Ipiales Total Distribuciones de Propabilidades

1. En un estudio realizado por una dependencia de transporte y vialidad, se encontró que el 75% de los vehículos de transporte colectivo, tienen alguna irregularidad de acuerdo al reglamento de tránsito. Si se someten 9 de estos vehículos a revisión, hallar la probabilidad: Res: a) P(r=3)=0.00865 b) P(3 < r < 6)=0.3980 c) U=7 D(x)=1.29 2. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar SI o NO. Suponiendo que a las personas que se le aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y en consecuencia, contestan al azar, hallar: a) Probabilidad de obtener cinco aciertos. b) Probabilidad de obtener algún acierto c) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos Res: a) P(x=5)=0.2461 b) P(x≥1)=0.999 c) P(x≥5)=0.2631 3. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de licenciado en farmacia es de 0,3. Hallar la probabilidad de que un grupo de estudiantes matriculados en primer curso finalice la carrera: a) Ninguno de los siete finalice la carrera. b) Finalicen todos. c) Al menos dos acaben la carrera. Res a) P(x=0)=0.0824 b) P(x=7)=0.0002 c) P(x≥2)=0.0824 4. La probabilidad de que un alumno de 1º de bachillerato repita curso de 0,3. Elegimos 20 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? Res a) P(x=4)=0.13 5. Calcula la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños. Es una distribución binomial, los hijos solo pueden ser niños o niñas. Suceso A (éxito) tener un niño => p(A)=p=0,5 Suceso Ᾱ tener una niña => P(Ᾱ)=0,5=q=0,5. n=4 (hijos) => B(n,p) => B(4;0,5).

a) Probabilidad de tener tres niños. Res: a) P(x=3)=0.25 6. Dos niños escriben un número impar del 1 al 9 en un papel. Calcular la probabilidad de que sea el mismo. Res: a) 1/5. 7. De una baraja de 52 cartas se extraen simultáneamente dos de ellas, hallar la probabilidad de que: a) Las dos sean tréboles b) Al menos uno sea Diamantes c) Uno sea tréboles y otro diamantes Res: b) 1/17 c) 15/34 d) 13/102 8. En una clase de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres han elegido francés como asignatura. Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea: a) Hombre o estudie francés. b) Mujer y no estudie francés. Res: a) 2/3 b) 1/3 9. Dos hermanos salen de caza. El primero mata a 2 de cada 5 animales disparados, y el segundo a 1 de cada 2 animales disparados. Calcular la probabilidad de matar a un animal si los dos disparan al mismo tiempo: Respuesta: a) 7/10 10. La probabilidad de un hombre de vivir hasta los 50 años es de 1/5 y de una mujer es de ¼. Calcular la probabilidad de: a) Que los dos vivan hasta los 50 años. b) Que el hombre viva hasta los 50 años y la mujer no. c) Que los dos mueran antes de los 50 años. Res: a) 1/20 ; b) 3/20; c) 3/5 11. Hallar la probabilidad de que al lanzar tres veces una moneda al aire salga: a) Tres caras

b) Por lo menos una sello Res: a) 1/8 b) 7/8 12. Un jugador de futbol acierta 3 de cada 5 penaltis que realiza. Para los 3 siguientes lanzamientos, calcular la probabilidad de que: a) Meta solo uno de ellos b) Meta el último penalti Res: a) a)0.94 b) 12/125 13. En un librero hay 70 libros de ciencia ficción y 30 obras románticas. Una persona A elije un libro al azar de la estantería y se lo lleva, a continuación una persona B elije otro libro al azar. Calcular la probabilidad de: a) Que el libro escogido por B sea una obra romántica b) Si se sabe que B eligió un libro de ciencia ficción. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro escogido por A sea una obra romántica. Res: a) 3/10 b) 0.3 14. Disponemos de dos urnas: la urna A blancas y 2 negras; y la urna B contiene 6 negras. Si al lanzar un dado sale un número vamos a la urna A; y se cae 5 o más vamos a la probabilidad de: a) La bola sea negra de la urna B b) La bola sea blanca. Res: a) 2/15 b) 71/105

contiene 5 bolas bolas blancas y 4 menor que 5, nos la urna B. Calcular

15. El 30% de los trabajadores de una empresa son ingenieros y otro 30% son abogados. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 40% de los abogados también, mientras que los no ingenieros y los no abogados solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? Res: a) 9/17 16. Una bolsa contiene 2 bolas negras, 3 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas verdes. Se extrae una bola de la bolsa, describe el espacio muestral y calcula la probabilidad:

a) La bola es de color rojo b) La bola no es negra c) La bola es blanca o verde Res: a) 2/7 b) 6/7 c) 4/7 17. De una baraja española de cuarenta cartas, se extrae una y se considera los siguientes sucesos: O = la carta es de oros, F = la carta es una figura. Calcular la probabilidad de O, F, O∩F, O∪F. Res: a) 1/4 b) 3/10 c) 3/40; d)19/40 18. Un producto está compuesto de cuatro piezas. La probabilidad de que la primera sea defectuosa es de 2 de cada 1000, que la segunda sea defectuosa de 4%, que la tercera sea defectuosa 7% y que la cuarta se defectuosa 1%. Calcular la probabilidad de que el producto tenga alguna pieza defectuosa. Res: a) 0.014 19. La probabilidad de aprobar lengua son del 80%, las de aprobar matemáticas del 75% y las de aprobar ingles del 70%. Calcula: a) la probabilidad de aprobar las 3 asignaturas. b) la probabilidad de suspender solo una. c) si se ha suspendido solo una, la probabilidad de que haya sido matemáticas. Res: a) 0.42; b) 0.425 b) 0.329 20. El volumen de producción de dos plantas de una empresa es de 8000 y 10 000 unidades de producto por día. El porcentaje de piezas defectuosas es del 0,5% en la primera fábrica y del 0,8% en la segunda. Calcular la probabilidad de que al elegir un producto al azar sea defectuoso. Res: 1/50. 21. En una asignatura universitaria de primero asisten a clases 100 de los 150 alumnos matriculados. Se sabe que aprueban el 90% de los alumnos asistentes y el 30% de los que no asisten. Se elige un alumno al zar. Calcular: a) la probabilidad de que haya aprobado.

b) si se sabe que el alumno ha suspendido, la probabilidad de que haya asistido a clases. Res: a) 0.7 b) 1/3 22. Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso, calcular: a) Escriba el espacio muestral. b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta. c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas. d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º. 23. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja? b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul? Res: a) 1/9 b) 5/9 24. La probabilidad de resolver correctamente alguna de las dos versiones de la tarea de Martens es 0,45. La de resolver la 1ª es 0,40 y la de la 2ª 0,30 ¿La resolución de las dos versiones es independiente? Res: a) no son independientes 25. La prevalencia de la diabetes es del 4%. La glucemia basal diagnóstica correctamente el 95% de los diabéticos, pero da un 2% de falsos positivos. Diagnosticada una persona ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sea diabética? Res: 0.664 26. Supuesto que los sucesos A1, A2 y A3 son independientes y asumiendo que r = 0, 1, 2, 3 obtener expresiones en términos de P(A1), P(A2) y P(A3) para las probabilidades de los sucesos: a) Ocurren exactamente r sucesos b) Al menos ocurren r sucesos. c) Como máximo ocurren r sucesos. Res: a) r=0 r=1

r=2

r=3 b) r=0 r=1 r=2 r=3 c) r=0 r=1 r=2 r=3

27. Supongamos que entramos en un casino con 20 euros y desearíamos salir con 40 euros. Se nos ofrecen dos posibilidades para aumentar el capital en una ruleta: a) Apostar los 20 euros sobre “pares” en una única jugada. b) Apostar un euro sobre “pares” en cada jugada durante una secuencia de jugadas hasta que pierda sus 20 euros o gane lo deseado. Res: a) 18/38 b) 0.1084 28. ¿Cuál es el mínimo número de alumnos que debe tener una clase para garantizar una probabilidad 0.5 de que el día de cumpleaños de algún alumno coincida con el día de cumpleaños del rector de la universidad? Se asume que los años son de 365 días. Res: a) Menos 253 29. ¿Cuál es el menor número de alumnos que debe tener una clase para garantizar con probabilidad 0.5 que haya al menos dos alumnos con igual día de cumpleaños? Res: a)

30. Un joven tiene un pleito sobre el que cree firmemente que él tiene la razón. Sabe que hay dos tribunales: a) Tribunal A: formado por 3 personas que, con independencia, tienen probabilidad p, p, 1/2 respectivamente de emitir un informe individual correcto. El informe colectivo se obtiene mediante la regla de la mayoría entre los tres informes individuales. b) Tribunal B: formado por 1 persona que tiene probabilidad p de emitir un informe correcto. ¿Por cuál de los dos tribunales debería optar el joven? Razonar la respuesta matemáticamente. Res: a) Es decir, los tribunales tienen la misma probabilidad de emitir un informe acertado sobre un pleito. 31. En una bolsa hay cinco bolas, blancas o negras. Se extrae una bola y es blanca. Hállese la probabilidad de que en la bolsa haya dos blancas y tres negras si para formar la urna se tiraron cinco monedas y se metieron tantas blancas como caras resultaron y tantas negras como cruces. Res: a) ¼ 32. Una urna contiene cinco dados con sus caras de color blanco o rojo. El dado número i (i = 1, 2, 3, 4, 5) tiene i de sus caras blancas y el resto rojas. Se selecciona al azar un dado de la urna, se lanza y sale cara roja. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado seleccionado sea la i? Res: a) 33. Dos personas lanzan una moneda n veces cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengan el mismo número de caras? Res: a) 34. En un pueblo de n +1 habitantes, una persona le rumorea algo a una segunda persona, quien lo repite a una tercera, etc. En cada paso se elige aleatoriamente al receptor del rumor de entre n personas. Encontrar la probabilidad de que el rumor pase r veces sin: a) Regresar al que lo origino. b) Repetírsele a una persona. Res: a) b)

35. Un ropero contiene n pares de zapatos. Si se escogen al azar 2r zapatos (con 2r < n). Cuál es la probabilidad de que: a) No haya ningún par completo. b) Haya exactamente un par completo. c) Haya exactamente dos pares completos. Res: a) b) c) EJERCICIOS 1. En un estudio realizado por una dependencia de transporte y vialidad, se encontró que el 75% de los vehículos de transporte colectivo, tienen alguna irregularidad de acuerdo al reglamento de tránsito. Si se someten 9 de estos vehículos a revisión, hallar la probabilidad: a) Exactamente 3 tengan alguna irregularidad. n= 9 r= # vehículos con alguna irregularidad p=0.75 ; q=0.25 a) p ( r=3 ) =

9! 3 6 ∗(0.75) ∗( 0.25) =0.00865 3 ! ( 9−3 ) !

b) De 3 a 6 inclusive tengan alguna irregularidad P(3 < r < 6) 3, 4, 5, 6 p (3< r p(A)=p=0,5 Suceso Ᾱ tener una niña => P(Ᾱ)=0,5=q=0,5. n=4 (hijos) => B(n,p) => B(4;0,5).

a) Probabilidad de tener tres niños.

6. Dos niños escriben un número impar del 1 al 9 en un papel. Calcular la probabilidad de que sea el mismo. P ( sea el mismo )=P ( 1 ) + P ( 3 ) + P ( 5 )+ P ( 7 )+ P ( 9 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ( sea el mismo )= × + × + × + × + × = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

7. De una baraja de 52 cartas se extraen simultáneamente dos de ellas, hallar la probabilidad de que: a) Las dos sean tréboles P (las dos sean tréboles )=

13 12 1 × = 52 51 17

b) Al menos uno sea Diamantes P ( almenos uno sea diamante )=1−P ( ninguno sea diamante ) 1−

39 38 15 × = 52 51 34

c) Uno sea tréboles y otro diamantes 13 13 13 13 13 P (uno sea trébol y otro diamantes ) = × + × = 52 51 52 51 102

8. En una clase de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres han elegido francés como asignatura. Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea:

a) Hombre o estudie francés. P ( sea hombre o estudie francés ) ¿ P ( hombre ) + P ( estudie francés )−P(hombre y estudie francés) P ( sea hombre o estudie francés )=

10 15 5 2 + − = 30 30 30 3

b) Mujer y no estudie francés. P ( sea mujer y no estudie francés )=P ( mujer ) + P ( no estudie francés ) P ( sea mujer y no estudie francés )=

10 1 = 30 3

9. Dos hermanos salen de caza. El primero mata a 2 de cada 5 animales disparados, y el segundo a 1 de cada 2 animales disparados. Calcular la probabilidad de matar a un animal si los dos disparan al mismo tiempo: P (1 º ó 2 º )=P ( 1º ) + P(2 º )−P(1 º y 2 º) P (1 º y 2 º )=P ( 1º )+ P ( 2 º )−P(1 º ó 2º )

2 1 2 1 7 P (1 º y 2 º )= + − × = 5 2 5 2 10

10. La probabilidad de un hombre de vivir hasta los 50 años es de 1/5 y de una mujer es de ¼. Calcular la probabilidad de: a) Que los dos vivan hasta los 50 años. 1 1 1 P (los dos vivna hasta los50 años )= × = 5 4 20 b) Que el hombre viva hasta los 50 años y la mujer no. 1 3 3 P ( elhombre viva hastalos 50 años y lamujer no ) = × = 5 4 20 c) Que los dos mueran antes de los 50 años. 4 3 3 P (los dos mueranantes de los 50 años )= × = 5 4 5

11. Hallar la probabilidad de que al lanzar tres veces una moneda al aire salga:

CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC SSS a) Tres caras P (tres caras )=

1 8

b) Por lo menos una sello P ( almenos un sello )=1−P ( ningún sello ) 1 7 P ( almenos un sello )=1− = 8 8 12. Un jugador de futbol acierta 3 de cada 5 penaltis que realiza. Para los 3 siguientes lanzamientos, calcular la probabilidad de que: a) Meta solo uno de ellos P ( metauno de ellos )=1−P ( ninguno de ellos ) 2 2 2 P ( metauno de ellos )=1− × × =0,94 5 5 5 b) Meta el último penalti 2 2 3 12 P ( meta elúltimo ) = × × = 5 5 5 125

13. En un librero hay 70 libros de ciencia ficción y 30 obras románticas. Una persona A elije un libro al azar de la estantería y se lo lleva, a continuación una persona B elije otro libro al azar. Calcular la probabilidad de: a) Que el libro escogido por B sea una obra romántica P ( B obra romántica )=

7 30 3 29 3 × + × = 10 99 10 99 10

b) Si se sabe que B eligió un libro de ciencia ficción. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro escogido por A sea una obra romántica. P ( A obra romántica B es Ciencia Ficción )=

P (A romántica)× P(B ciencia ficción ∕ A obra Román P( Ciencias Ficción)

3 70 × 10 99 P ( A obra romántica ∕ BCiencia Ficcón )= =0,3 7 69 3 70 × + × 10 99 10 99 Ciencia Ciencia ficción 7/10

30/9 9

Obra

3/1 0

70/9 9

Ciencia

Obras Románticas

29/9 14. Disponemos de dos urnas: la urna A contiene Obra 5 bolas blancas y 2 negras; y la urna B9 contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si al lanzar un dado sale un número menor que 5, nos vamos a la urna A; y se cae 5 o más vamos a la urna B. Calcular la probabilidad de: a) La bola sea negra de la urna B 1 2 2 P ( sea negra de la urna B )= × = 3 5 15

b) La bola sea blanca. 2 5 1 3 71 P ( blanca) = × + × = 3 7 3 5 105 5/7

BLANCA

2/7

NEGRA

3/5

BLANCA

2/5 5

NEGRA

A 2/3

1/3 B

15. El 30% de los trabajadores de una empresa son ingenieros y otro 30% son abogados. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 40% de los abogados también, mientras que los no ingenieros y los no abogados solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

3/4

directivo

Ingeniero No directivo 1/4

directivo

3/10 2/5

3/10

No directivo

Abogado 3/5 4/10 1/5 Ni ingeniero ni abogado

P (ingeniero/directivo )=

4/5

directivo

No directivo

P(ingeniero)× P(directivo/ingeniero) P(directivo )

3 3 × 10 4 9 P (ingeniero/directivo )= = 3 3 3 2 4 1 17 × + × + × 10 4 10 5 10 5

16. Una bolsa contiene 2 bolas negras, 3 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas verdes. Se extrae una bola de la bolsa, describe el espacio muestral y calcula la probabilidad: d) La bola es de color rojo e) La bola no es negra f) La bola es blanca o verde

17. De una baraja española de cuarenta cartas, se extrae una y se considera los siguientes sucesos: O = la carta es de oros, F = la carta es una figura. Calcular la probabilidad de O, F, O∩F, O∪F.

18. Un producto está compuesto de cuatro piezas. La probabilidad de que la primera sea defectuosa es de 2 de cada 1000, que la segunda sea defectuosa de 4%, que la tercera sea defectuosa 7% y que la cuarta se defectuosa 1%. Calcular la probabilidad de que el producto tenga alguna pieza defectuosa.

19. La probabilidad de aprobar lengua son del 80%, las de aprobar matemáticas del 75% y las de aprobar ingles del 70%. Calcula: a) la probabilidad de aprobar las 3 asignaturas.

b) la probabilidad de suspender solo una. c) si se ha suspendido solo una, la probabilidad de que haya sido matemáticas.

20. El volumen de producción de dos plantas de una empresa es de 8000 y 10 000 unidades de producto por día. El porcentaje de piezas defectuosas es del 0,5% en la primera fábrica y del 0,8% en la segunda. Calcular la probabilidad de que al elegir un producto al azar sea defectuoso.

21. En una asignatura universitaria de primero asisten a clases 100 de los 150 alumnos matriculados. Se sabe que aprueban el 90% de los alumnos asistentes y el 30% de los que no asisten. Se elige un alumno al zar. Calcular: a) la probabilidad de que haya aprobado.

b) si se sabe que el alumno ha suspendido, la probabilidad de que haya asistido a clases.

22. Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso, calcular: e) Escriba el espacio muestral. f) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta. g) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas. h) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.

23. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar: c) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja? d) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?

24. La probabilidad de resolver correctamente alguna de las dos versiones de la tarea de Martens es 0,45. La de resolver la

1ª es 0,40 y la de la 2ª 0,30 ¿La resolución de las dos versiones es independiente?

25. La prevalencia de la diabetes es del 4%. La glucemia basal diagnóstica correctamente el 95% de los diabéticos, pero da un 2% de falsos positivos. Diagnosticada una persona ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sea diabética? Sea D el suceso de tener diabetes, ~D el suceso de no tenerla y Gl+ el suceso de dar positivo en la prueba de la glucemia basal. Los datos del problema nos dicen que: P(D) = 0,04 P(~D) = 0,96 P(Gl+ / D) = 0,95 P(Gl+ / ~D) = 0,02 Entonces el teorema de Bayes, escrito en los términos de este problema nos dice que:

26. Supuesto que los sucesos A1, A2 y A3 son independientes y asumiendo que r = 0, 1, 2, 3 obtener expresiones en términos de P (A1), P (A2) y P (A3) para las probabilidades de los sucesos:

d) Ocurren exactamente r sucesos e) Al menos ocurren r sucesos. f) Como máximo ocurren r sucesos.

27. Supongamos que entramos en un casino con 20 euros y desearíamos salir con 40 euros. Se nos ofrecen dos posibilidades para aumentar el capital en una ruleta: c) Apostar los 20 euros sobre “pares” en una única jugada. d) Apostar un euro sobre “pares” en cada jugada durante una secuencia de jugadas hasta que pierda sus 20 euros o gane lo deseado.

28. ¿Cuál es el mínimo número de alumnos que debe tener una clase para garantizar una probabilidad 0.5 de que el día de cumpleaños de algún alumno coincida con el día de cumpleaños del rector de la universidad? Se asume que los años son de 365 días.

29. ¿Cuál es el menor número de alumnos que debe tener una clase para garantizar con probabilidad 0.5 que haya al menos dos alumnos con igual día de cumpleaños?

30. Un joven tiene un pleito sobre el que cree firmemente que él tiene la razón. Sabe que hay dos tribunales: c) Tribunal A: formado por 3 personas que, con independencia, tienen probabilidad p, p, 1/2 respectivamente de emitir un informe individual correcto. El informe colectivo se obtiene mediante la regla de la mayoría entre los tres informes individuales. d) Tribunal B: formado por 1 persona que tiene probabilidad p de emitir un informe correcto.

¿Por cuál de los dos tribunales debería optar el joven? Razonar la respuesta matemáticamente.

31. En una bolsa hay cinco bolas, blancas o negras. Se extrae una bola y es blanca. Hállese la probabilidad de que en la bolsa haya dos blancas y tres negras si para formar la urna se tiraron cinco monedas y se metieron tantas blancas como caras resultaron y tantas negras como cruces.

32. Una urna contiene cinco dados con sus caras de color blanco o rojo. El dado número i (i = 1, 2, 3, 4, 5) tiene i de sus caras blancas y el resto rojas. Se selecciona al azar un dado de la urna, se lanza y sale cara roja. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado seleccionado sea la i?

33. Dos personas lanzan una moneda n veces cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengan el mismo número de caras?

34. En un pueblo de n +1 habitantes, una persona le rumorea algo a una segunda persona, quien lo repite a una tercera, etc. En cada paso se elige aleatoriamente al receptor del rumor de entre n personas. Encontrar la probabilidad de que el rumor pase r veces sin: c) Regresar al que lo origino. d) Repetírsele a una persona.

35. Un ropero contiene n pares de zapatos. Si se escogen al azar 2r zapatos (con 2r < n). Cuál es la probabilidad de que: d) No haya ningún par completo. e) Haya exactamente un par completo. f) Haya exactamente dos pares completos.