Investigacion Iteracion y Convergencia

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE PANUCO

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

METODOS NUMERICOS

UNIDAD 3 METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

ITERACION Y CONVERGENCIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES

“

ISC GIL SANTANA ESPARZA, MCA

SANTIAGO DEL ANGEL SANDRA LUZ VIZCAINO NUÑEZ JOSE ALFONSO

S401

25 ABRIL 2016

”

INTRODUCCION En esta investigación analizaremos sobre la iteración y convergencia sobre los métodos de solución para sistemas de ecuaciones, esto se hace con la finalidad de entender mejor sobre la iteración de algunos métodos de solución para los sistemas de ecuaciones y cuando convergen estos mismos. Entendemos que un sistema de ecuaciones es aquel que tiene dos o mas ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Los sistemas de ecuaciones se dividen en lineal y no lineal. Se pueden resolver por diferentes métodos como lo son el método del punto fijo, método de Newton Raphson así como también el método de Jacobi y el método de Gauss Seidel entre otros. Cada uno de estos métodos tienen iteraciones una iteración como nos dice Steve C. Chapra “es un proceso repetitivo con el objetivo de alcanzar un resultado” esto quiere decir que

una iteración son pasos que se repiten varias veces con el fin de obtener un resultado. Con cada iteración puede haber una convergencia en un método numérico. Una convergencia es aquella que mientras mas iteraciones se hagan se obtendrá una mejor aproximación al resultado, pero también puede existir una divergencia, esto es lo contrario a la convergencia porque mientras mas iteraciones se realicen el resultado se alejara mas del resultado anterior.

SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones es aquel que está formado por dos o mas incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se interceptan. Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales, es un conjunto de ecuaciones lineales es decir donde cada ecuación es de primer grado, definidas sobre un  cuerpo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste

en encontrar

los

valores desconocidos

variables  x 1,  x 2 y  x 3 que satisfacen las tres ecuaciones. Sistemas de ecuaciones no lineales Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado . Ejemplo:

de

las

ITERACION Una iteración es una secuencia de pasos que se repite varias veces, se parte de uno o varios valores iniciales, estos datos se procesan aplicando la secuencia de pasos en cuestión y, se obtiene uno o varios resultados parciales. Estos resultados parciales serán los valores iniciales que se utilicen al aplicar la siguiente iteración. P0 P1=g(P0) P2=g(P1) P3=g(P2) En este ejemplo se inicializa en 0 para la siguiente iteración P0 sera multiplicado por g para encontrar a P1, para encontrar a P2 se multiplicar g por P1 y P3 se multiplicara por el valor de P2 y asi sucesivamente Cada iteración se acercara cada vez más al valor aproximado del resultado que se quiera obtener.

CONVERGENCIA Se dice que hay convergencia al utilizar un método numérico para resolver un problema en particular cuando, mientras más iteraciones se obtiene una mejor aproximación al resultado.

“La manera en que funciona esto es de forma algorítmica ya que se lleva a cabo una secuencia de pasos para llegar al resultado deseado, ya sea que pueda tardar o en unos pocos pasos la ecuación siempre va a acercarse al valor deseado de su tolerancia.”

En métodos numéricos la velocidad con la cual una sucesión converge a su límite es llamada Orden de convergencia. Este concepto es desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre diez o un millón de iteraciones. Supongamos que la secuencia {X ᴋ} converge el número ξ {0..3} entonces podemos deducir que la respuesta a nuestra secuencia puede encontrarse entre estos valores. La convergencia puede tener tres formas: Convergencia Lineal, Convergencia Cuadrática, Convergencia Cubica.

DIVERGENCIA Se dice que hay “Divergencia” cuando, mientras más iteraciones se realicen, el resultado obtenido se alejara cada vez más del valor anterior. “Cuando el valor nuevo se aleja mas del valor anterior quiere decir que hay divergencia”

REPRESENTACION GRAFICA x=g(x) En a) y b) de la convergencia. En c ) y d ) de la divergencia del método de punto fijo. Las gráficas a) y c ) tienen un comportamiento monótono; mientras que b) y d ) tienen un comportamiento oscilatorio o en espiral.

CONCLUSION Como resultado de esta investigación en la cual analizamos la iteración y la convergencia de los sistemas de ecuaciones, un sistema de ecuaciones es aquel que tiene dos o más ecuaciones y cada ecuación cuenta con dos o mas incógnitas, existen varios métodos para poder resolverlos, algunos de ellos son el método de Jacobi y el método de Gauss Seidel entre otros, los cuales consisten en hacer n numero de iteraciones para llegar a un resultado aproximado. Una iteración es aquella secuencia de pasos que se repite varias veces para obtener uno o varios valores parciales un ejemplo de iteración en la vida diaria para entender mejor este concepto es el proceso que seguimos para comer hasta que no terminemos la comida terminamos con esa iteración. Las iteraciones pueden o no tener una convergencia la cual es acercarse con cada iteración a un mejor resultado aproximado, si las iteraciones en vez de acercarse más a un mejor resultado se están alejando quiere decir que hay una divergencia porque se está alejando cada vez mas del resultado anterior.