INVESTIGACION DE TEORIA DE DECISIONES MUESTREO.docx

INTRODUCCIÓN AL MUESTREO Se denomina muestreo al proceso por el que generamos las muestras. Una muestra es una parte (un subconjunto) de la población, y se desea que la muestra sea lo más representativa posible de la población de la que procede. Sin embargo, por muy cuidadosa que sea la selección de la muestra difícilmente será una representación exacta de la población. Esto significa que su tendencia central, variabilidad, etc., aproximarán las de la población, pero habrá cierta diferencia, que interesa sea lo menor posible. Un concepto clave de muestreo es el de representatividad: Los procedimientos de muestreo tienen por objeto generar muestras lo más representativas posible de las poblaciones dados los objetivos de la investigación y las circunstancias que afectan al muestreo. Desde un punto de vista aplicado, se denomina muestreo el proceso de selección de la muestra o muestras a utilizar para la investigación. Esto supone generar una o pocas muestras. Actualmente es de interés la selección de muestras para la simulación informática de los procesos de muestreo, particularmente para la obtención de distribuciones muestrales. En estos casos el número de muestras generadas puede ser muy grande (10.000, 80.000, o más) y el procedimiento de muestreo se realiza informáticamente y con procedimientos específicos. Desde un punto de vista teórico, el concepto de muestreo es fundamental para la Inferencia Estadística. El hecho de que las muestras no sean exactamente representativas de las poblaciones significa que las inferencias presentan cierto margen de incertidumbre. Para cuantificarlo y definir técnicas inferenciales es necesario conocer cómo se comportan los estadísticos obtenidos en las muestras, esto es, cómo son las distribuciones muestrales de los estadísticos habitualmente utilizados para la inferencia.

DEFINIR LOS ASPECTOS CONCEPTUALES DE MUESTREO Y SU APLICABILIDAD EN INFORMÁTICA (FALTA)

EL MUESTREO ALEATORIO constituye una de las clases más populares de muestreo aleatorio o probabilístico. EL MUESTREO ALEATORIO SIEMPLE se puede aplicar en muchos métodos. El más primitivo y mecánico sería el de la lotería. A cada miembro de la población se le asigna un número. Todos los números se colocan en un recipiente o un sombrero y se mezclan. Con los ojos vendados, el investigador va sacando las etiquetas con números. Todos los individuos que tengan los números sacados por el investigador son los sujetos del estudio. Otra forma sería que una computadora haga la selección al azar de la población. En el caso de poblaciones con pocos miembros, es aconsejable utilizar el primer método, pero si la población tiene muchos miembros, es preferible una selección aleatoria por computadora.

Ventajas del muestreo aleatorio simple Una de las mejores cosas del muestreo aleatorio simple es la facilidad para armar la muestra. También se considera una forma justa de seleccionar una muestra a partir de una población, ya que cada miembro tiene igualdad de oportunidades de ser seleccionado. Otra característica clave del muestreo aleatorio simple es la representatividad de la población. En teoría, lo único que puede poner en peligro su representatividad es la suerte. Si la muestra no es representativa de la población, la variación aleatoria es denominada error de muestreo. Para sacar conclusiones de los resultados de un estudio son importantes una selección aleatoria imparcial y una muestra representatva. Recuerda que uno de los objetivos de la investigación es sacar conclusiones con relación a la población a partir de los resultados de una muestra. Debido a la representatividad de una muestra obtenida mediante un muestreo aleatorio simple, es razonable hacer generalizaciones a partir de los resultados de la muestra con respecto a la población. Desventajas del muestreo aleatorio simple Una de las limitaciones más evidentes del muestreo aleatorio simple es la necesidad de una lista completa de todos los miembros de la población. Debes tener en cuenta que la lista de la población debe estar completa y actualizada. Esta lista generalmente no está disponible en poblaciones grandes. En estos casos, es más prudente utilizar otras técnicas de muestreo. Las técnicas de muestreo estadístico son las estrategias aplicadas por los investigadores durante el proceso de muestreo estadístico. Este proceso se lleva a cabo cuando los investigadores intentan sacar conclusiones para toda la población después de realizar un estudio sobre una muestra tomada de la misma población. Muestreo aleatorio sistemático: Este procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de la población, pero en lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae uno. Se parte de ese número aleatorio i, que es un número elegido al azar, y los elementos que integran la muestra son los que ocupa los lugares i, i+k, i+2k, i+3k,...,i+(n1)k, es decir se toman los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el tamaño de la población entre el tamaño de la muestra: k= N/n. El número i que empleamos como punto de partida será un número al azar entre 1 y k. El riesgo este tipo de muestreo está en los casos en que se dan periodicidades en la población ya que al elegir a los miembros de la muestra con una periodicidad constante (k) podemos introducir una homogeneidad que no se da en la población. Imaginemos que estamos seleccionando una muestra sobre listas de 10 individuos en los que los 5 primeros son varones y los 5 últimos mujeres, si empleamos un muestreo aleatorio sistemático con k=10 siempre seleccionaríamos o sólo hombres o sólo mujeres, no podría haber una representación de los dos sexos.

Muestreo aleatorio estratificado: Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores ya que simplifican los procesos y suelen reducir el error muestral para un tamaño dado de la muestra. Consiste en considerar categorías típicas diferentes entre sí (estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna característica (se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, el sexo, el estado civil, etc.). Lo que se pretende con este tipo de muestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estarán representados adecuadamente en la muestra. Cada estrato funciona independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos que formarán parte de la muestra. En ocasiones las dificultades que plantean son demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la población. (Tamaño geográfico, sexos, edades,...). La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos: Afijación Simple: A cada estrato le corresponde igual número de elementos muéstrales. Afijación Proporcional: La distribución se hace de acuerdo con el peso (tamaño) de la población en cada estrato. Afijación Optima: Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los resultados, de modo que se considera la proporción y la desviación típica. Tiene poca aplicación ya que no se suele conocer la desviación. Muestreo aleatorio por conglomerados: Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionar directamente los elementos de la población, es decir, que las unidades muéstrales son los elementos de la población. En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos de la población que forman una unidad, a la que llamamos conglomerado. Las unidades hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado producto, etc., son conglomerados naturales. En otras ocasiones se pueden utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales. Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de "muestreo por áreas". El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto numero de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño muestral establecido) y en investigar después todos los elementos pertenecientes a los conglomerados elegidos. EL MUESTREO ESTADÍSTICO: es un procedimiento por el que se ingresan los valores verdaderos de una población a través de la experiencia obtenida con una muestra Tambien lo podriamos definir como aquel que utiliza técnicas que permiten hacer estimaciones sobre una población aplicando las leyes de la estadística. Las aplicaciones de muestreo estadístico deben cumplir los siguientes requisitos:  El tamaño de la muestra debe calcularse utilizando técnicas estadísticas.  La selección de la muestra debe hacerse en forma aleatoria.  La estimación de las características de la población debe hacerse de acuerdo a las leyes de la estadística. Una aplicación de muestreo que no cumpla con alguno de estos tres requisitos se considera muestreo no estadístico. El muestreo estadístico posee algunas ventajas con respecto al muestreo no estadístico, entre ellas las siguientes:

 Permite seleccionar de antemano el nivel de confianza de la prueba, es decir la probabilidad de que las conclusiones obtenidas del muestreo sean correctas.  La selección aleatoria impide que los prejuicios o preferencias del auditor favorezcan la selección de algunos elementos de la población en desmedro de otros.  Permite limitar el tamaño de la muestra al mínimo necesario, evitando realizar pruebas de auditoría sobre una cantidad mayor de elementos.  Los resultados de la prueba se expresan matemáticamente en términos precisos, permitiendo elaborar recomendaciones sobre una base más objetiva.  Permite hacer más defendibles las conclusiones de la prueba. No constituye una ventaja del muestreo estadístico garantizar la obtención de una muestra representativa de la población, ya que la incertidumbre respecto de la representatividad de la muestra es una característica inherente al muestreo. Pero, según se menciona más arriba, el muestreo estadístico permite cuantificar dicha incertidumbre, seleccionando el nivel de confianza deseado. A pesar de las ventajas enumeradas no debemos concluir que el muestreo no estadístico es necesariamente malo. El muestreo no estadístico también tiene sus ventajas, ya que suele ser más sencillo de aplicar y requiere menos entrenamiento. De hecho, hay empresas que han adoptado modelos de muestreo no estadístico para la evaluación obligatoria de su control interno. LA TRANSFORMACIÓN INTEGRAL (FALTA )

TEORÍA DE JUEGOS La Teoría de Juegos consiste en la elaboración de recomendaciones sobre la forma razonable de las acciones de cada uno de los contrincantes en el curso de una situación de conflicto; es prácticamente una teoría matemática de las situaciones en conflicto. En un conflicto de juego los dos oponentes son llamados jugadores y cada uno de ellos tendrá un numero finito o infinito de estrategias; a cada estrategia se encuentra asociada una recompensa que un jugador paga a otro. Estos juegos se conocen como juegos de suma cero entre dos personas debido a que la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro y los intereses de los jugadores son completamente opuestos, por lo tanto, es suficiente con resumir el juego en términos del pago a solo uno de los dos jugadores, es decir, al designar dos jugadores A y B con estrategias m y n, respectivamente, el juego se representa mediante una matriz de pagos al jugador A, de la siguiente manera: …

Bn

A1

a11 a12 a13 …

a1n

A2

a21 a22 a23 …

a2n

B1

B2

B3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Am am1 am2 am3 …

amn

La anterior representación indica que si A usa la estrategia i y B la estrategia j, el pago a A es aij y el pago a B es - aij. En la teoría de juegos se denomina jugada a la elección de una de las estrategia dadas; estas jugadas pueden ser personales, cuando la elección de la estrategia se hace conscientemente, o al azar, cuando la elección de la estrategia es realizada por un mecanismo de elección casual y no por el jugador. Para que el juego esté matemáticamente definido, se debe indicar para cada estrategia la distribución de probabilidad. Su objetivo principal es elaborar recomendaciones para elegir la estrategia óptima, definida como la estrategia que garantiza al jugador la ganancia media máxima posible o la pérdida media máxima posible a medida que el juego se repite reiteradamente, de cada uno de los jugadores SOLUCIÓN OPTIMA DE JUEGOS DE SUMA CERO ENTRE DOS PERSONAS Debido a que los juegos se concentran en conflictos de interés, la solución optima del problema elige una o más estrategias para cada jugador de tal manera que cualquier cambio en las estrategias elegidas no mejore el pago a cualquiera de los dos jugadores. Estas soluciones pueden realizarse de dos formas: estrategia pura, con una sola estrategia, o estrategia mixta, con varias estrategias que se mezclan de acuerdo con probabilidades predeterminadas. Ejemplo 1 Dos compañías A y B venden dos marcas de antigripales, La compañía A se anuncia por radio (A1), televisión (A2) y periódicos (A3). La compañía B, además de utilizar radio (B1), televisión (B2) y periódicos (B3), también manda por correo folletos (B4). Dependiendo del ingenio y la intensidad de la campaña de publicidad, cada compañía puede capturar una porción del mercado de la otra. La siguiente matriz resume el porcentaje del mercado capturado o perdido por la compañía A: B1

B2

B3

B4

Mínimo fila

A1

8

-2

9

-3

-3

A2

6

5

6

8

5

A3

-2

4

-9

5

-9

de

Maximin

la

Máximo columna

de

la

8

5

9

8

Minimax La solución del juego se basa en asegurar lo mejor de lo peor para cada jugador. Si la compañía A selecciona la estrategia A1, entonces sin importar lo que haga B, lo peor que le puede suceder es que pierda 3% de la participación del mercado a favor de B. Esto se encuentra representado por el valor mínimo de las entradas de la fila 1. De manera similar, el peor resultado de la estrategia A2 es que capture 5% del mercado de B y el peor resultado de la estrategia A3 es que pierda 9% de la participación del mercado a favor de B. Los anteriores resultados se separan en la columna “mínimo de fila” y, para lograr lo mejor de lo peor, la compañía A escoge la estrategia A2 debido a que a esta corresponde el mayor valor de la columna “mínimo de fila” denominado “Maximin”. Considerando ahora la estrategia de B se requiere escoger el valor mínimo “Minimax” de la columna “Máximo de la columna” para lograr lo mejor de lo peor de B debido a que la matriz de pago esta dada para A. Tenemos así que la estrategia a escoger es B2. La solución optima del juego debe seleccionar las estrategias A2 y B2, es decir, ambas compañías deben anunciarse en televisión Esto indica que el resultado estará a favor de A debido a que su participación en el mercado aumentará un 5%, por lo tanto, decimos que el valor del juego es 5% y que A y B usan una solución de punto de equilibrio. Esta solución garantiza que ninguna compañía está tentada a seleccionar otra estrategia debido a que esto ocasionaría perdidas en la participación del mercado, es decir, en caso de que B decida moverse a cualquiera de las otras estrategias, A puede escoger quedarse con la elegida ocasionando así una perdida de participación de mercado para B del 6% u 8% según la estrategia elegida por B, de igual manera, si A decide cambiar a la estrategia A3 , B puede moverse a B3 ocasionando así un incremento del 9% en la participación del mercado a favor de B. ESTRATEGIA (TEORÍA DE JUEGOS) En teoría de juegos, la estrategia de un jugador es un plan de acción completo para cualquier situación que pueda acaecer; determina completamente la conducta del jugador. La estrategia de un jugador determinará la acción que tomará el jugador en cualquier momento del juego, para cualquier secuencia de acontecimientos hasta ese punto. Un perfil de estrategia es un conjunto de estrategias para cada jugador que especifica completamente todas las acciones en un juego. Un perfil de estrategia debe incluir solamente una estrategia para cada jugador. La descripción matemática de una conducta tiene relación con la programación y los algoritmos. El concepto de estrategia se confunde (erróneamente) en ocasiones con el de movimiento. Un movimiento es una acción que toma un jugador en un determinado momento en el juego (por ejemplo, en el ajedrez, al mover el alfil blanco de a2 a b3). Una estrategia, por

otra parte, es un algoritmo completo para jugar al juego, enumerando implícitamente todos los movimientos de todos los jugadores para cada situación del juego. El número de movimientos en el tres en raya es 4 o 5 (dependiendo de si el jugador empieza o no, y considerando que ninguno de los jugadores puede saltarse un turno), mientras que el número de estrategias es superior a 6 billones. Tipos de estrategias Una estrategia pura proporciona una definición completa para la forma en que un jugador puede jugar a un juego. En particular, define, para cada elección posible, la opción que toma el jugador. El espacio de estrategia de un jugador es el conjunto de estrategias puras disponible al jugador. UNA ESTRATEGIA MEZCLADA es una asignación de probabilidad a cada estrategia pura. Define una probabilidad sobre las estrategias y refleja que, en lugar de elegir una estrategia pura particular, el jugador elegirá al azar una estrategia pura en función de la distribución dada por la estrategia mezclada. Por supuesto, cada estrategia pura es una estrategia mezclada que elige esa estrategia pura con probabilidad 1 y cualquier otra con probabilidad 0. ESTRATEGIA MIXTA En teoría de juegos una estrategia mixta, a veces también llamada estrategia mezclada (del nombre en inglés mixed strategy), es una generalización de las estrategias puras, usada para describir la selección aleatoria de entre varias posibles estrategias puras, lo que determina siempre una distribución de probabilidad sobre el vector de estrategias de cada jugador. Una estrategia totalmente mixta es aquella en la que el jugador asigna una probabilidad estrictamente positiva a cada estrategia pura. Las estrategias totalmente mixtas son importantes para el refinamiento del equilibrio. ESTRATEGIAS MIXTAS También llamada estrategias mezcladas, es una generalización de dos estrategias puras usadas para describir la relación aleatoria de entre varias posibles estrategias puras. Consiste en el empleo de varias estrategias puras que alternan por una ley aleatoria con determinada relación de frecuencias. Tales estrategias combinadas, que consisten en el empleo de varias estrategias puras que alternan por una ley aleatoria con una determinada relación de frecuencias, en la teoría de los juegos se llaman estrategias mixtas. Introduciremos designaciones especiales para las estrategias mixtas. Si, por ejemplo, nuestra estrategia mixta consiste en el empleo de las estrategias A1, A2, A3, con las frecuencias p1, p2, p3 (teniendo en cuenta que p1 + p2 + p3 = 1) designaremos esta estrategia así: Análogamente, a la estrategia mixta del adversario la designaremos:

donde q1, q2, q3 son las frecuencias con las que se mezclan las estrategias B1, B2, B3; q1 + q2 + q3 = 1 Supongamos que hemos encontrado la solución del juego que consiste de dos estrategias óptimas mixtas SA*, SB*. En el caso general, notodas las estrategias puras accesibles a cada jugador entran en su estrategia óptima mixta, sino sólo algunas. Llamaremos a las estrategias que entran en la estrategia óptima mixta del jugador sus estrategias "útiles". Resulta que la solución del juego goza de una notable propiedad más: si uno de los jugadores se atiene a su estrategia óptima mixta SA*(SB*), la ganancia queda inalterable e igual al valor del juego y, independientemente de lo que haga el otro jugador, a menos que él salga de las limites de sus estrategias "útiles". Puede, por ejemplo, emplear cualquiera de sus estrategias "útiles" en forma pura o también mezclarlas en cualquier proporción. SOLUCIÓN DE JUEGOS CON PROGRAMACIÓN LINEAL La teoría de juegos tiene una fuerte relación con la programación lineal debido a que un juego de suma cero entre dos personas se puede expresar como un programa lineal y viceversa. Incluso, J. von Neuman, padre de la teoría de juegos, reconoció la relación entre esta teoría y la programación y recalcó el concepto de dualidad en la programación lineal.

Tenemos entonces que las probabilidades óptimas del jugador A xi , con i = 1, 2,…, m se puede determinar resolviendo el siguiente problema máximin:

Para transformar el problema en un programa lineal, sea

La ecuación implica que

El problema del jugador A se puede escribir como: Maximice z = v

Sujeta a:

El valor del juego no tiene restricciones debido a que su signo puede cambiar dependiendo del resultado de este.

Las estrategias óptimas de B , y1 , y2 , .. , y yn se determinan resolviendo el problema

Mediante un procedimiento al requerido con el problema de A, resolvemos el de B obteniendo que: Minimice w = v

Sujeta a:

Los dos problemas optimizan la misma variable v, el valor del juego, debido a que el problema B es el dual del problema A, lo que significa que la solución optima de un problema automáticamente de la solución del otro. Ejemplo 4. Resuelva el siguiente juego con programación lineal: B1

B2

B3

Mínimo de la fila

A1

3

-1

-3

-3

A2

-2

4

-1

-2

A3

-5

-6

2

-6

4

2

Máximo de la columna 3

Notamos que el valor del juego se encuentra entre los valores -2 y 2. Tenemos entonces que el programa lineal del jugador A es: Maximice z = v

Sujeta a:

La solución óptima es:

La solución dual asociada es:

La razón por la cual los resultados de las probabilidades de B son negativos es debido a que el problema de A es una maximización con restricciones ", una condición que requiere que las variables duales asociadas sean negativas. El programa lineal de B esta dado por: Minimice z = v

Sujeta a:

La solución óptima es:

La solución dual asociada es: