Introduccion Al Diseño de Sistemas de Control en Espacio de Estados_paper

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INTRODUCCION AL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE ESTADOS DE ESTADOS  Abstract   —this

paper exposes all on the introdution to the desi!n o" ontrol s#ste$s "or spa spae% e% "or "or &hi &hih h &e use use the the so"t so"t&a &are re $atl $atla' a' si$ula si$ulatio tions ns "or di""er di""eren entt appli appliati ations ons o" this this su'(et)

 Index Terms Terms —

ontrol s#ste$% $atla'% trans"er

"untion) RESUMEN

 En este documento se expone toda sobre la introducción al diseño de sistemas de control de espacio, para lo cual utilizaremos el software de matlab para realizar las simulaciones de las diferentes aplicaciones que tiene este tema  Palabras Claves: sistema de control, matlab,  función de transferencia.

I) INTRODUCCION La teoría de control moderna se basa en describir describir a través través de las ecuacion ecuaciones es de un sistema en un número n de ecua ecuaci cion ones es dife difere renc ncia iale less de prim primer  er  orden que son con confinada adas en una ecuación ecuación diferencial diferencial vectorial, vectorial, de tal manera que el incremento de variables de estado no aumenta complejidad de las ecuaciones . De tal manera que el anál anális isis is de sist sistem emaa con con múlti múltipl ples es entr entrad adas as y salid salidas as se pued puedan an reali realizar  zar  media ediant ntee un proce roceso so li lieram eramen ente te complicado los cuales e utilizan para el anál anális isis is de sist sistem emas as de ecua ecuaci cion ones es diferenciales escalares. !ara la rea realiza izació ción de las aplicaci cacio ones o ejercicios utilizaremos matlab ya que es que es una "erram "erramien ienta ta muy versátil versátil para para el modelado modelado de este sistema de tal manera que nos permita de una amanera fácil mira mirara ra el comp compor orta tami mien ento toss de estos estos sistemas de control.

II) MARCO TE*RICO

+) Representa tai,n de siste$a te$a en espaio de estado La repr repres esen enta taci ció ón de esta estad do es un modelo matemático de sistemas que se  puede e#presar a través de entradas y salid salidas as que que se pued pueden en relac relacio iona narr con con ecua ecuaci cion ones es dife difere renc ncia iale less de prim primer  er  orde orden n que que se pued pueden en comb combin inar ar con con ecuacio ecuaciones nes diferen diferencial ciales es matrici matriciale aless o vecto ectori rial ales es de prim rimer orde orden n. $ la repr represe esent ntaci ación ón estad estado o tambi también én se la conoce conoce como como la apro# apro#ima imació ción n en el domi domini nio o del del tiemp tiempo, o, tien tienee múlti múltipl ples es entradas y salidas. %l espacio de estado toma referencia a n dimensiones cuyos ejes están constituidos por variables de estad estado, o, adem además ás el estad estado o del del sistem sistemaa  puede ser representado como un vector  dentro de ese espacio.

Las variables de estado son el subconjunto más peque&o de variables de un sistema que pueden representar su esta stado dinámi ámico completo en un determinado instante. Las ecuaciones de estado estado son el conjun conjunto to de ecuacio ecuaciones nes que describe describen n dinámica dinámica de un un sistema sistema mediante la relación entre las variables de entrada, salida y variables variables de estado. estado. %l modelado de sistemas dinámicos en el espacio de estados permite describir  el com comport portam amie ient nto o de todo todo tipo tipo de sistemas como' ()(*, +)+*, lineales,

2 no lineales, invariantes, variantes, etc La ecuación de estado enérica es'  x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ,… ,x n ( t ) ; u1 ( t ) ,u 2 ( t ) , …  x´ i = f i ¿ u1 (t ) ,u 2 ( t ) , … , u p ( t ) ; w 1 ( t ) , w 2 (t ) , … , wv (t ) ¿

+)+)

Trans"or$ai,n de los $odelos de siste$as on el so"t&are MATLA-)

-ransformación del modelo del sistema  basado en su función de transferencia al espacio de estados, y viceversa, se debe desde el análisis con la transformación de una función de transferencia al espacio de estados.

coeficientes del numerador 4cada fila corresponde a una salida5. %n el caso de tiempo discreto, debe suministrar b y una para corresponder a los polinomios de numerador y denominador con coeficientes en potencias descendentes de z. !ara los sistemas de tiempo discreto, b tiene el mismo número de columnas que la lonitud de una. (e debe "acer mediante el relleno de cada numerador representa en b con ceros a la derec"a %jemplo' 0onsidere el sistema definido  por la función de transferencia siuiente'

s9

¿ U  ¿ Y ( s ) ¿

.or$ulai,n en el espaio de estados de siste$as 'asados en su "uni,n de trans"erenia) %l comando tf2ss convierte los  parámetros de una función de transferencia de la representación de un sistema dado a los de una representación de espacio de estado equivalente $, /, 0, D12tf3ss 4num, den5 devuelve las matrices $, /, 0 y D de la representación en espacio de estado para la función de transferencia de entrada única

La representación en variables de estado quedaría'

Del sistemas

%l vector de entrada contiene los coeficientes del denominador en  potencias descendentes de s. Las filas de la matriz / contienen los vectores de

Trans"or$ai,n del espaio estados a una "uni,n trans"erenia)

de de

3 %l comando ss3tf convierte una representación en espacio de estado de un sistema dado a una representación de función de transferencia equivalente. 6um, den1 2 ss3tf 4$, /, 0, D, 7)5 devuelve la función de transferencia

Del sistema

De la iu8t" entrada. 9ector a contiene los coeficientes del denominador en  potencias descendentes de s. Los coeficientes del numerador se devuelven en serie b con tantas filas como salidas y. ss3tf también trabaja con los sistemas en tiempo discreto, en cuyo caso se devuelve la representación transformada z %jemplo' *btener la función de transferencia del modelo de variables de estado del siuiente sistema con entradas y salidas múltiples.

+)/)

Solui,n de la euai,n de estado in0ariante en el tie$po)

$ través de esto obtendrá la solución eneral de la ecuación de estado lineal e invariante en el tiempo. !rimero se considera el caso "omoéneo y lueo el no "omoéneo.

Solui,n de las euaiones de estado para el aso ho$o!1neo !rimero realizamos la solución de la ecuación diferencial escalar   x´ =ax $l resolver esta ecuación, se obtiene una solución x 4t 5 de la forma

(ustituyendo

!or tanto, iualamos los coeficientes de las potencias iuales de t , obteniendo

Donde valor sustituyendo t 2:

de

b:

se

obtiene

 La solución x 4t 5 es' La función de transferencia del sistema  para cada entrada y cada salida queda'

M1todo de la trans"or$ada de Laplae para la solui,n !rimero se toma el caso escalar 

4  x´ = ax -omamos la transformada de Laplace

$l despejar X 4 s5

La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación da la solución

Solui,n de euaiones de estado para el aso no ho$o!1neo 0onsiderando el caso escala

M1todo de la trans"or$ada de Laplae para Solui,n en t1r$inos de x 2t 34) La solución de la ecuación de estado no "omoénea también puede obtenerse mediante el método de la transformada de Laplace.  x´ = Ax ;/u Donde utilizamos ecuaciones

las

siuientes

!re multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por %l primer término del seundo miembro es la respuesta a las condiciones iniciales y el seundo término es la respuesta a la entrada u 4t 5. $"ora se considera la ecuación de estado no "omoénea descrita mediante  x´ = Ax ;/u Donde' x 2vector de dimensión n u 2vector de dimensión r  A2matriz de coeficientes constantes de n#n -2matriz de coeficientes constantes de n#r  0onsiderando el caso para la ecuación de estado no "omoénea descrita por'

( sI − A )− , 1

obtenemos

La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación se obtiene a partir  de la interal de convolución, del modo siuiente'

/) Criterio de ontrola'ilidad # o'ser0a'ilidad Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron introducidos por  ?:. %llas afrontan respectivamente la relación que e#iste entre la entrada y el estado 4la controlabilidad5, y entre el estado y la

5 salida 4la observabilidad5. 0ada vez que "aamos referencia a la entrada u 4t 5 del sistema, supondremos que es una entrada de acción de control, y no de una entrada que sea una perturbación al sistema .

/)+)

Controla'ilidad

7n sistema es controlable a un tiempo t: si es posible transferir mediante el uso de un vector de control sin restricciones al sistema desde el estado inicial # 4t:5 a cualquier otro estado en un intercala de tiempo. 7n sistema e#"ibe controlabilidad completa si todos los est ados son contr@lables )

(i se define

Contra'ilidad o$pleta del estado de siste$as en el tie$po ontinuo 0onsidere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por'

, t  A t :,  x4t :5 2 x: Donde , !, C  y " son funciones continuas del tiempo. (uponamos que  para aluna entrada u 4t 5, t   t :,t =1, y  para el estado inicial x:, el estado al tiempo t = es x=. Decimos entonces que la entrada u transfiere el sistema desde el estado #: 4en el tiempo t :5 al estado x= 4al tiempo t =5. (ea t2: 

Siste$a o$pleta$ente ontrola'le (i todo estado # 4t:5 del sistema es controlable sobre t:, t=1, el sistema se dice que es completamente controlable sobre t:, t=1. (ea donde ,  !, C  y " son las matrices constantes'

, ,

,

 " 2 :

0omo podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será'

6

La ecuación de la salida'

y suponiendo que el estado inicial fuere x=4t :5 2 x=:, y x34t :5 2 x3:, podemos raficar el diarama de simulación de dic"o sistema sea'

Si todos los elementos de cualquier la de la matriz . n  r son nulos, entonces la variable de estado correspondiente es no controlable por cualquiera de las ui!

Controla'ilidad o$pleta del estado en el plano S

.or$a alternati0a de la ondii,n para la ontrola'ilidad o$pleta

La condición para una controlabilidad completa del estado se plantea en términos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. 7na condición necesaria y suficiente para una controlabilidad completa de estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. (i ocurre dic"a cancelación el sistema no puede ser  controlado en la dirección del modo cancelado.

(istema definido '

%jemplo ' 0onsideremos la función de transferencia siuiente '

 x´ = Ax ;/u Si los valores propios de A son distintos, es posible encontrar una matriz de transformación P tal Que

Controla'ilidad de salida %n la mayoría de casos prácticos se desea controlar la salida en luar de los estados del sistema. 0ontrolabilidad

" completa de los estados no arantiza la controlabilidad de la salida del sistema. (e dene en este caso una matriz (,  para la cual debe cumplirse que el rano debe ser iual a mB el número de variables de salida.

/)/)

O'ser0a'ilidad

Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo que se describe mediante las ecuaciones dinámicas #4t5 2 $#4t5 ; /u4t5 y4t5 2 0#4t5 ; Du4t5 se dice que el estado #4t:5 es observable si dada cualquier entrada u4t5, e#iste un tiempo finito tf A t: tal que el conocimiento de' =5 u 4t5 para t: C t  tf  35 Las matrices $, /, 0 y D E5 la salida y 4t5 para t: C t  tf 

O'ser0a'ilidad o$pleta del estado en el plano S) Las condiciones para la observabilidad completa también se plantean en términos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. La condición necesaria y suficiente para una observabilidad completa del estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. (i ocurre una cancelación el modo cancelado no se puede observar en la salida. %jemplo' Demuestre que el sistema  x =¿  Ax + Bu; y =Cx

¿´

%n donde

O'ser0a'ilidad o$pleta para un siste$a en tie$po ontinuo)

!ara definir la observabilidad completa, decimos que el control u 2 :

0onsidere al sistema dado'  x =¿ Ax ; y= Cx ´¿

%l vector de salida y4t5 es

Donde n es el rado del polinomio característico

.or$a alternati0a de la ondii,n para la o'ser0a'ilidad o$pleta)

#

Sea el sistema$  x =¿ Ax ; y= Cx ´¿

Supón%ase que la matriz de transformación P transforma A en una matriz dia%onal, o donde D es una matriz dia%onal! Si se dene

Controla'ilidad dualidad)

de

prinipio

de

$"ora estudiaremos la relación entre la controlabilidad y la observabilidad. )ntroduciremos el principio de dualidad,  presentado por