Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de salud
Short Description
Descripción: matemáticas...
Description
515 Abdala P., M. D. A116 Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de la salud/ M. Abdala P., A. Lizama M.— Santiago de Chile: Universidad Santo Tomás, 2010. 315 p.: cuadros.
Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de la salud © Universidad Santo Tomás M. Abdala P. y A. Lizama M. Registro de Propiedad Intelectual N° 204.124 Primera Edición Santiago de Chile Abril de 2011 ISBN 978-956-7946-09-9 Diseño de Portada e Interiores: Siujen Chiang
Introducción al Cálculo con aplicaciones en el área de la salud
ABDALA M.D. & LIZANA A.
2010 Editorial Universidad Santo Tomás
AGRADECIMIENTOS
Este texto que hoy ponemos al alcance de nuestros estudiantes, es el fruto del trabajo y la experiencia de aproximadamente 30 años ejerciendo docencia universitaria, sin embargo esto no habría bastado para llevarlo a feliz término, si no hubiera sido por la motivación, el constante apoyo y todo el esfuerzo de gestión que realizó la Doctora Carmen Espoz, Directora del Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad Santo Tomás, de quien estamos tremendamente agradecidos, por la oportunidad brindada, por la confianza que depositó en nosotros y como ya señalamos, por su incesante apoyo. No podemos dejar de mencionar en estos agradecimientos, a nuestros familiares en general y, con especial ternura y amor, por nuestras hijas Carolina Vargas Abdala, Daniela Lizana Bahamondes y Pamela Lizana Bahamondes, así también por mi esposa Patricia Bahamondes Huerta, quienes con su infinita paciencia para aceptar largas jornadas de trabajo, quitándoles tiempo y muchas veces irrumpiendo e importunando en sus actividades normales, nos apoyaron e instaron a sacar esta empresa adelante, incentivándonos en aquellos momentos de flaqueza cuando la actividad emprendida se hace interminable y no se logra visualizar el final del camino. También con especial aprecio por nuestro colega y amigo Héctor Carreño Gajardo quien nos colaboró en la revisión del material y en todos los gráficos que aparecen en esta edición. Por último, estamos conscientes que esta es la primera aproximación en plasmar en un texto nuestra experiencia docente, y lo más seguro es que cuando lo revisemos para posteriores ediciones, nos sonrojemos al ver que lo podríamos haber realizado de mejor forma. Pero lo más importante es que dimos el primer paso.
Profesores M. Abdala P. – A. Lizana M.
ÍNDICE
Unidad I Preparación para el Cálculo
4
Unidad II Funciones
124
Unidad III Continuidad y Derivada de una Función. Aplicaciones
241
UNIDAD I: Preparación para el Cálculo
Los números reales
Expresiones algebraicas
Términos semejantes
Potencias
Productos Notables
Factorización
Operaciones con fracciones algebraicas
Raíces
Logaritmos
Ecuaciones de 1° grado simples: Lineal, Fraccionaria y Literal
Razones y proporciones
Ecuaciones de 2° grado
Ecuaciones irracionales, exponenciales y logarítmicas
4
LOS NÚMEROS REALES
1.
Conjuntos Numéricos
1.1.
Números Naturales Los elementos de este conjunto son IN 1, 2, 3, , n 1, n, n 1, .
Características: a)
Si un número natural es n , el anterior a él que se le denomina
antecesor que es n 1 , y el siguiente se le denomina sucesor que es
n 1. b)
El conjunto de los Números Naturales IN tiene un elemento
mínimo que es el 1, que también se le denomina Primer Elemento, dicho número no posee antecesor. c)
Entre dos Números Naturales consecutivos no existe ningún
número natural intermedio. d)
Es un conjunto infinito, es decir no existe un número natural
máximo. e)
Cada Número Natural sólo puede ser par o impar. Se dice que un número natural m es par, sí m 2 n para algún número natural n ; en otras palabras, m es par si m es un múltiplo de 2. En cualquier otro caso se dice que m es impar, que se obtiene por la expresión t 2·n 1 f)
Si m es un múltiplo de n, se dice que n es un factor de m. por
ejemplo: 13 y 5 son factores de 65, ya que 65 13 5 . Un número natural que tenga otro factor aparte de sí mismo y al 1 se llama número compuesto. Un número natural mayor que 1 y que no tenga más factores
5
que él mismo y al 1 recibe el nombre de número primo. Todo número par excepto del 2 es un número compuesto, ya que tiene el factor 2 además de sí mismo y al 1, por ejemplo 6 es un número compuesto, pues 6 2·3 , o bien 6 6·1 g)
IN por tener primer elemento es un conjunto que sirve para
contar.
1.2.
Números Enteros Hay problemas que no tienen solución en IN . Por ejemplo, la ecuación x 7 4 no tiene solución en IN pues no existe: n IN tal que x 7 4 . La necesidad de resolver problemas de este tipo x a b / a, b N trajo como consecuencia la ampliación del conjunto numérico natural al conjunto de los Números Enteros.
Definición
IN es el conjunto de todos los números negativos (opuestos) de los números naturales. Z IN 0 IN :
Definición
Nota
es el conjunto de los Números Enteros
Si consideramos Z IN , Z IN entonces: Z Z 0 Z ,
Donde:
Z 1, 2, 3, , n,
Conjuntos de los números enteros positivos. Z 1, 2, 3, ,
Conjuntos de los números enteros negativos.
Nota
Como los conjuntos: Z , 0 y Z son disjuntos, entonces para cada elemento a Z cumple, exactamente, una de las tres condiciones a Z- , a 0 ,
o bien a Z . 6
1.3.
Números Racionales Son los reales con parte decimal periódica y que es posible escribirlos como una razón o cuociente entre enteros. a Q b
/
a Z, b Z, b 0
A los números racionales se les llaman habitualmente fracciones. En todo número racional (fracción) se distingue: raya de fracción
a b
numerador
deno min ador
a
Dada una fracción (racional): b , se tiene: 1.
Sí a b , entonces la fracción es propia y en consecuencia es menor que
la unidad Por ejemplo: 2.
2 1 5
Sí a b , entonces la fracción es impropia y en consecuencia es mayor
que la unidad Por ejemplo: 3.
12 1 5
Si a b , entonces la fracción es unitaria, y en consecuencia es igual a 1. Por ejemplo:
21 1 21
Para expresar un número racional (fracción) a decimal, se divide el numerador por el denominador. Se dan 3 casos, considerando fracciones propias: 1.
Decimales exactos o finitos. El resultado es un decimal exacto o finito.
7
Ejemplo: 2.
3 0,750 0,75 4
(decimal finito)
Decimales periódicos. El resultado no es exacto y se repite, una o varias cifras después de la coma. Ejemplo:
3.
5 1,666 1, 6 3
(infinito periódico)
Decimales semi-periódicos. Después de la coma hay una o varias cifras que no se repiten, seguidas de un período. Ejemplo:
1.4.
7 0,58333 0,583 (infinito semi-periódico) 12
Números Irracionales Son los números reales que no es posible escribir o expresar como cuociente entre números enteros, por ejemplo
2 ,
3
37 ,
, e, etc. El conjunto de los
Números Irracionales es el conjunto II IR Q .
1.5.
Números Reales Entenderemos por número real a todo número que se pueda escribir
Definición:
como un número de tipo decimal, sea éste periódico (Racional) o no periódico (Irracional). A este conjunto lo anotaremos por IR .
8
2.
El Cuerpo IR, ,
Diremos que el sistema formado por el conjunto y las operaciones de adición (+) y multiplicación (), que anotaremos por: IR, , constituye una Estructura Algebraica de Cuerpo por cuanto satisface los siguientes axiomas (propiedades aceptadas como verdaderas sin demostración):
2.1.
IR, es un Grupo Conmutativo, pues cumple: a)
Clausura:
a , b s : a + b = s
b)
Asociatividad:
a , b , c
c)
Conmutatividad:
a , b , se cumple: a + b = b + a
d)
Existe Neutro:
0 a , tal que
e)
Existe Inverso:
a a , tal que
( a + b ) + c = a +( b + c )
a+0=a=0+a
a + (-a) = (-a) + a = 0 " a " se lee: "inverso aditivo de a" u "opuesto de a".
2.2.
IR, es Grupo Conmutativo, pues verifica que: a)
Clausura:
a , b m tal que: a b = m
b)
Asociatividad:
a , b , c :
c)
Conmutatividad:
a , b , se verifica que: a b = b a
d)
Existe Neutro:
1 , tal que:
e)
Existe Inverso:
a , a 0 , a 1 , tal que:
( a b ) c = a ( b c )
a1=1a=a
(a-1 ) a = a (a-1 ) = 1 " a 1 " se lee: "recíproco de a" o "inverso multiplicativo de a".
9
2.3.
IR, , es doblemente distributiva, pues
a, b, c IR
(multiplicación sobre
adición): a·(b c) a·b a·c
(a b)·c a·c b·c
3.
Propiedades de los Números Reales
3.1.
Axiomas de la Igualdad a, b, c IR : 1.
Todo real es igual a sí mismo: a a
2.
Si a b entonces b a
3.
Si a b y b c entonces a c
4.
Si a b , entonces a se puede sustituir por b en cualquier enunciado matemático.
Nota
Los primeros tres axiomas no requieren de una explicación detallada. El último y 5 3x ,
demostrará ser muy útil al resolver ecuaciones como por ejemplo: Si
y
si: x 7 determine el valor de y. Solución
Si se sabe qué y 5 3x , y que x 7 , se puede sustituir
x
por 7 para
obtener y 5 3(7) 5 21 16 .
3.2.
Leyes de la Cancelación en IR, , Una propiedad importante de las igualdades es que, si el mismo número su suma a ambos lados de una igualdad, lo que se obtiene es otra igualdad. Una proposición similar es válida para la multiplicación. Esto es consecuencia del axioma de sustitución.
10
a b ac bc
a, b, c IR : a b a c bc
Esto es particularmente útil al resolver ecuaciones, si se utiliza en la forma siguiente: acbc a c bc
ab a b, c 0
En la segunda de las leyes de la cancelación, es esencial que c 0 ya que por ejemplo: 4 ·0 7 ·0 ,
Propiedad
3.3.
a, b, c, d IR :
Sí
pero
47
a b, c d
a c b d a c bd
entonces:
La sustracción y la división, que son las otras dos operaciones fundamentales de los números reales, se definen mediante los axiomas de los inversos. Específicamente, la sustracción y la división se definen como sigue:
Definición
Definición
a b a ( b ) , Diferencia de números reales menos b". La división
a : b a b 1
es la razón "a dividido por b.
Otras formas de expresar a : b pueden ser
Nota 1
es la resta "a
a b
o bien
a·
1 b
Tal como sucede con la adición y la multiplicación, la sustracción y la división se definen sólo para dos números reales a la vez. Sin embargo, estas operaciones no cumplen el axioma de Conmutatividad ni el de Asociatividad.
11
Nota 2
Existe un único x en IR, , tal que a x b . Se le llama "solución de la x b (a) b a .
ecuación aditiva" y resulta ser que x está expresado por Nota 3
Existe un único x en IR, · , tal que a x b , con a . A dicho elemento x se le llama "solución de la ecuación multiplicativa" y resulta ser que x se designa por: a 1 b . En particular: a 1 se escribe también como a c a c b, b
Nota 4
3.4.
1 a
, es decir: a 1 =
1 a
b0
Propiedades de la Adición en: IR, . a, b IR , se verifica que: 1.
El neutro aditivo: 0, y el opuesto de un número real a, o sea: (a) , son únicos.
3.5.
3.6.
2.
( a ) a .
3.
(a b) (a) (b) a b .
4.
( a b ) ( a ) b b a
Propiedades de la Multiplicación en IR, · . a, b IR : 1.
1 El neutro multiplicativo: 1 y el recíproco de a, o sea: a , son únicos.
2.
(a 1 ) 1 a ,
3.
(a b) 1 a 1 b 1
siempre que: a 0
Propiedades de la Adición y Multiplicación en IR, , · . a, b IR . 1.
1 0
2.
(a) (1) a
3.
(a) b a (b) (a b) ab
4.
(a) (b) a b ab
12
Ejemplo
¿Que valor de x transforma a la expresión: 2 x 3 5 en una proposición verdadera? Solución (2 x 3) 3 5 3 2 x (3) 3 8 2x 0 8 2·x 8
x4
El proceso descrito anteriormente constituye la resolución de la ecuación dada. También se dice que x (la incógnita) ha sido despejada en la ecuación.
El Cero
Los resultados siguientes son propiedades importantes que el 0 (cero: neutro aditivo) tiene con respecto a la multiplicación y la división: 1.
a0 0a 0
2.
Si
ab 0
3.
0 0 b 1 0 , b
4.
a 0
entonces:
a 0 . b 0
siempre que b 0 .
está definida para ningún a en IR .
Nota 5
a 0 a0 b
Nota 6
a : No existe b 0 b
Nunca dividir por Cero
13
Ejemplo
Dada la fracción
2x 6 x5
Solución: ¿Para qué valor de x, la fracción es nula? La fracción es nula si x 3 ¿Para qué valor de x, la fracción no existe? La fracción no existe si x 5
Ejemplo
¿Qué valor de x transforma a la expresión: (2 x 3)( x 5) 0 en una proposición verdadera? Solución: El valor es x
Nota 7
3 2
, o bien x 5 , por la propiedad del 0 para el producto.
El axioma del inverso multiplicativo garantiza que hay inverso para todo número real, con la excepción: el neutro aditivo 0 no tiene inverso multiplicativo.
14
Ejercicio
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. 1. La suma de dos enteros positivos cualesquiera es un entero positivo. 2. El producto de dos enteros negativos cualesquiera es un entero negativo. 3. La suma de dos enteros impares cualesquiera es un entero impar. 4. Si x 1 z , y x 3 , entonces z 4 ” es cierta por el axioma de sustitución de la igualdad. 5. El producto de dos números pares es siempre un número par. 6. La suma de dos números impares es un número impar. 7. El producto de dos números impares es siempre un número impar. 8. La fracción
1 6
representa un decimal no periódico.
9. x 2 es una solución de la ecuación x 2 3x 12 0 10. El opuesto de 2 es 2.
15
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
I.
Término Algebraico Se llama término algebraico a una combinación de números (coeficiente) y letras (factor literal) que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o la división. Ejemplo 1 ; 3xy
2a
2 ; 6a p
5 3 xy 6
;
;
2 xy 3 3a 4b
De acuerdo a los ejemplos, en todo término algebraico podemos distinguir: a) El Coeficiente o factor numérico, que es el número que acompaña a una o más letras. b) El Factor Literal que es (son) la(s) letra(s) de un término algebraico.
Observación
Como los coeficientes pueden ser positivos o negativos (no olvidar que estamos trabajando en ), luego los términos algebraicos pueden ser positivos (+) o negativos (-). Se llama grado del término algebraico a la suma de los exponentes de las letras que aparecen en el término.
Ejemplo 2 2 5 En los términos 5 x y
6x4 y3 z 2
y
, identifique coeficiente, factor
literal, y el grado.
5x2 y5
Solución
6x4 y3 z 2
Coeficiente
:
-5
6
Factor literal
:
x2 y5
x4 y3 z 2
Grado
:
7
9 16
Observaciones
1.
Si el coeficiente no está escrito entonces es 1.
2.
Si no aparece el signo este es “+”.
3.
Si el grado no está escrito, entonces es 1.
Actividad Identifica el coeficiente, el factor literal y el grado, de los términos del Ejemplo 1.
II.
Expresión Algebraica
Se llama expresión algebraica a cualquier suma o resta de términos algebraicos. Si la expresión tiene sólo un término se llama monomio, si posee dos términos se llama binomio; si tiene tres términos se llama trinomio; si tiene cuatro o más se habla de polinomios.
Ejemplos
Monomios
:
3 y3
;
7 x2
Binomios
:
3x 2 5 y
;
2 3x
Trinomios
:
2x 3y z
;
a 2 2ab c 3
Polinomios :
3x 2 y 4 5 xy 6 xz 8 yz
;
x5 3x 4 7 x3 x 2 4 x 2
17
Actividad Completar con una x el cuadro siguiente: Expresión algebraica
Monomio
Binomio
Trinomio
Polinomio
– 16a – 3b – 5c – 9a –3 –2xyz2 8x – 3y 2x2 – 3x + 3 4a2 – 9b2 7a – 4b + 9
Observación:
El término polinomio se puede usar en forma general para cualquier expresión algebraica.
Los Polinomios son una clase importante de expresiones algebraicas; los más sencillos son aquellos en una sola variable.
Polinomio de una variable Un polinomio en x es una expresión de la forma:
a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 ... an 1 x n 1 an x n Donde n es un entero no negativo y a0 , a1 , a2 , a3 , an 1 , an son números reales, con an 0 k Las expresiones ak x son los términos del polinomio. Los números a0 , a1 , a2 , a3 , an 1 , an
son los coeficientes de
x 0 , x, x 2 , x 3 ,, x n 1 , x n , respectivamente. El coeficiente an de
x n (la máxima potencia de x
) es el coeficiente principal del polinomio. El entero no
negativo n proporciona el grado del polinomio.
Ejemplo: 6 5 3 2 Consideremos el polinomio x 2 x 6 x 7 x 4 x 6
18
Entonces: 6 5 3 2 1. Los términos del polinomio son x ,2 x ,6 x ,7 x ,4 x y 6
o 2 3 4 5 6 2. Los coeficientes de x , x, x , x , x , x y x son 6, -4, -7, 6, 0, -2, y 1
respectivamente. 3. El coeficiente principal del polinomio es 1. 4. El grado del polinomio es 6.
Actividad: En base al ejemplo anterior, completar el cuadro siguiente: Polinomio
Términos
Coeficientes
Coeficiente
Grado
Principal 2 x 5 8 x 3 6 x 2 3x 1 2 x 2 3x 3 3x 3 2 x 2 4 x 2 x 4 9 x 3 3x 2
y4 6 y3 3y2 4 y 6 a 4 2a 2
La mayor parte de la terminología presentada en el caso de un polinomio de una variable se aplica también en el análisis de polinomios en distintas variables. Pero el grado de un término en un polinomio en diferentes variables se obtiene sumando las potencias de todas las variables que aparecen en el término y el grado del polinomio está dado por el término de grado máximo. Ejemplo: 2 x 2 y 5 3 xy 3 8 xy 2 3 y 4 ,
es un polinomio en dos variables, x e y . Tiene cinco términos
con grados 7, 4, 3, 1 y 0 respectivamente. Por lo tanto, el grado del polinomio es 7.
19
III.
Términos Semejantes
Dos o más términos son semejantes cuando poseen el mismo factor literal (en donde cada letra tiene el mismo exponente), pero distinto factor numérico o coeficiente. Ejemplo: xz2
; 3xz 2 ;
3 2 xz 4
Claramente se puede apreciar en el ejemplo que los términos anteriores son semejantes entre sí, ya que, solamente difieren en el factor numérico.
IV.
Reducción de Términos Semejantes
En una expresión algebraica entenderemos por Reducción de Términos Semejantes efectuar la adición y/o sustracción de los términos semejantes que en ella estén contemplados.
Ejemplos
Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:
1. 2ab –3a2b – 4a2b – 6ab +8ab3 + 9a3b Solución
Marcando de manera distinta los términos semejantes que aquí aparecen, tenemos:
2ab – 3a2b – 4a2b – 6ab + 8ab3 + 9a3b =
– 4ab – 7a2b + 8ab3 + 9a3b.
2. – 21a + 3b – 5c + 2d Solución
Dado que no existen términos semejantes, el resultado es el mismo polinomio, es decir:
– 21a + 3b – 5c + 2d.
20
En todo término se puede reconocer dos componentes de
Observación
importancia; Coeficiente Numérico y Factor Literal (potencias de base literal o productos entre ellas). A veces, los coeficientes quedan ocultos o no se expresan. Por ejemplo cuando el coeficiente es ‘1’ ó ‘–1’ se escribirá como sigue: –1x3y2, se escribirá –x3y2. 1x3y2, se escribirá
x3y2.
3. 4ab2 – 5a2b3 – ab2 + a2b3 + 7 ab2 – 15a2b3 – 3a2b Solución 4ab2 – 5a2b3 – ab2 + a2b3 + 7ab2 – 15 a2b3 – 3a2b = 10ab2 – 19a2b3 – 3a2b.
4. – mn + 3mn2 + mn – mn2 + 5 Solución mn + 3mn2 + mn – mn2 + 5 = 2mn2 + 5
V.
Algunas Operaciones con Expresiones Algebraicas
a)
Evaluación de expresiones algebraicas Si consideramos que en una expresión algebraica los factores literales representan números reales, entenderemos que evaluar una expresión algebraica consiste en asignarle un valor numérico a cada literal y calcular el valor final resultante de ejecutar todas las operaciones. Ejemplos 1. Evaluar –3ab + c,
para:
1º) a = 2; b = –1; c = 3. 2º) a = –3; b = 0; c = –2. 3º) a = 0; b = 6; c = 7.
21
Solución:
1º) Para a = 2; b = –1; c = 3. –3ab + c = –3·2· (–1) + 3 = 6 + 9 = 9
2
–1
3
2º) Para a = –3; b = 0; c = –2. –3ab + c = –3· (–3)·0 + (–2) = 0 – 2 = – 2 Un factor cero. Resultado de la multiplicación cero –3
0 –2
3º) Para a = 0; b = 6; c = 7. –3ab + c = –3·0·6 + 7 = 0 + 7 = 7 Un factor cero. Resultado de la multiplicación cero 0
2.
6
Evaluemos –x2,
7
para: 1º) x = –2. 2º) x = 2.
Solución:
1º) Para x = –2. –x2 = – (–2)2 Primero se ejecuta la potencia (–2)2 = (–2)(–2) = 4 =–4 –2 Luego, –x2
= – 4, cuando x = –2.
2º) Para x = 2. –x2 = – 22
Primero se ejecuta la potencia 22 = 22 = 4
= –4 2 Luego, –x2
= – 4, cuando x = 2.
22
3.
Evaluemos (–x)2,
para:
1º) x = –2. 2º) x = 2.
Solución:
1º) Para x = –2. (–x)2 = (– (–2))2
Primero observamos que – (–2) = 2
= 22 = 4 –2 Luego, (–x)2 = 4, cuando x = –2. 2º) Para x = 2. (–x)2 = (–2)2 = 4 2 Luego, (–x)2 = 4, cuando x = 2.
Observación: Note lo relevante que resulta el signo de agrupamiento, el paréntesis, como se observa en los ejercicios anteriores (fijarse en el Ejercicio 2): –x2, es lo mismo que, –(x)2. En la potencia, la base es “x” y su exponente es “2”. Pero, en (–x)2, la base es “–x” y su exponente es “2”.
b)
Adición de Expresiones Algebraicas o Suma de Polinomios Para sumar polinomios, sean monomios o multinomios, bastará cumplir con dos etapas: 1º) Eliminar los paréntesis según las reglas que vimos al operar números enteros o racionales. 2º) Agrupar y reducir los términos semejantes cuando corresponda.
23
Ejemplo
Sumar las expresiones ‘x2y + x – 4xy’ y ‘6x2y – 2x + 4xy + xy2’. Solución: Queremos sumar las expresiones algebraicas, es decir, queremos obtener una expresión que sea igual a: P = (x2y + x – 4xy) + (6x2y – 2x + 4xy + xy2)
Primero recordemos que, si delante de un paréntesis hay un signo “más”, los signos de los términos que están en su interior no cambian. Posteriormente agrupamos los términos semejantes para finalmente reducirlos: x2y + x – 4xy + 6x2y – 2x + 4xy + xy2 = x2y + 6x2y + x – 2x + –4xy +4xy + xy2 = (1 + 6)x2y + (1 – 2)x + (–4 + 4)xy + xy2
Luego: P = 7x2y + (–1) · x + 0 · xy + xy2 P = 7x2y – x + 0 + xy2 P = 7x2y – x + xy2 Por lo tanto: (x2y + x – 4xy) + (6x2y – 2x + 4xy + xy2) = 7x2y – x + xy2
c)
Sustracción de Expresiones Algebraicas o Resta de Polinomios. Para restar expresiones algebraicas debemos recordar que, si delante de un paréntesis hay un signo “menos”, deben cambiar los signos de los términos que se encuentran en su interior.
Ejemplo
Al polinomio x2y + x – 4xy restarle el polinomio 6x2y – 2x + 4xy + xy2. Solución:
(x2y + x – 4xy) – (6x2y – 2x + 4xy + xy2) = x2y + x – 4xy – 6x2y + 2x – 4xy – xy2 y se suma como en el ejemplo anterior:
= (1 – 6)·x2y + (1 + 2)·x + (– 4 – 4)xy – xy2 = – 5x2y + 3x – 8xy – xy2.
24
d) Eliminar Paréntesis y Reducir Términos Semejantes Aprovechando lo señalado en los puntos anteriores b) y c), veamos un ejemplo de reducción de términos semejantes, eliminando paréntesis. Ejemplo: Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes. 3 x y x 2 x y x y 3 y 4 x
Solución:
Iremos desde el interior al exterior:
3 x y x 2 x y x y 3 y 4 x 3 x y x 2 x y x y 3 y 4 x 3 x y x 2 x y x y 3 y 4 x 3 x y x 2 x y x y 3 y 4 x
3x y x 2 x y x y 3 y 4 x x 2y
Actividad 1.
Resolver los ejercicios que a continuación se plantean:
Sumar las expresiones: a) (5r + 6s – 2r2s3) y (2s + 4r + 2r2s3) b) (2x2 –
7 1 2 x + 3) y ( x2 + x – 3) 3 3 5
c) (5x2y – 9xy + 6xy2) y (6x2y + 9xy + 5xy2)
2.
Restar las expresiones: a) (5r + 6s – 2r2s3) y (2s + 4r + 2r2s3) b) (2x2 –
7 1 2 x + 3) y ( x2 + x – 3) 3 3 5
c) (5x2y – 9xy + 6xy2) y (6x2y + 9xy + 5xy2)
25
3.
4.
Evaluar, para los valores dados, las siguientes expresiones: a) 7x2y – 5xy + l
si x = –1 e y = 1
c) 27 r3 – 9r2 + 3r
si r =
1 3
b) 2a2b –
1 ab + 3a 3
si a =
d) 16x4 – 8x3 + 2x – 1
1 3 y b= 2 2
si x = –
1 2
Elimine paréntesis y reduzca términos semejantes: a) (3a2 + 2ab + c) + (3c – 4a2 – ab) b) (10x2y + 5xy2 –3xy + 2) – (–4xy – 2x2 +4y2) c) (2x2y + 4xy2 + 6xy) – (8x3 + 16x2y + 4xy2) – (–xy2 + 4xy + 2) d) [(8a2 – 6b2) – (14ab + 2b2)] – [5a2 + 6ab + 10b2] e) [20x2 – 12xy + 15y2] – [(4x2 + 8y2) – (10xy – 5y2)] f)
(a2 + a) – [(2a2c + 6ac2 + 8ac) – (–3a2c + 6a2 + 9ac)]
26
POTENCIAS EN IR
Potencias de Exponente Natural
La expresión an se llama potencia enésima de a, y es igual al producto de n factores a. Es decir: an = a·a· ……·a, n número natural
n factores donde: a:
se llama base de la potencia
n:
se llama exponente de la potencia
an:
se llama n-ésima potencia de a
an
Exponente
Base
Ejemplos: a)
23 = 2·2·2 = 8
b)
(2)3 = (2) · (2) · (2) = 8
c)
(3)2 = (3) · (3) = 9
d)
y4 = y · y · y · y
e)
a2 = a · a
f)
x1 = x
Observaciones: 1.
0n = 0·0·.....·0 (n factores) Luego:
Para todo n IN: 0n = 0
27
2.
1n = 1·1·.....·1 (n factores) Luego:
3.
Para todo n IN: 1n = 1
( a )2 = (a)·(a)
base (a), exponente 2
( a2 ) = (a a)
base a, exponente 2. El exponente no alcanza al signo.
Usualmente escribiremos: a2 en vez de (a2), pues el exponente tiene alcance mínimo. Para que afecte al signo será preciso usar paréntesis.
Luego:
- ( an ) = - an
En general:
(a)n an
Más aún:
(a)n = an, sólo cuando n es impar.
Ejemplos a) 52 = (5·5) = 25 (5)2 = (5) · (5) = 25
en cambio: b) 23 = (2·2·2) = 8
por otro lado: (2)3 = (2) · (2) · (2) = 8 y, por último: (2)3 = [(2)·(2)·(2)] = 8 c) En particular, veamos las potencias de ‘1’: (1)1 = 1; (1)3 = 1;
(1)2 = 1;
(1)4 = 1;
(1)5 = 1;
(1)6 = 1; etc.
En general se cumple que: 1º. (1) elevado a exponente impar es 1. 2º. (1) elevado a un exponente par es 1.
28
1º. (1)2n 1 = 1 , con nIN.
Es decir:
2º. (1)2n = 1 , con n IN. 4.
En general toda potencia de exponente par es mayor o igual que cero: a2 0, para cualquier número real a.
5.
a
n m
Observe que
an
m
Ejemplo: (23)2 = (23) · (23) = (2·2·2)·(2·2·2) = 26;
2
3 2
Es decir:
6.
23
en cambio,
3·3 9 23 = 2 = 2 2
2
Las Potencias de 10 con exponente natural se usan para anotar abreviadamente números muy grandes. 101 = 10 102 = 10·10 = 100 103 = 10·10·10 = 1.000 104 = 10·10·10·10 = 10.000 10n = 10·10·......·10 = 10..........0
n factores
Ejemplos:
a)
n ceros
La distancia aproximada de la tierra al sol es ciento cincuenta y cinco millones de kilómetros. La notación abreviada por potencias de 10 es:
155.000.000 km. = 155·1.000.000 km. = 155·106 km. b)
La distancia aproximada de la tierra a la luna es 384.000 kilómetros y la escribimos:
384.000 km. = 384·1.000 km. = 384·103 km.
29
O bien, usando decimales, se expresa en notación científica: 384.000 km. = 3,84·100.000 km. = 3,84·105 km
Actividad
Resuelva
1)
Calcular el valor de las siguientes potencias: 25
a)
2)
52
b)
(2)5 d)
c)
117
e)
171
Diga qué número es mayor: a) 2 3 2 ó (23)2
b)
32
3
ó (32)3
c)
33
3
ó (33)3
Soluciones c) 32;
1.
a) 32;
b) 25;
2.
9 6 a) 2 3 2 2 3 ; ya que 2 2 ;
d) 1;
2
b)
e) 17
3
3
3 2 3 2 ; ya
que
38 36 ;
3
c) 3 3 ( 3 3 ) 3 ; ya que 3 27 3 9
7.
Potencia de Exponente Cero Definición:
Para todo número real a distinto de cero, la potencia a0 vale 1. x 0
x0 1 ;
Es decir:
Ejemplos: (2)0 = 1;
a) 20 = 1; 0
0
(22)0 = 1.
2 2 b) 1 ; 1; 5 5 c) 20 = 1, recuerde 00
2
0
1
20 = (20) = (1) = 1
Expresión Algebraica No definida
30
8.
Potencia de Exponente Entero Negativo Definición: 1.
Se define la potencia de base a (número real distinto de cero) y exponente ‘1’ como el inverso multiplicativo o recíproco de a.
Es decir: a1 =
1 a
; con a 0,
2. Generalizando, se define la potencia de base real a (distinta de cero) y exponente entero negativo ‘n’ como el recíproco de la n-ésima potencia a o, de otro modo, como la n-ésima potencia del recíproco de a. Es decir:
a
n
1 1 n a a
n
; con a 0, nIN
Ejemplos a)
1 21 = , 2
b)
2–3 =
c)
1 a
1 1 = 23 8
pero, (2)–3 = 1
pues a –1 =
1
2
3
=
1 1 = 8 8
1
1 1 2 1 1 1 : 1 1 = = = = 2; luego: =2 2 1 2 2
2
1
d)
1
3 2 2 3 3 = 3 = 1 : = 1 = ; luego: 2 3 3 2 2
2
1
=
2 3
31
Observación
1 = 1; x0
a)
x 0 =
b)
x ( 5) =
c)
Potencia de 10 (exponente negativo): Vimos que las potencias de base
note que 0 = 0,
luego x– 0 = x0 = 1
1 = x5 x -5
diez con exponente entero positivo o natural, nos sirvieron para anotar números grandes. Ahora veremos que con exponentes enteros negativos podremos anotar números decimales pequeñísimos.
Las potencias de exponente entero negativo para el 10 son: 101 =
1 = 0,1 10
102 = 10 2 = 100 = 0,01
103 =
1 1 = 0,001 3 = 1.000 10
104 =
1
1
1 1 = 0,0001 4 = 10 10.000
Ejemplos: a)
El diámetro de una molécula de aire es 2,5 10-8 cms.
b)
Un átomo de hidrógeno pesa 1,6 10-24 gramos.
c)
La masa de un electrón es 9,108 10-31 kg.
32
ALGEBRA DE POTENCIAS EN IR
1.
Propiedades. Para todo a, b IR y n, m Z se tiene 1.
a n a m a n m
Se suman los exponentes
2.
a n b n ( a b) n
Se multiplican las bases
3.
( a n ) m a nm
Se multiplican los exponentes
4. 5.
Ejemplos:
Ejemplos:
an am an bn
anm
Se restan los exponentes
a b
n
Se dividen las bases
a 4 a 3 a 43 a 7
a 5
1
a7
5
a4
a
Nota 1
a 3 4 a 3·4 a12
a 5 b 5 ( a b) 5
a7
a 7 b b
a 74 a 3
7
La expresión: a n b m (Suma de Potencias). Se calcula por separado, salvo cuando a es igual a b y m es igual a n. Caso en el cual, se suman por ser n m n m términos semejantes. Las operaciones: a b , a b carecen de una
propiedad operativa. Se calculan las potencias por separado y luego se multiplican o dividen según corresponda.
Nota 2
Es totalmente incorrecto si se escribe (a 1 b 1 ) 1 (a 1 ) 1 (b 1 ) 1 a b . Para 1 1 a 2 y b 4 se tiene (a 1 b 1 ) 1 (2 1 4 1 ) 1 2 4
1
3 4
1
4 , 3
es claro
que a b 2 4 6 .
33
2.
Signos de una Potencia a)
Si la base es positiva, la potencia también es positiva.
b)
Si la base es negativa y el exponente es par, entonces la potencia es positiva.
c)
Si la base es negativa y el exponente es impar, entonces la potencia es negativa.
Es decir:
Si a 0 entonces a n 0 Si a 0 entonces a 2n 0 Si a 0 entonces a 2n 1 0
En consecuencia, para
Importante
Ejemplo
3.
a0
(a) 2n a 2n
(3) 4 3 4
(a) 2 n 1 (a 2 n 1 )
(5) 3 5 3
( x y ) 2 ( y x) 2
( x y ) 3 ( y x ) 3
(2) 5 2 5 32
(3) 6 3 6 729
Productos Notables con Potencias Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta frecuencia que pueden manejarse como fórmulas estándar. Inicialmente, consideremos los siguientes productos:
( a b) 2 a 2 2 a b b 2
( a b) 2 a 2 2 a b b 2
34
El cuadrado de la suma (o de la diferencia) de dos números es igual al cuadrado del primer término, más (o menos) el doble producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término.
( x 7) 2 x 2 2·x·7 7 2 x 2 14 x 49
Ejemplo
( x 4) 2 x 2 2·x·4 4 2 x 2 8 x 16
Cubo de una suma o de una diferencia: (a b) 3 a 3 3·a 2 ·b 3·a·b 2 b 3
(a b) 3 a 3 3·a 2 ·b 3·a·b 2 b 3
El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. (a b)(a b) a 2 b 2
( x 7) 2 x 2 2·x·7 7 2 x 2 14 x 49
Ejemplo
( x 4) 2 x 2 2·x·4 4 2 x 2 8 x 16
Producto de dos binomios con un término común: ( x m)( x n) x 2 (m n)·x m·n
( x 2)( x 5) x 2 (2 5)·x 2·5 x 2 7 x 10
Ejemplo
Nota
( x y) 4 x 4 y 4 ,
Si consideramos
( x 3)( x 4) x 2 (3 (4)) x 3 (4) x 2 x 12
( x y)
como un solo término será:
( x y ) 4 ( x y )3 ·(x y )
Importante
( x 2)·(x 3) x 2 6
(2 x 3) 2 4 x 2 9
35
4.
Factorización
En la sección anterior multiplicamos expresiones algebraicas; en esta sección, invertiremos el proceso para escribir una expresión algebraica como el producto de quienes generaron dicha expresión. Es decir, factorizar una expresión algebraica (suma y/o resta de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación, o sea, es el proceso inverso de la multiplicación o desarrollo de un producto.
En la sección anterior: El problema era: Resolver un producto de expresiones algebraicas. La solución era: Una expresión algebraica con su reducción de términos semejantes, si los había. En esta sección: El problema es: Una expresión algebraica. La solución será: El producto que generó la expresión algebraica.
4.1.
Factores Comunes Si cada uno de los términos de un polinomio tiene como factor el mismo término a éste se le llama factor común del polinomio. Según el axioma de distributividad se tiene que: x ( y z ) x·y x·z xy xz
Al utilizar esto en sentido contrario es posible factorizar un polinomio. Por ejemplo: ab ac ad a·b a·c a·d a (b c d )
36
Ejercicio 1: Factorizar:
8 x 3 4 x 2 12 x
Ejercicio 2: Factorizar
6 x 3 y 12 x 2 y 2 18 xy 2
4.2.
Factores de un Binomio Los productos especiales dados anteriormente se pueden utilizar como reglas auxiliares para factorizar algunos tipos de polinomios.
4.3.
Diferencia de cuadrados La diferencia de cuadrados de dos números reales es igual al producto de la suma por la diferencia de los dos números. x 2 y 2 ( x y )·(x y )
Ejemplo
4.4.
4 x 2 121 (4 x 11)·(4 x 11)
9 x 2 25 (3 x 5)(3 x 5)
Suma de cubos y diferencia de cubos La suma de cubos x 3 y 3 , así como la diferencia de cubos x 3 y 3 , siempre se pueden factorizar: x 3 y 3 ( x y )( x 2 xy y 2 )
x 3 y 3 ( x y )( x 2 xy y 2 )
Ejemplo
Nota 1
x 3 1 ( x 1)·(x 2 x 1)
x 3 1 ( x 1)·(x 2 x 1)
Existe una gran diferencia entre los siguientes desarrollos: x 3 y 3 ( x y )( x 2 xy y 2 )
( x y ) 3 x 3 3 x 2 y 3xy 2 y 3
37
5.
Factores de trinomios
5.1.
Trinomios que son cuadrados perfectos Ciertos trinomios se pueden escribir como el cuadrado de un binomio empleando las fórmulas siguientes:
Ejemplo
Nota 2
( x y ) 2 x 2 2 xy y 2
( x y ) 2 x 2 2 xy y 2
4 x 2 12 x 9 (2 x 3) 2
9 x 2 24 x 16 (3x 4) 2
La siguiente suma de cuadrados perfectos
x2 y2 .
NO es factorizable con
coeficientes reales.
6.
Factorización de un Trinomio Cuadrático 2 Se denomina trinomio cuadrático a todo trinomio de la forma t ( x) ax bx c , y
donde a, b y c son números reales y a 0 . En particular consideremos las siguientes formas: Forma 1
t ( x) x 2 bx c ,
Forma 2
t ( x) ax 2 bx c ,
donde
b, c Z 0
a, b, c Z 0
donde
La forma (1) es factorizable con coeficientes enteros sí existen m y n números enteros no nulos tal que: t ( x) x 2 bx c ( x m)( x n)
En este caso se debe de verificar que: mn b
m·n c
38
x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6)
Ejemplo
Ejercicio 1
Factorizar:
t ( x) x 2 5 x 6
x 2 12 x 13 ( x 1)( x 13)
t ( x) x 2 5 x 6
La forma (2) es factorizable con coeficientes enteros sí: b 2 4ac es un cuadrado perfecto no negativo. La factorización de la forma (2) donde a, b y c son números enteros no nulos, debe de ser expresada como: ( p·x m)·(q·x n)
Donde m, n, p y q son números enteros no nulos. Se deduce que para lograr esto en forma eficiente, es útil escribir los factores de a por pares y los factores de c por pares, ya que deberá cumplirse p·q a,
m·n c,
p·n m·q b
Lo anterior lo podemos ver en el siguiente desarrollo al aplicar la propiedad distributiva: (mx n)( px q ) px qx px n m·qx m·n p·q·x 2 ( pn mq) x m·n ax 2 bx c t ( x)
Ejemplo
6 x 2 13 x 5 (2 x 1)(3 x 5)
t ( x) 6 x 2 5 x 4
10 x 2 7 x 12 (5 x 4)(2 x 3)
t ( x) 6 x 2 5 x 4
Ejercicio 2
Factorizar:
Nota
Se puede suponer que a 0 , ya que siempre es posible, si se requiere, factorizar por (1) . t ( x) 15 x 2 11x 12 (15 x 2 11x 12)
Nota
Si no existen valores que satisfagan, entonces el trinomio cuadrático es un polinomio primo o irreductible, lo que se determina sí la expresión b 2 4ac ,
39
obtenida de los coeficientes del trinomio cuadrático, representa a un número real negativo. Ejemplo
t ( x) 2 x 2 3 x 5
no es factorizable pues b 2 4ac 3 2 4(2)(5) 31 0
Ejemplo
t ( x) 2 x 2 3 x 5
si es factorizable pues b 2 4ac 3 2 4(2)(5) 49 0
Nota:
Este método también se aplica a polinomios en dos variables de la forma P ( x, y ) a·x 2 b·x·y c·y 2
Ejemplo
P ( x, y ) 4 x 2 12 xy 9 y 2
es factorizable pues
P ( x, y ) (2 x 3 y )(2 x 3 y )
Como se ha podido apreciar, los Productos Notables vistos en la sección anterior son muy importantes para efectuar Factorizaciones. Con el objetivo de internalizar y visualizar de mejor forma una factorización de una expresión algebraica, por medio especialmente, de su producto notable respectivo, presentaremos el siguiente cuadro:
40
RESOLVER
FACTORIZAR
Los Siguientes Productos
Las Siguientes Expresiones Algebraicas
aa
a2
a ( a b)
a 2 ab
( a b) 2
a 2 2ab b 2
( a b) 2
a 2 2ab b 2
(a b)(a b)
a 2 b2
( x a)( x b)
x 2 (a b) x ab
(a b c) 2
a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc
( a b) 3
a 3 3a 2b 3ab 2 b3
( a b)3
a 3 3a 2b 3ab 2 b3
(a b)(a 2 ab b 2 )
a 3 b3
(a b)(a 2 ab b 2 )
a 3 b3
41
Actividad 1.
Unir la expresión algebraica de la columna “A” con su correspondiente factorización en la columna “B”. COLUMNA “A”
x 6 y 3 3x 4 y 4 3x 2 y 5 y 6 x6 y 4 4 z 2 2 x3 y 2 4 x3 z 4 y 2 z 25 x 2 x 6 y 4 49 x 4 28 x 3 y 4 x 2 y 2 x 2 4 x 12 x6 y 6 x6 y 2 4 x3 y 4 x 3 6 x 2 y 12 xy 2 8 y 3
x 3 8y 6 4 x 2 9 y 2 z 2 12 xy 4 xz 6 yz x 2 xy 12 y 2 x2 4 y 2 x 2 y 10 x 2 y 3 z 4 15 x 3 y 2 z 4 30 x 4 y 3 z 2
COLUMNA “B”
( x 2 y y 2 )3 ( x 2 y 2 )( x 2 2 xy 2 4 y 4 ) ( x 2 y )( x 2 y 1) (7 x 2 2 xy ) 2 (5 x x 3 y 2 )(5 x x 3 y 2 ) ( x3 y 2 2 z)2 ( x 3 y )( x 4 y ) 5 x 2 y 2 z 2 (2 yz 2 3xz 2 6 x 2 y ) ( x 3 y 2) 2 ( x 2 y )3 ( x 6)( x 2) ( x 2 y 2 )( x 4 x 2 y 2 y 4 ) (2 x 3 y z ) 2
42
FRACCIONES ALGEBRAICAS
1.
Expresión Fraccionaria Una expresión fraccionaria es un cuociente o división de expresiones algebraicas.
Ejemplo
a.
3 5x x 1
b.
x 2x 5
c.
2 x 2 3x 1 x2 5 x
Nota
1.1.
La división por cero no está definida
Expresión racional Tipo especial de expresión fraccionaria que es igual al cociente (o razón) de dos polinomios.
Ejemplo
a. b. c.
4 x 2 3x 1 x2 1 3x 3 3x 2 5 x 1 x 2 4x 5 x 2 3x 2 x3 1
43
1.2.
Fracciones Equivalentes Para todos los números reales a, b, c y d se tiene:
a c b d
ad bc ,
b0,
d 0
La definición de fracciones equivalentes cambia la igualdad de dos
Nota
fracciones (igualdad de dos divisiones) por la igualdad de dos productos.
Ejercicio
Indique para que valores de la variable las siguientes fracciones son equivalentes:
1.3.
4x 5 5
y
3x 7 3
.
Principio fundamental de las fracciones ak a , bk b
Ejemplo:
1.4.
a.
30 15 x 15·(2 x) 2x 15 x 15 15·(x 1) x 1
b.
8x 4·2 x 2x 4 x 12 4·(x 3) x3
k 0,
b0
Signo de las Fracciones a a a a b b b b
a a a a b b b b
, b0
,b0
44
1.5.
Amplificación y Simplificación de una fracción El principio fundamental de las fracciones, el cual es:
ak bk
a b
, con b 0 , si k es
distinto de cero, se puede utilizar en dos formas. Una fracción se puede simplificar eliminando un factor común tanto del numerador como del denominador. A esto se le llama cancelar, simplificar o reducir. Por otra parte, en muchas situaciones es preferible introducir un factor común, mediante la multiplicación, en el numerador y en el denominador. A esto se le llama amplificar.
Simplificación: Se dice que una fracción está en su expresión mínima, si el numerador y el denominador no tienen factores comunes (a excepción del 1 como factor). El principio fundamental se puede utilizar para reducir una fracción a su expresión mínima eliminando los factores comunes del numerador y del denominador.
Nota:
Sólo se pueden eliminar los factores comunes, no los términos que se sumen o resten. Los miembros de una fracción se deben factorizar de tal modo que los factores comunes se identifiquen con claridad.
Amplificación: En muchas operaciones, una expresión debe tener cierta forma específica. Esto último se puede lograr a menudo si ambos miembros de la fracción se multiplican por una misma expresión. El efecto es multiplicar la fracción por 1, pues: a a ak a k 1 , b b b k bk
b 0,
k0
45
2.
Multiplicación y División de Fracciones.
2.1.
Producto de Fracciones Si
a b
y
c d
son dos fracciones en la que b y d (sus denominadores) son
diferentes de cero, su producto es: a c a·c · , b d b·d
b·d 0
El producto de dos o más fracciones dadas es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores de las fracciones dadas. Ejemplo
Calcular:
2 x(3 5 x) 2 x 3 5x x 1 7 7·(x 1)
Ejemplo
Calcular:
2 x 3 3x 5 6 x 2 x 15 2 x2 x5 x 3x 10
Ejemplo
Calcular:
4x 3 12 x 2x 3 x4 2 x 2 11x 12
2.2.
, siempre que x 1 , siempre que x 2 y x 5 , siempre que x
3 2
y x4
Producto de una Fracción por una expresión entera a a·E E , b b
Demostración:
Ejemplo
b0
a a E aE aE E , 1 b b b 1 b
21x 3x 3x·7 ·7 4x 8 4x 8 4x 8
b0
, siempre que x 2
46
Ejemplo
Nota
2 x (5 x 2) 10 x 2 4 x 2x (5 x 2) 1 3x 1 3x 1 3x
, siempre que
x
1 3
Casi siempre es útil reescribir el producto en su expresión mínima. Para simplificar el trabajo, los miembros de las fracciones se deberán factorizar, en caso de ser posible, antes de formar o calcular el producto. En esa forma, los factores comunes se pueden ver con facilidad y eliminarse por simplificación.
Ejemplo
Opere y simplifique
x2 1 2x 1 2 3x 1 x x 2
x2 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)(2 x 1) ( x 1)(2 x 1) 2x 1 2x 1 3x 1 x 2 x 2 3x 1 ( x 1)( x 2) (3 x 1)( x 1)( x 2) (3x 1)( x 2)
siempre que
2.3.
x 1 , x 2
y
,
x 13
División de Fracciones Para dividir:
a b
por
c d
en donde b, c y d son diferentes de cero se escribe: a c a d : b d b c
Demostración: a a d a d ac b b c b c a d ad c c d b d 1 b c bc d d c
Nota
El reciproco o inverso multiplicativo de
c d
es
d c
. Esto permite expresar la
división de fracciones verbalmente como sigue: Para hallar el cuociente de dos fracciones, se multiplica por el recíproco del denominador.
47
Ejemplo:
Ejemplo:
3·(x 4) 3 x4 5 3 3x 12 : 5 5·(x 2) 5 x 10 x2 x4 x2
x3 3x 3x·(x 3) x5 3x 3x 2 9 x 2 : x 3 x3 x 3 x5 ( x 3)·(x 5) x 2 x 15
Siempre que Ejemplo:
x2 1 x2 4
:
x 3 , x 3
y
x 5
x 2 , x 2
y
,
x0
División de una Fracción por una expresión entera a a :n , b bn
bn 0
Ejemplo
2x 2x 2x : ( x 3) 2 ( x 4)( x 3) x x 12 x4
Ejemplo
31 31x 31 31x 31(1 x) 31 : ( x 1) , 5x 4 (5 x 4)( x 1) (5 x 4)( x 1) 5 x 4
2.5.
,
x2 x2 x 2 ·(x 2) 2x x2 x2 x2 x2 ( x 2)( x 2) 2 x ( x 2)·(x 2)·2 x x 2 4 2x 2x 2 4x
Siempre que
2.4.
, siempre que x 2 y x 4
, Siempre que
x4
y
x 3 .
x 54 , x 1
División de una expresión entera por una fracción n:
a nb , b a
b 0,
4 x 1 2 x·(4 x 1) 4x 1 6x 2 , 2x · 4x 1 2·3·x·x 3x 6x 2
Ejemplo
2x :
Ejemplo
(3x 2) :
a0
x 0,
x
1 4
5x 1 (3x 2)(5 x 1) 15 x 2 13 x 2 2x 5 (3 x 2) · 5x 1 2x 5 2x 5 2x 5
48
3.
Adición y Sustracción de Fracciones
3.1.
Denominadores Iguales Al sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo (igual) denominador, simplemente sé reescribe el denominador y se suman o restan los numeradores, según sea el caso. a b ab , d d d
a b a b , d d d
con
con
d 0
d 0
Esto es válido debido a la ley distributiva, ya que: a b ab 1 1 1 · a ·b · a b d d d d d d
Nota
Para evitar errores al sumar o restar los numeradores, es recomendable encerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar las operaciones. Después de combinar las dos fracciones en una sola se reducen términos semejantes y se reduce la nueva fracción a su mínima expresión.
Ejemplo:
3x 2 2x 7 (3x 2) (2 x 7) 5x 5 5·(x 1) ( x 1) 5 5 5 5 5
Ejemplo:
2x 1 ( x 2 2) (2 x 1) x2 2 x 2 2x 1 3x 3x 3x 3x
Ejemplo:
1 2x ( x 2 2 x 2) (1 2 x) x 2 2x 2 x2 1 x2 x2 x2 x2
, siempre que x 0 siempre que x 2
49
3.2.
Denominadores distintos Si los denominadores de las fracciones que se van a sumar o restar no son iguales (son distintos), primero se cambian las fracciones originales por fracciones equivalentes con el mismo denominador, y luego se suman o restan como ya se ha indicado.
Nota
a c ad bc , b d bd
con
bd 0
a c ad bc , b d bd
con
bd 0
Se hace que cada fracción tenga el mismo denominador multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor (o por la misma expresión). Se usa el principio fundamental, que nos permite la amplificación:
a ak , k 0, b bk
Ejemplo
7x x5 x2 (7 x )·3 x x5 ( x 2)·2 x 2 2x 3x 2 x 3x 2·3·x·x 3x 2 x 6x
Ejemplo
b0
(7 x )·3 x ( x 5) ( x 2)·2 x 6x2
21x 3 x 2 x 5 2 x 2 4 x 6x2 18 x 5 x 2 5
Dada la expresión E ( x )
6x2
x x2 1 x
2
, siempre que x 0 1 x 1 2x x
2
1 2x . 1 x
Simplifíquela y evalúe para x 0, x 1 :
50
Solución: E ( x)
x x2 1 x
2
1 x 1 2x x
2
1 2x 1 x
x (1 x ) 1 x (1 2 x )(1 x ) (1 x )(1 x ) (1 x )(1 x ) (1 x )(1 x )
x (1 x ) (1 x ) (1 2 x )(1 x ) (1 x )(1 x )
x x2 1 x 1 x 2x2 (1 x )(1 x )
x 2 3x (1 x )(1 x )
x ( x 3) (1 x )(1 x )
Al evaluarla para x 0, x 1 , obtenemos: E ( x 0)
0·(0 3) 0 0 (1 0)(1 0) 1
E ( x 1)
( 1)·(1 3) 2 (1 1)·(1 1) 0 , la expresión no está definida
para x 1
4.
El mínimo común denominador m.c.d.
El mínimo común denominador de varias fracciones es igual al mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones Se abrevia m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor), y por lo general se escribe en forma factorizada. El m.c.d. debe ser divisible por cada uno de los denominadores y sólo debe de contener a aquellos factores necesarios para satisfacer este requerimiento. Para determinar el m.c.d, se comienza por factorizar cada uno de los denominadores de las fracciones que se suman o restan en sus factores primos. 51
Luego se escribe el producto de los distintos factores primos de los denominadores y se da a cada factor primo un exponente igual al máximo exponente de ese factor primo en cualquiera de los denominadores dados.
Ejercicio
3
4
2
Opere y simplifique la expresión E ( x ) x 2 1 x 2 x 2 x 2 4 . Solución: E ( x)
Nota
3 4 2 3( x 2 4) 4( x 1)( x 2) 2( x 2 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 2) ( x 1)( x 1)( x 2)( x 2)
...
La suma o resta de fracciones algebraicas con denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común denominador (m.c.d.). La fracción final debe reducirse a sus términos mínimos.
Nota
Sólo es necesario hallar el mínimo común denominador (m.c.d.) cuando se suman o se restan fracciones. No se requiere el m.c.d. al multiplicar o dividir fracciones algebraicas.
5.
Adición y Sustracción de Fracciones y expresiones enteras a a bn n , b0 b b
a a bn n , b0 b b
Ejemplo
3x 2 2 (3 x 2 2) 3 x·(x 1) 3x 2 2 3x 2 3x 3x 2 ( x 1) , 3x 3x 3x 3x
x0
52
Ejercicio:
3( x h) 5 3x 5 2x Opere y simplifique la expresión: E ( x, h) 2 ( x h) h
Solución 3( x h) 5 3x 5 2 ( x h) 2x E ( x, h ) h
3 x 3h 5 3x 5 2xh 2x h
3( x h) 52 x 2 x h 3x 5 2 x h 2 x h
3x 3h 52 x 2 x h 3x 5 h 2 x h 2 x
11 h h 2 x h 2 x
11 2 x h 2 x
53
RAÍCES
Para los números naturales n y para el número real b se ha definido la enésima n potencia de b, la cual se denota por b n . Ahora se utilizará la ecuación a b para
definir la enésima raíz de a.
1.
Raíces Cuadradas
En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue.
a b a b2
Sean a y b números reales positivos:
Definición
Por lo tanto, sí: a 0 entonces, entonces
a 0
y además
a
2
a.
Si a 0 ,
0 0
A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a. Nota 1
2 2 Si: a 0 , entonces b a y además (b) a , es decir, siempre existen dos
números reales, uno positivo y el otro negativo, que tienen como cuadrado a a.
Nota 2
Ejemplo
Es muy importante hacer notar que
a
denota únicamente el número
positivo cuyo cuadrado es a.
Calcule el valor de cada una de las expresiones: a)
169 13
b)
169 13
c)
169
No existe.
54
2.
Raíces Cúbicas
En el caso de las raíces cúbicas se pueden utilizar tanto números reales positivos, negativos como el cero.
Si a y b son números reales cualesquiera, se define:
Definición
3
a b
a b3
O sea, sí a 0 , entonces b 0 , mientras que si a 0 , entonces b 0 . Al número b se le llama raíz cúbica principal de a o simplemente la raíz cúbica de a. Sí entonces
3
a 0,
0 0
Se ve claro que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas sólo para números reales positivos y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real. Lo mismo sucede con los números enteros positivos mayores n: la distinción fundamental surge de si n es par o impar.
En resumen: Si: Si:
Ejemplo
3
a b,
entonces: b 2 a ;
esto es:
a
a
a b,
entonces: b 3 a ;
esto es:
a
a
2
3
3
Calcule el valor de cada una de las expresiones: a)
3
343 7 ,
porque 7 3 343 ,
b)
3
64 4 ,
3 porque (4) 64
Ejemplo
Calcule el valor de cada una de las expresiones: a)
x6
x
3 2
x3
b)
3
y6 3 y2
3
y2
55
3.
Raíz Enésima Principal
La raíz enésima principal:
n
a
de a se define como sigue:
Si a y b son números reales no negativos y si n es un número entero
Definición
positivo (par o impar); o si a y b son números reales negativos y n es número entero positivo impar, será: n
Nota 1
Si
n
a
a b
a bn
existe, es un número real único. Por brevedad, omitimos el adjetivo
"principal". Nota 2
n
a
recibe el nombre de enésima raíz de a para recalcar que se define positivo
sí a 0 . Nota 3
Si n es cualquier número entero positivo, el símbolo
n
a
se llama radical de
orden. Nota 4
No hemos definido
n
a
para a 0 y n número entero positivo par. La razón es
que si n es número par, entonces b n 0 para todo número real b. Nota 5
Ejemplo
Si n 2 , podemos escribir:
2
a a.
Calcule el valor de cada una de las expresiones: a)
4
81 3
pues 3 4 81, 3 0 , 6
porque
1 2
1 , 64
b)
6
1 1 64 2
1 0 2
56
Usaremos la terminología “ n a existe” Si existe un número real b tal que a b n . De ahora en adelante, siempre que usemos los símbolos
n
a,
m
x,
p
y , etc.
Supondremos que esas raíces existen. Para completar esta terminología, diremos que el símbolo
n
a
se llama radical, el
número real "a " se llama radicando y n es el índice del radical. Al símbolo . se la llama signo radical.
En general, si a 0 y si n
n
a
n
es cualquier número entero positivo será:
a
También se tiene que si a 0 o que si a 0 y n es un número entero positivo impar, las cosas funcionan perfectamente bien, ya que para todo número real a: n
a n
a.
En la tabla que sigue se da un resumen de la definición de raíz enésima de a: n
a
Índice n
a 0
Par
No definida
Impar
Ejemplo
n
a0
a 0
a0
n
0 0
n
a 0
n
0 0
n
a 0
Calcule el valor de cada una de las expresiones: a)
5
243 5 35 3 ,
b)
8
2 x 18
2x 1
Adoptaremos la práctica siguiente que a este nivel es común: Se supondrá que todas las expresiones variables dentro de los radicales son cantidades
57
positivas. Con esta suposición y siendo n un número entero positivo cualquiera, se tiene que:
a n
4.
n
a n an
Leyes de los Radicales
En las tres leyes siguientes, m y n denotan números enteros positivos y a y b cualesquiera números reales; y supondremos que las raíces indicadas siempre existen:
n
a n b n a b
n
a :n b n a : b
m n
a
mn
a
Si a es un número real y a n aparecen como factor en un radical de índice n, entonces a puede escribirse fuera del radicando siempre y cuando se considere el signo de a.
Ejemplo
Ejemplo
n
an x n an n x a n x
n
an a
,donde hemos supuesto que el signo de a es tal que:
Simplifique el siguiente radical:
4
16 x 5 4 2 4 x 4 x 4 2 4 4 x 4 4 x 2 x 4 x
58
5.
Exponentes Racionales
Hasta aquí se ha definido a r sólo para cuando r es un número entero, ya sea positivo, negativo o cero. En la que sigue sé extenderá la definición de a r para incluir los exponentes racionales. m n m n En: (a ) a , sí m
n
n 1 ·n 1 entonces: m n 1 , luego: a n a n a n a1 a .
1 n
Además, por la definición de radical se tiene
a
n
n
a . Para que haya
consecuencia con lo expuesto anteriormente, se establece la definición que sigue:
Para todo número natural n y a es un número real, y si
a
es un
1
Definición
Nota 1
n
número real, entonces a n n a
1
De ahora en adelante, siempre que usemos un símbolo de la forma a n se supondrá que a y n se escogen dé modo que exista.
n
a
, Es decir. Sí a 0 ,
el índice n de la raíz no puede ser par. Nota 2
Si:
m n
m· n1
es un exponente racional cualquiera, se desea que las leyes de
los exponentes sigan siendo válidas y por lo tanto se exige que: m an
1 m an
mismo:
n
a
1 n
am
m
a
a
m
n
m
n
. Puesto que:
a m
1 n
a
1 n
m
o lo que es lo
y son raíces enésimas de a m , y se puede demostrar
que tienen el mismo signo, tiene sentido la siguiente definición de exponentes racionales:
Definición
Para todos los números enteros positivos m y n, y todos los números reales a distintos de cero para los cuales n a existe como número real, definimos: a
m n
a n
m
n
am
59
m n
Es decir, la
-ésima potencia de a es igual a la n-ésima raíz de la m-ésima
potencia de a. La ecuación de la definición anterior proporciona la relación básica entre los exponentes racionales y los radicales.
m
Nota 3
a n (a m )
1
n
a
1
n
m
Podemos generalizar el resultado siguiente a
Nota 4
Esto se sigue dado que: a Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
1 n
a
1 n
1
1 n
1
a
1 n
1 n
a
1 n
a
Calcule y exprese en forma de radical: a)
1 1 2 3 13 16 3x 2 y 4 x 9 y
c)
2 x 2 (3x 2 4 x 2 ) 1
1
1
Encuentre x de modo que Evalúe:
Ejemplo
Simplifique:
Ejemplo
Simplifique
3
1 x2
h xh x
1 x2 1 x2
1
4
d)
2y
1 3
3 y
2
3
(8 y )
7
2
3x
27
64 1 225
a)
9
x3 y 2 3 x 2 y 4
b)
2
b)
64 x 3 27
2
3
h xh x
xh
·
xh
x
xh x
h·( x h xhx
x)
h·( x h h
x)
x
60
LOGARITMOS
1.
Introducción
Ya hemos visto dos conceptos que surgen de la igualdad a n b , cuando la observamos como ecuación desde la perspectiva de una de sus componentes: 1º
Cuando b fue la incógnita, a la ecuación a n x se le llamó potencial y a su solución, potencia n-ésima de a, anotándola x a n . Ella originó el lenguaje y el álgebra de potencias.
2º
Cuando a fue la incógnita, a la ecuación x n b se le llamó radical y a su solución, raíz n-ésima de b, anotándola x = n b . Ella originó el lenguaje y el álgebra de raíces.
Ahora, definiremos un concepto que represente a la solución de la ecuación en que la incógnita sea el exponente n, es decir, a la solución de la ecuación exponencial a x b . A esta solución le llamaremos Logaritmo de b en la base a y originará el lenguaje y álgebra de logaritmos. En todo lo que sigue se supondrá que a es un número real positivo diferente de 1, es decir: a 1 . Esto hace que sea aceptable la siguiente proposición:
Proposición
para todo número real positivo b existe un único número real x tal que: a x b
Definición
sea a IR 1, y tomemos la ecuación a x b . A la solución real
x
se le llamará el Logaritmo de b en la base a, y se le anotará por x log a (b) . De otro modo se establece la siguiente equivalencia: log a (b) x
ax b .
61
Es importante saber cómo efectuar el cambio de la forma exponencial a la logarítmica o a la inversa. Ejemplo
1.
log 2 8 3 23 8
log10 1.000 3 103 1.000
log 3 (5 x 29) 2 3 2 5 x 29
log3 (7 4 x) = 2 3 2 = (7 4 x)
Consecuencias: Surgen directamente de la definición
a
loga b b log a ( p ( x)) log a (q( x))
Ejemplo
log a (a x ) x .
p( x) q( x) siempre que a IR 1
log3(2 x1) (2 x 1)
1.
3
2.
log 4 ( 4 (53 x ) ) (5 3 x)
3.
log a ( x 3 ) log a ( 27 )
x 3 27
4.
log 2 ( x 2 ) log 2 ( x 2 )
x2 x 2
5.
log 5 (3x 2 10) log 5 (5 x 7)
3x 2 10 5 x 7
1 En particular, si hacemos x 1 en la ec. 2, vemos que se obtiene log a (a ) 1 ,
es decir: log a ( a ) 1
Puesto que a 0 1 , se deduce de la definición de logaritmo que log a (a 0 ) 0 , por lo tanto log a (1) 0
62
Nota
Un logaritmo es un exponente. log a 0
2.
No está definido porque a x nunca puede ser igual a cero.
Leyes de los Logaritmos
Las siguientes son las leyes fundamentales para trabajar con logaritmos. Suponemos que p( x) y q( x) son expresiones o números reales positivos, a 0 y a 1 , y que r es cualquier número real: log a ( p ( x) q ( x) ) log a ( q ( x) )
log a ( q ( x) )
log a ( p ( x) : q( x) ) log a ( q( x) ) log a ( q ( x) )
log a p( x) r r log a ( p( x))
Es más fácil aplicar las leyes de los logaritmos si se recuerda verbalmente lo mismo que con símbolos. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. El logaritmo de un cuociente es la resta de los logaritmos. El logaritmo de una potencia de un número es el producto del exponente por el logaritmo del número o base de la potencia.
Ejemplo
2 Exprese como una suma de logaritmos: log 2 ( x x) :
Solución
log 2 ( x 2 x) log 2 ( x ( x 1)) log 2 x log 2 ( x 1)
63
Ejemplo
Exprese en términos de los logaritmos de x , y y z: Solución
x6
4
z
2
4
z
2
y
y 6 2 = log b x 4 y log b z
log b x 6 log b y 6 log b x
Exprese
x6 b
Usando las tres leyes de los logaritmos es: log b
Ejemplo
log
en
términos
1 4
1
4
log b z 2
·logb y 2 log b z
de
un
sólo
logaritmo:
3 log 5 (2 x) 2 log 5 (1 x) log 5 ( x 2 x 1)
Solución: 3 log 5 (2 x) 2 log 5 (1 x) log 5 ( x 2 x 1) log 5 (2 x) 3 log 5 (1 x) 2 log 5 ( x 2 x 1)
log
5
log 5
3.
(2 x)
3
(1 x) 2 log 5 ( x 2 x 1)
(2 x) 3 (1 x) 2 ( x 2 x 1)
Fórmula del Cambio de Base
Algunas veces es necesario cambiar la base de un logaritmo expresando log b u en términos de log a u , para algún número real positivo a diferente de 1. Se puede utilizar cualquier base b siempre que a 0 y a 1 . El teorema que sigue indica como cambiar la base de un logaritmo mediante el simple hecho de dividir por una constante.
Teorema:
Si a, b y c son números reales positivos con a 1 , c 1 : log a ( b )
log c ( b ) log c ( a )
64
Esto puede conseguirse del siguiente modo; comenzaremos con las ec. equivalentes dadas por la definición: log a (b) u
au b
Tomando el logaritmo de base a de ambos lados de la última ecuación obtenemos: log c ( a u ) log c ( b )
Aplicando la ley de la potencia tenemos u log c ( a ) log c ( b )
Resolviendo para u (es decir log a b ), obtenemos la ecuación que nos da la fórmula del cambio de base: log a ( b )
Ejemplo
log c ( b ) log c ( a )
Expresar el número log 7 41 en logaritmos de base 2. Solución
log 7
41
log 2 41 log 2 7
Este resultado también se puede escribir como log b ( a ) log a ( b ) log a ( u ) Si hacemos u a en la última ecuación, se puede concluir que:
log b ( a )
1 log a ( b )
Y por tanto log b a es el recíproco de log a b .
65
Ejemplo
2 Exprese en otra base: log 2 ( x 5 x 6)
Ejercicio
Demostremos que (logb a)·(logc b)·(loga c) = 1
log ( x 2 5 x 6) . log 2
Demostración: (logb a )·(logc b)·(log a c) =
4.
loga logb logc 1 logb · logc · loga
Otras Propiedades del Álgebra de Logaritmos
1.
1 log a = - log a b b
2.
log a
3.
loga (b) log b (a)
1
4.
a.
a 1:
b = 1n ·log (b) n
a
cuando
Si
x y
entonces
log a x log a y
(con base mayor que uno, el logaritmo respeta el orden). b.
cuando
0 a 1:
Si
x y
entonces
log a x log a y
(con base positiva y menor que uno, el logaritmo invierte el orden).
5.
Bases de Logaritmos
A los logaritmos en base 10, o base decimal, se les llama logaritmos comunes o logaritmos de Briggs. En lo que resta, cuando se escriba log x sin indicar la base se querrá decir que se está empleando la base 10, y por tanto: log ( x ) log10 ( x )
La otra base comúnmente utilizada es el número real e. Es un número irracional, y una aproximación es:
66
e = 2,7182818285
La definición formal del número e se obtiene en término del siguiente límite: 1 e Lim 1 n n
n
Ello significa que el número real e se puede aproximar con tanta precisión como se desee aumentando el valor de n en la expresión: 1 1 n
n
A los logaritmos en base e se les llama logaritmos naturales El número e tiene tanta importancia que a los logaritmos con base natural se abrevia como sigue: ln ( x ) loge ( x )
Ejemplo
1.
log10 (4 5 x x 2 ) log (4 5 x x 2 )
2.
log e ( x 3 x 27 ) ln( x 3 x 27 )
Si a es cualquier base y u es cualquier número real positivo, se sabe que a log a (u ) u partir de la definición de logaritmo. Tomando a e se obtiene: elog e (u ) eln(u ) u , y elevando ambos lados a la potencia x se llega a la siguiente igualdad:
u x e ln(u )
x
e x ln(u )
Esto permite que cualquier expresión exponencial se escriba en base e. Ejemplo:
6.
1.
5 ( x 2) e ( x 2) ln(5)
2.
3 ( 2 x 1) e ( 2 x 1) ln(3)
El Logaritmo Natural
67
Correspondiendo a cada número positivo x hay una única potencia y tal que x e y . Esta potencia y se le llama logaritmo natural de x y se representa por ln x . y ln ( x )
x ey
La relación entre e x y ln x , esta dado por las siguientes ecuaciones e ln( x ) x,
si
x0
ln e x x
Ejemplo
Despeje la variable x en cada una de las siguientes igualdades: a. e 5 x 3,
b.
2·ln x 1
Las propiedades normales de los exponentes y los logaritmos siguen siendo válidas: ln ( xy ) ln x ln y ln
x ln x ln y y
ln ( x ) r r ln x
ln ( x y ) ln( x) ln( y )
Importante
Nota
e x y ex e y
e x y
e
x y
ex ey
e xy
ln ( x y ) ln( x) ln( y )
¿Se necesitan realmente otras bases diferentes del número e ? Las fórmulas: a x e x ·(ln a )
log
a
x
ln x ln a
nos permiten convertir cualquier problema que involucre expresiones exponenciales o expresiones logarítmicas con base a en expresiones correspondientes con base e . 68
Ejemplo:
1.
ln ( x 2 5 x 4) ln ( x 4)·(x 1) ln( x 4) ln( x 1)
2.
ln
3.
ln
x2 1 ln( x 2 1 ) ln( x 1 ) x 1 x 2 1 ln ( x 2 1 )
1 2
1 2
·ln( x 2 1 )
69
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1.
Ecuación con una variable en IR
Una ecuación con una variable en IR , es una igualdad de expresiones
Definición
algebraicas que contienen un valor incógnito real (normalmente x, y, z), que para ciertos valores hace verdadera la igualdad
Ejemplos
1.
7x 3 4 x 3 x 11 x 3 8 2 8
2.
mx 7 10 4 x
3.
m 2 x 2 2m x
4. 5. 6. 7.
7 x 10 4 1 7x 6 5x (2 x 3) 2 5·(2 x 3) 0 x 1 1 2·(3x 2 2 x 2) 1 3x 2 3x 2 9x2 4
5 x x 3
Al número que hace de una ecuación un enunciado verdadero se le llama solución o raíz de la ecuación. Se dice que una raíz, o solución, satisface la ecuación. Al conjunto de todas las soluciones de una ecuación se la llama conjunto solución. Resolver una ecuación significa hallar todas sus soluciones. Es decir, resolver una ecuación significa determinar el valor o conjunto de todos los valores para x que harán verdadera la igualdad. Para ello se debe "despejar" x usando los teoremas visto.
70
Una identidad es una ecuación que es válida para todo valor de la variable, si todas las expresiones están definidas. Todo número permisible es una solución de una identidad. Si una ecuación no es una identidad, recibe el nombre de ecuación condicional.
2.
Ecuaciones Equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si toda solución de una de ellas también es solución de la otra. Así, dos ecuaciones son equivalentes si y sólo si tienen el mismo conjunto solución. En lo que sigue haremos un uso extensivo del concepto de ecuaciones equivalentes para resolver las ecuaciones. La finalidad es la de sustituir una ecuación por ecuaciones equivalentes más simples sucesivamente hasta que se pueda resolver con facilidad. Para ello se utilizan algunas de las propiedades de los números reales dadas anteriormente. Destacaremos dos importantes tipos de ecuación:
Ejemplo
La ecuación:
3x 1 4 x 1 , es equivalente a la ecuación: 2 6 2
3(3 x 1) (4 x) 3
3.
Ecuaciones de Primer Grado o Lineales
Definición
Son todas aquellas ecuaciones que se pueden reducir a la forma general:
ax b 0, a 0 Ejemplo:
1.
6x 7 2x 1
2.
5( x 2) 2( x 2) 11
71
3.1.
Resolución de la Ecuación de Primer Grado Sumando el opuesto de b en ambos miembros y luego multiplicando por el recíproco de a se obtiene x
b a
, y concluiremos que siempre la solución de una
ecuación de primer grado (exponente mayor para la incógnita es uno), estará dado
por el conjunto S x
Ejemplo 1
b a
.
Resuelva la siguiente ecuación:
( x 2)( x 3) ( x 3) 2 ( x 2)( x 2) ( x 1)( x 2) Solución
Por productos notables y reduciendo términos semejantes se obtiene: x 2 x 6 ( x 2 6 x 9) x 2 4 ( x 2 x 2) 7 x 15 x 2 6 x 13 0 x
13 6
7 x 10
4
Ejemplo 2
Resuelva la siguiente ecuación: 7 x 6 1 5 x
Solución
El dominio de definición es Dom IR 0 ,
6 7
. Amplificando por: 5x(7 x 6)
se obtiene: (7 x 10)5 x 5 x(7 x 6) (7 x 6)4 35 x 2 50 x 35 x 2 30 x 28 x 24 8 x 24
Ejercicios
x3
Resuelva las siguientes ecuaciones, indique el dominio de definición de la ecuación cuando corresponda: 1.
3 x 4 5 x 6 x 19 12 4 12
72
2.
x 4 2x 7 17 x 6 2 x 5 ( x 6) (2 x 5)
3.
2x m m 1, x2
4.
m 2 x 2 2 m x,
5.
m 2 ·(x 6) 4 x m 2 ·(m 8),
m: cte m : cte. m : cte.
Ejercicios Propuestos 1.
Indique la solución de las siguientes ecuaciones fraccionarias, indique el dominio de definición cuando corresponda: 1.
2x - 6 3x - 6 + x= +5 3 2
S1:
x 24
2.
3 - x 2x + 1 x+4 =24 12 3
S2:
x0
3.
4x 6 =4 x -1 x - 2
S3:
x 1
4.
3 5 2 = 2( x - 2 ) x + 3 x-2
S4:
x=
5.
6x + 2 3x + 7 = 2x - 1 x+1
S5:
x3
6.
12 7 56 = 2 x-8 x-5 x - 13x + 40
S6:
x 12
7.
7x 4 4 = 1 7x 8 5( x 2)
S7:
x 1
8.
x+3 2( x 8) + =3 x 1 x 1
S8:
x=
S9:
x 1
9
4
5
3
. 2x - 3 + 5x - 4 = x + 2
17 11
-4 3
73
2.
3.2
Determine la solución de las siguientes ecuaciones: 1.
m-2 m 2(m - 1) + = x x-1 x+1
m constante. Analice la solución.
2.
2m 1 2m - 1 = + t t -1 t-2
Resuelva para t. Indique restricciones para m y t.
3.
1 2m x x2
Resuelva para x, analice para la constante m.
m3 x3
Uso de SW Maple Las siguientes instrucciones muestran cómo utilizar SW Maple para resolver ecuaciones, primero se llama la utilería que nos permite resolver ecuaciones, se nombra la ecuación y con el comando solve se resuelve.
> with(student): > EC1:=4/(2*x-3)+5/(5*x-4)=3/(x+2); EC1 :=
4 5 3 2 x 3 5 x4 x 2
> r1:=solve(EC1); r1 := 1
> EC2:=(x-2)/(x-4)+(2*x+11)/(2*x+9)=17/((x-4)*(2*x+9)); EC2 :=
x2 2 x11 17 x4 2 x9 ( x4 ) ( 2 x 9 )
> r2:=solve(EC2); r2 := 1
4.
83 , 1 2
83 2
Planteamiento de Ecuaciones
Aprender a solucionar ecuaciones como las que hemos estudiado hasta ahora, tiene sentido en la medida que se utilicen para resolver problemas prácticos de aplicación.
74
No existe un método o regla general para resolver problemas de aplicación, sin embargo, existen algunos pasos a seguir que con frecuencia son útiles para obtener la solución: 1. Leer detenidamente el problema. 2. Hacer un esquema o dibujo, si tiene sentido hacerlo. 3. Hacer una lista de los datos conocidos y de los desconocidos o incógnitas. 4. Representar el(los) término(s) desconocido(s) por medio de una(s) variable(s). 5. Si es posible, representar todas las demás cantidades en términos de la o las variables utilizadas. 6. Expresar la situación descrita en el problema en términos matemáticos, es decir, plantear la(s) ecuación(es). 7. Solucionar la(s) ecuación(es). 8. Verificar que la respuesta concuerde con las condiciones planteadas en el problema.
A continuación mostraremos algunos ejemplos sencillos, cómo pasar del lenguaje verbal a la expresión matemática correspondiente. Lenguaje Verbal
Expresión Matemática
Dos números enteros consecutivos
x , x 1
x es la mitad de y , o y es el doble de x
Un número disminuido en
1 2
x
y o 2x y 2
x
1 2
El triple de un número
3x
El doble de un número, aumentado en 5
2x 5
2 3
3 x
El triple, de un número aumentado en
El Kinesiólogo “A” tiene X pacientes, y “B”
2 3
“B” = (X + 5) pacientes
75
5 más que “A” El Médico Veterinario “M” atiende Y
“N” = (Y – 3) mascotas
mascotas, y “N” tiene 3 menos que “M” Una Enfermera Universitaria tiene X
Padre = (2X + 4) años
años, y su padre tiene 4 años más que el doble de la edad de ella La Nutricionista “P” atiende en forma
1 “Q” = Z 5 pacientes 3
particular a Z pacientes diabéticos, y la “Q” 5 menos que la tercera parte que “P”
Ejemplo 1
Determinar dos enteros consecutivos, cuya suma es 19. Solución Paso 1. Como debemos encontrar dos enteros, llamaremos x al entero más pequeño. Paso 2. Luego, el segundo entero será x + 1, pues son consecutivos. Paso 3. La expresión verbal “suma de dos enteros consecutivos”, se cambia por la expresión algebraica “x + (x + 1)”. La afirmación de que la suma es 19, equivale a la ecuación: x + (x + 1) = 19 Paso 4. Se resuelve la ecuación: x + (x + 1) = 19 2x + 1 = 19 2x = 19 – 1 2x = 18 x=
18 2
x=9 Paso 5. Por lo tanto, el entero más pequeño es 9, y el mayor x + 1, es 10.
76
Ejemplo 2
Un Kinesiólogo tiene 14 años más que su esposa, que es Nutricionista. Hace 20 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene? Solución Sea x la edad actual del Kinesiólogo. Dado que su esposa es 14 años más joven que él, la edad actual de la Nutricionista debe ser (x – 14) años. Hace 20 años, la edad del Kinesiólogo era 20 años menos que la de ahora. De manera que su edad era entonces x – 20. De modo similar, hace 20 años la edad de la Nutricionista era de 20 años menos que la de ahora, es decir, (x – 14) – 20 o x – 34. Al mismo tiempo el problema nos plantea que la edad del Kinesiólogo, x – 20, era el doble de la edad de su esposa, x – 34. Por lo tanto, la ecuación que nos debemos plantear es: x – 20 = 2(x – 34) Resolvamos: x – 20 = 2x – 68 x – 2x = - 68 + 20 - x = - 48
/(-1)
x = 48
Luego, la edad actual del Kinesiólogo es de 48 años. Su esposa Nutricionista tiene 34. Hace 20 años tenían 28 y 14 respectivamente.
77
Actividad Resolver: 1. Si Marcelo tiene x pesos, ¿cuántos pesos tendrá Verónica en cada uno de los casos que se plantean a continuación? a. Ella tiene $8 más que Marcelo. b. Ella tiene $3 menos del doble de lo que tiene Marcelo. c. Ella tiene $2 más que la mitad de lo que tiene Marcelo. 2. Si Freddy tiene x años y Verónica es 4 años más joven, ¿qué edad tiene Francisco en cada uno de los casos que a continuación se plantean? a. Francisco tiene 3 años más que Verónica. b. Francisco es 1 año mayor que la edad promedio de Freddy y Verónica. c. Francisco es 10 años menor que la suma de las edades de Freddy y Verónica. d. Francisco es 2 años menor que cinco veces la diferencia de las edades de Freddy y Verónica. 3. Nelson y Sebastián juntos tienen US$75. Si Sebastián tiene US$5 más que Nelson, ¿cuánto dinero tiene Sebastián? 4. En un curso de Matemáticas Básicas para el área de la salud hay 52 estudiantes. Si el número de hombres es 7 más que el doble de mujeres, determine el número de mujeres del curso. 5. Un padre es tres veces mayor que su hijo. En 12 años, él tendrá el doble de la edad de su hijo. ¿Qué edades tienen el padre y el hijo ahora? 6. Hace 5 años, Ximena tenía el doble de la edad de su hermano. Encuentre la edad actual de Ximena si la suma de sus edades es hoy de 40 años.
78
RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES
1.
Razones
Cuando se comparan dos cantidades por medio del cuociente se habla de la razón entre dos cantidades. La razón de dos cantidades es la primera dividida por la segunda, en ese orden. a : b , o bien
a b0 b , siempre que
Una razón puede expresarse de las siguientes formas: a.
Por medio del signo de la división “:”, como por ejemplo 3 : 4 ;
b.
Empleando el prefijo “a”, como por ejemplo “3 a 4”;
c.
Como una fracción común, como por ejemplo
d.
Como un número decimal, asociado a la fracción común, 0,75 ;
e.
Como un porcentaje, asociado al número decimal 75 % .
3 4
;
Cuando las dos cantidades son de la misma especie el valor de la razón es un número abstracto. Por ej., la razón entre 80 Km. y 16 Km. es 80 Km.: 16 Km. y su valor es
80 Km 5 (sin especie). Este valor indica que 80 Km. es 5 veces 16 16 Km
Km., o bien, que 16 Km. es un quinto de 80 Km., (la quinta parte). Pero también se puede establecer la razón entre cantidades de especies diferentes. En Física existen muchas razones entre cantidades no homogéneas en cuanto a su especificación. Por ejemplo, la razón entre la masa de un cuerpo de 36 Kg. y su volumen de 12 dm³ es 36 Kg.: 12 dm y su valor es
36 Kg 3Kg/dm3 ; esta razón sabemos que expresa la densidad del cuerpo. 12 dm
79
En general, en la razón a : b las cantidades a y b pueden o no ser de la misma especie y expresa numéricamente la medida de a con respecto a una unidad de b. En una razón cada término recibe un nombre especial. El primero será el antecedente de la razón y el segundo será el consecuente de la razón.
El
antecedente se corresponde con el numerador de una fracción o con el dividendo de una división y el consecuente se corresponde con el denominador o con el divisor.
Ejemplos
2.
1.
Determine el valor de la razón entre 48 Kg. y 72 Kg.
2.
Establezca el valor de la razón entre 420 cm. y 56 m.
3.
Obtenga la razón entre $6.400 y 160 m².
4.-
¿Qué parte es $150 de $180?
Proporciones
El valor de la razón 12 : 4 es 3 y el de la razón 15 : 5 también es 3. Luego, estas dos razones son iguales, o sea 12 : 4
a k b
y
= 15 : 5. En general, si
a c c k se obtiene la igualdad = , o bien a : b = c : d b d d
,
siempre que b 0 y d 0 .
Nota
Es importante recordar que un denominador no puede ser igual a cero o nulo.
Llegamos de esta manera a la igualdad de dos razones o proporción.
Esta
proporción se lee “a es a b como c es a d”. (Quiere indicarse con esto que a es tantas veces b como lo es c de d).
80
En una proporción el antecedente de la primera razón y el consecuente de la segunda se llaman extremos, y el consecuente de la primera razón con el antecedente de la segunda razón, se llaman medios. a:b=c:d
a y d son extremos b y c son medios extremo
a c b d
medio
2.1
16 y 15 son extremos 16 : 12 = 20 : 15 12 y 20 son medios
medio
extremo
Principios sobre Proporciones
Principio 1 En cualquier proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos, es decir: a
c
si b d , entonces a · d b · c Ejemplo 36:12 = 30:10 es una proporción ya que 12·30 = 36·10. En cambio la relación 5:7 = 15:14 no es una proporción pues 5·14
7·15.
Principio 2 Si el producto de dos números es igual al producto de otros dos números, cualquier par puede ocupar los medios de una proporción y el otro par ocupa el lugar de los extremos, es decir: y x 5 3 5 3 si 3 · x 5 · y , entonces y 3 , o bien y x , o bien 5 x
2.2
Métodos para convertir una proporción en una proporción equivalente
Principio 3 (Método de inversión) Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si se invierte cada una de las razones, es decir: 2
5
y
3
Si y 3 , entonces 2 5 ,
81
Principio 4 (método de alternación) Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si se intercambian los medios o los extremos, es decir: y
x
x
2
3
y
Si 2 3 , entonces y 3 , o bien 2 x
Principio 5 (método de adición) Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si se adiciona términos en cada una de las razones para obtener nuevos términos primero y tercero, es decir: y
x
Si u v , entonces Ejemplo
Si
xu yv u v .
x 17 17 · 3 x3 10 x 3 7 , entonces 3 7 , con lo cual 7
Principio 6 (método de sustracción) Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente al sustraer (restar) términos en cada una de las razones para obtener nuevos términos primero y tercero, es decir: y
x
Si u v , entonces Ejemplo
Si
x u yv u v .
12 x 7 7 ·2 x2 x 2 5 , entonces 2 5 , con lo cual 5
Principio 7 Si tres términos de una proporción son iguales a tres términos de otra proporción, los términos restantes son iguales entre si, es decir: x
2
x
2
Si u 3 y v 3 , entonces u v
Principio 8 En una serie de razones iguales, la suma de cualquiera de los numeradotes es a la suma de sus denominadores correspondientes, como cualquier numerador a su denominador, es decir:
82
a
c
x
ac x
x
Si b d y , entonces b d y y 3 3 3 x y y 3 x y y 33 x , entonces , con lo cual 2 4 5 245 5 11 5
Ejemplo
Si
Nota
Estos son solamente los principios más útiles de las proporciones que se pueden deducir del principio 1, existen muchos otros. No es necesario que el alumno se aprenda de memoria estas ecuaciones: si trata de aprender de memoria cosas como estas, entonces a menudo se le olvidarán cuando las necesita. Lo que debe de recordar es el método algebraico empleado para obtener una ecuación de otra.
3.
Porcentajes
Introducción Los negocios o las empresas financieras se forman con aportes de capitales y de técnicas que hacen factible y rentable su funcionamiento. Los beneficios o pérdidas que puedan arrojar su administración se expresan en porcentaje.
Tanto Por Ciento Una de las aplicaciones más utilizadas de la proporcionalidad, es el cálculo de porcentajes. Para comprender este concepto, hay que entender que este, es una forma de comparar. Toda comparación requiere de una unidad de referencia. El metro, el kilogramo, el litro, etc., son unidades universales que se toman como elementos básicos para otras mediciones. El porcentaje, como método comparativo, aunque es también universal, posee una connotación particular, ya que permite relacionar un todo con sus partes,
83
independientemente de la medida asociada que tenga ese todo. Un todo se puede fraccionar en cualquier número de partes y utilizar esa magnitud de división como unidad de comparación. Por ejemplo:
1 5
,
1 9
,
1 12
, etc.
Tanto por ciento o porcentaje es el valor que relaciona una magnitud con el todo que le corresponde y distintas magnitudes entre si, considerando como unidad la centésima parte del todo. 1 centésimo =
1 100
5 centésimos =
= 1% “1 por ciento”,
5 100
20 centésimos =
= 5% “5 por ciento”,
20 100
= 20% “20 por ciento”,
Para calcular un porcentaje, se divide el todo o el entero en 100 partes iguales y se toma de ellas la cantidad requerida. La cantidad total son los cien centésimos de ella. Le corresponde la fracción
100 100
que se escribe abreviadamente 100%, que se lee “cien
por ciento”. En síntesis: Un porcentaje o tanto por ciento es una fracción cuyo denominador es 100. Muchas veces calculamos porcentajes en lugar de fracciones. Si un alumno en su clase de baloncesto ha encestado 7 tiros libres en 20 intentos, decimos que su porcentaje de aciertos es de 35%. Queremos expresar con ello que, a ese ritmo de aciertos, de cada 100 tiros metería 35. En efecto: 7 35 0,35 20 100
El cálculo del porcentaje correspondiente a una fracción es bien simple: basta multiplicar la fracción por 100. 7 0,35 20
fracción :
porcentaje
100 35%
84
Porcentajes más utilizados Porcentaj Fracción
Decimal
e
Porcentaj
Fracción
Decimal
e
1%
1 100
0,01
33,3%
1 3
0,333…
2%
1 50
0,02
40%
2 5
0,40
5%
1 20
0,05
50%
1 2
0,50
10%
1 10
0,10
60%
3 5
0,60
15%
3 20
0,15
66,6%
2 3
0,666…
20%
1 5
0,20
75%
3 4
0,75
25%
1 4
0,25
80%
4 5
0,80
30%
3 10
0,30
100%
1 1
1,00
Ejemplo 1
El ingreso de alumnos a la Facultad de Ciencias de la Salud de la UST en el año 2005 fue de 264 alumnos, de los cuales 156 fueron mujeres. ¿Qué porcentaje representaron las damas?
Solución Porcentajes de alumnas:
156 100 0,5909 100 59,09 264
Casi un 59,1%
Ejercicio 1 En las elecciones del 11 de diciembre del 2005, la DC obtuvo 22 diputados de un total de 74, y el PPD obtuvo 28 diputados. Expresa en porcentajes esos resultados electorales respecto del total de los escaños de la Cámara de Diputados.
85
Ejemplo 2
¿Cuánto ahorras al comprar unas zapatillas de $ 12.500, si esperas la liquidación, en las que hacen un 20 % de descuento? ¿Cuánto te costarán?
Solución Ahorro:
20% de $12.500
20 12500 0,2 12500 $ 2.500 100
Precio rebajado:
80% de $12.500
80 12500 0,8 12500 $ 10.000 100
Vemos que el precio rebajado corresponde al precio inicial menos el ahorro
Ejercicio 2 a.
Por demora en el pago, una cuota de $ 15.800 ha sufrido un recargo del 3,5% ¿Cuánto tendrá que cancelar el moroso? Una cantidad hay que multiplicarla por: 0,15 para hallar su 15%. 0,85 para rebajarla un 15%. 1,15 para incrementarla un 15%.
b.
El Sr. Román es dueño del 35% de una empresa. Su hijo Juan es dueño del 12% y su hija Marta posee el 18% de la misma empresa. ¿A qué fracción corresponde el resto de las acciones?
c.
Ana gasto el 20% de sus ahorros en comprar un regalo para su mamá que le costo $ 12.500 ¿Cuánto dinero tenía ahorrado Ana?
86
Entre las situaciones que hacen intervenir dos o más porcentajes, descuentos o intereses, hay que distinguir tres tipos:
A.
Porcentajes Simultáneos
Los porcentajes aplicados sobre una misma cantidad se suman sin más, y además no importa en que orden se hayan efectuado.
Ejemplo 3
Al adquirir una motoneta, cuyo precio es de $ 300.000, un
afortunado comprador se entera de que está rebajada en un 12%. El tiene derecho además, como suscriptor de un diario a un 5% de descuento adicional sobre el precio total. ¿Cuánto ahorrará? Solución Ahorro total: 17% de $ 300.000 0,17 300.000 $ 51.000 Es
la
suma
del
ahorro
producido por el 12% de descuento (12% de $ 300.000=$ 36.000) y por el 5% adicional (5% de $ 300.000= $ 15.000).
Ejercicio 3 En el último concierto de LM el 12% de los asistentes entro con invitaciones gratuitas y otro 2% se coló (no pago entrada). ¿Qué tanto por ciento de los asistentes pago su entrada?
B.
Porcentajes Sucesivos
Los descuentos (o recargos) que se aplican cada uno sobre el precio resultante del anterior, no se suman directamente. Producen un efecto más sutil. Aunque, eso si, tampoco importa el orden en que se efectúen.
Ejemplo 4 Un auto de segunda mano estaba a la venta en diciembre del año pasado por tres millones de pesos. En enero de este año, lo han rebajado un 12%. Sobre el precio rebajado los empleados de la automotora tienen un 5% de descuento especial. ¿Cuánto le costará a uno de ellos ese automóvil?
87
Solución $ 3.000.000
12%) ( 0,88 3.000.000 $ 2.640.000
5%) ( 0,95 2.640.000 $ 2.508.000
5%) ( 0,95 3.000.000 $ 2.850.000
12%) ( 0,88 2.850.000 $ 2.508.000
O bien: $ 3.000.000
El orden de los descuentos no importa porque el producto es conmutativo, es decir: 0,88 0,95 0,95 0,88 0,836
Lo que se supone un ahorro de $492.000, equivalente al 16,4% (menos de lo que daría la suma directa de 12+5). El precio final es de un 83,6% del precio inicial, o sea, 0,836 veces el precio inicial.
Descuentos sucesivos en un precio inicial p1 p1
a %) (
p2
b %) (
p3
pi
( a b )%) (
pf
Un método más rápido para calcular el precio final consiste en darse cuenta de que aplicar a un precio P un descuento del k% significa multiplicar el precio P por la fracción
100 k 100
. De manera que tras descuentos sucesivos del 12% y del
5%, el precio final es el precio inicial multiplicado por 0,88 0,95 , es decir, por 0,836
Ejercicio 4 El 60% de los habitantes de una ciudad son mujeres, de las cuales un 12% son viudas. ¿Qué porcentaje de la población total constituyen las mujeres viudas?
88
Ejercicios Resueltos Problema 1 Dispones de $ 50.000 para comprar un regalo de matrimonio para tu hermana. Si aprovechas un día en que hay un 20% de descuento. ¿Cuánto puede marcar como máximo un objeto para que lo puedas adquirir? Solución Hemos de hallar un número x tal que 0,8·x 50.000 . Luego x
50.000 0,8
62.500
Problema 2: Un químico dispone de dos soluciones de ácido sulfúrico, de concentraciones 80% y 30% respectivamente. ¿Cuántos litros de cada una debe mezclar para obtener 100 litros con una concentración del 36%? Solución Se quiere que los 100 litros contengan 100·0,36 = 36 litros de sulfúrico. Sea x el número de litros de la primera solución, de modo que de la segunda habrá que poner 100 x .
Ha de cumplirse que:
0,80·x 0,30·(100 x) 36
Luego: 0,50·x 6
x 12
Entonces se debe mezclar 12 litros de la primera solución y 100 12 88 litros de la segunda solución. Problema 3 El índice de la Bolsa inicia la semana en 100 puntos y baja un 20% cada uno de los cinco días laborales de esa semana, ¿con que índice cierra el viernes por la tarde? Solución: ¡Cuidado! Son porcentajes sucesivos. (si fueran simultáneos, el descenso del índice sería (20 20 20 20 20)% , o sea un 100% , y el índice cerraría en 0). En nuestro caso: 100
20%) ( 80
20%) ( 64
20%) ( 51,20
20%) ( 40,96
20%) ( 32,768
89
Método más rápido: Índice final (0,8) 5 ·100 0,32768·100 32,768 .
Problema 4 Decide que es más conveniente para el comprador de un automóvil, cuyo precio normal es de tres millones de pesos: Alternativa 1
Que el vendedor le cobre el precio normal.
Alternativa 2
Que marque el automóvil un 20% por encima del precio normal y después ofrezca un 20% de descuento sobre ese precio abusivo.
Solución Se trata de porcentajes de descuento sucesivos. Recuerde que incrementar un 20% equivale a multiplicar el precio inicial por 1,2 y que rebajar el nuevo precio un 20% equivale a multiplicar por 0,80. Teniendo eso en cuenta, es fácil ver que los precios finales de las diferentes alternativas son: Alternativa 1
tres millones
Alternativa 2
3000000
20%) 20%) ( 1,20·3000000 3600000 ( 0,80·3600000 2880000
Con la oferta de la alternativa 2, el comprador ahorra $ 120.000
Problema 5 Un inversionista deposita un millón de pesos al 8% de interés anual. El banco le retiene por impuesto un 25% de los intereses, y cuando haga la declaración de impuesto a la renta, deberá pagar un 21% de la cantidad neta que ha recibido. ¿Cuál es el interés real anual obtenido de su inversión? Solución 8%) 25%) Interés bruto 0,08·1.000.000 80.000 ( Inversión: 1.000.000 (
1,75·80.000 60.000
21%) ( 0,79·60.000 $ 47.400
El interés real obtenido al final del período asciende a $ 47.400, lo que corresponde a un 4,74% de interés neto.
90
Actividad Resolver los siguientes ejercicios:
1.
En una ciudad de 240.000 habitantes, el 40% son hombres. Un 25% de ellos no esta casado. La mitad de los casados no bebe alcohol. ¿Cuántos hombres casados son abstemios?
2.
En la Facultad de Ciencias de la Salud se han presentado a examen el 80% de sus alumnos, y el 80% de ellos ha aprobado sus exámenes. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobados ha habido sobre el total de los alumnos que tenían derecho ha presentarse a examen?
3.
Rebajado un 30%, un pantalón de temporada cuesta $5.075. ¿Cuál es su precio?
4.
Una falda de dama le cuesta $5.075 a un comerciante. Decide venderla un 30% más cara. ¿Qué precio tendrá que marcar en la tienda? Compara el procedimiento usado con el problema anterior.
5.
Repita el problema 2 de la parte 2 de los ejercicios resueltos de manera que se obtengan 100 litros de concentración del 55%.
6.
Completa los números que faltan en las siguientes cadenas de variaciones porcentuales: a.
100
5%) ( 210
b. 7.
8.
20%) (
20%) ( 50%) (
50%) (
Anota en cada flecha el porcentaje de descuento (o recargo) que corresponda: a.
100
80
100
b.
300
600
500
505
Compara el incremento total que sufre en diez años el IPC de dos países; si en el primero tiene una tasa de crecimiento de un 4% anual y en el segundo la tasa de crecimiento es de 10% anual.
91
9.
En dos grupos de primer año de Kinesiología se ha hecho una encuesta para saber si las alumnas están mejor preparadas en la asignatura de Matemáticas que los alumnos. En cada uno de los grupos han tenido mayor porcentaje de aprobación los varones. ¿Es posible, a pesar de ello, que tenga razón el Director de Escuela cuando afirma que en conjunto las niñas tienen mayor porcentaje de aprobados?
10.
Un inversionista deposita un millón de pesos en una supercuenta del Banco XYZ, que paga un interés anual del 8%. El banco le retiene, por impuesto, un 25% de intereses. Cuando el inversionista realice la declaración de impuesto a la renta anual, calcula que deberá pagar un 30% de la cantidad neta que ha recibido. ¿Cuál es el interés real obtenido de su inversión?
11.
Un rentista adquiere un departamento de un ambiente por 14 millones de pesos, e invierte 2 millones en mejoras y reparaciones. Para obtener un 20% de beneficio, ¿por cuánto tiene que venderlo?
12.
Si un pasaje de autobús suburbano cuesta $1.400 y un bono-bus de 10 viajes cuesta $6.500, ¿qué porcentaje ahorramos comprando el bono?
92
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1.
Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Definición
Son las que se pueden reducir a la forma general a ·x 2 b ·x c 0
en la que a, b y c son números reales constantes y a 0 .
La ecuación (1) representa la forma estándar de una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado.
Ejemplos
1.1.
a.
x 2 5x 6 0
b.
3x 2 5 x 2 0
Raíces de la Ecuación de 2º Grado a.
Factorización Existen varios métodos para resolver una ecuación cuadrática. El que presentamos primero es el de solución por factorización. Para emplearlo, es absolutamente esencial que: Uno de los lados de la ecuación sea igual a cero 2 Sí el trinomio: t ( x) ax bx c se puede factorizar, se utilizará la siguiente
propiedad del factor cero para resolver la ecuación ax 2 bx c 0 :
b.
Propiedad del Factor Cero p 0
Sean p y q números reales. Entonces p q 0 q 0 , o ambas cosas.
93
Ejemplos
Resolver por factorización: (3x 7)(2 x 5) 0
1.
1.2.
2.
6 x 2 5x 4 0
Fórmula Cuadrática
Proposición Las raíces o soluciones de cualquier ecuación de segundo grado ax 2 bx c 0 , a
0, está dada por la fórmula: x
b
b 2 4ac 2a
Notas Si en la proposición anterior nos indica que: 1.
La formula (2) tiene solución en el conjunto de los números reales sí b 2 4ac
está definida, es decir, si b 2 4ac es un número real positivo o
cero. 2.
La ecuación (1) tiene dos soluciones reales y distintas si b 2 4ac es positivo; una solución si b 2 4ac es nulo o cero y no tiene solución si
b 2 4ac es
negativo. 3.
En virtud de a) y b) se justifica llamar al número real
b 2 4ac , el
discriminante de la ecuación. Es decir, la naturaleza real, o no real, de las 2 soluciones depende de la cantidad subradical b 4ac .
4.
Si c 0 , el conjunto solución de la ecuación será
5.
2 Si b 4ac 0 , x1 IR,
S 0,
b a
x 2 IR y sus valores serán: x1
x2
b
b 2 4ac 2a
b
b 2 4ac 2a
94
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación:
4 7 3x 17 x 3 x 1 x( x 1)( x 3)
Solución: El dominio de definición es Dom IR 0,1,3 . Amplificando por: x( x 1)( x 3) se obtiene: 4 x( x 1) 7 x( x 3) 3 x 17 11x 2 28 x 17 0
x
Entonces x1
17 : si , y 11
28 ( 28) 2 4 11 17 2 11
28 6 22
x2 1 : NO , Ya que no esta en el dominio de
definición de la ecuación.
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones: 1.
24 24 1 x 10 10 x
2.
2 1 4 x 2 x 1 x 3
3.
x2 x2 x 1 2 1 x3 x 9 3 x 11
4.
1.3.
x 4 2
x 3 2x 3 2 x x2
Suma y Producto de las Raíces
Proposición
Las raíces de p( x) ax 2 bx c 0 que hemos anotado como: x1 , x 2 y cuyas fórmulas se dieron en (3.a) y (3.b), verifican las siguientes propiedades: a.
x1 x2
b a
b.
x1 x 2
b a
95
Ejemplo
Encuentre una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 2 y -5 Solución: Sí x 2 , entonces: x 2 0 , y si: x 5 , entonces: x 5 0 . Por lo tanto:
0 ( x 2)( x 5) x 2 3x 10
Proposición
2 Sí: x1 , x 2 son raíces de p( x) ax bx c 0
entonces:
2.
p ( x) a ( x x1 )( x x 2 )
Ecuaciones Bicuadráticas
La ecuación: x 4 13x 2 36 0 no es Cuadrática en la variable x. No obstante, si se considera la nueva sustitución: u x 2 , se tiene que: u 2 ( x 2 ) 2 x 4 y la ecuación se puede transformar en: u 2 13u 36 0 , que si es una ecuación Cuadrática en la nueva variable u. Se dice que una ecuación está en forma Cuadrática o lo que es lo mismo en forma bicuadrática si ella está escrita de la forma: a ( p ( x)) 2 b p ( x) c 0
Donde a 0 y p( x) es una expresión algebraica en la variable x.
Ejemplo 1
Resolver
x 4 13 x 2 36 0
Solución Sí: u x 2 , entonces factorizando se tiene
u 2 ( x 2 ) 2 x 4 , Por lo tanto (u 4)(u 9) 0 ,
dé donde
u 2 13u 36 0 ,
u 4 0,
y
u 9 0,
entonces u 4, y u 9 . Por lo tanto: x 2, y x 3
96
Ejemplo 2
Resuelva
x4 4x2 5 0
Solución En este caso u x 2 , y u 2 x 4 , Por lo tanto u 2 4u 5 0 , y factorizando se tiene
(u 5)(u 1) 0 ,
dé donde
u 1,
y u x 2 5 : no es posible. Por lo
tanto sólo x 1
Ejercicio
3.
Resolver
(3 y 5) 2 4(3 y 5) 12
Ecuaciones Irracionales
Existen otros tipos de ecuaciones que se pueden reescribir en forma lineal o Cuadrática. Una de ellas es la ecuación con radicales o ecuación irracional. En una ecuación con radicales o irracional, uno o ambos miembros contienen un radical que tiene la variable en el radicando. Se pueden resolver haciendo uso del siguiente resultado: Proposición
Si P y Q son expresiones algebraicas y n es un número natural, entonces toda solución de P Q es también solución de P n Q n .
Por lo general, este resultado se empleará con: n 2 para despejar una raíz cuadrada, elevando al cuadrado y simplificando. Este proceso se podrá repetir en caso de ser necesario. A pesar de que la propiedad anterior es cierta, su recíproco no lo es. Ya que sí x 3 , entonces
x 2 32 9 . Sin embargo, sí
y 2 25 ,
entonces y 5 o bien y 5 . Cada una de las raíces posibles de una ecuación irracional siempre debe de comprobarse en la ecuación original. Cualquier raíz de P n Q n que no sea una raíz de P Q se llama raíz extraña.
97
En algunas ocasiones, basta con ver la forma de una ecuación para saber que no tiene raíces reales. Tal es el caso de
x 2 x 4 8 , ya que el lado izquierdo es
positivo, y el lado derecho es negativo. Ejemplo 1
2x 5 x 1
Determine el conjunto solución de la ecuación Solución:
Elevando al cuadrado se tiene 2 x 5 x 2 2 x 1 , reduciendo términos semejantes se reduce a la ecuación x 2 4 0 , cuyas soluciones son x 2 y x 2 , pero sólo x 2 es solución de la ecuación original, pues se verifica que 2·2 5 3 y 2 1 3 .
(x 7) 5·(x 2)
Ejemplo 2: Determine el conjunto solución de la ecuación Solución:
( x 7)
5·(x 2)
3
3
( x 7) 5( x 2) 9 5x 10 2 x 5 x 10 4 4 x x 2
x 2 9 x 14 0 ( x 2)·(x 7) 0 ( x 2) 0 ( x 7) 0
Ejercicios
x 2, x 7,
si es solución no es solución
Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales: 1.
x 1 4x 9
2.
5x 11 x 3 4
3.
3 2 x x 4 1 5x
4.
3x 6 x 4 2
98
4.
Ecuaciones Exponenciales
4.1.
Bases iguales La resolución de las ecuaciones exponenciales de igual base se fundamenta en la siguiente propiedad de los exponentes.
Proposición
Ejemplo 1
Para b 0 y b 1
Resuelva
b p( x) b q( x)
p( x) q( x)
3( x 1)( x 2 ) 81
Solución Igualando las bases, y aplicando la proposición (5) se tiene 3 x donde
x 2 x 2 4 , o sea se obtiene la ecuación
2
x2
3 4 , de
x 2 x 6 0 , cuya
factorización es ( x 2)·(x 3) 0 dé donde se obtiene que x 2, x 3 .
Ejemplo 2
Resuelva
4 25 x 1 22
x 1
Solución Se deben de igualar las bases y deducir la igualdad de los exponentes:
4 25 x1 22
x 1
2 2 ·25 x1 2 2( x1) 25 x12 2 2 x2 25 x1 2 2 x2 de donde 5x 1 2x 2
por tanto: x 1
99
Ejemplo 3
Resolvamos
e 2 x 2·e x 3 0
Solución La ecuación la podemos expresar como e 2 x 2·e x 3 (e x ) 2 2·e x 3 0 , si consideramos el cambio de variable u e x , y sustituyendo en nuestra última ecuación se tendrá una ecuación de segundo grado en la variable u , dada por u 2 2·u 3 0 , la cual es factorizable de la forma (u 3·)(u 1) ,
de donde u1 1 y u 2 3 , volviendo a
u e x , tenemos que: e x 3
y
e x 1 , para el primer caso, x ln 3 y para el segundo, caso no hay
solución en IR, pues
e x 0 , más aun es siempre positiva. Por tanto la
solución final es S ln 3 .
4.2.
Bases distintas La resolución de las ecuaciones exponenciales de base distinta se fundamenta en lo siguientes:
A
Proposición
Para: b 0 y b 1
A p( x) B q( x)
Proposición
Para: b 0 y b 1
log b A p ( x ) p ( x) log b A
Ejemplo 1
log
b
p( x)
log B q( x)
b
Resolvamos 2·10 x 1 3 Solución
2·10 x 1 3 10 x 1
3 2
x 1 log
32
x 1 log
32
x log 10 log
32
x log 10·32 x log 15
Por lo tanto S log 15
100
Ejemplo 2
Resuelva:
5 2 x 7 x 1
Solución Aplicando la proposición (6) y (7) y despejando x se tiene que: 5 2 x 7 x 1
log 5 2 x log 7 x 1
2 x·log 5 ( x 1)·log 7 2 x·log 5 x·log 7 log 7 2 x·log 5 x·log 7 log 7
x·(2 log 5 log 7) log 7 x
log 7 (2 log 5 log 7)
104 x 3 0,011 x
Ejercicio
Resuelva:
Ejercicio
Demuestre que x 23 es la solución de la ecuación x·a log a b logb 330
1
Demostración:
xa
1 log a
x·10 + b logb 10
2
+b
2 logb
= 330
= 330
x a log a 10 + b 2logb 10 = 330 10·x + 10 2 = 330
10·x = 230
5.
2
x 23
Ecuaciones Logarítmicas
La resolución de las ecuaciones logarítmicas se fundamenta en el siguiente resultado: Proposición
Sí: b 0 y b 1 , y p( x), q( x) reales positivos: log b p( x) log b q ( x) p( x) q( x)
101
Ejemplo 1
log( x 6) log( x 9) log 4
Resuelva Solución
Por la regla del cuociente de los logaritmos y por la proposición (8) se tiene que: log
( x 6) log 4 ( x 9)
x6 4 x9 x 6 4 x 36 3x 42
x 14
Este resultado satisface la ecuación inicial.
Ejemplo 2
log5 (2 x 1) log5 ( x 2) 1
Resuelva Solución:
Aplicando propiedades de los logaritmos se tiene que log 5 (2 x 1) log 5 ( x 2) 1
2x 1 log 5 1 x2 2x 1 51 x2 2x 1 5 x2 2 x 1 5( x 2)
De donde x
11 3
102
Ejemplo 3
Resolvamos: ln 12 ln( x 1) ln( x 2) Solución
ln 12 ln( x 1) ln( x 2) ln( x 2) ln( x 1) ln 12 ln( x 2)·(x 1) ln 12 ( x 2)·(x 1) 12
x 2 3 x 10 0 ( x 5)·(x 2) 0
Luego x 5 y x 2 , pero, evaluando en la ecuación original, se observa que si x 5 se satisface la ecuación, pero para x 2 se obtiene ln(3) y ln(4) ,
que no tienen sentido, pues los logaritmos está definidos sólo para
argumentos positivos, por tanto, sólo x 5 es solución de la ecuación. En consecuencia S x 5 .
Ejemplo 4
Resolvamos log 7 x 5 + log 2 x 7 = 1 log( 4,5 ) Solución log 7 x 5
+ log 2 x 7 = 1 log( 4,5 )
log ( 7 x 5 · 2 x 7 )
7 x 52 x 7
= log( 10·4,5) 45
14 x 2 59 x 35 2025 14 x 2 59 x 1990 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene que x1 10
y
x 2 199 14 , y por la restricción de raíces de índice par, sólo 10 es solución.
Por lo tanto S 10 .
103
Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: a.
log 2 ( x 6) log 2 (2 x 3) 3
b.
12 x 2 log(2 x 2) log 1 2 25
c.
ln(2 x 1) ln x 1 ln( x)
104
Resumen ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
Son aquéllas en las cuales la incógnita forma parte del argumento de un logaritmo (cantidad a la que se le aplica un logaritmo) o del exponente de una potencia. Para resolverlas, se busca uno o ambos de los siguientes propósitos: a.
Lograr una igualdad de logaritmos o de potencias con igual base para luego aplicar la definición que corresponda.
b.
Lograr expresar los términos de ambos miembros de la igualdad en función de una idéntica expresión logarítmica o exponencial que pase a ser una variable auxiliar que nos lleve a una ecuación lineal o cuadrática.
Una vez obtenidos los valores de la incógnita en el proceso de despeje, se verifica si satisfacen a la ecuación original respetando la definición de logaritmos y exponenciales. Quienes verifiquen las condiciones iniciales constituirán la solución final de la ecuación.
Ejercicios propuestos: Determine el conjunto solución de las ecuaciones 1. 2.
2 x 11 x2 x4 2x 9
x4 x 2 2x
17 ( x 4 )( 2 x 9)
5x
x2 4
4 x2
3.
1 2x 2 x 1 x3 2 2 x3 x3 x 9
4.
5 7x 2 1 3x 2 9x 6
5.
a2 a 2b b 1 a 2b 2 x x x
105
6.
x5
x3 4
7.
x 1
x4 5
8.
2x 1 2 2 x 1 ·2 3
x 3 1
1 2
1 27 x 1 3 9
x2
10. 11.
3 4 x 3 5
9.
2x
12.
2·e 2 x 1 3
13.
log 2 ( 132 4 x) 8
14.
log (3 x 5) 1
15.
ln( x 1 ) ln( x 1 ) 1
16.
ln( 2 x 3 ) ln( x 4 ) ln(12)
106
Guía Unidad 1
1.
Encuentre la suma, la resta y el producto de los siguientes polinomios:
p(x) = - 2 x 2 + 5x - 7 , q(x) = 4 x 2 - 7x + 4
2.
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar al máximo: 2
(3x + 2 ) + x( 4x + 3[ 2 - 5x(x + 1) - x ] ) =
3.
4.
5.
Factorice las siguientes expresiones: a)
x 2 10 x 39
c)
x 3 4 x 2 17 x 60
b)
3a 2 7ax 6 x 2
d)
2 2x x 3
Factorice las siguientes expresiones: a)
a( x 2 - y ) + 2b( x 2 - y ) =
d)
6 x 2 - 7x - 3 =
b)
4ac + 2bc - 2ad - bd =
e)
4 x2+ 9 y
c)
3 x 3 + 2 x 2 - 12x - 8 =
f)
4 x 4 y + 6 x 2 y 3 - 11 x 3 y 2 =
- 12xy
=
Muestre que el resto es nulo en la siguiente división:
x
6.
2
8
+ x
6
- x
2
- 1 : x
2
+ x + 1 =
Factorice las siguientes expresiones: 2
a)
2( 3x - 5 ) + 5( 3x - 5 ) - 3 =
b)
10( 3x - 4y ) + 19( 3x - 4y ) + 6 =
c)
5 x 2 7 x(2 y 3z ) 12(2 y 3 z ) 2
2
107
7.
8.
Obtener el cuociente y el residuo en las divisiones: a)
10 x 4 + 11 x 3 - 26 x 2 + 23x - 6 : 5x - 2 =
b)
3 x 4 + 14 x 3 + 14 x 2 - 8x - 8 : x 2 + 2x - 2 =
c)
2 x 3 + 3 x 2 - 4x - 5 : 2x - 1 =
d)
x6 + x5 - 5 x4 + x3 + 5 x 2 - 4x + 1 : x 2 - 2x + 1 =
Realice las operaciones indicadas y simplifique la expresión. Finalmente evalúe para: h 0 . [ 3(x + h ) 2 + 2(x + h) - 5 ] - ( 3 x 2 + 2x - 5 ) = h
9.
10.
Determine si se cumplen las siguientes igualdades:
a)
2x + 3 -5 13 3x - 2 = x-1 2 - 3x
b)
4x + 3 -7 31 5x - 4 = x -1 4 - 5x
,
,
x1 ,
x1 ,
x
x
2 3
4 5
Opere, simplifique y/o Factorice. Indique Dominio de Definición: a)
x+1 x 2 - x - 20 x2 - x - 2 2 : 2 = 2 x - 25 x + 2x - 8 x + 5x
b)
2 a3 - b3 (a - b ) + 4ab a 2 - b2 = : 4 a+b (a + b )2 - ab
c)
a -1 - a 2 a 2 x 2 - 4 a 2 + ax 2 - 4a = x 2 - 3x - 10 a2 - 1
108
d)
a a 2 - 2a + 1 - a = a - a2 a -1
e)
xy y + y-x
f)
1 1 2 a a2 + : a a +1 a2 - 1 a+1 a - 1
xy y x+ y
x2 y2 : = 2 x2 - y
g)
2 1 3 = x x - 3 ( x - 3 )2
h)
3 5 1 + = 2x ( x + 2 ) 2( x - 2 )
i)
-1 22 + = 7( x - 4 ) 7( x + 3 )
k)
x 4x 3
m)
n)
2 2
x
2x 1 2
4x 3
2
=
j)
3 2x - 1 + = 2-x-2 x-2 x
l)
x 2x - 5 + = 3(x + 1) 6( x 2 - 6x - 7)
9 5 1 = 21( x + 3 ) 14( x - 2 ) 7( x + 2 ) 3 2( x 4 ) 2
2 1 = 3( x - 2 ) 6( x + 2 )
ñ)
h 1 1 xh x xh
o)
5x 4 7 2 x2 x2
p)
x - xy 3 - y 4 + y 1 - x2
1 x2 - 1 - 1 = y 2 + xy 1 1 y
109
4 a 2a 4 a2 a
b 2 2 1 a = : a+ 1 1 b b2 bb a a
a
q)
11.
Reduzca a su mínima expresión: a)
12.
14
x
x 3x 10 2
x 5x 6 2
b)
x y x 2 : 1 y 2 y x
c)
x y 1 2 2 x xy y x
16
x 2 x 15 2
xy 4 x 4 y y x2 y2
Demuestre si las siguientes igualdades son una tautología: a)
b)
13.
r)
x 2 9a 2 ax 3a
2
3a x 3a
9x x 11x 10 2
3
11 x 9 x 10 2
2 x 1 2
9 x 10
Opere y simplifique las siguientes expresiones: 1
a)
1 1
1
1 1 1 1 4
b)
2
3 4
5 a
x
c)
x
x x 1
110
14.
15.
Potencia. Opere, simplifique y/o factorice: a.
(9 a 2 ) 3 + 2x (-27 a 3 ) 2x - 4 = (-3a ) 10x - 3
b.
(-27 )3x + 1 (-3 )1 - 8x 9x+1
c.
x 2x(2x -1 ) :4- x= x 1 x + 1 2 2
d.
6 x+1 3 = 5(2 x + 1) + 2 x + 3
e.
32 x + 4 8 1 - x ( 0,125 ) x = 5 x 1 ) 16 ( 4
f.
4 x ( 4 x - 1 ) x (0,0625 ) x = x - 1 - x x+1 16 4 4
g.
7 3x + 1 - 3x + 4 = 5x + 2 - 5x + 3
h.
(0,25 ) x ( 4 x - 1 )-x (0,0625 ) x : = 8 x - 1 16 - x 32 x + 1
Raíces. Opere, racionalice, factorice y/o simplifique: 2+ 8
1. 3.
2.
=
2- 2
6.
7.
9.
x 2 2 x = : + 2 x x 2
11.
13.
1 x+h
1 1 = x h
-
2x + 2h h
2x
1- x
8.
=
10.
12.
x3
2x 1 - x 2 -
1 - x2 2
x 3 2x : 3 8 x -1 = 1
7x + 4 - 5 = x-3
5.
=
3 x-x 3
4.
3 x2 x =
3
x 3 +3 x
-
5x - 4 x-4 x 3 - xy 6
xy 3
2
1 4
x - 1 = : y x + 1 )2 - 1
(
4
=
x
a -2 1 - a2 b = 2 a - b + 2 ab
2+
=
=
14. 1-
1 2
x +1 1
=
x2 + 1
111
15.
1 x 2 1+ x 1 1x
17.
4x + 3 - 7 5x - 4 = x -1
1+
16.
2x + 2
=
16.
7x + 4 -5 x-2 = x-3
18.
4 a2 b -
x-1
25 ab 2 +
9 a2 b -
1
Logaritmos 1.
2.
a)
Calcule:
log 2 8
b)
Calcule:
log 5 1254 3 log 2
1 27
– log 3
3
128
Usando la definición de logaritmo log a b c a c b obtenga el valor de “x” en cada una de las siguientes situaciones:
3.
a)
10 x 4
b) log x (64)
c)
log 3 ( x) 2
d) log (x2 + x + 1) = 0
e)
cuando log (x – xy) = 3 y log (1 – y) = 2
Desarrolle las siguientes expresiones utilizando propiedades de logaritmos: a)
2 3 a b log a c 3 d
c)
log
e)
log
10 x 2 x y
x y
3
x y 2
x x 52 3
x3
2
b)
10 x x y log x2 y2
d)
1 log a 3 5 a
f)
a2 a b log 10 3 b
112
4.-
5.
6.
Exprese los siguientes ejercicios como un único logaritmo: a)
log a x 3 log a y 12 ·loga (a 2 b) a
b)
3 · log b x 5
c)
3 ·log a 2
d)
1 12 ·loga x 2 log a y 53 · log a z
e)
3 ·log 5
2 log b log c
1 4
x y 65 ·logx y 2 3 logx y
Compruebe las siguientes igualdades: 3
67 3
3 6 1 log a 2 log a 3 log a 7 2 21 7 49 3
a)
log a
b)
log
c)
log c 4
d)
log
e)
log 4
4
x x
y
5
1 3 log x log y 4
x 2 4x 4
9 x 18 x 3
2
1 log c x 2 log c 9 1 log c x 2 4
7 3 16
4 7 1 log 7 log 5 log 2 15 4 5 125 5 4
x3 y 6 y3
2 xy
1 1 5 log x log y log 2 8 4 8
2 Obtenga el valor real de log a
log c
7.
54 ·logb x 52 ·logb 2 b
a)
1 2
bd 10 c 2
1 sabiendo que log a 2 , log b = 4,
y log d = 8
Si loga (x2 – xy) = 216; loga (x + y)2 = 100; loga x = 4 determine el
valor de loga (x2 – y2) b)
Sabiendo que log (x2 – y2) = 14, log (x2 + 2xy + y2) = 16 determine: i)
c)
log (x + y)
ii)
log (x – y)2 a 3 x 2 y
Si log a y 12 ; log a x 3 27 ; calcule log a
113
8.
Resuelva: x x6 2 a) 10 · 5
c) 9.
2 3x 1 8
b)
5x 6 2x 6 3
d)
3x 3x 2 1
Resuelva las ecuaciones logarítmicas:
10.
a)
log2 (x – 2) + log2 (x + 7) = 2 + log2 9
b)
log (8 – x) + log (x + 3) = 1
c)
log3 (x – 3) + log3 (x + 9) = 2 + log3 5
d)
2log(x + 3) – log(x + 6) = log(x + 1)
e)
2[1 – log3(x – 1)] = log32 –log3(x + 1)
Aplicando cambio de base simplifique: a)
log 2 3 log 3 125 log 5 2
b)
log 9 4 log 81 2
SOLUCIONES
9 2
1.
a)
2.
a) log 4
3.
a) 2 3 log a b log a c 3 log a b
b) 19 b) 4
c)
1 9
d) {0, 1}
e) 10
1
1
1
1
b) 1 + 2 log x – 2 log(x + y) – log(x – y) 1 c) 1 + 2log x – 3log(x – y) – 2 ·log(x y ) 5 d) 3 1 e) log x + 2log(x + 5) – 3 ·log(x 3) 1 1 f) 2log a + 2 ·log(a b) – 1 – 3 ·log(b)
114
4.
a) log a
d) log
xy 3 a a
b) log b
a2 b a x
x 5 x2 5
4 bb
c) log
x y 3 x y 3 x y 100 5 x y
6.
el valor numérico es 4
7.
a)
log a x 2 y 2 262
b)
i) log(x + y) = 8
c)
a3 x 44 log a y2
a)
x
log 2 6 log 5 1 log 5
b)
x = 6·log 5 + log 3 – 6·log 2
c)
x
log 8 log 6 log 3
d)
x
8.
9.
a) S = {5}
10. a) 3
b2 c
5
e) log
y2 5 z3
a a 4 10
ii) log(x – y)2 = 12
b) S = {7, – 2}
c) {6 }
log 9 log 8 log 3
d) {3}
e) {7}
b) 4
Ecuaciones en los Reales I.-
Ecuaciones de Primer Grado : a)
(2x -1)2 -(3x -7)2 = 1 - 5(x + 1)(x - 3)
Resp. : x = 7
b)
(x - 3)2 - (x + 3) (x - 3) = 0
Resp. : x = 3
c)
1 - (3x + 4)2 = (4x - 1)2 - (5x + 2)2
Resp. : x = 3
d)
(a + x)2 - (x + a)·(x - a) = 2a·(2a - 3)
Resp. : x = a - 3
e)
(x + p)·(x - p) = (x + p)2 - 2p·(2p + 5)
Resp. : x = p + 5
f)
x2 + 2(3a2 - b2) = 2(x + a)2 - (x - b)2
Resp. : x =
g)
2(2x - 1 )2 - ( 3x + 4 )2 = 1 - ( x - 5 )2
Resp. : x = 2 1
16
2a b 2 5
115
19
h)
(4x - 3)·(3x + 1) - (2x + 5)·(6x - 3) = -7
Resp. : x = 2 9
i)
2 5 7 3 1 3 x x 10 2 x
Resp. : x = 3
j)
x1 x 2 x 3 x5 0 2 3 4 5
Resp. : x = 7
k)
2 5
l)
1 1 1 3x 3 4x 4 12x 12
Resp. : x = 0
m)
3x 1 1 7 x 7x 12 2x 6 6x 24
Resp. : x = 8
n)
4x 1 x 2 8x 3 13 5 2x 7 10 10
Resp. : x = 1 9
ñ)
5xx 1 x 1 x 1 3 2 2 x 4 x 3x 4 x 1
Resp. : x = 3
o)
x2 2x 5 x2 2 2 x 8x 7 x 49 x 6x 7
Resp. : x = 5
p)
3 x x 1 x x 5a 13b 4 b a 3 b a 12a
Resp. : x = b
q)
1 m(n - x) - (m - n)·(m + x) = n2 - n (2mn2 - 3m2n)
Resp. : x = n - 2m
r)
x x 1 a ab ab
Resp. : x = b
s)
1 1 2 x 3 x x1
Resp. : x = 3
t)
a 2 b2 b a b 2bx x 2bx 2
Resp. : x =
u)
1 1 1 1 x r b x
Resp. : x = b r
v)
(x + a2)·(x + b2) = (x + ba)2
Resp. : x = 0
3
5
1
5
6
(5x - 1) + 1 0 (10x - 3) = - 2 (x - 2) - 5
2
2
Resp. :
x
1 5
39
59
7
a
1 ab 2b r
116
w) x)
II.-
x 8 x 9 2
5 3 2 x 6 10 x 30
x7
x 6x 9 2
x 1 x 3x 2
7
Resp. : x = 9 1
Resp. : x =
2x 6x 2
9 11
Ecuaciones de 1º grado fraccionarias: a)
3x 1 x 2 1 x 5 15 3
b)
x 2x 1 x x 5 9 6 3 2
c)
1
x6 1 x x 12 15
d)
5 7 x 3 2x 3
e)
x2 x3 0 3x 1 3x 1
f)
x1 x 3 1 2x 2 2 2 x3 x3 x 9
g)
x1 x1 1 2 0 x 1 1 x x 1
h)
x2 2 3x 2x 2 x1 x 1 1 x
i)
x 1 2x 1 x 3 1 3x 6 2 x 4x 8
j)
k)
1 x 2x 2 x x x1 x
l)
m)
2x 2x 5 1 1 x x 2 3
n)
ñ)
1 4 4 x 2x 1 2x 2 2x 2
p)
2x 3 4x 25 2
3
2 4 2x 5 2x 5
1 x x x 1 4x 2 2
1 2 10 1 x 2
4x
2
x
x 3
2
1 2 2 x 1 x 2x 3
Respuestas 10
b) { 1 9 }
1
h) { 5 }
a) { 7 } g) { 4 } 15
m) { 3 2 }
48
2
11
n) { 2 8 }
34
d) {2}
e) { 1 7 }
f) { 1 0 }
41
j)
k) { -1}
l)
5
p) { 5 }
c) { 6 9 } i)
{ 35 }
ñ) { 3 }
{-6}
1
11
1
{ 15 }
3
117
III.
Ecuaciones de 1º grado literales, enteras y fraccionarias a)
a 1 2a 3 2 x x a x ax
Resp: {a + 3}
b)
xa 1 x 2 3a 2 a
Resp: {2a}
c)
xa xb xb xa
Resp: {
d)
IV.
ax 2a 2 a2
x 2 3 a a
Resp: {
a2 b2 } 2b
2a 2 } a1
e)
3 p6 p 1 x 1 2 x 3p x 9p2
Resp: {3p + 1}
f)
x x m 1 n nm
Resp: {m·n}
Ecuaciones de Segundo Grado de forma entera a) (x - 3)2 = 2(17 - 3x) c)
9 - (x - 5)2 = 10(x - 2)
b) (x - 2)2 + (x + 2)2 = 40 d) 4x = x2 (3x - 5)2 = 25(1 - x)
e) 2 - (x + 1)(x - 5) = 7(1 - x)
f)
g) (x + 2)2 - 2(x + 3)(x - 2) = (x + 4)2
h) (x - 6)2 = 36
i)
3x = 9(2 - x) - (2x - 3)2
j)
x2 + 4x - 96 = 0
k)
x2 - 4x - 45 = 0
l)
(x - 6)2 = 0
m) (x + 1)2 - x = 3
n) 4x = 7 - (x + 5) (x - 5)
ñ) 2(x - 16) = (x - 8)(x + 2)
o) 2(x2 + 5x - 3) = x – 1
p) 12(x - 1) + x = 6(x + 1)(x – 1)
q) 4 = x(3x + 1)
r)
19x - 2x2 - 24 = 0
s) 5(1 + x) (1 - x) = 24x
118
Respuestas: a) {-5, 5}
b) {-4, 4}
c) {-2, 2}
d) {0, 4}
g) {0, -5}
h) {0, 12}
i)
k) {9, -5}
l)
m) {-2, 1}
n) {-8, 4}
ñ) {4}
o) { 2 , -5}
p) { 2 ,
4 q) {1, 3 }
r)
s) {-5,
f)
5
{0, 9 }
1
V.
{6} 3
2 3
}
3
e) {0, 11} 3
{- 2 , 2 }
{8,
3 2
}
j)
{8, -12}
1 5
}
Ecuaciones de Segundo Grado de forma fraccionaria: a) c) e)
6
x+2- x 2 =1 2x 2 3x 2 2 x x 1
9
5x - 5 x = 0
g)
5x 2 9 x2 3 3 4 2
i)
x8
x 3 2 x x 2 3 x 4 6 4
b)
6 5 x 2
d)
9 5x 15 6x 5 2 3x 4
f)
x x 29 1 2 x 2 x 2 x 4
h)
x 2 x1 5 x1 x 2 14
j)
3x
x2 22 x5 3
Respuestas: a) {1, -4}
b) {16, 6}
c) {1, 2}
f)
g) {3, -3}
h) {5, -
VI.-
{5, -5}
12 5
d) {2, }
i)
23 51
}
{0, -5}
3
3
e) { 5 , - 5 } 55
j) {-2, - 6 }
Ecuaciones de Segundo Grado con literales: a) abx2+(a2-2b2)x = 2ab
b) x2 - 2ax + 8x = 16a
c) 2x2 - 5cx + 2c2 = 0
d) x2 -2ax = m2 - a2
e) x2 = a2 - 10ab + 25b2
f)
g) 4abx2 - a2b2 = 2ab2x - 2a2bx
h) (x + a)2 = 5ax - (x - a)2
x2 - (5a + 7b)x + 35ab = 0
119
2ax2 - bx = 2a + b
i)
j)
k)
3ax 2ax 6 ax 2 ax 1 ax 2
m)
a 2b b a2 a b 1 2 x x x2
l)
2 ax 2 x 4 2 a
(2a + 3b)x2 - (a - 2b)x = a + 5b
Respuestas: a
2b
c
a) {- b , a }
b)
{2a, -8}
c) {2c, 2 }
d)
{a+m, a-m}
e) {a-5b, 5b-a}
f)
{5a, 7b}
g) { 2 , - 2 }
b
h)
{2a, 2 }
j)
4
{- a ,
2 } a
6 1 k) {- 5 a , } a
l)
a
a 5b
{1, - 2 a 3 b }
a
i) {-1,
2a b 2a
}
ab
m) {a, a 2 b }.
VII. Ecuaciones Irracionales: 1.-
Resuelva y compruebe las siguientes ecuaciones irracionales de primer grado. a)
5 2 + 2 3x = 2 3 + 5 2x
b)
c)
x 5 +
x 2 = 4x 5
d)
e)
x1 +
x 4 =5
f)
g)
2 x 3 =
x 2 +
i) ( x - 7)(
x - 3) = ( x - 6)( x - 5)
k)
6x - 3 2 =
m)
x 20 +
x =
2x 11 =
5
o)
4
x 6
6 -
2x
40 x 20
h) j) l)
n)
x
=
x1 3x =
x 2
9x 2 7 - 1
x 16 = 2 +
x1 x3
x
x2 x2
10 5x 1 = 1 1 x 1 1 x 1
= -3
6 4 x2 =3
120
Respuestas: a) {1}
b)
c) {11}
d) {1}
e) {8}
f)
g) {7}
i) {81}
j) {7}
k) {3}
l) {5}
m) {36}
n) {23}
o) {7}
2.
1
h) { 4 }
Resuelva y compruebe las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado: a)
(7 +
x )(8 - x ) = x + 11
c)
4 x +
e)
x 4 x4
g)
x 5 +
i)
2
k)
a+
m)
3
+
x +
b)
x2 9 - 5 = 0
d)
x 3 +
f)
x1 +
12 x 1
h)
ax + a x =
x
j)
2 x - 2 x = x
l)
8x 5 =
x 3 =1 x4 x 4
10
= 3
3x 4 =
2
x a2 =
x = 2x a 2
6 x 3 9 x 1
=5 =6 2x
2x - 2
5 x 2 9 19 = 2
Respuestas: a) {25}
b) {-4, 4}
c) {4, 3}
d) {6, 1}
e) {-5, 5}
f) {8}
h) {a}
i)
j) {0, 4}
k) {5a2, a2}
l)
m) {-12, 12}
{4}
g) {4}
121
VIII.
Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Resuelva, comprobando sus resultados.
1.
a) c) e) g) i) k)
4 3 x
2 x
16 2
x2 3x
= 4.096
=1
2x + 2x + 1 = 6 3
a
5x3
8 2
=
x 1
2 3 x 1 4 2 x 1
5
d)
x 2
a x 5 =
x 2
a 2x 1 =
a2
5x 2
a 7x 2
3
33x - 2 ·93x + 5 = 1
f)
= ax + 5 1 4
b)
1 7 x 1 9
h)
27
x 1
3 18 x 21 2 x 1
1
2x · 5x + 1 =
j)
0 ,5 10 8
16 7 x 0
Respuestas: a) {0, 5}
b) {0, 7}
c) {-1, 4}
d) {5,
g) {9}
h) {10}
i) {0}
j) {7}
2.
2 11
}
f) { 9 } 8
e) {1} 31
k) { 3 }
a)
loga x = loga 2 + 3loga 2 - loga 4
b)
2loga x 2 - 3loga 3 x +
c)
log x 1 = -1
Resp.: { 9 }
d)
log(x2 - 1) - log(x + 1) = 2
Resp.: {101}
e)
log(x + 4) + log x = log 12
Resp.: {2}
f)
log(x - 5) + log(x + 4) = 1
Resp.: {6}
g)
log x 44 - log 2 = 1
Resp.: {444}
x3
1 2
loga x2 = 1
Resp.: {4} Resp.: {a -2} 29
122
3.
4.
a)
log2 (x – 2) + log2 (x + 7) = 2 + log2 9
S = {5}
b)
log (8 – x) + log (x + 3) = 1
S = {7, – 2}
d)
log3 (x – 3) + log3 (x + 9) = 2 + log3 5
S = {6 }
e)
2log(x + 3) – log(x + 6) = log(x + 1)
S = {3}
f)
2[1 – log3(x – 1)] = log32 –log3(x + 1)
S = {7}
a)
10 x · 5 x 6 2
b)
5x 6 2x 6 3
c)
2 3x 1 8
d)
3x 3x 2 1
123
UNIDAD II: Funciones
El Plano Cartesiano: par ordenado Concepto de relación y función: Dominio y Recorrido Gráfica de funciones La línea recta Angulo de inclinación y pendiente Ecuación punto pendiente de la recta Paralelismo Perpendicularidad entre líneas rectas Función cuadrática Función exponencial Función logarítmica
124
RELACIONES
1.
Concepto de Par Ordenado y Producto Cartesiano:
Definición
Sean a y b números reales, definimos el “par ordenado a coma b ”, que se denota por ( a, b ) como el conjunto ( a, b ) a , a, b . Al elemento a lo llamamos “primer elemento del par ordenado” o bien “abscisa”. Al elemento b lo llamamos “segundo elemento del par ordenado” o bien “ordenada”. Es
evidente
a
partir
de
la
definición
que
( 2, 3 ) ( 3, 2 ) ,
pues
2 , 2,3 3 , 3,2 .
Proposición Dos pares ordenados son iguales si sus componentes respectivas son iguales entre sí. ( a , b ) ( x, y )
Definición
ax b y
Sean A y B conjuntos no vacíos, definimos el producto cartesiano entre A y B , en ese orden, y que se denota por A B , como una operación entre conjuntos y que determina un conjunto cuyos elementos son pares ordenados y que está definida por: A B ( a, b) /
a A
y b B
125
Ejemplo 1
Sean los conjuntos A = {, } y B = {2, 4, 7} entonces su producto cartesiano es AxB = {(, 2), (, 4), (, 7), (, 2), (, 4), (, 7)}
Ejemplo 2
Sean A y B dos conjuntos definidos por comprensión tal que: A x IN : x es un número divisor de 4
B y IR : y es solución de y 2 5 y 4 0
a.
Determine los conjuntos A y B por extensión
b.
Obtenga los siguientes productos cartesianos A B y B A
Solución:
Nota
a.
La extensión de los conjuntos A y B es A 1, 2, 4 y B 1, 4
b.
A B (1,1), (1,4), (2,1), (2,4), (4,1), (4,4)
y
B A (1,1), (1,2), (1,4), (4,1), (4,2), (4,4)
En general si n( A) p y n( B) q , entonces n( A B) p·q , decir el número de elementos existente en el producto cartesiano, es igual al producto de las cardinalidades entre los conjuntos, además el producto cartesiano no es conmutativo, es decir: A B B A
Ejemplo 3
Sean A y B dos conjuntos definidos por comprensión tal que: A x IN : 7 2 x 5 13
B y Z : 3 2y 3 5
a.
Determine los conjuntos A y B por extensión
b.
Obtenga el siguiente producto cartesiano A B
126
Solución: a.
La extensión de los conjuntos
A
y
B
es
A 1, 2, 3
y
B 2,1, 0, 1
b.
Ejemplo 4
A B (1,2), (1,1), (1,0), (1,1), (2,2), (2,1), (2,0), (2,1), (3,2), (3,1), (3,0), (3,1)
Determine el producto cartesiano que se obtiene al lanzar dos dados, uno Azul y el otro Blanco. Solución: Como cada dado tiene seis caras se obtiene el un producto cartesiano de 36 elementos, dado por: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), A B (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
Sobre este conjunto (Universo) podemos determinar subconjuntos, como por ejemplo el conjunto dado por R ( x, y ) A B / x y , la extensión de este conjunto es R (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) , vemos que R A B .
127
Ejercicio
A partir de
A B
dado en el ejemplo 3 determine los siguientes
subconjuntos: a.
R1 ( x, y ) A B
/
x y
b.
R2 ( x, y ) A B
/
x y
c.
R3 ( x, y ) A B
/
x y 1
d.
R4 ( x, y ) A B
/
2x y 7
e.
R5 ( x, y ) A B
/
x 2, o
y3
128
2.
Relaciones
Definición
Sean A y B conjuntos no vacíos, definimos una relación R de A a B , en ese orden, como cualquier subconjunto de A B .
Ejemplo
Si
A B (1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,2), (4,3), (4,4), (5,1), (5,5), (5,6), (6,1), (6,5), (6,6)
entonces
R ( x, y ) A B
/
x y es un número par
es
relación R de A a B , pues R (1,1), (2,2), (3,1), (4,2), (4,4), (5,1), (5,5), (6,6)
,
una
y
vemos que R A B . Nota
Nos interesan las relaciones que se determinan mediante una cierta ley de formación, o sea definidas mediante un conjunto definido usando el axioma de especificación para así determinar su extensión, esto es definiendo la relación R de A a B , de la siguiente forma: R ( x, y ) A B /
donde
p(( x, y ))
p (( x, y ))
es una fórmula proposicional abierta que define la
propiedad característica que satisfacen los elementos de la relación R . Si un par ordenado (a, b) , pertenece a la relación R entonces p((a, b)) es una proposición verdadera y decimos que a está relacionado con b , o lo que es lo mismo aRb o bien (a, b) R .
2.1. Dominio, Recorrido y Relación Inversa Definición
Sea R una relación de A a B , es decir R ( x, y ) A B / p(( x, y )) A B , definimos: a.
Dominio de la relación R , denotado por Dom(R) como el conjunto: Dom( R ) a A, b B
b.
/
Recorrido de la relación R , denotado por Re c( R) como el conjunto: Re c( R ) b B, a A /
c.
( a, b) R
( a, b) R
Relación Inversa de R , que se denota por R 1 , como el conjunto: R 1 (b, a) /
( a, b) R
129
Nota
a.
El dominio de una relación es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que forman la relación.
b.
El recorrido de una relación es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman la relación.
c.
La relación inversa R 1 de una relación R es el conjunto de todos los pares ordenados “recíprocos” de los pares ordenados de la relación R.
Ejemplo
Si R (1,1), (1,2), (3,1), (3,2), (3,3), (5,4), (5,5), (5,6) A B , donde
A
y B conjuntos
no vacíos, entonces el dominio será Dom(R) 1,3,5 , el recorrido es Re c( R ) 1,2,3,4,5,6
y
la
relación
inversa
es
R 1 (1,1), (2,1), (1,3), (2,3), (3,3), (4,5), (5,5), (6,5)
Proposición Sea R una relación de A a B , o sea R ( x, y ) A B / p(( x, y )) , entonces se verifica que: 1.
R
2.
Dom( R ) A ,
3.
Dom( R 1 ) Re c ( R) ,
1 1
R Re c( R ) B . Re c( R 1 ) Dom( R ) .
130
3.
Ejercicios Propuestos – Relaciones Finitas
1.
Sean los conjuntos: A 1,2,3 y a.
B 2,3,4,5 .
Determine la siguiente relación por extensión: R ( x, y ) A B / x y es impar
2.
b.
Indique su dominio y recorrido.
c.
Determine la relación inversa R 1 por extensión.
Dado el conjunto A x IN : x es un número que se obtiene al lanzar un dado y las siguientes relaciones definidas A : R1 a, b A A /
a es multiplo de b
R 2 a, b A A /
a es menor que b
R3 a, b A A /
a es divisor de b
R4 a, b A A /
ab5
R5
3.
a, b A A /
a 2 b 2 25
a.
Exprese por extensión cada relación.
b.
Exprese por extensión el dominio y el recorrido de cada relación.
c.
Represente en un diagrama cada relación.
d.
Indique por extensión su relación Inversa R 1 , para cada relación.
Sean
los
B x Z /
conjuntos
2 x 4
R ( x, y ) A B /
,
x y 1
discretos se
define
A xZ /
la
3 x 2
siguiente
y
relación
a.
Determine R por extensión
b.
Determine el Dominio de R , Recorrido de R y R 1 por extensión
131
4.
5.
Sea la relación: R ( x, y ) IN IN /
log(2 x y ) 1 0 3 3
a.
Determine la relación R por extensión.
b.
Indique su dominio y recorrido.
c.
Determine la relación inversa R 1 por extensión.
Sobre
el
conjunto
R ( x, y ) A A /
A 2, 1, 0, 1, 2
2y x x
se
define
la
relación
se
define
la
relación
.
Determine:
6.
a.
La relación R por extensión.
b.
El Dominio y Recorrido de R .
c.
La relación inversa: R 1 por extensión
Sobre
el
conjunto
R ( x, y ) A A /
7.
y x
A xZ / x 2
. Determine:
a.
La relación R por extensión.
b.
El Dominio y Recorrido de R ,
c.
La relación inversa: R 1 por extensión
Sea el conjunto A x Z : 3 x 4 . Se define en A la siguiente relación: R a, b A A / b a es divisible por 2
Determine a.
La relación R por extensión.
b.
El Dominio y Recorrido de R .
c.
La relación inversa: R 1 por extensión
132
4.
Relaciones en el Plano Cartesiano
Definición
El Plano Cartesiano Real definido por: IR 2 (a, b) /
a IR
y b IR
Este representa al plano real en el cual cada par ordenado es un punto del plano y viceversa cada punto es un par ordenado. Se distingue además dos ejes de coordenadas, uno horizontal y otro vertical, designados por:
Eje OX Eje OX
( x, 0 ) IR 2
/
x IR
( 0, y ) IR 2
/
y IR
Los cuales determinan 4 cuadrantes:
C 2 ( x, y ) IR C 3 ( x, y ) IR C 4 ( x, y ) IR
C1 ( x, y ) IR 2 /
x IR
y b IR
2
/
x IR
y b IR
2
/
x IR
y b IR
2
/
x IR
y b IR
133
4.1 Relaciones Lineales
En
lo
que
sigue
representaremos
relaciones de la forma:
R ( x, y ) IR 2 /
p (( x, y ))
que representan regiones del plano cartesiano, limitadas por líneas rectas, que están determinadas por fórmulas proposicionales p(( x, y )) lineales de la ax by c 0 ,
forma ax by c 0
ax by c 0 ,
o bien ax by c 0 .
Para ello es necesario inicialmente determinar la línea recta que delimita la región que determina la relación.
Ejemplo
La
gráfica
siguiente
muestra
la
intersección de tres relaciones: R1
x, y IR
x, y IR x, y IR
2
/
4x y
R2
2
/
x 2y 9
R3
2
/
2 x y 12
Donde R R1 R2 R3 , cuyo Dominio y Recorrido
están
dados
por
los
intervalos: Dom( R) 1, 5 ,
Re c( R) 2, 8 .
Los vértices de la región triangular están dados por los puntos: (1,4) , (5,2) y (2,8)
134
5.
Ejercicios Propuestos – Relaciones en el plano Cartesiano
1.
Dada las siguientes relaciones. Grafique R1 R 2 , indicando Dominio y Recorrido:
2.
x, y IR x, y IR
R1
2
/
4 x 5 y 31
R2
2
/
y 2x 5
Sean R y S relaciones. Grafique R S , e indique su Dominio y su Recorrido: R x, y IR IR / S x, y IR IR /
3.
y0
y x 2, x 0
y x 2,
Dadas las siguientes relaciones. Determine su extensión e indique dominio y recorrido. R1 R2
x, y Z
R3
4.
x, y Z
x y 4
/
x2 y3 4
/
x, y Z 2 /
x y 4
Dada las siguientes relaciones. Grafíquelas, indicando Dominio y Recorrido: R1
R2 R3
5.
2
2
x, y R
x, y R
Dadas las relaciones
x, y IR 2
/
2
/
2
/
x 2 y 2 25
1 x 1 x y
2x 5 y 0 , x 2 y 5
R1 (x, y) IR IR / x y 4
,
R2 ( x, y) IR IR / x y 2
.
Determine: a.
El Gráfico de R1 R2
b.
Dominio, Recorrido de R1 R2
135
6.
Sean las relaciones R1 (x, y) IR IR / y x 1
,
y R2 ( x, y) IR IR / x 3
.
Determine:
7.
a.
El Gráfico de R1 R2 .
b.
Dominio, Recorrido de R1 R2 .
Se
tienen
R2 ( x, y ) IR IR /
las x0
relaciones
y
R1 ( x, y ) IR IR /
R3 ( x, y ) IR IR /
y x2
y x
,
.
Determine el grafico de R1 R 2 R3 , indicando su dominio y recorrido.
8.
Dadas las relaciones: R1 ( x, y ) IR IR / y x 1 , R2 ( x, y ) IR IR /
y x 5
y
R3 ( x, y ) IR IR /
x y 4 x
Determinar el grafico de R1 R 2 R3 , indicando su Dominio y Recorrido.
9.
Sean R y S relaciones. Grafique R S , e indique su Dominio y su Recorrido: R
x, y IR
2
/
2 x 5 21
S
x, y IR
2
/
2 y x 12
Grafique la relación inversa ( R S ) 1 , e indique su Dominio y su Recorrido
136
6.
Problemas Resueltos
1.
Sea los conjuntos: A 1, 2, 3, 4 y a.
B 0, 1, 2, 3, 4, 5 .
Determine la siguiente relación R ( x, y ) A B / x 2 y 2 4
por
extensión. Solución: R (2,0), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3)
b.
Indique su dominio y recorrido. Solución: Dom R 2, 3, 4 Re c R 0, 1, 2, 3
c.
Determine la relación inversa R 1 por extensión. Solución: R (0,2), (0,3), (1,3), (2,3), (0,4), (1,4), (2,4), (3,4)
2.
Dada las siguientes relaciones:
a.
R1 ( x, y ) IR IR / 2 x y 0
R 2 ( x, y ) IR IR / x y 6
R3 ( x, y ) IR IR /
0 x
Determine el grafico de R1 R 2 R3 .
137
2x y 0
R1 :
y 2x
x
y
0 0 2 4
x y 6
R2 :
y x 6
x
y
0
6
6
0
R3 : x 0
b.
Indique dominio y recorrido de R1 R 2 R3 . Solución: Dominio:
Dom R 2, 0
, Recorrido:
Re c R 6, 0
138
En la figura adjunta, la zona sombreada
3.
representa una relación R definida por las rectas de ecuaciones: L1 : y 2 x , L2 : y 2 x
a.
y
Determine
L3 : x 3
la
relación
por
R
comprensión. Solución:
R R1 R 2 R3 donde: R1 ( x, y ) IR IR / y 2 x
R 2 ( x, y ) IR IR / y 2 x
R3 ( x, y ) IR IR /
b.
x3
Indique el Dominio y el Recorrido de la relación. Solución: Dom R 0, 3
4.
Si R1 ( x, y ) IR IR /
2x 7 3
y
Re c R 6, 6
R 2 ( x, y ) IR IR / 3 y 4 8 ,
entonces determine el grafico de R1 R 2 , e indique su dominio y Recorrido.
139
Considerando la condición de R1 se tiene: 2x 7 3
Entonces: 3 2x 7 3
de donde: 2 x5
Considerando la condición de R2 se tiene: 3y 4 8
entonces: 8 3y 4 8
por tanto: 4 y
4 3
Solución: Dom 2,5
5.
Re c 4,
x y
2
Sea la relación: R ( x, y ) IN IN / a-
4 3
3 0 2
Determine la relación R por extensión. Solución: De la condición
x y 2
3 0 , se deduce que 2
x y 9 , por lo tanto:
R (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1)
b
Indique su dominio y recorrido. Solución:
c.
Dom R 1,2, 3, 4,5,6,7,8 Re c R
Determine la relación inversa R 1 por extensión. Solución:
R 1 (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1)
140
6.
Dadas las relaciones: R1 ( x, y ) IR IR / y x 1 R2 ( x, y ) IR IR /
R3 ( x, y ) IR IR /
,
y x 5
x y 4 x
Determinar el grafico de R1 R 2 R3 , indicando su Dominio y Recorrido.
y x 1
R1 :
x
y
0 1 2 3
y x 5
R2 :
x
y
0 5 5 0
x y 4 x
R3 :
y 2x 4 x
y
0 4 2
0
Dom R ,3 Re c R
7.
Sea los conjuntos: A 1, 2, 3, 4 y a.
B 0, 1, 2, 3, 4, 5 .
Determine la siguiente relación R ( x, y ) A B / x 2 y 2 4
por
extensión. Solución:
R (2,0), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3)
141
b.
Indique su dominio y recorrido. Solución:
c.
Determine la relación inversa R 1 por extensión. Solución:
8.
Re c R 0, 1, 2, 3
Dom R 2, 3, 4
R (0,2), (0,3), (1,3), (2,3), (0,4), (1,4), (2,4), (3,4)
Sean R y S relaciones. Grafique R S , e indique su Dominio y su Recorrido: R
x, y IR
2
/
2 x 5 21
S
x, y IR
2
/
2 y x 12
Grafique la relación inversa ( R S ) 1 , e indique su Dominio y su Recorrido. Solución: Obtenemos los gráficos de las relaciones R y S en forma independiente y después obtenemos R S indicando su Dominio y su Recorrido.
9.
Dada la relación: a.
R ( x, y ) Z Z
/
x 2 y 2 25
Determine la relación por extensión. Solución: Los elementos del conjunto R son pares ordenados en los cuales la suma de los cuadrados de sus respectivas componentes es igual a 25, de esta forma los únicos pares de números que satisfacen esta condición son: R (5,0), (5,0), (0,5), (0,5), (3,4), (3,4)(3,4), (3,4), (4,3), (4,3), (4,3), (4,3)
142
b.
Indique su dominio y recorrido. Solución. El dominio lo constituyen las primeras componentes de los pares ordenados que constituyen la relación entonces
Dom R 5,4,3, 0, 3, 4, 5 .
El recorrido lo constituyen las segundas componentes de los pares ordenados que constituyen la relación entonces Re c R 5,4,3, 0, 3, 4, 5 c.
Obtenga su relación inversa. Solución: En este caso la relación inversa es igual a la relación directa o sea R 1 R
10. Dadas las siguientes relaciones:
R1 ( x, y ) IR 2 /
2 x 3 y 12
R2 ( x, y ) IR 2 / 3 y 2 5 y 8
Determine la grafica de R1 R2 , indicando dominio y recorrido.
143
FUNCIONES
Introducción El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Una función expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por otra. 1.
El área de un círculo depende de la longitud de su radio
2.
El costo de producir cualquier artículo depende del número de
artículos producidos. 3.
La temperatura a la que hierve el agua depende de la altura ( el
punto de ebullición baja si uno asciende). 4.
La cantidad en la que crecerán sus ahorros en un año dependen
de la tasa de interés ofrecida por el banco
1.
El concepto de función es fundamental en las matemáticas, se dará una definición de función empleando conjuntos.
Definición 1
Una función f de un conjunto A subconjunto de IR, a un conjunto
B
subconjunto de IR es una correspondencia o regla, que asocia con cada elemento a de A exactamente un elemento b de
Nota
B.
El conjunto A recibe el nombre de dominio de la función todos los valores de b de
B
f
. El conjunto de
que corresponde a algún valor de a en el
dominio se llama recorrido de la función:
f
.
144
Visualización de una función
Si x es el dominio de la función f, cuando x entra en la máquina, queda aceptada como materia prima y la máquina produce una salida, f(x), siguiendo las reglas de la función. Las funciones preprogramadas de una calculadora son ejemplos de la función concebida como una máquina. Otra forma de visualizar es mediante un diagrama de flechas. Cada flecha va de un elemento de A y termina en un elemento de B. Definición 2
Sea
f
una función de
1.
Al conjunto de números reales que se denota por D( f )
A
en
B,
entonces: Dom( f )
o bien
se le llama Dominio de la función y se le define por
D ( f ) x A, y B : y f ( x) .
2.
Al conjunto de números reales que se denota por
Re c( f )
o bien
R( f )
se le llama Recorrido de la función y se le define por R ( f ) y B, x A : y f ( x) .
Nota
Si
f
es una función con:
con valores reales) y sí:
R ( f ) IR ,
D ( f ) IR ,
diremos que
f
es una función real (o
entonces diremos que
f
es una función
de variable real. Nuestro interés estará centrado en las funciones reales de variable real, es decir, en funciones de la forma:
f : A IR B IR
145
Las funciones reales de variable real se definen, generalmente, mediante una formula del tipo:
y f ( x) .
Conviniéndose en que:
Dom( f )
es el mayor
subconjunto de IR para el cual dicha formula o expresión tiene sentido. En general, esto implica que quedan excluidas las divisiones por cero y las extracciones de raíces de índice par para números negativos. De este forma se puede pensar que la función elemento:
x Dom( f ) ,
un elemento:
f
es una regla que asocia a cada
y f ( x) Re c( f ) .
Esto último justifica el
nombre de variable independiente con el que se denomina a la variable x,
y el de variable dependiente con el que se denomina a la variable
y.
También, es de uso corriente la notación siguiente: f: A x x
B y f ( x)
Con la cual se define completamente la función f del conjunto A al conjunto B . Si el elemento b del conjunto conjunto: A , a b se le llama valor de
f
B
corresponde al elemento a del
en a, o bien imagen de a según
f
y se escribe: f (a ) b , que se lee “ f de a es igual a b”, lo cual significa que: ( a, b) f .
Equivalencia Fundamental:
Ejemplo 1
f (a) b
( a, b) f
Cáncer y Cigarrillo En todos los paquetes de cigarrillos aparece la inscripción “El consumo de tabaco puede provocar cáncer”
¿Cómo es posible llegar a esa
conclusión? Por un lado está la evidencia médica propiamente tal, que dice que la nicotina y el alquitrán del humo del cigarrillo aumentan la presión sanguínea, interfieren con el funcionamiento de la tiroides, causan daño en el estómago, hígado y riñones. Si bien el cáncer pulmonar es lo que llama la atención por su gravedad, es mucho más común la gran cantidad de cirugías para extirpar: pulmones, laringes, riñones y extremidades.
146
En este caso se considera la evidencia numérica que permite relacionar sin discusión el consumo de cigarrillos y las gráficas que se obtienen permiten además predecir resultados. Este es un listado obtenido en varios hospitales MUERTES POR CADA 100.000 HABITANTES Promedio de Consumo
Cáncer de próstata
Cáncer de pulmón
Cáncer de riñón
5
3
14
3
7
5
21
3
8
4
25
6
9
5
24
7
11
6
25
3
de cigarrillo diario
Más adelante se verá un ejemplo mucho más detallado que será estudiado con la línea recta en forma algebraica. Con los resultados de este modelo se podrá predecir, por ejemplo, el número de muertes de personas que consumen 20 cigarrillos al día.
147
Definición 3
Sea
f
una función de
A
en
B.
Al
conjunto de pares ordenados que se denota por G( f ) se le llama gráfico de la función f , y se le define por:
G ( f ) ( x, y ) D ( f ) x R ( f ) : y f ( x )
Nota
Podemos observar que representado
Dom( f )
gráficamente
por
esta la
proyección del gráfico de la función G ( f ) sobre el eje OX y
Re c( f )
por la
proyección del gráfico de la función G ( f ) sobre el eje OY
148
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES
f ( x) C , C IR
1.
Representación de la función Constante:
2.
Representación de la función Identidad: f ( x) x , x IR
149
3.
Representación de la función Cúbica:
f ( x) x 3
4.
Representación de la función Raíz Cuadrada:
Ejemplo
Son funciones reales de variable real: a.
f ( x) 2 x 3
b.
g ( x) x 2 4 x
a.
h( x )
b.
f ( x)
f ( x)
x
5 2x
3x 2 x6
150
Definición 4
Sea
f
y g dos funciones, diremos que:
1.
La función
f
es igual a la
g
, lo que se denota por f g , si
Dom( f ) Dom( g ) y si f ( x) g ( x) para toda x en el dominio común.
2.
La función f es menor que la función g , lo que se denota por f g , sí f ( x) g ( x) , para toda x Dom( f ) Dom( g ) .
Ciertas funciones racionales tienen dominios que difieren en un solo valor x0 , pero además se verifica que f ( x) g ( x) para toda x x0 en el dominio
común, a dichas funciones se les denomina Funciones Equivalentes.
Ejemplo
Las siguientes funciones
f ( x)
2x2 7x 5
sí ya que f ( x)
x2 1
2x 2 7 x 5 x2 1
y
g(x)
2x 5 x 1
son equivalentes entre
( x 1)(2 x 5) 2 x 5 g ( x) , siempre que ( x 1)( x 1) x 1
x 1,
además se tiene que Dom( f ) IR 1, 1 y Dom( g ) IR 1 difieren sólo para x 1 Definición 5
Dada la función:
f
1. La función
f
, diremos que: es estrictamente creciente en un intervalo
toda x1, x2 I , tal que 2. La función que
x1 x 2
x1 x 2
toda x1, x2 I , tal que 4. La función
, sí para toda x1, x2 I , tal
f ( x1 ) f ( x 2 ) .
x1 x 2
se tiene que
tal que x1 x2 se tiene que f
I
, si para
f ( x1 ) f ( x 2 ) .
es decreciente en un intervalo
f
5. La función
I
es estrictamente decreciente en un intervalo
f
, sí para
f ( x1 ) f ( x 2 ) .
es creciente en un intervalo
f
se tiene que
3. La función
se tiene que
I
I
, si para toda
x1 , x 2 I
,
f ( x1 ) f ( x 2 ) .
es monótona sobre el intervalo
I
si es creciente o
decreciente.
151
Ejemplo:
El siguiente gráfico de la función
f ( x)
2x 1
, muestra que ella es
estrictamente creciente en su dominio el cual es el intervalo
1 2
,
, pues
se necesita que x verifique que 2 x 1 0 , de donde se tiene que si: x1 x2 , 2 x1 2 x2 2 x1 1
2 x2 1
2 x1 1
2 x2 1
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) y1 y 2
Por tanto la función es estrictamente creciente
Definición 6
Diremos que la función
f
acotado, es decir, si existe
Definición 7
Ejemplo
Diremos que la función
f
es acotada, si su recorrido es un conjunto M 0
Función Par, sí
2.
Función Impar, sí
f ( x) M
para toda x Dom( f )
es:
f ( x ) f ( x)
1.
tal que
para toda:
f ( x) f ( x)
x, x Dom( f ) .
para toda
Gráfico de la función real de variable real
x, x Dom( f )
f ( x)
x2 4 x2 4
esta es acotada y
función par a la vez.
152
La función es par ya que: f ( x)
( x) 2 4
( x) 2 4
x2 4 x2 4
f ( x)
y además es acotada pues el recorrido es el intervalo
R ( f ) 1 ,1 .
Vemos que esta función
posee una “asíntota horizontal” dada por la ecuación y 1 .
Nota
Si una función
es par, entonces ella es
f
simétrica con respecto al eje vertical (eje OY), es decir los puntos de coordenadas ( x, y )
y ( x, y ) esta en la gráfica de
sea:
( x, y ) f
y f ( x)
y
( x, y ) f
f
, o
, de donde
e y f (x) respectivamente, por lo
tanto: f ( x) f ( x) .
Nota
Si una función
f
es impar entonces la
función es simétrica con respecto al origen de coordenadas, en este caso significa que sí el punto de coordenadas ( x, y ) esta en la gráfica de f , entonces también esta en punto de coordenadas ( x, y ) . De esto último se infiere entonces que sí y f (x) y sí ( x, y ) f , entonces y f ( x) , y por lo tanto y f ( x) , es decir f ( x) f ( x) .
153
Definición 8
Sea
f
una función no constante, y
sea
I
un intervalo contenido en el
dominio de
f
y
x0
un punto de
Diremos que la función 1. Un
cero
en
f
I
.
tiene:
x x0 ,
cuando
f ( x0 ) 0 . 2. Un máximo en x x 0 , con valor y 0 f ( x0 ) ,
cuando
para
toda
x I : f ( x) f ( x0 ) .
3. Un mínimo en x x 0 , con valor y0 f (x0 ) ,
cuando
para
toda
x I : f ( x) f ( x0 ) . 4. Un
valor
cuando
extremo
f
tiene
en ya
x x0 , sea
un
máximo o un mínimo en x x0 .
Ejemplo
La función f ( x) 4 x 2 3x 7 , tiene dos ceros, en f (1) 0
x 1
y x
7 4
, ya que:
y f ( 47 ) 0 , para obtener dichos valores basta con hacer f ( x ) 0 , o
sea en este caso se resuelve la ecuación: 4 x 2 3x 7 0 , utilizando la fórmula cuadrática de la ecuación de segundo grado. Ejemplo
La función Valor Absoluto definida por f ( x) x , tiene un valor extremo mínimo en x 0 , ya que: f ( x) x 0 para toda x en IR.
Ejemplo:
La función f ( x) ( x 3) 2 4 , tiene dos ceros, en x 1 y x 5 , pues: f (1) 0
y f (5) 0 , además para x 3 la función posee un valor extremo
mínimo, que es f (3) 4 , ya que f ( x) f ( 3 ) . Su gráfica es una parábola.
154
Definición 9
Diremos que la función f ( x P) f ( x)
f
es periódica, si existe
P IR
tal que
para toda x Dom( f ) . Al menor de los números reales P
que verifican la igualdad anterior, se le llama período.
Ejemplo
Las funciones trigonométricas definidas por f ( x) senx y f ( x) cos x , son funciones periódicas de periodo P 2 . Otra característica es que son funciones acotadas, pues ambas tienen un recorrido acotado dado por Re c( senx) 1, 1
y Re c(cos x) 1, 1
155
2.
Álgebra de Funciones
La suma, diferencia, producto y cuociente de las funciones funciones f g , f g , f g
Definición
Si
f
y
g
dominio es
y
f
y
g
son las
f : g , definidas por:
son las funciones, se definen las siguientes funciones cuyo D( f ) D( g ) :
f
g ( x) f ( x) g ( x)
f
g ( x) f ( x) g ( x)
f
g ( x) f ( x) g ( x)
f f ( x) ( x) , con: g ( x) 0 g ( x) g
Nota
Un error que se debe evitar es el de afirmar que f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) independientemente de cual sea la función, ya que en general esta igualdad no es cierta.
Ejemplo
Sean las funciones f ( x)
2x 1 x , g ( x) . Determine indicando x 1 x 1
dominio: a)
( f g )( x)
b)
( f g )( x)
c)
( f g )( x)
d)
f (x) g
156
Solución: a)
f
g ( x) f ( x) g ( x)
(2 x 1)( x 1) x( x 1) 3x 2 2 x 1 2x 1 x x 1 x 1 ( x 1)( x 1) x 2 1
b)
f
g ( x) f ( x) g ( x)
(2 x 1)( x 1) x( x 1) x 2 4 x 1 2x 1 x ( x 1)( x 1) x 1 x 1 x2 1
c)
f
g ( x) f ( x) g ( x)
(2 x 1) x 2x 1 x 2x 2 x 2 x 1 x 1 ( x 1)( x 1) x 1
d)
f f ( x) ( x) g ( x) g
Dominios:
2 x 1 x 1 x x 1
2 x 1 x 1 (2 x 1)( x 1) 2 x 2 3x 1 . x 1 x ( x 1) x x2 x
Dom( f ) IR 1
Como
y
Dom( g ) IR 1 ,
tendremos
entonces que:
Ejemplo
a)
Dom( f g ) D( f ) D( g ) IR 1, 1 .
b)
Dom( f g ) D( f ) D( g ) IR 1, 1 .
c)
Dom( f g ) D( f ) D( g ) IR 1, 1 .
d)
Dom( f / g ) D( f ) D( g ) IR 1, 1 , 0 ,
ya que g (0) 0 .
Dada la función f ( x) 2 x 2 3x 4 . Obtener en la forma más simplificada posible: a)
f ( x h) f ( x) , h
b)
f ( x ) f ( 3) x3
Solución: a.
Para encontrar: f ( x h) , se sustituye x por x h en todo lugar que ésta aparezca en la ecuación que define a la función f , es decir:
f ( x h) 2( x h) 2 3( x h) 4 2 x 2 4 xh 2h 2 3x 3h 4 , conocido este resultado, se calcula:
157
2 x 2 4 xh 2h 2 3x 3h 4 (2 x 2 3 x 4) f ( x h) f ( x) h h
de donde:
4 xh 2h 2 3h , h
h(4 x 2h 3) f ( x h) f ( x) 4 x 2h 3 , h h
siempre que: h 0 .
b.
Calculamos inicialmente f (3) 2(3) 2 3(3) 4 31 , entonces: (2 x 2 3 x 4) 31 f ( x ) f ( 3) , x3 x3
o sea: 2 x 2 3 x 27 (2 x 9)( x 3) f ( x ) f ( 3) 2x 9 , x3 x3 x3
siempre que x 3 .
158
3.
Composición de Funciones
En lo que sigue se presentará otra forma de operar dos funciones para obtener una tercera función. A este proceso se le denomina Función Compuesta: g f .
Definición
Sean las funciones definidas por f : A B y g : B C . Entonces, la función compuesta o composición de f y g que se denota por ( g f ) , es la función ( g f ) : A C definida por ( g f )( x) g f ( x)
Nota
La notación para la función compuesta no debe confundir en su aplicación; f ( x) B
como tenemos que valor de la función
g
en
y B Dom(g ) , es claro que podemos calcular el
f (x) ,
esto es g f (x) . De este modo queda definida
una función de A en C, dada por ( g f ) , que asigna a cada dado por
g f (x)
x A ,
el valor
en C. Lo anterior lo podemos visualizar en el siguiente
esquema:
A
f
B
g
C
Si se escoge cualquier elemento a del conjunto A se puede calcular f (a) , que estará en el conjunto B. Pero
g
es una función del conjunto B al
conjunto C, por lo ahora se puede calcular:
g f (a) .
El resultado neto es
que se comenzó con un elemento del conjunto A y se produjo un elemento de C. Ejemplo
Sean las funciones f ( x)
2x 1 , x 1
g ( x)
x . Determine indicando x 1
dominio: a)
( g f )( x)
b)
( f g )( x)
159
Solución: La definición de función compuesta requiere calcular primero sustituir este valor de x en la fórmula para
g (x) ,
f (x)
y luego
es decir evaluar g en
f (x) .
Haciendo esto se obtiene: ( g f )( x) g f ( x) g
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 x 1 x 1 x x ( 2 1 ) ( 1 ) 2 1 x x2 x 1 1 x 1 x 1
Los pasos a seguir han sido los siguientes: Primero se aplica la definición de función compuesta, segundo se evalúa g en f (x) y en tercer lugar se procede ( g f )( x)
según 2x 1 x2
expresiones
algebraicas
involucradas.
O
sea
tiene
que:
, En donde se tiene que Dom( g f ) IR 1, 2
Para b) se tiene que: x 2x x 1 2 1 x 1 x 1 x x 1 ( f g )( x) f g ( x) f x x 1 2x 1 x x 1 1 x 1 x 1
De
la
( f g )( x)
anterior
Dom( f g ) IR 1 ,
1 2
x 1 , 2x 1
En
donde
se
Mientras que por una parte vemos que están definidas g f , como f g , rara vez son iguales, de lo anterior podemos asegurar que dos funciones compuestas no tienen siempre los mismos valores de función, se concluye que g f f g . Lo anterior nos permite asegurar que : g f , y: f g , difieren por dos razones: 1.
No tienen el mismo dominio.
2.
Sus valores en: D( g f ) y D( f g ) son distintos.
160
Con ello se ilustra una observación de carácter general: estando definidas las composiciones de g f y f g , las funciones resultantes no son necesariamente iguales, es decir la compuesta entre funciones no es conmutativa. Puede suceder, aún más, el hecho de que g f exista no implica necesariamente de que f g exista.
Ejemplo
Encuentre g ( x)
f ( x)
para las siguientes funciones:
Dom( f g )
4 x2
y
3 x
Solución: Se comienza determinando los dominios de
y
f
g
respectivamente,
(como una buena práctica de problema de composición).
Dominio de
f x : 4 x2 0
Dominio de
g x : 3 x 0
, en este caso:
, en este caso:
2 x 2 x3
o bien x 2, 2
o bien:
x , 3
Ahora se determina la composición ( f g )( x)
( f g )( x) f g ( x) f
3 x
Aun cuando la expresión: restringir el dominio de
f g
1 x
4
3 x
2
4 (3 x)
está definida para toda
1 x
x 1
se debe de
a aquellos valores que también están en el
dominio de la función g . Así Dom( f g ) debe de verificar simultáneamente las condiciones
Ejercicio
x 1
y
x3,
por lo tanto
Dada las siguientes funciones f ( x)
x x 1
D( f g ) 1 , 3
1 x
1 x
, g ( x) 1 , y h( x) , Obtener:
a)
( g f )( x)
b)
( f g )( x)
c)
( f h)( x)
d)
(h f )( x)
e)
(h g )( x)
f)
( g h)( x)
161
Nota
La función compuesta es asociativa. f :AB, g:BC.
En efecto sí
y
h:C D ,
entonces h ( g f ) : A D , y se
verifica que:
x A : h ( g f )( x) h g f ( x) h g f ( x) También, si
(h g ) : B D ,
entonces
(h g ) f : A D
y esta función es tal que
verifica que:
x A : h g f ( x) h g f ( x) h g f ( x) Observando que ambos resultados son idénticos se tiene que
(h g ) f h ( g f ) puesto que dos funciones son iguales si y sólo si tienen el mismo dominio, y la misma imagen cualquiera sea el elemento que se tome en el dominio.
Ejercicio
Dada las funciones f ( x)
x x 1
, g ( x) 1
1 x
, y h( x )
1 x
. Verificar que:
h g f (x) h ( g f ) ( x) 3.1. Reconocimiento de Formas Compuestas No sólo es importante poder encontrar la composición de dos o más funciones, sino también para reconocer cuando una función dada es la composición de dos o más funciones simples o elementales.
Ejemplo
Exprese la función
H ( x) (3 x 5) 12
como una composición de dos funciones
más simples. Solución: Si Ejercicio
f ( x ) x 12
y
g ( x) 3x 5 ,
entonces: H ( x) (3 x 5)12
f (3 x 5) f g ( x) ( f g )( x)
Exprese la función H ( x) 4 (2 x 1) 2 como una composición de dos o más funciones simples. Solución: 162
4.
Funciones Inversas
En lo que sigue se supone que f : A B , con A y B conjuntos cualesquiera.
Definición
Se dice que la función f es sobre o epiyectiva sí y solo sí Re c( f ) B , o bien sí para toda y B , existe x A tal que y f (x) .
Nota Es importante observar que toda función es epiyectiva sobre su recorrido.
Definición
Se dice que la función
f
es uno a uno o Inyectiva, sí para toda x1 , x2 A
con x1 x2 , se tiene que f ( x1 ) f ( x2 ) . Lo anterior es equivalente a decir, sí f ( x1 ) f ( x2 ) , entonces x1 x2 .
Ejemplo
Sea la función: f ( x) 2 x 3 . Determine si es una función Inyectiva: Solución: f ( x1 ) f ( x2 ) 2 x1 3 2 x2 3 2 x1 2 x2 x1 x2
Existe un método gráfico sencillo que indica si una función es o no uno a uno. Prueba de la recta horizontal para las funciones uno a uno o Inyectivas:
163
Nota
Una función
es uno a uno o Inyectiva si cualquier recta horizontal
f
intercepta a la gráfica de la función en a lo más un punto. La prueba de la recta vertical indica si la gráfica dada es la de una función. La prueba de la recta horizontal sirve para saber si una función es uno a uno o Inyectiva. Lo anterior nos permite establecer la siguiente afirmación para las funciones uno a uno: Una función
f
es uno a uno si es creciente en un
intervalo, o si es decreciente en un intervalo. Lo anterior permite establecer que:
Proposición
Si una función f es creciente o decreciente en todo su dominio, entonces la función f es uno a uno.
Definición
Se dice que la función f es Biyectiva si y solo si f es epiyectiva e Inyectiva a la vez.
Nota
Es importante, si consideramos que una función f : A B es Biyectiva, entonces combinando ambas condiciones que satisface que la función
f
f
, obtenemos
es Biyectiva sí y solo sí:
y B , ! x A Tal que
y f (x) .
En términos poco precisos, lo anterior significa que existe una regla que asocia a cada elemento de B un único elemento de A, y que esta regla depende de f .
Definición
Sí f : A B es una función Biyectiva, entonces existe a función inversa de
f
es la función que se anota por f 1 , tal que f 1 : B A , la cual
verifica la siguiente equivalencia funcional f 1 ( y ) x
y f ( x)
164
Nota
f
1
es sólo una notación para la función inversa de la función
relación alguna con que él y
1 f ( x)
( 1)
en
f
1
1 f
f
y no tiene
, es decir, no debe de perderse de vista el hecho de
no es un exponente, o sea se reitera el hecho de que
f
1
( x)
son objetos totalmente distintos.
Por otra parte, es costumbre asignar inversas a funciones que no son biyectivas pero si inyectivas La importancia de definir este tipo de funciones de la forma anterior, es que ellas tienen función inversa sobre su recorrido. Al hacer esto, se razona de la siguiente forma: Sí f : A B es una función inyectiva, entonces f es función biyectiva sobre su recorrido, es decir f : A R( f ) B es biyectiva. Luego existe la función inversa de f , como función definida sobre R( f ) , con valores en A, tal que se verifica
f 1 : R( f ) B A .
Por otra parte, algunas funciones que no son
inyectivas, pueden restringirse a un subconjunto adecuado de su dominio en donde lo sea y luego proceder a considerarla como una función uno a uno. Nota
Si la función
f
es creciente en un intervalo, entonces
f
tiene función
es decreciente en un intervalo, entonces
f
tiene función
inversa. Si la función
f
inversa.
4.1. Calculo de la función inversa de una función Nota
Para hallar la función inversa de una función se debe de proceder como sigue: es Inyectiva.
1.
Verificar que la función
2.
Se considera
3.
Se resuelve para
4.
Se intercambian x e y , y la solución se escribe como y f 1 ( x) .
5.
A
f
1
y f (x) x
f
como ecuación dada.
en términos de
y,
obteniendo x t ( y ) .
se le llama función inversa de f .
165
Ejemplo
Dada la función f ( x)
4x 5 2x 1
, Determine su función Inversa.
Solución: En este caso se tiene que Dom( f ) IR Inyectiva, ya que si
f ( x1 ) f ( x2 ) ,
, 1 2
y además esta función es
entonces x1 x 2 , (Verifíquelo), luego
procedemos a obtener la función inversa: f ( x)
4x 5 2x 1
y
4x 5 2x 1
(2 x 1) y 4 x 5 2 xy y 4 x 5 2 xy 4 x y 5 x( 2y 4) y 5
x
y5 2y 4
y
x5 2x 4
f 1 ( x)
x5 2x 4
En este caso se tiene que Re c( f ) IR 2 . Proposición
Sí
f : A B
es una función Biyectiva, entonces existe la función
inversa f 1 : B A , tal que:
f f ( x) x f f ( y) y 1
A
1
B
Donde x A e y B denotan las funciones identidad en A y en B, respectivamente.
166
Nota
Esto siempre es válido para una función f
1
De
f
uno a uno y su función inversa
, de tal forma que:
f
1
f ( x) x A ,
se tiene que f 1 f ( x) f 1 ( y ) x , por definición de
inversa. De f f 1 ( y ) y B , se tiene que f f 1 ( y ) f ( x) y , también por definición de inversa. Es decir, f 1 deshace lo que la función f hace, por lo que f y f 1 son inversas con respecto a la composición de funciones. Las igualdades de la proposición anterior se pueden expresar de la forma:
f 1 f ( x) x
f f 1 ( x) x
Las igualdades anteriores se pueden utilizar para determinar si la solución que se ha obtenido para f 1 es realmente la función inversa de la función:
f. Nota
Se infiere, realmente por definición, que el dominio de la función recorrido de la función inversa dominio de la función inversa Dom( f ) Re c( f
Nota
1
f
1
f
1
, y el recorrido de la función
f
es el
f
es el
, es decir, se tiene que: Re c( f ) Dom( f
)
1
)
A partir de la definición de función inversa, se tiene que la gráfica de y f 1 ( x )
y f ( x)
es la reflexión de la gráfica de
a lo largo de la recta
identidad de ecuación y x . Esto es el resultado del intercambio de la variable x e y para hallar la función inversa
f
1
. Recuérdese de la
discusión de simetría que los puntos de coordenadas: (a, b) y (b, a) son simétricos a la recta
y x,
la gráfica de la función
f
y si el par de coordenadas
( a, b)
es un punto de
, entonces el par de coordenadas
punto de la gráfica de la función inversa
f
1
(b, a)
es un
, y viceversa; esto último se
verifica para toda función real de variable real que tenga inversa.
167
Proposición
Las gráficas de y f (x) y de y f 1 ( x) son simétricas con respecto a la función identidad dada por la ecuación de la recta y x .
Ejemplo
Sea la función f ( x)
2x 3 . Determine si es una función Inyectiva, si lo es x 1
obtenga su inversa, y verifique las identidades fundamentales para la función compuesta dadas por f 1 f ( x) x y f f 1 ( x) x , además indique dominio y recorrido para la función
f
y la función inversa f 1 .
Solución: Se tiene que D( f ) IR 1 , y verifiquemos que la función
f
es inyectiva,
debemos de probar que si f (a) f (b) , entonces a b , efectivamente:
168
f (a ) f (b)
2a 3 2b 3 a 1 b 1 (b 1)(2a 3) (a 1)(2b 3) 2ab 3b 2a 3 2ab 3a 2b 3 3b 2a 3a 2b 5a 5b ab
Para conocer la función inversa se debe de despejar x en términos de y , como se mostró anteriormente, con lo cual se obtiene f 1 ( x)
x3 , y en 2 x
este caso se verifica que Re c( f ) Dom( f 1 ) IR 2 . Para comprobar que f 1 f ( x) x , se debe de calcular f 1 f ( x) , de la siguiente forma:
f
1
2x 3 f ( x) f 1 f ( x) f 1 x 1
2x 3 2 x 3 3x 3 3 5x x 1 x 1 x 2 2 2 3 x x 5 2x 3 2 x 1 x 1
169
Ejercicio Encuentre la inversa de la función
f ( x) 4 x x 2 , para: x 2 . Solución: Indicación: términos de
Despejando y
y f (x)
x
en
en la ecuación: se
obtiene:
x 2 4 y , y se tiene que: f 1 ( x) 2 4 x .
Justifique
por
que.
Resumen
En estos apuntes se han considerado funciones que son uno a uno (Inyectivas), crecientes o decrecientes a fin de estudiar las funciones inversas. Otro tipo especial de función es la función continua. La gráfica de una función es continua si no tiene huecos o cortes y es discontinua si tiene en cualquier punto un hueco o corte. La descripción completa de una función continua se dará más adelante al estudiar los límites de funciones. No obstante, en lo que respecta por el momento, es suficiente decir que la gráfica de una función continua no tiene huecos. Toda función polinomial es continua. También lo es la función valor absoluto, dada por: f ( x) x
a pesar de que su gráfica presenta una punta en el origen. Por otra parte, la función definida por: 1 , si x 0 f ( x) x 0 , si x 0
No es continua. Tampoco lo es la función definida por:
170
x 1 f ( x) x 1 , si x 1 0 , si x 1
Con respecto a estas dos últimas funciones, es conveniente dibujar sus gráficas y ver por qué ellas no son continuas. Otras funciones especiales que hemos estudiado son las funciones pares e impares. Son importantes porque toda función se puede expresar como la suma de una función par y una impar. Concretamente es: f ( x)
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 2 2
función par impar
Dentro de los tipos de funciones se vio la gráfica de la función:
f ( x) x ,
denominada función parte entera, que se define por: f ( x) x n , en donde n es un número entero que verifica que: n x n 1
Si se estudia la gráfica de la función f ( x) x x , vemos que ella tiene una interesante propiedad que es de ser periódica, porque sus valores se repiten a intervalos regulares. En este caso se tiene que f ( x 1) f ( x) , para toda x D( f ) , es decir tiene periodo igual a 1. Si se considera que Dom( f ) IR , vemos que esta función no es continua, no es creciente, no es
decreciente, no es par y no es impar. Sin embargo, si restringimos el dominio al intervalo: 0 , 1 ella es creciente y continua.
171
FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es aquella que
describe
algebraicamente
el
comportamiento de sus variables x e y por medio de la expresión general y mx n
o
f ( x) mx n , donde m se llama pendiente y
n es el
coeficiente de posición.
La gráfica de la función consiste en todos los puntos (x,y) en el plano coordenado tales que y=f(x) y x esté en el dominio de la función, la pendiente m de una línea recta se define como la razón de la elevación al recorrido.
172
m
y y1 cambio vertical(elevación) 2 cambio horizontal(desplazamiento) x2 x1
donde P (x1 , y1 ) y Q ( x2 , y 2 ) son puntos de la recta
La pendiente no está definida para líneas verticales. Debe observarse que la pendiente de una misma línea es siempre el mismo valor, no importando las posiciones de los puntos P y Q sobre la línea.
173
La tabla resume las diversas formas asumidas por la ecuación de una línea recta 1. Fórmula general
Ax By C 0, A y B no son cero a la vez
2. - Fórmula punto - pendiente
y - y1 m( x x1 )
3. Fórmula pendiente ordenada al origen 4. - Línea horizontal
y mx b yb
5. - Línea vertical
xa
Ejemplo
El Tabaquismo y el cáncer al pulmón La nicotina es un constituyente del humo del cigarrillo que produce adicción.
Pero no es el único constituyente del humo, pues además
contiene: monóxido de carbono (CO), alquitrán , amoníaco y otros 4.000 compuestos químicos más como cianuro, plomo, acetaldehído, acetona, arsénico, etc. Apenas aspirado, el humo irrita las membranas de la nariz y garganta, con una consecuente pérdida del olfato. La irritación de los pulmones produce mucus que se manifiesta en la tos de los fumadores. A través de la evidencia numérica en varios hospitales, se puede precisar cuánto influye el tabaquismo en el cáncer pulmonar. Se tiene la siguiente información: Promedio de consumo de
Muertes por cáncer pulmonar por
cigarrillos al año (x)
cada 100.000 habitantes (y)
3.200
23,84
3.400
25,10
Además, se sabe que el promedio de muertes por cáncer pulmonar por cada 100.000 habitantes es de 20,6 para un promedio de consumo de cigarrillos al año de 2.500, y que hay un aumento lineal entre ambas variables. Así, la recta que describe esta función pasa por el punto (2.500; 20,6) y tiene pendiente
174
m
25,1 23,84 0,006 3.400 3.200
La recta que describe la relación entre estas variables será: y 20,6 0,006(x 2.500) y permite predecir el número de muertes de personas que consumen 20 cigarrillos al día: 49,4 ( ya que en el año = 20*365= 7.300 cigarrillos) La cifra sube a 93,4 para dos cajetillas diarias.
Ejercicio 1 La concentración de bióxido de carbono (CO2) en el aire ha aumentado en la atmósfera debido a la actividad industrial y a la deforestación. Si la concentración de CO2 aumenta demasiado se producirán efectos adversos en el clima, tales como el recalentamiento de la atmósfera, que nos afectarán a todos. Si esta concentración aumenta en forma lineal con el tiempo podríamos predecir, en cierta medida, qué sucederá en el futuro. En un observatorio se miden las concentraciones en 2 años y se obtiene la siguiente información: Año
Concentración de CO2 (ppm)
1990
350
2000
365
ppm significa “partes por millón”.
Suponiendo que esta tendencia lineal permanecerá constante en el futuro. Estime la cantidad de CO2 en los años 2010. 2015 y 2020. (Nota: puede llamar 0 al 1990 de modo que “x” es el número de años después de 1990)
Paralelismo y perpendicular entre rectas Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 175
Ejemplos
Son funciones lineales:
f ( x) 3 x 8 con m = 3 y n = 8 y x con m = -1 y n = 0 g ( x) 12 1000 x con m = -1000 y n = 12 y 4 con m = 0 y n = 4.
El gráfico y los parámetros n y m El gráfico de la función lineal es una línea recta. El número n , indica a qué altura la recta intersecta al eje Y. Por tanto, si n es positivo, la recta corta al eje Y por sobre el eje X. Si n es negativo, lo hace por debajo del eje X y si n es cero, la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas O = (0,0). La pendiente m de la recta, corresponde a la inclinación de ésta con respecto al eje X. Si miramos la recta de izquierda a derecha puede darse uno y sólo uno de estos comportamientos gráficos: 1. La recta “sube”. Decimos que la función lineal es creciente. El valor de m debe ser positivo.
176
2. La recta “baja”. Decimos que la función lineal es decreciente. Esto sucede cuando el valor de m es negativo. 3. La recta es paralela al eje X. Esto ocurre cuando el valor de m es cero.
Observación Se ha dejado de lado el caso en que la recta sea paralela al eje Y, caso en que el gráfico no corresponde al de una función. Las siguientes gráficas muestran las diferentes situaciones descritas para los tipos de valores de m y n respectivo: m positivo
m=0
m negativo
n positivo
n=0
n negativo
El dominio y el recorrido de la función lineal es el conjunto de los números reales. 177
Ejemplo
Una situación que se describe por un modelo lineal es: El sueldo de un repartidor de pizza, está dado por un sueldo base fijo, más una comisión. El sueldo base es de $200.000 y por cada pizza repartida gana $120. Nota que sueldo mensual = sueldo base + comisión. Si llamamos S al sueldo mensual y x al número de pizzas repartidas, vemos que S depende de x. La relación algebraica es S(x) = 200.000 +120x. S(10) es el sueldo mensual cuando ha repartido en ese mes 10 pizzas.
178
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Definición
Una función cuadrática es una expresión descrita algebraicamente por
y f ( x) ax 2 bx c
donde a, b, c son números reales y a 0 .
Concavidad El gráfico de esta función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA, la que puede estar “abierta hacia arriba o hacia abajo”, lo que denominaremos
concavidad
positiva
y
concavidad
negativa
respectivamente. Concavidad positiva
Se da cuando a 0
Concavidad negativa
Se da cuando a 0
Intersección con los ejes La intersección de la parábola con el eje Y es un punto (0, c) donde c es el valor dado en la expresión funcional y f ( x) ax2 bx c .
179
Ejemplo 4
La función f ( x) 2 x 2 3 x 5 corta al eje Y en el punto (0,-5) porque c = -5. Además está abierta hacia arriba (concavidad positiva) porque a = 2 >0. La intersección con el eje X se determina haciendo ax2 bx c 0 . Resolviendo ésta ecuación de segundo grado, tenemos los puntos en que la parábola corta al eje X. Si se tienen dos soluciones reales distintas x1 , x2 , la gráfica corta al eje X en los dos puntos ( x1 , 0) y x2 , 0 .
Si se tienen dos soluciones reales e iguales x1 x2 , la gráfica corta al eje X en un solo punto de coordenadas ( x1 , 0)
180
Si se tienen dos soluciones no reales x1 , x2 , la gráfica no corta al eje X.
Ejemplo 5
Veamos donde la función f ( x) 2 x 2 3 x 5 , corta al eje X. Resolvemos la ecuación 2 x 2 3x 5 0 , y obtenemos
x1 1 ,
5 x2 . Entonces la 2
5 parábola corta a los ejes en los puntos de coordenadas 1, 0 y , 0 2
Coordenadas del vértice de la parábola Otro de los elementos importantes para elaborar una buena gráfica de la parábola es conocer las coordenadas del vértice de una parábola, que es el punto donde “da la vuelta”. La fórmula del vértice, en función de los coeficientes a, b, c es:
b 4ac b 2 V , 4a 2a Si la parábola tiene concavidad positiva, decimos que V es un punto mínimo de la función. Si la parábola tiene concavidad negativa, V es punto máximo de la función. Esto se aprecia en la gráfica: Retomamos la función f ( x) 2 x 2 3 x 5 . Como tiene concavidad positiva, por ser a =2 >0, en la gráfica el vértice de esta parábola debe ser punto mínimo. Ocupando la fórmula, para a = 2, b = 3 y
c = -5, se tiene:
181
b 4ac b 2 3 49 V , = ( , ) 4a 4 8 2a
Ejercicio 2
Observemos la gráfica de las siguientes funciones
Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes X e Y, y las coordenadas del vértice.
Recorrido de una función cuadrática El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números reales, de ahí que horizontalmente la curva se extienda infinitamente a la izquierda y a la derecha. El recorrido es un intervalo semi-abierto:
-
Si la concavidad es positiva, tenemos Recf = h, , donde h es la ordenada (segunda componente) del vértice de la parábola.
-
Si la concavidad es negativa, tenemos Recf = , k , donde k es la ordenada (segunda componente) del vértice de la parábola.
Así, la función f ( x) 2 x 2 3 x 5 que tiene concavidad positiva y vértice
3 49 V , , tenemos que Recf = 49 , . 8 4 8
182
Ejercicio 3 La distancia s sobre el suelo (en pies) a la que está un objeto que se deja a caer de un globo aerostático t segundos después de que se soltó está dada por: s = a + bt2 Donde a y b son constantes. Suponga que el objeto está a 2 100 pies sobre el suelo cinco segundos después de que se soltó, y a 900 pies 10 segundos después de que se soltó. (A)
Encuentre las constantes a y b.
(B)
¿A qué altura está el globo?
(C)
¿Cuánto tiempo tardará el objeto en caer?
183
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición
Sea b un número positivo distinto de 1. La función exponencial de base b está definida por f ( x) b x y tiene por dominio el conjunto de los números reales y recorrido, el conjunto de los números reales positivos.
Propiedades de las potencias
Si a 0, b 0, x IR, i) a x a y a x y
y IR
ii ) a xb x (ab) x iii ) (a x ) y a xy x ax a iv) b bx 1 v) a 1 a
184
Así, la gráfica de la función exponencial sólo se presenta por sobre el eje X y se extiende infinitamente en sentido horizontal.
185
La gráfica de la función exponencial f ( x) b x es una cuerva creciente si b 1 . Observa la gráfica de f ( x) 2 x . Nota que la curva corta al eje Y en
(0,1). La gráfica de la función exponencial f ( x) b x es una curva decreciente si 0 b 1 . Observa la gráfica de f ( x) 0,3x . Nota que la gráfica corta al eje
Y en (0,1). En general, las gráficas de las funciones de la forma f ( x) b x cortan siempre al eje Y en (0,1), ya que f (0) b0 1 .
Comparación del crecimiento de funciones exponenciales De dos funciones exponenciales con bases mayores que uno, crece más rápido aquella que tiene la mayor base.
La
curva
corresponde
azul, a
la
función f ( x) 10 x
La
curva
verde,
corresponde a la función f ( x) 3x
¿Cómo se comportan dos funciones exponenciales con base positiva menor que uno? Observa el gráfico:
186
En azul está la gráfica de f ( x) 0,3x y en verde f ( x) 0,8x . Entonces, se visualiza que tiene un decrecimiento más “brusco” la función de menor base.
Aplicaciones
Veremos algunas aplicaciones de la función exponencial en las dos aplicaciones siguientes:
Nuestro primer ejemplo implica el crecimiento de poblaciones, de personas, animales, insectos y bacterias.
Las poblaciones tienden a
crecer exponencialmente y a tasas diferentes. Una manera conveniente y fácil de entender la medida de la tasa de crecimiento es el tiempo de duplicación (éste es el tiempo que le toma a una poblaci6n duplicarse). En periodos cortos, se usa a menudo el modelo de crecimiento del tiempo de duplicación para modelar al crecimiento demográfico:
P Po 2 t d donde
P = población en el tiempo t Po = poblaci6n en el tiempo t = 0 d = tiempo de duplicaci6n
187
Observe que cuando t = d, se tiene que P Po 2 d d Po 2 y la población es el doble de la original, como se espera. Se usará este modelo para resolver un problema de crecimiento demográfico en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 6
Crecimiento demográfico. México tiene una población aproximada de 100 millones de personas, y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿Cuál será la población: (A) en 15 años a partir de ahora? (B) en 30 años a partir de ahora? Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. Solución: Se usa el modelo de crecimiento del tiempo de duplicaci6n
P Po 2 t d Sustituyendo Po =100 y d = 21, se obtiene P = 100(2 (A)
t/21
)
Encuentre P cuando t = 15 años: P = 100(2 15/21) = 164 millones de personas (Use calculadora)
(B)
Encuentre P cuando t = 30 años: P = 100(2 30/21) = P = 269 millones de personas (Use calculadora.)
Ejercicio 4 La bacteria Escherichia coli (E. coli) se encuentra naturalmente en los intestinos de muchos mamíferos. En un experimento de laboratorio, se encuentra que el tiempo de duplicación para la E. coli es de 25 minutos. Si el experimento comienza con una poblaci6n de 1000 E. coli y no hay ningún cambio en el tiempo de duplicación, ¿cuántas bacterias estarán presentes:
188
(A) en 10 minutos? (B) en 5 horas? Escriba sus respuestas con tres dígitos significativos. Solución: La segunda aplicación implica el decaimiento radiactivo, al que a menudo se hace referencia como crecimiento negativo. Los materiales radiactivos se usan extensamente en diagnósticos y en terapias médicas, como fuentes de potencia en satélites y como fuentes de potencia en muchos países. Si comenzamos con una cantidad AO de un cierto isótopo radiactivo, la cantidad decaerá exponencialmente en el tiempo. La tasa de decaimiento varía de isótopo a isótopo. Una medida conveniente y fácil de entender de la tasa de decaimiento es la vida media del isótopo (es decir, el tiempo que le toma decaer a la mitad de cierto material). En esta sección se usará el siguiente modelo de decaimiento de vida media:
1 A A0 2 A0 2 donde
t
t h
h
A = Cantidad al tiempo t AO = Cantidad al tiempo t = 0 h = Vida media
Observe que cuando t = h, entonces
A A0 2
h
h
A0 2 1
A0 2
y la
cantidad de isotopo es la mitad de la original, como se espera.
Ejemplo 7
Decaimiento radiactivo. El isótopo radiactivo del galio 67(67 Ga) usado en el diagnóstico de tumores malignos, tiene una vida media de 46.5 horas. Si se empieza con 100 miligramos del isótopo, ¿Cuántos miligramos quedarán después de:
189
(A) 24 horas? (B) una semana? Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. Solución: Se usa el modelo de decaimiento de vida media
1 A A0 2
t h
A0 2
t
h
,
tomando AO = 100 y h = 46.5, se obtiene A = 100(2 --t/ 46,5)
(A)
Encuentre A cuando t = 24 horas: A = 100(2 -24/ 46,5) = 69,9 miligramos
(B)
(Use calculadora)
Encuentre A cuando t = 168 horas (una semana = 168 horas): A = 100(2
-168/46.,5
Ejercicio 5 El oro radiactivo 198(
) = 8,17 miligramos
198
(Use calculadora)
Au) que se usa en las radiografías del hígado
tiene una vida media de 2,67 días. Si se empieza con 50 miligramos del isótopo, ¿cuántos miligramos quedarán después de: (A) ½ día? (B) una semana? Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos.
La función exponencial de base e El número e, es un número irracional (con desarrollo decimal no periódico infinito) que es muy importante tanto para las matemáticas como para sus m 1 aplicaciones y se deriva de la expresión: 1 para valores muy grandes
m
de m, con m N . El valor numérico de e escribiendo sólo 12 decimales es: e = 2,718281828459…
190
La constante e parece ser una base ideal para una función exponencial, ya que en cálculo
y algunas operaciones matemáticas avanzadas
aparecen en su forma más simple usando esta base y se usa extensamente en modelos del mundo real. La función exponencial de base e se define pues como sigue
Para un número real x : f(x) = ex
Definición:
Las gráficas de y = ex y y = e-x se muestran en la figura siguiente:
Aplicaciones Ejemplo 8
Crecimiento Bacteriano. El cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por: N N 0 e 1,386 t
Donde N es el número de bacterias presentes después de t horas y N0 es el número de bacterias presentes cuando t = 0 . Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en: A) 5 horas? B) 12 horas? Solución: A)
Utilice N0 = 1 y t = 5; N N 0 e 1,386 t e 1, 386 ( 5 ) 1020
191
B)
Utilice N0 = 1 y t = 12; N N 0 e 1,386 t e 1, 386 (12 ) 16 700 000
Ejemplo 9
Cálculo de fechas con el Carbono 14. El bombardeo de rayos cósmicos de la atmósfera produce neutrones, los que al regresar reaccionan con el nitrógeno y producen carbono 14 radiactivo. El carbono 14 radiactivo penetra en los tejidos de todos los seres vivos a través del dióxido de carbono, el cual es absorbido primero por las plantas. Mientras que la planta o el animal esté vivo, el nivel de carbono 14 en el organismo se mantiene constante. Una vez que el organismo muere, el carbono 14 disminuye de acuerdo con la ecuación A A0 e 0,000124 t , donde A es la cantidad de carbono 14 presente después de t años y A0 es la cantidad presente en el tiempo t = 0. Si 1 000 miligramos de carbono 14 están presentes en un inicio, ¿cuántos miligramos estarán presentes en: A)
10 000 años?
B)
50 000 años?
Solución: Sustituyendo A0 = 1 000 en la ec. de decaimiento, se tiene A 1000e 0,000124 t A)
Encuentre A cuando t = 10 000, A 1000e 0 , 000124 (10 000) 289miligramos
B)
Encuentre A cuando t = 50 000, entonces
A 1000e 0,000124 (50 000) 2,03 miligramos
192
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definición
La función logarítmica se define como la inversa de la función exponencial, de modo que: Si b es la base del logaritmo (siendo b positivo y distinto de 1) e y es un número real positivo, entonces el número x en la expresión
b x y se denomina “logaritmo de y en base b ” y se denota: log b y x log a : IR IR x log a ( x ) donde
y log a ( x ) x a y
Propiedades Sea a un número real positivo distinto de 1 entonces log a a x x a
log a x
x
x IR x IR
Para x IR , y IR log a ( xy ) log a x log a y x log a log a x log a y y log a x r r log a x
log 4 10 log 4 5 log 4 2 5 log 8 log 8 5 - log 8 6 6 log 5 3 2 2log 5 3
En especial, trataremos la función logarítmica con base 10, que tiene por dominio el conjunto de los números reales positivos y por recorrido todo el conjunto de los números reales. Esto significa que la función logarítmica sólo tiene una representación gráfica a la derecha del eje Y y puede extenderse infinitamente en sentido vertical. Observa la gráfica de la función exponencial y su inversa respectiva (logarítmica)
193
Función exponencial
Función logarítmica
f ( x) log( x)
f ( x) 10 x
En especial, trataremos la función
f ( x) log( x) , es decir con base
logarítmica 10, para trabajarla directamente en calculadora. Con la tabla anterior queremos explicitar que tales funciones son inversas, por tanto, el dominio de la función logarítmica, es el recorrido de la exponencial y el recorrido de la exponencial es el dominio de la logarítmica. Luego Domlog = IR y Reclog =. IR
La función logaritmo natural Los logaritmos naturales se conocen también como logaritmos neperianos, estos son los logaritmos de base e. Se denotan por
ln x log e x
194
Aplicaciones Ejemplo
Intensidad del sonido. El oído humano es capaz de oír el sonido en un rango increíble de intensidades. El sonido más fuerte que una persona saludable puede oír sin daño en el tímpano tiene una intensidad de un billón (1 000 000 000 000) de veces la del sonido más suave que puede percibir. Trabajar directamente con números con un rango tan amplio como éste es muy incómodo. Puesto que el logaritmo de base más grande que 1, de un número aumenta mucho más lentamente que el número mismo, con frecuencia se usan los logaritmos para crear escalas comprimidas más convenientes. La escala de decibeles para la intensidad del sonido es un ejemplo de tal escala. El decibel, llamado así por el inventor del teléfono, Alexander Graham Bell (1847-1922), se define como sigue:
D 10 log
I I0
Escala de decibeles
donde D es el nivel de decibeles del sonido, I es la intensidad del sonido medida en watt por metro cuadrado (W/m2) e I0 es la intensidad del sonido más pequeño audible que una persona promedio, joven y saludable puede escuchar. Este último se estandariza a I0= 10-12 watts sobre metro cuadrado. En la tabla 1 se enumera algunas intensidades de sonidos típicos de fuentes familiares.
Ejemplo 10 Encuentre el número de decibeles de un cuchicheo con intensidad de sonido de 5.20 x10-10 watt por metro cuadrado. Calcule la respuesta hasta dos cifras decimales. Solución: Se usa la fórmula de decibeles:
195
D 10 log
I I0
5,2 10 10 10 12 10 log(5,2 10 2 ) 10 log
10(log 5,2 log 10 20 ) 10(0,716 2) 27,16 decibeles
196
I.
Guía de Ejercicios: Relaciones y Funciones
1.
Determine si cada una de las siguientes relaciones es son o no funciones (fundamente): 1.
R1 ( x, y ) IR IR /
2.
R 2 ( x, y ) IR IR /
x2 y2 0
3.
R3
xy x 2 1 0
4.
R 4 ( x, y ) IR IR /
5.
R5
( x, y ) IR IR /
( x, y ) IR IR /
2 x 3 y 24 0
xy x 1 0 x y 11x 5 2
2
Soluciones Son funciones: R1 , R3 y R5 R 2 no es función pues y1 x e y 2 x . R 4 no es función pues al despejar la variable dependiente y , se llega a la
ecuación y 2
1 x . Cada elemento del dominio, excepto el uno, tienen dos x
imágenes.
2.
Determine el Dominio y el Recorrido de las siguientes funciones: 1.
2.
f ( x)
f ( x)
x4 2x 1
3x 4 4x 5
Dom f = Rec f = IR
Dom f IR
5 4
1 2
; Rec f IR 3 4
3.
f ( x) 2 5 x
Dom f = Rec f = IR
4.
f ( x) 4 x 3
Dom f = Rec f = IR
5.
f ( x)
1 x4
Dom f: IR 4 , Rec f: IR 0
197
6.
f ( x)
1 x 1
7.
f ( x)
2x
Dom f = ,2 ; Rec f = 0,
8.
f ( x)
x2 4
Dom f: IR 2,2 , Rec f: 0,
9.
f ( x) 4 x 2
10.
f ( x) x 2 4
11.
f ( x)
12.
f ( x) x 2 x
Ejemplo 1
2
Dom f IR 1,1 : Rec f IR 1,0
Dom f = 2,2 ; Rec f = 2,0 Dom f: IR , Rec f = 4,
1 x2
Dom f = 2, ; Rec f = 0, Dom f: IR , Rec f = 1 / 4,
Dada la siguiente relación: a.
R ( x, y ) IR IR /
2 x 3 y 4 xy 24 0
Determine si es una función. Solución: Se debe demostrar que si ( x, a) R y ( x, b) R , entonces se verifica que a b . si ( x, a) R , entonces 2 x 3a 4 xa 24 0 si ( x, b) R , entonces 2 x 3b 4 xb 24 0 Igualando
estas
dos
2 x 3a 4 xa 24 2 x 3b 4 xb 24 ,
ecuaciones
entre
si
se obtienen que 3a 4 xa 3b 4 xb ,
factorizando a·(3 4 x) b·(3 4 x) , y simplificando se obtiene que a b , siempre que (3 4 x) 0 .
b.
Indique su dominio y recorrido. Solución: Para determinar el dominio debemos despejar “y” en función de “x”.
198
2 x 3 y 4 xy 24 0
3 y 4 xy 2 x 24 y (4 x 3) 2 x 24
y
2 x 24 4x 3
.
siempre que 4 x 3 0 o sea x 34 , luego, Domf IR
3 4
Para obtener el Recorrido, debemos despejar “x” en función de “y”. 2 x 3 y 4 xy 24 0 2 x 4 xy 3 y 24 x(2 4 y ) 3 y 24 3 y 24 x 2 4y
siempre que 2 4 y 0 o sea y 12 , entonces Re cf IR c.
1 2
Determine su ecuación funcional. Solución: La ecuación funcional se obtiene al despejar la variable y en términos de la variable x de la ecuación que define a la función, y es de la forma y f (x) , de donde f ( x)
Ejemplo 2
2 x 24 4x 3
¿Por qué la relación R ( x, y ) IR IR / x 2 y 2 16
no representa una
función? Solución: Al despejar la variable de pendiente y 2 x 2 16 , vemos que
para un
mismo valor del dominio “x” real existen dos imágenes y1 x 2 16 e y 2 x 2 16 , por lo tanto no es una función.
199
4.
Demuestre que las siguientes relaciones son funciones e indique dominio y recorrido
5.
1.
f ( x, y ) IR 2 /
y xy x 1
Dom IR 1 ; Re c IR 2
2.
f ( x, y ) IR 2 /
x y x 1 y 2
Dom IR 1 ; Re c IR 1
3.
f ( x, y ) IR 2 /
x 2 y 16 y x 2
¿Por qué la relación R ( x, y ) IRxIR /
Dom IR 4,4 ; Rec ,0 1,
y2 x 1
no es una función?
Respuesta: No es una función porque existen elementos “x” del dominio que tienen 2 imágenes, ya que al despejar la variable dependiente y se obtiene la siguiente ecuación: y2 x 1
y2 1 x
De donde y1 1 x e y 2 1 x satisfacen la última ecuación.
Por ejemplo, si x 3 entonces y 2 4 , de donde se obtiene que y 2 o bien
y 2 , o sea para x 3 se tienen dos imágenes. En este caso el dominio es el intervalo , 1 y el recorrido es todo IR
200
6.
Determinar Dominio y Recorrido de las siguientes funciones: f ( x) x 2 9
a. Para
el
Dominio
vemos
que
no
hay
restricciones, por tanto: Domf IR . Para el Recorrido el despejar la variable x se obtiene: y x2 9
y 9 x2
Ahora bien, para
que cualquier número real al cuadrado se verifica que este es mayor o igual a cero, o sea x 2 0 y 9 0 y 9 por lo tanto, Re cf 9,
b.
f ( x, y ) IRxIR /
2 xy 3 x 7 y 1 0
Para determinar el dominio debemos despejar “y” en función de “x”. 2 xy 3 x 7 y 1 0
2 xy 7 y 3 x 1
y ( 2 x 7) 3 x 1
y
3x 1 2x 7
.
Luego, Domf IR
7 2
Para obtener el Recorrido, debemos despejar “x” en función de “y”. 2 xy 3 x 7 y 1 0
2 xy 3 x 1 7 y
x(2 y 3) 1 7 y
x
Luego, Re cf IR
1 7 y 2y 3
3 2
201
c.
f ( x)
2x 3 x4
Dominio (Valores reales que puede tomar la variable x , en este caso: Domf IR 4 .
Recorrido: Se debe despejar de la ecuación funcional y f ( x) la variable independiente x , en términos de la variable dependiente y , de la siguiente forma: y f ( x) y
2x 3 x4
y ( x 4) 2 x 3 xy 4 y 2 x 3
xy 2 x 4 y 3 x( y 2) 4 y 3 x
4y 3 y2
Luego, el Recorrido está dado por todos los valores reales que puede tomar “y” en la última fracción del lado derecho de la ecuación obtenida al despejar la variable independiente x , es decir Re cf IR 2
202
d.
y 4 x2
Dominio: La función esta definida mediante una raíz cuadrada, por tanto: 4 x 2 IR x2 4 0
4 x2 0
x2 4
x2 4 0
x 2
estos
son los Puntos críticos, y por análisis de
intervalos
se
obtiene
que
Domf 2,2
Recorrido: Debemos despejar “x” en función de “y”. En estos casos debemos considerar que la función esta definida mediante la expresión 4 x2
, y como la raíz es siempre positiva o cero, pero nunca negativa,
al determinar el Recorrido solo se toman en cuenta los valores mayores o iguales a cero. y 4 x2
De donde
4 y2 0
y2 4 x2
x2 4 y2
x 4 y2
y2 4 0
se observa que se obtiene una
inecuación equivalente pero en la variable y , de la que se analizo para el cálculo del dominio. Por lo tanto Re cf 0,2 (Es el intervalo entre 0 y 2, porque las imágenes, como se dijo en la última observación, es siempre positiva o, a lo menos cero). Nota
¿Cuál hubiese sido el recorrido de la función anterior, si el signo que tiene antepuesta la raíz fuera un menos en vez de un mas? Es decir consideremos la función: y 4 x 2 . Igual que al principio hubiésemos
203
llegado a y 2,2 , pero ahora y 4 x 2 indica que solo puede ser menor o igual que cero. Luego Re cf 2,0
7.
Determinar el Dominio de las siguientes funciones: 1.
f ( x)
x4 x 5x 6 2
x 2 5 x 6 0 ( x 3)( x 2) 0
2.
f ( x)
f ( x)
y
x2.
Por tanto Domf IR 2,3
x2 1 ( x 1)( x 3)( x 4)
( x 1)( x 3)( x 4) 0
3.
x3
x 1,
x3
y
x4.
Por lo tanto Domf IR 1,3,4
2 x4
x40
x 4 ,
por tanto Domf 4, , ya que la raíz está en el
denominador.
204
Álgebra y Composición de Funciones
8.
Si f ( x) x 2 x 3 . Determinar: 1.
f (1 / 2)
2.
f ( a 1)
3.
f (1 / a)
4.
f ( a 2) f ( a ) 2
5.
f ( x h) f ( x ) h
6.
f ( x ) f ( 2) x2
Soluciones
1 2 12 9 4 4
1.
f (1 / 2) (1 / 2) 2 (1 / 2) 3 (1 / 4) (1 / 2) 3
2.
f a 1 (a 1) 2 (a 1) 3 a 2 2a 1 a 1 3 a 2 3a 1 .
3.
1 a 3a 2 f (1 / a) (1 / a) (1 / a) 3 (1 / a ) (1 / a ) 3 . a2
4.
f a 2 f (a) (a 2) 2 (a 2) 3 (a 2 a 3) 2 2
5.
2
2
a 2 4a 4 a 2 3 a 2 a 3 2
4a 6 2(2a 3) (2a 3) . 2 2
f x h f ( x) ( x h) 2 ( x h) 3 ( x 2 x 3) h h
x 2 2hx h 2 x h 3 x 2 x 3 . h
h·(2 x h 1) 2x h 1 h
205
( x 2)( x 3) f x f (2) ( x 2 x 3) (22 2 3) x2 x 6 x3 x2 x2 x2 x2
6.
9.
Si f ( x) x 2 1 , g ( x) x 2 4 x 3 , h( x)
1 x x 2
y j ( x)
1 . x x 2
Determinar: a.
f x g
b.
h j x
c.
g· j x
d.
f ·h x
Soluciones: a.
f x2 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 2 . x 4 x 3 ( x 1)( x 3) x 3 g
b.
h j x
c.
g· j x ( x 2 4 x 3)·
d.
f ·h x ( x 2 1)·
1 x x 2
1 x x 2
1 x x 2
1 x x 2
( x 2 x) ( x 2 x) ( x x)( x x) 2
2
2x 2 2 . x( x 1)( x 1) x 1
( x 1)( x 3) x 3 . x( x 1) x
( x 1)( x 1) x 1 x( x 1) x
10. Dadas las funciones f ( x) x 2 4 , g ( x) 2 x 1 , h( x)
x2 . x 3
Determinar: a.
f g (x)
b.
g f (x)
c.
g h (x)
d.
h g (x) 206
Respuestas: a.
4x 2 4x 3
b.
2x 2 9 .
c.
x7 x3
d.
2x 1 2x 4
11. Si f ( x) x 2 1 y g ( x) x 2 x . Determinar: a.
f ( x) g
b.
g ( x) f
Respuestas a.
f x 2 1 ( x 1)( x 1) x 1 ( x) 2 x( x 1) x x x g
b
g x2 x x( x 1) x ( x) 2 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 f
x2 . Determinar: 12. Si f ( x) x 1
a.
f 12
b
f (a 1)
c
f (0)
207
Respuestas
13.
(1 / 2) 2 (1 / 4) 1 2 1 (1 / 2) 1 (3 / 2) 4 3 6
a.
f 12
b
f (a 1)
c
f (0)
(a 1) 2 (a 1) 2 (a 1) 1 a
0 0 0 0 1 1
Si g ( x) 3 x 12 y f ( x) 2 x 2 19 x 48 . Determine la función F ( x)
f ( x) f (2) g ( x) g (2)
más
simplificada. Solución: F ( x)
(2 x 2 19 x 48) (2(2) 2 19(2) 48) f ( x) f ( 2) (3 x 12) (3( 2) 12) g ( x) g ( 2)
2 x 2 19 x 48 (94) (3x 12) (6)
2 x 2 19 x 46 3x 6
( x 2)(2 x 23) 3( x 2)
(2 x 23) 3
208
14.
Si f ( x)
x x y g ( x) . Determinar ( f g )( x) : x 1 x 1
Solución: ( f g )( x) f ( x) g ( x)
15. Si f ( x) a b.
x x x 1 x 1
x( x 1) x( x 1) ( x 1)( x 1)
x2 x x2 x ( x 1)( x 1)
2x ( x 1)( x 1)
1 . Determinar: x 1 f ( x h) f ( x ) h f ( x) f (1) x 1
Respuestas
a.
1 1 f ( x h) f ( x ) x h 1 x 1 h h x 1 ( x h 1) ( x h 1)( x 1) h
h 1 ( x h 1)( x 1) h
1 . ( x h 1)( x 1)
209
1 1 1 1 f ( x) f (1) x 1 11 x 1 2 x 1 x 1 x 1
b.
2 ( x 1) 2( x 1) x 1
1 x 2( x 1) x 1
1 x 2( x 1)( x 1)
( x 1) 1 2( x 1)( x 1) 2x 2
16. Si f ( x) x 2 3x 5 , g ( x) 2 x 3
y
h( x )
1 . x
Determinar: a.
f g (x)
b
g g (x)
c
h g (x)
d.
g h (x)
Respuestas a.
f g (x) f ( g ( x)) f (2 x 3) (2 x 3) 2 3(2 x 3) 5 4 x 2 6 x 5
b.
g g (x) g ( g ( x)) g (2 x 3) 2(2 x 3) 3 4 x 9
c.
h g (x) h( g ( x)) h(2 x 3)
d.
g h (x) g (h( x)) g (1 / x) 2 1 3 3 3x
1 2x 3
x
x
210
17. Si f ( x) x 2 1 y g ( x) x 1 . Determinar: a.
f g (x)
b.
g f (x)
c.
f f (x)
Respuestas a.
f g (x) f ( g ( x)) f ( x 1) ( x 1) 2 1 x 1 1 x
b.
g f (x) g ( f ( x)) g ( x 2 1)
x2 11 x2 x
c.
f f (x) f ( f ( x)) f ( x 2 1) ( x 2 1) 2 1 x 4 2 x 2 1 1 x 4 2 x 2 2
18. Dada la función: f ( x) a.
2x 1 x 1 F ( x, h )
Determine la expresión mas simplificada:
f ( x h) f ( x ) h
Solución. 2·(x h) 1 2 x 1 f ( x h) f ( x ) x 1 ( x h) 1 F ( x, h ) h h
(2 x 2h 1)( x 1) ( x h 1)(2 x 1) ( x h 1)( x 1) h
3h 1 ( x h 1)( x 1) h
3 ( x h 1)( x 1)
.
211
b.
Determine la expresión mas simplificada:
f ( x) f (3) G ( x) x3
G ( x)
f ( x) f (3) x3
2 x 1 2(3) 1 3 1 x 1 x3
2x 1 5 x 1 4 x3
8x 4 5x 5 4( x 1) x3
3x 9 4( x 1) x3
3( x 3) 4( x 1)( x 3)
3 4( x 1)
212
Función Inyectiva e Inversa
1.
Para cada una de las siguientes funciones determine si son Inyectivas, en caso de serlo determine su función inversa 1.
f ( x)
x 1 x 1
2.
f ( x)
2x x2
3.
f ( x)
1 x
4.
f ( x)
4 x2 x2
5.
f ( x) x 2 1
6.
f ( x)
x 10
Soluciones: La 4 y la 5 no son funciones Inyectivas, luego sus inversas no son funciones. La 1 es inyectiva y su inversa es: f 1 ( x)
x 1 x 1
La 2 es Inyectiva y su inversa es: f 1 ( x)
2x 2 x
La 3 es Inyectiva y su inversa es: f 1 ( x)
1 x
La 6 si es Inyectiva y su inversa debe ser restringida: f
2.
1
( x) x 2 10, x 0
Se tiene una función f inyectiva tal que f (a b) f (a) f (b) . Se sabe además que f (2) 5 y que f
1
(3) 1 . Determine f (3) .
Solución: Como f
1
(3) 1 , entonces f (1) 3 , y además f (2) 5 ; como se definió que
f (a b) f (a) f (b) , entonces f (3) f (1 2) f (1) f (2) 3 5 2 .
213
3.
¿Por qué la inversa de la función f ( x)
2 1 x2
no es función?
Solución: Es fácil ver que f ( 2)
2 1 (2) 2
2 2 f ( 2) , luego f no es Inyectiva, por lo 1 4 3
tanto su inversa no es función.
4.
Dada las siguientes funciones f ( x)
3x 2 5x 1
y
g ( x)
3x 2 , determine la 4x 3
función compuesta ( g f )( x) , indicando su dominio. Solución:
3 35xx21 2 3x 2 4 35xx21 3 5x 1
( g f )( x) g f (x) g
Dom ( g f ) IR 15 , 11 3
5.
9 x 6 2 5 x 1 12 x 8 3 5 x 1
9 x 6 2(5 x 1) 12 x 8 3(5 x 1)
9 x 6 10 x 2 12 x 8 15 x 3
19 x 4 3 x 11
Dada la función f ( x)
2 7x 4x 3
. Determine para que valores de la variable x se
verifica que f (2 x 1) 2 . Solución: Evaluando la función f para f (2 x 1) , e igualando a 2 se tiene una ecuación, veamos como:
214
f (2 x 1) 2
2 7·(2 x 1) 2 4·(2 x 1) 3
9 14 x 2 8x 1 9 14 x 16 x 2 x
6.
Dada las funciones f ( x) a.
2 7x 4x 3
y g ( x)
11 30
2 3x , determine: 4x 7
Si la función f (x) es inyectiva. Solución: Se debe de demostrar que si f (a) f (b) , entonces a b . f (a ) f (b)
2 7a 2 7b 4a 3 4b 3 (2 7a)(4b 3) (2 7b)(4a 3) 8b 6 28ab 21a 8a 6 28ab 21b
8b 21a 8a 21b 29·a 29·b
ab
215
b.
La función inversa de g (x) . Solución: Procedemos a obtener la función inversa despejando x en términos de y en la ecuación funcional y g (x) : g ( x)
2 3x 4x 7
y
2 3x 4x 7
( 4 x 7) y 2 3 x
4 xy 7 y 2 3x 4 xy 3 x 2 7 y
x·(4 y 3) 2 7 y x
2 7y 4y 3
y
2 7x g 1 ( x) 4x 3
Vemos que la inversa de g (x) coincide con la función f (x) , es decir una es la inversa de la otra.
c.
La función h(x) tal que f h ( x) x Solución: Para que se verifique la condición f h ( x) x es necesario que h(x) sea la función inversa de f (x) , es decir h( x) f 1 ( x) , y como en el punto anterior probamos que g (x) es la inversa de f (x) , entonces se tiene que h( x) g ( x) , por tanto h( x) g ( x)
2 3x 4x 7
216
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
¿Cuáles de las siguientes relaciones determinan una función con fórmula
y f (x) ? Para las que lo sean, muestre y f (x) e indique su Dominio y su Recorrido
x, y IR S x, y IR R
2
2
2.
2 x 2 y 7 xy 5 y x 4 0
/
3x 2 6 y 9 4 y 2 8 x 16
Dadas las siguientes relaciones:
( x, y ) IR IR / ( x, y ) IR IR /
R1 ( x, y ) IR IR /
x2 y2 4 0
R2
4x 2 y 9 y 2x 1 0
R3
R 4 ( x, y ) IR IR /
3.
/
x3 x2 y y 0 y x
1.
Determine cuáles de ellas son funciones.
2.
Pruebe con un contraejemplo que no son funciones las que no lo sean.
Dadas las siguientes funciones reales: 1.
f ( x)
x2 4x 2 1
2.
f ( x)
2x 1 x3
3.
f ( x) x 2 4
4.
f ( x) x 2 25
5.
f ( x) 25 x 2 217
1
6.
f ( x)
7.
f ( x) x 3 1
8.
f ( x)
9.
f ( x) 2 x 3
10.
f ( x) x 2 3 x 2
11.
f ( x)
2x 7 x4
12.
f ( x)
4x 5 ( x 3)( x 9)
13.
f ( x)
14.
f ( x)
15.
f ( x) log 2 (5 x 16)
16.
f ( x) ln(5 3x 2 x 2 )
x 4
2 1 x 1
2x 5 3
x2
Determine para cada uno de los casos el Dominio y el Recorrido de la función.
218
4.
Determine los valores funcionales pedidos para cada una de las funciones que se indican:
5.
a.
f ( x) 3 x 7 ;
f (1)
f (2)
f (3)
b.
f ( x) x 2 2 x 3 ;
f (2)
f (0)
f (1)
c.
f ( x)
f (1)
f (3)
f (5)
d.
f ( x)
e.
f ( x)
f.
f ( x)
g.
f ( x)
3x 4 ; x4 4x 5 ; 3x 7
2x 8
x2 4 x
3x 4 ; x 2 1 x 2 1
f
f (1)
f (1)
f (2)
f (1)
f (0)
f (4)
f (0)
f (1)
f( 2)
f
1 2
f
5 4
4 5
;
;
Dada la siguiente función: f ( x) 3x 2 4 x 5 . Determine: a)
f ( x 1)
b)
f (2 x) ,
c)
f (3x 4)
d)
f (1 x)
219
6.
7.
Dada la función: f ( x)
2x 5 : x 1
a.
Calcule y simplifique la expresión:
f ( x h) f ( x ) h
b.
Calcule y simplifique la expresión:
f ( x ) f ( 2) x2
c.
Indique en que intervalos la función es positiva y negativa.
Determine:
f (a) ;
f ( a h) ;
f (h) ;
f ( a ) f ( h) ,
para
las
casos
que:
funciones: 1.
f ( x) 7 x 2
2.
f ( x) 4 x 2 x 7
3.
f ( x)
3x 5 x4
4.
f ( x)
Verifique
numéricamente
con
un
ejemplo
en
f ( x h) f ( x) , h
y
4x 5 ( x 4)( x 5)
todos
los
f ( a h) f ( a ) f ( h)
8.
Determine:
f (3) ;
f ( x h) ;
1.
f ( x) 5 x 21
2.
f ( x) x 2 2 x 5
3.
f ( x) 3 x 2 2 x 1
4.
f ( x)
6x 7 3x 2
5.
f ( x)
2x 1 5 3x
f ( x) f (3) , sí: x3
220
9.
Encuentre y simplifique las siguientes: F ( x)
f ( x h) f ( x ) ; h
G ( x)
f ( x) f (2) x2
,
expresiones en las funciones:
10.
11.
12.
1.
f ( x) 9 x 12
2.
f ( x) 4 x 2 x 25
3.
f ( x)
4.
f ( x)
5x 4 x6
7x 2 x 11
Dada la función f ( x) 7 x 4 . Determine: a.
La expresión simplificada: F ( x)
f ( x h) f ( x ) h
b.
La expresión simplificada: G ( x)
f ( x) f (3) x3
Dada la función:
f ( x) 2 x 2 7 x 5 . Determine:
a.
La expresión simplificada:
F ( x)
f ( x) f ( x) 2
b.
La expresión simplificada:
G ( x)
f ( x) f ( x) 2
c.
Pruebe que:
Dada la función:
.
f ( x) F ( x) G ( x)
f ( x)
2x 3 . 3x 2
Determine: a.
La intersección con los ejes de coordenadas.
b.
Para que valores de la variable se verifica que: f ( x) 0 .
c.
Para que valores de la variable se verifica que: f ( x) 1 .
221
13.
d.
Para que valores de la variable se verifica que: f ( x) 2 .
e.
Para que valores de la variable se verifica que: f ( x) 1 .
Dadas las siguientes funciones reales: 1.
f ( x)
2x 3x 5
2.
f ( x)
1 x3 2
3.
f ( x) 1 x 2
4.
f ( x)
5.
f ( x) x 4
6.
f ( x) 3 x 2
2x 2 x2 9
Determine para cada una de ellas: a.
Si son Inyectivas (demuestre si lo es) o no (busque un contraejemplo adecuado si no lo es).
b.
En caso de ser Inyectivas determine la función inversa que le corresponde indicando Dominio y Recorrido de la función y su inversa.
14. Sean las funciones:
f ( x)
5x 7 3 2x
,
h( x )
4 3x 4x 9
. Determine:
1
a.
. El dominio de la función f 1 h( x )
b.
. El recorrido de la función h 1 f ( x)
c.
Las raíces de la función simplificada F ( x)
d.
El valor de la variable x tal que f h( x) 1 2
1
f ( x) f (1) h( x) h(1)
.
222
e.
La función y g (x) tal que f 1 g h 1 ( x)
f.
Para que valores de la variable x , se verifica que h( x) f ( x)
2x 1 1 2x
y su dominio.
Función Lineal
15. i)
Dadas las funciones lineales: y=x
v) y =
ii) y = - x
1 x + 2 3
vi) y = -
2 x - 5 5
iii) y = 2x
iv)
y = - 2x
vii) f(x) = - 4x - 2
viii) v(t) = 3t + 4
Determinar:
16.
17.
a)
Pendiente y coeficiente de posición
b)
Intersección con los ejes de coordenadas
c)
Las que son crecientes y las que son decrecientes
d)
Gráfico de cada una de ellas
Determine la ecuación de la recta que: a)
Pasa por el punto A(1,5) y tiene pendiente 2
b)
Cuya pendiente es -3 y cuya intersección con el eje y es -2
c)
Pasa por los puntos A(4,2) y B(-5,7)
Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a L : 2x + 3y + 4 = 0 , y que pasa por (2, -1)
18.
Determine la ecuación de la recta paralela a L : 2x – y + 4 = 0 y que pasa por el punto P (-1,3).
223
19.
Dados los puntos: A(2,1) ; B(-3,4) ; C(5,-2) . Determine: a.
La ecuación de la recta que pasa por A, y es paralela a la recta que contiene a los puntos B y C.
b.
La ecuación de la recta que pasa por B, y es perpendicular a la recta que contiene a los puntos A y C.
20.
Dada la recta de ecuación: 4x + 5y – 7 = 0. Determine : a.
La pendiente de la recta
b.
La ecuación de la recta paralela a la recta dada y que pasa por el origen del sistema de coordenadas.
c.
La ecuación de la recta perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto (-1,2).
d.
La ecuación de la recta paralela al eje Y y que pasa por el punto de la recta dada cuya ordenada es -3.
e.
La ecuación de la recta horizontal y que pasa por el punto de la recta dada cuya abscisa es 1.
21.
Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a L 1 : x – 2y + 8 = 0 y que pasa por la intersección de las rectas L 2 : 3x – y + 24 = 0
y
L3: x –
2y +58 = 0
22.
Determine el valor de k para que la recta kx + (k + 1)y + 3 = 0, sea perpendicular a la recta 3x – 2y – 11 = 0
23.
(a – 5, a) es un punto que pertenece a la recta que pasa por el punto (1,-1) y que es perpendicular a L = 4x – 3y + 1 = 0. Determine el valor de “a”.
224
24.
El precio P de un notebook después de un año de uso es de US$940.-, después de cuatro años es de US$700.- Suponiendo que el computador se deprecia linealmente con el tiempo, determine :
25.
a)
La expresión del precio “P” en función del tiempo “t”
b)
El valor libro del notebook después de 5 años de uso.
c)
El precio en que fue comprado el notebook (nuevo)
El costo de producción de una cápsula de Ritalin LA , está determinado por la función C (q) = 800q + 120.000, donde $120.000.- es el costo fijo, y el costo variable es de $800.- por cada cápsula. El laboratorio vende cada cápsula en $1.200 a)
¿Cuál es el costo de producir 4.000 cápsulas?
b)
¿Cuántas cápsulas debe vender el laboratorio para obtener una utilidad de $52.000.000.-
Nota
Utilidad (U) = Ingreso (I) – Costo (C) Ingreso (I) = precio (p) cantidad (q)
26.
La temperatura T c medida en grados centígrados es una función lineal de la temperatura T f medida en grados Fahrenheit, y puede ser representada por la relación T c = m T f + n ,donde a)
m y n son constantes reales. Determine
Las constantes, si se sabe que el punto de congelación para el agua es 0° C y 32° F, y que el punto de ebullición es 100° C y 212° F
b)
27.
La temperatura en grados centígrados si la temperatura es de 104° F
Una vasija contiene inicialmente 10 cm 3 de un ácido, y se empieza a vaciar más ácido dentro de ella. Cinco segundos después ella contiene 30 cm 3 de ácido. Si Q representa la cantidad de ácido en la vasija y T el tiempo, y se sabe que Q varía respecto de T según la ecuación Q = aT + b
225
a)
Escriba la ecuación que relaciona a Q y T
b)
En este caso, ¿qué representa la pendiente?, ¿qué representa el coeficiente de posición?
c)
Suponga que la capacidad de la vasija es un litro. ¿en cuánto tiempo se llenará?
28.
Desde 1990 ha habido un incremento, aparentemente lineal, en el porcentaje de la población de alcohólicos en una ciudad de Chile. En 1990 el porcentaje fue de 9,5 %. En el año 2000 se elevó a 14,5 %. Si P es el porcentaje de alcohólicos en la población y T representa el tiempo en años desde 1990. a)
Determine la función lineal P(T).
b)
Interprete el significado de la pendiente
c)
Si el modelo de crecimiento sigue mostrando la misma tendencia, pronostique el porcentaje de alcohólicos que se espera tener para el año 2005 y para el bicentenario.
Nota Considere el año 1990 como año inicial, es decir, T = 0
29.
La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En 1995 fue de 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes. En el año 2000 fue de 33 por cada 1.000 personas. Supongamos que N denota la natalidad por cada 1.000 personas y T representa el tiempo medido en años desde 1995. a)
Determine la función lineal de natalidad.
b)
Interprete el significado de la pendiente.
c)
Si el modelo lineal se mantiene igual. ¿Cuál será la natalidad esperada para el año 2015?
30.
Los recursos “r” (en pesos) que cada día debe disponer un consultorio es una función lineal de de las “p” personas que en el se atienden diariamente. Se sabe que el Lunes 15 de Mayo para atender a 24 personas se dispondrá de $84.500 y
226
que el Martes 16 de Mayo , para atender a 35 personas se dispondrá de $117.500. a)
Determine la función lineal r(p).
b)
Si para el Miércoles 17 de Mayo se dispone de $72.500.-
¿Cuántas
personas se proyecta atender?
31.
Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumento de 1 % por encima de este nivel aumenta el riesgo coronario en un 2 % .Se encontró, para un grupo de edad particular, que el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol, es de 0,160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0,192. a)
Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol C.
b)
32.
¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?
A partir de la gráfica siguiente: a) Encuentre
la
ecuación
general de la recta L1 . b) Determine las coordenadas del punto P . c) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta L2
227
Función Cuadrática
33. Dadas las funciones cuadráticas: i)
y = 2x 2 - x
ii)
y = 2x - x 2 - 1
iii)
y = x2 - x
iv)
y = - x2 + x
v)
y = x - x2 + 6
vi)
y = x 2 - 4x + 6
vii)
y = x2 - 1
viii) y = - x 2 + 2x – 3
Determinar: a) Dominio y recorrido b) Intersección con los ejes c) Vértice y eje de simetría d) Gráfico e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
34. Determinar la función cuadrática a la cual pertenecen los puntos . P(1, 5 ) ; Q(0,3) , R( - 1, 9 ) 2 2 35.
Dada
la
función
cuadrática,
f ( x) 2 x 2 x ,
y su gráfica. Determine :
a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes de coordenadas. c)Eje de Simetría y Vértice de la parábola. d) Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento.
228
36.
Dada
la
función
f ( x) 2 x x 2 1 ,
y
cuadrática, su
gráfica.
Determine : a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes de coordenadas. c) Eje de Simetría y Vértice de la parábola. d) Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento.
37.
Determinar la función cuadrática representada por el siguiente gráfico.
229
38. ¿Para qué valor de la abscisa, la función cuadrática: y 3 2 x x 2 tiene un valor extremo (máximo o mínimo)?
39. Un investigador en fisiología ha decidido que la función r ( s ) s 2 12 s 20 ,es un modelo matemático aceptable, para describir el número de impulsos emitidos después que se ha estimulado un nervio. Aquí, r es el número de respuestas por milisegundo (ms)
s es el número de milisegundos transcurridos desde que
y
es estimulado el nervio. a)
¿Cuántas respuestas son de esperar después de 3 ms?
b)
Si hay 16 respuestas, ¿cuántos milisegundos han transcurrido desde que fue estimulado el nervio?
40. El ingreso mensual (en miles de pesos) por la venta de medicamento para mascotas, está dado por
x
unidades de un
I ( x) 50 x x 2 . El costo total está
dado por C ( x) 9 x 310 (en miles de pesos). Determinar: a)
el número de unidades que se debe vender para que el ingreso sea máximo, y a cuanto asciende ese ingreso.
b)
El rango de unidades que se debe vender para obtener utilidades.
41. En Física se demuestra que la distancia
d
recorrida por un cuerpo en su caída
libre en el vacío está dada por la función d v0 inicial del cuerpo,
t
1 2 gt , donde v 0 es la velocidad 2
es el tiempo de descenso y
g
es la aceleración
constante debida a la gravedad. Calcular el tiempo que necesita un cuerpo para descender 100 metros en el vacío si su velocidad inicial es de 18(
metros ) segundo
y
g
es 9,8(
metros ). segundo 2
230
42. Análisis realizados en un Laboratorio, determinaron que el costo de producción de aspirinas para niños está definido por la función C (q) 21q 2 46q 1888 , donde
q
es la cantidad de aspirinas para niños producidas (en miles). Si el precio está
determinado por
p (q ) 25q 158
¿Cuál debe ser la cantidad mínima a producir para obtener utilidades?
43. Supongamos que el número aproximado de bacterias en un cultivo en un tiempo
t
medido en horas, está dado por
N (t ) 5000 3000t 2000t 2
a)
¿Cuál es el número inicial de bacterias?
b)
¿Cuántas bacterias hay luego de una hora?
c)
¿En qué tiempo desaparece la población?
d)
¿En qué tiempo la población de bacterias es máxima?
44. La demanda mensual
d
de un cierto artículo al precio de
p
dólares por
unidad, está dado por la función d 1350 45 p . El costo de mano de obra y del material con que se fabrica este artículo es de US$ 5 por unidad, y los costos fijos son de US$ 2.000.- al mes. ¿Qué precio por unidad deberá fijarse al consumidor con el objeto de obtener una utilidad máxima mensual?
45. Un gallinero es atacado por una epidemia. A partir del instante en que se detectó el mal y se le empezó a atacar, la mortalidad diaria se dio de acuerdo a la siguiente ley: f (t ) t 2 30t 99 , donde t
son días y
f (t ) muertes diarias.
a)
¿Cuántos animales murieron el día que se detectó el mal?
b)
¿En qué día se produjo la mortalidad máxima?. ¿Cuánto fue?
c)
¿Cuánto tiempo duró la plaga desde el día en que se detectó?
d)
Si el modelo matemático rige al tiempo pasado, ¿cuántos días antes de detectarse la epidemia, esta había comenzado? 231
Función Exponencial
46. ¿Cuáles son las características generales de la gráfica de f(x) = a x , con a > 0?
47. Mencione tres aplicaciones de las funciones exponenciales.
48. Calcular el valor de x en las siguientes ecuaciones: a) x 5,21,5 b) x 2,8 4 c) x (2)1,1
49. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 81 3 x
e) 31-2x = 2,187
b) 5 100 x
f) (1/4) x = 2 3x+1
c) 4 6 4 x
g) 3x - 3x-1 + 3x-2 = 21
d) 25x – 100 * 5x = 3,125
h) (1/4) x – (1/2) x – 7/64 = 0
50. Representar gráficamente las siguientes funciones: a) y 1,1x b) y (0,8) x
232
51.
Dada la función exponencial: 1 y 2
x2
, y su gráfica.
Determine: a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes de coordenadas c) Ecuación de la asíntota. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
52. Dada la función exponencial: y 3 x
2
, y su gráfica.
Determine: a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes de coordenadas. c) Ecuación de la asíntota d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
233
53.
Dada la función exponencial: y 4(1 2 x ) 3
Determine: a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes. c) Ecuación de la asíntota. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
54. Suponga que el número de bacterias en un cierto cultivo se duplica cada hora. a) Escriba la ecuación que permita calcular el número de bacterias en el cultivo después de t horas, suponiendo que inicialmente el cultivo contiene
N0
bacterias. b) Si la población inicial es de 10 6 bacterias. ¿Cuántas bacterias hay después de 5 horas de iniciado el experimento?.
55. Un analista estima que las utilidades totales cada mes (en dólares) para una determinada compañía, se puede describir con la siguiente ecuación :
U ( p) 1000(0,10) 0,8 p , en la cual p es la cantidad gastada en publicidad. a) ¿Cuál será la utilidad cuando no se gaste en publicidad? b) ¿Cuáles serían las utilidades máximas que se podrían lograr? c) ¿Cuál será la utilidad, si se gastan US$20 en publicidad?
56. El Argón 39, radiactivo, tiene una vida media de 4 minutos, es decir, en 4 minutos la mitad de cualquier cantidad de Argón 39 se convertirá en otra sustancia debido a su desintegración radiactiva. Si se comienza con A0 miligramos de Argón 39. ¿Qué cantidad hay después de t minutos? 234
57. Se estima que el valor de reventa
v
de una maquinaria de laboratorio está
determinado por la expresión v 100.000e 0,1t , donde t es la antigüedad de la maquinaria. a) ¿Cuál es el valor original de la maquinaria? b) ¿Cuál será el precio de venta después de 5 años?. ¿Después de 10 años? c) ¿Cuánto tardará este bien de capital en devaluarse al 50% de su valor original?
58. La vida media de un material radiactivo utilizado en radioterapia es de 5,4 días. Esto significa que la radiactividad decrece a la mitad cada 5,4 días. Un hospital obtiene un nuevo suministro de 1.200 microcuríes ( ( Ci ) . ¿Qué cantidad de este material será todavía radiactivo después de 30 días?
59. La marcha de las ventas de la cadena de farmacias “z”, a través del tiempo, está descrita adecuadamente por la función
y 2(1,1) x
; donde x = 1 en Mayo de
2006, y la unidad de tiempo es un mes. Prediga las ventas para Diciembre de 2007
60. El número de cierto tipo de bacterias está dado por la ecuación Q Q0 2 t , donde
Q0
es el número inicial de bacterias, es decir, el número de bacterias cuando
t 0 y t el tiempo en horas desde que se anotó la cuenta inicial.
a) Si Q 200.000 cuando t 2 , encuentre Q0 b) Encuentre el número de bacterias que hay al cabo de 4 horas. c) ¿En cuánto tiempo Q se vuelve el doble de Q0 ? d) ¿En cuánto tiempo Q se vuelve 8 veces Q0 ?
235
Función Logarítmica
61. ¿Cuáles son las características generales de la gráfica de
f ( x) log b x
;con
b 0 , b 1
62. Mencione tres aplicaciones de las funciones logarítmicas
63. ¿Qué significa que loga x = b?
64. Dibujar la gráfica de
¿Cuánto vale log10 1000?
f ( x) ln x
65. Qué relación existe entre las gráficas de y = log2 e y = 2 x? Haga un esbozo gráfico.
66. ¿Cuánto vale el logaritmo de un producto? Si log3 = 0,4771 y log7 = 0,8454 ¿cuánto valdrá log 21?
67. ¿Cuánto vale log10n? Con este resultado, y sabiendo que log17 = 1,2304, hallar: a)
log 170
b)
log 17.000
c)
log 1,7
68. Calcular el valor de x en las siguientes ecuaciones: a)
x 5,21,5
j)
log 6 x 3
b)
x 2,8 4
k)
log 5 x 2,5
c)
x (2) 1.1
l)
log 7 3x 0,2
d)
x log 2 (1 / 64)
m)
log x 4
236
69.
e)
x log 6 6 0, 4
n)
log x 7,21
f)
x log12 144
ñ)
log x 3,2
g)
x 15,21,1
o)
log 2 (1 / 32) x
h)
x 1,001100
p)
x log 7 8
i)
0,5 5 2 x
q)
x log16 4
Dada la función Logarítmica: f ( x ) log( x 6)
, y su gráfica
Determine: a)
Dominio y Recorrido.
b)
Intersección con los ejes.
c)
Ecuaciones
de
las
asíntotas.
70.
Dada la función Logarítmica: f ( x ) log( x 2 4)
, y su gráfica
Determine: a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes. c)Ecuaciones de las asíntotas.
237
71.
Dada la función Logarítmica: f ( x) 1 log( x 4) log( x)
, y su
gráfica Determine: a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes. c) Ecuaciones de las asíntotas.
72.
Dada la función Logarítmica: f ( x) log
x2
, y su gráfica
Determine: a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes. c)Ecuaciones de las asíntotas.
73.
Determinar dominio, recorrido, intersección con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento, de decrecimiento y gráfico de las siguientes funciones: a)
y log(2 x 1)
c)
y 2 log( x 3) + 3
b)
y log 2 x 5)
d)
y log x - log( x 1)
238
74. Se cree que muchas clases de bacterias tienen un crecimiento exponencial según funciones de la forma
N (t ) N 0 e kt , donde :
N (t )
= número de bacterias en el tiempo t
N0
= número de bacterias en el tiempo t = 0
k
= constante de crecimiento (tasa porcentual de crecimiento)
Determine el periodo que se requiere para que una población inicial duplique su tamaño
75.
Un notebook cuesta $1.000.000.- y se deprecia a una tasa del 10% anual. ¿En cuánto tiempo se depreciará hasta un valor de $200.000? Use: V (t ) V0 (1 r ) t
76.
Un cultivo de la bacteria Escherichia coli está creciendo en un medio que consta de sales inorgánicas y glucosa. La población inicial es de 10 6
bacterias por
milímetro y crece a una tasa exponencial con una constante de desarrollo de
k 0,8
77.
a)
Determine la función de crecimiento exponencial.
b)
¿Cuál es el tiempo de triplicación?
Al momento de nacer su hijo, el señor Segura, desea invertir una cantidad suficiente para entregarle $12.000.000.-cuando el hijo tenga 18 años, con el propósito de usarlo en el pago de la carrera universitaria. ¿Qué cantidad será necesaria, si el dinero se invierte al 5%, compuesto trimestralmente. Use:
S A(1 i ) n
239
78. Una Isapre calcula que el número de sus afiliados
A(t )
, después de
t
años,
está dada por: A(t ) 100.000(0,04) 0,5t
79.
a)
¿Cuántos afiliados tiene inicialmente la Isapre?
b)
¿Cuántos afiliados tendrá después de 3 años?
c)
¿Al cabo de cuántos años triplicará el número sus afiliados?
d)
¿Cuál es el número máximo de afiliados que tendrá la Isapre?
Si c A(1 r ) n
. Demuestre que: n
log c log a , y r n c / a 1 log(1 r )
240
UNIDAD III Continuidad y Derivada de una Función. Aplicaciones
Conceptos básicos de límite, sólo del punto de vista geométrico
Continuidad de una función
Discontinuidad de una función
La derivada - Definición - Interpretación geométrica de la derivada
Reglas de derivación
Derivada de funciones conocidas: constante, identidad
Derivada de funciones, potencia, raíz cuadrada
Derivada de funciones exponencial y logarítmica
Derivada de una función compuesta
Aplicaciones
Funciones crecientes
Funciones decrecientes
Valores extremos de una función: máximos y mínimos
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos de una función
Concavidad. Aplicaciones
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos locales de una función
Puntos de inflexión. Aplicaciones
241
Introducción
Históricamente, el desarrollo del “cálculo” por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales. Cada problema está relacionado con la gráfica
y f (x) de una función dada.
El primer problema fundamental es ¿qué entendemos por la recta tangente a la curva
y f (x)
en un punto dado? La palabra tangente surge del latín tangents,”tocar”. Así,
una recta tangente a una curva es aquella que “sólo toca” a la curva. El segundo problema fundamental es encontrar el área de una región plana que está bajo la curva
y f (x)
Parecería que el problema de la recta tangente no está muy relacionado con las aplicaciones prácticas de las matemáticas, pero, como se verá más adelante, el problema de hallar la razón de cambio de una cantidad en relación con otra, equivale matemáticamente al problema geométrico de encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado sobre la curva. El descubrimiento de la relación entre estos dos problemas aceleró el desarrollo del cálculo en el siglo XVII y lo convirtió en una herramienta indispensable para resolver problemas prácticos. Los siguientes son algunos ejemplos de tales problemas.
Determinar la velocidad de un objeto
Determinar la razón de cambio de una población de bacterias con respecto del tiempo.
Determinar la razón de cambio de las ganancias de una compañía con respecto al tiempo.
Determinar la tasa de crecimiento (el número de personas que contraen una grave enfermedad por día) de la población infectada en el instante t .
El estudio del problema de la recta tangente condujo a la creación del cálculo diferencial, el cual se basa en el concepto de derivada de una función. El estudio del problema del área llevó a la creación del cálculo integral, el cual se basa en el concepto de antiderivada o integral, de una función. Tanto la derivada como la integral de una función se definen en términos de un concepto más fundamental : el límite.
242
1. Límite de una función
La presentación será más bien intuitiva que formal. Las ideas perfiladas aquí forman la base de un desarrollo más riguroso de las leyes y procedimientos del cálculo. He aquí una definición de límite que será suficiente para nuestros propósitos: Definición 1
Si los valores de la función
y f (x)
se aproximan más y más a algún
número real: L , siempre que la variable x se aproxima más y más a algún número: a , se dice que
L
es el límite de la función
cuando x tiende o se aproxima a a , y se escribe:
En términos geométricos: y f (x) ,
de la función:
lim f ( x) L ,
xa
f
lim f ( x) L
xa
significa que el valor de la ordenada del gráfico
tiende al número real: L , cuando x tiende o se aproxima a:
a . Los límites describen el comportamiento de una función cerca de un punto
particular y no necesariamente en el punto mismo.
Ejemplo
Evalúe:
lim
x 1
5x 2 2 x 7 . Vemos x 1
que la función no esta definida para:
x 1,
pero utilizando el
álgebra de funciones se puede simplificar el problema de la siguiente forma. lim
x 1
( x 1)(5 x 7) 5 x 2 + 2x 7 lim x 1 x 1 x 1
lim (5 x 7) 5(1) 7 12 x 1
La cancelación del factor: ( x 1) es legítima ya que la definición pasa por alto el comportamiento preciso en: x 1 . Por lo tanto no se ha dividido por cero.
243
Una clara comprensión del significado de la palabra límite. Esta dada en una segunda definición: Definición 2
Decir que:
lim f ( x) L ,
xa
Significa que cuando x está cerca de: a , pero
diferente de: a , la función
y f (x)
esta cerca del número real:
L.
Una definición formal del concepto de Límite es la siguiente: Definición 3
y f (x)
Sea: de
f
una función. Dado:
a IR ,
en el punto: a , si para cada:
0 xa
, entonces:
f ( x) L
decimos que: 0,
existe
L
es el límite
0,
tal que si:
. En tal caso escribimos: lim f ( x) L . x a
El siguiente teorema garantiza que si él limite existe este es único. Teorema
Si el límite de una función en un punto existe, dicho límite es único
2.
Propiedades de los Límites
Los límites obedecen a leyes algebraicas. Son importantes porque simplifican el cálculo de estos. Las dos propiedades siguientes tratan sobre los límites de dos funciones lineales elementales a partir de las cuales pueden ser construidas otras funciones algebraicas:
2.1. El límite de una función constante Si: y f ( x) k , función constante, entonces: Lim f ( x) Lim k k . x a
x a
El límite de una función constante es la constante misma. En términos geométricos, esto significa que la altura del gráfico de la función constante: f ( x) k , tiende al valor k cuando x tiende a a .
244
Lim 8 8
Ejemplo
x 3
La próxima propiedad establece que la altura de la función identidad: f ( x) x , tiende hacia: a .
2.2 El límite de la función identidad Si: f ( x) x , función identidad, entonces: Lim f ( x) Lim x a . x a
x a
Como: f ( x) x , es evidente que f (x) tiende a a cuando x tiende a a Ejemplo
Lim x 5
x 5
2.3. El límite de una suma, resta y producto Si Lim f (x) y Lim g (x) , existen, entonces: x a
x a
Lim f ( x) g ( x) Lim f ( x) Lim g ( x)
x a
x a
x a
Lim f ( x) g ( x) Lim f ( x ) Lim g ( x)
x a
x a
x a
Lim f ( x) g ( x) Lim f ( x ) Lim g ( x)
x a
x a
x a
Esto es, el límite de una suma (o diferencia o producto) es la suma (o diferencia o producto) de los límites individuales.
Ejemplo
2 2 Lim ( 7 x 5 x 4 ) Lim 7 x Lim 5 x Lim 4 x 1
x 1
x 1
x 1
2.4. El límite de una constante por una función Si: y k f (x) , constante por función, entonces: Lim k f ( x) k Lim f ( x) . x a
x a
245
Ejemplo
2 2 Lim ( 7 x 5 x 4 ) 7 Lim x 5 Lim x Lim ( 4 )
Ejemplo
Lim 7 f ( x) 5 g ( x) 7 Lim f ( x) 5 Lim g ( x )
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
2.5. El límite de la función lineal Si: f ( x) mx n , función lineal, entonces: Lim f ( x) Lim ( mx n ) ma n . x a
y mx n
Observemos que la función lineal:
tiene como gráfica una línea recta, con
pendiente m y coeficiente de posición n . Cuando: e
y ma n .
Cuando
x
tiende a
a,
x a
el punto
xa, ( x, y )
y siempre está definida sobre la gráfica de esta
función se acerca cada vez más al punto (a, ma n) . Esto es, el valor de y está cada vez más cerca de:
ma n , como se estableció en
la propiedad. O sea para calcular el límite de una función lineal se calcula simplemente sustituyendo x por a. Lim ( 3x 7 ) 3 2 7 1
Ejemplo
Ejercicio:
x 2
Calcular: Lim ( 5 x 11 ) x 3
2.6. El límite de un cuociente Si:
Lim f ( x)
x a
y
Lim g ( x) ,
x a
existen,
y
si
Lim g ( x) 0
x a
entonces
Lim f ( x) f ( x) x a Lim x a g ( x) Lim g ( x ) x a
Esto es, si el límite del denominador no es cero, el límite de un cuociente es el cuociente de los límites individuales.
246
Ejemplo
5 2x Lim x 3 x 7
Lim ( 5 2 x )
x 3
Lim ( x 7 )
x 3
5 2(3) 11 (3) 7 4
2.7. El límite de la función Polinomial Si: y f ( x) , es una función Polinomial y a es un número real, entonces: Lim f ( x) f (a ) .
x a
La anterior permite encontrar limites de funciones Polinomiales mediante la sustitución de x por a a lo largo de toda la fórmula de la función.
3 2 Lim ( 6 x 7 x 5 x 4 ) 6 1 7 1 5 1 4 0
Ejemplo
Ejercicio
x 1
Calcule: Lim ( 3x 5 5 x 4 8 x 3 4 x 2 7 x 9 ) x 2
2.8. Límite de una Potencia Si: Lim f ( x) , existe, entonces Lim f ( x) x a
x a
r
Lim f ( x) x a
r
, para todo número
real r.
Esto es, el límite de una potencia es la potencia del límite.
Ejemplo
4
4 4 Lim 5 x 8 Lim (5 x 8) 5(2) 8 16 x 2 x 2
2.9. Límite de la Función Compuesta
Si: Lim f ( x) L , y Lim g ( x) g ( L) , entonces: Lim g ( f ( x)) g Lim f ( x) . x a x a x a x L
247
2.10. El límite de una función irracional Si: y n f ( x) , función irracional, entonces: Lim n f ( x) xa
n
Lim f ( x) xa
.
Lo cual significa, que el límite de la enésima raíz principal de una función positiva es igual a la enésima raíz principal del límite de esa función.
Ejemplo:
Lim
3
x 5
3.
3x 2 4 x 9
3
2 Lim (3x 4 x 9) 3 75 20 9 3 64 4 x 5
Cálculo de Límites
Para él calculo de límites de funciones se utiliza la siguiente propiedad de la sustitución: Si y f (x) es una función polinomial o una función racional, entonces Lim f ( x) f (a ) ,
x a
siempre que el denominador para la función racional en
x a , no sea cero.
Ejemplo 1
a.
b.
2 2 lim ( 3x 6 x 2 ) 3(3) 6(3) 2 11
x 3
3x 2 2 x 4 Lim x 2 x4 7x
2 3(2) 2(2) 4 4 2 2 (2) 4 7(2)
En el caso de que y f (x) sea una función racional no definida para x a , se utiliza el siguiente resultado:
248
3.1. Funciones equivalentes o que coinciden salvo en un punto Sea x0 un número real y sean f y g dos funciones equivalentes tales que f ( x) g ( x) para todo x distinto de: x 0 en un intervalo abierto I que contiene a x 0 . Si límite de g (x) existe y es L cuando x tiende a x 0 , entonces también existe el límite de f (x) cuando x tiende a x 0 , y además Lim f ( x) Lim g ( x ) L x x0
Ejemplo 2
x x0
Calcúlese el siguiente límite
Lim x 3
x 3 27 x2 9
.
Solución: En este caso no se puede aplicar la propiedad del limite de un cuociente, ya que la función f no está definida para x 3 . Sin embargo, factorizando tanto el numerador como el denominador obtenemos la función equivalente, que es: f ( x)
x 3 27 x 9 2
( x 3)( x 2 3x 9) x 2 3x 9 g ( x) f e ( x) ( x 3)( x 3) x3
Al calcular el límite de y f (x) cuando x tiende a 3, estamos considerando valores cercanos a 3, pero distintos de 3, y como f ( x) g ( x) para toda x 3 , tendremos: lim f ( x) lim
x 3
Nota 1
x 3
x 3 27 x2 9
lim
x 3
27 x 2 3x 9 ( x 3)( x 2 3 x 9) lim g ( x) lim x 3 x 3 6 x3 ( x 3)( x 3)
En el ejemplo anterior inicialmente el denominador es cero para x 3 , en dicho caso hemos reducido la fracción a una cuyo denominador no sea igual a cero en x 3 , al cancelar factores comunes en el numerador y denominador. En este caso podemos encontrar el límite al sustituir x 3 en la fracción (función equivalente) simplificada.
Nota 2
Puede demostrarse que si p(x) es un polinomio y que sí p( x c) 0 , entonces ( x c) es un factor de p(x) . Por lo tanto, si el numerador y el
249
denominador de una función racional son ambos nulos para x c , entonces: ( x c) es un factor común tanto del numerador como del denominador.
Ejemplo 3
Calcúlense los siguientes límites: a) b)
lim
x 1
lim
x 5
( x 1)( x 3) ( x 3) 1 3 x 2 + 2x 3 lim lim 2. 2 11 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 ( x 1) x 1 x 2 25 ( x 5)( x 5) lim lim ( x 5) 5 5 10 x 5 x 5 x5 x5
La propiedad anterior se utiliza cuando la función equivalente se busca por la técnica de la factorización y cancelación; y también en la búsqueda de la función equivalente por racionalización y cancelación. Ejemplo 4
f ( x)
Dada la función a.
lim
x 3
2x 1 x 1
. Obtener los siguientes límites:
f ( x ) f (3) x 3
Solución: f ( x ) f (3) lim x 3 x 3
lim
x3
lim
x3
lim
x3
lim
2x 1 5 x 1 4 x3
8x 4 5x 5 4( x 1) x3
3x 9 4( x 1) x3
lim
3( x 3) 4( x 1)( x 3)
lim
3 3 4( x 1) 16
x3
x3
x3
2 x 1 2(3) 1 3 1 x 1 x3
250
b.
lim
h 0
f ( x h) f ( x ) h
Solución. f ( x h) f ( x ) lim lim h0 h0 h
lim
h0
(2 x 2h 1)( x 1) ( x h 1)(2 x 1) ( x h 1)( x 1) h
lim
3h 1 ( x h 1)( x 1) h
lim
3 ( x h 1)( x 1)
h0
h0
3 3 . ( x 0 1)( x 1) ( x 1) 2
Ejercicio 1 Si f ( x) a.
1 . x 1
lim
h 0
Ejercicio 2 Si f ( x) = a.
2·(x h) 1 2x 1 ( x h) 1 x 1 h
lim
x 3
Determinar:
f ( x h) f ( x ) h 3x 5 2 x
b.
lim
x1
f ( x) f (1) x 1
. Obtener los siguientes límites:
f ( x) f (3) x3
b.
lim
h0
f ( x h) f ( x ) h
3.2. Creación de la función equivalente por conjugado
La búsqueda de la función equivalente también se puede hacer por racionalización, factorización y cancelación. Ejemplo 1. Calcúlese el siguiente límite
Lim x2
4x 1 3 x 2
.
No podemos hallar este límite sustituyendo por x 2 , pues obtenemos una forma indeterminada, y no es obvio cuales son los factores comunes del numerador y 251
denominador. Sin embargo, podemos crear un factor común al multiplicar el numerador y denominador por el conjugado del numerador que en este caso es
4x 1 3 ,
por lo
tanto:
4x + 1 3 ( 4 x + 1 - 3)( 4 x + 1 3) lim x 2 x 2 ( x 2)( 4 x + 1 3)
lim
x2
lim
x 2
lim
x 2
lim
x 2
4x 1 9 ( x 2)( 4 x + 1 3)
4( x 2) ( x 2)( 4 x + 1 3) 4 ( 4 x + 1 3)
Ejemplo 2
2 3
f ( x)
Dada la función: a)
lim
f ( x) f (1) x 1
lim
f ( x h) f(x) h
x1
b)
h0
3x 1 Obtener los siguientes límites:
Solución: Para a) lim
x 1
lim
(
lim
x 1
lim
x 1
x 1
x 1
3 x + 1 2)
3 x + 1 - 2 )( ( x 1)(
x 1
lim
3x 1 2
f ( x ) f (1) lim x 1 x 1
3 x + 1 2)
3x 1 4 ( x 1)(
3 x + 1 3)
3( x 1) ( x 1)(
3 x + 1 2)
3 (
3 x + 1 2)
3 4
252
Para b) lim
h 0
lim
3( x h) 1 h
h 0
lim
h 0
lim
h 0
lim
h 0
3( x h) 1
f ( x h) f(x) lim h 0 h
h
h
h 3( x h) 1
3( x h) 1
3( x h) 1 (3x 1) 3x + 1
3x +1
3h 3( x h) 1 3
3( x h) 1
3x + 1
3( x h) 1
3x + 1
3x + 1
3x + 1
3x + 1
3
2 3x + 1
3x 2 7 x 2
Ejercicio 1 Dada la siguiente función f ( x) Calcúlese el siguiente límite
1
.
5x 9
Lim f ( x) . x 2
Indicación Al evaluar directamente dicho límite se obtiene una forma indeterminada, no es posible obtener este límite por sustitución, pero en este caso bastará con racionalizar el dominador por su conjugado y simultáneamente factorizar el numerador, donde una de los factores será ( x 2) . Ejercicio 2 Calcule Lim
x 1
2
7 3x
5x 4 3
.
Indicación Nuevamente no es posible obtener este límite por sustitución, pero en este caso bastará con racionalizar tanto en numerador como el dominador por sus respectivos conjugados y posteriormente factorizar por ( x 1) . Es decir considere la siguiente expresión algebraica: 2
7 3x
5x 4 3
2
7 3x
5x 4 3
2
7 3x
2
7 3x
5x 4 3 5x 4 3
253
Ejercicio 3 Si f ( x) 4 x 1 . Determinar: a.
lim
h 0
f ( x h) f ( x ) h
Indicación Construyamos la fracción algebraica
f ( x h ) f ( x ) h
, racionalicemos su numerador y se
calcula el límite. b.
lim
x 2
f ( x) f (2) x 2
Indicación Se construye la fracción algebraica
f ( x ) f ( 2 ) x2
, se racionaliza su numerador y se calcula el
límite.
3.3. Creación de un Límite por cambio de variable Ejemplo 1
Calcúlese el siguiente límite
Lim x 0
x 1 1 3
x 1 1
.
Solución En este caso consideremos la sustitución x 1 u 6 , tal que si x 0 , entonces u 1 ,
y además las igualdades que se obtiene a partir de la sustitución
x 1 u3 , Lim x0
y
x1 1 3
x 1 1
3
x 1 u2 ,
Lim u 1
de donde se tiene que:
u3 1 u2 1 Lim
(u 1)(u 2 u 1) (u 1)(u 1 )
Lim
u2 u 1 3 u 1 2
u 1
u 1
4
Ejercicio 1: Calcular el siguiente límite
Lim x 0
x 1 1
1
3
x 1
.
254
4.
Límites Laterales
En esta sección extendemos los conceptos de límite a límites laterales o por un lado, los cuales son límites cuando x tiende a a desde un lado, ya sea por la izquierda o por la derecha.
Ejemplo 1
La función: f ( x)
x x
tiene límite 1 si x tiende a cero por la derecha y, 1
si x tiende a cero por la izquierda, es decir lo anterior se puede anotar: lim f ( x) 1
x 0
y lim f ( x) 1 ; o sea tenemos límites distintos por la derecha y x 0
por la izquierda en el origen.
4.1. Definición informal de Límites Laterales Definición 1
Sea la función y f (x) definida en un intervalo abierto de la forma: a, b donde: a b . Si f (x) esta arbitrariamente cerca de LD cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, diremos que LD es el límite por la derecha de f en a , y escribiremos: lim f ( x) LD x a
Definición 2
Sea la función y f (x) definida en un intervalo abierto de la forma: c, a donde: c a . Si f (x) esta arbitrariamente cerca de LI cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, diremos que LI es el límite por la izquierda de f en a , y escribiremos: lim f ( x) LI x a
Nota
Los límites laterales tienen todas las propiedades dadas anteriormente: El límite por la derecha de la suma de dos funciones es la suma de sus límites por la derecha, y así, en general.
Ejemplo 2
Dada la función: a)
lim f ( x)
x 1
,
f ( x) =
x2 x 1 1 x 1
b)
. Obtener los siguientes límites: lim
x 1
f ( x)
255
Solución: Para a) Para b)
lim
x1
lim
x1
x 2 ( x 1) 1 lim x 1 x 1
x2 x lim x1 x 1
x( x 1) lim x 1 x 1 x 1
x2 x 2 ( x 2)( x 1) x 2 ( x 1) 1 lim lim lim ( x 2) 3 x1 x1 x1 x 1 x 1 x 1
El siguiente gráfico, nos permite visualizar la situación obtenida al calcular los límites pedidos, vemos que los límites laterales son distintos:
Hemos obtenido diferentes resultados al calcular los límites laterales para la función dada. La relación entre límites laterales y el límite de una función se establece en la siguiente proposición: Una función y f (x) tiene límite cuando x tiende a a si y sólo si tiene
Proposición
límites laterales por la derecha y por la izquierda en ese punto y estos son iguales, es decir: lim f ( x) L
x a
Ejemplo 3
Dada la función:
lim f ( x) L
xa
x 2 2 x 1, si x 2 f(x) = , 5 2 x , si x 2
y
lim f ( x) L
x a
Determine: lim f ( x) . x2
Solución: En este caso: lim x 2
5 2x 1 , y
lim ( x 2 2 x 1) 1 , luego existe el límite y:
x 2
lim f ( x) 1
x 2
256
Ejemplo 4
Calcular:
lim
x 3
x2 9 x3
Solución En este caso: lim
x 3
x2 9 x3
lim
x 3
( x 3)( x 3) , pero: x3
x 3, x 3 x3 , ( x 3), x 3
entonces hay que calcular lo siguiente: Limite lateral derecho: lim x 3
( x 3)( x 3) x3
lim x 3
( x 3)( x 3) ( x 3)
lim ( x 3) 6 x 3
Limite lateral izquierdo: lim
x 3
( x 3)( x 3) x3
lim x 3
( x 3)( x 3) ( x 3)
lim ( x 3) 6 x 3
Como: lim f ( x) lim f ( x) , se tiene entonces que: lim f ( x) no existe. x 3
x 3
x 3
En el gráfico de la función, podemos visualizar que el limite en x 3 no existe.
257
Ejercicio 1 Dada la función:
f ( x) =
Ejercicio 2 Dada la función:
f ( x) =
5.
x7 x7
. Obtener el siguiente limite:
x 2 x 5 25 x5
lim f ( x) x7
. Obtener el siguiente limite: lim f ( x) x5
Continuidad
En la práctica, la mayoría de las funciones de variable real tienen dominios que son intervalos o uniones de intervalos separados, y lo natural es restringir el estudio de la continuidad a funciones con estos dominios. Esto nos hace considerar sólo tres clases de puntos: puntos interiores (puntos que están en un intervalo abierto del dominio), extremos izquierdos y extremos derechos.
Definición 1
Una función f (x) es continua en un punto x a de su dominio, sí: lim f ( x) f (a) xa
Definición 2
Una función f es continua en un extremo izquierdo del intervalo:
a, b , sí:
lim f ( x) f (a)
x a
258
Definición 3
Una función f es continua en un extremo derecho del intervalo:
a, b , sí:
lim f ( x) f (b)
xb
5.1. Criterio de Continuidad Teorema
Una función f (x) es continua en: x a , si y sólo si se cumplen las tres condiciones: a) b) c)
f ( x a ) Existe. lim f (x) Existe.
xa
lim f ( x) f (a)
xa
Ejemplo 1. Determine si la siguiente función es continua en: x 1 : x 1 , si x 1 5x 1 2 3x 1 si x 1 f ( x) , x3 2 3x 2 2 x 1 , si x 1 2 2x x 3
Solución: Por demostrar que: lim f ( x) f (1) .
a.
x 1
Entonces sí: x 1 , se tiene que: f (1) b.
3 1 1 4 2 1 3 5
.
Para calcular: lim f ( x) , se deben de considerar los siguientes límites x1
laterales: Limite lateral derecho: lim
x 1
lim x 1
x 1 5x 1 2 5x 1 2 5
lim x 1
( x 1) 5 x 1 2 5x 1 4
lim x 1
( x 1) 5 x 1 2
5( x 1)
4 5
259
Limite lateral izquierdo:
lim
x 1
( x 1)(3x 1) 3x 2 2 x 1 lim 2 x 1 ( x 1)(2 x 3) 2x x 3
c.
lim x 1
(3 x 1) (2 x 3)
4 5
Como: lim f ( x) lim f ( x) , se tiene entonces que: lim f ( x) si existe x 1
x 1
y además: lim f ( x) f (1) x 1
4 5
x1
. Por lo tanto la función dada es continua en:
x 1.
Ejercicio 1
x 2 x 2, si x 2 Determine sí la función: f ( x) si x 2 0, 5 x 1 3, si x 2
Ejemplo 2
Determine los valores de las constantes a y b de modo que la función sea
es continua en x 2
continua en todo IR: f(x) =
x 2 ax , si x < - 2 2ax 5b , si - 2 x 5 4b - 7 x , si x > 5
Solución Para que la función f sea continua en. x 2 , Tiene que suceder que: lim f ( x)
x 2
lim f ( x)
x 2
(1)
Para que la función f sea continua en. x 5 , Tiene que suceder que: lim f ( x)
x 5
lim f ( x)
x 5
(2)
De la ecuación (1) se tiene: lim ( x 2 ax) x 2
4 2a 4a 5b
lim (2ax 5b) , dé donde:
x 2
(3)
De la ecuación (2) se tiene: lim (2ax 5b) lim (4b 7 x) , dé donde: x 5
10a 5b 4b 35
x 5
(4)
260
Las ecuaciones (3) y (4) permiten obtener los valores de a y b buscados resolviendo el sistema de ecuaciones asociado: 4 2a 4a 5b 10a 5b 4b 35
y b Resolviendo el sistema se obtiene que: a 91 8
15 4
Ejercicio 2 Determine los valores de las constantes a y b de modo que la función sea continua en todo IR: 3 x 3 4ax , si x < 1 f(x) = ax 5b , si - 1 x 2 2 si x > 2 2 x 5b ,
Solución: Indicación: Los valores de a y b buscados se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente: 3 4a a 5b 2a 5b 8 5b
De donde: a
7 6
y b
17 30
, hacen que la función f sea continua en todo IR .
5.2. Reglas de Continuidad Teorema
Si las funciones: y f ( x) e y g ( x) son continuas en: x a , entonces las siguientes funciones son continuas en: x a : 1.
f g, f g , f g.
2.
k f , donde k es cualquier constante.
3.
f : g , siempre que g (a) 0
5.3. Continuidad de polinomios y funciones racionales Teorema:
Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto de su dominio, es decir donde el denominador es distinto de cero.
261
Ejemplo 1
La función: f ( x)
es continua x IR 2, 1 , ya que en: x 1 y x 2
x 2 x 1 x2 x2
se anula el denominador.
5.4. Continuidad de la función compuesta Si una función f ( x) es continua en: x a , y si la función g ( x) es continua
Teorema:
en f (a) , entonces ( g f )( x) es continua en: x a .
Ejemplo 1
La
5 2 x 0 entonces: x
6.
f ( x)
función: 5 2
5 2x
es
continua
x ,
5 2
,
ya
que
si:
.
Límite en el Infinito
El límite de una función cuando su variable crece sin cota (llamado a veces límite en el infinito) puede dar información útil en situaciones practicas. Por ejemplo, si la variable representa el tiempo, dicho límite describe que le sucederá a la función “a la larga”. El propósito de lo que sigue es mostrar algunas técnicas de cálculo que pueden usarse para hallar el límite de una función cuando su variable crece sin límite.
Definición 1
El símbolo
se lee “el límite de:
Lim f (x)
x
f ( x) ,
cuando
x
infinito” y representa el comportamiento de la función
f ( x)
crece sin límite. Si
L,
f ( x)
tiende a un número real finito:
tiende al cuando
x
se escribe:
Lim f ( x) L
x
Definición 2
Si:
f (x) ,
crece o decrece sin límite, se escribe:
Lim f (x) ,
x
o bien:
Lim f (x)
x
Para referencia, este es un resumen de algunos límites importantes que debiera conocer, para potencias de:
x,
si
n 0:
262
6.1. Límite de Funciones Básicas Proposición
Lim x n
Proposición
Lim
x
Ejemplo 1
Lim
x
1 x
n
0
x
para toda
El siguiente límite
1 x
Lim
x
n 0,
con tal que:
no existe porque
1 xn
x
1 xn
0
esté definida para
x 0.
no esta definida cuando:
x 0.
Nota
El límite de un polinomio cuando x crece sin límite esta determinado por su término de mayor grado, que crece o decrece más rápidamente que los términos de menor grado.
Si:
y f ( x) ,
es una función Polinomial, entonces:
n Lim f ( x) Lim a n x
x
x
, con
an 0 .
Esto es, para hallar el límite en el infinito de un polinomio, basta tomar el límite del término de mayor grado. Un camino para hallar el límite en el infinito de una función racional es comparar primero los grados del numerador y del denominador y dividir numerador y denominador por
x
elevado al mayor de los grados. Esto reducirá el problema a uno en el que la k xn
mayoría de los términos son de la forma:
, que tienden a cero cuando x tiende a
infinito 3x 2 5 x 7
Ejemplo 2
Determine:
Ejemplo 3
x2 1 Determine: Lim 3 x x 4 x
Lim
x
4x 8x 2
5 x
4
8 x
3 Lim
x
Lim
x
1 x
1
1 x3 4 x2
7 x2
3 00 3 40 4
00 0 0 1 0 1
263
Ejemplo 4
2x 8 x
Determine: Lim x
x 2
Lim
x
x2 4 x4
8 x
x
1 4x2
Lim
Lim x
Lim
Ejemplo 5
Determine: Lim
Ejemplo 6
Determine: lim
Ejemplo 7
x 2 ( x 2 1) Determine: lim x x 2 1 lim lim 2
7.
x 4x 2
x
5x 7
x
16 x 1 2
5
lim
16
x
x
x4
x
x
x
7 x 1 x2
x
1 x
2
1 x2
4 4 x
1
8 x
0 2 0
04 1 0
2 2 1
5 . 4
x
x 1
1 x
x2 1
lim
x 1
1 x
1
1 x2
=0
La Derivada
La derivación es una técnica matemática de excepcional poder y versatilidad. Es uno de lo dos conceptos centrales en la rama de las matemáticas llamada cálculo y tiene una variedad de aplicaciones que incluyen el esbozo de curvas, la optimización de funciones y el análisis de ritmos de cambio.
Definición:
Sea
y f ( x)
una función dada. La primera derivada de la función
respecto a la variable:
x,
que se escribe por:
f ' ( x) ,
f
se define mediante el
siguiente límite, si este existe: f ' ( x) lim
h 0
Nota 1
El dominio de: y f ( x)
f ' ( x) ,
f ' ( x)
es el conjunto de todos los puntos en el dominio de
existe, diremos que
diferenciable en:
Nota 2
f ( x h) f ( x) h
para los cuales existe el límite, puede ser menor que el dominio de:
f ( x) . Si
x
f ( x)
con
tiene derivada o que es
.
A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación de calcular la derivada de una función se denomina derivación o
264
diferenciación. Si la derivada de una función existe en un punto particular del dominio de la función: f ( x) , decimos que f es diferenciable en tal punto. La derivada independiente
f ' ( x) de
la función f ( x) con respecto a la variable
se denota también por:
x
y ' , D x y, D x f ,
df dx
dy dx
,
, cada una de
ellas indica exactamente lo mismo. Debe notarse que la primera derivada de una función con respecto a la variable de la variable
es en general, otra función también
x
y debe de ser evaluada para aquellos valores particulares
x
que interesan.
Nota 3
La notación:
dy dx
representa un solo símbolo y no deberá interpretarse como
el cociente de las cantidades dy dx
y
dy
dx .
A fin de ampliar la notación, note que:
indica la derivada de y con respecto a
independiente:
x
si
C
x
con respecto a
dC dq
. La expresión
x
si
y
es una función de la variable
denota la derivada de
es una función de la variable independiente: t
si
x
q;
dx dt
con respecto a
C
q
indica la derivada de
es una función de la variable independiente: t .
7.1 Interpretación Geométrica Sí en el límite de la definición anterior consideramos que: x x0 h , entonces: h x x0 y observamos que: x x0 , cuando: h 0 . Lo anterior nos permite definir el concepto de pendiente de una recta tangente a una curva de ecuación: coordenadas:
Definición
( x0 , f ( x0 )) ,
Sea
y f ( x)
en el punto de
del modo siguiente:
y f ( x)
una función continua en:
x0 .
La pendiente de la recta
tangente a la curva dada por la función coordenadas:
( x0 , f ( x0 )) ,
que se escribe por:
f
en el punto de
f ' ( x0 ) m( x0 ) ,
se define
mediante el siguiente límite, si este existe: f ' ( x0 ) lim
x x0
f ( x ) f ( x0 ) m( x0 ) x x0
265
Dada la función: f ( x) 3x 2 4 x . Calcule el valor de la pendiente de la función
Ejemplo
en el punto: 1, f (1) , o sea, se debe de obtener:
m(1) f `(1)
La Diferenciabilidad implica la Continuidad: Si una curva tiene tangente en un punto, la curva no puede dar un salto. La formulación precisa de este hecho es un teorema muy importante: Proposición
Nota 4
f ' ( x x0 ) ,
Si existe:
entonces la función
f
es continua en:
Los dos casos en los cuales una función es continua en diferenciable en
x x0
x x0
x x0 .
pero no
se presentan cuando la gráfica de la función presenta:
desvíos bruscos o puntas y cuando existen tangentes verticales. Así, la continuidad no garantiza la derivabilidad.
f ( x)
Ejemplo Dada la función:
3x 1
Obtener: f `( x) lim
a) La derivada de la función, es decir:
h0
f ( x h) f(x) h
b) El valor de la pendiente de la función en el punto: 1, f (1) , es decir, se debe de calcular:
Para a) lim
h0
lim
h0
lim
h0
h0
h
h
h
donde:
3x + 1
3( x h) 1
3x +1
3x + 1
3h 3( x h) 1 3
3( x h) 1
Por lo tanto si:
3x + 1
f ( x)
x1
f ( x) f (1) x 1
3x + 1
h
3( x h) 1
3( x h) 1
3( x h) 1 (3 x 1)
m(1) f `(1) lim
3( x h) 1
f ( x h) f(x) lim h h0
3( x h) 1
h0
lim
lim
m(1) f `(1)
3x + 1
3x + 1
3
2 3x + 1
3x 1
, entonces:
f `( x)
3 2 3x +1
266
Para b) lim
(
x1
lim
x1 ( x
lim
x 1 ( x
lim
x1 (
lim
x1
3x 1 2
f ( x) f (1) lim x 1 x1
x 1
3 x + 1 - 2)( 3 x +1 2) ( x 1)( 3 x + 1 2) 3x 1 4 1)( 3 x + 1 3) 3( x 1) 1)( 3x + 1 2 ) 3 3 x + 1 2)
3 4
Entonces la pendiente de la recta tangente a la función f en el punto 1, f (1) es m
3 4
Definición
y f ( x)
La ecuación de la recta tangente a la curva la curva punto de coordenadas: y y 0 m( x 0 )( x x 0 ) ,
( x0 , f ( x0 )) ,
en un
está dada por la ecuación:
donde: y 0 f ( x 0 ) y la pendiente está dada por:
m( x 0 ) f ' ( x 0 ) .
Ejemplo Dada la función:
f ( x)
3x 1
Obtener la ecuación de la recta tangente en el
punto de coordenadas: 1, f (1) . Como: 1, f (1) ( 1, 2 ) , y al calcular:
m(1) f `(1)
se obtuvo:
m
3 4
, entonces la
ecuación pedida es: y2
3 4
( x 1)
y2
3 4
x
y
Ejercicio
Dada la función:
f ( x) =
3 4
3x 5 2x
x
3 4
5 4
Obtener: f ( x h) f(x) h
f `( x) lim
a)
La derivada de la función, es decir:
b)
La ecuación de la recta tangente a la función
h0
f
en el punto: 1, f (1) .
267
Para a)
lim
3( x h) 52 x 2 x h 3x 5 2 x h 2 x h
h0
lim
3x 3h 52 x 2 x h 3x 5 h 2 x h 2 x
lim
11 h h 2 x h 2 x
h0
h0
lim
h0
3( x h) 5 3x 5 2 xh 2x h
f ( x h) f(x) lim lim h h0 h0
11
2 x h 2 x
Por lo tanto si:
Para b)
f ( x) =
11 ( 2 x) 2
3x 5 2x
, entonces:
f `( x)
11 ( 2 x) 2
Para determinar la ecuación de la recta tangente a la función
f
en el punto: 1, f (1) , debemos calcular el valor de la pendiente que corresponde a:
m(1) f ´(1) ,
o sea:
f `(1 )
11 ( 2 1 ) 2
11 ,
punto, que es en este caso: 1, 8 , ya que:
y además saber cual es el f (1) =
31 5 2 1
8.
Por lo tanto,
utilizando la ecuación punto - pendiente de la línea recta dada por: y y 0 m( x x0 ) ,
se obtiene que: y 8 11( x 1)
y 11x 11 8
y 11x 3
Definición
Una recta es normal a una curva ( x0 , f ( x0 )) ,
y f (x)
en un punto de coordenadas
si es perpendicular a la recta tangente a la curva en ese
punto. La recta se llama la normal a la curva en dicho punto.
268
Recordemos que dos rectas son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a 1 , es decir si: mT m N 1 . Por lo tanto si: mT f ' ( x 0 ) , entonces: mN
1 f '( x0 )
, en
consecuencia la ecuación de la recta normal está dada por la fórmula: y y0 m N ( x x0 )
o sea: y y0
Ejemplo
Dada la función:
f ( x) =
3x 5 2x
1 f ´( x 0 )
, la ecuación de la recta Normal en el punto:
1, f (1) está dada por: y 8 y
Ejercicio:
1 11
x
89 11
( x x0 )
1 11
( x 1) ,
1 11
o sea: y 8
x 11 1
, de donde:
es la ecuación pedida.
Dada la función: f ( x) 3 x 2 4 x . Encuentre la ecuación de la recta normal a la función en el punto: 1, f (1) .
7.2. Como se calcula la derivada de una función por definición El siguiente método o proceso de los cuatro pasos es útil en el cálculo de la derivada de una función por definición:
en
xh ,
o sea se calcula:
f ( x h)
Paso 1:
Evaluar la función
Paso 2:
Restar:
Paso 3:
Forme el cociente de incrementos, dividiendo por h:
Paso 4:
Simplifique algebraicamente el cociente de incrementos. Tomar el límite para: h0,
f ( x)
f
a la expresión anterior, es decir obtener:
f ( x h) f ( x )
f ( x h) f ( x ) h
o sea haga que h tienda a cero en el cociente de incrementos
simplificado. La expresión resultante será la derivada buscada, esto es: Lim h0
f ( x h) f ( x) f ' ( x) h
269
Ejercicio 1 Utilizando la definición determine la derivada de las siguientes funciones: 1.
f ( x) k
R:
f ' ( x) 0
2.
f ( x) x
R:
f ' ( x) 1
3.
f ( x) x 2
R:
f ' ( x) 2 x
4.
f ( x)
x
R:
f ' ( x)
5.
f ( x) 3 x
R:
f ' ( x)
6.
f ( x)
1 x
R:
f ' ( x)
7.
f ( x)
1
R:
f ' ( x)
8.
f ( x) 5 x 9
R:
f ' ( x) 5
9.
f ( x) 2 x 7
R:
f ' ( x) 2
10.
f ( x) 3x 2 4 x 7
R:
f ' ( x) 6 x 4
11.
f ( x) 5 x 2 3x 9
R:
f ' ( x) 10 x 3
12. f ( x) mx n
R:
f ' ( x) m
13. f ( x) ax 2 bx c
R:
f ' ( x) 2ax b
x2
14.
f ( x)
1 2x 5
R:
f ' ( x)
15.
f ( x)
2x 1 x3
R:
f ' ( x)
16.
f ( x)
1
R:
f ' ( x)
R:
f ' ( x)
f ( x)
2 x
3
x 1 3
3 x2
1
x2 2
x3
2 ( 2x 5)2 7 ( x 3)2 1 2 x3
x
17.
1 2
3 x5
18.
f ( x) sen ( x )
R:
f ' ( x) cos( x)
19.
f ( x) cos ( x )
R:
f ' ( x) sen( x)
20.
f ( x) e x
R:
f ' ( x) e x
21.
f ( x) ln x
R:
f ' ( x)
1 x
270
7.3. Técnicas de derivación
Se mostró cómo hallar le derivada de una función utilizando la definición. Incluso para las funciones más simples, este proceso es tedioso y exige mucho tiempo. En lo que sigue veremos algunos atajos. La justificación de algunos de estos atajos se dará posteriormente en clases, después de haber tenido la oportunidad de practicar su uso.
7.4. La derivada de una función potencial
Una función potencial es una función de la forma: Por ejemplo: f ( x)
1 x2
,
f ( x) x 2 , f ( x) x 3 , f ( x) x1 / 2
f ( x) 3 x
f ( x) x r
donde r en un número real.
son funciones potenciales. Igualmente lo son:
ya que pueden ser reescritas de la forma:
f ( x ) x 2 , f ( x ) x 1 / 3 ,
respectivamente. Ahora enunciaremos una regla simple que puede usar para hallar la derivada de cualquier función potencial, donde el exponente es un número racional:
f ( x) x r
Si:
,entonces:
Esto es, para hallar la derivada de:
f ( x) x r
multiplique por el exponente original de
x.
f ' ( x) rx r 1
(1)
, reduzca el exponente de
x
en 1 y
La fórmula es válida para todos los valores
reales de r.
Ejemplo
Sí:
y f ( x) x 5 ,
entonces:
f ' ( x) 5 x 5 1 5 x 4
Ejercicio 1 Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1.
f ( x) x 6
R:
f ' ( x) 6 x 5
2.
f ( x) x 3
R:
f ' ( x)
3 x4
3.
f ( x)
R:
f ' ( x)
3 4 4 x
4 3
x
271
7.5. La derivada de una función Constante La derivada de cualquier función constante es cero. Esto se debe a que el gráfico de una función constante: f ( x) k es una recta horizontal y su pendiente es cero.
Si:
f ( x) k ,
f ' ( x) 0
entonces:
(2)
Esto es, la derivada de una constante es cero.
Ejemplo
Sí:
y f ( x) 7 ,
función constante,
entonces:
f ' ( x) 0
7.6. La derivada de una Constante por una función Sea:
f (x)
una función diferenciable de
Si:
x
y
k
y k f (x) ,
una constante, por lo tanto:
entonces:
y ' k f ' ( x)
(3)
Esto es, la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
Ejemplo
Sí:
y f ( x) 4 x 3 ,
entonces:
f ' ( x) 4 3 x 2 12 x 2
Ejercicio 2 Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1.
f ( x) 5 x 4
R:
f ' ( x) 20 x 3
2.
f ( x) 6 x 5
R:
f ' ( x)
30
3.
f ( x)
4
R:
f ' ( x)
12 x4
4.
f ( x)
6
R:
f ' ( x)
x3
x3
x6
9 x5
272
7.7. La derivada de una Suma de funciones Se establece que una suma de funciones puede ser derivada término a término. Si y
g ( x)
son dos funciones derivables de:
d dx
x,
f ( x)
entonces se verifica que:
f ( x) g ( x)
d dx
f ( x)
d g ( x) dx
(4)
Esto es, la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones.
Nota 1
La regla puede ser aplicada a la suma de un número finito de funciones derivables. De lo anterior por combinación de la regla de la suma con las reglas de la potencia y del múltiplo constante, se puede derivar cualquier polinomio.
También se puede deducir que:
d dx
f ( x) g ( x )
d dx
f ( x)
d g ( x) . dx
Esto es, la derivada
de la resta de funciones es igual a la resta de las derivadas.
Ejemplo
Nota 2
Sí:
f ( x) 5 x 4 7 x 2 3 x ,
entonces:
f ' ( x) 20 x 3 14 x 3 3
Expresiones en que aparecen paréntesis pueden derivarse después de eliminar los paréntesis. Por ejemplo, si deseamos calcular: f ( x) 3x 2 ( 2 x 3 ) ,
en primer término escribimos:
f ( x) 6 x 2 15 x 5 .
podemos derivar como polinomio y obtener lo pedido:
Si:
y x 2 2 3 x 2 ,
f ' ( x)
cuando:
En esta forma,
f ' ( x) 12 x 75 x 4 .
empezamos desarrollando el cuadrado de binomio y multiplicamos por
el monomio, obteniendo:
y 3 12 x 1 12 x 2 .
calcular la derivada y obtenemos:
A partir
de esta etapa, procedemos a
y ' 12 x 2 24 x 3 .
273
En forma similar, podemos simplificar fracciones con denominadores monomios antes de derivar. Por ejemplo, sí:
y
y (12t 4 8t 2 6) 2 1 t 2 6t 2 4 3t 2 .
obtenemos:
12t 4 8t 2 6 2t 2
, la escribimos primero de la siguiente forma:
Después de derivar con respecto a la variable t,
y ' 12t 6t 3 .
Ejercicio 3: Hallar la derivada de la siguiente función: f ( x)
(3 x 2 1)(2 x 3 1) x
f ' ( x) 24 x 3 4 x 3
R:
1 x2
7.8. La derivada de un Producto de dos funciones Suponga que se le pide derivar el siguiente producto de dos funciones:
3x
Se podría caer en la tentación de derivar los factores: entonces d dx
multiplicar
(2 x 5 x 4 ) 2 20 x 3 ;
respuesta
es
soluciones.
y concluir que:
incorrecta.
y 6 x 3 15 x 6 8 x 2 20 x 5 ,
igual a:
sus
Esto
es,
4x
ver
esto,
4 x 2 x 5x 4
4
d dx
dy (6 x 4)(2 20 x 3 ) 12 x 120 x 4 8 80 x 3 . dx
Para
2
y 2 x 5x por separado y
calcular:
reescriba
y observe que su derivada es:
y ' 12 x 120 x 4 8 80 x 3 .
2
3x
la
(3x 2 4 x) 6 x 4
y
Sin embargo, esta función
como:
y ' 18 x 2 90 x 5 16 x 100 x 4 ,
y no es
La derivada de un producto no es el producto de las
derivadas individuales. He aquí la fórmula correcta para la derivada de un producto:
Si:
y u v,
en donde
u f (x)
y
v g (x) ,
son funciones derivables de x , entonces:
d u v u dv dx dx
v
(5)
du dx
Esto es, la derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función sin derivar multiplicada por la derivada de la segunda función, más el producto de la segunda función sin derivar por la derivada de la primera función.
Ejemplo
Sí:
f ( x) 2 x 3 1 3x 2
,
entonces:
f ' ( x) 6 x 2 1 3x 2
2x
3
6 x
274
Nota 3
En la misma forma, la derivada del producto de más de dos funciones derivables es la suma de los productos de la derivada de cada función por las y u vw ,
otras funciones sin derivar. Por ejemplo, sí:
en donde:
u
,
v
y
w,
son
funciones derivables de x , entonces: y´ u´ v w u v´w u v w´
Ejercicio 4 Calcule la derivada de las siguientes funciones: a)
y (3 x 2 4 x)( 2 x 5 x 4 ) ,
R: b)
y ( x 2 2 x)(2 x x 3 ) ,
R: c)
y´ (2 x 2)(2 x x 3 ) ( x 2 2 x)(
1 x
3x 4 )
y ( x 4 14 x 2 )(7 3x 2 ) ,
R: d)
y´ (6 x 4)( 2 x 5 x 4 ) (3 x 2 4 x)( 2 20 x 3 )
y´ (4 x 5 28 x)(7 3 x 2 ) ( x 4 14 x 2 )(6 x 3 )
y 2 x 3 (3 x 2 4 x )(4 x 3 5 x 2 ) ,
7.9. La derivada de un cociente o división de funciones La derivada de un cociente no es el cociente de las derivadas individuales. He aquí la regla correcta. Si: x,
y
u v
, en donde
u f (x)
y
v g (x) ,
son funciones derivables de
entonces: v d u dx v
du dx
u
dv dx
v2
(6)
Esto es, la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador todo dividido por el cuadrado del denominador.
Ejemplo:
Nota 4
Sí:
f ( x)
x2 1 x2 1
,
entonces:
f ' ( x)
2 x( x 2 1) 2 x( x 2 1) ( x 1) 2
2
4x ( x 2 1) 2
La regla de la división o cociente es probablemente la fórmula más complicada que ha tenido que aprender hasta aquí en estos apuntes. Este es 275
el camino para recordarla: El numerador recuerda la regla del producto salvo que contiene un signo menos, lo cual hace importante el orden en que están escritos los términos. Empecemos por elevar al cuadrado el denominador y entonces, mientras recuerda aún el denominador original, repítalo en el numerador. Esto la hace empezar con el término adecuado en el numerador, y puede fácilmente escribir el resto pensando en la regla del producto. No olvide insertar el signo menos. Usando la regla del cociente, puede derivar ahora cualquier función racional.
Ejercicio 5 Calcule la derivada de las siguientes funciones: 1.
f ( x)
2.
f ( x)
3x 9 2x 4 x2 1
,
R:
f ´(x)
,
R:
f ´(x)
Nota 5
f ( x)
4.
f ( x)
R:
f ´(x)
5.
f ( x)
6.
f ( x)
2x2 x 1 2 x· x
x
3.
3 2( x 2) 2
2x 2 7x 5 x2 1 x2 4 x 4 2
,
x 3 x x2 2
16 x ( x 4) 2 2
|
x 3 27 x2 9
La regla de la división es algo incomoda para cierto tipo de funciones fraccionarias, por tanto, no se use para derivar un cociente como la función: y
4 x2
que puede ser reescrito como:
y 4 x 2 ,
y puede ser derivado fácilmente
usando la regla de la potencia de la siguiente forma:
y ` 4 (2) x 2 1 8 x 3
276
7.10. Derivación de la Función Compuesta: Regla de la Cadena Sea:
y f (u )
una función en la variable u y sea: y f g (x )
Entonces podemos escribir:
denominada la función compuesta de
u g (x)
una función en la variable x.
que representa a f
y
g
y
como una función de:
, que se denota por: f
x,
g (x) .
La derivada de las funciones compuestas puede calcularse mediante la propiedad siguiente:
7.11. La Regla de la Cadena Si
y
es función de
una función de:
u
y
es una función de:
u
x
, entonces
y
puede considerarse como
x: dy dx
Esto es, la derivada de
y
con respecto a:
multiplicada por la derivada de
u
(7)
dy du du dx
x,
es la derivada de
y
con respecto a
u
,
con respecto a x .
La regla de la cadena representa la que es probablemente la más útil de todas las herramientas de derivación. Es un recurso que se utiliza con frecuencia al manejar el cálculo diferencial. Cuando la usamos al derivar una función complicada, es necesario reconocer que la función dada se puede escribir como la composición de dos funciones más simples.
Nota 6
Un camino para recordar la regla de la cadena es pretender que las derivadas:
dy du
y
expresión:
dy du
du dx
du dx
dy dx
cuando:
Entonces:
dy du
De donde:
dy dx
du ,
y reduciendo la
del lado derecho de la ecuación a la expresión:
izquierdo, es decir: Ejemplo: Calcule:
son cocientes y simplificando por:
dy dx
dy du
dy du
del lado
du dx
y 2u 4 2u 2 ,
8u 3 4u
dy dx
, y
u x2 x ,
y
du dx
2x 1 ,
du 8u 3 4u ( 2 x 1 ) 8 x 2 x dx
Es natural utilizar la sustitución:
u x2 x ,
3
4 x 2 x 2x 1
para expresar
dy dx
como función de
x.
277
Ejercicio 6 Calcule:
Nota 7
dy dx
cuando:
a.
y 3x 2 2 x 5
c.
y
4
x 2 2x
b.
y
d.
y
1
3x 4 6 5
x
5
15x
2
Una aplicación: En muchas situaciones prácticas, una cantidad de interés viene dada como una función de una variable, la cual, a su vez, puede ser pensada como una función de una segunda variable. En tales casos, la razón de cambio o taza de cambio de la cantidad con respecto a la segunda variable es igual a la razón de cambio de la cantidad con respecto a la primera variable multiplicada por la razón de cambio de la primera variable con respecto a la segunda. Por ejemplo, supongamos que el Costo Total fábrica en función del número de unidades función del número de horas Sean:
C, q
y
t
t
q
C
de fabricación de una cierta
producidas, el cual, a su vez, es
durante el cual la fábrica ha estado operando.
el costo total en dólares, el número de unidades y el número
de horas, respectivamente, entonces:
dC dq
es razón de cambio del costo con
respecto a la producción (dólares por unidad), y:
dq dt
es la razón de cambio de
la producción con respecto al tiempo (unidades por hora). El producto de estas dos razones, o tazas de cambio, es la razón de cambio del costo con respecto al tiempo:
dC dq
dq dt
o sea razón de cambio del costo con respecto al
tiempo (dólares por hora). Como la razón de cambio del costo con respecto al tiempo viene dada también por la derivada: =
Ejercicio 7
dC dq
dC dt
, se sigue entonces que:
dC dt
dq dt
En una cierta fábrica, el costo total de fabricación de q unidades durante el proceso diario de producción está dado por:
C (q ) 0,2q 2 q 900
dólares.
De la experiencia se ha determinado que si se fabrican aproximadamente q (t ) t 2 100t
unidades durante las t primeras horas de la marcha de la
278
producción. Calcule la razón a la que está cambiando el costo total de fabricación con respecto al tiempo una hora después de comenzar la producción. En este caso: dC dt
Nota 8
Sea:
=
dC dq
y f (u ) ,
dq dt
(0,4q 1)(2t 100) (0,4(t 2 100 t ) )(2t 100) (0,4t 2 40t )(2t 100)
y sí:
f ' (u )
dy du
, otra manera de escribir la regla de la cadena es: dy dx
Ejemplo:
Sí:
y f (u )
u ( x)
,
f ' (u )
(8)
du dx
entonces:
dy dx
1 2 u
du dx
7.12. La Regla de la Cadena para potencias Anteriormente se aprendió la regla: Si:
f ( x) x r
, entonces:
f ' ( x) rx r 1
para la derivada de
funciones potenciales. Hay una regla estrechamente relacionada (que es realmente un caso especial de la regla de la cadena disfrazada) que se puede usar para derivar funciones de la forma: h( x) r , esto es, funciones que son potencias de otras funciones. De acuerdo con la regla de la potencia, empiece calculando: multiplique esta expresión por la derivada de la función: Si:
f (u ) ur ,
entonces:
f ' ( u ) ru r 1 .
r h( x) r 1
y entonces
h(x) .
Así tenemos el caso siguiente de la regla de
la cadena:
Ejemplo
Nota 9
Sí:
Si:
f (u ) ur ,
,
f ( x) 2 x 4 4 x
6
entonces:
entonces:
dy dx
(r u r 1 )
f ´(x) 6 2 x 4 4 x
(9)
du dx
8x 5
3
4
Para ver que la regla de la cadena para potencias de funciones no es realmente más que un caso especial de la regla de la cadena, piense en la función:
y g ( x) r
función:
u g ( x) ,
como la función compuesta formada a partir de:
y ur y
la
entonces:
279
ru r 1 r g ( x) r 1
dy du
Y la regla de la cadena:
dy dx
dy du
du dx
(10)
, puede ser reescrita como: d dx
g ( x ) r
d g ( x) r g ( x) r 1 dx
(11)
Que es precisamente la regla de la cadena para funciones potencias.
Nota 10
Al derivar una función compuesta, debemos derivar primero la función exterior de la función compuesta, y después multiplicar por la derivada de la función interior. En estos términos verbales podemos reformular la regla de la cadena para potencias de funciones de la forma siguiente: Si:
y f (int erior ) ,
entonces:
dy dx
f ' (int erior ) ( derivada
del interior con respecto
a x)
Si:
y (int erior ) r ,
entonces:
dy dx
r (int erior ) r 1 ( derivada
del interior con
respecto a x)
Aquí “interior” significa cualquier función diferenciable o derivable de variable x.
Ejercicio 8 Calcule: a)
7.13.
dy dx
cuando:
y 5 x 4 2 x 6 x 1
5
b.
y 9 3 x 2 2x
Derivación de la Función Exponencial y Logarítmica
La función exponencial
f ( x) e x
, y la función logaritmo natural
f ( x) ln x
tienen
derivadas sencillas.
7.14.
Derivación de la función exponencial
La derivada de la función f ( x) e x , es la misma función:
280
y e x , entonces
Si
dy dx
ex
(12)
e u ( x ) u ' ( x)
(13)
7.15. El caso compuesto y e u ( x) ,
Si:
dy dx
entonces:
Esto es, para calcular la derivada de y e u ( x ) , simplemente multiplique e u ( x ) por la derivada del exponente u ( x) . En forma verbal podemos decir: d ( función) d e e ( función) ( función) dx dx
Aquí “función” significa cualquier función diferenciable o derivable en la variable x .
Ejemplo
Sí
y e5x
3
3x
, entonces: y ' e 5 x
3
3x
d dx
( 5 x 3 3x ) e 5 x
3
3x
(15 x 2 3 )
Ejercicio 9: Determine la primera derivada de las siguientes funciones: 3
7 x 5
3
x )4
y´ e 3 x 7 x5 ·(9 x 2 7) 3
a)
y e 3x
b)
ye(x
c)
f ( x) 4 x 3 e 6 x 5
dy dx
e( x
3
x )4
·4·(x 3 x) 3 ·(3x 2 1)
f ´(x) 12 x 2 e 6 x 5 4 x 3 ·e 6 x 5 ·6
7.16. Derivada de funciones exponenciales en general f ( x) a x ,
Si
entonces:
dy dx
a x ln a
(14)
Demostración Por definición
a x e x ( ln a ) ,
haciendo
u x ( ln a ) ,
y derivando con base e se obtiene:
d x d d u du e x ( ln a ) e eu e x ( ln a ) ( ln a ) a x ( ln a ) a dx dx dx dx
Ejemplo:
Sí
f ( x) 2 x ,
entonces
y ' 2 x ln ( 2 )
281
7.17. El caso compuesto y a u( x) ,
Si
a u ( x ) ln a u ' ( x)
dy dx
entonces
(15)
Donde u (x) es una función derivable con respecto a la variable x . Ejemplo
Sí
2x 1
f ( x) 4
Ejercicio 10: Calcule
dy dx
,
f ' ( x) 4
entonces
2x 1
ln ( 4 )
1 2x 1
cuando
a)
y 6 ( x
b)
y 100 2 0,5 x
c)
y 3x x3
y´ 3 x ·ln(3) x 3 3 x 3x 2
d)
y 214 x x 2
y 214 x ·ln(2)·(4) x 2 214 x ·(2 x 3 )
2
y´ 6 ( x ) ·ln(6)·(2 x) 2
)
4
x2
y´ 100 2( 0,5 x
.
4
x2 )
·ln(2)·(2 x 3 2 x)
7.18. Derivada de la función Logaritmo Natural La derivada de la función logaritmo natural f ( x) ln x , es simplemente la función f ' ( x)
1 x
d ln ( x) dx
(16)
1 x
7.19. El caso Compuesto En general, la regla de la cadena nos permita derivar cualquier función compuesta de la forma y ln ( u(x) ) , en la forma siguiente: dy dx
dy du du dx
Si
d ln ( u ) u ' ( x) du
y ln ( u(x) )
, entonces
1 u ' ( x) u
dy u ' ( x) dx u ( x)
(17)
Esto es, para derivar y ln ( u(x) ) , simplemente divida la derivada de u (x) por u (x) mismo. De manera alternativa, en forma verbal sería: 282
d 1 d ln ( función) ( función) dx función dx
En donde interior significa cualquier función derivable de variable x .
Ejemplo
a.
Sí f ( x) ln(4 x 3 5 x 7 ) , entonces 1
f ' ( x)
b.
4x 3 5x 7
(12 x 2 35 x 6 )
1 f ( x) ln x , x
Sí
12 x 2 35 x 6 4x 3 5x 7 1 1 2 1 2 x x x x 1
f ' ( x)
entonces
Ejercicio 11 Obtener la primera derivada de las siguientes funciones y´
a)
y ln ( x 2 2 x )
b)
y x 2 ln(3 x 8)
c)
f ( x) ln
d)
y 2 x 1 ·ln
dy dx
x 1 x 1
2( x 1) 1 ·(2 x 2) 2 x 2x x 2x 2
1 ·3 2 x ln(3x 8) x 2 · 3x 8
f `( x)
x 1 x 1
Dx ( y)
2 1 1·(x 1) 1·(x 1) · 2 2 ( x 1) 1 x
x 1 x 1
1 2x 1
2·1 2 xx 1
·ln
x 1 x 1
2
7.20. Derivada de funciones logarítmicas en general y log a ( x) ,
Si:
Demostración
entonces:
dy dx
(18)
1 x ln a
Por teorema del cambio de variable en los logaritmos se tiene log a x
ln x ln a
,
derivando
d log a x d ln x dx dx ln (a )
se
d 1 ln x 1 1 , a dx ln ( ) ln(a) x
obtiene ya
que
que ln(a)
es
constante.
283
Ejemplo:
Sí
f ( x) log
x,
2
entonces
f ' ( x)
1 x ln( 2 )
Ejercicio 12 Obtener la primera derivada de las siguientes funciones a)
f ( x) log 5 ( x)
df dx
1 x ln (5)
b)
f ( x) 4·log2 ( x)
df dx
4 x ln (2)
c)
f ( x) 3x 2 log x
df 3x 6 x·log(x) dx ln (10)
7.21. El caso Compuesto Si:
dy dx
y log a ( u ( x) ) , entonces:
(19)
u ' ( x) u ( x) ln a
Donde u ( x) es una función derivable con respecto a la variable x .
Ejemplo
Sí
f ( x) log 2 (4 x x 4 )
, entonces
f ' ( x)
1 (4 x x 4 ) ln(2)
( 4 4x 3 )
Ejercicio 13 Obtener la primera derivada de las siguientes funciones: a)
y log 5 ( 5 x 2 7 x )
b)
y 6·log x 2 1
Nota:
dy 1 ( 10 x 7 ) 2 dx (5 x 7 x) ln(5) dy 6x dx ( x 2 1) ln(10)
¿Se necesitan realmente otras bases diferentes del número e? Las fórmulas: a x e x ( ln a ) log a x
ln x ln a
Nos permiten convertir cualquier problema que involucre funciones exponenciales
o
funciones
logarítmicas
con
base
a
en
funciones
correspondientes con base e. Esto confirma nuestra terminología de funciones exponencial natural y logaritmo natural. También explica el uso universal de estas funciones en trabajo avanzado.
284
Ejercicio 14 a. La producción industrial P(t) de cierto país t años, después de 2005 se encontró que estaba modelada por la función P(t) =
26 . Si el modelo 1 + 12 e -0,08t
es correcto. ¿A qué ritmo estará creciendo la producción industrial en 2010? x2 - 1
b. Si y =
3
(x - 1 )2
, obtener
2
4
( x + 3x )
dy dx
usando propiedades de los logaritmos
y derivación logarítmica. c. Pruebe
que
la
función
f ( x)
1 - ln x x
satisface
la
igualdad:
x 2 f (x) + x f (x) - f(x) = ln x
d. Demuestre que la función y =
Ejemplos
a.
3x 2 3 1 dy 3 ·(x 3 3 x)' 3 dx x 3x ( x 3 x)
y ex
3
3 x
Solución: y ' e x c.
y - 2y + y = e x .
y ln( x 3 3x)
Solución: b.
x2 x e satisface la ecuación 2
3
3 x
·(x 3 3 x)' e x
3
3 x
·(3 x 2 3)
2x 1 y ln x 1
dy 1 x 1 3 3 2x 1 ·D x · 2 x 2 1 (2 x 1)·(x 1) dx x 1 2 x 1 ( x 1)
Solución:
x 1
d.
f ( x) ln
x2 1 x2 1
Solución: f ' ( x)
e.
2 x( x 2 1) ( x 2 1)·2 x · x 2 1 ( x 2 1) 2 x2 1 1
4x x4 1
y (2 x 3 5) log 4 2 x 1
Solución:
dy 1 6 x 2 ·log4 2 x 1 (2 x 3 5)· dx (2 x 1)·ln(4)
285
7.22. La Segunda Derivada y Derivadas de Orden Superior La derivada y`
dy dx
es la primera derivada (derivada de primer orden) de la función y
con respecto a la variable
x
. La derivada en sí bien puede ser una función
diferenciable; si es así, su derivada es: y``
dy` d dy d 2 y dx dx dx dx 2
la cual se llama segunda derivada (derivada de segundo orden) de y con respecto a la variable x . Si a su vez y`` también es diferenciable, su derivada será y```
, lo que también se anota por y ( 3) y será: y```
d dy 2 dx dx
d3y dx 3
Que es la tercera derivada (derivada de tercer orden) de y con respecto a la variable x
. Con más generalidad, el resultado de empezar con la función y f ( x) y
diferenciando o derivando n veces sucesivas, la n-ésima derivada (derivada de orden n ) de la función f con respecto a la variable x será: y (n) f (n)
Ejemplo:
Sí:
dny dx n
f ( x) x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ,
entonces
sus
primeras
cuatro
derivadas son:
Nota
Primera derivada:
f `( x) 5 x 4 4 x 3 3 x 2 2 x 1
Segunda derivada:
f ``( x) 20 x 3 12 x 2 6 x 2
Tercera derivada:
f ```( x) 60 x 2 24 x 6
Cuarta derivada:
f
( 4)
( x) 120 x 24
La función tiene derivadas de todos los ordenes, con la quinta derivada sería una función constante, y a partir de la sexta y siguientes todas ellas serían iguales a cero.
286
Ejemplo:
Sí
f ( x)
1 , x
entonces sus primeras tres derivadas son:
Primera derivada:
f `( x)
1 x2
Segunda derivada:
f ``( x)
2 x3
Tercera derivada:
f ```( x)
6 x4
1 x ( x 1)
Ejercicio 15 a.
Si
f ( x)
b.
Si
f ( x) ln
1 1 x
. Encuentre una fórmula para . Demuestre que
f ( n ) ( x) .
f ( n ) (0) (n 1)!
7.23. Derivada de Función elevada a Función Si: y u ( x) v ( x ) , entonces:
dy u ( x) v ( x ) ln u ( x) v' ( x) v( x) u ( x) v ( x ) 1 u ' ( x) dx
Donde u(x) y v(x) son funciones derivables con respecto a x.
Demostración y u ( x) v ( x )
Aplicando logaritmo:
ln y ln u ( x) v ( x )
Por propiedad de logaritmo:
ln y v( x) ln u ( x)
Derivando con respecto a x:
Dx ( ln y ) Dx ( v( x ) ln u ( x) )
1 y ' Dx ( v( x ) ) ln u ( x) v( x) Dx ( ln u ( x)) y 1 1 y ' v ' ( x) ln u ( x) v( x) u ' ( x) y u ( x)
y ' y· v' ( x)·ln u ( x) v( x)·u 1 ( x)·u ' ( x)
y ' u ( x) v ( x ) · v' ( x)·ln u ( x) v( x)·u 1 ( x)·u ' ( x)
y ' u ( x) v ( x ) ·ln u ( x)·v' ( x) v( x)·u ( x) v ( x ) 1 ·u ' ( x)
287
Ejemplo
Sí
y xx ,
ln y ln x x
entonces
ln y x ln x 1 1 y ' 1 ln x x y x y ' y ln x 1 y ' x x ln x 1
Aplicando la fórmula se tiene y` x x ·ln(x)·1 x·x x 1 ·1 x x ln x 1
Ejemplo
Sí
f ( x) (4 x)
2x 1
,
Entonces: f ' ( x) ( 4 x)
Ejercicio
Calcule:
2x 1
ln ( 4 x )
1 2x 1
dy cuando y (ln x) dx
2 x 1 · (4 x)
0,5 x 4 x 2
2x 1 1
·(4)
.
288
ESTUDIO DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES:
1.
Valores Extremos de Funciones
Definición 1
Si una función y f (x) está definida en un intervalo I, entonces: 1.
f
es creciente en: I , si para: x1 , x 2 I si: f ( x1 ) f ( x2 )
siempre
que: x1 x2 . 2.
f
es decreciente en: I , siendo: x1, x2 I si: f ( x1 ) f ( x 2 ) siempre
que: x1 x2 . 3.
f
es constante en: I , f ( x1 ) f ( x2 ) , x1, x2 I .
289
f ( x1 ) f ( x2 ) : f
2.
Creciente
f ( x1 ) f ( x2 ) : f
Decreciente
Criterio de la Primera Derivada para Funciones Monótonas
Teorema 1
Sea: y f (x) una función que es continua en un intervalo cerrado a, b y es derivable en el intervalo abierto: a, b : 1.
Sí: f ' ( x) 0 para toda x en: a, b , entonces la función f es
creciente en el intervalo: a, b . 2.
Sí: f ' ( x) 0 para toda x en: a, b , entonces la función f es
decreciente en el intervalo: a, b .
En I a, b signo f `(x) positivo, f
creciente en a, b
En I a, b signo f `(x) negativo, f
decreciente en a, b
290
La función: f ( x) x 3 1 es creciente para
Nota
toda: x IR 0 , ya que su derivada es siempre positiva. Esto lo podemos ver a partir de su derivada la cual es una expresión al cuadrado. f ' ( x) 3x 2 0
Es
decir
al
trazar
cualquier
recta
tangente por un punto de la curva esta resulta
que
tendrá
una
pendiente
positiva.
Actividad
Encuentre los intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función: f ( x) x3 12 x
3.
Valores Extremos
Definición 2
Si una función y f (x) está definida en un intervalo I y x c I , entonces: 1.
f ( x c)
es el valor máximo de
f ( x) f (c) para
2.
f ( x c)
f
en el intervalo
I
sí:
toda: x I .
es el valor mínimo de f en el intervalo I sí: f ( x) f (c)
para toda: x I .
291
A f ( x c) :
B f ( x c) :
Valor Máximo en I
Valor Mínimo en I
Si una función y f (x) es continua en un intervalo cerrado: a, b ,
Teorema 2
entonces f alcanza sus valores máximo y mínimos por lo menos una vez en dicho intervalo. Si una función y f (x) es continua en un intervalo cerrado a, b y
Teorema 3
toma su valor máximo o su valor mínimo en un número x c del intervalo abierto: a, b , entonces: f ' ( x c) 0 , o bien f ' ( x c) no existe.
Nota
Si el máximo o mínimo se alcanza en un punto frontera del intervalo: I , entonces la
derivada
en
ese
punto
no
necesariamente se anula. Por ejemplo: Sea la función: f ( x) x 2 2 x para toda x en: 0 , 3 , alcanza su máximo en: x 3 , ya que f ( x 3) 3 pero al calcular su derivada se tiene que f ' ( x) 2·x 2 y al evaluar la derivada
para
f ` ( x 3) 4 ,
x3
se
obtiene
que
que no es nula.
292
Podemos usar el teorema anterior para
Nota:
encontrar los candidatos a mínimos y/o máximos de una función. Por ejemplo sí: f ( x) x 3 12 x ,
entonces:
f ´(x) 3 x 2 12 3( x 2 4) 3( x 2)( x 2) ,
f ' ( x) 0
luego
sí y sólo sí: x 2, x 2 . Estos
puntos son los candidatos a valores extremos. Sí: f ' ( x c) 0 no necesariamente x c es un valor extremo de la función: f .
Nota
Por ejemplo, sea: f ( x) x 3 1 , entonces: f ' ( x) 3x 2 , tal que: f ' ( x) 0 en: x 0 , pero el punto: 0 , f (0) no es un extremo de la función: f .
4.
Punto Critico – Valor Critico
Definición3
Un número x c en el dominio de una función y f (x) es un valor crítico de f sí se verifica que: f ' ( x c) 0 , o bien: f ' ( x c) no existe.
Actividad:
Determine los valores críticos de las funciones:
a)
f ( x) x 3 2 x 2 x
b)
f ( x) ( x 2 1)· x 2
Resumen
3
Los únicos puntos del dominio en los cuales una función puede tomar valores extremos son los puntos críticos y los puntos extremos del dominio como intervalo.
293
5.
Criterio de la Primera Derivada para Extremos relativos
Teorema 4
Sea la función: y f (x) continua en el intervalo cerrado a , b y diferenciable en el intervalo abierto: a , b , excepto posiblemente en un valor crítico: x c , tal que: a c b : Sí f ' ( x) 0, x a , c y f ' ( x) 0, x c , b entonces: f (c) es un máximo relativo de la función. Sí f ' ( x) 0, x a , c y f ' ( x) 0, x c , b entonces: f (c) es un mínimo relativo de la función. 3.
Si f ' ( x ) tiene el mismo signo algebraico en los intervalos abiertos:
a , c y c , b , entonces Nota
f (c)
No es un valor extremo de la función f .
Todo punto donde una función derivable alcanza máximos y mínimos relativos o locales, son puntos críticos.
5.1. Cómo hallar los valores extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado a)
Evaluar la función f en todos los puntos críticos y puntos extremos.
b)
Tomar el mayor y el menor de estos valores.
Ejemplo:
Trazar la gráfica de la función: f ( x) x3 3x 2 9 x 11 . Compare sus
resultados con la gráfica adjunta.
294
5.2.
Cuadro Resumen: Criterio de la Primera Derivada
Valor
Intervalo
Signo de f ' ( x) en el intervalo
a,c
Positivo
Conclusión
Crítico xc
c ,b
f ( x c)
es un máximo
f ( x c)
es un mínimo
Negativo
a,c xc
Negativo
c ,b Positivo
a,c xc
Positivo
c ,b
f ( x c)
no hay extremo
f ( x c)
no hay extremo
Positivo
a,c xc
Negativo
c ,b Negativo
295
6.
La Concavidad y el Criterio de la Segunda Derivada
Definición 4
Sea f una función derivable en un número c. 1.
La gráfica de f
P (c, f (c))
tiene concavidad hacia arriba en el punto
si existe un intervalo abierto a , b que contiene a c tal que en
él la gráfica de f se encuentra arriba de la recta tangente en: P . 2.
La gráfica de f
P (c, f (c))
tiene concavidad hacia abajo en el punto
si existe un intervalo abierto a , b que contiene a c tal que en
él la gráfica de f se encuentra abajo de la recta tangente en: P .
Concavidad Positiva
Concavidad Negativa
296
7.
Criterio de Concavidad: Signo de la Segunda Derivada Sea y f (x) una función cuya derivada segunda existe en el intervalo:
Teorema 5
a,b : 1.
Sí: f ' ' ( x) 0, x a , b , entonces la gráfica de f es cóncava hacia
arriba en el intervalo: a , b . 2.
Sí: f ' ' ( x) 0, x a , b , entonces la gráfica de f es cóncava hacia
abajo en el intervalo: a , b .
8.
Punto de Inflexión
Definición 5
Si la gráfica de una función continua posee una tangente en un punto en el que su concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa), llamamos al punto un punto de inflexión.
9.
Propiedad de los puntos de Inflexión Si P (c, f (c)) es un punto de inflexión de la función: f , entonces: f ' ' ( x c) 0 ,
Nota
La función f ( x) x 4 no tiene punto de inflexión en: x 0 , a pesar dé que: f ' ' ( x 0) 0 , f ´(x) 4 x 3 ,
Ejercicio
o bien f ' ' ( x c) no existe.
pues no hay un cambio de concavidad en: x 0 , ya que:
y f ' ' ( x) 12 x 2 0, x 0
Encuentre los puntos de inflexión de la función: f ( x) x 4 12 x 3 30 x 2 19 . Solución:
297
Las derivadas primera y segunda de
la
función
f
son
respectivamente: f ' ( x) 4 x3 36 x 2 60 x , f ' ' ( x) 12 x 2 72 x 60 .
Puesto que: f ' ' ( x) 0 , para x 1 y x5,
los puntos: (1, f (1)) y (5, f (5))
son los únicos puntos de inflexión posibles, según el signo de: f ' ' ( x) .
Lo anterior lo podemos ver
en la gráfica siguiente:
10. Criterio de la Segunda Derivada para Valores extremos
Teorema 6
Supóngase que existe la segunda derivada de la función f en algún intervalo abierto: a , b que contiene a: c , tal que: f ' ( x c) 0 , es decir, c valor critico:
1.
Sí: f ' ' ( x c) 0 , entonces f ( x c) es un mínimo relativo.
2.
Sí: f ' ' ( x c) 0 , entonces f ( x c) es un máximo relativo.
10.1. Cuadro Resumen: Criterio de la Segunda derivada para Valores extremos
Valor Critico
Signo de f ' ' ( x) en el valor critico
xc
positivo
f (c)
mínimo relativo
xc
negativo
f (c )
máximo relativo
xc
Nulo o cero
Conclusión
No hay conclusión
298
11. Ejercicios Resueltos
1.
Dada la función: f ( x) 3 3 x 2 2 x . Determine: a)
Valores extremos.
b)
Puntos de Inflexión.
c)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d)
Concavidades.
e)
Intersección con los ejes de coordenadas.
f)
Gráfico de la función.
Determinemos inicialmente la primera y la segunda derivada de la función dada: Sí. f ( x) 3 3 x 2 2 x , Entonces: f ' ( x) 2
a.
1 3 x 3
x
y f ' ' ( x)
2 3 3 x4
Valores extremos si existen.
Solución: Sea: f ' ( x) 0 entonces: 1 3 x 0 , o sea el valor crítico es: x 1 , y por análisis de segunda derivada se tiene que: f ' ' x 1 0 , por lo tanto para: x 1 , existe un Valor Extremo Máximo, es decir: (1. f (1)) (1,1) es el punto máximo. Por otra parte, como f ' ( x) no existe para: x 0 , se debe de analizar el signo de la primera derivada en torno de: x 0 , entonces como: f ' x 1 0 y f ' x 18 0 , en x0
b.
existe un Valor Extremo Minimo, es decir: (0, f (0)) ( 0, 0 ) es el punto minimo. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Solución:
f es decreciente x 0 y x 1 y la función f es creciente: x 0 , 1 c.
Puntos de inflexión.
Solución: Como: f ' ' ( x)
2 3 x 4
0 , x IR 0 , luego no existen Puntos de Inflexión.
3
299
d.
Intervalos de concavidades.
Solución:
f posee siempre concavidad negativa, ya que la segunda derivada es siempre negativa, es decir: f ' ' ( x)
e.
2 3 3 x 4
0 , x IR 0
Intersección con los ejes de
Gráfico de la función:
coordenadas. Solución:
f oy , Condición:
x 0 , para ello
basta con evaluar la función en x 0 , o sea: f (x 0) 3 3 (0) 2 2(0) 0 , por tanto el punto es: 0 , 0 .
f ox , Condición: y 0 , o sea se resuelva la ecuación: 3 3 x 2 2 x 0 , dé donde se obtienen dos soluciones: x 0 y x
27 8
27 8
,0
, luego los puntos son: 0 , 0 y
.
2. a.
Determine el valor de los coeficientes: a, b, c y d para que la función definida por: f ( x) ax 3 bx 2 cx d
, tenga un máximo en el punto de coordenadas (1,10 ) y un
punto de inflexión en el punto de coordenadas: ( 1, 6 ) .
Solución: Sí: f ( x) ax 3 bx 2 cx d , entonces: f ´(x) 3ax 2 2bx c , y f ´´(x) 6ax 2b , SÍ: (1,10 ) f , entonces: 10 a(1) 3 b(1) 2 c(1) d , o sea: a b c d 10 (I). Sí: ( 1, 6 ) f , entonces: 6 a(1) 3 b(1) 2 c(1) d , o sea: a b c d 6 (II).
300
Como (1,10 ) máximo: f ´(1) 0 entonces se tiene que: 3a(1) 2 2b(1) c 0 , o sea: 3a 2b c 0
(III), y como ( 1, 6 ) punto de inflexión: f ´´(1) 0 entonces: 6a(1) 2b 0
o sea: 6a 2b 0 (IV), resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las cuatro ecuaciones anteriores se tiene que:
a 1, b 3, c 9
y d 5,
entonces:
f ( x) x 3 3x 2 9 x 5 .
b.
Determinados los valores de los coeficientes: a, b, c y d, indique si la función f tiene algún valor extremo mínimo.
Solución: Sí:
f ( x) x 3 3x 2 9 x 5 entonces las
dos primeres derivadas de la función son: f ´(x) 3 x 2 6 x 9 f ´´(x) 6 x 6
Luego los valores críticos se encuentran si:
f ´(x) 0 , resolviendo la ecuación
asociada se obtiene que: x 1 y x 3 .
Utilizando
el criterio de la
derivada, para f ´´(3) 12 0 ,
x3
segunda
se verifica que
luego existe mínimo en x 3
cuyo punto mínimo es: 3, f (3) ( 3 , 22 ) .
3.
El Costo Total en miles de dólares de producción de x unidades de cierta mercancía esta dado por el modelo de función: C ( x) 0,48 x
120.000 500 . x
Hallar
para que número de unidades el costo sea mínimo. Solución: Como en los casos anteriores, bastara con conocer la primera y la segunda derivada de la función y aplicar el criterio de la segunda derivada para valores extremos. O sea:
301
C ( x) 0,48 x
120.000 500 x
C ' ( x ) 0,48 C ' ' ( x)
120.000 x2
240.000 x3
Los valores críticos se obtienen cuando: C ' ( x) 0 , se debe de resolver la ecuación: 0,48
120.000 x2
0
o lo que es lo mismo x 2 250000 , de donde: x 500 , en este caso se
debe de considerar sólo el valor positivo y evaluando la segunda derivada se determina su signo que en este caso no da positivo, ya que: C ' ' ( x 500) 0 , por lo tanto se tiene que existe un costo mínimo en x 500 . Dada la función: f ( x) 13 x 3 x 2 3x 5 . 1.
Determine sus valores extremos, e indique su naturaleza.
2.
Determine la existencia de los puntos de inflexión
Solución: Calculemos la primera y segunda derivada de la función dada:
f ( x) 13 x 3 x 2 3x 5 ,
f ' ( x) x 2 2 x 3
f ' ' ( x) 2 x 2
Calculemos ahora los valores críticos de la primera derivada, igualándola a cero: f ' ( x) x 2 2 x 3 0
( x 1)( x 3) 0
V.C.: x 1 , x 3
Conocidos los valores críticos de la primera derivada analicemos el signo de la segunda derivada en dichos valores críticos Si: x 1 , entonces: f ' ' (1) 0 , luego existe valor extremo máximo: 1, f (1) . Si: x 3 , entonces: f ' ' (3) 0 , luego existe valor extremo mínimo: 3, f (3) .
302
Para conocer los puntos de inflexión se hace: f ' ' ( x) 0 y como: f ' ' ( x) 2 x 2 , entonces: x 1 , y como existe cambio del signo de la segunda derivada pues f ' ' (1) 0 x 1
y f ' ' (3) 0 , se tiene que para:
existe punto de inflexión dado por
el par ordenado 1, f (1) .
La grafica de la función, la ubicación de los valores extremos y puntos de inflexión es la siguiente:
Máximo: 1, f (1) 1,
20 3
Mínimo: 3, f (3) 3, 4 .
Punto de inflexión: 1, f (1) 1,
4.
Dada la siguiente función: f ( x)
4 3
x3 2 x2 1
, determine:
a)
Valores extremos si existen.
b)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)
Intervalos de concavidades y puntos de inflexión.
d)
Gráfico de la función.
Solución: Calculemos la primera y segunda derivada de la función dada: f ( x)
x3 2 x2 1
f ' ( x)
3x 1 2· ( x 1) 2
3
f ' ' ( x)
3·(2 x 2 x 1) 2· ( x 2 1) 5
A partir de estas podemos obtener lo pedido, vemos que el valor crítico de la primera derivada es: x
1 3
, y con este puedo determinar el valor extremo, por otra parte los
303
valores críticos de la segunda derivada son: x 1 y x
1 2
y con estos se pueden
determinar los puntos de inflexión. La gráfica es:
304
GUÍA UNIDAD III:
A.
LÍMITES DE FUNCIONES. I.
Evalúe los siguientes límites: 3x 5 x 0 x 2
1.- Lim
ax 10 x x a
4.- Lim
2.- Lim x 4 .
.
6.- Lim 2 x 3 .
5.- Lim
x 2
x 2 16 . x 4 x 4 2
x 2
x1
5 Lim . 3 8 x 4
x
2 8.- Lim 3 x 2 x 10 .
11.- Lim
10.- Lim
II.
x 2
x2 4 . x 2 x 2 x 3
.
7.- Lim 2 x 2 8 x 4 .
13.-
3.- Lim x 4 .
x2
14.-
5 9.- Lim 4 x 3 4 x 2 .
x 1
x 3 3x 2 2 x 6 . x 4 x3
Lim x Log 3
1 2
x 2 16 . x 4 x 42
12.- Lim
63 .
15.-
25a 2 x 9 Lim x 1 5a 3
2
.
Calcule el valor real, si existe, de cada uno de los siguientes límites:
1.- Lim
x 1
x 1
x 2 25 . x 5 ( x 5 ) 2
.
2.- Lim
x2 3 2
x3 1 . x 1 x 1
4.- Lim
x4 6x 4 . x 1 x2
6.- Lim
73 x 3 . x8 x 8
8.- Lim
x 3 3x 2 . x 1 x 3 x 2 x 1
10 - Lim
4 3 x 12 . x 27 x 27
12.- Lim
x3 x2 x 1 x 1 x 2 x 2
3.- Lim
x 2 x 12 x 3 x 2 4 x 3
5.- Lim
7.- Lim
x 0 3 x 1 1 8 x x 8 2 3 x
9.- Lim
x2 (a 1) x a x a x3 a3
.
.
.
.
xn yn x y x y
11.- Lim
13.- Lim
x 1 1
.
.
x2 ( a b ) x a b . x a x 2 ( a c ) x a c
14.- Lim
305
15.- Lim
3
x 1 1 x
3 x 2 x x 1 3 x 4 x
17.- Lim
2 . 1 3 x
3 27 x 3 27 x 3 x 0 x 2 x4
16.- Lim
.
x 4 . 4 x 16 x 2
.
18.- Lim
3x 6x 2 x 64 x 3 x 4 x
19.- Lim
.
20.- Lim 3 x 3
x2 9
.
x2 7 4
1 x x 2 1 ( x h )n x n 4 x 21.- Lim x 3 4 x 7 . 22.- Lim . 2x 2 h h 0 x 0
x 1 23.- Lim x 1 1 x 3
25.- Lim
x 4
2x 4x 2 .
2x 1 3 x2 2
x7 1 . x 1 x 1
24.- Lim
24 26.- Lim x 3 4 x 2 3 x 2 .
.
x 4
31 x 41 x . x 0 x x3
27.- Lim
28.- Lim
x 3
x 9 3 x 1 2
.
III. Determine, si existe, el valor real de cada uno de los límites que se indican 64x 3 3 x 2 2 x 1.- Lim 3 . x
2 x3
2.-
Lim x
2x - 8 x 8 x 2
.
x3
3 x 2 1 2 1 x 3 . 2 2 1 x
3.- Lim ( x x x x ) .
4.- Lim x
1 x 1 x 1 x . 5.- Lim x 2 x
6.- Lim
3x 2 2x 7.- Lim 5 .
8.- Lim ( 2 x 2 3 x 1 2 x 2 x 5 ) .
x
x
7x2 1
ax . x a x
9.- Lim
3x 2 2x 1 . x x 2 3 x 1
x
x
10.- Lim 3 x 3 1 x .
306
B.
CONTINUIDAD DE FUNCIONES I.
Muestre que la función f es discontinua en el número x a . Luego determine si la discontinuidad es reparable o no. En el caso que sea reparable, repárela: 1.- f ( x )
x2 3x 4 ;a 4. x4
x2 4x 3 Si x 3 2.- f ( x ) ; a 3. x3 5 Si x 3
4 x Si x 2 2 x Si x 2 ; a 2 . 3.- f ( x ) 4 5 4 3 x x x 36 Si x 2 4 x2 Si x 2 2 x 4.- f ( x ) 4 Si x 2 ; a 2 . 5 4 3 x x x 4 Si x 2 5.- f ( x )
x2 2x 8 x 3 6 x 2 5 x 12
; a 4 .
x x2 ; a 0. 6.- f ( x ) x
II.- Determine todos los valores de x para los cuales es continua la función dada:
x2
1.- f ( x ) x 2 ( x 3) 2 .
2.- f ( x )
3.- f ( x ) 3 7 x .
4.- f ( x ) x 2 7 x 12 .
2
x 2x 8
.
307
5.- f ( x ) x 1 x 2 . 3
7.- f ( x ) 3
6.- f ( x )
x 1 . 5 4x
16 x 2
1 48 .
16 x 4
8.- f ( x ) x 34 5 x 23
x2 3 x 5 .
9.-Encontrar a R tal que Lim f ( x ) exista, x 1
x3 a3 Si x 1 xa . Defina f de modo que sea continua en 1. f ( x) 3 x 3 a Si x 1 x a
C.
DERIVADAS Cálculo de derivadas: Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1. f ( x ) 5 x x 3 3 x 4
R: f'(x) = 5 3 x 2 12 x 3
1
2. f(t) = 2t 2 3t 3 t 2 3. f ( x ) 3 4. y ax 2 5. y x
6. f(x) =
2 2
R: y'
2 6x 3
4x a
2 3 x x2
3x
7. y =
2x 3x 2 3
R: y' 1
2 t2
6 t3
x 3
1 1 t t2
R: y' =
1 t
2
2 t3
8. f(t) = 23 x 2 4 2
308
9. y =
x
R: y' =
x2 2
x2 2 ( x 2 2)2
x2 1
10.
f(x) =
11.
f(x) = x + 2x
12.
y=
13.
f(x) =
1 x2
R: f'(x) = 1 + 2x ln 2
(2x 7)( x 2 3) 3x 5
x3
1 x
3
R: f'(x) =
14.
y
ex 2x 3
R: y' =
15.
y=
ln x 7
R: y' =
16.
y=
ln x x
R: y' =
3 3 x 2 2 x5
e x (2x 1) (2x 3)2 1 7x
1 ln x x2
Regla de la cadena Derive las siguientes funciones compuestas: 17.
f(x) = ( x 3 x ) 4
18.
y = e3 x 5
19.
F(x) =
20.
f(x) = (3 x 1)4 (2x 1)5
21.
f(x) = (2x 2 1)
22.
y = x 3 ( x 2 1)7
23.
y = ln x 2
1 5
(2x 3)
3
2
R: f’(x) = 4( x 3 x )3 (3x 2 1)
R: F'(x) =
10 (2x 3)6
R: f'(x) = 6 x (2x 2 1)
R: y' =
1 2
2 x
309
5 x 6 12
24.
y=
25.
y = ln ( x 2 1)
26.
f(x) =
x 1 e
x
x
27.
f(x) = e
28.
y=
29.
y = x e x
30.
f(x) =
31.
y = ln2 x
32.
y= e
ex
2
ln x
x
2x 2
x 1
R: f'(x) = -x e x
R: f'(x) =
R: y' =
x2
1
R: y' =
e x 2 x
( x 2)e x x3 2
R: y' = e x (1 2x 2 ) R: f'(x) =
1 2x
R: y' =
2 ln x x
R: y’ =
1 1x e x2
ln x
Derivadas de orden superior 33.
Encuentre la segunda derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = 2 x 4 3x 3 x 2 7 x 2
R: f ’’(x) = 24x 2 18x 2
b) f(x) = e2x
R: f '' (x) = 4 e2 x
c)
y=
x3
R: y’’ =
3 4 x
d) f(x) = x ( 2 x 1) 4
R: f '' (x) = 16 (2x + 1) 2 (5x + 1)
e) f(x) = a emx
R: f’’(x) = am2emx
f)
R:
y = x + ln x
d2 y dx
2
1
x2
310
34.
Calcule f '' (2) si f(x) = x ( x 2 1)3
35.
Obtenga y ''' si y = ln x
36.
Determine
d4 y dx
4
R: 1860 R: 2x 3 R: (x + 4) e x
si y x e x
37.
Si y = 4 e x , demuestre que y '' = y
38.
Demuestre que y = e x + x e x
satisface la ecuación y '' + 2 y ' + y = 0
Interpretación geométrica de la derivada : 39.
Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abscisa a indicado:
40.
a)
f(x) = 4x 3 2x 3 , a = 2
b)
y = e2 x 1 ,
c)
F(x) =
d)
f(x) = ( x 1) 4 (2 x 1) 2
x (2x 3) 2
,
R: m = f’(2) = 50 a=0
R: m = y’(0) = 2e
a=1
R: m = F'(1) =
a=0
R: m = f’(0) = 0
1 125
¿En qué punto de la curva y = x 2 - 7x + 3, la recta tangente a ésta es paralela a la recta 5x + y - 3 = 0? Grafique la situación.
41.
¿En qué punto de la curva y =
1 3 3 2 x x 4x 1 , la recta tangente a ésta 3 2
es paralela al eje X? 42.
R: (1, y(1)) y (-4, y(-4))
Encuentre los puntos de la gráfica de y = 2x 3 3x 2 16x 3 en donde la pendiente de la recta tangente es igual a –4.
R: (2, -25) y (-1, 14)
Para las funciones y = f(x) de los ejercicios 43 a 48., determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P que se indica:
311
43.
y = x5 3x3 5x 2 ;
P(1, -5)
R: y = 4 - 9x
44.
f(x) = e 2 x 3 ;
P(3/2, 1)
R: y = 2x – 2
45.
y = 1
P(4, 7/4)
R: 31x + 16y = 152
46.
y=
P(-1, 1/2)
R: y
47.
f(x) = x ln x;
48.
y=
1 2 ; x x
1 1 x
2
;
2 1 e x
;
P(1, 0)
1 x 1 2
R: y = x - 1 R: y
P(0,1)
1 x 1 2
Para las funciones y = f(x) de los ejercicios 49. a 53., determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica, en el punto de abscisa 1:
1 x
49.
f(x) = x
50.
y = 2x 2 ( x 2 x )2
51.
f(x) = x
52.
f(x) = x e x
R: y = 2e(x - 1) + e
53.
f(x) = x 2 ln x
R: y = x – 1
54.
Observando la gráfica, indique el o los puntos donde no existe derivada:
1 x2
R: y = 2x – 2 R: y = 40x –32 R: y = 3x – 3
312
55.
Observando la gráfica, indique el o los puntos donde no existe derivada:
Aplicaciones 56.
El
IPC
de
una
economía
está
modelado
por
la
función
F( t ) 0,2t 3 3t 2 100 , con 0 t 10 y donde t = 0 corresponde a 1993. ¿Con qué razón estaba cambiando el IPC en 1998 y en 2000? R: 15 /año y 12,6 /año 57.
Una cadena de tiendas de ropa masculina determinó que t días después de concluir una promoción de ventas, el volumen de ventas estaba dado por V(t) = 20 000 (1 + e0,5t ) , 0 t 5 , dólares. Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas cuando t = 2 y cuando t = 4. R: -3.679 /día y -1.353 /día
58.
Un estudio realizado en cierta comuna ha proyectado el crecimiento de su población
durante
los
próximos
tres
años
conforme
al
modelo
3
P( t ) 50.000 30 t 2 20 t , donde P(t)
denota la población dentro de t
meses. ¿Con qué rapidez crecerá la población dentro de 9 meses y en 16 meses. 59.
R: 155 /mes, 200 /mes
Un Resort de la IV Región tiene 100 departamentos para arrendar. La ganancia mensual obtenida por la renta de x departamentos es
G ( x ) 10 x 2 1760x 50.000 . ¿Cuál es la ganancia real obtenida por la renta del departamento 51, suponiendo que ya se han arrendado 50 unidades? Calcule la ganancia marginal cuando x = 50 y compare los resultados con lo obtenido antes.
R: $750 y $760 313
60.
La gerencia de producción estima que el costo total (en dólares) por la producción de x equipos de sonido, nuevo producto de la compañía, durante el primer año después del lanzamiento será de C(x) = 200x + 300.000. Por otra parte, la gerencia de ventas ha determinado que la demanda de este nuevo producto es p = -0,04x + 800, 0 x 20.000 , donde p denota el precio unitario del equipo (en dólares) y x la cantidad demandada. Determine la función de ingreso R(x), la función de ingreso marginal y calcule R’(5000).
Determine la función de utilidad U(x), la
función de utilidad marginal y calcule U’(5000).
Con la ayuda de una
calculadora o computadora, grafique la función de utilidad e interpreta lo obtenido.
314
View more...
Comments
