Introducción al Control Digital

Introducción al Control Digital

CONTROL DIGITAL Los sistemas de control son una parte integral de la vida cotidiana en la sociedad actual. Ellos controlan nuestros electrodomésticos, centros de entretenimiento, vehículos y ambientes de oficina; controlan nuestros procesos industriales y los sistemas de transporte, controlan nuestra exploración de la tierra, el mar, el aire y el espacio. Casi la totalidad de estas aplicaciones utilizan controladores digitales implementados con electrónica digital, microprocesadores, o computadores. Por lo tanto, todo estudiante de ingeniería electrónica, química o mecánica debe estar familiarizado con la teoría básica de los controladores digitales.

1. INTRODUCCIÓN AL CONTROL DIGITAL DIGITAL En la mayoría de sistemas de ingeniería modernos, existe la necesidad de controlar la evolución en el tiempo de una o más de las variables del sistema. Para garantizar que estos sistemas de ingeniería tengan un comportamiento transitorio y en estado estacionario satisfactorios se requieren controladores. La mayoría de los controladores que se usan hoy en día emplean alguna forma de retroalimentación negativa para garantizar un rendimiento satisfactorio en presencia de perturbaciones e incertidumbres en el modelo. Se necesita un sensor para medir la variable controlada y comparar su comportamiento con una señal de referencia. La acción de control se basa en una señal de error definida como la diferencia entre el valor de referencia y el valor real. Clásicamente, el controlador que manipula la señal de error para determinar la acción de control deseada ha sido un sistema analógico, el cual incluye componentes eléctricos, hidráulicos, neumáticos o mecánicos. Todos estos sistemas tienen entradas y salidas analógicas, es decir las señales de entrada y salida se definen sobre un intervalo de tiempo continuo y tienen valores que se definen sobre un rango continuo de amplitudes. Desde hace algunos años, los controladores analógicos se han venido reemplazando por controladores digitales cuyas entradas y salidas se definen en instantes de tiempo discretos. Los controladores digitales se encuentran en forma de circuitos digitales, computadores digitales o microprocesadores. Intuitivamente, uno pensaría que los controladores que monitorean la salida de un sistema continuamente, serían superiores a los que basan su control en valores muestreados de la salida. Parecería que las variables de control (salidas del controlador) que cambian continuamente lograrían un mejor control que las que cambian periódicamente. ¡De hecho, esto es cierto! El control analógico debería ser superior al control digital si todos los otros factores han sido idénticos para ambos. Entonces, ¿cuál es la razón detrás del cambio de analógico a digital que ha ocurrido en los últimos años?

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1.1.

¿POR QUÉ EL CONTROL DIGITAL?

El control digital ofrece claras ventajas sobre el control analógico que explican su popularidad. A continuación se presentan algunas de sus muchas ventajas:

Precisión.  Las señales digitales se representan en forma de ceros y unos, típicamente con 12 bits o más para representar un número sencillo. Esto involucra un error muy pequeño en comparación a las señales analógicas donde el ruido y las variaciones en la fuente de alimentación siempre están presentes.

Errores de implementación.  El procesamiento digital de las señales de control involucra la adición y multiplicación de los valores numéricos almacenados. Los errores que resultan de la representación y aritmética digital son despreciables. En contraste, el procesamiento de señales analógicas se hace utilizando componentes tales como resistencias y condensadores cuyos valores reales varían significativamente de los valores de diseño nominales.

Flexibilidad.  Una vez se ha implementado el hardware es difícil modificar o rediseñar un controlador analógico. Un controlador digital se implementa en firmware o software, y su modificación es posible sin un reemplazo completo del controlador original. Además, la estructura de un controlador digital no necesita seguir una de las formas simples que típicamente se usan en el control analógico. Las estructuras para controladores más complejos involucran unas pocas operaciones aritméticas adicionales y son fácilmente realizables.

Velocidad.  La velocidad del hardware del computador se ha incrementado exponencialmente desde la década de 1980s. Este incremento en la velocidad de procesamiento ha hecho posible muestrear y procesar las señales de control a unas velocidades muy altas. Debido a que el intervalo entre muestras (periodo de muestreo) se puede hacer muy pequeño, los controladores digitales alcanzan un rendimiento que es esencialmente el mismo al que se alcanza con el monitoreo continuo de la variable controlada.

Costo. Aunque los precios de la mayoría de los bienes y servicios han aumentado constantemente, el costo de los circuitos digitales continúa disminuyendo. Los avances en la tecnología de integración de muy alta escala (VLSI) han hecho posible la fabricación de circuitos integrados mejores, más rápidos y más confiables y se ofrecen al consumidor a un precio más bajo. Esto ha hecho posible el uso de controladores digitales más económicos incluso para pequeñas aplicaciones de bajo costo.

1.2.

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITAL

Para controlar un sistema o proceso físico utilizando un controlador digital, el controlador debe recibir mediciones desde el sistema, procesarlas, y luego enviar las señales de control al actuador que efectúa la acción de control. En casi todas Página 2 de 10

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las aplicaciones, tanto de la planta como el actuador son sistemas analógicos. Esta es una situación donde el controlador y lo controlado no "hablan el mismo idioma" y se necesita algún tipo de traducción. La traducción del idioma del controlador (digital) al del proceso físico (analógico) se realiza mediante un convertidor digital a analógico (DAC). La traducción del lenguaje del proceso al del controlador digital se realiza mediante un convertidor analógico a digital (ADC). En el control realimentado se necesita un sensor para monitorear la variable controlada. En la figura 1 se muestra un lazo de control con la combinación de los elementos discutidos aquí. Son posibles variaciones sobre esta configuración de control. Por ejemplo, el sistema podría tener varias entradas de referencia y varias variables controladas, cada una con un lazo similar al de la figura 1. El sistema también podría incluir un lazo interno con control digital o analógico.

Figura 1. Configuración de un sistema de control digital

1.3.

EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

 A continuación, se analizan brevemente algunos ejemplos de sistemas de control donde la norma, ahora, es la implementación digital. Hay muchos otros ejemplos de procesos industriales que son controlados digitalmente, y se anima al estudiante a buscar otros ejemplos en la literatura.

1.3.1. Sistema de Suministro de Medicamentos en Lazo Cerrado Varias enfermedades crónicas requieren la regulación de los niveles de un medicamento específico o una hormona en la sangre del paciente. Por ejemplo, algunas enfermedades involucran la falla del control natural en lazo cerrado del cuerpo de los niveles de nutrientes en la sangre. La más destacada entre estas enfermedades es la diabetes, donde se altera la producción de la hormona insulina que controla los niveles de glucosa en la sangre. Para diseñar un sistema de suministro de medicamentos en lazo cerrado, se utiliza un sensor para medir los niveles del medicamento regulado o de los nutrientes en la sangre. Esta medición se convierte a forma digital y se introduce en el computador de control, el cual acciona una bomba que inyecta el medicamento en la sangre del paciente. Un diagrama de bloques del sistema de suministro de medicamentos se muestra en la figura 2.

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Figura 2. Sistema de control digital para el suministro de medicamentos. (a) Esquema. (b) Diagrama de bloques.

1.3.2. Control por Computador del Motor Turborreactor de una Aeronave Los motores turborreactores emplean sofisticadas estrategias de control por computador para alcanzar el alto rendimiento requerido por las aeronaves de hoy en día. En la figura 3 se muestra un diagrama de bloques simplificado para el control por computador de un turborreactor. El control requiere realimentación del estado del motor (velocidad, temperatura y presión), mediciones del estado de la aeronave (velocidad y dirección), y el comando del piloto.

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Figura 3. Sistema de control de un motor turborreactor. (a) Avión militar de combate F-22. (b) Diagrama de bloques de un sistema de control del motor.

1.3.3. Control de un Manipulador Robótico Los manipuladores robóticos son capaces de realizar tareas repetitivas a velocidades y precisiones que superan con creces las de los operadores humanos. Se utilizan ampliamente en procesos de fabricación tales como soldadura por puntos y pintura. Para llevar a cabo sus tareas con precisión y confiabilidad, las posiciones y velocidades de la mano del manipulador (o efector final) son controladas digitalmente. Cada movimiento o grado de libertad (DOF) del manipulador se manipula mediante un sistema de control de posición por separado. Todos los movimientos están coordinados por un computador de supervisión para lograr la velocidad deseada y el posicionamiento del efector final. El computador también proporciona una interfaz entre el robot y el operador que permite programar los controladores de nivel inferior y direccionar sus acciones. Página 5 de 10

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Los algoritmos de control son descargados desde el computador de supervisión a los computadores de control, que son típicamente microprocesadores especializados conocidos como chips de procesamiento de señales digitales (DSP). Los chips DSP ejecutan los algoritmos de control y proporcionan control en lazo cerrado para el manipulador. Un manipulador robótico simple se muestra en la figura 4(a), y un diagrama de bloques del sistema de control digital se muestra en la figura 4(b). Por simplicidad, sólo un lazo de control de movimiento se muestra en la Figura 1.4, pero en realidad hay  lazos para un manipulador de DOF.





Figura 4. Sistema de control de un manipulador robótico. (a) Manipulador robótico de 3 DOF. (b) Diagrama de bloques.

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1.4.

SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO

El control digital involucra sistemas cuyo control se actualiza en instantes de tiempo discretos. Los modelos en tiempo discreto proporcionan relaciones matemáticas entre las variables del sistema en estos instantes de tiempo. A continuación, se presenta un ejemplo que ilustra cómo los modelos en tiempo discreto, bajo control digital, surgen de los sistemas analógicos. En la mayoría de aplicaciones de ingeniería, se necesita controlar un sistema físico o planta para que se comporte de acuerdo con las especificaciones de diseño dadas. Típicamente, la planta es analógica, el control es constante, y la acción de control se actualiza periódicamente. Esta disposición resulta en un sistema global que está convenientemente descrito por un modelo en tiempo discreto. Se demostrará este concepto con un ejemplo simple.

EJEMPLO Considere el sistema de control del tanque de la figura 5. En la figura, las letras minúsculas denotan las perturbaciones de los valores fijos en estado estacionario. Las variables se definen como:     

 =altura del líquido en el tanque en estado estacionario  =perturbación de la altura  =flujo a través del tanque en estado estacionario  =perturbación del flujo de entrada  =perturbación del flujo de salida

Figura 5. Sistema de control de nivel de líquido Se necesita mantener un nivel de líquido constante mediante el ajuste de la velocidad del flujo de líquido dentro del tanque. Obtenga un modelo matemático analógico del tanque, y utilícelo para obtener un modelo en tiempo discreto para el sistema con flujo de entrada   y salida  constantes.





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Solución  Aunque el sistema de nivel de líquido es no lineal, un modelo lineal puede describir satisfactoriamente el sistema bajo el supuesto de que el nivel del líquido está regulado alrededor de un valor constante. El modelo linealizado para la válvula de salida es análogo al de una resistencia eléctrica y está dada por

 =  



donde es la perturbación en el nivel del tanque,  es la perturbación en el flujo de salida del tanque desde el nivel nominal , y  es la resistencia de la válvula al fluido.

 

Suponiendo un fluido incompresible, el principio de conservación de la masa se reduce al balance volumétrico:

=

Velocidad del incremento en el volumen del líquido  Velocidad del volumen del líquido que entra – Velocidad del volumen del líquido que sale:



( +) = ( + ) − ( + ) 



donde   es el área del tanque o su capacitancia al fluido. El término   es una constante y su derivada es cero, y el  término se cancela de tal manera que los términos restantes sólo involucran las perturbaciones. Sustituyendo el flujo de salida   de la ecuación de la válvula linealizada en el balance volumétrico da el modelo matemático analógico





 = 

 +  =    

donde   es la contante de tiempo del fluido para el tanque. La solución de esta ecuación diferencial es:

  ) ⁄ (  ()⁄ () () =   () +     de muestreo , es decir,  () =  () =   constante sobre cada periodo constante  para  en el intervalo [, (+ )]. Entonces se puede resolver la Sea

ecuación analógica sobre cualquier periodo de muestreo para obtener:

(+ ) = ⁄ () + −⁄ () donde las variables en el tiempo   se denotan por el argumento . Este es el modelo en tiempo discreto deseado que describe el sistema con control constante.

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1.5.

ECUACIONES EN DIFERENCIA

Ecuaciones en diferencias aparecen en problemas en los que se supone que la variable independiente, por lo general el tiempo, tiene un conjunto discreto de posibles valores. La ecuación en diferencias no lineal

(+) = [(+−),( +  − ),…,(+ ),(),(+ ), ( +  − ),…,( +),()] con función de excitación ()  se dice que es de orden   porque la diferencia entre los argumentos de tiempo más alto y más bajo de (. ) y (. ) es . Las ecuaciones que se trabajaran aquí son casi exclusivamente lineales y de la forma:

( +) + ( +  − ) +⋯+(+ ) + () = ( +) + ( +  − ) +⋯+ ( +) + ()  Además, se supone que los coeficientes  ,  ,  = ,,,…,  son constantes. La ecuación en diferencia se conoce entonces como lineal e invariante en el tiempo (LTI). Si la función de excitación () es igual a cero, se dice que la ecuación es homogénea.

Las ecuaciones en diferencia se pueden solucionar utilizando métodos clásicos, análogos a los que están disponibles para ecuaciones diferenciales.  Alternativamente, la transformada Z proporciona un enfoque adecuado para resolver ecuaciones en diferencia LTI.

1.6.

LA TRANSFORMADA Z

La transformada Z es una herramienta importante en el análisis y diseño de sistemas en tiempo discreto. Simplifica la solución de problemas en tiempo discreto mediante la conversión de ecuaciones en diferencia LTI a ecuaciones algebraicas, y la convolución a multiplicación. Por lo tanto, desempeña un papel similar al de la transformada de Laplace para problemas en tiempo continuo. Debido a que el interés principal es la aplicación a los sistemas de control digital, esta breve introducción a la transformada Z se limita a señales causales  (es decir, señales con valores cero para tiempo negativo) y la transformada Z unilateral.  A continuación se presentan dos definiciones alternativas de la transformada Z.

DEFINICIÓN 1: Dada la secuencia causal se define como

{ ,,,…,,… }, su transformada Z 

() =  +  +  +⋯+ =  

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En la ecuación anterior, la variable tiempo de retardo.

 se puede considerar como un operador de

DEFINICIÓN 2:  Dada la representación de un tren de impulsos de una señal en tiempo discreto



∗() = () + ( − ) + (−) +⋯+(−) = (−) 

Su transformada de Laplace es



∗() =  +  +  +⋯+ = ( ) 



Sea  definida por

 =  Da la misma expresión de la definición 1.

 Aunque las dos definiciones anteriores dan el mismo resultado, cada una tiene sus ventajas y sus desventajas. La primera definición evita el uso de impulsos y de la transformada de Laplace. La segunda permite tratar  como una variable compleja y utilizar algunas de las propiedades familiares de la transformada de Laplace (tal como la linealidad).



Claramente, es posible utilizar la transformada de Laplace para estudiar sistemas en tiempo discreto, tiempo continuo, y mixtos. Sin embargo, la transformada Z ofrece una simplificación importante en la notación para sistemas en tiempo discreto y simplifica ampliamente su análisis y diseño. Habiendo definido la transformada Z, hay que tener en cuenta las siguientes identidades para derivar diversos resultados importantes:



   −   =  −  , ≠     , || <   =  −  Página 10 de 10