Introducción al Análisis de Espacios Métricos

´ A LA TEOR´IA DE INTRODUCCION ´ ESPACIOS METRICOS

M.C. Ma. Guadalupe Raggi C´ardenas Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna Dr. Francisco Javier Mendoza Torres F.C.F.M. BUAP

      BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA  Enrique Agüera Ibáñez   Rector.  José Ramón Eguíbar Cuenca  Secretario General.                                                                                                                                                                                                                       Pedro Hugo Hernández Tejeda  Vicerrector de Investigación y Estudios de Posgrado.  Lilia Cedillo Ramírez  Vicerrectora de Extensión y Difusión de la Cultura.  Cupatitzio Ramírez Romero  Director de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas.  Carlos Contreras Cruz  Director Editorial. 

              Primera edición 2010  ISBN: 978‐607‐487‐139‐5  ©Benemérita Universidad Autónoma de Puebla  Dirección de Fomento Editorial  2 Norte 1404, CP 72000  Puebla Pue.  Teléfono fax 01  222 2468559    Impreso en México  Printed in México    Agradecimientos  Los autores agradecen el apoyo financiero del PIFCA 2009   (Proyecto Institucional de Fortalecimiento para los Cuerpos Académicos)  obtenido a través del Cuerpo Académico de Modelación Matemática   y Ecuaciones Diferenciables. 

     

´Indice General Pr´ ologo. 1. Teor´ıa de Conjuntos. 1.1. Introducci´on . . . . . . . . . 1.2. Preliminares. . . . . . . . . 1.3. Operaciones con Conjuntos. 1.4. Familias de Conjuntos . . . 1.5. Relaciones . . . . . . . . . . 1.6. Funciones . . . . . . . . . . 1.7. El Producto Cartesiano . . . 1.8. Axioma de Elecci´on. . . . . 1.9. Cardinalidad de Conjuntos.

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3 3 3 5 7 9 10 12 13 13

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15 15 18 20 31

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35 37

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49 50 55 57 59

4. Funciones Continuas en Espacios M´ etricos. 4.1. Funciones Continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Continuidad Uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 71

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2. Espacios M´ etricos. 2.1. Definiciones y Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Construcci´on de M´etricas a Partir de M´etricas Dadas. 2.3. Conceptos Topol´ogicos en Espacios M´etricos. . . . . . 2.4. Conjuntos Acotados en Espacios M´etricos. . . . . . . 2.5. Conjuntos Totalmente Acotados en Espacios M´etricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sucesiones en Espacios M´ etricos. 3.1. Convergencia de una Sucesi´on. . 3.2. Subsucesiones. . . . . . . . . . . 3.3. Sucesiones de Cauchy. . . . . . 3.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . .

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i

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´INDICE GENERAL

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4.3. M´etricas Equivalentes, Semejantes, Uniformemente Equivalentes e Isometr´ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 80

5. Espacios M´ etricos Completos. 5.1. Espacios M´etricos Completos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Completaci´on de un Espacio M´etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 92 93

6. Conjuntos Compactos. 6.1. Conjuntos Secuencialmente Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Conjuntos que tienen la Propiedad de Bolzano-Weierstrass (BW). 6.3. Conjuntos Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Caracterizaciones de la Compacidad en Espacios M´etricos. . . . . 6.5. Relaci´on entre la Compacidad y la Completitud. . . . . . . . . . . 6.6. Funciones Continuas en Conjuntos Compactos. . . . . . . . . . . . 6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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97 98 100 101 106 107 108 109

7. Aplicaciones Contractivas. 7.1. Contracciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113 113 118 124

8. Conexidad. 8.1. Conjuntos Conexos . . . . . . . . . 8.2. Continuidad en Conjuntos Conexos. 8.3. Componentes Conexas. . . . . . . . 8.4. Arco–conexidad. . . . . . . . . . . . 8.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

127 127 131 132 133 134

Bibliograf´ıa.

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Pr´ ologo. Este libro fue elaborado para el curso de An´ alisis Matem´ atico en Espacios M´ etricos, el cual est´a ubicado en el sexto semestre del mapa curricular de la carrera Lic. en Matem´aticas. Los autores hemos impartido esta materia en diversos cuatrimestres (semestres). Versiones preliminares de este libro han apoyado a los estudiantes de dicho curso, en su formaci´on profesional.

M.C. Ma. Guadalupe Raggi C´ardenas. Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna. Dr. Fco. Javier Mendoza Torres.

1

Cap´ıtulo 1 Teor´ıa de Conjuntos. 1.1.

Introducci´ on

En este cap´ıtulo, daremos una introducci´on breve a la teor´ıa de conjuntos, revisaremos la notaci´on, los conceptos y resultados b´asicos que necesitaremos a lo largo del libro. Nuestro enfoque ser´a intuitivo y no axiom´atico, a pesar de saber que este enfoque nos puede conducir a paradojas, sin embargo, para nuestros prop´ositos es suficiente. La mayor´ıa de los resultados aqu´ı incluidos se demuestran en los cursos b´asicos de las licenciaturas en ciencias, es por esto que no daremos las demostraciones en este texto. La teor´ıa de conjuntos es, por si misma, un ´area muy importante de las matem´aticas, que tiene su propio desarrollo, pero tambi´en juega un papel relevante en la organizaci´on, unificaci´on y comprensi´on de la mayor parte de las matem´aticas.

1.2.

Preliminares.

Para nosotros, un conjunto es una colecci´on (familia) de objetos a los que llamaremos elementos del conjunto. Para denotar un conjunto, usualmente se utilizan letras may´ usculas: A, B, C, . . . , X, Y, etc. y a veces se usan letras may´ usculas con sub´ındices. Para los elementos, usaremos letras min´ usculas a, b, c, . . . , x, y, etc. y tambi´en letras min´ usculas con sub´ındices. Dado un elemento x y un conjunto A, si x es elemento de A , lo denotaremos como x ∈ A, tambi´en se suele decir que x pertenece a A, x es miembro de A, x est´a en A; en el caso de que x no sea elemento de A, lo denotaremos como x ∈ / A, tambi´en se suele decir que x no pertenece a A, x no es miembro de A, x no est´a en A. La regla fundamental es: dado un conjunto A y un elemento x, ocurre una y s´olo una de las siguientes afirmaciones: x ∈ A ´o x ∈ / A. Existen dos formas b´asicas de expresar un conjunto, una, enlistando entre llaves todos sus elementos, en este caso decimos que el conjunto est´a definido por extensi´on. 3

CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE CONJUNTOS.

4

Obviamente esta manera de definir conjuntos es muy limitada. Otra manera de definirlo es a trav´es de una “propiedad” el conjunto se forma con todos los elementos que cumplan dicha propiedad, en este caso decimos que el conjunto est´a definido por comprensi´on. Definici´ on 1.1. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X es subconjunto de Y , si para cada x, si x ∈ X, entonces x ∈ Y. Cuando X es subconjunto de Y lo denotamos como X ⊂ Y ´o Y ⊃ X. Cuando X no es subconjunto de Y lo denotamos como X 6⊂ Y . Definici´ on 1.2. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X = Y, si y s´ olo si, X ⊂ Y y Y ⊂ X. Si X ⊂ Y , pero X 6= Y , decimos que X es un subconjunto propio de Y . Se denota como X ( Y . Usualmente, cuando trabajamos en determinado contexto, consideramos a los conjuntos como subconjuntos de un conjunto U, al que llamamos conjunto universal. Por ejemplo, el conjunto de n´ umeros naturales N es un subconjunto del conjunto de los n´ umeros reales R, en este caso, U = R.

Propiedades de la contenci´ on y la igualdad. Teorema 1.1. Sean X, Y y Z conjuntos. Entonces 1. X ⊂ X. Ley reflexiva. 2. X ⊂ Y y Y ⊂ X, implica que X = Y . Ley antisim´etrica. 3. X ⊂ Y y Y ⊂ Z, implica que X ⊂ Z. Ley transitiva. Teorema 1.2. Sean X, Y y Z conjuntos. Entonces 1. X = X. Ley reflexiva. 2. X = Y implica que Y = X. Ley sim´etrica. 3. X = Y y Y = Z implica que X = Z. Ley transitiva. Al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado X se le llama el conjunto potencia de X y se le denota como P(X).

1.3. OPERACIONES CON CONJUNTOS.

1.3.

5

Operaciones con Conjuntos.

Definici´ on 1.3. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos La uni´on de X y Y , denotada por X ∪Y , como X ∪Y = {x ∈ U | x ∈ X ´ o x ∈ Y }. La intersecci´on de X y Y , denotada por X ∩ Y , como X ∩ Y = {x ∈ U | x ∈ X y x ∈ Y }. Teorema 1.3. Sean X, Y y Z tres conjuntos. Entonces 1. X ∪ ∅ = X y X ∩ ∅ = ∅. (leyes de identidad). 2. X ∪ X = X y X ∩ X = X. (leyes de idempotencia). 3. X ∪ Y = Y ∪ X y X ∩ Y = Y ∩ X. (leyes conmutativas). 4. X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z y X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z. (leyes asociativas). 5. X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z) y X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). (leyes distributivas). El siguiente teorema nos da una relaci´on entre las operaciones de uni´on, intersecci´on de conjuntos y la relaci´on de contenci´on. Teorema 1.4. Sean X y Y dos conjuntos. Son equivalentes 1. X ⊂ Y . 2. X ∪ Y = Y . 3. X ∩ Y = X. Definici´ on 1.4. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos La diferencia de X y Y , denotada por X −Y , como X −Y = {x | x ∈ X y x ∈ / Y }. En particular, si Y ⊂ X, el complemento de Y con respecto a X, denotado por ∁X Y , como ∁X Y = X − Y . Obs´ervese que la operaci´on de complementaci´on est´a definida u ´ nicamente cuando un conjunto es subconjunto de otro, sin embargo en la operaci´on diferencia no existe, necesariamente, una relaci´on entre los dos conjuntos. Se suele denotar a ∁X Y como Y C cuando no hay confusi´on de qui´en es X. La relaci´on entre ambas operaciones est´a dada por el siguiente teorema

CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE CONJUNTOS.

6

Teorema 1.5. Sea Z un conjunto. X y Y subconjuntos de U Entonces X − Y = X ∩ Y C. Algunas de las propiedades b´asicas del complemento son: Teorema 1.6. Sea X y Y subconjuntos de U. Entonces 1. X ∩ X C = ∅. 2. X ∪ X C = Z. 3. (X C )C = X. 4. X ⊂ Y , si y s´olo si, Y C ⊂ X C . 5. (X ∪ Y )C = X C ∩ Y C . 6. (X ∩ Y )C = X C ∪ Y C . Las dos u ´ ltimas propiedades se les suele conocer como las leyes de De Morgan.

Propiedades de la Diferencia. Teorema 1.7. Sean X, Y y Z conjuntos. 1. X − Y ⊂ X. 2. (X − Y ) ∩ Y = ∅. 3. X − Y = ∅, si y s´olo si, X ⊂ Y . 4. X = (X − Y ) ∪ (X ∩ Y ). 5. X − (X − Y ) = X ∩ Y . 6. (X − Y ) − Z = (X − Z) − Y . 7. X − (Y − Z) = (X − Y ) ∪ (X ∩ Z). 8. (X − Y ) ∪ (Y − X) = (X ∪ Y ) − (X ∩ Y ). Por su importancia, destacamos las siguientes propiedades conocidas como las leyes de De Morgan. Teorema 1.8 (Leyes de De Morgan). Sean X, Y y Z conjuntos. (a) Z − (X ∪ Y ) = (Z − X) ∩ (Z − Y ).

1.4. FAMILIAS DE CONJUNTOS

7

(b) Z − (X ∪ Y ) = (Z − X) ∩ (Z − Y ).

Producto Cartesiano de dos Conjuntos. En la teor´ıa de conjuntos se define, de manera formal, el concepto de pareja ordenada como: Definici´ on 1.5. Sean a y b dos objetos. Definimos la pareja ordenada, denotada por (a, b) por (a, b) = {{a}, {a, b}}. A a se le llama el primer elemento (primera coordenada, primera componente) de la pareja ordenada (a, b) y a b se le llama el segundo elemento (segunda coordenada, segunda componente) de la pareja ordenada (a, b). Teorema 1.9. (a, b) = (c, d), si y s´ olo si , a = c y b = d En muchos textos, no se define el concepto de pareja ordenada, u ´ nicamente se caracteriza a la pareja ordenada con la igualdad de parejas, como lo afirma el teorema 1.9 Definici´ on 1.6. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos el producto cartesiano de X y Y , denotado por X × Y , como X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }. Teorema 1.10. Sean W, X, Y y Z conjuntos. Entonces 1. W × (X ∪ Y ) = (W × X) ∪ (W × Y ). Ley distributiva. 2. W × (X ∩ Y ) = (W × X) ∩ (W × Y ). Ley distributiva. 3. Si W ⊂ X y Y ⊂ Z, entonces W × Y ⊂ X × Z. 4. X × Y = ∅, si y s´olo si, X = ∅ ´o Y = ∅.

1.4.

Familias de Conjuntos

a una familia de conjuntos. Definimos S S 1. La uni´on, denotada por A ´o {A | A ∈ a} , de esta familia es el conjunto: a [ A = {x | existe A ∈ a, con x ∈ A}. a

Definici´ on 1.7. Sea

A∈

A∈

CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE CONJUNTOS.

8 2. La intersecci´on, denotada por

T

a

A∈

conjunto

\

a

A ´ o

T

{A | A ∈

A = {x | para toda A ∈

a}, de esta familia, es el

a, x ∈ A}.

A∈

Con frecuencia ocurre que a cada elemento de un conjunto A, diferente del vac´ıo, se le asigna un u ´ nico conjunto Aα , en este caso, la familia de conjuntos que se forma con estos conjuntos se denota por {Aα | α ∈ A} y se dice que la familia de conjuntos est´a indexada por el conjunto A. Si {Aα | α ∈ A}, es una familia indexada deSconjuntos,Tla uni´on y la intersecci´on de esta familia de conjuntos, las denotaremos por α∈A Aα y α∈A Aα , respectivamente, es decir [ Aα = {x | existe α ∈ A, tal que x ∈ Aα }. α∈A

Similarmente

\

α∈A

Aα = {x | para cada α ∈ A, x ∈ Aα }.

S S S Frecuentemente, denotaremos A como A ´ o {Aα | α ∈ A}. De manera α α α∈A α T an´aloga, para α∈A . En S el caso de S que A = N, la familia de conjuntos se denota por {An | n ∈ N} y su uni´on n∈N An ´o ∞ on, tenemos una notaci´on similar. n=1 An . Para la intersecci´ Cuando A = {1, 2, . . . , n}, la familia se denota por {Ai | i ∈ {1, 2, . . . , n}} y su uni´on S por ni=1 Ai . Para la intersecci´on, tenemos una notaci´on similar.

Teorema 1.11. Sean {Aα | α ∈ A} y {Bβ | β ∈ B} dos familias de conjuntos. Entonces     S S S 1. Aα ∩ Bβ = {(Aα ∩ Bβ ) | (α, β) ∈ A × B}. α∈A

2.



T

α∈A

β∈B



Aα ∪



T



Bβ =

β∈B

T

{(Aα ∪ Bβ ) | (α, β) ∈ A × B}.

En 1. decimos que la uni´on se distribuye con respecto a la intersecci´on y en 2. decimos que la intersecci´on se distribuye con respecto a la uni´on. Teorema 1.12 (Leyes de Morgan). Sea X un conjunto no vac´ıo y {Aα | α ∈ A} una familia de subconjuntos de X. Entonces h S ic T 1. Aα = [Aα ]c . α∈A

2.

h T

α∈A

α∈A

Aα

ic

=

S

α∈A

[Aα ]c .

9

1.5. RELACIONES

1.5.

Relaciones

Definici´ on 1.8. Sean X y Y dos conjuntos. Una relaci´ on R de un conjunto X a un conjunto Y , es cualquier subconjunto de X × Y , esto es R ⊂ X × Y . Una relaci´ on en un conjunto X es una relaci´on de X a X. Si la pareja (x, y) ∈ R, decimos que x est´a relacionado con y y lo denotamos xRy. Si la pareja (x, y) no pertenece a R, decimos que x no est´a relacionado con y y lo denotamos x/ Ry. Si R es una relaci´on de X en Y . Al conjunto {x ∈ X | existe y ∈ Y, que cumple (x, y) ∈ R} se le llama dominio de la relaci´on R y se le denota como DomR o Dom(R). Al conjunto {y ∈ Y | existe x ∈ X que cumple (x, y) ∈ R} se le llama rango o imagen de la relaci´on y se denota como Img R o Ran R. Definici´ on 1.9. Sea R una relaci´on en un conjunto X. Decimos que R es una relaci´on de equivalencia en X si: (a) Para cada x ∈ X, xRx. (Reflexividad). (b) Si xRy, entonces yRx. (Simetr´ıa). (c) Si xRy y yRz, entonces xRz. (Transitividad). Generalmente una relaci´on de equivalencia en un conjunto X se denota por los s´ımbolos ∼, ∼ =, ≈, ≡. Definici´ on 1.10. Sea X un conjunto no vac´ıo y ∼ una relaci´ on de equivalencia en X. Para x ∈ X, definimos la clase de equivalencia de x con respecto a la relaci´ on ∼, denotada por [x], como el conjunto [x] = {y ∈ X | y ∼ x}. Al conjunto de las clases de equivalencia se le denota como X/∼ y se le llama el conjunto cociente de X con respecto a la relaci´on ∼. Teorema 1.13. Sea ∼ una relaci´on de equivalencia en un conjunto no vac´ıo X. Entonces 1. Para cada x ∈ X, x ∈ [x], en particular, [x] 6= ∅.

CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE CONJUNTOS.

10 S

2.

[x] = X.

x∈X

3. Para x, y ∈ X, [x] ∩ [y] = ∅ o [x] = [y]. Un concepto cercano al concepto de relaci´on de equivalencia es el de partici´on. Definici´ on 1.11. Sea X un conjunto no vac´ıo. Una familia P de subconjuntos no vac´ıos de X se llama una partici´ on de X si para cada A y B elementos de P, A 6= B, se cumple que A ∩ B = ∅, S A = X. A∈P

Como consecuencia del teorema 1.13, se tiene que el conjunto cociente X/∼ con respecto a la relaci´on ∼ es una partici´on del conjunto X. Tambi´en se tiene que si P es una partici´on del conjunto X y definimos la relaci´on x ∼ y, si existe A ∈ P tal que x, y ∈ A. ∼ es una relaci´on de equivalencia en X y el conjunto cociente X/∼= P.

1.6.

Funciones

El concepto de funci´on es uno de los conceptos m´as importantes de las matem´aticas, a nivel elemental, una funci´on de un conjunto X a un conjunto Y se define como una regla que asocia a cada elemento de X un u ´ nico elemento de Y . Si bien esta definici´on es adecuada para muchos prop´ositos y capta la esencia del concepto, ´este se puede definir en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos. Definici´ on 1.12. Sean X y Y dos conjuntos. Una funci´ on es una relaci´on f de X en Y que cumple El dominio de f es X, esto es, Dom(f ) = X. Si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f , entonces y = z. Obs´ervese que esta defini´on refleja la definici´on dada al inicio, pero tiene la ventaja de evitar el t´ermino regla. Dependiendo de la naturaleza de los conjuntos X y Y , en las distintas ´areas de las matem´aticas, el t´ermino “funci´on”se sustituye por mapeo, transformaci´on, morfismo, operador, funcional . . . Al elemento y que le corresponde a x, se le acostumbra denotar por y = f (x) y se le llama el valor de la funci´on en x o la imagen de x bajo f . A x se le llama la preimagen

11

1.6. FUNCIONES

de y bajo f . Usualmente para definir una funci´on se especifica el dominio y el valor de la funci´on en cada punto del dominio. Si f es una funci´on de X en Y se le denota por f : X → Y , aunque con frecuencia, cuando es claro quien es el dominio y el codominio, u ´ nicamente se usa el s´ımbolo f . Como una funci´on es un conjunto, la igualdad de funciones es en t´erminos de la igualdad de conjuntos, de esto, es inmediato que dos funciones f y g son iguales, si Dom(f ) = Dom(g) y f (x) = g(x) para cada x ∈ X. Definici´ on 1.13. Sea X y Y conjuntos no vac´ıos, A ⊂ X, B ⊂ Y y f : X → Y una funci´on. 1. La imagen de A en Y bajo f , denotada por f (A) es el subconjunto de Y definido como f (A) = {y ∈ Y | existe x ∈ A, tal que f (x) = y}. 2. La imagen inversa de B en X bajo f , denotada por f −1 (B), es el subconjunto de X definido como f −1 (B) = {x ∈ X | existe y ∈ B tal que f (x) = y}. Teorema 1.14. Sea f : X → Y una funci´ on, entonces: 1. f (∅) = ∅. 2. Si A ⊂ B ⊂ X, entonces f (A) ⊂ f (B). 3. Si A ⊂ B ⊂ X, entonces f (B) − f (A) ⊂ f (B − A). Teorema 1.15. Sea f : X → Y una funci´ on y {Aα | α ∈ A} una familia de subconjuntos de X. Entonces S S 1. f ( α Aα ) = α f (Aα ). T T 2. f ( α Aα ) ⊂ α f (Aα ). Teorema 1.16. Sea f : X → Y una funci´ on.

1. Para cada A ⊂ X, se cumple que A ⊂ f −1 [f (A)]. 2. Para cada B ⊂ Y , f [f −1 (B)] ⊂ B. Definici´ on 1.14. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Definimos la composici´on g · f : X → Z como (g · f )(x) = g(f (x)).

CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE CONJUNTOS.

12

Teorema 1.17. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Sea A ⊂ Z. Entonces (g · f )−1 (A) = f −1 (g −1(A)).

Definici´ on 1.15. Sea f : X → Y una funci´ on. Decimos que:

f es inyectiva (o uno a uno), si para cada x1 , x2 ∈ X, si x1 6= x2 , entonces f (x1 ) 6= f (x2 ). Esto equivale a decir que si f (x1 ) = f (x2 ), entonces x1 = x2 . f es sobreyectiva (suprayectiva o sobre), si para toda y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y. Dicho de otra manera, f es sobreyectiva si f (X) = Y . f es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

Teorema 1.18. Sea f : X → Y una funci´ on. f es biyectiva, si y s´olo si, existe g : Y → X, tal que g · f = IX y f · g = IY . A lo m´as puede existir una funci´on g que cumpla con el teorema 1.18. Si f es biyectiva, a la funci´on g se le llama la inversa de f y se denota por f −1 .

1.7.

El Producto Cartesiano

Definici´ on 1.16. Q El producto cartesiano de una familia de conjuntos {Xα | α ∈ A}, denotado por α∈A Xα , se define como el conjunto Y [ Xα = {f : A → Xα f (α) ∈ Xα para cada α ∈ A}. α∈A

α∈A

AQcada Xα se le llama el α-´esimo factor del producto. Usualmente, a un elemento f ∈ α∈A Xα se le denota por {xα }α∈A , donde xα = f (α), y a xα se le llama la α-´esima coordenada del elemento {xα }α∈A . N´otese que si Xα = X, para cada α ∈ A, donde X es un conjunto dado, entonces el producto cartesiano de la familia {Xα }α∈A es el conjunto formado por todas las funciones con dominio A y codominio X, en este caso, se acostumbra usar la notaci´on X A .

Propiedades. Teorema 1.19. Sea {Bα }α∈A una familia de conjuntos y Aα ⊂ Bα para cada α ∈ A. Entonces Y Y Aα ⊂ Bα . α∈A

α∈A

Teorema 1.20. Sea {Xα }α∈A una familia de conjuntos y Aα , Bα subconjuntos de Xα para cada α ∈ A. Entonces Q TQ Q 1. α∈A α∈A = α∈A (Aα ∩ Bα ). Q SQ Q 2. α∈A α∈A = α∈A (Aα ∪ Bα ).

´ 1.8. AXIOMA DE ELECCION.

1.8.

13

Axioma de Elecci´ on.

Si bien es cierto que dijimos que nuestro enfoque de la teor´ıa de conjuntos no es axiom´atica, consideramos conveniente introducir expl´ıcitamente el axioma de elecci´ on (de selecci´on). Este axioma ha sido fuente de fuertes controversias en el estudio de la axiomatizaci´on de la teor´ıa de conjuntos. Sin embargo se usa en la demostraci´on de muchos resultados importantes en diversas ´areas de las matem´aticas, algunos de ellos parecen contradecir la intuici´on. El axioma de elecci´on fue enunciado expl´ıcitamente por Zermelo a principios del siglo pasado, aunque ya se usaba impl´ıcitamente en algunas demostraciones. Enunciaremos dos versiones equivalentes del axioma de elecci´on (aunque existen muchas m´as). El producto cartesiano de una familia no vac´ıa, de conjuntos no vac´ıos, es no vac´ıo. Para cada familia de conjuntos no vac´ıos, ajenos dos a dos, existe un conjunto formado con exactamente un elemento de cada conjunto de la familia. En este trabajo, ser´a usado en algunas demostraciones, sin mencionarlo, ser´ıa pertinente que el lector se percatar´a en cuales.

1.9.

Cardinalidad de Conjuntos.

Definici´ on 1.17. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X es equipotente a Y , (o que X tiene la misma cardinalidad que Y ), si existe una funci´ on biyectiva de X sobre Y . Denotaremos X es equipotente a Y por card X = card Y . Es claro que la relaci´on de equipotencia es una relaci´on de equivalencia en la clase de todos los conjuntos. Decimos que el conjunto X es: Numerable si es equipotente al conjunto de los n´ umeros naturales N. Finito si X = ∅ o existe n ∈ N tal que X es equipotente al conjunto {1, 2, . . . , n}. Infinito si X no es finito. A lo m´as numerable si X es un conjunto finito o un conjunto numerable.

Propiedades.

CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE CONJUNTOS.

14

Teorema 1.21. Sea X un conjunto no vac´ıo. Son equivalentes: 1. X es numerable. 2. Existe una funci´on sobreyectiva f : N → X. 3. Existe una funci´on inyectiva g : X → N. Teorema 1.22. Sea X un conjunto numerable y A ⊂ X. Entonces A es a lo m´as numerable. Teorema 1.23. Sean X y Y numerables. Entonces X × Y es numerable. Este resultado se puede extender cuando tenemos una familia finita {Xi }ni=1 de conjuntos numerables, es decir, el producto finito de conjuntos numerables es numerable. Sin embargo, el producto numerable de conjuntos numerables puede no ser numerable. Teorema 1.24. Sea {Xi }i∈N una familia numerable de conjuntos numerables. Entonces S i∈N Xi es numerable.

Teorema 1.25. Sea X un conjunto infinito. Entonces existe un subconjunto numerable de X. Ejemplos de conjuntos numerables. El conjunto de los n´ umeros naturales N. El conjunto de los n´ umeros enteros Z. P = {2n | n ∈ Z}. Im = {2n + 1 | n ∈ Z}. El conjunto de los n´ umeros racionales Q. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes racionales. El conjunto de los n´ umeros algebraicos en R. El conjunto de todos los subconjuntos finitos de N. Ejemplos de conjuntos no numerables. El conjunto de los n´ umeros reales R. Cualquier intervalo: [a, b], (a, b], (a, ∞), (−∞, a], etc. El conjunto de los n´ umeros irracionales I.

Cap´ıtulo 2 Espacios M´ etricos. 2.1.

Definiciones y Ejemplos.

Definici´ on 2.1. Sean X un conjunto diferente del vac´ıo y d : X × X → R una funci´on. Diremos que d es una m´etrica o una distancia en X, si para cada x, y, z ∈ X, d cumple con las siguientes propiedades: 1. d(x, y) ≥ 0. 2. d(x, y) = 0, si y s´olo si, x = y. 3. d(x, y) = d(y, x). 4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). (Desigualdad del Tri´ angulo). A la pareja ordenada (X, d) le llamaremos espacio m´etrico. En general, diremos simplemente espacio m´etrico X. Si la funci´on d cumple con 1, 3, 4 y en lugar de 2 cumple con 2’. d(x, x) = 0, diremos que d es una pseudom´etrica en X. Es decir, en el caso de que d sea pseudom´etrica, no garantizamos que d(x, y) = 0, implique que x = y. Ejemplos de m´ etricas y pseudom´ etricas: 1. Sea X = R, definamos d : R × R → R como d(x, y) = |x − y|. En los cursos elementales de matem´aticas, se demuestran las propiedades 1, 2, 3, 4. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica usual en R. 15

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

16

2. Sea X = Rn , definamos d1 : Rn × Rn → R, como d1 (x, y) =

n X i=1

|xi − yi |.

Las propiedades 1, 2, 3, 4 se siguen inmediatamente de las propiedades del valor absoluto. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica del taxista. 3. Sea X = Rn , n ∈ N, n ≥ 2, definamos d2 : Rn × Rn → R como v u n uX d2 (x, y) = t (xi − yi )2 , con x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). i=1

En el curso de c´alculo diferencial en varias variables, se demuestran las propiedades 1, 2, 3, 4. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica euclidiana en Rn . 4. Sea X = Rn , p ≥ 1. Definamos dp : Rn × Rn → R por !1/p n X |xi − yi |p , donde x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). dp (x, y) = i=1

Frecuentemente a Rn con esta m´etrica se le denota por lp (n) La demostraci´on de que dp es una m´etrica se encuentra en [4]. P p 5. Sea X = {{xn }n∈N n∈N |xn | < ∞}, donde p ∈ R, p ≥ 1 fijo. Como en el caso inmediato anterior, la demostraci´on de que la funci´on dp : X × X → R, definida por !1/p X dp (x, y) = |xn − yn |p n∈N

es una m´etrica se encuentra en [4]. Este espacio se denota por lp .

6. Sea X = Rn , d∞ : Rn × Rn → R definida por d∞ (x, y) = m´ax{|x1 − y1 |, |, . . . |xn − yn |}. Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas y la desigualdad triangular se sigue de |xi − yi | ≤ d∞ (x, y), i = 1, . . . , n. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica uniforme en Rn y a Rn con esta m´etrica se le denota por l∞ (n).

17

2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS.

7. Sea X = {{xn } | {xn } es una sucesi´on acotada de n´ umeros reales }. Definamos d∞ : X × X → R como d∞ ({xn }, {yn }) = sup{|xj − yj | | j ∈ N}. Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas, para la desigualdad triangular, se usa |xj − yj | ≤ d∞ ,

para cada j ∈ N.

8. Sea X = c = {{xn } ∈ l∞ | {xn } es convergente }. Si consideramos la funci´on d∞ definida en el ejemplo anterior, restringida a c × c, entonces, tambi´en es una m´etrica. 9. Sea X = co = {{xn } ∈ c | l´ımn→∞ (xn ) = 0} Si consideramos la funci´on d∞ definida en el ejemplo anterior, restringida a co × co , entonces, tambi´en es una m´etrica. 10. Sea X = B(A, R) = {f : A → R f es una funci´on acotada en A}. Definamos d∞ : X × X → R por

d∞ (f, g) = sup{|f (x) − g(x)| x ∈ A}.

Observe que d∞ (f, g) ∈ R ya que, la funci´on f − g es acotada.

Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas, para la desigualdad triangular se usa |f (x) − g(x)| ≤ d∞ (f, g), para x ∈ A. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica uniforme en B(A, R).

Si A = {1, 2, . . . , n}, B(A, R) se puede “identificar” con l∞ (n). En el caso de que A = N, B(A, R) es el espacio de sucesiones acotadas y se le denota por l∞ . 11. Sea X = C[a, b] = {f : [a, b] → R f es continua en [a, b]}. Definamos d∞ X × X → R por

d∞ (f, g) = sup{|f (x) − g(x)| x ∈ [a, b]}.

Observe que como C[a, b] es subconjunto de B([a, b], R) y la funci´on d∞ es la misma, entonces d∞ es una m´etrica. 12. Sea X = C[a, b]. Definamos d1 : X × X → R por Z b d1 (f, g) = |f (x) − g(x)| dx . a

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

18

Recuerde que una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] es Riemann– integrable en [a, b], esto nos dice que d1 (f, g) ∈ R. Las propiedades 1, 2, 3 y 4 son consecuencia de las propiedades de la integral de Riemann para funciones continuas. Observaci´on. Si X = {f : [a, b] → R f es Riemann–integrable en [a, b]} y consideramos en X × X R b la misma funci´on d1 , entonces d1 , en este caso, es una pseudom´etrica, ya que, a |f (x) − g(x)| dx = 0, no nos garantiza que f = g. 13. Sea X = C ′ [a, b] = {f : [a, b] → R f es continuamente diferenciable en [a, b]}. Definamos las siguientes funciones a) d(f, g) = d∞ (f, g). ¯ g) = d∞ (f ′ , g ′). b) d(f,

c) d′ (f, g) = d∞ (f, g) + d∞ (f ′ , g ′). El primer y tercer caso son m´etricas, el segundo caso es un ejemplo de una pseudom´etrica. 14. Sea f : R → R inyectiva. definimos df : R × R → R como df (x, y) = |f (x) − f (y)|. Es f´acil demostrar que es una m´etrica en R. En el caso de que la funci´on f no sea inyectiva, df es una pseudom´etrica, ya que no podemos garantizar que si df (x, y) = 0, entonces x = y. 15. Sea X cualquier conjunto diferente del vac´ıo. Definamos d : X × X → R por ( 1, si x 6= y, dd (x, y) = 0, si x = y. Es f´acil probar que dd es una m´etrica. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica discreta en X. Es una m´etrica u ´ til para contraejemplos, adem´as de decirnos que podemos definir una m´etrica en cualquier conjunto.

2.2.

Construcci´ on de M´ etricas a Partir de M´ etricas Dadas.

1. Sea d una m´etrica en un conjunto X.

´ DE METRICAS ´ ´ 2.2. CONSTRUCCION A PARTIR DE METRICAS DADAS.

19

a) E ⊂ X. Definamos dE : E × E → R por dE (x, y) = d(x, y). Evidentemente dE es una m´etrica, llamada la m´etrica inducida por d. Se dice que E es un subespacio m´etrico de X, cuando E es considerado con la m´etrica inducida. b) Definamos dˆ : X × X → R como ˆ y) = m´ın{d(x, y), 1}. d(x, Es inmediato demostrar que dˆ es una m´etrica en X. c) Definamos d¯ : X × X → R por ¯ y) = d(x,

d(x, y) . 1 + d(x, y)

Las propiedades 1, 2 y 3 son f´aciles de demostrar. Para la desigualdad trianx gular, se usa el hecho de que la funci´on f (x) = es una funci´on creciente 1+x para x > 0. Q 2. Para cada i = 1, . . . , n, sea di una m´etrica en el conjunto Xi y sea X = ni=1 Xi . Definamos d : X × X → R por: a) d(x, y) =

n X

di (xi , yi ), x = (x1 , . . . , xn ), y = (x1 , . . . , yn ).

i=1

Es inmediato que d es una m´etrica. b) d∞ (x, y) = m´ax{di(xi , yi), | i = 1, n}, x = (x1 , . . . , xn ), y = (x1 , . . . , yn ). Tambi´en es inmediato que es una m´etrica. 3. Para cada i ∈ N, sea di una m´etrica en Xi y sea X = d : X × X → R como d(x, y) =

∞ X i=1

Q

i∈N

Xi . Definamos

di (xi , yi ) . + di (xi , yi ))

2i (1

La demostraci´on de este ejemplo se la dejamos al lector. Ver ejercicio 8.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

20

2.3.

Conceptos Topol´ ogicos en Espacios M´ etricos.

Muchos conceptos en Rn se pueden trasladar de manera inmediata a espacios m´etricos (X, d). Definici´ on 2.2. Sea xo ∈ X y r > 0. La bola abierta con centro en xo y radio r, denotada por B(xo , r), es el conjunto B(xo , r) = {x ∈ X d(x, xo ) < r}. La bola cerrada con centro en xo y radio r, denotada por B[xo , r], es el conjunto B[xo , r] = {x ∈ X d(x, xo ) ≤ r}. La esfera con centro en xo y radio r, denotada por S(xo , r), es el conjunto S(xo , r) = {x ∈ X d(x, xo ) = r}.

Observaci´on. Se pide que el radio r sea un n´ umero estrictamente positivo, de esta manera, garantizamos que la bola abierta y la bola cerrada sean conjuntos diferentes del vac´ıo, ya que al menos contienen al centro. En los espacios usuales, como R, R2 , R3 , estos conceptos, se corresponden con el nombre, y es importante mantener esta visi´on geom´etrica, pero debemos ser cuidadosos, ya que, en otros espacios la interpretaci´on geom´etrica no se corresponde con la anterior, como veremos a continuaci´on. Ejemplos. 1. En R con la m´etrica usual B(xo , r) = (xo − r, xo + r), B[xo , r] = [xo − r, xo + r], S(xo , r) = {xo − r, xo + r}. 2. En el intervalo [0, 1), con la m´etrica inducida de R, la bola abierta con centro en 0 y radio 1/2 es el intervalo [0, 1/2). 3. En R2 , con la m´etrica euclidiana, B(xo , r) es el interior del c´ırculo centrado en xo y radio r, B[xo , r] es el c´ırculo, y S(xo , r) es la circuferencia con centro en xo y radio r. En R3 la bola abierta es el interior de la esfera, la bola cerrada es el interior de la esfera con su c´ascara y la esfera es la c´ascara. Ver figura 1.1. 4. En R2 con la m´etrica d1 , se tiene

B((a, b), r) = {(x, y) ∈ R2 |x − a| + |y − b| < r}

es el interior de un cuadrado con centro en (a, b) y rotado π/4 radianes con respecto a los ejes, de manera similar, la bola cerrada es el interior de este cuadrado junto con su frontera y la esfera es la frontera de este cuadrado. Ver figura 1.1.

´ ´ 2.3. CONCEPTOS TOPOLOGICOS EN ESPACIOS METRICOS.

21

5. En R2 con la m´etrica uniforme d∞ se tiene B((a, b), r) = {(x, y) ∈ R2 m´ax{|x − a|, |y − b|} < r}

es el interior de un cuadrado con centro en (a, b) y lados parelelos a los ejes, de manera similar, la bola cerrada es el interior de este cuadrado junto con su frontera y la esfera es la frontera de este cuadrado. Ver figura 1.1. Las bolas en R2 con las m´ etricas d2 , d1 y d∞ .

Métrica Euclidiana

Métrica del taxista

Métrica uniforme

Figura 1.1

6. Sea X 6= ∅ con la m´etrica discreta. B(x, 1/2) = B[x, 1/2] = {x}, S(x, 1/2) = ∅.

B(x, 1) = {x}, B[x, 1] = X, S(x, 1) = X − {x}. B(x, 2) = B[x, 2] = X, S(x, 2) = ∅.

7. En C[a, b] con la m´etrica uniforme, d∞ la bola centrada en fo y radio r, es el conjunto de todas las funciones continuas cuyas gr´aficas est´an contenidas en la banda con centro en fo y radio r. Ver figura 1.2.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

22

Las bolas en C[a, b] con la m´ etrica uniforme.

Figura 1.2

Definici´ on 2.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico (pseudom´etrico), O ⊂ X. Diremos que O es un conjunto abierto o simplemente abierto, si O cumple la siguiente condici´on Si para cada x ∈ O existe r = rx > 0, tal que B(x, r) ⊂ O. Observaciones. En realidad, deberemos decir un conjunto d−abierto, ya que, un conjunto puede ser abierto con una m´etrica en X pero no con otra, pero en general como el espacio m´etrico permanece fijo, nos permitiremos decir, simplemente abierto. Note que si O no es un conjunto abierto, debe existir x ∈ O, tal que, para cada r > 0, B(x, r) no es subconjunto de O, es decir, existe zr ∈ B(x, r) con zr ∈ / O. El nombre de bola abierta no es casual, nos sugiere que ´esta, es un conjunto abierto, como probaremos a continuaci´on. Teorema 2.1. Toda bola abierta es un conjunto abierto.

´ ´ 2.3. CONCEPTOS TOPOLOGICOS EN ESPACIOS METRICOS.

23

Demostraci´ on: Sea y ∈ B(x, r). Tomemos r ′ = r −d(x, y) > 0, ya que d(x, y) < r. Ver figura 1.3. Probemos que B(y, r ′) ⊂ B(x, r). Sea z ∈ B(y, r ′), d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + (r − d(x, y)) = r, luego, z ∈ B(x, r), por lo tanto, B(y, r ′) ⊂ B(x, r).

▲

r

. x

r’

• y

Figura 1.3 Obs´ervese que este resultado se cumple para cualquier espacio m´etrico, independientemente de cual sea el conjunto y la m´etrica que se defina en ´el. El teorema siguiente es muy importante en el estudio de espacios m´etricos, ya que, con ´el, concluimos que todo espacio m´etrico es un espacio topol´ogico, y de esta manera, estudiar en un marco m´as general, entre otros, los conceptos de sucesi´on convergente y de funci´on continua. Teorema 2.2. Sea (X, d) un espacio m´etrico. (a) ∅, X son conjuntos abiertos. (b) La intersecci´on finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. (c) La uni´on arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Demostraci´ on:

El inciso (a) es evidente.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

24

T Para (b). Sean O1 , O2T , . . . , On , n conjuntosTabiertos. Si ni=1 Oi = ∅ es inmediato de (a). Supongamos que ni=1 Oi 6= ∅, sea x ∈ ni=1 Oi , entonces, como x ∈ Oi y Oi es abierto, existen ri > 0, i = 1, n tales que B(x, ri ) ⊂ Oi , i = 1, n. Sea r = m´ın{ri i = 1, n}, obviamente r > 0. Como r ≤ ri as´ı que B(x, r) ⊂

Tn

B(x, r) ⊂ B(x, ri ) ⊂ Oi , i = 1, n,

i=1

Oi .

α ∈ I} una familia cualquiera de conjuntos abiertos en Para el inciso (c). Sea {O α S S S X. Si α∈I Oα = ∅ es inmediato de (a). Supongamos que α∈I Oα 6= ∅. Sea x ∈ α∈I Oα , entonces existe αo ∈ I, tal que x ∈ Oαo , como Oαo es abierto, existe r > 0 tal que [ B(x, r) ⊂ Oαo ⊂ Oα . Por lo tanto

S

α∈I

α∈I

Oα es un conjunto abierto.

▲

En general, la intersecci´on arbitraria de abiertos no es abierta. M´as adelante daremos el contraejemplo. Si “copiamos” la demostraci´on que se hizo para el caso finito, T detectaremos un error. Sea x ∈ α∈I Oα . Como x ∈ Oα y Oα es un conjunto abierto, existe rα > 0 tal que B(x, rα ) ⊂ Oα . Tomemos r = ´ınf{rα α ∈ I}. Como r ≤ rα ,

B(x, r) ⊂ B(x, rα ) ⊂ Oα , α ∈ I, T T luego, B(x, r) ⊂ α∈I Oα , por lo tanto α∈I Oα es abierto. ¿D´onde se encuentra el error? Respuesta: No podemos garantizar que r > 0. Esto no nos garantiza que sea falso que la intersecci´on arbitraria de abiertos sea un conjunto abierto. Para demostrar la falsedad de esta afirmaci´on, necesitamos dar un contraejemplo. Consideremos R con la m´etrica usual, T para cada n ∈ N, se tiene que B(0, 1/n) = (−1/n, 1/n) es un conjunto abierto, pero n∈N B(0, 1/n) = {0}. Este conjunto no es abierto. A la familia τ formada por todos los conjuntos abiertos, se le llama la topolog´ıa inducida por la m´etrica d. Ejemplos. 1. En R con la m´etrica usual los siguientes conjuntos son abiertos: (a, b), (a, ∞), (−∞, b). Sin embargo, existen m´etricas en donde un intervalo abierto no es un conjunto abierto, as´ı que debemos ser cuidadosos para no confundir ambos conceptos. Los siguientes conjuntos, con la m´etrica usual, no son abiertos en R [a, b], [a, b), (a, b], (−∞, b], [a, ∞), N, Z, Q.

´ ´ 2.3. CONCEPTOS TOPOLOGICOS EN ESPACIOS METRICOS.

25

2. Sea X = [0, 1), con la m´etrica inducida de R. El intervalo [0, 1/2) es un conjunto abierto. 3. En R2 con la m´etrica euclidiana, son abiertos, el interior de un rect´angulo, el interior de un semiplano, el interior de un c´ırculo, el interior de un tri´angulo, etc. No son abiertos, estas mismas figuras, si inclu´ımos al menos un punto de su frontera, N × N, N × A, con A ⊂ R, A 6= ∅. 4. Sean X 6= ∅ y dd la m´etrica discreta en X. En este caso, cualquier subconjunto A de X es abierto. 5. Sea X = C[0, 2π] con la m´etrica uniforme y O = {sen x + k 0 < k < 1}

no es un conjunto abierto. En realidad, para cualquier funci´on f ∈ O, es decir, de la forma f (x) = sen x + ko y r > 0, la funci´on g(x) = sen x + r/2 sen 8x + ko ∈ B(f, r) yg∈ / O.

Definici´ on 2.4. Sean (X, d) un espacio m´etrico y F ⊂ X. Decimos que F es un conjunto cerrado, si F C es un conjunto abierto. Observaci´ on. En un espacio m´etrico, puede ocurrir que un subconjunto de ´el, no sea abierto, ni cerrado. Tambi´en podemos encontrar conjuntos que son abiertos y cerrados al mismo tiempo. Adem´as el hecho de que un conjunto no sea abierto, no significa que el conjunto sea cerrado. De manera an´aloga, si un conjunto no es cerrado, no implica que sea un conjunto abierto. Probaremos, ahora, resultados similares a los probados para conjuntos abiertos. Teorema 2.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico. 1. B[x, r] es un conjunto cerrado, para cada x ∈ X y r > 0. 2. ∅ y X son conjuntos cerrados. 3. La intersecci´on arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 4. La uni´on finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

26

Demostraci´ on: Para 1. sea y ∈ B[x, r]C . Tomemos s = d(x, y) − r > 0. Probaremos que B(y, s) ⊂ B[x, r]C . Sea z ∈ B(y, s), se tiene que d(y, z) < s = d(x, y) − r, de ´esto y de la desigualdad del tri´angulo, obtenemos r < d(x, y) − d(y, z) ≤ d(x, z). Hemos demostrado que z ∈ B[x, r]C , por lo tanto, B(y, s) ⊂ B[x, r]C , es decir, B[x, r]C es un conjunto abierto. La demostraci´on del 2. es inmediata, ya que ∅C = X y X C = ∅. 3. y 4. se demuestran, usando las leyes de Morgan. ▲ Ejemplos. 1. Los conjuntos unitarios en espacios m´etricos son conjuntos cerrados. Es inmediata su demostraci´on. De esto y 4. del teorema inmediato anterior, se infiere que todo conjunto finito en un espacio m´etrico es un conjunto cerrado. 2. En R con la m´etrica usual, los intervalos de la forma [a, b], [a, ∞), (−∞, a] son conjuntos cerrados. Los intervalos de la forma [a, b), (a, b] no son conjuntos, ni abiertos, ni cerrados. N y Z son conjuntos cerrados, pero Q no es un conjunto, ni abierto, ni cerrado. 3. Sea dd la m´etrica discreta en un conjunto X. Ya demostramos que todo subconjunto de X es abierto, de aqu´ı se infiere que todo subconjunto de X es cerrado, es decir, en este caso, todo subconjunto de X es abierto y cerrado simult´aneamente. A continuaci´on, presentaremos una serie de conceptos que son generalizaciones de conceptos familiares en Rn . Definici´ on 2.5. Sean (X, d) un espacio m´etrico, A ⊂ X y x ∈ X. 1. x es un punto interior de A, si existe un conjunto abierto O = Ox , tal que x ∈ O ⊂ A. Observe que esta definici´ on es equivalente a: x es punto interior de A, si existe r = rx > 0 tal que B(x, r) ⊂ A El interior de A, denotado por int(A) ´o Ao es el conjunto de los puntos interiores de A. 2. V = Vx es una vecindad de x, si x es un punto interior de V . 3. x es un punto de acumulaci´ on de A, si para cada vecindad V = Vx de x se cumple que (V − {x}) ∩ A 6= ∅. Observe que esta definici´ on es equivalente a: x es punto de acumulaci´on de A, si para cada r > 0, B(x, r) − {x} ∩ A 6= ∅ El conjunto de los puntos de acumulaci´ on de A se denota por A′ . Algunos autores le llaman a este conjunto, el conjunto derivado de A.

´ ´ 2.3. CONCEPTOS TOPOLOGICOS EN ESPACIOS METRICOS.

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4. x es un punto adherente de A, si para cada vecindad V = Vx de x se tiene que V ∩ A 6= ∅. Esta definici´on es equivalente a: x es punto adherente de A, si para cada r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅. La cerradura del conjunto A denotada por A, es el conjunto formado por todos los puntos adherentes de A. 5. x es un punto exterior a A si existe una vecindad V = Vx de x, tal que x ∈ V ⊂ AC . El exterior de A, denotado por ext(A) es el conjunto de todos los puntos exteriores de A. 6. x es un punto frontera de A si toda vecindad V = Vx de x cumple que V ∩ A 6= ∅ y V ∩ AC 6= ∅. La frontera de A, es el conjunto formado por todos los puntos frontera de A y se denota fr(A). 7. x es un punto aislado de A, si existe una vecindad V = Vx de X tal que V ∩A = {x}. Ejemplos. 1. En R con la m´etrica usual: a) int(Q) = ∅, ext(Q) = ∅, fr(Q) = R, Q′ = R, Q = R.

b) int(N) = ∅, ext(N) = R − N, fr(N) = N, N′ = ∅, N = N.

c) int[a, b) = (a, b), ext[a, b) = (−∞, a) ∪ [b, ∞), fr[a, b) = {a, b}, [a, b)′ = [a, b], [a, b) = [a, b].

2. Sea X = (0, 1] ∪ {2} con la m´etrica usual; sea A = {2}, entonces int(A) = A, ext(A) = (0, 1], fr(A) = ∅, A′ = ∅, A = A. 3. En cualquier espacio m´etrico un conjunto finito no tiene puntos de acumulaci´on, pero el hecho de que un conjunto no tenga puntos de acumulaci´on, no significa que sea finito, (sea N ⊂ R con la m´etrica usual). Tambi´en observe que si A′ 6= ∅ entonces A debe ser un conjunto infinito. 4. El siguiente ejemplo nos muestra que la cerradura de la bola abierta no es necesariamente la bola cerrada (como ocurre en Rn con la m´etrica usual). Considere R con la m´etrica discreta, tomemos B(x, 1), B(x, 1) = {x} y B[x, 1] = R. A continuaci´on, presentaremos algunas propiedades de estos conceptos y su relaci´on con los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado. Teorema 2.4. Sea A ⊂ X, entonces X = int(A) ∪ ext(A) ∪ fr(A). Adem´as, estos conjuntos son disjuntos dos a dos.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

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Le dejamos al lector, demostrar este resultado. Teorema 2.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico. 1. int(A) ⊂ A. 2. Para cada A ⊂ X, int(A) es un conjunto abierto. 3. El interior de A es el m´ aximo conjunto abierto contenido en A, es decir, [ int(A) = {O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}. 4. A es un conjunto abierto, si y s´ olo si, int(A) = A. 5. Si A ⊂ B, entonces int(A) ⊂ int(B). 6. int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). ¿Ser´ a int

T

α∈I


T Aα = α∈I int(Aα )?

7. int(A ∪ B) ⊃ int(A) ∪ int(B). la contenci´ on puede ser estricta.

Demostraci´ on: La demostraciones de 1, 2, 4 y 5 son obvias. Para la demostraci´on de 3, como int(A) es abierto e int(A) ⊂ A, tenemos que [ int(A) ⊂ {O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}.

S Para la otra contenci´on, sea x ∈ {O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}, entonces existe un conjunto abierto O tal que x ∈ O y O ⊂ A, entonces x ∈ int(A), por lo tanto, S {O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A} ⊂ int(A). As´ı, hemos demostrado la igualdad. Para la demostraci´on de 6, int(A) ⊂ A e int(B) ⊂ B, por lo tanto int(A) ∩ int(B) ⊂ A ∩ B. Como int(A) ∩ int B es un conjunto abierto, que est´a contenido en A ∩ B, por 3, se concluye que int(A) ∩ int(B) ⊂ int(A ∩ B).

Para la otra contenci´on, sea x ∈ int(A ∩ B), entonces existe O abierto tal que x ∈ O ⊂ A ∩ B, de aqu´ı se concluye que x ∈ O ⊂ A y x ∈ O ⊂ B, es decir, x ∈ int(A) ∩ int B. Obs´ervese que este u ´ ltimo argumento se puede usar para demostrar que el interior de la intersecci´on arbitraria de conjuntos es un subconjunto de la intersecci´on de los interiores de estos conjuntos, pero que el argumento inicial de esta demostraci´on no se puede usar, en general, (ya que la intersecci´on arbitraria de abiertos no necesariamente

´ ´ 2.3. CONCEPTOS TOPOLOGICOS EN ESPACIOS METRICOS.

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es abierta). Esto nos da un indicio de que la respuesta a la pregunta del inciso 6 es no. Un contraejemplo es: tome An = (−1/n, 1/n) ⊂ R considerando R con la m´etrica usual. La demostraci´on de 7 se deja al lector. ▲ Teorema 2.6. Sea (X, d) un espacio m´etrico. 1. A ⊂ A. 2. Para cada A ⊂ X, A es un conjunto cerrado. 3. Si A ⊂ B, entonces A ⊂ B. 4. A es cerrado, si y s´olo si, A = A. 5. A es el m´ınimo conjunto cerrado que contiene a A, es decir, \ A = {F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F }. olo si, A′ ⊂ A. 6. A′ ⊂ A, A = A ∪ A′ y A es cerrado, si y s´

7. A = int(A) ∪ fr(A). 8. A ∩ B ⊂ A ∩ B. La contenci´on puede ser propia. S S 9. A ∪ B = A ∪ B. ¿Ser´a α∈I Aα = α∈I Aα ?

Demostraci´ on: La demostraci´on de 1 y 3 son inmediatas. Para 2, demostraremos que (A)C es un abierto. Sea x ∈ (A)C , entonces existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ A = ∅, como B(x, r) es vecindad de cada uno de sus puntos, tenemos que B(x, r) ⊂ (A)C . La demostraci´on de 4 se le deja al lector. Para 5, como A es un conjunto cerrado que contiene a A se concluye que \ {F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F } ⊂ A.

La otra contenci´on se sigue de 3 y 4, ya que si F es cualquier cerrado, tal que A ⊂ F , entonces A ⊂ F = F, T as´ı que A ⊂ {F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F }. Para 6, es claro que A′ ⊂ A, adem´as, como A′ ⊂ A y A ⊂ A, entonces A′ ∪ A ⊂ A. Para la otra contenci´on, sea x ∈ A, entonces, si x ∈ A, ya terminamos, si x ∈ / A, como

30

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

x ∈ A, entonces toda vecindad de x intersecta a A en un punto diferente de x, es decir, x ∈ A′ . Por lo tanto A ⊂ A ∪ A′ . Que A es cerrado, si y s´olo si, A′ ⊂ A es consecuencia de las dos anteriores. Las demostraciones de 7, 8 y 9 de dejan al lector. ▲ A continuaci´on veremos un criterio para determinar cuando un punto es punto de acumulaci´on de un conjunto. Teorema 2.7. Sea A un subconjunto del espacio m´etrico X. x ∈ A′ , si y s´olo si, para toda vecindad V de x, existe un subconjunto C de A, infinito, con C ⊂ V . Demostraci´ on: ⇒] Probaremos la contrarrec´ıproca. Basta demostrar este resultado para bolas abiertas centradas en x. Supongamos que existe una bola B(x, r) tal que B(x, r) contiene a lo m´as una cantidad finita de puntos de A, digamos A ∩ B(x, r) = ∅ ´o {x1 , x2 , . . . , xn } = (A ∩ B(x, r)), xi 6= x. Es claro que si A ∩ B(x, r) = ∅ entonces, x ∈ / A′ . En el otro caso, consideremos ro = m´ın{r, d(xi , x) i = 1, 2, . . . , n}. Consideremos B(x, ro ), entonces (B(x, ro ) − {x}) ∩ A = ∅. ⇐] Sea V vecindad de x. Consideremos V − {x}, como V contiene una cantidad infinita de puntos de A, podemos tomar z ∈ A, z 6= x y z ∈ V , por lo tanto x ∈ A′ . ▲ Obs´ervese que de este teorema, se deduce que un conjunto finito no puede tener puntos de acumulaci´on. Sin embargo, existen conjuntos infinitos que tampoco tienen puntos de acumulaci´on, por ejemplo, en R con la m´etrica usual, el conjunto N no tiene puntos de acumulaci´on. Sean (X, d) un espacio m´etrico y Y ⊂ X. Hemos visto que Y hereda la m´etrica de X y podemos considerar a Y como espacio m´etrico. Adoptaremos la siguiente notaci´on, BY (y, r), BY [y, r], SY (y, r) para la bola abierta, bola cerrada, esfera en Y y les llamaremos la bola abierta, la bola cerrada y la esfera con centro en y y radio r relativa en Y . De manera similar diremos abierto, cerrado relativo en Y cuando nos refiramos a abiertos y cerrados en Y . Tambi´en adoptaremos la notaci´on AY para la cerradura de A ⊂ Y en Y y notaciones similares para los dem´as conceptos. En el siguiente teorema, veremos la relaci´on de estos conceptos en el espacio m´etrico Y con respecto al espacio m´etrico X. La demostraci´on de estas afirmaciones es elemental y la dejaremos como ejercicio al lector. Teorema 2.8. Sea (X, d) un espacio m´etrico y Y ⊂ X, entonces 1. Sea y ∈ Y , entonces BY (y, r) = Y ∩ B(y, r).

´ 2.4. CONJUNTOS ACOTADOS EN ESPACIOS METRICOS.

31

2. Sea A ⊂ Y, A es abierto relativo en Y , si y s´ olo si, existe O abierto en X tal que A = Y ∩ O. 3. Sea A ⊂ Y, A es cerrado relativo en Y , si y s´ olo si, existe F cerrado en X tal que A = Y ∩ F. 4. AY = Y ∩ A, A′Y = Y ∩ A′ , intY (A) ⊃ Y ∩ int(A) y frY (A) = Y ∩ fr(A), donde A ⊂Y. Observaci´ on. No necesariamente un abierto, cerrado relativo en Y es abierto, cerrado en X, por ejemplo, en R con la m´etrica usual, consideremos Y = [0, 1), el conjunto [0, 1/2) es un abierto relativo en Y , de hecho, es la bola abierta relativa en Y con centro en 0 y radio 1/2, este conjunto no es abierto en R. Sin embargo tenemos el siguiente resultado, cuya demostraci´on es inmediata. Teorema 2.9. Sean (X, d) un espacio m´etrico, Y ⊂ X cerrado (abierto) en X y A ⊂ Y . Si A es cerrado (abierto) relativo en Y , entonces A es cerrado (abierto) en X.

2.4.

Conjuntos Acotados en Espacios M´ etricos.

Definici´ on 2.6. Sea A un conjunto no vac´ıo en (X, d) espacio m´etrico. Decimos que A es acotado, si existe k ∈ R, k > 0 tal que para todo x, y ∈ A, se tiene que d(x, y) ≤ k. Obs´ervese que decir que un conjunto A no es acotado, equivale a decir que, para todo k > 0 existen xo , yo ∈ A tales que d(xo , yo) > k. Evidentemente si B ⊂ A, y A es acotado, entonces B tambi´en es acotado. Ejemplos. 1. En cualquier espacio m´etrico X, la bola abierta B(a, r), la bola cerrada B[a, r] y la esfera S(a, r), A son conjuntos acotados. Esta afirmaci´on se demuestra f´acilmente usando la desigualdad tri´angular, esto es, si x, y pertenecen a cualquiera de estos conjuntos, se tiene que d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y). 2. Consideremos en (R2 , d2 ), el conjunto A = {(x, y) xy = 1}.

32

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS. Este conjunto no es acotado. Sea k > 0, elijamos a, b ∈ A de la siguiente manera: a = (n, 1/n), b = (1/n, n) con n ∈ N. Entonces la distancia entre a y b es p √ d2 ((n, 1/n), (1/n, n)) = (n − 1/n)2 + (n − 1/n)2 = 2(n − 1/n) k como n − 1/n > n − 1, si tomamos n ∈ N tal que n > √ + 1 entonces 2 √ d2 (a, b) > 2(n − 1) > k.

3. En el mismo (R2 , d2 ), consideremos el conjunto C = {(x, y) 4(x − 2)2 + (y − 1)2 = 1}. Este conjunto s´ı est´a acotado. La demostraci´on es sencilla.

4. En R con la m´etrica usual, el concepto de conjunto acotado mediante la definici´on dada coincide con el que ya conoc´ıamos, es decir, “A es acotado, si existe k > 0 tal que para todo x ∈ A, |x| ≤ k”. Sea A acotado, entonces existe k > 0 tal que d(x, y) = |x−y| ≤ k, fijemos y ∈ A despejemos x y obtenemos que y−k ≤ x ≤ y+k para todo x ∈ A, lo cual significa que A est´a acotado inferior y superiormente, o sea, A est´a acotado.

El que un conjunto A sea acotado nos lleva a considerar que el conjunto de n´ umeros reales {d(x, y) x, y ∈ A} es un conjunto acotado superiormente, luego tiene sentido considerar el supremo de este conjunto, el cual nos proporciona la siguiente definici´on. Definici´ on 2.7. Sea X un espacio m´etrico y sea A un conjunto no vac´ıo y acotado. Llamamos “di´ametro de A” al n´ umero δ(A) = sup{d(x, y) x, y ∈ A}. Si un conjunto no est´a acotado, decimos que carece de di´ametro, algunos autores dicen que δ(A) = ∞. adem´as, si el conjunto {d(x, y) x, y ∈ A} est´a acotado superiormente, entonces A est´a acotado. Si A es acotado y B ⊂ A, entonces B es acotado y δ(B) ≤ δ(A). Este resultado es evidente. Un resultado importante y de mucha utilidad, como veremos m´as adelante, es el siguiente.

´ 2.4. CONJUNTOS ACOTADOS EN ESPACIOS METRICOS.

33

Teorema 2.10. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un conjunto no vac´ıo. A es acotado, si y s´olo si, est´a contenido en una bola abierta. Demostraci´ on: ⇐] Como toda bola abierta B(x, r), x ∈ X, r > 0 es acotada, y A ⊂ B(x, r), entonces A es acotado. ⇒] Sea δ(A) el di´ametro de A, sea xo ∈ X un punto cualquiera. Construiremos una bola centrada en x0 que contenga a A. Sea z ∈ A y definamos el radio de la bola as´ı: r = d(z, xo ) + δ(A) + 1. Veamos que todo elemento x de A pertenece a B(xo , r) d(x, xo ) ≤ d(x, z) + d(z, xo ) ≤ δ(A) + d(z, xo ) < δ(A) + d(z, xo ) + 1. Esto es, x ∈ B(xo , r).

▲

Ejemplos. 1. Todo conjunto unitario tiene di´ametro cero. Rec´ıprocamente, si δ(A) = 0, entonces, para todo x, y ∈ A se tiene que 0 ≤ d(x, y) ≤ 0, o sea x = y, luego A es unitario. 2. Toda bola abierta B(x, r) (cerrada B[x, r]) en un espacio m´etrico tiene di´ametro ≤ 2r. No necesariamente su di´ametro es 2r, por ejemplo, en el espacio m´etrico discreto, B(x, 1) = {x} y su di´ametro es cero. 3. En R con la m´etrica usual, δ((a, b)) = δ([a, b]) = δ({a, b}) = b − a. Obs´ervese que estos conjuntos son diferentes, en el primer caso, no existen elementos del conjunto (a, b) tales que d(x, y) = b − a, a diferencia del segundo conjunto y el tercer conjunto, en donde d(a, b) = b − a. El ejemplo 3 anterior, se generaliza para un conjunto acotado y su cerradura. Teorema 2.11. Sea (X, d) espacio m´etrico. Si A ⊂ X es un conjunto acotado, entonces δ(A) = δ(A). Demostraci´ on: Como A ⊂ A, se tiene que δ(A) ≤ δ(A). Para la otra desigualdad, sea ǫ > 0 y sean x, y ∈ A. Entonces B(x, ǫ/2) ∩ A 6= ∅

y

B(y, ǫ/2) ∩ A 6= ∅.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

34

Tomemos p ∈ B(x, ǫ/2) ∩ A y q ∈ B(y, ǫ/2) ∩ A, entonces d(x, y) ≤ d(x, p) + d(p, y) ≤ d(x, p) + d(y, q) + d(p, q) < δ(A) + ǫ. De esta desigualdad se deduce que A es acotado y que δ(A) ≤ δ(A) + ǫ, como ǫ es arbitrario, se concluye que δ(A) ≤ δ(A). Luego, se tiene la igualdad.

▲

Como consecuencia inmediata se tiene el siguiente resultado. Corolario 2.1. Un conjunto A es acotado, si y s´ olo si, A es acotado. Otro concepto que involucra distancias es el siguiente. Definici´ on 2.8. Sean X un espacio m´etrico, A y B subconjuntos no vac´ıos de X. Se define la distancia entre los conjuntos A y B como d(A, B) = ´ınf{d(a, b) a ∈ A, b ∈ B}. Observaciones.

d(A, B) no es propiamente una distancia, a pesar de su nombre. d(A, B) = d(B, A) para toda A, B ⊂ X, es decir cumple con el axioma de simetr´ıa. Si A ∩ B 6= ∅ entonces d(A, B) = 0. El rec´ıproco no se cumple, se puede tener que d(A, B) = 0 y sin embargo, A ∩ B = ∅, por ejemplo A = (0, 1), B = (1, 2). Si el conjunto A est´a formado por un u ´ nico punto a, la distancia se denomina distancia de un punto a un conjunto: d(a, B) = ´ınf{d(a, b) b ∈ B}. Ejemplos.

1. Sean X = R con la m´etrica usual y B = Q. Para cualquier a ∈ R, se cumple que d(a, Q) = 0. Tambi´en d(Q, I) = 0, donde I es el conjunto de n´ umeros irracionales.

2.5. CONJUNTOS TOTALMENTE ACOTADOS EN ESPACIOS

´ METRICOS.

35

2. Sean R con la m´etrica usual y A = (1, 2]. Se comprueba directamente que d((3/2, A) = ´ınf a∈A |3/2 − a| = 0 d(1, A) = ´ınf a∈A |1 − a| = 0 d(0, A) = ´ınf a∈A |a| = 1. 3. Sean R2 con la m´etrica del taxista y A = {(x, y) ∈ R2 y = x2 } = {(x, x2 ) x ∈ R} entonces

d2 ((2, 0), A) = ´ınf (x,y)∈A d2 ((2, 0), (x, y)) = ´ınf x∈R d2 ((2, 0), (x, x2 )) p = ´ınf x∈R { (2 − x)2 + x2 } √ √ 2´ınf x∈R 2 − 2x + x2 = Si definimos f (x) =

√

2 − 2x + x2 , se tiene que

0 = f ′ (x) = √

x−1 , si y s´olo si, x = 1 2 − 2x + x2

luego ´ınf x∈R f (x) = f (1) = 1. √ Por lo tanto d2 ((2, 0), A) = 2. Una desigualdad auxiliar que se usar´a con frecuencia es la siguiente. Teorema 2.12. Sea X un espacio m´etrico, A ⊂ X un subconjunto no vac´ıo y x, y ∈ X. Entonces. |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y). Dejamos la demostraci´on al lector.

2.5.

Conjuntos Totalmente Acotados en Espacios M´ etricos.

Otro concepto, que utilizaremos m´as adelante, es el de conjunto totalmente acotado, el cual es m´as fuerte que el de conjunto acotado, como veremos enseguida.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

36

Definici´ on 2.9. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Diremos que A ⊂ X es totalmente acotado (algunos autores le llaman precompacto), si para todo ǫ > 0, existe un conjunto finito de puntos x1 , x2 , . . . , xn ∈ A, tales que A⊂

n [

B(xi , ǫ).

i=1

Ejemplos. 1. Si A es finito, evidentemente es totalmente acotado. 2. Si X tiene la m´etrica discreta y A ⊂ X es totalmente acotado, entonces A es finito. 3. En R el intervalo (0, 1) es totalmente acotado: sea ǫ > 0, para dicha ǫ existe n ∈ N tal que 1/2n < ǫ. Los puntos xi =

2i − 1 2n

i = 1, 2, . . . , n,

pertenecen al intervalo (0, 1) y dividen al intervalo en subintervalos de longitud 1/n. Si y ∈ (0, 1), entonces y pertenece a uno de los subintervalos, es decir, existe i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que y ∈ [(i − 1)/n, i/n], de donde d(y, xi) ≤ 1/2n < ǫ. De aqu´ı conclu´ımos que n [ (0, 1) ⊂ B(xi , ǫ). i=0

Teorema 2.13. En un espacio m´etrico (X, d), todo conjunto totalmente acotado es acotado. Demostraci´ on: Sea A ⊂ X totalmente Sn acotado y ǫ = 1, entonces existe un conjunto {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ A, tales que A ⊂ i=1 B(xi , 1). Sea h = m´ax{d(xi , xj ) i = 1, 2, . . . , n}.

Si x, y ∈ A, por la hip´otesis x ∈ B(xi , 1) para alguna i y y ∈ B(xj , 1) para alguna j. Luego d(x, y) ≤ d(x, xi ) + d(xi , xj ) + d(xj , y) < 1 + h + 1 = 2 + h. Por lo tanto, A es acotado. ▲

37

2.6. EJERCICIOS.

El rec´ıproco no siempre es cierto, un conjunto puede ser acotado y no ser totalmente acotado: sea X un espacio infinito, con la m´etrica discreta, cualquier subconjunto A de X est´a acotado, ya que, δ(A) = 1, pero, si A es infinito, es f´acil demostrar que no es totalmente acotado. Sin embargo, en R, con la m´etrica usual, veremos m´as adelante que todo conjunto acotado es totalmente acotado. Teorema 2.14. Sea (X, d) espacio m´etrico. Si A ⊂ X es totalmente acotado entonces cualquier subconjunto no vac´ıo de A es totalmente acotado. Demostraci´ on: Sea C ⊂ A, con C 6= ∅. Dado ǫ > 0, existe un conjunto finito x1 , x2 , . . . , xn de elementos de A, tales que A⊂

n [

B(xi , ǫ/2).

i=1

Eliminemos las bolas cuya intersecci´on con C sea vac´ıa, reordenando ´ındices, tenemos que m [ C⊂ B(xj , ǫ/2), m ≤ n. j=i

Consideremos ahora, para cada j = 1, 2, . . . , m, zj ∈ C ∩B(xj , ǫ/2) y la bola B(zj , ǫ). Veamos que B(xj , ǫ/2) ⊂ B(zj , ǫ). Sea y ∈ B(xj , ǫ/2), entonces d(y, zj ) ≤ d(y, xj ) + d(xj , zj ) < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ,

luego, y ∈ B(zj , ǫ), de donde C⊂

m [

B(zj , ǫ).

j=1

Lo que significa que C est´a totalmente acotado. ▲

2.6.

Ejercicios.

1. Sea X 6= ∅, a) Sea d : X × X → R, una funci´on que cumple las siguientes propiedades: d(x, y) = 0, si y s´olo si, x = y. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), para cada x, y, z ∈ X.

Demuestre que d es una m´etrica en X.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

38

b) d : X × X → R una funci´on que cumple las siguientes propiedades: d(x, y) = 0, si y s´olo si, x = y. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), para cada x, y, z ∈ X.

¿Es d una m´etrica en X?

2. Sea g : [0, ∞) → R tal que g(0) = 0, con g estrictamente creciente y que satisface g(x + y) ≤ g(x) + g(y) para todo x ≥ 0, y ≥ 0. Pruebe que si d es una m´etrica en un conjunto X, entonces d1 = g ◦ d es tambi´en una m´etrica en X. 3. De las siguientes funciones, determine cu´ales son m´etricas en R. a) d(x, y) = (x − y)2 ,

b) d(x, y) = |x2 − y 2|, 3

3

x, y ∈ R.

x, y ∈ R.

c) d(x, y) = |x − y |, x, y ∈ R. p d ) d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R. e) d4 (x, y) = |x − 2y|, f ) d5 (x, y) =

x, y ∈ R.

|x − y| , x, y ∈ R. 1 + |x − y|

4. Sea d : R2 × R2 → R definida por d(x, y) = |x1 − y1 |, donde x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ¿es d una m´etrica en R2 ? ¿es una pseudom´etrica? 5. Sean d1 , d2 , . . . , dn m´etricas en un conjunto X. demuestre que d(x, y) =

n X i=1

di (x, y), para x, y ∈ X

es una m´etrica en X. 6. Sean (R2 , d2 ) (d2 m´etrica euclidiana) y A ⊂ R2 , definido por a) A = {(x, y) ∈ R2 (x − 2)2 + y 2 ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 (x + 2)2 + y 2 ≤ 1}. Determine en (A, d2 ) los puntos a ∈ A que verifican d2 (0, a) ≤ 1.

b) A = {(x, y) ∈ R2 y = x2 }. Proporcione una forma expl´ıcita de las m´etricas inducidas por d1 , d2 y d∞ en A.

39

2.6. EJERCICIOS.

7. Encuentre todas las m´etricas en un conjunto X que conste de s´olo dos puntos. Tambi´en en X, donde X consta de un s´olo punto. 8. Sea {(Xi , di), i ∈ N} una sucesi´on de espacios m´etricos. Q Sea X = i∈N Xi = {{xi } xi ∈ Xi , i ∈ N}. Definamos d : X × X → R como d(x, y) =

∞ X i=1

di (xi , yi) , donde x = {xi } , y = {yi }. + di (xi , yi ))

2i (1

Demuestre que d es una m´etrica. 9. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Definamos d : X × X → R como d(x, y) = m´ın{1, d(x, y)}. Demuestre que d es una m´etrica. 10. Sean X 6= ∅, (Y, d) espacio m´etrico y φ : X → Y una funci´on inyectiva. Definamos d1 : X × X → R como d1 (x, z) = d(φ(x), φ(z)). Demuestre que d1 es una m´etrica en X. En el caso de que φ no sea inyectiva, demuestre que d1 es una pseudom´etrica en X. 11. Sea (X, d) espacio m´etrico. Definamos d : X × X → R como p d(x, y) = d(x, y). ¿Es d una m´etrica en X? Si definimos d como

d(x, y) = (d(x, y))2, ¿es d una m´etrica en X? 12. Sean A 6= ∅, A ⊂ R y X = RA = {f : A → R f es funci´on }. Sea xo ∈ A, definamos dxo : X × X → R como dxo (f, g) = |f (xo ) − g(xo)|.

¿Es dxo una m´etrica en X? ¿es pseudom´etrica? 13. Sea P(N) el conjunto potencia de N. Para cada A, B ∈ P(N), definamos d : P(N) × P(N) → R como d(A, B) = 0, si A = B, d(A, B) = 1/m, donde m es el n´ umero natural m´as peque˜ no que est´a en A o en B, pero no en ambos.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

40 a) Demuestre que d es una m´etrica.

b) Calcule d(A, B) en los siguientes casos: A = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .}, B = {1, 3, 5, . . . , 2n − 1, . . .}. A = {1, 2, 3, 5}, B = {1, 2, 4, 6}. A = {2, 3, 5}, B = {4, 6, 8}.

c) Sea {Xn }, n ∈ N una sucesi´on creciente de subconjuntos de N. Demuestre S∞ que la sucesi´on {Xn } converge a i=1 Xi en esta m´etrica.

14. Sea D = {z ∈ C |z| ≤ 1}. Definamos d : D × D → R por

( |z − w|, si arg(z) = arg(w) o´ z = 0 o´ w = 0. d(z, w) = |z| + |w|, en los otros casos.

Demuestre que d es una m´etrica en D. 15. Sea X = {{xi } xi ∈ {0, 1}, i ∈ N}. Definamos d : X × X → R como d(x, y) =

∞ X |xi − yi | i=1

2i

.

Demuestre que d es una m´etrica en X. (X, d) es llamado el espacio de Cantor. 16. Sea 0 < α ≤ 1. Definamos d : R × R → R como d(x, y) = |x − y|α . Demuestre que d es una m´etrica. 17. La m´etrica de la Oficina Postal. Sea X = R2 y d la m´etrica euclidiana. Definamos dˆ : R2 × R2 → R como ( ˆ y) = d(0, x) + d(0, y), si x 6= y, d(x, 0, si x = y. Demuestre que dˆ es una m´etrica en R2 y que {x}, x ∈ R2 , x 6= 0, es un conjunto abierto.

41

2.6. EJERCICIOS. 18. Definamos d : R2 × R2 → R por   1/2, si (x1 = y1 y x2 6= y2 ) ´o (x1 6= y1 y x2 = y2 ), d(x, y) = 1, si x1 6= y1 y x2 6= y2 ,   0, si x = y, donde x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 ).

Pruebe que d es una m´etrica en R2 . 19. Definamos d : R × R → R por ( 1 + |x − y|, si uno y s´olo uno de los dos es positivo, d(x, y) = |x − y|, en los otros casos. Pruebe que d es una m´etrica. 20. Sea X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }, es decir, X es un conjunto numerable. Demuestre que  1  1+ , si i 6= j, d(xi , xj ) = i+j  0, si i = j. es una m´etrica. A (X, d) se le conoce como el espacio m´etrico de Sierpinski.

21. Sea X = {f : N → N | f es funci´on }. Definimos d(f, g) =

∞ X i=1

|g(i) − f (i)| . + |g(i) − f (i)|)

2i (1

Demuestre que d es una m´etrica. A (X, d) se le conoce como el espacio de Baire. 22. El siguiente espacio m´etrico, llamado el espacio nulo de Baire tiene aplicaciones en la teor´ıa de comunicaciones: Sea Y = {f : N → N | f es funci´on }. Definimos  0, si f (i) = g(i) para todo i, d(f, g) = 1  , si i es el primer ´ındice tal que f (i) 6= g(i). i

Demuestre que d es una m´etrica.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

42

23. Sea X = N. Demuestre que la funci´on d : N × N → R definida por d(n, m) =

|n − m| nm

es una m´etrica en N. 24. Sea X = N × N. Definimos
|da − bc| d (a, b), (c, d) = , bd

para (a, b), (c, d) ∈ N × N. Demuestre que d es una m´etrica. 25. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Demuestre: a) |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y), para cada x, y, z ∈ X.

b) |d(x, y) − d(z, w)| ≤ d(x, z) + d(y, w), para cada x, y, z, w ∈ X.

c) |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), para cada x, y ∈ X y A ⊂ X.

d ) Si A ⊂ B ⊂ A, entonces d(x, A) = d(x, B) = d(x, A), x ∈ X. 26. Sea (X, d) un espacio m´etrico, sean A, B, C ∈ P(X).

Definamos d : (P(X) − ∅) × (P(X) − ∅) por d(A, B) = ´ınf{d(a, b) a ∈ A, b ∈ B}. a) ¿Es d una m´etrica? ¿es una pseudom´etrica?

b) Si A ∩ B 6= ∅, demuestre que d(A, B) = 0. ¿Es v´alido el rec´ıproco?

c) Si d(A, B) 6= 0, entonces A ∩ B = ∅. Demuestre que el rec´ıproco no es verdadero, aunque A y B sean cerrados. Sug. En R con la m´etrica usual, considere A = N y B = {n + 1/2n n ∈ N}.

d ) d(A, B) = d(A, B).

e) d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) + δ(B).

f ) d(A, C) ≤ d(A, B) + d(A ∪ B, C) + δ(B).

g) d(A, B ∪ C) = m´ın{d(A, B), d(A, C)}.

27. Demuestre que si f, g : [a, b] → R son funciones continuas, entonces Z

b a

2 Z b Z b 2 f (t)g(t) dt ≤ f (t) dt g 2 (t) dt . a

a

43

2.6. EJERCICIOS. Usando esta desigualdad, demuestre que d(f, g) =

Z

b 2

a

(f (t) − g(t)) dt

1/2

es una m´etrica en el conjunto C = {f : [a, b] → R f es continua }

28. Si (Y, d′ ) es un subespacio m´etrico de (X, d), pruebe que:

a) F ⊂ Y es cerrado en Y , si y s´olo si, existe L cerrado en X, tal que F = L ∩ Y . b) Y es cerrado en X, si y s´olo si, todo abierto U en Y , es abierto en X.

c) Y es cerrado en X, si y s´olo si, todo cerrado U en Y es cerrado en X. o
d ) Si F ⊂ Y , entonces FY = FX ∩ Y y FY = X − (X − F ) ∩ Y .

29. Sean (X, d) un espacio m´etrico, A, B ⊆ X con A 6= ∅ = 6 B y xo ∈ X. Demuestre que: a) xo ∈ A ⇒ d(xo , A) = 0.

b) No siempre se cumple que d(xo , A) = 0 ⇒ xo ∈ A.

c) x ∈ A ⇔ d(x, A) = 0.

d ) d(A, B) = ´ınf{d(x, B) x ∈ A} = ´ınf{d(y, A) y ∈ B}. e) A ∩ B 6= ∅ ⇒ d(A, B) = 0.

f ) No siempre se cumple que d(A, B) = 0 ⇒ A ∩ B 6= ∅.

30. Sea (R, | · |), pruebe que: ( ) 1 a) Si S = x ∈ R x = , n ∈ N , entonces n o

S = ∅. S = S ∪ {0}. S ′ = {0}. fr S = S ∪ {0}. ( ) 
′ 1 1 ′ ′ ′ ′ b) Si A = + n, m ∈ N , entonces (A ) 6= ∅. y (A) = ∅. n m o

c) Existe A ⊂ R, tal que A = ∅ y A = R.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

44

d ) Si E ⊂ R, E 6= ∅, E es acotado y y = sup E entonces y ∈ E. 31. Sean A, B ⊂ (X, d). a) ¿Ser´a cierto qu´e: i) fr A ⊂ fr A,

o

ii) fr A ⊂ fr A,

iii) fr (A ∪ B) = fr A ∪ fr B?

b) Verifique que si A ∩ B = ∅, entonces fr (A ∪ B) = fr A ∪ fr B. 32. Sean (X, d) y A ⊂ X. Verifique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. a) Si A es finito, entonces A′ = ∅.

b) Sea X = R con la m´etrica usual, y sea A no numerable, entonces A′ 6= ∅. c) Sea A′ numerable, entonces A es numerable.

d ) Si A es numerable , entonces A′ es numerable. e) A′ = ∅ ⇒ A es finito. 33. Sea (X, d) un espacio m´etrico. A y B subconjuntos de X. Pruebe que a) δ(A) = 0, si y s´olo si, A consta de un s´olo punto. b) δ(A) = δ(A). c) Si A ⊂ B, entonces δ(A) ≤ δ(B).

d ) Si A ∩ B 6= ∅, entonces δ(A ∪ B) ≤ δ(A) + δ(B). ¿Se cumple este resultado, si A ∩ B = ∅? 34. Sea (R2 , d2 ). Calcule d2 (x, B), cuando x = (1, 1) y B = B[(1/2, 0), 1/2]. 35. Sea (R2 , d1 ). Calcule d1 (x, B), donde x y B son los mismos que en el problema anterior. 36. Sea (R2 , d2 ). Calcule d2 (A, B), donde A = {(x, 0) x > 0} y B = {(x, y) y = 1/x, x > 0}. 37. En R con la m´etrica usual, calcule d(x, B), donde ( ) 3 + (−1)n n x = 1/2, B = n ∈ N ∪ {3}. n2 + 1

38. Determine el interior, la cerradura y la frontera de los conjuntos siguientes en R con la m´etrica usual.

45

2.6. EJERCICIOS. a) {m + nπ m, n ∈ N}. b) {1/n + 1/m m, n ∈ N}.

39. Determine el interior, la cerradura y la frontera de los conjuntos siguientes en R2 con la m´etrica euclidiana. a) {(1/n, 1/m) n, m ∈ N}. b) {(x, 0) x ∈ R}. c) {(p, q) p, q ∈ Q}. 40. Sean X = {1/n n ∈ N} ∪ {0}, con la m´etrica inducida por la m´etrica usual en R y A ⊂ X. Pruebe que a) Para cada n ∈ N, el conjunto unitario {1/n} es abierto. b) El conjunto {0} no es abierto en X.

c) Si 0 ∈ / A entonces A es un conjunto abierto en X.

d ) Si 0 ∈ A, entonces A es cerrado en X. Observaci´on. Note que en este espacio, un subconjunto de X es abierto o cerrado (o ambos). 41. Sean (X, d) un espacio m´etrico. x ∈ X y r > 0. Demuestre que a) B(x, r) ⊂ B[x, r].

b) ¿Se cumplir´a B(x, r) = B[x, r]?

42. En el espacio m´etrico (R2 , d2 ) sean los subconjuntos: A1 = {(x, y) ∈ R2 |x| < 1, |y| ≤ 2}. A2 = {(x, y) ∈ R2 |x| ≤ 1, |y| ≤ 2}. A3 = {(x, y) ∈ R2 |x| < 1, |y| < 2}.

A4 = {(x, y) ∈ R2 |x| ≤ 1, |y| < 2}.

Determine cu´ales de estos conjuntos, son abiertos, cu´ales son cerrados, cu´ales no son ni abiertos, ni cerrados. Justifique. 43. Describa el interior, la adherencia, la acumulaci´on, el exterior, la frontera de los siguientes conjuntos en la recta real R. (a) [−2, 1) ∪ (1, 3) ∪ {5},

(b) N,

(c) Q,

(d) Z.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

46

44. Demuestre que la frontera de cualquier conjunto en un espacio m´etrico es siempre cerrada. 45. Demuestre que si A es un subconjunto de un espacio m´etrico X, entonces: (a) int(int(A)) = int(A). (c) fr(A) ⊂ A ⇔ A es cerrado. (e) fr(A) ∩ A = ∅ ⇔ A es abierto.

(b) A = A. (d) fr(A) = ∅ ⇔ A es abierto y cerrado. (f) A′ = A′ .

46. Sea Y ⊂ X, donde X es un espacio m´etrico, demuestre que: a) Todo conjunto A ⊂ Y abierto en Y es abierto en X, si y s´olo si, Y es abierto en X. b) Todo conjunto A ⊂ Y cerrado en Y es cerrado en X, si y s´olo si Y es cerrado en X. 47. Sean X = R y A ⊂ Y ⊂ X. Estudie el car´acter de abierto y cerrado relativo a Y del conjunto A, en los siguientes casos: a) Y = [0, 1] ∪ (1, 2] ;

A = [0, 1]. b) Y = (0, 1] ; A = {1/n n = 1, 2, 3, . . .}. c) Y = Q ; A = {x ∈ Q x < 0 ´o x2 > 2}.

48. Sean X = R2 y A ⊂ Y ⊂ X. Estudie si A es abierto o cerrado relativo a Y , en los siguientes casos: a) Y = {(x, y) ∈ R2 x2 + y 2 < 1} ; A = {(x, y) ∈ Y y ≥ |x|}. b) Y = {(x, y) x2 + y 2 = 1} ; A = {(x, y) ∈ Y y < |x|}. 49. En C([0, 1], R), con la m´etrica uniforme, determine si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados (o ni abiertos, ni cerrados): a) A = {sen x + k k ∈ [0, 1]}. b) B = {f ∈ C([0, 1], R) f (0) = 0}. c) C = {f ∈ C([0, 1], R) f (0) = 0 = f (1)}. 50. En el mismo espacio del ejercicio anterior, consideremos los siguientes conjuntos: a) A = {f ∈ C([0, 1], R) f (x) < 1, para cada x ∈ [0, 1]}. b) B = {f ∈ C([0, 1], R) f (0) = 0 = f (2)}. Determine: int(A), ext(A), fr(A), A, A′ , B y B ′ .

2.6. EJERCICIOS.

47

51. Demuestre que si un conjunto es totalmente acotado en un espacio m´etrico, su cerradura tambi´en lo es. 52. Demuestre que todo intervalo acotado de R, es totalmente acotado. 53. Demuestre que un subconjunto de R es acotado, si y s´olo si, es totalmente acotado. 54. Sea {xn } una sucesi´on de Cauchy en R. Determine si el conjunto K = {xn }n∈N , es totalmente acotado en R con la m´etrica usual. 55. Sea A un subconjunto no vac´ıo en un espacio m´etrico X. Supongamos que para todo ǫ > 0, existe una familia finita de conjuntos A1 , A2 , . . . , An que cubre A y tal que δ(Ak ) < ǫ, para k = 1, 2, . . . , n. Probar que A es totalmente acotado.

48

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS.

Cap´ıtulo 3 Sucesiones en Espacios M´ etricos. Definici´ on 3.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una sucesi´ on en (X, d) es una funci´on f : N → X; es decir, una funci´on cuyo dominio es el conjunto de los naturales y su codominio es el espacio m´etrico X. Si f es una sucesi´on, para cada n ∈ N, f (n) lo representaremos como xn , la notaci´on usual para una sucesi´on es {xn }∞ en usaremos {xn }n∈N o simplemente {xn } o n=1 , tambi´ (xn ) o {x1 , x2 , . . . xn , . . .}; a xn le llamaremos el t´ermino general de la sucesi´on o t´ermino n−´esimo. Tambi´en, en lugar de decir la sucesi´on f , diremos la sucesi´on {xn }. Desde luego, no debemos confundir la sucesi´on {xn } con su rango f (N), por ejemplo, la sucesi´on de n´ umeros reales f : N → R, definida por f (n) = (−1)n se representar´ıa por {(−1)n } o por {−1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . .}. y f (N) = {−1, 1}. Ejemplos de sucesiones. 1. En R con la m´etrica usual, consideremos la sucesi´on cuyo t´ermino general es xn = n2 , Otra sucesi´on es {xn } =



n ∈ N.

 1 sen n , n

n ∈ N.

2. En R2 con la m´etrica euclidiana, la sucesi´on cuyo t´ermino general es {n2 , n(−1)n }, 49

n ∈ N.

´ CAP´ITULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS.

50

3. En B([0, 1], R) consideremos la sucesi´on {fn }, donde fn : [0, 1] → R definida por fn (x) = x2 /n, otro ejemplo en este espacio es la sucesi´on {gn }, donde gn : [0, 1] → R es la funci´on definida por gn (x) = sen(nx).

3.1.

Convergencia de una Sucesi´ on.

Definici´ on 3.2. Sea (X, d) un espacio m´etrico, {xn } una sucesi´ on en X y x ∈ X. Se dice que x es un d−l´ımite o simplemente un l´ımite, de la sucesi´ on {xn } cuando n tiende a infinito, si se cumple la siguiente afirmaci´ on, si para cada n´ umero real ǫ > 0, existe k = k(ǫ) ∈ N, tal que d(xn , x) < ǫ, para cada n ≥ k. Si x es un l´ımite de la sucesi´on {xn }, cuando n tiende a infinito, tambi´en diremos que x es un l´ımite de la sucesi´on {xn }, o que la sucesi´on {xn } converge a x, cuando n tiende a infinito o que la sucesi´on {xn } tiende a x. Si ning´ un elemento de X es un l´ımite de la sucesi´on {xn } diremos que la sucesi´on es divergente en X. Teorema 3.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una sucesi´ on {xn } en X puede tener a lo m´as un l´ımite. Demostraci´ on: Si la sucesi´on es divergente, no hay nada que probar. Supongamos que x y y son dos l´ımites distintos de la sucesi´on {xn }. Sea ǫ = d(x, y)/2 > 0, como x y y son l´ımites de la sucesi´on {xn }, existen k1 , k2 ∈ N tales que d(xn , x) < ǫ para cada n ≥ k1 , y d(xn , y) < ǫ para cada n ≥ k2 . Sea n ∈ N tal que n ≥ m´ax{k1 , k2 }, entonces, se cumple lo siguiente d(x, y) =≤ d(x, xn ) + d(xn , y) < ǫ + ǫ = d(x, y), y esto es una contradicci´on. ▲ Como consecuencia de este teorema, si x es un l´ımite de la sucesi´on {xn } ahora le podemos llamar el l´ımite de la sucesi´on, que la sucesi´on converge a x y lo denotaremos por l´ımn→∞ xn = x o simplemente {xn } → x cuando n → ∞. El concepto de l´ımite de una sucesi´on, puede escribirse en el lenguaje de las bolas abiertas o de los conjuntos abiertos, ´este u ´ ltimo es el adecuado para estudiar este concepto en el marco de los espacios topol´ogicos. Teorema 3.2. Sea X un espacio m´etrico, {xn } una sucesi´ on en X y x ∈ X. Son equivalentes las siguientes proposiciones:

´ 3.1. CONVERGENCIA DE UNA SUCESION.

51

1. l´ımn→∞ xn = x. 2. Para cada ǫ > 0, existe k ∈ N tal que xn ∈ B(x, ǫ), para cada n ≥ k, es decir, para cada bola abierta centrada en x, todos los t´erminos de la sucesi´on, excepto, posiblemente una cantidad finita de t´erminos, pertenecen a esta bola. 3. Para cada vecindad V = Vx de x, existe k ∈ N tal que xn ∈ V , para cada n ≥ k. 4. La sucesi´on de n´ umeros reales {d(xn , x)} converge a cero. La demostraci´on se le deja al lector. Definici´ on 3.3. Una sucesi´on en un espacio m´etrico se dice que es acotada si su imagen es acotada. Teorema 3.3. Toda sucesi´on convergente en un espacio m´etrico es acotada. Demostraci´ on: Sea {xn } una sucesi´on que converge a x en el espacio X. Tomemos ǫ = 1, existe k ∈ N tal que d(xn , x) < 1,

para cada n ≥ k.

Sea r = m´ax{1, d(x1 , x), . . . , d(xk−1, x)}, entonces se tiene que para cada n ∈ N, xn ∈ B(x, r). ▲ El rec´ıproco de este resultado es falso, es decir, existen sucesiones acotadas que no son convergentes, como lo veremos en alguno de los ejemplos que siguen. Obs´ervese tambi´en que una sucesi´on no acotada, es divergente Ejemplos de sucesiones convergentes y sucesiones divergentes. 1. En cualquier espacio m´etrico X, la sucesi´on constante {x}, es decir, la que tiene como t´ermino general a xn = x, n ∈ N converge a x. 2. En cualquier espacio m´etrico X, la sucesi´on casi constante {x}, es decir, la sucesi´on {xn } que cumple la condici´on de que existe k ∈ N tal que xn = x, converge a x.

para cada n ≥ k

52

´ CAP´ITULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS. 3. Sea X = R con la m´etrica usual. Del an´alisis real, sabemos que, entre otras, las siguientes sucesiones: {1/n}n∈N ,

{(−1)n /n}n∈N ,

{n/n + 1}n∈N

convergen a 0, 0 y 1 respectivamente. Que la sucesi´on {(−1)n } es divergente, sin embargo es una sucesi´on acotada. Menci´on especial merece el hecho de que toda sucesi´on mon´otona y acotada en R con la m´etrica usual es convergente. 4. Sea dd la m´etrica discreta en un conjunto cualquiera X. En este caso, una sucesi´on {xn } es convergente, si y s´olo si, la sucesi´on es casi constante, es decir las u ´ nicas sucesiones convergentes son las sucesiones casi constantes. 5. Sea X = Rk con la m´etrica euclidiana d2 . En este caso, la definici´on de sucesi´on convergente coincide con la que se da en los cursos de c´alculo, en estos cursos, se demuestra que una sucesi´on {xn } converge a x, si y s´olo si, l´ımn→∞ xin = xi ,

para i ∈ {1, 2, . . . , k},

donde el t´ermino general xn = (x1n , x2n , . . . , xkn ) y x = (x1 , x2 , . . . , xk ). Es decir, coloquialmente diremos que en Rk con la m´etrica euclidiana, una sucesi´on converge, si y s´olo si, converge componente a componente. Si en Rk consideramos la m´etrica dp , p ≥ 1, se cumple un resultado an´alogo. Podr´ıamos preguntarnos si tenemos un resultado an´alogo en l2 , es decir, que una sucesi´on converge en l2 , si y s´olo si, converge componente a componente, la respuesta es no, s´olo es v´alido que si la sucesi´on converge en l2 entonces converge componente a componente y esto se demuestra usando el hecho de que |xjn − xj | ≤ d2 (xn , x), para j ∈ N, donde el t´ermino general del elemento xn es la sucesi´on {xjn }j∈N . El contraejemplo para el rec´ıproco es la sucesi´on {xn } donde √ √ xn = {1, 1/ 2, . . . , 1/ n, 0, 0, . . . , } donde los ceros empiezan a partir del t´ermino n + 1. Sin embargo, es v´alido preguntarse si existe una m´etrica d en el espacio de sucesiones, tal que {xn } converge a x con la m´etrica d, si y s´olo si, la sucesi´on {xn } converge componente a componente. Esto lo contestaremos m´as adelante, ver teorema 3.6.

´ 3.1. CONVERGENCIA DE UNA SUCESION.

53

Teorema 3.4. Sea X = B(A, R) con la m´etrica uniforme d∞ . Una sucesi´ on de funciones {fn } en X, converge con esta m´etrica a f , si y s´ olo si, la sucesi´ on {fn } converge uniformemente a f en A. Demostraci´ on: ⇒] Use el hecho de que |fn (x) − f (x)| ≤ d∞ (fn , f ), para cada x ∈ A, n ∈ N. ⇐] Use el hecho de que si, para cada x ∈ A |fn (x) − f (x)| < ǫ, entonces d∞ (fn , f ) ≤ ǫ. ▲ Es pertinente mencionar, que el concepto de convergencia uniforme de sucesiones de funciones, no necesita que las funciones sean acotadas, as´ı que se puede uno hacer la siguiente pregunta, ¿existe una m´etrica d en X = {f : A → R f funci´on }, tal que fn converge a f en esta m´etrica, si y s´olo si, la sucesi´on {fn } converge uniformemente a f en A? La respuesta es s´ı, pero no lo demostraremos. Tambi´en nos podemos preguntar si existe una m´etrica d en este mismo espacio, tal que la sucesi´on {fn } converge a f en esta m´etrica, si y s´olo si, la sucesi´on {fn } converge puntualmente a f en A? La respuesta depende de la cardinalidad del conjunto A. Probaremos el siguiente resultado Teorema 3.5. Sea X = {f : A → R f funci´ on }. Supongamos que existe una m´etrica d en X tal que, para cada fn ∈ X, f ∈ X, si {fn } converge puntualmente a f entonces {fn } converge a f , con la m´etrica d. Entonces A es a lo m´ as numerable. Demostraci´ on:

Para cada n ∈ N, sea Bn = {x ∈ A d(X{x} , 0) > 1/n},

donde X{x} es la funci´on caracter´ıstica del conjunto x. Para cada n, Bn debe ser un conjunto finito, ya que si existe no tal que Bno es infinito, podemos escoger un subconjunto infinito numerable S = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} ⊂ Bno ; es claro que la sucesi´on de funciones caracter´ısticas {X{xn } } converge puntualmente a la funci´on cero, entonces, por hip´otesis, esta sucesi´on de funciones caracter´ısticas converge, con la m´etrica d, a la funci´on cero, lo cual es una contradicci´ on, ya que S ⊂ Bno . As´ı que S Bn es un conjunto finito, para cada n ∈ N. Adem´as, A = ∞ n=1 Bn y por lo tanto A es un conjunto a lo m´as numerable. ▲ Ser´a cierto que si A es a lo m´as numerable, existir´a una m´etrica d en X tal que la convergencia puntual de una sucesi´on de funciones {fn } a f sea equivalente a la convergencia de la sucesi´on con la m´etrica d. La respuesta es s´ı:

´ CAP´ITULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS.

54

Teorema 3.6. Sea X = {f : N → R f funci´ on }. Consideremos la m´etrica d, definida por: ∞ X |f (i) − g(i)| d(f, g) = . i 2 (1 + |f (i) − g(i)|) i=1 Sean fn , f ∈ X, n ∈ N. La sucesi´ on {fn } converge puntualmente a f , si y s´olo si, la sucesi´on converge a f con la m´etrica d. Demostraci´ on: ⇒] Supongamos que la sucesi´on {fn } converge puntualmente a f . Sea ǫ > 0, existe N1 ∈ N tal que ∞ X 1 < ǫ. 2i i=N +1 1

Como n ≥ N2 ,

PN1

|f (i)−fn (i)| i=1 2i (1+|f (i)−fn (i)|)

converge a cero, cuando n → ∞ existe N2 tal que, si

N 1 X |f (i) − fn (i)| < ǫ/2. i 2 (1 + |f (i) − fn (i)|) i=1

Sea n > m´ax{N1 , N2 }, entonces d(fn , f ) =

N1 X i=1

∞ ∞ X X |f (i) − fn (i)| |f (i) − fn (i)| 1 + < ǫ/2 + < ǫ. i i 2 (1 + |f (i) − fn (i)|) i=N +1 2 (1 + |f (i) − fn (i)|) 2i i=N +1 1

1

Hemos demostrado que la sucesi´on {fn } converge a f en la m´etrica d. ⇐] Se usa el hecho que para cada i ∈ N |fn (i) − f (i)| ≤ d(fn , f ) + |fn (i) − f (i)|)

2i (1

▲ Existe un criterio en t´erminos de sucesiones, para determinar si un punto del espacio X es punto de acumulaci´on (adherente) de un subconjunto A ⊂ X. Teorema 3.7. Sea A un subconjunto del espacio m´etrico X. Sea x ∈ X, x es punto de acumulaci´on de A, si y s´ olo si, existe una sucesi´ on {xn } tal que, xn ∈ A, para cada n ∈ N, el rango de la sucesi´ on es un conjunto infinito y l´ımn→∞ xn = x. Demostraci´ on: ⇐] Supongamos que existe una sucesi´on {xn } como lo indica el teorema. Sea r > 0, existe un k ∈ N tal que xn ∈ B(x, r), para n ≥ k. Tomemos xn 6= x, con n > k

55

3.2. SUBSUCESIONES.

(esto lo podemos hacer ya que el rango de la sucesi´on es un conjunto infinito), entonces xn ∈ B(x, r) − {x}, por lo tanto, x ∈ A′ . ⇒] Sea x ∈ A′ , para ǫ = 1 existe x1 ∈ A, x1 6= x y x1 ∈ B(x, 1), para ǫ = 1/2 existe x2 ∈ A, x2 6= x1 , x2 6= x y x2 ∈ B(x, 1/2). Procediendo inductivamente, para ǫ = 1/n, existe xn ∈ A, xn 6= xi , (i = 1, n − 1) y xn ∈ B(x, 1/n). Este proceso de elecci´on est´a justificado, ya que toda vecindad de x contiene un conjunto infinito de elementos de A. Como d(xn , x) < 1/n para cada n ∈ N, entonces l´ımn→∞ xn = x. ▲ ′ Observaci´ on. N´otese que si x ∈ A , la sucesi´on puede tomarse con la propiedad de que xn 6= xm para n 6= m. Si la sucesi´on de elementos de A tiene rango finito, no necesariamente x es punto de acumulaci´on, pero s´ı podemos garantizar que es punto adherente. En realidad, tenemos el siguiente resultado. Teorema 3.8. x ∈ A, si y s´olo si, existe una sucesi´ on {xn } de elementos de A tal que l´ımn→∞ xn = x. La demostraci´on se la dejamos al lector.

3.2.

Subsucesiones.

Definici´ on 3.4. Sea {xn } una sucesi´ on en el espacio m´etrico (X, d). Sea {nk } una sucesi´on de n´ umeros naturales estrictamente creciente. A la sucesi´ on {xnk }∞ k=1 se le llama subsucesi´on de la sucesi´on {xn }. Si la subsucesi´ on {xnk } es convergente en X, al l´ımite de esta subsucesi´on se le llama l´ımite subsecuencial. Observaciones. Los sub´ındices nk est´an en orden estrictamente creciente, es decir, el orden de los elementos de la subsucesi´on es el mismo que en el que aparecen en la sucesi´on {xn }. Para cada k ∈ N, nk ≥ k.

´ CAP´ITULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS.

56

Una subsucesi´on de una subsucesi´on es una subsucesi´on de la sucesi´on original. Ejemplos. 1. Toda sucesi´on es una subsucesi´on de ella misma: tomemos nk = k, k ∈ N. 2. Sea {xn } una sucesi´on y N ∈ N fijo. Definamos nk por nk = N + k, entonces {xnk } = {xN +1 , xN +2 , . . . , xN +k , . . .}, es una subsucesi´on de {xn }. 3. Si el rango de una sucesi´on es finito, hay un t´ermino de la sucesi´on que debe repetirse infinitas veces, digamos x, con este t´ermino podemos formar una subsucesi´on constante {x}. 4. {x2n }, {x2n+1 } son subsucesiones de la sucesi´on {xn } Teorema 3.9. Sea {xn } una sucesi´ on del espacio m´etrico X que converge al punto x. Toda subsucesi´on de {xn } es convergente y converge a x. Demostraci´ on: Sea {xnk } una subsucesi´on de {xn } y ǫ > 0, como l´ımn→∞ xn = x existe N ∈ N tal que d(xn , x) < ǫ, si n ≥ N. Sea k ≥ N, entonces nk ≥ k, as´ı tenemos que

d(xnk , x) < ǫ. Por lo tanto, la subsucesi´on {xnk } converge a x.

▲

Teorema 3.10. El conjunto de los l´ımites subsecuenciales de una sucesi´on en un espacio m´etrico X es un conjunto cerrado. Sea {xn } una sucesi´on en X y E = {x ∈ X x es un l´ımite subsecuencial de {xn } }.

Demostraci´ on:

Si E ′ = ∅, ya terminamos. Sea x ∈ E ′ , probaremos que existe una subsucesi´on de {xn } que converge a x; es decir, x ∈ E, con lo cual, probar´ıamos que E ′ ⊂ E, y esto significa que E es cerrado.

3.3. SUCESIONES DE CAUCHY.

57

Sea n1 ∈ N tal que xn1 6= x. Tomamos ǫ = d(x, xn1 ) > 0, existe y1 ∈ E tal que d(x, y1 ) < ǫ/22 , con y1 6= x, como y1 ∈ E existe n2 > n1 , tal que d(y1, xn2 ) < ǫ/22 y xn2 6= x, por lo tanto, d(x, xn2 ) ≤ d(x, y1 ) + d(y1, xn2 ) < ǫ/22 + ǫ/22 = ǫ/2, es decir, d(x, xn2 ) < ǫ/2. Como x ∈ E ′ existe y2 ∈ E, y2 6= x, tal que d(x, y2) < ǫ/23 y como y2 ∈ E existe n3 ∈ N, n3 > n2 y d(y2 , xn3 ) < ǫ/23 y xn3 6= x. Por lo tanto d(x, xn3 ) ≤ d(x, y2 ) + d(y2 , xn3 ) < ǫ/23 + ǫ/23 = ǫ/22 , es decir d(x, xn3 ) < ǫ/22 . As´ı, inductivamente, construimos una subsucesi´on {xnk }, de la sucesi´on {xn } con xnk 6= x y d(x, xnk ) < ǫ/2k−1. Por lo tanto, de aqu´ı se sigue que la subsucesi´on {xnk } converge a x, es decir, x ∈ E. ▲ Teorema 3.11. Sea (X, d) un espacio m´etrico, {xn } una sucesi´ on en X, y x ∈ X. Son equivalentes: (a) La sucesi´ on {xn } no converge a x. (b) Existe ǫo > 0 y una subsucesi´on {xnk } tal que d(xnk , x) ≥ ǫo (c) Existe una subsucesi´on de {xn } que no converge a x. La demostraci´on se la dejamos al lector. Teorema 3.12 (Criterio de Divergencia.). Sean {xnk } y {xnj } dos subsucesiones de {xn }, convergentes y con l´ımites distintos, entonces la sucesi´ on {xn } es divergente. La demostraci´on es inmediata.

3.3.

Sucesiones de Cauchy.

Definici´ on 3.5. Una sucesi´on {xn } en un espacio m´etrico X es una sucesi´ on de Cauchy en X, si cumple con la siguiente condici´ on: para cada ǫ > 0, existe k = k(ǫ) ∈ N, tal que d(xn , xm ) < ǫ si n, m ≥ k.

´ CAP´ITULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS.

58

Intuitivamente una sucesi´on es de Cauchy, si sus t´erminos est´an cercanos entre s´ı, con s´olo tomar los ´ındices lo suficientemente grandes en la sucesi´on. As´ı que, como en una sucesi´on convergente, los t´erminos de la sucesi´on est´an cercanos a su l´ımite, con s´olo tomar los ´ındices lo suficientemente grandes, deber´ıamos tener que una sucesi´on convergente es de Cauchy, como lo demostraremos a continuaci´on. Teorema 3.13. Toda sucesi´ on convergente en un espacio m´etrico X, es una sucesi´on de Cauchy. Demostraci´ on: existe k ∈ N tal que

Sea {xn } una sucesi´on en X que converge a x ∈ X y sea ǫ > 0, d(xn , x) < ǫ/2, si n ≥ k.

Sean n, m ≥ k, entonces d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm ) < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ, por lo tanto, {xn } es una sucesi´on de Cauchy.

▲ El rec´ıproco de este teorema, no siempre se cumple, como lo veremos a continuaci´on.

Ejemplo. Sea X = (0, 1) con la m´etrica usual. Demostraremos que la sucesi´on {1/n} es de Cauchy, pero no es convergente en X. Sea ǫ > 0, tomemos k ∈ N, k > 2/ǫ, sean n, m ≥ k, entonces |1/n − 1/m| ≤ |1/n| + |1/m| = 1/n + 1/m ≤ 1/k + 1/k < ǫ. es decir, hemos demostrado que la sucesi´on {1/n} es de Cauchy en el intervalo (0, 1), pero no es convergente en (0, 1), ya que el cero no pertenece a (0, 1). Teorema 3.14. Toda sucesi´ on de Cauchy en un espacio m´etrico es acotada. Demostraci´ on: Sea {xn } una sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico X. Sea ǫ = 1, existe k ∈ N, tal que d(xn , xm ) < 1, si n, m ≥ k, en particular, d(xn , xk ) < 1 para n ≥ k. Sea M = m´ax{1, d(xi , xk ), i = 1, k − 1}, entonces xn ∈ B(xk , M),

59

3.4. EJERCICIOS. por lo tanto, la sucesi´on {xn } es acotada.

▲ El rec´ıproco no siempre se cumple, la sucesi´on {(−1) } es una sucesi´on acotada con la m´etrica usual, pero no es de Cauchy. n

Anteriormente, hemos demostrado que toda subsucesi´on de una sucesi´on convergente, es convergente y converge al mismo l´ımite, pero existen sucesiones divergentes, que tienen subsucesiones convergentes, pero si la sucesi´on es de Cauchy, esto no puede ocurrir, es decir, Teorema 3.15. Sea {xn } una sucesi´on de Cauchy en el espacio m´etrico X. Supongamos que existe una subsucesi´on {xnk } que converge a x ∈ X. Entonces, la sucesi´ on {xn } es convergente y l´ımn→∞ xn = x. Demostraci´ on: tal que

Sea ǫ > 0, como {xn } es una sucesi´on de Cauchy, existe k ∈ N, d(xn , xm ) < ǫ/2, si n, m ≥ k.

Adem´as, como {xnk } converge a x, existe k1 ∈ N tal que d(xnk , x) < ǫ/2, si k ≥ k1 . sea k2 ≥ m´ax{k1 , k} y n ≥ k2 , entonces d(xn , x) ≤ d(xn , xnj ) + d(xnj , x) < ǫ, donde el sub´ındice nj es tomado de tal manera que cumpla que j > k2 . As´ı hemos demostrado que la sucesi´on {xn } converge a x.

3.4.

Ejercicios.

1. Sea fo : [0, 1] → R definida por fo (x) = 0, para cada x ∈ [0, 1]. Pruebe que la funci´on f : [0, 1] → R definida por ( 0, si x = 0, fn (x) = 1 − 1/n, si x ∈ (1/(n + 1), 1/n], n ∈ N. pertenece a la esfera con centro en fo y radio 1. En este problema se est´a considerando al espacio m´etrico (B([0, 1], R), d∞ ).

▲

60

´ CAP´ITULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS. 2. Sea la sucesi´on {Xn }n∈N definida como X1 X2 ... Xn ...

= = = = =

{1, 0, 0, . . .} {1, 1/2, 0, 0, . . .} ...... {1, 1/2, 1/3, . . . 1/n, 0, . . .} ......

Demuestre que esta sucesi´on converge a {1, 1/2, 1/3, . . . 1/n, 1/(n + 1), . . .} en co con la m´etrica uniforme. 3. Sea la sucesi´on {Xn }n∈N definida como X1 X2 ... Xn ...

= = = = =

{1, 0, 0, . . .} {1/2, 1/2, 0, 0, . . .} ...... {1/n, 1/n, 1/n, . . . 1/n, 0, . . .} ......

¿ser´a esta sucesi´on convergente en l1 ? 4. Sean (X, d) un espacio m´etrico y {xn } una sucesi´on de Cauchy en X. Demuestre que d(xn , xn+1 ) → 0 cuando n → ∞. ¿El rec´ıproco se cumple? 5. Demuestre que si {xn }, {yn } son sucesiones de Cauchy, entonces {d(xn , yn )} es convergente. ¿Se cumplir´a el rec´ıproco? 6. Sea {xn }n∈N una sucesi´on en un espacio m´etrico X, tal que xn = x para todo n > m, m ∈ N fijo. Demuestre que la sucesi´on {xn } converge a x. 7. Sea (X, d) un espacio m´etrico, A ⊂ X. Demuestre que a) a es punto interior de A, si y s´olo si, para toda sucesi´on {xn } en X, tal que xn → a, existe no ∈ N, tal que xn ∈ A para todo n ≥ no .

b) a es un punto de acumulaci´on de A, si y s´olo si, existe una sucesi´on {xn } contenida en A − {a}, tal que xn → a.

8. Sean {xn } y {yn } dos sucesiones de un espacio m´etrico X, las cuales convergen hacia el mismo l´ımite a. Pruebe que la sucesi´on {x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn , . . .} converge hacia a. 9. Sea {xn } una sucesi´on en el espacio m´etrico X.

61

3.4. EJERCICIOS.

a) Pruebe que {xn } es convergente, si y s´olo si, las subsucesiones {x2k } y {x2k+1 } convergen al mismo l´ımite. b) Pruebe que si las tres subsucesiones {x2k }, {x2k+1 } y {x3k } son convergentes, entonces {xn } es convergente. 10. Sea {xn } una sucesi´on en el espacio m´etrico X. Se dice que a ∈ X es valor de adherencia de {xn }, si y s´olo si, para toda vecindad V = V (a) y para todo n ∈ N existe m ≥ n tal que xm ∈ V . Pruebe que el conjunto de valores de adherencia de {xn } coincide con el conjunto de l´ımites subsecuenciales. 11. Sea la m´etrica del ejercicio 2b, secci´on 2.2, cap´ıtulo 2. Demuestre que si {xn }, {yn } son dos sucesiones en X y Y respectivamente, entonces la sucesi´on {(xn , yn )} en X × Y , es tal que d

d

d

∞ X Y {(xn , yn )} −→ (x, y) ⇐⇒ {xn } → x, y {yn } → y.

62

´ CAP´ITULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS.

Cap´ıtulo 4 Funciones Continuas en Espacios M´ etricos. 4.1.

Funciones Continuas.

El concepto de m´etrica, nos permite generalizar el concepto de continuidad que se estudi´o para funciones de Rn en Rm . Como ahora manejaremos, al menos dos espacios m´etricos, no necesariamente iguales, tendremos que distinguir las m´etricas en dichos espacios. Denotaremos con (X, dX ) al espacio m´etrico con la m´etrica dX . Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios m´etricos. Definici´ on 4.1. Sean f : X → Y una funci´ on y xo ∈ X. Diremos que la funci´ on es continua en el punto xo , si se cumple la siguiente condici´ on: para cada ǫ > 0, existe δ = δ(ǫ, xo ) > 0, tal que, si x ∈ X, y dX (x, xo ) < δ, entonces dY (f (x), f (xo )) < ǫ. En realidad, deber´ıamos decir, que f es dX −dY continua en el punto xo , ya que como veremos, en general, la continuidad de f , depende de las m´etricas que tengamos. A esta definici´on, la llamaremos la definici´on ǫ − δ para la continuidad de una funci´on en un punto. Definici´ on 4.2. Sea A ⊂ X. Diremos que una funci´ on f : X → Y es continua en A, si f es continua en cada punto de A, Si A = X, diremos que es continua en X. Obs´ervese que primero definimos la continuidad de una funci´on en un punto, y luego la continuidad en cualquier subconjunto del espacio, as´ı, si nosotros queremos probar 63

64

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

directamente de la definici´on, que una funci´on es continua en un subconjunto del espacio, debemos probar la continuidad de la funci´on en cada punto del subconjunto. Frecuentemente es necesario considerar funciones, cuyo dominio es un subconjunto A de un espacio m´etrico X, como A es un espacio m´etrico con la m´etrica heredada de X, la definici´on 4.2 de continuidad se aplica a una funci´on f : A → Y . As´ı, f es continua en xo ∈ A, si para cada ǫ > 0, existe δ = δ(ǫ, xo ) > 0, tal que, si x ∈ A, y dA (x, xo ) < δ, entonces , dY (f (x), f (xo )) < ǫ, donde dA es la m´etrica en A inducida por dX . f es continua en A, si es continua en cada punto de A. Observaci´on. Para demostrar que una funci´on es continua, es importante conocer cual es el dominio de esta funci´on. Por ejemplo, f : X → Y es continua en A ⊂ X si para toda xo ∈ A y para todo ǫ > 0, existe δ > 0, tal que si x ∈ X y d(x, xo ) < δ, entonces d(f (x), f (xo )) < ǫ, (4.1) mientras que la restricci´on f A : A → Y es continua en A si para toda xo ∈ A y para todo ǫ > 0, existe δ > 0, tal que si x ∈ A y d(x, xo ) < δ, entonces d(f (x), f (xo )) < ǫ.

(4.2)

Obs´ervese que las afirmaciones (4.1) y (4.2) no son equivalentes, en la primera se pide que x pertenezca al espacio X y en la segunda se pide solamente que x pertenezca a A. Sin embargo, se cumple que si f : X → Y es continua en A, entonces f A : A → Y es continua en A. El rec´ıproco no siempre se cumple. V´ease la secci´on de ejercicios. Ejemplos. 1. Sea f : X → Y. yo ∈ Y . La funci´on constante f (x) = yo es una funci´on continua en todo X. 2. Si X = Y y dX = dY , la funci´on identidad es continua en X. Cuidado, si dX 6= dY , la funci´on identidad no es necesariamente continua, como lo veremos m´as adelante. 3. Sea f : X → Y cualquier funci´on, xo ∈ X un punto aislado de X, entonces f es autom´aticamente continua en xo . Por eso, a veces, en la definici´on se pide que el punto sea punto de acumulaci´on de X. 4. Sea dd la m´etrica discreta en un conjunto X 6= ∅ y sea (Y, d) cualquier espacio m´etrico. Toda funci´on f : X → Y es continua en X.

65

4.1. FUNCIONES CONTINUAS. 5. Sea (X, d) espacio m´etrico, xo ∈ X fijo, la funci´on f : X → R, definida por f (x) = d(x, xo ). Para probar que f es continua en X, usar el siguiente hecho |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).

6. Sea (X, d) espacio m´etrico, la funci´on m´etrica d : X × X → R, es continua en X × X. Usar el hecho siguiente: |d(x, y) − d(z, w)| ≤ d(x, z) + d(y, w). ¿Qu´e m´etrica, usas en el producto cartesiano? M´as adelante, daremos m´as ejemplos. A continuaci´on, traduciremos el concepto de continuidad al lenguaje de bolas abiertas, conjuntos abiertos,... etc. Teorema 4.1. Sea f : X → Y una funci´ on. Son equivalentes 1. f es continua en xo . 2. Para cada ǫ > 0, existe δ > 0, tal que si x ∈ B(xo , δ), entonces f (x) ∈ B(f (xo ), ǫ). 3. Para cada ǫ > 0, existe δ > 0, tal que f (B(xo , δ)) ⊂ B(f (xo ), ǫ). 4. Para cada abierto O en Y , con f (xo ) ∈ O, existe un abierto U en X, con xo ∈ U y f (U) ⊂ O. 5. Para cada V vecindad de f (xo ) en Y , se cumple que f −1 (V ) es una vecindad de xo en X. Demostraci´ on: 1.⇔ 2. Se la dejamos al lector. 2.⇒3. Sea ǫ > 0, por la hip´otesis, existe δ > 0, tal que si x ∈ B(xo , δ), entonces f (x) ∈ B(f (xo ), ǫ). Esto nos dice que f (B(xo , δ)) ⊂ B(f (xo ), ǫ).

66

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

3.⇒2. Se deja al lector. 3.⇔4. Se la dejamos al lector. 4. ⇒5. Sea V vecindad de f (xo ) en Y , existe U abierto, tal que f (xo ) ∈ U ⊂ V ,. Por la hip´otesis, existe O abierto en X tal que xo ∈ O y f (O) ⊂ U ⊂ V . La vecindad del punto xo que tomamos es O. 5.⇒4. Se la dejamos al lector. ▲ Tambi´en enunciaremos equivalencias de la continuidad en todo el espacio X, en t´erminos de abiertos, cerrados,.... Teorema 4.2. Sea (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios m´etricos. f : X → Y una funci´on. Son equivalentes 1. f es continua en todo el espacio X. 2. Para cada V abierto en Y , se cumple que f −1 (V ) es abierto en X. 3. Para cada G cerrado en Y , se cumple que f −1 (G) es cerrado en X. 4. Para cada subconjunto A de X se cumple que f (A) ⊂ f (A). Demostraci´ on: 1. ⇒2. Sea V abierto en Y . Queremos demostrar que f −1 (V ) es abierto en X. Sea x ∈ f −1 (V ), entonces f (x) ∈ V , por el teorema 4.1 inciso 4, existe U abierto en X, tal que x ∈ U y f (U) ⊂ V. Como U es abierto y x ∈ U, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ U. Probaremos que B(x, r) ⊂ f −1 (V ). Sea z ∈ B(x, r), entonces f (z) ∈ f (B(x, r)) ⊂ f (U) ⊂ V , es decir, z ∈ f −1 (V ). Por lo tanto, B(x, r) ⊂ f −1 (V ), as´ı, hemos probado que f −1 (V ) es un conjunto abierto en X. 2.⇒1. Sea x ∈ X. Probaremos, usando el teorema 23 que f es continua en x. Sea V un abierto en Y con f (x) ∈ V , por la hip´otesis, f −1 (V ) es un conjunto abierto que contiene a x, adem´as, f (f −1(V )) ⊂ V. 2.⇒3. Sea G cerrado en Y , entonces Y −G es abierto en Y , por la hip´otesis f −1 (Y −G) es abierto en X. Como f −1 (Y − G) = X − f −1 (G), entonces X − f −1 (G) es abierto en X, por lo tanto f −1 (G) es cerrado en X. La demostraci´on de 3.⇒2. es an´aloga.

67

4.1. FUNCIONES CONTINUAS.

2.⇒4. Sea A ⊂ X. Demostraremos que f (A) ⊂ f (A). Sea y ∈ f (A) y U un abierto en Y tal que y ∈ U, probaremos que U ∩ f (A) 6= ∅. Por la hip´otesis, f −1 (U) es un abierto que contiene a x, para alg´ un x ∈ A con y = f (x). De esto, se sigue que f −1 (U) ∩ A 6= ∅, sea z ∈ f −1 (U) ∩ A, entonces f (z) ∈ U ∩ f (A), por lo tanto U ∩ f (A) 6= ∅. As´ı y ∈ f (A). 4⇒3. Sea F un conjunto cerrado en Y . Que A = f −1 (F ) es cerrado en X, se sigue de la siguiente cadena A ⊂ f −1 (f (A)) ⊂ f −1 (f (A)) = f −1 (f (f −1 (F ))) ⊂ f −1 (F ) = f −1 (F ) = A. ▲ ¿Ser´a cierto que: f es continua en X, si y s´olo si, f (A ) ⊂ (f (A)) , para cada A subconjunto de X? No siempre se cumple la equivalencia, s´olo se cumple una implicaci´on (la rec´ıproca). Para el contraejemplo, considere la funci´on constante en R. ′

′

Un criterio muy importante, equivalente a la continuidad de una funci´on en un punto, es el criterio de continuidad por sucesiones. Pero antes, diremos que significa ´este. Definici´ on 4.3. Sean (X, dX ), (Y, dY ), f : X → Y y xo ∈ X. Diremos que la funci´on f es continua por sucesiones en el punto xo , si f cumple la siguiente condici´ on Para cada sucesi´on {xn } ⊂ X, si l´ımn→∞ xn = xo , entonces l´ımn→∞ f (xn ) = f (xo ). Teorema 4.3. Sea f : X → Y una funci´ on. Sea xo ∈ X. Son equivalentes 1. f es continua en xo . 2. f es continua en xo por sucesiones. Demostraci´ on: 1 ⇒ 2. Sea {xn } una sucesi´on de elementos de X que converge a xo . Queremos demostrar que {f (xn )} converge a f (xo ). Sea U un abierto en Y tal que f (xo ) ∈ U, como f es continua en xo , existe V abierto en X, tal que xo ∈ V, y f (V ) ⊂ U. Como la sucesi´on {xn } converge a xo , existe k ∈ N, tal que xn ∈ V , para n ≥ k. Sea n ≥ k, entonces, xn ∈ V , y como f (V ) ⊂ U, entonces f (xn ) ∈ U. As´ı, hemos demostrado que la sucesi´on {f (xn )} converge a f (xo ).

68

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

2 ⇒1. Probaremos que la negaci´on de 1 implica la negaci´on de 2. Supongamos que f no es continua en xo , entonces existe ǫo > 0, tal que, para cada n ∈ N, existe xn ∈ B(xo , 1/n) y f (xn ) ∈ / B(f (xo ), ǫo ). Es claro que la sucesi´on {xn } converge a xo , pero, la sucesi´on {f (xn )} no converge a f (xo ). ▲ M´ as ejemplos de funciones que son continuas y funciones que no son continuas. Sea X = C([a, b], R), con la m´etrica uniforme. 1. Definamos T1 : X → R por T1 (f ) =

Z

b

f. a

Sea fo ∈ X y ǫ > 0. Tomemos δ = ǫ/(b − a). Sea f ∈ X, tal que d∞ (f, fo ) < δ, entonces Z b Z b Z b |T1 (f ) − T1 (fo )| = f− fo ≤ |f − fo | ≤ d∞ (f, fo )(b − a) = ǫ. a

a

a

Por lo tanto, hemos demostrado que T1 es continua en fo y por lo tanto, que T1 es continua en X.

2. Definamos T2 : X → X por T2 (f ) = g, donde la funci´on g : [a, b] → R est´a definida por Z x

g(x) =

f.

a

Por el primer teorema fundamental del c´alculo, g ∈ X. Ahora tomemos fo ∈ X y ǫ > 0. Sea δ = ǫ/(b − a) y f ∈ X tal que d∞ (fo , f ) < δ, entonces, para cada x ∈ [a, b], se tiene que Z x Z x Z x |g(x) − go (x)| = f− fo ≤ |f − fo | ≤ d∞ (f, fo )(b − a) = ǫ. a

a

a

De aqu´ı, se concluye que

d∞ (T2 (f ), T2 (fo )) = d∞ (g, go) ≤ ǫ. Por lo tanto, hemos demostrado que T2 es continua en fo y por lo tanto, que T2 es continua en X.

69

4.1. FUNCIONES CONTINUAS. 3. Sea xo ∈ [a, b]. Definamos Txo : X → R por Txo (f ) = f (xo ).

Sean fo ∈ X y ǫ > 0. Tomemos δ = ǫ, sea f ∈ X tal que d∞ (f, fo ) < δ, entonces |Txo (f ) − Txo (fo )| = |f (xo ) − fo (xo )| ≤ d∞ (f, fo ) < ǫ. Por lo tanto, hemos demostrado que Txo es continua en fo y por lo tanto, que Txo es continua en X. A la funci´on Txo se le conoce como el funcional evaluaci´on en xo . Veamos ahora, que si cambiamos las m´etricas, en algunos de los anteriores ejemplos, la funci´on ya no es continua. As´ı, la continuidad de una funci´on, no s´olo depende del punto donde se est´e considerando, sino tambi´en, de las m´etricas que se est´en usando. Sea X = C([a, b], R), con la m´etrica d1 , es decir d1 (f, g) =

Z

a

b

|f − g|.

1. Definamos T1 : X → R por T1 (f ) =

Z

b

f.

a

Sea fo ∈ X y ǫ > 0. Tomemos δ = ǫ. Sea f ∈ X, tal que d1 (f, fo ) < δ, entonces Z b Z b Z b |T1 (f ) − T1 (fo )| = f− fo ≤ |f − fo | = d1 (f, fo ) < ǫ. a

a

a

Por lo tanto, T1 es continua en fo y as´ı, T1 es continua en X.

Obs´ervese que en este caso, T1 result´o continua con ambas m´etricas d∞ y d1 . 2. Sea xo ∈ [a, b]. Definamos Txo : X → R por Txo (f ) = f (xo ). Vamos a demostrar que Txo no es continua en la funci´on constante 0, para ning´ un xo en [a, b]. Para esto, veremos que Txo no cumple con el criterio de continuidad por sucesiones, es decir, construiremos una sucesi´on {fn } de funciones continuas que converge a la funci´on 0, pero que la sucesi´on {Txo (fn )} no converge a Txo (0).

70

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS. Por simplicidad, lo haremos u ´ nicamente para el caso xo = b. Para cada n ∈ N, definamos fn : [a, b] → R como ( 0, si x ∈ [a, b − 1/n], fn (x) = n(x − b) + 1, si x ∈ [b − 1/n, b]. N´otese que la gr´afica de fn para x ∈ [b − 1/n, b] es el segmento de recta que une el punto (b − 1/n, 0) y el punto (b, 1) Ver figura [3.1]. Es f´acil ver que d1 (fn , 0) = 1/2n, por consiguiente esta sucesi´on converge a 0. Pero como Tb (fn ) = f (b) = 1, entonces la sucesi´on {Tb (fn )} no converge a Txo (0).

Tambi´en se puede demostrar que en realidad Txo no es continua en ning´ un punto de X, pero esto se lo dejamos al lector. fn :[a,b]| 5, ( a 0, existe δ = δ(ǫ, xo ) > 0, tal que dX (x, xo ) < δ, entonces dY (f (x), f (xo )) < ǫ, y que f es continua en X, si es continua en cada punto de X, es decir, dado x ∈ X y ǫ > 0, el n´ umero δ va dependiendo, tanto de ǫ, como del elemento x que estemos considerando, cuando δ depende u ´ nicamente del ǫ que estemos considerando, diremos que f es uniformemente continua en X. Formalmente, la definici´on es la siguiente Definici´ on 4.4. Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios m´etricos, diremos que la funci´on f : X → Y es uniformemente continua en X, si f cumple con la siguiente condici´on: para cada ǫ > 0, existe δ = δ(ǫ) > 0, tal que si x1 , x2 ∈ X, y dX (x1 , x2 ) < δ, entonces dY (f (x1 ), f (x2 )) < ǫ. Si la funci´on f est´a definida u ´ nicamente en un subconjunto A del espacio m´etrico X, diremos que es uniformemente continua en A, si es uniformemente continua en A,

72

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

considerando en A la m´etrica dA , inducida por dX , es decir, para cada ǫ > 0, existe δ = δ(ǫ) > 0, tal que si x1 , x2 ∈ A, y dX (x1 , x2 ) < δ, entonces dY (f (x1 ), f (x2 )) < ǫ. Obs´ervese que la continuidad uniforme es un concepto que se define globalmente, no localmente. Es claro que si f es uniformemente continua en X, es continua en X, pero el rec´ıproco no siempre es v´alido, como lo veremos a continuaci´on: sea X = (0, 1) y Y = R, ambos con la m´etrica usual, definamos f : X → Y como f (x) =

1 . x

Sabemos que esta funci´on es continua (0, 1), pero veremos que no es uniformemente continua en (0, 1). Tomemos ǫ = 1/2, vamos a demostrar que para cada δ > 0 existen dos puntos x1 y x2 en el intervalo (0, 1), tal que |x1 − x2 | < δ, y |f (x1 ) − f (x2 )| ≥ 1, sea δ > 0, como la sucesi´on {1/n} es de Cauchy en el intervalo (0, 1), existe n1 , n2 ∈ N, tal que |1/n1 − 1/n2 | < δ. Pero, |f (1/n1 ) − f (1/n2 )| = |n1 − n2 | > 1/2. Otro ejemplo de este mismo fen´omeno, es el siguiente: sea X = Y = R con la m´etrica usual. Definamos f : R → R por f (x) = x2 . Sabemos que esta funci´on es continua en R, pero a continuaci´on veremos que no es uniformemente continua en R. Sea ǫ = 1 y δ > 0, tomemos n ∈ N tal que 1/n < δ, entonces |n + 1/n − n| < δ, pero |f (n + 1/n) − f (n)| = 2 + 1/n2 ≥ 1. Con esto, hemos demostrado que f no es uniformemente continua en R. Sin embargo, si definimos f : [0, 1] → R por f (x) = x2 , ´esta es uniformemente continua en [0, 1]. Sea ǫ > 0, tomemos δ = ǫ/2, sean x, y ∈ [0, 1], tal que |x − y| < δ, entonces |f (x) − f (y)| = |x2 − y 2| = |x + y| |x − y| < 2ǫ/2 = ǫ. Por lo tanto f es uniformemente continua en el [0, 1]. A continuaci´on presentaremos un criterio muy u ´ til para determinar cuando una funci´on no es uniformemente continua, cuya demostraci´on es inmediata. No la haremos aqu´ı.

4.2. M. EQUIVALENTES, SEMEJANTES, U. E. E ISOMETR´IAS.

73

Teorema 4.4. Sean (X, dX ), (Y, dY ) espacios m´etricos y f : X → Y una funci´ on. Son equivalentes: 1. f no es uniformemente continua en X. 2. Existe ǫ > 0, tal que, para todo δ > 0, existen xδ y yδ que cumplen dX (xδ , yδ ) < δ, y dY (f (xδ ), f (yδ )) ≥ ǫ. 3. Existe ǫ > 0 y dos sucesiones {xn }, {yn }, tales que l´ımn→∞ dX (xn , yn ) = 0 y dY (f (xn ), f (yn )) ≥ ǫ.

Hemos visto que existen funciones continuas que no son uniformemente continuas, sin embargo, si se cumple que el dominio sea compacto, entonces toda funci´on continua en el compacto, es uniformemente continua. (no hemos definido este concepto, lo haremos m´as adelante y este resultado lo demostraremos en su momento). En esta secci´on, demostraremos este teorema para cuando el dominio es un intervalo cerrado y acotado en R. Teorema 4.5. Sea f : [a, b] → R continua. Entonces f es uniformemente continua. Demostraci´ on: Usaremos la contrarrec´ıproca. Supongamos que f no es uniformemente continua, entonces existe ǫ > 0 y dos sucesiones de elementos del intervalo [a, b], {xn } y {yn } que cumplen l´ımn→∞ |xn − yn | = 0, y |f (xn ) − f (yn )| ≥ ǫ.

(4.3)

Como xn ∈ [a, b], para cada n ∈ N, la sucesi´on {xn } es acotada, entonces, por el principio de Weierstrass, existe una subsucesi´on {xnk } y un elemento x ∈ R tal que l´ımk→∞ xnk = x. Adem´as, como [a, b] es un conjunto cerrado, x ∈ [a, b]. Como l´ımn→∞ |xn − yn | = 0, entonces la subsucesi´on {ynk } tambi´en converge a x. De (4.3), se concluye que |f (xnk ) − f (ynk )| ≥ ǫ. (4.4) Luego, de (4.4), y del hecho de que las dos subsucesiones convergen a x, se concluye que f no es continua en x ▲

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

74

4.3.

M´ etricas Equivalentes, Semejantes, Uniformemente Equivalentes e Isometr´ıas.

Hemos visto que en un mismo conjunto, podemos definir varias m´etricas, que en principio nos dan diferentes espacios m´etricos, sin embargo, esto no significa que las topolog´ıas generadas por las m´etricas, sean diferentes. A continuaci´on estudiaremos cuando dos m´etricas definidas en un mismo conjunto nos proporcionan la misma topolog´ıa. Como consideraremos varias m´etricas en un mismo conjunto, a los distintos conceptos, le agregaremos al inicio el s´ımbolo correspondiente de la m´etrica. As´ı, si (X, d) es un espacio m´etrico, diremos d abierto, d cerrado... Definici´ on 4.5. Sea X un conjunto diferente del vac´ıo, d1 , d2 dos m´etricas definidas en X. Diremos que la m´etrica d1 es equivalente a la m´etrica d2 , anotaremos d1 ≈ d2 , si la topolog´ıa en X inducida por d1 es igual a la topolog´ıa inducida por d2 , es decir, para cada A ⊂ X A es d1 − abierto, si y s´ olo si, es d2 − abierto. Observaciones. Todos los conceptos que se pueden definir u ´ nicamente en t´erminos de abiertos (conjunto cerrado, interior, cerradura, frontera de un conjunto, convergencia de una sucesi´on, continuidad de una funci´on,... etc) se preservan cuando tenemos dos m´etricas equivalentes en un conjunto X. Por ejemplo: A es d1 −cerrado, si y s´olo si, es d2 −cerrado, la sucesi´on {xn } es d1 −convergente a x, si y s´olo si, es d2 −convergente. Pero, aquellas propiedades que dependen estrictamente de la m´etrica, como conjunto acotado, di´ametro de un conjunto,... etc. no necesariamente se preservan, para esto, se necesita un concepto m´as fuerte que el de m´etricas equivalentes, este concepto es el de m´etricas semejantes, el cual, definiremos m´as adelante. Dos m´etricas son equivalentes, si y s´olo si, la funci´on identidad Id : (X, d1 ) → (X, d2 ) y su inversa son funciones continuas. Esta definici´on, la podemos dar en t´erminos de bolas abiertas. Teorema 4.6. Sean d1 y d2 dos m´etricas en X. La m´etrica d1 es equivalente a la m´etrica d2 , si y s´ olo si, 1. Para cada bola abierta Bd1 (x, r) en el espacio (X, d1 ), existe una bola abierta Bd2 (x, s) en el espacio (X, d2 ), tal que Bd2 (x, s) ⊂ Bd1 (x, r). 2. Para cada bola abierta Bd2 (a, s) en el espacio (X, d2 ), existe una bola abierta Bd1 (a, r) en el espacio (X, d1 ), tal que Bd1 (a, r) ⊂ Bd2 (a, s).

4.3. M. EQUIVALENTES, U. E. E ISOMETR´IAS.

75

Demostraci´ on: ⇒] Sea Bd1 (x, r) una bola d1 −abierta, como d1 es equivalente a d2 , Bd1 (x, r) es un conjunto d2 −abierto, por lo tanto existe s > 0, tal que Bd2 (x, s) ⊂ Bd1 (x, r). De manera an´aloga, se demuestra la otra afirmaci´on. ⇐] Sea A un conjunto d1 −abierto, sea x ∈ A, entonces, existe r > 0, tal que Bd1 (x, r) ⊂ A. Por la primera hip´otesis, existe s > 0, tal que Bd2 (x, s) ⊂ Bd1 (x, r) ⊂ A. Con esto, hemos probado, que A es un conjunto d2 −abierto. De manera an´aloga, se demuestra la otra contenci´on. ▲ Ejemplos de m´ etricas equivalentes. 1. Sea (X, d) espacio m´etrico y d1 la m´etrica en X definida por d1 (x, y) =

d(x, y) . 1 + d(x, y)

Probaremos que d es equivalente a d1 . Para esto, probaremos que la funci´on identidad y su inversa son continuas, usando el criterio de sucesiones. Sea Id : (X, d) → (X, d1 ). Sea x ∈ X, y {xn } una sucesi´on d−convergente a x, entonces d(xn , x) converge a cero y 1 + d(xn , x) converge a 1, por lo tanto, d(xn , x) d1 (xn , x) = converge a cero. Por consiguiente, la sucesi´on {xn } es 1 + d(xn , x) d1 −convergente. La prueba de la continuidad de la funci´on inversa, se hace de manera similar. Tambi´en, de manera similar se prueba que la m´etrica d2 en X, definida por d2 (x, y) = m´ın{1, d(x, y)}. es equivalente a d. Obs´ervese que en estas primeras dos m´etricas, el concepto de conjunto acotado no se preserva. Cualquier subconjunto de X es d1 −acotado, d2 −acotado, pero no necesariamente es d−acotado, para ver esto, basta con tomar X = R y d la m´etrica usual.

76

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

Definici´ on 4.6. Sea X un conjunto. d1 y d2 dos m´etricas en X. Diremos que la m´etrica d1 es semejante a d2 , anotaremos d1 ⋍ d2 , si existen k y m n´ umeros estrictamente positivos, tales que k d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ m d1 (x, y), para cada x, y ∈ X.

(4.5)

Observaci´on. Si d1 y d2 son m´etricas semejantes, entonces 1. A es d1 −acotado, si y s´olo si, A es d2 −acotado. El rec´ıproco, no se cumple, consideremos en R la m´etrica d1 del ejemplo anterior 1. y la m´etrica discreta dd ; las m´etricas no son equivalentes, y como veremos enseguida, no son semejantes. 2. {xn } es una sucesi´on d1 de Cauchy, si y s´olo si, {xn } es d2 de Cauchy.

Es claro que si d1 y d2 son m´etricas semejantes, entonces d1 y d2 son m´etricas equivalentes, ya que de (4.5), se sigue que, la identidad y su inversa, son continuas, de hecho son uniformemente continuas. Pero el rec´ıproco no es v´alido, es decir, existen m´etricas equivalentes que no son semejantes. para demostrar esto, tome X = R, d la m´etrica usual y d1 la m´etrica del ejemplo anterior 1., es decir d1 (x, y) =

|x − y| . 1 + |x − y|

Estas m´etricas son equivalentes, pero no son semejantes (obs´ervese que R es d1 −acotado, pero, no es d−acotado). Es pertinente preguntarse que ¿si Id : (X, d1 ) → (X, d2 ) y su inversa son uniformemente continuas, entonces d1 es semejante a d2 ? La respuesta es no. Considere X = R, d la m´etrica usual y d2 la m´etrica en R definida por d2 (x, y) = m´ın{1, d(x, y)}. Como d2 (x, y) ≤ d(x, y) entonces la funci´on Id : (R, d) → (R, d2 ) es uniformemente continua. A continuaci´on, probaremos que Id : (R, d2 ) → (R, d) es uniformemente continua. Sea ǫ > 0, tomemos δ = m´ın{1, ǫ}, entonces, si d2 (x, y) = m´ın{1, |x − y|} < δ, debe ocurrir que |x − y| < ǫ. Estas m´etricas no son semejantes, (R es acotado con la m´etrica d2 , pero no con la m´etrica d). Sin embargo, las m´etricas d1 y d2 son semejantes, ya que d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ 2d1 (x, y). La demostraci´on de este hecho, se la dejamos al lector. Sug. Considere dos casos: |x − y| ≥ 1 y |x − y| < 1. Obs´ervese que una funci´on uniformemente continua no manda necesariamente conjuntos acotados en conjuntos acotados. Estas consideraciones, nos permiten introducir el concepto de m´etricas uniformemente equivalentes.

4.3. M. EQUIVALENTES, U. E. E ISOMETR´IAS.

77

Definici´ on 4.7. Sean d1 y d2 dos m´etricas en X. Diremos que d1 es uniformemente u equivalente a d2 , anotaremos d1 ≈ d2 , si la funci´ on identidad y su inversa son uniformemente continuas. u

Resumiendo, tenemos lo siguiente, d1 ⋍ d2 , implica que d1 ≈ d2 , implica que d1 ≈ d2 , pero los rec´ıprocos no se cumplen necesariamente. S´olo nos falta el contraejemplo de dos m´etricas equivalentes que no sean uniformemente equivalentes. Este ejemplo se lo dejamos al lector. Definici´ on 4.8. Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios m´etricos. ψ : X → Y una funci´on. Diremos que ψ es una isometr´ıa de X en Y si ψ cumple la siguiente condici´ on: dY (ψ(x1 ), ψ(x2 )) = dX (x1 , x2 ), para cada x1 , x2 ∈ X. Diremos que X y Y son isom´etricos, denotado por X ∼ = Y , si existe una isometr´ıa de X sobre Y . Obs´ervese que si ψ es una isometr´ıa, entonces ψ es autom´aticamente inyectiva y continua. Tambi´en note que en la definici´on de isometr´ıa no se pide que ψ sea sobre.

78

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS. Ejemplos. 1. Definamos ψ : R → R2 , definida por ψ(x) = (x, 0),

x ∈ R.

Es claro que ψ es una isometr´ıa y que R es isom´etrico al subespacio b = {(x, 0) x ∈ R}. R

En R y R2 se est´an considerando las m´etricas usual y euclidiana respectivamente.

2. Sean k y n dos naturales y k < n. Definamos ψ : Rk → Rn como ψ(x1 , . . . , xk ) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0). k n k Es claro que ψ es una isometr´ ıa de R en R , yk que nR es isom´etrico al subespacio ck = {(x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) xi ∈ R}, donde R y R tienen la m´etrica euclidiana. R

3. Sea ψ : Rk → l2 , definida por

ψ(x1 , . . . , xk ) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0, . . .). Tambi´en, es claro que ψ es una isometr´ıa de Rk en l2 . Rk es isom´etrico al subespacio ck = {{xi } ∈ l2 xj = 0, para j ≥ k + 1} R

4. Sea a ∈ R, b ∈ Rn . Definamos f : Rn → Rn como

f (x) = ax + b, donde x ∈ Rn . f es una isometr´ıa de Rn sobre Rn , si y s´olo si, |a| = 1. Esto es inmediato de d2 (f (x), f (y)) = d2 (ax + b, ay + b) = |a|d2 (x, y). 5. Definamos f : l2 → l2 por f (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) = (0, x1 , x2 , . . . , xn , . . .). Es claro que f es una isometr´ıa de l2 en l2 (no es suprayectiva). Este operador es conocido como el operador desplazamiento por la derecha.

4.3. M. EQUIVALENTES, U. E. E ISOMETR´IAS.

79

Sabemos que si f : R → R es continua y biyectiva, entonces, la funci´on inversa, es continua. Pero en el caso general de espacios m´etricos, esto no siempre ocurre, como lo demuestra el siguiente ejemplo. Denotemos con dd la m´etrica discreta en R y d la m´etrica usual, entonces la funci´on identidad Id : (R, dd ) → (R, d) es biyectiva y continua, de hecho, es uniformemente continua, pero la inversa de ´esta, no es continua. Cuando f y f −1 son continuas, f recibe el nombre de homeomorfismo. Definici´ on 4.9. Sean (X, dX ) y (Y, dY ) dos espacios m´etricos. ϕ : X → Y una funci´on. Diremos que ϕ es un homeomorfismo de X en Y si 1. ϕ es biyectiva. 2. ϕ es continua. 3. ϕ−1 es continua. Diremos que X es homeomorfo a Y , si existe un homeomorfismo ϕ de X a Y . Observaciones. 1. Es claro que si d1 y d2 son dos m´etricas en un conjunto X, d1 ≈ d2 , si y s´olo si, la funci´on Id : (X, d1 ) → (X, d2 ) es un homeomorfismo. 2. Si ϕ : X → Y es una isometr´ıa suprayectiva, entonces ϕ es un homeomorfismo. El rec´ıproco no siempre es cierto. Considere la identidad Id : (R2 , d∞ ) → (R2 , d2). Id es un homeomorfismo de R2 en R2 , pero no es una isometr´ıa.

Ejemplos. 1. Sea f : (−π/2, π/2) → R, definida por f (x) = tg x. Esta funci´on es biyectiva y continua, tambi´en su inversa en biyectiva y continua, luego es un homeomorfismo. 2. Sea f : R → (−1, 1), definida por f (x) =

x . 1 + |x|

Esta funci´on es biyectiva, continua y la inversa es y f −1 (y) = . 1 − |y|

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

80

4.4.

Ejercicios

En los siguientes ejercicios, (X, dX ), (Y, dY ), (Z, dZ ) denotar´an espacios m´etricos. 1. Sean f, g : X → R funciones uniformemente continuas. a) Demuestre que f ± g es uniformemente continua. b) ¿Ser´a f g uniformemente continua?

c) Si, adem´as f y g son acotadas en X, demuestre que f g es uniformemente continua. d ) Si f (x) 6= 0 para cada x ∈ X, ¿ser´a

1 f

uniformemente continua?

e) Si ´ınf{|f (x)| | x ∈ X} > 0. Demuestre que

1 f

es uniformemente continua.

2. Sea f : X → R continua, X totalmente acotado. ¿Ser´a f (X) totalmente acotado? Sug. Considere f (x) = 1/x para x ∈ (0, 1). Y si f es uniformemente continua? 3. Demuestre que la funci´on identidad I : (C([a, b], R), d∞ ) → (C([a, b], R), d1 ) es continua (uniformemente continua), pero que la inversa de I no es continua. 4. Determine cuales de las siguientes funciones son uniformemente continuas en el intervalo (0, 1). 1 . 1−x 1 . b) f (x) = 2−x c) f (x) = sen x.

a) f (x) =

d ) f (x) = sen(1/x). 5. Demuestre que la funci´on T : l2 → l1 definida como T ({xn }) = {yn }, donde xn yn = , es uniformemente continua. n 6. Sea {zn } un elemento de l∞ fijo. Demuestre que la funci´on T : l1 → l1 definida como T ({xn }) = {yn }, donde yn = xn zn , es uniformemente continua. 7. Sea d : X × X → R una m´etrica en R. Demuestre que d es uniformemente continua en X × X. 8. Definamos las funciones d1 , d2, d∞ : X × Y → R como
d1 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 ),

81

4.4. EJERCICIOS
p d2 (x1 , y1 ), (x2 , y2) = (dX (x1 , x2 ))2 + (dY (y1 , y2))2 ,
d∞ (x1 , y1), (x2 , y2 ) = m´ax{dX (x1 , x2 ), dY (y1 , y2 )},

donde (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) pertenecen a X × Y . Demuestre que estas tres m´etricas son uniformemente equivalentes en X × Y . 9. Definamos las funciones PX : X × Y → X como PX (x, y) = x. A esta funci´on se le llama la funci´on proyecci´on en X. De manera an´aloga se define la funci´on proyecci´on PY en Y . Demuestre que ambas funciones son continuas en X × Y , donde, en X × Y se considera cualquiera de las m´etricas d1 , d2, d∞ . 10. Demuestre que si la funci´on f : X → Y es continua en X, entonces la gr´afica de f , denotada por Gf , definida como Gf = {(x, f (x)) | x ∈ X} es un conjunto cerrado en X × Y . ¿Se cumplir´a el rec´ıproco? 11. Sean A ⊂ X y f : X → Y . Definamos la funci´on f A : A → Y como f A (x) = f (x). A esta funci´on se le conoce como la restricci´on de f en A y a f se le llama una extensi´on de f A a X. Demuestre que si f es continua en X, entonces f A es continua en A. El rec´ıproco no se cumple, es decir, f A puede ser continua en A, pero f no ser continua en A. 12. Sea A ⊂ X. Definamos la funci´on χA : X → R como χA (x) =

(

1, 0,

si x ∈ A, si x ∈ 6 A.

A esta funci´on se le llama la funci´on caracter´ıstica del conjunto A. Demuestre que: a) Si x ∈ int A, entonces χA es continua.

b) Si x ∈ ext A, entonces χA es continua.

c) Si x ∈ fr A, entonces χA no es continua. 13. Se dice que una funci´on f : X → Y satisface una condici´on de Lipschitz, en X, si existe k > 0 tal que dY (f (x1 ), f (x2 )) ≤ kdX (x1 , x2 ), para x1 , x2 ∈ X. Demuestre que si f satisface una condici´on de Lipschitz, entonces f es uniformemente continua.

82

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

14. Sea f : R → R diferenciable en R, tal que, existe k > 0, que cumple |f ′ (x)| ≤ k, para cada x ∈ R. Demuestre que f es uniformemente continua. 15.

a) Sea f : [1, ∞) → R, definida por f (x) = 1/x. Demuestre que f es uniformemente continua en [1, ∞). b) Sea f : [0, 1] → R, definida por f (x) = x2 . Demuestre que f es uniformemente continua en [0, 1].

c) Sea f : R → R, definida por f (x) = x2 . Demuestre que f no es uniformemente continua en R. 16.

a) Sea f : X → Y uniformemente continua. Demuestre que si {xn } es una sucesi´on de Cauchy en X, entonces la sucesi´on {f (xn )} es de Cauchy en Y . El rec´ıproco no siempre se cumple. Considere el inciso c) del ejercicio 15. b) Sea f : X → Y continua. ¿Es cierto que si {xn } es una sucesi´on de Cauchy en X, entonces {f (xn )} es una sucesi´on de Cauchy en Y ? ¿El rec´ıproco se cumple?

17. Sean f, g : X → Y funciones continuas en X, A ⊂ X, con A 6= ∅. Demuestre que si f (x) = g(x), para cada x ∈ A, entonces f (x) = g(x), para cada x ∈ A. 18. Sea A ⊂ X. Decimos que A es un subconjunto denso de X si, A = X.

Sean f, g : X → Y continuas, tales que f (x) = g(x), para cada x ∈ A, donde A es un conjunto denso de X. Demuestre que f (x) = g(x) para cada x ∈ X.

19. Sea (Y, dY ) un espacio m´etrico completo, A ⊂ X. Supongamos que f : A → Y es uniformemente continua. Demuestre que existe una u ´ nica funci´on continua F : A → Y tal que F (x) = f (x) para cada x ∈ A. ¿Ser´a F uniformemente continua en X? Si a f se le pide u ´ nicamente que sea continua en A, ¿se cumplir´a el resultado? Si Y no es completo, ¿se cumplir´a el resultado?

20. Sea f : X → Y continua. a) ¿Es cierto que si A es abierto en X, entonces f (A) es abierto en Y ? Sug. Considere una funci´on constante. b) ¿Es cierto que si F es cerrado en X, entonces f (F ) es cerrado en Y ? Sug. Considere f (x) = 1/x en (0, ∞).

83

4.4. EJERCICIOS

c) ¿Es cierto que si A es acotado en X, entonces f (A) es acotado en Y ?, ¿y si f es uniformemente continua? 21. Sea A ⊂ X y

d(x, A) = ´ınf{d(x, a) a ∈ A}.

Demuestre que g : X → R definida por g(x) = d(x, A) es continua en X. 22. Sean f : X → Y, g : Y → Z, continuas. Demuestre que la funci´on g · f : X → Z, definida por (g · f )(x) = g(f (x)) es continua en X. Si f y g son uniformemente continuas, ¿ser´a g · f uniformemente continua? 23. Sea f : X → R cualquier funci´on continua y λ ∈ R Demuestre que a) El conjunto {x ∈ X f (x) < λ} es abierto en X. b) El conjunto {x ∈ X f (x) = λ} es cerrado en X. c) El conjunto {x ∈ X f (x) ≤ λ} es cerrado en X.

24. Sea f : X → Y una funci´on. Demuestre que las siguientes propiedades son equivalentes. a) f es continua en X. b) Para todo B ⊂ Y, f −1 (int(B)) ⊂ int(f −1(B)).

c) Para todo B ⊂ Y, f −1 (B) ⊂ f −1 (B).

25. Sea f : X → Y una funci´on. ¿Es verdad que si f es continua, entonces f (A′ ) ⊂ (f (A))′ , para cada A ⊂ X? ¿El rec´ıproco es v´alido? 26. Proporcione un ejemplo de una funci´on continua f : X → Y , tal que no se cumpla: f (A) = f (A), para cada A ⊂ X. 27. Sean A y B dos subconjuntos no vac´ıos de X, tales que A ∩ B = A ∩ B = ∅. Pruebe que existe un conjunto abierto U ⊃ A y un conjunto abierto V ⊃ B, tales que U ∩ V = ∅. Sug. considere la funci´on f (x) = d(x, A) − d(x, B).

28. Sea X un espacio m´etrico y f y g dos funciones continuas de X a R. Pruebe que el conjunto F = {x ∈ X | f (x) = g(x)} es cerrado.

84

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

29. Sean X, Y, Z espacios m´etricos, decimos que la funci´on f : X × Y → Z es continua en cada variable, si para cada x ∈ X, la funci´on fx : Y → Z, definida como fx (y) = f (x, y) es continua en Y , y para cada y ∈ Y , la funci´on f y : X → Z, definida como f y (x) = f (x, y) es continua en X. Demuestre que a) Si f es continua en X × Y , entonces f es continua en cada variable.

b) El rec´ıproco no siempre se cumple: considere la funci´on fo : R2 → R definida como   xy , si (x, y) 6= (0, 0), fo (x, y) = x2 + y 2  0, si (x, y) = (0, 0)

30. Use 23. para probar que los siguientes conjuntos son cerrados. a) {x ∈ R | x3 − x ≥ 0}.

b) {x ∈ R2 | x4 + y 4 = 1}.

31. Demuestre que la m´etrica en N, del ejercicio 23 del cap´ıtulo 2, definida por d(n, m) =

|n − m| nm

es equivalente a la m´etrica usual en N. 32. Encuentre una m´etrica para el intervalo (−1, 1) que sea equivalente a la m´etrica x . usual. Sug. Sea f : R → (−1, 1) tal que f (x) = 1 − |x| 33. Proporcione una isometr´ıa entre C[0, 1] y C[0, 2]. 34. Sea T : l∞ → l∞ definida como T ({x1 , x2 , x3 , . . .} = {0, x1 , x2 , . . .}. Demuestre que T es una isometr´ıa. 35. Demuestre que los espacios (C([0, 1], R), d∞ ) y (C([a, b], R), d∞ ) son isom´etricos.

4.4. EJERCICIOS

85

86

´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

Cap´ıtulo 5 Espacios M´ etricos Completos. 5.1.

Espacios M´ etricos Completos.

Un resultado importante en R, es que toda sucesi´on de Cauchy es convergente, muchos resultados sobre sucesiones y funciones reales dependen de este hecho, sin embargo, este resultado no se cumple, en general, en un espacio m´etrico cualquiera, como veremos m´as adelante. Dada su importancia, consideramos necesario, el estudio de los espacios m´etricos que tienen esta propiedad. A dichos espacios se les conoce como espacios m´etricos completos. Definici´ on 5.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Diremos que X es un espacio m´etrico completo, si toda sucesi´on de Cauchy es convergente a un elemento de X. Ejemplos. 1. R con la m´etrica usual, es un espacio m´etrico completo: Sea {xn } es una sucesi´on de Cauchy, por lo tanto, es acotada, entonces, por el principio de Weirstrass (toda sucesi´on acotada de n´ umeros reales tiene una subsucesi´on convergente), existe una subsucesi´on {xnk } de {xn } convergente. Como {xn } es de Cauchy y tiene una subsucesi´on convergente, sabemos, entonces que la sucesi´on {xn } converge. 2. Rk con la m´etrica dp , p ≥ 1 es un espacio m´etrico completo. Recuerde que la convergencia en este espacio, es componente a componente, y use que R es completo. 3. X = (0, 1) no es un espacio m´etrico completo, con la m´etrica usual, recuerde que ya se prob´o que la sucesi´on {1/n} es una sucesi´on de Cauchy en X que no es convergente. 87

´ CAP´ITULO 5. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS.

88

4. Consideremos el espacio X = C([−1, 1], R) con la m´etrica d1 definida como Z 1 d1 (f, g) = |f (x) − g(x)| dx . −1

Vamos a demostrar que este espacio, con esta m´etrica, no es completo. Para cada n ∈ N, sea fn : [−1, 1] → R   −1, fn (x) = nx,   1,

definida por si x ∈ [−1, −1/n], si x ∈ [−1/n, 1/n], si x ∈ [1/n, 1].

{fn } ∈ X es una sucesi´on de Cauchy, ya que, si m > n, n, m ∈ N, entonces Z 1 |fn (x) − fm (x)| dx = 1/n − 1/m. −1

Tambi´en, haciendo c´alculos, se puede ver que Z 1 |fn (x) − f (x)| dx = 1/n, −1

donde f : [−1, 1] → R est´a definida por ( −1, si x ∈ [−1, 0], f (x) = 1, si x ∈ (0, 1]. Supongamos que existe g ∈ X tal que la sucesi´on {fn } converge a g, de esto obtendremos una contradicci´on. Sea ǫ > 0, existe k ∈ N tal que Z 1 Z 1 |f (x) − fk (x)| dx < ǫ/2, y |g(x) − fk (x)| dx < ǫ/2. −1

Entonces Z 0≤

−1

1

−1

|f (x) − g(x)| dx ≤

Z

1 −1

|f (x) − fk (x)| dx +

< ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ,

Z

1

−1

|fk (x) − g(x)| dx

R1 por lo tanto, −1 |f (x) − g(x)| dx = 0 de esto, se concluye que f (x) = g(x) para cada x ∈ [−1, 1] − {0}. Esto es una contradicci´on.

´ 5.1. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS.

89

Proposici´ on 5.1. Sea X = B(A, R) con la m´etrica uniforme. X es un espacio m´etrico completo. Demostraci´ on: Sea {fn } una sucesi´on de Cauchy, demostraremos que existe f ∈ X, tal que {fn } converge a f en X. Como {fn } es una sucesi´on de Cauchy, y de la desigualdad |fn (x) − fm (x)| ≤ d∞ (fn , fm ), se sigue que, para cada x ∈ A, {fn (x)} es una sucesi´on de Cauchy de n´ umeros reales, como R es completo, existe un n´ umero real, denotado por f (x), tal que l´ım fn (x) = f (x). n→∞

Probaremos que {fn } converge uniformemente a f en A. Sea ǫ > 0, existe k ∈ N tal que d∞ (fn , fm ) < ǫ para n, m ≥ k. Sea n ≥ k y x ∈ A, entonces |fn (x) − fm (x)| ≤ d∞ (fn , fm ) < ǫ para m > k.

(5.1)

Tomando el l´ımite cuando m → ∞, en los extremos de (5.1), obtenemos que |fn (x) − f (x)| ≤ ǫ, por lo tanto, hemos demostrado que {fn } converge uniformemente a f . S´olo falta demostrar que f ∈ X. Tomemos ǫ = 1 y N ∈ N tal que |f (x) − fN (x)| < 1, para x ∈ A, de aqu´ı se sigue que |f (x)| < 1 + |fN (x)|, para x ∈ A. Por lo tanto, como la funci´on fN ∈ X, entonces f ∈ X. ▲ En particular, l∞ es un espacio m´etrico completo con la m´etrica uniforme. Proposici´ on 5.2. Sea X = C([a, b], R). X con la m´etrica uniforme es un espacio m´etrico completo. Demostraci´ on: Sea {fn } una sucesi´on de Cauchy en X, como esta es una sucesi´on de Cauchy en B([a, b], R), por lo tanto existe f ∈ B([a, b], R) tal que {fn } converge a f en B([a, b], R). Como cada fn es continua en [a, b] y {fn } converge uniformemente a f se sabe que f ∈ C([a, b], R) y as´ı {fn } coverge a f en X. ▲ La siguiente proposici´on, nos garantiza la existencia de muchos espacios m´etricos completos, los cuales surgen como ciertos subespacios de un espacio m´etrico completo. Proposici´ on 5.3. Sea X un espacio m´etrico completo, Y un subespacio de X. Y es un espacio m´etrico completo, si y s´olo si, Y es un subespacio cerrado de X.

´ CAP´ITULO 5. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS.

90

Demostraci´ on: ⇒] Supongamos Y es un espacio m´etrico completo, como subespacio de X. Sea y ∈ Y . Entonces existe una sucesi´on {yn } de elementos de Y , que converge a y, por lo tanto, la sucesi´on {yn } es una sucesi´on de Cauchy en Y y como Y es completo, existe un elemento yo ∈ Y , tal que l´ımn→∞ yn = yo . De la unicidad del l´ımite, se sigue que y = yo y por lo tanto, y ∈ Y . ⇐] Supongamos que Y es un subespacio cerrado de X. Sea {yn } una sucesi´on de Cauchy en Y , por lo tanto, es sucesi´on de Cauchy en X. Como X es completo, existe y ∈ X tal que {yn } converge a y en X, de aqu´ı se concluye que y ∈ Y , como Y es cerrado, y ∈Y. ▲ El teorema siguiente, nos dice que un espacio m´etrico completo no tiene huecos, en el siguiente sentido: Teorema 5.1 (Teorema de Intersecci´on de Cantor). Sea X un espacio m´etrico completo, y sea {Fn } una sucesi´ on decreciente de conjuntos cerrados no vac´ıos, tal que T l´ımn→∞ δ(Fn ) = 0. Entonces F = ∞ F contiene exactamente un punto. n=1 n

Demostraci´ on: Sea {Fn } una sucesi´on decreciente de conjuntos cerrados no vac´ıos, tal que l´ımn→∞ δ(Fn ) = 0. Es claro que el conjunto F contiene a lo m´as un punto, ya que la sucesi´on {δ(Fn )} contiene a lo m´as un punto. Ahora probaremos que F 6= ∅. Tomemos un elemento xn ∈ Fn , n ∈ N. Entonces la sucesi´on {xn } es de Cauchy (esto se sigue del hecho de que la sucesi´on {Fn } es decreciente y los di´ametros tienden a 0). Como X es completo, existe un elemento x ∈ X tal que {xn } converge a x. Demostraremos que T x∈ ∞ F . / Fk , como n=1 n Supongamos que no, esto significa que existe k ∈ N , tal que x ∈ C la sucesi´on {xn } converge a x y como Fk es abierto, existe N ∈ N tal que xn ∈ FkC para toda n ≥ N, si tomamos n > m´ax{k, N} entonces xn ∈ / Fn . Contradicci´on ▲ El rec´ıproco de este teorema, tambi´en es verdadero. Le dejamos la demostraci´on al lector. Observaciones. 1. Es necesario que cada Fn sea cerrado, como lo muestra el siguiente ejemplo: En R con la m´etrica usual, sea Fn T = (0, 1/n]. Es claro que la sucesi´on {Fn } es decreciente, l´ımn→∞ δ(Fn ) = 0, pero ∞ n=1 Fn = ∅.

2. Tambi´en es necesario que l´ımn→∞ δ(Fn ) = 0

3. La completitud tambi´en es necesaria, tome Q.

´ 5.1. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS.

91

Uno de los teoremas m´as importantes del an´alisis es el teorema de Categor´ıa de Baire, que dice lo siguiente. Teorema 5.2 (Teorema de Categor´ıa de Baire.). Sea X un espacio m´etrico completo. La intersecci´on de toda colecci´on numerable de conjuntos abiertos densos es densa. Demostraci´ on: Sean T {Vn }n∈N una sucesi´on de conjuntos abiertos densos en X. Vamos a demostrar que ( n∈N Vn ) T= X. Sea
p ∈ X y W un conjunto abierto tal que p ∈ W . Demostraremos que W ∩ n∈N Vn 6= ∅. Como V1 es denso y abierto, W ∩ V1 es un conjunto abierto no vac´ıo, por lo tanto podemos elegir x1 y 0 < r1 < 1 tal que B(x1 , r1 ) ⊂ W ∩ V1 .

(5.2)

Como V2 es un conjunto abierto denso, entonces V2 ∩ B(x1 , r1 ) es un conjunto abierto no vac´ıo, sean x2 y 0 < r2 < 1/2 tal que B(x2 , r2 ) ⊂ B(x1 , r1 ) ∩ V2 ⊂ B(x1 , r1 ). De esta manera, podemos construir una sucesi´on de conjuntos cerrados {B(xn , rn )} tales que 1. 0 < rn < 1/n. 2. B(xn , rn ) ⊂ B(xn−1 , rn−1). 3. Adem´as, B(xn , rn ) ⊂ Vn , para toda n ∈ N.

Por 1 y 2, la sucesi´on {B(xn , rn )} cumple con las hip´ otesis del teorema de Intersecci´ on T∞ T de Cantor, por lo tanto, existe x ∈ X tal que {x} = n=1 B(xn rn ).TPor 3,
x ∈ n∈N Vn . Adem´as por (5.2), x ∈ W . As´ı, hemos demostrado que x ∈ W ∩ n∈N Vn . ▲ Observaciones. 1. Si omitimos la hip´otesis de que los conjuntos densos sean abiertos, el resultado no necesariamente se cumple, por ejemplo, en R con la m´etrica usual, tomemos los conjuntos densos Q e I (irracionales), es claro que no se tiene la conclusi´on del teorema, es decir,a hip´otesis no se puede omitir. 2. Si omitimos la hip´otesis de que sea una familia numerable, tampoco se cumple necesariamentela conclusi´on, en R con la m´etrica usual, la familia {R − {x} | x ∈ R}, de abiertos densos, no cumple con la conclusi´on del teorema. Tampoco se puede omitir que sea una familia numerable. 3. Sin embargo, la hip´otesis de que el espacio m´etrico sea completo es suficiente, pero no necesario, es decir, existen espacios m´etrico no completos en donde toda intersecci´on de una familia numerable de abiertos densos es densa (ver ejercicio 4).

´ CAP´ITULO 5. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS.

92

5.2.

Completaci´ on de un Espacio M´ etrico.

Como hemos visto, con algunos ejemplos, no todo espacio m´etrico es completo. Tambi´en nos hemos dado cuenta de la importancia que tienen los espacios m´etricos completos. Es por esto, que nos preguntamos si un espacio m´etrico no completo se podr´ıa completar en alg´ un sentido. La respuesta es s´ı. Antes de probar esta afirmaci´on, precisaremos que entendemos por completar un espacio m´etrico. Definici´ on 5.2. Sean (X, dX ) y (Y, dY ) dos espacios m´etricos. Decimos que (Y, dY ) es una completaci´on del espacio (X, dX ) si 1. (Y, dY ) es completo. 2. Existe una isometr´ıa φ : X → Y tal que φ(X) = Y . Observaciones. 1. Un espacio m´etrico puede tener a lo m´as una completaci´on, salvo isometr´ıas, es decir, si (Y1 , dY1 ), (Y2 , dY2 ) son completaciones de (X, dX ), entonces (Y1 , dY1 ) es isom´etrico a (Y2, dY2 ). Dejamos la demostraci´on al lector. Por esta observaci´on, diremos la completaci´on del espacio m´etrico X, en lugar de una completaci´on de X. 2. Si Y es un espacio m´etrico completo y φ : X → Y es una isometr´ıa, entonces φ(X) es la completaci´on de X. Dejamos la demostraci´on al lector. Lema 5.1. Existe una isometr´ıa entre (X, dX ) y (B(X, R), d∞ ). Demostraci´ on: Antes de construir la isometr´ıa, observemos que si xo ∈ X, para cada a ∈ X, la funci´on φa : X → R definida como φa (x) = d(x, a) − d(x, xo ) es una funci´on acotada (esto se sigue de d(x, a) − d(x, xo ) ≤ d(a, xo )). Definamos φ : X → B(X, R), como φ(a) = φa . Veamos que φ es una isometr´ıa. Observemos que para cada a, b ∈ X d∞ (φa , φb ) = sup{|φa (x) − φb (x)| | x ∈ X} y para cada x ∈ X, se tiene que |φa (x) − φb (x)| = |d(x, a) − d(x, xo ) − d(x, b) + d(x, xo | = |d(x, a) − d(x, b)| ≤ d(a, b) (5.3)

93

5.3. EJERCICIOS luego d∞ (φa , φb ) ≤ d(a, b).

(5.4)

Como en x = a se tiene la igualdad en (5.3), entonces, se sigue la igualdad en (5.4), es decir, d(a, b) = d∞ (φ(a), φ(b)) = d∞ (φa , φb ). ▲ Teorema 5.3. Sea (X, dX ) un espacio m´etrico. Existe una completaci´ on de X. Demostraci´ on: Tomemos φ la isometr´ıa del lema anterior y por la observaci´on 2. Y = φ(X). Este subespacio es completo en B(X, R) y es la completaci´on de X. ▲ En el ejercicio 16. daremos el esquema para una demostraci´on alternativa de este resultado. Este esquema es an´alogo al que se usa para la completaci´on de Q.

5.3.

Ejercicios

 1. Demuestre que el espacio c = {xn } | xn ∈ R, n ∈ N y l´ımn→∞ xn existe , con la m´etrica uniforme, es un espacio m´etrico completo.  2. Demuestre que el espacio co = {xn } ∈ c | l´ımn→∞ xn = 0 , con la m´etrica uniforme, es un espacio m´etrico completo. 3. Demuestre que el espacio  coo = {xn } ∈ co | existe N ∈ N, tal que xn = 0, para toda n ≥ N , con la m´etrica uniforme, no es un espacio m´etrico completo.

4. Demuestre que N con la m´etrica d(n, m) =

|n − m| nm

del ejercicio 23 del cap´ıtulo 2, no es completo. Demuestre que en este espacio, la intersecci´on numerable de conjuntos abiertos densos es densa (compare con el teorema de Categor´ıa de Baire). 5. Sea X unTespacio m´etrico. Demuestre que si O1 , O2 , . . . On son abiertos densos, entonces ni=1 Oi es abierto y denso. Compare con el teorema de Categor´ıa de Baire. 6. Demuestre que Q no es intersecci´on numerable de conjuntos abiertos.

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´ CAP´ITULO 5. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS. 7. Demuestre que no existe una funci´on f : R → R continua en Q y discontinua en I, (I el conjunto de irracionales). 8. Sea X un espacio m´etrico completo. Use el teorema de Categor´ıa de Baire para demostrar que S a) Si X = ∞ n=1 An , donde An es un conjunto cerrado, para cada n ∈ N, entonces existe no ∈ N tal que int(Ano ) 6= ∅. S b) Si X = ∞ n=1 An , entonces existe no ∈ N tal que int(Ano ) 6= ∅.

9. Pruebe que si X es un espacio m´etrico no completo, entonces:

existe una funci´on uniformemente continua de X → [0, ∞) tal que ´ınf{f (x) | x ∈ [0, ∞)} = 0. existe una funci´on continua de X a R no acotada.

10. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Si toda funci´on continua de X a R es uniformemente continua, demuestre que X es completo. 11. Todo espacio m´etrico completo a lo m´as numerable tiene un punto aislado. 12. Demuestre, usando el teorema de Categor´ıa de Baire, que R es no numerable. 13. Resuelva los ejercicios 1. y 2. de las observaciones de la secci´on 5.2. 14. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Sea A ⊂ X un conjunto denso, tal que toda sucesi´on de Cauchy en A converge en X. Demuestre que X es completo. 15. Extensi´on de funciones uniformemente continuas. Sea D un subconjunto denso de un espacio m´etrico X, Y un espacio m´etrico completo y f : D → Y una funci´on uniformemente continua. Demuestre que existe una u ´ nica funci´on continua F : X → Y , tal que F (x) = f (x) para toda x ∈ D; adem´as F es uniformemente continua en X. 16. Otro m´etodo de completaci´on de un espacio m´etrico. Sea X un espacio m´etrico. e = {{xn } | {xn } es una sucesi´on de Cauchy. } Definamos una relaci´on en Sea X e X(∼) de la siguiente manera: {xn } ∼ {yn , si y s´olo si, l´ımn→∞ d(xn , yn ) = 0. a) Demuestre que ∼ es una relaci´on de equivalencia.  e ∼= [{xn }] | {xn } es una sucesi´on de Cauchy. b) Sea X/

ˆ Definamos d([{x ımn→∞ d(xn , yn ). Demuestre que: n }], [{yn }]) = l´ l´ımn→∞ d(xn , yn ) existe. Este l´ımite no depende del representante que se elija.

5.3. EJERCICIOS

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e ∼. dˆ es una m´etrica en X/ e ∼ definida como φ(x) = [{x}] es una isometr´ıa. La funci´on φ : X → X/ φ(X) es un conjunto denso. ˆ es completo. Sugerencia. Use el problema 14. e ∼, d) (X/

96

´ CAP´ITULO 5. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS.

Cap´ıtulo 6 Conjuntos Compactos. En R, los intervalos cerrados y acotados tienen la propiedad importante de que una funci´on continua definida en un intervalo cerrado, es acotada, adem´as, alcanza su m´aximo y su m´ınimo. Tambi´en, sabemos que si el dominio de una funci´on continua es un intervalo abierto, acotado o un intervalo cerrado y no acotado, ´esta no es necesariamente acotada, y a´ un cuando sea acotada, no necesariamente alcanza su m´aximo y su m´ınimo. Esto nos dice que un intervalo cerrado y acotado debe tener una propiedad que es crucial en la demostraci´on de este resultado y de otros. Por alg´ un tiempo se consider´o que esta propiedad era que: todo subconjunto infinito de un intervalo cerrado y acotado, tiene un punto de acumulaci´on. En un principio, esta propiedad recibi´o el nombre de compacidad. Actualmente se le conoce como la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Esta noci´on admite varias caracterizaciones equivalentes en R, como son las siguientes: Un subconjunto A en R tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass. A es cerrado y acotado. Toda sucesi´on en A, tiene una subsucesi´on convergente. De toda cubierta abierta de A, se puede extraer una subcubierta finita. Estas equivalencias, tambi´en se cumplen en Rn . Los conceptos involucrados en estas equivalencias son f´acilmente generalizables a un espacio m´etrico, de hecho, todas son equivalentes en un espacio m´etrico, excepto, la propiedad de ser cerrado y acotado. Sin embargo, cada una de estas propiedades recibe un nombre distinto. Consideramos que por cuestiones did´acticas, iniciaremos estudiando la tercera afirmaci´on. 97

98

6.1.

CAP´ITULO 6. CONJUNTOS COMPACTOS.

Conjuntos Secuencialmente Compactos.

Definici´ on 6.1. Sean (X, d) un espacio m´etrico y Y ⊂ X. Diremos que Y es secuencialmente compacto en X, si toda sucesi´ on en Y , contiene una subsucesi´on que converge a un elemento de Y . Observaci´on. Es importante que en la definici´on digamos que la subsucesi´on converge a un elemento de Y , por ejemplo, en con la m´etrica usual, el intervalo abierto (0, 1) no es secuencialmente compacto, ya que la sucesi´on {1/n}, si bien converge a cero, ´este no pertenece al intervalo abierto (0, 1). Teorema 6.1. Sean (X, d) un espacio m´etrico, Y un subconjunto cerrado de X y X secuencialmente compacto. Entonces, Y es secuencialmente compacto. Demostraci´ on: Sea {yn } una sucesi´on en Y , como X es secuencialmente compacto, existe una subsucesi´on {ynk } y x ∈ X, tales que {ynk } converge a x, como Y es cerrado, esto implica que x ∈ Y . ▲ Teorema 6.2. Sean (X, d) un espacio m´etrico y Y ⊂ X. Si Y es secuencialmente compacto, entonces Y es cerrado. Demostraci´ on: Sea y ∈ Y , existe una sucesi´on {yn } de elementos de Y que converge a y. Como Y es secuencialmente compacto, existe {ynk } y yo ∈ Y tal que {ynk } converge a yo . Como el l´ımite es u ´ nico, entonces y = yo ∈ Y . Por lo tanto Y es cerrado. ▲ Teorema 6.3. Toda funci´ on continua de un espacio (X, d) secuencialmente compacto a R est´a acotada, es decir, existe M > 0, tal que |f (x)| ≤ M, para cada x ∈ X Demostraci´ on: Supongamos que existe f : X → R continua y no acotada. Entonces para cada n ∈ N, existe xn ∈ X tal que |f (xn )| > n.

(6.1)

Como X es secuencialmente compacto, existe una subsucesi´on {xnk } y x ∈ X tal que {xnk } converge a x. Por la continuidad de f , la sucesi´on {f (xnk )} converge a f (x), en particular, esto nos dice que {f (xnk )} es una subsucesi´on acotada, pero esto contradice (6.1). ▲

6.1. CONJUNTOS SECUENCIALMENTE COMPACTOS.

99

Teorema 6.4. Sean (X, d) un espacio m´etrico secuencialmente compacto y f : X → R continua. Entonces f alcanza su m´aximo y su m´ınimo, es decir, existen x1 y x2 tales que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) para todo x ∈ X. Demostraci´ on: Haremos la demostraci´on para el caso del m´aximo. Para el m´ınimo, la demostraci´on se hace de manera similar. Sea α = sup{f (x) x ∈ X}, α es un n´ umero real, ya que f es acotada. Para cada n ∈ N, existe xn ∈ X tal que α − 1/n ≤ f (xn ) ≤ α.

(6.2)

Como X es secuencialmente compacto, existen una subsucesi´on {xnk } y x2 ∈ X tal que {xnk } converge a x2 . Por la continuidad de f , {f (xnk )} converge a f (x2 ). De esto y de (6.2), se concluye que f (x2 ) = α. ▲ Con un argumento an´alogo, se demuestra que si f es continua en X y X es secuencialmente compacto, entonces f es uniformemente continua. La demostraci´on se la dejamos al lector. Teorema 6.5. Si Y es un subconjunto de (X, d) secuencialmente compacto, entonces Y es un conjunto cerrado y acotado. Demostraci´ on: Ya demostramos que Y es cerrado. Para demostrar que Y es acotado, considere la funci´on f : Y → R, definida por f (y) = d(y, yo),

yo es un punto fijo ,

y use el teorema 6.3. ▲ El rec´ıproco de este resultado, no siempre se cumple en espacios m´etricos, para ver esto, considere R con la m´etrica discreta, en este espacio, todos los subconjuntos de R son acotados y cerrados, pero, solamente los conjuntos finitos son secuencialmente compactos. Sin embargo en Rk con la m´etrica euclidiana, secuencialmente compacto es equivalente a cerrado y acotado. Los espacios secuencialmente compactos son totalmente acotados. Teorema 6.6. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Si X es secuencialmente compacto, entonces es totalmente acotado.

100

CAP´ITULO 6. CONJUNTOS COMPACTOS.

Demostraci´ on: Sea ǫ > 0 y sea x1 ∈ X. Si B(x1 , ǫ) = X, entonces el teorema est´a demostrado. De otra manera, existe x2 ∈ X tal que x2 ∈ / B(x1 , ǫ). Si la uni´on B(x1 , ǫ) ∪ B(x2 , ǫ) = X, hemos terminado. Si no, repetimos el proceso y construimos una S o sucesi´on de bolas {B(xn , ǫ)}n∈N . Veamos que para alguna no ∈ N, X ⊂ ni=1 B(xi , ǫ), es decir, el proceso lo terminamos en un n´ umero finito de pasos. De no ser as´ı, obtenemos una sucesi´on de elementos distintos {xn } de X; como X es secuencialmente compacto, esta sucesi´on contiene una subsucesi´on convergente a un elemento x ∈ X, luego, para dicha ǫ existe N ∈ N tal que, si p, q ≥ N, d(xp , x) < ǫ/2 y d(xq , x) < ǫ/2, entonces d(xp , xq ) < ǫ, lo cual contradice la manera como elegimos los xn . Por lo tanto, para alguna no ∈ N, se tiene no [ X⊂ B(xi , ǫ). i=1

▲

Ahora veremos que el concepto de secuencialmente compacto se preserva bajo funciones continuas. Teorema 6.7. Sea (X, dX ) un espacio m´etrico secuencialmente compacto. Sean (Y, dY ) otro espacio m´etrico y f : X → Y una funci´ on continua. Entonces f (X) es secuencialmente compacto. Demostraci´ on: Sea {yn } una sucesi´on en f (X), y sea {xn } en X tal que f (xn ) = yn para cada n ∈ N. Como X es sucesionalmente compacto, existe una subsucesi´on {xnk } y x ∈ X tal que {xnk } converge a x. Por la continuidad de f , la sucesi´on {f (xnk )} converge a f (x). As´ı, hemos demostrado que existe una subsucesi´on de la sucesi´on {yn } que converge a un elemento de f (X). Por lo tanto, f (X) es secuencialmente compacto. ▲

6.2.

Conjuntos que tienen la Propiedad de BolzanoWeierstrass (BW).

El concepto siguiente, en espacios m´etricos, (pero no en espacios topol´ogicos), es equivalente al concepto de conjuntos secuencialmente compactos. Definici´ on 6.2. Sean (X, dx ) un espacio m´etrico y Y ⊂ X. Decimos que Y tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass, si todo subconjunto infinito A de Y tiene un punto de acumulaci´on en Y . Teorema 6.8. Sea (X, dX ) un espacio m´etrico. Son equivalentes

6.3. CONJUNTOS COMPACTOS.

101

(a) X tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass (BW). (b) X es secuencialmente compacto (SC). Demostraci´ on: ⇒] Sea {xn } una sucesi´on en X y sea A el rango de la sucesi´on {xn }, es decir, A = {xn n ∈ N}.

Caso 1. A es un conjunto finito. Luego, existe una subsucesi´on {xnk } de {xn } constante. y por lo tanto convergente. Caso 2. A es un conjunto infinito. Por la hip´otesis, existe x ∈ X tal que x es punto de acumulaci´on de A, luego, de igual forma como se construy´o en el teorema 3.7, se construye una subsucesi´on de {xn } que converge a x. Por lo tanto, hemos demostrado que X es secuencialmente compacto. ⇐] Sea A ⊂ X un conjunto infinito. Existe una sucesi´on {xn } de elementos de A tal que, xn 6= xm , si n 6= m. Como X es secuencialmente compacto, entonces existe una subsucesi´on {xnk } y x ∈ X, tal que la subsucesi´on {xnk } converge a x. Como los elementos de la sucesi´on son distintos, x es un punto de acumulaci´on de A. ▲ Con esta equivalencia de conceptos, podemos decir, que los resultados vistos en la secci´on anterior, son v´alidos para conjuntos que tengan la propiedad de Bolzano-Weierstrass.

6.3.

Conjuntos Compactos.

El concepto de conjunto compacto, es equivalente, en espacios m´etricos, al concepto de conjunto secuencialmente compacto. Aunque menos intuitivo, su formulaci´on, resulta u ´ til en la demostraci´on de algunos resultados. Cabe mencionar, adem´as, que en espacios topol´ogicos, este concepto es m´as d´ebil que el de secuencialmente compacto y la Propiedad de Bolzano-Weierstrass. El concepto de compacidad nos facilita el poder trabajar con otras nociones de compacidad. Antes de definir el concepto de conjunto compacto, introduciremos algunos conceptos que nos facilitar´an la definici´on de Compacidad.

CAP´ITULO 6. CONJUNTOS COMPACTOS.

102

S Definici´ on 6.3. Sea A ⊂ X. Si A ⊂ α∈I Uα , con Uα conjunto abierto enSX; a la familia {Uα }α∈I se le llama cubierta abierta de A. Si I ′ ⊂ I es tal que A ⊂ α∈I ′ Uα , entonces decimos que la subfamilia {Uα }α∈I ′ es una subcubierta de A. Si, adem´as I ′ es un conjunto finito, diremos que la subfamilia es una subcubierta finita de A. Definici´ on 6.4. sea (X, dX ) un espacio m´etrico X. Decimos que A ⊂ X es compacto, si toda cubierta abierta de A, tiene una subcubierta finita. Observaciones. Sea Y ⊂ X. A diferencia del caracter de abierto y cerrado de un conjunto, el cual es una propiedad relativa, es decir, un conjunto K puede ser abierto en Y , pero no serlo en X o viceversa, el caracter de compacidad es absoluto, esto es, si K es compacto en Y , entonces es compacto en X. Diremos que un conjunto A no es compacto, si existe una cubierta abierta de A de la cual no podemos extraer una subcubierta finita. Ejemplos. Conjuntos compactos y conjuntos no compactos. 1. Es claro que un subconjunto finito de un espacio m´etrico, es un conjunto compacto. 2. Un conjunto infinito con la m´etrica discreta, no es compacto.Considere la cubierta abierta {{x} x ∈ X}. En realidad, A ⊂ X es compacto, si y s´olo si, es un conjunto finito.

3. Un intervalo abierto (a, b) en R, con la m´etrica usual, no es compacto. Considere la cubierta {(a + 1/n, b − 1/n)}. R con la m´etrica usual, tampoco es compacto. Considere la cubierta abierta {(−n, n)} con n ∈ N. 4. Sea A = {0} ∪ {1/n n ∈ N}. A es compacto en R con la m´etrica usual. Dada un cubrimiento abierto {Uα }α∈I , entonces, existe αo ∈ I tal que 0 ∈ Uαo . Como la sucesi´on {1/n} converge a 0, Uαo es abierto y 0 ∈ Uαo , existe k ∈ N tal que 1 ∈ Uαo , para cada n ≥ k. n Para cada i ∈ {1, 2, . . . , k − 1}, sea Uαi tal que 1/i ∈ Uαi . Por lo tanto, A⊂

k−1 [

Uαi .

i=0

As´ı, hemos demostrado que A es compacto.

103

6.3. CONJUNTOS COMPACTOS.

El siguiente ejemplo, es un resultado muy importante en R, en donde consideramos la m´etrica usual, por este hecho, lo enunciaremos como teorema. Teorema 6.9. Sean a < b elementos de R. Entonces, el intervalo cerrado [a, b] es compacto en R con la m´etrica usual. Demostraci´ on: Supongamos que [a, b] no es compacto, entonces existe una cubierta abierta de [a, b], {Uα }α∈I , la cual no admite una subcubierta finita del intervalo. Sea c el punto medio de [a, b], luego por la hip´otesis, al menos uno de los subintervalos [a, c], [c, b] no admite una subcubierta finita, digamos [a, c]. Obs´ervese que la longitud de este intervalo es 12 (b−a). Sea [a1 , b1 ] = [a, c]. Repitiendo el proceso anterior, contruyamos una sucesi´on de intervalos encajados {[an , bn ]}n∈N tal que cada [an , bn ] no admite una subcubierta finita y que tiene longitud bn − an =

b−a . 2n

Esta sucesi´on tiende a cero, cuando n tiende a ∞. Como R es completo, por el teorema 5.1, la intersecci´on de la sucesi´on de intervalos {[an , bn ]}n∈N contiene exactamente un punto p. Sea Uβ el abierto de la cubierta que contiene a p, entonces existe ǫ > 0 tal que (p − ǫ, p + ǫ) ⊂ Uβ , luego para esta ǫ existe N ∈ N, tal que, para toda n ≥ N b−a 0, tal que para todo x ∈ X, se tiene que B(x, r) ⊂ Uα para alguna α ∈ I y para toda r ≤ ǫ. Demostraci´ on: Haremos la demostraci´on por contradicci´on. Supongamos que existe una cubierta abierta de X, tal que, para toda ǫ > 0, existe xǫ ∈ X donde la bola B(xǫ , ǫ) no est´a contenida en ning´ un elemento de la cubierta. Construyamos una sucesi´on {xn } en X, de la siguiente manera: para cada n ∈ N, sea ǫ = 1/n, entonces existe xn ∈ X tal que B(xn , 1/n) no est´a contenida en ning´ un elemento de la cubierta. Por ser X secuencialmente compacto, esta sucesi´on contiene

CAP´ITULO 6. CONJUNTOS COMPACTOS.

104

una subsucesi´on {xnk } que converge a alg´ un x ∈ X. Como la cubierta de X es abierta, existen Uβ y B(x, r), r > 0 tales que B(x, r) ⊂ Uβ . Para esa r, existe N ∈ N tal que, 1/N < r/2 y para toda nk ≥ N, d(xnk , x) < r/2, entonces, si y ∈ B(xnk , 1/nk ), se tiene d(y, x) ≤ d(y, xnk ) + d(xnk , x) < 1/nk + r/2 ≤ r. Luego, y ∈ B(x, r), de aqu´ı que B(xnk , 1/nk ) ⊂ B(x, r) ⊂ Uβ , contrario a nuestra hip´otesis. Por lo tanto, se cumple el teorema. ▲ Observaci´on. A este n´ umero ǫ se le llama el n´ umero de Lebesgue de la cubierta abierta del espacio m´ etrico X. Los siguientes teoremas, cuya demostraci´on incluiremos aqu´ı, en realidad son consecuencia de un resultado importante que veremos m´as adelante, pero vale la pena hacer las demostraciones, ya que nos familiarizar´an con el concepto de compacidad. Dados dos elementos distintos x 6= y en cualquier espacio m´etrico X, siempre podemos encontrar dos bolas B(x, rx ) y B(y, ry ), tales que B(x, rx ) ∩ B(y, ry ) = ∅. Simplemente, tomamos r = rx = ry = 21 d(x, y). Cuando un espacio cumple con esta propiedad, decimos que es un espacio de Hausdorff. Esta propiedad de los espacios m´etricos, nos ser´a de utilidad para probar que un conjunto compacto es cerrado. Teorema 6.10. Sea X un espacio m´etrico. Todo conjunto K ⊂ X compacto es cerrado y acotado. Demostraci´ on: Sea K ⊂ X compacto. Probaremos que K C es abierto. Sea x ∈ K C . Para cada y ∈ K, existe ry > 0, tal que B(y, ry ) ∩ B(x, ry ) = ∅. La familia {B(y, ry ) ∩ K} contituye una cubierta abierta de K, como K es compacto, existe una subcubierta finita para K, es decir, n   [ K⊂ B(yi , ryi ) . i=1

Sea r = m´ın{ry1 , ry2 , . . . , ryn }. Entonces B(x, r) ∩ K = ∅, de aqu´ı que, x es un punto interior de K C y por lo tanto K es cerrado. Demostraremos ahora, que K est´a acotado. La familia {B(y, 1) ∩ K y ∈ K} es una cubierta abierta de K, luego, por la compacidad de K, existe una subcubierta finita, es decir, existen y1 , y2, . . . , yn elementos de K tales que K⊂

n   [ B(yi , 1) .

i=1

6.3. CONJUNTOS COMPACTOS.

105

Luego, K es un conjunto acotado. ▲ El rec´ıproco no es necesariamente cierto, por ejemplo, en cualquier espacio X infinito, que tenga la m´etrica discreta, la bola cerrada B[x, 1] = X es un conjunto cerrado y acotado, pero no es compacto. Sin embargo, si el espacio m´etrico es compacto, s´ı tenemos el siguiente resultado: Teorema 6.11. En un espacio m´etrico compacto X, todo conjunto cerrado es compacto. Demostraci´ on: Sean X compacto y K ⊂ X cerrado. Sea {G′α }α∈I una cubierta abierta de K con la m´etrica inducida, es decir, G′α = Gα ∩ K con Gα abierto en X. La familia {Gα } ∪ (X − K) es una cubierta abierta de X, como X es compacto, existe una subcubierta finita para X, digamos G1 , G2 , . . . , Gn , X −K, luego, G′1 , G′2 , . . . , G′n son una subcubierta finita para K, es decir, K es compacto. ▲ Observaci´ on. S´olo se necesit´o que el conjunto fuese cerrado para asegurar la compacidad del mismo. Cuando las bolas cerradas en un espacio m´etrico son conjuntos compactos, el rec´ıproco del teorema 6.10 es cierto. Teorema 6.12. En un espacio m´etrico X, donde las bolas cerradas son compactas, todo conjunto cerrado y acotado K es compacto. Demostraci´ on: Sea K un conjunto cerrado y acotado. por ser K acotado, existe una bola cerrada B que contiene a K, como B es compacto y K cerrado, por el teorema 6.11 se concluye que K es compacto. ▲ Demostramos en el teorema 6.9 que un intervalo cerrado y acotado en R, con la m´etrica usual, es compacto. En realidad, un intervalo cerrado y acotado es una bola cerrada; entonces, como consecuencia del teorema 6.12, tenemos el siguiente resultado. Corolario 6.1. En R, con la m´etrica usual, un subconjunto A ⊂ R es cerrado y acotado, si y s´olo si, es compacto. En Rn tambi´en se cumple este resultado, es decir, un subconjunto de Rn es compacto, si y s´olo si, es cerrado y acotado. Esto no lo demostraremos. Tambi´en recu´erdese que en espacios m´etricos, esta equivalencia no es v´alida en general, sin embargo, tenemos las siguientes equivalencias de compacidad.

CAP´ITULO 6. CONJUNTOS COMPACTOS.

106

6.4.

Caracterizaciones de la Compacidad en Espacios M´ etricos.

Teorema 6.13. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Son equivalentes: (a) A es compacto. (b) A tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass (A es BW). (c) A es secuencialmente compacto (A es SC). Demostraci´ on: (a) ⇒ (b) Haremos la demostraci´on por contradicci´on. Supongamos que A no es BW, entonces, existe un conjunto infinito T con T ⊂ A, tal que T no tiene puntos de acumulaci´on en A, esto es, T ′ ∩ A = ∅. Construiremos una cubierta abierta para A de la siguiente manera: como para cada x ∈ A, x ∈ / T ′ , existe una vecindad abierta Vx de x, tal que (Vx ) ∩ T = ∅ ´o (Vx ) ∩ T = {x}. La familia {Vx }x∈A es una cubierta abierta para A; por la compacidad de A, esta cubierta admite una subcubierta finita, esto es, existen x1 , x2 , . . . , xn elementos de A tales que n [ A⊂ Vx i , i=1

Sn

como T ⊂ A, se tiene que T ⊂ i=1 Vxi . Pero cada Vx contiene a lo m´as un s´olo elemento de T , es decir, T tiene a lo m´as n elementos, hemos llegado a una contradicci´on. Luego, A es BW. (b) ⇔ (c) Se demostr´o en el teorema 6.8. (c) ⇒ (a) Sea {Uα }α∈I una cubierta abierta de X. por el lema 6.1, existe ǫ > 0, tal que para toda 0 < r ≤ ǫ y todo x ∈ X se tiene que B(x, r) ⊂ Uαx para alguna αx ∈ I. Por el teoremaS6.6, para esa ǫ, existe un conjunto finito de puntos x1 , x2 , . . . , xn ∈ X tales que X ⊂ ni=1 B(xi , ǫ). pero cada B(xi , ǫ) ⊂ Uαxi , por lo tanto X⊂ De aqu´ı que {Uαxi

n [

Uαxi .

i=1

i = 1, 2, . . . , n} es una subcubierta finita para X.

▲

Cuando el espacio m´etrico es completo, se tienen otras caracterizaciones de la compacidad.

´ ENTRE LA COMPACIDAD Y LA COMPLETITUD. 6.5. RELACION

6.5.

107

Relaci´ on entre la Compacidad y la Completitud.

Teorema 6.14. Todo espacio m´etrico compacto es completo. Demostraci´ on: Sea {xn } una sucesi´on de Cauchy, como X es secuencialmente compacto, entonces existe una subsucesi´on convergente {xnk } de {xn }. Por el teorema 3.15, la sucesi´on {xn } es convergente en X. ▲ El rec´ıproco no siempre se cumple, pero si adem´as de la completitud del espacio m´etrico, ´este es totalmente acotado, entonces, se garantiza la compacidad. Teorema 6.15. Sea X un espacio m´etrico completo y totalmente acotado, entonces X es compacto. Demostraci´ on: Vamos a demostrar que X es secuencialmente compacto. Sea {xn } una sucesi´on en X, demostraremos que existe una subsucesi´on de Cauchy {xnk } de la sucesi´on {xn }, como X es completo, esto implicar´a que la subsucesi´on converge. Como X es totalmente acotado podemos cubrir al espacio X con un n´ umero finito de bolas de radio 1, al menos una de estas bolas, digamos B1 tiene elementos xn para un n´ umero infinito de valores de n. Sea J1 = {n ∈ N xn ∈ B1 }. Ahora cubramos a X con un n´ umero finito de bolas de radio 1/2, como J1 es infinito, al menos una de estas bolas, digamos B2 tiene elementos xn para un n´ umero infinito de ´ındices n ∈ J1 . Denotemos por J2 tal conjunto de ´ındices. Procediendo de esta manera, podemos construir una sucesi´on {Bi } de bolas de radio 1/i, y una sucesi´on {Ji } de subconjuntos de N tal que Ji = {n ∈ N xn ∈ Bi } Ji es un conjunto infinito, para cada i ∈ N. Ji+1 ⊂ Ji . Ahora, sea n1 ∈ J1 , escojamos n2 ∈ J2 , tal que n2 > n1 , (esto lo podemos hacer, porque J2 es infinito), enseguida, escojamos n3 ∈ J3 tal que n3 > n2 , (esto lo podemos hacer, porque J3 es infinito). De esta manera, podemos construir una sucesi´on {nk }, estrictamente creciente de n´ umeros naturales, que cumplen que nk ∈ Jk . Probaremos que la subsucesi´on {xnk } es una subsucesi´on de Cauchy. Sea ǫ > 0, tomemos ko ∈ N tal que 1/ko < ǫ, sean i, j > ko , entonces xni , xnj ∈ Bko , es decir, d(xni , xnj ) < 1/ko < ǫ. As´ı, hemos demostrado que la subsucesi´on {xnk } es una sucesi´on de Cauchy. ▲

CAP´ITULO 6. CONJUNTOS COMPACTOS.

108

6.6.

Funciones Continuas en Conjuntos Compactos.

Teorema 6.16. Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios m´etricos, A ⊂ X compacto y f : X → Y una funci´on continua en X, entonces, f (A) es compacto en Y . Demostraci´ o n: Sea {Uα α ∈ I} una cubierta abierta de f (A), entonces, la familia {f −1 (Uα α ∈ I} es una cubierta abierta de A. Como A es compacto, entonces existen α1 , . . . , αn , tales que n [ A⊂ f −1 (Uαi ), i=1

entonces

f (A) ⊂ f

n [

i=1

f

−1

(Uαi )

!

=

n [

i=1

De aqu´ı se concluye que f (A) es compacto.

f (f

−1

(Uαi )) ⊂

n [

Uαi .

i=1

▲ En el caso de que Y = R y dY la m´etrica usual, se tiene el siguiente teorema. Teorema 6.17. Sea f : X → R continua en X, con X compacto, entonces f es una funci´on acotada y f alcanza su m´ aximo y su m´ınimo, es decir, existen xo y x1 tales que f (xo ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ), para cada x ∈ X. Demostraci´ on: Por el teorema 6.16, f (X) es un subconjunto compacto de R, por lo tanto, f (X) es acotado, lo cual indica que f es acotada. Como f (X) es un subconjunto no vac´ıo, acotado, tiene supremo e ´ınfimo; sea α = sup f (X) y β = ´ınf f (X). Como α y β ∈ f (X) y f (X) es cerrado, existen xo y x1 en X, tales que α = f (xo ) y β = f (x1 ). Entonces, se tiene que f (xo ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ),

para cada x ∈ X. ▲

Sabemos que existen funciones continuas biyectivas, cuya inversa no es continua. Pero si adem´as, el dominio es compacto, entonces se garantiza que la funci´on inversa es continua. Antes de demostrar este resultado, probaremos el siguiente lema. Lema 6.2. Sea f : X → Y continua en X y X compacto. Si K es cerrado en X, entonces f (K) es cerrado en Y . Demostraci´ on: Sea K cerrado en X, como X es compacto, entonces K es compacto. Como f es continua, f (K) es compacto en Y y por lo tanto f (K) es cerrado. ▲

6.7. EJERCICIOS

109

Teorema 6.18. Sea f : X → Y continua en X, biyectiva y X compacto, entonces f −1 : Y → X es continua en Y . Demostraci´ on: Sea K cerrado en X, como f es biyectiva, (f −1 )−1 (K) = f (K), por el lema anterior, f (K) es cerrado. ▲

6.7.

Ejercicios

1. Sea (X, d) espacio m´etrico y {xn } una sucesi´on en X que converge a x. Demuestre que K = {xn }n∈N ∪ {x} es un conjunto compacto. Si {xn } es una sucesi´on de Cauchy, ¿ser´a K = {xn } un conjunto compacto? 2. Estudie la compacidad de los siguientes subconjuntos de R usando la definici´on de cubiertas. ( ) 1 1 1 a) 1, , 2, , 3, . . . , , n, . . . , donde n ∈ N. 2 3 n ( ) n+2 3 4 5 , , ,..., , . . . , donde n ∈ N. b) 2 3 4 n+1 ( ) 1 c) (−1)n + , n ≥ 1 . n d ) (a, b), [a, b), [a, ∞). 3. Estudie la compacidad de los siguientes subconjuntos en R2 . a) {(x, y) ∈ R2 x2 + y 2 = 1}. b) {(x, y) ∈ R2 y = x2 }. c) {(x, y) ∈ R2 (x2 + y 2 )(x2 + y 2 − 4x + 3) ≤ 0}. 4. Demuestre que:

a) La uni´on finita de compactos es compacta. b) La intersecci´on finita de compactos es compacta. c) Proporciona un ejemplo de dos conjuntos no compactos, cuya uni´on y cuya intersecci´on sean conjuntos compactos. 5. Sean A 6= ∅ y B compacto, subconjuntos de un espacio m´etrico X. Pruebe que d(A, B) = 0, si y s´olo si, A ∩ B 6= ∅.

CAP´ITULO 6. CONJUNTOS COMPACTOS.

110

6. Sea A compacto, B abierto y A ⊂ B. Demuestre que existe un conjunto cerrado C tal que A ⊂ C ⊂ B. 7. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Demuestre que. a) Todo conjunto K ⊂ X compacto, es cerrado.

b) Si X es compacto, entonces todo conjunto cerrado F ⊂ X, es compacto.

c) Si en X toda bola cerrada es compacta, entonces, todo conjunto cerrado y acotado es compacto.

8. Sea (X, d) un espacio m´etrico, F ⊂ X. Demuestre que A ⊂ F es compacto en (X, d), si y s´olo si, es compacto en (F, dF ). 9. Sea (X, d) un espacio m´etrico, A ⊂ X compacto. a) Sea x ∈ X. Demuestre que existe a ∈ A, tal que d(x, A) = d(x, a). ¿Ser´a a u ´ nico? b) Sea B ⊂ X compacto. Demuestre que existen ao ∈ A, bo ∈ B, tales que d(A, B) = d(ao , bo ). 10. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Se dice que un subconjunto A ⊂ X es denso en X, si A = X. Se dice que X es separable, si X es finito o contiene un subconjunto propio A denso y numerable. Demuestre que: a) R es separable. b) El espacio Rn con la m´etrica euclidiana es separable. c) B([0, 1], R) no es separable.

d ) l∞ no es separable.

e) Co con la m´etrica uniforme es separable. 11. Si X es un espacio m´etrico totalmente acotado, demuestre que X es separable. 12. Sea (X, d) un espacio m´etrico compacto. Demuestre que X es separable. Sug. Considere para cada n ∈ N, Fn = {B(x, 1/n) x ∈ X}.

13. Sea X un espacio m´etrico tal que todo conjunto acotado y cerrado de X es compacto. Demuestre que X es completo.

14. Los intervalos [0, 1], (1/2, 1] y (1/(n + 1), 1/(n − 1)), n = 2, 3, . . . , constituyen una cubierta abierta del espacio m´etrico [0, 1]. Determine un n´ umero de Lebesgue para esta cubierta.

6.7. EJERCICIOS

111

15. Sea X un espacio m´etrico compacto, y f : X → R continua. Pruebe que si f (x) > 0 para cada x ∈ X, entonces existe m > 0, tal que f (x) > m para cada x ∈ X. ¿Es v´alido este resultado, si quitamos la hip´otesis de que X sea compacto? 16. Sea (X, d) un espacio m´etrico, decimos que una colecci´on F = {Aα }α∈I tiene la Propiedad de Intersecci´ on Finita si cada subcolecci´on finita de F tiene intersecci´on no vac´ıa, es decir, para cada n ∈ N y {α1 , . . . , αn } ⊂ I, se cumple que T n i=1 Aαi 6= ∅.

Demuestre que el espacio m´etrico X es compacto, si y s´olo si, cada colecci´on F = {Fα }α∈I de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersecci´on T finita, cumple que α∈I Fα 6= ∅. 17. Sea (X, d) un espacio m´etrico compacto y sean {Fi i ∈ N} una sucesi´on decreciente (Fn+1 ⊂ Fn ) de subconjuntos de X, cerrados no vac´ıos. Demuestre que T∞ ıo. i=1 Fi es un conjunto cerrado y no vac´

18. Sean d1 y d2 dos m´etricas equivalentes en X. Demuestre que un conjunto A es compacto en (X, d1 ), si y s´olo si, es compacto en (X, d2 ). Si A es totalmente acotado, ¿se cumplir´a un resultado an´alogo?

19. Sean d1 y d2 dos m´etricas semejantes en X. Demuestre que un conjunto A es totalmente acotado en (X, d1 ), si y s´olo si, es totalmente acotado en (X, d2 ). 20. Sean X un espacio m´etrico y A ⊂ X. a) ¿Existir´a a ∈ A tal que d(x, A) = d(x, a)?

b) Si A es un conjunto cerrado, ¿es v´alido el inciso anterior?

c) La misma pregunta, en el caso de que A sea compacto. 21. Sean X un espacio m´etrico y A ⊂ X un conjunto compacto. Demuestre que existen a1 y a2 elementos de A tales que δ(A) = d(a1 , a2 ).

112

CAP´ITULO 6. CONJUNTOS COMPACTOS.

Cap´ıtulo 7 Aplicaciones Contractivas. 7.1.

Contracciones.

Muchos resultados en matem´aticas, tales como demostrar la existencia: de una soluci´on de una ecuaci´on diferencial, de una ecuaci´on integral, de un sistema de ecuaciones, etc. se pueden plantear de esta manera: dado un operador T : X → Y , existe un x ∈ X tal que T (x) = x, es decir T tiene un punto fijo. Por este hecho, es importante determinar que condiciones debe cumplir un operador para que tenga un punto fijo. Existen varios teoremas sobre este problema; en este cap´ıtulo estudiaremos uno de los m´as usados, el Teorema del Punto Fijo de Banach. Este teorema no s´olo nos demuestra la existencia y unicidad de un punto fijo, sino que adem´as nos proporciona un m´etodo iterativo, por medio del cual, se construye una sucesi´on que converge al punto fijo y estimaciones para el error que se comete. Definici´ on 7.1. Sean (X, d) un espacio m´etrico y f : X → X una funci´ on. Decimos que f es una contracci´on, si existe 0 < α < 1, tal que d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), para cada x, y ∈ X. A α se le llama la constante de contracci´on. Se sigue, inmediatamente de la definici´on, que una contracci´on es una funci´on continua, de hecho, es uniformemente continua. Teorema 7.1 (Teorema del Punto Fijo de Banach). Sean (X, d) un espacio m´etrico completo y f : X → X una contracci´on. Entonces f tiene un u ´nico punto fijo, es decir, existe un u ´nico x ∈ X, tal que, f (x) = x. Demostraci´ on:

Como f es una contracci´on, existe 0 < α < 1, tal que d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), para cada x, y ∈ X. 113

CAP´ITULO 7. APLICACIONES CONTRACTIVAS.

114

Primero probaremos que f tiene a lo m´as un punto fijo. Supongamos que existen x1 y x2 en X tales que f (x1 ) = x1 y f (x2 ) = x2 . Entonces d(x1 , x2 ) = d(f (x1 ), f (x2 )) ≤ αd(x1 , x2 ).

Como α < 1, entonces d(x1 , x2 ) = 0, por lo tanto, x1 = x2 . Para demostrar que f tiene un punto fijo, consideremos la siguiente sucesi´on: sea xo ∈ X; sea x1 = f (xo ), x2 = f (x1 ) = f 2 (xo ), en general, sea xn = f (xn−1 ) = f n (xo ),

con n ∈ N.

Ahora, probaremos que {xn } es una sucesi´on de Cauchy. Obs´ervese que d(x1 , x2 ) =d(f (xo ), f (x1 )) ≤ αd(xo , x1 ), d(x2 , x3 ) =d(f (x1 ), f (x2 )) ≤ αd(x1 , x2 ) ≤ α2 d(xo , x1 ), en general, tenemos que d(xn , xn+1 ) ≤ αn d(xo , x1 ), para n ∈ N. Sea n > m, entonces d(xn , xm ) ≤ d(xm , xm+1 ) + d(xm+1 , xm+2 ) + · · · + d(xn−1 , xn ) ≤ αm d(xo , x1 ) + αm+1 d(xo , x1 ) + · · · + αn−1 d(xo , x1 ) = αm d(xo , x1 )[1 + α + · · · + αn−1−m ] ∞ X 1 m ≤ α d(xo , x1 ) αn = αm d(xo , x1 ) . 1−α n=0 En conclusi´on, tenemos si n > m, entonces d(xn , xm ) ≤

αm d(xo , x1 ). 1−α

(7.1)

Como 0 < α < 1, entonces la sucesi´on {αm } converge a cero, de esto y 7.1, se concluye que le sucesi´on {xn } es una sucesi´on de Cauchy. Como X es completo, existe x ∈ X, tal que {xn } converge a x. A continuaci´on, veamos que x es el punto fijo. Como {xn } converge a x y f es continua, entonces f (x) = l´ımn→∞ f (xn ) = l´ımn→∞ xn+1 = x. Por lo tanto, f (x) = x. Adem´as, tomando el l´ımite cuando n tiende a infinito en 7.1 y usando la continuidad de la m´etrica, obtenemos que para cada m ∈ N d(xm , x) ≤

αm d(xo , x1 ). 1−α

115

7.1. CONTRACCIONES.

▲ En la demostraci´on del teorema, se entiende que f n (x) = f · f n−1 (x). Obs´ervese que la demostraci´on del teorema, proporciona un m´etodo pr´actico para encontrar el punto fijo de la funci´on, o lo que es lo mismo, la soluci´on de la ecuaci´on f (x) = x. Adem´as, tambi´en 7.1 nos da una estimaci´on para el error, cuando en lugar del punto fijo x, tomamos el elemento xm , este importante resultado, lo anotaremos como un corolario. Corolario 7.1. Bajo las condiciones y por la demostraci´ on del teorema anterior, para cada m ∈ N, αm d(xm , x) ≤ d(xo , x1 ), (a) 1−α llamada la estimaci´on a priori, y la estimaci´on a posteriori es d(xm , x) ≤

α d(xm , xm−1 ). 1−α

(b)

Demostraci´ on: La primera desigualdad es el resultado ya calculado. Para la segunda desigualdad, tomemos m = 1, yo = xo y y1 = x1 , aplicamos (a) y obtenemos d(y1 , x) ≤

α d(y1 , yo) 1−α

Tomemos ahora, yo = xm−1 , entonces y1 = T (yo ) = T (xm−1 ) = xm . Sustituyendo, se obtiene (b). ▲ La estimaci´on aprori (a), nos permite determinar el n´ umero m´aximo de iteraciones requerido para alcanzar un nivel de precisi´on deseado conociendo los valores xo y T (xo ). La estimaci´on a posteriori, nos permite determinar una estimaci´on para el error que se comete al sustituir el punto fijo por xm+1 conociendo los valores xm y xm+1 . La experiencia muestra que como regla general, las estimaciones a posteriori son mejores que las estimaciones a priori. Si no pedimos que el espacio m´etrico sea completo, el teorema no necesariamente se cumple. No podemos substituir la hip´otesis 0 < α < 1 por 0 < α ≤ 1 como veremos en los siguientes ejemplos. 1. Sean X = (0, 1) con la m´etrica usual, y f : X → X definida como f (x) = x/2. f es contracci´on, pero no tiene punto fijo. 2. Sea X = [1, ∞), f : X → X, definida como f (x) = x + 1/x. Es claro que X es completo y que f no tiene puntos fijos, as´ı es que, f no puede ser contracci´on, sin embargo si cumple que |f (x) − f (y)| < |x − y| para cada x, y ∈ X. Esto u ´ ltimo se demuestra usando el teorema del valor medio.

CAP´ITULO 7. APLICACIONES CONTRACTIVAS.

116

El siguiente teorema nos dice que basta que para alguna n ∈ N, f n sea contracci´on, para garantizar la existencia y unicidad de un punto fijo para f , en este sentido es una generalizaci´on del teorema del Punto Fijo de Banach. Teorema 7.2. Sea X un espacio m´etrico completo, sea f : X → X una funci´on, tal que, para alguna n ∈ N, f n es una contracci´ on. Entonces f tiene un u ´nico punto fijo. Demostraci´ on: La unicidad es inmediata, ya que, se sigue de que f n es contracci´on y de que un punto fijo de f es punto fijo de f n . Sea x el punto fijo de f n . Demostraremos que x es un punto fijo para f . d(f (x), x) = d(f n+1 (x), f n (x)) = d(f n (f (x)), f n (x)) ≤ αd(f (x), x) Como α < 1 , entonces d(f (x), x) = 0, lo cual implica que f (x) = x. ▲ Este resultado es importante ya que como veremos en algunos ejemplos, una funci´on puede ser no contractiva, pero f n serlo para alguna n ∈ N, y en este caso, el resultado garantiza que f tiene un u ´ nico punto fijo. En algunos casos, la funci´on f no es contractiva en todo el espacio, sino, s´olo localmente alrededor de un punto. El siguiente resultado nos da condiciones para garantizar cuando una funci´on contractiva localmente tiene un u ´ nico punto fijo. Teorema 7.3. Sean X un espacio m´etrico completo, xo ∈ X, r > 0 y f : X → X, tal que (a) Existe 0 < α < 1 que cumple d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y). (b) d(f (xo ), xo ) < (1 − α)r. Entonces f tiene un u ´nico punto fijo en B(xo , r). Demostraci´ on: Como X es completo, B(xo , r) es completo. Por el teorema del punto fijo de Banach, bastar´a probar que f es contractiva en B(xo , r) y que f (B(xo , r)) ⊂ B(xo , r). Sean x, y ∈ B(xo , r), entonces existen dos sucesiones {xn } y {yn } en B(xo , r) tales que xn → x y yn → y, adem´as, por hip´otesis, d(f (xn ), f (yn )) ≤ d(xn , yn ), n ∈ N. De esta u ´ ltima desigualdad y por ser d y f continuas, se tiene que d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y),

117

7.1. CONTRACCIONES.

es decir, f es contractiva en B(xo , r). Ahora probaremos que f (B(xo , r)) ⊂ B(xo , r). Sea y ∈ f (B(xo , r)), existe x ∈ B(xo , r) tal que y = f (x). d(y, xo) = d(f (x), xo ) ≤ d(f (x), f (xo )) + d(f (xo ), xo ) < αd(x, xo ) + (1 − α) < r. Luego, y ∈ B(xo , r).

▲

Sean X, Y dos conjuntos y sea f : X ×Y → X una funci´on. Para x ∈ X, denotaremos por fx a la funci´on fx : Y → X definida por fx (y) = f (x, y). De manera similar, si y ∈ Y , denotaremos por f y a la funci´on f y : X → X definida por f y (x) = f (x, y). Obs´ervese que fx (y) = f (x, y) = f y (x). Teorema 7.4 (Dependencia continua de un par´ametro). Sean X un espacio m´etrico completo y Y un espacio m´etrico cualquiera. Sea f : X × Y → X tal que (a) Para cada x ∈ X, fx : Y → X es continua. (b) Para cada y ∈ Y, f y : X → X es contractiva con constante de contracci´ on α, independiente de y. Entonces, la funci´on g : Y → X definida por g(y) = xy , donde xy es el u ´nico punto fijo de f y , es continua en Y . Demostraci´ on: Sea a ∈ Y y ǫ > 0. Por la continuidad de fxa en a existe δ > 0, tal que si d(y, a) < δ, entonces d(fxa (y), fxa (a)) < ǫ(1 − α) Sea y ∈ Y con d(y, a) < δ, entonces d(g(y), g(a)) = = ≤ = ≤ =

d(xy , xa ) d(f y (xy ), f a (xa )) d(f y (xy ), f y (xa )) + d(f y (xa ), f a (xa )) d(f y (xy ), f y (xa )) + d(fxa (y), fxa (a)) αd(xy , xa ) + ǫ(1 − α) αd(g(y), g(a)) + ǫ(1 − α).

Asociando el primer sumando de la derecha con el t´ermino de la izquierda y dividiendo entre 1 − α obtenemos d(g(y), g(a)) < ǫ. Por lo tanto g es continua en Y . ▲

CAP´ITULO 7. APLICACIONES CONTRACTIVAS.

118

7.2.

Aplicaciones.

1. Sea f [a, b] → [a, b] una funci´on diferenciable, supongamos que existe 0 < α < 1 tal que |f ′ (x)| ≤ α, para cada x ∈ [a, b], entonces existe un u ´ nico x ∈ [a, b] tal que f (x) = x.

Demostraci´ on: Sean x, y ∈ [a, b]. Supongamos que x < y. Entonces, por el Teorema del Valor Medio, existe z ∈ (x, y) tal que |f (y) − f (x)| = |f ′ (z)(y − x)| ≤ α|y − x| entonces f es contracci´on, por lo tanto, f tiene un u ´ nico punto fijo. ▲ 2. Aplicaciones a las Ecuaciones Integrales En los dos siguientes ejemplos, veremos como se usa el teorema del punto fijo Banach para demostrar la existencia y unicidad de dos tipos de ecuaciones integrales lineales, las ecuaciones integrales de Fredholm y las de Volterra de segunda especie. En los ejercicios se estudiar´a el caso no lineal. (a) Ecuaciones integrales lineales de Fredholm de segunda especie. Dada K : [a, b] × [a, b] → R, g : [a, b] → R, λ ∈ R, a la ecuaci´on Z b x(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t) a

se le llama la ecuaci´on integral lineal de Fredholm de segunda especie. Para la siguiente aplicaci´on, necesitaremos el siguiente lema. Lema 7.1. Sean K : [a, b] × [a, b] → R, x : [a, b] → R continuas y λ ∈ R. Entonces la funci´on z : [a, b] → R definida como Z b z(t) = λ K(t, s)z(s) ds a

es continua en [a, b]. Demostraci´ on: Sea to ∈ [a, b] y ǫ > 0. Como K es continua en el compacto [a, b] × [a, b], entonces es uniformemente continua, luego, existe δ = δ(ǫ) > 0 tal que si d2 ((t2 , s2 ) − (t1 , s1 )) < δ, entonces |K((t2 , s2 )) − K((t1 , s1 ))| <

ǫ . (d∞ (x, 0)|λ| + 1)(b − a)

(7.2)

119

7.2. APLICACIONES.

Sea t ∈ [a, b] tal que |t − to | < δ, entonces para cada s ∈ [a, b], d2 ((to , s), (t, s)) < δ, por (7.2), para cada s se cumple ǫ |K((to , s)) − K((t, s))| < . (7.3) (d∞ (x, 0)|λ| + 1)(b − a) Ahora, Z b Z b |z(t) − z(to )| = λ K(t, s)x(s) ds −λ K(to , s)x(s) ds a a Z b ≤ |λ|d∞(x, 0) |K(t, s) − K(to , s)| ds < ǫ a

La u ´ ltima desigualdad se obtiene de (7.3). Por lo tanto z es continua en to ∈ [a, b]. ▲

Teorema 7.5. Sean g : [a, b] → R y K : [a, b] × [a, b] → R continuas. Sea λ ∈ R. Entonces la ecuaci´on integral Z b x(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t) (7.4) a

tiene una u ´nica soluci´on continua x : [a, b] → R para cada λ que cumple 1 , donde M es una cota de K en [a, b] × [a, b]. |λ| < M(b − a) Demostraci´ on: Definamos T : (C([a, b], R), d∞ ) → (C([a, b], R), d∞ ) como T (x) = y, donde y : [a, b] → R es la funci´on definida por Z b y(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t). a

Observemos que por el lema 7.1 y por el hecho de que la suma de funciones continuas es continua , para cada x ∈ C([a, b], R), y ∈ C([a, b], R). N´otese tambi´en que una funci´on continua x es soluci´on de la ecuaci´on integral (7.4), si y s´olo si, x es un punto fijo de T , as´ı que con las condiciones dadas y por el hecho de que C([a, b], R, d∞ ) es completo, basta probar que T es contractiva. Sea y1 = T (x1 ) y y2 = T (x2 ). Sea t ∈ [a, b] Z b Z b |y1 (t) − y2 (t)| = λ K(t1 , s)x1 (s) ds −λ K(t2 , s)x2 (s) ds a a Z b ≤ |λ|M |x1 (s) − x2 (s)| ds < |λ|Md∞ (x1 , x2 )(b − a). a

CAP´ITULO 7. APLICACIONES CONTRACTIVAS.

120

Por lo tanto, d∞ (y1 , y2 ) = d∞ (T (x1 ), T (x2 )) ≤ |λ|M(b − a)d∞ (x1 , x2 ), luego T es contractiva, ya que por hip´otesis |λ|M(b − a) < 1.

▲

(b) Ecuaciones Integrales lineales de Volterra de segunda especie. Dada K : [a, b] × [a, b] → R, g : [a, b] → R, λ ∈ R, a la ecuaci´on Z t x(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t) a

se llama la ecuaci´on integral lineal de Volterra de segunda especie. N´otese que la diferencia entre la ecuaci´on de Fredholm y la de Volterra es que en esta u ´ ltima el l´ımite superior de integraci´on es variable y es la variable t. Sin embargo, probaremos que con las mismas condiciones que en el teorema anterior, la ecuaci´on lineal integral de Volterra de segunda especie tiene soluci´on u ´ nica para cualquier valor de λ. Como en la demostraci´on del teorema anterior, primero enunciaremos un lema cuya demostraci´on dejamos como ejercicio. Lema 7.2. Sean K : [a, b] × [a, b] → R, x : [a, b] → R continuas y λ ∈ R. Entonces la funci´on z : [a, b] → R definida como Z t z(t) = λ K(t, s)z(s) ds a

es continua en [a, b]. Teorema 7.6. Sean g : [a, b] → R y K : [a, b] × [a, b] → R continuas. Sea λ ∈ R. Entonces la ecuaci´ on integral Z t x(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t) (7.5) a

tiene una u ´nica soluci´ on continua x : [a, b] → R. Demostraci´ on: Definamos T : (C([a, b], R), d∞ ) → (C([a, b], R), d∞ ) como T (x) = y, donde y : [a, b] → R es la funci´on definida por Z t y(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t). a

Observemos que por el lema 7.2 y por el hecho de que la suma de funciones continuas es continua , para cada x ∈ C([a, b], R), y ∈ C([a, b], R). N´otese tambi´en

121

7.2. APLICACIONES.

que una funci´on continua x es soluci´on de la ecuaci´on integral (7.5), si y s´olo si, x es un punto fijo de T , as´ı que con las condiciones dadas y por el hecho de que C([a, b], R, d∞ ) es completo, bastar´a probar que para alguna n, T n es contracci´on para cualquier valor de λ. Sea x1 , x2 ∈ C([a, b], R) y t ∈ [a, b]. Probaremos, por inducci´on, que para cada n∈N (t − a)n |(T n (x1 ))(t) − (T n (x2 ))(t)| ≤ |λ|n M n d∞ (x1 , x2 ). (7.6) n! donde M es una cota de K. Para n = 1: Z t |(T (x1 ))(t) − (T (x2 ))(t)| = |λ| K(t, s)(x1 (s) − x2 (s) ds n

n

a

≤ |λ|M(t − a)d∞ (x1 , x2 ).

Supongamos que se cumple el resultado (7.6) para n |(T n+1 (x1 ))(t) − (T n+1 (x2 ))(t)| = |(T (T n (x1 )))(t) − (T (T n (x2 )))(t)| Z t ≤ |λ|M |(T n (x1 ))(s) − (T n (x2 ))(s)| ds a Z t (s − a)n ≤ |λ|M |λ|n M n d∞ (x1 , x2 ) ds n! a Z t n+1 M n+1 = λ d∞ (x1 , x2 ) (s − a)n ds n! a n+1 M n+1 (t − a)n+1 d∞ (x1 , x2 ). = λ (n + 1)!

Por (7.6), y que a ≤ t ≤ b, entonces

d∞ (T n (x1 ), T n (x2 )) ≤

|λ|n M n (b − a)n d∞ (x1 , x2 ). n!

|λ|n M n (b − a)n = 0, entonces existe n ∈ N tal que n→∞ n!

Como l´ım

|λ|n M n (b − a)n < 1. n! por lo tanto, para esta n, T n es una contracci´on. ▲

CAP´ITULO 7. APLICACIONES CONTRACTIVAS.

122

3. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias. En este ejemplo usaremos el teorema del punto fijo de Banach para demostrar la existencia y unicidad de una soluci´on local del problema con condiciones iniciales: x′ = f (t, x) x(to ) = xo ,

(7.7)

cuando f cumple con ciertas condiciones, de manera m´as precisa, demostraremos si f es continua en un rect´angulo cerrado A y Lipschitz en la segunda variable, es decir, existe L > 0 tal que, si (t, x1 ), (t, x2 ) ∈ A, se cumple |f (t, x1 ) − f (t, x2 )| ≤ L|x1 − x2 |, entonces existen r > 0 y una funci´on x : [to − r, to + r] → R diferenciable, tal que Para cada t ∈ [to − r, to + r], el punto (t, x(t)) ∈ int(A).

Para cada t ∈ [to − r, to + r], se cumple x′ (t) = f (t, x(t)). La idea de la prueba consiste en construir una ecuaci´on integral no lineal de Volterra de la segunda especie equivalente (7.7) y usar el teorema del punto fijo de Banach para demostrar la existencia y unicidad de una soluci´on de esta ecuaci´on integral. Lema 7.3. Sea f : A → R continua en el rect´ angulo cerrado A y (to , xo ) ∈ int(A). Sea I un intervalo cerrado y to ∈ I. La funci´on x : I → R es soluci´on de (7.7) en I, si y s´ olo si, x es soluci´ on de la ecuaci´on integral Z t x(t) = xo + f (z, x(z)) dz . to

Demostraci´ on: ⇒] Dado que f es continua en A, x continua en I y la composici´on de continuas es continua, podemos calcular las integrales definidas de las funciones involucradas en (7.7), entonces se tiene que Z t Z t x(z) dz = f (z, x(z)) dz para cada t ∈ I. to

to

Por el segundo teorema fundamental del c´alculo, concluimos que Z t x(t) = x(to ) + f (z, x(z)) dz para cada t ∈ [a, b]. to

⇐] Por hip´otesis, x : I → R cumple que Z t x(t) = x(to ) + f (z, x(z)) dz . to

123

7.2. APLICACIONES.

Esto garantiza que la funci´on x es continua en I y por lo que, el integrando es una funci´on continua en I, luego, por el primer teorema fundamental del c´alculo, la funci´on x es diferenciable en I y cumple que x′ = f (t, x), x(to ) = xo . ▲ Teorema 7.7 (Teorema de Picard (existencia y unicidad)). Sea A un rect´ angulo cerrado en R2 , (to , xo ) ∈ int(A) y una funci´ on f : A → R tal que f es continua en A y Lipschitz en la segunda variable con constante de Lipschitz L > 0. Entonces, existe r > 0 y una u ´nica funci´on x : [to − r, to + r] → R que es soluci´ on de (7.7). Como (to , xo ) ∈ int(A), existe r1 > 0, tal que el conjunto

Demostraci´ on:

B = {(t, x) | |t − to | ≤ r1 , |x − xo | ≤ r1 } ⊂ A y en este conjunto, existe M > 0 tal que |f (t, x)| ≤ M para toda (t, x) ∈ B.

r1 Sea r = m´ın{ L1 , r1 , M }. Consideremos el conjunto

X = {x ∈ C([to − r, to + r], R) | |x(t) − xo | ≤ r1 , para cada t ∈ [to − r, to + r]}. X con la m´etrica uniforme d∞ es un subespacio cerrado de C∞ (([to − r, to + r], R), por lo tanto, X es completo. Definamos el operador T : X → X como T (x) = y donde Z t f (s, x(s)) ds,

y(t) = xo +

to

t ∈ [to − r, to + r]

y es una funci´on continua y Z t |y(t)−xo| ≤ |f (s, x(s)) ds ≤ M|t−to | ≤ Mr = r1 to

para cada t ∈ [to −r, to +r],

es decir, y ∈ X.

T es una contracci´on. Esto se sigue de que si x1 , x2 ∈ X, y1 = T (x1 ), y2 = T (x2 ) y t ∈ [to − r, to + r] entonces |y1 (t) − y2 (t)| ≤

Z

t to

|f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s))| ds Z t ≤L |x1 (s) − x2 (s)| ds ≤ Lrd∞ (x1 , x2 ), (Lr < 1) to

CAP´ITULO 7. APLICACIONES CONTRACTIVAS.

124

Por lo tanto, existe un u ´ nico x ∈ X tal que T (x) = x, es decir, Z t x(t) = xo + f (s, x(s)) ds, t ∈ [to − r, to + r] to

Por el lema 7.3, x es soluci´on del problema con condiciones iniciales (7.7). ▲ La elecci´on del n´ umero r fu´e para garantizar que la imagen T (x) sea un subconjunto de X y que T sea contracci´on.

7.3.

Ejercicios.

1. Demuestre que la funci´on f : [0, π] → R definida por   sen x , si x 6= 0, f (x) = x  1, si x = 0. es una contracci´on.

2. Sea a ∈ [1, π/2]. Demuestre que la funci´on f : [0, a] → R definida por f (x) = cos x es una contracci´on. 3. Sea f : [0, 1] definida por

1 f (x) = (x3 + x2 + 1) 7

Demuestre que: a) Img[0, 1] ⊂ [0, 1]. b) f es contracci´on.

4. Demuestre que las siguientes ecuaciones tienen un u ´ nico punto fijo en el intervalo dado. a) x4 + 8x3 + 32x − 32 = 0, en [0, 1].

b) x4 + 2x3 + 2x2 + 3x − 4 = 0, en [0, 1]. c) x = cos x, en [0, π/2].

d ) x2 = sen x, en [0, π]. e) x3 + x2 + 1 = 0 en [0, 1].

125

7.3. EJERCICIOS.

5. Sea c el espacio de sucesiones reales convergentes con la m´etrica uniforme. Demuestre que las funciones xn+1 . n+1 b) T2 : c → c definida por T2 ({xn }) = {yn }, donde yn = 1 + 21 xn+1 + 31 xn+2 .

a) T1 : c → c definida por T1 ({xn }) = {yn }, donde yn = son contracciones.

6. Demuestre que la funci´on T : (C([−1/2, 1/2], k, k∞)) → R, definida como Z t T (x) = y, donde y(t) = (u − x(u)) du 0

es una contracci´on. 7. Sea X un espacio m´etrico compacto y f : X → X una funci´on que cumple la propiedad d(f (x), f (y)) < d(x, y), para x, y ∈ X, x 6= y. Demuestre que f tiene un u ´ nico punto fijo en X. Compare con el ejemplo 2. de la secci´on 7.1. Este resultado se conoce como teorema de Edelstein. 8. Demuestre, usando el teorema del punto fijo, la siguiente versi´on del teorema de la funci´on impl´ıcita. Sea F : [a, b] × R → R tal que: F es continua en [a, b] × R, ∂F existe en [a, b] × R, ∂y

Existen α > 0 y β > 0 que cumplen α ≤

∂F ≤ β en [a, b] × R. ∂y

Demuestre que existe una u ´ nica funci´on f ∈ C[a, b] tal que F (x, f (x)) = 0, para cada x ∈ [a, b].

126

CAP´ITULO 7. APLICACIONES CONTRACTIVAS.

Cap´ıtulo 8 Conexidad. 8.1.

Conjuntos Conexos

Definici´ on 8.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Diremos que X es un espacio m´etrico disconexo (no conexo), si existen U y V abiertos no vac´ıos, tales que X =U ∪V

y

U ∩ V = ∅.

Diremos que el espacio es conexo, si no es disconexo. A ⊂ X, diremos que A es un conjunto conexo en X, si como subespacio m´etrico es conexo. Observaciones. (a) As´ı como el concepto de compacidad es un concepto absoluto, la conexidad tambi´en lo es, es decir, que si B ⊂ A es conexo en A y A ⊂ X, entonces, B es conexo en X. Por esto, si un conjunto es conexo en alg´ un subespacio, simplemente diremos que es conexo. (b) Si X es conexo y X = U ∪ V , U y V abiertos no vac´ıos, entonces, U ∩ V 6= ∅. c) Si X es conexo, y X = U ∪V , con U y V abiertos ajenos, entonces U = ∅ ´o V = ∅, como U ∩ V = ∅ entonces tambi´en se tiene que (U = ∅ y V = X) ´o (U = X y V = ∅. (d) Si X = U ∪ V con U y V abiertos ajenos, entonces U y V tambi´en son cerrados, ya que X − U = V, X − V = U. Teorema 8.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Son equivalentes 1. X es conexo. 127

CAP´ITULO 8. CONEXIDAD.

128 2. Los u ´nicos abiertos y cerrados de X son ∅ y X.

3. No existen F1 y F2 subconjuntos no vac´ıos, cerrados de X tales que X = F1 ∪ F2 ,

y

F1 ∩ F2 = ∅.

Demostraci´ on: 1. ⇒ 2. Por la contrarrec´ıproca: sea U ( X, U 6= ∅, abierto y cerrado. Entonces X = U ∪ U C , adem´as U ∩ U C = ∅. Como U y U C son abiertos no vac´ıos, entonces X es disconexo. 2. ⇒ 1. Tambi´en por la contrarrec´ıproca: supongamos que existen U y V abiertos no vac´ıos, tales que X =U ∪V y U ∩ V = ∅. Como V = X − U, entonces V es un conjunto cerrado. As´ı que hemos encontrado un conjunto diferente del vac´ıo y de X que es abierto y cerrado. 2. ⇔ 3: Se le deja al lector. ▲ La definici´on de conexidad de un subconjunto de X, est´a dada en t´erminos de abiertos relativos. El siguiente teorema presenta la conexidad de un subconjunto en t´erminos de abiertos en X. Teorema 8.2. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X, tal que A es no vac´ıo. Son equivalentes 1. A es un conjunto disconexo. 2. Existen U y V abiertos no vac´ıos en X tales que A ⊂ U ∪ V,

A ∩ U 6= ∅,

A ∩ V 6= ∅

y

A ∩ U ∩ V = ∅.

3. Existen U1 y V1 subconjuntos no vac´ıos en X, tales que A = U1 ∪ V1

y

U1 ∩ V1 = V1 ∩ U1 = ∅.

Demostraci´ on: 1. ⇒ 2. Como A es disconexo, existen U ′ y V ′ , no vac´ıos, abiertos relativos en A, tales que A = U ′ ∪ V ′ . Como U ′ y V ′ son abiertos relativos en A, entonces existen U y V abiertos en X tales que U ′ = U ∩ A,

V ′ = V ∩ A.

129

8.1. CONJUNTOS CONEXOS

Probaremos que U y V tienen las propiedades deseadas. Claramente U y V son abiertos en X, diferentes del vac´ıo. Como A = U ′ ∪ V ′ = (A ∩ U) ∪ (A ∩ V ), entonces A ⊂ U ∪ V . Adem´as, como U ′ ∩ V ′ = ∅, entonces A ∩ V ∩ U = ∅. 2. ⇒ 1. Tomemos U ′ = A∩U y V ′ = A∩V . Entonces U ′ y V ′ son abiertos relativos en A. Adem´as, como A ⊂ U ∪ V , se sigue que U ′ y V ′ son conjunos no vac´ıos y A = U ′ ∪ V ′ , como A ∩ U ∩ V = ∅, entonces U ′ ∩ V ′ = ∅. 2. ⇒ 3. Tomemos U1 = A ∩ U y V1 = A ∩ V , estos conjuntos, por hip´otesis, son no vac´ıos, claramente A = U1 ∪ V1 . Falta demostrar que U1 ∩ V1 = U1 ∩ V1 = ∅. Supongamos que existe x ∈ U1 ∩ V1 , entonces x ∈ A, x ∈ V1 y x ∈ U, entonces U ∩ V1 6= ∅, entonces A ∩ U ∩ V 6= ∅, lo cual es una contradicci´on. De manera an´aloga se demuestra que U1 ∩ V1 = ∅. 3. ⇒ 2. Tomemos U = (U1 )C y V = (V1 )C . Estos conjuntos son abiertos, como U1 ∩ V1 = U1 ∩ V1 = ∅ se concluye que U1 ⊂ V y V1 ⊂ U, por lo tanto A = U1 ∪ V1 ⊂ U ∪ V. Ahora, como U1 ⊂ A, U1 ⊂ V y U1 6= ∅, se sigue que A ∩ V 6= ∅. De manera an´aloga se prueba que A ∩ U 6= ∅. S´olo falta probar que A ∩ U ∩ V = ∅, esto se sigue de

A ∩ U ∩ V = U1 ∪ V1 ∩ (U1 )C ∩ (V1 )C = ∅. ▲

Definici´ on 8.2. Dos subconjuntos U1 y V1 de un espacio m´etrico X est´ an separados si U1 ∩ V1 = U1 ∩ V1 = ∅. Si A = U1 ∪ V1 , tal que U1 y V1 son conjuntos no vac´ıos que est´an separados, diremos que la pareja U1 , V1 es una separaci´on del conjunto A. Con esta terminolog´ıa, un conjunto A es disconexo, si A admite una separaci´on, y conexo si no existe una separaci´on de A. Ejemplos. 1. Todo conjunto unitario en cualquier espacio m´etrico, es conexo. 2. Todo conjunto con m´as de un punto, en un espacio m´etrico con la topolog´ıa discreta, es disconexo, es decir, los u ´ nicos conjuntos conexos en X con la m´etrica discreta son los conjuntos unitarios. 3. Q ⊂ R es disconexo, ya que Q = (Q ∩ (−∞,

√

√ 2)) ∪ (Q ∩ ( 2, ∞)).

130

CAP´ITULO 8. CONEXIDAD.

4. Los u ´ nicos conjuntos conexos en Q con la topolog´ıa usual, son los conjuntos unitarios, ya que si A ⊂ Q tiene m´as de dos puntos, entonces A = (A ∩ (−∞, a)) ∪ (A ∩ (a, ∞)) donde a es cualquier n´ umero irracional, entre dos elementos distintos de A. 5. Sea Y = [−1, 0) ∪ (0, 1], entonces Y es disconexo, ya que los intervalos [−1, 0) y (0, 1] contituyen una separaci´on de Y . 6. Si X = [−1, 1], los conjuntos [−1, 0] y (0, 1] no son una separaci´on de X, ya que [−1, 0] ∩ (0, 1] 6= ∅. El siguiente teorema es una caracterizaci´on de los conjuntos conexos en la recta. Teorema 8.3. Si I es un intervalo en la recta, entonces I es un conjunto conexo. Demostraci´ on: Si I no fuese conexo, existir´ıan U y V conjuntos no vac´ıos y separados tales que I = U ∪ V . Sean x ∈ U y y ∈ V , supongamos que x < y. Como I es un intervalo, el intervalo cerrado [x, y] es subconjunto de I. Ahora, consideremos el conjunto A = [x, y] ∩ U. A 6= ∅ y acotado superiormente, por lo tanto, existe d ∈ R, tal que d = sup A, entonces x ≤ d ≤ y y, por lo tanto, d ∈ I. Como I = U ∪ V , entonces d ∈ U ´o d ∈ V . Adem´as, para cada ǫ > 0, el intervalo abierto (d − ǫ, d + ǫ) tiene puntos de U, ya que d − ǫ no es cota superior del conjunto A. Tambi´en tiene puntos de V , ya que, entre d y d + ǫ no existen puntos de U, pero [d, d + ǫ] ∩ I 6= ∅. Esto nos indica que d ∈ U ∩ V ´o d ∈ U ∩ V . Esto es una contradicci´on, as´ı que I es conexo. ▲ Teorema 8.4. Sea A un conjunto conexo en la recta, entonces, A es un conjunto unitario o un intervalo. Demostraci´ on: Supongamos que no es un conjunto unitario, ni un intervalo, entonces existen x, y ∈ A, digamos, x < y, tales que [x, y] * A, por lo tanto, existe z ∈ (x, y) y z ∈ / A. De aqu´ı se concluye que los conjuntos A ∩ (−∞, z) y A ∩ (z, ∞) son no vac´ıos, est´an separados y A = (A ∩ (−∞, z)) ∪ (A ∩ (z, ∞)). Por lo tanto, A no es conexo. ▲ Con los dos u ´ ltimos teoremas, hemos demostrado, que los u ´ nicos conexos no vac´ıos en la recta son los conjuntos unitarios y los intervalos. Los siguientes resultados, nos permiten construir conjuntos conexos a partir de conjuntos conexos dados. Antes de estudiarlos, pasaremos a demostrar un resultado de gran utilidad.

8.2. CONTINUIDAD EN CONJUNTOS CONEXOS.

131

Teorema 8.5. Sean A y B dos conjuntos separados, tales que Y ⊂ (A ∪ B) con Y conjunto conexo. Entonces, Y ⊂ A ´o Y ⊂ B. Demostraci´ on: Supongamos que Y ∩ A 6= ∅ y Y ∩ B 6= ∅. Como Y = (Y ∩ A) ∪ (Y ∩ B), estos conjuntos est´an separados y son no vac´ıos, entonces Y es no conexo. ▲ Es claro que la uni´on de conjuntos conexos, no necesariamente es conexa, sin embargo, si tienen un punto en com´ un, la uni´on s´ı es conexa. De manera m´as general α ∈ J} una familia de conjuntos Teorema 8.6. Sean X un espacio m´ e trico y {A α T S conexos, tal que α∈J Aα 6= ∅. Entonces α∈J Aα es conexo. S T Demostraci´ on: Sea Y = α∈J Aα y p ∈ α∈J Aα . Supongamos que no es conexo, entonces existen U y V conjuntos no vac´ıos separados, tales que Y = U ∪V . Supongamos que p ∈ U. Para cualquier α ∈ J, Aα ⊂ U ∪ V, Aα es conexo y p ∈ Aα , entonces, por el teorema 8.5 Aα ⊂ U, de aqu´ı se concluye que Y ⊂ U, por lo tanto, V = ∅. ▲ Teorema 8.7. Sea A un conjunto conexo en X. Si A ⊂ B ⊂ A, entonces B es conexo. Demostraci´ on: Supongamos que B no es conexo, es decir, existen U y V conjuntos no vac´ıos, separados, tales que B = U ∪ V . Como A ⊂ B, por el teorema 8.5, A ⊂ U ´o A ⊂ V . Supongamos que A ⊂ U, entonces A ⊂ U , por lo tanto, B ⊂ U, entonces V = ∅, ya que, B ⊂ U , U ∩ V = ∅ y B = U ∪ V . ▲ Obs´ervese que, en particular, si A es conexo, entonces A es conexo.

8.2.

Continuidad en Conjuntos Conexos.

Teorema 8.8. Sean (X, dX ), (Y, dY ) espacios m´etricos, y f : X → Y continua en X. Si A ⊂ X es conexo, entonces f (A) es conexo en Y . Demostraci´ on: Supongamos que f (A) no es conexo, es decir, existen U y V abiertos no vac´ıos en f (A), tales que f (A) = U ∪ V . Como f : A → f (A) es continua en A, f −1 (U) y f −1 (V ) son abiertos en A. Adem´as, f −1 (U) y f −1 (V ) son conjuntos no vac´ıos, tales que A = f −1 (U) ∪ f −1 (V ). Por lo tanto, A no es conexo. ▲ A continuaci´on, demostraremos una generalizaci´on del teorema del valor intermedio.

CAP´ITULO 8. CONEXIDAD.

132

Teorema 8.9 (Teorema del Valor Intermedio). Sean X un espacio m´etrico conexo y f : X → R continua. Si a y b son dos puntos en X y r ∈ R tal que f (a) < r < f (b), entonces, existe x ∈ X, tal que f (x) = r Demostraci´ on: Supongamos que no existe x ∈ X tal que f (x) = r. Los conjuntos U = f (X) ∩ (−∞, r) y V = f (X) ∩ (r, ∞) son conjuntos no vac´ıos, ajenos y abiertos en f (X). Si no existiera x ∈ X, tal que f (x) = r, entonces tambi´en se cumplir´ıa que f (X) = (f (X) ∩ (−∞, r)) ∪ (f (X) ∩ (r, ∞)). De esto se concluye que f (X) no es conexo, lo cual contradice que la imagen continua de un conexo es conexa. ▲

8.3.

Componentes Conexas.

Cuando un espacio m´etrico es no conexo, nos gustar´ıa dividir al conjunto en el n´ umero m´ınimo de subconjuntos que fueran conexos, esto se hace de la siguiente manera: para cada x ∈ X, consideremos el conjunto Cx definido como [ Cx = {A ⊂ X A es conexo x ∈ A}. Cada Cx se llama una componente (componente conexa) de X, o la componente en X del punto x. Esta familia de subconjuntos es diferente del vac´ıo, ya que, al menos {x} es elemento de la familia. Las componentes conexas de X tienen las siguientes propiedades: Teorema 8.10. Sea X un espacio m´etrico. Entonces, 1. Para cada x ∈ X, Cx es el m´ aximo conexo en X que contiene al punto x. 2. Para cada x ∈ X, Cx es un conjunto cerrado. 3. Para cada x, y ∈ X, Cx = Cy ´ o Cx ∩ Cy = ∅ Demostraci´ on: Para la demostraci´on de 1. por el teorema 8.6, Cx es conexo. De la definici´on de componente conexa, se sigue que si A es un conexo tal que x ∈ A, entonces A ⊂ Cx . Para 2. Como Cx es conexo, Cx es conexo, y como Cx es el m´aximo conexo que contiene a x, Cx = Cx .

8.4. ARCO–CONEXIDAD.

133

Para 3. Si Cx ∩ Cy = ∅ ya terminamos. Si Cx ∩ Cy 6= ∅, entonces Cx ∪ Cy es un conexo que contiene a Cx y a Cy . Por la maximalidad de estos conjuntos, se concluye que Cx = Cy . ▲ Por 8.10 3. la familia de componentes conexas distintas, nos proporciona una partici´on del espacio X y esto nos permite interpretar las componentes conexas como las clases de una relaci´on de equivalencia, a saber, x ∼ y,

si existe A ⊂ X, conexo, tal que x, y ∈ A.

Observaciones. X es conexo, si y s´olo si, X tiene una u ´ nica componente conexa. X es conexo, si y s´olo si, para cada x, y ∈ X, existe un conexo A tal que x, y ∈ A Definici´ on 8.3. Un espacio m´etrico X se llama totalmente disconexo, si todas las componentes son conjuntos unitarios, es decir, los u ´nicos conjuntos conexos son los conjuntos unitarios. Un conjunto es totalmente disconexo, si como espacio m´etrico, lo es. Ejemplos. Q con la m´etrica usual, es totalmente disconexo. El conjunto de los irracionales I es totalmente disconexo. Cualquier espacio m´etrico con la m´etrica discreta, es totalmente disconexo.

8.4.

Arco–conexidad.

Otro concepto de “conexidad”que resulta muy u ´ til en algunas ´areas de las matem´aticas y que es m´as fuerte que el concepto de conjunto conexo, es el concepto de espacio arco– conexo (conexo por arcos). De hecho, este concepto, fue la primera definici´on de conexidad que se di´o. Antes de definir el concepto, daremos una definici´on. Definici´ on 8.4. Sea X un espacio m´etrico. Dados dos puntos x, y ∈ X, un arco en X, (un camino en X, una trayectoria en X) que une x con y es una funci´ on continua f : [a, b] → X, tal que f (a) = x y f (b) = y.

CAP´ITULO 8. CONEXIDAD.

134

Definici´ on 8.5. Un espacio m´etrico X se dice que es arco–conexo (conexo por arcos, conexo por caminos, conexo por trayectorias), si cada par de puntos de X se pueden unir por un arco en X, es decir, si para cada x, y ∈ X existe f : [a, b] → X continua, tal que f (a) = x y f (b) = y. A ⊂ X es arco–conexo, si como subespacio m´etrico es arco–conexo. Teorema 8.11. Todo espacio m´etrico arco–conexo es conexo. Demostraci´ on: Sea X un espacio m´etrico arco–conexo. Supongamos que no es conexo. Sea U y V abiertos no vac´ıos, ajenos, tales que X = U ∪ V , sea f : [a, b] → X una funci´on continua en [a, b], entonces, como el intervalo [a, b] es conexo, el conjunto f ([a, b]) es un conjunto conexo en X, como U y V es una separaci´on de X, entonces f ([a, b]) ⊂ U ´o f ([a, b]) ⊂ V , esto nos dice que un punto de U y un punto de V no pueden ser unidos por medio de un arco en X. ▲ El rec´ıproco de este teorema, no siempre es v´alido y los contraejemplos son complicados, no daremos uno aqu´ı. Agregando hip´otesis a la conexidad, podemos obtener espacios arco–conexos, por ejemplo, en Rn se cumple el siguiente resultado: Si A es un conjunto conexo y abierto, entonces es arco–conexo. Existen resultados similares a los de conexidad, para arco–conexidad, pero no los trataremos aqu´ı.

8.5.

Ejercicios

1. Estudie la conexidad de los siguientes subconjuntos en R2 . a) A1 = {(x, y) x, y ∈ Q}. b) A2 = {(x, y) x2 + y 2 = 1}. c) A3 = {(x, y) x(x − 1) = 0}. d ) A4 = .{(x, y) x2 − y 2 = 1}.

2. Proporcione un ejemplo que demuestre que el interior de un conjunto conexo no es, en general, conexo. 3. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A, B ⊂ X tales que d(A, B) > 0. Demuestre que A y B son conjuntos separados. ¿El rec´ıproco es v´alido? 4. Sean A y B subconjuntos conexos de un espacio m´etrico, tales que A ∩ B 6= ∅. demuestre que A ∪ B es conexo.

8.5. EJERCICIOS

135

5. Sea X un espacio m´etrico. a) Sean A y B conjuntos conexos, ¿es A ∩ B un conjunto conexo?

b) Sea {Ai }i∈N unaTsucesi´on decreciente (An+1 ⊂ An ) de conjuntos conexos. ¿Ser´a cierto que i∈N Ai es conexa?

6.

c) Sea {Ai }i∈N una sucesi´on T decreciente (An+1 ⊂ An ) de conjuntos cerrados y conexos. ¿Ser´a cierto que i∈N Ai es conexa?

a) Sean A1 , A2 , . . . , An conjuntos S conexos, tales que Ai ∩ Ai+1 6= ∅ para i = 1, 2, . . . n. Demuestre que ni=1 Ai es conexa. b) Sean {An }n∈N una familia numerable S de conjuntos conexos, tales que Ai ∩ Ai+1 6= ∅, i ∈ N. Demuestre que n∈N An es conexa.

7. Demuestre que los conjuntos A = {(x, y) 0 < x < 1, y = sen(1/x)}, B = A ∪ {(0, y) − 1 ≤ y ≤ 1} son conexos en R2 .

8. Sea X un espacio conexo y A ⊂ X subconjunto propio no vac´ıo. Demuestre que la fr(A) 6= ∅. En general, demuestre que si todo subconjunto propio de X tiene frontera no vac´ıa, entonces X es conexo. 9. Sea X un espacio m´etrico. Decimos que X es totalmente disconexo, si los u ´ nicos conjuntos conexos son los conjuntos unitarios. A ⊂ X es totalmente disconexo, si lo es como espacio m´etrico. a) Demuestre que todo subconjunto numerable de R es totalmente disconexo. b) El conjunto de los irracionales es totalmente disconexo. 10. Sean d1 ≈ d2 , es decir, d1 y d2 equivalentes. Entonces (X, d1 ) es conexo, si y s´olo si, (X, d2 ) es conexo. 11. Sabemos que las componentes conexas de un espacio m´etrico son conjuntos cerrados. ¿Ser´an conjuntos abiertos?

136

CAP´ITULO 8. CONEXIDAD.

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137