Investigacion de Operaciones Unidad 4

INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESTIGACION DE OPERACIONES I

UNIDAD 4

AGUASCALIENTES, AGS. 27/11/2014 ÍNDICE............................................................................................................................. 2 1

UNIDAD 4 – PROGRAMACIÓN ENTERA....................................................................... 3

4.1. INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN. ....................................................... 3

4.1.1. INTRODUCCIÓN. ................................................................................................. 3-4

4.1.2. CASOS DE APLICACIÓN...................................................................................... 4-5

4.2. DEFINICIÓN Y MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA Y BINARIA................. 6

4.2.1. DEFINICIÓN.......................................................................................................... 6

4.2.2. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO............................................................................. 7-8

4.2.3. EL MODELO PEB................................................................................................ 8-11

4.3. MÉTODO DE GOMORY...................................................................................... 12-19

4.4. MÉTODO DE BIFURCACIÓN Y ACOTAMIENTO............................................... 20-26

CONCLUSIÓN............................................................................................................... 26

BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................. 27

PROGRAMACIÓN ENTERA

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4.1. INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN. 4.1.1. INTRODUCCIÓN. Es frecuente al tener que resolver problemas en los cuales las soluciones tienen que ser valores enteros como por ejemplo: números de unidades a producir por máquina, número de máquinas necesarias, etc. Parte del problema de la programación entera radica en la diferencia esencial que existe la programación lineal y la entera, en la programación lineal se maximiza o minimiza una función sobre una región de factibilidad convexa, mientras que al usar los métodos de programación entera se maximiza una función sobre una región de factibilidad que generalmente no es convexa. De tal manera que la programación entera tiene más complicaciones que la programación lineal. En este tema se presenta un tipo de problemas formalmente similares a los problemas de Programación Lineal, ya que en su descripción solo se establecen expresiones lineales. Sin embargo no responden a problemas lineales ya que algunas (o todas) las variables del problema toman valores que no están en un conjunto continuo. Por ejemplo, pueden ser variables que toman valores 0 o 1(binarias), o variables que toman valores enteros no negativos (0, 1,2,...), etc. Tras introducir el tipo de problemas se dedica un importante apartado para presentar las posibilidades de modelado que esta herramienta proporciona: problemas binarios, problemas de carga, problemas con restricciones condicionales o con dicotomías, etc. Tras dedicar una parte importante del tema a presentar estas herramientas de modelado y a plantear numerosos problemas con ellas se procede a mostrar dos métodos de resolución. Uno de ellos dedicado a problemas en los que todas las variables son binarias y otro para problemas generales. Ambos métodos tienen en común que desarrollan un proceso de enumeración que permite comprobar explícita o implícitamente todas las soluciones del problema hasta encontrar la óptima, y entran dentro del tipo de métodos de ramificación y acotación. En algunos casos se requiere que la solución óptima se componga de valores enteros para algunas de las variables. La resolución de este problema se obtiene analizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en un entorno alrededor de la solución obtenida considerando las variables reales. Muchas veces la solución del programa lineal truncado está lejos de ser el óptimo entero, por lo que se hace necesario usar algún algoritmo para hallar esta solución de forma exacta. El más famoso es el método de “Ramificación y Acotación” o “Branch and Bound” por su nombre en inglés. El método de Ramificación y Acotación, parte de la adición de nuevas restricciones para cada variable de decisión (acotar) que al ser evaluado independientemente (ramificar) lleva al óptimo entero.

La programación entera se divide en 3 tipos de modelos:

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 Programación Entera Pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros.  Programación Entera Mixta (PEM): Algunas de las variables de decisión tienen valores enteros. Las demás cumplen con la suposición de divisibilidad.  Programación Entera Binaria (PEB): Utiliza variables binarias.

4.1.2. CASOS DE APLICACIÓN. A continuación se presenta la variedad de problemas que caen dentro de la programación entera y binaria: a) Todos los problemas de programación lineal, donde las actividades, por su estructura deben ser no-divisibles, son programas enteros. Por ejemplo problemas de producción de automóviles, prendas de vestir, etc. ¿Qué significado tendría la producción de 577.83 automóviles? b) Todos los problemas de transporte, asignación y redes de optimización. Este tipo de problemas son enteros y dada la estructura tan especial de estos problemas, tienen métodos de solución propios. c) Problemas de secuenciación. Este tipo de problemas aunque son fáciles de formular, resultan bastantes difíciles de resolver. Se supone por ejemplo en el caso de un taller que puede efectuar un solo tipo de trabajo a la vez (orden i ), el que se tiene contratado a entregar en días, a partir de una cierta fecha base, y que además tiene una gran duración de trabajo de ( > 0) días y al cuales asocian una multa de pesos por día de retrasos después de los días estipulados. Se supone que el taller recibe n órdenes de trabajo en la fecha base. ¿Cuál debe ser el orden de secuenciación de trabajos que minimice el costo penal total? d) El problema del agente viajero. Este problema concierne en un agente viajero que saliendo de una terminal de ciudad debe visitar una sola vez n-1 ciudades diferentes, y regresar al punto de partida. Si el costo de dirigirse a la ciudad j desde la ciudad i es ( ≠ ), se debe terminar la secuencia de visita de ciudades, tal que el costo total asociado sea el mínimo. Este problema se presentó por primera vez en 1960, en un artículo de Miller, Tucker, Zemling, pero hay una variedad de métodos que resuelven el problema dependiendo del tamaño de n, el número de ciudades. e) Problema tipo mochila. Este tipo de problemas de optimización de carácter entero puede darse en dos versiones. En la primera se proporciona un cierto espacio con determinado volumen o capacidad, y este debe ser llenado con

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objetos de valor y volumen o capacidades especificados. El problema consiste en llenar ese espacio con el conjunto de objetos más valioso, sin exceder los límites físicos de dicho espacio. La segunda versión consiste en dividir a un objeto en varias porciones de diferente valor, el problema consiste en encontrar la división de mayor valor. f) Problemas de inversión. Se supone por ejemplo que el organismo Nacional Financiera S.A., tiene que escoger una alternativa en cada uno de tres proyectos de inversión. El primer proyecto está relacionado con la construcción de partes de generadores eléctricos. El segundo proyecto con el ensamblado de esas partes de generadores eléctricos y el tercer proyecto con la distribución y venta de los generadores eléctricos incluyendo a su posible exportación. Cada proyecto tiene una serie de alternativas. Asociadas a cada alternativa se tiene calculado el valor presente del retorno total de la inversión (en millones de pesos), el número de empleos que se generan y el flujo de inversión (en millones de pesos) que se necesitan para los próximos 5 años. Las restricciones del sistema son que no hay capacidad económica para generar más de 10 mil empleos y que los flujos máximos de capital son 700 millones en el año 1, 300 millones en el año 2, 150 millones respectivamente en los años 3,4 y 5. ¿Qué alternativas conviene seleccionar de los proyectos I, II y III a fin de maximizar el ingreso total neto anual? g) Problemas con costos fijos. Todos los problemas que en su función de costo influyen un costo fijo del siguiente tipo Costo total para la variable = f ( )= pertenece al grupo de problemas enteros. Este tipo de costos aparecen frecuentemente en problemas de transportes, inventarios, localización de plantas, distribución geográfica de electores, etc. h) Problemas de cubrimiento y partición de un conjunto. Este tipo de modelos de carácter entero se ha utilizado en problemas de acceso de información, programación de entrega de paquetería por transporte terrestre, distribución política electoral, problemas matemáticos de coloración y programación de horarios de tripulación aéreos, ferrocarrileros, terrestres y marítimos. i) Dicotomías y problemas de aproximación. Una dicotomía ocurre en un programa matemático cuando se tienen condiciones de tipo esta restricción o la otra restricción, pero no ambas. Este tipo de condiciones se pueden representar por medio de una estructura entera. j) Balance de líneas de producción. Este tipo de problemas consisten en decidir qué actividades deben se desempeñadas por cada trabajador, a medida que un producto se desplaza por una línea de producción. El objetivo consiste en 0 , si = 0, 0 ≤ ≤ , j=1,2,…n + , si > 0 minimizar el número de trabajadores (o estaciones de trabajo o actividades) en función de una tasa de producción.

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k) Asignación cuadrática. Este tipo de problemas apareció en los problemas de localización, existe un conjunto de n posibles lugares en donde se piensa construir n plantas industriales m