Investigación de Polinomios

 

¿QUE ES UN POLINOMIO? Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el nombre de polinomios. El adjetivo polinomico, por su parte, se aplica a la cantidad o las operaciones que se pueden expresar como polinomios. Gracias a los polinomios, es posible desarrollar diferentes cálculos y acercarse a una función derivable. Numerosas ciencias utilizan los polinomios en sus estudios e investigaciones, desde la química y la física hasta la economía.

ELEMENTOS DE UN POLINOMIO: Términos: conformados por cada uno de los monomios que establecen operaciones de suma (y en algunos casos de Términos: conformados resta o multiplicación) m ultiplicación) entre ellos. Coeficientes: así mismo, los coeficientes estarán constituidos por los elementos numéricos, que se encuentre Coeficientes: así estableciendo operaciones operaciones de multiplicación m ultiplicación con cada una de las variables. Término independiente: por independiente: por su lado, el Término independiente es descrito como aquel elemento abstracto numérico que no se encuentra acompañado de ninguna variable. Grado: finalmente, así como el monomio cuenta con un grado, el polinomio también, sólo que en el caso de esta Grado: finalmente, expresión algebraica compleja, éste se encuentra constituido por el exponente de mayor valor que pueda distinguirse entre las variables de cada uno de los términos que conforman el monomio.

TIPOS DE POLINOMIOS Polinomio Completo: Un polinomio se dice completo con relación a una variable si al ordenarlo éste contiene todas la lass potencias de la variable, comprendidas entre la mayor potencia y la potencia con exponente cero.  cero.  Polinomio Incompleto: Un polinomio incompleto es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.  grado.  Polinomio Semejante: Un Polinomio semejante es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.   cualquiera. Polinomio Nulo: Un Polinomio Nulo es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.  nulos.  Polinomio Homogéneo: Un Homogéneo: Un Polinomio Homogéneo es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado. Polinomio Heterogéneo: Un Polinomio Heterogéneo es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.  grado.  Polinomio Ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

 

CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS. CARACTERÍSTICAS: NOMBRES ESPECIALES:  ESPECIALES: El prefijo poli significa “muchos”. Polinomio significa entonces “muchos términos”. Las  expresiones polinomiales que contienen contienen uno, dos, tres t res o cuatro términos se conocen respectivamente como monomio, binomio, trinomio y cuatrinomio. Cabe aclarar que no se les dan nombres especiales a los polinomios de cinco términos en adelante. GRADO DE UN POLINOMIO: El POLINOMIO: El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente del término de coeficiente no nulo (el valor al que se eleva la variable del coeficiente principal). Se simboliza gr (P(x)). Normalmente los polinomios se escriben ordenados según los grados de sus monomios de mayor a menor. En ocasiones parece que "falta" alguno de los monomios intermedios. Eso es así porque el coeficiente de ese monomio es cero y, por tanto, no se escribe. Si un polinomio tiene todos sus coeficientes iguales a cero, se lo denomina polinomio nulo y carece de grado. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO: Es POLINOMIO:  Es el valor que toma un polinomio al sustituir la variable por un cierto número. Así, dado el polinomio P(x) = 2x+5, su valor numérico para x = -1 es: P(-1) = 2 (-1) + 5 = 3 IGUALDAD DE POLINOMIOS: Dos POLINOMIOS: Dos polinomios son iguales sí y solo sí tienen t ienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual grado son iguales. POLINOMIOS OPUESTOS: Son OPUESTOS: Son aquellos que tienen los términos del mismo grado con signos contrarios, es decir que la suma de dos polinomios opuestos es igual al polinomio nulo. Se simboliza: simboliza: P(x) = - R(x) ó - P(x) = R(x).

PROPIEDADES: SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS: Para POLINOMIOS: Para sumar o restar dos polinomios basta con sumar o restar r estar los términos de igual grado. Ambas operaciones verifican las siguientes propiedades: Asociativa Conmutativa Existe elemento neutro: polinomio nulo Cada polinomio tiene un opuesto PRODUCTO DE POLINOMIOS: Para POLINOMIOS: Para multiplicar m ultiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos y cada uno de los términos t érminos del otro. Igual que para la suma, el producto de polinomios verifica las propiedades asociativa y conmutativa. El elemento neutro es el 1 considerado como polinomio de grado 0. Sin embargo, no hay simétrico. Es decir, dado un polinomio cualquiera no existe otro que multiplicado por aquél dé 1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS: El POLINOMIOS: El proceso a seguir es el siguiente, con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grado: *Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente *Se multiplica término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cadadicho término se coloque otro semejante *Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial *Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.