Isak Karabegovic - Dinamkia i Oscilacije (Poglavlje 13)
March 8, 2017 | Author: edin14 | Category: N/A
Short Description
Dinamika i Oscilacije Isak Karabegovic Poglavlje 13 (zadnje)...
Description
Teorija udara UVOD Udar kao pojava vrlo je est u tehnikoj praksi i zato je bitno poznavanje dinamikih zakona koji se mogu primijeniti pri prouavanju ove pojave. Udar se javlja pri tehnološkim operacijama obrade materijala, kao što je sluaj kod kovanja; ali isto tako i u više mašinskih sklopova (reduktor, mjenja itd.). Sve mehanike veliine koje su do sada korištene u mehanici (sila, brzina, ubrzanje, ugaona brzina itd.) bile su neprekidne funkcije vremena. Me#utim, kod udara se one naglo mijenjaju što sam udar ini specifinim. Udar predstavlja takvu mehaniku pojavu pri kojoj se u veoma kratkom vremenskom intervalu brzina materijalne take promijeni za konanu veliinu. Shodno tome javljaju se sile koje traju vrlo kratko i imaju vrlo velike intenzitete; to su tzv. udarne sile. sile. Udar kao pojava okarakterisana je sljede$im veliinama: Vrijeme udara τ predstavlja vremenski interval u kome se udar odvija. Vrlo je kratko tako da se kre$e negdje oko hiljaditog dijela sekunde. Udarna sila sila koja se javlja na mjestu udara sa vrlo velikim intenzitetom. U toku udara ona mijenja intenzitet (i pravac) i predstavlja vektorsku veliinu. Udarni impuls koji impuls koji nastaje kao posljedica udarne sile F sile F tj. tj. r
τ
r
I = F dt
∫
Kako je vrijeme udara τ vrlo mala veliina, a intenzitet sile F vrlo velika to udarni impulsima konanu vrijednost; pa su projekcije impulsa I na ose Descartesovog koordinatnog sistema
τ
I x
= ∫ F x dt 0
τ
I y
= ∫ F y dt 0
τ
I z
= ∫ F z dt 0
gdje su F su F x, F y i F z projekcije sile F na osi koordinatnog sistema, koje su tako#er funkcije vrem remena, na, tj. tj. F x = F = F x(t ) F y = F = F y(t ) F z = F = F z (t ) Na osnovu gornjih jednaina mogu se definisati srednje vrijednosti projekcija udarne sile n a slijede$i na in τ
I x
= ∫ F x dt = F xτ 0
τ
I y
= ∫ F y dt = F yτ 0
τ
I z
= ∫ F z dt = F z τ 0
Impuls neudarnih sila koje imaju konanu veliinu u toku udara u vremenskom intervalu τ, može da se zanemari. Tako, naprimjer, impuls težine G u intervalu τ je: I G
= Gτ ≈ 0 jer je τ ≈ 0
Zbog toga $e u daljnjim djelovima ovog poglavlja, pri prouavanju problema udara u obzir dolaziti samo udarne sile i u darni impulsi. Isto tako treba napomenuti da se pomjeranja svih taaka u toku vremena prilikom udara mogu zanemariti, pošto udar traje vrlo kratko. Još jedna od osnovnih karakteristika udara je ta da se on odvija u jednom položaju, pa se može zakljuiti da se zakon o promjeni kinetike energije, koji podrazumjeva izraunavanje rada sila, ne može primjenjivati. Ve$ina rezultata do kojih se dolazi u teoriji udara proizišli su na osnovu zakona o promjeni koliine kretanja i momenta koliine kretanja. 13.1. DEJSTVO
UDARNIH SILA NA MATERIJALNU TAKU vi
r A
F1
F2
F R
F3 Fn
′ v r
i
Fi
x Slika 13.1. Istovremeno dejstvo sistema udarnih sila na materijalnu ta ta ku ku
Ako iz sistema materijalnih taaka izdvojimo proizvoljnu materijalnu taku Mi mase mi, na koju dejstvuje istovremeno sistem udarnih sila F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n , i primjenimo zakon o promjeni koliine kretanja take za vrijeme trajanja udara, osnovna jednaina teorije udara $e za tu taku glasiti: r
mi vi
r
− mi v ' i = Σ I i = I i s + I iu = I R
(13.1.)
gdje su: vi − brzina take prije udara vi' − brzina take poslije udara
− rezultuju$i udarni impuls spoljašnjih udarnih sila I iu − rezultuju$i udarni impuls unutrašnjih udarnih sila I i s r
r
τ
r
= Σ I i = ∫ F R dt − rezultuju$i udarni impuls
I R
0
Projektovanjem jednaine (13.1.) na ose x, ose x, y y,, z , dobijaju se skalarne jednaine
− mv x = Σ I ix = I Rx mv y' − mv y = Σ I iy = I Ry mv z ' − mv z = Σ I iz = I Rz mv x'
(13.2.)
jednaina (13.1.) predstavlja izraz zakona o promjeni koliine kretanja materijalne take pri udaru tako da možemo re$i: Promjena koliine kretanja materijalne take za vrijeme udara jednaka je udarnom impulsu koji dejstvuje na taku. Ako se mjerenjem utvrde projekcije brzine na osu x prije i poslije udara, kao i vrijeme trajanja udara τ, može se odrediti srednja vrijednost projekcije rezultuju$e udarne sile na osu x; tako da na sonovu jednaine (13.2.) imamo:
= F Rxτ = mv x' − mv x mv x' − mv x F Rx = I Rx
(13.3.)
τ
Ako razmotrimo promjenu momenta koliine kretanja take; odnosno množe$i vektorsku jednainu (13.1.) vektorom položaja r dobijamo: r dobijamo: r
r
r
r
r
r xmv '−r xmv r
' A
L
r
− L A
r
= Σr x I i = r x I R r r = Σ M A I = M A I r i '
r R
(13.4.)
gdje su: L ' A i L A r
I i A
M
− momenti
koliine kretanja take za taku A prije i poslije udara, pri
uslovu r = = const. u t oku udara
− moment udarnog impulsa i-te sile za taku A.
Na osnovu ovog možemo možemo zakljuiti: Promjena koliine kretanja materijalne take na ose nepokretnog sistema referencije jednaka je projekcijama na te ose udarnog impulsa; tj. L' x − L x L' y − L y L' z − L z
= Σ M x I = M x I = Σ M y I = M y I i
R
r i
r R
r I i
r I R
(13.5.)
= Σ M z = M z
r
I R Ako se desi da je pri udaru M A = 0, onda je L ' A = L A tj. važi za zakon o održ držanju nju momenta
koliine kretanja take za taku A.
13.2. PRAVI UDAR KUGLE O NEPOMINU POVRŠINU
m
Kugla mase m kre$e se translatorno brzinom v i udari o nepominu površ, što je prikazano na slici 13.2. Eksperiment Eksperiment pokazuje da $e se kugla nakon udara odbiti u pravcu normale na površinu brzinom v', koja je nešto manja od brzine v. Promjena koliine kretanja tijela bit $e jednaka impulsu udarne sile
n
n A
linija udara
v
v′ v=0
A(m A(m)
− v ) = I u m( v'−v) = I u m( v' − v = I u m( v '
v'=0 Fn
a) prije udara
(13.6.)
b) poslije udara
Slika 13.2. Pravi udar kugle o nepomi nepomi nu nu površ Do razlike brzina prije i poslije sudara dolazi zbog elastinih svojstava materijala. U prvoj fazi udara tijela o nepokretnu plou, brzina tijela se smanjuje na nulu. Tijelo se pri tome deformiše i njegova kinetika energija prelazi u unutrašnju potencijalnu energiju deformiranog tijela. U drugoj fazi sudara (restitucija) tijelo pod djelovanjem unutrašnjih elastinih sila nastoji da vrati svoj prijašnji oblik. Njegova unutrašnja potencijalna prelazi u kinetiku energiju. Kako tijelo nije idealno elastino, to se dio energije izgubi na trajnu deformaciju, a dio na zagrijavanje tijela u sudaru i njihove okoline. Zbog toga $e brzina v' poslije udara biti manja od brzine brzine v prije sudara. Odnos ovih brzina se naziva koeficijent restitucije pri sudaru, tj. 0 ≤ k ≤ 1
k = = v'/v '/v
(13.7.)
Koriste$i jednaine (13.6.) (13.7.) dobijamo m(v' – v) = I = I u mv' mv' – m(-v (-v) = I = I u mv' mv' + mv = mv = I I u I u = m(1 + k ) v
(13.8.)
n
Ako oznaimo sa I'u, I u veliinu udarnih impulsa u prvom i drugom periodu, tj. u vremenskim intervalima 0 - τ1 i τ1 - τ, onda se na osnovu jednaine (13.2.) dobija 0 + mv = + I ' u
τ1
= + ∫ F n dt 0
τ
+ mv'−0 = I u ' ' = ∫ F n dt
(13.9.)
τ1
I u ' ' I u '
= k
Na osnovu ovog možemo zakljuiti, da veliina udarnog impulsa zavisi od koeficijenta restitucije k . Veliina koeficijenta restitucije k može može se odrediti eksperimentalno. Pustimo kuglicu da pada bez poetne brzine sa visine H visine H iznad iznad površi (slika 13.3.).
Mjerenjem utvrdimo visinu h do koje $e se kuglica vratiti nakon sudara s ploom. Znamo, da je iz jednaine za slobodni pad tijela v
=
k =
2 gH i v' = v' v
=
2 gh 2 gH
2 gh h
=
H
n
v H
0, tj. h – 8h 8h1 > 0, odnosno h > 8h 8h1
(9)
b) Da bi kuglica prošla kroz žljeb C, neophodno je potrebno da žljeb bude nagnut pod uglom α u odnosu na horizont. Kuglica $e se kretati po zakonu kosog hica od take B do take C ako je ispunjen uslov (9), pa je dužina L dužina L,, prema teoriji kosog hica, domet koji je odre#en poetnim uslovima, tj. L
=
v32 sin 2α g
(10.)
odnosno: L = za L
=
3 20
3 4
( h − 8h1 )
(11.)
h iz izraza (11), dobit $emo h = 10h 10h1.
Zadatak 13.5.
# L1
L2 v2 = 0
v0 = 0 v1
v2
Slika uz zadatak 13.5.
Dvije kugle A i B mase m1 i m2, prikazane na slici 13.5. vise na paralelnim koncima dužine L1 i L2, tako da se njihova središta nalaze na istoj horizontali, a kugle se dodiruju. Ako kuglu A pomjerimo iz njenog ravnotežnog položaja tako da konac dužine L1 gradi sa vertikalnim pravcem ugao α, pa je pustimo bez poetne brzine, ona $e udariti kuglu B koja miruje. Kugla B se poslije udara pomjeri u položaj odre#en graninim uglom ) prema vertikali. Odrediti odnos dužine konca ( L L1/ L L2) za postavljeni režim kretanja kretanja sistema.
Rješenje: Kretanje $emo posmatrati u dvije faze: a) kretanje kugle A iz položaja α, do trenutka kada udari u kuglu B, b) kretanje kr etanje kugle kugl e B od tog trenutka, t renutka, koje je uslovljeno udarom kugle kug le A, do trenutka t renutka kada do#e u granini položaj B. Neka su brzine v1 i v2, brzine kugli na poetku, a v'1 i v'2 odgovaraju$e brzine na kraju udara. Kugla A je iz položaja α, puštena bez poetne brzine, (v (v0 = 0), dok $e kugla B u položaju ) promijeniti smjer brzine, tj. bit $e v2 = 0. Koliina kretanja na poetku i na kraju udara ostaje nepromijenjena te je stoga m1v1 + m2v2
= m1v1 '+ m2v2 '
(1)
Koeficijent udara k je je odre#en odnosom v1 '−v2 '
k =
v2 − v1
(2)
Kako je v2 = 0 iz izraza (1) i (2) dobivamo m1v1
= m1v1 '+ m2v2 '
(3)
i v2' – v1' = kv1
(4)
Iz jednaina (3) i (4) odre#ujemo brzinu kugle B na kraju udara, tj. v2 ' =
m1v1 m1 + m2
(1 + k )
(5)
Me#utim, mi brzinu v1 još ne znamo. Odredit $emo je primjenom zakona o promjeni kinetike energije, na pomjeranju iz položaja α do trenutka udara. Bit $e dakle
= 2m1 gL1 (1 − cosα ), odnosno α v1 = 2 gL1 sin 2 m1v12
(5)
Ako sada primijenimo zakon o promjeni kinetike energije na pomjeranje kugle B od trenutka udara dok do#e u položaj ), imat $emo: m2 v22 − m2v '22 = −2m2 gL2 (1 − cos β ) Pošto je v2 = 0, slijedi
β 2
v2 ' = 2 gL2 sin
(6)
Upore#uju$i vrijednosti za v2' odre#ene sa (5) i (6), a obzirom na rezultat koji odre#uje brzinu v1, dobijamo traženi odnos dužine konca za postavljeni režim kretanja sistema L1 L2
β m2 2 − 2 = 1 + (1 + k ) α m 2 1 sin 2 2
sin 2
(7)
Zadatak 13.6. 13.6. Homogena Homogena plo pl oa mase M mase M oblika oblika jednakostraninog trougla (slika 13.6.) može se obrtati oko horizontalne ose z ose z , koja je okomita na ravan ploe i prolazi kroz jedno njeno tjeme O. Ako se ploa pusti bez poetne brzine iz položaja u kojem je visina koja prolazi 0 C x kroz taku O horizontalna, ona u trenutku kada ova v1 = 0 2/3h 2/3 h visina zauzme vertikalni v položaj, udari u tijelo A mase m, koje miruje na h horizontalnoj hrapavoj ravni. Koeficijent trenja klizanja tijela A o ravan je µ. Slika uz zadatak 13.6. Kakav mora biti odnos izme#u mase m tijela A, i mase M ( M ( M M /m), da bi se tijelo A poslije sudara zaustavilo na rastojanju h (jednakom visini ploe) od polaznog položaja. Pretpostaviti da je udar potpuno neelastian.
Rješenje: Izaberimo koordinatni sistem O xyz , tako da je z -osa -osa okomita na ravan ploe, osa y yorijentisana vertikalno naniže, a osa x osa x neka neka je horizontalna. Ploa iz horizontalnog položaja polazi pod dejstvom sopstvene težine i pri tom izvrši rad na pomjeranju težišta. To pomjeranje jednako je 2h/3 gdje je h-visina trouglaste ploe. Primjenom teoreme o priraštaju kinetike energije na ovom pomjeranju lako je odrediti brzinu kojom $e ploa udariti tijelo A. To je brzina na poetku udara. Bit $e dakle, E k 1 − E k 00 J z ω12
=
= Σ A = A G
3 Mgh 4
(1) (2)
odnosno
ω12
=
4 Mgh 3 J z
(3)
gdje je: J je: J z – moment inercije u odnosu na osu z okomitu na ravan ploe. Brzina na poetku sudara je v = h , ω1
(4)
Po pretpostavci je udar neelastian, pa su brzina tijela A i take ploe koja se nalazi na rastojanju h od ose obrtanja (tanije projekcije brzine take ploe koja udari o tijelo na pravac pomjeranja tijela) tijela) jednake i iznose v = h , ω2
(5)
gdje je: ω2 – ugaona brzina ploe na kraju sudara. Kako su momenti spoljašnjih udarnih impulsa u odnosu na osu z osu z jednaki jednaki nuli (jer su impulsi koji se javljaju u taki udara unutrašnji, a impulsi u taki 0 za osu z , koja prolazi kroz tu
taku imaju momente jednake nuli) važi zakon o održanju momenta impulsa za osu z osu z , pa je stoga L2 z – L – L1 z = 0 (6) L1 z = J = J z , ω1 L2 z = J z ω 2
(7)
+ mv' h = ( J z + mh 2 )
v' h
(8)
gdje su: L1 z i L i L2 z momenti koliine kretanja za z za z -osu -osu na poetku i na kraju udara, tako da je brzina na kraju udara: −
v ' = J z ω1h( J z + mh 2 ) 1
(9)
Izrazom (9) data je brzina kojom tijelo A poinje kretanje. S obzirom na pretpostavku o hrapavosti podloge tijelo $e se zaustaviti na rastojanju h (prema uslovu zadatka) pa je primjenom teoreme o priraštaju priraštaju kinetike energije na ovom pomjeranju lako dobiti. v = 2 gh µ '2
(10)
Iz (10), (9) i (3) proizilazi 2 MJ z h 2 3
= µ ( J z 2 + 2 J z mh 2 + m 2 h 4 )
(11)
Moment inercije J inercije J z jednak je zbiru momenata inercije J inercije J x i J i J y u odnosu na ose koje se sjeku sa z sa z -osom -osom u taki 0 i na nju su okomite. 1 1 J x = Mh 2 , J y = Mh 2 2 18 (12) 5 2 J z = J x + J y = Mh 9 Na osnovi (12) jednaina (11) svodi se na (30 − 25µ ) M 2
− 90 M ⋅ mµ − 81µm 2 = 0
(13)
2
Ako jednainu (13) podjelimo sa m dobijamo kvadratnu jednainu po nepoznatoj M nepoznatoj M /m, tj.
M 2 M (30 − 25µ ) − 90µ − 81µ = 0 m m
(14)
ije je rješenje M m
=
9 5µ + 30 µ 5
6 − 5µ
;
µ ≠ 6 5
(15)
Zadatak 13.7. Obrtni oroz (na puški) AD u trenutku udara po obarau B (slika 13.7.) ima ugaonu brzinu obrtanja ω0. Odrediti brzinu obaraa na kraju udara i impulsni pritisak na osu A. Masa M Masa M i i m oroza i obaraa, momenti inercije J A oroza za osu A i rastojanje a i b su poznata (taka C je središte masa oroza).
B I 2
I 1
D
C
b
&0
a
I Ax
x
A Slika uz zadatak 13.7.
Rješenje: Oznaimo impulse udarnih sila koje djeluju na oroz i obara pri udaru sa I 1 i I 2 . Tada za oroz i obara, uzimaju$i u obzir, da je I je I 1 = I = I 2 = I = I , vB = 0, dobijamo L1 A − L0 A J A (ω1
r i
= Σ M A I
− ω 0 ) = − I ⋅ b ;
mv B'
= I
(1)
Moment I Moment I , b ima znak (-) iz razl oga što je ovaj moment usmjeren, suprotno smjeru obrtanja oroza. Osim toga kako je za taku D oroza v0 = bω0, a v'0 = bω1, (v0 – brzina na poetku udara, v'0 – brzina na kraju udara) to se prema izrazu za koeficijent restitucije dobiva '
v0
− v B' = −k (v0 − v B )
(2)
ili
− v B' = −kbω0 Ako unesemo u ovu jednainu izraze za ω1 i I i I iz iz jednaina (1), na$i $emo brzinu obaraa na bω1
kraju udara: v B'
=
J A b(1 + k ) J A
+ mb 2
ω0
(3)
Da bi smo odredili impulsnu reakciju I A kojom osa djeluje na oroz, postavimo jednaine koliine kretanja u obliku projekcija na ose A x i x i A y, y, tako da je K 0 x
= MvCx = Ma ⋅ ω0 ;
K 1 x
= MvCx' = Ma ⋅ ω1
(3)
Dobijamo Ma(ω1
− ω 0 ) = − I + J Ax
; I Ay
= 0
(4)
Me#utim iz jednaina (1) proizilazi da je I = mv B' , ω1 − ω 0
=−
mb
v B'
(5)
mb(1 + k )ω 0
(6)
J A
pa $e impulsni pritisak na os A biti: I Ax
=
J A − Mab J A + Mab
Zadatak 13.8. Homogena pravougaona ploa težine G1 mase m1 može se okretati oko vertikalne nepomine ose AB, koja leži u njenoj ravnini na udaljenosti a/4 od njenog ležišta S. U stanju mirovanja plou pogodi metak težine G2, brzinom v1 okomito na ravninu ploe, tano u težište S. Odrediti na osnovu slike 13.8.:
I By
B
I Bx
-= -z
h b
a) veliinu impulsnih reakcija u sfernom A i cilindrinom B ležaju, ako je udar neelastian
k
j
i S
0 I
x
a h
I Az
b) centar sudara da bi impulsne reakcije bile jednake nuli
I Ay
A
x
I Ax Slika uz zadatak 13.8.
Rješenje: a) Postavimo koordinatni sistem O xyz prema prema slici 13.8. tako da se osi x osi x,, y okre y okre$u zajedno sa ploom. Udarni impuls metka je I = I y ⋅ j
(1)
Pretpostavljene impulse reakcije ležaja A i B su:
= I Ax i + I Ay j + I Az k r r I B − I Bx i + I By j I A
(2)
r
Ugaona brzina na kraju udara bit $e: r
ω = ω z k
(3)
Zadatak ima sedam nepoznanica. Postavimo jednadžbe koriste$i se teoremama o promjeni koliine kretanja i promjeni kinetikog momenta ploe.
= m1v sx − m1 v s0 x Σ ( I i ) y = m1v sy − m1v s 0 y Σ ( I i ) z = m1v sz − m1v s 0 z ( I ) K x − K 0 x = Σ M x ( I ) K y − K 0 y = Σ M y K z − K 0 z = Σ M z ( I ) Σ ( I i ) x
i
(4)
i
i
U našem sluaju je v s 0 x
= v s 0 y = v s 0 z = 0;
v sx
= v sz = 0,
v sy
= K 0 y = K 0 z = 0; ω x = ω y = 0 K x = J xω x − J yxω y − J xz ω z = − J xz ω z K y = − J xy ω x + J y ω y − J yz ω z = − J yz ω z K z = − J xz ω x − J yz ω y + J z ω z = J z ω z
=
a ω z 4
K 0 x
(5)
S obzirom da je osa y osa y – – okomita na plou, onda je J je J yz = 0, a os x os x – – centralna os, onda je i J i J xz = 0, pa slijedi K slijedi K x = K = K y = 0; K 0; K z = J z ω z U skladu sa ovim i jednainama iz (4) imamo: I Ax + I Bx
=0
I Ay ⋅ h − I By ⋅ h = 0
I Ay + I By + I = m1
a 4
− I Ax ⋅ h + I Bx ⋅ h = 0
ω z
I Az = 0
J z ⋅ ω z = I ⋅
Budu$i da ne znamo niti veliinu impulsa I niti
(6)
a 4
ω z primijenit $emo
teorem o promjeni
koliine kretanja za metak. Uz pretpostavku da je odnos impulsa metka i ploe I m ¸= − I pl , dobijamo m2v2 – m2v1 = - I - I
(7)
Udar je elastian, pa su brzine težišta ploe v sy i brzina metka v2 na kraju udara iste: v2
= v sy =
a 4
ω z
(8)
Uvrštavanjem (8) u (7) imamo: m2
a 4
ω z − m2 v1
= − I
(9)
Moment inercije za plou je J z =
m1a 2 12
2
7m 7G a + m1 = 1 a 2 = 1 a 2 48 g 4 48
(10)
Iz jednadžbi (6) i (9) dobivamo
ω z =
12G2
⋅v + 7G1 )a 1 7G1 ⋅ G2 I = ⋅ v1 (3G2 + 7G1 ) g I Ax = I Bx = 0; I Az = 0 I Ay
(3G2
= I By = −
2G1G2 (3G2
+ 7G1 ) g
(11)
v1
Predznak (-) znai da je smjer ovih impulsnih reakcija suprotan od pretpostavljenih. b) Koordinate položaja centra centra udara K, da bi se izbjegle izbjegle impulsne reakcije I A y i I i I B y: y K
=
7G1 a 2 a m1 y s g ⋅ 4 7 y K = a 12 J z
=
(12)
ZADACI ZA RJEŠAVANJE IZ POGLAVLJA 13. Zadatak 13.9. Kugla mase m, kre$e se na visini h = 39,2 m, paralelno horizontalnoj površini brzinom v = 9,8 m/s i udara od stijenu nagnutu pod uglom α = 450 ka horizontu. Smatrati udar apsolutno elastinim i ubrzanje sile teže g = 9,8 m/s2. Odrediti kroz koje vrijeme t odbivši se od stijenu kugla pada na horizontalnu ravan. Otpore sredine zanemariti
m v
#
h
Rješenje: t = = 2 s
Slika uz zadatak 13.9.
Zadatak 13.10. Homogena prizma u obliku kocke dužine ivice L=1m L=1m kliže se bez poetne brzine po glatkoj površini nagnutoj ka horizontu pod uglom α = 450 i prelazi rastojanje L L = 1,16m do sudara sa ivicom B. Smatraju$i sudar apsolutno neelastinim odrediti ugaonu brzinu ω obrtanja kocke odmah poslije sudara.
L B #
Rješenje:
ω = 3rad/s
Slika uz zadatak 13.10.
Zadatak 13.11. Disk mase m i poluprenika R, R, kotrlja se bez klizanja po horizontalnoj ravni pri emu je brzina centra inercije diska konstantna i jednaka v0. Disk udari o hrapavi vertikalni zid pri emu koeficijent trenja zadovoljava uslov da ne do#e do proklizavanja, a koeficijent uspostavljanja je k = 3 / 3 . Odrediti rastojanje mjesta od vertikalnog zida gdje $e disk ponovo dodirnuti horizontalnu ravan (slika 13.11.).
Rješenje: D = R +
u v0
ω
D Slika uz zadatak 13.11.
3 v
2 0
9 g
Zadatak 13.12.
0
Na kraj homogene poluge OB dužine L L i mase M udara kugla mase m = M = M . Odrediti minimalnu brzinu vmin pri kojoj $e se 0 poluga zaokrenuti za ugao α = 180 u odnosu na svoj poetni položaj.
(
Rješenje : m v
B
Slika uz zadatak 13.12.
v min
=2
2 gl
Zadatak 13.13.
d
Fiziki zamajac u obliku homogenog diska obješen je o oslonac 0. On se sastoji od dva diska prenika D nika D i d što je prikazano na slici 13.13., gdje je d = 0,16 D. D. Na kom rastojanju L L ispod težišta C diska je neophodno nanijeti udar da bi horizontalna reakcija u osloncu 0 bila jednaka nuli?
D
C
L F
Rješenje:
Slika uz zadatak 13.13.
L = L = 0,34 D 0,34 D
Zadatak 13.14. 13.14. Homogeni cilindar, težine G, G, poluprenika R i visine H , obr $e se konstantnom ugaonom brzinom ω0 oko vertikalne ose AB. Osa AB je za R/2 R/2
B
-0 M R
H
= R / 2) udaljena od podužne ose cilindra. (OC = U nekom trenutku na cilindar djeluju dva udara impulsa I impulsa I 1 = I = I 2 = I = I u u ta kama M i N koje su središta baza cilindra. Impulsi su upravni na ravan koja prolazi kroz centar inercije cilindra i obrtnu osu. Odrediti promjenu ugaone brzine obrtanja cilindra i impulsne reakcije u osloncima A i B.
I n 0
C
k N
H
I 2 x
i A j
Dato je AB = 2h (sl. 13.14.).
Slika uz zadatak 13.14.
Rješenje: ω − ω0
=−4
I
3 GR
g ; I A
= − 2 I ,0,0; − 2 I ,0,0 . 3 3
View more...
Comments
