Introduccion Al Analisis Matematico de Una Variable Bartle Sherbert

Introducción al Análisis Matemática de una Varia ~· BARTLE • SHERBERT

iNTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO DE UNA VARIABLE

Contenido de esta obra: (D

REPASO DE LA TEORIA DE CON­ JUNTOS

o LOS NUIVIEROS REALES e SUCESIONES e L~IVHTES V CON.TINUIDAD o D~ FERENCIACION o LA INTEGRAL

DE RIEl\1ANN

e SUCESIONES DE FUNCIONES o SERIES 1 NF~NITAS

pertenece a: ángel díaz UNEFM Península de Paraguaná Estado Falcón - Venezuela

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IN~l l{ODUCCION AL /\N/\LISIS MATEMATICO 1)1~ UNA VARIABLE 1

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St·~t11·1da

edición

!{< >1~13l~T G. BARTLE

1 >< >NALD R. SHERBERT l rnivcrsídad del Este de Michigan t J 11 íversidad de Illinois

~LIMUSA WILEY(ID

l ':11 :1 ( 'arolyn y Janice

VERSIÓN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TÍTULO:

INTRODUCTJON TO REAL ANALYSIS © JOHN WILEY & SONS, INC. COLABORADOR EN LA TRADUCCIÓN:

RODOLFO PIÑA GARCÍA

LA PRESENli'.\CIÓN

Y DISPOSICIÓN EN CONJUNTO DE

1 NTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO DE UNA VARIABLE SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIÓN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACIÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACIÓN), CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS:

© 2004, EDITORIAL LIMUSA, S.A.

C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, MÉXICO, D.F. C.P. 06040 17iffl; 8503 8050 01 (800) 706 9100 ~ 5512 2903 DE

[email protected] ''1'' · www.nonega.com.mx ffcl~

CANIEM NúM. 121 HECHO EN MÉXICO

ISBN 968­18­5191­9 7.2

SIN

"' Pl{()LOGO

/

El estudio del análisis real es de enorme valor para cualquier estudiante que quiera llegar más allá del manejo rutinario de fórmulas para resolver problemas comunes, ya que la capacidad para aplicar el pensamiento deductivo y analizar ejemplos complicados resulta esencial para modificar y extrapolar los conceptos a nuevos contextos. Además, los conceptos torales de límite y continuidad del análi­ sis real desempeñan un papel crucial en muchas áreas de la matemática y de sus aplicaciones. De hecho, la matemática se ha convertido en una herramienta indis­ pensable en muchos campos, incluyendo la economía y las ciencias de la adminis­ tración así como las ciencias físicas, la ingeniería y la ciencia de las computadoras, y el análisis real es uno de los pilares fundamentales de la matemática. Nuestra meta es ofrecer un libro de texto accesible para los estudiantes de estos campos que avance de manera gradual en los conceptos y las técnicas básicas del análisis real. A pesar de los múltiples retos que plantea, el análisis real demuestra su valor en el trabajo posterior dentro de la matemática y sus aplicaciones. Se restringe la atención aquí a las funciones de una variable; se remite a los lectores que deseen estudiar funciones de varias variables al libro Introducciónal análisis matemático de Robert G. Bartle, publicado también por Editorial Limusa. La primera edición de esta obra tuvo una excelente acogida y en esta segunda edición hemos conservado tanto su espíritu como el enfoque amistoso para el usua­ rio. Se revisó cada sección, se cambió de lugar a algunos temas y se agregaron algunos temas nuevos; estos cambios se describen a continuación. Los problemas fueron objeto de una revisión total, siendo el resultado la modificación de algunos ejercicios y la incorporación de un número considerable de nuevos ejercicios. En el texto hay más material del que se necesitaría en un semestre y se ha tenido en cuenta que varias secciones se pueden omitir parcial o totalmente. A fin de proporcionar cierta ayuda cuando los estudiantes analicen las demos­ traciones de los teoremas, se ha incluido un apéndice sobre "Lógica y demostra­ ciones", donde se explican temas tales como la implicación, los cuantificadores, la negación, el contrapositivo y los diferentes tipos de demostraciones. Se ha conser­ vado la explicación informal a fin de evitar quedar empantanados en los detalles técnicos de la lógica formal. Su colocación en un apéndice indica que es una lectu­ ra opcional y se puede examinar en cualquier momento del curso o cuando sea necesario. Se cree que es una experiencia de mayor utilidad analizar y hacer de­ mostraciones de teoremas que limitarse a leer acerca de las mismas.

PRÓLOG(I

Un cambio significativo en esta edición es que los conceptos topológicos, como conjunto abierto, conjunto cerrado y compacidad, se han reunido y colocado en un nuevo capítulo: el capítulo 10, La topología de R. En la primera edición es­ tos temas estaban intercalados a lo largo del libro, pero nuestra experiencia nos ha demostr~do la conveniencia ~e reunirlos en un solo sitio en vez de tenerlos disper­ sos en diferentes partes del libro. Ahora presentamos desde un principio teoremas acerca de funciones en intervalos abiertos y cerrados, pero las demostraciones se dan en una forma que se adapta con facilidad a situaciones más generales, de tal modo que los estudiantes no necesitarán olvidar las demostraciones en un nuevo contexto. Un instructor puede pasar perfectamente al capítulo 10 en cualquier mo­ mento, por ejemplo, en conexión con el capítulo 5, si así lo desea. En el capítulo 1 se presenta un breve resumen de las nociones y notaciones de conj~ntos y ~uncio~:s que se :r:iplean en el libro. Se incluye asimismo una expli­ cacion de la inducción matemática, ya que esta técnica de demostración se presen­ ta co~ reg.ul~ridad. s.e recomi~nda que este capítulo se estudie con rapidez; se debera resistir cualquier tentación para extenderse en el formalismo de la teoría de conjuntos, ya que tal estudio no presagia de manera precisa la naturaleza del aná­ lisis real. En el capítulo 2 se presentan las propiedades del sistema de los números rea­ les. En las tres primeras secciones se ofrece práctica en el pensamiento deductivo básic~ Y ~n la elabo:ación de demostraciones; se pueden cubrir con rapidez, en ~special sr los estudiantes cuentan con experiencia previa de esta naturaleza. La importante propiedad de completidad del sistema de los números reales se estable­ ce en la sección 2.4 como la propiedad del supremo, y sus ramificaciones se anali­ zan en la sección 2.5. Estas dos secciones se deberán estudiar con atención, ya que el uso de supremos es esencial en el material posterior. La propiedad de los inter­ val~~ anidados se_ trata en la secci.ón 2.6. En la sección 2.7 se demuestra que el COnJU~to de los nu~eros reales es mcontable; esta demostración es precedida por ~n cuidadoso estudio de los conjuntos finitos, un tema cuyas sutilezas suelen de­ jarse de lado y que proporciona una excelente oportunic ad para aplicar el razona­ miento inductivo. En el capítulo 4 se presenta un tratamiento exhaustivo de las sucesiones de números reales y los conceptos de límites relacionados. Este material es, desde luego, de máxima importancia; afortunadamente, los e studiantes lo encuentran muy natural. El teorema de Bolzano­Weierstrass para suc esiones se establece en la sección 3.4 demostrando primero que toda sucesión re. ti tiene una subsucesión monótona. El capítulo 4 sobre límites y el capítulo 5 sobre funciones continuas constitu­ yen el corazón del libro. El estudio de límites de funciones depende en gran medi­ ~a ~el uso de s~cesbnes; este tratamiento paralelo refuerza la comprensión de los límites y permite tratar los teoremas básicos con bastante rapidez. (Algunos ins­ tructores .q~izás prefieran saltarse la sección 4.3 en un curso introductorio.) De manera similar, los resultados iniciales relativos a las funciones continuas del ca­ pítulo 5 se construyen con base en la teoría de límites establecida en las secciones anteriores. Las propiedades fundamentales de las funciones continuas en interva­

1'1(1 )1 ()(1()

l11s ~>1· dl:sarrnll1111 un la sección 5.3, y la continuidad uniforme se introduce en la svn·i1111 5.4. ll11 estas dos secciones, se explota el potencial pleno de la teoría pre­ via a fin de establecer las profundas propiedades de las funciones continuas. Las propiedades de las funciones monótonas se establecen en la sección 5.5. l .a teoría básica de la derivada se presenta en las dos primeras secciones del cupítulo 6. La sección 6.2 es en esencia una secuencia de consecuencias del teore­ ma del valor medio. La teoría básica de la integral de Riemann está contenida en las tres primeras secciones del capítulo 7. La integral se introduce por medio de las integrales superior e inferior, y el criterio de Riemann se usa como herramienta básica para establecer la existencia de la integral. La sección 7.3 sobre el teorema fundamental del cálculo se ha redactado de nuevo en su totalidad a fin de clarificar las relaciones entre los diferentes aspectos de dicho teorema. En las secciones posteriores de los capítulos 6 y 7 se estudian otras propiedades de la derivada y la integral que se pueden cubrir si el tiempo lo permite. En el capítulo 8 se explica la convergencia uniforme. Los instructores quizás prefieran estudiar la sección 8.1 después del capítulo 5 y considerar después los teoremas de "preservación" de la sección 8.2 a medida que vayan avanzando en los demás capítulos. En las secciones 8.3 y 8.4 las funciones trascendentales bási­ cas, las cuales suelen darse por descontadas, se estudian sobre fundamentos teóri­ cos firmes usando la convergencia uniforme. El capítulo 9 sobre series infinitas se ha revisado y ampliado ligeramente con secciones separadas donde se estudia la convergencia absoluta y no absoluta de las series. Los capítulos 8 y 9 poseen una importancia y un interés intrínsecos, pero a la vez muestran la manera en que el material visto en los capítulos anteriores se puede aplicar en temas numéricos y analíticos. El capítulo 10 es nuevo y versa sobre conceptos topológicos. Las demostra­ ciones anteriores dadas para intervalos se extienden ahora a su contexto más abs­ tracto y se hace el énfasis debido en el concepto de compacidad. Se incluye una muy breve introducción a los espacios métricos. Puesto que muchos conceptos y argumentaciones se generalizan de inmediato a los espacios métricos, la inclusión de este tema proporciona una situación privilegiada para introducir las nociones de carácter bastante abstracto discutidas en las secciones previas del capítulo. A lo largo del libro se ha prestado mayor atención que la acostumbrada a los temas del análisis numérico y a la teoría de las aproximaciones. Lo hemos hecho debido a la importancia creciente de estos temas para el estudiante contemporáneo y porque la comprensión apropiada de estos temas cuenta con bases más sólidas en el contexto del análisis real. Al mismo tiempo, estos temas también mejoran la comprensión de ideas "puramente analíticas" En muchos de los ejercicios se ofrecen "sugerencias", por lo general incom­ pletas y en ocasiones un tanto misteriosas. Su intención es ayudar a encaminar a los estudiantes hacia Ja solución, pero los detalles adicionales deben proporcio­ narlos ellos. Es una experiencia satisfactoria observar la manera en que aumenta la madu­ rez matemática de los estudiantes y como aprenden gradualmente a trabajar con soltura con conceptos que en un principio parecían tan misteriosos. Por supuesto,

J()

P1u'1J ,()( l By e y H son subconjuntos ele B, entoncesf­1(e u H) = ¡-1ce) u ¡-1cH) y ¡­1 n H) = ¡-1ce) n ¡­1cH). Sea que f esté definida por f(x) := x(-./x2 + 1, x E R. Demostrar que¡ es una biyección de R en {y: ­1 J, de donde 111 l 111111lil!~11 t•11 t111 11tí111cro natural. Puesto que m - 1 < m y mes el elemento menor de N 1111qlll'111 o S, debe ser el caso que m - 1 esté en S. Se aplica ahora la hipótesis 2) al elemento k := m - 1 de S, y se infiere que k + 1 = (m ­1) + 1 = m está en S. Esta conclusión contradice la proposición de que m no está en S. Puesto que m se obtuvo suponiendo que N\S era no vacío, la conclu­ sión es que N\S es vacío. Por lo tanto se ha demostrado que S = N. Q.E.D. El principio de inducción matemática suele exponerse en el marco de las pro­ piedades o proposiciones relativas a números naturales. Si P(11) denota una propo­ sición plausible acerca de 11 EN, entonces P(n) puede ser verdadera para algunos valores de 11 y falsa para otros. Por ejemplo, si P(11) es la proposición: "112 = n", entonces P(l) es verdadera en tanto que P(11) es falsa para toda n 1 , n EN. En este contexto, el principio de inducción matemática se puede formular de la si­

*

r.11 iculc

manera.

l'nrn rnd1111 G N, xca 1'(11) una proposición acerca de 11. Suponerque: I ') /'( 1) l'S verdadera; .1') si /'(k) l'S verdadera, entonces P(k + 1) es verdadera. f>'.11I01ll't..:S f)(11) es verdadera para toda n EN.

l .:1 vinculación con la versión precedente de la inducción matemática, dada en 1.3.2, se consigue haciendo S := {11 EN: P(n) es verdadera}. Entonces las condi­ ciuncx 1) y 2) de 1.3.2 corresponden exactam~ente con las condiciones 1') y 2'), respectivamente, La conclusión de que S = N de 1.3.2 corresponde con la conclu­ sión de que P(n) es verdadera para toda n EN. La suposición "si P(k) es verdadera" de 2') se llama hipótesis de inducción. Al esta­ blecer 2'), no interesa la veracidad o falsedad de P(k), sino sólo la validez de la implicación "si P(k), entoncesP(k + 1)". Por ejemplo, si se consideran las proposiciones P(n): n = 11 + 5, entonces 2') es lógicamente correcta. La implicación "si k = k + 5, entonces k + 1 = k + 6" es perfectamente válida, ya que tan sólo se sumó 1 a ambos miembros de la igualdad su­ puesta. Sin embargo, dado que la proposición P(l): 1 = 2 es falsa, no es posible usar la inducción matemática para concluir que n = 11 + 5 para toda n EN.

1 1'

~~111

1,

M'

1 = ~ · 1·(1+1), de donde ·1 ES. Por tanto, la l)esp11és se supone que k ES y a partir de esta suposición 1 S. Si k ES, se tiene entonces

li\'iW ,~111n11ces

, 111111 lt' it 111 1 ) ::r :­;:it isl':1L·c. '" 1111\'11111 i11krir q11c k +

1 + 2 + ... +k ~t1

­. ,. s11111a

1.3.3 Ejemplos. a) Para cada n EN, la suma de los n primeros números na­ turales está dada por 1+2+

··· +n=tn(n+l).

Para demostrar esta fórmula, sea Sel conjunto de todas las n EN para las cuales la fórmula se cumple. Se debe verificar que se satisfacen las condiciones 1) y 2) de

=

ik(k

+ 1).

k + 1 a ambos miembros de la igualdad supuesta, se obtiene 1

+

+ ...

2

+k

+

(k

+ 1)

=

ik(k

=

i(k

+ 1) +

(k

+ 1)

+ l)(k + 2).

+ 1, se concluye que k + .1 ~ S: Por se satisface la condición 2) de 1.3.2. Por lo tanto, por el pnncipio de 1•1111siguiente, uulucción matemática se concluye que S = N y la fórmula es válida para toda n EN. b) Para cada n EN, la suma de los cuadrados de los n primeros números 11.1111 mies está dada por la fórmula l 'uexío que esta es la fórmula original paran= k

12 l ':1r;1

+ 22 + ... +n2

=

f¡n(n

+ 1)(2n + 1).

demostrar la validez de la fórmula, se observa primero que es verdadera para

v 1 caso n = 1, ya que 12 = t · l · 2 · 3. Si esto se supone cierto para k, entonces al o. . e) Sin EN, entonces n >O. 2.2.S Teorema. a) Si a

Demostración. a) Por la propiedad de tricotomía si a i= O, entonces a E P, o bien, -a E P. Si a E P, entonces por 2.2 ii se tiene que a2 = a · a E P. De manera similar, si -a EP, entonces por 2.2.1 ii se tiene que (-a)(-a) EP. De 2.1.5 b) y 2.1.5 d), se sigue que (-a)(-a) = ((­l)a)((­l)a) = (­1)(­1) ·

a2

= a2,

de donde se deduce que a2 EP. Se concluye que si a -:/=O, entonces a2 >O. b) Puesto que 1 = (1)2, el inciso a) indica que 1 >O. e) Se aplica la inducción matemática. La validez de esta afirmación con n = 1 no es sino el inciso b ). Si se supone que la afirmación es cierta para el número natural k, entonces k EP. Puesto que 1 EP, se tiene entonces que k + 1EPpor2.2.1 i. Por tanto, la afirmación es cierta para todos los números naturales. Q.E.D.

Al combinar 2.2.5 e) y 2.2.6 d) se observa que el recíproco l/n de cualquier natural n es positivo. Por consiguiente, los números racionales que tienen la lorrna m/n = m(l/n), donde m y n son números naturales, son positivos.

número

2.2.7

Teorema. Si ay b están en R y si a< b, entonces a O. Por tanto de 2.2.6(d)}se infiere que u

(c.) Las propiedades siguientes relacionan el orden en R con la adición y la multi­ plicación. Proporcionan parte de las herramientas que se emplearán para trabajar con desigualdades. 2.2.6 a) Si b) Si e) Si

Teorema. Sean a, b, e, d elementos de R.

a a a Si a d) Si a Si a

> b, entonces a + c > b + c. > by e > d, entonces a + e > b + d.

>by c > O, entonces ca > cb. > by c < O, entonces ca < cb. >O, entonces l/a >O. < O, entonces 1/a < O.

Demostración. a) Si a - b EP, entonces (a+ c) ­ (b +e)= a - b está en P. Por tanto a + c > b + c. b) Si a - b EP y e - d EP, entonces (a+ c) - (b + d) =(a - b) + (c - d) también pertenece a P por 2.2.1 i. Por tanto; a+ e > b +d.

a= ~(2a) < i(a + b) < ~(2b)

= b.

· Q.E.D.

Vale la pena mencionar que las propiedades de orden elementales que se han establecido hasta este punto bastan para demostrar que no puede existir un número real positivo mínimo. Esto se demuestra de la manera siguiente. 2.2.8 Corolario. Si b ERy b >O, entonces O< ib < b. Demostración. Se hace a= O en 2.2.7.

Q.E.D.

Los dos resultados siguientes se usarán más adelante como métodos de de­ mostración. Por ejemplo, para demostrar que un número a ~ O es igual a O, por el resultado siguiente se observa que basta probar que el número a es menor que un número positivo cualesquiera. Teorema. Si a ER es tal que O ,,; a entonces a =O. 2.2.9

< E para todo número positivo

E,

·IH

l.OS NUMl'.HClS

0 O, o bien, a < O. Si a > O, entonces l/a > O por 2.2.6 d) y, por lo tanto, ' b

= 1 · b = ((1/a)

a)b = (1/a)(ab)

v11 q111· 1 1\ 2.x + 1 ­~ (J 2x ~ 3 x ~~-Por lo ~:(' 1ir11l· q111,; !\ · {x eU: x ~ i}. h) 1 lL"lcrn1i11ar el conjunto B := {x ER: x2 + x > 2}. 1 .11 (k:sigu;ildnd se reescribe de tal modo que se pueda aplicar el teorema 2.2.11. ! >lt::nvrn.; que x E B x2 + x - 2 >O (x- l)(x + 2) >O. Por lo tanto, •,1· 1 irne i x- 1 > O y x + 2 > O, o bien, se tiene ii x - 1 1} U {x e R: x 11./i

NillVJl!IUl11IWAl11t

,,J ab ~ Ha + b)

(2)

(1

donde la igualdad ocurre si y sólo si a = h. Para demostrar este hecho, obsérvese que si a > O, b > O y a b, entonces ..j{¡ > O, -Ji. > O y ..Ja -Ji, (¿por qué?). Por lo tanto, de 2.2.S(a) se infiere que (.Ja - ..Jb)2 O. Al desarrollar el cuadrado se obtiene

*

*

*

si se O. al

•

b ¡¡)2

s ER tal que

~

(a21 + · · · + a2)(b21 + · · · + b2). ¡¡

-

2ab + b2 =(a - b)2.

J

­

Observación. La desigualdad de la media aritmética­geométrica los números reales positivos a 1, a2, •.• , a11 es ( a 1 a 2 · .. a n )

I/

ª1

general para

+ ª2 + ... +a"

n .::: ­­­­­­­­

""

n

donde la igualdad ocurre si y sólo si a1 = a2 = · · · = a . Es posiole probar este enunciado más general usando la inducción matemáticapero la demostración es un tanto intrincada. Una demostración más elegante que usa las propiedades de la función exponencial se presenta en el ejercicio 8.3.9.

de Bernoulli, Si x (1+x)11~1

+ nx

.:.2.5 a) y 2.2. l i se concluye que F(t) ~ O para toda t

11

E R.

Al desarrollar los

~

O, .

se ha hecho

¡\ := a21 +

... + a2n>

B :=a 1 b 1 +···+a

e := bf + · · · + b'/;.

b

n n'

l 'ucslo que la función cuadrática F(t) es no negativa para toda t E R, no puede tener raíces reales diferentes. Por lo tanto su discriminante

d11s

L1 := (­2B)2 ­ 4AC = 4(B2 -AC) debe satisfacer L1 ~ O. Por consiguiente, se debe tener B2 ~ AC, que es precisa­ mente (5). Si b =O para toda}= 1, ... , n, entonces ocurre la igualdad en la expresión (5) para cua]quier elección de las ªr Supóngase ahora que no todas las b =O (j = 1, ... , n ). Se ve de inmediato que si aj = sbj para alguna s E R y toda j = 11, ... , n, entonces nrnbos miembros de (5) son iguales a s2(bf + · · · + b;)2. Por otra parte, si se cumple la igualdad en (5), entonces se debe tener L1 = O, por lo que existe una raíz únicas de la ecuación cuadrática F(t) =O. Pero esto significa (¿por qué?) que

a1 ­sb1 =O, ... , a,, -sb,, =O

> ­1, entonces para toda

- tb11)2.

tb1)2 +···+(a"

uudrados se obtiene

d1111(k

Pero esta igualdad indica que a = b (¿por qué?). Por tanto, la igualdad de (2) significa que a = b.

fl

a1­=

F(t) := (a1 1

,b11 son números

...

si 110 todas las b. =O, entonces la igualdad de

numero

1 >i·

+ 2ab + b2,

11

F(t) =A - 2Bt + Ct2 O= a2

l. En consecuencia, la desigual­

(5) ocurre si y sólo si existe sb., ... , a11 = sb. · Para demostrar esto se define la función F: R--+ R para t E R por

1\tl1"11l(is, 1111

de donde se deduce que

(4)

x)"( 1 + x)

cnlonccs:

ta.b l +···+a

a*

c) Desigualdad

I·

11111 1111110, :w deduce la desigualdad (4) paran+ ilnd 1'11 v(ilid11 pnra toda n EN

b).

Por lo tanto (2) es válida (con la desigualdad estricta) cuando b. Además, a = b(> O), entonces ambos miembros de (2) son iguales a a, de donde (2) convierte en igualdad. Con esto se demuestra que (2) es válida para a > O, b > Por otra parte, supóngase que a> O, b >O y que -lab =Ha+ b). Entonces, elevar al cuadrado ambos miembros y multiplicarlos por 4, se obtien~

(3)

1

I· d) Ocsigualdad de Cauchy, Sin EN y al' ... ,a11 y b1,

de donde se sigue que

= a2

~ (

~ 1 +(n+l)x.

Jl'1tl1•::,

4ab =(a+ b)2

1

~, ( 1 + nx)( 1 + x) = l + (n + l)x + nx2

a - 2 ,.;a¡;+ b >O,

.J"aE n. 1· ·• 1. demostrar que e"~ e para toda n EN. e< 1 y 111, n EN, demostrar que cm< en si y sólo si m > n. IJ, IJ >O y 11 EN, demostrar que a< b si y sólo si an < b" .. ·O para k = 1, ... , n. Demostrar que

n.2~

=

1 +

(c1 +c2+ ,

'

2

21.AC +e= (v'A + IC) .

111/

De acuerdo con el inciso a) se tiene (¿pÓr qué?)

+ ( a1, + b,.)

•

11

+ 2B+ C

1'1111¡¡\Il11111

,l\'I

2.5.2 Propiedad de Arquímedes. Six ER, entonces x2 - (x2 ­ 2) = 2. Por hipótesis se tiene que x2 - 2 > O, de 1 lt inde (x2 - 2)/2x > O. Por tanto, por la propiedad de Arquímedes, existe m EN tal que

1 m

<

x2

-

2

2x

·:stos pasos se pueden invertir para demostrar que con esta elección de m se tiene > 2. Ahora bien, sis ES, entonces s2 < 2 < (x ­ l/m)2, de donde se deduce por 2.2.14 a) que s < x - l/m. Esto significa que x - l/m es una cota superior de S, lo cual contradice el hecho de que x = sup S. Por lo tanto, no se puede tener x2 > 2. Puesto que se han excluido las posibilidades x2 < 2 y x2 > 2, se debe tener x2 := 2. Q.E.D. J

(x - l/m)2

Haciendo ligeras modificaciones en el razonamiento anterior, el lector puede demostrar que si a > O, entonces existe un número b > O único tal que b2 = a. A b

Al'l.l('/\('ltlNHli se le llama la

J11

raíz cuadrada positiva de a y se denota prn' /J

o /¡

..::

a 112. Es

posibleformular un razonamiento un tanto más complicado en el que interviene el teorema del binomio para establecer la existencia de una raíz n­ésíma positiva única de a, denotada por o a1111, para cada n EN.

va

Densidad de los números racionales en R ":JJ?R!flCt,o·v>rt....

Se sabe ahora que existe al menos un número racional, a saber ../2. En reali­ dad hay "más" números irracionales que números racionales en el sentido de que el conjunto de los números racionales es contable, en tanto que el conjunto de los números irracionales es incontable (ver la sección 2.7). En seguida se demuestra que no obstante esta aparente disparidad, el conjunto de los números racionales es "denso" en R en el sentido de que es posible hallar un número racional (de hecho, un número indefinido de ellos) entre dos números reales diferentes.

SIS:

\¡! St'it

obtiene m EN tal que m - 1 ~ nx < m. Esta m también satisface m < ny, ya que < ny. Se tiene por tanto nx < m < ny, de donde r := mtn es un número racional que satisface x < r R tenga codominio acotado en R. Sea que F: X-> R y G: Y-> R estén definidas por F(x) :=

[a, b} := {x ER: a~ x ~ b}.

( ')

{a}.

a ER,

entonces a los conjuntos definidos por (a, oo) := {x ER: x >a},

(/)

(­oo, a):= {x ER: x S Y lll\C 'I M A 1.1 '.S

/1

d11 de· i11ll'1 valos acotados cerrados tiene un punto común. La completidad de R

13

cl1'~:\ii11pdta

71

Sin rn11l11r¡•,o, una propiedad muy importante de Res que toda sucesión anida­

E

E

E

E

E

is

J

J

J

J

J

2.6.l Propiedad de los intervalos anidados. Si /11 =[a,,, b J n EN, es une 1

lz

Demostración. Puesto que los intervalos están anidados, se tiene /11 ~ /1 pa­ roda n EN, por lo que a11,,;;; bn para toda n EN. Por tanto, el conjunto no vacío ¡ 1111: 11 EN} está acotado por arriba y se hace que~ sea su supremo. Evidentemente, 1111 -~ ~para toda n EN. Se afirma asimismo que ; :;;; b11 para toda n. Esto se establece demostran­ do que para cualquier n particular, el número b11 es una cota superior del conjunto ¡ 111,: k EN}. Se consideran dos casos. i Si n :;;; k, entonces, como /11 ;;:¿ /k, se tiene "i ,,;;; b,.«: b . ii Si k < n, entonces, como Ik:) I , se tiene ak :S. a ,,;;; bn. (Ver la 11 n n l'igura 2.6.2.) Por tanto, se concluye que ak,,;;; b11 para toda k, por lo que b11 es una cola superior del conjunto {ak: k EN}. En consecuenciaEss bn para cada n EN. Puesto que a,,,,;;;~,,;;; b11 para toda n, se tiene; Ei11 para toda n EN. Q.E.D. 1.1

FIGURA 2.6.I Intervalos anidados. El i~tervalo unitario es el intervalo cerrado [O, 1] := {x ER: o:;;; x:;;; 1}. Con f~ecue.ncia se deno.tar~ por la notación común J. (En algunos libros se hace referen­ cia al intervalo unitario como el continuum.)

Intervalos anidados

1

Se .dice que una sucesión de intervalos /11, n EN, está anidada (ver la figura 2.6.1) si se cumple la siguiente cadena de inclusiones I¡ ¿ 12 ¿ 13 ¿ ...

::) l ::) l ­

" ­

1'+1

::) ... ­

1

anidada de intervalos acotados cerrados, entonces existe un número 1( tal que I; El11para toda n EN.

111c·1·sió11 .','

/4

un papel central en el establecimiento de esta propiedad.

.

"'·

2.6.2 Teorema. Si /11 :=[a,~ b11], n EN, es una secuencia anidada de intervalos acotados cerrados tales que las longitudes b11 - a11 de /11 satisfacen inf {b11-a11:

n EN}= O,

entonces el número ; contenido en /11 para toda n EN es único.

Es i~portant~ entender que, en general, una sucesión anidada de intervalos no necesariamente tiene un punto común. Por ejemplo si J := (O l/n) N entonces est ·, d · ' 11 ' para n E . , a sucesión e intervalos está anidada, pero los intervalos no tienen :~g~: punto en común. Esto es verdadero porque para una x > O dada existe m EN q Kl/m < x de tal modo que x rtl111• De manera similar, la sucesión de inter­ va. l os n ·­(n oo) .n E N es t'a aruid a d a pero no tiene puntos comunes (Ver el · · ·' c10 2.6.7.) · ejercr­

ª" < n, entonces /

+Representacíones binaria y decimal Se hará una breve digresión para explicar (de manera informal) las nociones de representación binaria y decimal de números reales desde la perspectiva de los intervalos anidados. Basta considerar la situación de los números reales entre O y 1, ya que las representaciones de los demás números reales se pueden obtener entonces sumando un entero positivo o negativo, según sea el caso.

1­­1,,­­j FIGURA 2.6.2 Si k

Demostración. Si r¡ := inf {b11: n EN}, entonces se puede usar un razona­ miento similar a la demostración de 2.6.1 para probar que a11,,;;; r¡ para toda n y, por consiguiente, que ~ ,,;;; T]. De hecho, se deja como ejercicio (ver el ejercicio 2.6.8) demostrar que x E /11 para toda n EN si y sólo si ; :;;; x :;;; r¡. Si se tiene inf { b11 - an: n EN}= O, entonces para cualquier E> O existe una m EN tal que O,,;;; r¡- ~:;;; »: - am O, del teorema 2.2.9 se deduce que r¡ - ~ = O. Por lo tanto, se concluye que ; = 1) es el único punto que pertenece a /11 para toda n EN. Q.E.D.

11

s /k.

t El resto de esta sección se puede omitir en una primera lectura.

1 OS NIJMl\l(OS

72

IN

1(1 /\11

Se considerará primero la idea de representación hl11111 l11 d1· 111111 1 d:1da en el intervalo [O, 1 ]. Aplicando un procedimiento de bisección es posible asociar una sucesión de ceros y unos de la siguiente manera. Si x ~pertenece al subintervalo izquierdo [O, fl, entonces se toma a1 ­=O para el primer término de la sucesión a 1; si x pertenece al subintervalo derecho [~, 1] entonces se toma a 1 = l. Si x = ~, el punto de bisección, entonces a 1 se puede tomar como O, o bien, como l. En cual­ quier caso se tiene la desigualdad

*

a1

a1

1

2

2

2

-~x~-+-.

a1 a2 a1 +-~x~-+-+ 2 22 2

a2 22

l

22.

El procedimiento de bisección se continúa, asignando en el n­ésimo paso el valor an = O si x está en el subintervalo izquierdo y el valor a n = 1 si x está en el subintervalo derecho. De este modo se obtiene una sucesión al' a2, ..• , a11, ••• de ceros y unos que corresponde a una sucesión de intervalos anidados cuya intersec­ ción es el punto x. Para cada n se tiene la desigualdad

(*)

ª1

2

ª2

a;

22

2" ""

+-+···+-~x&-+-+

a1

a2

"" 2

22

a,.

1

2"

2"

..·+-+

Si x resulta ser el punto de bisección en el n­ésimo paso, entonces x es de la forma x = m/2" con m impar. En este caso, se puede escoger el subintervalo izquierdo o el derecho, de tal modo que a11 =O o a11 = 1; sin embargo, una vez que se elige este intervalo, se determinan todos los subintervalos subsecuentes en el proceso de bisección. Por ejemplo, si se eligió el subintervalo izquíer­ío de tal modo que a11 =O, entonces x es el punto terminal derecho de los subintervalos subsecuentes y, en consecuencia, ak = 1 para toda k ~ n +l. Por otra parte, s: se elige a11 = 1, entonces se debe tener que ak =O para toda k ~ n + l. (Por ejemplo si x =~,entonces las dos sucesiones posibles para x son O, 1, 1, 1, ... y 1, O, O, O, ... ) En resumen: Si x E [O, 1 ], entonces existe una sucesic n al' a2, •.. , a11 de ceros y unos tal que la desigualdad(*) es válida para toda n. Se escribirá x = (.a1a2 · · · a11 • • ·)2 y se llamará a esta expresión la representación binaria de x. La repre­ sentación es única excepto cuando x es de la forma x = m/2", donde mes impar, en cuyo caso hay dos representaciones posibles X= (.ala2, .. ª11­1100

".)z = (.ala2 "' ªn-1011 · ' ')2,

una que termina en ceros y la otra que termina en unos.

l(Vi\l ()~;V

1 u«

73

'IM/\1.1·.S

toda s111·1'si611 de ceros y unos es la representación binaria rc«! único en 10, 1.J. De hecho, si se da al' a2, ... , ªn' ... , donde 1 p;11atoda11 EN, entonces la desigualdad(*) determina un subintervalo

/i1·1 1¡111w111111·11t1•, ,/11 111111111111'/'ll

O 1111 " •• 111d1, de [O, 1 [ de longitud 1 /2" para cada n. Se puede comprobar con facilidad qtw 111 stll'esi6n de intervalos obtenida de esta manera es anidada; por tanto, por el 11 1111·11111 2.fl.2, existe un número real único x que satisface(*) para toda n EN. Pero 1 •,li1 :>i¡•,11il'ica que x tiene la representación binaria (.a1 a2 · · · a11 • • ')2•

,,

/j

1 1 1

( )hscrvación. El concepto de representación binaria es de suma importancia en esta computadoras digitales. En ellas, los números se registran en "bits", y cada bit se p111·1k poner en uno de dos estados; será conductor de corriente o no lo será. Estos dos 1 .t 11\ lns corresponden a los valores 1 ó O, respectivamente. Por tanto, un número representa­ ,¡,, prn una sucesión de unos y ceros se puede almacenar en una cadena de bits en una , umputadora digital. Por supuesto, en la práctica, ya que sólo se puede usar un número l 11111< 1 de bits para representar un numeral dado, la representación binaria se debe truncar. Si •11· 11s;11111 dígitos binarios para un número x E [O, 1 ], entonces la precisión será a lo sumo de 1 "'. Por ejemplo, para asegurar una precisión de cuatro cifras decimales es necesario usar 111 menos J 5 dígitos binarios (o 15 bits). , 111

Ahora se biseca el intervalo B a1, ~a1 +~].Para el segundo término se toma a2 =O six pertenece al subintervalo izquierdo y se toma a2 = 1 si x pertenece al subintervalo derecho. Si x = i, o bien, x = ~' entonces a2 se puede tomar como O o como 1. En este punto se tiene la desigualdad

1'1

dr las

La percepción geométrica de las representaciones decimales de números rea­ l1·s es en esencia similar a la de las representaciones binarias, excepto porque en el 1 .1so de las representaciones decimales cada intervalo se subdivide en diez •:11hintervalos iguales en lugar de en dos. Si se da x E [O, 1 J y se subdivide [O, 1 J en diL·z subintervalos iguales, entonces x está en un subintervalo [bi/10, (b1+1)/10] para algún entero », de {O, 1, ... '9}. Si X es uno de estos puntos de subdivisión, entonces son posibles dos valo res de b1 y se puede elegir cualquiera de ellos. En cuulquiera de los dos casos se tiene la desigualdad l

10 donde b, E {O, l, ... , 9}. El subintervalo elegido se subdivide en diez subintervalos iguales y el proceso continúa. De este modo se obtiene una sucesión bl' b2, •.. , b11, ... de enteros con O ..; b n ..; 9 para toda n EN tal que x satisface la desigualdad

( * *)

b¡ 10

h2

bn

1

102

10"

10"

+­+"·+­+

para toda n EN. Se escribe x = .b1b2 • · · b11 • • • y se llamará a esta expresión la representación decimal de x. Si x ~ 1 y si B EN es tal que B ..; x < B + 1, entonces x = B.b1b2 • • · b11 • • ·, donde la representación decimal de x - B E [O, 1 J es como antes. Los números negativos se tratan de manera similar. El hecho de que cada decimal determina un número real único se deduce del teorema 2.6.2. A partir del decimal .b1b2 • • • b11 • • • se obtiene una sucesión de

74

75

('ONJUN'l'OS !NFINl'l'OS

intervalos anidados con longitudes 1/10" por medio ele IH~ dmd¡.i,11nld11dc:­1 ("' "') y, en consecuencia, hay un número real único x en la intersección. Puesto qucx satis­ face las desigualdades (* *), es evidente que x .b ; b2 • • · b n · · ·. La representación decimal de x E [O, 1] es única excepto cuando x es un punto de subdivisión en alguno de los pasos. Supóngase que x es uno de estos puntos, de tal modo quex = m/1011 para alguna m, n EN, 1~m~10". (Se puede suponer que m no es divisible entre 10.) Entonces x aparece como un punto de subdivisión en el 11­ésimo paso y son posibles dos valores para el n­ésimo dígito. Una elección de b11 corresponde a escoger el subintervalo izquierdo para el paso siguiente. Puesto que x es el punto terminal derecho de este subintervalo, se deduce que todos los dígitos subsecuentes tendrán el valor 9; es decir, bk = 9 para toda k ~ n + l. Por tanto, una representación decimal de x tiene la forma x = .b ; b2 • • · b,,99 · · ·. La otra elección de la n­ésima cifra decimal es b11 + 1, que corresponde a escoger el subintervalo dere­ , cho en el n­ésimo paso. Puesto que x es el punto terminal izquierdo del n­ésimo subintervalo, todos los valores subsecuentes serán O; es decir, bk =O para toda k ~ n +l. Por tanto, la otra representación decimal de x tiene la formax = .b1b2 • · · (b,, + 1)00 · · ·. (Por ejemplo, si x := 1, entonces x = 0.499 · · · = 0.500 · · ·. De manera similar, si y := 38/100, entonces y = 0.3799 · · · == 0.3800 · · · .) Esta breve mirada a las representaciones decimales de los números reales se concluirá con la descripción de los tipos contrastantes de representaciones deci­ males que ocurren para los números racionales y los irracionales. Para ello se ne­ cesita la idea de decimal periódico. Se dice que el decimal B.a1 a2 · • • a11 • • • es periódico (o repetido) si existen los números naturales k y m tales que a11 = a11 + m para toda n ~ k. En este caso, el bloque de dígitos ak ak + 1 · • • ak + m _ 1 se repite una vez que se llega al k­ésimo dígito. Al menor número m con esta propiedad se le llama el período del decimal. Por ejemplo, 19/88 = 0.2159090 · · · 90 · · ·tiene periodo m = 2 con el bloque 90 repetido empezando en el dígito k:;:: 4. Un decimal cerrado es un decimal repetido en el que el bloque que se repite es simplemente el dígito O. La relación entre la racionalidad o la irracionalidad de un número real y la naturaleza de sus representaciones decimales es que un número real positivo es racional si y sólo si su representación decimal es periódica. En lugar de presentar una demostración formal de este enunciado, sólo se indicarán las ideas en que se basa dicha demostración. Supóngase que se tiene un número racional p/q, donde p y q son números naturales sin factores primos. Basta considerar el caso donde O < p < q (por qué). Se puede demostrar que el proceso familiar de la división larga de q a p produce la representación decimal de p/q. Cada paso en el algoritmo de la división produce un residuo que es un entero entre O y q - l. Por lo tanto, después de a lo sumo q pasos, aparecerá algún residuo por segunda vez y, en ese punto, los dígitos del cociente empezarán a repetirse en ciclos. Por tanto, la representación decimal de un número racional se considera periódica. Recíprocamente, si un decimal es periódico, entonces representa un número racional. La idea de la demostración se ilustra con facilidad mediante un ejemplo. Supóngase que x = 7.31414 · · · 14 ···.Se multiplica primero por 10 para mover el

=

¡11111111dnd11111l11l

primer bloque que se repite, es decir, lüx = 73.1414 ···.Después por 102 para mover uno de los bloques. a la izquierda del ?_Unto JOOOx = 7314.1414 ···.Entonces haciendo una sustracción se 11111 limo 1111 entero: 1 OOOx ­ lOx = 7314 ­ 73 = 7241. Por tanto, x = 7241/990, que 1 N 1111 111'1111cro racional.

1111 111111t lpllni 1 Ox ¡j1 ,.¡111111, L'H decir

lt;jcn:icios de

na sección

2.itíi

Si¡:= [a, b] e/':= [a', b'] son intervalos cerrados en R, demostrar que l t;;;; I' si y sólo si a' n, entonces al menos dos palomas deben compartir una de las casillas. Este 1": 1111 resultado que se usa con frecuencia en el análisis combinatorio. En el teorema siguiente interviene el conjunto N de todos los números natura­ In:, pero se puede demostrar usando el teorema precedente. La demostración se tic.ja como ejercicio al lector.

2.7.4 Teorema .. a) Si m EN, entonces existe una inyección de N"' en N. b) Si m EN, entonces no existe una inyección de Nen N111• Se obtiene así un resultado que parece ser "obvio". (¿Puede el lector dar una

demostración más sencilla?) 2.7.2 Teorema. Un conjunto S1 tiene n elementos si y sólo si existe una biyeccion de S1 sobre un conjunto S2 que tienen elementos. Un conjunto T1 es finito si y sólo si existe una biyección de T1 sobre un conjunto T2 que es finito. El resultado siguiente es natural, pero se incluye su demostración.

2.7.5 Corolario. El conjunto N de los números naturales es un conjunto infinito. Demostración. Si N fuera un conjunto finito, entonces existiría alguna m EN y una biyección f de N111 sobre N. Pero esto significa que la función inversa ¡­1: N--¡. N es una inyección lo cual contradice al teorema 2.7.4 b). Q.E.D. /JI

2.7.3 Teorema. a) Sean m, n EN con m ,;_;:; n. Entonces existe una inyección deNm enNn. b) Sean m, n EN con m

> n.

Entonces no existe una inyección de N

m

'

El siguiente resultado que se relaciona con los conjuntos finitos, que tratan con inclusión de conjuntos, requiere inducción matemática en su demostración.

en N.

n

Demostracíén, Sea que f: Nm--¡. N" esté definida por f(k) := k para k ENm ~ N". Es fácil ver que fes inyectiva. b) La demostración se hace por inducción. Primero, sean :::; l. Si ges cual­ quier mapeo deNm (m > 1) en N1, entonces es evidente que g(l) == · · ·;;;; g(m);;;; 1, de donde g no es inyectiva.

2. 7.6 Teorema. Un subconjunto T de un conjunto finito Ses finito. Demostración. Se puede suponer que Tes no vacío. (¿Por qué?) La demos­ tración se hace por inducción sobre el número de elementos del conjunto S. Si S tiene un elemento, entonces es evidente que el único subconjunto no vacío T de S debe coincidir con S y, por tanto, es un conjunto finito.

7tl

1.0!­; NIJMl',llON

lW/\1,l(ll

( 'ONJl!N'l'O:­l

Supóngase ahora que todo subconjunto no vacío de u11 ..:011,1111110t' E definido por f(n) := 2n, n EN, es una biyección de N sobre E. De manera similar, el conjunto O := N\E de los números naturales impares es enumerable. b) El conjunto Z de todos los enteros es enumerable. Para hacer el mapeo de N sobre Z se puede mapear el elemento 1 sobre O, el conjunto de los números natura­ les pares sobre el conjunto de los enteros positivos y el conjunto de los números naturales impares mayores o iguales que 3 sobre el conjunto de los enteros negati­ vos. El mapeo se puede poner de manifiesto al escribir Z ={O, 1, ­1, 2, ­2, ... }. e) La unión de dos conjunto enumerables disjuntos también es enumerable. La idea aplicable en la demostración se encuentra en el ejemplo anterior, donde se demuestra que Z es enumerable. Los detalles se dejan como ejercicio. El resultado siguiente es análogo a 2. 7.2 y la demostración

se deja al lector.

INl ICL11lo, el conjunto Fes enumerable. Cada número racional está representado muchos miembros diferentes de F (por ejemplo, 1=1/1==2/2 =···).Para cada 1 , Q' se puede seleccionar la fracción que la representa con el menor denomina­ d111 y, por tanto, es posible considerar a Q+ como un subconjunto de F. Así, por el 11•111cma 2.7.11, el conjunto Q+ es contable. Q.E.D.

en donde se permiten las repeticiones. Por consiguiente, ya no es tan indispensable que el mapeo sea inyectivo.

Observación. El mapeo de F en N que se indica con el diagrama en la demostración ¡111T1.:dcnte se puede dar explícitamente por una fórmula. De hecho, se puede comprobar 1 ¡111.· es el mapeo f: F--+ N definido por f(m/n) := i(m + n - 2)(m + n - 1) + m.

11

p111

La numerabílídad elle Q

La innumerabiíidad de R

Se demostrará ahora que el conjunto

Q de los números racionales es numerable.

No obstante el hecho de que el conjunto de los números racionales es conta­ el conjunto completo R de los números reales no es contable. De hecho, el 1·011junto I de los números reales x que satisfacen O ~ x ~ 1 no es contable. La .lcmostración es el excelente razonamiento "diagonal" de G. Cantor. En los ejercí­ rios se presenta un segundo razonamiento. lrlc,

2.7.13 Teorema. El conjunto Q de los números racionales es contable. Demostración. Se demostrará que el conjunto Q+ de los números racionales positivos es enumerable. Entonces, como Q = Q+ U {O} U Q-, donde Q- es el conjunto de los números racionales negativos, se inferirá que Q es enumerable [como Zen el ejemplo 2.7.9 c)]. Se muestra el conjunto F de todas las fracciones m/n con m, n EN de acuerdo con la ordenación siguiente, donde el n­ésimo renglón consta de todas las fraccio­ nes con denominador n.

3

l {1

2

4

4

3

3

3

4

4

2. 7.14 Teorema. El conjunto I = { x E R: O ~ x ~ 1} no es contable. Demostración. La demostración se hace por contradicción. Se usará el hecho de que todo número real x en I tiene una representación decimal de la forma x = O.a 1a2a3 • • ·,donde cada s, representa un dígito de O a 9. Se debetener presente que ciertos números tienen dos representaciones decimales, una que termina en ceros y la otra en nueves. Supóngase que hay una enumeración xl' x2, x3 • · · de todos los números reales en I dada por =

º·ª11ª12ª13

.xz

=

º·ª21ª22ª23

ªzn

X,3 =

Ü.G,31G3za31

a3n

xn

º·ªn1ªn2ªn3

4

La función de N sobre el conjunto F de fracciones se define según lo indican las líneas diagonales. Se tiene

...

X¡

=

ªin

..

. . . «: ...

Se define ahora un nuevo número real y= O.y 1y213 · · ·y" · · · de la siguiente manera. Se hace y 1 = 2 si a J 1 ~ 5 y y1 = 7 si a11 ~ 4; en general, se hace

82

1.0S N11M11.l~Wl

si si

( 'ONlllN l'O.': INl·INl'l'OS

HI 1\11111

a,.,, ~ ~>.

anti<

¡1,

4 .

111111

hiyccción

entre N y el conjunto O de todos los números natura­

11·11 l111p111rs. l':1c11111r una

l , l'i H.

Se tiene entonces O .;;; y .;;; l. El número y no es igual a ninguno de los números con dos representaciones decimales, ya que y11 O, 9. Se tiene asimismo y x11 para toda n EN porque y y x11 son diferentes en la n­ésima cifra decimal. (En con­ secuencia, la elección de 2 y 7 no es importante, tan sólo alguna elección que asegure que las n­ésimas cifras decimales difieren.) Por lo tanto, cualquier colec­ ción enumerable de números reales en el intervalo omitirá al menos un número real que pertenece a este intervalo. Por lo tanto, este intervalo no es un conjunto contable. Q.E.D.

*

1•11,111·111111

H.I

*

Es posible combinar el hecho de que el conjunto R de los números reales es incontable con el hecho de que el conjunto Q de los números racionales es conta­ ble para concluir que el conjunto R\Q es incontable. De hecho, puesto que la unión de dos conjuntos contables es un conjunto contable [ver 2.7.9 c)], la conta­ bilidad supuesta de R\Q indicaría que R, la unión de Q y R\Q, sería un conjunto contable. A partir de esta contradicción se infiere que el conjunto de los números irracionales R\Q es un conjunto incontable. Supóngase que un conjunto A es infinito; se supondrá que existe una corres­ pondencia biunívoca con un subconjunto de A y con Nen su totalidad. En otras palabras, se supone que todo conjunto infinito contiene un subconjunto enumerable. Esta afirmación es una forma débil del llamado axioma de elección, el cual es uno de los axiomas comunes de la teoría de conjuntos. Después de que el lector haya digerido el contenido de este libro puede pasar a un tratamiento axiomático de los fundamentos que se han venido analizando en una forma un tanto informal. Sin embargo, por el momento haría bien el lector en tomar el enunciado anterior como un axioma temporal. Se puede reemplazar más adelante con un axioma de mayo­ res alcances de la teoría de conjuntos.

Ejercicios de la sección 2.7 l. Demostrar el teorema 2.7.2. 2. Demostrar que si S es finito y s* es un elemento que no está en S, entonces SU {s*} es finito. 3. Sea S := {1, 2} y T :={a, b, e}. a) ¿Cuántas inyecciones diferentes de Sen T hay? b) ¿Cuántas suprayecciones diferentes de T sobre S hay? 4. Demostrar que en un grupo de 53 personas, al menos 2 deben tener su cum­ pleaños durante la misma semana. 5. Demostrar que cualquier subconjunto de 6 elementos del conjunto {1, 2, ... , 9} debe contener dos elementos cuya suma es 10. (Sugerencia: Considérense las casillas {1ó9}, {2 ó 8}, {3 ó 7}, {4 ó 6}, {5}.)

lkiiioslrm

hiyecci6n entre N y un subconjunto propio de sí mismo. en detalle que si S y T son enumerables, entonces S U Tes

enumerable.

1)ar1111 ejemplo de una colección contable de conjuntos finitos cuya unión no s1;:a finita. 1 o. 1 )l;11 iostrar que si S11 es enumerable para cada n EN, entonces la unión U~= 1 S,. ex enumerable. (Ver la demostración de la contabilidad de Q.) 1 1. Demostrar la incontabilidad de I aplicando el siguiente razonamiento: Supo­ ner que J e {x1, x2, x3, ... } es enumerable y elegir un interval_o cerr~do 11 ,,) son sucesiones de números reales, entonces su suma se define como la sucesión X+ Y:= (x,, + y11: n EN), su diferen­ ria como la sucesión X - Y:= (x11-y11: n EN) y su producto como la sucesión X· Y : = (x,,Y,,: n EN). Si e E R se define el múltiplo de X por e como la sucesión cX := (ex : n eN). Por último, si Z = (z11) es una sucesión de números reales con z11 O pa;~ toda n EN, entonces se define el cociente deXy Z como la sucesiónX/Z := (x,,lz,,: n EN). Por ejemplo, si X y Y son las sucesiones

*

o por la definición X,,+¡

:= X¡

+

X"

(

n ~ L) .

OIJs~n·~ción. Las sucesiones que están dadas por un proceso recursivo son frecuen­ tes e~ la c1~nciade las computadoras. En particular, las sucesiones definidas por un pro­ ceso mdu~t1vo de la forma x1 := dada, x11+1 := f(x,.) paran E N se prestan especialmente para estudiarlas usando computadoras. Las sucesiones definidas por el proceso y1 .=dada,

X:= (2,4,6, ... ,2n, ... ),

Y:= ( ~· ~·

i, ... , ~, ... ),

se tiene entonces

X+ y= ( ~, ~, 1:, ... , 2n2n+ 1 ' ... ),

88

SU( '11.SJONJI,~!

X-Y=

1 7· 17 - - .(1'2'3'·"•

X· Y= (2,2,2,

2n2

-

n

l.

)

, ...

,

,2, ... ),

3X = (6, 12, 18,

X/Y= (2,8', 18,

•••

+ (­1)", ... ),

El límite de una sucesión

, 3.1.4 Defnnidó~. ~ea X= (x,,) una sucesión de números reales. Se dice que un numero real x es un límite de (x11) si para toda e> O existe un número natural K(e) tal qu~ para tod,a ~ ~ K(e), los términos x11 pertenecen a la vecindad­e V (x). ~i x es un limite de la sucesión, se dice asimismo que X= (x ) converge ax (o que tiene un límite x). Si una sucesión tiene un límite, se dice que la sucesión es convergente; si no tiene ningún límite, se dice que la sucesión es divergente. La notació~ K(c.) se usa para hacer explítico que la elección de K puede depender del valor de f. > O; sm embargo, con frecuencia resulta conveniente escribir K en lugar de K(c.). · En. muchos ca~os, un valor "pequeño" de f. por lo general requerirá un valor "grande" de K a fin de garantizar que x11 está en la vecindad­e. Ve(x) para toda n ~ K K(c.).

=

La. defini~ión de convergencia de X= (x11) se puede describir diciendo: para cualquier vecindad-e V8(x) de x, todos los términos de X, excepto un número finito pertenecen a V8(x). El número finito de términos que pueden no pertenecer a la vecindad­e son los términos x x x 2'" .' , K(e)­1'

Cuando una sucesion X= (x11) tiene un límite x en R, se usará la notación límX:::::x

o

Asimismo, en ocasiones se usará la simbología x11--+ x, la cual indica la idea intuitiva de que los valores x11 "tienden" al número x cuando n ­­+ oo,

3.1.S Unicidad de límites. Una sucesión de números reales puede tener a lo

sumo un límite.

Q.E.D.

J. l .6 Teorema. Sea X= (x,) una sucesión de números reales, y sea x E R. Los 1/¡¡11!1'11tes enunciados son equivalentes. 11) X converge ax. b) Para toda vecindad-e VE(;;), existe un número natural K(e) tal que para uulu 11 ~ K(c.), los términos xnpertenecen a V/x). e) Para toda e> O, existe un número naturalK(e) tal que para toda n ~ K(e), lo« términos x" satisfacen lxn ­xi< e. d) Para toda e> O, existe un número natural K(e) tal que para toda n ~ K( e),

/11s términos xn satisiacen x- e J'

, . En el análisis real hay varios conceptos diferentes de límites. El concepto de limite de una sucesión es el más básico de ellos y será el centro de atención en este capítulo.

l'

(¿Por qué?) Por consiguiente, x' = x".

).

entonces están definidas X+ Z, X - Z y X · Z; pero X/Z no está definida porque algunos de los términos de Z son iguales a O.

.,

1 U~íilON(rncló11. Supóngase, por el contrario, que tanto x' como x" son límites 111• \', (1,) y que x' •/= x". Se elige e> O de modo que las vecindades­e Vi:Cx') y 1'1( 1")11011n dlsjuntas (es decir, e> ilx' ­ x"I). Se hace ahora que K' y K" sean 11l\1tll'l'llN unt urulcs tales que, sin > K', entonces xn E V0(x') y sin> K", entonces 111111 diNjuntas.

Se observa que si Z denota la sucesión

Z== (0,2,0, ... ,l

89

111 r \/1,(.1 "). Sin embargo, esto contradice la hipótesis de que estás vecindades­e

, 6n, ... ), ,2n2,

Y SlJ8 l.(Ml'l'i~S

:111( 'l\SIOl\li\S

O, entonces como lím (an) =O, se concluye que KA(c. /C) tal que sin ~ Kie /C) entonces

Si se du

01•owNlrud(m. 1111 1111111l'l'O

1.f Ml'l'l•'.S

untura!

laJ

=

lan - ül < s/C.

Por ejemplo, la cola­3 de la sucesión X= (2, 4, 6, 8, 10, ... , 2n, ... ), es la sucesiónX3 = (8, 10, 12, ... , 2n + 6, ... ).

'l1• rd¡i,11G por lo tanto que si x > Kie /C) y n ~ m, entonces

3.1.9 Teorema. Sea X= (xn: n EN) una sucesión de números reales y sea m EN. Entonces la cola-m Xm = (xm +n : n EN) de X converge si y sólo si X converge ' En este caso, IímXm = límX.

l'111·111n que e> O es arbitraria, se concluye que x = lím (x11).

Demostración. Se observa que para cualquier p EN el p­ésimo término de Xm es el (p + m)­ésimo término de X. De manera similar, si q > m, entonces el qésimo término de X es el (q - m )­ésimo término de X . m Supóngase que X converge ax. Entonces dada cualquier e> O, si los términos de X para n ~ K(e) satisfacen ixn - xJ < e, entonces los términos de Xm para k ~ K(e) ­ m satisfacen lxk - xi < e. Por tanto, se puede tomar Km(e) = K(e) - m, de modo que Xm también Converge a X. Recíprocamente, si los términos de Xm para k ~ Km( e) satisfacen Jxk - xi < e, entonces los términos de X para n ~ K( e) + m satisfacen Jxn ­xi < e. Por tanto, se puede tomar K(e) "' Km( e) + m. Por lo tanto, X converge ax si y sólo si Xm converge ax. Q.E.D. En ocasiones se dirá que una sucesión X posee en última instancia determinada pro­ piedad si alguna cola de X tiene dicha propiedad. Por ejemplo, se dice que la sucesión (3, 4, 5, 5, 5, ... , 5, ... ) es "en última instancia constante". Por otra parte, la sucesión (3, 5, 3, 5, ... , 3, 5, ... ) no es en última instancia constante. La noción de convergencia se puede formular usando esta terminología: Una sucesión X converge ax si y sólo si los términos de X están en última instancia en toda vecindad­e de x. Otros casos de esta "terminología de última instancia" se señalarán más adelante.

Algunos ejemplos Se presentan ahora algunos ejemplos en los que se establece la convergencia de sucesiones particulares. Si se usa la definición 3.1.4 o el teorema 3.1.6 se debe jugar en realidad el juego K(e). En su lugar, con frecuencia resulta conveniente usar el resultado siguiente.

X

3.LlO Teorema. Sean A= (a,,) y X= (x,) sucesiones de números reales y sea e> o y alguna m E N se tiene

ER. Si para alguna

[x,, ­xj

< Cla,,I

para toda n EN tal que n ~ m,

y si lim (a,,)= O, entonces se deduce que Iím (x,,) = x.

.U.U Ejemplos. a) si a> O, entonces lím (i}na) q111·

Q.E.D.

=O.

Puesto que a > O, se deduce que O < na < 1 +na. Se concluye, por lo tanto, +na) < l/(na), lo cual indica evidentemente que

o < 1/(1

1 1

l'11es10

l+na

­ OI

,;;;; (

!:.a ) !:.n

para toda

n

que lím (1/n) =O, se puede recurrir al teorema 3.1.10 con C = l/a y m;;:; l

p11ra inferir que lím (1/(1 +na))= O. b) lím (1/2n);;:; O. 1 /2"

E N.

Puesto que O < n < 211 para toda n EN (ver el ejercicio 1.3.8), se tiene O < l/n, de donde se deduce que

I ~zn ­ ol ~ !:_n

<

n EN.

para toda

Corno se sabe que lím (1/n) =O, se puede recurrir al teorema 3.1.10 para inferir que lím (1/2n) =O. e) Si O< b < 1, entonces lím (b") =O. Puesto que O< b < 1, se puede escribir b = 1/(1 +a), donde a:= (1/b)­1 de modo que a> O. Por la desigualdad de Bernoulli 2.2.14 e) se tiene (1+a)n~1 +. na. Por tanto ·

O<

b11

1 =

(l+a)"

1 ~

l+ria

<

1

na

de modo que por el teorema 3.1.10 se obtiene lím (b") =O. d) Si e> O, entonces lím (c1 11) = l. El caso e= 1 es trivial,_ya que entonces (c1 ")es la sucesión constante (1, 1, 1, ... ), que, evidentemente, converge a l.

')4

SI 1( '11,Sl()Nl',S

=1 +d

Si e > 1, entonces c1i11 Bernoulli 2.2.14 e)

11

para alguna d11 ·

> O.

!\NI, pP1 111 du:­:igualdad

para

lc1/"

­

do

ll

d,. ~ (e - l)­

=

1

n EN.

para

n

l

l

e= ­­­­~ (1 +h,.)"

l+nh,.

<

l

nh,.'

de donde se concluye que O< h11 < l/nc paran EN. Por lo tanto, se tiene

O < 1 ­ c1l11

=

hll

­­­

l

+ h;

l

1 paran> 1, se puede escribir n1i11 = 1 + k para alguna k > O cuando n > l. Por tanto, n = (1 + k 11)11 paran> l. Por el teorema del binomi~1 si n > 1 se tiene . '

O<

+(­1)", 1

Se recurre ahora al teorema 3.1.10 para inferir que lím (c1!11) = 1 cuando e> l. Supóngase ahora que O O. Por tanto, por la desigualdad de Bernoulli, se deduce que

l cl/n

1 ,11 s11 3, entonces O< 2n¡n! 2(~)Tl ­2.]

1( ~

11

1

Y 11) ­ (X + Y)

1

= 1 (X

~ lx

11

=s;

,

X) + ( Y n

n -

xi +

IYn -

-

Y) 1

yl.

O existe un número natural K1 tal que si n ~ K1, entonces lx11 ­ )(1 < 1 /2; asimismo, existe un número natural K2 tal que si n ~ K2, entonces y11 - YI K(c) entonces l '111 11 i pótcsis,

si E>

1

SECCION 3.2 Teoremas de límites En esta sección se obtendrán algunos resultados que con frecuencia­permiti­ rán evaluar los límites de ciertas sucesiones de números reales. Con estos resulta­ dos se podrá ampliar considerablemente la lista de sucesiones convergentes. 3.2.1 Definición. Se dice que una sucesión X = (x ) de números reales está acotada si existe un número real M > O tal que lx111 =s; M para toda n EN. Por tanto la sucesión X= (xn) está acotada si y sólo si el conjunto {x11: n EN} de sus valores está acotado en R.

l 'ucsto que

O es arbitraria, se infiere que X+ Y= (xn +Y,) converge ax+ y. Se puede usar exactamente el mismo razonamiento para demostrar que X - Y ( r,, ­ Y,) converge ax-y.

Para demostrar que X· Y= (x,l,) converge a xy se hace la estimación 1X

nyn -

xy 1 = 1 (

X

1l

yn

X

-

TI

y) + ( X y - xy) TI

1

- Y)I +l(xn ­ x)yl



= lxnl ly11

-

yl +

lx

11

-

xi lyl.

acuerdo con el teorema 3.2.2, hay un número real M1 > O tal que lxnl =s; M1 para roda n EN y se hace M := sup {Ml' !YI}. Se tiene por tanto la estimación 1 )e

la convergencia de X y Y se concluye que si se da e > O, entonces existen los números naturales K1 y K2 tales que si s > K1 entonces lxn ­xi< E/2M, y sin¿ K2 entonces lyn - YI < t:/2M. Se hace ahora K(E) := sup {K1, K2}; entonces, sin ~ 1(( e) se infiere que , 1 )e

entonces se deduce que

lxni

=s;

M para toda n EN.

Q.E.D.

En 3.1.3 se definieron la suma, la diferencia, el producto, el múltiplo y (para algunos casos) el cociente de sucesiones de números reales. Se demuestra a conti­ nuación que las sucesiones obtenidas de las maneras anteriores a partir de sucesio­ nes convergentes dan lugar a nuevas sucesiones cuyos límites se pueden predecir.' 3.2.3 Teorema. a) Sean X= (x,) y Y= (yn) sucesiones de números reales que convergen ax y y, respectivamente, y sea e E R. Entonces las sucesiones X+ Y X ' Y, X· Y y cX convergen ax+ y, x - y, xy y ex, respectivamente. b) Si X = (xrz) converge a x y Z = (z ) es una sucesión de números reales diferentes de cero que converge a z y si z ; O, entonces la sucesión cociente X/Z converge a xtz. Demostración. a) Para demostrar que Iím (x n +y n) = x +y es necesario esti­ . mar 1 a magnitud de .(x11 + Yn)- (x +y). Para ello se usa la desigualdad del triángulo

2.3.3 a fin de obtener

yl + Mlxn - xi ~ M(e/2M) + M(e/2M) =e.

lxnYn - xyl ~ Mly11

-

Puesto que E> O es arbitraria, con esto se demuestra que la sucesión X· Y= (xrzYn) converge a xy. c.x El hecho de que cX = (cx11) converge a@se puede demostrar de la misma manera; también se puede deducir haciendo que Y sea la sucesión constante (e, e, e, ... ). Se dejan los detalles al lector. b) Se demuestra en seguida que si Z = (zrz) es una sucesión de números reales diferentes de cero que converge a un límite z diferente de cero, entonces la suce­ sié i (1/zn) de los recíprocos converge a 1/z. Primero se hace a:=~ !z! de modo que a > O. Puesto que lím (z11) = z, hay un número natural K1 tal que sin ~ K1 entonces [z n ­zl < a. Del corolario 2.3.4 a) de la desigualdad del triángulo se sigue que -a .

Sii( '11.SlNH::

'l 1101ll'MAfl

l ­ ­1¡ z

1

= ¡z-zj ­­­" = --lz - z

z,,z

lz,.zl

2

x - e < x11

"

1

,;;;

para toda

n ~ K.

=

l 111 particular se tiene xK < x + e x + (-x) =O. Pero esto contradice la hipótesis de ""' O para toda n EN. Por lo tanto, esta contradicción indica que x ~ O.

q111" 111

para toda

,, ~ K1•

Ahora bien, si se da s > O, hay un número natural K tal que sin ~ K entonces . . 2 2' 1 z11 -z 1 :s;; !J s¡z1 12 . Por lo tanto, se deduce que si K(s) := sup {Kl' K2}, entonces

_!_ - !_z I z,.

K( 6).

Se presenta ahora un útil resultado que es formalmente más sólido que el l\'orema 3.2.4. 3.2.5 Teorema. Si X= (x11) y Y= (y11) son sucesiones convergentes de números reales y si xn ~ y11 para toda n EN, entonces lím (x,,) ~ lím (y1.). Demostración. Sea

Puesto que E> O es arbitraria, se sigue que

11

zn :=y n -x 11 de tal modo que Z :=Y -X y z,r ~ O para toda

e: N. De los teoremas 3.2.4 y 3.2.3 se sigue que

O ~ lím Z = lím (y,,) - lím (x,,), lim ( ~) =

z,.

1

de modo que lím (x,.) ~ lím (y11).

z

Q.E.D.

La demostración del inciso b) se completa ahora al tomar a Y como la sucesión (l/z11) y usando el hecho de que X· Y= (x11¡z11) converge a x(l/z) = xiz, o.s.o.

El resultado siguiente afirma que si todos los términos de una sucesión con­ vergente satisfacen una desigualdad de la forma a o;:; x11 o;:; b, entonces el límite de la sucesión satisface la misma desigualdad. En consecuencia, si la sucesión es convergente, es posible "pasar al límite" en una desigualdad de este tipo .

. , Alguno~ ?e los resultados del teorema 3.2.3 se pueden generalizar, por induc­ cion matemática, a un número finito de sucesiones convergentes. Por ejemplo, si A = a11), B = (b11),. • ., Z = (z11) son sucesiones convergentes de números reales, enton­ ces su suma A + B + · · · + Z := (a11 + b11 + · · · + z,) es una sucesión convergente y

3.2.6 Teorema. Si X= (x,,) es una sucesión convergente y si a ~ x11 :s;; b para toda n e N, entonces a «: lím (x,,) :s;; b.

(1)

lím (a 11 + b,,

+ · · · + zfl ) = lím (a11) + lírn (b 1l ) + · · · + lím (zJI.)

También su producto A · B · · · Z := (a11 bll · · · z n) es una sucesión convergente y (2)

Iím (a11b11

• • •

z11) = (lím (a11))(1ím (b11))

• • •

(lím (211)).

Por tanto, si k EN y si A =(a,.) es una sucesión convergente, entonces (3)

lím (a,~)

= (lím

(a11)l.

Las demostraciones de estas afirmaciones se dejan al lector. 3.2.4 Teorema. Si X= (x11) es una sucesión convergente de números reales y si x11 ~ O para toda n EN, entonces x := Iím (x11) ~ O. · .

Demostración. Sea Y la sucesión constante (b, b, b, ... ). Del teorema 3.2.5 se deduce que lím X~ lím Y= b. De manera similar se demuestra que se tiene a o;:; lím X. o.e.o. El siguiente resultado afirma que si una sucesión Y está "comprimida" entre dos sucesiones que convergen al mismo límite, entonces también debe converger a este límite. 3.2:7 Teorema de compresión. Suponer que X= (x,), Y= (y,) y Z = (z son sucesiones de números reales tú les que 11)

x,, ~Y,,~ z11

para toda

n EN,

y que lím (x11) = Jím (z,.). Entonces Y= (y,,) es convergente y lím (x,,)

= lím

(y11)

= lím (z),

Jl)I)

S(J( 'l•.Sl! )NJIS

IOJ

Demo~trnción. Sea w := lím (x,.) = lím (z,). Si se da e O, ''1111111n;~ convergencia de X y Za w se sigue que existe un número natural A lal que si entonces

de

l;1

11 ~

K:

1'1tL·~lo que las sucesiones (211 + J) y (n + 5) no son convergente.s (¿por ~ué?), L' ~ 1posihlt.; 11sar el teorema 3.2.3 b) directamente. Sin embargo, si se escnbe 111,

/z,, - w/ O es arbitraria, esto significa que lím (y,,) = w. Q.E.D.

, . Observa~ió?. Puesto que cualquier cola de una sucesión convergente tiene el mismo Iímite, las h.'.potes1s de los teoremas 3.2.4, 3.2.5, 3.2.6 y 3.2.7 se pueden hacer meños rigurosas a fin de aplicarlos a la cola de una sucesión. Por ejemplo, si en el teorema 3.2.4 X= (x,) es "en última instancia positiva" en el sentido de que existe m EN tal que x ;:;,, O P.ªr~ toda n ?­ n_i ', entonces se cumplirá la misma conclusión de que x;:;,, O. Modifica;Íones similares son validas para los demás teoremas, como el lector deberá comprobar.

3.2.8 Ejemplos. a) La sucesión (n) es divergente. Por el teorema 3.2.2 se deduce que si la sucesión X:= (n) es convergente entonces existe un número real M > O tal que n = In] < M para toda n EN. Pero esto contradice la propiedad de Arquímedes 2.5.2. b) La sucesión ((­1)") es divergente. . La sucesión X:= ((­1)") está acotada (tomar M := 1), por lo que no se puede aplicar el teorema 3.2.2. Sin embargo, supóngase que existe a:= límX. Sea E:= 1 de tal modo que existe un número natural K tal que 1

1(­1)" ­ aj< 1

para toda

'

n > K1•

Sin es un número natural impar con n ?­ Kl' se obtiene j ­1 ­ al< 1, de tal modo que ·­2 < a < (¿Por qué?) Por otra parte, sin es un número natural par con n ~ K1, de esta des~g~aldad se obtiene [1 ­ al < 1 de modo que O < a < 2. Puesto que a no puede satisfacer ambas desigualdades, la hipótesis de que X es convergente · lleva a una contradicción. Por Jo tanto, la sucesión X es divergente.

?·

e) lím ( 2 n n+ l )

=

2.

Si se hace X:= (2) y Y:= (1/n ), entonces ((2n + 1 )/n) =X+ Y. Por tanto por el teorema 3.2.3 a) se sigue que lím (X+ Y)= límX + lím y= 2 +O= 2.

d) lím (

2

n + n+5

1

) = 2.

+ 1/n

n+5

l

+

5/n'

sucesión dada se expresa en una forma en la que se puede aplicar el teore~a 1.2.J b) cuando se toma X:::= (2 + 1/n) y Z := (1+5/n). (Comprobar que se satis­ l :1n;n todas las hipótesis.) Puesto que Jím X= 2 y lím Z = 1 i= O (¿por qué?), se .lcduce que se tiene lím ((2n + 1)/(n + 5)) = 2/1 = 2.

-E O. i Si x = O, sea e > O dada. Puesto que x11 ­+O, existe un número natual K tal que si n ;;. K entonces

o < xn = x,.

-

o < e2•

Por lo tanto, [ver el ejemplo 2.2.14 a)], O~.¡;;,< e para n > K. Puesto que e'> O es arbitraria, esto significa que -Jx;,-+ O. ii Si x > O, entonces ../X > O y se observa que

Por lo tanto, si n > K se obtiene Ü

< Xn+l < XnT <

.Jx;; + ../X ~ -../X > O, se sigue

que

n-K+l

< .. < XKT < Cr" + 1 para toda n ;;. K. Puesto que O 1 ( 11) = o y por lo tanto, por el teorema

Xn-lr2

xr

Si se hace e:= xK/rK, se ve ~ue o « < r < 1, por 3.2.11 e) se sigue que im r 3.1.10 se concluye que lím (x,.) =O.

'

Q.E.D.

· dérese la sucesión ·¡ strac1'ón de la utilidad del teorema precedente, consi Como una 1 u (XII ) dada por x 11 := n/2". Se tiene Xn+I

Puesto que

= r.

Xn

­­ X11 -

L + (r ­ L)

Xn

X

de modo que li1m (x,, + (n/2") =O.

1

_

­

+1

'.:___

2n+l

2"

• -

n

= ­1

2

( 1 + ­1) · n

' < 1 por el teorema 3.2.11 se sigue que lím ¡x,,) -­ 11· Puesto que ~ ' ·

11)4

SI 1( 'll.SIONI IN

Sll( 'HSJON11.S

Ejercidos de la sección 3.2 1r1

1 /Parax 11 dada 1 fé 1 · · • • • por as ormu as siguientes, establecer la convergencia, o bien, la divergencia de la sucesión X= (x11.)· a) e)

X

11

n == -n

b)

+ i'

:1:

:=

n

n2

X

11

== -n + i '

d) x,.

:=

(-l)"n ­­­ n + 1

;)¡111 ( 111)

111111

105

su ces i(l 11 de n Cimeros reales positivos tal que lím (xY11) = L

< l.

que existe un número r con O< r < 1 tal que O< xn < r,, para toda 11 ' N lo xuficicntcmcnte grande. Usar este resultado para demostrar que 1 h·11H1111rnr

lí111

(.1',,)

=o.

(x,,) de números reales posi­ tal que lím (x,~/") = l. h) Dar un ejemplo de una sucesión divergente (x,,) de números reales positi­ vos tal que lím (x,~/") = 1. (Por tanto, esta propiedad no se puede usar como criterio de convergencia.) 1 H. / O existe M tal que 11 ­y,,!< E para toda M. ¿De lo anterior se in riere que (y11) es convergente? l l./11)

'

l)11r

1111 ejemplo ele una sucesión convergente

1 ivux

+3 n + l

2n2 ­2­­

I

1

MONÓHJN/\S

2!" Dar un. ejemplo de dos sucesiones divergentes X, Y tales que su suma X+ y

:x

1converJa: 3. Dar un. ejemplo de dos sucesiones divergentes X, Y tales que su producto XY converja.

n~

4. v"Demostrar que si X y Y son sucesiones tales que X y X+ Y son convergentes entonces Y es convergente. '

5/

Demostrar que si X y Y son sucesiones tales que X converge ax =t converge, entonces Y converge. 6/Demostrar que la sucesión (211) no es convergente. 7 jDemostrar que ,la _sucesión (( ~ 1 )'.'n2) no es convergente. 8. Encontrar los Iímites de las siguientes sucesiones: a) lím((2 c)

+ l/n)2),

, (Vn-l) vn + l

hm y­

b)

lím((­1)"/(n

o y .A'Y

+ 2)),

d) lím (n+l) ­­ ,

nVn

,

9/

Explicar por qué el resultado de la ecuación (3) antes del teorema 3.2.4 no se /puede usar para evaluar el límite de la sucesión ((1 + 1/n)n). lOj Sea Y11 := ­fi1+1. --In para n EN; Demostrar que (Y,,) y (.Jiíy11) convergen. 11 11.V.:Derr.iostrar que sr z,, := (a + b ") 1~ 11, ?onde O < a < b, entonces lím (z,,) = b. 12. Aplicar el teorema 3.2.11 a las s1gu1entcs sucesiones, donde a, b satisfacen O< a< 1, b >l. a) (a"),

e) (njb"),

u/a)

b) (b11/2"), d) (2311 ¡3211).

Dar un ejemplo de una sucesión convergente (x ) de números positivos tal que lím (xn + 1/x n ) = 1 . ·1

b) Dar un ejemplo de una sucesión divergente cor esta propiedad. (Por tan­ to, esta propiedad~? se pu~de usar como criterio de convergencia.) 4. Sea X= (x11) una sucesión de numeras reales positivos tal que lím (x ¡x ) = L>lD t X ., n+ln · emos rar que no es una sucesión acotada y, por tanto, no es con­ vergente.

~j

IS! Analizar la convergencia de las siguientes sucesiones, donde a, b satisfacen O< a< 1, b >l. a) (n2a"), e) (b11/n!),

b) (b"/n2),

d)

(n!/n").

lasta este punto se han obtenido varios métodos para demostrar que una su­ (x,,) de números reales es convergente. i Se puede usar directamente la definición 3.1.1 o el teorema 3.1.6. Hacer mi (1 con frecuencia (pero no siempre) resulta difícil. ii Se puede dominar lx,, ­ xi con un múltiplo de los términos de una sucesión (11) cuya convergencia a O sea conocida y aplicar el teorema 3.1.10. iii Se puede identificar aX como una sucesión obtenida a partir de sucesiones 111yn convergencia es conocida tomando colas, combinaciones algebraicas, valo­ 11·s absolutos o raíces cuadradas y aplicar los teoremas 3.1.9, 3.2.3, 3.2.9 ó 3.2.10. iv Es posible "comprimir" X entre dos sucesiones que convergen al mismo luuitc y usar el teorema 3.2.7. v Se puede usar el "criterio del cociente" del teorema 3.2.11. S11lvo por iii, todos estos métodos requieren que se sepa de antemano (o al menos que se conjeture) el valor correcto del límite para luego comprobar que la conjetu­ rn es correcta. Sin embargo, hay muchos casos en los que no hay un prospecto evidente para t'i límite de una sucesión, aun cuando un análisis preliminar indique la probable «currencia de la convergencia. En esta sección y las dos siguientes se darán resul­ rudos de mayor profundidad que los presentados en las secciones precedentes, los cuales podrán usarse para establecer la convergencia de una sucesión cuando no haya un prospecto evidente para el límite. El método que se presenta en esta sec­ ción es de un alcance un tanto más restringido que el método que se presenta en las dos siguientes, pero su aplicación es bastante más sencilla. Se aplica a sucesiones que son monótonas en el sentido siguiente. 1

1 1''li1)11 X=

3.3.1 Definición. Sea X= (x,,) una sucesión de números reales. Se dice que X es creciente si satisface las desigualdades

SUCESJONI iS

106

Sll( '11.SIONl·:s

Se dice que X es decreciente si satisface las desigualdades

107

MONÚl'ONAS

li) Si }':;:;(y) es una sucesión decreciente acotada, entonces es evidente que X (-y,) es una sucesión creciente acotada. Se vio ya en el inciso a) que límX :111p (­y n EN}. Por una parte, por el teorema 3.2.3 a), límX:;:;­lím Y; por otra p11ilc, por el ejercicio 2.5.4b ), se tiene \'

11:

Se dice que X es monótona si es creciente, o bien, decreciente. Las sucesiones siguientes son crecientes (1,2,3,4,

... ,n, ... ),

sup {

si

> l.

a

Las sucesiones siguientes son decrecientes:

•.•

( l, 1/2, 1/22,,.,,

l/2"­1,,

•• ),

si O< b < l.

.b", ... )

=

­inf{yn:

n EN}. Q.E.D.

El teorema de convergencia monótona establece la existencia del límite de sucesión monótona acotada. Proporciona asimismo un medio para calcular el íunite de la sucesión siempre que sea posible evaluar el supremo en el caso a) o el ín­ fimo en el caso b). En ocasiones resulta difícil calcular este supremo (o ínfimo), pero una vez que se conoce su existencia, con frecuencia es posible evaluar el 1 ímite por otros métodos. 1111a

(1, 1/2, 1/3, ... , l/n, ... ), (b,b2,b3,

n EN}

l'or lo tanto, lím Y= ­límX = inf {y11: n EN}.

(1, 2, 2, 3, 3, 3, ... ),

(a, ª2, ª3, ... , a", ... )

=u-:

Las siguientes sucesiones no son monótonas: (+1,­1,+1,

... ,(­1r+1,

...

(­1,

),

+2, ­3, ... ,(­l)"n, ... ).

Las siguientes sucesiones no son monótonas, pero son monótonas "en última instancia": (7,6,2,1,2,3,4, ... ).

(-2,0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, .. ).

3.3.'..! Teorema de convergencia monótona. Una sucesión monótona de números reales es convergente si y sólo si está acotada. Además: a) Si X= (x11) es una sucesión creciente acotada, entonces lím (xn) = sup {x,,}. b) Si Y= (yn) es una sucesión decreciente acotada, entonces lím (y11) = inf {y 11}. Demostración. En el teorema 3.2.2 se vio que una sucesión convergente debe ser acotada. Recíprocamente, sea X una sucesión monótona acotada. Entonces X es creciente, o bien, decreciente. a) Se trata primero el caso en que X es una sucesión creciente acotada. Por hipótesis, hay un número real M tal que x,, ~ M para toda n EN. De acuerdo con el principio del supremo 2.4.6, existe el supremo x" := sup {x11: n EN}; se demostrará que x* = lím (xJ Si se da e > O, entonces x* - e no es una cota superior del conjunto {x11: n EN}; por tanto, hay un número natural K := K (e) tal que x* - e=: xK' Pero como (x11) es una sucesión creciente se sigue que x* ­ e < xK ~ xn ~ x*

para toda

n ~ K.

3.3.3 Ejemplos, a) lím (1/­fil):;:;O. Esta sucesión se puede abordar aplicando el teorema 3.2.10; sin embargo, se usará el teorema de convergencia monótona. Es evidente que O es una cota inferior del conjunto {1/­v'n: n EN} y no es difícil demostrar que O es el ínfimo del conjun­ to {1/vn: n EN}; por tanto, O:; lím (1/­Jñ). Por otra parte, una vez que se sabe que X : = (1/ ,,jii) es acotada y decreciente, se sabe que converge a algún número real x. Puesto que X= (1/­Jñ) converge ax, por el teorema 3.2.3 se sigue que X· X:;:; (1/n) converge ax2. Por lo tanto, x2 =O, de dondex =O. b) Sea x11 := 1 + 1/2 + 1/3, + · · · + l/n paran EN. Puesto quex11+1:;:; x11 + 1/(n + 1) > x11, se ve que (x,) es una sucesión creciente. Por el teorema de convergencia monótona 3.3.2, la cuestión de si la sucesión es convergente o no se reduce a la cuestión de si la sucesión está acotada o no. Los intentos por usar cálculos numéricos directos para llegar a una conjetura respecto al posible carácter acotado de la sucesión (x11) desembocan en una frustración sin resultados concluyentes. Una computadora revelará los valores aproximados x11 "" 11.4 paran= 50,000 y x11"" 12.1 paran= 100,000. Estos hechos numéricos pueden llevar al observador casual a concluir que la sucesión está acotada. Sin embargo, la sucesión en realidad es divergente, lo cual se establece al observar que X2n

= 1

+

para toda

2

+

(31+¡1)

2

n ~ K.

Puesto que e > O es arbitraria, se infiere que (x) converge ax*.

+·· +

( 2n­l J. +

1

+···+­ 2n1)

> 1 + ~ + (~ + ~) + ... + (~ + .. ' + ~)

Se sigue por tanto (¿por qué?) que

[x11 ­x*! O y x11+1 := x11 + l/x11• Determinar si (x) converge o diverge. Sea (x) una sucesión acotada y para cada n EN sean s11 := sup {xk: k ~ n} y t11 := inf {xk: k ~ 12 }. Demostrar que (s11) y (t,) son convergentes. Demostrar asimismo que si lím (s11) = lím (tn), entonces (x11) es convergente. [A lím (s) . se le llama el límite superior de (x y a lím (111) el límite inferior de (x11).] 6! Sea (a11) una sucesión creciente, (b11) una sucesión decreciente y supóngase que a,, ~ b para toda n EN Demostrar que lím (a) ~ lím (b,) y deducir a continuación el teorema de los intervalos anidados 2.6.1 a partir del teorema de convergencia monótona 3.3.2. 7! Sea A un subconjunto infinito de R que tiene una cota superior y sea u:= sup A. Demostrar que existe una sucesión creciente (r11) con x EA para toda n EN . tal que u = lím (x11). 81 Establecer la convergencia o divergencia de Ja sucesión (yn), donde

2f'

l + l + ~(1­ _1_) + ~(1­ _1_)(1­ _2_) + + + 2!

1

t/ Sean x1 > 1 y xn + 1 := 2­ l/x11 paran ~ 2. Demostrar que (x,,) está acotada y

De manera similar se tiene

=

2 < e,, < 1 + 1 +

!Sjerckios elle la sección 3.3

31

+ ... +~(1­

e,.+1

1 '11111 d1•111rn1t 111J' q110 los íórmlnos de 1~· tienen una cota superior, se observa que 1, .', ... , n; 01llo11ces (1 ~p/11) 1, se tiene entonces

•l ¡1

2

= l

111

1

n - 1 )' n+l

s./

11)

11

+(n:l)l(l­

n~l)(l­

n~l)

.. ·(l­

n:1)·

11

Obsérvese que la expresión de e contienen + 1 términos, en tanto que la de e '' 11+1 contiene n + 2 términos. Además, cada uno de los términos presentes en e n es menor o igual que el término correspondiente de e n + 1, y e n +.1 tiene un término · positivo más. Así, 2 ~ e1 < e2 O, usando un razona­ miento bastante ingenioso. Se presenta aquí otro enfoque para el caso e> l. Obsér­ vese que si zn := c11", entonces zn > 1 y z + 1 < z,, para toda n EN. (¿Por qué?) Por 11

'dlil'illl

tanto por el teorema de convergencia monótona, existe el lí111llt·. · teorema 3.4.2 se sigue que z = lím (z2,,). Por otra parte de la rclaciou

­¡;,,2n =

cl/2n

=

(cl/11).1/2

=

11111 (:,,).

l'orcl

= lím (z2,,) = (Iím

(z11))1;2

.,.1;2 n

,N

= 2112.

Se tiene por lo tanto, z2 = z, de donde se sigue que z = O, o bien, z = l. Puesto que z11 > 1 para tocia n EN, se deduce que z = l. Se deja como ejercicio para el lector considerar el caso O < e < l. El uso de subsucesiones facilita la presentación de un criterio para la diver­ gencia de una sucesión.

lx,. - xi ~

f0.

iii Existe una e0 > O y una subsucesián X' (x,.,,) de X tal que

lx,.,, ­xi ~

IHll //\1\1()

11 ~

Wl·ll•l 2, hay ~tl menos d?s núm~ros natura­ ¡,., que están dentro de /1; se hace que n1 sea el pnmero de dichos números. De 111:111cra similar, para cada k eN, sen x > ipara x en el intervalc

Ik 3.4.4 Criterio de divergencia. Sea X= (x,,) una sucesión de números reales. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: i La sucesión X = (x,,) no converge a x ER. ii Existe una e0 > O tal que para cualquier k EN, existe rk EN tal que rk ~ k

y

•, \ 11 11 llltl Mi\ !JI·

¡ ,, ­, 1

y el teorema 3.2.10 se sigue que z

1'.111111

e0 para

toda n EN.

Q.E.D.

3.4.5 Ejemplos. a) La sucesión ((­1)11) es divergente. Si la sucesión X:= ((­1)") convergiera a un número x, entonces (por el teore­ ma 3.4.2) toda subsucesión de X debería converger a x. Puesto que hay una subsucesión que converge a+ 1 y otra subsucesión que converge a ­1, se concluye que X debe ser divergente. b) La sucesión (1, ~, 3, L ... ) es divergente.

(

Tr/6

+ 2Tr(k -

¡•11csto que ]a longitud ele/

k

1), 5Tr/6

+

2Tr(k ­ 1)).

es mayor que 2, hay al menos dos números naturales

S'

.,

que están dentro de /k; se hace que nk sea el primero de ellos. La subsucesíón := (sen nk) des obtenida de esta manera tiene la propiedad de que todos sus valores

1·s1ún en el intervalo I], 1]. De manera similar, si k EN y .lk es ei intervalo

h

Demostración. i => ii Si X= (x11) no converge ax, entonces para alguna fo > O es imposible encontrar un número natural K(f) tal que 3.1.6 e) sea válida. Es decir, para cualquier k EN no se cumple que para toda n ~ k la desigualdad lx,, ­ xj < e0 es válida. En otras palabras, para cualquier k EN existe un número natural rk ~ k tal que jx,.k - xi ~ f0. ii => iii Sea f0 como en el inciso ii y sea r1 EN tal que r1 ~ 1 y jx,.1 ­xi~ e0. Ahora sea r2 EN tal que "z > r1 y lx,.2 ­xi~ f0; sea r3 eN tal que r3 > r2 y jx,.3 ­xi ~ e0. Se continúa de esta manera hasta que se obtiene una subsucesión X' := (x,.11) de X tal que ¡x,.11 - xi ~ f0. iii => i Supóngase que X= (x11) tiene una suosucesión Y' = (x,.1.) que satisface la condición del inciso ii; entonces X no puede converger ax. Si lo hiciera, enton­ ces por el teorema 3.4.2 la subsucesión X' también convergería ax. Pero esto es imposible, ya que ninguno de los términos de X' pertenece a la vecindad­a, de x.

:=

:=

(7rr/6

+ 27T(k - 1),

]lTr/6

+

27T(k ­ 1)),

entonces se ve que sen x < ­~para toda x E.!, y la longitud de.! k es rr;ªY~,r que 2. Sea m ; el primer número natural que está en Jk. Entonces la subsucesíón S :=(sen 111.) d: S tiene la propiedad de que todos sus valores están en el intervalo [­1, ­H k Dado cualquier número real e, se ve de inmediato que al menos una de las subsucesiones S' y S" está por completo fuera de la vecindad­~ de c. Porlo tanto, e no puede ser un límite de S. Puesto que e ER es arbitraria se deduce que S es divergente.

Existencia de subsucesiones monótonas Si bien no toda sucesión es monótona, se demostrará ahora que toda sucesión tiene una subsucesión monótona. 3.4.6 Teorema de la subsucesión monótona. Si X =(x) es una sucesión de números reales, entonces existe una subsucesion de X que es monótona. Demostración. Para los fines de esta demostración

se dirá que el m­ésimo

término xm es un "pico" si xm ~ x,, para toda n EN con m ~ n, (~s decir, x nunca 111

excedido por ningún término que lo precede.) Se consideraran dos casos, de­ pendiendo ele si X tiene un número infinito o finito de picos.

b

Sl 1( '11.Sl()NI

116

11

117

Caso 1: X tiene un número infinito de picos. E11 cNlll · .. ,x"'r'''"'' Seas, := m, + 1 (el primer índice después del último pico). Puesto que Xs1 no es un pico, existe s2 > s 1 tal que Xs1 < Xs2. Puesto que Xs2 no es un pico, existe s3 > s2 tal que xs2 < Xsy Si se continúa de esta manera, se obtiene una subsucesión creciente (xs11) de X. Q.E.D. No es difícil ver que una subsucesión dada puede tener una subsucesión que es cre­ ciente y otra subsucesión que es decreciente.

Teorema de Bolzano­Weierstrass Se usará ahora el teorema de Ja subsucesión monótona para demostrar el teo­ rema de Bolzano­Weierstrass, el cual establece que toda su cesión acotada tiene una subsucesión convergente. Debido a la importancia de este teorema se dará asi­ mismo una segunda demostración basada en la propiedad de los intervalos anidados. 3.4.7 El teorema de Bolzano­Weíerstrass. Una sucesión acotada de números reales tiene una subsucesión convergente. Primera demostración. Del teorema de la subsucesión monótona se sigue que si X= (x11) es una sucesión acotada, entonces tiene una subsucesión X' = (xs11) que es monótona. Puesto que esta subsucesión también está acotada, por el teore­ ma de convergencia monótona 3.3.2 se deduce que Ja subsucesión es convergente.

iguales

1; e 1;, y se divide en dos

rn11J111llo (11c.N:11>112}:

1 \, 1 ,1 lnl'i11i10, se loma [3:=1; y sea n3 el menor número natural deA2. SiA2 es un l'inito, entonces B2 debe ser infinito, y se toma 13:=1;' y sea n3 el menor 1111¡1111ln 111111111111 uatural •;,. conriuún

de B2• •, • • de esta manera para obtener una sucesion de intervalos anidados 1 1 f J •.. :> J :>.··y una subsucesión (x,,k) de X tal que x,,k Elk para k EN. 1 ) ­ k • k~ 1 262 . 1•11111110 q11e la longitud de lk es igual a (b ­ a)/2 , por el teorema . · se sigue ti11y 1111 punto común (único)~ Elk para toda k EN. Además, puesto quex,,k Y~ ¡i111 l1•11l­cen a lk, se tiene

'I'"

di donde se sigue que la subsucesión (x,,k) de X converge a~·

Q.E.D.

/\1 teorema 3.4.7 en ocasiones se le llama teorema de Bolzano­Weierstrass para suceya que hay otra versión del mismo que trata de conjuntos acotados en R (ver el 1¡111·i1:io 10.2.6). 1¡11,,,.s,

1 •:s fácil darse cuenta que una sucesión acotada puede tener varias subsucesiones convergen a límites diferentes; por ejemplo, la sucesión ((­1)") tiene H11hsucesiones que convergen a ­1, y otras subsucesiones que convergen a +l. lh111bién tiene subsucesiones que no convergen. Sea X una sucesión de números reales y sea X' una subsucesión de X. En ton­ ' X' es una sucesión por derecho propio y, por tanto , tiene subsucesiones. Se ob­ 1·s 11r1 va que si X" es una subsucesión de X', entonces también es una subsucesión de X. 1(11 1}: A1

:=

{n

EN:

n

> n1, x

11

E

I~},

B1

:=

{n

EN:

n

> n1, x,,

E

I~}.

Si A 1 es infinito, se toma I2 : = I; y sea n2 el menor número natural de A 1. (Ver 1.3.1.) Si A1 es un conjunto finito, entonces B 1 debe ser infinito, y se toma 12 := I{' y sea n2 el menor número natural de B 1.

Demostración. Supóngase que M > O es una cota de la sucesión X= (x,), de mudo que lx ¡ ~ M para toda n EN. Supóngase asimismo que la sucesión X no converge a x~1Del criterio de divergencia 3.4.4 se sigue que existe una e0 > O Y una subsucesión. X' = (x,ll ) de X tal que

( #)

lxr,, ­ xi

;;:> s0

para toda n

EN.

Puesto que X' es una subsucesión de X, se sigue que M ta~bién es una, ~ta de X. Por tanto, por el teorema de Bolzano­Weierstrass s e sigue que X tiene ~~a subsucesión convergente X". Como ya se señaló, X" también es una subsucesión

118

l 'lll'l'l\IU\l

SUC'ESIUNl'.S

de X; por tanto, converge ax por hipótesis. Por consiguiente, pcrlcuccc en lti111:1 instancia a la vecindad­a, de x. Puesto que todo término de X" también es u11 término de X', esto contradice a(#). o.u.n. ú

1)11• ('/\U( 'uv

119

Es importante contar con una condición que implique la 11111wrgcncia de una sucesión de números reales que no requiera saber el valor del l1111i!v, y que no se restrinja a sucesiones monótonas. El criterio de Cauchy, que se 1·:1111hkccrá en esta sección, es dicha condición. 111 •, que son monótonas.

Ejercicios de la sección 3.4

1./

Dar un ejemplo de una sucesión no acotada que tenga una subsucesión con­ vergente. 2'! Usar el método del ejemplo 3.4.3 b) para demostrar que si O< e< 1, enton­ ces lím (c1111) = 1. 3.( Sean X= (x,,) y Y= (y) sucesiones dadas y sea que la sucesión "barajada" Z = (z,) esté definida por z1 := x1, z2 := y1, ... , z2tt .1 := x n , z2 n :=y n' . · · . Demos­ ,; trar que Z es convergente si y sólo si X y Y son convergentes y lím X= lím Y. 4. Sea x11 := 111/11 paran EN. a) Demostrar que Ja desigualdad x 11 + 1' < x 11 es equivalente a la desigualdad (1 + l/n)11 < n, e inferir q.ie la desigualdad es válida paran ~ 3. [Ver el ejemplo 3.3.5.] Concluir que (x,) es decreciente en última instancia y que x := lím (x,,) existe. b) Usar el hecho de que la subsucesión (x211) también converge ax para de­ / n;ostrar que x = ../X. Concl.~ir que x = .1. 5. Supóngase que toda subsucesíón de X= (x,,) tiene una subsucesión que con­ verge a O. Demostrar que lím X= O. 6/ Establecer la convergencia y encontrar los límites de las siguientes sucesiones: a) ((1 + l/2n)2), b) ((1 + l/2n)"), e e) ((1 + l/n2)"2), d) ((1 + 2/n)"). , r-

3.5. I Definición. Se dice que una sucesión X= (x11) de números reales es una e > O existe un número natural H( t:) tal que para lndus Jos números naturales n, m ~ H(t:) los términos x,,, xm satisfacen lx,, ­ x111I < e. El lector deberá comparar atentamente esta definición con el teorema 3.1.6 e) , cl.uivo a la convergencia de la sucesión X. Se verá a continuación que las sucesio­ 11us de Cauchy son precisamente las sucesiones convergentes. Para demostrar esto primero se prueba que una sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. Mlrc.~iún de Cauchy si para toda

3.5.2 Lema. Si X = (xJ es una sucesión convergente de números reales, entonces X es una sucesión de Cauchy, 1

Demostración. Si x := límX, entonces, por el teorema 3.1.6 c), dada e >O hay número natural K(E/2) tal que si n > K(t:/2) entonces lx,, -x] < t:/2. Por tanto, si H(t:) := K(t:/2) y sin, m ~ H(e), entonces se tiene 1111

1X11

­

X"' 1

(J

Se~ (x,,) una sucesión acotada_Y para cada n EN sea s11 := sup {xk: k;;,, n} y S ,/ := m_f {s,,}. Demostrar que existe una subsucesión de (x,,) que converge a S. 8. Supongase que x11;;,, O para toda n EN y que lím ((­l)11x,,) existe. Demostrar que (x,,) converge. . 9( Demostrar que si (x,,) no está acotada, entonces existe una subsucesión (x11k) tal que lím (1/x,,k) =O. 10/ Si x,, := (-1)11/n, encontrar la subsucesión de (x11'. que se construye en la se­ gunda demostración del teorema de Bolzano­Weierstrass 3.4.7. 11. Sea (x11) una sucesión acotada y sea s :« sup {x11: n EN}. Demostrar que si s'e; {x11: n EN}, entonces existe una subsucesión de (r,,) que converge a s. 12. Sea (/11) una sucesión anidada de intervalos cerrados. Para cada n EN, sea x E /11• Usar el teorema de Bolzano­Weierstrass pan dar una demostración del teorema de los intervalos anidados. 13. Dar un ejemplo para demostrar que el teorema 3.4.8 falla si se omite la hipó­ tesis de que X es una sucesión acotada.

SECCIÓN 3.5 Criterio de Cauchy El teorema de convergencia monótona 33.2 es de extraordinaria utilidad e importancia, pero tiene la desventaja significativa de que sólo se aplica a sucesio­

=

1

(X

11

-

X) + (X ­ X,..)

~ lx,. ­ xi+ lx

111

Puesto que Cauchy.

­

1

xi< s/2 + s/2 =s.

e > O es es un valor cualesquiera, se sigue que (x,,) es una sucesión de Q.E.D.

Para establecer que una sucesión de Cauchy es convergente, se necesitará el siguiente resultado. (Ver el teorema 3.2.2.)

3.5.3 Lema. Una sucesión de Cauchy de números reales está acotada. Demostración. Sea X= (x,) una sucesión de Cauchy y sea

e :=l.

Si H := H(l) y n > H, entonces ¡xn -xHI ~ l. Por tanto, por la desigualdad deltriángulo se tiene que !xnl ~ lxHI + 1 paran ;;,, H. Si se hace

entonces se sigue que

lx I ~ 11

M para toda n EN.

Se presenta ahora el importante criterio de convergencia de Cauchy.

Q.E.D.

120

( 'ltl 1'1\IUO

SlJ( '1'.Sll lNl(S

3.5.4 Criterio de convergencia de Cauchy, Una s111·1wl1í11il1•111í1111·ms es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy.

reates

Demostración. Se ha visto ya, en el lema 3.5.2, que una sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. Recíprocamente, sea X= (x,,) una sucesión de Cauchy; se demostra~á que X converge a algún número real. Se observa primero, por el lema 3.5.3, que la suce­ sión X está acotada. Por lo tanto, por el teorema de Bolzano­Weierstrass 3.4.7, existe una subsucesión X' = (x11k) de X que converge a algún número real x*. Se completará la demostración al probar que X converge ax*. Puesto que X= (x11) es una sucesión de Cauchy, dada e> O, existe un número natural H(e/2) tal que sin, m ~ H(e/2) entonces

l't11•~ln q1111 I' ·O es urhiuuriu, se infiere que (1/n) es una sucesión de Cauchy; se ~111111 , pw In t1111tn, por el criterio de convergencia de Cauchy que es una sucesión 1 llllVl'IJl.1'111\.l. 11) S1rn que X= (x,,) esté definida por

y '"

p11rdc

ll1•i1il:n111do 1111tuur.o,

demostrar por inducción que 1 ~ x,, ~ 2 para toda n EN. (Hacerlo.) algunos cálculos se encuentra que la sucesión X no es monótona. Sin puesto que los términos se forman sacando promedios, se ve de inmedia­

111 q11c

1

lxn - Xn+ll

=

( *) Puesto que la subsucesión X' = (x,,k) converge ax*, existe un número natural K ~ H(e/2) que pertenece al conjunto {ni' n2, ... } tal que

Por lo tanto, sin~

n EN.

d11d del triángulo para obtener

lxn - Xrnl

<

lxn 1 2n­l

Puesto que K ~ H( e/2), de ( *) con m = K se sigue que para

para

2n­l

icmostrar esto por inducción.) Por tanto, si m > n, se puede emplear la desigual­

(J

lxK - x*I < s/2.

lx,, -xKI < e/2

1)1\ ('Al J( '11 Y

= ­­

Xn+li

+ lx +1 11

­

Xn+zl + •. • +lx,,._¡

l

l

+­ 2" + ... +­­2"'­2

n ~ H(e/2).

1

< 211­2.

H(e/2) se tiene

lxn - x*I

=

j(xn - xK) + (xK - x*)

1

~ lxn - xKI + lxK - x*I

< 15 /2 + 8 /2

­ x,,.I

= 8'

J>or lo tanto, dada e> O, si se elige un valor den tan grande que 1/2" < e/4 Y si m - n, entonces se sigue que lx ­ x 1 < e. Por lo tanto, X se trata de una sucesión de < 'auchy en R. Por el criterio de c:uchy 3.5.4 se infiere que la sucesión X converge un número x. Para evaluar el límite x primero se podría "pasar al límite" en la regla de la de­ finición xn = i(x + xn- 2) para concluir que x debe satisfacer , la relación ,x i(x < n­1 + x), la cual es verdadera pero no informativa. En consecuencia, se debe mtentar

11

Puesto que e> O es un valor cualesquiera, se infiere que lím (x,,) = x*. Por lo tanto, la sucesión X es convergente Q.E.D. Se presentarán ahora algunos ejemplos de la aplicación del criterio de Cauchy. 3.5.5 Ejemplos. a) La sucesión (1/n) es convergente. Desde luego, se vio ya en 3.1.7 a) que esta sucesión converge a O. Sin embar­ go, para demostrar directamente que (1/n) es una sucesión de Cauchy se observa que si se da e> O, entonces hay un número natural H := H(e) tal que H > 2/e. (¿Por qué?) Por tanto, sin, m ~ H, entonces se tiene 1/n ~ 1/H. Se sigue por lo tanto que si n, m ~ H, entonces

=

algo más. Puesto que X converge ax, la subsucesión X' con índices impares también lo hace. El lector puede establecer, por inducción, que [ver 1.3.3 e)]

Xzn+I

1

1

1

+ 2 + 23 + · · · + 22n­l

=

1

=

l + .:.(1 ­ .!._)· 3 4n

De lo anterior se sigue (¿cómo?) que x

= lím X=

lím X' = 1

+ ~ = ~·

122

('l{l'i'HHIO

SIJ< 'l·:SIONl~N

e) Sea Y= (yn) la sucesión de números reales dadu por' 1 !11'=1!'

1h

1

1

1 1 y"== ­11 ­ ­21 . .

2! ' ... '

+ ... +

(­l)"+J n!

Evidentemente, Y no es una sucesión monótona. Sin embargo, si m > n, entonces

Puesto que 2r­,1

( ­1)"+2 =

~

( ­1)"+3

+

(n+l)!

(n+2)!

( ­1)"'+1 +···+­­­­ m!

r! [ver 1.3.3 d)], se sigue que si m

IYm ­ Ynl

rn

< 'b<

1

+

(n+l)! 1 + 2n+l 2" l

1

( n + 2) !

> n, entonces (¿por qué?) +­

+ l

+ ... +­­ 2111­l

1

m! l

< 211­l.

Por lo tanto, ,se.sigue que (yn) es una sucesión de Cauchy. En consecuencia, con­ verge a un Iírnite Y· Por el momento no es posible evaluar y directamente· sin embargo, al pasar al límite (con respecto a m) en la desigualdad anterior, se obtiene IYn - yj

< l/2"­1•

Por tant~, Y .se puede calcular con cualquier grado de precisión deseado calculan­ do los termmos Yn para n lo suficientemente grande. El lector deberá hacerlo y demostrar que Y es aproximadamente igual a 0.632 120 559. (El valor exacto de y es 1­1/e.)

d1 1111111t111dn

f / nn rN 1111:1 succxión de Cauchy (¿por qué?); por lo tanto H no es 1·n11vcrgc11lt:. (En términos que se presentarán en el capítulo 9, se ha que 1:1 "serie armónica" L.~= 1 (1/n) es divergente.)

t¡lil'

111111 11111't•1dn11

!12'=1!

!1111 - Yn

111111•111

12.1

IJJI, ('i\ll('llY

.l.S.6 Dd1uid(m. Se dice que una sucesión X = (x11) de números reales es 11111l111ctivn si existe una constante e, o< e< 1, tal que

¡ 111111 toda n EN. Al número C se le llama constante de la sucesión contractiva. J.5.7 Teorema. Toda sucesión contractiva es una sucesión de Cauchy y, por

¡,, 1!11110, es convergente. Demostración. Si se aplica sucesivamente la condición que define a una su­ ' 1·~:i1'111 contractiva, la sucesión se puede reconstruir hasta llegar al principio de la 11i¡',11icnte manera:

lx,,+2 ­ x,.+11 < Clx,.+l

<

­ x,.I < C2lx,. ­ x .. -11

C3lx,._1

­

x,._21

< · · · < C"lx2

­

x1I.

l'ara m > n, se estima lxm - x11¡ aplicando primero la desigualdad del triángulo y usando después la fórmula para la suma de la progresión geométrica [ver 1.3.3 c)]. Se obtiene así

lx,,, ­ x I < lx 11

+ lxm­l ­ x"'_21 + · · · +lx,.+1 < (cm­2 + cm­3 + .. +c"­l)lx2 ­ X¡I 111

­

x, 11 11_

­

x,.I

o

d) La sucesión ( l1 + 21 + · · · + l1) diiverge.

=

Sea H := (hn) la sucesión definida por hn

:=

1 1

1

l

+ 2 + . • • +­;;

C"­1(C"'_"_1

=C"­1

para

n

EN,

(

1 ­ cm­11) 1 ­ e

< c"­1(­1­)1x2 1-C

que se consideró en 3.3.3 b). Si m

h,,. - h11

> n, entonces

= ­­

1

n+l

l

+ ••• +­ . m

Puesto que cada uno de estos m - n términos excede a 1/m, entonces h _ h > (m - n)/m = 1 ­ n/m. En. particular, si m = 2n se tiene h2n - hn > i· Con esto se

+ cm­ll­2 + ...

lx z -x

+ l)lx2 ­ X¡I

1 i

­ X¡I·

Puesto que O< C < 1, se sabe que lím (C11) =O [ver 3.Lll c)]. Por lo tanto, se infiere que (xn) es una sucesión de Cauchv, Por el criterio de convergencia de Cauchy 3.5.4 se sigue que (xn) es una sucesion convergente. Q.E.D. En el proceso de calcular el límite ce una sucesión contractiva con frecuencia es de suma importancia contar con una estimación del error en la n­ésima etapa. En el resultado siguiente se presentan dos de estas estimaciones: la primera inclu­

('l(l'l'l'IUO SU( 'ESIONl:.s

124

lx,.+2

ye los dos primeros términos de la sucesión y n; la segunda incluy« la ditcrcncia xn-x11-l' C, O

cn-I

ii)

111 -

­

x,,+

11 =

lx* ­ xnl < ­­lx2 1-C

­

=

x1I,

-

Xn31

tlx!+i + Xn+1X,. + x~l lx,,+1 ­ x,.I

lo tanto, (x,.) es una su~e~ión contractiva_ y, en consecu~ncia, existe r ~1 ~ue 11111 (x) = r. Si se pasa al límite en ambos miembros de la igualdad x11+1 ­ (x11 + /)/7, ~~obtiene r = (r3 + 2)/7 y, en consecuencia, r3 - 7r + 2 =O. Por tanto res una l'(lr

e

lx* ­ xnl < --lxn 1-C

JHx~+i + 2) ­ t(x~ + 2)J

3 = 711 X,.+¡

3.5.8 Corolario. Si X := (x11) es una sucesión contractiva con una constante < C < 1, y si x* := lím X, entonces:

i)

lx

125

lll'. n, entonces x11I,;;:; (C11­ 1/(1 ­ C))lx2 ­ x11. Si se pasa al límite en esta desigualdad (con

x:

respecto a m ), se obtiene i. Para demostrar ii, recuérdese que si m > n, entonces ,

Puesto que aplicando la inducción se establece de inmediato que

se infiere que

xolución de la ecuación. Se puede obtener una aproximación de r al elegir un valor p~ra x1 y calcular '­' x 3, •.. sucesivamente. Por ejemplo, si se toma x1 = 0.5, se obtiene (con nueve 1 cifras decimales): x :::: 0.303 571 429, x3 = 0.289 710 830, x4 = 0.289 188 016, X5 = 0.289 169 244, = 0.289 168 571, etc. Para estimar la ~recisió~ se o_bserva que lx2­x11 < 0.2. Por tanto, después den pasos por el corolano 3.5 .8 i se sigue que se 1 iene la seguridad de que lx* -x 1 ~ 311­1 /(7" ­ 2 · 20). Así, cuando n = 6 se tiene la se­ guridad de que lx* ­ x61 ~ 35/(74 · 20) = 243/ 48 020 < 0.0051. En realidad la aproximación es sustancialmente mejor que esto. De hecho, puesto que lx6 ­ x5I < o.000 0005, de 3.5.8 ii se sigue que \x* ­x61~~~6­x511 11

+a>

a.

= + zc,

Las sucesiones monótonas son particularmente sencillas en lo que se refiere a su convergencia. Se ha visto en el teorema de convergencia monótona 3.3.2 que

una sucesión monótona es convergente si y sólo si está acotada. El siguiente resul­ tado es una reformulación de este hecho.

XII ~yll

a) Si lím (x,) = +oo, entonces lím (y)= +oo. b) Si lím (y,)= ­oo, entonces lím (x11) = ­oo.

11

11)

Notas. a) El teorema 3.6.4 aún es válido si la condici.ón (*)se cumple en última instancia; es decir, si existe m EN tal que x,, ~ y11 para toda n ~ m. b) Si la condición I«) del teorema 3.6.4 se cumple y si lím (y)= +cc, no se sigue que lím (x,,) =+::o. De manera similar, si se cumple (*)y si lím (x,,) =­oc, no se sigue que lím (y,) = -x. Al usar el teorema 3.6.4 para demostrar que una sucesión tiende a +oc [o a -x] es necesario demostrar que los términos de la sucesión son en última instancia mayores [o menores J o iguales que los términos correspondientes de una sucesión que se sabe tiende a +x[oa-x]. Puesto que en ocasiones resulta difícil establecer una desigualdad como (*), con frecuencia es más conveniente la aplicación del siguiente "teorema de compa­ ración de límites" que la del teorema 3.6.4. 3.6.5 Teorema. Sean (x,,) y (y) dos sucesiones de números reales positivos y supóngase que para alguna L E R, L > O, se tiene (#)

lím (xw1y11) =L.

st J('ll.SH)NI ·:S

128

Entonces lím (xn) =

+co

si y sólo si lím (yn) =

­l­co,

Demostración. Si(#) es válida, existe K EN tal que ~L

< X,/Yn < ~L

para toda

n ;;;: k.

Se tiene por tanto OL )y n < x,, < GL )y,, para toda n ;;;: K. La conclusión se sigue de una ligera modificación del teorema 3.6.4. Se dejan los detalles al lector. Q.E.D. El lector puede demostrar que la conclusión no es necesariamente válida si L = O, o bien, L = +oo. Sin embargo, hay algunos resultados parciales que se pueden establecer en estos casos, como se verá en los ejercicios.

Ejercicios de la sección 3.6 l. Demostrar que si (x,) es una sucesión no acotada, entonces existe una subsucesión propiamente divergente. 2. Dar ejemplos de sucesiones (x11) y (yn) propiamente divergentes con Yn -=!= O para toda n EN tales que a) (x,/y n) es convergente. b) (xn/Yn) es propiamente divergente. 3. Demostrar que si x11 >O para toda n EN, entonces lím (xn) =O si y sólo si lím (l/x,) = +co. 4. Establecer la divergencia propia de las siguientes sucesiones. a) ( i/n), e) (

b) ( v'n+l),

rn­=!),

d) ( n/v'n+T).

5. ¿La sucesión (n sen n) es propiamente divergente? 6. Sea (x11) propiamente divergente y sea (y,,) tal que lím (x11yn) pertenece a R. Demostrar que (y,,) converge a O. 7. Sean (x11) y (y,) sucesiones de números positivos y supóngase que Iím (xn/Yn)

=o.

a) Demostrar que si lím (xn) = +co, entonces lím (y") = +co. b) Demostrar que si (y,,) está acotada, entonces lím (xn) = O. 8. Investigar la convergencia o divergencia de las siguientes sucesiones:

a) (&+2), e) ( ,¡;;:+!

/ Vn),

b)

(/;;/(n2 + 1)),

d) (sen /;;),

9. Sean (xn) y (y,) sucesiones de números positivos y supóngase que lím (xn/Y11) = +co. a) Demostrar que si lím (y,,)= +co, entonces lím (x,,) = +co, b) Demostrar que si (xn) está acotada, entonces lím (yn) = O. 10. Demostrar que si Iím (a,jn) = L, donde L >O, entonces lím (a")= ­i­cc,

it·11cralmente se entiende por "análisis matemático" la rama de la matemática en que se hace un uso sistemático de varios conceptos de límites. Se ha tratado ya 1111\l de estos conceptos básicos acerca de límites: la convergencia de una sucesión dc números reales. En este capítulo se abordará el concepto de límite de una fun­ 1·iún. Se introduce esté concepto en la sección 4.1 y se estudia con mayor detalle r 11 la sección 4.2. Se verá que el concepto de límite de una función no sólo es en ¡·.ran medida paralela al del límite de una sucesión, sino también que las cuestiones 1 eferentes a Ja existencia Lle límites de funciones con frecuencia se pueden abordar ' considerando ciertas sucesiones relacionadas. En la sección 4.3 se introducen al­ ¡•11nas generalizaciones del concepto de límite que con frecuencia resultan de utilidad. e

111

SECCIÓN 4J . Límites de funciones En esta sección se definirá el importante concepto de límite de una función. El lector observará la estrecha relación con la definición del límite de una sucesión. La idea intuitiva de la función f que tiene un límite l en e es que los valores f(x) están próximos a L para cierta x próxima a Pero es necesario contar con método para trabajar con Ja idea de "próximo a", y esto se consigue usando la noción de vecindad de un punto. Así, el enunciado "la función/ tiende al en e" significa que los valores f(x) estarán en una vecindad­E arbitraria pero preasignada de L, siem­ pre que se tome x en una vecindad­o de e lo suficientemente pequeña, donde x c. La elección de 8 dependerá de la E preasignada. No se desea que influya el valor (en caso de haberlo) de f(c) en e, pues sólo se desea considerar la "tendencia" indicada por los valores de f en los puntos próximos (pero diferentes) al punto c. Para que esto tenga sentido es necesario que la función f esté definida cerca del punto c. Se enfatiza que no es necesario que f esté definida en e o incluso en todo punto próximo a e, sino que deberá estar definida en el número suficiente de puntos próximos a e como para hacer interesante el estudio. Esta es la razón de la siguiente definición.

c.

*

4.1.1 Definición. Sea A~ R. Un punto e ER es un punto de acumulación de A si toda ve ~indad­8 Vo(c) :=(e ­ 8, e+ 8) de e contiene al menos un punto de A diferente de c.

1(Ml'l'i'~i1)11,11lJN(

l.fMl'l'li.S

l:Hl

1.11

'IONl'.S

)'

Nota. El punto e puede pertenecer o no aA, pero aun t.:11 el l'111J11 de que perle­ nezca al conjunto, no cuenta al decidir si e es un punto de acumulación de A o 110, ya que se requiere específicamente que haya puntos en Vó(c) n A que sean difcrcn­ tes de e para que e sea un punto de acumulación de A. 4.1.2 Teorema. Un número e ER es un punto de acumulación de un subconjuntoA de R si y sólo si existe una sucesión (a,) en A con an i= e para toda n EN tal que lím (a)= c. Demostración. Si e es un punto de acumulación de A, entonces para cualquier n EN la vecindad­(1/n) V11 (e) contiene al menos un punto de A diferente de c. Si 11 ' a11 es este punto, entonces a11 EA, !fil11 i= e, y lím (a = c. Recíprocamente, si existe '.;Ita sucesión (a,) en A\{ e} con lím (a11)= c, enton­ ces para cualquier o > O existe un número natural K(o) tal que si n ;;;. K(o), en­ tonces a11 E V8(c). Por lo tanto, la vecindad­o V8(c) de e contiene los puntos a11, n;;;,, K(o), que pertenecen a J. y son diferentes de c. Q.E.D.

J);ida

~(L)~ '\. o tal que si X es un punto cualquiera de A n V0,(c) y x =t e, entonces fí..x) pertenece a Ve(L'). De manera similar, existe o"> o tal que si X es un punto cualquiera de A n V5,,(c) y X =te, entonces f(x) pertenece a V/L''). Se toma ahora 8 como el menor de o' y o", y sea V0(c) la vecindad­o de e correspondiente. Puesto que e es un punto de acumula­ ción de A, existe al menos un puntox0 =t c tal quex0 EA n Vo(c). Por consiguiente, f(x0) debe pertenecer tanto a VeCL') como a VE(L"), lo cual contradice el hecho de que estos conjuntos son disjuntos. Por tanto, el supuesto de queL' =t L" son límites de f en e lleva a una contradicción. Q.E.D.

el teorema 4.1.6.

4.1.7 Ejemplos.a)JW1b=b.

. , Para ser más explícitos, sea/(x) := b para toda x ER; se aflrm.a queJW!f b. hecho dada e> O, sea ó := l. Entonces si O < 1 x - el < 1, se tiene \f(x)- bl b l= o'< e. Puesto que e> O es un valor cualesquiera, de 4.1.6 ii se deduce que

11r

¡¡,

=

=

tiene x-+c lím f= b. b) lím x=c. Seaxi(~) ;: ;: X para toda X ER. Si E:.> o, sea o(s) := E:.. Entonces si o < lx ­ el < /i(i:), resulta trivial tener lg(x) ­ el = lx ­ el < e. Puesto que e > O es un valor l·11;tlesquiera, se deduce que lím g::;: c. e) }í.!PcX2 = c2. . . Sea h(x) := x2 para toda x ER. Se desea que la diferencia

•,1·

Criterio e­8 para el límite Se presenta ahora una formulación equivalente de la definición 4.1.4 al expre­ sar las condiciones de vecindad en términos de desigualdades. Los ejemplos que siguen mostrarán la manera en que se usa esta formulación para establecer los límites de funciones. Más adelante se obtendrá un criterio en términos de sucesio­ nes para el límite de una función.

menor que una e > o preasignada tomando x lo suficientemente próxima a c. l'ara ello, se observa que x2 - c2 = (x + c)(x ­ e). Por otra parte, si lx ­ e\ < 1,

sea

entonces de tal modo que

lx

+ el ,,;;; lxl + le\ ,,;;; 2jcl + l.

Por lo tanto, si lx ­ el < 1, se tiene

lx2

e21 = lx +el lx ­ el~ (2lel + l)lx ­ el.

4.1.6 Teorema. Sea f: A ­­+ R y sea e un punto de acumulación de A; entonces: i lím i= L si y sólo si

( *)

ii para cualquier E:. > dada existe una o( t:.) < D(t:.), entonces lf(x) ­LI < e.

Además, este último término será menor que

x---c

o

> o tal que si X (::A y o < lx ­ el

,

Demostración. i => ii. Supóngase que f tiene límite L en c. Entonces, dada t:. >O, existe o= O(t:.) >O tal que para todax en A que esté en la vecindad­o V0(c), x =te, el valor f(x) pertenece a la vecindad­s V/L) de L. Sin embargo,x está en V0(c) y x =t e si y sólo si O < lx­ el < o. (Obsérvese que O < lx­ el es tan sólo otra mane­ ra de establecer quex =t c.)Asimismo,f(x) pertenece a V//,) si y sólo si lf(x)­LI < e. Por tanto, si x EA satisface O < 1 x- el< entonces f(x) satisface 1/ (x) ­L! < e.

o,

ii =:::} i. Si la condición enunciada en ii se cumple, entonces se toma la vecin­ dad­o V8(c) :=(e ­ o, e+ o) y la vecindad­E V,,(L) := (L ­ e, L +e). Entonces la condición ii indica que si x está en V0(c), donde x EA y x =t e, entonces /(x) per­ tenece a V/L). Por lo tanto, por la definición 4.1.4,ftiene el límiteL en c. Q.E.D.

­

e siempre

que se tome lx ­ el <

t:/(2lc\ + 1). Por consiguiente, si se elige

entonces si o< \x-e\ < o(t:.), se inferirá primero que lx­ e\< 1, por lo que I») es válida y, por lo tanto, como [x ­ el< e /(2[c\ + 1) se sigue que

lx2

­

e21 ~ (2le\ + l)lx ­ el< e.

Puesto que se cuenta con una manera de elegir 8(e)

e > O se infiere que lím h(x) = lím x2 '

x-+c

x-+c

= e2.

> O para cierta elección de

134

1.IMlTl',S

d) lím x--+c

!X

=

S1•a 1¡1(x) := (11 ­4)/(.x2

!C si e > O.

Sea 'P(x) := 1/x para x > O y sea e quiere hacer que Ja diferencia

X--+

+ 1) para x ER. Entonces un poco de álgebra produce

1/t(x) _ ~51 = l5x3

> O. Para demostrar que lím 'P = ·1 [e su e

135

l)(I, l'lJN('IONl(S

1

­

4x2

-

5(x2 + 1)

241

+ 6x + 121 ) 5 X2 + 1

[5x2 l

'P( X) - ~ 1

(

= 1~

­

~ 1

sea menor que una e> O preasignada tomando una x lo suficientemente próxima a e > O. Se observa primero que

1 ­[x ex

O

1

< ­

ex

2

O dada se elige

e. Puesto

Criterio de sucesiones para Ilimites c22 lx

- el.

e basta tomar [x ­ c[ < !cze. Por consi­

~I =I~ ­ ~I

< ~e, por lo que (#) es

> O para

La importante descripción del límite de una función que se presenta a conti­ nuación se expresa en términos de límites de sucesiones. Esta caracterización hace posible la aplicación de la teoría del capítulo 3 al estudio de límites de funciones.

4.1.8 Teorema (Criterio de sucesiones) Sea f: A ­+ R y sea e un punto de acumulación de A; entonces: i lím f = L si y sólo si i(pcira toda sucesión (xn) en A que converge a e tal que xn c para toda n EN, la sucesión (f(xn)) converge aL.

*

Demostración. i ==} ii. Supóngase que f tiene el límite Len e, y supóngase que (xn) es una sucesión en A con lím (xn) = e y x11 c para toda n. Se de~e p_robar que la sucesión (f(xn)) converge a L. Sea E> O dada. Entonces por el cnteno t:-8 4.1.6, existe O tal que si x satisface O < [x ­ el < 8, donde x EA, entonces f(x) satisface lf(x)-Ll < e. Se aplica ahora la definición de sucesión convergente de la 8 dada para obtener un número natural K(8) tal que sin > K(o) entonces [xn - el < O. Pero para cada una de estas x" se tiene lf(x11) ­ LI < e. Por tanto, sin > K(8), entonces lf(x11)­LI

sgn

4.1.10 Ejemplos. a) lím (1/x) no existe en R. x-> O

Como en el ejemplo 4.1.7 d), sea ¡p(x) := l/x para x >O. Sin embargo, en es­ te caso se considera el valor e = O. El razonamiento presentado en el ejemplo

Se demostrará que

(x,) = (­1)"

para

n EN,

del ejemplo 3.4.5 a) se sigue que (sgn (x11)) no converge. Por lo tanto, lígi0sgn (x) no rxiste. "l"c) lím sen (1/x) no existe en R.

*

Se presentan ahora algunas aplicaciones de este resultado para indicar la ma­ nera en que se pueden usar.

* O. (Ver la figura 4.1.2.)

que lím (xn) = O, pero tal que (sgn (xi)) no converge. De hecho, sea x" :== (­1)11/n paran EN de tal modo que lím (x,) =O. Sin ­mbargo, puesto que

a) Si L ER, entonces f no tiene el límite Len c si y solo si existe una sucesión (x11) en A con x11 e para toda n EN tal que la sucesión (x ) converge a c pero la sucesión (f(x11)) no converge a L. n

*

x >O, x:::: O, x O

( 1

*

Sea g(x) :=sen (1/x) para x O. (Ver la figura 4.1.3.) Se demostrará que g no 1 icne límite en e = O, para lo cual se recurrirá a dos sucesiones (x11) y (yn) con x11 O y y 11 =/:- O para toda n EN y tales que lím (x11) = O y lím (y11) = O, pero tales que lím (g(x11)) lím (g(y")). De acuerdo con el teorema 4.1.9, esto indica que;~~/ no puede existir. (Explicar por qué.) De hecho, se recuerda que en Cálculo sen t = O si t = nit para n E Z y que sen 1 = + 1 si t = ! n: + 2rcn paran E Z. Se hace ahora x11 := 1/nrc paran EN; entonces

*

*

TA fin de contar con aplicaciones interesantes en el presente ejemplo y los siguientes, se hará uso de las conocidas propiedades de las funciones trigonométricas y exponenciales que se establecerán en el capítulo 8.

13H

l(Ml'l'I!!

1111 HWMAI : t 11110! 1IMI1'111

l,\l)

U 1111 l11il 1v1ilo, sen [: 1-• R y sea e el. Supóngase que existen Jos 111111w1rn1 /\.y/, l11lcs que IJ(r)­Li ,,¡;; K~x-c! parax El. Demostrar que Ji!p/=L.

l, ,'l1111 / 1

0

H.• 1 k1111H1lrnr

= c3 para cualquier e ER.

que xlfm x3 ..... e

•1, 1 le1110,\ll'l1r que )."-'(.' lím ..Ji=

­

101

.Je para cualquier e;;;.

O.

lls11r u111has descripciones del concepto de límite, la e­8 y la de sucesiones, p11ni establecer las siguientes proposiciones: (a) lí111 ­­ x­•2

1

1 ­

= ­ X

l

(x > 1),

(b) lím x--+

x2 (e) lím ­ = O x­­+olxl

(x =F O),

lím

(d)

1

X

1

1 +X

2

X~

-

X

+

(x >O),

1

1

x+l 1 1 /Demostrar que los siguientes límites no existen en R. FIGURA 4.1.3. La función g(x) = sen (1/x)

1 (a) lím 2

(x =f. O).

x­­>O

lím (x11) =O y g(x11) = sen nn= O para toda n EN, de modo que lím (g(x11)) =O. Por otra parte, sea y 11 := sen G 1r + 2nn )-1 paran EN; entonces lím (y11) = O y g(y11) = sen G 1r + 2nn) = 1 para toda n EN, de modo que lím (g(y 11)) = l. Se concluye que lím sen (1/x) no existe. x-+O

Ejercicios de la sección 4.1 11 Determinar una condición sobre a) !x2 ­ lf < 1/2.

­­+

x­­>O

l

i)

13/

(b)

+

sgn ( x) ),

(d)

1 lím 1 x­­+O yx

(x

lím sen( 1/x

.r­­>O

(x

:>

O).

> O), 2)

(x

=t.

O).

Suponer que la funciónf: R--+ R tiene límite Len O, y sea a> O. Si g: R--+ R está definida por g(x) := f(a) para x ER, demostrar que }~0g =L. Sea e un punto de acumulación de A [; R y sea f: A ­­+ R tal que IJW Jf(x))2 = L. Demostrar que si L = O, entonces lím f(x) = O. Demostrar con un ejemplo x->c

:x -

I] que asegure que:

b) !x2 ­ 1¡ < 1/103. e) jx2 ­1: < 1/n para unan EN dada. d) lx3 ­ r < 1/n para unan E N dada. 21 Sea e un punto de acumulación de A [; R y sea f: A --+R. Demostrar que lím f(x) = L si y sólo si x-+c lím 'f(x) - LI = O. x-+c ·

3( Sea f: R

X

(e) lím ( x

> O),

(x

2

x--+I

R y sea e ER. Demostrar que

J~ f(x) = L si y sólo si

lím f(x + e)= L.

X""'0

t.

4( Sea f: R ­­+ R, sea l [; R un intervalo abierto y sea e E l. Si es la restricción de fa l, demostrar quef1 tiene un límite en e si y sólo siftiene un límite en e, y que x-tc lím f = x-t-c lím f,1.

5. Sea f: R ...... R, sea J [; R un intervalo cerrado, y sea e EJ. Si f2 es la restricción de fa J, demostrar que si f tiene límite en e entonces f2 tiene límite en c. Demostrar que no se deduce que si f2 tiene límite en e, entonces f tiene lími­ te en e: 6. Sea l := (O,' a), a > O, y sea g(x) := x2 para x El. Para cualesquiera x, e en l, demostrar que !g(x) - c2i ""' 2a!x - e'. Usar esta desigualdad para demostrar que lím x2 = c2 para cualquier e El. X_. C

que si L =f. O, entonces f puede no tener límite en e. 14( Sea quef: R--+ Resté definida haciendof(x) :=x six es racional y f(x) :=O si x es irracional. Demostrar que f tiene un límite enx =O. Usar un razonamien­ to en términos de sucesiones para demostrar que si e =f. O, entoncesfno tiene límite en c.

SECCIÓN 4.2 Teoremas sobre límites Se obtendrán a continuación algunos resultados que son útiles para calcular límites de funciones. Estos resultados son paralelos a los teoremas sobre límites de sucesiones establecidos en la sección 3.2. De hecho, en la mayoría de los casos estos resultados se demuestran usando el teorema 4.1.8 y los resultados de la sec­ ción 3.2. De otra manera, los resultados de esta sección se pueden demostrar usan­ do razonamientos que son muy similares a los que se emplearon en la sección 3.2.

e-o

4.2.1 Definición. Sea A ~ R, sea f: A ­­+ R y sea e E R un punto de acumula­ . ción de A. Se dice que f está acotada en una vecindad de e si existe una vecindad­o Vf c) de e y una constante M >O tales que se tiene lf(x)j :s:: M para toda x EA

n V/e).

4.2.2 Teorema. Si A ~ R y f: A acotada en alguna vecindad de c.

­+

R tiene un límite en e E R, entoncesf está

140

'l'JIOl(HMAS

iJMl'l'l•:S

Demostracíón,

8 > O tal que si O 2.3.4a)],

Si L := x->c lím

f, entonces

por el tcorcrua 11.1.11

< lx­ el < 8, entonces lf(x)­ LI < 1; por

ta11!0

vrn1 1·.;;; J

1111

t.fMl'i'FS

1)1•nwNj rnd6u. LJ 11a demostración de este teorema es similar paso a paso a la di l lt•rnt•11111 ,\.~~.:\.Otra forma es hacer uso del teorema 3.2.3 y del teorema 4.1.8. Pi11 1'it­111plo. xcu (x,,) cualquier sucesión en A tal que xn =I= e paran EN Y e= lím ( 1 ) l'()r L'I teorema 4.1.8 se sigue que 11

1, existo

por el corolario

IJ(x)I ­ ILI ~lf(x) ­ LI c

+ g)

=

lím (fg)

x->c

+

L =

lím ( f - g) = L - M,

M,

x->c

Iím (bf)

LM,

x->c

=

bL.

h(x)

x->c

no exista. Pero aun si este límite existe, no se pueda usar el teorema 4.2.4 b) para evaluarlo. 2) Sea A ~ R, y sean fl' f2, •.. , funciones de A a R, y sea c un punto de acumulación de A. Si

t,

Lk

b) Si h:A ~ R, si h(x) i=- O para toda x EA, y si lím h i=- O, entonces

:=

Iímfk

para

x-->c

k = l, ... ,n,

x-> e

lím { f_)

x->c

h

=

!:_. H

entonces por el teorema 4.2.4, mediante un razonamiento de inducción, se sigue que

L1

+ L2 + ·_· · +L,,

=

lím

x-+c

(f1 + Í2 +

· · · +f,,),

142

: ll 11c

j:· ) 11

3) ·En particular, a partir de 2) se deduce que si L = lím

x->c

L"

= lím ( X-lle

f ( x))

ti l1'@_X ce;i'.::i

existe en R.

Desde luego, lím 1 = 1 y H := lím x = O. Sin embargo, puesto que H =O, no se x->O

(e)

lím X_,

x3

2

­­ ( x2

­

4) 4

+ 1

=

x ­e O

puede aplicar el teorema 4.'"' 4 b) para evaluar lím (1/x). De hecho, como se vio en x--> O

1·1 ejemplo 4.1.10 a), la función cp(x) = l/x no tiene límite en x ==O. Esta conclusión 1 arnbién se sigue del teorema 4.2.2, ya que la función cp(x) = 1 /x no está acotada en 1111a vecindad de x = O. (¿Por qué?) f) Si pes una función polinómica, entonces lím p(x) = p(c).

­.

5

Si se aplica el teorema 4.2.4 b), se obtiene

x-> e

x3

-

4

+

l

lím ­2­­ x->2 X

lím ( x3 X­lo2

lím ( x2

x­­­­+2

­

4)

4

+

1)

5

.

i

(

Sea puna función polinómica en R de tal modo que p (x) = a,,x" +a,,_ 1xn- I + · · · + a1x + a0 para toda x ER. Del teorema 4.2.4 y del hecho de que lím xk = ck se sigue que límp(x)

Obsérvese que como el límite del denominador [es decir, lím (x2 2 igual a O, entonces se puede aplicar el teorema 4.2.4 b ). x _,

x2 - 4 (d) lím­ ­­ .r _, z 3x ­ 6

+ 1) == 5] no es

x~c

=

lírn [anx" + a,,_1x"-1

x--+c

lím(a11xn) X-te

4

3

= p(c).

+ · · · +a1x + a0]

+ lím(a 1xn­l) 11_

x--+c

+ ···

+ lím(a1x) x--+c

+ lím c¿ x~c

111.4

rr«

1.IM l'l'l(S

Por tanto, l~p(x)

= p(c) para cualquier función

g) Si p y q son funciones polinómicas en R y si q(c) :f- O, . p( X) l 1m­­

x->cq(x)

•1.2.8 ~lcmplo.~.

¡1.

p(lli11Pi1il(·11

e111011ccs

p11111

11) lírn x­•O

111.s

)IO(MAS SI llil{li iJMl'l'l(S

x:112 =O (x >O).

1

lím x2 =O

q(c)

lím x

y

x->O

0,

=

x->O

·, 4 . 2 . 7 se sigue . dt·I teorema de compres10n que I'1m x 312· = O .

p(x) r(x) == ­­. q(x)

-x ~sen x ~ x

111

x->O

Más adelante se demostrará (ver el teorema 8.4.8) que

lím p(x) lím q(x)

y si lím x-c

f existe, entonces

a ~ lím x-c

l ­ ix2

(d) lím X-+ o

* c,

*

L ~ b.

Q.E.D.

4.2.7 Teorema de compresión. Sea A(';;; R, seanf, g, hi A:» R,y sea c ER un punto de acumulación de A. Si

x-c

f=L

= lím h, entonces lím g =l. x----¡.c

x----Joc

x EA, x

E

R.

COS X (

X

1) =O.

-=fa c,

x>O

para

y que

O~ (cosx - 1)/x ~ tx

para

Sea ahora f(x) := -x/2 para x ~ O y /(x) := O para x y h(x) := -x/2 para x < O. Se tiene entonces

Se establece a continuación un análogo del teorema de compresión 3.2.7. La demostración se le deja al lector.

y si lím

para toda x

-tx~(cosx-l)/x~O

Demostración. De hecho, si L = lím f, entonces por el teorema 4.1.8 se sigue x-1o e que si (x,,) es cualquier sucesión de números reales tal que e x11EA para tod,a n EN y si la sucesión (x) converge a e, entonces la sucesión (f(x,,)) converge a L. Puesto que a ~ f(x11) ~ b para toda n EN, por el teorema 3.2.6 se sigue que a ~

para toda

cos x ~ 1

No se puede usar el teorema 4.2.4 b) (al menos no direct.ame11te) para. evaluar este límite. (¿Por qué?) Sin embargo, de la desigualdad (*)del ejemplo e) se sigue que

f ~ b.

f(x) ~ g(x) ~ h(x)

~

Puesto que lírn (1­ ~x2) = 1, del teorema de compresión se sigue que lí.T0cos x = l.

4.2.6 Teorema. Sea A (';;; R, sea f: A-+ R y sea e ER un punto de acumulación deA. Si x EA, x

l~o sen x = O.

e) lím cos x = l. x-o Más adelante se demostrará (ver el teorema 8.4.8) que ( *)

p(c) q( e) .

El resultado siguiente es un análogo directo del teorema 3.2.6.

para toda

x ~ O.

x->O

X----)C

a ~f(x) ~ b

para toda

l'ucsto que lím (±x) = O, del teorema de compresión se sigue que

*

x~c

x-o

h) lím sen x = O.

Sic no es solución de q(x), entonces q(c) O y por el ejemplo f) se sigue que lím q(x) x~c = q(c) *O. Por lo tanto, se puede aplicar el teorema 4.2.4 b) para concluir que

, p(x) x->c q(x)

~

p(c)

Puesto que q(x) es una función polinómica, de un teorema de álgebra se sigue que existen a lo sumo un número finito de números reales a:1, ... , 0: [las raíces reales de q(x)] tales que q(a) =O y tales que si x E {al' ... , a,,,}, entonces q(x) -=/= O. Por tanto, six E {al' ... , 0:111}, se puede definir

lim ­­­

1

!12

Se;1 /(x) := x1/2 para x > O. Puesto que la desigualdad x < x 1 se cump e 11 ­~ x ~ 1, se sigue que x2 ~ f(x) = x312 ~ x, para O < x ~ l. Puesto que

f (X )

~ ( cos X -

l) /X

~

h( X )

Puesto que se ve de inmediato (¿cómo?) que lím x~o

compresión se sigue que lím (cos x -1)/x =O.

x)

sen (e) lím ( ­­ X o X ­+

x-+ O

= l.

x O [o bien, f(x) O),

(x >O)

(x+1)2­l

que lím (sen x)/x = l. x-+O

(b)

los siguientes límites y señalar los teoremas que se usan en cada (Quizás quiera usarse el ejercicio 14 siguiente.)

(a) lím

f) lím (x sen (1/x)) =O.

(x

siguientes límites:

netcrminar

Por lo tanto se deduce (¿por qué?) que

x-+O

los

•I

x-•2

.'.

4.2.4 para determinar

lí111 (x + 1 )(2x + 3) (x E R),

(11)

f

el teorema

I

i

11. Determinar si existen en R los siguientes límites. a) lím sen (1/x2) (x ­=FO), b) lí_T x sen (1/x2) (x *O), x-0

e) lím sgn sen (1/x) (x -=F O), x-0

\

X

Ü

d) lím x-0

.JX sen (1/x2)

(x >O).

12. Sea f: R--> R tal que f(x +y) = f(x) + f(y) para toda x, y en R. Sup~ngas~ q~e lím f = L existe. Demostrar que L = O y demostrar después que f tiene limite x-o entodo punto e ER [Sugerencia: Observar primero que f(2x) = f(x) + f(x) = 2f(x) para x ER. Observar asimismo que f(x) = f(x - e)+!~~) para x, c. en R] 13/sea A ~ R, sea f: A ­> R y sea e E R un punto de acumulación de A. S1 existe Jím f y si !!)denota la función definida paraz EA por lf((x) := {f(x~, demos­

t~~ que ·x-c\ lím ''f\=

\1im x-c f ·\

i'IH

1.{Ml'l'Hl1 Atv11'1.li\('IONl\S

14! Sea A ~ R, seaf: A---> R y sea e El? un punto de 1w111111il111'l1111 de ;l. /\1k111(111, supóngase que f(x) ~O para toda x EA, y sea ­J/ lu 1'1111cio11 definida p11111 x EA por (.Jf)(x) := #W. Si existe f, demostrar que)J.~ = j'.

JL~

lW.1.('0N('P.1''1'0

¡¡ Si e cR es un punto de acumulación del conjunto A

-J7 ~.J ~n

1•

lím

"!'SECCIÓN 4.3 Ampliaciones del concepto de límite

x-----)c-

{x EA: x

f

=

L

'"dada cualquier E> O existe una 8 >O tal que para toda x EA con O< c -x < 8, rutonces lf(x) ­ LI < E. Notas. 1) Si L es un límite por la derecha de f en e, en ocasiones se dice que L es un límite de f desde la derecha en c. En ocasiones se escribe

Límites por un lado

lím f(x) =L.

x-i.c+

En ocasiones una función f puede no tener un límite en un punto e, a pesar de que existe un límite cuando la función se restringe a un intervalo en un lado del punto de acumulación c. Por ejemplo, la función signo considerada en el ejemplo 4.1.10 b), e ilustrada en la figura 4.1.2, no tiene límite en e = O. Sin embargo, si la función signo se restringe al intervalo (O, oo), la función resultante tiene límite 1 en e= O. De manera similar, si la función signo se restringe al intervalo (­ XJ, O), la función resultante tiene límite ­'1 en e = O. Estos son ejemplos elementales de límites por la derecha y por la izquierda en c = O. Las definiciones de límites por la derecha y por la izquierda son modificacio­ nes directas de la definición 4.1.4. De hecho, al sustituir el conjunto A de la defini­ ción 4.1.4 por el conjunto A n (c, oo) se llega a la definición del límite por la derecha en un punto e que es un punto de acumulación de A n (c, XJ). De manera similar, al sustituir A por A n (­ oc, c) se llega a la definición del límite por la izquierda en un punto e que es punto de acumulación de A n (­ oo, e). Sin embargo, en lugar de formular estas definiciones en términos de vecindades, se enunciarán las formas E-o análogas del teorema 4.1.6. 4.3.1 Definición. Sea A ~ R y seaf: A---> R. i Si e ER es un punto de acumulación del conjunto A n (e, ce)= {x EA: x > c}, entonces se dice que L E R es un límite por la derecha de f en e y se escribe lím

f

=

L

X---f>C+

si dada cualquier E> o existe una - e < 8, entonces lf(x) - LI < E.

n (­oo, e)=

l49

! , entonces se dice que L ER es un límite por la izquierda de f en e y se

11,1·1ihe

En esta sección se analizarán tres tipos de ampliación del concepto de límite de una función que ocurren con frecuencia. Puesto que todas las ideas presentadas son estrechos paralelos de las que ya se han tratado, esta sección se puede leer con facilidad.

l>I~ LÍMl'l'I'.

o= o(E) > o tal que para toda X EA con o R y sea e E R un punto de acumula­ ción de A. Se dice que f tiende a co cuando x-> e, y se escribe

límf = FIGURA 4.3.1 Gráfica de g(x) = e1/x (x =fa O).

x-+c

ce,

152

/\Ml'I

l.fMl'l'l\S

153

JA( 'IONJl.S J)l(J, ( '()Nl'l\l"l'O 1)1\ dMl'l'I\

­

Gráfica de f (x)

FIGURA 4.3.3

= 1/x2

(x =/= O).

si para toda a ER existe 8 = 8(a) >O tal que para toda x EA con O< lx ­ el< 8, entonces f(x) > a. ii Se dice que f tiende a ­oo cuando x-> e, y se escribe

límf

x-+c

=

­oo,

si para toda f3 ER existe 8 = 8(/3) > O tal que para toda x EA con O entonces f(x) < {3.

4.3.6 Ejemplos. a) lím (1/x2) x._,O

< lx ­ el < 8,

= oo,

En efecto, dada a> O, sea 8 := 1/­Já. Se sigue que si O < lxl < 8, entonces x2 de tal modo que 1/x2 > a. b) Sea g(x) := l/x para x *O. (Ver la figura 4.3.4.) La función g no tiende a co ni a ­e.o cuando x-> O. En efecto, si a > O entonces g(x) < a para toda x < O, por lo que g no tiende a co cuando x ­> O. De manera similar, si f3 < O, entonces g(x) > f3 para toda x > O, por lo que g no tiende a ­e.o cuando x ­> O. Aun cuando muchos de los resultados de las secciones 4.1 y 4.2 tienen am­ pliaciones de acuerdo con este concepto de límite, no todos ellos las tienen ya que ± 00 no es un número real. El resultado siguiente es un análogo del teorema de compresión 4.2.7. (Ver también el teorema 3.6.4.)

< l/a

4.3.7 Teorema. Sea A t;;:; R, sean f, g: A ­> R y sea e ER un punto de acumulación de A. Suponer que f(x),,;;; g(x) para toda x EA, x =/= c. a) Si lím f = oo, entonces lím g = oo, x--+c

x-+c

b) Si x--+c lím g = ­oo, entonces lím x-+c

f = ­oo.

FIGURA 4.3.4

Gráfica de g(x) = 1/x

(x =/=O).

Demostración. a) Si lím f ce co y si a ER es dada, entonces existe 8(a) >O tal que si O < lx ­ el < 8( a) xy~ EA, entonces f(x) > a. Pero como f(x) , _;;; g(x) para toda x EA, x e, se sigue que si O< lx ­ el< 8( a) y x EA, entonces g(x) > a. Por

*

lo tanto, lím g =

00•

X_, C

1

Q.E.D.

.a demostración del inciso b) es similar.

La función g(x) = l/x considerada en el ejemplo 4.3.6 b) sugiere la convenien­ cia de considerar límites unilaterales infinitos.

4.3.8 Definición. Sea A t;;:; R y sea f: A ->R.

n

¡ Si e ER es un punto de acumulación del conjunto A (e, 00) = {x EA:.x > r}, entonces se dice que f tiende a co [o bien a ­e.o] cuando x ­> e + y se escnbe

lím f = oo [respectivamente, lím

x~c+

si para toda a

ER

x~c+

existe 8 = 8( a)

> O tal

f

= ­

1,

00

que para toda x EA con O

< x - e < 8,

entoncesf(x) >a [o bien,f(.x) e - y se escnbe

n

lím

:x-.c-

i=

oo

[

respectivamente,

Iím

:t-J-C-

f= ­

00]

•

154

155

l,IMf'l'l•.S

>o

si para toda a ER existe O= o(a) entoncesf(x) >a [o bien,f(x) a. Puesto que a E R es un valor cualesquiera, sigue que X__, lím g = R la función polinómica ""(x) :=a n x" +a ,., Entonces FIGURA 4.3.5 lím x-oo

i x--..x Iím

f = ­co.

ii para toda sucesión (x,,) en (a, oo) tal que lím (x11) = =, entonces lím (f(x11)) = ce [o bien, lím (f(xn)) = ­oo]. El resultado siguiente es un análogo del teorema 3.6.5. 4.3J.5 Teorema. Sea.A \:;;; R, sea f: A--> R y suponer que (a, =) \:;;;A para alguna a E R. Suponer además que g(x) > O para toda x > a y que·

para alguna L ER, L -.:/=O. i Si L > O, entonces lím

f = oo si y sólo si x~oo lím g = ce, ii Si L < O, entonces lím f = ­oo si y sólo si lím g = co. x-.~

x­too

= oo si a n > O y x---lx lím p = ­oo

!1.:.2_ g X (

)

=a n +a n­1

(2­) +···+a X

l

(n­1 1) +a X

O

(2­) X

del teorema 4.3.15. d) Sea p l_a función polinómica del problema c). Entonces bien

­oo] si n es par [o bien, impar] y ª" Se dejan los detalles al lector.

n

'

}l,n:,, p = oo [o

> O.

l. Demostrar el teorema 4.3.2. 2. Dar un ejemplo de una función que tiene un límite por la derecha pero no un límite por izquierda en un punto. 3. Sea f(x) := .x.­112 para x *O. Demostrar que lím f(x) = lím f(x) =+ce. x--+O+

x > a1•

x~o-

4. Sea e ER y sea que/esté definida parax E(c, ro) y f(x) >O para todax E(c, ro). Demostrar que lím f = ce si y sólo si lím 1/f =O. x-c

5. Evaluar los siguientes límites o demostrar que no existen. (a)

para

< O.

si a11

se sigue que x~x lím (p(x);'g(x)) =a n. Puesto que x--1-x lím g = oo, la afirmación se sigue

x-c

Demostración. i Puesto que L > O, la hipótesis indica que existe a1 > a tal que

f( X) 3 O < 2L ,;;;; g( x) < 2L

+ · · · +ax+ a o· 1

Ejercicios de la sección 4.3

lím f(x) = L X-->00 g(x)

1

x"­1

De hecho, sea g(x) := x" y se aplica el teorema 4.3.15. Puesto que

f = co [o bien, x-.oo lím f = ­oo ];

x-.oo

lím p

x­+oo

n-1

lím

x-1+

X X -

1

(x

*n

(b)

lím ­­

x-1

X

X -

1

(x

* 1),

( 'APiTl 11 ,( J ( '! NCO

l 1.fMl'l'll~

(e)

lím

x~o+

(e) lím x­>O

(g)

(x

+

2)/Vx

(x >O),

(d)

H111

( 1

~·.1;

1

./1

( 1·

­.

o),

X ­~\'XJ

(rx­+l")/x

rx -

s

lím rr=:": x­>co VX + 3

(x

(x

>

­1),

> O),

(O (h)

lím (/x

x­>oc

+

Vx -

X

rx +x

lím ­­ x--+co

i ) /x (x

(x > O).

FUNCIO.NES CONTINUAS

> O).

6. Demostrar el teorema 4.3.11. 7. Suponer que f y g tienen límites en R cuando x r+ o: y que f(x) ~ g(x) para toda x E (a, oo). Demostrar que Jíin,, f ~ }Li;n,, g.

8. Sea que f esté definida ele (O, oo) a R. Demostrar que lím f(x) = L si lím

x-+ O+

f(l/x) =L.

y sólo si

x _,"'

9. Demostrar que sif: (a, oo)­> Res tal que lím xf(x) = L, donde L ER, enton­ ces lím f(x) =O. x- co X____, ce

10. Demostrar el teorema 4.3.14. 11. Terminar la demostración del teorema 4.3.15. 12. Supóngase que Iím f(x) = L, donde L > O, y que lím g(x) = oo. Demostrar x->c

x-c

que}~~ f(x)g(x) = O'.J. Si L =O, demostrar por un ejemplo que esta conclusión no se puede cumplir. 13.

Encontrar las funciones f y g definidas en (O, oo) tales que lím x-+x

líTx

f=

O'.)

y lím g x--+x

= O'.J, Y (!- g) =O. ¿Puede el lector encontrar dichas funciones con g(x) > O para toda x E (O, x) tal que lím f/g = O? X---¡. X

14. Seanquefygesténdefiniclasen(a,x)ysupóngaseque =

xi.

Demostrar que X-¡. límX

f º g =L.

lím f=Ly

x-~x

lím g

x--.x

1 :.11 este capítulo se iniciará el estudio de la clase más importante de funciones que surge en el análisis real: la clase de las funciones continuas. Se definirán primero los conceptos de continuidad en un punto y continuidad en un conjunto, y se de­ mostrará que varias combinaciones de funciones continuas dan lugar a funciones continuas. Las propiedades fundamentales que hacen tan importantes a las funciones continuas se establecen en la sección 5.3. Por ejemplo, se demostrará que una tunción continua en un intervalo acotado cerrado debe alcanzar un valor máximo y 1111 mínimo. Se demostrará asimismo que una función continua debe asumir todos los valores intermedios a cualesquiera dos valores que adopte. Estas y otras pro­ piedades no las poseen las funciones en general y, por tanto, distinguen a las fun­ ciones continuas como una clase muy especial de funciones. Segundo, en la sección 5.4 se introducirá el concepto importante de continui­ dad uniforme y se aplicará dicho concepto al problema de obtener aproximaciones de funciones continuas usando funciones más elementales (tales como polinomios). Las funciones monótonas son una clase importante de funciones y poseen sólidas propiedades de continuidad; se analizan en la sección 5.5. En particular, se demos­ trará que las funciones monótonas continuas tienen funciones inversas monótonas continuas.

SECCIÓN 5.1 Funciones continuas En esta sección, que es muy similar a la sección 4.1, se definirá qué se en­ tiende al decir que una función es continua en un punto o en un conjunto. Este concepto de continuidad es uno de los básicos del análisis matemático y se usará prácticamente en la totalidad del material subsecuente de este libro. Por consi­ guiente, es esencial que el lector lo domine.

5.lJ. Definición. Sea A ~ R, sea f: A ­­> R y sea e EA. Se dice que fes continua en e si, dada cualquier vecindad V¡;(f( e)) de f(c), existe una vecindad V0(c) de e tal que si x es cualquier punto de A n V0(c), entonces f(x) pertenece a Vtlf(c)). (Ver la figura 5.1.1.)

¡111 NC 'ION 11.H ( 'ON' l 'I Nt Ir\'

ltiO

l'l lf\ll '1( INll.S C !lN'l'IN\

11

! >111/11

(1, ··11r1111ccs 11,

1·1111/1¡1111'/'

O, existe una 8

L _.­

1()1

IAS

> O tal que para toda x EA con jx ­ el

jf(x)- f(c)j O}. Para cualquier número irracional x >O se define h(x) :=O. Para un número racional en A de la forma m/n, con los números naturales m, n que no tienen factores comunes excepto 1, se define h(m/n) := 1/n. (Ver 111 figura 5 .1.2.) Se afirma que h es continua en todo número irracional en A y que es discontinua en todo número racional en A. (Esta función fue introducida por K..l. Thomae en 1875.) De hecho, si a > O es racional, sea (x11) una sucesión de números irracionales • en A que converge a a. Entonces lím (h(x11)) =O, en tanto que h(a) >O. Por tanto, h es discontinua en a. Por otra parte, si b es un número irracional y e> O entonces (por la propiedacl de Arquímedes) existe un número natural n0 tal que l/n0 < e. Sólo hay un número finito de racionales con denominador menor que n0 en el intervalo (b - 1, b + 1 ). (¿Por qué?) Por tanto.se puede elegir una O tan pequeña que la vecindad (bb + o) no incluya ningún número racional con denominador menor que n0. Se 1)

o>

o,

l¡illt 1 11lrnt1 r:1 'llll' pura j.r /JI ·,._o, x EA, se tiene llz(x)­ h(b)I = lh(x)I~ 1/no ~e. 1•111 1111iln /¡ l't: ('011ti1111a 11, 111JN('ll)Nli.S

('ONTINU;\S

S R cumpla con la condición f(x)­f(y): ~ K'x-y: p.ua toda x, y E R. Demostrar que fes continua en todo punto e E R. , 1 .l/ Supóngase que f: R-. R es continua en R y que j(r) = O para todo numero racional r. Demostrar que f(x) =O para toda x E R. ¡ J'. Definir g: R--> R por g(x) := 2x parax racional, y g(x) := x + 3 para x irracional. Encontrar todos los puntos en los que g es continua. 14. Sea A := (O, co) y sea que k: A ­>Resté definida como se indic~_ a continua­ ción. Para x E A, x irracional, se define k(x) := O; para x EA racional Y ele la forma x::: m/n con números naturales m, n que no ti~nen factores c01~unes excepto 1, se define k(x) :::: n. Demostrar que k no esta acotada en todo mter­ valo abierto de A. Concluir que k no es continua en ningún punto de A. 15. Sea f: (O, 1)­. R acotada pero tal que}.!fTI f no existe. Demostrar que existen dos sucesiones (x) y (y,,) en (O, 1) con lím (x11) =O::: lím (y), pero tales que lím (f(x)) y lím (f(y,,)) existen pero no son iguales.

l I: y

/

/

/

/

/

/

/

/

/

SECCIÓN 5.2 Combinacíones elle funcíones continuas /

FIGURA 5.1.3 Gráfica de f(x) = x sen (1/x) (x -:/= O).

4. Si x ER, ejemplo, función guientes

se define [x] como el mayor entero 11 E Z tal que n ~ x. (Así, por [8.3] = 8, [rt] = 3, [­rt] = ­4.) A la función x ,__. [x] se le llama la del mayor entero. Determinar los puntos de continuidad de las si­ funciones:

a) f(x) == [xll, b) g(x) == x[xll, e) h(x) == [sen x], d) k(x) == [l/x] (x *O). s,/ Sea que f esté definida para toda x E R, x =F 2, por f(x) := (x2 + x - 6)/(x - 2). ¿Puede definirse f en x::: 2 de tal manera que f sea continua en este punto? 6! Sea A R continua en un punto e EA. D~mostrar que para cualquier E> O, existe una vecindad V8(c) de e tal que si x, y EA n V8(c), entonces f(x)- f(y)' < E. ?~ Seaf: R-> R continua en e y seaf(c) >O. Demostrar que existe una vecindad x E ¡.,;5(c) entoncesf(x) >O. 1 V8(c) de e tal que para cualquier 8~ Seaf: R-> R continua en R y sea S := {x E R: f(x) =O} el "conjunto cero" de . f Si (x,,) cq(x)

167

CON'i'INU/\S

= lím

x-+c

r(x).

l'1111l111s palabras, res continua en c. Puesto que e es un número real cualquiera 1¡i11• 1111 1..:s raíz de q, se infiere que una función racional es continua en todos los

reales para los que está definida. 1·) Se demostrará que la función seno sen es continua en R. 1'11ra ello se hace uso de las siguientes propiedades de las funciones seno y , w1rno que se demostrarán en el capítulo 8. Para toda x, y, z ER se tiene:

11111111'/'0,\'

El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del teorema 5.2.1, apll· cado a todos los puntos de A. Sin embargo, puesto que se trata de un resultado de suma importancia, se enunciará formalmente.

5.2.2 Teorema. Sea A C R, sean f y g funciones de A a R y sea b E R. a) Las funciones f + g, f - g, fg y bf son continuas en A. b) Si h: A ­> R es continua en A y h(x) =I= O para x EA, entonces el cociente f /h es continuo en A.

[senz] ~ lzl, sen

x - sen y = 2sen [ t( x - y)] cos [ t{ x + y)] .

l'rn 1:111to, si e ER, se tiene entonces

5.2.3 Observación. Para definir cocientes, en ocasiones resulta más conveniente proce~er de la siguiente manera. Si cp:A-> R, sea A 1 := {x EA: Res continua en A. Demostración. El teorema es consecuencia inmediata del resultado anterior, si/ y g son continuas en todo punto de A y B, respectivamente. o.E.D.

! '

\

para toda x, c ER. Por tanto, g1 es continua en c E R. ~i f: .A ­­> R es cualquier función que es continua en A, entonces el teorema 5.2.8 implica que g1 º f = lfl es continua en A. Esto proporciona otra demostración del teorema 5.2.5 .. b) Sea g (x) := .J.X para x ~O. Por los teoremas 3.2.10 y 5.1.3 se s1g~e que g2 ~s continua e2n cualquier número c ~ O. Si/: A--> Res continua en A Y si f(x) .~ O para toda x EA, entonces por el teorema 5 .2.8 se sigue que g2 º f = es· continua en A. Esto proporciona otra demostración del teorema 5.2.6. . . e) Sea g3(x) :=sen x para x ER. En el ejemplo 5.2.4 e) se v10 que g3 ~s conti­ nua en R. Sif: A--> R es continua en A, entonces por el teorema 5.2.8 se sigue que

.ff

g3 ºfes continua en A.

.,

.

­ En particular, sif (x) := l/x para x =/= O, entonces la función g(x) :=sen (l/x) es continua en todo punto c *O. [Se vio ya, en el ejemplo 5.1.7 a), que g no se puede definir en O a fin de hacerla continua en ese punto.]

170

1.'UN('IC

>Nl\S ( '( >N'l'INt

i'1 INC 'H )l\IH8 ( '(JN'l'INUAS

IMI

Ejercidos de la sección 5.2 l. Determinar los puntos de continuidad de las siguientes funciones e it1dl1•111 los teoremas que se usan en cada caso. :=

b)/g(x)

:=

c(h(x)

:=

x2

+ 2x + 1 x2 + 1

,¡;+!;

VI+ lsenxl X

d/k(x)

:=

cos

lJN11r este hecho para demostrar que hes continua en c.

111.

(x E R),

SECCIÓN 5.3 Funciones continuas en intervalos

(x *O), E

1 a, /J) y sea que f: I--> R esté acotada y sea continua en J. Se define g: !-•U por g(x) := sup {f(t): a e: t ~ x} parax El. Demostrar que ges continua

Sen / := (;11 /.

(x ;;;, O),

.,¡¡­+;2 (x

R ~>U continuas en un punto e, y sea h(x) := sup {f(x), g(x)} para R. lk11wstrar que h(x) = i(f(x) + g(x)) + i!f(x) - g(x)I para toda x ER.

I ''· So1111 [. ¡.¡: 1 '

/ ( ) a) f X

1 ·11

l(N JN'l'l(IW/\1,0S

1 .as funciones que son continuas en intervalos tienen varias propiedades im­ ¡1111 l1111Lcs que no poseen las funciones continuas en general. En esta sección se 1'11i11blccerán algunos resultados bastante profundos que son de considerable im­ pnrlancia y que se aplicarán más adelante.

R).

2! Demostrar que si f: A

­­> R es continua en A k R y si n EN, entonces la función j'" definida por r(x) ::;;: (f(x))" para X EA es continua en A. 3( Dar un ejemplo de funciones f y g que sean discontinuas en un punto c de R tales que: a) la sumaf + g sea continua en c, b) el producto fg sea continuo en c. 4. Sea que x >­­> [x] denote la función del mayor entero (ver el ejercicio 5.1.4). Determinar los puntos de continuidad de la función f(x) ::;;: x - [x], x E R. s( Sea que gesté definida en R por g(l) ::;;: O y g(x) := 2 si x 1, y seaf(x) := x + 1 para toda x E R. Demostrar que lím g 0 f (g º!)(O). ¿Por qué este hecho no contradice el teorema 5.2.7? x-->c

*

5.3.1 Definición. Se dice que una función f: A ­­> R está acotada en A si 11¡¡istc una constante M >O tal que lf(x)I ·~ M para toda x EA. En otras palabras, una función está acotada si su codominio es un conjunto acotado en U. Se hace notar que una función continua no está acotada necesariamente. Por ejemplo, la luución j'(x) := l/x es continua en el conjunto A:::: {x ER: X> O}. Sin embargo,fno está Jl\' O).

s" ­

l n

R una función continua en 1 tal que para cada x en I existe y en I tal que lf(y): ~ N(x)'. Demostrar que existe un punto e en I tal

S11p1'n1gase 1 k111oslrar

iuiuimo

5.3.10 Teorema de preservación de intervalos. Sea I un intervalo y sea j'.· I ­+

¡•¡1¡

lit MI'

~~1·11 l : [u, 11/.~I y sea q11ef: /->U esté definida por/(x) := sup {x2, cosx} ¡ 111111 1 , J. lk111oslrnr que existe un punto mínimo absoluto x0 El para f en l. 1 >r111os!rnr

111,1

l/\1 l \/NIH

~

Sea A ~ R y sea f: A-> R. Por el teorema 5.1.3 se ve de inmediato que los icntes er'1nciados son equivalentes: fes continua en todo punto u EA; ii dada e> O y u EA, existe una 8(€, u)> O tal que para toda x tal que x EA \' Ir ­ ul < 8( €, u), entonces 1 f(x) - f(u)I < c. El punto que se quiere subrayar aquí es que 8 depende, en general, tanto de r ·O como de u EA. El hecho de que depende de u es un reflejo del hecho de que 111 runciónfpuede cambiar sus valores con rapidez cerca de determinados puntos Y ron lentitud cerca de otros. [Por ejemplo, considérese f (x) :=sen (1/x) para x > O; ver la figura 4.1.3.] . Ahora bien, ocurre con frecuencia que la función fes tal que el número 8 se puede elegir de tal modo que sea independiente del punto u EA y que dependa tan ·ltlo de c. Por ejemplo, si f(x) := 2x para toda x E R, entonces 111¡·,~

o

lf(x) - f(u)I

=

2lx ­

u],

y, por tanto, se puede elegir O(c, u):= c/2 para toda e> O, u ER. (¿Por qué?)

IHO

1111Nt 'I< >Nl•S < 'I >N 1111111\ O y dos sucesiones (x11) y ( u11) en A tales que lim (x11 ­ 1111) =O Y lf(x11) - f(u11)I ~ E0para toda n EN. Este resultado se puede aplicar para demostrar que g(x) := l/x no es uniforme mente continua en A := {x ER: x > O}. Si x11 := l/n y u11 := 1/(n + 1), entonces 8l' tiene Iím (x11 - un)= O, pero lg(xn)- g(u,)I = 1 para toda n EN. Se presenta ahora un importante resultado que asegura que una función contl nua en un intervalo acotado cerrado I es uniformemente continua en l. Otra de mostración de este teorema se da en 10.3.5 e). 5.4.3 Teorema de continuidad uniforme. Sea I un intervalo acotado cerra do y sea [: I ­l> R continua en l. Entonces fes uniformemente continua en J. Demostración. Si f no es uniformemente continua en I entonces, por el resul­ tado anterior, existen e0 > O y dos sucesiones (x11) y (un) en I tales que jx11 - u11 < 1/n Y l/(x12)­/(u11)I ~ E0 para toda n EN. Puesto que/ está acotado, la sucesión (x11) está acotada; por el teorema de Bolzano­Weierstrass 3.4.7, existe una subsucesíón (xnk) de (x,) que converge a un elemento z. Puesto que 1 es cerrado, el límite z pertenece al, por el teorema 3.2.6. Es evidente que la subsucesión correspondiente (unk) también converge a z, ya que j

Ahora bien, si/ es continua en el punto z, entonces lé s dos sucesiones (f(x11k)) y (f(unk) deben converger a/(z). Pero esto no es posible porque

para toda n EN. Por tanto, la hipótesis. de que f no es uniformemente continua en el intervalo acotado cerrado I implica que f no es continua en algún punto z E/. Por consiguiente, si/ es continua en todo punto del, entonces/ es uniformemente conti­ nua en/. o.s.o.

:~l .'~1• d11

P(\



R. Si existe una constante K

> O tal

•

lf(x) ­j'(u)I ~ Klx - ul toda x, u EA, entonces se dice que fes una función de Lípschítz (o que ·nd isl'ace una condición de Lipschitz) en A. . ,, 1 .a condición de que la función f: A ­i> R en un intervalo l es una fun~1on de 1 rpxchitz se puede interpretar geométricamente de la siguiente manera. S1 se es­ 1 i ihc Ja condición como ¡i,11 :1

f(x) - f(u) x-u

~ K,

x,uEl,x=l=u,

la cantidad que está entre los signos de valor absoluto es la pendiente del '.(·g1ncnto de recta que une los puntos (x,/(x)) y (u,/(u)). Por tanto, una función/ 1.:ilisface una condición de Lipschitz si y sólo si las pendientes de todos los seg­ mentes de recta que unen dos puntos de la gráfica de y= f(x) en l están acotadas por algún número K. ­utonces

5.4.5 Teorema. Si f· A ­­4 R es una función de Lipschitz, entonces fes uniforiuemente continua en A. Demostración. Si la condición de Lipschitz se satisface con la constante K, entonces dada e> O se puede tomar 8 := e/K. Si x, u EA satisfacen !x ­ ul < 8, entonces e 1 f (X) ­ f (u) 1 < K . K =e. Por lo tanto fes uniformemente continua en A.

Q.E.D.

5.4.6 Ejemplos. a) Si /(x) := x2 en A := [O, b ], donde b es una constante positiva, entonces

lf(x)

- f(u)I

=

lx + u] lx ­ ul ~ 2blx - ul

para toda x, u en [O, b]. Por tanto, f satisface una condición de. Lipschitz con la constante K:« 2b en A y, por lo tanto, fes uniformemente continua en A. Desde

184

luego, como fes continua y A es un intervalo acotado ccrrudo, 1a111bi6n se puedo llegar a esta conclusión por el teorema de continuidad uniforme. (Obsérvese (]11(; f no satisface una condición de Lipschitz en el intervalo [O, oo).) b) No toda función uniformemente continua es una función de Lipschitz. Sen g(x) := .JX para x en el intervalo acotado cerrado I := [O, 2]. Puesto que g es continua enl, por el teorema de continuidad uniforme 5.4.3 se sigue que ges unifor­ memente continua en J. Sin embargo, no hay ningún número K > O tal que lg(x)I ,,;; Klxl para toda x E J. (¿Por qué no?) Por lo tanto, g no es una función de Lipschitz en J. e) En ocasiones se pueden combinar el teorema de continuidad uniforme y el teorema 5.4.5 para establecer la continuidad uniforme de una función en un con­ junto. Se considera g(x) :=.../X en el conjunto A:= [O, oo). La continuidad uniforme de gen el intervalo I := [O, 2] se sigue del teorema de continuidad uniforme, como se indicó en el ejemplo b). Si J := [ 1, oo) entonces si tanto x como u están en J se tiene

jg(x) ­ g(u)I

=lv'X ­ v'ul = :­ ~ ~ ílx ­ ul. X

+

185

C :ONTINUIDJ\D UNll10RME

FUNCIONES Ct>NTINllAtl

U

Por tanto, g es una función de Lipschitz en J con la constante K = ~ y, por tanto, por el teorema 5.4.5, ges uniformemente continua en [1, ex:} Puesto que A= 1 U J, se sigue [tomando c5(t:) := inf {1, c5¡(t:), c5¡(t:)}] que ges uniformemente continua en A. Se dejan los detalles al lector.

EH teorema de extensión continua Se han visto funciones que son continuas pero no uniformemente continuas en intervalos abiertos; por ejemplo, la función! (x) := l/x en el intervalo (O, 1). Por otra parte, por el teorema de continuidad uniforme, una función que es continua en un intervalo acotado cerrado siempre es uniformemente continua. Así, surge la pregunta: ¿bajo qué condiciones una función es uniformemente continua en un intervalo acotado abierto? La respuesta revela el alcance de la continuidad unifor­ me, pues se demostrará que una función en (a, b) es uniformemente continua siy sólo si se puede definir en los puntos terminales para producir una función que es continua en el intervalo cerrado. Se establece primero un resultado que es de inte­ rés por sí mismo. .5.41.7 Teorema. Si/: A~ Res uniformemente continua en un subconjunto A de R y si (x) es una sucesión de Cauchy en A, entonces (f(xn)) es una sucesión de Cauchy en R. Demosrracíén. Sea (xn) una sucesión de Cauchy en A y sea e > O dada. Pri­ mero se elige c5 >O tal que six, u en A satisfacen lx­ul < 8, entonces lf(x)­/(u)[ < e. Puesto que (xn) es una sucesión de Cauchy, existe H(c5) tal que lx11 - xml < c5

11111:1 Inda n, m _,, 11(8). Por la elección de c5, esto indica que paran, m > H(ó) se i lruc [f(x,,)­ f(x,,,)I < e. Por lo tanto, la sucesión (f(x11)) es una sucesión de Cauchy. Q.E.D.

El resultado anterior ofrece otra manera de ver que f(x) := l/x no es uniforme­ continua en (O, 1). Se observa que la sucesión dada por x11 = l/n en (O, 1) es 1111a sucesión de Cauchy, pero la sucesión de la imagen, donde j'(z} = n, no es una sucesión de Cauchy. urente

5.41.8 Teorema de extensión continua. Una función fes uniformemente continua en el intervalo (a, b) si y sólo si se puede definir en los puntos terminales a y h de tal modo que la función extendida es continua en [a, b]. Demostración. Una función que es uniformemente continua en [a, b] desde luego que es continua en el conjunto (a, b), por lo que sólo se debe demostrar la implicación inversa. Supóngase que fes uniformemente continua en (a, b). Se mostrará cómo ex­ tender fa a; el razonamiento para bes similar. Esto se hace al demostrar que existe li,m f(x) = L, y esto se consigue usando el criterio de sucesiones para límites. Si 'ex:) es una sucesión en (a, b) con lím (x11) =a, entonces es una sucesión de Cauchy, y por el teorema anterior, la sucesión (f(xn)) también es una sucesión de Cauchy y, por consiguiente, es convergente por el teorema 3.5.4. Por tanto, el límite lím (f(x11)) = L existe. Si (un) es cualquier otra sucesión en (a, b) que converge a a, enton­ ces lím (u n - xn) = a - a = O, de modo que por la continuidad uniforme de f se tiene lím (!(un))=

lím (!(un) ­ J(xn))

+ lím (f(xn))

=O+L=L. Puesto que se obtiene el mismo valor L para toda sucesión que converge a a, por el criterio de sucesiones para límites se infiere que f tiene límite Len a. Si se define f(a) = L, entonces/ es continua en a. El mismo razonamiento se aplica a b, por lo que se concluye que f tiene una extensión continua al intervalo [a, b]. Q.E.D. Puesto que el límite de f(x) := sen (1/x) en O no existe, por el teorema de extensión continua se infiere que la función no es uniformemente continua en (O, b] para cualquier b > O. Por otra parte, puesto que 101 x sen (1/x) = O existe, la función g(x) := x sen (1/x) es uniformemente continta gn (O, b] para toda b > O .

t Aproximación En muchas aplicaciones es importante estar en posición de obtener aproxima­ ciones de funciones continuas por medio de funciones de carácter elemental. Aun t El resto de esta sección se puede omitir en una primera lectura de este capítulo.

186

FUNCIONl•'.S

( 'ON'l'INlJll>/\I)

( 'ON'l'll 11 J¡\'I

cuando hay varias definiciones que se pueden usar pura pl't•rl11111 1•l u­rmino ''11p1' •X 1 mar", una de las más naturales (así como una de las más irnport.uucs) es cstahh·(•t•1 que, en cualquier punto del dominio dado, la función de aproximación no dil'L·tlrrl de la función dada por más del error preasignado.

y=

5.4.9 Definición. Sea/ e R un intervalo y seas: I 4 R. Entonces s se denorut na función escalonada si posee tan sólo un número finito de valores diferentes, con cada valor siendo asumido en uno o más intervalos en/.

187

1 lNl110lHVll\

f (x) +E

'

y=f(x)1 1

Por ejemplo, la función s: [­2. 4] 4 R definida por

s( x)

<

:=

O,

­2

~X

:=

1,

­1

~X~

:=

2'

1

OHMll.

188

JllJN(

'IONHN l 'ON'l'll\ll lA'1

5.4.11 Corolario. Sea I :=[a, b] un intervalo acotutl«¡ 1'('r'u1tl11 y.\'('{/ f: I >U continua en l. Si e > O, existe un número natural m tal qu« si I se divide en 111

intervalos disjuntos Jk que tienen longitud h := (b- a)/m, entonces la función cscu lanada se definida en la ecuación (4) satisface l/(x)­ se(x)I O. Existe una ne EN tal que si n s» n'-', e11lo11O es tal que lf(x)- f(y)I 'l't lNAn 11, lt !VI 1(:;1\1:

q11e ~ifcs uniformcrnculc

continua

en un

subconjunto acotado A

d1· lt , cnl1H1c0s/cs1(i acotada en A. 111 S1 .1:(.1) :­ Jx parax E [O, l], demostrar que no existe ninguna constanteKtal q 11e 1;.:(.\')1 e, ­ K'): para toda x E [O, 1]. Concluir que la función uniformemente co11t i 1111a g no es una función de Lipschitz en [O, 1]. I .~( l icnrostrnr que si fes continua en [O, co) y es uniformemente continua en [a, oJ) para alguna constante positiva a, entonces/ es uniformemente continua en

10, co), J. Sea A e R y supóngase que f: A~ R tiene la siguiente propiedad: para cada e> O existe una función ge: A - R tal que ge es uniformemente continua en A y lf(x) ­ ge(x) J < e para toda x EA. Demostrar que fes uniformemente conti­ nua en A. 14. Se dice que una funciónf: R- Res periódica en R si existe un número p >O tal que f(x + p) :::: /(x) para toda x E R. Demostrar que una función periódica continua en R está acotada y es uniformemente continua en R. 15. Si f0(x) := 1 para x E [O, 1 ], calcular los primeros polinomios de Bernstein de ¡0. Demostrar que estos polinomios coinciden conf~. [Sugerencia: El teorema del binomio afirma que

1

(6) La estimación (6) da información acerca de qué tan grande se debe tomar n para que 811 so

aproxime a f dentro de E unidades. El teorema de aproximación de Weierstrass 5.4.14 se puede derivar del teorema du aproximación de Bernstein 5.4.15 mediante un cambio de variable. Específicamente, sr sustituye f: [a, b] - R por una función F: [O, l]-R definida por

F(t) == f(a + (b - a)t)

para t

E

[O, l] .

Es posible obtener una aproximación de la función F por polinomios de Bernstein para F en el intervalo [O, 1 ], la cual produce entonces polinomios en [a, b] que dan una aproxi­ mación de f

Ejercicios de la sección 5.4 lil Demostrar que la función f(x) := 1/x es uniformemente continua en el con­ /junto A := [a, o:), donde a es una constante positiva. 2. Demostrar que la función f(x) := 1/x2 es uniformemente continua en A := [1, ce ), pero que no es uniformemente continua en B := (O, ce ). · 3. Usar el criterio de continuidad no uniforme 5.4.2 para demostrar que las si­ guientes funciones no son uniformemente continuas en los conjuntos dados. a) f(x) := x2, A:= [O, x), b) g(x) :=sen (líx), B :=(O, ce). 4. Demostrar que la función f(x) := 1/(1 + x2) para x ER es uniformemente continua en R. si( Demostrar que sif y g son uniformemente continuas en un subconjunto A de R, entonces f+ ges uniformemente continua en A. 6( Demostrar que si f y g son uniformemente continuas en A e R y si ambas están acotadas en A, entonces su producto fg @es uniformemente conti­ c '/' nuo en A. ::::::­1 7. Si f(x) := x y g(x) :=sen x, demostrar que tanto f como g son uniformemente /continuas en R, pero que su producto fg no es uniformemente continuo en R. 8. Demostrar que si f y g son uniformemente continuas en R, entonces la fun­ /ción compuesta! 0 ges uniformemente continua en R. 9. Si fes uniformemente continua en A C R y f(x) ;;:,: k > O para toda x EA, demostrar que l¡f es uniformemente continua en@

A

16. Si /1(x) := x para x E [O, 1 ], calcular los primeros polinomios de Bernstein de /1• Demostrar que coinciden con f~. 17. Sif2(x) := x2 para x e (O, 1), calcular los primeros polinomios de Bernstein de f2• Demostrar que Bn(x) = (1 ­ ljn)x2 + (1/n)x. 18. Usando el resultado del ejercicio anterior para /2, ¿qué tan grande debe ser n para que el n­ésimo polinomio de Bernstein B11 de /2 satisfaga /2(x) -Bn(x) ~ 0.001 para todaxe[O, 1]?

SECCIÓN 5.5 Funciones monótonas e inversas

/)

Recuérdese que si A e R, entonces se dice que una función f: A - R es cre­ ciente en A si siempre que xl' x2 EA y x 1 ~ x2, entonces f(x 1) ~ f(x2). Se dice que l·a función fes estrictamente creciente en A si siempre que xi' x2 EA Y x 1 ~ x2, entonces f(x1) ::::; f(x2). De manera similar, se dice que una función g: A - R es decreciente en A si siempre que xl' x2 EA y x1 ~ x2, entonces g(x1) ;;:,: g(x2). Se dice que la función ges estrictamente decreciente en A si siempre que x l' x2 EA y x 1 < x2, entonces g(x1) > g(x2). . ~ Si una función es creciente o bien decreciente en A, se dice que es mono~ona en A. Si fes estrictamente creciente o bien estrictamente decreciente en A, se dice que fes estrictamente monótona en A.

192

111 JNt 'lt lNll.1: {'UN 1'11111(\

1

11 ¡ .1

1 • 111 11 'I 1 11 111 ~ f\ 1 ( 11 t ! >' 1 'i 1 N /\' , 1 11 1 V 11 H !. /\:,

Se hace notar que sif: A-+ Res creciente c11 !\, e111011e} ­ sup{f(x): x

E

I, x c+ lím f, que es equivalente a }¡(c) = O. Se aplican observaciones similares al caso de un punto terminal derecho. Q.E.D. Se demuestra a continuación que puede haber a lo sumo un conjunto contable de puntos en los que una función monótona es discontinua.

1,.UNl 'IONl\S

( '( )N'l'INI

11\M

l•I 11>11 'I( lNJl,S MONl)'l'ONAS

5.5.4 Teorema. Sea I e;: R un intervalo y sea j': J ' 1( m1111u11111a 1•11 J. ¡.;1111111 ces el conjunto de puntos D e;: I en los que fes disconti111111 ,.,,. un conjunto con table. Demostración. Se supondrá que fes creciente en!. Por el teorema 5.5.3 s(i ~igue que D = {x El: J¡(x) =F O}. Se considerará el caso en que J := [a, bj es 1,111 mtervalo acotado ~errado, dejando al lector el caso de un intervalo cualesquiera. S~ ob~erva pnmero que como fes creciente, entonces}¡(c) ~O para toda e E/, Ademas, si a ~ x1 < · · · < x,, ~ b, entonces (¿por qué?) se tiene

f(a) R es una función estrictamente mo­ nótona continua, entonces f tiene una función inversa gen J := f(I) que es estricta­ mente monótona y continua en J. En particular, si fes estrictamente creciente, entonces también lo es g, y si fes estrictamente decreciente, entonces también lo es g.

,•;011

(Ver la fi~ura 5.5.2.) Por consiguiente, puede haber a lo sumo k puntos en l > [a, b] don~e 11(x) ~ (f(b)-f(a))/k. Se concluye que existe a lo sumo un punto x E f donde 11(x) = f(b) - f(a); hay a lo sumo dos puntos en I donde J¡(x) ~ (f(b) _ f(a))/2; a lo sumo tres puntos en l donde j.ó') ~ (f(b)-f(a))/3, y así sucesiva­ mente. Por lo tanto; hay a lo sumo un conjunto contable de puntos x donde J¡(x) > O.

p

j¡(x4)

{

f(b)

1

1

1

1

r­:/.

1

1

1 1

1

1 1 1

1 1

/

1

1

1

I

I

1 1

1

1

1

1

1

X¡

~ 1

f (a) 1

_J ­ 1

­

­

­

_J ­ 1

1

­

­

­

1

_¡ ­ ­ ­ _¡ ­ ­ ­ _1 1

1

1

1

J

1

1

a

1

1

}¡ (x2) { 1

1 1

­

1

1

f"""

. ( >{'-I ]f

:

}¡ (x3) { 1

_.,,,.­­­1

1

X¡

Xz

X3

X4

5.5.5 Teorema de la inversa continua. Sea l e;: R un intervalo y sea f: I--> R estrictamente monótona y continua en l. Entonces la función g inversa de fes estrictamente monótona y continua en J :=f(l).

b

FIGURA 5.5.2 J¡(x1) + ... + 1[(x11) s: f(b) - f(a).

f(b) - f(a)

Demostración. s·e considera el caso en que fes estrictamente creciente y se dej a al lector el caso en que fes estrictamente decreciente. Puesto que fes continua el es un intervalo, por el teorema de preservación de intervalos 5.3.10 se sigue que J := f(I) es un intervalo. Además, puesto que fes estrictamente creciente en I, es inyectiva en/; por lo tanto, existe la función g: J--> R inversa de f Se afirma que ges estrictamente creciente. De hecho, si yl' y2 El, donde y1 < >'2, entonces y1 = f(x¡) y y2 = f(x2) para alguna xi' x2 E l. Se debe tener x1 < x2; de no ser así, x1 ~ x2, lo cual indica que y1 = f(x1) ~ f(x2) = y2, que contradice la hipótesis de que y 1 < h Se tiene por lo tanto,

1 ()(1

l•lll\l<

'10111•.~

MN O. Las gráficas de x r+ x' dependen de sir> 1, r = 1, O< r < 1, r =O, o bien, r O, entonces (x1111yn = (x1iq)P. Se deja como ejercicio para el lector establecer esta

FIGURA 5.5.6 Gráfica de F(x) = x" (x e R; n impar).

relación.

200

11llN( 'I< JNHS < '( lN l'INl !MI

1•1 INC 'IONl­.S MON(l'l'ONAS 1\ INVl(J(SAS

),() 1

Si/ Y }: xuu Iuncioncx crecientes en un intervalo l R esté definida por f(x) := x para x racional y f(x) := 1 -x para x irracional. Demostrar que fes inyectiva en I y que f(f(x)) = x para toda x E/. (Por tanto, fes su propia función inversa!) Demostrar que f sólo es continua en el punto x:::: ~· 10. Sea J := [a, b] y sea f: I-> R continua en/. Si f no tiene máximo [o bien mínimo] absoluto en un punto interior e de!, demostrar que f no es inyectiva en/. 11. Seaf(x) :=xparax E [O, 1] y f(x) := 1 +x parax E(l, 2]. Demostrar quef y ¡-1 son estrictamente crecientes. ¿Son continuas en cualquier punto f y ¡­1? 12. Seaf: [O, 1]­> Runa función continua que no asume ninguno de sus valores ~dos veces y con f(O) < f (1 ). Demostrar que fes estrictamente creciente en 1

y

FIGURA 5.5.8 Gráfica de X---; x' (x ~ O). 5.5.7 Teorema. Si m E Z, n EN y x >O, entonces xm/n

= (xm)l/11.

Demostración. Si X> o y m, n E Z, entonces (xm)n '= xllll1 = (x")lll Sea h ( Jrn)m . a ora y ·-X · = x 1 > o d. e tal modo que y11 ­- ((xl/n)m)n · · , ­- (("1 ,, · '11)11)111 = x m . S e sigue por lo tanto que y= (x"')I/11, ·-

mtn

Q.E.D.

El lector también deber demostrar, como ejercicio, que si x entonces

> o y r s 'E Q '

'

y

Ejercidos R es una función creciente, entonces el punto a.[ o bien, b] es u.n punto mínimo [o bien, máximo] absoluto de f en/. Si fes estnctamente creciente, entonces a es el único punto mínimo absoluto de

fenl.

[O, 1]. 13. Sea h: [O, 1]­> Runa función que asume cada uno de sus valores exactamente dos veces. Demostrar que h no puede ser continua en todo punto. [Sugerencia: Si e1 < c2 son Jos puntos donde h alcanza su supremo, demostrar que e1 = O, e2 = l. Examinar ahora los puntos donde h alcanza su ínfimo.] 14. Sea x ER, x >O. Demostrar que si m, p EZ, n, q 'EN y mq = np, entonces (xl~ (xl/q)P. . 15. Si x ER, x >O y sir, s E Q, demostrar que xrX'' = xr + s = x5xr y (xr)s = x,.s =

(xsy.



¡i1rnl11el1i para concluir que

:~·::(f(x)­f(c))=

( 1)

(

!~ f(x)-f(c))( x-c

)

.!~(x-c)

·

=J'(c) ·0=0.

En este caso se dice que fes derivable en e, y se escribe f'(c) para denotar L. En otras palabras, la derivada de f en c está dada por el límite

f'(c)

(2)

=

lím f(x) - f(x)

x-c

x-+c

siempre que este límite exista. (Se deja abierta la posibilidad de que e sea el punto terminal del intervalo.)

Nota. Es posible definir la derivada de una función que tiene un dominio más general que un intervalo (ya que sólo es necesario que el punto e sea un elemento del dominio y, asimismo, un punto de acumulación del dominio) pero la importancia del concepto se pone de manifiesto de manera más natural usando funciones definidas en intervalos. En conse­ cuencia, restringiremos la atención a dichas funciones. Siempre que la derivada de f: I-> R exista en un punto e E!, su valor se denota por f'(c). Se obtiene así una función!' cuyo dominio es un subconjunto del domi­ nio de f Al trabajar con la función f' es conveniente considerarla también como una función de x. Por ejemplo, sif(x) := x2 para x ER, entonces en cualquier punto e de R se tiene

f'(c) = límf(x) - f(c) x->c

X -

C

x2 ­ c2

lím­­­ x-+c

X -

C

= lím( x + e) = 2 e.

lo tanto, lím f(x) = /(c), por lo que/ es continua en c.

Q.E.D.

x--+c

La continuidad de f: l=» R en un punto no garantiza la existencia de la deriva­ [xj para x ER, entonces para x O se tiene ( /'\.r) ­ f(O))¡'(x - O)= [x[/x, que es igual a 1 si x >O y a ­1 si x

lx ­ el, no es difícil construir

l

f(x) == :[, ~

cos (3"x)

n=O

posee Ja propiedad citada. Sin embargo, no se presentará una demostración de esta afirmación.)

x->c

Por tanto, en este caso, la función f' está definida en la totalidad de R y f'(x) :;;; 2x para x ER. Se demuestra a continuación que la continuidad de f en un punto e es una condición necesaria (pero no suficiente) de la existencia de la derivada en c.

6.1.2 Teorema. Si f: I-> R tiene una derivada en c EJ, entonces fes continua

en c.

1'111

Hay varias propiedades básicas de la derivada que son muy útiles al calcular las derivadas de diferentes combinaciones de funciones. Se proporciona a conti­ nuación la justificación de algunas de estas propiedades, las cuales le serán fami­ liares al lector por cursos previos.

6.1.3 Teorema. Sea I ~ R un intervalo, sea e funciones que son derivables en c. Entonces:

E

I y sean f: I-> R y g: Lr+ R

206

a) Si a ER, entonces la funcián a [es derivable

1·11,,

l'

J(c)g(c) + f(c)g(c) ­ f(c)g(x) g(x)g(c)(x - e)

/(.r)r~(1·)

(af)'(c) = af'(c).

(3)

b) La funcián f + g es derivable en e, y

g(x)g(c)

e) (Regla del producto) La función fg es derivable en e, y (fg)'(c) = f'(c)g(c)

(5)

d) (Regla del cociente) Si g( e)

[_)'(e)=

(6)

(g

11111111!10

+ f(c)g'(c).

(g(c))

*

f(x)g(x) =

- f(c)g(c) x-c

f(x)g(x)

g(x) ­ g(c)] · x-c

lím

q(x) - q(c) e

X -

x~c

=

f'(c)g(c)

- f(c)g'(c)

(g(c))

2

·

Q.E.D.

e y se cumple ta ecuación (6).

Se puede aplicar la inducción matemática para obtener las siguientes amplia­ de las reglas de derivación.

1 1011t:s

6.1.4 Corolario. Si fl' f2,... , !,, son funciones de un intervalo I a R que son .lrrivables en e El, entonces: · a) La función /1 + /2 + · · · + t, es derivable en e y

U1 + Í2 + · · ·

('/)

+ J(c)g(x) - f(c)g(c)

- f(c)g(x)

=

!'111 lanto, q = f/g es derivable en

f'(c)g(c) - f~c)g'(c).

·

la continuidad de gen e y !a derivabilidad de f y gen e, se deduce que

q' (e)

* O, entonces la función f!g es derivable en e, y

Demostración. Se demostrarán los incisos e) y d), dejando a) y b) como ejer­ cicios para el lector. e) Sea p := fg; entonces para x El, x e, se tiene

p(x) - p(c) x-c

[f(x) ­ f(c) ­­­ · g(c) ­f(c) x-c

1

(! + g)'(c) = f'(c) + g'(c).

(4)

)O'/

1 A lll1.l~IV/\l>A

1 >llltl VA! 'l(!N

b) La función fif2 •

• •

+fn)'(c)

=

J;(c) + f~(c) + · · · +f~(c).

t. es derivable en e y

x-c =

. g(x) + f(c).

f(x) -f(c) x-c

(H}

g(x) - g(c). x-c

Puesto que f y g son derivables en e, por el teorema 4.2.4 sobre la; ;r~piedades de los límites se infiere que

,

x->c

p(x) -p(c) x-c

=

f'(c)g(c)

+ f(c)g'(c).

q(x) - q(c)

x-c

f(x)/g(x)

*

- f(c)/g(c) X -

C

*

f(x)g(c) - f(c)g(x) g(x)g(c)(x ­ e)

(

Un importante caso especial de la regla del producto ampliada (8) oc urre si las tunciones son iguales, es decir, f2;;;: · · · ;;;: fn =f. Entonces (8) da lug~r a 1

t, ; ;:

(f'1)'(c)

( 9)

=

n(f(c)f­1j'(c)

En particular, si se tomaf(x) := x, entonces para la derivada de g(x) ;;;;; xn se obtiene nx!!.~ R, se ha introducido la notación f' para denotar la función cuyo dominio es un subconjunto del y cuyo valor en un punto e es la derivada f'(c) de f en c. Existen otras notaciones que se usan en ocasiones para f'; por ejemplo, en ocasiones se escribe Df en lugar de f'. Así, las fórmulas ( 4) y (5) se pueden escribir en la forma

D(f + g)

=

Df + Dg,

D(fg)

=

(Df) ·g'+ f· (Dg).

l.A 1J1qUVA1>/\

1 >llfüVA( 'HIN

Cuando x es la "variable independiente:", en cursos cil·111l'1111111", escribir dfjdx para denotar f'. Así, la fórmula (5) en oca.~iu11l·~; forma

~·1· 111.·.,sl 11mlirn ~v escribe l'll 111

C(

1/)

g(y)­g(d) :=

y-d g'( d)

:=

d (f(x)g(x)) dx

=

y= d.

y

=I=

d,

y~d

lím G f(x) = lím G(y) = g'(f(c)).

( 1 1 )

0

x--,,c

y-+d

Por la definición de G se sigue que

El siguiente teorema sobre la derivación de funciones compuestas se conoce como la "regla de la cadena". Proporciona una fórmula para la derivada de una función compuesta g 0 f Por ejemplo, la fórmula (9) se podría derivar usando la regla de la cadena. Si fes derivable en e y ges derivable en f(c), entonces se demostrará que la derivada de la composición g 0 fes (g 0 !)'(e)= g'(f(c))f'(c). Obsérvese que esta expresión se puede escribir como

( g o !)'

= ( g'

o

g(y) ­ g(d) ¡ uua toda

g(f(x)) ­ g(f(c)) C

Por lo tanto, si x

G(y)(y

y se hace y

­ g f(c) 0

=

­ d)

= f(x), se tiene

entonces

g(f(x)) ­ g(f(c)) e f( x) (!( x) ­ f( e)). 0

El, x i= e, se tiene entonces 0

f(x) - f(c) ­. x-c

l'or consiguiente, por (11), se tiene

f(x) - f(c) x - e

lím g º f(x) - g º f(c) :t__,C

=

g'(f(c))

·.f'(c).

x-C

Por lo tanto, g fes derivable en e El y se cumple la igualdad (10). 0

Q.E.D.

Si g es derivable en I, si fes derivable en J y si f(l) O, entonces g'(y) existe y

H(y)

l 111al de la sección

para y =F d, y El, se infiere que

, g(y)--g(d) 1Im­­­­­ y-..d y - d

,

1

1

lim ­­ = y-.d H(y) lím H(y) y->d

Por lo tanto, g'(d) existe y es igual a l/f'(c).

l111111Jién se puede escribir en la forma g'(y) = l/f'(x), siempre que se tenga muy presente 1 ¡111· x y y se relacionan por y = f(x) o x = g(y).

=­­

1

~

f'(c) ·

g' (y) =

f'

1 ( g ( y)) 1

Q.E.D ..

n(yll"f-1 . , Nota. La hipótesis hecha en el teorema 6.1.8 de quef'(c) *O es esencial. De hecho, s1f. (e)= O, entonces la función inversa g no es derivable en d = f (e). En realidad, si g fuera derivable en d, como fes la función inversa de g, se puede aplicar el teorema 6.1.8 a g pa­ ra concluir que fes derivable en e= g(d) y que 1 = f'(c)g'(d) =Ü, que es una contradicción. Por lo tanto, g no es derivable en d. La funciónf(x) := x3, x ER, ejemplifica esto con e= o. 6.1.9 Teorema. Sea IS: R un intervalo y sea f: I-> R estrictamente monótona en l. Sea J:« f(I)y sea g: J-> R lafu.nción inversa def Sif es derivable en J y f'(x) O para x El, entonces ges derivable en J y

*

{13)

g' =

1

!-;--. og

1

n(g(y))"­1 1 nyO, se sigue que f(x2) - f(x1) ~O. (¿Por qué?) Por taiitó, f(x1) ~ f(x;J y, como x1 < x2 son puntos cualesquiera de J, se concluye que fes creciente en J. E_n cuanto a la afirmación recíproca, se supone que fes derivable y creciente, en l. Para cualquier punto e de J, si x > c, o bien, x < e para x E I, entonces se tiene que (f(x)­ /(c))/(x­ c). (¿Por qué?) Por tanto, por el teorema 4.2.6 se concluye que

Lf!.0Cc­\ ·~O a

X

e

FIGURA 6.2.2 Teorema del valor medio.

b

»; -

e

,

,,_.­

f (e)

=

,

f(x) - f(c)

x->c

x-c

Iím

;;;;. O.

b) La demostración del inciso b) es similar y se omitirá.

Q.E.D.

220

Dl\RIVA<

11.'l'l' O y a­1 >O, se sigue que (1 + c)ª­1 > 1 y, por tanto, que (1 + x)ª

xER

Puesto que e0 = 1 y e e > 1, se llega a ex - 1 > x de donde se tiene ex> 1 + x para r >O. Un razonamiento similar establece la misma desigualdad estricta parax IO

S 1 /1( 1) : ( 1 ·I .v)", entonces h'(x) = a(l. + x)" - 1 para toda x > ­l. [En el 1 l1·111¡ilo f1. l. IO e) se estableció la derivada para a racional. La ampliación a a 1!1111 I0111d se estudiará en la sección 8.3.] Six >O, por el teorema del valor medio 1q t1k·11llo ¡1 h en el intervalo (O, x] se infiere que existe e que satisface O < e < x tal q1H' /i(x) /i(O) = h'(c)(x ­ O). Se tiene por tanto

Desigualdades Un uso muy importante del teorema del valor medio es la desigualdades. Siempre que se cuente con información acerca derivada de una función, esta información se puede usar para piedades de la función en sí. Los siguientes ejemplos ilustran desempeña el teorema del valor medio a este respecto.

lll\l.VAl.(11{

+ (l

- a).

Si a> O y b >O y se hacex =a/by se multiplica por b, se obtiene la desigualdad aªb1-ª,,;; aa . b >O y.sean EN que satis· f ace n ~ 2 . D emostrar que a 11"·· - b1 'rn < (a ~ - b)l/n. [Sugerencia: Demostrar que f(x) := x1i" - (x - 1)1/" es decreciente parax ~ 1yevaluarfen1 y en a/b.] 6:' Usar el teorema del valor medio para demostrar que isen x - sen y;¡,;; 'x - y¡ . para toda x, y en R. / 1( Usar el teorema del valor medio para demostrar que (x- 1)/x "S)og x < x-1 yara x > l. [Usar el hecho de que D log x = l/x para x >o~r sti Sea f: [a, b) _, R continua en [a, b) y derivable en (a, b). Demostrar que si lím f'(x) =A, entonces existe f'(a) y es igual aA. [Sugerencia: Usar la defi­ 1ni~iÓn de f'(a) y el teorema del valor medio.) 9~e­áquef: R _,Resté definida por f(x) := 2x4 + x4 sen (l/x) para x O y f(O) :=O. Demostrar queftiene un mínimo­absoluto en x =O, pero que su derivada tiene valores tanto positivos corno negativos en cualquier vecindad de O. ' 1o! Sea que g: R-> R esté definida por g(x) := x + 2x2 sen (1./x) para x i= O y g(O) :=O. Demostrar que g'(O) = 1, pero que en cualquier vecindad de O la deriva­ da g'(x) asume valores tanto positivos como negativos. Por tanto, g no es monótona en ninguna vecindad de O. 11( Dar un ejemplo de una función uniformemente continua en [O, 1] que sea derivable en (0,\1) pero cuya derivada no esté acotada en (O, 1).

*

J(lltll

l)J ~IU Vi\('1( lN

22(1

12. Si h(x) :=O para x R tal que f'(x) = h(x) para toda x e R. Dar ejemplos (I¡· d1111 funciones, que no difieran por una constante, cuyas derivadas son iguall')I 11 h(x) para toda x O. 13/ Sea 1 un intervalo y seaf: J--> R derivable en J. Demostrar que sif' es posit lvn en J, entonces fes estrictamente creciente en /. 14."' Sea I un intervalo y sea f: I--> R derivable en/. Demostrar que si la derivada f' nunca es O enJ, entoncesf'(x) >O para todax el o bienf'(x) R derivable en (O, oo) y supóngase que f'(x)­­> b cuando x­» oo, a) Demostrar que para cualquier h >'·o se tiene lím (f (x + h)- f (x))/h = b.

*

Sli'.( '( ·núN O, entoneoa existe tal que si a< X< a+ oentoncesf'(x)/g'(x) > K. Para cada una (I¡ talesx se puede aplicar el teorema del valor medio de Cauchy 6.3.2 para obtener 1, tal que a < ex < x < a + ó y

f(x) g(x)

si

K

:=o

~ l/h,

l'i teorema 6.3.3, se concluye que

< ex < a + o, la desigualdad

X

oet

f(l/t)

)hsérvese que lím F(t) = lím f(x) y lím G(t) = lím g(x). Ahora se aplican a

¡:y

= ­­­

­ L 1--IJ'(cx) ¡~ '( ) g( ) g

si

:=

V

Para cada x que satisface a < x < a + o se obtiene (por el teorema del valor de Cauchy) un punto ex tal que a a+g(x)

entonces

f'(x)

f(x)

L entonces

existe í5

para

< E siempre

que a< x

1

l

IF(x)I

rg'(g)( 0

O +

Al aplicar el teorema 6.3.6 se obtiene

< ­­ c f(x) = {f(x)/g(x)}g(x).] '.?/Además de las hipótesis del ejercicio anterior, sea g(x) >O para x E [a, b], x c. Si A > O y B =O, demostrar que se debe tener F.!Pcf(x)/g(x) = oo, Si A c lím f(x)/g(x) = ­oo.

·

y considérese lím xX, que tiene la forma indeterminada oO

d) Sea I := (1, y considérese minada l "'. Se observa que

+ 1 xY =e.

Ejerckios de la sección 6,3

lím x log x, que tiene la forma indeterminn

x-. 0 +

00)

lím

X-> Ü +

lím (1

x-HX)

X­­>Ü+

Se recuerda por el cálculo elemental (ver también la sección 8.3) que xx =ex Iagx,

X-+ Ü

inuda

y= 1, se infiere que



e) Sea I :=(O, oo) y considérese

x­•O+

sen x - x

x->O+

y

•

lnn x log ( l

que tiene la forma indeterminada oo ­ co. Se tiene

lím

que

P111·Nl1l

111

x-->O+

l )= lím (­l ­ ­­ x->O+ x sen x

235

HHOI ,l\S IW. L'llOSl'ITl\L

l)I\HIVM'lO+

lím

x­­>O+

X

(O, 'IT'/2),

tanx­x x3

(O, 'IT'/2).

7 !Evaluar los siguientes límites: oo

l

I

+ I/x

= l.

a) lím x .... o

Aretan x

( ­ eo, oo),

X

b) lím x­­>O

1 x(log x) 2 x3

e)

lím x3

x--+O+

log x

(O, oo),

d) lím ­ X ---?00 ex

(O, oo).

(O, 1),

.'I/

'11 01(1 MA 1 )11 'l'A YI O+

11.

lím (sen x)x (O,

x­+0+

lím

x->iT/2-

tr ),

(sec x - tan x)

"

P"(x)

( 1)

:=

(0,'71/"I

+ ··· +

Sea f derivable en (O, oc) y supóngase que x->x Iím (f(x) + f'(x)) =L. Demostrar que lím f(x) = L y lím f'(x) =O. [Sugerencia: f(x) = éf(x)le-'.] x­+x

x-+«-

'

12. Intentar aplicar la regla de L'Hospital para encontrar

lím x­>iT/2­

, f"(xu) f(x0) + f (x0)(x ­ x0) + (x - Xo) 21

tan x sec x

Hacer después la evaluación cambiando la expresión en términos de senos y cosenos.

SECCIÓN 6.4 Teorema de Taylor Una técnica de suma utilidad en el análisis de funciones reales es la aproxima­ ción de funciones por polinomios. En esta sección se demostrará un teorema fun­ damental en esta área que se remonta a Brook Taylor (1685­1731), aun cuando el término del residuo fue incorporado mucho después por Joseph­Louis Lagrange (1736­1813). El teorema de Taylor es un poderoso resultado que tiene múltiples aplicaciones. Se ilustrará la versatilidad del teorema de Taylor mediante una expli­ cación breve de algunas de sus aplicaciones en estimaciones numéricas, desigual­ dades, valores extremos de una función y funciones convexas. El teorema de Taylor se puede considerar como una ampliación del teorema del valor medio a derivadas de "órdenes superiores". En tanto que el teorema del valor medio relaciona los valores de una función con su primera derivada, el teore­ ma de Taylor proporciona una relación entre los valores de una función y sus deri­ vadas de órdenes superiores. Las derivadas de orden mayor que uno se obtienen por una ampliación natural del proceso de derivación. Si la derivada f'(x) de una función f existe en todo pun­

¡( Xo) ni

(x - x0)

2

n ,

ioscc Ja propiedad de que él y sus derivadas hasta del orden n coinciden con l.a ¡y sus derivadas hasta el orden n, en el punto especificado x0• Este poh­ numio p se llama el n­ésimo polinomio de Taylor para f en x0. Es natural esperar que este polinomio proporcione una aproximación razonable.de /para punto.s próxi­ mos a x , pero para graduar la precisión de la aproximación es necesano tener informa~ión en cuanto al residuo R11 := f- P11• El siguiente resultado fundamental

1

Iunción

~.

proporciona esta información.

6.4.l Teorema de Taylor. Sean EN, sea I =I«. b] y sea f: l=+ R tal que f Y sus derivadas f', f", ... , ¡ 3 x 105, de tal modo que el valotv~ = 8 proporcionará la precisión deseada; además, puesto que 8! = 40,320, no hay la seguridad de que sea suficiente un valor menor den. Se obtiene por tanto

ezPa(l)=l+l+ con un error menor uue Jl)­5.

1

1 +"·+¡=2.71828 2! 8.

\

240

.!'11

lll(l{IV¡\( 'I( JI I

El teorema de Taylor también se puede usar

p:11'¡1 cnluhlcccr

t·x1n:11H> relativo c11 c es qucf'(c) =O. Una manera de determinar si f tie­ 111 1111 11111xi1110 relativo o un mínimo relativo [o ninguno de ellos] en e es usar el 1 1 ll1·1 l11 dc l;1 primera derivada 6.2.8. En caso de existir, también se pueden usar en 1 •d11 dt·ln111i11;H.:i6n las derivadas de orden superior, como se indica a continuación.

dcsl¡•,1111ld11d1%

¡, 11/',111111

6.4.3 Ejemplos. a) 1­ ~ x2 ~ cos x para toda x ER. Usando .f(x) := cos x y x0 = O en el teorema de Taylor, se obtiene

(1A.4 Teorema. Sea J un intervalo, sea x0 un punto interior de I y sea n > 2. que existen las derivadas f',f", ... ,f(n) y que son continuas en una vecin1l(x0) =O, pero f x 0 y negativo si x < xO' l'or consiguiente, si x E U, entonces R 11 _ 1 (x) tendrá signos opuestos a la izquierda y a la derecha de xO" Por lo tanto, f no tiene un mínimo relativo ni un máximo relativo en xO" Q.E.D.

.loude e ruionces

Zk+1

oo para cada x0 predetermmada Y x. [Sugerencia: Ver el teorema 3.2.11.] . . 9. Si g(x) := sen x, demostrar que el término correspondiente aldres1du? d~l teo­ rema de Taylor converge a cero cuando n= oo para cada x0 pre etermma a Y x.

'l'l'.Clltl·.tvl/\

J >11.lll Vi\( 'H lN

248

10. Sea h(x) := e­l/x2 para x *O y h(O). Demostrar que f1("i(O) =O purn l1Hli111 • N Concluir que el término correspondiente al residuo del teorema dl' 'l\iyl111 para x0 = O no converge a cero cuando n=+ oo para x O. (Sugeri:11t'i11: l '111 li1 regla de L'Hospital, lím h(x)/xk =O para cualquier k EN. Usar el cjcr\'ll'lll 1 x-o para calcular /¡C11l(x) para x O.] 11. Si x E (O, 1) y n EN, demostrar que

11>

*

*

1 12.

log ( 1

+ x} ­

(x -

-x2 2

+ ­x3 + · · · + ( ­1) n3

x")I

l ­

n

x"'' , < __ n+I

Usar este resultado para obtener una aproximación de log 1.5 con un c1·1111 menor que 0.01; menor que 0.001. Se quiere aproximar sen por un polinomio en [­1, 1) de tal modo que el e1·1111 sea menor que 0.001. Demostrar que se tiene

sen x 1

(

x - -x3 6

+ ­x5

120

) 1

1 < ­­

5040

para

[z] ,,;; l.

13. Calcular e con siete cifras decimales correctas. 14. Determinar si x =O es o no un punto del extremo relativo de las siguientes funciones: a) f(x):=x3+2, b) g(x):=senx-x, e) h(x) :=sen x + ~ x3, d) k(x) := cos x - 1 + ~x2. 15. Sea f continua en [a, b] y supóngase que existe la segunda derivada I" en (11, b). Supóngase asimismo que la gráfica de f y el segmento de recta que une In~ puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) se cortan en un punto (x0, f(x0)), donde a < x0 < h, Demostrar que existe un punto e E (a, b) tal que f"(c) =O. 16. Sea I ~ R un intervalo abierto, sea f: I--> R derivable en I y supóngase qu¡• existe f"(a) en a El. Demostrar que

f"(a)

=

, f(a + h) - 2f(a) + J(a - h) lim ­­­­­­­­­­ h2

h­­>O

Dar un ejemplo en que este límite exista, pero la función no tenga segunda derivada en a. 17. Suponer que l ~Res un intervalo abierto y que f"(x);;;: O para toda x El. Si e El, demostrar que la parte de la gráfica de f en I nunca está abajo de la recta tangente a la gráfica en (c,f(c)). 18. Sea l ~ R un intervalo y sea e E/. Supóngase que f y g están definidas en J y que existen las derivadas f , g y son continuas en/. Si ¡Runa .. g~al in[~def en I es el número

función acotada. La inte­

'·

\"'­

Entonces mk,,.;:; m'¡ y mk""' m"¿ (¿por qué?) y, por consiguiente,

L(f)

sup{L(P;f):

:=

PE .9(!)},

11ltll1\111\1111 IN'l'll(ll(l\lltl

resp.ectivamente y, por tanto, están dacios por 111k = (k J )/n y M k..., k/ti. /\dt'l!Ul puesto que xk - xk- 1 = l/n para toda k = 1, 2, ... , n, se tiene

L(P ;g)

=(O+ 1 + ···

11

+(n - l))/n2,

Si se usa la fórmula 1 +2+· · · . 1 . 3 . 3 a )J se o btiene que

L( Pn; g)

=

(n­l)n 2n2

1(

=

(1 + 2

+ · ..

n '

=

sup{L(P11;g):

h): n EN}~

n( n + 1) 2n 2

·

1( 2

1 }

= ­ .1 1

u

n EN}~ sup{L(P;g):

,,,

1 uionccs,

h): PE .9(1)} ~ inf{U(P

1o h 11o x 1

=

2

g): PE 9(1)} ~ inf{U(P,.; g): n EN}=

~orno i .;;:; L(g) ~ U(g) ~ mtegrable en I = [O, 1] y

!,

se concluye que L(g) = U(g) =

t·

'

Usan~o la fórmula 12 se obtiene

11;

h)

=

(12 + 22 +

+(n - 1)2)/nJ, +n2)/n3.

+ 22 + · · · + m2 = t,m(m + 1)(2m + 1) [ver el ejemplo .l.3.3 b)]

L(Pn ;h) = (n - l)n(2n - l)/6n3 = = n(n + 1)(2n + 1)/6n3 =

para x racional,

L(P;f)=O,

U( P; f)

1,

=

......

e) La función h(x) := x2 es integrable en/:= [O, I]. Sea E;, como en el ejercicio b). Puesto que h es creciente en [O l J se tiene m = ((k- l)/n)2 Y Mk = (k/n)2 para k = 1, 2, ... , n. Se tiene por tanto' k

U(P

1 dx = ­. 3

1111110 O existe una partición PE de I tal que ( *)

U( P. ; f) ­ L( P. ; f)

< e.

260

U\ INl'l\(llV\l.

l>JI.

xn

11'1'1'11(11(/\lill

M1\l lll

li>/\0

l)lf, ltl11M/\NN

Demostración. Si/ es integrable, entonces se 1ii.:110 /.(/) U(/). Si 11¡• dn t O, entonces por la definición de integral inferior como un supremo, l' x 11111' 1111 • partición P1 de J tal que L(f)

­ e/2

< L(P1 ;!).

De manera similar, existe una partición P2 de J tal que

U(P2 ;f) < U(f) + e/2. Si se hace P O, por la hipótesis se sigue que existe K tal que si K, entonces U(P11; !) -L(P,,; !) < e, de donde se sigue l~ integrab~lid~~ de

i ¡ por el criterio

de Riemann. El resto de la demostración se deja como ejercicio. Q.E.D.

La importancia del corolario radica en el hecho de que aun cuando la defini­

~ U(P ;f)

U(f) - L(f) Supóngase ahora que para cada (*)se cumple. Se tiene entonces

E

> O existe

- L(P ;!).

una partición P0 tal que la expresluu ·

1·1iín de la integral de Riemann incluye, para una función dada, el conjunto de Indas las particiones posibles de un intervalo, la existencia de la integral Y su valor ron frecuencia se pueden determinar por una sucesión especial de particiones. 7.1.10 Ejemplos. a) Sea g(x) := x en [O, 1]. Si P11 :=(O, l/n, ... , (n­1)/n, 1), rnt@nces por el cálculo del ejemplo 7.1.7 b) se tiene

U(f)

- L(f)

~ U(P, ;f)

- L(P, ;f) O es un valor cualesquiera, se concluye que U(!) ~ L(f). Puesto que (por el teorema 7.1.5) la desigualdad l(f) ~ U(!) es válida siempre, se tie1w L(f) = U(!). Por tanto, fes integrable. . Q.L>.11,

n

lím (U(Pn ;f) - L( n

entonces fes integrable y lím L (Pn ; !) = n

r; ;f))

O,

=

Pt = lím U(P ; !). a

n

n

n

1

n

=O

J\

y por tanto que dx = lím U(P11; g) = lím ~(1 + 1/n) = ~· b) Si h(x) := ºx2 en [O, 1] y si P,1 es la partición del ejemplo a), entonces por el ejemplo 7.1.7 c) se sigue (¿por qué?) que

En la figura 7. 1.4 se proporciona una representación geométrica de la diferen cía U(P;f)-L(P;f).

7.1.9 Corolario. Sea I :=[a, b]yseaf: J-> Runa función acotada. Si{~: 11 EN} es una sucesión de particiones de f tal que

g) ­ L(P,,; g)) = lím­

lím(U(Pn;

fx2dx = límU(Pn;h)

\\

=

1( + 3

lím3

1

1) 3·1

2n + 2n2

=

~

Iintegrabiilidad de ;·hdolllles monótonas y continuas Se concluye esta sección demostrando que una función que es monótona con­

tinua en [a, b] es integrable. Si f: J-+ Res una función acotada en J :=[a, b] y P := (x0, xl' ... , x11) es una partición de J, se emplea la notación común

262 IN'l'l\(

Se hace notar asimismo que n

- L(P;f)

E (Mk

=

263

IUl~MANN

o, entonces

l/(u) ­ f(v)I < E/(b - a). Sea ahora n eN tal que n > (b­ 11) 11> y :­;e¡1 /~1 :::: (x0, x I' ... , x,) la partición del en n partes iguales de tal modo que 11, '" . . 1;;:(f>­a)/n O, se eligen EN tal que n Para la partícíon correspondiente P se tiene

U(Pn ;f) - L(Pn ;f) =

~ I.:

e

*

Q.E.D.

. ~e demuestra a continuación que la continuidad también es una. condición suñcíente para la integrabilidad. 7.1.12 Integrabílidad de funciones continuas. Sea¡:= [a, b] y sea f: ¡-+ R

continua en /. Entonces fes integrable en J.

\

11

que fes integrable en [O, 2] y calcular su integral. 3: a) Demostrar que si g(x) := O para O ~ x ~ ! y g(x) ::;:: 1 para

.

=

fn

! o, existe o > o tal que si u, v E¡

J:

1~ Demostrar en detalle que si f(x) := e para x E [a, b ], entonces f c(b - a). 2,( Sea que f: [O, 2] ~Resté definida por f(x) := 1 si x 1 y f(1) :=O. Demostrar

­­\

5. Sea f(x) := x3 para O ~ x ~ 1 y sea Pn la paAtición del ejemplo 7.1.7 b). Calcula·r L(Pn; f) y U(Pn; f), y demostrar que 10x3 dx = ~·(Sugerencia: Usar la fórmula 13 + 23 + · · · + m3 = [!m(m + 1)]2.)

264

LA IN'f'UJH!\1.1)1·

1111•1\.11\Nll

l'l(Cll'll

6. Si/: [a, b]-> Res una función acotada tal que/(x) = () cxccptu

¡1:1111

· · · , e,,} de [a, b ], demostrar que fes integrable en [a, b J y que /,1'.f' 7. Suponer que fes una función acotada en [a, b] y que para cualquier E (a, b) la restricción de fa le, b] es integrable. Demostrar que /'es (b (b . en [a, b] y que¡ª f= )f.f}}+ ¡e¡

1,

( 1,

¡

11 1

h) Si /'1

1

111t1sl

1

=!

¡.

~e~ostrar. que s~ i: [a, b] ­> R es una función acotada y tiene un número finito de .d1s~o.ntmu1dades, entonces fes integrable en [a, b]. (Sugerencia: Usar el ejercicio 7.)

I en n partes iguales, demostrar que O.¡; U(Pn ;f) -

['J..; (b -- a)(f(b) a

- f(a))/n.

17.v Sea1/ := [a, b] Y sea que f: 1-> R satisfaga la condición de Lipschitz lf(x) _ f(y). ­.s; K;x - YI para toda x, y E/. Si P11 es la partición de J en n partes iguales demostrar que ' O .,;·U(Pn ;!) -

j"J.,; a

K(b - a)2/n.

· 18( Sea Pe la partici~n cuya existencia se afirma en el criterio de Riemann 7.1.8. Demostrar que st P es cualquier refinamiento de P entonces U,(P· !) _L (P. !) ­.s; e. e' ' ' 19. ~if: 1-> Res una función acotada, s~~ !lf11 ::; sup {:f(x)!: x Ef}, y si p =(a -x0 < X1 < ... < x,, = b) es una partición de I :=[a, b], sea i!Pll := sup {x1 _ xo, • • • ' x11 - x11 - 1} · a) Si P' es la partición obtenida a partir de P como en la demostración del lema 7.1.2, demostrar que L(P;f) ­.s; L (P'; !) ­.s; L(P; f) + 2·:¡¡1 . ¡ 1p 'I

U(p;f):;,,,U(P';f)~U(P;f)-2/if'/·.!P;!.

1'

1

'¡,y

una parl ición obtenida a partir de P agregando k puntos a P, de­ L(1'1;f)­.s; L(P;f) + 2k ¡11 · !P1, y también que U(P1;f) ~

rur que

l ·:n esta sección se establecerán algunas de las propiedades básicas de la inte­ 1•.1,tl de Riemann, incluyendo las importantes propiedades de linealidad y positividad. 1 ~l concepto de integrabilidad describe una colección de funciones, la clase de l.1s funciones integrables en un intervalo, y la sección se concluirá con una revisión dt· las propiedades de permanencia de esta clase. El resultado clave es que si se luu.c la composición de una función integrable con una función continua, la fun­ l'i(111 compuesta resultante es integrable. De este hecho se infiere que el valor abso­ luto, la potenciación y el producto de funciones integrables también son integrables. Es común hacer referencia a la siguiente propiedad como la propiedad de linealidad de la integral de Riemann.

5.1.5 b). Demostrar que hes integrable y que ~1h =O. Comparar este resu~11 do con el del ejemplo 7.1.7 d). 12. Sea I :=[a, b] Y seanfl' J2: l=+ R funciones acotadas. Demostrar queL( f') t 1 L U2).­.s; L U1 + [2). (Sugerencia: Usar el ejercicio 2.5.7.) · 13. ~ar ~J~mplos ~ara demostrar que la desigualdad estricta puede ocurrir en ('] ejercicio anterior.

16:/ Sea I := [a, b J. Y sea f: I-> Runa función creciente en/. Si P,, es la partición dll

26.'i

SECCIÓN 7 .2 Propiedades de fa integral de Riemann

función integrable g: I-> R el producto fg es integrable y que ~bfg = o. 1 )¡• mostrar que f(x) = O para toda x E/. 11. Sea I :=[O, 1) Y sea h Ia restricción a I de la función de Thomae del ejcmpln

14. Demostrar que/(~):= cos(níx)para O< x ­.s; 1, f(O) =O, es integrable en [O, 1

11\ IN'IH:J11l(ll'M!\NN

o,

itlii1

· 8'. Sea I :=[a, b] Y seaf 1-> Runa función acotada y tal que f(x) ~o purn /rn/11 / x E l. Demostrar que l(f) :;,,, O. · 9. Sea I := [a, b ], /->Runa función continua y seaf(x):;,,, O para toda 1 1 / Demostrar que si l (!) = O, entonces f(x) = O para toda x E/. 10. Sea I :=[a, b], sea f: I-> Runa función continua y suponer que para lrnl11

15.

lll•

ll(l';f) 2k /11 · IP:1. 20. Demostrar que si e> O, entonces existe o> O tal que si Q es cualquier partición de /=[a, b] con ''Q 1 < entonces L(Q; !) ~ L(f)- e y U(Q; f) - l.(I) +e. (Sugerencia: Sea P1 una partición tal que l(f)- e/2 < L(P1; f). Si hay k puntos en P1 diferentes de a, b, sea o:= eí(4k'1f:). Sea ahora Q cualquier partición con! Qi < oy considérese Ql := Q u r. .)

11111111•1111

ÍlllL'/"

L'S

lli\lll.:­O

7.2.1 Teorema. Sea I :=[a, b] y sean], g: J-+ Rfunciones integrables en J. Si entonces las funciones kf y f + g son integrables en !, y

/¡ E R,

\

I

( l_.}. (2) Demostración. 1) Si k = O, las afirmaciones acerca de kf son triviales. Se considerará el caso k < O, dejando al lector el caso k > O que es un poco más sencillo. Sea P := (x0, x1, ... , x) una partición de J. Puesto que k < O, se ve de inmediato que 1

\

para j'» 1, 2, ... , n. (Ver el ejercicio 2.5.4 b).) Al multiplicar cada uno de estos términos por xj-xj-l y sumar, se obtieneL(P; kf) = kU(P;f). Por lo tanto, ya que k < O, se tiene

L(kf)

=

sup {L(P; kf):~

E

.9(1)}

=

k inf {U(P; !): PE .9(1)}

= kU(f).

266

rw

LA INTEGRAL

l11H)l'll\l)¡\l11(S

1{11\MANN

Con un razonamiento similar se demuestra que U(P; kf)::: kl(P;.f) y, que

f l + f''g < U( P, ; !)

p1J1' 1110111,

/1,

(1

U(kf) = inf{ U( P; kf):

PE

.9(1)} = k sup {L(P ;!):

.. /d,( (

.9'(1)}

PE

1)1\ Lt\ lN'l'l\ O es

Inda

I;},

1

7.2.2 Teorema. Sea J := [a, b] y sea f: I-> R integrable en J. Si f(x) ~ O para x E/, entonces

·,

E

IJ

1 1

(:l)

Se infiere de inmediato que

L(P;f) + L(P;g).; :;

L(P;f + g)

y

< U(P;f)

U(P;f+g)

para cualquier partición PE .9'(!). Si se da ahora e> O, entonces como integrables, existen las particiones P¡,.e y P g,e tales que

U(P¡,, ;f)

U( P.

f y g son

"­

e

Q.E.D.

~.

entonces

s

u p g,", entonces

de la expresión ( #) que está

De hecho, de la expresión ( #) que está después de la definición 7 .1.4, se deduce que sif: J-> Res integrable en I :=[a, b] y si m ~ f(x) ~ M para todax E/,

< L(P¡,e ;!) + 2'

Si se hace pe:= pf,E '

( *)

Demostración. Esta se sigue inmediatamente después de la definición 7.1.4.

+U(P¡¡t)

m(b - a)"

jbf" M(b a

- a).

se obtiene (¿por qué?) En particular, sif es integrable en I y si lf(x)I ~ K para toda x El, entonces

;f + g) < U( P8 ;f) + U(P8 ; g)

<

L( P. ;f)

+

L( P, ; g)

+e <

L( P.

;f + g) + s.

Por tanto, por el criterio de Riemann 7.1.8, se ve que f +ges integrable. Para terminar la demostración de (2), se observa que de la expresión ( *) se sigue que

f b ( f + g) .;;:;; U( P. ; f + g) < L( P. ; f) a

De ( *) también se sigue que

+ L( Pe; g) + e .;;:;;

(5) \

7~.3 Corolario. Si f, g: J-> R son integrables en J := [a, b] y si f(x) ~ g(x) para toá{l x E!; entonces

fbf + J bg + s. a

u

Demostración. Por el teorema 7.2.1, la función g- fes integrable en J y

J

268

1./\ IN'l'l•:(l)l/\L

lJll

1\11'.M/\NI

l'IHH'íl•l)/\IMi

1

•,¡

111

¡,11t·1· 1•;:

1

r 1

U( P; ; .f)

11( 1" , / )

Por hipótesis, (g­ f)(x) ~ O para toda x E!, de tal modo que por el teorema 'U, ' se sigue que

/'

[11,

1/\11\1'1'11111(/\1

lll(

r·I y p;

:=

lll(

r' n le, /Jj,

+ U( P; ; f)

entonces se ve de inmediato que L(P' ;f)

y

,/(¡I)

IW1M/\NN

=

L(Pi; j)

+ L(P; ;f).

estos resultados con la fórmula precedente se tiene

1\l 1·11111hinar

+

(U(P;;J)­L(P;;J)}

O es un valor cualesquiera, por el criterio de Riemann se sigue que

7.2.4 Teorema. Sea I := [a, b] y sea que c satisfaga a < c < b. Sea], I -~ 1( una función acotada. Entonces fes integrable en I si y sólo si es integrable tantu en !1 :=[a, e] como en 12 := [c, b]. En este caso,

[ c« integrable en [a, el y en [c, b]. Hemos demostrado que fes integrable en [a, b] si y sólo si es integrable tanto ru [a, e] como en [e, b). La demostración se completa al establecer (6). De la expresión (#)del párrafo anterior se sigue que

tJ ~

(6) Demostración. Se supone primero que fes integrable en [a, c] y [ c, b J. EntOll· ces, dada e> O, por el criterio de Riemann se sigue que existen las particiones P 1 1 de [a, c] y P2,ede [c, b] tales que ' U(P,,, ;f)

­ L(P,,, ;f)

< e/2

y

Q~ (#)también

[U(P¡

=

[U(P1,e .I) - L(Pl,e ;f)]

'

6;

r; ; f) +

U(

r; ;f)

{f + tJ + 2s. a

e

se sigue que

+ u( t; ;f)

< L(P; ;f) + L(P; ;!) + 2s

f) + U(P2 , e; f)] ­ [L(P¡ ' e; f) + L(P2 e ;f)I

=

u,(

{! + tJ ~ u( r; ; f) a e

Sea ahora Pe:= P1 e U P 2 e· Se sigue que U(Pe ;f) - L(Pe; f)

=

< L(P; ;f) + L(P;; f) + 2e ~

«/~ ~

U(P,,, ;f) ­ T,(P,,, ;f)

U( P'; f)

a

=

\'

+ [U(P2,e ;f) - L(P2,e ;f)I

Puesto que

O es un valor cualesquiera, por el criterio de Riemann se sigue que fes integrable en [a, b]. Se supone ahora que fes integrable en [a, b}. Si e> O, existe una partición P de [a, b] tal que U(P; !) ­ L(P; f) < E. Si P' := P U {e}, entonces P' es ua refinamiento de P, de donde, por el lema 7.1.2, se sigue que

U( P'; f) - L( P' ; !) ~ U( P; !) - L( P; !)

< s.

·

L(P' ;f)

+ 2s ~

jbf + 2s. a

s > O es un valor cualesquiera, se obtiene la relación 6).

Q.E.D.

\ Al aplicar un razonamiento de inducción común es posible ampliar el teorema

7.2":­\ a una descomposición de [a, b J en una unión finita de intervalos no traslapados. ~

La ciase de Ras funciones integrables En el teorema 7.2.1 se demostró que una constante múltiplo de una función integrable es integrable. De manera similar, la suma de dos funciones inte~rab~es también es integrable. Se demuestra a continuación que algunas otras combinacio­

270

l'lt0l'llllJl\l)tl,t4

1./\ IN'l'E( illAI. 1)1\ )UJl.MANN

nes de funciones integrables son integrables. El resultado de mayor ut il idad cu 1'1lll sentido se establecerá a continuación.

L

(xk - xk_1)

llt'.1 fl IN'l'J\(1Hi\L

<

!. < /J

o,

xl' . " , x11) de I tal que

1

< °8 [U( P ; f) - L( P; !) ] < 8 < e'. '•t'

/

1

icnc por lo tanto

L (.Mk

( 11)

- rñk)(xk - xk_1) < 2Ke'.

kEB

1\1 combinar (i) y (ii) se obtiene

U( P; f) - L( P; !)

<

o2•

E

U(P;cp0f)-L(P;(l>0f)=

U(P;cp0f)

- L(P;(l>ºj)

L

kEA

(Mk - rñk)(xk - xk_1)

Por otra parte, si k EB, sólo se puede afirmar que

Sin embargo, para k E B se tiene

o~

que cp ºfe~

o, de donde

se sigue Mk -iñk O existe una colección contable de intervalos I 11 :=(a n, b n) con an 00

y

L

n=i

,s:; b

11

paran e N tal que D C ­

U In n= l

·

(b,, - a,) Res

Riemann integrable si y sólo si su conjunto de discontinuidades es un conjunto de medida cero. En Introducción al análisis matemático (Editorial Limusa) (proyecto 44.a) se da una demostración del teorema de Lebesgue.

una p~rtición de [a, b] y si fes integrable en [a, b ], entonces

f x, f Ja f = f.. L.- x,_, · b

k=l

7. Sea J :=[a, b] y sea e E(a, b). Sea v" que denote el conjunto de todas las particiones de J y sea que ­~. denote el conjunto de todas las particiones del que contienen al punto c. Si f: ! ­+ R es una función acotada en/, demostrar que L (!) = sup {L(P; !): PE­~}. . 8. Sea a > O y sea J := [-a, a]. Sea f: J-+ R una función acotada y sea ./' "' el conjunto de todas las particiones P de J que contienen a O y que son simétri­ cas (es decir, x E Psi y sólo si -x E P). Demostrar que L(f) = sup { L (P; !): P E­'f'*}. 9. Supóngase que J := [-a, a], donde a > O, y que f: J-> Res una función integrable en J. Usar el ejercicio anterior para establecer los siguientes resul­ tados. a) Sí fes par (es decir, sif(­x) =f(x) para todax EJ), entonces

Jª

fª

-aÍ~ 2J0 f.

lat

b) Si fes impar (es decir, sif(­x) = ­f(x) para toda x E]), entonces =O. 10. Supóngase que fes integrable en [a, b] y sea e E R. Si g se define por g(y) := f(y - e) para toda y E [a + e, b + e], demostrar que g es integrable en el intervalo [a+ e, b +e] y que \

\" 11. Dar un ejemplo de una función integrable h: [O, l]­+ R con h(x) >O para toda x, pero tal que l/h no sea integrable en [O, 1]. ] 2~ Dar un ejemplo de una función f: [O, 1] ­> R que no sea integrable en [O, 1}, pero tal que j f f sea integrable en [O, 1].

1/\IN'l'I\(11Runa función

11

c11 /.U

i11lt:grnhlt~

sal' 111

d1•1il¡•,111il1h11I

i/l también es integrable en I sin usar

el

7.2.5. 14. Sea I := [a, b], sea f: /­>Runa función integrable en I y sea !f(x)1 ­ toda x E l. Usar la desigualdad

(f(x))2

­

(f(y))2

~

2Klf(x)

lt·1111•111

1

lbf2

]1/2

- f(y)I

:= [a, b] y f(x) ~

f(c)

=

tJ

11)

=

a

F(b) - F(a).

Demostración. Sea e> O dada; por el criterio de Riemann 7.1.8, existe una ¡i1111ición P = (x0, xl' ... , x) de [a, b] tal que

U(P;F')­L(P;F')

~ M.

R satisfaga las condiciones: a) Fes continua en [a, b]; h) existe la derivada F' y F'(x) = f(x) para toda x E (a, b). l·.'111011ces:

t: 1111111

parax,y El para demostrar que f2 es integrable en I sin usar el teorema 7..1!1 15. Si I C::: Res un intervalo, dar un ejemplo de una función! integrable en I y ill una función g no integrable tal que fg sea integrable en l. , 16:­' Si fes integrable en I := [a, b] y f(x) ~ O para toda x E/, ¿se cumple nccesn riamente que g(x) := .fJW es integrable en!? 17( Si fes integrable en [a, b] y O ~ m ~ f(x) ~ M para toda x E [a, b ], demos trar que

m ~ [b - a

lll'I

1 11 I" 1111.­1 :i f'rn 111;1 del rcorcrna fundamental proporciona las bases teóricas para i 1111111d•11k calcular una integral que el lector aprendió en sus clases de cálculo. 1 ¡i11··.rnt:1 cxrc resultado en un contexto bastante general; se llega luego a una 1 i•d1111 1111 1:11110 más limitada como un corolario.

lf(x)l ­ lf(y)J ~ lf(x) - f(y)I para x, y E I para demostrar que

11(11tlt.l/\l•lJNll/\l\llN'l'1\l

O para toda x E/, demostrar que existe

1 ] 1/2 -jbf2 [b - a a

19. Si f y g son integrables en I :=[a, b] y si h(x) := sup {f(x), g(x)} para toda r E/, demostrar que h es integrable en /. 20. Si/es continua en I :=[a, b] y f(x) >O para todax El, demostrar que ljfes

integrable en l.

\

I

dv l~nde se sigue que

.londe m ~y M'. denotan el ínfimo y el supremo de F' en [xk _ J> xk]. Si se agregan r'tas desigualdades en todos los subintervalos de la partición P y se observa que el termino de en medio es "telescópico", se obtiene

L(P; F') ~ F(b) ­ F(a) ~ U(P; F').

SECCIÓN 7.3 El teorema fundamental del cálculo En esta sección se presenta Ja conexión entre las nociones de derivada e inte­ gral. De hecho, hay dos teoremas; uno se refiere a la integración de una derivada y el otro a la derivación de una integral. Ambos establecen que, en sentidos que deberán precisarse, las operaciones de derivación e integración son inversas la una de la otra. Sin embargo, hay ciertos aspectos sutiles y se advierte al lector que verifique que las hipótesis de estos teoremas se satisfacen antes de aplicarlos.

l'cro como támbién se tiene

L(P;F')

~

tF'~ U(P;F'), a

se sigue (¿por qué?) que

276

lll\ IW'MAI t~I

1.1\ INTl1.(JHl\1.

11.1. 'l'l '.OHl\Mi\

l~bF' - [F(b) ­ F(a)] 1 < e .

1"(1'

h) ­ F(c)

1

h

1

Como

(l{J NDl\MHN'li\L

- f(c)

1

=

e > O es un valor cualesquiera, se deduce la ecuación (1 ).

=

Ifc+h e f(x) dx -

h \

e

i la derivada F' de F existe en ~a, b], ii la función F' es integrable en [a, b]. Entonces la ecuación (1) es válida con f = F '.

1'1·111 ,_, p111

Se presenta a continuación la segunda forma del teorema fundamental di cálculo, la cual considera la posibilidad de permitir que varíe el "límite suporto¡' de integración.

7.3.3 Teorema fundamental del cálculo (segunda forma). Seaf: [a, integrable en [a, b] y sea

F(x) ==

bl

corno el integrando de la última integral es, en el valor absoluto, menor que '7.2.6 a) se infiere que

F( e

l \ l 'ucsto que

1

­f(c)

h

, F(c 1 !ID

1

s ThT ·e ·lhl=e.

+ h) - F(c)

= f(c).

h

h-+O

~~e tiene por tanto F '(e)== f(c).

{!

para

x·E

[a,b];

\

7 .3.4 Corolario. Sea

entonces Fes continua en [a, b]. Además, si fes continua en un punto e E lo. b ], entonces(f)s derivable en e y . ·

F

+ h) ­ F( e)

F' (e)

=

f {e).

e,

e > O es un valor cualesquiera, se sigue que

""•U

a

(3)

¡c+h

f(c) 1 -h-}c 1 dx

1 lfc+h (f(x) - f(c)) dx 1 ThT

7.3.2 Corolario. Sea que F: [a, b]-> R satisfaga las condiciones:

(2)

277

IW.L l'ÁU 'U LO

F(x)

f: :=

Q.E.D.

[a, b] ->R. continua en [a, b] y sea

{!

x

para

E [a,

b].

(l

Entonces Fes derivable en [a, b} y F'(x)

= f(x) para

toda x

E

[a, b].

~~~'

Demostracíón.

x

Sea K

O tal

que

F(y)-F(x)=

lf(x)I ~

K para x E [a, b]. Si x, y

E [a,

b]

y

{f- [f= jyf, a

a

r

por el corolario 7.2.6(a) se sigue que

(4)

IF(y) ­ F(x)I < Kly - xi.

Demostracién. Este resultado se sigue de inmediato del teorema.

En ocasiones resulta conveniente combinar estas dos formas en un solo teore­ ma, el cual se presenta a continuación. Obsérvese que las hipótesis de esta versión son más estrictas que en las formas anteriores. Sin embargo, la conclusión subraya la naturaleza inversa de la derivación y la integración de funciones continuas.

7.3.5 Teorema fundamenta] del cálculo (forma combinada). Sean F y f funciones continuas en [a, b} y sea F(a) =O. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: \ . (i) F'(x)

La continuidad de F se sigue de la desigualdad (4). Supóngase ahora quejes continua en un punto e E [a, b]. Sea e >O dada y sea 8 > O tal que si lhl < 8 y e+ h E [a, b], entonces lf(c + h) ­ f(c)I < e. Para cualquiera de estas h se usa la observación de que (1/h) .

j"e +h 1 dx = 1 para obtener-·

Q.E.D.

=

(ii) F(x) =

f(x)

{!

pata toda x para toda x

E E

[a, b]; [a, b].

a

Demostración. El lector deberá comprobar que la equivalencia de estas con­ diciones se encuentra garantizada por los corolarios 7.3.2 y 7.3.4. Q.E.D.

278

1,/\ IN'l 1~< 11(/\1,

IJI'. 1(11 Mt\t 111

11 ll•()IWM/\

Hay una terminología particular que se usa c11 n.:lacio11 con (aunque la misma varía un tanto dependiendo del autor).

1·:­.1n~

ll'1111·11111

7.3.6 Definición. Sea l :=[a, b] un intervalo en R. a) Si f: I--> R, entonces una antíderívada de f en I es una función I': I ~ I tal que F'(x) = f (x) para toda x E/. b) Si f: I--> Res integrable en /, entonces a la función F: I--> R dcf 11 id11 p111

F(x)

:=

[! a

para

X E

F(x)G'(x)

=

J(x)G(x)

+ F(x)g(x)

111d.i 1 1 ¡11, h]. Por lo tanto, H es una ~ntiderivada de la ~nción/G + Fg. Pero, 11111111 / ,. xnn integrables y F, G son contmuas (y por tanto mtegrables) en [a, b], ... . . t 'G+F porcons1gu1en e,;• g 11111 ··l teorema del producto 7.2.7 se sigue quefG,Fgy, 1111 1ulL'l'.rablcs en [a, b]. Al aplicar el teorema fundamental 7.3.1 se concluye que 1111111

=.

H(b) - H(a),

il1 d•>nd¡; se sigue de inmediato la ecuación (5)

Evaluación de integrales Se presentará a continuación una breve revisión de las "técnicas de integra­ ción" comunes que se basan en los teoremas fundamer tales. Deberán ser fami­ liares para el lector por un curso de cálculo previo.

a

1­

a

La integrabilidad de f garantiza la existencia de la integral indefinida F, y 111 segunda forma 7.3.3 indica que si fes continua en!, entonces su integral indefiul da es una antiderivada de f en l. Se concluye, por lo tanto, que las funciones continuas siempre tienen antiderivadas. Sin embargo, desafortunadamente, si lu función integrable f no es continua, entonces la integral indefinida puede no S()l una antiderivada de f debido a que i puede no ser derivable en puntos del intervale (ver el ejercicio 7.3.4) o ii la derivada de la integral indefinida puede existir pero ser diferente del valor de f en muchos puntos del intervalo (ver el ejercicio 7.3.8).

JbF(x)g(x)

1"'(.r)C(x)

t(JG + Fg)

La primera forma del teorema fundamental 7.3. 1 indica que si fes integrtM1 en [a, b] y Fes una antiderivada de f, entonces (1) es válida. Este es el mél1lth1 común para evaluar integrales en el cálculo. Sin embargo, desafortunadamente / una función integrable puede no tener antiderivada (ver los ejercicios 7.3.2 y 7.?.. /) y ii una función puede tener antiderivada pero no ser integrable (ver el ejercicio 7.3.5).

(5)

//'( 1)

I

se le llama la integral indefinida de f en/.

7.3.7 Integración por partes. Si f, g: [a, b] tienen antiderivadas F, Gen [a, b], entonces

·' /')

1 llNll/\MI Nli\l,1>11!'Al1'111()

­­> R

son integrables en [a, b] y

dx = [F(b)G(b) - F(a)G(a)] - jbJ(x)G(x) dx . a

Demostración. Sea H(x) := F(x)G(x) para x E [a, b]. Entonces Hes continua en [a, b] y, por la regla del producto [teorema 6.1.3 c)], se tiene

Q.E.D.

1 .os dos teoremas siguientes proporcionan la justificación de los métodos de "• umhio ele variable" que se usan con frecuencia para evaluar integrales. Estos ,, 111 r mas, que se basan en la regla de la cadena 6.1.6, se. emplean (por l~ g~neral , 111qdícitamente) en la evaluación de integrales por medio de los procedimientos l1¡i1t• incluyen operaciones con derivadas, comunes en los cursos elementales de ,,dndo.

7 .3.8 Teo;ema de la primera sustitución. Sea J : = [a, .B] y sea que tp: J ~ R una derivada continua en J. Si fes continua en un intervalo l que contiene

1, ·uga

1¡ R por F{ u) == {

e

f ( x) dx

para

u

E l.

Considérese aho'a la función H: Jr+ R d;finidapor H(t~ := F(cp(t)) para t ~J. Por la regla de Ja cadena 6.1.6 se sigue queH (t) = F (cp(t))cp (t) y por el corolano 7.3.4 se sigue que F'(u) ':::: f(u), de donde

H'(t)=f(cp(t))q/(t)

para

tE].

Si se aplica el corolario 7.3.2 y se usa el hecho de que H(a) = F(cp(a)):::: F(c) =O, se concluye que

280

LA INTl!CiHAI. 1)11. Hll:MANN

f13f(cp(t))q/(t) a

11 ll'Ol(l'MA

p11111 lrnl:1

el corolario

/.Por

1 1

11t1Nl>AM1:N'l'Al.lll'l,('Ál.('lll.O

JHI

7.3.2 se sigue que

dt = H(f3) - H(a) = H(f3). J"'(fJ)f(x)«/J'(x) dx

(Gol/¡)( O} (ver el ejercicio 7.1.11), aun

284

LA IN'l'E(llli\1.

11

111( llll'.Mi\NN

ll'!lltl'M1\lllNlli\MllNl'i\l

g(x)

1 /.

0

J:

tJ

:=

x

para

{+"¡

:=

para

x

R.

E

=

ff

para toda x

l.

E

X

Demostrar que f(x) = O para toda x E I, 18. Supóngase que f: [O, oo)­> Res continua y que f(x)

* O para toda x >O. S1. se

tiene

(f(x))2

l.

E

,,>O. Dcfínusc g: R -• R por

Demostrar que ges derivable y encontrar g'. Sea f := [O, 1] y sea f: I-> R continua. Supóngase que

{f

donde esta derivada existe. Usar este resultado para evaluar [xD dx parn O :s; a < b, donde [x] denota la función del mayor entero introducida en 111 ejercicio 5.1.4. Sea f continua en I := [a, b] y sea que H: I-> R esté definida por

H(x)

11

Resté definida por F(x) := (n - l)x ­(n ­ l)n/2 p¡1111 1 E [n­1, n), n EN. Demostrar queF es continua y evaluar F'(x) en los pu11IUH

11.

y sea

¡ ¡, Sc11 [: U , U co11li11t111

cuando es discontinua en todo número racional. Demostrar que h IHJ 1111111 antiderivada en ningún intervalo. 8. Demostrar que Ja función de Thomae del ejercicio anterior tiene una i11lO,

X

demostrar que f(x) = x para toda x ;;¡;; O. 19. Sea I';= [a, b] y Supóngase que f: I-> Res continua y que f(x) ;;¡;; O para x ER. Si M := sup {f(x): x El}, demostrar que la sucesión

Encontrar H'(x) parax El. 12. Sea l :=[a, b] y seaf: I-> R continua en l. Además, sea J =[e, d] y sea v: J ­> R derivable en J y tal que satisfaga v(J) ~ /. Demostrar que si G: J-> R está definida por

G(x)

:=

¡o(r)J a

para

x

E

j

,

entonces G '(x) = (!o v)(x) u'(x) para toda x E J. 13. Encontrar F', cuando F está definida en I := [O, 1] de la siguiente manera: a) F(x) e) F(x)

:=

:=

j

r

o

sen (t2) dt,

Jx fl+t2

b) F(x)

dt,

d) F(x)

io

r2

:=

j

:=

r2

(1

sen

O

+

t3)­1 dt,

< 2 y f (x) := x para 2 ~ x ~ 3. Obtener una expresión explícita para F(x)

= farfcomo una función dex. ¿Dónde es derivableF? Evaluar F'(x) en todos los puntos donde F es derivable. 15. Una forma de tratar el logaritmo es definir L: (O, oo)­> R por

L(x)

:=

[~dt

para

1

Verificar las siguientes propiedades de L. a) L'(x) = 1/x para x > O. b) L(xy) =L(x) +L(y) parax,y >O. e) L(x") = nL(x) parax >O, n EN.

x

>O.

.....

converge a M. 20. Evaluar las siguientes integrales; justificar cada paso. a)

f \.,[l+t2 f fl+t3

dt,

b)

o

rcos t dt.

14. Sea que F: [O, 3] ­>Resté definida por f(x) := x para O:,,¡; x < l,f(x) := 1 para 1~x

,

e)

2t2

o

dt,

d)

1 o

3 ~

J f

1

+

4b

t2

dt,

+ {t {t dt.

1 t 21. Evaluar las siguientes integrales; justificar cada paso.

a)

f ~-- .¡¡ ! 2

1

e)

3

+

1­ dt,

1

tlt+T.

1

b)

5tv12t

+ 3 dt,

1

dt

'

d)

!4 l

.¡¡ t(t + 4)

dt.

22. Evaluar las ~uientes integrales; justificar cada paso.

f =r:" 2~ yl ­

a)

l

1

) .¡¡

b)

di, [,o -{t 1 + t

28(¡

1,/\ IN'l'Ullt/\L

e)

¡

2

d)

'

! ·~

dt.

t

1

23. Sea l := [a, b] y sea g: 1---+ R continua en l. Supóngase que existe K >O 1111 1

g ( x)

1

K

l'1'{1 1ilvlil.11 l11. 1 ll'. hecho, p111;(1ú haber u11 número infinito de valores que se pueden l' O y 8 > O como en el teorema, y sea PE una parti­ de J con l IP 1 < 8. Si Pes cualquier partición tal que P ;:; :> ~' entonces l IPI 1 ~ 111' 1 < 8 de tat modo que para cualquier suma de Riemann correspondiente se 111 1'ic ¡5>(P; !) ­B[ < e. Por lo tanto, por el teorema 7.4.3, fes integrable en I y B =

1 11111

/''f.

Q.E.D.

" /

En los últimos treinta años, R. Henstock y J. Kurzeweil han presentado (de independiente) una notable ampliación de la integral de Riemann quepo­ 111•\: varias propiedades de mayores alcances que la.integral de Riem~n~, común o lucluso que la fntegral de Lebesgue. R.M. Mcl.eod ofrece una exposicion de esta ll'1>ría en una monografía citada en las referencias. 1111111cra

donde Mj es el supremo de f en el j­ésimo sub intervalo de Q y M/ es el supremo d11 /en el k­ésimo subitervalo de Q*. Puesto que IMj-M!I ~ 2My jzk­zk_1! ~ l Q~'ll ~ 11011 ~ se deduce que

o,

O.,;;; U(Q;f)

- U(Q*

.I) .,;;;

2(n - 1)2Mo

< s/3.

Se tiene por tanto

U(Q;f)

< U(Q* ;!)

+ s/3.

Un razonamiento exactamente igual indica que

L(Q*

;f) - s/3 < L(Q ;!).

t

Ahora tanto la suma de Riemann S(Q; !) como la integral f están contenidas en el intervalo cerrado [ L ( Q; !), U( Q; !) ] y, por consiguiente en el intervalo abierto

I,

:=

(L(Q* .T) - t:/3,U(Q* ;!) + s/3). ­,

\

Integrales impropias En la explicación precedente de la integral se emplearon dos premisas fijas: se 11·q~ría que la función estuviera acotada y que el dominio de integración fuera un intervalo acotado. Si cualquiera de estas dos condiciones no se satisface, entonces 110 es posible. aplicar la teoría de integración presentada sin introducir algun.os 1·arnbios. Puesto que hay casos importantes en que es deseable hacer menos estnc­ 111 uno o ambos requerimientos, se indicarán brevemente las alteraciones que es necesario hacer. Una relación más detallada se puede encontrar en Introducción al análisis matemático (Editorial Limusa). Se considera primero el caso de una función no acotada. 7.4.7 Definición. See ]: (a, b)->R tal que/ es integrable en el intervalo [c, bJ para toda e en (a, b ]. Supóngase que existe un número real A tal que para t~da e>

l

o

() existe > O tal que si e satisface a < c < a + 8, entonces se tiene IA ­ JI < e. En es te caso se dice que A es la integral impropia de f en (a, b] y el valor de A se denota por o

b

f f(x)dx. a

l .A IN'l'l,,Ul(i\1.

1111ltll·~l1\I1t

1

Es evidente que el número A es el límite por la dcrcchu /\'

11111

. resultaría era,

e· •u·I

r!h i

. [. 1·:11 v11111.1•1•11111

natural denotar la integral impropia def en (a, bj por A= "' I Si11 \'111111111111 no se acostumbra escribir el signo más en el límite inferior de la integral a 111c1w~ q111· 1111111 una grave confusión. Observaciones. a) Si f está acotada en [a, b] y si fes integrable en [e, /¡ l 1111111 toda e que satisface a O+, se infiere que la integral impropia de f en (O, 1] lím

O

CH

*

1•111 ejemplo, si f(x) := 1/x2 para x E (O, 1], x O, y f(x) :=O para x E [­1, O], la 1111rgr;il impropia de f en [­1, 1] no existe porque la integral impropia de f en (O, 1]

c­>O+

J g = fl ­1 dx = log 1 ­ I

log e = ­ log e.

e X

e

no está acotada cuando

g en (O, 1] no existe. e) Sea h (x) := x-" para x en (O, 1 ], donde a

e--->

O+, la integral impropia de

l

e

Si O< a< 1, entonces

e

c1-a--->

h existe. Sin embargo, si a

111·111ados. 7.4.9 Definición. Sea a ER y sea f: [a, oc)­­­> R tal que para toda e

> a, la

q11c para toda E> O existe un número real M tal que si e> M, entonces IA ­ ~e f 1 < 1 . 1 \n este caso se dice que A es la integral impropia de J en [a, oo) y el valor de A ·.1· denota por' {'f(x) dx.

l

l X-a

.

dx = ­­(1­ c1-ª). 1 ­ CI'

O cuando

Cr+

a

..,,_, En otras palabras, Ja integral impropia de f en [a, oc) está dada por { f = FE\ J.cf, si el límite existe. En ocasiones se dice que la integral impropia de ["converge" si el límite existe y que "diverge" en el caso contrario. 7.4.10 Ejemplos. a) Si a> O y sif(x) := l/x parax en [a, ce), entonces para toda e > a se tiene

f; e

*

> O, a 1. (El caso en que a es racional para esta función se analizó en el ejemplo 6.1.10 e); en la sección 8.3 se discutirá el caso en que a es irracional.) Para O < e < 1 se tiene

Jh=J

existe. A continuación se trata el caso de las integrales impropias en intervalos no

rc) = 2.

2( 1 ­

b) Si g(x) := 1/x para O< x ~ 1, entonces para toda e con O< e< 1 se tiene

Puesto que la función log

0

o

[! =

e

di·ll11ivi1'111 precedente i11 1

f en [a, oc) no existe. se tiene

f

eg = fex-ª

1

1

.

1 dx = ­­(1 a - l

­

1

e-a+ ).

294

l.A IN'l'l~URAl.1)1!

ltlHMANN

1 A IN'f'I'.( IHAI

1­> Si a> 1, e~tonces.c­"'+ O cuando e_, oo, por lo que la integral imr11opl11 (11 1 en [1, oo) existe y tiene el valor 1/(a­1). Si O< a< 1, entonces e ,,. '11111111111 acotada cuando e­> ce y la integral impropia de gen [I, oo) no existe.

U(P .T) -

('()M(l

lJN 1 fMl'f'l1•

L f(gd(xk

- xk-1) O, existe 8 >O tal que si 1:P': < 8 y 1:Q!' < 8 entonces 'S(P;f)-S(Q ;!)·1(

ltiHrvlt\l IN

IN 1'1•! 111/\( '1( >N i\l'i(! >XIMl\l

Jo v e"I dx , l d) J z x( log x)

Si se desea obtener una aproximación mejor, se puede intentar i.:11­ 111 1 1·:dil11dL":·:. 1, 1111 111 l'uucioucx de aproximación g y h más exactas. Sv puede 11slic1 el teorema de Taylor a e-Y para O~ 1 se obtiene

00

b)

e)

l

oo

log

X

2

x

2

¡-;-

oo

­­ dx,

dx,

»<

is/Establecer por qué cada una ele las siguientes es impropia y determinar NI ~1111 convergentes o divergentes, Calcular el valor de las que sean converg,01111111 a)

1

.~ J­lyl­x I

2

jo

00

e)

_

e y = 1 ­

b)j""e-xdx

dx,

l

d)

X-

j

00

o

rx (x

l

R

3,

+ 4)

iln11dc R3 = y4e-c /24, donde e es algún número con O ~e ~ l. Puesto que no se , 11t"11ta con mayor información acerca de la localización de e, hay que confor­ 111arsc con la estimación O ~ R3 ~ y4¡24. Se tiene por tanto

dx.

1­SECCIÓN 7.5 Integración aproximada

e _2 x

El teorema fundamental del cálculo 7.3. 1 ofrece un método sencillo para uv11 luar una integral, pero sólo si es posible encontrar una antiderivada del integrando. De nada sirve este método cuando no se puede encontrar una antiderivada. Sl11 embargo, existen varias técnicas para aproximar el valor ele una integral cuando 1111 es posible encontrar una antiderivada, y en esta sección se estudiarán algunos di• los métodos más elementales y útiles. Por conveniencia, la atención se centrarñ en los integrandos continuos. Un procedimiento muy elemental para obtener estimaciones rápidas del vaku de una integral tf(x) dx se basa en la observación de que si g(x) ~ f(x) ~ h(,\) para x E [a, b ], entonces b g(x)

a

.u « lba f(x)

dx;;;;;

lb h(x) dx. a

Si se pueden calcular las integrales de g y h, se obtiene entonces una estimación del valor de la integral de f Por ejemplo, supóngase que se quiere estimar el valor de llo demostrar que e= ~ e-x2 ~ 1 para x E [O, 1 ], de donde ¡1

}, e-xdx;;;;; o

fo1e-x2 dx. Es· senci­

J,o e-x dx;;;;; loii o: 1

.

2

fo

Por consiguiente, se tiene 1 ­ 1 /e ~ 1 e-x2 dx ~ l. Si se usa el promedio de los ;alares del paréntesis cuadrado se obtiene la estimación 1 ­ l/2e;:;;; 0.816 para la mtegral con un error menor que l/2e < 0.184. Esta estimación es muy aproxima­ da, pero se obtiene con rapidez y puede ser bastante satisfactoria para nuestras

t Esta sección

1 2 1 3 + 2Y - 6Y +

Y

­00

> dx

f

11\

se puede omitir en una primera lectura de este capítulo.

donde O ~ R3

~

x8 /24, para x

/

1o.!e-x"

dx

l'uesto que se tiene O.;;

'

=

1 ­ x2 E [O,

=

¡1(1 ­ o

=

1 ­ ­ 3

l

J 01R3

+

1e­'2

+

- 616x

R3,

1 ]. Por lo tanto, se obtiene

x2 + ±x4

ix6) dx +

-

+ ­1 ­ ­l + 10

dx «; --

1o

14

2x

1

9. 24

42

=

1

­­

216

11 R o

3

J.o R

1 3

dx

dx .

< 0.005,

se sigue que

26

dx ::::: -(::::: 0.7429), 35

con un error menor que 0.005.

Sumas superior e inferior Es natural intentar aproximar integrales considerando las sumas superior e inferior (o las sumas de Riemann) que se usan para definir estas integrales. Sin embargo, al reflexionar por un momento es claro que no será sencillo evaluar las sumas superior e inferior de funciones generales, ya que con frecuencia es difícil determinar el supremo y el ínfimo de una función en un intervalo. Un caso en el que esto resulta sencillo es, desde luego, el de una función monótona. En este caso el supremo y el ínfimo corresponderán con los puntos terminales del intervalo. En general, es conveniente usar particiones en las que los puntos sean equidistantes. Así, al considerar una función continua f en el intervalo [a, b ], se consideran las particiones P" de [a, b] en n subintervalos iguales con una longitud h := (b - a)/n dada por Jos puntos de partición

298

LA IN'll·:URAI.

lN'l'IH !lll~MANN

a, a+ h, a+ 2h, ... , a + nh

=

b.

J j(x) 1,_

Supóngase que fes continua y creciente en [a, b ]; entonces la suma inferior d11 / correspondiente a la partición P,, es

=

h

n-1

L J(a + kh), ,!"

en tanto que la suma superior de f correspondiente a P,, es

U(Pn ;f)

=

h

L J(a

Se deja al lector la consideración del caso en que fes decreciente. Q.E.D.

La regla del trapezoide

.n

El método de integración numérica llamado la "regla del trapezoide" se basa aproximar la función continuaf: [a, b]­­> R por medio de una función lineal por rhrtes. Sean EN y h := (b ­ a)/n; como antes, se considera la partición P,, :=(a, a 1 h, a+ 2h, ... , a+ nh = b). Se aproximafpor la función lineal por partes gn, cuya ¡•.rfüca pasa por lbs puntos (a+ kh, f(a + kh)) donde k = O, 1, ... , n. Parece 1 nzonable que la integral ~b f(x) dx será "aproximadamente igual a" la integral 1•11

(1)

como una aproximación razonable de la integral. En este caso la estimación del error es:

O.

tg,,(x) dx

7.5.1 Teorema. Sif: [a, b]--> Res una función monótona en [a, b] y si T,,(f) está definida por (1), entonces se tiene

(3)

=

h[tf(a)

+ f(a + h) + · · · +f(a + (n - l)h) + if(b)].

a

Se ve, por tanto, que la integral de la aproximación lineal por partes g11 de fes igual a la suma

11111 300

Li\ IN'l'l: O para toda x en [a, b], entonces (4) indica que esta / d1it'rcncia deberá exceder siempre f-2A(b - a)h2. Sin embargo, por lo general, la 11".1 ricción superior es la de mayor interés.

, 111,

7 .5.4 Corolario. Sean f, I' y f" continuas en [a, b] y sea B2 := sup {:f"(x)I: x b]}. Entonces

+ t)] + ~tf'(ak + t). b

(b-a)h2 12

l

[a,b]},

b

B

:=

sup {f '1 (X) :

X

E [a' b]}

por lo que se tiene Mt .,;; ~'(t) .,;; iBt para t E [O, h ], k = 1, 2, ... , n. Al integrar y aplicar el teorema 7.3.2 se obtiene, ya que ~(O) =O, que iAt2 ~ (c). 4

Regla de Simpson El método que se introducirá a continuación, generalmente, proporciona una aproximación mejor que la regla del trapezoide o la del punto medio y requiere muy pocos cálculos adicionales. Mientras que las reglas del trapezoide y del punto medio aproximan la función/por medio de funciones lineales por partes, la regla de Simpson aproxima! por medio de una función cuya gráfica es la unión de partes de parábolas. A fin de motivar la fórmula, el lector deber demostrar que si se dan tres puntos (-h, y0, (O, y1), (h, y2), entonces la función cuadrática q(x) =Ax2 + Bx + C que pasa por estos tres puntos tiene la propiedad de que

Demostración.

h]

­>

Si k = 1, 2, ... , ~n - 1, sea ck :=a

+ (2k + 1 )h y sea que 'Pk: [O,

R esté definida por

Evidentemente, cpk: (O) = O Y

cpÍc(t)

=

it[-f'(ck - t) + f'(ck + t)] ­ ~[f(ck - t) - 2f(ck) + f(ck + t)],

por lo que cp~:(O) =O y

'P'í.(t)

=

*t[f"(ck - t) + f"(ck + t)] - H-f'(ck - t) + f'(ck + t)],

.11111

1 i\ IN'l'li K (s). Puesto que E > O es un valor cualesquiera esto significa que li.t;, ­ /JIA­­­? O. . O, entonces dada E> O existe un número n~tural H(e) tal que SI n;;,; H(t:), entonces 11/n ­f[IA O existe H(c) en N tal que para toda m, n ~ H(c) entonces 1 !. -L 1 ~ e '

n A

n:

Demostración.(==>) Si!,, =t f en A, entonces dada natural K( !e) tal que si n ~ K( i e) entonces !lf,, -f l A ~ K ( ~ e), entonces se concluye que

111111 .11ti't• 1111ijiJ1·1111• 1111 111í11i1·1ti

l­l.

·

e >O

i E.

1 \.

existe un númu10 Por tanto, si m y 11

/fm(x) - J,,(x)I,,;; lf (x) - f(x)I + IJ,,(x) -f(x)I,,;; is+ is= e

l .'i. 1 (1. 17.

111

para toda x E A. Por lo tanto, 1 !,,, ­ J,,llA ~e, para m, n ~ K( i e) := H(c.). ( O existe H( c.) tal que si m , n H(c), entonces l fm ­ f,,llA

00

para

~E

para

EA

se tiene

m ~ H(c).

Por lo tanto, la sucesión(!") converge uniformemente a f en A.

21. 22.

x EA

en (8), por el teorema 3.2.6 se sigue que para toda x

l!,"(x) ­ f(x)f

19. 20.

n ~ H(c).

Se sigue que (..f,,(x)) es una sucesión de Cauchy en R; por lo tanto, por el teorema 3.5.4, es una sucesión convergente. Se define f: A ­­­> R por

f(x) := lím (J,lx))

18.

23. Q.E.D.

24.

Ejercicios de la sección 8.1 l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Demostrar que lím (x/(x".4n)) = O para toda x E R, x ~ O. Demostrar que lím (nx/(1 + n2x2)) = O para toda x E R. Evaluar lím (nx/(l + nx)) para x E R, x ~ O. Evaluar lím (x"/(l + x")) para x E R, x ~ O. Evaluar lím ((sen nx)/(l + nx)) para x E R, x ~ o. Demostrar que lím (Arctan nx) = (n:/2) sgn x para x E R. Evaluar lím (e-nx) para x E R, x ~ O. Demostrar que lím (xe-"x) = O para x E R, x ~ O. Demostrar que lím (x2e-nx) = O y que lím (n2x2e-11x) =o para x E R, x Demostrar que lím ((cos n:x)2n) existe para toda x E R. ¿Cuál es el valor del límite?

~o.

11. Demostrar que si a> O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 1 es uniforme en el intervalo [O, a], pero que no es uniforme en el intervalo [O, ce). ~, 1 "'· ~emostrar .que si a > º: entonces la convergencia de la sucesión del ejerci­ c10 2 es uniforme en el intervalo [a, ce), pero no es uniforme en el intervalo [O, ce).

11/

IMl'l'JI.!~

1 l('l1l O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 5 es uniforme en el intervalo [a, ce), pero no es uniforme en el intervalo [O, ce). Demostrar que si a > O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 6 es uniforme en el.intervalo [a, ce), pero no es uniforme en el intervalo (O, ce). Demostrar que si a> O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 7 es uniforme en el intervalo [a, ce), pero no es uniforme en el intervalo [O, 00). Demostrar que la convergencia de la sucesión del ejercicio 8 es uniforme en [O, ce). Demostrar que la sucesión (x2e-11x) converge uniformemente en [O, =), Demostrar que si a > O, entonces la sucesión (n2x2e-11x) converge uniforme­ mente en el intervalo [a, oo), pero no converge uniformemente en el intervalo [O, ce). Demostrar que si Un), (g,,) convergen uniformemente a f y g, respectivamen­ te, en el conjunto A, entonces(!,,+ g11) converge uniformemente a f +gen A. Demostrar que si f,,(x) := x + 1/n y f(?:) := x para x E R, entonces(!,,) conver­ ge uniformemente a f en R, pero la sucesión (f,,2) no converge uniformemen­ te en R. (Por tanto, el producto de sucesiones de funciones uniformemente convergentes puede. no ser uniformemente convergente.) Sean(!), (g,,) sucesiones de funciones acotadas en A que convergen unifor­ memente a f, g, respectivamente, en A. Demostrar que (f,,gJ converge uni­ formemente a fg en A. Sea (!,,) una sucesión de funciones que converge uniformemente a f en A y que satisface !f,,(x): ~ M para toda n EN y toda x E A. Si ges continua en el intervalo [-M,M], demostrar que la sucesión (g 0 !,,) converge uniformemen­ te a g º f en A.

SECCIÓN 8.2 Intercambio de límites Con frecuencia es conveniente saber si el límite de una sucesión de funciones es una función continua, una función derivable o una función integrable. Desafor­ tunadamente, no siempre sucede que el límite de una sucesión de funciones tenga estas útiles propiedades. 8.2.1 Ejemplo. a) Sea g,,(x) := x11 para x E [O, l] y n EN. Entonces, como se observó en el ejemplo 8.1.2 b), la sucesión (g11) converge puntualmente a la función

~X<

g(x) :=O

para

Ü

:= l

para

X=

l.

1,

318

SlJC 'HSIONl\S

ll'/'1'101! '/\tvlllll l 1111

1)11, l,'l IN< 'l!JNHS

Aun cuando todas las funciones g11 son continuas en x = 1, la J'1111d(rn 111111k1: oo 1111 continua en x = l. Recuérdese que en el ejemplo 8.1 .6 b) se dcn1osld1 qn(' ('i41ir sucesión no converge uniformemente a gen [O, 1 ]. b) Todas las funciones gJx) = xn del ejercicio a) tienen derivadas co11ti11u1111 en [O, 1 ]. Sin embargo, la función límite g no tiene derivada en x = 1, ya que 110 continua en este punto. e) Sea que J;,: [O, 1] ~ R esté definida para n ~ 2 por

1 IMl'l'I·~:

d) ()1d O tal que si x e < í5 y x E A, entonces lfH(x) ­ JH (e) < ~e. (Ver la figura 8.2.2.) Por lo tanto, si x- e < 8y x E A, entonces se tiene f(x)-f(c) O es un valor cualesquiera, con esto se establece la continuidad de f en el punto arbitrario e E A. Q.E.D.

11~ uu« '/\Mlllll

:.J20 (x. f,, (...:))

1111

1

l.!i

fMI l'l·,q

St:;111 u ·, b los puntos terminales ele./ y sea x EJ cierto valor. N, se iiplirn el teorema del valor medio 6.2.4 a la diferencia j , -J;, en el 11111·1 vnlo con puntos terminales x0, x. Se concluye que existe un punto y (que de­ ¡irndt: de m, n) tal que

Ot•11ao. O es un valor cualesquiera, ¡1111 1•1 criterio de Riemann se sigue que fes integrable en].

o.u.n,

b

=i

1h111d1·

Puesto . que

f f(x)

ie + ie

ff

Como if(x)- /K(x)f ""· t:/4(b- a) para toda x EJ, se sigue que si los supremos de f y !K e~ [xj-1' ­'jJ se de?otan por M/f) y M(!K), entonces M(f) """M.( +') 4( - a). (l.Por que?) Se tiene por lo tanto J J J J K + E/ b

8.2.5 · Teorema de convergencia acotada. Sea Un) una sucesión de [uncioque son integrables en [a, b] y suponer que (!11) converge a una función lutcgrable f en [a, b]. Suponer asimismo que existe B > O tal que if11(x)I """B para tuda x E [a, b], n EN. Entonces la igualdad(*) se cumple.

111 ·.1·

Ejercicios de !a sección 8.2 l. Probar que la sucesión ((x" /(1 + x11)) no converge uniformemente en [O, 2]

probando que la función límite no es continua en [O, 2]. 2. Demostrar que la sucesión del ejemplo 8.2.1 e) es un caso de una sucesión de

3. · 4.

funciones continuas que converge de manera no uniforme a un límite con­ tinuo. Construir una sucesión de funciones en [O, 1] que sean discontinuas en todo punto de [O, 1] y que converja uniformemente a una función que sea continua en todo punto. Suponer que (!") es una sucesión de funciones continuas en un intervalo I que converge uniformemente a una función f en/. Si (x I converge a x0 E /,demostrar que lím (f,,(x,,)) = f(x0). Seaf: R--> Runa función uniformemente continua en R y seaf,,(x) := f(x + l/n) para x E R. Demostrar que (! converge uniformemente af en R. Seaf,,(x) := 1/(1 + x)" para x E [O, 1 ]. Encontrar el límite puntual f de la suce­ sión(!,,) en [O, l]. ¿La sucesión (f,,) converge uniformemente a f en [O, 1]? 11)

De manera similar se infiere que

5.

11)

6.

(:

~\11( 'l•.:H1 INI .:~ 111\ 1111­11

.11'1

'11ll11

•,

l 1\'l t lll lt 111111~'1•\l'lll\11•.N<

u;,) converge uuilcu llH'llll'lliL' il j l'll rl t'tlll¡illli11 suponer que todas las[,, están acoladas en A. (Es decir, pí1ra lt1d:i 111·x1•.11 11111 constante Mn tal que lf,,(x)!,;;; Mil para toda x E A.) Demos: rar q11" 111 l 11111 11111 f está acotada en A. 8. SeaJ,,(x) := 11,./(l + nx2) para x E A :=[O, oo). Demostrar que !odas l:i.~ ( 111,11111 acotadas en A, pero que el límite puntual f de la sucesión no csul aL·nt "11d11 1 11 A. ¿La sucesión (fil) converge uniformemente af en A? 9. Sea J;,(x) := x"]» para x E [O, l]. Demostrar que la sucesión (f) de l1111ci11111 derivables converge uniformemente a una función derivable lO, 1 I y 11111 la sucesión U;;) converge en [O, 1] a una función g, pero que g(l) =t- /'( 1 ). 10. Sea gll(x) := c11x¡n para x;;:,, O, n EN. Considérese la relación entre l í111 ( 4111 1• J \ lím (g,;). 11. Sea l := [a, b] y sea U;,) una sucesión de funciones en I-+ R que converge 11 / en l. Supóngase que tocias las derivadas t; son continuas en I y que la s111 1 sión (!,;)converge uniformemente a gen l. Demostrar que 7. Suponer que la sucesión

J~n

f(x) - f(a) =

f g(t)

• ,¡1 ulu o se dio por sentada 1·•,11' 1, ,11111111111 l11s cjcruplus. Si111.:mbargo,

1i1 ,.

l111·.o1rít111ica.

La función exponencial Se empieza estableciendo al resultado clave de la existencia de la función 1

x 1 iuncncial.

dt

8.3.:J. Teorema. Existe una función E: R-> R tal que:

=

i E'(x) E(x) para toda x ii E(O) = l.

J/

12. Demostrar que lím e··llx2 dx = O. 13. Si a > O, demostrar que

f

7T

¿Qué ocurre si a = O? 14. Sea J;,(x) := nx/(l + n..) para x

R.

E

Demostración. Se define por inducción una sucesión (E11) de funciones conti­

sen nr

--dx

a

con estas funciones para po~er

es necesario colocar estas importantes fun~io­

11

= g(x) para tocia x E l.

lím

l;i l'arniliariJad

1~··

ttvllt 'A

l);i~es firmes en algún sitio a fin de establecer su existencia y determmar básicas. Esto se hará aquí. Es posible adopt~r otros enf?ques _Pªra 11., 1,111picd;1dcs •. •. este objetivo. Se procederá aquí demostrando primero la ex1ste,n~ia de 11111 1•1 11¡r l'uución qut: es la derivada de sí misma. A partir de este resultado ba~1co se 111111 algunas de las propiedades principales. de la función e~ponencial. ~n 111,111·11c11 ¡•,i1ida se presenta la función logarítmica como la inversa del~ función exponen~1,al 11 \',·.ta relación inversa se usa para deducir algunas de las propiedades de la función

111 ., ••

ll

y que f'(x)

'l/\l Y 1 tlli/\ttl

nx

1111as

=O.

de la siguiente manera: E1(x)

( 1)

1 ]. Demostrar que (!,,) converge de ma nera no uniforme a una función integrable f y que E [O,

j1J(x) dx = lím j1fn(x) dx. o o 15. Sea g,,(x) := nx(l -x)" para x E [O, l], n EN. Discutir Ja convergencia de (g) fl 11 y(10g11dx). 16. Sea {r., r2, ... , r11} una enumeración de los números racionales eti l :« (O, 1] y sea que• J,,: I-> R esté definida como 1 si x = r1, ..• , r11 y como O en caso contrario. Demostrar .que!,, es Riemann integrable para toda 11 EN, que (x)

SECCIÓN 8.3 Las funciones exponencial y logarítmica E~ esta sección se presentarán las funciones exponencial y logarítmica y se deducirán algunas de sus propiedades más importantes. En las secciones anterio­

:=

1

1

+ x,

+ J:En(t) dt,

para toda n EN, x E R. Evidentemente, E1 es continua en R y, ~or tanto, es integrable en cualquier intervalo acotado. Si se ha definido En y es contJ~u~ en R, ~n.tonces es integrable en cualquier intervalo acotado, de donde E11 + 1 esta bien definida por la íórmula anterior. Además, por el teorema fundamental del cálculo 7.3.3 se sigue es derivable en cualquier punto x E R Y que que E 11+1

E'

(3)

n+ 1

(x) =E n (x)

para n EN.

Por un razonamiento de inducción (el cual se le deja al lector) se demuestra que

t.

~ f2(x) ~ · · · ~ J,,(x) ~ · · · y que f(x) := Jím (J,,(x)) es la función de Dirichlet, que no es Riemann integrable en [O, 1].

En+l(x)

( 2)

:=

( 4)

En( X)

x

=

l

Sea A > O dada; entonces si

(5)

x2

x"

+ ­l! + ­2! + " ' + ­n! 1

xi

~A y m

para

> n > 2A, se tiene

x ER.

SU< 'HSIONl\S

326

1

l>H 111 IN( 'H lNPr,

M•

1111N(

l'.Xl'UNl\N(

'IAI.

.1.n

Y l .OOAIÜl'Mll'A

lkmostrnd(m. Sean E y E2 dos funciones de R aR que satisfacen las propie­

" es un valor cuales · E · · .. particular que (E (x)) co d quiera. sto signiñcn 111 " nverge para to ax E R. Se define E: R-+ R por E(x) := lím E"(x)

'H)NJi.S

para

x

E R.

Puesto que toda x E R está contenida en algún interval [ 8.2.2 se sigue que E es continua e Ad , o ~A 'A], por el teo1·1•11111 E (O) n x. emas, resulta evidente por (1) (Z) " = 1 para toda n EN. Por lo tanto, E(O) = 1 con lo y . . q111 En cualquier intervalo [-A, A] se tiene 1 ' q~e se ?~muestra u. sión (E ) C b l ., a convergencia uniforme de la s111•c n · on ase en a relación (3) tamb ·, · de la sucesión (E" de las derivad p' 1 ien se tiene la convergencia uniforuu ,.J as. or o tanto por el teor 823 . ema . . se sigue q111 1 a función límite E es derivable en [­ A. , A] y que,

F(O)

= E1(0)­Ei(O) = 1­1

=O.

I · ·· cv idente (por inducción) que F tiene derivadas de todos los órdenes

y, de hecho,

rO tal que IF(t)I::;; K para toda t • /x. Si se aplica el teorema de Taylor 6.4.1 a F en el intervalo Ix y se usa el hecho de que p(k)(O) = F(O) = O para toda k EN, se sigue que para toda n EN existe un

q11r

p11nto en

E

F(x)

IX tal que =

F(O)

F'(O)

+ ­ 1­x + l.

E'(x) = lím (E,;(x) = lím(E,, _ 1(x)) = E(x)

para toda xi.E (­A, A]. Puesto que A > O es un valor cualesquiera, . , ,.¡ enunciado se establ~cc Q.l!.11

8.3.2 E ttene · dertva . das de todos los órdenes y EM(..1') = E(x) paraCorolario. toda n ENLa fu.nción R ,xE

.

. . Si n ­- 1 , el enuncia Demostración · d o se reduce a la propiedad . S . fi para n E N por mducción. z. e mQ.E.D, ere

Se tiene por lo tanto

Klxln

IF(x)I ~ ­1­ n.

para toda

n

E

N.

Pero como lím (lx[n /n!) =O, se concluye que F(x) =O. Puesto que x E Res un valor cualesquiera, se infiere que E1(x) ­E2(x) = F(x) =O para toda x E R. Q.E.D. La terminología y notación comunes de la función E (cuya existencia y unicidad se ha establecido ya) se ofrece en la siguiente definición.

8.3.3 Corolario. Si x

> O, entonces 1 + x < E(x).

tonc~el~;~~:~~!~º· A partir de l~ expresión ( 4) resulta evidente que si x > O en­ (E/x)) es estrictamente creciente. Por tanto E (x) o. • 1 xQ.E.D. pa­ Se demuestra a continuación que la f ., . . en el teorema 8.3.1, es en realidad única. uncion E, cuya existencia se estableció 8.3.4 Teorema. La funciónE· R ­+ R u . ,f. . teorema 8.3.l es única. . q e satisface las propiedades i y ii del

8.3.5 Definición. A la función única E: R-+ R tal que E'(x) = E(x) para toda x E R y E(O) = 1 se le llama la fondón exponencñal. Al número e = E(l) se Je · llama el número de Euler. Con frecuencia se escribirá para x ER. ex:= E(x) o exp(x) := E(x) El número e se puede obtener como un límite, y en consecuencia, es posible aproxi­ marlo de varias maneras. (Ver los ejercicios 8.3.1 y 8.3.10 y el ejemplo 3.3.5.]

El uso de la notación ex para E(x) se justifica por la propiedad v del teorema siguiente, donde se establece que si r es un número racional, entonces E(r) y er coinciden. (Los exponentes racionales se analizaron en la sección 5.5.) Por tanto,

l ,\', l llN('l()Nl·:s

la función E se puede considerar como una ampliacíóu de l¡1 itk O y x E R arbitraria, ver la definición 8.3.10.

11111

1 li• 11

8.3.6 Teorema. La función exponencial satisface las siguientespropirda.lv« iii E(x) O para toda x E R; iv E(x +y) == E(x) E(y) para toda x, y E R; v E(r) == er para toda r E Q.

*

Demostración. iii Sea a E R tal que E( a)=: O, y seaJ a el intervalo cerrado v1111 . puntos terminales O, a. Sea K ~ IE (t)[ para toda r El a· Al aplicar el teorema th Taylor 6.4. J, se concluye que para toda n EN existe un punto e E J tal que 11

1

=

E(O)

=

E(a)

E'(a)

E< 1l(a)

ll

(n­1)!

11­

+ ­­(­a)+ · · · + E O}. Además se tiene vi lím E(x) = O y líTl} E(x) = w. x-+-cc

­oo

G'(x) para toda x

E

E'(x +y)

E(y)

E( x + y) E(y)

==

G( X)

R, y

Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio 5.3.6, toda y nece al codominio de E.

ER

con y> O perte­ Q.E.D.

La función Iogarítmíca G(O) = E(O +y)

E(y)

=

l

.

De la unicidad de E, demostrada en el teorema 8.3.4, se sigue que G(x) = E(x) para toda x E R. Por tanto, E(x +y)= E(x) E(y) para toda x E R. Puesto que y E Res un valor cualesquiera, se obtiene iv.

Se ha visto que la función exponencial E es una función derivable estricta­ mente creciente con dominio R y codominio {y E R: y> O}. (Ver la figura 8.3.1.) Se infiere que R tiene una función inversa. 8.3.8 Definición. A la función inversa de E: R-> R se le llama el logaritmo (o el logaritmo natural). Se denotará por L o por log. (Ver la figura 8.3.2.)

330

SUCESIONLS

3:31

1 ¡\~¡ l•l lNl 'ION l'.S 1 \X l'ONl',N( 'IAI. Y 1.00/\lO} y codominio R. La derivada de L está dada por vii L'(x) = l/x para x > O. /·.'/ logaritmo satisface la ecuación [uncional viii L(xy) = L(x) + L(y) para x >O, y> O. ,. .,·,.tiene además ix L(l) =O y L(e): l. x L(x') = rL(x) para x > O, r E Q. xi lím L(x) = ­oo y lím L(x) = oc, x~o+

Demostracíén. El hecho de que Les estrictamente creciente con dominio {x > O} y codominio R se sigue de que E es estrictamente creciente con domi­ nio R y codominio {y E R: y > O}. vii Puesto queE'(x) = E(x) >O, por el teorema 6.1.9 se sigue queL es derivable en (O, oo) y que E

FIGURA 8.3.1 Gráfica de E.

x~x

R: x

I.:(x)

l

l

1

E' o L(x)

E o L( x)

X

para

x

E (O,

oo).

vm Si x >O, y> O, sean u·"" L(x) y v := L(y). Se tiene entonces x =E (u) y y Por la propiedad iv del teorema 8.3.6 se sigue que

= E(v).

xy = E(u)E(v) = E(u

+ v),

de modo queL(xy) = L E(u + v) =u+ v = L(x) + L(y). Con esto se establece viii. Las propiedades de ix se siguen de las relaciones_§(O)­=­Yy E(l) =e. x Este resultado se sigue por viii y por índuccíó» matemática para n E N, y se generaliza para r E Q aplicando razonamientos similares a los empleados en la demostración de 8.3.6 v. Para establecer la propiedad xi se observa en primer término que como 2 < e, entonces lím (en) = oo y lím (e­11) =O. Puesto que L(e") = -n y L (e­11) = -n, del hecho de que L es estrictamente creciente se sigue que 0

FIGURA 8.3.2 Gráfica de L.

Puesto que E y L son funciones inversas, se tiene

lim L(x)

x~oo

L E(x) = x

para toda

0

=

lím L(en)

=

oo

lím L(x)

y X

­>O+

=

lím L(e-") = ­oo,

x ER Q.E.D.

y E0L(y)=y

paratoda

yER,y>O.

Estas fórmulas también se pueden escribir en la forma log ex= x,

elogy

=y.

Funciones de potencias En la definición 5.5.6 se analizó la función potencia x ~ x', x >O, donde res un número racional. Mediante las funciones exponencial y logarítmica es posible generalizar la noción de funciones de potencias de potencias racionales a poten­ cias reales cualesquiera.

¡

1111 ll (l 1~1¡1•11111111J)11

11! 'IAI ) 1 ( Jt li\1111

11!

l'vll! 1\

sun:sroN 11.s 111·. l•'l IN< ·11111tt11

332

8.3.JlO Definición. Si a E R y x >O, el número

x" ==

e"logx

.x" se

(ki'i11c

1 ,ji r1rnd1111 log{/

cu11111

( '111111do

11

•

O,

11

J 1, c11 ocasiones es conveniente definir Ja función logª.

= E(aL(x)). H.J. l ..J Dcfinicíón. Sea a

A la función x H xª para x >O se le llama la función potencia con cxponcuu­

11

Nota. Si x >O y a= m/n, donde m E Z, n EN, entonces en la sección 5.5 se dcl'inlu 1" := (x"') 1111• Se tiene por tanto log x" = a log x, de donde se sigue que x" = elog x" = e'il"''· 1, f 111 consecuencia, la definición 8.3.10 es consecuente con la definición dada en la sección ~1,'1

Se establecen a continuación algunas propiedades de las funciones ele poten cías. Sus demostraciones son consecuencias inmediatas de las propiedades de 11111 funciones exponencial y logarítmica y se dejarán al lector. ER

b)x">O; d) (x/y)ª = xª /y".

a

E R.

> l.

Entonces la función x ,_, x" de (O, oo) a R es

continua y derivable, y para

x E (O,

oc'[,

= DeªIogr =

para toda x E (O, oo).

x" ·

a X

= eªlogx. =

para

log a

x

E (O,

oo).

Para x E (O, oo), al número logª(x) se le llama el logaritmo de x base a. El caso produce la función logaritmo (o logaritmo natural) de la definición 8.3.8. El , 11:;11 11 = 10 da lugar a la función logaritmo base 10 (o logaritmo común) log.¿ de 11·1\l trccuente en la realización de cálculos. Las propiedades de las funciones logª ~.1· presentarán en los ejercicios.

Demostrar que si x > O y si n > 2x, entonces

Usar esta fórmula para demostrar que 2 ~ O, a

.. +2­)n! O para k = 1, ... , n y sea A := (a1 +···+a )In la media aritmética do dichos números. Para cada k, incorporar xk :=a 1 en la desigualdad 1 1 x ~ ex (v~lida para x ~ O). Multiplicar los térm~nos resultantes para demos· trar la desigualdad de la media aritmética­geométrica

/A~

8.4.:1. Teorema. Existen las funciones C: R ~ R y S: R ~ R tales que i C"(x) = ­C(x) y S"(x) = -S(x) para toda x E R; ii C(O) = 1, C'(O) = O y S(O) = O, S'(O) = I.:

(*) Demostrar asimismo que la desigualdad en (*)se cumple si y sólo si a1 = a2 = ...

= ª·11· 10. Evaluar L'(l) utilizando la sucesión (1+1/n) y el hecho de que e= lím ((1 + l/n)n). 11. Establecer las afirmaciones del teorema 8.3.11. 12. Establecer las afirmaciones del teorema 8.3.12. 13. a) Demostrar que si a> O, entonces la función x t->Xª es estrictamente cre­ ciente de (O, ex:) a R y que lím xª =O y lím xª =ex:. x-+O+

x-+cc

b) Demostrar que si a < O, entonces la función x r­> x" es estrictamente de­ creciente de (O, ex:) a R y que lím xª ca co y lím x" =O. x-+O+

x-x

14. Demostrar que si a> O, a* 1, entonces a1°gax = x para todax

E (O, ex:) y log ~aY) =y para toda y E R. Por lo tanto, la función x --. logª x de (O, ex:) a Res inversa de la función y ,..... aY en R. · 15. Si a > O, a 1, demostrar que la función x t­> logª x es derivable en (O, x) y que D logª x = 1/(x log a) para x E (O, x). 16. Si a> O, a l, y x y y pertenecen a (O, oc), demostrar que ]og (xy) = log x + logaY· a a 17. Si a> O, a » 1, y b >O, b 1, demostrar que

I;

*

*

*

logª r

=

log b ­­ logh x log a

Demostración. Se definen de manera inductiva las sucesiones (C y (S) de funciones continuas de la siguiente manera: 11)

(1)

C1(x) := 1,

(2)

S11(x)

x

E

C,,+1(x)

(3)

:=

1 ­

{s,,(t) dt, ()

para toda n EN, x E R. Se observa por inducción que las funciones C11 y S,, son continuas en R y, por tanto, que son integrables en cualquier intervalo acotado; en consecuencia, estas funciones están bien definidas por las fórmulas anteriores. Además, por el teore­ ma fundamental 7.3.3 se sigue que sil y en+ 1 son derivables en todo punto y que (4)

s;,(x)=C (x)

para

y

11

­

2!

+

2n

X~

4!

+(­l)

"

X

(2n)!' x2.n+ l

En particular, probar que Iog10 x = (Iog e/log lO)log x = (log

X E

(0, =),

.

e)log x para JO

n EN, x ER.

Por razonamientos de inducción matemática (que se dejan al lector) se de­ muestra que 1­

(O,oo).

{c,,(t)dt, ()

X2

para

:=

S1(x) :=x,

(

+ ­

1)"­­­ (2n + 1) !

1 1\ ', 1•1 IN< '!ONl'.S 'l'ltlOONOMl\'11{1(

Sea A> O dada. Entonces si



X

IC (x) ­ C,,(x)I

211

x¿,o

11

= ­­­ ­ 1 (2n)!

111

(

(2n)!

A2" 2A, por (2) se sigue que

n

e (O) "

= J para toda

o

Si se usa (5) y el corolario 7.2.6 a), se concluye que

s

"

¡\2n (x)I ~ --

(2n)!

(

para

x E R.

C'(x) = lím c,;(x) = lím (­S,, ­ 1 (x)) = -S(x)

Puesto que A >O es un valor cualesquiera, se tiene para

para toda

x E R.

l'or (6) y (7)

C:"(x)

=

­(S(x))'

=

­C(x)

y

S"(x)

x ER.

para

X E

(C(x))'

=

l'or

=

­S(O) =O,

=

-S(x)

S'(O) = C(O) = l.

tanto, los enunciados i y ii están demostrados.

Q.E.D.

8.4.2 Corolario. Si C, S son las funciones del teorema 8.4.1, entonces iii C'(x) = ­S(x) y S'(x) = C(x) para x E R. Además, estas funciones tienen derivadas de todos los órdenes. Demostración. Las fórmulas iii se establecieron en (6) y (7). La existencia de las derivadas de orden superior se deduce por inducción matemática. o.r.n,

[-A, A J.

R, de donde

E

+ 2S(x)(C(x)) =O

Se deduce por tanto, que f (x) es una constante para toda x +O= 1, se concluye que f(x) = 1 para toda x E R.

. , Puesto que c,;(x) = ­S,, _ 1 (x) paran > 1, por lo anterior se sigue que la suce­ sion (C,;) co~~erg_e uniformemente en [-A, A]. En consecuencia, por el teorema 8.2.3, la función limite Ces derivable en [-A, A] y

C'(x) = -S(x)

= C(x)

f'(x) = 2C(x)(­S(x))

16 ) -A 15 '

Por el teorema 8.2.2 se sigue que Ses continua en R y, comos (O)= o para toda n 11 EN, que S(O) = 0.

(6)

S'(x)

(/)

Demostración. Seaf(x) := (C(x))2 + (S(x))2 para x

~e donde se sigue que la sucesión (S11) converge uniformemente en [-A, A]. Se de­ fine S: R -> R por S(x) := lírn S,,(x)

similur, basado en el hecho de que s,;(x) = C,lx), se demuestra en R y que

8.4.3 Corolario.Las funciones S y C satisfacen la identidad de Pitágoras iv (C(x))2 + (S(x))2 = 1 para x E R.

S,,.(x) - S,.(x) = ['{C,,,(t) - Cn(t)} dt.

ISm(x) -

Ses derivable

C'(O)

11

:= lírn

1azo11a111il'lllo

11 /

para tocia x E R. Además se tiene

2"/(2n)!) Como lím (A =O, la sucesión (C,,) converge uniformemente en el interva lo [-A,A], donde A> O es un valor cualesquiera. Esto significa en particular que (C (x)) converge para toda x E R. Se define C: R-> R por

C(x)

1111 •111t·

'AS

E

para

x

E

R.

R. Pero como f(O) = 1 Q.E.D.

En seguida se establece la unicidad de las funciones C y S. 8.4.4 Teorema. Las funciones C y S que satisfacen las propiedades i y ii del teorema 8.4.l son únicas. Demostración. Sean C1 y C2 dos funciones de R a R que satisfacen Cj'(x) = ­C(x) para toda x E R y C(O) = 1, C'.(O) =O paraj = 1, 2. Si se hace D := C 1 ­ C2, enionces D "(x) = ­ D(x) Jara x E R ~ D(O) = O y D(k)(O) = O para toda k EN. Sea ahora x E R un valor cualesquiera, y sea lx el intervalo con puntos termi­ nales O, X. Puesto que D = C¡ ­ c2 y T := S¡ - s2 =e; ­ e; son continuas en IX, existe K > O tal que iD(t)I :s;; K y 1 T(t) ~ K para toda t E lx. Al aplicar el teorema de Taylor 6.4.1 a Den lx y se usa el hecho de que D(O) =O, D(kl(O) =O para k EN, se deduce que para toda n EN existe un punto c,, E lx tal que

Sil< 'tl,Slt>Nl(S 1H~1·111'1(

JJ8

D(x)

=

D'(O)

+ --x

D(O)

_ v< >( e,,) n!

DO existe un número natural M( t:) tal que si m > n :;;: M( t:), entonces

La noción de convergencia absoluta con frecuencia resulta de gran importan­ cia al considerar series, como se demostrará más adelante. Demostración. Este resultado se obtiene directamente del teorema 3.2.3 y la definición 9. l. l. Q.E.D.

9.:t6 Definición. Sea X:= (xn) una sucesión en R. Se dice que la seri~ L(x,,) es absolutamente convergente si la serie¿ ( [x11[) es convergente en R. Se dice que

'.146

Jtl 1

SF!{li ',S INl,'INl'l'l\~l

una serie es condicionalmente convergente si es C:(lJJVl!l'¡•,e111c pt!ro 110 111l:iol11111 mente convergente. Se hace hincapié en que, para series cuyos elementos son números ru11lu111111 negativos, no hay diferencia entre la convergencia común y la convergencia ni l/111 !uta. Sin embargo, para otras series puede existir una diferencia. (Por ejemplo, 111ílt1 adelante se demostrará que la serie 1:(1/n) diverge, en tanto que la serie :k(­ J)''/11 converge.) 9.:n.. 7 Teorema. Si una serie en R es absolutamente convergente, entonces

1, rni\>lll'cs l 11" •· 1 I ­>O por lo que el criterio de Cauchy indica que la serie 1',l'1)111t51ricll (2) converge si y sólo si lal < l. Al hacer n =O en (3) y pasar al límite ,·011 respecto a m, se encuentra que (2) converge al límite a/(1­ a) cuando al < l. b) Considérese la serie armónica 1:(1/n), la cual es bien sabido que diverge. l'ucsto que lím (1/n) = O, no se puede aplicar el lema 9.1.3 para establecer esta divergencia. En su lugar se usará un razonamiento como el del ejemplo 3.3.3 b) y se demostrará que una subsucesión de las sumas parciales no está acotada. De hecho, si k1 = 2, entonces Si 1111 ·

1

1'\'

1

convergente.

. ­ ­1 +

~k¡ -

Demostracíón, Por hipótesis, la serie 1: ( lx111) converge. Por lo tanto, del cu rácter necesario del criterio de Cauchy 9.1.5 se sigue que dada e > O, hay llíl número natural M(e) tal que si m > n ~ M(e), entonces

y si k2 = 22, entonces

s1c2 = :_ + ~ + l

De acuerdo con la desigualdad del triángulo, el primer miembro de esta relación dominante con respecto a lxn+I

+

Xn+2

+ ···

(l~

9.]..8 Ejemplos. a) Se considera la sucesión real X:= (a"), la cual genera la sede geométrica: a+

a2

+ ...

+an

an+I

+ an+2 + , , . +c'"

+ ~ = 4

sk

1

+ ~+ ~ > 3

4

sk

1

+ 2( !_) = 4

l

+ _:. 2

Por lo tanto, la subsucesión (sk,.) no está acotada y por el teorema 9.1.4 se sigue que la serie armónica no converge. e) Se considera ahora la serie p 1:(1/nP), donde O < p ~ 1 , y se usa la des­ igualdad elemental nP ~ n, paran EN. De esta última se sigue que si O < p ~ 1, entonces

1

an+I _ arn+l = ­­­­­­

l ­ a

como se puede comprobar al multiplicar ambos miembros por 1 ­ a y observar el "efecto de telescopio" en el primer miembro. Por tanto las sumas parciales satisfa­ cen

[s., ­

3

Por inducción matemática se establece que si k, = 2r, entonces

+ ....

Una condición necesaria para la convergencia es que lím (a")= O, lo cual requiere que [al< l. Si m > n, entonces

(3)

2

1

+x,J

Se aplica el carácter suficiente del criterio de Cauchy para concluir que la serio k (x") debe converger. Q.E.D.

(2)

1 2,

lan+ll + lam+ll snl = lan+l + ... +ami, ¡; .­­­­­­

11 ­

al

m

> n.

l

para

n EN.

Puesto que las sumas parciales de la serie armónica no están acotadas, esta des­ igualdad demuestra que las sumas parciales de I:(ljnP) no e.tán acotadas para O< p ~ 1. Por tanto, la serie diverge para estos valores de p. d) Considérese la serie p para p > 1. Puesto que las sumas parciales son mo­ nótonas, esta es condición suficiente para demostrar que alguna subsucesión se mantiene acotada a fin de establecer la convergencia de la serie. Si k; = 21 ­1 = 1, entonces sk1 = 1. Si k2 = 22 ­ 1 = 3, se tiene

sk

2

= ~1 + ( 2_ + 2P

2_) 3P

< 1+~ = 1 + ­1­ 2P 2p-l'

348

s1:Rll\S

y si k3

s

k,

INl O, sea N tal que si q, n > N y s11 := x1 + · · · + x,,, entonces

Se sigue que la sucesión (sn) converge a l.

11)

Reordenamientos de series

q

Hablando en términos generales, una reordenación de una serie es otra serie que se obtiene a partir de la serie dada utilizando todos los términos exactamente una vez, pero cambiando el orden en que se toman los términos. Por ejemplo, la serie armónica

1

l

1

l

+ + + ... +­ + 1 2 3 n

L

+ 2

1 1

+

tiene it

im

­ s

1 1

q

n

1

~

lt l 4

1

1

+­+

+ 3 + l

+ 2 +

1

­

4

+

1 ­

3

2n 1

+ 5 +

1

+ 2n - 1 1 7

+ ...

y

Ahora bien, sea M E Ntal que todos los términos xi' ... , xN están contenidos como sumandos en t.M :=y 1 + · · · + yM. Se sigue que si m ~ M, entonces tm - s11 consta de una suma finita de términos xk con índice k > N; por tanto, para alguna q > N se

tiene los reordenamientos

1

lxkl O y si lím (n.2a,,) existe, demostrar que L (a,,) es convergente. 18. Sea O< a. Demostrar que la serie 2: (1/(1 +a")) es divergente si O 1.

n

­

Vn )

?

20. Si 2: (x11) es absolutamente convergente, demostrar que cualquier reordenación 2:(y11) también es absolutamente convergente.

te siempre? Si a,, ~ O, entonces ¿se cumple que L( ,fa") es convergente siempre?

L

l

y,¡

'1 /\ /\ll~OLl l'I'/\

15.

7. Si 1: (a,,) es una serie convergente, entonces ¿la serie L(a,~) es convergen­

que

2..:

'N<

Demostrar que si e> 1, las series siguientes son convergentes: a)

l

L:­­­­­

b)

l')

'IU'l I· 1( 1t 1:: 1 JI ( < '01\1Vll.lll11

SECCIÓN 9.2 Criterios de convergencia absoluta En la sección anterior se obtuvieron algunos resultados relativos al manejo de series infinitas, en especial en el importante caso en que las series son absoluta­ mente convergentes. Sin embargo, excepto por el criterio de Cauchy y el hecho de que Jos términos de una serie convergente convergen a cero, no se establecieron condiciones necesarias o suficientes para la convergencia de series infinitas. Se presentarán a continuación algunos resultados que se pueden usar para establecer la convergencia o divergencia de series infinitas. En vista de su importancia, en esta sección se prestará especial atención a la convergencia absoluta. El primer criterio señala que si los términos de una serie real no negativa están dominados por los términos correspondientes de una serie convergente, entonces la primera serie es convergente. Proporciona un criterio de convergencia absoluta que el lector deberá formular.

9.2.1 Criterio de comparación. Sean X:= (x,) y Y:= (y,,) suceciones reales y suponer que para algún número natural K, (1)

para

n ~K.

Entonces la convergencia de '2:. (y,,) indica la convergencia de L(x11) y la divergencia de L(x,) indica la divergencia de L(y11).

352

Sl\RllJS

Demostración.

Si m

1 H111 Hli H' 1ll'1

INl'INJ'l'All

> n ~ sup {K, M(c)}, entonces

+ ... +xm ~

Yn+I

+ ... +v.;

lllN< 'IA i\J1:H JI t 1'1'1\

\'i.(

Dl Ul01>lrndún. a) Si se cumple (3), entonces se tiene lxJ ~ r'' paran ~ K. O ­.; r < 1, la serie 1:(r") es convergente, como se vio en el ejemplo 9.1.8 a). sigue, por tanto, por el criterio ele comparación que I (x11) es absolutamente 0

l111í Xn+ l

'0NVl'll<

,':1·

J

> K.

Si se aplica dos veces el criterio de comparación 9 .2.1, se obtiene la afirmación del inciso a). La demostración del inciso b) es similar y se omitirá. Q.E.D.

Criterios de Ja raíz y del cociente Se presenta a continuación un importante criterio debido a Cauchy.

9.2.3 Criterio de la raíz. a) Si X := (x11 ) es una sucesión en R y existe un , numero positivo r < 1 y un número natural K tales que

(.3)

1

x,. 1

1/n

I X " 11/n

siempre que este límite exista. Entonces L (x11) es absolutamente convergente cuando r < 1 y es divergente cuando r > I.: Demostración. Se sigue que si el límite de (5) existe y es menor que 1, enton­ ces existe un número real r l con r < r 1 < 1 y un número natural K tales que lx,,¡1111 es= r1 paran ~ K. En este caso la serie es absolutamente convergente. Si este límite es mayor que 1, entonces existe un número natural K tal que lx,,11/11 > 1 paran ~ K, en cuyo caso la serie es divergente. Q.E.D. Nota. Cuando r = 1 no hay conclusión; es posible la convergencia o la diver­ gencia, como el lector deberá demostrar. El criterio siguiente se debe a D' Alembert.

9.2.5 Criterio de! cociente. a) Si X:= (x") es una sucesión de elementos de R diferentes de cero y existe un número positivo r < 1 y un número natural K tales que

(6) .;:;; r

para

n

>:

-s-:

entonces la serie I (x11) es divergente.

1

para

.;:;; r

para

n

>

K,

> K,

entonces la serie I(x,,) es absolutamente convergente. b) Si existe un número natural K tal que ( 4)

(S)

n ~ K,

entonces la serie I (x,,) es absolutamente convergente. b) Si existe un número natural K tal que

(7) entonces la serie I (x") es divergente.

para

n

>

K,

l

Demostración. a) Si se cumple (6), entonces poi 1111 1a1n1rn111ii.;11lo dl' l11d111 ción elemental se establece que lxK +mi~ r " lxKI para m ­r l. Su sigue que p11n111 K los términos de E (xn) son dominados por un múltiplo fijo de los térrninos d0 111 serie geométrica ~(r") con O ~ r < l. Por el criterio de comparación 9.2. 1 111 infiere que L(x,,) es absolutamente convergente. · b) Si se cumple (7), entonces por un razonamiento de inducción elerneutnl 111 establece que lxK +mi ~ lxKI para m ~ l. Puesto que los términos (x,,) no converp,1111 a O, la serie es divergente. 0.11,p,

lllllllllO:

:=

lím

f(k) K. IJn este caso el teorema 9.2.5 establece la convergencia absoluta de la serie. Sir> J 1 entonces existe un número natural K tal que lx,, + 11/lxnl > 1. paran ~ K, y en esto 11

caso ocurre la divergencia.

lím ({f(t) dt) bien la inexistencia de ambos. Si existen, entonces al sumar la relación (9) para k = n + 1., ... , m , se obtiene que 0

Q.E.D.

Nota. Cuando r = 1 no se puede llegar a una conclusión; es posible la conver­ gencia o la divergencia, como el lector deberá demostrar.

de donde se sigue que

+l n+l

J'n f(t) di e; s

El criterio de la integral

111

-

s,..,,;;

fm . J(t)

dt.

n.

El siguiente criterio de convergencia, de gran potencial, utiliza la noción de la integral impropia que se presentó en la sección 7.4.

Si se toma el límite con respecto a m en esta última desigualdad, se obtiene la desigualdad (8). Q.E.D.

9.2.7 Criterio de la integral. Sea f una función positiva decreciente en {t: t ~ 1 }. Entonces la serie I.(f(n)) converge si y sólo si la integral impropia

Se indicará la manera en que los resultados de los teoremas 9.2.1 al 9.2.7 se pueden aplicar a la serie­p L(l/nP) que se introdujo en el ejemplo 9.1.8 c).

j

1

+oof(t) dt

=

lím n

(J"J(t) ]

dt) n

existe. Cuando ocurre la convergencia, la suma parcial s,, = 00

s=

L k~ 1

(8)

(f(k)) satisfacen la estimación

L k~l

(f (k)) y la suma

9.2.8 Ejemplos. a) Primero se aplica el criterio de comparación. Al saber que la serie armónica r. (1/n) diverge, se ve que si p ~ 1, entonces nr ~ n y, por tanto, 1/n ~ 1./nP. Después de usar el criterio de comparación 9.2.1, se concluye que la serie­p r. (l/nP) diverge para p ~ l. b) Se considera ahora el caso en que p == 2; es decir, la serie r.(1/n2). Se compara la serie con la serie convergente r. (1./n(n + 1)) del ejemplo 9.1.8 e). Pues­ to que la relación

l n( n

+ 1)

<

1 n2

356

Sl\1(11\S

INlllNl'l'A:l

1

se cumple y los términos del primer miembro forrnau u1111 se1 le cunverel·11ll~. 111, 1 ­ posible aplicar directamente el criterio de comparación (¿por qué no?) (1~sil•1(•011 mase podría aplicar si se comparara el n­ésimo término de L: (1/n(n + J )) con ¡•I (il + 1)­ésimo término de L:(l/n2).) En su lugar, se aplica el criterio de comp;11'11dii11 de límites 9.2.2 y se observa que l

n( n

l

+ 1)

n( n + 1)

n

+

l

n2

l

-»

n

1

1

2

Si p > 2, esta expresión converge a O, de donde por el corolario 9.2.2 b) se sigue que la serie L:(l/nP) converge parap ~ 2. Usando el criterio de comparación no es posible obtener ninguna información respecto de la serie­p para 1 < p < 2, a menos que se pueda encontrar una serio cuya naturaleza convergente sea conocida y que se pueda comparar con la serie­p en este codominio. d) Los criterios de la raíz y del cociente se ejemplifican aplicándolos a la serie­p. Obsérvese que

f

¡" 1

l

t

dt

=

~ dt

=

log ( n) ­ lag ( 1),

1

t"

1

--(n1-ri 1 ­ p

-

1)

para

Con base en estas relaciones se ve que la serie­p converge f)

p =I= l.

sip > 1 y que diverge si

~l.

Críterío de Raabe Si los límites lím (lx1111i11) o lím (lx11 + 1\/lx11\) que se usaron en los corolarios 9.2.4 y 9.2.6 son iguales a 1, entonces estos criterios no funcionan y puede tener lugar la convergencia o la divergencia. (Se ha visto ya que esto ocurrió en el ejem­ plo 9.2.8 d) para la serie­p.) En esos casos con frecuencia resulta conveniente usar un criterio más elaborado, debido a Raabe,

9.2.9 Criterio die Raabe. a) Si X:= (x11) es una sucesión de elementos diferentes de cero en R y si existe un número real a > 1 y un número natural K tales que para n;;. K,

entonces la serie L(x11) es absolutamente convergente. b) Si existe un número real a ~ 1 y un número natural K tales que

(ll) por lo que el criterio de la raíz (en la forma del corolario 9.2.4) no da información alguna. Del mismo modo, como

n

1

(10) Se sabe [ver el ejemplo 3.1.11 e)] que la sucesión (n1i") converge a l. Se tiene por tanto

para n ;» K,

entonces la serie L: (x11) es absolutamente convergente. Demostración. a) Si se cumple la desigualdad (1), entonces se tiene

1 (n

+ 1)"

1

n"

l

(1

+

l/n)r>'

.1~ I

('l'uérdcse que

1

Puesto que el límite de este cociente existe y no es igual a O, y como L:(l/n(n + J )) converge, entonces la serie L: (l/n2) también converge. e) Considérese ahora el caso en que p ~ 2. Si se observa que nP ~ n2 para p 2, entonces 1/nP ~ l/n2• Una aplicación directa del criterio de comparación a.q~· gura que L: (1/nP) converge para p ~ 2, ya que L: (1/n2) converge. De otra mancru, se podría aplicar el criterio de comparación de límites y observarse que

ltlr t~i l JI•. ( '! lNVl'l 1 entonces la serie­p es convergente. Sin embargo, si p = Se concluye que Sl p , . ., ¡ el corolario 9.2.10 no da ninguna mformac1on. , . . , b) Se considera ahora la serie L(n/(n2 + 1)). Un sencillo c~lculo ~n~ca .que li ) _ 1 por lo que no es posible aplicar el corolario 9.2. . e tiene 11'.1 \x11 + ifx11 '( (l _ [x )) = 1 por lo que tampoco se puede aplicar el as1m1smo que 1­: im .'l x" + 1 11 ' ¡ >­ (n 1)/n de · 9 2 10 Sin embargo es posible demostrar que x,. + 1 x" ~ - , • coro lano . . · ' · di te (En it . de Raabe 9 2 9 b) se sigue que la sene es rvergen . 1 donde por e en eno · · ·, d este caso también se puede aplicar el criterio de la integral o el de cornparacion e límites con (y ) = (1/n).) , · 9 2 10 d 1 it Aun cua~do es más sencilla la aplicación la forma de límites . . e en e­ rio de Raabe, el ejemplo 9.2.11 b) muestra que la forma 9.2.9 es de mayores alcan­ ces que la 9.2.10.

Ejercidos de la sección 9,2 l. Establecer la convergencia o la divergencia de las series cuyos n­ésimos tér­ minos son:

(13)

¡\llSOJ.ll

a

:=

lím ( n ( 1 ­ ~lxn+ll )) ,

siempre que este límite exista. Entonces la serie L(x11) es absolutamente convergente cuando a > 1 y no es absolutamente convergente cuando a < l. Demostración. Supóngase que existe el límite de (13) y que se satisface a > l. Si a1 es un número cualquiera con a > a1 > 1, entonces existe un número natural K tal que a1 < n(l - lx11+11/lx11I) paran ;;;;: K. Se sigue por lo tanto que lx11 + 11/lx,,/ < 1­: a1/n paran ;;. K, y es posible aplicar el teorema 9.2.9 a). El caso en que a < 1 es similar y se deja como ejercicio para el lector. Q.E.D. Nota. Cuando a == 1 no se puede llegar a ninguna conclusión; es posible la convergencia o la divergencia, como el lector deberá demostrar.

n

1 a)

(n+l)(n+2)'

b) d)

e) 2­1/n,

(n + l)(n + 2)' n/2".

2. Establecer la convergencia o la divergencia de las series cuyos n­ésimos tér­ minos son: a) (n(n

+ 1))­112,

e) n!/n",

b) (n2(n + 1))­112, d) ( ­ l)"n/(n + 1).

3. Analizar la convergencia o la divergencia de las series con término n­ésirno (para n suficientemente grande) dado por a) (log n)­11, e) (log n)­ log ", e) (nlogn)­1,

b) (log n)­ ",

d) (log n)­loglogn, O (n(log nXlog log n)2)­1.

J(>()

SHIUl\S lNl•'INl'l'AH

1 il 11'11ltlO~i

4. Explicar la convergencia o la divergencia de Le, a) 2ne-", b) n"e-'', e) e­logn, e) n!e-",

~c1 tl'~1 cu11lt·rn1ir"'11

!'11111111

d) Oogn)e­.¡", f) n!e_"z.

n!

b)

3·5·7···(2n+l)'

2·4···(2n)

e)­­­­­­­ 3 · 5 · · · (2 n 8. Sea O

d)

+ 1) '

la sucesión (b11) converge a log 2. [Sugerencia: b,, = e211 ­ e,,+ log 2.J St:a que {11." n2, ... }denote la colección de números naturales en los que ~o está presente el dígito 6 en sus expansiones decimales. Demostrar que la s~r­1e L(l/n ) converge a un número menor que 80. Si {ml' m2, .•. } es la colección de nú~eros que terminan en 6, entonces L(l/mk) diverge. 17. Si p > O, q > O, demostrar que la serie rnlu1 l p + 1 y que diverge para q ~ p + l. 18. Suponer que ninguno de los números a, b, e es un entero negativo o cero. Probar que la serie hipergeométrtca

­11­c a2 +a

,\(11

'11\ NO/\ l !SOl.ll'l't\

l(L

5. Demostrar que la serie 1/12 + 1/23 + 1/32 + 1/43 + · · ·es convergente, flllH1 que no es posible aplicar el criterio del cociente ni el de la raíz. 6. Si a y b son números positivos, entonces :E(an + btP converge si p _, 1 y diverge si p ~ l. 7. Analizar las series cuyos términos n­ésimos son a)

1 IJI. ( '\ )1\1\111.1{(111,N(

+

a(a + l)b(b + 1) a(a + l)(a + 2)b(h + l)(b + 2) ------- + ~-----------.,.---+ . . 21c(c + 1) Jlc(e + l)(c + 2)

es absolutamente convergente para e > a + b y que es divergente para e < a+ b. 19. Sea O y supóngase que L(an) converge. Construir una serie convergente z. (b ) con b > O tal que Iím (a /b ) = O; por tanto, 2:. (b11) converge con me~~s rapid~z que L (aJ [Sugere~ci~: Sea (A,,) las sumas parciales de L(a,,)

«>

­A1 y b,, := .../A-A11_1 -.JA-An para n ~l.] 20. Sea (a ) una sucesión decreciente de números reales que converge a O y su­ pónga;e que Z.(a11) diverge. Construir una serie divergente k(b11) con b" >O tal que lím (bn/a,,) =O; por tanto, L(b,) diverge con menos rapidez que L (a11). y A su límite. Definir b ; ;;;; VA-.../A

[Sugerencia: Sea b,, :::: a ¡.JA donde A, es la n­ésima suma parcial de L (a11).] 11

11,

SECCIÓN 9,3 Criterios de convergencia

!!10

absoluta

Los criterios de convergencia explicados en la sección anterior se enfocaban principalmente en el establecimiento de la convergencia absoluta de una serie. Puesto que hay muchas series tales como oc

I:

n =]

(­1)"+1 n

'

co

I:

n=l

O para toda n EN. 9.3.2 Criterio para series alternantes. Sea Z := (z11) una sucesión decreciente de números estrictamente positivos con lím (z = O. Entonces la seria alternante L((­1)"+ 1zn) es convergente.

kcsulra evidente que este criterio para series alternantes establece la convergencia de las dos series ya mencionadas, a saber, 00

E

(2)

(­l)n+l

n

n=I

00

,

I:

(

­

l)n+l

rn

­­=­­­

n=1

Criterios de Dñrkh]et y Abel Se presentarán a continuación otros dos criterios de aplicación generalizada. Se basan en el siguiente lema, que en ocasiones se denomina la fórmula die sumas parciales, ya que corresponde a la conocida fórmula de la integración por partes.

11)

Demostración. Puesto que se tiene

9.3.3 Lema de Abel. Sean X:= (x11) y Y:= (y11) sucesiones en Ry sea que las sumas parciales de L(y,,) estén denotadas por (s11) con s0 := O. Si m > n ~ O, entonces m­1

m

L

(3)

XkYk

=

(xmsm

- Xn+lsn)

k=n+l

y como z k - z k + 1 ~ O, se sigue que la subsucesión (s211) de sumas parciales es creciente. Puesto que

+

L

k=n+l

(xk - xk+i)sk.

Demostración.m Puesto que yk = sk - sk-l para k = 1, 2, ... , el primer miembro de (3) es igual a k=.r,,+ 1 x/sk - sk_ 1). Al juntar los términos multiplicando s11, s,, + l' ... , s111 se obtiene el segundo miembro de (3).

se sigue asimismo que s211 ~ z1 para toda n E N. Por teorema de convergencia monótona 3.3.2 se sigue que la subsucesión (s2,,) converge a algún números E R. Se prueba a continuación que la sucesión (s11) completa converge a s. De he­ cho, si e ~O, sea K tal que sin~ K, entonces ls2,, ­ si~ ie y [z 211+1 ~~e. Se sigue que si n ~ K entonces

Se aplica ahora el lema de Abel para obtener criterios de convergencia de series de la forma LXnYn· 9.3.4 Criterio de Dírlchlet, Si X:= (x/loo) es una sucesión decreciente con lím

1

lszn+l

-

si= ls2n + Z2n+I .;;; ls2n ­ si+

(x n ) = Ooo y si las sumas parciales (s n ) de -

si

lz2n+1I.,;;

serie

ks + ke =s.

Por lo tanto, toda suma parcial de un número impar de términos también está den­ tro de e unidades de s si n es lo suficientemente grande. Puesto que e > O es un valor cualesquiera, se establece la convergencia de (s11) y, en consecuencia, la de L(­1), "+ 1z.n Q.E.D. Nota. Es un ejercicio demostrar que sis es la suma de la serie alternante y si s11 es su n­ésima suma parcial, entonces

Q.E.D.

:r,

I. (yn ) están acotadas, entonces la

n=l

(xn y n ) es convergente.

n= 1

Demostración. Sea ls11I ~ B para toda n EN. Si m 9.3.3 y el hecho de que xk -xk + 1 ~ O se sigue que

E

1

XkYkl

,¡;; (xm

+ Xn+1)B +

k=n+l

mi:l

> n, por el lema de Abe!

(xk - Xk+1)B

k=n+l =

[(xrn

+

Xn+1)

+ (xn+I - xm)]B

1 111 l '11,¡w 11: 1 111 l '( JN VJl,lt(l 11 Nl 'I A ~10 ¡\ l l~!l 11 .11 IA

SJl.l(IES INFINl'l'A!l

364

Puesto que lím (xk) =O, la convergencia de I(xkyk) se si1•,ue del criterio de co11v1 1 gencia de Cauchy 9.1.5. 11.11,,11

9.3.5 Criterio de Abel, Si X:= (x11) es una sucesión monótona convergcntr \' la serie

11~1

(Y,) es convergente, entonces la serie

gente.

11~1

(x11y11) también es co11\11•1

l1~jl•ffkloN de In sección 9.3 1.

Aplicar

11)

es convergente. Si (x11) es creciente con límite x, sea v,, := x -x11, n EN, por lo que ( v11) decrece a O. Err este caso x11 =x- v11, de donde zy, xy12 - v11y11, y el razonamiento continúo como antes. Q.E.J),

=

criterios ele convergencia (­l)n+l

oo

a)

[.

n +

n=I

e)

L

n=l

I:

se sigue que si x

1 cos x

=

sen ( n

c­1r+ln n+ 2

+ ···

cos nx 1 =

lsen(n

+ t)x 12 sen

ix 1

1

senixl

< ­­­ 1 sen

ix 1 ·

Por tanto, el criterio de Dirichlet implica que si (a n ) es decreciente con lím (a n ) = ce O, entonces la serie (an sos nx) converge siempre que x 11~1 b) Puesto que se tiene 2senix(senx se sigue que si x

+ ...

+sennx)

* Zktt.

log n I:R. Demostración. Sólo se tratará el caso en que O < R < + co, dejando como ejercicios los casos en que R = O y R == + oo. Si O < lxl < R, entonces existe un número positivo c < 1 tal que lxl < cR. Por lo tanto, p < c/lxl, de donde se sigue que sin es lo suficientemente grande, entonces ja11¡1111 ~ c/lxl­ Esto es equivalente a decir que (3) para toda n lo suficientemente grande. Puesto que c < 1, la convergencia absoluta de I(a11x11) se sigue por el criterio de comparación 9.2. l.

370

SHIUl·.S INl.'INI

Sl•IUl·.S

!'/\',

Si [xi> R = l/p, entonces existe un número infi11i111 di; 11 < N p;ir;1 las q1111 ru tiene la11¡1/n > 1/lx!. Por lo tanto, la,,x"I > 1 para un número infinito 1. Si y < O, se toma e := [y [, y si y > 1, se toma ey :=y - l. Se le deja al lector demostrar que en ambo~ casos se tiene I n (y - e , y + e ) = 0. f) El conjunto H :;; {x: OYE; x < 1} no es abierto ni cerrado. (¿Por qué?) g) El conjunto vacío 0 es abierto en R. De hecho, el conjunto vacío no contiene puntos en absoluto, por lo que el requisito de la definición 10.1.2 ise satisface. El conjunto vacío también es cerra­ do ya que su complemento Res abierto, como se vio en el ejemplo a).

10.1.4 Propiedades de los conjuntos abiertos. a) L~ unión ~e una colección cualesquiera de subconjuntos abiertos en R es un con1u~to abier~o. b) La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos en R Demostración. a) Sea {G¡._: f.. EA} una familia de conjuntos en 1!- ~~~son abiertos, y sea G su unión. Considérese un elemento x E G; por la defm1c1~n de unión, x debe pertenecer a G ¡._0 para alguna A.0 E A. Puesto que G ¡._0 es abierto, existe una vecindad V de x tal que V G¡._0. Pero G¡._0 s; G, por lo que V~ G. Puesto quex es un elemento cualesquiera de G, se concluye que Ges un conjunto

s

abierto en R. b) Supóngase que G¡ y G2 son abiertos y sea G := G1.n Para demostrar que G es un conjunto abierto se considera una x E G cualquiera; enton~es x E G_1 Y x E 2. Puesto que G1 es abierto, existe e1 >O ~al que(~­ el' x + e1) esta contenido en G De manera similar, puesto que G 2 es abierto, existe e2 > O tal que (x - e2, x 1. + 8 ) está contenido en G Si se toma ahora e como el menor de e1 y e2, entonces 2• la v~cindad­e U := (x ­ e, :X+ e) satisface tanto U\: G 1 como U ~ G2· Por tanto, x E u\: G. Puesto que x es un elemento cualesquiera de G, se concluye que Ges un

º2·

c

conjunto abierto en R. . Aplicando un razonamiento inductivo (cu~? des~rrollo sel~ deja al l~ctor) se sigue que la intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es •

Q.E.D.

abierta.

Las propiedades correspondientes para conjuntos c~rrados se establecerán mediante el uso de las identidades de De Morgan para conjuntos y sus componen­ tes. (Ver el teorema 1.1.6.) · 10.1.5 Propiedades de los conjuntos cerrados. a) La i~tersección de una colección cualesquiera de conjuntos cerrados en Res un conjunto cerrado. b) La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados en Res un conjunto cerrado.

Demostración. F :=

n

AEA

a) Si {F¡._: A. E A} es una familia de conjuntos cerrados en R Y

F )..• entonces í! (F) =

LJ AEA

í!( F>.) es la unión de los conjuntos abiertos.

1,/\

'l'()I'(

)1 ( )(

( 'I )N l l 1 N'I ( )lJ /\ 11111.inl IN \' ( 'hH 1(/\1

¡f¡\ lll\ 11

Por tanto, -é? (F) es abierto por el teorema 10.1.4 a) y, por cousiguicurc,

/i ~1111111

conjunto cerrado. b) Supóngase que los conjuntos F1, F2, ... , F,, son cerrados en R y sea tt: F1 U F2 U · · · U F11• Por la identidad de De Morgan, el complemento de f' c~IA dado por

­é?(F)

=

­é?(F¡) n ...

n ­é?(F,J.

Puesto que cada -é? (F¡) es abierto, por el teorema 10. 1.4 b) se sigue que -é? (F) es abierto. Por tanto, Fes un conjunto cerrado. o.u.o. Las restricciones de finitud en 10.1.4 b) y 10.1.5 b) no se pueden eliminar. Considérense los siguientes ejemplos.

H).1.6 Ejemplos. a) Sea G11 := (O, 1 + 1/n) para n EN. Entonces, por el ejemplo 10.1.3 e), Gn, es abierto para cada n EN. Sin embargo, la intersección

n 00

G :=

n=l

¡()~

l'/1)

1\N 11

, \/,.· 1•111lo11111111, se elche tener qut.:x" E (i (//);pero esto contradice el supuesto d11j111110~ e11U,111 mostrar que Aº i;;:; A, (Aº)º =Aºy que (A n B)º ==Aº f1 H'. n'emoslrar 11sl11d11 mo queA º U Bº i;;:; (A U B)° y dar un ejemplo para probar que la i1H:ii1Hl(\11 puede ser propia. 15. Si A i;;:; R, sea A- la intersección de todos los conjuntos cerrados que cn11(k nen aA; al conjunto A- se le llama la cerradura de A. Demostrar que A- es 1111 conjunto cerrado, que es el menor conjunto cerrado que contiene aA y qtH.: 1111. punto w pertenece a A- si y sólo si tu es un punto interior, o bien, un punto frontera de A. 16. Empleando la notación del ejercicio anterior, sean A, B conjuntos en R. De mostrar que se tiene A i;;:; A-, (A­f =A­ y que (A u Bf =A- U B-. Demostrar que (A n Bf i;;:; A- n B- y dar un ejemplo para probar que la inclusión puede ser propia. 17. Dar un ejemplo de un conjunto A i;;:; R tal que Aº= 0 y A-= R. 18. Demostrar que si F i;;:; Res un conjunto cerrado no vacío que está acotado por arriba, entonces sup F pertenece a F. 19. Si Ges un conjunto abierto y x E G, demostrar que los conjuntos Ax y Bx de la demostración del teorema 10.1.9 no son vacíos. 20. Si el conjunto Ax de la demostración del teorema 10.1.9 tiene una cota infe­ rior, demostrar que ªx := inf Ax no pertenece a G. 21. Si en la notación empleada en la demostración del teorema 10.. l.9 se tieneª"' O y u E K, existe un número := ó{!e, u)> O tal que six EKy lx­u¡ O, entonces existe c5(e) > O tal que si x, u son puntos cualesquiera de K con lx­ ul < c5(e), entonces lf(x)- f(u)I O es un valor cualesquiera, con esto se demuestra que fes umformemente continua en K, como se afirmó. Se concluye esta sección ampliando el teorema de la inversa continua 5.5.5 a funciones cuyos dominios son, en lugar de intervalos en R, subconjuntos compac­ tos de R.

H).3.6 Teorema. Si K es un subconjunto compacto de R y f: K _. R es una función inyectiva y continua, entonces ¡­1 es continua en f(K). Demostración, Como K es compacto, entonces el teorema 10.3.4 implica que la imagen f(K) es compacta. Puesto que fes inyectiva por hipótesis, la función inversa ¡­1 está definida de f(K) a K. Sea (Y,) cualquier sucesión convergente en f(K) y sea y0 = lím (y n). Para establecer la continuidad de ¡­1 se demostrará que la sucesión (f­1(y )) converge a ¡-1(y0). Sea x := ll(y ) y, por el método de contradicción, supóngase que (xn) no 11 ,, "(')tl converge ax0 := ¡­1(y 0). Entonces existe una E> O y una su b sucesión xk a que lx' ­ x i ? E para toda k. Puesto que K es compacto, se concluye por el teorema 10.2.6 ~ue existe una subsucesión (x ;) de la sucesión (x~) que converge a un punto x* deK. Puesto que [x" -x 1? E, se tienex* x0.Ahora bien, como/es continua, se tiene lim (f(x")) = /(x~•). Asimismo, como la subsucesión (y;) de (y,,) que 1subsucesión corresponde a la (x ~) de (xn) debe converger al mismo límite que

*

(y,,), se tiene lím (f(x~))

=

lím

(y~)= Yo= f(xo)·

G . Puesto que K es compacto existe un número finito u

'

·

de conjuntos, digamos Gup ... , G uM cuya unión contiene a K. Se define ahora

o(e) == finf{o,, 1 , ...

,ou }, .\1

de donde 8( E) > O. Ahora bien, si x, u E K y lx ­ ul < o( e), entonces existe alguna uk con k = 1, ... , M tal que x E G,,k; por lo tanto, lx ­ ukl < ! 8uk· Puesto que se tiene 8(e) ~ ~Ouk' se sigue que

Se concluye, por lo tanto, que /(x*) = f (x0). Sin embargo, como fes inyectiva, esto implica que x* = x0, lo cual constituye una contradicción. Se concluye, por tan­ to, que ¡­1 pasa sucesiones convergentes en f (K) a sucesiones convergentes en K y, en consecuencia, ¡­1 es continua. Q.E.D.

Ejercidos elle la sección .HU 1. Sea que f: R-> Resté definida por f(x) := x2, x E R. a) Demostrar que la imagen inversaf­1(1) de un intervalo abierto I :=(a, b) es un intervalo abier­ to, la unión de dos intervalos abiertos, o bien, el conjunto vacío, dependiendo

3\)4

LATOl'Ol.OOIA

2.

3. 4.

5. 6. 7. 8. 9. 1 O.

JIJ.'.I

llH N

de a y b. b) Demostrar que sil es un intervalo abierto que contiene u O, c11ICl11 ces la imagen directa f(I) no es abierta. Sea que f: R--+ Resté definida por f(x) := 1/(1 + x2), x E R. a) Encontrar 11n intervalo abierto (a, b) cuya imagen directa bajof no sea abierta. b) Demos· trar que la imagen directa del intervalo cerrado [O, oo] no es cerrada. Sea I := [1, oo] y sea f(x) = ~para x E J. Para toda vecindad­e G = (­t:, + e) de O, presentar un conjunto abierto H tal que H n I = ¡­1(G). Sea que h: R--+ Resté definida por h(x) := 1 si O ~ x ~ 1, h(x) :=O en caso contrario. Encontrar un conjunto abierto G tal que h-1(G) sea no abierto y un conjunto cerrado F tal que h-1(F) sea no cerrado. Demostrar que si f: R--+ Res una función continua, entonces el conjunto {x E R: f(x) < a} es abierto en R para toda a E R. Demostrar que si f: R--+ Res una función continua, entonces el conjunto {x E R: f(x) ~ a} es cerrado en R para toda a E R. Demostrar que sif: R--> Res una función continua, entonces el conjunto {x E R: f(x) = k} es cerrado en R para toda k E R. Dar un ejemplo de una funciónf: R--> R tal que el conjunto {x E R: f(x) = 1} no es ni abierto ni cerrado en R. Demostrar quef: R--> Res una función continua si y sólo si para todo conjun­ to cerrado F en R. la imagen inversa ¡-1(F) es cerrada. Sea l := [a, b] y sean f: l ­­t R y g: I ­> R funciones continuas en /. Demostrar que el conjunto {x El: f(x) = g(x)} es cerrado en R.

SECCIÓN HJJ,4 Espacios métricos Este libro se ha dedicado al estudio cuidadoso del sistema de los números reales y de diferentes procesos de límites que se pueden definir para funciones de una variable real. Uno de los temas centrales fue el estudio de las funciones conti­ nuas. En este punto, con una sólida comprensión del análisis en la recta real, se puede iniciar el estudio de espacios más generales y los conceptos de límites rela­ cionados. Es posible generalizar los conceptos fundamentales del análisis real de varias maneras diferentes, pero una de las más provechosas es en el contexto de los espacios métricos, donde métrico es una abstracción de una función de distancia. En esta sección se introducirá la idea de espacio métrico para indicar a conti­ nuación la manera en que ciertas áreas de la teoría desarrollada en este libro se pueden ampliar a este nuevo contexto. Se analizarán los conceptos de vecindad de un punto, de conjuntos abiertos y cerrados, de convergencia de sucesiones y de continuidad de funciones definidas en espacios métricos. La finalidad de esta bre­ ve explicación no es desarrollar la teoría de los espacios métricos con gran profun­ didad, sino poner de manifiesto la manera en que las ideas y las técnicas claves del análisis real se pueden ubicar en un marco más abstracto y general. El lector debe­ rá observar cómo los resultados básicos del análisis en la recta real sirven para motivar y encauzar el estudio del análisis en contextos más generales. . La generalización puede cumplir dos importantes objetivos. Uno es que los teoremas derivados en contextos generales con frecuencia se pueden aplicar en

muchos c11~0¡.i paniculares sin necesidad de una demostración separada para cada caso especial. El segundo objetivo es que al eliminar las características no esenci~­ les, y en ocasiones distrayentes, de las situaciones particulares, con frecuencia resulta posible la comprensión de la significación real de un concepto o teorema.

Métricos En la recta real, los conceptos de límites se definieron en términos de la dis­ tancia lx-y 1 entre dos puntos x, y en R, y muchos teoremas se demostraron usando la función del valor absoluto. En realidad, un estudio atento revela que sólo se requirieron unas cuantas propiedades claves del valor absoluto para probar mu­ chos resultados fundamentales, y resulta que estas propiedades se pueden extractar y aplicar para definir funciones de distancia más generales llamadas "métricos". Hl.4.1 Deñnlción. Un métrico en un conjunto Ses una función d: S x S ~ R que satisface las siguientes propiedades: a) d(x, y);;.: O para toda x, y ES ipositividady; b) d(x, y) = O si y sólo si x =y (precisión); e) d(x, y)= d(y, x) para toda x, y ES (simetría); d) d(x, y)~ d(x, z) + d(z, y) para toda x, y, z ER (desigualdad del triángulo). Un espacio métrico (S, d) es un conjunto S junto con un métrico den S. Se consideran varios ejemplos de espacios métricos.

rn.4l.2 Ejem¡plos. a) El métrico familiar en R está definido por

d(x, y)

:=

lx ­ yl

para

x, y

E

R.

La desigualdad del triángulo parad se sigue de la desigualdad del triángulo para el valor absoluto ya que se tiene

d(x,y)=\x

- yl

=

\(x - z) + (z - y)\

,¡¡;; lx ­ z]

+

[z ­ yl

=

d(x, z) + d(z, y),

para todax, y, z E R. b) La función de distancia en el plano obtenida a partir del teorema de Pitágoras ofrece un ejemplo de un métrico en R2• Es decir, se define el métrico den R2 de la manera siguiente: si P1 := (xl' y1) y P 2 := (x2, y2) son puntos en R2, entonces

e) Es posible definir varios métricos diferentes en el mismo conjunto. En R2 también se puede definir el métrico d 1 de la siguiente manera:

l./\ 'i'OJ'()J

d 1 ( p 1' p 2) = 1 X l

­

0( HA 1 ll 11

X2

1 'd'A! 'U

Otro métrico más en R2 es d,,, definido por

V,( X o)

La com.pro?a.ción de que d, Y d00 satisfacen las propiedades de un métrico se deja como e1erc1c10. · . . d) Sea que C [O, 1] denote el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo [O, 1]. Para f, gen C[O, 1 ], se define E

[0,1]}.

Entonces .se puede verificar que d,,, es un métrico en C[O, 1 J. Este métrico es la norma uniforme de/­ g, según se definió en la sección 8.1; es decir, d""(f, g) l/f - g/l, donde 1 11.1 denota la norma uniforme de f en el conjunto [O, 1]. e) Se considera nuevamente C[O, 1], pero ahora se define un métrico diferen­ te d1 por

=

I, g

E

C[O, IJ.

Es posibl~ u.sar las propiedades de la integral para demostrar que éste es en reali­ dad un metnco en C[O, 1]. Los detalles se dejan como ejercicio. f) Sea S un conjunto no vacío. Para s, t e S se define

d(s,t):=O :=

l

si

s

si

s =I=

1\111 l'IW

= t,

t.

Es u~ ejercicio demo~trar quedes un métrico en S. Este métrico se llama el métri­ co discreto en el conjunto S. .·~abe hace1r notar que si (S, d) es un espacio métrico y si T ~ S, entonces d' definido por d (x, Y) := d(x, Y) para toda x, y e T produce un métrico en T, el cual se denota g~ner~l~ente por d. Con base en lo anterior, se dice que (T, d) también es un espac;o .metnco. Por ~jemplo, el métrico den R definido por el valor absolu­ to es .un metnco en el conjunto Q de los números racionales y por tanto (Q d) también es un espacio métrico. ' ' '

Vecindades y convergencia . La noción básica necesaria para introducir los conceptos de límites es la de vecmdad, la cual se define en espacios métricos de la siguiente manera.

:=

\1)/

< 1:l

IO.•l .. 1 lh·hukiún. Sea (S, d) un espacio métrico. vecindad r de un punto x0 en Ses el conjunto

I + 1 Y¡ - Y z l.

d~(f,g) :=sup{lf(x)­g(x)l:x

1:,

Entonces

para e>

O la

{X E S: d ( X o , X) < S} .

Una vecindad de x0 es cualquier conjunto U que contiene una vecindad­e de x0 para alguna e > O. Cualquier noción definida en términos de vecindades se puede definir y anali­ zar ahora en el contexto de los espacios métricos mediante la modificación ade­ cuada de la terminología. Se considera primero la convergencia de sucesiones. Una sucesión en un espacio métrico (S, d) es una función X: N---> S con domi­ nio N y codominio en S, y se usa la notación usual para sucesiones; se escribe X:= (xn') pero ahora x,, e S para toda n e N. Al sustituir el valor absoluto de la defini­ ción convergencia de sucesiones por un métrico, se llega a la noción de convergen­ cia en un espacio métrico.

10.4.4 Definición. Sea (x,.) una sucesión en el espacio métrico (S, d ). Se dice que la sucesión (x,,) converge ax en S si para cualquier e > O existe K EN tal que x11 e Vs(x) para toda n ;;o K. Obsérvese que como x11 e V/x) si y sólo si d(x11, x) < e, una sucesión (x,.) converge ax si y sólo si para cualquier e> O existe Ktal que d(x11, x) < s para toda n ;;o K. En otras palabras, una sucesión (x,.) en (S, d) converge ax si y sólo si J¡¡ sucesión de números reales (d(x11, x)) converge a O. 10.4.5 Ejemplos. a) Considérese R2 con el métrico d definido en el ejemplo 10.4.2 b). Si Pn = (xn' yn) e R2 para toda n eN, entonces se afirma que la sucesión (P11) converge a P = (x, y) con respecto a este métrico si y sólo si las sucesiones de números reales (x,.) y (y11) convergen ax y y, respectivamente. Primero, se observa que la desigualdad lx11 ­xi ~ (d(P11, P) implica que si (/'11) converge a P con respecto al métrico d, entonces la sucesión (x11) converge ¡¡ x; la convergencia de (y11) se sigue con un razonamiento similar. El recíproco se sigue de la desigualdad d(P11, P) ~ lx" ­ xj + ly11 ­ y¡, la cual se verifica con facilidad. Se dejan los detalles al lector. b) Sea d"' el métrico en C[O, 1] definido en el ejemplo 10.4.2 d). Entonces una sucesión ( en C[O, 1] converge a f con respecto a este métrico si y sólo si (!,.)converge uniformemente a/en el conjunto [O, J.]. Esta condición se estableció en el lema 8.1.8 en la explicación de la norma uniforme.

t; )

Sucesiones de Cauchy La noción de sucesión de Cauchy es un concepto importante en los espacios métricos. La definición se formula como se anticiparía, con el métrico sustituyen­ do al valor absoluto.

J')H

11.:ll'/\I ·1rnl M1t 1'1(1( 'Wi

LA 'l'OPOl ,rnll/\ 1)lt11

10.4.6 Definición. Sea (S, d) un espacio métrico. S1· dice que una NtlCl'~lii'•ll (xn) en Ses una sucesión de Cauchy si para toda e >O existe JI EN tal que i/(111, x111) < e para toda n, m ;;,, H. El teorema de convergencia de Cauchy 3.5.4 para sucesiones en R estahloco que una sucesión en Res una sucesión de Cauchy si y sólo si converge a un punto de R. Este teorema no se cumple para espacios métricos en general, como lo rcvc lan los ejemplos que siguen. Los espacios métricos para los cuales las sucesiones de Cauchy son convergentes poseen una importancia especial. 10.4.7 Definición. Se dice que un espacio métrico (S, d) es completo si toda sucesión de Cauchy en S converge a un punto de S. En la sección 2.4 la propiedad de completidad de R .se estableció en términos de las propiedades de orden imponiendo el requisito de que todo subconjunto no vacío de R que esté acotado por arriba tenga un supremo en R. La convergencia de las sucesiones de Cauchy se deduce como un teorema._ De hecho, es posible inver­ tir los papeles de estas propiedadesfundamentales deR: la propiedad de completidad de R se puede enunciar en términos de sucesiones de Cauchy como en 10.4.7, y la propiedad del supremo se puede deducir entonces como un teorema. Puesto que muchos espacios métricos no tienen una estructura de orden apropiada, el concep­ to de completidad se debe describir en términos del métrico, y las sucesiones de Cauchy ofrecen el medio natural para ello. 10.4.8 Ejemplos. a) El espacio métrico (Q, d) de los números racionales con el métrico definido por la función del valor absoluto no es completo. Por ejemplo, si (x11) es una sucesión de números racionales que converge a -Ji, entonces es una sucesión de Cauchy en Q, pero no converge a un punto de Q. Por lo tanto, ( Q, d) no es un espacio métrico completo. b) El espacio C[O, 1] con el métrico d¿ definido en 10.4.2 d) es completo. Para probar esta afirmación, supóngase que (!,.) es una sucesión de Cauchy en C[O, 1] con respecto al métrico d,,,. Entonces, dada e > O, existe H tal que

_l 1­+­1 2 2 n

1

FIGURA 10.4.1 La sucesión(!.).

Para probar esta a~irmación.basta pres~~tar una ~~~e:iió~i::tec;~~~~a 1~~r~~ tenga límite en el espacio. Se define la sucesión (!.) d g figura 10.4.1): para Ü ~X< 1/2 fn(x) := 1 para 1/2 < X ~ 1/2 + ljn := 1 + n/2 ­ nx

:=o

para 1/2

+

ljn

0 existe Ó > 0 tal que d¡(x, c) < 8 implica que d2(f (x), f(c)) < e. 1

El teorema de continuidad global se puede establecer para espacios métricos mediante la modificación apropiada de la argumentación para funciones en R.

10.4.11 Teorema de continuidad global. Si (Sl' dJ) y (S2, d2) son espacios métricos, una funcion] : S1­> S2 es continua en S1 si y sólo si ¡-1(G) es abierto en S1 siempre que G sea abierto en S2. La noción de compacidad se amplía de inmediato a los espacios métricos. Se dice que un espacio métrico (S, d) es compacto si toda cubierta abierta de S tiene una subcubierta finita. Entonces al modificar la demostración de 10.3.4 se obtiene el siguiente resultado.

10.4.12 Preservación de la compacidad. Si (S, d) es un espacio métrico compacto y f: S-> Res una función continua, entonces f(S) es compacta en R. Por tanto, las importantes propiedades de las funciones continuas

dadas en

10.3.5 se siguen de inmediato. El teorema de acotabilidad, el teorema del máxi­ mo­mínimo y el teorema de la continuidad uniforme para funciones continuas con valores reales en un espacio métrico compacto se establecen mediante la modifica­ ción apropiada de la terminología de las demostraciones dadas en 10.3.5.

Ejercicios de la sección 10.4 l. Demostrar que las funciones d, y d.¿ definidas en 10.4.2 e) son métricos en R2. 2. Demostrar que las funciones d ¿ y d1 definidas en 10.4.2 d, e) son métricos en

C[O, 1]. 3. Verificar que el métrico discreto en un conjunto S según se definió en 10.4.2 f) es un métrico. 4. Si P11 := (x11, Y,,) E R2 y d ¿ es el métrico de 10.4.2 e), demostrar que (P,.) converge a P := (x, y) con respecto a este métrico si y sólo si (x,,) y (Y,,) conver­ gen ax y y, respectivamente. 5. Verificar la conclusión del ejercicio 4 si d.¿ se sustituye con d.. 6. Sea S un conjunto no vacío y sea del métrico discreto definido en 10.4.2 f). Demostrar que en el espacio métrico (S, d) una sucesión (x11) en S converge a x si y sólo si existe una K EN tal que x,, = x para toda n ;:¡;, K. 7. Demostrar que si des el métrico discreto en un conjunto S, entonces todo subconjunto de Ses a la vez abierto y cerrado en (S, d). 8. Sean P := (x, y) y O:= (O, O) enR2• Trazar los siguientes conjuntos en el plano: a) {PE R2: i1(0, P) ~ l}. b) {PE R2: d,)O, P).:; l}.

1111 rrn1j1111lo

q111.: cu cualquier

11()1

espacio métrico una vecindad­e de un punto es abierto. 1 O. Demostrar el teorema 10.4.11. 11. Demostrar el teorema 10.4.12. . , 12. Si (S, d) es un espacio métrico, se dice que un subcon1du(nto A)~ SBe}s~acot~da~ siexistex ESyunnúmeroB>OtalqueA~{xES: x,x0 ~ · emosr que si A e~ un subconjunto compacto de S, entonces A es cerrado Y acotado. 'J.

l •c•nH•:.litii

'WI

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J\PI :NIJICE 1

LÓGICA Y DEMOSTRACIONES

Las ciencias naturales se ocupan del registro de hechos y de la organización de los mismos en un cuerpo coherente del saber que haga posible la comprensión de la naturaleza. Originalmente, las ciencias se restringían en gran medida a la observa­ ción, al acopio de información y a su clasificación. Esta clasificación llevó de manera gradual a la formación de diferentes "teorías" que ayudaban a los investi­ gadores a recordar los hechos individuales así como a poder explicar, y en ocasio­ nes predecir, los fenómenos naturales. La meta final de la mayoría de los cientí­ ficos es poder organizar su ciencia en una colección coherente de principios y teorías generales para que estos principios les permitan tanto la comprensión de la naturaleza como su aplicación para hacer predicciones del resultado de futuros experimentos. Así, su intención es estar en posición de desarrollar un sistema de principios generales (o axiomas) para la ciencia que los ocupa les permita deducir los hechos y consecuencias particulares a partir de estas leyes generales. Las matemáticas son diferentes a otras ciencias: por su naturaleza intrínseca es una ciencia deductiva. Esto no quiere decir que los matemáticos no reúnan he­ chos y hagan observaciones relacionadas con sus investigaciones. En realidad, muchos matemáticos dedican gran parte de su tiempo a la realización de cálculos de casos especiales de fenómenos que estudian con la esperanza de descubrir "prin­ cipios unificadores". (El gran Gauss llevó a cabo una vasta cantidad de cálculos y estudió muchos datos numéricos antes de poder hacer una conjetura respecto de la distribución de los números primos.) Sin embargo, incluso después de formular estos principios y conjeturas, el trabajo se encuentra lejos de haber concluido, pues los matemáticos no están satisfechos hasta que las conjeturas se han derivado (es decir, probado) de los axiomas de las matemáticas, de las definiciones de los tér­ minos y de los resultados (o teoremas) ya demostrados. Así, un enunciado mate­ mático no es un teorema hasta que se ha derivado cuidadosamente de axiomas, definiciones y teoremas demostrados con anterioridad. Cabe dedicar algunas palabras a los axiomas (es decir, postulados, hipótesis, etc.) de las matemáticas. Hay pocos axiomas que se apliquen a las matemáticas en su totalidad, los "axiomas de la teoría de conjuntos", y hay axiomas específicos dentro de las diferentes ramas de las matemáticas. En ocasiones estos axiomas se enuncian formalmente y en ocasiones se encuentran incorporados en definiciones. Por ejemplo, en el capítulo dos de este libro se presentó una lista de propiedades que se supuso posee el sistema de los números reales; en realidad son un conjunto de axiomas. Como otro ejemplo, la definición de "grupo" en el álgebra abstracta

i\l'l•NI

4()(1

111 1

es básicamente un conjunto de axiomas que se suponv pw.LT 1111 c1111j1111l11 d1· 1 h mentos, y el estudio de Ja teoría de grupos es una invcstigacion de l;1s L'Oll:­\L'1'1w11 cias de estos axiomas. Los alumnos que estudian análisis real por primera vez por lo general 110 n11·1111111 con gran experiencia en la comprensión (por no mencionar la consuuccióu) d1• demostraciones. De hecho, uno de los principales objetivos de este curso (y de l'Sil' libro) es ayudar al lector a obtener experiencia en el pensamiento crítico qui; sl' emplea en este proceso deductivo. El objetivo de este apéndice es ayudar al lector a conocer más a fondo las técnicas de la demostración.

·, .. l: proposición denotada por entonces su ncgacmn es a

noP l.

que es verdadlera cua~?º:ee;

común para a negac10n

es falsa cuando pes verdadera. (Una notación reflexionar un poco se llega a que

f:s sa_, ~)Al · p

= no(noP).

(Este es el "principio de.!~ doble negación".) niunción es la proposición denota­ Si p y Q son propos1c10nes, entonces su co "

PyQ

Todas las demostraciones y razonamientos matemáticos se basan en proposi­ ciones, que son enunciados declarativos o cadenas de símbolos inteligibles que su pueden calificar como verdaderos o falsos. No es necesario saber si una proposi­ ción dada es en realidad verdadera o falsa, pero debe ser lo uno o lo otro y no puede ser ambas cosas a la vez. (Este es el "principio del medio excluido".) Por ejemplo, el enunciado "Los pollos son bonitos" constituye una cuestión de opi­ nión y no una proposición en el sentido de la lógica. Considérense los siguientes enunciados: • Llovió en Kuala Lumpur el 2 de junio de· 1988. • Thomas Jefferson era más bajo de estatura que John Adams. • Los números primos gemelos son infinitos. • Este enunciado es falso. Los tres primeros son proposiciones: el primero es verdadero, el segundo es falso y el tercero es verdadero o falso, pero no estamos seguros cuál es el caso en este momento. El cuarto enunciado no es una proposición; no puede ser verdadero ni falso porque lleva a conclusiones contradictorias. Algunas proposiciones (como "1+1:::: 2") siempre son verdaderas; se llaman tautologías. Algunas proposiciones (como "2 = 3") siempre son falsas; sella­ man contradicciones o falacias. Algunas proposiciones (como "x2:::: 1") a veces son verdaderas y a veces son falsas (e.g., verdadera cuando x:::: 1 y falsa cuando x = 3). Desde luego, para que la proposición sea totalmente clara es necesario que. se haya establecido el contexto adecuado y que se haya definido adecuadamente el significado de los signos (e.g., en los ejemplos anteriores es necesario saber que nos referimos a la aritmética de enteros). Se dice que dos proposiciones P y Q son equivalentes lógicos si Pes verda­ dera estrictamente cuando Q es verdadera (y, por tanto, P es falsa estrictamente cuando Q es falsa). En este caso se acostumbra escribir P Q. Por ejemplo, se escribe

=

= (x es el dieciseisavo

l"• 111.:1 p1l1p11siciún,

da por

Proposiciones y sus combinaciones

(x es Abraham Lincoln)

S1 l '

presidente de los Estados U nidos).

Existen varias maneras diferentes de formar nuevas proposiciones a partir de proposiciones dadas usando conectivos lógicos.

p o Q son verdaderas y es falsa en los demás que es verdadera cuando tanto com . . , d p y Q es p !\ Q.) Resulta evi­ casos. (Una notación común para la conjunción e dente que

(P y Q)

= (Q y P).

. ., d p Q s la proposición denotada por De manera similar, la d1syunc1on e y e

PoQ d 1 oposiciones p y Q es verdadera y es que es verdadera cuando al menos una e as pr 1 1 el "o" se denota por "y/o" falsa cuando ambas so? falsa.s. En do~~men~~~d:~:r:s cuanto tanto p como Q son para aclarar que esta d1syunc1ón también ed~ ., d p y Q es P V Q). También verdaderas. (Una notación común para la isyuncion e es evidente que

(P o Q) A fin de contrastar . . , "2 la propos1c10n < 3" es verdadera Reflexionando ción se relacionan

= (Q o P).

. . di f las conjuntivas, obsérvese que las propos1c10nes isyun IVaS y . . , "2 < ,,/2 ó .J2 < .J2 y ­./2 < 3,, es falsa, pero la propos1c10n t: . d nte i ual a 1 4142 .. ·). (ya que "2 es aproxima ¡"me . ~n la co~junción y la disyun­ un poco se descubre que a negaci ' por las leyes de De Morgan: no (P y Q) =(no P) o (no Q), no (P 0 Q) =(no P)

y (no Q).

La primera equivalencia se puede ilustrar considerando las proposiciones

P: X

= 2,

Q: y

E A.

. ( 0 (y EA) son verdaderas, 2) La proposición (P y Q) es .verdadera si ta~to l~ ;rop~~:iones (x = 2) y (y E A) es

y la proposi~ión es fals~ ": al me(;ys uQn)aes~erdadera si al menos una de las propo­

*

falsa; es decir, la propos1c1on no siciones (x 2) Y (y (;!:A) se cumple.

l.IHlll'A

Al'Í1.NllH 'I'

408

1101)

Si estoy en Chicago, entonces estoy en lllínois,

Implicaciones Una manera muy importante de formar una nueva proposición a partir de posiciones dadas es la implicación (o condicional), denotada por (P => Q),

y 1>1'.MOS'l'HA('IONl1.S

(si P entonces Q)

o

fHll

(P implica Q).

En este caso a P se le llama la hipótesis y a Q se le llama la conclusión de In implicación. Para ayudar a comprender los valores de verdad de la implicación, considérese la proposición Si hoy me saco la lotería, entonces le compraré un automóvil a Sam. Resulta claro que esta proposición es falsa si me saco la lotería y no le compro un automóvil a Sam. ¿Qué pasa si no me saco la lotería hoy? Bajo estas circunstan­ cias, no he hecho ninguna promesa acerca de comprarle a alguien un automóvil, y como la condición de sacarse la lotería no se realiza, el hecho de no comprarle un automóvil a Sam no se deberá considerar como la ruptura de una promesa. Por tanto, la implicación se considera verdadera si la hipótesis no se satisface. En los razonamientos matemáticos, las implicaciones son motivo de gran in­ terés cuando la hipótesis es verdadera, pero no lo son tanto cuando la hipótesis es falsa. El procedimiento aceptado es tomar la proposición P => Q como falsa úni­ camente cuando P es verdadera y Q es falsa; en los casos restantes la proposi­ ción P => Q es verdadera. (Por consiguiente, si Pes falsa, entonces se conviene en tomar la proposición P => Q como verdadera sin importar si Q es verdadera o falsa. Esto puede parecerle extraño al lector, pero resulta ser conveniente en la práctica y consecuente con las demás reglas de la lógica.) Se observa que la definición de P => Q es lógicamente equivalente a no (P y (no Q)), ya que esta proposición sólo es falsa cuando P es verdadera y Q es falsa, y es verdadera en los casos restantes. De la primera ley de De Morgan y del principio de la doble negación se sigue asimismo que P => Q es un equivalente lógico de la proposición (noP) o Q, ya que esta proposición es verdadera a menos que tanto no P como Q sean falsas; es decir, a menos que P sea verdadera y Q sea falsa.

Contraposítívo y recíproco Como ejercicio, el lector deberá demostrar que la implicación P => Q es equi­ valente lógico de la implicación (no Q) =>(no P), la cual se llama el contra positivo de la implicación P => Q. Por ejemplo, si P => Q es la implicación

. · (no Q) => (no P) es la implicación entonces el contrapos1tivo Si no estoy en lllinois, entonces no estoy en Chicago. . . rcibe después de reflexionar un La equivalencia de estas dos pr~po~~c~~~~ s:np;casiones es más sencillo estable­ 1::ui~alente' ~~~~Í lógico. (Este hecho se explicará con

~~~~:;~:i~~t:~~~:~~:~

mayor detalle má_s adl~lan~~­) p => Q entonces también se puede formar la propo­ Si se da una imp icacron , sición

Q=>P, la cual se llama el recíproco de p => Q. El lector deber~ ~star atento para no co~~:~ dir el recíproco de una implicación con su con~tr~pos~t~~'/q~i~~~e~~~~r;¡: de la dif tes Mientras que el contraposi rvo e ., ~~~~;:ció1ne~:~a, ~l recíproco no lo es. Por ejemplo, el recíproco de la proposic10n Si estoy en Chicago, entonces estoy en lllinois, es la proposición Si estoy en lllinois, entonces estoy en Chicago. Puesto que es posible estar en Illinois ~uera de Chicago, es evidente que estas dos proposiciones no son equivalentes lógicos. · , Es la Hay una última manera de formar proposiciones que se mencionara. doble implicación (o la bicondicional), que se denota por p Q

0

psi y sólo si Q,

y que se define por

(P :::> Q) y (Q => P). p Q es verdadera precisamente cuando Es un ejercicio directo demostrar que p y Q son ambas verdaderas o ambas falsas.

4HI

1111

/\1'11,Nl )1( 'JI,

entero? ¿Una función? ¿Una matriz? ¿Un subgrupo de u11 ¡•,r11pu d:1du? ¡,1 .;( sf111lh1 lo 1 denota un número natural? ¿La función identidad'! ¿La matriz identidad? ¡,l •'.I subgrupo trivial de un grupo? Con frecuencia quienes participan en una discusión conocen bien el contexto, pero siempre es una buena idea establecerlo desde un principio. Por ejemplo, en muchas proposiciones matemáticas intervienen una o más variables cuyos valores por lo general afectan la veracidad o falsedad de las mismas, por lo que siempre s0 debería aclarar cuáles son los posibles valores de las Variables. Con mucha frecuencia las proposiciones matemáticas incluyen expresiones como "para todo", "para cualquier", "para alguna", "existe", "hay", etc. Por ejem­ plo, se pueden tener las proposiciones Para todo entero x, x2 = 1 y

Existe un entero x tal que x2 = 1. Evidentemente, la primera proposición es falsa, como se constata al tomar x = 3; sin embargo, la segunda proposición es verdadera, ya que se puede tomar x = 1 ó x = ­1. Si se ha establecido el contexto de que se habla de enteros, entonces las pro­ posiciones anteriores se pueden abreviar sin problemas como Para toda

x, x2 = 1

y Existe x tal que x2

= 1.

La primera proposición incluye el cuantífícador universal "para toda", y está haciendo una afirmación (en este caso falsa) acerca de todos los enteros. La segun­ da proposición incluye el cuantificador existencíal "existe", y está haciendo una afirmación (en este caso verdadera) acerca de al menos un entero. Estos dos cuantificadores ocurren con tanta frecuencia que los matemáticos acostumbran usar el símbolo V para representar el cuantificador universal y el símbolo 3 para representar el cuantificador existencial. Es decir, se tiene

V

denota

"para toda",

3

denota

"existe".

Aun cuando en este libro no se usan estos símbolos, es importante que el lector sepa cómo leer las fórmulas en que aparezcan. Por ejemplo, la proposición

('lfx) (3y)(x +v

= O)

(entendida para enteros) se puede leer Para todo entero x, existe un entero y tal que x +y = O.

lk muriera similar, la proposición (3y)(Vx)(x +y = O)

ll

se puede. leer como Existe un entero y tal que para todo entero x, x + y = O. Estas dos proposiciones son muy diferentes; por ejemplo,_ l~_Primera es ve:da­ dera y la segunda es falsa. La moraleja es que el orden d~, apancion de los dos tipo~ diferentes de cuantificadores es muy importante. Tamb1en se debe_ subra~ar que si en una expresión matemática con cuantificadores intevienen vanas vanables, se debe suponer que los valores de las variables posteriores dependen de l~s valo:es de las variables mencionadas antes. Así, en la proposición (verdadera) t. antenor, el valor de y depende del valor de x; en este caso, si x = 2, entonces Y = ­2, en tanto que si x = 3, entonces y= ­3. Es importante que el lector sepa cómo negar una proposición que incluye cuantificadores. En principio, el método es simple. . a) Para demostrar que es falso que todo elemento x .de un con1unto.clado p~­ see cierta propiedad ff', basta presentar un solo crnrnft~aie.]ema:fo (es decir, un ele­ mento particular del conjunto que no posee esta propiedad); Y . b) Para demostrar que es falso que existe un elemento Y. en "" conjunto dad~ que satisface cierta propiedad :Y', es necesario probar que mngun elemento Y del conjunto tiene esa propiedad. ., Por Jo tanto, en el proceso de formar una negación

:Y

:Y

pasa a ser

(3x) no

no (3y) ,'Y

pasa a ser

(Vy) no§.

no (Vx) y de manera similar,

Cuando interviene 1 varios cuantificadores, estos cambios se usan repetidamente. Así, la negación de la proposición (verdadera) i dada anteriormente pasa a ser de manera sucesiva no (Vx) (3y) (x +y= O), (3x) no (3y) (x +y= (3x)

O),

(Vy) no (x +y= O),

(3x) (Vy) (x +y

* O).

La última proposición se puede expresar en palabras como: Existe un entero x tal que para toda y, x +y

* O.

412

1 t H 11( 'A V 1 >l\Mo:.i

HA< 'l 0)(3y

E

A)(y

E

(-8, 8)),

Y su negación se puede simbolizar como (38 > O)('v'y

E

(La ley del silogismo establece que si R1 => R2 y R2 => R3 son verdaderas, entonces R1 => R3 es verdadera.) Esta construcción no suele ser una tarea sencilla; puede requerir intuición y considerable esfuerzo. Con frecuencia también requiere experiencia y suerte. Al construir una demostración directa, con frecuencia se trabaja hacia adelan­ te a partir de P y hacia atrás a partir de Q. Nos interesan las consecuencias lógicas deP; es decir, las proposiciones Q1, ... , Qk tales que P => Qi' Y también se podrían examinar las proposiciones Pl' ... , P,. tales que P1 => Q. Si se puede trabajar hacia adelante a partir de P y hacia atrás a partir de Q de tal modo que la cadena "se co­ necte" en alguno de los pasos intermedios, entonces se tiene una demostración. Con frecuencia en el proceso de intentar establecer P => Q uno se encuentra con que se debe fortalecer la hipótesis (es decir, agregar hipótesis a P) o debilitar la conclu­ sión (es decir, reemplazar a Q por una consecuencia que no sea equivalente a Q). La mayoría de los estudiantes están familiarizados con las demostraciones "directas" del tipo descrito arriba, pero daremos aquí un ejemplo elemental. De­ mostremos el siguiente teorema.

Teorema l. El cuadrado de un entero impar también es un entero impar. Si se hace que n simbolice un entero, entonces la hipótesis es:

P: n es un entero impar. La conclusión del teorema es:

A)(y 9! ( ­B, 8))

o como

Q: n2 es un entero impar. Se necesita la definición de entero impar, por lo que se introduce la proposición

(38

> O)(A n (-8,B)

= 0).

Es firm~ opinión de los autores que, si bien el uso de este tipo de simbología con frecuen~ra ~esulta conveni~nte, no es un sustituto de la reflexión. De hecho, los lector~~ ?~dmanamen~e deb.eran razonar por sí mismos cuál es la negación de una propo~1c1on Y n~ confiar a ciegas en la simbología. Aun cuando una notación y sim­ b~Iogia convementes con frecuencia pueden ser un útil auxiliar para el razona­ miento, nunca pueden ser un sustituto adecuado del pensamiento y la comprensión.

R1: n = 2k + 1 para algún entero k. Se tiene entonces P => R 1. Se quiere deducir la proposición n2 = 2m + 1 para algún entero m, ya que ésta implicaría Q. Se puede obtener esta proposición usando álgebra

+ 1)2

R2: n2

=

(2k

R3: n2

=

2(2k2 + 2k) +l.

=

4k2

+ 4k + 1,

111'•

ti 14

Si se hace m = 2k2 + 2k, entonces m es un entero y se h11 dt·duddn 1:1 prop0Mi1 ·io11 R4: n2 = 2m + 1 Se tiene, por tanto, P => R1 => R2 => R3 => R4 => Q y el teorema se 1!;1 demostrado. Desde luego, esta es una manera complicada de presentar una demostración. Normalmente, la lógica formal se omite y el razonamiento se da en un estilo más literario con enunciados en lenguaje común. La demostración anterior se puede reescribir en un estilo más satisfactorio de la siguiente manera. Demostración del teorema 1. Si n es un entero impar, entonces n = 2k + 1 para algún entero k. Entonces el cuadrado de n está dado por n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) +l. Si se hace m = 2k2 + 2k, entonces mes un entero y n2 = 2m +l. Por lo tanto, n.2 es un entero impar. o.E.D. Por cierto, las letras "Q.E.D." se refieren a quod erat demonstrandum, sión en latín que significa "lo que se quería demostrar".

expre­

Demustración. Si a= O es falso, entonces como a > O se debe tener a> O. En este caso, si se escoge s0 = ia, entonces se tiene f0 > O y f0 < a, de donde la hipótesis O ,s; a < e para toda f > O es falsa. Q.E.D. Se presenta ahora un ejemplo más de una demostración por el contrapositivo. Teorema 4, Si m, n son números naturales tales que m

+ n ~ 20, entonces m

~ 10, o bien, n ~ 10. Demostración. Si la conclusión es falsa, entonces se cumplen las dos des­ igualdades m < 10 y n < 10. (Recuérdese la ley de De Morgan.) Entonces al sumarlas se obtiene m + n < 10 + 10 = 20, por lo que la hipótesis es falsa. Q.E.D.

ii Demostracíón por contradiccíón. Este método de dem~s~r~ción h~ce uso del hecho de que si Ces una contradicción (es decir, una proposicion que siempre es falsa, tal como "I =O"), entonces las dos proposiciones (P y (no Q))

=> C,

p =>Q

son equivalentes lógicos. Por tanto, P => Q se establece demostrando que la propo­ sición (P y (no Q)) implica una contradicción.

Demostraciones indirectas Hay básicamente dos tipos de demostración indirecta: i las demostraciones por el contrapositivo y ii las demostraciones por contradicción. Ambos se inician con el supuesto de que la conclusión Q es falsa, en otras palabras, que la proposi­ ción "no Q" es verdadera. i Demostraciones por el contraposítívo. En lugar de demostrar P => Q, se puede probar su contrapositivo, que es su equivalente lógico: no Q :=:> no P. Con­ sidérese el siguiente teorema.

Teorema 5. Sea a> O un número real. Si a> O, entonces l/a >O. Demostración. Se supone que la proposición a > O es verdadera Y que la proposición l/a >O es falsa. Por lo tanto, l/a ,s; O. Pero como a> O es verdadera, por las propiedades de orden deR se deduce que.~(1/a) ,s; º:Puesto que 1 a(l/a!, se deduce que 1 ~ O. Sin embargo, esta conclusión contradice el resultado conocí­

=

do d e que 1

Q.E.D.

> O.

Teorema 2. Si n es un entero y n2 es par, entonces n es par. La negación de "Q: n es par" es la proposición "no Q: n es impar". La hipóte­ sis "P: n2 es par" tiene una negación similar, por lo que el contrapositivo es la implicación: Si n es impar, entonces n2 es impar. Pero este es precisamente el teorema 1, el cual se demostró arriba. Por lo tanto, esto proporciona una demostra­ ción del teorema 2.

Hay varias demostraciones clásicas por contradicción (conocidas tam?!én como reductio ad absurdumi en la literatura matemática. Una es la demostración de que no hay ningún número racional r que satis;aga :2 ~~·(Este es e~ teore~a ~.1.7 en el texto.) Otra es la demostración del caracter rnflmt~ de los numero~ pnmos, la cual se encuentra en los Elementos de Euclides. Recuerdese que un numero,n~tu­ ral pes primo si sus únicos divisores son 1 y p. Se supon?rán los resultados básicos de que todo número primo es mayor que 1 y que todo numero natural mayor que 1

La demostración por el contrapositivo suele ser conveniente cuando el cuan­ tificador universal está presente, ya que la forma contrapositiva incluirá entonces el cuantificador existencial. El siguiente teorema es un ejemplo de esta situación.

es primo o divisible por un número primo. Teorema 6. (Elementos de Euclides, Libro IX, Proposición 20.) Hay una infinitud de números primos.

Teorema 3. Sea a ~ O un número real. Si para toda E> O se tiene O ,,;;; a entonces a = O.

< E,

Demostración. Si se supone, por contradicción que los números primos son finitos, entonces se puede suponer que S = {pl'... , p1 es el conjunto de todos los

J

números primos. Se hace m =p. . . . el . . 1 y se hace q m + 1 e pi/, producto P·1 para toda i vem · , . . "• cons1gu1ente q no es núme . E ' os que (J 110 está en ..S y que PO, entonces v no es cota inferior de S1 ya que u i tanto, inf S1 = O.

ur«

'OMl'NI >A< 'ION11.:j l'AltA 111111(< 'lt 'lt 1 "ti 1 1

1

1 11111\11111

3. Puesto que 1/n ~ 1 para toda 11 EN, 1 l.lS l'Uill llllJl('l 1411 do s,I' l'l'l'O l 1111 miembro de S3, de donde 1 = sup Sy (Ver el ejercido 2.'1.6.). 5. Si S está acotado por abajo, entonces S' := {­s: s ES} c:;lá acotado por 11n 1 ba, por lo que u := sup S' existe. Si v ~ s para todas ES, entonces ­11 ;. .1· para todas ES, por lo que -v ~ u y, por tanto, v ~ -u. En consecuencia, inf S =-u. 6. Sea u E S una cota superior de S. Si v es otra cota superior de S, entonces u ,~ v. Poftanto, u sup S. 8. Sea u := sup S. Puesto que u es una cota superior de S, también lo es u + l /11 para toda n EN. Puesto que u es el supremo de S. y u - 1/n < u, entonces existe s0 ES con u -1/n < s0, de donde u -1/n no es cota superior de S. 10. Puesto que sup S es cota superior de S, es cota superior de S0 y, por tanto, sup S0 ~ supS. 11. Considerar dos casos. Si u > s", entonces u= sup (SU {u}). Si u< s", entonces existes ES tal que u < s ~ s", por lo que s* = sup (S U {u}).

=

SECCIÓN 2.5 l. El número O es cota inferior del conjunto, y si y > O, entonces existe una n EN tal que O < l/n Nl'S l'AllA 1111\IH RI'.( 'OMl'.Nll A( "

1(

u,,,'''''

. > N entonces o < X < y n' •, 7. ·1) Existe N., tal que st n l' O e~iste e > o· Y una subsuces1on ~) Sea O < < M. Si (y") no convergl~a ( , /Y ) existe K tal que si k > 9. o tal que si O c 'f( )­L\O

e=

o:=

e\.

SECCIÓN 4.2 l. a) 10 e) 1/12 d l denominador por ..Jf + 2x + .J1"+3x. s \f (x) (x) _O\ ,,,;;; Af\g(x) ­ O\ para x e 3. Multiplicar el numera or Y e 5. Si \f(x)i.:; M para x E Y.s(c), entonce g V 0(c). _ (! + )(x) _ f(x). 9. a) Obsérvese que g(x) g) ·­ x2 (x) := 1/x para x >O. b) No; por ejemplo. tomar f(x .Yg 11. a) El límite no existe. b) O

SECCIÓN 3.5 3. a) Obsérvese que (­1)11­(­1)"+1 = 2 para toda n EN. 6. Sea u:= sup {xn: n EN}. Si e> O, seaHtal que z, -e l/e. 5. No. Como en el ejemplo 3.4.5 e), existe una subsucesión (nk) tal que nk sen (nk) > nk/2, y existe una subsucesión (mk) tal que mk sen (mk) < -md2.

SECCIÓN 4.3 < l/a y en consecuencia, f(x) > .0 < 1/az entonces x ' 3. Dada a > O, si < x ' ales uiera lím f(x) = r:t:J, a. Puesto que a es un valor cu q ' x-->O < /( ­1)· se tiene por tanto . < x < a/(a ­1), entonces a x x ' S. a) S1 a> 1 Y 1

que }~ + x/(x - 1) = oo~ ces a< 2 ..JX y, por tanto, «< (x + 2)/­Ji· e) Si a> 0 y 0 < x < 4/a ento(~)/x ~e donde el límite por la derecha e) Six>O,entoncesl/"Jx< x+ ' es+ ce, g) l. 7. Usar el teorema 4.3.11.

e

RE(.;OMl\NDACIONrn­l

l'ARA

Rl\C'()MJ'Nl>A( 'lt lNJl.S 1'/\l{A 1\.11'.lH • l r:.• 1 OS. SJll . , • JIC( ­ 'IONADOS

1\.11\l{( 'I( '11 l:I M ,1 l'I 1 111111\I ti Hl

º·

7. En el intervalo [0.7390, 7391]. f(O) _ 1 f(7r:/2) > l, se sigue que x0 9. Puesto que f(n/4) < 1, en tanto que . ­ y · d d-8 y (x) e I en la 'O /2) Si cos x > x2 entonces existe una vecm a o o ­ e \ , 7r: • o es un punto mínimo absoluto de f. cual f(x) = cos x, .de don ~ X(o~º1) bajo fes [O 1), por lo que la imagen de 12. Obsérvese que la imagen e , '. un intervalo abierto puede no ser un intervalo abierto.

9. Existe a > O tal que ,xf(x) -L < 1 siempre que ) 11•. l'or tanto, f( 1) (L + 1)/x para x > a. 13. No. Si h(x) := f(x)­ g(x), entonces x-+o:> lím h(x) =O y se tiene que f(x)/g(x) 1 + h(x)/g(x)-> l.

d

=

i!:

SECCIÓN 5.1

~~nsiderar g(x) :::;: 1/x para x enl :::;: (O, 1).

4. a) Continua si e i= O, ±1, ±2, .... e) Continua si sen e-:/= O, l. 5. Sí. Definir /(2) := lím /(x) = 5.

SECCIÓN 5.4

x-+2

7. Sea e:= f(c)/2 y sea 8> O tal que si x-c < 8, entonces f(x)­ /(e) /(e)­ e = /(c)/2 >O. 9. b) Sea /(x) := 1 para x ~O, /(x) := ­1 para x if(n + 1)­ f(n)! = lf'(x,,)/ ~ lb//2. e ar oux a los resultados de a) y b).

SECCIÓN 6.3 l. A = B [ Jí_giJ(x)/g(x)]=O

=

· ª

8. a) O 9. a) 1 10. a) 1

o

b) O b) 1 b) 1

c) O e) e3

c)(O,/

*O

·

d) O d) 0 d) 0

'/

SECCIÓN

=

9. 11. 13. 14. 16. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

6.2

4. O)bsérvese que f'(O) o; pero que f'(x) no existe si x 6 1 b) 1 e) O d) 1/3 7. a) 1 b) co e) d) 0

l(l'f 1111'\ 11 l

6.4

u 1¡\t

l 1 11 l l 1' I'/\ lll\ Jl.l hlH '!( 'IOS SlOS

U,,(x) r .1·11 "/11 ! ­• O cuando ti ­> oo Con 11 = 4, log 1.5 = 0.40; con n = 7, log 1.5 = 0.405. e= 2.718 281 8 con n = 11 a) No b) No e) No d) Mínimo relativo Considerar f (x) := x x en a = O. Puesto que f(2) O, hay una solución de valor de x4 es aproximadamente 2.094 5515. r1 = 1.452 626 88 y r2 = ­1.164 035 14 r = 1.324 717 96 r1 == 0.158 594 34 y r, = 3.146 193 22 r1 0.5 y r2 = 0.809 016 99 r = O. 739 085 13

f

6. Rz(0.2) < 0.0005 y Rz(l) < 0.0625 . 7. Rz(x) = (1/6)(10/27)(1 + c)-B/3x3 < (5/81)x3, donde O< e< x

en [2.0, 2.2]. El

=

SECCIÓN

7.1

l. Demostrar que siP es cualquier partición de [a, b], entoncesL(P; f) = U(P; f) c(b-a). 2. Considerar Pe:= (O,!, ­ e,~ +e, 1). 5. Demostrar que L(P11; f) = (1­1/n)2/4 y U(P,,; f) = (1 + l/n)2/4. 7. Dada e> O, escoger e E (a, b) en la proximidad de a. Si Qe es una partición de [e, b] tal que U(Qe;f)-L(Qe;f) O para alguna e El, usar el teorema 4.2.9 para encontrar una parti­ ción P 0 de I tal que L(P0; f) > O. 11. Evidentemente, L(P; h) = O para toda P. Si e > O, construir una partición Pe tal que U(Pe; h) < e. 13. Considerar el ejemplo 7.1.7 d). 15. Dada e > O, encerrar cada discontinuidad en K intervalos disjuntos [a k' bd con longitud total< e/4My con índices tales que bk < ak+ 1, k = 1, ... , K. En cada uno de los conjuntos [a, a1], [bk, a k + 1], [bK, b] la función es uniforme­ mente continua. 17. Examinar la demostración de 7.1.12. 19. a) Con la notación de 7.1.2, se tiene !mk¡, !m;¡, :m¡'I ~¡¡¡¡¡.Por tanto, O~ L(P';f)-L(P;f) = (m~-mk)(z-xk-1) + (mt-mk)(xk-z) ~ 2i!fi:(xk -xk-1) ~ 2llfil · llPll·

=

SECCIÓN 7.2 l. a) Puesto que inf {kf(x): x

1. J O fija, demostrar que si g(x) := L(xy) -L(x), entonces g'(x) =O para toda x >O y g(l) = L(y). 17. Si F(x) := N f, entonces F '(x) = O para toda x E I y F(O) = O. 19. Si 8 >O, entoncesM­ e< f(x) paraxen algún intervalo [e, d] i:;;; [a, b]. Usar el ejemplo 3.1.11 d). 20. a) (23/2­1)/3 b) ~­1 e) 52/9 d) (4/3)(33/2 _ 23/2) 21. a) 4(1 ­ log(5 /3)) b) (135/2 _ 55/2)/10 _ (133/2 _ 53/2)/2 e) log(3 + 2../2)­ log 3 d) n/4­Arctan (1/2) 22. a) 2(1­ n/4) b) 2 log 2 ­1 c) 2­Ji + 4 log(2­­J2) d) .J8 + (1 /2) log (('18­1/(.JS + 1)) 23. Si g(x) ~ M para x E J, demostrar que g(x) ~ MKn(x - a)"/n!. Aplicar ahora el ejercicio 3.2.15 c). 25. Sea t := tt+-8(b - a) para e E (O, 1] y escribir + 1 /01(1

­ e) t'"

+ 1l(a

SECCH)N

~ tu-, Jf/) ~;; U(P; j')

SECCIÓN 7.3

Rn;; (1/n!)(b - a)n

ll ll\l lt l! !Htl 111\IV\ IUl~JH '1< 'l O, por 8.3.13 se sigue que x >­> x" es estrictamente creciente. Puesto que l~n L(x) = ­r­oc, usar 8.3.7 para demostrar que lím x" =O. x O+ x-0+ 15. Usar 8.3.14 y 8.3.9 vii.

=

SE 2 x, entonces cos x - C,,(x) ~ (16/15) x 2"/(2n)!. Por tanto, cos (0.2) ""0.980 067, cos 1 """0.540 302. 3. Usar 8.4.8 ix y el hecho de que el seno es una función impar. 5. El ejercicio 8.4.4 indica que C4(x),,,; cos x,,,; Cix) para toda x ER. Al inte­ grar varias veces se obtiene Six),,,; sen x,,,; S5(x) para toda x >O. Demostrar que sp.05) >O y que S5(3.15) O y conver­• gencia no uniforme paraR\{O}. e) Convergencia enR; convergencia uni­ forme para x ~ a. 3. Si Ia serie converge uniformemente, entonces· e11 sen nx + · · · + e211 sen 2nx < e para n suficientemente grande. Ahora x se restringe a un intervalo en el que sen kx > 1/2 para n ~ k ~ 2n. 6. a) R = ce, e) R = 1/e. e) R = 4. 7. Ambos radios « l. 9. Por 3.1.11 d) se tiene p1/n ..-. l. 11. Usar el teorema de Taylor 6.4.1. 12. Si n EN, existe un polinomio P,. tal que ¡Cnl(x) = e-11x2P/l/x) para x =I= O. 15. En este caso s,.(x) = (1­x11+1)/(1 ­x).

•ll'

lllil'OMl1NllAl'lllNIUJl'AliAHlllJH'll'lll

I 'L.

11 nccr 1111 cumhio' de vurinhlc cu el ejercicio mu ().11.J l.

i1111111111

10'1 i HvH•l li 11\I 11lf11

1111•

O, por lo que existe nx EN tal que x - 1 > 1/nx, de donde x ~ (O, 1 + 1/n). 7. Por el corolario 2.5.6 del teorema de densidad se sigue toda vecindad de un pun~o x en ~ contiene un punto que no está en Q, por lo que Q' no es un conjunto abierto. 10. Obsérvese quex es un punto frontera de A toda vecindad V dex contiene puntos de A y puntos de .ef (A) x es un punto frontera de .ef(A). 12. Sea F cerrado y sea x un punto frontera de F. Si x ~ F, entonces x E ­({(F). Puesto que -G' (A) es un conjunto abierto, existe una vecindad V de x tal que V ­ef (A), lo cual contradice la hipótesis de que x es un punto frontera de F. Recíprocamente, si F contiene a todos sus puntos frontera y si y ~ F, entonces Y no es un punto ~ront~ra de F, por lo que existe una vecindad V de y tal que V .ef(F). Esto implica que -ef(F) es abierto, por lo que Fes cerrado. 14. Puesto que A: es la unión de subconjuntos de A, se tieneAº e A. Se sigue que (Aº)° Aº. Puesto que Aº es un subconjunto abierto de Aº y(Aº)º es la unión de todos los conjuntos contenidos en Aº, entonces Aº (Aº)º. 17. Tomar A= Q. 20. Si E G, entonces como Ges abierto, existe e> O con (a - e, a +e) G. Esto contradice la definición de ax· x x

s s

ªx

IO.J

b) Si /:=(a, b) donde a< O< b, entonces f(l) =[O, e) donde e es el mayor de a2 y b2. 3. ¡­1(G) = ¡­1 ([O, e))= [1, 1 + e2) =(O, 1 + e2) n J. 5. ¡­1((­oo, a)) es la imagen inversa del conjunto abierto (­oo, a). 7. Si x11 E Res tal que f(x11) = k para toda n EN y si x = lím (x,,), entonces f(x) = lím (f (x11)) = k.

(sen x)2" dx = (ir/2)(1 · 3 · 5 · · · (2n ­1))/(2 · 4 · 6 · · · 2n).

s

,¡,11

1.

(Tr/2 }0

S!l'.CCl.ÓN

l't\lll\ l• 11'1(1 'I< '11 )~; ~.¡q I'( 'e '11 ll IAI H l~i

s

s

SECCIÓN 10.2 l. Sea G11 := (1 + 1/n, 3) para n EN. 4. Obsérv~se que ~i .§es una cubierta abierta de F, entonces .§n {ef(F)} es una cubierta abierta de K. 7. Sea K11 := [O, n] paran EN. 8. Usar el teorema de Heine­Borel. 10. Puesto que K está acotado, inf K existe. Paran EN, sea K,, := { k E K: k ~ (inf K) + 1/n }. Se aplica ahora el ejercicio 10.2.9. (Otra opción es usar el teorema 10.2.6.J 11. ParaneN,seax11eKtalque c-x11 ~inf{c­x:xEK}+l/n.Seaplica ahora el teorema 10.2.6.

SECCIÓN 10.4 l. SiP1:=(xl'y1), P2:=(x2,Yi), P3:;::(x3,y3), entonces d1(PpP2)~('x1 -x3 + x3-x2)+(y1-y3 + y3­y2)=d1(P"P3)+d1(P3,P2).Portanto,d1 satisface la desigualdad del triángulo. 3. Se tienes =F t si y sólo si d(s, t) =l. Sis=/= t, el valor de d(s, u)+ d(u, t) es 1, o bien, 2, dependiendo de si si u es igual a s o a t, o a ninguno de los dos. 5. Si (x11), (y,,) converge ax, y, entonces d(P11, P) = x11 -x + y11 - j _,.O, por l~ que (P ) converge a P. Recíprocamente, puesto que x,, - x ~ d(P,,, P), s1 d(P' P)--> O entonces lím (x ) = x· se procede de manera similar para (y,,). n' ' 11 ' • 7. Demostrar que un conjunto compuesto por un solo punto es abierto. Enton­ ces se sigue que cualquier conjunto es un conjunto abierto, lo cual a su vez implica que cualquier conjunto es un conjunto cerrado. 9. Para una y E V0(x) dada, sea 15 := e - d(x, y); entonces 15 > O. Demostrar que V6(y) V/x). Puesto que y es un valor cualesquiera, se deduce que Ve(x) es un conjunto abierto. 12. Modificar la demostración del teorema 10.2.4.

s

fNDICI ~ /\NJ\LÍ1.,1CO

Absurdum, ver Reductio Acotada(o): conjunto, 59, 400 función, 139, 171 sucesión, 96 teorema de convergencia, 305 Antiderivada, 278 Axioma, 405 Axioma de selección, 82 Bernoulli, Johann, 227 Bicondicional, 409 Biyección, 27 Cambio de variable, 284 Campo, 37 Canis Lupus, 218 Cantor, Georg, 75 Cauchy: criterio de condensación de, 350 criterio de convergencia de, 120, 316, 345,367 criterio de)a raíz de, 352 desigualdad de, 50 sucesión de, 119, 397 teorema del valor medio de, 228 Clase, 15 Cociente: de funciones, 139 de sucesiones, 140 Cola de una sucesión, 92 Compacidad, preservación de la, 391, 400 Complemento de un conjunto, 19, 20 Composición de funciones, 28, 168 Computadoras, 73, 86 Condición de Lipschitz, 226 Condicional, la, 408 Conjunción, 407 Conjunto(s): abierto, 376, 399

acotado, 59, 401 cerrado, 376, 399 compacto, 384 complemento de, 19 complemento con respecto, 19 contable, 78 contiene/está contenido en, 15 de Cantor, 381 diferencia simétrica de, 21 disjunto, 17 enumerable, 78 finito, 76 iguales, 16 inclusión de, 16 incontable, 78 ínfimo de, 59 infinito, 76 intersección de, 17 intervalos, 68 ss. no acotado, 59 producto canesiano de, 20 punto de acumulación de, 130 punto frontera de, 383 punto interior de, 383 que no se intersecan, 17 supremo de, 59 unión de, 17 vacío, 17 Conjunto abierto, 376, 399 Conjunto cerrado, 376, 399 Conjunto compacto, 384 ss. Conjunto contable, 78 Conjunto de Cantor, 381 Conjunto enumerable, 78 _Conjunto finito, 76 Conjunto infinito, 76 Conjunto vacío, 17 Conjuntos disjuntos, 17 Constante de Euler (C), 360

f11J INJ)l('J•.ANAI

Continuidad, 28 ss., 389 ss. global, 390 uniforme, 179 ss. Continuidad uniforme, 179 ss., 392 Continuo (continuum), 70 Contradicción, 406 demostración por, 415 Contradominio de una función, 23 Contraejemplo, 411 Contrapositivo (antítesis), 408 demostración por, 414 Convergencia: absoluta, 345 de una serie de funciones, 366 ss. de una sucesión, 88, 126 de una sucesión de funciones, 309 ss. en un espacio métrico, 397 intervalo de, 369 radio de, 369 uniforme, 313, 367 Convergencia absoluta, 345 Convergencia condicional, 346 Convergencia uniforme: de una serie, 367 de una sucesión, 313 Coseno, 338 Cota: inferior, 58 ~ máxima inferior, 59 mínima superior, 59 superior, 58 Criterio: de la n­ésima derivada, 220 de la primera derivada, 220 Criterio de Abel, 364 Criterio de Dirichlet, 363 Criterio de discontinuidad, 161 Criterio de la integral para series, 354 Criterio de la primera derivada, 220 Criterio de la razón, 103, 353 Criterio de­la segunda derivada, 242 Criterio de Raabe, 357 Criterio de razón de D' Alambert, 353 Criterios de comparación, 127, 351 Criterios de convergencia de series, 351 ss, Cuantificador existencial, 410 Cuantificador universal, 410

ll< ¡r ¡\NAI 1'11< '()

l'J'J('()

Darboux, (:11:,11111,

\'.>.'.

Dccimai t'inito, 711 Decimal periódico, 74 Demostración: directa, 413 indirecta, 414 por contradicción, 415 por el contrapositivo, 414 Demostración directa, 413 Demostraciones indirectas, 414 Derivabilidad uniforme, 226 Derivada, 204 de orden superior, 236 segunda, 237 Derivadas de orden superior, 236 Desarrollo del binomio, 374 Descartes, René, 203, 251 Desigualdad: aritmética­geométrica, 49, 334 de Bernoulli, 50, 222 de Cauchy, 40 de Holder, 223 del triángulo, 51, 54, 395 Desigualdad de Bernoulli, 50, 222 Desigualdad del triángulo, 51, 54, 395 Diferencia: de dos funciones, 140 de dos sucesiones, 87 simétrica, 21 Diferencia asimétrica, 21 Distancia, 56, 395 Disyunción, 407 Divergencia: de una función, 132, 136 de una sucesión, 88, 112, 126 División en R, 42 Doble implicación, 409 Doble negación, 407 Dominio de una función, 24 Elemento cero, 38 Elemento de un conjunto, 15 Elemento idéntico: de R, 39 de una operación binaria, 44 Elemento unitario, 39

Fntcros,

16

Equivalencia lógica, 406 Espacio métrico, 394 ss. Espacio métrico completo, ~98 Excluido, principio del medio, 406 Exponentes, 42 Extensión de una función, 26 Extremo relativo, 216, 220, 240 Falacia, 406 Fermat, Pierre de, 203, 251 Flexiones, 203 Formas indeterminadas, 227 Función(es), 22 ss. aditiva, 170, 193 acotada, 139, 171 biyectiva, 27 cociente de, 140 compuesta, 28, 168 continua, 159 ss., 400 contradominio de, 24 convexa,241 creciente, 191, 219 de Bessel, 221 de Lipschitz, 183 de potencias, 124, 136 de Thomae, 162, 272, 283 decreciente, 191, 219 del entero mayor, 170 del seno inverso, 214 derivable, 204 derivada de, 204 diferencia de, 140 dominio de, 24 escalonada, 186 exponencial, 327 extensión de, 26 gráfica de, 24 hiperbólico, 341 imagen de, 24 imagen directa de, 26 imagen inversa de, 26 impar, 215 integrable, 256 inversa, 28, 195 ss., 221 ss. inyectiva, 27 límite de, 129 ss. lineal por partes, 188

logarítmica, 129 ss., 329 métrico, 395 monótona, 191 múltiplo de, 140 no derivable, 205 par, 215 periódica, 191 polinómica, 144, 166, 189 racional, 144, 166 raíz cuadrada, 66 raíz 11­ésima, 196 ss. restricción de, 25 salto de, 193 signo, 137 sobre, 27 sucesión de, 309 ss. suma de, 140 suprayectiva, 27 trigonométricas, 335 ss. uno a uno, 27 valores de, 24 Función aditiva, 170, 193 Función convexa, 242 Función creciente, 191, 219 Función de Thomae, 162, 272, 283 Función decreciente, 191, 219 Función del entero mayor, 164 cota mínima(= ínfimo), 58 Función derivable, 204 uniformemente, 226 Función discontinua de Dirichlet, 161 Función exponencial, 325 ss. Función impar, 215 Función inyectiva, 27 Función lineal por partes, 188 Función métrica,"395 Función par, 215 Función periódica, 191 Función signo, 137 Función suprayectiva, 27 Funciones de Bessel, 221 Funciones hiperbólicas, 341 Funciones no derivables, 205 Funciones trigonométricas, 335 ss. Ga/lus gallus, 406 Gráfica, 24

ÍNl)I( 'H ANAi Í'l 1< '< 1

Hipótesis, 408 de inducción, 32 Imagen, 24, 26 Imagen directa, 26 Implicación, 408 Inducción fuerte, 35 Inducción matemática, 31 ss. Inferior: cota, 58 integral, 255 suma, 253 Ínfimo, 59 Innu1rerabilidad de R, 81

Instancia, en última, 92 Integración aproximada, 296 ss. Integral, 256 elíptica, 374 impropia, 291 ss. indefinida, 278 inferior, 255 superior, 255 Integral de Lebesgue, 251, 257 Integral de Riemann­Stieltjes, 257 Integral elíptica, 374 Integral indefinida, 278 Integral por partes, 278 Integrales impropias, 291 ss. Interior: de un conjunto, 384 punto, 383 teorema del extremo, 216 Intersección de conjuntos, 17, 19 Intervalo(s), 68 ss. anidados, 70 ss. caracterización de, 176 conservación de, 178 de convergencia, 369 longitud de, 69 Intervalo abierto, 68 Intervalo cerrado, 691 Intervalo semiabierto, 69 Intervalo semicerrado, 69 Inversa: función, 27, 195 SS., 211 SS. imagen, 26 Inyección, 27 Juego K (E), 89

Ir H llf

Lagrange, .r. L.. 1 11, Lebcsguc, l Icnri, 272 Leibnitz: criterio de, para series alternas, 362 regla de, 247 Leibnitz, Gottfried, 203, 251 Lema de Abe!, 363 Leyes de De Morgan, 20, 22, 407 L'Hospital, G. F., 227 Límite(s): criterio de comparación, 127, 351 de una función, 23 ss. de una sucesión, 88 inferior, 11 l infinito, 151 ss. superior, 111, 369 unilateral, 148 Límites por un lado, 148 Límites infinitos, J 51 ss. Logaritmos, 284, 329 ss. Longitud de un intervalo, 69 Mapeo, ver Función Máquina, 25 Máximo absoluto, 171 Máximo relativo, 216 Media aritmética, 49, 334 Media geométrica, 49 Medida cero, 272 Medio excluido, principio del, 406 Método de Newton, 243 ss. Miembro de un conjunto, 15 M'.n!ma cota superior(= supremo), 58 Mínimo absoluto, 172 Mínimo relativo, 216 Molino de carne, 25 Monótona: función, l91 sucesión, 105 teorema de la subsucesión 87 Múltiplo de una sucesión,

87

Negación, 407 Newton, Isaac, 203,'251 Norma de una función, 312 Norma (o malla) de una partición 289 Norma uniforme, 314 ' Numerabilidad de Q, 80

Número(s): irracionales, 16, 43 naturales, 16, 42 racionales, 16, 42 reales, 16, 37 ss. Número de Euler (e), 110, 327 Número impar, 43 Número irracional, 43 Número par, 43 Número racional, 16, 42 Números naturales, 16 Números negativos, 44 Números reales, 16, 37 ss. potencias de, 199, 331 Operación binaria, 38, 44 , Par ordenado, 20 Partición, 252 norma, 183 refinamiento, 254 Pico, 116 Polinomio: de Bernstein, 189 de Taylor, 237 Polinomio de Taylor, 237 Positiva( o): clase, 44 número, 45 Potencia(s): de un número real, 42, 199, 331 funciones de, 199, 331 series de, 368 Preservación: de intervalos, 178 de la compacidad, 391, 400 Principios del palomar, 77 Producfo: de conjuntos, 20 ele funciones, 140 de sucesiones, 87 teorema del, 272 Producto cartesiano, 20 Progresión geométrica, 34 Propiedad, 16 Propiedad asociativa, 18, 38, 44 Propiedad conmutativa, 18, 38, 44

'11. ANAl.Í 111 '11

• 11

Propiedad de Arquímedes, 63 Propiedad de completitud de R, 5H s1i. Propiedad de idempotencia, 18 Propiedad de los intervalos anldadon, / 1 Propiedad de tricotomía, 44 Propiedad del buen orden, 31 Propiedad del ínfimo, 61 Propiedad distributiva, 18, 39, 1111 Propiedades algebráicas de R, .lH 1iM Propiedades de los conjuntos ce 11111 h •~ 377 Propiedades de los conjuntos ab!io1 l111, 377 Propiedades de orden de R, 44 s~. Proposición, 406 Punto: de acumulación, 129 frontera, 383 interior, 383 intermedio, 286 Punto de acumulación, 129 Punto fijo, 400 Punto frontera, 383 Puntos antípodas, 178 Puntos terminales de intervalos, 69 /11 Quod erat demostrandum, 414 Radio de convergencia, 369 Raíz(ces): criterio de la, 352 existencia de, 66, 68 funciones de, 196 ss. localización de, 174 método de Newton, 243 ss. Raíz cuadrada de 2: cálculo, 109 carácter irracional, 44 existencia, 64 Rayos, 69 Recíproco, 39, 409 Reductio ad absurdum, 415 Refinamiento de una partición, 254 Regla de la cadena, 208 Regla de Simpson, 304 ss. Regla del punto medio, 302 ss. Reglas ele L'Hospital, 227 ss.

IN1J11

l{cprcsc1llat:ió11 hi1111ri11, '/'2 ss. Representación decimal, 73 sx. Residuo:

en el teorema de Taylor, 238 forma de Cauchy, 286 forma de Lagrange, 238 forma integral, 283 Restricción de una función 25 Riemann: ' criterio de integrabilidad de 259 integral de, 256 ' suma de, 286 Riemann, Bernhard, 25l Salto de una función, 193 Selección, axioma de, 32 Seno,346 Serie(s), 343 absolutamente convergentes, 345 alternante, 362 condicionalmente convergentes 346 de funciones, 366 ss. ' de potencias, 368 ss. de Taylor, 372 geométrica, 346 hipergeométrica, 361 reordenamientos de, 348 serie­p, 347 sin seis, 36 l Ser!e armónica, 122­123, 347 Sene de Taylor, 372 Serie geométrica, 346, 374 Serie sin seis, 361 Serie­p, 347 Series alternantes, 362 Sef~i!s hipcrgeométricas, 361 Senes infinitas, 343 ss. Subconjunto, 16 Subcubierta, 385 Subsucesión, 112 Sucesión(es), 29, 30 ss. acotada, 96 barajada, 118 cociente de, 87 cola de, 87 constante, 87 contractiva, 123

'11 i\l lt\l l'l ltU COllVCl}',l'lll 111 lllllJ1111111· dr, \ l ,1 co11vergr11l1:, llH de Cauchy, 1 J IJ de Fibonacci, 87 de funciones, 309 ss. diferencia de, 87 divergente, 88 inductiva, 86 límite de, 88 monótona, 106 múltiplo de, 87 no acotada, 127 producto de, 87 propiamente divergentes, 126 recursiva, 86 subsucesión de, 112 suma de, 87 término de, 29, 85 valores de, 85 Sucesión barajada, 118 Sucesión contractiva, 123 Sucesión creciente, 105 Sucesión de Fibonacci, 37 Sucesión decreciente, 106 Sucesión propiamente divergente, 126 ss. Suma: de funciones, 140 de la serie, 344 de Riemann, 286 ele sucesiones, 86 parciales, 344, 366 Sumas parciales, 344, 363 Superior: cota, 58 integral, 255 suma, 253 Suprayección, 27 Supremo, 59 iterados, 68 propiedad del, 61 Supremos iterados, 68 Sustracción en R, 42

Tautología, 406 Taylor, Brook, 236 Teorema de aproximación, 185 ss. Teorema de aproximación de Bernstein, l 90

.l corcuu: iil' l lnl~.1111