Introducción Teórica Del Método Iterativo de Cross

Introducción teórica del método iterativo de Cross. Método de rigidez. Enfoque del método aplicado a modelos con resortes. Enfoque básico del método con fuerzas aplicadas en los nudos. Método de pendiente-deflexión. Método de la distribución de momentos. Método de rigidez directo. Coeficiente de Rigidez. Factor de Distribución. Factor de Transporte. Criterios de selección del iterativo de Cross. Aplicar el método de Cross para resolver estructuras en vigas de dos o más tramos Es recomendable usar gráficos y figuras que ilustren los conceptos solicitados Este documento puedes elaborarlo en editor de texto (Word) bajo las siguientes Normas monográficas: •Portada de Presentación con nombre del participante •Índice, Introducción y Conclusión •Los márgenes de las páginas deben ser de; Superior 4, inferior 3, izquierdo 4 y derecho 3 •Tipo de fuente Tahoma, tamaño 12 Nota

Introducción MÉTODO DE CROSS. El método de Hardy Cross es un método iterativo que sirve paradeterminar los momentos flexiones en las secciones o cortes másinteresantes de una viga, claro o pórtico.Cuando las secciones son constantes, se calculan las rígideceslineales, los factores de distribución, los momentos de empotramientoperfecto y los factores d transporte, para luego proceder a la distribución demomento a los tramos y su posterior transporte. Este ciclo iterativo serealiza hasta llegar a cifras despreciables (0,1 t-m, 100 Kg-m ó a un 5% delos momentos de empotramientos iniciales), luego se puede calcular lasfuerzas cortantes que también son importante para el diseño estructural.En el caso de elementos estructurales de secciones variables, setendrían que calcular previamente las deformaciones por rotación debido ala variación del momento de inercia, en esta ocasión se le presenta elcálculo por un método númerico llamado de Nexwark, aunque se puedehacer por los métodos de las deformaciones o de la fuerzas, luego de haberobtenidos los momentos de empotramiento perfecto

Introducción teórica del método iterativo de Cross.

El cálculo de un pórtico de vigas continuas constituye un problema común en elcalculista de estructuras de edificios, a los fines de obtener el armado final de lasmismas.Si las cargas y luces difieren bastante podemos emplear el Método de Cross, quenos proporciona sólo los Momentos definitivos de apoyo. Es más laborioso pero debuena exactitud. Y después pasamos a calcular todos los demás valores. Cuandocargas y luces son similares o la menor no difiere del 80% de la mayor podemosemplear el Método de los Coeficientes, bastante expeditivo, que nos proporcionalos Momentos Definitivos de apoyo, es decir los momentos negativos, y losMomentos Máximos de Tramo, es decir los positivos. Una vez determinados losmomentos se puede obtener la armadura de las vigas. Método de Cross Este método desarrollado por Hardy Cross en 1932, parte de una estructura idealcuyos nodos están perfectamente rígidos, lo que obliga que para llegar a laestructura real. Básicamente es un método de análisis numérico deaproximaciones sucesivas que evita tener que resolver ecuaciones simultáneas enun número elevado. Es necesario realizar dos pasos: 1. Distribuir los momentos dedesequilibrio que se presentan en cada nodo. 2. Estos momentos de desequilibriodistribuidos afectan el otro extremo de la barra.Su cuantificación se hace a través de un factor de transporte. Al realizar estetransporte se vuelve a desequilibrar la viga lo que obliga a realizar una nuevadistribución. Este proceso termina cuando el momento distribuido, sea tanpequeño que no afecte el resultado del momento final.Los conceptos básicos son:

La rigidez Angular que no es más que el momento que debemos aplicar amiembro para producir una rotación unitaria en el mismo. La rigidez angular deun elemento con un apoyo empotrado y uno articulado es.

Un elemento con dos extremos articulados

Con los extremos empotrados

Rigidez angular simplificada : Basicamente la rigidez se calcula por R=(4EI)/l; encaso de que todas las barras de la viga sean del mismo material la fórmula sepodrá reducir a R=(4I)/l; si además de estos todas las barras tienen la mismasección podemos utilizar la fórmula R=4/l.En nuestra práctica es común que las estructuras sean del mismo material, elvalor de E es el mismo para todos los miembros. Como lo que interesa es larigidez relativa de los diferentes miembros estructurales, por lo que sueleconsiderase que:La

rigidez de un miembro con un extremo articulado y el otro empotrado es K=I/L.La rigidez de un miembro con ambos extremos articulados es K= ¾ K ó ¾ I/L. Factor de transporte es la relación entre el momento desarrollado en el extremode un miembro cuando se aplica un momento en el otro extremo. De manerageneral cuando se aplica en un extremo A un momento Mab y el extremo Bdesarrolla como consecuencia un momento Mba, el factor de transporte delmiembro AB es la relación entre los momentos Mba/Mab.De manera general los factores de transporte para los casos anteriores son: Extremo articulado y otro empotrado FT= ½Dos extremos articulados FT=0 Rigidez Lineal: es el valor de los momentos que se desarrollan en los extremosde un miembro cuando se impone un desplazamiento lineal unitario entre dichosextremos Si ambos extremos están empotrados

Si un extremo articulado y otro empotrado

Factores de distribución: es igual a la rigidez simplificada entre la suma de lasrigideces simplificadas de todos los elementos que concurren al nodo.

Factores de distribución FD = Ki/ ∑ Kidonde, k es la relación de inercia – longitud. K= I/LPara el caso de los extremos libremente apoyados o en cantiliber el factor dedistribución es 1 y si es empotrado 0.Los momentos pueden calcularse por:

Método de rigidez. Como se ha señalado anteriormente, el método de flexibilidades y método de rigideces representan dos enfoques diferentes en el análisis de estructuras. La diferencia fundamental radica en el que el método de flexibilidades toma como incógnitas a las redundantes estáticas, mientras que el método de las rigideces toma como incógnitas a las redundantes cinemáticas. Los pasos a seguir son los siguientes: 1) Definición de las incógnitas, redundantes cinemáticas obteniendo de esta manera las estructura primaria. 4 2) Condición (0): Restringir la estructura contra cualquier posibilidad de movimiento, dando lugar a una estructura cinematicamente determinada.

3) Condición Unitaria: Resolver las condiones unitarias dando valores unitarios a los desplazamientos para cada una de las redundantes y en dirección de las redundantes. Las fuerzas y momentos inducidos para cada caso serán los coeficientes de rigidez [K]. 4) Repetir el procedimiento para (n) redundantes. 5) Plantear la ecuación de equilibrio estático en la misma localización y dirección de las redundantes:

[D]= -[K-1] [R] 6) Conocida la matriz [D] puede obtenerse por superposición A de fuerzas o momentos en cualquier sección de una estructura.

[A]= [A0 ]+ [AU ] [D]

Siendo:

[A]= Matriz de acciones en el sistema Real.

[A0]= Matriz de acciones para las condición 0.

[AU ]= Matriz de acciones para la condición unitaria.

[D] = matriz de desplazamientos inducidos por las cargas reales externas (redundantes cinematicas).

5 [K] = Matriz de raíces o matriz correspondientes a fuerzas o momentos en la condición unitaria y en la misma dirección y localización de las redundantes.

[R]= Matriz correspondientes a fuerzas o momentos en la condición 0 y en la misma dirección y localización de las redundantes.

Generalidad del método aplicado al ejercicio siguiente.

6 En la pieza articulada-empotrada del apartado, se trata de determinar el valor del ángulo girado (a) en función del momento aplicado MA. Para calcular este valor vamos a emplear el primer teorema de Mohr. Pasos: Introducimos el valor obtenido de Mx en y sustituimos. Teniendo en cuenta que el factor de transmisión b es el cociente entre MB y MA, Podemos sustituir MB por b×MA.

Sacando factor común MA y sustituyendo B por su valor, se tiene:

Como a es adimensional, el valor del corchete tiene por dimensiones:

7 La expresión anterior puede expresarse de la forma a = MK, siendo K la rigidez de la pieza. Por tanto, la rigidez es el momento que hace girar a una pieza un ángulo de un radian. Si se considera constante el módulo de elasticidad y el momento de inercia de la barra, como en el caso del estudio del factor de transmisión, la expresión anterior se simplifica, obteniéndose:

Por lo tanto, K= 4.E.IL Si el nudo es un empotramiento perfecto K=∞

Si el extremo opuesto B es articulado;

Si el nudo A es una articulación móvil perfecta, K= 0

8

Enfoque básico del método de Cross con fuerzas aplicadas en los nudos. Consideremos una estructura reticular cargada. En primer lugar se procede a retirar las cargas que actúan sobre sus piezas. A continuación bloqueamos los nudos, impidiéndoles todo giro. Se vuelve ahora a aplicar las cargas exteriores, que actúan sobre una estructura alterada, ya que tiene impedido los giros de sus nudos. En este sentido no representa a la estructura verdadera, cuyos nudos hubieran girado bajo la acción de las cargas hasta alcanzar su posición de equilibrio. En la estructura alterada es muy fácil determinar los momentos de empotramiento, pues al estar los nudos bloqueados dichos momentos son los de empotramiento perfecto.

La suma de los momentos de empotramiento de las piezas concurrentes en cada nudo no será nula, por lo que el nudo no estará en equilibrio. Dicha suma es, en realidad, un momento de desequilibrio. Se aplica al nudo un momento equilibrante, que es un momento de igual valor y de signo opuesto al momento de desequilibrio. Esto equivale a desbloquear el nudo. El momento equilibrante se repartirá entre los extremos de las distintas piezas concurrentes en el nudo en proporción a sus rigideces, puesto que al girar el nudo todas las piezas concurrentes giran el mismo ángulo. La relación de la parte de momento equilibrante que se lleva cada pieza con el momento equilibrante total es lo que se denomina coeficiente de reparto o coeficiente de distribución, y es igual al cociente de la rigidez de la pieza considerada entre la suma de las rigideces de todas las piezas que concurren en el nudo. Por tanto, se distribuye el momento equilibrante entre las distintas piezas concurrentes en el nudo y se transmite el momento al extremo opuesto.

9 En los demás nudos de la estructura se procede análogamente, por lo que también se habrán introducido momentos equilibrantes, distribuyéndose a las extremidades de sus piezas concurrentes, las cuales transmitirán una parte a sus extremidades opuestas. De esta manera se opera cíclicamente. Si en una fase posterior de cálculo volvemos a obtener en un nudo previamente equilibrado el momento de desequilibrio, éste será cada vez menor, de igual modo que las magnitudes de las transmisiones. Los nudos van equilibrándose paulatinamente y la estructura se va acercando a su posición de equilibrio. El método de Cross es un método que permite alcanzar la precisión que se desee mediante aproximaciones sucesivas.

Desarrollo del método para nudos giratorios sin desplazamiento. Fase I: Se consideran todas las piezas empotradas en sus extremos. Se calculan los momentos en los extremos mediante Resistencia de Materiales.

Fase II: Se comienza por considerar un nudo cualquiera con capacidad de girar. Al soltar el empotramiento, todos los momentos que concurren en el nudo se suman algebraicamente y la resultante se reparte. Obtenido el equilibrio, se transmiten los momentos a los nudos adyacentes. Se repite la operación en cualquiera de ellos, por lo que el nudo, antes equilibrado, se desequilibra al devolverle el nudo siguiente una parte del momento que le hace girar.

10 El proceso se repite una y otra vez para todos y cada uno de los nudos, equilibrando cada vez. Como los factores de reparto y de transmisión son menores que la unidad, el proceso es convergente, no siendo generalmente necesario realizar más de tres iteraciones a la estructura. El método de Cross tiene la propiedad de compensar los errores.

Método de pendiente-deflexión. El método pendiente-deflexión se basa en expresar los momentos de los extremos de los miembros de estructuras estáticamente indeterminada en función de los giros y deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos pueden girar o deflectarse, los ángulos entre los elementos que convergen en el nudo se mantienen constantes. Este método considera sólo el efecto de la flexión sobre los elementos y omite el efecto del corte y axial. Este método es adecuado para el análisis de estructuras pequeñas, corresponde a un caso especial del método de las deformaciones o rigideces y proporciona una muy buen aproximación inicial para presentar la formulación matricial del método de la rigidez. Este método presenta además la ventaja de proporcionar de manera inmediata un primer esbozo de la deformada. A fin de presentar las ecuaciones que definen este método considere el siguiente elemento estructural ubicado entre los puntos A y B:

11 Si descomponemos los esfuerzos reales originados solo por las cargas externas impidiendo los giros y desplazamientos en los extremos y aquellos generados por estas deformaciones, se puede afirmar que los valores totales de los momentos en los extremos (MAB y MBA) deberá considerar el efecto de:

1. Los momentos de empotramiento (Me AB y Me BA) debidos a las cargas externas, que es posible calcular mediante los teoremas de Mohr o son fáciles de encontrar tabulados.

2. Los momentos generados por los giros en los nudos ϕA y ϕB.

12 3. Los momentos originados por la rotación de la cuerda si uno o ambos extremo sufren un desplazamiento.

Si conocemos los momentos generados en los extremos (MAB y MBA), es posible calcular por el 2° Teorema de Mohr los giros que los originan.

13 Además debemos incluir el efecto de giro ψ debido al desplazamiento relativo de los apoyos:

De estas ecuaciones es posible despejar el valor de los momentos flectores en los extremos (MAB y MBA), a los cuales se les debe sumar los efectos de las cargas externas (Me AB y MeBA). Finalmente las ecuaciones que define este método para cada elemento son las siguientes.

Las estructuras entonces serán resueltas aplicando las ecuaciones de equilibrio a cada uno de los nudos y niveles de la estructura respetando la siguiente convención de signos:

14 Cabe hacer notar que esta ecuaciones sólo son válidas para barras homogéneas, esbeltas y prismáticas (sección constante). Para barras no prismáticas existen expresiones corregidas de mayor complejidad que se presentaran más adelante.

Finalmente, cabe destacar, que si hacemos una comparación con el método de las fuerzas, este método presenta la ventaja de en algunos casos poder reducir el número de incógnitas del problema. El método de las fuerzas genera un sistema con un numero de incógnitas igual al número de redundantes, mientras que el método Slope & Deflection puede reducir el número de incógnitas a unas cuantas rotaciones y asentamientos en los nudos, aún en el caso de estructuras de muchos niveles.

Método de la distribución de momentos. El profesor de estructuras Hardy Cross inventó un método iterativo para resolver las ecuaciones de equilibrio en función de los desplazamientos y rotaciones de las ecuaciones pendiente deflexión y facilitar el análisis de estructuras con varios grados de libertad. Debido a que este método es una solución a las ecuaciones del método de pendiente deflexión, tiene las mismas limitaciones de este: * Se desprecian las deformaciones axiales de los elementos. * Se desprecian las deformaciones por cortante. * Estructuras construidas con materiales elásticos y que no salgan de este rango. * Deformaciones pequeñas. Adicionalmente el método tiene sus propias limitaciones: * Solo trabaja con las ecuaciones de equilibrio rotacional en los nudos * No da una solución directa cuando están involucrados grados de libertad traslacionales * Se limita a determinar cómo es la distribución de los momentos en los elementos que llegan a un nudo

* No plantea ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para grados de libertad traslacionales * Sin embargo todas estas limitaciones el método revolucionó el análisis de estructuras en el año 1930. Repasemos un poco los pasos a seguir en el método de la rigidez utilizando las ecuaciones pendiente deflexión: 1. Planteamiento de ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad libres. 2. Planteamiento de las ecuaciones pendiente deflexión: corresponden a expresar los momentos de extremo de los elementos en función de unos momentos de empotramiento perfecto y de los giros y desplazamientos de cada extremo del elemento. La formulación de estas ecuaciones se hace partiendo de asumir el elemento empotrado en sus dos extremos y de ir soltando cada grado de libertad y corrigiendo estos momentos por estos posibles movimientos. 16 3. Se reemplazan las ecuaciones de pendiente deflexión en las ecuaciones de equilibrio y se resuelve para los giros y desplazamientos. 4. Se encuentran los momentos de extremo en función de los giros y desplazamientos hallados. Repasemos el método de solución iterativa de un sistema de ecuaciones: se asume que todas las incógnitas menos una son iguales a cero, entonces se encuentra el valor de esta incógnita en una de las ecuaciones. Este valor se reemplaza en las otras ecuaciones y se encuentra el valor de las otras incógnitas cuando todas menos ella y la primera son iguales a cero. Los valores encontrados representan una primera solución al sistema de ecuaciones planteado. Estos valores vuelven a reemplazarse en la primera ecuación para encontrar un nuevo valor de la primera incógnita, con el cual se vuelven a encontrar las otras incógnitas. En este proceso iterativo los resultados cada vez van difiriendo en menor cantidad lo que nos indica que nos acercamos a la respuesta que satisface todas las ecuaciones. Teniendo presente este método iterativo podemos observar que él parte de asumir que todas las incógnitas son cero menos una, en nuestro sistema esto indica que partiendo de elementos empotrados en sus extremos, liberamos un solo grado de libertad de toda la estructura, por ejemplo para una viga de dos luces sin considerar posibles desplazamientos relativos, podríamos liberar el giro en b, θb, y encontramos el valor de ese giro necesario para que se cumpla que la suma de momentos en B es cero, esto es, que momento adicional debo agregar en b para que se produzca un giro que equilibre el nudo, siempre que θa y θc sean iguales a cero (empotramiento a ese lado).

17 Al aplicar el momento adicional en B se puede encontrar por medio de la ecuación de equilibrio en B, el valor de θb. Con este valor puedo encontrar los momentos que se generan en los extremos opuestos de los elementos manteniendo sus giros iguales a cero. En este paso se ha hecho cumplir una de las ecuaciones de equilibrio (ΣMb=0) pero las otras dos ecuaciones no se satisfacen. Se procede a soltar otro grado de libertad, por ejemplo θa manteniendo los otros dos valores iguales a cero. Para satisfacer su ecuación de equilibrio se debe aplicar un momento externo igual y de sentido contrario al momento desequilibrado en ese nudo. Se encuentra el valor del giro debido a este momento y se halla el momento del elemento en el extremo contrario B. Otra vez se desequilibró el nudo B. Si analizamos de nuevo la estructura pero esta vez soltando el nudo B sometido al momento contrario al generado en la segunda iteración estaríamos equilibrando el nudo B. Este proceso continúa hasta que los momentos que tenemos que equilibrar en cada paso se van haciendo menores. Note que en este proceso cada iteración es independiente de la anterior y corresponde a una corrección de los momentos finales en los extremos, por eso y por superposición los momentos finales corresponden a la suma de los momentos generados en cada iteración. Cuando tenemos una estructura con un nudo al cual le llegan varios miembros el proceso de equilibrio en ese nudo nos lleva a repartir ese momento en todos los elementos, esa repartición se hace de acuerdo con la rigidez a rotación de cada elemento. Mostraremos con el siguiente ejemplo la forma en que se reparten los momentos en un nudo.

18 Ecuaciones de equilibrio en el sentido del grado de libertad libre:

Ecuaciones pendiente deflexión:

Note que los momentos están dados solamente en función del giro en b ya que los otros grados de libertad son cero. Si llamamos al término,4EIL, la rigidez rotacional del elemento a un giro, K, podemos expresar la

cuación de equilibrio como:

19 Despejando para θb, tenemos:

Reemplazando en la ecuación de cada momento nos queda:

Notamos que el momento en el nudo se distribuye de acuerdo con la Relación , a la cual le damos el nombre de factor de distribución. Los factores de distribución de los miembros que llegan a un nudo deben sumar uno. (Por qué?). El elemento que tenga mayor rigidez tiene mayor factor de distribución por lo tanto se lleva mayor parte del momento. Para elementos con EI constantes el miembro más rígido es aquel que tiene menor longitud.

20 Cuando en un nudo solo llegan dos elementos con EI iguales, se puede expresar el factor de distribución en función de las longitudes:

Analicemos que pasa con los momentos generados en los otros nudos no libres, en este caso los extremos de elemento empotrados: Por ecuaciones pendiente deflexión

Esto nos muestra que el momento generado en un extremo fijo cuando el otro extremo se libera es igual a la mitad del momento del lado que giró. Esta conclusión nos ayuda mucho en el proceso iterativo porque nos da el valor del momento generado en el extremo opuesto al liberado, a este valor se le llama momento trasladado. Para este ejemplo ya llegamos al final de su solución encontrando los momentos de empotramiento en los extremos fijos.

Supongamos que el apoyo A no sea un empotramiento sino una articulación, entonces el momento mab tiene que ser cero, en este caso podemos volver a analizar toda la estructura aplicando un momento en A igual a –mab para que ese nudo se encuentre en equilibrio y considerando el nudo b rígido. A este paso se le llama equilibrio del nudo A.

21

Donde mab´ corresponde al momento en A en esta iteración. Este caso genera un momento en el extremo B de ese elemento igual a la mitad del momento en A que volvió a desequilibrar el nudo B.

Al aplicar equilibrio en B nos damos cuenta que se debe aplicar un momento igual a mba´ pero con signo contrario y que este momento se debe distribuir en todos los elementos de acuerdo con el factor de distribución. Esto correspondería a un equilibrio en el nudo B, o sea aplicar un momento externo que equilibre el generado en A. Se continúa con las iteraciones de traslado y equilibrio en cada nudo hasta que los momentos trasladados y de equilibrio sean muy pequeños. Al final se suman todos los momentos de cada iteración con su respectivo signo para hallar el momento final. En este proceso iterativo nos damos cuenta que las ecuaciones pendiente deflexión usadas no involucran desplazamientos relativos de los extremos de elementos ni tienen en cuenta ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad correspondientes a desplazamientos. 22 El método solo trabaja aplicando ecuaciones de equilibrio rotacional a los nudos. Esta razón hace que el método de Cross no se pueda usar directamente para resolver estructuras con desplazamientos laterales. Como alternativa para solucionar este problema se presenta un método por superposición que se explica más adelante. Se debe tener en cuenta que el método de distribución de momentos es una forma de resolver las ecuaciones pendiente deflexión por lo tanto no es un método diferente.

Método de rigidez directo.

Para resolver ejercicios manualmente por el método matricial de rigidez se sugiere seguir la siguiente metodología que ayudará a simplificar los cálculos. 1. Numere todos los grados de libertad de la estructura, tanto libres como restringidos. No tiene que llevar un orden específico, después al montar la matriz de rigidez general ordenamos los grados de libertad de tal manera que queden de primero los libres. 2. Elimine voladizos llevando la carga y el momento al nudo próximo. 3. Estudie la estructura en cuanto a la posible forma de moverse. Identifique cuales grados de libertad son libres y cuales son restringidos, como también cuales son iguales ya sea por simetría o por despreciar deformaciones axiales. Aquí se puede tener en cuenta si se desprecian deformaciones axiales o no, por lo general, para vigas con cargas perpendiculares las deformaciones axiales se pueden despreciar y los desplazamientos horizontales en sus extremos serán iguales. En este paso también es importante identificar si un elemento aporta o no rigidez a un tipo de movimiento especificado.

23 4. Ensamblar esquemáticamente las matrices de rigidez de los elementos. Esto quiere decir que no se escriben los términos interiores de la matriz, solo se identifican los números de las filas y columnas con el número del grado de libertad correspondiente. 5. Estudiar si algún elemento se debe corregir por articulación en sus extremos. En elementos tipo cercha solo es ensamblar aquellos grados de libertad de desplazamiento axial. Tenga en cuenta que elementos que continúan en voladizo no se corrigen por articulación para darles capacidad de soportan los momentos del nudo. Sí un solo elemento llega a un nudo articulado, este elemento no se tiene que corregir por extremo articulado ya que con solo decir que el momento es cero en ese grado de libertad ya quedaría corregido. 6. Ensamblar esquemáticamente la matriz de rigidez general de la estructura. Igual que para elementos, no se escriben los términos interiores sino los números de las filas y columnas con los grados de libertad. Tache aquellas filas y columnas cuyos movimientos son cero, identifique las filas y columnas de los grados de libertad libres y de los restringidos, identifique los grados de libertad que son iguales y que se pueden expresar como una solo incógnita, en resumen, condense la matriz de rigidez, una vez hecho esto con las filas y columnas esquemáticas, ensamble los términos interiores de la matriz de rigidez, solo aquellos que quedaron libres. 7. Encuentre, solo en los grados de libertad libres, el vector de fuerzas externas en los nudos y el vector de fuerzas de empotramiento perfecto. No hay necesidad de hacerlo para los grados de libertad restringidos o despreciados.

8. Empiece con la solución de la ecuación general 9. Analice si desarrollando las ecuaciones por submatrices puede disminuir el orden de la matriz a invertir, esto se llama condensación estática. Encuentre los desplazamientos de los grados de libertad libres y halle las fuerzas de extremo de elemento en estos grados de libertad. Las otras fuerzas de extremo se pueden hallar por estática en el elemento. No se justifica trabajar con toda la matriz de rigidez del elemento para hallar las otras fuerzas Coeficiente de Rigidez. A) La expresión: ΔL = L/(EA) N De la ley de Hooke puede ser escrita como: N = (EA/L) ΔL El coeficiente EA/L de proporcionalidad entre el esfuerzo axil aplicado y el alargamiento ΔL producido se denomina “rigidez bajo esfuerzos axiles” de la barra y su valor es el inverso del valor de la flexibilidad correspondiente. Este coeficiente puede obtenerse como el valor del esfuerzo axil necesario para producir un alargamiento unidad de la barra. La expresión: f = PL3/(3EI) Que proporciona la flecha f en una ménsula de longitud L sometida a una fuerza P aplicada en el extremo libre, puede escribirse como: P = (3EI/L3) f. El coeficiente 3EI/L3 de proporcionalidad entre la carga P y la flecha f se denomina “rigidez bajo fuerza vertical aplicada en su extremo” de la barra. Este coeficiente puede obtenerse como el valor de la fuerza necesaria para producir una flecha de valor unidad. B) La expresión: θ = ML/(EI) 30 Que proporciona el giro θ en el extremo de una ménsula de longitud L sometida a un

momento M aplicado en ese extremo, puede escribirse como: M = (EI/L) θ

El coeficiente EI/L de proporcionalidad entre el momento M y el giro θ producido se denomina “rigidez bajo momento aplicado en su extremo” de la barra. Este coeficiente puede obtenerse como el valor del momento que daría lugar a un giro de valor unidad de la sección. El coeficiente de rigidez es pues un valor que caracteriza el comportamiento resistente de una estructura con un cierto sistema de apoyos sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en una sección y que permite conocer por proporcionalidad el valor de la carga (fuerza o momento) que se requiere aplicar en un punto para obtener un cierto valor del movimiento de la sección de aplicación de la carga en la dirección y sentido de ésta. La unidad de medida de la rigidez es el N/m ó Nm/rad. Factor de Distribución.

Cuando sobre un nudo actúa un momento M, éste se reparte íntegramente entre las barras, de modo que M = M1 + M2 + +Mn..., girando cada una de las barras un cierto ángulo a1. De acuerdo con lo estudiado en el apartado anterior, cada ángulo girado vale:

33

Siendo Ki la rigidez de una barra genérica. Si el nudo es rígido, los ángulos girados son iguales. Por tanto, a1 = a2=...= an, o bien:

Siendo: ∑Mi = M el momento que actúa sobre el nudo.

Desarrollando el sistema de ecuaciones de se obtiene la siguiente serie.

34

A estos factores:

Se les llama a factores de reparto o de distribución Sumando la serie anterior se comprueba que ∑ri = 1. Esta propiedad sirve de fácil comprobación en los cálculos, pues los factores de reparto de las barras que concurren en un nudo deben sumar la unidad. Factor de Transporte. Es la relación entre el momento desarrollado en el extremo de un miembro cuando se aplica un momento en el otro extremo. De manera general cuando se aplica en un extremo A un momento Mab y el extremo B desarrolla como consecuencia un momento Mba, el factor de transporte del miembro AB es la relación entre los momentos Mba/Mab. 35 Criterios de selección del método iterativo de Cross. Nos enfocaremos en los criterios seleccionados para este método cuando los efectos de cargas sobre la estructura trabajan simétricamente y Anti-metria. Las consideraciones de deformación de la estructura en los casos de simetría y antimetría conducen a las dos conclusiones siguientes: - En una estructura simétrica, las secciones de los ejes de las piezas de la estructura contenidas en el eje de simetría no giran y sólo experimentan corrimientos a lo largo de dicho eje. - En una estructura antimétrica, las secciones contenidas en el eje de antimetría giran y sólo experimentan corrimientos en sentido perpendicular a dicho eje. Criterio por simetría y anti-metria 36 Estructura simétrica con carga simétrica con un número de vanos impar.

Simplificación en estructura simétrica con carga simétrica Con un número de vanos par. 37 38 Aplicar el método de Cross para resolver estructuras en vigas de dos o más tramos. La figura muestra un ejemplo con los casos de cargas más usuales en la práctica con todos los valores hasta la obtención de los Momentos Definitivos de Apoyos. Las filas de la figura muestran:

1) rigideces de las vigas. 2) los coeficientes de distribución 3) los momentos isostáticos de apoyo (ver figura anterior) 4) los procesos de aproximaciones sucesivas 5) los Momentos Definitivos de Apoyo

El estudio y comprensión del método explicado, en el presente trabajo investigativo, se ha reflejado que al paso de los años ha habido un gran avance en la Ingeniería Estructural, ya que antes de realizar cualquier obra, plantear algún proyecto, es necesario que conozcamos los cálculos e ir al área analítica estructural, para comprender los fenómenos que interactúan tanto externamente como internamente en la estructura, Un estudiante de Ingeniería Civil debe tener conocimiento de estos métodos(flexibilidades, trabajos virtuales, Cross,)entre otros, para fundamentarnos en el cálculo y diagnosticar como futuros gerentes de obras y proyectos, los problemas que arrojan las antes mencionadas, siendo los responsables de poner en práctica todos estos factores aprendidos para mantener primeramente la seguridad humana en cualquier tipo de edificación, innovación de nuevas estructuras que deben ser estudiadas y comprendidas, cumpliendo siempre con las leyes de la estática, y si se le requiere, las leyes de la dinámica, tomando en cuenta siempre el primer factor (la seguridad humana en la utilización de estas ciudades del futuro, como son las estructuras verticales.).

Método de la distribución de momentos. Este método es un planteamiento del método de lasdeformaciones. Al igual que el método de pendiente deflexión, estemétodo sólo puede usarse para el análisis de vigascontinuas y pórticos, tomando en cuenta sólo sus deformaciones por flexión. Procedimiento: 1. Calcule los factores de distribución en cada uno de losnudos que pueda girar. Se calcula este factor a todoslos miembros que converjan en el nudo en formarígida 2. Calcule los momentos en extremos fijos o momentosde empotramiento (FEM o FE). 3. Equilibre los momentos en todos los nodos que tenganlibertad para girar: Procedimiento: a) En cada nodo, evalúe el momento no equilibrado y distribúyalo a los miembros conectados al nodo. Elmomento distribuido en cada uno de los miembrosrígidamente conectado al nodo se obtienemultiplicando el negativo del momento noequilibrado por el FD para el extremo del miembro. b) Traslade la mitad de cada momento distribuido haciael extremo opuesto del miembro Repita los pasos a y

b hasta que todos lo nodos libresqueden equilibrados o bien los momentos noequilibrados en estos sean suficientemente pequeñoscomo para despreciarse. 4. Determine los momentos finales en los extremos delos miembros sumando algebraicamente el momentoen extremo fijo y todos los momentos distribuidos y trasladados en el extremo de cada miembro. Si ladistribución es correcta, entonces los momentosfinales deben satisfacer las condiciones de equilibrioen todos los nodos que puedan girar Calcule las fuerzas cortantes en los miembros 6. Calcule las reacciones 7. Trace los diagramas de cortante y momento, usando laconvención de signos de la viga. Condiciones de apoyo

Apoyo simple en extremos: Puede analizarse la vigausando la simplificación para apoyos simples, tomandoen cuenta que la rigidez relativa de 3I/4L para los clarosadyacentes a los mismos. Con esto, se equilibra sólo una vez este nodo, y ya no se les traslada ningún momentoadicional.

Voladizo: Los tramos en voladizo no aportan rigidez alnodo correspondiente. Sin embargo, este momento enel voladizo debe calcularse y aplicarse en el nodo, el cualse consideraría como simple.

Empotramiento: Basta con hacer una sola distribución Convención de signos

Para los extremos de los miembros: Se considerancomo momentos positivos aquellos que sean anti-horarios, en tanto que los negativos son los horarios.

Para los nodos: Con el fin de garantizar la continuidaden la curva elástica del elemento, los momentos en losnodos deben ser compatibles con los de los miembros.De esta forma en un nodo, un momento será positivo si está en sentido horario. Es importante tener en cuenta que esta convención designos es diferente de la que se usa en estática y en mecánicade materiales.