Investigacion Operaciones Mineria v1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO Facultad de Ingeniería de Minas

MANUAL UNIVERSITARIO

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES MINERAS

MSc. Mario Cuentas Alvarado 2009

INVESTIGACION DE OPERACIONES EN MINERIA

CONTENIDO CAPITULO I........................................................................................................................................ 1 INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES ....................................................... 1 ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? ..................................................................... 1 HISTORIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES ................................................................ 1 METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES ...................................................... 2 Definición del problema .................................................................................................................. 2 Desarrollo de un Modelo Matemático y Recolección de Datos...................................................... 3 Resolución del Modelo Matemático................................................................................................ 3 Validación, Instrumentación y Control de la Solución .................................................................... 3 Modificación del Modelo ................................................................................................................. 4 USOS Y VENTAJAS DE LOS MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES .................... 4 RESUMEN.......................................................................................................................................... 5 CAPITULO II....................................................................................................................................... 6 CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS .................................................................. 6 PASOS GENERALES Y TÉCNICAS DE LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS .. 6 Identificación de las variables de decisión ..................................................................................... 6 Identificación de los datos del problema ........................................................................................ 7 Identificación de la función objetivo ................................................................................................ 8 Identificación de las restricciones ................................................................................................... 9 Formulación matemática del problema ........................................................................................ 11 EJEMPLOS DE FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS ............................................ 12 CAPITULO III.................................................................................................................................... 40 SOLUCIÓN A PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL USANDO SOFTWARE ................... 40 USO DE SOLVER DE EXCEL ......................................................................................................... 40 EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DEL SINDICATO MINERO PACOCOCHA ............................................................................................................................... 40 USO DE SOLVER DE WinQSB ....................................................................................................... 43 EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DEL SINDICATO MINERO PACOCOCHA ............................................................................................................................... 43 USO DE LINDO ................................................................................................................................ 48 SINTAXIS DEL MODELO LINDO ................................................................................................. 48 EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DEL SINDICATO MINERO PACOCOCHA ............................................................................................................................... 48 CAPITULO IV ................................................................................................................................... 53 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD USANDO SOFTWARE: .................................................................. 53 EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE CASE CHEMICALS ........................... 53 CONCEPTOS BÁSICOS EN ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD....................................................... 54 1. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON EXCEL .......................................................................... 54 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO ............ 57 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS VALORES DEL LADO DERECHO DE LAS RESTRICCIONES (RECURSOS DISPONIBLES, RHS) ............................................................. 58 ANÁLISIS PARAMÉTRICO DE LOS RECURSOS DISPONIBLES (VALORES DEL LADO DERECHO) ................................................................................................................................... 60 2. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON LINDO .............................................................................. 61 3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON WinQSB ............................................................................ 62 i Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DEL SINDICATO MINERO PACOCOCHA .......................................................................................................................................................... 63 EJEMPLOS DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD USANDO SOFTWARE ..................................... 70 CAPITULO V .................................................................................................................................... 97 PROBLEMAS DE REDES DE DISTRIBUCIÓN: TRANSPORTACIÓN, ASIGNACIÓN Y TRANSBORDO ................................................................................................................................ 97 ¿QUÉ ES UNA RED DE DISTRIBUCIÓN? .................................................................................. 97 EL PROBLEMA DE TRANSPORTACIÓN.................................................................................... 98 EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN ............................................................................................. 101 EL PROBLEMA DE TRANSBORDO .......................................................................................... 104 CAPITULO VI ................................................................................................................................. 108 ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS: ......................................................................................... 108 PERT - CPM ................................................................................................................................... 108 DESARROLLO DE LA RED DE PROYECTOS ......................................................................... 109 Identificación de las tareas individuales ................................................................................. 109 Obtención de estimaciones de tiempo para cada tarea ......................................................... 110 Creación de la tabla de precedencia para el proyecto ........................................................... 111 Trazo de la red de proyectos .................................................................................................. 111 La red de proyectos para el proyecto de Santa Rosa Mining................................................. 114 ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS USANDO TIEMPOS DETERMINÍSTICOS (CPM) ....... 114 Cálculo del tiempo de terminación de proyecto ......................................................................... 115 Identificación de las tareas críticas............................................................................................. 116 Administración de proyectos con tiempos determinísticos de tarea: uso de la computadora ... 119 Expedición de un proyecto usando técnicas de crashing .......................................................... 121 Obtención de datos de costos adicionales para las tareas ........................................................ 122 Desarrollo del modelo de choque ............................................................................................... 123 Resolución del modelo de choque ............................................................................................. 127 ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS USANDO TIEMPOS DE TAREA PROBABILISTICOS (PERT)............................................................................................................................................ 127 BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................... 129

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CAPITULO I INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? En la ciencia de la administración (que también se conoce como investigación de operaciones), los administradores utilizan las matemáticas y las computadoras para tomar decisiones racionales en la resolución de problemas. Aunque algunos problemas son lo bastante simples como para que un administrador pueda aplicar su experiencia personal para resolverlos, en el complejo mundo actual muchos problemas no pueden resolverse de esta manera. La evaluación de cada alternativa es demasiado difícil o tardada debido a la cantidad y complejidad de la información que debe ser procesada o porque el número de soluciones alternativas es tan vasto que un administrador simplemente no puede evaluarlas todas para seleccionar una apropiada. Las técnicas de la administración se aplican a las siguientes dos categorías básicas de problemas: 1. Problemas determinísticos, en los que toda la información necesaria para obtener una solución se conoce con certeza. 2. Problemas estocásticos, en los que parte de la información necesaria no se conoce con certeza, sino más bien se comporta de una manera probabilística. La resolución de un problema determinístico es similar a decidir en cuál aerolínea comprar boleto para volar hoy de Nueva York a Los Ángeles dado que se pueden obtener exactamente las mismas tarifas en todas las aerolíneas. En contraste, considere hacer el mismo viaje dentro de un mes. El decidir si comprar el mejor boleto disponible hoy o arriesgarse a esperar una mejor tarifa es un problema estocástico, porque no se conocen las tarifas futuras. La obtención de soluciones a estos dos grupos de problemas de decisión -determinísticos y estocásticos- a menudo requiere de técnicas de administración muy diferentes. HISTORIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES El campo de la administración surgió durante la Segunda Guerra Mundial, cuando había una gran necesidad de administrar los escasos recursos. La Fuerza Aérea Británica formó el primer grupo 1 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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que desarrollaría métodos cuantitativos para resolver estos problemas operacionales y bautizó a sus esfuerzos como investigación operacional. Poco después, las fuerzas armadas estadounidenses formaron un grupo similar, compuesto por científicos físicos e ingenieros, cinco de los cuales posteriormente fueron laureados con el premio Nobel, Los esfuerzos de estos grupos, especialmente en el área de la detección por radar, se consideran vitales en el triunfo de la guerra aérea de Gran Bretaña. Después de la Segunda Guerra Mundial, los administradores de la industria reconocieron el valor de aplicar técnicas similares a sus complejos problemas de decisión. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y procedimientos correspondientes para solucionar problemas que surgían en áreas tales como la programación de refinerías de petróleo, la distribución de productos, la planeación de producción, el estudio de mercados y la planeación de inversiones. Estos procedimientos de soluciones se hicieron posibles con el advenimiento de computadoras de alta velocidad, porque la resolución del típico problema de investigación de operaciones requiere demasiados cálculos para ser realizados prácticamente a mano. El uso de técnicas de administración ha aumentado con los avances en los cálculos hasta el punto en que actualmente estas técnicas son empleadas rutinariamente en una computadora de escritorio para solucionar muchos problemas de decisión. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES El uso de métodos cuantitativos para solucionar problemas, generalmente implica a mucha gente de toda la organización. Los individuos de un equipo de proyectos proporcionan información de sus áreas respectivas respecto a diversos aspectos del problema. El proceso de aplicar métodos cuantitativos requiere una sucesión sistemática de pasos ilustrados en la figura 1. 1. Cada uno de estos pasos se describe con detalle en esta sección.

Figura 1.1 La metodología de la investigación de operaciones. Definición del problema El primer paso es identificar, comprender y describir, en términos precisos, el problema que la organización enfrenta. En algunos casos, el problema está bien definido y es claro. En otras situaciones, el problema puede no estar tan bien definido y puede requerir bastantes discusiones y consenso entre los miembros del equipo de proyectos. Por ejemplo, puede haber varios objetivos que entren en conflicto. Tal vez usted desee maximizar la satisfacción del cliente y, sin embargo, también minimizar los costos totales. Es improbable que pueda lograr ambas metas. Se tendrán que tomar decisiones corporativas respecto a un objetivo global. Algunas veces la cuantificación del objetivo mismo es difícil. Por ejemplo, ¿cómo se mide la "satisfacción 2 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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del cliente"? Todas estas cuestiones deben resolverse y clarificarse por consenso del equipo de proyectos durante la fase de definición del problema. Desarrollo de un Modelo Matemático y Recolección de Datos Después de que el problema está claramente definido y comprendido, el siguiente paso es expresar el problema en una forma matemática, esto es, formular un modelo matemático. Una vez construido el modelo, existen muchas técnicas matemáticas disponibles para obtener la mejor solución, a pesar del vasto número de alternativas y/o de la complejidad implicada. Resolución del Modelo Matemático Una vez formulado un modelo matemático del problema, el siguiente paso es resolver el modelo, es decir, obtener valores numéricos para la variable de decisión. Para el ejemplo de las inversiones, esto significa obtener los mejores valores para S y B. La forma en que se obtengan estos valores depende de la forma o tipo específico del modelo matemático. Es decir, una vez que identifique el tipo de modelo que tiene, podrá elegir una técnica de administración apropiada para resolverlo. Estas técnicas pertenecen a una de dos categorías: 1.

Métodos óptimos, que producen los mejores valores para las variables de decisión, es decir, aquellos valores que satisfacen simultáneamente todas las limitaciones y proporcionan el mejor valor para la función objetiva.

2.

Métodos heurísticos, que producen valores para las variables que satisfacen todas las limitaciones. Aunque no necesariamente óptimos, estos valores proporcionan un valor aceptable para la función objetiva.

En contraste con los métodos óptimos, los métodos heurísticos son computacionalmente más eficientes y, por tanto, se usan cuando la obtención de soluciones óptimas lleva demasiado tiempo o es imposible porque el modelo es demasiado complejo. Un objetivo de este curso es mostrar muchos métodos matemáticos diferentes y sus procedimientos de solución asociados. La mayor parte de las veces, se dispondrá de estos procedimientos en una computadora, y usted aprenderá cómo obtener e interpretar las soluciones al modelo. Validación, Instrumentación y Control de la Solución Después de resolver el modelo matemático, es extremadamente importante validar la solución, es decir, revisar la solución cuidadosamente para ver que los valores tienen sentido y que las decisiones resultantes puedan llevarse a cabo. Algunas de las razones para hacer esto son: 1.

El modelo matemático puede no haber captado todas las limitaciones del problema real.

2.

Ciertos aspectos del problema pueden haberse pasado por alto, omitido deliberadamente o simplificado.

3.

Los datos pueden haberse estimado o registrado incorrectamente, tal vez al introducirlos a la computadora.

También es importante darse cuenta que aun cuando el modelo y la solución pueden ser válidos, tal vez no sea factible llevar a cabo una decisión basándose en esos resultados. Puede haber aplicaciones conductuales o políticas que no pueden incluirse en el modelo. Por ejemplo, el resultado de un modelo puede indicar que es más eficiente en cuanto a costos transferir algunos trabajadores del turno de día al de noche. Sin embargo, tal cambio puede enfrentar resistencia de los empleados (o administradores) por razones personales, políticas o de otra índole. Una forma de evitar este tipo de dificultades es incluir representantes de todos los grupos potencialmente afectados como parte del equipo de proyectos. Los resultados y su posterior instrumentación deben supervisarse cuidadosamente, no sólo para asegurar que la solución trabaja según lo planeado, sino también porque el problema, los datos o ambos pueden cambiar con el tiempo. 3 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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Modificación del Modelo Si durante el paso de validación se encuentra que la solución no puede llevarse a cabo, se pueden identificar las limitaciones que fueron omitidas durante la formulación del problema original o puede uno darse cuenta de que algunas de las limitaciones originales eran incorrectas y necesitan mortificarse, En estos casos, debe regresarse a la etapa de formulación del problema y hacer cuidadosamente las modificaciones apropiadas para reflejar con más exactitud el problema real. Este proceso de modificación de un modelo obteniendo la nueva solución y validándola, puede tener que repetirse varias veces antes de encontrar una solución aceptable y factible (véase la figura 1.1). USOS Y VENTAJAS DE LOS MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES En general, los modelos matemáticos ayudan a los administradores a tomar dos tipos de decisiones: estratégicas y operacionales. Las decisiones estratégicas, generalmente decisiones de una sola vez, tienen un efecto sobre intervalos de tiempo relativamente largos. Considere las siguientes decisiones que probablemente tuviera que tomar como administrador: ¿Debería reemplazarse un sistema existente con un nuevo sistema recién propuesto? Por ejemplo, ¿debería convertir una de tres casetas de peaje en un carril expreso para carros de dos o más pasajeros? Otro ejemplo, ¿debería abrir una nueva instalación de producción? ¿Debería cambiar su política de administración? Por ejemplo, ¿debería reordenar inventarios a intervalos de tiempo regulares en lugar de cada vez que el nivel caiga por debajo de alguna cantidad especificada? Como los modelos que construye para llegar a decisiones estratégicas generalmente se usan únicamente para hacer una determinación a largo plazo, no debe preocuparse demasiado por la cantidad de esfuerzo computacional requerido para obtener la solución. Es muy probable que las decisiones estratégicas tengan un impacto importante en la organización, así que debe dedicar la mayor parte de sus esfuerzos a asegurar que el modelo sea válido, que incluya todos los aspectos importantes del problema y que los datos sean lo más exactos posibles. Las decisiones operacionales, por el contrario, afectan procesos en curso sobre periodos más cortos. Considere las siguientes decisiones operacionales que tal vez tenga que tomar regularmente: ·

¿Cómo puede la empresa programar de la manera más eficiente la fuerza de trabajo semanalmente?

·

¿Cuál es el plan de producción mensual óptimo?

·

¿Cuál es el plan de embarque más efectivo en costos para distribuir productos desde las plantas hasta los mercados al por menor?

A diferencia de los modelos para planeación estratégica, los modelos para decisiones operacionales se usan repetidamente. Por tanto, vale la pena gastar tiempo y esfuerzo extras en identificar o desarrollar los procedimientos de solución más eficientes, ya que hacerlo puede redituar ahorros significativos en costos computacionales con el tiempo. Sin importar si se requiere de una decisión estratégica u operacional, los modelos matemáticos proporcionan los siguientes beneficios a los administradores: 1.

Un método de determinación de la mejor manera de lograr un objetivo, como asignar recursos escasos.

2.

Una forma de evaluar el impacto de un cambio propuesto o un nuevo sistema sin el costo y tiempo de llevarlo a cabo primero. 4 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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3.

Una forma de evaluar la fortaleza de la solución óptima al hacer preguntas de sensibilidad de la forma "¿Qué sucedería si ... ?" Por ejemplo, ¿qué le sucedería al plan de inversión óptima y retribución anual si se esperara que el fondo de acciones produjera sólo 8% (en vez del 10% original)?

4.

Un procedimiento para lograr un objetivo que beneficie a la organización global al incluir en el modelo consideraciones correspondientes a muchas otras partes de la organización.

RESUMEN Los pasos generales comprendidos en la aplicación de las técnicas de la administración para resolver problemas de decisión determinísticos y estocásticos son los siguientes: 1.

Definición del problema, mediante su identificación y comprensión de manera que pueda expresarle de manera precisa.

2.

Desarrollar un modelo matemático, a menudo identificando variables de decisión, un objetivo matemático global y limitaciones.

3.

Resolución del modelo, usando una técnica de administración apropiada.

4.

Validación de la solución, usando la intuición y la experiencia para determinar si la solución obtenida del modelo tiene sentido y puede llevarse a cabo de manera realista. Si no, puede ser necesario que modifique el modelo adecuadamente para obtener la nueva solución.

5.

Poner en práctica y supervisar la solución; si se encuentran resultados no anticipados, o si los datos cambian, necesitará modificar el modelo en consecuencia y validar la nueva solución.

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CAPITULO II CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS PASOS GENERALES Y TÉCNICAS DE LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS En el capítulo 1 aprendió que el primer paso al usar técnicas de administración es identificar y describir el problema. El siguiente paso es formular el problema en un marco matemático. Esta sección proporciona pasos y técnicas sistemáticas que puede aplicar al formular sus propios modelos determinísticos. Para ilustrar, considere el problema enfrentado por la gerencia de producción de Case Chemicals. EJEMPLO 2.1 EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE CASE CHEMICALS Case Chemicals produce dos solventes, CS-01 y CS-02, en su planta de Cleveland. Las empresas que compran estos solventes los usan para disolver ciertas sustancias tóxicas que se producen durante procesos de fabricación particulares. La planta opera 40 horas a la semana y emplea a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial, que trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan las siete máquinas que mezclan ciertos químicos para producir cada solvente. Los productos salen del departamento de mezclado para ser refinados en el departamento de purificación, que actualmente tiene siete purificadores y emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempo parcial, que trabaja 10 horas a la semana. Case Chemicals tiene una provisión casi ¡limitada de la materia prima que necesita para producir los dos solventes. Case Chemicals puede vender cualquier cantidad de CS-01, pero la demanda del producto más especializado, CS-02, está limitada a lo más a 120 000 galones por semana. Como gerente de producción, usted desea determinar el plan de producción semanal óptimo para Case Chemicals. (¿Qué cantidad de cada solvente debe producir Case Chemicals para maximizar la ganancia? El objetivo ahora es convertir esta descripción cualitativa del problema a una forma matemática que pueda resolverse. Este proceso es llamado formulación del problema y generalmente implica cuatro pasos, cada uno de los cuales es descrito en las siguientes secciones. Identificación de las variables de decisión El primer paso en la formulación del problema es identificar las variables de decisión, a menudo simplemente llamadas variables. Los valores de estas variables, una vez determinados, proporcionan la solución al problema. Para el ejemplo 2.1, usted puede identificarlas variables de 6 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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decisión preguntándose qué información necesita proporcionar al personal de producción, los departamentos de mezclado y purificación, para que sepan cómo proceder. Su respuesta a esta pregunta debería ser: 1. El número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente. 2. El número de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente. Como los valores de estos elementos no se conocen todavía, a cada variable de decisión se le da un nombre simbólico. Usted puede elegir el nombre simbólico que quiera, pero encontrará útil seleccionar un nombre simbólico que le recuerde la cantidad que la variable de decisión representa. Para el ejemplo que estamos viendo, podría crear las siguientes variables, correspondientes a los dos elementos identificados anteriormente: CS1 = el número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente CS2 = el número de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente Observe que estas descripciones son precisas. Incluyen las unidades asociadas con las cantidades que las variables representan (miles de galones, en este caso). No es suficiente definir una variable como la "cantidad" de un elemento, porque para las otras personas que leyeran su formulación, el término "cantidad" podría tener varios significados (por ejemplo, miles de litros en este caso). La necesidad de identificar las variables de decisión correctamente es vital. De otra manera, la formulación de un modelo válido que capte todos los aspectos del problema es imposible. La elección de estas variables no es única, y no existen reglas fijas. Sin embargo, las siguientes pautas son útiles en la identificación de un conjunto adecuado de variables de decisión para virtualizar cualquier problema. CARACTERÍSTICAS CLAVE Pautas generales para identificar variables de decisión ¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias (o, en general, el objetivo global)? ¿Qué elementos puede elegir y/o controlar libremente? ¿Qué decisiones tiene que tomar? ¿Qué valores, una vez determinados, constituyen una solución para el problema? Póngase en la posición de alguien que tiene que implantar su solución, y luego pregúntese qué información se requiere. Para el ejemplo 2.l, las respuestas a todas estas preguntas son iguales y lo llevan a identificar las variables de decisión como el número de miles de galones de CS-01 y CS-02 por producir semanalmente. Identificación de los datos del problema La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las variables de decisión que ha identificado. Usted requiere conocer cierta información para ayudar a determinar esos valores. Por ejemplo, para determinar las cantidades reales de.los dos solventes a producir para maximizar las ganancias corporativas, necesitará saber: 1. El número de horas de trabajo disponibles en el departamento de mezclado. 2. El número de horas de trabajo disponibles en el departamento de purificación. 3. La cantidad de ganancias obtenidas al producir y vender cada tipo de solvente.

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Estas cantidades constituyen los datos del problema. En problemas determinísticos, se requiere conocer (u obtener) estos valores en el momento de formular el problema. Para Case Chemicals: 1. Como se estableció en la descripción del problema, el departamento de mezclado tiene cinco trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uno)y dos trabajadores de tiempo parcial (15 horas cada uno). Esto da un total de 230 horas de trabajo a la semana en el departamento de mezclado. 2. De manera similar, los seis trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uno) y el trabajador de tiempo parcial (10 horas) representan un total de 250 horas de trabajo a la semana en el departamento de purificación. 3. El departamento de contabilidad estima un margen de ganancias de $0.30 por galón de CS-01 y de $0.50 por galón de CS-02, esto es, $300 por mil galones de CS-01 y $500 por mil galones de CS-02. A diferencia de las variables de decisión, cuyos valores usted puede controlar, usted no puede controlar directamente los valores de los datos. CARACTERÍSTICAS CLAVE La necesidad de que algunos de los datos del problema pueden aclararse cuando especifica el problema. Otros datos pueden hacerse necesarios al desarrollar el modelo matemático y descubrir que se requiere información adicional para ayudar a determinar los valores de las variables de decisión.

Identificación de la función objetivo El siguiente paso en la formulación del problema es expresar el objetivo organizacional global en forma matemática usando las variables de decisión y los datos conocidos del problema. Esta expresión, la función objetivo, generalmente se crea en tres etapas. 1. Establecer el objetivo en forma verbal. Para el ejemplo 2.1, este objetivo es: Maximizar la ganancia semanal total de la producción de CS-01 y CS-02 2. Donde sea adecuado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia o producto de cantidades individuales. Para el ejemplo 2. 1, la ganancia total puede calcularse como la suma de la ganancia de CS-01 y la de CS-02: Maximizar ganancia = (ganancia de CS-01) + (ganancia de CS-02) 3. Expresar las cantidades individuales matemáticamente usando las variables de decisión otros datos conocidos en el problema. Para lograr la tarea en la tercera etapa, a menudo es útil elegir algunos valores específicos para las variables de decisión y luego usar esos valores para determinar la forma en que se calcula la función objetivo. Se hace referencia a esta técnica como trabajo a través de un ejemplo específico. En el ejemplo 2.l, supongamos que se producen 10 mil galones de CS-01 y 20 mil galones de CS-02 (así que CS, = 10 y CS 2= 20). El departamento de contabilidad le ha dicho que cada mil galones de CS-01 contribuye con $300 a la ganancia y que cada mil galones de CS02 contribuye con $500. Se puede escribir: Ganancia de CS-01 = 300(10) = $ 3 000 + Ganancia de CS-02 = 500(20) = $ 10 000 Ganancia total

= $ 13 000

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Sin embargo, el propósito de usar valores específicos para las variables no es obtener la ganancia total de estos valores, sino más bien ayudarlo a determinar cómo calcular el objetivo cuando los valores de las variables no se conocen explícitamente. En este problema, se puede ver fácilmente de los cálculos anteriores que si CS1 es el número no especificado de miles de galones de CS-01 y CS 2 es el número no especificado de miles de galones de CS-02 por producir, entonces la ganancia es: Ganancia de CS-01 = 300CS1 + Ganancia de CS-02 = 500CS 2 Ganancia total = 300CSI + 500CS2 Por lo tanto, la función objetiva matemática expresada en términos de las variables de decisión y de los datos del problema es: Maximízar

300CSI + 500CS2

CARACTERÍSTICAS CLAVE Este problema ilustra las siguientes características clave: Creación de la función objetivo mediante: a.

Enunciado del objetivo de manera verbal.

b.

Cuando sea apropiado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia, y/o producto de términos individuales.

e.

Expresar los términos individuales en (b) usando las variables de decisión y otros datos de problemas conocidos.

Identificación de las restricciones Trabajar con un ejemplo específico para determinar cómo se expresa la función objetivo en una forma matemática, eligiendo valores específicos para las variables de decisión y realizando los cálculos necesarios. Su objetivo es maximizar las ganancias. La función objetivo le dice que mientras más grande sea el valor de las variables, más grande será la ganancia. Pero el mundo real pone un límite en los valores que puede asignar a estas variables. En el ejemplo 2. 1, os departamentos de mezclado y purificación tienen ciertas restricciones físicas: un número limitado de horas de trabajo disponible cada uno. Estas limitaciones, así como otras consideraciones que imponen restricciones sobre los valores de las variables, son las restricciones. El paso final en la formulación del problema es identificar estas restricciones y escribirlas en forma matemática. Las restricciones son condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para constituir una solución "aceptable". Estas restricciones por lo general surgen de: 1. Limitaciones físicas (el número limitado de horas de trabajo en los departamentos de mezclado y purificación, por ejemplo). 2. Restricciones impuestas por la administración (por ejemplo, ésta pudo haber prometido una cierta cantidad de un producto a un cliente estimado). 3. Restricciones externas (por ejemplo, Case Chemicals no puede vender más de 120 mil galones de CS-02 a la semana, y no hay razón para producir más que la cantidad demandada). 4. Relaciones implicadas entre variables (por ejemplo, en el problema de inversión de Mark de la sección 1.1, las dos fracciones que representan la proporción de dinero a invertir en los dos fondos debe sumar l). 9 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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5. Restricciones lógicas sobre variables individuales (por ejemplo, el número de carros producidos debe ser un número entero, y Case Chemicals no puede producir una cantidad negativa de solventes). CARACTERÍSTICAS CLAVE Después de identificar estas restricciones, debe expresarías en forma matemática usando las variables de decisión y otros datos del problema. Este proceso es idéntico al usado para especificar la función objetivo. Expresar las restricciones en forma verbal. Cuando es apropiado, descomponer la restricción en una suma, diferencia y/o producto de cantidades individuales. Trabaja con un ejemplo específico para expresar las cantidades individuales en una forma matemática, usando las variables de decisión y otros datos conocidos del problema. Considere las restricciones del ejemplo 2. l. RESTRICCIÓN DE TRABAJO EN EL DEPARTAMENTO DE MEZCLADO (LIMITACIÓN FÍSICA) Forma verbal:

Horas totales usadas en el mezclado no pueden exceder de 230 Horas

Descomposición: Horas usadas @ para CS-01 + Horas usadas @ exceder de 230

para

CS-02

no

pueden

Matemáticas: para expresar las horas usadas para CS-0 1 y CS-02 en el departamento de mezclado trate de trabajar con un ejemplo específico. Por ejemplo, suponga que CS1 = 15 mil y que CS 2 = 10 mil galones. ¿Cómo calcula el número de horas usadas en el departamento de mezclado? Estos valores son datos del problema (además de los datos ya identificados en la sección 2.1.2) que usted debe obtener. Supongamos que usted llama al departamento de procesos y recoge los siguientes datos para los departamentos de mezclado y purificación: HORAS POR MILES DE GALONES DE CS-01

CS-02

Mezclado

2

1

Purificación

1

2

Resulta entonces fácil calcular las horas usadas en el departamento de mezclado trabajando con valores específicos de CS, = 15 y CS2 = 10: Horas para 15 mil galones de CS-01 = 2(15)

= 30

+ Horas para 10 mil galones de CS-02 = 1(10)

= 10

Total de horas en el mezclado = 2(15) + 1(10) = 40 El propósito de usar este ejemplo numérico específico es ayudarle a escribir una restricción matemática general cuando los valores de las variables (CS, y CS2, en este caso) no se conocen. De los cálculos anteriores, usted obtiene la siguiente restricción matemática general: 2CSI +1CS2 < 230 RESTRICCIÓN DE TRABAJO EN EL DEPARTAMENTO DE PURIFICACIÓN (LIMITACIÓN FÍSICA) 10 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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Forma verbal:

Horas totales usadas

no pueden exceder de 250 en la purificación

Horas Descomposición:

Horas

usadas

+

@ para CS-01 Matemáticas:

1CS1

+

usadas

no pueden exceder de 250

para CS-02 2CS 2

<

250

RESTRICCIÓN DE LÍMITE (LIMITACIÓN EXTERNA) La limitación de que a lo más pueden venderse 120 mil galones de CS-02 da pie a la siguiente restricción sobre el valor de CS 2 : CS2 < 120 RESTRICCIÓN DE NO NEGATIVIDAD (LIMITACIONES LOGICAS) Claro está que usted sabe que los valores de estas variables de decisión deben ser no negativos, esto es, cero o positivos. Tales restricciones implícitas de las que usted está consciente deben hacerse explícitas en la formulación matemática. Para este problema, debe incluir las siguientes restricciones: cs 1> 0

y

CS 2> 0 o CSJ' cs

2>0

Juntando todas las piezas de los pasos anteriores, la formulación matemática completa del problema de planeación de producción de Case Chemicals es la siguiente: Formulación matemática del problema FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE CASE CHEMICALS Maximizar 30OCS1 + 50OCS 2 (ganancia) Condicionado por: 2CS1 + 1CS2 2 < 230 (mezclado) 1CS1 + 2C2 < 250 (purificación) CS2 < 120 (limitado en CS-02) CS1, CS2 > 0

(no negatividad)

donde: CS1, = el número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente CS2 = el número de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente En el capítulo 4 aprenderá el procedimiento de solución para este tipo de problema. La aplicación de ese procedimiento da por resultado la solución óptima: cs, = 70 cs 2 = 90 Es decir ,el plan de producción óptima es de 70000galonesdeCS1 y de 90000 galones de CS-02, lo que representa una ganancia semanal de $66 000. 11 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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En esta sección, usted ha aprendido los pasos a tomar en la formulación de problemas identificando (1) las variables de decisión, (2) los datos del problema, (3) la función objetivo y (4) Ias restricciones. Para escribir la función objetiva y las restricciones en una forma matemática, use las variables junto con los datos del problema que usted tenga al formular el modelo. Es posible que no conozca todos los datos necesarios al definir por primera vez el problema. La necesidad de datos adicionales puede descubrirse cuando proceda con la formulación del problema. Estos valores de datos deben obtenerse de fuentes apropiadas dentro de la organización. Para ahorrar tiempo y espacio, los enunciados de problemas futuros en este libro incluirán todos los datos necesarios. La formulación consistirá en estos tres pasos: Paso 1. Identificación de las variables de decisión. Paso 2. Identificación de la función objetivo. Paso 3. Identificación de las restricciones. El problema de esta sección involucro sólo dos variables de decisión y unas cuantas restricciones. Los problemas de importancia práctica a menudo contienen cientos o miles de variables y un número similar de restricciones. Estos problemas más complejos también pueden formularse usando los pasos que aprendió en esta sección. EJEMPLOS DE FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS 1. El Sindicato Minero Pacococha S.A. viene soportando un incesante incremento en sus costos de producción, por lo tanto urge optimizar el uso de sus recursos. La gerencia ha determinado explotar las vetas Colquechaca y 10 de mayo, para ello debemos satisfacer algunas restricciones referentes a las leyes y la capacidad de la planta concentradora: Leyes Vetas

Costo

Ag (onz/ton)

Pb (%)

$/ton

Colquechaca

4

3,5

7,0

10 de mayo

16

1,15

9,0

Otros datos que debemos considerar son: el precio de la plata: $ 20,0 /onz; precio del plomo 0,70 $/lb; capacidad de la planta concentradora: 95 ton/día, ley minima de cabeza de plata: 6 onz/ton, ley máxima de cabeza de plata: 8 onz/ton. Como gerente de producción, formule un modelo matemático para determinar el tonelaje a extraer de cada veta. Solución: Paso 1: Identificación de las variables de decisión Xc = el número de toneladas de mineral a extraer de la veta Colquechaca por día Xm = el número de toneladas de mineral a extraer de la veta 10 de mayo por día Paso 2: Identificación de los datos del problema a)

Costo de 1 tonelada de mineral extraída de la veta Colquechaca: $ 7,0

b)

Costo de 1 tonelada de mineral extraída de la veta 10 de mayo: $ 9,0

c)

Ley de plata del mineral extraído de la veta Colquechaca: 4,0 onz/ton

d)

Ley de plata del mineral extraído de la veta 10 de mayo 16,0 onz/ton

e)

Ley de plomo del mineral extraído de la veta Colquechaca: 3,5%

f)

Ley de plomo del mineral extraído de la veta 10 de mayo: 1,15%

g)

Precio de la plata: $ 20,0 /onz

h)

Precio del plomo 0,70 $/lb

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i)

Capacidad de la planta concentradora: 95 ton/día.

j)

Ley mínima de cabeza de plata de la planta concentradora: 6 onz/ton.

k)

Ley máxima de cabeza de plata de la planta concentradora: 8 onz/ton.

l)

Ganancia por 1 tonelada de mineral de la veta Colquechaca = ingreso por plata + ingreso por plomo – costo de producción = 4 onz/ton x $ 20,0/onz +0,035 x 2 200lb/ton x $0,70/lb – $ 7,0/ton = $ 126,9 /ton.

m) Ganancia por 1 tonelada de mineral de la veta 10 de mayo = ingreso por plata + ingreso por plomo – costo de producción = 16 onz/ton x $ 20,0/onz +0,0115 x 2 200lb/ton x $0,70/lb – $ 9,0/ton = $ 328,71 /ton. Paso 3 Identificación de la función objetivo FV: Maximizar la ganancia por venta de mineral D : Maximizar (ganancia1 por mineral de la veta Colquechaca + ganancia por mineral de la veta 10 de mayo) FM: Maximizar 126,9 Xc + 328,71 Xm Paso 4 Identificación de las restricciones a)

Capacidad de la planta concentradora

FV: La capacidad de tratamiento de la planta es de 95 ton de mineral por día D : (el mineral procedente de la veta Colquechaca + el mineral procedente de la veta 10 de mayo) debe ser máximo 95 toneladas FM: Xc + Xm = 0 c)

Ley máxima de cabeza de plata de la planta concentradora

FV: la ley máxima de cabeza es de 8 onz/ton D : ((contenido de plata en el mineral de Colquechaca + contenido de plata en el mineral de 10 de mayo)/(tonelaje de mineral de Colquechaca + tonelaje de mineral de 10 de mayo)) debe ser menor de 8 onz/ton

 4 Xc  16 Xm   Xc  Xm   8   FM: - Xc + 2,0 Xm = 0

Paso 5 Formulación matemática del modelo Maximizar 126,9 Xc + 328,71 Xm Sujeto a: 1

ganancia = ganancia por 1 ton de mineral x número de toneladas de mineral a extraer. 13 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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Xc +

Xm

= 0

- Xc + 2 Xm

= 0

Nota: Al resolver el modelo matemático, los resultados indican que la veta Colquechaca debe producir 63,33 ton de mineral y la veta 10 de mayo 31,67 ton de mineral, para obtener una ganancia de $ 18 446,15 por día. Fuente: Selvino Paz, “PERT – CPM una alternativa en problemas mineros”, UNI, Lima Perú, 2. World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25 por barril y crudo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo: Petróleo Crudo

Gasolina

Turbosina

Queroseno

Crudo ligero

0,35

0,36

0,22

Crudo pesado

0,45

0,18

0,28

Cada barril de petróleo crudo ligero produce un desecho de 0,07 de barril que se tira a un costo de $1 por barril de desecho. De manera similar, cada barril de petróleo crudo pesado produce un desecho de 0,09 de barril y su eliminación cuesta $ 1,50 por barril. La refinería se ha comprometido a entregar 960 000 barriles de gasolina, 1 200 000 barriles de turbosina y 450 000 barriles de queroseno. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que satisfaga la demanda apropiada. Solución: Paso 1: Identificación de las variables de decisión CL = el número de de barriles de crudo ligero a adquirir CP = el número de de barriles de crudo pesado a adquirir Paso 2: Identificación de los datos del problema a)

Costo de 1 barril de crudo ligero = costo compra + costo de deposición de desecho = $25,0 + $1,0 = $26,0

b)

Costo de 1 barril de crudo pesado = costo compra + costo de deposición de desecho = $22,0 + $1,5 = $23,5

c)

d)

Productos obtenidos de 1 barril de crudo ligero a.

Gasolina:

0,35 barril

b.

Turbosina:

0,36 barril

c.

Queroseno:

0,22 barril

d.

Desecho:

0,07 barril

Productos obtenidos de 1 barril de crudo pesado a.

Gasolina:

0,45 barril

b.

Turbosina:

0,18 barril

c.

Queroseno:

0,28 barril

d.

Desecho:

0,09 barril

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e)

Compromisos de venta adquiridos a.

Gasolina:

960 000 barril

b.

Turbosina:

1 200 00 barril

c.

Queroseno:

450 000 barril

Paso 3 Identificación de la función objetivo FV: Minimizar el costo total de la compra de crudos D : Minimizar costo = Minimizar ( costo2 de crudo ligero + costo de crudo pesado) FM: Minimizar 26,0 CL + 23,5 CP Paso 4 Identificación de las restricciones a)

Compromiso de venta de gasolina

FV: producir un mínimo de 960 000 barriles de gasolina D : la producción de (gasolina de crudo ligero + gasolina de crudo pesado) debe ser al menos 960 000 barriles FM: 0,35CL + 0,45CP >= 960 000 b)

Compromiso de venta de turbosina

FV: producir un mínimo de 1 200 000 barriles de gasolina D : la producción de (turbosina de crudo ligero + turbosina de crudo pesado) debe ser al menos 1 200 000 barriles FM: 0,36CL + 0,18CP >= 1 200 000 c)

Compromiso de venta de queroseno

FV: producir un mínimo de 450 000 barriles de queroseno D : la producción de (queroseno de crudo ligero + queroseno de crudo pesado) debe ser al menos 450 000 barriles FM: 0,22CL + 0,28CP >= 450 000 d)

Restricciones lógicas CL y CP >= 0 y enteros

Paso 5 Formulación matemática del modelo Minimizar 26,0 CL + 23,5 CP Sujeto a: 0,35CL + 0,45CP >= 960 000 0,36CL + 0,18CP >= 1 200 000 0,22CL + 0,28CP >= 450 000 CL y CP >= 0 y enteros

3. Exxon Oil Co. Construye una refinería para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para avión. Las demandas (en barriles/día) de esos productos son: 14 000, 30 000, 10 000 y 8 000, respectivamente. Irán y Dubai tienen contrato para enviar crudo a Exxon Oil Co. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irán, y el resto de Dubai. Exxon Oil Co. pronostica que estas cuotas de demanda y crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irán rinde 0,2 barril de diesel, 0,25 barril de gasolina, 0,1 barril 2

Costo = costo de 1 barril de crudo x número de barriles de crudo a adquirir. 15 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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de lubricante y 0,15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0,1, 0,6, 0,15 y 0,1 respectivamente. Exxon Oil Co. Necesita determinar la capacidad mínima de la refinería en barriles de crudo por día. Solución: Paso 1: Identificación de las variables de decisión CI = el número de barriles de crudo comprados a Irán diariamente. CD = el número de barriles de crudo comprados a Dubai diariamente. Paso 2: Identificación de los datos del problema a)

b)

Demanda de productos 

Diesel = 14 000 barriles/día



Gasolina = 30 000 barriles/día



Lubricantes = 10 000 barriles/día



Combustible para avión = 8 000 barriles/día

Rendimiento de los crudos Rendimiento (barriles) Procedencia

c)

Diesel

Gasolina

Lubricantes

Combustible para avión

Irán

0,2

0,25

0,1

0,15

Dubai

0,1

0,6

0,15

0,1

Mínimo de crudo procedente de Irán = 40%

Paso 3 Identificación de la función objetivo FV: Minimizar la cantidad de crudo comprado por día D:

Minimizar ( cantidad de crudo comprado a Irán + cantidad de crudo comprado a Dubai)

FM: Minimizar CI + CD Paso 4 Identificación de las restricciones a)

Producción de diesel FV: la producción de diesel debe ser al menos 14 000 barriles/día D : (diesel procedente del crudo de Irán + diesel procedente del crudo de Dubai)debe ser al menos 14 000 barriles /día FM: 0,2CI + 0,1 CD >= 14 000

b)

Producción de gasolina, lubricante y combustible para avión De manera similar al caso anterior: Producción de gasolina: 0,25 CI + 0,6CD >= 30 000 Producción de lubricante: 0,1 CI + 0,15CD >= 10 000 Producción de combustible para avión: 0,15 CI + 0,1CD >= 8 000

c)

Crudo comprado de Irán FV: al menos debe recibir el 40% de crudo de Irán DM: crudo de Irán debe ser mayor de 0,4x(crudo de Irán + crudo de Dubai)

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FM: CI >= 0,4(CI + CD) 0,6CI – 0,4CD >= 0 d)

Restricciones lógicas CI y CD >= 0 y enteros.

Paso 5 Formulación matemática del modelo Minimizar CI + CD Sujeto a: 0,2CI + 0,1 CD >= 14 000 0,25 CI + 0,6CD >= 30 000 0,1 CI + 0,15CD >= 10 000 0,15 CI + 0,1CD >= 8 000 0,6CI – 0,4CD >= 0 CI y CD >= 0 y enteros.

4. En Ananea Chemicals Co., se usan las materias primas I y II para producir dos soluciones para lixiviación, A Y B. La disponibilidad diaria de las materias primas I y II es de 150 y 140 galones respectivamente. Una unidad de solución A consume 0,5 unidad de materia prima I y 0,6 unidad de materia II; una unidad de solución B requiere 0,5 unidad de materia prima I y 0,4 unidad de materia prima II. Las utilidades unitarias de las soluciones A y B son $8 y $10, respectivamente. La demanda diaria de la solución A esta entre 30 y 150 unidades, y la de la solución B entre 40 y 200 unidades. Solución: Paso 1: Identificación de las variables de decisión SA = el número de unidades de solución A a producir diariamente. SB = el número de unidades de solución B a producir diariamente. Paso 2: Identificación de los datos del problema a)

Consumo y disponibilidad de las materias primas I y II Solución A

Solución B

Disponibilidad Gl/x día

I

0,5

0,5

150

II

0,6

0,4

140

Materia Prima

b)

c)

Utilidades unitarias de las soluciones 

Solución A: $ 8,0



Solución B: $ 10,0

Demanda de las soluciones a.

Solución A: entre 30 y 150 unidades

b.

Solución B: entre 40 y 200 unidades

Paso 3 Identificación de la función objetivo FV: Maximizar las utilidades por la venta de las soluciones A y B D:

Maximizar (utilidades por la venta de la solución A + utilidades por la venta de la solución B)

FM: Maximizar 8SA + 10SB Paso 4 Identificación de las restricciones a)

Consumo del material I

FV: El consumo del material I no debe exceder de 150 gl/día 17 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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D : (consumo del material I para producir la solución A + consumo del material I para producir la solución B) no debe de exceder de 150 gl/día. FM: 0,5 SA + 0,5SB = 650 c)

Número de días trabajados por semana

FV: El número de días trabajados por semana en la mina 1 debe ser menor o igual a 7 FM: M1 = 650 M1 0 y enteras

(12)

SOLUCIÓN POR COMPUTADORA En la presente sección, aprenderá cómo es utilizado el software LINDO 6,0 para resolver problemas de trasbordo: 1.

Ingrese la información del problema:

2.

La solución optima es:

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La solución optima, podemos observarla en las siguientes tablas: Tabla 7. Plan de embarque de plantas a almacenes regionales ALMACENES REGIONALES PLANTAS Texas

HUNGRÍA

HAWAI

100

0

0

200

N/A

80

Iowa Oregon

Tabla 8. Plan de embarque de almacenes regionales a almacenes de campo ALMACENES REGIONALES ALMACENES REGIONALES

FILIPINAS

FIJI

Hungría

100

0

Hawai

20

260

Tabla 9. Plan de embarque de almacenes de campo a clientes ALMACENES DE CAMPO

CLIENTES JAPÓN

COREA DEL SUR

NUEVA ZELANDA

AUSTRALIA

Filipinas

120

0

0

N/A

Fiji

N/A

80

70

110

El costo total es de $ 579 000. Resumen del problema de transbordo El problema de transbordo es un problema de red de distribución que involucro nodos de suministro, transbordo y demanda. Los arcos que conectan las parejas de estos nodos tienen capacidades en forma de límites inferiores y superiores sobre las cantidades embarcadas a lo largo de esos arcos. Cuando los nodos tienen capacidades, sin embargo, es necesario crear una red modificada que pueda resolverse mediante un programa de computadora. Las capacidades en los nodos en la red original se transforman en capacidades en los arcos en la red modificada. 107 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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CAPITULO II: CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

CAPITULO VI ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS: PERT - CPM En este capítulo se presenta una técnica de la ciencia administrativa que ayuda a comprobar y controlar un proyecto que involucra numerosas tareas interrelacionadas. La supervisión de estos proyectos requiere muchas habilidades administrativas, una de las cuales es mantener el proyecto acorde a un programa. La ciencia de la administración puede ayudar a esto proporcionando respuestas a preguntas como: 1. ¿Cuándo sería lo más pronto que el proyecto pudiera estar terminado? 2. Para cumplir con este tiempo de conclusión, ¿qué tareas son críticas, en el sentido de que un retraso en cualquiera de esas tareas provoca un retraso en la conclusión de todo el proyecto? 3. ¿Es posible acelerar ciertas tareas para terminar todo el proyecto más pronto? Si es así, ¿qué tareas serían éstas y cuál sería el costo adicional? Cuando un proyecto implica unas cuantas tareas, las respuestas a estas preguntas a menudo pueden encontrarse con poco esfuerzo. Sin embargo, cuando la planeación de un proyecto implica cientos o miles de tareas interrelacionadas que deben ser realizadas por distintas personas, las herramientas de la ciencia de la administración presentadas en este capítulo proporcionan una forma sistemática no sólo de responder estas preguntas, sino también dar seguimiento al proyecto a lo largo de su duración. Las técnicas de administración de proyecto presentadas en este capítulo fueron desarrolladas independientemente por dos equipos de investigadores a mediados de los años cincuenta. Dupont Company creó la primera técnica, llamada Método de ruta crítica (CPM)5, para administrar proyectos en los que el tiempo requerido para completar las tareas individuales se conocía con relativa certeza. La Marina de los EE.UU. desarrolló la segunda técnica, denominada la Técnica de evaluación y revisión de proyecto (PERT)6, para administrar el proyecto de 5

Método utilizado para administrar proyectos en que los tiempos requeridos para terminar las tareas individuales se conocen con relativa certeza.

6

Método utilizado para administrar proyectos en los que los tiempos requeridos para completar las tareas individuales son inciertos.

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misiles Polaris, que implicaba aproximadamente 500 tareas y varios miles de subcontratistas. El tiempo requerido para completar muchas de esas tareas era incierto. Estas dos técnicas son similares excepto que CPM se utiliza para administrar proyectos que implican tiempos de tarea determinados y PERT se usa para aquellos que implican tiempos probables de tarea. DESARROLLO DE LA RED DE PROYECTOS Para ilustrar cómo se aplican las técnicas de administración de proyectos a la verificación de un proyecto, considere el enfrentado por la Gerencia de Operaciones de Santa Rosa Mining. Que encomienda a sus ingenieros realizar un proyecto de desarrollo y preparación de una veta, con minerales de Plomo, Zinc y Cobre, para explotar mediante el método de subniveles. Puede determinar el tiempo de conclusión siguiendo los siguientes pasos: a) Identifique las tareas individuales que componen el proyecto. b) Obtenga una estimación del tiempo de conclusión de cada tarea. c) Identifique las relaciones de tiempo entre las tareas. ¿Qué tareas deben concluirse antes de que otras puedan iniciarse? d) Dibuje un diagrama de red de proyecto para reflejar la información de los pasos a y b.

Fig 1. Desarrollo y preparación para explotación por subniveles

Identificación de las tareas individuales Los proyectos terminados consisten en diversas tareas individuales. Para comprobar los proyectos, primero debe identificar esas tareas. Éstas pueden variar tanto en el tiempo requerido para concluirlas como en su complejidad. Las tareas complejas pueden considerarse como proyectos que en sí mismos necesitan verificación al ser divididos en subtareas. Por ejemplo, en el diseño de una lanzadera espacial, una de las tareas es desarrollar sistemas de computación a bordo. Como esta tarea es en sí misma un proyecto importante, puede dividirla en subtareas consistentes en desarrollar sistemas de computación para salvamento, control de motor y recolección y transmisión de datos. Aunque no existe una forma única de decidir qué tan grande o pequeña debe ser una tarea, existen algunas pautas a seguir: 1. Cada tarea debe tener un comienzo y un final claros en el contexto del proyecto. 2. La terminación de cada tarea debe ser necesaria para la conclusión del proyecto y debe representar un hito en el progreso del proyecto. 3. El tamaño de una tarea debe estar en proporción con el control que usted pueda ejercer. 4. Debe haber alguna(s) persona(s) responsables de la conclusión de cada tarea individual. 109 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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CAPITULO II: CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

Sobre la base de estas pautas usted, como Gerente de operaciones de Santa Rosa Mining. Debe identificar las tareas que estén bajo su control y que deben completarse para que el proyecto sea exitoso. Tabla 1 Lista de tareas ETIQUETA

A B C D E F G H I J K L M N

DESCRIPCION

Nivel Subnivel I Subnivel II Transversal II Chimenea de acceso Chimenea o coladero de minera Chimenea de ventilación Instalación de tolvas Chimenea de corte I Chimenea de corte II Instalación de cabrestante Explotación Parte inicial de la galería de rastrillaje Parte final de la galería de rastrillaje

Aun cuando el orden de las tareas de esta tabla es indiferente, es importante incluir todas las tareas relevantes desde el principio. Si surgen tareas inesperadas en el curso del proyecto, pueden ocurrir retrasos por la prisa en terminarlas. Obtención de estimaciones de tiempo para cada tarea Debe estar claro que el tiempo total que lleva completar todo el proyecto depende, de alguna manera, en cuánto tiempo lleva realizar cada tarea individual. Por tanto, se hace necesario obtener algunas estimaciones de la cantidad de tiempo requerida para completar cada tarea. Puede desarrollarse una estimación haciendo lo siguiente: 1.

Confiando en experiencias pasadas en proyectos similares.

2.

Consultando con las personas a cargo de cada tarea individual.

3.

Usando datos anteriores.

Suponga que ha obtenido las estimaciones de tiempo para las tareas de este proyecto particular después de consultar a los miembros apropiados de cada departamento de mina.

disparos/mes

N° taladros

Kg expl m avance

$/m avance

60 60 8 60 16 18

6´x4´ 6´x4´ 7´x8´ 5´x4´ 5´x4´ 5´x4´

dura dura dura dura sdura sdura

1.3 1.3 1.3 1.1 1.1 1.1

30 30 25 20 20 20

16 16 29 15 12 12

7.1 7.1 12.5 6.7 5.3 5.3

135 135 145 120 120 120

15 16

5´x4´ 5´x4´

dura dura

1.1 1.1

20 20

15 15

6.7 6.7

120 120

40 25 40

6´x4´ 6´x4´

dura sdura

1.3 1.3

45 45

13 12

5.7 5.3

190 130 120

Tiem po medio

m Avance disparo

Nivel Subnivel I Subnivel II Transversal II Chimenea de acceso Chimenea o coladero de minera Chimenea de ventilación Instalación de tolvas Chimenea de corte I Chimenea de corte II Instalación de cabrestante Explotación Parte inicial del nivel de rastrillaje Parte final del nivel de rastrillaje

Tipo de roca

A B C D E F G H I J K L M N

DESCRIPCION

Sección (m2)

ETIQUETA

Longitud (m)

Tabla 2 Estimación de tiempo para las tareas

40 40 5 68 18 21 14 16 17 14 28 12 16

Para este proyecto, puede sentir que el tiempo requerido para concluir cada tarea se conoce bastante bien sin ninguna variabilidad significativa. Otros proyectos implican tareas cuyo tiempo de conclusión es incierto o debe estimarse con una cantidad significativa de incertidumbre. 110 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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Creación de la tabla de precedencia para el proyecto Como se observó anteriormente, la cantidad de tiempo que toma terminar un proyecto completo se basa en los tiempos de conclusión de las tareas individuales. Sin embargo, el tiempo de conclusión total no es igual a la suma de los tiempos de las tareas individuales porque algunas tareas pueden realizarse simultáneamente. Otras tareas, sin embargo, no pueden comenzar hasta que ciertas tareas anteriores no hayan sido concluidas. Para determinar la cantidad de tiempo mínima requerida para concluir el proyecto total, debe primero comprender cómo se relacionan las tareas individuales entre sí. Debe identificar qué tarea(s) debe(n) terminarse antes de que otra tarea comience. La lista de predecesoras inmediatas de una tarea particular de interés incluye aquellas tareas que: 

deben terminarse antes de que la tarea de interés pueda comenzar y



no dependen para su inicio de la conclusión de cualquier otra tarea inmediatamente predecesora de esta lista.

De todas las tareas que deben terminarse antes de que pueda iniciarse una tarea dada, usted necesita identificar sólo las tareas inmediatamente predecesoras7. Hacerlo requiere conocer el proyecto particular y la forma en que las tareas están relacionadas Tabla 3 Tabla de precedencia8 para las tareas ETIQUETA A B C D E F G H I J K L M N

DESCRIPCION Nivel Subnivel I Subnivel II Transversal II Chimenea de acceso Chimenea o coladero de mineral Chimenea de ventilación Instalación de tolvas Chimenea de corte I Chimenea de corte II Instalación de cabrestante Explotación Parte inicial del nivel de rastrillaje Parte final del nivel de rastrillaje

ESTIMACION PREDECESORAS TIEMPO INMEDIATAS (dias) 0 Ninguna 40 M 40 D 5 A 68 A 18 A 21 A 14 G ,K 16 L ,B 17 I 14 N 28 H 12 E 16 F , M

Trazo de la red de proyectos Recuerde que uno de los objetivos principales de la administración de proyecto es determinar la cantidad mínima de tiempo requerido para terminar todo el proyecto. La identificación de las relaciones de precedencia entre las tareas individuales, como en la tabla 3, es un primer paso en esa dirección. Una comprensión todavía mejor de estas relaciones puede obtenerse convirtiendo la información de precedencia en una red de proyecto9. Una red consiste en una colección finita de nodos y arcos. Un arco es una flecha que conecta un nodo con otro. En la administración de proyecto, los nodos y arcos de la red de proyecto tienen un significado especial en el contexto del problema específico, dependiendo de cuál de los siguientes enfoques estándar be utilice:

7

Una tarea que debe concluirse antes de que la tarea de interés pueda iniciarse y que no depende para su inicio de la conclusión de cualquier otra tarea inmediatamente predecesora de esta lista. 8

Una tabla que enumera las predecesoras inmediatas para cada tarea.

9

Un diagrama de red que consiste en una colección finita de nodos y arcos usados para representar las tareas y sus relaciones de precedencia en un proyecto. 111 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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CAPITULO II: CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

1. Representación de actividad en arco10: en este enfoque, cada arco corresponde a una de las actividades: los nodos que están conectados por ese arco representan el inicio y fin de esa actividad. 2. Representación de actividad en nodo11: en este enfoque, cada nodo representa una de las tareas (o actividad); un arco conecta dos nodos si un nodo corresponde a una tarea inmediatamente predecesora del otro nodo. Puede adaptarse cualquier enfoque para dibujar la red de proyecto. Del siguiente procedimiento de solución depende cuál se elija. Sólo asegúrese de que el paquete de computadora disponible para la administración del proyecto puede manejar el enfoque elegido para trazar la red del proyecto. Gráficamente la actividad se representa mediante dos figuras: ARCO Orientando de izquierda a derecha, significa la ejecución del trabajo. La longitud del arco no es vectorial y no siempre es recto. NODOS A estos se les denomina sucesos, eventos o nudos, inicial y final respectivamente, indican el inicio y la finalización de la actividad y sirve como punto de control de la ejecución de los trabajos. Una actividad debe estar terminada para que la subsiguiente pueda empezar. Ejemplos:

Fig. 2

Fig. 3

En la figura 1 se puede observar que el arco no tiene un sentido vectorial, sino que es simplemente una progresión de tiempo .En la figura 2 se muestra que todas las actividades tienen sus sucesos iniciales y finales, siendo que el suceso final de la actividad precedente es el mismo suceso inicial de la subsiguiente - Además puede distinguirse que el primer suceso inicial del proyecto no posee una actividad que la preceda y el ultimo suceso final no tiene una tarea que la subsiga. ARCO FICTICIO Se indica por medio de un arco de trazos, que se denomina también "dummy", sirve para denotar una relación de precedencia entre dos actividades, pero no por que necesariamente requiere un trabajo previo, ni tiempo, sino por instancias especiales.

10

Una convención usada en un diagrama de red de proyecto en la que cada arco corresponde a una de las actividades y los dos nodos conectados por ese arco representan el inicio y fin de esa actividad.

11

Una convención usada en un diagrama de red de proyecto en la que cada nodo representa una tarea, y un arco conecta dos nodos si un nodo corresponde a una tarea inmediatamente predecesora del otro nodo.

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Fig. 4

En la figura 4 que representa el proceso para la explotación de un tajeo , donde el mineral requiere ser sometido antes a un análisis para luego ser acarreando al shut y transportado a la planta, se puede observar un caso típico de una flecha ficticia, que indica la precedencia del muestreo y resultado del análisis para su acarreo posterior, con el fin de evitar una dilución. RED DE PROYECTO La red de proyecto sirve como base a la programación por camino crítico y señala con toda precisión la secuencia de las actividades, su interrelación, etc.

Fig. 5 labores Nv. 2510

Nota: Nominación de galerías con letras.

Fig. 6 Red para el Nv 2510

La figura 5 representa un proyecto de excavación de labores subterráneas para la preparación del Nv 2510; representando mediante le red de proyecto se tiene la fig. 6. La enumeración de los sucesos, es otro sistema para la identificación de las actividades, la misma que facilita los cálculos manuales y en computadora. Normalmente es conveniente enumerar en forma secuencial. En la red de proyecto indicado en la fig. 6 las actividades enumeradas son: Actividad

A ----- (1 , 2)

Actividad

G ----- (6 , 9)

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CAPITULO II: CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

Actividad

B ---- (2 , 3)

Actividad

H ----- (9 , 10)

Actividad

C ----- (3 , 4)

Actividad

I ----- (3 , 7)

Actividad

D ----- (4 , 5)

Actividad

J ----- (7 , 8)

Actividad

E ----- (5 , 6)

Actividad

K ----- (8 , 10)

Actividad

F ----- (6 , 7)

En resumen, para dibujar una red de proyecto que refleje correctamente las relaciones de precedencia usando la representación de actividad en arco, recuerde las siguientes pautas: a) Construya la red secuencialmente, añadiendo un arco correspondiente a una actividad a la vez, eligiendo un nodo terminal y preguntándose qué tarea(s) puede empezar entonces. Recuerde que este nodo representa el punto en el tiempo en el que todas las actividades correspondientes a los arcos que entran a ese nodo han sido concluidas. b) Evite los ciclos en los que dos mismos nodos son conectados por más de un arco. c) Cuando no exista ningún nodo que represente la conclusión de todas las predecesoras inmediatas de la nueva tarea a ser añadida, considere la combinación de nodos, la adición de actividades figuradas o de nodos (y actividades) figurados. d) Al completarse, combine todos los nodos terminales sin arcos que salgan de ellos hacia un solo nodo para representar el tiempo en que todo el proyecto se concluya. e) Use la red de proyecto final para enumerar las predecesoras inmediatas de cada tarea; después verifique que esas relaciones sean correctas, como se especifica en la tabla de precedencia. La red de proyectos para el proyecto de Santa Rosa Mining.

Fig. 7. Red de proyectos del proyecto Santa Rosa Mining Corp. ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS USANDO TIEMPOS DETERMINÍSTICOS (CPM) En esta sección aprenderá cómo usar la red de proyecto junto con tiempos determinísticos para la conclusión de tareas a fin de administrar proyectos respondiendo las siguientes preguntas: 1. ¿Qué tan pronto puede completarse todo el proyecto? 2. Para satisfacer este tiempo de conclusión,¿qué tareas son críticas, en el sentido de que un retraso en cualquiera de esas tareas produciría un retraso en la conclusión de todo el proyecto? 114 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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Cálculo del tiempo de terminación de proyecto Los cálculos sistemáticos necesarios para determinar el tiempo de terminación más breve se ilustran para el proyecto de Santa Rosa Mining Corp. Observe que el tiempo determinístico para la conclusión de cada tarea se escribe junto al arco correspondiente a esa tarea en la figura.

Fig. 8 Tiempos de duración de cada actividad del proyecto Santa Rosa Mining

Para encontrar el tiempo de terminación más corto de todo el proyecto, proceda sistemáticamente desde el principio, determinando lo siguiente para cada tarea: 1.

El tiempo de inicio más temprano (IT)12, esto es, el tiempo más inmediato en que esa tarea puede iniciarse.

2.

El tiempo de terminación más temprano (TT)13, esto es, el tiempo más breve en el que esa tarea puede concluir.

donde: A

: Actividad

i, j

: Nodos

El tiempo de terminación más temprana de la tarea final es el tiempo más corto en el que todo el proyecto puede completarse. (En el caso de que exista más de una tarea terminal, el tiempo de conclusión más breve de todo el proyecto es el máximo de los tiempos mínimos de terminación de todas esas tareas.) Para calcular el tiempo de inicio más temprano para una tarea particular, recuerde el concepto de las tareas predecesoras inmediatas, esto es, aquellas tareas que deben concluirse antes que la tarea actual pueda iniciarse. Es necesario saber cuándo termina cada una de estas tareas predecesoras: Regla 1. Para calcular el tiempo de inicio más temprano de una tarea particular, debe conocer los tiempos de terminación más tempranos de cada tarea predecesora inmediata. Regla 2. El tiempo de inicio más temprano de una tarea de la que se conocen los tiempos de terminación más tempranos de todas sus tareas predecesoras inmediatas es el máximo de esos tiempos de terminación más tempranos. 12 13

El tiempo mas cercano en que una tarea posiblemente puede inciarse. El tiempo mas corto en el que una tarea posiblemente puede concluir. 115 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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CAPITULO II: CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

Regla 3. Tiempo de terminación más temprano = (tiempo de inicio más temprano) + (tiempo de tarea):

TT  IT  t

Fig 9. Cálculo de los tiempos de inicio y terminación mas tempranos para el proyecto de Santa Rosa Mining

Pasos para calcular los tiempos de inicio y de terminación más tempranos Paso 0.

Identifique el nodo correspondiente al principio de todo el proyecto. Calcule y escriba lo siguiente en el nodo inicial: a.

El tiempo de inicio más cercano, esto es, 0 (porque la tarea correspondiente puede iniciarse inmediatamente).

b.

El tiempo de terminación más breve de acuerdo con la regla 3, esto es: Tiempo de terminación más breve =

(tiempo de inicio más inmediato) + (tiempo de tarea)

=

0 + (tiempo de tarea)

=

tiempo de tarea

Paso 1.

Seleccione cualquier nodo donde todos los arcos entrantes han sido etiquetados con sus tiempos de inicio y de terminación más breves.

Paso 2.

Para el nodo seleccionado en el paso 1, calcule y escriba lo siguiente junto a cada arco saliente: a.

El tiempo de inicio más breve de acuerdo con la regla 2, esto es Tiempo de inicio más inmediato = máximo de los tiempos de terminación más breves de todos los arcos entrantes

b.

El tiempo de terminación más breve de acuerdo con la regla 3, esto es

Tiempo de terminación más breve = (tiempo de inicio más inmediato) + (tiempo de tarea) Identificación de las tareas críticas En esta sección, aprenderá cómo usar la red de proyecto junto con los tiempos de conclusión de tareas individuales y los tiempos de inicio y terminación más tempranos calculados en 2.1 para determinar qué tareas son críticas. Crítica significa que un retraso en cualquiera de esas tareas ocasiona un retraso en todo el proyecto. Los retrasos del proyecto pueden ocasionar costos adicionales, ingresos perdidos y/o incumplimiento de las obligaciones contractuales. Por ejemplo, no terminar las labores de preparación e inicio de explotacion de Santa Rosa Mining Corp. a tiempo puede ocasionar una pérdida sustancial en las ventas de concentrado para el periodo 116 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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planeado. Por tanto, como gerente, necesitará comprobar estas tareas críticas estrechamente para ver que se terminen a tiempo a fin de que el proyecto entero se mantenga en lo programado. Ahora puede ver que la forma más fácil de identificar las tareas críticas es iniciar al final de la red y proceder hacia atrás, hacia el principio del proyecto, examinando cada tarea. Determinar cuáles son críticas, entonces, requiere calcular lo siguiente para cada tarea: 1.

El último tiempo de terminación (UT)14 -es decir, lo más tarde que pueda concluirse una tarea, mientras permita que el proyecto se complete lo más pronto posible, como se determinó en la sección 2.1 para el proyecto de Santa Rosa Mining Corp.

2.

El último tiempo de inicio (UI)15 -es decir, lo más tarde que pueda iniciarse una tarea, de tal forma que finalice en su último tiempo de terminación.

Cualquier actividad cuyo último tiempo de inicio sea igual que su tiempo de inicio más inmediato calculado en la sección 2.1 es crítica. Esto se debe a que la única forma de mantener el proyecto a tiempo es iniciar esta tarea exactamente en este tiempo común. Para calcular el último tiempo de terminación para una tarea particular, observe que un retraso en esta tarea particular afecta a todas las tareas sucesoras16, es decir, aquellas tareas para las que una tarea es una predecesora, porque las tareas sucesoras no pueden comenzar sino hasta que ésta esté terminada. Esta observación da pie a la siguiente regla, que se añade a las tres reglas presentadas en la sección.2.1: Regla 4. Para calcular el último tiempo de terminación de una tarea particular, debe conocer los últimos tiempos de inicio de cada tarea sucesora inmediata. Regla 5. Respecto a una tarea de la que se conocen los últimos tiempos de inicio de todas sus tareas sucesoras inmediatas, el último tiempo de terminación de esa tarea es el mínimo de los últimos tiempos de inicio de todas las tareas sucesoras inmediatas. Regla 6. Último tiempo de inicio = (último tiempo de terminación) - (tiempo de tarea)

UI  UT  t

14

Lo más tarde que pueda concluirse una tarea, en tanto permita que el proyecto se complete lo más pronto posible.

15

Lo más tarde que pueda iniciarse una tarea, pero finalizando dentro de su último tiempo de terminación.

16

Una tarea para la que la tarea de interés es una predecesora. 117 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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CAPITULO II: CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

Fig. 10 Cálculo de los últimos tiempos de inicio y terminación para el proyecto de Santa Rosa Mining

Pasos para calcular los últimos tiempos de inicio y terminación Paso 0. Identifique el nodo correspondiente al final de todo el proyecto. Calcule y escriba lo siguiente dentro de cada arco entrante: a.

El último tiempo de terminación, que es el tiempo más breve de conclusión del proyecto, según se determinó en la sección 2.2 (porque cualquier otro retraso en estas tareas retrasaría todo el proyecto).

b.

El último tiempo de inicio de acuerdo con la regla 6, es decir Último tiempo de inicio = (último tiempo de terminación) - (tiempo de tarea) = (tiempo de conclusión de proyecto) - (tiempo de tarea)

Paso 1. Seleccione un nodo, cuyos arcos salientes hayan sido etiquetados todos con sus últimos tiempos de inicio y terminación. Paso 2. Para el nodo seleccionado en el paso 1, calcule y escriba lo siguiente junto a cada arco entrante: a.

El último tiempo de terminación de acuerdo con la regla 5, es decir último tiempo de inicio = mínimo de los últimos tiempos de inicio de todos los arcos salientes

b.

El último tiempo de inicio de acuerdo con la regla 6, es decir último tiempo de inicio = (último tiempo de terminación) - (tiempo de tarea)

Habiendo hecho estos cálculos, ahora puede identificar las tareas críticas y no criticas. Para cada tarea, calculemos la holgura (H)17 de las tareas:

H  UT  IT  t Usando los cálculos de la figura 10 y calculando las holguras se llega al calendario de actividades mostrado en la tabla 4 Tabla 4 Calendario de actividades y tareas cr´ticas para el proyecto de Santa Rosa Mining

17

Cantidad de tiempo que una tarea puede retrasarse sin afectar la conclusión del proyecto.

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ETIQUETA

B C D E F G H I J K L M N

DESCRIPCION

Subnivel I Subnivel II Transversal II Chimenea de acceso Chimenea o coladero de mineral Chimenea de ventilación Instalación de tolvas Chimenea de corte I Chimenea de corte II Instalación de cabrestante Explotación Parte inicial del nivel de rastrillaje Parte final del nivel de rastrillaje Figurada

t

IT

UI

TT

UT

HOLGURA

40 40 5 68

80 5 0 0

120 45 5 68

112 128 123 0

152 168 128 68

32 123 123 0

18

0

18

62

80

62

21 14 16 16

0 110 152 168

21 124 168 184

89 110 152 168

110 124 168 184

89 0 0 0

14 28

96 124

110 152

96 124

110 152

0 0

12

68

80

68

80

0

16 0

80 80

96 80

80 80

96 80

0 0

Las holguras en esta tabla representan la cantidad de tiempo según la cual la tarea correspondiente puede retrasarse sin retrasar todo el proyecto, suponiendo que todas las demas tareas se realizan a tiempo. Por ejemplo la Chimenea o coladero de mineral puede comenzar hasta 89 dias tarde sin retrasar el proyecto. Tarea crítica es una tarea cuyo tiempo de retraso es 0, lo que indica que cualquier retraso en esta tarea ocasionara un retraso en la conclusion de todo el proyecto. En el ejemplo son tareas críticas las tareas E, H, I, J, K, K, L, M y N. Como gerente debe verificar cuidadosamente estas tareas criticas para mantener el proyecto dentro del calendario.

Fig. 11 Ruta crítica para el proyecto Santa rosa Mining

Las dobles líneas corresponden a las tareas críticas para el proyecto Santa Rosa Minino. Como puede ver, estas tareas forman, en conjunto una ruta crítica18 desde el principio hasta el final del proyecto. En general puede haber varias rutas críticas; en ese caso, el tiempo es de 184 días.

Administración de proyectos con tiempos determinísticos de tarea: uso de la computadora Utilizaremos el software WinQSB para hallar la ruta crítica: 1. Iniciar el modulo PERT-CPM del software WinQSB

18

Una secuencia de tareas cr´ticas de un proyecto que conecta el principio del proyecto con el fin. 119 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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CAPITULO II: CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

2. Ingresar los datos iniciales del proyecto

3. Ingresar la duración y los predecesores de las tareas.

4. Obtener la ruta crítica

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Son valores similares a los obtenidos anteriormente. 5. Podemos observar también la grafica

Expedición de un proyecto usando técnicas de crashing En muchos proyectos la gerencia puede decidir que el tiempo de conclusión más breve no es aceptable. En tales casos, a menudo pueden usarse recursos adicionales para agilizar ciertas tareas, ocasionando una conclusión más temprana del proyecto. En esta sección, aprenderá cómo puede formularse un modelo de programación lineal para determinar las tareas que deben agilizarse para lograr un tiempo de conclusión deseado, y a qué costo. 121 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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CAPITULO II: CONSTRUCCION DE MODELOS DETERMINISTICOS

En el ejemplo de Santa Rosa Mining, suponga que el Gerente General decide que un tiempo de conclusión de 184 días es demasiado largo. Se le ha pedido hacer recomendaciones sobre cómo puede acortarse el proyecto a 160 días. Obtención de datos de costos adicionales para las tareas ¿Qué tareas del proyecto pueden acortarse y en cuánto? Claro está que acortar las tareas claramente requiere recursos adicionales, como el pago de tiempos extra, personal adicional y/o subcontrataciones. Por tanto, los primeros pasos son enumerar, para cada tarea: 1.

El tiempo de choque, esto es, el tiempo mínimo posible en el que la tarea puede concluirse de manera realista usando recursos adicionales.

2.

El costo de los recursos adicionales necesarios para acortar el tiempo de tarea a cualquier valor entre sus tiempos normal y de choque.

Para obtener el tiempo de choque, puede consultar con las personas involucradas en la tarea. Por ejemplo, considere la tarea de la chimenea de acceso en el proyecto de Santa Rosa Mining. Originalmente se estima que esta tarea requiere 68 días. Sin embargo, después de las discusiones con el gerente del departamento de diseño, usted descubrió que al contratar algo de ayuda de tiempo parcial y/o usar tiempos extra, la chimenea de acceso podría terminarse en sólo 64 días, pero no menos. Por tanto, con recursos adicionales, el tiempo de conclusión de esta tarea puede acortarse en 4 días a un tiempo de choque de 64 días. El tiempo cuesta dinero. Para establecer cuánto cuesta el tiempo, comience por obtener dos estimaciones de costo para concluir la tarea en (a) su tiempo normal y (b) su tiempo de choque. En el proyecto de Santa Rosa Mining, suponga que la chimenea de acceso se estima que cueste $7200 si se termina en su tiempo normal de 68 días y $7528 si se terminan en su tiempo de choque de 64 días. De hecho, con una cantidad apropiada de entre $7200 y $7528, puede concluir esta tarea en cualquier momento entre 68 y 64 días. Sin embargo, la obtención de las estimaciones de costo para cada tiempo posible entre las 68 y 64 días puede ser difícil, caro y llevarse tiempo. Una aproximación comúnmente usada es suponer que los costos se comportan linealmente dentro del intervalo de tiempo dado, como se muestra en la figura 12. Basándose en esta suposición, un costo por unidad de tiempo aproximado puede calcularse usando la siguiente fórmula: (costo al tiempo de choque) - (costo al tiempo normal) (tiempo normal) - (tiempo de choque)

Costo por unidad =

Para la tarea de la chimenea de acceso, Costo por unidad =

7528 - 7200 68 - 64

= 82

En otras palabras, costará $ 82 adicionales por cada día que se acorte esta tarea. 7550 7500

Costo ($)

7450 7400 7350 7300 7250 7200 7150 63

64

65

66

67

68

69

Tiem po de tarea (días)

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Fig. 12 Transacción tiempo – costo lineal para la chimenea de acceso Estos datos y cálculos para cada tarea del proyecto de Santa Rosa Mining se muestran en la tabla 5. Observe que el costo por unidad de la tarea L, Explotación, no se ha calculado. Esa tarea no puede acortarse en absoluto.

A Nivel B Subnivel I C Subnivel II D Transversal II E Chimenea de acceso F Chimenea o coladero de minera G Chimenea de ventilación H Instalación de tolvas I Chimenea de c orte I J Chimenea de c orte II K Instalación de cabres tante L Explotación M Parte inicial del nivel de rastrillaje N Parte final del nivel de rastrillaje COSTO TOTAL

40 40 5 68 18 21 14 16 17 14 28 12 16

8,100 8,100 1,160 7,200 1,920 2,160 430 1,800 1,920 350 3,900 4,800 41,840

36 36 4 55 15 18 12 15 16 11 28 10 14

8,380 8,380 1,612 8,528 2,241 3,110 650 2,132 2,360 465 4,020 5,350

4 4 1 13 3 3 2 1 1 3 0 2 2

Costo por día

Reducción Máxima

Costo de Choque

Tiem po de choque

DESCRIPCION

Tiempo normal

ETIQUETA

Costo normal

Tabla 5 Costos de choque para las tareas de Santa Rosa Mining

70.0 70.0 452.0 102.2 107.0 316.7 110.0 332.0 440.0 38.3 60.0 275.0

Desarrollo del modelo de choque Con los datos de la tabla 5 y la red de proyecto, ahora es posible desarrollar un modelo de programación lineal para determinar qué tareas acortar, y en cuánto, para lograr un tiempo de conclusión meta para todo el proyecto de la manera menos costosa. Identificación de las variables de decisión Preguntándose lo que puede controlar y/o necesita determinar en este problema lo debe llevar a identificar como variables de decisión la cantidad de tiempo en la cual acortar cada tarea. Por tanto, para el ejemplo de Santa Rosa Mining, defina YB = el número de días en las cuales acortar la tarea B YC = el número de días en las cuales acortar la tarea C . YN = el número de días en las cuales acortar la tarea N Los valores de estas variables de decisión reducen los tiempos de conclusión de tareas a las cantidades mostradas junto a cada arco de la figura 13. Por ejemplo, el nuevo tiempo de conclusión de la tarea C es 40 - Yc, es decir, el tiempo normal de 40 días menos el número de días, Yc, en la cual se acorta esa tarea. Identificación de la función objetivo El objetivo global es minimizar los recursos adicionales totales requeridos para satisfacer el tiempo de conclusión meta para el proyecto. Habiendo calculado los costos unitarios enumerados en la tabla 5 asociados con el acortamiento de cada tarea, y observando que el costo de la variable YL es irrelevante porque su valor estará restringido a 0, la función objetivo en términos matemáticos es Minimizar

70 YB + 70 YC + 452YD + 102.2 YE + 107 YF + 316.7 YG + 110 YH +332 YYI + 440 YJ + 38.33 YK + 60 YM + 275 YN 123 Derechos Reservados © MCA-FIM 2009

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Identificación de las restricciones Usando la técnica de agrupamiento puede identificar dos grupos de restricciones: 1.

La cantidad máxima de tiempo en la cual se puede acortar cada tarea.

2.

El tiempo de conclusión meta del proyecto (en este caso, 170 días).

Para las restricciones del grupo 1, lo único que se necesita son las cotas superiores sobre las variables de decisión, YA, . . . , YN. Los valores máximos de estas variables se proporcionan en la columna etiquetada 'Reducción máxima' de la tabla 5. La combinación de estos valores con la no negatividad implícita de estas variables da pie a las siguientes restricciones:

Fig. 13 Variables de decisión para agilizar el proyecto de Santa Rosa Mining Restricciones de límite 0