Introducion a Tensores

March 23, 2018 | Author: EDuardo Mafla | Category: Tensor, Vector Space, Euclidean Vector, Linear Algebra, Theoretical Physics
Share Embed Donate


Short Description

Download Introducion a Tensores...

Description

UNIVERIHOAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE DE MEDELLIN FACULTAD DE MINAS Departamento de Ingeniería Civil

INTRODUCCION AL CALCULO TENSORIAL

Carlos González Rodríguez Profesor Asistente



Medellín,Agosto de 1978

UNAL-Medellín

~~

6 4000 00055964 4

INDICE

l'

II

' d.:l. SES RECIPROCAS

1 3

III

COORDENADAS CURVILINEAS

7

IV

TRANSFORMACION DE CANTIDADES

16

VECTORES CONTRAVARIANTES y VECTORES COVARIANTES

20

TENSORES

36

VII

ALGEBRA TENSORIAL

42

VIII

TENSOR METRICO

51

GEODESICAS y LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL

67 .

DIFERENCIACION DE LAS COMPONENTES TENSORIALES

85

XI

TENSORES RELATIVOS

99

XII

TENSORES CARTESIANOS

118

BIB LIOG RAFIA

138

v \;1

IX

x

l

, BREVE NOTA HISTORIA

,

i

-/66'69

CAPITULO 1 BREVE NOTA HISTORICA

El desarrollo del cálculo tensorial (también llamado análisis multilineal) se haya ligado al desarrollo de la geometría diferencial; el trabajo de Karl F. Gauss (17771855) sobre la geometría intrínseca de las superficies curvas bidimensionales fué generalizado por Bernhard Riemann(182 6-1866) quien desarrolló la geometría ir:.trínseca para superficies no euclideanas de n-dimensiones (manifold s) ; en un manifold . n~imensional cada punto está definido por n coordenadas y en el caso n~ tenemos una superficie no euclideana que es el único tipo de manifold que 'podemos captar intuitivamente. En 1827 Gauss mostró que las propiedades métricas de una superficie se pueden expresar por medio de los coeficientes ] (ir j=l, 2 ) t de la siguiente forma diferencial: TI

TI

3

~ ~%I ~

d U;a. d V,

+

J2.l. d. Ul.. duz.

I

-..s¿ d

siendo el cuadrado de la distancia entre dos puntos de la superficie infinitamente cercanos y d (J, I d th son los diferenciales de las coordenadas intrínsecas de la superficie o coordenadas gaussianas. Riemann generalizó en 1854 esta fórmula para" superficies" de n dimensiones así:

-

J

(i, j = 1 ,2 ...... n)

J

Por medio de los coeficientes LJ' quedan determinadas todas las propiedades métric;::as en el manifold, por ejemplo, longitud de curvas, ángulo entre curvas, "areas" sobre manifold¡ etc. Después de 1868 se despierta el interés de los matemáticos por algunos de los puntos tocados por Riemann en sus trabajos; Christoffel y Lipzchitz introdujeron el copcepto de diferenciación covariante, Beltrami y Kronecker e s tudiaron la curvatura de varios espacios y superficies n-dimensionales. Jordan generalizó las fórmulas de Serret-Frenet para curvas en el espacio n-dimensional.



Todos estos trabajos abrieron el camino a la gran generalización que hizo el geómétra italiano G. Ricci (1853-1925) a quien se considera fundador del cálculo tens~)fial; Ricci se apoyó en la métrica desarrollada por Riemann y en la diferenCiación covariante de ChristofÍel ; el profesor Tullio Levi-Civita, gran impulsador del cálculo de te nsores afirmó: "el desarrollo de los tensores como una rama sistemática de las matemáticas fué un proceso posterior I el crédito del cual se debe a Ricci quien durante los diez afias desde 1887 a 1896 elaboró la teoría y realizó la elegante y compre r:.siva notación que permite adaptarla fácilmente a una gran

2

variedad de temas de análisis

I

geometría y física".

El éxito de Ricci se debió a la gran intuición que tuvo cuando percibió que las propiedades de la geometría riemanianna son propiedades de ciertos ve ctores y tensores covariantes y contravariantes; esto le permitió simplificar de un modo notable todos los estudios anteriores a la vez que abrió horizontes para nue• • • vas lnveStlgaclones. El cálculo de Ricci despertó el interés general luego de que A. Einstein hizo uso de él en su formulación de la teoría general de la relatividad (1913-1916) ; en su teoría, Einstein necesitó trabajar con un espacio riemanniano de cuatro dimensiones y encontró que toda la herramienta matemática necesaria ya había sido elaborada por Ricci. Finalmente, en 1917 Gerhard Hessenberg en su obra sobre la fundamentación vectorial de la geometría diferencial presenta un nuevo punto de vista sobre los tensores ; según Hessenberg un tensor puede ser mirado como una forma multilineal homogenea dada en vectores base y que es invariante bajo transformación de coordenadas; el tensor se compone así de un conjunto de escalares ( componentes del tensor) cada uno de ellos adscrito a un grupo de vectores base; según esta presentación, un vector es un tensor de orden uno porque es una forma lineal homogénea de vectores base esto es: -;--.

siendo 1.."

...... =. A, A

.., l~

il

-

~

+ Al t.'~+ A3(:J

~

J

(..3

base vectorial en tres dimensiones.

Las componentes del tensor cambian al cambiar de sistema coordenado pero el tensor mismo permanece igual, es un invariante. En nuestra presentación trataremos algunos temas desde este punto de vista que desarrolló Hessenberg.

I

CAPITULO II BASES RECIPROCAS

A-

VECTORES BASE: En el espacio tridimensional cualquier conjunto de tres vectores no coplanares puede servir de base a todos los vectores de ese espacio, es decir, todo vector A puede expresarse como una combinación lineal de esos tres ya que siempre es posible construir un paralepípedo tal que una de sus diagonales tenga la magnitud y dirección de A y que los tres lados partiendo de uno de los extremos de esa diagonal tengan respec'tivamente la dirección de los vectores base; -..,

lla.>

a'i ' a:2, "a3 : vectores base

Q.,

B-

BASES RECIPROCAS: S I·....,. al, -'"' aZ' -. a3 represen t an una b ase y se definen otros tres vectores ~l,

~2 ,a 3 de la siguiente manera: 2-1

-d -=

~

......,

Q.'1.. X. Q.').



J

le\; Ci"~ a')1

- -Ch .-.., con: [ ct, Q:\ )

= a.,. ( a.- '2)C a.')) ::

a. -a. LJ'1 ::.

.,.....,. ( o.~"

I lt

- , "'1. a."l ~ entonces las dos bases ...;.,. a, -a~ - al ya:. Cl. 1 se llaman recIprocas; como se puede apreciar de la definición los vectores a' 0..1. 0...' son respectivame ;-¡ :: --.. • \ entonces los al Q.l..Q3 tambien seran unitarios ya que a.. a. = l Y como la. . :. I J

;

-......

___

--"

al..

al ;

a -a1.

:..-"'7

\

a: \.=

I

y

\

Q'L \ :: \ Q3 \ = I

Veamos un ejemplo ilustrativo sobre bases recíprocas: tenemos en el espacio bidimensional dos vectores base unitarios y eh dirigidos a lo largo de los ejes Xl I XZ (después encontraremos justificado el que los vectores bases lleven subíndices y los ejes correspondientes superíndices) ;construyamos la base "recíproca el I ,

al

a'"

.





'.

~-.-~----~------------------ Xl

-

,

"



). •





X,

6

De 2-1) vemos que QI debe ser normal a ~ (o sea estar sobre Xl' que forma ángulo recto con X2 ) y 1. no.!:,.mal a (osea es tar sobre X2 que forma ángulo recto con Xl )¡ del extremo de QI y bajemos a los ejes Xl X2 líneas que sean perpendiculares a Xl X2; vamos a demos trar que los vectores así obtenidos son los vectores ( recíprocos de ( a.)i~ ) ; para esto debemos -... • -e: demostrar quE2,. estos vectores satisfacen 2-3) o sea al. QJ' == J.j , tenemos: al = 10. Sentr; pero en el triángulo corre spondiente a tenemos Sen fT .::. L =;7 rá.'l= ltr.lhen-9- =-~

a

,

al

a7..

a, a1. )

1\ \a.: \ Jet. ra'\

a·.

.

a. al ,

1-

-al. -QI :: \-LQ, 10,11

-.a . al..---

j~-&:::.

I

porque

.5.:.M e-

uni taria'; ademá s

=

o

porque

.....,.

....,.

VI \ V"" 4 A ...L-;'\

.......

---

. a.

es



De la misma manera se demuestra Q'l., Ql.. =.t. Y a1..,a. = O por lo tanto se cum""'"' pIe: aj ~; o sea si los vectores (O"Cl1.. ) son unitarios su base recíproca está formada por ( "O.! ;a.') obtenidos como se indicó arriba.

al',

CAPITULO III

COORDENADAS CURVILINEAS

En física existe un gran número de problemas que se pueden resolver mas fácilmente si se trabaja con coordenadas apropiadas al problema que de resolver se trata, es decir, las coordenadas cartesianas no son siempre las mas convenientes para todo tipo de problema; así por ejemplo si estudiamos el flujo de calor a través de una esfera, evidentemente lo más práctico es trabajar con coordenadas esféricas; si estamos calculando la longitud de un arco de circunferencia lo mas conveniente es trabajar con coordenadas polares ( es decir, cilíndricas en un plano) ya que en e ste caso SCI. \,:;. f8-7

-?

Si los . Ch forman una triada ortogonal entonces como ya sabemos, los V Xt: coinciden con los a.l' o sea las dos bases coinciden ( esta coincidencia es por lo menos de sus direcciones y si los son unitarios también coinciden en magnitud). ~

ar.

Para terminar es te capítulo apliquemos lo anterior a un tipo simple de coordenadas curvilíneas, las cilíndricas; en este caso se cumple: '-j I

~

;:..

~

Y

1.. ;::: Y

4¡;10..

.s,..t..v¡ e-

\)3;:: ~ &

=-

....,

X"¡,'J "\:;:::

siendo ( '1" :f . . , ':J") ) coordenadas cartesianas y 1 J gún la nomenclatura con que hemos venido trabajando ; e s decir: 3- 8) , ..r _ ;:,L I

J'2,-::' .xl Los vectores

----?

-

0-., C1l.,

--':>

a..:J

C} ~j~

dX,



(.

.5~

::r. '2.

)

'53

~ ~3

son: -'9

4-



--'>



d ':Í~ (, .f _d1 1, (3 -C7 x.. eXI

'"

se-

--

,

~

.":>

::t...."l (, 1- ,)- ""j J

d J.

+

;JX; ;;; 'j 't

el J-z. + ~;t.'l:. el 13 ::;;. ;;J

d ~ t;; dX,=- d 1L' (sumando ~

:s ~

3

8

l:. ,

X:z.. d'" ' ;;>::1"

JL

sobre i= 1 ,2 , 3 )

'j¿,

d ~~ -./ = ~ 9~3 d!L'::;;' L... ;;11' l·;:'

.

X d,;)'jt' 3_

~Jl'



Las tres expresiones 4-1, 4-2, 4-3 se pueden expresar en una sola: 4-4) -v' d '-"'-J

~

d_- .::ti

d

1t'

d Jlit'



,

Aquí como sabemos debemos sumar sobre el índice repetido en un término en este caso ( i); el índice j varía tomando los valore s j= 1, j= 2 I j= 3 Y en cada caso nos dá las ecuaciones 4-1), 4-2) I 4-3), Esta forma 4-4 es muy útil para trabajar ya que con una sola ecuación estamos escribiendo 3 ecuaciones cada una con tres términos a la derecha del signo igual; el índice j lo llamamos índice libre ( free index) porque no se puede cambiar por cualquiera otro sin cambiar el valor de la expresión ( lo cual no ocurre con el índice vacío); cada valor del índice libre, dentro del rango de valores que puede tomar él, nos dá una distinta ecuación así como en el ejemplo la variación de j de uno a tres nos produce las tres ecuaciones anteriores. Otra cantidad que podemos estudiar c6mo se transforma es cP (JI, ':f'l~'f3 ),función escalar de punto; este es el caso por ejemplo de la variación de la temperatura en el interior de un cuerpo; si cambiamos de coordenadas, cp ( ' '!, ';f? )'3 ) se convierte en ~ ( ;t, ,.:ir,.x~ ) ; nos interesa apreciar cómo se transforma cada una de las componentes del gradiente de cp ) cuando hacemos el cambio de coordenadas, tenemos:

c; ( Ti

(según la convención de Einstein) ; tenemos pues:

18

Similarmente:

)

E s tas tres ecuaciones se escriben en una sola así:

__

a~

C)

':!L' ~

~::t.j'-

d.x.j' é)'ji

; aquí

j toma sucesivamente los valores

1,2,3 dando lugar a las tres identidades anteriores y en cada una' de ellas ( o sea para cada valor de j) hacemos la sumatoria para i desde uno hasta tres. Como un ejemplo final de transformación de cantidades transformemos el delta de Kronecker ~f si llamamos &~: al delta referido a las coordenadas , ( J I I j'L. • 'j 3 ) Y el delta referido a ( ~I I :x:: 'L.:l::., ), en tonces ~7 se

;

&!

'1

SI(

transforma en

a través de la siguiente expresión:

4-4)

; al lado de la derecha

hay una doble sumatoria porque hay dos índices repetidos i, j; si efectuamos en extenso esas operaciones resulta:

4-5)

'i..

~ 1( = + +

d::J../" ~I ~: d

'J

I

OlX K

d;:C~ d 'jI d 'jl.

d;(1(

crJ(/' ~ ~~ -;;) ':f 'd .xl(

+



+

.;)1'

2

;;J 'j? é):X t<

~~

rr ~~ p:t~ d J'~ b; + é).:í! d '1: S~ .,;)':$3 ;;X" dJ3

Oi.i d.x.~~ ~~ + ~~ + é):1 :;>.xl( d 'p.

c>;i~=.d ~'.. ~:~ +

3 1 -c>.x~

dX • d

j

• •

.!t

9:;(1(

a,xK

J~

Vemos que para cada par de valores ( J(-t ), ~ conteniendo a ~:. .

K

es la suma de 9 términos



Como sabemos que

(J/. c)

vale 1 para i=j, Y vale cero para i +

=1 j

resulta 4-5:

por

'.

19

tanto:

I

3

S! . L •

S)

x,~ ;oj~ ,

;)'JL

a.:X ,.,.

-

l .:; I

-a .:x:.. .( a ,.;x:. K.

• •

4 - 6 ) I pero . como sabe-

mos que ( ::lL 1) x'Z.. ) son variables inde¡endientes (definidas en 3-1) -ax-} entonces vale 1 si ~=- J< ( ?X A -:.., ) y vale cero si -l =1= >< ;;;:x. 1(, 'dX J' J es decir e s correcta la fórmula que nos transformó d (. en ( j " ; vemos aquí

(

r:

que la convención de Einstein nos comienza a reportar beneficios pues es muy sencilla y concisa la expresión 4-4 comparada con 4-5; a partir de. 4-4 podíamos haber llegado más r~pidamente a 4-6 sin necesidad de haber desarrollado en e xtenso como en 4-5; para hacer esto volvamos a 4-4: 'J2 _ dX_t. ~:1 L' ~ ~. , el lado de la derecha se SI< - dji ~.x>( ( anula cuando que es la misma 4-6.

y

j'

&i

I

se hace uno cuando i = j

~';:L#. :::.:C>::f.. d J -:. d . 1< é) 'JJ' d-X le

"? ¿).a

1

a x'"

CAPITULO V VECTORES CONTRAVARIANTES y VECTORES COVARIANTES

En el capítulo anterior vimos como se transforman los diferencia les d 'j i en los diferenciales d U al cambiar de las coordenadas ( /j, J ~l.J :! ~ al siste.n:a ( :::L, Xt X, ); esta transformación es : 4-4): Jx,. =-: iJ1L J "t' I I J d rL' ct

)

,,

aquí cone ya sabemos se suma, para cada j sobre i desde uno hasta tres; lo que tenemos en 4-4 son tres ecuaciones; podemos ver los d~f como las componentes del vector J:Y-;' =d ~I L? + cLjz + d.j, L3 y los d'XJ f

it

las componentes de ese mismo vector referido al nuevo sistema curvilíneo I -v \ d. ----. \ --:-'" ,-;"," \ --;? .l"""'X"X,) osea "( == d.:l-, LI 4-~:(Zl2 + q.:i.) [3 aSl pues 4-4 nos dice e omo se transforman la s componentes del vector cl.. Y al cambiar del sistema al -:::4'. Por deÍinición vamos a decir que las componentes de d7 se transforman contravariantemente porque se -transforman según 4-4; podemos generalizar y decir que si las componentes A~ de un cierto vector expresadas en co~denadas ( 'J, :11- J"3 ) se transforman en

tt'

Al

A

componentes del mismo vect0.r de modo que 5-1): 1. a -:::f-J ~ A.!;:: -G) jL'

A

Al

pero referidas a un nuevo sistema ( :L1.xl.~) entonces el vector

,A'"

es un vec-

tor contravariante; , , notemos en primer lugar que el vector como tal no ha cambiado, las A t Y Al se refieren al mismo vector, lo que ha cambiado es el valor de sus componentes porque cambiamos de sistema de coordenadas de (

'11 '1z

~3)

a (Xl I -.L 1., :x. 3 ) ; notemos también la similitud de 5-1) con 4-4); ambas ecuaciones nos dicen que un vector es contravariante si las nuevas componentes ( ó sea componentes en ::te:) se obtienen a partir de las viejas componentes (ó sea componentes en ~l') multiplicando estas por la derivada, par?ial de las nuevas coordenadas con respecto a las viejas coordenadas y tomando en

(s;?,..:t.J_) 2)jL'

este producto sumatoria con respecto al índice i (índice mudo). De ahora en adelante identificaremos con superíndices las componentes de un vector contravariante ; por lo tanto como el vector d. "("es contravariante la ecuación 4-4) se debe escribir con superíndices así:

Estos superíndices no significan elevación a potencia sino que se usan para identificar los vectores contravariantes. Ahora, vimos anteriormente que las componentes del vector gradiente de una función escalar (~, ':17... 'f"3' se transforman al pasar al sistema ( :tI :X2..A3)

cb



21

según la fórmula:

a(j;

-

5-2)

-

-

-7

Decimos entonces, por definición, que las componentes del vector \l éP se transforman covariantemente porque se transforman según 5-2; nuevamente hay que cecir que el vector como tal permanece inalterado, cambian solo sus componen~es; podemos generalizar y decir que si las componentes· AL' de un -:>

A

vector

t

se transforman en

según la ley:

'-< L'

I

Al = .~~. A ¿

5-3)

Al

entonces

el vector

es un vector cova-

riante. ~~

Notemos que 5-2) es un caso particular de 5-3) el caso en el cual el vector A es ~ ; para los vectores covariantes utilizaremos. subíndices; la ecuación

5-3) que define un vector covariante nos dice qu~ las nuevas componentes se obtienen a partir de las viejas multiplicando estas últimas por la derivada parcial de las viejas coordenadas con respecto a las nuevas y tomando en este producto sumatoria con respecto al índice { (índice vacío).

Podemos apreciar que 5-1) y 5-3) forman, cada una, un sistema de tres ecuaciones ; para captar mas intuitivamente lo que expresan esas ecuaciones vamos a • expandirlas, es decir dar a l) los valores que pueden adoptar ( t~J :'/J

Ahora:

Q{ ;::.

-:> Y.

:9

y de

S-6 b)

~•

-;r-:¿ -

a.:x( -2 7 ..

se transforman según S-l e s decir, con-

.¿.

d J' a.:x.c.

a:::L l



3jJ a:).J a:tL-

aY' - -•

aj"

~•

~.

J

pero

.t-

~?

G>:f

l

"8j3 -o.x i

ay

-dJ'! -•

..:-.'/

b~ ~

~

24

5-6 d)

---"77 J

-7

al' b e

; por lo tan to

se transfor-

man según 5-3 es decir covariantemente.

1

Lo que hic:mos fué coger el vector eL en el punto P y descomponerlo según las dos beses (llamémoslas directas por oposición a sus recíprocas que consideraremos a continuación) ll~ ~ 9~. =- Civ,"'. (i -::. (J ) (re cíproco de los "17) s e tra n sforman c ontravariantemente y los correspondie ntes diferenciale s ( d x. /.' para y el para s e transforman en forma covariante.

aL. ( (::;.),

h?:

a(

)

,

Como el vector 5-7 b) resulta: 5-8 ) •

CL

al

Ji

,

~'7

Y e s e l mismo ye s e a q ue s e expres e por 5-7 a ) o por

el -JJ '-{ .

(ca mbi amo s e l índ ice

25



vacío (.. en la ecuación 5-7 b) por el índice vacío



J ).

Ahora¡ ya se demostró lo siguiente (5-6 -d ) ;multiplicando escalarrnente a lado y la-

(uno de

~ do por el v ector a.

~ los recIprocas

-;?',: ) resulta: v-



Y~ -déJ je.'

sión de la derecha



J

j=k

cf sea

es un índice repetido

de suma sobre él



L'.

en la I

expre-

pe ro

(por ser bases recíprocas) nos queda entonces:

--

b

notemos que

-7K

O-

a XK a :::é ~~ -- - f J dj( a:s

,



~~/=

(ya que -?~



1('.0.~

S-lJ)



e igual a cero para j:f=. K ) es decir



--

1

para

a ..:(( =

a

je

.,.-y

Multiplicando 5-8) escalarrnente por

bk

resulta:



f?J .xL' d:í l:=:' ~~ d j j

:::.

d. J t(

dj"

::: ?:t.

5-10 ).

L



.dil'

aJI< -

Similarmente: en 5-6-c): 1¡ n

"'"\ 1I J

• --?

o JI.

- - -. DJ 8:11.

-?{

mente por

,

• hemos demostrado pues:

multiplicando ambos lados escalar-

resulta: •

--'?

- ..,

81 ~ oJ • blA. -- (71 e I .

al -

1



a:r t

~

~/

-:..

aJI{ ,

.....,.



r3.:X- L



26 Por lo tanto si multiplicamos -.0:.,

-QI(

5-8) por

resulta: •

--,

a. al( l

,

d x. ~ ~ el::t

'8 'jJ~

l.' :::.

l.'

:;::

-o.x" el. x

pero:

s-u:

-=---'9

K

ax'"

Vemos de 5-10 Y 5-11 que los diferenciales d.Xl.'} d j (' se transforman covariantemente, por lo tanto está justificado que los describamos con subíndices. Hay que anotar que las variables ,::;c) '1) tienen superíndices en todas las derivadas parciales porque se refieren a derivación directa obtenida de ecuaciones ~l' = 'lt' ( X,) x .. , X3 ) y Xt..' = x. L ( 'j,) J2.)~:J ).

-al'

Demostremos finalmente que los vectores recíprocos de los sea los L' y los 1"t..' se transforman contravariantemente.

a

-?

El vector d -r se puede escribir en cualquiera de las 5-7b: es el mismo vector referido en el caso 5-6 a a ,...,. -i> , 5-6 b a la base J:lL', en 5-7a a la base a L (siendo recíproca de y recíproca de

a(

-9

.ht.':;:::'

5-12)

--:-? 'f( XL' ¡--?

d ...,. ::

re

al'

y los

o

formas 5-6 a, 5-6b, S-7a, la base de los -=" Ql' , en 'T"'> ' yen 5-7 b a la base~t. '1~ , siendo =. :O' y

a:·

ax{'

~

),

J Y'"

Igualemos la expresión de -J'

-.

aLclxl.';:: .b

\

ti

'j j

según 5-7a y 5-7b, re sulta:

;hemos cambiado el índice vacío i por j en •

5-7b; de 5-11 tenemos: ( j

d;(L

:::>o

~ d .1J' oX(

índice vacío) entonces en 5-12 •

.C) j~

d 'Jj

:=

é)~1

Ci (

@~': el ~J -

-.b

J

; -> ,

el:t' ::: o

;;-3;:>

d;l.'

5-13 )

; esta ecuación contiene tres térmi-

nos ( j= 1,2, 3 ) cada uno de ellos con un paréntesis que contiene tres cantida--? , ( i= 1 ,2 I 3 ) I C o m o los d '5 J s o n in de pe n des aL ~, ~,J.

a ;t..t'

27

• dientes entre si ( j :=. ¡, z) 3 ) entonces los términos entre paréntesis se deben anular para que se cumpla 5-12 , por lo tanto:

5-14)

Similarmente: si en 5-12) reemplazamos 5-10 ( es decir 1J ~ q::t~ d. X ('

el.

el lJ'

;;;~J



-

8X':-

él'Ji d.1l.' ;::

I

\

d;;!" - ':.

a 'jJ

'a

r -111-0..)

;,J

por su valor que se obtiene de ) tendremos:

d

XI.: ";:

f.::)

-=---'='?

7p

:::: O

:::!:::¡

- ? L' _-

5-14 Y 5-14a.nosdicen que los vectores se transforman contravariantemente. Queda por lo tanto justificado expresar tro :fOrma s: .

eLY' de

cualquiera de las siguientes cua-

• -'7

5-15

j:j - el :t aL' L

d:v -- djL b -->'>. d7 ::: d eL L d:7 ~ dJl b L'

:tL'

L

En esas expresiones se debe sumar sobre i. --;>

En el caso de que en el punto P se tenga un vector ~

J y'

.

A

diferente del vector ~,~

¿como lo podemos expresar en las bases recíprocas Q

lJ

al' del

coordenado (

t" T7, :t.1:t 1. X'3 ) Y en las bases recíprocas () "') .(J L J ,

coordenado (

ji, 1"t. 'i -; I

sistema

del sistema

)?

En primer lugar debemos ver al vector

-"'7

A

como un vector fijo en el punto ' P

por lo tanto lo que vamos a encontrar es la expresión de sus componentes según cuatro bases diferentes; ahora este vector es igual a K cf7 siendo K

-¡;;'

,

28 ~

-4\:I

un escalar y J V un vector infinitesimal en la dirección de A: entonces como -::-7 A es invariante (es fijol su magnitud y orientación en, el espacio no cam, bian) K tampoco cambiará al cambiar de coordenadas ::t.'" a J" o viceversa; por lo tanto si cada una de las ecuaciones 5-15 las multiplicamos por la constante 1 (' !J

-?

Como se ve I dado un vector A sus componentes según los vectores bas9s covariantes ( ya sea a~' ó se transforman contravariante~e.nte y s1!s L ) se componentes según los vectores bases contravariantes ( ya sea aL 6 transforman covariantemente; por lo tanto si en un punto P tenernos un sistema coordenado ~'=- XL' ( ~.) J ,-.1,,) ) L::.. ',"l. ) si los vectores base .,. directos son = a.:i. y los vectores base recíprocos son = 'l:Lt:. entonces

Et )

b

al'

tri

;:)::t. "

cualquier vector guientes: -A=?'

A"

AL =

se puede expresar de cualquiera de las dos maneras si--"7"7 A ~l . ' al::'

L U

--:-"?

A modo de ejemplo: si en un plano tenemos un vector 'A este se puede descomt como se muestra en el dibujo siguiente: poner según las tl~ o según

a



29

x' -'1

Aa. a

\

"

"

"",

\

\

, \

\ \ \

, ,

, " --------).,.

-

al

OPERACIONES CON VECTORES EN COORDENADAS CURVILINEAS -:;.

A

Dadas las coordenadas :i.l' = Xl' ( 1, '11. ~3) un vector cualquiera en un punto P del espacio puede ser repres~nt~do ~egún la base de vectores directos (l~ ó según la base recíproca en general 11"7 puede ser escrito así: 5-16)/\

=

Si tomamos resulta:

Al' a~

Al. eL'

=

-;-'?

f -:-'?

A

A, al

=

aL' ;

-')

ti !J..,. y multiplicamos escalarmente a. ambos lados por (j.'f = At' el(. Zif = AL' ~l = AJ'.::::';)5. J6CL) AJ=A. 211 tenemos así

que las componentes contravariantes de un vector se obtienen multiplicando es calarmente él este vector por los correspo%!ientes vectores bases recíprocos; similarmente se obtiene : 5-16 b) AL' = ó sea: las componentes covariantes de un vector se obtienen multiplicando a este e sCéllarmente por los co·· rrespondientes vectores base directos .

A, lfl

_-JI>

-:-':?

A, --B se 7:' '( j L' eeL', uJ ) =- A' .8J o A 13 el producto escalar

L' : .

obtiene l'

30

-:?

-?

A):B

11. oh + 11 .01

I

es decir: 5-17) A,.a ==- ¡.. ~I +J ; en el caso de que las coordenada3 sean cartesianas entonces las bases 11/ y a1· ( t':. J, '1.)"3 ) l están formadas por vectores unitarios e igualesCa '= á~por lo tanto no hay diferencia entre componentes contravariantes y covariantes de un vector pudiéndose escy:.bir 5-17 así: = A l' lit' = Al 8, + A&.lh + A~ B) que es la expresión para el producto escalar cuando las coordenadas son cartesianas (es decir vectores base unitarios y triplemente ortogonales).

X.E

Otra forma de escribir el producto --? - ?

(

A.S :: '-.A

11

---='7

A. Ir

::=.

•-"')

-";)

(JL'),

(BJ' GJ ) == Al

7f' uj'

aL'.

d lJ'::

l

-¡;:. Bes la •

resulta pues

(Al' al') . (Bi

13j '

(

m . aj')

llamemos

== A ['8/ q

1

-¿.l

u

)

)

pero de 5-2 o: por lo tanto:

\

32

--

suma sobre i, j, k)

I

Corno vimos en el artículo 2)

-

.-...

por lo tanw:

Terminamos este capítulo con un ejemplo sobre componentes covariantes y contravariantes de un vector en coordenadas curvilíneas. Determinemos las componentes covariantes y contravariantes del vector velocidad de una partícula P moviéndose en el espacio en términos de coordenadas cilíndricas

I I --------- -------

,/

/ ./

,/

'<

e

1-

Sean ( ~ I :f"l..,j'}) las coordenadas cartesianas y ( :x. I ,X'1., X-J) coordenadas cillndricas; b relación entre las coordenadas es la siguiente: ~I

-=- y

:1 z...;:.

:J ?> y:

~-e- -=-

x,

~

-y A Jl/Y)-B :.:X I

xt..

.-6.(m

X

7..

::í 3 ::z 1:: ~r=j-,-"l..-+--J-l2· :=.

-L

.:t."L':

Q.Pfccan,

:1"2.

'j ~'

I

33 Corno el sistema .Jt' es cartesiano no hay diferencia ~tr..e la base directa y su , .. .-? reCIproca por lo tanto solo considerarnos una base l, J I j:{2.

a '1"1.. y::t.3

e>x' ax 3

,

~i-L

V

Ü.

ex?.

+-

52:'f: zf \fx%-

a1. ax-z..

?j~

.e 1:'

a..:t. \

VXI

V

:C?I

=-

8~'

dJ:'l. .8x 3

.a12. CLi.2. VX )

.r éUlo éJ 1. "3

a~1..

+- ,:3 'j ~

.C) 'j 'L.

a J~..3

d;L '1-

0' V~)

ax1.. ax'

\Í :t.2.-t

d 1.3 é7::L (..

?~: ~ V~l -+ ~~~ d ~ 31. 3

~ a:J..' V:t. 3

_C)J? V~t ª\(~

é)X'-

qJ J-: fJ:i¿ cLX3

::)~ 1 iL$.../

L

~ .CJ:f3 V~I a.:t."2-

-t

81'

=='9

Q '-1 1

+

(3.:t

1

V:t.1. . ,.

VX3

v;:(-..

as.z. ~.J~ V:t.)

ax; 01 3 ~ d j '3 d:fJ Vx~

a.:t

( 1)

cL :2:.

el-C.-

Esta s tres compon ente s covarian tes tamb ién las hubieramos podido obtener u tiliza ndo l a e cuación 5-17 a} que nos da l as componentes covariantes en función

35 de las contravariantes; en este caso 5-17 a) queda:

5-24 ) Encontrel"!10S los ~I'J' ; en e 1 ejemplo hecho al final del capítulo 3 encontramos: .a. .I, = Cos e ~ -:-?> l. + sen ~ h th = -Y5en -e- i... + yt.o5-& ~ il. -='? --> ~ ¿~ 1 Cos?-9 + Ah'r't t; :. I

-

--

a3

_ a.. a, :. . ~ gIl. =- ~ .~~

~

11-

-

91:' = al.



2. ')

=-

f/u.

=

?

a~'C3; -='"

-?

U3:::'

Q

= ~\ = o Q3' ClJ '" q-~I ;: o

: : Cb, tL;::. g3'l.

~2 • C13

;:::

o

a.l. . Zlz. :::. y:L ~33 = ~.: á

a3' Por lo tanto en 5-24

\y

4 \f OJ • V:t.. -;::. \VlX' _-

Notemos que V~ ..... V.:l y V.t..3 =- V:t) esto e s así ya que como para coordena~ 3 tiedas cilíndricas UI, ~,Cb son7"C>mutuamente ortogonales ,entonces Di aL 6 -..,. ,.....". ..,.-') ~ nen las mismas direcciones de l Á l D.:2. tl..3 y como D., y CL3 son unitarios, entonces también lo son por tanto = y Zi3 -:: y normales a 1 vector 11l y se debe cumplir Vx, -:: VJLI , = no se cumple l

a' ya:J

tI

VX'L

a al

aa.

V;(. ')

a3

y:t.') • J

~

que V Xl. = ya que aunque tenga la misma dirección de a.. no son vectores unitarios sino que 0.;' es yl veces mas grande que ZJ). (compa~ ~ ~ ~ rar Cl:l. y al. al final del cap. In) por lo tanto la componente de V según tl.i e .s mas pequeña que la componente según esto es: ~ == \.

,a.

-';>

O-?,

V::t.l

yt

CAPITULO VI

TENSORES

El concepto de tensor surge naturalmente como una generalización de las cantidades escalares y vectoriales; en los escalares el valor de la cantidad pennanece ina¡terada para trarisfórmación de coordenadas; por ejemplo si en el interior de u:;. 8uerpo la temperatura se puede expresar corno una función de punto j ( J. ::h 13 ) y si el mismo punto se expresa en otro sistema de 'coordenadas Xi comó ':)!., X1.J~~ entonces la temperatura será -C;t. (x. I :r". :x:~) ; obviamente la tempera tura en cada punto tiene un valor de terminado independiente del sistema coordenado utilizado para localizarlo por lo tanto:

t-

J

-t~

('J, 'f ~

'j ~)::::

tx.

(~I I X 1 ,

X:, )

E ste tipo de transformación es la mas elemental que existe; en ella las componentes de la cantidad (la cantidad escalar tiene una sola "componente" : su magnitud) permanecen invariables al cambiar de coordenadas. También sabernos que las componentes de un vector se transforman al cambiar coordenadas; esta transformación puede ser covariante o contravariante para cada vector; es decir sus componentes I ya sean AJ' ó AJ' según que esten expresadas en la base recíproca o directa respectivamente r se transforman en Al!, ó l.: al cambiar del sistema al -:t.l': estas dos transformaciones son

A

~

aSl:

Jl'

,

A

t.'

,

:::.

, A

t..'

;:::

Recordemos que lo que se transfonna por medio de las anteriores ecuaciones son cierto tipo de componentes del vector pero no el vector mismo ya que este permanece fijo o inalterado,es un invariante, en cuanto a magnitud y dirección con respecto a algún sistema "absoluto" de coordenadas. Entonces el vector A~ se puede expresar según las coordenadas ::t,' o según las ~ L' Y en cada uno de estos sistemas se expresa según los vectores base directos o según los recíprocos; por lo tanto: \. . ,_?( A = AL' = A« == A b siendo

K:::. l'aal' bi l' at', ti z: : base s directa y recíproca en --¡; -;: t..' tJ

t:,

(V

:

bases directa y recíproca en

-::::l L'

= ::r'l' l '3', 'j

~ t:::.

'1 l:

t

;j-:;)

(::L "Xl, X3)

•I componentes contrava.riantes y covariantes refeddas a los :i. L:

37 I ,

AL. ,

• •

componentes contravariantes y 00 variantes referidos a los j (' (los E (.' y l! l.' de las ecuaciones 5-15 a).

Podemos generalizar ahora y suponer que existen cantidades, también invariantes como la magnitud de un escalar o como un vector fijo, cuyas componentes se transformc:1 de manera completamente similar a como se transforman las componentes d e un vector; por ejemplo podemos suponer la existencia de una cierta cantidad A talq.¡e:

A= ,

En esta cantidad (Íormada por nueve componentes: 3 2) los términos A I'J' se llaman las componentes de A según 5.1; la expresión (!t@' no es un producto Ele vectores ( ni escalar ni vectorial) simplemente es la colocación de los dos vectores uno a continuación del otro para indicar que la componente !'1IJ corresponde o pertenece tanto a a.~' como a O:! , Reco!1ocemos un tipo de tal cantidad en el tensor de tensiones el cual como sabemos se acostumbra escribir como la matriz:

aL'

~ll

cf"23

Q;2 Este conjunto de nueve cantidades nos permite encontrar la tensión ( fuerza / area) para cualquier superficie infin itesimal en el entorno de un punto P Para el cual se conocen los ~• t.: las ~Jo podernos ref~rirlas tanto a las corno a las r , serán las C5J' ; en este último caso t;S'"J' representa la tensión en la cara cuya normal está en la dirección de la tensión misma tomada en la dirección de 11..J' ,

al.'

at'

a

a. ;'

á.:'

Las cantidades cuyas componentes se transforman como en 6-1,6-2 I 6-3 las llamamos respectivamente tensor covariante de rango dos I tensor contravariante de rango dos y tensor mixto de rango dos, (la palabra tensor se usó por primera vez en relación con el tensor de tensioner:;) . Sin embargo no debemos perder de vista que los adjetivos covariarie, contravariante y mixto se refieren exclusivamente a las componentes del tensor no al tensor, este es un invariante. De ahora en adelante designaremos un tensor A por su componente genérica¡ por lo tanto si el L' tensor es de rango dos podemos representarlo por Aü' , Al '-.J , J ; esos tres símbolos representan al mismo tensor solo que en el primer caso se dan sus componentes covariantes, en el segundo las contravariantes y en el último las mixtas.

A

En las ecuaciones (6-1,6-2, 6-3) que nos definen tensores de rango dos (o de segundo orden) los índices que aparecen pueden tomar los valore s de 1,2 I 3 si estamos en un espacio tridimensional; y tornarían los valores 1-2 si estamos en una superficie; por ejemplo en el tridimensional 6-1 queda así:

.

40

.....

é)'i'. ~8'í-:

S?1: d~~ A21 -t ~ 8'j' A31

1

C) l'

A~1 -

~;tl(

.2í A a..:t Q

,

.J.

11

é):L""

é):t)(. -é>;i~

A,)

lo

~ j~ ? j~14

A22-

-r

0.f: ~ AZJ B;i..K ax

_01

A32.

;-

SJ'f:

a.;í. l

8::Ll( 8:1-

-r

~ ~

.1-

é):::L't..

o.x

A

3

8z"

~'t. a~14

éJ;:i. K 81R..

8;iK

~A:H

a.xR.

Una de estas ecuaciones se obtiene para cada par de valores (J'jl'

? 'j ~(

.;1 '-j t'

::::

~:'

t

.})J'I
View more...

Comments

Copyright ©2017 KUPDF Inc.
SUPPORT KUPDF