Investigacion Operativa

 

“AÑO DE LA UNIVERSALIZACIÓN UNIVERSALIZACIÓN DE LA SALUD”

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA DE ADMINISTRACION Y NEGOCIOS INTERNACIONALES INVESTIGACIÓN OPERATIVA DOCENTE SALDAÑA GOLDSCHMIDT MIRKO ALFREDO AUTOR ASENCIO MALPARTIDA, JHONN

HUARAZ - PERÚ 2020

 

1. Alfre Alfredo do tie tiene ne $22 $2200 00 para iinver nvertir tir dur durante ante llos os sig siguien uientes tes 5 año años. s.  Al principio principio de cada año p puede uede inve invertir rtir su dinero en depósitos a p plazos lazos fijo del 1 ó 2 años. El banco paga el 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y el 17% (total) en depósitos a plazo fijo de 2 años. Además, al principio del segundo año, la compañía West World Limited ofrecerá certificados a tres años. año s. Est Estos os certi certific ficad ados os ten tendrá drán n un una a ga gana nanci ncia a del del 27% 27% (to (total tal). ). Si Al Alfre fredo do reinvierte su dinero disponible cada año, formular un programa lineal que le muestre como maximizar su ganancia total al final del quinto año.

a) Definición de las variables de decisión : Cantidad de dinero a invertir en tipo de inversión i al principio del año j Donde  =

,

,

= 1,2,3,4

b) Formulación del problema de programación lineal

Función Objetivo: Maximizar los intereses 1+

= 0.08 3+

0.08

0.17 3+

0.17

1+

2+

0.08

0.27

0.17

2

+ 0.27

2

+

3

Restricciones: 1) Dinero disponible al inicio del año 1 +

≤ 2200

2) Dinero disponible al inicio del año 2 +

+

≤ 2200 + 0.08

−

3) Dinero disponible al inicio del año 3

 

+ 

+ 

≤ 2200 + 0.08

 

+ 0.08

 

+ 0.17

 

− 

 

4) Dinero disponible al inicio del año 4 +

≤ 2200 + 0.08 0.17

− 

+ 0.08 2 

− 

3 

+ 0.08

− 

+ 0.17

+

3

5) Dinero disponible al inicio del año 5. ≤ 2200 + 0.08 0.17

+ 0.17

+ 0.08 + 0.27 

+ 0.08 2 

− 

+ 0.08 3 

− 

+ 0.17

+

4

6) Condición de no negatividad ≥0

No se tiene en cuenta las inversiones del banco a dos años de plazo y de la Compañía West World Limited para su inversión en el cuarto año y tercer  año respectivamente, ya que su rentabilidad de verá reflejada después de los 5 años. 2. Form Formulac ulación ión de dieta. Una die dieta ta debe contener contener al menos 16 uni unidade dadess de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohi carb ohidrato dratoss

y

4 de

prot proteína eínas; s;

el

alim alimento ento

B

cont contiene iene

2

un unida idade dess car carbo bohi hidra dratos tos y 1 de pr prote oteína ína.. Si el alime alimento nto A cue cuesta sta $1.20 $1.20 dólares la unidad y el B cuesta $0.80 por unidad, ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo de la dieta? ¿Cuál es el costo mínimo? Resolución a) Definición de las variables de decisión

: Cantidad de unidades del alimento A : Cantidad de unidades del alimento B b) Formulación del modelo de programación lineal

Función Objetivo: Minimizar el costo de La dieta:

Restricciones:

= 1.2 + 0.8

 

1) Contenido de carbohidratos 2 + 2 ≥ 16

2) Contenido de proteínas. 4 +

≥ 20

3) Condición de no negatividad de las variables ,

≥0

El modelo de programación lineal se resume a lo siguiente:  

= 1.2 + 0.8

 

:

2 + 2 ≥ 16 4 + ,

≥ 20

≥0

c) Solución del modelo de programación programación lineal : 2 + 2 = 16 → =0

=8

:4 +

= 20

=0

= 20

+

=0

=0

=8

=8

=5

Con ayuda de la herramienta online PHPSimplex se obtuvo el siguiente gráfico

 

Evaluación de la función objetivo en el punto B =8

=0

= 1.2( 1.2(8) + 0.8 0.8((0) = 9.6

Evaluación de la función objetivo en el punto C + 4 2

=8…1 +

= 20 . . .

Restando 1 a 2 tenemos 3 = 12 →

=4

Reemplazando x en la ecuación 1 4+ =4

= 18 →

=4

=4

= 1.2( 1.2(4) + 0.8( 0.8(4) = 8

Evaluación de la función objetivo en el punto D =0

= 20

= 1.2(0) + 0.8(20) = 16

Observando los valores en los puntos el punto óptimo es el C teniendo el costo mínimo de 8 dólares con 4 unidades de alimento A y 4 unidades de alimento B.

 

3. Prog Programa rama de Produ Producció cción. n. Una petrole petrolera ra tiene dos refine refinerías rías y nece necesita sita producir al menos 800,1400 y 500 barriles de petróleo de los grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada día, la refinería A produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto; la refinería B produce 100 barriles de grado alto, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de 2500 dólares para operar la refinería A y de 2000 dólares para operar la refinería B, ¿Cuántos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo?

a) Definición de las variables de decisión : Días de operación de refinería A : Días de operación de refinería B

b) Formulación del modelo de programación programación lineal Función Objetivo: Minimizar el costo de producción: = 2500 + 2000

Restricciones: 1) Producción en barriles de petróleo de grado grado bajo 200 + 100 ≥ 800

2) Producción en barriles de petróleo de grado medio 300 + 200 ≥ 1400

3) Producción en barriles de petróleo de grado medio 100 + 100 ≥ 500

4) Condición de no negatividad de las variables ,

≥0

Según el enunciado se forma un modelo de programación lineal de dos variables y tres restricciones, resumidos en lo siguiente: Minimizar: = 2500 + 2000 Sujeto a: 200 + 100 ≥ 800

 

300 + 200 ≥ 1400 100 + 100 ≥ 500 ,

≥0

c) Solución del modelo matemático : 200 + 100 = 800 → 2 + =0

=8

=0

=8

=4

: 300 + 200 = 1400 → 3 + 2 = 14 =0

=7

=0

=

14 3

: 100 + 100 = 500 =0

=5

=0

=5

Con ayuda de la herramienta online PHPSimplex se obtuvo el siguiente gráfico

Evaluación de la función objetivo en el punto A =0

=8

= 2500( 2500(0) + 2000( 2000(8) = 16000

Evaluación de la función objetivo en el punto C 200 + 100 = 800 → 2 +

=8…1

 

300 + 200 = 1400 → 3 + 2 = 14 … 2

Multiplicando por 2 la ecuación 1 4 + 2 = 16 … 3

Restando 2 a 3 tenemos =2

Reemplazando x en la ecuación 1 2 +

=8→4+

=8→

=4

= 2500(2) + 2000(4) = 9000

Evaluación de la función objetivo en el punto G 300 + 200 = 1400 → 3 + 2 = 14 … 4 100 + 100 = 500 →

+

=5…5

Multiplicando por 2 la ecuación 5 2 + 2 = 10 … 6

Restando 6 a 4 tenemos =4

Reemplazando x en la ecuación 5 +

=4

=5→4+

=5→

=1

=1

  = 2500(4) + 2000(1) = 12000

Evaluación de la función objetivo en el punto I =5

=0

 = 2500(5) + 2000(0) = 12500

Observando los valores determinados, el punto óptimo es el G teniendo el costo mínimo de 12000 dólares con 4 días de operación de la refinería A y 1 día de operación de la refinería B.

 

4. La Ápe Ápexx Tele Televisi visión ón deb debe e deci decidir dir el nú número mero d de e tele televiso visores res de 27 27”” y 20”, producidos en una de sus fábricas, la investigación de mercado indica ventas a lo más 40 televisores de 27” y 10 de 20” cada mes. El número máximo de horas-hombre disponible es de 500 por mes, un televisor de 27” requierehoras-hombre y uno 20” requiere 10 horas-hombre, cada televisor de 27” pro produce duce una ganancia de $ 12 120 0 y cada uno de 2 20” 0” da un una a ga gana nanc ncia ia de $ 80 80.. Un di dist stri ribu buid idor or está está de acue acuerd rdo o comp compra rarr todo todoss los los televisores producidos siempre en cuando no exceda el máximo indicado por  el estu estudio dio de merc mercado. ado. a) form formule ule el mode modelo lo de prog programa ramación ción line lineal. al. b) Use el método grafico para resolver el modelo. a) Definición de las variables de decisión

: Número de televisores de 27” : Número de televisores de 20” b) Formulación del modelo de programación lineal

Función Objetivo: Maximizar la ganancia:

= 120 + 80

Restricciones: 1) Demanda de televisores televisores de 27” ≤ 40

2) Demanda de televisores televisores de 20” ≤ 10

3) Número máx máximo imo de horas-hombre disponible 20 + 10 ≤ 500

4) Condición de no negatividad de las variables ,

≥0

El modelo de programación lineal se resume a lo siguiente:  

  ≤ 40 ≤ 10

= 120 + 80

:

 

20 + 10 ≤ 500 ,

≥0

c) Solución del modelo de programación lineal :

= 40

: = 10 : 20 + 10 = 500 =0

= 50

=0

= 25

Con ayuda de la herramienta online PHPSimplex se obtuvo el siguiente gráfico

Evaluación de la función objetivo en el punto C =0

= 10

= 120(0) + 80(10) = 800

Evaluación de la función objetivo en el punto D = 10 20 + 10 = 500 → 20 + 10(10) = 500 → 20 = 400 → = 120( 120(20 20)) + 80( 80(10 10)) = 3200

Evaluación de la función objetivo en el punto F = 25

= 10

= 20

 

= 120(25) + 80(0) = 3000

Observando los valores determinados, el punto óptimo es el D teniendo la ganancia máxima de 3200 dólares con 20 televisores de 27” y 10 televisores de 20” 5. Una F Fábri ábrica ca de autom automóvil óviles, es, pro produce duce dos titipos pos d de e auto por p pedid edido, o, luj lujo o y corriente, usando hierro, acero de alta calidad y plástico de alta resistencia, en unidades cuadradas con el mismo espesor, a saber para el auto de lujo se necesitan 1000 unidades cuadradas de hierro, 400 de acero y 1500 de plástico, para un automóvil corriente se requieren 1000 unidades de hierro, 1600 de Acero y 2000 de plástico. Los automóviles de lujo producen por su venta una ganancia de $12000, los tipo corriente $9000. En la actualidad, la empresa dispone de 200000 unidades de hierro, 128000 de Acero y 220000 de Plástico. Han recibido pedidos para dos tipos de autos, y les gustaría producir la cantidad de automóviles de cada tipo que maximicen la utilidad. ¿Cuántos automóviles automóviles de cada tipo se deben producir? a) Definición de las variables de decisión

: Número de autos de lujo : Número de autos corriente b) Formulación del modelo de programación lineal

Función Objetivo: Maximizar la ganancia: Restricciones:

= 12000 + 9000

1) Disponibilidad de hierro 1000 + 1000 ≤ 200000

2) Disponibilidad de acero 400 + 1600 ≤ 128000

3) Disponibilidad de plástico 1500 + 2000 ≤ 220000

 

4) Condición de no negatividad de las variables ,

≥0

El modelo de programación lineal se resume a lo siguiente:  

= 12000 + 9000

:

 

1000 + 1000 ≤ 200000 400 + 1600 ≤ 128000 1500 + 2000 ≤ 220000 ,

≥0

c) Solución del modelo de programación lineal : 1000 + 1000 = 200000 → =0

= 200

=0

+

= 200

= 200

: 400 + 1600 = 128000 → 4 + 16 = 1280 =0

= 80

=0

= 320

: 1500 + 2000 = 220000 → 15 + 20 = 2200 =0

= 110

=0

= 147

Con ayuda de la herramienta online PHPSimplex se obtuvo el siguiente gráfico

 

Evaluación de la función objetivo en el punto D =0

= 80

= 12000(0) + 9000(80) = 720000

Evaluación de la función objetivo en el punto F 4 + 16 = 1280 →

+ 4 = 320 … 1

15 + 20 = 2200 → 3 + 4 = 440 … 2

Restando 1 a 2 2 = 120 →

= 60

Remplazando x en 1 60 + 4 = 320 → 4 = 260 →

= 65

= 12000(60) + 9000(65) = 1305000

Evaluación de la función objetivo en el punto H = 146

2 3

=0

= 12000(147) + 9000(0) = 17640

Observando los valores determinados, el punto óptimo es el H teniendo la ganancia máxima de 1760000 dólares con 147 autos de lujo y ningún auto corriente

 

6. Kris Lee, dueño y gerente de Quality Hardeare Store, reevalúa su política de inventario de martillos. Debido a que vende en promedio 50 martillos al mes, ha colocado órdenes de compra por 50 martillos con un distribuidor a un costo de 20 dólares cada uno al final del mes. Sin embargo, en razón de que coloca todas las órdenes de la tienda, pierde gran parte de su tiempo en esta tarea. Estima que el valor de su tiempo dedicado a ordenar martillos es de 75 dólares. a) ¿Cuál debe ser el costo unitario de mantener martillos para que la política actual de Kris sea óptima según el modelo básico EOQ?, ¿cuál es este costo de mantener como porcentaje del costo unitario de adquisición?

 =

2

Donde: Q: Cantidad a pedir en cada orden D: Demanda mensual :El costo de ordenar  :costo unitario mensual de inventario

 = 50

50 =

= 50

= $ 75

2(50)(75)

→ 50 =

:Costo de adquisicion  

2(50)(75)

→ 2500 =

7500

→

=$3

= 20

3 = 20 = 0.15 ≅ 15%

El costo de unitario mensual de inventario debe ser $ 3 que representaría el 15% del costo de adquisición

 

b) ¿Cuál es la cantidad óptima por ordenar si el costo unitario de mantener es igual al 20% del costo unitario de adquisición, ¿Cuál es el CVT= Costo Variable Total anual del inventario (costo de mantener más costo de ordenar)?, ¿cuál es el CVT de la política de inventarios actual?  = 20%(20) = $ 4

Unidades de cada orden 2

 =

=

2(50)75 = 43.3 ≅ 44 4

Costo variable anual con

=$4

Demanda anual  = 50(12) = 600

Número de órdenes  

=

600 44

= 13.64 ≅ 14

Costo de almacenamiento anual  

4 ∗ 44 2=

2

= $88

Costo anual de ordenar  (#

ó =

) = 75(14) = $ 1050

2

+ (#

ó

) = 88 + 1050 = $1138

Costo variable anual actual con

=$3

Demanda anual  = 50(12) = 600

Número de órdenes  

600 = 50 = 12

Costo de almacenamiento anual  

2

=

3 ∗ 50 = $75 2

Costo anual de ordenar  (#

ó =

) = 75(12) = $ 900 2

+ (#

ó

) = 75 + 900 = $975

 

c) Si el distribuidor entrega una orden de martillos en 5 días hábiles (de 25 promedio al mes), ¿Cuál debe ser el punto de reorden según el modelo EOQ básico? Tiempo de entrega de nueva orden en días: = 5 Demanda por día: í = =2 Punto de reorden:  = ( ) = 2(5) = 10 Cuando el inventario llegue a 10 unidades se debe realizar un nuevo pedido d) Como Kris no quiere incurrir en faltantes de artículos importantes, decide agregar un inventario de seguridad de 5 martillos para protegerse de entregas tardías y ventas mayores de las usuales, ¿Cuál es nuevo punto de reorden?, ¿En cuánto se incrementa el CVT? = 10 + 5 = 15 (#

ó

) = 75(14) = $ 1050

+ 5 + (# ó ) = 88 + 1050 = $1138 2 44 + 5 = 4( 2 ) + 75(14) = 88 + 1050 = $1158 =

 

Incremento: = $1158 − $1148 = $10

7. José K Kan, an, Ad Admini ministrad strador or del Pr Proyec oyecto to del Ho Hospit spital al XYZ d divid ividió ió el pro proyecto yecto en dos grandes módulos. módu los. Asignó a Juan Salas al rresponsabilidad esponsabilidad global del módulo módu lo para org organiz anizar ar y prep preparar arar el sitio y a Sara Wong la responsabilidad responsab ilidad del módulo de instalaciones física se infraestructu infraestructura. ra. Usando la división del trabajo, equipo del proyecto desarrollo las relacion relaciones es de precedenc precedencia, ia, y

las

las

estimacione estimacioness

de

tiempo

de

las

actividad actividades es

 

responsabilidades responsabi lidades mostradas en la tabla:

Una semana de trabajo se considera cinco días. a) Elabore la red del proyecto del hospital XYZ. b) ¿Cuáles son las actividades críticas, y cuál es el tiempo de terminación del proyecto?

 

a)  Red del proyecto del hospital XYZ 15

I 12

10

A

6

F

0

K FIN 35

10

0

C

INICIO

9

B

G

10

40

4

D

H

J

24

 

b)   Rutas críticas y tiempo de terminación del proyecto

I 

15

12  27 48  63   H  36 A 

12 

F 

0  6    H 

12  18  0 

12  22  53  63  H  41  C 

INICIO 

  H 

10 

12  22  18  28  H  6 

0 

0  0 

10

0  0 

K 

G 

35

24  59 28  63  H  4 

FIN 

B 

9 

0  0  H 

9  9  0 

10 

19   99   19 H  0  E 

24 

9  33  35  59 

H 

0

69  69 69  69 H  0

0  D 

6

63  69 63  69 H  0

40

19   59 59 19 H  0 J 

4

59  63 59  63

La ruta crítica del proyecto son las actividades B-D-H-J y K por tener holgura cero de desde inicio hasta el fin y la dur urac ació ión n de dell pr proy oye ecto cto ser erá á de 69 semanas