Introducción Del Proyecto Matematica

 

INTRODUCCIÓN La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Si miramos a nuestro alrededor vemos que esos componentes están presentes en todos los aspectos de la vida de las personas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de comunicación, etc. Las matemáticas, tanto histórica como socialmente, forman parte de nuestra cultura y los individuos deben ser capaces de apreciarlas y comprenderlas. Es evidente, que en nuestra sociedad, dentro de los distintos ámbitos profesionales, es preciso un mayor dominio de ideas y destrezas matemáticas que las que se manejaban hace tan sólo unos años. La toma de decisiones requiere comprender, modificar y producir mensajes de todo tipo; en la información que se maneja cada vez aparecen con más frecuencia tablas, gráficos y fórmulas que demandan conocimientos matemáticos para su correcta interpretación. Por ello, los ciudadanos deben estar preparados para adaptarse con eficacia a los continuos cambios que se generan. Se pretende configurar el área de matemáticas no sólo como un conjunto de ideas y formas de actuar que conllevan la utilización de cantidades y formas geométricas, sino, y sobre todo, como un área capaz de generar preguntas, obtener modelos e identificar relaciones y estructuras, de modo que, al analizar los fenómenos y situaciones que se presentan en la realidad, se puedan obtener informaciones y conclusiones que inicialmente no estaban explícitas. Presentan unas características que se deben destacar para comprenderlas y saber cómo aplicarlas.

Las matemáticas son universales: Los resultados que se obtienen son aceptados por toda la comunidad internacional, lo que no quiere decir que los métodos que se han utilizado históricamente sean iguales: lo que sí son universales son las actividades, muchas entroncadas con la cultura de los pueblos, que han impulsado el conocimiento matemático. De esta manera hablamos de: contar, localizar, medir, explicar, jugar, etc.

 

Las matemáticas y los problemas. La resolución de problemas es una cuestión de gran importancia para el avance de las matemáticas y también para su comprensión y aprendizaje. El saber hacer, en Matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad, pero también de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido. La capacidad para resolver problemas es una de las habilidades básicas que los estudiantes deben tener a lo largo de su vida, y deberán usarla frecuentemente cuando dejen la escuela.

OBJETIVOS La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como finalidad el logro de las siguientes competencias: 1. Plantear y resolver de manera individual o en grupo, problemas extraídos de la vida cotidiana, de otras ciencias o de las propias matemáticas, eligiendo y utilizando diferentes estrategias, justificando el proceso de resolución, interpretando los resultados y aplicándolos a nuevas situaciones para poder actuar de manera más eficiente en el medio social. 2. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida diaria y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento. 3. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos, relaciones y propiedades para describir la realidad, aplicando los conocimientos geométricos para comprender y analizar el mundo físico que nos rodea y resolver problemas a él referidos. 4. Realizar, con seguridad y confianza, cálculos y estimaciones (numéricas, métricas, etc.) utilizando los procedimientos más adecuados a cada situación (cálculo mental, escrito, calculadora,…) para interpretar y valorar diferentes situaciones de la vida real, sometiendo los resultados a revisión sistemática. 5. Razonar y argumentar utilizando elementos del lenguaje común y del lenguaje matemático (números, tablas, gráficos, figuras) acordes con su edad, que faciliten la expresión del propio pensamiento para justificar y presentar resultados y conclusiones de forma clara y coherente.

 

6. Utilizar de forma adecuada las tecnologías de la información y comunicación (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para los cálculos como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones de índole diversa y también para ayudar en el aprendizaje de las matemáticas. 7. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de modos y actitudes propias de la actividad matemática, tales como la exploración de las distintas alternativas, la precisión en el lenguaje o la flexibilidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones. 8. Valorar las matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica. En casi todas las ramas de la Matemática las ecuaciones aparecen como protagonistas centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situación problemática o el fenómeno f enómeno del que se esté hablando. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se podrían resolver sino se manejan las ecuaciones sencillas y los métodos más simples de cálculo.

ECUACIONES Una ecuación es una igualdad donde figuran una o más incógnitas. Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de las incógnitas que verifican la igualdad. A dichos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación Ejemplos: a) La ecuación 2 x + 8 = 0 tiene una única solución, x = -4 b) La ecuación 6 0 2 x + x − = tiene dos soluciones, 2 y -3 c) -2 es solución de 0

 

d) 4 0 2 x + = no tiene soluciones reales, sus soluciones son imaginarias, 2  j y − 2 j e) Ningún valor de  x satisface la ecuación sen x = 2, entonces decimos que no tiene solución f) La ecuación 5 x − 3 x +1= 2 x +1se satisface para cualquier valor de x

Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las soluciones De acuerdo a las soluciones las ecuaciones se clasifican en:

Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las expresiones El

siguiente

cuadro

representa

la

clasificación

de

las

ecuaciones,

correspondiéndose exactamente con la clasificación de las expresiones.

ECUACIONES ALGEBRAICAS Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que intervienen una o varias incógnitas.

 

Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signo igual. Así, se llama primer miembro al de la izquierda, y segundo miembro al de la derecha. Ejemplo:

Verificación de las soluciones Un valor es solución si verifica a la ecuación. Esto es, si se sustituyen las soluciones en lugar de la/s incógnitas, convierten a la ecuación en identidad. Ejemplos: a) La raíz de 2 x +8 = 0 es x = −4 pues 2(− 4) + 8 = −8 + 8 = 0 0  

b) 2 es raíz de 6 0 2 x + x −  = pues 2 2 6 4 2 6 0 2 + − = + − = y -3 también debido Resolución de una ecuación Se llama así al proceso de hallar la/las solución/es de una ecuación. Para resolverla se transforma la ecuación dada, aplicando propiedades, en una ecuación equivalente de la forma x = K, cuya solución es inmediata. La ecuación equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuación original.

Propiedades que se aplican en la resolución de una ecuación 1) Propiedad simétrica: Los miembros de una igualdad pueden conmutarse entre sí Esto es: Si a = b entonces b = a Se aplica esta propiedad para que la incógnita aparezca en el 1º miembro de la ecuación. Ejemplo: Si − 3 = 2 − 5 y igual que 2 − 5 y = −3 

2) Propiedad uniforme para la suma: Si se suma una constante, positiva o negativa, a ambos miembros de una igualdad, la misma se mantiene.

Esto es: Si a = b entonces a + c = b + c Se usa cuando se quiere eliminar un término de un miembro de la ecuación, posteriormente se aplica el axioma de los elementos opuestos

 

  3) Propiedad cancelativa para la suma: Si una constante, positiva o negativa, está sumando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse

Esto es: Si a + c = b + c entonces a = b 4) Propiedad uniforme para el producto: Si se multiplica una constante no nula, positiva o negativa, a ambos miembros de una ecuación, se mantiene la igualdad.

Esto es: Si a = b y c distinto a 0 entonces a . c = b . c Se usa cuando se quiere eliminar un factor de un miembro de la ecuación, posteriormente se aplica el axioma de los elementos recíprocos

5) Propiedad cancelativa para el producto: Si una constante no nula, positiva o negativa, está multiplicando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse

Esto es: Si a . c = b . c con c distinto de 0 entonces a = b • Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma misma potencia o se les l es extrae una misma raíz, siempre que esté definida, la igualdad subsiste. Se aplica cuando se quiera eliminar una potencia o un radical de algún miembro m iembro de una ecuación

ECUACIÓN POLINOMICA DE PRIMER GRADO O ECUACIÓN LINEAL Una ecuación lineal real en una variable es una ecuación de la forma: ax + b = 0 donde a y b , coeficientes de la ecuación, son números reales y x es la variable. Toda ecuación real de primer grado en una incógnita tiene exactamente una raíz real Ejemplo: - 2x + 3 = 0 es una ecuación real de primer grado y su única raíz es 3/2 x (3 + 4) = 0 es una ecuación lineal y su única raíz es 0

ECUACION LINEAL EN DOS INCÓGNITAS  A una ecuación lineal en una una variable ax+b=0 le podemos asociar una ecuación lineal en dos variables y = ax + b . Dicha ecuación representa geométricamente una recta en el plano.

 

Si hacemos y = 0 en esa ecuación se obtiene la ecuación en 1º grado en una variable ax+b=0. Entonces la raíz de la ecuación ax+b=0representa la abscisa del punto donde la recta y = ax + b intercepta al eje X Ejemplo: La ecuación 3x - 12 = 0 tiene por raíz x = 4 La gráfica de la ecuación y = 3x - 12 intercepta inter cepta el eje X en (4, 0).

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Se denomina así a la consideración simultánea de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar, si existen, el o los puntos en común que posean las rectas que intervienen en el sistema. Llamamos conjunto solución al conjunto de pares ordenados que verifican a todas las ecuaciones a la vez. Un sistema de Ecuaciones Lineales puede tener:

 

 

Solución única:  el sistema de llama Compatible Determinado. El conjunto solución está formado por un único par de valores. Las rectas se interceptan en un punto (Figura a).

 

Infinitas soluciones: el sistema se llama Compatible Indeterminado. El conjunto solución está formado por infinitos pares. Las rectas son

coincidentes, tienen infinitos puntos en común. (Figura b).   Sin solución: el sistema se llama Incompatible. El conjunto solución es vacio. Las rectas son paralelas. (Figura c).

Figura a

Figura b

Figura c

MÉTODOS ANALÍTICOS DE RESOLUCIÓN Son muy usados los métodos que a continuación se describen para resolver, analíticamente, sistemas de ecuaciones: Ellos son: método de sustitución, método de igualación, método de reducción y el método por determinantes.

 

Método de Sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una sola incógnita la cual se puede resolver. Una vez determinado el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra al reemplazarlo en la expresión donde ella se encuentra despejada.

Método de Igualación

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.

Método de Reducción Consiste en lograr que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita.

Método por Determinantes