Investigacion Sobre Espacios Vectoriales

November 12, 2018 | Author: Angel Vivas | Category: Vector Space, Euclidean Vector, Scalar (Mathematics), Eigenvalues And Eigenvectors, Linear Map
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Asignatura: Técnicas De Lectura

Trabajo de: Investigación sobre espacios vectoriales

Catedrático: Edgardo Farach

Alumno: Ángel Vivas

Número de Cuenta: 20161003696

Sección: 1700

Fecha De Entrega: 10/11/2017

Índice INTRODUCCIÓN.   .................................................................................................................................. 3 Vuelo espacial y sistemas de control .................................................................................................. 4 Subespacios  ............................................................................................................................................ 6 Combinaciones Lineales  ....................................................................................................................... 8 BASES Y DIMENSIÓN   ........................................................................................................................ 10 Bases ortonormales y proyecciones en Rn  ...................................................................................... 12 Transformaciones lineales  .................................................................................................................. 14 Valores y vectores característicos ..................................................................................................... 15 Conclusiones......................................................................................................................................... 16 Bibliografía  ................................................................................................................................................ 17

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INTRODUCCIÓN. En la estructura de espacio vectorial se fundamenta una parte muy importante de la matemática: el Álgebra Lineal . Hoy en día se puede decir que no hay parte de la matemática que no contemple esta estructura, cuyo modelo más sencillo es el de los vectores libres que se estudia en física y geometría. Ahora bien, si en esta estructura se tiene en cuenta su aspecto formal, se puede aplicar a diversas situaciones no necesariamente geométricas. En física, llamamos vector a una magn itud orien tada , sig nifi cado muy pr eciso que sirve para diferenciar de otras magnitudes que se llaman escalares. En matemáticas, un vector es un e l e m e n t o d e u n espacio vectorial; de esta forma reciben el nombre de vector tanto los polinomios como las sucesiones acotadas, o las funciones continuas definidas en un intervalo, etc. Todos estos entes matemáticos responden a una estructura común: el espacio v ectorial.

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Vuelo espacial y sistemas de control Con doce pisos de altura y peso de 75 toneladas, el Columbia se elevó majestuosamente desde la plataforma de lanzamiento en una fresca mañana de abril de 1981. El primer transbordador de Estados Unidos, producto de diez años de investigación, fue un triunfo de la ingeniería de sistemas de control que abarca muchas ramas ingenieriles —aeronáutica, química, eléctrica, hidráulica y mecánica. Los sistemas de control del transbordador espacial resultan absolutamente críticos para el vuelo. Como el transbordador tiene un fuselaje inestable, requiere de constante vigilancia por computadora durante el vuelo atmosférico. Los sistemas de control de vuelo envían una corriente de comandos a las superficies de control aerodinámicas y a 44 pequeños impulsores de propulsión a chorro. En la fi gura 1 se muestra un típico sistema con retroalimentación en ciclo cerrado que controla el ángulo de inclinación de la punta de la nariz del transbordador durante el vuelo. Los símbolos de empalme (⊗) muestran dónde se añaden las señales de diversos sensores a las señales de la computadora que fluyen por la p arte superior de la fi gura. Matemáticamente, las señales de entrada y salida de un sistema de control son funciones. Es importante, para las aplicaciones, que estas señales puedan sumarse, como en la fi gura 1, y multiplicarse por escalares. Estas dos operaciones con funciones tienen propiedades algebraicas completamente análogas a las operaciones de suma de vectores en Rn y multiplicación de un vector por un escalar. Por esta razón, al conjunto de todas las posibles entradas (funciones) se le denomina espacio vectorial. Los fundamentos matemáticos de la ingeniería de sistemas descansan sobre los espacios vectoriales y las funciones.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a los diez axiomas (o reglas) que se enlistan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u , v y w en V y todos los escalares c y d. 1. La suma de u y v , denotada mediante u + v , está en V. 2. u + v = v + u . 3. (u + v ) + w = u + (v + w ). 4. Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u . 5. Para cada u en V, existe un vector − u en V tal que u + (−u) = 0. 4

6. El múltiplo escalar de u por c, denotado mediante cu, está en V. 7. c(u + v ) = cu + cv . 8. (c + d)u = cu + du . 9. c(du ) = (cd)u . 10. 1u = u . Ejemplo 1: Determinar si el conjunto H de todas los números reales positivos x dotados

de las

operaciones x  x’ = xx´ y αx = x α es un espacio vectorial. Observamos que en H la suma de dos números reales positivos se define como el producto ordinario de estos números y que el producto por un escalar se define como una potencia en R. Como esto es válido para cualesquiera vectores en H, entonces H satisface los axiomas (1) y (6) de la definición, se procede entonces con los 8 axiomas restantes.  Axioma (2): {(x

x´)

x´´ =x

(x´ x´´)}

(x  x’)  x’’ = (xx’)  x’’ = (xx’) x’’ = x(x’x’’) = x

 (x’x’’) = x  (x’ 

x’’)

 H satisface el axioma (2).

Axioma (3): Debe existir x’ en H tal que x

x’ = x

x  x’ = xx´ = x si y solo si x’ = 1 Como 1 e H entonces el idéntico aditivo de H es 1. Axioma (4): Para cada x e H existe (α

x  (αx) = x  x α = x α+1 = 1  α = -1  Axioma (5): x

x’ = x’

x) e H tal qu e x  α  x

(α x) = 1

= x-1

x

x  x’ = xx’ = x’x = x’  x Axioma (7): α

(x

x’) = (α

x)



x’)

α  (x  x’) = α(xx’) = (xx’) α = x α (x’) α = x α  (x’) α = (α  x)  (α  x’)  Axioma (8): (α

)

x = (α

x)

(

x’)

(α  )  x = xα+ =xαx = xα  x = (α  x)  (  x’) Axioma (9): α(

x) = (α )

x

α(  x) = α  x = xαx = (α)  x  Axioma (10): 1

x=x

1  x = x’ = x

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 Como los 10 axiomas de la definicion se satisfacen se concluye que H es un espacio

vectorial.

Subespacios Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades: a. El vector cero de V está en H2 b. H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.

c. H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H. Las propiedades (a), (b) y (c) garantizan que un subespacio H de V es en sí mismo un espacio vectorial, bajo las operaciones de espacio vectorial ya definidas en V. Para verificar esto, observe que las propiedades (a), (b) y (c) son los axiomas 1, 4 y 6. Los axiomas 2, 3, y del 7 al 10 son verdaderos de manera automática en H porque se aplican a todos los elementos de V, incluidos aquellos que están en H. El axioma 5 también es verdadero en H, porque si u está en H, entonces (−1)u está en H según (c), y por la ecuación (3) de la página 217 se sabe que (−1)u es el vector −u del axioma 5. Así, todo subespacio es un espacio vectorial. De manera recíproca, todo espacio vectorial es un subespacio (de sí mismo o posiblemente de espacios mayores). El término subespacio es usado cuando se consideran por lo menos dos espacios, con uno dentro de otro, y la frase subespacio de V identifica a V como el espacio más grande. EJEMPLO 1 El conjunto que consta de únicamente el vector cero en un espacio vectorial V es un subespacio de V, llamado subespacio cero y que se escribe como {0}. EJEMPLO 2 Sea P el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, con operaciones en P definidas igual que para las funciones. Entonces P es un subespacio del espacio de todas las funciones que producen un valor real definidas en R. También, para cada n ≥ 0, Pn es un subespacio de P, porque Pn es un subconjunto de P que contiene al polinomio cero, la suma de dos polinomios en Pn también está en Pn, y un múltiplo escalar de un polinomio en Pn también está en Pn. EJEMPLO 3 Un plano en R3 que no pasa por el origen no es un subespacio de R3,

porque el plano no contiene al vector cero de R3. De manera similar, una línea en R2 que no pasa por el origen no es un subespacio de R2.

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EJEMPLO 4: Determinar si el conjunto H = {(x, y, z) ͼ R 3: y = x+z } es u subespaci o de R 3

Observamos que H define un plano que contiene el vector 0, luego H satisface la condición 1 del teorema 1. Supóngase que U= (x, y, z) y V= (x’, y’, z’ ) tales que u, v e H y reescribimos a y= x+z como y-x-z=0 . Al sustituir (x, y, z) por U+V= (x+x’, y+y’, z+z’) en la ecuación y -x-z=0, se tiene que: (x+x’) -(y+y’) -(z+z’)=0

(y-x-z) + (y’-x’-z’)= 0 0+0 = 0 0=0 Luego U+V e H y H satisface el teorema 1, por tanto H es un subespacio de R3. Teorema 2: Si H y H’ son dos subespacios de un espacio vectorial V, entonces H n H’ es un subespacio de V.

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Combinaciones Lin eales Dados dos vectores:

y

, y dos números: a y b, el vector

se dice que es

una combinación lineal de y . Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única. Dados

los

vectores

,

hallar

el vector

combinación

lineal

El

vector

vectores

,

¿se

puede

expresar

?

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como combinación

lineal de

los

Definición 2: Se dice que el conjunto de vectores {V1, V2,…, Vk} en un espacio vectorial V genera a V, si todo vector en V es una combinación lineal de V1, V2,…, Vk. Definic ión 3: sea el conjunto de vectores {V1, V2,…, Vk} en un espacio vectorial V. El espacio lineal generado o simplemente el espacio generado por {V1, V2,…, Vk} es el conjunto de las combinaciones lineales posibles de V1, V2,…, Vk. Es decir

Gen {V1, V2, …, Vk} = {V:V = C1V1 +C2V2 + … CkVk} En donde c1, c2, …, ck son escalares. Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades 1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector  es combinación lineal  de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes . 2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3 Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y componentes son proporcionales.

= (v1, v2) son linealmente dependientes  si sus

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

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a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes  tienen distinta dirección  y sus componentes  no son proporcionales . Ejemplo:

Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.: = (3, 1) y

= (2, 3)

Linealmente independientes

BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador mínimo de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente máximo dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector. Ejemplos de bases.

1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n: e1 = (1,0,. . . ,0) e2 = (0,1,. . . ,0) en = (0,0,. . . ,1) - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an) ∈ ℜ n se puede expresar como combinación lineal de ellos: (a1,a2,. . . , an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + a n(0,0,. . . ,1)

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2. Otra base de

disti nta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de R3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , , β γ que s atisfagan (a,b,c)= α (1,0,0)+ β (1,1,0)+γ (0,2, -3) Se obtiene un sistema: α+β=a β +2γ =b

-3γ = c en las incógnitas α , , β γ , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c. 3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en R3 no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo). Dimensión: La dimensión de un espacio vectorial V de base finita se define como el número de vectores en una base de V (por conveniencia la dimensión del espacio trivial se define como cero ) y se denota por dimV. Teorema I: Si un conjunto H de m vectores linealmente independiente esta en un espacio vectorial V de dimensión n, entonces:

a) m≤n b) H es una base de V, solo si m = n. c) Si m  n, podemos agregar a H vectores finalmente independientes {Vm+1, … , Vn} sea una base de V.  <

Teorema II: Si un conjunto de n vectores genera al espacio vectorial V de dimensión n, entonces H es una base de V. Teorema III: Si el conjunto H de n vectores es una base de un espacio vectorial V de dimensión n, entonces:

a) Cualquier subconjunto de V con mas de n vectores es linealmente dependiente. b) La representación de cualquier vector v e V en términos de los vectores H es única.

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Bases orton ormales y proyeccion es en Rn Conjunto Ortonormal : se dice que un conjunto de vector S = {u1,u2…, uk} en Rn es un conjunto

ortonormal si Ui , u j =0

Si i ≠j

Ui , u1 = 1 Si solo satisface la ecuación 1 se dice que es una base ortogonal.

Ortogonal significa que son “perpendiculares” o “normales “ que forman ángulos rectos. Pero

normalmente decimos que un vector es normal a una recta; no ortogonal; orgonal se usa para hablar de 2 vectores. Longit ud o Norma de un Vector 

Si vϵ Rn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por |v| = √(v*v)

Si v = ( x 1, x2…, xn), entonces v*V = x 12+ x22+ … + xn2. Esto significa que V*v ≥0 y v*v = 0 si y solo si v=0, de esta forma se puede obtener la raíz cuadrada. Teorema 1: Si S = { v 1, v2,…, vk} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero,

entonces S es linealmente independiente. Teorema 2: Proceso de ortonomalizacion de Gram-Shmidt: Sea H un subespacio de dimensión

m de Rn. entonces H tiene una base ortonormal. 12

Matriz Ortogonal

Una matriz Q de nXn se llama ortogonal si Q es invertible y Q-1 = QT En su Teorema dice que, la matriz Q de nXn es ortogonal si y solo si las columnas de Q forman una base ortonormal de Rn.

Proyección Ortogonal .

Sea H un subespacio de Rn con base ortonarmal {{u1,u2…, uk}. Si ϵ Rn entonces la Proyeccion ortogonal de v sobre H , de notada por proy H v, esta dada por ProyHv = (v*u1)u1 + (v* u2)u2 +…, ( u*uk)uk Observe que proyhv ϵ H 13

Teorema 4

Sea B = {u1,u2…, un} una base ortonormal para Rn y sea V ϵRn. entonces ProyHv = (v*u1)u1 + (v* u2)u2 +…, ( u*uk)uk Esto es, v = proy Esto es, v = proyRnv. Teorema 5

Sea H un subespacio de Rn.suponga que H tiene dos bases ortonomales, {u1,u2…, uk} Y {w1,w2…, wk}. sea v un vector en Rn. entonces (v*u1)u1 + (v* u 2)u2 +…, ( u*u k)uk = (v*w1)w1 + (v* w2)w2 +…, ( v*wk)wk

Transformaciones li neales Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Definic iones, y pr opiedades b ásicas

Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada v ector v , un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los siguientes axiomas: 1. f (vi +vj) = f (vi) + f (vj) 2. f (vi) = α.f (vi) Teorema:

Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que: 1. f (0v) = 0w 2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, dimV=n dimV = dimN (f) + dimIm (f)

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Valores y vectores característico s Sea T: V --> W una transformación lineal. En diversas aplicaciones, resulta útil encontrar un vector v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y una escalar tal que Tv = ƛv (1) Si v ≠ 0 y ƛ satisface a (1), entonces se denomina un valor característico de T y v un vector característico de T correspondiente al valor característico. Si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz A. Por esta razón se estudiarán los valores y los vectores característicos de las matrices de n x n. Definición: Sea A una matriz de n x n con componentes reales. El número (real o complejo) se denomina valor característico de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que

Av = ƛv (2) Teorema 1

Sea a una matriz de n x n. Entonces es un valor característico de A si y solo si p(ƛ)= det (A – ƛI) = 0

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Conclusiones 1. Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. 2. Los espacios vectoriales tienen diversas aplicaciones en las ramas de la física. Como los que vimos en el ejemplo práctico al inicio de este trabajo. 3. Los conjuntos R2 , R3, son espacios vectoriales pues cumplen los 10 axiomas que son requisito para que sean denominados como tal.

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Bibliografía 1.-Carrasco, I. E. (1996). Guias metodologicas MM211 Vectores y Matrices.  Tegucigalpa. 2.- Enrique, I. A. (2010). Valores y vectores Característicos. 3.- Lay, D. C. (2007). Algebra lineal y sus aplicaciones. México: Pearson. 4.- Godoy, S. I. (2012). Algebra lineal. Mexico : Mc Grawhill.

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