante à traiter avec celle de la mémoire du compteur de programme à cet instant.

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36

Chapitre 3 ______________________________________________________________________________________

Ce principe interdit de traiter des actions simultanées, par suite, il est nécessaire de prévoir une autre solution pour l'initialisation (cela peut se faire par interruption notamment). Prenons comme exemple le GRAFCET de la page 18. On aura l'organigramme : Début ACQ (m, a, f)

maf

ACQ (d, g, e)

AFF (B)

B=1 AFF (B, H)

B=0 H=1

dg

ge ACQ (c)

c

B=1 H=0 AFF (B, H) ACQ (e)

e

B=0 H=1 AFF (B, H) ACQ (a)

a

H=0

AFF (H) ACQ (f)

f

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37

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

38

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________

4.1. Remarques préliminaires : Toutes les solutions mises en oeuvre pour résoudre un problème avec conflit (règle 4 et 5) sont, bien entendu, possibles pour résoudre un problème sans conflit. Ces solutions, qu'elles soient câblées ou programmées, se font en respectant le synchronisme du traitement (3e niveau de synchronisme). 4.2. Application de la règle 4 seule : 4.2.1. Exemple :

La machine ci-dessous peut usiner des pièces de type 1 ou 2.

Type 1 : Aller-retour de P1 et P2 Type 2 : Aller-retour de P1 seul m : départ de cycle p : présence de pièces a : séléction du type de pièce s : Témoin de blocage pièce

Type 1 R1

b1 c1

A1

Type 2

m

A2 V=0

V=1

R2

s

a p

Le GRAFCET établi ci contre nécessite l'application de la règle 4 à cause du conflit entre les transitions t2 et t7, lorsque l'on a une pièce de type 1. La réceptivité associée à la transition t5 est telle, qu'après franchissement de t5, l'étape 5 est seule active, que toutes les branches étapes des deux branches parallèles sont bien désactivées. Dans le cas général, cette réceptivité est x 2 . x 3 . x 6 . x 7 , mais dans ce cas, on peut simplifier et la remplacer par b1b2.

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

c2 b2

0 m.p.b1.b2

t1 1

V s

t2* 2

c1

t3 3 t4

2

A2 c2

t8

R1 V b1 t9

4 t5

s.a

t7* A1 V

3

R2 b2

V X2.X3 .X6 .X7

5 t6

p b1 b2

39

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________

On voit que l'étape 4, dans le cas de pièce de type 1, sera activée à deux reprises, et que, la 2ème fois, cette activité sera nécessairement fugitive : l'utilisation d'un traitement synchrone élimine tout risque d'aléas. Il faut souligner que ce GRAFCET comporte un parallélisme interprété (avec application de la règle 4) qui peut facilement être évité : on pourra rechercher pour ce problème, à titre d'exercice, plusieurs GRAFCET qui ne nécessitent pas l'application de la règle 4. Solution câblée :

Pour matérialiser chaque étape du GRAFCET, on utilise des mémoires, de type RS ou JK par exemple, synchronisées par un signal d'horloge h. Comme pour toute structure synchrone, il est indispensable de synchroniser toutes les entrées extérieures par des bascules de type D par exemple : L'entrée asynchrone Vb est synchronisé par h Vb

D

h

b Vb b

h

b

En n'utilisant que les conditions d'évolution, on obtient les équations : J0 = X5 J1 = m.p.b1.b2.X0 J2 = s.X1 J3 = c1.X2 J4 = b1.X3 + b2.X7 J5 = b1.b2.X4 J6 = s.a.X1 J7 = c2.X6

K0 = m.p.b1.b2.X0 K1 = s.X1 + s.a.X1 = s.X1 K2 = c1.X2 K3 = b1.X3 K4 = b1.b2.X4 K5 = X5 K6 = c2.X6 K7 = b2.X7

V = X1+X2+X3+X4 A1 = X2 R1 = X3 A2 = X6 R2 = X7

L'initialisation peut se traiter à part avec les entrées annexes généralement présentes sur les circuits utilisés.

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

40

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________

h p

&

X5 m p

p.X5

J0 K0

& &

b1

m.p.b1.b2.X0

X0 J1 K1

b2

X1

X0

s.X1

J2 K2 X2

c1.X2 &

b1.X3

X3

J3 K3

1 b1.X3+b2.X7 &

X3 J4 K4

X7

X4 b1.b2.X4

J5 K5 X5

s.a.X1

J6 K6 X6

c2.X6 b2.X7

J7 K7

Sur ce schéma, on pourra vérifier que, lors du franchissement simultané des transitions t2 et t7, il n'y a aucun risque d'aléas si les contraintes liées à la période d'horloge relativement au temps de résolution des parties combinatoires sont respectées.

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

41

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________

Solution programmée : Début

INITIALISATION

AFF. SORTIES

ACQ. ENTREES

CE1 = m.p.b1.b2.X0 CE2 = s.X1 CE3 = c1.X2 CE4 = b1.X3 Il est nécessaire de figer, dans les mémoires CEi l'état de toutes les conditions d'évolution avant CE5 = b1.b2.X4 l'évolution effective. CE6 = p.X5 CE7 = s.a.X1 CE8 = c2.X6 CE9 = b2.X7

CE1

=0 H=1 X0 = 0 X1 = 1 V = 1

CE2

=0 H=1 X1 = 0 X2 = 1 A1 = 1

CE3

X2 = 0 X3 = 1 A1 = 0 R1 = 1

CE4

X3 = 0 X4 = 1 R1 = 0

CE5

X4 = 0 X5 = 1 V = 0

CE6

X5 = 0 X0 = 1

CE7

X1 = 0 X6 = 1 A2 = 1

CE8

X6 = 0 X7 = 1 A2 = 0 R2 = 1

CE9

X7 = 0 X4 = 1 R2 = 0

=0

H=1

V ne doit pas être affecté

V ne doit pas être affecté

I

De nombreuses variantes par traitement synchrone de cet organigramme peuvent être proposées.

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

42

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________ Début

INITIALISATION

AFF. SORTIES

ACQ. ENTREES

CE1 = m.p.b1.b2.X0 CE7 = s.a.X1

CE2

= 1= 1 X1 = = 0 0X1 = 1H A1

AFF(A1)

CE7

=0 H=1 X1 = 0 X6 = 1 A2 = 1

AFF(A2)

m.p.b1.b2.X0

=0 H=1 X0 = 0 X1 = 1 V = 1

c1.X2

X2 = 0 X3 = 1 A1 = 0 R1 = 1

b1.X3

X3 = 0 X4 = 1 R1 = 0

b1.b2.X4

X4 = 0 X5 = 1 V = 0

p.X5

X5 = 0 X0 = 1

c2.X6

X6 = 0 X7 = 1 A2 = 0 R2 = 1

b2.X7

X7 = 0 X4 = 1 R2 = 0

I

A titre d'exemple, on peut voir ci dessus le cas où le traitement synchrone n'est appliqué qu'aux transitions en conflit. On constate également que le nombre des affectation de sorties est limité au strict nécessaire (contrairement à la solution générale).

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

43

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________

4.3. Application simultanée des règles 4 et 5 : 4.3.1. Exemple :

Nous reprendrons l'exemple de la page 2 dans lequel nous supposerons qu'il n'est pas possible d'installer le capteur c d'avance de chaîne et les capteurs p1, p2, p3 de présence de pièces sur les postes de travail (ambiance agressive par exemple). On aura donc le capteur c et un seul capteur p de présence de pièce en amont des postes de travail. D'où le schéma ci dessous : Aire de travail

c

p

Aire de chargement

Poste de détection

m

Aire d'évacuation

OP1

OP2

OP3

f1

f2

f3

Une décomposition fonctionnelle conduit aux 5 GRAFCET : G0 : GRAFCET dont le marquage est l'usinage des crochets occupés (au poste de détection et dans l'aire de travail). G1 : GRAFCET d'avancement de la chaîne.

G2 ⎫ G3⎬ ce sont les trois GRAFCET décrivant les 3 opérations OP1, OP2, OP3 exécutées G4 ⎭ dans l'aire de travail.

m.c

t1

0

100

c

t2

10

m.c.f1.f2.f3

t6 1

t10

30

20

X 3.X101

t20

X 3.X102

t30

X 3.X103

AV

101

t3

c

t4

c

t7

c

OP1

AV

2

102

OP3

OP2

c

t8 3

103

t5

t9 c

G0

m.f1.f2.f3 + m.X101 .X102 .X103

G1

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

f1

G2

f3

f2

G3

G4

44

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________

Les transitions de ces GRAFCET ont été repérées, ce qui facilite le recrutement des transitions en conflit : - t1, t2, t3, t4, t5 (règle 4 et 5) du fait que le GRAFCET G0 est synchrone avec marqueurs successifs. - t8, t10, t20, t30 (règle 4) du fait de synchronisation indispensable entre les différents GRAFCET. Solution câblée :

La technique d'écriture des équations est la même que pour l'application de la règle 4 seule. Par contre, dans le cas où une mémoire doit être activée et désactivée simultanément, le fonctionnement ne sera pas correct en général. Par conséquent, il sera nécessaire d'utiliser des structures de mémorisation à inscription prioritaire. Sinon, il sera toujours possible de les obtenir à partir d'une mémoire quelconque. Dans notre exemple, cela sera nécessaire uniquement pour les mémoires des étapes 100, 101, 102, et 103. RS à inscription prioritaire à partir d'une RS ou d'une JK : Sp Rp Sp h Rp

Q Q

Q

1

1

2

2

2

1

2

2

µ

δ

ε

ε

On veut obtenir une mémoire (synchronisée par h) à inscription prioritaire d'entrées Sp et Rp dont la table des états est : la mise en oeuvre d'une méthode élémentaire de synthèse séquentielle fournit les résultats suivants : ⎧Sp = 1 ⎫ ⎧ J (ouS ) = 1 ⎫ En effet : ⎨ ⎬⇒⎨ ⎬⇒ ⎩ Rp = 1⎭ ⎩ K (ouR) = 0⎭

Sp

Rp

0

1

0

1

Sp

J

Rp

0

0

1

0

K

Pour les autres combinaisons, on a : Sp = J (ou S) et Rp = K (ou R) Ö J = Sp

K = Rp.Sp

On obtient donc les mémoires prioritaires :

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

45

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________

Sp h

S &

Q

R

Rp

Q

Sp h

J &

Rp

Q

K Q

Solution programmée :

Le traitement synchrone peut être général ou seulement limité aux seules transition en conflit. De plus, pour les quelques variables internes soumises à l'application de la règle 5, il faut effectuer d'abord l'effacement et ensuite l'inscription des mémoires, ce qui réalise ainsi l'inscription prioritaire. La solution donnée à titre d'exemple à la page suivante est à traitement synchrone pour toutes les transitions en conflit avec application de la règle 4 (t1, t2, t3, t4, t5, t8, t10, t20, t30) et, de plus, à inscription prioritaire pour les transitions avec application de la règle 5 (t1, t2, t3, t4, t5). Pour les autres transitions, on peut procéder avec ou sans traitement synchrone.

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

46

Chapitre 4 ____________________________________________________________________________________

Début

INITIALISATION

AFF. SORTIES

ACQ. ENTREES

CE1 = p.c.X2 CE2 = c.X2.X100 CE3 = c.X2.X101 CE4 = c.X2.X102 CE5 = c.X2.X103 CE8 = c.X2 CE10 = X3.X101.X10 CE20 = X3.X102.X20 CE30 = X3.X103.X30 CE9 = b2.X7 Calcul éventuel des autres CEi

CE2

=0 X100 = 0

H=1

CE3

=0 X101 = 0

H=1

CE4

=0 X102 = 0

H=1

CE5

X103 = 0

CE1

X100 = 1

CE2

X101 = 1

CE3

X102 = 1

CE4

X103 = 1

CE8

X2 = 0 AV = 0 X3 = 1

Calcul préalable des conditions d'évolution pour les transitions en conflit

CE10

X10 = 0 X11 = 1 -----------------------------

CE20

X20 = 0 X21 = 1 -----------------------------

CE30

X30 = 0 X31 = 1 ----------------------------Autres transitions : Evolution avec ou sans traitement synchrone.

I

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

47

Présentation générale du cours d’automatique de l’ISTP

Automatique séquentielle Deux parties Automatique continue

Première partie : Automatique séquentielle, le GRAFCET I. Objectifs Acquérir les connaissances nécessaires à l’élaboration d’un GRAFCET conformes aux spécifications du cahier des charges. Être capable de fournir les équations associées au GRAFCET pour une réalisation de l’automatisme séquentiel en logique câblée ou programmée. II. Prérequis Logique combinatoire. Logique séquentielle. III. Programme • Généralités et définitions • Règles d’évolution • Structures de base • Modes de marches et d’arrêts • Mise en oeuvre

Deuxième partie : Automatique continue, systèmes asservis.

I. Objectifs Acquérir les concepts de base relatif aux systèmes bouclés : notion de système dynamique, stabilité et précision. Être capable de réaliser le réglage d’un régulateur PID, sur la base d’un modèle du système connu a priori ou sur la base d’une expérimentation.

II. Prérequis Nombres complexes. Équations différentielles. Lois élémentaires de l’électricité et de la mécanique. Montages de base à amplificateurs opérationnels. Notion de capteur, d’actionneur, d’interface de puissance.

III. Programme • Généralités sur les systèmes • Étude temporelle des systèmes linéaires • Commande en boucle fermée • Synthèse temporelle des correcteurs, régulateur PID

Les Systèmes Automatisés de Production (SAP) Le but d’un système de production est de conférer de la valeur ajoutée à un ensemble de produits et matériaux bruts

Matière première

Opérateurs humains

Système de Production

Produit fini

Énergie

Eau, huile, ...

Déchets

L’automatisation d’un système permet : • • • •

d’accroître la productivité d’améliorer la flexibilité de la production d’augmenter la qualité du produit d’augmenter la sécurité

Un système automatisé de production est composé d’une partie opérative (PO) et d’une partie commande (PC).

Structure générale d’un Systèmes Automatisés de Production

Eau, huile, ...

Énergie

Produit fini Matière première

Partie Opérative Actionneurs

Capteurs

Interface de puissance

Mise en forme

Déchets

Partie Commande Pupitre Dialogue homme/machine

Opérateurs humains

Partie Opérative : processus physique à automatiser Partie Commande : coordonne la succession des actions sur la PO

L’automatisation nécessite un mode de représentation adéquat des systèmes physiques PO et PC.

Représentation des systèmes

On peut distinguer deux niveaux de représentation :

Représentation graphique

Représentation mathématique

Schéma de principe Schéma fonctionnel Dessin industriel Schéma électrique

Équations algébriques Équations différentielles Équations booléennes combinatoires ou séquentielles

Représentation de la partie commande (PC) dans le cadre des systèmes à événements discrets

La représentation mathématique est peu pratique à utiliser en tant qu’outil de représentation et de synthèse. La représentation graphique est plus facile à utiliser

Principales représentation graphiques :

• Schéma à contacts ou diagrammes en échelle (Ladder) • Logigramme • Chronogramme • Organigramme • GRAFCET (GRAphe Fonctionnel de Commande Etape-Transition) objet de la première partie du cours

Définition du modèle graphique GRAFCET Etapes

Actions 10

Action 1

Transitions a.b 11

Réceptivité Action 2

Le GRAFCET est défini par : • Un ensemble d’éléments graphiques de base : - les étapes - les transitions. - les liaisons orientées reliant les étapes aux transitions et les transitions aux étapes. • Une interprétation traduisant le comportement de la partie commande vis-avis de ses entrées et de ses sorties, caractérisés par : - les actions associées aux étapes - les réceptivités associées aux transitions • Des règles d’évolution définissant le comportement dynamique de la partie commande.

Les étapes Une étape correspond à un comportement invariant d’une partie ou de la totalité du système.

A chaque étape est associée une ou plusieurs actions. Une étape est soit active soit inactive. Si elle est active, l’action associée est exécutée.

A chaque étape, repérée numériquement correspond une variable d’état booléenne notée Xi.

Étape active

Étape inactive

10

10

L‘action 1 s’exécute X10=1

Action 1

L‘action associée ne s’exécute pas X10=0

Action 1

Les étapes initiales sont les étapes activent à l’instant initiales

Une étape initiale

10

Les transitions Une transition indique la possibilité d’évolution entre étapes Une transition est dite validé lorsque toutes les étapes immédiatement précédentes reliées à cette transition sont actives.

10

Action 1 a.b

Transition validée

Réceptivité associée à la transition Action 2

11

Les réceptivités A chaque transition est associée une proposition logique appelée réceptivité qui exprime la condition nécessaire pour passer d’une étape à une autre. La réceptivité peut être calculée à partir : - des variables d’entrées - du temps - des variables internes (les Xi)

Les liaisons Les liaisons orientées relient les étapes aux transitions et les transitions aux étapes, elles indiquent les voies d’évolution du GRAFCET.

Règles fondamentales d'évolution Règle de base, l'alternance étape - transition - Deux étapes doivent toujours être séparées par une transition. - Deux transitions doivent toujours être séparées par une étape.

Règle 1, situation initiale "L'initialisation" précise la ou les étapes qui seront actives au début du fonctionnement (soit à la mise sous énergie soit par action sur un bouton I = Initialisation).

Règle 2, conditions de franchissement d'une transition Une transition est validée si toutes les étapes d'entrée de la transition sont actives Une transition est franchissable si elle est validée et si l'événement associé à la transition est vrai En appelant Xi la variable logique attachée à l'activité de l'étape i, on pourra écrire la condition logique de franchissement de la transition dans l'exemple ci dessous : X5.X6.X7.E. 5

6

7

5

6

E = 0 ou 1

8

9

transition non validée

7

5

6

E=0

8

9

7

5

6

E=1

8

9

7

E = 0 ou 1

8

9

transition validée transition franchissable transition franchie

Règle 3, évolution des étapes actives Le franchissement d'une transition entraîne simultanément l'activation de toutes les étapes de sortie de la transition et la désactivation de toutes les étapes d'entrée de la transition Bien entendu, les actions associées à ces étapes doivent suivre simultanément l'évolution ainsi définie Règle 4, évolutions simultanées Plusieurs transitions simultanément franchissables doivent être simultanément franchies. Branches à évolution parallèle 3

Forme interprétée

15 a

3 a.X15

* 4

4

15 a.X3

* 16

16

Pas de difficulté, fonctionne en mode synchrone et asynchrone Parallélisme interprété 10 r1

*

r2

* 12

11

b

a

46

Nécessite un traitement synchrone

47 c

Si r1 et r2 sont vrais simultanément, les étapes 11 et 12 deviennent actives et l’étape 10 inactive.

d

48 X 11 ⋅ X 12 ⋅ K ⋅ X 46 ⋅ X 47

Règle 5, activation et désactivation simultanées Si une étape est en même temps désactivée et activée elle reste active.

Types d’actions associées aux étapes Actions inconditionnelles Xn t n

A = Xn

Action A

A t

Actions conditionnelles Xn t

c n

Action A

A = Xn ⋅c

c t A t

Actions retardées Xn t n

Action A t / Xn / d

A = X n (t / X n / d )

t / Xn / d d

d

A t

Actions limitées dans le temps Xn t Action A t / Xn / d

n

(

A = Xn t / Xn / d

)

t / Xn / d d

d

A t

Action représentée par une sous-séquence

10 a X3+X5 3

S10 A11

11

X13

c 4

A4 A12

12 b d

S10

5

13 X13

X3 ⋅ X5

Types de réceptivités associées aux transitions Booléennes Cas particulier réceptivité toujours vraie 3 15

5

(a + b )⋅ c

=1 4

5

Comparaison logique, numérique ou analogique 5 5 a = b⋅c

g > 50mm

d=142

Temporisation X1 5

t t / X1 / d

t / X1 / d d

t

Variables d’état (variables internes du GRAFCET) Permet la synchronisation de plusieurs GRAFCET

A3

3 c

X4 A4

4 d

A50

50

A51

51 e

Changement de niveau logique pour le passage de l’état 0 à l’état 1 (front montant) On utilise les symboles : pour le passage de l’état 1 à l’état 0 (front descendant)

Unité de perçage

La pièce est mise manuellement sur l'étau. L'ordre de démarrage est donné par le bouton départ cycle. . serrage de la pièce, mise en route perceuse, . avance perceuse, . fin perçage - remontée perceuse, . desserrage de la pièce - arrêt moteur, . évacuation de la pièce, . retour position départ. serrage de l’étau desserrage de l'étau sortie du poussoir rentrée du poussoir descente unité perçage montée unité perçage moteur perceuse

: A+ : A: C+ : C: B+ : B:M

étau serré étau desserré poussoir sorti poussoir rentré unité descendue unité rentrée: b0 départ cycle

: a1 : a0 : c1 : c0 : b1 : dcy

Structures de base

Séquence unique

Aiguillages Divergence en « OU » et convergence en « OU »

Ces particuliers d’aiguillage : saut d’étape et reprise de séquence

Parallèlisme Divergence en « ET » et convergence en « ET »

Exemple de séquences simultanées

Partage de ressources

Partage de ressources : exemple Soient deux machines M1 et M2 pouvant alimenter à tour de rôle un poste de travail commun et y déclencher un travail P (chacune y effectuera elle même un travail). a1, a2, c1, c2 sont les fins de course. b1 et b2 délimitent la zone commune. Préparation

AR1

AV1

AR2

Poste travail P

m1

M1

AV2

m2

M2

a1

c1

c2

b1

a2 b2

m1.a1

m2.a2

AV1

AV2

b1

b2

b1 AV1 c1

Conflit

f1

AR1 a1

Travail M2

Travail P f

1 AR1

b2.b1 AV2 c2

Priorités

Travail M1

Préparation

f2

1 AR2

AR2 a2

Macro-Etapes Une macro étape permet de structurer un GRAFCET complexe en plusieurs GRAFCET partiels ME d’éntrée 100

Expansion de la ME 11 150

10

ME de sortie 11

200

Expansion de la ME 13

13

12

240 14

300

Expansion de la ME 12 370

Permet une représentation plus concise d’un GRAFCET initialement très étendu et complexe à lire. L’activation d’une macro-étape entraîne l’activation de la ME d’ entrée de son expansion Une ME est dite active si au moins une des étapes de l’expansion est active La transition, avale de d’un ME est validée si l’étape de sortie de l’expansion est active

Modes de marches et d’arrêts. Autour du GRAFCET décrivant le cycle de fonctionnement normal, vient se greffer des commandes à la disposition des utilisateurs de l’automatisme, ce sont les modes de marches et d’arrêts.

Marche Automatique. Le cycle de fonctionnement se déroule indéfiniment tant que l’opérateur l’autorise.

Marche cycle/cycle. Le cycle de fonctionnement se déroule unitairement chaque fois que l’opérateur le demande.

Marche manuelle. Les actions sont activées manuellement à la demande de l’opérateur

Arrêt d’urgence. Toutes les actions sont inhibées

Modes de fonctionnement

Marches automatique et manuelle

La plupart du temps, les actions manuelles se commandent par un poussoir tel que MA, MB, MC pour les actions A, B, C. Un inverseur à deux positions (Auto et Manu) peut alors être utilisé ou encore deux commandes (qu'il faudra dans ce cas verrouiller l'une par rapport à l'autre).

Manu

Auto

MA A

MB B

MC C

Cycle automatique

Arrêt d’urgence :

- sans séquence d'urgence : a.Au

Une technique consiste à inhiber les actions, ce qui entraîne l'arrêt de l'évolution en général. Une autre technique consiste à figer l'automate en annulant les réceptivités (il ne faut pas l'utiliser seule).

- avec séquence d'urgence : Si Au = 1, toutes les étapes sont désactivées et conduisent à la séquence d'urgence qui ramène ensuite à l'état initial. On peut aussi utiliser un symbole de

A1 b.Au

Au

A2 c.Au

Au

Séquence d'urgence

Au

a.Au Au b.Au Au c.Au

regroupement :

Au

Identique

Équations associées à un GRAFCET Équation mémoire R-S associée à l’étape n n-1

An-1

..................

rn n

An

Équation du relais associée à l’étape n

rn+1 n+1

...................

An+1

A chaque étape N° i du GRAFCET est associée une mémoire binaire notée Xi telle que : Xi = 1si l’étape N° i est active Xi = 0si l’étape N° i est inactive

Equation d’une mémoire RS Entrée de mise à 1

Si

Entrée de mise à 0

Ri

Xi

Perceuse H

pièces épaisses

a

pièces minces

c

B

d e m Départ de cycle

g

g = détection pièce épaisse

f

f = présence de pièce

Dans la solution câblée, les mémoires peuvent être de nature diverse (air comprimé, électronique, relais à accrochage, etc.) mais seront utilisées comme des mémoires de type RS. Dans le cas où ces mémoires ne comportent pas de commande annexe de prépositionnement , il faudra pouvoir initialiser l'automate à l'aide d'une variable de commande I qui apparaît dans le schéma : m a c d e f g I

S0 = /f.X5 + I S1 = m.a.f.X0 S2 = d.g.X1 S3 = c.X2 S4 = e.(X3 + /g.X1) S5 = a.X4

Syst. Comb.

S0 R0

X0

S1 R1

X1

S2 R2

X2

Syst.

S3 R3

X3

Comb.

S4 R4

X4

S5 R5

X5

R0 = X1 R1 = X2 + X4 + I R2 = X3 + I R3 = X4 + I R4 = X5 + I R5 = X0 + I

H

B

Equations des sorties : H = X2 + X4 B = X1 + X3

Machine usinage On considère une machine capable de réaliser le cycle décrit ci-dessous dans lequel la dernière partie ne peut pas être précisée exactement car les deux mouvements B et D sont indépendants et la trajectoire dépend des vitesses et des par-cours ; on peut donc établir le GRAFCET :

G G

e

D

B m

H

c

e

H

c

B

B-D

a

a j

j

f

S0 = X5.X7 + I R0 = X1 S1 = m.a.f.X0 R1 = X2 + I S2 = e.X1 R2 = X3 + I S3 = j.X2 R3 = X4.X6 +I S4 = c.X3 R4 = X5 + I S5 = a.X4 R5 = X0 + I S6 = c.X3 R6 = X7 + I S7 = f.X6 R7 = X0 + I

f

ainsi que les équations des sorties : H = X1 G = X2 B = X3 + X4 D = X6

0 m.a.f H

1 e

G

2 j

B

3 c B

4

D

6

a

f

5

7 1

Départ

Aléas de séquence

1 r1

r3

2

3 r4

4

r2

Tank filling problem

RD

g

m

a

Commande d’une came Une came (cf. figure 1) est entraînée par un moteur. Celle-ci, lors d’un appui fugitif sur le bouton-poussoir RG m, doit effectuer une rotation gauche (RG) jusqu’au fin de course g, puis une rotation droite (RD) jusqu’au fin de course d. Ce cycle de rotations à gauche puis à d droite, se poursuit indéfiniment jusqu’à ce que l’arrêt soit demandé par un appui fugitif sur le bouton poussoir a. Lors d’une demande d’arrêt, le cycle en cours se termine pour rejoindre la situation initiale représentée sur la figure 1.

Remplissage de bidons

m-a fa bpr bpb fr fb I

Variables d’entrée commutateur à deux position fin d’avance bidon présent au remplissage bidon présent au bouchage fin du remplissage fin du bouchage Initialisation du grafcet

AP R B

Actions avance d’un pas remplissage bouchage

Dispositif de Transport de Pièces On présente à la figure 1, en vue de dessus, le schéma de principe d’un dispositif de transport de pièces. Cette installation comprend deux tapis T1 et T2 d’alimentation en pièces, un poste de transfert constitué d’une pince, permettant de transporter les pièces sur le tapis d’évacuation T. Ce système permet de rassembler par couple deux types de pièces P1 et P2 qui arrivent de façon aléatoire sur les tapis T1 et T2. Si m=1 le cycle démarre. Si m=0 le dispositif s'arrête à la fin du cycle commencé.

p1 R1

Tapis T1

Transport des pièces : T1=1 → mise en route du tapis T1 T1=0 → arrêt du tapis T1

a1 P

a Tapis T2

T2=1 → mise en route du tapis T2 T2=0 → arrêt du tapis T2

Tapis T

Évacuation des pièces par couple (P1,P2) : T=1 → mise en route du tapis T T=0 → arrêt du tapis T

a2

R2

Pince

P2

Figure 1. - Schéma de principe du dispositif de transport de pièces.

Poste de transfert : Rotation sens trigonométrique : R1=1 et R2=0 Rotation sens horaire : R2=1 et R1=0 Arrêt : R1=0 et R2=0

Les capteurs p1 et p2 contrôlent la présence de pièces en fin de tapis T1 et T2. Lorsque P=0 la pince s'ouvre et rentre. Lorsque P=1 la pince sort et se ferme. Deux capteurs po et pf, non représentés sur la figure, contrôlent les états de la pince (ouverte ou fermée). Début

Non

m=1 Oui

Mise en route des tapis T1, T2 et T (T1 = 1, T2 = 1, T = 0)

p1 = 1

Non

Oui

p2 = 1

Non

Oui

m1 = 1

Oui

Non Arrêt tapis T1 (T1 = 0) Arrêt tapis T (T = 0) Amener la pièce P1 sur le Tapis T

Non

p2 = 1 Oui

Arrêt tapis T2 (T2 = 0) Amener la pièce P2 sur le Tapis T

Oui

m=1 Non

Fin

Arrêt tapis T2 (T2 = 0) Arrêt tapis T (T = 0) Amener la pièce P2 sur le Tapis T

Non

p1 = 1 Oui

Arrêt tapis T1 (T1 = 0) Amener la pièce P1 sur le Tapis T

Arrêt des tapis T1, T2 et T (T1 = 0, T2 = 0, T = 0)

_________________________________________________________________________

Sommaire Chapitre 1 Critères de qualité d'un système de commande 1.1. Représentation .................................................................................................. 2 1.2. Commande en boucle ouverte.......................................................................... 4 1.3. Commande en boucle fermée........................................................................... 5

Chapitre 2 Structure des chaînes d'asservissement 2.1. Principes généraux de commande................................................................... 11 2.2. Relations fondamentales dans un asservissement.......................................... 13 2.3. Classification sommaire selon le régime définitif (précision) ....................... 15

Chapitre 3 Asservissement des systèmes sans intégration 3.1. Exemples de systèmes ....................................................................................... 18 3.2. Asservissement à action proportionnelle ........................................................ 19 3.3. Asservissement à action intégrale ................................................................... 24 3.4. Asservissement avec action proportionnelle + intégrale ............................... 25

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_________________________________________________________________________

Chapitre 4 Asservissement des systèmes avec intégration en fin de chaîne directe 4.1. Structure de la chaîne avec action proportionnelle P ................................... 30 4.2. Structure avec correction par retour tachymétrique .................................... 33 4.3. Structure avec action proportionnelle + dérivée ........................................... 35 4.4. Structure avec intégration seule ...................................................................... 36 4.5. Structure avec action proportionnelle + intégrale......................................... 37 4.6. Structure avec action intégrale et retour d'état ............................................. 38

Chapitre 5 Synthèse temporelle des systèmes d'ordre supérieur à 2 5.1. Placement de pôles............................................................................................ 40 5.2. Critère de Naslin ............................................................................................... 41 5.3. Application du critère de Naslin sur l'exemple 4.6 ....................................... 44 5.4. Application du critère de Naslin sur l'exemple 4.5........................................ 44

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Chapitre 1 _______________________________________________________________________________________

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1

Chapitre 1 _______________________________________________________________________________________

1.1 Représentations → Exemple de système de commande : moteur à c.c commandé par l'inducteur f

Ωs

Nous avons les caractéristiques suivantes : J = moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation

Cm

Cr = couple résistant dû à la charge Cm = couple moteur d'origine électromagnétique Ω s = vitesse de rotation du moteur

Cr

Remarque : frottement visqueux (modèle) Cf

frottement réel frottement visqueux

loi de Coulomb Ωs

→ Mise en équation : La loi fondamentale de la dynamique permet d'écrire : dΩ J. s = Cm - Cr - f . Ω s (1) dt Pour simplifier, supposons que l'amplificateur de puissance délivre un courant I fonction d'une tension de commande U, est caractérisé par la constante Ke d'où : I = ke U (2) Le moteur est commandé par un courant ; le couple moteur est proportionnel à l'intensité de commande : Cm = kc I (3) En remplaçant (3) et (2) dans (1) nous obtenons l'équation différentielle : dΩ J. s + f . Ω s = ke.kc.U - Cr (4) dt Remarque : nous obtenons une équation différentielle linéaire à coefficient constant d'ordre 1 de la forme : dΩ τ. s + Ω s = 2nd membre dt

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2

Chapitre 1 _______________________________________________________________________________________

→ Equation différentielle signification : Le premier membre de cette équation différentielle caractérise la sortie ou la réponse du système. Le second membre caractérise les entrées ou exitations du système d'où la représentation suivante : Cr Ωs Entrées ou U Système Sortie ou réponse exitations étudié

Remarque : l'équation différentielle traduit le lien de cause à effet entre les variables d'entrée et de sortie. → Opérateur de Laplace : Utilisons l'opérateur p de Laplace pour remplacer la notation

d dans l'équation dt

différentielle. Nous verrons plus loin la signification exacte de cet opérateur p ; disons pour l'instant qu'il joue le même rôle que l'opérateur jω utilisé en électricité pour le régime alternatif sinusoïdal. Dans notre cas, p = α + jω nombre complexe qui permet de décrire correctement un régime quelconque. En utilisant cette notation l'équation différentielle (4) devient : J.p.Ωs + f.Ωs = ke.kc.U - Cr (J.p + f).Ωs = ke.kc.U - Cr (5) → Diagramme fonctionnel : (schéma fonctionnel) Nous avons montré que l'équation différentielle traduit le lien de cause à effet des variables d'entrée et de sortie. Ceci peut être représenté sous forme de diagramme fonctionnel Cr

U

ke

I

kc

Cm

1 J.p + f

Ωs

Dans le schéma fonctionnel ci dessus : - U est la grandeur de commande - Cr est la grandeur de perturbation qui provoque une erreur sur la valeur de sortie Ωs sans que l'entrée de commande soit modifiée. → Représentation normalisée d'un sytème d'ordre 1 : Cr U avec

τm = J / f

ke

I

kc

Cm

km 1+ τ m.p

Ωs

constante de temps du moteur

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3

Chapitre 1 _______________________________________________________________________________________

km = 1 / f gain statique du moteur pour la partie mécanique Le gain statique km établit la correspondance en régime permament entre le couple Cm - Cr et Ωs. 1.2 Commande en boucle ouverte.

a) Régime permanent : Le moteur est stabilisé en vitesse ⇔ d / dt = 0 ou p = 0 d'où l'on a : f.Ωs = ke.kc.U - Cr 1 ke.kc Cr = - f.Ωs + ke.kc.U ⇔ Ωs = - Cr + U f f Cr = f(Ω) est la caractéristique statique du moteur pour une tension d'alimentation fixée. U1 U2 U3 pente = Cr =-f Ωs

Cr

Cr Ωs

L'inverse de la pente est représentative de la sensibilité du système de commande à la perturbation. (Notre cas : sensibilité du moteur à la charge) On a donc intérêt à ce que la pente soit la plus grande possible pour que ∆Cr n'influe pas trop sur Ωs.

Ωs b) Régime transitoire Solution générale de l'équation différentielle avec, au second membre - t/ τ U(t) = U0. (t) ⇒ s(t) = Ω( ∞ )(1- e m ) . (t)

Ωs τm Ω(

)

t τm

Valeurs particulières : Ωs( τ m ) = 0, 63. Ω ( ∞ ) Ωs(3. τ m ) = 0, 95. Ω ( ∞ ) Ωs(5. τ m ) = 0, 99. Ω( ∞ ) Nous définissons le temps de réponse à 5 % et à 1 %. Tr à 5 % pour t = 3 τm Tr à 1 % pour t = 5 τm

2 τm 3 τm 4 τm 5 τm

c) Application numérique :

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4

Chapitre 1 _______________________________________________________________________________________

J = 0,1 m N/rd/s² f = 0,1 m N/rd/s kc = 2 m N/A ke = 1 A/V

d'où τm = J / f = 1 sec ⇒ Tr à 5 % = 3 sec

Caractéristique statique : Cr = 0 m N et U = 10 V Cr = 10 m N et U = 10 V

⇒ ⇒

Ωs = 200 rd/s Ωs = 100 rd/s

Diagramme fonctionnel : Cr U

1

I

Cm

2

Ωs

10 1+p

1.3 Commande en boucle fermée.

a) Description : asservissement de vitesse Adaptation de Ω e et Ω s

Cr Ωe

Vε

Ve

U(t)

K

kv

Moteur

Ωs

Vs Capteur kv Mesure Vε signal d'erreur ou d'écart K régulateur à action proportionnelle U(t) = K Vε (t) kv gain réel du capteur (génératrice tachymétrique) Reprenons le moteur étudié précédemment avec kv = 0,025 V/rd/s Cr Ωe

0,025

Vε

K

U

1

I

2

Cm

10 1+p

Ωs

0,025 K est le gain de l'ampli paramètre de réglage Quelle valeur adopter ? b) Mise en équation :

10 = Ωs 1+ p 0,5.K.Ωe - 0,5.K.Ωs - 10.Cr = Ωs.(1 + p) ⇒ Ωs.(1 + p + 0,5.K) = 0,5.K.Ωe - 10.Cr

[(Ωe.0,025 - 0,025.Ωs) K . 2 - Cr]

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5

Chapitre 1 _______________________________________________________________________________________

On remplace p par d / dt dΩ s + (1 + 0, 5. K). Ωs = 0,5.K. Ωe -10.Cr ⇒ dt 1 dΩs 0,5.K 10 + Ωs = Ωe Cr (1 + 0, 5. K) dt (1 + 0, 5. K) (1 + 0, 5. K) Nous obtenons une équation différentielle linéaire à coefficient constant du 1er ordre de la forme : dΩ s 1 + Ωs = 2ème membre avec les entrées Ωe et Cr avec τ = τ dt 1+ 0,5.K c) régime permanent ⇒ p = 0 ou d... / dt = 0 Ωs =

0,5.K 10 Ωe Cr (1 + 0, 5. K) (1 + 0, 5. K)

Equation de la caractéristique statique : Ω e 1 Ωe 2 Ω e 3 Cr Cr = - 0,1.(1 + 0,5.K).Ωs+ 0,05.K.Ωe Cr

pente = - 0,1.(1 + 0,5.K) meilleur statisme On a intérêt à augmenter k.

Ωs Ωs d) régime transitoire :

Tr = 3.τ =

3 1 + 0,5.K

Tr ↓ si K ↑

Ωs

échelon de perturbation Cr = Cr (t)

τ Cr = 0

0,5.K Ω e 1+0,5.K

Cr # 0 10 Cr 1+0,5.K τ

t 2τ 3τ 4τ 5τ τ échelon de consigneΩ c = Ω e

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(t)

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Chapitre 1 _______________________________________________________________________________________

e) Synthèse de l'asservissement : La précision dans le régime permanent permet de trouver K. Dans le transitoire Tr souhaité détermine K ⇒ compromis entre les deux pour ajuster K au cahier des charges. Exemple de cahier des charges : Rappel commande en boucle ouverte (B.O.) : - U = 10 V Cr = 0 ⇒ Ωs = 200 rd/sec Cr Cr = 10 m N ⇒ Ωs = 100 rd/sec U Ωs - Tr = 3 sec ; τm = 1 sec B.O. Commande en boucle fermée : -pour Ωe(t) = Ωc Cr Ωe

Ωs B.F.

→ Régime permanent

Cr = 0 m N → Cr = 10 m N →

Ωs = 200 rd/sec Ωs = 190 rd/sec

-Tr = 1 sec

∆Cr = - 0.1 (1 + 0.5 k) ∆Ωs

cahier des charges : ∆Cr = 10 ⇒ ∆Ωs = - 10 10 = −0, 1.(1 + 0, 5. K) ⇒ 1 + 0, 5. K = 10 ⇒ K = 18 -10 → Vérifions le temps de réponse en B.F. : 1 1 τ= = = 0, 1 sec ⇒ Tr = 0,3 sec correct 1 + 0,5.K 10 ∆Ωs = (1 + 0,5.18).10 = 100 rd Accélération A maxi = sec 2 τ → Quelle est la valeur de Ωc ? Dans l'équation en régime permanent faisons Cr = 0 et Ωs= 200 0,5.K ⇒ 200 = Ωc 1 + 0,5.K 1 + 0,5.K 10 ⇒ Ωc = 200 = ( 200 ) 0,5.K 9 Ωs = 222,22 rd sec erreur de statisme due à la consigne Attention : la valeur du paramètre K ayant été déterminée pour satisfaire le cahier des charges, nous ne pouvons pas l'augmenter (en espérant de meilleures performances) sans risquer certains inconvénients exposés ci-après. f) Voyons les facteurs influants la qualité de l’asservissement : Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

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Chapitre 1 _______________________________________________________________________________________

→ La précision souhaitée : Respect du cahier des charges par l’examen du régime permanent Par ex : choix d’une valeur limite de ∆ Cr / ∆Ω ⇒ la valeur de K (pente de la caractéristique) → Possibilités matérielles : Le temps de réponse souhaitée impose une accélération maximale à respecter sur le moteur. Pour une variation ∆Ω ∆Ω Ωc A maxi = = (1 + 0,5.K). ∆Ω ∆Ω τ Choix du moteur piloté par l’ampli de gain K τ Augmenter K ⇒ A maxi ↑ ⇒ moteur plus couteux t

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Chapitre 1 _______________________________________________________________________________________

Remarque : pour des amplitudes de variation plus grandes que celles définies on aura un système non linéaire. Ω Ω2 Domaine linéaire ∆Ω important Domaine non linéaire : saturation Ω1 t

→ Limitation par le bruit de fond :

Bruit - Si K moyen ⇒ rapport signal / bruit correct On peut apprécier l’erreur ε

-KSi k important ⇒ ε ↓ (la précision augmente) ⇒ le signal disparait dans le bruit (l'information utile est détruite)

ε Bruit

t

ε t

→ Limitation par le modèle mathématique : Dans la mise en équation, nous avons négligé la constante de temps électrique car l’évolution du système est supposée lente. Si k ↑ ⇒ Tr ↓ ⇒ cette constante de temps n’est plus négligeable donc il faut revoir le modèle.

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9

Chapitre 2 ________________________________________________________________________________

2.1 Principes généraux de commande : Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

10

Chapitre 2 ________________________________________________________________________________

Perturbation

Capteur Consigne

ε

Elaboration de la loi de cde

U

Système à asservir Etats du système

Sortie

Capteurs Capteur Pour un système à 1 entrée de commande et 1 sortie on utilise toujours le signal d’erreur ε, écart entre la consigne et la sortie, pour élaborer la loi de commande U(t). U(t) dépend toujours de ε(t) mais aussi parfois de : - l’état du système (états internes) - de certaines perturbations essentielles. Dans l’élaboration de la loi de commande, nous trouverons des correcteurs pour adapter U(t) au cahier des charges de l’asservissement. 2.1.1 Correcteurs en cascade : Ils s’insèrent dans la chaîne d’asservissement entre ε(t) et U(t) Trois principaux types : a) Action proportionnelle (P) : U(t) = K.ε(t) → U(p) = K.ε(p)

b) Action intégrale (I) : 1 t U(t) = ∫ ε (τ )dτ → Ti 0

U(p) =

ε

1 ε(p) Ti.p

K

ε

1 Ti.p

U

U

Avantage : annule l’erreur de certains systèmes. Inconvénient : affecte la rapidité (Tr ↑) donc la stabilité (risque d’oscillations)

Remarque : comparaison entre P et I. Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

11

Chapitre 2 ________________________________________________________________________________

Si le système est stable ⇒ U(∞) est finie (régime permanent atteint)

ε

K

fini # 0

U

ε

fini t

ε ε

1 Ti.p 0

U

ε

fini t

c) Action dérivée : dε ( t) U(t) = Td → U(p) = Td.p.ε(p) dt

ε

Td.p

U

ε(t) Avantages : rapidité et amortissement bien meilleurs Inconvénient : un seul de taille, il rend le système très vulnérable aux parasites ⇒ filtrage du signal avant dérivation. D’autre part, cette action n’est jamais utilisée seule.

t

ε(t) t

d) Principales associations d’actions utilisées : - Action P seule :

U(t) = K.ε(t)

1 1 t ).ε(p) ε (τ )dτ → U(p) = (K + ∫ Ti.p Ti 0 dε ( t) → U(p) = (K + Td.p).ε(p) - Action (P + D) : U(t) = K.ε(t) + Td dt 1 + Td K .p Td avec ≈ 10. τ avec filtre on aura K 1 + τp K on l’appelle alors : correcteur à avance de phase. Noter qu’il existe un correcteur à retard de phase dont l’action ressemble à un P+I (sans la même précision) - Action (P+I) :

U(t) = K.ε(t) +

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Chapitre 2 ________________________________________________________________________________

- Action (P+I+D) ou (PID) : dε ( t) 1 t 1 U(t) = K.ε(t) + ε (τ )dτ + Td → U(p) = (K + + Td.p).ε(p) ∫ 0 dt Ti.p Ti c’est le correcteur le plus répandu dans le milieu industriel. 2.1.2 Correcteurs en réaction : Perturbation Régulateur en cascade (souvent action I)

Détail du processus X3

X2

X1

-K3 -K2 Corrections par retour d'état

-K1

X1, X2, X3 variables d'état du processus 2.1.3 Régulateur de tendance : (le gain du régulateur de tendance n'affecte pas la stabilité de la boucle) Perturbation Régulateur de tendance Régulateur en cascade

Processus

2.2 Relations fondamentales dans un asservissement :

Soit un schéma fonctionnel quelconque : Z X

ε (p)

µ2(p)

µ1(p)

Y

β (p) Le système peut être représenté de la forme : Y Y X H(p) ε ε Z

X =

H(p) Z

Système linéaire

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Chapitre 2 ________________________________________________________________________________

Où H(p) est la matrice de transfert du système ; les termes de la matrice correspondent à une fonction de transfert élémentaire.

→ Mise en équation : x - β.y = ε (µ1.ε - z).µ2 = y → Relations fondamentales : - Sortie / consigne : (y / x pour z = 0) x - β.y = ε µ1.µ2.ε = y ⇒ µ1.µ2 .(x - β.y) = y ⇒ µ1.µ2.x = (1+ µ1.µ2.β).y

µ1 .µ 2 Y = X 1 + µ 1 . µ 2 .β 1+ µ1.µ2.β = polynôme caractéristique du sytème asservi T0(p) = µ1.µ2.β = fonction de transfert en boucle ouverte (F.T.B.O.) ⇒

- Sortie / perturbation : (y / z pour x = 0) - β.y = ε (µ1.ε - z).µ2 = Y ⇒ - µ1.µ2.β.y - µ2.z = Y −µ2 Y = Z 1 + µ 1 . µ 2 .β

⇒

- Erreur / consigne : (ε / X pour z = 0) x - β.y = ε µ1.µ2.ε = y ⇒ X - µ1.µ2.β.ε = ε ⇒ X = (1 + µ1.µ2.β).ε

ε

⇒

X

=

1 1 + µ 1 . µ 2 .β

- Erreur / perturbation : (ε / Z pour x = 0) x - β.y = ε (µ1.ε - z).µ2 = y ⇒ (µ1.ε - z).µ2 = - ε / β ⇒ µ2.β.Z = (1 + µ1.µ2.β).ε

⇒

ε Z

=

µ 2 .β 1 + µ 1 . µ 2 .β

d’où l’expression du système : ⎡ µ1 .µ 2 ⎡Y ⎤ 1 ⎢ ε ⎥ = 1 + µ .µ .β ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎣ 1 2

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− µ 2 ⎤⎡ X ⎤ µ 2 .β ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦

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Chapitre 2 ________________________________________________________________________________

2.3 Classification sommaire selon le régime définitif (précision) :

2.3.1 Types d’erreurs rencontrées sans les systèmes asservis : a) erreur statique due à la consigne :

ε 0X (

Y Réponse du système à une consigne en échelon X(t) = X0. (t). Cette erreur équivaut au statisme du système. ε (∞) Erreur relative : 0X X0

)

X0

t

b) erreur de traînage ou de poursuite Y Réponse du système à une consigne de vitesse (rampe) : X(t) = V0.t. (t). ε (∞) Erreur relative : 1X V0

X(t)

ε 1X (

)

t

c) erreur en accélération : Réponse du système à une consigne en accélération : X(t) = 1 / 2. γ0.t². (t) ( peu utilisé) d) erreur due à la perturbation : en général on adopte Z(t) = Z0 . (t) Y

ε 0Z ( t0

)

t à l'instant t 0 on applique la perturbation

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Chapitre 2 ________________________________________________________________________________

2.3.2 Système de classe 0 : Il ne comportent pas d’intégration dans la boucle. 1 + b 1 . p + b 2 .p 2 +...........+b m .p m T0(p) = µ1.µ2.β = K 0 1 + a 1 . p + a 2 .p 2 +...........+a n .p n Il y a toujours du statisme k0 = gain statique de la boucle.

2.3.3 Systèmes de classe 1 : une intégration dans la boucle T0(p) =

kv 1 + b 1 . p + b 2 .p 2 +...........+b m .p m p 1 + a 1 . p + a 2 .p 2 +...........+a n .p n

kv = constante de vitesse ou de traînage Le statisme a disparu (ε0X = 0) Erreur de poursuite finie

Vis à vis de la perturbation, il n’est pas indifférent que l’intégration 1/p soit placée en µ 1 ou µ2 ⇒ pour la précision il faut le terme en 1 / p dans µ1. 1 / p dans µ2 ⇒ système de classe 1 / consigne et système de classe 0 / perturbation 1 / p dans µ1 ⇒ système de classe 1 / consigne et perturbation 2.3.4 Système de classe 2 : T0(p) =

ka 1 + b 1 . p + b 2 .p 2 +...........+b m .p m p 2 1 + a 1 . p + a 2 .p 2 +...........+a n .p n

ka = constante d’accélération Erreur statique et de poursuite nulles

Ces systèmes sont rares car difficiles à stabiliser.

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Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

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Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

3.1 Exemples de systèmes : De nombreux exemples : vitesse, température, débit ... a) commande en vitesse d’un moteur électrique : déjà traité b) commande de température d’une enceinte : Soit une masse M dans une enceinte close à élever en t°. enceinte (Se, ke) énergie

θe

Ampli à thyristors

U

solide

m = masse du solide en kg C = capacité calorifique du solide en kcal / kg.°C Se = surface d'échange de l'enceinte avec l'extérieur en m² ke = coefficient de transmission de chaleur kcal / h.m².°C

m C θi

Qch

ka

- Puissance de chauffe en kcal / h : Qch = ka.U - Puissance pour élever la température de la masse : dθ Q 1 = m.C. i dt - Puissance perdue au travers des parois : Q2 =ke.Se.(θi - θe) - Bilan de puissance : Qch = Q1 + Q2 k.a.U = m.C.

dθ i + ke.Se.(θi - θe) dt

dθ i + ke.Se.θi = k.a.U + ke.Se.θe dt dθ m.C de la forme τ . i + θ i = 2nd membre avec τ = dt ke.Se θe m.C.

U

ka

Qch

1 1+ τ .p

1 ke.Se

θi

Schéma fonctionnel de même forme que le moteur précédemment étudié : Cr U

ke

I

kc

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Cm

km 1+ τ m.p

Ωs

18

Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

c) commande d’un moteur à courant continu avec inductance non négligeable : → moteur commandé par l’inducteur (courant constant sur l’induit) : Cr U

I

1 l.p + r

km

Cm

1 J.p + f

Ωs

Système d'ordre 2 de classe 0 (pas d'intégration) → moteur commandé par l’induit (champ constant sur l’inducteur) : Cr U

I 1 L.p + R

kc

E

Cm

Ωs

1 J.p + f

ke

Mise en équation :

kc − Cr = (J.p + f ). Ωs L.p + R (U - ke.Ωs).kc - Cr.(L.p + R) = (J.p + f).(L.p + R).Ωs [J.L.p² + (L.f + J.R).p + ke.kc + f.R].Ωs = kc.U - Cr.(L.p + R) ( U - ke. Ωs)

Equation différentielle d’ordre 2 : d 2 Ωs dΩ s dCr + (ke.kc + f.R).Ωs = kc.U - R.Cr - L + (L.f + J.R) J.L 2 dt dt dt Sortie ⎡ Ω ⎤ kc = = Entrée ⎢⎣ U ⎥⎦ (Cr =0) J.L.p² + (L.f + J.R).p + ke.kc + f.R Système de classe 0 (pas d’intégration). 3.2 Asservissement à action proportionnelle :

a) structure générale : Z X

kv

Vε

K

U

ka

km 1+ τ m.p

Y

kv Pour plus de facilité de calcul prenons les valeurs numériques utilisées pour le moteur.

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19

Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

Z X

Vε

0,025

U

K

10 1+p

2

Y

F.T.B.O. 0,5.K To(p) = 1+p Ko = 0,5.K

0,025 D'où l'équation différentielle : 10 0,5.K 1 dY +Y= Z X(1 + 0 , 5. K) dt (1 + 0, 5. K) (1 + 0 , 5. K) dY = 0) : dt X → X(∞) ; Y → Y(∞) ; Z → Z(∞)

b) Régime permanent (le système est stable ⇒

⇒ Y( ∞ ) = L'erreur

10 0,5.K Z( ∞ ) X( ∞ ) (1 + 0 , 5. K) (1 + 0 , 5. K)

ε ( ∞ ) = X( ∞ ) - Y( ∞ )

⇒ ε(∞) =

1 10 X( ∞) + Z( ∞ ) 1 + 0,5.K 1 + 0,5.K

→ Régime permanent statique : X(t) = X0. (t) ⇒ X(∞) = X0 Z(t) = Z0. (t) ⇒ Z(∞) = Z0 1 10 X0 + Z0 1 + 0,5.K 1 + 0,5.K Ê É Erreur statique d'ordre 0 Erreur statique d'ordre 0 par rapport à X par rapport à Z ⇒ ε 0 (∞) =

→ Régime de poursuite : X(t) = Vo.t. (t) ⇒ X(∞) → ∞ Z(t) = 0 (perturbation négligée) d’où ε1X(∞) = ∞

ε1X Erreur de traînage infinie

X(t) Y(t) t

c) Transitoire : déjà vu

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20

Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

Rappels : systèmes régis par une équation différentielle d’ordre 2 a) équation de la forme : a 0 .Y + a 1 X Entrées Z

Système linéaire

Y Sortie

dZ dX d 2Y dY + a 2 2 = b 0 .X + b 1 + c 0 .Z + c 1 +........ dt dt dt dt La fonction de transfert du système de la forme : ⎡ N(p) ⎤ b 0 + b1 .p T(p) = ⎢ = ⎥ 2 ⎣ D(p) ⎦ (Z=0) a 0 + a 1 .p + b 2 .p D(p) = polynôme caractéristique

b) Paramètres caractéristiques d’un système d’ordre 2 :

dY d 2Y 2 + 2. ζ . ω 0 + ω 0 .Y = 2 nd membre 2 dt dt 1 d 2 Y 2. ζ dY + + Y = 2 nd membre ω 0 2 dt 2 ω 0 dt avec ω0 = pulsation propre non amortie ζ = coefficient d’amortissement

Formes générales :

c) Régime transitoire :

Solution de l'équation caractéristique : p 2 + 2. ζ . ω 0 . p + ω 0 = 0 Déterminant : ∆ = ω0².(ζ²-1) 2

→ 0 1 Deux racines réelles p1 = - ζ.ω0 + ω0. ζ 2 −1 p2 = - ζ.ω0 - ω0. ζ 2 −1

ω0

Ψ

− ζ. ω0

Re

sinΨ =ζ p2 Im p2

p1 Re

→ ζ = 1 une racine double p = - ω0

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21

Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

d) réponse indicielle (ou unitaire) :

Entrée = échelon unitaire. Nous voyons que ζ influe sur l’amortissement. Valeurs courantes de ζ : - 0,7 appareil de mesure - 0,45 asservissement

e) réponse impulsionnelle : (réponse de la fonction transfert du système)

Entrée = impulsion de Dirac = dérivée de l'echelon unitaire = d (t) /dt La réponse du système correspond à la solution générale de l’équation différentielle sans second membre

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22

Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

f) Dépassement indiciel :

valeurs significatives du D1% ζ = 0,4 D1% = 25 % ζ = 0,45 D1% = 20 % ζ = 0,5 D1% = 16 % ζ = 0,7 D1% = 4,5 %

g) temps de réponse : Nota : tm = temps de montée pour atteindre la valeur du 1er dépassement (D1) Relation approchée donnant le temps de réponse dans le cas où ζ est réglé à 0,45

Tr ≈ 2.tm avec tm ≈

⇒ tm ≈

π

π

Ω

ω 0 . 1- ζ 2

Cela ne donne qu’un ordre de grandeur dans tous les autres cas, on utilise la courbe du temps de réponse réduit Tr.ω0 fonction de ζ

Temps de réponse réduit 500

Ordre 2

Tr.ω = f(ζ ) 100 50

10 5

1 0,01

h) Amortissement de la réponse transitoire : Dans le cas d’un système en boucle X finie d’ordre 2 soit K le gain de la boucle

0,05 0,1

0,5

ε K

1

5

10

Système d'ordre 2

50 100

Y

Pour la boucle fermée : si K ↑ ⇒ ζ ↓ , ε ↓, Tr ↑ ⇒ système lent, précis, mal amorti si K ↓ ⇒ ζ ↑ , ε ↑, Tr ↓ ⇒ système rapide, peu précis, bien amorti Le réglage de K résulte d’un compromis entre précision et stabilité :

⇒ 0.4 < ζ < 0.5 ordre de grandeur presque toujours adopté.

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Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

d) réglage de K pour l’action proportionnelle P : (rappel : ε 0 ( ∞ ) =

X0 10. Z0 ). + 1+ 0,5.K 1+ 0,5.K

Cahier des charges : 10 % d’erreur par rapport à la consigne ε 0X 1 = 0,1 = ⇒ K = 18 X0 1 + 0,5.K

ε 0Z

⎛ 10 ⎞ =1 ⎜ = 1 avec K = 18 ⎟ Z0 ⎝ 1 + 0,5.K ⎠ er Temps de réponse Tr = 3.τ = 0,3 sec. (1 ordre avec τ = 0,1 sec.) d’où erreur / à la perturbation

3.2 Asservissement à action intégrale :

Z X

0,025

Vε

1 U Ti.p

10 1+p

2

Y

0,025 a) Mise en équation : ⎡ ⎤ 2 ⎢(X - Y).0,025 Ti.p - Z⎥.10 = (1 + p).Y ⎣ ⎦ (X-Y).0,5 - 10.Ti.p.Z = Ti.p.(1 + p).Y Y.(Ti.p² + Ti.p + 0,5) = 0,5.X - 10.Ti.p.Z Y.(2.Ti.p² + 2.Ti.p + 1) = X - 20.Ti.p.Z d 2Y dY dZ 2 . Ti 2 + 2. Ti + Y = X - 20.Ti dt dt dt bilan : Equation différentielle d’ordre 2 2 paramètres caractéristiques (ζ, ω0).

Système d’ordre 2 1 paramètre de réglage Ti.

Pour résoudre on peut fixer ζ (amortissement) ⇒ alors ω0 est imposé (rapidité). b) réglage de Ti : on fixe ξ = 0,45 (D1 % = 20 %). En identifiant avec la forme caractéristique de l'équation différentielle d'ordre 2 nous obtenons : 1 ⎫ = 2.Ti 2 ⎪ ω0 1 0,9 ⎪ ⇒ ω 0 = 1,11 rad ⎬⇒ 2 = sec ω 2.ζ 0,9 ω 0 o = 2.Ti avec ζ = 0,45 ⇒ = 2.Ti ⎪ ⎪⎭ ω0 ω0 D'où Ti = 0,41 Temps de réponse : Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

24

Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

En utilisant la courbe ω0.Tr = f(ζ) nous avons pour ξ = 0,45 5,5 < ω0.Tr < 7,5 ⇒ Tr = 5 sec (cas le plus favorable). c) Erreur statique : régime permanent stable ⇒ d / dt = 0. D'où consigne X(t) = X0. (t) ⇒ X(∞) = X0 perturbation Z(t) = Z0. (t) ⇒ Z(∞) = Z0. Dans l'équation différentielle nous obtenons : Y(∞) = Y(∞) ⇒ ε0(∞) = X(∞) - Y(∞) = 0 normal.

ε 1X

1 1 avec Kv = ) V0 Kv 2.Ti ⎧ dX(∞) dY(∞) ⎪⎪ dt = dt = V0 Consigne X(t) = V0. (t) ⇒ en régime permanent ⎨ ⎪ dZ(∞) = 0 ⎪⎩ dt Dans l'équation différentielle nous obtenons : 2.Ti.V0 + Y(∞) = X(∞)

d) Erreur de poursuite : (D’après le tableau

=

⇒ ε1X(∞) = X(∞) - Y(∞) = 2.Ti.V0 ⇒ ε1X(∞) = 82 % V0

3.4 Asservissement avec action proportionnelle + intégrale :

Z X

0,025

Vε

K+ 1 Ti.p

U

2

10 1+p

Y

0,025 a) Mise en équation: ⎡ ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟.2 - Z⎥.10 = (1 + p).Y ⎢(X - Y).0,025.⎜⎜ K + Ti.p ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ 0,5.(X - Y).(K.Ti.p + 1) - 10.Ti.p.Z = Ti.p.(1 + p).Y Y(Ti.p² + Ti.(1 + 0,5.K).p + 0,5) = 0,5.(K.Ti.p + 1).X - 10.Ti.p.Z Y(2.Ti.p² + 2.Ti.(1 + 0,5.K).p + 1) = (K.Ti.p + 1).X - 20.Ti.p.Z 2. Ti

d 2Y dY dX dZ + 2. Ti.(1+ 0,5.K) + Y = X + K.Ti - 20.Ti 2 dt dt dt dt

bilan :

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Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

Equation différentielle d’ordre 2 2 paramètres caractéristiques (ζ, ω0).

Système d’ordre 2 2 paramètres de réglage (K, Ti).

Système entièrement réglable ; on peut choisir ξ et ω0. b) Réglage des paramètres : Adoptons ξ = 0,5 (D1 % = 16 %) et ω0 tel que le temps de réponse soit bien amélioré. Par exemple Tr = 0,3 sec. (idem à l’action proportionnel § 3.2). D'où : 2.ζ ⎫ = 2.Ti.(1 + 0,5.K) ⇒ 2.ζ .ω0 = 1 + 0,5.K ⇒ K = 4.ζ .ω 0 − 2⎪ ω0 ⎪ ⎪⎪ 1 ⎫ = 2.Ti 2 ⎪ ⎬ ⇒ K = 31,34 ω0 ⎪ -3 ⎪ ⎬ ⇒ Ti = 1,8.10 ⎪ ζ = 0,5 ⇒ ω0 .Tr = 5⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⇒ ω 0 = 16,67 rad sec⎪ Tr = 0,3 sec ⎪⎭ ⎭ ⎭

c) Erreur statique : régime permanent stable ⇒ d / dt = 0. D'où consigne

X(t) = X0. (t) ⇒ X(∞) = X0

perturbation Z(t) = Z0. (t) ⇒ Z(∞) = Z0 Dans l'équation différentielle nous obtenons : Y(∞) = X(∞) ⇒ ε0(∞) = X(∞) - Y(∞) = 0 normal

ε 1X

1 1 avec Kv = ). V0 Kv 2.Ti ⎧ dX(∞) dY(∞) ⎪⎪ dt = dt = V0 Consigne X(t) = V0. (t) ⇒ en régime permanent ⎨ ⎪ dZ(∞) = 0 ⎩⎪ dt Dans l'équation différentielle nous obtenons : 2.Ti.(1 + 0,5.K).V0 + Y(∞) = X(∞) + V0.K.Ti

d) Erreur de poursuite : (d’après le tableau

=

⇒ ε1X(∞) = X(∞) - Y(∞) = 2.Ti.V0 ⇒ ε1X(∞) = 0,3 % V0

e) Influence du numérateur: Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

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Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

Le second membre de l'équation différentielle comporte un terme dérivé par rapport à l'entrée X. Ceci entraîne une fonction de transfert en boucle fermée par rapport à X avec un numérateur en p d'ordre 1 : 1 + K.Ti.p ⎡Y⎤ T(p) = ⎢ ⎥ = 2 ⎣ X ⎦ (Z= 0) 2.Ti.p + 2.Ti.(1 + 0,5.K).p + 1 Expression de la forme : N(p) C.(p + a) = 2 D(p) p + 2.ζ.ω 0 . p + ω 0 2

T(p) =

Ce numérateur influe sur le dépassement D1 dans le transitoire. Les courbes ci-dessous, traduisent l'infuence de a (lié au facteur β) sur D1 %. 10

5,0

ζ = 0,1 0,2 0,3 0,4

2,0

0,6

0,5

0,7

β

0,8 1,0

ζ = 1,0 0,5

0,2

0,1 1

2

5

10

20

50

100

200

500

1000

D en % 1

- Variation du dépassement relatif D1 en fonction du facteur d'amortissement ζ et de β = a / ζ.ω0 pour un système du second ordre possèdant un zéro (- a). (R. N. Clark, Introduction to automatic control systems, Willey) 1 d'où a = 17,73 ⇒ β = 2,12 K.Ti Sur la courbe ζ = 0,5, pour β = 2,12 nous obtenons D1 % ≈ 30 % ; non satisfaisant.

Dans notre cas a =

Nous observons qu'un zéro au dénominateur (numérateur d'odre 1 : N(p) = p + a) influe en augmentant le dépassement prévu pour le réglage du polynôme caractéristique (dénominateur d'odre 2 : D(p) = p 2 + 2. ζ . ω 0 . p + ω 0 2 ) Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

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Chapitre 3 _______________________________________________________________________________________

Comme le dépassement D1 augmente, prenons une valeur de D1 plus faible (ζ = 0,7). Règlons le polynôme caractéristique : 2.ζ ⎫ = 2.Ti.(1 + 0,5.K) ⇒ 2.ζ .ω 0 = 1 + 0,5.K ⇒ K = 4.ζ .ω0 − 2⎪ ω0 ⎪ ⎪⎪ 1 ⎫ = 2.Ti 2 ⎪ ⎬ ⇒ K = 26 ω0 ⎪ -3 ⎪ ⎬ ⇒ Ti = 5.10 ⎪ ζ = 0,7 ⇒ ω0 .Tr = 3⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⇒ ω0 = 10 rad sec⎪ Tr = 0,3 sec ⎪⎭ ⎭ ⎭ Regardons l'influence du numérateur : ⇒ a = 7,69 ⇒ β = 1,1 Sur la courbe ζ = 0,7, pour β = 1,1 nous obtenons D1 % ≈ 20 % ; satisfaisant.

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28

Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

29

Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

Type : asservissement de position, niveau. 4.1 Structure de la chaîne avec action proportionnelle P : a) Exemple : rouleuse de tôle. Vx

+10 V

-10 V

1 rouleau mobile -10 V

Vy

X

Y

+10 V

2 rouleaux fixes

L’erreur ε = X - Y doit être la plus faible possible en production normale. Evolution de X,Y : X,Y Succession d’échelon, passes sucessives pour former un tube (ne pas dépasser le domaine t plastique) ⇒ maîtriser l’erreur statique. Rampe, cylindre à section non circulaire ⇒ maîtriser l’erreur dynamique. Remarque : pour de très nombreux asservissements de position l’erreur de traînage (poursuite) est primordiale. ex. commande numérique en suivi de profil.

X,Y t

Pour notre cas, la précision est essentielle ⇒ servocommande hydraulique utilisant une servovalve commandée électroniquement. b) Choix d’une structure de commande simple : dX Ux Servovalve dt + vérin X

X 1 p

Capteur de position

Uy Régulateur

dY Servovalve dt + vérin Y

1 p

Y

Capteur de position

On a choisi d’asservir la position du vérin Y à la position du vérin X, la partie commande du vérin X ne nous intéresse plus pour la structure de la chaîne (commande en boucle ouverte du vérin X) ; choix simple mais pas unique (on peut asservir les 2 vérins en position par exemple).

D'où la structure suivante : Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

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Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

Z = effort résistant X

kx

Vx

K

Uy

Vy

1 p

km 1 + τ m .p

ka

Y

ky

c) Remarque : Les potentiomètres utilisés (capteurs de position) ont en général une bonne linéarité, mais une valeur ohmique approximative (5 à 10 % d’erreur) ; les longueurs de pistes sont différentes ⇒ kx ≠ ky. Vx Vy

X

Y

GAIN réglable

Réalisation du comparateur et de l’adaptation de kx à ky (amplificateur opérationnel en additionneur).

+ 10 V Vx - 10 V

Vε

- 10 V

Uy

- Vy

Application numérique : kx = ky = 1 V / mm ka = 100 n / V

+ 10 V Adaptation de ky à kx

τm = 0,1 sec km = 1 mm / sec / N

Z X

1

Vx

K Vy

Uy

100

1 1 + 0,1.p

1 p

Y

1

d) Mise en équation : (X - Y).100.K - Z = p.(1 + 0,1.p).Y Y.(0,1.p² + p + 100.K) = 100.K.X - Z Y.(p² + 10.p + 1000.K) = 1000.K.X - 10.Z d 2Y dY + 10 + 1000.K.Y = 1000.K.X - 10.Z dt dt Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

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Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

1 seul paramètre de réglage K ⇒ choisissons ζ = 0,45. e) Réglage : D'où en identifiant nous obtenons : ω 02 = 1000.K

⎫ ⎪ 2.ζ .ω 0 = 10⎫ ⎬ ⇒ K = 0,12 rad ⎬ ⇒ 0,9.ω 0 = 10 ⇒ ω 0 = 11,11 sec⎪ ζ = 0,45 ⎭ ⎭

→ Temps de réponse : ζ = 0,45 ⇒ ω0.Tr = 5,5 ⇒ Tr = 0,5 sec → Erreur statique d’ordre 0 : Régime permanent stable ⇒ d / dt = 0. D'où consigne X(t) = X0. (t) ⇒ X(∞) = X0

perturbation Z(t) = Z0. (t) ⇒ Z(∞) = Z0. Dans l'équation différentielle nous obtenons : 1000.K.Y(∞) = 1000.K.X(∞) - 10.Z(∞) 1 Z(∞) Y(∞) = X(∞) 100.K 1 ⇒ ε0(∞) = X(∞) - Y(∞) = 0.X0 + Z0 100.K

ε 0X X0

=0 Ë

Ì

ε 0Z Z0

=

1 = 8 % 100.K

→ Erreur de poursuite :

⎧ dX(∞) dY(∞) = = V0 ⎪ Consigne X(t) = V0. (t) ⇒ en régime permanent ⎨ dt dt ⎪⎩Z(∞) = 0 Dans l'équation différentielle nous obtenons : 10.V0 + 1000.K.Y(∞) = 1000.K.X(∞) 1 V0 Y(∞) = X(∞) 100.K 1 ε1(∞) = X(∞) - Y(∞) = V0 100.K ε 1 = 8 %. ⇒ 1X = V0 100.K

4.2 Structure avec correction par retour tachymétrique : Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

32

Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

C’est une correction par retour d’état ; dans notre cas la vitesse de déplacement est prise en compte. Pour se faire on utilise une génératrice tachymétrique GT (gain de GT = 1 V / mm / sec) associée à un gain réglable kv. Z X

K

Uy

1 1 + 0,1.p

100

dY dt 1 p

Y

kv

Réalisation concrète du régulateur :

Avec une structure de chaîne différente : A

Z + 10 V

X

Vx

1 p

A

Y

- 10 V

k'

- 10 V

Uy

- Vy + 10 V

avec par rapport à la structure précédente :

GT - k' dY dt

A=K kv k' = A

a) Mise en équation : [(X - Y).K - kv.p.Y].100 - Z = p.(1 + 0,1.p).Y Y.(0,1.p² + p.(1 + 100.kv) + 100.K) = 100.K.X - Z Y.(p² + 10.p.(1 + 100.kv) + 1000.K) = 1000.K.X - 10.Z dY d 2Y + 1000.K.Y = 1000.K.X - 10.Z + 10.(1 + 100.kv) dt dt 2 paramètres à fixer dans 2 paramètres de réglage l’équation différentielle ξ et ω0. K et kv du système.

b) 1er type de cahier des charges : Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

33

Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

- ξ = 0.45 pour un bon amortissement. - ε0Z diminuée par 5 par rapport à l’action proportionnelle ⇒

ε 0Z Z0

=

1 . 60

Calculons ε0(∞) : Régime permanent stable ⇒ d / dt = 0. D'où consigne X(t) = X0. (t) ⇒ X(∞) = X0 perturbation Z(t) = Z0. (t) ⇒ Z(∞) = Z0. Dans l'équation différentielle nous obtenons : 1000.K.Y(∞) = 1000.K.X(∞) - 10.Z(∞) 1 Y(∞) = X(∞) Z(∞) 100.K 1 ⇒ ε0(∞) = X(∞) - Y(∞) = 0.X0 + Z0 100.K ε 0Z 1 1 = = ⇒ K = 0,6 . Z 0 100.K 60 Calculons ω0, kv, Tr : ω0² = 1000 k = 600 ⇒ ω0 = 24,5 rd / sec D’où le temps de réponse : ω0.Tr = 5,5 pour ζ = 0.45 ⇒ Tr = 0,22 sec 2.ζ.ω0 = 10.(1 + 100.kv) ⇒ 10.(1 + 100.kv) = 22,05 ⇒ kv = 0.01. Erreur de poursuite : ⎧ dX(∞) dY(∞) = = V0 ⎪ Consigne X(t) = V0. (t) ⇒ en régime permanent ⎨ dt dt ⎪⎩Z(∞) = 0 Dans l'équation différentielle nous obtenons : 10.(1 + 100.kv)V0 + 1000.K.Y(∞) = 1000.K.X(∞) 1 + 100.kv Y(∞) = X(∞) V0 100.K 1 + 100.kv ε1(∞) = X(∞) - Y(∞) = V0 100.K ε 1 + 100.kv = 4 % ⇒ 1X = V0 100.K

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

34

Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

c) 2ème type de cahier des charges : - ξ = 0.45 pour un bon amortissement. - Tr souhaité 0,1 sec. Calculons k et kv : ξ = 0.45 donne Tr.ω0 = 5,5 ⇒ ω0 = 55 rd / sec ω0² = 1000.K 2.ζ.ω0 = 10 (1+100 kv)

ε 1X

⇒K=3 ⇒ kv = 0,04

ε 0Z : Z0 V0 ε1X 1+ 100.kv = = 2% V0 100.K

Calculons

et

ε 0Z 1 = = 0,3 % Z 0 100.K

Remarque : On voit que que l’erreur statique par rapport à la consigne est nulle (système de classe 1 par rapport à X) ; l’erreur statique par rapport à la perturbation est finie (système de classe 0 par rapport à Z). 4.3 Structure avec action proportionnelle + dérivée : Z X

K + Td.p

Uy

100

1 p

1 1 + 0,1.p

Y

a) Mise en équation : [(X - Y).100.(K + Td.p) - Z = p.(1 + 0,1.p).Y Y.(0,1.p² + p.(1 + 100.Td) + 100.K) = 100.(K + Td.p).X - Z Y.(p² + 10.p.(1 + 100.Td) + 1000.K) = 1000.(K + Td.p).X - 10.Z 2 dX ⎞ dY d Y ⎛ + 1000.K.Y = 1000.⎜ K.X + Td + 10.(1 + 100.Td) ⎟ - 10.Z dt ⎠ dt dt ⎝ 2 paramètres à fixer dans 2 paramètres de réglage l’équation différentielle ξ et ω0. K et Td du système. Equation différentielle très voisine de celle du retour tachymétrique. Prenons le même cahier des charges. b) cahier des charges - ξ = 0.45 pour un bon amortissement - ε0Z diminuée par 5 par rapport à l’action proportionnelle ⇒

ε 0Z Z0

=

1 . 60

Calculons ε0(∞) : Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

35

Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

Régime permanent stable ⇒ d / dt = 0 D'où consigne X(t) = X0. (t) ⇒ X(∞) = X0 perturbation Z(t) = Z0. (t) ⇒ Z(∞) = Z0. Dans l'équation différentielle nous obtenons : 1000.K.Y(∞) = 1000.K.X(∞) - 10.Z(∞) 1 Y(∞) = X(∞) Z(∞) 100.K 1 ⇒ ε0(∞) = X(∞) - Y(∞) = 0.X0 + Z0 100.K ε 0Z 1 1 ⇒ K = 0,6 idem au retour tachymétrique. = = Z 0 100.K 60 Calculons ω0, kv, Tr : (calcul identique au retour tachymétrique). ⇒ ω0 = 24,5 rd / sec D’où le temps de réponse ⇒ Tr = 0,22 sec ⇒ Td = 0.01 Erreur de poursuite : ⎧ dX(∞) dY(∞) = = V0 ⎪ Consigne X(t) = V0. (t) ⇒ en régime permanent ⎨ dt dt ⎪⎩Z(∞) = 0 Dans l'équation différentielle nous obtenons : 10.(1 + 100.Td)V0 + 1000.K.Y(∞) = 1000.K.X(∞) + 1000.Td.V0 1 Y(∞) = X(∞) V0 100.K 1 ε1(∞) = X(∞) - Y(∞) = V0 100.K ε 1 ⇒ 1X = = 2 % V0 100.K

Même caractéristique que le retour tachymétrique avec des performances meilleures sur l’erreur de traînage. En contrepartie l’action dérivée est sensible aux parasites d'où la nécessité d'associer un filtrage.

4.4 Structure avec intégration seule :

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

36

Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

Z X

1 Uy 100 Ti.p

1 p

1 1 + 0,1.p

Y

Mise en équation : 100 - Z = p.(1 + 0,1.p).Y Ti.p (X - Y).100 - Ti.p.Z = (Ti.p² + 0,1.Ti.p3).Y Y.(0,1.Ti.p3 + Ti.p² + 100) = 100.X - Ti.p.Z dZ d 2Y d 3Y + 100.Y = 100.X - Ti 0,1.Ti 3 + Ti dt dt dt

(X - Y).

Il manque un terme en dy / dt ⇒ il existe des racines de l’équation caractéristique à partie réelle positive. La solution générale de l’équation différentielle étant de la forme : Y(t) = C1. e p1 .t + C2.e p2 .t + C3.e p3 .t D'où en régime permanent y(∞) → ∞ le système est instable. Condition nécessaire de stabilité mais non suffisante : Tous les termes du polynôme caractéristique doivent exister et être de même signe. 4.5 Structure avec action proportionnelle + intégrale : Z X

K+

Uy 1 100 Ti.p

1 1 + 0,1.p

1 p

Y

Mise en équation : 1 ).100 - Z = p.(1 + 0,1.p).Y Ti.p 100.(X - Y).(1 + K.Ti.p) - Ti.p.Z = (Ti.p² + 0,1.Ti.p3).Y Y.(0,1.Ti.p3 + Ti.p² + 100.K.Ti.p + 100) = 100.(1 + K.Ti.p).X - Ti.p.Z Y.(p3 + 10.p² + 1000.K.p + 1000 / Ti) = 1000.(1 / Ti + K.p).X - 10.p.Z

(X - Y).(K +

d 3Y d 2Y dY 1000 1000 dX dZ + 10 + 1000.K + Y= X + 1000.K - 10 3 dt dt dt Ti Ti dt dt Tous les termes sont présents au 1er membre ⇒ la stabilité est possible. Malheureusement le système est d’ordre 3, nous ne savons pas résoudre (pour l’instant). Si le système est stable en régime permanent nous avons : X = Y lorsque X(t) = X0. (t) et Z(t) = Z0. (t)

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37

Chapitre 4 _______________________________________________________________________________________

X = Y lorsque X(t) = V0. (t) Normal le système est de classe 2 par rapport à la consigne.

4.6 Structure avec action intégrale et retour d’état :

Z X

Uy

1 Ti.p

1 1 + 0,1.p

100

dY dt 1 p

Y

k2 k1 Mise en équation : [(X - Y).

1 - k1.Y - k2.p.Y].100 - Z = p.(1 + 0,1.p).Y Ti.p

100 (X - Y) - 100.k1.p.Y - 100.k2.p².Y- p.Z = (p² + 0,1.p3).Y Ti 100 100 )= .X - p.Z Y.(0,1.p3 + (1 + 100.k2).p² + 100.k1.p + Ti Ti 1000 1000 )= .X - 10.p.Z Y.(p3 + 10.(1 + 100.k2).p² + 1000.k1.p + Ti Ti

d 3Y d 2Y dY 1000 1000 dZ ) + 10.(1 + 100.k + 1000.k 1 + Y= X - 10 2 3 dt Ti Ti dt dt dt Si le système est stable en régime permanent nous obtenons : X = Y lorsque X(t) = X0. (t) et Z(t) = Z0. (t) X ≠ Y lorsque X(t) = V0. (t) Système de classe 1 par rapport à la consigne.

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38

Chapitre 5 ___________________________________________________________________________________

Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

39

Chapitre 5 ___________________________________________________________________________________

5.1 Placement des pôles : (ex : structure avec action I + retours d’état du § 4.6). Dans le cas d’un système d’ordre 3 “ régulier ”, les 3 pôles de la fonction de transfert ⎡ Y(p) ⎤ T(p) = ⎢ (ou encore les 3 racines de l’équation caractéristique) sont disposés ⎥ ⎣ X(p) ⎦ (Z=0) ainsi :

Im p1

Ω Ψ

p3

Re

−α

− ζ. ω0 −ω0 1−ζ ² p2

La solution générale de l’équation différentielle sans second membre (ou encore la réponse impulsionnelle) s'écrit : Y(t) = C1. e p1 .t + C2.e p2 .t + C3.e p3 .t Y(t)= C.e- ζ.ω0.t.sin(Ωt + ϕ) + C3.e −α.t

Une façon de réaliser le placement des pôles est de rendre les pôles p1 et p2 dominants par rapport à p3, c’est à dire avoir un mode dominant d’ordre 2.

Pour se faire éloignons p3 = - α de Re(p1) = - ζ.ω0 ; par exemple si α ≥ 4.ζ.ω0, le terme e- α.t s’amortira très rapidement en comparaison de e- ζ.ω0.t donc le transitoire aura les caractéristiques d’un ordre 2. Il suffit donc de choisir les trois pôles pour fixer le transitoire, en choisissant les 3 paramètres caractéristiques : ζ, ω0, α - choix de ζ : ζ = 0.5 fixe l’amortissement du transitoire - choix de ω0 : par comparaison avec l’action P et avec la correction par retour tachymétrique, on peut espérer Tr = 0.5 sec. d’où Tr.ω0 = 5 ⇒ ω0 = 10 rd/sec. Calcul de α : prenons α = 4.ζ.ω0 ⇒ α = 20 Il ne reste plus qu’à calculer les paramètres de réglage en identifiant les équations caractéristiques. Pour le placement des pôles l’équation caractéristique s’écrit : Pc(p) = (p - p1).(p - p2).(p - p3) = (p + ζ.ω0 - j.ω0. 1- ζ 2 ).(p + ζ.ω0 + j.ω0. 1- ζ 2 ).(p + α) = ( p 2 + 2. ζ . ω 0 . p + ω 0 2 ).(p + α) Pc(p) = p3 + (α + 2.ζ.ω0).p² + (ω0² + 2.ζ.ω0.α).p + α.ω0² avec α = 20, ω0 = 10, ζ = 0.5 nous obtenons Pc(p) = p3 + 30p² + 300 p + 2000

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40

Chapitre 5 ___________________________________________________________________________________

Il suffit d’identifier les termes avec l’équation caractéristique du § 4.6. D'où 10.(1 + 100.K 2 ) = 30 ⇒ K 2 = 0,02 1000.K 1 = 300

⇒ K 1 = 0,3

1000 = 2000 Ti

⇒

1 =2 Ti

5.2 Critère de Naslin :

a) Remarques préléminaires : La méthode de placement des pôles utilisant la notion de mode dominant fournit un réglage des paramètres du système ; ce réglage est loin d’être unique et n’est sûrement pas optimal. Le temps de réponse et la précision peuvent être améliorés de différentes manières : - par une méthode plus poussée de placement des pôles et aussi des zéros éventuels du numérateur ; travail de synthèse utilisant un calculateur ⇒ long et coûteux - en utilisant le critère de Naslin qui conduit dans de nombreux cas à une synthèse quasi optimale. Ce critère s’applique si le système est complètement ou presque complètement réglable mais ne s’applique pas dans le cas contraire. b) Méthode de Naslin : CRITERE DE NASLIN

Soit la fonction de transfert : T(p) =

a' 0 + a'1 . p + a' 2 .p 2 a 0 + a 1 . p + a 2 .p 2 +...........+a n .p n

Le critère de Routh permet de connaître la stabilité théorique, mais ne donne aucun renseignement sur le degré d'amortissement des transitoires. Ce problème peut souvent être résolu par l'emploi du critère de NASLIN. Facteurs caractéristiques : Les facteurs αi = ai² / ai-1.ai+1 jouent le rôle d'un facteur d'amortissement analogue au coefficient d'amortissement ζ des systèmes d'ordre 2. Pour un amortissement correct, l'ordre de grandeur est d'avoir αi > 1.7. Pulsations caractéristiques :

ωi = ai / ai+1

avec

αi = ωi / ωi-1

Dans le cas où tous les facteurs caractéristiques sont égaux : αi = α, nous avons alors un polynôme caractéristique normal à amortissement réglable .

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41

Chapitre 5 ___________________________________________________________________________________

Propriétés de la réponse indicielle :

Dépassement relatif D% tel que : log (D%) ≈ 4,8 - 2.α par exemple, pour α = 1.75 nous avons D% = 20 %.

D%

Temps de montée tm ≈ 2.2 / ω0 d'où Tr ≈ 2 tm si D% de l'ordre de 20 %.

E 1

Pente maximale E ≈ 0,8.ω0.(100 + D) / 100.a0 Accélération maximale F ≈ 2.ω0 .E

ω0.tm

ω0.t

Influence d'un numérateur : Toutes les formules sont valables à condition de remplacer le facteur α par αe (α équivalent) et ω0 par ωoc (ω0 corrigé).

d'où

a)- Numérateur = a'0 + a'1 p

α e = 1,5 +

ω '0 ( α - 1,5) 4. ω 0

et

ω'0 = a'0 / a'1 1

ω oc

=

1

-

on a alors :

1

ω 0 2. ω ' 0

b)- Numérateur = a'0 + a'1.p + a'2.p² dans ce cas, nous aurons :

ω'0² = a'0 / a'2

α e = 1,5 +

et

4 ζ'² = a'1² / a'0.a'2

ω '02 1 1 1 = ( α - 1,5) et 2 3 ω oc ω 0 ω ' 0 16. ω 0 .ζ '

Tolérances sur les facteurs caractéristiques :

Si, à partir d'un polynôme normal (avec αi constant), on fait les modifications suivantes : ...... ; αi-1 = β.α ; αi = α / β ; αi+1 = β.α ; ...... l'effet sur le transitoire est négligeable si l'on a 1 < β < α1/2 et acceptable si α1/2 < β < α. Dans le cas où le numérateur n'est pas constant, il faut : • en utilisant le seul dénominateur, calculer les paramètres à partir d'un choix initial de α (donc un certain choix de D%) , • utiliser le numérateur pour calculer αe à partir de la relation αe = f ( α, ω0, ω'0 ) , • vérifier si le dépassement D% est correct , • si D% incorrect, il faut refaire, en fonction du résultat obtenu, un nouveau choix pour α initial et recommencer jusqu'à ce que le dépassement D% soit correct. Remarque : Dès qu'un premier calcul de αe a été fait, l'évaluation d'un nouveau α initial peut être fait par le calcul avec la relation inversée α = g( αe, ω0, ω'0 ) , car le rapport ω0 / ω'0 varie souvent assez peu. Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

42

Chapitre 5 ___________________________________________________________________________________

D'où l'organigramme ci-dessous, résumant le calcul : DEBUT N(p) D(p) - choisir l'amortissement pour le dépassement D % souhaité - en déduire la valeur de α pour un polynôme caractéristique normal - Expliciter correctement T(p) =

Tous les ωi sont réglables

Contraintes de précision ou de rapidité Choix de a 1, a 2, (a'1 , a'2 )

un seul ωi fixé Avec les ωi fixés calculer les α i correspondants

- Appliquer la méthode de NASLIN en considérant le seul dénominateur D(p) - Calculer ω0 et tous les ω i - Calculer tous les paramètres de réglage

N(p) = Cste

un polynôme normal ou approchant est possible ?

Calculer tm = 2,2 / ω 0

- considérer N(p) et calculer ω 0' , ζ ' - Calculer αe = f(α, ω, ω 0' , (ζ ') ) - Calculer D %

D% satisfaisant

- Calculer α (pour que α e ait la valeur prévue) en inversant la relation α = g(α, ω, ω 0' , (ζ ') )

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Ce problème ne peut être résolu par le critère de NASLIN

Calculer ω 0C et tm =2,2 / ω 0C

Calculer Tr ~ 2.tm

FIN

43

Chapitre 5 ___________________________________________________________________________________

5.3 Appliquons le critère Naslin sur l’exemple du § 4.6 :

a0

a1

a2

a3

1000 / Ti 1000 .K1 10 +1000.K2 1 14442444 3 1444 424444 3 14444244443 ω0 ω1 ω 1444 424444 31 44442444432 α1

α2 = α

=

On choisit D % = 20 % ⇒ α1 = α2 = α = 1,75 ω ω donc 2 = 1 = 1,75 ω1 ω0 Pour pouvoir résoudre il faut connaître une valeur de ωi. Souhaitons par exemple Tr = 0,5 sec ⇒ Tr = 2.tm = 4,4 / ω0 ⇒ ω0 = 8,8 rad / sec d’où ω1 = α.ω0 = 8,8 . 1,75 = 15,4 rad / sec ω2 = α².ω0 = 8,8 . (1,75)² = 26,95 rad / sec Alors a ω2 = 2 = 10 + 1000.K2 = 26.95 ⇒ K2 = 0,017 a3 a1 1000.K1 1000.K ω1 = a = 10 + 1000.K = 26,95 1 = 15,4 2 2 a0 1 1 ω0 = = = = 8,8 a1 Ti.K1 0,415.Ti 5.4 Appliquons Naslin sur l’exemple 4.5 :

a) Réglage du dénominateur : a0

a1

a2

a3

1000 / Ti 1000 .K 10 1 14442444 3 1444 424444 3 14444244443 ω0 ω1 ω2 = 10 1444 424444 31 4444 424444 4 3 α1 α2 = α = On choisit D % = 20 % ⇒ α1 = α2 = α = 1,75 ω2 = α.ω1 ⇒ 10 = 1,75 . 100.K ⇒ K = 0,057 1 1 = 0,186 ω1 = α.ω0 ⇒ 1,75 = 5,71 ⇒ Ti K.Ti b) Influence du numérateur : N(p) = K.p + 1 / Ti a'0 = 1 / Ti et a'1 = K 1 1 a' or ω0 = ω'0 = 0 = K.Ti a'1 K.Ti Laboratoire d'automatique de l'ENISE.

44

Chapitre 5 ___________________________________________________________________________________

D'où αe = 1,5 + 1 / 4.(1,75 - 1,5) = 1,56 Non satisfaisant car α = 1,56 ⇒ D % = 48 % Trouvons α pour que αe → 1,75 : 4. ω ⇒ α = 1,5 + ω' 0 (αe - 1,5) 0 α = 1,5 + 4.(1.75 - 1,5) ⇒ α = 2,5 c) Réglage du dénominateur : a0

a1

a2

a3

1000 / Ti 1000 .K 10 1 14442444 3 1444 424444 3 14444244443 ω0 ω1 ω2 = 10 1444 424444 31 4444 424444 4 3 α1

=

α2 = α = 2,5

ω2 = α.ω1 ⇒ 10 = 2,5 . 100.K ⇒ K = 0,04 1 1 = 0,064 ω1 = α.ω0 ⇒ 2,5 = 4 ⇒ Ti K.Ti d) Calcul du temps de réponse : 1 1 1 1 1 1 = ⇒ = = ⇒ ω0C = 3,2 rad sec ω0C ω0 2ω'0 ω0C 2ω0 2.1,6 4,4 Tr ≈ 2.tm ⇒ Tr = ω = 1,4 sec. 0C

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45

Introduction à la commande des systèmes Sommaire

1. Aspects généraux et principes de base

2. Exemples de modélisation

3. Transformée de Laplace

I. Notions générales I.1. Les étapes de la conception d’un système de commande Notion de système Conception d’une loi de commande → Modification du comportement d’un système donné Nous parlerons de systèmes chaque fois que l'on sera capable, sur une entité donnée, de distinguer des entrées et des sorties liées par causalité.

Perturbations d(t) u(t) Commandes

Système

y(t) Sorties

On distingue les entrées permettant d'agir sur le système et les sorties représentant les réponses à ces sollicitations. De façon plus précise, on distingue :

• Les actions volontaires, encore appelées commandes, notées u. • Les actions involontaires, encore appelées perturbations, notées d. • Les réponses aux sollicitations externes (u et d), ce sont les sorties notées y.

1

I. Notions générales I.1. Les étapes de la conception d’un système de commande Système = ensemble plus ou moins complexe d’éléments interconnectés et en interaction (sous-ensembles : mécanique, électronique, hydraulique etc)

Etapes de la conception d’une loi de commande

1. Modélisation 2. Choix et synthèse du contrôleur 3. Inplémentation du contrôleur

I. Notions générales I.1. Les étapes de la conception d’un système de commande Etape 1 : Modélisation du système Perturbations

Perturbations

d(t)

d(t) y(t)

u(t) Commandes

u(t)

Modèle du Système

⎧ x& (t ) = f ( x(t ), u (t )) Commandes ⎨ y (t ) = h( x(t ), u (t )) ⎩

Sorties

Analyse du fonctionnement du système →

y(t) Sorties

Traduction en terme d’équations mathématiques (lois de la physique)

Compromis précision-simplicité du modèle

⇓ Réaliser le maximum d’hypothèses simplificatrices compatible avec une bonne prédiction du modèle (pas évident)

2

I. Notions générales I.1. Les étapes de la conception d’un système de commande Etape 1 : Modélisation du système • Modèle de connaissance (boîte blanche) • Modèle de représentation (boîte noire)

On distingue deux types de modèle :

Modèle de connaissance Les relations mathématiques permettant de représenter le comportement dynamique du système, sont obtenues à partir des lois et des principes fondamentaux de la physique (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme). Remarque : Afin d'obtenir un modèle qui soit le plus simple possible, on a intérêt à formuler le maximum d'hypothèses simplificatrices, réalistes sur le plan pratique. -Modèle non-linéaire -Domaine de validité important -Permet une étude fine du système dans des situations variées -Souvent très difficile à obtenir

I. Notions générales I.1. Les étapes de la conception d’un système de commande Etape 1 : Modélisation du système Modèle de représentation Ce type d’approche consiste à rechercher un ensemble de relations rendant compte du comportement entrées/sorties du système étudié. Ces relations, sans signification physique, sont paramétrées au moyen d'un algorithme d'identification permettant l'adéquation modèle/système. bruit u

Système à identifier Modèle paramétrable

+

+

y +

yˆ

ε

-

Algorithme d’identification

3

Etapes de la modélisation d’un système Perturbations d(t)

Modélisation y(t)

u(t)

Schéma de principe de l’installation

Sorties

Commandes

Système réel Schéma fonctionnel de l’installation Écriture du modèle et linéarisation (si nécessaire)

Connaissances a priori sur le système réel

Identification des paramètres du modèle

Données expérimentales réalisées sur le système réel

Validation du modèle non

Modèle conforme au système réel ? oui

On dispose d’une représentation du système étudié

I. Notions générales I.1. Les étapes de la conception d’un système de commande Etape 2 : Synthèse d’une loi de commande Perturbations d(t) Modèle du Système

u(t) Commandes

⎧ x& (t ) = f ( x(t ), u (t )) ⎨ ⎩ y (t ) = h( x(t ), u (t ))

y(t) Sorties

+

Spécifications des performances

Conception d’une loi de commande en boucle fermée

r(t) Consignes

Loi de commande en boucle fermée

d(t) Perturbations

u(t) Commandes

Système à commander modélisé par :

⎧ x& (t ) = f ( x(t ), u (t )) ⎨ ⎩ y (t ) = h( x (t ), u (t ))

y(t) Sorties

b(t) Bruit de mesure ym(t) Capteurs

4

I. Notions générales I.1. Les étapes de la conception d’un système de commande Etape 2 : Synthèse d’une loi de commande, analyse de la robustesse Incertitude de modèle

∆ d(t) Perturbations

r(t)

Loi de commande en boucle fermée

Consignes

Système à commander modélisé par :

u(t) Commandes

y(t) +

⎧ x& (t ) = f ( x(t ), u (t )) ⎨ ⎩ y (t ) = h( x (t ), u (t ))

Sorties

b(t) Bruit de mesure ym(t) Capteurs

I. Notions générales I.1. Les étapes de la conception d’un système de commande Etape 2 : Implémentation de la loi de commande Perturbations d(t)

r(t) Consignes

Loi de commande en boucle fermée

u(t) Commandes

Système à commander modélisé par :

⎧ x& (t ) = f ( x(t ), u (t )) ⎨ ⎩ y (t ) = h( x(t ), u (t ))

y(t) Sorties

b(t) Bruit de mesure ym(t) Capteurs Perturbations d(t)

r(t) Consignes

Loi de commande en boucle fermée

u(t)

y(t)

Commandes

Sorties

b(t) Bruit de mesure ym(t) Capteurs

5

II. Exemples de modélisation II.1. Circuit R-L-C

II. Exemples de modélisation II.2. Modèle d’un actionneur électrique (MCC)

Rr ur(t)

ir(t) e(t)

J f

Lr is(t) Rs us(t)

ω(t)

Ce(t)

Cr(t)

φ(t)

Ls

φ(t) = Lsis(t) e(t)=kφ(t)ω(t) Ce(t)=kφ(t)ir(t)

Rs Ls is us

φ

Rr Lr ir ur e k f J

ω

Ce Cr

résistance de l’enroulement statorique (Ω) inductance de l’enroulement statorique (H) courant statorique (A) tension statorique (V) flux d’excitation magnétique (Wb) résistance de l’enroulement rotorique (Ω) inductance de l’enroulement rotorique (H) courant rotorique (A) tension rotorique (V) force contre électromotrice, fcem (V) constante du moteur coefficient de frottement visqueux (Nm/rd/s) moment d’inertie total (Kg.m2) vitesse angulaire (rd/s) couple électromagnétique (Nm) couple de charge (Nm)

6

II. Exemples de modélisation II.3. Modèle d’un système de réservoirs qe

h1 V1

uq1 q1

qe q1 q2 h1 h2 uq1 uq2

ρ

h2

S V1 V2

V2

débit d’alimentation en fluide 1 (m3/s) débit de sortie réservoir 1(m3/s) débit de sortie réservoir 2 (m3/s) niveau fluide réservoir 1 (m) niveau fluide réservoir 1 (m) commande du débit q1 (V) commande du débit q2 (V) Masse volumique du fluide (Kg/m3) Section des réservoirs (m2) Volume de fluide réservoir 1 (m3) Volume de fluide réservoir 2 (m3)

uq2 q2

II. Exemples de modélisation II.4. Linéarisation

f(x) f(x0+δx)

⎛ df ⎞ ⎜ ⎟ δx ⎝ dx ⎠ x0

(δf ) x0

f(x0)

δx x x0

x0+δx

7

III. Classe des systèmes considérés dans ce cours

8

Caractérisation du régime permanent Gain statique – Le gain K caractérise le régime permanent :

K=

∆y ∆e

y(t)

e(t) ∆e

∆y t

t

Caractérisation du régime transitoire Amortissement - Temps de réponse y(t)

y(t)

Bande à ±5% de y∞

ymax

ymax

D1

D1 y∞

y∞

D1% =

Temps de réponse à ±5%

ymax − y∞ y∞

U(t)

U(t)

1

1

t

Page 3

t

50 45 40 35 30

ω (rd/s)

25 20 15 10 5 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Temps (s)

Un essai a permis de mesurer la vitesse de rotation en fonction du temps pour une tension de commande de 1V (appliquée à t = 0) et un effort résistant de 125 N (appliqué à t = 12.5 s). 1. Donner la constante de temps, et le temps de réponse de l’ensemble. 2. Donner l’équation différentielle liant ω à u et Fr 3. En déduire le schéma fonctionnel de l’installation sur lequel on fera apparaître la vitesse linéaire du vérin.

u

Montrer que l’équation différentielle reliant le débit d’entrée qe au niveau de fluide h s’écrit :

qe r

h

κ q (t ) κβ h&(t ) = e 2 − 3/ 2 h(t ) h(t )

κ=

α qs

tan 2 α

π

On rappelle que le volume d’un cône de hauteur h et de rayon de base r s’écrit : V=

π 3

2

r h

3