ISOMETRI 2

ISOMETRI PENGERTIAN ISOMETRI

Definisi : Misalkan T suatu transformasi, transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasang titik P dan Q anggota dari bidang Euclid v berlaku bahwa P’Q’= PQ dimana P’= T(P) dan Q’= T(Q) Contoh : misalkan diketahui garis g pada bidang v. anda pandang transformasi T yang ditetapkan sebagai berikut a. Jika P ∈ g maka T(P) = P b. Jika P ∉ g maka T(P) = P’ sehingga g sumbu dari  PP  ' . Apakah transformasi T ini suatu isometri atau bukan? Jawab: Sesuai dengan definisi, ambil dua titik sebarang P dan Q anggota dari v .misalkan T(P)=P’ dan T(Q) = Q’.Maka diperoleh: 1. g sumbu dari  PP  ' , apabila kita misalkan  g  ∩ PP ' = { N } , maka PN = NP’ 2. g sumbu dari QQ ' , apabila kita misalkan  g  ∩QQ ' = {M } ,maka QM = MQ’ sekarang perhatikan gambar, hubungkan masing-masing P dan Q, P’ dan Q’, P dan M serta P’ dan M g Q`

Q

M

N

P`

P

Gambar 2.1

 NM  kemudian pandang ∆ PNM  dengan ∆ P ' NM  Karena PN = NP’ . ∠ PNM  ≅ ∠ P ' NM  (siku-siku) ku) dan dan NM = NM , maka ∆ PNM  ≅ ∆ P ' NM   NM  . Akibatnya : 1. PM = P’M 2. ∠ PMN  ≅ ∠ P ' MN   P ' Q' M   Sekarang pandang ∆PQM  dengan ∆ PM = P’M…………………………………………(1) P’M…………………………………………(1) ∠NMQ ≅ ∠NMQ ' (Siku-siku) ∠ PM N 

≅∠  P ' M N 

∠ PM Q

=∠ NM Q

−∠ PM N 

∠  P ' M  ' Q' =∠ NM Q

=

∠NMQ

'−  P ' M N 

−∠PMN 

1

 P ' M  ' Q'......... .......... .......( 2) Akibatnya : ∠PMQ ≅ ∠ QM = Q’M……………………… Q’M……………………………………....(3) ……………....(3) Dari (1), (2), dan (3) disimpulkan ∆PQM  ≅ P ' QM  Akibatnya PQ = P’Q’ Karena P dan Q diambil sebarang titik pada v, maka dapat disimpulkan bahwa untuk  setiap pasang titik P dan Q pada v berlaku P’Q’= PQ. Sehingga transformasi T yang ditetapkan diatas memenuhi definisi Jadi dapat disimpulkan transformasi T merupakan suatu isometric Contoh lain: Asumsi bahwa sebuah system system koordinat membangun suatu bidang datar .dan pemetaan T

didefinisikan untuk suatu titik P(x,y) oleh :

T ( P ) = P ` = ( x ,− y )

Maka dapat ditunjukan bahwa T suatu suatu transformasi menunjukan menunjukan T suatu isometri, ambil sepasang titik A ( a1 , a 2 ) dan B ( b1 , b2 ) bayangannya masing-masing A` ( a1 ,−a 2 ) dan B`

( b1 ,−b2 ) kemudian buktikan bahwa A`B`=AB y

B(b1,b2)



B’(b1,-b2)







A(a1,a2)

A’(a1,-a2)

Dengan rumus jarak diperoleh :  A` B`=

( a1 − b1 ) 2 + ( − a2 − ( − b2 ) ) 2

=

( a1 − b1 ) 2 + ( b2

=

( a1 − b1 ) 2 + ( a 2 − b2 ) 2

=

−

a2 )

2

 AB

Karena itu T adalah isometri. SIFAT-SIFAT ISOMETRI Setiap isometri mempunyai sifat. Seperti yang tertuang dalam teorema berikut TEOREMA Setiap isometri bersifat : a) Memeta Memetakan kan garis garis menjad menjadii gari gariss  b)  b) Meng Mengaw awet etka kan n ukuran ukuran sudut sudut c) Meng Mengaw awet etka kan n kesej kesejaj ajar aran an Bukti : teorema diatas bagian a Ambil Ambil isomet isometri ri sebara sebarang ng T dan garis garis g akan akan ditunj ditunjuka ukan n bahwa bahwa T(g) T(g) berupa berupa sebuah sebuah garis. garis.per perhat hatika ikan n gambar gambar,, ambil ambil dua titik titik sebara sebarang ng A dan B pada garis g. misalk misalkan an T(A)=A’ dan T(B)=B’ dan garis lurus yang menghubungkan A, dan B’, namakanlah sebagai h

2

T B

B’

Y X

A

A’ T(g)

g

h

Gambar 2.2

Kemudian ditetapkan T(g) = {YIY  = T ( X ),  X  ∈ g } , akibatnya A’, B’ ∈T ( g ) . Untuk  mencapai tujuan bahwa T(g) berupa garis lurus maka harus ditunjukan T(g)=h, artinya harus ditunjukan a) T ( g ) ⊂ h dan b) h ⊂ T ( g ) a) Untuk  T ( g ) ⊂ h Ambil sebarang titik  Y  ∈T ( g ) , hal ini berakibat tiga kasus, yaitu Y  ∈T ( g ) Terletak antara A’ dan B’ atau (A’YB’), Y  ∈T ( g ) diluar daerah daerah antara A’ dan B’, tetapi tetapi dibagian dibagian A’(B’A’Y) A’(B’A’Y) atau Y  ∈T ( g ) diluar daerah antara A’ dan B’ atau (A’B’Y). Ambil kasus pertama, yaitu Y  ∈T ( g ) dan (A’YB’) maka ada X ∈ g  dan X antara A dan B atau (AXB). Karena A, X dan B kolinear, maka berlaku:  AX  +  XB =  AB ………………….(1) Karena A’ = T(A), B’=T(B) dan Y=T(X) dan T suatu isometri maka A’Y=AX,YB’=XB dan A’B’=AB…………..(2) Apabila 920 disubtitusikan pada (1), didapat hubungan, A’Y+YB’=A’B’………….(3) Akib Akibat at dari dari (3) (3) A’,Y A’,Y,, dan B’ Koli Koline near ar.. Arti Artiny nyaa Y  ∈ h . Karena Karena untuk untuk sebara sebarang ng Y  ∈T ( g ) ternyata Y  ∈ h , dapat disimpulkan bahwa T ( g ) ⊂ h . Untuk kasus kedua (A’B’Y) dan kasus ketiga (A’B’Y) dapat anda buktikan sendiri. b) Untuk  h ⊂ T ( g ) Ambil sebarang C’∈ h ,seperti pada a) akan terdapat tiga kasus, yaitu C’antara A’ dan dan B’ atau atau (A’C (A’C’B ’B’) ’),, C’ dilu diluar ar daer daerah ah anta antara ra A’ dan B’ dipi dipiha hak k A’ atau atau (B’A’C’), atau C’ di luar daerah antara A’ dan B’ dipihak B’ atau (A’B’C’).tetapi karena setiap setiap kasus pada pembuktian pembuktiannya nya serupa maka maka hanya ditunjukan ditunjukan untuk  kasus kasus (A’C’B (A’C’B’). ’).kar karena ena C’∈ h dan h ∈ v , maka C’∈ v . karena T suatu transformasi dan C’ ∈ v , maka ada C  ∈ v sehingga C’ = T(C). Selanjutnya kita andaikan bahwa C  ∉ g  . Perhatiakan gambar  Karena C  ∉ g  diperoleh hubungan  AC  + CB ≠  AB ,…………….(1)

3

T B

B’

C’

C

A

A’ T(g)

g

h

Gambar 2.3

Tetapi Tetapi karena karena C’=T( C’=T(C), C), A’=T(A A’=T(A), ), dan B’=T(B B’=T(B)) dan T suatu suatu isomet isometri ri maka maka didapat A’C’=AC, C’B’= CB, dan A’B’=AB. Apabila ini disubtitusi pada (1) diperoleh hubungan  A' C '+C ' B ' ≠  A' B ' ………………………(3) Tetapi katena A’, B’ dan C’ terletak pada garis lurus h dan C’ antara A’ dan B’, maka didapat hubungan :  A' C '+C ' B ' =  A' B ' ………………………(4) Terjadi kontradiksi antara (3) dan (4). Karena terjadi hal ini, artinya pengandaian  bahwa C  ≠  g  bernilai bernilai salah. Akibatnya Akibatnya haruslah haruslah C  ∈ g  .karena C  ∈ g  maka C '∈T ( g ) (perhatikan ketentuan T(g)). Karena untuk sebarang C '∈h , dapat ditunjukan bahwa C '∈T ( g ) , maka h ⊂ T ( g ) karena T ( g ) ⊂ h dan h ⊂ T ( g ) , hal ini berakibat bahwa T ( g ) = h . Karena h suatu garis lurus, maka T(g) juga garis lurus. Teorema 2.2 Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h)  juga saling tegak lurus. Bukti : Karena sudut yang dibentuk oleh g dan h adalah siku-siku dan T suatu isometri,   berdasarkan teorema 2.1 bagian b) mengakibatkan bahwa sudut yang dibentuk  oleh T(g) dan T(h) juga siku-siku. Dengan kata lain T(g) dan T(h) saling tegak  lurus. Teorema 2.3 Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri. Bukti Ambil dua isometri, namakanlah dengan T  dan T 2 .terjadilah komposisi dari T  dan T 2 , yaitu ; T 1 T 2 dan T 2 T 1 .Dalam uraian ini akan ditunjukan salah satu saja, yaitu untuk  T 1 T 2 adalah isometri.ambil dua titik sebarang A, B ∈ v , 1

1







4

misalkan T 2 ( A)

=  A1 , T 2 ( B) = B1

 pemisalan ini, dapat dicari

(T 1



dan T 1 ( A1 ) =  A' , T 1 ( B1 ) = B' . Berdas Berdasark arkan an T 2 )( A) = T 1 [T 2 ( A) ] = T 1 ( A1 ) =  A'

(T 1 T 2 )( B ) 

Karena T 2 isometri maka  A1 B1  A1 B1

 AB =  AB

Karena  A' B ' =  A1 B1 dan  A1 B1 isometri.

=  AB  AB

= T 1

[T 2 ( B ) ] = T 1 ( B1 ) =  B '

dan karena T  isometri maka B’A’= 1

, maka maka A’B’ A’B’=A =AB. B. Jadi Jadi T 1



T 2 suatu

ISOMETRI LANGSUNG DAN ISOMETRI LAWAN

Untuk mempelajari pengertian isometri langsung dan isometri lawan, Anda harus mempelajari pengertian orientasi. Hal ini dituangkan dalam definisi berikut ini. DEFINISI DEFINISI 2.2 : Misalkan Misalkan (P1, P2, P3) adalah ganda tiga titik yang tidak kolinear. kolinear. Apabila uturan perputaran P1, P2, ke P3 sesuai dengan perputaran  jarum lonceng maka (P1, P2, P3) disebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P1, P2, P3 berlawanan dengan   per perpu puta tara ran n jari jarim m lonc loncen eng g maka maka (P1, (P1, P2, P2, P3) P3) dise disebu butt memi memili liki ki orientasi positif. Untuk lebih menjelaskan makna dari definisi di atas, Anda pelajari contoh berikut ini. CONT CONTOH OH 2.2 2.2 : Misa Misalk lkan an dibe diberi rika kan n enam enam buah buah titi titik k (lih (lihat at gamb gambar ar 2.4) 2.4).. Kare Karena na urutan perputaran A, B, ke C berlawanan dengna perputaran jarum loncen lonceng g maka maka (A, B, C) berori berorient entasi asi positi positif. f. Sedangk Sedangkan an urutan urutan   perpu perputar taran an P, Q, ke R sesuai sesuai dengan dengan perput perputara aran n jarum jarum loncen lonceng, g, akibatnya (P, Q, R) berorientasi positif. C

P

B Q A R

Gambar 2.4

DEFINI DEFINISI SI 2.3 : Misalk Misalkan an T suatu suatu trans transfor formas masii T disebut disebut mengaw mengawetk etkan an orient orientasi asi apabila untuk setiap ganda tiga titik (P1, P2, P3) yang tidak kolinear  orientasinya sama dengan orientasi dari petanya. Sedangkan lainnya disebut tidak mengawetkan orientasi. DEFINISI DEFINISI 2.4 : Suatu transforma transformasi si T disebut disebut transformasi transformasi langsung langsung jika dan hanya  jika transformasi itu mengawetkan orientasi. Sedangka n transformasi T disebut transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu tidak mengawetkan orientasi.

5

DEFINI DEFINISI SI 2.5 : Isomet Isometri ri langsu langsung ng adalah adalah isomet isometri ri yang yang merupak merupakan an transf transform ormasi asi langs langsun ung, g, sedan sedangk gkan an isom isomet etri ri lawan lawan adal adalah ah isom isomet etri ri yang merupakan transformasi lawan. Untuk Untuk lebih lebih memant memantapka apkan n makna makna defini definisisi-def defini inisi si di atas, atas, Anda pelaja pelajari ri contoh contoh  berikut ini CONTOH 2.3 : Apabila Anda perhatikan transformasi transformasi yang ditetapkan ditetapkan dalam contoh 2.1. Sudah Sudah diteru diterusur surii bahwa bahwa trasnf trasnform ormasi asi T ini merupa merupakan kan suatu suatu isomet isometri. ri. Pertany Pertanyaan aan timbul timbul apakah apakah T ini merupak merupakan an isomet isometri ri langsu langsung ng atau atau isomet isometri ri lawan? lawan? Untuk Untuk menari menarik k kesimp kesimpula ulan n ini, ini,  perhatikan Gambar 2.5. Misalkan Misalkan Anda ambil tiga titik tak kolibear  sembarang, A, B, dan C. Kemudian Anda mencari T(A), T(B), dan T(C)=B` dan T(C)=C`

A

A’

B

B’ C’

C

Gambar 2.5

Karena (A, B, C) berorientasi berorientasi positif, sedangkan (A`, B`, C`) berorientasi berorientasi negatif, maka transformasi T merupakan transformasi lawan. Akibatnua T suatu isometri lawan.

Daftar pustaka

6

Eccle, Frank M. 2003. Pengantar Geometri Transformasi. Bandung : Pustaka Setia. Rasmedi, Ame. 2005. Geometri transformasi.jakarta. transformasi.jakarta. universitas terbuka

7