Inzenjerska fizika 2- predavanja

A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja za 1. sedmicu nastave

1.MEHANIKA FLUIDA 1.1 Uvod Fluidima nazivamo tečnosti i gasove (plinove): to su supstance koje lako mijenaju oblik, odnosno koje mogu teći. Mehanika fluida ili hidromehanika je dio mehanike u kojoj se proučavaju zakoni ravnoteže i kretanja tečnosti i gasova. U mehanici fluida zanemaruju se strukturna svojstva tečnosti i gasova i smatraju se kao neprekidne sredine, neprekidno raspoređene u prostoru. Mehanika tečnosti se naziva hidromehanika; ona se dijeli na hidrostatiku koja opisuje tečnosti u miru i hidrodinamiku koja proučava tečnosti u kretanju. Slično, gasove proučava aerostatika i aerodinamika.

1.2

Statika fluida

Pošto su fluidi neprekidne sredine onda se misaono mogu podijeliti na elementarne zapremine čije su dimenzije dovoljno velike da ne zalaze u strukturu fluida i dovoljno male da se sile koje dejstvuju na njih mogu smatrati konstantnim. Dio fluida misaono se može zamjeniti čvrstim tijelom ili njegovim dijelom iste zapremine, oblika i gustine kao i razmatrani dio fluida. Ovakav način razmatranja fluida naziva se principom očvršćavanja pomoću kojeg se na fluide mogi primjeniti zakoni čvrstog tijela.

Neka je na slici 1.1 izdvojen jedan dio fluida. Na njega mogu djelovati spoljašne i unutrašnje sile. Unutrašnje sile se međusobno uravnotežavaju pa ih nećemo dalje razmatrati.

Na osnovu principa očvršćavanja posmatrani element fluida biće u ravnoteži ako je zbir svih spoljašnjih sila koje djeluju na njega jednak nuli. U posmatranom slučaju gorni uslov je ispunjen za inercijalni koordinatni sistem, ako je : mg +Fp = 0 ( 1.1) gdje je mg sila teže elementa a Fp površinske sile. Pod dejstvom gornjih sila fluid će biti u stanju mirovanja kad brzina svakog njegovog elementa bude jednaka nuli. 1.2.1

Slobodna površina tečnosti

Ukoliko na tečnost dejstvuje samo sila teže, onda će površina tečnosti u svakoj tački biti normalna na pravac sile teže. U slučaju da na tačnost pored sile teže djeluje i neka druga spoljašnja sila, slobodna površina tečnosti će se postaviti normalno na pravac rezultante svih spoljašnjih sila. Na slici 1.2 prikazan je primjer slobodne površine tečnosti u sudu koji se obrće ugaonom brzinom ω. U ovom slučaju na uočeni element tečnosti pored sile teže mg djeluje i centrifugalna sila Fcf = man = m ω2 x i .

Iz uslova ravnoteže posmatranog elementa dobijamo: mg + m ω2 x i + R = 0

( 1.2 )

odakle za projekcije na ose dobijamo: m ω2 x = R sinα i

mg = R cosα

ili djeljenjem jednačina dobijamo: tgα = dy/dx = (ω2 x )/g

( 1.3)

Integriranjem gornje jednačine i određivanjem konstante integriranja iz početnih uslova ( x=0 i y = 0 ) dobijemo: Y = (ω2 x2 )/2g

( 1.4 )

Slobodna površina tečnosti pod navedenim uslovima u sudu obrazuje rotacioni paraboloid.

1.2.2

Pritisak ( tlak )

Tečnost ili plin djeluju određenom silom na svki dijelić zida posude u kojoj se nalaze, odnosno na svaku površinu tijela koje se nalazi u fluidu. Sila koja djeluje okomito na jedinicu površine zove se pritisak ili tlak. p=

F S

( 1.5 )

Ako sila nije konstantna po čitavoj površini, pritisak je: p=

dF dS

(1.6 )

Pritisak je skalarna veličina . Jedinica za pritisak je:

[ p] = 1 N2 m

= 1 paskal = 1Pa

Paskalov zakon : pritisak u cijelom mirnom fluidu je konstantan ( Pascal 1650. god. ) Po Paskalu pritisak u proizvoljnom dijelu mirne tečnosti jednak je u svim pravcima i prenosi se podjednako po cijeloj zapremini mirnog fluida tj. p1= p2 = p3 = const.

1.2.3

Hidrostatički pritisak

Pritisak uzrokovan samom težinom fluida nazivamo hidrostatičkim pritiskom. Da bismo dobili zakon za hidrostatički pritisak, zamislimo tekućinu u posudi ( Sl. 1.3) i izračunajmo koliki tlak djeluje na djelić površine ∆ S na dubini h.

Sila na površinu ∆ S prouzrokovana je težinom stupca tekućine nad tom površinom, tj. : ∆ G = ∆mg = ρ∆V g = ρ g h ∆S ( 1.7 ) Pa je pritisak ( sila na jedinicu površine ) p = ∆ G / ∆S, odnosno: p= ρgh

( 1.8 )

1.2.4. Atmosferski pritisak Zemlja svojom privlačnom silom drži oko sebe vazdušni omotač, tzv. Zemljinu atmosferu. Atmosferski tlak nastaje zbog vlastite težine zraka. Pritisak zraka možemo izmjeriti pomoću Torricellijeve cijevi. Sandardni atmosferski pritisak je pritisak stuba žive visine 760 mm pri temperaturi od 0 oC, odnosno 760 Torr ili jedna fizikalna atmosfera. Primjenom formule ( 1.8 ) dobivamo vrijednost za normalni atmosferski pritisak u jedinicama SI Pa = ρ g h = 101325 Pa Atmosferski pritisak se vrlo često izražava u barima, gdje je 1 bar = 105 Pa U atmosferi gustina zraka se mijenja ( opada ) sa visinom pa se i atmosferski pritisak mijenja sa visinom po tzv. barometarskoj formuli :

p = p0 e

−

ρ0 gh p0

( 1.9 )

gdje je po i ρo pritisak i gustoća na visini h = 0 .

1.2.5. Arhimedov zakon Kada je tijelo uronjeno u fluid, javlja se rezultantna sila prema gore kao posljedica hidrostatičkog pritiska. Tu silu nazivamo potiskom ( uzgnom ). Da bismo izveli formulu za potisak zamislimo tijelo volumena V uronjeno u fluid gustine ρf ( Sl 1.4 ) . Radi jednostavnost pretpostavimo da je tijelo u oliku kocke ili valjka.

Sila koje djekuju na bočne strane kocke poništavaju se. Sila na donju bazu površine S je F1 = p1 S, dok je sila na gornju bazu F2 = p2 S. Sila F1 ima smjer prema gore, a sila F2 usmjerena je prema dole. Budući da je hidrostaički pritisak na nivou h1 = h 2+ h veći nego na nivou h2, sila F1 biće veća od sile F2 i kao rezultat pojavit će se sila prema gore tj. potisak ili uzgon U = F1 – F2 = ρf g h1S - ρf g h2S = ρf g h S ili U = ρf V g = m f g

( 1.10 )

Gdje je mf masa istisnutog fluida. To je poznati Arhimedov zakon koji glasi: Tijelo uronjeno u fluid izgubi od svoje težine onoliko kliko je teška njime istisnuta tečnost. Tijelo lebdi u fluidu ako je težina tijela uravnotežena potiskom ili ρf = ρtijela..

1.3

Dinamika fluida

1.3.1 Strujanje idealnog fluida Kretanje fluida nazivamo strujanjem. Strujanje nastaje zbog vlastite težine fluida ili zbog razlike u pritiscima. Pri strujanju razni slojevi fluida imaju razne brzine i među tim slojevima javljaju se sile unutrašnjeg trenja ( viskoznost ). Zbog jednostavnosti u početku ćemo zanemariti sva trenja koja se javlju u fluidu i smatrat ćemo da se radi o nestišljivim fluidima ( ρ = const.): Takve fluide nazivamo idealnim fluidima. Uglavnom ćemo razmatrati stacionarno strujanje: Pri takvom strujanju brzina čestica i pritisak u fluidu su samo funkcije položaja, a ne i vremena.

Strujnica je zamišljena linija čija tangenta u svakoj tački pokazuje smjer brzine. Putanja je niz uzastopnih položaja koje čestica fluida zauzima pri kretanju. Kada je strujanje stacionarno, strujnica i putanja čestice se poklapaju. Dio fluida omeđen strujnicama nazivamo strujnom cijevi. Pri stacionarnom strujanju strujnice ne ulaze ni ne izlaze iz strujne cijevi ( Sl. 1.5 ).

1.3.2 Jednačina kontinuiteta Posmatrajmo strujanje fluida kroz cijev različitog presjeka ( Sl. 1.5 ) Za vrijeme ∆t kroz presjek S prođe volumen fluida Sv∆t. Volumen fluida koji u jedinici vremena prođe kroz određeni presjek naziva se protok i iznosi: Φv = Sv ( 1.11 ) Ako je gustoća fluida svuda konstantna i ako unutar strujne cijevi nema izvora i ponora, masa fluida, koja u vremenu ∆t protekne kroz bilo koji presjek, konstantna je

ρ S 1 v 1∆t = ρ S 2 v 2∆t = ρ S 3 v 3∆t = const.

Te je konstantan i protok:

Φv = Sv = const.

( 1.12 )

To je jednačina kontinuiteta. Tamo gdje je cijev uža, brzina je veća i obratno. Fluid se ubrzava tamo gdje se cijev sužava: dakle na čestice fluida dlejule sila usmjerena od šireg dijela cijevi prema užem. Ta sila dolazi zbog razlike pritisaka: pritisak u širem dijeu cijevi je veći nego u užem.

1.3.3 Bernoullijeva jednačina Danuel Bernoulli, švicarski fizičar je 1738. našao zakon o raspodjeli pritisaka unutar strujne cijevi. Eksperiment je pokazao da je pritisak na mjestu gdje je brzina veća manj nego tamo gdje je brzina manja . Pritisak u cijevi se može mjeriti pomoću vertikalne staklene cjevčice ili vertikalnog otvorenog manometra ( Sl.1.6 )

Da bismo izveli Bernoullijevu jednačinu, posmatrajmo stacionarno strujanjr idealnog fluida kroz strujnu cijev promjenljivog presjeka ( Sl. 1.7 )

Neka za vrijeme ∆t kroz presjek S1 peotekne masa fluida ∆m = ρ S 1 v 1∆t. Pri tom je sila pritiska F1 = p1S1 na površini S1 izvršila rad:

∆ W1 = F1 ∆s1 = p1S1 v 1∆t.= p1 ∆m / ρ

(1.13 )

Dok je rad sile F2 = p2 S2 na površini S2:

∆ W2 = -p2 S2 v2 ∆ t = -p2 ∆ m / ρ

(1.14)

Gdje smo predznakom minus uzeli u obzir da su smjerovi sile i pomaka suprotni. Rad ∆ W1 izvršen nad sistemom na presjeku S1 prenosi se preko sistema na presjek S2 gdje sistem izvši rad ∆ W2 protiv sila vanjskog pritiska p2. Ukupni rad izvršen nad sistemom je

∆ W = ∆ W1 + ∆ W2 = (p1 – p2) ∆ m/ ρ

(1.15)

Taj rad je jednak promjeni energije čitavog razmatranog volumena fluida. Ta se promjena može izračunati kao razlika kinetičke i potencijalne energije iscrtkanih malih volumena ∆ V1 = S1 ∆ s1 i ∆ V2 = S2 ∆ s2:

∆ E = Ek2 - Ek1 + Ep2 – Ep1 = = ½ ∆mv22 - ½ ∆mv12 + ∆mgh2 – ∆mgh1 Kada izjednačimo izraze (1.15) i (1.16) i sredimo, dobivamo:

(1.16)

p1 + ρgh1 + ½ ρv12 = p2 + ρgh2 + ½ ρv22

(1.17)

p + ρgh + ½ ρv2 = konst.

(1.18)

ili

( p-statičku tlak; ρgh-tlak zbog težine, razlike visina; ½ ρv2-dinamičku tlak)

To je Bernoullijeva jednačina za strujanje idealnoh fluida. Ona kaže da je zbir statičkog, dinamičkog (brzinskog) tlaka i tlaka koji dolazi zbog visinske razlike pojedinih dijelova fluida uvijek konstantan za određenu strujnicu. Ako je v1 = v2 = 0, tj ako fluid miruje (hidrostatika), jednačina (1.17) prelazi u p1 – p2 = ρg (h2 – h1) To je već poznati izraz za razliku hidrostatičkih pritisaka u mirnom fluidu.

(1.19)

MEHANIKA FLUIDA –Realni fluidi 1.VISKOZNOST Kada posmatramo realne fluide onda ne možemo zanemariti trenje koje se javlja u njima pri njihovom kretanju, što je posebno izraženo kod nekih tečnosti. Newton je dao zakon po kome se trenje u tečnostima tretira analogno trenju čvrstih tijela u mehanici. Ako dvije čvrste ploče pomjeramo jednu preko druge javlja se sila trenja. Na sličan način možemo posmatrati trenje među slojevima tečnosti. Posmatrajmo tečnost između dvije paralelne ploče od kojih je donja ploča fiksirana a gornja se kreće brzinom v0 . Kretanjem gornje ploče nastaće i kretanje slojeva tečnosti , pri čemu će gornji sloj imati najveću brzinu, a donji će biti nepokretan. Na taj način se između slojeva javlja relativno kretanje jednog sloja u odnosu na drugi što rezultira pojavom sile trenja na njihovoj dodirnoj površini.

Smatramo da nema prelaska čestica tečnosti iz jednog sloja u drugi i takvo kretanje se naziva laminarno kretanje i ono se dešava pri malim brzinama Eksperimentalno je utvrđeno da je sila trenja proporcionalna dodirnoj površini Slojeva i gradijentu brzine,pa Newtonov zakon trenja u tečnosti glasi:

F = ηSdv/dy Faktor proporcionalnosti η zove se koeficijent viskoznosti i zavisi od vrste tečnosti. Ukoliko je tečnost lakše pokretljiva, njena viskoznost je manja. Voda, na primjer ima znatno manji koeficijent viskoznosti od glicerina ili meda. Viskoznost zavisi od temperature i kod tečnosti opada sa temperaturom a kod gasova raste. Nekad se koeficijent viskoznosti η naziva dinamička viskoznost i izražava se u Ns/m2 = Pa· s.Ranije se koristila deset puta manja jedinica poaz 1P= 0,1 Pa· s Odnos viskoznosti η i gustine fluida ρ naziva se kinematička viskoznost (η/ρ).

2. TURBULENTNO KRETANJE Pri većim brzinama strujanja fluida dolazi do prelaska čestica fluida iz jednog sloja u drugi tj. do međusobnog mješanja slojeva i pojave vrtloga.Takvo kretanje se naziva turbulentno kretanje.

Kada će laminarno kretanje preći u turbulentno zavisi od mnogo okolnosti, koje se jednostavnom teorijom ne mogu predvidjeti. Uglavnom se turbulantno kretanje javlja pri većim brzinama, ali zavisi i od oblika suda, prečnika mlaza, obrade površine suda i drugih faktora. Eksperimentalno je utvrđeno da se pri turbulentnom kretanju javlja drugačiji raspored brzina.

R

v

D

v

Dok je pri laminarnom kretanju raspodjela brzina parabolička i unutrašnje trenje proporcionalno brzini fluida, pri turbulentnom brzina je po cijelom presjeku cijevi ista i naglo pada tek u blizini zidova cijevi a unutrašnje trenje je uglavnom proporcionalno kvadratu brzine. Općenito unutrašnje trenje se znatno povećava pri turbulentnom kretanju. Brzina pri kojoj dolazi do prelaska laminarnog u turbulentno kretanje naziva se kritičnom brzinom . Eksperimentalna istraživanja su pokazala da kritična brzina zavisi od koeficijenta viskoznost, gustine fluida kao i od dimenzija mlaza, ali i od drugih faktora koji se ne mogu tačno odrediti. Zbog toga se kao kriterijum za određivanje prirode kretanja fluida koristi Reynoldsov broj Re (Osborne Reynolds,1842-1912)

Re = ρvl/η= ρvD/η Za:

Re < 2000

kretanje fluida je laminarno

2000< Re < 3000 Re > 3000

kretanje je promjenjljivo

kretanje fluida je turbulentno

3.OTPOR SREDINE Otporom sredine naziva se sila trenja kojom se neki fluid opire kretanju nekog tijela kroz njega. Ovaj otpor igra značajnu ulogu u tehnici. Na primjer pri kretanju aviona kroz vazduh ili broda po vodi javlja se otporna sila , pa se nastoji da se ova sila svede na minimum. Otpor sredine samo je poseban slučaj opšte pojave trenja u fluidima. Ova sila se ne javlja samo kao rezultat trenja površine tijela sa okolnim fluidom. Pri kretnju tijelo povlači sa sobom i slojeve fluida, pa sila trenja predstavlja rezultat kretanja tijela i slojeva fluida oko njega. Za lagano kretanje lopte kroz neki fluid , pri čemu nema turbulencije, važi Stoksov (George Stokes ) zakon za silu trenja:

F = 6πηrv

Gdje je r poluprečnik sfere, v njena brzina , a η viskoznost fluida. Pri većim brzinama kretanja tijela kroz fluid postoji mogućnost pojave turbulencije što znatno povećava silu trenja. Zavisno od oblika tijela , a ne samo od njegovih dimenzija javljaju se vrtlozi a time i veća sila otpora kretanju tijela.

Otpor sredine može se tumačiti pomoću pritiska. Rad sile trenja vrši se na račun energije pritiska. Zato je pritisak iza tijela uvijek manji od pritiska ispred tijela.Jasno je da će pri kretanju tijela postojati sila uslijed razlike pritisaka, koja je usmjerana ka manjem pritisku odnosno suprotno brzini kretanja tijela u odnosu na fluid. Pojava vrtloga izaziva veću razliku pritisaka, a time i veći otpor sredine. Zbog toga se biraju tijela takvog oblika koja ne izazivaju turbulenciju tj. smanuju otpor i to je tzv. aerodinamični oblik.

MEHANIKA FLUIDA  ‐‐PRIMJERI‐‐ 

1.PASCALOV ZAKON F1

PRITISAK SE PRENOSI KROZ TEČNOST  PODJEDNAKO U SVIM PRAVCIMA ILI PRITISAK U  MIRNOM FLUIDU JE KONSTANTAN: 

S1

           F1/S1 = F2/S2 = F/S = p 

S

OVAKAV PRITISAK KOD FLUIDA KOJI MIRUJU  ZOVE SE  STATIČKI PRITISAK  F

S2 F2 PRIMJENA: IZ RELACIJE F1/S1 =F2/S2 SLIJEDI DA JE

F1:F2 = S1:S2 ŠTO SE KORISTI KOD HIDRAULIČNIH PRENOSA F1

S1

F2 > F1

S2 F2

2.HIDROSTATIČKI

PRITISAK:

PRITISAK UZOKOVAN DJELOVANJEM  GRAVITACIONE SILE NA ČESTICE FLUIDA   ILI  PRITISAK UZROKOVAN TEŽINOM  FLUIDA NAZIVAMO HIDROSTATIČKI  PRITISAK: 

p = ρgh 

PRIMJER: Koliki pritisak vlada u moru na 500 m ispod površine ako je gustina morske vode 1,05 g/cm3 ? RJEŠENJE:

p = p0 +ρgh

p0 =101337,3 N/m2 – atmosferski pritisak p =101337,3 N/m2 + 1,05 x 103 kg/m3 x x 9,81 m/s2x 500 m

p = 101337,3 N/m2 +5150250 N/m2 p = 52,515 x 105 N/m2=52,515 x 105Pa p = 52,515 bar

HIDROSTATIČKI PARADOKS:

U SPOJENIM SUDOVIMA KOJI SU OTVORENI TEČNOST JE NA ISTOM NIVOU BEZ OBZIRA NA OBLIK SUDA JER U MIRNOJ TEČNOSTI SILE PRITISKA MORAJU BITI U RAVNOTEŽI.

3.ARHIMEDOV ZAKON:

            F1= p1S= ρgh1S

F2= p2S= ρgh2S

Fp = F2 - F1 = ρg(h2 - h1 )S= ρgV=ΔGf NA TIJELO URONJENO U FLUID DJELUJE   VERTIKALNA SILA NAVIŠE KOJA NASTOJI DA      p    ISTISNE  TIJELO I ONA SE NAZIVA 

 

 SILA  POTISKA Fp ILI UZGON 

 

ARHIMEDOV ZAKON: TIJELO URONJENO U  FLUID LAKŠE JE ZA SILU POTISKA ODNOSNO ZA  TEŽINU ISTISNUTOG FLUIDA 

PRIMJER 1:Neko tijelo mjereno u vazduhu ima težinu 3,56x10-4 N, a u glicerinu 3,06x10-4 N. Od kojeg je materijala napravljeno tijelo ako je gustina glicerina 1, 26 g/cm3? RJEŠENJE: Gv=3,56x10-4 N

ρt = m/V

Gg=3,06x10-4 N

Gv= m g

ρg = 1, 26 g/cm3

Fp= Gv - Gg =0,50x10-4N

ρt = ?

Fp= ρg gV => V= Fp/g ρg

=> m= Gv /g

ρt = m/V= ρg Gv /( Gv - Gg ) = 8,9x103 kg/m3

PRIMJER 2:Homogena tanka daska gustine 0,8 g/cm3, naslonjena je na oštru ivicu bazena , tako da je jedna četvrtina njene dužine nad ivicom bazena, a drugi kraj u bazenu. Koji dio njene dužine je pod vodom? L/4

O

α

x

G

Fp

RJEŠENJE: Ovo je čvrsto tijelo koje može da rotira oko tačke O, tako da je u ravnoteži kada je suma momenata svih sila koje na njega djeluju jednaka nuli.

G (L/2 –L/4)cos α = Fp (L – L/4 –x/2 ) cos α G = ρgSL

Fp = ρ0gSx

GL/4 = Fp (L – L/4 –x/2 ) ρgSL2 /4 = ρ0gSx(3L/4 –x/2 ) ρL2 = ρ0x( 3L – 2x) => 2 ρ0x2 -3L ρ0 x + ρL2 =0 X = 0,34L

4.IDEALNI FLUIDI IDEALNI FLUIDI SU NESTIŠLJIVI FLUIDI KOD KOJIH NEMA UNUTRAŠNJEG TRENJA I KOJI KADA SE KREĆU STRUJE STACIONARNO. JEDNAČINA KONTINUITETA:   

 

 

S1V1= S2V2 = SV = const. 

BERNOULLIEVA JEDNAČINA:   

 

p+ρv2/2 +ρgh = const.

TORICELLIEVA TEOREMA:   

 

 

v = √2gh

PRIMJER: U bazen se uliva potok čiji je protok Q = 250 l/s.Na dnu bazena se nalazi kružni otvor kroz koji ističe voda. Koliki treba da je prečnik otvora da bi dubina vode u bazenu bila stalna i iznosila h= 3,5m, ako je koeficijent kontrakcije mlaza k= 0,66? RJEŠENJE: Q= k S v= k π (D/2)2 v

Q = 250 l/s h= 3,5m

v = √2gh Q = k π (D/2)2 √2gh

k = 0,66 D=?

D = 2√Q/(kπ√2gh ) = 0,24 m

PRIMJER: Kroz horizontalnu cijev kao na slici (Pitotova cijev) struji tečnost, tako da je razlika između nivoa tečnosti u cjevčicama a i b jednaka h= 10cm. Odrediti brzinu strujanja tečnosti u širokoj cijevi AB. RJEŠENJE :

a

b

h

h= 10cm v=?

A

B

Na osnovu Bernulijeve jednačine:

p1 +ρv2/2 = p2 =>p2 - p1 =ρ v2/2 2

p2 - p1 =ρgh= ρ v /2 v=√ 2gh = 1,4 m/s 5.REALNI FLUIDI PRIMJER: Metalna kuglica poluprečnika r = 2cm i gustine ρ1 = 2,7 g/cm3 pada kroz ulje konstantnom brzinom v= 14,5 cm/s. Odrediti dinamičku viskoznost ulja , ako je njegova gustina ρ2 = 0,9 g/cm3 . RJEŠENJE: r = 2cm

Fp Fot

Fp +Fot = G

ρ1 = 2,7 g/cm3

Fp = ρ2 gV

v= 14,5 cm/s

Fot = 6 πηrv= Fs

ρ2 = 0,9 g/cm3

G = mg= ρ1 Vg

η=?

G

Fot = G - Fp

6 πηrv = ρ1 Vg - ρ2 gV= gV (ρ1 - ρ2 )=(4/3)r3πg (ρ1 - ρ2 )

η = 2gr2(ρ1 - ρ2 )/9v = 10,82 Pa s

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U SARAJEVU

INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja

2. TOPLINA 2.1. Uvod Molekularna fizika predstavlja dio fizike koji izučava strukturu i svojstva materije polazeći od tzv. molekularno - kinetičkih predodžbi. Suglasno tim predodžbama, svako tijelo (čvrsto, tekuće ili plinovito) sastoji se iz velikog mnoštva veoma malih čestica - molekula. Molekule se mogu sastojati od jednog, dva ili više atoma. Makroskopske osobine materije (tvari) mogu se bolje razumjeti pomoću molekularne teorije tvari, tj. promatrajući što se događa u mikroskopskom svijetu atoma i molekula. Atomi unutar molekule vezani su silama čije je porijeklo električne prirode, crt.2.1.

Crt.2.1.

Molekularnu i atomsku strukturu moguće je shvatiti samo pomoću kvantne fizike, te ćemo se zadržati samo na kvalitativnom opisu međudjelovanja atoma i molekula. Na crtežu 2.1. prikazano je kako sila ovisi o udaljenosti dvaju atoma u dvoatomnoj molekuli i odgovarajuća potencijalna energija Ep(r). Kad su atomi na međusobnoj udaljenosti, r=ro, molekula je u ravnotežnom stanju, a potencijalna energija je minimalna. Kada je udaljenost, rro atomi se privlače. Odgovarajuće potencijalne energije zadovoljavaju uvjet. F=-grad Ep. Jedna od važnijih karakteristika ovakvih sila je zasićenost: čim se dva atoma privuku i formiraju molekulu, oni više ne djeluju na ostale atome. Molekule svake materije nalaze se u nesređenom, kaotičnom kretanju, pri čemu nijedan smjer gibanja nema prednost pred ostalim. Intenzitet tog gibanja zavisi od temperature materije. Kod čvrstih tijela molekule (atomi) osciliraju (titraju) oko skoro fiksnih centara koji su pravilno raspoređeni tvoreći kristalnu rešetku. U tekućinama su međumolekularne udaljenosti nešto veće, privlačne sile slabije, te su molekule pokretljivije. U plinovima molekule su daleko jedna od druge, međumolekularne sile vrlo su slabe te se molekule gibaju skoro slobodno i skoro ne utječu jedna na drugu. Veličina molekule je reda veličine nanometra, a masa reda 10-27 kg, radi toga u svijetu atoma i molekula koristi se tzv. atomska jedinica mase: 1u = 1,66 ⋅ 10-27 kg koja je jednaka

(2.1.)

1 mase atoma izotopa ugljika 6C12. 12

Već smo spomenuli razliku između mase i količine tvari (materije). Za razliku mase koju mjerimo u kilogramima, jedinica za količinu tvari je mol (osnovna jedinica SI sistema): Mol je količina tvari koja sadrži onoliki broj međusobno identičnih čestica (atoma, elektrona, protona, iona, itd.) koliko ima atoma u 0,012 kg čistog ugljika 6C12. Broj molekula u 1 molu jedna je od osnovnih prirodnih konstanti, zove se Avogadrov 1 broj i iznosi: No = 6,023 ⋅ 1023 mol-1

(2.2.)

Molna masa ( molarna masa ) je masa količine tvari od 1 mola. Ako je m masa tvari, n broj molova, tada je molna masa:

M=

m n

(2.3.)

2.2. Temperatura U svim se tijelima čestice neprestano gibaju; to gibanje nazivamo toplinsko gibanje. Zbog toga gibanja čestice posjeduju toplinsku energiju. 1

Amadeo Avogadro (1776-1856), talijanski fizičar.

Naš osjećaj toplijeg i hladnijeg ovisi o kinetičkoj energiji čestica tvari s kojom dolazi u dodir. Dovedemo li dva tijela, hladnije i toplije u međusobni kontakt, čestice s većom kinetičkom energijom u sudarima predaje energiju onima s manjom energijom. Na taj način energija u obliku topline prelazi s jednog tijela na drugo. Za tijelo koje pri tom gubi energiju kažemo da je toplije, a za ono na koje energija prelazi da je hladnije. Prijelaz topline taje sve dok se ne uspostavi ravnoteža. Molekule koje se brže gibaju u toplijem tijelu predaju svoju energiju molekulama hladnijeg tijela, usporavaju se i toplije tijelo se hladi; molekule hladnijeg tijela ubrzavaju se i tijelo se grije. U termičkoj ravnoteži srednja kinetička energija istovrsnog gibanja molekula oba tijela je jednaka. Da bi smo odredili stupanj zagrijanosti nekog tijela, definiramo temperaturu. Temperatura je u vezi sa srednjom kinetičkom energijom molekulskog gibanja. Kad dva tijela imaju jednaku srednju kinetičku energiju gibanja čestica (atoma ili molekula), ako ih dovedemo u kontakt, toplinska energija neće prelaziti s jednog na drugo; kažemo da su tijela na istoj temperaturi. Temperatura je proporcionalna srednjoj kinetičkoj energiji čestica tijela. Obično se temperatura ne mjeri u energetskim jedinicama već u kelvinima (K) i definira se izrazom:

1 kT = Ek(1) 2

(2.4.)

gdje je k Boltzmanova konstanta (k=1,38 ⋅ 10-23 J/K), a E k(1) srednja kinetička energija pojedinog stupnja slobode 2 gibanja molekula, koja ne npr. za translaciju u smjeru ose x jednaka

1 mv 2 . Umjesto translacije, mogući su, naravno i drugi oblici gibanja, npr. rotacija i 2 x

osciliranje molekula. U slučaju da se molekule mogu gibati samo translacijski (npr. molekule jednoatomnog plina), srednja ukupna kinetička energija je:

Ek =

3 2 1 mv x = mv 2 2 2

budući da je pri translaciji v 2 = 3v x2 , zbog ravnopravnosti svih triju smjerova u prostoru te je:

kT =

2 1 E k = mv 2 3 3

(2.5.)

Izraz (2.5.) je definicijska formula za termodinamičku ili apsolutnu temperaturu. Budući da je kinetička energija uvijek pozitivna, to je i apsolutna temperatura uvijek pozitivna veličina. Na nultoj temperaturi, tzv. apsolutnoj nuli formula (2.4.) kaže da prestaje svako toplinsko gibanje, ova tvrdnja vrijedi samo u okviru klasične fizike (točnije rečeno nije istinita). To je ustvari najniža moguća temperatura, koja se ne može eksperimentalno dostići iako joj se može vrlo blizu približiti. Skalu apsolutne temperature zovemo još i Kelvinovom skalom (William Thomson - Lord Kelvin).

2

Međusobno nezavisne veličine gibanja zovemo stupnjevima slobode. Tako imamo tri stupnja slobode za prostornu translaciju, tri za rotaciju i sl.

Kelvin (K) je jedinica za temperaturu u Međunarodnom sustavu (SI); definiran je pomoću temperature trojne točke vode 3 . Kelvin je

1 dio termodinamičke temperature trojne točke vode. 27316 ,

U običnom životu temperatura se izražava u stupnjevima Celzijusa (oC). Nula stupnjeva Celzijusa je temperatura ledišta vode, dok apsolutna nula (OK) odgovara -273,15 oC. Veza između Kelvinove (apsolutne) temperature T i Celzijusove temperature t je:

T ( K ) = 27315 , + t ( oC )

(2.6.)

tj. apsolutna temperatura T izražena u kelvinima (K) brojčano je jednaka zbroju mjernog broja temperature t u oC i broja 273,15 . Možemo uočiti da je temperaturni interval u kelvinima jednak temperaturnom intervalu u stupnjevima Celzijusa. Klasična molekularno-kinetička teorija ne može objasniti sve pojave u toplini i za potpunije opisivanje toplinskih pojava potrebno je upotrijebiti kvantnu fiziku.

2.3. Idealan plin. Plinska jednadžba Da bi smo ilustrirali metodu istraživanja molekularno-kinetičkih plinova, izvest ćemo jednadžbu stanja idealnog plina. Model idealnog plina je baziran na slijedećim pretpostavkama: • • • •

Plin se sastoji od velikog broja molekula koja se kreću kaotično unutar granica sistema koji se istražuje. Sudari među molekulama ili sa granicama sistema (zidovima) su savršeno elastični. Zapremina samih molekula se može zanemariti u odnosu na raspoloživu zapreminu sistema. Srednja kinetička energija molekula je proporcionalna temperaturi plina.

Zbog toplinskog gibanja molekula, molekule plina djeluju na zidove posude u kojoj se nalaze. Molekule plina udarajući u zidove posude predaju joj određenu količinu gibanja; promjena ukupne količine gibanja u vremenu određuje silu kojom molekule plina djeluju na površinu zida posuda. Tlak plina jednak je sili koja djeluje na jediničnu površinu. Izvest ćemo jednadžbu stanja idealnog plina, tj. vezu između tlaka, volumena i temperature plina. Zamislimo da se plin nalazi u kutiji oblika kocke brida a

3

Trojna točka vode je stanje u kojoj su sve tri faze vode u ravnoteži (voda, led i vodena para). Ovo stanje odgovara temperaturi 0,01 oC i tlaka 61,05 Pa.

Crt.2.2. Uzmimo u razmatranje jednu od N molekula koliko ih ima u kocki (i-ta molekula). Njena masa je m, a brzina:

r r r r vi = vix + viy + viz

(2.7.)

Prilikom savršeno elastičnog sudara sa zidom posude (onim koji je okomit na osu x) promijeni se x komponenta količine gibanja molekule za iznos:

r r r r Δpix = mvix − (− mvix ) = 2mvix

(2.8.)

Promjena količine gibanja molekule jednaka je impulsu sile koji je primio zid. Budući da je molekuli potrebno vrijeme a/vix sekundi da ode od jednog kraja posude do drugog kraja, odnosno 2a/vix za oba smjera, vrijeme između dva sudara promatrane molekule u isti zid posude iznosit će:

Δt =

2a v ix

(2.9.)

Srednja sila kojom molekula djeluje na zid posude jednaka je ukupnom impulsu sile koji zid primi u jedinici vremena:

Fi =

Δ pix v mv ix2 = 2mv ix ix = Δt 2a a

(2.10.)

To je bilo za jednu molekulu, dok za N molekula imamo:

F=

Δ px 1 N S = ∑ mv ix2 = m Δt a i=1 V

gdje smo umjesto a pisali a =

N

∑ i =1

v ix2

(2.11.)

F a3 V . Iz definicije za tlak p = , slijedi da je tlak p: 2 = S S a

m N 2 p = ∑ v ix v i =1

(2.12.)

Za makroskopske veličine, kao što su tlak i temperatura, koje nisu osobina pojedine molekule nego većeg broja čestica, važne su prosječne (srednje) vrijednosti brzine i kvadrata brzine. Gibanje je kaotično i ima isti broj molekula koje se gibaju u jednom i suprotnom smjeru. Srednji kvadrat x-komponente brzine molekula je: N

v = 2 x

∑ i =1

v ix2

(2.13.)

N Uvrštavanjem ovog rezultata u izraz za tlak (2.12.) dobivamo:

p=

Nmv x2 V

(2.14.)

Svi su smjerovi u posudi ekvivalentni, te vrijedi: (2.15.)

v 2 = v x2 + v 2y + v z2 = 3v x2

Uzevši ovo u obzir, dobivamo relaciju između tlaka i volumena za idealan plin:

1 2 mv 2 2 2 pV = Nmv = N = N Ek 3 3 2 3

(2.16.)

Ovo je veza između tlaka plina i srednje kinetičke energije translacije molekule, osnovna jednadžba kinetičke teorije plinova. Definirajući temperaturu, istakli smo da svakom stupnju slobode gibanja pripada srednja kinetička energija molekule

1 kT . Translacija molekula sastavljena je do tri stupnja 2

slobode, te je kinetička energija (srednja vrijednost) translacije:

Ek = Ek( x ) + Ek( y ) + Ek( z ) =

3 kT 2

(2.17.)

Efektivna brzina molekule v ef =

v ef =

v 2 jednaka je onda:

3kT m

(2.18.)

Uvrstimo li (2.17.) u (2.16.), dobivamo jednadžbu stanja idealnog plina:

pV = NkT

(2.19.)

Iz (2.19.) slijedi da jednaki volumeni različitih plinova, pri jednakom tlaku i temperaturi, imaju jednaki broj čestica. To je Avogadrov zakon. Pišemo li N=nNo, gdje je No Avogadrov broj (broj čestica u 1 molu plina) a n broj molova plina, jednadžba (2.19.) poprima oblik:

pV = nN o kT = nRT

(2.20.)

Produkt Avogadrovog broja No i Boltzmanove konstante daje novu konstantu R koju zovemo univerzalna plinska konstanta:

R = kN o = 1,3805 ⋅ 10 −23

1 J J ⋅ 6,0235 ⋅ 10 23 = 8,314 molK K mol

Volumen l mola bilo kojeg plina pri normiranim uvjetima (273 K, 101325 Pa) jednak je: 23 1 23 J N o kT 6,0225 ⋅ 10 mol ⋅ 1,3805 ⋅ 10 K ⋅ 273K Vo = = p 101325Pa

Vo = 2,24 ⋅ 10 −2

m3 mol

(2.21.)

To je normirani molni volumen idealnog plina. Ako broj molova n u (2.20.) pišemo kao kvocijent mase m i molne mase M, plinska jednadžba glasi:

pV =

m RT M

(2.22.)

Plinska jednadžba (2.19.) vrijedi za idealne plinove a, aproksimativno za realne. Aproksimacija je to bolja što je temperatura plina veća, a tlak manji; odstupanja postaju znatna kad se plin približava točki kondenzacije, tj. prelazi u tekuće stanje.

2.4. Avogadrov zakon, Daltonov zakon i zakon ekviparticije Avogadrov zakon tvrdi da pri istom tlaku i temperaturama, isti volumeni dva proizvoljna plina sadrže isti broj molekula. Ako za ta dva različita plina napišemo jednadžbu stanja:

pV = N1kT ;

pV = N 2 kT

pošto su parametri p, V i T za oba ta plina jednaki, slijedi da je:

N1 = N 2 tj. u svakoj količini ima jednak broj molekula, što je suština Avogadrovog zakona. Promatrajmo sada smjesu plinova u nekoj posudi zapremine V, koji se nalaze u termodinamičkoj ravnoteži i međusobno ne međudjeluju. Jednadžba stanja za tu mješavinu glasi:

pV = ( N 1 + N 2 +...) kT = NkT

(2.23.)

gdje su N1, N2, ..., brojevi molekula odgovarajućih sastojaka smjese, a N je ukupan broj molekula u posudi. Iz izraza (2.23.), dijeljenjem sa V, dobivamo:

p=

(2.24.)

N1 N kT + 2 kT +... V V

To znači da svaka grupa ima svoj vlastiti tlak nezavisan od tlakova ostalih komponenti smjese. To je pretpostavka kod idealnog plina koja kaže da nema međudjelovanja između molekula idealnog plina. Izrazi

N2 N kT = p1 , 2 kT = p2 ,... predstavljaju tlakove V V

koje bi svaki plin vršio kad bi se samo on nalazio u zapremini V i oni se nazivaju parcijalni tlakovi. Relacija (2.24.) može se napisati u obliku:

p = p1 + p 2 + ...

(2.25.)

koja izražava Daltonov zakon. Daltonov zakon kaže da je u smjesi više plinova koji međusobno kemijski ne reagiraju ukupan tlak jednak zbiru parcijalnih tlakova pojedinih sastojaka smjese. Stupanje slobode definiramo kao različite vidove gibanja tijela. Njihov broj za neko tijelo ili sistem tijela jednak je broju nezavisnih koordinata kojima možemo opisati kretanje danog tijela ili sistema tijela. Na primjer, najjednostavniji slučaj imamo kod opisivanja gibanja točkaste mase, npr. jedne molekule koju čini samo jedan atom. Ona ima tri translatorna stupanja slobode, tj. njeno gibanje se može opisati pomoću nezavisno promjenljive veličine (u pravokutnom Descartovom sustavu to su koordinate x, y i z). Ako pak imamo dvije međusobno nezavisne, tj. nepovezane točkaste mase, onda nam treba šest međusobno nezavisnih koordinata da bi smo opisali gibanje ovog sistema od dvije točkaste mase, to su njihove koordinate x1, y1, z1 i x2, y2, z2. Tada kažemo da takav sistem ima

šest stupnjeva slobode. Sistem N međusobno nezavisnih materijalnih točaka, npr. N molekula idealnog plina, ima, prema tome, 3N stupnjeva slobode. Ukoliko, međutim, između dvije točkaste mase postoji kruta veza, onda je za njihovo opisivanje dovoljno pet nezavisno - promjenljivih, jer se šesta uvijek može izvesti iz poznate konstantne udaljenosti točkastih masa d, prema relaciji:

(x

− x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z 2 − z1 ) = d 2 2

2

2

2

Od ovih pet stupnjeva slobode, tri mogu biti koordinate centra mase sistema, a preostale dvije mogu biti dva kuta ϕ i θ koji određuju pravac u prostoru ose sistema, što znači da su tri stupnja slobode translatorni, a dva rotacioni stupnjevi slobode, crt. 2.3.

Crt.2.3. Ako su pak dvije tačkaste mase povezane elastičnom vezom, onda će broj stupnjeva slobode tog sistema biti šest, jer će, uz već spomenutih pet stupnjeva slobode biti dodan šesti oscilatorni stupanj, tj. šesta koordinata koja je udaljenost r između točkastih masa. U ravnotežnom stanju ova udaljenost je jednaka ro, a svaka promjena ravnoteže uvjetuje silu koja nastoji da ponovo uspostavi ravnotežu. Ako se ovo razmatranje primijeni na plinove, onda je jasno da jednoatomne molekule plina imaju tri translatorna stupnja slobode. Broj stupnjeva slobode koji se pripisuju dvoatomnoj molekuli zavisi od tipa veze između atoma. Taj broj sadrži ili tri translatorna i dva rotaciona stupnja slobode (sa krutom vezom) ili, pored svih pet još jedan oscilatorni stupanj slobode (ako je veza elastična). Na osnovu relacije (2.17.), zaključujemo da slobodna molekula sa tri stupnja slobode, ima kinetičku

energiju translatornog kretanja 3 ⋅ 1/2 kT, tj. na svaki stupanj slobode otpada 1/2 kT kinetičke energije pošto su svi translatorni stupnjevi slobode jednako vrijedni. Ako ovu tvrdnju uopćimo, onda sistem sa s stupnjeva slobode ima kinetičku energiju:

Ek = s

kT 2

(2.26.)

Ovaj izraz je poznat kao zakon o ekviparticiji ili zakon jednake raspodjele kinetičke energije po stupnjevima slobode. Kod utvrđivanja iznosa srednje energije molekule treba voditi računa da dok na svaki translatorni stupanj slobode i svaki rotacioni stupanj slobode dolazi po 1/2 kT energije, dotle na oscilatorni stupanj slobode dolazi dvostruko veća vrijednost tj. 2 ⋅ 1/2 kT=kT srednje energije molekule. Ovo se objašnjava time što su translacija i rotacija molekula vezane uz prisustvo samo kinetičke energije dok su oscilacije u vezi sa postojanjem i kinetičke i potencijalne energije. Prema tome, broj stupnjeva slobode s jedne molekule se može napisati kao zbroj tanslacionih, rotacionih i oscilatornih stupnjeva slobode:

s = strans. + srot . + sosc.

(2.27.)

a ukupna srednja energija je:

E= j gdje je:

j = strans. + srot . + 2sosc.

kT 2

(2.29.)

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U SARAJEVU

INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja

2.5. Termodinamika 2.5.1. Uvod Termodinamika istražuje fizikalne procese koji se dešavaju u makroskopskim sistemima, tj. tijelima koja su sastavljena od velikog broja čestica (atoma, molekula, iona, itd.). Osobine i stanja tih sistema termodinamika prati izučavanjem relacija koje postoje između topline, rada i energije, tj. razmatra prijenos energije ovisno od fizikalnih osobina materijala koji učestvuju u tom prijenosu. Termodinamika se zasniva na dva opća zakona prirode, na prvom i drugom zakonu termodinamike. Na osnovu ova dva zakona moguće je logičkim rasuđivanjem povezati mjerljiva svojstva materije, kao što su koeficijenti širenja, kompresibilnost, specifični i toplotni kapacitet, toplinske transformacije i dr. Inženjeri(strojarski, elektro) koriste principe i metode termodinamike prilikom izrade proračuna za parne strojeve i turbine, motore sa unutrašnjim sagorijevanjem, mlazne motore i hladnjake, dok ih kemijski inženjer koristi u praktično svakom procesu u kojem dolazi do prijenosa topline, ili se javlja problem kemijske ravnoteže. Termodinamika ne postavlja nikakve hipoteze o strukturi materije. To je eksperimentalna ili empirijska znanost. 2.5.2 Rad i toplina Rad W izvršen u nekom termodinamičkom procesu koji je sistem preveo iz početnog stanja 1 u konačno stanje 2 definira se kao: 2

W = ∫ δW

(2.30)

1

gdje je δW infinitezimalni rad izvršen u infinitezimalnom dijelu tog procesa. Za proces integriranja u relaciji (2.30.) potrebno je znati putanju po kojoj se vrši integriranje, tj. proces kroz koji sistem prolazi, što znači da je rad funkcija procesa, pa stoga njegov diferencijal nije totalni i zato ga označavamo sa δW. Iz istih razloga se, onda, rad izvršen u toku procesa 1-2 piše kao: 2

W = ∫ δ W = W1−2

(2.31)

1

Promatrajmo idealni plin u cilindru s pomičnim klipom (crt.2.8.). Dovodimo li toplinu, plin će se zagrijati, klip podizati i obavljati rad.

Pomakne li se klip za infinitezimalnu duljinu dx, rad je:

δ W = Fds = Fdx = pSdx = pdV

(2.32)

gdje je dV povećanje volumena plina.

Crt.2.8. Da bismo iz (2.32.) izračunali rad za konačnu promjenu volumena plina, potrebno je poznavati ovisnost tlaka o volumenu, p(V). Tada je: V2

W=

∫ p(V )dV

(2.33)

V1

Ako znamo dijagram određenog procesa s idealnim plinom, rad je jednak površini ispod krivulje p(V), crt.2.8. Tada npr. rad pri izobarnom procesu (p=const.) je; V2

W = p ∫ dV = p(V2 − V1 )

(2.34)

V1

Ako se plin širi izotermno (T=const.), iz (2.30.), p=nRT/V i iz (2.33.) dobivamo: V2

W=

∫

V1

V2

pdV =

∫

V1

nRT

V dV = nRT1n 2 V1 V

(2.35)

Obično se u termodinamici upotrebljava slijedeći dogovor o predznaku rada: Pri ekspanziji (dV>0), sistem (idealni plin) vrši rad i rad je pozitivan (δW>0); naprotiv, pri kompresiji (dV m3 Pri svemu ovome, površina koju bilo koja od krivulja raspodjele zaklapa s vosom, zbog uvjeta normiranja je ista i jednaka jedinici.

3.4. Raspodjela molekula idealnog plina po energijama Kinetička energija translacije molekule mase m i brzine v jednak je: E=

1 2 mv 2

(3.27)

10

Često je korisno da se raspolaže jednim izrazom za broj molekula koje imaju kinetičku energiju translacije u određenom, unaprijed danom opsegu, između E i E + dE. Iz relacije (3.27.) je: dE = mv dv tj. dv =

dE = mv

dE 1/ 2 = ( 2mE ) dE 2E m m

(3.28.)

Polazeći od raspodjele molekula po brzinama:  m  dN ( v ) = f ( v ) = 4π   N  2π kT 

3/ 2

e

−

mv 2 2 kT

v 2 dv

Analogno za funkciju raspodjele energija:  m  dN ( E ) = ϕ ( E ) = 4π   N  2π kT 

3/ 2

e

−

E kT

2E m

dE 2 mE

(3.29.)

Sređivanjem relacije (3.29.) dobivamo:

ϕ (E) =

2

π ( kT )

3/ 2

e

−

E kT

E 1/ 2

(3.30.)

Ako sada pomoću funkcije raspodjele ϕ(E) izračunamo srednju energiju po formuli: ∞

E = ∫ Eϕ ( E )dE

(3.31.)

0

Dobit će se rezultat, već poznata vrijednost. E=

3 kT 2

(3.32.)

Maxwellova funkcija raspodjele je, u stvari, samo specijalan slučaj općeg  energija  principa raspodjele koji je izveo Boltzmann, gdje odnos   nije  kT  ograničen na kinetičku energiju translacije. Upravo zbog tog uopćavanja ova funkcija raspodjele se često naziva Maxwell-Boltzmannova raspodjela, koja vrijedi za sisteme jednakih čestica, u kojima se može zanemariti međudjelovanje čestica, koje se nalaze u termodinamičkoj ravnoteži u nekom potencijalnom polju sile.

11

ELEKROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja za 11. sedmicu nastave

3.5 Srednja dužina slobodnog puta d- efektivni dijametar molekule σ-efektivni presjek

σ = π d2

d

Vjerovatnoća da molekula pređe bez sudara put l je

W(l) = e –l/λ

Gdje je λ srednji slobodni put koji je λ = vsr / ν = 1/ 2 πnd2 ν – je frekvencija sudara , a n broj molekula u jedinici volumena Pošto je pritisak p= n k T to je λ~ 1/p što znači veći pritisak , kraći put između dva sudara.

3.6 Transport mase i transport energije Difuzija je proces spontanog izjednačavnja koncentracija uslijed termičkog kretanja molekula u smjesi dvije ili više različitih vrsta gasova.

1

To je transportna pojava koja opisuje prenos čestica supstance sa jednog mjesta na drugo, kao posljedica postojanja gradijenta koncentracije. Fluks čestica N i kroz neku površinu S dat je Fikovim zakonom: Ni =-D a fluks mase je Mi =-D

dni dx

S

dρ i S dx

D je koeficijent difuzije koji je v sr λ 3 Kad postoji gradijent temperature doći će do transporta energije D=

∆Q=-χ(

∆T )∆S∆t ∆x

Koeficijent toplotne provodljivosti χ je χ=

1 j n o v sr λ k 3 2

gdje je n o -- koncentracija v sr – srednja brzina λ -- srednji slobodni put k –Bolcmanova konstanta j – broj stepeni slobode Toplota se prenosi u pravcu opadanja temperature.

4. PRENOŠENJE TOPLOTE Postoje tri načina prenošenja toplote: „ Provođenje ( kondukcija ) „ Strujanja ( konvekcija ) „ Zračenje ( radijacija ) Kondukcija ili provođenje toplote vrši se u tijelima bez njihovog kretanja i to se objašnjava molekularno –kinetičkom teorijom. Kinetička energija molekula se putem sudara prenosi sa molekule na molekulu, te se na taj način javlja protok toplote kroz tijelo, od mjesta više temperature do hladnijih dijelova. Jednačina provođenja toplote (Fourierov zakon ) : 2

dQ = - χ dS grad T dt

Toplotni fluks q je q=

dq = - χ dS grad T dt

Jasno je da je brzina proticanja toplote kondukcijom proporcionala gradijentu temperature. Posmatrajmo tijelo oblika paralelepipeda na primjer neku ploču ili štap, dužine L i površine poprečnog presjeka S na čijim krajevima postoji razlika temperature ∆ T . Tada će toplotni fluks biti : L q = χ S ( T2 – T1 ) / L T1

T2

a) Provođenje toplote kroz tijelo sa više slojeva (zidova ) Tx

Neka je zid sastavljen od dva različita materijala debljine d1 i d2 , a temperatura na dodirnoj površini je Tx : Onda je toplotni fluks kroz površinu S jednak : q

T2

T1 χ1 d1

q=

χ 1 S (T2 − Tx ) d1

q=

χ 2 S (Tx − T1 ) d2

χ2 d2

3

χ1 T + d1 2 Tx = χ1 + d1 q=

q=

χ2 T d2 1 χ2 d2

S (T2 − T1 ) d1 d 2 + χ1 χ 2 S (T2 − T1 ) n d ∑ χi i =1 i

za n-slojeva

b) Protok toplote kroz cilindričnu cijev

q r T2

T1

a

q

T2>T1

q = − χS

dT dr

b

STACIONARAN TOK S=2πrL

q = − χ 2πrL

dT dr

dr = −2πχLdT r b T1 dr q ∫ = −2πχL ∫ dT a r T2 q

q=

2πχL(T2 − T1 ) b ln a 4

Konvekcija ili strujanje je način prenošenja toplote putem kretanja materijala najčešće nekog fluida. Strujanjem se prenose molekule sa jednog mjesta na drugo a sa njima i toplota. To je vrlo čest način prenošenja toplote na primjer kod centralnog grijanja, razne struje u okeanima, razni vjetrovi u atmosferi su vrsta konvekcije . q=hS∆T gdje je h koeficijent kovekcije . Detaljnija analiza konvekcije vodi preko složenih zakona dinamike fluida što nije predmet ovog kursa. Zato ćemo navesti samo nekoliko primjera konvekcije. Zračenje je treći oblik prenošenja toplote, gdje se toplota ne prenosi direktno već posredstvom elektromagnetnih talasa ( valova).Toplota prvo prelazi u energiju zračenja koja se brzinom svjetlosti prenosi do tijela u kojem se ona apsorbuje i ponovo prelazi u toplotnu energiju. Za prenošenje toplote zračenjem nije potrebna nikakva supstanca jer elektromagnetni valovi prolaze i kroz vakuum. O ovom obliku prenošenje toplote govorit ćemo detaljnije u slijedećem poglavlju.

5.TOPLOTNO ZRAČENJE Toplotno ( toplinsko ) zračenje nastaje kada atomi ili molekule tijela, pobuđeni termičkim kretanjem, emitiraju elektromagnetske valove. Zračenja koja nastaju na račun drugih oblika energije, poznata su pod nazivom luminiscencije. Fosfor koji oksidira u zraku zrači (svijetli) na račun energije koja se oslobađa u kemijskoj reakciji, taj oblik zračenja naziva se kemiluminiscencija. Zračenje koje nastaje pri pražnjenju u plinovima naziva se katodna luminiscencija. Toplinsko zračenje emitiraju sva tijela i to na svim temperaturama od apsolutne nule. Međutim, spektralni sastav i intenzitet zračenja zavisi i od temperature i prirode izvora. Toplinsko zračenje je elektromagnetski proces. Smatra se da toplotni valovi imaju valne dužine u intervalu od 380 nm do 40.000 nm. Okružimo tijelo koje zrači neprobojnim omotačem sa idealno reflektirajućom površinom, i evakuirajmo unutrašnjost. Zračenje odbijeno od omotača apsorbira se kad padne na tijelo (djelomično ili u potpunosti). Slijedi neprekidna izmjena energije između tijela i zračenja koje ispunjava omotač. Ako raspodjela energije između tijela i zračenja ostaje nepromijenjena za svaku valnu dužinu, stanje sistema tijelo-zračenje biće ravnotežno. Eksperiment pokazuje da je jedini oblik zračenja koji može da se nalazi u ravnoteži sa tijelom koje zrači, toplotno zračenje, svi ostali oblici zračenja (luminiscencije) su neravnotežni. Pretpostavimo da je ravnoteža između tijela i zračenja narušena i tijelo zrači više energije nego što apsorbira. Tada će unutrašnja energija tijela da se smanjuje, što dovodi do sniženja temperature, to uvjetuje smanjenje energije koju zrači tijelo. Temperatura tijela će se smanjivati sve dok se količina izračene energije ne izjednači sa apsorbiranom energijom. Ako se ravnoteža naruši na suprotnu stranu, tj. količina izračene energije bude manja od apsorbirane, temperatura raste, sve dok se ne uspostavi ravnoteža. 5.1. Kirchhoffov (Kirhof) zakon Da bi okarakterizirali toplinsko zračenje koristit ćemo veličinu fluksa (toka) energije, koji se mjeri u vatima. Fluks energije, koji emitira jedinica površine tijela koje zrači,

5

naziva se energetska jakost ili intenzitet zračenja tijela (I), ili to je energija koju ispušta jedinična površina u jedinici vremena:

I=

dΦ  W    dS  m2 

(5.1.)

Zračenje se sastoji od različitih frekvencija ω. Označimo fluks energije, koji emitira jedinica površine tijela u intervalu dω s dIω. Za malu veličinu intervala dω, fluks dIω bit će proporcionalan s dω:

dIω = eω ⋅ dω

(5.2.)

gdje je eω emisiona moć tijela. Eksperiment pokazuje da emisiona moć zavisi od temperature, znači eω je funkcija temperature i frekvencije: ∞

Iω ,T = ∫ dIω ,T = ∫ eω ,T dω

(5.3.)

0

Zračenje se često karakterizira sa valnom dužinom λ umjesto frekvencijom ω. Odresku dω odgovara interval dλ. Veza između valne dužine i kružne frekvencije je

λ=

2π c . Diferenciranjem, dobiva se: ω

2π c λ2 dλ = − 2 dω = − dω ω 2π c

(5.4.)

Predznak minus, nema bitnog fizikalnog značenja, on samo ukazuje da porastom jedne veličine dolazi do smanjivanja druge. Ovaj minus nećemo dalje pisati. Intenzitet zračenja koji otpada na interval dλ može se po analogiji predstaviti u obliku:

dI λ = eλ dλ

(5.5.)

Ako su intervali dω i dλ vezani relacijom (5.4.) to se dIω i dIλ podudaraju:

eω dω = eλ dλ zamjenom dλ iz relacije (5.4.) dobit ćemo:

eω dω = eλ

2π c λ2 d ω = e dω λ ω2 2π c

2π c λ2 eω = eλ 2 = eλ ω 2π c

(5.6.)

6

Neka na elementarnu površinu tijela, pada fluks energije elektromagnetskog zračenja frekvencije iz intervala dω. Dio tog fluksa dΦ’ω apsorbirat će tijelo. Bezdimenzionalna veličina:

aω ,T =

dΦ'ω dΦ ω

(5.7.)

naziva se apsorpciona moć tijela. Apsorpciona moć tijela je također funkcija temperature i frekvencije. Po definiciji aω,T ne može da bude veće od 1. Tijelo za koje važi aωT=1 naziva se apsolutno crno tijelo. Tijelo za koje važi, aωT T2 > T3 λ m1 < λ m2 < λ m3

T1

T2 T3

λ m1 λ m2 λ m3

λ

Crtež 5.3

5. 3. Rayleigh-Jeansova formula Rayleigh-Jeans (Reli i Džins) su pokušali da odrede funkciju f(,T), polazeći od teorema klasične statistike o ravnomjernoj raspodjeli energije po stepenima slobode. Oni su pretpostavili da na svako elektromagnetsko osciliranje otpada u srednjem energija jednaka

1 2  kT , tj. jedna polovina na električnu a druga polovina na magnetsku komponentu4. 2 Reyleigh-Jeansova funkcija spektralne raspodjele ima oblik:

2 f  , T   k T 4 2 c 2

4

Prema klasičnoj fizici na svaki oscilatorni stupanj otpada u srednjem energija

(5.20.)

1 kT, 2

gdje je k=1,38.10-23 J/K, Boltzmannova konstanta.

3

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

ili

  , T  

2 c



4

k T

Može se lako vidjeti da zadovoljava Wienov uvjet:

f  , T  

k

T

 3   4 c

(5.21.)

2 2

Izračunajmo intenzitet zračenja koristeći jednadžbu (5.20.), i integrirajmo po  u granicama od 0 do : 

I   f  , T d  0

kT 4 2 c 2





 3 d 

0

kT  3 4 2 c 2 3

 0



(5.22.)

Rezultat koji se dobije, poznat je pod imenom ultravioletna katastrofa i stoji u suprotnosti sa eksperimentom. Sa slike 5.4 vidimo da je Rayleigh-Jeansova formula u slaganju sa eksperimentalnim rezultatima samo za velike valne dužine (infracrveno područje) dok se za male valne dužine (ultravioletno područje), oštro razlikuje od eksperimenta. φ(λ, T )

R.J.

Eksperiment

1

2

3

4

5

6

7 λ ( μm )

Crtež 5.4

5.4. Planckova formula Izvođenje Rayleigh-Jeansove formule sa stanovišta klasične fizike je bez zamjerke, Međutim razilaženje ove formule sa eksperimentom, ukazuje na postojanje nekih zakonitosti koje nisu u suglasnosti sa pretpostavkama klasične statističke fizike i elektrodinamike. 1900. godine Max Planck5 (Plank) je uspio da pronađe oblik funkcije f(,T) koji točno odgovara eksperimentalno dobivenim rezultatima. Međutim, za ovo je trebalo napraviti pretpostavke koje 5

Max Planck (1858-1947), njemački fizičar, jedan od osnivača moderne fizike, dobitnik Nobelove nagrade (1918)

4

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

su u suprotnosti sa klasičnim predstavama i zahtijevati da se elektromagnetsko zračenje emitira u obliku energetskih porcija (kvanata) čija je veličina proporcionalna frekvenciji zračenja:

E  h  

(5.23.)

gdje je h (odnosno  ) Planckova konstanta, čija je vrijednost određena eksperimentalno i iznosi:

h  6.62  10 34 Js

(5.24.)

ili



h  1054 .  10 34 Js 2

Planckova konstanta ima dimenziju: (energija)  (vrijeme) = (količina kretanja)  (dužina) = (moment količine kretanja)6. Ako se energija emitira (apsorbira) u porcijama  , to znači da ukupna emitirana (apsorbirana) energija može da bude samo cjelobrojni umnožak kvanata energije, tj.:

En  n ; n  0,1,2,...

(5.25.)

Ovaj rezultat znači da, za razliku od klasičnog oscilatora koji oscilira pod djelovanjem elastične sile F=-kx, frekvencijom  

K i koji može da ima sve vrijednosti energije od 0 m

kx 2 , kvantni oscilator, može se nalaziti samo u stanjima sa energijom En  n . 2 Prema Plancku osnovno (najniže) stanje kvantnog oscilatora je 0, prvo više stanje je E1   , drugo E2  2 , itd.

do E 

Uvođenjem pojma kvatnog oscilatora i kvanta energije (5.23.) i (5.25.), Planck dolazi do rezultata da je srednja vrijednost energije zračenja frekvencije  jednaka:



E e

 kT

(5.26.)

1

gdje je k-Boltzmannova konstanta, T-apsolutna temperatura. Kada  teži nuli, tj. kada je   kT , e  / kT , možemo razviti u red: 

e kT  1 

2

 1       ... kT 2  kT 

(5.27.)

uvrštavanjem izraza (5.27.) u (5.26.) i zadržimo se na prva dva člana, dobivamo klasični oblik za energiju:

6

U mehanici se ova veličina naziva “djelovanje” pa se i Planckova konstanta naziva kvant djelovanja.

5

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

E  1

  kT  1 1 kT

(5.28.)

zračenja kT. Ako sada u Rayleigh-Jeansovoj formuli (5.20.) zamijenimo kT sa Planckovim izrazom za srednju energiju kvantnog oscilatora (5.26.) dobit ćemo Planckovu funkciju spektralne raspodjele energije, apsolutno crnog tijela f(,T):

f  , T  

 3 4 2 c 2

1 e

(5.29.)

 kT

1

ili

  , T  

2 hc 2



1

5

e

hc kT

1

Ova formula se podudara sa eksperimentom u intervalu od 0 do . Zadovoljava

    1 prelazi u Rayleigh-Jeansovu formulu.  , a za T kT

Wienov kriterij  3 F 

Izračunajmo intenzitet zračenja, koristeći Planckovu formulu (5.29.): 



I   f  , T d   0

0

 3 4 2 c 2

d e

 kT

(5.30.)

1

uvedimo smjenu:

x

 kT kT ;  x; d  dx kT  

(5.31.)

Dobit ćemo izraz:

k 4T 4 I 4 2 c 2  3





x3

0

dx e 1 x

(5.32.)

Integral u posljednjem izrazu može se izračunati7 i iznosi: 

 0

x3 4 dx  ex  1 15

(5.33.)

Uvrštavanjem vrijednosti (5.33.) dolazimo do Stefan-Boltzmannovog zakona.

I

 2k4 60c 2  3

T4   T4

(5.34.)

Odavde zamjenom brojčanih vrijednosti za konstantu, k=1,38x10-23 J/K, c=3x108 m/s i  =1,054x10-34 Js, dobit ćemo vrijednost za Stefan-Boltzmannovu konstantu: 7

Koristiti: Matematički priručnik, N.Bronštejn-K.A.Semendjajev

6

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

 teor  5,6696  10 8

W m2 K 4

(5.35.)





8 2 4 koja se dobro slaže s eksperimentom  exp  5,7  10 w / m K .

Da bi odredili Wienovu konstantu koristeći Planckovu formulu (5.29.), diferencirajmo funkciju  (,T) po i izjednačimo sa nulom:

 hc hc  kThc   kT   e 5  e  1     d  , T  2 c 2 h  kT   0 2 d 6  kThc   e  1  

(5.36.)

Vrijednosti =0 i =, koje zadovoljavaju jednadžbu (5.36.) odgovaraju minimumu funkcije  (,T). Vrijednost m, pri kojoj funkcija dostiže maksimum, anulira izraz u uglastoj zagradi brojnika. Ako se uvede oznaka:

hc x kTm

(5.37.)

dobiva se jednadžba:

xe x  5 e x  1  0

(5.38.)

ili

5  x  5(e x  1) Ova jednadžba je transcendentna i može se riješiti grafički y=5-x i y =5e-x Rješenje je: x=4.965 odnosno,

hc  4.965 kTm

(5.39.)

Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti za konstante h, c i k, dobivamo vrijednost Wienove konstante:

hc 4.965k b  2,897  10 3 mK

Tm 

(5.40.)

7

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

što je u dobrom slaganju sa eksperimentalnom vrijednošću b=2,886x10-3 mK. Izračunavanjem konstante  i b Plankova teorija je dobila punu potvrdu i predstavlja jedno od najznačajnijih dostignuća teorijske fizike.

5.5. Optička pirometrija U relacijama (529.), (5.34.) i (5.40.) pojavljuje se kao parametar temperatura tijela, koje zrači. Stoga se bilo koja od ovih relacija može koristiti za određivanje temperature užarenih tijela. Uređaji koji se baziraju na ovom principu nazivaju se optički pirometri. Oni se dijele na tri grupe: radijacioni pirometar, pirometar sjaja i kolor pirometar.

5.5.1. Radijacioni pirometar Shema radijacionog pirometra dana je na crtežu 5.5

Ob

Pr

Ok

Crtež 5.5 Uređaj se dovodi do tijela koje zrači, tako da oštra crtež površine koja zrači, dobivena objektivom Ob, potpuno prekriva prijemnik zračenja Pr. Kontrola se vrši pomoću okulara Ok. Kao prijemnik obično se koristi termočlanak (termopar). Po otklonu kazaljke na galvanometru može se odrediti temperatura tijela koje zrači. Uređaj se baždari prema apsolutno crnom tijelu, tako da za siva tijela radijacioni pirometar ne daje stvarnu temperaturu T, nego neku temperaturu Trad, pri čemu je intenzitet zračenja apsolutno crnog tijela I* jednak intenzitetu zračenja I ispitivanog tijela na njegovoj stvarnoj temperaturi T:

I * Trad   I T 

(5.41.)

Temperatura Trad naziva se radijaciona. Nađimo vezu između radijacione temperature sivog tijela i njegove stvarne temperature T. Označimo sa aT količnik intenziteta zračenja danog tijela I i apsolutno crnog tijela I* uzetih na istoj temperaturi. Tada se može pisati:

I  T   aT I *  T 

(5.42.)

8

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Uvrštavanjem te vrijednosti u (5.41.) dobiva se:

I *  Trad   aT I *  T 

(5.43.)

Prema relaciji (5.43.) dobivamo: 4 Trad  aT T 4

(5.44.)

Dakle, stvarna temperatura T jednaka je:

T

4

1 Trad aT

(5.45.)

Kako je aT za siva tijela manje od jedinice, to je stvarna temperatura veća od radijacione.

5.5.2. Pirometar sjaja Pirometar sjaja baziran je na poređenju zračenja svjetlećeg tijela sa zračenjem apsolutno crnog tijela na jednom te istom dijelu spektra . Obično se koristi interval u okolini =0,66 m, crveni dio spektra. . Ovaj uređaj sastoji se od polukružne žarne niti koja leži u ravni okomitoj na os uređaja. Objektiv Ob daje u toj ravni sliku površine ispitivanog emitera. Svjetlosni filter F propušta na okular Ok samo crvene zrake sa valnom dužinom blizu 0,66 m. Gledajući kroz okular, podešava se pomoću reostata R takvo žarenje niti da se njen sjaj podudara sa sjajem slike emitera, u tom slučaju nit “iščezava” u vidnom polju. Ovakav pirometar se još zove pirometar sa isčezavajućom niti. Uređaj se prethodno baždari prema apsolutno crnom tijelu. Za siva tijela uređaj daje tzv. temperaturu sjaja (Tsjaj). Da bi dobili stvarnu temperaturu potrebno je izvršiti određene korekcije. Na primjer za volfram na temperaturi T=3000 K i =0,66 m temperatura sjaja je Tsjaj=2700 K, a radijaciona Trad=2250 K.

5.5.3. Kolor pirometar Za siva tijela emisiona moć može se napisati u obliku:

e  , T   aT    , T 

(5.46.)

gdje je aT=const. Prema tome, maksimum emisione moći sivog tijela na temperaturi T odgovara istoj valnoj dužini m, kao i kod apsolutno crnog tijela na toj temperaturi. Stoga, ako je određeno m, može se temperatura sivog tijela izračunati. Ovako nađena temperatura naziva se kolor temperatura. Maksimum u spektru Sunčevog zračenja, prije prolaska kroz Zemljinu atmosferu odgovara valnoj dužini m=0,47 m. Uvrštavanjem u (5.40.) dobivamo za kolor temperaturu Sunca vrijednosti:

TKOLOR 

b

m

 6000 K

(5.47.)

9

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Radijaciona temperatura Sunca dobiva se približno jednaka 5800 K. Mala razlika između kolor i radijacioane temperature ukazuje na to da je površina Sunca po svojim osobinama bliska apsolutno crnom tijelu. Treba napomenuti da za tijela čiji karakter zračenja se razlikuje od zračenja svih tijela (“hladno zračenje”), pojam kolor temperature gubi fizikalni smisao.

10

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA II --Predavanja--

12. KVANTI ELEKTROMAGNETSKOG ZRAČENJA (FOTONI) 12.1. Zakočno rendgensko zračenje U prošlom poglavlju vidjeli smo da je za objašnjenje toplinskog zračenja bilo potrebno uvesti hipotezu (Planck) o emisiji elektromagnetskog zračenja u obrocima hω . Kvantna priroda zračenja potvrđuje se također postojanjem kratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Rendgenske zrake nastaju pri bombardiranju čvrstih meta brzim elektronima. Na slici 12.1. dana je shematski prikazana elektronska rendgenska cijev 1 .

Rendgenske 2 zrake stvaraju se u jonskim ili elektronskim cijevima. Mi ćemo opisati elektronsku rendgensku cijev jer je suvremenija i nalazi se u širokoj primjeni. Kod ovog tipa rendgenske cijevi emisija elektrona je termoelektronska, na principu zagrijavanja katode. Katoda (K) je u obliku spirale (volfram) koja se zagrijava do usijanja, posebnim strujnim kolom. Na suprotnoj strani katode u cijevi u kojoj je visoki vakuum (oko 10-5 Pa) nalazi se anoda (A). Između anode i katode priključen je visoki napon. Slobodni elektroni nastali pod djelovanjem električnog polja kreću se ubrzano prema anodi sa kojom se sudaraju. Na mjestu sudara nastaju rendgenski ili X-zraci.

1

Ovo je shema prve rendgenske cijevi, sada su u upotrebi cijevi od metala s otvorima za Xzrake. 2 W.C. Rontgen (1845-1923), njemački fizičar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1901).

1

Veći dio energije elektrona izdvaja se na anodi (antikatodi) u obliku toplote; u zračenje se pretvara samo 1-3% energije. Cijevi velike snage treba intenzivno hladiti. Obično kroz tijelo anode cirkulira tečnost za hlađenje. Eksperiment pokazuje da se intenzivno zračenje može dobiti samo pri naglom kočenju brzih elektrona. Za ovo na rendgensku cijev treba dovesti napon više od 50 kV. Kod takvog napona elektron postiže brzinu reda veličine 0,4 c, kod 50 MV brzina elektrona iznosi 0,99995 c. Takvi elektroni daju izuzetno male valne dužine X-zračenja. Za dovoljno veliku brzinu elektrona, osim zakočnog zračenja (tj. zračenja uvjetovanog kočenjem elektrona) pobuđuje se i karakteristično zračenje. Karakteristično zračenje izazvano je pobuđivanjem unutrašnjih elektrona omotača atoma, tijela mete (antikatode). Prema klasičnoj elektrodinamici, pri kočenju elektrona, treba da se jave valovi svih valnih dužina od nule do beskonačnosti. Valna dužina kojoj odgovara maksimum zračenja treba da se smanjuje sa povećanjem brzine elektrona, tj. napona u cijevi, U. Na slici 12.2. prikazane su eksperimentalne krivulje raspodjele intenziteta zakočnog zračenja

dI po valnim dužinama λ dλ

za razne vrijednosti napona U.

dI dλ

λ(nm) Slika 12.2. Kao što se vidi na slici 12.2. postoje odstupanja od zahtjeva klasične elektrodinamike. Neslaganje se sastoji u tome da funkcija raspodjele ne ide prema koordinatnom početku nego se prekida kod neke konačne vrijednosti λm. Eksperimentalno je utvrđeno da je kratkovalna granica zakočnog zračenja povezana s naponom relacijom:

λmin =

1239 U (V )

[ nm]

(12.1.)

gdje je λmin izraženo u nm a napon U u voltima. Postojanje kratkovalne granice može se objasniti kvantnom prirodom zračenja. Ako prihvatimo da zračenje nastaje na račun energije 2

koju elektron gubi pri kočenju, to veličina kvanta hω ne može da bude veća od kinetičke energije elektrona. Prelazeći potencijalnu razliku u električnom polju rendgenske cijevi, elektron vrši rad koji je jednak kinetičkoj energiji:

mv 2 = eU 2

(12.2.)

gdje je e=1,6 x 10-19 C, a U napon. Iz ovoga slijedi:

hω ≤ eU

(12.3.)

Pošto maksimalnoj frekvenciji odgovara minimalna valna dužina dobivamo:

ω max = λmin =

eU h 2π c

ω max

(12.4.)

hc = eU

Zamjenom vrijednosti konstanti h, c i e dobivamo relaciju (12.1.) koju je trebalo objasniti:

λmin =

1239 U (V )

[ nm]

Spektar zakočnog zračenja je kontinuiran i ne zavisi od (materijala) supstance od kojeg je napravljena anoda pa se obično zove bijelo zračenje (po analogiji sa spektrom Sunčevog zračenja). Ukoliko je energija elektrona jednaka kritičnoj veličini ili veća od nje nastaje zračenje koje se naziva karakteristično zračenje, koje nastaje kao posljedica izbijanja elektrona iz unutrašnjih orbita atoma materijala od kojeg je napravljena anoda. Elektroni vrlo velikih brzina udaraju u anodu, i pobuđuju atom, upražnjeno mjesto se popunjava elektronima iz vanjskih orbita) praćeno je emisijom X-zraka karakterističnog spektra. Na slici 12.3. dat je karakteristični spektar. Objašnjenje karakterističnog spektra objašnjava kvantna teorija o čemu će biti riječi u slijedećim poglavljima.

3

12.2. Fotoelektrični efekt Fotoelektrični efekt ili fotoefekt naziva se emisija elektrona iz materije pod djelovanjem svjetlosti. Ovu pojavu otkrio je 1887. godine Hertz 3 , primijetivši da se preskakanje iskri između cinkovih kuglica znatno olakša ako se jedna kuglica osvijetli ultraljubičastom svjetlošću. na slici 12.4. dana je shema uređaja za ispitivanje fotoefekta. Svjetlost prolazi kroz kvarcni prozor KP u evakuirani balon i osvjetljava katodu K, koja je napravljena od materijala koji se ispituje. Elektroni emitirani, uslijed fotoefekta, prelaze pod djelovanjem električnog polja na anodu A. Kao rezultat u električnom kolu teče struja koja se mjeri galvanometrom G. Napon između anode i katode može se mijenjati pomoću potenciometra P.

3

Heinrich Hertz (1857-1894), njemački fizičar, prvi eksperimentalno dobio elektromagnetske valove i time potvrdio Maxwellovu teoriju.

4

Na slici 12.5. prikazana je krivulja koja pokazuje ovisnost fotostruje i o naponu između elektroda U, pri konstantnom svjetlosnom fluksu Φ. Iz te krivulje se vidi da pri nekom velikom naponu, fotostruja postaje zasićena. Struja zasićenja se postiže kada svi elektroni koje emitira katoda dospijevaju na anodu. Jačina struje zasićenja izas određuje se prema broju elektrona koje emitira katoda u jedinici vremena pod djelovanjem svjetlosti. Za U=0, fotostruja ne iščezava. To služi kao dokaz da elektroni napuštaju katodu sa brzinom različitom od nule. Da bi fotostruja bila jednaka nuli, potrebno je dovesti napon kočenja Uk. Pri takvom naponu ni jedan od elektrona čak ni oni najbrži vm ne dospijevaju na anodu. Pri ovome možemo pisati da je:

1 mv m2 = eU k 2

(12.5.)

gdje je m-masa elektrona, a e-naboj elektrona. Na ovaj način, ako se izmjeri napon kočenja Uk, može se odrediti maksimalna vrijednost brzine fotoelektrona. Ako je spektralni sastav svjetlosti koja pada na katodu konstantan, jačina struje zasićenja izas je proporcionalna svjetlosnom fluksu Φ:

izas = k λ Φ

(12.6.)

gdje je kλ koeficijent proporcionalnosti. Eksperiment pokazuje da napon kočenja Uk ne ovisi o veličini svjetlosnog fluksa nego o frekvenciji. Sa slike 12.6. se vidi da u slučaju da se katoda obasja monokromatskom svjetlošću, napon kočenja se mijenja sa frekvencijom svjetlosti ω po linearnom zakonu:

U k = aω − ϕ

(12.7.)

gdje su a i ϕ konstante. Pomnožimo (12.7.) sa e i uvrstimo u relaciju (12.5.) dobit ćemo:

eU k =

1 mv m2 = e(aω − ϕ ) 2

(12.8.)

5

Iz posljednje relacije slijedi: elektroni mogu napustiti katodu pod djelovanjem svjetlosti kada je ispunjen uvjet:

aω ≥ ϕ ,

(12.9.)

ω ≥ ωo =

ϕ a

Za valnu dužinu dobiva se odgovarajući uvjet.

λ ≥ λo =

2π ca

(12.10.)

ϕ

Frekvencija ωo ili valna dužina λo, naziva se crvena granica fotoefekta. To je granična frekvencija pri kojoj je napon kočenja jednak nuli, slika 12.7.

Zakoni fotoefekta su u suprotnosti sa klasičnom valnom teorijom svjetlosti. Prema klasičnoj elektromagnetskoj teoriji, elektroni materije oscilirali bi proporcionalno s amplitudom svjetlosnih valova. Međutim, eksperiment pokazuje da brzina elektrona ne zavisi od amplitude svjetlosnih valova nego samo od frekvencije upadne svjetlosti. Albert Einstein je 1905. godine pokazao da se zakonitosti fotoelektričnog efekta mogu lako objasniti, ako se pretpostavi da se svjetlost apsorbira u istim obrocima (kvantima) hω , u kojima se prema Plankovom zakonu emitira.

6

Kada se svjetlosni kvant (foton) sudari sa elektronom koji se nalazi na površini metala ili neposredno ispod nje, on može da prenese svoju energiju na elektron. Elektron primi ili cjelokupnu energiju fotona ili ne primi nikakvu. U slučaju predaje energije, foton prestaje da postoji. Energija koju je elektron primio može da mu omogući da prođe kroz potencijalnu barijeru, ukoliko se kreće u dobrom pravcu. Prolazeći kroz potencijalnu barijeru elektron gubi određenu količinu energije W, koja je karakteristična za danu površinu i naziva se izlazni rad. Elektron koji polazi sa nekog udaljenijeg mjesta ispod površine može da izgubi veći iznos energije, ali maksimalna energija kojom elektron može da napusti površinu metala ravna je energiji fotona umanjenoj za veličinu izlaznog rada. Dakle maksimalna kinetička energija fotoelektrona izbačenih kvantima svjetlosti jednaka je:

1 2 mv m = hω − W 2

(12.11.)

Relacija (12.11.) je poznati Einsteinov zakon fotoelektričnog efekta. Lako je vidjeti da je ovaj zakon u suglasnosti sa Millikanovim 4 (Milikan) eksperimentalnim rezultatima, relacija (12.8.). Uporedjivanjem jednadžbi (12.8.) i (12.11.) dobivamo da je:

h = ea = etgα

(12.12.)

W = eϕ

Prema tome, iz tangensa nagibnog ugla na slici 12.7. može se odrediti Planckova konstanta h . Vrijednost za h dobivena na ovaj način podudara se sa rezultatima dobivenim iz spektralne raspodjele ravnotežnog toplotnog zračenja i kratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Odsječak ϕ, koji pravi siječe na osi Uk daje izlazni potencijal za supstancu od koje je napravljena katoda. Einsteinova teorija također objašnjava i proporcionalnost struje zasićenja izas i upadnog fluksa Φ, relacija (12.6.). Naime, veličina svjetlosnog fluksa određena je brojem kvanata svjetlosti koji padaju na površinu u jedinici vremena. Istovremeno, broj oslobođenih elektrona treba da bude proporcionalan broju upadnih kvanata. Povećanje fluksa svjetlosti znači samo da, više fotona pada na katodu u jedinici vremena, što odgovara većem broju izbačenih fotoelektrona, ali maksimalna energija ostaje ista jer je i energija fotona ista. Granična frekvencija (crvena granica fotoefekta) danog materijala je ona frekvencija pri kojoj je energija fotona jednaka izlaznom radu materijala, tj. elektron mora da primi najmanje toliku energiju da bi se oslobodio površine. Osim vanjskog fotoefekta, kojeg smo izučavali, postoji također i unutrašnji fotoefekt, koji se primjećuje u dielektricima i poluvodičima. 12.3. Fotoni Da bi se objasnila raspodjela energije u spektru ravnotežnog toplinskog zračenja dovoljno je, kao što je pokazao Planck, pretpostaviti da se svjetlost emitira samo u kvantima hω . Da bi se objasnio fotoefekt dovoljno je pretpostaviti da se svjetlost apsorbira u istim takvim kvantima. Međutim, Einstein je išao dalje. On je pretpostavio da se svjetlost rasprostire u obliku diskretnih čestica, prvobitno nazvanih svjetlosni kvanti, a kasnije su te 4

Robert Andrews Millikan (1868-1953), američki fizičar. Dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1923)

7

čestice dobile naziv fotoni. Einsteinova hipoteza potvrđena je nizom eksperimenata. Foton treba shvatiti kao česticu u kojoj je koncentrirana energija elektromagnetskog polja, tj. česticu čija je energija jednaka:

E = hω =

2π hc

(12.13.)

λ

Energija fotona, zavisi samo od valne dužine, odnosno frekvencije elektromagnetskog zračenja. Foton valne dužine λ=550 nm ima energiju E=2,23 eV, dok energija fotona X-zraka leži u intervalu od 15 eV (λ=80 nm) do približno 100 MeV (λ=10-14 m). Suglasno teoriji relativnosti, čestici s energijom E odgovara masa, m=E/c2. Odavde se dobije da je masa fotona jednaka:

m=

hω c2

(12.14.)

S druge strane, ako u izraz za relativističku masu (10.43.) uvrstimo, za brzinu fotona brzinu svjetlosti, tj. v=c, nazivnik će biti jednak nuli. Istovremeno je, kao što se vidi iz (12.14.) masa fotona konačna. Ovo je moguće jedino u slučaju da je masa mirovanja mo, jednaka nuli, tj.:

m0

m=

1−

v2 c2

=

0 0

Znači, foton je čestica koja se bitno razlikuje od čestica kao što su elektron, proton i neutron, koji imaju masu mirovanja različitu od nule i koji se mogu nalaziti u stanju mirovanja. Foton nema mase mirovanja i može da postoji samo kad se kreće brzinom svjetlosti. impuls:

p=

Uvrštavanjem mo=0 u formulu (10.56.) dobiva se E=cp. Odavde slijedi da foton ima

E hω 2π h = = c c λ Uzimajući u obzir da je

(12.15.)

2π

λ

r

jednako valnom broju k, tj. modulu valnog vektora k ,

impuls fotona može se pisati u obliku vektora:

r r p = hk

(12.16.)

Iz postojanja impulsa fotona slijedi da svjetlost, koja pada na bilo koje tijelo, mora da vrši pritisak na to tijelo, koji je jednak impulsu koji fotoni predaju jedinici površine u jedinici vremena. Razmotrili smo niz pojava, u kojima se svjetlost ponaša kao struja čestica (fotona). Međutim, ne treba zaboraviti da se pojave kao što su interferencija i difrakcija svjetlosti, mogu objasniti samo na osnovu valnih pretpostavki.

8

Svjetlost iskazuje korpuskularno-valni dualizam: u nekim pojavama pokazuje se njena valna priroda i ona se ponaša kao elektromagnetski val, a u drugim pojavama, pokazuje se korpuskularna priroda svjetlosti i ona se ponaša kao tok fotona. Dualizam je karakterističan ne samo za svjetlosne čestice, već i za ostale čestice materije (elektrone, protone, neutrone, itd.) o čemu će biti govora kasnije. Da bi objasnili vezu između valne i korpuskularne slike, promatrat ćemo osvijetljenost neke površine. Prema valnoj teoriji osvijetljenost u nekoj točki površine proporcionalna je kvadratu amplitude svjetlosnog vala. Prema korpuskularnoj teoriji, osvijetljenost je proporcionalna gustoći fluksa fotona. Znači, između kvadrata amplitude svjetlosnog vala i gustoće fluksa fotona postoji direktna proporcionalnost. Nosilac energije i impulsa je foton. Kvadrat amplitude vala određuje vjerojatnost da foton padne u danu točku površine. Vjerojatnost dP da foton bude nađen unutar zapremine dV, koja u sebi sadrži promatranu točku, određena je izrazom: (12.17.)

dP = XA2 dV gdje je X koeficijent proporcionalnosti, A amplituda svjetlosnog vala. Veličina:

(12.18.)

dP = χA 2 dV naziva se gustoća vjerojatnosti. 12.4. Comptonov efekt

I pored uspješnog Einsteinovog objašnjenja fotofekta, veliki broj fizičara je smatrao da fotoni nisu fizička realnost. Točnije, i dalje se sumnjalo u korpuskularnost fotona, u njihovu individualnost u prostoru. Eksperiment kojeg je izveo A.Compton (Kompton) 1923. godine jasno je istakao korpuskularne osobine svjetlosti, nazvan je Comptonov efekt. Compton je istražujući raspršenje rendgenskih zraka na raznim supstancama (litij, berilij, grafit) primijetio da se raspršeni zraci, sastoje od dvije komponente: jedna sa nepromijenjenom valnom dužinom λ, i druga čija je valna dužina λ’ veća od valne dužine upadnog zračenja. Shema Comptonovog eksperimenta dana je na slici 12.8. Uzak snop monokromatskog rendgenskog zračenja pada na supstancu koja ga raspršuje. Spektralni sastav raspršenog zračenja ispituje se pomoću rendgenskog spektrografa sastavljenog od kristala i jonizacione komore. Eksperimentalno je pokazana slijedeća ovisnost:

Δλ = λ0 (1 − cos θ )

(12.19.)

gdje je Δλ=λ’-λ, θ ugao koji obrazuje smjer raspršenog zračenja i smjer prvobitnog snopa, λo je Comptonova valna dužina koja za elektrone ima vrijednost:

λ0 = 2,42 ⋅ 10 −12 m

(12.20.)

9

Comptonov efekt može se objasniti, ako se raspršenje promatra kao proces elastičnog sudara rendgenskih fotona s praktično slobodnim elektronima. Slobodnim, se mogu smatrati elektroni koji su najslabiji vezani za atom, čija je energija vezanja znatno manja od energije koju foton može da preda elektronu prilikom sudara. Suština eksperimenta sastoji se u slijedećem: neka na elektron, koji se nalazi u stanju r mirovanja, pada foton energije hω , i impulsa hk . Energija elektrona do sudara iznosi moc2(mo masa mirovanja), impuls je jednak nuli. Poslije sudara elektron će imati energiju mc2 r r i impuls mv , a energija i impuls fotona će se također promijeniti i iznosit će hω ’ i hk ’. Iz zakona o očuvanju impulsa (količine kretanja) i očuvanja energije slijede dvije relacije.

r r r hk = mv + hk '

(12.21.)

hω + m0 c 2 = hω '+ mc 2

Dijeljenjem druge jednadžbe sa c i kvadriranjem, ona se može dovesti u oblik:

( mc) 2 = ( m0 c) + ( hk ) 2 + ( hk ') − 2( hk )( hk ') + 2m0 ch( k − k ') 2

2

(12.22.)

Iz slike 12.8. slijedi da je:

( mv ) 2 = ( hk ) 2 + ( hk ') − 2( hk )( hk ') cos θ

(12.23.)

2

Oduzimanjem jednadžbe (12.23.) do (12.22.) dobiva se:

m2 (c 2 − v 2 ) = m02 c 2 − 2h 2 kk ' (1 − cos θ ) + 2 m0 ch( k − k ')

(12.24.)

Uzimajući u obzir relaciju (10.43.) lako možemo pokazati da je m2(c2-v2)=m2oc2. Zamijenimo ovo u gornju jednadžbu dobivamo:

m0 c( k − k ') = hkk ' (1 − cos θ )

(12.25.)

Pomnožimo relaciju (12.25.) s 2π i podijelimo s kk’ moc, dobivamo:

10

2π 2π 2π h (1 − cos θ ) − = k' k m0 c Pošto je

2π =λ k

i

(12.26.)

2π = λ ' , dobivamo formulu: k'

Δλ = λ '− λ =

2π h (1 − cos θ ) m0 c

(12.27.)

koja se podudara sa empirijskom formulom (12.19.). Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti h , mo i c dobiva se vrijednost za konstantu λo:

λ0 = 2,42 ⋅ 10 −12 m što je u dobrom slaganju sa eksperimentalnim rezultatima (12.20.).

11

10. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI 10.1. Michelsonov eksperiment

Albert Einstein U želji da se sve pojave svedu na mehaniku, fizičari 19. vijeka zamišljali su da između vidljivih tijela postoji nevidljiva mehanička tvar (supstanca), eter. Napetosti, deformacije i oscilacije tog sredstva smatrani su uzorkom za sve fizičke fenomene kao što su gravitacija, svjetlost, električne i magnetske sile. Općenito se smatralo da eter miruje pa tako sva kretanja tijela možemo stavljati u odnos prema tom sustavu. Svjetlost u eteru ima brzinu 3 108 m/s. Promatrači koji se kreću različitim brzinama prema eteru morali bi mjeriti različite brzine svjetlosti. Ovo se lijepo primjećuje kad zvuka. Neka se voz kreće brzinom 30 m/s. Kada putnik u sredini otvorenog vagona da zvučni signal, zvuk se jednoliko širi kroz zrak brzinom 330 m/s. Putnik na početku voza udaljava se od zvuka, a putnik na kraju voza juri u susret zvuku. Za prednjeg putnika brzina zvuka je 300 m/s, a za zadnjeg 360 m/s. Isto bi to trebalo da važi za svjetlost ako ona predstavlja valno kretanje etera. Kretanje Zemlje kroz eter bila bi vjerna kopija kretanja voza kroz zrak. 1881. godine Michelson 1 (Majklson) je izveo precizne eksperimente, da utvrdi kretanje Zemlje kroz eter. Rezultati koji su dobiveni bili su začuđujući, svjetlost je u svim smjerovima imala istu brzinu. Michelsonovi eksperimenti su potresli temelje klasične mehanike. Konstantnost brzine svjetlosti ruši sve predstave o sabiranju brzina, prostora i vremena. Eksperiment koji je Michelson izveo poznat je pod imenom Michelsonov interferometar. Shema Michelsonovog interferometra dana je na crtežu 10.1. Iz izvora I izlazi svjetlost i pada na polupropusnu ploču P gdje se jedan dio reflektira okomito a drugi dio prolazi u prvobitnom smjeru. Obje zrake se reflektiraju na ogledalima 01 i 02 i vraćaju se do polupropusne ploče. Dužine okomitih krakova između ploče i ogledala su jednaka. Sjedinjene zrake ulaze u durbin gdje se promatra interferencija. Zamislimo da je Michelsonov interferometar postavljen tako da os aparata i pravac od izvora do ploče, leži u smjeru kretanja Zemlje, kroz eter. Jedna zraka ide od polupropusne ploče do ogledala i natrag. Izračunajmo vrijeme t potrebno da se pređe taj put. Svjetlost se u eteru širi brzinom c, a brzina Zemlje je v.

1

A.A. Michelson, američki fizičar, 1887. godine u suradnji s E.W. Morleyem pokušao dokazati postojanje etera

209

Kad svjetlost pođe od ploče P ogledalo se odmiče brzinom v. Svjetlost ne pređe put d nego još i vt za koliko se odmaklo ogledalo:

ct = d + vt

(10.1.)

znači vrijeme potrebno da svjetlost dođe do ogledala 01 iznosi:

t=

d c−v

(10.2.)

Kada se svjetlost vraća tada joj ploča dolazi u susret:

ct1 = d − vt1

(10.3.)

Crtež 10.1. znači vrijeme potrebno da se zrak svjetlost vrati iznosi:

t1 =

d c+v

(10.4.)

Ukupno vrijeme potrebno da svjetlosni zrak pređe u smjeru kretanja Zemlje iznosi:

210

t2 =

d d + c−v c+v

(10.5.)

odnosno,

t2 =

2d c

1 v2 1− 2 c

(10.6.)

Ako gornji izraz razvijemo u red 2 , za v