Investigación de Operaciones

 

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales, a continuación desarrollaremos ciertos conceptos fundamentales para adentrarnos en lo que es la investigación de operaciones. Recta: es una línea que se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Semi  – eespacio: Semi –  spacio: es cada una de las dos partes en que un espacio queda dividido por un plano contenido en él. Combinación convexa: es una combinación lineal de puntos (los cuales pueden ser vectores, escalares o más en general puntos en un espacio afín) donde todos los coeficientes son nonegativos y suman 1. Todas las posibles combinaciones convexas están dentro de la envoltura convexa de los puntos dados. De hecho, la colección de todas las combinaciones convexas de  puntos en el conjunto constituye la envoltura convexa del conjunto. Un poliedro (interseccion finita de semiespacios) es un conjunto convexo. Por ejemplo, S={x : Ax ≤ b, x ≥ 0} es un conjunto convexo. Caracterización de las direcciones extremales y puntos extremos de un poliedro convexo. Sea S un poliedro (o un convexo), un punto "z" de S decimos que es un punto extremo si no existe ningún par de puntos "x" e "y" de S tales que "z" es combinación lineal convexa. Es decir, que no existen "x" e "y" de S y un "t" de [0,1] tal que z = x·t + (1 - t)·y Caracterización de puntos extremos: Sea el poliedro S determinado por los puntos "x" de R^n tales que A·x = b y x>=0 siendo A una matriz real "m x n" con rango "m" y "b" de R^m. Un punto "x" de S es un punto extremo si y sólo si se puede expresar como x = [x_B; x_N] = [B^-1; 0] siendo A=[B,N], B regular y (B^-1)· b>=0. Donde x_B representan las componentes asociadas al bloque B y x_N las asociadas al bloque N. En otras palabras: podemos encontrar una submatriz regular de A, B, cumpliendo todo lo anterior Dadas las caracterizaciones de puntos y direcciones extremas se demuestra que cualquier punto del poliedro se puede expresar como combinación de éstos. Representación de los puntos de un poliedro convexo en función de los puntos y direcciones extremales. Sea K un conjunto convexo. Un punto x de K se dice que es un punto extremo si no existe ningún segmento de recta (no degenerado) en K que contenga a x en su interior relativo; o equivalentemente, si x no puede escribirse como x = (1 − )y + z, con y, z K y 0 < < 1. 1. El conjunto de todos los puntos extremos de un conjunto convexo K se representa por ext K, y suele llamarse el perfil de K. Un punto x de un conjunto convexo K es extremo si, y solo si, el conjunto K \ {x} es convexo. Luego cualquier subconjunto S de K para el cual conv S = K contiene el perfil de K. Si tenemos también en cuenta los conjuntos convexos abiertos o los no acotados, entonces el menor subconjunto S K cuya envoltura convexa es K puede contener  propiamente a ext K. Sin embargo, si nos restringimos a la familia de los cuerpos convex convexos, os, la compacidad nos va a asegurar, necesariamente, la existencia de algún punto extremo.

 

El Método Simplex: es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un  poliedro solución es finito siempre se hallará solución. solución. Escogencia de pivote: Se basa en la elección de una variable aleatoria que sea función de la muestra y del parámetro a estimar, con la condición de que sea una función continua y monótona del parámetro y que su distribución sea conocida e independiente del parámetro. Llamemos φ(θ, X  φ(θ, X ) a la variable escogida y que recibe el nombre de estadístico pivote. pivote. Bajo estas condiciones, fijado el nivel de confianza (1 (1 − α) · 100 %, es posible encontrar los valores a y b tales que P  que P (a ≤ φ(θ, X  φ(θ, X ) ≤  ≤  b) = 1 − α  α  (1) Por las condiciones exigidas sobre el estadístico, será posible despejar θ y  obtener los límites  para el intervalo. P  intervalo. P ((φ φ -1 (a, X ) ≤  ≤  θ ≤  ≤   φ -1 (b, X ) = 1 –  1  –   α  siendo L1 = φ  -1 (a,  X ) i L2 = φ  -1 (b,  X ) los límites del intervalo deseado. Hemos de tener en cuenta que los valores a y b que verifican (1) en general no son únicos. La elección se hace generalmente buscando que el intervalo tenga la máxima precisión, es decir, la longitud mínima. Para distribuciones simétricas y unimodales (Normal o t  de   de Student, por ejemplo) se consigue tomando to mando el intervalo centrado, es decir, dejando una probabilidad de α/2 a cada lado. Condición de parada:deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función objetivo sean todos menores o iguales a 0. Manejo de las variables artificiales mediante el método de las dos fases: El método de las Dos Fases se utiliza cuando aparecen variables artificiales en la forma canónica o estándar del  problema. La primera fase trata de resolver el problema auxiliar Z' de minimizar la suma de las variables artificiales y conseguir que sea cero (con objeto de evitar incongruencias matemáticas). Una vez resuelto este primer problema, siempre y cuando resultado sea el esperado, se reorganiza la tabla resultante para utilizarlay en la segunda fase el sobre el problema original. En caso contrario el problema no es factible, es decir, no tiene solución y no será necesario continuar con la segunda fase. El problema de las soluciones básicas degeneradas: En la aplicación del Método Simplex al hacer el cálculo del mínimo cuociente o condición de factibilidad, se puede romper un empate en la razón o cuociente mínimo en forma arbitraria. En este caso, al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración, afirmándose en este caso que la nueva solución es degenerada. La implicancia práctica de dicha condición indica que el modelo tiene al menos una restricción redundante.