Investigacion de Operaciones TRANSPORTE Y REDES

 

MODELO DE TRANSPORTE  El Modelo de transporte es una clase especial de problema de Programación Lineal. Trata la situación en la cual se envía un bien de los puntos de origen (fábricas), a los puntos de destino (almacenes, bodegas, depósitos). El objetivo es d determinar eterminar las cantidades a enviar desde cada punto de origen hasta cada punto de destino, que minimicen el costo total de envío, al mismo tiempo que satisfagan tanto los límites de la oferta como los requerimientos de la demanda.

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

 

Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demand demanda a en cada destino.   El costo de transporte unitario de la me mercancía rcancía a c cada ada destino.

Tenemos una red de carreteras. Hay varios puntos donde se va a producir algo y otros puntos donde se va a demandar algo. Conociendo los costes de transporte, hay que elegir el camino para que el coste sea el mínimo posible. Elegir desde que centro de producción atenderemos a cada centro de demanda.

Solución: Lo primero que haremos será definir las variables:  

Pi  Producción máxima de cada centro i   Cij Coste de transporte de un centro i a un centro de demanda j   dj  demanda máxima en cada centro j Función Objetivo: (Minimiza (Minimizar) r)  

Σ Xij * Cij  Cij 

 

Siendo Xij lo que producido en el centro i vamos a mandarlo al centro j. S.a.:  

Para todo i: Σ Xij ≤ Pi  Pi    Para todo j: Σ Xij ≥ dj   Para todo i,j: Xij ≥ 0 Este problema se podría complicar dando nuevas restricciones como podrían ser el tener una demanda máxima y otra mínima. Lo mismo se podría aplicar a la producción. Otro tipo de restricciones que se podrían podrían introducir ven vendrían drían dadas por la aparición de almacenes intermedios. En ellos podríamos almacenar lo que hiciese falta, para repartirlo en otro momento por otros vehículos. Esto sería un modelo de transbordo. También se puede dar una capacidad máxima a cada almacén.

TÉCNICAS DE SOLUCIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE  

MetodoVogel 

En el método de vogel jugamos con los costos más pequeños de cada fila y de cada columna

PLANTA_1:2

T_1:8 8

T_2:0 T_3:2 8 10

T_4:6 6

T_5:2 10

19

12

14

28

14

12

25

17  17  PLANTA_2:6,2,6 PLANTA_2:6,2 ,6

0

6

8 10  10 

PLANTA_3:2

10

12 11  11  11

7  8

1  13

24  24  7

17

24

72

menores en este caso (8Por ejemplo en la columna 1 se restan los costos menores 0=8) y así sucesivamente con cada fila y con cada columna.  

Método Costo Mínimo

En el método del costo mínimo buscamos saturar las filas y columnas con el menor coste de envió con el fin de encontrar una solución optima.

 

  PLANTA_1

T_1 8

T_2 8

T_3 10

T_4 6

T_5 10

19

12

14

28

14

12

25

2  PLANTA_2

0

8 11  11 

PLANTA_3

12

17  17  6

10 10  

7  8

10 1 

11

13

24  24  7

17

24

72

Por ejemplo en la columna 1 fila 2 el 2 el costo de envio es cero por lo tanto es el menor coste y por el comenzamos, luego tenemos dos opciones, fila 2 columna 3 y fila 1 columna 4; Donde el coste minimo es 6, en este caso podemos escoger cualquiera de los dos, y asi seguir saturando las filas y columnas teniendo en cuenta el menor coste.  

Método Solución Optima 

En este método partimos de la solución de la esquina Noroeste, teniendo en cuenta las variables de decisión X, Y. en donde cada iteración o movimiento forma una ecuación.  Así, las variables X y Y representan filas y columnas. columnas. X_1 + Y_a =8 X_1 + Y_b = 8 X_2 + Y_b = 8 X_2 + Y_c = 6 X_2 + Y_d = 12 X_3+ Y_d = 14 X_3 + Y_e = 12 Igualando a cero x_2

X_1 0 X_2 0 X_3 2

Y_a:8 8 0 12

Y_b:8 8 11 11   8  8 5  10

Y_c:6 10

Y_d:12 6

Y_e:10 10

19

6

12

14

28

12

25

7  8

16 16   14 1 

11

13

7

17

24  24  24

72

 

ALGORITMO HUNGARO El Algoritmo Húngaro sirve para reemplazar los métodos tradicionales de la Programación Binaria, que implican muchos cálculos, aprovechando la forma especial que tienen los problemas de Asignación. Los siguientes pasos que se presentan a continuación son para minimizar, pero con algunas modificaciones se puede emplear también para maximizar.   Si la matriz no está balanceada, balancearla incluyendo las filas o columnas ficticias necesarias.   De cada elemento de la matriz res restar tar el mínimo v valor alor de cad cada a fila.   De cada elemento de la matriz res restar tar el mínimo v valor alor de cad cada a columna. Realizar la Asignación de la siguiente manera:  

Cada cero que s se e encuentre en la matriz significa que s se e puede as asignar ignar esa fila a esa columna, pero una vez hecha esta asignación, ya no se tendrá en cuenta todos los demás ceros de esa misma fila y esa misma columna, debido a que sólo se puede asigna asignarr una fila a una columna.

 

Buscar de arriba a abajo la fila q que ue tenga menos ceros, pero que mínimo tenga uno. (Pues si no tiene ninguno significa que esa fila no se puede asignar a ninguna columna) y asignar esa fila a la columna donde está el cero (puede ser el primer cero que encuentre de izquierda a derecha). Tachar esa fila y esa columna para indicar que ya fueron asignados, para que los demás ceros de esa fila y esa columna no se tengan en cuenta. Repetir este paso hasta que haga todas las asignaciones que más pueda. Si todas las filas quedaron asignadas a todas las columnas el problema ha finalizado y esa es la solución óptima, sino será necesario utilizar el método de Flood (también se llama condición de Köning).

Ejemplo:

OPERARIOS

MAQUINAS 1

2

3

4

 Antonio

10

14

16

13

Bernardo

12

13

15

12

Carlos

9

12

12

11

Diego

14

13

18

16

Planteamiento del Modelo Primal:

 

MIN W = 10 X11+ 14 X12+ 16 X13+ 13 X14+ 12 X21+ 13 X22+ 15 X23+ 12 X24+ + 9 X31+ 12 X32+ 12 X33+ 11 X34+ 14 X41+ 16 X42+ 18 X43+ 16 X44 Sujeto a las siguientes restricciones:

 Aplicando el método Húngaro Húngaro tenemos:

1 

2 

3 

4 

 A

10

14

16

13

B

12

13

15

12

C

9

12

12

11

D

14

16

18

16

Restamos 10, 12, 9 y 14 (costos mínimos de cada fila) de cada elemento en cada una de las filas f ilas correspondientes:

1 

2 

3 

4 

 A

0

3

6

3

B

0

1

3

0

C

0

3

3

2

D

0

2

4

2

En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood):

 A B

1 

2 

3 

4 

0 0

3 0

3 0

3 0

 

C

0

2

0

2

D

0

1

1

2

En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood):

1 

2 

3 

4 

 A

0

2

3

2

B

1

0

1

0

C

0

1

0

1

D

0

0

1

1

Solución Optima Unica:A-1, B-4, C-3 y D-2.Lo anterior quiere decir que Antonio va a laborar en la máquina 1 (10 horas), Bernardo en la máquina 4 (12 horas), Carlos va a trabajar en la máquina 3 (12 horas) y Diego en la máquina 2 (16 horas). La combinación óptima de los recursos para este problema de minimización de asignación es de 50 horas, resultantes de adicionar las asignadas a cada uno de los operarios en cada una de las máquinas. Dicho valor corresponde al valor óptimo de la función objetivo.  objetivo.  

MODELO DE LA RUTA MÁS CORTA Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino. Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino.  Algoritmo de la ruta más corta:  

Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercan cercano o al origen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo n -ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.)   Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodo nodos s más cercanos al origen origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la

 

distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.) r esueltos.)   Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.) cada da nodo resuelto y sus   Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para ca candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia.

MODELO DE FLUJO MÁXIMO Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino. Características:  

Todo flujo a través de una red conexa dirig dirigida ida se origina en un n nodo, odo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.   Los n nodos odos res restantes tantes s son on nodos de trasb trasbordo. ordo.   Se permite el flujo a través de un arco sólo en la la dirección  dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo.   El objetivo es maximizar la can cantidad tidad total de flujo de la fuen fuente te al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino. El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación de  programación lineal, se puede resolver con el el método  método simplex y usar cualquier   software.  software.  Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada.  Algoritmo de la trayectoria de aumento aumento para el problema de flujo máximo: máximo:  

Se identifica un una a trayectoria d de e aumento e encontrando ncontrando a alguna lguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (Si no

 

existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo).   Se identifica la capacidad resi residual dual c* de esta traye trayectoria ctoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.   Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.

ADAPTACION DEL METODO SIMPLEX A PROBLEMAS DE TRANSPORTE El problema de transporte es una de las primeras aplicaciones importantes de la programación lineal. Se puede representar con un modelo lineal y utilizar el método simplex para resolverlo. Sin embargo, dada la estructura especial de este modelo lineal, se puede construir un método más m ás eficaz para su resolución.  resolución.  Ejemplo: Supongamos que una empresa productora de barras de pan tiene dos almacenes A1 y A2 desde los cuales debe enviar pan a tres panaderías P1, P2 y P3. Las ofertas, las demandas y los costes de d e envío se dan en el siguiente grafo.

 

Para plantear un modelo lineal que represente el problema definimos rij: cantidad de barras de pan que se envían desde cada origen Ah i = 1, 2, a cada destino Pj, j = 1, 2,3. El modelo lineal para este problema es el siguiente:

En este caso las restricciones se pueden escribir con igualdad porque la suma de ofertas es igual a la suma de demandas. Para observar la estructura de la matriz A escribimos el modelo de la siguiente forma:

 

En este ejemplo hay 2 orígenes, m = 2, y 3 destinos, n = 3. La matriz A tiene 2 + 3 filas y 2 x 3 columnas. Se puede comprobar que el rango de la matriz eso. Por otra parte, todos los vectores columna tienen solamente 2 componentes iguales a 1 y las demás son O. Si denotamos los vectores columna de la matriz A con dos subíndices, es decir, a11, a12, a13, a21, a22, a23, podemos observar en qué posiciones aparece un 1 y en que posiciones aparece un O. Por ejemplo, el vector a11 tiene un 1 en la primera posición y otro 1 en la posición in + 1; el vector a21 tiene un 1 en las posiciones 2 y en la m + 1; el vector an tiene un 1 en las posiciones 2 y m + 3. En general, podemos decir que un vector Ni de la matriz A tiene un 1 en las posiciones i y m+ j. o En general, la matriz A y su estructura dependen del número de orígenes y destinos. Cualquier problema de transporte de m orígenes y n destinos tiene la misma matriz A. Esta matriz tiene m + n filas y m x n columnas. El rango deA es m + n — 1, es decir, las bases están formadas por m + n — 1 vectores. Los vectores columna de la matriz A tienen solamente 2 componentes con valor 1 y el resto son O. Para un vector de la matriz A los unos están en las posiciones i y m + j. Por tanto, los datos importantes de un problema de transporte son el número de orígenes, el número de destinos, las ofertas, las demandas y los costes de transporte. Esta información es la que se recoge en la que llamaremos forma matricial para el problema de transporte.