Introduccion Al Analisis Matematico - A. Venero B

April 27, 2017 | Author: Jose del Carmen de la O | Category: N/A

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INTRODUCCION

AL

A N A L ISIS MATEMATICO

LOGICA Y CONJUNTOS NUMEROS REALES

GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL INDUCCION MATEMATICA - SUMATORIAS

A .Venero 3.

IN T R O D U C C IO N A A N A L IS IS

l

M A T E M A T IC O

J. ARMANDO VENERO BALDEON LICENCIADO EN MATEMATICAS FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA ESTUDIOS DE MAGISTER EN MATEMATICAS PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

EDICION

LIMA

REVISADA

1995

PERU

INTRODUCCION AL ANALISIS MATEMATICO

A V E N E R O B.

Iapreso en el Perú

Printed in Perú

Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, de este libro sin la autorización legal del autor:

REPRESENTACIONES GEMAR LIMA - PERD.

PROLOGO

Este libro esti dirigido a la formación del'razonamiento cien tífico de ios alumnos del primer iñu de las carreras de Ciencias e Ingeniería, y coi sta d e dos partea : 1.

Los fundamentos del Análisia Matemático :

Lógica, Conjuntoa, Números

Realea, Valor Absoluto, Máximo Entero, Conjuntos Acotados, Inducción Matemática y Sumatorias. 2.

La G E O M E T R I A A N A L I T I C A V E C T O R I A L en el Plano y en el Espacio. E n la presentación del texto se ha puesto u n interéa muy

particular en el enfoque intuitivo y geométrico, sin dejar de lado el auficien te rigor qu e se requiere a eate nivel del aprendizaje de las Matemáticas Su periores.

Se ha complementado la parte teórica - práctica del texto con Se

ries de F roblei as Propuestos,

los cuales tienen su Clave de Respuestas in

mediata mente al final de cada serie. Los Capítulos N ES L O G I C A S

y

1

y

2

que tratan de

LA TE O R IA DE CO N JU N TO S

L A S P R O P O S IC IO

resptrtil imente, siendo sen

cilloa, son imprescindibles en cualquier eatudio organizado de las Ciencias o las Hum anidades.

Ambos temas e„t¿n reladonadoa de tal forma que se pue

de considerar a cualquier

de ellos como imagen del otro,

y son expueatos

como complemento a lo que ya se conoce deade loa estudios aecundarios. El Capítulo

3 , titulado

al Sistema de los Númeroa denominados axiomas y propiedi tal,

lea;

L O S N U M E R O S R E A L E S , estudia REALES

y está orientado a presentar la*i i icnicL

IN E C U A C IO N E S ,

en lo que se refiere a aus

requiere u n conocimiento básico del Algebra Elemen para resolver E C U A C I O N E S e

laa que taubien incluyen R A D I C A L E S .

se incluye el estudio del

VALOR ABSOLU TO

y del

E n este Capitulo,

M A X IM O E N T E R O c i n

plementada con u n a regular cantidad de Ejercicios y Problemas resueltos, una parte de los cuales fueron tomadas en prácticas y exámenes en la U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E IN G E N IE R IA , A partir del Capítulo hasta el Capítulo DERNA las

8 ,

y otra parte son inédito! 4

qu e estudia a lo

se trata al tema de la

VECTORES , y

G E O M E T R IA A N A L I T I C A M O

en el Plano, desde un enfoque V E C T O R I A L ;

R E C T A S , C IR C U N F E R E N C IA S Y C O N IC A S

esto permite ei tudiar

en una forma elegante y sen

cilla. En el Capítulo el Plano a la

9

se extienden los conceptos anterior«.,

en

G E O M E T R I A A N A L I T I C A V E C T O R I A L EN E L E S P A C I O . El libro termini con u n Capítulo referente a la técnic:i de ka

IN D U C C IO N M A T E M A T IC A

-

y a las

S U M A T O R IA S .

i

Siendo el objetivo inmeUirto d e este texto el de conseguir una sóliJa fon

:acií n lógico-matemática, desarrollando al mismo tiempo el aspee

to intuitivo en esti

*rea

rado p a n . acceder al F E R E N C IA L

con el material aquí tratado el alumno estará prepa

A N A L IS IS M A T E M A T I C O

en lo que al

C A L C U L O D I

se refiere.

Aprovecho estas líneas finales paâ agradecer muy slnên n.ente a miscolége» de las diferentes Universidades en las que he enseñado, por haberme ayudn ‘o con sua sugerencias para la elaboración d e este texto.

J. ARM ANDO VENERO B .

GONtTEKIOO

CAPITULO 1 2 3 4 5

2

LOGICA

Proposición Lógica Conectivos Lógicos : Disyunción, Conjunción, Negación, Condl clona1 y Blcondlclonal. Proposiciones Compuestas Tautología y Contradicción. Implicación Lógica y Equivalencia

1

Lógica. Proposiciones Equivalentes Leyes del Algebra de Proposiciones Razonamiento Lógico. Argumentos VSlIdos. Métodos de Demostra ción

6 7

CAPITULO 1

1.

2.

13

CONJUNTOS

Conjuntos y Cuantlflcadores. flcadores

Intervalos.

Negación con Cuantl19

3

Subconjuntos. Conjunto Unitario, Conjunto Vacio, Conjunto Universal. Conjuntos Iguales Operaciones entre Conjuntos : Unión, Intersección, Complemen to. Diferencia, Diferencia Simétrica. Representación Griflca en Diagramas de Venn

4 5

Leyes del Algebra de Conjuntos Propiedades Adicionales

6 7

El Conjunto Potencia Número de Elementos de un Conjunto A :

i

1

n(A)

25

28 30 36 40 43

CAPITULO 1 2 3 4 5

3.

LOS NUMEROS RFAt.ES

El Sistema de los Números Reales Ecuaci ' es Lineales y Cuadráticas. Método de Completar Cuadrados La RelaclOh de Orden. Desigualdades Linea.es y Cuadráticas. GeneralIzacICn. Regla de los Signos Regla Gráfica de los Signos para resolvî Inecuaciones. Método práctico Propiedades de las Raíces de la EcuaciOn de 2° Grado :

48 54 56 .

a*2 + bx + c ■ 0

62 67

6 7

Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales VALOR ABSOLUTO. Propiedades. Teoremas relativos a las Ecua

B

MA'IMO ENTERO.

clones e Inecuaciones con Valor Absoluto

.

72

.

89

.

110

.

120

..

)3d

Puntos en el Plano 3 El Algebra Vectorial Bldlmenslonal 4 Representación Geométrica de los "ectores

..

138

..

140

5 Paralelismo de Vectores 6 Longitud 6 NORIA de un Vector. Víctores Unitarios 7 Angulo de Inclinación de un Vector en el Plano B Ortogonalldad y Producto Escalar. Desigualdad deCauchy-

..

150

..

153

..

156

..

160

..

172

..

1B6

..

188

Prpledades

9 CONJUNTOS ACOTALOS. Cota Superior, Cota Inferior. El SUPRE MO y el INFIMO de un conjunto de mineros Reales. El Máximo y el Minino de un conjunto de nún..ros Reales

CAPITULO

«i.

VECTORES EN EL PLANO

1 Introducción 2 El Sistema de Coordenadas Cartesianas.

DISTANCIA entre dos

Srhwarz 9 Combinación Lineal de Vectores. Independencia Lineal de un conjunto de Vectores. Propie ades de los Ve itores Unitarios Ortogonales 10 Angulo entre Vectores, 11 Proyección Ortogonal.

Componentes Ortogonales

141

CAPITULO 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5.

EL

PLANO

EUCLIDIANO

El Plano Euclidiano. LA RECTA. Ecuación Vectorial de la Recta Ecuaciones Paramétricas de una Recta Forma Simétrica de la EcuaclOn de una Recta Ecuación Normal y Ecuación General de una Recta Distancia de un Punto a una Recta Proyección Ortogonal de un Vector sobre una Recta Segmento de Recta .. División de un Segmento en una Razón dada, m:n . Angulo de Inclinación de una Recta

203 204 207 207 209 211 212 213 223 .. 224 .. 226 234 •• 241

ID Pendiente de una Recta 11 Paralelismo y Ortogonalldad de Rectas 12 Intersección de Rectas. La REGLA DE CRAMER 13 Angulo entre Rectas CAPITULO 1 2 3 4 5 6 7

6.

DE

ECUACIONES

Introducción

263

Criterios para graficar Ecuaciones: Extensión, Simetrías. Asíntotas

Interceptos con Los Ejes, 264

Ecuaciones Factorizables Problemas sobre Lugares Geométricos LA CIRCUNFERENCIA. La Ecuación de Id Circunferencia Condición de TANGENCIA. Método Vectorial para hallar Rectas Tangentes y Puntos de Tangencia a una Circunferencia Rectas Tangentes a la Curva definida por la Ecuación General de 2o Grado :

8

GRAFICAS

A*2 + 6xy * Cy2 * D* ♦ ly * F - 0

7.

TRANSFORMACION

270 279 291 301

.. 308

Familias de Circunferencias

CAPITULO

.. 269

DE

COORDENADAS

1

Fórmulas de Transformación de Coordenadas : RotaciOn de Ejes

Traslación y

2

Transformación de las Coordenadas de un PUNTO, y de un VECTOR D1RECC10NAL de una Recta

.. 319 .. 325

ItiVioducclôn at Anâtlici Hafemlttco

CAPITULO 1 2 3 4 5

8

LAS SECCIONES CONICAS

Introducción LA PARABOLA. Propiedades. Rectas Tangentes LA ELIPSE. Propiedades. Rectas Tangentes LA HIPERBOLA. Propiedades. Rectas Tangentes LA ECUACION GENERAL DE 2° GRADO. Diagonalización

CAPITULO

9

1 2 3

336 338 369 402 437

GEOMETRIA ANALITICA EN « 3

1 PUNTOS y VECTOk ES en el Espacio 2 El PRODUCTO VECTORIAL en R3. Propiedades El Triple Producto Escalar 3 RECTAS en el Espacio. Intersección de Rectas en el Espacio 4 PLANOS en el Espacio. Ecuación NCRMh L y Ecuación GENERAL de un Plano. Intersección de Planos. Intersección de una Recta y un Plano. Distancia de un Punto a un Plano CAPITULO 10

.. .. .. .. ..

INDUCCION MATEMATICA

Y

.. 468 .. 471 .. 475

.. 478

SUMAÔRIAS

El Primer Principio de Inducción Matemática El Segundo Principio de Inducción Matemática SUHATORIAS , Cambio de Indices. Aplicaciones. PROGRESIONES GEOMETRICAS (P.G.) . Suma de una P.G. 4 Suma de una Progresión Geométrica con Infinitos Términos 5 PRODUCTOS. Factorial. Propiedad Telescópica 6 NUMEROS COMBINATORIOS ó COEFICIENTES BINOMIALES 7 EL Teorema del Binomio de Newton. Triángulo de Pascal El Término General Tk+1 .

.. 493 .. 501 .. .. .. ..

512 543 552 560

.. 567

______________________________________________________________________________________________________-

1

1 ____________________________

LOGICA 1

PROPOSICION LOGICA

Se llama ast a toda expresión que puede cali ficarse bien como verdadera (V) 6 bien como falsa (F) y sin ambigüedad. En general, las proposiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas Pi Qi r*

•••

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES LOGICAS: p : q :

4♦ 3 « 6 La ciudad de Trujlllo es la capital de La Libertad

.. (F) .. (V)

EJEMPLOS DE EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LOGICAS: a)

¡Buenos dtasl

b)

a + z « *

c) i Cómo estás ?

respecto a estas expresiones vemos que no es posible Indicar si les corres ponde un valor de verdadero o de falso. 2

CONECTIVOS LOGICOS

a)

LA D ISYUNCION

" p v q * [se lee " p o q ' ] .- Es una propo slclón formada por las proposiciones p y q , relaciona das por la palabra "o" (en el sentido inclusivo: y/o ), definida por la condición: 1 p v q ' es FALSA Gnlcamentt» en el caso en que ambas p y q son FALSAS ; en cualquier otro caso es Verdadera. Su tabla de verdad es: p vq

EJEMPLO: p vq

8 es 6 es

menor que 7 mayorque 2

... (F) ... (V)

8 es 6 es

menorque7 o mayorque 2

... (V)

-

—

Introducción al Análisis Matemático

•2* b)

(se lee ’ p y q ‘ )

CONJUNCION

Es una nueva proposición que se define de tal ■añera que resulta Verdadera (V) finitamente en el caso en que p y q son om 1 1¿ Vmdadz/uu , y en todos los demSs casos es Falsa (F). Su tabla de verdad p

q

p -q

V V F F

V F V F

V F F F

NEGACION

EJEMPLO p : 1512 es múltiplo de 3 q : 5 + 2 - 10

.. (V) .. (F)

p ~ q : 1512 es múltiplo de 3 5 + 2-10

.. (F)

* ^P ’

Es una proposición que cambia el valor de la proposición p , y cuya tabla de ver-

es

d)

P

•'•P

V F

F V

CONDI 1QNAL

Se lee:

* p •* q *

" Es falso que p " " No es cierto que p ■ ■ No n ■ .

(Se leo " SI p entonces q " ) .-

Es aquella proposición que es Falsa únj^ camente cuando la proposición p (llamada ANTECEDENTE) es Verdadera (V) y la proposición q (llamada CONSECUENTF) es Falsa (F). Su tabla de verdad es También se lee: Implica q solamente sí q es una condición suficiente para q es una condición necesaria para p a menos que ■>»p Es suficiente que p para que q Es necesario que q para que p . OBSERVACIONES: Según las dos últimas filas basta que el antecedente p sea falso (F) pa •a que la condicional sea vrrdadeia (V), independientemente del valor de la proposición q . Según las filas Ira. y 3ra. basta que el consecuente q sea verdadero (V) para que la condicional sea verdadera (V).

Cap.1

Lógica

- SegGn la Gltlma fila, si tanto p sulta verdadera.

coipg

3 q son falsas, la condicional re

EJEMPLO.-

Explique porqué tienen los valores verltatlvos Indicados: a) 2 + 3 - 6 + 5 < 6 .. (V) b) 3-1-4 + 27 < 2* .. (V) c) 5 es un nGmero primo ♦ 51 es par .. (F)

PROBLEMA.-

Utilizar las palabras " si .. entonces " para expresar de otra rnaiera la siguiente proposición:

* Yo no me presento al examen de HatemStlcas a menos que lo posterguen una semana " . SOLUCION.- Senn p : Yo no ne presento al examen de HatemStlcas q : No postergarSn el examen de HatemStlcas una semana La proposición dada en el enunctado del problema corresponde por lo tanto a: * q a menos que ^ p ", la cual se simboliza precisamente como: p ♦ q . SegGn esto se tiene el enunciado equivalente siguiente: * Sl^ no postergan el exarr >n de HatemStlcas una semana entonces yo no me presei.to a dicho examen ". [Se lee " p y tolo t i q * ] Es aquella proposición que es verdadera en el caso en que ambas p y q tienen el mismo valor (ambas verdade ras ó ambas falsis), y que es falsa (F) si p y q tienen valores vert tativos contrarios. Su tabla de verdad correspondiente es como sigue:

e) BICONDICI3NAL

p ♦* q

p

q

p *-*■ q

v v F F

v F V F

v F F V

PROPOSICIONES COMPUESTAS ,-

También se lee : * p si y solamente si q * ■ p es una condición necesaria y suficlen te para q "

Utilizando los conectivos lógicos se pue de combinar cualquier nGmero finito de proposiciones para obtener otras cuyos valores verltatlvos pueden se1* cono cidos construyendo sus tablas de verdad en las que se deLen Indicar los va lores resultantes para todas las combinaciones posibles de valores de las proposiciones componentes.

I

Introducción al Análisis Matemático

A -

Por ejemplo, para la proposlcífin p

q

r

-\,p

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F » F » F V F

F F F F V V V V

('p)vq

[(^p) v q) r - P

[('»- p) v q ] - (r » p)

V F V F F F F F

V V F F V V V V

♦ (r ~ p)

V F V V F F F F

EJERCICIO.-

Sean p : 8 es un número par ; q : dos nCmeros enteros. Traducir en símbolos caoa una de las siguientes proposiciones: a) b) c)

8 es el p

8 es un nGmero par'o es un producto de dos enteros. 8 es impar y es un producto de dos enteros. 8 es un núnero par y un producto de dos enteros o es un nGmero impar y no un producto de dos nGmeros enteros.

SOLUCION.- a)p v q ; b)

{ ^p) - q ; c)

(p

« q) v [(•>- p) - ('»-q)] .

PROBLEMA.-

Sean p, q, r tres proposiciones tales que p es verdadera, q es falsa, y r es falsa. Indicar cuSles de las siguientes proposiciones son verdaderas: a) (p v q) v r ; b) [(p -q) v (('v-p) -^q)] « [í(^p) - q) v ((-»- q) ~ p)] ; c) (^p) v (q - r) ¡ d) (( ^pi v ->.q) - (p v -»-r) . |qv r). SOLUCION.-

a)

(p v „) v r *

♦

(V

v F) v + ' V v * V

+ F + F (verdadera)

b) Como estS formada por dos corchetes unidos por una ~ , y como el pri mero de ellos (a la izquierda) es falso (F) entonces toda la proposi cifin ser! falsa (F) , independientemente del valor dela proposición que queda a la derecha.

Lógica

Cap.1

5-

c) es Falsa, pues{•»> p) v (q - r) = Fv F = F d) es Falsa,análogo a (b), pues (q v r)resuHa falsa. PROBLEMA.-

Simplificar la siguiente propos'ciCn:

(Ví>/2

- 1>0) +

>V« v (l/ft < 1//1

—

-1 < 0)]

Analizando el valor de V i > /2 , vemcs que ^ ■ 22'* - 2*^2 ■ J i , y por lo tanto V 4 > /2 es FALSA, asi como también te nemos que 1/^4 < 1//3 es FALSA, sin embargo ^2 > ^4 es VERDADERA pues SOLUCION.-

í significa (F ~

> 0 • .Asi, equivalentemente se tiene

que

V) -■ [ V v (F *♦ V)]

F y sc;0n una observación respecto a las CONDICIONALES, basta que el anteceden te sea FALSO ¿orno en este caso, para que toda la condicionalsea VERDADERA; lo cual se pmde verificar completando lo demás si se desea. JERARQUIA DE LOS CONECTIVOS LOGICOS Cuando en una proposición compuesta se tie nen varios conectivos ISglcos, las operaciones se realizan luego de colocar los paréntesis adecuadamente. PROBLEMA.-

Sean p, q, r, s,

ji

proposiciones lCglcas. SI el valor de

verdad de las siguientes proposiciones (a) y (b) es FALSA: a)

[t{p - q) - r ] -

(s -

i CuSl es el valor de verdad de c)

[(n + p) * ^ r ] ♦ p

SOLUCION.-

r)

(r) y (d) ? : ,

Analizando por partes: re decir que:

M p ♦ q) ♦ r

es ».. (*)

.b)( ^p) v q d) s ♦ {p *-*• n)

que la condicional (a) sea FALSA quie

y que

s~ r

es F

.. (**)

;

y como |i p) v q es F por (b), entonces p es V y q es F , lue go p ♦ q es F . Entonces, de (*) : tanto r es ¥ . Luego, de (**) : s resulta ser F , ya que ^r es F. Asimismo, la condicional (d) resulta también ser VERDADúRA pues su ante cederte s es FALSO . NCtese que aquí no fue necesario conocer el valor verltatlvo de n .

•»-(p ♦ q)

Introducción al Análisis Matemático

- 6-

3

TAUTOLOGIA

Y

CONTRADICCION .-

A toda proposicifin simple o compuesta que es siem preVERDADERA paracualquier comblnacifin de valores de verdad de sus compo nentes se le llama TAUTOLOGIA, y se le denota por una V . todas suscombinaciones, EJEMPLOS.-

A toda proposlcifin que toma el valor de FALSA para sé le llama CONTRADICCION y se le denota por F .

La proposicifin

IMPLICACION LOGICA

Y

[((* p) v q)~ vq ) + ' p

es una TAUTOLO-

EQUIVALENCIA LOGICA .-

Se llama IMPLICACION LOGICA (6 simplemente IMPLICA CION) a todacondicional p -*■ q que sea una TAUTOLOGIA, y en tal caso a la condicional se le denota por p => q . Por ejemplo, tenemos: ['(■'■ p) v q) « ■»>q ) = >

•»-p,

ya tabla

de verdad ya se ha dado.

Se llamaEQI’IVALENCIA LOGICA (6 simplemente EQUIVA LENCIA) a toda bicondicional p «-*■ q que sea una TAUTOLOGIA, « notSn dose en tal caso, p «=* q . EJEMPLD: p > (p v q) «— > p : p

q

pv q

V V F F

V F V F

V V V F

P « (p v q) V V F F

P * (p v q) ♦+ p V V V V

Lógica

Cap.1

-7-

PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dos proposiciones p y q son EQUIVALENTES (6 LO GICAMENTE EQUIVALENTES) si sus tablas de verdad son idénticas. En tal caso, se denota p = q . Por ejemplo, (p -► q) y ( ''-q) -» ( “'■p) son E QUIVALENTES, puesto que sus tablas de verdad son ioénticas como podemos ver: p

q

•tq

•up

p — q

(•t q) -* ( -up)

V V F F

V F V F

F V F V

F F V V

V F V V

V F V V

Por lo tanto. p -► q

= ( ^q) —

( ^p)

idíntÁJU .u

NOTA .-

Esta equivalencia es muy Importante en lo que respecta a demostra ciones de teoremas y resultados, pues es el fundamento del llama do METODO DE DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO 6 MíTODO POR CONTRADIC CION, que es una forma Indirecta de demostración, y que ilustraremos mSs ade lante en este capitulo. LE ICES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES Son equivalencias lógicas que las presentamos a continua ción, y cuya demostración es muy fScil construyendo sus tablas de verdad. la. 2a. 3a. 4a. 5a. 6a. 7a. 8a. 9c. 9b.

pv p = p p vq i q v p

Ib. P “ P = P p _q = q~ p 2b. (p v q) v r 5 (p v q) v r 3b. (p - q) - r 5 p - (q - r) p v |q * r) M p v q) * (p v r), 4b. P * (q V r) : (p • q) V (p pvF = p 5b. P ~ F = F pv V = V 6b. p - V s p pv('p) = V 7b. p » ( -x-p) = F ^p 5 p 8b. •»-V = F , -v-F = V M p v q) = ( -v-p) ~ ('»-q) LEYES DE DE MORGAN M p *> q) £ ( ^-p) v (iq)

Como es vSlidü reemplazar una proposición por su equiva lente sin alterar el resultado, estas leyes ayudan a simplificar el problema que se estS tratando de resolver. Con este fin presentamos a continuación una LISTA ADICIO NAL DE EQUIVALENCIAS LOGICAS muy GUI:

Introducción al Análisis Matemático 1A.

p ♦ q

3A. 5A.

p ' (p v q) = p q s

6A.

= ('p)vq

p

q E

PROBLEMA.a) b)

,

2A.

p + q = (-uq) +

p , 4A. (p -* q) « (q *• p)

p v (p * q) = .

(p » q) v [(^ p) - ( 'v-q)]

(t p)

P

.

Simplificar las siguientes expresiones utilizando las Leyes del Algebra Proposicional 6 la LISTA ADICIONAL :

' [ ’•(p-q) ♦ ’■q) v q [((^p) - q ) + (r - '»-r )] - *tq

SOLUCION.-

a)■».[*»« (p = = =

q) ♦ “»-q ] v q ''-['»'(Mp - q)) v ■»>q ] v q ^[(p - q) v ^ q ] v q [t(p ~ q) ~ q)] v q

1A. tía. 9a.

: t(1'P “ ' q ) * q ] V q = q v [ q - (tp v ^q) 5 q b)

9b. 2a, 2b. 4A.

[((^p) - q ) * (r - 'l-r )] - tq = [((^p) « q ) * F ] « " > . q = [('»•(('>.p) - q )) v F ] - -»-q = [(p v '»-q) v F ] ~ •».q = ÍP v ■>.q )~ q = '»-q

PROIILEMA .-

Demostrar que la siguiente proposición es una TAUTOLOGIA, utilizando las LEYES 6 la LISTA ADICIONAL: [(pv

* p

•t[(p v i q ) ~ q ] v p

1A.

i

[Mi» v [t*1-p) [('»'p) [(■v-p) ~

9b.

=

= =

PRO bLEM A

^ q ) - q]

= =

NOTA

7b. 1A. 9b. 5a. 2b, 3a.

V

'q)] q] V q] v q] y

v (^q) v p (”'•q) v p (p v •»-q ) (-v- [(-v-p) - q ] )

9a. 2a. 9b.

(TAUTULOGIA)

7a.

Este método es mSs prSctico que el de las tablas de verdad. Determinar si es que las proposiciones (a) valentes:

y

(b) son Equl^

Cap.1 a)

Lógica p - (r v -i- q )

SOLUCION.-

,

METODO 1

b)

-9-

(q - * p ) » (( ^r) * (tp))

.

Debemos verificar que las tablas de verdad de (a) y (b) son idénticas :

íA íaíajixu

METODO Z

Simplificando:

a)

p ♦ (r v •v-q) = (^p) v (r v 'tq)

b) (q ■* tp) v r -*• ■'-p) = t(^q) v (■'-p)] v ^r) v -»-p] = ( ^q) v (^p) v (r v ~ p) = ('‘-q) v [(^ p) v (^p)] v r = (^q) v (^p) v r = (tp) v (r v ^-q) y siendo PROBLEMA .■

(1) y (2) Iguales, entonces

SOLUCION.-

=

..(Z) (b) .

Hallar el valor verltatlvo de la proposición: t(p ♦ «l)

sabiendo que

(a)

..(1)

r ]— ► [ p

[(p ■*q) * r ]

(q

«-► r)]

*- [ p ♦ (q ♦ r)] es FALSO

Del dato se tiene que solo puede ocurrir

a)

(p - q)

*r :

V

y

p ♦ (q ■* r)

: F

b)

(p - q)

-r :

F

y

p ■* (q ■* r)

: V

.. (o) .

(a) 6 (b) :

De (a): p ♦ (q ■* r) : Fentonces p) v (■'•q) v r : F- , delo cual: ^ p ,•*.q , r : F ,y por lotanto, p, q : V y r : F (*) pero (p -* q) ■* r : V abiuAjlo, pues por (*) (p ■» q) ■* r : F. Luego,

(a) no se cumple, de modo que solamente se cumple (b), del cual: p - * q : V

bl)

p. q : V

y ,

r : F

r :F

, d e donde puede ocurrir que:

entonces

p

-* (q ■» r) : F

(abíuAdo)

Introducción al Análisis Matemático

10-

b2) b3)

p, q : F , r : F p :F , q :V , r :F

entonces entonces

p -»■ (q ■» r) p * (q -* r)

: V : V

así vemos que para b2 y b3 la proposicifin (a) NOTA.- MSs aOn, se puede comprobar que tabla de verdad.

resulta VERDADERA.

(a) es una TAUTOLOGIA, mediante la

SERIE i)E EJERCICIOS PROPUESTOS 1. 2. 3.

Demostrar las Leyes del Algebra de Proposiciones. Demostrar las proposiciones de la LISTA ADICIONAL. Demostrar que las siguientes Condicionales son IMP! ICACIONES LOGICAS: a) b) c) d) e) f)

P => P [(p - q) - (q - r)] -v,p = » (p ♦ q) [(p - q) - '»•q ] ==> P ==* (p v q) (p - q) ==*

(TRANSITIVIDAD)

(p - r) ^

p

; 9) h) i)

p

(p - q) = * (p v q) (p - q) ==> (p ♦♦ q) (p --*■ q) =•■ (p ♦ q)

4. FVmostrar que son EQUIVALENCIAS LOGICAS las bicondicionales siguientes: a) b) c) e)

(p -* q) e = > (tp) v q (p + q) - (q - P) (p --•* q) < = » d) (p - q) v i? < = > P %(p * q) «==> [ p * ' q ]

Demostrar que:

(p v

a) b)

M p + q) = p ^ ( tq) F- »p = V ; p -*• F = t p

O

(p + q)

=[(p

d)

(p ♦ q) =

[(p ~ q) ♦+ q ]

6. Dadas las proposiciones I) II) III)

v

;

p -*■ V

q) ♦+

q

s V ]

M p ~ q) "*♦ [ p v ^q ] -x-(p + q) -n- [ p v -iq ] M p ♦+ q) ♦♦ Í^P *-*■ ^q) .

indicar cuSl (es) es (son) una CONTRADICCION (F) . 7. ¿La proposiciCn

M p -► q) - (q ♦ ^r )

es equivalente a cuSl (es)

de las siguientes proposiciones 7 : a) c)

p(p v ^rl-l-tq) b) (p - -v-q) v [(p - i r) - ‘‘•q ] .

8. ¿ Alguna de las siguientes proposiciones

p ~ ( t.q) ~ [> (q - r)]

es una

Tautología 7 :

Cap.1

Lógica

a) b) c) 9.

i [(t (p v q)) ■* ?) v (q ~ -»-t)] ♦+

b) •''[p~('''qv'»«p)] [(p + q) « ■>.(q - t)]

15. ¿CuSl (es) de las siguientes proposiciones es equivalente a : “ Ei nece tatúo paga* I/. 5 D00 y ttA mít joven pana ¿ngH&taK al baitt * ? , I I

a) b) c)

No Ingresar al baile opagar I/. 5 000 , y ser mis joven. Pagar I/. 5 000 o ser mis joven , y no ingresar al baile. Pagar I/. 5 000 y ser mSs joven o no ingresar al baile.

16. Si la pro?osici6n: valor de verdad le:

(q ~ •>.p)

[lp r) v t ]

es Falsa, hallar el

a) b)

'»-[('k'P v ■»>q) -*■ (r v ^t)] (t q « '»-r) v [(^ t) - (p v q)]

c)

(^p

-t) +

(■'•q + r )

17. Demostrar que las tres proposiciones siguientes son Equivalentes : a)■». [(q v

t

•>.p ) v ( q ~ t r v i . p l ) ]

12-

Lóqica b)

(p - -x-q) »

c)

~ C(~q) - (^p)3 - [ q - ^(p * r)]

v (p v % r) )

18.- La proposiclfin (p v q) ♦-* (r ~ s) es verdadera. Teniendo r y s va lores de verdad opuestos, ¿ cujíes son verdaderas? : a) [(tp ~ ^q) v (r ~ s)] ~ p es Verdadera. b) [ M p vq) » (r v s)] v t^p - q) es Falsa. c) [(•'•r ~ •».s) < (pv r)] «i/(r ~ s) es Verdadera. 19.

¿CuSles son EQUIVALENCIAS LOGICAS ? : a) t(q ♦ •'•p) « lq »p ) b) [('»'P « '»

-

{

m

R

a [a. -> a

R

Qap.2

Conjuntos

e)

xe R /

-21-

xla, equivale a afirmar que ningGn elemento x de A satisface la condición p(x) , es de clr que: pam todo x en A, M S B CUMPLE p(x) . Simbólicamente, ■»- [ 3

XE A /

p(x)

]

=

¥x

E

A,

1-

p(x)

.

Análogamente, se puede demostrar de lo anterior tsue: ¥

i- [

xt A ,

EJEMPLO.a)

¥

p(x)

]

=

3

x

e

A

*»> p(x)

/

.

Indicar el valor de verdad de las siguientes preposiciones para el conjunto Z + “ { 1, 2, 3, } y negarlas simbólicamente:

x e Z* ,

x2 -6x + 5 » 0 ,

b)

3 x

e

Z* /

x2 -6x + 5 ■ 0

.

SOLUCION.- Como laecuaciGn dada x2 -6x + 5 ■ 0 ■ (x-l)(x-5) tiene las soluciones x ■ 1 , x - 5 , ambas en Z* , entonces (a) es FALSA, pues para que sea verdadera, la ecuaciGn deberTa cumplirse pcma todoi toi ínteAOi poiitivoi de Z + y eso no es cierto pues sola mente se cumple para x ■ 1 y x ■ 5 . (b) es VERDADERA, pues existen hasta dos soluciones x » 1 y Z + , y solo hubiese bastado con una de las soluciones.

x » 5

en

Las negaciones correspondientes son : a)

b)

M

¥

t (x2 - 6x + 5 - 0

)

= 3 x e Z+ / x2 - 6x + 5 t 0 la cual es VERDAOERA, pues tGmese x * 2 e I* en particular.

.

M 3

x e

Z+ .

x e Z+ /

x2 - 6x ♦ 5 * 0 ) 5

x2 - 6x

+5 *

3 x e Z* /

D )=

5 ¥ x e 1+ la cual es FALSA, pues para x •

¥

x e

Z*

,M x 2 - 6x

.

x2 - 6x + 5 f 0

,

1 : x2 - 6x + 5

si es Igual a 0

.

Cap.2

__________________________________________________ Conjuntos_~23-

PROBLEMA.-

Simplificar y negar la siguí snte proposición compuesta:

" Todos los números enteros son Impares y existen números reales Irraciona les, si existe algún nSmero entero par; sí, y solo si, hay algún número real Irracional o cualquier número ertero es un número Impar, si cada nú mero real es un número racional " . SOLUCION.-

Denotamos por:

y vemos que

p ; ^ q

p : V x c Z , x es Impar q: l u í / x es Irracional

x c Z /

x es par

: ¥ x c IR ,

x es racional

asi, la proposición original se puede expresar como [(p - q) ♦

p ] *-*■ [(q v p) ♦ -tq ]

y que al simplificar se obtiene: = [ P » (p * q)] ♦+ ( q v q v p) = p « = [ P + ( P v q)] » [(q v p) + p ] = [(^p) v (p v q)] * [( 'q * 'p) v p ] = =

p v

pv q » »

[ V » (p v tq)]

( tq)

de donde tenemos que la negación corresponde a: ( *»

x2 ♦ 3y > 12 x2 * 3

> 12

x2 + 3y > 12

luego

-24SER1E DE EJERCICIOS PROPUESTOS

(2.1)

1. Negar las siguientes proposiciones, para el conjunto Z : a)

¥ xe Z ,

c)

3

x+ 1

xe Z /

x2

>

x ;

b) 3

x e Z

;

d) V

x

« x

/

Z,

e

x2 + l » x2 -

0

1 > 0

2. Determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones, didas en el problena anterior (1). 3. Negar las siguientes proposiciones:

4.

a)

V

b)

3

c)

3- * e C /

x e

A,

}

xe A /

3

s j

¥ y

* / [ * qU) ] B / p(x) - q(jí) e B . p(x) v i. q(y) e

e

Demostrar que ■>.[ ¥

x tA ,

p(x) - q(x)

]

=

3 x

e A/p(x)- tq(x).

5. Negar cada una 4e las siguientespropos 1clone.' a)

V x e A , J j e B / ¥ zeC.

p(x,y,z)

b) c)

3 x i A / 3 í £ I / t p(*) * [ 3 II e A / Jli p(y) ] - ¥ x e A ,

] q(x)

d) e) f) g)

Todos los americanos citSn locos. Hay al meros una persona que es feliz todo el tiempo. Todos los hombres son hor?atos o algún hombre es un ladrSn. SI el nGmero x es menor que 12 , entonces hay un número real x2 * y2 - 144

tal que

v r(x) .

y

e¿ positivo.

6. Demostrar que la afirmación: " Para todo enteru positivo n , laexpre slfin n2 - n + 41 siempre es un nGmero primo " , es falsa con un con traejempl o. 7.

Indicar la verdad o falsedad de a) b)

8.

9.

x e R. , V y c P. , x e R / (-l)(x) » 0 ,

V 3

Dado

(-tf)(-x) - xy * xy > 0 c) ¥ x c R ,x2/x «

M - { 1, 2, 3, 4, 5 } , ¿cuSles son

a)

3

c)

-VxeM,

x e M /

x ♦ 3 < 10 ;

b)

¥ xe M ,

d)

3

xe

3 y t M/

M /

x + 3 > 6.

Dadas las p-oposlclones: a)

[ 3

b)

[ V a e Z ,- 8 < 0 ]

c)

3

xe W /

x e IR /

x + 2 « 5 ] ■* [ •¥x v

/-x e R

e

W,

[ 3 x e Z /

.

.

verdaderas? :

x+3

x

]

-x - x ]

x*y < 7

Cap. 2

- 25

Conjuntos

¿cuáles son los valores de verdad de sus negaciones en ese orden? 10. ¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a la negación de : * Para todo entero r , existe un entero a tal que si (ar) es par, entonces (a + l)r es par * ?: a) 3 r e b) 3 r c c) 3 r e d) 3 r c 11.

Z / ¥ a e Z , a r y Z / ¥ a c Z , a r e s Z / ¥ a c Z , a r e s Z / ¥ a c Z , a r e s

¿Cuál de las siguientes proposiciones sobre Q(racionales) correspo£ de a la negación de: * Para todo nOmero racionalr existe un nGmero entero p tal que p < r < p* 1 ? : a) 3 r t Q / ¥ p e Z . b) 3 r e Q / ¥ p e Z , c) 3 » " e Q / ¥ p E Z , d) 3 r e Q / V p t Z ,

2

(a + l)r son impares Impar y (a + l)r es par par y (a ♦ l)r es Impar Impar o (a + l)r es par.

p+1 > p p < p+1 p £ r v p > r v

> r < r p+1 < r p+ 1 < r .

SUBCONJUNTOS

Se dice que un conjunto A es un SUBC0NJUNT0 de un conjunto B ,6 que A a t i ¿nttuZdo en B , si todo elemento de A es tanblCn elemento del conjunto B , denotándose en tal caso: A c B . Ver la Figura 1 en la página siguiente. Es decir, simbólicamente, A c

B

«— *•

[ ¥ x e A .

x c A

-=■»• x c B ]

Esta deflnlclSn simbólica Indica el canino a seguir cuando se desea «taños trar que A c B . De la definición se sigue que es suficiente que un elemento del conjunto A no esté en B para que A no tta iubconjunto dt B ; en tal caso se denota A

AC A ,

x c A es VERDADERA. [ ya que

pues ¥ x c A . p =>

p

es

Introducción al Análisis Matemático

-26una TAUTOLOGIA ]. A c B

A 4

A 4 B

B

lo elemento.

Co n j u n t o V a c í o o Nu l o

Es aquel conjunto que no tiene ningCn elemen to. Se le denota por . y estí Incluido

en cualquier conjunto, es decir,

♦ c

paAa todo conjunto A .

A ,

CoNJLN'm JNIVERSAL

Denotado por O , es aquel conjunto que contiene a todos los elementos que se estSn considerando en un estudio o contexto particular. EJEMPLO___3 SI

A ■ {2 } y

1) 4)

2 t A 2 t B

B » {{2 }} , entonces las proposiciones 2) A e B 5 ) A £ B

3) 6)

{2} ¿ A A f B

son todas verdaderas. EJEMPLO

4 Demostrar la Propiedad Transitiva de la Inclusifin de Conjuntos:

Se deseaprobar que: V x

eA

,

y por lo tanto,

V

x c A X E B x

e

x

5

e

= > A

A ,

x

e

xe B XE C

»

las proposiciones lSgicas: EJEMPLO

A c C

A c B - B c C

— >

x

e

C

= »

x

(pues (pues

A c B ) B c c) ,

♦ c A

,

. En Aefecto.

por la Propia ■’ad Transitiva de

(p - q) - (q * r)

Demostrar que:

e C

==>

(p + r) .

pana r.ualqwLtn. conjunto A .

En efecto, se quiere probar que la ¿mpLLcacLSn : (x e ♦) =*■ (x e A) es verdadera , pero esto es cierto pues el antecedente (x c ♦ ) es FALSA , ya gue el corjunto vacio no tiene elementos, y en tal caso la impl1cac16n resulta verdadera.

Cap. 2

EJEMPLO

-27-

Conjuntos

6

SI los conjuntos

{3a + b - 9 , 4 a }

son unitarios, probar que

{6a+ b,

y

{4,

5a + 2b }

2b + 8a-3 } es unitario.

Siendo unitarios los dos conjuntos, entonces: 3a + b - 9 ■ 4a

-

5a + 2b » 4

a ■ -2

y

b ■ 7,

y con estos valores vemos que { 6a + b , 2b + 8a-3 } » { - 5 , - 5 } * { -5 } resultando por lo tanto unitario. EJIMPLO

7

SOLUCION:

Demostrar que la proposición A # B clr que: ■ Exiite un eJuftnto a e A

A £

B

=

-(V a 3 a e

A. A /

=

3

A

a

e

es equivalente a de a i B ■.

tal que

a c B)

a c A

e

*» . ¿CuSl de estos conjuntos puede ser Igual a X si se dan las siguientes con dlclones 7: l ) X c A y X < * C 3 ) X C C y X < Í A 2 ) X C 0 y X < £ B

4 ) X y 6

son dfsjuntos .

RPTA: (1) X puede ser A, B 6 D ; (2) X puede ser D D E ;

Introducci&n al Análisis Matemático

-28-

(3) X no puede ser nli.guno ; 3

(4) X puttL ser C 6 E .

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNI^N DE DOS CONJUNTOS:

A U B

Es el conjunto formado por la reunifin Je todos los elementos de A y por todos los elementos J‘_ B : A UB■ ( i £ U / donde

=*

e

A

v

x e B }

“ v " es el conectivo lfigico de disyuiii^Jn, y que se

EJEMPLO K A »{ x

x

e

lee " o "

.

Dados A • { 1, 3, 5, ... } , B « { 2, 4,6, ... } entonces A UB■ H , puesto que se puede expresar comosigue: W /

xe s Impar

} > B ■ {x

A U B - { x e H / x e s impar

INTERSECCION DE DOS CONJUNTOS:

e

N /

x e s par

o x es par } »

}

K

A n B

Es el conjunto formado por todos aquellos elei.entos comunes a ambos conjuntos A y B ; es decir, AflB'txcü/

A

x e

«

x e

B

}

donde “ ~ " es el crnertlvo lfiglco de conjanc-iín , y que se lee " y " . EJEMPLO 2.- Dados A ■ { x e H / xes múltiplo de 3 ) , B > { i e I I / x es múltiplo de 5 } ,entontas AflB •{ x e N / x e s múltiplo de 15 } , pues por extensión: A - { 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... } decir,

y

B - { 5, 10, 15, 20. 25, 30, ... } .

SI la intersección de dos conjuntos A y B es vacía (es A n B « ♦ ) entom es se dlcc que A y B son D1SJUNT0S .

-üWPLE.tcNT'J

D- UN CONJUNTO:

A' Ó CA Ó AC .Es aquel Formado por todos los elementos del Uni verso que no pertenecen al conjunto A : A‘ • { x e U / donde “ *»< “ Por ejemplo,

x ¿ A } , 6 también

A1 » { x

e

U

/ t(x c A) }

es el símbolo de la negacifin lógica. si

A «

, 6] U {8}

DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS:

, A1 ■ < 6, 8 /> U < 8, •»> .

A-B

EstS constituido por los e

Cap. 2

Conjuntos

-29-

lementos Jel conjunto A que. no r nXjjn "«.rt ai conjunto B A - B A este conjunto

{ x

A - B

e

U /

x

1

y

x

también se le denota por

La siguiente Igualdad respecto a A - B PROBLEMA

A

e

Demostrar que:

; es decir, B

}

B .

es bastante Gtll enla práctica.

A - B ■

A fl B'

La demostración se realizar! por Doble Inclusión (definición de IGUALDAD de Conjuntos) : a)

c

A-B

A n B‘ :

x e A-B

¥ x e

=>

x c A

=»

X E A n

Por lo tanto, b)

B’ c A- B :

A P

Por lo tanto, (a) y

DIFERENCIA

SI

=*■

B‘ .

V

A fl B'

,

x e t e

x

x

e A

y

A * x e B' = * ► xe A ~ A-B [definición de A-B

e

A fl B'c

A-B A-B

A - De

A-B ,

x i ]

B

. ■ A fl B'

B - [6, 16> :

A - B - .

.- Es el conjunto formado por la reu nlOn de aquellos elementos que so

lamente pertenecen al conjunto A y no a B , y por los que solamente perte necen al conjunto B (y no al conjunto A): A á B - (A - B) U (B - A) . EJEMPLO

4

Si A - { 2, 3. 4, 5, 6, 7 } tonces

y por lo tanto

A - B

«{2, 3, 5 } ,

AA B

*

REPRESENTACION GRAFICA

EN

(A - B) U

y

B - { 1, 4, 6. 7, 9 } en B - A - { 1, 9 } ,

(B- A)

«

{ 1,2,

3, 5, 9 }.

DIAGRAMAS DE VENN

Estos diagramas sor Gtlles para verificar grSflca mente ciertas propiedades de las OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS como las que presentaremos en la pSgina siguiente, y que se pueden demostrar formalmente, utilizando las Leyes del Algebra dt Proposiciones LOgicas.

30La zona sombreada representa al conjunto indicado

(i A U B

a

Al conjunto A-B CONJUNTO A .

¡fcJÍ

J

n b

A1

también se le llama el COMPLEMENTO DE B RESPECTO AL

A AB

A-B

ÍJ

LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS

•

la. 2a. 3a. 4a. 5a. 6a. 7a. 8a.

A l) A ■ A AUB • BUA A U (B U C) > (A U B) U C A U (B n C) • (A II B) n (A U C) A U ♦ - A A U U - U A U A' - ü (A*)' - A

An A - A an b - bn a a n (b n c) - (a n b) n c A n (B II c) - (a n b ) u (a n a n ♦ ■ ♦ a n o - a a n A' - * u* - * . *■ - u

9a. 9b.

{A U B)1 « A’ n B‘ (A fl B) ‘ - A' UB'

Ib. 2b. 3b. 4b. 5b. 6b. 7b. 8b.

| LEYES de DE MORGAN

En seguida demostraremos las Leyes [4a.] y PROBLEMA a)

2

Demostrar que:

A U (B n C)

c

=»

(x E

A

V

»

e

x e \ v x (x E B - X E C) X 6 B) ~ (x E A V

E

:

= »

p v (q ~ r) = (p

V

q) - (p v r) ]

•

(A 11 B) (1 (A 11 C)

V x

(A U B) fl (A U C)

x e A U (B D C) = ► * E A V [pues

A U (B (1 C)

[9a.]

A U (B n C)

(B n c)

X E

C)

,

.

Cap. 2

Conjuntos

= > b)

(

(A U B) . x c (A U C)

e

(A U B) n (A U C) x

e

[pues = *

(x

==»

(x

e

A)

3

»

x

[pues

A1 n B'

A'flB'

A' «

e

c x

=>

e

(A U B) n (A U C)

e

(AIIB)n(AUC)

x t (A U B)

-**>

B ) ~ ( x e A

e

=

»

.

:

C)

e

X e C)

= >

x c A U (B n C) A U (B P C) • (A U B) P (A U C).

¥

e

B'

(A U B)1 : e

A'

(1

x x i

B'

= >

= =>

x

A' n B‘.

A U B = » i.(x e A U [ -v. (x e A)] ~ [ -t(x e B)]

=>

¥

B)1 -

{A U B)1 ,

e

xi

5 (*».p) ~ (tq) ] .= > x

(AUC)

x e

x

,

p v (q . r) ]

v (x c B (1 C)

i.{p v q) x

« i

A) v (x c B »

x e (A U B)‘■= > •».{xc A v x e B)

= »

x

Demostrar la LEY de DE HORCON [9a.]:(A U

(A U B)' c ==»

x

x

e

e

A'

e

A' n B'

A

« x 4

B) B

.

A' P B' , ~

x

e

B1

x4 A xt B = > t M * e *)] ~ [^ (* e B)] *>-(x e A v xe B) [pues (tp) - (‘»•q) = *»>(pv q) ] ^ (x e A U B) = » xi A U B =*■ x e (A U B)' .

= » = * Asi.

(i c A

y (b)por doble InrluslOn:

PROBLEMA

b)

U B) fl (A U C)

= >

e

— o

A ü (B n C) :

( p * q ) * (pvr)

AsT, de (a)

a)

(A

C

-31-

(a) y (b), por doble Inclusión:

PROBLEMA

4

SOLUCION.-

* A* P B'

.

Utilizando las Le;-es del Algebra de Conjuntos y la DIcEREffCIA, demostrar que: (A-B) U (B-A) - (A U B) - (A O B) . (A-B) U (B-A) - (A P B1) ü (B P A’) “ * -

PROBLEMA

(A U B)'

5

[(A P B1) U B ] P [(A O B*) U A1 ] (A U B) P (B* U B) P (A U A1) P (B1 U A*) (A U B) P U P U P (B‘ U A 1) (A U B) P (A1U B‘) (A U B) P (A P B)1 .. [Ley de De Morgan 9a.] (A U B) - (A P B) .

Demostrar que :

a)

A c A U B ,

b)

AP B e A ,

Cap. 2

Corjuntos

-32-

c)

A U (6 - A) - A U

SOLUCION

6

a) •¥ x e A ,

[pues

p

>

P

vq

Por lo tanto. b) *=»■ (x c

A c

¥ xe A n B , A) ,

**=>

xeA

x e A v x e 6

es una tautología ]

po

A U 6

x e

A U B .

.

x e Afl B = » (x e A) « (x

[pues p ~ q = »

Por lo tanto,

c

AflB c

A

.

c) A U (B-A) - A U (B 0 A1) - (A U B) n (A U A') • (A U B) n U PROBLEMA

6

Demostrar que:

SOLUCION .a) (

)

a) b)

Recordando que: p 1)

A U B c = > =»

11)

*-*• q

xe B [pues

B

xc A

A

p) ,

x e A v x e B

:

• B ] = >

A :

— > x c A

x e A U B • B x e B.

V xc A O B xe A ~ p ]., Asi,

v

Asi,

x e B [por la A c B .

, x e B — > A fl Bc A .

x c

A

fl B :

¥

= > =^ > = »

(x c A) ~ (x e A) , [pues p 5 p ~ p ] (x e A) ~ (x e B) , [pues A c B ] x c A n B . Asi, A c A n B . y

Por lo tanto,de (1) (< = )

.

A U 6 • B .

p v q ],

x e A fl B [pues p «■>q = » 11) A c: A

= (p •* q) ~ (q

A ,x c A

A U B

A O B c

A U B ■ B A n B- A

Ver la parte (a) del PROBLEMA 5 .

c B : V x e

[pues

• A U B .

[por la hipótesis: A c B ] p v p = p ] . Asi, A U B c B .

Por lo tanto, de (1) y (11): (

A c B A c B

B :« i c t U B ,

x e Bv x cB

B)

p ]

c B :-V x

c

A ,

xc A .

(11): A fl x

c

A

B ■ A . [pues

x p

C

B

*

q

= » Ej y E2 subconjuntos cuyos elementos son números naturales una por lo menos de cuyas cifras es 0, 1 y 2 respec. Hallar D D E0 fl Ej D E2 20. Demostrar que:

a) A c B b) A c B

un A c

Mn B

M U A c

M U B

PROPIEDADES ADICIONALES a)

A =■ A 1

b)

A C A 1

c)

AUB

d)

A y B = c

PRUEBA.-

= =

■ ♦

u - *

.

U conjunto universal

A “ $ =>

A 1 $ - B * $

=•A C C

^ B c C

V conjunto M.

Cap. 2

SOLUCION:

a)

{ =« ■ )

(< * = )

A - A'

=-*►

An A - A*

IIA

=*>

A* ■

U (-

.i, por h1p6*es1s)

=a»

U -

♦

Como

♦

c

=*»■

A

ACA*

= > A n A* - A

c) A U B ■ «

u

-

>

/

l♦= © • A-♦

♦ .

A c

A U B ■ I -— / f B c: A U B -

$ c

A - 0

♦ [por hipótesis]

*

- A

—

*

u-

A* A'

== »

í ♦ c -I -

== »

c

A' ■

1 ■=* b)

- 37-

Conjuntos

A ■♦ B -

4

(A * $) - (B » ♦ ) i A c A II B ■ C -I l B c: A U B - C

d) A U B - C

PROBLEMA

1

==»

Demostrar que:

solucion:

(a * n

b)

n

(a n

B

PROBLEMA

. (A U A') n Z

SOLUCION:

D B

=>

nB

* A'

B » ♦

.

b)n a

=*• Luego,

C

B c C

A* fl B » A -

a

A c ==»

B - (A n B) U

* ■

A

(A* n B)

-

0U

nB

..

0 - *

(a) .

Demostrar que:

a)

a) b)

(A - B) - C - A - (B U C) (A U B) - C (A-C) U (B-C)

c)

A - (B

n C) -

(A-B) n (A-C) .

(A -B) - C - (A D B‘)fl C* = A fl (B U C)1 « A - (B U C)

b)

(A II B) - C ■

c)

a - (b n c)

(A U B)

n C ■ (A n C*) U (B n C') » (A - C) U (B - C)

PROBLEMA SOLUCION:

3

- a n (b n c ) ' - a n (b1 u c1) - (A nB1) U (An V ) - (A - B) Demostrar que:

A O B

* ♦

A > A D (B U B*) -

U (A -C)

«==>

A c:

b'

(A O B) U (A fl B')

♦ U (A n B*) ■= A n B’ C

B1 . Por lo ..

38

Conjuntos

tar to : (

A fl B

==>

[ c (A 11 B)] - [(» (1 B) c

=*■ PROBLEMA. _

Cap. 2

c

B' n B -

*

AuemSs,

n b

n b)

AD B c A ,

B - AO B c

a 1)]

, de [5.a], p. 36

. por el [PROB. 3] ,

A * B .

Utilizando propiedades adecuadas, demostrar que: D c (A A B)

===>

D = (A U B) - [(A - D) U (B - D) U (A n B)] . SOLUCION: Utilizaremos las siguientes propiedades: 1)

M c

N

. Luego,

(b) es

VERDADERO.

SERIE DE PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Demostrar cada una de las LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS, utilizando las correspondientes Leyes del Algebra de Proposiciones LOgicas. 2.

Demostrar qje: b) A‘ A d)

B

Ac B

a)

A c B

- A => ACB,

B' c A' . SUG: p ■* q = '*q ■» "'■p

c) M

=*■ A U (B-A) - B .e)

c A ~ M c B = > H c (A fl B) (B-A) fl A - ♦

.

por [3

40

Cap. 2

Conjuntos

I

3.

4.

A fl B - ♦ == »

h)

( n B' ■ ♦ •==»

1)

fi'O B c

j)

A-

=*

SI A » 'n +n { x / x - mk , (B1 U C)-‘ . Sean a

5.

SI

,b c l ,

= »

e

«==> A- B - ♦

B c A

A A B -

X .

A y B

yA II B ■

SUG: Pruebe qye:

Z /

B» { a e A /

a5 + 4a 3b

e

hallar el complemento de

B ■ hallar

Bf ♦ , A U

conjuntostales que

a2 y

Z /

a «

b2 }

B conrespecto a

A . Es decir, A- B .

SUG: Note que todo elemento de B es aquel elemento de A que es el cuadrado de algún número entero. Pruebe que B - { 0 , 1 } . 6.

Demuestre que:

♦ - M■

♦

7.

Demostrar que:

A fl (B A

C) ■ (A fl B) A (A fl C) .

8.

Se define la operaclfin * ¿cuSles son verdaderas? : a) b)

A * A - A1 (A * A) * (B * B) -

9. Demostrar que: b) { { a } , «==>

6

a)

, para cualquier conjunto M .

entre conjuntos tal que.

A fl

A * B> A1

D B1

c) (A * B) * (A * B) - A U B B ,d)A * (B * C) - (A * B) * C

{a}« {b ,c >

a > b * c .

{ a , b > }- { { c } , { c , d } } [(a « b) ~ (c « d)] .

CONJUNTO POTENCIA :

P (Ai ,

2

a

Dado un conjunto A , se llama CONJUNTO POTENCIA de A al conjunto formado por todos los SUBCONJUNTOS VE A . Se le denota por : P (A) - { X Es decir,

/

X c P (A)«==>

Xc A

>

X c

A

.

Conjuntos

Cap. 2 EJEMPLO 1

41

S1 A * { 1, 2 } entonces

{

. {

1 >c A {’t,

2 ). A >

NOTA.- 1) Al conjunto P(A) tamllén se le llama CON^JNTO DE PAIyLS de A. 2) Se demuestra que si un conjunto A es finitcly t1eru rf elementos entonces P(A)

tiene 2n elementos, razfn\por la ci»I también A

se le denota por 2" .

-

PROBLEMA 1 Si A - { ♦ , { ♦ } } SOLUCION.-

SOLUCION.-

X c P(B)

P(A) c P(B)

P(B)

[def. de P(B)] . De donde se tiene =>

A

=»

t x } c P{A)

=:

tx} c

PROBLEMA 3 SOLUCION.e

P(A) U P(B)

== »

P(A) U P(B) c Sea{ i, b, c ) c

t (a + b *■c) /

hallar

P( M U{ -x /

x c B .

P(A) U P(B)

A ,x e A U B

Por lo tanto. PROBLEMA 4

=>

Demostrar que: e

X de

c c

P(A) c

A )

P(B)

.

c B : Sea * e A= > { x } ==.

B

Sea X

¥ x

M »

F = > P(A) cf

B => P(A) c P(B) : sea X e P(A) í=a Ac B (hlpfit ) =*> X c B(prop. transitiva

==»

==>

A c B

A}

La demostrac16n consta de dos partes'

a) ¿i c como b)

, encontrar P(A)/T

P(A)- { * , { ♦ } , { { ♦ > > .

PROBLEMA 2 Demostrar que

-

AsT, c

cA

{ x } c P(B) , [hlpfit.:P(A)c P A c:

B .

P(A U B) .

==> X c P(A) v X =*■ XC A v Xc X c A U B ==> X

P(B)

c

B e

P(A U B)

P(A U B) . Z - t -1, 1 > .

SI se tiene que

{ a2 *■b2 - 5 , -3 , -4a > » x c M ~ -x2

e

{b-2c-8,

a2 + 4 } } ,

M }) .

SOLUCION.Del dato:

a, b y c

En M se ve que -3 -

-3

b - 2c - 8

AsT, tenemos que

son enteros diferentes de 1 y de -1 . no puede ser Igual a: ==»

b - 2c - 5

„ t a2 + b2 - 5 . -3 , -4a

a2 + 4 . Luego, ...

(a )

> = t -3 ,

, a2 * 4 >

.. (*)

Conj untos

a » 3/4 4

L ]= »

a * -2 . La Igual

{ b2 - 1, -3 , 8 } ■ { -3 , 8 } , y como el

conjunto de la derechc debe tener sfilo dos elementos, entonces: b'-l>-3 1)

6

SI b2 -1 ■

11) SI

b2 - 1 ■ 8

{ SI SI Luego,

a*

pues Hest?

b2 - 1 ■ 8

entonces

b2 •

entonces

b2 «

,

de modo que,

-2

(absurdo) 9

b •3

entonces

c « (b - 5)/2 »

-1

b ■-3

entonces

c * (b-5)/2 ■

-4

-2,

b « -3 ,

formado

Como x « - 9 e H

P ( H II { -x /

-

-9

-x2 “ - 81 i

M

,entonces

b

(descartado)

==» M * {

por los elementos delaforma(a + b + c)

y

- x2 e H > * ♦

c » -4 , a + b + c

= ►

-9 >

.

{ -x /

x e M »

lo cual Implica que : (Eli

-

- x2 e H } ) • P (M)

-P ( { - 9 > ) -

{ ♦

.{ -9

> >.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Encontrar

P(A) donde

2.

Demuestre que:

3.

Dar un ejeciplo de dos conjuntos A y B en los cuales se veaque:

P(A fl B) - P(A) n P(B) .

P(A U B) 4.

5. 6.

¿ En qué caso se cumplfc Si

SI 7.

A - ♦ ,

encontrar

Dados los conjuntos B-

{x

e

A * { “ , a, { ♦ } } .

IN/

A*

P(A) U P(B)

.

que

P(A)

A

> >

.

},

, 3 } .

*

í

Cap. 2

7

Conjuntos

43

b)

El número de elementos de P(A) es 8 .

c)

P(A) fl P(B) - { ♦ . { { ♦ } >

> •

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Dados dos conjuntos FINITOS y DISJUNTÍ ' fine el número de elementos de la unifin A U B como : n[A U B] ■ n [A] + n[B]

,

A

con

y B

se de

\ fl B • $

--(1)

l

La relacifin conjuntlsta: probar que los conjuntos

A > (A - 8) U (A fl B) , en/donde se puede com (A - B) y (A fl 8) son DISJl.'NTOS , entonces

n [A] » n [ A - B ]

Y en el caso en que A y

+ n [ A fl 8 ]

..

( 2)

B sean cuaZzsqiUeA. conjuntoi ¿¿nltoi aA.b-üt’uvu.oi

(no necesariamente disjuntos) , entonces A U8 * =>

8 U (A - B)

n[A U B] • ■

,

donde

By

(A - B) ¿on (Liijantoi ,

n [B] + n [ A - B ] n [B] + n [A] - n [ A fl 8 ]

.. debido a (2).

Es decir, n[A II B] * AdemSs,siendo A U B * (A conjuntosdisjuntos entre

n [A] +

n [B] - n [ A fl B ]

- B) U (A fl B) U (8-A) sf, teneros

n[A II B] »

.

una unlfin de tres

que :

n [ A - B ] + n[ A fl B ]

+ n[ B - A

]

que en la prSctlca es la relar.ifin mis utilizada, pues equivale a representar

44

Conjuntos

la unlfin x»

Cap. 2

en un diagrama ae Venn en zona diijuntxu coito :

A JB i'[ A - 8 ] n ‘ A fl 8] n [B - A ]

PROBLEMA

l

Un club deportivo tiene 48 jugadores de fGtbol, 25 de bSsket y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 y solo 6 de ellos figuran en los tres deportes, a) ¿CuSntos figuran en exactamente un deporte ? b) ¿CuSntos figuran en exactamente dos deportes?

SOLUCION:

datos :

a + d + e + g

b + e + f + g ■ 25 c + d + f + g • 30 a+b+c+d+e+f+g

del diagrama de Venn ,

48

68

g ■ 6 Asf, el nGmero total de jugadores que figuran en exactamente un de porte es: * « a + b + c y el de los que figuran en exacta mente dos deportes es: d + e + f obtiene:

x + Zy + 3g ■

y de la cuarta ecuacifin : = >

103 x+

= y

x - 39

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS

Sumando las tres primeras ecuaclones de los datos, se x * Zy *

68 - g - 62 y = 23

.

85

Cap. 2

45

Conjuntos

1. Demuestre que si A . B y Cson conjuntos finitos, entonces n(A U B U C) - n(A) + n(B) + n(C) - n(A (IB) - n(A n C) - n(B fl C) + n(A fl B O C) . 1

I

2.

En cierto Instituto de Ciencias Administrativas, se requiere que todos los estudiantes del último ciclo cursen MatemSticas, Contabilidad 6 EI conomló. SI se sabe que de 600 deestos estudiantes: 400 cursan Mate míticas, 30b Contabilidad, 250 Economía, 240 EconomTa y MatemSticas, 90 Contabilidad y MatemSticas y 50 Contabilidad y Economía. ¿CuSntos cursan las tres materias ?

3.

S1 A es un conjunto que t'ene 8nelementos, B un conjunto que tie ne 5n elementos, y se sabe que los dos tienen 2n - 1 elementos en co mún, hallar la suma del número de elementos que tienen : a)

(A n B) fl (A - B)

b)

(AUB)n(A-B)

.

4. Siendo n un número natural, y A ■ { n2 / 0 < n < 4},B■ {2 n- 5 / 2 < n < 6 } y C « { n2 -(n3/n) + 1 / 0 5

y

.. (3) . de donde g < 5 de (2) y (3).

10. Demostrar que: Cl a v e

de

B

e

P (A)

de (1).

=>A A B

f < 15

cíe (2),

« A-B .

Re s p u e s t a s :

SECCION DE LA PAG. [24] x2 +1 * 0 ;

:

1.a)

3x e

V x £ Z , x2 i

l.c)

x ;

Z/ x + 1 <

l.d) 3 x £ Z /

x ;

l.b) V

x2 - 1 < 0 .

2.VFVF en ese orden 3^) 3 x e A / í y e A ,p(x,y) ^''*q(y) ; 3. b) ¥ x e A. V y e B, ^p(x) v-^q(y) ; c)¥ x £ C, 3 y e B/ ~p(x) - q(y) ; 5. a) J x e A / V y £ B , 3 z E C / ^ p(x,y,z) b) ¥ x e A, V y £ B,p(x) - ^ q(x,y) ; c| (¥ y e A, p(y)) v ( J x e A/ ^q(x) - ^r(x)). d)Existe al menos un americano que no estS loco. e) Todas las personas son Infelices en algGn momento. f) Hay al menos un hombre deshonesto y nlngGn hombre es ladrfin. g) x < 12, y para todo real y se cumple: x2 + y2 - 144 < 0 . 6. n ■ 41 ; 7.a) F , b) V , c) F 10. (c) ; 11. (d) . SECCION DE LA PAG. T331 :

; 8. Las cuatro ;

1 S61o (d) ; 2. S61o (c) ;

4. 8 ; 5. S61o (c) ; 6. (B-C) ; 7.(a), (b) y (c) 9. Todas ;10. Todas: a) V para B * ♦ , C ■ A ; b) V c) V ; 11. (b) ; 12. (b) y (c) ; 13.a) M6 ; b) de r - m.c.m. (m, n) ; 14. Todas i 15. Todas ; 17. S61o (c) ; 18. (A1 UB')' ; 19. { 102, 120, 201, SLCCION DE LA PAG |~39] :

9. VFF 3.

;

S61o (b)

;

; 8. Sfilo (a) ; para C ■ ♦ ; ; c) Hr , don 16 S61o (c) ; 210 } .

3. B flC • { ... , -15, 0, 15, ...} - {

x /

x » 15k , k £ Z ) ; 4. A (1 B » { 10} ,se descarta la soluclfin a b - 1 pues da A - { ^ } ; A U B * { y } M ; 5. { -1, -2, 2 8. (a), (b) y (c) . SECCION DE LA PAG. [42" : A - {♦ ) ;

3. A - { 1 } .

5. { * . { * } , { { ♦ } } . { ♦ . { * } } } ;

SECCION DE LA PAG. f45] : B - { 1, 3, 5 ) , 7. a) 300 ,b) 2 900 , 8. a) 700 ,

c) 950 ,

9. a)

b) 0 .

5 ,

B - { 2> ;

2. 30 ;

C - {1) ; c) 500 d)

■ }

4. A - ♦ , 6

6.

8 ;

7. Las tres

3.

6n +1 ; 4.

A -

{ 1, 4, 9 ),

5.

lln/4 ; 6.

700

;

,

d)1800 ,

150 ,

e) 900 ,

e) 2 900 , f)1150

.

48

3 LOS NUMEROS REALES l

SISTEMA DE LOS NUMEROS REA l ES

Es un ronjunto IR con dos ope raciones: „urna y muttipticacUón, y una relación de Orden “ < “ que se lee " menor que “ , y que satisface los siguientes axiomas: Al. A2. A3 A4.

a + b c IR (LEY DE CLAUSURA) V a, b £ IR V a , b e IR a ♦ b ■= b +a (LEY CONMUTATIVA) (a + b)+ c =a + (b + c) (LEY ASOCIATIVA) V a, b, c £ IR AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTROADIIT/0: Existe un elemento y s61o uno denotado per “ 0 “ , tal que: V a c IR : a + 0 » a = 0 + a.

A5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO INVERSO ADITIVO: Para cada a e IR . existe un elemento y sólo uno denotado por “ -a " , que satisface la siguiente relación: + . q „ j_aj + a MI. V a, b £ IR M2. V a , b e R M3. V a , b, c e IR : M4. AXIOMA DE EXISTENCIA Existe un elemento y

ab e IR ab ■= ba

(LEV DE CLAUSURA) (LEY CONMUTATIVA) (LEY ASOCIATIVA)

(ab)c = a(bc) Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO: sólo uno denotado por a 1 " , *(¡ Aente de 0

tal que:

a • 1 - a = 1 -a

M5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO: Para cada a t 0 en IR, existe un elemento y solamente uno en R , de D.

notado por a-1 , tal que: a - a-1 » 1 « a*1 a AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD: V a , b, c e IR: a(b + c) * ab + ac ’ ’ v ' LEYES DISTRIBUTIVAS (a + b)c = ac + be

01. Dados a y b en R, entonces cionet te cimple:

a

una

a= b,

y ¿oto una de tai s¡.gtu.ii.ntet lela-

ó

b< a

(LEY DE TRICOTOMIA)

Cap.3

02. Si 03. Si

a < b y b < c a < b entonces

04. Si

a < b y 0 < c ,

5.

-49-

Numeros R o a les

entonces a < c a + c < b + c , -V c e entonces

(LEY TRANSITIVA) IP .

ac < be .

AXIOMA DEL SUPREMO (AXIOMA DE LA MINIMA COTA SUPERIOR).-

Todo conjun

to no vacio de núirjros reales, acotado superiornente, tiene una MINIMA COTA SUPERIOR (6 SUPREMO) ’n IR . 1.1 NOTA.-

Al elemento

a”1

también se le denota:1/a

De estos 16 axiomas del Sistema de los Números Reales, los cinco primeros se refieren a la SUMA 6 ADICION , los siguientes cinco a la MULH PLICACION, el axioma D relaciona ambas operaciones de Suma y Multiplicación y los axiomas 01, 02, 03 y 04 se refieren a la RELACION DE ORDEN < . 1.2

OBSERVACIONES.-

De estos axijmas se deduce que IR contiene a IN , Z y Q , es decir, a los números racionales en

general: 1. De M4 se tiene la existencia del número 1 en R . 2. De ffl se tiene que 1 + 1 = 2 e IR, 2 + 1 = 3 c F. 3. De A4 se tiene la existencia del 0 (cero) en O . 4.

Asi, IN c:

IR .

DE A5 resulta: -1, -2, -3, ... son números reales, con lo que: Z = { ... . -2 , -1 , 0 . 1 ,2 , 3 , ... } c IR .

5. Para cada entero m c IR, m f 0, se tiene que m~1 e IR ,o sea 1/m c IR, y por MI se tiene que' n - (1/m) = (n/m) c IR , para todo en teron, m, m f 0. Y como todo racional es de la forma q = n/m , se concluye que Q c: IR . Adem3s, desde el axioma Al hasta el axioma 0 se puede verifi car que los números racionales los satisfacen; sin embargo, sería imposible demostrar que los números irracionales como /3 0 J 5 son también números reales, a menos que utilicemos el Axioma S 0 AXIOMA DEL SUPREMO. De aquí la importancia de este axioma en el AnSlisis MatemStico. La correspondencia entre los números reales y los puntos sobre y na recta, puede ser usada para ilustrar geométricamente la relación de orden < : la relación a < b establece que al graficar en una recta el núme ro a se encuentra a la izquierda de b .

a

IR b

c

50-

N'jmeros Reales

Cap. 3

Con la ayuda de estos axiomas demostraremos algunas propiedades de los núme ros reales. Demostrar que : -0 Si

0 .

-0

- (-0) + 0 - 0 a + b * a

,

por A4 y A5

demostrar que

* [(-a) + a ] + b * (-a) + (a + b) * (-a) + a - 0 Demostrar que:

0 .

A4 AS A3

b ■ 0 + t>

Pr o b l e m a 3

b

respect.

hipCtesis y A5

a -0 ■ 0

.

a - 0 * a ■0 + 0 ■ a■ 0 + * [a.O + a.0] + {-

PROBLEMA 4 .-

■ a-

(0 +

■ a•

0

Demostrar que: a + (-l)a

A4 [a - 0 + A5 (- a - 0)] a - 0) A3 D 0) + (- a■ 0) + (- a • 0)= A40 y A5 .

-a * (-1) . a

.

• 1.a + (-l)a

M4 = [ 1 + (-1) ]a M3 = 0.a = a.O A5 y M2 = 0 . Probl. anterior. y como por A5 el inverso aditivo de a es único con la condición que a + (-a) * 0 , entonces: -a ■ (-l)-a PROBLEMA 5

V a, b e « : a(-b)

a(-b) * - (at>) =

:

a [(-1)b ]

Probl. anterior

= -

T a.(-l) ] b = [{-1 )a ] b (-1)(ab)

M3 y HZ M3

*

- (ób)

Probl. anterior.

En forma análoga se puede probar que: PROBLEMA 6.-

(-a)b

=

(-a)b

¥ a e IR :

-(-a)=a

Denotando por

b = -a

,

(ab)

(EJERCICIO).

: como

b e IR , entonces

Cap. 3

51

Números Reales t* a" (- a) +a“ 0

A5

lo que Implica que como para cada b e IR tal que: b♦ (-b) - 0 .entonces , PROBLEMA 7 .-

V a, b e IR :

,existe unúnico elemento . (_b) >es decir:

(-a)(-b)

11-b 11

- ab

Con los dos problemas anteriores, (-a){-b) PROBLEMA 8.-

-

Probar que tivo de

l”1 ■

(a) (-b)--[-(ab)] 1

j-1 .

1

,

Si a t O , demostrar que:

M4 M5 pues a”1, a ■ 1 a”1 i 0

Como a i 0 ,entonces existe a-1 a - a-1 ■ 1

,y si fuese

1 * a . a"1

■ a.O » 0

pues por PROBLEMA 10 .-

Si

h4

a f 0

Denotando por

.

1.

j-1 j

* PROBLEMA 9 .-

ab

Es decir, que el inversomultiplica

1 es el mismo

En efecto.

=

. por M5

tal

que

a-1 - 0entonces ===> 1 = 0

:1 ^ 0 .

Por lo tanto,

, entonces

(a-1)”1 *

(ABSURDO), a-1 i 0

. •

*

b ■ a'1 , se tiene que:

b . a ■(a-1) . a *

1

..

M5

y como el Inverso multiplicativo de b es Ciico tal que b . b_1

■1

entonces

a = b-1

= (a-1)"1 .

1.3 T e o r e m a .ab * 0

PRUEBA:

(= »

)

Para

< ■

ii)

(b = 0 ) ]

a , existen solamente dos posibilidades: a = 0

i)

[ (a * 0 ) v

6

a f 0

Sia = 0 , el teorema estarla probado, Sia t 0 , entonces, análogamente : b = 0

con lo que el teorema estarla probado,

b ¥0

el cual veremos que no puede ocurrir

52

Números Reales

pues

f 0

a

==>

ab - 0 == »

a'1 t 0, así que de la hipótesis:

(a-1, a), b -

) SI a * 0 ¿si b -0

1.4 NOTA.-

PROBLEMA

a"1. 0

== »

entonces entonces

ab • ab *

O.b ■ 0 a.O * 0

-- >

b « 0

,

Este teorema previo es muy Importante en lo que respecta a la resolucifin de ecuaciones, como veremos más adelante. ll

SI

a+b

• a+ c

entonces

En efecto, a+b ■ a+c (-a) + (a+b) ■ (-a) + {a + c) =©■ ==»

=*

í.b - 0

b t 0 .

lo cual es absurdo , pues ( « =

Cap. 3

[(-a) + a ] + b » [(-a) + a ] + c 0 + b - 0 + c == »

PROBLEMA 12 .-

SI

ac ■ be

y

b = c

.

=> .. A3 .. A5 y A4 .

b = c ct O

entonces

a ■ b

.

Pues

i) SI a ■ 0 = » be = 0 = » b ■ 0 (pues c + 0) por el TEOREMA [1.3]. Luego, a ■ b * 0 . 11) S1 a f 0 = » como c f 0: ac t 0, be i 0 , ademas, existe c'1 f 0 , y por ac ■ be

= >

(ac) c“1 » (be) c’1 = » a.l ■ b.l

a(cc_1) = bfee'1)

a= b b e IR:

Va,

1.6 DEFINICION .- (DIVISION):

V a. b e IR , b i 0 : También se denota

1.7 OBSERVACION

PROBLEMA 13 .-

..

.. M5 y

1.5 DEFINICION .- (RESTA) :

luego lo tanto: M3

H4 respec.

a - b - a + (-b) - - a • b'1 b

- « a/b . b

Desde que no se ha definido el inverso multiplicati vo del 0 (cero) en los axiomas de IR , entonces es por talrazOn que la DIVISION POR CERO NO ESTA DEFIDA . Demostrar que: Sea

c * (a + b)

-a - b = - (a + b) ,

entonces

c + (-a - b) * (a + b) + (-a-b) « (a + b) + (-a) + (-b) - a + [ b + (-a)] + (-b)

Definic. A3

Cap. 3

53

Números Reales A2 A3 A5 y

■ a ♦ [{-a) ♦ b ] ♦ (-b) ■ [ a ♦ (-a)] + [ b + (-bj] 0 + 0 « 0 y como el inverso aditivo de c es único , entonces : {-a - b) « -c - - (a + b) . PROBLEMA 14 .-

SI ab i 0 , probar que:

(ab)-1 * a’1, h"1

En efecto,

:

sea

c * ab

c(*_1b_1) - (ab){a-1 b_1) - a (ba'1) b'1 a (a'1 6) b'1

(aa*1)(b b-1)

y como el inverso multiplicativo de c t 0 es único por M5 -1 -1 a-V1 Es decir, (ab) a.-1‘ » b.-1 15 .-

Demostrar que: Como

^

^

M3

M5 y

M4 ,

entonces

d t 0 ,

= ab"1 + cd*1 « (ab-1). 1 +

(cd-1)- 1

DEF. y

M4

- (ab"1)(dd~1) + (cd-1)(bb_1)

M5

= (ad)(b"1d_1) + (cb)(d-1 b-1)

M3 y

= (ad)(bd)-1 + (cb)(bd)_1

Probi, anterior

(ad + cb)(bd) PROBLEMA

M2 y

ad ♦ cb bd

i + £ b d

b i 0 y

b-1. a"1

M3

- 1 . 1 - 1

PROBLEMA

A4 ,

ad + cb bd

-1

V a t o en R :

16

Sea

b = -a

1. a-(b-c)

-

(-a)-1 - - a-1 1

Probi. [15]

' -'-1 PROPUESTOS

.-1

En base a los axiomas, demostrar:

(a-b) + c

;

2. * - * = 0

3. a2 - b2 - (a + b)(a - b)

;

4. a (b - c)

5.

b /< 0 y

6.

(a/b)(c/d) - (ac)/(bd)

DEF.

b {- a-1) = 1

1 - (-a’1) SERIE DE EJERCICIOS

Ax. D y

, entonces

b(-a J) = (-a)(-a_1) = a • a-1 y por la unicidad en M5 :

M2

d /< 0 :

= ab - ac

ad = be si

bí f 0 .

54

Cap. 3

Números Keiles

7.

(a/b)/(c/d) = (ad)/(bc) ,

8.

a/(-b) - (-a)/b = - (a/b)

9.

TEOREMA FUNDAMENTAL OE LAS

si ,

bcd f 0 b i 0.

si

ECUACIONES LINEALFS: Sean a, b, *

con a i 0:

a* + b - 0

2

ECUACIONES

LINEALES Y

1

O

a) b)

2x + 1 = O «=> * = - 1/2 3x + 8 = x - 2 2x = -10 «=*■

c)

2x + 3 =

es

una

< ■ ¡>

* • - ba*1 c~

e

IR ,

* = - b/a

CUADRATICAS

La resolucifin de cualquier ecuaciGn lineal a* + b aplicación directa del EJERCICIOPROPUESTO [9] previo.

2x + 5 «=^> «==s>

«==» x = -5 .

(-2x) + 2x + 3 = (-2x) ♦ 2x + 5 3 = 5 (ABSURDO) . Como 3 = 5 es FAL

SO, independientemente de x , la ecuación dada no es satisfecha para nin gún x e IR . La resolución de ECUACIONES CUADRATICAS ax2 + bx + c = O con a t O , puede realizarse de dos maneras: FACTORIZANDO ó COMPLETAN DO CUADRADOS, ambos métodos basados en los siguientes dos Teoremas, el prí mero de los cuales ya fue demostrado. 2.1 TEOREMA

ab - 0

«==>

a = 0

2.2 TEOREMA .-

a2 = b2

[a

=b

2.3 NOTACION :

a = ib

5

(a

=b ) v ( a = -b).

PRUEBA DE [2.2] :

a2 = b2

a-b=0

a = i b 2

resolveremos la ecuación:

x2 - 7x + 10

=0

«=*

también se expresa así:

x - 7x + 10 = 0

:

(x - 2)(x - 5) = 0 (x - 2) = D x=2

v

v

(x - 5) = 0

x =5

A continuación analizaremos el METODO DE COMPLETAR CUADRADOS.

.

Cap. 3

2. H

Números Reales

55

METODO DE COMPLETAR CUADRADOS

Cuando no se puede factorlzar en forma sencilla como en el ejemplo anterior entonces se debe tratar de formar el CUADRADl OE UN BINOMIO. En este método se trata de convertir la expresión en una de la forma (x ♦ a) donde

ay

vemos que Por ejemplo,

♦ d

d pueden tomar valores negativos.

De

x2 +' 2(a)x ♦ a2 -

(x ♦ a)2

x2 - 2(a)x ♦ a2 -

(x - a/2

debeformarse el sumando x2 - 6x - 11 « -

las expresiones

2(a)xen cualquiera

(x2 - 6x (x2 - 2(3)x (x2 - 2(3)x♦ 32 (x - 3)2 - 9- 11

) - 11 ) - 11 32 ) - 11 - (x - 3)2 - 20

Note que 2ax « 6x y que se le hasumadoy restado rar el resultado, y por lo tanto x2 - 6x - 11 - 0

«=s>(x-3)2 •e=^>

x -3 »

EJEMPLO

Resolver la ecuaclfir:

SOLUCION.-

2a » 8

(x-3)2 - 20 - (/2Ó)2

x - 3 ♦ 2/5 v

= »

delosdos casos.

x-

■0

luego,

-4 - 2/6

.

x2 -

5x * 36« = »

36 + (5/2)2 :

ií» 4

- (±V 2

* “ 9

v

x2 - 5x - 36 -

.

x " ~4 (x - 9)(x + 4) ■ 0 ]

Ej e m p l o

3x2 + 4* - i

» o

*2 +2 0

«

(x - 6) > 0 ]

V [(x- 4) < 0

-

(x^ 6) < 0 ]

[x>4

~ x>6]

[x ] u [ n ( - » , 6> ] x e ^6,

U

, 4)>

* e

. 4> U ^6, = c.s.

Una REGLA GRAFICA equivalente al

orocesi anterior consiste en lo siguiente:

1. Se hallan las raíces de cada factor lineal y se les ordena en forma cre ciente: en este caso 4 y 6 . Estos valores reciben el nombre de PUN TOS CRITICOS. 2. Se trazan rectas paralelas [en las que se indicarán por zonas los signos de cada factor], una por cada factor lineal, y otra adicional para el signo del producto de ambos factores. 3. En cada factor pues: x > a coloca (-) :

(x-a) , a la djrecha de 0 ,

a se coloca el signo y a la izquierda de a

(+) se

x - 4 + + +

*

-

6

(x - 4)!* - 6) Por lo tanto :

4.1

(x - 4)(* - 6)

x

(x - 4)(x - 6)

x e

(x - 4) (x - 6)

x e

4^ U ^6, ■»>

e

[4, 6] 4] U [6,

Los factores siempre deben escribirse en la forma : (x - a) 6 (x + a) . Este método se basa en el hecho que : Ob s e r v a c i ó n

(+)(-)

- (-) .

(+)(+)

*

(-)(-)

(+)

y se reduce a multiplicar signos. 4.2

Ej e m p l o

Resolver

x* - 4x - 21

4x - 21 = (x - 7)(x +3) Los puntos críticos o raíces son :

-3

2 0 2 0. y

7

■

(+)

Cap. 3

Números Reales

64

x + 3 x - 7

(x ♦ 3)(«t - 7) Hor lo tarto : (x - 7)(* +3)

>0

x e > < <

4.10

E j e m p l o .-

a) b) c)

0 0 0 0

, . , ,

V x e V X E

U U U [2l 5] U

V X E

U

V X E

x3 - 9x2 + 26x - 24 < 0

«==s>

(x - 2)(x - 3)(x - 4) < 0 son:

4.11

2,

Ej e m p l o .-

x2 1 >o X ■ 4.12

4 0

3,

+

—

==>

factorizando :

, cuyos puntos críticos

x e U

x > (1/x)

«=>

(** 1>(*- 1)

i 0

x - - >0

«==í>

X

, Raíces:

-1,

X

0,

1

*

~v

C.S. (Conjunto Solución) = [-1, 0 ^ U [1,

x e

-x3 * x2 * Z2x - 40

Para resolver:

E j e m p l o .-

= C.S.

.

®

_

x(x + 7) multiplicamos por

(-■1 )

(x-- 2)(x - 4)(x + 5) x(x + 7)

para cambiar el sentido de la desigualdad :

< 0

,

Raíces:

x e C.S. =

4.13

NOTA.-

-7,

-5,

0,

2,

4

q

, -7> U [-5, 0> U [2, 4]

.

Para los casos especiales se emplea tan solo algo de observa ción. En cualquier caso, TENER EL CUIDADO de NO INCLUIR EN LA SOLUCION AQUELLA RAIZ QUE ANULE EL DENOMINADOR.

4.14 EJEMPLO.-

Resolver:

a)

(x-2)(x-4 )2 (x + 3)(x-7)

< 0

U ~ 1)?(X~ 3) í 0 (x - 4) (x + 5) (x - 4)2 > 0 , V x e IR , b)

SOLUCION: a) (a)

x / -3 ~ x-

2

(x + 3)(x - 7)

x / 7 < 0

y como RAICES:

-3 , 2 , 7

©

x e C.S. = U [2, 7>

.

Números Reales

Cap. 3

Como (x-4) >0 . V x c R , ser x t 4 ; así, se tiene que:

b)

67

pero por estar en el denominador debe , lU

■ , (x + 5) -5 , 1 , 3 0

(cuyas rafees son:

) 0 ,

(x + 1 )

a)

(x + 6)(x + 2x + 2) x+ f < 0 , x+ 6 x

b)

a)

e

-

x + 1 x3 + 8x2 + 14x + 12 (x - 3) (x + l)(x - 2)

(pues x = 2 , x = -1

- {4 }

> 0

-

(x + 6)[(** 1.) * 1 ] ♦1]

> 1 > 0 ,

.

< 0

(xM)

< 0

< 0

V x e R

C.S.

i CUIDADO ! : pero,

‘ "■i > 0 x - 3

**4 *

U ^4,

[(x+ 1)

pues

c)

- 0 *

* e ^-5, 1] U [3,

x t 2

para

anulaban al denominador original)

y

x t -1 <

x E 0 ,

(x - 3) (x + l)(x - 2) (x + l)(x- 2)

5

¥ x

R -{ 3 } , ó

-

x t 3

«=»

x

e

.

x ¿ 3 ,

1 [ ~ (x + l)(x - 2)

>0 >0

e

,

> 0

x t 3 ]

U - {3 } .

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE LA ECUACION CUADRATICA .-

Io) Sean

rj y

r2 las raíces de la ecuación

tonces se puede expresar: identificando coeficientes:

| x2 + bx + c = 0 j. en x2 + bx ♦ c = (x - rt)(x - r2) , ¥ x c IR + bx + c ■

x

- (rt + r2)x + (»^rj) ,

La suma de las raíces es igual al coeficiente de x con el signo cam biado ; y el producto de éstas es igual al término independiente c.

Números Reales

68

2°)

Cap. 3

En cambio, si r, y r2 son las raíces de: ax + bx + c « 0 con a / 0, tenemos que: - b/a - c/a

EJEMPLO.- Sea k t 0 ; si las raíces de: kx2 + 2kx + 5 - 0 ..{*) hallaremos el cuadrado de dicha raíz. Como (*) es equi

5.1

valente a:

x2 +2x + (5/k) * 0

,

y como

rj + r2 • - 2

,

rtr2 =

(5/k)

= >

,

k “ 5

. Luego,

5.2

r - -1

=s >

rt ■

r2 “ r

2r = -2

entonces

- r2 =

(5/k)

r2 « 1 .

EJEMPLO.- Hallar el valor de k para que la ecuación 3x2 + kx + 2 = 0 , tenga su Conjunto Solución de la forma ( r, 3r } .

SOLUCION. = >

sfen(j0

4r » k/3

5.3

r y 3r

las raíces:

- r2 - 2/9

Pr o p i e d a d e s

==>

A d i c i o n a l e s .-

2

r + 3r ■ k/3

r = + /2/3 = >

~

(r)(3r) « 2/3

k ■ 12r » í 4/2 .

Co m p l e t a n d o

cuadrados:

. b ,2 4ac - b2 a(x + — ) + -------2a 4a el DISCRIMINANTE de (*).

.. {*)

ax + bx + c » y sea 1)

A -

b2 -4ac

Si A =

b2 -4ac > 0 ,

ax2 + bx + c - a[(x+ —

)2 - *

Za

x + ± 2a ■ l) ■U.)

Si A Si

+ J^2a

>0 ,

A =0 ,

Si a > 0

y

= »

existen dos raíces reales distintas una para cada signo.

la)

' .. (**)

dadas por (**) ,

hay una sola raíz real (doble):

2

A ■ b - 4ac

a(x + — )2 + (4aC ~ b2) 2a 4a

r. ■ r, * x = - — 1 2 2a resulta un CUADRADO PERFECTO. 2

< 0 , entonces

4ac - b

> 0

¡V

«==s> ax2 + bx + c > 0 no cxXiíf nenguna laZz nzaZ. 5.4 RES jM l N.-

- 0

_______ x = _L [ _b + / b 2 - 4ac ] 2a

en cuyo caso (*) 2)

] 4a

, ,

x

> 0, y e

IR !

i V x e I R I . e n tal caso

Analizando solamente el DISCRIMINANTE

A = b2 - 4ac

:

Cap. 3 2o).

a < 0 i) jul)

5.5

:•

a > 0 a < 0

No Existen Raíces reales.

a < 0 - a < 0

k = 1/3 .

EJERCICIO.- Hallar el conjunto de valores de k para el cual cuación:kx2 + 8x + 4 « 0 no tenga rafees reales

Como debe ser 5.7

a < 0 :

:

a » 0 :

4(k - l)2 - 4(k + 1) - 0

64 - 16k < 0

4

X

x < 0

•:--:• X . Asi,

Xj + x^

+

2

5.9 Ej e r c i c i o .- Resolver:a) -x = x 2 a) -i + x * 0 * * 1 * 0 , x f 0 lo cual es absurdo. Luego,

2

2i

2

ax2 + bx +

c

.

b^ . 2( c a2 a

,

<

:■

CONJUNTO SOLUCION =

b)

CONJUNTO SOLUCION =

- + X < 0

2

.

, y de la ecuación dada: 1

b)

Además,

a*2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

~

EJERCICIO.- Hallar

5.6

69

Números Reales

-x >

}

x

x2 + 1 = 0 , x ¿ 0 $

-— — X

. < 0

' t. .

5.10 EJERCICIO.1)

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 2 Si A = { a e R / para cualquier x e IR : ax + a =

2)

A ={ x

e

Q /

{ x e R -{ 0 ) / 3)

Si x e R

y A

10x2 = 13x + 3 )

es un conjunto unitario o

B

=

- x = x_1 } es un conjunto vacio. 2 = { a c R / 4x - 2ax + 3 + a es un trinomio cuadra

IQ

Números Reales do perfecto } = = >

SOLUCION:

a(x + a - 1) = 0 2)

Como

{ a

7 ax + a = a

1) Como

A = {0}

A c

10x2 = 13x

Z /

e

f

+ 3

a3 + 24 =

6a2 + 4a ) .

debe ser independiente de x entonces

= * a = 0

, A* -R - { 0 )

Cap. 3

va - 1 - x $

=s >

.Luego,

(1)

= >

a = 0

es FALSA.

(2x-3)(5x+l)

■ 0

= >

A

-

{ 3/2, -1/5 ) , y como -x = x"1 Jio tiene soluciCn real, entonces B= $ Per lo tanto, (2) es VERDADERA , pues es una disyunciCn, y la primera proposición es FALSA y la segunda es VERDADERA. 3)

Debe cumplirseque

4x2 - 2ax + 3 + a

tener dos raíces iguales, y ello

= (2x + b)2 lo que equivale a

ocurre siempre que

4a2 - 16(3 + a) = 4(a-6)(a + 2) = 0

«=*

AdemSs, a3 + 24 = 6a2 + 4a ■■■■'• A = { -2, 6 } c B - { -2, 2, 6 } 5.11 EJERCICIO.-

A

a = 6

a = -2

.

a * -2, 2, 6 = > Asi, (3) es VERDADERA.

c)

(x - 3)(2x+ 1) >

a) (x-5)(x-3) i (x-4)(x-3) b) (x - 5)(x - 2) < (x + 3)(x + 1) (x + 2){4 - x) ,d) 2x2 + 9x + 4 < x2 + 7x + 12

e)

(3x + 5)(x+ 2) <

(x - 3) (x + 4) ,f)

SOLUCION: ------(a)

a)

(x - 3)[

= 0 v

Resolver:

(2x-3)(x + l)

NO SE DEBE CANCELAR ZL FACTOR

(x-3)

> (x + 5)(x-2) . SINO MAS BIEN :

(x - 5 ) (x - 3) - (x - 4)(x - 3) < 0 +4 ] < 0

X-5-X

-(x-3)

3x2 -llx+5

( K - 11

6

x e

< x2 + 4x + 3

0

«=*> (x-±±

> ^

6

) v

.

u

- ^ 6

6

« = » x2 » 2x - 8

(e)

< = 2x2 + 12x + 22 = 2(x + 3)2 + 4 < 0 x2 - 4x + 7 > 0

< = í>

< -

(d)

(f) >s=>

< 0

u t

: C.S.

> (61/36)

6 ,

->

=

(x + 4)(x - 2) < 0

c.s.

«=*>

x e

(ABSURDO) ,ConjuntoSoluc.:

{x - 2)2 + 3

>

0 ,V x

e

< t>

IR = C.S.

Cap.3

5.12 Ejercicio.-

b)

Resolver:

^ < — — *- 1

a)

- 777

x -1

c) 3/ *2 - 1 £ 0

SOLUCION: a) AQUI NO SE DEBE CANCELAR A LA EXPRESION < o

'

x - 1

k. -

*> 1 b)

71

Números Reales

•'

Como

——

1

>

»-1

!■

*

(*-1) : y mas bien ,

0

1

x -

>

0

o=>

C.S. = (1, “ )

E

x2 + 1 >

0

, PARATODO

*

REAL

,

entoncessepuedepasa

ier miembro multiplicando, sin que cambie el sentido de ladesigualdad: ¿± k

-2

2* - 1

c)

«==>

1 * : 3» r - x) 2x - 1

x e

< 0

U [1, 3] = C.S.

Como es una raíz cúbica, la expresiCn completa tiene el mismo signo que la cantidad subradical : 'V - 1 < 0 «=*> x‘ - 1 < 0 X2

5. 13

0 , y > 0 , entonces

EJERCICIO.- Demostrar que si xy = 1

=* ■ x + y > 2 [ xy = 1 ~ x + y = 2 ] «:■ ■

a) b)

x » y • 1.

SOLUCION.a)

0 < ( /x -/ y ) 2 < = » ==>

b)

( = >

x + y = 2

)

x+ y

>

2 / xy

x + y

>

2.

= •

(x - l)2 = 0 , ( < = 5.14

)

xyz = 1

SOLUCION.a)

= 2 =:•

Demostrar que si x

xyz = 1

[

x ¿ 0

y como xy = 1 (dato):

puesxy =1= »

, x =

1

, y =

.

1

Obvio.

EJERCICIO.a) b)

x+ I

,

=s> x + y +z i3 . ~ x + i/+z = 3 ] =s>

x

z

> 0,

entonces

= y -z =

1

Emplearemos el Ejercicio anterior :

al) Si al menos uno xy = 1

> 0, y > 0,

=>

de ellos es x♦ y > 2

1,

digamos

z

= 1

,

entonces

= > x + y * z >2 +

1

=

3.

Cap. 3

Números Reales

72

a2)

SI todos son diferentes de 1 , existe uno que es mayor que 1 y otro que es menor que 1 . Sea * < 1 , y > 1 , w = xy > 0 , en tonces: (y- l)(x- 1) < 0 , de donde * + y - xy > 1..(*) Además, wz = 1 =í > w + z > 2 .. (**) (pues w + z = 2 implicarla que w = z * 1 , lo cual es absurdo) Luego, * + y + z = ( w+ z ) + x + i/-w =

(w + z) +

(*) y (**). Así, tenemos que: b) ( =*■ )

x + i/ - xy > 2 + 1 - 3 x + y + z

Si al menos uno de ellos es 1 , el problema anterior implica que todos son iguales a 1 . Si todos son

diferentes de 1 , entoncespor la solución

x + y + z> 3 (que contradice el dato cual es un ABSURDO. (

6

, por

> 3 .

x + y +

(a2):

z = 3) lo

) Obvio.

ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES Cuando una ecuación o inecuación contiene una expresión con un radical par como : _ , /A , / a , etc.

para que las soluciones de la ecuación o inecuación original sean válidas, debe resolverse antes la condición que:

A > 0

cuyo Conjunto Solución constituirá el UNIVERSO U dentro del cual se ha de resolver la ecuación o inecuación dada. Debe observarse que /T" quiere decir + //T , y si se desea laraíz cuadrada negativa se deberá escribir explícitamente-/~A. Es decir,

^

V

b) 6.1 EJEMPLO.-

x > 0 .

/x = 0 «=^>

/x

> 0

.

x = 0 .

Resolveremos en R , completando cuadrados: x + 3 / x - 1 = 11

SO Al : x - 1 i 0

< —>

Establecemos primero el UNIVERx i 1 . Luego,

U = [ 1,(*)

Ahora resolvemos: x + 3 / x - 1 = 11

«=>

(x- 1) + 3 / x - 1 - 10 = 0

«=>

( / x - 1 + 5)( / x - 1 - 2) - 0

<

Cap. 3

Números Reales

[ / x - 1 = -5 s=^> x - 5 , es válida. 6.2 T e o r e m a .

y cono

5

D < x < y

6.4 EJERCICIO.0 < Vx

a > 0,

»

x = 0

c

:> y - 0

2 ^ l2 a 

«==>

< Jy

0 < x < y

0 < /x

< /y

. Aderas,

/x + Jy = 0 =>

a D :

y

Demostrar que:

x * 5

0 < /x < /y .

0 < (/l)2 < ( / y ,

0 < x <

i)

* - 1 » 4

entonces la solución

••

«=

¿i)

(< = )

/ x - 1 = 2 ]

l) » [1,

e

Por el TEOREMA:

6.3 T e o r e m a .-

( =*■ )

v

D < x < y

PRUEBA.tenemos que:

(absurdo}

73

/i/ * /x + /{/ = 0

< /{/

-

(/ = 0 .

/x = 0 /¡f - 0

.

Obvio.

6.5 T e o r e m a .-

A) Si

n es

al) ^7 a2)

«=^>

^ 7 = 0

«=^>

a3) Vx B) Si

%

b2)/x

(bl) y

PAR :

x > 0 x = 0 0 < x 0

< 0

b3) Las proposiciones

5 n/ y

n es

bl)

un entero positivo > 0

"/x < n/y (b2)

x si es que n es IMPAR .

indican que

/x

TIENC EL MISMO SIGNO que

Todos estos resultados nos han de servir pa

ra la resolución de ecuaciones e inecuaciones que involucren estas expresio nes. 6.6 NOTA.-

Cuando en una expresión existen varios (k) radicales, se cal

culan los Universos Relativos Ut, U2, ... , Uk para cada radical, y el UNIVERSO GENERAL serS: u = ut n u2 n n ut 6.7 T e o r e m a .-

i)

¿i)

+ /b

> 0

a

>

0

-

b >

.1 + /b

-1

d)

< 0

b)

/ x + ~S > 0

e)

/x + 1

>0

c)

/x - 3 < 0

f)

/* + 3

> -1

SOLUCION: a)

Como / x +3 > -1 es válida PAR« TODO xtal que: x e U: entonces U = L-3, «°> , yel CONJUNTO SOLUCION es C.S. - U = [-3, «■>

b) Para / x + 5 > 0 , U * [-5, x+5 >0 «— 1> x e 0 «=> «— 1> C.S. * , y como

e

U . Así,

Conj. Sol. =

también es válida

6.9 Ej e r c i c i o .-

< 0= >

}, ó

x -

e

PARA ÍODO

U

* [-1, «■> . Luego,

x e U

=[-3,

*C.S.

Resolver:

a)

/4 - x

< ,'l2

d) - / x - 2 > 0

)

/ x+ 1

+ /2 - x > -2

e) / x 2 - 4x + 3 5 /x2 - 7x + 12

c)

3 .

♦ .

es VERDAOERO PARA TODO x ■ U .

> -1

0 < / x - 3

C.S. * {3

/x - 5 > 1

f) / I T T + / 2 ~

=

2 .

SOLUCION: a)

b)

/4 - x < /Í2 < = > 4 - x < 12SIEMPRE QUE x e U = y que 4 - x < 12 «=s> x > -B C.S. = > n U » 1 (elevando al cuadr.) ■: — x e (6, C.S. = n U = = . d)

- /x - 2 > 0

f)

Universos Relativos: Up = [-2,

« —

/ x - 2 < 0 x+ 2

>0 ,

n (-«> , 2] * [-2, 2]

(absurdo) U2: 2- x

=■* > 0 ,

> .

1

Así,

C.S. =

e)

2 /x+2

/2-x = 0

{ -2. 2 } c U = [-2. 2]

75

— =-> ==*■ C.S

/2-x » 0 x = -2

v

x * 2 . Y como .

= { -2, 2 }

Universos Relativos: Uj:

x2 - 4x +3 > 0

Uj =

U2: x2 - 7x + 12 > 0

= >

U = Uj D u2 * < - “> ,1] U

U2 - { 3 } U [4, «■> .

/ (x - 3)(x - 1) < /(x-4)(x-3~) == > ~ x e U ==> (x-3)(3) < 0 Por lo tanto,

C.S. = U fl x< 3 ~ x e U

3] = , i] U /x + 2 +/ 2 - x

=

a2 + /"b = 0

a2 = /a*

6.11 EJERCICIO.-

Y así,

1

a = 0

.

RPTA:

$ .

^ b = 0 .

. a2 + b2 = 0

Sea

{ 3}

« —

a = 0

b = 0 .

a > 0 . El Conjunto Solución de: / x + 4a - / x + 2a - 1 =

I) tiene un solo elemento xe II) tiene dos números reales distintos.

1

.

III) tiene un solo elemento x e [0, IV) no se puede determinar exactamente.

.

¿ Cuál de tales afirmaciones es verdadera ? . SOLUCION.-

Hallando el Universo U :

x > -4a - x + 2a - 1 /x + 4a -

> 0« = >

/ x + 2a - 1=

a = / x + 2a - 1

x > -4a 1«==> / x + 4a

Luego,

..(*) ;

= 1 +/ . x + 2a - 1

(*)

> 0 > -4a

x resulta ser elemento de U . Por le tanto,

y así solamente la alternativa (III) es la VFRDADERA.

6.12 EJERCICIO.-

x > 1 - 2a

«=^>a2 = x + 2a - 1

( x = a2 + 1 - 2a > 1 - 2a x = (a - 1)

~

Demostrar que:

x = (a - I)2 > 0 ,

Nümeros Reales

76-

i.) ÁÁ.)

y > 0,

x > 0,

x < 0 < y

x > y ,

Cap.3

x > / x 2 - y2

= * ' y > 0

== ►

x2 >y2

x2< x2 + y2

= >

0 O

entonces debe ser

e

R /

6.14 EJERCICIO.- Hallar

SOLUCION:

z > 0 , PARA TODO

Como ¿)

e=»

lo quí

< 3

» donde z

> -1 -

x2 + 2x + 2 = (x+ l)2 + 1 > 0 z > -1 « »

z <

debe cumptcue PARA TODO

«=>

3 0

2»2 . ax ^ 1

entonces

A < 0

(1 . 2a)2 . 4(J2 < 0 « = *

l a

Sea

y > 0

~

NO DEBE TENER SOLUCIONES REALES

«==• Por lo tanto,

x < 0

Si a > O , z = ax2 + x(l - 2a) + a , hallar el conjunto de valores de a tal que: z >0 , PftRA TODO x REAL . flj[2 + x(!_2a) + a , o

te). Es decir,

signo

.AdemSs,

x < 0 < y

6.13 EJERCICIO.-

.. (**)

x

Va se demostró que que a-1

.. (*)

x2

/ x 2 - y2 <

= > iÁ.)

(x2 - y2) > 0

= >

x +(6 + a)x + 5 > 0 ,

0 2) i)

a

> b> 0

= >

1 < [(a +x)/(b x >0

== > 2 / ab

<

(a/b) > 1 ,

(a + b) = >

/ ab

<

a. * b 2

entonresdebemos demostrar que:

+ x)] < (a/b) :

= © • (a + x) > (b + x) >x > 0

además,

a > b > 0

xa + ab

> xb + ab

y

=»■

x > 0= »

=í >

> 1..(*)

b+x

xa > xb

a(b + x) > b(a + x) —

b+ x b 1 < [(a+ x)/(b+ x)] < a/b , en este caso.

asi, de (*) y (**): ii)

0 que

3)

< a (x- 2)(x + 2)

< 0

x

(x - 2)(x + 2)

(x - 2)(x + 2) x

PROBLEMA -------SOLUCION.-

< - »

e

Resolver:V x2 - 1 (x - l)2(x3 - 13x +12) -------- t— ó---- í-----------(x + 4) (x3 + Bx2 + 4x - 48) Como

-1

tiene el mismo signo que

tiene el mismo signe que lente a:

< o

(x + 4)

(x + l ) ( x - ! ) * ( , - 3 )

(* + 4)(x - 2)(x + 6)

,

Q

t

x

f

> 0 _4

^ - 0

x2 - 1 , y

, entonces

(«2 - 1)(* - 1)2 [(* - 1)(X + 4)(x - 3)] (x + 4) [(x - 2)(x + 6)(x + 4)]

, -2> U

” ' ' (x + 4)3

(*) es equiva^ _

78

Números Reales [ --- (* * 1)(* ~ 3)--(x + 4)(x - 2)(x + 6)

>0

siendo los puntos críticos: x

e

v

x - 1 ]

.

x i

-4

;

luego

-6 , -4 , -1 , 2 , 3 +

U [-1, 2> U [3, °>>

PROBLEMA .-

Cap. 3

- C.S.

(x + 1}*(x + ¿)

Resolver:

‘y —

£ 0 (*)

V x + 7 (x-8)3(x3 -8)(x2 - 14X + 4B) SOLUCION.-

Los radicales pares proporcionarán el Universo

B-x > 0

- x+ 7 > 0

[ no se incluye

x * -7

«==s>

x < 8

-

U :

x > -7 . Asi, U -

xe

( [ ( [-5, -2] U ) U { -1} ] n U ) - { 8 }

0

í V

/a > b

y b

Este teorema es fScil de probar considerando. OBSERVACIONES.-

a)

La condición

- [ b > 0

- C.S.

~ a < b2 ]

o < o

b0.

a > 0 proporciona el Universo U.

Estos teoremas tienen sus análogos cuando se

b)

za, donde aparezca, :

6>

>

por

>

,

Quedando invariables

a > 0

y b > 0.

Cap. 3

Números Reales

PROB l EMA.-

Resolver la 1necuac16n :

79

/ x 2 + 4* <

5* - 1 .

a * x2 + 4x , b ■ 5x - 1 , /a 0 0 -s=¡- U - b » 5* - 1 > 0 1/5 c— => x e •• (*).

SOLUCION.-

a

< b2

Luego.

«==>

x2 + 4x

U

C.S. « U fl (*) fl (**)

-

Resolver la 1necuaci6n :

SOLUCION.-

Utilizando el TEOR. (11): _ /a > b

6x + 1

-

[b < O

v

=*«=^> «==?>

> (2x - 3)2

«==?>

(2x - l)(2x - 8) < O

(b> O

^

- [-1/6, » > fl (< - » .3/2 > U [3/2, 4

,

fl ) > ) o

x - x -

a > b2 )]

4x2 - 18x + B < O x e Luego,

«==?>

C.S.

/

b - 2x - :

U - > x e x e [3/2, «■>

- U fi [ < - » , 3/2> U ([3/2, » >

Resolver:

2x - 3

a = 6x+l , a> O

C.S.

PROBLEMA.-

.

/ 6x + 1 >

0 b < O «==» 2x - 3 < 0 b > O «==> 2x - 3 > 0

(**).

PROBLEMA.-

a > b2

> O

]

«[-1/6, 4 >

^

(x - 5)

2 - / x + 4 SOLUCION.-

Como

x2 - x - 2 - (x-2)(x + l) > O x

U: «=*>

donde

/x2 - x - 2 - 2 --— ■ — 2/x + 4 x

e

> 0

, (y como

e

12 < = > y e 0 ~ a < b2 ] < = > (intersectando los tres): y

e

(

y

e

1] U [13, »> ) n 0 «

Verificar que: 24. EJERCICIO.-

>

y - 3.

/a i b «— 1> a 2 b2 )] .

C.S. = , 1 ] . Expresar el conjunto A mediante intervalos : A = ( y

e

IR /

y =

*

3> — - , x - 2

-2 < x < 0 } .

Cap. 3

Números Reales

SOLUCION:

y como

... x2 * 3« - 1 x - 2 -2 <

[

^

^2 _ (y_ 3)x + (2y. 1} - 0

«=^>

x - { y - 3í / y 2 - U y +

13 )/2

* £ 0 , se debe reso1ver:

=-

-2 <

61

< 0 «=> -(i/+l) < í / y 1 - U y * 13 < 3 -y

-—

2 a v b ]

,

•• (*)

donde :

a

: -{y* 1) <

/ y 2 - 14y +

13

<

3-

y

b

: -(y* 1) <

- / y2 - H y + 13

<

3-

y

es decir, para cada signo

en

el radical

se debe resolver:

i / 9i/2 + 16

Verifique que:

=[ 1 /2 ,1 ]

1 < x < x2 4. Dem. que 0 < t < 1 ■■.• 0 < x2 < x < 1 5. Dem. que si xes un número realtal que 0 £ x < h , para todo > 0 , entonces x = 0 . 6. Dem. que: -i)a > b b - a

8.

Dem. que

0 £ d < c

= »

9.

Resolver: a) b) c)

— x- 5

el menor

real

d)

(x2 + 2)(x2 - 4) < 0

e) f)

(x - l)(2x2 - 12x + 19) < 0 3x3 - 9x2 + llx < 5

M tal

que,

a)

4 + 6x - 3x2 £ M

c) - x2 £ M

b)

4x - Zx2

d) -x2 + 4x - 10

11. Hallar

< M

el mayor

número

real

m tal

que,

PARATODOx £

mí

2x2 - 4x +

2

c)

m £ x(x - Z) - 3

b)

m £

x2 - lOx + 32

d)

m £ 1 - 6x + x2

0 < a < b< c

SUG: Pruebe que: 13. Dem. que:

= ■

REAL:

M

PARATODOx

a)

12. Dem. que:

14.

j

d (c - d)

, c* d4 t d (c - d) < — - — < c (c - d) 4 4

4 número

b - 1

c3 d3 3 d3 - - - > 3 " 3

>6

3X*1 > -(x -4) -4 £ -2x + 3 <

10. Hallar

a - 1

h

REAL:

a3 - b3 — ------ - < a + b + c 3c(b - a)

(a + b)(3c + a) + 3c2 + b2 > 0 .

0 < a £b

0

Si

x

es un número real cuya representación decimal comienza como sigue

a)

x =

2. 3476

...

«=•

a 3b -+ — b a (b - a) 2 0 .

b) x =

dar un intervalo cerrado de longitud

10

- 5 . 3254 ... que contenga a x .

Cap. 3

Números Reales

83

15. SI2.3 < a < 2.4 , 4 0 ,

(2x2 - Bx + B)(x +_3^ > f) (x + 6) , c)

c) l - x < 2 x - 2 < x + 8 d) 0 < x-1 < 3x-15

(2x2 - 8x + 8)(x + 3) ------------ ------ (x + 6)

e)

1LÍÍ

>3 ' x+ 1 , g)

< 0 ,

+ 3) > 0 >

d)

2x4 < 2x2

'

3 x

< x

h) _ l ________ 2 x + 4 x + 5

(x+6) 18. a)

¿ Es x + x + x > xpara todas las x ?. x > 0 ? . b) Resolver: [(x - l)2 + 2 ]_1 < 1 .

¿ Paratodas

19. Hallar el conjunto de valores de k para que la ecuación = 0 tenga aos raíces, una de las cuales es 1 . 20. Si

{ r, s ) ,

las

x2 + kx - 2

con r > s , es el conjunto solución de la ecuación

2

15x - 22x + 8 » 0 , hallar la ecuación cuadrática cuyoconjunto solu ción es { 1/r , -1/s } . 21. Hallar el conjunto de valores de k para los que x tomevalores les en la ecuación:

x2 + 3k + 1 ■ (k + 2)x

rea

.

22. Hallar la suma de las raíces de la ecuación: / 2x + 3 + / T x ~ "2 -

/ 2x + 1 =

/5x .

23. Hallarlos valores de m para quela siguienteecuación ciones reales: (m + 5)j + 3mx - 4(m - 5) = 0

notenga solu

24. Si a > 0 es tal que / x + 4a , les, hallar el conjunto solución de: 25. Si i) ii)

a e IR*

a

-b

1/b < 1/a b(b - a) > D

e

IR+ ,

/x + 2a - 1 son números rea _____ _________ /x + 4a - /x + 2a - 1 * 1 . ¿ cuáles son verdaderas ? : iii) (b3/a) - b2 < 0 iv) a2 < b2 .

26. Hallar el complemento del conjunto solución de la inecuación :

Cap. 3

Números Reales

84

a) 27.

< 0

,

b)

¿ Cuáles son verdaderas ? : ii) i

iv) 28.

(1 -■ x)(-X- ^-2i (x + 4)2 ¥ a ,b

e

R ,

ii)^ ( V a,b

e

i)

^(3a

a 

)

be < ac

.

tales que la raíz de la ecuación

sea mayor que 2. 29.

)

< b2

- = — — — x x+m

¿ CuSles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ? : i) Si a 0 entonces ac < be . ii) a > b =í> b+c < a + c , V c real . i ii)a a < 2b , V a , b reales.

30. Resolver:

3x3 . M 2 + 63x . 54 — — --3x + 15

a) b)

— -— 2x + 3

e < 1/4 , 2 ] , N

c)

x2 ---- + 4 > x + 10 *' 2

e)

,

---/ x - 5 < 1

>0,

d)

---- — /t . !

> /x + 1

1 — --/x + 1

> /x - 1

f)

31. 32.

Hallar las raíces de: /1 - 5x + /l - x ■ 2 . Hallar el conjunto de valores de m para que la ecuación siguiente: x2 - 15x - m(2x - 8) = 0 tenga raíces reales iguales. 33. Si r y s son las raíces de la ecuación 6 + (1/x) = x , hallar el valor deA = 2(r

+ s)/(rs) .

34.

Hallar k para que la ecuación ta dos soluciones reales iguales.

35.

kesolver: aj 3 < 6 x +2 ” x + 5 b) c)

36.

— > 6 * -5 (x + 2)(x + 10)(x + 2) > 0

Resolver:

(k+1);2 - 2(k + l)x + k = 0

d) , e) f)

admi

(x2- x-2)(6x2 - x - 1) < 0 , 2 (x- l)(2x - 12x + 19) < 0 ____ /x - 1 < 0 .

.

a)

(x2 + 7)(x2 + 25)(x2

b)

(x2 + 2)2 (x2 + 5x -6)(x - 1)

-4)(x2+ 3) >

c)

(x2 - 16)2 (x2 + 4)(x + 3)(x - 2)

< 0 >0

0

Cap. 3

Números Reales

85

d) (x3 - 8)(x2 + 4x - 5)(x2 - 16) < 0 37. Resolver: x2 + 8x + 24 a) Ï 8 , d) x + 2 .. b) 38.

. 3x + 1 1 4 > ----- Î - , x x

Resolver:

x+ 2 *2 + 2 ---- > -- 5— x - 2 x2 x3 - 2 x + 1

. c)

-z---

(4x + 2)2 (x2 + 2)3 (2x - 8)9 . „ *> Tö < ® (x + lj2 (2x +

^

b)

(x2- 4x - 12)(x2 - x - 12)

>

x3 - 4 --x + 2

5)

< 0

(x2 - 9)(x2 - 4) , c)

2x x ^ x - 1 ---- - ---- > ---- . x+ 1 x - 1 ' x

e)

(x2 - 2x T 4)5 (1 - x,3 (2 ^ x)6

d)

x2 + 8 _ 5x - 8 ----- > ----x + 4 5

^

o

(2x + l)(x + 4)x4 ,, f) , D

39.

-

x4- 2x3 - x2 4x - 6 ------------------< 0 x3 - 4x2 + x - 4 .

x2 - 2x x + 8 ------ < ---x - 4 2

.

Resolver : a)

3x2 - 4 , ., - X+ 6

b) C) 40.

LJLi x + 4

{ z =

* x* + 1

Resolver:

2x + 3 < ----2

4 2x2 - 3x + 3 e) (x - 2)(2x + 3)

1 > - 2

/

el conjunto A :

x e

SUG: Evalúe por separado los z para x 41.

x+ 4 ---x - 2

> _£_ x - 2

Expresaren términos de intervalos A =

.

d)

e

} U { 0 } U 0 , c) < 0 , d) > 0 ; indicando en cada caso el Universo U proveniente de los radicales pares. 42.

Resolver: y 625 - x2 ¥*? - 4 (x + 4)8 (x2 - l)2 x3 - 2x2 - x + 2

Números Reales

86

a) 43.

< 0 ,

b)

Resolver: /

> 0 .

> /x

5-x x+3

> 0 , _

/

*A

d)

/ x 2 - 6x + 5 +

e) / x 2 - 6x + 5 + 44.

< 0 ,

/ 32 - ?x x + 2

«

W

c)

Resolver:

Cap. 3

,

d) f)

y

^ *

'

/ x 2 - 7x + 10

< 0

/ x 2 - 7x + 10

> 0

x - 3x - 4

a)

> 0 /x + /x - 2

E

>

x x-- 1

> 0

o

/ x+ 3

2x - 29

5 - /l6 - x2 3x - 4

b)

> 0

/ 2I - / x 2 - 4 7 7 T 3x - 4 /2Í - / x 2 - 4 45.

46.

Expresar el conjunto A mediante intervalos: a)

A=

b)

A=

c)

A=

d) e)

y = x2/(x- 1) ,

8x - 2x¿ 2x - 1 x2 - 4

/

X E

-1 < x < 1

[1, 4>

x

E

[-3, 0 >

}

A=

/

x

E

}

A=

/

x

e

[-3, -2> U 0,

[x/y){y/z)[z/x)

=1

y > 0, z>0,

4> }

entonces

, y un Problema resuelto (PSg. 71)

Resolver: > (1 - x2)(l - x)

}

}

/

Demostrar que si

SUG: 47.

y e R /

2 4 5 x - x +,------x - x +9 (1 - x)2 (1 + x)

Números Reales

Cap. 3

SUG:

87

Pasar todo al primer miembro y factorizar.

Dado elsistema: y- x2 -2x-15 , y mm(x + 5) ; si y • 9 face el sistema, hallar la suma de los posibles valores de m

satis .

49. Hallar los valores de k para los que x tome valores reales

en:

48.

t2 + (3k + 1) - (k + 2)x . 50. Dada la ecuación

ax2 + bx + c ■ 0 ,

demostrar que:

a) SI la suma de sus ralees es Igual a su producto, entonces b) Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b ■ 0 . 2 c) Si una raíz es el doble de la otra, entonces: 2b ■ 9ac .

b+c ■ 0

51. Hallar los valores de m para los que el conjunto solución de la si guíente ecuación no esté contenido en R : (m + 5)x2 + 3mx - 4(m — 5) = 0 52. Sean r y con

s las ralees reales de la ecuación

r < s. Hallar el valor de

2

2 ax + bx + c ■ 0

,

2

r -s .

SUG:

x = ( -a i /a2^- 4ac ) /(2a) , y donde £ corresponde al sig no (+), y ^ corresponde al signo (-) . 2 53. Si las ralees de: x + mx + n • 0son las reciprocas de las de(la ecuación

2

4x + 8x

- 5 « 0 , hallar el producto

mn .

CLAVE DE RESPUESTAS 9. a) b) U . c) [-1/2 . 7/2] , d) 17.

a) , b) U U U [-3, » > , e) f)

[-2. -1> .

18. a) NO, SÍ;

b)

g) < — , -1] U [0,1] , IR ,

19. k • 1

h)

-> - { 0 },

U 0 : 22. x * 3 , 23. A < 0 : . 24. x = (a - l)2 25. a, b y c .

26.

U { -4 } .

b)

Números Reales

88

27.

(c) solamente .

30. a)

28.

< — .- 5 > U [2, »>

.

29.

(a) y (b) solamente ,

b) [-1. 5/2> ,

c) .

d)

[5. 6> ,

31. x

= 0 , 32.

35. a) d)

U [1, » > . b) , c) - {-2 } U , e) , f) x - 1 .

36. a) c)

U , b)

37.a) d)

. c) U < 0,■»> , ;38. a) - { -1 . -1/2) ,

38.

e)

,

Cap. 3

, f) [0, 2> .

A = 0 , m e { 3 , 5 } , 33. A - 12

b) U < 4 , 6> ,

d)

< — , 4> ,

34.

k » 1/3 ,

> , d.)

c) < — , -1> U .

e) U { -2 } U U , c) < — , -4> U [1/2, 2> ,

U ,

e)

U U

40. A = U < 0 ) U -

.

41. a) [-1, 1> U { 2 } U [15, 27> a) ( , f) [2, » >

44. a) c)

[-4, -1] U { 4 ) , b) , .

45. a) d)

A= < — , 0] , A- .

5] ,

bj A - e) A - [-5/3, 0 > U .

47.

U U U

.

48.

1DP/11

k

0, N b

ib cuál de los dos extremos de

b>0, a+b '

I está Jz

49. 53.

e

,

0] U [8,

» >

, 51.m

(32/25) .

I “ < 7 » -— — )>t ♦ .Probarque/ Z más próximo ?

Cap. 3 7.

Números Reales

89

VALOR ABSOLUTO Dentro del Sistema le los Números Reales se define

el VALOR ABSOLUTO de un número real ,

x como sigue :

si si x - 0 s1 x < 0

x > 0

De la última linea se tiene que t < 0 Además,

x > 0 x ■ 0

-x >0

=s >

=»

|x | « x |x | * 0

- ( 1)

1*1“ -x > 0

==» |x | > 0 (por definición)

Aquí se ha demostrado que un valor absoluto ca resulta un valor negativo.)

|x | a¡

. ( 2)

- (3) mpne.

> 0 (nun

DEFINICION EQUIVALEN

( x -x TEOREMA.-

PRUEBA.-

1)

|x | > 0

2)

|x | - 0

,

si x > 0

,

si x < 0

,

V V x xc Ic RIR «==» x = 0

(1) Ya fue demostrado.

(2) ( = > ) Con la hipótesis | x | « 0 , supongamos que ces: x> 0 6 x < 0 , ■i)

si

x

■U)

si

x < 0

> 0 ==»■ |x | ■ x > 0 =>

luego, la suposiciónx f 0 ( « = ) Si CJEMPL2?.-

a) b)

x

» 0

|x|> 0

|x | ■ - x > 0 no procede,

entonces|x| ■ 0

|3 |- 3 , |-5 | “ -(-5)

xf 0

=■

(absurdo)

| x | > 0 (absurdo) >

y por lotanto por

, enton

x •0 .

definición .

|0 | - 0 , [pues -5 < 0 ] » 5 .

A continuación presentaremos algunas propiedades del VALOR ABSOLU TO , y que serán muy útiles en la resolución de problemas. Propi

papes del

V a l o r A b s u Lu t o

9C

Cap.3

Numeros Reales

I) 2')

|-*l * 1*1 | x2 | * x2

3)

SI b > 0 ,

4)

1*1 -

•

2) I** 1 ■ M U I x2 > 0 , paJUL todo x e R )

(pues

0,

y < 0 ==>

x > 0 ,

xy

=►

y > 0

b >

£ z ]

( -a )

;

1v)

x < 0,

0 ,( -==> ) i)

) v

SI

x >

«= *

de

0, 0,

1)

Si

x*

ii)

Si

x»

|x| » x ,

luego

|x| •-x ,

luego

x» b , entonces

==»

-x = b

=s>

x « -b .

b > 0

=»

-b < 0 =s>

1*11*1 -

|xx| = \yy\

|x | =

|x| « -x =

x2 * y2

x > 0 == ►

x < 0= >

-x

2 ,

V x i 0

(*)

Números Reales

Cap. 3

SOLUCION:

(x-y)2 i 0 , entonces

a) Cono 2xy

93 2xy < x ’ + y2

< 1 . por el dato. AdemSs:

|* + y}2 - (x + y)2 ■ x2 + 2*y + y2 “ 1 f Ixy < 1 + 1 - 2 |x + y |2 < 2 ==» | * + y | < /2 . b) La expresifin S de la Izquierda se convierte sucesivamente en:

+

Al

|bK| f i * m l ' U l í i - m > * It I * i-i«l5 H 5 1> * í ¡ »

|b| 2 +

■• ( 1 )

|d 2

.. (2)

|a|2

Sumando las tres desigualdades:

>

3S

=>

2( |a| + |b| + |c| ) + S > 2 |a 2S > 2 |a + b + c

PROBLEMA.-

|= »

Si a. b y

c

Ifl * l?l ♦ 1*1

*

b + c|

g

Previamente setiene que: \y\

S

1

|a| + |b| + |c |

( 1*1 +

+

S > |a + b + c |

‘

M

V * ,y 'y 1

\y\

que |z + (1/z) | > 2 , ( M + IM+lcIM-j^j- +

4 + 2 + 2 + l » 9

+ |b|+|c|

1

1

: 4

•usando el

hecho

para todo z / 0 . Luego, + 1~F ) ■ + \*\ ) + i |b||c|

>

. Por lo tanto,

9 M

demos -

+ jb] +

t0

(|-l*|b|)( ~ + i )+ ( + j^| ) + ( |a| |b| Ia I Ic | >

1

)( 7^7 + T~7 ) “ 2 + I*, I + I ~\ 1*1

.

son números reales distintos de cero,

trar que:

SOLUCION:

-■ 0 )

1

1 1 + -- +

Ia I

|b|

Ic |

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1. Demostrar que:

a)

| a/b | «

|a|/|b|

b) I U I - |b|| < |a + b| , e)|a - b | < f)

tb

=>

c)

|a - b | * | b - a |

d)

|a - b | < | a| + | b|

|a| > (1 - t)| b| . donde

|a - c| < |a - b| + |b - c | + |c|

.

0 < t < 1

Números Reales

94

2. Oemostrar que: SUG: Probar: 3. Probar que:

||x | -

Cap. 3 / \x2 -

\y | |<

| |x| - |y \| < | y - x | a)

|a| + |b| «

b)

|a| + |b| >

~

||x| - \y\]

u < i* n /7 J U [3, - >

Resolveremos

|x2 |2 + 8x2 > 0 |x2 |2 + 8x2 ■

valente a: | x4 . 1 0 | <

| x* - 101 <

x2 - 1 > 0

•:-- ••

x

|t* + flx2 | |x4 + 8x21

. As!, la inecuación original esequi «=>

[ x > 1

12

v

x < -1 ]

a > 0

V T + /b

a > 0 },

general corresponderé a 9-x > 0

+ A T T

A fl B

«=»

0 ] b > 0 } , y la solución

:

x < 9

B =

| |x - 11 - 3 | U ---- !---- .. |x- 1| +4

(*)

[ » l l - l - ' l - 18 II I - 1 ' * - 1 |x + 2| + 1

x|[x|-l|-12 > 0

x = 0 no es solución)

> 0

B ■ {x/

x| |x| - 11- 12 — L!_!-- !---| x+2| + 1

- 1 I-3 | < 1

> 0

|x 1 +4 |x——111 +4

|x + 2| + 1

A={x/

Universo U:

(x2 + 5}(x2 - l)(4x2 + 5) > 0

rtesolver:

La desigualdad es del tipo:

k

(2x4 + 8x2 -10)(-10-8x7)< 0

x2 > 1

t /

11 1

|x2 |2 + 8x2

, -1 ] U [ 1, °°> ■ C.S.

e

7.23 E j e r c i c i o .-

A;

.

, PARA TODO x REAL , entonces

(x* + 4x2 -5)(4x2 + 5) > 0

B:

Asi, por el TEOREMA III :

C.S. = ( , 11/7 ] U [ 3, « ° ^ ) - { ^ , 2 )

7.22 E j e r c i c i o .-

Hallaremos

, pero, para

(7x - U)(3x - 9) > 0 E

X

“

Como

.. (*)

-

0

-

f xx - 1 > (12/x) (1

E < * ’ ” > “ [ v l x - 1 < - -(12/x) (

]

x ||x| - 11 > 12 |x-l|>

— x

.. ( donde — —

x

e

x. t

103

Números Reales

Cap. 3 Como

xl - « + 12

( pues

(x - 4)(x + 3) > „

xz - « - 12 > O

<

xz - x ♦ 12 - (x - |) 2 ♦ ^

X

< O

> O .

¥ x

e

I

R ) r

Por lo tanto»

para x> O :

|x - 1 | > ^

«==> x e

Ahora, x e ü ■ [4,co> («,

fl [4,«d >

= »

x>4>l>0>-2

(x . 4) < s : O en U T e : (x - 4){x ♦ 2) > O

[4,cb> ) 0

ü

- [4.»>

í il e R

Sj ■ [2,«»>

y e [O, O

Luego. Id soluclOn es PROBLEMA

xcR } |x - 2| ♦ 1 ' |x - 2| - 2 - x , x < 2 , < 2 • * r í#) ■

.

Por lo tanto Aj -

:

|x - 2 1 * x - 2 ,

* ■ fr\

» ■7TT

.

definido por

y

/

1) Sea x e Sj ■ : x - 2 - 3- x — x ■ f f r « = » y c

• A

[4, 9]

términos de Intervalos elconjunto x - 2 í |x- 2 1 ♦ 1

Sea u

/

, entonces

PROBLEMA .- Expresar en

11)

U

(x ♦ 3)

(x - 4) < (x - 4) <

Soiuclón General :

- [4. co>

y ♦ i

”

(*) 2

(**)

>- 2 P°r •

7?T

< O

Por lo tanto Aj ■ [O, 1>

A - Aj U A2 -

.

Expresar en términos 4e Intervalos el conjunto definido por

SOLUCION .-

* '{ jeR

/

x e

= >

O < |x2 - 4 | < 21 Propiedades

del

VALOR

y m |x2 - 4 | , O < x2 < 25

x e

= >

-4 < x2 - 4 < 21

O < y » |x2 - 4 | < 21 ABSOLUTO

}

(Adicionales)

Dado a > 0 , las relaciones siguientes :

A - [0. 21>.

Cap. 3

Números Reales

104 *.)

z

e

■U)

z

t

¿U) -tu)

z

e

z

e

|z | <

a] [-a, a> c [-a, a] U

c

a

'nplican las siguiente;: propiedades: 1, 2) 3)

¥ a >0 : ¥ a >0 : V a >0 :

-a < z < a -a £ z < a 0 < |z| < a

=s> =s> =>

|z| < a |z| £ a |z| < a

SI |a | i | b | , y si | b |• max J,a| < |b | , las relaciones

como

-|b 1< ( b <

z< a )

-1b 1 < -| a| £ (a

{ |a| , |b|} , entonces < | a |

|b| 1* 1* 1* 1* 1* 1*

< ]b| < M £ 1b | i |b| < |b| < |b|

Si a y b tienen signos diferentes, entonces a < z 

0 £ z2 < max { |a |2 , |b|2 }

con las debidas modificaciones para cuando aparece el símbolo b > 0 : O O V V ja

>

7.27 Ej e m p l o s .-

z -6

=~

=^>

1z 1 < 8 |z| < 4 2 £ |z| < 5 3 < |z| £ 10

NJ

==> -8 < z < -6 => -3 < 4 => 2 < 5 => -10 < -3 => -9 < z < 4 ==> < 6 -5

oo VI CN

6) 7) 8)

—

z2 > b2 z2 > 0

VI o

1) 2) 3) 4) 5)

==> ==*

O Al ÍNN

V *

C) 0) E)

0 £ z2 < 36 z2 2 0 z2 2 0

> .

,

Números Reales

Cap. 3

z < -7

10) 7.28

EJERCICIO.-

z¿ > 49

= -5 < z < 4

9)

105

0 < z* < 25

>

Expresar en términos de intervalos el conjunto Ix - 2 A = { 1 + -/ x e

(*)

= A .

Expresar A mediante intervalos: X

' 1^

*■

< 1, 4 ]

E

}

.

Para la expresión y = |x2 - 4 |/ |2x | , resolveremos el pro blema separando el intervalo < 1, 4] en 2 partes, una tal y > 0 y la otra para y < 0 . Al final reuniremos a.nbos resulta-

SOLUCION: que

dos para y :

x2 . 4 2x

X E

[-2, 0 > U [2, »>

Análogamente: i)

V x

e

< 1 , 2>

:

x2 + 2xi/ -4 = 0

(x-2)(x + 2) > > 0

0

x

.

( x 2 - 4 )/(2 v )

Por lo tanto, separando

>

< 0

x *

U [2, 4] :

U [0, 3/2]

<

-(--- -) 2x

2 ,

y e < 0 , 3/2> . 0 ,

>

y=

entonces

=

e

y - 1

2x

¡/+ / y2 + 4< 4

. (Verificar)

[0, 3/2] [0, 3/2]

.

PROPIEDADES ADICIONALES .Es fScil demostrar que

,

Números Reales

106 [ - |a| < x < ¡b|

- 1c| < y <

-

M = max { |ac | , |bd | } m *= mUt { -1ad | , -1be |

donde

Cap. 3

|d|

]

=-

m --(*) -1

d)

I 3|x| - x I f 1 +1 1

X

|x |3 - 4x2 - 4 |x | +16 1*1 ♦ 1

/ tx + 2 | -3

+ / b- 14 - x | > 0

A = { x e IR /

; v- |x | - 3

>2

Ix - 3 |3 + 2(x-3)2 - 5 |x - 3| - 6

=>

— < 0 } x-4

$ Q

(x + 2)2 - 21x + 2 | - 24 h)

1

X +1

/|x-l| - 1 +

A - |x- 1 | < / 2 |x - 11 +5

..

108

Cap. 3

Números Reales

i)

[ /|x- 1| -3 - A

j)

|1* + 4| + (* + 5) | > /-x -5 .

Demostrar que:

% g) h)

| x- 1 1 < 4

- |x-4 | ][/|x- 1| -3 + A - | x - 4 | ] < |x|- 6 1 > — X 1 1 - IM I

k)

a)

X 1

1*1 < 7 | 3x - 5 1 < 20

b)

X 1

c)

1*

6

< x+4 < 8

d)

1*

I 8

< -1- < I " x+ 4 “ 6

e)

0

I SI -

1

=~

I x- 1 | < 5

l

I < ± 7 1 35

✓x + 4

1

0 < lX - 1 | < 4

2 1 7 1 <

2 + /x + 4 1) j) 9.

|x + 4 | < 2

—

1 - ± 1 < 4x + 6 9 1 1

0 < |x + 4 | < 2

4x + 6

Hallar el conjunto H sabiendo que A » {a „

R /

e

,

.

B » { x

,

R /

e

1

3 35

11 18

1 < 4

H' « A' - (A’ fl B) ,

R e s e l CONJ. SOLUC. de:

donde

axZ -6x + a2 > 2ax-3x2 -l}

| x2 - 2x -4 8 1 [ I * 2 -2* I - |*-12| ]

--------------------------------

_

< 0

,

I

I x —2 | - 6

10. SI

^ x

e

R /

ax + b > x2 } - { x

hallar la constante A . 11. Hallar la Intersección

e

SUG:Complete A O B

í k + 4b

R / |

cuadrados en:ax + b > x2.

de los siguientes dos

conjuntos:

l1 -x L+ -1 l 1 < X 2 + 2 x + 1 11 X 2 ,

I1•

2+1 J x

1

12. Expresar el siguiente conjunto A mediante intervalos: A - {y

e

R /

y » |(16 - x2)/(6x)| ,

i

-5 < x < -3

} .

Cap. J

Numeros Reales

13.

SI a a < x 

RESPUESTAS

probar que

0 < x2 < míx { |a |2 , |b |2 } (P5g.

106)

1.

a) * e (-3, 7) ¡ b) x e { 4 /2 , - 2 / 2 } ,c)x» 10 solame/te í)> t ( 2 , 7 } ¡ e) « e t 0 , -2 ) ; f)x «1solamente g) x e { -2 , -5 } ; h) x e { 2 , 2 /f - 2 } i) x e { /2 í 1 . 1 } ; j)i- 1, Z > , 2. a) ; b) . c) [-7. 11] , d) . 1] U [ V. “> e) , f) ;g) \i óá. 18> h) . -4> U U ; 1) Û 3. a) . c) . -2] U [ 10/3, -> d) ,e) U 5. a) , b) [3, “ > , c) , d) [0, 3>U , e) < 1, 3>U , f) 6. a) [-6, 6] ; b) [-1, » > 7.

. c) . g) l , pues x f 1 : i) x2+ x - 1> 0 «=» x e < ( /5 - l)/2, 1> ii) x2- x + 1> 0 e ~ x e < 1, '»y . Por lotanto, C.S. U U < { / 5 - l)/2, 1> U

9. A : V x e IR : (a + 3)x2 - 2(a+ 3)x + (a2 + 1) >0 [ (a + 3 0)y (a2 + 1> 0) ]v [ (a + 3 > 0)y(D1SCRIM.A< 0)]; A = [-3, -1> U , B - {-6} U ; M = A U B . 10.

A

= a2

A 12.

; 11. A = < - » , -1>U

-

Máximo Entero

110 -

8

Cap. 3

MAXIMO ENTERO El MAXIMO ENTERO de un número real x , denotado por I x 1 , es et HAVOR de todoi to¿ númeAoi en MENORES, o IGUALESa X :

teAoi

[[ x I -2.9

*max l de todos los enteros n tales que -

1.1

17 . 1 -4

I. -2

-3

-

0.9

0 .1

í.

2

»

I I !

3.2

4.9

1

I

n < x }

1

-1

Para calcular este número, se ubican los enteros que se encuentran a la iz quierda de x (6 que coincidan con éste, en caso de ser x un entero), y el MAYOR de todos ellos es precisamente I x J . As!, por ejemplo, I 4.9 1

- 4

I

-

3.2 I

1 2 1

3

*

[[-0.1 1 ■

II-1.1 I - -2 I 0.9 1 = 0 I n/2 1 * 1

I -2.9 I

■

I-4]]“ II - / Í 2 J

-4

tal como en la figura — t— -3

-/l2

de donde vemos que H * J toma siempre valores enteros, y si x se en cuentra entre dos enteros consecutivos como en figura siguiente

O---------------n+1

x

n entonces I x1 » n

H xI

=

-3 , , -1

-2

,

n < x < n+ 1

c=*

xe

[n, n + 1>

s1 x e [-3, -2> si x e [-2, -1 > si E [-1, 0>

X

n 0 Z

Cap. 3

Números Reales

0 II

xI

,

si « £ [0, 1>

■1> 2 ,

si x e ti. 2> si x e [2, 3>

8.1

PROPIEDADES DEl MAXIMO ENTERO

1) 2)

O I e Df«l .

Z n

3)

O I

* < (11*1 + 1)

4)

<

f' ■!

0 5 x - ttgjt]) < - I*])

.

6)

E HxDD

8.2

EJERCICIO.-

8.3

-4

n < x < n + l ]

PARA TODO x REAL Z

Resolver:

a) Haciendo

d x-1 I

~

. PARA TODO x REAL

1 , x c

II * XI

SOLUCION:

-

x

5)

b)

[ n c Z

111

a) b)

z ■ x-1

•»=>

I x - U

- 4

E 1*1

:

4 < * -1 < 5 * e [5, 6 > »

«=* C.S

d |x| - 2x 1 “ 0 0 < |x| - 2x < 1 «=» 2x < |*| < 1 + 2x «=* x e

, 5 < *

< 6

* e < 5/6 , 1 ] (b)

5 < * <

0 < —^ —

< 1

2/x - 1

)

x= 0

n [o, 1/4 > - { 0 }

(únicasoluclfin)

8.4

Ej e r c i c i o .-

a)

I 2x-l I « -3

c)

I

x2 -2x-3 1 •

1/2

b)

E /*

d)

E

x2 * 2x - 3 ]) -

0

+ 1]) -

Resolver:

-1

------- I

Cap. 3

Máxi.no Entero

112 SOLUCION:

(a)

-4 < 2* - 1 < -3

-3 < 2x < -2 * e

b) CONJUNTO SOLUCION - 4> . pues ✓* > 0 , ¥

x

[- 3/2, -1>

U « [0. « >

e

.

=-> /x + 1 > 1 = * tt/t+IJ > 1 , ¥ x e U y así [[ /* +1 I nunca seri Igual a -1 . c) Como todo ([ •]] es un VALOR ENTERO, entonces la ecuacl&n H x2 - 2x - 3 ]]• 1/2 no tiene solucifin. d)

I x2 - 2x - 3 I 0

< (x-I)2 -4

x—1 8.5

e

->

0 < x2 - 2 x - 3

<

s>

4 < (x-1)2 <

5

E x + n I - k‘

k1

8.6

T e o r e m a .-

Para todo n

k

4) PRUEBA: entonces, 1) { = >

11*1

1)

I*

i

£ n

I* i

< n

II* i

>

n

)

( «==> )

)

()«==< )

x < n+1

«

x < n X > >

[[*1

n

n+1

S n

x- 1 < n = »

x

x < n +1 =s >

X >

n+1

B[ x ]] — n S

- (*)

=s >

x - 1< k <

n

< n+ 1 . Ixl

< n

(Ex]]

< n

Para cualesquiera dos enteros k y n se tiene que: k < n t : k+1 < n , y por lo tanto : x 1 ¡*;

(= »

-

1

X+n

x e R , existe un único entero k e Z tal y |[i] ■ k < x

(« = ) 2)

>

< x <

Z :

e

2) 3)

I

< 1 - / 5 . -1] U [3, 1+ /'«> >

k+n

donde

,

De Six i n

I x l < n-1 x < (n-1) + 1

. yde (1) ¡ ;

: x < n

la hipótesis y (*): n < [ x j entonces existe un enteró

k +1 > x > k

==>

II x ]] « k > n

k >n = »

.

• k< * tal que ([ x I

>

n .

=* ►

x

Máximo Entero

Cap. 3

8.7

EJERCICIO.-

SOLUCION:

j ea

Demostrar que:

[[ x ]]

»

k e

Z

113

l[2xj - 2 1 x ]] ,

k

x

<

•

0 5 1.

< k +1

x e [k. k + {I/2)> U [ k + (1/2) . k + l > . i)

SI

[k, k+(l/2)>

x e

entonces

k < x < k + (1/2) Luego. t¿)

[[2x]]-2[[xJ •

k ♦ (1/21 < x < k + 1

8.8

ent ces

==»

[[2x1 “ 2k + 1 . Luego, Por lo tanto.

;ademSs ,

=*•

[[2x1 - 2k .

[[x] ■ k ;

2k + l < 2x < 2k + 2 [[ 2x I - 2 [[ x I

C:

1 2 x 1 - 2 [[ x I

EJERCICIO.-

• k

(2k) - (2k) « 0 .

x e [k+(l/2), k + 1 )

SI

II x]]

2k < 2x < 2k + l

ademSs

,

=*•

« (2k + l) - 2(¿)

- 1 .

si x e [ k , k + ff/2)> si x

e

[ k ♦ (1/2) . k ♦ 1 >

Demostrar que: x x x x

II 3xJ

e e e e

[0, 1/3 > [1/3, 2/3 > [2/3, 1 > [1, 4/3 >

La prutfca queda como Ejercicio. 8.9

EJERCICIO.-

Demostrar que para todo entero n < a

SOLUCION: [[ a I

» max { n c E Z /

8.10 Ej e r c i c i o .|[-x 1

n„ < a

. AdemSs, Resolver:

}

> n

Z :

e

< a

a) .

< 0

= >

n < [[ a ]] < a [[ -x 1 x ir-x i

SOLUCION:

n

por defiricifin. [[ a ]] es el mayor de todos los enteros n ta les que n < a . Es decir,

n < [[aj n ■=>

n < a

> 0 < 0

es un NUMERO ENTERO , entonces

=> .

Cap. 3

Números Reales

114 a)

I-*I

b)

> 0

I-xI

«=>

[[ -x I

1

-x < 0

< 0

¡

< o

-x > 1 . -1 ]

..

:(1) v

x < -1

por [3],

píg. 112 .

x > 0

(11)

,

«=»

x e 0

1= ^

¿por [a] ) 11)

x> 0 «

i c (•■, 0)

,

< - ■ , -1] U D x

x < 0

Ahora, sean

x < 0

v (x>x) p(x) :

«==>

x c A

xe

,

q(x)

S «

{x

e

R/

p(x) si q(x) ) - { x

-

{x

e

R/

['v-q(x)] v p(x)

«

8‘ U A «

“

, 0 ^ U ♦

Resolver la 1necuac16n:

SOLUCION: (a) ^

jjjjLÜll

® , 0> ■ 8 e 8,

entonce.

IR / q(x) -► p(x)

e

) » { xc R /

U [ 0, «■>

|x|>x]

-

: x

[0, “ > U ( • -1 1 U ]

~

x

c B*

}

UA

)

.

x ♦ Ix| ----------1*1 -

< 2

< 0

Para

x

e

[0, ■ Ax ,

x-lxl

< o

(*) se convierte en : ____

1,1 x - Ixl

.. (a) (*j

1*1 - 1 * 1 a)

}

<

o

.

Cap.B

Números Reales

y coa»

[[-Z

[[*1 +

=o >

M x

0 > . Asi, de (a) :

«=»•

*í

x < 0 ,

|x| » - x :

2x< 0 ‘ = >

[[ x I ♦ x

— -(* + 11*1) lo cual es VERDADERO . PARA TODO xe Az • . SOLUCION TOTAL : 8.13

(a) v (b) :x e

EJERCICIO.-

SOLUCION.

£omo

o0

b)

3 3 - II *2 I

< 0

Hallarel conjunto de valores que puede tomar: 11 para * en:

5.

a)

[0. 6]

a) a)

1*1-2 I — — —

b)

1*1 i

I*3 I « n

7.Demostrar qu¿ si

a) b)

b) I

*

. * n i I , |*| + 1

*

.

■ -1.para

* c

n < *3 < n + 1 V ñ < * < |* |

n e Z + , entonces

Hn*I-nH*]]

c {0.1.2,

In*]]-nlI*I-p

9.

[-17/6. 0]

, 3> .

Demostr r que:

SUG:

8.

b)

Htlljr el conjunto de valores que puede tomar: para * e

6.

J - 0

Resolver: a)

4.

Cap. 3

Máximo Entero

118

p ■

....

n-l>. P

* e [ k +- ,

0. 1. Z, 3 , ...

, n-1

,

( P * 1) V

k ♦— -—

para todo k c Z .

Resolver: a) I »*-1 1

> 0

c) I * 2 - 1 J

< 0

b) c *2 - 1 B

> 0

d) ü *2 - 4 I

< 0

Resolver:

. í» I <

a)

II ^

b)

I *2 -4*-2 I

2 < 19/2

...

,

Números Reales

Cap. 3

10.

119 -

Resolver: a)

(I x + 1 I

>

b)2 d x J ♦ H x - 5 U

d)

E x2 - 2|x | - 16 1

|x|

,

f)

I x 2 ]| < 8

,

> 7/2

> 50/7

e)

| [[ 2x J - 1 | < 3

11. Expresar el conjunto A como combinat:iCn de Intervalos : { x2 - H | x - l | t 2 1 + E x I

A-

12. Si A - { x

R /

/

B - (x e R /

I

hallar

e

1 2x-

/

x e , b)

d)

e) x - 2 , 3.

8.

x - 5/2

a) { 0,

-

1, 2, 3, 4 ) .

,

,

b)

d) < — , -6] U [6, » >

;

4. a)

,

{1 ) Z

1, 2, 3

,

. )

b) . -/2] U [ /2 . - > .

®>

c) U [2, - >

[0. » >

b) { 0,

. d)

a) < - ~ , 0 > U < 5 / 6 ,

, x - 5/2

[1. 4>

3. a)

U ;

a)

10. a) 11. 12.

x- "

c)

{ -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 ) - [-4, 5/3] D

c)

9.

8/9> .

;

b)

4. b) 5.

[5/7,

( [0, l/4> U [1, » > ) D

.

b)

,

d)

[3. » >

. A - U { Universo para A : U»

,

. c)

[1, 229/4>

,

e) [-1/2, 2> , f) . 0}U U {3 > [-7, -2] = » A»[-7 , ] 4

;

El Supremo

120

9.

Cap. 3

CONJUNTOS ACOTADOS

Existen conjuntos de números reales cuyos elementos tienen la característica de no «ex mayoxu que un cUeAto valon. conitante. , tal cooo ocurrí! con los elementos del conjunto A » con utipecXo al valox conitante 7 , por ejemplo ; como se ve en la figura. 9.1

DEFINICION.-

Se llama COTA SUPERIOR de un conjunto A de nGmeros reales a todo número real c talque x < c ,

¥ xc

A .

Es decir,cuu’ouler número que sea mayor 6 igual que todos A , sellama COTA SUPEKJOK DE A .

los elementos de

Cuando A tiene alguna cota superior, se dice que el Conjunto A u t i ACOTADO SUPERIORMENTE. Para Ilustrar estas definiciones , ti mareros el conjunto A • está acotado superiormente por f I número 9 e inferior-mente por -2 . Además, la IÁA.VO COTA INFERIOR es -1 , y la MENOK COTA SUPERIOR es G . Por lo tanto, sup (A) » 8 , Inf (A) » -1 . En este casovemos que:

sup (A) i A , Inf (A) c A .

pero

Cuando jara un conjunto A , resulta que sup A e A entonces al SUPREMO DE A se le llana el MAXIMO DE A , y si el inf A e A , enton ces al INFIMO DE Atantlén se le llama el MINIMO DE A . 9.9

9.10

DEFINICION.-

Se dice que un conjunto A es AC0TIPO si A está a la vez acotado superiormente e inferiormente.

E j e m p l o .- El conjunto A » U [50, 60] sup (A) » 6D ,

9.11

Ejemplo.-

es ACOTAPO , y

Inf (AJ * 2 .

El conjunto , -2 ] u < 3 , - > ni Inferiormente ni superiormente.

no está acotado

A continuación presentaremos el inmortante PRINCIPIO ARQUIMEDIAND.

C a p .3

El Supremo

9.12

-123-

Pr i n c i p i o A r q u i m e d i a n o S¿

x

te un núme'LO nxat p otÁXLvo entónete exZile

un ntmtAsi NATURAL

n„

tal que

1 0 < — < * no

(6 equivalentemente,

tal que

n0 x > 1 . )

r*?UEBA.-

Suponiendo lo contrario, se tiene que nx < 1 , V n c M . luego, el conjunto A * { nx / n c M } esti acotado supe rlorinente al menos por c » 1 , y por el Axioma del Su.piuyr' el conjunto A posee una MENOR COTA SUPERIOR c en R , que satisfice la condición nx < c < 1

,

-VncM

pero siendo x > 0 entonces c- x < c , y porlo tanto c- x no puede ser cota superior de A , ya que c es ta mero*, de todm e lO u . Lúe go, existe un elemento de A : de la forma ntjx , con m^ c N .tal que c-x < n^x < c ... *) (pues si esto no fuese cierto, setendría que: = * (*)

c- x = *

serla cota superior de A , c

< («íj +1) x

c < mx

-V

nx t A

lo cual es falso ) .

nx1

-VncM, ==* 0< x - i < 1 n

(*) '

y conforme n crece, los elementos de A van acumulSndose a la derecha del

Cap. 3

El Supremo

124

numere 0 acercándosele pero sin coincidir con 0 para ningún n e M . De esta observación vemos que: Inf (A) - D {i A )

sup (A) - 1 ( e A ) , PRUEBA FORMAL % QUE

Inf (A) - D

.

:

De (*) se v16 que 0 es una COTA INFERIOR ; si no fuese la MAYOR exis tiría otra cota Inferior c mayor que 0 ,y por el Principio Arqulmedlano se tiene que existiría un núiêro n„ c K tal que ^ < _1_ < "o

lo cual es absurdo,

pues

bería cumplírs«. que: , De esta manera, 9.14

y como

jean A c

"o

e A

y siendo c cota Inferior de A de -

j c -----2n + 3----3 - 2n 2n - 3

2n - 3 + 6 - ------2n - 3

y la última expresifin (entre corchetes)

•

,[ r --1 ] , -i, . 6 2n - 3

se acerca al valor 0 conforme n

aumenta ilimitadamente, de manera que los elementos de A se van acumulando

El Supremo

Cap. 3

125

alrededor de -1 de la siguiente nanera: n-2

n■ 3

-7

n»4

l

l

-3

11

,n * 1

-4-H - 1 0

1

5

De esta representación grSflca podemos ubicar al SUPREMO (A) • 5 , y al INFIMO (A) * -7 Como ambos son elemento? de A (en este caso particu lar), entonces MAX (A) ■ 5 . MIN (A) • -7 . Vearos a continuación otra caracterización del 9.16

TEOREMA.-

Sea A c R , A t ♦ , y acotado superior mente. Entonces 1)

c - SUPREMO VE A

¥ * c A ,

x < c

,

2)* c > D , 3 - * tal que c - e < *0 < c

.

(«xnétrlcamente, esto significa que PAR« CUAL QUIER distancia,

e > 0

ces entre los puntos to

xc

qu< se considere,

c-e

y

¿iempte u po*> . 0

esto Implicarla que

lo cual es absurdo pues c es ta

serla una cota superior de A,

menoJi de todat tai cota* ¿uptAÁjon.eJ> y porque c-e < c . Por lo tanto, como la suposlclfin original resulte FALSA, ello quiere decir que: V c > 0 , 3 *0 c A / c-e0

tal que

= ► c-(c-c')

x„ < c'

(**)

en particular, entonces ex1¿

x0 e A

c* - e < *0 < c*

lo cual es atsurdo, pues

..

< x0 < c

, por {**) . Como se ha ge

nerado una contradicción, entonces la suposlclfin hecha no procede, y por lo tanto. c si viene a ser la MENOR COTA SUPERIOR VE A .

9.17

TEOREMA.-

Sea

A c R ,

A ¿, y acotado Inferlormen

te, y c un número real.

c • INFIMO VE A

«=« 0 ,

x > c 3

x„ e A

tal que: c < Xo < c + e

e c

H--------- O— x,, e A c+ e

x e A

,

/

El Supremo

Cap. 3

9.18

D e f i n i c i ó n .-

Es decir.

9.19

c ■

127

1}

Sellama MAXIMO DE A . y se denota wax (A) al Supremo de A cuando éste es elemento de A .

2)

Sellama MINIMO DE A . y se denota mcn (A) al Infimo de A cuando Sste es elemento de A .

(A) * sup (A)

c c A

c ■ min (A) * Inf (A)

c c A

m x

EJEMPLOS.-

a)

Dado el Intervalo

A » < 2, 6]

sup (A) * 6 * nax (A) , Inf (A) • 2 b)

.

entonces

pues

6 e A

, 2 i A

A no tiene MINIMO pues

Dado el conjunto

B ■ [2, 4 > U

} se

sup (B) “ max (B) • B , pues

8

eA,

Inf (B) • mln (B) » 2 , puf.*

2

eA.

tiene:

9

9.20

EJERCICIO.-

Determinar el Supremo y el ínfimo, si existen, de a)

A

{ x c R /

x - 4x - 12 < 0

}

-x2 + 2x-2 > 0

}

b)

B

í * e R /

c)

C

{ x - 4x - 12 /

« e R -

)

}

x - 4x - 21 < 0

}

SOLUCION a)

x2 - 4x - 12 • (x - 6)(x + 2) < 0 sup (A) - 6 ,

b)

o

:

A ” < - 2 , 6> . Luego,

Inf (A) - -2 .

-x2 + 2x - 2 > 0

«=—*>

x2 - 2x + 2 < 0

[que no tiene soluciones reales]

o

:

(x-l)2 + l < 0 B

Coa» B es vacTo. no tiene sentido hablar ni del supremo ni del Infl mo. c)

x2 - 4x - 12 - (x - 2)2 - 16 luego,

d)

C • [-16,.

x c -16 ,

-5 < x < 3

0 < (x-2)2 < 49 Cuno

¥

sup (C) no existe,

x2 -4x-12 » (x-2)2 -16

< entonces

x e R • Inf (C) - -16. -7 < (x - 2) < 1

-16 < (x-2)2 -16 < 33 D » [-16, 33>

;

Cap. 3

El Supremo

128

Luego, e)

sup (D) - 33 ,

Siendo

Inf (D) ■ -16

x2 -4x-21 - (x-7)(x + 3) < 0

entoncesE «

í x e [-4, 6> /

«=*>

x c [-3, 7]

xc

[-3,7],

}

E - [-4, 6> fl [ -3, 7] E - [-3. 6> Luego, 9.21

sup (E) ■ 6 ,

TEOREMA.-

Inf (E) • -3 .

SI a > O, b > O, deir-strar que existe un entero po sitivo n e M tal que 0 < b < na . (Ver el Ejercicio Propuesto [9] ).

9.22

Pr i n c i p i a

B u e n O r d e n a m i e n t o .-

üel

Todo cc.'junto no vacio de nCmeros naturales posee un menor i'lement}, en dicho conjunto. Por ejemplo,

seaS - { enteros positivos múltiplos - {

entonces 9.23

12 •

12 . 24. 36 .

menor elemento de S ,

TEOREMA .-

Para cualquier u ' ql*e

de

...

4 y 6 a la vez

>

}

12 e

S .

x e R . existe un Gnlco entero n

n < x < n+ 1 .

(Este Teorema taablén es llamado el TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL MAXIMO ENTE310 DE UN NUMERO REAL ). PRUEBA; a) Existe p. - si

q

e Z tal que

p

< x < q

. En efecto,

x>

0 : haciendo a » 1 en el Teorema [9.21] existe un en tero positivo q tal que:p ■ 0 < x < q .. (*)

- si

x•

0 : sea

- si

x<

0 : (-x) > 0

p » -1.

q » 1 . entonces

que denotamos por 0 < (-x) < b) Sea

S > { ■ c3

m » q - p

cS

/

p < x < q .

. y por (*) existe un entero positivo al

x < p+m

ya quep <

(-p)

tai que

(-p)

p < x < q - 0 .

} . entonces S i ♦ ,

x < p + m * p + (q - p) » q

Por el Principio del Buer Ordenamiento

pues ;

[9.22] se concluye que el con-

Cap. 3

129

El Supremo

junto

S tiene

un pienor elemento

n0

* 

en S , es decir: (a )

■ < n0

Inclusive para

p + (n0 - 1) < x

Sean + 1 ■ p + nc

.

-- >

m ¿ S

,

y por

n » nc - 1 .. (6)

entonces,

(a) y (B) :

de

n < x < n +1 La prueba de la unicidad se deja cono Ejercicio.

9.24 Teorema

( existencia de un racional entre

dos reales )

Para cualquier par de números reales a y que a < b , existe r e Q(raciorjl) que: a < r < b . PRUEBA * ----- ■ El Principio Arquimedlano implica que O

0) :

algún n e

M ..(*)

m e

- < a < n

=*■

(como

tales

Z

tal que: (a)

n ,por (*)

...

i \ por (a)

es un númeio naxUonat , elegimos

r * («i+l)/n , con

lo que concluye la prueba. 9.25 I)

II)

E j e r c i c i o .Sin a) b) c)

utilizar extracción de raíces, hallar: un número real x entre /!3 y /TT . un número entero x tal que -5 /3 < x < -3 / ? un número racional q entre /ltT y /TT .

.

Mostrar mediante un cortraejemplo que la siguiente afirmación es falsa "Si

c es una cota superior de A c R , A t ♦ , entonces 2c

130

El Supremo

Cap. 3

es también una cota surerior de A * . SOLUCION: a) b)

Sea

I) : x - ( /1Ó + ✓lí )/2

=*

/ló < -x < /lí ,

xc

=*> 3 ñ < -x < 5 /3 =* IB < x2 < 75 . 2 x como cualquiera de los cuadrados perfectos en

-5 ✓! < x < -3 /2 entonces si se elige tre 18 y 75cono

*2 - (-x]2 - 25.36. 49 6 64 =* • -x - 5. 6. 7 luego. x e C.S. ■ { -5. -6.-7. -8 > . c) Como para todo a 

2 1 /2

— i* «=»

10 < 10 <

U/4 < 11 [ 10 + (41/4) 3/2 <

41/4 < 11

— i*

10 <

—

<

81/8 < 11 < 11 »

16

10

sup (kA) ■ k Inf (A) ,

Inf (kA) « k sup (A)

.

b)

k > 0

=>

sup (kA) » k sup (A) ,

Inf (kA) » k Inf (A)

.

PRUEBA: a)

Sea ¿)

¿ l)

(b)es anSloga

a (a), y quedará como Ejercicio,

c * inf (A) , entonces c £ x ,

Vx e

Para todo c > 0

A ( = »

c es una cota inferior de A )

, :1ste un elemento

x„

eA

tal

qi-e-

c < x„ < c + e Como

k < 0 , entonces : (¿)

=a»

kc

Sea

d «

==>

kc

*

kx

,

V x c A

,

es una cota superior de kA . kc ,

entonces

Solo falta probar que:

kA está acotado superiormente por

(¿t) ===*►

si

e > 0 , enton-es para

un x„ e A

tal que:

c < x„ < c + e1

«=*•

c < x„ < c - (e/k)

«=s> «==> Es decir, que dado

d

.

d • sup ikA) : en efecto,

kc > kxr >kc - e d- e <

c' »

. pues

c/(-k) > 0 existe

k <

0

(kxc) < d

c > 0 , existe un elemento de kA:

kxc , tal

132

El Supremo

que

d -e <

Por lo tanto.

Cap. 3

kx„ £ d sup (kA) «

d * kc ■ k [ Inf A] ,

para

k< 0

.

De esta misma forma también se pu^de probar que: para k < 0 . Inf (kfl) = 9.28

COROLARIO.-

k sup (A)

Sea A un conjunto acotado. B - { -x /x

e

sup (B) ■ - inf (A) , SOLUCION:

9.29

Hacer k = -1 en

Ejercicio.-

Definimos el conjunto

A } .

Entonces, inf B * - sup (B) .

(a) del TEOREMA [9.27] previo.

sí a - { x E

r

/

15 1x- 3 1 < / 9 -x 2(x + 2)2

} .

demostrar que existen el supremo y el Infimo de A , tales que: -2 £ inf A £ sup A £ 3 . SOLUCION:

Universo U: -3 < x < 3

= > > 0

U - [-3, 3] y -1 £

. Luego, x+ 2 < 5

--------- , < /9 - x2 (x + 2)z £ / 9 - x 2 (25)

entonces 15(3-x) 3(3-x) = >

9-x2 > 0 x-3

0

V

x

E

R .

[ — x-a

«=»

[ — 0

sup M ■ a ,

Además,

SI existen, hallar el

.

v

x - 2b ]

v

x - 2b ]

b

< 0 .entonces

(¿porqué?) .

Supr-uhu y el Infimo 3 x < t < x ) :

3x < t < x

x < t-2x

0

< (t-2x)2 < x2

«=»

3x2 < 4x2 - (t - 2x)2 < 4x2 1nf A >3x2 i A

<

.. (a)

-x - (t -2x)2 < 0 z c (1, -2) es igual a 10 unidades. 7. Compruebe s1 los siguientes triángulas son isfisceles y/o

rectSngulos,

siendo sus vértices: a) 8.

y

(-3, 4) . (4, 3)

Encontrar en el eje de to P - (-3, 1) .

(0. 0) ;

b)

(-4, -2) , (-3, 5)

y

(0, 1)

ordenadas un punto que diste 5 unidades del pun

g. Hallar en el eje de ordenadas un punto equidistantedel origen de coorde nadas y de

(3, -5) .

10. Encontrar en el eje de las abscisas un punto equidistante de los puntos P - (-1, 0)

y

Cl a v e

de

1. a)

(7, 1)

3.

(1/18, -12/8)

a)

Q - (7, -4) .

Re s p u e s t a s c)

(26, 7) 4.

d) i - (13, 15) . a) No existe r ; b) r • -1/2

; c)

r - 0 ;

d) Cualquier número real 5. a) r ■ s * 0 ;

r satisface esta relación.

b) Todos los r y

c) Todos los r y

s tales que

r + 2s

*

0 .

6.

9 6 7

s tales que 2r - 3s - 0 .

d) r » 5/11 . s • 10/11

;

7. a) Isósceles y rectSngulc ; 8. (0. 5) ó (0. -3) ;

k

Cap.*»

Vectores

144

9.

e) c * -3 , s - -8 ;

b) isósceles y rectSngulr

(0. -17/5) ;

10.

;

;

(4. 0) .

REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS VECTORES Todo vector

i • (a^, a2) puede ser representado geométri

camente por una flecha . de la siguiente manera : Se eligí. 0 ó hacia abaju si a2 < 0 . Oe esta manera se ubica al punto de 1Vegada Pj . La flecha trazada par tiendo de P„ y que termina enPj es la que va a representar al vec tor a . La siguiente figura corresponde a la representación del vector £ * (a^. a2) para el caso en que a} > 0 y a2 > 0 .

Vectores

Cap. 4

145

Cada vector puede ser representad« por muchas flechas, dependiendo del punto de partida (lo cual darí lugar a un diferente punto de llegada) tal co mo lo Indican las flechas de la figura 1 todas las cuales representan al mis mo vector ¡ * (a^. a2) . Es asi que cada flecha determina un Gnlco vector ¡ al cual se le pue de representar en cualquier parte del plano siempre que la misma flecha haya sido desplazada de su primera posIcICn 4-út habexU. efectuado ninguna ¡wtcu ¿S Por esta razén es que a los vectores también se les llama VECTORES LI BRES. Ademls, a cada punto del plano se le puede asociar una únlct flecha que partlendc del ORIGEN llega hasta dicho punto ; tal es el caso del punto R. Asi, los puntos del plano también representan vectores, los que son denomina dos RADIO VECTOkES. 4.1 ma

SUMA DE VECTORES á +

Dados i • (flj, a2) y b ■ (bj, b2) entonces el vector su b - (aj+ bj , a2 + b2 )puede ser representado como siguíí

Se ronsldera un punto de pertlda P0 cualquiera.La flecha que represen ta al vector a se traza de3.de P0 hasta ubicar al punto de llegada Pj en la forma descrita anteriormente. A partir de P} se traza la flecha que representar} al vector b ubican do de esta nuneraal punto de llegada P2 . SI desde P„

hasta

Pj

se traza una sola flecha,

ésta

vector a + b , pues tendrá un desplazamiento horizontal total de bj unidades , y un desplazamiento vertical total de

a2

representarSal a} +

+ b2 unidades.

Cap. 4

Vectores

146

La misma flecha que une PQ con P2 y que representa al vector S + b pu do haber sido construida dibujando primero la flecha que representa al vector } , y a continuación la del vector i dando lugar a la relacICn conmutati va a ♦ b * b + i asi como a la relaciCn conocida como REGLA DEL PARA LELOGRAMO tal como se ilustra en la Figura 3. 4.2

MULTIPLICACION

(GRAFICA)

DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL

Dado un número real r . también llamado un z&caltvi, y un vector a « (alt a2) entonces el vector ra

»

(raj. ra2)

el cual se dice que es el vector r vece¿ á , 6 que es unmúltiplo di a puede ser representado corno en las figuras siguientes :

,

En particular el vector -5 » (-«j» -a2) es representado por una flecha del mismo tamaflo que el vector á pero dirigido en sentido contrario.

0

X

Cap.**

*1.3

Vectores

147

RESTA DE VECTORES

Dados los vectores á y b . la sta i - b ■ a + (-b) re sulta ser la sum del vector á con el vector -b y estS representada en la figura adyacente. 0

X

4.4 NOTA.-

Si se considera una flecha que part¿ de un punto P„ y lie ga hasta Pj para representar al vector á y si además se consideran a los puntos P0 y Pj como radio vectores entonces, por lo ante r.ormei.te expuesto, tenemos que

5 - Pj - P„

=

t

Pj * Po + 5

Esto quiere decir que para conocer analíticamente el punto de llegada Pj de un vector a teniendo como dato el punto de partida P„ , se toma al punto P„ como radio vector y se le suma el vector a . Es por esta razún que en el curso de Física es común representar a un vector mediante sus puntos de partida y de llegada en la forma

Además, cada punto P es Identificado con el radio vector OP del origen.

que parte

Cap. k

Vectores

148

4.5EJEMPLO.-Para encontrar el punto de llegada de la flecha que represen ta al vector a * (2, 4) sabiendo que el punto de apoyo (6 punto departida) es el punto P » (-1. 2) proceden», co" d sigue =*► Pj * P0 + á - (-1.2) + (2.4)

pi - po

(*Q, y0) y

4.6 PROBLEMA.- Probar qub si PQ » punto medio M igual a :

H - | fe, + V

Pj * (Xj, i/j)

del segmento que va desde P0

- (1. 6) entonces el hasta Pj es

•

SOLUCION Puesto que el vector ra tiene longitud |r| vjces el vector a entonces, si a » Pc Pj » Pj - P„ y H ■ Punto Hedió entre PQ y Pj . 1

-

2

3

H N

4.7 PROBLEMA.-

Para todo punto B del plano . demostrar que AC - ÁB + BC

dor

le A y

C son puntos del plano.

4.8 PROBLEMA.- Sea ABC un trISngulo y P, Q y R los puntos meOlos de sus lados. SI M es un punto Interior del trISngulo, probar que KA + MB + MC

-

MP + MQ + MR

SOLUCION Como datos tenemos pH

- i BA

• |

(A -

B)

QB

- | CB

. |

(B -

C)

RC

- i AC 2

- - (C 2

A)

A

Vectores

Cap.*t

149

Por lo tanto MA + MB + MC * « A - M + B- M + C- M - (A - P) ♦ (P - M) ♦(B Q) + (Q -M) + (C -R) - PA *

+ MP + QB + MQ

j(A-B)

+RC +

+ | (B - C) +

MR-

PA

+(R

+ QB+ RC +

| ( C - A ) * M P + MQ + M R «

-H) MP+

MP + MQ + MR .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Probar que

2.

Si P, Q, R son los vértices de un triángulo, probar que + RO - 6

AB + BC + CD •

AD . PQ

+ QR +

.

3.

Ilustrar gráficamente lasui

4.

Sea á > (2, -1), i = (3, -3); una flecha que representaal vector v« 2 á - 4b tiene corno punto terminal (5, 5). Hallar el punto inicial.

5.

Muestre analítica y grSficamente que existennúmerosr y s facen la relacifin c ■ r¡ + sb donde a) b)

6.

á ■ (5, 1) , i - (2, -1),

b - (3, b - (3.

a ♦ b ♦ c * 0 .

5) , c « 2) . £ ■

que

satis

(5, 4) (5, 2)

Desde el punto A • (-3, 1) se ha trazado unsegmento al punto B * (4, -2). ¿ Hasta qué punto es necesario piolongarlo en la misma direccifin pa ra que se duplique su longitud ?.

7. Del punto A - (0, -1) se traza un segmento al punto B • (-4, 3). ¿ Has ta qué punto es necesario prolongarlo en la misma direccifin para que se triplique su longitud ? 8. Hállense los puntos simétricos respecto al origen de coordenadas de los puntos a) (3, 4) , b) (-6. 3) Cl a v e

f

de

4.

(13, -5)

8.

a)

Re s p u e s t a s

(-3. -4)

6.

(11. -5) b)

7.

(6, -3) .

(-12, 11)

MQ+ MR

Vectores

150

5

Cap. 4

PARALELISMO DE VECTORES

Dado un vector i , su múltiplo r á es un vector que indica la misma dirección que el vector á si r >0, e indica la dirección opuesta si r 0

2)

Dos vectores £ y b no nulos TIENEN Dir.ECCIONES OPUESTAS (sentidos opuestos) si a es un múlt'plo negativo de b : i

5.2

DEFINICION

• rb para algún r 0 ypor lo tanto |á| » /aj + a2 6.2 NOTA.

> 0

= » |á| t0 .

Dadosdos puntos P^ » (*j, y^) 2 n

y P2 » (*2,

y^)

en elplano

i entonces sq tiene que:

IP1P2 I *

* C PI. P2 ]

■

En efecto,

IP1P2 I * h*2 * V

H - »1* I " / Por ejemplo, (5, 9) • 5*

♦ 9J

6.9 PROBLEMA.En el segmento AB donde A • (-2, 2) y B ■ (6, 8) encontrar un punto P que distt 4 unidades dt punto A y un punto Q que

Vectores

¿56

Cap. 4

diste 5 unidades del punto B . SI ü es el vector unitario que tiene la misma direc ción que AB ■ B - A ■ (8, 6) donde |AB| ■ 10 unidades, entonces los puntos P y Q segün la gríflca son : P

« A+

4ü

Q

- B-

5u

y comoü * AB / |AB | * ^ (8, 6) P Q

7

■ (4/3, 3/5)

entonaces

- A + 4 ü - (-2, 2) ♦ 4 (4/5, 3/5) - (6/5, 22/5) ■ B - 5Ü ■ (6, 8) - 5(4/5, 3/5) - (2, 5)

ANGULO

DE

INCLINACION

DE

UN

VECTOR

EN

EL

PLANO

SI se considera un vicXei unLUuúo u * (u^ u2) y su represen tación como radio vector, el Sngulo B formadc por el vector ü y el eje X cono en la figura donde B es medido a partir del semieje positivo de las X en ¿¿nt'do ant¿he»UL\¿o. En este caso se puede expresar a Uj y u2 en funclfin de 6 como sigue : Uj ■ eos 6 u2 >

sen 6

y por lo tanto el vector ü como (eos 6, sen 6) Esto Indica que para cada vector unitario (u1 * (eos 6, sen 6)

u2) existe un único Sngulo 6 ,(0 < 6 < 2» ), tal que ú

A este Sngulo 6 se le llama ANGULO DE INCLINACION DE ü. AdemSs, todo vec tor i M

se puede representar como

» * 1*1- ¡4U

6

á * - |a |(- p-¡) a|

Cap.**

Vectores

Asi, si se tiene la ecuación: a ■ kw tonces |®| = 1k w | = |k | = >

157

, donde |w | « 1 y k eR, en k = ± |a | (dos soluciones) .

Pero, si se elige al vector ¡I = (eos 0, sen 0) como el vecton. uniXa/Uo con I entcnces

la. m¿&ma icte .cifn que

5 =

|i |ü

« = =>

i =

En esta situación, alSngulo 0 se le llama el vector no nulo a .

|a |(eos 0, sen0) ANGULO DE INCLINACION

del

7.1 NOTA De la definición anterior se sigue que si se tiene á = kw don de w es un vector unitario en la misma dirección que á, ento.ices k = |a | es la solución y es la única solución. 7.2 PROBLEMA.-

Si

á - (alf a2), |¡| -

3

,

ya ^

- 2

,

hallar el vector á . SOLUCION V

a2 = 2

— *

al ' Za2

á = (dj, a2) » (2a2, a2) - a2(2, 1) i * (/la,)

2

^

donde

/5

w =

(2, 1)/ /5

es unitario.

/S a2 = ± |5[ = ± 3

==>

a2 = ± 3 / / T

=>

at ■= ± 6//~5 .

Por lo tanto existen dos soluciones posibles para á : i = (6, 3) / V T

7.3 PROBLEMA.-

y

á ■ (-6. -3///T

Hallar el seno del Sngulo de inclinación 6 del vector l ■= (8, -15) .

SOLUCION Como |í| = 17, el vector a = 17(8>17, -15/17) ó

á puede expresarse como á - -17(-8/l7, 15/17)

pero para conocer el Angulode IncLinacíón 6 de á se considera solamente la representación con el signo + es decir : 5 * + |i| (eos 6, serB) con el Por lo tanto (eos 8, sen 6) » (8/17, -15/17)

—

>

coeficiente - + 17 .________ + |á | sen 0 = -15/17

Cap. 4

Vectores

158

S'tfIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. SI á * (í j , *2) , |á) ■ 2, a ,’a2 » 4, hallar á (dos sol'jclones) 2. Unvector á tiene longitud 5 y el punto de apoyo en (1, -1). Encon trar el vector i si la abscisa del punto terminal es 4. 3.

Probar que si P t Pj entonces los puntos que trisecan al segmento que va de PO a P.1 tienen la forma (P„ ♦ 2Pj)/3 y (2P0 + PjJ/3

4. En el siguiente exSgono .¿guiar de lado Igual a 5, Indique qué vectores son Iguales y tr.r «nt.re la suma de todos los vectores de la figura en for ma geométrica y en forma analítica.

X 5.

SI L, Ht N son puntos medios de los segmentos BC, CA y AB respectlvamen te y Q es un punto cualquiera demuestre que a)

QA + QB + QC - Q L + Q H + Q * ¡

b)

AL+BM+CN

- 6

6.

Conociendo los vértices adyacentes de un paralelogramo A > (2, 0), B - (-3, 3) y el punto de Intersección de sus diagonales Q • (-1. 0) hallar los otros dos vértices.

7.

Hallar los vértices de un triSngulo, sabiendo que los puntos medios de sus lados son M - (-1. 7)/2, N - (-3. -4)/2, P - (4, 3)/2 .

B.

Hallar la longitud de la mediana del lrdo PQ en el triSngulo cuyos vér tices son P ■ (3. 7), Q ■ (-4, 0) y R * (1, -4).

9.

El segmento cuyos extremos son A - (-2, 3) y B ■ (4, -1) estS dividi do en tres partes iguales. Halle los pur.tos de trisección .

10.

El segmento cuyos extremos son A « (3, 2) y B * (18, 7) estS dividido ef; cinco partes iguales. Halle los puntos de división.

11.

Demuestre que la linea media de dos lados de un triSngulo es paralela al tercer lado.

Vectores

Cap.**

159

12. Un av16n se dirige al NE a 720 km/h (su velocidad >-elativa al aire) . El viento estS soplando hacia el sur a 120 km/h. La velocidad v^ del avión con respecto a tierra es la suma (resultante) de los dos vectores anteriores. Determinar v-j. grSfica y analíticamente. Encuentre su iuLp¿déz , es decir |v^| . 13.

Si 5 * (m, 2m), b // á , á - b * Í2m, p) y |á - b| » 20 ,calcular |b| dorde m f 0.

14.

En la figura, si q = ¡ + b + cdeterminar componente de q es cero, |Í>| * 20, |S | - 10 /2 , y que la primera com ponente de c es igual a 20. Asumir que sen 37° - 3/5.

q sabiendoque la

segunda

Y V

b

a /

37^\ 0

X

15. Se tienen los vectores ¡ » r p , b = tq , c * (-3, 2 /3); cal cular |b 1 si c ■ rp + tq

16. En la figura, si P es un punto tal que el Srea del triángulo o es cin co veces el Srea del triángulo P , calcular |P| .

17. Encontrar el coseno y el seno del ángulo de inclinacifin de los vectores: a) d) 9)

(-2, 3) (4, 1) (D. -3)

b) e) h)

(1, 1) (-8. 6) (4, 2)

c) f) i)

(1, 6) (3. -4) (-15, -8)

18. Dados los vectores ü * (a, -b) , v * (2b, c) , ü + v « (1, 1) , ü // v calcular ab/c.

si

19. Hallar la longitud de la suma de los vectores unitarios u y v si ü tiene la misma direccifin que ¡ * (4, -3) y

v tiene la direccifin núes

Cap.4»

Vectores

160

ta a la de

(-5, 0).

20. Sean a y a dos vectores *1e f2 tales que o es el vector opue de < . Si b tiene el mismo sentido que el vector c • (-1/3. 1/4) |á| * 5 . determinar el vector x * 2 b + i . 21. Encontrar

el valor mínimo de

22. SI ABCD nar

es un hexSgono regular cuyo lado mide ^21unidades, determi

I5 «

Cl a v e I.

de

s - 2) donde s c R.

+ f CF I

Re s p u e s t a s

5 - ± (8. 2)/ /Í7 ; B * po * f

6.

|a| si á » (3s - 1,

;to y

!

C - (-4. 0) .D - (1.

2. ¡ » (3. ± 0 , donde S"*-»

(-[ 2x + 1 ]. x) . (2x - 1. x + 2) ¿ 0 -[ 2x + 1], x)(2x - 1) + x(x + 2) - 0 0 (si es que ninguno de los dos vectores es nulo), asi qu¿ _

a.b

_

*

_

a .(ra ) *

2

_

r(a.a) * r|a| ■ I r ||i ||i 1 ,pues - | a | |rí | -|á ||

|r |--

r

b|

La igualdad estricta en el lado Izquierdo se satisface cuando i y b son paralelos y tienen diAícoionti opuíitai pues en tal caso b “ ra , con r < 0 , asi que _ _ . . _ 2 a.b - a .(ra ) * r(a.a) * r|a|

8.20

PROBLEMA.-

’ - M l » l l » l •Pues

| r |- -r

- - |i | |ra| - - I5

IIb |

Hallar un vector unitario a tal que el producto esca lar á . (-2. 1) tome su mínimo valor posible.

SOLUCION.Según la desigualdad (*) si b ■ (-2, 1) , el mínimovalor que puede tomar a.b es “ - |a | | b |" ,que por ladiscusión anterior se cumplirá en el único caso en que a // b y si tienen direcciones opuestas; y como a debe ser unitario : á * - b /1 b|

por la teoría de vectores unitarios , luege

¡ = - (-2. l)//5

« (2/ /5 , -1//5 ) .

168

8.21

Cap. k

Vectores

Desigualdad Triangular para la DISTANCIA .Dados dos puntos P

Pj y

P2 en el plano, para cualquier otro punto

se cumple que: dtP, . P2 ]

d [ f x . P3 ] +

í

d[ P3 . P2 ]

De la NOTA (6.2) : d[ Pj

. P2 ]

*¡ V 2 I

-

|TIP3 + P¡?2 |

... (Prob.

i

|P|P3 I + IP3P2 I

(Deslg.Trlang.)

8.22

PROBLEMA.-

SOLUCION.-

d [ V x . P3 ] +

4.7)

d[ P3 . P2 ]

Demostrar que todo Sngulo Inscrito en una semicircunfe rencia es un Sngulo recto.

Consideremos la circunferencia de radio r con centro en el

origen, y el Sngulo 8PA .Demos traremos que PB 1 PA :

A

(Lo que es equivalente a que PB . PA - 0 ) Puesto que

|A | » |0A| - r ,

|P | • |ÓP| - r ,

B - -Á

:

PB . PA- (B - P) .(A - P) (-A - P) . (A -P) * - I M 2 + lp |2 "-r2 + r2 - 0 . B.23

NOTA

Según los problemas anteriores se ve que las cuestiones que involucran distancias y ortogonalldad pueden ser resueltas con freLuencm usando vectores unitarios y el producto ucatax.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1. SI a , b y c son vectores tales que: 5 + b + c « 0 , |j | ■ 3 , |b | ■ 1 , |c | ■ 4 , calcular el valor de a.b + b.c + c . a . 2.

Demuestre que 5 + b |5| ' M

.

y

i - b

son perpendiculares si y solamente si

Cap.4

Vectores

169

3. ¿ Para qué posición relativa de losvectores ecuación: (a . c) b ■ (b . c)i ? 4. Demuestre que el vector

á, b y c

se satisface la

b(a . c) - c (i . b) es perpendicular

a á .

5. Demuestre que el vector

b - (a * ) a es ortogonal alvector i . I»'l2 6. Demuestre que para todo par de vectores a y b :|¿ . b | i |á| |b| . _ „o SUG. Puesto que , . - r b | > 0. pata todo nwnesio r e R . desarro lie dicho cuadradoparar ■ (a .

b)/ |b|2 . en particular

.

7. Utilizando el problema (6) demuestre la Desigualdad Triangular para to do par de vectores 5 y b: |S + T, | < |¿| + |b| . SUG. Considere el cuadrado de |á + b | . 8.

Demuestre a)

que :

(a + b)-*- = á-*- + b-*-

b)i . b-*- «

d)

- a-*-. b

e) (raj-*- ■ r

c)(a-*- )-*- = -a 9.

f) | |¡| - |b || < | i - b |

Demostrar que i) la-*- + b| « |í - b-*-! i i)

a-*- . b^- « á . b

a-*- +b ■ ¿ + b-*-

. =s>

a * b

10. Si a - (-3,5) , b = (2,-3) , hallar la longitud del vector c para: i)

c * (i + b) . (¿ - 2b)b"L

1i)

c « (a . b) b-*- - (5^- . b) c

11. Pruebe que er cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las Ion gitudes de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de dos lados adyacentes. _ • • 2 12. Dados los vectores a , b y p en R determinar los números r y s en términos de sus productos escalares de manera tal que el vector p - ri - sb sea perpendicular a los vectores i y b simultánea mente. 13. Sea ABC un triángulo y H la intersección de las alturas que pasan por A y B. Probar que la tercera altura también pasa por H, es decir, que Hl es perpendicular a A8 . 14. Sea G » ^ (A + B + C) puntn, demuestre que |PA|2

+

|PB|2

un punto del triángulo ABC y sea P cualquier + | PC|2 -

3 |PG J2

+ |GA|2

170

Cap. ‘t

Vectores

15. SI a y b son vectores en IR2 y tales que demuestre que |a | « |b| .

5-*- + b"*- ■

16. SI i y b sor vectores paralelos no nulos, | a + b |■ |a | | b| , hallar (a + b)-*- .

y a * (12, 5)

a +b

,

es tal que

17. En lafigura. ABCD es un trapecio, el triSngulo ABD es equIlStero, y el trISngulo BCD es rectSngulo en D y tiene la hipotenusa BC de longitud 10 /2 unidades. SI el Sngulo BCD mide 37° (considere sen 37° ■ 3/5), 8 - (-2, 4) y D * (4, -2), nallar el vector AC y el vector AH .don de M es el punto medio de la hipóte nusa BC .

A

18.

Pruebe que c es paralelo al vector

19.

Si 5 + b + c » 6 , y

20.

En la figura PQRS es un rombe tal que |PQ | * a .

(b-*- . c) a - (i-1- . c) b .

I | ■ 2, | b| * 5 . |c| » 6 . calcular

i .b .

Demuestre que PR.SQ - 0 b - i S1

SI á // (/3, 1) , | ¡| » m , calcular n* - «i2 .

22.

Demostrar que el ¡rea del triSngulo cuyos vértices son los puntos A • (*1 >

y {)

y

i + /3 b - 2 (1, ¿3) .

21.

, (*2> y2 ^ > (*3. V3) puede expresarse en la forma de un deter

minante cono sigue (eligiendo por supuesto el valor absoluto):

23.

Si

1

*!

Vi

1

x2

y2

1

x3

y3

á + b + c + d ■ 6 , calcular

2 c .d

sabiendo que

á + b « 6,

Cap. k

Vectores

171

|c | - 3 , |d| - 4 . 24. Hallar vectores unitarios i tales que el producto escalar á. (2,-5) i) tome su mínimo valor , ii) tome su mSximo valor posible. 25. Encontrar todos los valores reales x tales que el vector dado por (x* - 5x3 + 5 x2 - x - 3, 8x - 4) seaparalelo al vector (-3, 4) . 26. Hallar xe IR tal que si A = (x2 - 9, -x) , B = (1 - x, x2 P = (2x2 - 1, x - 5) y ÁP + 3P8 - (0.0) .

8) ,

27. Si i es un vector unitario de R2 . la suma de las componentes de b es 31 , y el mSximo valor de a . b es 41. Hallar los vectores a y b. 28. Si i y b son vectores no nulos del plano tales que ||a | - |b || = |á - b| , probar que £ estS en la misma dirección que b . 29. Si 2 a-*- - b = 2 b-*- -

a ,demostrar que

30. Si i + b * ( |b | , |i |) , demostrar que Cl a v e 1.

de

(a + 5

b) .(á - b)

esortogonal a

*0 b .

Re s p u e s t a s .-

-13 ; 3. Para todo par de vectores paralelos i y D , y cualquier vector c del plano ;

13. Sean P , Q y R los pies de las alturas correspondientes a los vértices A , B y C respeet., luego H-A+

r B C1 |

H « C - s ÁC 1

BA - s Á CX - r B C 1

J

con s - (AB.BC/8C HC - C - H * 8C + (AB. BC / BC

Luego verifique que HC .AB * 0 sabiendo AC1 16. b * (12.

(AB * BC)1 - ÁB-1- + BCX . 5)/12 ó

.AC ■*")AC

que y que8C± .ÁB

A - (1 - 3 /3 . 1- 3/3 ) . C - (12. 6) , M * (5. 5) .

19.

7/2 ;

25. 26.

;

23. 11/2

x e {-1 , 1 , 2 , 3 ) ; Dossoluciones:

« -B C. ÁB1 .

b - (-12. -5)/14 ;

17.

21. 132

A C 1 ),

;

24. 1) (-2,5)//29, 11) (2,-5)//29.

26. El único valor común es x « -2 .

Ira.: b ■ (40, -9) , a = (40,-9)//1681

.

2da.: b » (-9, 40) . i - (-9,40)// 1681

.

Vectores

172

9

COMBINACION LINEAL DE VECTORES.

Cap. 4

INDEPENDENCIA LINEAL

Dados dos vectores no nulos y nc paralelos á y b , se tflce que el vector c es una COMBINACION LINEAl VE á y b si es que existen dos números reales r y s tales que sb

(*) El hecho de que a y b no sean paralelos asegu ra geométricamente que se pueden construir los vec tores r í y l " oe tal manera que la suma de ambos sea igual a c.

Analíticamente, decir que i y b no sean paralelos equivale a que a . ¿ 0 y á-*- . b ¿ 0 (Corolario (8.13) ) y que por lo tanto se puedan realizar los siguientes cÍIciUmí pcuta conoce*, r y s , a partir de la ecuación vectorial (*) c * rá ♦ sb : 1) Multiplicando ambos miembros dt (*) ej¡catajune.n,f poK ti victo*, i-*- : r a . á-*- ♦ s b . a-*-

c.a-1

sb .

s

donde

á . a-*- • 0 ,

c .a b . á-1-

k -L 2) Multiplicando ucaJtaAmtnte. ambos miembros de (*) por el vector b

c . b"*- *

■

ra . b-*- ♦ r a . b-*"

s d

donde

.Í

b . bJ

0

.

c . bJ

á .IJ De esta manera se obtienen los valores correspondientes de r y s que re suelven la ecuación (*) . 9.1 TEOREMA I .- Dados dos vectores no nulos a y b en R' no panaleZoi entonces cualquicA. vccXoK c puede expresarse de manera

Cap.1*

Vectores

única coro

c

■ ra ♦ sb

,

173

donde los números r y s son calcula

dos como en la explicación anterior. 9.2 TEOREMA II .-Dados dos vectores nonulos á y b . Si estos no ion panattlot , entonces : r á ♦ sb

-5

~ -

vectores

r =0 y s « 0 . (simultáneamente)

PRUE8A.Se sigue de los cálculos anteriores tomando en particular el vec tor c * 0 . 9.3 DEFINICION .-

Cuando dos vectores a y b satisfacen el TEOR. II se dice que a y b son VECTORES LIDEALMENTE INDE

PENDIENTES en*.e ¿X . En forma mas general, se tiene que dos vectores a y b son LINEALMENTE "NDEPE JIEWTES si se cumple la siguiente implicación: rá

+ sb

- 0

=

En caso contrario ,se diê que a decir, si es que se presenta uno de

[r«0

s= 0 ]

y b son LINEALMENTE PEPENDIENTES. Es los dos casos siguientes :

i) Si al menos uno de los vectores á ó ii) si á y b son paralelos .

9.4

y

b es el vector

0 ,

ó sino

Ejemplos .-

1. Los vectores á - (2. 1) y b * (0, 0) son línealmente dependiente« pues uno de los vectores es el vector 0 , en este caso el vector b . 2. Los vectores á * (1, -1) y b * (3, 4) son linealmente inde.ptn 2/5 , 21. P = (?5, 21)/5 , Q = (30. 31)/5

18.

t - -4/5 ;

t - 1 , s - -1/2

.

Cap. k

Vectores

186

25. P ■ (11/3, 15/4). Q - (71/12, 5). R - (16/3, 15/3) . 28. m - -1 . n - -1/2 ; 29. m - 5/8, n - -1/2 ; 30. r - j

. t - |

31. 4m + n * -1 , 32. m + n « -5/6 . 33. m • 5/8 , n ■ -1 . 34. (1/m) - (1/n) * 3/2 . 35. m - n « - l / 4 , 3b. m - (✓3 + 1)/4

. n-

(/3 -l)/4 ,

37. 5r-4t + 2s • 7/6 . 38.

5r+3s - 10 .

39. C - ( 5 / 2 + 4 , A / I - 4).D - (5/2 + 4. -4).E - ( 5 / I . -8), F - ( /2. ,-8). G - ( / 2 - 4 . -4), H - ( /2 - 4. 4/T-4), Q - (3/2, 2/2 - 4). 40.

B - (2. 2),

C- (-2, 1). D - (-5, 3)

.

8 8 8 8 8 6 8 8 8 8 8 8 6 8

10,

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

b ,

se define elCOSENO del

Sea

eos 8 »

8 el Sngulo comprendido entrelos

-r

vectores nonulos

á

y

Sngulo 8:

(*)

|b| Pero, siendo entonces

b B.¡

*r á + s ¡ ^ -

rS.i

,

♦

■ r |¡|2 Despejando el valor de equivalente del

10.1

r y reemplazando en

COSENO DEL ANGULO 6 ENTRE a y b como sigue:

PROBLEMA.-

Si los vectores

5

nes y |¡| ■ 6 , SOLUCION.a. E

*

(*) obtenemos la definición

Puesto que

y

b forman un Sngulo de w/3

eos 6 * (a

. b)/ |a | |b | , entonces

|a 1 |b| cos(ir/3) ■ 6x8x(l/2) » 24

;

luego ,

|á - b|2 = |á |2 - 2 (5 . b) ♦ |b |2 - 36 - 48 + 64 - 52 |a - b | 10.2

/52

PROBLEMA.-

radia

| b| « 8 , hallar | í - b | .

= ►

> 2 /TJ . Calcular el Sngulc

6 entre los vectores

i * (4, 2)

Cap. 4

Vectores

187

y b - (-2 . 2) . SOLUCION.-

cos6=

(5 . b ) /( |5 | |b|) - -4/(2/5 x 2 /2) = - /10/10 , y

6 - arccos(- ^10/10). (Se lee arco cuyo coseno es ...) SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular el Sngulo 6 entre los vectores a)

¿ - (4,2) y b - (1,5)

,

b)

a - ( -3,1) y

b = (3,-1)

2. Calcular los ángulos Internos del triSngulo cuyos vértices son A « (1,1) B = (4.6) y 3.

C - (6,-3) .

Probar que si

5

y

b son vectores de Igual longitud entonces el vector

5 ♦ b biseca al Sngulo entre a y al vector a + b . 4. Para dos vectores cualesquiera a)

El vector

( -5- +

b)

Los vectores (-5- +

c)

Los vectores

Ia I

1• 1

( |a |b

Ib|

no nulos

5

y

) y (-5- -

|b |

|i|

t |b|S)

|B|

6. El Sngulo entre i y b es |¡ + B| y |i - b| .

|i | * 3

7. ¿Qué condicior?s deben satisfacer ¿ y

8.

,

b)

i

el Sngulo entre ellos y

y

b.

, demos

|b| * 5 ;calcular

b para que : 7

Dado un triSngulo cuyos vértices son A ■ (2,1) , B * (6,4)

y

hallar el punto de intersección

.

son ortogonales.

|a - b |

a)

|a - b|

)

B

y

bisecanal Sngulo entre 6

150° ,

es ortogonal

b pruebe que :

) biseca al Sngulo entre i

5. S1 ü y v sor. vectores unitarios, y trar que sen 6/2 - |ü - v |/2 .

| 5 + b| >

i - b

b , y que

|5 + b | <

C = (-4,9),

P de la bisectriz del Sngulo A con el

lado opuesto BC . SUG.- Use el Problema 4(a) y exprese AB como combinación lineal de los vectores unitarios en las direcciones de AP y PB respectivamente. 9. Los vectores ♦

s)

á = (r, s) , b = ( na + r , nb + s) y

son no nulos, y mn f 0.

Calcular el

c = (-mb +

r, ma

ángulo queformanlosvecto

- 188-

Cap. 4

Vectores

res 10.

b - a

y

c - a .

Los Sngulos entre los vectores no nulos b y son a , B y Y respec. , como: ú ■ (i.c)E -(i. B) I

ylos vectores , v - (í.c)

demuestre que:

"

si

u-L v

Cl a v e de Re s p u e s t a s :

i .«)

■

c , cy a , y

a y E ,

ü y v estSn B- (b.c) i .

definidos Entonces,

eos 8 * eos a

árceos(7// ñ o ) ;

34 - 15 /3 , | i - B |2 ■ 34 + 15/3 ;

6.

PROYECCiON ORTOGONAL.

.

|¡ + B|2 -

7.a) 5 y B forman un Sngulo agu -

do, b) I y B forman Sngulo obtuso ; 8. P ■ (48, 167)/13 ;

11.

y

eos B eos

9.

90° .

COMPONENTES.

Ya se ha visto que si a y E son dos vectores no paralelos y distintos de 0 entonces cualquier vector c e IR2 puede ex presarse coi.» combinación LinfaJL de. í y b , es decir que, en este caso, siempre se pueden encontrar númejioi Keatu s y t tales que : c ■ s5 + tb SI los vectores son paralelos, ésto no es cierto, como es el caso de -

i

(1, -2) ,

b -

(-2, 4)

(3, 3) - c - si ♦ tb = *

De

(2)

y

c -

s( 1, -2)

♦

, donoe

t(-2. 4) -

3 - s - 2t

.... (1)

3 - -2s + 4t - -2(s - 2t)

___ (2)

se tiene que

s-2t

• -3/2 , pero de

lo cual es absurdo. Veamos el caso particular vectores

(3, 3)

•>

b y

V |

b

de un vector

(s - 2t. -2s + 4t)

(1) se tiene

b t 0

no ¿vn fxvtaiez'i, cualquier vector

ya

*bcomolos

m

A

a c IR

presarse como: 5 -

sB+tB1

s - 2t * 3

(*)

- -

sb

—O

puede ex

Cap. k

Vectores

Desde que estos vectores recibe el nombre de y se le denota

sb

y

189

son o/tfogontUu, el vector

tb

PROYECCION ORTOGONAL DEL VECTOR

á

SOBRE

P*- r a . Análogamente, se tiene que el vector

resultara ser la PROYECCION ORTOGONAL de ¿

SOBRE EL VECTOR

b1

sb b ,

- i tb , y se

Pr -i i . b

le denotar! por

Según esto tenemos que cuando b f 0 , siempre es posible expresar cualquier vector a cono (Pr £ á ) + (Pr-1 ¡ )

De la relación

(*)

resulta que:

(**)

a-b

i • b1

Ib

ÍB? pues

|b | - | b | .

Asi,

Pr - ¡ b Venos que

b y el vector

“ Proyección de a sobre

de tal manera que si el ángulo vector

Pr g i

los vectores

11.1

EJEMPLO.-

Pr ^ i Si

5 =

son paralelos,

6 entre ¿ y b es agudo entonces

tienen ta miima doiectUón,

b y

b "

pero si

b y el

6 es obtuso entonces

tienen dÍAecc¿one¿ opue¿-ta¿.

(8,12)

y

b =

(4,2)

, entonces el vector

190

Vectores

Pr b 8

á •b -

es:

^

D

Prb 5

IB|

Cap. k

(«.2) - y (4, 2)

.

el cual

vemos que es paralelo a b . y tiene su misma dirección, en este caso. 1 1 .2

P R O P IE D A D E S

1)

DEL

V EC T O R

P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L

La Proyección Ortogonal de una suma de vectores en la dirección de algún vector no nulo c es la suma de las Proyecciones Ortogonales: (Pr - £) + (Pr - b)

Pr- (£ + b)

2)

La Proyección del vector tá en la dirección de B es igual a

t veces

el vector Proyección de b sobre Pr - ( tí ) - t ( Pr - i ) . La prueba de (1) y (2) es spncilla. 1 1 .3 C O M P O N EN T ES

De la definición de

PrB a

Pr ¡j a , podemos escribir:

(á • b)

(i - b) -

--- 5" b

Ib|

|b|2

Bj |b|

y desde que b / |b| es un vector unitario, el coeficiente (a • B) / |b| nos proporciona la medida del vector Pr ¡j £ , por lo cual recibe un nombre especial,

el de COMPONENTE de £ EN LA DIRECCION DE b

, y se denota por:

La COMPONENTE es un número real, y estS relacionada a la PROYECCION por Pr B £ y es tal que si

«

(Cp £ £ ) _

IB |

6 es el Sngulo entre £ y B entonces:

-Si

Cp B £ > 0 :

6 es agudo y

- Si

Cp B £ < 0 :

6 es obtuso y

CpB i = 0 :

£ y b

Si

Pr ¡j £

tiene la misma dirección que B.

Pr g a

ton o/Uogcnole¿

tiene la dirección opuesta de b. y

Pr ^ a » 0

.

Vectores

Cap.1»

191

T cp

Pr. a b Pr

Cp.

11.4 PROBLEMA.SOLUCION.-

SI

Cp r i ■

a - (-6.2).

T

b - (3,4), hallar Cp g a

(á • b)/| b | ■ -10/5

*

Pr g a - (Cp g i)[ B/|B| ] el signo negativo de

Cp

opuestas y que este vector ción opuesta al vector b 11.5

a Pr

Indica que B y ¡

-

-2

-2 (3, 4)/5 -

i

Pr

mide 2 unidades,

(el cual mide

< 0

Prb 8 *

. -f (3.4) .

tienen direcciones medidas en la direc

5 unidades).

PROPIEDADES DE LAS COMPONENTES.-

1)

Cp - (S + B) -

(Cp - 3) + (Cp - B)

2)

Para todo número real r :

para todo vector c f Ó . r CpB a

La prueba es sencilla. (Ejercicio). 11.6

PROBLEMA.-

Hallar una fórmula para el Srea de un paralelogramo, y de un triángulo determinados por los vectores

SOLUCION.-

h « |Cp - i l | .

a y b.

-------------- 7

192

Vectores Iá ■ b'L|

Luego, 11.7

PROBLEMA.-

(4,1),

C » (-2, 2),

D - (-1. -3) y

E - (3, -2).

A * *1 + a 2 + a 3

l » C - D -

b * B - D » C ■ A - D » d - E -D »

(-i .5) > (3. 7) • (5. 4) • (4. 1) »

Ai - i |i. b X | ■

11

.

A2 * ^ |b • Í X ! ■ 11.5 A3 - | |E. d 1 ! m 5.5 Por lo tanto, 11.B

Í|i-bX |

2

Hallar el Srea de un polígono cuyos vértices son A

B ■ (2,4),

SOLUCION.-

Cap.1»

. .

AREA

2B

PROBLEMA.-

ABCD es el cuadrilítero tal que E ■ (1, 5) es el pun to medio de AB , H • (4, 2) es el punto medio de AD, CE es paralelo a (2,3), DE es paralelo a (1,-2), y Pr — CH - (5,5) . Encontrar los vértices A, B, C y D. SOLUCION.-

Pr

Ch * (5, 5)

indica que

AB - r (1. 1) CE

//(2.3)

H »(4. 2)

. pues = >

AB es paralelo a (5, 5) (1. 1) // (5, 5)

==►

E - C - k (2. 3)

C - (1. 5) -k (2, 3)

=*►

CÍi - H - C - (4.2) - (1.5) + K(2,3)

asi

; ..(*)

C H - (3+ 2k, -3 + 3k) (5,5) - P r - CÍi AB = > Como

(3 + 2k. -3 + 3k) ■ r (1. 1) 2r

5 = 5k/2

== »

r (1, 1) « AB DE // (1,-2) Y de

k= 2

y

C = (-3, -1)

.

E - (1, 5) es punto medio de AB :

=*

11) y (2):

Además, coro

- 2ÀÈ

=

E - D = DE =

2 (E - A)

( 1)

s (1,-2)

(2)

A = (1, 5) + § (1, 1)

(3)

D = (1,5) - s (1, -2)

(4 )

H = (4, 2) es punto medio de AD :

(4,2) = (A + D)/2

-

(1,5)+ (r/4) (1, 1) - (s/2) (1,-2)

Vectoi es

Cap. 4 = >

(12, -12) ■ r(l, 1) + s{-2,4)

De (3) y (4):

A -(3, 7),

A - (3, 7),

E - (A + B)/2

B = (-1, 3), C = (-3, -1) y

3)

[ Pr -

4)

Pr(tB) (ti) “

==>

(i + b)] •b f D

si

* es Paralel° a b ■*" S

i •b f 0

y

c - Pr - (ti) b

Pr - (Pr- ¿5) “ Pr [lPr g ¡*)

(Pr r i) . i ~ ; r y* ■ Ia I

entonces

(Pr - b) • b [ —

|b|2

^ r-r-V b _ _ t (a-b)(a-b) j - _ ^ (i-b)(i-b) |i|2 |b|2

i -b * 0

=*►

¡ I b

i- b t 0

=*►

en (*):

_

|Cp5 (i1 + b)| < |b| « = * <

|b| « = *

lal 3)

Siendo

|á| ■ |b|.

PrB ¡5) Pr^ti) = Pr(tB) i .

1) S1

Ia * b I

D -

:

|Cp 5 (5 -1- + b)| < 1b |

2)

:

¿ CuS

2)

6_

.

t i 0 .

P' iíPrjj i) ■ Prb^Prá **)

L

Y siendo

s ■ -4

Sean i y b vectores no nulos de IR2 y

1)

SOLUCION.-

r » 4 ,

les de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

11.9 PROBLEMA.-

c

= >

D » (5.-3) .

B = 2E - A - (-1, 3) . Asi, (5,-3).

193

[ Pr - (i + b) ] ■ b "*■ =

y

(

|i|2 |b|2

= » _ i = b

= >

a // b ■*" _ (VERDADERA) |i¡ = |b|

I(al ^.b ) ' a| < |b| Ül _ _ Ia - b| (-15, 47/2) . 36. B = A

+ (6, 8)

37. *

4 , 2 } ; 38.

e

{

= (3,10),

D = A + (-4, 3) = (-7. 5)

3a2 + 7a + 4 = 0 ü = (1, -l)//2 ,

39. C = (12, 6),

,

—

D = (13,1),

E = (7, -3),

= »

a - -1,

v * (3, -4)/5 a) 17,

b)

a = -4/3 , . 25 .

40. a) V ,b) F , c) F 42. P - G - (8/3, 7/3) 43.

x - 30

y

;

41. k

D - (3D. 6),

44. HB« (2/3) MB , 45. Pruebe que

B-(7,-l),

= >

C - (11, 3) .

(1/m) + (1/n) - 4/3

Á?2 - (2/3) ÁC .

m ■ -2/15 , n - 1/15 . 47. A = (-3, 5),

e

M punto medio de AC ,

MB - ÁB - (1/2) AC

49.

Cap.«»

Vectores

202

Cp “ 2 - (1/3) CA .

46.

B « (5, 13). C -(7. -9) ;

A -(2.1).

B - (ID, 5).

ÁP^ - (2/5) AF

r * s * -1/2 ,

m - 2,

48. a) V , b) F . c) V

C - (6, 7),

D - (3. 6) ;

5D.

51. a)

Que

i y b

son paralelos en la misma dirección

b)

Que

¡ y b

son paralelos en direcciones opuestas.

52. B - (12, 13). 53. A - (4,1),

B - (13, -2), C « (8, 5),

D -(5, 4) .

b)

55.

AC - (24, 32),

P » (9, 16) punto medio de AC,

B - (17, ID),

A ’ (-3.0),

56.

58. BM- (1/2) (BA ==>

t - (ir/4) + nir ,

+BC) ,

m - 7/12 ,

ne

SC - (1/2) BC ,

Z = >

C - (21, 32) FG-FM + M G -

. ^BA + ^MB

n - -2/3 .

59. |AD | - |ÁB| - 20 ,

D - A - Á C 1 - (IB,-9) ,

M - (A + D)/2 , E - B + DB 1

B = M + 10/3(3, 4)/5 - (10 + 6/3 , -3 + 8/3) , (4-2/3,

.

m-n-1;

D - (0. 7) .

54. a) t * nir ; 3D° ,

= »

n * -2 .

14/1 - 11),

a)

(10 + 8/1. -2D - 6/1 ) ,

61. a) P divide a

ND en la relación de

1a

ID ,

P divide a

AM en la relación de

4a

7 .

=

b) n - 2//3

b) 4D u2 .

nnnnnnnnnnnn 37. Si

i = (2x - 5 , 2 - x) ,

encontrar el valor de

x = 2 :

.Como

i =

x

e

{2,4}

(-1, D) , b • (-3,

correspondiente es Para

x = 4 :

| i - b "*• | = /lo

|2a + b - (i "*■ + 3b"*" ) | .

RPTA: iDos Soluciones) Para

b - (x - 5 , 4 - x) , y

i =

,

entonces:

2) , y el valor buscado

/145 .

(3, -2) , b - (-1,

0)

, y el valor:

5 .

2D3

5 EL PUVKO EUGLIDIAKO

1

EL P U NO EUCLIDIANO.LA RECTA.

2 cío vectorial IR , donde: * (1) A todo elemento

{x,

y)

ECUACION

DE UNARECTA .-

Se TIama PLANO EUCLIOIANO ANALITICO al espa PUNTO

de IR2 se le llama

de IR2 .

(2) Dado un conjunto L c ftz , se le llama RECTA siexiste unpunto 2 — * (*o* !/o) E R y un vecto*. a (diferente de 0), tales que L - { (3) La dlitancJji

P =

(x,

¿[Pj, P2 ]

la longitud del vector d[Pi. P2 ] = 1.1 NOTACION.-

y)

e IR2

/

P = P„ + tI ,

entre dos puntos

Pj

t e IR } y P2

P„

.. (*)

esigual a

Pj P2 , es decir, I ( P ? ^ ) I“

lp2-

pl I

Por simplicidad, con frecuenciadenotaremos ala recta L dada previamente, como L = { Pc + ti } y se dirS que

L es

LA RECTA QUE PASA POR

PARALELA AL VECTOR a ,

(*) PG

el cual serS denominado toK dín.eccÁ.onaZ " de L . Al coeficiente

t (que puede ser

r, s , etc.) se le llama

a la ecuaciSn de (*) se le conoce como

V ES " vec

PARAMETRO , y

ECUACION VECTORIAL VE LA RECTA L .

1.2

Cap. 5

La Recta

204

TEOREMA.-

Un punto

P

t i y to*j> t i el

pertenecerá a la recta L

vector

P„ P *

decir,

si P - P„ = ti ,

P - PD es paralelo al vector a .

Es

para algún número real t .

Equi va1enteme nte, P es un punto de la recta L ,

t i y ¿oto t i

i

(**)

..

1.3

EJERCICIO.-

Dados los conjuntos: Lt -

{ P = (2t + l ,-3t + 3) /

L2 » { P = (3 - 4r , 6r) / probar que SOLUCION.-

entonces

Lj y L2 representan RECTAS , y

puesto que se puede

Lj y

a = (2, -3), tor

b = (-4, 6)

R }

e

,

queLj = L2

\-l -

{ P = (1.3)

+ t(2, -3) /

t

e

R

}

L2 =

{ P = (3. D)

+ r(-4,6) /

r

e

R

} .

P„ = (1, 3)

y L2 tiene a Lj = L2

pues

Lt tiene como PUN

y como VECTOR OIRECCIDNAL al vector Qc = (3,0) comoPUNTO DE PASO,

como VECTOR DIRECCIONAL.

Ahora probaremos que

r

}

expresar como

L2 son RECTASpon. deíinicidn ,

T0 DE PASO al punto

t E IR

.

y al vec

205

La Recta

Cap. 5

Sea

P

Lj : P ■ (1, 3) + t(2, -3)

e

y se desea probar que P

L2

e

•

»

(1 + Zt, 3 -3t)

para lo cual, por

,

algún

(**),

te R

se debe veri

-

car que:

(P - Q0) • b "L

-

D

:

(P-Q0) - b-1 - [ (l + 2t. 3 - 3t) - (3.0) ] - (-6.-4) -

(Zt-2. 3-3t) - (-6.-4)

- (—6) (2t — 2) + (—4) (3 — 3t) ahora probaremos que

L2 c

L( :

sea

0 Q

= >

Lj c

L2

L2 :Q *

e

; (3-4r, 6r)

ra algún número real r , y para lo cual bastaverificar que: (Q- P„) • 3 (Q-P0) . 3 X

*

D

. (por ** ) ;

- [(3 -4r, 6r) - (1,3)]. (3. Z) -

(2 - 4r, 6r - 3) • (3, Z) (3)(2 - 4r) + (Z)(6r - 3)

Por lo

1.4

en efecto,

tanto, de estas dos inclusiones:

- D

= *

Lj■ L2

L2 c

.

O b s e r v a c i ó n .- Delejercicio previo, se deduce que, L»{

P »

P„ + t3

)

en lugar del vector direccional tor que le da la inclinación a la recta L con elegir cualquier vector ta L siempre que

b t D

b ¿ea

vedo*.

como

Lt .

en la recta

, 3 , que es el vec

respecto al Eje X , se puede dlneccional de la misma rec

PARALELO al vector

3

,y por

lo tanto,

la

recta L tendría la representaciSn equivalente siguiente: L = Í P « P 0 + tb

}

.

dórele

b = rS

,

para algún

Por esta raz5n, no es tan correcto hablar de Re.cXa¿ dOU.g¿da¿,

sino sim

número reaf

plemente de RecXai , nal

6

r .

y no se debe confundir ya sea con el victon. (UxtccÁo

con la Inclinación de. L , que si son conceptos bien establecidos. Análogamente,

el Punto de Paso

y puede ser reemplazado por cualquier otro punto

P„

NO ES UNICO,

Q„ , SIEMPRE QUE SEA TAM

.

206

La Recta

Cap. 5

BIEN ELEMENTO VE LA MISMA RECTA L .

2

ECUACIONES PARAMETRICAS DE UNA RECTA SI un punto L » { P - P0 + ta } .

P * (x, y) e L

P0 - (x0, yD) ,

y donde

,

donde

y i - (alt a2),

entonces se tienen las ecuaciones simultáneas: \

que son denominadas LAS ECUACIONES PARAMETRICAS VE LA RECTA L , con PUN TO DE PASD PD = (x0, yD) , y con VECTOF» DIRECCIONAL a - (alt a2) . Z.l

EJEMPLO.-

La recta

L cuyas ecuaciones paramStrlcas son:

f

x-

1- t

i

y■

2

y que puede representarse como: L ■ { (*, y) * (1 - t, 2) } ■ tiene como Punto de Paso al punto nal al vector la

i = (-1,0) ,

inclinacifin ala recta

pasa por

{ (x, y) - (1,2) + t(-l, 0) } P„ = (1,2)

horizontal,

,

, y como Vector Direccio-

ypuesto que este

vector le

L , ésta resulta ser una Ke.cXahoiu.zonta¿

P„ *= (1,2) .

*

(-1,0)

0

1

2

i = (-1, 0)

3

da

, que

X

La Recta

Cap.5

3

207

FORMA SIMETRICA DE LA ECUACION DE UNA RECTA SI la recta L tiene como Punto de Paso al punto

PD * (x0 , yc ) ,

y como Vector Dlrecclonal

a2 f 0 [es decir que,

a - (a¿, a2)

con aj f 0

y

L no es vertical ni horizontal ] , entonces 0 .

Sea A * (2,0), B = (3,3), la base de un triSngulo. Hallar el vérti^ ce C sabiendo que se encuentra en el 3er. cuadrante, que el Srea del triSngulo ABC es de 5 unidades cuadradas, y que la recta que une Ccon el origen forma un Sngulo de sas.

26. Si

Lj * ( PQ + t (a

+4, a - 4) /

L2 * { PQ + s (1 - 2a,

3a) /

45°

con el eje de las absci

teIR

}

s e IR } ,

son rectas coinciden

tes, hallar el valor de a . 27.

Si

la distancia entre las rectas

y

L2

Lj =í (a, 5) + t (3, 4) /

= { (4, b) + s (-3,-4) / s e IR }

punto

(5, b-a) dista 6 unidades de

a y b

son números reales positivos.

t e IR }

es de 4 unidades, , encontrar

(a, b)

y el si

220

La Recta

28. Dados los puntos

A ■ (1, 1) y

Cap.5

B » (9, 7),

determinar las coordena

das de un punto C de la recta L ACB sea recto . (Dos soluciones)

:

29. Hallar la Proyección Ortogonal de v ■ (6, -5) recta a) L: (*c- 1)/4 » (t/+3)/3 b)

L:

c)

t e R

}

L:(3. 2) . [(*. tf) -

la

-- 7 5 -----7 C

D

divide a AP en la razón 2:1. i En qué razón X divide a BD ? SUG:

A ♦ C « B ♦ D .

35. Sean A, B. C y

B

D vértices de un paralelogramo, en ese orden. Sea CD, y Q de BC. Si X es punto de intersec -

P el punto medio de ción de AP y

DQ,

demostrar que

X divide a AP en la razón 4:1. ¿ En qué razón divide X a DQ ? SUG:

A + C « B + D .

C

La Recta

Cap. 5

36. Sean

A.

B, C

221

y D los vértices de un paralelogramc.

Sea P punto

medio de CD y Q de BC. SI X es la intersección de gonal BD. Demostrar que X divide a BD en la raz6n 1/3. razfin divide X a PQ ? SUG:

PQ y la día

¿ En qué

A ♦ C - B+ D .

37. Sean A, B y C vértices de untriSngulo. SI P divide a BC , Q a AC en la razfin 2 : 1 , y si X esla Interseccifin de AP y BQ, 38. Sean

demostrar que A, B

y C

X divide a

AP y BQ en la

y

raz6n 3/1 .

vértices de un trISngulo. Supfirgase que

P y (]

di

viden a BC y AC respectivamente en la razfin (1 — k)/k donde 0 < k < 1 . Si X es el punto de interseccifinde AP y BQ, demos trar que X divide a AP y BQ en la razfin 1/k . 39. Sean

A, B,

C y

D

vértices de un paralelogramo.

S puntos que diviaen i los segmentos mente en la razfin 2/1 . Demos trar que P. Q, R

Sean

AB, BC, CD y

P, Q, R y

DA respectiva

y S son

vértices de un paralelogramo. A 40. Sean

A, B,

C y

D , en ese orden, vértices de un cuadrilítero, y se

an P, Q, R y S los puntos determinadoscomo en elejercicio ante rior. Demostrar que si P, Q, R y S forman un paralelogramo, eiiton ces el cuadrilítero original también era un paralelogramo. 41. Sean A, AB. Sea que pasa la recta

B, C y D vértices de un trapezoide, en ese orden, con base X el punto de Intersección de lasdiagonales. Como la recta por A y B es paralela a por C y D, entonces

DC = rAB

donde r > 0 .

Demostrar que X divide a ambas diagonales en la razfin 1/r .

42. El vector

c se descompone en la suma de dos vectores

los a los vectores m , n f 0 . Hallar

(4m, -3m) y (-n, 3n) |á| + |b| ,si

á y b parale

respectivamente, siendo

c * (10, -3) .

La Recta

222

Cap. 5

43. La figura ABCD es un paralelogramo, AH « m AB + n MC calcular:

M es punto medio de AD.

Si

.

2 3*

3 2

44. Si L es una recta no paralela a los ejes coordenados, y pasa por los puntos (2.2), (D, q), (p, D), lor de (1/p) + (1/q) .

p f 0,

siendo

q t 0,

hallar el va

CLAVE DE RESPUESTAS.I.8 :

a) x - y m 0 ,

b) * » y ,

c)

x - 2y + 1

d) 5x - 4y + 2 » D , e) x » Zy - 6 , f) g) y - 2 . h) 2y - x » 2 . 1) x » -1 ,

, x ■ 2y - 6 , j) 5x + y • -5 ,

3. 5.

8x + 15y * 146 , 8x + 15y ■ -24 , 4. (m, n) * (7, -2) 49/5 . 6.2/6 , 7.51/7,8. 2B unid, cuadradas

9.

k2 - kj j- -1 ,lD.a)

II.

(», 2n) - (-4, 1) ,

14. 7k - -1 .

15.

(-15,-8) , 12.

3x + 4y » 30 .

18.

(a.b) - (-18/7, -6/7) ,

21.

9//5 .

22.a)

24. k + s - 8 , 27. a - 6/7,

(14,8),

25.

b)

28.

(29/5. 5) , 16.

16//5 .

2D.

b)

(0,1).

c)

26.

c)

(19. 16)/3

(-1, 0) + t (1.-3)

h - 1

1?.

C ■ (8,8) ,

b - 53/21 ,

2?. a) ¿ ( 4 . 3 ) .

b)

(1, D) + t (1, -3) ,

12x - by + (5/2) = 0 (-6,-2),

d)

C - (1, -5) , C • (10, 4)

-¿ ( 1 . 3 ) .

c)

(1. -7) ,

d)

(2. -3)

31. |b | » 4 , | 2á + 3b| • 12/2 ,

32.

15/ /29"

,33. 11 ,

34. x - A + r A P »

r ■

s ■ 2/3

.

X divide a BD 42.

15 + (2/10 ) .

B + sBD

(4,3)

a - -1

= >

en la raz6n 2/1 ; 43.

(-11/6) .44.

1/2 .

La Recta

Cap. 5

9

223

ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA .Dada la recta

L ■ { Pc + ti /

t

e IR } , don

de a es el vector dlrecclonal de L , puede presentarse dos casos: 1°) El ángulo 6 de ¿¡Aclinaciín del vecXofi i 2°) El ángulo 6 pertenece al Intervalo

pertenece a

[0, *> ,

6

[* , 2w> .

Y según esto, tenemos la siguiente definición. 9.1 Definición.-

Para la recta

l

- {

pd

+ ti /

t

E

ir }

,

a)

Si a tiene ángulo de inclinación 6 e [0, i ) ,entonces dice que 8 es eí ANGULO VE INCLINACION de. L .

b)

Si i tiene ángulo de Inclinación 6 c [ r, 2ir> , se dice que 6 -v es el ANGULO VE INCLINACION de L . Es decir, es el Sngulo de inclinación de -i .

De esta definición se sigue que elANGULO solo varia entre

0 y w

9.2 TEOREMA.-

Dada la recta el vector

Sea ü = (uj, u2) es decir,

DE INCLINACION de una recta

L

radianes .

i -

L = { Pc + ti / (a^ a2)

naiUfin que la recta

PRUEBA:

se

L

t e

R },

tiene el mismoAngulo ¿ a. y ¿olamente. b*.

entonces de i.neJU

a2 > 0 .

el vector unitario en la misma direcciOn de 5 ,

i = fa|-ü = (alt a2) ,

entonces

ü tiene el mis^

que

6

La Recta

224

Cap. 5

mo Sng- lo de inclinación de L 6¿ y 6otamznte. 6¿ con

senB

>0

9.3 EJERCICIO.-

i

e

[O, i )

,

.

Hallar el coseno del Sngulo de inclinación de cada una de las siguientes rectas:

a)

Lx : (1, 1) + t(-2, 1)

b)

L2 :

c)

L3 :

(1, 0) + r (-2,-4) .

s (1, -3)

SOLUCION:

a)

Consideramos el vector direccional de Lt: á « (-2, 1) ■ (at, a2) que por tener a2 = 1 > D , entonces a tiene el mismo ángulo de inclinación que Lt , y á - |S|.(-2//5, 1//5)

b)

ü - (eos 6 , sen 6)

Consideramos el vector direccional de

L2 :

= *

cose - -2//1 .

b = (1,-3) = (bj, b2) ,

que por tener b2 » -3 < 0 , se elige -b * (-1, 3) como el vec tor que tiene el mismo Sngulo de inclinación de L2 . Lo que implica que -b c)

» | b |•( -1//Í0, 3//l0)

= >

cose

»

-1//10 .

Siendo el vector direccional de L3 , c = (-2, -4) - (cj, c2) , y por tener c2 « -4 < D , se elige al vector -c = (2, 4) como el vector direccional de L3 con el mismo Sngulo

6 de inclinación que

L3 , y por lo tanto, -c

10

- | c |-( 1//5 . 2//5 )

= »

cose

-

1//5

.

PENDIENTE DE UNA RECTA

Si L es una recta no veAtical L = { Pe ♦ tS } , don de á = (at,a2) con t 0 , se puede especificar la inclinación de la recta mediarte un númeromque recibe el nombre de PENDIENTE ae la recta L , y que , si6 es el inguto de. ¿nct¿nacÁ£n de L , con 6 c [0, n>

.

se define como: PENDIENTE

De modo que si se expresa m = tare ■= a2/aj m = tañe =

m =

tan 6

a * (a1( a2) =

aj ( 1 , a2/aj)

entonces :

, para la fig. siguiente y la fig. (a) (pSg. 223)

{-a2)/t~a1) * a2/a!

, como er la fig. (b), pSg. 223 .

La Recta

Cap. 5

AsT, resulta que si na

k exLta.

L

m

es cualquier ve.cXon di/ieccxonal de. u-

5 ■ (a^, a2)

no vertical ,

225

entonces

es la PENDIENTE de L

m > a2 / a^

En particular, si se conocen dos puntos distintos (*o» Vo)

de una recta no vertical

la dirección del vector

a «

P = (x, y)

y

( x f xc ) , entonces

L

„ _ P- Pc

,

P0 =

L siyue

\

i

\

( x - x c , y-yD ) = (alf a2)

-

y en tal caso: m » a2 /a,

= >

y - yo -----

m *

Esta relación origina otra forma de la ecuación de una recta L no vertical y - yD

-

m ( x - x„ )

que es llamada la formaPUNTO - PENDIENTE de la ecuación general de la recta L que tiene como punto de paso Pc = (xe, yD) , y con pendien te m . 10.2EjERCICl0 .-

Determinar la pendiente

, y la forma

TE de la ecuac'ón de larecta SOLUCION:

(x, y) = yD)

I

L = { (3t-2, l + 2t) }

( 3 t - 2 , l + 2 t ) = (-2,1)+ t (3, 2) 1 i-2* U •

PUNTO -PENDIEN

a =(3,2) ,m = a2 /aj

=* =

2/3

La Recta

226

de donde obtenemos la ecuacién de la recta

10.1

{2/3)(x + 2) .

Desde que cualquier múltiplo real del vector á • puede ser utilizado como vícX oa. disiecc-conat de la recta no ver L ■ { P„ + t¡ / t e á -

entonces el vector de la

y - 1 »

L:

RELACION ENTRE LA PENDIENTE Y EL VECTOR DIRECCIONAL .

(at, a2) tical

Cap. 5

recta L , SIL

IR},

ax ( 1, a2 /aj)

( 1 , m) siendo

quier punto genérico

se puede expresar:

« aj (

1, m)

también resulta ser un vector direccional

m

Intercepta

(1, m) ■*" * ( - m , 1)

y como

su pendiente .

*

al Eje Y en el punto

(0, b) , y como el vector

es un vector nonmaí a

L , entonces para cual

-

P * (x, y) e L , se tiene que

[(x, y) - (0, b)] - ( -m , 1) * 0

(x, y -b ) • (-m. 1) - 0

= »

que viene a ser otra forma de la ecuacién general de la rec ta L de pendiente m , y que pasa por el punto

(0, b).

Esta es llamada la: FORMA Y-INTERCEPTO de la ecuacién de la recta L .

11

PARALELISMO Y 0RT0G0NALIDAD DE RECTAS Dos rectas

PARALELAS Si

Lj

Lj * { Pc + ti }

si es que los vectores a

es paralela a L2 > se denotarS

í i . i Ejem plo.-

Las

re ct as

l, =

y L2 sus vectores direccionales

y

L2 = { Qc + sb } son

y b son paralelos .

(4, -6) y

Lj // L2

■

{ ( i , 2) ♦ t ( 4, - 6 ) }

í s (_2, 3) (-2, 3)

}

son paralelas, pues

son paralelos .

La Recta

Cap. 5

11.2

E j e m p l o .-

227

Demostrar que si Tas rectas *-2 ” { Qo + s

}

L1 » { P 0 + t 5 }

y

no son paralelas, entonces ¿e. ¿ n -

teAtedian en un único panto R .

SOLUCION:

SI

Lj

L2 , entonces á no es paralelo a

á no es perpendicular a b"*" f0

a -b

y

b .5

R ■ Pc + t'á = *

y

s'

y t'

,

o sea

f - -(P0 - Q0). b ^ / í i - b 1 ) ,

con lo que se prueba que

R *

á-b"*"

P0 + t'á e

- - b • i^ )

Q c Ljíl L2

d (6, 2) deternn nar la ecuación de la recta con pendiente postiva que pasa por el ori gen y divide al segmento en dos partescuyas longitudes están en la reción 5 : 3 .

40. Dados los puntos das de un punto Sngulo recto . 41.

A * (1,1)

b) Lj :

43.

B ■ (9,7) , determinar las coordena C e L:y = x - 6

Hallar la ecuación de la bisectriz del Sngulo agudo entre las rectas: a) L! : 3x + 4ÿ = 10

42.

y

12x -Sy =- 39

,

L2 :5x - \Zy = 26

,

L2 :

- 3x + 4ÿ * - 20 .

Hallar la ecuación de la bisectriz del Sngulo obtuso entre las rectas: a)

Lj : Bx - lSy ■ 84

,

L2 :

7x + 24;/ = - 75

b)

Lt : 5x + lZy = 52

,

L2 :

24x - 7y = 50 .

3x - Zy = - 12 , Lj y

Dada la recta Lt : L2 que es paralela a

hallar la ecuación de la

recta

que forma con L| y los ejes coordenados un trapecio de 5 rea igual a 15 unidades cua dradas. SUG: Use 44.

x/a * y/b

Sean las rectas

- 1 .

Lj «

{ (b2 + a3 - 2 , 3) + t (1 - a2, a)

/ t e

L2 =

{ (ab, 3b + 5) + s (a - 5, 8 - 3a)

/ s e IR

encontrar valores de a y sean coincidentes. 45.

b de tal manera que las rectas

Encontrar dos puntos tales que si ro.

47.

Lj y

} ) . L2

Encontrar la ecuación vectorial de la recta que determina al cortarse con los ejes coordenados un segmento cuyo punto medio es

46.

R

A y

B de la recta cuya ecuación es

C = (6 + 3/3, 2 + 3/3),

Dadas las rectas

(-4, 8) . x + y = 8 ,

el triSngulo ABC sea equiláte

Lj = { (x, y) e IR2 /

2x - y = 5 ) ,

L2 = { C +

t

Cap.5

La Recta

234

+ t (11. 2) } . A ■ (9, 13) e Lj , C - (25. -3), y el punto B de Intersección de ambas rectas, encontrar la ecuación vectorial de la rec ta L que contiene a la bisectriz delSngulo ABC . Cl a v e

Re s p u e s t a s .-

de

1.

a)

(1). (2). (4) ; 3.

5.

R - (33/5. -11/5) ;

(-6. 2) + t(3.-4) ;

6. (-2. 0) ;

7.

4.a) -3/✓! . b) 4 //5

k c { 88 . - 16 } ;

8. x + y - 5 . 9. 5x + 3i/ - 30 ; (6, 2) + t(l, - /3 ) ;11. x - 8 , x - -2 , 17. Ll: (5, 4) + t(l, 1) , 24. L2: 2x - 3y - 12 . 29. k = 5/17 ,

31.

tuso es

(4,-1/2) +

46. A= (9.

27.

y -

Ll:

#jta) (4,-1/2) ♦

43. Zy - 3x - 18 ,

.

a - 2,

3y-0

42a)

b= 5 ,

45.

(3,-4) + t(-3,

(-4. 8) + t(l, 2)

,

-1),B - (3, 5) ,

B =* (-14/10, -78/10) , LBI : (-7/5, -39/5) + t(4. 3) .

12

INTERSECCION

DE

RECTAS Dadas las rectas

Lt = { PG + t a ) L2 = ( Oo + s b } ,

ya se

ha demostrado anetriormente que tlener. un único punto de intersección los vectores direccionales

si y solo si L2

,

t(l, 8) ; la Bisectriz del Sngulo ob

47.

ioto

,

-2) .

x ,L2:7x +

t(8, -1) .

44.

a*1

i • b ■*"

t 0

a y

b no son paralelos.

y

Es decir,

.

SI ñj y ñ2 son vectores normales a Lj y respectivamente, entonces los vectores direccionales á y b no son pa

ralelos

si y solo si

los vectores normales

ñj y

ñ2 no son paralelos, y

por lo tanto L{ y L2 tienen un único punto de intersección si y solo ñj

y ñ2 no son paralelos.

a

r¡2 ( ñj1 • ñ2 t 0 ) .

12.1 EJEMPLO.-

Es decir, si y solo si

Hallar la intersección de las rectas t(l, 2) } ,

y

/3

k = 25/9 .

Rayo reflejado:(0,-4) + t(3,

37.

(6,2) + t(l, ;

y -39 ,21.

7x +

3x + Zy * 18

(0,-4),

36. (0, 7) + t(l, 2) , 3B. b ■ -39/4 ,

L2 : Ll:

10. Ll: 14. a » 4

ñt

no es ortogonal

Lj = { (5,8) +

L2 = { (4, 3) + s(l, -1) ) .

si

29),

Cap. 5

La Recta

SOLUCION:

La recta lo a

P -

= >

Lj no es paralela a L2 , pues

(1, -1).

(5,8) + t (1, 2) = > (1.5) t.

-

Y si =

Pe

por lo tanto,

parale

Lj O L2 . entonces

- t (1. 2) + s(l.-l)

(1. 5)-(l. 1) _ _ 2

s _ ‘

(1. 5) •(-2. 1)

-

_

U,-l)-(-2,l)

P ■ (5,8) + (—2)(1.2) ■ (3,4)

(4,3) + s (1,-1)

OTRO METODO:

(1,2) no es

(4. 3) + s (1. -1)

(1, 2)-(l, 1)

que

235

, y se puede verificar

(4,3) + (-I)(l,-1) * ñ2 =

(3,4)

(1,1)

también.

Siendo

ij - (-2,1) ,

les de

L| y L2 respectivamente, se tiene el sistema: Lj :

-2* + y

»

-2

L2 :

x + y

-

7

los vectores

norma

el cual tendrS una única solución pues (-2,1) y (1,1) no son parale los. Esta única solución (x, y) corresponde precisamente a la intersec ción de

Lj fl L2 . En efecto, resolviendo dicho sistema, obtenemos: x - 3, to

12.2

EJERCICIO.-

y = 4

P = (3, 4)

que son las coordenadas del pun

que hablamos encontrado anteriormente.

En la figura triSngulo

,

PRS

PQRS

es un paralelogramo. El Srea del

mide

6 unidades cuadradas, la recta

La Recta

236

Como

(1,-2) e L2

entonces

Cap. 5

L2

y siendo

- x .* y

:

Lj :

x + y *

= -3 ,

13

resolviendo el sistema de ecuaciones ¿■Lmuttín&uobtenemos el punto (8, 5) e Lj (1 Lj . Y como el Srea del triSngulo 6 = ab/2

y

a = 2 /2

, entonces

consideradnos el vector unitario que

b ■

3/2 .

ü ■ (-1, l)//2

m =

10-3 ---» 7 7-6

y como Lpasa por

L que pasapor S = (6, 3)

= >

LA

Por lo tanto, si

» = ■

(6,3) (5,8) (7.10)

y

Q = (7, 10)

y S = (6, 3)

entonces

L : L :

- 7x + y » -7(6) - 7x + y = - 39

lar las coordenadas RALELAS dadas.

(x0 , yD) del

En efecto,

a2 x + b2 y

.

(-bj, a^-faj, b2) + 0 resolviendo el sistema

se puede cal cu

PUNTO DE INTERSECCION DE DOS RECTAS NO PA

= =

y por ser no paralelas, se tiene que

(*)

+ (3)

dadas las dos rectas, no paralelas,

aj x + bj y

nes de

es

REGLA DE CRAMER .Mediante el uso de los DETERMINANTES

Así,

tiene

(l,m) ' (1,7) es un vector direccional de L , (l.m) ■= (-m, 1) es un vector normal de L ,

= >

12.3

=

, de la figura se

S = R + aú1 = (8, 5) + 2/2 (-1.-l)//2 P = R + bu = (8. 5) + 3/2(-l,l)//2 Q « P + a(-üX ) (5,8)+ 2/2(1, 1)/ /T

La pendiente de la recta

R

PRS es igual a:

= » (*)

(1) (*)

(2)

(at, bj) ■*" • (a2, b2) t 0 i 0

(a^ - a^)

para lo cual multiplicamos las ecuacio-

por: (b2) x

at x + b, y =

Cj

(-bj) x

a2 x + b2 y =

c2

(a1b2) x + (bjb2) y

=

c,b2

La Recta

Cap. 5

x -

'■

1"2

"al

bi

_a2

b2 _

2 1

'

■

12

y -

----------- , alb2 ‘ a2bl

Recordando que se define como det

237

“

2 1

----------alb2 ” a2bl

(**)

DETERMINANTE al número

ajb2 - a2bj

Notamos que las coordenadas , en

, ó simplemente

(**) . del

al

bl

a2

b2

PUNTO DE INTERSECCION de Lj

y L2 pueden ser expresadas en términos de Determinantes como: C1

bl

a,

ct

C2

b2

a2

C2

»

y

DE

9

CRAMER

al

bl

al

bl

a2

b2

a2

b2

que viene a ser la llamada

REGLA

REGLA DE CRAMER para 1? resolución de un par

de ecuaciones lineales simultáneas en dos variables, con una única solución para x e y . Observe que el denominador es el mismo en ambaí variables. Adem8s, los numeradores provienen de reemplazar en el denominador: - la primera columna por los términos independientes de Lj y ra x ,

L2 , pa

- y la segunda columna por estos mismos términos independientes, para y .

rectas

Por ej»mplo, las coordenadas del punto de intersección de las (¿ no paralelas ?) 3x - 2y = 16 -1 • -2 :

están dadas por

16

-2

12

4

3

-2

5

4

5x + 4ÿ =

12

7¿(4) - 12(-2)

88

3(4) - 5(-2)

22

=

4

238

La Recta

Cap. 5

16 12

3(12) - 5(16)

36 - 80

-44

-2

3(4) - 5(—2)

12 + 10

22

NOTA.-

Esta

(4. -2) e Ll O L2

Ve donde, obte.nemo¿

4

REGLA DE CRAMER también se extiende para ecuaciones lineales

simultáneas de tres variables , mediante DETERMINANTES DE TERCER ORDEN , como sigue. Dado el sistemj de tres ecuaciones siguiente en la que el Determinante de tercer orden de los coeficientes NO ES CERO entonces se cumple que la (única solución) está dada por las fórmulas s

aj X + bj y + cl z a2 x + b2 y + c2 z a3 * + b3 y

••

(2)

••

(3)

+ c3 z ■

d3

di d2 d3

C1 c2

82

bl b2

dl d2

c3

a3

b3

d3

bi

ci

ai

bi

ci

C1 b2 c2 b3

c3

al a2 a3

al

bl b2

C1

ai

C2

^2 C2 a-j b3 c3

cientes x

(1)

dl d2

dl d2 d3

^3

••

-

bL

^3 ^3

(*)

al

a2 b2 c2 a3 b3 c3

Al determinante del denominador (correspondiente a los coefi y , z ) se le denota con el s?i»bolo:

A

=

al

bl

a2

b2

a3

b3

Recordemos que este determinante de tercer orden se calcula en base a deter minantes de segundo orden, como sigue:

a2

al

bI b2

c2

a3

b3

c3

cl

b2

c2

al b3

c3

- a2 Î

»1 b3

NOTE ESTE SIONO

C1 c3

+ a3

bl

C1

b2

c2

Cap. 5

La Recta

239

4x - ty - -42

Por ejemplo, dado el sistema de ecuaciones lineales

3* + el determinante de los coeficientes es igual a:

I

I A

- 22

Por lo tanto.

42 ■4

-6 I 1I

(-42) - (24)

-66

22

22

-42 -4

(-16) - (-126)

y

■ -4

-6

1

4+18

-3

110 22

22

Desde que el sistema de ecuaciones dado arriba representa las ecuaciones de dos rectas (no paralelas) , entonces la solución del sistema representa el PUNTO DE INTERSECCION (x, y) de ambas rectas, es decir,

(* . y)

(-3.5)

.

Considerando otro ejemplo, dadas las rectas (no paralelas i?) : - 5x + ly 2x - 4y ■

9

(*)

12

para hallar su PUNTO DE INTERSECCION, hallamos la solución del sistema de ecuaciones lineales s1mult8neas (*) , mediante la REGLA DF CRAMER :

(-36) - (-84) (20) - (14)

(60) - (18) (20) - (14)

_ ‘

48 6

i? 6

Asi, el punto de Intersección de Lj y L2 es

-

7

Pc -

(*.{/) “

( B , 7) .

Veamos ahora un ejemplo de cómo calcular la solución de un sis

tema de tres ecuaciones lineales simultáneas que tiene una Gnica solución. Esto está asegurado por la condición que el determinante A sea DISTINTO DE CERO. Por ejemplo, resolver el sistema de tres incógnitas: 3* x -Zk

+ Zy -

z

■

- 4y * 2z

-

+ y + 3z -

14 -7 -7

(*)

cuyo determinante A de coeficientes es 3 1 -2

2 - 1 -42 13

-

Entonces, por la REGLA DE CRAMER, 14 -7

2 -4

-1 2

-7

1

3

3 (-14) - 1(7) + (-2) (0) - -49 t 0

la Gnica solución de

14(-14) - (-7)(7) ♦ (-7)(0)

-147

-49

-49

A 3 1 -2

14 -7 -7

-1 2 3

3(-7) - 1(35) + (-2)(21)

-98

-49

-49

A 3 1 -2

2 -4 1

14 -7 -7

(*) estS dado por:

3(35) - l(-28) + (—2)(42)

49

-49

-49

A Asi, la solución del sistema es el punto

(x, y, z)

• (3, 2, -1) .

En el Capitulo de GEOMETRIA VECTORIAL EK EL ESPACIO, veremos que cada una de las ecuaciones del sistema (*) de arriba, representa un plano; veremos que estos tres planos tienen un Gnlco punto de Intersección (es decir, un 0 nico punto común) pues su determinante A es DISTINTO DE CERO, y que la solución del sistema, dada por las coordenada:, (x, y, z) halladas, represen ta precisamente a este PUNTO DE INTERSECCION de los tres planos dados en (*). Como vemos en este caso extendido a tres dimensiones, la REGLA DE CRAMER sigue siendo sumamente Gtll, y conviene siempre tenerla en cuenta.

La Recta

Cap.5

13

ANGULO

ENTRE

241

RECTAS De la Trigonometría elemental se tiene que:

tan (■» - 8) tan ( a

2-

*

- tan 6

(1)

tan a2 - tan a| a .)

1

+ tan 0

b)

Si

tan 8

■=i oo

c)

SI

tan 8

0

eos

e > o

=>

¿1)

sii • b

< 0

eos 6

< 0

= »

e e 0 entonres 6 es el ángulo agudo entre Lj y Lz, c -b

= -1 < 0

entonces B es el

13.5

PROBLEMA.-

Hallar las ecuaciones generales de las rectas bisectH es de Lj : 4x - 3y + 10 = 0 , Lz : 7x + y - 20

- 0 , correspondientes al ángulo agudo, y al ángulo obtuso entre Lj y L2SOLUCION.-

El punto de intersección es los vectores:

a = (3, 4)

Lj fl L2 = í (2, 6) ) , y y

b = (1. -7)

son los

La Recta

Cap. 5

245

Además,

vectores direccionales de Lj I =>

■ b - -25 < 0 f¡ :

ángulo obtuso,

y por lo tanto, L' es la recta BISECTRIZ correspon diente al ángulo obtuso en tre Lj y L2 . 13.6 NOTA:

La recta L" BISECTRIZ co rrespondiente al ángulo agudo es siempre L” ortogonal a L* . El vector direccional de L' -L |á|

+

—

7(3. 4) +■ —

5

lb|

5/2

(1, -7)

= (3/2 +1, 4/2 - 7)/(5/2) 6 también, por simplicidad: y como L* debe pasar por

(3/2 ♦ 1, 4/2 - 7) (2, 6) e

L' : (3/2 + 1, 4/2 - 7) X L' : (-4/2 + 7) x + (3/2 ♦

,

Lj n L2 , entonces

- (x, y) = (3/2 +1, 4 ñ

-7) X

• (2. 6)

1) y = 10/2 + 20

L" correspondiente al ángulo agudo es siempre ortogonal a L' , y pasa por (2, 6) , por lo tanto, LM : (1 + 3/2, 4/2 - 7) - (x, y) > (1 + 3/2, 4 /2 L“ : (1 + 3/2 )x + (4/213.7

EJERCICIO.-

- 7) ■(2.6)

1) y = 30/2 - 40 .

En la figura, Lj 1 L2 ,

Lj : 4x - 3y = 21 .

{P } = Lj O L2 , la ordenada de P es igual a 1 , y la distancia de Q a R

es5/5 . Si el cateto mayor del triángulo

PQR

se encuentra en la recta Lj, hallar la ecuación general de L si se sabe que el área del triángulo esde 25 unidades cuadradas. SOLUCION:

Puesto que

P * (xot 1) e Lj

=»

4x0

3 ( 1 ) = 21

La Recta

246

de donde

Cap.5

xc * 6 .

Además, n, « (4, -3) es un vector normal de L y por lo tanto el vector u nitario ü de la figura es ü -

ñ^/ |ñ f 1

= (3, 4)/5 Y puesto que el área de PQR es: ab/2 » 2 5 .. (1) y c = d[Q; R] - 5/5 , c2 125

a2 + b2 a2 ♦ b2

-■ 12)

a4 - 125a2 + 2 500

(a2 - 25){a2 - 1Ü0) = 0

0

a2 * 25

a - 5

»

b « 10

de (1)

a2 - 100

a = 10

»

b - 5

de (2)

De las hipótesis del problema resulta que Q =■ P + 5¡¡ R « P + 10Ü

= -

Pendiente deL = Ecuación de

L:

a * 10

y

(6, 1) + 5(-4, 3)/5 =(2, 4) (6. 1) + 10(3. 4)/5 - (12. m

* (9 - 4)/(12 - 2) «

y - 4

=

(1/2)(*c -2)

. Luego, 9),

1/2

.

Dado P = (x, y) , y las rectas L,: (2,3)-[P - (4,5)] = 0 L2: (1.2).[p - (5,4)] = 0 , hallar la ecuación

13.B PROBLEMA.-

de larecta L que pasa por L¡ fl L2 e intersecta al Eje X en un punto cu ya abscisa es igual a dosveces su pendiente. El valor de lapendiente es un número entero. SOLUCION.-

Sea L2 :

y = mx + b .

L :

* + Zy = 13

Además,

==»

Lj :

L, fl L2 =

{ (7, 3) ) .

Comj (7, 3) debe pertenecer a L también, entonces L : (*£>■ yo)

y ■ m* + (3 - 7m)

donde

y0 = 0

.

2x + 3y = 23,

3 ■ (m)(7) + b

que intersecta al Eje X en un punto

Entonces

xD « (7m - 3)/m , de la ec. de L ,

y

xD = 2m

,

por hipótesis.

La Recta

Cap.S

Igualando los segundos miembros se obtiene 2m2 - 7m + 3 * (2m - l)(m - 3) ■ 0

247 2m - (7m - 3)/m

== >

m ■ 1/2

pero ccmo m debe tomar un valor entero, entonces L :

y -

13.9

PROBLEMA,-

3x + [3 - 7(3)]

==>

y -

L :

-•»

6

m * 3

.

m - 3 . Por lo tanto, 3x - 18 .

Hallar el punto Q simétrico a P - (2, 5) respecto a la recta L - { (4 - t, -6 + 3t) / t c R } .

SOLUCION.- METODO 1 : L también se puede expre sar L: (4,-6) + t(-l,3) , i ■ (-1,3) es un vector di^ reccional, y ñ - i-1 - (-3,-1)

es

un vector normal a L Si u

ñ/|ñ| (-3,-1)/ /10

es

el vector unitario en la misma dirección del vector PQ ,

L: 3x + y

* 6

. . d[P; L]

Q = P + 2(d)ü METODO 2.L con L*.

y siendo

|3(2) ♦ (5) - 6 1

5

/10

✓ 10

1 /10 2

(2, 5) + /10 t(-3, -1J//10 ] - (-1. 4) .

Se halla la ecuacifin de la recta L J. L y que pasa por P ■ (2, 5) y luego se encuentra el punto M de intersección d Este punto resulta ser el punto medio entre P y Q . 0 sea,

L: 3x + y * 6

==»

pasa por P - (2, 5). M - (1/2, 9/2) ,

L1:

- x

+ 3y - 13

pues tiene normal

(-1, 3) y

Resolviendo el sistema se obtiene

y como

M - (Q + P)/2

—

Q ■ 2M - P

=>

Q - 2(1/2. 9/2) - (2, 5) = (-1, 4) . 13.10 PROBLEMA.-

Pedro tiene que ir desde un el punto Q ■ (5, 10) pero car agua en un cubilete. Si la orilla del rio se (1, 2) + t(3, 1) , t e R , ubicar un punto N

punto P ■ (1, 6) hasta pasando por el rio para sa encuentra en la recta L: en la orilla del rio de ma

Cap. 5

La Recta

248

ñera que Pedro recorra la mínima distancia. SOLUCION.-

Consideraremos el punto simétrico Q' de Q respecto de la recta L' que pasa por P y Q‘. Así, ubicamos el punto ade cuado N en la intersección de L con L‘ : L:

x - 3y » -5

.. (1)

Y Q A ü // 1f^\ /l »

ü = (1.-3J//T3 , Jfn „ 1 (5) - 3(10) ♦ 5 | d[Q; L] * ----------------✓ 10 -

/

'

‘

L

2 ✓To".

Q' - Q + 2(d[Q; L]) ¡3

* ^ ^

= (5,10) + 2(2/T0)(l,-3)//Í0

i

\

'

* (9.-2J .

'

\ \

L ^ \

Y como L' pasa por (1,6) y (9,-2) entonces

\

L' : x + v = 7 .. (2) . Resolviendo (1) y (2) simultáneamente obteremos

N e

L fl L1 :

N = (4, 3).

13.11 DEFINICION.- Si la velocidad v de una partícula es un vector tons tante, y si la partícula parte del punto PD en el in£ tante t= tD . la posición P de la partícula en el instante t es: P » P„ ♦ (t - t„) v La recta L =

{ PQ + ( t -tQ)v

DE LAPARTICULA

/ te R

, y al valor |v|

13.12 EJERCICIO.-

}

es denominada la

se le llama

TRAYECTORIA

la RAPIDEZ de la partícula.

La partícula p1 tiene una velocidad Vj ■ (100, 30) y parte del origen en el instante t = 0 . Una segun

da partícula p2 tiene una velocidad v2 » (50, -30?

y parte del

punto (0,

270) en el instante t* 0 . a) ¿ Donde se intersectan las trayectorias ? b) i Colisionan las partículas? b) ¿ En qué instante debería partir la partícula pj para chocar con p2 ? SOLUCION.-

donde t y culas pj y

tD * 0 para ambas partículas, Trayectoria de px , Lj : (0, 0) + t(100, 30) Trayectoria de p2 , L2 : (0,270) + s(50, -30)

,

s representan el tiempo transcurrido desde que parten las partí p2 respectivamente.

Luego,

L1 n L 2 = { Q } , y

Q =

Cap. 5

La Recta

Q ■ (300. 90) ponde a

249

que corres

t * 3 seg

para la partícula p¿ , y corresponde a

s * 6 seg

para la partícula p2 . va lores que son obtenidos de la ecuación (0.0) + t(100. 30) = (0.270) + sy50.-30) . y despejando t y s . nor lo tanto, las partículas NO CHOCAN, y para que esto ocurra Pj debe partir 6 - 3 * 3 segundos después que parte p2 i es decir, en el instante tD - 3 seg. 13.13 EJERCICIO.-Dada la recta L:

(-4,-10) + 1(5.12) , y el punto

P ■ (7 + 12 /3 , 16 - 5/3 )/2. hallar dospuntos R y S en L que formen con P un triSngulo equilátero, yencontrar elárea de dicho triSngulo. SOLUCION.-

Considerando el vector unitario u paralelo a la recta L. ü = (5. 12)/13 . la ecuación de la recta L resulta ser L: 12* - 5y « 2 . Por ser el tH ángulo PRS equilátero, las distancias a y d siendo d = d[P, L] , están relacio nadas por

d*

a .3 .

Además, el área del triángulo resulta igual a: a x d . Calculando el valor de d : como ces:

d * d [P, L] d *

entoji

|[ 12( 7 + 12 /3 )/2 - 5( 16 - 5/3 )/2 ] - 2 [

/ i 122 + (-5)2 ==*

d[P, L]

13/3/2

a ■= d//3

=

13/2 .

Por lo tanto, si M es el pubito medio entre R y S , entonces M * P + dú = P + (13/3)/2)(-12, 5)/13 = (7/2. 8) S = M + aú

* (7/2, 8) + (13/2)(5, 12)/13 = (6. 14)

.

La Recta

250

R = M-aú

=

(7/?, 8) - (13/2)(5, 12),'13 =

Asi, el Srea del triángulo PRS resulta: SERIE

DE

Cap. 5

EJERCICIOS

(1,2)

a x d = 169/3/4 .

PROPUESTOS .-

1. El ángulo de inclinación Hallar su ecuación si su

de una recta que no toca al 2° cuadrante es 45°. distancia al origen es de 2/2 unidades.

2. Un triángulo rectángulo tiene un vértice en el origen, un cateto de lon gitud 4/2 sobre la recta Lj : t(2, 2) , t e R , y el otro cateto de longitud 8/2 sobre L2 : s(-l,l) , s e R . Determinar la ecua ción de la recta que contiene a la altura relativa a lahipotenusa si su pendiente es menor que 1 y es mayor que cero. 3. Hallar los valores de a Lj : a* + (2 - b)y = 23

y

b si el punto de intersección de las rectas , L2 :

4. Hallar las ecuaciones de las rectas con pendiente 2/3 y que forman con los ejes coordenados un triángulo de área 32 unidades cuadradas. 5. Hallar las ecuaciones de con los ejes coordenados

las rectas con pendiente m • -3/4 , que forman un triángulo de Srea 24 unidades cuadradas.

6. Hallar la ecuación general de la recta L que pasa por (6, 4), tiene pendiente mayor que 1 y forma un ángulo de 45° con la recta de ecua ción: 2x - by + 5 - 0 . 7. Determinar los valores de r y s para quelas ecuaciones 18 , sx - By - 9r ■ 0 representen la misma recta.

7* - ry

=

8. Los puntos A * (-2,-1), B = (3,6) y C * (7,2) son los vértices de un triángulo. Hallar las ecuaciones vectoriales y generales de las rec tas que pasan por el vértice 6 y que trisecan al lado opuesto AC . 9. Encontrar la ecuación de la recta L de pendiente negativa que no intersecta al tercer cuadrante y que forma con Lj y con L2 un triángulo cu yos lados iguales se encuentran en Lj y L2 respectivamente, donde Lj : x - ly - 10 , L2 :2x - Zy - 4 ■ 0 . Se sabe además que la distancia de L

al punto P e

Lj fl Lz es 2/5 unidades.

10. La recta Lj forma con las rectas paralelas Lj y l_2 un ángulo de 30° y las intersecta en P y Q. Hallar df P; Q] si: L ! : (3, -4)- [ P - (*.2) ] = 0 L2 : t(4, 3) . t e R .

(a-l)x +

Cap.5

251

La Recta

11. El área del triángulo ABC de la fijura es de 200 unid, cuad., donde L,

:3x

- y - 10-,Lj 1 L3 ,

L3 pasa por (2, 6). SI el vér tice B está en Lj y d[B; Lj] -

5/10 , hallar la ecuación ge

neral de la recta L2

que pasa

por B y C .

12. Dadas lasrectas

Lj :

3x + ky + 10 ■ 0 ,

L2 :(1,3) + s(l,l) ,

L3 : x - 4y + 14 ■ 0 , encontrar el valor de k tas sean cuncurrentes.

para que las tres.rec

13. Una recta L pasa porel punte de intersección de Lj : 2x - 3y ■ 5 , L2 : x ► Zy - 13 = 0 .Hallar la ecuación de Lsi la abscisa del pun to de intersección de L con el Eje X es Igual al doble de supendiente. 14. Los vértices de un triángulo rectángulo CAB. con ángulo recto en A , son C = (0,0), B - (12, 5), y el vértice Aque se encuentra en la recta Lt: B + t(3.-2) . Hallar la ecuación de la recta L que contie ne a la altura correspondiente al vértice A . 15. La abscisa a y la ordenada b de los puntosde Intersección (a,0) y (O.b) deuna recta, con los ejes coordenados, son tales que su producto es -6 . Hallar la ecuador, de la recta si su pendiente es m » 3 . 16. ¿Cuál es el punto Q » (x, 0) del gráfico para que la suma de las distancias d[A; Q] y d[Q; B] sea mínima ?

y A

SUG.- Hallar el

punto B' simétrico a B respee to al Eje X y trazar el segmento de A a B' . 17.

Larecta Lj pasa por (a, 1) y (3, 2) .La recta L2 pasa por y (4, 2). SI L, // L2 , hallar el valor de (a - b) .

(b, 1)

18. Hallar la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45° con la recta que pasa por (2, -1) y (5, 3). 19.

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por (2, 5) y que forman un ánqulo de 45° con la recta

20.

x - 3y + 6 * 0 .

Lapendiente de una recta que pasa por A = (3,2) es igual

a 3/4.

llar dos puntos sobre esta recta quü disten 5

A.

unidades de

Ha

La l

P =

4 * o ~ 0o + 0o + 1

V por ser

P ■ (xe, y0) el punte medio del segmento AB

P ■ (*o. 0o) ■ | t(r. s) + (p. 3)] - ( 0o

s+ 3 90o - 3x0 + 6 + 9xe + 6y0 + 15 ---- * --------------------------- * 2

que Ca

6Xo + 40o + 10

6*o0o + 40o * 50o - 6xe - 21

) 150o + 6Xo + 21 ------------6xc + 40o + 10

274

Lugar Geométrico

Cap.6

y quitando los ceros de los subíndices, obtenemos laecuaci6n genérica del lu gar geométrico _ L.G. :6xy * Ay - Sy - 6x - 21 « 0

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Hallar la ecuaci6n del lugar geométrico (L.G.) de los puntos (x, y) cuya suma de cuadrados de las distancias a los puntos fijos A 3 (2, -4) y B ■(0, 0) seaigual a 20 unidades.

2.

Hallar la ecuaci6n delL.G. de tancias a la recta x - 4 ■ 0

3.

Hallar la ecuaci6n delL.G. de los puntos (x, y) cuya distancia punto fijo (2, -2) sea tres veces su distancia a la recta y - 4

4.

Dados los puntos A - (1, 3). B * (3, -2), hallar la ecuaci6n del L.G. de los puntos P • (x, y) tales que la pendiente del segmento PA sea el reciproco con signo contrario de la pendiente del segmento PB .

5.

Hallar la ,ecuac16n del lugar geométrico del que se mantiene tangente a la recta y - 1

6.

El segmento AB de longitud constante se desliza con uno de sus extre mos en el EJE X y el otro sobre el EJE Y . Témese en el segmento el punto medio. Encuentre el lugar geométrico de este punto al deslizarse el segmento.

7.

Las rectas Lj : y = x/2 , L2 : y * 2xson cortadas en los pun tos Hj y M2 respectivamente por una recta que se mueve manteniéndose paralela siempre al EJE X . Encontrar el lugar geométrico del punto de intersección de las perpendiculares en y M2 a las rectas Lj y L2 .

8.

Encontrar la ecuación del lugar feométrico de los puntos tales que su distancia ala recta x * -1 mis su distancia a la recta y ■ -1 , sea Igual a 2 .

9.

Los vértices de un triángulo son los puntrs A » (-1, 0), B ■ (1, 0) y P = (x, y) . Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto P si el ángulo en P es recto, y P está en el semiplano

los puntos (x, y) cuya razón de dis y al punto (2, 3) sea igual a 1 . al

centro de una circunferencia ■ 0 y a la circunferencia

Lugar Ceométrico

Cap. 6

275

superior. 10. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se desplaza de tal manera que la pendiente de la recta que lo une alpunto(-1, -1) es siempre menor en una unidad que la pendiente de larecta que lo une al punto (3, 3) . 11. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) talesqufr la suma de sus distancias con respecto a los puntos fijos (-3, 0) y (3, 0) es siempre Igual a 8 unidades. 12. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de mane ra que la pendiente de la recta que lo une al puntoA • (1, 1) sea el triple de la pendiente de la recta que lo une al origen de coordenadas. 13. SeanA • (-12, -8) y B ■ (21, 18) los extremos del segmento AB . Hallar ellugar geométrico de todos los puntos P - (x, y) tales que lo? segmentos AP y BP formen un ángulo de 90° . 14. Sean los puntos A - (1, 2) y B “ (-1, 3) . Un punto P “ (x, y) mueve de manera que siempre se cumple que oij + *i2 * 3 , donde es la pendiente del segmento

AP y

el lugar geométrico del punto

P .

n2la del segmento

BP .

se

Hallar

15. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de los pares de rectas y * m(x + 2) , my « 3(x - 2)para todo m e R . 16. Dado el segmento AB de 12 unidades delongitud, hallar el lugar geo métrico del punto P quedivide al segmento AB en la relación 2 a 1 cuando el segmento se desplace de modo que sus extremos se apoyen constantemente sobre los ejescoordenados (B en el EJE X , y A en el EJE Y). 17. Un segmento AB de 3 unidades de longitud se mueve manteniendo siempre su extremo A en el EJE Y y su extremo B en el EJE X . Determinar el lugar geométrico del punto P ■ (x, y)

que divide al segmento AB

en la razón |ÁP|/8 « |ÍBl/5 . 18. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta

y «

2x - 1

y del punto (-1, 2) . También, encontrar la

Cap.6

Lugar Ceométrico

276

suma de las abscisas de los puntos que se obtienen cuando la curva se 1n tersecta con el EJE X . 19. Un punto P se mueve en el primer cuadrante, en la reg16n limitada por el eje de abscisas y una rerta que forma 60° con dicho eje y que pasa por el origen. Determinar la ecuaci6n de su lugar geométrico si la su ma de sus distancias a las rectas que limitan la regi6n es siempre de + 6 unidades. 20.

Los vértices A y B de un rectángulo variable son uno fijo A • (2. 4), otro B móvil sobre el EJE Y , estando el lado opuesto CD so bre una recta que pasa por el origen. Hallar el lugar geométrico del punto P .

21.

Una recta se desplaza paralelamente al eje de abscisas cortando a la cur 2 va y m x en A y B . Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por un punto P * (x, y) dela recta m6v11 que divide al seg mento AB en la razónd [ A; P ]/ d [ P; B ] * 1/2 .

22. ÍHsde el punto

A ■ (-4, 0) se trazan segmentos AB siendo B un pun 2 to cualquiera de la curva y - -x Hallar la ecuac16n del lugar geométrico de los puntos P * (x, y) sobre el segmento AB tal que se satisfaga la relac16n

d[A; P]/d[A; B] * 1/3 .

23. Dados los puntos A - (-3, 2) y B ■ (I, 4) hallar el lugar geométrico deterniinado por un punto que se mueve de tal manera quesu distancia al punto medio del segmento AB es siempre igual a su distancia al EJE X . 24.

2

2

Sea y x + 3* y - 6xy « 0 una ecuac16n factorizable. Calcular el Srea de la regi6n encerrada por su grSfica. (x,. y¡),

25. Sean

{x2, y2),(x3.y3) y

(x4, y j

los puntos de ín

sección de las gráficas de las ecuaciones xy

Calcular

« -2

,9x2 + 9y2 * 85 .

(xt +■ x2 + *3 + xlf)/lyl + y2 + y3 * yu) .

26. Se Lunsidera un segmento AB de 6 unidades de longitud, y un punto P * (x, y) de dicho segmento a 4 unidades de A . Hallar la ecuación del lugar geométrico de P cuando el segmento se desplaza de forma que

Lugar Geométrico

Cap.6

277

los puntos A y B se apoyan constantemente sobre los semiejes positi vos de coordenadas, si el punto A está sobre el EJE Y . 27. Dos de los vértices de un triángulo son (-5, 2) y (1, -3). SI la Ion gitud de la mediana que pasa por (1, -3) es constante e igual a 4 . hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice P 3 (x, y) . 2B. La recta L se mueve en el plano formando 60° con el EJE X . Si A y B son los puntos en donde L corta a los eje X e Y , hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento AB . 29. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P * (x, y) si la distancia de P al origen es dos veces la distancia de P a (0, 2) . 30. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A ■ (0, 1) y B = '0, 5) . Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vérti ce C si se mueve de tal manera que la diferencia ertre las longitudes de los lados AC y BC es siempre igual a la mitaa de la longitud del lado AB . 31. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los pun tos (-3, 0) y (3, 0). Hallar e identificar la ecuación del lugar geo métrico del vértice opuesto, si uno de los ángulos de la base es siempre igual al doble del otro.

RPTA:

Unión de los conjuntos de puntos de las gráficas de las ecuacio nes: y

(x + l)2/4 - y2/l2

- 1

(semiplano

x > 1 ) ,

(x - l)2/4 - y2/l2

» 1

(semiplano

x S -1 ).

32. Dos de los vértices de un triángulo son A = (5, 0) y B = (1, 0).

Ha

Lugar Ceométr'ico

278

Cap. 6

llar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mue ve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre la mitad que la del lado BC . 33.

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de mane ra .jue la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos A ■ (-2, 2) y B ■ (1, 4) es siempre constante igual a 12 .

34. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se desplaza de tal manera que su distancia al punto A * (4, 2) es siempre Igual a su distancia al EJE X , aumentada en 3 unidades. 35. Un punto se mueve tal que su distancia al punto A ■ (4, 2) es siempre igual a su distancia a la recta 4* - y ■ 2 . 36. Dados los puntos A ■ (-4, -2) y B - (6, -8) .hallar la ecuación del lugar geométrico del punto P tal que el producto de las pendientes de los segmentos PA y PB sea Igual a 1 . 37. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) son vértices de los triángulos ABP de la figura , siendo a + tan B * 2 -

que

y P = (x

B / A-(-2,0)

(CLAVE DE RESPUESTAS:

Pág. 290)

0

B“(2,0)

X

La Circunferencia

Cap. 6

5.

LA

279

CIRCUNFERENCIA .-

Una circunferencia C es un conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo lia mado CE NTRO . Tal distancia al Centro se llama RADIO de la circunfe riñera.

6 equivalentemente. C :

(* - h)2 + {y - k)2 - r2

I

(r > 0).

A esta ecuac16n se le conoce coito la ECUACION VE LA CIRCUNFERENCIA PE CEN TRO (h. k) V VE RAPIO r > 0 . 5.1

EJEMPLO.-

La circunferencia con centro en (-2, 1) dades es el conjunto de punios P■ (x, (x - 2)2 + [ y - ( - I ) ] 2 -

EJEMPLO.-

62

(x - 2)2 + [y + l)2 - 36 .

— 5.2

y radio 6 uni^ y) tales que

La ecuacifin

x2 + y1 + 4x - 6y - 7 * 0 , que al com

pletar cuadrados se convierte en (x2 + 4x + 4 - 4) + [y2 - 60 + 9 - 9) - 7 - 0 (x + 2)2- 4 + (x + 2)2+ [y -

[y - 3)2 - 9 -

7 - 0

3)2 - 20 - (/20)2

.

representa una circunferencia de Centro (-2, 3) y de radio

/20

.

Cap. 6

La Circunferencia

280

Debido al Ejemplo previo, las ecuaciones de la forma

*2 + i/2 + Dx + Ei/ + F ■ 0 representarSn circunferencias, , D .2 (t+ i> +

pues al completar cuadrados resulta

,

E ,2 2>

'

D¿ + E2 - 4F -------- ¡--------------------

cuyo Centro es el punto C “ (-D/2, -E/2) , siempre que el segundo miembro sea positivo. 5.3

La grífica de la ecuaci6n:

EJEMPLO.-

x2 + y2 - 0 y »

cuya única so1uc16n es el punto de coordenadas x - 0 , representada gr&ficamente por el único punto (0, 0) , de la en que la grSfica de la ecuac16n

0 , estS

mismaforma

(x - 5)2 + (y * 3)2 - 0 estará representada por el único punto (5, -3) . 5.4

EJEMPLO.-

La ecuaci6n

x2 + y2

+ 25 ■ 0

no ti&ne ne.pn.zie.nta

2

(Uln gníi-ica en e¿ plano IR , pues los puntos que las

satisfacen no tienen ambas coordenadas reales, lo cual se ve de la forma equivalente x2 * y2

- - 25

Lo mismo ocurre con la ecuaci6n: (x - 5)2 + (y + 3)2 + 25 - 0 . 5.5PROBLEMA.-

SOLUCION.-

Hallar la ecuación dela circunferencia puntos P ■ (8, -2), P « (6, 2) y

que pasa por los P » (3, -7) .

Se construyen las mediatrices Lj y L2 de los segmentos PlP2 y P1P3 respectivamente. Con este método tenemos que el centro de la circunferencia

Cap. 6

La C-ixcu.n¿cAenc-¿a

resultará la intersecci6r de las rectas

Lj y

M - (Pj +

P2)/2»

(7, 0)

N = (P, +

P3)/2-

(11/2, -9/2),

La recta Lt

281 L2 :

pasapor M• (7, 0)

y tiene por vector normal a? A "

P1 * P2 "

Luego,

Lj :

La recta L2

(2*

2x - 4y -

14 .

pasapor el punto

N » (11/2, -9/2)

y tiene como

vector normal al vector ñ2 ■ pi " P3

=

Intersectar con Lj d[ P2, C] = 5

5.6

(5* 5)

.

seobtiene elCENTRO

. Por lo tanto,

PROBLEMA -

luegoL2

Hallar

C = (3, -2)

c .

5x + Sy m 5, de moduque

:

y el radio

r =

(x - 3)2 + (y + 2)2 - 25

la ecuación de lacircunferencia

.

C cuyocentro

se encuentra sobre la recta L : y = 4* , sabiendo que las longitudes de los segmentos que C determina sobre el EJE X y el

EJE Y , son

7/2

y

4 unidades respectivamente. (Dos

luciones). SOLUCION.-

Sea C

la circunferen

cia con ecuaci6n: C:

(x - h)2 + (y- k)2

C = (h, k) pertenece lo que implica que De (*)

se tiene que,

a

r2 .. I*) : y= 4x

L

k = 4h

.. (o) y = 0 , en

si

toni.es se obtienen las abscisas donde C x =

,

Xj, x2

corta al EJE X :

h i / r2 - k2

>

Xj = h - / r 2 - k2 x2 = h +/ r 2 - k2

Análogamente,haciendo

x =0 ,

seobtienen

, y2

:

so

La Cülc.wieAe.n

Cap. 6

k - / r 2 - h2

i/2 = k + / r 2 - h2 Además, de los datos:

7/2 =

Y elevando al cuadrado:

|*2 - *jJ

"

2 / r 2 - k2

4 “ l?2 ” tfll

’

2 / r2 - b2

4g »

i6(r2 - k2)

4 = Reemplazando Resolviendo

( a) (Y)

en y

r2 - h2

(Y )

( B): (6)

( B)

49 * 16(r2 - 16h2)

..

(6)

simultáneamente: /Fe

h » í 1/4 'or 10 tant0:

5.7

,

k = í 1

Ira. Respuesta:

C* : ( x -

2da. Respuesta:

C J1 :

PROBLEMA.-

Hallar las (7, 10)

SOLUCION.-

respect.

== »

| )2 + ( * +

--4

r

(y

7)2 +

distancias mínima ymáxima del punto

a la circunferencia

- l)2 =65/

(tf

A »

x2 + y2 - 2* - Ay = 20.

Completando cuadrados, obtenemos la ecuación

equivalente de la circunferencia

C :

(x - l)2 ♦ [y - 2)2 = 25 Luego, el centro de C C * (1,2) y el radio

resulta ser r = 5.

Sea ¡j el vector

unitario enla

ma dirección del vector

a » CA ,

ü - (CA) / 1CA| =

'

(A - C)/ |CA |

= (6, 8)/ |(6, 8)| = (| Luego,

mis-

•3 )

R = C + r ü = C + 5¡j =

(4, 6) ,

m = | A - R | = | (7, 10) - (4, 6) | = | (3. 4) | = Así, la distancia mínima de A m + 2r = 15 .

a C es m = 5 ,

5 .

y la máxima es igual a

+ l

5.8

283

La CiAcunfeAentUa

Cap. i

PROBLEMA.-

Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por A • (2. 1) y B * (4, 3) y que sean tangentes a la recta Lt : x + 3y - 3 » 0 .

SOLUCION.-

El vector

normal de L es : ñ, - AB -

(2,2) .

La recta L pasa por H, punto medio de AB , M -

(A +

B)/2

- (3.

2)

L : 2jc + 2y - 10

Asi, 6

k*

L:

y ■

5

y como el CENTRO C ■ (h, k) e L , entonces h + k» 5 -. (*) C - (h, 5 - h) , donde r-|CA|-

d[C, L j

= f

]CA |2 = d2[C, Lt ]

=*>

(2 - h)2 + [1 - (5 - h)]2 = [ h + 3(5 - h) - 3]2 /10 (2h - 7)(h - 1) = 0 Según (*) ,

= *

si h * 7/2 y si h * 1

h = 7/2

v

entonces

k * 3/2

entonces

k =4 .

=* >

h = 1

Eligiendo adecuadamente resulta C = (1, 4) , D * (7/2, 3/2) , existiendo por lo tanto dos soluciones correctas: C* : donde 5.9

(x - | )2 * (y - | )2 - r2 , r2 «

| DA |2 ■

PROBLEMA.-

5/2 ,

y

C - : (x - l)2 +[y - 4)2 = r2 r2 * |CA |2 » 10

.

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas

Lj : x + i/ + 4 = 0 ,

L2 : 7¡/-x +4 * 0 ,

y que tenga su centro en la recta

L3 :

3x + 4y

=2 .

(Dos soluciones). SOLUCION.-

Como Además,

C = (h, k) e Lj , entonces d[C, L(] ■ d[C, L2] = r

|h + k + 4 |/ ✓T = | 7k - h + 4|/(5/2)

3h + 4k = 2 = » =*>

.. (*).

La CtAcun ¿eA.zn.cJji

284

Cap. b

(h + k + 4) s + (7k - h + 4) /2 = * 6

5 /2 3h - k + 8 = O

.. (1)

h + 3k + 6 - O

.. (2)

PRIMERA SOLUCIOr-

Consideran do las ecua

ciones (1) y (*) , y resol viendo dicho sistema se tiene: C - (h. k) = (-2, 2) ,

y

rt > d[C, Lt] = |-2 + 2 + 4 |//2

SEGUNDA SOLUCION:

= 2/2

Considerando las ecuaciones dicho sistema se tiene:

r2 = d[D, Lj] - | 6 - 4 + 4|//2 Luego,

5.10

C2 :

(x - 6)

*

+ (y + 4)2 =

(2) y

(*) , y resolviendo

(h, k) = (6, -4) = D

18 .

RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA. UNA ECUACION

de una Circunferencia C TANGENTE a una nccta Lj ces la ecuación de Lj tiene una forma simple:

pues

y

3/2

Cuando ¿e. conocí ti Punto de Contacto

sea

,

C : (x - h)2 + {y - k)2 *

(xOJ yD) t C .

La recta Ly tiene vector normal ñ = C?0 * “

P„ - C (

í/o ” M

y pasa por PD = ( k0 , yD) . LT : (P - p„) ■ F = 0

Lúes = >

r2

(*)

(xD, yD)

EN DICHO PUNTO,

enton

ta C¿ncun¿eAen(Ua

Cap. 6

285

(ÿ - k) - (ya - k))-(x„ - h, yD - k)

((x - h) - (x„ - h),

(* - h)(x0 - h) - (x„ - h)2 +

- 0

(y - k)(ÿ0 - k) - [y0 - k)2 - i

Agrupando y utilizando (1) esta última ecuación se transforma en: {x - h)(x„ - h) + {y - k)(ÿD - k) -

LT :

Ecuación de ¿a Recta Tangente a la CiAcun¿eAenCAA en el PUNTO VE CONTACTO

r2 (x -h)

2

2

+ [y - k)

2

=r ,

(x0, y„) .

Obsérvese el parecido de esta ecuación con la ecuación de laCircunferencia respectiva

C :

(x - h)2 * (y - k)2 * r2 .

5.11 DEFINICION.-

5.12PROBLEMA.-

Una recta Ln

recibe el nombre de

A LA R E C T A

L

Hallar

si es que

Lr

a la circunferencia C en C :x2 + y2 - 2x + y *

(3, 1), donde jeverifica que que (3, 1) c

C ,

(x - 1) (3 - 1) + (y + ^ ){

Lj :

4x + 3y - 15

PROBLEMA.-

,

Lr :

1♦ ^) ~

Puesto que

han de ser paralelas a ñ = (3, 4) û =

. ,

y

■

Por lo tanto,

-3x * Ay » -5 .

C :

3x + Ay « 1 .

(x - l)2 + [ y + (1/2)]2 =■ 25/4

ces su CENTRO es C * (1, -1/2)

Es decir,

5

La circunferencia C del Problema previo tiene dos

En referencia a la figura siguiente,

mal a

el punto

siendo éste punto de contacto con Lj ,

tangentes que son paralelas a la recta Hallar sus ecuaciones. SOLUCION.-

y de la

(x - l)2 + (y + i )2 = —

C :

Lx :

5.13

JL L .

la ecuación de la recta Tangente Lj

recta Normal

SOLUCION.-

RECTA NORMAL

y su radio r = 5/2 .

si las rectas tangentes

3x + Ay ■ 1 ,

Lt y

L2

entonces tendrán Lomo vector nor

y como vector unitario ü al vector (3, 4)/|(3, 4) | =

, enton

(3/5, 4/5)

.

(3, 4)/ |(3, 4)|. Además,

286

Cap. 6

La C¿cun¿eAenc¿a

L2 :

3x + Ay

=

- 23/2 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

2.

Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias : 2 2 2 2 x + y + 2x - Ay * 5 k * y ■ 16 a) f) b)

x2 + 2x + y2 + Zy = -1

g)

x2 * y2 * 2x = 8

c)

x2 - 2x + y2 = 0

h)

d)

4x2 + 402 - 4x - IBy + 2 = 0

i)

2x2 + Zy2 + x + y = 1 2 ^ 2 x + y * 4x + Ay * 9

e)

3x2 + 3y2 + 6x = 1

j)

x + y * 4x - 6y - 12

2

Hallar las ecuaciones de las circunferencias : a)

con radio 3

b)

con centro en

c)

que pasa por

d)

circunscrita al Lx

e)

y centro en

f)

(2, -4) ,

(-1, 3) y que pasa por (0, 4),

(1, 2) y

(4, 1) ,

(3, 2) .

triángulo cuyos lados están sobre las

rectas

+ Zy = 13 ,L2 :k - Zy = -1 , L3 :x + Zy = 3 ,

:3*

inscrita en el triángulo cuyos lados estánsobre : 4x + 30

3.

2

con centro en

Hallar los puntos de

= 24 , L2

:

(-1, 1) y tangente a

3x - 40=18 ,L3:4x L :x+ Zy

- 3y - -32 ,

= 4

.

intersección dela circunferencia con centro en el

origen y de radio 5

con :

x - y + 5 = 0 ,

a)

la

recta

b)

la

recta de pendiente

-4/3 y que pasa por(1, 7)

,

La CÁcun£eA.e.tuUa

Cap. b c)

3* - y * 5 .

la recta

d)

287

la recta

7x + y - 25 ■ O .

4. Sea P un punto exterior a una circunferencia dada C . Sea PT el segmento de recta tangente a C en T , y PN la recta trazada desde Pque pasa por el centro de C y que intersecta a C en M y N . Probar que

|PM|

• |WL| •

|PT |2 .

5. Hallar la ecuación de la circunferencia : a) con centro en (0, -3) y tangente a 5x - \Zy + 2 = 0 , b) con centro en el EJE X y que pasa pasa por (4, 6) y (1, 3) c) que pasa por (7, -5) y es tangente a L : x - y - 4 ■ 0 en el punto

(3, -1) ,

d) de radio 5 y tangente a e) que pasa por

(2, -2)

4x - 3u + 1 * 0

en (3, 2)

,

y por los puntos de Intersecciónde las

cir

x2 + y ' - 2x + 3y - 13 « 0 , y

cunferencias Cj : C2 :

,

x2 + y2 - x - Zy - 15 - 0 .

f) de radio 50 y corta en el EJE X una cuerda delongftud Igual a 28 unidades, y que pasa por (0, 8) , g) con centro en (-1, 1) y tangente a L : x + Zy * 4 , h) que pasa por (2, -2) y (3, 4) , y cuyo centro se encuentra en la recta i) 6.

L : x + y » 2 ,

que pasa por

Una circunferencia

(2, 3), C

(3, 2) y

(-4,

3) .

es tangente simultáneamente a

: (x - 3)2 + ( y - 4)2

- 4 ,C2 : (x - 3)2 + (y - 8)2 = 36

.

Hallar el Lugar Georétrlco descrito por el centro de C . 7. Hallar la ecuación del Lugar Geumétrico del centro de una drcunferen cia que se mantiene tangente a las circunferencias Cj : x2 + y2 - 4y - 12 - 0 , 8.

y C2 :

x2 + y2 = 1 .

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta y = 4x si las longitudes de los segmentos que determina so bre el EJE X y sobre el EJE Y son 7/2 y 4 respectivamente.

9. La distancia entre las rectas

x + Zy - a = 0 ,

x + 2

(x - 4)(x- 6)

= >

x■ 4

v

-

D

x •

6 .

= *

x2 - lOx + 24 - 0

La existencia de estas POS S0LUC10NLS REALES para x es equivalente a que EL DISCRIMINANTE de la ecuación x2 - lOx +2 4 - (x - 4)(x - 6)

- D

sea POSITIVO . En efecto, vemos que b2 - 4ac

Además,

-

(ID)2 - 4(1)(24)

■

1DD- 96 “ ♦ 4 > 0 .

para y para

x • 4 x *6

se tiene se tiene

y » y *

x - 3 ■ 1, x - 3 ■ 3.

Asi, los puntos de Intersección resultantes son

Pj ■ (4, 1)

y

P2 ■

(6, 3) . 6.2

SEGUNDO Ca s o

■-

Cuando existe únicamente UNA SOLUCION REAL

pera

x , y por lo tanto UN UNICO PUNTO VE INTERSEC CION , y que precisamente viene a ser UP PUNTO VE TANGENCIA de ambas gráficas: (*) y la recta da das. Por ejemplo, dadas las ecuaciones :

La Cjacun¿eAcn

LT2 :

5 *

(6, 4)

(2, 7) ♦ t(-4, 3)

.

Este método podrá ser utilizadosiempre que se trate de circunferencias.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Hallar la ecuación de la(s) recta(s) tangente(s), y los Puntos de Contac

La Cüicun¿eAe.ncÁjti

Cap. 6

299

to, correspondientes a : a)

9x2 ♦ 9y2 ♦ 18x - lZy * 32

, cuyas pendientes midan 2 .

b) c)

x2 *

y2

+Ak-

x2 ♦

y2

+6*-

10y * 8 ■ 0

21 • 0 , paralelas a5x - 5y* ’31* 0. , perpendiculares a 4x - y * 31 *0

d)

x2 ♦

y2

-8x-

2i/ + 12 ■ 0 , desde el punto(7,2).

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por gente a la recta

x - y -4 ■ 0

en el punto

(3,

(7, -5) ,y es tan -1).

3. Determinar el valor de la constante k para que la recta2x + 3y + 2 2 ■ D , sea tangente a C : x * y * €x * Ay m 0 . 4.

2

2

: x ♦ y - 3x - 6y + 10 ■ 0 , y

Demostrar que las circunferencias 2

k

2

C2 : x + y - 5 ■ 0 . son tangentes, y hallar la ecuación de la c*rcun ferencia tangente a Cj y C2 en su punto común y que pase por el pun to (7, 2). 2

2

5. Demostrar que las circunferencias x * y + ¿y - 4x * 0 , y + 2x ♦ Ay » 0 , se cortan ortogonalmente. 2

2

6. Dada la circunferencia C : x + y los cuales las rectas de la familia a) c)

* 25 , hallar los valores de 2x - y ♦ k * 0 :

x

2

2

* y

k para

corten a C ; b) sean tangentes a C ; no tengan ningún punto común con C .

7. Un punto se desplaza de manera que su distancia al punto (2, 4) es siem pre igual al doble de su distancia al punto (3, -1). Hallar la ecua ción de su Lugar Geométrico. 8. Hallar las ecuaciones de zadas desde Q • (8, -2)

las dos rectas tangentes a

2

. Hallar también los puntos de tangencia.

9. Hallar las ecuaciones de las rectastangentes trazadas a C - { P * (x, y) de contacto con C .

2

x + i/ * 34 , tra desde Q ■ (7,-2)

/ |P - (4, -1)| * /5 } , asi como lospuntos

10. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por (-1, 4) y por

(3, 0)

si sus radios miden 4' unidades.

11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por y

(4, -2),

(-5, 1)

(2. 2).

12. Hallar la ecuación del Lugar Geonétrico del centro de una circunferencia 2 que se mantiene tangente a la recta y = 1 y a la circunferencia x

La CiAcurt¿eAe.ncÁa

300

13.

Cap. 6

Dos vértices de un lado de un triángulo ABC son A ■ (-1, 0) y

B ■

(3, 0) , hallar la ecuación del Lugar Geométrico del vértice C , si la medida del Sngulo en B es dos veces la medida del Sngulo en A . 14. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por a) 15.

(3. 4), (-1, 2) y (-2, 4)

;

b)

(2. 3). (1. 4) y (5. 2).

Un Teorema importante en la Geometría Moderna es el siguiente: En cualquier trlaiigulo ABC

(ver la figura), los puntos medios

A',

B' y C* de los tres lados, los pies D, E y F de las tres alturas, los tres puntos P, Q, R a la mitad del segmento de cada vértice al or tocentro (punto de Intersección de las alturas), todos estos nueve pun tos se encuentran en la misma circunferencia la cual recibe el rombre de LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS DE LM TRIANGULO.

a) Hallar la ecuación de esta circunferencia en el trlán guio con vértices (a, 0), (b, 0) y SUG:

(c, 0).

Use C1. F y R como los puntos que determinan la Circunferencia de Nueve Puntos (busque un Sngulo recto). Note que F * (0, 0) y que el ortocentro es

b)

(0, -ab/c) .

Pruebe que los otros 6 puntos ya descritos sa tisfacen esta ecuación.

c)

Pruebe que N , el cantro de la Circunferencia de Nueve Puntos, se encuentra en la misma recta que el Centroide G (intersección de las Medianas), el ortocentro H , y el Circuncentro 0' (Intersec ción de las bisectrices perpendiculares de los lados).

16.

La circunferencia que pasa por (2, 3), (1, 2), (3, 0), y la que pasa por (-1, 1), (1, 2) y (0, 3) se encuentran en dos puntos. Halle es tos puntos resolviendo las ecuaciones simultáneamente para

17.

Hallar la ecuación de la recta tangente a

2

2

* y

y .

x * y - 2 x * y - 5 ,e n

La CiA.cunieAe.ncMi

Cap. 6 el punto

301

(3, 1). 2x - Sy * 1

18. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a

= 0

en (2, 1) y de radio 3 . (Dos soluciones). 7

*y

2

19. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a las a 3x - Sy = 4 .

x

= 25 ,parale

20. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a perpendiculares a x + 2y ■ 1 .

x2 + y2 - 4x + 2y = 0

21. Hallar la ecuación de la circunferencia: a) Tangente a los Ejes coordenados en el segundo cuadrante, de radio 4. b) Que pase por el origen, que sea radial al origen formando 45° con el EJE X en el primer cuadrante, y el radio de longitud 3 . c) Tangente al EJE X, al EJE Y, y a la recta cuyos X-intercepto e Y-in tercepto sean 3 y 4 respectivamente. x2 ♦ y2 - 4x - 6y = 12 , en

22.

Hallar la ecuación de la recta tangente a el punto (-2, 6) .

23.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a tangente a x - 2y * 10 = 0 .

x2 + y2 = 9 , y

24. Hallar el menor Sngulo en el centro de la circunferencia 2y -15 = 0 ,

25.

determinado

x2 + y2 + 6x

por los radios con extremos en el EJE Y .

Encontrar el punto de tangencia de la recta 2 2 cunferencia x * y - 2x - Ay = 0 .

x + 2y = 10 con la cir-

26. Una circunferencia de radio 2/2 tiene su centro en la recta 4x + 3y = 2 , y es tangente a la recta x + y = -4 . Hallar dicho centro. 27. Hallar ti lugargeométrico de los centros de ias circunferencias tangen tes al EJE Y , y que pasen por (1, 0). 28. Si el punto 2

(8 + /3 , 7)

2

satisface la

ecuaciónde la circunferencia

x * y - 16x -I2y + 96 = 0 ,hallar la pendiente de la recta te que pasa porese punto. 29.

tangen

Si de un punto exterior P se trazan tangentes a una circunferencia, el segmento queune los puntos de contacto se llama CUERDA DE CONTACTO 2 DE P . Si P * (xj, i/j) es un punto exterior a la circunferencia x + 2

y

es 30.

=

r2 , demostrar que la ecuación de la cuerda de contacto de P « j + m/l =

2

r

.

Dada la circunferencia

x2 * y2 - 2x - 6ij + 6 = 0 , hallar los v 1 denada positiva.

. en el punto de contacto P, de abscisa 2

1 y or

2

25. Encontrar todos los puntos sobre la curva x +Zx.y + 3y ■3 , don de la recta tangente sea perpendicular a la recta x + y » 1 . 26. Una recta PT es trazada tangente a la curva x.y - x + y en el pun to P ■ (-2, 2/3) . Hallar las ecuaciones dedos rectas que son norma les a la curva y perpendiculares a PT . 27. Hallar las rectas tangentes a la elipse zadas desde el punto Cl a v e

de

(4,9) , asi c m o

+ (i/2/9) * 1

, tra

¡ospuntos decontacto

(x2/16)

.

R e s p u e s t a s .-

I. 3.

3x - y - 2 . 3y - 9x ■ 22 ;2. x - 3y + 2 = 0, 3x + y ■ 4;4.

8.

x - y + 1 = 0,

x

2x - Zy + 5 - 0. 6x - 7y + 21 « 0 x + y = 1 , 3x + 3y * 1 ■ 0 - 5i/ + 55 * 0; 9.

x + 2i/*4 ,x + 2i/+

4 » 0

10. x - y - -1, 41x - 41i/ - 39 II. a) 2xx„ + 3yya - S /Z [ y * ya) - 3/2(x + xe)+ (xi/„ + yxa) - -16 b) xxe

+ 3 /3(xi/0 + yxQ) - Syya - 64

12. y - 2 ,

y -

Q = (2, 2) ;

-(4/3)x + 6 . Q = (9/2,

13. 3x + Ay = 34 , 3y 15. m *= 11/3 ;

16. •

19. y = 8x - 69 ;

20.

22. 2x - y = 16

23.

25. (-2. 1)

y

(2. -1).

26. {y - (2/3)] = 9(x + [y - (4/3)] =

9(x -

4x - 13 ; ;

17

8/3

x - Zy = 1

; ;

m = i 5 27.

y =

14. 18. 21.

y = 8x - 7 , y -1 =

2) , (-2. 2/3) ;

-23.

6¿ + By=27

k = 3

í( /2/2)(x + 4)

,24.9 /lx +

x + 5. (-16/5, 9/5);

4) , (4, 4/3) .

0)

6x+ By -

By

=36 / l

x = 4 , (4. 0)

La C¿icu.n¿eA.en(Ua

Cap. 6

9

FAMILIAS

DE

311

CIRCUNFERENCIAS Análogamente al caso (simple) de las FAMILIAS

DE RECTAS , que fueron estudiadas en la Pág. 254 en los Problemas Propues tos [48] , [49] , [50] ,[51] , [52] , ahora estudiaremos conjuntos espe cialesde circunferencias llamados FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS, lascuales serán grupos de circunferencias con ciertas características particulares In teresantes. Sean u y

v las expresiones

u í

x2 + y2 + AjX + B^y + Ct

v =

x

2

2

+ y + A2x + B2y * C2

■respectivamente .

Entonces, si u =

x2 + y2 + AjX + B^y + Cj

■

0

v =

x2 + y2 * A2x + B2y + C2

*

0

sonecuaciones de dos circunferencias que ¿e.inteAitetan se tiene que :

u

+ nv

da. que paia pal tai do¿ ¿nt&iueccÁoneA de

u *0

y

1 + n f 0 ) , pues para cualquier punto quehaga quela igual a CERO y a la expresién v sién

u + nv

se hará CERO

Y se sabe que la expresi&n ferencia pues los términos

2

también

Igual a CERO también

v =■ 0

(siempre que

expresién

u sea

,entonces la expre

también .

u + nv x

, entonces

rt^pKuenta La. EciiatUdn de unaCía c u h íim h

> 0

= 0 2

y y

es la Ecuací&n de una Circun-

tienen coeficientes iguales si es

La Cin.cun¿eAen jun

para la cual

n » -1 ,

también serán DISJUNTAS , como indica la siguiente figu ra :

Las dos circunferencias u = 0 y v = 0 podrían ser tangentes, en cuyo caso todai Itu c¿%cun¿eArn&uu de la. iamiLia y el E/e Radical también jJLtrviAn TANGENTES en tte ¿ i, tn tt punto de contacto.

9.3

EJERCICIO.-

Hallaremos la ecuación de la circunferencia de radio 5/Z2 , y que pase por las intersecciones de las cir cunferencias:

x2 + y2 + 2x - 6y - 16 = 0 (Dos soluciones).

y

xZ + y2 - 6x + 2y = 0

Cap. 6

La CVicxinjeA-zncia.

314 SOLUCION •(a ) ..

Consideremos la ecuación con el parSmetro n a ser hallado: (x2 + y2 + 2x - 6y - 16) + n(x2 + y2 - 6x + Zy) “ 0

, y re

ordenando y completando cuadrados resulta la expresión equivalente , +

(1 - 3n) -,2 + 1+n

(n - 3) f 1+n

c

_

(1 - 3n)2 ♦ (n - 3)2 + (1+n)2 _

Como el dato es que el radio debe ser igual a

S//2

16 1+ n 2

» o sea r *25/2 ,

y como el segundo miembro de la ecuación (*) es precisamente r , enton ces el valor del parSmetro n que estamos buscando lo obtenemos de igualar

2

r

25 *

—

(1 - 3n)2 + (n - 3)2 + 16(1 + n) ------------------ -----=----

2

5n2 + 42n -2 7 Para

(5n - 3)(n + 9)

n * -9

■ 0

= >

xZ + y2 - x - 3y - 10 ■ 0

n ■ 3/5 :

para

,

de lo cual.

(1 + n)2

2 2 x * y - 7x + 3i/ + 2

:

* 0

n * 3/5

ó

, [en

(a )] ,

n * -9 . y

, sonlas dos solucio

nes para la ecuación de lacircunferencia buscada. 9.4

EJERCICIO.-

x2 + y2 - 6x - 3y + 10 * 0,

Demuestre que C2 :

2

2

x + y - 5

son tangentes.

y

Hallar la ecua

ción de la circunferencia tangente a Cj

y C2 en

su

punto comúr., y que pasa por el punto (2, 7) . SOLUCION .-

Completamos cuadrados, de lo cual resulta (x - 3)2 + (y - |

de donde (0, 0)

^ « /5/2

y

)2 - |

-

r2

.

x2 + y2 - 5

r2 ■ / 5 . Como los centros son

-

r2

(3, 3/2) y

respectivamente, y la distancia entre ellos es d =

/ (3)2 + (3/2)2 .

+ ✓5 -

r, ♦

r2

,

y por ser la distancia entre los centros igual a la suma de sus radios enton ces lia

ambas circunferencias resultan sertangentes entre si.Además, la fami de circunferencias tangentes a Cl y C2 en su punto común está repre

sentada por

(x2 + y2 _ 6x _ 3íf + 10) + n(x2 + y2 _ 5)

de las cuales aquella que pasa por (2, 7) corresponde a (4 + 49 - 12 - 21 + 10) + n(4 + 49 - 5) = 0

==»

, Q

...(*)

: n ■= - 5/8

,

asi

315

La CiAcuníeA intUa

Cap. 6

reemplazando este valor en(*) , obtenemos la circunferencia buscada: x2 + y2 - I6x - By * 35 - 0 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar la ecuación del eje radical de cada par de circunferencias

2.

a)

x2 + y2 - 2x - Ay * 4

b)

3x2 + 3y2 - 7x + Sy - 1 .

x2 + y2 + 6x + lOy * 15

c)

Hallar también la ecuación de la recta de ios centros en cada

,

5x2 * Sy2 + 2x - 3y • 6 .

Hallar dos miembros de la familia determinados por el Ejercicio

caso.

[l.(a)]t

a) uno de los cuales pasa por el origen . b) el otro que pase por (3, 4) . 3. Hallar dos miembros de la familia determinados por del

lascircunferencias

Ejercicio [l.(b)] ,

a) uro de los cuales pasa por el origen , b) el otro que pase por (3, 4} . 4. Hallar el miembro de la familia determinada por[l-(a)] centro en la recta de 45° que pasa por el origen. 5.

que tenga su

¿ Qué hiiembro de la misma familia es tangente al EJE X ? , ¿ CuSl es tangente al EJE Y ?

6. Tome tres cualesquiera de las cuatro circunferencias an el Ejercicio [1] • y vea si sus ejes radicales son concurrentes ó paralelos. 7.

Demuestre que dadas tres circunferencias cualesquiera que se intersectan, sus tres cuerdas comunes son concurrentes en un punto. nominado CENTRO RADICAL.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 + 2x - 6y 9. Hallar la ecuación de

- 16 * 0 ,x2

son tangentes. y C2

Cj :

5//2 , y que

pase

+ y2 - 6x + 2y ■ 0

la cuerda común de las circunferencias

x2 + y2 - 8x + 6 = 0 10. Demuestre que

Este punto es de

,

x2 + y2 - 6x - lAy * 38 = 0 .

x2 + y2 - 6x - 3y * 10 » 0 ,

C2 :

x2 + y2

= 5

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a Cj

en su punto común, y que pase por el punto

11. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a

(2, 7) . Cj yC2

del Ejer-

La CtAdun {¡eAzncia

316

ciclo

Cap. 6

[10] en su punto común, y cuyo centro se encuentra en la recta

x + 3y + 5 * 0 . 12.

Hallar la(s) ecuación(es)de la(s) clrcunferencla(s) tangerte(s) a y

C2 del Ejercicio [10]

3 13.

Cj

en su punto común y cuyo radio sea igual

Hallar las ecuaciones de las circunferencias tangentes a Cj y

C2 del

Ejercicio [10] en su punto común y que sean tangentes a la recta

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (-2, 10) y por 2 2 las intersecciones de la circunferencia x + y - 2x + Zy - 32 ■ 0 y la recta

15.

2x

y + 1 » 0 .

14.

a

/Ü/2 .

x - y- 4 *

0 . 2

2

¿ Porqué las circunferencias x + y - 16x - 8¡/ + 71 " 0 , 4x + Hy * 4 ■ 0 ,xZ +y2 * 2x + 10y + 17 • 0

2

2

x * y no tienen

Radical ? 16.

Demostrar que -

u ■ x2 + y2 - 6x + lOy + 33 ■ 0,

2x - Zy « 0

bro de la familia

y

v ■ xZ + y2 -

no se cortan . Demuestre que para u + nv x 0

n * -1/2

es una circunferencia que

el miem

no OonXa

.i*, a u ni a v , y cuyo centro está sobre la recta de los centros de u y . Demuestre ademSs que no exiite cÁAcun¿eAenom JieaZ si n toma los valores

1 ,

1/2 , 1/3 . Encontrar otros valores de

n

pa

ra los cuales no existe circunferencia real . 17.

Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por las Intersecciones de

2

2

2

x * y + 2 x- 4i / = 4 ,

Encontrar la ecuación del eje radical

2

x + y -6x + 2 y = 6 . .

18.

Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que sean tangentes a x + y = 3 en el punto (-2, 5) .

19.

Hallar la ecuación de la

20.

Seleccionar los miembros de la familia en el Ejercicio Propuesto

en la recta

familia de circunferencias que

3x - y = 4

y de radio

tienen centro

5 . [17]

que satisfagan las condiciones dadas, deteiminando los valores apropia dos de n : a)

de radio 5/2

,

b)

de centro en

x = Zy

c)

que pasen por

(2, 2)

,

,d)

que pasen por

(9, -1)

.

Cent

317

La O x e an ¿vttncÁa

Cap. 6

SERIE OE PROBLEMAS ADICIONALES DE CIRCUNL ERENCIAS 1.

4 2.

2

(x - 5) + {y + 3)

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a , trazadas desde

Las circunferencias

2

■

(3, 3).

Cj y C2 son tangentes exteriores,

P0 e

de

tal modo que sus coordenadas son positivas y la suma de éstas es 3 . Con relación a Cj y C2 la recta L : (5, 11) + t(4, 3)contiene a los centros,

d[P0, L] ■ 24/5 . la suma de sus diámetros es

dades y la suma de las ¿reas de los circuios respectivos des cuadradas, siendo r2 mayor ^"1 y 3.

qt;t r^ .

es

30

uni

125irunida

Hallar las ecuaciones de

^2 '

C es una circunferencia de radio positivo, cuyocentro tiene coordena das enteras. P * (-2, 6) e C , y Q ■ (-1, 9) e C . Desde A ■ (4, 7) se trazan rectas tangentes a C ,de tal forma que A dista 3r unidades de cada punto de tangencia. Hallar a) la ecuación de C , y b) los puntos de tangencia .

4.

Cj y

C2

son circunferencias tangentes

rl * 2r2 a Ci y

(rj y

r2, radios). La rteta

C2 .Además,

corta a T en te a Cj en el

(-10, 6) e

(6, -6), y la punto cuya

exteriores entre si tales que T

T , la

recta (-12, ordenadaes

es tangente simultáneamente recta

L de los centros

2) + t(3, -4) es tangen -6 .Hallar : a)T n C1, y

b) L n c 2 . 5.

La recta L: x -y + 2 m0 es una cuerda de C : + 10 ■ 0 . Hallar el área del triángulo formado por la cuerda y los diámetros que trisecan a dicha cuerda.

6.

Sean

y C2 dos circunferencias tangentes exteriores en

x2

(6, 9) ,

de radios 5 yr2 respectivamente. Si L pasa por (4, -6) , y es tangente solamente a C2 en (24 9), hallar las ecuaciones de C| y de C2 . 7.

Dada la recta 5

L :7x *

/I)Z = 25 ,si

y - 15 /2 ■0

Lj

y

L2

, y

C :

gativa, tangentes a C y tales que cada una de ellas forma con L un ángulo agudo 6 donde tan 6 * 3/4 , hallar las pendientes de Lj y L2 asi como sus ecuaciones vectoriales. 8.

Una circunferencia de

(x

son dos rectas paralelas de pendiente n

10 unidades de radio se encuentra en el tercer

La CiAcun{¡eAencta

318

Cip. 6

y cuarto cuadrantes, y es

tangente a lasrectas

llar las rectas tangentes

a C

x - 10 ,

y - 0

trazadasdesde P * (2, 4) , asi

Ha como

los puntos de tangencia. 9.

La recta centro

L: 3x + Ay + 15 » 0 C-

es tangente a una circunferencia cuyo

(h, k)se encuentra en el cuarto cuadrante.

es un punto de la circunferencia tal que

Si

P - (5, 2)

Pr ^ PC - (16/25)(4, -3) ,

hallar la ecuacifin de la circunferencia. 10.

Hallar la abscisa del centro de una circunferencia de radio 2/2 , sa biendo que estS en la recta 4x + 3i/ - 2 y que la circunferencia es tangente a la recta x + y + 4 « 0 .

11.

Un policía de 1.80 m. 2

Je estatura hace rondasiguiendo la trayectoria

2

x + y - 144 . En el punto (0, -8) se levanta un poste vertical Je 7.20 m. Je altura, en cuyo extremo hay un foco. Hallar la ecuación del extremo Je la sombra Jel policía. Cl a v e

de

R e s p u e s t a s (PAG,, 315 ) 8x + 14y - 11 n • -4/15 ,

b)

41x - 2Ay - 13

i. 2.

a) a)

3.

a) 13x2 + I3y2 - 44x + 39i/ + 12 ■ 0 b) 62x2 + 62y2 * 853x - 724i/ + 95 > 0

8. 9.

x2 + y2 - 7x + 3y + 2 - 0 x2 + y 2 - x - 3y •■ 10 , 10. xZ + i/ - 16x - By + 35 - 0 2x - lAy + 3 2 - 0 •

11.

X

b)

n - 1/68 .

18. 20.

a)

n = 1 . n * 11/39

b)

n ■ 1 ,

J)

n = -5,

x2 0 , b > 0 ,

a + b = 3 , r2 - 10 , rt = 5 ,

La Cíncun{¡eAencÁa.

Cap. 6 -

Po

3.

C :

4.

Q ■

(1.

2) .

C, - (-3, 5) . C2 - (9. 14) .

(x + 3)2 + {y - B)2 - 5 . A - (-2, 10) , (-6. -6) . q

- 25 .

a)

(6. -6) ,

: b)

6.

C2 - (15, 21) , Cj - (3, 5) .

7.

m1 -

8.

LT1 :

-1 ,

L¿

:

(10

Srea igual a 4 unid,

, 5 /2 ) i 5(l//2,

cuadradas.

1 / / 2 ) +

(1 + m 2>x2 - 2(2m2 + m - l)x + (4m2 + 4m - 3) * 0 Es en esta ecuación cuadrática en una variable donde aplicamos la CONDICION DE 1AUSENCIA: Discriminante Igual a CERO , resultando que 4(2m2 +■ m - l)2 - 4(1 + m 2)(4m2 + 4m -3) ■ 0 2m2 + 3m - 2 » 0 PRIMERA SOLUCION:

■

(2m - l)(m + 2)

Para m * 1/2 : LT1:

-- »

0

m = |

ó

= >

. Aquí vemos que esta ecuación co

rresponde a la familia a (3x + 4^ _ 10) + B(3x - y - 5) ■ 0 15

m = -2

y - 1 - |(x - 2)

LT1

y - 2x *

= >

para

■ -2a , a f 0 , cano se puede verificar directamente.

SEGUNDA SGlUCION:

Para

m - -2 :

LT2:

LT2:

2x + y - 5 = 0

y

- 1-

-2(x - 2)==>

, ecuación que corresponde a la

familia a(3x * Ay - 10) + B(3x - y - 5) * 0

para

a ■ 2B , B

t 0 .

******* (Serie, pág. 270)

Clave de Respuestas

*

corresponde a la

*

*

a)

La gráfica

b)

La gráfica

c)

La gráfica corresponde a la REUNION de todos los puntos pertenecientes a las tres rectas: x = 0 ,x + 2y = 0 y x = y .

d)

La gráfica a las dos

las dos rectas:

2x - y m 0

corresponde a la

a las dos rectas:

x + 3y

REUNION y

de los puntos pertenecientes a

2x + y = 0 .

REUNION - 2 * 0y

corresponde a la REUNION rectas:x* y = 0 y

de todos los puntos pertenecientes x + 3i/

+ 2 ‘, 0 .

de todos los puntos pertenecientes x - 2y * l = 0 .

e)

La gráfica corresponde a la REUNION de todos los puntos pertenecientes a la recta x + y= 0 y a la hipérbola xy = 4 .

f)

La gráfica

corresponde a la REUNION

a la rectax = 2

y

de todos los puntos pertenecientes

a la circunferencia

2

x + y

2

= 4 (radio 2).

Tnan¿(¡oAmacUun de Coordenada*

Cap. 1

321

7 TRANSFORMACION D£ COORDENADAS

1.

FORMULAS DE TKANSFORMACION DE INORDENADAS En este capitulo consideraremos transformaciones de

coordenadas en lo que respecta a la TRASLACION V A LA ROTACION de lob E/e¿ Coordenado* origínale*

XY

, para las cuales el plano IR2 permane

ce INMOVIL , es decir que los puntos , rectas y gráficas en general, no be me eA&n mediante una traslación y/o rotación de los ejes coordenados, sino

que Lo que caí ib¿aAÍn *¿AÍn *u* REPRESENTACIONES (como pane* ordenado*, ecua done*) con respecto a los nuevos ejes coordenados.

Tomemos como ejemplo de ejes coordenados

XY

y

X'Y*

o (en el plano R ) dos sistemas

, como en la siguiente figura,

y

consideremos un punto fijo P . Supongamos que este punto P

referido a los Ejes

XY

tiene las coorde -

nadas P =

(4, 5) =

4-i +

5j

consideremos que los ejes Ejes originales el vector unitario de. rotacidn

¿¡ =

=

(*, y)

.

XYhan sido rotados mediante

(uj, l2)

y trasladados al nuevo ori

Taji.ií¿0Ajna.c¿5n de Coo/idznadeu

322

Cap. 1

gen Pc (denominado ii^ctofi dt tJuuleuuir^.% obteniéndose los nuevos ejes co ordenados X'V , entonces el mismo punto P . iegún ¿a fiouna, las coordenadas (x*. y') - (3. 2)' es decir,

+3 unidades en el EJE X* , y

más, se tiene que: P •

(4, 5)

-

tendri

+2 unidades en el EJE Y' . Ade

_ , P0 + 3 ü + 2 ü

.

TfuuiiioMnatnJrt de CooKdinadai

Cap. 7

En esta última figura el vector unitario

323

ü ■ (u¿, u2)* (eos 8, sen 6) es

originado por la rotación del EJE X en un ángulo 6 . Elnuevo origen P„ ■ (*o> ian¿¿rtimac¿5n de u.tdzr¡ada¿

Cap. 1

■ x’ü + y 'U "*■

ü • (4. 3),'5 . entonces

, y el centro

C * (h. k)

serí :

(h. k) - h'G + k'ü1 » 8(4/5, 3/5) - 5(-3/5, 4/5)

.

Luego,

C - (47/5. 4/5) . 1.9 NOTA

Este es un método estandar para hallar las coordenadas del centro de una circunferencia, elipse 6 hipérbola, primero en en el sistema X’Y* y luego en el sistema XY . Lo mismo si se trata de hallar el vértice de una parSbola cuando su ecuación estS dada en el sistema X'Y* .

Este método previo sugiere a un sistema X'Y' con el sistema X“ Y* :

una combinación de una rotación de los ejes XY mismo origen, y luego una traslaci6n a un nuevo

a) ROTACION ü de XY a b) TRASLACION

X'Y’ :(x‘

Pc - (8, -5)

del sistema X'Y'

- 8)2+ (y' + 5)2 • 25 a X"Y" , en el cual

,

la

circunferencia estarS centrada en el origen : x»2 + y "2 m 25

para

*“ ■ * ' - 8

(8, -5)son las coordenadas de la X'V .

Para conocer

ten.a original

1.10

,

traslaclbn

y“

■ y' + 5

(*, y)

donde

pznoie¿vU.daz al ¿¿¿-tema

las coordenadas del vectorTraslación

XY se emplea la fórmula

,

_ , ■ x'ü + y'ü

P„en el sis .

FORMULAS CLASICAS DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS.En la Geometría Analítica ClSsica se ensefia que cuan

do los Ejes Cartesianos XY son rotados en un Sngulo 8 y trasladados a un nuevo origen PD * (xD, yD) ,generando un nuevo Sistema de Coordenadas X'Y', las fórmulas directas de TRANSFORMACION DE COORDENADAS guiente: "i x

*

x0 + x'cos8 - y' sen 8

y

“

Vo *

tienen la forma si

( )

x'senB + i/'cosB

Y en caso de existir ¿t lamente la n.otac¿ón de los ejes en un Sngulo 8 ,es decir (xG, yj) « (0, 0) , entonces x

■x'cos8

- (/'sen 8

y

■x'senB

+ j/'cos8

•■•

\ )

TAMii¿o/uncuU£n de Cooidenadaé

328

Sin embargo, ambas fórmulas

(*) y (**)

vienen a ¿en

Cap. 1 ím

míimai que las FOf

MULAS VECTORIALES DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS [ de lapágina 323. don de el vector unitario de rotación está dadopor u ■ (eos 6, sen6) ], las que al ser expresadas en forma cartesiana al pasar a considerar las componen tes en la Fórmula Vectorial, toman la forma que se presenta romo sigue: (x, y)

•

(x0, ya) + x'(cos 6, sene) + y'(-sen 6. eos 6)

(x, y)

»

(x„ + x'cosO - y'sen 6 ,

yD +

y)

“

,

(xD, ya ) - (0, 0) , y

Y en caso de existir solamente ROTACION : (x,

x'senO + y'eos 6 )

{ x’cos 6 - y'sen 6 , x'senO +

y ’ eos

8 )

Asimismo, las

FORMULAS INVERSAS (rLASICAS) de Transformaciónde Coordenadas

están dadas por

[ver

f x' 1 [

y‘

la pág. 323]

(x -

x0) eos 6 +

(y - ya)

sen 6

- - (x -

x0) sen 6 +

[y - ya)

eos 8

•

••

donde 6 es el ángulo de rotación de los ejes XV , y (xD, ya) origen. Y en caso de existir solamente la ROTACION , entonces

(

x* • y’

x eos 8 + 1/ sen 6

es el nuevo

...

(**)’

« -x sen 8 + y eos 0

1.11 EJERCICIO.-

Hallar todas las rotaciones de coordenadas que trans formen la ecuación cuación

SOLUCION.-

Desde que

x « x'uj -

y'u2

■

Reemplazando en la ecuación - y'u2)2 +

Sfx’ Uj

2x2 ♦ 3xy + 2y2 ■

4,

en la e

7x'2 + y ‘ * 8 .

(x, y) - x’ü + y 'U 1- * x'ÍUj, u2) + i/'Í-Uj. ux) (x, y) -

2(x'Uj

(*)'

y

(x’uj - y'u2 , x'u2 + y ' Uj)

* x’u^, + í/'uj 2

2

2x + 3xi/ + 2y

,

donde

* 4

f ~\2

2"

/ u x + u2 « 1 .

, tenemos que :

- i/, u2 ) ( x , u2 + í/ 'U j ) + 2 (x 'u 2 +

i/’ uj)2

* 4 ,

Desarrollando los cuadrados y el Droducto, y agrupando términos : x ,2 (2U j

+ 3uju2 + 2u2) + y*2(2 u | - 3uiu2 + 2uJ) + x V ( 3 u 2 - 3u|)

= 4

x,2 (4u2 + 6uju2 + 4u2) + y , 2 { 4 u 2 - 6uju2 + 4u2 ) + x V ( 6 U j - 6u2 )

= 8

..(*)

Cap. 7

TJuuiiíofimaxUSn de Cootvde.na.da¿

La expresión (*)

329

se ha obtenido de la expresión previa multiplicándola por

2 , pues debemos identificar sus coeficientes con los de la ecuac16n

7x*2 + y '2 • 8 Asi, vemos que, como el coeficiente del término mixto x'y' IGUAL A CERO en (*), entonces donde 6u, - 6u-, 2uí

De (1) y f u,

y

2

2

1 * 4 - 6UjU2

1

U1 + u2 1/2

Además, Identificando los otros coeficientes de 7 - 4 +■ 6uAu2

debe HACERSE

...

(1)

(*) resulta también que =s >

uiu2 “ 1/2

.. (2)

(2) resultan las dos soluciones válidas siguientes:

* 1//2

- eos 8

1//2

sen 0

, es decir

8 * 45° ,

ü »

(1//2 , 1//2 )

6 sino 1 //2

eos 6

-1//2

sen 6

-

, es decir 6 - 225°,

ü - (-1//2 . -1//2 )

Por lo tanto, resulta que los ejes

XY deben ser rotados ya sea en 45° 6

en 225°

para obtener la ecuación

(en sentido antihorarlo)

1.12 EJERCICIO.-

7x'2 + y '2 « 8.

Hallar la ecuación transformada de la ecuación

2x +

+ Sy - 3 m 0

, si los ejes coordenados son rotados en 8 • are tan 2.5 .

un ángulo SOLUCION.-

8 » are tan 2.5

cos6 * 2//29 ,

= »

sen6 ■ 5//29 ,

/jjg,

(x, y) - x'ü + ¡/'ü "*■ * x'(cos8, sen 8) + y'(-sene, eos 8) = x,(2, 5)//29

+ y'(-5, 2)//29

*

Reemplazando estas componentes en la ecuación 2(

)

) * 5( /29

1.13 EJERCICIO.-

/ 29

- 3

( ?*' l_5y‘ . — /29 /29 2x + 5¡/ = 3 resulta: x1 = 3//29

)

.

Por rotación de 30° de los ejes coordenados cierta e-

TàatuionmcuUón de Coofidenadai

330

2

2x‘ + 3y‘

cuación se transformó en

2

m 6

Cap. 7

. Hallar la ecuación original

en el sistema XY . SOLUCION.-

0 - 30° .

ü = (eos 30°,sen 30°)

x1 -

(x, y) • ü =(x, y) •(/1/2,

y1 =

(x, y) ■ Ü X -(x, y) • (-1/2,/3/2) 2

2x‘ + 3y’

y reemplazando estas expresiones en 2 ( / 3 x + i/)2/4

+

3( /~3y - x)2/4 =

EJERCICIO.-

1.14

6

1/2) -

2

= *

- 6

( / 3x + i/)/2 ( /~ 3 y - x )/2 ,

obtenerlos:

9x2 - 2 /3 xy + lli/2

2

2

9x - 24xy + I6y - 40x - 30y • 0

carezca del término en

x'y‘ .

=24.

(x, y) ■

uj + u2 *

(x'u! - y‘ u2 , x'u2 + i/'uj)

2

2

9x - 24x

37°

...(*)

(4/5, 3/5)

.

con -

, de donde:

Por lo tanto , uj + u2 *

==>

1

, es decir ,

1

= ►

u, ■ í 4/5 , u2 = í 3/5

ü = (-4, -3)/5 6 = 37° + 180° - 217°

.

[ 8 * 37° ] , reemplazando en

(*) :

x,2[9(16/25) - 24(12/25) + 16(9/25)] + i/,2[9(9/25) + 24(12/25) + 16(16/25)] + x1[-40(4/5) - 30(3/5)] + (/'[40(3/5) - 30(4/5)] 25 y'2 - 50 x ‘

-

0

= »

ser la ecuación de una parábola.

y '2

- 0

» 2 x'

=* que viene a

Cap. 7

Tuan&loDNU ISn de CooKdtnadaA

331

Ceno ejercicio, compruebe ~uc las otras tres rotaciones que también satisfa cen el problema son: -Para

ü - (-4. -3)/5

:

y '2 - -2x'

- Para

ü » (-3, 4)/5

:

x ‘2 *

-2 y'

- Para

ü = (3, -4)/5

:

x '2 •

2y' .

1.15 EJERCICIO.-

En el sistema XY. consideremos la recta

L:

(3, 8)

+ t(l. 3) . SI los ejes son rotados mediante el vec tor ü * (2, l)//5 , y luego trasladados al nuevo origen llar la ecuaclbn vectorial de esta recta en el sistema SOLUCION.-

Q * (3, 8) ,hallaremos

Q' ■(x‘,

*'

- [ Q - Pc] - ü

= [(3, 8) - (3. 3)]- (2. l)//5 =

/5

y'

- [ Q - P 0] - u X • [(3, 8) - (3, 3)]-(-l,2)//5 •

2/5

Q1« (x\ y')

Luego,

Para hallar tema

Para el punto de paso

PD ■ (3, 3) , ha X'Y*.

.

» {/! . 2/5) .

las coordenadasdel VECTOR DIRECCIONAL botamente. ¿i debe, conndvaK la

X'Y*

y '):

v* « (v[, v¿)

en el sis

ROTACION , sin Traslación,

pues

un vector dit-eccional es un VECTOR LIBRE , y puede ser ubicado en el origen de coordenadas. Es asi que, como v = (1, 3) , entonces v;

= v

vj¡

- v •Ü X -

Por lo tanto, L‘ : Q1 +

•ü

=

(1, 3) • (2,

(1, 3) •(-1, 2)//5

v‘ = (/5, S i) tv* ,

es

1J//5-/5

.

»

/!

Luego,

decir,

L’

:

( /5 ,

2/5) +

t(/5,

/5)

= »

L1

:

( /5 ,

2 /?)+

t (1,1)

.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS .1. Ha’lar las nuevas coordenadas ael punto nados son llevados al nuevo origen

(-1, 3) cuando los ejes coorde

(4, 5) y rotados en 30°

2.

Por traslaciónde los ejes al nuevo origen (3, 2) y por rotación de 37° [triángulo 3, 4, 5] , las nuevas coordenadas de un punto P resultan

3.

Demuestre que la ecuación de la circunferencia

(7, 6) . Hallar sus coordenadas originales. te en 4.

2 2 2 x‘ * y'

Dada la recta

L:

x2 + y2 = r2 seconvier

« r para cualquier rotación de los ejes coordenados. 4x + 3y = 24 , hallar las rotaciones de los ejes co-

.

T/ian¿(¡i*maclSn de Coo*ide.nadtLi

332

Cap. 7

ordenados para obtener los nuevos ejes en los cuales la recta resulte ho rlzontal. 5.

Dada la recta L: 4* + 3y ■ 12 , hallar las dos rotaciones de los ejes coordenados para obtener nuevos ejes en los que L sea vertical.

6. Dado el puntoP = (6, 8) en el plano XY, si se considera un nuevo ori gen de coordenadas P0 * (3, 6)y dos ejes perpendiculares que siguen la misma dirección de los vectores

(7, 2) y (-2, 7) respectlv. mente, ha

llar las coordenadas de P en el nuevo sistema. 7.

Las coordenadas de un punto P mediante una rotación de 60° y una tras lación al nuevo origen

(2/3, -/3)

son transformados en

(2, 4). Ha

llar en el sistema original, la ecuación y la pendiente de la recta x' = 3 . C.

Dada la recta y « x + 3 en el sistema XY, hallar su ecuaciór. trans formada si los ejesson rotados 45°. Ilustre gráficamente.

9.

En el plano

XY, sean las rectas Lt y

L2 , donde

L2:(1,

2) + ti ,

(5, 5) e L2. Se traslada el origen al punto P0 * (1, 2) , y luego se realiza una rotación generando el sistema X'Y1 siendo L2 el eje X'. La ecuación transformada de Lj es 2x‘ + 3 c ]

=

a

La ] =

d i C ; l2 ]

=

a/e

dii. ;

=

d[(

d i Vj ; C ]

c)

rf[ C

d)

Denotando

f)

e

P e %

d i P ; F2 ]

b)

e)

pana todo punto

di P ; F J

PROBLEMA. a)

tal qLe

F2 respecti y no cortan al

a > b

c =

y

I*2

La excentricidad e

=

F J

c * ae

b2 ♦ c2

satisface que

0 < e < 1

las definiciones previas y la gráfica anterior.

, empleando

Cap. S

La ILtpií

So l u c i ó n . y

Bj

e

a)

Co(no¿ [ b ,;

5 , entonces

371

f l]

-/ b 2

d [ Bj ; Ft ] + d [ Bt

= » ‘=5 ' b)

¿[Bj ; Fj ] = a

= d[Bj ; F2 ]

y de =

c)

>

Como

; Fj ]

=>

d[B;Lj]

Análogamente, para

d) Puesto

dtVj-.Fj]

2a

=

2c

(a - c)

Bt

'Er

+ c ,

vértice V2 . entonces

,

e

, de donde resul

(a/e ) = = >

d [ C ; L t] =

(a/e ).

L2 se pruebaque :

d[C ; L2 ] =

(a/e)-

dtV^Fj — -----d [ Vj ; Lj ] = (a-c)

entonces

y

]

d [ C ; Lj ]

que

+ d[ Ft ; C ]=

----------d [ B ; Lj ] =

=

.

d[ 6 ;

=

= e

Por lo tanto,

■ c [ C ; L2 ] =

=

,

e

,

pues

(a/e)

V,

d [ Vj ; Lj ] =

, y como

^

e

•

(dtCiLjJ-a

,

a-c (a/e) - a

Además, siendo

e)

Como

c=

dLC;Fj]

=

d[C;F2]

d [ C ; Ft ] =

d [ C ; F 2]

d [ Bj ; F2 ] =

d [ (O, b)'; (c, D)']

=

c

= =

:

ae / b 2 + c2 2

Í a y por lo tanto

,

y análogamerte para B2.

= a . Análogamente para el

d[C ; Lj ]

taque

,

= a -c

; C]

d[ B 1 F, ] ---------d[B ; L j

f¿ ]

J = 2a

; F2 ] - d [ V t ;Ft ]

d [ V t ; C] = d L V t ; F J d[Vj

d[B, -,

d[ Vj ; F2 ] + d[Vj ;Ft] d[

d[ Vj

■

2 d [ B 1 ; F 1 ] = 2a

ComoVt e £ , entonces

= :,'

+ c2

a » b > O .

=

. 2

y 2

b + c

1

I

IntJwducción al Aniti&íi UaXemítíco

372

f)

De (d) :

O < e {= c/a) < 1

,

pues

Cap. 8

a > c > O

por defi

nición de la elipse. Ve u t e problema &e puede coruideAOA la &í guíente gráfica pana e¿ec£o de cálculo¿ y de AeiolucÁJin de pAoblemai Ae{e a entei

a longitudes y diitancíai en etípiei, y que Aeiulta muy útil y (,&-

c u de memoAÍzaA.

3.3 a)

ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE Primer Método. P-F2

»

Dado

p = (x, y)

C - F 2 + x ,ü+f/'¡¡J' =

=

c +

x'ü +

(cü) + x'ü + y' ü X

| P - F2 | =

| (x' + c)¡¡ + y ' i |=

/ (x' + c)2 + y '2

P - F!

C - Fj + x’ü + y ' i X =

(-cú) + x'ü + y ' i X

=

|P - Ft | = Reemplazando

| (*’ - c)ü + «/’S X |= / (x’ - c)2 + (a)

y

(B)

en la definición

y’ 2

[pSg. 369] :

*=t>

... (a)

... (B)

La E¿tp¿e

Cap. {

|P - Fj | + |P - F2 1 “ J (*' - c)2 + y '2

2a

, es decir

/ (x' + c)2 + y '2

+

(a2 - c2)x'2 + a2 «/’2 [pues

a2 = b2 + c2

Luego, un punto

,

y operando :

=>

]

(*,2/a2) + (!/,2/b2 ) -

=*•

b V 2 ♦ a2 «,*2 = a2b2 1

.

ptAXenece. a ta eZipAí íj. si es que para el

de rotación de Ejes Coordenados , se tiene que

P = C + x'ü + «/’ü J' , con

«2a

a2 (a2 - c2)

P ■ (x, y)

vector unitario ü

373

.2 ,2 * y _ 2 * .2 " a b

donde

,

*

|ü | « 1

que es llamada la

ECUACION VECTORIAL DE LA ELIPSE

* ' ■ [ ( * . tf) - C ]• ü

y'

.

, y donde

= [ (x, y) - C ]. ¡¡X es el centro de 'íf y si

De la figura previa vemos que si C = (h, k)

P

' (*. y) » entonces V

= C i aü

F = C i c¡¡

.. VERTICES ..FOCOS

; ;

y donde b) Segundo Método.

Como

B - C í büX L :

x* «

i

.. FXTREMOS DEL EJE MENOR (a/e)

x’ » (P - C) • ü

^

...

,

todo ^

DIRECTRICES ,

P ■ (x,

P de £

y\ .

:

di P; F2 ] -----------

=

e

...

(a)

d i P ; L2 ] d lP ,

F2 ] =

| P - F2 | -/ (x1 + c)2 +

di P ;

L2 ] =

| x’ + (a/e) | . Asi, de ( a )

(d[P; F2 ])2 = (x* + c)2 + y’ 2

e2 (d[P ; L2 ])2 =

e2 [x' + (a/e) ]2

y '2

y

de

c = ae

=» . Y desarrollando obtenemos:

374

Cap. S

UtfAoducci "n al AnáLii-ii MatanlUiCO

3.4

ECUACION DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X Corresponde al vector ü = Z = (1,D)

y si

C - (h, k)

es el Centro de la elipse

[No hay Rotación]

, que origina el radio -

vector de Traslación de Ejes, entonces x' = x - h y’

y - k

=

que al reemplazar en

(*)

produce la ecuación (« - h)2 +

(y - k)2 =

de la elipse con EJE FO CAL PARALELO AL EJE X. C = (h, k)

..

CENTRO

V = (h i a , k) F = (h í c , k)

3.5

.. VERTICES

B = (h, k i b)

.. FOCOS

L:

Corresponde a

..

BtB2

DIRECTRICES.

ü = (0, 1)

x' = *

( x - h , i/ - k) •

ü

( x - h , y - k) - ü J_

de donde

[Rotación de 90° ] , y si

es el Centro, que origina el radio vector de Traslación de los

Ejes Coordenados, entonc?s

x‘ = y'= -(x-h)

(«/ —k)

que al reemplazar en (*) : {y - k)2 +

V

.. EXTREMOS DE

h i (a/e)

ECUACION DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

C = (h, k)

y’

x=

(x - h)2

= (h, k i a),

B = (h í b, k),

= 1

F = (h, k i c) L:

y =

k i (a/e)

Cap. S

3.6

La

PROBLEMA.

375

E t if ie

Dada la elipse

U + 3)

+

[y - H)1

16

1

25

encontrar el Centro, los Focos, los Vértices, la Excen tricidad, las directrices y los extremos del Eje Menor. So l u c i ó n .

Centro C(h, k) * (-3, 4)

La ec. es de la forma [3.5]: (y - 4)z

25

(x + 3) 16

1

correspondiente a una elipse con el EJE FOCAL PARALE LO AL EJE Y , donde 16

25 a = 5,

.2

_

c~ *

b 4, 2 2 . a - b =5*

c * 3 ,

Y la excentricidad e : e * c/a

« 3/5 .

Vértices:

Vj = (-3, 4-5)

- (-3, -1),

V2

Focos: Eje Menor:

Fj = (-3, 4 - 3) = (-3, 1) , Bj = (-3-4, 4) = (-7, 4) ,

Directrices:

3.7

PROBLEMA.

So l u c i ó n . a)

(-3, 9)

F2

=(-3, 4 + 3) =

(-3, 7)

B,

-(-3 + 4, 4) = ( 1 , 4 ) .

y -

k - (a/e) = 4 - (25/3)

y «

k + (a/e) ■ 4 + (25/3)

-13/3

-1 ■

37/3

Identificar la gráfica de las ecuaciones a)

144x2 + 169y2 - 288x + 676y - 33516

b)

25x2 + 16y2 + lOOx - 96y - 156

■= 0

= 0

Completando cuadrados en ambos casos

[(* - 1)2/169 ] + [(«/ + 2}2/144] lipse con Centro en

b)

=(-3, 4 + 5) =

■1

, que corresponde a una e-

C = (1, -2)y con

je X. Ademas,

a2 * 169 ,

[{x + 2)2/ 16 ] +

[(y - 3)2/25] =

eJL Eje

b2 ■= 144 1

focal pa/ialelo al E-

a = 13 , b = 12

, que corresponde a una elip-

InVioduccA.6n al Análliti Matemàtico

376

3.8

se con Centro

en

Además,

= 25 ,

PROBLEMA.

t

y con el Eje Focal panatelo al Eje Y.

C » (-2, 3) b

Cap.

= 16

a = 5 ,

b = 4 .

Hallar la ecuación del lugar geométrico de aquellos P(x, y)

puntos

cuya distancia al punto

(2, 5) es y = 29/4 .

cuatro quintos de la distancia a la recta

Identificar la cónica y hallar su centro, focos y di rectrices. So l u c i ó n .

Como

d[ P ; (2, 5)]

L: y = 29/4 se con excentricidad

e = 4/5

d.i/iect'u.z conAe¿pond¿ente

.

„.2

(* ■ 2)

+ (y-5r

- —

a

Fj

3.9 PROBLEMA.

y =

25 ==»

a « 5 , b

(2. 1 +c)

k - (a/e)

L1 • L2 :

-

( * - 2 r + [ y - ir = 3 , c

= 4,

(2, 1 - c) = (2, -3)

2 Directrices

29/4 ; por lo tanto, tiene el eje

i 29 ,2 [y - — )

c2

C = (2, 1) , Focos

y =

F « (2, 5) , y la

De la ecuación inicial se deduce que

. _»2 16

a2 = 25 , b2 = 9 ,

, la ecuación corresponde a una elip

y donde un foco será

L:

focal paralelo al Eje Y.

donde

5 d [ P ; L]

-

= 1 - (25/4)

k + (a/e) =

12, 5) - -21/4

1 + (25/4) =

29/4

(DIREC. ORIGINAL]

Hallar la ecuación de la elipse cuya suma de las dis tancias de cualquiera de sus puntos a los puntos fi jos

(-4, -5) y

(6, -5)

es igual a 16 .

So l u c i ó n . A)

PRIMER Método.

Sea

P = (x, y).

dtPjFj] Ft = (-4, -5),

F2 = (6, -5).

Mediante la ecuación

+ d[P ; F2 ] ■= obtenemos

^ _ ^2 64

B)

Se g u n d o M é t o d o .

16

,

donde

j + 5)2 39

= 1

Por los datos se reconoce que el eje focal es pa ralelo al Eje X , y como por hipótesis tenemos

La Etífjie.

Cap. i

377

d[ P ; Ft ] + d i P ; F2 ] - 16 entonces

2a - 16 ,

a * 8 ,

2c = | F2 - FT | = 10 =»

c=

5 .

b2 -a2 - c2

b « /39 C = (Fj Asi,

+

F2)/2

la ecuación de

,

= (1. -5) la elipse

resulta por lo tanto: (* - l)2 . (y + 5)2 , ------ + ------ - 1 64 39 3.10

PROBLEMA.

.

Demostrar que, para toda elipse, la longitud de su lado recto es Igual a:

S&LUCIÓN.

Sea

L

o

(2b /a) .

la directriz correspondiente al foco

La longitud del lado recto es di Pc ; F]

_

d[ P0 1 L ]

2h . Y como

F. c ■ ae

h ^ - (ae)

h « a - (ae ) =

(a2 - a2e2)/a

=

(a2 - c2)/a b2/a

Por lo tanto, la longitud del lado recto resulta ser

3.11

2h , 2b2/a .

CASO PARTICULAR:

EL CENTRO

C

Cuando el centro C(h, k) el origen (0,0),

c =

k) » (o, o)

EN EL ORIGEN de una elipse se encuentra en

=*

h = 0,

k = 0,

entonces las ecuaciones de las elipses con ejes focales paralelos al Eje X

hitAuducctón a í Aná£t¿-t¿ Matv/nAtíCu

378

y di Eje V:

, a)

(* - h)2 . (y - k)2 , 5— + --- y - = 1

tl D)

(y - k)2 . (* - h)2 , --- 2— --- 2— =

’

Cap. t

respectivamente ,

toman la formas siguientes.

a)

ELIPSE CON EL EJE X

COMO EJE FOCAL

b )

ELIPSE CON EL EJE Y

COMO EJE FOCAl

y2 Ó

*2

+ Di? =

1

Cap. S

La UUpte

3.12 PROBLEMA.

Dada la elipse

379

(x2/25) + ly2/9)

- 1

trar el Centro, los l-ocos, los Vértices y las ecua ciones de las rectas Directrices. 2 Como el denominador del término en x es 25 , ma 2 yor que eldenominador del término eny , entonces la ecuación tiene la So l u c i ó n .

forma[3.11(a')3 el Origen

C (h, k) ■ (0, 0) .2 a « 25 , t2 _ n

Además, 2

> por lo cual representa a una Elipse

2

2

c - a - b

nemos que: VERTICES:

y tiene al EJE X como

E j e FOCAL .

, lo que implica

a * 5 , b ” 3 De la fórmula

con el Centro en

y

c = 4 .

c = ae , te

e = 4/5 ,y asi Vj = (-a, 0) = (-5. 0) V2 = (a, 0) = (5, 0)

FOCOS:

rl (-c, 0) - (-4,0) F2 - (C, 0) - (4, 0)

DIRECTRICES:

x = -25/4

(4 /5) 25

x = 25/4

4

3.13

PROBLEMA.

: (x2/25) + (y2/9) = 1

Los focos de las elipses y ¡f":

(x 2/1 6 ) + [y2/ZS)

= 1 ,

están unidos en -

tre si por unas rectas, y en el rombo formado de es te modo hay inscrita una circunferencia. Hallar la e cuación de esta circunferencia. So l u c i ó n . ELIPSE

V

: aj = 5,

bj = 3.

FOCOS: (i c, ELIPSE

E," : a2 = 5, FOCOS:

ct = /aj - b2 = 4 , Eje

0)= >

b2 = 4,

F[ =(-4, 0)

c2 = /a| -

(0, í c)= >

F¡ =

y

= 3 , Eje (0, -3)

y

Focal =

EJE X

F¿ = (4, 0) Focal =

EJE Y

F" = (0. 3)

,

Cap. t

InVuiducctón ai AníLL&¿& UatemUtico

380

Consideremos la recta

L

que pasa por los Focos

correspondientes a las elipses (Simétrica)

de la recta

L

y £ "

F"(0, 3) ,

respectivamente.

La Ecuación

viene a ser L:

Por la simetría del rombo

F'(4, 0) y

3* + 4«/ - 12 « 0

(formado por los cuatro focos)

con respecto al

Origen de coordenadas, vemos que la circunferencia buscada es tangente a la recta

L y tiene su

CENTRO en el Origen

C(h, k) = (0, 0).

Solamente falta hallar el valor de su radio

r ; pero, precisa

mente este valor de

r coinci

de con la distancia de ¿a m e ta

L:

3* + 4i/ - 12 =

al Origen r

0

(0, 0) . Asi,

=d [ L ; (0,0) ] i

| 3(0) + 4(0) - i; /

r

a2

=(1^/5) .

+ 32 Por lo

tanto, la ecuación de la circunferencia buscada *2 + y2 =

eF‘

3.14

PROBLEMA.

(12/5)2

.

Bosquejar la elipse cuyos vértices son

(1, 4)

, 10), con la longitud del semieje menorigual

y (9, a 2

Hallar el Centro, los Focos, los extremos del Eje me nor, las directrices y la ecuación de la elipse en XY. SOLUCION. tro

DAT0S.

= (lt4)f v2 - (9, 10),

C = (Vj + V2)/2 - (5, 7) ,

= »

a = 5 . Luego,

c2 =

la excentricidad

e

b = 2 . El cen

2a = | V2 - V,| = | (8, 6) | =

a2 - b2

■ 21

==■

c = /~2Í * 4.5

= /2Í/5 . (Ver la grSfica en la pSg. sig.)

El vector unitario ü en la dirección del semieje positivo ü

■ (V2 - Vj)/ | V2 - V j

El Centro

C = (5, 7)

10

=

(4, 3)/5

=

de X' es:

(4/5. 3/5)

corresponderá al vector de traslación de Ejes ;

.

Cap. i

381

La Elx.ptt

Luego, en el Sistema X'Y', obtenemos la ecuación (*) donde

(4* + 3y - 41)/5

x' =

[{*. y) - C ]• ü

y' -

[ ( « . y) - c J . ÜX

que al reemplazar en

(*)

=(41/ - 3* - 13) / 5

.

resulta la ecuación de la elipse, en XY :

[(4* + 2y - 41)2/ 625 ] +

[(4«/ - 3* - 13)2/ 100 ]

=

1

De la gráfica ubicamos Fj = C - cu = (5 - ^ /2l, 7 - | /2l) F2 = C + cü

= (31/5, 27/5) Lx : x' = -a/e

= -25//2Í

==>

(4* + 2y - 41)/5 = -25//2Í

L2 : x* =

=

==>

(4x + 2y - 41)/5 =

a/e

3.15 PROBLEMA.

25//H

Uno de los focos de la elipse

es

la directriz correspondiente es Si la excentricidad es

25//H

F = (2, 3)

e = 1/2 , hallar la ecuación F' y su directriz

L', los extremos de los lados rectos N, M y y los extremos dtl Eje menor Para

P(x, y),

y

L: x + y = 1 .

de 5- » los vértices, el otro foco

SOLUCION.

.

Bj y

R, S,

B2 •

( d [ P ; F ] / d [ P ; L ] ) = 1/2

,

ItUKuduccíón at Anát-iiii Matemático = > d[ P ; F] =

(1/2) d [ P ; L]

Cap. i

, entonces la ecuación de ^

-

es:

i ■ 1 « •_» - 1 1 2

/2

7x2 + 7¡/2 - 2xy - 30x - 46y + 103 = 0

=*• El eje

X'

está sobre la recta

donde además

L0

L0 donde

pasa por el foco

L0 _ L L :

F = (2, 3).

x + ¡/=l

,

y

L0 : x - y = -1,

Luego,

ü = (1, l)//2 , y como

/2 = |r|/2 a = 4/ 2/ 3

=

r/2

=*>

.

De estas dos ecuaciones:

C = (8/3, 11/3), b2 =

La directriz Q =

c = ae = 2/ 2/ 3

a2 - c2 = 8/3

L ‘ tiene vector normal ñ =

C + (a/e) ü

=>

r = B/3

=s»

y

,

b =

2/2/Z3

(1, 1) y pasa por el punto

Q = (16/3, 19/3),

L1 :

x + y = 35/3

,

F' =

C +

cü

=

(10/3, 13/3),

V, = C - aü

= (4/3, 7/3),

V2 =

C +

aü

=

(4,

Como

=

N = F + ( b 2/a) G X = S = Bj

(1,4)

5) . ,

M=

F' + (b2/a)üX = (7/3, 16/3),

b2/a

F - (b2/a)ü X

R =

(B/3)/(4/2/3)=/

= (3,2)

F' - (b2/a) ü X = (13/3, 10/3)

=

C +

buX

=

([8

-

(2/3)]/3

,

[11 +

(

B2 =

C -

büX

=

( [B

+

(2/3 ) ]/3

,

[ 11 -

(

383

La í Li.pt, i

Cap. S

3.16 PROBLEMA. (UNI)

Sea 5

la elipse cuyo centro es

uno de sus vértices es lados rectos miden

Vj ■ (24, 4)

y sus

3.92 unidades. Hallar:

a)

La longitud del eje mayor y el otro vértice V2 .

b)

los focos

d)

la ecuación vectorial de la elipse ,

e)

la ecuación vectorial de la recta

Fj , F2 ,

C » (0, -3),

c) los extremos deleje menor 81B2 L

que contieneal diámetro

de &,uno de cuyos extremos es el extremo superior del lado recto derecho. So l u c i ó n . cT i

= Vx - C = (24, 7)

I CVÍI " 1(24, 7) I ■ 25 ü » a)

cv^/lüTjl (24/25, 7/25) . 2a * d[ Vt; V2 ] - 2 d [C ; VX ] - 2 | CVÍ| = 50

=*■

a = 25

El otro vértice es b)

C - aü

V

Como la longitud del lado recto es b2 = 1.96a = (1 96)(25

)

F1 = C + aü

(576/25, 93/25)

F, » C - cü

(-576/25, -243/25)

e)

C - bü "

La ecuación vectorial de la elipse resulta ■± (x, y) = C + x’ü + y'ii , K'2 f/'2 + — = 49 625

El punto D

resulta

1

D =

, entonces 7

Luego, los focos resultan

= C + bu" B2 =

d)

3.92 (1*4)(5) -

24 .

Los extremos del Eje Menor son

(-24, -10)

2b2/a

= *

/ a 2 - b2 = / 252 - 72

c)

=

=

(-49/25, 93/25)

=

(49/25, -243/25)

donde

ü = (24, 7)/25 Fj + (b2/a)üX

C “ (0, -3) , .

= (14057, 35Dl)/625

,

IntAuduccíün ai AnáLiiii Matemático

384

y el vector direccional de y asi,

L :

3.17 PROBLxjV .

L:

Cap. S

CD = D - C = (14057, 5376)/625

P ‘ (x. y) ~ (0, -3) + t(14057, 5376) , t e R Una elipse

tiene un vértice

rectrices pasa por

» (7,9),

F2 = (1, 3)

co del otro vértice en

(8, 16).

Hallar la ecuación vec

torial de la elipse, de la otra directriz foco Fi y el vértice

el fo

y una de sus di L2 , el

V2 .

So l u c i ó n . Un vector paralelo al eje fo cal es

F2V j -

V| - F2 “ (6, 6)

Tomando el vector unitario ü • (1, l)//2 , tenemos que la directriz que pasa por (8. 16) y es _L al eje focal tiene ecuación CU.

y) -

=>

Lj :

(B. 16)] ■(1 , 1) - 0

L¿ :

x ♦ y - 24 = 0

Ad(*in&s, de la figura, 1) d [ C ; Lt] - d [ C ; (a/e) 2)

-a

a + c-

De (1) y (2):

-

- 4 /2

d[ V! ;F2] -|(6, 6) | a2 - /2 a - 24 - 0

(1 )

4/2

(QVc) - a

=

(2 )

6/2 =►

a - 4/2 ,

c - 2 /2

y por lo tanto,b * 2/6 Asi,

C ■ F2 ♦ cú P * (*. donde

La otra directriz 2 '

Además,

= (3, 5) . Luego, la

y) ~

C + x' ü +

C - (3,5),

y'

ec. vect. de la elipse es :

«■*" ,

C + cu

=

y)

ü = (1,

■

x'2 —

32

L2 tiene ecuación vectorial: P ■ (*.

y '2

+ i24

= 1

P

(“5, -3) + t(-l. 1) , t e R .

(5, 7) ,

,

.

V, - C - au

*

(-1, 1) .

Cap. i 3.18

La Etí¡ i 4 y que su ordenada es positiva.

abscisa del centro de Solución.

F0 es L :

F0 , uno de cuyos

-¿2

tendrán radio 5 . Sea

/

~¿2 - (*-h)2 + [y- k)2 - 25 ,

(1, 7) e ^ 2 , entonces

siendo

5 ■ d[(h, k) ; L ]

A)

| 3h + 4k - 30 |

B)

(1-h)2 + (7-k)2

De

(A) y

(B)

h = 5 ,

ó

que

k ■ 10

resulta que: h = 69/25

< 4 . Luego,

y que el centro de ^ 2 es

mando el vector F2 - rü

25

h = 5 ^2 = (5, 10) . Además, to

u = (3, 4)/5, =

(2, 6) ,

2r - 10 F9 - Fn b = / aa' 2 - c2 c*

= r = 5 =

La ec. vect. de ^

5/3 es :

U , y) = F„ + x’ü + y’ i 1 -, x ,2 100

i ' . ,

75

F0 = (2,6) ,

donde

ü = (3, 4)/5

Y como la excentricidad es L’ :

P = (x, y) =

e = c/a =

1/2 - ±

F0 i (a/e)ü + -tú

las Directrices serán: t e R

,

es decir,

, lo q

hitinducción at AnitUii UaXi niLir

3BC

Cap. S

Li :

(*, y) = (2, 6) ♦ 4(3. 4) ♦ *(-4. 3) ,

t

:

(x. y) = (2. 6) - 4(3. 4) ♦ t(-4. 3) .

te

3.19

EJERCICIO.

Hallar la ecuación de las

2

lipse

— 9

2 ♦ — 4

trazadas desde el punto

■

e R R

.

rectas tangentes a la e 1

.

-•

(*)

P0 * (5, 0).

So l u c i ó n . Sea

y - 0 ■ m(x - 5)

L-p

la ecuación genérica de la recta tangente que pasa por el punto

P„ = (5, 0). y

Sustituimos

en

(*) :

mm 2(x i x -- r»5)2 i

xr

i

Operando y agrupando términos semejantes obtenemos

I.

^ n - 2 . 2

„ „ _ 2 „

Aplicamos la

«

io o c _ 2

CONDICION DE TANGENCIA :

DISCRIMINANTE = 0

8100 m* - 4(4 ♦ 9m2)(225m2 - 36) - 0

b - 4ac

4m - 1 * 0 las dos tangentes son

3.20

1/2 *-T2 :

• Asi.

y

PROPIFDADFS DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE Consideremos la elipse con ecuación

2

x

— ,2 d

y

2

+ — h2 D

. i

(a > b > 0),

entonces la ecuación de la recta Lj tangente a la elipse en el pun to de contacto

ne la forma

m a2

yoy

b2

P0 = (x0, ya)

tie

(Ver el Cap.[6] )

Cap. t

La EItpie

387

De esta ecuación se sigue que un vector dJreccional de 2

, -b x0) , y que por ser paralelo a

{-yD/b

Lj es

2

, x0/a )

(a yD ,

2

nos permite ele

gir como un vector normal de Lj al vector c

^

« (—

)

a2 ’ b2

Si además consideramos los vectores focales a y

b,

probaremos que los ángulos a y

B , formados por la

recta normal

Lfj con los

vectores focales

i y

B

respectivamente, son igua les,

para lo cual tenemos PF2 -

eos a

( -C

- xD , -yQ]

a •c

(. ^ " ( “T

eos 6

b •c

(c “ x0 y - y0 ) i

k .

4 -

4

) / í le IA

+ * 0 )2 + y ¡

c

]

+ l ) / [ | c | / ( c + x0 )2 ♦ i,1 ]

( £ £ . i¡ . % ) / [ | E | / ( c - x 0 )2 + y2 0 ]

|b||E| (1 debido a que

) / C IE | / ( c - x0 )2 + y2 ]

(x2/a2) + [y2/ b 2) = 1 .

(c + x j 2 + y2 =

Además,

a2 - b2 + 2cx0 + x2 + y2 - (b2x2/a2) a2 + 2cx0 + [ 1 - (b2/a2)] x2 [a + (cx0/a)]2 =

x0)2 + «/o =

.

(a2 - cx„)2/a2

2

a

(a2 ♦ cx0 )2/a2

+ 2cx0 +

C

2

x0

,

análogamente .

Luego ,

InUiuducCíón al Anóti&¿& UaXejnítíCO

388

cosB =

-(í-liÍ2,/[(i_LfÍ2,|c| ] a a

=

Cap.S

-

■=> I a = B I *------- 1

a |c |

ESTA PROPIEDAD RESULTA INDEPENDIENTE DE LA POSICION DE LA ELIP SE EN EL PLANO. Y LA RESUMIMOS EN EL SIGUIENTE TEOREMA.

3.21

TEOREMA.

La >lzcXa nonnaZ a una eJLLp&e en caatq^Â punto tacto ej¡

deJL ángulo ¿ofuiado pon.

BISECTRIZ

nej, focaZ¿i {RacLio-Ve.ctcn.eA)

de c c a

loé VccXo-

de dicho punto.

El siguiente teorema es una consecuencia directa de la forma ge neral de la ecuación de la recta tangente en su punto de contacto, a la Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +

gráfica de la ecuación general 3.22

TEOREMA.

„

± 1 » 2 - ,

H) a

. . .

3.23

P0 = (jí0 ,

tienen la forma: ( * o - h) ( * - h)

(tfo - k)(*/ “ k)

a2 .... 11 ‘)

.

b‘

las ecuaciones de las rectas tangentes en ur. punto de contacto , yo)

=0 .

Dadas las elipses cuyas ecuaciones son Íí-A>2 = !. b2

a¿

F

,2 b

(tfo - k)(y - k) — ----- ----a2

PROBLEMA.

(xc -h)(x-h) + -------=----- = b2

Demostrar que el

1

,

respectivamente.

PRODUCTO de las dos distancies

perpendiculares trazadas desde los focos hacia cual quier recta tangente de una elipse,

es una comían

te , independiente del punto de contacto.

So l u c i ó n .

Se desea probar que

(d¿ x d2) es independiente de

las coordenadas del punto de contacto, digamos La ecuación de la recta tangente Ci6n

(x2/a2) + (*/2/b2) =

Lt 1

PD = (r, s)

de la elipse.

a la elipse ae la figura, de ecua .

según el

TEOREMA 13.22(1’)], en

Cap. g

r2

La Etipie

s2

r2

1

r2

389

b2 - a 2 a2b2

* „1 x d

1 c2r2 -=■ (1 - — r— ) .

r2 ' a2

Por lo tanto ,

c2r2 ) ] ( ! . £c2r2 £ . ) / [ 1 ( j . £_!_ a* b* a*

=

y obtenemos así, uii valor que resulta Independiente de 3.2*1

EJERCICIO.

y

(a > b > 0)

s

(x, y) = C + x'u + y’ü^~

Dada la elipse de ecuación donde |ü | = 1 ,

r y

^ a2

+

= b2

demostrar que la ecuación de la recta tangente en un punto

P„ de

la elipse, tiene la forma vectorial P *

(*• y) ~

V t e R 3.25

P0 + 'C(Ca2 (P0 - O-ili-1-] ^ - [b 2 (P0 - C ) - G ] G - L )>

.

PROBLEMA

Los extremos del Eje Menor de una elipse son

(2, 14)

y

P0 de

(14, -2)

la elipse es

y la recta tangente en el punto

Lf :

(-1,

390

Cap.S

IntAoducción al Aná¿¿i¿i UaiemítLi.0

las coordenadas de

P0 y la ecuación cartesiana en XY de la elipse.

SOLUCION. C =

(Bj + B2)/2

donde

»

(8. 6)

Bj = (14, -2),

(2, 14)

82 *

son los extremos

del eje menor.

Además,

b = |CB2 | = | (-6. 8) |

,

100

(4, 3)/5

. Luego.

10

u *

,.2

y

.

,2

100

Lj :

18* + y - -50

Y siendo

(x, y) *

C + x'ú + y'ú X = (8 + [4*' - 3i/']/5, 6 + [3x* + 4¡/']/5)

entonces, en el sistema

..

X'Y',

yl£ m

T •

y

a2100 _3_

1

40

100

P0 =

^

3*'2

i/*2

400

100

3.26

2_

(*)

obtenemos: a = 20//3 , x¿ ■ -10

PROBLEMA.

, y pasando al sistema

(8,6) - (8,6) + (-3,4) donde

84 x2 - 24X1/

-3*’ i 2y' --- + — * 1 40 40

40

P¿ = (-10, 5)'

C + (-10)u ♦ (5)ür.-L

£ :

Lt : T

°.

Reemplazando estos valores en y por lo tanto,

L-j. :3x'-

*’ ■ [(*. y' * [(*.

y) y) -

+ 91# - 1200x - 900y - 2500

Sea 2, la elipse con vértices (4 + 2/2, 4 + 2/2)

XY : =

(-3, 4) ,

c ]• ü c ]• ü x = 0

(4 - 2/2, 4 - 2/2),

y de excentricidad

Hallar las ecuaciones de las rectas

e = /2/3 .

Ljl y

Lt2 .

tangentes a la elipse y que pasan por Q = (2, 6) . So l u c i ó n .

2y'

Cap. t

La Etipie.

Vi = (4-2/2 , 4-2/2). la elipse es De

V2 = (4 + 2/2 , 4 + 2/2 ) = *

C = (Vj +

V2)/2 *(4, 4) ,

e = Z2//3 = c/a

Q » (2. 6)

=*

en la ecuación de ^

Q' e Lj: y hacer

Luego, dt las fórmu’as

b = 4//3

4 . , el vector

P„ ■ C * (4, 4) , entonces en X'Y' :

Q1 = (0. 2/2)*.

y' = mx' + B ,

el centro de

a » | CVj| =

==► c= 4/2//3 ,

G * (1. l)//2 . Y como

Lj:

391

£

:

(x'2/16) + (3¡/,2/16) - 1 ,

y' m mx' + 2/2

A = 0

, que al reemplazar

resulta

x’ -[(x, y) -

m = + 1//6 y' = [(x, y) - C]. G"*"

C]- ü ,

y' = -=r x' + 2 /2 = » (/2+2/3)x ♦ (/2-2/3)i/ = 8 ( / 2 - / 3 )

Ln:

/6

LT2: y' “ — = x' + 2/2 /6

=*►

(/2-2/3)x + (/2 + 2/3)¡/ = 8 ( / 2 + / 3 )

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Hallar el Centro, los focos, vértices, extremos del eje menor, la ex centricidad y las rectas directrices de la elipse de ecuación:

2.

a)

(x2/9) + (y2/ 16) = 1

b)

4x2 + y2 - 4y

c)

4x

d)

25x2 + 16y2 + lOOx - 96y = 156,

e) f)

+ y2 = 4x

8x2 ♦ 9y2 + 24x + 12y + 10 = 0 16x2 + 9y2 - 64x + 1fií/ = 71 g)

25x2 + 9y2 - 12y - 81 = 0

Hallar el centro, los vértices, la excentricidad, las directrices, los extremos del eje menor y de los lados rectos, y la ecuación de la elipse con: a)

focos

(1,4) y (9,4),

y semieje menor de longitud 2 unidades

b) centro (l, -4), vértice (1, 1) c) centro en (2,0), d) focos

(5,0) y (-5,0),

e) directrices

y un vértice en

y recta directriz

x = 3 + (169/12)

L:

x

y un foco en (0,

(-3,0) = -20 -2)

f)

un vértice en (2, 0), un foco en (-5 + 2 / 6 , 0 ) del eje menor en (-5,-5)

g)

centro en (1,-1), semieje menor horizontal de longitud 6, y excentricidad 2/3 .

h)

la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a . -1) y (4, 7)

i

y pasa por (2, -1)

foco en (5,0)

igual a 12 .

y un extremo

(4,

392

Uit'iuduccUón

1 . Rp: / m 2 - 1/m 10. 11.

12.

Se da la excentricidad

e de una elipse. Hallar la razón de sus

se

miejes. Rp: b/a = /1 - e2 Los focos de las elipses (x2/25) + (y2/9) = 1 , (x2/16) + [y2/ 25) * 1 , están unidos entre si por unas rectas, y en el rombo formado de este modo hay inscrita una circunferencia. Hallar su ecuación. Graficar el lugar geométrico de los puntos

P(x, y)

si se cumple:

La ELlput

Cap.6

393

(x2 + 4)(2x - y - 3)(x2 + y2 - 25)(x2 + Ay2 - 4) = 0 13. Demostrar que la recta

y ■ mx + c

es tangente a la cónica Ax2 +

+ y2 » 1

si y sólo si las constantes A , m y c

condición:

A(c2 - 1) = m 2 .

satisfacen la

14.

Si los extremos de un segmento de recta de longitud constante se mué ven a lo largo de rectas perpendiculares, demostrar que un punto P sobre el segmento, a distancias a y b de los extremos, describe una elipse.

15.

Demostrar que la longitud del semieje menor de una elipse es media proporcional entre los dos segmentos del eje mayor determinados por uno de los focos.

16. Demostrar que la longitud del eje menor de una elipse es media proper cional entre las longitudes del eje mayor y su lado recto. 17. Demostrar que si dos elipses tienen la misma excentricidad, las lon gitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales. 18.

Si

(x-,’a2) + {y2/b2 ) = 1,

Pj = (xj, i/j) es un punto cualquiera de

demostrar que lis longitudes de sus vectores focales son y 19.

Los puntos extremos de un diámetro de (x2/a2) + [y2/b 2) = 1 son PX y P2 . Si F es uno de los focos, demostrar que la suma de los vectores focales yor.

20.

21.

|FP||

y

|FP21 es igual a la longitud del eje ma

La ecuación de una familia de elipses es kx2 + Ay2 + 6x - 8# - 5 * D . Hallar las ecuaciones de aquellos elementos de la familia que tienen excentricidad Igual a 1/2 . Rp.: Para k = 3, k = 5 . Hallar las longitudes de los vectores focales del punto la elipse

22.

|(a + ext)|

|(a - exj)| .

9x2 + y2 - 18x - Zy + 1 * 0 .

El punto medio de una cuerda de la elipse 0

, es el punto

(2, 5).

Rp:

(2, 1) de

Ambas: 3 .

4x2 + y2 - 8x - 6y - 3 =

Hallar la ecuación de la cuerda.

23.

Desde cada punto de la circunferencia x2 + y2 + 4x + Ay - 8 = D , se traza una perpendicular al diámetro paralelo al Eje X. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de estas perpendiculares.

24.

Dada la elipse x2 + 3y2 ^ 3x - Ay - 3 = 0 , hallar los valores de k para los cuales las rectas de la familia 5x + 2y + k = 0 : a) b)

cortan a la elipse en dos puntos diferentes. RP: ke son tangentes a la elipse. c) no cortan a la elipse. RP:

K = -7 , K = 58/3

RP:

U

, - 7 > U >

lntudu.czi.5n xl An¿L¿js¿i UcUzmático

394

Cap. i 3x2 + Ay2 - 43 = 0,

25. Hallar el ángulo de intersección de las elipses 4x* * y

- 32* + 56 = 0 ,

en uno de sus puntos de intersección. RP:

EN 0) y la recta que pasa por el foco de la parábola y es perpendicular alamisma. Si además la elipse pasa por el origen, calcular su excentricidad. RP: e * 2//5

69. Dados el centro C(2,2), un foco F * (4,4) y la excentricidad e = 1//3 deuna elipse, hallar el área deltriángulo equ con base en la directriz correspondiente al foco dado y vértice en C. 70.

Laelipse E tiene un foco en Fj = (-4/5, pondiente al otro foco en V2 = (10, 14). Si = 4/5, hallar la ecuación vectorial de E y y L2 , el centro, el foco F2 y el vértice

-2/5), el vértice corres la excentricidad es e de las directrices Li Vj .

71.

Una elipse E tiene un foco en Fx = (7,-?), el vértice correspon diente al otro foco en V2 = (-3, 8) y como una de sus directrices a la recta P = (-11, 6) + t(/2, /2). Hallar la ec. vect. de E , la ecuación general y vectorial de la otra directriz L , el centro, el foco F2 y el vértice Vj .

72.

Si la elipse E tiene los vértices en Vi = (-2,-1) y V2 « (6, 7), y tiene excentricidad e = 1/2 , hallar la ec. vect. de E , los fo cos F¿ , F2 , los extremos Rj , R2 del lado recto derecho,y las ecuaciones vectoriales de las directrices Li y L2 .

73.

La elipse E tiene los extremos del eje menor en Bj = (2, 5), B2 = (8, -3). Si Q = (37/5, 39/5) e E , hallar el centro de E , la ex centricidad, la ec. vect. de E , los vértices Vt , V2 y las ecua ciones generales de las directrices L| y L2 .

74.

La elipse E tiene un vértice Vj = (21, 11) y el foco correspon diente Ft - (17, 9). Si la elipse pasa por Q = (67/5, 81/5), ha llar la excentricidad, el foco F2 , el vértice V2 y las ecuacio nes generales de las directrices Lj y L2 . SU6: C = (17,9) - cü.

75.

(UNI) Dada la elipse Ex: 16x2 + 9y2 = 47 + 32x + 54y , encontrar la ecuación de la elipse E2 cuyo centro Fc es el extremo derecho del eje menor de Ei , uno de cuyos focos es el vértice inferior de Ej y que pasa por el vértice superior de Ej .

76.

Hallar la ec. de las rectas tangentes a la elipse 9x2 + 16y2 * trazadas desde (4, 9). Rp: y = x + 5, 25x + I6y = 244

144,

Cap.i 77.

La Etíf¿¿

Sea

P una parSbola con vértice

399

V(3, 5)

y

Pr ^

VB

= (4, 4) ,

dondi B es el extremo inferior d.¿l lado recto y F el foco de P. Si E es la elipse cuyo eje mayor es el eje de P , cuyo centro es F y con un vértice sobre el Eje X. Si un foco de la elipse E se encuentra en ladirectriz de P , hallar a) la ecuación de E , y b) las rectas que contienen a los lados rectos de E . 2

2

78. Sea la circunferencia C: x + y + 2x - 6y - 15 = 0 y T la rec ta tangente a C en el punto P (2, -1) . Sea E una elipse cuyo eje mayor coincide con T , cuyo foco derecho es P . Si la elipse E pasa por el centro de C y tiene excentr. 1/2 , hallar a) la ecuación de E, b) las ecuaciones de sus directrices. 2

2

79. La circunferencia C: (x - 3) + [y * 2) = 10C está circunscrita una elipse de excentr. 1//2 que pasa por (9, 6) e C . Hallar la cuación de la elipse y de sus directrices.

a e

80. Dada la circunferencia C: x2 + y2 - 12x + Zy + 12 = 0 , la recta L: 3x - Ay + 3 = 0 es tangente a C y es directriz ae una elipse E . Si E n C = y L divide perpendicularmente al segmento que une los centros de C y E enla razón de 1 a 2 , ha1lar la ecuación de E , si uno de los focosse encuentra en el Eje Y . 81. Los focos de una elipse E son Fi(-1, 3) y F2(5,3). Si R e E y la suma de las longitudes de los vectores focales de R es igual a 4 eces la longitud del lado recto, hallar la ecuación de E . 82. Hallar la ecuación de las rectas tangente* a la elipse 3x2 + y2 + 4x - Zy + 1 = 0 , que sean perpendiculares a la recta x + y - 18 = 0 . 83.

Una elipse E con centro en el origen tiene un foco en (4/2, 0). Si (3, /3) e E , hallar sus directrices. Rp: x = í (9//2 )

84.

Una elipse E tiene centro (4, 3), e = '3/2 . La -ecta 3x + 4y = 74 es tangente a E en uno desus vértices. Si Q' = (6, 4)'está dado X'Y', hallar en XY la recta normal a E en el punto Q .

85.

Sea x + Zy = 5 una directriz de una elipse E que se encuentra en el 1er. cuadrante, con e = 1/2, y cuyo eje focal pasa por el origen. Sea P una parábola cuyo lado recto coincide con el semieje mayor iz quierdo de E, que mide 10/5, y con vértice V(h, k) con 3h > 2k. Hallar las ecuaciones de la parábola P y de la elipse E .

86.

El eje menor de la elipse E está contenido en L ^ (1, /3 -1) + t(l, , /3). La recta L2: (/3, -2) + t(-l,/3) es tangente a E en P¿ = (5, y'0 ). Si e = 1//3 y E no cortaal tercer cuadrante, hallar:

400 y'0

87.

Cap. 6

Introducción oJL AnSXÁJ>4J¡ UaXemítico

y la ecuación de la elipse E .

El eje focal de una elipse E tiene pendiente 3/2. Si C es una cir cunferencia tangente a E , con radio 5 y centro (S, 1) coincidente con el centro de E , y si adeniás, la longitud del eje mayor de E es tres veces el diámetro de C , hallar la excentricidad de E .

88. Desde A(4, -3) se trazan tangentes a la circunf. C: x2 + y2 - 24x 6y + 117 = 0 , hallar la ecuación de una elipseEcuyo eje mayor pertenece a la tangente a C de mayor pendiente, y sabiendo además que A y el (.entro de C son extremos del eje mayor y del eje menor de la elipse, respectivamente. 89.

La recta L: 4x * iy = 61 contiene a un lado recto de unaelipseE con centro (5, 7). Si el semieje menor miae 3 unid.,hallar la ecua ción de la elipse E y el extremo superior del eje menor.

CLAVE DE RESPUESTAS 8.

9x2 + 5i/2 = 41 , 5x2 + 9y2 * 29 ,11.

22.

2x + y = 9 ,

29.

(1, 1),

37.

3x - y = + 7 ,

40.

El centro es el

(29/9,-13/9)

36.

39.

Lj:

25 A2 + 9 - 16 A2 + 25 = ►

y =i (1/Z2 )(x -

65.

are tg (6/2/11) ,

70.

C = (4,6),

69.

F2(0, 1),

+ 91y2 + Z4xy - 1875 =

48.84x2

3 /3 ),

58.1/^2,

63.

(- 7/2,

-É

C - (3 , 2 ), ü = 1, L: x - y

ú = (1. l)//2 , Rjd.8),

0

(9//5)-3

A « 24/1

ü = (3, 4)/5 , x,2/100 + y '2/36 = 1 ,

, 16) + t(-4, 3) , L2: 71.

A= i ^ ,

y = í (4/3)x i (/481/3) ..[4 tangentes]

47. 7x2 + 7y2 - Zxy - 12x - 12y - 36,

*i(- 2. -2) ;

2x + 3y = 1

(r, s) * (c, b2/a) .

origina

B = i /481/3 = »

72. C = (2, 3).

3x - Zy = 8 , LN:

X-intercepto de la normal [punto (r, s) , pendiente:

B2 = a2 A2 + b2

54. Dos cuerdas

r ■ 12/5

(± a//2, ± b//2)

(a2s)/(b2r) ] , pero aquí 45. b)

Centro (0, 0),

x2 + 4y2 + 4x + 16i/ + 4 * 0

23.

Lx : (23/2,

+

t(-4, 3) F2(44/5, 62/5) ,

=

(-1, l ) / / 2

= 19, F2(-l, 6),

,

V ^ , -4)

(x'2/32)+ (i/'2/24) = 1 , F^.4, 5)

R2(7, 2),

Lj:

x ,2/72

. .

(10, 11) + t(-l, 1) ,

L2: (-6. -5) + t(l, -1) 73.

C = (5, 1), e = /3/2 ,

Q' = (6, 4)',

a = 10, b « 5,

c=

(x'2/100) + ( y '2/Z5) = 1 , donde ü * (4, 3)/5, V|(13, 7), . -5).

L1>2: 4x + 3y • 23 i (100//3)

/5 . V2(-3,

La Etipie

Cap. % 74.

e - 4/5 , C - (1.1). u ■ (2. l)//5

.

c - 8/5,

, F2(-15, -7).

77.

( x ,2/ 5 0 0 )

p - 4/2,

b2/a - |CP| ■ |

79.

,V(3, 5),

b)

LR:

CF\| ,

81.

c* 3,

b = c -5,

2a » 8b2/a

Fj(-l.l),c » 8 / 2 , b=10//7,

c

* 10/3 .Fc -

D i >2: Fd i (40/3)ü + t(-3, 4)

D1>2: (3, -2) i 2/2(3, 4) + t(-4, 3) .

(x,2/100) + (y '2/S0) - 1 , a= 5/2,

C(7,9),

C + (8, 8) + t(-1. 1)

a « 20/3 ,

ü * (4, 3)/5 ,

¡j = (3, 4)/5, C(3, -2),

80.

V2(-19, -9) ,

+ [(3c/ - 4x + 7)2/24] = 25

ü * (1. l)//2 b - /34,

(-2/3, -3),

a = 10/5 .b = 6/5 .

L2: 4x + 2i/ = -119

E2: [(3x + 4y - 24)2/49] a « 9/2,

78.

+ ( B*1/3 ,B = 3

a « 10, c = 5/3 , b -

Lj

,

X' y

L2

además

identificando:

y'0 • 10//3

R

ü - (- /3 , l)/2

L, (1 L2 ,

e

R » (0, 1),

,

C = R + 5/3(1, /3)/2

(5/3/2, 17/2) a - 15 , b * 5 , c = 10/3 ,

b - 6 ,

e = 2/2/3

F0 - (156/25 ,117/25) ,

ü - ( 7, 24)/25 ,

(x’2/64) + (y '2/ 36) * 1 89.

c * d[ L ; (5, 7) ] = 4 , ü * (4, 3)/5 ,

b = 3,

a = 5

Extremo superior del eje menor: ==»

Elipse: Y

(x,2/25) + {{/’2/9) = 1 ,

,

C = (5, 7) , Q

■

C + bü"*"

Q

* (16/5, 47/5)

x’ =

[(x, y) - C ] • ¡¡

y'

[(*, y) - c ]. ü-1

=

en XY, la Elipse:[(4x+3y-41)2/625] + [(4y- 3x - 13)2/225] = 1 .

UitluducCLÚn al Aniliii& UaXemiticv

402 b ,

LADC RECTO de H mide

la longitud del LADO RECTO.

=s>

a < b .

H es llamada HIPERBOLA EQUILATERA.

d[ R ; Fj ] - d [ R ; F2 ] = 2a

(/ 4c2 + h2 ) - h * 2a

a = b ,

2b2/a . Probaremos que

( haciendo

h - (c2 - a2)/a = b2/a

P = R ), ..

probado.

IntAuducción ai A

404

H.H

n

Cap. i

HatnaAticv

Probar que en toda hipérbola H :

PRUBLETA

a)

c = ae ,

c)

La excentricidad e es mayor que

SOLUCION

b)

d[C ; Lx ] = d[C ; L2] = | , 1 :

e > 1 .

d[R ; F2]

b2/a

c2 - a2

d[R ; L2]

c - d[C ; L2]

a(c- d[C; L2] ) (a)

d [ v2 • ^2 ]

Y por otro lado:

d [ V2 ; L2] De (B):

d [ C ; L 2] *

a - [(c - a)/e ]

En (u): c2 - a2 = ae(c - a)(e ♦ l)/e == Para el caso de De (a)

c * ae . Luego,

.... ( 6 ) a - d[C ; L2] =»

c - d[C ; L2] ■

=»

c ♦ a = a(e ♦ 1)

d [ C ; L 2] =

(c - a)(e + 1)

a - [(ae - a)/e]

d[C ; L,] , se prueba en forma similar.

resulta que

e (* c/a) > 1 ,

puesto que

0 < a < c .

» a/e

Hiptnbotai

Cap. $

4D5

De esta forma se completa el gráfico de la FIGURA 2, que es muy útil para efecto de cálculos y resolución ae problemas. 4.5

EJERCICIO.

Demostrar que en toda HIPERBOLA Ei/UILATERA la excentM cidad es siempre constarte: En efecto,

de

c * ae , y de

c2 - a2 ♦ b2 = 2a2 4.6

e » /2 .

—

a = b ,

entonces

2 - c2/a2 - e'

.

ECUACION VECTORIAL DE UNA HIPERBOLA H y) ■ C + x'ü + y 'ü X

Para todo punto P » (x, donde C es el centro de la hipérbola, d[P, F,] ------d[P, l 2]

e-

y como

(d[P. F2])2 - e ( d [P, L2] )

«=*

d[ P, F2] = | P - F 2 | = | C - F 2 + x'u + ■ |(x* -c)ü + y'ú ■*" | d [ P, L2] = |x1 - (a/e)|

Además, (x‘, y')

,

en el sistema transformado.

pues

V 2-

(c2 -a2)x, 2 - a

(a)

y‘\¡

/(*'-

P ■ (x, y)

c)2

+ y '2

tiene coordenadas

Al reemplazar en (a) se obtiene: , donde

a2(c2 - a2)

b2x'2 - a.2y '2 = a2b2

,

pues

c = ae

.... c2 = a2 +

b2

y '2

x'2

v

..

| * |-cu + x'ü +

■

(x‘ -c)2 + y’ 2 ■ e2(x' - (a/e))2

-

e H ,

se tiene que:

v

■ 1

Luego, la ecuación vectorial de la hipérbola H es:

P ■ (*. y) ■ C + x'ü + y ’ü'L >2

a2

,

donde (*)

,2

- ^ - = 1 , b2

|ü| = 1 ,

C = Centro de H

De la figura anterior se tiene que, siendo C el centro de H VERTICES:

V * C i aü

,

FOCOS:

F = C i cú

,

406

liiVioducíUón aJL A»iclL íaía UcUemSUxco

EXTREMOS OEL EJE CONJUGADO: DIRECTRICES

Lj

:

X*

B[, P 2 =

= -a/e , X*

ü : 4.7

*

:

Cap. S

C í bü1 x'

a/e ,

=

donde

(P - Cj.fi , P =■ ( * . y) vector unitario de rotación de Ejes.

RECTAS ASINTOTAS DE LAS HIPERBOLAS Las ecuaciones de las rectas L'

las formas

b .

y'

L' :

y l"

, en X'Y',

tienen

L"

(FIG. 3)

y se puede demostrar que la distancia de cualquier punto P e H recta L'

tiende a cero conforme la coordenada

infinito.

En efecto, si

ces

7

, en el sistema X’Y1 , enton

i

ñl . üL a2 b2 d[P ; L'] =

P « (x', y') e H

hasta la

x’ del punto P tiende al

.

i

|bx' - iy' |

I bx’ - ay'|

/ a 2 ♦ b2 | bx' - a / b2[(x'2/a2) - 1] | c

Cap. i

=*

HipVibotai

^ d [ P ; L‘] =

407

| x'- / 7 7 |

» ------ ¿

=

-

I *■ ♦ / 7 ^ ~ 7

. i

de donde vemos que si x' tiende a oo , entonces d[ P L‘]tiende a ce ro. Por lotanto, L' (y L“) resultaser recta ASINTOTA de H ,y pa sa por el Centro de esta hipérbola H . Como las ecuaciones de entonces, en XY , estas ASINTOTAS {

L‘ y L" son y' * i

x' « í (a/e)

L" con signo (-) .

t e

R

}

C es el Centro de H .

P ■ (x, y) ■ C ± ^ ü + tü"*■

donde C es el Centro de la hipérbola.

A)

/

Análogamente, las ecuaciones de las rectas DIRECTRICES : , tienen la forma vectorial , en XY ,

Li , L2 :

4.8

,

tienen la ecuación vectorial:

P = (x, y) * C ♦ t(aü ± b u 1 )

L' con signo (+) , y

^ x'

,

t e R

(Ver la figura 2)

CASOS PARTICULARES DE LA ECUACION DE UNA HIPERBOLA CON EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE X u » i » (1, 0)

Corresponde a hay traslación Luego, si P »

C * (h, k). (x, y) ,

. No hay Rotación de Ejes, pero sf

Y

x1 - (P-C).(l, 0) ■ y'

-

*

x - h , ( P - c ) . ( o , i) y -k

k

Reemplazando en (x,2/a2) - (y'2/b2) » 1 . se obtiene la forma:

0 Fl = (h - c , k) .

F2 - (h + c , k)

1‘

408

¡ntAodu.cc.t6n ai knilunA MaXemâticv

V, * (h - a , k ) ,

V2 * (ht-a, k )

Bt • ( h . k + b) .

B2 = (h, k-b)

DIRECTRICES :

Lt :

« = h - (a/e)

ASINTOTAS 1 ‘ y L" y -k

B)

Cap. t

x » h + (a/e)

,

reemplazando x'

en

= Í -(* - h)

y' - t (b/a )>i1 , 2

= ae ,

2

c = a ♦ b

2

CON EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y ü = J = (0. 1) : ROTACION DE 90° ; C = (h, k) Centro de H : TRASLACION « • “ [(*. tf) - C]-ü Reemplazando en

=

(«/ - k) .

y' = [(*. y) - C].5X = -(*-h) y' =

(x,2/a2) - (y'2/b2) = 1 , ASINTOTAS : (L1 y L*)

a t r(x - h)

Y “

Fl = (h, k + c) F2 = (h, k - ) V1 = (h, k ♦ a) V2 = (h, k - a )

“♦§ k

B. = (h - b . k) Bi = (h + b , k ) L1 :

y - k

t (b/a)x’ :

k--a * e-

y - k ♦ (a/e)

L2 : y = k - (a/e) , (DIRECTRICES)

(1.9

HIPERBOLAS CONJUGADAS Cuando las hipérbolas

Hj y H2 tienen las mismas

asintotas y tienen intercambiados el eje transverso y el eje conjuga do, entonces estas hipérbolas se denominan Asi, las ecuaciones

HIPERBOLAS C0NJU6ADAS. «2 :

y '2 ~2 ‘

-.2 = 1

Cap.S

Hirínb.lai

409

corresponden a un par de tn pérbolas conjugadas . CLAVE ;

No-te que milXXpli

cando ti pnimeA nUembxo di cualqu^¿Aa de La,6 ecuacw«eA

(Hj ó H2) , pol -1 , ¿e obêne la otAa ecuaitón (H2 6 Hj , respectivamente). Por ejemplo,

sea H la

pérbola de ecuación la ecuación de la conjugada resulta : —

4.10

NOTA.

2

y

- —

12

* 16

2 = 1

Existe un artificio muy útil para conocer las ecuaciones de (xl2/a2) - (y'2/b2) = 1 , / y consiste en reemplazar en esta ecuación el 1 por 0 , en las asíntotas, dada la ecuación

el segundo miembro: ,.2

.,2

,■2

.>2

= 0

l».ll

En la hipérbola [(x-2) 2/4‘] - [(y - l)¿/32] = 1 , hallar las ecuaciones de las asíntotas L 1 , L" , el

EJERCICIO.

centro C , los vértices , V 2 , los extremos del eje conjugado Bj , B 2 , los focos Fj , F ¿ , las directrices, L2 , y la excentricidad e . So l u c i ó n .

El eje focal es paralelo al Eje X . Las ecuaciones'de

las asíntotas las obtenemos haciendo [(x - 2)2/42] - [(y - l)2/32] = 0 AdemaS,

a = 4 , b = 3 ,

C = (h, k) = (2, 1) ,

(*/ - 1) = í - U - 2)

c - / az ♦ bz = 5 ,

Vj = (h-a, k) = (-2. 1),

(h - c. k) = (-3, 1)

e = c/¡j = 5/4 V2 = (h + a, k) = (6, 1)

F, = (h + c, k) = (7, 1)

Introducción al A nítuci UaXemítica

410 = (h. k + b) 1,2 •

*

(2, 1 + 3) - (2,4), h i (a/e) » 2

Cap.i

B2 « (h, k-b) « (2, -2)

í (16/5) : DIRECTRICES

Es decir. x * - 6/5 x • 26/5

2 '

En la hipérbola x - y ♦ 4x + Zy + 12 * 0 , hallar el centro C , las asíntotas L' . L" , los focos Ft , F2 , los vértices Vi , V2 , la excentricidad e , los N y R , S de los lados recios, y las directrices. extremos M ,

4.1? EJERCICIO.

So l u c i ó n . =o

a

Completando cuadra los:

* b * 3 , c * 3/2 , e • /2

ASINTOTAS: y -1

Como

- b - 3

a

- ♦ (x + 2)

,

C * (h, k) - (-2, 1) Vt * (h,k - a) » (-2, -2) V2 * (h. k ♦ a) « (-2, 4) F! - (h, k - c) » (-2, 1 - 3/2 ) F2 = (h. k + c) - (-2, Lj : y ■

1♦

3/1)

k - (a/e)

y - 1 - (3//2)

L2 : y =

k ♦ (a/e)

Cap.& Li :

411

Hipénbotai

y =

1 + (3/Z2)

.

32/3

o ’/a

Y como

M = Ft ♦ (b2/a) J J" = Fl ♦ 3(-l, 0)

(-5, 1 - 3 / 2 )

N = Ft - (b2/a) 7 2'-'"J= Fx - 3(-l, 0)

- (1. 1 - 3/2)

R = F2 + (b2/a) J

= F2 + 3(-l,0)

=

S = F2 - (b2/a)JX

= F2

4.13

EJERCICiIO.

3(-l> 0)

= 3 , entonces

(-5, 1 + 3/2) (1. 1 ♦ 3/?)

Hallar la ecuación de la hiperDola H cuyas asíntotas y pasa por P(2, -5) .

SOLUCIÓN.

Analizando las coordenadas del punto P = (2, -5)

y las

rectas asíntotas, se deduce que el eje focal es paralelo al Eje Y . Luego, como las asíntotas tienen como ecuaciunes y = t (a/b) *

entonces

a/b = 5/3

... (a)

lo cual no implica necesariamen te que sea

a = 5 y

b = 3 .

Asi, siendo la ecuación de H : .2 a2 =>

y

b2

(2, -5) e H

[(-5)2/a2] - [(2)¿/b2] =

De (a ) y

(B)

1

se deduce que

... ( 6 ) a = 5/5/3

Por lo tanto, la ecuación de H es

9/ 125

4.14

EJERCICIO.

— 5

= 1

En XY, hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asínto tas son paralelas a los ejes coordenados. La hipérbola pasa por (3, 2) y su centro se encuentra en el punto (-1, 1).

Encontrar, además, los focos, los vértices,

las directrices y los extremos SOLUCIUN.

B del Eje Conjugado.

Como las asíntotas son paralelas a los ejes coordena

dos, se puede consiaerar un nuevo sistema X'Y', mediante el vector unitario ü = (1, 1)/✓2 , puts el eje focal formará un ángulo de 45°

tanto con

412

Int'iuduccA.ün al Audicj

V2 * C -

Fj *

C ♦ cü

= (-1 + 2» 2 ,

1 + 2/2)

F2 *

C - cü

« (-1 - 2*2 ,

1-2/2)

B, * C + bu-1 =

(-3. 3) ,

xy - x + y - 5

aü

*(-3,-1)

B2 = C - bu-1 » (1, -1)

.

Cap.i i*.15

H^péxbotai

EJERCICIO.

413

Los focos de una hipérbola

H se encuentran en la rec

ta L : 2x - jy + 16 » 0 . Si una de las asíntotas es la recta y « 4 , y se sabe que la hipérbola pasa por P ■ (2, 10), hallar la ecuación cartesiana de H en XY , los focos y la otra asíntota

L" .

POLUCION.

El eje focal X' es la recta L: Zx - 3y + \b = 0 , con vector di reccional ü « (3,2)//13 . Si una asíntota es la recta ho rizontal L‘ :y = 4 , y si P - (2, 10) c H , entonces la hipérbola H tiene la forma de la figura adyacente, donde L D L* o rigina el centro C de H Es decir, reemplazando y = 4 en L : Zx - 3y + 16 = 0 =»

x=

=>

C=

,

-2 {-2, 4) . 1

(*)

En X'Y' : La recta L = X' es horizontal, y la recta L" tiene como pen_ diente ta pendiente, con ¿ ig no opueito d e ta r¿cta

L‘ (ver la figura).

MACION DE CUORDENADAS:

x . (_2) + [(3,. . y =

L* :

y = 4

Y por las FORMULAS DE TRANSFOR

(4) + [(2*' + 3y')/✓ 13 ]

L' : 2x' + 3y' = 0 .

la pendiente de L" es

m" = 2/3 =

L” :

,

entonces

2x‘ - 3y" = 0

tan a = b/a

,

en X’Y'

==> ... (**)

Además, por las F 1RMULAS DE TRANSFORMACION, el punto P - (2, 10) , tiene en el sistema X‘Y‘ las coordenadas P‘ = (x1, y') = (24/^ 13, 10//13) y como P‘ e H , entonces reemplazando estos valores en ( * ) y (**) : a = 3/3 ,b = 2/3 , donde

c

= /39 . Así, H:

x’ = [(x, y) - C ] -ü y ' = [(*, y) - c ] . ü x

Puesto que

L“ : 2x' - 3y'

Además, los focos son

■

(x,2/27)- (y*2/12)

(3x+ Zy -

=

[3y - 2x - i6)//Í3

0

, entonces

Fj , F2 = C t cu

2)//13

L“ : by - 12x = 44 . (-2, 4) i / 3 (3 , 2)

=

y

1

414

lntn.uducc4.ón aí A n i t a a Ma.tnmiLt

- ?

‘ 1

Q - (x‘, y') = (65, -5) (-5

_

r

=

H

e

1

602 =s>

b = 12,

c = 12/26

ECUACIDN VECTORIAL DE H : ,,2

.,.2

y

3600

1

144

*' = [(*> y)

-

donde

c].¡¡

y ' - [ ( x . y) - c i - i 1 ü = (4, 3 )/5 .

ASINTOTAS . (x, y) = C ♦ t(aü i b ü ) .

4.17

PROPIEDADES DE LAS RECTAS TAN6ENTES A UNA HIPERBOLA Considerando la hipérbola

cuación de larecta

Pc , tiene la forma

a

de contacto

,

la e

(x0, ya) =

yo y

XoX T

Así,

(x2/a2) - (i/2/b2) = 1

Lj tangente a H en un punto “

Lj tiene vector direccional

~ b*—

w =

^Lj 2

|a üD , b xQ) .

Si a y b son los vectores focales del punto Pc = (xD, yQ) e H , proba remos que w es BISECTRIZ de estos dos vectores i y b (ver Fig.) ; es decir, que

a -

a ~ Fi- P0 -

B . Para ello, tenemos que (“ C - x O J

- y0 )

‘íô ) *

Cap. t

415

Hipínbolai

cosa

= (5 .w)/(|£ ||w|) = -(ca2y0 + a2 x0y„ * b~ x.0y0)/[|w |/ (c ♦ xc)2 * y2 ]

cose

= (b -w)/( |b| |w |) = -[i2x0y0 + b2x0y0 - c¡ yD) /í |w|/(c - x0)2 + (x2/a2) - (y2 0lb2) = 1 ,

Y como

(c + x j 2 + «o -

b2 = c2 - a2 ,

J

|

entonces

c2 +2cx0 +x2 ♦y2 = c2 *2cx0 + *2 + (c2 - a 2)

^

- (c2 - a2)

a~

= a2 + 2cx„ ♦ (c2x2/a2) = (a2 + cx0)2/a2 . Análogamente, (c - x.l2 + u? =

Por lo tanto, ÍÍq J

eos a = (ca¿y0 + c2x0y0)

|w|(a2 + cx0)/a acy0 ’ |w| eos B

NO TA.

actfo Iw |

Eita pA.0 p4.edad iziulta independíente de ¿u poifción en el plano y la A.e¿uirUmc¿ en eJL ¿¿guíente teorema, cuya dematAación acubamoi de nealizaA.

U .1 8

TEO REM A.

La tecla tangente a una lbipin.bela en cualquier punto de contacto

PQ = (xc, yo)

u

BISECTRIZ de Coi vectonzi

íocalei de dicho punto de la hipérbola.

4 .1 9

E JE R C IC IO .

La hipérbola H tiene excentricidad

e

=

✓

los vértices l/j = (-7, -3) y V2 = (9, 9). centro C , los focos

y

5/2 , y Hallar el

F2 , las asíntotas , las

directrices y los extremo; del eje conjugado.

Introducción ai Anáí¿i¿i Hatemíticu

416 SOLUCIÓN.

Cap. i

ü = (V2 - Vl)/ |V2 - Vil = (4, 3)/5 C = (Vi + V2)/2 e = fin

=(1.3).

= c/a .

ñ = (2,-1) .

La asíntota L" = siana es

c = 5/5 .

b = / c 2 - a2

Luego,

L‘ :

2x - lly =

L" :

= (-10,5)

,ó

.

Fj = C - c ü

= (-7, -3)

C + bü-1- = (-2,7)

+ cü

= ( 1 -4 /5 ,

3-3/5)

= (1

+ 4>'5 , 3 +

V2 =

C ♦ aü

=

,

B2 =

C - bu 1

= (4,-1)

tiene como vector

Q! = C - (a/e)ü

= (1 - (16/5/5). :

ecuanóncarte

,

La directriz Lj

Lj

,y su

- 31 .

F2 = C

=»

2x - y = -1

10)

L" tiene representación vectorial

También tenemos que

=

Además.

= 5

ñ =(5,

t (*, y) = C + t(aü - bú1 ) / t e R ) ( (*. y) = (1.3) + t(11, 2) / t e R }

V, = C - aü

.

a = |C\T2 I = IV2 - C | =■ | (8, 6)| = 10 ,

aü + bu -*" = (5, 10) y como vector normal también

V 1V2 es el vector

El vector unitario en la dirección de

4x + 3y -13

3/5 ) (9, 9)

normal: (4, 3), y pasa por el punto 3 - (12/5/5)) - 20f 5

Hipíxbotüi

Cap.í Ladirectriz

L2tiene coio vector

normal : (4,

Q2 - C + (a/e)ü - (1 +(16/5/5), ==*

L2 :

4.20E J E R C I C I O

4« ♦ 3¡( *

417

3 + (12/5/5))

13 + 20/5 .

Si un Toco de la hipérbola

.

3) , y pasa por el punto

H es

Fx = (2, 1) y un la

do recto está sobre la recta L„ : 3x + 4y =10(1 + 5/2) y mide 10 unid, de longitud, determinar el centro C . los vértices Vj , V2 , las asíntotas L* , L" , la ex centricidad y las ecuaciones de las directrices. So l u c i ó n . El lado recto MN mide 10 = 2bZ/a

.. (1)

2c ‘ d [ F n F2] = d[Fi ; L0] z

=

=>

| ID - 10(1 + 5/2) | 5

------------------------------------------------------------

10/2

c - 5/2 ,

50 = c2 = a2 + b2 Resolviendo a = 5 ,

.. (2)

(1) y (2) : b = 5 ,

e = c/a - /2 ,

C =

F1 + cü

=

(2 + 3/2, 1 ♦ 4/2)

f2

Fj + (2c)ü -

(2 + 6/2, 1 + 8 / 2 )

-

Vt -

C - aü

V2 - C + aü La asíntota =>

de lo cualresulta que , donde

ú * (3, 4)/5

- ( - 1 + 3 / 2 , -3 + 4/2) - (5 + 3/2, L' pasa por L1:

C y

7* + y *

5 + 4/2) tiene vector direccional aü + bü X ■ (-1, 7) 15 + 25/1

La asíntota L" pasa por C y tiene vector direccional aü - bü X ■ (7, 1) y como vector rormal : (-1, 7) , de modo que =»

L* :

-x + ly -

5 + 25/2

La directriz Lt tiene vector normal

(3, 4) y pasa por el punto

Qt »

IntAoducctón al Atrilliti Matemàtico

418

Cap.S

Q t = C - (a/e)ü = (4 + 3/2,

2 + 4/2 )/2 ,

Lj : 3x + Ay = (20 ♦ 25/2J/2 La directriz L2 tiene vector normal

(3, 4) y pasa por

Q2 = C ♦ (a/e)ü -

(4 + 9/2,

2 + 12/2 )/2 ,

L, : 3x + Ay = (20 + 75/2)/2

4.21

EJERCICIO.

Después de una rotación de los ejes coordenados X, Y, en un ángulo de 8 radianes, 0 < 0 < ir/2 , segui da de una traslación al nuevo origen C = (3, -1) , la x‘2 = 6 + 2y' 2

ecuación de una cónica resulta

de jna de sus directrices en el sistema Lj :

XY

, y la ecuación

resulta ser

3x + Ay - 15 = D .

Hallar la ecuación de la cónica, identificarla, y así también la ecua ción vectorial j general de la otra recta directriz So l u c i ó n .

L2 en XY .

Reconocemos la ecuación equivalente:

.2 - £ 2 . 3 y mal

,

...

a = /6 ,

a/e * 2 , siendo (3, 4)

traslación

coiflu la dé una hipérbola H con

(*)

Lt : 3x + Ay = 15

es paralelo al eje focal C

X'

b = /3 ,

la directriz cuyo vector nor

de H . Consideremos el vector de

= (3, -1),entonces

*' = [(*. y) - C ]-ü

=

(3x + Ay

-5)/5

y' = [(*,!/)- C ]•ü X

=

(3y -4x

+ 15) /5

La directriz

c = /a 2 + b2 = 3

2'

X-

= -(a/e) = -2

L2 : 3x +

(3x * Ay - 5)/5 = -2

Atj = -5

Y reemplazando x' , y‘ , en

(*) , se tiene la ecuación de la hipérbola

Cap.S

lntxoduc

(18,

Intlvducció» al Anátii-ii HcUi¿ri/ (1, -1)

Fj =

C + cü = (11,4)

Un punto de paso Q , para cada una de las DIRECTRICES [cuyo vector normal es

(2, 1) ] , loobtenemos como sigue: q = C i (a/ejü

= C i (a2/c)¡¡

= (37/5 , 11/5) ==»

D| :

ASINTOTAS

.. (+)

2x + y = 17

6

,

P = C ♦ t[aG t bü X ]

,

(*, y) = (1. -1) + t(5, 10)

L2 :

U . y) =

iüERCICIO.

( i . - i ) ♦ M U . - 2)

.

2

2

2

2 2

La hipérbola H

si

-1 ■

2

a b /c

2

.

tiene como asíntotas a las rectas

y » 1b/a)x

Luego,

P = (x, y) ,

(x /a ) - (y /b ) * 1 , es con&tante. e i

yual al valor

es decir.

donde

Demostrar que el producto de las distancias de cual quier punto P = (x y) de la hipérbola H de e cuación

So l u c i ó n .

.. (-)

2x + y ■ -15

D2 :

L, :

4.23

(-27/5 , -21/5)

y = -(b/a)x ,

,

bx - ay - 0 ,

L2 :

bx ♦ ay = 0

P = (x, y) , entonces |bx - ay|

d[P ; Lj ] • d [ P ; L2] =

/ ¿ T

|bx + ay | / a 2 ♦ b2

b2x2 - a2*2 |

a2b2

(a2 + b2) puesto que 4.24

.2 2 2 ,2 b x - ay

(x2/a2) - (ifii>duiic(i>n al A 'át 1 , tal que el triángulo formado por dicho punto y los focos de E tenga un área de 3/2 u2. Hallar la ecuación vectorial

y

la excentricidad de una hipérbola

H

que tiene u

no de sus vértices en el punto (3, y) sabiendo que la recta tangente a la elipse en el punto (3, y) es perpendicular al eje focal de H, que la excentricidad de E es la inversa de la de H , y que el otro vértice de H tiene coordenadas (x, 2) y pertenece a la elipse E . 101. Las asíntotas de la hipérbola H cuyo eje focal es paralelo al Eje X, son: 2

(A - A, B/2) X • (B/2, C - A)

=0

«=>

(-B/2, A - A) • (B/2, C - A)

-0

(B/2, C -

(A - A)(C - A) - (B2/4)

0

u ^ B ) + u2(C - A)

0

u • (A - A , ^ B/

-- ( 1)

ü • (| B „ C - A)

• • (2 )

(A - A , B/Z)

c=>

y

Uj(A - A) + u2( k B)

como a

{B/2, C - A)

A) son paralelos

- 0

A2 - (A + C)A - [(B2 - 4ACJ/4J

= 0

Esta última ecuación cuadrática en la incógnita

A

• (C) , denotada por (C) es

llamada la ECUACION CARACTERISTICA de la Forma Cuadrática Ax2 + Buy + asi como de la A2 son llamadas 8.3

NOTA

Ecuación General de 2o Grado (*).

Sus raíces *1 >

RAICES CARACTERISTICAS.

El Discriminante de la Ecuación Característica (C) : (A + C)2 + (B2 - 4AC)

*

(A - C)2 + B2

resulta

>0

,

pues es una suma de dos (cuadrados) números no negativos, y

440

La Ecuación GinviaL de Segundo Gnado

será POSITIVO si

B/0

ó si

Cap. i

A/C.

8.4 EJERCICIO ■- Demostrar que si Aj

y A2 sonlasajüjlm cxLXacXeXUticM,

de la Ecuación de Segundo Grado (*), entonces a)

B

b)

B = 0

c)

SiB=0

f

0

t

d)

= >

y

At t

.

A = C

Ai = x2 ’ A

y A ¿ C

,entonces:

A2y [ { Aj ■ A

Aj ♦ A2

A2 - C )

( Aj " C

6

y

A2 » A ) ]

.

Utilizando la NOTA [8.3] y la forma de las raíces de la ecuación

A>c

y

= A + C .

SOLUCIÓN

X .

A2

A2 - (A + C)A - [(B2 - 4ACJ/4] = 0

, que son

♦ / [ A - C ) ¡ .J Í 2

entonces existirán dos raíces reales distintas Aj y sión dentro del radical es POSITIVA,

A2si es que la

es decir, siB t 0

ósi

expre

At C .

Pero

si la expresión dentro del radical es CERO, entonces existirá una sola raíz doble (es decir,

Aj = A2 * A ) , y ello ocurrirá si es que

A = C . De esta manera, hemos demostrado (a) y (b).

B *0

y

La prueba de (c) y (d)

se siguen de la expresión (S). 8.5

ELECCION DEL VECTOR UNITARIO DE ROTACION DE EJES ADECUADO Regresando a los pasos seguidos para obtener la E -

CUACION CARACTERISTICA (C) en [B.2], vemos que el vector unitariode rotación G adecuado es el que satisface ya sea la ecuación ü ■ (A - A , B/2) = 0 ,

ó el que satisface

ü ■ (B/2, A - C) = 0 .

Por lo tanto, se puede elegir como ü al vector unitario paralelo al (A - A , B/2) X +

ó el vector unitario paralelo al vector (B/2 , Aj - A ) 1(B/2 . A, - A) |

_

+

(B/2, C-

vector A )X

( A2 - C, B/2) |( A2 - C. B/2 ) |

:

441

La Ecuac¿2n Gmejuit de. Segu ido G/iado

Cap. S

Además, se puede verificar que vector

(X2 - C, B/2)

(B/2, Xj - A)-(X2

y el

-C. B/2)*(B/2)[( X2- C) + (Xt- A)] ■

Xt + X2 ■

(B/2, Xt - A)

¿on oitogonalu , en todos los casos. En efecto.

(B/2) [( Xj + X2) - (A + C)] » 0

A + C , por (d) de

, pues

[B.4].

Por lo tanto, los vectores de laprimera fórmula [con (+) y con (-)],

son or

tognnales a los de la secunda fórmula. 8 .6

C O N S E C U E N C IA S

IM P O R T A N T E S

Con respecto a las fórmulas dadas- Dara EJERCICIO a)

Bt 0,

Si

u , y usando el

[8.‘Jj previo, tenemos que, Xj f X2 , y por lo tanto, para la

entonces

primera

fórmula, Xt puede ser elegido co mo cualquiera de las dos raíces características, y por consiguiente, pa ra la segunda fórmula X2 corresponderá a la otra raíz. Oe esta manera se obtienen cuaVi~ vectores

ü posibles

en cuyas direcciones se consi

gue la DIAGONAUZACION. b)

B* 0

Si

y

A f C ,

Xjaquella raíz

entonces Xj f X2 también,

que no coincide con

y en la prime

ra fórmula se elige para A , pues sino (B/2, Xj - A) se

ría = (0, 0) , y no sepodría construir el vector ü de esta forma. Por lo tanto, si Xj es elige tal que Xj f A entonces la otra raíz es la que coincide con A :

X2 = A

, de donde resulta

X2

+ C .

De esta forma también es posible construir cuatru direcciones en las que la forma cuadrática general (*) esté DIAGONALIZADA. Asimismo, note en este caso que, siendo B 2

2

Ax + Bxy + C(/

2

= Ax + Cy

2

0,

la forma cuadrática :

, ya está d.agonal izada, aún cuando

existirán otras tres direcciones en las que seguirá siendo Diagonal.c)

Si B = 0 ü =

y

A=C,

entonces las fórmulas dadas para el vector ü no son aplicables, pues resultaría que

(0, 0), lo cual es absurdo.

Lo que ocurre en este caso, es que

PARA T0V0 VECTOR UNITARIO u = (u , u2) , la forma cuadrática Ae¿-íttúA¿ d¿agoruu*.¿ada .

n zmp>ie

En efecto, de las fórmulas de Rotación de Co-

La Ecuación Generai de Segundo Grado

442

A*2 + Cy2 « A(*2 +■ y2)

ordenadas [8.2] :

Cap. S

■

- AÍIí'Uj - y'u2) 1 * (*‘u2 + i/'Uj)2] - A [ (*‘2 + 0 = * tanto, el vector ü

. _ .

i»«.

-(a +

.

.

A, - f l ) |

1

2

1

2

- j y'

z

- [(b 2 - 4a c )/4 ] = o

A2 - -1/2 ,

por lo

im . m

,

r'2

* 8

= >

z

.

| ( l / 2 , 1/ 2) |

y la ecuación diagonalizada resultante será: ■j x'

c )a

1/2 ,

será: , - »>

1 ( B/ 2,

a2

Aj -

.

— 16

ALx'

2

+ X2 y

2

= 8

:

,,'2

y

- — 16

=

1

,

que representa

una hipérbola con el eje focal paralelo al Eje X', en la misma dirección del vector ción.

„ = (1, l)//2 Note que si

tal como en el primer problema resuelto de esta sec

u = -(1, l))//2 , entonces se obtiene la misma forma

diagonal . Los otôs dos vectores buscados son los ortogonales a ü ; es de

La Ecuación General de Seguidi v/iadc

Cap. S cir

8.18

(-1, l)//2

y

447

(1, -l)//2 .

TEOREMA DE LOS INVARIANTES

Para cualquier rotación de coor denadas determinada por el vec

tor unitario ü = (ut, u2) > y que, en general, transforma la ecua riñn

9

9

Hx¿ + Bxy + Z y * D* + Ey + F

= 0

..

(*)

..

(**)

en la ecuación A1x12 + B'x1!/' + Z 'y '2 * D'x' * E 'y‘ * F' (donde a) c)

A' + C* = , , D'2 ♦ E'2 =

En particular, si A 1 y C' los

A + C , , D2 + E2

b)

De

B'

,

, -B- 4AC

- 4A'C*

son las raíces características de (*) ,se tienen

resultados del COROLARIO B [8.12] , pues

Prueba

0

B'puede ser igual ó distinto de cero) , se tiene que:

B‘ = 0 .

(*, y) = x*¡¡ + y 'ü L

í

* =

1

y

x'uj - y ' u2

= x’u2 + y ' u l ,

y que al ri emplazar en (*), e identificar coeficientes resulta que: A' • Au2 + Buju2 + Cu2

,

B' = Bu2 + 2(C - A)uju2 - Bu2 C' =

Cu2 - Büj U2 + A u 2

, ,

D‘ =

Duj + Eu2

E' =

-Du2 + Eut

F1= 2

F

2

De estas relaciones, y sabiendo que Uj + u2 = 1 , pues u es unitario, se obtienen las tres identidades buscadas. (Favor de verificar los cálculos). Debido a este resultado es que en toda ECUACION GE NERAL DE SEGUNDO GRADO a las expresiones se les llama

A + C .

INVARIANTES de la ecuación (*),

B2 - 4AC

y

D2 + E2

con respecto a rotaciones de

los ejes coordenados. B.19

EJERCICIO :

Identificar y bosquejar la gráfica de la ecuación 17x2 - 312xy * lORy2 = - 900 .

Solución

a = 17 , b = -312 , c = ios :

X2 - (A + C) X - [(B2 - 4flC)/4 ] = 0 (X + 100)( X - 225) = 0

=*

=5“ Aj = -100 ,

a + c = 125 , X2 - 125 X - 22 500 = 0 A., = 225 .

Asi, el vec

La Ecuación

448

Grnzra. de Segundo Grado

Cap. S

tor ü de diagonalización resulta .

_

,

w

. y

I(B/2,

. l

.

,

i - ;» .- m i ,

- A)|

,

; ( < J ) / 5

_

|(-156, -117)1

aquí, elegimos el sino (+) por comodidad. ción cuadrática diagonal izada es: -100*'2 + 225¡/‘2 - -900

Pero , para ambos signos la ecua

=*

que viene a ser la ecuación de una hipérbola con semieje mayor paralelo al Eje X‘ , paralelo alvectorü * (4, 3)/5 , de longitud a = 3, con semieje menor de longitud b = 2, y con centro en el o rigen de coordenadas NOTA .- En este Ejercicio previo pudo haberse elegido Xj = 225 , y X2 = -100 , y la fórmula para ü proporcionará dosvectoresunitarios ortogonales a los dos anteriores

(por el COROLARIO C [B.133) • En

efecto, u ■

+

(B/2. Xt - A)

_+ (-156, 208)

‘ |(B/2, Xj - A) |

'

_+

|(-156, 208)|

Esta situación siempre se presenta cuando B f 0 en (*). 8.20

OBSERVACIONES Cuando la Ecuación de 2° Grado que se analiza es A*2 + Bxy * Cy2 * f

= 0

que viene a ser la Ecuación (*) aonde y D = E = 0 , entonces, cualquiera de los signos ü = i(B/2,

que seelija enla fórmula para el vector

Xt - A)/|(B/2,

Xj*'2 + \2 y '2 * F = 0

B t 0 ,

para Xt fijo, ü

con :

- A) | , la ecuación diagonalizada : n° variará.

Pero, si se elige como

X, a la o

tra raíz característica, entonces la fórmula para ¡¡ proporcionará un vector unitario diferente

(pues

/ X2 , y corresponderá a los dos vectores u-

nitarios ortogonales a los del primer caso), y la ecuación diagonalizada re sultante

_ Xlx

+ x2»

, + F = 0

será diferente a la anterior, pues ahora

Aj

es la otra raíz.

Cap. S 9

La Ecuación Ger.&w de Segundo Guido

449

TRANSFORMACION DE LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO Consideraremos ahora la Ecuación General de 2° Grado: A*2 + Bxy +■ C y2 + Dx + Ey ♦ F = 0

(*)

la cual será transformada a la forma especial siguiente: Xjx'2 + \2 y '2 + D'x' + E V

+ r

= 0

...

(«*)

,

meoiante una notación de l a e , H v (x, y) » x'u + y u , o x = x'uj - y u2 y

» x'u2 ♦ y 'Uj

en (*) e identificar coeficientes con los de (**), resulta que (y se puede verificar rápidamente) : D' *

Duj + E u2

>

ó equivalentemente

E' = -Du2 + Euj F' =

Así, obtenemos la Ecuación reducida (**) , la cual, en el caso en que ambas Aj y X2 ¿e.j.n diitintaA de ceAO, por una traslación de los ejes X‘Y' (com pletando cuadrados) cuación

puede transformarse, en unos nuevos ejes X"Y" , en la e-

. „2 „2 Xt x- + A2 y” + F” « 0

...

, (»»»)

9.1 ANALISIS DE LA ECUACION REDUCIDA (**) CASO I :

Aj y

x2

tienen eí miimo ¿'.gno .

Aj -A2

=

Es decir,

- (B2 - 4AC)/4

> 0

,

lo cual' in

dica uue la gráfica de la ecuación (**) puede ser como sigue: a)

Si

Aj = A2 = A ,

( ==>

B »0

y

A = C ) , t-om-

pletaodo cuadrados en (**) obti .ie..¡oü (***) cuya gráfica corresponde a: una coicun(i2Aencia, un punto ó al conjun te vade (no existe gráfica en el plano).

Los dos últimos

La Ecuación General de Segundo Gxado

450

Cap. t

son llamados "caéoi dec,%., pjiadt t de una cÍA.cun¿eAencia". Xj f X2

b) Si

, y tienen ambas el mismo signo, entonces

también completando cuadrados en (**) obtenemos (***) cuya gráfica puede corresponder a una ELIPSE, un punto ó al conjunto vacio.

Los dos últimos son también llamados "c0404 degenerado4 de una elipie".

CASO II :

*i'*2 * O

(Una de las raíces es igual a CERO). A j -^2

Entonces,

= (4AC - B2)/4 - O

en cuyo caso (**)

puede tomar una de las formas siguientes:

a)

= O:

X2 y '2 * D1*' + E V

b)

X2 = O :

+ F'

=

O

X2 x'2 + D'x' + í 'y ' + F‘

»

O ,

y si D' y E' son diferentes de CERO, entonces (a) y (b) representan Parábolos ; pero si O' = O en (a) , ó E‘ » O en (b), la gráfica corresponde a: dot rectos pa ralelas, una ¿ola m_ta (o sea, dos rectas coinciaentes), ó al conjunto vacío, los que vienen a ser los "cosoí dege nenadot di una paAábola".

CASO III :

Xj y

x2

tienen ¿ignoi di(¡eAente¿ .

*1 ' *2

*

2

Es decir,

-(B - 4AC)/4

so la ecuación transformada

Xt x"

2

< O

+■ X2 y"

2

, en cuyo ca + F" = 0

representa una HIPERBOLA , ó dot rectos no paralelos, que viene a ser el "el caio degenerado de una hipérbola" (las su puestas asíntotas)9.2 TEOREMA a) b) c)

Oada la Ecuación General de 2o Grado (*):

Si B2 - 4AC < O Si B2 - 4AC = O Si B2 - 4AC’ > O

, entonces (*) , entonces (*) , entonces (*)

representa una ELIPSE . representa una PARABOLA , representa una HIPERBOLA ,

ó alguno de lo¿ caso* degenerado¿ de eitai cónicas. La técnica completa de la "DIAGONALIZACION" cuación General de 2° Grado

de la E

(*) , la resumimos en el siguiente Teorema.

Cap. S 9.3

La Ecuación General de Segundo Grado

TEOREMA B

451

La Ecuación General de 2° Grado Ax2 + Buy *■Cy2 * Dx + íy * F - 0

.. (*)

es transformada en la ecuación xi*'2 * X2 y ' 2 + D ’*’ * Ev

* r

'

0

•• (**)

mediante una rotación de los ejes XY que origina la ECUACION CARACTERISTICA: X2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4] coeficientes

Aj y X2

* 0

de (**) , con una de las cuales se obtiene el vec

tor unitario de rotación de coordenadas:

+

ü Además, los coeficientes F'

, cuyas raíces son los

(B/2, At - A) I(B/2, Aj - A)|

D’. E' y

son obtenidos por las fórmulas :

D1 ■

(D. E) - ü

E1 -

(0. E) •

F'

9.4

NOTA

9.5

EJERCICIO :

F

Si D y E son ambos ceros,entonces también ambos ceros.

D‘ y E'

son

Encontrar todos los ángulos en los que hay que rotar el eje X oara diagonal izar la ecuación x2 - 2/3x0 + 3y2 - 8 / 3 x -By -

0

.

e identificar la curva a = i. b = - 2/3 , c = 3, d - -b/3 , e - - b ,

Solución A2

-(A + C) A - [(B2 - 4AC)/4] = 0

Aj

■4 ,

. , .

A2 * 0 m .

.

= >

El vector unitario

»,-»)

.

de

donde

de rotaciónde ejes será:

, I--1.3)

,}

_

2/3

I(B/2, Aj - A) | y eligiendo el signo (■•■) por la ecuación transformadaresult¡>: 4x'2 + D'x' + V y ' * F’ * 0

A2 - 4A - 0 , ü

f-o,

comodidad: u -(-1, /3)/2 ,( B*120° ) y j[12 t ^ y,2 + Dlj[, t E,y, + p, _ q . ,

donde

D',

D’ = (D, E) • ü > (-8/3, -8) • (-1, /3)/2

E' y F' son obtenidos de: =

0

.

,y

Cap. t

La Ecuación General de Segundo Guado

452 V

- (D. E) - ü F’ * F ■ D

-

(-8/3, -8) • (-/3, -l)/2

- 16.

Por lo tanto, la ecuación (*) se reduce a 4j[12 + U y . . Q > es decir jc*2

- - 4«/*

cuya gráfica es una parábola con el eje focal paralelo al Eje V, pero abriéndose hacia la parte negativa de Y* . Por el COROLA RIO B [8.12], los otros Sngulos de rotación de los ejes XY que también diagonal izan la ecuaclór. original son. a) Para -ü « (1, -/¿)/2 , 6 ■ 120° , y en el nuevo sistema de ejes para este Sngulo la ecuación resulta: x'2 = 4i/' lo cufl se puede verificar y sea analíticamente ó directamente de la figura. b) Para

ü

=

(-/3, -1 )/2 ,

6 * 210° , y en este nuevo sistema de

ejes X'Y', para este Sogulo, se tiene

,.2

-4x‘ bién se puede verificar ya sea gráfj^ camente 6 analíticamente mediante las fórmulas del TEOREMA B [9.3], pues este es el caso y Az ■ 4 , y el vector de rotación es: í (B/2, A1 -A)/|(B/2, A| - A) | =í (-/3,-l)/2

, lo cual tam

enque

At* 0 . con {+),

asi resulta D' ■ (D, E) • ü • 16 , E‘* (D, E)- ü*0 ,F‘ * 0 . Luego, la ecuación reducida ser? y '2 = - 4x' . que ya 4i/,2 + 16x* ■ 0 =*> había sido hallada. c) Para - ü » ( /3, l)/2 , B ■ 30° , y en estos nuevos ejes X'Y' , la ecuación de la parábola resulta: , lo cual pue 4x' de verificarse gráficamente, ó anal| ticamente considerando el signo (-) para el vector unitario de (b).

■ F

La Ecimc. ¿ i General de Segando Grado

Cap. t

9.6

COROLARIO

453

En la Ecuación General de 2° Grado A*2 ♦ Bty * Cy2 + 0* ♦ ty + F

*

0

basta que uno de los coeficientes D to de cero para que la ecuación ‘diagonalizada" reducida: Xj*'2 + X2 y’ 2 * D ‘x‘ ♦ E 'y ' * F*

6E

..

(*)

sea distin

» D

sea diferente para cada uno de los cuatro ángulos de rotación de ejes que dia gonalizan la forma cuadrática en (*). Una aplicación de este COROLARIO lo podemos ver claramente el EJERCICIO [9.5] previo. 9.7

EJERCICIO

Hallar la excentricidad, el centro y las ecuaciones vec toriales de las asíntotas (si existen) de lacónica: 4x2 - 24xi/ ♦ lly2 * 56x - 58i/

Solución

a = 4,

b-

(X - 20)(X ♦ 5) " 0

==►

===»

Xj ■ 20,

X2 - 15 X -100 - 0 X2 * - 5 ,

ü » t (B/2,Xt - A)/ |(B/2, Xj - A)| * ú « (-3, 4)/5 . Asi, F=-5

es

t (-3, 4)/5

u:

. Elegimos

el

O 1- (D, E) ■ ü - (56, -58) -(-3. 4)/5 » -80 . E* - (D, E) - ü -1- - (56, -58)-(-4, -3)/5 =

-80x‘ - 10y' - 5 *

(x* - 2)2 (y1 + l)2 ------- - ------- » 1 4 16

X'Y'

y el vector

- 10 ,

.. HIPERBOLA eje X' ,

0

, que al

COMPLETARCUAIKAVCSs

con el eje fjcal paralelo al 2 2 2 a = 2, b = 4, cL = a¿ + b ,

e ■ c/a = /5 . Elcentro de la hipérbola conrespecto a C ■ (h'. k1) ■ (2, -1) , y para conocer las coordenadas

losejes de

C

en el sistema XY aplicaremos la fórmula de rotación de coordenadas: (h, k) = h'ü * k 'ü L

* (2)[(-3, 4)/5] + (-1)[(—4, -3)/5] = (-2/5, 11/5).

Las asíntotas tienen las ecuaciones vectoriales siguientes: (x, y) * = 2x- Ui/ ■

L' : P =

=>

L" : P =

sit

. ¥la ecuación reducida resulta:

20x12 -5y '2

c = 2/5,

» 5.

- 24,c - 11, d » 56, e = -58, f - -5 - f-

X2 - (A +C)X - [(B2 - 4ACJ/4] » 0

F' =

en

C + t(au + bu X ) , t e IR , [ ó «/+1 = |^(x'-2)] (-2/5. 11/5) + t (-22/5, -4/51 , t e IR (-2/5. 11/5) + t(11. 2) , t e R . -25 . La otrarecta asíntota tiene ecuación:

(x, y) = C + t(aü - büX ) = (-2/5, 11/5)

♦ t(2, 4) .

t e

IR

La Ecuación GeneAat de Segando Gxado

454 LM :

P ■ (x, y) =

(-2/5. 11/5) + t(l, 2) .

9.8 EJERCICIO

t e R

,

(x, y)

= 0 .

b - 2, c = 0. d - / I ,e » 3/ 2 ,

a = o.

X2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4]

- 0,

G * (1, l)//2 ,

B - 45° ,

X2

,

= -1 .

y eligiendo el

y los coeficientes

D' * (D, E) • G

- { SÍ, 3/2)-(l,

= 4,

E' = (D, E)- ÜX

= ( S i , 3/2) *(-1, l)//2

- 2 ,

obteniéndose asi la ecuación reducida:

.

3= f1

f-

X2 - 1 -0 , Xj = 1 ,

¡j » 1 (B/2, xt - A)/ t(B/2, Xj - A) | = t (1, l)//2 signo (+):

es decir.

Identificar la gráfica del conjunto de puntos que satisfacen la ecuación: /2x ♦ Zxy + 3/21/ ♦ 3

Solución

Cap. t

2

F1 = F = 3

,

2

Xjx’ + X2¡/’ + D'x' + V y ' ♦ F' = 0

x'2 _ y '2 + 4x' + 2i/' + 3 = 0 (x* + 2)2 - (

Aj - 6,

Az = 2.

e - -(6 + 4 / 3 ) ,

A - 8A + 12

-

¡¡ - ( B/2 , Aj - A)/| (b/2 , Aj - A) | .

D- - (D. E) - ü = (4-6.3,

0 ,

Verifique que el vector u

-6 - 4/3)-( /3, l)/2

=

-12

Asi , ,

La Ecuación GeneA&> de Segundo Grado

456 V - (D, E) • ú

* (4-6/3, -6 - 4/3) ■{-1, /3)/2 Luego, la ecuación reducida resulta:

F' ■ F = 8 .

6x‘2 + 2y '2 - 12x‘ - üy' * 8 - 0

= »

Cap. t -

-8

,

(x‘ - l)2 ♦ [(«/■ - 2)2/3] « 1 .

cuya gráfica es la ELIPSE con eleje focal paralelo al eje Y', paralelo al vector

ü-1 - (-1, /3)/2 ,

a -/3,

b

- 1,

c* / 2

,

e- /2//3

.

Puesto que el Centro de la Elipse es C ■ (h‘, k') ■ (1, 2)

en el

sistema X'Y1 , entonces las ecua dones de las rectas directrices son:

Lj :y' - 2 ♦ (a/e) Lz :y' * 2 - (a/e)

Y puesto que y'

y

a/e - 3//2 ,

- (x. y) -

O

X

entonces Lt:

/3i/ - x - 4 + 3/2

9.11

EJERCICIO

L2:

/3 y - x - 4 - 3/2 .

Identificar la gráfica de la ecuación 34x2 - 24xi/ ♦ 41i/2 ♦ 20x - 110i/ ♦ 175 - 0 .

Solución

b - - 24, c - 4i,

a - 34,

B2 - 4AC - -5 000

X2 - (A ♦ C) X - [(B2 - 4ACJ/4] - 0 . (X - 50)( X - 25) - 0 ,

=s >

d - 20, e - - 110, f - 175 .

POSIBLE ELIPSE

(po- el TEO.iEMA ¿9.2])

X2 - 75 X + 1250 - 0

,

X! - 50 ,X2 - 25 ,

ü - (B/2, Xj - A)/ |(B/2, Xf - A)| - (-3, 4)/5 D' - (D, E) - ü

■= (20, -110)-(-3, 4)/5

E’ ■ (D, E)- ü'L

*= (20, -110)-(-4, -3)/5 ■

ducida resulta

-

50x'2 +25y '2 - 100x‘ + í>0i/'

50(x' - l)2 + 25(

Luego, la ecuación

(x1 - 4)2 u '2 ‘-----— . -— - i 16 20

125*'2 - lOO*/'2 - lOOOx' - 0 :

NOTE QUE SOLO ESTAMOS USANDO ROTACION ü . SIN TRASLACION DE EJES.

a) De (*), la

a)hallarla ecua P.

b - 216, c - - 19, d - - 800, e - - 600, f - o ,

E' ■ (D, E) • ü■ 0 ,

El punto P * (5, 10)

457

(CASO DEGENERADO OE ELIPSE)

Identificar la gráfi

ca de la ecuación cuadrática 41 x2 - 24xi/ + 34ii1 + 270x - 140y ♦ 475 * 0 . SOLUCION B2 - 4AC

A - 41, = - 5000 < 0

B * -24, = »

Empezaremos la DIAGONALIZACION

C = 34.

POSIBLE ELIPSE

E = -140.

F =* 475 ,

(por el TEOREMA [9.2] )

resolviendo la ECUACION CARACTERISTICA :

X2 - (A + C)X - | [B2 - 4AC] - O (X - 50)(X - 25) = 0

D = 270.

==»

X2 - 75 X + 1250 = 0

= = » X t - 50 .

X2 = 25

.

.

Con esta elección (arbitraria) de los subíndices delas RAICES CARACTERIS~n CAS . procedemos a hallar el VECTOR UNITARIO ü DE ROTACION DE EJES . que viene a ser un vector unitario paralelo al vector í (-12. 50-41) ü » (4, -3)/5 D* * (D, E)•ü

■= i (-12, 9)

i (B/2, Xj - A)

- ;*3(4,-3).

. Calculamos los coeficientes =(270, -140)-(4, -3)/5

=

E‘ * (D, E)-¡¡X = (270, -140) (3, 4)/5

=

=

Asi, eligiendo (+) : D‘ , E' y

F1 « F :

300 50 .

F*

= F = 475

,

La Ecuatu5n General de Segundo Grado

458 y por el

TEOREMA B [9.3] , la Ecuación Transformada es

50x*2 + 25 1/'2 + 300x' + SOy' + 475 = 0 2x'2 + y '2 + 12x’ ♦ 2y' * 19 = 0 cuya única solución es

.

Dividiendo entre 25 :

= »

x' + 3 * 0

~

2(x’ ♦ 3)2 + (y’ ♦ l)2 « 0 . y* +

1*0

que corresponde a la intersección de las dos rectas y que viene a ser UN UHICO PUNTO. Puesto que x' = (x. y)-ü y' -

Cap. S

(~ :

x’ ■ -3

»

(x, y) -(4. -3)/5

-

(4x - 3y)/S

(x, y) -u"L -

(x, y)-( 3, 4)/5

»

(3x ♦ 4«/)/5

En el sistema

XY

in telecció n

y

)

y' * -1 ,

las dos rectas est5n representadas como

^ 4x - 3y * - 15 { l 3x + 4¡/ * - 5

cuya Intersección (x, y) - (-3, 1) viene a ser justamente la iolución de ette. pan. de eûa 0 ,

n) /x

= 0

-/¡/ » ✓ a

3x2 - 2xi/ + 3t/2 + 2Í2x - 6/"2i/ + 2 = 0 .

,

a> 0.

paralos

La Ecuación O^nviat di Segundo G/iado

462

7.

Cap. S

Hallar las ecuaciones de las rectas asíntotas, directrices y las coordena das de los focos y vértices de la cónica cuya ecuación es: llx2 - 24«!/ ♦ 4ii2 - 40x ♦ 80i/ ♦ 5 ■ 0 .

8. Después de una rotación de los ejes XY. seguida de una traslación al pun to (3,-1), la ecuación de una cónica resulta ser: x>2 _ 2y '2 - 6 y la ecuación de una de sus directrices es la ecuación de la cónica y de la otra directriz.

L: SUG:

3x ♦ 4j/ «

Hallar k .

9. Hallar uno de los ángulos en que es necesario rotar los e.ies para diagona Hzar la forma cuadrática de la ecuación: x2 - 2/ 3x1/ ♦ 3y2 - 8/ 3x - 8y - 0 10. Graficar la ecuación:

17x2 - IZxy ♦ 8i/2 - 22x - 4i/ + 13 * 0 .

11. Hallar la excentricidad de

9x2 - 4xi/ ♦ 6y2 -12x - 4i/ + 4

12. Hallar la excentricidad de

3j/2♦ 16 -4x;/

■ 0

■ 0 . .

13. Indicar exactamente la forma de la gráfica de la ecuación: 16x2 ♦ 24xi/ ♦ 9y2 - 200x - 150i/ + 500 - 0 . 14. Dada la hipérbola:

7x2 + 48xi/ - 7y2 + 20x - 110i/ - 100 « 0 , hallar

las ecuaciones vectoriales de las asíntotas, el centro, la excentricidad, y las ecuaciones vectoriales de las rectas directrices. 15. Identificar el tipo de gráfica de las ecuaciones siguientes:

16.

a) x2 * y2 * x y * x - y “ 3 ,

b) 2x2 - y2 +4xy

c) x2 ♦ 4xy ♦ 4i/2 - 3x - 6 .

d) x2 ♦ y2 ♦3x

¿ Para qué valores de m , la recta bola

xy » -4

y■

x ♦ m

-2x + 3i/ - 6 , - Zy -10 .

determina en la hipér

una cuerda de 3/2 unidades de lcngitud ?

17.Identificar en forma precisa la gráfica

decada una de las ecuaciones:

a)

5x2 + 6x1/ + 5i/2 - 36x -28» ♦ 68 - 0

b)

3x2 ♦ Zxy ♦ 3y2 ♦ 1 - 0

c) 7*2 ♦ 48xi/ - 7y2 ♦ 80* ♦ 6O1/+100

* 0

d) 9x2 - 24xi/ ♦ I61/2 - 30x ♦ 40i/ ♦ 25 » 0 18. Hallar la excentricidad, focos, vértices, así como las ecuaciones vecto riales de las directrices y de las asíntotas, dondb correspondan, en: a)

x2 + 4xi/ ♦ Hy2 ♦ 8x- BAy + 116 * 0 ,

b)

7x2 - Zxy + 70^

d)

20x2 - 120xi/ ♦ 55t/2+ 320x - 210i/ = -2655 .

- 48 .

c) xy - x + y -

5*0,

k .Hal

Cap.

La tcua.cU.Sn Gínenaí de Segundo Gfiado

g

463

4*2 - 4x;/ * y2 - 36« - B2y ♦ 481 »

O .

20. Pruebe que la gráfica de: 7x2 - 6xy - y2 ♦ 28x - I2y ♦ 28 ■ O un par de rectas no paralelas. (Caso degenerado de Hipérbola).

es

19. Identificar la gráfica de:

21.

Dada la ecuación cuadrática general 2

2

con A ♦ B + C

2

>0

2

Ax

2

+ Bxy * Cy ♦ Ox * Ey ♦ F > 0

, demostrar que

a) Si la gráfica es una circunferencia

entonces

A * C

y

B ■ 0 .

b) SI A * C ” D - E “ 0 y B * 1, entonces la gráfica es una hipér bola equilátera (siempre que F f 0) cuyas asíntotas coinciden con los ejes coordenados. 22. Dada la cónica

89x2 - g6xi/ + 61(1, 1)//I ,

2x‘2 ♦ 4^’2 ♦ [(2D + 2E)*'//2] +

+ [2(E - 0)i/7/2] + F = 0 = » (D+E)/(2/2) ■ 1//2, 3//2, = * « D - -5, E - 7, F - 15 . 30. Aj - 4, V

(E-D)/(4/2)

A2 * 9. u ■ (1, 2)//5 , [(x1- l)2/9]♦[(»'+ 2j?/4 ] » (4,-2)' , B * (1,0)' , a - 3,

b- 2,

dades de RECTAS TANGENTES, identificando: ===> y'Q « -2 +/2,

A2 » 0,

1 ,

(x0, yD) ; porpropie

P «

Lj' (x¿ - 1) " (3/2)(i/¿+2) ,

x¿ » (2 + 3/2J/2 , SOLAMFNTE ROTACION: se tiene que

P “ x¿[(l,2)//5] ♦ 2, b3) , denote do por

á

x B

=

(a2b3 - a3b2, a3bj - ajbj,

si ¿ = (1,3,-2),

b = (4, -2, 1),

i x b = (-1, -9, -14) por lo tanto, que

.

a x

es b el vector:

ajb2 - a^bj)

e

„3 IRj - Por ejemplo,

i x b = (3-4. (-8)> !, (-2) - 12) =

Podemos verificar que, para todo á , b en IR3: a • (i x b) - 0 y b ■ (a x b) = 0 , y

á x Bej un vector ortogonal tanto a a como a

Mediante las propiedades de DETERMINANTES, se puede expresar

B .

á x B

romo

472

Intiudiicc^ón al

MatemcUice

Cap. 9

+ í-(i2bj — d b2) i x b

~

J (fljb j

- 3 j b .)

+ fe(aLb2 + a2bj) y se puede comprobar que Z x Z

i x j x fe «

=

j x J

= fe x fe = 0

J = fe , fe = i , I = j ,

J x í = - fe t x j = -i i x fe = - ]

As', vemos que el producto vectorial x b (en R3) sigue la regla del tirabuzón, o de la mano derecha; es decir, si con la mano derecha se desplaza el vector á hasta el vector b , el PRODUCTO VECTORIAL I x b , en ¡ate. o’ den , sigue la direc ción que indica el pulgar de la mano derecha, siempre ijue el giro sea me ñor de 180° , y es perpendicular a ambos vectores á y b . 2.1 PROPIEDADFS DEL PRODUCTO VECTORIAL

¡«b á x ( b ■*■£) =

1)

a x b - - b x a .

2)

(ra) x b = r(i x b) ,

2 2

EJEMPLO.

Sean l

a x b

]

3) V r e R.

i = (7, 1, 5) y fe

7

1

2

-1

=

TEOREMA

a x b

-

J [(7 )0 )

♦

|i x b |2

e

[O,

tt]

|i x b |

1á |2 |b |2 - |i l2 1b|2 eos2 0

Iá | |b | (sen 0)

-

81 - 11J - 9fe

(5 )(2 )]

(á x b ) X i

Iá |2 |b|2 - (I - b)2

,

|a |2 |b l2sen2 0

entonces

fe[(7)(-l) - (1)(2)]

De esta fórmula y de la figura se tiene que si 0

b = (2, -1, 3) ,

i [(1)0) - (5)(-l)] ■

á x b = (8, -11, -9) , y vemos que 2.3

(i x b) ♦ (i x c) .

=> (*)

Como el área del paralelogramo formado por á y b es |á |( |b |sen 0 ) , resulta que

y

|¡ x b) 1 b

V a ,

b

e

R

Cap. 9

la longitud mado por i 2.

TEPRESENTACION GEOMETRICA DE

i x b

CUANDO

6

CRECE DE 0 °

- t . axb Sxfc

A

90°,

b

|i X axb

a

B |

2)

|i

aX b

LA

Ni¿L?

a -b = 0

axb

a

i

| 5 X b|

DECRECE

6- 4 ^

Esta situación se repite para

180° < 6 < 360°,

2.7

TE iREMA.

■

2 8

ZJERCIC10.

ix(bxc)

Dados

«=>

CRECE

CUANDO 6 CRECE DE 9 0 ° A 1 8 0 ° ,

I

x b | inal

El Triple Producto Escalar de los vectores i, b y c es el [ a b e ] 3 I - ( b x c ) , y que se puede calcular en la forma al

a2

a3

bl

b2

b3

_C1

c2

c3

-

det

al

b>

cl~

a2

b2

C2

_ a3

b3

CJ_

Introducción ai AnílinA Matem¿Ltccu

474

Cap. 9

por la cual se verifica que 1)

[abe]

* ¡- (bxc)

= ■

2)

[ábe]

[ábe]

[cab]

* ¡- (b xc )

Se dice que { a , b , c I si

>0,

c- (a xb )

«

b. (c x i)

es una

Ú

,

tiir.ua orientada positivamente,

[Ijfe]

y es una terna orientada negativamente

e

* [bei]

| b x í | C p - x- a

por ejemplo,

Si (Cp- _ i ) > D buc

=

= I-(Jxfe)

si

[¡be]

en R 3

» 1 >0

;

-1 = 3 (abiuAdc)

Un vector direccional de L es: E // (1, 2, 2) x (-2, 3.1) = (-5,-5,5) ==>

c

= (1, 1, -1)

El punto A

e

Lj fl L es de la forma:

A = (1,0, -1\ * El punto B

e

1,2)

Lj fl L es de la forma

B = (-1,3,4) ♦ s(-2, 3, 1)

,

Además, se tiene que AB = re =* B - A = r (1, 1, -1) = > (-1,3,4) + s(-2,3, 1) - (1,0,-1) - t(l, 1,2) r+ r -r -

Zs + t = 3s ♦ t = s - 2t =

-2 3 5

|

=

[

=»• A = (1, 0, -1) + t(l, 1, 2)

-

B = (-1, 3, 4) ♦ s(-2, 3, 1) = L:

(-3,

r(l, 1, -1)

-4s - t

s = -1,

(-3, -4, -9) (1,

-4, -9) ♦ r (1, 1, -1)

0, 3) ,r R

=

3

=

8

t = -4,

r

InViuducción cJL A,iilU¿í¿ Vvtiaiái.tco

478

Cap. 9

Dadas las rectas L¡: (1,0,-1) f t(l, 1, 2) ; l2- (-1,3,4) + t(-2, 3, 1) ; hallar la ecuación de la recta LBI cuyos puntos equidistan de Lt y L_

EJERCICIO.

SOLUCIÓN. Como las rectas

L) y L2 corresponden a las del problema pre

vio, siendo los puntos de intersección con la recta L hallada: A = (-3,-4,-9) to

yB = (1,0.3)

,entonces

M = (A + B)/2 = (-1,-2.-3)

LBI

debe pasar

por el pun

y dete ser BISECTRIZ de Lj y L2 .

Viendo la figura anterior de manera que L se proyecte como un punto, vemos que hay dos soluciones para LBI : LBI : (-1,-2,-3)

+ t [/14 (1, l, 2) i /6(-2, 3. 1) ] .

eligiendo el signo de modo que el ángulo sea agudo u obtuso, entre los vectores (1, 1,2) y

4.

(-2,3. 1) .

PLANOS EN EL ESPACIO

R3

Dados dos vectores teZoi y un punto P0 , en IR3 , se define tí/uru.nadu m

5 y b , al conjunto

El PLANO

?

que

á y

b no pa\a

pa¿a po>i PD ,

de

(p , { p = Pq + s5 * tB / s. t E IR )

Así, los vectores á y b son paralelos al plano V , y cualquier vector no nulo ortogonal a ambos a y b se llama VECTOR NORMAL a P ; de manera que I x b es un vector normal a 5* , y toda otra normal será paralela a a x b . EJEMPLO.

Hallar la representación vectorial del plano P los puntos

A = (-1, 2. 1),

Q = (4, -2, 1),

que contiene a

R = (0, 1, -1) .

LÜp.9

Geom«Aa ÁjO. Analítica, tm

SOLUCIÓN.Podemos elegir

R3

479

como PD cualquiera delos puntos dados,

Po * Q = (4, -2, 1) . Los vectores á = AQ = Q - A

- (5, -4, 0) .

b - ÁR * R - A

= (1. -1, -2)

no son paralelos entre si, peroson paralelos el plano*P , por 9

: P = PQ + sa + tb (*, y, z) = (4, -2, 1) +

4 . 1 E C U A C IO N

por

s(5, -4, 0) + t(l, -1,-2) ,

NORM AL Y G E N E R A L

Si

ñ - (a, b, c)

DEL

P-ñ

E JE R C IC IO .

P_ P X

~

PQ . ñ

= 0

I

= AB - B - A

5), b - A C * C - A »

(-1, -1, 4) , y

ñ - (1, 7, 2) .

como es

[(x.i/.z) - (1, 2, -3)] • (1, 7, 2) = 0 .

ECUACION GENERAL DEL PLANO *P

Observe que en toda ecuación de 0 , los coeficientes

formati un vector normal

ó

la forma

a , b , c de

ñ = (a, b, c) de *P

obtiene dando valores, por ejemplo, PQ = (0. 0, -d/c) ,

Además,

U.tf, z).(i,7,2) - (1, 2, -3).{1, 7, 2)

x + 7y + 2z = 9

-

,

PQ - A - (1, 2, -3) , la ECUACION NORMAL DEL PLANC

L:

y m -2 * t ,

* « 1 ,

z = 3

t

teR ,

teR

4.5 ECUACIONES DE ALGUNOS PLANOS ESPECIALES (1)

La ecuación

j

x • t

, c constante,

como vemos no tiene n.e¿t>Uc y 6 z , de mo

cionu pana loi \iaíon.ej> de

do que para que un punto de R3 satisfaga esta ecuación solamente se re quiere que su primera componente x sea igual a la constante c . Por lo tanto, esta es la ecuación del plano que pasa por P„ * (c, 0, 0) y tiene como vector normal a sar"

* ■ c

ñ * (1, 0, 0) * I . pues se puede expre

en la forma

1.* + 0-y * 0-z

» c

,

la cual

se cumple pana caalqwútn. vatoi -1 atl tanto de y como de z . Este plano es perpendicular al plano coordenado YZ , pues es perpendi cular al vector ñ - (1,0,0) - l . (Su gráfica es la de la Izquierda) Note que todo punto de la forma Pc * (c, y, z) , V y , z e R , se encuentra en este plano, pues satisface su ecuación: x * c .

A continuación presentamos las gráficas de otros 6 tipos de planos.

Cap. 9

GtLomtXAia \nac±tcrd en *

481

482

Cap. 9

CexmeJtAXa. KnuUÁX^ca e n

5

INTERSECCION DE PLANOS

5.1

DEFINICION Dos planos son PARALELOS si sus vectores normales son paralelos.

5.2

Ejemplo

Los planos 73 l :

(2, -3, 4) y

ñ2 » (-6, 9, -1?)

- 12z * 1 ■

5.3 TEOREMA

2* - 3y * 4z - 2 .

P2 :

-6x * 9y -

ion paJiateJLoi pues sus vectores normales

son paralelos.

'P^

SI dos planos

y

no ton panaleJLot

P2

ñj

[ r\¿ » - 3 ñj ] . entonces

¿u AtUejLie.ccU.5n eJ> UNA RCCTA.

Por ejemplo, los planos

x + 3i/ + z * 8 , y

P2: 3* +

Zy - z ■ 1

NO SON PARALELOS, pues sus normóles ñj ■ (1, 3, 1), r¡2 » (3, 2, -1) no lo son. Entonces, por el TEOREMA anterior, su Intersección es UNA RECTA . En efecto, del sistema

x + 3„ + z - 8

* + 3y - 8 - z

3* + Zy - z ■ 1

3* + Zy ■ 1 + z

y resolviendo este sistema de ecuaciones, considerando a z como parámetro libre (usamos la REGLA DE CRAMEH): * * (5z - 13J/7, y ■ (23 - 4z)/7 . Aquí, hacemos

z «7t ,

- (-13/7) + 5t = (23/7) - 4t z ■ 0 + 7t

por comodidad,

t

e

R , y obtenemos que

*

y

,t e R .

Deesta manera, obtenemos el Conjunto de Puntos (Soluciones)

£

- { P - (x. y. z) -

(- ^ 7

que viene a ser LA INTERSECCION

^ , 0) * t (5, -4. 7) 7

de la forma: /

t e R

>

(*}

de los dos Planos dados, y que representa

precisamente UNA RECTA que pasa por el punto P0 * (-13/7, 23/7, 0) y que tiene la dirección del vector i » (5, -4, 7) . 2 [ En (*) tome t » — en particular, y analice el resultado siguiente]. 5.4

EJERCICIO

Hallar la Intersección de los planos 9 l = { (1, 2, 1) +4(2, -1. 1) + t

eR ) , y SOLUCION

Un punto P = (x, y, z)

(-1, 0, 1) /

P 2 : 3x +Zy- z « en el Plano

t,

t

1 .

es de la forma

P ■= (x, y, z) = (1. 2, 1)+ ¿(2, -1, 1) +í(-l, 0, 1) para algún 6 y t en R . Este punto P también se encontrará en

.. (*), si

Cap. 9

Ge.ome.VuJ. Analítica en

ysolosi:

R3

483

3(1 + 2 4 - * ) + 2 ( 2 - 4 ) - (1 + 4 + í) = 1

34 - 4-t + 5 = 0 « =

«==•

A = (41 - 5)/3 . Y reemplazando en

P = (1. 2, 1) + ( ^ y - ^ ) (2, -1. 1) + t (-1, 0, 1)

, t e

P = (1,2,1) - (10/3, -5/3, 5/3) + t ( 5/3, -4/3, 7/3) P = (-7/3, 11/3, -2/3) + í (5, -4, 7)

t

,

e

R

R t e

,

R

,

resultando asi UNA RECTA L que tiene como punto de paso -2/3) y es paralela al vector a = (5, -4, 7) . 5.5

(*) tenemos:

P0 = (-7/3, 11/3,

DEFINICION . El ángulo entre dos Planos es elángulo entre sus vec tores normales. Por ejemplo, dados los planos :

x + 2y - z = 2

normalesson

y

ñj = (1, 2,-1)

P 2 : 2x - y + y

z = 1

ñ2 = (2, -1, 1)

respectiv.

Luego, el

ángulo 0 entre los dos planos estará dado por el ángulo 6 entre estos dos vectores normales:

y

( ñj • ñ2 ) eos 6 = -------Lñj | Iñ2 |

=

que, por tener VALOR NEGATIVO este coseno, indica que

ángulo obtuso entre estos dos vectores ; y como entonces a = n - 0 es su ángulo agudo 5.6

INTERSECCION DE Una /iccXa L

1

i — —— — /6y 6

=

-6

0 corresponde al

eos ( ti - 0) = - eos 0 = 1/6 tal quea = are eos ( 1/6 ) .

UNA RECTA CON UN PLANO z¿ panatela a un plano P

¿i

L

ortogonal a

un ve.cton no/mal

ñ del plano f 1 . En tal caso, puede ocurrir que LD P = $ ó Lnp = t , en este último caso, L estaría íntegramente contenida en P . Si L pasa por PD y tiene vector direccional i tal que L no es pa ralela a P , la intersección de L con P consiste de un UNICO PUNTO. 5.7EJEMPLO .

Intersectar la recta el plano P :

SOLUCION

L.

(1, 1, -1) + í(2,-3, 4)

con

2x - y - 2z = 6 .

Sean ñ = (2, -1, -2), a = (2, -3, 4), corno entonces la recta L NO ES PARALELA al plano

¿ •ñ = -1 / O P . Además ,

,

GetmeXAÁa knaXXx^.~jx en

484 un punto Q zar

Cap. 9

R3

pertenecerá a LA INTERSECCION l fl? ¿ ¿ y ¿oto ¿i

Q =■ (1, 1,-1) + t (2, -3, 4) -

cuación de *P :

{ 1 + 2i. 1 - 3í, -1 + U )

2(1 + 21) - (1 - 31) - 2( -1 + 41) * 6 = >

= »

t - -3 . Luego.

5.8

DISTANCIA

Q = (1. 1, -1) - 3(2, -3.

4) -

al reempla en la e-

3 -t «

6

(-5, 10, -13) .

DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea f* el plano con vector normal ñ - (a, b, c) y ecua clfin f * : (P - P0 )-ñ * 0 , donde Pc • ñ * -d , entonces setiene en forma equivalente la ecuación de P : a* + by + cz + d = 0 . Oado el punto

Q M (X j,

i/j.

Z j)

,

la DISTANCIA DE

Q

A P

está dada

por

rf[Q ;P 2 ■ I CP - (Q - P„) |

I (Q -P0) " I Tsl

’

| (Q-ñ) - (Pe -ñ) |

Iñ |

| axj + bi/j + czj + a \ diQ ;P ]

donde

=

P : a* + by + cz + d = D .

/ a 2 ♦ b2 ♦ c2

5.9

EJERCICIO

Hallar la distancia del punto P

SOLUCION

Sea

:

Q * (5, -7, 4)

/ (2)2 + (l )2 + (2)2

Ej e r c i c i o

al plano

2x + y + 2z = - 10 .

p I 2xt * yx * 2Z| + 10 |

5.10

(5, -7, 4)

= (xj, =

i/j ,

Zj)

, entonces

| 2(5) + (-7.1 + 2(4) + ID |

= ?

3

Verificar que los puntos A (1, 2, 3), B(0, 3, 2) y C(3, 0, 5) son colineales y pertenecen a los dos pía

nos x - z +2 = 0,x + y - 3 = 0 . Demostrar también que cualquier plano quecontienea estos tres pumos dados tiene una ecuación de 1? forma :

Cap. 9

485

Geometría AnaJLLtica en k

k(x

- z + 2) + ¿(x + y - 3) = O .

SOLUCION. ÁB = (-1. 1,-1), ÁC « (2,-2, 2) = -2AB . Como ÁB// AC en tonces A, B y C son colineales, y por satisfacer las ecuacio nes: x-z + 2 = 0 , x + i/-3 = 0 de dos planos distintos entonces corres ponden a la recta de intersección de ambos planos L: (1,2,3) + t(l,-l, 1) . Sea 9 un plano cualquiera que contiene a A, B y C , entone« P:( P - A ) - ñ - O ñ =(r, s,

, donJe

t) J. L = •

(r, s, t) ■ (1, -1, 1) = 0

ñ = (r, r + t, t) = r(l,l,0) + t(0,l,l) P :

P - n = A •ñ

(k + t)x + ly - kz = 3£-2k

= >

y

s =r + t ,

y reemplazando en

r (x + y) + t (y + z) = 3r | 5t

= >

rx + (r + t)y + tz = 3r + 5t

,

V P e T

P = (x, y, z),

A =(1,2,3),

, ==•

entonces haciendo: $> :

==>

r = k + £ , t = -k

k(x - z + 2) + t{x + y -3) = 0

.

PLANOS QUE CONTIENEN UNA RECTA DF INTERSECCION Consideremos los siguientes planos : 2x + y + z = -3 .. (*) , y un punto genérico

x - Zy * 3z = 1 , P = (x,y,z)

que satisface ambas ecuaciones, entonces P p

la ecuación:

.

también satisface

k(x - 2i/ + 3z - 1) + ¿(2x * y * z + 3) = 0

(**)

que representa un plano que contiene a LA RECTA DE INTERSECCION LI . De seamos hallar el plano ‘P que contiene al punto (1, 1, 1) y también a la recta LI de intersección de los planos dados, de modo que solo falta encon trar los valores adecuados de ordenadas de

k y t ,

(1, 1, 1) en (**) y así:

Una posible solución [y riteda) de (**):

N: P ■ (x, y, z) * (5. 4. -1) + t(l, -2. 1) . ó N: (x - 5) - (y - 4)/(-2) - (z + 1) .

EJERCICIO .

SOLUC‘ON

L y K estS dadapor

: x + y « 3 , íP2 : 2u + z « 5 (*\ hallar la recta de intersección de ambos planos.

Dados los planos

Siendo los vect. normales ñj * (1. 1. 0) y

¡¡2 « (0. 2. 1) .

GeomtXAÁA AníctUca en R 3

Cap. 9

487

y como L : P0 + tí , y pertenece a arabos planos, entonces es perpendicular a sus vectores normales ñj y ñ2 . Luego, Elegjmos

a // (ñ^ x ñ2) = (1, -1, 2) .

a = (1, -1, 2) como el vertor direccional de la recta L .

Nos falta hallar un punto de paso Pc de L . para lo cual, en (*), damos un valor particular a la misma variable enlas ecuaciones de ambos planos, y = 0

por ejemplo,

de donde

la ecuación vectorial 5.16

PROBLEMA.

x - 3, z = 5;

de la recta es

P0 = (3, 0, 5) t

e

y R

.

Dado el plano P : 2x + i/ + z * 3 , indique si el punto 0 • (1,2,2) se encuentra arriba ó debajo de P . £n ja ecuación de

SOLUCIÓN.

así,

L : (3, 0, 5) + t(l, -1,2),

P hacemos x = 1 ,

y = 2 , que

son mlimcLs psUmeAat coondenadtu di Q * (1, 2, 2), y obtenemos z » -1 . Así, P0 x (I, 2, -1) e P . De aquí, vemos que Q está encima de P0 e P pues su 3ra. to,

componente es

resultaque el punto

5.17

PROBLEMA.

mayor

quela

deP0

:2>(-1)

.Porlo

Q * (1, 2, 2) se encuentra arriba delplano

P

tan

.

Dados los planos î: 2x + i/+z = 3 , y P 2 : 4x + 2i/ + 2z * 16 , indicar si el punto Q * (1,1,1) se encuentra entre ambos planos.

Solución. r Como o ^ z « 3 , , J-j : , 2x +^y + P 2 : 2x + y + z =8 , ion paiaXitot , y como

Q= (1, 1, 1) e

entonces deducimos que

P

: 2x ♦ j * ! ‘4 ,

y por ser 3 <

4 < 8,

Q si se encuentra entre los planos Pj y P 2 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTO» 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, 2, 3) y

(-3, 2, 1) .

2. Hallar la intersección, si existe, de los siguientes pares de rectas: a) b)

Lj : (1, -1, 0) + t(2, 3, 6) , Lt: (2. 1, 4) + t(l, 1, 1) ,

3. Hallar la intersección entre la a)

L: (1, 1, 1) + t(4,3.2) . P :

L2 : (1,-6, 2) + ¿ (1, 4, 2) L2 : (-2, 3,-4) + a (1,-1, 1) recta L y el

plano indicados:

(2, 3, 4) + é (1, €, -2) + *(2. 2, 2)

b) L que pasa por (0,0,0) y (-1,3,4) por los puntos (2,3,1), (1,1, -4) y

y el plano P (-3, 4, 2).

que pasa

c) L que pasa por (0, -1, -1) y (4, 2, -1)

y el plano P

que pasa por

.

InVwduccíón al AncU^MíA Matejná-Lcco

488 los puntos

(1. 3. 2),

(-4, 1, 1) y

(2, 4, -3) .

4. Identificar el conjunto de puntos P(x, y, z) (* - 1 )/2

= (y * 6)/3

* (z -

Cap.9

2) / ( _ 3)

tales que se cumple: .

5. Hallar los cosenos de los ángulos entre una recta paralela al vector (3, 4, 12) y los ejes coordenados (COSENOS DIRECTORES).

6. Si a , B ,y eos

j

son los ángulos directores de la

+ eos2 6 + eos2 y * 1

recta L ,demostrar que .

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por:

a)

el origen, con ángulos

directores a * 60°, B ■ 4b°, o) (-2, 1,3), con ángulos directores a ■ B * 45° , c) (3, 4, 6),con ángulos directores a ■ B = y .

8. Sean Oj, B t, Yj y 1 ?

Cuando se trató de verificar esta afirmación para algunos valores particulares de n , nos encontramos con que Para

n

=

1 :

z2*

4-

1

-

5

ei un

Númeno k /u j u o

- Para

n

= 2 :

?2*

4-

1

■

17

ei un

Númeno Pnimo

- Para

n

■

3 :

223

4-

1

-

257

ei un

Númeno P/Umo

- Para

n

»

4 :

2 2* +

1

-

65537

ei un

Númeno P/limo

-

donde 5 , 17 , 257 , 65537

son efectivamente números primo' ;

es decir, que son números enteros que no son divisibles por ningúnnúmero en tero, excepto por sí mismos y por la unidad 1 . 2n

Si concluyéramos de aquí, que la expresión dada (2 + 1 ) resulta si-mpre un Número Primo pana todo valen. entena poiitivo de n , estaríamos cometiendo un error, pues para el valor n » 5 : ,n

2¿ * 1

=

2

5

+ 1

=*

ble por 641;

4294967297

NO ES PRIMO , ya que es divisi

en efecto,

4294967297 = 641 x 6700417 .

En esta sección presentaremos un método para comprobar la validez, pana todo enteno poiltlvo n , de proposiciones o fórmulas que de penden dé tal n . Eventualmente, este método también servirá paraobtener otras fórmulas, válidas para todo entero n positivo. Este método consta de dos partes : a) Se c impnueba que ta pnopoilclSn dada ei válida pana el meno/i valon di loi

entgAOi n involucrad i , qu¿ en ni pAxmeA ejimplo ei

n =

1 .

b) Aiumiendo que la pnopo&lción o {inmola dada ei válida pan i un enteno pe n Vvc n genínico , ¿e debe llegan a demoitnan que. tambiín ei válida pana el ¿igulente númeno enteno , ei decln, pana (n + 1). V fuego, de (a) y (b) , (Unidamente &e concluye que la pnopoiicÁón o £ónmj&a. da

Inducción Maiímática

Cap.10

da e¿ válida

poníi todo valen, dz

n , a paA.tÁA dit mznon. n

Apliquemos este método

a) Para n = 1 :

1

=

495

n(n + 1) 2

(a) .

al primer ejemplo: 1(1 + 1)2

=

— =------------

indicado en

— -------------- - -

2

=1(VERIFICADO)

2

b) Asumiendo la validez para n genérico , de la fórmla » , 1 + 2 + 3+

__

+n

n(n M ) -— -

-

(*),

probaremos que también se cumple para el entero siguiente cir, probaremos que se cumple que 1 + 2 + 3+

/ ... + n + (n+1)

(n + 1) . Es de

(n + 1) [ (n + 1) + 1 ] --------------------

■

2

(**)

en efecto, 1 + 2 + 3+

.. + n + (n + 1) » ( 1 + 2 + =

.. + n) l- ]

[

+

+ (n + 1)

(n + 1)

(n + l)(n + 2)

------ -------

#

de (*) ,

y acomodando:

(n + 1) [ (n + 1) + 1 ]

y así hemos obtenido (**) . Por lo tanto, de (a) y (b) , recién concluimos que la fórmula (*) í z cumplí pana. n i1. Este procedimiento es llamado el Método oe INDUCCION MATEMATICA (I.M.) , y se basa en el principio que enunciamos a continuación.

todo znteAo

1.1

PRINCIPIO

DE

INDUCCION

MATEMATICA :

“ Vado un ¿ubconjunto dz nújnesioi entesioi poiitivoi

S

( c H ) , que. ¿a

tliface leu VOS condiaonei n g iuznt¿A :

a)El niúMAo 1 pe>ttenece a S y

b)

(1e S)

S-c íz cumplí la

(m + 1) e S

,

entonces el conjunto S coincide con todo el Conjunto de Entenoi Poilti N . Es decir, 4e Cunduyz que. S = N "

vo&

1nOioduccíón aJL Andtíati MatemáX-i i¿o

496

Cap. 10

_

NOTA.-

En la Implicación (b) del Principio de INDUCCION MATEMATICA, la premisa : n e S es llamada HIPOTESIS DE INDUCCION.

1.2 EJEMPLO,

Probar que la iuma. de loi Cuadrada de ío& n pAineAoi Hume jio¿ Natuxules, satisface la fórmula

7

7

7

2

l2 + 22 + 3Z + .. + n So l u c i ó n .

n(n + 1) (2n + 1) — ---- -f----- -

-

, V n £ H

6

Sea o 7 ■ > 1 + 2 + 3 + . .

S » { n e H /

+n

2

*

n(n + 1) (2n + 1) ------ ------6

} c

N

Probaremos en base al Principio de INDUCCION MATEMATICA , que el subconjuntc S c N coincide con todo N . es decir, S ■ N . Veamos que 4)

n " 1 c S :

,

x

m (1) [ ( ! > ♦ ! ] [ 2 ( D * 1 ]

.

b)

(, 6

6

Asumiendo como HIPOTESIS '»E IHDUCCIOH

6

que " n e S " , es decir que

para n se cumple la fórmula 2 _2 .2 1 + 2 + 3 + . .

+ n

2

n (n + 1) (2n + 1) ------ -------

«

..

6

(*)

trataremos de implicar que " (n+1) e 5 " , es decir, probaremos que 7 2 2 , ,.2 (n+1) [ (n + 1) + 1 ] [ 2(n+l) + 1 ] 1* + l L + .. + n + (n + 1) -------------------------- — --6 •- (**) En efecto, l2 + 22 + .. + n2 + (n + 1)2

-[ l2 + 22 +

.. + n2

= f n(ntllt(2ntl-l ] +

(n + 1)2

6

,»

r n (2 n + l)

+

] + (n + 1)2 de (*),

6 ( n + 1)

- (n + 1) [ --------- --------------- ] b

, r 2n2 + 7n + 6 ■ (n + 1) [ ------ ----- ] *

- (n + 1) (n + 2 ) (2n + 3)

-

- (n + 1) [ (n+1) + 1 ] [ 2(n+1) + 1 ]

6

6

Inducción Oitemítica

C a p .10

=»

(n + 1) e S

;

497

es decir que se cumple (**).

Asi, de (a) y la implicación (b), por el Principio de Inducción Matemática, concluimos que S - N Esto significa que la fórmula dada en el enunciado será válida pasui todo entea o poiitivo n i 1 . - O 1.3 EJERCICIO.

El doble de un número natural n es igual a la Suma de to dos los números naturales que le anteceden. Hallar tal n .

fi SOLUCION.

£0m0 sa(jemos, la suma Sn de los n primeros números na turales es igual a n(n*l) ->n 2

y por consiguiente, la suma de S

ni ,

(n-1)

primeros números naturales será igual a

(n-1) [ (n-1) + 1 ]

2

a

----------------------------------------------------------------

a

(n-1) n

2

--------------------------

Luego, por condición del problema, la cantidad (2n) debe ser igual a la Suma Sn-1 de todos los números naturales que anteceden a n . Asi, tenemos 2n -

1.4 EJEMPLO.

=*

2n -

SOLUCIÓN.

Note que

Definimos el conjunto r .i / ■ 1" e N '

n = 1 e S : 1 i ■

b)

4 3 2-2

Asumiendo que

"

+

. n+2

n 2n

2n

t*)

prl-mer miembro de (*) consiste de n sumandos.

S c N

:

1 2 ¡T * ¡2

3 + ¡3 *

y probaremos por Inducción Matemática que a)

* = t"'1)

Probar por Inducción Matemática que, para todo entero n > 1, 1 2 3 21 * 22 + z3 *

p s

=*

n ■■ * f

o » n +2 . , - 2 - > •

S coincidí con todo

N . En efecto.

pues el primer miembro de (*) consiste del único término ^ el cual se puede expresar como ■

,

,1*2,

n e S

,

J . • «•»«=”

1 „ ¡r ■

/n+ 2

es decir que se cumple {*) para n fijo :

lnViodu.ccJ.ón al AníL i i i Uatumítlco

498

-V

+ 4

2

*

+ 4r*..

+ — 2 2n

2

Cap.10

2- l ^ - r ) HIPOTESIS DE IHOUCCI

= 2

probaremos que (n+1) c S ; es decir que esta fórmula (*) se seguirá cum pliendo si en (*) se reemplaza n por (n + 1) . En efecto, al hacer esto, el primer miembro tendrá los n+1 sumandos siguientes: -\-

+ -^

2

2 ■

+—

] *

(n+1)

+— ■ +

n

**

y P ’ioban.ejmo4

¿urna

-i3aal a

2n 1

“ÍHT

£

" ,

que

uta

n r (n + l) + 2 2 - [ ■ 2cn+ir 1

n , n+1 * ¡ñ > + J K H

7 r 2(n + 2) - (n+1) , £ ' L 2 (n+1) J =*•

..

2n

. 1 2 ( ¡T * ¡2 +

= [2=

♦

23

por HIP0TESIS DE INDUCCION

r n * 3

£ ' L 2 (n+l)

■ >

1 J '

r (n,f!)4 2 ' L ^ (n+l> J

S

Asi, habiendo verificado (a) y (b), concluimos por el Principio de Inducción temática que S = H . Esto significa que la propiedad dada en el enunciado 4e cumplí pana todo triiAo f ib-V.*io n i. 1 . 1.5

EJERCICIO.

Dado el conjunto - /2 ,

C * { *n > 0 /

*n+i “ / 2*n

,n

n e N ) , H ,probar por

e

donde Induc

ción Matemática que una cotasuperior del conjunto C es el número 2 . Es decir, que

^ < 2 ,

v entero n > j .

So l u c i ó n . a) Si n = 1 :

= /2 < /4 = 2

=»■

< 2 *n < 2

b) Jomando como HIPOTESIS DE INDUCCION :

=»

< 2

, para n e N

fijo,

*n i 2 ,

V n e N.

verificaremos que*n +l < 2 *n

S

2 =**

Y

=* *n +L *

2x n S

0) , sin ser éste necesariamente el número 1 . Asi, tenemos la ex tensión siguiente, también conocida como PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMA'iiCA : “

Si

algún¿ubconjunto deX Conjunto SnQ

S

HAVORESO IGUALES

a un

n„

eníeA o

de. todo~ ¿04

zhz ¿aoí

O , que iataface tai dji con

>

dicionei iiguiímtíi :

a) y

n„

b)

e

S

la implicación:

n

e

S

=>

zntoncu S coincide con todo e¿ Co junio SnQ yoiei o igualej, a n„ . Es decir, S * S„o

NOTA. 1.7

Sno - { nc , nD + 1 , nD + 2 , nD + 3

(n + 1)

S

e

.

de to¿ íntzAfi Ha

. “ ...

,n ,

..

}

Probar por Inducción MatemStica que 2n 2 8(n — 2} , pana eníeA o n 2 3 .

EJEMPLO.

todo

SOLUCIÓN.

Identificamos al menor entero nD = 3 , y tenemos el conjuri Sno - S3 - 1 3 , 4 , 5 . 6 ....... n .

t0 Sea

S = ( n

a)

3

b)

Asumiendo que

e

S :

e

Como

Sj /

2n 2 8 (n - 2)

8 2 8

entonces

> . Probaremos que

2n 2 8(n - 2) debemos probar que

> .

S - S3 :

23 2 8(3-2)

n e S , es decir que se cumple (con

...

(v e r if ic a d o )

n 2 3 )

.. HIPOTESIS DE INDUCCION

(n+ 1) e S

,o sea que se

2(n+ 1) 2

8 [ (n +1) - 2 ]

cumple ..(*»)

Efectivamente,

2(n*l) _ 2 (2n )

>

2 [ 8( n- 2) ] 8[ 2(n - 2) ]

[ {*): puesto que

i

8[(n- i) ]

=

8 [ (n +1) - 2 ]

por Hipótesis de Inducción ,

y como

n

2 3 :

2n-4 2 2 (n - 2) 2

n-1 n-1]

ver (*) debajo

n i 3 es equivalente a

500

at

I n t 'i u i i K i c O H

(i ú í i h i

C a p .10

A u to m á tic o

Asi, hemcr. probado (**) , y por lo tanto que (n+ 1) e S . Luego, de (a) y (b) , concluimos por el Principio de Inducción Matemática que S = S3 , lo cual indica que la propiedad dada se cumple pa.xa todo n e S = Sj , es decir pana todo entiiAO n i 3 . En la práctica se puede prescindir el referirse al conjunto S„o , como se ilustra en el ejempl3 siguiente. 1.8EJEMPLO.

Sea

y

a > 1

an >

(*)

n enteco

í 2

1 + n(a - 1).

.

PiobaA. que.

n

pana zodc znteAO

> 1

.

So l u c i ó n . •i) Para

n =2

:

De

a > 1

(a - l)2 > 0

se tiene que «=*

(a - 1) > 0

a2 - 2a + 1 > 0 a2 > 2a - 1 a2 > 1 + (2a - 2) 2 a » 1 + 2 (a - 1)

Asi, la desigualdad (*) queda probada para ¿i)

zntvu,

n :

^

(VERIFICADO)

n = 2 .

que la desigualdad (*) ¿e cumple,

Asumiremos como HIPOTESIS DE INDUCCION txvw. U

y

+ n(a .

1}

..

(.)

probaremos que también es válida para el entero n + 1 , es decir que se cumple que a"+l > 1 + (n ♦ 1) (a - 1) (**) [ Y esto equivale a probar que

De

> 1 + n(a - 1) + (a - 1)

an+1

>

a + n(a - 1)

lo cual vemosque se obtiene simultiplicamos la desigualdad (*) por el número positivo

anbos miembros de a > 1 .

an > l + n(a -1)

, s e sigue que:

a-an > a - [ l + n ( a - l ) ]

=>

an+1

a"M

Lúejo, de (¿) y que la desigualdad

y

a > l > 0 = > = ■

> 1 * (n + 1) (a - 1)

a+a-[n(a-l)] a+l-[n(a-l)] pues a + (1 - 1) + [ n(a - 1) 1 * (n * 1) (a- 1) __

VERIFICALO

]

a > 1 ]

(**)

(¿i) . concluimos por el Principio de Inducción Matemática (*) dada ti válicu pana, todo tnteAo n i 2 .

Cap.10

2.

Inducción Mate-ática

501

SEGUNDO PRINCIPIO LE INDUCCION MATEMATICA " Si

S £¿ xíjún iubcoi.junto del Conjunto

yayc'i.íA o Iguala a un eiUeAo

Sr^ di todoi £¿4 enteAOA

(i jo , que ¿at-uâce Isa VOS con

n„

dicionei ¿iguientíi :

a)

nD e S

b)

n„

5

im p l ic a c ió n

)

V k ( la

entonces

/

k

í

n

{kyn

,

k e S

=»

e n te ro s )

(n + 1)

S coincide con todo elConjunto S„o

>lo* MayoiiiS o IguaXei a

n„ .

e S

,

de todoi loó ente-

Es decir, se conluye que S *

S„o "

Esta técnica es muy útil cuando se tratacon relaciones de recurren cía como en el ejemplo que sigue a continuación. 2.1EJEMPLO.

Dado el conjunto de números reales{ an / nidos por las relaciones de recurrencia al “ 1 • a2 = 5 •

n e H } , def^

an = 5an-l "

3an-2 • vn >3 ,

probar que - 4 = [ (5 + /13 )" - (5-/13)" ] pcuuL todo entíAo

Solución. Sea

„ , , , n„ * 3

S * ( n e S3 /

probaremos que a) n„

*3

e

S:

n > 3 .

c Sn

. * * S3 , * í { 3?, * 4, c 5, c 6 , 77,

an =

... ™ oo

vn ,, ,n _1__ r , r . „ _ [ (5+ /13)n - (5- /13)n ] 2n /13

);

S ■ S3 : Enefecto, íz =

sabiendo que porla dpfinicifin(recursiva) ,

5a2 - 3at - 5(5) - 3(1)

>22

probaremos que, para n » 3 , en (a) 22

* a3 -

2/13

=»

a3 - 22

,

[ (5 ♦/Í3 )3 - (5 -/ Í3 )3 ]

El 2do. miembro es 2 ( 75 + 13 )/8 » 2(11) - 22 con lo cual hemos probado (8) . b)

> }

Asumiendo como HIPOTESIS DE INDUCCION

que para

n

{ti)

.

entero fijo y para

,

Ca;.1. 10

lnt\cduc¿idn al Aiiiii es Maf-xnafici;

502

Codo enteno

k tal que

(n0 = ) 3 < k < n

k e S

se cumple que

es decir que a .

-

2k /13

[ (5 + /13 ) - (5 - /13 ) J

[ y en particular para en-toncei p’ioboAejno.i que «n+ l -

k = n , k = n-1

{n + 1) e S

,

y

(*)

..

k = 3 ]

es decir que (**)

_ [ [ 5 W 1 3 ) ntl - (5- /I3)n n ] /13

2

Efectivamente, por la definición recursiva: 5n U = 5an - 3 an-i y como por (*) , ~ [ (5+ /I3)n - (5- /I3)n ] , a„ = 1 n -I

,(n - l)

asi, sn n

=

5a n

-

3 a n-l

/ l3

(¿?) y

[ (5+ /13)(n‘l) - (5- /U)*""0 ] (v LANDO COMUN DENOMINADOR :

)

-^-= [ ( 5(5 + /13) - 3(2) }(5 + /13)""1 n-L

- 15(5-/13) - 3(2) }(5- /13)

]

[ §(19+5/l3)(5 + /T3)n'1 - § ( 1 9 - 5 /ñ)(5- /13)"-1]

n+1

1 ■= t(38+10/13)(5 + /l3)n_1 - (38 - 10/13)(5 - /13)"'1] 2n+l /13 'n+1 =

2

„ + / - [(5 W l 3 ) 2(5V/i3)n~l - (5 - /13 )2(5 - /13 )n-1 ] /13 ___

VERIFICADO ( * * )

(n + 1) e S Pon lo tanto, habiéndote ven.¿¿icado (a) y (b) , Pnj.nc.ipio de Inducción Matemática que mula

(a) , dada en el enunciado,

ple para

íá

coacJ i'xmci pon. ti 2do. S = Sj , lo que ai n , y que

n

e¿

urt FACTOR o DIVISOR

Por ejemplo, -15es múltiplo de. 5 , pues existe el entero k = -5 e Z tal que -15 = (-3) - 5 = k-5 . Asimismo, setiene que 0es múltiplo dí caalqiUe/Lente-io n / 0 , pues como 0 = 0 x n , entonces vemos que exi£ te el entero k *0 e Z tal que 0 =k x n 2.3 TEOREMA.

Sean m ; , mT , n plo¿ de

n,

e l,

n t 0 . Si rrij y m 2

ion"¿ttí-

en/oncei

a)

rrij + m2

múltiplo de

n

(ó

div-Uiblií poi n )

b)

m L - m2

múltiplo de

n

(ó

divisible poi ri )

c)

omj

a

diviiiblt. poii n

,

¥ entero p

PRUE8A. Por hipótesis, existen enteros kj y k2 rrij = kj^-n , m 2 = k2-n entonces

m

+ m2 = (kt + k2).n m l "m2 = (î ■ k2)-n prrij = (pk1)-n

a)

Como existe el entero = k'- n ,entonces

k = (kt + (mj + m2)

, donde k( * k2

Z ..

e

e

tales (*)

Z ¿ porque?

, donde kj - k2 e Z , donde pkj e Z

k2) es múltiplo de n .

b) (Análogo) c) De (y) , existe el entero k = (pkj) tal que lo tanto, pmj es divisible por n ; es decir,

2.4 TEOREMA. Sean

, de (a),

que (a) (B) (y) tal que(nij+ m2)=

prrij = k-n ; por es múltiplo de n .

a, b e Z , m , n E Z - { 0 } . S-t a e¿ múltiplo de m , y b e¿ múltiplo de n , entonce-s a x b w múl tiplo díl producto m x n .

PRUEBA.

2.5

NOTACION.

(Ejercicio sencillo,

trate de hacerlo)

Si m es múltiplo de n , se denota

2.6

EJEMPLOS.

a)

Sabiendo que

8 y 20

8 ♦ 20 = 28 también es múltiplo de 8 - 20 * -12 también es múltiplo de 3(8) = 24 también es múltiplo de b)

Como

entonces 18x 4 72 = 6 x 12 . 2.7

Cap. Ii3

tnCudu.c.c.L¿n at A.iáíijtj MjTimü'icu

504

EJERCICIO.

son múltiplos de

4 4 4

18 es múltiplo de

« 72es múltiplo

4 . entonces

[28 = 7 x 4 ] [ -12 = (-3) x 4 ] [ 24 > 6 x 4 ] 6 , y

de (6 x 2) = 12

4 es múltiplo de

;en efecto,

Probar que 1)

4n + 5

2)

es múltiplo de

3(4n ) + 15

3

,

es múltiplo de 9

V

,

n E N

V

n c N

.

So l u c i ó n . 1)

Probaremos que a) Para

4n +

n * 1 :

5

=

pcuw. todo e.nt¿AJ

3 ,

41 * 5 = 9

b) Asumiendo que para el entero

= 3

n

se cumple que

probaremos que también se cumple pa-a 4(n + U 4(nn)

+ 5

+ 5

..

=

4(4n ) + 5

-

4[ 4n + 5 ] - 15

:

4n + 5 »

(n + 1)

3

(*)

, es decir que

3

«

n > 1 (v e r i f i c a d o )

..

(**)

= 4 [ 4 n +(5-5)]+5 4[ 3 ] - 3

.. de {*)

3 - 3 .. TEOREMA [2.3] (c) 3.. TEOREMA [2.3] (b)

2)

Así, hemosverificado (**)

.Luego,de (a) y (b) , concluimos por el

Principio de

,n ^ 5

Puesto que

I.M. que

3(4n | ♦ 15 n

* entonces

* 3[ 4n ♦ *

♦ 5 “ 3 .

3(4n ) * 1 5 *

debido al

gs mú1t:ip1o de 3 p 5 ]

pajia. todo intvuj

3x3

»

donde

3

..

de(l)

n i 1 -

9

,

V n e ü ,

TEOREhA [2.4] .

2.8 EJERCICIO.

Probar que.

paxa. todo eatMo

SOLUCIÓN.Probareis que « ( n c N

S * N

n > 1 . zi mCLtCípCo cíe

42" * + 3°

S

3x3

,

¥ n e N .

por

13 .

Inducción Matemática,

/ 42n'-1 + 3n *2 -

13

donde

(múltiplo de 13) }

=3y

Cap . 10

505

Itid.LCC.LCti Ma Temática

a)

n = 1

b)

Asumiendo que

t S :

42nM

(*)

42(1)fl

+

3(1)* 2=

n e S , es decir que

3n *'2

t

=

l°3

múltiplo de

probaremos que también se cumple que 42(n*l).l +

3(nM,*2

^ 2(n+1) * I f 3(n*l)*2

[ Probar que3n+2 e n

.

13

(n ♦ 1) e

2.9 EJERCICIO.

+3

Sea

, es decir que (..J 42_42 nH

=

16 t 42n + 1 + 3nt2 ]

=

16 (13) - 13

> 'pa-ia. todo inteAo 13 - 13

n +2

xn+1 = y xn +60

,

(*)

(EJERCICIO)

.. (a)

S = N

C = { xn e R /

de

n 2 1

= 13

e¿ múltiplo de

- 13(3n +2 ) ..

Así, hemos verificado(**) , y por lo tanto, de

2n »1

S

•

el Principio de Inducción Matemática que 4

HIPOTESIS DE 1NDUCCIDN ,

=

=

ple que

TEOR [2.3] (c) y (b) y (b),

Esto

concluimos por

significa que se cum

¥ enteAo n

13 ,

ducción Matemática que:

n 2 1

xn <

4

.

,

e

N

Xj * Y ñ

n e N } , donde ¥ entero

]

. y

Probar por In -

¥ n e N .

So l u c i ó n .

a)

Si

n= 1 :

xL = Vio

b)Asumiendo que para

n

probaremos que*n + l

<

VíiT =

4

se cumple que:

==>

xi < 4

xn < 4

( v e r if ic a d o )

(HIPOTESIS DE INDUC.)

efect0 » de 'a Hipótesis de Induc -

< ^

cion, xn <

4

=>

=•

»„»i =

=•

*n+ l

<

xn + 60

<

/ *■„ * 60

<

64 3/

/64

= 4

4

(VERIFICADO)

Asi, de (a) y (b) ,concluimos por el Principio de I.M. que , en xn

< 4

,pa/m todoe>i¿eAo

2.10 EJERCICIO.

64

n

2 1 .

Demostrar por Inducción Matemática que 1+ —

/F

efecto ,

+ -i-

/T

+

..

♦— -

AT

¥

en.ti.to n 2 2 >

/rT

. Ve

+ 3l.

SOLUCION. a)

Cap. 10

IrtfioJiicCLÓn at AnXtóo Hatjm.itico

506

Para

¡Note que el primer miembro contiene

n = 2

:

probaremos que

^

>

1

' ...................

n

sumandos)

^

j >

..

(a )

/T

[ lo cual se^á cierto si y sólo si

/7 ♦ 1

>

/2

/2

/2 ♦ 1

/2

> 1

/2 + 1 > 2

=»

> 1

1 +

+ -—1

/2

+

1

+

>

/2

n

, se cumple que

>

/7T

HIPOTESIS DE INDUC. (*)

/n

/3

/2

♦

/3

- L

/n /n

+

( 1 + -7=- + /2

/3

+ .. + -

/n

[ Y se cumplirá que

/n / n + 1 + 1

)+ ___

/n + 1

4—

/n/n+1 n♦ 1

>

Y puesto que (y) relación (B)

n

■ /n /n

«==>

1 > 0

cumple que,

V

..

..

(y)

(B)

1/ 4ÓÍ0 4-¿

_ ___ / n / n +l + 1

___ 2 > (/ n + 1 ) = n + 1

«=>

> /n

..

/n + 1

PROPOSICION VERDADERA

]

resultó ser una Priopoi-ición VmdadeAa, aplicamos a la

y por la propiedad transitiva de la relación de orden

queda protada la validez de la relación

Luego, de (a) y (b)

(/n) + /n+ 1

'u + 1

/n +

> n

{**)

(*) :

>

/ n+ 1

A T T

, es de

/n ♦1

/ n+1

i

(n + 1)

----------

Veamos, p&rtiendo del primer miembro y empleando

«==»

VERIFICADO ( a )

...........

1

1 +

entonces

> ( /2 )( /2 )

Probaremos que esta desigualdad también se cumple para cir

]

/2

Asumiendo que, para el entero positivo

1 + — 1—

( /2 )2

>

/2*1

> /2

/2

>

/2

a una pfíopoiición veAdadew.,

Luego, como

/I + X

b)

/2

">

(**) .

y el Principio de Inducción Matemática, concluimos que se

znXeAj

n > 2 ,

1

1 + --

J2

/3

1+ —

f

1 f -/n

>

/n

Inducción Matemática

Cap.IO

2.11

EJERCICIO.

507

Vado íl conjunto di nctu en it planu, deteAminadUi pv>i n puntoi dvi tintoi (n i 2) lates que no haya tA.es (pu« 1 < 1 n+1 2

34)

SUG: 35)

«• ----2-3-4

+

509

(a - t;)

... + -- ------n(n + l)(n*2)

2n + 1

Probar que

38)

2n > n2 , n > 5 •3 ° n -n = 3 ,

40)

n7 - n

7

.

42)

j2n + 3 + 2n + ^

=

44)

3 ( 5 < m , „ 2 3n +1 ■

46)

7(52n_1 ) + 23n +l1 = O j2n *2 + 26n*l * U

36)

48) 50) 51)

n 2n

=

>

> n

n(n - 1)

.

, 1 1 - ------(n*l)2n

■

n > 1

<

2 n-1 n > 2

.

n > 2

41) 43)

22n +1 + 32n + 1

45)

lln + 2 + 122n + 1

47)

5n - 4n - 1

49)

4n ♦ 15n - 1 = 9

39)

O 17 , » 17 ,

n > 1 .

4n > n4 , n > 5 c n - n * 5 O j2n +2 _ 2n * 1 = 7

37)

O 7 ,

V

n 1 ,

2n

V n i 1 .

=

O 5

=

O 16

O 133

SUG: EJ.

20n + 1 + 16n+1 - 3n + 1 - 1 - 323 o a) n2 - 7n + 16 2 , n > 1 b)

52)

que :

,

(a11- bn) ,

Probar por Inducción Matemática que : SU6:

---1--- :---2(n ♦ 1) (n + 2)

(ab)n = (an)^bn)

es un factor de

I.M.

Pruebe por

=

n4 - 34n3 » 141n2 - 206n

=

24 ,

n > 1 .

Derostrar que un polígono convexo de n lados tiene diaconales, donde n i 3 .

SUG:

[51](a)

[n(n-3)/2 ]

53) i Cuál es el número natural que es igual a la suma de todos los números na turales que le anteceden ?

RPTA:n*3

510

54)

55)

Introducción al Anáta-ii Mateirittci'

Cap.I0

Si n > 3 , probar por I.M. que la Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es: vértice fijo, trazar (n - 3) diagonales formando (n-2) íA^ngm .04 Dado el conjunto

{ xn e R /

xn + 1 = /2 + xn

, n £ 1 ,

neN

} definidos por

probar por I.M. que

x t = /2

xn < 2 , V n i l

56)

Dado el conjunto de números ( ¿ n / n e N } definidos por = 1 , 4n = 4n-l + 8{n-l) , n i 2 , probar por Inducción Matemática que 2 4p = (2n-l) , para todo n e N .

57)

Dado el conjunto

de números { an } , n e N ,

de recurrencia: probar que a 58)

Sj ■ 1 ,

Pruebe que y que

1 +~~

/2

a) x„ >

{ a„ /

an = 3an_j

Inducción Matemática que

. n "

probar que

62)

Probarque

•--

+

“

An =

b)

An

,

n > 0

, n > 0 .

,n e N

por ,

probar que:

> x„ ,c) 0 < xn n e N ) definidos + 8an_2 ,

< (2 + / 5 )

por

n > 3

, pruebepor

__ n __ n (3 + /41 ) + (3 - / 41 )

*

An_| + 4A n_2 ,

zi un entoio pot-itivo ,

Calcular A L , |A ,

2 /n + 2

(1+ /I7)n - (1- /17)n --------- ÍT~— ----2 /17

a)

V neN

( xn / n e N ) definidos

0 , b) xntl

at = 3 , a2 « 25 ,

SUG: b)

+

/3

2 /n + [ 1 / /n + 1 ] < 2 / n + l

Dado el conjunto de números

S1

-4r

xn - 5 - [ 4 /(xn_1 + 1 ) ]

* n " 1 *

61)

+

2 / n + 1 + [ 1 / /n + 1 ]

Dada la sucesión de números x0 * 0 ,

60)

<

.

A 2, ¥

n i 3 ,

para todo entero n i 1 :

Probar por Inducción Matemática que,

SUG:

definidos por la relación

an = an-1 + 3an_2 ■

- -- i— [ (1 + /l3)n - (1 . /T3)" ] 2 / 13

2 ( / n + 1 - 1)

59)

a2 = 1 ,

V n e N

" e K n i 3 ¥ n e N

y luego), aplicar InducciónMatemática enteron 1 3 .

A. - [ (3 + 2 /2 )" + (3 - 2 /2 )" ] / (2/2 )

Zi

un ENTERO

a

(n - 2) ,

511

Inducción Matemática

Cap./O

POSITIVO PAR, ¥ n c N .

SUG:

Si

Bn = (3 + 2 / 2 )" + (3 - 2 / 2 )n ,

utilice I.M. para probar iánultiíniajniLntií que An y óitivcu pa-iiLi , V entero n > 1 . 63)

Si

.

(1 W l ) n - (1- /!)" An - -— -------- . 2 /5

Bn ion e.nteAO¿ po

„ ( 1 * / 5 ) B ♦ (1-/S)" B„ - ------------------2

,

probar que, ¥ entero n 2 I :a) An y Bn son enteros positivos. es entCAo pottLLvo pax.

b) An * B n SUG: 64)

Utilice

Dado el conjunto de números reales { an / n e N ) , definidos de mane ra recursiva: i ■ i - 0. a2 - l . an 2 [ s "-i + *"-2 ] Aplicando el

65)

I.M. para probar (a) y (b) ¿ 0

,

a)

n(n + 1)

c)

n(n+ l)(n+2) SUG:

d)

* 2 ,

0 < an < 2

n 2 1

*

6

;

b)

n >

,

,

que se definen

x2n b II * ----y x2n -1 n 2 c)

nJ + lln

,

n e K

1: b„

» 6 ,

> 1 n 2 1

1

(n + l)(n + 2)(n ♦ 3) * n(n + l)(n + 2) + 3n(n + 1) + 6(n + 1) O más la Hipót. de Induc. , (a), y 3 * 3 . -

(n + l)(n + 2)(2n + 3)

n(n + l)(n2 + n + l) SUG:

*

6

6,n

2

,

1

» n(n+ l)(2n + 1)+ 6{n +l)2 ,n 2 1

(n + l)(n + 2)í(n + l)2 + (n + 1) + 1 ]

[ó f)

b)

n(n t l)(2n + 1) SUG:

e)

,

n e N .

tales

Vn e K

*y

V

n^ - n SUG:

■ n(n + l)(n2 ♦ n + 1) + 2n(n + l)(n ♦ 2) + 6(i+1)

, y (c)

* n(n + 1){n2 ♦ n ♦ 1) + 2n(n + l)(2n + 1) ♦ 6(n + l)2

, y (d)]

í/¡

diviiibli pon. 30 ,

V n 2 1

(n+1)^ - (n ♦ 1) * (n^-n) + 5n(n + l)(n2 + n + l) , y (e).

' n - 3

b12

InbwJucción al Anátucj Matemático

Cap.10

SUMATORIAS

3. 3.1

NOTACION SIGMA .-

Si

n es un entero positivo y si

aj, a ,, .. , an

es un conjunto de números, entonces estos pueden ser representados por la notación a^

, para

k = L,

n

núme-

2...... n

y la SUMA de todos ellos se puede representar con el s'mbolo n £ ak* a l * a2 + a3 + ... + an k= I

se lee como" La Sumato>Uade tol .uiníMii ak " .A Io í números 1 y n se les denomina ti ti linúXt tupviion. respectivamente, de la tumatolia.

dtide

el cual k

«

n

k

=

1

ha¿ta

túrnUi ingestión. y ti

Al subíndice k se le llama la VARIABLE de la sumatoria . En lugar de es^ ta letra k , también se puede usar -£,/,!i.m , etc. (Para efectos de la sumatoria, al límite superior n se le considera cont •tan-te) Por ejemplo, Zot caa.djia.doi, de lot cinco pAimfiOi tnteju t poti tivot pt »den ser representados por j ak« k , para k » 1 , 2, 3, 4 y 5, es decir,

a^ = l2 =■ 1 ,a2 * 2Z ■

4 ,

a3 ■ 32 * 9 ,

a4 ■ 42

- 16

y a5

2

■ 5 = 25 , y ta ¿urna poA ti iimboto

k= 1 5 £

kz

-

k=1

l2 + 22 + 32 + 42 + 52 =1

Análogamente,

+ 4 la

tviot patixivot Ziv o t se SE representa por

+ 9

+ 1 6 + 25

=

55

tuina de l o t CU60S de l o -& ca c u x o q n i m e j u u en (considerando ak = I , para k = 1, 2,

3 y 4) :

Z k3

l3 + Z3 + 33 + 43

-

100

k=l

Asimismo, se representa:

la turna de lot enteAoe. po&itivot dthde 4

iq

” k

k= u

»

4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

,

haita 10

' donde

¡nducc-íún UitemtCíCa

Cap.10

ak = k

,

para

513

k = 4,5, 6,7, 8, 9, 10. De la definición del símbolo de SumaXonji se sigue que

n+ 1

n

Z k=L

=

( I k-l

(a)

1 * an+ l

Mediante el Principio de Inducción Matemática se puede probar muchas propiedades de las SUMAT0R1 AS. Por ejemplo, entonces

si definimos la regla

a^ ■ c

(constante) V k = 1, 2, .. , n

c + c +' c ♦ ... + c ( n ionandoi) y en particular,

3.2

si

EJEMPLO.

c - 1 :

n yi 1 k= 1

■

-

nc

{la ¿uma de

n

n uno«)

Probar, por Inducción Matemática, que para todo entero n > 1 n Z

C

«

nc

(* )

k-1 So l u c i ó n . (a) Para

n = 1 :

Zj k= 1

c

“

c

“ 1-c

(verificado)

(b) Tomando como HIPOTESIS DE INDUCCION que (*) se cumple para n , veremos si (*) también se cumple para (n +1) : n+ i c k= 1

n * ( 2] c ) + c k-l = ( nc ) + ■ (n + l)c

c

.. por (a) .. por Hipótesis de Induc. .. verificado.

De (a) y (b) y elPrincipio de Inducción Matemática, (*) es válida pajui todo tnteAO n > 1 .

3.3 EJERCICIO.

concluimos que la fórmula

Por Inducción Matemática, probar que, V entero n > 1 :

Itit i n t i n e e , i o

514

n

a t

C a p .IO

ik it iM it ic u

E l

(*)

k= 1 SOLUCION (a)

Para

n = 1 :

¿

k3

=

l3

=

[

1(1 + 1) j2

(VERIFICADO)

k=l (bj Asumiendo cono Hipótesis de Inducción, que (*) se cumple para n , proba remos que (*) también es válida si se reemplaza, donde aparezca, n por l" tl):

n > ( £ k3 ) + (n + 1)3 k* 1

£ k3 k= 1

„ [ n(n» 1) ]2

^ (n + 1)3

.. por (a)

..por Hipót. de 1.

* i" + l)2 [ n2 + *(n + 1) ]/ * _ (n » l)2(n ♦ Z)2 . 4 ~

, (n + 1) [(n + 1) + 1] 2 (VERIFICADO)

De (a) y (b) y el Principio de Inducción Matemática, concluimos que la fórmula (*) es válida, pana todo inteAo n * 1 . 3.4

PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS Sear m y n

(1)

(cak)

1

k»1 (2)

n enteros positivos, entonces

n c ( £ ak ) k= 1

pana. toda, constante c .

,

X ¡ (ak ♦ bk) = ( ¿ ak ) ♦ { Z bk > k= 1 k= 1 k-1 n

n

n

k= 1 u

n II

(3)

k= 1 (4)

CoNMUT ATIVIDAD

z

k= 1

ak > *

( k=zm+l

Z

. 1 1 < m < n

n

n

k=m

ak )

ak

=

Z

k= m

an-(k-m)

-.2

Cap.IO

Inducc. 0« Mafi.r-i.tLca

515

La iiutiatoiujL dzt ¿egundo miejnbno mueitxa tot mamo i iumandos dii p^XmeX miembro, tólo que en ofídin ¿nvvuo: m* 1

díide.

an ha¿ta am .

,

n

n

Z -k

Z

k-i Ap l i c a c i ó n

1 .

k-1

(6)

an-(k-l)

20

Calcular

Jl

S

(20 - k + l)3 .

k= 1 Haciendo n = 20 , reconocemos que S-

Z

-

[n-(k-l)]

k'l

(si

ak

entonces

"

n

Z ak

k= l

an- (k-1)

) , y por (6) .

[n-(k-l)]3

[ n(n 1) ]

Z

£ k-1

^ por [3_3]f y como n » 20 :

k» 1 210

APLICACIÓN 2 . --------------

44100 » S

Suma de -ja n psUmeAoi nú n n(n + 1) £ k k-1

Deduciremos la fórmula para la meAoi znXeAJJi p aitivoi S«

En efecto,

(por [3.4](2): )

(k-1))]

Z

-

{n + l)

k-1

k-1 no depende de

y por lo tanto,

£ rn- ( k - D 3 k-1

k ) + ( jr k ) - ( r k )+ k=l (6) k-1

2s = ( £ k-1

k . Luego,

Z

k-1

...

+n

*

—

(n + 1)

2

n n

i

PRUEBA DE (5)

1+2+

i

(5) PROPIEDAD TELESCOPICA

k

n(n + 1)

2S - n(n + 1)

n S ■

» 13.31

an - ao

La idea prictica de esta propiedad es la siguiente:

Cap.10

Introducción al Análu¡ui Uatemítir"

516

4 k *1

lak-ak-l>

(ai ' V

= 2

+ (a2

'V

K

* (a3 ' a2> *

* a3>

il último imnoi il fVujneAO .

La prueba formal se realiza por Inducción Matemática: 1 (a)

Para n ■ 1 :

(a^ -

*

(b)

un iSlo turnando

(a4 - a^)

k«l

>1

(VERIFICADO)

- “o

Tomamos c o i t o Hipótesis de Inducción que la fórmula y probaremos que también se cumple para (n + 1) Z (\ - *k-i> k*1

*

t £ k-1

-

t(ap - a0)]

k

- ak-i>

(F) se cumple para n

i *(«mi

+ (an+1 - an)

-v -

an n - a0 (V E R IF IC A D O )

(6)

Va r i a n t e

de la

Pr o p i e d a d Te l e s c ó p i c a :

n £ W k- m

+1 - ak J

an+l

■

y en particular, para

am

i

m ■ 1 :

n

£

t#k+i - ak }

k-i

an+l “ al

■

Bita Piwpiidad Tapiscópica a muy útil pajia la oomtAucdön di faönmitaA.

3 5

EJEMPLO

a)

n £ k k»l

b)

n 2 £ kz ■ k =1

c)

Deducir las fórmulas: *

n « i £ k3

*

1 + 2 + 3 +

n(n » 1) 2

... +

,2 -2 . ,2 _ ^ _2 lz + Zl * 3l * ... + n i

i

i

1 + Z3 + 3' +

k-1

So l u c i ó n .

3

... + nJ

_

»

[n + l)(2n + 1)

r n(n + 1) ,2

[

--- ]

Cap.Iü

a)

Inducción Matemática

Sea

ak ■ k

an' a0 ‘Z

,

entonces por la Propiedad Telescópica :

t*fc“ »k-t 3 *

Z

k =1

n2 - O2 * 2( £ k) - £ 1 k=L k*1 Y despejando.

Z

k= 1 b)

Seí

a. * k3 ,

Despejando,

Sea

[ak ' ak-i]

n(n+1)

1

Z Ck3 -(k-l)3] le* 1

ü í n2 i l i

«. 3

^

) * 3(

Z

k =1

Z

k >*

k*l n

Z

-

1

k=1

1 )

k-i n(n + l)(2n * 1)

- n ] 1

6

entonces por la Propiedad Telescópica :

k 31 *

Z

n n ¿ k2 - - ( n3 * 3 Z k k=i J k=1

Z [»k -ak-ii ■ Z

an - a0

k* 1

2( Z k > " n k=1

£ (3k2 - 3k + 1) - 3( k=l

ak " k4 ,

n -0

'

n2 + n

*

I3 [ n 3 c)

[k2-(k-l)2] • Y.

k- 1

entonces por la Propiedad Telescópica :

Z

n3 - O3 -

517

t k4 -(k-i)*]

k*l

n J ] (4k3 - 6k2 + 4k - 1)

n ,

y despejamos

£

k3

k=l

k=1

k’i

r .4 . , n(n + l)(2n + 1) L n * 6 -----------6

k=l

, n(n + l) - 4 ------

, n J

2

, n(n + 1) -.2

Z

2

k= 1 Midianti zita ticru.cn

4 1 p u e d e haLLaA. (¡ónmxtaA p a A a

k4

k'1

,

k^

k ■1

, etc.

Cap. 10

lnViuduCCión al -\ná.tí¿ i i MíiCumiLt-Cü

518

36

EJERCICIO. Encontrar el valor de

SOLUCION.

Empleando las propiedades y resultados sobre Sumatorias:

10

S = .

10

10

2 ( X . *2 ) - 3 ( X , k k=1 k=1

)+ l H 1 k= 1

2 10(10 + 1 ) [ 2 ( 10 ) + 1 ]

3 10(10 + 1 )

_

6

3.7

la suma¿2.. ¿_, (2k¿ - 3k ♦ 7) k«L

> +

10 (7) .

2

EJERCICIO. Deducir la IT

jfri

«

770 . 165 + 70

675 .

fórmula

sen kx *

--------- [ eos ^ 2 sen (x/2) 2

cos(n+ - )x ]

So l u c i ó n . ApLLcasizmoi la ¿dtn&¿dad haciendo

eos (A - B) - cos(A + B)

A * kx , B = x/2

2 sen kx sen k / 2 Definamos

* 2 sen A sen B

,

, con lo cual obtenemos

= eos (k - ^ )x - eos (k + ^ )x

= c o s( k-^)x

...(*)

, entonces

■ eos [ (k +1) - i ]x

= eos (k + -j )x n n /T 2sen kx sen (x/2) = - ] T (wfc+ 1 - wfc) - ~ (wntl ‘ wj) k=l k=l

Luego, de (*),

= cos(l - ~ )x - cos(n + l- ^)x 1 3 .% ](')

=»

i

n

2sen(x/2) 2_, sen kx k= l

«

[ eos - - eos(n + - ) x ]

Y despejando, obtenemos la fórmula pedida. 3.8

(SUMAS GEOMETRICAS) n

V

Si x / l . x /> 0 . 0

1

r>

y si ,

deducir que

I n d u c c ió n

C a p . IO

So l u c i ó n ,

sea

ak = *

, k+1

n+i - . 1

x

entonces por la Propiedad Telescópica:

k x

Z (x k =0

x"*1 - *°

519

Matemática

Z

- * )

es decir

k=0 n

(x-l) £

1-

Z Z —

b>

k = 6 10

„ 2

Z (2k * k* U

k-U

So l u c i ó n . 20 IR a) Z ~ S=i k = 6 10

20 18 Z -4^, k = 6 10

=

=

18000 £ k =0

1 14 1 ■ 18 Z -ío k = 0 10

(— )* = 10

-

ü 103 £ Jtf k = 0 10

i«

18000 [ 1 ' (l/l0) ] 1 -

= 2(1015 - 1 )/ 1011 . 30

b)

17

Z

£ k = L4

(2k2 + k - D

=

(pues

siak « 2 k 2 + k - l ,

[2(k +13)2 ♦(k + 13)

-1 ]

k-L entonces

ak+ 13

= 2(k+ 13)2 + (k + 13) - 1

)

17

■=

z

tZk2* 53k+ 350 i

k =1 17

=

2

17

Z

k= 1 =

3.11

EJERCICIO.

2

17

k2♦ 53 Z k k= 1

17(18_)(_35)

+ Z k= 1 +

53 17(18)

b)

n

primeros enteros positivos ¿mpaxu

Calcular el valor de la suma

S = 1 ♦ 5 + 9 + 13 + 17 + So l u c i ó n . 1 + 3 + 5 +

... +793+797.

n ..

+ (2n-1)

»

„

£ (2k - 1) k= 1

=

S= £

20°

Z

k= 1

Sk-3)

-

200

4 Z k- 1

£ 1 k= 1

200

[ 1 + 4k ]

Z

=

k =0

S.

-

■ \T\

199

Podemos notar que

n

2 £ k k= 1

■i(n

b)

+17(350)=17629

a) Hallar en términos de n , una expresión simple para la suma de los

a)

(350>

[ 1 * 4(k-l) ]

k=1 200

k “

Z

200 í 2011

3

=

*

j

' - 3 (200)

k■ 1

=

79800.

t tid u c c ic n

C a p . 10

3.12

EJERCICIO.

521

M a t e m á t ic a

Simplificar la suma siguiente, en términos de n : n )

1 k(k +1)

-------

^

=

1 1 + — 1-2 2-3

---

n(n * 1)

So l u c i ó n . Po- tener el denominador ambos factores tím ala en la vaiXabbi 1 k (k+ 1)

presar la fracción CIALES 1 k(k + l)

—

*

k

k . podemos ex

como la i urna (a¿geb'i£uca) d¿ doJ FRACCIONES PAR

B k+ 1

[ y ¿e hallan la¿ con¿tantea

A y B ]

Damos común denominador e igualamos los numeradores, luego procedemos por el mé todo de los COEFICIENTES INDETERMINADOS 1 = A (k + 1) + Bk

1 « (A ♦ 3)k + A A + B - 0

Luego,

1 k

k (k + 1) T'

k = I k (k + 1 )

*—*

1 k+ i

y

,

V k e H

A * 1

=•

(-1)[ — -— - — ] k+1 k

(-1) [ — -—

- —

]

, de donde

(aquí deflrimios

k-1

B - -1

a. — ) u a i t KIr

k (k + 1)

3.13

EJERCICIO.

^

Simplificar la suma siguiente, en términos de n ;

(k + l)(k + 2)

SOLUCIÓN.

i 2-3

i 3-4

i 4-S

i (n*l)(n + 2)

Haremos una traslación de lo; limites de la sumatoria (*)

n+ 1 -

z

k=2

ík >(k + 1 )

[ COMPLETADO TERMINOS EN tA SUMATORIA J

[ k? ¿

-TT (1) (2)

k(k + l) ]

f [ Z ^

f f (n + 1) (n + 2) 3

~~7~ — T ] * t —

k(k + 1)

(n + r1)A(n—+ 2) 3

522

ím.t'LüátKición ai Af.íttici MatimSXíCC

Cap.10 -

Aquí utitizainui el 'le-iu.t'íadu dit

n V 1 ) * --------* k=! (k+l){k +2)

EJEKCICIO [3.12] : y obtenemos (*) , 1 n2 + n t + r ^ 1 [ ---]i + ----------= 2 n+1 (n + 1) (n + 2) 2(n + l)(n + 2)

3.14

Simplificar en términos de n solamente, la su"ia

EJERCICIO. n

1 (3k- l)(3k + 2)

kT i

SOLUCIÓN,

1 + ---1 -1- + --+ 2-5 5-8 8-11

1 (3n-l)(3n + 2)

Separaremos el término general en FRACCIONES PARCIALES :

1 {3k - l)(3k + 2)

A + B 3k - 1 3k + 2

_

A(3k + 2) » B(3k - 1) (3k - l)(3k ♦ 2)

Igual indo numeradores

1 -

Es decir.

1 - (3A + 3B) k + (2A - B)

A(3k + 2) + B(3k- 1) . j

Por Coeficientes Indeterminados:

V k e N B - -A 3A - 1

3A + 3B = 0 »1

\ 2A - B

de donde

A = 1/3 ,

1 (3k - l)(3k + 2) Vemos que si definimos De (*),

2(n + 2)

B * - 1/3 . Luego, 1/3 3k - 1 a|

1/3 3k + 2

3k - 1

1

3

3k + 2

entonces

1 3k - 1

(O

1 3(k+l) - 1

a k+l

1 3k + 2

n Y

—

k= i 3 = i3 ! 21

3n + 2 100

3.15 EJERCICIO.Calcular el

valor de

53 I

SOLUCIÓN. kcomíante,

de modo

iumax0^¿¡i que.

100

í ,w ¿a ío > i

100 J”1

3n + 2

2 (3n + 2) 100

2Z (-i +-j) =■ 1 j ■ 1

la variable u

Z U +1) = Z j=1

3(1) - 1

* S

j ,peAmanecietnio

100

* * Z J- l

J

.

. ¿ £

!

+

t

.

j= l

523

Matemática

In d u c c ió n

C a p .10

u)(100, ♦

5050

2

100

Por lo tanto,

$

100

¿

( 100-¿ ♦ 5050)

•i= l =

100

=100 (

£

i. ) +

5050£

-i= l

LOO [ (100 y 10-1-- ] + 5050 (100)

*

-i.= 1 5050 (200)

= 101 x 104 3.16

OBSERVACION.

Como hemos podido notar en el Ejercicio previo, y en ge neral, en toda sumatoria n

Z \

k=m al ¿ubíndice

kse le conoce como una. va/Uable muda. ,

pues puede ser

reemplazado por cualquier símbolo y el valon de la. iumatofUa no te aXXeHJOl .

8

Por ejemplo,

8

Z] ak

k= 3

“

a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8

“

*

a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + *8

*

Z!

¿=3

8

tambUn

o

aí

8

Z! *A

A.» 3

3.17 EJERCICIO.Probar por Inducción Hat.

k* n+l

k

¿

.

i

Z!

*6 =3

que, para todo n e Z+ :

j-1

So l u c i ó n . ,

a)

Para

n * 1 :

primer niehbro

> — k^2 k

j-1 Tomando como HIPOTESIS DE

i

=— 2

V ’ (-l)i+I > - -----------. 1 i

SECUNOO MIEMBRO

b)

í

"=

J

,

1 -

1 2

-

*

1 2

—

(VERIFICA00I

INDUCCION que (*) se cumple para n , probaremos

que también se cumple (*) cuando se sustituye, donde aparezca n por (n + l):

2(n+l)

2n+2

y - ItfK&O +l

k

y ,

2n

— k = n+2

■ t k

y

— ) *

k = n+2

k

+ — *"+ 1

y en la sumatoria del paréntesis adicionaremos el término para

2" * 2 k = n+1

1

524

hittuJucik'óh at A/!Ú¿c4¿i Miiítymitten ¿T\

= [( y i.). ~ k=Tíi k , = (

POR HIPOTESIS DE IHDUC.

1 t J L , ---2n + 1 Zn + 2

± ] n+1

i , i > — ) + ---— k 2n + 1 k = n +1 2n

(-i)j*1

----

)

i ----

-

. ¿-i.

= ( 5”

i rOROUE ?

2n +

(.n+ 1

+

—--------

j=!

j

2,1+2

í iij*l2(n+l)

, i«(2 n+2 )+1

+

--------

2n * 1

2n + 2

- ,»j+l ^

j=l

Cap . 10

j

IlL)-

j=1

(VERIFICADO!

J

Por lotanto, concluimos por elPrincipio fle InducciónMatemática ción (*) dada se cumple paam.todo ne l* . 3.18 EJERCICIO.

que la reía -

Hallar una fórmula simplificada para las sumas a) £ - k2k‘1 k«1

b)

¿ k2k+1 k-1

So l u c i ó n . (k2 ) - (k-l)2

Sea

afc =

a)

i)

k'

',

entonces

=

a([_1 =

£ [ k 2 k - ( k - l ) 2 k‘ 1 ] k =1

(.2k - k + 1)

= 21 [ afc - a k =1 (a„ - a0 )

n

=

an -

( k - l ) 2 k_1 ,

=

¿ü

2

( k + l ) 2 k* 1

y

n2n

..

(*)

a0 = o

3 = n 2n - 0

-

n2n

n

21 [ k 2 k - ( k - 1) 2 k_1 ]

= £

k=1

( k * l ) 2 k‘ 1

..

de

(*)

k=1

=

n n ¿7 (£ k2k_1) + t 2Z zk_1) = s * k ■1 k =l

n -1 Z zk k= u

( S + SUMA CE0MEIR.) ■

S

♦

,

)

-j— ^--

Igualando los últimos miembros de S - (n - 1) 2n + 1

1 - (2

es detir

(-i) y

=

S . ( 2 n -H

(-ü.) , y despejando

S

tenemos

Inducción Matemàtica

Cap.IO

2

b) E¿ ¿u¿

A • kx , B « (k +1 )x

* cosec x [cot(kx) - cot(k + l)x ]

B-A » * , . Luego,

[ cot (k + l)x - cot (kx) ]

k*l =s>

* - cosec x [cot(n + l)x - cotx ]

3.20 EJERCICIO. n a) Z sen(2k-l)x

Deducir las fórmulas -

1 ~ C0S 2n<

F 1

.

n £ cos(2k-l)x

b)

2sen,t

-

^

k=l

2^ _

2sen,t

nir.

- ' a) Ep cos(A-B) -cos(A + B) * 2 sen A sen B , tomandoB « x , A = (2k- l)x , se obtiene: 2 b)

[

sen (2k-l)x ] senx * - [ eos(2kx) - eos 2(k -l)x ]

En la identidad sen(A + B) - sen (A-6) * 2 sen B eos A , tomar A * (2k-l)x , B * x , con lo cual se obtiene 2 sen x cos(2k - U x

=

sen (2kx) - sen 2(k - l)x x f 1 ,

3.21 EJERCICIO.Deducir las siguientes fórmulas, donde a)

¿

k xk-‘

-

k-x

SOLUCIÓN.

-■«_]. §

b)

(l- o2

jea

^ : lu11 > entonces

a) (ak - a k.1) = k x k -(k-l)xk"1

¿ k= i

k

x t 0

.

3

an = nxn .

- (x-l)[ k*k_l ] ♦ ik"1

4

3

aQ = 0x° = o =-

,

Intxoduccián at A n á d i a Matemático

526

Cap.IO

Tomando sumatoria desde k = 1 hast i k = n :

£ (ak - ak.1) =

- 1>

k=I

E

k* 1

ktk_1 + ( E

k= i

n-l (an -a 0 ) - (x-l)S + ( E * ) = “ k =n Despejando la sumatoria S buscada, tenemos

l

s =

A E

k

1

£

. , x 4k - l

-ir = t ¿I m-) 1 k i

3 r

* 7[ 3.22

._ n n*n = (*-l)S + --- — » 1-*

11 - O 2 x *> ^ , para lo cual expresamos

Utilizaremos la parte (a) , naciendo

k-1 3*

=*

1 - xn [ (n + 1 ) - nx ]

k*“-1 -

k= 1 b)

*k'1)

EJERCICIO,

3

1

.

tñTT1

clajt.r

-

I —

r

3

...

$

SOLUCION

"°” se ,u's ■ ( £

1 ' í 1'3 )" t ( n + l) - n ( l / 3 ) ]

,

c ------------ r í ----- ] (i . i ) 2

1 r

2n + 3 .

* 1 ■ 7 tJ--nr-] . 3!> , 3JJ ,, „ 3 . 1003 100

30

i.1 ) - ( £

«’ )

k* 1

k= 1

Aplicamos el EJERCICIO [3 5](c): r (100) (100 + 1) ,2 S =■ [ W M

3.23 EJERCICIO. a>

2

, (30) (30 + 1) ,2 — i£ ]

2

Simplificar en términos de n solamente,

n i kr= ! 7(k + l)(k + 4)

b>

= 5050-465=25286275

las sumatorias

n i k£, l k(k + l)(k + 2)

S o l u c i ó n Separaremos en FRACCIONES PARCIALES , a)

1 (k + l)(k + 4)

A B --- + --- , k+1 k+4

hallaremos A y B dando común . .. .. . , denominador y procediendo por el Método de los Coeficientes Indeterminados al igualar los NUMERADORES : '

1 A+B = 0

=

= A (k + 4) + B(k + 1)= » 1 = ( M B|k + (4A + B) y

4A + B = 1

=*

A = 1/3 ,

B * -1/3

, de donde ; por lo tanto.

Inducción Matemática

C a p . 10

1

1

1

i

1

527

«

INTERCALAREMOS FRACCIONES CON DENO

— ) ■ - -3 H —k ♦------4 k+1

(k + l)(k + 4)

minadores consecutivos

:

, . 1 1 ( _L----- L ) + ( . J _ . _) + (_!----- 1 _ ) ] } k+4 k+3 k + 3 k>2 k+2 k+ 1 Tomamos Sumatorias desde k = 1 hasta k - nen ambos miembros y aplica mos la PROPIEDAD TELESCOPICAa la sumatoria de cada paréntesis y resulta

V ' 3

n+4

13 -- 36 b)

1 r ( _J_ JL) t

1 .

kTi (k* l)(k*4)

4

*

n+ 3 ~ 3

1r 1 1 [ --- + --3 n+4n+ 3

1 + --n+2

—

I _L_ n +2 ~

i ]

1 ) +( J L 2

RPTA (a) -------

Análogamente, separando ¿n Fracciones Parciales tres veces , tenemos 1 k(k + l)(k + 2)

( _1_____ 1_ j 1 k k+1 k+ 2 = -

l k(k + 2)

1 (k+l)(k + 2)

L- - ! ] * ( - ! ------ — ) 2 k+2 k k+2 k+1 + ( í 7 T - 7 )] + ( í Í ! - 7 7 T , --------- — k+ 1 k

-

. i (— — , - i ( 2 k + 2k+1 2

,

Tomamos Sumatorias desde k * 1 hasta k * n , y aplicamos la PROPIEDAD TELESCOPICA a la sumatoria de cada paréntesis : n E

^

----- 1-------- i{ - i - - 1 )

k(k+ l/(k+ 2)

Solución

3 25

n = 40

n +2

2

Calcula* la. iuma

3.24 EJERCICIO.

para

2

Note que Luego,

EJERCICIO.

Si

- i(

2

n+1

4(n + l)(n + 2)

¡ , 1 + 8 + 27 + 64 +

, S = 1J

__

+ 64 300

, , , , + 2 + 3 + 4J + .. + 40J -

, , , S ■ [ P^n * ]

JL

, kJ

k=1 =(

A =

1+2+3

B =

1+B+27+64+

+ 4+

¿ qui poJiczntaj^ dz B ti So l u c i ó n .

n (n + 3)

- i)

A ?

20 x 41 )2=

... + 3 0 ... + 27000 ,

672400

Introducción al AnitisCi Mateiràtico

528

Note que

A = 1 + 2 + 3 + __+ n ,

n J 30 ■

Luego,

B = l3 + z3 + *

n(n + 1) A = ------

30(31) -- ---

=

2

B = [ ^ V ^ ] 2 Aplicando una regla de tres:

Cap.IO

=

2

+ __+ n3

, para

,, 15 x 31

- ( 15 x 31) 2

B — * 10U %

100A

100(15)(31)

A — •

x% 8152x312 20/(3 x 31)

20

Así, tenemos que A es el — 3.26

EJERCICIO.

de B .

CatcuZoA. La tumo. ¿¿guíente

1— + 1— +1 ■ — 1+ — + __ 30 42 56 72 -----

S SOLUCIÓN.

%

1 + --6320

s . _I _ + t i . 1 . 1 5x6 6x7 7x8 Bx9 n(n + 1) calcularemos el valor de n : •> n(n + 1) = 6320 ==» n^ + n - 6320 » 0 (n + 80)(n - 79) - 0 de donde s ■

Como

n = 79

Luego, podemos expresar S en la forma

¿ • — - L-. k= 5 k(k + l) D =»

3.27

S

¿

l k=- c

[ ------ — ] k k+ 1

= (1/5) - (1/80) =

EJERCICIO.

naZlcui la iuma di.

lo¿

- t ------ — ] - 5 n+1 5

1 79 + 1

~

16 20 p/ujmí.1 M tOvninoi de la iuce¿ ¿un p>-jneA04 téAminoi ¿o.i :

de númeAoi nealzi , c u y o cuatro

1 l + ix

1 1-x

1

1+2/7 l - /x 1-x

SOLUCIÓN. Notamos que todos estos términos pueden ser expresados con el mismo denominador, de manera que la sucesión estaría conformada como sigue: 1-/7

1

1 + /7

1+2/7

1-x

1-x

1-x

1-x

Asi, los 20 primeros términos se pueden expresar según la regla siguiente 1 - / 7 + (o/7) 1-x

»

1-/7+(1/7) 1-x

1 - / 7 + (2/7)

* ------------ * •-■ » 1-x

i - / 7 + (19/7)

—

1-x

-— —

C a p . 10

In d u c c ió n

M u te m lO

529

ca

y la SUMA de todos estos 20 primeros términos es igual, per lo tanto, a : 19 — — 19 constante s -

£

C l ~ /x

k-0

} 1

£

_

,

EJERCICIO.

W

.

* P0R0UÉ ?

_A2_ [ 2 + 17/7 ] 1-X

(Desigualdad de Cauchy - Schw a r z )

( \ b k ) ]*

<

[ ¿

k= 1

19

¿ porouÉ ?

k 1 » — t 20(1 - /x) ♦ /7 £ k ] k =0 1'1 k -1

probar que, para todo entero C Z

♦ (k /*) ]

Z

♦ (A)

— — [ 20(1 - /x) + /7- -(--9H 20) ] = 1-X Z

3.28

C Cf - ' * )

k= 0

19

— [ £ - (1 1-x k-0

S *

—

1- x

19

-

=

1-1

.J ][ ¿

k= l

Si aR , bk

e r .

n > 1 : bj ]

..

(*J

k* 1

So l u c i ó n a)

Para

n

=

1

En ambos miembros de

:

(* )

se tiene

aj b2

(v e r i f i c a d o )

b) Tomando como HIP0TESIS DE INDUCCION que (*) se cumple para el entero n . probaremos que también se cumple para el entero siguiente n+1

2

t 2Z

K

n

* [ ( Z

bk > ]

k= 1

(n + 1) :

2

V k

) ♦ (antlbn+1) ]

k= l n

il

■

t

■

££

k=1

2 ak bk ]

n

0 *

2 a n + l bn * l ( £

k =1

2

a k b* >

+

lPWW¿1

t a n+ lbn * l l 2

n

akbk ] *E

2(bn+iak )(an ñ bk>

* ta’n b2+1 ]

iPOWu«

k=1

k=l

-

[ £ akbk ] 2 + k=l

£ t ( bn + l ak ) 2 + k-1

(an M bk , 2 ] + [ l n * l bn + l ]

■

[Z

Z

Z

■

akbk J2 +

t E \ \ ] k=1

* bn2+1( Z

k =i

+

*

»1 ) + < V l ( ¿

k= i

iP0R0UÉ?

ta^ + 1 bZ+ 1 ]

bk > + ^ an+l bn +l ^

y por HIPOTESIS DE INDUCCION :

: i ¿ •; n k =1

K=l

O

í

&,<

¿ ■;) * k= 1

¿ k= i

> • tv , ¿ „ ]

IntAoduccLón CÜL A h í .O i ¿i hktfcmático

530

’

[

Z » ; ] [ ( L bJ) k= 1 k= 1

• bj^ ]

♦a2t l [(

= [ z al U i Z b>)] ♦( a ^ ) t z k=1

k= 1

r'

■[( Z •£)

C a p .I0

Z O k-1

* b*M

]

b¡| ]

k= 1

■> Ma^),]t

k= 1

n+1

Z

k= l

•>

n+1

b2 ]

•>

n+1

- t I a¡J ][ Z k= 1

n +1

2

k=1

n+I

}

n+1 [ Z W V k= L

Asi, hemos implicado que k*1

•> bk

* k= 1

]-t

Luego, por el Principio de Inducción Matemática, concluimos de (a) y (b) que la desigualdad (*) es vílida

3.29

PROGRESIONES

pasui todo ¿rtvw

n > 1 .

GEOMETRICAS

Una PROGRESION GEOMETRICA ak , k = 1. 2, 3 ..........tales que cada elemento mero, se obtiene mutt¿pCLc.a.ndo e£ ¿íej ini

t0

es un conjunto de números

(á tínnino ), excepto el pri

pieced^nie pon. un ¿acto* conótante. a

. Por ejemplo, el conjunto

fll +

a2 +

\

‘

*3 +

d* t

a5 i

a6 i

a7 i

a8 i

a9 +

2

4

8

16

32

64

128

es una PtuigmiíSn G e n i u u i (P.G.),

a10 ♦ 256

donde cada elemento, excepto el primero,

se ootiene multiplicando el elemento precedente por el factor constante A este factor constante

(*)

r 1 2 .

r se le llama la RAZÓN (ó nuzón común) de

la progresión, y se calcula dividiendo o d a término entre su precedente^

Asi,

en el ejemplo (*) dado: al

1/(1/2) *

a2/al "

*-

.

En general, si denotamos el primer elemento como r y el número de elementos (términos)

II

r = 2

r

L.

a5 Asi, vemos que la razón común es :

CVJ

2/1 V a» * 16/B

a3/a2 =

2 = II

=

■ 1 , a3 = 2 , a6 = 16 ,

a2

CVJ

a 2

= 2’ 1, = 8 .

n , entonces la

aj » a , la razón

Progresión Geométrica

correspondiente viene a estar conformada por números de la forma

Z

Itiduect-ón

Cap.10

531

V n-1

NOTA.

El término k-ésimo por la relación

a^ de una progresión geométrica está determinado a rk-l

ak =

k = 1. 2, 3.

.n

donde r es la razón común y a es el primer término. 3.30

hallan. ti tz/icz/i t&unino de. umi pjiogntiión geomé.tA^.i_a cuyo

EJERCICIO.

QLn.rt.to elemento ti So l u c i ó n . Como

81=

a

-

DATOS: 4 ar

a9 - 16

.

16_ i í { ) ‘

81

ar.4

EJERCICIO.

a.

=

r4

81

2

72?

So l u c i ó n .

4

(2/3)'

S¿ ti fVLcme-i e&wtenío de una p-rog.’iei-Cón geomé-fUca e¿ y ti octavo

*n * • Z rk“1 k= 1

y por la fórmula [3.8] esta sumatoria es igual a : •

II

/ 1“ r \

con

T^T"

3.3*1

EJEMPLO.

HoJJLoa . la. ¿urna

S

rf 1 .

y t i númtnxt dt tiAmuioi

n

(*)

dt ana pn.ogn.t

que loe tÍAminot prUmtAo, ttgundo 4e¿pec¿(va/nen¿e, 5 , 20 y 81920 -

i¿ón gzomíViica. ti. ti último to n ,

So l u c i ó n . DATOS: Cálculo de la razón r : Cálculo de n :

-2 * 20 ,

a r ■

a

y tí

an - 81920 r =» 4

=■ 20/5 *4

por la H0TA de la pág. anterior , 81920 = an =

arn'L = Sr"'1 - 5(4n_I)

4n‘* = 81920/5

= 16384 =

47

= n-1 = 7 n = 8

Luego, por la fórmula (*) de [3.33] : • S * Sn

3.35

-

a[

PROBLEMA.

n

1 -r

. ]

=

«8

109225

5 [ -7 — 7 - ]

l-4

Una pzlcta de jibe iz de ¡a caeA di¿dt ana altiuia de cm. Cada vez que toca el ¿uelo, >iibcta dui titcíjt de

altuxa última de

la cua.t cayó,

a) ¿ Cuál

es

729

Ca

la altana de

inducción Matemitcca

Cap.10

533

ta cuat cae La. bola cuando toca eJ iunto pon. iéptumi vez ? b) i Cuál hublzna ¿¿do ta dUitancLa total. HíconjuAo. dtAde el v ston.Ce en que la bola, jue ¿altada, lauta que tocona, zt tuíto pon 4tptuna vez ?

SOLUCION.

OATOS: altura razón

h ■ 729 r * 2/3 729

a2 h

*, ■ \ ;

*T a4

*

alturas sucesivas:

a7

V

i. i

3l * a2 ■ a3 l

h .

a2 =

I2\ u

3

(jU-.

«3-

2

(|)2 h

.

• *7“

^ )6h

Luego,

1, 2, 3,

a) La altura buscada es

a^ ■ (3)^*1 ■ (3 ) (729] ■ 26

,7

a7 » 64 cm.

=

b) La distancia total D que la bola huDiera recorrido hasta el séptimo contac to con el suelo es: (explique el motivo) D - aL + (2a2) + (2a3) + (2a4) + (2as) + (2afi) + (2a?) 7 D = (-ai) + [ Z E k~0 2k'6 k = 28 (/Í0)2k-8° E

7. Calcular las siguientes sumas 10 k 80

a)

E i 3)'

b)

E

k * 9 j -0

k * 50

8. Calcular las siguientes

sumas

22

(k- 40}(k - 60) , c)¿ (3k-5)(2k-4) . k» 3

U

a)

O

12

Z t ( k - 4 ) 2 + 2] k= 5

b) £ ( j - 2 )3 j =2

26 £ (27 -k)3 k= 7

4 , ,k+ 3 d) £ k-l *

9. jedefine el conjuntode números a4 = 32, a5 ■ 55,

a^ ,(kc N) :

a, ■ -1, a2 “4 , a} - 15,

.. , an = (A +Bn +3n2) . Hal lar la suma S de los 20

primeros términos. 10.

Calcular las sigjlentes sumas «) S -

¡° ■ £ E -(D k * 7 j-1

kt, , (k - j + 1) .

5 b) S • E k-2 j*l

k E

(-1) t k - j + 3]

11. Resolver las ecuaciones siguientes a) b)

1 +7 + 13 + 19 + .. + x * 408 (x+1) +(x+4) + (x+ 7) + ..+ (x + 52)

-

549

12. Hallar la suma de los cuadrados de los primeros 20 enteros positivos múlti plos de 3 y mayores que 17 13. Hallar una fórmula, en términos de n solamente, para las sumatorias-

536

Íntiüduc.í.¿6n at Anáttlii Mat¿r¿L(uco

a)

d) 14.

£ (6k'3) . k= 1 n k= l

í2k - 1)

b)

.

e)

n £ ar k= l R

£ z"k+ 4 k= 1

¿cuáles son verdaderas? : c) gil) = 2 g(2) + 16 , d)

,

C)

£ (2k-l)2 k= i

1 . (r * D ■

f , g :l * — ►

Sean lasfunciones

f(n) => 2^_n (15) -

15.

£ J l M U k11

C a p .10

, definidas por ■

9(") = 2®'" - *6 ,

a) f(l) = g(l) , b) f(l) = 2f(2) f(n) = g(n) . V n c 1* .

Sea f(x) = x2 - 4x + 4 ,x e R . Hal lar el valor de A = Z + , si n £ [ f(k + l) - f(k) ] = 117 .

2-i¿+

+ 16 , n

, pira

n e

k =o

15

16. Sea f(x) = x - 9x ♦ 20 , x e R ;

calcular

17. Hallar una fórmula para la suma

n £ (9 k=1

18. Calcular

- 9 )

.

171 , E [sen(72kTÍ I) - sent/ÜTTÍ | ) ] k= 1

10

19. Si

£ [ f(k + 1) - f(k- 1) ] . k* 1

10

£ (rk + s) k- 1

- 70 ,

£ (rk - s) =■136 k= 3

,hallar

5r

+2s .

20. En cada caso, calcular el valor de n , si a)

£ (3k - 10) - 200 , k =0

b) n

£ (-l)k -ik-l 2k

t (k)

21. Calcular, sin emplear )afórmula de

,lasuma

k“' r Sea

at = k

(3k - 100)(3k + 100) , , ------------- — ---- , k + 3u0 -

22.

97

h ■

£

y

« ■ £

\ ,2

■

k =2

Hallar una fórmula, en términos de n solamente, para la suma £ (2k*1 ♦ 3k'*) k= 1

-gl 512

32 (k2 - 4k + 5) . k* 1 caícular 2(M - N) , si sesa

97

*k+3

k= l

23.

£

- -

Inducción “iXitmíX^ca

Cap. 10

24. Calcular

1x2 + 2x6

+ 3*10 + 4 x 1 4 +

k 25. Si

ak -

£ sen x

; y se tiene una S. Seométr.

27. SUMA DE UNA PROGRESION ARITMETICA La sjma Sn de los n primeros términos

ak = a + (k-l)d

, k c N ,

y con di¿eAcncLa. común d , de la progre +u ........a *(n-l)d

con primer término at ■ a . sión aritmética a> a + (J> es igual a:

...+ 3 0 x 1 1 8 .

n £ ak k* 1

n 5Z C* + (k-l)d ]

Sn“

y [ 2 a + (n-l)d]

-

k- 1

También seprueba que esta sumaSn es igual alproducto del numero de tér minos porlasemisuma ael primery últimotérminos, esdecir , al + an . " ( --- — )

Sn *

28. Encontrar una fórmula, en términos de n solamente, para la suma

a)

y

i

l(■ ik (k + 1 )

6. 4 ^ - ^

■

* ---- ü -----

:

Consi

Cap . 10

(k + 1)2 -- 5- — -(k ♦ 2)(k + 3)

SUG:

k+ 1 k+ 1 k+2 ------------- ----k+2 k +2 k+3

36. Deducir la fórmula

n £ ~T tan "T k=0 2 2

SUG:

tan B = cot B - 2cot2B

=

b

\ n

£

k= 1

2B = (x/2k_1) . Hacer a^ , b^

doentero

B * b/21* = í>

2 *

x

b

_k-l, .

2

[ 1 + 2 sen ,k •co- ^ z

1 + 2sen2 Bcos2B 1 2cos2 B - cos22B . Sea

38. Sean

,

= ik lan ^k •

Hallar uia fórmula para la suma

SUG:

c o t - Z cot 2b

2

Sea a^ » ^ cot

l , . b ak - ak-i ■ ¿

37.

539

Itiduccuún yia-tímdtíca

e

R

,(k

n > 1

e

N).

ak = 21*eos2(x/2lc),

]

z

B ■ (x/2k) , de donde ak

-

-?.

Probar por inducción matemSticc que, para to

y para todo c > 0 :

n

n

n bk

SUG : ( |x y

y

|- |y |)> 0

=»

2 |xy | í (x¿ + y2)

, y tomar

b n+1 f c / Z .

39. Hallar la suma de los .5 primeros términos de una progresión geométrica, el primer y segundo término son 0/3 ...

sf

y 0.1 ... , respectivamente.

40. Hallar la suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica, el primer y segundo términos son 3 y /3 , respectivamente.

si

41. Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica

:

2 ,

- 22 ,23 . - 24 , ...

42. Hallar la suma delos cuatro primeros términos (P.G.)

cuyo primer término es ■/\l + 6/2

de una progresión geométrica , y la razón

3 - /2 .

43. El primer término de una prog. geom. es 1 , el producto de todos los tírm[ nos 32768 , y el número de ellos. 6 . Calcular la suma de todos ellos. 44. Un pueblo que tenia 10000 habitantes, no tiehe hoy m2s que 6561. La J a minudói aniui¿ ha sido la décima par;e de los habitantes. ¿Cuántos afios ha ce que. tenía 10000 dicha localidad ? 45

Una persona gastó el lunes una cierta cantidad, el martes gastó el doble, el miércoles el doble que el martes, y así sucesivamente hasta el sábado de la

IntxoducZLÓn ai AhclLLaía Matemático

540

C-ip. '0

misma semam, en el que su gasto fue también el doble que el viernes. Si su gasto total fue de 693 soles ,¿ cuánto gastó el jueves ? 46. Hallar una fórmula para la suma Sn 2 , 22 . 222 , 2222 , ...

de n números de la forma

47. Una progresión geométrica consiste de un número par de términos. La suma de todos sustérminos es nueve veces la suma de los términos queocupan los lu i,ares impares. Hallar la razón r de laprogresión. 48. Una de las raíces de una ecuación de 2° grado esigual a lasuma de lo»ocho primeros términos de la progresióngeométrica 512 256 " 255 ’ " 255 * ■" ’ y la otra raíz, el quinto término de la progresión geométrica 93.75 .................... i Cuál es la ecuación ?

234.375 ,

49. En una progresión geométrica la suma de los términos de lugar par es 1365 y la de los de lugar impar es 455 . Hallar el primer término de laprogre sión. El número de términos es 6 . 50. Resolver la ecuación siguiente, 1+ a + a2

+ a3 ♦ ...

♦ ax

« (1 + a)(l + a2)(1 + a4 )

51. Hallar una fórmula para la suma S * (a + ¿ )2 + a Cl a v e 1.

de

49/6 , c)152/15 , d)

[ f(*o) * f(*t> + f(*2) ]d ,

2.

5 a)

d>

+ (an + - )2 a

400 ,e) 404 ,

V1 k 2J “ k^T • k =1 3

ni e)

(4). 247500 ,

Y' I I E (-1) k-L (5).

f) y

g)-26/35

,

c)

6 £ (-1) + (4k-l) k= 1

h) 87/í

6

£ (2 ♦ 3j) = £ (3j - 1) j *0 k» 1

3. 9870 ,

...

i1

Re s p u e s t a s

a) 54 , b) O

(a2 + -í- )2 +

, b) 2k — 1 k

11319 ,

6 £ (2k) k= 1 . * f) (6a).

yn (- X2 )^ £ r k= 1

3600 ,

(6b). 2n2

6c). (22 1 -l )/ ¿1 2 , (6d). (1013 - 1) , (7a). 5050 , 7b). Note que hay 31 términos S = 6355 , (7c). S = 17640 8a). 405 , (8b). 3025 , (8d). 7/12 26 26 20 8c). £ [(26-k + 7) - 6 ] 3 » £ (k-6)3 = £ k3 = 44100 k=7 k= 7 k* 1

OC/[(I -uc + zu£)(l+uz)(,tü)u] :(a)Mp)

.

(Z +U)H+U)Z (3 .M

(2 + U) ( I + u )t

(Z + u c ) li

---(C4U)U

(q8Z)

* (T + uJ/u

(e8Z)

: » z *o d /[ j+(j (x âs) - i ]

92

9/(1+u2)(i+ u)u

'S2

Z/(E - UE + l+ u2)

E2

1=)1 0639E =

’•e 2

=S

'( K )

‘ (2-WPI - ^

0t

• 00» ■= (N - W)2

’ 002 ■= °01* ■ M - W 88fr6

I-«* = 2E + ( z* 2 )* s Ot

*2 = ■ *2 + -'S 2

-(I*) -

I =

->1) ‘V

"22

s+ W - ^ 12 s ‘ 2 = ■> 61 (2/“Z)uas - (2/u)uas -gì

I + z(Z

• si -u(e (02)

6 = u (q

‘oßann

‘ (00E + >1)/ (00001 - z*6) = 11* °“»3

anb

-

«

[ I - U6]06 = (6 - l+u6) + (z6 - z+u6) '¿I 012 (91) (J -D / ( UJ * D *

(3 ZU£

‘ OOE » V

‘ (I ■zuZ)zu (P -(eei)

•

‘ 21 = u (SI)

‘ C/[(I+ U2)(I - u Z ) u ]

6 / [ (Z + U)(I + u)u ]

«=

6»S = [ (Z - «) + * ]

eiopuaiAtosaj 'isv

• 81 = u

=u

«=

=*

uoiDpriDa

owillQ [a X

2S + x « (Z - ue) ♦ x

__ ■ an números reales, al producto de estos númtros se le denota por el símbolo

son

n

TT a. . . k

k» 1

»

a, x a, x a, x 1 2 3

...

x a n

y se lee " il pwducXo de ios númeA.oi a^ dude

2) Si i

es la unidad imaginaria 7 -k = T Tr -¿k

k= l 3)Si

=

-

EJEMPLO.

ai x a 2 x a 3 x a « x a 5 )(a6

Hallaremos, entérminos

T T - L *

i-.J_.J_.

!t-! 3k

3l

32

. )

k = n ".

576

=

i*2»3al»5»6l

para el producto _L

""

32n

Cap . 10

Inducción MaC¿matcca

_

5 2

3 1 + 2 + 3 + ... + 2n j _

EJEMPLO.

553

l / ( 3 2rÉ j | ^ 1,/|j)

_

3 -n(2n + L)

El producto de los 5 primeros enteros positivos es 5

TT k

■ I x 2 x 3 x 4 x 5

=

120

k= L f 5.3

DEFINICION DE FACTORIAL

.-

y se le simboliza por n! ,

n

Al producto de los n prinieros enteros positivos se le llama FACTORIAL DE n ,

TT k “ l x 2 x

__

xn

=

n!

k *= 1 Por convención, se define EJEMPLOS.-

11 = 1 ,

D! » 1

2! » 1 x 2

(Factorial de 0 es igual a 1 ) = 2,

4! « 1 x 2 x 3 x 4 = 24, 5. «I PROPIEDAD DEL FACTORIAL. a)

n! =

b)

— m!

=

EJEMPLO .-

m!(m + l)(m + 2)

3 1 = 1 x 2 x 3 * 6 ,

51=1x2x3x4x5

Sean m y n enteros, (n-l)(n) ,

a')

“ 120

, 0 í m < n ,

(n + l)l *

n!(n + l)

(m + l)(m + 2) ... (n-lMn) Empleando factoriales, reduciiemos la expresión: 1 x 3 x 5 x ... x (Zn - 3) x (2n - 1)

Multiplicandoy dividiendo por los números pares que faltan en los intermedios: Ix2x3x4x5x

... x (2n-3) x (2n - 2) x {2n - 1) x (2n)

2 x 4 x 6 x ... x (2n-2) x (2n) *

(2n)l /[2°(1 x 2

x 3 x ...

x (n-1) x (n) ]

= n! 2n

NOTA .-

5.5

Compruebe que, en general, excepto para n = 1 .

EJEMPLO.

Si

(2n)l

f

2(n!)

,

ak / 0 , para todo entero k i 0 , simplificar

554

/ iCl du .i_ioti al Anitisii M - ( TT ak)/( TT bk) k=l

k

k= 1

k= L

n

6) TT (ak)' = ( TT a. )* k

*l

k

.

7)

-L

n

TT ak = TT an. k H k-1 k=1

PROPIEDAD CONMUTATIVA

PROPIEDADES TELESCOPICAS . an +l

TT (-k+1) k* m

am

k

Y en particular,

para

n

II o

*■ II O

1=

II

¿t 03

m

1=

10)

al

ak

n

* ]

an*l

TT ( aakn ) ■

k =l

m

ak )( TT a

0 £ m < n

PROPIEDAD DE TRASLACION n n

JX

k= 1

n< h

n-h

n-l

P

TT ak+h

TT ak+1

k= l+h

ak-h

k = l-h

a)

TT ak-i

k=2

.

V n / 1

k =1

Expresar en términos de factoriales:

TT (k2) = ( TT k ) k=1

k= 1

=

n

TT (ak ♦ bk) / í TT ak ) ♦ ( T T b k ) k=1

EJEMPLO.

n*l

k=0

n

n ADVERTENCIA :

5.7

(PROPIEDAD ASOCIATIVA)

k= m+1

k=l

■ ( ni)

..

Prop. [5.6](6)

Inducción Matemática

Cap.10

n

b)

n

555

n

TT (k2 *2k) - [ TT k ] [ TT U*2) ] . k=l

k=l =

k=l

[n!][3x4x5x

...

de k2 *2lK= k(k*2), y la propiedad [5.6](2)

x (n «•1) x (n +2) ] x''

n !(n * 2)*

5.8

EJEm.0.

S1

SOLUCION.

Equivalentemente,

n! (n ♦ l)(n ♦ 2) -----— -- — — n!

lililí n!

1x2 \

1

. s . ¡ íilHH , (n ♦ 11)!

„

, (n * 11)! (ñ + 12) , ,w .............. . = 5 ♦ ---------------------------------------------- = > (n+1)(n+ (n ♦ 11)! n *3

0 = n2 ♦ 2n - 15 * (n ♦ 5)(r - 3)

5.9 EJEMPLO. Desarrollaremos el producto 3 T T ( a - k 2 ) > (a-l2)(a-22 )(a-32 ) = (a - l)(a - 4)(a - 9) k= 1 5.10

- (a2 - 5a ♦ 4)(a - 9) PROBLEMA.

a3 - 14a2 ♦ 49a - 36 .

Hallar la cifra u de las unidades del número M * 1! ♦ 2! ♦ 3! + ... ♦ 49! + 50! .

SOLUCION.

1! = 1 ,

2! - 2 .

3! = 6 ,

4! - 24 ,

5! - 120

Esto indica que también 6! , 7! , __ , 49! y 50! son máltípcoi de 10 , de modo que la suma (5! +6! +7! ♦ ... ♦ 50! ) también lo será. Por lo tanto, la cifra de las unidades de la suma M es justamente la cifra de las unidades de la suma de los 4 primeros factorlales: 1! ♦ 2! + 3! «- 4! = (1 ♦ 2 ♦ 6 ♦ 24)

5.11

EJERCICIO.

=

33 t u

. Es decir,

u =• 3

Hallar el número du , formado por la cifra d de las de cenas y la cifra u de las unidades del número M = (l!)2 + (2!)2 + (3!)2 + ... + (58! )2 .

RPTA: 5.12

dü = 17 .

PROBLEMA.

.

Probar que,

V n c N :

[ (n + 1)/ n ]n <

1 + n.

Intioducctón al Attáf-ii i i Mate/nàttco

556

SOLUCION.

C a p . IC

(Inducción Matemática)

a) Para n » 1 :

» Z ,

pri mer miembro

secundo m ie m b r o

= 2

Z < 2

=

(VERIFICADO)

b) Asumiendo que, para n , es válida: ~ verificaremos que «tí n♦ 1

(— — ) n*1

1 £

(-— -)

n

<

l + (n + l)

1+n

..

(*)

en efecto,

“ ( !rni >n - ( Jn*l L 7 > n - < !n!7+71> n - — n+1

< (1 + n).[ 5í!lilijn .( nl?) (n + 1) n+1

(*)

= [ - (2- - - Z-n)- i"*•(n » 2) (n + 2n) + 1 <

1 -(n + 2) * 1 + (n ♦ 1)

verific.

De (a) y (b) y el principio de Inducción Mat. concluye la prueba, V n £ N . 5.13

EJERCICIO.

Encontrar fórmulas para 2 n+ 1

a)

TT (1 k*l

k+ l

b)

) ,

TT (i - i ) k-2

*2

So l u c i ó n . 11

a) TT (—

k « l k+ 1

)

»

TT (r1 -) ktí

k-i

1 n+ 1

n+1

para

k .

y utilizando la Propiedad Telescópica [5.6](8) . 2n+l

b,

IT k-2

,

2n+l ..

C TT

k2

k-2

-

5.11

EJERCICIO.

2n+l

V A CADA PRODUCTO LE APLICAMOS UNA PROPIE OAD TELESCOPICA:

][ TT ílLf11 ] k=2

n+ 1 2n + 1

r (2 ' i r t2" * 1) * 1 i 1 (Zn + l) 1 2 J

Para n entero í 0 , P*

simplificar el producto

(l + a)(l + a2 )(l + a4)( ...

So l u c i ó n . i) Si a = 1 :

P =

>n + l

PUES

)(1 + a2" ) P

TIENE

n+1

FACTORES

Inducción Mate/mltica

Cap.10

k +l

- TT

k=0

Jn +1

k

k donde hemos definido

= 1-a

V.*l =~

V i - 1- 4 y luego, hemos aplicado la Propiedad Telescópica [5.6](8). 5.15

EJERCICIO. SOLUCIÓN.

Simplificar la suma Hagamos

S *

b^ * k!a

£ k!(ak) k= l

Z ( b k + 1 - b k) = (bn +1 - bA) k= 1 t P.TELE5C0P.

5.16

, a constante

.. (*) . Entonces

bk+i - bk = (k ♦ 1) Ia - k!a = k!a[(k+l)-l] S*

= 1-a

(*) II -

■>

k!(ka)

==>

( n M ) ! a - (0 M) !a

■ [ (n+ 1)! - 1 ] a

Para n entero i 0 , deducir la fórmula

EJERCICIO.

sen(2n + 1 a)

TT eos (2k a) k*0

2n+ 1 sen a

So l u c i ó n . De: n

sen(2k+la) * sen(2-2k a)

n

,„k+l ,

TT \ TT r 1 sen(2 d) , TT eos(2 a) = TT C----- r- 1 * k-0 k=0 sen(2 a) puíi hay (n ♦ 1) (¡a.cton.z¿ , e kicimoi

*

2 sen (2ka) eos(2ka ) , n

K

1 , -rr k+1 . — ( TT — ) * 2 k=0 k k k+la) bt = sen(2 a) = • bfc+1 » sen (2 sen(2n+la)

2nn 5.17

EJERCICIO.

Para

b0 h e

2n*L(sen a)

L.q.q.d.

Z* , hallar una fórmula para el producto P li

TT [ 4 eos2 (3k l a ) - 1 ] k* l SOLUCIÓN. sen 3A ----sen A

De. sen3A * 4 sen A eos2 A - sen A = sen A (4 eos2 A - 1)

2

= 4 eos (A) - 1 .

Sea

k bj. = sen (3 a)

, entonces

Introducción aX. Aniti ia¡ Matemático

558

Cap.10

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular:

. 14! a) --

«Si-

12!

c)

10! 2! 3! 5!

d)

15! 10! 5!

(n- 1)! (n + 1)!

d) "

(n ♦ 2) ! (n - 1)!

2. Simplificar: a) e)

(n - 1)! (n ♦ 3)! (n ♦ 1)1

b)

(n ♦ 1)! n!

f)

(r ♦ 1)! (r- 1)!

3. Hallar n en la ecuación:

4. Expresar

9)

(n - ■ 1) ! (n - r - 1)!

(n * 5)! * 3n = 2 [ ^ ] (n + 3) ! (n*l)!

fT k(k + 4) , en términos de factoriales. k=X

5. Hallar n en la ecuación:

[(n + 1)! - 20 ]!

*

700!

6. Hallar la cifra D de lasdecenas del numero M - 1! + 2! + 3! + ... + 49! + 50! SUG: Calcule

5! , 6! . 7! , 8! , 9! y

10! , ¿qué observa ?

7. ¿ Cuáles afirmaciones son verdaderas ? : a) TT kc k=1

■

b)

n! cn

c) TT va - k) k* l

9. Probar, por inducción, que SUG: Aplicar el resultado del

n! >

2

(n! )2 £

, nn

k= L

,

n > 4

V entero n > 1

n

TT (i k= 2

n T í (i

V entero

EJERCICIO [5.12] resuelto.

Para n entero i 2 , deducir la fórmula:

11. Deducir la fórmula:

3840

a4 - 10a3 ♦ 35a2 - 50a + 24

8. Probar, por inducción, que

10.

TT (2M k* 1

i'k

C (n + 1) ]/n!

i

n* 1 2n

) ,

V

n

e

N .

C a p .10

12.

MafiínúCtca

I n d u c c ió n

n

TT [l

Simplificar

k

+ sec(2 a)]

.

559

l + sec 2A

SUG:

»

tan2A/tanA

k -1 13. Probar,

n

l * :sen8

por inducción, que V n e

=2n

sen ( — ) JJ eos 2,1

14.

Por inducción, probar que:

SUG: Si 15.

^ OL 1 TT . k=1 2k

* > 0 , demostrarque

Si a, , a2 , ---

. an , an +1

| ___ 1___ /3n + 1

<

/ 3< + 4 (2t + 1) < / 3« + 1 (2* ♦ 2) son

todos positivos, ó si son todos nega

n >

1 * ( £

k- 1

2.

ak )

(an + l ^ ak^ * ®v k * 1.

b)

1/990

c) 2520

d)

n

3003

n! (n + 4)!/4!, (5). n * 5 Como 5! =120,6! = 720, .. 800

7! = ..40 , B! »

.. 20 , 9! =>

* ( .. 13) . Por lo tanto, n

.

T T # k + 1 ,k I

k-1

I () ■

k

n -pj-

. , (k + 1)

II

----¡r-

k =1

k*

« . . . (y haciendo

D * 1 . n

,

T T [ 1 + sec (2k a) ]

=

-yr

- ( II

(7).

= (33) + (..80)

Todas

n

1 \ r t t (k+ 1) )[ T I - ■ .

k

r

k=l k

.k-l i a. = k ) = k k Sea bk = tan (2 a) => bk_j *

k= 1

.. 80 ,

, entonces la cifra de las decenas de M se obtiene de las dos últimas cifras del número cuya suma es

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9! * 1 * 2 + 6 + 2 4 + 120 +720 + 5040 + 40320 + 362880

12.

2, .. ,

a) n b) (n + 1) c) l/[n(n + l)] d) n(n + l)(n + 2) e) (n + 2)(n + 3) f) r(r+l) g) (n-r)(n-r + l) ; (3). n = 4

10! =

11 .

N :

e

Re s p u e s t a s

182

4. 6.

n

k=1

De las datos se sigue que:

de

1. a)

V

n

T T (1 + ak )

Cl a v e

2

V r\ z H .

tivos ymayores que -1 , probar por inducciónmatemática, que

SU6.

K M

kM

t

]

-

^

.

e)

f)

561

_

n!

^

n!

ni

n! (n - n)!

n! 0!

n! ---------

*

U (n - 1 )!

-

1 ! (n

-

n

(n - 1) ! [n - (n - 1) ] !

(n - 1) i x 1!

(") 3

—

-— 3! (n - 3) I

O! = 1

- 1)!

(n- 1)! x n

n: -------2! (n - 2)!

-

(n - 1)! x n ----- — -

n!

n l„ ) * 2

.

pues

ni

O! (n - 0) !

(n- 2) ! x (n - 1) x n

(n - l)(n)

(n - 2)! x 1 x 2

2

(n-3)! x (n-2) x (n-1) x n

2 (n - l)(n - 2)(n)

(n - 3)! x 1 x 2 x 3 m

6.5

PROPIEDADES DE LOS COEFICIENTES BINOMIALES PROPIEDAD (I) : („".i n-K Poí coe.(iciíntiL¿ binomialíA con «X ñamo in d ia ¿upzKytjx, tutu que. La tuma de. loi indica in&gju.oi

iguaU. oí índice, iupeiion, ¿on iguaxa.

En efecto.

n! n-k

(n - k) ! [ n - (n-k)]!

Por ejemplo, se puede verificar que

(n- k)! k!

562

(ittfoducciÓH

n = 8

EJERCICIO.

Encontrar el valor de n si ,n + 2 , de ( 4 ) .

(!|) es igual al

SOLUCIÓN.

Convirtiendo en fracción

16.666 ...

(n ) .

50

(n 2 ) « I ( n * ? )

3 x 100 =■

4

=*

6 (n!)

64

SOLUCIÓN. 21 -....ü'.— 3! (n - 3)!

. 10

(n-3)! ■ ------ ■ (n - 5)¡

==>

42

=>

0 - nZ -7n-30

6.10 EJERCICIO.

c

—

/

^\ 0

y como B=

definimos

I] [ k- 0 b^ ■ { n

4! (n - 2)!

dada:

21 1 6 (n-3)!

(n-5)! (n-4)(n-3) ---------------(n - 5)! • (n - 10)(n + 3)

-

10 120

1 (n- 5)i

, „w „ (n - 4){n - 3)

=>

n - 10 .

Hallar una fórmula para la suma S -

SOLULiON.

50/3 . Luego,

21 ( " ) * 10 ( ^ )

enter0 > 5 _0e laecuación

n! 5! (n- 5)!

16.66 .. %

n ■7 .

Resolver la ecuación n

.

(n ♦ 2)!

2! (n -2)!

0 « n2 ♦ 3n - 70» (n + 10)(n - 7) = »

6.9 EJERCICIO.

*

¿porqué?

f".

, n,

(0 ) M , l

M

, n + 1, 2

.n + 2.

jfc ( 3

) *

-

,2n,

*

c)

1 - 1 (k s ) * (k 1 ) = ( k +'1 k *- 1 1:

d)

k(k ) > n( k l )

e)

n k+1

k+1

1 < k < n

,

(n x k

f) (") + 2(") ■ n2 3.

k , 0. 1. . . . 7 b) (® ) . k = O, 1.

'

k < n g)

" ■ * ( k>

E” k = 0

, n n-k k ( )a b

Si

n es un entero i 1 :

(*)

6e

s/o

In t A u d u . c c j. ó n

PRUCBA.

Cap 10

A m u o i i .Ua.temático

a t

Por inducción matemática,

a) Para n = 1 :

primer miTmbro secundo miembro

:

(a + b)1 =

:

, 1. 1-0 O , 1, 1-1,1 'o b + (^)a b

a +b = a+b (VERIFICADO)

b) Tomando como HIPOTESIS DE INJUCCDN la fórmula (*) para ji entero fijo, probaremos que n+ • , +l v* " 1 ' 2< 3 ., 4 O + ( ¡ ) 2 u ( c '!)

16 + 32c2 + 24c* + 8c6 + c8 . 7.3 EJEMPLO.

Calcular

(102)^ desarrollando

(102 + 2)^

í

2 4

Cap.10

de

B in o m io

So l u c i ó n .

a =

io 2

.

571

N e u itc n

b = 2 .

n = 5 :

(102 ♦ 2)5 = ( Q )(102)52° ♦ ( *){102) V

♦ ( 2 )(102)322 M j H l O ^ V ♦ ♦ ( Jítiofy6 ♦ ( j )25

= 1(IO10) ♦ 10(108) + 40(106) ♦ 80(IO4) ♦ 80ilO2) + 32 = 11040808032 7.4

(fi)

[ escribiendo directamente de (¿) ]

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL BINOMIO De [ 7 . 1 ] , n (a + b)n

=

E

k=0

Haciendo

para n entero positivo

.n. n - k bk ( k )a

a = b = 1

:

(*)

(">

h

■

k=0 ==>

( n) + 'I' l o'

Haciendo

a * 1.

b = -1

(") vo ' .

3)

n» id, 3 + 4

=

S

L . n v n- L k k ( )a b

EJERCICIO.

(;>

Dk

=

0

.

^ —»

-

.

n .n n — k k ¿J ( > b

I. i.

a

- (b + a)

., n

k = O

Si la suma de los coeficientes del desarrollo del binomio 2 16 (x ♦ x ) es ocho veces la suma de los coeficientes del desarrollo de

So l u c i ó n .

*

... * ( - 1 ) " ( " )

k = O

7.5

...

( k )(-

k* 0

♦ i( 2 n )i

n

.n (a + b) -

f

#

* (") 2

(x3 + x5)n 1 , hallar el valor de n . 16

r

/

En

^

2 i 16

(x + x)

V

-

I

16 \

2_i l i, ) *

16-k,

2,k

■

.

'a suma de

k = O

16

sus coeficientes es

£

(

)

=

2

..

por [7.4](1)

k = O

Asimismo, la suma de los coeficientes en el desarrollo de

(x3 + x5)n 1 =

Introducción al An.itta ¿6 Matemático

572

E

(n:I)(x3)(n'1)'k (*5)k

Z

es

k =0

Cap.10

("-1 )

-

2n-1

k=O

Por condición del problema: 216 = 8(2n~1) = 2^* n

7 6

EJERCICIO.

Sea

n

I)

i

a)

tn i

in .

=

2n+2

==&

16 ■n ♦2

un entero positivo.

Si

*n .

(0) M Z)+ 4)+

n

es

n = 14

Demostrar que

PAR :

* *

...

=»

n/2

«n-1

♦ („)

* i in .

- 2-E (2J)

J =0

b)

(n )

i

\1 I

(n ) + (n )

+

3*5 '

II)

n-1

Si

n

es

...

n/2 ) f=

+ ( "

2j — I2n_1 = 2j-

.*-*

j* l

IMPAR : (n-l)/2

a)

( " ) M " ) M " ) +

b)

(") + ( 3 ) + ( 5 ) +

♦(„V

...

+

(")

■

2"-1

■

2

■

-

E j =0

^j>

(n+L)/2 ¿ (2

_t)

So l u c i ó n . Sumando (o) y (6 ) en [7.4] : y dividiendo entre 2 Restando (a)-(b)

7.7

TERMINO

/

.n

obtenemos [l](a) y

en [7.4]:

y Dividiendo entre 2 6 ENERAL

2 [ ( " ) + (^ ) + (^ ) +

2[(

obtenemos [I](b) y

•••

]

=

2°

[llj(a) . ) + (3 ) + (5 ) +

] =

2,

[11](b) .

DEL DESARROLLO DE

(a + b)n

Como existen (n + 1) términos en el desarrollo de (a + b)

=

t— 1 ,n . n-k

2J ( J a k=0

k

b

.n . n

•n . n~l

* (0 )a .n . n-k k ..♦(.) a b + k

si denotamos porT^ +^ al término de lugar

l

.n. n— 2

b + (? )a

(k + 1)

... +

2

b

+

•••

/n..n b n

, entonces tenemos que

y ( "

Cap . 10

Binomio de. NiucCon

£1

1er.

término es

Tt = ( ) an

El

2do.

término es

T2 - (") a"

El

3er.

término es

El

k-eSTino termino :

. .

.

573

.

para

k *0

1 b*

,

para

k » 1

Tj * (^ )a° 2 b2

,

para

k » 2

■, # n , n-(k-l) k -1 I. ■ ( )i b K K— 1

Definimos como el TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE (a + b)" (k + l)-és7mo término, [el que ocupa el lugar

al

(k + 1) ] :

TERMINO GENERAL

7.8

EJERCICIO. Solución.

CONDICION:

TERMlN0 GENERAL:

36 - 3k * 21 ,

te correspondiente es

7.9

EJERCICIO.

de x21 en

Hallar el coeficiente

(2x4 - x)9 .

(® )(2x*)9-k(-x)k = (¡J)29"k(-i)k x36‘3k

de donde resulta

q q k i (JíZ C-l)

k35 .

q

=

¿

Luego, el coeficien

i

( 5)2 (-1 )

*

-2016

Hallar el coeficiente del término independiente de x en el desarrollo de

SOLUCIÓN.

C0N0ICI0N:

(x2n - — ) n , para n = 4 . tn . .4 12 El término general de lx - x ) es :

96 - 12k = 0

de donde obtenemos

Por lo tanto, el coeficiente pedido es

7.10 EJERCICIO.

Si mxr , nxy*

,12,. .8 ( „ )(-l) O

TERMINO GENERAL :

■

son dos términos de

hallar m , n , r y i . SOLUCION.

k = 8 . 495

2x^

7

( — j- - --- ) y1

( * )(2x3ÿ ‘ 2)7~k ( - 3 y V l )k

,

574

Introducción al Anál¿&.¿s Matemático

-

(;)27-k (-^)k *21-4S

Se tiene =•

l4 + 7k

mxr cuando el exponente de

k * 2 ;

Cap.10

i/~*4 + 7k es 0 :

-14 + 7k = 0

su término corresp. es( ^ ) 25(-3)2 x13

* 6048x13 =>

Se tiene k ■5

7.11

nxt/4

cuando el exponente de

; su término corresp. es

EJERCICIO.

Por hipótesis:

7.12

n - -20412 , 4 = 21 .

Encontrar la expresión A si el

6to. término del desarro

( -í- + A ) 10 y6

252x5 = * [ 7m+l - 2m-l ] v [ 7m+l » ¿8-(Zm-l) ] 7m+l

2m-l

5m ■ -2(descartado, EJERCICIO.

por (*))

v ( 9m » 18 )

=>

Sea A la suma de los términos pares y B términos impares en el desarrollo de (x +

m■2 .

OD

A

-

xn-1

II

un entero positivo, hallar una ffirmula para So l u c i ó n .

-

k (£)

=

" E

it("_ j )

C¡>

k- 1

.. (VERIFICAR)

(¿ PORQUÉ ?)

[

C ap. I

l)

Soiomti? cí¿ N&ctutt

579

n-l

n-H

7.2*1

EJERCICIO.

de [7.4](a)

n2

n Z r ; 1) k =0

Hallar una fórmula para la suma

V ) ♦ 3 2 So l u c i ó n .

Como (verificar)

-J—

i —

k♦1

(n

k

_L_ n+1

) -

—n + 1

n y (n + 1 )

t"f_^ (n k +1) n+1

7.25

,

‘k * l }

n+1

(" ) =

k+1

yn „

— -— ( ")

k'

_ L y n+ 1 £

n

- i - (n + 1)

n + 1 k+ 1

(n + 1 ) k

* v( n0+ 1') - (n + 1 1 )0'J ]

n+1 , k '

1 ] '

- 4 [ 2n+1 - 1 ] n+1

SI n es un entero i. 2 , simplificar

EJERCICIO.

2x1(") + 3x2(") +

... + n(n-l)(")

So l u c i ó n . Como

Z

k(k-l)(")

*

k(k-l)(£)

n(n-l)

k*2

n(n-l)(^*)

.

Z k«2 n-2 n(n-l) 2

- n(n-l) Z < V > k=0 7.26

(verificar)

EJERCICIO.

Sea n e N . Simplificar — (n ) + -J— ( n ) + 1x2 o' 2x3 1

So l u c i ó n .

Como

1 (k + l)(k + 2)

k = 0 (k + 1)(k + 2)

n-2

(ü> k

i (n + 1)(n*2)

O

... + ---- ------ (n ) (n + l)(n + 2) n 1 (n + l)(n + 2)

k

n e

c * > k+2

1 (n + l)(n + 2)

+2 n+2

Z

£

-

i[)

i

-

A - B

o

k» L

(n + 1) [ ¿

n+1 e k” 2

donde

(¡|) - íp) ]

(n + l ) [ Zn - 1 ]

k =■0

k=1

•*

n,+,1n,+ l , n+1

,n+1 (n + 1 ) 2

■ a-b

, , - 1 - (n + 1 )

+ 1

Hallar una fórmula para la suma s-

E

SUG:

k3 (")

k» 1

k =

k(k-l)(k-2) + 3k(k-1 ) + k .

So l u c i ó n . S =

E

k( k-l)( k-2) ( " )

+

3 ¿

k(k-l) ( k-2) ( £ )

+

3

k(k-l)(")

+

k(k-l)(k )

♦

¿

k(")

k= 1 n

E

k=3 = n(n-l)(n-2) £ C 3 ) ♦ k-3 k=3

= n(n-1){n— 2)

E

"

k= 2

E

¿PORQUE ?

k* 1

n n -2 3n(n-l) £ ( 1 k= 2

n-3

n -2

k =0

k=0

n -2

n- l n- 1 + n E ( V > k =0 ,n-l (" 3 )+3n(n-l)(^ > n +2

Binomio de. Newion

Cap.10

581

= n(n-l)(n-Z) 2° ^ + 3n(n-l)2n ^ * n2n

7.29

EJERCICIO.

n

So l u c i ó n .

= Z

n +l

n- 1

2n("> -

e 2 * t"'1) > ]

= 2n+l - 2 [ z"'1 - { 1 + 1 + (n-1) } ] ' = Zn = Z56 [ = 28 ]

7.30

2n + 258

>

n- 2

(¿"-2") -

-u

n-3

Calcular el valor de n en la ecuación e k=0

NUMERADOR:

n"(n + 3) 2

EJERCICIO.

2n + 2(n +1)

(*) - 2n + 258

n = 8

Para n e N , probar por inducción matemática 4n (n!) 2n +1

SUG: ( n + 1 ) =

k

(n + 1 - k)

( ) k

,

n

(2n+ 1)!

(*)

y denotar Sn al primer miembro.

SOLUCION.

a) Para n » 1 : ambos mienbros valen 2/3 . b) Tomando como HIPOTESIS OE INDUCCION que (*) es dato, para ri fijo, ,nH 3n+l

k = O 2k + 1 (-Dn +1 , f (-Dk (n + l) 2n + 3k , 0 (2k + I) (n-k + 1) k (-D

n+l

..

DE LA SUC. , Y SEPARANDO EN FRACCIO NES p a r c i a l e s :

n 2n + 3

2n + 3

< . (-U 2n + 3

n

+

2k + 1

n . ,,k 2(n + l) _ (-1) j n j 2n + 3 k“ „ 2k +1 k

+ ‘

► — ](") n-k+1 k , n , ,,k n+1 y (-.1¿ ^ n ^ Zn + 3 k , „ n-k + 1 k

f en 1ü 2 3) , demostrar que ? n •> n n •> al * t ^ - 2 + + i*1» ín )fln n ' 0 SUG:

Pasar a la notación E ;*k+i ~ ai * kd , ferencia común. Demostrar que Y,

O t ' 1)k = 0

donde d es la di

■empleark{£) = n(£ J) .

k-1 n k= l

, n v k ( k ) (-D " 0 ■

hacer

k

- k(k-l) + k , y emplear n n-2 k(k- 1) ( ^ ) =■ n(n- 1) ( k 2 ) .

47. Demostrar que, para n entero > 0 , ,n . .. .n-l „ , n , 2», ,n-2 ( j )x(l-x) * 2 ( z )x(l-x) +

...

. ,n . k,, .n-k ♦ k ( k )x(l-x) + *■ ...

SUG:

Usar la notac. E , y aplicando

k ( |^) ■

,n . n + n( )x = nx. n * - k 5 n .

con traslación de índices, demostrar que el primer miembio es igual a nx-t(l-x) + x ]n'1 .

Cap 10

ln( luducc (un J ( A »uí¿o iJ Matemático

586

48. Probar por inducción matemática que, para todo entero n i 1 : Z

n ■= 12 .

k = 5 . TERMINO INDEPENDIENTE:

24.’ 2n = 128 [ - 27 ] => k = 3 . Térm. buscado: Condición:

n - 7 , (* )

( 1°°)(/3)k > (

=» (l00-k + l)/3 > k

S * £ *

Tfi * (

(n )6n*k

1

, in

de donde

Condición:^ ( 1 2 - k ) - | | k

»0

¿ )7*0 = U/3888 .

Condición: | ( 7 - k ) - ^ k

- 5

=^>

a5 / ■ 35 a5 )(/3 )k' 1 y (1“ )(/5)k > (kI“ )(/3)k+l

y (k + 1) > /3(10ü-k) ,

^ (301 - 101/3) < k < i(303 - 101/3) , r aproxih. a 10 k 26. [2iZ + Í1-3X-1)]10 *

k

1 + n + -jn(n-l) = 79,

n-Z

* (n ♦ 13)(n - 12) =■

k "° 1

¿

(n ) + ( n,) + ( n,) * 79 = ► 0

25.

n

despejando ceníes.

k

:

63.03< k < 6.4.03 =► k - 64 .

¿ (10 )(2x2)10_k ¿ ( S ( O k-j (-3*-1)j k= 0 j =0

=

10 k = E E I1k° n ki ) 2 w - k i-3)i *20-k -2i k =0 j = 0 J a)

20 - k - 2j * 5 => 2j = 15 - k y 0 < j < k < 10 => (k, j) = (5, 5), (7, 4) y (9, 3). Asi, existen 3 sumandos con x5 , de modo que su coeficiente será la suma (

b)

)( j )25(-3)5 + (l°)(^ ) 23(-3)4 + (1g)(j)2 (-3)3 -

TERM. INDEP.:

20 - k - 2j =■ 0

==> 2j

=■ 20 - k

716688 y

0 < j < k

< 10

588

Incviduccíón ai A>iá¿cici Ma£tyi*F£ÍG

4 - (3 X 3 )2M - D 3 29. 30.

( ^ ( ¡ iA

V

Jh ^

m

P

= 20

W

+ (®)(’ )a2bc3 = 6b5c + 60ab3c2 + 60a2l

[ ( 3 )( ^ )3° + (|)(| J32 ] X6 =

32.

n ? ln- 1 ) E (¡!\> k=2

.

155 x6 n-2

■ 128(n - 1)

2n"2 - 27 = >

-

,

E (nk 7 k=0

n -2 = 7

=-

[ - 27 ]

=128

n = 9 .

(33).

6765

a) Ver el EJERCICIO [7.23] , resuelto. b) Usando (a):

(n + 1)2n .

(35).

n+1 36.

.

, . 10,, 2 . x .10., 4. .10., 6 ) ] x14 - 1095 x 14 2 21 4 1 + 5 0 10 8 . .10., 10. Término independiente: ( 0 )(c \ * (10)( 5 ) = 1512 8 6

=■

a =6

* * -8

—

31.

34.

C a p .10

s *

e

■ t -1 - \ )" + l ■

(n:i)i(nn)-k (-i)k

k=0

». s k*-1 ¿ ¿ o k* l

„n+1

2

.

- (2 + n)

1 ^n + l

s o -

k= 2

= 2ntl - (n + 2) . 38.

De la sug. y: tiene

k(£) =

,

k(k-l)(^) = n(n-l)(^_2 ) , se ob ^

S = n(n -1) " ¿

(n*2 ) + n £

k=° b) De la sug. y:

k =0 k(

n +2

("'1) =

n(n-I)2n‘2 + nz"'1 n(n + l)2n-2 .

n+1 ) = (n*-2)(^ ^) , se obtiene la fórmula

S = (n - 2) 2n M + (n + 4) 39.

(nHl)2n -5 ?

,

4 - (n2 + 7n + 14)

(40).

(n - l)(n)(n + 1) [ 2n~2 - 1 ]

Binomíu d¿ Neieton

Cap.10

44.

T-i,2n +l

E

k =o

(

n JI,

)

k = 0

n k = 0

n n ,■ 2 e

k=0

k = 0

k=0

k= n+l

♦

, .2n+l

2n

45.

E

e

k=n +l

=2

( • )^ j =0 J

corresponde al valor

De

...

k >

(1+*)" -

2n^1 « «

*

e

k =■0

j *n , ^ ^, ___

„ . Mn .

L.q.q.d.

se tiene que el coejic-ten-te de xn

¿ (V j =0 J

es decir es:

"E

-

•

[

e

k=0

j + k = n

n-j = k

S

(¡X k= 0

i K

" ( "k

Por lo tanto, de (a) y

(2 n) n

'£

k=0

(d)

"

( k> 2

C**k i

" 3*k

para

x

corresponde a k = 0,l,2,

1 es decir que v en a ser LA SUMA DL LOS PRODUCTOS »

) .

n

k= O

zt coeficiente, de

En este último desarrollo,

2n

r,n .)*j n E

J

E , C

E ,

j=0

(

( n" ) * J * j=O J

j=0

X

(;)

= 2(4)

■

(i + x)n(i +x)n

C

TRASLACION OE I NOICES

2n

a) De (1 + x) n =

b)

<

„2n + l

= (1 + 1)

propiedad CONMUTATIVA

2n +1

E

2n^1 *> .

o

,,

2n +l ) 2n + L - (n-k)

2n+ l

n *> ,i

(T> • e

,

(

■ E

2n +l "

- E -

n

2n +1l 2 n+ ( ) 2n+l- k '

E

589

.. , n

de la forma

................ " •

, resulta.

(V ■(V +(V +(")2 +... +(n)2 A 7 A V A

ATA A

012nL.q.q.d

Esta obra se terminó de Imprimir en el mes de Octubre de 1995 en los Talleres Gráficos Top-Job E.I.R.L. Av. Emancipación 160 - Of. 161 Teléfono: 4 28-6652 Lima - Perú

Introduccion Al Analisis Matematico - A. Venero B

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