IO Expo

 

Programación Lineal LAURA YALTA, Fred DÍAZ DIONISIO, Álvaro CHUQUIZANA MENDOZA, Alex CRUZ ARROYO, Eduardo

 

Ejercicio N°1

 

Solución

 

Solución

 

Solución

 

Ejercicio N°2 Una empresa vitivinícola ha adquirido recientemente un terreno de 110 hectáreas. Debido a la calidad del Sol y el excelente clima de la región, se puede vender toda la producción de uvas Sauvignon Blac y Chardonay. Se desea conocer cuánto plantar de cada variedad en las 110 hectáreas, dado los costos, beneficios netos y requerimiento de mano de obra según los datos que se muestran a continuación.

 

Solución

  Beneficio Neto (US$/Hect)

Díaz Hombre/Hect

Variedad

Costo (US$/Hect)

Sauvignon Blanc

100

50

10

Chardonay

200

120

30

 

Solución Suponga que se posee un presupuesto de US$10,000 y una disponibilidad de 1.200 días dí as ho homb mbrre dur uran ante te el ho horrizon izonte te de plan planif ific icac ació ión. n. For ormu mulle y resue esuellva gráficamente un modelo de Programación Lineal para este problema. Detalle claramente el dominio de soluciones factibles y el procedimiento utilizado para encontrar la solución óptima y valor óptimo.

 

Solución •

 Variables de decisión: •

  X 1

•

  X 

: Hectáreas destinadas al cultivo de de Sauvignon Blanc : Hectáreas destinadas al cultivo de Chardonay

2  •

 Función objetivo objetivo:: •

•

 Maximizar 50X   + 120X  1

 Restricciones: •

•

•

•

 + X  ≤ 110   100X   + 200X  ≤ 10,000   10X   + 30X  ≤ 1,200   X  , X  ≥ 0   X 1

2 

1

1

1

2 

2 

2 

2 

 

Solución Donde las restricciones están asociadas a la disponibilidad máxima de hectáreas para pa ra la plan planta taci ción ón,, pres presup upue uest stoo disp dispon onib ible le,, ho hora rass ho homb mbre re en el pe perí ríod odoo de planificación y no negatividad, respectivamente. El si sigu guie ient ntee grá gráfi fico co mues muestr traa la re repr pres esen enta taci ción ón de dell pr prob oble lema ma de la em empr pres esaa vitivinícola. El área achurada corresponde al dominio de soluciones factibles, donde soluci ución ón bás básica ica fac factib tible le ópt óptima ima   se alcanza en el   vérti vértice ce C, don ondde se la   sol encuentran activas las restricciones de presupuestos y días hombre. De esta forma resolviendo dicho sistema de ecuaciones se encuentra la coordenada de la  solución óptima donde   X    = 60 y   X    = 20 (hectáreas). El valor óptimo es V(P) = 50(60) + 120(20) = 5,400 (dólares). 1

2 

 

Solución

 

Ejercicio N°3 Disponemos de 210.000 euros para invertir en la bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interé int eréss anu anual? al?..

 

Solución VARIABLES DE DECISION: •

•

x: cantidad que invertimos en acciones de tipo A y: cantidad que invertimos invertimos en acciones acciones de tipo B inversió ión n rendimiento Tipo A x 0,1x Tipo B y 0,08y

FUNCION OBJETIVO: Maximizar

Z = 0,1x+0,08y

 

Solución RESTRICCIONES:

x y ≤ 210 x ≤+ 130 000 000  y ≥ 60 000 x ≤ 2y No negatividad: x≥0  y ≥ 0

 

Solución Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible

r1

r2 (paralela a OY)

r3(paralela a OX)

r4

x

y

x

y

x

y

x

y

0

210000

130000 0

0

60000

0

0

210000 0

130000

65000

 

Evaluando cada punto de la región en la función objetivo, el que nos da el mayor beneficio es el punto D. Z(130000,800000) = 19400

 

Ejercicio N°4 Una empresa tiene 2 plantas de producción (P1 y P2) de cierto artículo que vende en 3 ciudades (C1,C2 y C3). En P1 produce 5000 unidades, y en P2 7000 unidades. De estas 12000 unidades las vende así 3500 es C1, 4000 en C2 y 4500 en C3. Los costes de transporte, en euros por unidad de producto, desde las plantas de producción a las ciudades son:

Determina el nº de artículos que debe enviar la empresa desde cada planta a cada ciudad para que los costes de transporte sean mínimos.

 

Solución •

Sea x = unidades unidades de P1 a C1, y = unidades de P1 a C2 y z= unidades de P1 a C3. Tiene que verificarse entonces entonces que x + y + z = 5000. Si desde a C1 se envían x unidades, en C1 necesitan desde P P21se mandarán a C1 3500 − x.como Razonando del mismo3500, modo con “y” y “z”, se obtiene la tabla:

 

•

Hemos sustituido z por 5000 − y − x, porque x + y + z = 5000 y así

•

transformamos las 3 incógnitas en sólo 2. Restricciones :

x≥0 3500 − x ≥ 0 y≥0 4000 − y ≥ 0 5000 − x − y ≥ 0 −500 + x + y ≥ 0

 

Por lo tanto el sistema de inecuaciones es

La función objetivo es: C(x, y)=3 · x + 2,5 · y + 3,5 · (5000 − x − y)+2, y)+2, 25 ·(3500 − x)+3,75 x)+3,75 ·(4000 − y)+4 ·(−500 + x + y) y) •

•

C(x, y)=1, 25 · x − 0,75 · y + 22625

 

Resulta que A=(0,500), B=(0,4000), Resulta C=(1000,4000), D=(3500,1500), E= (3500,0) y F=(500,0). Sustituyendo es: C(0, 500) = 22250 C(0, 4000) = 19625 C(1000, 4000) = 20875 C(3500, 1500) = 25875 C(3500, 0) = 27000 C(500, 0) = 23250

 

•

El mínimo se da en B, cuando x = 0 e y = 4000. Es decir, decir, las unidades a distribuir son: