Investigacion Sofia Unidad 2

 

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE IGUALA CARRERA: INGENIERÍA CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE: SEMESTRE: 4 MATERIA: MATERIA: INVESTIGACIÓN  INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1 INVESTIGACIÓN DE LA UNIDAD 2 EL MÉTODO SÍMPLEX. ALUMNO:   ALUMNO: RAFAEL ESCORCIA MORALES DOCENTE: SOFÍA CASTREJÓN PÉREZ DOCENTE: SOFÍA GRUPO: A SALON: 2 GRUPO: A SALON: 2 HORARIO: 7:00  7:00 -8:00 AM. HORARIO: CICLO ESCOLAR: ENERO-JULIO/2019 Iguala de la Independencia, Gro. A 25 de marzo de 2019

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Índice

pág.  pág. 

Introducción. ………………………………...…………………….….……3   2.1. Método gráfico. ………………………………………………...……………………………….5  

2.2. Método simplex. s implex.

……………………………………………………..…………………………19  

2.3. Procedimiento para resolver problemas con variables artificiales (M grande, doble fase). ………………………………………………….…………………………….25  

2.4. Casos especiales de programación lineal ……………………………………………………….……………………….33  

2.5. Método dual simplex. ………………………………………………………………………………..36  

2.6. Relaciones primal dual.

………………………………………………………….…………………… .43

2.7. análisis de sensibilidad e interpretación de resultados ………………………………………………………….…………………… .48

2.8 uso de software ………………………………………………………………………………. .55

Conclusiones: …………………………………………………………………………… .….60

Bibliografías: ……………………………………………………………………………… ..60

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Introducción Todas las personas toman decisiones de manera diaria y rutinaria, más aún aquellos quienes encabezan alguna empresa; sin embargo, trátese del ámbito que se trate, tomar una decisión es más complejo de lo que pudiera parecer ya que su efecto o consecuencia en ocasiones no es la que se espera. La toma de decisiones es el proceso mediante el cual se realiza una elección entre las alternativas o formas para resolver diferentes dife rentes situaciones de la vida, estas se pueden presentar pr esentar en diferentes contextos: a nivel laboral, familiar, sentimental, empresarial (utilizando metodologías cuantitativas que brinda la administración), etc., es decir, en todo momento se toman decisiones, la diferencia entre cada una de estas es el proceso o la forma en la cual se llega a ellas. La toma de decisiones consiste, básicamente, en elegir una alternativa entre las disponibles, a los efectos de resolver un problema actual o potencial. Para tomar una decisión, no importa su naturaleza, es necesario conocer, comprender, analizar un problema, para así poder darle solución; en algunos casos por ser tan simples y cotidianos, este proceso se realiza de forma implícita y se soluciona muy rápidamente, pero existen otros casos en los cuales las consecuencias de una mala o buena elección puede tener repercusiones en la vida y si es en un contexto laboral en el éxito éx ito o fracaso de la organización,  para los cuales es necesario realizar un proceso más estructurado que puede dar más seguridad e información para resolver el problema. La  La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa (en inglés OR  Operations Research) es una disciplina que consiste en la aplicación de métodos analíticos avanzados con el propósito de apoyar el proceso de toma de decisiones, identificando los mejores cursos de acción posibles. En este contexto la  la Investigación de Operaciones utiliza técnicas de modelamiento matemático, análisis estadístico y optimización matemática, con el objetivo de alcanzar soluciones óptimas o cercanas a ellas cuando se enfrentan problemas de decisión complejos. Se espera que las decisiones alcanzadas mediante el uso de un modelo de investigación operativa sean significativamente mejores en comparación a aquellas decisiones que se  podrían tomar haciendo uso de la simple intuición o experiencia ex periencia del tomador de decisiones. Lo anterior es particularmente cierto en aquellos problemas de naturaleza real r eal complejos, que consideran cientos, incluso miles de variables de decisión y restricciones. La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular for mular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede ser cualitativo o cuantitativo.

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El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de herramientas matemáticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con  problemas  problem as simil similares ares o cuando el proble problema ma es tan complejo o import importante ante que requiere requiere de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución. La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas  para selecc seleccionar ionar las mejor mejores es de decision cisiones es y permit permitee el elevar evar su habilid habilidad ad para para hacer planes a futuro. futuro. En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida. En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga un conocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y recomendaciones que se le presenten. En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine las herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar sus decisiones. En esta investigación se presentan los detalles de los métodos empleados para resolver Modelos de Programación Lineal. Inicialmente se explica el Método Gráfico que, aun cuando tiene severas limitaciones para su aplicación, ya que está basado en una geometría plana, resulta conveniente para ilustrar muchos de los elementos importante de los modelos de programación lineal. Posteriormente se presentará detalladamente el método simplex y sus variantes, que es un método algebraico que puede resolver cualquier problema de programación lineal. La información que pueda obtenerse con el método simplex, va más allá de la determinación de los valores óptimos de las variables y de la función objetivo. De hecho, la solución simplex  proporciona  proporci ona iinterpret nterpretacio aciones nes econ económica ómicass y rresultado esultadoss del análisis análisis de sensibilidad. sensibilidad.

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2.1. Método gráfico. El método gráfico es una forma fácil y rápida para la solución de problemas de Programación Programa ción Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible. Consiste en representar geométricamente las restricciones, condiciones técnicas y función objetivo. Los pasos necesarios para realizar el método son: 1. hallar las restricciones del problema 2. Las restricciones de no negatividad Xi ≥ 0 confían todos los valores posibles. 3. sustituir ≥ y ≤ por (=) para par a cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. 4. trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo define el signo correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes y después de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el área correspondiente 5. el espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que satisfacen todas las restricciones, representa un punto factible. 6. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar d eterminar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo. 7. la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, ob jetivo, si es un problema de minimización la solución óptima es el primer punto factible que toque la función Z, y si por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de los puntos factibles que toque la función Z. Hay principalmente cuatro tipos de problemas, de única solución, múltiples soluciones, solución no acotada y no factible.

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El método gráfico de solución para problemas lineales representa una manera útil de resolver  problemas lineales con dos variables de decisión; para modelos con tres o más variables de decisión el método gráfico es impráctico o imposible. Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las desigualdades dadas por el  problema, después encontrar el Área de Soluciones Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el valor óptimo (maximizar o minimizar) que será la solución del  problema.

EJEMPLO: PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas.

Paso 1: formulación del problema. El primer paso para resolver el problema es expresarlo exp resarlo en términos matemáticos en el formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la ganancia. Cada unidad de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos alternativas son la producción de mesas y la producción de d e sillas. Ahora puede escribirse la función objetivo:

Maximizar Z = 5x1 + 5x2 en donde:

x1 = número de mesas producidas x2 = número de sillas producidas

¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres restricciones. Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de material y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces: 12x1 + 8x2 = 0, x2 >= 0 Poniendo todo junto el modelo se tiene: Maximizar Z = 5x1 + 5x2 Restricciones: 12x1 + 8x2 = 0, x2 >= 0

Paso 2: gráfica de las restricciones. El siguiente paso en el método gráfico es di dibujar bujar todas las restricciones en una gráfica. Esto  puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se comenzará con las restricciones de no negatividad. Éstas se muestran en la siguiente figura:

En esta gráfica, una solución se representaría por un punto con coordenadas x1 (mesas) y x2 (sillas). Las coordenadas representarían repres entarían las cantidades de cada artículo que se deben producir. El cuadrante superior derecho se llama Región Factible puesto que es el único cuadrante en

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que pueden estar las soluciones. Los otros tres cuadrantes no son factibles, ya que requerirían requ erirían la producción de cantidades negativas de mesas o de sillas o de ambas. La siguiente restricción es x1 >= 2. La manera más sencilla de dibujar las restricciones de recursos es en dos pasos: (1) convertir conver tir una desigualdad en una ecuación y graficar la ecuación y (2) sombrear el área apropiada apr opiada arriba y abajo de la línea que resu resulta lta en el paso 1. Convertir una igualdad en una ecuación aquí significa ignorar la parte de “mayor que” o “menor que” de la restricción. Así, en el ejemplo, x1 >= 2 se convierte en x1 = 2. Esta ecuación está tr trazada azada en la siguiente figura:

Cualquier punto en la línea x1 = 2 satisface la ecuación. Sin embargo, la restricción es más amplia, ya que cualquier punto x1 > 2 también la cumplirá. Esto incluye todos los puntos que están a la derecha de la línea x1 = 2. Entonces, la región factible incluye todos los valores de x1 que están sobre o a la derecha de la línea x1 = 2. La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente restricción. Como antes, primero se convierte en una ecuación: 6x1 + 12x2 = 72. Puede graficarse esta línea si se encuentran dos puntos sobre ella. El par de puntos más sencillos de localizar son las intersecciones con los ejes X1 y X2. Para encontrar la intersección con el eje X2 se hace x1 = 0. La ecuación se reduce, entonces, a: 12x2 = 72 x2 = 6

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La intersección con el eje X1 se encuentra haciendo x2 = 0. Así: 6x1 = 72 x1 = 12 Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:

Cualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción. Cualquier  punto arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de mano de obra y no es aceptable. En la siguiente figura se combina esta restricción con la anterior. En la región factible, ambas restricciones se cumplen.

La última restricción es la de material. Siguiendo el procedimiento anterior, primero se encuentran las intersecciones para la igualdad. Éstas son x1 = 0, x2 = 12 y x1 = 8, x2 =0. Se localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea, y como la restricción es del tipo menor o igual que, se sombrea el área que está abajo de la línea. El resultado se muestra en la siguiente figura:

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Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del área sombreada cumplirá con todas las restricciones. Ahora se utilizará la función objetivo para seleccionar la solución óptima.

Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia. Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las restricciones. La función objetivo en este problema es Z = 5x1 + 5x2. Como todavía no se conoce el máximo valor factible de Z, no puede trazarse el óptimo de la función f unción objetivo. No obstante, es posible suponer algunos valores para Z y graficar las líneas resultantes. En la siguiente figura se muestran las líneas para Z = 25 yZ = 50:

Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia, porque cualquier punto sobre una línea dada da la misma ganancia total. Nótese que la distancia perpendicular del origen a la línea aumenta al aumentar el valor de Z. También, todas las líneas de indiferencia son  paralelas entre sí. Estas propiedades gráficas gráfic as pueden usarse para resolver el problema. En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las dos líneas de indiferencia supuestas. En la gráfica puede observarse que la línea de indiferencia para Z = 50 está completamente fuera de la región factible. Para Z = 25, parte de la línea cae dentro de la región factible. Por tanto, existe alguna combinación de x1 y x2 que satisface todas las

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restricciones y da una ganancia total de $25. Por inspección, puede observarse que hay ganancias más altas que son factibles.

Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve hacia la línea Z = 50, de las  propiedades de la gráfica que se hicieron hicieron notar antes, el punto óptimo eestará stará sobre la línea de indiferencia más lejana al origen pero que todavía toque la región factible. Esto se muestra en la siguiente figura:

Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es encontrar las coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la intersección de las líneas de restricción para materiales y horas de mano de obra. obr a. Las coordenadas de este punto se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones que forman estas dos restricciones utilizando cualquiera de los métodos de solución (suma y resta, sustitución o igualación). Las coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La sustitución de este punto en la función objetivo da la ganancia máxima: Z = 5(6) + 5(3) = $45 Observación: Otra forma de encontrar el óptimo es determinando cada una de las soluciones asociadas a los vértices de la región factible (Soluciones básicas) y sustituyendo esos valores

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en la Ecuación Objetivo a objeto de evaluar y determinar la solución básica que arroja el mejor valor objetivo (Solución Óptima)

Resumen del método gráfico. Para resolver gráficamente problemas de programación lineal: 1. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones. 2. Grafíquese cada restricción. 3. Localícese la solución óptima.

USO DEL MÉTODO GRÁFICO PARA MINIMIZACIÓN. Consideremos un Problema de PL P L en el cual el objetivo es minimizar costos costos.. La solución del  problema de minimización sigue el mismo procedimiento que la de problemas de maximización. La única diferencia es que ahora se quiere el menor valor posible para la función objetivo. Supóngase que se tiene el siguiente problema:

Ejemplo: Problema de dieta. Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50 unidades de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada onza del alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y 7 unidades de vitamina Y; cada onza del alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de Y. El alimento A cuesta 5 pesos/kilogramo y el alimento B cuesta 8 pesos/kilogramo. Paso 1: formulación del problema. La meta en este problema es encontrar la manera menos costosa para satisfacer las necesidades vitamínicas. Las dos alternativas disponibles son los alimentos A y B. Matemáticamente la función objetivo es: Minimizar Z = 5A + 8B Las restricciones son los requerimientos mínimos de las tres vitaminas. Éstas se muestran enseguida: Restricciones: 4A + 10B >= 40 vitamina W   12

 

10A + 5B >= 50 vitamina X 7A + 7B >= 49 vitamina Y A >= 0, B >= 0 no negatividad

Paso 2: gráfica de las restricciones. El procedimiento para graficar es el mismo que se usó antes: (1) graficar cada ecuación de restricción; (2) graficar el área apropiada. apropiad a. Para la primera restricción la ecuación ecu ación es 4A + 10B = 40. Las dos intersecciones con los ejes son (0,4) y (10,0). Esta línea se muestra en la siguiente figura:

La restricción pide 40 unidades o más de la vitamina W. Cualquier punto que esté arriba de la línea de restricción será factible y todos los puntos que quedan abajo de esa línea serán aceptables. En la siguiente figura se muestra la región factible:

Después se grafica la restricción para la vitamina X. La ecuación 10A + 5B = 50 tiene intersecciones con los ejes en (0,10) y (5,0). En la siguiente figura se ilustran las restricciones  para las vitaminas W y X. Nótese que las ssoluciones oluciones que quedan en las áreas a o b no sson on factibles, ya que quedarían abajo de las líneas de restricción.

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Al agregar la tercera restricción, este segundo paso queda terminado, como se muestra en la siguiente figura:

Paso 3: localización de la solución óptima. En la siguiente figura se muestra la frontera extrema más dos líneas de indiferencia, las de Z = 40 pesos y Z = 60 pesos. La frontera extrema está formada por los puntos a, b, c y d, puesto que éstos son los puntos de intersección factibles más cercanos al origen.

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Gráficamente, el objetivo de minimizar el valor de Z significa ajustar una línea de indiferencia tan cerca del origen como sea posible. En la figura anterior puede observarse que existen muchas soluciones posibles para Z = 60, pero ninguna para Z = 40. Imaginando mover la línea Z = 60 hacia el origen, el último punto de contacto con la frontera extrema será el punto b. Entonces, el punto b es la solución óptima. En la figura anterior se observa que el punto b es la intersección de dos líneas: (1) 4A + 10B = 40 (2) 7A + 7B = 49 Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Multiplíquese la ecuación (1) por 7:

(3)

Multiplíquese la ecuación (2) por –  4:

28A + 70B = 280 (4)  – 28A 28A –  28B  28B = – 196 196 42B = 84 B=2

Sustitúyase en la ecuación (1):

4A + 10(2) = 40 A=5

La solución menos costosa es 5 kilogramos de alimento A y 2 kilogramos de alimento B. El costo total de esta combinación es: Z = 5A + 8B = 5(5) + 8(2) = 25 + 16 = 41 pesos Si se usa el método de prueba y error para localizar la solución óptima, se deben encontrar las coordenadas de los puntos a, b, c, y d. Se debe calcular después el valor de la función objetivo para cada punto. A continuación se muestran los resultados de este procedimiento:

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CASOS POSIBLES DE SOLUCIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Con solución única En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1800 millones de pesetas, siendo el coste de cada tipo de casa de 30 y 20 millones, respectivamente. El Ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 millones y de 3 millones por una de tipo B, ¿cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio? Variables: x = nº de casas tipo A ; y = nº de casas tipo B • Función objetivo: Maximizar Z = f(x,y) = 4x + 3y • Conjunto de restricciones: El coste total 30x + 20y = 0. Tiene por región factible la región coloreada. Si hallamos los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices : f(O) = f(0,0) = 0 ; f(C)=f(60,0) = 240 ;f(D) = f(20,60) = 260 ; f(E) = f(0,80) = 240 La solución es única, y corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso es el vértice D(20,60). Por tanto se deben construir 20 casas de tipo A y 60 de tipo B con un coste de 260 millones de pesetas.

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Con solución múltiple: Si existe más de una solución óptima Maximizar la función Z = f(x,y) = 4x + 2y sujeta a las restricciones 2x + y = 6 , x + y = 0 , y >=0.  No existe la región factible, ya que las zonas coloreadas que aparecen en la figura son únicamente soluciones de alguna de las inecuaciones . Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades no determina ninguna región factible. Este tipo de problemas carece de solución.

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2.2. Método simplex. El método simplex constituye un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Mas detalladamente tenemos que partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método simplex consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número variableslaessolución. mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrádeencontrar El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen más de dos variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver res olver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. Pasos para la aplicación del método simplex:  

Paso 0: Formule el Modelo de Programación Lineal respectivo.

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Paso 1: Convierta todas las restricciones en igualdades de acuerdo a los criterios de la tabla 1.

 

Paso 2: Iguale la función objetivo a cero (tenga en cuenta la tabla 1 para completar los coeficientes objetivos).

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Paso 3: Construya la Tabla Simplex Inicial.

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Paso 4: Seleccione una variable entrante las variables actuales no básicas, usando la condición de optimidad

Condición de Optimidad:  La variable entrante en el problema de maximización (minimización) es la variable no básica, con el coeficiente más negativo (más positivo) en la ecuación de Z. Un empate puede romperse arbitrariamente. La solución óptima se alcanza cuando todos los coeficientes no básicos en la ecuación Z son positivos (negativos).  

Paso 5: Seleccione la variable saliente entre las variables actuales básicas, usando la condición de factibilidad

Condición de Factibilidad:  Tanto en los problemas de maximización como de minimización, la variable saliente es la variable básica actual, con la menor razón (con denominador positivo distinto de cero) que resulta al dividir los valores del lado derecho entre el valor respectivo de la columna de entrada.

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 

Paso 6: Determine la nueva solución básica, haciendo a la variable entrante básica y a la variable saliente no básica. Vuelva al paso 4. Esto se logra a través de la aplicación del Método de Gauss Jordan cuyo objetivo es transformar las ecuaciones, de manera que nos permitan obtener una nueva solución básica mediante la asignación de valores cero a las variables actuales no básicas. Con el método de Gauss Jordan se efectúa un cambio de base empleando dos operaciones de cálculo:

Ecuación Pivote:  Nueva Ecuación Pivote = (Vieja Ecuación Pivote / Elemento Pivote.) Resto de ecuaciones incluyendo Z:  Nueva Ecuación = Ecuación Anterior –  (Coeficiente  (Coeficiente columna entrante)*(Nueva ecuaciónPivote).

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2.3. Procedimiento para resolver problemas con variables artificiales (M grande, doble fase). EL MÉTODO DE LA GRAN “M” (PENALIZACIÓN)  (PENALIZACIÓN)  El método agregando de la gran Muna consiste en W modificar problemayoriginal dar lugarmediante a un nuevo  problema variable llamadaelartificial que separa penalizara un costo “M” “M”   de valores grandes y positivos, y esto permite que la función objetivo tome valores muy grandes. Cuando W salga de la base en ese momento W=0 y esto indica haber regresado al problema original, pero si se llega a W>0, entonces el problema no tendrá solución. MinZ= Cx + Mw  Sujeta a las restricciones y penalizando a Z w1 - Cw   



Condición de introducción de las variables

Restricción > resta Restricción < suma Debido a que M es un valor positivo suficientemente grande, la variable R1 se penaliza en la función objetivo utilizando  — MR, MR, en el caso de la maximización, y +RM, en la minimización. Debido a esta penalidad El proceso de optimización lógicamente tratara de impulsar R1, al nivel cero Minimice Z= 4X1 + X2 

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La forma estándar se obtiene restando un superávit X3 en la segunda restricción y añadiendo una holgura X en la tercera restricción. Por tanto, obtenemos Minimice Z= 4X1 +X2 

La primera y segunda ecuación no tiene variables que desempeñen el papel de holguras. Por consiguiente, utilizamos las variables R1 y R2 en estas dos ecuaciones y las penalizamos en la función objetivo con MR1 + MR2. La PL resultante se da como Minimize Z=4X1 +X2 + MR 1 + MR 2

En el modelo modificado, ahora podemos utilizar R1, R2 y X4 como la solución básica factible inicial como lo demuestra la siguiente tabla simplex

Antes de proceder con los cálculos del método simplex, necesitamos hacer que el renglón -Z sea consistente con el resto de la tabla simplex. De manera específica, el valor de z asociado con la solución básica inicial R1 = 5, R2 6, y X4 = 4 debe ser 3M + 6M + O = 9M en vez de O, como se muestra en el lado derecho del renglón -Z. Esta inconsistencia se debe al hecho de que R, y R2 tienen coeficientes no cero (-M, ¡-M) en e! renglón -Z Estas inconsistencias se eliminan sustituyendo R1 y R2 en el renglón -Z, utilizando las ecuaciones apropiadas de restricción.

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En particular, observe los elementos “1” realzados en el renglón -R1 y en el renglón -R2. Multiplicando cada uno de los renglones  – R1 R1 y de los renglones -R2 por M y añadiendo la

suma al renglón -Z, efectivamente se sustituirá a R1 y R2 en el renglón objetivo. Podemos resumir este paso como  Nuevo renglón Z= Antiguo renglón Z + M x (Renglón R1) + M x (Renglón (Ren glón R2) Esto se aplica como

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MÉTODO DE LAS DOS FASES El método de las Dos Fases se utiliza cuando aparecen variables artificiales en la forma canónica o estándar del problema. La primera fase trata de resolver el problema auxiliar Z' de minimizar la suma de las variables artificiales y conseguir que sea cero (con objeto de evitar incongruencias matemáticas). Una vez resuelto este primer problema, y siempre y cuando el resultado sea el esperado, se reorganiza la tabla resultante para utilizarla en la segunda fase sobre el problema original. En caso contrario el problema no es factible, es decir, no tiene solución y no será necesario continuar con la segunda fase. El Método Simplex de Dos Fases permite abordar la resolución de aquellos modelos de Programación Lineal que luego de ser llevados a su forma estándar no permite obtener una solución básica factible inicial en las variables del modelo. Para enfrentar esta situación existen distintas estrategias algorítmicas entre las que destacan el Método Simplex de Dos Fases y el Método de la M Grande, las cuales suelen ser discutidas en cursos de Investigación Operativa (Investigación de Operaciones). En el siguiente artículo nos concentraremos en el análisis de la primera alternativa a través de un enfoque teórico  –  práctico.  práctico.

FASE 1 Esta primera fase es muy similar al método Simplex, con la excepción de la construcción de la primera tabla, además de la necesidad de estudiar el resultado obtenido para determinar si se desarrolla la segunda fase. En tal caso, la última tabla de esta fase será, con algunas modificaciones, la utilizada como tabla inicial para la segunda fase. Construcción de la primera tabla: Se elabora de manera análoga a la tabla inicial del método Simplex, pero con algunas diferencias. Como se ha comentado, en esta primera fase se resuelve un problema auxiliar (la minimización de la suma de las variables artificiales) con una función objetivo auxiliar. Por lo tanto, en la primera fila de la tabla, donde se muestran los coeficientes de las variables de la función objetivo, aparecerán todos los términos a cero excepto los coeficientes de variables artificiales. El valor de cada uno de estos coeficientes es "-1" debido a que se está minimizando la suma de dichas variables (recuerde que q ue minimizar Z' es igual que maximizar (-1)·Z'). La otra diferencia para la primera tabla radica en que ahora sí es necesario calcular la fila Z (o fila indicadora).

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Siendo Zj = Σ(C bi·Pj) - Cj para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij.  



Condición de parada y paso a la fase 2:

La condición de parada es la misma que en el método Simplex normal. Esto es, cuando en la fila indicadora ninguno de los valores de los costes coste s reducidos es negativo (ya que tal y como se ha planteado el objetivo es la maximización de (-1)·Z'). Cumplida la condición de parada es necesario determinar si es posible pasar a la segunda fase  para obtener la solución óptima del problema original. Es Esto to se hace observando obser vando el resultado obtenido en la primera fase: si su valor es 0, significa que el problema original tiene solución y es posible calcularla, en caso contrario indica que se trata de un problema no factible y no tiene solución.

FASE 2 La segunda fase del método de las Dos Fases se desarrolla exactamente igual que el método el  método Simplex, con Simplex,  con la salvedad de que antes de iniciar las iteraciones hay que eliminar las columnas correspondientes a las variables artificiales, y reconstruir la tabla inicial.  



Eliminar Columna de variables artificiales: Si hemos llegado a la conclusión de que el problema prob lema original tiene solución, debemos  preparar nuestra tabla para la segunda fase. Este paso es muy sencillo, se trata únicamente de eliminar las columnas correspondientes a las variables artificiales.

 



Construcción de la tabla inicial: La tabla inicial en este caso se mantiene casi igual a la última tabla de la primera pr imera fase. Únicamente habrá que modificar la fila de la función objetivo por la del problema original y calcular nuevamente la fila Z (de la misma forma que en la primera tabla de la fase 1).

A partir de este punto, todas las iteraciones hasta llegar a la solución óptima del problema no  presentan ninguna diferencia con el método Simplex. Simplex .

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Ejemplo Método Simplex de Dos Fases Considere el siguiente modelo de Programación Lineal usando el Método el  Método Simplex de Dos Fases.   Fases.

Fase I (Método Simplex de Dos Fases) En este caso resulta conveniente multiplicar por -1 la primera restricción de modo que el lado derecho sea positivo, lo cual tiene como efecto adicional que cambia el sentido de la desigualdad. En consecuencia, el problema que define la Fase I del Método Simplex de Dos Fases es:

Donde X3 es variable de exceso y X4 y X5 son variables artificiales de la restricción 1 y 2 respectivamente. Luego estaos en condiciones de confeccionar la tabla inicial de la Fase I donde las variables auxiliares X4 y X5 tienen costo reducido igual a uno (dado sus respectivos coeficientes en la función objetivo de dicha fase).

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A continuación, se llevan a cero los costos reducidos de X4 y X5. Para ello se realizan operaciones filas, por ejemplo, primero multiplicando por -1 la fila 1 y sumándola a la fila 3,  para luego multiplicar por -1 la fila 2 y sumarla a la fila 3.

 Notar ahora que las variables básicas son X4 y X5 y las variables no básicas son X1, X2 y X3. Entre las variables no básicas la que tiene costo reducido negativo es X2, por tanto, dicha variable entra a la Base y mediante el criterio cr iterio de factibilidad o mínimo cuociente se determina aquella variable básica que deja la base. Esto se obtiene de Min{2/1; 10/1}=2. Por tanto, X4 sale de la base y se realiza una iteración.

Luego de concluir la iteración se dispone ahora de dos variables no básicas con costo reducido negativo: X1 y X3. Teniendo en consideración un criterio de rapidez de convergencia se privilegia la entrada a la base de X1 al tener ésta el costo reducido más negativo. La variable básica que deja la base se obtiene de Min{8/2}=4, determinando que X5 sale de la base. Para actualizar a ctualizar la tabla sumamos la fila 2 a la fila 3 ((de de modo que el costo reducido de X1 se transforme en cero) y luego multiplicamos por 1/2 la fila 2 y la sumamos a la fila 1 (para que de esta forma X1 sea básica asociada a la fila 2, tomando la estructura de la variable básica saliente X5).

Se verifica que se concluye la Fase I del Método Simplex de Dos Fases. Esta situación se detecta cuando se dispone de una solución básica que satisface las condiciones de no negatividad, donde las variables no básicas tienen costos reducidos mayores o iguales a cero y el valor de la función objetivo es igual a cero.

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Fase II (Método Simplex de Dos Fases) A continuación, se da inicio a la Fase II del Método Simplex de Dos Fases. En esta etapa se elimina las columnas asociadas a las variables auxiliares utilizadas en la Fase I del método (en el ejemplo las variables X4 y X5) y se actualiza el vector de costos reducidos considerando la función objetivo del problema original en formato de minimización, esto es MIN -X1 – 3X2. 3X2.

Cabe recordar que las variables básicas finalizadas la Fase I son X2 y X1 y luego de la actualización de la fila de costos reducidos (fila 3) será necesario llevar sus respectivos costos reducidos a cero, para lo cual se suma la fila 2 a la fila 3 y luego se multiplica por 3 la fila 1 y se suma a la fila 3, obteniéndose lo siguiente:

Del procedimiento anterior resulta que la variable no básica X3 tiene costo reducido y por tanto ingresa a la base. La variable básica que deja la base bas e se obtiene de Min{4/1/2}=8 y por tanto X1 abandona la base. Con ello se realiza una iteración del método obteniendo la siguiente tabla:

Observar que la variable no básica X1 tiene costo reducido igual a 2 (que satisface las condiciones de no negatividad), además de enfrentarnos a una solución básica factible para X2 y X3. Por tanto, se concluye la Fase II del Método Simplex de Dos Fases con solución óptima X1=0, X2=10 y X3=8 y valor óptimo V(P)=30.

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2.4. Casos especiales de programación lineal En la resolución de un modelo de Programación de Programación Lineal se pueden enfrentar ciertos casos especiales que merecen particular atención. Estos casos se pueden detectar a través de la aplicación del Método del Método Simplex .

Solución óptima: cuando se cumple la condición de parada par ada y no hay variables artificiales en la base con valor positivo (los valores se indican en la columna P0), se ha conseguido la optimización. El valor Z0 actual es la solución óptima del problema, cumpliéndose para las variables que se encuentran en la base. Si se trata de un problema de minimización, el valor óptimo obtenido se multiplicará por "-1". Infinitas soluciones:  cumplida la condición de parada, si alguna variable de decisión no  básica tiene un valor 0 en la fila Z, significa s ignifica que existe otra solución que aporta el mismo valor óptimo para la función objetivo. Es este caso el problema admite infinitas soluciones, estando todas ellas comprendidas dentro del segmento (o porción del plano, región del espacio, etc. dependiendo del número de variables del problema) definido por A·X1 + B·X2 = Z0. Mediante una nueva iteración y haciendo que la variable de decisión que tiene el 0 en la fila Z entre en la base se obtendrá otra solución diferente para p ara el mismo valor óptimo. Solución ilimitada (no acotada): si toda la columna de la variable que entra a la base tiene todos sus elementos negativos o nulos se trata de problema no acotado, es decir, que tiene solución ilimitada. No hay valor óptimo concreto para la función objetivo, sino que a medida que se aumenta el valor de las variables también se incrementa el valor Z sin violar ninguna restricción. No existe solución: cuando ningún punto satisface todas las restricciones del problema se  produce la infactibilidad no existiendo ninguna solución posible para él. En este caso, una vez terminadas todas las iteraciones del algoritmo, existen en la base variables artificiales cuyo valor es superior a cero. Empate de variable entrante: cuando se produce un empate en la condición de decisión de la variable entrante se puede optar por cualquiera de ellas sin que esto afecte a la solución final. Por contra si influye en el número de d e iteraciones necesarias para obtener dich dichaa solución. Se aconseja optar a favor de las variables básicas ya que ellas son las que formarán parte de la solución óptima. Empate de variable saliente:  se puede nuevamente optar por cualquiera de ellas. Sin embargo, a fin de no alargar el problema y evitar la entrada en un bucle infinito (caso degenerado), se discrimina a favor de las variables de decisión haciendo que permanezcan en la base. En el caso de estar en la primera fase del método de las Dos Fases, se optará por sacar de la base las variables artificiales.

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Curiosidad en la Fase 1:  al finalizar la fase 1, si el problema original tiene solución, todas las variables artificiales en la fila indicadora deben tener el valor "1". ¿El elemento pivote puede ser nulo?: No, el elemento pivote siempre será estrictamente  positivo ya que únicamente se realizan los cocientes entre valores no negativos y mayores ma yores que cero (ante un problema de maximización). Degeneración En la aplicación de las condiciones factibles del método simplex, un empate de la razón mínima debe romperse arbitrariamente con el propósito de determinar la variable de salida. Cuando esto sucede, una o más de las variables básicas serán cero en lo siguiente. En este caso, la nueva solución es degenerada.  No hay ha y nada alarmante eenn el hecho de d e abor abordar dar un unaa solución degenerada, con excepción ddee un pequeño inconveniente teórico que en breve expondremos. Desde el punto de vista  práctico, la condición revela que el modelo tiene por lo menos una restricción redundante. Para poder proporcionar propo rcionar más perspectivas de los impactos teóricos y prácticos pr ácticos de la degeneración, consideramos un ejemplo numérico. La ilustración gráfica debe mejorar la comprensión de las ideas que son la base de esta situación especial. Óptimos alternativos Cuando la función objetivo es paralela a una restricción no acotada (es decir, una restricción que se satisface como una ecuación por medio de la solución óptima), la función objetivo asumirá el mismo valor optimo en más de un punto de la solución. Por esta rrazón azón se conocen como óptimos alternativos.

Solución no acotada En algunos modelos de PL, los valores de las variables se pueden incrementar indefinidamente sin violar ninguna de las restricciones, lo que significa que el espacio de la solución es no acotado por lo menos en una dirección. Como resultado, el valor objetivo aumentará (un caso de maximización) o disminuirá (un caso de minimización) indefinidamente. En este caso, tanto el espacio de la solución como el valor objetivo optimo son no, acotados. La no acotación en un modelo solo indica una cosa: el modelo está mal construido. Las irregularidades más probables en estos modelos son que no se han tornado en cuenta una o más restricciones no redundantes y que los parámetros (constantes) de algunas restricciones no se calcularon correctamente.

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Solución no factible Si las restricciones no se satisfacen simultáneamente, el modelo no tiene una solución factible. Esta situación nunca puede ocurrir (suponiendo constantes no negativas en el lado derecho), debido a que las holguras proporcionan una solución factible. Para otros tipos de restricciones, utilizamos variables artificiales. Aun cuando las artificiales se penalizan para forzarlas a cero en la óptima, esto solo puede ocurrir si el modelo tiene un espacio factible. De lo contrario, por lo menos una variable artificial será positiva en la iteración optima. Desde el punto de vista práctico, un espacio esp acio no factible indica la posibilidad de que el modelo no esté formulado correctamente.

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2.5. Método dual simplex. Este método se aplica a problemas óptimos, pero infactibles. En este caso, las restricciones se expresan en forma canónica (restricciones = 0 Donde la tabla final del Método mantiene la siguiente estructura:

           













   





Donde: I: Matriz Identidad 0: Costos reducidos asociados a las variables básicas B: Matriz de variables básicas D: Matriz de variables no básicas  b: Lado derecho Cb: Coeficientes en la función objetivo asociados a las variables básicas Cd: Coeficientes en la función objetivo asociados a las variables no básicas

1. 1. Cambio  Cambio en el "lado derecho" de las restricciones : Lo que se busca identificar si las actuales variables básicas se mantienen luego de la modificación de uno o más parámetros asociados al "lado derecho" del modelo. Si calculamos: y se cumple , Las mismas variables básicas lo son también de la nueva solución óptima, calculada con el nuevo . Si lo anterior anterior no se cumple, se puede aplicar el Método Simplex Dual. EJEMPLO: Sin resolver nuevamente el problema, se desea saber si las actuales variables  básicas óptimas del problema también lo son del mismo problema, donde los lados derechos

 

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corresponden al vector b=(20,30). (Observación: X4 y X5 son variables de holgura de la restricción 1 y 2 respectivamente) Max 2x1 + 7x2 - 3x3 sa: x1 + 3x2 + 4x3 =0 se conserva la actual solución óptima. En caso contrario, se puede seguir con el Simplex agregando a la tabla una nueva columna con entradas B-1Ak y rk y tomando como variable entrante a la nueva base la que acabamos de introducir al problema. EJEMPLO: Se desea estudiar la posibilidad de elaborar un nuevo producto con beneficio neto igual a 8 y que requiere 4, 2 y 5 unidades de los recursos asociados a cada restricción. Sin resolver nuevamente el problema, ¿Conviene elaborar el producto? Max 9x1 + 12x2 sa: 4x1 + 3x2 =0, por lo cual no conviene la incorporación de esta nueva variable al modelo, es decir, aun cuando sea incorporada no obtendremos un valor óptimo que supere el actual V(P)=615. V(P)=615 . De todas formas, mostraremos como se incluye en la tabla final del Simplex esta modificación de modo que el lector pueda entender su incorporación cuando es necesario: X1 X2 X3 1 0 1/2

X4 X5 XNew -1/2 0 1

15

0

1

-1/3

2/3

0

0

40

0

0

-4/3

2/3

1

1

20

0

0

1/2

7/2

0

1

615

Si el costo reducido de esta nueva variable hubiese sido cero, entonces el nuevo escenario tendría infinitas soluciones.

3. Cambio en los Coeficientes Función Objetivo: Se busca identificar qué ocurre con la actual solución óptima del escenario base si se cambian uno o varios de los coeficientes que definen la función objetivo. La solución óptima actual también lo será para el nuevo escenario siempre que los nuevos costos reducidos sean mayores o iguales a cero (notar que también cambia el valor de la función objetivo en la actual solución óptima). Es decir, se debe cumplir que:

En caso contrario, se aplica el Simplex a partir de la tabla final del modelo original, con los nuevos costos reducidos y nuevo valor de la actual solución básica. EJEMPLO: Sin resolver nuevamente el problema, se desea saber que sucede si se modifica los parámetros de la función objetivo, quedando éstos de la siguiente forma: Z = x1 + 5x2 2x3. (X4 y X5 son las variables de holgura de la restricción 1 y 2 respectivamente). Max 2x1 + 7x2 - 3x3 sa: x1 + 3x2 + 4x3