Ion Cojocaru 2

Ion COJOCARU

TEORIA ŞI METODOLOGIA INSTRUIRII MATEMATICE ÎN CICLUL PRIMAR Partea a II-a Didactici particulare Suport de curs

Chişinău, 2013 C.Z.U.: 37.016.046:51 C61 Lucrarea a fost recomandată pentru tipar de Senatul Universităţii de Stat dir proces verbal

Obiectivele generale ale suportului de curs: ,, Teoria şi metodologia instruirii matematice în clasele primare‖ • a cunoaşte metodele didactice specifice caracteristice procesului educaţional şi teoria aferentă adecvată în domeniul predării matematicii în clasele primare a înţelege legităţile căror se supun metodele de predare-învăţare-evaluare a matematicii în clasele primare; • a forma sistemul de competenţe necesare pentru a rezolva problema dată în mai multe variante; • a forma competenţe de a rezolva o problemă dată prin cea mai adecvată şi cea mai eficientă metodă; • a forma la studenţi abilităţi de determinare a nivelului de cunoştinţe ce trebuie sa posede elevii pentru aplicarea competentă a cunoştinţelor şi abilităţilor achiziţionate în cele mai variate situaţii; • a forma competenţe de a argumenta din punct de vedere a didacticii matematicii calea cea mai corectă de soluţionare a problemei date; • a forma abilităţi de determinare a erorilor comise de elevi în aplicarea cunoştinţelor achiziţionate în cele mai variate şi mai diverse situaţii din practica cotidiană şi, în special, în rezolvarea problemei propuse în discuţie, cât şi a căilor de corectare şi modelare a acestora; • a familiariza studenţii cu lucrul raţional de pregătire al elevilor necesar pentru organizarea corectă a rezolvării unei probleme matematice, • a forma abilităţi de cercetare în domeniul cunoaşterii strategiilor euristice de aplicare în practica de lucru a cunoştinţelor achiziţionate şi de rezolvare a problemelor în învăţământul matematic în clasele primare; • a compara între ele procedeele de rezolvare a unor probleme tipice şi de a determina prin ce diferă şi ce este comun în aceste rezolvări; • a forma poziţia civică a studentului faţă de importanţa rezolvărilor corecte şi a verificării corectitudinii celor realizate prin mai multe variante; • a forma atitudinea părtinitoare faţă de răspândirea necontenită a ideilor progresiste de studiere a matematicii şi de soluţionare a problemelor matematice, a importanţei de a valorifica şi educa tânăra generaţie în spiritul învăţământului matematic continuu. CAPITOLUL I METODOLOGIA STUDIERII NUMERAŢIEI NUMERELOR NATURALE Învăţământul cu frecvenţa la zi 4 ore prelegeri, 4 ore seminare practice, pentru grupele cu frecvenţa redusă se prevăd 2 ore.

1.1.

Obiective generale ale modulului

Caracteristica esenţială a conţinutului şi sistemului de construire a cursului de matematică în clasele primare are orientare spre formarea la elevii mici a noţiunii de număr natural, care în continuare va fi aplicată la formarea noţiunii de operaţii matematice asupra numerelor naturale şi creării unui fundament logic pentru extinderea ulterioară a noţiunii de număr. Acest lucru are o durată extinsă pe parcursul a celor patru ani de studii în clasele primare şi în continuare în cele gimnaziale şi liceale . Curriculumul în vigoare orientează o extindere treptată a domeniului de studiere a numerelor prin concentre aparte. Concentrismul în construirea conţinuturilor este indisolubil legat de particularităţile sistemului zecimal de numeraţie şi de însăşi modalitatea de numărare. Studiind acest capitol studenţii trebuie: • să cunoască metodologia de p-î-e privind formarea conceptului de număr natural, ca proprietate specifică comună a mulţimilor finite echivalente sau aplicând axiomatica lui G. Peano; • să aplice procedeele didactico-metodice de învăţare a numerelor naturale de orice mărime, pe concentrele date, ţinând seama de caracterul poziţional al sistemului zecimal de numeraţie; • să poată dirija procesul de p-î-e pentru însuşirea algoritmilor de compunere şi descompunere a numerelor şi de determinare a relaţiei de ordine între ele; • să aplice metode şi strategii didactico-metodice în măsură să stimuleze capacităţile intelectuale ale elevilor, să cultive dragostea şi interesul lor pentru matematică şi să formeze sistemul necesar de competenţe, • să distingă clar în descrierea numerelor naturale aspecte legate de semnul grafic - simbolul matematic corespunzător cifrei, denumirea numărului în plan lingvistic şi noţiunea matematică propriu-zisă de cifră-număr. În didactica matematicii se aplică două repere sau două modalităţi asupra formării conceptului de număr natural: unul are ca punct de plecare noţiunea de corespondenţă între mulţimile finite, altul utilizează noţiunea de succesiune a numerelor în şirul numerelor uniunile Pentru a opera corect în studiul numerelor naturale, studentul trebuie să cunoască noțiuni, relaţii, metodele şi algoritmi, care împreună formează modelul matematic al teoriei numerelor naturale. Necunoaşterea, nerespectarea sau aplicarea incorectă a acestora creează reprezentări greşite asupra mulţimilor numerice, care duc la îngreunarea procesului de însușire corectă şi conştientă a noţiunilor, a conceptelor de bază şi a relaţiilor matematice, şi în final al limbajului matematic. 1.2 Problema celor trei limbaje In şcoală, în special, în clasele primare există o problemă, care trebuie soluţionată pe tot parcursul anilor de şcolarizare. Aceasta este problema celor trei limbaje: limbajul elevului cu vocabularul de cuvinte achiziţionat de el la moment (experienţa proprie), limbajul învăţătorului, care trebuie să-l înveţe pe elev matematica şi limbajul ştiinţific al matematicii expus prin manuale, curriculum, literatură didacticometodică. învăţătorul este acel îndrumător, care îl duce pe elev zi de zi spre însuşirea corectă a noţiunilor abstracte matematicii, transpunerea limbii vorbite în expresii şi simboluri matematice şi îi formează deprinderi de a utiliza şi aplica corect un nou limbaj - limbajul matematic, considerat la moment limbajul tuturor ştiinţelor. Înserăm aici gândurile unor dintre cei mai mari cugetători ai timpurilor: Galileo Galilei spunea că până şi natura vorbeşte în limbajul matematic avînd drept cuvinte semne, simboluri, cifre, figuri şi el, în primul rând, iubeşte matematica ca şi marele Platon ce considera matematica drept o ştiinţă, care necesită exactitatea şi rigurozitate, acceptând ca adevărat doar acel raţionament, ce rezultă ca o urmare logică din cele demonstrate, de altfel Francisc Becon menţiona că matematica este prima dintre toate ştiinţele şi totodată este utilă şi necesară pentru ele. 1.3 Conceptul de mulţime: operaţii asupra mulţimilor, cardinalul unei mulţimi În matematica contemporană la baza formării noţiunii de număr stă noţiunea de mulţime care este

considerată drept noţiune primară, care nu se defineşte. Studenţii trebuie să repete materia de studiu la tema dată din programa matematicii şcolare preuniversitare la tema dată în următoarea succesiune: • Noţiunea de mulţime în matematică şi în limba vorbită. • Elementele unei mulţimi, • Relaţii între mulţimi. • Cardinalul unei mulţimi. • Operaţii asupra mulţimilor. • Redarea unei mulţimi: analitic şi sintetic. • Probleme logice cu mulţimi. 1.4. Conceptul de număr natural Conceptul de număr natural este una din cele mai importante în matematica claselor primare în baza căruia se realizează studierea operaţiilor matematice şi a relaţiilor de ordine. 1.1.1.

Numere naturale ca numere cardinale

Conceptul de număr rezultă din noţiunile de mulţime şi de relaţie dintre mulţimile echipotente A~B, adică când între două mulţimi există o bijecție a mulţimii A pe mulţimea B şi viceversa. Relaţia de echipotenţă „~ ‖ posedă următoarele proprietăţi: a) Este reflexivă, adică A~A. b) Este simetrică, adică, dacă A~B—B~A. c) Este tranzitivă, adică dacă A~B şi B~C - A~C. Relaţia de echipotenţă fiind reflexivă, simetrică şi tranzitivă este o relaţie de echivalenţă. Aceasta indică faptul că mulţimile date sânt împărţite de relaţia de echipotenţă în clase disjuncte, numite clase de echipotenţă sau cardinale, notate card A, card B etc. Această noţiune abstractă la elevii mici trebuie de lămurit în următorul mod. Fie că este dată o mulţime compusă din mai multe mulţimi ale părţilor ei. O asemenea mulţime ar fi formată din mulţimea vidă, din mulţimi a câte 1 element, din mulţimi a câte 2 elemente, din mulţimi a câte 3 elemente etc., care sânt submulţimi ale mulţimii date. Nu ne interesează natura acestor elemente, nici forma, nici culoarea. Atragem atenţia doar la mulţimile echipotente, adică acele, care au acelaşi număr de elemente de ce natură nu ar fi ele. Dacii relaţia de echipotenţă întruneşte toate mulţimile care au această proprietate într-o clasă tic echipotenţă (cu câte un element: o steluţă, un triunghi, un balon, o ciupercă, un ursuleţ etc.), atunci această clasă o vom numi cardinalul UNU şi îl vom nota cu semnul 1 sau (cu câte 2 elemente: 2 lebede, 2 pătrate, 2 mingi etc.) - cardinalul DOI şi îl vom nota cu semnul 2 ele Mulţimea vidă va determina clasa cărei îi vom zice clasa ZERO şi pe care o notăm cu cumul 0. Se construiesc în mod succesiv progresiv toate clasele de echipotenţă, deci toate numerele cardinale. Se face o generalizare şi se spune că: se numeşte număr natural cardinalul unei mulţimi finite. Deci toate cardinalele pe care noi le-am construit sânt numere naturale. Mulțimea numerelor naturale se notează cu N şi conţine următoarele elemente N = {0, 1, 2, 3…} Mulţimea N este prima mulţime numerică cu care se lucrează în clasele primare şi pe care o cunoaşte şcolarul mic. Axiomatica lui Peana Pentru cercetarea proprietăţilor numerelor naturale este uneori incomod de a apela mereu la clase de mulţimi, adică la definiţia numerelor naturale. O altă abordare este construirea mulţimii N în baza conceptului de succesiune în conformitate cu axiomele lui Giuseppe Peano (1858-1932), care a arătat că toate proprietăţile numerelor naturale rezultă din următoarele 5 axiome care-i poartă numele: 1.1.2.

1. 2. 3. 4. 5.

0 este un număr natural. Orice număr natural n are doar un singur succesor n 0 nu este succesorul nici unui număr. numere distincte au succesori distincţi. Mulţimea numerelor naturale este cea mai mică mulţime cu proprietăţile: • îl conţine pe 0, • odată cu oricare număr n, conţine şi succesorul lui n.

Aspectul cardinal al numărului natural Încă din cele mai vechi timpuri omul mereu a trebuit să compare diferite mulţimi de obiecte, mai ales când a început schimbul de mărfuri ei comparau mulţimi de pietre, săgeţi, piei, fructe, peşti etc. Actualmente aceasta se realizează prin numărarea şi compararea numerelor obţinute ca rezultate ale numărării. Aceasta presupune că deja se cunosc numerele şi se ştie a număra. Cum se procedează cu micul şcolar? El realizează o ordonare în perechi a elementelor mulţimilor ce se compară după principiul unu la unu, adică realizează o corespondenţă. Din această ordonare se poate constata dacă mulţimile au tot atâtea elemente, adică sânt echipotente - au aceeaşi putere sau o mulţime are mai multe (mai puține) elemente decât cealaltă. Toate mulţimile care pot fi ordonate complet au o proprietate comună, adică au același număr de elemente. In acest mod se formează noţiunea de număr cardinal. 1.1.4. Aspectul ordinal al numărului natural Necesitatea de a determina o ordine între elementele sau submulțimile din interiorul unei mulţimi a condus la aspectul ordinal al numărului natural. După un anumit criteriu (înălţime, greutate, rezultatele la învăţătură) se poate determina o ierarhie a elevilor dm clasă, adică cine este primul, al doilea etc. Numărul de ordine ataşat în acest mod într-o anumită succesiune se numeşte număr ordinal. În mod similar se poate proceda şi cu numerele naturale, care deja sânt bine ordonate, cum crescător aşa şi descrescător. Ambele aspecte atât cel cardinal, cât şi cel ordinal s-au format şi dezvoltat în conformitate cu metoda genetico-istorică de cercetare într-o legătură permanentă unele cu altele şi determină aspectele fundamentale ale numerelor naturale, la care se adaugă şi numărul zero. 1.1.3.

Relaţia de ordine în N Ordonarea numerelor naturale este evidentă şi reflectată în totul ce ne înconjoară. Pentru a demonstra că mulţimea N este ordonată vom apela la axiomele lui G. Peano şi la axioma lui Arhimede. Axioma 2. a lui Peano spune că orice număr natural dat are un succesor. Aceasta confirmă că în şirul numerelor naturale nu există nici un număr despre care se poate afirma că el este ultimul. Prin urmare acest şir este infinit. Axioma 3. indică că 0 nu este succesorul nici a unui număr natural. Aşa cum oricare alt număr din acest şir are un predecesor, rezultă că 0 este primul număr al acestui şir. Pentru oricare două numere naturale n1 şi n2 există una dm cele trei relaţii: • n1 este mai mic decât n2; n1 < n2 (7 < 9); • n1 este mai mare decât n2; n1> n2 (7 > 3); • n1 este egal cu n2 ; c = n2 (7 = 7). Cu alte cuvinte, prin relaţia de succesiune în acest şir s-a introdus o relaţie între două elemente vecine relaţia de ordonare, relaţie notată cu semnul grafic „>‖ care indică anume că n' > n. Pentru două numere naturale oarecare a şi b se introduce o relaţie care respectă principiul relaţiei de succesiune în felul următor: dacă există un număr oarecare c (nu este egal) 0 astfel încât a=b + c, atunci se spune că a este mai mare 1.1.5.

decât b sau b este mai mic decât a şi se scrie a > b respectiv b < a (trihotomia). Se verifică în acest mod că această relaţie este o relaţie de ordine totală, adică mulţimea N este o mulţime total ordonată. Operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor pe această mulţime sânt monotone. La cele spuse se mai ataşează şi Axionul lui Arhimede Pentru două numere naturale oarecare a şi b, a > 0 există un număr natural n > 0 astfel încât a*n > b. Ţinând cont de aceste proprietăţi se poate spune că mulţimea numerelor naturale este o mulţime total ordonată. Sisteme de numeraţie In istoria matematicii este cunoscut cum oamenii au început a număra în cadrul diferitor civilizaţii, fiind utilizate cele mai variate baze ale sistemului de numeraţie: 2, 5, 10, 12, 20, 60. Prezentarea cifrelor şi a numerelor având cele mai variate forme. Cea mai simplă îndure a lor fiind răbojul, care în varianta cea mai primitivă avea notarea prin crestături sau liniuțe. Răbojul Acest sistem este un sistem popular atestat la români din vechime. El consta din anumite semne şi are mai multe variante. Sistemul de numărare pe răboj în variantele expuse este destul de simplu: fiecărui element numărat îi corespunde o linie. Iată primele zece miniere scrise în trei variante de răboj, care se folosesc şi astăzi în cazărmi, penitenciare, la competiții sportive etc. Astfel de modalităţi de notare a numerelor sânt comode şi eficiente în cazul când se operează cu mulţimi finite şi care nu au multe elemente. Este ne economic de a utiliza un simbol și un cuvânt nou pentru fiecare număr natural. Din aceste considerente se impune o modalitate de stabilire a unui anumit număr cât mai mic de simboluri şi cuvinte care să se combine în cele mai diverse moduri pentru a forma numere noi. După felul de grupare şi ordonare se deosebesc două feluri de sisteme de numeraţie: • sistemul de numeraţie aditiv, • sistemul de numeraţie poziţional. Sistemul de numeraţie aditiv, este atestat la multe popoare, cel mai caracteristic fiind cel roman. El foloseşte doar şapte simboluri, numite cifre romane, care corespund anumitor numere, după cum urmează: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 din care prin modalitatea aditivă de operare cu ele se pot căpăta un șir destul de impunător de numere naturale, însă fără zero. Regula de operare este: dacă semnul mai mic după valoare se află înaintea semnului cu culoarea mai mare apoi ele se scad, IV IX XL XC CD CM 4 9 40 90 400 900 iar dacă semnul mai mic urmează după semnul mai mare, atunci ele se adună, VI VII VII 6 7 8 însă în cadrul unui număr nu se admite de a scrie mai multe de trei semne de acelaşi fel la rând. De exemplu, 3496 = MMMCDXCVI. Pentru numere foarte mari s-a convenit ca grupul de cifre ce reprezintă clasa miilor să se scrie cu o bară deasupra, iar cel ce exprimă clasa milioanelor cu două bare etc. De exemplu, 579486341 = DLXXIX CDLXXXVI CCCXLI . Acest sistem este nepoziţional. Sistemul de numeraţie zecimal poziţional, inventat de hinduşi şi răspândit în lume prin intermediul 1.5.

arabilor, este un sistem poziţional. În acest sistem de numeraţie numit sistemul zecimal poziţional de numeraţie se folosesc doar 10 simboluri numite cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. În cadrul acestui sistem de numeraţie unităţile formează prima grupă, care se scrie doar cu ajutorul unei cifre, zece unităţi formează o nouă grupă în care numerele se scriu deja cu ajutorul a două cifre pe care le numim zeci, zece grupe de câte zece formează altă grupă în care numerele se scriu cu ajutorul a trei cifre similare pe care le numim sute, zece sute formează altă grupă în care numerele se scriu cu ajutorul a patru cifre de acelaşi fel pe care le numim mii ş.a.m.d. în acest sistem locurile ocupate de cifre se numerotează de la dreapta la stânga şi se numesc ordine. Un ordin oarecare este de 10 ori mai mare decât ordinul precedent, dacă gruparea se face în sistemul zecimal. Absenţa unui ordin se face prin scrierea cifrei 0 (zero). 1.1.6. Baze Numărul de cifre cu care se operează în sistemul poziţional se numeşte baza sistemului dat. Există sisteme de numeraţie în diverse baze: 2, 5, 8, 12, 60, în cadrul cărora obiectele ce se numără se grupează câte 2, câte 5, câte 8 etc. De la sistemul în baza 5 ne-a rămas palma, de la cel în baza 12- duzina, anul, de la cel în baza 60 - unităţile de timp. O importanţă extrem de mare în tehnica şi viaţa cotidiană actuală îl joacă sistemul în baza 2 numit sistemul binar sau dual. În acest sistem se utilizează doar 2 simboluri - 2 cifre: 0 şi 1. Aceasta este baza de lucru a unui computer modern. In dependenţă de baza sistemului valorile de poziţie prezintă puteri ale bazei sistemului dat. 1.1.7. Scrierea sistematică a unui număr într-o bază oarecare In sistemul zecimal de numeraţie valorile de poziţie prezintă puteri ale lui zece. De exemplu, numărul 3476 în scris are următoarea structură logică bazată pe baza cu care operează sistemul utilizat 3476=3*103 +4*102 +7*10 + 6 Un număr scris în baza 8 foloseşte opt semne (cifre), care pot fi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Se citeşte şi se scrie în această bază, de exemplu numărul 35706(8), care se citeşte trei cinci șapte zero şase în baza opt şi nu cum noi ştim a citi în baza 10. El se scrie sistematic astfel: 35706(8) = 3*84 + 5*83 +7*8 2 + 0*8 + 6. În sistemul binar, poziţiile prezintă puterile numărului 2. Numărul 111011 (2) se scrie sistematic astfel 111011(2)= l*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1. 1.1.8. Trecerea unui număr din baza 10 într-o bază oarecare Se realizează împărţirea numărului dat în baza 10 la numărul care reprezintă baza în care urmează să scriem numărul dat iniţial. Câtul căpătat se împarte din nou la bază. Acest procedeu urmează a fi executat până când căpătăm un cât care nu mai poate fi împărţit la numărul care indică baza dată, adică câtul căpătat este un număr mai mic decât baza în care urmează ca noi să scriem numărul în baza 10. Se scriu doar numerele ce se capătă de la ultimul cît, apoi ultimul rest, urmând toate resturile până la primul. Numărul căpătat din ultimul cît și aceste resturi în ordine retrogradă va fi numărul căutat în baza căutată. Exemple: 1793=x(6)12145(6). 4675=x(8)=11103(8). 1.1.9. Trecerea unui număr dintr-o bază oarecare în baza 10 Se scrie sistematic în forma standard în baza respectivă şi se efectuează calculele în baza 10. De exemplu: 111011(2)=1*25+1*24+1*23+0*22+1*21+1=31+16+8+0+2+1=59 11110101(2)=1*27+1*26+1*25+1*24+0*23+1*22+0*21+1=128+64+32+16+4+1=245

1.1.10. Operaţii cu numere naturale în diverse baze Operaţiile se execută la fel ca şi în sistemul zecimal de numeraţie, ţinându-se cont d baza sistemului în care se lucrează. Adunarea: 6 7 4 5 (8) 3 4 5 7 (8) _________, 1 2 4 2 4 (8) Scăderea: 6 2 3 4 (7) 2 5 4 6 (7) _________, 3 3 5 5 (7) Înmulțirea: 7 4 5 (8) 3 5 2 (8) _________, 1712 4571 2657 ___________ 3 3 5 5 5 2 (8) Împărţirea: E dificil de executat împărţirea a două numere în aceeaşi bază, mai ales când numerele cu care se operează, atât deîmpărţitul cât şi împărţitorul sânt de mai multe cifre. Din această cauză se recomandă de a transforma atât deîmpărţitul cât şi împărţitorul din baza dată în baza zecimală, de efectuat împărţirea numerelor căpătate în sistemul zecimal, apoi rezultatul căpătat de transformat în baza necesară. Elemente de metodologie a formării noţiunii de număr natural 1.1.11. Preliminarii în p-î-e a conceptului de număr natural Elevii din clasele mici se află în stadiul operaţiilor concrete. La această etapă ei învaţă îndeosebi sprijinindu-se pe intuiţie şi manipulare directă cu obiecte concrete, iar activitatea lor matematică reproduce, în anumite limite, spaţiul fizic în care aceste obiecte se dezvoltă. In conformitate cu acestea, cunoaşterea şi modelarea obiectelor prezintă pentru învăţarea matematicii un interes special esenţial. Cercetările realizate în psihologia genetică şi cea a învăţării au arătat că:  în jurul vârstei de 3-4 ani copiii sânt apţi de a localiza un set de obiecte într-un sistem de relaţii spaţiale la vârsta de 4-5 ani copiii sânt capabili să copieze un pătrat şi să reproducă forma unei figuri oarecare închise; se formează intuitiv noţiunile figurative de interior şi exterior, de închis şi deschis; • după vârsta de 5 ani ei devin capabili să reproducă o anumită ordine spaţială simplă; doar în anumite cazuri ei pot realiza operaţia inversă; • către începutul şcolarizării posibilităţile copiilor de a înţelege corect spaţiul geometric se lărgesc în mod considerabil; apar şi se dezvoltă primele operaţii logice: conjuncţia, disjuncţia şi negaţia, formarea mulţimilor după una sau mai multe proprietăţi ale elementelor lor cultivă şi dezvoltă la elevi capacitatea de a lega între ele proprietăţile obiectelor care leagă o mulţime, cu ajutorul 1.6.

relaţiilor: sau - corespunzător disjuncţiei (pătrat sau triunghi), şi - corespunzător conjuncţiei a două proprietăţi (pătrat şi roşu), nu sau non - pentru negaţia unei proprietăţi (nu este pătrat), cu ajutorul operaţiilor logice se introduc operaţiile asupra mulţimilor: reuniunea, intersecţia şi diferenţa a două mulţimi, pentru care învăţătorul ar trebui să preia unele jocuri logice de la preşcolari; • la vârsta de 6-7 ani pot să organizeze în mod concret spaţiul fizic; ei înţeleg corect şi pot să explice anumite proprietăţi ale figurilor geometrice, să noteze grafic deplasările unui corp fizic, să construiască mulţimi de obiecte după anumite proprietăţi ale elementelor ce le conţin, apar primele semne ale formării noţiunii de măsură, pot determina sesizarea poziţiei unui obiect faţă de altul şi aprecia distanţa dintre ele, pot înţelege conceptul de figură geometrică: triunghi, dreptunghi, cerc; apar primele reprezentări asupra invarianţei cantităţii - ei pot determina şi stabili corespondenţa între elementele a două mulţimi şi să exprime rezultatul acestei activităţi prin cuvintele: mai mult, mai puţin, toi atât, care apar în rezultatul stabilirii corespondenţei element cu element a două mulţimi; introducerea conceptului de număr natural impune, ca o etapă pregătitoare, familiarizarea elevilor cu noţiunea de relaţie de echivalenţă a mulţimilor de clasă de echivalenţă, de funcţie bijectivă, care se poate face pe două căi: corespondenţa element cu element şi construirea unei mulţimi echivalente cu o mulţime dată. Cercetările psihologice indică că la această vârstă învăţătorul trebuie să urmărească ca elevul să folosească un limbaj cât mai aproape de limbajul matematic. Când afirmaţiile elevilor conţin idei corecte, dar formulate într-un limbaj nesigur, aprecierea învăţătorului trebuie să fie pozitivă, subliniindu-se partea corectă a răspunsului dat de elev şi ajutându-i să-și corecteze modul de a se exprima cât mai concis într-un limbaj corect matematic. Specificul p-î-e numerelor în concentrul 0-10 Pe primele zece numere naturale se ridică fundaţia pe care în continuare se dezvoltă întreaga operă a gândirii matematice a elevului mic şi de studiere în continuare a matematicii, de aceea acestui compartiment trebuie să i se acorde o atenţie deosebită. Este primul contact al copiilor cu matematica, perioada când ei încep a utiliza în vorbire primele cuvinte pentru denumirea numerelor şi a cifrelor pentru scrierea lor. A utiliza, a reproduce denumirea unui număr sau a şti să numere mecanic nu înseamnă că elevul a însuşit corect conceptul de număr natural. Însuşirea conştientă a noţiunii de număr se fundamentează pe: a) înţelegerea numărului ca o proprietate a mulţimilor cu acelaşi număr de elemente - cardinalul mulţimilor echivalente (clasa tuturor mulţimilor finite echivalente cu o mulţime cu un singur element este numărul 1 etc.); a) intuirea locului fiecărui număr în şirul numerelor naturale de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numărului); b) înţelegerea semnificaţiei reale a relaţiei de ordine pe mulţimea numerelor naturale şi a denumirilor corespunzătoare: mai mare, mai mic, tot atât; c) cunoaşterea cifrelor corespunzătoare numărului; d) citirea cifrelor de tipar şi scrierea cifrelor de mână. 1.1.12.

Comparând ideea caracterului stadial al dezvoltării intelectuale (după Jean Piaget) ci modalităţile principale de prezentare a realităţii în învăţare - acţionai, iconic şi simbolic (după Jerome Bruner) se poate încă din clasa I-a, bazându-ne pe teoria mulţimilor, a descompunerii numerelor, să trecem într-un mod raţional şi eficient de la gândirea reproductivă la cea probabilistică, de la formele operatorii mentale concrete la cea abstracte, chiar dacă la această vârstă simbolurile nu se desprind de suporturile lor obiective. Sugestie metodică - un model metodologic de p-î-e a numărului natural 5, de compunere şi descompunere a acestuia. Activitatea didactică începe cu pornirea de la numărul natural însuşit anterior - de li

Se arată în mod practic că dacă la o mulţime de 4 obiecte mai vine un asemenea obiecte se fac 5. Se va continua cu toate posibilităţile de compunere a numărului 5. În acest fel, acţiunea directă se proiectează în conştiinţa copiilor sub forma schemei de prezentare a acţiunii de compunere a numărului 5 (dacă o bilă vine spre 4 bile se fac 5 etc.). Se continuă apoi operaţia inversă, de descompunere (dacă iau o bilă de la 5 bile rămîn 4 bile etc.) Se trece la învăţarea scrierii cifrei 5, după ce elevii vor repeta verbal toate posibilităţile de compunere şi descompunere a cifrei 5. In caietele elevilor se fac desene diagrame de compunere şi descompunere, apoi în ui lor, apar relaţii simbolice de tipul: 1 4=5, 2 3=5, 3 2=5, 4 1=5, 5 0=5. sau 0 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 0

5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5

Toate acestea pregătesc elevii pentru a sesiza şi înţelege în mod operaţional adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0- 10. Aceasta îi va ajuta şi la introducerea simbolicii algebrice de forma a+2 = 5, 5-b=1. Acest lucru este motivat de faptul că fiecare elev are în plan mental un micro model acțional de tip algoritmic. Elevul rezolvă exerciţiul fie prin eroare-încercare, fie pe cale probabilistică până va ajunge la soluţie. La ei deja acţiunea mentală este formată. În formarea conceptului de număr natural acţiunea va precede intuiţia, modelul didactic presupinând parcurgerea următoarelor etape: • activităţi şi acţiuni cu mulţimi de obiecte; • schematizarea acţiunii şi reprezentarea grafică a mulţimilor; • traducerea simbolică a acţiunilor. Sugestie metodică - un nou model metodologic de p-î-e a numărului natural 5. Construcția mulţimilor prin echivalenţe cu mulţimea model, presupune angajarea activă a gîndirii copilului în realizarea progresivă a esenţialului şi generalului matematic, parcurgând etapele: a) se construieşte o mulţime care are tot atâtea elemente câte indică numărul anterior învăţat şi o mulţime cu un singur element; b) se reunesc acele 2 mulţimi. Mulţimea nou formată se deosebeşte de cea cunoscută anterior prin faptul că are cu un element mai mult. Se dă denumire mulțimii nou formate şi numeşte cardinalul ei; c) se construiesc mulţimi echivalente, prin corespondenţa element cu element; se subliniază faptul că numărul indică câte elemente are fiecare din mulţimile echivalente construite; d) se arată semnul grafic sau cifra corespunzătoare numărului. Se scrie pe tablă și elevii în caiete. Scrierea de mână a cifrei se face odată cu predarea corespunzătoare a numărului pentru a se realiza o legătură cât mai strânsă între număr, exprimarea sa verbală şi simbolul său grafic care este cifra.

O deosebită atenţie trebuie acordată procesului de înţelegere a semnificaţiei cifrei 0 (zero), deoarece aceasta reprezintă pentru copil o dublă abstracţie: cifra 0 nu mai exprimă ca, alte cifre ceva concret, ea este simbolul clasei de mulţimi care nu au nici un element, adică a mulţimilor vide. Pentru ai deprinde pe elevi cu relaţia de succesiune a numerelor naturale este necesar ca, paralel cu introducerea numărului nou să fie însuşită şi relaţia de ordine a acestuia cu numărul dat şi cu numerele învăţate anterior, atât în ordine crescătoare cât şi în ordin mi descrescătoare. Curriculumul în vigoare prevede pentru predarea fiecărui număr în concentrul 0-10 câte 2 lecţii. In cadrul primei lecţii se introduce conceptul de număr, iar în cadrul celei de-a doua - se introduce relaţia sa de ordine cu numărul dat şi numerele studiate anterior. De exemplu: Pentru determinarea relaţiei de ordine a numărului 5 cu cel învăţat anterior (4) şi ci celelalte numere învăţate anterior (1, 2, 3) se poate proceda în felul următor: a) se construieşte o mulţime cu 4 elemente şi alta cu 5; b) se pun în corespondenţă 1 la 1 elementele celor 2 mulţimi şi se determină că mulţimea cu 4 elemente are cu 1 element mai puţin de cât mulţimea cu 5 elemente; c) se explică elevilor că pentru a indica faptul că mulţimea cu 4 elemente are cu 1element mai puțin de cât mulţimea cu 5 elemente se foloseşte semnul „4 şi vom citi în modul corespunzător, d) se scriu apoi numerele în ordine crescătoare şi descrescătoare, utilizând semnele corespunzătoare: 00. Pentru a contribui la conturarea premiselor necesare abstractizării structurilor operaţionale se propun următoarele însărcinări:  completarea şirului numerelor naturale de la 0 la 10 cu numerele care lipsesc;  cunoaşterea locului fiecărui număr natural în acest şir prin precizarea numărului dinaintea fiecărui sau de după el, deci a numerelor vecine lui;  stabilirea relaţiei de ordine între două numere date, chiar dacă ele nu sânt numere consecutive;  ordonarea mai multor numere date într-un şir crescător sau descrescător. 1.1.13. Numerele naturale în sistemul zecimal poziţional formate dintr - un număr întreg de zeci Aşa cum sistemele nepoziţionale sânt anevoioase în aplicarea practică este acceptat de a utiliza sistemul zecimal poziţional. Expunem unele consideraţii metodice privitoare la utilizarea: introducerea, scrierea şi citirea numerelor formate dm zeci şi unităţi. Ele au la bază formarea de submulţimi din câte zece elemente fiecare şi numărarea lor. Numărul corespunzător mulţimii formate din două submulţimi din câte 10 elemente este 20. Acesta se scrie 20 şi se citeşte douăzeci, adică 20 = 10 + 10 şi se indică legătura acestei modalităţi de a scrie numărul 20 cu cel corespunzător scrierii unităţilor în concentrul 0-10 (2=1 + 1). In continuare se pot face însărcinări de formare, recunoaştere şi citire de numere formate din zeci. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor formate din zeci se poate introduce prin mai multe modalităţi: • prin reprezentarea lor pe o dreaptă ordonată; • compararea numărului de unităţi de ordinul al doilea din fiecare număr; • utilizarea procedeului prin analogie cu numerele din concentrul 0-10. 1.1.14. Specificul p-î-e numerelor în concentrul 0-20 Procedeul se aplică în mod similar ca şi în concentrul 0-10. Trecerea de la numărul 10 (clasa mulţimilor cu câte 10 elemente) la numărul 11 (clasa mulțimilor

formate din 10 elemente şi încă un element) poate fi făcută în mod analog cu trecerea de la numărul 4 la numărul 5. Procedura poate fi următoarea: a) se formează o mulţime din 10 elemente; b) se formează o mulţime cu un element; c) se reunesc cele 2 mulţimi şi se obţine o mulţime nouă formată din 10 elemente și încă un element; d) se explică că despre o astfel de mulţime se spune că are unsprezece elemente și că simbolul grafic sau simbolul numărului dat este 11. În mod analog se procedează în continuare, desemnând clasa mulţimilor cu douăsprezece elemente cu numărul 12 etc. Apoi se procedează în mod asemănător la introducerea tuturor numerelor mai mici decît 20 dar mai mari decît 10, dându-le denumirile corespunzătoare. Ele se scriu sub forma: 10+3=13, 10+5=15, 10 + 7=17, 10 + 9 = 19, 10+4=14, 10+6=16, 10 + 8 = 18, 10 + 10 = 20. Pentru consolidarea cunoştinţelor şi formarea competenţei de citire şi scriere a unui număr natural în concentrul 0-20, se pot propune însărcinări de genul: să formeze din elementele unei mulţimi cu 13 elemente o submulţime cu 10 elemente şi alta cu 3 elemente şi de scris numărul corespunzător acestei mulţimi ca o sumă. Prin scrierea numerelor formate din zeci şi unităţi elevii iau contact cu ideea de bază, a sistemului zecimal de scriere şi notare a numerelor naturale, utilizând proprietatea poziţiei lui în scrierea numărului, adică după locul pe care îl ocupă. O altă modalitate de formare a unui număr cuprins între 10 şi 20 este cea de utilizare a axiomaticii lui Peano, având la bază metodologia formării în creştere a fiecărui număr nou din numărul precedent prin adăugarea unei unităţi 1.1.15. Specificul p-î-e numerelor în concentrul 0-100, până la 1000, mai mari de 1000 Etapa precedentă de formate a numerelor naturale în sistemul zecimal poziţional de numerație de la 10 la 20 are o importanţă esenţială pentru extinderea ulterioară a procesului de formare a numerelor naturale mai mici decât 100 şi a scrierii lor poziţionale, apoi în continuare a formării numerelor până la 1000 şi a celor mai mari decât 1000. Se procedează în mod analog cum s-a procedat şi în concentrul 0-20. Dacă vom reuni o mulţime formată din 20 elemente cu o mulţime formată din 1 elemente, se obţine în rezultat o mulţime nouă care are 25 de elemente. Activităţile de reunire a mulţimilor formate dintr-un număr de submulţimi de câte 10 elemente cu o mulţime formată dintr-un număr de elemente mai mic decât 10, ne conduce corect metodic, în mod progresiv ascendent la construirea mulţimilor de numere naturale mai mici decât 100. în rezultat vom avea: 20 + 3 =23, 30 + 7 = 37, 70 + 7 = 77, 90 + 9 = 99, 20 + 4 = 24, 40 + 6 = 46, 80 + 2 = 82, 90+ 10= 100. Trecerea studierii numerelor naturale de la concentrul 0-10 la numerele mai mici decât 100 prin depăşirea primei zeci, constituie esenţa înţelegerii de către copii astructurii zecimale a sistemului poziţional de numeraţie şi devine o treaptă logică necesară pentru extinderea ulterioară treptată a concentrelor de studiere a numerelor naturale de la un concentru la altul până la 1000, apoi şi a numerelor ce depăşesc 1000. 1.1.16. Specificul p-î-e numerelor de mai multe cifre Studierea numerelor de orice mărime se începe în clasa a III-a, după ce elevii au însușit numeraţia orală şi scrisă până la 1000 şi operaţiile matematice în limita până la 1000.

Această etapă de studiere a numerelor naturale are următoarele caracteristici: • se extinde considerabil sistemul zecimal de numeraţie cu noi unităţi de calcul, asigurându-se sistematizarea şi aprofundarea studiului numerelor naturale; • se introduce noţiunea de ordin şi de clasă, • se consolidează înţelegerea conceptului de sistem poziţional de numeraţie; • se studiază sistematic operaţiile în scris, proprietăţile acestora, ordinea operaţiilor, folosirea parantezelor; • se îmbogăţeşte considerabil limbajul matematic, • se diminuează, pe cât e posibil, apelul la intuiţie, trecându-se progresiv la abstractizări, fără a renunţa la principiul unităţii dintre concret (intuitiv) şi abstract în procesul de formare a noţiunilor matematice. În studiul numerelor până la 1000 elevii parcurg următoarele unităţi de învăţare: • unitatea simplă, • zecea, • suta, • mia. Tot odată ei deja cunosc baza zecimală a acestei unităţi, adică: • 10 unităţi simple formează o zece - unitate nouă de ordin mai superior, • 10 zeci formează o sută - unitate nouă de ordin şi mai superior, • 10 sute formează o mie - cea mai mare unitate în acest concentru. Prin urmare elevii trebuie să intuiască corect că în sistemul zecimal poziţional de numerație 10 unităţi oarecare formează o unitate de ordin imediat superior. Centru formarea, scrierea şi citirea oricărui număr natural de la 0 până la 1000 elevii pot folosi cele mai diverse materiale didactice: mănunchiuri de beţişoare, abacul cu orificii și fișe, numărătoarea cu bile, jetoane etc. La elevi se formează competenţe de a determina că se va lucra cu unităţile de ordinul: • întâi - unităţile simple, • doi - zecile, • trei - sutele, • patru - miile, • cinci - zecile de mii, • şase - sutele de mii, • şapte - milionul, • opt zeci de milioane, • nouă sute de milioane, • zece - miliarde etc. Pe măsură ce elevii însuşesc ordinele numerelor naturale, elevii constată, că în scrierea numerelor naturale se atestă grupuri de 3 ordine la rând începând cu primul ordin care conţin unităţi care se numesc la fel, ele se numesc unităţi, mii, milioane, bilioane sau miliarde, trilioane, cvadrilioane etc. Aceste trei ordine consecutive începând cu primul s numesc clase:  Clasa unităţilor include ordinele 1, 2, 3, adică unităţile, zecile, sutele.  Clasa miilor include ordinele 4, 5, 6, adică unităţile de mii, zecile de mii, sutele de mii.  Clasa milioanelor include ordinele 7, 8, 9, adică unităţile de milioane, zecile de milioane, sutele de milioane etc. Se poate indica că acest proces poate fi extins la nesfârşit indicând clasele bilioanelor, trilioanelor, cvadrilioanelor, cvintilioanelor, sextilioanelor, septilioanelor, octalioanelor, nonalioanelor, decalioanelor etc. Trebuie ca elevii să sesizeze câte cifre trebuie să conţină fiecare număr în raport cu clasele din care este

constituit, ţinând cont d fiecare clasă constă din 3 ordine la rând. După ce elevii îşi formează cât de cât noţiunea de ordin şi de clasă se impune o sistematizare a celor învăţate. In mod logic apare următorul tabel: 10 unităţi simple = 1 zece, 10 zeci = 1 sută, 10 sute = 1 mie, 10 mii = 1 zece de mii, 10 zeci de mii = 1 sută de mii, 10 sute de mii = 1 milion, 10 milioane = 1 zece de milioane, 10 unităţi zeci de milioane = 1 sută de milioane, 10 sute de milioane = 1 bilion (1 miliard), 10 miliarde = 1 zece de miliarde, 10 zeci de miliarde = 1 sută de miliarde etc. În continuare, se trece la numerotarea unităţilor de calcul în succesiunea învăţării lor, consolidându-se astfel noţiunea de ordin: 1) Unităţi simple: pe locul 1 se postează unităţile simple, care sânt unităţi de ordinul 1. 2) Zeci: pe locul 2 se postează zecile, care sânt unităţi de ordinul 2. 3) Sute: pe locul 3 se postează sutele, care sânt unităţi de ordinul 3. 4) Unităţi de mii: pe locul 4 se postează miile sau unităţi de mii, care sânt unități de ordinul 4. 5) Zeci de mii: pe locul 5 se postează zecile demii, care sânt unităţi de ordinul 5. 6) Sute de mii: pe locul 6 se postează sutele demii, care sânt unităţi de ordinul 6. 7) Unităţi de milioane: pe locul 7 se postează milioanele, care sânt unităţi de ordinul 7 etc. Ne remarcă, că numărul scris în faţa fiecărei unităţi de numeraţie din tabelul de mai sus indică locul unităţii respective în scrierea numerelor, iar numărul care arată locul fiecărei unităţi se numeşte ordin. Noţiunea de ordin se introduce şi în vorbire. Varietatea ordinilor şi semnificaţia lor se consolidează prin însărcinări de forma: a) sulele sânt unităţi de ordinul ... (3); b) unităţile de ordinul 5 se numesc ... (zeci de mii). Întrebările de acest gen se pun iniţial în ordinea indicată apoi pe sărite. Apoi se discută noţiunea de clasă: I clasa UNITĂŢILOR formată din ordinele 1, 2, 3, II clasa MIILOR formată din ordinele 4, 5, 6; III clasa MILIOANELOR formată din ordinele 7, 8, 9; IV clasa MILIARDELOR formată din ordinele 10, 11, 12; etc. După însuşirea conştientă a ordinelor şi claselor e poate trece la formarea, scrierea şi citirea numerelor de mai multe cifre. Pentru aceasta învăţătorul sene petablă şi elevii scriu în caiete un tabel în care se evidenţiază ordinele şi clasele, numerotarea cărora se face de la dreapta spre stânga. Modalitatea de lucru cu acest tabel este următoarea: a) se formează numărul la abac, la tabla magnetică, la numărătoarea cu bile; b) se scrie numărul format în acest tabel începând cu clasele şi ordinele mai mari; c) se citeşte numărul scris în tabel. La etapa iniţială se recomandă a scrie numere formate numai din cifre semnificative. De exemplu: 2543, 56432, 78954678 etc. În continuare se pot scrie numere care conţin zerouri în scrierea lor, numai nu la începutul numărului: De exemplu: 5098, 304504, 89400500, 230000000 etc. După ce elevii au deprins tehnica de a scrie şi citi corect numerele naturale după tabelul cu clase şi ordine, se trece la scrierea şi citirea numerelor fără a utiliza tabelul. Pentru aceasta se atrage atenţia că

marcarea (evidenţierea) claselor ce se află în componenţa numărului se face cu ajutorul unui mic spaţiu liber, care se lasă între clase, adică după fiecare 3 cifre consecutive, începând a număra din dreapta spre stânga. De remarcat, că clasele nu se despart printr-un punct, deoarece acest simbol este consacrat notării operaţiei înmulțirii. De exemplu: 5 098, 304 504, 89 400 500, 230 000 000 etc. şi nu este admisibil de a scrie 5.098, 304.504, 89.400.500, 230.000.000 etc. O deosebită importanţă trebuie de acordat scrierii şi citirii cifrei 0 (zero), care în componența numărului semnifică absenţa unităţilor de un anumit ordin. Cuvântul ZERO în citirea unui număr oarecare, în componenţa cărui este, nu se rosteşte. De exemplu: 5 098 se citeşte 5 mii 9 zeci şi 8; 304 504 se citeşte 3 sute 4 mii 5 sute 4; 89 400 500 se citeşte 89 milioane 4 sute mii 5 sute; 230 000 000 se citeşte 230 milioane etc. La această etapă este oportun de a reaminti elevilor semnificaţia unei cifre după poziţia (locul) pe care îl ocupăm scrierea unui număr oarecare. De exemplu: 3235333. In scrierea acestui număr cifra 3 apare de 5 ori, dar în poziţii diferite, în raport de care ea are altă valoare numerică: primul 3 din dreapta indică că numărul conţine 3 unităţi simple, al doilea 3 din dreapta indică că numărul dat conţine 3 zeci, a patra cifră de 3 din dreapta sau a 5-a din componenţa numărului indică că numărul dat conţine 3 zeci de mii şi ultimul 3 din dreapta sau prima cifră din componenţa numărului indică, că numărul dat care în componenţa sa 3 milioane. Atât scrierea şi citirea numerelor naturale de mai multe cifre, cât şi noţiunile de ordin şi clasă sânt chestiuni care cer exercitări multiple, pentru ca în cele din urmă elevii să-și formeze competenţele necesare de operare cu numerele naturale, îndeosebi, la compartimentul numeraţia. Neînţelegerea şi însuşirea necalitativă a conceptelor fundamentale ale acestui compartiment fac practic imposibilă însuşirea etapelor următoare de operare cu noţiunea număr natural, în special, însuşirea operaţiilor matematice cu numerele naturale. 1.1.17 Conţinutul competenţelor necesare pentru formarea conceptului de număr natural Se recomandă pentru bunul învăţător de a utiliza în activitatea sa de utilizarea a itemilor la fişele pentru lucrul independent sau ca strategii educaţionale în lecţiile de p-î-r a numerelor naturale la compartimentul „Numeraţia‖: 1) Să denumească şi să dea exemple de mulţimi după criterii semantice (sensul conţinutului cuvântului) luate ca (fructe, flori, mijloace de locomoţie: mers lent, la pas, alergător, săritură, înot, zbor, rostogolire, jucării, animale, rechizite şcolare etc.). 2) Să deseneze diagrame Venn - Euler cuprinzând în interiorul lor obiecte, jetoane figuri geometrice. 3) Să construiască din beţişoare: figuri geometrice (triunghi, pătrat, dreptunghi) şi să enunţe în prealabil sau după construcţie câte beţişoare sânt necesare. în mod similar pentru cele mai diverse semne matematice: plus, minus, egal 4) Să compare dimensiunile obiectelor şi poziţia lor spaţială pentru precizarea unor relaţii opuse (antonimice): mare-mic, lung-scurt, înalt-scund, gros - subţire, lat-îngust, la dreapta-la stânga, susjos, aproape-departe, înainte - înapoi, deasupra-dedesubt, în faţă-în spate, greu-uşor, scump-ieftin, mult puţin, orizontal - vertical-oblic. 5) Să cunoască culorile primare şi fundamentale.

6) Să stabilească prin linii corespondenţe între figuri (obiecte) după criterii de: formă, mărime, culoare şi identitate. 7) Să stabilească corespondenţe unu la unu (element cu element) a elementelor a 2 mulţimi prin linii, săgeţi, realizând cupluri ordonate (perechi). 8) Să stabilească relaţia dintre elementele a 2 mulţimi: A şi B au tot atâtea elemente, A are mai multe (mai puţine) elemente decât B etc. 9) Fiind date 2 mulţimi să opereze cu ele în aşa fel încât una să aibă mai multe (mai puţine) sau tot atâtea elemente câte are şi a doua mulţime (prin luare sau adăugare de elemente). 10) Să indice interiorul sau exteriorul unei linii închise. 11) Să precizeze apartenenţa sau neapartenenţa unui element la mulţimea dată. 12) Să alcătuiască (construiască, deseneze) mulţimi după cardinalele date (enunţate, scrise). 13) Să enunţe (să scrie) cardinalele unor mulţimi date (formate, desenate). 14) Să alcătuiască mulţimi care să aibă cardinalele în ordinea crescătoare (descrescătoare) a numerelor naturale dintr-un interval dat. 15) Să determine relaţii de ordine între numerele naturale date sau dintr-un interval dat. 16) Să ordoneze crescător (descrescător) şirul numerelor naturale dintr-o mulţime dată. 17) Să precizeze locul unui număr natural pe dreapta numerică ordonată. 18) Să poată numi predecesorul şi succesorul unui număr natural dat. 19) Să indice numărul sau numerele care lipsesc dintr-un interval dat. 20) Să enunţe şi să scrie toate posibilităţile de compunere a unui număr natural din concentrul 0-10 folosind cardinalele a 2 mulţimi distincte disjuncte care se reunesc; numărul de soluţii este dat de formula n + 1. 21) Să indice cifra corespunzătoare numărului de elemente (cardinalul) unei mulţimi, cifra cardinalului unei mulţime cu mai puţine, mai multe cu 1,2 elemente decât cea dată. 22) Să stabilească valoarea de adevăr a unor propoziţii referitoare la relaţia de ordine dintre numerele date de tipul: 2 = 2, 3^3, 2 > 1, 3 < 9, 2^7 etc. şi să interpreteze relaţiile incorecte logic. 23) Să numere în ordine crescătoare sau descrescătoare cu „stop‖ (un număr sau o cifră interzisă) pe unul sau mai multe numere convenite. 24) Să explice şi să exemplifice mulţimi marcante, inconfundabile, pentru diferite numere naturale din concentrul 0-10 în special: • Zero - mulţimea ferestrelor din beci; • Unu - mulţimea sateliţilor naturali ai planetei Pământ, • Doi - perechi de pantofi, pantaloni, ciorapi, şireturi, patine, schiuri, ochelari, cu toate că noţiunea desemnează un singur obiect; • Trei - numărul laturilor unui triunghi, foile la trifoi; • Patru - numărul de laturi a unui pătrat; • Cinci - numărul degetelor de la o mână; • Şapte - numărul zilelor unui săptămâni complete. 25) Să indice tot atâtea degete câte elemente are o mulţime dată, adică un număr enunţat, o cifră indicată. Se poate utiliza o mână plină sau combinaţii dreapta stânga pentru numere mai mari decât 5 sau chiar şi mai mici. De exemplu, pentru numărul 6 se poate indica 5 degete de la mâna dreaptă şi un deget do I stânga sau alte variaţii. 26) Să schimbe locul elementelor dintr-o mulţime cu alte elemente şi să se determine o nouă relaţie dintre cardinalele date. 27) Să rezolve probleme la numeraţie. 28) Să manifeste plăcerea de a compune exemple specifice numeraţiei.

1.7. Probleme legate de noţiunea de numeraţie După ce elevii au luat cunoştinţe cu numere de orice mărime (numere de mai multe cifre) se pot rezolva probleme legate de numeraţie de următorul tip: 1. Scrieţi toate numerele de forma abcd, astfel încât a + b - c + d = 5, iar a, b, c, d sânt cifre distincte. Răspuns: 1405, 1450, 1423, 1432, 1305, 2350, 2314, 2341, 3205, 3250, 3211 3241, 4105, 4150, 4123, 4132, 5014, 5041, 5023, 5031. 2. Scrieţi numere de forma abcd, astfel încât a+ b + c = d. Răspuns: 1236, 1326, 3216, 2349, 2339, 3249, 3429, 1809 etc. 3. Scrieţi numere de forma abcd, ştiind că a, b, c, d sânt numere impare distincte. 4. Scrieţi numere de forma abcd, ştiind că a, b, c, d sânt numere pare distincte. 5. Scrieţi numere de forma abcd, astfel încât a+ b + c + d = 10, iar a>b>c>d. 6. Scrieţi numere de forma abcd, unde a + b = c + d, iar a, b, c, d sânt cifre distincte. 7. Scrieţi toate numerele de forma abcd, dacă a + h = c + d, iar a, b, c, d sînt cifre distincte care satisfac condiţia: a) a+b mai mic 10; b) a + b >10; c) a+b=11; a-b = 3 etc. 8. Scrieţi numere de forma abcd, unde a, b, c, d sânt numere distincte consecutive, în ordine: a) crescătoare; b) descrescătoare. 9. Scrieţi numere de forma abcdef , unde cifrele sânt distincte, diferite de zero, iar produsul lor este cel mai mic număr posibil. 10. Scrieţi numere de forma abcdef , unde cifrele sânt distincte, iar produsul lui este zero. 11. Scrieţi cel mai mic număr de forma abcdef. 12. Scrieţi cel mai mare număr de forma abcdef . 13. Câte cifre de 1 vă trebuie pentru a scrie cel mai mic număr de forma: a) abcd, b) abcdef . 14. Câte numere puteţi alcătui cu trei cifre distincte? 15. Realizaţi diferenţa dintre orice număr doriţi şi răsturnatul lui. Observaţi ce proprietate constantă posedă această diferenţă. începeţi ci numere mici. Răspuns: Aceste numere sânt divizibile la 3 şi la 9. 16. Adunaţi numere distincte din intervalul 0-10, astfel încât suma lor de forma ab să posede proprietatea a - b. Răspuns: 1+2 + 3+ 4 + 5+ 6 + 7 + 8 + 9+10 = 55 17. Scăderi pe rând din 1000 numere de forma abc, unde a = b - c şi a primeşte în mod aleatoriu valorile numerice 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Comparaţi resturile căpătate. Ce observaţi dacă adunaţi cifrele resturilor, luate ca simple unităţi? Răspuns: Se observă că sumele cresc sau descresc cu câte 3 unităţi: 1000-999 = 1; 1000-888 = 112, (1 + 1 + 2 = 4); 1000 - 777 = 223 , (2 + 2 + 3 = 7) etc. 18. Scrieţi numere de forma abc, unde a+b = c, iar a, b, c, sânt cifre distincte. 19. Scrieţi numere de forma abc, unde a=b=c şi a-b=c.

CAPITOLUL II METODOLOGIA STUDIERII OPERAŢIILOR MATEMATICE 2.1 Obiective generale Specificul metodologiei studierii operaţiilor matematice cu numere naturale solicită formarea la

studenți a competenţelor de:  conștientizare a sensului operaţiilor matematice, semne a operaţiilor corespunzătoare, denumire a componentelor şi relaţiile dintre aceste componente şi rezultat, relaţiile existente dintre operaţiile matematice: adunarea - scădere, adunare - înmulţire, înmulţire - împărţire, scădere - împărţire;  corelare a operaţiilor matematice cu operaţiile asupra mulţimilor;  utilizare a celor 4 operaţii matematice şi aplicarea lor în calculele numerice;  optimizare a deprinderilor de calcul mintal şi de aplicare a lui în calculele practice;  însușire a unor algoritmi stabili de calcul oral şi în scris, utilizând numere naturale de orice mărime şi aplicare a acestor algoritmi de calcul numeric în rezolvarea şi compunerea problemelor. 2.2.

Metodologia formării noţiunii de operaţie în mulţimea numerelor naturale

În clasele primare cu elevii nu se face un studiu teoretic al problemei formării noțiunii de operație matematică, în sensul definirii lor, ci doar o descriere a lor în practica cotidiană. Învățătorul însă trebuie să cunoască fundamentele teoretice ale noţiunilor necesare, definiţiile fiecărei operaţii cu numerele naturale şi proprietăţile lor. Doar în aşa mod învăţătorul este capabil să urmărească conştientizarea de către elevi a procesului de înţelegere a sensului logic şi a semnificaţiei fiecărei operaţii şi a principiilor care stau la baza aplicării acestor operaţii în cele mai diverse calcule, în special, în calculele practice. Se atrage atenţia la noţiunea de operaţie internă pe mulţimea numerelor naturale, care se poate realiza în rezultatul unei legi de compoziţie - a unei funcţii, a unei aplicaţii f:N*N (o aplicaţie definită pe produsul cartezian N*N cu valori în N). O operaţie internă pe mulţimea N notată cu semnul ,, + " se numeşte adunare, iar compusul f(a,b) = a + b se numeşte adunarea sau suma numerelor-elementelor a şi b. În acest caz vom spune că aplicăm o lege aditivă. O lege de compoziţie pe mulţimea N notată cu semnul „ . ‖ sau „*‖ se nume înmulţire, iar compusul f(a,b) a b sau f(a,b)=a*b se numeşte înmulţirea sau produsul numerelor-elementelor a şi b. În acest caz vom spune că aplicăm o lege multiplicativă. Aşa cum procesul formării conceptului de număr natural se bazează pe noțiunea primară de mulţime, introducerea operaţiilor matematice cu numerele naturale are la bază legităţile de operare cu mulţimi de obiecte. Anume aceasta este baza logică intuitiv-concretă pentru înţelegerea de către elevii claselor primare a operaţiilor matematice cu numerele naturale, precum şi sesizarea principiilor fundamentale în conformitate cu care se realizează calculul numeric, cât şi a proprietăţilor operaţiilor. Pentru precizarea unei operaţii interne pe N există mai multe moduri de prezentare a legii de asociere: a) grafic printr-o diagramă; b) cu ajutorul unei tabele de operaţie matematică - tabelă de corespondență; c) cu ajutorul unei reguli de operaţie matematică - regulă de corespondență. Introducerea operaţiilor matematice cu numere naturale nu se face izolat, cu ajutorul legăturii dintre cunoştinţele achiziţionate anterior, ca o extindere, ca o aprofundare a cunoştinţelor cât şi a sensului aplicării lor. Adunarea numerelor naturale este operaţie internă a + b, având drepl termenii adunării componentele a şi b. Legea de asociere este redată în baza operațiilor cu mulțimile de elemente. Dacă A şi B sânt două mulţimi disjuncte respectiv cu a şi cu b elemente, atunci numărul elementelor mulţimii nou formată prin reuniunea celor două mulţimi este a cardinalul ei, ceea ce şi reprezintă suma numerelor a şi b. Adunarea este o operație întotdeauna posibilă pe N, deci este o lege de compoziţie internă definită pe întreaga mulţime. Adunarea, ca operaţie internă de tip aditiv posedă proprietăţile: • asociativitatea - oricare sânt numerele naturale a, b, c, avem. (a + b) + c = a + (b + c);

• comutativitatea - oricare sânt numerele naturale a, b avem a +b = b + a, • există elementul neutru - numărul natural 0 (zero), astfel încât a + 0 = 0 + a = a, oricare ar fi a. Scăderea numerelor naturale este operaţie internă a - b, prin care cunoscând suma a două numere naturale şi unul din termeni se determină cel de-al doilea termen. Legea de asociere este redată în baza operaţiilor cu mulţimile de elemente. Dacă A şi B sânt două mulțumi și B este o submulţime a mulţimii A cu a şi respectiv cu b elemente, atunci numărul elementelor mulţimii nou formată prin diferenţa celor două mulţimi este a – b=c - cardinalul ei, ceea ce şi reprezintă diferenţa numerelor a şi b, se notează a-b = c. Scăderea este o operație limitată pe N, deci este o lege de compoziţie internă definită pe mulţimea N cu anumite restricţii, este necesar ca a>b. Numărul a se numeşte descăzut, b - scăzător, c - restul sau diferenţa, care adunat cu scăzătorul trebuie să dea descăzutul a = b + c. Scăderea se poate introduce ca o operaţie de determinare a unui termen necunoscut al adunării în cazul cînd se cunoaşte suma şi unul din termenii adunării. Înmulțirea numerelor naturale este operaţie internă axb, având drepr factorii produsului componentele a şi b. Legea de asociere este redată în baza operaţiilor cu mulțime de elemente. Dacă A şi B sânt două mulţimi cu a şi respectiv cu b elemente, atunci numărul elementelor mulţimii nou formată prin produsul cartezian a celor două mulțimi este AxB - cardinalul ei, ceea ce şi reprezintă produsul numerelor a şi b, care se notează axb=c sau ab = c. Numerele a şi b se numesc factori, iar c - produsul lor. A înmulți numerele naturale a cu b înseamnă a aduna numărul natural a cu el însuşi de b ori, deci a+a+a+a+…+a (de b ori) = b*a. Înmulţirea este o operaţie întotdeauna posibilă pe N, deci este o lege de compoziţie internă definită pe întreaga mulţime, având regula dată prin adunarea repetată a aceluiaşi număr natural a. Înmulțirea, ca operaţie internă de tip multiplicativ posedă proprietăţile: ■ asociativitatea - oricare sânt numerele naturale a, b, c, avem (a * b) * c = a * (b * c), ■ comutativitatea - oricare sânt numerele naturale a, b avem a * b = b * a, ■ există elementul neutru - numărul natural 1 (unu), astfel încât a * 1= 1 * a = a, oricare ar fi a. Cele două operații interne definite pe întreaga mulțime N (adunarea și scăderea) sunt legate între ele print-o proprietate comună – distributivitatea înmulțirii față de adunare: oricare sunt numerele naturale a, b, c, avem: a*(b+c)=a*b+a*c. Împărțirea numerelor naturale se introduce ca o operație de scădere repetată sau ca o operație de determinare a unui factor necunoscut cînd se cunoaște produsul și unul din factorii înmulţirii, acest factor fiind diferit de zero. Această operaţie de împărţire a numărului natural a la numărul natural b presupune determinarea unui astfel de număr natural c, încât a = b*c. Numărul b, care trebuie să fie diferit de 0 (zero), se numeşte - împărţitor, numărul a - deîmpărţitul şi rezultatul împărţirii - cât. In cazul când a se divide la b restul de la împărţire este egal cu 0 (zero), iar dacă nu se împarte exact atunci avem împărţire cu rest şi în aşa caz oricare ar fi numerele naturale a şi b, cu b ± 0, există două, numere naturale c şi r, cu r < b, astfel ca a = b*c + r (teorema împărţirii cu rest). În caz particular la elevi se atrage atenţia la specificul utilizării numărului 0 la împărţire: a) Dacă a = b = 0, împărţirea nu are sens. b) Dacă a±0 şi b = 0, împărţirea la 0 nu are sens deoarece nu există un aşa număr natural x, care să dea a = x*0. Dacă, însă, încercăm a construi mulţimea numerelor naturale în baza axiomaticii lui Peano, apoi legile de compoziţie se introduc prin următoarele axiome: 1°. a + I = a ', pentru oricare a din N. 2°. a + b + 1 = (a + b'). pentru oricare a, b din N. 3°. a * 1 = a, pentru oricare a din N. 4°. A*b' = a*b + a, pentru oricare a, b din N. Aceste axiome permit de a determina pentru oricare două numere naturale suma și produsul lor unic determinate.

Specificul p-î-e adunării şi scăderii numerelor naturale până la 10 După însuşirea conceptului de număr natural, numeraţie şi relaţia de ordine definită pe mulţimea numerelor naturale, se trece la studiul organizat al operaţiilor de adunat la 4 scădere în concentrul 0-10. Aceasta se face în corespundere cu accesibilitatea lor şi a caracterului lor intuitiv pronunţat, care corespund particularităţilor de vârstă ale elevilor de vârstă şcolară mică. Introducerea operaţiilor de adunare şi scădere se poate face în baza reuniunii a două mulţimi disjuncte şi a diferenţei a două mulţimi. Gândirea copilului în acest caz operează prin abstractizare, generalizare şi analogie. Operaţia de adunare a numerelor naturale apare ca cardinalul reuniunii mulţimilor, disjuncte finite. Formarea şi însuşirea noţiunii de adunare se porneşte de la operaţii cu mulțimi concrete — cu obiecte uzuale: balonaşe, mere, nuci, bobiţe de struguri etc. - etapa perceptivă, ei reunesc două mulţimi cu numere diferite de elemente şi capătă reuniunea lor - cardinalul reuniunii reprezintă suma lor. In etapa a II-a semiabstractă, cea de formare a reprezentărilor imaginativ-concrete, elevii deja operează cu desenarea simbolică a mulţimilor: steluţe, cerculeţe, figuri geometrice etc. Se indică că se poate folosi un simbol grafic special „ + ‖, care desemnează în matematică operaţia de adunare şi în cazul reuniunii a două mulţimi: una cu 4 elemente şi alta cu 3 elemente se capătă o reuniune cu 7 elemente ceea ce se poate scrie ca 3 + 4 = 7 sau 4 + 3 = 7. Cu alte cuvinte elevii trebuie să ajungă la concluzia că semnul „ + ‖ se asociază după sens cu operaţia adunării. Elevii trebuie să conștientizeze că 3 + 4 = 7 sau 4 + 3 = 7 este aceeaşi scriere sau sânt două forme echivalente de scriere a numărului 7. Se pune în discuţie aşa numitele componente ale operației de adunare a numerelor. Aceste numere ce-1 determină pe 7, se numesc termenii adunării, iar rezultatul adunării - sumă: primul termen + termenul al doilea = sumă. Se menţionează după mai multe exemple, că toţi termenii adunării posedă această proprietate a comutativităţii. După mai multe exercitări cu mulţimi cu numere variate de elemente elevii pot realiza concluzia, că: 2.3.

0+7=7 1+6=7 2+5=7 3+4=7 4+3=7 5+2=7 6+1=7 6 +0=7 În acest mod se face legătura logică între adunarea a 1, 2, 3 etc. unităţi şi numărarea înainte cu 1, 2, 3 etc. unităţi. Odată cu introducerea operaţiei de adunare a numerelor se fac variate însărcinări de scriere şi citire a operaţiei de adunare. Pentru a motiva necesitatea introducerii acestei operaţii este necesar de a compune şi rezolva un şir de probleme simple, utilizând cuvintele: la un loc, împreună, în total, cu mai mult. Se creează premise pentru utilizarea exercițiilor de tipul a + 3 = 7, 3 + a = 7, iar mai apoi de tipul a +b = 7, care se rezolvă prin încercare-eroare sau pe cale probabilistică până se ajunge la soluția căutată, bazându-se pe procedeul de compunere şi descompunere a numărului 7. Elevii în rezultatul exercitării îşi îmbogăţesc vocabularul cu un limbaj nou: măresc cu, adaug, stîng la un loc, împreună cu, cât şi cu cât, cu mai mult, mai mult cu, adunat cu, şi, și cu, au venit, majorat cu etc., expresii a căror valoare se poate determina prin operaţia de adunare. La etapa finală se aplică adunarea a trei numere, apelând la proprietatea asociativității adunării. Operația de scădere a numerelor naturale se introduce ca diferenţa a unei mulţimi şi a unei submulțimi a ei, adică se bazează pe mulţimi complementare. In clasa I-a scăderea poate fi introdusă în felul următor:

  

se formează o mulţime compusă din figuri geometrice: un disc, două pătrate şi patru triunghiuri. se grupează în submulţimi şi submulţimea triunghi urilor se îndepărtează. în mulţimea diferenţă rămân trei elemente: discul şi două pătrate. Se operează cu diverse mulţimi formate dm cele mai variate elemente: flori sau jetoane: roşii, galbene şi albe, creioane ascuţite sau nu, de cele mai diverse culori, animale sau păsări: sălbatice şi domestice; cărţi şi caiete; băieţi şi fete etc. Se procedează în mod analogic ca în exemplul descris apelând tot timpul la cardinalul mulţimilor. Se pune în discuţie aşa numitele componente ale operaţiei de scădere a numerelor. Se precizează că simbolul operaţiei de scădere este semnul grafic care se citeşte minus că numărul din care se scade se numeşte descăzutul, cel care se scade - scăzătorul, iar rezultatul operație de scădere - rest sau diferenţă: descăzutul — scăzătorul = rest (diferență). Elevii în rezultatul exercitării îşi îmbogăţesc vocabularul cu un limbaj nou: micşorat cu, scad, fără, au plecat, cu atât mai puţin, cu mai mic, lipsesc, diminuat cu etc., expresii a căror valoare se poate determina prin operaţia de scădere. Această operaţie matematică simbolic, în limbajul ideal matematic se scrie: 7-4=3 7- descăzutul, - simbolul grafic al operaţiei de scădere, 4 - scăzătorul, 3 - restul sau diferenţa. Prin exemple elevii singuri trebuie să ajungă la concluzia că operaţia de scădere a numerelor naturale este limitată şi că ea este posibilă doar când descăzutul este mai mare sau cel puţin egal cu scăzătorul. Ca şi la operaţia de adunare este necesar de a compune şi rezolva câte mai multe probleme simple pentru a motiva introducerea operaţiei de scădere a numerelor naturale, cît şi pentru consolidarea cunoştinţelor căpătate. In acelaşi timp este necesar de a deprinde elevii de a utiliza corect în conformitate cu sensul lor logic expresii de tipul: mai puțin cu, dăm la o parte, înlăturăm, înstrăinăm, mai tânăr cu, mai slab cu, scoatem, sustragem, luăm etc., care se traduc simbolic cu operaţia matematică de scădere a numerelor naturale și utilizând proba verificării prin scădere dacă unităţile care au fost sustrase le reducem la unităţile rămase reconstituind numărul iniţial. în acest mod se realizează legătura indisolubilă dintre operaţiile de adunare şi scădere. Deci: 7 — 4 = 3, deoarece 7=3+4 Treptat, pe măsură ce se avansează în însuşirea operaţiilor de adunare şi scădere în concentrul 0-10, se alcătuiesc în mod graduat tabelele corespunzătoare numărului care se studiază a operaţiilor de adunare şi scădere a numerelor naturale, utilizând complinii descompunerea lor. 2.4. Specificul p-î-e adunării şi scăderii numerelor naturale cuprinse între 0 şi 20 P-î-e a OASNN (operaţiile de adunare şi scădere a numerelor naturale) în concentrul 0-20 se realizează în cunoştinţelor achiziţionate şi a competenţelor matematice formate anterior de către elevi, utilizând cele nai diverse materiale didactice intuitiv-ilustrative concrete, bazându-ne pe unele particularităţi specifice ale numerelor naturale şi a operațiilor matematice cu aceste numere în concentrul 0-20. La această etapă elevii deja cunosc: • Noţiuni despre mulţimi şi operaţiile posibile asupra mulţimilor. • Noţiunile: de număr natural, sistem de numeraţie, metodologia de lucru cu operaţiile de adunare şi scădere a numerelor naturale în concentrul 0-10. • Proprietăţile OASNN în concentrul 0-10, ale relaţiei de egalitate (comutativitatea şi asociativitatea adunării), probele prin adunare şi scădere ale celor două operaţii, simetria şi tranzitivitatea relaţiei de egalitate etc • Posibilitatea de a forma diverse mulţimi, cât şi mulţimi echipotente. • Operarea de adunare şi scădere a numerelor naturale mai mici decât 10. înainte de a trece la studierea operaţiilor în concentrul 0-20 învăţătorul trebuie în mod obligatoriu să recapituleze cu elevii toate aceste cunoştinţe necesare pentru lucru cu succes mai departe, să se asigure de

• • • • • •

•

•

însuşirea temeinică, conştientă şi deplină a acestora. Adunarea numerelor naturale în concentrul 0-20. în cadrul p-î-e adunării numerelor naturale cuprinse între 0 şi 20 deosebim: • adunarea unui număr mai mic decât 20 format dintr-o zece şi ceva unități cu un număr mai mic decât 10, a căror sumă este mai mică sau egală cu adunarea a două numere mai mici decât 10 a căror sumă trece peste 10. • adunarea a două numere mai mici decît 10 a căror sumă trece peste 10. Pentru adunarea unui număr format dintr-o zece şi unităţi cu un alt număr format doar din unităţi se adună unităţile între ele, apoi rezultatul obţinut se adună cu zecea primului număr. Astfel, dacă avem de adunat 12+5 procedăm în următorul mod: 12 este format dintr-o zece şi 2 unităţi, adică 12 = 10 +2. Prin urmare, avem: 12+5 = 10 + 2 + 5=10+ (2+5)=10 + 7 = 17. etc. Dacă din adunarea unităţilor se formează o zece, se explică trecerea peste zece. De exemplu: 16 + 4 = 10+6+4 = 10+ (6 + 4) = 10 + 10 =20 în care zecea obţinută se adună la prima zece. La exemple de acest fel trebuie de atras atenție sporită, deoarece adunarea cu trecere peste ordin este o tehnică ce este însuşită de către mulţi elevi destul de anevoios. In mod analog se procedează şi la adunarea a două numere formate doar numai din unităţi, însă suma cărora depăşeşte o zece. De exemplu: 6 +9 = 6 + 4 + 5 = (6 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15. E bine de antrenat elevii să descompună atât primul cât şi cel de-al doilea număr şi de accentuat de fiecare dată că ne folosim de proprietatea de asociativitate a adunării. Se recomandă de a scrie numerele unul sub altul (scriere verticală) deoarece este mai bine înţeleasă de către elevi şi uşurează cu mult calculele numerice. Însă paralel este util de a folosi și scrierea în linie sau pe orizontală. Obişnuind elevii cu ambele modalităţi de a realiza adunarea numerelor naturale se poate înlătura unele dificultăţi ce pot apărea la felul cum trebuie aşezate numerele care se adună - pe orizontală sau pe verticală. Scăderea numerelor naturale în concentrai 0-20. În cadrul p-î-e scăderii numerelor naturale cuprinse între 0 şi 20 trebuie să se consolideze cunoştinţele achiziţionate anterior referitoare la: conceptul de număr natural de la 0 la 20 - formare, numărare, citire, scriere, relaţiile de ordine posibile; adunarea şi scăderea numerelor naturale, compunerea şi descompunerea numerelor naturale mai mici decât 10 şi a zecii din două sau mai multe numere naturale; zecea ca o nouă unitate aparte de numărare; adunarea a două sau mai multe numere naturale fără şi cu trecerea peste ordin, reactualizarea şi utilizarea în cazuri concrete a expresiilor de genul: a mări cu, a micşora cu, mai mult cu, mai puţin cu, cu mai mult, cu mai puţin etc. La scăderea dintr-un număr format din zeci şi unităţi a unui număr format doar numai din unități, deosebim două cazuri: unităţile scăzătorului sânt mai puţine la număr decât unităţile descăzutului - operaţie care nu prezintă dificultăţi, atât în p-î-e cât şi în însuşirea ei în mod conştient de către elevi - în acest caz este binevenit de a realiza în continuare mai întâi adunarea apoi scăderea a unităţilor adunate anterior; unităţile descăzutului sânt mai puţine la număr decât unităţile scăzătorului. Este un caz care prezintă unele dificultăţi, de care depind în continuare înţelegerea operaţiilor cu trecerea peste ordin cu numere mai mari în clasele II-a şi a III-a. Acest caz de scădere poate fi explicat prin după procedee:  Prin descompunerea unităţilor scăzătorului în două: o parte egală numărul unităţilor descăzutului, care se scad din acestea obţinându-se zero, iar a doua parte a unităţilor scăzătorului se scade din zecea rămasă a descăzutului. De exemplu: 12 - 5 =10 + 2 - 2 - 3 = 10 – 3=7 sau 12 - 5 = 12-2-3 = 10-3 = 7.  Prin descompunerea descăzutului în zeci şi unităţi, apoi din zecea descăzutului se scad unităţile scăzătorului, iar la rezultat se adaugă unităţile descăzutului. De exemplu: 12 - 5 – 10+ 2 - 5 = 10-5+2 = 5+2=7.

Elevilor trebuie de explicat ambele procedee de calcul, pentru ca ei să aleagă și să aplice procedeul care li se pare mai comod de aplicat. Pentru scăderea numerelor naturale care şi descăzutul şi scăzătorul sânt formate din zeci şi unităţi, evident cu descăzutul cu un număr mai mare de unităţi decât unitățile scăzătorului, se aplică procedeul de scădere a zecilor din zeci şi a unităţilor din unități. De exemplu: 16- 12 = 10 + 6-(10+ 2) = (10-10)+(62)=0+4=4. 2.5.

Formarea competenţelor de calcul numeric cu referire la adunarea sau scăderea netabelară

Formarea competenţele de calcul numeric este direcţionată de conținuturile de învăţare în conformitate cu curriculumul la matematică în clasele primare pe fiecare clasă aparte. Formarea competenţele de calcul numeric prevăd următoarea ordonare: • procedee fără trecere peste ordin; • procedee cu trecere peste ordin. Iniţial se învaţă procedeele de calcul oral, apoi procedeele de calcul punînd accentul pe calculul oral. Competenţele de a realiza calculul numeric pot fi formate în următoarea ordine: • familiarizarea cu procedeul de calcul oral şi scris în contextul unei probleme simple de adunare sau scădere; • formarea competenţei de a calcula prin aplicarea procedeului respectiv în soluţionarea celor mai diverse însărcinări; Formarea competenţelor de calcul numeric cu numere naturale se învață după principiul concentric: • în clasa I-a: în concentrele 0-10. 0-20, 0-100 neobligatoriu. • în clasa a II-a: în concentrele 0-100. 0-1000 neobligatoriu. • în clasa a III-a: în concentrul 0-1000. • în clasa a IV-a: în concentrele 0-1000000. 0-1000000000 neobligatoriu. 2.6. P-î-e tablei adunării şi scăderii în clasa I-a Tabla adunării se învaţă în clasa I-a în următoarea ordine:   

cazurile de adunare: +1, +2, +3, +4, +5 se evidenţiază în baza sensului concret al adunării; cazurile de adunare: + 6, +7, +8, +9, +10 se bazează pe comutativitatea adunării; cazul + 0 evidenţiază proprietatea adunării de a avea elementul neutru pe mulţimea numerelor naturale şi se discută în baza sensului adunării. Tabla adunării nu se insistă a fi învăţată pe de rost, ci se ajunge la o memorare conștientă în urma unui sistem de însărcinări de învăţare: rezolvarea exerciţiilor şi problemelor simple; rezolvarea unor ecuaţii cu simboluri diverse (*. □, ? etc ); jocuri didactice. Tabla scăderii se învaţă paralel cu tabla adunării în aceeaşi succesiune ca şi tabla adunării.

2.7 Specificul p-î-e adunării şi scăderii numerelor naturale până la 100, fără şi cu trecere peste ordin P-î-e a OASNN formate doar dintr-un număr întreg de zeci se realizează subliniind faptul că zecea este considerată ca o unitate mai superioară de numărare şi că OASNN se realizeze în conformitate cu modelul efectuării a acestora asupra unităţilor simple. De la 1+1=2 se trece direct la 10+10 = 20, de la 3+4 = 7 se trece la 30 + 40 = 70, de la 6 – 2=4 se trece la 60-20=40 etc. Un caz particular al acestei adunări îl constituie numerele ce dau în sumă 100 și scăderea unui număr format din zeci din 100. Metodologia înţelegerii corecte a realizării a acestor operaţii se bazează pe competențele de formare,

citire, scriere, de descompunere şi compunere a sutei din două sau mai multe numere formate doar numai din zeci, în conformitate cu modelul deja cunoscut al compunerii și descompunerii unei zeci. De la reactualizarea realizării operaţiilor de forma 2+8, 7+3 etc. se trece la determinarea rezultatelor operaţiilor în însărcinările de forma 20+80, 60+40, 100-20, 100- 50 etc. Realizarea operațiilor se poate face prin demonstrări frontale şi cu ajutorul materialului didactic: bețișoare legate în mănunchiuri de câte 10 etc. Acest compartiment are o mare importanţă deoarece, cunoaşterea primei sute – formarea, citirea și scrierea numerelor, relaţiile de ordine, efectuarea operaţiilor de adunare și scădere – constituie baza cea mai importantă pentru învăţarea întregului curs de matematică a ciclului primar şi de aceea lui trebuie să i se acorde atenţia cuvenită. Cele mai importante dificultăţi pentru realizarea acestor operaţii rezultă din transformarea a 10 unităţi de ordinul al doilea într-o unitate de ordinul al III-lea (compunerea unei sute din zeci) şi în mod reciproc (descompunerea unei sute în zece zeci). Numai rezolvarea a câte mai multe însărcinări de acest fel, compunând şi descompunînd suta vor duce la însuşirea corectă şi deplină de către elevi a operaţiilor de acest gen în concentrul 0-100. Adunarea numerelor naturale mai mici decât 100, fără trecere peste ordin se recomandă a realiza în mai multe etape: a) Adunarea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr format numai din unităţi. b) Adunarea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr format numai din zeci. c) Adunarea a două numere format din zeci şi unităţi fără trecere peste ordin. Pentru adunarea unui număr natural format din zeci şi unităţi cu un număr format doar numai din unităţi, fără trecere peste ordin, se foloseşte descompunerea numărului în zeci şi unităţi şi proprietăţile de comutativitate şi asociativitate ale adunării (43+ 5= 40+3+5=40+8=48). Pentru a aduna un număr format din zeci şi unităţi cu un număr format numai din zeci se procedează în mod analog: 47+30=40 + 7+ 30 = 70 + 7 = 77. După ce învăţătorul s-a asigurat că elevii în mod conştient au însuşit acest tip de adunare se cere ca elevii să însuşească realizarea acestor operaţii prin scrierea pe verticală: 46 + 23 ---6 9 sau pe orizontală 43+26=69, avînd grijă ca elevii la scrierea pe orizontală să capete deprinderea de a scrie corect unităţile sub unităţi şi zecile sub zeci. Rezultatul unei astfel de adunări este numărul în care cifra unităţilor este egală cu suma unităţilor numerelor care se adună, iar cifra zecilor este egală cu suma zecilor lor. Scăderea numerelor naturale mai mici decât 100, fără trecere peste ordin se recomandă a realiza ca şi la adunare în mai multe etape: a) Scăderea dintr-un număr format din zeci şi unităţi a unui număr format numai din unităţi. b) Scăderea dintr-un număr format din zeci şi unităţi a unui număr format numai din zeci. c) Scăderea dintr-un număr format din zeci a altui număr format de asemenea din zeci şi unităţi, fără trecere peste ordin. Procedeul de realizare a operaţiei se bazează pe componenţa zecimală a numerelor, potrivit căreia se scad unităţile din unităţi şi zecile din zeci, ţinându-se cont de faptul că, descăzutul trebuie să fie mai mare decât scăzătorul, cât şi pe proprietăţile de comutativitate şi asociativitate ale adunării. Exemplu: 36-5=30+6-5=30+(6-5)=30+1=31 Pentru caz general: 86-54=86-50-4=36-4=32 Practica a demonstrat că, deşi prin scăderea unităţilor din unităţi şi a zecilor din zeci se fac 3 operaţii, acest procedeu este mai bine înţeles de către elevi. Utilizarea unui sau a altui procedeu trebuie să rămână la discreţia şi alegerea liberă a elevului în

fiecare caz. Adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mici decât 100, cu trecere peste ordin ar fi bine de învăţat în mai multe etape: 1) Adunarea la un număr format din două cifre a unui număr format doar numai din unităţi sau din unităţi şi zeci, astfel încât suma lor să fie un număr format mimai din zeci. în mod analog scăderea dintr-un număr format din două cifre a unui număr format doar numai din unităţi sau din unităţi şi zeci, dar diferenţa lor să fie un număr format numai din zeci. 2) Adunarea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr format numai din unităţi şi, în mod analog, scăderea dintr-un număr format din două cifre a unui număr format numai din unităţi. 3) Adunarea şi scăderea numerelor formate din două cifre. În primul caz dificultatea principală la adunare constă în a transforma cele 10 unităţi obținute într-o zece care mai apoi trebuie de adăugat la suma zecilor, iar ia scădere – transformarea unei zeci a descăzutului în zece unităţi şi apoi scăderea dm ele a unităţilor scăzătorului: Exemplu: 32+8=30+2+8=30+10=40 40-7=30+10-7=30+3=33. În cazul al doilea se pot utiliza mai multe procedee:  adunarea la unităţile primului număr a unităţilor celui de-al doilea număr şi apoi adăugarea la zecile primului număr a rezultatului obţinut (36 + 9 =30+6+9=30+15=45),  adăugarea la unităţile primului număr a unor unităţi de la al doilea număr până se completează o zece şi adunarea la numărul obţinut format doar numai din zeci a unităților rămase din al doilea număr (57+8=57+3+5=60+5=65)  se poate aplica procedeul prin rotunjire, adică se rotunjeşte unui din termeni, prin lipsă sau prin adaos obţinându-se astfel un număr format numai din zeci;  se adună numărul rotunjit la cel de-al doilea termen, iar din rezultatul obţinut se scad sau se adaugă unităţile care au fost necesare pentru rotunjire, în dependenţă de cum s-a realizat rotunjirea prin adaos sau lipsă: 48 + 8 =(se rotunjeşte 48, prin adaos, cu 2 unităţi şi se obţine 50, 50+8 = 58, apoi se scad cele 2 unităţi folosite pentru rotunjire 58-2 = 56)=56 - 72 + 9 =(se rotunjeşte 9, prin adaos, adică prin adunarea unei unități se obţine 10, 10+72 = 82, apoi se scade acea unitate folosită pentru rotunjire 82 - 1 = 81)=81.

Pentru a scădea dintr-un număr format din zeci şi unităţi un număr format doar numai din unităţi se folosesc aceleaşi procedee ca şi la adunare: • se scad din descăzut unităţile care le conţine şi din diferenţa obţinută se scade apoi restul de unităţi ale scăzătorului (84 - 9 = 84 – 4- 5 = 80 - 5 = 75), • se transformă o zecea descăzutului în zece unităţi care se adună la unitățile iniţiale; din numărul de unităţi astfel obţinut se scade scăzătorul; se adună numărul rămas numai din zeci cu diferenţa obţinută (73 - 8 = 60+10+3-8 = 60+13 - 8 = 60+5 = 65), • se rotunjeşte, prin lipsă sau prin adaos, fie descăzutul, fie scăzătorul: - 62-7 (62 rotunjit prin lipsă este 60, 60 - 7 = 53, se adaugă cele două unităţi luate pentru rotunjire 53 + 2 = 55)=55. - 73-9 = (9 rotunjit prin adaos este 10, 73 – 10= 63, la diferenţa obţinută se adună unitatea folosită pentru rotunjire 63+1=64)=64. Învăţătorul trebuie să acorde procedeului de rotunjire cât mai multă atenţie în special, când se face rotunjirea scăzătorului.

Pentru a aduna sau scădea două numere naturale mai mici decât 100 și formate ambele atât din unităţi cât şi din zeci se poate folosi unul din următoarele procedee • procedeul general, care constă în efectuarea operaţiilor între unităţi de același fel (unităţi cu unităţi şi zeci cu zeci) şi însumând rezultatele obţinute ( 46+38=40+6 + 30 + 8 = 40+30 + 6+8 = 70 + 14=84; 57-36=50+7-30-6= 50 - 30 +7 - 6 = 20+ 1 = 21); descompunerea unuia din componentele adunării sau scăderii în două nul astfel încât prin adunare sau scădere să se formeze o componentă :i date formate numai din zeci (37 + 45 = 37 + 40 + 5 = 77+5=82; 47+39= 40 + 7 + 39 = 40 + 46 = 86; 83 - 27 = 83 - 20- 7 = 63-7=56; 67-48=60+ 7- 48 = 12 + 7 = 19); • rotunjirea unuia din componente şi adăugarea sau scăderea din rezultatul parţial obţinut a unităţilor cu care s-a făcut rotunjirea: - 25 + 39 - (39 rotunjit, prin adaos, cu o unitate devine 40, 25+40=65, 65-1=64 se scade unitatea cu care s-a făcut rotunjire)=64 - 38+39=(38 rotunjit, prin adaos, cu 2 unităţi devine 40, 40+39=79, 79-2 = 77) = 77; 62- 27 = (62 rotunjit, prin lipsă, cu 2 unităţi şi devine 6, 60 - 27 =33, 33 + 2 = 35 se adaugă acele 2 unităţi folosite la rotunjirea, prin lipsă, a descăzutului) = 35; 64-38=( 38 rotunjit, prin adaos, cu 2 unităţi devine 40, 64 - 40 = 24, 24+ 2 = 26 la diferenţa obţinută se adună cele 2 unităţi folosite pentru rotunjirea, prin adaos, a scăzătorului) = 26 Procedeul rotunjirii este recomandabil deoarece este un instrument util în efectuarea rapidă mintală a calculelor numerice. Adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mari decât 100 şi mai mici decât 1000 fără şi cu trecere peste ordin se învaţă în clasa a II-a, fără trecere peste ordin, iar în cl. a III-a cu trecerea peste ordin. Adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mari decât 100 şi mai mici decât 1000, fără trecere peste ordin poate fi învăţată în următoarea succesiune: • adunarea a două numere formate numai din sute, care la rândul lor reprezintă unităţi de ordinul al treilea, a căror adunare se realizează întocmai ca şi cea a unităţilor şi a zecilor; • adunarea a două numere formate unul numai din sute, iar celălalt numai din unităţi sau numai din zeci; • adunarea la un număr format din sute şi zeci a unui număr format fie numai din unităţi, fie numai din zeci sau numai din sute; • adunarea la un număr format din sute, zeci şi unităţi a unui număr format fie numai din unităţi, fie numai din zeci sau numai din sute; • adunarea la un număr format din sute, zeci şi unităţi a unui număr format fie numai din unităţi şi zeci, fie numai din sute şi zeci, sau a unui număr format numai din sute şi unităţi; • adunarea la un număr format din sute, zeci şi unităţi a unui număr format din sute, zeci şi unităţi. Procedeul general de calcul în aceste cazuri se bazează pe adunarea între ele a unităților de acelaşi ordin şi constituirea numărului rezultat din adunarea între ele a: sutelor cu sutele, a zecilor cu zecile, a unităţilor cu unităţile. Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 100 şi mai mici decât 1000, cu trecere peste ordin se învaţă, de asemenea, trecând prin mai multe etape. Deoarece procedeele aplicate sânt analoage cu adunarea numerelor formate din unităţi şi zeci, nu se va insista asupra expunerii lor. La etapa de rezolvare a însărcinărilor se recomandă de a efectua în paralel cu ajutorul oral şi calculul scris. Se recomandă ca însuşirea acestor adunări să parcurgă calea:  adunarea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr format numai din zeci, suma zecilor celor două numere trecând de 100 (64+70 = 60+4+70=60+40+30+4 = 100 + 34=134); în analiza acestui caz trebuie de insistat pe formarea sutei din zecile primului număr şi o parte din zecile celui de-al doilea număr;  adunarea a două numere fiecare formate din zeci şi sute, dar prin adunarea cifrelor de acelaşi ordin

doar numai o sumă să depăşească ordinul respectiv (53 +84= 50 + 3+80+ 4 = 50 + 50+ 30 + 3 + 4 = 100 + 37 =137);  adunarea a două numere fiecare formate din zeci şi unităţi, astfel încât prin adunarea atât a unităţilor, cât şi a zecilor să se depăşească ordinul respectiv (76 + 85 = 70 + 6+80+ 5 = 70 +80 + 6 + 5 = 150 + 11 = 161);  adunarea a două numere formate unul din sute, zeci şi unităţi, iar celălalt numai din unităţi, sau numai din unităţi şi zeci (463+8 = 460+3 + 8=460+11 = 471) sau (546+ 87=540+6+80+7 = 540+80+6+7= =620+13=633);  adunarea a două numere fiecare formate din unităţi, zeci şi sute (386 +548 =300+ 80+6+ 500+40 + 8= =300+800+6+500+40+8=300+500+80+40+6+8=800+120+14=920+14=934). La fiecare însărcinare trebuie de insistat asupra faptului că se adună doar unitățile de acelaşi ordin şi că din 10 unităţi de un anumit ordin se formează o unitate de ordin imediat superior, care se adună la numărul unităţilor de acest ordin rezultat prin efectuarea operației de adunare între ele. La calculul în scris trebuie să se insiste pe scrierea atât a numerelor care se adună cât şi a numărului rezultat prin adunare a unităţilor de un anumit ordin sub unităţi de acelaşi ordin. Scăderea numerelor mai mari decât 100. Operaţia de scădere a numerelor naturale este mai puţin accesibilă pentru elevi decît operaţia de adunare a lor. Această operaţie presupune un efort mintal ceva mai sporit. Aceasta se datorează faptului că în cazul când numărul de unităţi de acelaşi ordin al scăzătorului este mai mare decât cel al descăzutului este necesar de a transforma o unitate de ordin imediat superioară al descăzutului în zece unităţi, să scadă această unitate din cele corespunzătoare ale descăzutului şi să adune cele 10 unităţi obţinute prin transferul de împrumut la cele de acelaşi fel existente. Prin urmare, se realizează în acelaşi moment mai multe transformări: descompunere şi compunere de numere de ordine diferite. Învăţătorul trebuie să reamintească elevilor elementele de relaţii prin mai multe însărcinări cu scăderi în concentrul 0-100. În acest context se recomandă de a realiza următoarele etape: • scăderea unui număr natural format doar numai din zeci întregi din 100; • scăderea unui număr natural format din zeci şi unităţi din 100; • scăderea unui număr natural format doar numai din unităţi dintr-un număr natural format din unităţi, zeci şi sute; • scăderea dintr-un număr natural format din unităţi, zeci şi sute a unui număr format doar numai din zeci întregi; • scăderea dintr-un număr natural format din unităţi, zeci şi sute a unui număr format doar numai din unităţi şi zeci; • scăderea dintr-un număr natural format din unităţi, zeci şi sute a unui număr format din unităţi, zeci şi sute. Pentru fiecare din aceste etape în parte, de fiecare dată se vor face, iniţial, scăderi în care să nu se treacă peste ordin şi doar după ce aceste însărcinări cu procedeele respective vor fi bine însuşite de către elevi se poate continua cu acele însărcinări în care se va face trecerea peste ordin. De exemplu: 100-30=70+30-30=70; 100-33=90+10-30-3=90-30+10-3=60+7=67; 578-5=570+8-5=570+3=573; 436-9=420+16-9=420+7=427; 976-50=920+6+50-50=926; 546-78=400+140+6-7-8=400+130-70+16-8=400+60+8=468; 587-369=500-300+70-60+17-9=200+10+8=218; 843-361=700-300+140-60+3-1=400+80+2=482.

Este clar că aceste însărcinări sânt orientative şi totul depinde de nivelul de pregătire a elevilor și de posibilităţile lor intelectuale, de experienţa şi de nivelul de pregătire al cadrului didactic. In fiecare caz se poate trece peste una din etape, se pot aplica unele sau altele procedee de calcul. Se recomandă la scrierea însărcinărilor pe verticală de a scrie în cazul în care numărul unităților de acelaşi ordin al descăzutului este mai mic de cât numărul de unităţi de același ordin al scăzătorului, să se specifice aceasta şi să se scrie deasupra cifrei ordinului respectiv la descăzut numărul de unităţi obţinute prin adăugarea celor zece obţinute la transformarea unei unităţi de ordin imediat superior, iar deasupra cifrei ordinului care s-a | i ii t ii is cifra care a rămas. De exemplu: La scăderea 432-125 se va proceda în felul următor: 400-100=300, 32-25=7, 300+7=307. La scăderea pe verticală vom avea: 4 3 2 _ 1 2 5 ---------3 0 7. O situație aparte reprezintă cazul când cifrele de un anumit ordin fie ale descăzutului, fie ale scăzătorului sânt zerouri. Însuşirea acestui tip de scăderi este destul de anevoios pentru elevi și formarea competenţelor de calcul se va face prin câte mai multe şi mai variate însărcinări utilizând toate cazurile de scăderi de acest fel. Când la descăzut asistă cazul că atât cifra unităţilor, cât şi cifra zecilor sânt zerouri elevii percep şi sesizează mult mai greoi, deoarece trebuie să ia o sută de la cifra sutelor descăzutului şi să le transforme în zece de zeci, din care să ia o zece şi o transformă în zeci unităţi simple, iar pe locul zecilor rămânând nouă zeci. La etapa iniţială este util ca la calculul scăderii pe verticală că se evidenţieze şi să se consemneze aceşti paşi logici. 2.8 Specificul p-î-e adunării şi scăderii numerelor naturale mai mari decât 1000 OASNN mai mari decât 1000 se efectuează oral şi în scris, în etape similare și procedee didactice analoage cu cele învăţate anterior la OASNN mai mici decât 1000. Pentru realizarea cu succes a OASNN mai mari decât 1000 este necesar ca elevii să cunoască în mod temeinic operarea cu clasele şi ordinele scrierii unui număr în sistemul de numeraţie zecimal, ordinea claselor şi ordinea ordinelor în fiecare clasă aparte, serierea și citirea corectă a numerelor naturale de orice mărime, operaţiile de adunare şi scăderea însuşite anterior, scrierea competentă a numerelor la efectuarea operaţiilor pe verticală în ordine strictă cu clasele corespunzătoare sub aceleaşi clase şi a ordinilor din fiecare clasă sub ordinele corespunzătoare ale claselor corespunzătoare. Elevii se conving după mai multe însărcinări repetate că tehnica de calcul este aceeaşi. Scăderea cu trecere peste ordin prezintă aceleaşi dificultăţi ca şi scăderea similară din concentrul 01000 2.9 Metodologia p-î-e operaţiilor de înmulţire şi împărţire a numerelor naturale Operaţiile de înmulţire şi împărţire a numerelor naturale se învaţă începând cu clasa a II-a. 2.9.1. Introducerea operaţiei de înmulţire în clasa a II-a În formarea noţiunii de operaţia de înmulţire a numerelor naturale intuiţia elevului deja nu mai joacă rolul predominant ca la adunarea lor, deoarece elevii au formate competenţe de adunarea numerelor naturale şi învăţătorul trebuie să se baze pe aceste cunoştinţe în predarea temei noi, cu operaţia nouă pentru elevi. Totuşi, învățătorul, nu trebuie nici odată să renunţe la mijloacele intuitive de predare şi să le utilizeze la fiecare ocazie posibilă. Elevii în rezultatul exercitării își îmbogățesc vocabularul cu un limbaj nou: măresc de, de atîtea ori mai mult, dublu, triplu, împărțit, mărit sau majorat de atîtea ori, de atîtea ori mai mare, mai mult de, …a cîte… ceva etc., expresii a căror valoare se poate determina prin operația de înmulțire a

numerelor. Ordinea realizării procesului de p – î – e la această temă prevede următoarea cale logică de expunere:  exersarea cu însărcinări care conțin adunări repetate, accentuînd de fiecare dată, modalitatea verbalizată a executării operației: 3+3+3=9 se citește de 3 ori cîte 3, 5+5+5+5=20 se citește de 4 ori cîte 5;  înlocuirea acestei adunări repetate cu operaţia înmulţirii numerelor naturale; se accentuează că pentru adunările repetate se poate folosi o altă formă de scriere, mult mai prescurtată; de exemplu: 5+5+5+5=4*5=20;  se execută rezolvarea celor mai variate însărcinări cu scrierea mixtă şi sub formă verbalizată prin înmulţiri şi invers, apoi schimbând numerele cu locul, accentuând de fiecare dată, semnificaţia numerelor ca componente folosite la înmulţire: primul factor indică de câte ori se repetă cel de-al doilea factor, care se mai poate considera şi ca termen al adunării repetate. Se introduce utilizarea terminologiei aferente acestei operaţii matematice: rezultatul operaţiei - produsul minierelor naturale şi componentele operaţiei - factori ai produsului: primul factor* al doilea factor = produs. Chiar de la începutul p-î-e acestei teme este necesar de a evidenţia proprietatea de comutativitate a acestei operaţii matematice. Din punct de vedere al didacticii matematicii moderne, descoperirea de către elevi a acestei proprietăţi trebuie de făcut treptat, continuu, în accesiune, pe parcursul a câteva ore de învăţare, în cadrul unor strategii didactice interactive de tip inductiv - de la particular la general. Elevii, ghidaţi în mod competent de către cadrul didactic trebuie în mod progresiv să ajungă la formularea următoarea prepoziție matematică: „Dacă comutăm (schimbăm) cu locul factorii, produsul este un invariant, adică rămâne neschimbat." Această importantă proprietate a înmulţirii va fi utilizată ulterior în p-î-e tablei lui Pitagora - tablei înmulţirii numerelor naturale. În prelungire în clasele a III-a a IV-a comutativitatea înmulţirii se generalizează prin scrierea simbolică a*b=b*a. Proprietatea de asociativitate a înmulţirii numerelor naturale se descoperă de către elevi prin intermediul unui raţionament inductiv, calculând la prima etapă produsul a 3 numere naturale, prin asocierea a tuturor variantelor posibile a factorilor. Se formulează propoziția: „Oricum am asocia 3 numere naturale la înmulţire, produsul lor rămâne invariant, adică produsul lor mereu este acelaşi.” În continuare se deduce aceeaşi regulă şi în cazul a 4, 5, 6 etc. factori. În clasele a III-a a IV-a asociativitatea înmulţirii se generalizează prin scrierea simbolică. (a*b)*c = a*(b*c). Comutativitatea şi asociativitatea înmulţirii stau la baza p-î-e procedeelor de înmulţire netabelară. 2.9.2. Proprietăţile înmulţirii Cu elevii trebuie de exercitat proprietățile înmulțirii numerelor naturale și de format competențele necesare în mod practic, ținînd cont de axiomatica lui Peano: 1. a*1=1+1+1+…...+1 (de a ori)=a. 2. a*0=0+0+0+……+0 (de a ori)=0. Descoperirea acestor proprietăți importante ale înmulțirii se realizează în cadrul unor strategii didactice interactive de tip logico-euristice inductive, fiind bazate pe sensul înmulţirii ca o adunare repetată. Propoziţiile de forma 1*a şi 0xa sânt propoziţii echivalente, care rezultă din definiția înmulţirii, dar în cazul dat sânt nişte excepţii, deoarece primul factor al produsului indică câţi termeni are adunarea dată repetată. O adunare trebuie să aibă cel puţin 2 termeni reali prin urmare primul factor al unei înmulţiri nu poate fi nici cum egal cu 0 sau cu 1. Pentru a asigura accesibilitatea particularităţile de vârstă ale elevilor, aceste cazuri excepţionale ale înmulţirii trebuie predate în strânsă legătură cu comutativitatea înmulțirii: 1*a=a*1 = a, 0*a = a*0 = 0.

2.9.3. Cazuri specifice Fiecare caz de organizare particulară a p-î-e operaţiei de înmulţire a numerelor naturale trebuie să parcurgă o cale formată din anumiţi paşi logici. De aceea fiecare lecție matematică de predare a înmulţirii cu un factor anumit dat trebuie să parcurgă un anumit traseu consecutiv progresiv. Să luăm ca caz particular înmulţirea cu 4. Etapa I-a. Actualizarea cazurilor de înmulţire cunoscute anterior: 2x4 = 4x2 = 8, 3x4 = 4x3 = 12. Etapa a II-a. Descoperirea produselor cu 4 aflat pe locul factorului al doilea: 4 x4 = 4 + 4 + 4 + 4 (cunoaştem deja că 3x4 = 4x3=12 și mai avem de adunat încă 4)= 12+4 = 16. Dacă la cazul înmulţirii cu 5 avem: 5*4=4+4+4+4+4 (cunoaştem deja că 4x4=16 şi mai avem de adunat încă 4) = 16 + 4 = 20. Cazurile de înmulţire particulară în continuare 6x4, 7x4, 8x4, 9x4, 10x4 se cercetează în mod analog. Etapa a III-a. Utilizarea comutativităţii înmulţirii pentru alte cazuri noi 5x4 = 4x5 = 20, 6x4 = 4x6=24, 7x4=4x7=28, 8*4=4*8=32, 9*4=4*9=36, 10*4=4*10=40. Etapa a IV-a. Scrierea completă, de exemplu, a tablei înmulţirii cu factorul 4 și lucrul de memorizare a ei. 2.9.4. Formarea competenţelor de calcul matematic de înmulţire netabelară A realiza corect şi competent calculele matematice este o artă. Conţinuturile de învățare a procedeelor de înmulţire netabelară este una dintre compartimentele acestei arte. Aceste procedee trebuie însuşite sistematic şi în ascensiune, începând cu clasa аIII-а: a) În clasa a III-a se pun în discuţie conţinuturile de învăţare a procedeelor de înmulţire netabelară în concentrul 0-1000:  înmulţirea cu 10 şi 100 (2x10, 3x100, 71 x 100 etc.);  înmulţirea cu numere formate din zeci sau sute întregi, fără trecere peste ordin (3x20, 4x200, 72x10 etc.);  înmulţirea fără trecere peste ordin a unui număr mai mic decât 10 cu un număr scris cu cel mult 3 cifre (3x23, 4x210, 72x11, cazuri specifice 4x203, 4x230 etc.);  înmulţirea cu trecere peste ordin a unui număr mai mic decât 10 cu un număr scris cu 2 cifre ( cu trecere peste ordinul unităţilor 3x26, cu trecere peste ordinul zecilor 4x30, cu trecere peste ordinul unităţilor şi zecilor 3x65 etc.) înmulţirea cu trecere peste ordin a unui număr de o cifră cu un număr scris cu trei cifre unităţilor ( cu trecere peste ordin 3x126, cu două treceri peste ordin 4x257 etc.). b) În clasa a IV-a se pun în discuţie conţinuturile de învăţare a procedeelor de înmulțire netabelară a numerelor naturale mai mari decât 1000:  înmulţirea cu 1000;  înmulţirea fără trecere peste ordin cu un număr de o cifră (234x2);  înmulţirea cu trecere peste ordin cu un număr de o cifră (254x4);  înmulţirea fără trecere peste ordin cu un număr de 2 cifre (44x22, 12x23, 11*1425);  înmulţirea cu trecere peste ordin cu un număr de 2 cifre (54x22, 12x94, 2425x15);  înmulţirea cu un număr de 3 cifre (extindere). Cele mai principale şi mai recomandate procedee didactice de p-î-e a înmulţirii netabelare se consideră organizarea situaţiilor de problemă şi descoperirea lor de către elevi în baza unor demersuri euristice inductive. Pentru formarea unor competenţe de calcul se recomandă a practica dictări matematice, jocuri didactice, concursuri de calcul rapid, atât frontal – individual cum şi în grupuri, compuneri şi rezolvări de probleme. Unul din cele mai eficiente procedee de corectare a erorilor comise se recomandă practicarea

utilizării contraexemplului. Punem în discuție câteva exemple: 5*200=200+200+200+200+200=1000 (se face apel la definiţia înmulţirii ca o adunare repetată); 1) 40*50=(4*10)* (5*10)=20*100=2000 (se face apel la proprietatea de asociativitate a înmulţirii); 2) 37x40 = (30 + 7)x40= 30x40+ 7x40 = 1200 + 280=1480 (se face apel la distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea); 3) 2x328 = 2x(300 + 20 + 8) = 2x300+ 2x20 + 2x8 = 600+ 40+16=656 (se face la fel apel la distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Acelaşi exemplu scris în altă formă. 328 x 2 —•—-—. Procedeul scris se bazează pe proprietatea distributivităţii înmulţirii în 6 56 raport cu adunarea şi pe aplicarea particularităţilor scriem numerelor naturale în sistemul zecimal de numeraţie, în care fiecare 1 0 unităţi de un anumit ordin alcătuiesc o unitate nouă de ordin imediat superior. Algoritmul de lucru este următorul: Pasul 1: Se înmulţeşte 2 cu cifra unităţilor: 2x8 = 16 sau 1 zece şi 6 unități de ordinul întâi. Se scrie 6 unităţi la unităţile produsului, iar 1 zece se memorează pentru a fi adunată la produsul zecilor. Pasul2: Se înmulţeşte 2 cu cifra zecilor: 2x2 = 4z. La acest rezultat al produsului, la 4z se adună zecea memorată: 4z + 1z = 5z. Se scrie 5 zeci la produsului. Pasul 3: Se înmulţeşte 2 cu cifra sutelor: 2*3 = 6s. Se scrie 6 sute la sutele produsului. Pasul 4: Se citeşte produsul căpătat: 656 12x640 = 12x(64x10)=(12x64)xl0. În conformitate cu proprietatea de asociativitate a înmulţirii cifra 0 poate fi neglijată la înmulţirea în coloniţă, coborând-o doar la dreapta produsului calculat: 6 4 0* 12 128 + 64 7680 În primul rând de sub prima bară este scris primul produs parțial care exprimă ordinul zecilor. În al doilea rând de sub prima bară este scris al doilea produs parţial, care exprimă ordinul sutelor Sub bara a doua este scris produsul final. Se remarcă pentru elevi că al doilea produs parțial se deplasează cu o cifră mai la stânga şi începe a fi scris sub zecile numărului scrie, adică 4 se scrie sub 2, iar sub unităţi se subînțelege cifra 0. In procesul antrenării elevilor în formarea competenţelor de efectuare a înmulţirii netabelare, ei trebuie ghidaţi spre a descoperi şi aplica corect următoarele reguli: a) pentru a înmulţi un număr cu o sumă, distribuim numărul la fiecare termen al sumei; b) pentru a înmulţi un număr cu 10, 100, 1000, se scrie la dreapta numărului dat 1, 2 sau 3 cifre de 0 (zero); c) pentru a înmulţi între ele două numere care se termină cu zerouri, procedăm astfel:  înmulţim numerele între ele neglijând zerourile;  scriem la dreapta produsului obţinut atâtea zerouri, câte au în total, ambii factori. Este util de a forma elevilor competenţe de calcul rapid. La utilizarea tehnicilor de calcul rapid elevii ar fi de dorit să descopere şi să aplice următoarele procedee: i. asociativitatea înmulţirii, care permite de a asocia în modul cel mai convenabil factorii produsului. De exemplu: 4x7x5 = 7x(4x5) =7x20 = 140; ii. distributivitatea în raport cu adunarea şi scăderea.

De exemplu: • înmulţirea rapidă cu 11: 18x11 = 18x(10+ 1) - 18x10+ 18x1 = 180 + 18= 198, • înmulţirea rapidă cu 9: 18x9 = 18x(10- 1) -18x10- 18x1 = 180-18=162; iii. cazuri specifice de înmulţire cu multiplu lui 5 sau înmulţirea cu un cât: • 32x5 = 32x(10:2) = (32x10):2 = 320:2 = 160 sau în altă variantă 32x5 = 32x(l0:2) = (32:2)x10= =16x10 = 160; • 32x25 = 32x(l00:4) - (32x100):4 = 3200:4 = 800 sau 32x25 = 32x(100:4) = (32:4)*100= 8x100=800; • 32x50 - 32x(100:2) - (32xl00):2 = 3200:2 = 1600 sau 32x50 = 32x(l00:2) = (32:2)x100= =16x100 = 1600. 2.9.5.

Tabla înmulţirii

În cadrul orelor de învăţare a înmulţirii în clasa a II-a învăţătorul trebuie să ghideze competent, din punct de vedere metodic, elevii către memorarea interactivă a tablei înmulțirii. Este o greşeală gravă eronată învăţarea pe de rost a tablei înmulţirii. învăţătorul trebuie să organizeze o memorare conştientă şi logică fundamentată, recurgând cât va fi necesar la calculul unui produs prin adunarea repetată, dar stimulând memorarea prin cele mai variate și mai diverse activităţi bazate pe strategii didactice interactive atractive. La etapa finală se alcătuieşte tabla lui Pitagora-tabla înmulţirii: 3 4 5 7 9 1 2 6 8 10 4 14 2 2 6 8 10 12 16 18 20 3 3 9 15 6 12 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 Tabela poartă numele eminentului matematician al antichităţii, cu toate că tabel', înmulţirii sânt atestate în matematica multor civilizaţii antice cu mult înaintea lui. Elevilor pasionaţi de matematică li se poate propune de a alcătui tabla înmulţirii la 15: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 169 182 196 15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 182 195 210

15 165 180 195 210 225

Elevii dotaţi nu trebuie s-o memoreze - ei trebuie să înţeleagă mecanismul de compunere a tabelei şi să apeleze la acest procedeu în caz de necesitate. 2.9.5.

Introducerea operaţiei de împărţire în clasa a II-a

Operaţia de împărţire a numerelor naturale se iniţiază în clasa a II-a. P-î-e operaţiilor de înmulţire şi împărţire poate fi expusă în două variante, două accepţiuni

metodologice: separat sau în paralel. În conformitate cu curriculumul actual aceste operaţii se pun în discuţii în mod separat. O astfel de expunere este indicată de faptul că elevii învaţă aceste operaţii pentru prima dată şi esenţiale pentru ei sânt nu legătura dintre înmulţire şi împărţire ca operații reciproc inverse, ci legăturile dintre operaţia de înmulţire şi adunarea repetată și dintre împărţire şi scăderea repetată. Această abordare metodică separată de studiere a operațiilor de înmulțire şi împărţire a numerelor naturale permite elevilor de a se concentra asupra modalității de realizare logică a fiecărei operaţii noi, pătrunzând mult mai profund în esenţa aplicării lor. Se pune în discuţie aşa numitele componente ale operaţiei de împărţirea a numerelor naturale şi terminologia aferentă acestei operaţii. Componentele acestei operaţii se numesc: deîmpărţitul, împărţitorul şi catul sau raportul lor. deîmpărţitul: împărţitorul = câtul. Operaţia de împărţire a numerelor naturale se poate introduce doar după ce la elevi s-a format la concret conceptul de înmulţire şi ei şi-au format competenţele necesare de a utiliza în practica calculului numeric tabla înmulţirii. Elevii în rezultatul exercitării îşi îmbogățesc vocabularul cu un limbaj nou: de ... ori mai puţin, înjumătăţit, a treia, a patra parte, un sfert, a n-a parte, mai mic de ..., mai puţin de ..., micşorat de ... ori, diminuat de…ori, scăderea a câte ...etc., expresii a căror valoare se poate determina prin operaţia de împărțire. Operaţia de împărţire a numerelor naturale se introduce în conformitate cu conținuturile de învăţare şi a contextelor legate de împărţire: • împărţirea în părţi egale, care este mai accesibilă pentru copiii de vârsta dată, ei mai lejer înţeleg acest procedeu; exprimarea verbală a acestui procedeu corespunde particularităţilor de vârstă şi se află în concordanţă cu procesul de cugetare adecvat, iar justificarea executării operaţiei date nu prezintă anumite dificultăţi metodice pentru elevi. Sensul concret al împărţirii în părţi egale constă în clasificarea unei mulţimi finite date după clase, clasele reprezentând submulţimi echivalente. Se ştie câte clase se formează, iar prin împărţire se determină câte elemente conţine fiecare clasă. Metoda didactică principală de introducere a împărţirii în părţi egale se bazează pe operaţii concrete cu obiecte concrete. De exemplu: 15 balonaşe trebuie de împărţit în mod egal la 5 elevi:  iniţial se iau câte 5 balonaşe şi se repartizează câte un balonaş la fiecare dintre cei 5 elevi; în caiete şi pe tablă se înregistrează prin scriere 15 - 5;  se procedează în mod analog până sânt distribuite în mod egal toate balonaşele. In caiete şi pe tablă se înregistrează un şir de scăderi repetate: 1 5 - 5 - 5 - 5 (5 de 3 ori) = 0. în final elevii deduc concluzia, că împărţind 15 balonaşe la 5 elevi, se obţine că fiecare elev poate primi câte 3 balonaşe. Se explică elevilor că această operaţie de scădere repetată poate fi scrisă succint în limbajul simbolic matematic prin propoziţia: 15:5 = 3. Se introduce în uz simbolul (:) - un simbol nou pentru ei - simbolul operaţiei împărţirea şi denumirile aferente ale componentelor operaţie matematice împărţirea: deîmpărţit, împărţitor şi cât. In acest caz este esenţial ca elevii să înţeleagă sensul operaţiei realizate: câtul indică de câte ori putem scădea împărțitorul din deîmpărţit; ■ împărţirea prin cuprindere se introduce ca variantă alternativă operaţiei de împărţire în părţi egale, concomitent cu aceasta, conducând progresiv cunoştinţele elevilor spre unificarea acestor două procedee de împărţire. Sensul concret al împărţirii în prin cuprindere constă, de asemenea, în clasificarea unei mulţimi finite date în submulţimi echivalente. Însă de această dată se cunoaşte numărul de elemente în fiecare clasă, iar numărul claselor trebuie de determinat. În mod similar se acţionează în plan concret. De exemplu: 15 balonaşe trebuie de împărţit în mod egal la 5 elevi:  iniţial din 15 balonaşe se iau 5 balonaşe şi se dau primului elev. Pe tablă şi în caietele elevilor se scrie operaţia realizată: 15 - 5;  se procedează în mod analog până sânt distribuite în mod egal ţoale balonaşele. In caiete şi pe tablă se înregistrează un şir de scăderi repetate: 15-5-5-5 (5 de 3 ori) = 0. In final elevii

deduc concluzia, că împărţind 15 balonaşe la 5 elevi, se obţine că fiecare elev poate primi câte 3 balonaşe. Se explică elevilor că această operaţie de scădere repetată întâlnită mai înainte este aceeaşi: 15:5 = 3. In acest mod se realizează unificarea acestor două procedee de împărţire şi se emite concluzia, că indiferent de procedeul aplicat, câtul indică una şi aceeaşi - de câte ori putem scade împărţitorul din deîmpărţit. Cel de-al doilea procedeu - împărţirea prin cuprindere prezintă un grad mai sporit de dificultate în raport cu împărţirea în părţi egale, deoarece justificarea efectuării operațiilor cât şi ilustrarea lor sânt mai dificile. Terminologia aferentă „în părţi egale‖ şi „prin cuprindere‖ se introduce în uz abia în clasa a III-a, fără a accentua folosirea ei. Prin contraexemple se scoate în evidenţă proprietatea că deîmpărţitul nu poate fi mai mic decât împărţitorul. 2.9.7. Formarea competenţelor de calcul numeric care conţine împărțiri netabelare Formarea competenţelor de calcul numeric care conţine împărţiri netabelare a numerelor naturale se realizează în corespundere cu conţinuturile materiei de studiu: a) în clasa a III-a:  împărţirea exactă a numerelor naturale a căror scriere se termină cu zero: 40:10, 400:100, 420:10, 420:2, 40:2, 40:20, 400:10. 400:2. 400:20;  împărţirea unui număr natural de două cifre la un număr natural de o cifră când zecile deîmpărţitului se împart exact la împărţitor: 48:2, cazul cu rest 49:4, caz special când la cât apare zero 92:3;  împărţirea unui număr natural de două cifre la un număr natural de n când zecile deîmpărţitului nu se împart exact la împărţitor: 78:2, cazul cu rest 78:5, caz special când deîmpărţitul are zero 80:3;  împărţirea unui număr natural de trei cifre la un număr natural de o cifră când sutele şi zecile deîmpărţitului se împart exact la împărţitor: 686:2, cazul cu rest 495:4, cazuri speciale: când la cât apare zero 692:3 sau când deîmpărţitul se termină cu zero 780:5;  împărţirea unui număr natural de trei cifre la un număr natural de o cifră când numărul sutelor nu se împarte exact la împărţitor: 695:4 când numărul sutelor este mai mare decât împărţitorul, 295:4 când numărul sutelor este mai mic decât împărţitorul, cazuri speciale: când deîmpărţitul conţine cifra zero 602:3, 240:6, când câtul conţine zerouri 421:2, când deîmpărţitul şi câtul se termină cu zero 700:5. b) în clasa a IV-a: • împărţirea unui număr natural mai mic de 1000000 la un număr natural de o cifră: 696:4, 1865:9; • împărţirea urmi număr natural la un număr natural de două cifre: 7825:54, cazuri speciale de împărţire:  când deîmpărţitul conţine zerouri în interiorul scrierii sale 200012:37,  când câtul conţine zerouri în interiorul scrierii sale 2575:25 = 103,  când şi deîmpărţitul şi câtul conţine zerouri în interiorul scrierii sale 9430:46=205,  când deîmpărţitul şi împărţitorul se termină cu zerouri 510640:40=12766.

2.9.8. Procedee de calcul oral şi scrise Pentru forma la elevi competenţe de aplicare a procedeelor de calcule orale şi scrise în studierea împărţirii netabelare se practică cele mai variate şi mai diverse metode didactice preferinţă, având metoda creării a situaţiilor de problemă şi a demersurilor euristice de descoperire a regulilor şi particularităţilor generale, bazate pe raţionamentul inductiv - deductiv. In acest plan se reco mandă de a practica dictări matematice, jocuri didactice matematice, contraexemple, compunerea şi rezolvarea celor mai diverse probleme. Exemple: 1. bazate pe legătura dintre înmulţirea şi împărţirea numerelor naturale. 120:3 = 40, deoarece 40*3 = 120; 400:300 = 3, deoarece 300*3 = 900: 280:14 20, deoarece 20*14 = 280. 2. bazate pe distributivitatea împărţirii în raport cu adunarea şi scăderea. în baza in osiei proprietăţi se practică două modalităţi: prin descompunerea di împărţitului în suma sau diferenţa termenilor de ordin şi descompunerea deîmpărţitului în termeni accesibili potriviţi. a) descompunerea deîmpărţitului în suma sau diferenţa termenilor de ordin. Procedeul de calcul oral: 68:2=(60+8):2 = 60:2 + 8:2= 3 0 + 4 = 3 4 ;  Procedeul de calcul scris;  Pasul pregătitor: Estimez cu câte cifre trebuie să fie scris câtul. Se împarte sub formă de coloniţă zecile deîmpărţitului la împărţitor (6:2) prin urmare, câtul trebuie să conţină zeci. Deci numărul care se va si u la cât va avea două cifre şi se înseamnă în locul câtului două puncte: unul pentru cifra zecilor şi altul pentru cifra unităţilor.  Pasul 1: Determin cifra zecilor la cât.  împart zecile: 6 îl cuprinde pe 2 de 3 ori; scriem 3 la locul zecilor câtului;  înmulţesc oral şi determin câte zeci am împărţit: 2*3z=6z; scriem 6 sub zecile deîmpărţitului;  se scade şi se determină restul zecilor: 6z- 6z = 0z, nu putem scrie zero la zeci şi de aceea nu scriem nimic sub linia de scădere.  Pasul 2: Determin cifra unităţilor la cât:  cobor cifra unităţilor şi împart 8 la 2; 8 îl cuprinde pe 2 de 4 ori scriem 4 la unităţile câtului;  înmulţim şi calculăm câte unităţi am împărţit: 2*4= 8;  scădem unităţile din unităţi şi avem: 8 -8 = 0; scriem 0 sub linia scăderii.  Dacă la împărţire se capătă un rest nenul, acesta din urmă se compară cu împărţitorul (R < Î) şi apoi se continuă împărţirea. Acest procedeu sens la etapa iniţială se verbalizează sub formă extinsă şi în mod detaliat, mai apoi, odată cu căpătarea competenţelor de calcul necesar se restrânge treptat. b) descompunerea deîmpărţitului în sumă de termeni potriviţi  Procedeul de calcul oral: 78:2 = (60+18):2=60:2 + 18:2=30+9=39. 3. Împărţirea numerelor naturale ce se termină cu zerouri la numere naturale ce se termină cu zerouri. La studierea a astfel de cazuri specifice de împărțire rapidă se evidenţiază şi se aplică în calcule practice următoarele procedee: pentru a împărţi exact la 10, 100, 1000 etc. un număr natural ce se termină cu zerouri, se înlătură respectiv 1, 2, 3 etc. zerouri dm imn dreaptă a numărului dat; pentru a împărţi exact unul la altul două numere ce se termină ambele cu zerouri, înlăturăm atât de la deîmpărţit cât şi de la împărțitor același număr de zerouri, apoi continuăm împărţirea cu numerele noi căpătate.

2.9.9. Tabla împărţirii Tabla împărţirii se p-î-e în baza înţelegerii şi aplicării practice a sensului dintre operațiile împărţirea şi înmulţirea. De exemplu: din înmulţirea 5x3 = 15 rezultă următoarele două: împărţirea 15:3 = 5 împărțirea 15:5 = 3. Tabla împărţirii nu se învaţă pe de rost, ci se memorează în mod conştient însuşind bine modalitatea de operare, aplicând un sistem de însărcinări didactice specifice: dictări matematice, jocuri didactice matematice, probleme captivante, ecuaţii implicite etc. 2.9.10 Cazuri speciale de împărţire În procesul p-î-e operaţiei de împărţire a numerelor naturale adeseori se întâlnesc cazuri speciale specifice, care trebuie ca elevii să le înţeleagă sensul logic şi să le aplice în mod rațional şi corect în caz de necesitate. Aceasta se realizează de către învăţător în baza unei strategii didactice interactive inductivedeductive. împărţirea oricărui număr natural la 1. A determina câtul împărţirii oricărui număr natural la 1, înseamnă a calcula de câte ori putem scădea 1 din acest număr natural. De exemplu: Se cere a determina câtul împărţirii lui 5 la 1. Aceasta înseamnă a calcula de câte ori putem scădea 1 din 5 sau de câte ori 1 se cuprinde în 5: avem 5-1-1 - 1 - 1 -1 (de 5 ori) = 0. Prin urmare 5:1=5. După cercetarea a mai multor cazuri particulare în mod inductiv se ajunge la generalizarea în mod deductiv: câtul împărţirii oricărui număr natural la 1 este egal cu acel număr natural şi se formalizează această propoziţie prin scrierea li letală în limbajul matematic simbolic a:l = a. a) împărţirea oricărui număr natural la acelaşi număr natural. A determina acest lucru se procedează în mod analog printr-o strategie didactică interactivă inductiv-deductivă şi se emite concluzia, că împărţirea oricărui număr natural la acelaşi număr natural este egal cu 1, deoarece orice număr natural poate fi ■i ă/ut din el însuşi doar o singură dată, deci avem: a:a = 1. b) împărţirea numărului natural 0 la orice număr natural. Acest caz se cercetează de asemenea în mod inductiv prin câteva cazuri particulare apoi se face o generalizare deductivă. De exemplu: 0:2, 0:5 etc., observând în final că mice număr natural poate fi scăzut din 0 exact de 0 ori, deci avem 0:a= 0, a diferit de 0. In acest caz specific este bine de propus elevilor o problemă glumă: „Doi prieteni trebuie să împartă între ei toate perele dulci ce s-au copt într-un sălcîm. Cu câte pere se va pricopsi fiecare dintre prieteni?‖ c) împărţirea oricărui număr natural la numărul natural 0. Acest caz este foarte important în matematică şi de aceea el trebuie cercetat destul de fundamental. Aceasta se realizează în două moduri:  împărţirea ca o scădere repetată. Se încearcă de a scrie împărţirea 5:0 sub forma unei scăderi repetate 5 - 0 - 0 — 0 ... . Elevii sesizează că este imposibil de a determina câtul dat, deoarece nici odată nu este posibil de a căpăta restul egal cu 0.  Analiza legăturii dintre înmulţire şi împărţire. A împărţi numărul natural 5 la numărul natural 0 înseamnă a găsi un astfel de număr natural care fiind înmulţit la 0 să ne dea 5, ceea ce este imposibil. Elevii singuri trebuie să sesizeze şi să emită raţionamentul, că împărţirea la 0 este lipsită sens. Aceasta este o restricţie a operaţiei de împărţire a numerelor naturale.

2.9.10. Metodologia formării noţiunii de împărţire cu rest Operaţia de împărţire cu rest se pune în discuţie în clasa a III-a în continuare studierii împărţirii numerelor naturale după ce elevii au însuşit împărţirea exactă, formînd le la elevi competenţa că împărţirea exactă este un caz particular al împărţirii numerelor naturale şi în special al împărţirii cu rest - cazul când restul devine egal cu zero. Ca şi în alte cazuri conceptul începe de la cazuri particulare practice prin probleme care sânt atestate în viaţa cotidiană:





împărţirea cu rest este introdusă în uz în context cu împărţirea prin cuprindere „într-o cutie sânt ambalate 5 complete de câte 6 creioane colorate. Câte cutii sânt necesare pentru a ambala 2l complete de creioane colorate?‖ Problema poate fi rezolvată la mod concret. Se iau câte 6 creioane în complet din cele 2l complete şi se pun în fiecare cutie câte 5 complete de creioane, completînd astfel 4 cutii şi mai rămân încă 1 complet din 6 creioane colorate. Se scrie operaţia efectuată, iniţial prin scădere repetată 21-5 - 5 - 5 - 5 = 1, apoi prin împărţire 21:5 = 4 şi ne mai rămâne un rest egal cu 1. Se introduce în uz denumirea noii componente a operaţiei de împărţire a numerelor naturale, noţiunea de rest, indicând semnificaţia de fiecare dată a numerelor obţinut rezultatul împărţirii cu rest a numerelor naturale:  câtul indică de câte ori poate fi scăzut împărţi torul din deîmpărțit.  restul indică rezultatul numeric al ultimei scăderi. împărţirea exactă se pune în discuţie ca un caz al împărţirii în părţi egale. 2.9.12. Formarea tehnicii de calcul la împărţirea cu rest

Formarea tehnicii de calcul la împărţirea cu rest poate fi examinată în baza unui exemplu concret prin urmărirea paşilor logici ai algoritmului acestei împărţiri. De exemplu: Luăm un caz concret 37:5: Pasul 1: Facem o estimare orală orientativă, cam de câte ori 37 îl poate cuprinde pe 5. Elevii observă acest fapt utilizând tabla înmulţirii cu 5 şi înaintează ipoteza că ce poate cuprinde de 7 ori şi ceva. Prin urmare cîtul de la această împărţire va fi 7. Pasul 2: Calculăm restul: 37- 35 = 2. Pasul 3: Verificăm dacă R < Î, elevii se încredinţează comparând 5 şi 2, 2 < 5. Scriem pe tablă şi în caiete: 37:5= 7, rest 2. Scriem proba: 7*5 * 2 = 37, 2 < 5. Acest procedeu cere antrenamentul corespunzător al elevilor deoarece efectuarea corectă a operaţiei de împărţire cu rest reprezintă fundamentul formării competenţelor de împărțire netabelară. 2.9.13. Procedee de împărţire rapidă a) Pentru a forma la elevi competenţe de calcul rapid la împărţirea numerelor naturale se învață şi se aplică în calculele practice următoarele procedee: b) împărţirea succesivă (împărţirea unui număr natural la un produs de mai multe numere naturale): 72:18 = 72: (9*2) = (72:9): 2 = 8:2=4. c) împărţirea la un cât: 140:5 = 140:(10:2) = (140:10)*2 = 14*228 sau 140:5 = 140:(10:2)- (140*2): 10 =280:10 =28. 800:25 – 800:(100:4) - (800:100)*4= 8*4 = 32 sau 800:5 = 800:(100:4) - (800*4): 100 = 3200:100 = 32. 1250:50 = 4250:(100:2) - (4250*2): 100 = 8500:100 = 85. 1800:50 = 4800:(100:2) = (4800:100)*2=48*2 - 96. d) distributivitatea împărţirii în raport cu adunarea: 2102:2 - (2100 + 2):2 = 1050 +1= 1051. e) distributivitatea împărţirii în raport cu scăderea. 2198:2 - (2200 - 2):2 = 1100 -1 = 1099 2.9.14. Proba împărţirii cu rest Pentru a evalua proba împărţirii cu rest se ghidează procesul de cugetare al elevilor în două direcţii:

• Problema pusă în discuţie se verifică, pornind de la situaţia obţinută în rezultatul rezolvării spre cea iniţială, dată în enunţ. In rezultatul rezolvării problemei, de exemplu, problema din p. 9.11., sau obţinut 4 cutii a câte 5 complete şi încă un complet aparte. Această situaţie concretă se poate scrie în mod abstract matematic prin propoziţia 4x5 + 1, care corespunde formulei matematice: C*Î + R = D. • Se propune elevilor de a observa relaţia de comparaţie între rest şi împărţitul în cadrul împărţitor cu rest a numerelor naturale când însărcinările au același împărţitor, iar deîmpărţitul reprezintă numere consecutive. De exemplu: 5:4 = 1, rest 1, 6:4 = 1, rest 2, 7:4 = 1, rest 3. 8:4 = 2, rest 0. 9:4 = 2, rest 1, 10:4 = 2, rest 2. 11:4 = 2, rest 3, 12:4 = 3, rest 0, 13:4 = 3, rest 1, 14:4 =3, rest 2, 15:4 = 3, rest 3, 16:4 = 4, rest 0, 17:4 =4, rest 1, 18:4 =4, rest 2. 19:4 = 4, rest 3, 20:4 =5, rest 0, 21:4 = 5, rest 1, etc. Elevii urmăresc rezolvarea însărcinărilor, scrierea lor şi observă prin comparație (restul la împărţire este întotdeauna mai mic decât împărţitorul, adică R < Î. Pentru a consolida aceste cunoştinţe şi a forma competenţele necesare de a aplica corect aceste proprietăţi, se propun elevilor contraexemple. De exemplu: De corectat eroarea comisă în însărcinarea dată 36:4 = 1, rest 2 sau 16:4=5, rest 4. În acest mod după mai multe exercitări se ajunge la proba împărţirii cu rest: C*Î+ R = D, unde R < Î . 2.10. Metodologia formării abilităților de calcul mintal, oral și în scris. Calculul mintal se consideră acel calcul care se efectuează în gând, fără a utiliza careva mijloace auxiliare de înregistrare: în scris, abac, numărători cu bile, calculatoare diverse, scheme, diagrame, grafice etc. El necesită o specificare a operaţiei matematice cu indicarea elementelor ei şi cere doar rezultatul. Operaţia se efectuează în minte. Exerciţiile la calculul mintal se pot scrie pe tablă sau pe hârtie, dar el nu se consideră procedeu de calcul înscris, ci doar o înregistrare sau o reţinere a rezultatelor calculului mintal. Calculul mintal are un rol important în p-î matematicii în clasele primare deoarece majoritatea însărcinărilor din matematica acestor clase pot fi rezolvate exclusiv prin utilizarea doar a calculului mintal. Chiar şi dacă uneori se aplică calculul în sens, practic este uneori imposibil de a te lipsi de calculul mintal. Calculul oral sau verbal este acel calcul, în care se repetă în glas atât operaţiile cât și procedeele aplicate în realizarea lui. Este un calcul în carese cere a da explicaţii indiferent de faptul dacă se folosesc materiale didactice sau se înregistrează operaţiile în scris, însă a utiliza procedeele tehnice. Calculul în scris se consideră acel calcul, în care se utilizează anumite procedee scrise, elemente de tehnică de calcul, bazată pe înregistrarea rezultatelor parţiale şi a operațiilor matematice. De exemplu: procedeul de adunare în scris a numerelor naturale de mai multe cifre, care are ca procedeu tehnic de calcul

aşezarea termenilor unul sub altul, cu unitățile de anumite ordine aranjate unul sub altul, iar ca procedeu de operaţie matematică adunarea succesivă a unităţilor de acelaşi ordin între ele, începând de la dreapta la stânga şi de jos în sus. Formarea competenţelor de a practica conştient calculul mintal are o importanţă deosebită în pregătirea multilaterală a elevilor şi a unei educaţii matematice adecvate, deoarece  acest calcul precedând calculul scris, îl iniţiază pe elev în cunoaşterea celor mai variate forme de calcul numeric, formându-i competenţele necesare pentru II însuşi cât mai fundamental calculul în scris;  practica cotidiană a unui om modem nu poate fi concepută fără utilizarea calculului matematic şi, în special, a calculului mintal;  calculul mintal dezvoltă facultăţile cognitive ale elevului: memoria, atenţia, cugetarea, flexibilitatea şi rapiditatea gândirii. Organizarea calculului mintal. În cadrul orelor de matematică adeseori este practicat calculul oral, care permite de a da explicaţii, ceea ce atestă dacă materia studiată a fost însușită conștient sau nu, precum şi dacă elevul posedă utilizarea celor mai diverse procedee de calcul. După modul cum sânt aplicate şi practicate în cadrul orelor de matematică, însărcinările pot fi clasificate în următoarele: 2.11.

Metodologia studierii legăturilor logice dintre operaţiile matematice

Între cele 4 operaţii matematice, care se învaţă în clasele primare se poate determina legăturile logice, care se exprimă prin următoarele:  adunarea şi scăderea sânt operaţii reciproc inverse;  înmulţirea şi împărţirea sânt operaţii reciproc inverse;  înmulţirea este o adunare repetată a + a + ... 4 a (de b orii = a* b;  împărţirea este o scădere repetată c - a -... - a (de b ori) = 0, atunci c:a =b și c:b = a; înmulţirea şi împărţirea se supun regulii de distributivitate în raport cu adunarea şi scăderea: a) a * (b + c) = (b + c) * a = b*a + c*a, a * (b-c) = (b-c) *a=b * a – c * a ; b) (a + b):c = a: c + b:c, (a - b):c =a:c — b:c. Aceste legături logice este bine de determinat în clasele a II-a şi a III-a, avînd baza logică pregătită din clasa I-a. Ele se utilizează pe parcursul formării competenţelor de calcul numeric tabelar şi netabelar, la efectuarea verificării corectitudinii realizării operațiilor prin proba corespunzătoare, precum şi la rezolvarea ecuaţiilor. a) În clasa I-a elevii rezolvă blocuri de însărcinări: două la adunarea numerelor, două la scădere, cu aceleaşi numere. Prin aceste însărcinări elevii se familiarizează cu legătura existentă dintre operaţiile de scădere şi adunarea a numerelor. De exemplu: 3 + 2 = 5 5-3 =2 2 + 3 = 5 5—2 =3 Prin asemenea blocuri de însărcinări, deplasându-se imaginar: de la început către sfârşii ei observă că prima însărcinare, poate fi verificată prin celelalte trei; deplasîndu-se de la sfârşit către început, ei observă că ultima însărcinare, scăderea, poate fi verificată prin celelalte trei. În clasa a II-a elevii descoperă probele de verificare a adunării şi scăderii. Să evidenţiem cum se realizează aceasta la adunare. 3 + 2 = 5. Se citesc numerele: 3 - termen, 2 - termen, 5 - suma. Se scriu celelalte însărcinări din bloc, citind în mod analog ca în exemplul anterior şi se determină probele de verificare a adunării: o 2+ 3 = 5- proba adunării în baza proprietăţii comutativității adunării;

o 5-3 = 2 sau 5-2 = 3- proba adunării prin scădere: dacă din sumă se scade unul dintre termeni, se obţine celălalt termen. În mod analog se descoperă de către elevi probele scăderii. Pentru a determina descăzutul, se adună restul cu scăzătorul. Pentru a determina scăzătorul, se scade restul din descăzut. b) În clasa a I-a se învaţă legătura dintre înmulţire şi împărţire pornind de la un bloc analog, de exemplu: 3*2=6 6:3=2 2*3=6 6:2=3, descoperind:  Probele înmulţirii: De exemplu: 3x2 = 6: o în baza comutativităţii înmulţirii 2x3 = 6; o prin împărţire: dacă împărțim produsul la un factor obţinem celălalt factor: 6 : 3 = 2, 6 :2 = 3.  Probele împărţirii: De exemplu: 6 = 3 = 2: o prin înmulţire: pentru a afla deîmpărţitul, înmulţim câtul la împărţitor: 6 = 2*3; o prin împărţire: pentru a afla împărţitorul, împărțim deîmpărţitul la cât: 3 = 6 : 2. În clasa a III-a materia de studiu descrisă se formalizează şi se structurează. c) Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea se descoperă de către elevi în clada a III-a comparând însărcinările de rezolvare a unei probleme prin 2 metode. Problemă: Tăticul i-a adus dm deplasare lui Ionel un cadou complex compus din 3 colecţii a câte 4 maşinuţe roşii şi a câte 2 maşinuţe albastre. Câte maşinuțe alcătuieşte colecţia dată de tata lui Ionel? Metoda I: 3*(4+2) = 3*6 = 18. Metoda II: 3*(4+2) = 3*4 + 3*2 = 12 + 6 = 18. Drept concluzie se formulează regula: pentru a înmulţi un număr cu o sumă, trebuie de distribuit numărul ce se înmulţeşte la fiecare termen al sumei. În mod analog se descoperă de către elevi distributivitatea înmulţirii în raport cu scăderea. Pentru a descoperi distributivitatea împărţirii în raport cu adunarea se procedează în mod analog comparând însărcinările de rezolvare a unei probleme prin 2 metode. Problemă: Lotul de turişti ai claselor a IV-a era alcătuit din 42 băieţi şi 18 fete. La Mirarea în munţi cabina escalatorului putea transporta odată doar 6 persoane. Cîte cabine trebuie pentru a transporta turiştii la destinaţie? Metoda I: (42+18):6 = 60:6 = 10. Metoda II: (42+18):6 = 42:6 +18:6 = 7 + 3 = 10. În concluzie elevii descoperă regula de lucru: dacă fiecare termen al unei sume se împarte exact la un număr, atunci putem împărţi: sau rezultatul sumei la numărul dat, sau fiecare termen al sumei la numărul dat şi la rezultat se adună cîturile. Se descoperă în mod analog distributivitatea împărţirii în raport cu scăderea. Este foarte important de adus elevilor contraexemple pentru a-i convinge pe elevi în justeţea regulilor deduse: 80:(2+8) = 80:8+80:2 = 10 + 40 = 50. Realizând proba elevii determină, că 50*(8 + 2) = 400+100= =500, dar diferit de 80. În continuare elevii înţeleg, că regula descoperită nu poate fi transfererată asupra împărţirii unui număr la o sumă.

2.12.

Metodologia studierii ordinii efectuării operaţiilor matematice

În clasele I-a şi a 11-a toate însărcinările propuse elevilor trebuie alcătuite în aşa mod încât să nu apară necesitatea întrebării cu referire la ordinea efectuării operațiilor matematice. Ordinea efectuării operaţiilor matematice se pun în discuţie începând cu clasa a III-a. Procedeul discuţiei efectuării operaţiilor se bazează pe rezolvarea problemelor compuse cu un plan bine determinat, adică a problemelor care conţin deja 2 operații matematice şi se cere de la elevi observarea ordinei efectuării operaţiilor matematice. La etapa iniţială se pun în discuţie însărcinări care nu conţin paranteze, apoi astfel de însărcinări care conţin paranteze. Pentru a distinge sensul logic al temei, este necesar de aplicat metoda contraexemplului, reflectată în însărcinări prin care elevilor li se propun exemple incorecte în care se cere de a corecta greşelile comise. De exemplu: 4+2*5=6*5 = 30. În clasa a IV-a se propun elevilor de a rezolva însărcinări în care apar mai multe paranteze şi elevii trebuie să capete deprinderi de a le rezolva corect urmând logica acţiunilor: iniţial realizează operaţiile din parantezele rotunde (???), apoi cele din parantezele pătrate [???] şi în final operaţiile din parantezele figurative {???}. Se pun în discuţie însărcinări care conţin efectuarea operaţiilor matematice de cel mai variat grad: alternând înmulţirea sau împărţirea cu adunarea sau scăderea. De exemplu: „Ionel avea pentru serbătoare pregătite 3 balonaşe. Tăticul i-a mai adunat încă 6 pacheţele a câte 5 balonaşe fiecare. Câte balonaşe are acum Ionel?‖ Problema se rezolvă cu plan, efectuând mai întâi înmulţirea 6x5 = 30, apoi adunarea: 30 + 3 = 33. Se cere ca elevii să facă o sinteză de a rezolva problema dată doar numai prin intermediul unui exerciţiu: 6x5 + 3 = 33. Se cere de la elevi ca să observe ei singuri, că iniţial s-a realizat operația înmulțirii, apoi cea a adunării numerelor. Însărcinările, în care apar operaţii matematice de acelaşi grad de realizare (înmulțirea cu împărţirea în mod separat şi adunarea cu scăderea separat) se pun în discuții detaliate în cele mai multiple şi variate exemple prin observări, analize şi sinteze cu concluzii concludente din partea elevilor. De exemplu: 56:7+ 8 = 8 + 8 = 16; 56:7*8 =8*8 = 64; 35+ 25-20=60-20=40; 35 + 25x20 = 35 + 500= 535. Discuţiile trebuie să ducă la formularea de către elevi a regulilor:  într-o însărcinare fără paranteze se execută mai întâi înmulţirea şi împărţirea, apoi adunarea şi scăderea;  într-o însărcinare fără paranteze, în care apar doar numai adunarea şi scăderea sau numai înmulţirea şi împărţirea, se realizează operaţiile în ordinea în care ele sânt scrise. Însărcinările cu paranteze se pun în discuţie în mod analog. De exemplu: Problemă: Anişoara are 55 creioane: 7 creioane simple, iar celelalte colorate. Creioanele colorate sunt puse în 4 cutii în mod egal. Câte creioane colorate conţine fiecare cutie? Problema se rezolvă cu plan, efectuând mai întâi scăderea 55 - 7 = 48, apoi împărțirea 48:4=12. Rezumatul rezolvării trebuie să fie exprimat printr-o singură expresie numerică sub formă de exerciţiu rezolvat: (55-7):4 = 12. În rezultatul căreia elevii trebuie să scoată concluzia, că mai întâi trebuie de realizat operaţia din paranteze. În caz dacă unii elevi nu respectă ordinea efectuării operaţiilor se aplică procedeul de utilizare a contra exemplului. De exemplu, la problema rezolvată se selectează un personaj din creaţiile literare pentru copii: „Nătăfleață, cică a uitat să scrie parantezele la rezolvarea noastră. Cum el a scris expresia rezolvării? Elevii

spun: 55 - 7:4. Învăţătorul cere de la elevi să determine ce rezultat poate căpăta Nătăfleaţă. Elevii decid prin calcule, că Nătăfleaţă capătă alt răspuns, diferit de cel căpătat de toată clasa. învăţătorul cere de la elevi explicaţia în ce constă cauza diferenței de răspuns.‖ În concluzie se formulează de către elevi sub ghidarea corectă din partea învățătorului a următoarei reguli: în însărcinările cu paranteze se efectuează mai întâi operațiile din paranteze. După mai multe însărcinări rezolvate şi cu cele mai diverse grade de dificultate se ajunge la regula: în însărcinările cu paranteze se efectuează mai întâi operaţiile din paranteze, efectuând iniţial operaţiile din parantezele rotunde, apoi din parantezele pătrate şi în final cele din parantezele figurative.

2.13. Rezolvarea ecuaţiilor în clasele primare Formarea competenţelor de rezolvare a ecuaţiilor începe de la rezolvarea unor ecuaţii simple în care necunoscuta este înlocuită printr-un simbol abstract-intuitiv: carou, asterisc, semn de întrebare, etc. Ecuațiile se învaţă în contextul conţinuturilor ce se învaţă:  cunoaşterea componenţei numerelor naturale în concentrul 0-10 (2+x=7 , ?+3=8 , 5 - ? =1, ?- 4 =5):  cunoaşterii tablei înmulţirii şi împărţirii (2*?=8, ?*3=6, 9:?=3); La etapa următoare se prevede de a rezolva ecuaţii simple de tipul: a±x = b, x±a=b, a*x = b, x* a=b, a:x= b, x:a b în baza probelor operaţiilor matematice. De exemplu: De rezolvat ecuaţia: x - 2 = 6. Avem o scădere, la care descăzutul x trebuie determinat, dacă se cunoaşte scăzătorul 2 şi restul 6. Pentru a determina valoarea numerică a descăzutului x, adunăm restul 6 cu scăzătorul 2: x = 6+2, x = 6. Verificăm: 8- 2 = 6, adevărat (A) In clasa a III-a şi a IV-a ecuaţiile devin mai complicate. Conţinutul competenţelor necesare pentru formarea conceptului de operaţii matematice cu numere naturale După finisarea studierii acestei teme elevii trebuie să posede următoarele componențe:  să cunoască semnificaţia simbolurilor operatorii (+, -, * sau ., :, =) şi să le folosească corect în citire, scriere, calcule matematice;  să însuşească tabla adunării şi scăderii în concentrul 0-10 şi cu trecere peste ordin în concentrul 0-20, baza operantă în toate concentrele numerice;  să însuşească operaţia de adunare şi scădere a numerelor naturale de orice mărime;  să însuşească tabla înmulţirii şi împărţirii în concentrul 0-100, cea mai operantă bază în toate concentrele numerice;  să calculeze rezultatul unor exerciţii bazate pe o singură operaţie cu numere mici;  să calculeze rezultatul unor exerciţii bazate pe mai multe operaţii matematice identice sau variate cu numere naturale de orice mărime, ţinând cont de rezultatele intermediare sau consemnând în scris fiecare rezolvare nouă cu respectarea ordinei operaţiilor;  să rezolve exemple de utilizarea a tuturor tipurilor de paranteze, urmând continuitatea operaţiilor;  să precizeze la concret semnele operaţiilor matematice între componentele numerice ale unui exerciţiu deja rezolvat;  să indice corect numerele sau semnele de operaţii matematice false, astfel încât procedeul de rezolvare să devină adevărat, propunând mai multe soluții;  să determine o componentă a unei operaţii matematice cunoscând cealaltă componentă şi rezultatul operaţiei; 2.14.

                        

   

să poată realiza proba adunării prin adunare comutând termenii oral sau în scris sau adunând termenii în alt mod; să poată realiza proba adunării prin scădere după formulele T1 = S - T2 sau T2 = S - T1; să poată realiza proba scăderii prin adunare după formula D = S+R; să poată realiza proba scădem prin scădere după formula S = D – R; să considere suma drept un cardinal al reuniunii a două mulţimi disjuncte şi să determine acest cardinal; să considere restul (diferenţa) drept un cardinal al diferenţei dintre o mulţime şi o submulţime a sa şi să determine acest cardinal; să poată efectua scăderea repetată a mai multor scăzători succesivi sau să-i asocieze într-o sumă şi să determine rezultatul scăderii dintre descăzut şi suma căpătată; să determine un termen al unei sume cunoscute în cazul unei sume de mai mulţi termeni; să determine descăzutul sau scăzătorul într-un exemplu cu mai mulţi scăzători; să transforme o adunare repetată de mai mulţi termeni egali într-o înmulţire; să transforme o scădere succesivă de mai mulţi scăzători egali într-o împărţire; să efectueze proba înmulţirii prin comutarea factorilor; să efectueze proba înmulţirii prin împărţire utilizând formulele F, =P : F2 sau F2=P : F1, să efectueze proba împărţirii prin înmulţire utilizând formulele D = C * I (în cazul împărţirii exacte) sau D = C * I + R (în cazul împărţirii cu rest); să efectueze proba împărţirii prin împărţire utilizând formulele I =D : C sau I = (D - R):C; să aplice în mod raţional şi optimal comutativitatea şi asociativitatea la operaţia de adunare şi înmulţire pentru a accesibiliza calculul numeric; să aplice corect distributivitatea înmulţirii şi împărţirii faţă de adunare şi scădere în însărcinări legate de calculul numeric, în explicarea înmulţirii în scris şi în rezolvarea unor probleme pe mai multe căi; să cunoască şi să aplice procedee rapide şi raţionale de calcul mintal (comutări şi asocieri, rotunjiri etc.); să rezolve ecuaţii de gradul I, de tipul: x + a = b, a*x = b (pentru cazul în care b se împarte exact la a) etc.; să rezolve inecuaţii simple de gradul I, de tipul: x < a, x + a < b + c, a*x < b etc.; să estimeze împărţiri exacte pentru divizorii 2, 3, 5, 10 în perspectiva însuşirii conştiente a criteriilor de divizibilitate (în clasa a V-a) şi pentru autocontrol; să exprime puterile lui 10 sub formă de un număr natural; să scrie sub formă de sumă (sub un polinom în forma standard) un număr natural descompus în conformitate cu structura numerică zecimală, folosind puteri ale lui 10; să opereze corect în calculele numerice utilizând proprietăţile de simetrie, reflexivitate şi tranzitivitate ale relaţiei de egalitate; să opereze corect şi să aplice logic operaţia matematică adecvată în cazul determinării unei sume, unui rest, unui produs, unui cât; să înţeleagă corect sensul logic şi să execute operaţiile matematice corespunzătoare a relaţiilor; : cu atât mai mare decât, cu atât mai mic decît, de atâtea ori mai mare decât, de atâtea ori mai mic decât, cu ... mai mare, cu… mai mic, de ... ori mai mare, de ... ori mai mic; să opereze corect cu numere concrete; să utilizeze corect unităţile de măsură adecvate; să transforme unităţile de măsură în multiplii şi submultiplii corespunzători; să scrie rezolvarea unei probleme (sau a unei părţi ale ei) sub forma unui exerciţiu cu mai multe operaţii;



să alcătuiască probleme după însărcinări date etc.

2.15. Modele de activitate didactică Modelele pot fi consultate în următoarele surse: 1. Dascălu Gh., Radu H., Tăgârţă V., Roşu M., Roman M., Zafiu Gh. Metodica predării matematicii in clasele I-IV. Chişinău. Lumina, 1995, 320 p. 2. Neagu Mihaela, Mocanu Mioara. Metodica predării matematicii in ciclul primar. Iași: Polirom, Colegium, 2007, 205 p. 3. Lupu, C., Săvulescu, D. Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a Liceele pedagogice. Ediţia a IV-a. Piteşti – Braşov – Bucureşti – Cluj - Napoca: Paralela 45, 2000, 312 p. 4. Roşu, M.,Roman, M., Zafiu, Gh. Metodica predării matematicii la clasele I-IV. Manual pentru şcolile normale. Chişinău: Lumina, 1995, 320 p. 5. Crestomaţia la suportul de curs.

CAPITOLUL III METODOLOGIA STUDIERII MĂRIMILOR ŞI A UNITĂŢILOR DE MĂSURĂ 3.1.

Obiective generale Se înaintează pentru acest capitol următoarele obiective:  însuşirea noţiunii de mărime;  înţelegerea noţiunii de măsurare a mărimilor şi necesitatea practică a măsurării lor;  cunoaşterea unor mărimi şi a unităţilor lor de măsură în SI (Sistemul Internaţional);  cunoaşterea unor mărimi şi a unităţilor lor de măsură populare;  cunoaşterea unor mărimi, măsuri şi a instrumentelor de măsură;  înţelegerea ideii de conservare în procesul formării conceptului de măsură.

3.2.

Prevederi curriculare Studiul acestei teme prevede ca în baza experienţei practice personale de viață observaţiilor şi a reprezentărilor intuitive elevii să ia cunoştinţă cu cele mai importante noţiuni de bază referitoare la mărimi şi unităţi de măsură de cea mai largă utilitate practică noţiuni strict necesare fiecărui om în viaţa zi de zi sau în practica lui cotidiană. Ca obiectiv primordial se urmăreşte formarea competenţelor de a măsura, de a folosi corect și mânui în mod dibaciunele măsuri de largă utilizare şi instrumentele necesare de măsură de a cunoaşte careva unităţi de bază din sistemul SI de măsuri şi cele comparative din metrologia populară, formarea competenţelor necesare de a estima corect cele mai uzuale măsuri, de a le transforma din unităţile de bază în cele derivate, precum şi de a înţelege necesitatea adoptării a unor unităţi standarde de măsură. Cunoaşterea unităţilor de măsură şi a competenţelor de a le utiliza în mod corect este o necesitate practică trebuincioasă fiecărui om. Aceasta dezvoltă rigurozitatea în raționamente, precizie în acţiuni şi exactitate. Operaţiile matematice legate de unităţile de măsurile și de transformările necesare ale unităţilor duc la dezvoltarea gândirii active şi operaționale. Curriculumul actual la matematică în clasele primare la tema: „Măsuri şi măsurări‖ prevede următoarele conţinuturi de p-î-e: În clasa I-a:  lungimea cu unitatea standard metrul (m), submultiplii lui: milimetrul, centimetrul, decimetrul;

 capacitatea cu unitatea standard litrul (1), submultiplii lui: mililitrul, centilitrul, deci litrul;  masa cu unitatea standard kilogramul (kg), submultiplii lui: miligramul, centigramul, decigramul, gramul;  timpul cu unitatea standard secunda (s), multiplii Iui: ora, diurna, săptămâna, luna, anul; În clasa a II-a:  lungimea cu unitatea standard metrul (m) multiplii lui: decametrul, hectometrul, kilometrul;  capacitatea cu unitatea standard litrul (1), multiplii Iui: decalând, hectolitrul, kilolitrul;  masa cu unitatea standard kilogramul (kg), multiplii lui: decagramul, hectogramul, qintalul, tona;  timpul cu unitatea standard secunda (s), multiplii lui: deceniul, secolul, mileniul. Se învaţă unităţile monetare, aplicate în estimarea valorilor obiectelor în ţara noastră: leul şi banii, formele de circulaţie a acestora: bancnotele şi monedele. În legătură cu aceste noţiuni se formează noţiunile noi pentru unii elevi:  cost, care exprimă valoarea mărfii;  preţ, care indică costul unei unităţi de măsură a mărfii. În clasa a III-a:  se cercetează relaţia deja cunoscută dintre: cantitatea unităților de marfă, costul şi prețul mărfii: cantitatea*preţul=costul. Această dependenţă se însuşeşte în baza rezolvării problemelor a căror context reflectă legături între mărimi proporţionale;  se aprofundează relaţiile de transformare a unităţilor de măsură de bază în multipli şi submultipli. În clasa a IV-a: 

se studiază mărimile derivate ale lungimilor ca: lungimea unui segment, lungimea perimetrului, aria suprafeţei unei figuri geometrice.

În context se folosesc următoarele instrumente pentru măsurarea:  lungimilor: rigla gradată; ruleta; metrul croitorului;  capacităţilor: căldarea; cana de 1l; păharul;  masei: cântarul cu arc; balanţa; cântarul electronic etc.  timpului: ornicul mecanic sau electronic; calendarul. 3.3. Măsurare. Unități de măsură. Cerinţe metodologice generale A măsura o mărime oarecare înseamnă a compara această mărime cu o alta, luată ca etalon - ca unitate de bază de măsură. Măsurarea este un proces mult mai complicat decât numărarea, numărarea considerânduse drept una din părţile componente ale procesului de măsurare. Noţiunile de mărime fundamentală ca şi noţiunea de mulţime se consideră ca noţiune primară din care rezultă celelalte derivate ei. În sistemul SI se consideră de bază şapte mărimi fizice de bază: 1. Lungimea cu unitatea de bază metrul (m).

2. 3. 4. 5. 6. 7.

Masa cu unitatea de bază kilogramul (kg). Timpul cu unitatea de bază secunda (s). Aceste trei mărimi sânt selectate il mecanică. Temperatura cu unitatea de bază kelvinul (K). Aceasta este selectată din termodinamică Intensitatea curentului electric selectată din electricitate, cu unitatea de Im amperul (A). Intensitatea luminoasă - din optică cu unitatea de bază candela (cd). Cantitatea de substanţe - din fizica moleculară cu unitatea de bază molul (mol).

Restul mărimilor se definesc cu ajutorul acestora prin diverse relaţii de definiție. Acestea din urmă mărimi se numesc mărimi derivate. Fiecare mărime fundamentală are definită unitatea sa fundamentală de măsurare. Pentru aceasta se construiesc etaloane prototip. Prin comparaţie cu etaloanele prototip se fac copii identice de primul, al doilea și al treilea ordin. Aceste copii se păstrează la Institutele de Metrologie şi de Cercetări în domeniu. Doar copiile realizate după etaloanele de al treilea ordin se folosesc în practica cotidiană în: unităţile comerciale, şcoli, ateliere, şantiere etc. Ele se mai numesc măsuri, cu ajutorul cărora se efectuează măsurările. Prin urmare cu aceste măsuri se lucrează în mod obișnuit. În matematica claselor primare se învaţă, în special, primele trei dintre aceste etaloane. Cum se introduce noţiunea de măsurare sau de mărime fundamentală în clasele primare? Aceasta se face fără a-i da definiţia, cunoaşterea şi înţelegerea sensului fiecărei mărimi făcându-se în baza exemplelor practice, practicându-se executarea măsurărilor, înțelegînd conceptul de unitate de măsură şi modalitatea cum de folosit instrumentele de măsură. Încă la etapa preşcolară copiii îşi formează capacităţi de măsurare a unei oarecare mărimi cu unităţi ne standarde. În cadrul orelor de matematică la şcoală elevii observă, că dacă se măsoară una şi aceeași mărime cu diferite unităţi, atunci se obţin rezultate diferite. În acest mod ei ajung la înțelegerea importanţei şi necesităţii de a introduce unităţi de măsură standarde. Este foarte important de a da elevilor ceva informaţii legate de istoria metrologiei în lume și în țara noastră, din care să se poată contura un tablou clar al că doar în procesul intensificării schimbărilor relaţiilor economice şi ştiinţifice a apărut necesitatea unificării unităților de măsură, care astăzi sânt expuse în standardele SI, care desigur a rezultat din metrologia populară. Sub aspect metodologic, p-î-e mărimilor, a unităţilor de măsură şi a măsurărilor se sprijină pe o practică intensă, activă atât în cadrul orelor de matematică, precum şi în afara lor. În cadrul acestor activităţi practice trebuie de luat în consideraţie: • importanţa şi necesitatea unei unităţi standard de măsură tehnica de măsurare; • tehnica de măsurare; • compararea măsurilor unei şi aceiaşi mărimi; • necesitatea de calculare a unei medii a înregistrării datelor rezultatelor măsurărilor realizate; • necesitatea realizării corecte a calculelor de măsurare duce la o mult mai conştientă şi mai multă conștientă și mai accesibilă însuşire a conţinuturilor ce se prevăd în conformitate cu curriculumul actual. 3.4. Noțiune de lungime Noțiunea de lungime este o noţiune cunoscută de către elevi în rezultatul experienţei lor personale practice cotidiene, din familie, ca o distanţă dintre două puncte fixe sau ca dimensiunea cea mai mare a unui corp sau a unei suprafeţe plane: figură geometrică, încăpere. Dar aceste cunoştinţe nu sânt sistematizate şi superficial înţelese. Ei din cadrul activității în familie cunosc a măsura cu pasul, cotul, şchioapa. Începând activitatea ca elevi la școală în clasa I-a, ei deja în mod sistematizat fac cunoştinţă cu această noţiune fundamentală în matematică şi cu unitatea ei de măsură - metrul. Metrul este acceptat la nivel mondial, în conformitate cu SI, drept lungimea egală cu 16800763,73 lungimi de undă în vid ale radiaţiei, care corespunde tranziţiei atomului de kripton 86 între nivelurile sale 2p şi 5d.

3.5. Particularităţi ale p-î-e unităţilor de măsură a lungimilor Pentru înţelegerea conceptului de lungime şi de măsură a ei trebuie ca activitățile de învăţare organizate cu elevii să aibă un caracter practic intuitiv. Această cerinţă de a învăța iniţial pe cale intuitivă, apoi pe cea raţională a unităţii de lungime, a multiplilor și submultiplilor ei, este necesară, deoarece elevii nu sânt străini de acestea. De aici apare și necesitatea ca lecţiile destinate învăţării acestor noţiuni să fie construite în strânsă corelare cu noţiunile empirice pe care ei le au deja formate. Există câteva idei pe care elevii ar trebui să le deprindă, sesizeze şi să le lege între ele: 1. Necesitatea măsurării lungimilor implică introducerea unităţii standard de lungime - metrul. 2. În viaţa cotidiană se întâlnesc o diversitate de instrumente de măsură etalonată ca metru: metrul liniar confecţionat din lemn necesar pentru măsurarea stofei, lungimilor sau lăţimilor clasei, tablei etc.; metrul tâmplarului confecţionai segmente egale; metrul croitorului confecţionat din panglică de pânză sau din plastic etc. 3. Unitatea de măsură metrul are un caracter unic şi universal. Acest metru pe care noi îl utilizăm în practica cotidiană sub cele mai variate forme este o copie a etalonului metrului care corespunde aproape ideal definiţiei mai sus menţionate şi păstrat în condiţii speciale în pavilionul respectiv – Pavilionul Metrului al Institutului de Metrologie din Paris. 4. Metrul este unitatea fundamentală de măsurare a lungimii în sistemul SI. 5. Elevii trebuie antrenaţi de a efectua cele mai variate măsurări ale lungimilor începând cu cele din clasă, apoi şi cu cele din afară clasei şi de acasă. Esenţial este ca elevii să facă cele mai variate exerciţii de apreciere din ochi, măsurare cu instrumentul de măsurare şi verificarea corectitudinii aprecierilor făcute. Acest lucru migălos şi de mare importanţă pentru elevi şi pentru educarea matematică a elevilor cere o diversă activitate practică a învăţătorului şi a elevilor, deoarece trebuie să fie învăţătorul de a antrena elevii să exprime corect lungimile măsurate din ochi sau cu instrumentele de măsurat în numere naturale sau numere pe care ei le cunosc deja la etapa dată de învăţare. În clasa a II-a se studiază multiplii folosiţi pentru exprimarea mai comodă a lungimilor mai mare decât metrul, ca lungimea: unei străzi, distanţe între localități, lungimea unui râu, distanţa de acasă şi până la şcoală etc. Se argumentează necesitatea introducerii metrului, decametrului, hectometrului, kilometrului. În urma unor lucrări practice de măsurare în grupe câte 4-5 elevi sau în mod individual se realizează măsurarea curţii şcolii, a terenului sportiv, a distanţei de la şcoală şi până acasă etc. și se emite concluzia introducerii unor unităţi de măsuri mai mari decât metrul de 10 ori de 100 sau de 1000 de ori și se antrenează în scrierea şi exprimarea lor într-o scriere mai succintă. În baza acestui demers logic se determină legătura dintre multiplii metrului şi unitatea de bază: 1 dam = 10 m; 1 hm = 10 dam = 100 m; 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m. Se valorifică concluzia că toţi multiplii consecutivi ai metrului se găsesc intr-un raport unitar din 10 în 10. În mod analog se procedează şi la formarea noţiunilor de submultipli ai metrului, adică a noțiunilor de: decimetru, centimetru, milimetru, ca subunităţi ai unităţii de bază. În procesul de formare a acestor noţiuni elevii trebuie antrenaţi să măsoare lungimile a tot ce au la îndemână: caiete, creioane, carte, penar etc. Prin aceste activităţi practice elevii trebuie convinși în necesitatea de a introduce unităţi de măsură mai mici decât metrul, adică de utilizarea practică a submultiplilor metrului, adică micşorarea unităţii de bază de 10, de 100 de 1000 de ori. Schematic aceasta se poate scrie: 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm: 1 cm = 10 mm; 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm.

Din relațiile existente între multiplii, unitatea de bază şi submultiplii metrului elevii trebuie orientaţi spre ideea înţelegerii construcţiei sistemului de numeraţie zecimal şi, în special, al fracţiilor zecimale pe care ei le vor studia ceva mai târziu. În clasa a IV-a noțiunile studiate referitor la lungimi se aprofundează şi se sistematizează fiind legate de conceptul general de sistem de unităţi. Motivarea necesităţii învăţării va fi partea aplicativă cu varietate de însărcinări şi probleme înaintate elevilor spre rezolvare. O deosebită importanţă trebuie acordată formării competenţelor de efectuare rapidă, aproape momentană, a măsurărilor, a transformărilor, şi mai ales a utilizării raţionamentului logic adecvat în rezolvarea însărcinărilor şi diverselor aplicaţii legate de utilizarea metrologiei de măsurare a lungimilor. 3.6. Noțiunea de volum Noțiunea de volum este asociată cu spaţiul tridimensional ocupat de un corp. În formă mai restrânsă - se are în vedere lungimea, lăţimea şi înălţimea (grosimea) unui corp pentru solide şi capacitate pentru lichide , cereale şi alte substanţe pulverulente (sub formă de pulbere). Acest spaţiu ocupat poate fi măsurat după numărul de unităţi de formă cubică sau de capacitatea ce se potrivesc a fi aranjate în interiorul corpului supus măsurării. Unităţile de măsură folosite pentru măsurarea volumelor şi capacităţilor se bazează pe unităţile de unitățile de lungime și se exprimă în: centimetri cubi sau metri cubi, care mai apoi se transformă în litri. 3.7. Particularităţi ale p-î-e unităţilor de măsură a volumelor Studiul unităţilor de volum a corpurilor solide şi de capacitate a lichidelor și a substanţelor pulverulente la etapa iniţială începe cu intuirea unor mărimi concrete cărora li se asociază noţiunea de volum. De exemplu: încăperea sălii de clasă sau cea a dormitorului de acasă pentru volumele solidelor şi litrul, cana sau paharul pentru lichide. În scopul înţelegerii sensului logic al acestei noţiuni abstracte elevii trebuie să fie antrenaţi în activităţi de măsurare directă, selectare, sortare şi ordonare după volumele pe care le ocupă unele obiecte în raport cu lichidul pe care-1 poate conţine şi cu cuburile din care poate fi alcătuit. Unii metodişti propun de a se începe studierea acestei teme de la experienţele cu lichide, dar cu acelaşi succes se poate începe şi de la experimentele de construire a unor obiecte din cuburi cu determinarea volumului obiectului prin numărarea directă a cuburilor din care a fost construit obiectul dat. Având la îndemână un număr suficient de cuburi unitate se pot construi cele mai variate şi de cea mai diversă formă construcţii, apoi de determinat de fiecare dată volumul construcţiei căpătate. Este bine ca din unul şi același număr de cuburi de construit mai multe obiecte, aceasta dezvoltă la elevi gândirea reprezentativă spaţială şi că deşi forma obiectului este alta volumul - locul ocupat în spațiu de aceste obiecte este aceeaşi. Dacă se lucrează cu cuburi standarde se ajunge la ideea de a introduce o unitate standard de măsură a volumului - a metrului cub. Pe parcurs se va pune accentul pe faptul că aşa cum această unitate de măsură se bazează pe unităţile de bază a lungimii, atunci aceste unităţi se capătă în modul respectiv din cele de măsură a lungimilor prin ridicarea la cub. În acest mod valorile multiplicative și prefixele pentru volume sânt: km3, hm3, dam3, m3, dm3, cm3, mm3. De asemenea se arată ideea existenţei unui raport constant de 103 =1000, care există între multiplii sau submultiplii consecutivi ai unităţii fundamentale. Întrucât curriculumul actual prevede de a preda în clasa a II-a unitatea ne standard pentru volum litrul, atunci vom indica modalitatea de trecere de la unitatea de bază a volumului la unitatea ne standard a capacităţilor substanţelor lichide şi pulverulente. Pentru a conştientiza noţiunea de unitate ne standard a volumelor pentru fluide - lichide - litrul se foloseşte în practica de operare a elevilor vasul de comerţ de un litru, din magazinele sau depozitele care comercializează lichide. În rezultatul măsurărilor se va determina că vasul cu un volum de 1 dm3 are capacitatea de 1litru. În continuare nu vom mai insista de a utiliza cuvântul capacitate, doar din motivul că această unitate este tolerată de SI.

Orele de matematică din clasele I-a şi a II-a ui un caracter pronunţat practic aplicativ, de acţiune concretă intuitivă. Elevii prin operaţia de măsurare directă a volumelor celor variate şi de cele mai diverse forme pe care le au la dispoziţie, îşi pot forma şi completa substanţial noţiunea de volum, ca o dependenţă dintre volumul lichidului şi mărimea vasului. În concluzie vor desprinde ideea de volum ca o însuşire a fiecărui vas. La etapa finală se va ajunge la tabloul de transformări a unităţilor: 1 dal = 10l; 1 hl = 10 dal = 100 l; 1 kl = 10 hl = 100 dal = 1000 l; 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml. 3.8. Noțiunea de valoare Venind la şcoală unii elevi deja destul de clar au viziune asupra circulaţiei unităţilor bănești. În primul rând a circulaţiei celor cu valoare nominală mică, ca o urmare a experienței lor de viaţă. Spre deosebire de celelalte noţiuni ca: mărimea, lungimea, volumul, masa, introducerea conceptului de valoare ridică unele probleme metodico-didactice ştiinţifice destul de complexe. Ideea de măsură a valorii şi a unităţii de măsură a banilor - leul trebuie să se bazeze pe înţelegerea corectă a noţiunii de valoare. Valoarea însumează totalitatea însuşirilor care determină utilitatea unui oarecare obiect. Se mai discută ca o exprimare în bani a unor lucruri. 3.9. Particularităţi ale p-î-e unităţilor de măsură a valorilor Începând cu clasa I-a conceptul de valoare se studiază plecând de la faptul intuitiv de cunoaștere a banilor sub formă de bancnote şi monede. Elevii trebuie să desprindă semnificația lor, adică faptul că banii sânt o marfă specială specifică care îndeplineşte o funcție socială de echivalent general al tuturor celorlalte mărfuri, un raport valoric, o măsură iun un etalon al preţurilor şi suplinesc serviciile de plată. Tot odată elevii trebuie să conștientizeze faptul că banii se obţin prin muncă prestată. Începînd cu clasa a Ii-a se introduce în uz noţiunea de valoare a obiectelor. Conceptul de preţ a unui obiect (lucru) sau de valoare a lui trebuie de dedus şi înţeles din analiza confecţionării unor produse sau obiecte bine cunoscute, dm analiza cantitativă şi valorică a elementelor (părţilor componente) din care este constituit acest produs. De exemplu: Se analizează cu elevii cum este determinat preţul a 2 tipuri de ciocolată: de 9 lei şi de 5 lei bucata şi se analizează în mod detaliat elementele dm care ele sânt compuse cu structurile lor cantitative şi preţurile acestora. În rezultat apare următorul tablou: a) Ciocolata de 9 lei se compune din: • lapte, care costă 1 leu, • zahăr - 3 lei, • cacao - 3 lei, • muncă prestată şi amortizarea utilajului - 2 lei. b) Ciocolata de 5 lei se compune din: • lapte, care costă 1 leu, • zahăr - 1 leu, • cacao - 1 leu, • muncă prestată şi amortizarea utilajului - 2 lei. Dintr-o astfel de analiză rezultă destul de clar ideea de valoare. Lecţiile organizate pentru p-î-e unităţilor de măsură a valorii trebuie să aibă un caracter pronunţat absolut practic. Elevii trebuie puşi în situaţia de a reda situaţii din viața cotidiană, să poată calcula corect

restul pe care trebuie să-l obţină de la casa unei unități comerciale ca urmare a cumpărăturilor făcute, să determine corect prin calcule mintale costul unor cumpărături făcute la o unitate comercială, Tot odată învăţătorul trebuie cu ajutorul a unor însărcinări şi probleme cu conținut real practic cu situaţii reale variate şi interesante, să urmărească ca elevii să înţeleagă și să utilizeze corect şi în mod raţional funcţiile banilor şi conceptul abstract de valoare pentru ea în continuare să poată face generalizări de ordin matematic asupra situaţiilor studiate sau întâlnite în viaţa cotidiană. 3.10. Timpul Introducerea noţiunii de timp este mult mai complexă. Această noţiune este mai abstractă dintre toate mărimile învăţate până la această etapă şi din această cauză este și cea mai puţin accesibilă pentru elevi. Această noţiune, la prima vedere, nu este ordonată raţionat matematic. Între multe unităţi de măsurare nu există unul şi acelaşi raport de subordonare. Aceasta s-a constituit istoriceşte în cele mai variate moduri. In uzul cotidian timpul este considerat un interval dintre două momente care poate fi măsurat în secunde, minute, ore, diurne, săptămâni, luni, ani, decenii, secole, milenii, perioade, ere. Este o perioadă care durează ceva. Trebuie de menţionat că unitatea de bază pentru măsurarea timpului este secunda - ce reprezintă durata de 9 162 631 770 perioade ale radiaţiei corespunzătoare tranziție între cele 2 nivele hiperfine ale stării fundamentale a atomului de cesiu 133. P-î-e noţiunii de timp şi a unităţilor ei de măsură se face în cea mai strânsă corelarea cu acţiunile, fenomenele şi evenimentele periodice cunoscute de către elevi din propria experienţă. Odată cu introducerea în uz a unităţilor de măsură a timpului cunoscute de elevi: ora, diurna, ziua şi noaptea, săptămâna, luna, anotimpul, anul, se mai studiază şi alte unități mai mari, precum şi unele instrumente cu ajutorul cărora se înregistrează, se măsoară și se evidenţiază scurgerea timpului: ornicul (aşa zis ceasul), calendarul, banda timpului. 4.

Particularităţi ale p-î-e unităţilor de măsură a timpului

În formarea conceptului de timp şi a p-î-e unităţilor de măsură a timpului cel mai important este de a arăta şi ilustra prin exemple elevilor cele mai importante procese periodice prin cele mai simple dispozitive de măsurare a timpului: ornicul, calendarul, cronometrul ş.a. şi să se sublinieze proprietatea fiecărui dispozitiv de a desfăşura unul și acelaşi proces de mai multe ori la rând. Trebuie de arătat şi de demonstrat elevilor că anumite sisteme fizice, ca de exemplu: leagănul, scrânciobul, pendulul efectuează oscilaţii care în condiţii reale se desfăşoară în intervale egale de timp. Fiecare din aceste oscilaţii ale sistemelor fizice poate fi folosit ca un mod de a compara alte intervale de timp. Prima unitate de timp care este introdusă în discuţie în procesul p-î-e unităţilor de măsură a timpului este conceptul de timp numit ora, unitate cunoscută elevilor încă din etapa preșcolară. Ora este unitatea măsură a timpului, care este egală cu a două zeci şi patra parte într-o diurnă şi care cuprinde 60 minute sau 3600 de secunde. În popor se mai numeşte ceas tradus din ruseşte. Dacă am fi corecţi în exprimare ora se măsoară cu ajutorul ornicului – dispozitiv ce măsoară timpul indicând pe cadran ora respectivă. Durata acestei unităţi se leagă, pentru început, nemijlocit de acţiunile şi activităţile realizate într-un asemenea interval de timp. Unitatea de timp o diurnă se leagă de rotaţia diurnă a Pământului şi care semnifică durata timpului ce s-a scurs de la un răsărit de Soare până la următorul răsărit de Soare. În alte circumstanţe se leagă de zorii zilei, amurg, miez de noapte. Ştiinţific însă se consideră de la ora 0 şi 00 minute 00 secunde până la următoarea înregistrarea a unui asemenea moment. În literatura curentă se utilizează noţiunea de zi, ceea ce este incorect, din punct de vedere al rigorii limbajului matematic. Există noţiunea de zi şi de noapte care sânt

nişte unități de timp confuze şi care nu au o durată constantă: ziua, de exemplu, care se consideră durata de timp scursă de la zorii zilei până la lăsarea amurgului sau de la răsăritul Soarelui pînă la apusul lui, care vara are o durată până la 16 ore iar iama circa 7 ore. Unitatea de timp o săptămâna se conştientizează ca o durată de timp egală cu 7 diurne succesive, socotită de luni după miezul nopţii de la ora 00 şi 00 minute 00 secunde – pînă duminică seara la ora 00 şi 00 minute 00 secunde, prin exemple legate de activităţile, numărul lor şi durata evenimentelor care au avut loc în aceste interval de timp. Este bine de a nominaliza realizarea evenimentelor prin indicarea diurnei în care s-a produs: luni, marţi, miercuri, joi, vineri, sâmbătă sau duminică. Unitatea de timp o luna se conştientizează ca o durată de timp mai mare ca săptămîna, care reprezintă schematic a 12-a parte din durata unui an şi se prezintă elevilor ca o durată de timp ne standard. Avem în calendarul nostru luni cu o durată de 31 de diurne, de 30 de diurne, dar luna februarie are când 28 când 29 diurne. E bine ca elevii să înveţe corect denumirile tuturor lunilor anului după anotimpuri. Nu ar fi rău de legat şi de calendarul popular cu lunile respective: gerar, faur, mărţişor, prier, florar, cireşar, cuptor, gustar, răpciune, brumărel, brumar şi undrea sau îndrea. În făgaşul organizării unei metodologii corecte şi coerente de însuşire conştientă a prevederilor curriculumului la matematică în clasele primare cu referire la noţiunea de timp și unitățile aferente de măsură a timpului este necesar de organizat studierea unui şir de însărcinări şi jocuri didactice matematice pentru înţelegerea lor şi să determine corect succesiunea lor. Bunăoară însărcinările legate de intuirea corectă a succesiunii lunilor şi a anotimpurilor să cuprindă, în mod obligatoriu, numărul de ordine şi succesiune a lor. Elevii trebuie să asocieze corect denumirea fiecărei luni sau anotimp cu numărul de ordine care indică a câta lună din an este luna respectivă, deoarece practic fiecare om precizează datele mai degrabă prin utilizarea numărului de ordine al lunii, decât prin denumirea ei. În această viziune se introduce în uz noţiunea de an, ca durată de timp care desemnează o perioadă de timp în care Pământul realizează o rotaţie în jurul Soarelui și care cuprinde 12 luni. Există ani ordinari şi ani bisecţi. Anul ordinar are 365 de diurne, iar anul bisect are 366 de diurne. Este o unitate de timp mai mare decât cele studiate anterior, caracterizată de intervalul de timp cuprins între primăvară şi primăvara următoare, spre exemplu. Cu unităţile de acest gen, studiate până la moment, se poate de exprimat vârsta unui om, durata unui an şcolar, durata unei vacanţe etc. În acest context se apelează la calendar. În acest caz este bine de precizat că pe parcursul unui an sânt atestate multe date remarcabile după calendar, care desigur au importanţă pentru fiecare persoană în felul său. Dar sânt zile destul de importante pentru oricine: 1 ianuarie - prima zi a anului - Ziua Anului Nou serbată de toată lumea. 31 decembrie - ultima zi a anului curent. Este important ca fiecare elev să conştientizeze corect că vârsta lui nu se numără de la 1 ianuarie, ci de la data naşterii, că anul şcolar începe cu 1 septembrie, că Ziua Mondială a Copilului se remarcă la 1 iunie etc. Deja următoarele noţiuni de măsură a timpului, ca: deceniu, secol, mileniu se formează în baza noţiunii de an fiecare din care reprezintă o succesiune continuă de la 10, 100 sau 1000 de ani. Este de remarcat că numărarea secolelor şi mileniilor se face cu începutul de la era noastră sau cum unii o mai numesc era după Cristos, iar a deceniilor de la încep secolului. Trebuie de antrenat elevii că durata unei secunde corespunde intervalului de timp în care se realizează o oscilaţie a pendulului ornicului de perete, durata între două ticuri ale ornicului de mână, durata de timp între două apariţii ale celor două puncte ce despart ora de minute pe cadranul ornicului electronic. În scopul înţelegerii relaţiilor complexe de mărime între cele mai diferite unități de măsură a timpului se consultă tabelul sinoptic de sinteză al acestor unităţi: • 1 secundă, • 1 minut = 60 secunde, • 1 oră = 60 minute = 60 secunde,

• • • • • • •

1 diurnă = 24 ore şi are ca părţi componente noţiunile de zi şi de noapte, 1 săptămână = 7 diurne, 1 lună = 4 săptămâni = 31 sau 30 sau 29-28 diurne, 1 an = 12 luni = 52 săptămâni = 365 (anul ordinar) sau 366 diurne (anul bisect), 1 deceniu = 10 ani, 1 secol = 10 decenii = 100 ani, 1 mileniu = 10 secole = 100 decenii = 1000 ani.

3.12. Conceptul de masă Formarea conceptului de masă este complexă. Masa este o mărime care determină cantitatea de materie dintr-un anumit obiect, este o substanţă compactă cu componenţă unică. Trebuie de făcut de la bun început diferenţierea dintre masă şi greutate. Greutatea unui corp este produsul m*g, care poate varia în funcţie de mediu, iar masa poate fi redată numeric prin raportul dintre forţa care acţionează asupra corpului şi acceleraţia cauzată de această forță. De exemplu: dacă o persoană s-ar afla pe Lună, atunci ea va cântări mai puţin decît cîntăreşte pe Pământ, deoarece forţa de atracţie pe Lună este mai mică, însă masa acestei persoane va rămâne invariantă. În cadrul orelor de matematică această formare a noțiunii de masă are la bază însărcinările de a compara cele mai diverse mase prin încercare directă de a determina care obiect are o masă mai mare, adică care este mai greu şi care este mai ușor. Ideea metodologică are la bază cântărirea prin balanţă. Se atrage atenţia elevilor ca unitate de bază a masei este kilogramul. Pentru înţelegerea corectă a noţiunii de masă este necesar ca elevii să parcurgă următoarele etape metodologice: a) Să compare corpuri sau obiecte mai uşoare şi corpuri sau obiecte mai grele (pene şi metal, frunze şi pietre); b) Să compare mase prin echilibrarea directă în mână; c) Să compare mase cu ajutorul balanţei cu braţe egale; d) Să compare, să sorteze şi să grupeze obiecte de cea mai diversă natură dar cu mase egale; e) Să observe conservarea masei folosind un obiect care poate fi descompus în mai multe părţi; f) Să utilizeze în practica cotidiană unităţile de măsură aferente; g) Să înţeleagă corect sensul necesităţii de a introduce în uz o unitate standard, multiplii şi submultiplii ei; h) Să opereze corect cu raportul dintre multiplii şi submultiplii unităţii de bază; i) Să utilizeze pentru determinarea masei elemente de logică şi raţionament altele diferite de cele se referă la măsurare, având în vedere operaţiile abstracte cu masele; j) Să se folosească de aplicaţii de tip general; k) Să opereze cu masele în limbajul matematic. La etapa iniţială elevilor li se oferă posibilitatea de a compara obiecte de aceeaşi mărime, apoi obiecte de mărimi diferite. În aşa mod elevii leagă conceptul de masă de „mărimea‖ lui. În rezultatul a mai multor experimente elevii ajung la concluzia că doar numai mărimea obiectului nu este suficient pentru a determina masa. Impresia cu referire la ideea că cît volumul corpului este mai mare şi masa obiectului respectiv este mai mare se anihilează. Masa mai depinde şi de natura obiectului. 3.13. Particularităţi ale p-î-e unităţilor de măsură a masei În dotarea şcolilor cu utilajul necesar este şi balanţa cu braţe egale. Această balanță stă la baza conceptuală a acţiunilor organizate cu elevii pentru înţelegerea noţiunii de masă. Această experienţă de învăţare bazată pe observarea cum lucrează o balanţă este o experienţă mult mai semnificativă decât învăţarea bazată pe unele indicaţii în planul ce se poate produce dacă diferite mase sânt puse pe talerele balanţei.

Caracterul formativ interactiv al activităţilor desfăşurate de către elevi în acest plan în cadrul lecţiilor de matematică le permite de a conştientiza logic corect diferenţa dintre masele a două sau mai multe obiecte şi folosesc cunoştinţele lor cu referire la rolul balanței pentru a descoperi relaţia dintre masele acestora. Este necesar ca fiecare elev să poată lucra în mod direct cu balanţa. Pentru această clasă este necesar de a avea un număr de balanţe cel puţin a patra parte din componența clasei. Doar în astfel de caz toţi elevii vor participa activ la lucrul experimental de a lucru cu balanţa. Rolul didactic informativ-instructiv al acestor lucrări practice este de a stimula în planul de a realiza investigaţii simple ce referire la raportul dintre masele anumitor perechi de obiecte. Elevii iniţial sânt încurajaţi de a determina care din două obiecte selectate la întâmplare este mai greu prin simpla comparare ţinându-le pe fiecare din ele concomitent în mâini, apoi compară sugestiile expuse cu observarea rezultatelor balanței în rezultatul când ambele obiecte sânt plasate pe cele două talere ale balanţei. În clasa a II-a deja se trece la un grad mult mai avansat de abstractizare, deși se limitează la o activitate de comparare a obiectelor unul câte unul. Pentru a forma ideea de conservare a masei se dau elevilor câte 2 mingi de aceeași mărime confecţionate din plastilină cu intenţia de a le măsura masele. O astfel de experiență constituie esenţa experimentelor psihologului elveţian J. Piaget cu referire la formarea conceptului de conservare a masei, având punctul de pornire relaţia de acţiune-recepție-înţelegere-transformare-motivare-invarianţă-conceptualizare. Una din aceste mingi se modelează sub forma unui disc. Se constată, de obicei, că elevii nu-şi concentrează atenția spre masa discului, ci spre forma lui, şi ajung la concluzia eronată că discul cântărește ceva mai mult decât cealaltă sferă confecţionată din plastilină. Doar prin cântărirea directă cu ajutorul balanţei de către fiecare elev în parte se poate dobândi o formalizare corectă a noţiunii de conservare a masei. Copiii percep că prin modelarea realizată masele de fapt au rămas invariabile. Depăşirea schimbărilor vizuale de formă în favoarea înțelegerii invarianţei logice a masei, înseamnă o dezvoltare a planului conceptualizării. Este important de reţinut că elevii în mod diferit reacţionează la întrebările legate de conservarea masei în dependenţă dacă substanţa este continuă ca plastilina sau este discontinuă ca unele substanţe friabile: grăunţe, pietricele, nisip etc. La grad general copiii mai întâi înţeleg conservarea masei pe obiecte discontinue, apoi pe obiecte continue. La etapa de introducere a noţiunii de unitate de măsură a masei trebuie de atenţionat asupra faptului că unităţile de măsură folosite sânt nişte obiecte care au toate una şi aceeaşi masă. Se poate cere elevilor să măsoare masele obiectelor care au cele mai diverse volume. Nu trebuie de încercat de a face careva legătură între volumul şi masa unui oarecare obiect. Ideea care trebuie fundamentată este că nu toate obiectele care au un volum mare au în mod implicit și o masă mare. La etapa iniţială nu se introduce unitatea fundamentală de măsură - kilogramul. În acest plan se practică de a utiliza cutii confecţionate cu greutăţi diferite. În rezultat apare necesitatea de a introduce o unitate de măsură comună - unitatea standard. 3.14. Transformări ale unităţilor de măsură Concomitent cu cântărirea se alcătuieşte un tabel sinoptic cu unităţile, multiplii și submultiplii kilogramului - tabel care permite de a vedea toate părţile componente ale unității de măsură dată. În mod desfăşurat acest tabel are următoarea formă: • 1 pud = 16 kg (pudul - unitate veche încă tolerată şi utilizată tot mai rar); • 1 q = 100 kg (chintalul - unitate veche încă tolerată şi utilizată tot mai rar); • 1 t = 1000 kg (tona - unitate utilizată 1a cântărirea încărcăturilor mari); • 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g =10000 dg = 100000 cg = 1000000 mg; • 1 hg = 10 dag = 100 g = 1000 dg = 10000 cg = 100000 mg; • 1 dag = 10 g = 100 dg = 1000 cg = 10000 mg. În planul metodic de înţelegere a logicii raporturilor între unităţile de măsură a masei se folosește analogia cu unităţile de măsură ale lungimii şi volumului şi totodată în consens că multiplii unității de masă

cresc, iar submultiplii descresc în mod analog ca şi la alte din SI tot din 10 în 10. Pentru formarea deprinderilor de calcul şi transformare se propune a rezolva însărcinările din manualul clasei a II-a şi a III-a la compartimentul dat, cât şi însărcinări similare, care mai rezolvă şi problema didactico-metodică de înţelegere a noţiunii de raport unitar. Este necesar de a rezolva un şir de probleme reale selectate din activitatea cotidiană care să-i ajute pe elevi să determine rezultatele reale a unei situaţii practice. Astfel de probleme indică importanţa studierii matematicii şi a conţinutului dat pentru fiecare om cult. De asemenea, se subliniază faptul că citirea numerelor naturale care conţin zerouri sau fracții zecimale, reprezentând masa şi modalitatea de operare şi schimbare a unităţilor de masă se face în mod analog ca şi la operarea cu lungimile, raportul lor unitar fiind același. De exemplu: 265,435 g se citeşte 265 grame 4 decigrame 3 centigrame şi 5 miligrame sau dacă schimbăm unitatea de măsură avem: 265,435 g = 2654,35 dg = 265435 mg. La grad general în raport cu sistemul SI transformările unităţilor de măsură se învață în următorul aspect: a) transformări simple (transformări ale unităţilor de măsură aflate în raportul 1:10 sau 10:1): • 70 dam=? m. • 1 dam=l m * 10, prin urmare 70 dam = 70 m * 10 = 700 m. • 70 dm = ? m. • 1 dm = 1 m : 10, prin urmare 70 dm = 70 m : 10 = 7 m. b) transformări compuse (transformări ale unităţilor de măsură care se reduc la o succesiune transformări simple): • 70 km = ? m. • 1 km = 1 m * 1000, prin urmare 70 km=70 m x 1000 = 70000 m. • 700 cm = ? m • 1 cm = 1 m : 100, prin urmare 700 cm = 700 m : 100 = 7 m. Când conform curriculumului actual va trebui de urmat regulile de transformare în unităţi de măsură mai mici sau mai mari, se va efectua după necesitate înmulţire sau împărţirea. 3.15. Probleme de comparaţie În concordanţă cu unitatea de învăţământ „Unităţi de măsură‖, în clasa a III-a se introduce rezolvarea unui tip specific de probleme, numite probleme de comparaţie. Metoda didactică de rezolvare a acestor probleme se bazează pe metoda eliminării unei mărimi prin reducere. De exemplu: Problemă: La un magazin s-au adus 2 saci cu făină şi 6 saci cu orez, în total 580 kg. La alt magazin s-au adus 2 saci cu făină şi 4 saci cu orez, în total 440 kg. Cât cântăreşte un sac cu faină? Cât cântăreşte un sac cu orez? În acest caz o mare importanţă se acordă schemei problemei: I mag. II mag.

Făină 2s 2s

Orez 6s 4s

Masatotal ă kg 580 440 kg

Pasul 1: Se scad expresiile di rânduri termen cu termen. Pasul 2: Se determină masa unui sac cu orez (prin reducerea la unitate). Pasul 3: Se înlocuieşte masa aflată a unui sac cu orez în una din relaţiile din enunțul problemei, din schema dată Pasul 4: Se determină masa a 2 saci cu făină.

Pasul 5: Se determină masa unui sac cu făină (prin reducerea la unitate). Pasul 6: Se verifică răspunsul înlocuind măsurile determinate în ambele relaţii indicate în schema problemei. După mai multe exercitări se introduc probleme care se rezolvă prin egalarea datelor, care necesită simplificarea sau amplificarea dintre datele din enunţul problemei. De exemplu: Problemă: Un cumpărător a plătit pentru 12 urcioare şi 10 bidoane 106 lei, iar pentru 15 urcioare și 25 bidoane 220 lei. Cât costă un urcior? Cât costă un bidon? Schema problemei: Urcioare Bidoane Lei I dată 12 10 106 lei II dată 15 25 220 lei

Se observă că fiecare termen din primul rând poate fi împărţit la 2, iar fiecare termen din rîndul al doilea poate fi împărţit la 5. În acest mod, se egalează datele din coloana a doua se poate reduce o mărime, numărul de bidoane. Scrierea rezolvării acestor probleme cu plan sau cujustificări logice pune elevul în situația de a reacționa conştient şi de a argumenta operaţiile cu unităţile de măsură. O mare atenţie se atrage la scrierea corectă a unităţilor de măsură în însărcinările din caiete, ceea ce indică importanţa însuşirii operaţiilor matematice cu numerele naturale cât şi a sensului lor. De exemplu: 2m+5m=7m, 3*4 l=12 l, 18 lei 24 bani:3=6 lei 8 bani, 14 h:7h=2 (ori). Rezolvarea acestor probleme constituie o treaptă logică importantă în formarea ulterioară a competenţelor de rezolvare a sistemelor liniare de ecuaţii.

CAPITOLUL IV METODOLOGIA STUDIERII NUMERELOR RAŢIONALE Obiective generale Noţiunile puse în discuţie în acest capitol poartă un caracter dintre cele mai abstracte. Elevii trebuie să însuşească prin intermediul unor demersuri metodice cât mai intuitive, care să asigure însuşirea conştientă, activă şi temeinică de către elevii claselor primare a primelor elemente referitoare la mulţimea numerelor raţionale. Activităţile de p-î-e a acestor noțiuni abstracte trebuie astfel proiectată, încât elevii în final să capete următoarele competent • Să înţeleagă sensul logic al necesităţii introducerii conceptului de număr raţional. • Să înţeleagă corect structura mulţimii numerelor raţionale. • Să citească şi să scrie corect numere raţionale în corespundere cu conţinuturile învăţate. • Să poată reprezenta grafic unităţi fracţionare - părţi alicote sau fracţiile date sub forma unor mulţimi model. • Să însuşească terminologia aferentă conceptului de număr raţional şi să o poată utiliza în modul adecvat logic corect. • Să determine tipul fracţiilor după mărimea lor raportată la unitatea întreagă. 4.1.

• Să poată transforma şi exprima corect fracţii ordinare echivalente cu fracțiile date. • Să cunoască modalitatea de utilizare şi aplicare a algoritmilor de determinare a unei sau a mai multor părţi dintr-un întreg. • Să poată stabili şi determina corect relaţiile de ordine în mulţimea numerelor raţionale. • Să cunoască conceptul şi să poată opera corect cu fracţiile zecimale. • Să poată stabili corect şi adecvat corelaţiile specifice între fracţiile zecimale şi sistemul unităţilor de măsură învăţat. • Să poată efectua transformările necesare ale expresiilor ce conţin unităţi de măsură exprimate prin numere raţionale - fracţii zecimale. • Să adune şi să scadă fracţii ordinare cu acelaşi numitor. • Să compună şi să rezolve probleme în care mărimile date sânt exprimate prin numere raţionale. 4.2. Noţiunea de număr raţional Formarea conceptului de număr raţional se preconizează în clasa a IV-a, ca o cunoaștere cu o nouă mulţime numerică - mulţimea numerelor raţionale. Formarea acestui concept este un lucru destul de complicat şi urmează în continuare linia didactico-metodică începută în clasa a II-a şi a extinderii a noţiunii de număr. Bazele psihologo-pedagogice ale p-î-e lui sunt la fel ca şi în cazurile precedente conectate parcurgerii unui drum logic corect din punct de vedere al teoriei şi metodologiei matematicii în clasele primare care începe de la elemente simple intuitive, manipulative, concrete la cele de reprezentare matematică sau iconică şi atingând un grad înalt de abstracţiune prin elementele simbolice ale limbajului matematic. Aceasta este raţiunea pentru care se recomandă ca să găsească modalităţi de motivare a introducerii a acestor numere noi pentru elevi. O cale poate fi punerea elevilor în situaţia de a rezolva probleme legate de efectuarea cumpărăturilor sau de realizare a unor măsurări etc., care nu au soluţie în mulţimea numerelor naturale: de împărţire inexactă a unui număr la altul, de exemplu. Elevii prin exemple practice ajung la concluzia că pentru a determina a n-a parte dintr-un număr trebuie de împărţit acest număr la n şi că a n-a parte dintr-un număr este de n ori mai mic decât numărul dat. În clasa a IV-a se introduce noţiunea de fracţie în trei etape: 1. Prima etapă este de acţiuni concrete, intuitivă - etapa de fracţionare a unor obiecte concrete: • întregul se con decuparea, plierea obiectului dat în părţi egale; • întregul poate fi reprezentat prin printr-o mulţime de obiecte concrete - un obiect spaţial format din cuburi de aceleaşi dimensiuni, iar operaţia de fracţionare a acestui întreg este de asemenea concretă şi intuitivă şi constă în clasificarea mulţimii în submulţimi echivalente - descompunerea întregului în stâlpuşoare, straturi etc. 2. Etapa semiabstractă a reprezentărilor - etapa de fracţionare prin îndoire, dezdoire, decupare: • întregul se prezintă ca construcţii geometrice: linie dreaptă, segment, figuri geometrice (pătrat, dreptunghi, cerc) care posedă axe de simetrie, sau imaginile unor obiecte, iar operaţia de fracţionare a întregului se reprezintă prin trasare de linii, haşuri, culori, care împart construcţia geometrică sau imaginea dată în părţi egale; • întregul se prezintă prin mulţimi alcătuite din cele mai diverse şi mai multe de acelaşi fel figuri geometrice, iar operaţia de fracţionare se reprezintă prin încercuirea submulţimilor echivalente în care poate fi clasificată mulţimea dată. 3. La etapa de abstractizare a întregului - etapa de fracţionare a unui număr natural, iar operaţia de fracţionare a întregului se prezintă ca împărţirea numărului natural dat într-un număr de părţi egale. Este etapa generalizare. După etapa abstractizării elevii scriu fracţiile deja sub formă simbolică de fracții concrete, în conformitate cu forma generală de scriere a fracţiilor ordinare (conform definiţiei fracţia m/n, unde m şi n sânt numere naturale, iar n este diferit de 0, indică câte părți m sunt luate din întregul împărţit în n părţi

egale) şi se sistematizează că: • orice fracţie se vor scrie în continuare va avea forma simbolică m/n, unde m și n sânt numere naturale, iar n este diferit de 0; • n se numeşte numitorul fracţiei, el indică în câte părţi egale este împărţit numărul dat - întregul şi dă nume fracţiei (dacă întregul a fost împărţit în două părţi egale - fracţia se numeşte doime, dacă întregul a fost împărţit în trei părţi egale - fracţia se numeşte treime, dacă întregul a fost împărţit în opt părți egale - fracţia se numeşte optime, etc.). • m se numeşte numărătorul fracţiei şi el numără câte părţi n egale sânt luate. La etapa iniţială pentru elevi este complicat de a înţelege cum pot fi egale între ele mai multe fracţii la rând: 1/2=2/4=3/6=4/8=…=n/2*n. Ei greu concep egalitatea a mai multor fracţii echivalente. Învăţătorul trebuie să lămurească, că pentru a învăţa fracţiile s-a făcut o extindere a mulţimilor numerice. A fost introdusă mulţimea numerelor raţionale Q formată din numerele de forma m/n, unde m și n sânt numere naturale, iar n este diferit de 0, care o conţine în sine şi pe mulţimea numerelor naturale N şi care păstrează toate proprietăţile numerelor naturale deja învăţate. Se lămureşte elevilor că mulţimea numerelor raţionale poartă denumirea sa de la cuvântul latin rațio - fracţie şi nu de la raţiune, cum lămuresc mulţi autori de manuale. Tot odată el trebuie să lămurească elevilor, că deoarece mulţimea numerelor naturale N se conţine în cea a numerelor raţionale Q, atunci orice număr natural poate fi reprezentate sub formă de fracţie, prin urmare orice număr natural este şi un număr raţional. De exemplu: 2=2/1=6/3=8/4=12/6=16/8=…=2*n/2. Studiul numerelor fracţionare începe odată cu introducerea operaţiei împărţirea în clasa a II-a în concentrul 0 – 10 prin micșorarea de 2 ori sau înjumătățirea (doimi), prin micșorarea de 4 ori sau determinarea sfertului (pătrimi), apoi acesta se continuă în clasa a III-a și în special în clasa a IV-a. 4.3 Unitatea fracţionară Unitatea fracţionară se consideră o parte luată din părţile la fel de mari în care a fost împărțit întregul, care poate fi considerat orice obiect, imagine sau număr. Este o noţiune de o mare importanţă pentru însuşirea corectă a noţiunii de număr raţional. Elevii fac cunoştinţă încă în dadele I-a şi a II-a cu jumătatea sau o doime, cu sfertul sau a patra parte, cu treimea sau a treia parte, fără a le scrie sub formă simbolică. Este important ca elevii să înţeleagă sensul corect al unităţilor fracţionare - ea indică a cîte părți egale a fost sau trebuie de împărţit întregul. Dacă însuşirea noţiunii de unitate fracţionară a fost făcută corect şi pe deplin, atunci introducerea şi însuşirea noţiunilor de fracţie ordinară şi fracţie zecimală, de comparare a acestor și de efectuare a operațiilor matematice cu ele nu prezintă dificultăți majore. 4.4. Aspecte metodologice privind p-î-e numerelor raţionale P-î-e numerelor naturale se finalizează la treapta ciclului primar în clasa a IV-a cu formare la elevi a competenţelor de operare cu numere naturale şi raţionale. În clasa a IV-a se inițiază studierea numerelor raţionale, cu toate că încă în clasa I-a elevii însuşesc noţiunea de o jumătate şi un sfert. În clasa a II-a aceste noţiuni se învaţă în paralel cu împărţirea prin 2 şi, respectiv, 4. În cadrul primei lecţii elevii învaţă împărţirea prin 2 şi o înţeleg ca o micşorare de 2 ori. În cadrul lecției a doua elevii însuşesc noţiunea de jumătate, fără a utiliza termenul o doime şi fără a scrie și citi fracţia 1/2. Este important de a cunoaşte paşii logici pe care trebuie să-i facă învățătorul:  Atât învăţătorul cât şi elevii trebuie să aibă la îndemână material didactic intuitiv: beţişoare, figuri geometrice ce pot fi decupate în părţi egale (figuri care au axe de simetrie: dreptunghi, pătrat, cerc), creioane colorate etc. Utilizând strategii didactice interactive de genul: explicaţiei, demonstraţiei intuitive, conversaţiei euristice, descoperirii, creierii situaţiilor de problemă şi lucrând frontal, în grupuri sau individual, aceasta poate avea loc în următorul mod:  învăţătorul taie, de exemplu, un măr în două părţi egale şi cere ca elevii să răspundă la

întrebările puse de el (Ce am făcut? Câte părţi s-au primit? Cum sânt aceste părţi? Dacă înlăturăm ambele părţi ce vom obţine? Ca să obţinem jumătate de măr ce trebuie să facem? Voi i putea realiza aşa ceva? Cine încearcă?);  învăţătorul continuă lecţia prin împărţirea în două părţi egale a imaginii unei figuri geometrice ce posedă axă de simetrie (dreptunghi, pătrat, cerc) prin îndoire şi tăiere, folosind în mod analog inimii constatative, de demonstrare intuitivă şi descoperire euristică. • Se poate propune de a desena un cerc şi de determinat modalitatea de a obține jumătate din el. Va ace apel la experienţa lor de a îndoi imaginile figurilor. După o discuţie euristică pe imaginea figurii se va construi o linie dreaptă care trebuie să împartă figura în două părţi egale şi se va haşura sau colora una din ele pentru a scoate în evidenţă jumătatea căutată. în continuare în mod analog vor lucra şi elevii. La etapa de totalizare se va accentua că pentru a obține o jumătate din cerc trebuie de împărţit cercul în două părţi egale. Asemănător de poate proceda şi cu alte figuri geometrice. • În continuare de la elevi se va cere de a împărţi o mulţime formată din 6, 8, 10, 12 beţişoare sau jetoane în submulţimi echivalente, astfel încât fiecare să aibă acelaşi număr de beţişoare, respectiv: 3. 1, 5. 6 beţişoare. Se va ajunge la concluzia, că pentru a obţine dintr-o mulţime dată o submulţime cu un număr egal cu jumătate a celor din mulţimea iniţială, trebuie de împărţit numărul de elemente ale mulţimii date la 2. • Se poate continua cu rezolvarea unor probleme simple la împărţirea în părți egale, apoi elevii singuri să compună şi să rezolve probleme asemănătoare. La etapa finală se generalizează că: pentru a obţine jumătatea unui număr se împarte acest număr la 2. Cu noţiunile de sfert, pătrime şi operaţia de împărţire la 4 se procedează în mod analog. În clasa a IVa studiul numerelor începe cu repetarea noţiunilor jumătate – doime și sfert-pătrime şi odată cu introducerea noţiunii de unitate facţionară se învaţă simbolurile grafice respective: 1/2 şi 1/4 în continuare se vor introduce în uz şi alte unităţi fracționare: o treime, o cincime, o şesime etc., de fiecare dată remarcându-se că numărul din partea de jos a fracţiei indică faptul că întregul a fost împărţit în atâtea părţi egale, că un întreg are două doimi, trei treimi, patru pătrimi etc. şi tot odată el dă nume fracţiei: doime, trei, pătrime etc. Se atrage atenţia la forma grafică a scrierii fracţiilor şi se determină componentele simbolice ale semnului grafic: numitorul, numărătorul şi liniuţa fracţionară – două numere suprapuse despărţite printr-o linie, precum şi semnificaţia fiecăreia: • numitorul - indică în câte părţi egale a fost împărţit întregul; • numărătorul - câte părţi de aceste egale au fost luate (în cazul unității fracţionare din numărul părţilor egale a fost luată doar una); • linia fracţionară este simbolul fracţiei şi indică operaţia de împărțire a numărătorului la numitor. • După însuşirea corectă a noţiunii de unitate fracţionară (sensul logic, utilizarea corectă şi adecvată în limbajul matematic: citire, scriere, ordonare), se trece la studierea noţiunii de fracţie ordinară, parcurgând aceeaşi paşi logici, adică aceleaşi etape. • Cunoştinţele achiziţionate se formează în rezultatul a rezolvării a celor mai variate şi specifice însărcinări legate de citirea şi scrierea unităţilor fracţionare şi a fracţiilor fiind reprezentate pe desene, imagini etc. 4.5. Aspecte metodologice privind operaţiile matematice cu numerele raţionale In continuare se trece la operarea cu fracţiile şi unităţile fracţionare. 4.5.1.

Egalitatea fracţiilor

După etapa abstractizării elevii se trece la etapa de generalizare şi operare. Iniţial se scriu fracțiile deja sub formă simbolică în conformitate cu forma generală de scriere a fracțiilor ordinare m/n, unde m şi n

sânt numere naturale, iar n diferit de 0, se indică că pot fi egale între ele mai multe fracții la rînd: 1/3=2/6=3/9=4/12=…=n/3*n. se subliniază că ele sunt egale, deoarece fiecare dintre ele, în mod separat, reprezintă aceeași parte dintr-un întreg.  Se poate proceda şi în alt mod: se desenează sau se decupează 4 cercuri de mărimi egale (de aceeaşi rază). Primul cerc se împarte în jumătate, al doilea în sferturi, al treilea în optimi şi al patrulea în 16 părţi egale. Elevii deduc că o jumătate de cerc, două sferturi, 4 optimi sau 8 şaisprezecimi cuprind pe imaginea cercului aceeaşi parte din cerc, prin urmare ele sânt egale între ele.  Prin aplicaţii practice, prin observaţii şi comparaţii se poate observa că şi alte fracții sânt echivalente între ele, adică sânt egale: 2/3=4/6=8/12=12/18. După ce elevii au căpătat deprinderile necesare de a determina care fracţii sânt egale, se poate de generalizat şi de dedus regula de a obţine o fracţie din altă fracţie dată prin înmulțirea atît a numitorului cât şi a numărătorului acestei fracţii cu un număr natural diferit de zero, această operaţie fiind numită amplificarea fracţiei sau prin împărţirea atât a numitorului cît şi a numărătorului acestei fracţii (în caz dacă ambele numere - componente ale fracției date atât numitorul cât şi numărătorul pot fi împărţite) la un număr natural diferit de zero, această operaţie fiind numită simplificarea fracţiei. Se introduce regula: dacă atât numitorul cât şi numărătorul unei fracţii se înmulţesc cu unul și același număr natural sau se împart Ia unul şi acelaşi număr natural diferit de zero, atunci valoarea fracţiei rămâne neschimbată. În acest mod elevii ajung la concluzia că se poate prin intermediul operaţie de amplificare sau simplificare se poate căpăta o infinitate de fracţii egale între ele şi egale cu cea dată. Compararea fracţiilor La compararea fracţiilor se începe, de exemplu, cu ajutorul divizării unui segment cu lungimea de o unitatea întreagă în cele mai variate moduri posibile, fiind desenate unul sub altul. De exemplu, în 2 părţi, apoi acelaşi segment desenat mai jos în 4, 8, 16 ş.a.m.d. Comparând desenele elevii observă că ½ din segmentul unitate reprezintă aceeaşi lungime cât 2/4 sau 4/8 din el. Când se începe descoperirea mărimilor unor fracţii trebuie de ţinut cont de faptul că înainte de a ajunge la noţiunea abstractă de jumătate - o doime, elevul compară ceea ce el vede în acest caz trebuie de străduit de a avea corpuri, figuri, imagini, segmente etc. identice, care permit ca elevul într-adevăr să vadă că ele sânt la moment egale în mod intuitiv. În continuare, după ce elevii au trecut la abstractizarea noţiunii de fracţie, adică această doime nu depinde nici de natura, nici de forma, nici de mărimea obiectului ci, pur și simplu indică faptul că s-a luat jumătate din ceva sau ce am avut fără nici o apelare la concret, a fost împărţit în două părţi egale. Compararea fracţiilor este o temă relativ dificilă pentru elevii clasei a IV-a. Dificultatea constă în faptul că la fracţii deja nu lucrează întotdeauna corect algoritmul relaţiei de subordonare a numerelor naturale Pentru a micşora dificultatea înţelegerii și a însuşirii corecte a modului de comparare a fracţiilor se recomandă de a începe cu compararea unităţilor fracţionare: 1/2>1/3>1/4>1/5>1/6>1/7>1/8>1/9>1/9>1/10 etc. Aceasta se poate realiza pe calea reprezentărilor sau la concret în mod intuitiv la fracționarea pe obiecte, imagini sau figuri. Elevii trebuie să ajungă la concluzia că între două unități fracţionare mai mare este aceea care are numitorul mai mic (1/3> 1/7 deoarece 7>3 sau 3 mai mic decît 7). Compararea fracţiilor se va face în continuare după ce au însuşit corect didactica echivalente în trei moduri: a) Compararea unei fracţii cu un întreg. În acest caz se apelează la faptul că orice întreg poate fi scris sub formă de fracţie, având forma la grad general m/m=2/2=3/3=…=1, numind-o fracţie echiunitară (egală cu unitatea - numitorul este egal cu numărătorul). În continuare se introduc în uz noţiunile de fracţie subunitară (mai mică ca unitatea - numitorul este mai mare de cât numărătorul) şi fracţie supraunitară (mai mare ca unitatea - numitorul este mai mic de cât 4.5.1.

numărătorul). Se subliniază faptul că toate unităţile fracţionare reprezintă un caz particular al fracţiilor subunitare. Se antrenează elevii de a sesiza noţiunile noi prin desenele respective a fracţiilor noi. Elevii trebuie să ajungă la concluzia că:  orice fracţie echiunitară este egală cu unitatea-un întreg;  orice fracţie subunitară este mai mică de cât unitatea-un întreg;  orice fracţie supraunitară este mai mare de cât unitatea-întregul;  orice fracţie subunitară este mai mică de cât orice fracţie echiunitară sau subunitară. Se apelează la exemple practice selectate din viaţa cotidiană. De exemplu: Nicu a cumpărat de la centrul comercial o pâine şi încă jumătate, adică el are in pâinea întreagă două jumătăţi şi încă o jumătate, în total are trei jumătăţi, care simbolic poate fi scrisă ca 3/2, care este o fracţie supraunitară. b) Compararea a două sau mai multe fracţii intre ele dacă au acelaşi numitor. Ordonarea se poate realiza direct de la mai mic la mai mare doar la fracțiile care au numitorii egali şi numărătorii se află în aceeaşi relaţie de ordine (de la mai mic la mai mare). Cu alte cuvinte: dacă numitorii a două sau mai multe fracţii sânt egali între ei atunci trebuie doar de comparat între ei numărătorii - va fi mai mare acea fracţie, care va avea numărătorul mai mare. În acelaşi mod ca şi la compararea unităţilor fracţionare se face compararea prin reprezentare sau în mod concret a fracţiilor care au acelaşi numitor. De exemplu se poate realiza compararea pe aceeaşi imagine a cercului. Dacă luăm 3/8 din suprafaţa haşurată a cercului şi comparăm cu partea rămasă, adică cu 5/8, atunci se observă că prima fracţie este mai mică şi se va scrie 3/8 mai mic ca 5/8. c) Compararea a două sau mai multe fracţii între ele dacă au acelaşi numărător. Ordonarea se poate realiza invers de la mai mare la mai mic doar la fracțiile care au numărătorii egali şi numitorii se află în aceeaşi relaţie de ordine (de la mai mic la mat mare). Cu alte cuvinte: dacă numărătorii a două sau mai multe fracţii sânt egali între ei, atunci trebuie doar de comparat între ei numitorii mai mare va fi acea fracţie, care va avea numitorul mai mic. La etapa finală, aplicând acelaşi procedeu figurativ se trece la compararea fracțiilor care au acelaşi numărător, însă numitori diferiţi. Prin metoda intuitivă de observare, comparare, analiză şi sinteză elevii pe cale inductivă deduc: fracţia > 3/4 3/8, deoarece prima fracţie reprezintă o parte mai mare din acelaşi întreg de cât cea de-a doua fracţie. 4.5.2.

Operaţii cu fracţii care au acelaşi numitori

Curriculumul la matematică prevede de a învăţa în clasa a IV-a efectuarea operațiilor de adunare şi scădere a fracţiilor care au acelaşi numitori. Elevii trebuie să înțeleagă semnificaţia acestor operaţii că se operează cu unităţile fracţionare şi cu fracţiile ca și cum s-ar opera cu numere concrete. De exemplu: se adună un număr de unităţi fracționare cu alt număr de unităţi fracţionare (3/8+4/8=7/8, se citeşte 3 optimi plus (adunate) cu 4 optimi sânt egale (fac) 7optimi). Se poate demonstra această operaţie prin metoda intuitivă prin împărţirea unui cerc în 8 părți egale. Se haşurează 3/7 într-o direcţie şi 2/7 în altă direcţie, apoi se constată câte părţi au fost hașurate în total (se poate de colorat cu diverse culori) 3/7+2/7=5/7. Se va sublinia că numerele fracţionare 7/8 şi 5/7 sânt sumele numerelor fracţionare implicate. Se va accentua că de fiecare dată s-au adunat numărătorii fracţiilor care se adună. Se specifică terminologia aferent operației de adunare a două fracţii: termenul întâi, termenul al doilea şi suma. În mod similar se discută operaţia de scădere a două fracţii care au acelaşi numitori. În acest caz se specifică terminologia aferentă: descăzut, scăzător, rest sau diferenţă şi condiția necesară pentru ca operaţia de scădere să poată fi realizată: numărătorul descăzutului să fie un număr natural mai mare sau egal de cât numărătorul scăzătorului. La fel ca şi adunarea sau scăderea numerelor naturale cu sau fără trecere peste ordin se adună șa etapa

iniţială fracţii care în sumă dau o fracţie subunitară, apoi echiunitară şi doar după ce au însuşit corect ambele cazuri se permite de a aduna fracţii care în sumă trec peste un întreg. În mod analog se procedează şi cu operaţia de scădere a fracţiilor. Una din problemele ce poate fi rezolvată prin utilizarea fracţiilor este următoarea: Problemă: De împărțit în modul cel mai raţional 7 mere la 12 copii. După un antrenament adecvat de efectuare a acestor operaţii se propun de a face rezolva însărcinări în care să apară ambele operaţii: 10/11-6/11+2/11=10-6+2/11=6/11 Probele operațiilor se fac la fel ca şi în cazul operaţiilor corespunzătoare cu numerele naturale:  probele adunării: prin scăderea din suma căpătată a unui termen şi obţinerea celuilalt termen, prin adunarea cu termenii comutaţi cu locul;  probele scăderii: prin adunarea restului cu scăzătorul, prin scăderea din descăzut a restului. Învățătorul trebuie să insiste asupra faptului de scriere corectă a fracţiilor în succesiunea rezolvării însărcinării date: semnele + sau - trebuie neapărat să fie scrise în dreptul liniei fracției atât înaintea ei cât şi după ea, adică strict pe orizontală, linia fracţiei la fel trebuie să fie scrisă la mijlocul semnului de egalitate. E important de menţionat că mai întîi se va trasa linia de fracţie, apoi se vor scrie numărătorul şi numitorul fracţiei. Ca o etapă de totalizare trebuie de realizat însărcinări în care să fie atestate: a) scrierea fracţiilor supraunitare sub formă de număr mixt; b) transformarea fracţiilor supraunitare în numere mixte şi invers; c) efectuarea operaţiilor de adunare şi scădere între fracţii şi numere întregi, folosindu-se de transformarea numerelor întregi în fracţii supraunitare cu un numitor egal cu cel al numerelor fracţionare cu care se operează; d) efectuarea operaţiilor de adunare şi scădere între fracţii şi numere mixte, folosindu-se de transformarea numerelor mixte în fracţii supraunitare cu un numitor egal cu cel al numerelor fracţionare cu care se operează sau în numere întregi şi un număr fracţionar; e) ordonarea pe semidreapta numerică ordonată a numerelor raţionale; f) raportarea corectă a numerelor fracţionare faţă de numerele naturale; g) rezolvarea unui set suficient de însărcinări inclusiv probleme practice cu texte selectate din viaţa cotidiană în care atât datele cât şi soluţia să fie numere raţionale. 4.5.4. Determinarea unei fracţii dintr-un întreg Unul dintre cele mai importante obiective în p-î-e fracţiilor în clasele a II-a – a IV-a este cel de determinare a unei fracţii dintr-un număr. Acest proces poate fi calculat pe două căi distincte: a) calcularea unei singure unităţi fracţionare dintr-un oarecare întreg - număr natural, adică determinarea unei părţi dintr-un întreg; b) calcularea unei fracţii oarecare dintr-un întreg, adică determinarea a mai multor păţi egale între ele dintr-un întreg. Prima categorie de însărcinări sânt legate de utilizarea metodei intuitive. Inițial se folosesc figuri geometrice desenate sau decupate care au axe de simetric, apoi cele mai diverse cantităţi, lungimi, mase, volume etc. şi la etapa de generalizare se trece la numere abstracte. De exemplu. 1. Să se determine un sfert din aria unei suprafeţe de teren de formă dreptunghiulară. 2. Să se calculeze o treime din: 21 h, 63 kg, 105 m etc. 3. Determinaţi o doime din: 24 l, 36 h, 18 km etc. 4. Calculaţi o pătrime din numerele: 12, 32, 44, 112 etc. Operaţiile de calcul se vor scrie în următorul mod:

1/3 din 21 l reprezintă 2 1 l : 3 = 7 l . ¼ d i n 8 reprezintă 8 : 4 = 2 . Pentru a doua categorie de însărcinări sânt necesare deja două operații: • împărţirea pentru aflarea unei singure unei unităţi fracţionare de felul celei pe care o arată numitorul; • înmulţirea pentru aflarea numărului de unităţi fracţionare pe care îl arată numărătorul. Problemă: În clasa a IV-a învaţă 32 elevi. Băieţii reprezintă 5/8 din totalul elevilor. Câţi băieţi învață în clasa a IVa? La etapa iniţială aceste operaţii se scriu separat, pentru ca elevii să-şi formeze corect competențele necesare de a realiza corect calculele necesare. La etapa finală se poate trece scrierea printr-o singură expresie, scoţând în evidenţă caracterul unitar al acestor operaţii. Astfel calculele vor fi: La prima etapă: 1/8 di 32 (elevi) reprezintă 32 : 8 = 4 (elevi). 5/8 din 32 (elevi) reprezintă 5*4 = 20 (elevi). La etapa finală: 5/8 din 32 (elevi) reprezintă 32:8 -4 -20 (elevi). 4.5.5. Determinarea întregului după o parte a sa Acestor tipuri de însărcinări se rezolvă prin înmulţire: iniţial se determină cât se conține într-o unitate fracţionară, apoi se multiplică in conformitate cu numărul natural care indică numitorul. Problemă: În clasa a IV-a 5/8 din totalul elevilor sânt băieţi. Câţi elevi învaţă în clasa a IV-a, dacă băieți sunt 20? Rezolvare: 5/8 din x (elevi) = 20 (elevi). x = 20:5*8 x = 32. Verificare: 5/8 din 32 (elevi) = 20:5*8 = 32 (elevi), A. Elevii trebuie antrenați la rezolvarea însărcinărilor de aceste două tipuri în mod separat, deoarece elevii tind ca să ghicească ce operaţie este necesar de a realiza, dar nu o selectează în mod conștient. Trebuie de cerut de la elevi să justifice de fiecare dată selectarea operației necesare. 4.5.6. Probleme care se rezolvă folosind regula de Trei Simplă Capitolul Numere fracţionare permite elevului de clasa a IV-a să poată rezolva o parte din problemele care se pot grupa în categoria numită Probleme la Pegula de trei. Aceste tipuri de probleme atestate încă în matematica civilizaţiilor antice, de obicei se studiază în clasele gimnaziale, fiind legate de relaţiile de dependenţă directă şi dependență invers proporţională existente dintre datele din enunţul problemei. Metoda didactică de soluţionare a problemelor de acest tip a trecut o etapă lungă de evoluţie şi perfectare. Există deja în matematica Evului Mediu metoda de soluţionare a problemelor prin regula de Trei Simplă şi regula de Trei Compusă. Regula de Trei Compusă, la rândul ei era de: Cinci, Şapte, Nouă, Unsprezece, Treisprezece, fiecare dintre care se reduceau pe rând la regula de Trei Simplă. O parte din aceste probleme au fost separate în tipuri specifice anumitor tematice, de unde şi denumirea regulii corespunzătoare: Regula Aligaţiei (amestecurilor de lichide şi solide), Regula Devălmăşiei (de asociere, de tovărăşie într-o anumită afacere Regula Câştigului etc. Aplicarea practică a acestei metode de rezolvare a problemelor legate de dependenţa proporţională a mărimilor era atât de variată şi des practicată în cele mai diverse situaţii cotidiene, în special, în târguială, încât a fost numită de unii matematicieni ai timpului dat Regula Târguielii

sau Regula de Aur. În clasa a IV-a se studiază cel mai simplu caz de dependenţă direct proporțională, adică dacă avem două mărimi care cresc sau descresc într-un anumit raport, atunci și altele două mărimi legate de primele prin dependenţa direct proporţională cresc sau descresc la fel în acelaşi raport. Demersul logic al acestor probleme urmăreşte logica cugetării în conformitate cu următorul algoritm: se dau 3 numere cu ajutorul cărora trebuie de determinat al patrulea număr. Noţiunea de mărimi direct proporţionale în clasa a IV-a nu se va da elevilor. 4.5.7. Probleme care se rezolvă prin Metoda Reducerii la Unitate Orice problemă ale cărei date din enunţ sânt exprimate prin perechi de mărimi proporţionale poate fi rezolvată prin metoda reducerii la unitate, care este un caz particular al metodei generale de rezolvare a problemelor numită - metoda proporțiilor. Această metodă - metoda reducerii la unitate este recomandată a fi aplicată la rezolvarea problemelor din programa clasei a IV-a, deoarece ea urmăreşte un demers legat de raţionamentul mult mai apropiat de înţelegerea concretă a elevilor. Metoda proporţiilor, cunoscută încă în matematica civilizaţiilor antice: chineză, hindusă, mesopotamiană, egipteană, arabă etc. cere de la elevi cunoștințe matematice pe care un elev din clasa a IV-a nu le poate cunoaşte, deoarece asemenea conținuturi se învață doar în gimnaziu In clasa a IV-a aşa ceva se poate realiza în cadrul orelor în afara cursului la şedinţele cercului de matematică, la orele individuale etc. Determinarea unei fracţii dintr-un număr este de asemenea o problemă care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate. Problema 1 O cantitate de cartofi de 250 kg au fost ambalate în 10 lăzi. Dar 375 kg de cartofi în cîte lăzi de aceeaşi mărime se pot ambala? Rezolvare: Metoda I de rezolvare –Metoda proporţiilor Datele din enunţul problemei sânt aşezate pe două şiruri în următorul mod: 250 kg …………………………10 lăzi 375 kg ………………………… ? lăzi apoi avem: x1……..y1 sau x2………..y2, de unde: x1/x2 = y1/y2 sau y2 = y1* (x1/x2). În această problemă cele două mărimi date în enunț sunt mărimi direct proporționale. Pe primul rînd se scriu cele două valori corespunzătoare date în enunț, adică datele cunoscute. Pe cel de-al doilea rînd se scrie o valoare a unei mărimi date (cunoscută) în enunț și valoarea corespunzătoare – necunoscută a celei mărimi. Așa cum cele două mărimi sunt proporționale putem scrie: 250kg/375kg = 10 lăzi/? lăzi. Deoarece raportul celor două valori ale unei mărimi este egal cu raportul numerelor, care le exprimă măsura, avem 250/375=10/x, de unde x=(375*10)/250=15 (lăzi). Metoda a II-a de rezolvare – Metoda reducerii la unitate Să rezolvăm aceeași problemă, însă raționamentul cugetării de orientat în alt mod. Datele din enunțul problemei sunt așezate ca și la metoda I pe două șiruri în modul corespunzător: 250 kg ……………………………. 10 lăzi 375 kg ……………………………. x lăzi Raționăm astfel: dacă 250 kg de cartofi pot fi ambalaţi în 10 lăzi, atunci pentru a ambala numai 1 kg de cartofi de câte lăzi vom avea nevoie? De mai multe sau de mai puține? Este evident că de mai puţine. Dar de câte ori mai puţine? De 250 de ori mai puţine (în cîte lăzi erau ambalate), deoarece cele două mărimi sânt direct proporţionale. În caz că una din aceste mărimi (cantitatea de cartofi) se micşorează de 250 de ori, atunci şi cealaltă mărime direct proporțională cu ea (numărul de lăzi) se va micşora tot de 250 de ori.

Rezultă, că pentru ambalarea unui kg de cartofi vor fi necesare 10/250lăzi, iar pentru 375 kg de cartofi ne va trebui de 350 ori mai multe, adică (10/250)*375 = 15 lăzi. Raţionamentul expus mai sus poate fi scris în mod sintetic astfel: 250 kg ……………… 10 lăzi 1 kg …………………. 10/250 lăzi 375 kg ……………….. 10/250 *375 = 15 lăzi Răspuns: 15 lăzi. Problema 2 Un număr de 26 lucrători pot săpa un şanţ în 77 zile. În câte zile pot săpa același șanț 34 de lucrători? Rezolvare prin Metoda reducerii la unitate Datele din enunţul problemei sânt aşezate pe două şiruri în modul corespunzător: 26 lucrători……………. 17 zile 34 lucrători…………….. x zile Deci, 26 lucrători…………….. 77 zile 1 lucrător…………….. 17*26 zile 34 lucrători…………….. (17*26)/34 zile. Răspuns: 13 zile. Sugestie didactico-metodică: Această metodă prezintă un avantaj, deoarece este destul de accesibilă pentru elevi și poate fi utilizată la soluţionarea unei game variate de probleme. Unica dificultate constă în modalitatea de a determina corect felul dependenţei dintre mărimile ciuli problemei: dependenţa este direct sau invers proporţională. Problema 3 Pentru 4 radiere Ionel a plătit 12 lei. Câţi lei îi trebuie Anei pentru a cumpăra 7 radiere? (clasa a II-a) Rezolvare: 4 radiere …………………….. 12 lei 1 radieră ………………………. 12:4 = 3 lei 7 radiere ………………………. 3*7 = 21 lei. Răspuns: 21 lei. Problema 4 Mărind un număr de 7 ori se obţine 294. Cât se va obţine dacă am mări acest număr de 3 ori? Rezolvare: Numărul mărit este…………………………… 294 Numărul considerat ca imitate………………. 294:7 = 42 Numărul mărit de 3 ori este…………………...3x42 = 126. Răspuns: 126. Problema 5 Pentru prelucrarea a 360 de piese pot fi utilizate 3 maşini unelte cu productivităţi diferite. Cu ajutorul primei maşini piesele ar putea fi prelucrate în 36 ore, cu a doua maşină – în 18 ore, ci a treia - în 12 ore. În câte ore pot fi prelucrate piesele, dacă se lucrează cu toate cele 3 maşini unelte concomitent? (clasa a III-a şi a IV-a) Rezolvare: Numărul de piese necesare de a fi prelucrate de cele 3 maşini ……………. 360 Numărul considerat ca unitate la I maşină …………………………………….. 360:36=10 Numărul considerat ca unitate la a II maşină …………………………………. 360:18=20 Numărul considerat ca unitate la a III maşină ………………………………… 360:12=30 Într-o oră cele 3 maşini vor prelucra ……………………………………… 10+20+30=60. Timpul de prelucrare a celor 360 de piesei …………………………………… 360:60 =6

Răspuns: 6 ore. Problema 6 5 radiere costă cât 4 creioane. Cât costă 10 creioane, dacă 7 radiere costă 28 de lei? (clasa a III-a şi clasa a IV-a) Rezolvare: 5 radiere……………….4 creioane 7 radiere………………… 28 lei. 1 radieră………………… 28:7=4 Iei. 5 radiere………………… 5*4=20 lei 1 creion……………….. 20:4=5 lei 10 creioane ………………. 5*10=20 lei Problema poate fi rezolvată şi pe calea aritmetică şi pe calea algebrică: a) rezolvarea pe calea aritmetică: 1. Cât costă o radieră9 28:7=4 lei. 2. Cât costă 5 radiere? 5*4=20 lei. 3. Cât costă un creion? 20:4 5 lei 4. Cât costă 10 creioane? 5*10=20 lei. b) rezolvarea pe calea algebrică: 5*r = 4*c, 7*r = 28, r = 28:7 =4, 5*4 = 4*c, 20=4*c, c = 20:4, c=5, 10*c = 10*5=50. Răspuns: 20 lei. Problema 7 6 băieţi pot curăţa un teren de zăpadă în 4 ore. În câte ore ar putea curăța același teren 8 băieţi? (clasa a III-a şi clasa a IV-a) Rezolvare: 6 băieţi…………………. 4 ore 8 băieţi…………………. x ore 1 băiat …………………... 6*4=24 ore 8 băieţi …………………... 24:8 = 3 Răspuns: 3 ore. Problema 8 2 copii au strâns 200 de castane pe care le pun în cutii, socotind acelaşi număr de castane în fiecare cutie. Unul pune castane în două cutii, altul în 3 cutii, iar al treilea în 5 cutii. Cîte castane pune fiecare copil? (clasa a III-a şi clasa a IV-a) Rezolvare: 3 copii …………….. 200 castane I copil ……………... 2 cutii II copil …………….. 3 cutii III copil ……………. 5 cutii castane ……………... I-?, II-?, III-? a) rezolvarea pe calea aritmetică. 2+3+5 = 10 (cutii), 200:10 = 20 (castane puse în fiecare cutie), 2*20 = 40 (castane puse în 2 cutii de primul copil), 3*20 = 60 (castane puse în 3 cutii de cel de-al doilea copil), 5*20 = 100 (castane puse în 3 cutii de de-al treilea copil). b) rezolvare pe calea algebrică:

I+II+III = 200, 2*c+3*c+5*c = 200, 10*c = 200, c = 200:10, c = 20. I: 2*c = 2*20 = 40, II: 3*c = 3*20 = 60, III: 5*c = 5* 20 = 100. Total: 200. Verificare: 40+60+100 = 200. Formula numerică de rezolvare: I 200:(2+3+5)*2 = 200:10*2 = 20*2 = 40. II 200:(2+3+5)*3 = 200:10*3 = 20*3 = 60. III 200:(2+3+5)*5 = 200:10*5 = 20*5 = 100. Răspuns: 40; 60;100 castane. 4.5.8. Probleme care se rezolvă prin Metoda Rest din Rest Problemele de tipul rest din rest au un enunţ care le evidenţiază denumirea şi care în general se formulează într-un mod original. Relaţiile dintre mărimi sânt date într-o ordine succesivă. Dacă s-ar aplica calculele în ordinea indicată, raţionamentele pot deveni destul de anevoioase și greoaie. Deoarece relaţiile dintre mărimi sânt date în ordine succesivă e binevenit de a utiliza metoda „drumului invers‖, care constă în utilizarea datelor și efectuarea operaţiilor indicate în enunţul problemei în ordine inversă, începând cu ultima operaţie indicată, adică de la sfârşit spre început. Problemele, care se rezolvă prin metoda mersului invers, formează o grupă specifică, un tip anumit de probleme, care pot fi soluţionate cu succes printr-o metodă originală fascinantă numită în conformitate cu paşii logici, care se realizează în procesul soluționării. Metoda poartă denumirea de metoda mersului invers - metoda inversiei - metoda racului - metoda retrogradă sau probleme de rest din rest. Pentru a intui corect logic esenţa metodei didactice, căreia îi spunem metoda mersului invers, din punct de vedere a didacticii modeme este mai eficient de a analiza exemple concrete. Sugestie didactico-metodică: Analizând datele din enunţ şi operaţiile indicate în problemă, după cum şi cele pe care le facem pe parcursul rezolvării problemei, se constată că, de fiecare dată, se realizează operaţia inversă celei indicate în problemă. Deci, nu numai mersul soluţionării este invers, ci şi operaţiile pe care le facem pentru a rezolva problema sânt operaţii inverse sau opuse celor indicate în enunţul problemei. Proba sau verificarea se face aplicând asupra rezultalui obţinut operaţiile indicate de problemă în conformitate cu legenda enunţului. Corectitudinea rezultatului obţinut se verifică prin înlocuirea în enunţul enunțul inițial a valorii numerice a necunoscutei determinată în urma calculelor şi rezolvarea exercițiului obţinut se face deja în conformitate cu cerinţele enunţului şi valoarea numerică determinată a numărului căutat. Elementele esenţiale în rezolvarea acestor probleme sânt: • proba operaţiilor; • ordinea efectuării operaţiilor. Problema 1 M-am gândit la un număr. Îl împart la 7, câtului obţinut îi adun 4, suma calculată o înmulţesc cu 8, iar din produsul obţinut scad 12, rămânând 60. La ce număr m-am gîndit? Rezolvare: Notând prin .v numărul căutat, enunţul poate fi transcris astfel: (x:7+4)*8-12=60 Am obţinut o egalitate care în compartimentul algebra din matematică se numește ecuaţie. Rezolvarea ei se poate face şi prin raţionament aritmetic, urmărind demersul din enunţ de la sfârşit spre început, adică în mod invers - retrograd, de unde şi avem metodei didactice date.

Care este ultima operaţie indicată pentru a obţine 60? Se observă că este scăderea în care necunoscuta figurează la descăzut. Prin urmare avem: d = r + s, unde d – descăzut, s - scăzător şi r rest. ? - 12 = 60, ? = 60+12 = 72. Rezolvarea problemei deja se reduce la ecuaţia: (x: 7+4)x8 = 72. Care este ultima operaţie indicată înainte de a obţine rezultatul 72? Înmulţirea în care necunoscuta un factor. Prin urmare avem: f1 = p : f2 , unde f1 - primul factor, f2 - factorul al doilea şi p - produsul. ?*8 = 72, 72:8 = 9. Rezolvarea problemei se reduce la ecuaţia: x:7+4= 9. Algoritmul de rezolvare decurge în acelaşi mod: t1 = s - t2, unde t1 - primul termen, t 2 - termenul al doilea şi s - suma. ?+4 = 9, ? = 9 + 4 = 5. Rezolvarea problemei se reduce la soluţionarea ecuaţiei: x: 7= 5. Ultima operaţie pe care trebuie s-o facem pentru a determina valoarea lui x – numărul la care m-am gândit este de fapt prima operaţie din enunţul transcris în limbajul matematic al primei ecuații. Avem o împărţire, în care necunoscuta figurează la deîmpărţit. d = c*î, unde d - deîmpărţitul, î – împărţitorul și c câtul. x = 5*7 = 35, x = 35. Numărul la care m-am gândit este 35. Succint etapele de soluţionare parcurse pot fi redactate astfel: (x:7+4)*8-12 = 60, (x:7+4)*8 = 72, x: 7+4 = 9, x:7=5, x = 35. Răspuns: M-am gândit la numărul 35. Problema 2 Un hoț fură din grădina unui musulman bogat o mare cantitate de ananas. Pe drum spre casa sa el s-a întâlnit cu 2 paznici: primului paznic pentru a trece liber trebuie să-i dea o treime din ce a furat și încă un ananas, iar celui de-al doilea o treime din ce i-a rămas şi încă un ananas. Așa se primeşte că se întâlneşte şi cu şeful pazei şi, pentru a scăpa liber, îi dă şi lui o treime din ce i-a rămas şi încă un ananas. Când a numărat acasă fructele el avea doar 5 fructe. a) Câte fructe de ananas a furat hoţul? b) Câte fructe au fost date fiecăruia dintre cei trei paznici? Rezolvare: Soluționarea porneşte de la final: 1. Cît reprezintă două treimi din cel de-al doilea rest? 5+1=6 (fructe) 2. Cît reprezintă al doilea rest? (Vezi metoda reducerii la unitate) 6:2*3=9 (fructe) 3. Cît reprezintă două treimi din primul rest?

4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 .

9+1=10 (fructe) Cât reprezintă primul rest? 10:2x3 - 15 (fructe) Cât reprezintă două treimi din 15 1 = 16 furată? (fructe) cantitatea Ce cantitate a furat hoţul? 16:2x3 = 24 (fructe) Câte fructe i-a dat primului 24:3 - 1 = 9 (fructe) paznic? Câte fructe i-a dat celui de-al 15:3 6 (fructe) doilea+-1 paznic? Câte fructe i-a dat şefului pazei? 9:3 1 =4 (fructe) Verificare: 9+6+4+5 = 24 Ecuaţia problemei: 2/3*[2/3*(2/3*x-1)-1]-1 = 5 x = 24. Răspuns: 24fructe. Problema 3 Dacă la un număr se adaugă 5, apoi 8 şi se scade 3 se obţine 20. Care este numărul? (Clasa a I-a) Rezolvare: Dacă nu s-ar fi scăzut 3, ar fi fost 20+3 = 23. Dacă nu s-ar fi adăugat 8, atunci ar fi fost 23-8 = 15. Dacă nu s-ar fi adăugat 5, atunci numărul ar fi fost 15-5 = 10. Verificare: 10+5+8-3=20. Răspuns: 10.

Problema 4 Colectivul de elevi ai clasei a II-a a plecat în tabere. La mare au plecat de 3 ori mai mulţi decât la munte şi 8 într-o expediţie turistică, adică cu 2 mai mulţi decât la munte. Cîți elevi au plecat în tabără la mare? (Clasa a II-a) Rezolvare: În expediţie au plecat 8 elevi. La munte au plecat cu 2 mai puţin, adică 8-2 = 6elevi. La mare au plecat de 3 ori mai mulţi, adică 6x3 = 18 elevi. Răspuns: 18 elevi. Problema 5 Ionel are cu 150 lei mai mult decât Vasile, iar Nicu de 2 ori mai mulţi lei decât Vasile; Cornel cu 400 lei mai puţin decât Nicu, adică 300 de lei. Câţi lei are Ionel? (Clasa a III-a) Rezolvare: Cornel are 300 de lei. Nicu are cu 400 de lei mai mult, adică 400+300 = 700 de lei. Vasile are de 2 ori mai puţin decât Nicu, adică 700:2 = 350 lei. Ionel are cu 150 lei mai mult decât Vasile, adică 350 + 150 = 500 lei. Răspuns: 500 lei.

4.6. Fracţii zecimale Compartimentul Fracţiile zecimale se va studia în paralel cu unităţile de măsură şi doar după ce elevii au însuşit noţiunile elementare referitoare la fracţii. Se specifică că fracțiile zecimale sânt un caz particular al numerelor raţionale, şi anume, al acelor fracţii a căror numitori cânt unităţi urmate de zerouri: 10, 100, 1000. Ele au apărut în rezultatul măsurărilor în conformitate cu sistemul poziţional zecimal de numeraţie, apoi au căpătat o largă aplicare datorită şi a utilizării practice a sistemului de măsuri SI. De oarece ele au o largă utilizare s-a convenit să aibă şi o altă formă de scriere simbolică aparte. Scrierea cu ajutorul virgulei şi citirea unităţilor fracţionare zecimale Noţiunile fundamentale aferente fracţiilor zecimale, adică noţiune de unitate fracţionară zecimală: zecime, sutime, miime pot fi introduse în uz datorită faptului că elevii cunosc din propria experienţă multe din unităţile sistemului metric SI. Pentru formarea noţiunii de zecime (fracţie a cărui numitor este 10 se numeşte unitate fracţionară zecimală care indică că întregul a fost împărţit în 10 părţi egale) se poate pleca de la împărţirea ariei unui dreptunghi în 10 părţi la fel de mari între ele. Se subliniază faptul că fracţia 1/10 este acceptat a fi scrisă sub o altă formă mai simplă, fără linia de fracţie în formă numerică 0,1. Această scriere se citeşte - o zecime. Virgula desparte partea întreagă de partea fracţionară. În cazul dat avem 0 întregi, ceea ce indică că fracţia dată zecimală este doar o parte dintr-un întreg. Se apelează la cunoştinţele elevilor cu referire la unităţile de măsură a căror mărime reprezintă o zecime din unitatea de bază, scriind relaţiile respective dintre unităţi sub formă de fracţii zecimale - zecimi.  1 m = 10 dm, rezultă că 1 dm = 1/10m = 0,1 m;  1 l = 10 dl, rezultă că 1 dl = 1/10 l = 0,1 l;  1 g = 10 dg, rezultă că 1 dg = 1/10 g = 0,1 g.  În mod analog se pot introduce fracţiile cu numitorul 100 şi noţiunea de sutime.  1 m = 10 dm = 100 cm, rezultă că 1cm = 1/10 dm = 1/100 m = 0,01m.  fracția unitară cu numitor 1000 se va numi – miime și se va scrie 0,001 În rezultatul analizei a mai multor însărcinări se va recapitula: a) zecimea este unitatea fracţionară zecimală care se obţine prin împărţirea întregului în 10 părţi egale între ele şi se scrie la dreapta virgulei, după 0, pe locul al I (unu); se notează 0,1 şi se citeşte 0 întregi şi o zecime; b) sutimea este unitatea fracţionară zecimală care se obţine prin împărţirea întregului în 100 părţi egale între ele şi se scrie la dreapta virgulei, după 0, pe locul al II-lea; se notează 0,01 şi se citeşte 0 întregi şi o sutime; c) miimea este unitatea fracţionară zecimală care se obţine prin împărţirea întregului în 1000 părţi egale între ele şi se scrie la dreapta virgulei, după 0, pe locul al III-lea; se notează 0,001 şi se citeşte 0 întregi şi o miime. În continuare se generalizează că în conformitate cu sistemul zecimal poziţional de numerație şi în concordanţă cu sistemul de măsuri SI avem:  1 întreg = 10 zecimi 100 sutimi = 1000 miimi;  1 zecime - 10 sutimi 100 miimi;  1 sutime = 10 miimi. 4.6.1.

Formarea noţiunii de fracţie zecimală Imediat după formarea noţiunii de unitate fracţionară zecimală: zecime, sutime, miime trebuie de format noţiunea de fracţie zecimală. Fracția zecimală este considerată numărul format din una sau mai multe unităţi fracționare zecimale. De exemplu: 6/10 = 0,6; 8/100 = 0,08; 2/1000 = 0,002; 12/100 = 0,12; 276/1000 = 0,276. Citirea ultimului număr 0,276 se recomandă a citi: 0 întregi 2 zecimi 7 sutimi şi 6 unități sau 0 întregi 4.6.2.

276 miimi. Dacă acest număr exprimă un conţinut concret, atunci el se citește, de exemplu, 0,276 m se citeşte 0 metri 2 decimetri 7 centimetri şi 6 milimetri sau 0 întregi 2 zecimi 7 sutimi şi 6 miimi de metru sau 0 întregi 276 miimi de metru. Trebuie de accentuat că în scrierea sa orice fracţie zecimală are partea întreagă şi partea fracționarăzecimală. Un caz specific prezintă scrierea sau ştergerea zerourilor după ultima cifră semnificativă în partea dreapta a fracţiei. Elevii trebuie să înţeleagă corect diferenţa dintre scrierea zerourilor la dreapta unui număr natural şi la dreapta unui număr fracţionar-fracţie zecimală. Cum se poate realiza aceasta? Se poate pleca de la o aplicaţie practică: Trei elevi sânt puşi situaţia de a măsura lungimea clasei. În rezultatul măsurărilor sau căpătat următoarele rezultate: Primul elev a căpătat 6 m 4 dm. Al doilea a căpătat 6 m 40 cm Cel de-al treilea elev a căpătat 6 m 400 mm. El pune la discuţie precizia măsurărilor. Se întreabă dacă măsurările cânt aceleaşi sau diferite. După rezolvarea a mai multor însărcinări caracteristice la întrebarea dată, se deduce regula pentru fracţiile zecimale: putem adăuga sau şterge orice număr de cifre de zero care se află la sfîrșitul părţii zecimale a unei fracţii zecimale şi aceasta nu influenţează asupra valorilor numerice a numărului fracționar dat. Compararea fracţiilor zecimale Elevii deja cunosc a compara fracţiile care au acelaşi numitor. Rezultă că se poate începe cu compararea fracţiilor zecimale de la scrierea lor ca fracţii ordinare de forma: 8/100, 18/100, 181/100, 2188/100. Din propria experienţă care apare în rezultatul a comparării a mai multor fracții apare în urma unor demersuri logice euristice regula: dacă fracţiile zecimale sânt scrise prin virgulă, adică fără linia fracţionară, atunci se compară mai întâi părţile întregi ca niște numere naturale, în caz dacă părţile întregi sânt egale se compară părţile fracționare, adică cifrele de după virgulă: mai întâi se compară zecimile, dacă ele sânt egale, atunci se compară între ele sutimile, în caz că şi sutimile sânt egale, atunci se compară între ele miimile - care dintre ele se adevereşte a fi mai mare, atunci şi acea fracţie zecimală este mai mare. Apare în rezultat un algoritm practic de comparare a fracţiilor zecimale: a) dintre două fracţii zecimale este mai mare aceea care are partea întreagă mai mare; b) dintre două fracţii zecimale care au părţile întregi egale este mai mare aceea care are numărul zecimilor mai mare; c) dintre două fracţii zecimale care au părţile întregi egale şi zecimile egale este mai mare aceea care are numărul sutimilor mai mare; d) dintre două fracţii zecimale care au părţile întregi egale, zecimile şi sutimile egale este mai mare aceea care are numărul miimilor mai mare etc. 4.6.3.

4.6.4. Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale In clasa a IV-a se prevede de a cerceta două cazuri pentru adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale:  Ambele componente sânt fracţii zecimale.  componentă este fracţie zecimală, iar cealaltă componentă este un număr natural. În paralel cu acestea se mai discută situaţiile când componentele au un număr inegal de cifre semnificative. La etapa iniţială operaţiile se realizează prin completarea ci zerouri a ordinilor unităţilor respective ce lipsesc, la această completare se renunţă pe măsura ce elevii avansează în formarea deprinderilor de a efectua calculele operativ şi corect.

Studiul acestor operaţii matematice se face prin analogie cu executarea lor în mulţimea numerelor naturale, păstrând cu stricteţe aceleaşi reguli şi specificînd originalitatea prezenţei virgulei în scrierea numerelor fracţionare zecimale. Se propune de a antrena elevii în rezolvarea însărcinărilor în următoarea succesiune: a) se rezolvă însărcinări care conţin fracţii cu câte o singură cifră zecimală, apoi însărcinări care au fracţii cu câte două cifre zecimale şi în al treilea rând se rezolvă exerciţii cu fracţii care au în componenţa lor trei şi mai multe zecimale; b) întâi se rezolvă însărcinări fără trecerea peste ordin, apoi cu trecerea peste ordin, precizând de fiecare dată că 10 unităţi de un anumit ordin prezintă o unitate de ordin imediat superior: - 10 miimi = 1 sutime; - 10 sutimi 1 zecime; - 10 zecimi 1 unitate întreagă. c) însărcinări la determinarea unui termen dintr-o adunare sau scădere, fiind cunoscute suma, respectiv diferenţa; d) însărcinări care conţin paranteze. Justificarea regulilor de realizare a operaţiilor de adunare şi scădere a fracţiilor zecimale se bazează pe efectuarea acestor cu fracţiile ordinare cu acelaşi numitor şi pe faptul că scrierea lor este în baza sistemului zecimal poziţional de numeraţie. La calculul în scris învăţătorul trebuie să atragă atenţia elevilor la scrierea părţii întregi sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimalele respective sub zecimalele corespunzătoare: zecimi sub zecimi, sutimi sub sutimi, miimi sub miimi etc. 4.6.5. Înmulţirea fracţiilor zecimale cu 10, 100, 1000 Această operaţie se va introduce în uz prin intermediul însărcinărilor. Elevii sânt puşi în situația de a observa că prin înmulţirea la 10 ordinele fracţiei se transformă în ordine de 10 ori mai mari: zecimile se transformă în unităţi, sutimile devin zecimi, miimile devin sutimi etc. În mod analog se procedează şi la înmulţirea cu 100, 1000. De exemplu: 4,234*10 = (4+2/10+3/100+4/1000)*10 = 40+2+3/10+4/100 = 42,34. Se deduce regula: o fracție zecimală fiind înmulţită cu 10, 100, 1000 etc. are virgula mutată la dreapta peste 1, 2, 3 etc. cifre. 4.6.6. Împărţirea fracţiilor zecimale la 10, 100, 1000 Justificarea se face în mod analog ca şi la operaţia de înmulţire. În acest caz elevii trebuie să observe că unităţile de un ordin oarecare ale deîmpărţitului ocupă în rezultatul operației de împărţire locul unui ordin de 10, 100, 1000 ori mai mic. Comparînd deîmpărțitul 423,54 și cîtul obținut prin împărțirea lui la 10, adică numărul 42,354 elevii observă că la cît avem deja următoarea situație:  cifra 4 reprezintă în scrierea numărului zecile (în loc de sute);  cifra 2 reprezintă în scrierea numărului unităților (în loc de zeci);  cifra 3 reprezintă în scrierea numărului zecimile fracționare (în loc de unități);  cifra 5 reprezintă în scrierea numărului sutimile (în loc de zecimi);  cifra 4 reprezintă în scrierea numărului miimile (în loc de sutimi). Prin urmare fracția zecimală inițială 423,54 este de 10 ori mai mare decît cîtul obținut 42,354, sau viceversa: cîtul obținut 42,354 este de 10 ori mai mic decît fracția zecimală inițială 423,54. Se deduce regula: o fracție zecimală fiind împărțită la 10, 100, 1000 etc. are virgula mutată spre stînga peste1, 2, 3 etc. cifre. La această regulă se poate ajunge și pe altă cale – aplicînd transformarea unităților de măsură metrice

mai mici în unități mai mari, ceea ce și presupune în practica cotidiană împărțirea la 10, 100, 1000 etc. 4.7. Finalităţile

învăţării Către etapa de finalizare elevii trebuie să posede şi să aplice corect în cele mai diverse activităţi matematice următoarele competenţe: • să poată fracţiona în părţi egale orice obiect real sau figură geometrică care posedă axe de simetrie; • să poată realiza operaţia de integrare a întregului sau a unei părți de întreg din părţi sau unităţi fracţionare egale; • dă poată lămuri detaliat simbolica generală a unei fracţii; • să scrie şi să citească corect fracţiile în cele mai variate contexte; • să scrie după dictare unităţi fracţionare; • să compare fracţii prin raportarea la unitate; • să poată determina corect fracţiile echivalente cu fracţia dată; • să poată determina corect o parte fracţionară dintr-un număr întreg; • să cunoască şi să aplice corect algoritmul de adunare şi scădere a fracţiilor cu acelaşi numitor; • să determine o fracţie zecimală ca rezultat al măsurărilor; • să cunoască şi să aplice în diverse contexte fracţiile zecimale, semnificaţia noţiunilor de unităţi fracţionare zecimale: zecime, sutime, miime; • să citească şi să scrie corect fracţii zecimale, având la partea fracţionară 1, 2, 3 cifre, iar la partea întreagă zero sau orice număr natural diferit de zero; • să aplice algoritmi de mărire şi micşorare a unei fracţii zecimale de 10, 100, 1000 ori; • să opereze corect cu transformările unităţilor de măsură şi în caz de necesitate do folosit fracţiile zecimale; • să poată determina relaţia de ordine între fracţii zecimale prin analogia cu algoritmul de comparare a numerelor naturale; • să poată aplica calculul numeric matematic cu fracţii zecimale în cele mai diverse însărcinări, în special, ţinând cont de ordinea operaţiilor matematice şi paranteze; • să înţeleagă că proprietăţile operaţiilor matematice cu numere naturale se menţin şi în cazul operaţiilor ci fracţii zecimale. CAPITOLUL V METODOLOGIA REZOLVĂRII PROBLEMELOR 5.1. Obiective generale

Pentru a deveni un bun specialist în viitorul său domeniul de activitate ca învățător fiecare student trebuie să devină posesor al unui complex de strategii didactice clare și temeinice într-un domeniu atât de vast, important şi de cea mai mare valoare formativă în domeniul educaţiei matematice a elevilor claselor primare, ca însuşirea noțiunii de problemă şi de metodologie de rezolvare a problemelor. Competenţa de a rezolva probleme este unul din principalii indici de atestare a unor cunoştinţe temeinice matematice, care denotă o însuşire logică conştientă şi bine fundamentată a materiei de studiu. Anume prin rezolvarea şi compunerea problemelor se formează cultura matematică – cultură de cea mai fină cugetare intelectuală, care utilizează unul din cele mai perfecte, precise și de o finețe impecabilă limbaje de comunicare - limbajul matematic. Studentul trebuie să fie apt de a:  forma la elevii claselor primare competenţa de aplicare corectă a celor mai variate strategii didactice cu metode şi procedee de rezolvare a problemelor matematice;  cunoaşte cele mai variate metode didactice sau algoritmi de soluţionare a problemelor matematice;

 

     

cunoaşte, compara şi aplica diverse procedee şi tehnici metodice de rezolvare a unei anumite probleme în baza metodelor didactice cunoscute; rezolva orice problemă din manualele existente, culegeri de însărcinări şi probleme sau cele mai variate publicaţii destinate pentru desfăşurarea eficientă a procesului p-î-e matematicii în ciclul primar, utilizând în procesul soluţionării lor doar căi accesibile elevilor claselor primare; ilustra şi motiva din toate metodele didactice şi procedeele existente cea mai economică, elegantă şi mai raţională; proiecta structuri de lecţii de cele mai diverse tipuri şi strategii didactice de p-î-e a rezolvării problemelor şi de a-şi susţine metodologic corect proiectul propus; poseda competenţe de a clasifica corect problemele după tipuri şi a aplica cel mai eficient algoritm specific de rezolvare a problemei date propuse spre rezolvare; însuşi diversitatea modalităţilor de stimulare motivată a facultăţilor de cugetare logică a elevilor; cunoaşte aplicarea celor mai diverse modalităţi de dirijare competentă a gîndirii şi creativităţii elevilor prin crearea de situaţii de problemă în procesul de rezolvare şi compunere de probleme; organiza corect procesul de exersare şi optimizare a formării competenţelor de calcul matematic oral şi scris prin rezolvarea problemelor.

5.2. Conceptul de problemă. Structura unei probleme Etimologia cuvântului problemă (din limba greacă veche) este pro - ballein - ceea ce ți se aruncă în față ca obstacol sau se percepe ca o trecere peste barieră, adică este o provocare. Definiția problemei după dicţionar:  sarcină, preocupare majoră care cere o soluţionare la fel majoră;  enunț care, conţinând anumite date, ipoteze, necesită de regulă una sau mai multe soluții care se pot obţine în baza unor calcule sau raţionamente. Referindu-ne la matematică, prin noţiunea de problemă vom înţelege o situaţie, o cerință, o întrebare care cere un răspuns concret şi a cărei rezolvare se obţine prin procese de cugetare și calcule bazându-ne şi ţinând cont de condiţiile descrise în enunţul problemei. Problema matematică poate fi considerată orice situaţie cotidiană transpusă în relații cantitative, care necesită determinarea unor valori necunoscute în baza altor valori bine determinate şi a relaţiilor de dependenţă dintre ele concret definite. Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul enunţului problemei indică: datele, condiţia problemei - relaţiile dintre date și necunoscută şi întrebarea problemei, care se referă la valoarea necunoscută. În baza unui demers a înţelegerii datelor şi a condiţiei problemei, raportând corect toate relaţiile dintre datele cunoscute şi valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască şirul de raţionamente logice care îl va conduce la determinarea corectă a soluţiei problemei. Problemele matematice constituie prin conţinutul lor motivaţia principală, mijlocul fundamental dintre de legătură dintre teorie şi practică şi scopul primordial al învățării matematicii. Motivaţia este modalitatea care suscită curiozitatea elevilor şi îi impune de a apela la teorie, care este un ajutor de nepreţuit al oricărei rezolvări şi anume prin rezolvare de probleme se vede nivelul asimilării cunoştinţelor de către elevi, temeinicia și corectitudinea formării competenţelor matematice. Ca mijloc de transfer a cunoștințelor indică cât de corect şi creativ au fost asimilate acestea. Ca scop este orientat spre multe orientări: pregătirea pentru a lua corect cele mai bune posibile note la examene , de a fi bine pregătit pentru a se orienta corect în viaţa cotidiană şi în viitoarea activitate profesională spre a adopta decizii cât mai corecte. Ce înseamnă a rezolva o problemă? Rezolvarea problemelor este o calitate performantă intelectuală a culturii oricărui om bine instruit şi pregătit pentru viaţă. A rezolva probleme înseamnă a fi preocupat cu un lucru destul de neobişnuit şi 5.3.

anume cu lucrul intelectual mintal de performanţă. A şti să rezolvi corect o problemă este o artă. Această artă o poţi cunoaște sau distinge doar într-un singur caz - prin muncă practică personală de rezolvare a problemelor. În acest caz este necesar de a cunoaşte la perfecţie acel domeniu la care se referă problema dată, a cunoaşte toate subtilităţile modului de cugetare logică pentru a opera corect în toată multitudinea de relaţii a părţilor componente şi, tot odată, a decide care pot fi instrumentele, procedeele şi căile de acces pentru a determina calea corectă de soluţionare a ei. Prin urmare dacă doriţi să puteţi a rezolva probleme, trebuie să urmăriţi, să observaţi cum le rezolvă alții, să imitaţi cale parcursă de alţii, să încercaţi de sine stătător să rezolvaţi aceeași problemă, apoi după căpătarea unei anumite experienţe să rezolvaţi o problemă asemănătoare, în continuare să vă perfecționați pînă veți căpăta o măiestrie desăvîrșită în acest plan, rezolvînd cît mai multe însărcinări. Învăţătorul, care vrea să dezvolte la elevii săi competenţe de a rezolva probleme, trebuie, în primul rând, să le trezească curiozitatea şi un interes viu faţă de aceste probleme, să le asigure cele mai vaste şi variate posibilităţi de imitare, antrenare şi formare a acestor competenţe, de căpătare a unei experienţe inedite de soluţionare a problemelor matematice în conformitate cu prevederile curriculumului actual la matematică. Iată o variantă succintă a unei căi raționale şi eficiente cum trebuie de rezolvat o problemă. Algoritm: 1) A înţelege sensul enunţului problemei date. 2) A determina cea mai raţională cale de parcurgere de la necunoscută la datele din enunţul problemei, examinând, dacă este necesar, unele probleme intermediare (analiză). 3) A realiza o idee specifică a căii de rezolvare, care decurge din datele din enunţ (sinteză). 4) A verifica rezolvarea și a-i da o apreciere critică. Pentru a altoi la elevii claselor primare necesitatea de a rezolva în mod conştient şi logic corect probleme, trebuie ca micii elevi să conştientizeze faptul că în cotidian, practic, la orice pas, se întâlnesc situaţii - probleme, care impun găsirea răspunsurilor la cele mai diverse întrebări. Anume în această perioadă de instruire primară, trebuie ca primele probleme simple să fie introduse sub formă de joc sau de probleme captivante selectate din viaţa cotidiană, care au un caracter de acţiuni legate de practica vieţii copilului şi bazate pe un material ilustrativ bogat variat în imagini vii. În această fază iniţială a procesului instructiv-educativ activitatea de rezolvare a problemelor simple este foarte aproape de activitatea de calcul matematic, având ca obiectiv primordial formarea capacităţii de transpunere a acţiunilor din cotidian sub formă de relaţii matematice. Elevii însuşesc terminologia aferentă procesului de rezolvare a oricărei probleme: enunț - legendă tipul problemei, condiţie, întrebare, schemăplan de rezolvare, rezolvare logică, verificare, răspuns. 5.4. Etapele rezolvării unei probleme Este util ca învăţătorul să-i antreneze pe elevi de a urma o cale logică necesară de cercetare, discutare, rezolvare şi verificare a oricărei probleme. Un astfel de plan succint este propus de eminentul matematician american de origine maghiară George Polya. El propune de a urma următoarea cale în discuţia oricărei probleme. I. Sesizarea - înţelegerea clară a enunţului problemei Ce trebuie să aflăm? Ce se cunoaşte? In ce constă sensul logic al condiţiei înaintate? Poate fi oare satisfăcută această condiţie? Această condiţie este oare suficientă pentru determinarea corectă a necunoscutei? Dar poate este insuficientă? Sau poate este în plus, adică supraabundentă? Sau contradictorie? E bine de reținut în acest caz şi renumita maximă a lui Blez Pascal: „Substituiţi terminii prin definiția lor‖, adică de a găsi cuvinte - termeni cheie care ar putea duce, în caz de necesitate, la o claritate. Executați desenul. Faceţi notările de rigoare potrivite în acest caz. Decupaţi condiţia în părţi componente distincte. Străduiţi-vă să le înscrieţi separat. II. Alcătuirea planului de rezolvare a problemei

Trebuie de determinat legăturile logice reciproce dintre datele din enunţul problemei şi ceea ce trebuie de găsit - necunoscuta. Dacă nu reuşim să găsim dintr-o singură dată această legătură, poate fi cazul de a examina nişte probleme auxiliare, care ne-ar îndruma de a ajunge la planul căutat de rezolvare a problemei date. Puneţi întrebarea dacă nu s-au mai întâlnit elevii cu această problemă? Fie măcar într-o formă puţin schimbată - modificată? Sau asemănătoare? Examinaţi ceea ce trebuie de determinat în problemă, adică necunoscuta! Căutaţi să vă amintiţi o problemă cunoscută, care să aibă ceva comun: aceeaşi întrebare – necunoscută, sau ceva similar. Poate apărea o problemă, înrudită cu problema dată şi deja rezolvată. Nu ne-am putea oare folosi de calea ei logică de rezolvare? Nu s-ar putea oare folosi soluţia ei? Nu ar fi oare binevenită de a fi aplicată în cazul dat metoda ei de rezolvare? Dar dacă am introduce un element auxiliar, care ne-ar permite de a folosi metodic problema cunoscută, de a reformula problema dată, astfel, încât ea să capete haina unei probleme deja cunoscute? Nu am putea reformula altfel enunţul problemei date? Sau poate în alt mod, sau în mai multe moduri? Apelaţi tot timpul la definiţii, la noţiunile primare. Dacă nu reuşiţi de a rezolva problema dată, încercaţi a rezolva o problemă analogă. Nu s-ar putea oare de imaginat o problemă asemănătoare, dar mai accesibilă în rezolvare? Una mai generală? Una mai particulară? Nu ar fi posibil de a rezolva numai o parte din problema dată? Păstraţi doar o parte din enunţul problemei date, înlăturând celelalte date. În ce măsură este acum posibil de a determina necunoscuta, cum putem modifica condițiile? Aţi putea imagina alte date, cu ajutorul cărora să putem determina necunoscuta? Aţi folosit toate datele din enunţ? Sau toată condiţia? Au fost luate în considerație toate noţiunile şi legăturile logice esenţiale din enunţul problemei? III. Realizarea planului Pe parcursul realizării planului de rezolvare a problemei, verificaţi-vă fiecare pas logic. Puteţi fi convins, că fiecare pas logic pe care l-aţi întreprins, este corect realizat? Puteţi demonstra justeţea acţiunilor voastre? în asemenea situaţii Renet Descartes menționa: „Acceptaţi doar ceea ce se vede limpede sau se deduce cu toată exactitatea.‖ IV. O privire retrospectivă - studierea soluţiei obţinute Nu s-ar putea de verificat soluţia? Dar mersul logic al rezolvării? Dar pe altă cale nu am putea obţine aceeaşi soluţie? Dar nu există o cale mai scurtă? Soluţia nu poate fi determinată de la prima vedere? Ce soluţii mai pot fi obţinute? Metodologia de rezolvare a acestei probleme oare nu poate fi aplicată şi la rezolvarea altei probleme? Schematic aceasta ar avea următoarea formă: 1) Problema cu legenda expusă în enunţ. 2) Analiza detaliată a datelor din problemă. 3) Căutarea căii de soluţionare. 4) Planul rezolvării. 5) Scrierea schematică a datelor din problemă. 6) Realizarea planului de rezolvare a problemei. 7) Analiza rezolvării. 8) Cercetarea problemei. 9) Verificarea. 10) Răspunsul. 5.5. Clasificarea problemelor De-a lungul secolelor s-au făcut în didactica matematicii multe încercări de clasificare şi încadrare a problemelor într-o anumită tipologie. Nu există ceva strict riguros – rigid. Din această cauză avem mai multe tipuri de clasificări. Diferiţi metodişti au anumite păreri cu referire la o astfel de clasificare.

Din punctul de vedere al educării creativităţii matematice după W. Rutman problemele pot fi clasificate în cinci categorii: 1. Reproductiv-creative - ce cuprind probleme de aplicare a algoritmilor de lucru, de consolidare şi înţelegere a operaţiilor matematice, care necesită doar o gândire reproductivă. 2. Demonstrativ-aplicative - probleme ce includ aflarea a două numere când se numeşte suma şi diferenţa, suma şi raportul, probleme de mişcare de amestec, aliaje, probleme în care rezolvarea finală este bine specificată, drumul spre rezolvare găsindu-se din respectarea unor reguli de aplicare. 3. Euristic-creative - probleme ce presupun specificarea cerinţei şi a condiţiilor ce trebuie satisfăcute. 4. Inventiv-creative - sânt problemele în care ipoteza este bine specificată menţionând elementele prin care se presupune atingerea stării finale. Aici se încadrează problemele de compunere ale elevilor după o schemă dată sau probleme cu variabile compuse de elevi. 5. Probleme de optimizare - reprezintă problemele care solicită procesul de transfer al cunoştinţelor fie de la alte discipline, fie din realitate. De obicei ele sânt specifice claselor superioare, având in grad sporit de dificultate. Problemele mai pot fi clasificate şi după alte criterii. Iată o clasificare clasică: A. După finalitatea şi sfera de aplicabilitate: 1. probleme teoretice; 2. probleme practice. B. După conţinut: 1. probleme de geometrie; 2. probleme de fizică; 3. probleme tipice: de mişcare, de aliaje; 4. probleme de tip algebric. C. După numărul operaţiilor: 1. probleme simple; 2. probleme compuse. D. După gradul de generalitate şi al metodei aplicate: 1. probleme generale care se rezolvă folosind metoda sintetică (pornind de la datele problemei către întrebare), metoda analitică (pornind de la întrebare către datele problemei), metoda probelor sau altă metodă, 2. probleme tipice rezolvabile după o anumită metodă didactică concretă: grafică-figurativă, a falsei ipoteze, a comparaţiei, a mersului invers, n reducerii la unitate etc. E. După rolul lor: 1. cu rol informativ: utile în practică; de cultură generală. 2. cu rol formativ: de exersare a gândirii; de educare a creativităţii. F. Probleme non standard: 1. recreative; 2. rebusistice; 3. de perspicacitate; 4. de ingeniozitate. În multe cazuri una dintre probleme poate fi încadrată în mai multe tipuri şi după diverse clasificări. Oricare clasificare se face în raport cu punctul de vedere al obiectivului urmărit. Metodiştii L.M. Fridman şi E.N. Tureţkii utilizează următoarea clasificare.

A. după caracterul obiectelor: 1. practice (reale), selectate din viaţa cotidiană; 2. matematice; B. în raport de ataşamentul enunţului faţă de teorie: 1. standarde; 2. non standarde; C. în raport de caracterul cerinţelor: 1. de găsire a necunoscutei (determinarea); 2. de transformare sau construire; 3. de demonstrare sau lămurire. Fiecare problemă pune la încercare în cel mai înalt grad capacităţile intelectuale ale copiilor, le solicită acestora toate disponibilităţile psihice, în special, inteligenţa. Uneori elevii sânt puşi în situaţii noi, pentru care nu găsesc soluţii în experiența achiziţionată anterior sau între strategiile euristice deja cunoscute în urma activității instructiv-educative. Când problema nu poate fi rezolvată în baza competenţelor formate elevul nu mai este confruntat cu o problemă nouă. În acest caz al situaţiilor de problemă este nevoie de explorarea situaţiei prin aplicarea creatoare a cunoştinţelor şi tehnicilor de care dispune elevul la momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicaţiei ascunse a necunoscutei, a elaborării raţionale a unei căi logice de determinare a soluţiei. Pentru ca elevii să dobândească abilitatea de a rezolva o problemă nouă, necunoscută, este necesar ca ei să dispună de o serie de competenţe în domeniul rezolvării problemelor. O condiție de bază a unei activităţi mintale cu adevărat productive în acest plan este existenţa unei informaţii extinse în multe domenii şi foarte clar sistematizate. Actul de recunoaştere şi plasare a problemei date în categoria respectivă este un act creativ. A putea rezolva o problemă presupune a avea competenţa necesară pentru determinarea căii de rezolvare a oricărei probleme întâlnite pentru prima dată. Aceste competenţe se referă la:  înţelegerea datelor şi a ordonării lor;  înţelegerea logică a condiţiilor problemei;  a relaţiilor dintre datele problemei; posibilităţile de elaborare a unui şir de judecăţi pentru a construi un plan corect de raţionamente de rezolvare a problemei. În situaţia în care apare necesitatea de rezolvare a unei probleme noi, activitatea de rezolvare poate fi în întregime un act de creaţie inventivă. Fiecare decide din punctul său de vedere în conformitate cu cunoştinţele achiziţionate cum clasifică problema dată şi ce procedee de soluţionare a ei va aplica. 5.6.Aspecte metodologice privind activităţile de p-î-e aplicate la rezolvarea problemelor în clasele primare. Aplicări practice În rezolvarea problemelor în matematica claselor primare se aplică de obicei preponderent două metode didactice de soluţionare a lor: metoda sintetică şi metoda analitică după cum şi o diversitate de îmbinare a lor. Analiza şi sinteza sânt două părţi aproape distincte ale procesului unitar de cugetare logică. Procesul de cugetare constă cum în descompunerea obiectelor reale sub formă de o totalitate de părţi constituante şi totodată în reuniunea elementelor legate unul cu altul între ele într-un tot întreg-unic. Metoda sintetică (sinteză - reuniune din greacă, adică a aduna părţile dispersate într-un tot întreg) este metoda de rezolvare în cadrul cărei în demersul raţionamentului logic se pleacă de la datele din enunţul problemei spre determinarea soluţiei problemei. În practica rezolvării problemelor s-a adeverit că această metodă este mult mai accesibilă, dar nu solicită un nivel sporit de cugetare din partea elevilor. În plus, adeseori se constată, că la aplicarea acestei metode de soluţionare a problemelor, unii elevi au tendinţa de a calcula orice se poate de calculat, pierzând legătura logică cu întrebarea din enunţ. Astfel elevii determină valori numerice a unor mărimi care nu sânt necesare pentru găsirea soluţiei corecte. Discuţia euristică prin

cercetarea rezolvării problemei compuse prin metoda sintetică este un proces de compunere a problemelor simple, care începe cu datele problemei compuse şi se finisează cu întrebarea principală a ei. Metoda analitică (analiza - din greacă descompunere, descompunerea obiectului în părţi componente) este metoda de rezolvare în cadrul cărei în demersul raţionamentului logic se pleacă de la întrebarea din enunţul problemei spre datele din enunţ şi determinarea relaţiilor existente între ele. În urma determinării şi calculării rapoartelor şi dependenţelor numerice dintre ele se poate găsi soluţia problemei. Această metodă didactică este ceva mai dificilă în aplicare, dar ea solicită de la elevi un grad sporit de cugetare, de a forma raţionamente logice corecte ce dezvoltă capacitatea de gândire, şi, folosind această metodă în procesul de rezolvare a problemelor, învăţătorul poate să antreneze la elevi modalitatea de a privi problema ca o totalitate, ca o mulţime bine ordonată şi închegată în toată plinătatea sa, să vadă clar legăturile şi relaţiile cantitative dintre datele din enunţ, să aibă mereu în vizor întrebarea problemei, care îl va aduce la răspunsul căutat, corectitudinea determinării căruia va fi clarificată în urma verificării finale. Metoda analitică este un lanț de raţionamente logice, organic legate între ele şi prin acestea influenţează pozitiv asupra dezvoltării logice a elevilor, însă în acelaşi timp această metodă este destul de complicată și obositoare pentru elevii claselor primare. Discutând problemele compuse prin această metodă, unii elevi mult timp nu văd rezultatul muncii sale. In afară de aceasta ea cere de la elevi un mare efort mintal, deoarece la întrebarea pusă este necesar de a selecta date, care până ce nu sânt cunoscute. Unii elevi încă nu înţeleg cum o necunoscută (întrebarea principală din problemă) poate fi exprimată prin alte necunoscute (întrebările intermediare din problemă), din care cauză la selectarea datelor la întrebarea înaintată ei adeseori comit greşeli, în rezultatul cărora nu pot sesiza logic corect dezbaterile complete asupra unei probleme compuse mai complicate. Rezolvarea problemelor prin metoda analitică este un proces destul de complicat pentru elevii claselor primare şi aceasta cere de la învățător o măiestrie specială specifică pentru a forma la elevi competenţe de a cugeta de sine stătător pe parcursul dezbaterilor asupra demersului logic de rezolvare. Acest demers poate avea o următoare logică de derulare: „În problemă este pusă următoarea întrebare. Dar care date ne-ar permite de a da la ea un răspuns afirmativ? Sânt oare printre datele din enunț acele date de care noi avem nevoie? Dar ce ar trebui de făcut pentru a găsi acele dare nu le avem, dar care sânt necesare? ...‖ Discuţia euristică prin cercetarea rezolvării problemei compuse prin metoda analitică este un proces de descompunere a problemei compuse în probleme simple, în părţi componente, care începe cu întrebarea principală a ei și se finisează cu datele problemei compuse. Aşa cum în procesul de rezolvare prin metoda analitică disputa euristică asupra problemei începe de la întrebarea principală se asigură evitarea unei selectări întâmplătoare a întrebării spre o problemă simplă intermediară, deoarece ea rezultă din răspunsul precedent intermediar, dar aceasta este corect doar în condiţia că sânt bine cunoscute dependenţele dintre mărimile, care sâni implicate în problema dată. Cele două metode didactice pot fi aplicate în mod separat, însă uneori ele pot fi folosite simultan sau poate să predomine una faţă de alta. Metoda care domină își impune specificul său de rezolvare şi determinare a căilor de găsire a soluţiei problemei. Trebuie însă de reţinut - analiză fără sinteză nu există. În procesul de discuţie euristică a cercetării enunţului problemei elevii gândesc în conformitate cu metoda de cugetare de tipul analitico-sintetic. însă în acest proces complicat în dependenţă de particularităţile psihico-fiziologice de vârstă ale elevilor şi de gradul de complexitate a problemei poate să prevaleze una din aceste metode. Dacă discuţia euristică mulului din problemă este orientată în direcţia de la date spre întrebare, metoda este numită sintetică, însă dacă de la întrebarea problemei către datele ei – analitică. Din această cauză în didactica matematicii rezolvarea problemelor compuse condiţionat poartă denumirea de rezolvare analitică sau sintetică. Fiecare din aceste metode are particularităţile sale și priorităţile sale cum pozitive aşa şi negative. Pentru a selecta cea mai eficientă metoda de rezolvare a problemei compuse în cazul dat, este necesar de a cunoaşte esenţa fiecărei metode şi particularităţile ei. În clasele primare metoda didactică analitică-sintetică prevalează deoarece ea corespunde particularităţilor psihologo-fiziologice de vârstă a elevilor şi contribuie benefic la însușirea procedeelor de soluţionare a problemelor.

Disputa asupra unei probleme prin metoda analitico-sintetică asigură următoarele: 1. clarificarea în detalii a întrebării principale din enunţul problemei, deoarece anume de la ea se începe discuţia (de la întrebarea principală); 2. înţelegerea de către elevi a dependenţelor (dependenţe funcţionale) dintre mărimile (preţul, cantitatea şi costul mărfii; viteză, timp şi distanţă; rodul de pe o unitate de arie, arie şi rodul în întregime etc.), care sânt incluse în enunţ, deoarece prin aceste raţionamente se poate determina, care două mărimi trebuie cunoscute pentru a găsi mărimea căutată şi, în mod reciproc, care mărime poate fi determinată în baza a două mărimi date cunoscute; 3. dezvoltarea la copii a unei cugetări logice şi un vocabular adecvat precis, clar şi succint indispensabil legat de această modalitate de gândire; 4. mobilitatea schimbării direcţiei dezbaterilor asupra procesului de discuţie euristică asupra căii de soluţionare în caz de întâmpinare de către copii a greutăţilor, adică uşurinţa trecerii de la analiză la sinteză şi, în mod reciproc, de la sinteză la analiză în orice moment al disputei asupra căii de soluţionare a problemei; 5. însuşirea de către elevi a unei metode generale de lucru asupra unei probleme textuale matematice. În paralel cu analiza logică a raţionamentului de rezolvare a problemei se formulează și un plan de soluţionare a ei. Planul-schemă trebuie de scris pe tablă şi în caiete, în special, aceasta se referă la rezolvarea primelor probleme de fiecare tip, obiectivul prioritar fiind acela de formare al deprinderilor şi în final al competenţelor de a formula corect întrebările corespunzătoare cu cea din enunţ, care pot fi eficiente şi pentru oricare altă rezolvare a oricărei probleme. 5.7.

Noţiunea de problemă simplă

În sistemul de instruire şi educare matematică problemele simple joacă un rol foarte important. Rezolvarea problemelor simple contribuie la formarea unei din cele mai fundamentale noţiuni ale cursului de matematică pentru clasele primare - a noţiunii de operaţie matematică elementară, a unui şir important de alte noţiuni derivare ce rezultă din cele fundamentale şi a modalităţilor de verificare a corectitudinii realizării lor. Problemă simplă este numită acea problemă, care poate fi rezolvată printr-o singură operaţie matematică, fără ca aceasta să fie repetată. Problemele simple sânt problemele cele mai des întâlnite în clasele primare special, în clasa I-a. Legenda enunţului unei probleme simple este, de obicei, legată de activităţile cotidiene: în şcoală, în familie, în timpul jocului şi care pot fi ilustrate cu exemple foarte cunoscute elevului. Astfel de activităţi sânt organizate încă începînd cu grădiniţa, apoi urmate în şcoală. Copilul în cadrul acestor activităţi sesizează în mod conştient că orice situaţie de problemă din cotidian necesită un răspuns adecvat, care trebuie cugetat şi justificat. La această etapă - etapa de început a cunoaşterii cu rezolvarea problemelor, activitatea de a rezolva şi compune probleme are loc numai pe cale intuitivă. Din aceste motive, primele probleme trebuie legate de introducerea lor sub formă de joc - joc didactic şi să aibă un caracter de situaţie de problemă în acţiune, cărora li se solicită un variat şi bogat material didactico-metodic ilustrativ. Competenţa de a rezolva probleme simple este o treaptă pregătitoare pentru elevi de a însuşi cele mai eficiente strategii didactice de a rezolva probleme compuse, deoarece rezolvarea unei probleme compuse se reduce de fiecare dată la rezolvarea unui șir de probleme simple. 5.8.

Părţile componente ale unei probleme simple

În procesul de rezolvare a problemelor simple elevii din clasele primare pentru prima dată în viaţa lor fac cunoştinţă cu noţiunea de problemă şi structura ei, adică a părților ei componente: • enunţul - legenda problemei, • însuşirea logică corectă a enunţului,

• • • • • • • • •

condiţia, întrebarea problemei, separarea întrebării de conţinut, alegerea operaţiei corespunzătoare, planul de rezolvare - schema logică de rezolvare, rezolvarea problemei, verificarea soluţiei căpătate, soluţia problemei, formularea răspunsului.

5.9. Metodologia rezolvării problemelor simple Aşa cum în baza competenţelor achiziţionate de a rezolva probleme simple se formează competenţele primare, care mai apoi au o mare prioritate în formarea competenţelor de a rezolva probleme compuse sau non standarde şi apoi în continuare orice problemă care apare în activitatea cotidiană. La această etapă este important ca învăţătorul să cunoască bine metodologia de cercetare şi rezolvare a fiecărui tip de probleme simple, apoi a fiecărui tip de probleme compuse, bazate desigur pe conceptul de rezolvare a unei probleme simple. Majoritatea problemelor simple pot fi rezolvate pe calea, care poartă denumirea de metodă sintetică de rezolvare, adică calea de rezolvare de la cunoscut la necunoscut - de la datele din enunţul problemei spre găsirea soluţiei căutate. Alte probleme sunt rezolvate pe cale analitică. Metoda analitică de rezolvare, adică calea de rezolvare de la necunoscut la cunoscut - de la întrebarea din enunţul problemei spre găsirea soluţiei căutate. În cele mai diverse cazuri se aplică metoda de rezolvare care îmbină ambele metode şi care se numeşte metoda analitico-sintetică de rezolvare a problemelor. În acest mod în această numărare sânt menţionate doar tipurile principale de probleme simple. Însă prin această clasificare nu poate fi epuizată toată diversitatea de probleme simple. De multe ori sânt întâlnite enunţuri de forma: „măriţi (micşoraţi) un număr cu ... sau de atîtea ori‖ în loc de „găsiţi un număr care să fie mai mare (mai mic) de ... ori decât un număr dat‖. În general, problemele simple sânt destul de accesibil înţelese şi corect rezolvate de către elevii claselor primare. Dificultăţile care apar de obicei sânt cele legate de genul: • neglijarea întrebării; • includerea răspunsului în enunţ; • neglijarea unei oarecare date; • confundarea operaţiei ce trebuie efectuată cu alta, adică alegerea greşită a operaţiei de soluţionare a problemei; • scrierea greşită a schemei de rezolvare - intuirea greşită a structurii logice a enunţului problemei; • utilizarea greşită a unităţilor de măsură; • neverificarea soluţiei căpătate; • scrierea incorectă a răspunsului etc. Pentru evitarea sau depăşirea lor se recomandă: • de rezolvat cât mai multe probleme la tema dată; • analiza minuţioasă a enunţului în rezolvarea fiecărei probleme; • de rezolvat probleme cu enunţuri cât mai variate; • de analizat temeinic enunţul fiecărei probleme; • de pus în discuţie probleme cu date incomplete, pe care elevii să le completeze, apoi să le rezolve; • de a antrena elevii în baza unor date să poată înainta o întrebare şi în mod reciproc; • de a antrena elevii în modelarea sau substituirea unor date din enunțul problemei cu valori numerice selectate din mediul ambiant;

de a rezolva probleme în care operaţia matematică nu este evidentă la prima vedere; • de a antrena elevii în compunerea de probleme după: anumite date, scheme date, date inversate în raport cu datele din enunţ, legende, modificarea întrebării sau a condiţiei etc.; • de a antrena elevii de a compune probleme în mod liber, fără a fi limitați la vre-o oarecare restricţie - pur şi simplu să compună. •

Pentru a evita greşeli în scrierea schemei logice a enunţului problemei simple, este important de a descoperi corect cuvintele-cheie ale problemei date. Aceste cuvinte-cheie întotdeauna este posibil de a fi evidenţiate şi pentru a le descoperi se recomandă din punct de vedere didactico-metodic de a repovesti enunţul problemei, aranjând în mod succesiv în timp şi spaţiu evenimentele descrise în enunţul problemei date. Prin aceste procedee se urmăreşte nu doar căpătarea competenţelor de a rezolva probleme, ci competenţa de a se orienta corect în toată varietatea practic infinită a problemelor matematice. Strategiile euristice pe care elevii le însuşesc pe parcursul ui cursului de matematică în clasele primare sânt introduse şi aplicate în mod succesiv în diverse probleme în raport cu nivelul de complicitate enunţurile cărora sânt alcătuite în corespunde cu modalitatea de căpătare a experienţei de însuşire a cunoştinţelor şi căpătarea experienţei de rezolvare şi compunere a problemelor de către elevi de la o clasă la alta. Rezolvarea problemelor simple este în acest fel unul dintre primii paşi care permite de a exersa şi antrena flexibilitatea raţionamentului logic şi a dezvoltării cugetării impecabile. Problemele simple în clasele primare se introduc în conformitate cu conţinuturile materiei de studiu prevăzute de Curriculumul Naţional în învăţământul Primar la despărţitura matematica. În clasa I-a se studiază metodologia efectuării operațiilor de adunare şi scădere, şi în corespundere cu aceasta se formează competenţele de rezolvare a problemelor matematice simple de adunare şi scădere. Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret ca acţiuni din viaţă (au mai venit ..., s-au spart…, au mâncat ...etc.) ilustrate prin imagini sau prin acţiuni executate de copii (elevul se află la magazin: cumpără, cumpăneşte ce marfă poate cumpăra, plăteşte, la oficiul poștal: achită plata pentru serviciile comunale pentru vecinul bolnav, trimite o telegramă, un colet poștal, comandă o revistă prin poştă). În acest plan este de dorit a organiza şi petrece excursii matematice tematice la: magazin, oficiul poştal, la staţia de transport rutier sau feroviar etc. şi jocuri didactice similare care ar reproduce situaţia reală din cotidian. În primul rînd elevii capătă experienţa de a se orienta corect în situaţii cotidiene, în al doilea rând, ei văd necesitatea studierii matematicii şi aplicabilitatea ei practică. La această fază activitatea de rezolvare a problemelor este foarte apropiată de activitatea de calcul în conformitate cu operaţiile matematice învăţate. Cea mai mare dificultate pe care elevii o întâmpină constă în transpunerea acţiunilor concrete în relaţii – operații matematice. Pe baza experienţei pe care o au copiii la această etapă chiar din primele lecţii de matematică în efectuarea operaţiilor asupra mulţimilor, ei reuşesc să transpună în operaţii matematice acţiunile cerute în enunţul unor probleme. În rezolvarea in dilemelor simple momentul cel mai important îl constituie stabilirea operaţiei corespunzătoare, care este cheia soluţionării, şi justificarea alegerii acestei operaţii. În aceste condiții stabilirea operaţiilor corespunzătoare constituie un proces de gândire destul de dificil, în desfăşurarea cărui elevii trebuie iniţiaţi şi conduşi cu mult tact şi o deosebită răbdare, până când ei vor înţelege corect sensul logic al fiecărei fraze din limbajul vorbit traduse în relaţii concrete al limbajului matematic. În clasa a I-a se studiază metodologia efectuării operaţiilor de înmulţire şi împărţire, și în legătură cu aceasta se formează competenţele de rezolvare a problemelor matematice simple de înmulţire şi împărţire. Activitatea de rezolvare a problemelor simple în cadrul acestor clase şi în continuare se face în mod detaliat şi fundamental. Dacă la început rezolvarea primelor probleme simple se realizează la un nivel concret nu (cu ajutorul materialului didactic intuitiv) treptat se ajunge la calculul mintal oral şi scris în bună parte mult mai abstract. Elevii sânt în acest mod ghidaţi metodic de a face trecerea de la gîndirea concretă la cea abstractă. Este necesar, în primul rând, ca învăţătorul şi elevii să cunoască şi să transfere corect toate cazurile în care

procesele de gândire duc la operaţia de adunare, toate cazurile în care procesele cugetării duc la operaţia de scădere, înmulţire, împărțire, pentru a determina corect operaţia matematică corespunzătoare fiecărei operaţii logice simple atestată în cotidian, astfel încât alegerea unei oarecare operaţii să fie corect justificată în mod raţional. Prin rezolvare de probleme simple, elevii vor ajunge să opereze în mod real cu numere, să facă operaţii de compunere şi descompunere a lor, să utilizeze strategii euristice și metode diverse de rezolvare. 5.9.1.

Introducerea noţiunii de problemă simplă în clasa I-a

Pentru a-i face pe elevii din clasa I-a să conştientizeze necesitatea de a rezolva probleme este important ca ei să înţeleagă faptul că în realitatea cotidiană destul de frecvent se întîlnesc situaţii care impun determinarea unui răspuns concret la cele mai diverse întrebări. În această perioadă de iniţiere în studiul matematicii problemele simple sânt introduse sub formă de joc, au un caracter de acţiune concretă ilustrativă, legendele enunțurilor lor sânt bazate pe un material ilustrativ, uneori demonstrativ, bogat şi variat bine cunoscut de către elevi. La etapa iniţială activitatea de rezolvare a problemelor este foarte aproape de activitatea de calcul matematic pe operaţii aparte, având drept unul dintre obiectivele primordiale formarea competenţelor de a transpune acţiunile concrete din realitatea cotidiană în relaţii matematice exprimate în limbajul matematic adecvat. Elevii la această etapă se familiarizează cu terminologia aferentă: problemă, enunț, condiţie, întrebare, rezolvare, răspuns, verificare. Activităţile de rezolvare a problemelor simple, de obicei, se realizează pe următoarea pistă logică: • probleme de acţiune concretă selectate din activitatea cotidiană; • probleme ilustrativ-demonstrative, care sânt ilustrate prin anumite simboluri abstractizantintuitive; • probleme schematizare logic şi rezolvate fără suport intuitiv. 5.9.2. Clasificarea problemelor simple Introducerea în strategiile euristice de rezolvare a problemelor simple se face încă perioada pregătitoare de însuşire a primelor operaţii matematice. Deşi metodologia de rezolvare a problemelor simple pare un proces destul de simplu şi accesibil uşor, învăţătorul trebuie să pună în discuţie cu elevii toate tipurile posibile de probleme care pot fi rezolvate printr-o singură operaţie matematică, numită de unii matematicieni şi metodişti operație aritmetică, noi în suportul propus o vom utiliza expresia operaţie aritmetică cu numirea de operaţie matematică, strictând tendinţa de fiziune în clasele primare a aşa ziselor compartimente distincte ale matematicii ca: aritmetică, algebră, geometrie, trigonometrie analiză matematică şi utilizând în locul lor o singură noţiune - matematica. Problemele simple pot fi clasificate în corespundere cu acele operaţii matematice - aritmetice, prin care ele se rezolvă. Din punct de vedere didactico-metodic este mai comod şi raţional de a le clasifica după repartizarea problemelor în dependenţă de acele noţiuni, care se formează în procesul rezolvării lor. În special, în conformitate cu această clasificare pot fi evidenţiate trei grupe: I-a grupă: 1. La prima grupă se referă probleme simple, în procesul rezolvării cărora elevii însuşesc sensul operaţiilor matematice care corespund unei sau altei operaţii asupra mulţimilor. În această grupă se pot distinge cinci probleme: Aflarea sumei a două numere. 2. Aflarea restului (diferenţei). 3. Aflarea produsului - sumă de termeni egali. 4. împărţirea în părţi egale. 5. împărţirea după conţinut (cuprindere).

Grupa a II-a: La această grupă se referă problemele simple, în procesul rezolvării cărora elevii însușesc relațiile dintre componentele și rezultatele operațiilor matematice care corespund unei sau altei operaţii asupra mulţimilor. în această grupă se pot selecta problemele de aflare a componentelor necunoscute ale operaţiei date: 1. Aflarea primului termen, fiind cunoscută suma şi termenul al doilea. 2. Aflarea termenului al doilea, fiind cunoscută suma şi primul termen. 3. Aflarea descăzutului după scăzătorul şi diferenţa cunoscute. 4. Aflarea scăzătorului, fiind cunoscute descăzutul şi diferenţa. 5. Aflarea primului factor, fiind cunoscut produsul şi factorul al doilea. 6. Aflarea factorului al doilea, fiind cunoscut produsul şi primul factor. 7. Aflarea deîmpărţitului, fiind cunoscute împărţitorul şi câtul 8. Aflarea împărţitorului, fiind cunoscute deîmpărţitul şi câtul. 9. Aflarea procentului dintr-un număr dat. 10. Determinarea raportului procentual a două numere 11. Determinarea unui număr după mărimea procentelor lui. Grupa a III-a: La grupa a treia se referă problemele, în procesul rezolvării cărora elevii dezvăluie un sens nou al operaţiilor matematice care corespund unei sau altei operaţii asupra mulţimilor. În această grupă se pot selecta problemele simple legate de noţiunea de diferenţă (6 tipuri) şi problemele simple legate de noţiunea de cât (6 tipuri) Problemele simple legate de noţiunea de diferenţă: 1. Compararea numerelor prin diferenţă sau aflarea diferenţei a două numere (Tipul I). 2. Compararea numerelor prin diferenţă sau aflarea diferenţei a două numere (Tipul II). 3. Mărirea unui număr cu câteva unităţi (Forma directă). 4. Mărirea unui număr cu câteva unităţi (Forma indirectă). 5. Micşorarea unui număr cu câteva unităţi (Forma directă). 6. Micşorarea unui număr cu câteva unităţi (Forma indirectă). Problemele simple legate de noţiunea de cât sau raport: 1. Compararea prin cât a numerelor sau aflarea catului a două numere (I tip). Compararea prin cât a numerelor sau aflarea câtului a două numere (Tipul II). 2. Mărirea unui număr de câteva ori (Forma directă). 3. Mărirea unui număr de câteva ori (Forma indirectă). 4. Micşorarea unui număr de câteva ori(Forma directă). 5. Micşorarea unui număr de câteva ori(Forma indirectă). 6. Calcularea fracţiei dintr-un număr. 7. Calcularea numărului după mărimea cunoscută a fracţiei dintr-un număr Problemele simple pot fi clasificate şi în alt mod - în raport de operaţiile studiate: A. Probleme simple bazate pe adunare pot fi: 1. de aflare a sumei a doi termeni; 2. de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unităţi decât un numiţi dat; 3. probleme de genul „cu atât mai mult‖; 4. de aflare a descăzutului. B. Probleme simple bazate pe scădere pot fi: 1. de aflare a restului (diferenţei); 2. de aflare a unui număr care să aibă un număr de unităţi mai puţine doi ii un număr dat; 3. de aflare a unui termen, atunci când se cunosc suma şi un termen al sumei probleme de genul „cu atât

4. 5. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 1. 2.

mai puţin‖; de aflare a scăzătorului; de comparare prin scădere. C. Probleme simple bazate pe înmulţire pot fi: de repetare de un număr de ori a unui număr dat; de aflare al produsului; de aflare a unui număr care să fie de un număr dat de ori mai mare decît un număr dat. D. Probleme simple bazate pe împărţire pot fi: de împărţire a unui număr dat în părţi egale; de împărţire prin cuprindere a unui număr prin altul; de aflare a unui număr care să fie de un număr dat de ori mai mic decît un alt număr dat; de aflare a unei părţi dintr-un întreg; de determinare a raportului dintre două numere (de comparare). E. Probleme simple bazate pe procente pot fi: Aflarea procentului dintr-un număr dat. Determinarea raportului procentual a două numere. Determinarea unui număr după mărimea procentelor lui. F. Probleme simple cu referire la fracţii pot fi: Calcularea fracţiei dintr-un număr; Calcularea numărului după mărimea cunoscută a fracţiei dintr-un număr.

În acest mod în această numărare sânt menţionate doar tipurile principale de probleme simple. Însă prin această clasificare nu poate fi epuizată toată diversitatea de probleme simple. Rezolvarea problemelor simple este în acest fel unul dintre primii paşi care permite de a exersa şi antrena flexibilitatea raţionamentului logic şi a dezvoltării cugetări impecabile. 5.9.2.1. Matricea problemelor simple de adunare şi scădere Succint prezentăm în baza unor exemple practice o matrice posibilă: Probleme de adunare:  De aflare a sumei Problemă Ana are 3 mere, iar Ionel are 2 mere. Câte mere ei au în total? Ana - 3mere ? Ionel - 2mere  De aflare a descăzutului Problemă Câte bomboane avea Dan, dacă după ce a mâncat 2 iau mai rămas încă 4 bomboane? Avea - ? b. A mâncat-2b. I-au rămas-4b.  De mărire a unui număr cu câteva unităţi Problemă Într-o cutie sânt 5 creioane roşii şi cu 3 mai multe creioane verzi. Câte creioane verzi sânt în cutie? Roşii - 5 creioane Verzi - ? creioane, cu 3 creioane mai mult. Probleme de scădere:  De aflare a unui termen necunoscut

Problemă Ana şi Ionel au în total 5 mere. Câte mere are Ana, dacă Ionel are 3 mere? Ana - ? mere 5 m. Ionel - 2mere Sau varianta reciprocă Problemă Ana şi Ionel au în total 5 mere. Ana are 3 mere. Câte mere are Ionel? Ana - 3 mere 5 m. Ionel - ? mere  De aflare a restului (diferenței) Problemă Ana avea 6 mere. Cîte mere are Ana, dacă i-a dat lui Ionel 4 mere? Avea – 6 mere. I-a dat – 4 mere. I-au rămas - ? mere.  De aflare a scăzătorului Problemă Ionel avea 6 mere. Cîte mere i-a dat el lui Ana, dacă se știe că i-au mai rămas 4 mere? Ionel avea – 6 mere. Lui Ana i-a dat - ? mere. I-au rămas – 4 mere.  De micşorare a unui număr cu câteva unităţi Problemă Ana şi-a cumpărat pentru festivitate 8 baloane albastre şi cu 3 mai puţin» baloane roşii. Câte baloane roşii a cumpărat Ana? Albastre - 8 baloane. Roşii - ? cu 3 baloane mai puţin ca albastre.  De comparare prin scădere Problemă Ionel şi-a cumpărat pentru 6 creioane albastre şi 8 roşii. Cu câte mai multe creioane roşii a cumpărat Ionel? Albastre - 6 creioane Roşii - 8 creioane. }? cu cât mai mult? 5.9.2.2.

Matricea problemelor simple de înmulţire şi împărţire

Succint prezentăm în baza unor exemple practice o matrice posibilă: Probleme de înmulţire:  De aflare a produsului Problemă O livadă este plantată cu pomi câte 9 într-un rând. Câţi pomi sânt plantaţi în 10 rânduri? 1 rînd ………………. 9 pomi 10 rînduri ……….….? pomi  De mărire a unui număr de câteva ori Problemă Ana şi-a cumpărat pentru festivitate 8 baloane albastre şi de 3 ori mai mu baloane roşii. Câte baloane

roşii a cumpărat Ana? Albastre - 8 baloane. Roşii - ? de 3 ori mai multe ca albastre. Probleme de împărţire:  De comparare prin împărţire Problemă Într-o pungă sânt 8 baloane albastre şi 24 baloane roşii. De câte ori sunt mai multe baloane roşii decât baloane albastre? Albastre - 8 baloane. Roşii - 24 baloane. De ? ori mai multe ca albastre.  De micşorare a unui număr de câteva ori Problemă Într-o pungă sânt 8 baloane albastre şi de 4 ori mai puţine baloane roşii. Câte baloane roşii sânt în cutie? Albastre - 8 baloane. Roşii - ? De 4ori mai puţine ca albastre.  De împărţire în păru egale Problemă O livadă este plantată cu pomi. în 9 rânduri sânt plantaţi 72 de pomi. Câţi pomi sânt plantaţi într-un rând? 1 rând ............. ? pomi 9 rânduri…….72 pomi.  De împărţire prin cuprindere Problemă O livadă este plantată cu pomi. într-un rând sânt plantaţi 11 pomi. Pe câte rânduri sânt plantaţi 99 pomi? 1 rând ............. 11 pomi ? rânduri ......... 99 pomi. 5.10.Noţiunea de problemă compusă Problemele, care nu pot fi rezolvate doar numai printr-o singură operaţie, se numesc probleme compuse. In alte cazuri avem constatarea, că o problemă matematică în care sânt prezente mai mult de o operaţie matematică se consideră problemă compusă. Prin rezolvarea problemelor compuse nu se subînţelege, în mod obligatoriu, o succesiune de rezolvări a mai multor probleme simple. E corect însă, că în rezolvarea unei probleme compuse sânt atestate mai multe probleme simple legate printr-un şir de raționamente şi operaţii aflate într-o dependenţă logică. 5.11.Metodologia rezolvării problemelor compuse A rezolva o problemă compusă înseamnă a indica problemele simple corespunzătoare, din care ea este alcătuită, şi de rezolvat aceste probleme simple în astfel de ordine, încât răspunsul ultimei din ele să fie răspunsul la întrebarea dată în enunțul problemei compuse. Rezolvarea unei probleme compuse este o activitate mult mai complicată, decât rezolvarea unei probleme simple, deoarece în afară de determinarea operaţiilor şi ordinea realizării lor,trebuie de alcătuit încă şi planul rezolvării problemei compuse. Dacă la rezolvarea unei probleme simple elevii adeseori reproduc doar rezolvarea însuşită, dar nu îl află, deoarece ei memorizează care întrebare prin ce operaţie se rezolvă, atunci în procesul se rezolvare a unei probleme compuse lucrurile stau complet altfel. În problema compusă adesea nu sânt atestate probleme simple complete: la unele din ele ( lipseşte întrebarea, la altele - datele. în rezultat elevul, care rezolvă o problemă

compusă trebuie să alcătuiască un raţionament logic de a determina care problemă simplă necompletă de evidenţiat prima, care trebuie să fie a doua, a treia etc. Elevul parcurge calea de la cunoscut la cel mai puţin cunoscut, iar în rezultatul final de la cunoscut la necunoscut. Din cele relatate rezultă, că în procesul de rezolvare a unei probleme compuse în prim plan se pune accentul pe raţionamentul logic şi nu pe memorarea mecanică, cum se practică adesea de elevii claselor primare la soluţionarea problemelor simple. În discuţia asupra unei probleme compuse este important nu faptul de a reduce rezolvarea ei la o succesiune de rezolvări de probleme simple, ci modalitatea de a determina corect legăturile multiple dintre datele din enunţ şi de a evidenţia cele mai esențiale și caracteristice verigi ale procesului de cugetare care pot constitui raţionamentul demersului logic al rezolvării. În acest context este necesară de a organiza o perioadă de trecere de la problemele simple (cu o operaţie) la rezolvarea problemelor compuse (cu două sau mai multe operaţii). Această perioadă importantă a procesului de formare a competențelor matematice de rezolvare a problemelor învăţătorul claselor primare trebuie să o desfășoare în mod priceput, lent în conformitate cu principiul didactic al accesibilităţii şi al însușirii temeinice a cunoştinţelor matematice. Iniţial se rezolvă probleme compuse în care sunt incluse două, cel mult trei probleme simple. În cadrul desfăşurării unei asemenea activităţi elevii încetul cu încetul în mod succesiv înţeleg sensul corect al demersului raţionamentului logic şi capătă deprinderi de a elabora o anumită tactică şi o strategie euristică specifică de rezolvare pentru fiecare problemă aparte prin elaborarea unui plan raţional de rezolvare a ei. Această activitate trebuie de început cu rezolvări de probleme simple într-un lanţ de succesiuni. Ele pot fi la început câte două: ambele de adunare, una de adunare şi alta de scădere etc. 5.11.1.

Introducerea noţiunii de problemă compusă

O problemă compusă în procesul rezolvării trebuie structurată într-u mu probleme simple. În decizia de a determina această succesiune cea mai mare dificultate constă în determinarea legăturii dintre aceste probleme simple, adică în stabilirea căii corecte de rezolvare a problemei date. Din această cauză, din punct de vedere metodic, este necesară o perioadă de tranziţie de la problemele simple la problemele compuse. Rezolvarea problemelor compuse începe cu rezolvarea problemelor simple în lanţ. Ele pot fi ambele de adunare sau una de adunare şi alta de scădere: a) Lidia are 5 mărci. Ana are cu 3 mărci mai multe. Câte mărci are Ana? b) Lidia are 3 mărci. Ana 8 mărci. Câte mărci au fetele în total? Unind aceste două probleme se capătă o problemă compusă: Lidia are 3 mărci. Ana are cu 3 mărci mai multe. Câte mărci au fetele în total? Formula de rezolvare ar fi: a + (a + b) a) Ionel are 7 nuci. Mama i-a mai dat încă 3 nuci. Câte nuci are acum Ionel? b) Ionel are 10 nuci. El i-a dat jumătate din toate nucile care le are Anei. Câte nuci are acum Ionel? Unind aceste două probleme se capătă o problemă compusă: Ionel are 7 nuci. Mama i-a mai dat încă 3 nuci. El i-a dat jumătate din toate nucile care te are Anei. Câte nuci are acum Ionel? Formula de rezolvare ar fi: a+(a-b). 5.11.2. Paşii logici metodici de rezolvare a unei probleme compuse Etapele de lucru asupra unei probleme compuse: 1. Citirea şi intuirea corectă a enunţului În cadrul acestui pas logic se separă condiţia şi întrebarea, se evidenţiază cuvintele – cheie. Succesul soluţionării problemei depinde direct de calitatea discuţiei euristice duse asupra enunțului: conţinut, însuşirea condiţiilor şi a întrebării principale din problemă, a modului de însuşire şi înţelegere corectă a legăturilor

logice dintre mărimile, care sânt incluse în enunț, adică a legăturilor şi relaţiilor existente dintre date, dintre date şi mărimile căutate. Învățătorul trebuie să-i înveţe şi să le formeze competenţa de a citi atent enunţul problemei și de a nu omite nici un cuvânt din textul enunţului, de însuşit textul din prima citire. Aceasta este o artă pe care elevii trebuie să o însuşească sub ghidarea pricepută a învățătorului în mod treptat şi succesiv în corespundere cu însuşirea conţinuturilor învăţate. 2. Schematizarea legendei din enunţul problemei Această formă prescurtată a enunţului prezintă o structură logică succintă a problemei, valorile determinate, datele necunoscute şi relaţiile corespunzătoare dintre valori. Determinarea corectă a schematizării enunţului contribuie în mod substanţial la o rezolvare competentă a problemei. 3. Închegarea unui plan concret de rezolvare a problemei Aceasta poate fi determinat doar în urma unei discuţii detaliate prin raţionamente logice corecte euristice: sintetice, analitice sau analitico-sintetice, utilizate în corespundere cu metoda didactică de rezolvare aplicată. Fiecare din aceste raţionamente utilizate prevede descompunerea problemei date compuse într-o succesiune de probleme simple şi alcătuirea unui plan concret de rezolvare a problemei compuse date. Problemele simple trebuie completate, aranjate în ordinea prioritară de rezolvare, discutate şi rezolvate separat, apoi de închegat într-un tot unic. 4. Rezolvarea problemei Rezolvarea este rezultatul unei analize minuţioase a evaluării dependenţei dintre datele din problemă, a descompunerii dependenţelor date în enunţul problemei compuse într-o succesiune de probleme simple, a operaţiilor corespunzătoare şi motivarea selectării lor, realizarea lor în corespundere cu mersul ales de soluţionare a problemei, care va duce în final la găsirea soluţiei căutate. 5. Scrierea rezolvării problemei Acest demers se poate realiza prin notarea operaţiilor cu ajutorul simbolurilor matematice: • cu un plan, în acest caz formulările fiecărui pas logic este scris prin propoziţii depline atât enunţiative, cât şi interogative; • prin exerciţii, care sintetizează operaţiile de rezolvare a problemei; • cu justificări, adică după fiecare operaţie este atestată o oarecine lămurire - explicaţie. Adeseori această scriere are forma unei expresii numerice. 6. Verificarea soluţiei căpătate în rezultatul rezolvării Aceasta se poate efectua prin mai multe moduri: • substituirea soluţiei sau soluţiilor căpătate în condiţia din enunț; • alcătuirea şi rezolvarea unei probleme reciproce sau analoage; • rezolvarea problemei date prin altă metodă didactică de rezolvare. 7. Scrierea corectă a răspunsului Răspunsul la întrebarea principală din problemă trebuie să fie scris cît mai succint sub formă numerică sau printr-o propoziţie enunţiativă. Dacă ultima operație matematică a fost urmată de o justificare sau dacă rezolvarea a fost scrisă după un plan cu pași logici, concreţi, atunci răspunsul se scrie succint. Pentru a scrie un răspuns cât mai corect trebuie de apelat la întrebarea din enunţ. 8. Consolidarea rezolvării problemei Repetarea completă sau doar o repetare particulară a mersului rezolvării problemei (uneori unii învăţători se mărginesc doar la o verificare, e bine, dar mai corect din punct de vedere al didacticii matematicii este de a o rezolva prin alte metode sau de a compune probleme în baza problemei date) sau efectuarea altor lucrări similare cu divers conținut. Toate etapele de rezolvare a unei probleme compuse sânt foarte importante și fiecărei etape trebuie de acordat atenţia cuvenită. E mai bine de rezolvat o problemă prin mai multe metode şi cât mai minuţios detaliate, decât mai multe probleme şi doar printr-o singură metodă. 5.12. Noţiunea de problemă tipică sau standard

O mulţime de probleme, în care este atestată una şi aceeaşi dependenţă dintre mărimile, care sânt incluse în enunţurile acestor probleme, cu toate că au cele mai variate diferențe sau deosebiri între date şi însăşi legenda conţinutului formează un tip anumit de probleme textuale. Prin urmare, toate aceste probleme a tipului dat se rezolvă prin unul şi același procedeu sau metodă didactică, adică există o succesiune bine determinată de paşi logici care trebuie metoda divizării realizaţi pentru a rezolva problema proporţionale directe, dată. În literatura matematică o problemă poate fi considerată tipică, metoda divizării dacă pentru rezolvarea ei elevul proporţionale inverse, regula poate aplica cunoştinţele achiziţionate anterior şi rezolvarea problemei date de trei simplă; regula de trei se reduce la aplicarea unui algoritm de rezolvare bine cunoscut, uneori chiar compusă; metoda grafică sau şi o simplă substituire de date în locul literelor respective din forma figurativă; metoda reducerii generală a expresiei algoritmului rezolvării. Cu alte cuvinte o problemă este considerată tipică, dacă ea la unitate; metoda poate fi rezolvată după un model cunoscut: o regulă verbală, o regulă comparaţiei; formulă, o regulă identitate, o regulă, metoda eliminării unei teoremă, o regulă definiţie, o însărcinare des întâlnită rezolvată anterior, şi, repetând pas cu pas, se repetă rezolvarea mărimi şi înlocimi'i fără a introduce în această rezolvare ceva original din creativitatea personală. metoda falsei ipoteze; 5.13. Metodologia rezolvării metoda mersului invers sau problemelor tipice metoda retmi'.i În cazul când elevilor li se propune să rezolve o problemă tipică învăţătorul aşteaptă logic corect răspunsul convingător la întrebarea: dacă nu s-au mai întâlnit elevii cu această problemă sau cu o problemă înrudită, asemănătoare? În aceste condiţii de la elevi nu se cere altceva decât o oarecare atenţie şi răbdare pentru a rezolva corect problema. În acest caz el nu poate rezolva problema în mod arbitrar, sau cum doreşte el - nu-şi poate manifesta intuiția proprie. El trebuie să rezolve problema după o prescripţie strictă: 1) Analiza problemei se reduce la determinarea (recunoaşterea) tipului problemei, la care aparţine însărcinarea. 2) Căutarea căii de soluţionare a problemei constă în alcătuirea în baza unei reguli generale (formule, identităţi) sau a unei situaţii generale (definiţie, teoreme) a unei programe - o succesiune de paşi logici de soluţionare a problemelor de tipul dat. 3) Rezolvarea problemei constă în aplicarea practică a acestei programe determinate la enunţul problemei date. În procesul învăţării matematicii, în special, în clasele primare rezolvarea problemelor tipice, chiar şi în număr mare, este binevenită şi chiar necesară şi totodată este de neiertat încercarea de a limita experienţa elevilor la rezolvarea problemelor numai de acest fel. Această înseamnă a mărgini elevul în arta cugetării logice multiplane de a vedea viața și toate relațiile ei cotidiene într-o formă simplificată doar la nişte algoritmi - reţete de-a gata și elevul nu are accesul la libera cugetare. Există mai multe tipuri de probleme, care în dependenţă de dificultate sau complicitatea procedeului de rezolvare în clasele primare şi gimnaziale sânt incluse în următoarele tipuri de probleme:  problemecare se rezolvă prin metoda divizării proporționale directe;  problemecare se rezolvă prin metoda divizării proporționale inverse  problemecare se rezolvă prin regula de trei simplă;  problemecare se rezolvă prin regula de trei compusă;  problemecare se rezolvă prin metoda grafică sau figurativă;  problemecare se rezolvă prin metoda reducerii la unitate;  problemecare se rezolvă prin metoda comparației;  problemecare se rezolvă prin metoda eliminării unii mărimi și înlocuirii ei cu alta;  problemecare se rezolvă prin metoda falsei ipoteze;

    

problemecare se rezolvă prin metoda mersului invers sau metoda retrogradă sau probleme cu rest din rest; probleme de mişcare; probleme cu conţinutul legat de fracţii; probleme cu procente; probleme cu elemente de geometrie.

În unele tipuri sânt incluse probleme, care se aseamănă între ele după tematica conţinutului din enunţ. Din astfel de probleme tipice în clasele primare se rezolvă următoarele:  probleme care se rezolvă prin metoda divizării proporţionale directe;  probleme care se rezolvă prin regula de trei simplă;  problemecare se rezolvă prin metoda grafică sau figurativă;  problemecare se rezolvă prin metoda reducerii la unitate;  problemecare se rezolvă prin metoda comparaţiei,  problemecare se rezolvăprin metoda eliminării unei mărimi şi înlocuirii ei cu alta;  probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze;  probleme care se rezolvă prin metoda mersului inverssau metoda retrogradă sau probleme cu rest din rest;  probleme de mişcare;  probleme cu conţinutul legat de fracţii;  probleme cu elemente de geometrie. Problemele menţionate uşor pot fi rezolvate prin dezbaterea sintetică sau analitică în mod analog ca şi problemele care nu sânt tipice, simple şi compuse, din care cauză ele pot fi rezolvate prin aceleaşi procedee. Trebuie de menţionat că problemele tipice, în majoritatea lor, se rezolvă prin metoda analitico-sintetică. Aceste procedee de rezolvare sunt accesibile pentru înţelesul unui elev din clasele primare. Rezolvând probleme tipice care au un conținut cât mai variat legat de diferite domenii din mediul ambiant, elevii fac cunoştinţă cu diverse procedee de rezolvare a problemelor, ceea ce, la rândul lor, implică o influenţă pozitivă asupra întregii dezvoltări intelectuale multilaterale a elevului, inclusiv asupra educării unui mod de cugetare analitico-matematic. Aceste tipuri de probleme uşor pot fi rezolvate şi cu ajutorul ecuaţiilor, ceea ce şi este de dorit ca să facă din când în când învățătorul claselor primare, în special, în clasa a IV-a. Multe probleme tipice sânt legate între ele în conformitate cu procedeul comun de rezolvare. Din care cauză aceste probleme trebuie rezolvate într-o astfel de succesiune, încât fiecare tip următor să se poată sprijini metodic, pe tipul învăţat la o etapă precedentă, ca pe o bază didactico-metodică temeinică, ca pe o treaptă stabilă, pentru a respecta creşterea – continuă a dificultăţii gradului de complicitate a rezolvării lor. De exemplu, procedeul de divizare proporţională a problemelor trebuie să anticipeze, adică să fie baza fundamentală logică pentru rezolvarea problemelor de mişcare, sau a problemelor de determinare a două numere după suma sau diferenţa lor şi raportul dintre ele etc. Fiecare tip de probleme are ca un ciclu propedeutic nişte probleme sau însărcinări pregătitoare, care constituie partea integră componentă a problemelor de acest tip. Prin rezolvarea problemelor pregătitoare se începe procesul cunoaşterii cu metodologia soluționării problemelor de acest tip. Procedeul de soluţionare a problemelor tipice nu trebuie de dat de-a gata elevilor, el trebuie să apară de la sine ca o consecinţă, ca o constatare a rezolvărilor sau a dezbaterilor făcute asupra problemelor pregătitoare şi orale, care se referă la acest tip. Cu alte cuvinte la căutarea căii de soluţionare a fiecărui tip de probleme elevii trebuie să participe în modul cel mai activ. Tot odată e necesar de reţinut, că primele probleme care se rezolvă la cunoaşterea inițială cu fiecare tip de probleme se rezolvă multilateral şi oral, din această cauză aceste

probleme trebuie să fie cât mai accesibile şi simple după conţinut şi în ele să figureze numere mici. Pentru activizarea procesului de cugetare a elevilor în căutarea celei mai raţionale căi de soluționare a problemelor de un tip dat se utilizează aceleaşi procedee, care se folosesc la determinarea căilor de soluţionare a problemelor ne tipice, şi anume: • conţinutul enunţului problemei în mod maximal se apropie de practica cotidiană; • problema este scrisă succint sub formă de o schemă sau a unui desen. Pe larg sânt utilizate mijloacele intuitiv-ilustrative cum pentru a înţelege corect condițiile enunţul problemei, aşa şi pe parcursul rezolvării ei. Se realizează o dezbatere minuțioasă și detaliată a conţinutului, pentru a evidenţia corect dependenţele existente între mărimile, care sânt incluse în conţinutul problemei date, şi se alcătuieşte planul ei de soluționare. Întrebările din acest plan trebuie puse astfel, încât ele trebuie să indice nu doar ceea ce se poate determina prin intermediul acestei operaţii matematice, ci şi să evalueze întregul proces vital, despre care se discută în enunţul problemei date. De exemplu, pe parcursul rezolvării unei probleme de mişcare la deplasarea unul în întâmpinarea altuia este necesar de a înainta astfel de probleme: „Câţi kilometri a parcurs primul tren până la pornirea celui de-al doilea tren?‖, „Cu câţi kilometri se apropie trenurile unul faţă de altul într-o oră? Dar în două ore?‖ etc. A rezolva mai multe lecţii la rând probleme de unul şi acelaşi tip nu este prea rațional şi eficient, deoarece la a doua cum şi la următoarele lecţii mulţi dintre copii doar reproduc, însă nu caută căile raţionale şi eficiente de rezolvare a lor, adică în prim plan apare lucrul memoriei, însă procesul de activizare a raţionamentului logic este plasat pe un al doilea plan. Este util de a învăţa elevii să rezolve problemele tipice prin metoda comparării, pentru aceasta într-o grupă se integrează probleme de două tipuri, care au ceva comun între ele, de exemplu, probleme care pot fi rezolvate prin metoda împărţirilor proporţionale şi probleme care pot fi rezolvate prin metoda determinării a două numere după diferenţa şi raportul dintre ele, sau probleme de mişcare şi probleme care se rezolvă prin metoda falsei presupuneri etc. Ele sânt cercetate şi discutate atât timp, cât este necesar pentru a evidenția şi însuşi corect metodologia de rezolvare a ambelor tipuri, apoi periodic rezolvările acestor două tipuri de probleme se repetă cum oral aşa şi în scris. De rând cu problemele din manuale şi alte culegeri didactico-metodice, este util de a rezolva şi unele probleme alcătuite de către elevi, deoarece în procesul de compunere a problemelor elevii mult mai profund înţeleg dependenţele dintre mărimile care sânt incluse în enunţul problemei date de tipul dat. Noţiunea formată cu referire la tipul problemei trebuie de exprimat şi de reținut mereu prin numirea de fiecare dată a denumirii tipului de problemă, de exemplu, „problema de determinare a două numere după suma şi diferenţa lor‖, „problemă de determinare a două numere după suma şi raportul lor‖, „problemă de mişcare a două mobile unul în întâmpinarea celuilalt‖ etc. Denumirea problemei trebuie de dat la prima lecție, cînd se începe rezolvarea tipului dat de probleme, însă nu la începutul şi nici la sfârşitul lecției, ci pe parcursul însuşirii procedeului de soluţionare a problemelor de tipul dat, adică denumirea tipului dat de probleme trebuie să apară nu impus, ci ca o concluzie, o consecință logică, care rezultă din munca realizată de elevi pe parcursul rezolvării problemei date. 5.13.1. Probleme care se rezolvă folosind regula de Trei Simplii Capitolul Numere fracţionare permite elevului de clasa a IV-a să poată rezolva o parte din problemele care se pot grupa în categoria numită Probleme la Pegula de Trei. Aceste tipuri de probleme atestate încă în matematica civilizaţiilor antice, de obicei se studiază în clasele gimnaziale, fiind legate de relaţiile de dependenţă directă şi dependență invers proporţională existente dintre datele din enunţul problemei. Metoda didactică de soluţionare a problemelor de acest tip a trecut o etapă lungă de evoluţie şi perfectare. Există deja în matematica Evului Mediu metoda de soluţionare a problemelor prin regula de Trei Simplă şi regula de Trei Compusă. Regula de Trei Compusă, la rândul ei era de: Cinci, Şapte, Nouă, Unsprezece, Treisprezece, fiecare dintre care se reduceau rînd pe rînd la regula de Trei Simplă. O parte din aceste probleme au fost

separate în tipuri specifice anumitor tematice, de unde şi denumirea regulii corespunzătoare: Regula Aligaţiei (amestecurilor de lichide şi solide), Regula Devălmăşiei (de asociere, de tovărăşie într-o anumită afacere), Regula Câştigului etc. Aplicarea practică a acestei metode de rezolvare a problemelor legate de dependenţa proporţională a mărimilor era atât de variată şi des practicată în cele mai diverse situaţii cotidiene, în special, în târguiala, încât a fost numită de unii matematicieni ai timpului dat Regula Târguielii sau Regula de Aur. În clasa a IV-a se studiază cel mai simplu caz de dependenţă direct proporţională, adică dacă avem două mărimi care cresc sau descresc într-un anumit raport, atunci şi alte două mărimi legate de primele prin dependenţa direct proporţională cresc sau descresc la fel în acelaşi raport. Demersul logic al acestor probleme urmăreşte logica cugetării în conformitate cu următorul algoritm: se dau 3 numere cu ajutorul cărora trebuie de determinat al patrulea număr. Noţiunea de mărimi direct proporţionale în clasa a IV-a nu se va da elevilor 5.13.2. Probleme care se rezolvă prin Metoda Reducerii la Unitate Orice problemă ale cărei date din enunţ sânt exprimate prin perechi de mărimi proporționale poate fi rezolvată prin metoda reducerii la unitate, care este un caz particular al metodei generale de rezolvare a problemelor numită - metoda proporţiilor. Această metodă - metoda reducerii la unitate este recomandată a fi aplicată la rezolvarea problemelor din programa clasei a IV-a, deoarece ea urmăreşte un demers legat de raționamentul mult mai apropiat de înţelegerea concretă a elevilor. Metoda proporţiilor, cunoscută încă în matematica civilizaţiilor antice: chineză, hindusă, mesopotamiană, egipteană, arabă etc. cere de la elevi cunoştinţe matematice pe care un elev din clasa a IV-a nu le poate cunoaşte, deoarece asemenea conţinuturi se învaţă doar în gimnaziu. În clasa a IV-a aşa ceva se poate realiza în cadrul orelor în afara cursului: la ședințele cercului de matematică, la orele individuale etc. Determinarea unei fracţii dintr-un număr este de asemenea o problemă care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate. Problema 1 O cantitate de cartofi de 250 kg au fost ambalate în 10 lăzi. Dar 375 kg de cartofi în cîte lăzi de aceeaşi mărime se pot ambala? Rezolvare: Metoda reducerii la unitate Să rezolvăm aceeaşi problemă, însă raţionamentul cugetării de orientat în alt mod. Datele din enunţul problemei sânt aşezate ca şi la metoda I pe două şiruri în modul corespunzător. 250 kg…………………………… 10 lăzi 375 kg……………………………. x lăzi Raționăm astfel: dacă 250 kg de cartofi pot fi ambalaţi în 10 lăzi, atunci pentru a ambala numai 1 kg de cartofi de câte lăzi vom avea nevoie? De mai multe sau de mai puține? Este evident că de mai puţine. Dar de câte ori mai puţine? De 250 de ori mai puţine (în cîte lăzi erau ambalate), deoarece cele două mărimi sânt direct proporţionale. În caz că una din aceste mărimi (cantitatea de cartofi) se micşorează de 250 de ori, atunci şi cealaltă mărime direct proporțională cu ea (numărul de lăzi) se va micşora tot de 250 de ori. Rezultă, că pentru ambalarea unui kg de cartofi vor fi necesare 10/250lăzi, iar pentru 375 kg de cartofi ne va trebui de 350 ori mai multe, adică (10/250)*375 = 15 lăzi. Raţionamentul expus mai sus poate fi scris în mod sintetic astfel: 250 kg ……………… 10 lăzi 1 kg …………………. 10/250 lăzi 375 kg ……………….. 10/250 *375 = 15 lăzi Răspuns: 15 lăzi.

Problema 2 Mărind un număr de 7 ori se obţine 294. Cât se va obţine dacă am mări acest număr de 3 ori? Rezolvare: Numărul mărit este…………………………………..294 Numărul considerat ca unitate……………………… 294:7=42 Numărul mărit de 3 ori este………………………….3*42=126 Răspuns: 126. Problema 3 5 radiere costă cât 4 creioane. Cât costă 10 creioane, dacă 7 radiere costă 28 de lei? (clasa a III-a şi clasa a IV-a) Rezolvare: 5 radiere…………… 4 creioane 7 radiere………….... 28 lei. 1 radieră …………… 28:7=4 lei. 5 radiere…………… 5x4=20 lei 1 creion……………. 20:4=5 lei 10 creioane…………… 5x10=20 lei Problema poate fi rezolvată şi pe calea aritmetică şi pe calea algebrică a) rezolvarea pe calea aritmetică 1. Cât costă o radieră? 28:7=4 lei. 2. Cât costă 5 radiere? 5x4=20 lei. 3. Cât costă un creion? 20:4=5 lei. 4. Cât costă 10 creioane? 5x10=20 lei. b) rezolvarea pe calea algebrică: 5*r = 4*c, 7*r = 28, r = 28:7 =4, 5*4 = 4*c, 20=4*c, c=20:4. c=5, 10*c=10x5=50. Răspuns: 20 lei.

5.13.3. Probleme care se rezolvă prin Metoda Rest din Rest Problemele de tipul rest din rest au un enunţ care le evidenţiază denumirea şi care în general se formulează într-un mod original. Relaţiile dintre mărimi sânt date într-o ordine succesivă. Dacă s-ar aplica calculele în ordinea indicată, raţionamentele pot deveni destul de anevoioase şi greoaie. Deoarece relaţiile dintre mărimi sânt date în ordine succesivă e binevenit de a utiliza metoda „drumului invers", care constă în utilizarea datelor şi efectuarea operaţiilor indicate în enunţul problemei în ordine inversă, începând cu ultima f»i"i< indicată, adică de la sfârşit spre început. Problemele, care se rezolvă prin metoda mersului invers, formează o grupă specifică, un tip anumit de probleme, care pot fi soluţionate cu succes printr-o metodă originală fascinantă numită în conformitate cu paşii logici, care se realizează în procesul soluţionării. Metoda poartă denumirea de metoda mersului invers metoda inversiei - metoda racului - metoda retrogradă sau probleme de rest din rest. Pentru a intui corect logic esenţa metodei didactice, căreia îi spunem metoda mersului invers, din punct de vedere a didacticii modeme este mai eficient de a analiza exemple concrete. Sugestie didactico-metodică: Analizând datele dm enunţ şi operaţiile indicate în problemă, după cum şi cele pe care le facem pe parcursul rezolvării problemei, se constată că, de fiecare dată, se realizează operația inversă celei indicate în problemă. Deci, nu numai mersul soluţionării este invers, ci și operațiile pe care le facem pentru a rezolva problema sânt operaţii inverse sau opuse celor indicate în enunţul problemei. Proba sau verificarea se face aplicând asupra rezultatului obţinut operaţiile indicate de problemă în conformitate cu legenda enunţului.

Corectitudinea rezultatului obţinut se verifică prin înlocuirea în enunţul iniţial a valorii numerice a necunoscutei determinată în urma calculelor şi rezolvarea exerciţiului obținut se face deja în conformitate cu cerinţele enunţului şi valoarea numerică determinată a numărului căutat. Elementele esenţiale în rezolvarea acestor probleme sânt: • proba operaţiilor; • ordinea efectuării operaţiilor. Problema 1 M-am gândit la un număr. Îl împart la 7. catului obţinut îi adun 4, suma calculată o înmulţesc cu 8, iar din produsul obţinut scad 12, rămânând 60. La ce număr m-am gândit? Rezolvare: Notând prin x numărul căutat, enunţul poate fi transcris astfel: (x: 7 + 4)*8-12=60 Am obţinut o egalitate care în compartimentul algebra din matematică se numește ecuaţie. Rezolvarea ei se poate face şi prin raţionament aritmetic, urmărind demersul din enunţ de la sfârşit spre început, adică în mod invers - retrograd, de unde şi avem denumirea metodei didactice date. Care este ultima operaţie indicată pentru a obţine 60? Se observă că este scăderea în care necunoscuta figurează la descăzut. Prin urmare avem: d = r + s, unde d – descăzutul, s - scăzător şi r - rest. ?- 12 = 60,? = 60 + 12 = 72. Rezolvarea problemei deja se reduce la ecuaţia: (x:7 + 4)*8 = 72. Care este ultima operaţie indicată înainte de a obţine rezultatul 72? Înmulţirea în care necunoscuta este un factor. Prin urmare avem: f1 = p: f2, unde f1- primul factor, f2 - factorul al doilea şi p - produsul. ?x8 = 12,7 = 7:8 = 9. Rezolvarea problemei se reduce la ecuaţia: x: 7 + 4 = 9. Algoritmul de rezolvare decurge în acelaşi mod: t1= s – t2> unde t1 - primul termen, t2 - termenul al doilea şi s - suma. ? + 4 = 9, ? = 9 + 4 = 5. Rezolvarea problemei se reduce la soluţionarea ecuaţiei: x: 7= 5. Ultima operaţie pe care trebuie s-o facem pentru a determina valoarea lui x - numărul nu la care mam gândit este de fapt prima operaţie din enunţul transcris în limbajul matematic al primei ecuaţii. Avem o împărţire, în care necunoscuta figurează la deîmpărţit d=c*î, unde d - deîmpărţitul, î - împărţitorul şi c câtul. x= 5x7 = 35, x= 35. Numărul la care m-am gândit este 35. Succint etapele de soluţionare parcurse pot fi redactate astfel: (x:7 + 4)x8 - 12 = 60, (x:7 + 4)x8 = 72, x:7 + 4= 9, x:7= 5, x = 35. Răspuns: M-am gândit la numărul 35. Problema 2 Un hoţ fură din grădina unui musulman bogat o mare cantitate de ananas. Pe drum spre casa sa el s-a întâlnit cu 2 paznici: primului paznic pentru a trece liber trebuie să-i dea o treime din ce a furat şi încă un ananas, iar celui de-al doilea o treime din ce i-a rămas și încă un ananas. Aşa se primeşte că se întâlneşte şi cu şeful pazei şi, pentru a scăpa liber, îi dă și lui o treime din ce i-a rămas şi încă un ananas. Cînd a numărat acasă fructele el avea 5 fructe. a) Câte fructe de ananas a furat hoţul? b) Câte fructe au fost date fiecăruia dintre cei trei paznici? Rezolvare:

Soluţionarea porneşte de la final: 1. Cât reprezintă două treimi din cel de-al doilea rest? 5 + 1=6 (fructe) 2. Cât reprezintă al doilea rest? (Vezi metoda reducerii la unitate) 6:2x3 = 9 (fructe) 3. Cât reprezintă două treimi din primul rest? 9 + 1 = 10 (fructe) 4. Cât reprezintă primul rest? 10:2x3 = 15 (fructe) 5. Cât reprezintă două treimi din cantitatea furată? 15 + 1 = 16 (fructe) 6. Ce cantitate a furat hoţul? 16:2x3=24(fructe) 7. Câte fructe i-a dat primului paznic? 24:3 + 1=9 (fructe) 8. Câte fructe i-a dat celui de-al doilea paznic? 15:3 + 1=6 (fructe) 9. Câte fructe i-a dat şefului pazei? 9:3+1=4 (fructe) Verificare: 9 + 6 + 4 + 5 = 24 Ecuaţia problemei: 2/3*[2/3*(2/3*x-1)-1]-1 = 5 Răspuns: 24fructe. Problema 3 Dacă la un număr se adaugă 5, apoi 8 şi se scade 3 se obţine 20. Care este numărul? Rezolvare: Dacă nu s-ar fi scăzut 3, ar fi fost 20 + 3 = 23. Dacă nu s-ar fi adăugat 8, atunci ar fi fost 23 - 8 = 15. Dacă nu s-ar fi adăugat 5, atunci numărul ar fi fost 15-5 = 10. Verificare: 10 + 5 + 8 - 3 = 20. Răspuns: 10. Problema 4 Colectivul de elevi ai clasei a II-a a plecat în tabere. La mare au plecai de 3 ori nai mulţi decât la munte şi 8 într-o expediţie turistică, adică cu 2 mai mulţi decât la munte. Cîți elevi au plecat în tabără la mare? (Clasa a II-a) Rezolvare: In expediţie au plecat 8 elevi. La munte au plecat cu 2 mai puţin, adică 8-2 = 6 elevi. La mare au plecat de 3 ori mai mulţi, adică 6 x3 = 18 elevi. Răspuns: 18 elevi. Problema 5 Ionel are cu 150 lei mai mult decât Vasile, iar Nicu de 2 ori mai mulţi lei decît Vasile; Cornel cu 400 lei mai puţin decât Nicu, adică 300 de lei. Câţi lei are Ionel? (Clasa a II-a, clasa a III-a) Rezolvare: Cornel are 300 de lei. Nicu are cu 400 de lei mai mult, adică 400 + 300 = 700 de tei. Vasile are de 2 ori mai puţin decât Nicu, adică 700:2 = 350 lei. Ionel are cu 150 lei mai mult decât Vasile, adică 350+ 150 = 500 lei.

Răspuns: 500 lei. Problema 6 Colectivul clasei a IV-a a făcut o excursie şi a călătorit cu trenul, cu autocarul, cu bicicletele şi pe jos. Cu trenul a parcurs jumătate din întreaga distanţă, cu autocarul jumătate din distanţa rămasă, iar cu bicicletele jumătate din cât mai rămăsese. Restul distanţei, adică 20 km au parcurs-o pe jos. Câţi kilometri a măsurat distanţa parcursă în călătorie? (Clasa a IV-a) Rezolvare: Pe jos s-a parcurs 20 km şi aceasta reprezintă jumătate din distanţa rămasă după mersul cu bicicletele. Prin urmare cu bicicletele colectivul de elevi a parcurs 20 km. In total cu bicicleta şi pe jos colectivul clasei a parcurs 40 km, adică adică aceeași distanță, care a fost parcursă cu autocarul. Deci: pe jos, cu bicicletele şi cu autocarul elevii au parcurs o distanţă egală cu 40*2 = 80 km, adică tot atât cât a fost parcurs cu trenul. Lungimea traseului parcurs în timpul călătoriei a fost de 80*2 = 160 km Verificare: Cu trenul colectivul de elevi a parcurs distanţa de 160 km : 2 = 80 km și au mai rămas de parcurs 80 km. Cu autocarul a parcurs 80 km : 2 = 40 km şi au mai rămas de parcurs 40 km. Cu bicicletele - 40 km : 2 = 20 km şi au mai rămas de parcurs 20 km, care au fost parcurşi pe jos. În total 80 + 40 + 20 + 20 = 160. Răspuns: 160 km. Problema 7 Un elev are o sumă de bani din care cheltuieşte astfel: pentru a cumpăni uniformă şcolară - 1/3 din întreaga sumă şi încă 18 lei, pentru caiete – 1/3 din suma rămasă şi încă 18 lei, pentru rechizite şcolare – 1/3 din rest şi încă 18 lei, la cofetărie – 1/3 din noul rest şi îi mai rămân 28 de lei. Câţi lei a cheltuit pentru fiecare cumpărătură şi ce sumă a avut elevul iniţial? (Clasa a IV-a) Rezolvare: La cofetărie a cheltuit 1/3 din restul rămas după cumpărarea rechizitelor şi i-au mai rămas 28 de lei. Cei 28 lei corespund la 2/3 din banii rămaşi după cumpărarea rechizitelor. Prin urmare el la cofetărie a cheltuit jumătate din aceşti bani, adică 1/3 din restul total, ceea ce este egal cu 14 lei. La cofetărie a cheltuit 14 lei şi i-au mai rămas 28 lei, aşadar restul rămas după cumpărarea rechizitelor a fost de 28 lei + 14 lei = 42lei. Pentru rechizite a cheltuit 1/3 din restul rămas după cumpărarea caietelor şi încă 18 lei, adică 2/3 din banii rămaşi ceea ce corespund la 42 + 18=60 lei şi în acest caz 1/3 echivalează cu 60:2 = 30. Aşadar pentru rechizite a cheltuit 30 + 18= 48 lei. Pentru caiete a cheltuit 1/3 din banii rămaşi după cumpărarea uniformei şi încă 18 lei, adică 2/3 din banii rămaşi corespund la 90+18 = 108 lei. 1/3 din banii rămaşi echivalează cu 108:2 = 54 lei şi atunci banii rămaşi după cumpărarea uniformei au fost 54*3 = 162 lei. Aşadar pentru caiete a cheltuit 54+18=72 lei. Pentru uniformă a dat 1/3 din suma de banii avuţi iniţial şi încă 18 lei, adică 2/3 din banii rămaşi după cumpărarea uniformei corespund la 162 + 18=180 lei. 1/3 din banii rămaşi echivalează cu 180:2 = 90 lei. Prin urmare banii avuţi iniţial au fost 270 lei şi pentru uniformă a plătit 90+18 = 108 lei. Verificare: Pentru uniformă a cheltuit 270*1/3 + 18=108 lei şi i-au mai rămas 270 - 108=162 lei. Pentru caiete a cheltuit 162*1/3 + 18=72

lei şi i-au mai rămas 162 - 72=90=lei.

Pentru rechizite a cheltuit 90*1/3 + 18 = 48 lei şi i-au mai rămas 90-48=42 lei. La cofetărie a cheltuit 42*1/3+18=14 lei și i-au mai rămas 28 lei. În total 108+72+48+14+28=270 lei. Verificarea se poate face și în alt mod, alcătuind următorul tabel:

1. 2. 3. 4.

Cheltuit Pentru uniformă 270*1/3 + 18=108 lei Pentru caiete 162*1/3 + 18=72 lei Pentru rechizite 90*1/3 + 18 = 48 lei La cofetărie 42*1/3+18=14

Rămas După cumpărarea uniformei 270 - 108=162 După cumpărarea caietelor 162 - 72=90=lei După cumpărarea rechizitelor 90-48=42 lei rămas 42-14=28 lei

Răspuns: Suma iniţială - 270 lei. A cheltuit pentru: uniformă 108 lei, caiete 72 lei, rechizite 48lei şi la cofetărie 14 lei. Problema 8 La ce număr m-am gândit, dacă: a) îl adaug pe 6 şi obţin cel mai mare număr par de o cifră? b) scad din el 10 şi obţin cel mai mic număr natural impar de două cifre diferite? c) îl dublez şi obţin 18? d) îl micşorez de 6 ori şi obţin 9? Rezolvare: Notăm numărul necunoscut cu o literă şi scriem operaţia dată. Determinăm numărul căutat utilizând dependenţa dintre componentele operaţiei date şi rezultatul indicat. Verificăm corectitudinea rezolvării, substituind valoarea numerică determinăm în expresia numerică sau însărcinarea iniţială. a) 6 + a = 8 a = 8- 6 a=2 6 + 2 = 8. Răspuns: 2

5.13.4. Probleme care se rezolvă prin metoda comparaţiei Problemele, care se rezolvă aplicând această metodă didactică de soluţionare, se caracterizează prin compararea celor două mărimi, care sânt date în enunţ, valorificându-se în procesul rezolvării relaţia de proporţionalitate care poate exista între ele. Se urmăreşte eliminarea unei necunoscute fie prin înlocuirea ei, fie prin reducerea ei şi aducerea la acelaşi termen de comparare. Primul procedeu a căpătat o formă mai extinsă şi separată într-un tip de probleme, care se rezolvă prin metoda eliminării unei mărimi şi a înlocuirii ei, adică a substituirii ei prin alta. Al doilea procedeu a căpătat denumirea de metoda comparaţiei sau eliminarea unei mărimi prin reducere (scădere). Metoda constă în prin procedeul de a transforma (prin înmulţire sau împărţire) una dintre cele două mărimi astfel, încât să aibă loc egalarea expresiilor (să aibă aceleaşi valori) în cele două situaţii date în enunţul problemei. în aceste condiţii rămâne o singură necunoscută şi un singur termen de comparaţie (ceilalţi termeni, având acum aceeaşi valoare, pot fi eliminaţi prin scăderea celor două expresii membru cu membru). Din această cauză, metoda didactică de rezolvare se mai numeşte - metoda aducerii la acelaşi termen de comparație sau metoda de egalare a datelor. Aşezarea datelor într-o astfel de problemă se face cu respectarea relaţiilor date între mărimi, astfel încât

comparaţia dintre valorile aceleiaşi mărimi să fie puse în evidenţă în mod direct, situând valorile de acelaşi fel unele sub altele. Rezolvarea constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor, observându-se proporţionalitatea dintre cele două mărimi (prin înmulțirea cu unul şi acelaşi număr în una din relaţii sau prin împărţirea la un acelaşi număr) pentru a se ajunge la o relaţie cu o singură necunoscută, sau prin metoda reducem la unitate. Problemele de acest tip se recunosc relativ uşor după modul cum este redactat enunțul, care, de obicei, este alcătuit din două situaţii distincte. După recunoaşterea tipului se recomandă de a scrie datele în mod corespunzător, unele sub altele, în conformitate cu cele două situaţii date în enunţ. Selectînd una dintre mărimi drept mărime de bază, încercăm să egalăm datele privitoare la ea în acele două şiruri de date. Acest lucru se realizează prin modelarea datelor (prin multiplicarea, simplificare) de pe cele două şiruri de date astfel, încât să obţinem aceleași date cu referire la mărimea selectată de noi. De aici şi denumirea dată acestui tip de probleme - probleme de egalarea datelor şi eliminarea unor mărimi prin reducere. Aceasta se face prin căutarea celui mai mic multiplu comun al lor şi modelând în mod convenabil fie prin amplificare, fie prin simplificare cele două şiruri de date din enunţ. Comparând în continuare datele din cele două şiruri se constată o neconcordanţă între costuri, provenită în mod evident din faptul, că nu avem aceleaşi date şi în raport cu alte mărimi. Se continuă procedeul de eliminare până când avem posibilitatea de a ne exprima corect cu referire la o valoare numerică concretă a unei anumite mărimi, apoi prin mersul retrograd, calculăm valorile numerice şi a celorlalte mărimi date în enunţ. Problema 1 Pentru 3 creioane şi 2 pixuri s-au plătit 36 lei. Pentru 7 creioane şi 2 pixuri s-au plătit 44 lei. Cât costă un creion şi cât costă un pix? (clasa a II-a - a IV-a) Rezolvare: 3 creioane și 2 pixuri costă ………………………….. 36 lei 7 creioane și 2 pixuri costă ………………………….. 44 lei. Se compară datele din enunţ de aceeaşi omogenitate - valorile la aceleaşi mărime de la stânga spre dreapta. Sumele de baţi a crescut cu 44 – 36=8 lei. Numărul pixurilor a rămas acelaşi. Diferenţa de 8 lei a provenit de la faptul, că s-a cumpărat cu 4 creioane mai mult. Prin urmare avem: 4 creioane costă ………………………………. 8 lei 1 creion costă ………………………………… 8:4 = 2 lei. Cunoscând preţul unui creion, putem afla fără dificultate preţul unui pix. 3 creioane şi 2 pixuri costă………………………..36 lei Un creion costă 2 lei, deci 3 creioane vor costa 3*2 = 6 lei, diferenţa de 36-6=30 lei indică preţul a 2pixuri. Aşadar, un pix costă 30:2 = 15 lei. Răspuns: 1 creion costă 2 lei, un pix costă 15 lei. Problema 2 Pentru 3 pixuri şi 5 caiete s-au plătit 19 lei, iar pentru 3 pixuri şi 2 caiete s-au plătit 13 lei. Cât costă un pix şi cât costă un caiet? (clasa a III-a, a IV-a) Rezolvare: Scrierea datelor şi căile de soluţionare a problemei le vom propune în două variante: un raționament matematic intuitiv – numit de noi – raționament aritmetic și un raționament algebric - numit de noi - calea analitică, adică prin iniţierea cu simbolica algebrică.  prin raţionament aritmetic: 3 pixuri şi 5 caiete costă ……………………. 19 lei 3 pixuri şi 2 caiete costă ……………………. 13 lei Un pix - ? lei, un caiet - ? lei. Comparând mărimile scrise în cele două rânduri, observăm, că în primul rînd sunt cu 5-2 = 3 caiete

mai mult , la fel şi suma este mai mare cu 19 - 13 = 6 lei. Din acestea rezultă, că costul a 3 caiete se află în diferenţa de 6 lei. Prin urmare 6:3 = 2 lei este costul unui caiet. Substituim valoarea numerică determinată a costului unui caiet în unul din cele două rânduri şi calculăm preţul unui pix: 19 - 5*2 = 9 lei - costul a 3 pixuri, iar 9:3=3 lei - costul unui pix sau 13 - 2*2 = 9 lei - costul a 3 pixuri, iar 9:3 = 3 lei - costul unui pix. Calculele din ambele expresii demonstrează, că mersul logic al căii de soluţionare este ales corect. • pe cale analitică: 3 p + 5c = 19 (relațiai)

3p + 5c = 19

3p + 2c = 13 (relațiai) , 3p + 2c = 13 ----------------- ------, de unde ----------------------------sau c = 6:3, c = 2. p - ?, c - ? / 3c = 6 Introducem valoarea numerică calculată c - 2 în una din relaţiile de la început şi calculăm valoarea numerică a lui p. Din relaţia 1 avem: 3p + 5c = 19, 3p + 5x2 =19, 3p + 10= 19, 3p = 19 - 10, 3p = 9, p = 3. Din relaţia 2 avem: 3p + 2c = 13, 3p + 2x2 = 13, 3p + 4 = 13, 3p = 13- 4, 3p = 9, p = 3 Verificare: Substituim ambele valori determinate: costul unui caiet - 2 lei şi costul unui pix - 3 lei în relațiile date în enunţ şi verificăm corectitudinea calculelor: 3x3 + 5x2 = 9 + 10= 19, 3x3+ 2x2 = 9 + 4 = 13. Răspuns: Un caiet costă - 2 lei şi un pix costă - 3 lei. Observație didactică: La rezolvarea acestui tip de probleme e util de a urma paşi logici în conformitate cu algoritmul propus:  Datele de scris pe două rânduri.  Se compară mărimile date în enunţ.  Se determină modalitatea de eliminare consecutivă a unei mărimi necunoscute prin micşorarea sau mărirea de un număr de ori a tuturor numerelor scrise în şir.  Se elimină una (două) din necunoscute prin scădere.  Se determină valoarea necunoscutei rămase prin reducere la unitate.  Se determină cealaltă necunoscută prin introducerea valorii numerice determinate în unul din cele două rânduri (în una din cele două relaţii)  În cazul când în enunţ sânt dare trei şiruri de date, se scriu trei rânduri și se determină valorile numerice a două necunoscute prin eliminarea repetată, iniţial a unei necunoscute, lăsând două relaţii cu două necunoscute, din cele trei existenţe (de obicei se lasă două relaţii care mai uşor se pot compara), apoi a celeilalte, urmând paşii logici propuşi anterior; în final se determină valorile numerice a celor trei date necunoscute substituind în relaţiile existente retrograd mersului de eliminare a necunoscutelor.  Se realizează verificarea corectitudinii determinării valorilor numerice ale necunoscutelor.  Se scrie răspunsul corect. 5.13.5 Probleme care se rezolvă prin metoda substituţiei unei mărimi prin alta Metoda se caracterizează prin înlocuirea unei mărimi prin alta în baza relaţiilor cantitative care există între ele. Problemele de acest tip, adică de eliminare prin înlocuire pot fi clasificate în două categorii:  probleme în formularea cărora se utilizează expresii comparative ce presupun utilizarea operaţiilor de adunare şi scădere (mai mare, mai mic, mai mult, mai puţin, mai scump, mai ieftin, mai scurt,



mai lung) a mărimilor în raport cu o anumită măsură, cantitate, valoare; probleme în formularea cărora se utilizează expresii comparative ce presupun utilizarea operaţiilor de înmulţire şi împărţire (mai mare, mai mic, mai mult, mai puţin, mai scump, mai ieftin, mai scurt, mai lung) a mărimilor în raport de un număr de ori.

Problema 1 Patru cai şi opt oi consumă zilnic 80 kg de cereale. Un cal consumă cereale cât 2 oi. Un cal consumă cereale cît 2 oi. Cîte kilograme de cereale consumă fiecare animal? (clasa a II-a - a IV-a) Rezolvare: Schematic enunţul problemei poate fi transcris astfel: 4 cai şi 8 oi consumă ………………………… 80 kg de cereale 1 cal şi 2 oi consumă…………………………... la egal Reieşind din condiţia, că cerealele consumate de 1 cal reprezintă hrana pentru 2 oi, se poate o mărime prin alta (respectiv hrana cailor cu hrana oilor sau în mod reciproc, adică hrana oilor prin hrana cailor, dacă aşa ceva este posibil cantitativ). Transcrierea raţionamentului logic sub formă de paşi logici şi operaţiile matematice respective pot fi prezentate astfel: 1) Câte oi pot consuma aceeaşi cantitate de cereale ca şi 4 cai? (Cu câte oi pot fi înlocuiţi 4 cai?) 4x2 = 8 (oi) 2) Câte oi vom avea după înlocuire? (Câte oi vor consuma într-o zi o cantitate de 80 kg de cereale?) 8+8 =16 (oi) 3) Câte kilograme de cereale consumă zilnic numai o oaie? 80:16 = 5 (kg) 4) Câte kilograme de cereale consumă zilnic numai un cal? 5*2 = 10 (kg) Verificare: 4*10 + 8x5 =80. Răspuns: Un cal consumă 10 kg de cereale, O oaie consumă 5 kg de cereale. Problema 2 Pentru 3 creioane şi 2 s-an plătit 7 lei. Un caiet costă de două ori mai mult decît un creion. Care este prețul a unui caiet şi respectiv a unui creion? (clasa a III-a, a IV-a) Rezolvare: Preţul unui caiet este de 2 ori mai mare decât a unui creion, deci cu banii dați pe cele 2 caiete se pot cumpăra încă 2*2 = 4 creioane. Atunci în loc de 3 creioane şi 2 caiete putem scrie 3+2x2 = 7 creioane, care ar costa 7 lei. Rezultă că 1 creion costă 1 leu. Un caiet - 2 lei. Răspuns: 1 creion costă 1 leu, 1 caiet - 2 lei. Problema 3 Avem două numere naturale. Suma dintre dublul unui număr şi triplul altui număr este egal cu 33. Primul număr este de 4 ori mai mare de cât al doilea. Să se determini două numere? (clasa a IV-a) Rezolvare: Primul număr este de 4 ori mai mare de cât cel de-al doilea. Dacă notăm prin a număr şi prin b - al doilea număr, atunci a = 4b. Dublul primului este 2a, adică 8b. Prin urmare dublul primului număr plus triplul celui de-al doilea număr (3b) este egal cu 11a. Rezultă că de 11 ori al doilea număr este 33 şi atunci

al doilea număr este: 33:11 = 3. Primul număr este - 4x3 = 12. Verificare: 2x12 + 3x3 = 33. Răspuns: 12 şi 3. 5.13.6. Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze Problemele care se rezolvă prin metoda ipotezelor - metoda falsei ipoteze – metoda falsei poziţii sau metoda presupunerilor - metoda balanţei mai poartă şi denumirea de probleme de presupunere. Istoria apariţiei acestui tip de probleme şi a metodei didactice de soluționare a lor are pagini scrise încă în adânca antichitate. Problemele de acest tip sânt atestate destul de des în practica cotidiană. În diverse domenii de activitate pot fi întâlnite numeroase asemenea probleme. Se poate chiar afirma ferm, că orice problemă ale cărei date sânt nişte mărimi proporţionale, poate fi soluţionată prin metoda falsei ipoteze Iu ce constă sensul logic al algoritmului de soluţionare a acestui tip de probleme? • De regulă se pleacă de la întrebarea din enunţul problemei. • Se determină, că asupra mărimii ce o căutăm, facem o presupunere complet arbitrară. • Se reface problema, apoi se rezolvă în baza acestei presupuneri făcute. • Aşa cum mărimile sânt proporţionale, rezultatele obţinute în baza presupunerii se modifică numeric în plus sau în minus, în conformitate cu presupunerea făcută dacă este mai mare, respectiv, mai mică, în raport cu rezultatul real. Aşadar, refăcând problema, ajungem Ia un rezultat care nu este în concordanţă cu cel real din enunţul problemei. El este fie mai mare, fie mai mic de cât cel real căutat. • Se compară rezultatul căpătat în baza presupunerii cu rezultatul real, din punct de vedere al valorii unui cât şi observăm de câte ori am greşit în cazul când am acceptat acea presupunere, este un fel de estimare a erorii comise. • Obţinem un număr, cu ajutorul cărui se corectează presupunerea făcută în sensul că o mărim sau o micşorăm de acest număr de ori. Metoda, desigur are unele variante de aplicare practică, însă, în principiu, ea rămîne cea descrisă anterior. 5.13.6.1.

Probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză

În rezolvarea problemelor de acest tip se utilizează o singură ipoteză asupra unei mărimi şi apoi se examinează diferenţele apărute între rezultatul căutat şi cel presupus. Demersul logic nu depinde de presupunerea înaintată, ci de modalitatea de a determina legăturile existente dintre mărimile proporţionale care figurează în legenda enunţului din problema pusă în discuţie. E bine de a rezolva problema prin mai multe variante, pentru a demonstra impecabilitatea strategiei didactice euristice înaintate la moment şi corectitudinea rezolvării problemei date prin metoda falselor presupuneri. Problema 1 Pe un vapor s-au vândut 124 bilete pentru clasele l-a şi a II-a. Biletul de clasa I-a costă 56 lei. iar biletul de clasa a II-a 36 lei, încasăndu-se în total suma de 4944 lei. Cîte bilete de fiecare clasă s-a vândut? Rezolvare: Sugestie didactico-metodică: Cele două mărimi date în enunţ sânt mărimi proporţionale. Variantele de soluționare a problemei vor fi determinate de ipoteza alegerii mărimii cu care se lucrează. Varianta I: Presupunem, că toate cele 124 de bilete vândute au fost de clasa I-a. Este clar că această ipoteză de

presupunere este falsă, deoarece numărul total de bilete este format şi din bilete de clasa I-a şi din bilete de clasa a II-a. Odată ce am presupus această ipoteză, încercăm a rezolva problema în raport de această ipoteză presupusă. 1. Cât ar trebui să coste biletele, dacă toate cele 124 de bilete vândute au fost de clasa I-a? 124x56 = 6944 (lei) In realitate biletele vândute au costat doar 4944 lei. 2. Ce sumă de bani s-a obţinut în plus datorită ipotezei făcute? (Care este diferenţa dintre calculul realiza în conformitate cu ipoteza făcută şi realitatea din enunţ?) 6944 - 4944 = 2000 (lei) Acum în mod firesc, se pune întrebarea „De unde provine această diferență? Care este cauza apariţiei ei?‖ Desigur, această diferenţă provine de la faptul că printre cele 124 de bilete vândute au fost şi bilete de clasa a II-a. E firesc că pentru fiecare bilet de clasa a II-a presupus că ar fi de clasa I-a am calculat în plus o sumă mai mare de cât în realitate. 3. Cu câţi lei este mai ieftin preţul unui bilet de clasa a II-a decât preţul uni bilet de clasa I-a? 56 - 36 = 20 (lei) Oare pentru câte asemenea bilete de clasa a II-a s-a socotit în plus câte 20 lei. Este clar, că pentru atâtea de câte ori 20 se cuprinde în diferenţa totală de 2000 de lei. 4. Câte bilete de clasa a II-a au fost vândute? 2000:20 = 100 (bilete de clasa a II-a) 5. Câte bilete de clasa I-a au fost vândute? 124 - 100 = 24 (bilete de clasa I-a) Desigur, problema poate fi rezolvată prin mai multe metode şi acest fapt datorează posibilităţilor de a emite ipoteza iniţială: toate biletele vândute au fost pentru clasa I-a; toate biletele vândute au fost pentru clasa a II-a. Varianta II: Presupunem, că toate cele 124 de bilete vândute au fost de clasa a II-a. Este clar, că această ipoteză de presupunere este falsă, deoarece numărul total de bilete este format şi din bilete de clasa I-a şi din bilete de clasa a II-a. Odată ce am presupus această ipoteză, încercăm a rezolva problema în raport de această ipoteză presupusă: 1. Cât ar trebui să coste biletele, dacă toate cele 124 de bilele vîndute ar fi fost de clasa a II-a? 124x36 = 4464 (lei) In realitate biletele vândute au costat doar 4944 lei. 2. Ce sumă de bani s-a obţinut în minus datorită ipotezei făcute? (Care este diferenţa dintre calculul realiza în conformitate cu ipoteza făcută şi realitatea din enunţ?) 4944 - 4464 = 480 (lei) Acum în mod firesc, se pune întrebarea „De unde provine aceasta diferenţă? Care este cauza apariţiei ei? ‖ Desigur, această diferenţă provine de la faptul, că printre cele 124 de bilete vândute au fost şi bilete de clasa I-a. E firesc, că pentru fiecare bilet de clasa I-a presupus că ar fi de clasa a II-a am calculat în plus o sumă mai mare decât în realitate. 3. Cu câţi lei este mai scump preţul unui bilet de clasa I-a decât preţul unui bilet de clasa a II-a? 56- 36 = 20 {lei) Oare pentru câte asemenea bilete de clasa I-a s-a socotit mai puţin câte 20 lei? Este clar, că pentru atâtea de câte ori 20 se cuprinde în diferenţa totală de 480 de lei. 4. Câte bilete de clasa I-a au fost vândute? 480:20 = 24 (bilete de clasa I-a) 5. Câte bilete de clasa a II-a au fost vândute? 124 - 24 = 100 (bilete de clasa a II-a) Verificare: 100x36 + 24x56 = 4944 Răspuns: Au fost vândute: 24 bilete de clasa I-a şi 100 bilete de clasa a II-a. Problema 2 Un biciclist urcă cu viteza de 6km/h şi coboară aceeaşi pantă cu 20 km/h. Ştiind că drumul urcat şi

coborât a durat 3 h 15 minute, să se determine lungimea drumului. Rezolvare: Sugestie didactico-metodică: După ce observăm, că cele două mărimi date în enunţ, şi anume, distanţa timpul sânt mărimi proporţionale, cercetăm întrebarea din enunţul problemei. În cazul dat se cere de determinat lungimea drumului. Să presupunem că lungimea drumul ar fi de 60 km. În baza acestei ipoteze să refacem enunţul problemei. Dacă se cunoaşte lungimea drumului şi vitezele cu care biciclistul urcă şi coboară panta putem determina în cât timp biciclistul o urcă, apoi în cât timp o coboară şi, în fine, timpul total la urcarea pantei şi la coborâre. Comparăm acest timp cu timpul real dat în enunţul problemei, adică, cu 3h și 15 minute şi determinăm raportul dintre mărimea presupusă şi mărimea cea reală. Numărul căpătat este „coeficientul de corecţie‖. El va permite de a modifica presupunerea făcută. Iată mersul soluţionării: 1. Determinăm timpul la urcare: 60:6 =10 (h) F (am scris F pentru a sugera ideea că rezultatul căpătat este fals, el fiind calculat în baza unei presupuneri arbitrare incorecte). 2. Determinăm timpul la coborâre 60:20 = 3 (h) F 3. Determinăm timpul total (utilizat la urcare şi coborârea pantei) 10+3 =13 (h) F. În acest moment este oportun de a compara ce am obţinui în baza presupunerii şi care este timpul real, adică 13 h cu 3 h și 15 min = 3(15/60)h=13/4h. Observăm că timpul obținut este mai mare decât cel real. 4. Determinăm raportul dintre mărimea presupusă şi mărimea reală: 13: (13/4)=4 Acestei mărimi căpătate să-i zicem „coeficientul de corecţie‖. Va trebui să corectăm cu ajutorul acestui coeficient presupunerea făcută, în sensul micşorării ei de 4 ori, deoarece timpul de parcurgere a acestei distante s-a căpătat mai mare decât cel real de 4 ori. 5. Determinăm lungimea reală a drumului 60:4 = 13 (km). Răspuns: Lungimea drumului este de 15 km. Problema 3 In blocul nostru sânt 20 apartamente cu 2 şi cu3 camere. În total sânt 45 de camere. Câte apartamente au 2 camere şi câte au 3 camere? (Clasa a II-a şi a III-a). Rezolvare: In bloc sânt 20 apartamente. Emitem ipoteza că toate apartamentele sânt doar cu 2 camere. Atunci ar fi în total 20x2 = 40 de camere. Aşa cum în enunţ ne sânt date 45, rezultă că în rezultatul presupunerii noastre nu am numărat 5 camere. Această diferenţă provine de la faptul că sânt şi apartamente cu 3 camere. Cum aceste apartamente au doar câte o cameră în plus faţă de apartamentele cu 2 camere, rezultă că în bloc mai sânt 5 apartamente cu câte 3 camere. Prin urmare: apartamente cu 2 camere sânt 20-5=15 apartamente, iar cu 3 -5 apartamente. Verificare: 15x2+5x3= 30+15=45 Răspuns: 15 apartamente de 2 camere; 5 apartamente de 3 camere. Problema 4 O carte costă 6 lei şi un caiet 2 lei. Un elev cumpără cărţi şi caiete în total 10, cheltuind 32 lei. Câte cărţi şi câte caiete a cumpărat elevul? (Clasa a II-a şi a III-a). Rezolvare: Emitem ipoteza că elevul a cumpărat 10 cărţi. Atunci el ar fi cheltuit în total 10*6=60 de lei. Aşa cum în enunţ ne este dat că a cheltuit doar 32 lei, rezultă că în rezultatul presupunerii noastre se pot cheltui cu 60 – 32=28 lei mai mulți. Această diferență provine de la faptul că am presupus că elevul a cumpărat doar cărți. Prin înlocuirea unei cărţi cu un caiet apare o diferenţă de preţ de 6 - 2 = 4 lei. Prin urmare sânt atâtea caiete de câte ori se cuprinde 4 în 28, adică 28:4 = 7 caiete, iar cărţi 10- 7= 3. Verificare: 3*6 + 7*2 =18+14=32 Răspuns: 3 cărţi; 7 caiete.

Problema 5 Într-o curte sânt păsări şi miei, numărând în total 9 capete şi 26 de picioare. Câte păsări şi câţi miei sânt în curte? (Clasa a II-a şi a III-a). Rezolvare: Emitem ipoteza că sânt numai păsări. Atunci am număra în total 9*2=18 picioare. Avem o diferenţă de 26 - 18 = 8 picioare, ceea ce indică că un număr oarecare de capete au câte 4 picioare (cu două în plus - deci sânt miei). Această diferenţă provine de la faptul că am presupus că sânt doar păsări. Completăm capetele cu încă 4-2 = 2 picioare, obţinând astfel capete cu 4 picioare (miei). Vom completa atâtea capete până se termină diferenţa de 8 picioare (de câte ori se cuprinde 2 în 8). Avem: 8:2 = 4 (miei), 9-4 = 5 (păsări). Verificare: 4*4=16; 5*2 = 10. Răspuns: 4 miei; 5 păsări. Problema 6 O grupă de copii se joacă la leagăne. Dacă se aşează câte 2 în fiecare leagăn, 2 copii rămân fără loc, iar dacă se aşează câte 3 în fiecare leagăn, rămâne un leagăn liber. Câţi copii şi câte leagăne sânt? (Clasa a IV-a). Rezolvare: Emitem ipoteza că sânt numai leagăne cu 3 locuri. Atunci lângă cei 2 copii fără loc mai aducem 2 copii din ultimul leagăn, care trebuie să rămână gol. Avem acum 2+ 2=4 copii fără loc pe care îi vom aşeza lângă colegii lor (completând fiecare leagăn cu câte un copil pentru ca să fie în fiecare leagăn câte 3 copii). Obţin astfel leagăne cu câte 3 copii şi un leagăn liber. 4+1=5(leagăne); 4*3 = 12 (copii). Verificare: Câte 2 copii —>5*2 = 10 şi 2 copii rămân fără loc. Câte 3 copii —>4*3 = 12 şi 1 leagăn rămâne liber. Răspuns:12 copii; 3 leagăne. Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă Conform definiţiei date problemelor tipice, există un anumit tip de probleme ce nu le putem include strict în categoria celor tipice cunoscute, deoarece nu se poate determina un anumit algoritm de soluţionare a lor. Putem însă să descriem cum poate fi soluționată în astfel tip de probleme. Deseori cel ce rezolvă o problemă de acest tip simte necesitatea de a-şi reprezenta datele şi relaţiile ce există între ele printr-o formă cât mai clară pentru sine. Pentru aceasta el execută un anumit desen, o figură geometrică, un model, care îi permite să reprezinte cât mai precis datele din enunţ. La început de drum, fiecare încearcă să execute desenul cât mai detaliat şi mai concret, iar pe măsură ce capătă priceperi şi deprinderi, care se transformă în competenţe, figura geometrică utilizată devine cât mai abstractă, cît mai schematică, care cuprinde în sine doar esenţialul exprimat prin noţiuni matematice abstracte. O astfel de modalitate de modelare a enunţului problemei într-o formă intuitivă sau abstractă de figuri geometrice poartă denumirea de metodă figurativă. Metoda de rezolvare a problemelor de acest tip se numeşte metoda figurativă sau metoda grafică. Metoda figurativă (grafică) este o metodă ce constă în reprezentarea grafică a mărimilor necunoscute şi marcarea prin desen cu imagini de figuri geometrice a relațiilor dintre mărimile date în enunţ. Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă pot fi clasificate în dependență de datele din enunţ în două mare categorii:  cu date sau mărimi discrete, înţelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate câte una şi că ele se pot pune în corespondenţă după anumite criterii - în acest caz aceste mărimi numerice discrete pot fi figurate prin anumite simboluri;  cu date sau mărimi continue - în acest caz se pot schematiza datele din enunţ utilizând segmente sau alte figuri geometrice. Reprezentarea datelor sau mărimilor care sânt incluse în enunţul unei probleme prin segmente de dreaptă sau alte figuri geometrice convenţional alese, permite într-o formă accesibilă ca raţionamentul matematic să

5.13.6.

se sprijine pe intuiţia empirică-practică a elevului, așa numită - intuiţia geometrică. În acest mod, exprimând datele prin elemente geometrice intuitiv-reprezentative, mai ușor sînt înţelese dependenţele dintre mărimile cunoscute şi mărimile necunoscute din enunțul problemei. Se cunosc mai multe tipuri de probleme, care pot fi rezolvate cu ajutorul metodei grafice sau figurativă, în atitudine de faptul cum sânt exprimate dependenţele dintre datele din enunț: • sumă şi diferenţă; • sumă şi cât (raport); • diferenţă şi cât (raport); • sumă, cât (raport) şi rest; • diferenţă, cât (raport) şi rest. 5.13.7.1. Determinarea a două numere când se cunoaşte suma şi diferenţa lor I. Cazul simplu, când în enunţ avem o singură sumă şi o singură diferenţă În clasa a II-a se cercetează probleme de tipul: de a determina două numere când sunt date suma şi diferenţa lor. Didactica soluţionării lor se bazează pe faptul, că dacă din suma a două numere se scade diferenţa lor, atunci rămâne de două ori valoarea numărului mai mic. Împărţind rezultatul căpătat la 2, obţinem valoarea numărul mai mic. Dacă adunăm la numărul mai mic diferenţa lor, căpătăm valoarea numărului mai mare. Această cugetare logică a soluţionării poate fi reprezentată şi prin intermediul a două segmente sau a altor figuri geometrice. Suma a două numere este 48. Ştiind că primul număr este cu 36 mai marc de cît al doilea determinaţi aceste numere. Rezolvare: Sugestii didactico-metodice Cele două mărimi date în enunţ se vor reprezenta prin două segmente de dreaptă ţinând cont, că ele nu au aceleaşi valori. Diferenţa de mărime dintre mărimile lungimilor celor două segmente reprezintă diferenţa dintre numerele date. Rezolvarea se face prin prin procedeul de reducere la o egalare a celor două valori (segmente) şi apoi prin interpretarea matematică a sensului didactic al logicii acestei egalări. Întrucât procedeul de reducere la egalarea segmentelor se poate realiza prin două moduri: • egalare în comparare cu valoarea numărului mai mic; • egalare în comparare cu valoarea numărului mai mare, atunci rezultă că pot fi două variante de rezolvare a problemei. I variantă de rezolvare: egalarea în comparare cu valoarea cea mai mare 36 I Iu acest În acest caz, în procesul rezolvării se ţine cont de faptul că pentru a egala al doilea număr cu primul lui îi mai lipseşte încă 36 (în desen aceasta este reprezentat prin segmentul trasat cu ajutorul liniei segmentate, care are valoarea dată în enunţ), adică diferenţa dintre aceste numere. Însă dacă numărul al doilea este egal cu primul număr, rezultă că el este mărit cu 36 şi prin urmare şi valoarea sumei acestor două numere va creşte cu 36. Această observaţie este esenţială pentru înţelegerea logicii modului de rezolvare şi redactarea în continuare a planului de soluţionare a problemei. 1. Care ar fi suma celor două numere, dacă cel de-al doilea număr ar fi egal cu primul? 48 + 36=84. Numărul 84 reprezintă suma a două numere egale cu numărul mai mare cu primul număr. 2. Care este valoarea primului număr? 84:2 = 42 3. Care este valoarea celui de-al doilea număr? 42 – 36=6. Verificare:41 + 36 = 48, suma celor două numere căutate, 42 – 6=36, diferenţa dintre cele două numere căutate. Rezolvarea poate fi scrisă sub formă de două expresii: câte o expresie penii fiecare dintre modalităţile

de determinare a numerelor căutate în conformitate cu datele din enunţ: • exemplul care descrie mersul rezolvării pentru determinarea primului număr: (48 + 36) : 2; • exemplul care descrie mersul rezolvării pentru determinarea celui de-al doilea număr: (48+ 36) : 2= 36. Varianta a II-a de rezolvare: egalarea în comparare cu valoarea cea mai mică. I nr. I-----------I 36

4 8

II nr. | -------- 1 -- 1 ? În acest caz, în procesul rezolvării se ţine cont de faptul că pentru a egala primul număr cu al doilea, atunci primul are în plus faţă de primul încă 36, adică diferenţa dintre aceste numere. Însă dacă primul număr este egal cu numărul al doilea, rezultă că el este mai mic cu 36 şi prin urmare şi valoarea sumei acestor două numere s-ar micşora cu 36. Această observaţie este esenţială pentru înţelegerea logicii modului de rezolvare şi redactarea în continuare a planului de soluţionare problemei. 1. Care ar fi suma celor două numere, dacă primul număr ar fi egal cu cd al doilea? 48 - 36 = 12. Numărul 12 reprezintă suma a două numere egale între ele şi egale cu numărul mai mare - cu al doilea număr. 2. Care este valoarea celui de-al doilea număr? 12:2 = 6 3. Care este valoarea primului număr? 6+36 = 42. Rezolvarea poate fi scrisă sub formă de două expresii: câte o expresie pentru fiecare dintre modalităţile de determinare a numerelor căutate în conformând datele din enunţ:  exemplul care descrie mersul rezolvării pentru determinarea primului (48 - 36) : 2;  exemplul care descrie mersul rezolvării pentru determinarea celui de-al doilea număr: (48 - 36) : 2 + 36. Studierea strategiilor euristice de rezolvare a acestui tip de probleme poate fi introdus înainte de învăţarea operaţiilor de înmulţire şi împărţire a numerelor naturale, metoda de rezolvare a acestui tip de probleme fiind una nestandardizată, bazată pe metoda de încercare-eroare, adică metoda probelor şi erorilor Avantajele astfel de demers sânt: 1. o bună înţelegere a relaţiilor dintre părţi şi rezolvarea într-o manieră logică 2. intuirea ulterioară corect logică a avantajele algoritmizării (procedeu de lucru simplificat, timp de lucru diminuat) procesului de soluţionare a problemelor; 3. oferirea unor alternative de soluţionare în situaţia în care nu-şi aminteşte algoritmul clasic studiat; 4. varietate de cugetare logică în abordarea unei probleme (important este de a determina o anumită cale de soluţionare a problemei). Problema cu acelaşi enunţ încercăm a o rezolva prin metoda încercărilor (probelor). Sugestie metodico-didactică Se începe, de exemplu, cu prima informaţie: suma dată S = 48. Se poate începe și cu cea de-a doua informaţie: diferenţa dată D = 36. Ambele modalităţi de rezolvare pot fi reprezentate sub formă de tabel de tipul: S = 48 D A sau F 40 + 8 40-8 F 41 + 7 41-7 F 42 + 6 42-6 A D = 36 40-4 41-5 42-6

S 40-4 41 5 42 + 6

A sau F F F A

Este important ca elevul să capete deprinderi de a scurta numărul de paşi, adică fl *n. creări, punând

logica sa proprie în mişcare. Problema 2 Ana este cu 32 de ani mai tânără de cât mama. Câţi ani are fiecare dintre ele dacă ambele au împreună 36 de ani? Rezolvare: Desenăm imaginile a două segmente: Ana | 1 ? ani 32 ani 36 ani Mama | --------1 -- 1 ? ani 36 - 32 = 4, 4:2 = 2, 2 + 32 = 34. Răspuns:Ana - - 2 ani, mama 34 ani II. Cazul compus, cînd în enunț aveam mai multe (3-4) sume și mai multe (2-3) diferențe Problemă Suma a trei numere este 560. Al doilea număr este cu 20 mai mare de cât primul număr, iar al treilea cu 40 mai mare de cât al doilea. Să se determine valorile numerice a celor trei numere. Rezolvare: Pentru a ilustra calea de soluţionare a problemei desenăm imaginile a trei segmente - segmentele AB, CD, FG: I nr. I---------I ? II nr. I---------I-20--I ? 560 40 III nr. I---------------I- --I ? Segmentul ED reprezintă diferenţa dintre al doilea şi primul număr. Mai scăzând din numărul al doilea 20, obţinem primul număr. Segmentul NG reprezintă diferenţa dintre numărul al treilea şi cel de-al doilea număr. Deci, dacă din numărul al treilea se scade 40 se obţine numărul al doilea şi încă dacă, în continuare din numărul căpătat, scădem încă 20 se obţine primul număr. Aşadar, numărul al treilea este cel mai mare număr şi anume este mai mare de cât primul cu 20+40=60. Prin urmare, dacă din suma lor se scade 20 + 60 = 80, se obţine de 3 ori primul număr: 560 — 80 = 480. Deci primul număr este 480:3=160. Numărul al doilea este 160+20=180. Al treilea număr este 180+40 =220. Verificare: 160+ 180+220 = 560; 180 - 1 6 0 = 2 0 ; 2 2 0 - 1 8 0 = 4 0 . 5.13.7.2. Determinarea a două numere când se cunoaşte suma şi raportul lor În problemele de acest tip - probleme de sumă şi raport se cere determinarea părţilor, cunoscând suma lor, adică întregul, însă este necesară operaţia de transformare a pârtii sau a mai multor părţi mai mari în unităţi echivalente cu partea mai mică. Obţinem astfel o problemă în care întregul - suma este alcătuit dintr-un număr de mai multe părţi echivalente. În acest caz este esenţial de a determina corect numărul de părţi din acest întreg şi valoarea reală a unei din aceste părţi. Celelalte părţi componente sânt determinate prin operaţia de multiplicare a părţii mai mici Sugestia didactico-metodică este că este mult mai accesibil ca de la început în prezentarea grafică de pornit de la mărimea cea mai mică, iar celelalte mărimi de figurat în raport de ea. Desigur se poate pomi şi de la mărimea mai mare, dar în acest caz celelalte mărimi fiind figurate prin operaţia de divizare a segmentului ce reprezintă mărimea cea dintâi, adică mărimea mai mare. Fiind date S şi raportul a/b= k, trebuie de determinat a şi b. Avem relaţia: a=b*k a+b=S , de unde b(k +1) = S şi se poate calcula valoarea numerică pentru b, apoi pentru a. Desigur acest tip de probleme subînţelege că raportul a două numere este exprimarea unei împărţiri exacte, care se mai numeşte câtul lor. Acest cât ne indică de cîte ori un număr dat este mai mare decât alt număr dat. În caz general dacă cunoaştem suma S şi raportul C a două numere a şi b (fie a mai mare decît b) avem: a = b*C şi a+b=S, sau b*C+b = S, b(C +1)= S, b =S/C+1. Probleme rezolvate

Problema 1 Determinaţi câte pagini a citit fiecare dintre doi copii, ştiind că Ionel a citit de trei ori mai mult de cât Ana, iar împreună au citit 84 de pagini. Rezolvare: a) metoda figurativă Se poate aplica şi metoda figurativă sau grafică. Grafic se poate reprezenta numărul de pagini citite de fiecare copil prin segmente. Ionel I-----I-----I-----I ? p. 84 p. Ana I-----I ? p. În cele 84 de pagini sânt reprezentate 4 segmente - 4 părţi, fiecare din care indică numere egale cu numărul de pagini pe care le-a citit Ana. 84:4=21 (Numărul de pagini citite de Ana) 21*3 = 63 (Numărul de pagini citite de Ionel) b) prin metoda falsei ipoteze Presupunem că Ana a citit doar o singură pagină. In acest caz Ionel a citii de trei ori mai mult 3*1 = 3, adică 5 pagini. Împreună ambii copii au citit 3+1=4 Însă de fapt ei au citit 84 de pagini, ceea ce este de 84:4=21 ori mai mult, decât am presupus. Rezultă că copii au citit de 21 ori mai mult de cât am presupus în ipoteza noastră, adică Ana a citit 2 1 x 1 = 2 1 pagini şi Ionel - 2 1 x 3 = 6 3 pagini. Răspuns: Ana - 2 1 pagini; Ionel - 63 pagini. 5.13.7.3. Determinarea a două numere cînd se cunoaște diferența și raportul În problemele de acest tip - probleme de diferenţă şi raport se cere determinarea părţilor, cunoscând diferenţa lor, adică partea din întreg, însă este necesară operaţia de transformare a întregului şi a celeilalte părţii sau a mai multor părți mai mari în unităţi echivalente cu partea mai mică. Obţinem astfel o problemă în care întregul, definit ca o diferenţă este alcătuit dintr-un număr de mai multe părţi echivalente. În acest caz este esenţial de a determina corect numărul de părţi din acest întreg şi valoarea reală a unei din aceste părți, fiecare având valoarea părţii mai mici. Pentru determinarea întregului cel mai mare este necesară luarea în consideraţie a celorlalte părţi componente cu aceeaşi valoare, care sânt determinate prin operaţia de multiplicare a părţii mai mici. Sugestia didactico-metodică este că este mult mai accesibil ca de la început în prezentarea grafică de pornit de la mărimea cea mai mică, iar celelalte mărimi de figurat în raport de ea. Problemele de acest tip în care este un dublu raport se consideră ca cele mai dificile, iar metoda grafică poate avea mai multe variante de soluţionare. Desigur se poate pomi şi de la mărimea mai mare, dar în acest caz celelalte mărimi fiind figurate prin operaţia de divizare a segmentului ce reprezintă mărimea cea dintâi, adică mărimea mai mare. Fiind date D şi raportul a/b= trebuie de determinat a şi b. Avem relaţia: a=b*k a-b=D , de unde b(k -1)=D şi se poate calcula valoarea numerică pentru b, apoi pentru a. Desigur acest tip de probleme subînţelege că raportul a două numere este exprimarea unei împărţiri exacte, care se mai numeşte câtul lor. Acest cât ne indică de cîte ori un număr dat este mai mare decât alt număr dat. În caz general dacă cunoaştem diferenţa D şi raportul C a două numere a şi b fie (a mai mare decît b), avem: a=b * C ş i a - b = D, sau b*C= D, b(C-1) =D, b= D/C-1 şi a=b+D. Problema 1 Diferenţa a două numere naturale este 114, iar unul este mai mic decât celălalt de 4 ori. Determinaţi numerele. Rezolvare: a) metoda figurativă Fie a şi b primul şi respectiv al doilea număr. Cele două valori pot fi prezentate grafic prin segmente astfel: I nr. I-----I ?

II nr. I-----I-----I-----I-----I ? I_______________I 114 Din desen rezultă că primul număr este mai mare cu 114, adică cu 3 părți fiecare parte fiind egală cu al doilea număr. Din această condiţie putem spune că diferenţa de 114 poate fi distribuită în 3 asemenea ( 3 b ) părţi egale, fiecare fiind egal cu primul număr. Cât este b? 114:3 = 38. Cât este a? 4*38=152. b) prin metoda falsei ipoteze Presupunem că b este 1. în acest caz pentru a se respecta raportul dat, a trebuie să fie egal cu 4, deoarece 4*1 = 4 . Î n acest caz diferenţa numerelor ar fi 3, deoarece 4- 1 = 3 . însă de fapt diferenţa reală este 114. Trebuie să estimăm de câte ori diferența dată este mai mare, decât cea presupusă de noi. 114:3 = 38. Rezultă că fiecare număr presupus în ipoteza noastră, trebuie de mărit de 38 de ori. Prin urmare b=38, deoarece 38*1 = 38, iar a = 152, deoarece 38*4 = 152. Răspuns: 38 şi 152. Problema 2 Într-un coş sânt cu 14 mere mai multe decât în alt coş. Dacă 26 de mere sînt trecute din primul coş în al doilea, în coşul al doilea vor fi de 3 ori mai multe mere ca în primul. Câte mere erau la început în fiecare coş? Rezolvare: Deoarece după modificare numărul de mere din al doilea coş este de 3 ori m mare decât numărul merelor din primul coş, determinăm că raportul lor C=3. Să stabilim cu câte mere sânt mai multe mere în coşul al doilea decât în primul după modificare, pentru a-1 cunoaşte pe D. Iniţial D - diferenţa numărului de mere în primul coş şi al doilea coş era de 14 mere. Luăm din primul coş 26 de mere, corn înseamnă că am luat cele 14 mere şi încă 12 mere. Aceste mere le punem în coşul doilea, care va avea la moment mai multe mere ca în primul coş cu 26+12=38 mere. Se poate aceasta de ilustrat grafic. Reformulăm acum problema: Într-un coş sânt de 3 ori mai multe mere decât în alt coş. În al doilea sunt cu 38 mere mai multe ca în primul. Câte mere sânt în fiecare coş? În această nouă expunere este evidentă o problemă de determinare a două numere, dacă se cunoaşte D diferenţa lor şi raportul sau С - câtul lor. D=38, C=3. Prin urmare numărul mai mic, adică numărul merelor din primul coş este:D/C-1=38/3-1=38/2=19(mere). Numărul merelor din al doilea coş fiind de 3 ori mai mare este: 1 9 * 3 = 5 7 (mere). Aceasta a fost rezolvarea problemei modificate. Revenim la enunţul iniţial: Câte mere erau la început în primul coş? 1 9 + 2 6 (cele scoase şi trecute în coşul ai doilea) = 4 5 (mere). Câte mere erau la început în coşul al doilea? 4 5 - 1 4 = 31 (mere) sau 5 7 - 26= 31 (mere). Răspuns: La început în cele două coşuri erau: 45 şi respectiv - 31 mere. 5.13.7.4. Determinarea a 2 numere când se cunoaşte suma sau diferenţa, raportul şi restul lor Aceste probleme se rezolvă, de asemenea, prin metoda figurativă (grafică). Rezolvarea acestor probleme presupune cunoaşterea denumirii componentelor la împărţirea cu rest şi a regulilor de determinare a lor. Să ne reamintim, utilizând formulele literale. d:î = c(r), unde d - deîmpărţit; î - împărţitor; c - câtul necomplet; r - restul. d= c*î + r, regula aflării deîmpărţitului ( d ) ; î = ( d -r):c, regula aflării împărţitorului (î); c = ( d -r):î, regula aflării câtului necomplet (c); r = d – c * î , regula aflării restului (r). Mai remarcăm că, diferenţa semnifică că un număr este mai mare sau mai mic decît celălalt, cu un număr oarecare de unităţi. Raportul (câtul) semnifică că, un număr este mai mare sau mai mic decât celălalt de un număr oarecare de ori. Problema 1.

Suma a două numere este 28. Dacă împărţim numărul mai mare la numărul mai mic, obţinem câtul 4, iar restul 2. Aflaţi numerele. Schema: I nr. I-----I---I---I---I-----------I 28 II nr. I-----I Sugestie metodico-didactică: După schema reprezentată mai sus, ne dăm seama că, mai simplu este să rezolvăm problema prin metoda figurativă. Să menţionăm următorul fapt, în clasele primare la aşa tip de probleme, primul număr întotdeauna este mai mare decât numărul al doilea. Noţiunea de „cât‖ subînţelege noţiunea de ―r a p o r t ― . „ C â t u l 4 ‖ înseamnă că, primul număr este mai mare decât numărul al doilea de 4 ori. La aşa tip de probleme, ne străduim să obţinem doar părţi egale, de aceea unităţile restului le înlăturăm şi de aici rezultă prima operaţie. Rezolvare: 1) 28 - 3 = 25 - suma, ce corespunde la cinci părţi egale după înlăturarea restului; 2) 4 + 1 = 5 - părţi egale în total, cărora le corespunde suma 25; 3) 25:5 = 5 - constituie o parte sau cel de-al doilea număr; 4) 5*4 = 20 - mărimea primului număr fără rest; 5) 20+3 = 23 - mărimea primului număr. Verificare: 1) 23:5 = 4 (rest 3); 23 = 5x4 + 3; 23 = 20 + 3; 23 = 23, adevărat. 2) 23 + 5 = 28; 28 = 28, adevărat. Răspuns: 23; 5. Problema 2. Diferenţa a două numere este 27. Dacă împărţim numărul mai mare la numărul mai mic, obţinem câtul 4, iar restul 3. Aflaţi numerele. Schema: I____________27____________I 3 I nr. I-----I-----I---I---I---------------------I ? II nr. I-----I Rezolvare: 1) 27 - 3 = 24 - diferenţa, ce corespunde la trei părţi egale după înlăturarea restului; 2) 4 - 1 = 3 - părţi egale, cărora le corespunde diferenţa 24; 3) 24:3 = 8 - reprezintă o parte sau el de-cal doilea număr; 4) 8 x4 = 32 - primul număr fără rest; 5) 32 + 3 = 35 - primul număr. Verificare: 1) 35:8=4 (rest 3); 35=8x4+3; 35=32+3; 35=35, adevărat. 2) 35-8=27, 27=27, adevărat. Răspuns: 35; 8. 5.13.8. Probleme de mişcare: în care se cere determinarea distanţei, vitezei sau a timpului; de deplasare în acelaşi sens, numite - probleme de urmărire; de deplasare în sensuri de orientare opuse ii unui mobil faţă de altul (se întâlnesc se apropie unul de altul sau se depărtează). În matematica practică există un şir de probleme, care pot fi calificate ca probleme în care figurează trei mărimi, trei componente strâns legate între ele într-o dependenţă unică. Cele mai caracteristice şi mai des întâlnite în practica cotidiană sânt problemele de mişcare. Pot fi determinate şi alte probleme de acest tip. Pot fi determinate un şir de probleme în care se utilizează un triplet de mărimi variabile legate între ele printr-o dependenţă funcţională. Este o dependență direct proporţională. Aceste probleme pot fi cele în care figurează:

  

costul, cantitatea de marfă cumpărată şi preţul; productivitatea muncii, timpul şi volumul de lucru; timpul de deplasare a mobilului sau distanţa, cantitatea de combustibil necesar de a fi cheltuit la un anumit interval şi cantitatea de combustibil folosit;  densitatea, volumul şi masa corpului fizic;  rodul la un hectar, aria suprafeţei terenului însămânţat şi cantitatea totală de roadă strânsă;  capacitatea de scurgere a lichidului printr-o ţeavă, timpul şi cantitatea de lichid scurs;  capacitatea de transportare a unei maşini, numărul de maşini şi masa totală a greutăţii transportate;  capacitatea termică specifică, cantitatea substanţei şi cantitatea de căldură;  cantitatea de căldură specifică topirii (evaporării), cantitatea substanţei şi cantitatea de căldură;  capacitatea termică, diferenţa de temperatură şi cantitatea de căldură;  densitatea lichidului, adâncimea scufundării în lichid şi presiune;  intensitatea curentului, timpul şi cantitatea de curent;  intensitatea curentului, rezistenţa unui cercuit şi căderea tensiunii pe acest circuit;  tensiunea unei baterii, numărul de baterii şi tensiunea cumulativă la unirea în serie;  forţa, distanţa şi lucrul;  puterea, timpul şi lucrul;  modalitatea de transportare a căldurii, cantitatea de căldură şi cantitatea de căldură;  forţa, lungimea pârghiei şi momentul de forţă aplicată etc. Pentru simplitate în matematică, ca o ştiinţă abstractă expusă prin limbajul ei impecabil într-o formă aproape ideală, vom nota primele mărimi (viteza, prețul, productivitatea muncii etc.) prin litera v; cea de-a doua mărime (timpul, cantitatea de marfă etc.) prin litera t, ce-a de-a treia mărime (drumul parcurs, preţul, volumul de lucru etc.) prin litera s. Legea mişcării uniforme, exprimată simbolic prin formula d = v * i , este cel mai esenţial adevăr în rezolvarea problemelor tip pe care le grupăm în noţiunea de probleme de mişcare uniformă, unde d, alteori S - distanţa parcursă, măsurată în unităţi de lungime (km, m, dm, cm, mm etc. ), v - viteza de deplasare, măsurată în unităţi de parcurgere a distanței (km/h, dm/h, cm/h etc.), t - timpul de deplasare, măsurat în unităţi de timp (diurne, ore, minute, secunde etc.). Uneori sânt utilizate formulele derivate, care rezultă din formula de bază a legii mişcării uniforme: v =d/t şi t = d/t, care la elevii clasei a IV-a pot fi prezentate și sub formă de cât: v - d:t şi t - d:v. În clasa a IV-a elevii rezolvă asemenea probleme și ele constau în determinarea unei mărimi necunoscute, când se cunosc valorile numerice a celorlalte două. Din motive didactico-metodice problemele de mişcare în raport de procedeul de rezolvare a lor le vom clasa în două categorii, adică probleme, care se rezolvă prin următoarele procedee: a) probleme de mişcare în care se cere determinarea distanţei, vitezei sau a tipului; b) probleme de deplasare în acelaşi sens, numite uneori - probleme de urmărire; c) probleme de deplasare în sensuri de orientare opuse a unui mobil faţă de altul (se întâlnesc - se apropie unul de altul sau se depărtează). 5.13.8.1. Probleme de mişcare în care se cere determinarea distanţei, vitezei sau a timpului Probleme în care se cere de determinat valoarea unei dintre cele trei mărimi d, v, și t legate prin legea mişcării rectilinii şi uniforme d = v*t sau a formulelor derivate din această relaţie: v =d/t şi t=d/v. Problema 1 Ce distanţă parcurge o maşină în 4 ore, deplasîndu-se cu viteza de 60 km pe oră? (Clasele a III-a, a IV-a) Rezolvare: Se scriu datele din enunţ v=60 km/h t=4h

d-? a) raţionament aritmetic Se poate aplica şi metoda figurativă. Dacă într-o oră maşina parcurge distanţa de 6 km, atunci în 4 h va parcurge o distanţă de 4 ori mai mare: 60 km x 4=240 km. b) aplicăm formula d= v*t d= 6 0 x 4 = 240 (km, distanţa parcursă) Răspuns: 40 km. Problema 2 Un biciclist parcurge o distanţă de 54 km în 3 h. Care este viteza de deplasare biciclistului? (Clasele a III-a, a IV-a) Rezolvare: Se scriu datele din enunţ d = 54 km t=3h v - ? km/h a.) raţionament aritmetic Se poate aplica şi metoda figurativă. Dacă în 3 ore biciclistul parcurge distanţa de 54 km, atunci într-o oră va parcurge o distanţă de 3 ori mai mică: 54 km : 3 = 18 km b.) aplicăm formula: v = d:t v = 54:3 = 18 (viteza biciclistului: câţi kilometri parcurge într-o oră) Răspuns:18 km/h. Problema 3 În câte ore se poate de parcurs cu o barcă distanţa de 46 km deplasându-se cu viteza de 23 km pe oră? (Clasele a III-a, a IV-a) Rezolvare: Se scriu datele din enunţ d 46 km v = 23 km/h t-?h a) raţionament aritmetic Se poate aplica şi metoda figurativă. Dacă în fiecare oră barca parcurge distanţa de 23 km, atunci acei 46 km vor fi parcurşi de câte ori se va cuprinde 23 km în 46 km: 46 km : 23 km = 2 h. b) aplicăm formula t = d:v t = 46:23= 2 (h, timpul în care se poate parcurge acea distanţă) Răspuns:2 h. 5.13.8.2. Probleme de deplasare în același sens — probleme de urmărire Dacă la un moment dat, distanţa dintre două mobile care se deplasează în aceeaşi direcţie, adică au acelaşi sens (probleme de urmărire), este d, mobilul care urmăreşte are viteza v2, iar cel urmărit are viteza v, şi desigur v1< v2, atunci timpul după care se presupune că un mobil îl ajunge pe celălalt este dat de relația: t=d/v2 – v1, deoarece întreaga distanţă d care le desparte va fi recuperată într-un număr de ore egal cu de câte ori (v2 – v1) se cuprinde în distanta d, adică în d/v2-v1ore. Problema 1 La ora 8 din Chişinău a plecat un tren marfar deplasîndu-se cu viteza de 45 km/h. După 2 ore din Chişinău pleacă un tren accelerat în aceeaşi direcţie, deplasîndu-se cu viteza de 75 km/h . Peste câte ore trenul accelerat îl va ajunge pe marfar şi la ce distanţă de la Chişinău? (Clasa a IV-a) Rezolvare: Se scriu datele din enunţ t—> ora 8 v1 = 45km/h v2= 75 km/h t - ora ?

d-? a) raţionament aritmetic Se poate aplica şi metoda figurativă.  La ora plecării trenului accelerat, la ora 10 (10 = 8 + 2) marfarul deja a parcurs distanţa de 90 km ( 2 * 4 5 =90), pe care îi are în avans faţă de trenul accelerat.  Trenul accelerat îl va ajunge pe marfar deoarece are o viteză mai mare cu 75 – 45=30 (km/h). El îl va ajunge pe marfar după ce va acoperi avansul de 90 km cu această diferenţă de viteză. Este parcă o modalitate simbolică de a descompune viteza trenului accelerat în două viteze:  viteza de 45 km/h cu care se deplasează şi marfarul;  viteza de 30 cu care acoperă distanţa avans de 90 km a mărfarului. 90:30 = 3 (ore, necesare pentru a acoperi avansul mărfarului, adică de a-1 ajunge pe marfar) 10 - 3 = 1 3 (ore, la ora 13 trenul accelerat îl va ajunge pe marfarul) 75x3 = 225 (km, distanţa de la Chişinău la care trenul accelerat l-a ajuns pe marfar) b) aplicăm formulele da - distanţa avans da =vm*t da= 45*2 = 90 km. t=d a :(v 1 -v 2 ) t = 90: (75 - 45) = 90:30 t = 3h. d—distanţa parcursă d =v*t d = 45x5 sau d = 75x3 d = 225 km. Răspuns: Ora 13; 225 km. 5.13.8.3. Probleme de deplasare în sensuri de orientare opuse a unui mobil faţă de altul (se întâlnesc — se apropie unul de altul sau - se depărtează) O problemă de acest tip de deplasare constă în determinarea timpului (t) întîlnirii a două mobile care se deplasează cu vitezele v1 şi v2 şi aflate la momentul dat la o distanţă d bine determinată, fiind cunoscut momentul plecării lor. Prin urmare ele concomitent se deplasează cu viteza v1 + v2. Rezultă că distanţa d ele o vor parcurge (se vor întâlni) după atâtea ore de câte ori (v1 + v2) se cuprinde în toată această distanţă d. Se determină că t = d/v1+v2. Problema 1 Distanţa dintre Soroca şi Anenii Noi este de aproximativ 210 km. Doi prieteni cu autoturisme personale au plecat în acelaşi timp, unul din Soroca spre Anenii Noi cu viteza de 55 km/h și altul din Anenii Noi spre Soroca cu viteza de 50 km/h pentru a se întâlni în drum. a) Peste câte ore ei se vor întâlni? b) Ce distanţă a parcurs fiecare din autoturisme până la întâlnire? (Clasei III-a, a IV-a) Rezolvare: Se scriu datele din enunţ d = 210 km v1 = 55km/h v2 = 50 km/h t—?h, d1 - ? km, d2 - ? km. a) raţionament aritmetic Se poate aplica şi metoda figurativă. 55+50 = 105 (km; parte din distanţa parcursă într-o oră de ambele autoturisme deplasându-se concomitent); 210 km : 105 = 2 h (ore; timp în care ei se vor întâlni);

55*2=110 (km;distanţaparcursă de cel plecat din Soroca); 50*2 = 100 (km; distanţa parcursă de cel plecat din Anenii Noi). Verificare: 110+100 = 210. b) aplicăm formula t = d:(v1+v2) t = 210:(55+50)=210:105 t = 2 h. d = v*t d1 =55*2 = 110 (km, distanţa parcursă de autoturismul plecat din Soroca) d2= 50*2 = 100 (km, distanţa parcursă de autoturismul plecat din Anenii Noi) Răspuns: 2 ore; 110 km; 100 km. Problema 2 Din oraşul A la ora 11 dimineaţa a plecat un biciclist în direcţia oraşului B deplasându-se cu viteza de 16 km/h. După 3 ore a plecat un al doilea biciclist din oraşul B spre oraşul A, deplasându-se cu viteza de 12 km/h. Când şi unde se vor întâlni bicicliştii, dacă distanţa dintre A şi B este de 328 km? Rezolvare: Se scriu datele din enunţ d = 328 km v1 = 16 km/h v2 = 12 km/h t - ? h, d1 - ? km. Se poate aplica şi metoda figurativă. 16*3 = 48 (km; distanţa parcursă de către biciclistul din A în 3 ore, adică pînă în momentul plecării biciclistului din B); 328 - 48 = 280 (km; distanţa la care se aflau cei doi biciclişti în momentul plecării biciclistului din B); Acum avem o problemă tipică de mişcare în sensuri contrare. Aplicăm formula t =d/v1+v2. Determinăm peste câte ore se întâlnesc t = d/v1+v2 = 280/16+12 = 280/28 = 10 ore. Prin urmare, cei doi biciclişti se vor întâlni după 10 ore de la plecarea biciclistului din B sau la 10 + 3 = 13 ore după plecarea biciclistului din A. Ei se vor întâlni la ora 13 + 11 = 24 h, la distanţa de 16x13 = 208 km. Răspuns: Peste 10 ore după plecarea biciclistului din B; 208 km de la oraşul A. Problema 4 Din două oraşe A şi B, situate la o distanţă de 400 km unul de celălalt, pornesc în acelaşi timp unul spre celălalt două trenuri, cel din A cu viteza de 60 km/h, iar cel din B cu viteza de 40 km/h. Concomitent cu trenul din A porneşte în zbor o rîndunică, care zboară cu viteza de 80 km/h. Rândunica zboară de-a lungul căii ferate până când întâlneşte trenul care vine din B, apoi îndată se întoarce şi iarăşi zboară de-a lungul căii ferate până când întâlneşte trenul care vine din A, se întoarce un iarăşi, zburând deja spre trenul din B şi în acest mod îşi repetă mereu zborul până cînd trenurile se întâlnesc. Ce distanţă a parcurs rândunica de la plecarea din A şi pînă la întâlnirea trenurilor? Rezolvare: Se scriu datele din enunţ d = 400 km v1 - 60 km/h v 2 = 40 km/h v, = 80km/h d - ?. Cele două trenuri se întâlnesc după: t = d/v1+v2 = 400/100 = 4 (ore; timp în care se vor întîlni acele două trenuri ); 80x4 = 320 (km; distanţa parcursă de rândunică). Răspuns: 320 km. Este eficient momentul utilizării a unei abordări de compunere a unor probleme, reieşind dintr-o anumită situaţie (pentru claritate vom apela la un caz concret cu selectarea valorilor numerice, care în procesul instructiv-educativ pot varia, după cum şi legendele enunţurilor propuse sau conţinutul lor matematic).

Problemă Într-un sac erau 50 kg de făină, iar în alt sac 75 kg. Din primul sac au fost luate 20 kg, iar din al doilea sac - 15 kg. Au rămas în aceşti saci corespunzător 50-20=30 și 75-15 = 60 (kg) de făină. Vom înregistra aceste dependenţe într-un tabel: Cantitatea inițială (kg) Variația (kg) Cantitatea rămasă (kg) Primul sac 50 -20 30 Al doilea sac 75 -15 60 Vom clarifica prezența celor trei mărimi și le vom nota simbolic astfel: Prima cantitate 1; Variația mărimilor 2; Cantitatea rămasă 3. Pentru a compune probleme algebrice care pot fi rezolvate cu ajutorul ecuațiilor de gradul I sau liniare cu o singură necunoscută trebuie de antrenat la elevi abilitatea sau competenţa de a determina corect legăturile logice dintre cele trei mărimi, adică modalitatea de a determina valoarea numerică a unei mărimi, cunoscând valorile numerice dintre celelalte două mărimi şi dependenţa funcţională ce le leagă. Astfel de combinări dintre cele trei mărimi există doar trei, care le putem nota astfel: Prima grupă: Sânt date cantitatea iniţială şi cantitatea rămasă. În enunţurile a astfel de probleme sânt utilizate numerele din coloana din mijloc a Iniilor din tabelul expus anterior. Grupa a doua: Sânt date cantitatea iniţială şi variaţia lor. În acest caz în enunţul problemei sânt incluse numerele din coloana medie. Grupa a treia: Sânt date cantitatea rămasă şi variaţia lor. Insă două mărimi pot fi legate între ele prin una din următoarele patru modalităţi: (D) - compararea prin diferenţă (mai mult cu…; mai puţin cu ...); (M) - compararea prin multiplicare (mai mare sau mai mic de ... ori); (P)- raport procentual (alcătuieşte ...%), ( F ) - partea fracţionară dintr-un număr. Particularitatea specifică a acestor probleme constă în faptul, că aceste mărimi, care sunt utilizate în enunţurile problemelor sânt omogene; aceasta permite de a utiliza pentru mărirea numărului de variaţii a problemelor o modalitate nouă de exprimare a variabilelor - sumarea mărimilor din fiecare acele trei grupe indicate. Iată şi cea de-a cincea modalitate de legătură a dependenţelor dintre mărimile implicate (S) - sumarea valorilor a două mărimi. Compararea cu ajutorul raportului procentual şi cu ajutorul determinării părţii fracționarea dintr-un număr sânt cazuri particulare ale modului (M) - compararea prin multiplicare. Prin urmare, drept cazuri originale de îmbinare a mărimilor omogene aparte totalmente diferite între ele sânt doar trei: (D) compararea prin diferenţă, (M) - compararea prin multiplicare: înmulţire sau împărţire, (S) - sumarea valorilor a două mărimi, dar mai corect nu sumare în adevăratul sens al acestui cuvânt, ci o modalitate de îmbinare a acestor mărimi. Dacă aceste trei cazuri de îmbinat două câte două, atunci se pot căpăta nouă varietăţi de probleme în cadrul fiecărei grupe. Dacă însă de luat în consideraţie cinci modalităţi de îmbinare a acestor mărimi (D, M, P, F, S) atunci numărul modurilor de îmbinare şi de compunere a problemelor poate ajunge la douăzeci şi cinci. Luarea în consideraţie a acestor îmbinări permite de a simplifica modalitatea de compunere a problemelor pe această tematică. O astfel de formalizare a structurii legăturilor logice dintre mărimile din enunţul problemei este calea cea mai sigură de lichidare a formalismului din acumularea cunoștințelor şi cea mai eficientă cale de

formare a competenţelor de rezolvare problemelor. În acest mod se poate debarasa de deprinderea de a rezolva probleme de-a gata și doar prin metoda analitică, în care munca independentă a elevului nu este atestată. 5.14. Probleme non standard Problemele non standard se consideră asemenea probleme, pentru care în cursul şcolar de matematică nu sânt descrise reguli generale sau anumite procedee sau metoda de soluţionare a lor, care ar putea determina în mod univoc o metodologie de determinare a căii de soluţionare a lor, cât şi de realizare a fiecărui pas logic al algoritmului lor de rezolvare. Din aceste considerente rezultă, că problemele non standard sânt considerate astfel de probleme, care nu au în mod separat expuse anumite reguli sau procedee de rezolvare. Procesul de soluţionare a oricărei probleme non standard constă din utilizarea a două operaţii logice fundamentale consecutive: 1. aducerea problemei non standarde date pe calea transformărilor sau a reformulărilor la o altă problemă, echivalentă ce problema dată, dar deja problemă standard; 2. descompunerea problemei non standard în mai multe mini probleme standard în dependenţă de caracterul problemei non standard. 5.15. Metodologia rezolvării problemelor non standard O cale didactică eficientă de soluţionare a problemelor non standard propusă de metodiştii ruşi L.M. Fridman, E.N. Tureţkii este următoarea: I. Descompunerea problemei date în probleme mai simple prin intermediul descompunerii în părţi componente ale: • condiţiilor din enunţul problemei; • obiectului pus în discuţie; • cerinţelor din enunţul problemei; II. Substituirea problemei date printr-o problemă echivalentă prin intermediul: • transformarea logică a datelor din enunţul problemei, • substituirea variabilelor (necunoscutelor) sau introducerea unui element ajutător; • substituirea (codificarea) obiectelor prin altele; III. Introducerea elementelor ajutătoare pentru a: • confruntarea prin căutarea celor mai caracteristice particularități de apropiere a datelor şi apropierea lor spre coincidenţă; • descompunerea problemei în părţi componente; • aducerea enunţului la o formă clar determinată. În acest context se propune o anumită schemă de căutarea a căilor de soluționare problemei non standarde: 1. Problema poate fi reformulată sau transformată în problemă standard. 2. Analiza condiţiilor problemei şi construirea modelului ajutător de soluționare a ei. 3. Determinarea faptului dacă problema dată poate fi descompusă în probleme simple sau nişte probleme cunoscute sau tipice. 4. Dacă este posibil de descompus, atunci de divizat problema dată în mini probleme şi de rezolvat aceste mini probleme. 5. Dacă nu este posibil de descompus, atunci trebuie de transformat problema prin introducerea unui element ajutător sau a unor construcţii ajutătoare. 5.1.De transformat modelul şi de rezolvat problema. 5.2.De reformulat problema în alta similară cunoscută.

5.2.1. De reformulat, de construit modelul şi de rezolvat. 5.2.2. De căutat o cale specifică de soluţionare a problemei.

5.15.1. Probleme de logică: în care sânt utilizaţi operatorii logici: şi, sau, nu; de stabilire a valorii de adevăr a unei afirmaţii logice; în care se utilizează relaţii cauzale; de deducere a unor consecinţe ce decurg dintr-un set de ipoteze; care necesită utilizarea raţionamentelor logice pentru rezolvarea unor situaţii practice Pentru ca elevii să însuşească şi să memoreze cele învăţate trebuie pe cele mai diverse de dezvoltat la ei la gradul maximal posibil modalitatea de cugetare logică, perspicacitate şi ingeniozitatea, de educat necesitatea de a studia în modul cel mai atent cele mai simple întrebări şi capacitatea de a scoate în evidenţă din ele cele mai variate răspunsuri, dezvoltat la elevi plasticitatea cugetării. 1.Patru băieţi: Ionel, Vasile, Mihai şi Radu au participat Ia alergări. După întreceri, fiind întrebaţi cine ce loc a ocupat, au urmat răspunsurile: Ionel: „Eu nu am fost nici primul, nici ultimul‖. Vasile: „En nu am fost ultimul‖. Mihai: „Eu i-am întrecut pe toţi‖, Radu: „Eu am fost ultimul‖ Unul din aceste răspunsuri este incorect. Cine a dat un răspuns fals? Cine totuşi a fost primul? 2. Intr-o clasă învaţă 3 băieţi: Tudor, Gheorghe şi Ionel. Numele lor de familie sânt: Gheorghiu, Tudoreanu, Ioniţă. Determină numele de familie a fiecărui băiat, dacă se ştie că numele de familie al lui Tudor nu este Tudoreanu, al lui Gheorghe nu este Gheorghiu, al Ionel nu este Ioniţă. Se mai ştie că Ionel trăieşte în aceeaşi casă cu Gheorghiu. 3. Determină şirul de prisos: 1, 2, 4, 8, 16, 32.. 3, 6, 12, 24, 48, 96,... 5, 10, 20, 40, 80, 160,... 2, 6, 18, 54, 1 6 2 , . . 7, 14, 28, 56, 112, 224,... 5.15.2. Probleme ce se rezolvă prin încercări - metoda probelor şi erorilor - probleme de estimări În rezolvarea problemelor de acest tip se utilizează uneori o singură ipoteză asupra unei mărimi şi apoi se examinează diferenţele apărute între rezultatul căutat şi cel presupus. Demersul logic nu depinde de presupunerea înaintată, ci de modalitatea de a determina legăturile existente dintre mărimile proporţionale care figurează în legenda enunţului din problema pusă în discuţie. E bine de a rezolva problema prin mai multe variante, pentru a demonstra impecabilitatea strategiei didactice euristice înaintate la moment şi corectitudinea rezolvării problemei date prin metoda falselor presupuneri. Problemă Pe un vapor s-au vândut 124 bilete pentru clasele I-a şi a II-a. Biletul de clasa I costă 56 lei, iar biletul de clasa a II-a 36 lei, încasându-se în total suma de 4944 lei. Cîte bilete de fiecare clasă s-a vândut? Rezolvare: Cele două mărimi date în enunţ sânt mărimi proporţionale. Variantele de soluționare a problemei vor fi determinate de ipoteza alegerii mărimii cu care se lucrează. Desigur acest tip de probleme pot fi rezolvate şi prin încercare-eroare. Se pleacă de la una dintre informaţii, fie numărul total de bilete vândute 124 bilete, fie de la suma totală de bani încasată - 4944 lei. Rezolvarea poate lua forma unui tabel de tipul:

Clasa I-a 62 50 25 24

Clasa a II-a 62 74 99 100

Suma totală de 4944

A sau F

62*56+62*34=5740 50*56+74*36=5464 25*56+99*36=4964 24*56+100*36=4944

F F F A

Numărul de paşi logici, adică de încercări poate fi redus. Totul depinde de modul de cugetare. Se porneşte de la valoarea din mijloc, un număr de bulete egal vândute. În raport de suma totală obţinută se diminuează numărul de bilete cu valoarea mai mare, în caz că suma obţinută s-a primit mai mare de cât suma reală sau numărul de bilete cu valoarea mai mică, în caz că suma obţinută s-a primit mai mică de cât suma reală. Se poate merge pas cu pas sau se poate păşi prin alegerea logică poate sări peste un număr anumit de ori, până se ajunge la expresia, care indică răspunsul corect, care satisface ambele condiţii date în enunţ. 5.15.3. Probleme cu elemente de geometrie În clasele primare se rezolvă unele probleme enunţul cărora conţine noţiuni cu elemente de geometrie. Aceste enunţuri în conformitate cu conţinuturile care se învaţă poartă un grad sporit de dificultate de la clasă la clasă. În clasa I-a pot fi rezolvate un şir de probleme la tema: linia dreaptă, semidreapta, segmentul de dreaptă, linia frântă. Măsurarea segmentelor la tema: „Zecea‖, „Suta‖. În clasa a II-a pot fi rezolvate un şir de probleme la tema: linia dreaptă, semidreapta, segmentul de dreaptă, linia frântă, perimetrul liniei frânte. Măsurarea segmentelor la tema: „Zecea‖, „Suta‖. Perimetrul poligonului: a pătratului, a dreptunghiului. Află lungimea gardului unei grădini de forma unui dreptunghi cu lungimea de 120 m și lățimea de 80 m. În clasa a III-a pot fi rezolvate un şir de probleme la tema: linia frântă, perimetrul ei. Poligoane. Perimetrul poligonului. Măsurarea segmentelor la tema: „Zecea‖, „Suta‖. Aria pătratului. Aria dreptunghiului. Măsura unghiurilor. Operaţii cu unghiuri. Paralelipipedul dreptunghiular. 1) Află lungimea unui dreptunghi care are perimetrul de 150 m şi lăţimea de 30 m. 2) Livada bunicului este de formă dreptunghiulară, cu lungimea de 600 m şi lăţimea cu 250 m mai mică decât lungimea. Ea este împrejmuită cu un gard de sârmă pe stâlpi aşezaţi din 5 în 5 metri. Determină: a. lățimea gardului: b. numărul de stâlpi folosiţi; c. aria livezii. În clasa a IV-a pot fi rezolvate un şir de probleme la tema: Perimetrul poligonului. Operaţii matematice cu lungimile segmentelor. Aria pătratului. Aria dreptunghiului. Măsura unghiurilor. Operaţii cu unghiuri.

Volumul paralelipipedului dreptunghiular.

5.15.4.

Probleme cu elemente de algebră

Unul din conceptele fundamentale ale matematicii modeme este conceptul algebra liniară de noţiunile fundamentale ale matricelor şi determinanţilor. În clasele primare elevii se fac cunoscuţi cu elemente de geometrie liniară, iniţial sub forma unor ecuaţii cu o singură necunoscută, iar mai apoi sub forma unor sisteme de ecuaţii liniare cu 2 sau 3 necunoscute. Formarea competenţelor de rezolvare a ecuaţiilor începe de la rezolvarea unor ecuații simple în care necunoscuta este înlocuită printr-un simbol abstract-intuitiv: carou, asterisc, semn de întrebare etc. Ecuaţiile se învaţă în contextul conţinuturilor ce se învaţă pe clase în conformitate cu curriculumul actual la matematică în clasele primare: • cunoaşterea componenţei numerelor naturale în concentrul 0-10 ( se rezolvă ecuaţii de tipul 2 +? = 7, ?+3 = 8, 5 - ? = 1, ?-4 = 5); • cunoaşterii tablei înmulţirii şi împărţirii ( ecuaţii de tipul 2 x? = 8, ? x 3=6, 9:? - 3); La etapa următoare în clasele a II-a a III-a se prevede de a rezolva ecuaţii simple de tipul: a ±x – b, x ± a = b, a*x = b, x* a = b, a:x= b, x:a = b în baza probelor operațiilor matematice. De exemplu: De rezolvat ecuaţia x – 2=6. Avem o scădere, la care descăzutul x trebuie determinat, dacă se cunoaşte scăzătorul 2 şi restul 6. Pentru a determina valoarea numerică a descăzutului x, adunăm restul 6 cu scăzătorul 2. x = 6 + 2, x = 6. Verificăm: 8-2 = 6, adevărat (A) In clasa a III-a şi a IV-a ecuaţiile devin mai complicate. La compartimentul dedicat rezolvării problemelor, în special, la rezolvarea problemelor de tipul comparării datelor şi aducerii la acelaşi grad de comparare. Problemele, care se rezolvă aplicând această metodă didactică de soluționare, se caracterizează prin compararea celor două mărimi, care sânt date în enunţ, valorificîndu-se în procesul rezolvării relaţia de proporţionalitate care poate exista între ele. Sc urmărește eliminarea unei necunoscute fie prin înlocuirea ei, fie prin reducerea ei şi aducerea la același termen de comparare. Primul procedeu a căpătat o formă mai extinsă şi separată într-un tip de probleme, care se rezolvă prin metoda eliminării unei mărimi şi a înlocuirii ei, adică a substituirii ei prin alta. Al doilea procedeu a căpătat denumirea de metoda comparaţiei sau eliminarea unei mărimi prin reducere (scădere). Metoda constă în prin procedeul de a transforma (prin înmulţire sau împărțire) una dintre cele două mărimi astfel, încât să aibă loc egalarea expresiilor (să aibă aceleași valori) în cele două situaţii date în enunţul problemei. In aceste condiţii rămâne o singură necunoscută şi un singur termen de comparaţie (ceilalţi termeni, având acum aceeași valoare, pot fi eliminaţi prin scăderea celor două expresii membru cu membru). Din această cauză, metoda didactică de rezolvare se mai numeşte - metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie sau metoda de egalare a datelor. Aşezarea datelor într-o astfel de problemă se face cu respectarea relațiilor date dintre mărimi, astfel încât comparaţia dintre valorile aceleiaşi mărimi să fie puse în evidența în mod direct, situând valorile de acelaşi fel unele sub altele. Rezolvarea constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor, observându-se proporţionalitatea dintre cele două mărimi (prin înmulţirea cu unul şi acelaşi număr în una din relaţii sau prin împărţirea la unul și același număr) pentru a se ajunge la o relaţie cu o singură necunoscută, sau prin metoda reducerii la unitate.

Problemele de acest tip se recunosc relativ uşor după modul cum este redactat enunțul, care, de obicei, este alcătuit din două situaţii distincte. După recunoaşterea tipului se recomandă de a scrie datele în mod corespunzător, unele sub altele, în conformitate cu cele două situaţii date în enunţ. Selectând una dintre mărimi drept mărime de bază, încercăm să egalăm datele privitoare la ea în acele două şiruri de date. Acest lucru se realizează prin modelarea datelor (prin multiplicare, simplificare) de pe cele două şiruri de date astfel, încât să obţinem aceleași date cu referire la mărimea selectată de noi. De aici şi denumirea dată acestui tip de probleme - probleme de egalarea datelor şi eliminarea unor mărimi prin reducere. Aceasta se face prin căutarea celui mai mic multiplu comun al lor şi modelând în mod convenabil fie prin amplificare, fie prin simplificare cele două şiruri de date din enunţ. Comparând în continuare datele din cele două şiruri se constată o neconcordanţă între costuri, provenită în mod evident din faptul, că nu avem aceleaşi date şi în raport cu alte mărimi. Se continuă procedeul de eliminare până când avem posibilitatea de a ne exprima corect cu referire la o valoare numerică concretă a unei anumite mărimi, apoi prin mersul retrograd, calculăm valorile numerice şi a celorlalte mărimi date în enunţ. Problema 1 Pentru 3 creioane şi 2 pixuri s-au plătit 36 lei. Pentru 7 creioane şi 2 pixuri s-au plătit 44 lei. Cât costă un creion şi cât costă un pix? (clasa a II-a - a IV-a) Rezolvare: 3 creioane și 2 pixuri costă ………………………….. 36 lei 7 creioane și 2 pixuri costă ………………………….. 44 lei. Se compară datele din enunţ de aceeaşi omogenitate - valorile la aceleaşi mărime de la stânga spre dreapta. Sumele de baţi a crescut cu 44 – 36=8 lei. Numărul pixurilor a rămas acelaşi. Diferenţa de 8 lei a provenit de la faptul, că s-a cumpărat cu 4 creioane mai mult. Prin urmare avem: 4 creioane costă ………………………………. 8 lei 1 creion costă ………………………………… 8:4 = 2 lei. Cunoscând preţul unui creion, putem afla fără dificultate preţul unui pix. 3 creioane şi 2 pixuri costă………………………..36 lei Un creion costă 2 lei, deci 3 creioane vor costa 3*2 = 6 lei, diferenţa de 36-6=30 lei indică preţul a 2pixuri. Aşadar, un pix costă 30:2 = 15 lei. Răspuns: 1 creion costă 2 lei, un pix costă 15 lei. Problema 2 Pentru 3 pixuri şi 5 caiete s-au plătit 19 lei, iar pentru 3 pixuri şi 2 caiete s-au plătit 13 lei. Cât costă un pix şi cât costă un caiet? (clasa a III-a, a IV-a) Rezolvare: Scrierea datelor şi căile de soluţionare a problemei le vom propune în două variante: un raționament matematic intuitiv – numit de noi – raționament aritmetic și un raționament algebric - numit de noi - calea analitică, adică prin iniţierea cu simbolica algebrică.  prin raţionament aritmetic: 3 pixuri şi 5 caiete costă ……………………. 19 lei 3 pixuri şi 2 caiete costă ……………………. 13 lei Un pix - ? lei, un caiet - ? lei. Comparând mărimile scrise în cele două rânduri, observăm, că în primul rînd sunt cu 5-2 = 3 caiete mai mult , la fel şi suma este mai mare cu 19 - 13 = 6 lei. Din acestea rezultă, că costul a 3 caiete se află în diferenţa de 6 lei. Prin urmare 6:3 = 2 lei este costul unui caiet. Substituim valoarea numerică determinată a costului unui caiet în unul din cele două rânduri şi calculăm preţul unui pix: 19 - 5*2 = 9 lei - costul a 3 pixuri, iar 9:3=3 lei - costul unui pix sau 13 - 2*2 = 9 lei - costul a 3 pixuri, iar 9:3 = 3 lei - costul unui pix. Calculele din ambele expresii demonstrează, că mersul logic al căii de soluţionare este ales corect.

• pe cale analitică: 3 p + 5c = 19 (relația 1)

3p + 5c = 19

3p + 2c = 13 (relația 2) , 3p + 2c = 13 ----------------- ------, de unde ----------------------------sau c = 6:3, c = 2. p - ?, c - ? / 3c = 6 Introducem valoarea numerică calculată c - 2 în una din relaţiile de la început şi calculăm valoarea numerică a lui p. Din relaţia 1 avem: 3p + 5c = 19, 3p + 5x2 =19, 3p + 10= 19, 3p = 19 - 10, 3p = 9, p = 3. Din relaţia 2 avem: 3p + 2c = 13, 3p + 2x2 = 13, 3p + 4 = 13, 3p = 13- 4, 3p = 9, p = 3 Verificare: Substituim ambele valori determinate: costul unui caiet - 2 lei şi costul unui pix - 3 lei în relațiile date în enunţ şi verificăm corectitudinea calculelor: 3x3 + 5x2 = 9 + 10= 19, 3x3+ 2x2 = 9 + 4 = 13. Răspuns: Un caiet costă - 2 lei şi un pix costă - 3 lei. Problema 3 Pentru 3creioane, 2 radiere şi 4 caiete un elev plăteşte 10,70 lei. Dacă ar fi cumpărat 1 creion, 4 radiere şi 2 caiete ar fi plătii 6,90 lei. Ştiind, că 3 creioane, 2 radiere şi 2 caiete costă 7,70 lei, să se afle preţul fiecăruia dintre cele trei obiecte. Rezolvare: 3 creioane, 2 radiere şi 4 caiete costă……………………………… 10,70 lei 1 creion, 4radiere şi 2 caiete costă…………………………………. 6,90 lei 3 creioane, 2 radiere şi 2 caiete costă……………………………… 7,70 lei Observăm, că în prima şi a treia relaţie avem acelaşi număr de creioane şi de radiere. Deci diferenţa de 10,70 - 7, 70 = 3 lei provine de la cele 4-2 = 2 caiete. Prin urmare cele 2 caiete costă 3 lei, de unde un caiet costă 3:2 = 1,50 lei. Substituind în datele din enunţ preţul calculat al unui caiet, datele rămase se pot scrie astfel: 3 creioane şi 2 radiere costă……………………………10,70 - 4x 1,50 = 4,70 lei 1 creion şi 4 radiere costă ………………………………… 6,90 - 2x1,50 = 3,90 lei și prin aceasta problema s-a redus la tipul precedent cunoscut. Verificare: 3,30+1,40 + 6,00=10,70; 1,10+2,80 + 3,00 = 7,70; 3,30+1,40 + 3,00=7,70. Răspuns: Un creion costă 1,1 lei, un caiet costă 1,5 lei, o radieră costă 0,70 lei. Problema 4 Determinaţi valoarea lui a: a) a – 5+6=8: b) 8 + a - 9 = 2; c) 6 * a : 3 = 10; d) 30 - a*4 = 10. Observaţie didactică: La rezolvarea acestui tip de probleme e util de a urma paşi logici în conformitate cu algoritmul propus:  Datele de scris pe două rânduri.  Se compară mărimile date în enunţ.  Se determină modalitatea de eliminare consecutivă a unei mărimi necunoscute prin micşorarea sau mărirea de un număr de ori a tuturor numerelor scrise în şir.  Se elimină una (două) din necunoscute prin scădere.  Se determină valoarea necunoscutei rămase prin reducere la unitate.  Se determină cealaltă necunoscută prin introducerea valorii numerice determinate în unul din

cele două rânduri (în una din cele două relaţii).  În cazul când în enunţ sânt dare trei şiruri de date, se scriu trei rânduri şi determină valorile numerice a două necunoscute prin eliminarea repetată iniţial a unei necunoscute, lăsând două relaţii cu două necunoscute, din cele trei existenţe (de obicei se lasă două relaţii care mai uşor se pot compara), apoi a celeilalte, urmând paşii logici propuşi anterior; în final se determină valorile numerice a celor trei date necunoscute substituind în relațiile existente în mod retrograd mersului de eliminare a necunoscutelor.  Se realizează verificarea corectitudinii determinării valorilor numerice ale necunoscutelor.  Se scrie răspunsul corect. 5.15.3. Probleme cu elemente de organizare şi prelucrare a dalelor statistice Tumultul vieţii cotidiene la momentul actual aproape zilnic ne surprinde cu situaţii de problemă în care se cere de organizat şi de prelucrat anumite date, inclusiv şi date statistice, pentru a da răspunsul adecvat la întrebarea pusă în discuţie. Din aceste considerente în curriculumul naţional la matematică în clasele primare, într-un mod din ce în ce mai explicit, începând cu clasa a II-a, se cere de a introduce în lucrul cu elevii conţinuturi și obiective care vizează formarea unor competenţe de organizare şi prelucrare a datelor structurate în tabele, diagrame şi grafice. Astfel de competenţe sânt necesare pentru a apropia şi a pregăti cât mai eficient elevii de a se orienta corect în realitatea practică, pentru a aplica logic cunoştinţele achiziţionate, pentru a-1 deprinde să înţeleagă just şi să interpreteze corect cele mai diverse informaţii cu care se confruntă şi care adeseori îi sânt sub cele mai variate forme de prezentare. Modalitatea de a prezenta datele sub formă de tabele, diagrame şi grafice este caracteristică de a fi utilizată, practic fără excepţie, în toate domeniile de activitate profesională. Acumulând, sintetizând şi sistematizând informaţiile corect, ele mai accesibil pot fi prelucrate, clarificate în ce mod anume şi care este rostul lor practic, pot oferi o imagine uşor de interpretat prin asocieri şi corelări între diverse date. Elevul care este deprins să utilizeze astfel de forme de prezentare a informaţiilor practic întotdeauna va fi capabil de a-şi realiza propriile idei sub formă de scheme de sistematizare şi prezentare a cunoștințelor sale sub formă de competenţe practice aplicabile în cotidian. Redactând soluțiile unor însărcinări şi probleme de cele mai variate forme prezentate sub formă tabelară sau utilizând diagrame şi grafice, elevii vor achiziţiona competenţe practice de a economisi timpul de lucru şi energia, vor învăţa a sustrage şi a evidenţia esenţialul din cele mai variate informaţii, a prezenta cât mai uşor şi clar orice demers logic parcurs în soluționarea acestora, să sesizeze şi să sublinieze relaţiile existente între date, să le interpreteze în cele mai variate şi diverse contexte. Principiile didacticii matematicii modeme recomandă ca obiectivele care se referă la selectarea, stocarea, sortarea, organizarea şi prelucrarea elementelor de date statistice să fie aplicate în corespundere cu reglementarea procesului de la simplu la compus, de la cunoscut la necunoscut, de la claritate şi accesibilitate la situaţie de problemă, adică iniţial elevul învață a selecta şi a extrage informaţia necesară din tabele, liste, diagrame etc., să colecteze date prin simpla observare pe o anumită tematică, pentru ca mai apoi, treptat, în creştere a dificultății să reuşească să se deprindă a le clasifica în baza unor criterii, la prima etapă cât mai simple, apoi treptat tot mai complexe, să le reprezinte prin tabele, diagrame, scheme, grafice etc., şi să interpreteze aceste date analizate minuţios prin compararea numerelor implicate in informaţia dată, prin determinarea prin analogie şi comparare a criteriilor de asemănări sau deosebiri. Aşa cum la baza matematicii modeme avem conceptele de: a) teoria mulțimilor și logica matematicii şi b) teoria probabilităţilor şi statistica matematicii în şcoala de cultură generală se studiază elemente de teoria mulţimilor şi logica matematicii şi elemente de teoria probabilităţilor şi statistica matematicii. In acest context chiar din primele zile la şcoală elevii sânt puşi în situaţia de a realiza diverse corespondenţe între elementele unei sau a mai multor mulţimi. La o anumită primă etapă, elevii operează cu două mulţimi distincte (de exemplu, mulţimea copiilor şi mulţimea jucăriilor sau mulţimea lecțiilor din orar şi mulţimea cărţilor din care învaţă sau pe care le poartă în rucsac) în rezultatul căruia elevul trebuie să sesizeze şi să o

poată aplica corect regula de asociere a elementelor acestor mulţimi (de exemplu, fiecare copil foloseşte la moment doar o jucărie sau la fiecare lecție din orar este folosită o anumită carte din care elevul învaţă). Ulterior, la un următor pas logic, din punct de vedere metodic corect, al didacticii matematicii modeme are loc familiarizarea elevilor cu regulile de corespondenţă (o viitoare asociere cu noţiunea de funcţie), în care elevul trebuie să marcheze cu un simbol prestabilit selectat prin convenţie, asocierile determinante dintre elementele mulţimilor date. În acest mod se pot utiliza diverse însărcinări care solicită anumite asocieri de in tip specific. Problema 1 Determină instrumentele specifice necesare fiecărui specialist care posedă una dintre profesiile indicate mai jos: Rezolvare: Elev Medic Turist Grădinar Busolă Ghiozdan Stetoscop Stilou Parașută Navă cosmică Greblă Încălțăminte Completând un astfel de tablou, elevii pot constata că, pentru un același element (de exemplu, stilou), pot fi determinate două corespondenţe (poate fi utilizată atât de elev, cât şi de medic), iar pentru alt element (de exemplu, încălţăminte), pot fi determinate patru corespondenţe (poate fi utilizat de toţi reprezentanţii profesiilor indicate în tablou) sau că nu întotdeauna toate elementele dintr-o mulţime au un element corespondent în cealaltă mulţime (cazul rachetei). De asemenea, elevii sc vor actualiza cu modalitatea de prezentare a datelor sub forma unui tabel, cu citirea corectă a datelor dintr-un anumit tabel, cu modalitatea de a sustrage informaţia util necesară din informaţia prezentată cub această formă şi cu diversitatea formelor posibile de a le interpreta. La o altă etapă mai superioară, elevilor li se pune la dispoziţie o anumită legitate - regulă de corespondenţă (de exemplu, fiecare animal indicat foloseşte în rația sa de hrană un anumit produs alimentar) şi elementele mulţimilor care sânt amestecate (de exemplu, mulţimea animalelor şi mulţimea produselor alimentare) şi în acest caz elevii au ca sarcină de a realiza corespondenţele adecvate şi să separe cele două mulţimi. Prezentarea rezultatului final poate fi realizată fie utilizând diagrame, fie sub forma unui tablou de corespondenţă. Astfel de însărcinări îi pregătesc pe elevi pentru a opera corect cu datele statistice: de a organiza şi prezenta cele mai diferite date sub cele mai diverse forme de prezentare: tabele, diagrame, scheme etc. În continuare sarcinile didactice se modifică, informaţia se structurează, în acest caz elevii vor avea la dispoziţie doar elementele unei mulţimi şi o anumită lege-regulă de corespondenţă, sarcina didactică fiind de a identifica elementele celei de-a doua mulţime (de exemplu, de asociat fiecărei figuri geometrice un obiect cu care are semănare). Astfel de activităţi de învăţate pot fi realizate în mai multe etape, pe parcursul unui sau a mai multor ani de învăţământ la nivelul claselor primare cât şi cu prelungire în clasele mai superioare, de fiecare dată concretizându-se în sarcini de completare de tabele, diagrame scheme etc. Problema 2 Calculaţi: a a+4 12+a a-2 12 16 24 10

110 6

14

Rezolvare: Chiar începând cu clasa I-a pot fi introduse diverse însărcinări de colectare a datelor realizate prin simplă observare, într-un anumit interval de timp, de prelucrare a acestor date prin selectarea şi sortarea după un anumit criteriu cât mai simplu (de exemplu, culoare, formă, mărime etc.) şi de prezentare a lor în cele mai variate forme: tabel, schemă, diagramă etc., cât şi realizarea a anumitor operaţii matematice asupra numerelor naturale în limita 0-100. în clasa a II-a se vor relua activităţile de învăţare de la clasa I-a, deja utilizând anumite operaţii cu numere naturale studiate în limita 0-1000. La anumite însărcinări se adaugă noi cerinţe cu un grad sporit de complicitate ca: sortarea şi organizarea datelor în tabele după 2 criterii (de exemplu, mărime şi culoare, sau formă şi culoare), prelucrarea datelor fiind realizată prin analiză, comparare şi numărare. Datele în acest mod selectate, colectate şi ordonate pot fi prezentate sub formă de tabele, diagrame simple, de diverse forme: segmente, pătrăţele, dreptunghiuri etc., cât şi utilizate în compunerea de probleme. Elevii, utilizând diverse tipuri de prezentare a datelor se obişnuiesc a citi datele din diverse informaţii prezentate, a le interpreta şi a le prelucra. Diversitatea formelor de prezentare pot fi aplicate cu succes şi în rezolvarea multiplelor însărcinări de tipul: Exemplu: Problema 3 Calculează produsele tuturor numerelor care se află în interiorul: a) triunghiului; b) cercului; c) numai a triunghiului fără cerc;

numai a1 cercului fără triunghi; e) şi al triunghiului şi al cercului; f) al triunghiului din interiorul cercului. Astfel de însărcinări constituie o etapă pregătitoare în planul altoirii unei viziuni de rezolvare corectă a problemelor în care sânt puse în discuţie relaţii dintre elementele mulţimilor care au elemente comune (ne disjuncte), probleme destul frecvent întâlnite în manualele şcolare, care în soluţionarea lor corectă solicită numaidecât folosirea reprezentărilor grafice. Problema 4 Ce zi a săptămânii şi ce dată este astăzi, dacă: • până la aniversarea mea au rămas 5 zile? • De la aniversarea mea au trecut 3 zile? • Ieri, Gică a spus: ‘‘Mîine este ziua mea! ‖? • Poimâne va fi ziua de naştere a Speranţei? • Maialaltăieri a fast ziua de naştere a Anei? (clasa I-a) Asemenea însărcinări altoiesc la elevi deprinderea de a se orienta corect în spațiu şi timp, deoarece elevul de la momentul în care are loc discuţia trebuie să determine corect care va fi următoarea a 5-a zi şi d)

care a fost ziua săptămânii cu 3 zile în urmă sau zile fără număr, ci pur şi simplu elevul trebuie să poată număra zilele fără a le numi. Astfel de însărcinări altoiesc la elevi modalitatea de a opera cu numere variabile în limita posibilităţii selectării lor în conformitate cu cerinţele din enunţ. Aceste modalităţi de discutare a însărcinărilor contribuie în mod substanţial la rezolvarea unor probleme legate de elemente de teoria probabilităţilor, de logică, de perspicacitate etc. Uneori prezentarea datelor sub formă grafică este unica modalitate de apune în discuţie raţionamentul soluţionării corecte. Utilizarea prezentărilor grafice permit asimilarea și consolidarea cunoștințelor de a sistematiza datele, de a realiza sinteze cu demersuri corecte şi altoiește modalitatea de cugetare abstract-concretă, prin transformarea cifrelor din date în simboluri vizibile uşor de sesizat şi care dezvoltă cugetarea logică comparativă. 5.15.4. Probleme cu elemente de teorie a probabilităţilor Natura şi tumultul vieţii cotidiene la momentul actual aproape zilnic ne surprinde cu situații de problemă în care atestăm diferite întâmplări sau evenimente. Elevul este pus adeseori în situaţia de a aplica un anumit grad de probabilitate, de a determina şansele ca un anumit eveniment, o situaţie, o întâmplare să se producă. O afirmaţie legată de o întâmplare poate fi cotată de către un elev ca fiind sigur că se va produce, în timp ce un alt elev o poate aprecia ca fiind posibilă sau chiar imposibilă, in funcție de datele informaţionale pe care aceştia le deţin fiecare dintre aceşti elevi poate avea dreptate. Dacă, de exemplu, se cere elevilor să aprecieze, pe o scală determinat dată de ca calificativul sigur până la calificativul imposibil, şansele de realizare în cazul afirmaţiei „Mîine merg la şcoală‖, vom putea avea rezultate corecte pe întreaga scală, căci fiecare va ține cont de propria experienţă şi de volumul personal de informaţii pe care le posedă, afirmația fiind legată strict de persoana lor şi de punctul lor de vedere. Este foarte important ca elevul de astăzi, viitorul adult - persoană care va activa în cele mai variate domenii ale activităţii umane, să poată aprecia corect just şi interpreta în modul adecvat unele evenimente din natură şi cotidian, să poată calcula şansa (probabilitatea) ca acest eveniment dat să se realizeze - să se producă, să le poată ordona şi clasifica în conformitate cu o anumită scală a şanselor de realizare de la imposibil la sigur sau pe o scală a şanselor de preferinţă de la foarte neplăcut la foarte plăcut. Pentru a dezvolta aceste abilităţi şi în final competenţe matematice, cerinţele actuale stringente ale vieţii la etapa actuală, cer ca copii să fie familiarizaţi cu noţiuni de probabilistică încă din fragedă copilărie. Aceste noţiuni s-au concretizat în anumite însărcinări - probleme, pe care elevii trebuie să le rezolve, în mod practic, manipulând cu diverse materiale: bile, jetoane, monede, fişe, balonaşe etc. Problema 1 Intr-o pungă Ana are bile roşii, albastre şi galbene. Ea scoale fără să se uite două bile. Ce culoare pot avea acestea? Câte variante diferite sânt posibile? Sugestie metodică: Elevii pot fi împărţiţi în grupe, fiecare grupă având la dispoziţie un săculeț cu bile colorate şi primind sarcina de a se juca, scoţând de mau multe ori câte două bile la întâmplare, întocmai cum a procedat Ana. Elevii vor constata că există mai multe variante posibile. Variantele pe care le capătă fiecare elev aparte, adică descoperite de ei, pot fi consemnate într-un tabel bine definit. Alte tipuri de activităţi de învăţare ce pot fi utilizate începând cu clasa I-a sunt însărcinările de tip joc de a găsi anumite numere ce se scriu prin intermediul unor cifre date. În clasele a I-a şi a II-a elevii învaţă să utilizeze unităţi de măsură pentru timp şi sarcinile de lucru pot solicita:  plasarea în timp a unor evenimente în funcţie de un reper şi sortarea evenimentelor după un anumit criteriu prescris;  exerciţii de ordonare cronologică a unor imagini;

 exerciţii de evaluare a şanselor ca o situaţie să se producă, adică să se realizeze. Problema 2 Când este posibil să se petreacă evenimentele? Afară plouă: • în februarie; • în august. Ora de pictură o practic: • marţi; • duminică. Ionel va deveni căpitan la marină • la 3 ani; • la 30 ani. Sugestie metodică: Se va analiza fiecare caz prezentat şi se va descoperi care variante sânt la sigur posibile, care sânt probabil posibile şi care imposibile, motivând de licoare dală alegerea făcută. Se va sesiza, că în unele cazuri, probabilitatea ca evenimentul dat să se realizeze este mai mare şi în acest caz apare posibilitatea de a ordona după un anumit criteriu situaţiile posibile pe o scală a şanselor de realizare: de la cele sigure, la cele aproape sigure, apoi cele probabile şi în final - cele imposibile. Următoarele tipuri de însărcinări pot fi rezolvate cu elevii din clasa a IV-a:  descrierea de situaţii ce reprezintă realizarea evenimentelor imposibile, aleatorii - probabile, sigure;  însărcinări de ordonare a unor evenimente pe o scală a şanselor de realizare. Pentru această vârstă astfel de însărcinări prezintă un interes deosebit. Problema 3 Ionel avea 7 baloane verzi şi 5 roşii. 6 din ele sau spart. Care sînt modalităţile de spargere? (Clasele a I-a - a IV-a) Rezolvare: In mod logic din experienţa proprie elevii deduc răspunsul: S-au spart Au rămas întregi S-au spart Au rămas întregi S-au spart Au rămas întregi S-au spart Au rămas întregi S-au spart Au rămas întregi S-au spart Au rămas întregi

Verzi (7) 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 6

Roşii (5) 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0

5.15.7. Probleme recreative — probleme rebusistice - enigmatice - ghicitori Un şir de probleme care pot înlătura indiferenţa faţă de matematică, lipsa interesului față de rezolvarea problemelor, pasivitatea în activitatea elevilor sânt cele recreative. Astfel de probleme trezesc adesea un viu interes faţă de matematică, care este o condiţie prioritară pentru o însuşire conştientă a conţinuturilor de învăţare şi de memorare eficientă şi fundamentală a celor învăţate. Adeseori ele apar ca un izvor al întăririi disciplinei în clasă. Aceste probleme înviorează starea de lucru în cadrul celor mai abstracte teme de învățare, fac ca

asimilarea conţinuturilor să se facă mai lejer şi clar. Ele dezvoltă modalitatea de a diversifica şi lărgi frontierele cugetării. Printre aceste probleme pot fi întâlnite: Probleme-glumă şi însărcinări enigmatice, care pot fi rezolvate oral sau în scris: 1. Pe un copac erau 6 păsări. Un vânător a împuşcat una din ele. Câte păsări au rămas pe copac? 2. Cum din 3 chibrituri, fără a le frânge, de făcut 4? 3. De câte ori scara ce duce la etajul 6 este mai lungă decât scara ce duce la etajul 2? 4. Trei cai înhămaţi la o trăsură în goană mare parcurg 18 km. Câte câţi kilometri a parcurs fiecare cal? Probleme de căutare a unei legi, o ordinare: 1. De prelungire a unui şir. 2. De a determina ce este de prisos (un obiect, un cuvânt etc.). 5.15.8. Probleme populare În popor, se utilizează, ca mijloc de educaţie intelectuală, unele forme de raţionament logic ca probleme-glumă, probleme-ghicitori sau probleme populare. Aceste probleme puteau fi auzite des la clăci, şezători şi alte ocazii când se aduna multă lume, mai ales tineretul, constituind uneori tematica unor adevărate serate de isteţime şi de cugetare logică. Uneori astfel de probleme se prezintă ca simple exerciţii de calcul aritmetic, doar că condițiile problemei poartă o formă amuzantă, dar care dă de gândit. Deşi cu o circulaţie mai restrânsă, problemele populare, împreună cu ghicitorile, constituiau un impunător material preţios de antrenament mintal în perioada, când şcoala nu putea să ajungă la masele largi şi să atingă acele valenţe de activitate nestingherită de comunicare ca întrunirile semenilor şi atmosfera liberă de cugetare amuzantă În clasificarea noastră problemele ce au devenit populare le vom accepta în următoarea divizare: probleme-joc, probleme aplicative, probleme logice şi probleme populare de creativitate complexă. Această clasificare este acceptată în raport de efortul logic depus, de raţionamentul efectuat. Probleme joc Aceste probleme conţin o formă logică ritmică apreciată de mentalitatea copiilor sau acelora, cărora le este dedicată problema. Soluţia ei adeseori reiese din paşii logici fără a efectua un anumit efort mintal sau anumite calcule complicate. Unu, unul şi cu altul, Şi cu doi legat de patru. Şi cu şapte cap la cap, La un loc cu opt cât fac? Probleme aplicative În enunţul unor probleme se întâlneşte o întrebare aplicativă, practică. Pentru a rezolva problema este necesar de a efectua unele încercări practice, sau de avut anumite deprinderi practice, anumite abilităţi. Aceste probleme cer de la participanţi un anumit efort mintal de tip practic-aplicativ. 1. Dimineaţa eu mi-am pregătit un pahar de cafea. Când am dus paharul la gură. a venit mama cu laptele în ulcior. După ce am băut a şasea parte din pahar, mama a împlut paharul cu lapte. Eu am băut a treia parte, mama iarăşi l-a împlut cu lapte. Am mai băut încă jumătate din paharul plin, mama iarăşi l-a împlut cu lapte. Am băut paharul până la fiind. Ce am băut mai mult: lapte sau cafea? 2. Făt-Frumos a fost în Livada de Aur şi a cules mere. Pe drum, la întoarcere, avea de trecut prin patru împărăţii şi în fiecare din aceste împărăţii avea de plătit vama de trecere prin mere. Condiţia la vamă era peste tot aceeași: se plătea jumătate din toate merele ce le avea în posesia sa, la moment, și încă un măr. Câte mere a cules Făt-Frumos din Livada de Aur, dacă el a ajuns acasă cu un singur măr? 3. Este posibil oare ca în acelaşi timp Ion să stea în urma lui Vasile, ia Vasile să stea în urma lui

Ion? 4. Un ţăran avea de trecut peste un rău cu barca un lup, o capră şi o căpățână de varză. Omul putea să treacă peste râu cu barca sau lupul, sau capra, sau varza - doar un singur lucru. In alt caz, dacă lua cel puţin două lucruri, barca se scufunda. Dacă lasă capra cu varza, capra mănâncă varza. Dacă lasă capra cu lupul, lupul mănâncă capra. Cum a trecut ţăranul lupul, capra și varza fără pierderi? Probleme logice In aceste probleme gândirea întâmpină anumite bariere logice, dar uşor de depășit aplicând unele procedee populare de cugetare sau prin metoda probelor Aceste probleme duc cu sine înţelepciunea populară şi dezvoltă la participanţi setea de a cunoaște, de a rezolva, de a compara şi de a găsi acea miraculoasă atenţie, care este solicitată în enunț. 1. Un moş ce păştea oile a fost întrebat câte oi are în turmă şi dacă are 100. La care moşul răspunde: Dacă aş avea aceste oi ce le am peste sută. atunci vor fi întocmai de nouă ori câte nu-mi ajung până la sută. Câte oi păştea baciul? 2. Un ţăran şugubăţ vindea harbuji. La întrebarea cât costă harbuzul ţăranul a răspuns: Harbuzul ăsta costă 2 lei şi încă jumătate de harbuz. Cât costă harbuzul? 3. Din două oraşe A şi B, ce se află la distanţa de 120 km unul de la altul, iese concomitent unul în întâmpinarea altuia un tren şi o rândunică. Trenul merge cu viteza de 60 km/oră. Rândunica iese din A şi ajunge la tren, se întoarce înapoi în oraşul A la cuibul său şi apoi înapoi ta tren, repetând, astfel traseul tot timpul, până când trenul soseşte în oraşul A. Câţi km a parcurs rândunica, dacă viteza ei este de trei ori mai mare decât a trenului? 4. In Moldova fiecare al cincilea bărbat este numit Ion, iar fiecare al zecelea este numit Vasile. Care-s mai mulţi: al-de Ion a lui Vasile sau al-de Vasile a lui Ion. Probleme populare de creativitate complexă Aceste probleme au un conţinut complicat. Soluţionarea lor cere un efort mintal complex. De multe ori problema are mai multe variante. Se cere de ales cea mai raţională 1. În acest exemplu fiecare literă corespunde cu o anumită cifră. Încercaţi să descifraţi: BA * NI = AAA 2. Avem 10 saci cu monede de aur. Un sac este plin doar cu monede false. Monedele false se deosebesc de cele veritabile că ele cântăresc doar 9g în loc de 10 kg. Cum se poate determina doar dintr-o singură cântărire cu un cântar cu greutăţi marcante, în care sac se află monedele false? în saci nu sânt aceleaşi cantităţi de monete. 3. Capul peştelui este de două ori mai mare decât coada lui. Trupul peştelui este de 5 ori mai greu decât coada. Cât cântăreşte peştele, dacă trupul fără cap cântăreşte 3 kg, iar fără coadă 4 kg? 4. Un cizmar a confecţionat o pereche de cizme şi le-a propus unui realizator să le vândă cu 250 lei. Realizatorul a vândut cizmele ta doi invalizi. Fiecare şi-a procurat câte o cizmă, care tocmai li sa potrivit dând fiecare câte 125 lei. Când cizmarul a primit banii, a întrebai cm a vândut cizmele şi aflând că le-au procurat doi oameni invalizi de câte un picior fiecare, a vorbit cu realizatorul să le dea înapoi oamenilor suferinzi câte 25 lei. Realizatorul s-a gândit că se poate de câştigat ceva şi le-a întors invalizilor doar câte 10 lei. 30 lei a lăsat în buzunarul său. Reiese că invalizii au dat fiecare pentru o cizmă câte 115 lei. În total 230 lei. Și încă 30 lei din buzunarul realizatorului ceea ce face în total 260 lei. De unde au apărut 10 lei? 5. S-au întâlnit doi vechi colegi de facultate, ambii amatori de probleme logice, care nu s-au văzut de vre-o 10 ani. Să-i notăm prin A şi B. Dialogul dintre ei a urmat în felul următor: A - Bună ziua! Cum o mai duci cu viaţa? B - Mersi Bătrâne, binişor. Sânt căsătorit, am trei feciori de vîrstă diferită.

A - Bine dar câte câţi ani au feciorii tăi? B - Produsul vârstelor este 36, suma vârstelor este egală cu 14. A - (după puţină cugetare...) Datele acestea nu sânt îndeajuns. B — Ei bine! Fiul mai mare seamănă leit cu mine dar are ochi albaștri. A - Asta-i altă treabă! Totul este clar. Determinaţi vârsta fiilor. 5.15.9. Probleme de combinatorică Un şir de probleme permit de a avea mai multe soluţii. Cercetarea determinării mulţimii soluţiilor acestei probleme determină grupul de probleme care poate fi numit - probleme de combinatorică. Există cazuri în care nu se poate determina numărul total al soluţiilor, în acest caz este bine de determinat, cel puţin, numărul acestora. Problema 1 Scrieţi toate numerele de două cifre ce pot fi scrise numai cu ajutorul cifrelor: 2, 3, 5, 8. Problema 2 Scrieţi toate numerele de trei cifre ce pot fi scrise cu ajutorul cifrelor: 2, 5, 8 fiecare fiind utilizate doar o singură dată. Problema 3 Mămica l-a rugat pe Ionel să-i măsoare fix 4 litn de apă, având la dispoziție un borcan de 3 litri şi altul de 5 litri. Ionică s-a descurcat. Dar dvs. ? Operații borcanul de 3 l borcanul de 5 l vasul x umplem borcanul de 3 3 0 0 l turnăm borcanul de 3 l 0 3 0 în cel de 5 l umplem borcanul de 3 3 3 0 l turnăm 2 l din borcanul 1 5 0 de 3 l în cel de 5 l turnăm restul 1 litru 0 5 1 din borcanul de 3 l în vasul x umplem borcanul de 3 3 5 1 l turnăm borcanul de 3 l 0 5 4 în vasul x În tabelul de mai sus este indicată o modalitate de cugetare a cărui raţionament ne poate duce la rezultatul căutat. In clasele primare se poate aplica o metodă destul de eficientă propusă de metodistul Andrei Hariton. Ea se numeşte arborele variantelor posibile. Arborele variantelor posibile se poate aplica la soluţionarea problemelor practice înmlilemele sânt selectate din creaţia dlui A. Hariton): Problema 4 Scrieţi toate numerele de două cifre ce conţin numai cifrele 3, 5, 6 şi 7. Problema poate fi rezolvată, compunând mai întâi din cifrele date toate perechile posibile, începând de fiecare dată:

a) b)

cu cea mai mică cifră: 33, 35, 36, 37, 55, 56, 57, 66, 67, 77; cu cea mai mare cifră: 77, 76, 75, 73, 66, 65, 63, 55, 53, 33.

În baza celor obţinute, scriem răspunsul ţinând cont de faptul că numerele cu trebuie să se repele: 33, 35, 36, 37, 55, 56, 57, 66, 67, 77, 53, 63, 65, 73, 75, 76. Răspuns: 33, 35, 36, 37, 55, 56, 57, 66, 67, 77, 53, 63, 65, 73, 75, 76. Problema mai poate fi rezolvată şi prin utilizarea arborelui variantelor posibile

Se observă că schema desenată seamănă cu un arbore cu rădăcinile în sus, având ramurile în jos. Problema 5 De la şcoală se poate ajunge la stadion pe două drumuri, iar de la stadion la bibliotecă - pe trei drumuri. Este posibil oare ca 5 elevi să poată ajunge de la şcoală la bibliotecă, trecând pe lângă stadion, pe drumuri diferite ? Răspuns: Este posibil, deoarece pentru 5 elevi există 6 posibilităţi de a ajunge de la şcoală la bibliotecă trecând pe lângă stadion. 5.15.5.

Probleme de perspicacitate şi ingeniozitate

Problemele care aparţin acestei categorii cer de fiecare dată pentru soluţionare o nouă cale sau metodă, care de fiecare dată cere o nouă modalitate de cugetare. Astfel de probleme pot fi rezolvate deja din clasa Ia. 1. Doi copii au împreună 8 pere. După ce umil din copii a mâncat o pară, iar al doilea - 3 pere, ambilor le-a rămas un număr egal de pere. Câte pere a avut fiecare dintre copii? 2. Un pix este de 2 ori mai scump decât un creion, iar o gumă de 3 ori mai ieftină decât un creion. Creionul, pixul şi guma împreună costă 10 lei. Cît costă guma? 3. Sânt dale numerele 16 şi 4. La cât trebuie de împărţit primul număr şi la cît de înmulţit al doilea, încât să se capete numere egale? 4. Cât este ora, dacă partea de timp ce a rămas este de 5 ori mai mare decît partea ce a trecut? 5. scară a unui escalator cu 100 de trepte este suficientă pentru a ajunge la înălţimea unei case de 40 etaje. La ce înălţime se poate ajunge pe o scară a escalatorului care are 600 trepte? 6. Un graur zboară de 2 ori mai încet decât un cuc şi de 3 ori mai încet decît un lăstun. Lăstunul zboară cu o viteză de 150 m pe oră. Determină viteza de zbor a graurului, cucului şi lăstunului. 5.16. Cultivarea creativităţii elevilor în activitatea de rezolvare şi de compunere a problemelor Activitatea matematică implică gândirea creativă. În clasele primare se formează noțiuni-elementare, cu care omul va lucra pe tot parcursul vieţii, noţiuni pe care se clădeşte întregul sistem de achiziţii necesare. Este incontestabilă contribuţia matematicii la formarea unei gîndiri logice, concrete si creative, la formarea unor deprinderi de muncă intelectuală, de ordonare şi punctualitate. Conceptul de creativitate este utilizat cu sensul de „potenţial creativ‖, de suma de însușiri şi factori psihologici ai unor viitoare performanţe creatoare. O condiţie fundamentală a creativităţii este inteligenţa, ea fiind una dintre cele mar generale aptitudini umane şi un atribut al tuturor proceselor cognitive, având

particularităţi specifice: capacitatea de a surprinde repede şi cu precizie trăsăturile definitorii ale unui obiect, de a sesiza ceea ce este esenţial, general, repetabil dm percepţiile anterioare, de a organiza şi structura rapid și selectiv, de a combina si a stabili relaţii intre idei, imagini, lucruri sau fenomene la diferite nivele de abstracţie sau intuiţie. Inteligenţa este o condiţie necesară, dar nu și suficientă a creativităţii. Realizarea acţiunii de creaţie solicită fantezia, unele aptitudini speciale, implicarea factorilor motivaţionali: curiozitatea, interes pentru cunoaştere, precum și anumite trăsături ale personalităţii. Într-un sens mai larg creativitatea este combinată cu capacitatea gândirii umane de a găsi metode, soluţii, idei noi. La nivelul copiilor din ciclul primar orice rezolvare de situaţii de problemă constituie în acelaşi timp o manifestare a creativităţii gândirii lor. Principala caracteristică a gândirii creative la elevi este noutatea sau originalitatea soluţiei găsite, a ideii emise. Considerăm că in ciclul primar se formează premisele pentru dezvoltarea ulterioară a creativităţii. Copilul de vârsta şcolară mica adoptă o atitudine creatoare atunci când, este pus in fața unei probleme şi structurează datele, descoperă căile de a rezolva într-un mod personal. Rezolvarea de probleme, şi în mod deosebit, compunerea de probleme matematice, prezintă o prioritate pentru dezvoltarea flexibilităţii gândirii şi constituie un cadru optim pentru cultivarea creativităţii. In rezolvarea problemelor, gândirea elevilor este mereu confundată cu o necunoscută. Pentru descoperirea ei, elevii emit ipoteze, întreprind diverse căutări, stabilesc diferite relaţii, fac combinaţii pentru a găsi drumul spre rezolvare. Pe măsura ce ei pătrund în miezul problemei, necunoscuta se lasă descoperită. Printre procedeele folosite in activitatea de rezolvare a problemelor enumerăm:  Complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebării;  Rezolvarea problemei prin doua sau mai multe procedee;  Scrierea rezolvării problemei intr-o singura expresie;  Alegerea celei mai scurte si mai eficiente cai de rezolvare;  Determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o anumită categorie şi încadrarea sau nu a unei probleme într-o anumita categorie de probleme;  Transformarea problemelor compuse in exerciţii astfel încât ordinea operaţiilor să fie in succesiunea judecăţilor şi a realităţilor corespunzătoare conţinutului problemei;  Transformarea problemelor compuse în exerciţii cu paranteze, care să indice ordinea operaţiilor;  Transformarea şi compunerea din 2 sau 3 probleme simple a unei probleme compuse. În rezolvarea problemelor este greu de precizat pînă la ce nivel avem de a face cu gândirea obişnuită şi de unde începe să se manifeste gândirea creatoare. Şi una, şi cealaltă conţin operaţii de analiză şi sinteză, generalizări, abstractizări, idealizări. Creatoare este si gândirea unui elev care găseşte rezolvarea unei probleme pe o cale diferită sau mai elegantă decât cea din manual sau cea care a fost prezentată de învățător în clasă. Compunerea problemelor este un din modalitățile principale de a dezvolta gîndirea independentă și originală a copiilor, de cultivare și educare a creativității gîndirii lor. Se pot compune si crea probleme în următoarele forme şi următoarele succesiuni graduale:  probleme acţiune sau cu punere in scenă;  probleme după tablouri sau imagini,  probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior;  probleme după un plan stabilit;  probleme cu indicarea operaţiilor matematice ce trebuie efectuate;  probleme cu mai multe întrebări posibile;  probleme cu o întrebare dată şi cu mai multe conţinuturi date, precum și date şi relaţii intre date ale conţinutului,  probleme cu întrebarea probabilă;  probleme cu un început dat, cu sprijin de limbaj;  probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;  probleme după un exerciţiu simplu sau compus;

 probleme după un model simbolic;  probleme cu modificarea conţinutului si a datelor;  crearea libera de probleme. În elaborarea textului unei probleme este necesar ca învăţătorul să utilizeze date și expresii reale. Conţinutul problemei ce urmează a fi propus trebuie astfel formulat, încă să permită elevilor formarea de reprezentări ale acţiunii veridice, să-şi fixeze date care să fie în concordanţa cu realitatea. În activitatea de compunere a problemelor trebuie să se ţină seama de posibilitățile elevilor prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea liberă la cea îngrădită de anumite cerinţe, din ce în ce mai restrictive. Învăţătorul are sarcina să conducă o vastă activitate, prin indicaţii clare, prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerințe raționale, să canalizeze gândirea si imaginaţia copiilor spre asociaţii din ce în ce mai puţin întîmplătoare. In acelaşi timp, sa-i facă pe elevi să aibă încredere în ei, să le educe calităţi moral-volitive, să le dezvolte interesul şi sensibilitatea la probleme noi, să fie receptivi la situații de problemă cu conţinut matematic. Compunerea de probleme în clasele 1-IV poate constitui o premisă reală şi eficientă pentru o viitoare muncă de cercetare, pentru activitatea ulterioară de creaţie şi, cu certitudine, o modalitate sigură de sporire a rolului formativ al învăţământului sistematic din ciclul primar, în strânsă corelaţie cu celelalte discipline de învăţământ. Adeseori ne-am întrebat: cum putem uşura activitatea independentă a elevilor? Cum să predăm pentru ai face să aştepte cu bucurie ora de matematică? Cum am putea face ca elevii să înţeleagă structura logică a unor probleme mai dificile? Ce activitate didactică face posibilă înţelegerea matematicii de azi? La aceste întrebări şi la multe altele găsim răspunsul prin folosirea jocului didactic şi a compunerii problemelor în predarea matematicii. Cultivarea creativităţii la elev impune anumite cerinţe, dintre care menţionăm: învățătorul să insufle elevilor o atitudine şi un stil de gândire creator, crearea unei atmosfere permisive, orientarea elevilor spre nou, încurajarea efortului creativ al elevilor încă de la primele manifestări În clasele mici se formează noţiunile matematice de bază necesare întregii vieţi. Astfel, se formează deprinderi de calcul numeric oral şi scris, deprinderi de rezolvare a exercițiilor şi problemelor, de măsurare, de aproximare etc. De aceea, considerăm că educarea creativităţii elevilor în clasa I-a se poate realiza prin utilizarea jocului didactic matematic şi prin compunerea de probleme. Proaspătul şcolar va face faţă unui adevărat asalt de cunoştinţe şi informaţii doar îmbinând jocul şi creativitatea cu învăţarea. Creativitatea este un fenomen complex sau poate fi considerată un complex de fenomene. De aceea, este foarte greu să se dea o definiţie creativităţii. Pentru unii, creativitatea înseamnă a produce ceva nou şi de valoare. Alţii, conchid că este doar procesul prin care se realizează produsul. Sânt şi cazuri în care se susţine că orice rezolvare de probleme noi, ţine de creativitate. Se rezolvă probleme de tipul: Ștefan are 4 mere, apoi primeşte de la Vasile 5 mere şi îi dă Ioanei 8 mere. Câte mere are acum Ştefan? Elevii alcătuiesc exerciţiul de rezolvare a problemei. 4+5-8=1 O altă sarcină sub formă de situaţie de problemă în clasa l-a este de al ajuta pe elev să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie să treacă de la fragmente separate la sesizarea enunţului problemei ca un tot întreg, de la relaţii dintre perechi de date la întregul film al rezolvării, care este dinamic şi îmbină după o logică riguroasă fragmentele. O problemă este mai dificilă cu cât ea diferă mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu cât situaţia nouă cere o restructurare mai profundă a experienţei anterioare. Dat fiind faptul că posibilităţile şcolarului mic de folosire a cunoştinţelor şi de raportare a relațiilor vechi la cele noi sunt încă insuficient dezvoltate, acţiunile principale ale învăţătorului trebuie să fie orientate în această direcţie. Deoarece elevul nu sesizează ansamblul problemei, nu prinde toată problema în întregime sau pierde ideea care l-ar duce la rezolvare, nu îşi dă seama rapid în ce mod poate folosi rezultatele parţiale, activitățile pregătitoare şi de

rezolvare ale învăţătorului trebuie să urmărească înţelegerea de către elevi a specificului rezolvării prin crearea unui mod simplu de rezolvare pentru problemele care, deşi par diferite, au în esenţă aceeaşi structură şi moralitate de rezolvare. De asemenea, încă din clasa I, elevii au învăţat că după rezolvarea problemei să extragă principiul ei de rezolvare într-o formulă literală cu caracter general. În clasele I-a şi a II-a elevul nu dispune nici de mijloace mintale eficiente, lipsește experienţa bogată care să le ofere „idei‖ în privinţa căutării de soluţii. Odată cu acumularea experienţei şcolare, prin rezolvarea unor probleme similare creşte capacitatea de a lucra mai sistematic mai creativ. în acest caz, exerciţiul, „antrenamentul‘, joacă un rol hotărîtor. Psihologii afirmă pe drept cuvânt că nu există metode „naturale‖ care să apară spontan în rezolvarea problemelor. Elevul învaţă metodele de rezolvare a problemelor aşa cum învață multe alte lucruri, iar practica ne arată că prin exerciţii multilaterale şi cu grade de dificultate diferite, el capătă şi capacitatea de a fi cât mai independent în rezolvarea de probleme. Rezolvarea de probleme duce la dezvoltarea caracterului critic al gîndirii creative. Începând din primele clase dezvoltăm la şcolarii mici însuşirile gândirii critice și creative. Acum se pun bazele „atitudinii critice‖ faţă de cunoştinţele însuşite, mai întîi, apoi faţă de faptele, acţiunile, conduita celor din jur şi apoi faţă de cea proprie. Din practica de lucru a celor mai eminenţi pedagogi este cunoscut că cea mai atractivă şi mai productivă activitate a elevilor este acea ocupaţie, în care ei îşi pot realiza capacităţile lor creative performante. Asemenea ocupaţii urmăresc cum anume de organizat lucrul cu elevii din clasa I-a pentru ca ei să activeze cu interes şi plăcere în cadrul orelor de matematică şi să-şi creeze propria sa imagine pentru ea. Lecţia de rezolvare a problemelor capătă o nouă orientare şi noi valenţe formative ca urmare a sporirii caracterului formativ al procesului învăţării. a) Judecata problemei ca acţiune de înţelegere a relaţiilor dintre date, text şi întrebare concretizează prin schemă ca rezultat al învăţării, prin descoperire, problematizare şi algoritmizare, prin solicitarea funcţiilor de flexibilitate și creativitate a gândirii elevilor. b) Rezolvarea problemei ca acţiune operaţională specifică formării şi perfecţionării algoritmilor matematici având ca element de sprijin raţionamentul problemei, ilustrat prin judecăţi parţiale, prin elementele componente ale schemei. Judecata problemei ca moment prioritar în predarea şi rezolvarea problemelor matematice dm acţiune verbală după sistemul tradiţional capătă caracter intuitiv, ceea ce ne dă posibilitatea să verificăm şi să cunoaştem gradul de funcţionalitate al gândirii elevilor precum şi ritmul calculului matematic în activitatea independentă a elevilor. Lecţia prin noul concept, pe lângă faptul că îşi sporeşte caracterul practic aplicativ, are şi calitatea de a dirija atenţia elevilor în direcţii precise în funcţie de sarcinile specifice ale fiecărui moment al lecţiei. In rezolvarea unei probleme, în mod conştient, elevul depune un efort, își mobilizează procesele psihice, în primul rând gândirea. Deci una din valenţele educative ale rezolvării de probleme este dezvoltarea gândirii cu operaţiile sale (analiza, sinteză, comparaţia, abstractizarea, profunzimea şi rapiditatea). Creativitatea - este o oportunitate a învăţării. In clasa a II-a conţinutul problemelor treptat se complică. După conţinutul dat elevii trebuie să formuleze întrebarea problemei și să o rezolve prin două operaţii. In clasa a III-a şi, în special, în clasa a IV-a activitatea de compunere a problemelor devine mult mai extinsă datorită însuşirii metodologiei de rezolvare a problemelor tipice și a problemelor ne tipice.

CAPITOLUL VI METODOLOGIA STUDIERII ELEMENTELOR DE GEOMETRIE 1.1 Obiective generale

1. intelegerea intuitivă a faptelor geometrice exprimate de enunţuri şi dezvoltarea treptată a rationamentului logic corect cu referire la cosmografia mediului ambiant şi a fenomenelor spaţiale ale materiei. 2. dezvoltarea reprezentărilor spaţiale la elevii claselor primare ca bază reală pentru dezvoltarea raţionamentului logico-deductiv. 3. dezvoltarea spiritului de observaţie. 4. dobindirea de cunoştinţe ştiinţifice: forme ale anumitor obiecte ale lumii reale; mărimi, relatii şi diverse relaţii de mărime dintre aceste obiecte sau dintre elementele componente ale aceluiaşi obiect. 5. rafinarea operaţiilor de analiză şi sinteză, de inducţie şi deducţie în baza descoperirii legaturilor reale existente dintre proprietăţile figurilor şi corpurilor, precum şi detaşarea treptata prin abstractizare a relaţiilor speciale în structura figurilor şi corpurilor geometrice. 6. dezvoltarea raţionamentului logic abstract specific geometric şi a motivaţiei acestuia. 7. cunoasterea principalelor aspecte metodologice, idei şi sugestii metodice privind p-î-e elementelor de geometrie în clasele primare 8. folosirea instrumentelor şi a modelelor didactice intuitive cu valoare formativă. 9. argumentarea afirmaţiilor matematice cu conţinut geometric. 10. Promovarea unităţii dintre intuiţie şi logică în însuşirea conţinuturilor de învăţare cu elemente de geometrie. 11. Dezvoltarea capacităţii de a aplica cunoştinţele de geometrie în lucrări practici in rezolvare de probleme şi în soluţionarea unor situaţii de problemă atestate în cotidian. 6.2. Specificul studierii geometriei Prin studierea elementelor de geometrie în clasele primare se urmăreşte de a forma la elevi competenţe fundamentale cu referire la obiectele din lumea reală pornind de la observări realizate asupra mediului ambiant. Utilizând activităţile de construcţie geometrica, desen exact sau schematic, prin plieri şi măsurări, învăţătorul trebuie să asigure implicarea tuturor receptorilor în perceperea lumii prin figurile şi corpurile geometrice şi crearea fundamentului logic şi intuitiv necesar cunoaşterii ştiinţifice a lor. In procesul formaii cunoştinţelor elevii trebuie conduşi în mod treptat să se poată ridica de la nivelul nr imagini vizuale la cele mai sofisticate abstractizări-schematizări ale obiectelor din im( cotidian, fără a avea în faţa săniei obiectul nici desenul lui. Geometria este cel mai abstract obiect de studiu în matematica preuniversilmn studierea acestui obiect pe parcursul anilor de şcoală se deosebesc trei trepte: treapta introductivă propedeutică, care începe încă în cadrul ocupaţiilor din grădiniţa de mpt urmează în anii de şcoală în clasele primare şi în clasele a V-a a Vl-a din gimnaziu, ni bazează pe metodele didactice intuitiv-ilustrative în clasele primare şi intuitivdeniiiinln în clasele a V-a şi a Vl-a, fiind urmate de aplicaţii practice; cursul sistematic al geumr în clasele a VH-a a VlII-a se bazează, în special, pe aplicarea practică a proărietatilor caracteristice a figurilor geometrice şi demonstrarea intuitivă logică a lor, cursul gemu axiomatice deductive în clasa a IX-a, şi, în special, în clasele liceale se aplică demomli riguroase bazate pe axiomatica strictă atât a geometriei plane, cât şi a geometriei spatiale. Pe tot parcursul studierii acestei discipline la fiecare din aceste trepte trebuie de apelat la rigoarea ştiinţifică a obiectului. În şcoala de cultură generală geometria se studiază aproximativ în acelaşi context cum a evoluat istoriceşte în conformitate cu metoda genetico-istorică de cercetare ştiintifica doar că sub o formă mult mai restrânsă, bine structurată şi ordonată, o ştiinţă deductiva ghidată în mod competent de cadrul didactic. Aceasta dictează faptul ca învăţarea elementelor de geometrie să se facă la iniţială predominant în mod intuitiv, iar mai apoi de la clasă la clasă să fie condusi sa realizeze operaţii de abstractizare şi generalizare necesare pentru înţelegerea im proprietăţilor şi relaţiilor specifice existente a figurilor geometrice studiate. În clasele I-a - a IV-a elevii cunosc un sistem de cunoştinţe despre formele obiectelor lumii reale,

mărimea şi proprietăţile fundamentale ale acestora, efectueaza masurari, determină mărimi şi lungimidistanţe, realizează calcule numerice, însuşeşte în mod practic intuitiv noţiunile geometrice şi elemente care mai apoi vor constitui un fundament logic notional necesar pentru intelegerea si invatarea corecta a cursului sistematic si logic construit de geometrie. Geometria are pentru elevii claselor primare un aspect educativ-instructiv pronunţat si contribuie la dezvoltarea facultăţilor mintale prin cele mai variate şi mai evidenţiate valente formative, asigurând pregătirea intelectuală a elevilor în următoarele direcţii: • Dobândirea de cunoştinţe ştiinţifice cu referire la cosmografia lumii reale ca spaţiu material infinit (dreapta, planul). • Dezvoltarea competenţei de a aplica cunoştinţele geometrice în practica de rezolvare a problemelor şi a construirii corecte a lumii reale prin figuri geometrice. • Dezvoltarea raţionamentului matematic corect bazat pe strategii structural spaţiale. 6.3 Necesitatea studierii geometriei Geometria, fiind unul dintre cele mai abstracte obiecte de studiu din şcoala de cultură generala , posedă unele dificultăţi pentru elevi în însuşirea noţiunilor. Profesorii, care predau cursul de geometrie, au un sentiment de nemulţumire profundă în privinţa stării nivelului cunostinţelor unei bune părţi dintre elevii săi. Nu ajută uneori nici orele de muncă individuală, nici cea suplimentară, pe parcursul cărora se încearcă a rezolva o mulţime deprobleme şi se repetă de nenumărate ori demonstraţiile unor şi aceleaşi probleme. Toate acestea nu se soldează cu rezultatele pe care le-am dori. Elevii mereu în continuu comit erori in rezolvarea problemelor celor mai simple şi se arată neputincioşi în demonstrarea de sine statator a unei teoreme recent învăţată. Care este problema? în ce constă această greutate? De ce multora dintre elevii care au note destul de bune la majoritatea obiectelor nu li se dă geometria? Răspunsul la această intrebare se poate găsi doar în analiza profundă a sistemului de predare a geometriei şi în particular în sistemul de formare a noţiunilor geometrice. Istoriceşte geometria a pierdut în faţa aritmeticii, matematicii elementare de astăzi care incep a fi studiată din clasa I-a, de la cea mai fragedă vârstă - de la 6 ani, când copilul poate percepe totul ce este practic şi explicit. Geometri, alt compartiment al matematicii, insa se studiază din clasa a Vl-a, când elevii ating o vârstă de 11-12 ani. O astfel de intirziere a studierii geometriei pedagogii metodişti, adepţi ai predării tradiţionale a geometriei, o motivează prin faptul, că obiectivul fundamental pe care îl urmăreşte studierea obiectului dat este dezvoltarea gândirii logice a elevilor, sau de-ai cunoaşte cu construirea unui sistem deductiv de cugetare şi care în clasele primare începe a fi pus în valorificare numai începând cu clasa a IV-a. Însă aceşti pedagogi metodişti, după cum şi mulţi psihologi şi autori de manuale uită şi de caracterul practic al acestui obiect şi importanţa lui incontestabila vitală necesară în orice activitate profesională cotidiană demonstrată de milenii de-a rândul. Uitând de latura practică metodiştii au transformat geometria ştiinţa de a masura pământul într-un obiect sec şi lipsit de vlaga fascinantă a importanţei practice a

aplicării noţiunilor ei fundamentale în cotidian, însă plin de nişte raţionamente sofisticate pentru mulţi elevi lipsite de sens. Este timpul de a-i da viaţă acestui obiect de mare importanţă atât intelectuală, cât şi practică un făgaş, care să-l poată pune la locul lui cuvenit de frunte - aşa cum l-au văzut marii pedagogi de-a lungul mileniilor. Trebuie de pus accentul pe indicarea aplicabilităţii teoriei riguroase în practică şi importanta incontestabilă. Este necesar de a introduce în cursul sistematic de rând cu teoria unele lucrări practice, care ar fundamenta necesitatea studierii materiei abstracte. Cursul tradiţional de geometrie ce se studiază actualmente în şcoală cere de la el să posede un nivel de pregătire generală destul de înalt, pe care ei nu-1 pot achizitiona in rezultatul instruirii efectuate în cadrul prevederilor curriculumului actual. Lipsa unei asemenea pregătiri şi este izvorul apariţiei problemei schimbării paradigmei pregatirii elevilor către începutul studierii cursului sistematic de geometrie. Această problemă nu este deloc nouă. Încă către sfârşitul secolului al XlX-lea eminentul pedagog german --matematicianul specialist în domeniul geometriei Felix Klein, iniţiind reforma matematicii şcolare a pus accentul pe fuziunea matematicii şi pe latura practică a ei, îndeosebi in clasele primare, în care un loc prioritar îi revenea studierii elementelor de geometrie. Problema asa şi nu a fost soluţionată complet. Au existat pe parcursul timpului o mulţime de proiecte: sovietice - a lui N.M. Beskin (1947), a lui A.S. Pcelko (1949), a lui S E. Leapm (I'" M lui AM. Pâşkalo (1963-1973), alui A.A. Stolear (1964), a psihologului olandez I1 II Haile (1959), a psihologilor elveţieni J. Piaget şi V. Inelider (1963), care printr-o multime de experimente şi pe arii destul de extinse au demonstrat că elementele de geometrie trebuie de studiat în paralel şi îmbinate cu aritmetica matematica elementară încă din clasele primare şi în mod

sistematic. Pentru soluţionarea acestei probleme este necesar d un curs propedeutic serios de studiere a geometriei împletit destul de armonios cu matematica claselor primare. În acest mod geometria, ca obiect de studiu în şcoala de cultura generală, adică la ciclul preuniversitar, va fi compusă din cursul propedeutic ( clasele I-VI) si cursul sistematic (clasele VII-XII). Tot odată acest curs va îndeplini cu strictete acele prevedere cu referire la didactica metodelor de predare, propuse de F Klein : in clasele primare să predomine metodele intuitiv-ilustrative, în clasele gimnaziale metode aplicative şi de calcul practic cu elemente de demonstraţii, iar în clasele liceale - cele axiomatic-deductive, însă dacă este posibilitatea de a arăta în mod ilustrativ vre-o prezentare a unui raţionament logic complicat, fie şi în clasa a XII-a, apoi de realizat astfel de metode, deoarece ele sânt forma cea mai convingătoare în paralel cu teoria abstractă. 6.4. Unele schimbări recomandabile în sistemul de instruire,unele diversităţi ale strategiilor didactice, care activizează procesul de studiere a elementelor de geometrie în clasele primare Care ar fi principiile de bază în planul schimbării conţinutului structurii si caracterului sistemului instructiveducativ al copiilor, în special, în clasele primare. În primul rând la acestea se referă: 1. Caracterul educativ şi evolutiv al întregului proces instructiv, în baza cărui stau de rând cu conţinuturile metodele şi strategiile didactice. 2. Instruirea într-o strânsă legătură cu practica cotidiană. Diverse observaţii, lucrări practice şi experimente, analiza celor mai variate situaţii din cotidian, elaborarea în procesul de achiziţionare a cunoştinţelor şi a formării noilor competenţe a unui comportament corect al elevilor

faţă de ele. Aplicarea corectă şi pricepură a cunoştinţelor căpătate practica cotidiană a elevilor. 3. Orientarea practică în procesul instructiv-educativ: se formează şi se dezvoltă un şir larg de deprinderi de muncă instructivă, în scopul de a contribui la o susţinere şi o promovare mult mai raţională a elevilor în procesul instructiv- educativ şi ca să servească ca un mijloc sigur şi pentru autoinstruirea elevilor, creând o mulţime de reprezentări primare, necesare pentru a sesiza corect fenomenele şi procesele ce au loc mediul ambiant, pentru dezvoltarea în continuare a procesului de cugetare logică corectă. In sensul studierii elementelor de geometrie, trebuie de menţionat, că studierea geometriei la etapa actuală începe imediat cu măsurări, evitând faza calitativă de transformare a operaţiilor spaţiale în operaţii logice (după J. Piaget şi V. Inelider). Este cunoscut, că dezvoltarea operaţiilor de studiere a elementelor de geometrie la copii are loc in directie contrară, adică primele operaţii geometrice care se altoiesc mai calitativ la copii sint cele calitative şi nu cele cantitative. Din această cauză şi în modulul propus în continuare cunoaşterea elevilor cu elemente de geometrie la etapa iniţială are loc în planul formarii operaţiilor calitative: studierea formei, poziţiile aranjărilor reciproce, relaţii etc. Şi doar mai apoi, ceva peste un timp, încetul cu încetul se formează operaţiile calitative: masurarile, comparările. Un astfel de aranjament, după cum menţionează savanţii, care au experimentat , dă posibilitatea de a începe a studia geometria de la o etapă mult mai devreme. Procesul evolutiv de studiere a geometriei trebuie să fie continuu, lent (fară supradozarila unele etape) şi foarte variat (de a cerceta şi studia în cele mai variate plane relatiile spaţiale).

Diversificarea trebuie înţeleasă în sensul de a-i cunoaşte pe elevi cu geometria plană şi spaţială. Elevul bine şi conştient însuşeşte acel conţinut, care este o urmare a activităţii lui cugetătoare şi nu un lucru dat de-a gata. Însărcinările propuse conţin un sistem de lucrări, care necesită o activitate intensă gândirii creative. 6.5 Nivele generale de dezvoltare a competenţelor matematice cu referire la studierea geometriei în şcoala de cultură generală Competenţele matematice, care trebuie formate în rezultatul unei studieri bine chibzuite a geometriei, pot fi divizate în aşa numite simbolic cinci nivele de evoluţie a gindirii logice geometrice propuse de A.M. Pâşkalo şi experimentate de către P.-H. Van Haile. Nivelele de gândire geometrică sânt nişte noţiuni foarte complicate şi sofisticate. Procesul complex al evoluţiei gândirii geometrice nu poate fi reflectat complet în aceste cinci nivele propuse, însă ele permit de a evidenţia din mulţimea factorilor cu legumit reciproce şi complexe, care caracterizează particularităţile evoluţiei gândirii în genere şi de a cerceta în mod izolat cele mai esenţiale părţi ale evoluţiei gândirii geometrice. Nivelul I. Acesta este nivelul iniţial. El se caracterizează prin faptul, că noţiunile geometrice (in special figurile şi corpurile geometrice) se acceptă ca un tot întreg. Elevii nu intră în in esenta noţiunii, mai ales ca să vadă părţile componente sau elementele figurii sau corpului, nu reproduc raporturile şi relaţiile dintre elementele lor, cât şi relaţiile dintre însăşi figurile sau corpurile geometrice. Ei nu pot compara între ele chiar şi cele mai apropiate după gen figuri. La acest nivel este destul ca elevii prin raţionamentul său să poată recunoaşte şi deosebi figurile după forma lor ca un tot întreg. Elevul recunoaşte, de exemplu, drept minimi pătratul şi alte figuri geometrice. El comparativ uşor şi în mod accesibil memorizeaza

denumirile lor. Însă după forma lor dreptunghiul el îl acceptă complet diferit de patrat. Elevul destul de lejer poate reproduce un pătrat, un dreptunghi, un triunghi, un romb, un paralelogram la general. El poate memoriza denumirile acestor figuri, să le deosebeasca doar după forma lor, însă el nu vede în pătrat un romb, în romb un paralelogram Acestea pentru elevul clasei I-a încă sânt lucruri complet diferite Nivelul II. (Clasa a IlI-a a IV-a) La nivelul al doilea elevii deja încep a deosebi elementele figurilor, a stabili relaţiile de legătură între aceste elemente şi între unele figuri aparte, adica la acest nivel deja se produce analiza figurilor reproduse. Aceasta decurge si prin intermediul observărilor, măsurărilor, desenării, modelării. Proprietăţile figurilor se determină experimental, ele doar se descriu, însă ne se definesc. Aceste proprietati determinate de către elevi servesc lui ulterior pentru a recunoaşte figurile. La aceasta etapa figurile sânt privite ca purtătorul acestor proprietăţi şi se recunosc de către elevi anume dupa aceste proprietăţi. Insă aceste proprietăţi încă nu se leagă reciproc unele de altele. De exemplu, elevii observă, că şi la dreptunghi, şi la paralelogram în formă generala laturile opuse două câte două sânt egale între ele, însă elevii încă nu ajung la concluzia ca dreptunghiul este un paralelogram. Nivelul III. (Clasa a V-a a Vl-a) Elevii, care au atins acest nivel de dezvoltare a insusirii noţiunilor geometrice, deja pot realiza unele legături între elementele figurilor si intre figurile geometrice. La acest nivel are loc ordonarea logică după o anumită ierarhie a proprietăţilor figurilor şi a însăşi figurilor geometrice una în raport cu alta. Se determina posibilitatea de trecere a unei proprietăţi în alta sau transferare a unei

proprietăţi din alta; se clarifică rolul şi locul definiţiei unei noţiuni. Legătura logică dintre proprietăţile figurii si dintre figurile geometrice se determină cu ajutorul definiţiilor. Însă importanţa deductiei la grad general nu este încă pe înţelesul elevilor. Ierarhia urmărilor logice se determina cu ajutorul manualului sau a profesorului. Însăşi elevii încă nu pot vedea posibilitatea de a schimba ceva în această ierarhie, nu văd ordinea şi modalitatea de clasificare a acestei ordonări, nu văd posibilitatea construirii teoriei, reieşind din anumite diverse conditii sau premize. Încă nu se percepe corect rolul axiomelor. Elevii nu văd clar acel minimum de propozitii logic legate între ele. La acest nivel în paralel cu lucrările practice sau experimentul apar şi unele metode deductive, ceea ce permit, din unele proprietăţi deduse în mod practic sau experimental, de a căpăta alte proprietăţi pe calea raţionamentului logic. La acest nivel elevul deja poate considera pătratul dreptunghi, paralelogram sau patrulater. Nivelul IV. (Clasa a VII-а a VIII-a) Acei elevi, care au atins nivelul patru de însuşire a noţiunilor geometrice, disting clar importanţa deducţiei în plan general ca un procedeu de construire şi dezvoltare a întregii teorii a geometriei. Trecerea la acest nivel este condiţionată de anumite capacităţi pe care trebuie să le posede elevul contribuie la sesizarea (înţelegerea esenţei lor) rolului şi esenţei unei oarecare axiome, definiţie, teoremă; structura logică a unei oarecare demonstraţii concrete; analiza legăturilor logice dintre noţiuni şi dintre propoziţiile matematice adevărate şi false. Elevii deja văd clar diferite varietăţi şi posibilităţi de dezvoltare a unei teorii matematice, reieşind din diverse condiţii sau premize, şi pot în mod conştient să aplice construcţii deductive nu doar în baza studierii unei oarecare figuri

geometrice, ci ceva la un mult mai general şi mai sporit de abstractizare şi idealizare. De exemplu, elevul poate cerceta şi analiza logic corect tot sistemul de proprietăţi şi criterii ale unui paralelogram, luind la bază definiţia paralelogramului dată în manualul de bază. Însă este posibil de a construi şi un alt sistem de raţionamente, luând la bază, de exemplu, o astfel de definiţie a paralelogramului: „Paralelogramul este patrulaterul, la care două laturi sânt egale (congruente) şi paralele‖ sau „Poligonul cu patru laturi, la care două câte două laturi sânt egale (congruente) şi paralele‖. Nivelul V. Acest nivel de cugetare în domeniul geometriei corespunde etalonului modem a rigorii matematice (după D. Hilbert). La această etapă se atinge perfecţiunea matematică de sustragere de la natura concretă a obiectelor şi sensul concret al relaţiilor, care leagă aceste obiecte, Elevul, care cugetă la un asemenea nivel, operează cu teoria geometriei şi o poate dezvolta fără nici o oarecare interpretare concretă naturală. Geometria în acest caz capătă un caracter general de abstractizare şi o aplicare mult mai largă, când, de exemplu, punctele servesc ca nişte obiecte oarecare, fenomene sau stări, iar figurile geometrice – orice conglomerari de puncte etc. Această etapă este etapa supremă de abstractizare şi idealizare geometrica. Ierarhia acestor nivele indică calea posibilă de formare şi perfectare a noţiunilor geometrice în cadrul orelor de studiere a geometriei. În cadrul acestei teze ne vom opri doar studierea elementelor de geometrie, care pot fi însuşite pe parcursul anilor de învăţare a matematicii la ciclul primar. Trecerea de la un nivel la altul nu este un proces aleatoriu de sine stătător, care decurge odată cu dezvoltarea biologică a individului şi care depinde doar de vârsta lui. Evolutia,care duce

la un nivel mult mai superior faţă de cel precedent de cugetare geometrica (după A.M. Pâşkalo, P.-H. Van Haile sau J. Piaget), decurge în fond în baza instruirii, şi de aceea depinde totalmente de conţinutul şi de metodele didactice aplicate ale acestui proces instructiv. Însă , un fapt este cert, nici o metodă didactică, cât de performanta nu ar fi, nu poate permite de a sări peste un nivel oarecare, fără a-1 însuşi. Trecerea de la un nivel la altul cere un interval oarecare de timp necesar pentru a asimila conţinutul concret însă variate metode didactice pot regula acest interval de timp. În şcoală este cunoscut că există problema celor trei limbaje: limbajul elevului, care vine cu el la şcoală, limbajul învăţătorului sau a profesorului şi limbajul ştiinţific, limbajul expus în carte. Pe parcursul anilor de şcoală limbajul elevului prin intermediul limbajului învăţătorului apoi a profesorului se perfectează şi se transformă în limbajul ştiintific. Fiecărui nivel îi corespunde un anumit limbaj matematic, simbolica sa şi lanţul logic (initial neclar pentru elevi) de relaţii şi legături, care leagă. Trecerea de la un nivel la altul, adica la următorul, este legat de extinderea şi îmbogăţirea acestui limbaj (apariţia unor termeni geometrici noi şi a unor termini legaţi de logica matematică, definiţii, teoreme, o simbolica nouă). Din această cauză persoanele, care poartă discuţie asupra unui şi acelaşi subiect, insa care au atins în perfecţiunea sa diferite nivele de cugetare geometrici, uneori nu se inteleg unul pe altul, în special, acela care se află la un nivel mai inferior. 6.6. Metodologia studierii elementelor de geometrie în clasele primare Partea fundamentală a conţinutului elementelor de geometrie, incluse în modulul propus şi realizat printr-un sistem minuţios selectat de însărcinări, este orientat spre formarea unui sistem cât mai complet de reprezentări geometrice, care in

sine imaginile figurilor geometrice, elementele lor, relaţii dintre figuri şi elementul compararea prin analogie a figurilor geometrice cu obiecte din realitatea cotidiană. În baza acestora se formează reprezentările spaţiale şi o bogată imaginaţie sau o fantezie creativa, se dezvoltă vorbirea, limbajul adecvat şi modalitatea de cugetare logică la elevi, se poate organiza un lucru bine orientat în direcţia formării unor deprinderi practice vitale importante,care contribuie în mod substanţial la o educare matematică de calitate. Pentru formarea reprezentărilor geometrice lucrul de studiere a elementelor de geometrie trebuie să se realizeze în următorul mod: diferite proprietăţi ale figuilor elevii le descoperă şi le evidenţiază în mod experimental, în paralel elevii însuşesc terminologia aferentă şi abilităţile necesare de a opera cu ele; partea principală a întregului instructiv-educativ trebuie să fie dedicată lucrărilor practice ale elevilor, observând de cunoaştere practică cu elemente de geometrie. Lucrând cu diverse obiecte, cu modele de figuri şi corpuri geometrice, realizind asupra lor un număr mare de observări şi experimente, elevii încep a deosebi cele mai generale proprietăţi ale lor (ce nu depind de materialul din care sânt confecţionate, de culori, de poziţie, de masă, de dimensiuni etc.), în baza cărora se formează reprezentarile geometrice corecte, imaginile figurilor şi corpurilor geometrice. În didactica formarii reprezentărilor geometrice este important de a merge de la lucrul concret, adică de la obiect spre figura sau corpul geometric, şi viceversa - de la imaginea figurii sau corpului geometric către obiectul real, care poate fi atestat în natură. Aceasta se poate realiza prin practicarea sistematică a materializării imaginilor geometrice De exemplu, linia dreaptă nu doar se desenează cu ajutorul riglei, închipuirea sau

reprezentarea ei o dă şi marginea - muchia riglei, o sfoară bine întinsă, linia îndoiturii foii de hârtie, marginea copertei cartii sau caietului, muchia băncii, linia intersectării a două plane (de exemplu, planul tavanului şi planul peretelui lateral, planul peretelui lateral şi planul podelei, linia de intersecţie a foilor din caiet etc.) Distrăgându-se de la proprietăţile concrete ale lucrurilor materiale, elevii insusesc corect reprezentările geometrice. De exemplu, se poate diversifica procedeul impartirii poligonului în părţi componente. Iniţial aceasta se poate realiza prin îndoirea hirtiei desenului, linia îndoirii indică împărţirea reală a poligonului. Se poate de construit un segment de dreaptă, care joacă acelaşi rol ca şi linia îndoirii. Aceste experimente este util de va fi prelungite, decupând poligonul după linia îndoirii în 2 poligoane reale. Ceva mai târziu aceeasi problemă este bine de a fi rezolvată pe desen, iniţial prin construirea unui segment, apoi prin separarea poligonului în părţi cu ajutorul creionului, riglei etc. In clasa I-a în fond se totalizează sub forma unui curs propedeutic de elemente de geometrie o cunoaştere primară cu figurile şi corpurile geometrice şi denumirile lor. Aceasta se realizează în baza examinării şi cercetării minuţioase a obiectelor din mediul ambiant, a modelelor, mulajelor şi a imaginilor figurilor geometrice. La micii elevi încetul cu incetul se formează o schemă, un model de cercetare a figurilor şi corpurilor geometrice, un algoritm de analiză şi sinteză, de inducţie şi deducţie, de abstractizare, generalizare şi idealizare, care înlesneşte cu mult însuşirea corectă a fiecărei figuri sau corpuri geometrice. Un loc prioritar în didactica studierii elementelor de geometrie trebuie să revină aplicarii procedeului de comparare şi contrapunere prin contraexemple a figurilor geometrice. In clasa

l-a aceasta permite dintr-o mulţime de figuri geometrice în mod intuitiv fară a apela cât de cât la definiţii de a evidenţia mulţimi concrete de cercuri, linii, poligoane etc.; în clasele mai mari de a preciza proprietăţile figurilor şi de a le clasifica după unele criterii vizibile. O atenţie prioritară trebuie de acordat contrapunerii şi comparării figurilor plane: cerc - poligon, cerc disc, linie - linie dreaptă - linie curbă - linie frântă, dreaptasemidreaptă etc.; sau a figurilor plane şi a corpurilor spaţiale: pătrat - cub, cerc – sfera opaca(bulă), disc - sferă, poliedru - corp de rotaţie etc. Acest lucru destul de necesar si de o importanţă incontestabilă trebuie de realizat în orice situaţie de creaţie reală posibilă: la orele de matematică, muncă, excursii tematice şi desen, în cadrul cărora reproducerea formei obiectului depinde de calitatea şi profunzimea analizei formelor lui geometrice. De exemplu când se urmăreşte sau se cercetează minuţios un cub sau obiecte sau lucruri, care au forma unui cub, urmează a depista cele mai caracteristice puncte, segmente, poligoane, forme si a le analiza prin analogie cu alt model; când este savurată o sferă se poate de atras atentia la forma ei ideală şi la perfectele ei secţiuni circulare sub formă de discuri. In procesul de formare a reprezentărilor geometrice este bine venit de a utiliza relaţiile pozitiilor reciproce posibile ce le pot ocupa figurile sau corpurile geometrice unele faţă de altele. Acest lucru joacă un rol decisiv nu doar numai în legătură cu studierea treptată în anumite etape a proprietăţilor figurilor geometrice şi a formării reprezentărilor, în baza căror ulterior figura sau corpul geometric dat va fi definită ca o mulţime de puncte, însă, în caz particular, va permite de a-i cunoaşte pe elevi cu proprietăţile diferitor relaţii. Deja la prima cunoaştere cu elemente de figuri geometrice în clasa I-a elevii realizează operaţii mintale, fie cât de simple, care ţin de metodele ştiinţifice de studiere matematică ca analiza şi sinteza,

analogia şi compararea, inducţia şi deducţia, generalizarea. Una dintre cele mai importante sarcini care îi revine învăţătorului, care determină metodologia corectă de instruire matematică la acest moment, este analiza detaliată a figurii sau corpului geometric dat, în baza cărora prin sinteză, analiză, inducţie, deducţie, generalizare pot fi evidentiate proprietăţile caracteristice (criteriile) esenţiale şi neesenţiale ale fiecărui corp sau a fiecarei figură geometrică aparte. De exemplu, esenţial pentru triunghi va fi nu poziţia lui în plan (pe hârtie), nu dimensiunile laturilor sau culoarea cu care a fost desenat, ci că figura dată poseda ceva caracteristic doar ei: trei laturi, trei unghiuri, trei vârfuri, pentru dreptunghi esential este, că e patrulater, are patru unghiuri şi toate drepte, două diagonale şi ambele congruente.Celelalte proprietăţi nu sânt esenţiale. În acest proces de instruire matematică apare de la sine necesitatea de a aplica terminologia matematică legată de compartimentul de geometrie şi logică matematică, de simbolică şi de desen. După cum arată rezultatele instruirii matematice în clasele primare, sub influenta acelui interes şi uşurinţă cu care elevii claselor primare acceptă nu doar adevărurile evidente simple, însă uneori şi unele fapte geometrice destul de complicate, învăţătorul începe a subestima utilizarea metodei intuitive şi practice în studierea elementelor de geometrie, nu execută acel minim de exerciţii, care sânt propuse, atrage foarte puţină atenţie la formarea deprinderilor practice. Un atare învăţător păşeşte pe o cale destul de nesigură şi periculoasa de formare a cunoaşterii formale a elevilor claselor primare cu elemente de geometrie. El, de obicei, începe a-i cunoaşte pe elevii săi cu figurile şi corpurile geometrice nu pe calea observaţiei, preparării din hârtie şi desenării, ci a enunţării unei definiţii formale, doar pe calea verbală (o discuţie, o descriere fără a indica modelul etc ), modalităţi, care nu au sorti de

izbândă, deoarece elevii nu sesizează sensul logic al cuvintelor şi ei nu pot nu pot retine conglomeratul noianului de cuvinte noi lipsite de un înţeles logic la momentul dat. De exemplu, învăţătorul transmite elevilor acea definiţie a segmentului de dreaptă, care el a reţinut-o din cursul de geometrie, crezând, că aceasta este îndeajuns pentru a crea reprezentarea corespunzătoare la elevi cu referire la noţiunea de segment de dreaptă. O astfel de prezentare a noţiunii de segment este destul de prematură. Chiar si daca elevii au reţinut ceva din această convorbire sau lămurire, atunci în mod pozitiv asupra conştiinţei lor poate acţiona nu atât cuvintele învăţătorului, cât demonstrarea desenului sau însuşi procesul de desenare a acestui segment. Mai mult chiar, bunul învăţător trebuie sa reţină bine, că a defini o noţiune nouă pentru elevi - înseamnă cât mai precis şi cit mai exact să evidenţieze acea totalitate de elemente, care sânt cuprinse de noţiunea dată. Pentru aceasta elevii trebuie să cunoască toate particularităţile şi proprietăţile esenţiale a notiunii definite şi să poată verifica, dacă posedă sau nu obiectul dat toate proprietăţile esentiale necesare. De aceea, de exemplu, pentru a sesiza corect noţiunea de segment de dreapta, pe care învăţătorul doreşte de a-1 comunica elevilor, elevii trebuie să aibă cunoştintă de asa reprezentări clare despre: linia dreaptă şi toate proprietăţile caracteristice ale unei drepte, unele puncte ale dreptei, care în cazul dat mărginesc segmentul dat şi aparţin dreptei. Este de dorit ca învăţătorul să-i ghideze pe elevi pe mulţimea punctelor de pe dreaptă, care aparţin segmentului dat şi care nu, adică se află în afara segmentului. Învăţătorul trebuie să ştie că orice definiţie a unei noţiuni noi trebuie să se bazeze pe o noţiune mai extinsă, de cât cea nouă şi bine cunoscută elevilor, care la rândul ei poate fi definită în baza unei noţiuni şi mai extinse. De exemplu, noţiunea de pătrat se

poate defini in baza noţiunii de dreptunghi, care este o noţiune mult mai extinsă, care la rândul ei se poate defini în baza noţiunii de paralelogram, patrulater, poligon etc. Un astfel de lanţ de apelări nu poate continua nelimitat. Odată trebuie să ajungem la nişte noţiuni, cele mai extinse şi mai generale , pentru care nu se mai poate indica genul apropiat. Astfel de noţiuni se numesc primare şi ele, de obicei, nu se definesc. In geometrie astfel de noţiuni sânt: punctul, dreapta, planul şi relaţiile de apartenenţă, ordonare, incluziune. Învăţătorul trebuie destul de bine să conştientizeze, că necesitatea de a avea nişte notiuni fundamentale, care nu se definesc, ci se acceptă drept nişte adevăruri incontestabile, de la care pornim, cum în geometria ştiinţă - în mod analog ca şi în altă oarecare ştiinţă, astfel şi în toată geometria şcolară aceasta este inevitabil. De aceea, de exemplu, el poate efectua o greşeală grosolană matematică, în cazul când va pune în faţa elevilor săi astfel de intrebari lipsite de orice bază logică: „Ce se numeşte linie?", „Ce se numeşte punct?", „Ce se numeşte plan?" etc., deoarece aceste noţiuni sânt noţiuni fundamentale, care se acceptă fără a fi definite, mai ales prin indicarea genului şi a tipului de deosebire. Trebuie de avut în vedere, că în cursul şcolar de geometrie pe măsură ce elevii luminează şi achiziţionează câte mai multe cunoştinţe, îşi formează cât mai solide competenţe de la o clasă la alta sistemul de noţiuni tot variază şi se modelează continuu. De exemplu , în clasele primare astfel de noţiuni ca: segmentul, poligonul, unghiul etc., se acceptă ca noţiuni nedefinite. Însă deja în clasa a V-a ele se definesc. Din aceasta rezultă că in clasele primare nu au sens astfel de întrebări ca: „Ce este sau ce se numeşte segment? Ce este sau ce se numeşte poligon? Ce este sau ce se numeşte unghi?‖ etc., însă se pot pune astfel de întrebări

pentru noţiunile deja bine cunoscute de elevi ca: triunghi, pătrat etc. Copiii pot răspunde la o astfel de întrebare cam în următorul mod: „Triunghiul este un poligon (o figură geometrică), care are trei unghiuri (vârfuri, laturi)‖. Se accepta: definiţia notiunii de dreptunghi ca patrulater, care are toate unghiurile drepte; definiţia noţiunii de unghi ascuţit şi obtuz în baza noţiunii de unghi drept. Nu trebuie de cerut de la elevi teorie – ei trebuiie doar să deosebească şi atât. De obicei o sporire a unui nivel înalt de însuşite a noţiunilor elementare geometrice capata acei învăţători, care înţelegând necesitatea competenţelor geometrice, încearcă de a realiza o legătură între studierea elementelor de geometrie cu alte compartimente ale cursului de matematică, care se studiază la clasele primare. În baza acestor legături stă posibilitatea de a stabili relaţii între numere şi figuri, între proprietăţile numerelor şi cele ale figurilor geometrice. Aceasta permite de a utiliza figurile geometrice deja la formarea notiunii de mulţime şi de număr ca un cardinal al acestei mulţimi, a proprietăţilor numerelor, a operaţiilor asupra lor şi, desigur , în mod reciproc, de a utiliza numerele şi propietatile lor la studierea proprietăţilor imaginilor geometrice şi a relaţiilor lor. În clasa I-a figurile geometrice trebuie de aplicat de rând cu alte lucruri materiale ca obiecte pentru numărare. Astfel apar o multitudine de posibilităţi de a stabili legaturi organice între studierea elementelor de geometrie şi celelalte compartimente ale matematicii, care se studiază în clasele primare. Această legătură, în special se determina in baza neevidenţiată a elementelor de teorie a mulţimilor şi a logicii matematicii şi a celor mai simple reprezentări logico-matematice ce asistă în studierea figurilor geometrice, a relatiilor lor cu alte obiecte geometrice şi a proprietăţilor lor. La rândul lor pentru рrecizarea reprezentărilor

teoretice de elemente de teoria mulţimilor şi logică matematică ulterior se va putea aplica cunoaşterea figurilor geometrice, a relaţiilor dintre ele, care nu sânt definite un sistemul de definiţii, ci doar în descrierea proprietăţilor. În atare mod, deja în clasele primare se realizează cele mai simple clasificări a mulţimii unghiurilor (drepte şi nu drepte), mulţimii poligoanelor (după laturi), a liniilor (drepte şi nu drepte) etc. Studierea deosebirilor de gen şi tip îi pregătesc pe elevi către sesizarea corectă a definiţiilor, construite in baza indicării genului proxim şi a tipului. Aceasta dă, de exemplu, posibilitatea de a construi o metodologie corectă de a-i cunoaşte pe elevi cu noţiunea de dreptunghi astfel, incit in continuare elevii vor sesiza şi aplica corect şi competent deprinderea, că orişicare pătrat este un dreptunghi. Utilizarea însărcinărilor în care elevii notează sau evidenţiază punctele care aparţin sau nu aparţin figurii date, sânt incluse sau nu sânt incluse în figura sau mai multor figuri date, ajută în continuare de a considera figura geometrică ca o mulţime de puncte. Iar acesta la rândul ei permite într-un mod mult mai conştient şi mai fundamentat logic de a efectua operaţii de divizare a unei figuri geometrice în părţi componente şi de a căpăta figuri geometrice din alte figuri (decupare, suprapunere), adică de a realiza corect, în esenţă un mod neevidenţiat, a operaţiilor de reuniune, intersecţie, diferenţă, completare asupra mulţimilor de puncte. Unul dintre procedeele general metodico-didactice, care asigură insusirea conştiincioasă şi temeinică a competenţelor de elemente de geometrie, este formarea reprezentărilor spaţiale prin perceperea directă de către elevi a lucrurilor reale concrete, a modelelor materiale a imaginilor geometrice. În clasa l-a reprezentărilor spatiale se formează în procesul achiziţionării de către elevi a unei experienţe practice in cadrul studierii relaţiilor de poziţie reciprocă a obiectelor, exprimate prin cuvintele: mai

sus, mai jos, la dreapta, la stânga, la mijloc, între, în interior, în afară, de asupra, sub, de deasupra, de dedesubt, în faţă, din urmă etc. Învăţătorul trebuie în mod sistematic să ducă lucrul de zi cu zi de formare a competenţelor: de aplicare corectă a instrumentelor de desen şi de măsurare, de construire a imaginilor figurilor geometrice, de a descrie verbal diverse procese şi rezultate ale lucrarilor realizate de către elev, de a aplica corect simbolica şi terminologia studiată .Unul dintre cele mai importante momente didactico-metodic din realizarea acestui sistem este la etapa iniţială îndeplinirea acţiunilor în mod conştient şi doar mai apoi automatizarea acestora in acţiuni. Ca product final al instruirii în clasele primare trebuie să fie formarea reprezentarilor primare cu referire la precizia executării construcţiilor şi a măsurărilor. In clasa I-a elevii însuşesc deprinderile de a măsura şi construi segmente cu ajutorul riglei cu precizie de până la 1 cm. Calitatea atestării a acestor deprinderi permite deja către sfirsitul clasei a I-a de a realiza un lucru eficient în direcţia însuşirii a unui conţinut de elemente de geometrie mult mai complicat. În clasa a II-a aceste conţinuturi se aprofundează şi se automatizează şi perfectează aplicarea competenţelor formate, făcând cunostinte cu aplicarea măsurărilor la determinarea lungimilor segmentelor, a perimetrelor liniilor frânte şi a perimetrelor poligoanelor cunoscute. În clasa a IlI-a aceste cunoştinţe se aprofundează şi se extind prin însuşirea unor noi conţinuturi cu referire la cerc, disc şi elementele lor, la unghiuri plane, poziţia reciprocă a dreptelor şi a poziţiei punctelor faţă de o dreaptă, un segment sau de o oarecare figură geometrică plană, se formează competenţe de calculare a ariilor unor figuri plane cunoscute. În clasa a IV-a se formează competenţe de a

opera cu corpuri spaţiale şi a volumelor lor, cu drepte paralele şi perpendiculare. Lucrul pentru formarea acestor deprinderi trebuie de petrecut dozat şi câte puţin dar mereu în sporire şi în cadrul fiecărei lecţie de matematică şi nu numai. Aceasta contribuie destul de pozitiv în formarea competenţelor de a aplica aceste deprinderi în procesul instruv-educativ şi în activitatea practică cotidiană, care la rândul lor dau acestor deprindcri un fundament temeinic şi durabil. Pentru o selectare cât mai corectă a unei metodologii de instruire a elevilor din clasele primare învăţătorul trebuie să aibă cunoştinţe generale despre sistemul de însărcinări, care trebuie însuşite la capitolul ce se referă la elemente de geometrie. Acest sistem cuprinde în fiecare clasă însărcinări: a) în care obiectele geometrice sânt utilizate ca lucruri pentru numărare (cercuri, poligoane, elementele lor); în astfel de însărcinări se însuşeşte terminologia şi se formează deprinderile de a recunoaşte şi de a deosebi figurile; b) legate de formarea reprezentărilor cu referire la mărimile geometrice: lungime, arie şi deprinderile de a măsura segmente, ariile figurilor; c) de calculare, legate de găsirea perimetrului unui poligon, ariei unui pătrat, dreptunghi; d) cu referire la construirea unor figuri geometrice pe foaie de caiet în pătrăţele, pe o foaie curată ne liniată cu ajutorul riglei, echerului, compasului (fără evidenţa dimensiunilor); e) de construire elementară a figurilor după un parametru dat (triunghi cu un unghi drept, dreptunghi cu laturile date etc ), f) la clasificarea figurilor;

la descompunerea unei figuri în părţi componente (în acelaşi rând şi în părţi congruente) şi la compunerea unor figuri noi din alte figuri date; h) legate de formarea deprinderilor de bază a citirii unui desen geometric, de utilizare a notărilor literale; i) la determinarea formei geometrice a obiectelor sau a părţilor ei. Cunoasterea acestui continut il poate ajuta pe bunul invatator de a se orienta cit mai corect in selectarea insarcinarilor ce trebuie sa fie propuse elevilor in fiecare clasă în cadrul învăţământului primar, având în vedere aplicarea pricepută a competentelor formate în clasele primare printr-o aplicare eficientă în perspectiva evoluţiei structurii conţinutului şi volumului noţiunilor geometrice studiate pe parcursul anilor de studii atit la ciclul primar, cât şi la cel gimnazial. 6.7. Intuitivul şi logicul în predarea geometriei În clasele I-a - a IV-a curriculumul la matematică prevede introducerea noţiunilor de geometrie: linie dreaptă, semidreaptă, segment de dreaptă, linie frântă, poligon, реrimetrul,aria figurii etc. prin intuiţie. Însuşirea acestor noţiuni se realizează prin participarea nemijlocită a elevilor la descoperirea pe cale inductivdeductivă şi stabilirea definitiilor initiale şi a proprietăţilor figurilor cu care fac cunoştinţă pe cale intuitivă şi prin descriere urmând cale de aprofundare a sensului lor logic spre un nivel din ce în ce mai abstractizant către clasa a IV-a. In cadrul geometriei exprimarea cuvintelor, numerelor şi a operaţiilor se face prin desene, construcţia figurilor sau a câtorva linii, care sugerează relaţii între elementele lor, in baza cărora elevii sânt puşi să descopere alte proprietăţi, care, mai apoi, pot fi verificate prin raţionamente logice. De la primele lecţii în care asistă elemente de geometrie se g)

impune faptul ca lectiile să se realizeze pe baza operării cu obiecte concrete, cu imaginile sau desenele lor, cu figuri geometrice realizate ca machete a corpurilor reale. Treptat, aceeaşi figură va fi reprezentata prin linii drepte, prin care se pun în evidenţă laturi, diagonale, unghiuri şi relaţiile dintre ele şi doar de la această formă se va trece la desenul propriu zis al figurii corpului geometric spaţial. Desenul trebuie explicat astfel, încât fiecare segment trasat să-și gaseasca corespondentul său respectiv în modelul natural real alăturat. 6.8. Aspecte metodologice privind p-î-e elementelor de geometrie Procesul p-î-e elementelor de geometrie în clasele primare urmăreste ca elevul claselor primare să însuşească la nivel elementar şi în corespundere cu particularitatile de vârstă a lor noţiunile abstracte de geometrie. Acest proces este accesibil şi se poate solda cu cel mai eficient succes doar în cazul când învăţătorul va stricta fazele de formare a noţiunilor de geometrie de la contemplarea intuitivă la expunerea în forma abstracta, păstrând rigorile ştiinţifice ale obiectului de studiu şi elevii vor căpăta competente aplicabile practice a cunoştinţelor achiziţionate. 6.8.1. Fazele procesului de formare a noţiunilor de geometrie Formarea conceptelor geometrice şi a noţiunilor de geometrie arc loc in urmatorul plan: • intuirea obiectelor care evidenţiază noţiunea dată în formă materializată, cu dirijarea atenţiei elevilor spre urmărirea şi observarea celor mai esenţiale proprietăţi ale acesteia, care le deosebeşte de altele; • evidenţierea celor mai caracteristice proprietăţi ale noţiunii date; • transferul cunoştinţelor achiziţionate în descrierea unui

material didactic care reprezintă imaginea noţiunii; • reprezentarea noţiunii date geometrice printr-un desen sau o schemă, indicând elementele ei prin observarea directă, realizând notaţii şi de fiecare dată de a scoate în evidenţă proprietăţile caracteristice, • formularea unei definiţii sau a unei descrieri explicative în limbajul matematic specific geometriei; • identificarea noţiunii geometrice în cele mai diverse situaţii din mediul ambiant; • modelarea materializată a noţiunii utilizând carton, hârtie etc.; • clasificarea formelor geometrice care fac parte din volumul noţiunii date; • utilizarea noţiunii în rezolvarea problemelor specifice şi transferul acestei în situaţii geometrice noi. 6.8.2. învăţarea noţiunilor de geometrie în spiritul rigorii geometriei Studierea noţiunilor cu referire la elemente de geometrie în clasele primare trebuie facuta cu mare atenţie şi în corespundere cu recomandările didactico-metodice expuse. Ele urmaresc ca aceste noţiuni să fie predate la nivelul particularităţilor de vârstă a elevilor, tinind cont de experienţa lui de viaţă, de vocabularul lui, adică trebuie de rezolvat problema celor trei limbaje. Dar oricât de simplu şi intuitiv nu ar fi predate pe înţelesul elevilor aceste notiuni învăţătorul trebuie să urmărească ca fiecare noţiune să fie expusă în corespundere cu rigorile geometriei stiinta geometriei ştiinţă. 6.8.3. functionalitatea cunostintelor de elemente de geometrie Invatatorul trebuie să urmărească ca fiecare elev să însuşească corect fiecare noţiune invatata si să poată aplica cunoştinţele însuşite în cele mai diverse situaţii posibile atât în activitati de

învăţare, cât şi în situaţii practice din cotidian. În special acestea se reflectă corect si se afirmă în rezolvarea problemelor şi în realizarea lucrărilor practice. 6.8.4. Metode şi procedee de lucru Reusita în atingerea performantă a realizării obiectivelor studierii elementelor de geometrie in clasele primare depinde de un complex de factori, printre care predomină strategiile didactice. Printre ele se evidenţiază metoda intuiţiei, metoda problematizării şi învăţarea prin descoperire pe cale inductiv-deductivă, prin care elevii sânt ghidaţi de cadrul didactic spre descoperirea adevărurilor matematice necunoscute de ei la etapa data prin efortul propriu, fiind bazaţi pe experienţa de viaţă acumulată. Unul dintre cele mai importante procedee care urmăreşte formarea unui raţionament logic corect şi o exprimare verbală adecvată este contraexemplul, care este o formă simpla intuitivă a metodei de demonstrare de la contrar, care este aplicat destul de frecvent in clasele gimnaziale şi liceale. De exemplu, se cere de apreciat valoarea de adevăr a propoziţiei: „Poligonul care are laturile opuse între ele paralele două câte două este un paralelogram‖ Se ia un contraexemplu prin cercetarea imaginii unui hexagon regulat, care conduce la urmatorul raţionament: • hexagonul este un poligon cu laturile opuse paralele între ele două câle doua; • hexagonul nu este un paralelogram deoarece el are 6 laturi, iar paralelogramul are 4 laturi; • prin urmare, propoziţia dată este falsă. Învăţătorul corectează propoziţia prin înlocuirea cuvântului poligon prin cuvintul patrulater. In acest caz propoziţia iniţială devine adevărată. Asemenea activităţi se organizează pentru a rafina

raţionamentul logic specific geometriei şi a educării rigorii ştiinţifice în utilizarea limbajului matematic aferent. Greselile comise în mod intenţionat în formularea propoziţiilor pot viza genul proxim sau diferenta de specie a noţiunii date. O altă activitate vizează cerinţa ca propoziţia geometrică riguroasă să conţină strictul necesar de informaţie, elevii având problema de a spori conţinutul informational in detrimentul stricteţii atât logice cât şi geometrice. De exemplu, se pune în discutie o „definiţie‖ eronată a patrulaterului: „Paralelogramul cu toate laturile de lungimi numeşte pătrat‖. Pe parcursul discuţiei euristice, elevii trebuie ghidaţi pentru a sesiza faptul că este doar suficient să indicăm egalitatea a două laturi vecine şi unghiul cuprins intre ele să fie un unghi drept. În acest mod se poate contribui la dezvoltarea spiritului de investigatie, a raţionamentului logic, a imaginaţiei şi a reprezentărilor spaţiale, a competitivitatii si creativităţii elevilor. 6.8.5. Problemele cu elemente de geometrie Un loc important în studierea elementelor de geometrie le revine problemelor, și, in special, problemelor de construcţie, cel mai înalt şi mai performant mod de exprimare si verificare a competenţelor matematice constructive. Problemele cu conţinut geometric pot urmări: • construcţia desenului figurilor şi corpurilor geometrice sau modelarea lor; • calcularea lungimii unui segment; • calcularea lungimii perimetrului unui poligon arbitrar; calcularea ariei unei figuri plane: pătrat sau dreptunghi; • calcularea volumului unui cub sau paralelipiped dreptunghiular; • aprecierea valorii de adevăr a unei propoziţii matematice în care sânt incluse noţiuni selectate din

geometrie. In aceste probleme fiecare pas trebuie motivat şi argumentat prin formularea adevărului matematic adecvat. Probleme de construcţie De exemplu, se cere de a construi rombul ABCD cu diagonalele de 4 cm şi 6 cm. Pasul 1. Se construieşte se segmentul AC = 4 cm. Pasul 2. Deoarece se cunoaşte că diagonalele rombului în punctul de intersecţie sânt perpendiculare şi se înjumătăţesc, segmentul construit se împarte cu compasul şi rigla în doua părţi egale. Punctul ce desemnează mijlocul segmentului se notează prin litera O. Pasul 3. Se construieşte o dreaptă perpendiculară pe segmentul AC, care trece prin punctul O. Pasul 4. Se construieşte se segmentul BD = 6cm, depunând de la punctul O pe dreapta perpendiculară construită într-o parte şi în alta câte 3 cm, adică se construiesc două segmente ВО 3cm şiOD 3cm. Pasul 5. Punctele A, В, С şiD se unesc succesiv. Figura căpătată este rombul ABCD căutat. Probleme de identificare a figurilor plane şi a corpurilor geometrice Problemele de acest tip necesită efectuarea unui raţionament logic riguros cu conţinut geometric. De exemplu, se cere de a determina numărul de dreptunghiuri care se pot căpăta la descompunerea figurii geometrice, a dreptunghiului ABCD prin dreptele MN şi KL paralele cu laturile AD şi BC. Elevii trebuie să găsească toate cele 6 dreptunghiuri căpătate prin activizarea spiritului de observaţie şi aplicarea

cunoştinţele geometrice cunoscute. Rezolvarea problemelor sau a situaţiilor de problemă sânt indicate anume pentru a consolida înţelegerea importanţei deducerii unui limbaj succint matematic simbolic, adică a unor formule matematice de calcul a lungimilor perimetrelor, a ariilor figurilor geometrice, precum si a stimulării imaginaţiei reprezentative spaţiale. In rezolvările efectuate se vor implica compuneri, decupări sau descompuneri bazate pe figura cea mai cunoscută de elevi --dreptunghiul, astfel, încât să se poată calcula ariile şi perimetrele figurilor căpătate sau determina dimensiunile liniare ale figurilor din desen. 6.9 Didactici particulare de formare a noţiunilor de geometrie In continuare vor fi înserate unele recomandări didactico-metodice cu referire la p-î-e unor notiuni importante din geometrie, care cu succes pot fi studiate în clasele primare. 6.9.1. Figuri geometrice Cunoaşterea copiilor cu figurile geometrice începe încă la cea mai fragedă vărsta in cadrul ocupaţiilor la grădiniţă: diverse patrulatere, triunghiuri, cercuri, discuri etc. Studierea figurilor geometrice şi a proprietăţilor elementelor lor începe în cadrul orelor de matematica deja în clasa I-a. In clasele primare elevii fac cunoştinţă cu astfel de figuri geometrice ca:pătratul, dreptunghiul, rombul cu elementele sale şi a proprietăţilor lor caracteristice. In clasa a III-a şi a IV-a se studiază cercul şi discul cu elementele lor: diametru, centru, raza si proprietăţile lor caracteristice. Tot odată elevii fac cunoştinţă cu poziţia reciprocă a unei linii drepte şi a unei figuri geometrice sau a unor puncte faţă de ea. Se introduce noţiunea de poligon ca o linie frântă închisă în plan. Se discută astfel de poligoane ca: triunghiul, patrulaterele, pentagoane, hexagoane.

Formarea noţiunii de linie dreaptă şi elementele ei Formarea noţiunii de măsurare a lungimilor segmentelor este unul din cele mai importante puncte de reper în studierea elementelor de geometrie în clasele primare. Anume de la măsurarea segmentelor începe utilizarea unităţilor de măsură a lungimilor in oricare lucrare practică. Elevii se conving la compararea lungimilor segmentelor prin situatii de suprapunere a lungimilor lor că varianta cea mai comodă de comparare este măsurarea lor si exprimarea lungimilor prin numere concrete. Pentru aceasta se introduce unitatea de masura iniţial 1 cm, 1 dm, 1 m, apoi se discută raportul dintre aceste unităţi. Primele doua unitati poate fi introduse deja în clasa I-a la tema „Zecea‖, unitatea de măsură metrul poate fi introdusă la tema „Suta‖. Ulterior la tema „Mia şi numerele mai mari decât 1000,, se introduc unităţile de măsură a lungimilor: hectometrul, kilometrul. Se discută ca exista unităţi de măsură a lungimilor şi mai mari cu care elevii vor face cunoştinta in cadrul studierii fizicii, astronomiei, geografiei şi a altor discipline cu care ei vor fi familiarizati in gimnaziu sau liceu: milă marină sau geografică, parsec, an-lumină etc. 6.9.2. Formarea noţiunii de perimetru Noţiunea de perimetru ca lungimea unei linii frânte, ca valoare numerică, se introduce în uz în clasa a II-a şi ca sumă a lungimilor segmentelor care corespund laturilor unui poligon - în clasa a III-a. Elevii trebuie ghidaţi în mod inductiv-deductiv, fiind bazaţi pe intuitia proprie, spre descoperirea formulelor respective şi raţionamentul logic adecvat. Perimetrul liniei frânte este acceptat ca suma tuturor lungimilor segmentelor care intra in componenţa acestei linii frânte. Perimetrul pătratului este egal cu a + a + a + a = 4xa = 4a. 6.9.1.

unde a este lungimea laturii pătratului. Perimetrul dreptunghiului este egal cu l + L + I + L = 2x1+2x1=2x(l+ L), unde l este valoarea numerică a lăţimii dreptunghiului, iar L - valoarea numerică a lungimii lui. Perimetrul oricărui poligon este egal cu suma lungimilor tuturor laturilor lui. 6.9.3. Formarea noţiunii de unghi Unghiul deja se poate defini ca o parte a unui semiplan. Nu se accentuează ca elevii sa invete această definiţie, însă se cere ca elevii în mod corect să utilizeze terminologia introdusa: semiplan, muchia semiplanului. Se atrage atenţia la determinarea corectă, când doua unghiuri sânt egale (congruente). Punctul O se numeşte vârful unghiului, iar semidreaptele OK şi OB – laturile unghiului. Unghiul mar poate fi notat şi prin trei litere: de exemplu, unghiul haşurat poate fi notat BOKsau KOB. Trebuie de reţinut, că litera, ce desemnează vârful unghiului, se scrie intre celelalte două, adică în mijloc. Pentru a verifica temeinicia formării competenţelor matematice cu conţinut geometric se propun unele însărcinări cu conţinut enigmatic. De exemplu, se poate oare, partea nehaşurată din desen de numit unghi?

Dar se poate oare, partea haşurată din desen de numit unghi? Apoi elevii sânt antrenaţi în soluţionarea însărcinărilor cu caracter instructiv. De exemplu de numit şi de scris unghiurile reprezentate în desenul alăturat. Notaţi pe muchia de îndoire a unei foi de hârtie un punct A. Câte

semi drepte pot fi trasate din acest punct astfel, încât să căpătaţi trei unghiuri? Trasaţi aceste semidrepte. Notaţi-le cu litere, citiţi şi scrieţi unghiurile căpătate. Câte unghiuri se pot căpăta la intersecţia a două drepte? Executaţi desenul. Notati aceste unghiuri. Se discută formele unghiurilor. Acest compartiment este util de a fi studiat odata cu tema „împărţirea numerelor naturale‖. Elevii însuşesc noţiuni noi şi e comod de a face o analogie între descrierea unui unghi şi lucrul de ştergere a sticlei a ştergătorului de parbriz la un autoturism sau automobil. Elevii sesizează în acest mod că unghiul este o portiune a planului. Unghiul ascuţit, drept, obtuz, care elevilor le sânt deja cunoscute, apoi unghiul desfăşurat (întins) se consideră două semi drepte OA şi OB, care au aceeaşi origine si aceeaşi orientare. Ele coincid. Să indicăm această situaţie pe modelul unghiului executat din beţişoare sau panglici nu prea late din carton (un astfel de model a fost executat în clasa a III-a). Să rotim semidreapta OB împotriva mişcării acelor unui ceasornic cu ace de indicare a orelor şi a minutelor. În acest caz semidreapta OB mişcându-se împotriva mişcării acelor ceasornicului descrie unghiul AOB În caz că o să prelungim mişcarea semi dreptei OB împotriva mişcarii acelor ceasornicului, ea va descrie un unghi din ce în ce tot mai mare, până când nu va parcurge tot semiplanul în care se află unghiul. B B

Un astfel de unghi, care cuprinde întregul semiplan, se

numeşte unghi desfasurat.Uneori se mai numeşte - unghi întins. Drept vârf al unui unghi desfăşurat poate fi considerat orice punct, care este situat pe muchia semiplanului dat. Câte unghiuri sânt reprezentate în primul desen? Din cele două unghiuri, dacă dorim a evidenţia unul, apoi aceasta este accentuat cu ajutorul unui arc desenat în partea interioară a unghiului descris în jurul punctului care este considerat vârful unghiului. Numiţi unghiurile notate prin arce din desenul alăturat. Fiecare din aceste unghiuri este notat doar cu ajutorul unui singur arc. Numiţi şi notaţi pnn arce toate unghiurile din desenul alăturat A

B Unghiul drept Unghiul desfăşurat AOB este împărţit în două părţi egale (congruente) de semidreapta. Verificaţi aceasta cu ajutorul modelului unghiului. Comparaţi cu ajutorul modelului Vinului unghiurile AOC şi BOC Uuaţi un unghi desfăşurat tăiat din hârtie. Notaţi un punct vârful unghiului. Îndoiţi foaia de hârtie astfel, încât linia îndoirii să treacă prin vârful unghiului, iar laturile unghiului desfasurat să coincidă. Unghiul întins a fost împărţit în două părţi egale (congruente) - în doua unghiuri drepte.

Priviţi atent în jur. Aduceţi exemple de unghiuri, egale cu jumătatea unui unghi desfasurat, adică, exemple de unghiuri drepte. Unghiul drept poate fi verificat şi construit cu ajutorul echerului. De construit cu ajutorul echerului trei unghiuri drepte situate în diverse poziţii. Ce unghi formează acele unui ceasornic cu ace la ora 3?, la ora 6?, la ora 9?, la ora 12? De cite ori acele unui ceasornic formeaza: a)unghiuri drepte? b) unghiuri desfăşurate? pe parcursul a două ore, de exemplu, de la 9 la 11? Orientări în aer liber: a) Un elev stătea cu faţa spre nord, apoi s-a întors la dreapta sub un unghi drept. Spre care punct cardinal s-a întors elevul? b) Eu mă mişc spre est. Cu ce fel de unghi trebuie să mă rotesc şi în care parte ca să continuu mişcarea spre sud? c) Barca se deplasa spre nord, apoi s-a întors sub un unghi desfăşurat. In care parte a continuat să se deplaseze barca? d) Staţi pe un loc liber şi să vă rotiţi (întoarceţi): • la dreapta sub un unghi drept; • la stânga sub un unghi drept; • la dreapta sub un unghi desfăşurat; • la stânga sub un unghi desfăşurat. Unghiul obtuz - unghiul mai mic de cât un unghi drept ştim, că se numeşte unghi ascuţit, iar unghiul mai mare decât un unghi drept se numeşte - unghi obtuz. Cu ajutorul echerului de determinat, care din unghiurile din

desen sânt: ascutite, drepte sau obtuze?

Desenaţi în diferite poziţii câte două unghiuri: ascuţite, drepte, obtuze şi desfasurate. Notaţi-le. Indicaţi cu ajutorul mâinilor asemenea unghiuri. In continuare se studiază unghiuri alăturate, unghiuri adiacente, bisectoarea unui unghi, precum şi cu astfel de operaţii ca: suma unghiurilor, diferenţa unghiurilor, partea unghiului. Se iau modelele a două unghiuri. Aceste modele se aşează pe un plan: caietul, fata mesei. Ajustăm aceste modele unul faţă de altul astfel, încât: a) vârfurile lor să coincidă; b) să coincidă oricare două laturi ale lor şi, în afară de această coincidenţa, alte puncte comune să nu aibă. Astfel de unghiuri se numesc unghiuri alăturate. Unghiul al treilea, care s-a căpătat în rezultat, se numeşte unghiul sumă a acelor două unghiuri date. Pot oare unghiurile prezentate în desenul alăturat fi numite ca unghiuri alăturate?

Confecţionaţi din hârtie sau carton trei unghiuri ascuţite. Ajustaţi-le astfel, încât toate aceste trei unghiuri să formeze într-un plan care să fie numite alăturate. O semidreaptă trasată din vârful unui unghi în partea interioară a acestui unghi împarte partea planului acestui unghi în două. În cazul când aceste părţi sânt egale (congruente), această semidreaptă se numeşte bisectoare. Prin urmare bisectoarea împarte planul unui unghi în două părţi egale (congruente). Luaţi un model a unui unghi confecţionat din hârtie. Îndoiţi acest model astfel încât linia îndoirii să treacă prin vârful unghiului, iar laturile lui să coincidă. Linia îndoirii şi va fi imaginea bisectoarei acestui unghi. Trebuie doar de trasat bisectoarea cu ajutorul riglei şi a creionului. Unghiul COD este împărţit prin semi dreptele OA şi OB în trei părţi egale (congruente): COA = Z AOB = Z BOD.

Este oare semidreaptă OA bisectoarea unghiului COB? De ce? b) A cărui unghi serveşte drept bisectoare semidreaptă OB? De ce? c) Ce parte din unghiul COD alcătuieşte unghiul AOB? d) Ce parte din unghiul COD alcătuieşte unghiul a)

AOD? Două unghiuri alăturate, care dau în sumă un unghi desfăşurat (un semiplan) se numesc unghiuri adiacente. E uşor de observat, că două laturi ale unghiurilor adiacente sânt semi drepte cu originea comună şi orientate în direcţii opuse, iar alte doua laturi coincid, adică este latură comună. Avem două unghiuri adiacente. a) Unul din aceste unghiuri este ascuţit. Ce formă trebuie să aibă cel dc-al doilea unghi? Unul din aceste unghiuri este obtuz. Ce formă trebuie să aibă cel de-al doilea unghi? b) Unul din aceste unghiuri este drept. Ce formă trebuie să aibă cel de-al doilea unghi? Indicaţi pe obiectele din mediul ambiant exemple de unghiuri alăturate; de unghiuri drepte. În mod analog cum au fost introduse noţiunile de n măsurare a lungimilor, ariilor suprafeţelor plane, se introduce măsurarea unghiurilor, măsura în grade şi raportul ca instrument de măsurare a mărimii unghiurilor. Se introduce noţiunea de grad care finisează opera de introducere a măsurilor in învăţământul matematic în clasele primare. împărţim un unghi prin îndoire în jumătate apoi jumătatea încă în jumătate şi cea de-a patra parte în că în jumătate. In acest mod modelul unghiului a fost împărţit in 8parti egale (congruente). De tăiat după linia de îndoire modelul unghiului astfel, încât una din părţile unghiului să alcătuiască a opta parte din unghiul iniţial, adică 1 pe 8. Câte părţi din unghiul initial contine unghiul rămas după tăierea celei de-a opta parte? Până la acest moment unghiurile erau măsurate prin

comparare cu ajutorul echerului sau a modelului unghiului drept. În aşa fel noi puteam da doar un astfel de răspuns : care unghi este mai mare sau mai mic de cât un unghi drept sau să comparăm unghiurile prin suprapunere. Pentru o măsurare cât mai exactă a unghiurilor se introduce o unitate specifica de masurare a lor - gradul. Se procedează în felul următor:  unghiul drept se împarte în 90 de unghiuri egale (congruente); 

unul din aceste unghiuri, sau 1 pe 90 -- ea parte a unghiului drept, se ia ca unitate de măsură;  această unitate de măsură se numeşte grad;  gradul, ca unitate de măsură a unghiurilor se notează simbolic prin „°‖ - un cerculeţ scris în dreapta deasupra numărului scris. De exemplu înseamnă, că măsura unghiului dat este de un grad. Unghiul, egal ca mărime cu 1 pe 90-- ea parte a unghiului drept, se numeşte un grad. Câte grade poate conţine: • ununghi drept? • ununghi desfăşurat? • ununghi ascuţit? • ununghi obtuz? Pentru măsurarea unghiurilor se foloseşte un instrument special - raportorul El măsoară unghiurile de la cele mai mici şi până la unghiul desfăşurat, adică de la 0° şi până la 180° 6.9.2. Formarea noţiunii de arie Formarea noţiunii de arie parcurge mai multe etape de intuire reprezentativă. Elevii trebuie să conştientizeze că suprafaţa este o

întindere plană pe care este posibil de a o vedea, iar aria este o valoare numerică care exprimă mărimea acestei suprafeţe, exprimată în unităţi de măsură: • formarea reprezentărilor despre suprafaţa unei figuri plane - prin observarea şi cercetarea corpurilor din mediul ambiant, elevii sesizează că suprafaţa este ceea ce desparte un corp de mediul înconjurător; compararea prin suprapunere a două figuri plane (congruente) identice figuri care se deosebesc una de alta prin proprietăţi neesenţiale: formă, culoare, material; elevii trebuie ghidaţi spre înţelegerea sensului logic corect al propoziţiei „se spune că dacă două figuri plane coincid la suprapunere, atunci ele au aceeaşi arie‖; • compararea prin suprapunere a două figuri plane de aceeaşi formă omotetice - figuri care se deosebesc una de alta doar prin dimensiunile sale; elevii ajung la concluzia că în caz dacă figurile au aceeaşi formă dar mărimi liniare diferite, atunci ariile lor sânt diferite; • compararea prin suprapunere a două figuri plane diferite ~ figuri care se deosebesc cardinal una de alta, dat alese astfel, încât să delimiteze suprafeţe diferite, dar cu arii egale: fie un pătrat cu latura de 4 cm şi un dreptunghi cu dimensiunile de 2cmx4cm; elevii se conving că formele figurilor este diferită, dar ariile sânt egale; se pot confecţiona aceste figuri din hârtie în pătrăţele şi de determinat aria lor numărând pătrăţelele şi suprapunând figurile una peste alta; • compararea prin suprapunere a două figuri plane diferite - figuri care se deosebesc cardinal şi delimitează suprafeţe inegale; elevii trebuie dirijaţi spre intuirea faptului că dacă figurile au forme diferite, ele pot delimita

suprafeţe de arii diferite. Aceste activităţi de învăţare conduc elevii la înţelegerea faptului că suprapunerea figurilor nu oferă informaţii suficiente pentru a determina corect aria suprafeţei unei figuri geometrice. În acest mod se va contura necesitatea de a determina calea de găsire a unui procedeu cert de calculare a ariei, care să permită soluţionarea unor asemenea situatii de problemă. În mod analog cum elevii confruntat o situaţie analogică la studierea notiunii de lungime a unui segment, ei vor determina cu uşurinţă că metoda cea mai potrivită este doar măsurarea. În acest mod determinarea unei unităţi de măsură pentru ariile suprafetelor figurilor plane devine evidentă. În mod treptat elevii trebuie ghidaţi spre modalitatea de a deprinde o anumită tehnica de măsurare a ariei, acoperind suprafaţa figurii plane date cu cele mai variate şi mai diverse figuri geometrice de aceeaşi mărime: triunghiuri echilaterale, cercuri, hexagoane regulate, dreptunghiuri, pătrate etc. Elevii ajung la înţelegerea faptului că a măsura aria suprafetei unei figuri plane înseamnă a determina câte unităţi convenţionale de măsură a ariei,alese de noi în mod arbitrar (triunghiuri echilaterale, cercuri, hexagoane regulate, dreptunghiuri, pătrate etc ), încap în suprafaţa dată. Elevii ajung la sesizarea faptului că cea mai comodă unitate convenţională aleasa este pătratul - este mai uşor de construit (este asemănătoare cu pătrăţelul din caiet) si mai compact acoperă suprafaţa figurii plane date. Se acceptă unitatea de bază pentru măsurarea ariilor: un pătrat cu latura de 1 m confecţionat din ceva durabil: carton, plastic, sticlă organică etc. Elevii vor intui vizual si tactil această figură materializată, verificând-o în practica de măsurare în clasă şi pe

teren tot odată se introduce notaţia simbolică 1 m p. sau I m‗. Ulterior în cadrul temei „Mia si numerele mai mari decât 1000‖ se prezintă submultiplii 1 dm2, 1 cm2, descoperind prin procese inductiv-deductive intuitive relaţiile de bază dintre unităţile de măsură: 1 m1 = 100 dm2 = 10000cm2. 1 dm2 = 100 cm2 Antrenarea tehnicii de calcul în măsurarea ariilor suprafeţelor se face în clasa, pe teren sau în caiete utilizând prioritatea reţelei de pătrăţele din caiete, utilizând etaloane ale unităţilor de măsură 1 dm2 şi 1 cm2,confecţionate de fiecare dintre copii sub forma pătrăţele cu mărimea laturilor de unitatea de lungime respectivă. În continuare se introduc unităţile de măsură a suprafeţelor de teren 1 ar, 1 ha. Tot odată se determină multiplii corespunzători 1 ar = 100 m2, 1 ha = 100 ari =10000 m' 6.9.1. Deducerea ariei pătratului Aria pătratului se va descoperi pe o cale deductivă, pornind de la pătratul etalon de măsură a ariilor: 1 m2.1 dm2, 1 cm2, şi determinând câte astfel de pătrate etalon incap in pătratul respectiv. Este clar că elevii trebuie să determine câte astfel de pătrate se contin atit pe verticală cât şi pe orizontală - ei se conving, că se conţin în mod egal, apoi prin inmultire să determine câte astfel de pătrate-unitate de măsură alese de noi în mod arbitrar se contin in total în pătratul respectiv. Ulterior elevii ajung la concluzia că pentru a determina aria unui patrat oarecare este necesar şi suficient de a măsura lungimea laturii pătratului şi valoarea numerică căpătată se înmulţeşte la ea înseşi. Astfel se obţine formula pentru calcularea ariei patratului A = axa, unde A aria pătratului, a - lungimea laturii pătratului. 6.9.2 Deducerea ariei dreptunghiului Pentru a descoperi formula pentru calcularea ariei

dreptunghiului se va baza pe intuiţia activă şi o strategie inductivă în mod analog ca şi la calcularea formulei pentru calcularea ariei pătratului. Pentru aceasta sânt necesare pătrate etaloane de măsură cu latura de 1 cm, 1 dm, 1 m, câte un set de dreptunghiuri de cele mai variate dimensiuni, la etapa iniţială se ia etalonul de 1 cm2 şi un set de 3 dreptunghiuri, toate care au lungimile egale cu 6cm, iar lăţimea având respectiv 1 cm, 2 cm, 3 cm. Iniţial elevii depun etalonul unitate de măsură a ariilor egal cu 1 cm2 şi determină că in primul dreptunghi se depun 6 astfel de etaloane mici fiecare dintre care au aria de 1 cm2, prin urmare aria acestui dreptunghi este egală cu 6 cm2. In continuare se poate utiliza ca etalon dreptunghiul cu aria de 6 cm2. Acest dreptunghi se depune pe suprafaţa dreptunghiului cu dimensiunile 6 cm>