Introduccion Al Algebra

Angel_Intermediate_SE

13/11/2007

13:13

Page 1

ANGEL

Introducción al álgebra

Introducción al álgebra

Allen R.

ANGEL

ISBN 978-970-26-1492-0

®

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00 ANGIA-FM-SE bueno

21/11/2007

Capítulo 4

14:43

Page i

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Sistema consistente

Sistema inconsistente

2

Regla de Cramer:

Sistema dependiente 1

1

Dado un sistema de ecuaciones de la forma

c 2 1 c2 a1 x + b1 y = c1 entonces x = a2 x + b2 y = c2 a1 2 a2

2

1 2

Una solución

Ninguna solución

b1 2 b2 b1 2 b2

2

a1 c1 2 a2 c2

2

a1 b1 2 a2 b2

yy =

Un número infinito de soluciones

Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse: (a) de manera gráfica, (b) por el método de sustitución, (c) por el método de suma o de eliminación, (d) mediante matrices, o (e) mediante determinantes.

2

a1 b1 2 = a1 b2 - a2 b1 a2 b2

Capítulo 5

Polinomios y funciones polinomiales Producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (también llamado diferencia de dos cuadrados):

Método PIES para multiplicar dos binomios:

S

(a+b)(a-b)=a2-b2

P P I E S (a+b)(c+d)=a  c+b  c+a  d+b  d

Trinomios cuadrados perfectos:

a2+2ab+b2=(a+b)2,

I E

a2-2ab+b2=(a-b)2

Suma de dos cubos:

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

Teorema de Pitágoras:

cateto2+cateto2=hipotenusa2 o a2+b2=c2

Cuadrado de un binomio:

c

Diferencia de dos cubos:

b

a

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

Capítulo 6

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) Forma general de una ecuación cuadrática:

ax2+bx+c=0, a  0 Propiedad del factor cero: Si a  b=0, entonces a=0 o b=0, o ambos son iguales a 0.

Expresiones racionales y ecuaciones

Para multiplicar expresiones racionales: 1. Factorice todos los numeradores y denominadores.

Figuras semejantes: Los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

2. Divida entre los factores comunes que tenga. 3. Multiplique los numeradores y multiplique los denominadores.

A

4. Cuando sea posible, simplifique la respuesta. A'

Para dividir expresiones racionales: Invierta el divisor y luego multiplique la expresión racional resultante.

B

C

B'

C'

Figuras semejantes

Para sumar o restar expresiones racionales: 1. Escriba cada fracción con un denominador común.

c a = entonces ad=bc b d

2. Sume o reste los numeradores, manteniendo el denominador común.

Proporción: Si

3. Cuando sea posible, factorice el numerador y simplifique la fracción.

Variación: directa, y = kx; inversa, y =

k ; conjunta, y=kxz x

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21/11/2007

Capítulo 7

14:43

Page ii

Raíces, radicales y números complejos Un radical está simplificado cuando todo lo siguiente es verdadero:

n

Si n es par y a  0: 2 a = b si bn=a n

Si n es impar: 2 a = b si b =a n

Reglas de los radicales

1. Ningún radicando tiene factores que sean potencias perfectas.

2 am = A 2 a B n

2a 2 = ∑a∑

n

m

= a mn, a  0 n n n 2 a 1 b = 1 ab, a  0, b  0

2a 2 = a , a  0

n

1a

n

2 an = a , a  0

n

2b

=

a n , a  0, b 7 0 Bb

2. Ningún radicando tiene fracciones. 3. Ningún denominador tiene radicales. Números complejos: Números de la forma a+bi. Potencias de i: i = 1–1, i2 = –1, i3 = –i, i4 = 1

n

2 a = a 1n , a  0

Capítulo 8

Funciones cuadráticas

Propiedad de la raíz cuadrada: Si x2 = a, donde a es un número real, entonces x = ; 1a . Una ecuación cuadrática puede resolverse mediante factorización, completando el cuadrado, o mediante la fórmula cuadrática. Fórmula cuadrática: x =

–b ; 2b 2 - 4ac 2a

Discriminante: b2-4ac Si b2-4ac>0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales diferentes. Si b2-4ac=0, entonces la ecuación tiene una sola raíz real. Si b2-4ac 0

o

f(x)  0

>

+

f(x) < 0

o

f(x)
0

>

–

y exprese el conjunto solución como un intervalo. Represéntelo en la recta numérica. Ejemplo 1.2.1 Resuelva la desigualdad: 5x + 19x
4 PASO 1: Realice las operaciones algebraicas, de tal manera que la expresión algebraica tenga 0 en el lado derecho de la desigualdad. 5x + 19x
4 5x + 19x - 4
0 (5x – 1) (x + 4)
0

14 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

PASO 2: Encuentre las raíces del numerador. (5x – 1) (x + 4) = 0 5x – 1 = 0

x+4=0

o

x = 1/5

x = -4

R= {1/5, -4} PASO 3: Encuentre las raíces del denominador, si lo hay. Éstos son valores prohibidos de la fracción algebraica. No aplica PASO 4: Ordene las raíces y los valores prohibidos en orden creciente en la parte superior de la tabla. Distinga entre las raíces y los valores prohibidos (si los hay). Coloque cada factor en rectas horizontales. -


-4

1/5

5x – 1

+


0

x+4

0

(5x-1)(x+4)

PASO 5: Estudie el signo de cada factor por columna. Multiplique los signos de la tabla por columna. -


-4

1/5

5x –1

-

-

x+4

-

0 +

(5x – 1)(x + 4)

+

0

-

0

+


+

+

0

+

Sección 1.2 • Método para resolver desigualdades cuadráticas,... • 15

PASO 6: En la ultima línea de la tabla, busque el signo correspondiente, según la desigualdad original. f(x) > 0

o

f(x) < 0

o

f(x)  0 f(x)
0

>

+

>

-

y exprese el conjunto solución como un intervalo. Represéntelo en la recta numérica.

En esta ocasión tenemos f(x)  0. Buscamos el signo - . S = {x| -4 < x < 1/5} S = ]-4, 1/5[

 -4

 1/5

Ejemplo 1.2.2  0 2x 4 – 7x -2x

Resuelva la desigualdad

PASO 1: Realice las operaciones algebraicas, de tal manera que la expresión algebraica tenga 0 en el lado derecho de la desigualdad. PASO 2: Encuentre las raíces del numerador. 2x = 0 x=0

PASO 3: Encuentre las raíces del denominador, si lo hay. Éstos son valores prohibidos de la fracción algebraica. 4 – 7x - 2x = 0 (x + 4) (1 – 2x) = 0 x = -4

o

x = 1/2

R = {-4,
} PASO 4: Ordene las raíces y los valores prohibidos en orden creciente en la parte superior de la tabla. Distinga entre las raíces y los valores prohibidos (si los hay). Coloque cada factor en rectas horizontales.

16 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

-

-4

0

2x

1/2

+

0

1 – 2x x+4 (x+4)(1-2x)

0

PASO 5: Estudie el signo de cada factor por columna. Multiplique los signos de la tabla por columna. -

-4

0

2x

+

+

1 – 2x

+

+

x+4

-

+

-

+

(1-2x)(x+4)

1/2

0

+

+

+

+

-

+

+

+

-

0

PASO 6: En la ultima línea de la tabla, busque el signo correspondiente, según la desigualdad original. f(x) > 0

o

f(x) < 0

o

f(x)  0 f(x)
0

>

+

>

-

y exprese el conjunto solución como un intervalo. Represéntelo en la recta numérica.

En este ejemplo, tenemos  0. Buscamos el + y el 0. S = {x| -4 < x < } S = ]-4,[.





-4

1/5

Observe que en el ejemplo anterior, aunque se tiene  0, no podemos incluir a –4 y a  en el conjunto solución, porque son valores prohibidos.

Sección 1.2 • Método para resolver desigualdades cuadráticas,... • 17

También, al decir, que se estudia el signo de los factores, esto significa, que se sustituye x por un valor en el interior del intervalo limitado por la columna y se observa el signo. Por ejemplo, x tiene siempre signo positivo, aunque pase por cero, porque para x=–2, (–2)=4 y para x=3, 3=9 y ambos resultados son positivos. Para 1–2x, si sustituimos por un número menor que , por ejemplo, para x=–1, 1–2(–1) = 3 es positivo, pero si sustituimos por x=4, 1–2(4) = –7, y este resultado es negativo. De ahí, los signos colocados en la tabla de signos.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva los siguientes ejercicios: a)

2x > 0 4 – 7x -2x

b)

2x < 0 4 – 7x -2x

c)

2x < 0 4 – 7x -2x

Solución: a) S = ]-4, 0[ U ]0, [ b) S = ]-
, -4[ U {0} U ], +
[ c) S = ]-
, -4[ U ], +
[

18 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

1.3 ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR Definición 1.3.1 Existe ecuación de la forma: anxn + an-1xn-1 + .........+ a1x + a0 = 0 donde los ai, i = 1,2,....,n..... son números reales y n es un número positivo, los cuales reciben el nombre de ecuaciones polinómicas de grado superior. Aprenderemos en esta sección varios teoremas que son muy útiles en la resolución de este tipo de ecuaciones polinómicas. Teorema 1.3.1 Si f(x) y g(x) son funciones polinómicas, g(x)
0, entonces existen funciones polinómicas únicas q(x) y r(x) tales que f(x) = g(x) q(x) + r(x) donde el grado r(x) < grado g(x). F(x) se llama dividendo, g(x) el divisor, q(x) el cociente y r(x) el residuo. Ejemplo 1.3.2 Divida 3x4 – 8x2 + 4 entre 2x2 + x -1 3/2 x2 -3/4 x – 23/8 2x2 + x –1 3x4 + 0 x3

–

8 x2 + 0x

+

4

-3 x4 – 3/2x3 + 3/2 x2 - 3/2x3 – 13/2 x2 3/2x3 +  x2

-x

- 23/4x2 -  x 23/4x2 + 23/8 x – 23/8 17/8 x + 9/8 Por lo tanto, por el Teorema 1.3.1 f(x) = 4

2

3x – 8x + 4 = (3/2 x

g(x) 2

•

q(x) 2

r(x)

-3/4 x – 23/8)( 2x + x –1) + 17/8 x + 9/8

Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 19

Asumamos que g(x) = x – a. Por el Teorema 1.3.1, obtenemos que f(x) = (x – a) q(x) + r ya que el grado de r(x) tiene que ser de grado menor que x – a. Ahora, dividamos el polinomio p(x) = 3x3 + 5x –8 entre el polinomio Lineal s(x) = x+3, usando división sintética. 3

3

0

5

-8

-9

27

-96

-9

32

-104

-3

Y al dividir estos polinomios, podemos expresar la respuesta de la forma: p(x) = 3x3 + 5x –8 = (3x2 - 9x + 32)(x+3) + (-104) Si queremos encontrar p(–3) sustituimos en x el valor de –3 p(-3) = 3(-3)2 –9(-3) + 32)(-3 + 3) + (-104) p(-3) = 86(0) + (-104) p(-3) = -104 = r Expresándolo en forma general, p(x) = (x – a) q(x) + r p(a) = (a – a) q(a) + r p(a) = r Lo anterior se denomina el Teorema del residuo. Teorema 1.3.2 Si un polinomio p(x) se divide entre x – a, el residuo, r, es igual a p(a).

La división sintética sólo se puede utilizar para dividir un polinomio de grado n, entre uno lineal.

Ejemplo 1.3.3 Usando división sintética, dado p(x) = 2x3 + 3x2 - x –5, encuentre p(-1).

20 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

Solución: 2

2

3

-1

-5

-2

-1

2

1

-2

-3

-1

Por lo tanto, usando el Teorema del Residuo, obtenemos que p(-1) = -3.

De la misma manera, podemos encontrar el residuo de una división, usando el Teorema del Residuo.

Ejemplo 1.3.4 Usando sustitución, encuentre el residuo de dividir p(x) = 2x3 + 3x2 - x -5 entre x + 1. Solución: p(-1) = 2(-1)3 + 3(-1)2 – (-1) –5 = -2 + 3 + 1 –5 = -3 Por lo tanto, el residuo de dividir p(x) entre x + 1 es r = -1. De la misma manera, si x – a es un factor de p(x), entonces existe un q(x) tal que p(x) = (x – a) q(x) p(x) = (x – a) q(x) + 0 que significa que si p(x) se divide entre x – a, entonces el residuo es 0. Por lo tanto, podemos hablar del Teorema del Factor. Teorema 1.3.3 Un polinomio p(x) tiene factor x – a, si y sólo si p(a) = 0. O sea que una manera de demostrar si x – a es un factor, es sustituyendo directamente x = a en el polinomio. Si el resultado es cero, automáticamente sabemos que es un factor.

Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 21

También, si tenemos que p(a) = 0 o que x – a es un factor del polinomio p(x), entonces decimos que x = a es una raíz del polinomio.

Ejemplo 1.3.5 Demuestre que x – 2 es un factor de p(x) = x3 + 5x2 – 2x - 24 usando el Teorema del Factor. Luego factorice completamente. Solución: p(x) = x3 + 5x2 – 2x - 24 p(2) = 23 + 5(2)2 – 2(2) - 24 = 8 + 20 –4 –24 =0 Ya que x – 2 es factor de p(x), entonces el grado del polinomio disminuye a una cuadrática, usando división sintética. 1

1

5

-2

-24

2

14

24

7

12

0

2

Por lo tanto, p(x) = x3 + 5x2 – 2x - 24 = (x – 2) (x2 + 7x + 12) = (x - 2) (x + 3) (x + 4)

factorizando x2 + 7x + 12

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva ahora los siguientes ejercicios: I. Use división sintética y el Teorema del Residuo para encontrar 1) p(5) dado p(x) = 2x3 – 12x2 – x + 30 2) p(-4) dado p(x) = x4 – 10x2 + 25x - 2

22 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

3) p(1/3) dado p(x) = 6x3 + 4x2 – 5x -4 4) p(2) dado p(x) = 2x4 – 4x3 – 9x2 – 8x + 14 5) p(-i) dado p(x) = x3 + 3x2 – 2x + 1 II. Determine si el segundo polinomio q(x) es factor del primero, sin dividir ni usar división sintética: 1) p(x) = x18 - 1,

q(x) = x – 1

2) p(x) = 3x3 – 7x2 - 8x + 2, 7

6

q(x) = x + 1

2

3) p(x) = 7x – 2x + x + 2x + 5, 7

4) p(x) = x + 1,

q(x) = x + 1

5) p(x) = x6 + 1,

q(x) = x + i

q(x) = x - 1

III. Use división sintética para hallar un valor de k de tal manera que p(x) sea divisible por q(x) 1) p(x) = x4 + x3 + 3x2 + kx - 4, 2) p(x) = kx4 + 2x2 + 9k ,

q(x) = x – 1

q(x) = x – 1

3) p(x) = x3 + kx2 – 2kx + 4,

q(x) = x + 2

Solución: I. 1) –25

2) –6

3) –5

4) 0

5) –2 +3i

II. 1) sí

2) sí

3) no

4) sí

5) sí

III. 1) k=-1

2) k=-1/5 3) k=1/2

EL TEOREMA DE LA RAÍZ RACIONAL Y SUS APLICACIONES Podemos ahora aplicar el Teorema del Factor y del Residuo, conjuntamente con el Teorema de Raíces Racionales para resolver ecuaciones polinómicas de grado superior. Recuerde que: Resolver una ecuación significa encontrar los números reales x con los que la ecuación dada resulta verdadera; a dichos números se les llaman soluciones o raíces de la ecuación.

Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 23

Pero antes, es necesario dar el Teorema de las n-raíces, que nos ayudara a expresar las ecuaciones como producto de factores lineales.

TEOREMA 1.3.4 Todo polinomio p(x) de grado n > 1 con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales.

Ejemplo 1.3.6 Dada la ecuación: x3 + 5x2 - 2x - 24 = 0 y en base al ejemplo 1.3.4 y al Teorema de las n-raíces, tenemos que (x - 2) (x + 3) (x + 4) = 0 y como consecuencia de la Propiedad del Producto Nulo (si a • b = 0, entonces a = 0 ó b = 0), tenemos que x–2=0 x=0

ó

x+3=0 x = -3

ó

x+4=0 x = -4

y decimos que {2, -3, -4} es el conjunto de raíces de la ecuación. Las n raíces mencionadas en el Teorema de las n-raíces no son necesariamente distintas. Cuando ocurren varias veces, digamos, m veces, decimos que es una raíz de multiplicidad m.

Ejemplo 1.3.7 (x - 2)3 (x + 1)2 = 0 tiene la raíz x = 2 con multiplicidad 3 y x= -1 con multiplicidad 2.

Ejemplo 1.3.8 Dado que las raíces de una ecuación son x = 1, x = 3 con multiplicidad 2 y

24 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

x = -2 con multiplicidad 3, encuentre la ecuación de menor grado que satisface estas condiciones. Solución: Primeramente, expresaremos la ecuación como un producto de factores lineales, es decir, (x – 1) (x – 3)2 (x + 2)3 = 0 Desarrollando los binomios, (x – 1) (x2 - 6x + 9) (x3 + 6x2 -+ 12x + 8) = 0 Ahora, multiplicando los polinomios, obtenemos x6 – x5 - 15 x4 + 5x3 + 70x2 + 12x – 72 = 0 Por lo tanto, concluimos que si queremos resolver una ecuación polinómica de grado superior, es indispensable factorizar primero con la ayuda de los teoremas vistos anteriormente. Sin embargo, la pregunta es, ¿cómo escoger los números para desarrollar la división sintética y obtener un residuo 0, y así concluir que x – a es factor del polinomio? El Teorema de la Raíz Racional nos ayuda en este sentido. TEOREMA 1.3.5 Sea p(x) = anxn +

an-1xn-1

+ .........+ a1x +

a0 = 0,

an
0), un

polinomio de grado n, con coeficientes enteros. Si p/q es una raíz racional de p(x) = 0, donde p/q está en la mínima expresión, entonces p es factor de a0 y q es factor de an. Resolvamos ahora una ecuación polinómica de grado superior, haciendo uso del Teorema de Raíz Racional. Ejemplo 1.3.9 Dada la ecuación polinómica 3x4 – 13x3 + 7x2 – 13x + 4 = 0 encuentre la solución.

Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 25

Solución: Los factores de 4 son: P = {+ 1, + 2, + 4}. Los factores de 3 son: Q = {+ 1, + 3}. Por lo tanto, dividiendo cada elemento del conjunto P por cada elemento del conjunto Q, obtenemos que el conjunto de posibles raíces es R = P/Q = {+ 1, + 2, + 4, + 1/3, + 2/3, + 4/3}. Ahora no nos queda más que empezar a probar con cada elemento, hasta encontrar un residuo 0. 3

-13

7

-13

4

6

-14

-14

-54

2

3

-7

-7

-27

-50

3

-13

7

-13

4

3

-10

-3

- 16

3

-10

-3

-16

-12

3

-13

7

-13

4

1

- 4

1

-4

-12

3

-12

3

1

1/3

-+

Observemos que el residuo es cero al dividir entre x – 1/3, Por lo tanto, p(x) = (3x3 - 12x2 + 3x – 12) (x – 1/3) Hemos reducido un polinomio de grado 4 a grado 3. Podemos seguir probando con las posibles raíces, descartando las que ya se usaron. Sin embargo, podemos factorizar por agrupamiento. 3x3 - 12x2 + 3x – 12 = (3x3 - 12x2 )+ (3x – 12) = 3x2 (x – 4) + 3(x – 4) = (x – 4) (3x2 + 3) = 3(x – 4) (x2 + 1)

26 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

La cuadrática x2 + 1 no es factorizable y no tiene raíces reales. Usando la fórmula cuadrática, llegamos a las raíces complejas + i. Finalmente, 3x4 – 13x3 + 7x2 – 13x + 4 = 0 3( x – 1/3)(x – 4) (x – i) (x + i) = 0 Por lo tanto, de x – 1/3 = 0 x = 1/3

o

x–4=0

o

x= 4

El conjunto solución es {1/3, 4, i, –i}

A veces necesitamos probar con varias posibles raíces racionales, antes de lograr obtener un 0 en el residuo, y así poder factorizar el polinomio. Sin embargo, a veces existen situaciones en las cuales es posible descartar algunas automáticamente. 1.- Cuando dividimos por una posible raíz racional positiva a y los coeficientes del cociente y del residuo resultan todos números positivos, cualquier posible raíz racional b, tal que b > a, no puede ser raíz. 2.- Cuando dividimos por una posible raíz racional negativa a y los signos de los coeficientes del cociente y del residuo se alternan, entonces ninguna posible raíz negativa, b, b < a, puede ser raíz.

Ejemplo 1.3.10 Dada la ecuación polinómica 4x3 - 16x2 + 11x + 10 = 0 encuentre las soluciones. Solución: Los factores de 4 son: P = {+ 1, + 2, + 5, + 10}. Los factores de 4 son: Q = {+ 1, + 2, + 4}. El conjunto de posibles raíces racionales es R = P/Q = {+ 1, + 1/2, + , + 2, + 5, + 5/2 , + 5/4, + 10}

Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 27

Al dividir por a = -1 4

4

-16

11

10

-4

20

- 31

-20

31

- 21

-1

observamos que los coeficientes del cociente y del residuo alternan de signo. Por lo tanto, ni –2 ni -5 ni –10 pueden ser raíces, ya que todas son menores que –1. Se pueden descartar. De la misma forma, al dividir entre a = 5

4

-16

11

10

20

20

155

4

31

4

5

165

observamos que tanto el cociente como el residuo son positivos, y por lo tanto, 10 no puede ser raíz, ya que 10 es mayor que 5. Se puede descartar. En efecto, si resuelve la ecuación, observara que en efecto, las raíces son –1/2, 2 y 5/2.

Otros teoremas muy útiles para resolver ecuaciones el Teorema de las Raíces Irracionales o Complejas, que nos garantizan que si conocemos una de ellas, podemos definir otra rápidamente.

TEOREMA 1.3.6 Las raíces complejas de polinomios con coeficientes reales se presentan en pares conjugados.

Ejemplo 1.3.11 Dada la ecuación x4 + 7x2 – 8 = 0

28 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

sabiendo que –2i

2 es una raíz, encuentre las demás.

Solución: Usando división sintética, reducimos la ecuación a grado 3 y luego a grado 2. 1

1

0

7

0

-8

–2i
2

-8

2i
2

8

–2i
2

-1

2i
2

0

–2i
2

Por el Teorema de las Raíces Complejas, podemos determinar que 2i
2 también es raíz.

1 –2i
2

-1

2i
2 1

0

2i
2

0 -2i
2 -1

2i
2

0

Usando división sintética, hemos reducido la ecuación polinómica de grado 4 a grado 2. x2

-1 =0

(x – 1) (x + 1) = 0 x–1=0

o

x+1=0

x=1

x = -1

El conjunto solución es S = {2i
2, -2i
2, 1, -1} También podemos aplicar la teoría de ecuaciones a problemas de la vida diaria. A continuación se desarrollará un ejemplo. Ejemplo 1.3.12 Suponga que el costo por producir x unidades de una calculadora es c(x) = 17x2 + 100 mientras que el ingreso recibido por la venta de x unidades es r(x) = x3 + 80x.

Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 29

¿Para que valor(es) de x el costo será igual al ingreso? Solución: Si deseamos saber el (los) valor(es) de x en el (los) cual(es) el costo es igual al ingreso, igualamos 17x2 + 100 = x3 + 80x. Para resolver esta ecuación, ésta debe estar igualada a cero, x3 - 17x2 + 80x - 100 = 0

i

(ordenando términos)

P = {+ 1, + 2, + 4, + 5, + 10, + 20, + 25, + 50, + 100} Q = {+ 1} R = P/Q = {+ 1, + 2, + 4, + 5, + 10, + 20, + 25, + 50, + 100}

Usando división sintética, 1

1

-17

80

-100

10

-70

100

-7

10

0

10

Por lo tanto, (x – 10) (x2 – 7x + 10) = 0 (x – 10) (x – 2) (x –5) = 0 Los valores de x para los cuales el costo es igual al ingreso son x = 10

o x=2

o

x=5

Es decir, cuando se venden 2 o 5 o 10 unidades, el costo de producirlos es igual al ingreso recibido.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Aplique los teoremas estudiados al desarrollar los ejercicios. Resuelva ahora los siguientes ejercicios:

30 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

I. Encuentre una ecuación de grado mínimo que tenga como raíces los números indicados: 1) {-2, 1,3,4} 2) {0, i
2, 3, - 3} 3) {1 +
5, 1 -
5, -1, -1} 4) {-1, 2i (raíz doble), -2i (raíz doble)}

II. Halle todas las soluciones de las ecuaciones dadas. 1) x3 - x2 - 10x - 8 = 0 2) 2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0 3) x4 + 3x3 - 30x2 – 6x + 56 = 0 4) 4x5 + 12x4 – 41x3 - 99x2 + 10x + 24 = 0 5) x3 + 3x2 - 4x + 6 = 0 6) 2x5 + 3x2 + 7 = 0

III. Resuelva los siguientes problemas. 1) Se elaborará una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón cuyas dimensiones son 20 x 30 pulgadas, cortando cuadrados, de área x2, en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Demuestre que es posible hacer dos cajas que tengan volumen de 1000 pulgadas cúbicas. ¿Cuál de las dos cajas tiene la menor área superficial?

1) Un meteorólogo encuentra que la temperatura T (°F) en cierto día frío de invierno está dada por T = 0.05t(t -12)(t -245) para 0< t < 24, En donde t es el tiempo en horas y t = 0 corresponde a las 6:00 a.m. ¿A qué hora(s) del día la temperatura fue de 32 °F?

Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 31

2) Un triángulo rectángulo tiene un área de 30 pies cuadrados y su hipotenusa es 1 pie más larga que uno de los otros lados. Halle las dimensiones del triángulo.

Respuestas: I. 1) x4 – 6x3 + 3x2 + 26x - 24 = 0 2) x5 - 7x3 - 18x = 0 3) x4 - 7x3 - 10x - 4 = 0 4) x5 + x4 + 8x3 + 8x2 + 16x + 16 = 0

II. 1) {-1, -2, 4} 2) {2, -3, 5/2} 3) {4, -7,
2, -
2} 4) {3, -4, -2, -1/2, 1/2} 5) no tiene raíces racionales 6) no tiene raíces racionales

III. 1) x = 5 o x = 2 La caja que corresponde a x = 5 tiene menor área superficial. 2) t = 4

(10:00 a.m.) y t = 6.20 (12:12 p.m.)

3) Los lados son de 5 pies y 12 pies.

32 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

1.4 DESCOMPOSICIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES EN FRACCIONES PARCIALES Repase la factorización. Discuta y analice los cuatro casos. En la asignatura de Matemática Nivelatoria, se aprendió como operar con expresiones racionales, en especial, a sumar y restar expresiones. 1

. -

x–1

2 . + x

1

. =

x+1

2

.

x (x – 1) (x + 1)

Sin embargo, habrá algunas circunstancias en las cuales nos conviene hacer el proceso inverso. Este proceso se llama descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales.

7x + 17 = (x+3)2

7

. -

x+3

4

.

(x+3)2

Para poder llevar a cabo esta descomposición, es necesario que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador. Si no lo es, necesita dividir primero, antes de poder descomponer la expresión racional. Se estudiarán cuatro casos: Caso 1: Factores lineales distintos y no repetidos en el denominador. Caso 2: Factores lineales repetidos en el denominador. Caso 3: Factores cuadráticos distintos no factorizables en R en el denominador. Caso 4: Factores cuadráticos repetidos no factorizable en R en el denominador. Tome en cuenta que al descomponer las fracciones algebraicas en fracciones parciales, es necesario no alterar el denominador original. Si de alguna manera lo hace, no logrará encontrar los valores buscados.

Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 33

Caso 1: Factores lineales distintos y no repetido en el denominador: Consideremos a P(x), donde Q(x) =(b1x – a1)(b2x – a2)...(bnx – an). Q(x) Escribiremos a P(x) = A . + B . + ……. + C . Q(x) b1x – a1 b2x – a2 bnx – an donde A, B, ….,C son las constantes a determinar.

Ejemplo 1.4.1 Descomponga en fracciones parciales la siguiente expresión: x- 1 . x3 - x2 - 2x

Solución: x-1 = x3 - x2 - 2x =

x+1 .= x (x – 2)(x + 1)

A . + x

B .+ x-2

C. x+1

A(x-2)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x –2) . x (x – 2)(x + 1)

Observe que siempre se trabaja con el denominador original. No debe cambiarlo de ninguna forma. Obtenemos: x – 1 = A(x-2)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x –2)

Sustituyamos x = 0 en (*) y resulta que -1 = -2 A A= Sustituyendo x = 2 en (*) 1 = 6B B = 1/ 6

(*)

34 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

Y para x = -1 en (*) -2 = 3C C = -2/3 Expresando la fracción algebraica en fracciones parciales: x-1 = x3 - x2 - 2x

x+1 .= x (x – 2)(x + 1)

1/2 . + x

1/6 . + x-2

-2/3 . x+1

Caso 2: Factores lineales repetidos en el denominador: Supongamos que el factor (bx – a) se repite p veces en el denominador. Escribiremos a P(x) = A .+ B . + ……. + C . Q(x) b1x – a1 (b1x – a1 )2 (b1x – a1)p

Ejemplo 1.4.2 Descomponga en fracciones parciales la siguiente expresión racional: x3 – 1 . x (x – 2)3 2

Solución: x3 – 1 . = x (x – 2)3 2

A .+ x

B . + x2

C . + (x – 2)3

D . + (x – 2)2

E . x–2

= A(x – 2)3+ Bx(x – 2)3 + Cx2 + Dx2(x – 2) + Ex2(x – 2)2 x2 (x – 2)3 Comparando numeradores: x3 – 1 = A(x – 2)3+ Bx(x – 2)3 + Cx2 + Dx2(x – 2) + Ex2(x – 2)2 Desarrollando los binomios y agrupando términos semejantes: x3 – 1 = (B+E)x4+ (A-6B+D-4E)x3 + (-6A+12B+C-2D+4E)x2 + + (12A-8B)x – 8ª Observe que a x3 – 1 lo podemos completar y expresar de la siguiente forma: x3 – 1 = 0x4 + 1x3 + 0x2 + 0x - 1

Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 35

Igualando coeficientes: B A–

+E=0

6B

+ D – 4E = 1

-6A + 12B + C –2D + 4E = 0 -8A

= -1

Resolviendo, obtenemos A = 1/8, B = 3/16, C = 7/4, D = 5/4, E= -3/16 Sustituyendo, x3 – 1 . = 1/8 . + 3/16 . + x (x – 2)3 x x2 2

7/4 . + 5/4 . + -3/16 . (x – 2)3 (x – 2)2 x–2

Caso 3: Factores cuadráticos distintos no factorizables en R en el denominador: Al factor cuadrático no factorizable en R ax2 + bx + c le corresponde Ax + B . ax + bx + c 2

Ejemplo 1.4.3 Descomponga en fracciones parciales la siguiente expresión racional: x2 – 2x – 3 . (x-1)(x2 + 2x +2) Solución: x2 – 2x – 3 .= Ax + B . + (x-1)(x2 + 2x +2) x2 + 2x +2

C . x–1

x2 – 2x – 3 . = (Ax + B)(x –1) + C(x2 + 2x +2) 2 (x-1)(x + 2x +2) (x-1)(x2 + 2x +2) Igualando numeradores. x2 – 2x – 3 = (Ax + B)(x –1) + C(x2 + 2x +2)

36 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

Desarrollando binomios y agrupando términos semejantes: x2 – 2x – 3 = (A + C) x2 + (B – A+ 2C)x + 2C – B Igualando los coeficientes término a término: A

+ C=1

-A + B + 2C = -2 - B + 2C = -3 Resolviendo para A, B y C obtenemos: A = 9/5,

B = 7/5,

C = -4/5

Sustituyendo: .= x2 – 2x – 3 (x-1)(x2 + 2x +2)

9/5x + 7/5 . + x2 + 2x +2

-4/5 . x–1

Caso 4: Factores cuadráticos repetidos no factorizables en R en el denominador: Si ax2 + bx + c es un factor cuadrático de Q(x) que se repite p veces, entonces correspondiente a este factor (ax2 + bx + c)p tenemos la suma de las siguientes fracciones parciales: P(x) = Q(x)

Ax + B ax2 + bx + c

+

Cx + D + ………+ Ex + F . (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)p

Ejemplo 1.4.4 Descomponga en fracciones parciales la siguiente expresión racional: x–2 . x (x2 - 4x + 5)2 Solución: x–2 .= A.+ Bx + C . + 2 2 2 x (x - 4x + 5) x (x - 4x + 5) 2

x–2 . = x (x - 4x + 5)2 2

Dx + E . x - 4x + 5 2

A(x2-4x+5)2 + x(Bx+C) + x(x2-4x+5)2(Dx+E) x (x2 - 4x + 5)2

Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 37

Igualando coeficientes término a término A+

+ D

-8A

= 0

+ 4D + E = 0

16A +

B+

-40A

+ 5D - 4E = 0

+C

25A

+ 5E = 1 = -2

Resolviendo el sistema: A = -2/25,

B= 2/5,

C = -3/5,

D = 2/25,

E=-8/25

Sustituyendo: x–2 = -2/25 + 2/5x – 3/5 x (x2 - 4x + 5)2 x (x2 - 4x + 5)2

+ 2/25x – 8/25 . x2 - 4x + 5

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE A continuación, resuelva los siguientes ejercicios:

Descomponga

las

siguientes

parciales: 1)

5x2 + 20x + 6 . x3 + 2x2 + x

2)

8x3 + 13x (x2 + 2)2

3)

3x + 4 . x3 - 2x - 4

4)

2x + 1 . x2 + 2x – 3

5)

5x + 6 . x2 + 3x + 2

6)

5x - 1 . x2 – 1

.

fracciones

algebraicas

en

fracciones

38 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

7)

3x - 1 . x2 - x – 6

8)

1 . x2 + x

9)

6x - 1 . x3 ( 2x – 1)

10)

4x . (x2 + 1) (x2 + 2x + 3) . x2 (x + 4)2

11)

2

12)

x+3 . x4 + 9x2

13)

x . (x - 3)2

14)

6x2 - 3x + 1 . (4x + 1) (x2 + 1)

Respuestas: 1. 6 . - 1 . + 9 . x x+1 (x + 1)2 2.

8x . 3x . x2 + 2 (x2 + 2)2

3.

1 .x+1 . x–2 x2 + 2x + 2

4.

5/4 . +  . x+3 x–1

5.

1 .+ 4 . x+1 x–1

6.

3 .+ x+1

7.

8/5 x–3

.+

8.

1 .x

1 . x+1

2 . x–1 7/5 . x+2

Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 39

9.

-16 . + x

4 . + x2

1 .+. x3

16 . 2x – 1

10.

x+1 .(x2 + 1)

x+3 . (x2 + 2x + 3)

11.

1 . x2 + 4

4 . (x2 + 4)2

12. 1/9 . + x

-1/9x – 1/3 . x2 + 9

3x . 1 .x-3 (x - 3)2

13. 14.

1/3 . + x2

2 .+ (4x + 1)

x-1 . x2 + 1

AUTOEVALUACIÓN Efectúe la autoevaluación antes de la sesión presencial: 1. Al completar la división sintética 1

3

-5

7 2

el residuo resulta a) 0

b) –7

c) 21

d) 17

2. ¿Cuál de los siguientes conjuntos representa las raíces posibles de 2x3 - 8x2 + 7x – 10 = 0? a) {+ 1, + 2, + 5, + 10}

c) {+ 2, + 10}

b) {+ 1, + 1/2, + 2, + 5/2, + 5, + 10}

d) {+ 1, + 2, + 10}

3. Si x + 1 es factor de f(x) = x3 - 2kx2 + x – 7, entonces a) k = 0

b) k = 9/2

c) k = -5/2

d) k = -9/2

40 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...

4. Si f(x) = 36x98 - 40x25 + 18x14 - 3x7 + 40x4 + 5x2 - x + 2 se divide por x – 1, el residuo es a) 0

b) 2

c) 57

d) 135

5. Si x3 - k2x + 4 se divide por x – 1 y el residuo es 4, entonces a) k = +1

b) k = + 5

c) k= + 3

d) k = 0

6. El conjunto solución de la ecuación polinómica: x4 + 7x3 + 13x2 - 3x – 18 = 0 a) {-3, -2, 1}

b) {3,2,-1}

A . + B .+ x-3 x+2

c) 2

d) 0

2x2 – 4x – 8 . en las fracciones parciales (x2 - x)(x2 + 4)

8. Si se descompone

a) –2x + 4

C . , entonces A = x-1

b) 1

A. + B .+ x x-1

d) no tiene raíces

6x2 + x- 37 . en las fracciones parciales (x - 3)(x+2)(x-1)

7. Si se descompone

a) –2

c) {-3, 2, -1}

Cx + D , entonces Cx + D = x2 + 4

b) 2x + 4

9. Si se descompone

c) 2x – 4

x2 . (x + 1)2

d) –2x – 4

en las fracciones parciales

2

en

Ax + B + x2 + 1

a) 1

Cx + D , entonces B = (x2 + 1)2 b) –1

c) 0

d) 2

Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 41

10. Si se descompone entonces

x2 + 2x + 4 . en las fracciones parciales (x + 1)3

A . + B .+ x+1 (x + 1)2

a) 3

b) –1

C , entonces C = (x + 1)3

c) 0

d) –3

Respuestas: 1. d

2. b

3. d

4. c

7. d

8. b

9. c

10. a

5. a

6. a

Capítulo 2

Ecuaciones y desigualdades 2.1 Resolución de ecuaciones lineales 2.2 Resolución de problemas y uso de fórmulas 2.3 Aplicaciones del álgebra 2.4 Problemas adicionales de aplicación 2.5 Resolución de desigualdades lineales 2.6 Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos Resumen del capítulo Ejercicios de repaso del capítulo Examen de práctica del capítulo Examen de repaso acumulativo

E

n el caso de casi todas las personas, la compra de una casa es la transacción comercial más importante que realizan en sus vidas. Después de negociar el precio de la casa, por lo general, es preciso elegir un plan de crédito hipotecario. ¿Cómo hacerlo? Cuando de escoger un plan de crédito se trata, ¿se busca el que no incluye un costo por la solicitud, el que exige menos requisitos, el que ofrece la tasa de interés más baja, o el que regala boletos de avión gratis? ¿Hay que pensar en algo más? En la página 73 se comparan los costos de dos créditos hipotecarios, mediante ecuaciones que describen el costo de cada uno, de tal manera que se pueda determinar en qué mes los costos en que se incurre por cada uno son iguales. Al hacer este tipo de cálculos comprenderemos que, cuando se selecciona un plan hipotecario, un factor clave a considerar es durante cuánto tiempo tendremos la casa.

42

Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 43

Avance de la lección

E

n este capítulo enfocaremos nuestra atención a la resolución de ecuaciones y desigualdades lineales, y a la utilización de ecuaciones, fórmulas y desigualdades lineales para resolver problemas de la vida real. Después de revisar el procedimiento a realizar para resolver ecuaciones (en la sección 2.1), se presenta una útil técnica de resolución de problemas (en la sección 2.2). Utilizaremos esta técnica a lo largo de las secciones 2.2, 2.3 y 2.4, así como en el resto de este libro. En la sección 2.5 hablaremos de las ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto. A lo largo del capítulo, nos daremos cuenta del poder del álgebra como una herramienta para la resolución de problemas en una gran variedad de áreas, incluyendo bienes raíces, química, negocios, banca, física y finanzas personales.

2.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

1

1

Identificar las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

2

Reducir términos semejantes.

3

Resolver ecuaciones lineales.

4

Resolver ecuaciones con fracciones.

5

Identificar ecuaciones condicionales, ecuaciones inconsistentes e identidades.

6

Entender los conceptos para resolver ecuaciones.

Identificar las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva En álgebra elemental usted aprendió a resolver ecuaciones lineales. En esta sección repasaremos brevemente el procedimiento. No obstante, antes de hacerlo es necesario conocer tres útiles propiedades de la igualdad: la propiedad reflexiva, la propiedad simétrica y la propiedad transitiva. Propiedades de la igualdad Para todos los números reales a, b y c: 1. a = a.

Propiedad reflexiva

2. Si a = b, entonces b = a.

Propiedad simétrica

3. Si a = b y b = c, entonces a = c. Propiedad transitiva

Ejemplos de la propiedad reflexiva

7 = 7 x + 3 = x + 3 Ejemplos de la propiedad simétrica

Si x = 3, entonces 3 = x. Si y = x + 4, entonces x + 4 = y. Ejemplos de la propiedad transitiva

Si x = a y a = 4y, entonces x = 4y. Si a + b = c y c = 4r, entonces a + b = 4r. En este libro utilizaremos con frecuencia estas propiedades, sin referirnos a ellas por su nombre.

44 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

2

Reducir términos semejantes Cuando una expresión algebraica consta de varias partes, las partes que se suman o restan son los términos de la expresión. La expresión 3x2  6x  2, que puede escribirse 3x2  (6x)  (2), tiene tres términos; 3x2, 6x y 2. La expresión

6x2 - 31x + y2 - 4 + tiene cuatro términos: 6x2, 3(x  y), 4 y

x + 2 5

x + 2 . 5

Expresión

Términos

1 2 x - 3x - 7 2

1 2 x, 2

- 5x3 + 3x2y - 2

-5x3,

41x + 32 + 2x + 51x - 22 + 1

41x + 32, 2x, 51x - 22, 1

-3x, 3x2 y,

-7 -2

La parte numérica del término que precede a la variable, es su coeficiente numérico o, simplemente, su coeficiente. En el término 6x2, el 6 es el coeficiente numérico. Cuando el coeficiente es 1 o 1, por lo general omitimos el número. Por ejemplo, x significa 1x, x2y significa 1x2y, y (x  y) significa 1(x  y).

Observe que

Término

Coeficiente numérico

5k 7

5 7

-41x + 22

-4

x - 2 3

1 3

-1x + y2

-1

1 x - 2 significa 1x - 22 y (x  y) significa 1(x  y). 3 3

Cuando un término consta de un solo número, a éste por lo general se le llama constante. Por ejemplo, en la expresión x2  4, el 4 es una constante. El grado de un término con exponentes enteros no negativos es la suma de los exponentes de la variable del término. Por ejemplo, 3x2 es un término de segundo grado y 4x es un término de primer grado (4x significa 4x1). El número 3 puede escribirse como 3x0, así que el número 3 (y cualquier otra constante diferente de cero) tiene grado cero. Cuando un término tiene el exponente 0, se dice que el término no tiene grado. El término 4xy5 es un término de sexto grado, ya que la suma de los exponentes es 1  5, o 6. El término 6x3y5 es un término de octavo grado, puesto que 3  5  8. Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes. Por ejemplo, 3x y 5x son términos semejantes, 2x2 y 3x2 son términos semejantes, al igual que 3x2y y 2x2y. Los términos que no reúnen esta condición reciben el nombre de términos no semejantes. Todas las constantes se consideran términos semejantes. Simplificar una expresión significa reducir (o combinar) todos los términos semejantes en la expresión. Para reducir términos semejantes, podemos aplicar la propiedad distributiva.

Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 45

Ejemplos de reducción de términos semejantes

5 x - 2 x = 15 - 22 x = 3x 3 x2 - 5 x2 = 13 - 52 x2 = - 2x2 -7 x2y + 3 x2y = 1- 7 + 32 x2y = - 4x2y 41x - y2 - 1x - y2 = 41x - y2 - 11x - y2 = 14 - 121x - y2 = 31x - y2

Al simplificar expresiones, podemos reordenar los términos aplicando las propiedades conmutativa y asociativa.

EJEMPLO 1

Simplifique. Si una expresión no puede simplificarse, dígalo. a) -2x + 5 + 3x - 7

Solución

b) 7x2 - 2x 2 + 3x + 4

c) 2x - 3y + 5x - 6y + 3

2x + 3x(')'* + 5 - 7 Coloque juntos los términos semejantes. a) -2x + 5 + 3x - 7 = (')'* x

-2

Esta expresión se simplifica y resulta x  2. b) 7x2 - 2x 2 + 3x + 4 = 5x 2 + 3x + 4 c) 2x - 3y + 5x - 6y + 3 = 2x + 5x - 3y - 6y + 3 Coloque juntos los términos semejantes.

= 7x - 9y + 3

EJEMPLO 2 Solución

✺

Simplifique - 21a + 72 - 3 - 31a - 12 + 54.

-21a + 72 - 3-31a - 12 + 54 = - 21a + 72 - 13-31a - 12 + 54 = - 2a - 14 - 13- 3a + 3 + 54 Propiedad distributiva.

= - 2a - 14 - 13- 3a + 84

Propiedad distributiva. = - 2a - 14 + 3a - 8 Reducimos los términos semejantes. ✺ = a - 22

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 55

3

Reducimos los términos semejantes.

Resolver ecuaciones lineales Una ecuación es una proposición matemática de igualdad. Las ecuaciones deben contener un signo de igual y una expresión matemática a cada lado del mismo. Ejemplos de ecuaciones

x + 4 = -7 2x2 - 4 = - 3x + 5 Los números que hacen que una ecuación sea una proposición verdadera, se llaman soluciones o raíces de la ecuación. El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de números reales que hacen que la ecuación sea verdadera. Ecuación

Solución

Conjunto solución

2x + 3 = 9

3

536

Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se dice que son ecuaciones equivalentes. Por lo general las ecuaciones se resuelven iniciando con la ecuación dada y produciendo una serie de ecuaciones equivalentes más simples.

46 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Ejemplo de ecuaciones equivalentes Ecuaciones Conjunto solución

2x + 3 = 9 2x = 6 x = 3

536 536 536

En esta sección explicaremos cómo resolver ecuaciones lineales con una variable. Una ecuación lineal es aquella que puede escribirse en la forma ax  b  c, a Z 0. Para resolver ecuaciones, aplicamos las propiedades de suma y multiplicación de la igualdad para aislar la variable en un lado del signo igual. Propiedad de suma de la igualdad Si a  b, entonces a  c  b  c para cualesquiera a, b, y c.

La propiedad de suma de la igualdad establece que podemos sumar el mismo número en ambos lados de una ecuación sin alterar la solución de la ecuación original. Como la resta se define en los mismos términos que una suma, la propiedad de suma de la igualdad también nos permite restar el mismo número en ambos lados de una ecuación.

Propiedad de multiplicación de la igualdad Si a  b, entonces a  c  b  c para cualesquiera a, b, y c.

La propiedad de multiplicación de la igualdad establece que podemos multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número sin alterar la solución. Como la división se define en los mismos términos que la multiplicación, la propiedad de multiplicación de la igualdad también nos permite dividir ambos lados de una ecuación entre el mismo número distinto de cero. Para resolver una ecuación, muchas veces se tiene que aplicar una combinación de propiedades a fin de aislar la variable. Nuestra meta es tener la variable completamente sola en un lado de la ecuación (esto es, despejarla o aislarla). A continuación se explica un procedimiento general para resolver ecuaciones lineales.

Para resolver ecuaciones lineales 1. Elimine las fracciones. Si la ecuación contiene fracciones, elimínelas multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. 2. Simplifique cada lado por separado. Simplifique cada lado de la ecuación tanto como sea posible. Utilice la propiedad distributiva para eliminar paréntesis y reduzca los términos semejantes cuando sea necesario. 3. Aísle el término variable en un lado. Utilice la propiedad de la suma para dejar todos los términos que contienen a la variable en un lado de la ecuación, y todos los términos constantes en el otro lado. Para hacer esto puede ser necesario aplicar varias veces la propiedad de la suma. 4. Despeje la variable. Aplique la propiedad de la multiplicación para obtener una ecuación que tenga sólo la variable (con un coeficiente de 1) en un lado. 5. Compruebe. Verifique la solución resultante del paso 4, sustituyendo con ella la variable en la ecuación original.

Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 47

EJEMPLO 3

Resuelva la ecuación 2x  4  9.

Solución

2x + 4 = 9 2x + 4 - 4 = 9 - 4 2x = 5

Reste 4 en ambos lados.

1

2x

5

Divida ambos lados entre 2.

= 2

2 1

x = Verifique:

5 2

2x + 4 = 9 5 ? 2a b + 4 = 9 2 ?

5 + 4 = 9 9 = 9 Como el valor satisface la ecuación, la solución es

Solución correcta.

✺

5 2.

Siempre que una ecuación contenga términos semejantes del mismo lado del signo igual, redúzcalos antes de aplicar las propiedades de suma

EJEMPLO 4 Solución

Resuelva la ecuación 2b  5  3b 10.

-2b + 5 = 3b - 10 - 2b + 2b + 5 = 3b + 2b - 10

Sume 2b en ambos lados.

5 = 5b - 10 5 + 10 = 5b - 10 + 10

Sume 10 en ambos lados.

15 = 5b

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63

15 5b = 5 5

Divida ambos lados entre 5.

✺

3 = b

El ejemplo 5 incluye números decimales. Para resolver este problema, siga el procedimiento que se explicó antes.

EJEMPLO 5 Solución

Resuelva la ecuación 4(x – 3.1)  2.1(x – 4)  3.5x.

41x - 3.12 = 2.11x - 42 + 3.5x 41x2 - 413.12 = 2.11x2 - 2.1142 + 3.5x

Propiedad distributiva.

4x - 12.4 = 2.1x - 8.4 + 3.5x 4x - 12.4 = 5.6x - 8.4 4x - 12.4 + 8.4 = 5.6x - 8.4 + 8.4

Reduzca los términos semejantes. Sume 8.4 en ambos lados.

48 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

4x - 4.0 4x - 4x - 4.0 -4.0 - 4.0 1.6 -2.5

= 5.6x = 5.6x - 4x = 1.6x 1.6x = 1.6 = x

Reste 4x en ambos lados.

Divida ambos lados entre 1.6.

✺

La solución es 2.5.

Para ahorrar espacio, en este libro no se mostrará siempre la comprobación de las respuestas, pero usted sí debe verificarlas todas. Cuando la ecuación contenga números decimales, puede utilizar una calculadora para resolver y verificar la ecuación más rápido.

Cómo utilizar su calculadora Comprobación de soluciones por sustitución Las soluciones de las ecuaciones pueden comprobarse por medio de una calculadora. Para verificar, sustituya la variable de ambos lados de la ecuación con su resultado para ver si obtiene el mismo valor (algunas veces puede haber una pequeña diferencia en los últimos dígitos). La pantalla de la calculadora graficadora de la figura 2.1 muestra ambos lados de la ecuación dada en el ejemplo 5, con un resultado de 22.4 cuando x se sustituye con 2.5. Por lo tanto, la solución 2.5 satisface la ecuación.

41x - 3.12 = 2.11x - 42 + 3.5x 41-2.5 - 3.12 = 2.11-2.5 - 42 + 3.51- 2.52 — Valor del lado izquierdo de la ecuación.

Ejercicios Utilice su calculadora para determinar si el número dado es la solución de la ecuación. 1. 5.21x - 3.12 = 2.31x - 5.22; 1.4 2. -2.314 - x2 = 3.51x - 6.12; 10.125

— Valor del lado derecho de la ecuación. FIGURA 2.1

A continuación resolveremos un ejemplo que contiene paréntesis anidados.

EJEMPLO 6 Solución

Resuelva la ecuación 7c - 15 = - 2361c - 32 - 412 - c24.

7c - 15 = - 2361c - 32 - 412 - c24 7c - 15 = - 236c - 18 - 8 + 4c4

Propiedad distributiva.

7c - 15 = - 2310c - 264

Reducción de términos semejantes.

7c - 15 = - 20c + 52

Propiedad distributiva.

7c + 20c - 15 = - 20c + 20c + 52

Sume 20c en ambos lados.

27c - 15 = 52 27c - 15 + 15 = 52 + 15

Sume 15 en ambos lados.

27c = 67 27c 67 = 27 27 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 91

c =

67 27

Divida ambos lados entre 27.

✺

Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 49

Observe que las soluciones a los ejemplos 5 y 6 no son números enteros. No debe esperar que las soluciones a las ecuaciones sean siempre números enteros. Al resolver ecuaciones, omitiremos algunos pasos intermedios. En seguida se ilustra cómo puede acortarse el procedimiento. Solución

a)

b)

4

Solución abreviada

x + 4 = 6 x + 4 - 4 = 6 - 4 — Haga este paso mentalmente. x = 2

a) x + 4 = 6

x = 2

3x = 6 3x 6 = — Haga este paso mentalmente. 3 3 x = 2

b)

3x = 6 x = 2

Resolver ecuaciones con fracciones Cuando una ecuación tiene fracciones, empezamos multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. El mínimo común denominador (MCD) de un conjunto de denominadores (también llamado mínimo común múltiplo, MCM), es el número más pequeño que divide a cada uno de los denominadores sin obtener residuo (residuo 0). Por ejemplo, si los denominadores de dos fracciones son 5 y 6, entonces el mínimo común denominador es 30, ya que 30 es el número más pequeño que dividen 5 y 6 de manera exacta, es decir, sin residuo. Cuando se multiplican ambos lados de la ecuación por el MCD, en realidad se está multiplicando cada término de la ecuación por el mínimo común denominador. Después de realizar este paso, la ecuación no debe tener fracciones.

EJEMPLO 7 Solución

Resuelva la ecuación 5 -

2x = - 9. 3

El mínimo común denominador es 3. Multiplique ambos lados de la ecuación por 3 y después aplique la propiedad distributiva en el lado izquierdo. Este procedimiento eliminará todas las fracciones de la ecuación.

2x = -9 3

5 3 a5 3152 - 3 a 1

2x b = 3 1-92 3

Multiplique ambos lados por 3.

2x b = - 27 3

Propiedad distributiva.

1

15 - 2x = - 27 15 - 15 - 2x = - 27 - 15

Reste 15 en ambos lados.

-2x = - 42 -2x -42 = -2 -2 x = 21

Divida ambos lados entre 2.

✺

50 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

EJEMPLO 8 Solución

Resuelva la ecuación

1 1 1x + 42 = x. 2 3

Empiece multiplicando ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo común denominador de 2 y 3.

1 6 c 1x + 42 d 2 31x + 42 3x + 12 3x - 2x + 12 x + 12 x + 12 - 12 x

1 = 6 a xb 3 = 2x = 2x = 2x - 2x = 0 = 0 - 12 = - 12

Multiplique ambos lados por 6. Simplifique. Propiedad distributiva. Reste 2x en ambos lados. Reste 12 en ambos lados.

✺

En la sección 6.4 estudiaremos más a fondo las ecuaciones que contienen fracciones.

SUGERENCIA

La ecuación del ejemplo 8 también puede escribirse como

x + 4 x = . 2 3

¿Puede explicar por qué?

Cómo utilizar su calculadora graficadora Las ecuaciones con una variable pueden resolverse por medio de una calculadora graficadora. En la sección 3.3 analizamos cómo hacerlo. Si lo desea, puede revisar ese material ahora.

5

Identificar ecuaciones condicionales, ecuaciones inconsistentes e identidades Todas las ecuaciones que se han analizado hasta el momento han sido verdaderas sólo para un valor de la variable. Este tipo de ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones condicionales. Algunas ecuaciones nunca son verdaderas y no tienen solución; a éstas se les denomina ecuaciones inconsistentes. Otras ecuaciones, llamadas identidades, tienen un número infinito de soluciones. La tabla 2.1 resume estos tipos de ecuaciones lineales y su correspondiente número de soluciones.

TABLA 2.1 Tipo de ecuación lineal

Solución

Ecuación condicional

Una

Ecuación inconsistente

Ninguna (conjunto solución: ¤)

Identidad

Número infinito (conjunto solución 

El conjunto solución de una ecuación condicional se presenta entre llaves. Por ejemplo, el conjunto solución del ejemplo 8 es {12} El conjunto solución de una ecuación inconsistente es el conjunto vacío o nulo, representado por { } o ¤. El conjunto solución de una identidad es el conjunto de los números reales, y se representa como .

EJEMPLO 9

Determine si la ecuación 5(d  7)  4d  3  3(3d  10)  2 es una ecuación condicional, una ecuación inconsistente o una identidad. Dé el conjunto solución para la ecuación.

Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 51

Solución

51d - 72 + 4d + 3 = 313d - 102 - 2 5d - 35 + 4d + 3 = 9d - 30 - 2 9d - 32 = 9d - 32

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 121

EJEMPLO 10 Solución

Propiedad distributiva. Reduzca los términos semejantes.

Como obtenemos la misma expresión en ambos lados de la ecuación, podemos concluir que es una identidad. En otras palabras, esta ecuación es verdadera para todos los números reales y, por lo tanto, su conjunto solución es . ✺ Determine si 2(3x  1)  6x  3 es una ecuación condicional, una ecuación inconsistente o una identidad. Proporcione el conjunto solución para la ecuación.

213x + 12 = 6x + 3 6x + 2 = 6x + 3 6x - 6x + 2 = 6x - 6x + 3

Propiedad distributiva. Reste 6x en ambos lados.

2 = 3 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 115

6

Como 2  3 la proposición nunca será verdadera; por lo tanto, esta ecuación es inconsistente y su conjunto solución es ¤. ✺

Entender los conceptos para resolver ecuaciones Los números o variables que aparecen en las ecuaciones no afectan los procedimientos que se utilizan para resolverlas. En el ejemplo siguiente, que no contiene letras ni números, resolveremos la ecuación utilizando los conceptos y procedimientos que se han presentado.

EJEMPLO 11

En la ecuación siguiente, suponga que } representa la variable cuyo valor queremos averiguar, y que los demás símbolos representan números reales diferentes de cero. Resuelva la ecuación para }.

n} + ^ = #

Solución

Para conocer el valor de } , es necesario aislar }. Para ello utilizaremos las propiedades de la suma y la multiplicación.

n} + ^ = # n} + ^ - ^ = # - ^

Reste ^ en ambos lados.

n} = # - ^ n} # - ^ = n n # - ^ } = n Por lo que la solución es } =

# - ^ . n

Divida ambos lados entre n.

✺

Considere la ecuación 5x  7  12. Si hacemos que 5 = n, x = }, 7 = ^, y 12  #, la ecuación tiene la misma forma que la del ejemplo 11. Por lo tanto, la solución será semejante.

52 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Ecuación

Solución

n} + ^ = #

} =

5x + 7 = 12

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 139

x =

# - ^ n

12 - 7 5 = = 1 5 5

Si usted resuelve la ecuación 5x  7  12, verá que su solución es 1. Por lo tanto, el procedimiento utilizado para resolver una ecuación no depende de los números o variables dadas en la ecuación.

Conjunto de ejercicios 2.1 Ejercicios conceptuales 1. ¿Qué son los términos de una ecuación? 2. Determine el coeficiente de cada término. a) x 2y 5

b) - a 3b7

c) -

a - 7b 5

3. Determine el coeficiente de cada término.

x + y 4

a)

b) - 1x + 32

c) -

31x + 22 5

4. ¿Cómo se determina el grado de un término? 5. a) ¿Qué son los términos semejantes?

9. Establezca la propiedad de suma de la igualdad. 10. Establezca la propiedad de multiplicación de la igualdad. 11. a) ¿Cuántas soluciones tiene una identidad? b) Si una ecuación lineal es una identidad, ¿cuál es su conjunto solución? 12. a) ¿Que es una ecuación inconsistente? b) ¿Cuál es el conjunto solución de una ecuación inconsistente? 13. a) Explique con sus propias palabras los pasos necesarios para resolver la ecuación

5x - 21x - 42 = 21x - 22

b) ¿Los términos 3x y 3x2 son semejantes? Explique. 6. ¿Qué es una ecuación? 7. ¿La solución de la ecuación 2x  3  x  5 es 4? Explique. 8. ¿El conjunto solución para la ecuación x  1  2x – 7 es {8}? Explique.

b) Resuelva la ecuación anterior. 14. a) Explique con sus propias palabras los pasos necesarios para resolver la ecuación

2 1 1 = x 6 3 8 b) Resuelva la ecuación anterior.

Problemas de aplicación Diga el nombre de cada propiedad. 15. Si x  13, entonces 13  x.

16. Si x  2  3, entonces 3  x  2.

17. Si b  c y c  7, entonces b  7.

18. Si x  1  a y a  2y, entonces x  1  2y.

19. a + c = a + c

20. Si x  4, entonces x  3  4  3.

21. Si x  8, entonces x  8  8  8.

22. Si 2x  4, entonces 3(2x)  3(4).

1 1 23. Si 5x  4, entonces 15x2 = 142. 5 5

24. Si x  2  4, entonces x  2  2  4  2.

25. Si

t t 1 5 1 5 + = , entonces 12 a + b = 12 a b . 4 3 6 4 3 6

26. Si x  3  x  y y x  y  z, entonces x  3  z.

Indique el grado de cada término. 27. 5c3

28. - 6x 2

29. 3xy

30.

1 4 xy 2

Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 53 31. 6

32. -3

5 6

36. x y

35. 5a b c

34. 18x 2y 3

33. -5x

4 6

2 4

38. -2x 4y 7z8

37. 3x y z

Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, indíquelo. 39. 7r + 3b - 11x + 12y

40. 3x 2 + 4x + 5

41. 5x 2 - 3x + 2x - 5

42. 11a - 12b - 4c + 5a

43. 10.6c2 - 2.3c + 5.9c - 1.9c2

44. 7y + 3x - 7 + 4x - 2y

45. w 3 + w 2 - w + 1

46. b + b2 - 4b + b2 + 3b

47. 6pq - 7pq + p + q

48. 7x 3y 2 + 11y 3x 2

49. 12 a

51. 3a x +

d 1 + b - d 6 4

1 1 b - x + 5 2 3

50. 4.3 - 3.2x - 21x - 22 52. 6n + 0.61n - 32 - 51n + 0.72

53. 4 - 3613x + 22 - x4 + 4

54. 31x + y2 - 41x + y2 - 3

55. 4x - 33x - 15x - 4y24 + y

57. 5b - 573213b - 22 - 14b + 924 - 26 2

59. -532rs - 31r + 2s24 - 212r - s26

56. - 233x - 12y - 12 - 5x4 + y

58. 2533a - 12b - 5a24 - 312a - b26

60. p2q + 4pq - 3- 1pq + 4p2q2 + pq4

Resuelva cada ecuación. 61. 5a - 1 = 14

62. 2x + 3 + x = 9

63. 5x - 9 = 31x - 22

64. 5s - 3 = 2s + 6

65. 4x - 8 = - 412x - 32 + 4

66. 8w + 7 = - 3w - 4

67. - 61z - 12 = - 51z + 22

68. 71x - 12 = 41x + 22

69. -31t - 52 = 21t - 52

70. 412x - 42 = - 21x + 32

71. 3x + 41x - 22 = 4x - 5

72. 61q - 32 = - 41q + 22

73. 2 - 1x + 52 = 4x - 8

74. 4x - 213x - 72 = 2x - 6

75. p - 1p + 42 = 41p - 12 + 2p

76. 8x + 21x - 42 = 8x + 10

77. -31y - 12 + 2y = 41y - 32

78. 5r - 13 - 6r = 31r + 52 - 16

79. 6 - 1n + 32 = 3n + 5 - 2n

80. 8 - 312x - 42 = 5 + 3x - 4x

81. 412x - 22 - 31x + 72 = - 4

82. - 213w + 62 - 14w - 32 = 21

83. -413 - 4x2 - 21x - 12 = 12x

84. -412z - 62 = - 31z - 42 + z

85. 51a + 32 - a = -14a - 62 + 1

86. 312x - 42 + 31x + 12 = 9

87. 51x - 22 - 14x = x - 5

88. 336 - 1h + 224 - 6 = 41- h + 72

90. - z - 6z + 3 = 4 - 36 - z - 13 - 2z24

92. 3531x - 22 + 4x4 - 1x - 326 = 4 - 1x - 122

94. - 316 - 4x2 = 4 - 55x - 36x - 14x - 13x + 22246

89. 233x - 14x - 624 = 51x - 62

91. 452 - 331c + 12 - 21c + 1246 = - 2c

93. - 541d + 32 - 533d - 212d + 724 -86 = -10d - 6

Resuelva cada ecuación. Si su respuesta no es un entero, déjela como una fracción.

s = - 16 4 3 7 t + t = 39 99. 4 8 3 102. x - 2 = 1x + 42 4 95.

96.

4x - 2 5x + 3 1 = -6 = 2 16x - 102 = 7 97. 98. 3 4 2 1 1 3 1x - 22 = 12x + 62 100. 101. 4 - x = 7 4 3 4 1 4 5 7 1 5 2 = x = m + m 103. 104. 2 5 4 6 12 8 3

Resuelva cada ecuación. Redondee las respuestas al centésimo más cercano. 105. 0.4n + 4.7 = 5.1n 107. 4.7x - 3.61x - 12 = 4.9

106. 0.21x - 302 = 1.6x 108. 6.1p - 4.513 - 2p2 = 15.7

54 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades 109. 51z + 3.412 = - 7.8912z - 42 - 5.67

110. 0.0512000 + 2x2 = 0.0412500 - 6x2

111. 0.61500 - 2.4x2 = 3.612x - 40002

112. 0.42x - x = 5.11x + 32

113. 100017.34q + 14.782 = 10013.91 - 4.21q2

114. 0.6114x - 80002 = - 0.4120x + 12,0002 + 20.6x

Determine el conjunto solución para cada ejercicio. Luego indique si la ecuación es condicional, inconsistente o una identidad.

115. 31y + 32 - 412y - 72 = - 5y + 2

116. 4x + 12 - 8x = - 61x - 22 + 2x

117. 412x - 32 + 5 = - 61x - 42 + 12x - 31

118. - 51c + 32 + 41c - 22 = 21c + 22

121. 61x - 12 = - 312 - x2 + 3x

122. 61z + 52 - 51z + 22 = - 31z + 12 + 41z - 52

119. - 1- b + 72 - 61b + 32 = - 51b + 52

123. - 51d - 42 + 3d - 5 = 31d + 1 - 2d2 + d

120. -34 - 1x - 224 = 2x - 2 - x

124. 412 - 3x2 = - 36x - 18 - 6x24

Resolución de problemas 125. Bebés dormilones El doctor Richard Ferber, un pediatra experto en problemas del sueño, ha desarrollado un método* para ayudar a los niños, de 6 meses de edad en adelante, a dormir toda la noche. Conocido como “Ferberizing”, este método consiste en que los padres deben esperar intervalos de tiempo cada vez más grandes antes de entrar a la habitación del niño para consolar su llanto durante la noche. El tiempo sugerido de espera depende de cuántas noches se ha utilizado el método, y puede determinarse por medio de la ecuación

W = 5n + 5 en donde W es el tiempo de espera en minutos y n es el número de noches. Por ejemplo, la primera noche es n  1, la segunda noche es n  2, etcétera. a) ¿Cuánto deben esperar los padres la primera noche? b) ¿Cuánto deben esperar la cuarta noche? c) ¿En qué noche los padres deben esperar 30 minutos? d) ¿En qué noche deben esperar 40 minutos?

sucesivamente. Si la densidad de población continúa en aumento a la tasa actual, a) determine la densidad poblacional de Estados Unidos en 2005. b) ¿en que año la densidad poblacional de Estados Unidos llegará a 100 personas por milla cuadrada? 127. Participación de mercado de los fabricantes de automóviles Desde 1993, los fabricantes estadounidenses de automóviles han ido perdiendo parte del mercado ante sus competidores de Asia y Europa. Del total de automóviles vendidos en Estados Unidos, el porcentaje que corresponde a los autos de fabricación doméstica puede estimarse usando la ecuación

M = - 1.26x + 75.34 en donde M es el porcentaje de automóviles de fabricación doméstica del total vendido en Estados Unidos, y x es el número de años desde 1993. Utilice x  1 para 1994, x  2 para 1995, etcétera.

126. Densidad poblacional La densidad poblacional de Estados Unidos ha aumentado de manera constante desde 1990, y puede estimarse por medio de la ecuación

P = 0.81t + 70.4 en donde P es la densidad poblacional, es decir, el número de personas por milla cuadrada, y t es el número de años desde 1990. Utilice t  1 para 1991, t  2 para 1992, y así

a) ¿Qué porcentaje del total de automóviles vendidos en Estados Unidos corresponde a autos de fabricación doméstica en 2003? b) ¿En qué año el porcentaje de autos de fabricación doméstica será de 58.96% sobre el total de ventas en Estados Unidos?

*Antes de utilizar este método, los padres deben consultar a un médico pediatra.

Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 55 128. Pensiones Las pensiones son seguros de vida que garantizan pagos futuros. Una de sus variantes, denominada pensión variable, es una cuenta de retiro que permite invertir en un fondo mutualista y diferir el pago de impuestos hasta que se realicen los retiros en el futuro. El número de personas que opta por este tipo de pensiones ha aumentado de manera constante en los años recientes, y su número puede calcularse mediante la ecuación

S = 10x + 20 en donde S representa la venta total de pensiones variables (en miles de millones de dólares), y x es el número de años desde 1991. Utilice x  1 para 1992, x  2 para 1993, etcétera. a) Determine la venta total de pensiones variables en 2001. b) ¿En qué año la venta de este tipo de pensión alcanzará los 140 mil millones de dólares? 129. Población de Jamestown La población del municipio de Jamestown, en Wisconsin, ha estado creciendo paulatinamente desde 1996. La población puede calcularse usando la ecuación

P = 7x + 2170 en donde P es la población del municipio de Jamestown y x es el número de años desde 1996. Utilice x  1 para 1997, x  2 para 1998, y así sucesivamente. a) ¿Cuál fue la población en 2003? b) Si continúa la misma tasa de crecimiento, ¿en qué año la población llegará a 2240 habitantes?

130. Considere la ecuación x  4. Proporcione tres ecuaciones equivalentes. Explique por qué son equivalentes. 131. Considere la ecuación 2x  5. Proporcione tres ecuaciones equivalentes. Explique por qué son equivalentes. 132. Invente una ecuación que sea una identidad. Explique cómo creó la ecuación. 133. Invente una ecuación que sea inconsistente. Explique cómo creó la ecuación. 134. Cree una ecuación con tres términos a la izquierda del signo igual y dos términos a la derecha, y que sea equivalente a la ecuación 3x  1  x  5. 135. Cree una ecuación con dos términos a la izquierda del signo igual y tres términos a la derecha, y que sea equivalente a la ecuación 12 x + 3 = 6. 136. En la ecuación –3(x  2)  5x  12  n, ¿qué número real debe ser n para que la solución sea 6? Explique cómo determinó su respuesta. 137. En la ecuación 2(x  5)  n  4x – 8, ¿qué número real debe ser n para que la solución sea 2? Explique cómo determinó su respuesta. 138. En la ecuación n6 + x4 = 2, ¿qué número real debe ser n para que la solución sea x  2? Explique cómo determinó su respuesta.

Resuelva cada ecuación para el símbolo dado. Suponga que el símbolo que despeja representa la variable, y que todos los demás símbolos representan números reales diferentes de cero. Vea el ejemplo 11.

139. De ❋^ - n = } despeje ^.

140. De ^1} + n2 =  despeje ^.

141. De } n + ^ =  despeje }.

142. De ^1} + n2 =  despeje n.

Ejercicios de repaso acumulativo 143. a) Explique con sus propias palabras cómo se determina el valor absoluto de un número. b) Escriba la definición de valor absoluto.

Evalúe. 144. a) -32

3 - 64 145. 1 146. a - b

3 4

b) 1- 322

3

2.2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y USO DE FÓRMULAS 1

Usar el procedimiento para resolución de problemas.

2

Despejar una variable en una ecuación o fórmula.

56 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

1

Usar el procedimiento para resolución de problemas Una de las principales razones para estudiar matemáticas, es que las podemos utilizar para resolver problemas de la vida diaria. Para resolver de forma matemática casi todos los problemas de aplicación de la vida real, es necesario que podamos expresarlos mediante símbolos matemáticos en expresiones o ecuaciones; al hacerlo, estamos creado un modelo matemático de la situación. En esta sección se presenta un procedimiento para resolución de problemas y se analizan fórmulas. Una fórmula es una ecuación o modelo matemático de una situación de la vida real. A lo largo del libro resolveremos problemas y, para hacerlo, determinaremos una ecuación o fórmula que represente o modele la situación del mundo real. A continuación se indica un procedimiento general de cinco pasos para resolver problemas, desarrollado por George Polya y presentado en su libro How to Solve it (Cómo resolverlo). Siguiendo este procedimiento general, es posible enfrentar cualquier problema.

George Polya

Guía para la resolución de problemas 1. Entienda el problema

•

Lea el problema cuidadosamente al menos dos veces. En la primera lectura, hágase una idea general del problema. En la segunda, determine a) exactamente qué se le está pidiendo, y b) qué información proporciona el problema.

•

De ser posible, haga un bosquejo que ilustre el problema. Identifique la información proporcionada.

•

Liste la información en una tabla, si cree que hacerlo le ayudará a resolver el problema.

2. Traduzca el problema a lenguaje matemático.

• •

Por lo general, esto quiere decir expresar el problema en forma algebraica. En ocasiones esto incluye la selección de una fórmula específica a utilizar; en otras, usted tendrá que crear su propia ecuación. Incluso, podría ser necesario verificar otras fuentes de información para encontrar la fórmula apropiada que se debe utilizar.

3. Realice los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema. 4. Compruebe la respuesta obtenida en el paso 3.

•

Pregúntese: “¿esta respuesta tiene sentido?, ¿es razonable?”. Si la respuesta no es razonable, vuelva a verificar el método que utilizó para resolver el problema y compruebe sus cálculos.

•

De ser posible, verifique la solución en el problema original.

5. Responda la pregunta. Asegúrese de haber respondido la pregunta realizada. Establezca las respuestas con claridad.

Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar estas instrucciones para la resolución de problemas. En algunos ejemplos se indicarán claramente los cinco pasos para ilustrar el procedimiento. Sin embargo, en otros quizá no sea posible o necesario. Como se indica en el paso 2 de la guía para la resolución de problemas —traduzca el problema a lenguaje matemático—, algunas veces es necesario encontrar y usar una fórmula; en esta sección se muestra cómo hacerlo. En la sección 2.3 explicaremos cómo construir ecuaciones para resolver problemas de la vida real.

EJEMPLO 1

Préstamo personal Sofía Gutiérrez le hace un préstamo a su hermano, Saúl. El monto del préstamo es de $5000, con un interés simple de 6% anual, y Saúl tendrá que devolverlo 3 años después.

Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 57

a) ¿Qué interés le pagará Saúl a Sofía transcurridos los 3 años? b) Cuando Saúl pague el préstamo 3 años después, ¿cuánto dinero, en total, deberá pagarle a Sofía?

Solución

a) Entienda el problema Cuando una persona obtiene un préstamo con interés simple, deberá pagar tanto el interés como el capital (es decir, el monto original que se le prestó) en una fecha determinada. Por ejemplo, si un préstamo con interés simple tiene una vigencia de 3 años, transcurrido ese tiempo tendrá que pagarse el capital más el interés. En el problema se nos dice que el interés simple tiene una tasa de 6%, y que la vigencia del préstamo es de 3 años. Traduzca Muchos libros de matemáticas financieras y de inversiones incluyen la fórmula de interés simple:

interés  capital  tasa  tiempo o i  prt Esta fórmula puede usarse para determinar el interés simple, i. En la fórmula, p es el capital, r es la tasa de interés simple (siempre se cambia a forma decimal cuando se usa en la fórmula) y t es el tiempo. El tiempo y la tasa deben representarse en las mismas unidades. Por ejemplo, si la tasa es de 6% por año, entonces el tiempo debe representarse en años. En este problema, p  $5000, r  0.06 y t  3. El valor del interés simple, i, se obtiene sustituyendo estos valores en la fórmula. Realice los cálculos

i = prt = 500010.062132 = 900

La respuesta parece razonable, ya que indica que Saúl pagará $900 por utilizar los $5000 de Sofía durante 3 años.

Compruebe

Responda

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67

EJEMPLO 2

a) Saúl le pagará a Sofía $900 de interés simple.

b) Transcurridos 3 años, Saúl debe pagar el capital que le prestaron, $5000, más el interés determinado en la parte a), $900. (El capital más el interés que se debe se denomina monto adeudado, A). Por lo tanto, cuando Saúl salde su deuda, deberá pagarle $5900 a Sofía. ✺ Finanzas personales Catalina Carmona recibe un reembolso de impuestos por $1425, e invierte este dinero para ayudar a pagar el primer semestre de la universidad de su hermano. Catalina invierte el dinero en un certificado de depósito que le ofrece una tasa de interés anual de 3% compuesto de forma mensual durante 18 meses. a) ¿Cuánto valdrá el certificado de depósito después de 18 meses? b) ¿Cuánto ganará Catalina por concepto de intereses durante los 18 meses?

Solución

a) Entienda el problema Antes de nada, debe comprender qué es el interés compuesto. Este concepto significa que el inversor obtiene un interés sobre inversión en el primer periodo; en el periodo siguiente, obtiene el interés sobre su inversión, más el interés sobre el interés que se pagó en el primer periodo. Este proceso se repite en cada periodo. Como puede ver, en muchas situaciones de la vida real, y en muchas que podrían presentársele en su trabajo, es necesario hacer cierta investigación para responder las preguntas que se nos plantean. Según se plantea en el problema, se hizo una inversión de $1425 por 18 meses y con una tasa de interés de 3% compuesto mensual.

58 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades Traduzca Si busca en un libro de matemáticas financieras o le pregunta a una persona relacionada con las finanzas, averiguará que la fórmula del interés compuesto es:

A = pa1 +

r nt b n

Las instituciones financieras utilizan la fórmula del interés compuesto para calcular la cantidad acumulada (o el saldo), A, de las cuentas de ahorros y otras inversiones que devengan interés compuesto. En la fórmula, p representa el capital (o inversión inicial), r representa la tasa de interés (escrita en forma decimal), n representa el número de periodos por año que se paga el interés, y t representa el tiempo medido en años. En este problema, p  $1425, r  0.03, t  1.5 (18 meses es igual a 1.5 años) y, como el interés se paga cada mes, n  12. Sustituya estos valores en la fórmula y haga los cálculos.

r nt b n 0.03 1211.52 = 1425a1 + b 12 = 142511 + 0.0025218

A = pa1 +

Realice los cálculos

= 142511.0025218 = 142511.045969122

Obtenido con una calculadora.

= 1490.51

Redondeado al centavo más cercano.

La respuesta, $1490.51, es razonable, ya que es una cantidad superior a la que Catalina invirtió al principio. Compruebe

El certificado de depósito de Catherine tendrá un valor de $1490.51 transcurridos 18 meses.

Responda

b) Entienda el problema El monto total que se obtiene por concepto de intereses será la diferencia entre el monto original invertido y el valor del certificado de depósito transcurridos los 18 meses. Traduzca Realice los cálculos

interés = a

monto invertido valor del certificado de b - a b originalmente depósito después de 18 meses

 1490.51  1425  65.51

Compruebe El monto de los intereses es razonable, y el cálculo puede verificarse fácilmente. AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 77

Responda

El interés ganado en el periodo de 18 meses será de $65.51.

✺

Muchas veces, las fórmulas incluyen subíndices, que son números (u otras variables) colocados debajo y a la derecha de las variables; su función es ayudar a clarificarlas. Por ejemplo, si una fórmula contiene dos velocidades, la velocidad inicial y la velocidad final, estas velocidades pueden representarse como V0 y Vf, respectivamente. Los subíndices se leen usando la palabra “sub”. Por ejemplo, Vf se lee “V sub f” y x2 se lee “x sub 2”. La fórmula utilizada en el ejemplo 3 tiene subíndices.

EJEMPLO 3

Comparación de inversiones Mariana Gómez percibe ingresos por un monto gravable con un impuesto federal de 27%. Mariana está tratando de decidir si debe invertir en bonos municipales libres de impuestos (que pagan una tasa de interés de 2.24%), o en certificados de depósito gravables con una tasa de 3.70%. a) Determine la tasa de interés gravable equivalente a 2.24% libre de impuestos para Mariana. b) Si ambas inversiones tuvieran vigencia por el mismo periodo, ¿cuál le proporcionaría a Mariana el mayor rendimiento sobre su inversión?

Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 59

Solución

a) Entienda el problema Los intereses que recibimos por ciertas inversiones, como los bonos municipales, no son gravables. Esto significa que no tenemos que pagar impuestos federales sobre el interés que recibimos. Los intereses devengados por otras inversiones como las cuentas de ahorro o los certificados de depósito, sí son gravables. Pagar impuestos sobre el interés, provoca una reducción en el monto que en realidad deberíamos recibir por nuestra inversión. De acuerdo con el problema, necesitamos determinar la tasa de interés gravable que es equivalente a una tasa de 2.24% libre de impuestos para Mariana (o para cualquier persona que perciba ingresos gravables con una tasa fiscal de 27%). Una fórmula que ofrecen muchos libros de finanzas y algunas publicaciones gubernamentales para comparar tasas de interés gravables y libres de impuestos es

Traduzca

Tf = Ta11 - F2 en donde Tf es la tasa libre de impuestos, Td es la tasa gravable y F es el rango de ingresos gravables con impuestos federales. Para determinar la tasa gravable, Ta, sustituimos los valores apropiados en la fórmula y despejamos Ta.

Tf = Ta11 - F2

0.0224 = Ta11 - 0.272

Realice los cálculos

0.0224 = Ta10.732 0.0224 = Ta 0.73 0.0307 L Ta

Compruebe

Redondee a cuatro decimales.

La respuesta parece razonable, ya que es mayor a 2.24%, tal como

se esperaba. Responda La tasa de impuestos gravable equivalente para Mariana es de alrededor de 3.07%; esto significa que después de pagar impuestos, una inversión gravable que produzca alrededor de 3.07% le daría a Mariana aproximadamente la misma tasa de interés que una inversión libre de impuestos de 2.24%.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 83

2

b) Se nos pidió determinar qué inversión proporcionaría a Mariana el mayor rendimiento sobre su inversión. Podemos comparar la tasa gravable equivalente a los bonos municipales, con la tasa de interés gravable de los certificados de depósito. La tasa más alta proporcionará a Mariana el mayor rendimiento sobre su inversión. Como vimos en la parte a), la tasa gravable equivalente a los bonos municipales es de 3.07%. La tasa sujeta a impuestos de los certificados de depósito es de 3.70%. Por lo tanto, el certificado de depósito, que paga 3.70%, dará a Mariana un mayor rendimiento sobre su inversión que el bono municipal libre de impuestos, que paga 2.24%. ✺

Despejar una variable en una ecuación o fórmula Hay muchas situaciones en las que usted podría tener una ecuación o fórmula con una variable despejada, pero tener la necesidad de despejar otra. En el ejemplo 3, suponga que queremos determinar la tasa gravable equivalente, Ta, para muchas tasas de interés libres de impuestos y muchos rangos de ingresos. Podríamos resolver cada problema de forma individual, como ya lo hicimos. Sin embargo, sería mucho más rápido despejar Ta en la fórmula Tf  Ta(1  F) y luego sustituir los valores apropiados en la fórmula. Haremos esto en el ejemplo 8. Comenzaremos resolviendo ecuaciones para la variable y. Necesitaremos hacer esto en el capítulo 3, cuando estudiemos graficación. Como las fórmulas son ecuaciones,

60 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

para despejar una variable en ellas se usa el mismo procedimiento que para despejarla en una ecuación. Cuando se le dé una ecuación (o fórmula) con una variable despejada y usted quiera despejar otra diferente, trate cada variable de la ecuación, excepto la que quiere despejar, como si fuesen constantes. Después, aísle la variable que quiere despejar utilizando los mismos procedimientos que se utilizan para resolver ecuaciones.

EJEMPLO 4 Solución

Despeje y en la ecuación 5x  8y  16. Despejaremos la variable y aislando el término que contiene a y en el lado izquierdo de la ecuación

5x - 8y = 16 5x - 5x - 8y = - 5x + 16

Reste 5x en ambos lados.

-8y = - 5x + 16 -8y -5x + 16 = -8 -8 - 5x + 16 y = -8 y =

y = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29

EJEMPLO 5 Solución

Divida ambos lados entre 8.

- 11-5x + 162

Multiplique por –1 el numerador y el denominador.

-11- 82 5x - 16 8

o y =

Despeje y en la ecuación 2y - 3 =

5 x - 2 8

✺

1 1x + 3y2. 2

Como la ecuación contiene una fracción, empezamos por multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador, 2. Luego aislamos la variable y agrupando todos los términos que la contienen en un lado de la ecuación, y los demás términos en el otro lado.

1 1x + 3y2 2 1 2 12y - 32 = 2 c 1x + 3y2 d 2 4y - 6 = x + 3y 2y - 3 =

4y - 3y - 6 = x + 3y - 3y

Multiplique ambos lados por el MCD, 2. Propiedad distributiva. Reste 3y en ambos lados.

y - 6 = x y - 6 + 6 = x + 6 y = x + 6

Sume 6 en ambos lados.

✺

Ahora despejemos una variable en una fórmula. Recuerde: nuestro objetivo es aislar la variable que queremos despejar. Para ello usamos el mismo procedimiento general empleado en los ejemplos 4 y 5.

EJEMPLO 6 Solución

La fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo es P  2l  2w, en donde l es el largo y w es el ancho del rectángulo (vea la figura 2.2). Despeje w en esta fórmula. Ya que vamos a despejar la variable w, debemos aislarla en un lado de la ecuación.

Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 61 Rectángulo w l

FIGURA 2.2

EJEMPLO 7 Solución Trapecio b1 h b2

FIGURA 2.3

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57

P = 2l + 2w P - 2l = 2l - 2l + 2w Reste 2l en ambos lados. P - 2l = 2w P - 2l 2w = Divida ambos lados entre 2. 2 2 P - 2l = w 2 P - 2l P 2l P = - l. Así, w = ow = 2 2 2 2

✺

La fórmula para determinar el área de un trapecio es A = 12 h1b1 + b22, en donde h es la altura y b1 y b2 son las longitudes de las bases inferior y superior del trapecio, respectivamente (vea la figura 2.3). Despeje b2 en esta fórmula. Empezamos multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD, 2, para eliminar las fracciones.

1 h1b1 + b22 2 1 2 # A = 2 c h1b1 + b22 d 2 2A = h1b1 + b22 h1b1 + b22 2A = h h 2A = b1 + b2 h A =

2A - b1 = b1 - b1 + b2 h 2A - b1 = b2 h

Multiplique ambos lados por 2.

Divida ambos lados entre h.

Reste b1 en ambos lados.

✺

EJEMPLO 8

En el ejemplo 3 se presentó la fórmula Tf  Ta(1  F). a) Despeje Ta en esta fórmula. b) Juan y Dolores Cuevas perciben ingresos por un monto gravable con 35%. ¿Cuál es el rendimiento gravable equivalente a 3% del rendimiento libre de impuestos?

Solución

a) Deseamos despejar Ta en esta fórmula. Por lo tanto, trataremos a todas las demás variables de la ecuación como si fueran constantes. Como la variable Ta se multiplica por (1  F), para aislarla dividimos ambos lados de la ecuación entre 1  F.

Tf = Ta11 - F2 Ta1 1 - F 2 = 1 - F 1 - F Tf Tf = Ta or Ta = 1 - F 1 - F Tf

Divida ambos lados entre 1  F.

b) Sustituya los valores apropiados en la fórmula resultante en la parte a).

Ta =

Tf

1 - F 0.03 0.03 Ta = = L 0.046 1 - 0.35 0.65

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63

Así, el rendimiento gravable equivalente sería de alrededor de 4.6%.

✺

62 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Conjunto de ejercicios 2.2 Ejercicios conceptuales 1. ¿Qué es una fórmula? 2. ¿Qué es un modelo matemático? 3. Describa el procedimiento de cinco pasos que utilizaremos para la resolución de problemas. 4. Para despejar una variable en una fórmula, necesitamos aislarla. Explique qué significa esto. 5. En la ecuación 16  2l  2(3) y la fórmula P  2l  2w,

pejar l en la fórmula que el que usó para despejar l en la ecuación? d) En la fórmula de la parte b) en que despejó l, sustituya P por 16 y w por 3; luego determine el valor de l. ¿Cómo se compara el resultado con la respuesta que dio en la parte a)? Explique por qué. 6. a) ¿Qué son los subíndices?

a) despeje l de la ecuación.

b) ¿Cómo se lee x0?

b) despeje l de la formula.

c) ¿Cómo se lee vf?

c) ¿Fue diferente el procedimiento que utilizó para des-

Problemas de aplicación Evalúe las siguientes fórmulas para los valores dados. Utilice la tecla p de su calculadora cuando sea necesario. Redondee las respuestas al centésimo más cercano. 7. E  IR, cuando I  1.2, R  100 (fórmula conocida como Ley de Ohm, utilizada en electrónica y electricidad). 8. C  2pr cuando r  12 (fórmula para determinar la circunferencia de un círculo). 9. R  R1  R2, cuando R1  100, R2  200 (fórmula utilizada en electrónica y electricidad). 1 bh cuando b  7, h  6 (fórmula para determinar 2 el área de un triángulo).

10. A =

11. A  pr2 cuando r  8 (fórmula para determinar el área de un círculo). T1 P2 cuando T 1 = 250, T 2 = 500, P2 = 300 T2 (fórmula química que relaciona la temperatura y la presión de gases).

12. P 1 =

x1 + x2 + x3 cuando x 1 = 40, x 2 = 120, x3 = 80 3 (fórmula para determinar el promedio de tres números).

13. x =

1 h1b 1 + b 22 cuando h = 10, b 1 = 20, b 2 = 30 2 (fórmula para determinar el área de un trapecio).

14. A =

15. A  P  Prt cuando P  200, r  0.05, t  2 (fórmula bancaria para calcular el saldo total de una cuenta después de agregar el interés). 16. E  a1p1  a2p2 cuando a1  10, p1  0.2, a2  100, p2  0.3 (fórmula estadística para determinar el valor esperado de un evento).

y2 - y1 cuando y2  4, y1  3, x2  2, x1  6 x2 - x1 (fórmula para calcular la pendiente de una línea recta; estudiaremos esta fórmula en el capítulo 3).

17. m =

m1 m2

cuando G  0.5 m1  100, m2  200, r  4 r2 (fórmula de física que proporciona la fuerza de atracción entre dos masas separadas por una distancia, r).

18. F = G

R1 R2 cuando R1 = 100, R2 = 200 (fórmula de R1 + R2 electrónica para determinar la resistencia total en un circuito paralelo que tiene dos resistores

19. R T =

20. d = 21x2 - x122 + 1y2 - y122 cuando x2  5, x1  3, y2  6, y1  3 (fórmula para determinar la distancia entre dos puntos sobre una línea recta. - b + 2b2 - 4ac cuando a  2, b  5, c  12 2a (de la fórmula cuadrática; analizaremos la fórmula cuadrática en el capítulo 8).

21. x =

22. x =

-b - 2b2 - 4ac cuando a  2, b  5, c  12 2a

(de la fórmula cuadrática). r nt b cuando p  100, r  0.06, n  1, t  3 n (fórmula para calcular el interés compuesto; vea el ejemplo 2). x - m 24. z = cuando x = 80, m = 70, s = 15, n = 25 s 23. A = p a 1 +

1n (fórmula estadística para determinar la desviación estándar, o calificación z, de una media muestral, x)

Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 63 Despeje y en cada ecuación (vea los ejemplos 4 y 5). 25. 3x + y = 5

26. 7x + 3y = 9

27. x - 4y = 13

28. -3x + 5y = 25

29. 6x - 2y = 16

30. 6x = 7y + 23

31.

3 x - y = 1 4

33. 31x - 22 + 3y = 6x 35. y + 1 = -

4 1x - 92 3

y x = 1 4 6 2 34. y - 4 = 1x + 62 3 1 4 1x + 3y2 = 12x - 12 36. 5 7 32.

Despeje la variable indicada en cada ecuación (vea los ejemplos 6 a 8). 37. d = rt, para t

38. C = pd, para d

39. i = prt, para t

40. A = lw, para l

41. P = 2l + 2w, para l

42. P = 2l + 2w, para w

43. V = lwh, para h

44. A =

45. V = pr 2h, para h

46. Ax + By = C, para y

47. V =

1 lwh, para l 3

1 bh, para b 2

48. A = P + Prt, para r

49. y = mx + b, para m

50. IR + Ir = E, para R

51. y - y1 = m1x - x12, para m

52. z =

x - m , para m s T1 P2 P1 = , para T2 T2 1 A = h1b1 + b22, para h 2 n S = 1f + l2 para n 2 5 C = 1F - 322, para F 9 km1 m2 F = , para m1 d2

53. z =

54.

55.

56.

57. 59. 61.

63.

58. 60. 62. 64.

x - m , para s s kx , para z y = z mv2 F = , para m r x1 + x2 + x3 , para n A = n n S = 1f + l2, para l 2 9 F = C + 32, para C 5 1 A = h1b1 + b22, para b1 2

Resolución de problemas En los ejercicios 65 a 88, redondee su respuesta a dos decimales cuando sea necesario. 65. Tipo de cambio a) De acuerdo con el sitio Web Universal Converter, el 23 de enero de 2002, 1 dólar estadouniden-

se podía cambiarse por 9.15 pesos mexicanos. Escriba una fórmula para convertir dólares (d) a pesos (p).

64 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades b) Escriba una fórmula para convertir pesos a dólares. c) Explique cómo determinó sus respuestas a las partes a) y b). 66. Velocidad del Titanic Los barcos miden en nudos la velocidad a que se mueven. Por ejemplo, cuando el Titanic chocó con el iceberg, su velocidad era de casi 20.5 nudos. Un nudo equivale a 1 milla náutica por hora. Una milla náutica equivale aproximadamente a 6076 pies. Cuando la velocidad se mide en millas por hora, una milla equivale a 5280 pies.

Resuelva los ejercicios 71 a 76. 71. Área de una diana George Young, campeón de tiro con dardos en el estado de Michigan, practica en una diana con círculos concéntricos, como la que se muestra en la figura. 25 50 100

a) Determine una fórmula para convertir nudos (n) en millas por hora (m). b) Explique cómo determinó esta fórmula. c) Determine la velocidad, en millas por hora, a la que viajaba el Titanic cuando chocó con el iceberg.

2 pulg. 6 pulg. 10 pulg.

a) Determine el área del círculo marcado con 100. b) Determine el área total de la diana. 72. Corral infantil Alicia Cortés está planeando construir un corral rectangular para que su hija juegue.Tiene 38 pies de madera para construirlo. Si el largo del corral será de 11 pies, ¿cuál será el ancho? 73. Concreto para estacionamiento Braulio Ledesma utilizará concreto para hacer un estacionamiento en su casa. El espacio para fabricarlo tiene 15 pies de largo por 10 pies de ancho y 6 pulgadas de profundidad. a) Determine, en pies cúbicos, el volumen de concreto que necesitará. En los ejercicios 67 a 70, utilice la fórmula para calcular el interés simple i  prt. Vea el ejemplo 1.

67. Préstamo personal David Jiménez le prestó a su colega, Mauricio Prado, $550 por 4 años a una tasa de interés simple de 7% anual. Determine el interés simple que debe pagar Mauricio a David cuando le pague el préstamo al término de los 4 años. 68. Determine la tasa de interés Jerónimo Hernández pidió prestados $250 por dos años a su unión de crédito. El interés simple que pagó fue de $26.45. ¿Cuál fue la tasa de interés simple que le cobraron? 69. Determine la duración de un préstamo Jacqueline Beltrán le prestó a su hermana Daniela $20,000 a una tasa de interés simple de 3.75% anual. Al final del periodo del préstamo, Daniela le pagó a Jacqueline los $20,000 originales más $4875 de interés. Determine el tiempo que duró el préstamo. 70. Un certificado de depósito Fernando Sáenz recibió $2000 como pago por una conferencia que ofreció en un seminario de planeación financiera. Fernando invirtió el dinero en un certificado de depósito durante 2 años. Cuando lo cobró, recibió $2166. ¿Cuál fue la tasa de interés simple que recibió por este certificado de depósito?

b) Si 1 yarda cúbica  27 pies cúbicos, ¿cuántas yardas cúbicas de concreto son necesarias? c) Si el concreto cuesta $35 por yarda cúbica, ¿cuál es el costo del concreto necesario? El concreto debe comprarse en yardas cúbicas completas. 74. Área de un helipuerto Un helipuerto de Monterrey, Nuevo León, tiene dos círculos concéntricos, como se muestra en la figura.

30 pies

50 pies

Determine el área del círculo exterior de la figura. 75. Recipientes para helado La compañía de helados de Rodrigo y Patricia vende helados en dos recipientes, un bote cilíndrico y una caja rectangular como los que se muestran en la siguiente ilustración. ¿A cuál recipiente le cabe más helado y cuál es la diferencia de volúmenes entre ambos?

Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 65 Para resolver los ejercicios 81 a 84, consulte el ejemplo 3.

6.25 pulg.

3.5 pulg.

5 pulg. 5 pulg.

7 pulg.

76. Capacidad de una cubeta Belén Poltorak tiene una cubeta en la que desea diluir detergente. Las dimensiones de la cubeta se muestran en la figura.

81. Tasa gravable equivalente María Pérez es una estudiante que percibe ingresos por un monto gravable con 15% de impuestos federales. Ella está considerando invertir $1500 en un bono de un fondo mutualista libre de impuestos que paga 3.5% de interés simple. Determine la tasa gravable equivalente a 3.5% de tasa libre de impuestos. 82. Comparación de inversiones Laura Girón obtiene ingresos por un monto gravable con 38.6% de impuestos federales, y está tratando de decidir si debe invertir su dinero en un bono municipal libre de impuestos que paga 3% de interés simple, o en un certificado de depósito gravable que paga 3.5% de interés simple. ¿Cuál inversión le da un mayor rendimiento?

83. Inversión familiar Carlos Menéndez percibe ingresos por un monto gravable con 38.6% de impuestos federales, y su hijo, Antonio, obtiene un monto gravable con 27%. Cada uno de ellos está considerando invertir su dinero en un fondo mutualista libre de impuestos que produce 4.6% de interés simple. a) Determine la tasa gravable equivalente a una tasa libre de impuestos de 4.6% para Carlos. b) Determine la tasa gravable equivalente a una tasa libre de impuestos de 4.6% para Antonio

a) Determine la capacidad de la cubeta en pulgadas cúbicas. b) Si 231 pulgadas cúbicas  1 galón, ¿cuál es la capacidad de la cubeta en galones? c) Si las instrucciones de la botella de detergente indican que se debe agregar 1 onza por galón de agua, ¿cuánto detergente debe agregar Belén a la cubeta llena de agua? Para resolver los ejercicios 77 a 80, consulte el ejemplo 2.

77. Cuenta de ahorros Beatriz Retana invirtió $10,000 en una cuenta de ahorro que paga 6% de interés compuesto cada trimestre. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta de ahorros al cabo de 2 años? 78. Capitalización mensual Isabel Montes invirtió $8500 en una cuenta de ahorro que paga 6.5% de interés compuesto cada mes. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta al cabo de 4 años? 79. Certificado de depósito Demetrio Sánchez invierte $4390 en un certificado de depósito que paga 4.1% de interés compuesto cada semestre. ¿Cuánto valdrá el certificado después de 36 meses? 80. Comparación de cuentas Nadia Cisneros tiene $1500 para invertir durante un año, y tiene que decidir entre abrir una cuenta en una unión de crédito que paga 4.5% de interés simple anual, y una cuenta bancaria que paga 4% de interés compuesto cada trimestre. Determine cuál cuenta pagaría más interés y por cuánto.

84. Comparación de inversiones Marissa Fernández está pensando invertir $9200 en una cuenta gravable que da 6.75%, o en una cuenta libre de impuestos que produce 5.5%. Si Marissa obtiene ingresos por un monto gravable con 27% de impuestos, ¿qué inversión le dará el mayor rendimiento? Los ejercicios 85 a 88 presentan diversas situaciones. Resuélvalos. 85. Pérdida de peso Un nutriólogo le explica a Josefina Torres que, para perder peso, es necesario quemar más calorías de las que se consumen. Por ejemplo, Josefina, una mujer de 56 que pesa 132 libras, mantendrá más o menos el mismo peso con una dieta diaria de 2400 calorías y haciendo ejercicio normal. Si quema más de 2400 calorías diariamente, perderá una cantidad de libras que puede calcularse mediante el modelo matemático w  0.02c, en donde w es la pérdida de peso semanal y c es el número de calorías quemadas por día, por arriba de 2400. a) Determine cuántas libras perderá Josefina si hace ejercicio y quema 2600 calorías por día. b) ¿Cuántas calorías debería quemar Josefina en un día para perder 2 libras en una semana?

66 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades 86. Prueba de esfuerzo Cuando un médico realiza una prueba de esfuerzo en un paciente, sabe que, cuando su ritmo cardiaco llegue a cierto punto, deberá interrumpirla. El máximo ritmo cardiaco permitido, m, en latidos por minuto, puede calcularse mediante la ecuación m  0.875x  190, en donde x representa la edad del paciente de 1 a 99 años. Usando este modelo matemático, determine a) el ritmo cardiaco máximo permitido para un persona de 50 años. b) la edad de una persona cuyo ritmo cardiaco máximo permitido es de 160 latidos por minuto. 87. Saldo de una cartera de inversión Algunos especialistas en finanzas recomiendan la siguiente regla a los inversionistas. De su inversión total, el porcentaje de acciones debe ser igual a 100 menos su edad; el resto debe ser colocado en bonos o mantenerse en efectivo.

b) Utilizando la regla mencionada, determine el porcentaje en acciones que debe poseer una persona de 60 años. 88. Índice de masa muscular El índice de masa muscular es una método estándar para calcular el peso corporal de una persona respecto de su estatura. Para determinar su índice de masa corporal (IMC) usando medidas métricas, divida su peso (en kilogramos) entre su estatura (en metros) elevada al cuadrado. Una forma abreviada para calcular el IMC usando libras y pulgadas, consiste en multiplicar por 705 su peso (en libras) y luego dividir el resultado entre el cuadrado de su altura (en pulgadas). a) Cree una fórmula para determinar el IMC de una persona usando kilogramos y metros. b) Cree una fórmula para determinar el IMC de una persona cuando el peso está dado en libras y la altura en pulgadas.

a) Construya modelos matemáticos para calcular qué porcentaje debe conservarse en acciones (utilice S para representar el porcentaje de acciones y a para representar la edad de la persona).

c) Determine su IMC.

Reto 89. En la ecuación r =

s>t t>u

despeje a) s, b) u.

Ejercicios de repaso acumulativo 90. Evalúe - 232 + 42 + ƒ 3 - 4 ƒ - 52. 91. Evalúe

7 + 9 , 123 + 4 , 42

ƒ 3 - 7 ƒ + 252 - 32

.

[2.1]

92. Evalúe a3  3a2b  3ab2  b3 cuando a  2, b  3. 1 1 1 = 1 - t. 93. Resuelva la ecuación t + 4 2 8

2.3 APLICACIONES DEL ÁLGEBRA

1

1

Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o a una ecuación.

2

Utilizar el procedimiento para resolución de problemas.

Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o a una ecuación En las siguientes secciones se presentarán algunos de los muchos usos del álgebra en situaciones de la vida real. Cuando sea posible, incluiremos otras aplicaciones relevantes a lo largo del texto. Quizá la parte más difícil al resolver un problema verbal, consiste en transformarlo en una ecuación. Éste es el paso 2 del procedimiento para resolución de problemas que se presentó en la sección 2.2. Antes de representar los problemas como ecuaciones, daremos algunos ejemplos de frases representadas como expresiones algebraicas.

Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 67

Frase

Expresión algebraica

x + 4

un número incrementado en 4 dos veces un número

2x

5 menos que un número

x - 5

un octavo de un número

1 x x o 8 8

2 más 3 veces un número

3x + 2 6x - 4 31x + 52

4 menos 6 veces un número 3 veces la suma de un número y 5

Aquí utilizamos la variable x en las expresiones algebraicas, pero hubiéramos podido utilizar cualquier otra para representar una cantidad desconocida.

EJEMPLO 1

Exprese cada frase como una expresión algebraica. a) El radio, r, disminuido en 2 centímetros. b) 5 menos que dos veces la distancia, d. c) 7 veces un número, n, incrementado en 4.

Solución SUGERENCIA

CONSEJO PARA ESTUDIAR

EJEMPLO 2

a) r - 2

✺

c) 7n + 4

Es importante que se prepare cuidadosamente para estudiar el resto del capítulo; asegúrese de leer el texto y los ejemplos con cuidado. Asista a clase todos los días y, sobre todo, realice todos los ejercicios que se le asignen. Conforme lea los ejemplos del resto del capítulo, piense cómo se ampliarían para dar respuesta a problemas similares. Como muestra, en el ejemplo 1 a) establecimos que el radio, r, disminuido en 2 centímetros, podía representarse como r  2. Puede generalizar esto y aplicarlo en otros problemas similares; por ejemplo un peso, w, disminuido en 15 libras, puede representarse como w  15.

Escriba cada una de las siguientes frases como expresión algebraica: a) b) c) d)

Solución

b) 2d - 5

el costo de comprar x camisas a $4 cada una la distancia recorrida en t horas a 55 millas por hora el número de centavos en n monedas de cinco centavos una comisión de 8% en una venta por x dólares.

a) Podemos razonar así: una camisa costaría 1(4) dólares, dos camisas, 2(4) dólares, tres camisas, 3(4) dólares, cuatro camisas, 4(4) dólares, y así sucesivamente. Continuando con esta idea, podemos ver que x camisas costarían x(4) o 4x dólares. Podemos aplicar el mismo razonamiento para resolver cada una de las otras partes. b) 55t c) 5n d) 0.08x (8% se escribe como 0.08 en forma decimal)

SUGERENCIA

✺

Cuando se nos pide determinar un porcentaje, significa que debemos calcularlo respecto de alguna cantidad. Por lo tanto, cuando se menciona un porcentaje, siempre se multiplica por un número o una variable. En los siguientes ejemplos utilizamos la variable c, pero podríamos utilizar cualquier otra letra para representarla. (continúa en la página siguiente)

68 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Frase

Cómo se escribe

6% de un número

0.06c

el costo de un objeto incrementado en 7% de impuestos

c + 0.07c

el costo de un artículo disminuido en 25%

c - 0.25c

A veces, en un problema se pueden presentar dos números relacionados entre sí. Con frecuencia representamos uno de ellos con una variable y el otro con una expresión que contiene a esa variable. Por lo general representamos con la variable la descripción menos complicada, y escribimos la expresión más compleja en términos de la variable. En los siguientes ejemplos utilizamos x para representar la variable. Primer número

Segundo número

La edad actual de Daniel y la edad de Daniel dentro de 6 años

x

x + 6

un número es 4 veces el otro un número es 5 menos que el otro un número y el número incrementado en 7% un número y el número disminuido en 10% la suma de dos números es 10 una tabla de 6 pies cortada en dos partes $10,000 compartidos por dos personas

x x x x x x x

4x x - 5 x + 0.07x x - 0.10x 10 - x 6 - x 10,000 - x

Frase

Los últimos tres ejemplos tal vez no resulten muy claros. Analicemos “la suma de dos números es 10”. Cuando sumamos x y 10  x obtenemos x  (10  x)  10. Cuando una tabla de 6 pies se corta en dos partes, éstas serán x y 6  x. Por ejemplo, si una parte mide 2 pies, la otra debe medir 6  2  4 pies.

SUGERENCIA

Suponga que lee el siguiente enunciado en un problema de aplicación: “Una cuerda de 12 pies se corta en dos trozos”. Probablemente sabe que debe usar x (o alguna otra variable) para representar la longitud del primer trozo de la cuerda, pero quizá no le resulte tan claro si debe utilizar x  12 o 12  x para representar la longitud del segundo. Para decidirlo, podría ser útil que utilizara números específicos para establecer un patrón. En este ejemplo, podría utilizar un patrón similar al que se muestra a continuación. Si el primer trozo mide . . .

entonces el segundo trozo mide. . .

2 pies

10 pies  12 pies  2 pies

5 pies

7 pies  12 pies  5 pies

Con base en este patrón, es claro que si el primer trozo mide x pies, entonces el segundo trozo mide 12  x pies.

EJEMPLO 3

Para cada una de las siguientes relaciones, elija una variable que represente una cantidad, y exprese la segunda cantidad en términos de la primera. a) b) c) d) e)

La velocidad del segundo tren es 1.2 veces la velocidad del primero. David y su hermano comparten $90. Tomás requiere tres horas más que Roberta para terminar la tarea. Hilda tiene $4 más que el doble de dinero que Héctor. El largo de un rectángulo mide 2 unidades menos que 3 veces su ancho.

Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 69

Solución

a) La velocidad del primer tren, s; la velocidad del segundo tren, 1.2s b) La cantidad que tiene David, x; la cantidad que tiene su hermano, 90  x. c) Roberta, t; Tomás, t  3 d) Héctor, x; Hilda, 2x  4

✺

e) Ancho, x; largo, 3x  2

La palabra es en un problema verbal, con frecuencia significa es igual a y se representa mediante un signo de igual, . Proposición verbal 4 menos que 3 veces un número es 5

3x - 4 = 5

un número disminuido en 4 es 3 más que dos veces el número

x - 4 = 2x + 3

el producto de dos enteros consecutivos es 20

x1x + 12 = 20

un número incrementado en 15% es 90

x + 0.15x = 90

un número disminuido en 12% es 38

x - 0.12x = 38

la suma de un número y el número incrementado en 4% es 204 el costo por rentar una videograbadora durante x días a $15 por día es $120

2

Ecuación algebraica

x + 1x + 0.04x2 = 204 15x = 120

Utilizar el procedimiento para resolución de problemas Existen muchos tipos de problemas verbales, pero el procedimiento general para resolución de problemas que se presentó en la sección 2.2 puede utilizarse para resolverlos todos. A continuación se mencionarán nuevamente los cinco pasos del procedimiento, para que pueda consultarlo con facilidad. Hemos incluido información adicional después del paso 2, ya que en esta sección haremos hincapié en la traducción de problemas verbales a ecuaciones.

Procedimiento para resolución de problemas de aplicación 1. Entienda el problema. Identifique la cantidad o cantidades que se le pide determinar. 2. Traduzca el problema a lenguaje matemático (exprese el problema como una ecuación). a) Elija una variable para representar una cantidad, y escriba exactamente lo que representa. Represente cualquier otra cantidad a determinar en términos de esta variable. b) Utilizando la información del paso a), escriba una ecuación que represente al problema verbal. 3. Realice los cálculos matemáticos (resuelva la ecuación). 4. Compruebe la respuesta (utilice el planteamiento original del problema). 5. Responda la pregunta planteada.

Algunas veces combinaremos los pasos u omitiremos algunos, debido a la limitación de espacio. Aun si no mostramos la comprobación del resultado de un proble-

70 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

ma, usted siempre debe verificarlo para asegurarse de que su respuesta es razonable y de que tiene sentido.

EJEMPLO 4

Planes para llamadas de larga distancia El plan de pago de la compañía telefónica Mejores Tiempos requiere que el cliente pague una cuota mensual base de $4.75, y luego 7 centavos por minuto de cualquier llamada de larga distancia realizada. El plan de la empresa Valor del Tiempo no exige un pago mensual, pero el cliente paga 9 centavos por minuto por cualquier llamada de larga distancia que realice.

Pablo Jáuregui está pensando contratar uno de estos planes. Determine el número de minutos que él necesitaría dedicar a llamadas de larga distancia para que el costo de los dos planes fuesen iguales.

Solución

Entienda el problema El problema plantea que hay dos planes posibles: uno no exige el pago de una cuota mensual y el otro sí. Se nos pide determinar el número de minutos de llamadas de larga distancia que daría por resultado que ambos planes tuvieran el mismo costo total. Para resolver el problema, primero estableceremos un mismo costo para los dos planes, y luego calcularemos el número de minutos.

Sea n  número de minutos en llamadas de larga distancia entonces 0.07 n  costo de n minutos a 7 centavos por minuto y 0.09 n  costo de n minutos a 9 centavos por minuto

Traduzca

costo del plan Mejores Tiempos  costo del plan Valor del Tiempo cuota mensual  costo de la llamada  costo total de la llamada 4.75  0.07n  0.09n

4.75 + 0.07n = 0.09n

Realice los cálculos

4.75 = 0.02n 0.02n 4.75 = 0.02 0.02 237.5 = n Compruebe El número de minutos que resulta es razonable, y los cálculos pueden verificarse fácilmente. Responda Si se utilizaran alrededor de 238 minutos por mes, ambos planes tendrían casi el mismo costo total. AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15 ✺

EJEMPLO 5

Gastos en salud El Centro para el Control y Prevención de Enfermedades (CCPE) es un organismo gubernamental cuya tarea es proteger la salud y seguridad de la población estadounidense. En 2002, el CCPE tuvo un presupuesto de $4.093 mil millones, cantidad que incluye un incremento de 22.5% respecto del presupuesto de 2000, pero una disminución de 2.6% respecto del presupuesto de 2001. a) Determine el presupuesto del CCPE en 2000. b) Determine el presupuesto del CCPE en 2001.

Solución

a) Entienda el problema Necesitamos determinar el presupuesto que tuvo el CCPE en 2000. Para resolver el problema usaremos el dato de que el presupuesto se incrementó en 22.5% entre 2000 y 2002, y que el presupuesto de 2002 fue de $4.093 mil millones. Sea x  al presupuesto del CCPE en 2000

Traduzca

entonces 0.225x  incremento del presupuesto entre 2000 y 2002 presupuesto del

aumento presupuesincrease del in the budget

presupuesto del

CDC CDC ¢ 2000 CCPE enbudget 2000 ≤ + ¢ to entre 2000 2002 ≤ = ¢ 2002 CCPE enbudget 2002 ≤ from 2000 toy2002 x

+

0.225x

=

4.093

Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 71

x + 0.225x = 4.093 1.225x = 4.093 x L 3.341

Realice los cálculos

Compruebe y responda El número obtenido es menor que el presupuesto de 2002, tal como se esperaba. El presupuesto de 2002 fue aproximadamente de $3.341 mil millones. b) Entienda el problema Debemos determinar cuál fue el presupuesto del CCPE en 2001; se nos indicó que el presupuesto disminuyó 2.6% entre 2001 y 2002. Traduciremos esta información en una ecuación, usando un enfoque similar al de la parte a). Traduzca

Sea x  presupuesto del CCPE en 2001

entonces 0.026x  disminución del presupuesto del CCPE entre 2001 y 2002 presupuesto del

disminución del presudecrease in the budget from 2001 to 2002

presupuesto del

CDC DCD ¢ 2001 CCPE en budget 2001 ≤ - ¢puesto entre 2001 y 2002 ≤ = ¢ 2002 CCPE en budet 2002 ≤ x

-

Realice los cálculos

0.026x = x - 0.026x = 4.093 0.974x = 4.093 x L 4.202

4.093

El número obtenido es mayor que el presupuesto de 2002, tal como se esperaba. Por lo tanto, el presupuesto del CCPE en 2001 fue de $4.202 mil millones. ✺

Compruebe y responda

Matemáticas en acción Apollo 13

“Houston, tenemos un problema.” Estas palabras, pronunciadas por el astronauta Jim Lovell (interpretado por Tom Hanks) en la película Apollo 13, marcaron el inicio de una larga cadena de problemas a los que se enfrentó la tripulación de una nave espacial dañada durante su viaje con destino a la Luna. El “problema” al que se refiere Lovell es una explosión que cambió la misión original, aterrizar en la Luna, por la de lograr que los astronautas

EJEMPLO 6

regresaran a salvo a la Tierra. Utilizando algunas actividades excepcionales para la resolución de problemas, la tripulación y el equipo de Control de Misión (en Houston) fueron capaces de vencer los increíbles obstáculos que implicaba regresar el Apollo 13 seguro a la Tierra. A lo largo de esta película, el espectador es testigo de la resolución de muchos problemas matemáticos. En una de las escenas, se nos muestra a un equipo completo de ingenieros tratando de resolver una y otra vez una ecuación con la ayuda de reglas de cálculo. En otra, se puede ver a los astronautas haciendo cálculos a mano, encerrados en una aeronave sin oxígeno. Aunque los cálculos matemáticos que debieron realizar los astronautas reales están fuera del alcance de este libro, el enfoque sistemático que se utilizó para resolver tan peligrosa situación podría haberse inspirado en las páginas del libro de George Polya, How to Solve it (vea la página 56). Ojalá que sus estudios de matemáticas encontraran inspiración en otro famoso diálogo de la película: cuando los ingenieros inician la fase final de su misión reorganizada, el controlador de vuelo de la NASA, Gene Kranz (interpretado por Ed Harris) grita, “¡Fallar no es una opción!”.

Compras en el área de Tampa Bay En enero de 2001, había 36 importantes tiendas departamentales en el área de Tampa Bay. Había el mismo número de tiendas Sears que de Burdines. Había una más de Dillars que de Sears, y había una más de JC Penney que de Sears. El número de las tiendas Montgomery Wards era nueve menos que el doble de tiendas Sears. Había seis menos de Saks que de Sears. ¿Cuántas de cada una de estas tiendas departamentales había?

72 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Solución

Entienda el problema Se nos pide determinar el número de tiendas Sears, Burdines, Dillards, JC Penney, Montgomery Wards y Saks. Observe que el número de las demás tiendas se da en términos del número de tiendas Sears. Por lo tanto, elegiremos como nuestra variable desconocida el número de tiendas Sears, y representaremos el número de las otras tiendas en términos de esta variable. También observe que el total de tiendas suma 36. Traduzca

Sea n  número de tiendas Sears

entonces n  número de tiendas Burdines y n  1  número de tiendas Dillards y n  1  número de tiendas JC Penney y 2n  9  número de tiendas Montgomery Wards y n  6  número de tiendas Saks número número número número número número number de of number number numberde numberde numberde a de Searsb + a Burdines b + a Dillards b + a JC Penney b + a Montgomery Wards b + a de Saks b = 36 Montgonery Wards of Saks of Sears of Burdines of Dillards of JC Penney n + n + 1n + 12 + 1n + 12 + 12n - 92 + 1n - 62 = 36 Realice los cálculos n + n + n + 1 + n + 1 + 2n - 9 + n - 6 = 36

7n - 13 = 36 7n = 49 n = 7

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 27

EJEMPLO 7

Solución

Compruebe y responda Había 7 tiendas Sears y 7 tiendas Burdines. Había n  1, o 7  1, u 8 tiendas Dillards. Había n  1, o 7  1, u 8 tiendas JC Penney. Había 2n  9, o 2(7)  9, o 5 tiendas Montgomery Wards. Había n  6, o 7  6, o 1 tienda Saks. Si sumamos los números de cada una de las seis cadenas de tiendas, obtenemos 7  7  8  8  5  1  36 tiendas. Por lo tanto, la respuesta es correcta. ✺

Reino Mágico Damián Velásquez llevó a su familia a visitar el Reino Mágico en Walt Disney World. Se hospedaron una noche en el hotel Holiday Inn de Kissimmee. Cuando hicieron la reservación, les cotizaron un precio de $95 por noche más impuestos. Cuando pagaron, su cuenta total fue de $110.85, cantidad que incluía el impuesto por la habitación y un cargo de $3.50 por un chocolate (tomado de la nevera de la habitación). Determine cuál fue la tasa del impuesto que les cobraron por la habitación. La cuenta total que pagó Damián, incluye el precio del hospedaje, el impuesto por la habitación y los $3.50 que costó el chocolate. El impuesto por la habitación se determina multiplicando el costo de hospedaje por la tasa del impuesto de la habitación. Se nos pide determinar la tasa de impuesto de la habitación.

Entienda el problema

Traduzca

Sea t  tasa de impuesto de la habitación

entonces 0.01t  impuesto de la habitación como decimal costo del hospedaje  impuesto por la habitación  chocolate  total 95  95(0.01t)  3.50  110.85 Realice los cálculos

95 + 0.95t + 3.50 = 110.85 0.95t + 98.50 = 110.85 0.95t = 12.35 t = 13

Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 73 Compruebe y responda Si sustituye t por 13 en la ecuación, verá que las respuesAHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23

tas son correctas. La tasa de impuesto por la habitación es 13%.

✺

EJEMPLO 8

Préstamo hipotecario Lilia Páez comprará su primera casa, para lo cual piensa pedir un préstamo hipotecario por $60,000. Citicorp, uno de los bancos que está considerando, cobra una tasa de interés de 6.50% sin puntos por un préstamo a 30 años. (Un punto es un cobro único de 1% sobre el monto total de la hipoteca). Los pagos mensuales del préstamo, en el caso de Citicorp, serían de $379.24. Citicorp también cobra una cuota de $200 por la solicitud. El Banco de América cobra una tasa de interés de 6.00% con 2 puntos por un préstamo a 30 años. Los pagos mensuales del Banco de América serían de $359.73, y el costo de los puntos que Lilia tendría que pagar al momento de obtener el préstamo es 0.02($60,000)  $1200. El Banco de América no cobra por la solicitud. a) ¿Cuánto tiempo tomaría para que los pagos totales de la hipoteca de Citicorp fueran iguales a los pagos totales de la hipoteca del Banco de América? b) Si Lilia planea conservar su casa durante 20 años, ¿cuál hipoteca resultaría en un costo total menor?

Solución

a) Entienda el problema Citicorp cobra una tasa de interés más alta y una pequeña cuota por la solicitud, pero no cobra puntos. El Banco de América cobra una tasa menor y no cobra por la solicitud, pero cobra 2 puntos. Necesitamos determinar el número de meses que se requieren para que los pagos totales de los dos préstamos sean iguales. Sea x  número de meses

Traduzca

entonces 379.24x  costo de pagos de la hipoteca por x meses con Citicorp y 359.73x  costo de pagos de la hipoteca por x meses con el Banco de América costo total con Citicorp pagos de la hipoteca + 379.24x

+

Realice los cálculos

= costo total con Banco de América costo de la solicitud = pagos de la hipoteca + puntos 200 359.73x = + 1200 379.24x + 200 = 359.73x + 1200 379.24x = 359.73x + 1000 19.51x = 1000 x L 51.26

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 3

y x

FIGURA 2.4

Responda El costo de ambas hipotecas sería el mismo aproximadamente a los 51.26 meses, es decir, transcurridos casi 4.3 años. b) El costo total sería el mismo después de casi 4.3 años; antes de los 4.3 años, el costo del préstamo del Banco de América sería mayor, debido al cobro inicial de $1200 por los puntos. Sin embargo, después de 4.3 años el costo del Banco de América sería menor, ya que el pago mensual es menor. Si calculamos el costo total del préstamo de Citicorp durante 20 años (240 pagos mensuales), obtenemos $91,217.60. Si calculamos el costo total del préstamo del Banco de América durante 20 años, obtenemos $87,535.20. Por lo tanto, Lilia ahorrará $3682 en un periodo de 20 años si pide el préstamo al Banco de América. ✺

Ahora veamos dos ejemplos que incluyen ángulos. En el ejemplo 9 utilizamos ángulos complementarios, es decir, ángulos cuya suma da por resultado 90° (vea la figura 2.4). En la figura 2.4, el ángulo x (representado por x2 y el ángulo y (y 1y2) son complementarios, ya que su suma da por resultado 90°.

74 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

EJEMPLO 9

Ángulos complementarios Si el ángulo A y el ángulo B son complementarios, y el ángulo B es 42° mayor que el ángulo A, determine las medidas de los ángulos A y B.

Solución

Entienda el problema La suma de las medidas de los dos ángulos debe dar por resultado 90°, ya que son ángulos complementarios. Usaremos este dato para plantear una ecuación. Como el ángulo B está descrito en términos del ángulo A, representaremos con x la medida del ángulo A.

Sea x  medida del ángulo A

Traduzca

entonces x  42  medida del ángulo B medida del ángulo A medida del ángulo B  90° x



x  42

 90

2x + 42 = 90

Realice los cálculos

2x = 48 x = 24

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 1 y x

FIGURA 2.5

Compruebe y responda Como x  24, la medida del ángulo A es 24°. La medida del ángulo B  x  42  66, por lo que el ángulo B mide 66°. Observe que el ángulo B es 42° mayor que el ángulo A, y la suma de las medidas de ambos ángulos da por resultado 90° (24°  66°  90°). ✺ En el ejemplo 10 utilizamos ángulos suplementarios, es decir, dos ángulos cuya suma da por resultado 180° (vea la figura 2.5). En la figura 2.5, los ángulos x y y son ángulos suplementarios, ya que la suma de sus medidas da por resultado 180°.

EJEMPLO 10

Ángulos suplementarios Si los ángulos C y D son suplementarios, y la medida del ángulo C es 6° mayor que el doble de la medida del ángulo D, determine las medidas de los ángulos C y D.

Solución

Entienda el problema La suma de las medidas de los dos ángulos debe dar por resultado 180°, ya que son suplementarios. Como el ángulo C se describe en términos del ángulo D, representaremos con x la medida del ángulo D. Traduzca Sea x  medida del ángulo D

entonces 2x  6  medida del ángulo C medida del ángulo C  medida del ángulo D  180°

2x  6 Realice los cálculos



x  180 3x + 6 = 180

3x = 174 x = 58

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 3

Compruebe y responda Como x  58, la medida del ángulo D es 58°. La medida del ángulo C  2x  6  2(58)  6  122; por lo tanto, la medida del ángulo C  122°. Observe que la medida del ángulo C es 6° mayor que el doble de la medida del ángulo D, y que la suma de las medidas de los ángulos da por resultado 180° (122°  58°  180°). ✺

Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 75

SUGERENCIA

CONSEJO PARA ESTUDIAR

A continuación se listan algunas sugerencias, por si usted tiene dificultades con los problemas de aplicación. 1. Profesor - Haga una cita para ver a su profesor. Asegúrese de haber leído el material del libro y de haber intentado resolver todos los problemas de tarea. Acuda a la cita con su instructor, llevando preguntas específicas. 2. Asesoría - Si su escuela ofrece asesoría gratuita, aprovéchela. 3. Grupo de estudio - Forme un grupo de estudio con sus compañeros de clase. Intercambie números telefónicos y direcciones de correo electrónico. Podrían ayudarse unos a otros. 4. Sitio Web - Si dispone de una computadora, visite el sitio Web de Pearson Educación y Allen Angel en pearsoneducacion.net/angel y estudie el material relacionado con este capítulo. Encontrará más ejemplos y ejercicios resueltos. ¡Es importante que usted siga esforzándose! Recuerde, conforme más practique, mejor será en la resolución de problemas de aplicación.

Conjunto de ejercicios 2.3 Problemas de aplicación y resolución de problemas En los ejercicios 1 a 45, plantee una ecuación que pueda usarse para resolver cada problema y determine su solución.

1. Ángulos complementarios Los ángulos A y B son ángulos complementarios. Determine las medidas de los ángulos A y B si el ángulo A es cuatro veces el tamaño del ángulo B. Vea el ejemplo 9. 2. Ángulos complementarios Los ángulos C y D son complementarios. Determine las medidas de los ángulos C y D, si el ángulo D es 15° menor que el doble del ángulo C.

3. Ángulos suplementarios Los ángulos A y B son suplementarios. Determine las medidas de los ángulos A y B, si el ángulo B es 4 veces el tamaño del ángulo A. Vea el ejemplo 10. 4. Ángulos suplementarios Los ángulos A y B son suplementarios. Determine las medidas de cada ángulo, si el ángulo A es 30° mayor que el ángulo B. 5. Ángulos en un triángulo La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo da por resultado 180°. Determine las medidas de los tres ángulos, si un ángulo es 20° mayor que el ángulo más pequeño y el tercer ángulo es el doble del ángulo más pequeño. 6. Ángulos en un triángulo Determine las medidas de los tres ángulos de un triángulo si un ángulo es el doble del ángulo más pequeño y el tercer ángulo es 60° mayor que el ángulo más pequeño. 7. Sociedad de Honor Thomas Penna es miembro de Phi Alpha Theta, una sociedad de honor de la historia esta-

dounidense. Uno de los beneficios de ser miembro, consiste en obtener 25% de descuento en todas las suscripciones a revistas de historia. Thomas usó este descuento para pedir una suscripción anual a la revista American Heritage, y pagó $24. ¿Cuál era el costo normal de la suscripción? 8. Traje nuevo Carlos Castro comprará un traje nuevo. En Trajes a la medida, el precio de un traje con un descuento de 25% es $187.50. Determine el precio normal del traje. 9. Pase de autobús Cecilia Sosa compró un pase con valor de $45, que le da derecho a viajar en autobús tantas veces como quiera durante un mes. Sin el pase, cada viaje cuesta $1.80. ¿Cuántos viajes por mes tendría que realizar Cecilia para que el costo total sin el pase fuera igual al valor del pase. 10. Costo de lavandería Miguel Sanabria gasta $12.50 cada semana en lavar y secar su ropa en la lavandería de la esquina. Si una lavadora y una secadora cuestan un total de $940, ¿cuántas semanas serían necesarias para que el costo de la lavandería fuera igual al costo de la lavadora y la secadora? (No tome en cuenta el costo de la energía eléctrica.) 11. Renta de un camión El costo de rentar un camión es de $35 diarios más $0.20 por milla. Si Antonia Reyes sólo tiene $80, ¿qué tan lejos puede llegar en 1 día?

76 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades 12. Peaje en el puente George Washington Al ir a Nueva York por el puente George Washington, los automovilistas deben pagar un peaje (no se paga peaje para regresar a Nueva Jersey) de $6 en efectivo, de $4 (en horas de menor tránsito) usando el sistema de pase EZ. El sistema de pase EZ es un plan prepagado por el que también se exige un pago único de $10. ¿Cuántos viajes a Nueva York necesitaría hacer una persona (en horas de menor tránsito) para que el gasto total con el pase EZ fuera igual al gasto por peaje sin el uso del pase EZ?

$400, ¿cuál fue el costo total de los alimentos y bebidas que sirvió?

17. Fondos mutualistas El 4 de febrero de 2002, los fondos mutualistas que ofrecían los mayores rendimientos anuales fueron los de Wasatch Micro Cap (WMC) y los de Schroeder Ultra Investor (SUI). Los activos de WMC fueron alrededor de 2.7 veces los activos de SUI. Si la suma de los activos de estos dos fondos mutualistas daba por resultado aproximadamente $636.4 millones, determine los activos (en dólares) de WMC y de SUI. 18. Fondos de retiro Ricardo Roldán realiza contribuciones por $5000 anuales a su fondo de retiro. Una parte de sus contribuciones se invierte en acciones, y la otra se suma al fondo global. La parte que se invierte en acciones es de $250 menos que el doble de la parte que se suma al fondo global. ¿Con cuánto contribuye a cada fondo?

13. Impuesto al consumidor La tasa de impuesto al consumidor es de 4.225%. ¿Cuál es el monto real (sin impuesto) que Álvaro y Sandra López pagarán por un escritorio para computadora, si su costo, incluyendo el impuesto al consumidor, es $650? 14. Derecho de paso El señor y la señora Ordóñez viven en un desarrollo turístico de una isla que se comunica con tierra firme a través de un puente. El derecho de paso por el puente cuesta $2.50 por automóvil si se va a la isla, pero es gratuito al salir de ella. Los residentes de la isla pueden comprar un pase mensual con valor de $20, que les permite cruzar el puente por sólo $0.50 cada vez. ¿Cuántas veces al mes deberían los Ordóñez ir de tierra firme a la isla para que el costo del pase mensual sea igual al costo de peaje regular? 15. Juego de golf Andrés Pinzón desea unirse al Club Miraflores para jugar golf. Para hacerlo tiene dos opciones: la primera es una membresía por la que pagaría $1775 al año; además le cobrarían una cuota de $50 por el green y una cuota de $25 por el carrito de golf cada vez que juegue. Otra membresía cuesta $2425 por año; con ésta Andrés sólo pagaría $25 por el carrito de golf cuando juegue. ¿Cuántas veces por año necesitaría jugar para que las dos opciones costaran lo mismo? 16. Sueldo de mesera Rafaela Fuentes trabaja como mesera en banquetes; tiene un sueldo de $2.63 por hora más 15% del costo total de los alimentos y bebidas que sirve durante el banquete. Si durante un servicio de 5 horas, Rafaela ganó

19. Presupuesto de la NASA En 2002, el presupuesto de la NASA fue de alrededor de $14.51 mil millones. 99.8% de ese presupuesto se destinó a dos categorías: los Vuelos Espaciales Humanos (VEH), que incluye todas las misiones espaciales y operaciones en estaciones espaciales, y la Tecnología en Ciencia y Aeronáutica (TCA), que incluye todas las investigaciones realizadas por la NASA en Estados Unidos. Si la NASA gastó $0.10 mil millones más en VEH que en TCA, determine cuánto se gastó en VEH y cuánto en TCA. Redondee su respuesta a dos decimales. 20. Polen Hay 57 fuentes principales de polen en Estados Unidos; éstas fuentes se clasifican en pastos, malezas y árboles. Si el número de malezas es 5 menos que el doble del número de pastos, y el número de árboles es 2 más que el doble del número de pastos, determine el número de pastos, malezas y árboles que son fuentes principales de polen.

Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 77 21. Huesos y acero De acuerdo con la revista Health, la presión que puede soportar un hueso (medida en libras por pulgada cuadrada) es 6000 libras más que 3 veces la cantidad que puede soportar el acero. Si la diferencia entre la cantidad de presión que pueden soportar un hueso y el acero es de 18,000 libras por pulgada cuadrada, determine la presión que pueden soportar el acero y el hueso. 22. Sistema antiasalto En la compra e instalación de un sistema antiasalto LoJack, Paula Sandoval puede ahorrar 15% del precio de su seguro automotriz. Comprar e instalar el sistema LoJack cuesta $743.65. Si el costo anual del seguro de Paula antes de la instalación del sistema LoJack es $849.44, ¿en cuántos años el sistema LoJack se pagaría a sí mismo?

27. Medallas olímpicas En los Juegos Olímpicos de Verano de 2000, Estados Unidos, Rusia, China, Australia y Alemania ganaron un total de 359 medallas. Estados Unidos ganó 19 menos medallas que el doble de las que obtuvo Australia; Rusia ganó 28 medallas menos que el doble de las que consiguió Australia; China ganó 1 medalla más que las que ganó Australia; Alemania ganó un medalla menos que Australia. Determine el número de medallas que ganaron Estados Unidos, Rusia, China, Australia y Alemania en esa justa olímpica.

23. Orden de comida Después de que Carolina Pardo consiguió mesa en un restaurante, se dio cuenta de que sólo tenía $20.00. Si debe pagar 7% de impuesto al consumo y desea dejar 15% de propina sobre el costo total (alimentos más impuesto), ¿cuál es el precio máximo del consumo que puede ordenar? 24. Plan de pago El club de tenis Valle del Sol ofrece a sus miembros dos planes de pago. El plan 1 consta de un pago mensual de $25 más $10 por hora de renta de la cancha. El plan 2 no exige pagos mensuales, pero la hora de renta de la cancha es de $18.50. ¿Cuántas horas tendría que jugar al mes la señora Larios para que le convenga el plan 1?

25. Impuestos a la gasolina en Europa En septiembre de 2000, los europeos protestaron por el precio de la gasolina y pidieron a sus gobiernos que redujeran los altos impuestos sobre ese combustible. En el Reino Unido, los consumidores pagaban $4.29 por galón (en dólares). Este precio representaba 68% más que el precio de la gasolina sin impuestos.

28. Aumento del salario mínimo Entre 1980 y 2002, en Estados Unidos el salario mínimo por hora se ha incrementado alrededor de 66.13%, hasta alcanzar un total de $5.15 por hora. ¿Cuál era el salario mínimo por hora en 1980? 29. Alquiler mensual El alquiler promedio mensual de un apartamento de dos recámaras en San José, California, aumentó casi 13.3% entre 2001 y 2002. Si el alquiler promedio mensual en 2002 era de $1199, determine cuál era el alquiler promedio mensual en 2001. 30. Comparación de hipotecas La familia Sánchez va a comprar una nueva casa, y están pensando en solicitar un crédito hipotecario de $70,000, pagadero a 30 años. Para ello pueden elegir entre dos bancos diferentes. El Banco Madison cobra 9.0% con 0 puntos, y el Banco Nacional cobra 8.5% con 2 puntos, más $200 por gastos de operación, mientras que el Banco Madison no cobra ninguna cuota por ese concepto. Los pagos mensuales con el Banco Madison serían de $563.50, y con el Banco Nacional serían de $538.30. a) ¿Después de cuántos meses los pagos totales para los dos bancos serían los mismos? b) Si el plan de los Sánchez es mantener su casa por 30 años, ¿cuál plan hipotecario les saldría a más bajo costo? (Vea el ejemplo 8.)

a) Determine el precio de la gasolina sin impuestos. b) Determine el monto de impuesto que se paga por cada galón de gasolina. 26. Impuestos de hospedaje En sus vacaciones en Costa Rica, a la familia Méndez le cotizaron el precio de una habitación en $85 por noche más impuesto. Si después de permanecer una noche su cuenta ascendió a $97.41, ¿cuál fue la tasa de impuestos?

31. Refinanciamiento hipotecario Luis Uribe quiere refinanciar su préstamo hipotecario para que le cobren una tasa de interés más baja. La tasa de interés de su hipoteca es de 11.875%; en la actualidad hace pagos mensuales de $510 por capital e intereses, y le faltan 20 años para liquidar la hipoteca. Ya que han bajado las tasas de interés, Hipotecas Nacionales le ofrece refinanciar la hipoteca con una tasa de 9.5%, con lo cual pagaría $420.50 al

78 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades mes por capital e intereses durante 20 años. Sin embargo, para obtener ese préstamo, el precio de contratación sería de $2500.

sea 3 pies mayor que su ancho. Encuentre el largo y ancho del corral si Ernesto sólo dispone de 22 pies de madera para formar el armazón. Utilice la fórmula P  2l  2w.

a) ¿Cuántos meses después de la refinanciación gastaría Luis la misma cantidad con su nueva hipoteca más el precio de contratación, que lo que gastaría con su hipoteca original?

38. Dimensiones de una cerca César Campanella, un arquitecto que diseña jardines, desea dividir un terreno en dos áreas iguales mediante una cerca, como se ilustra en la siguiente figura. Si ambas áreas son cuadradas y la longitud total de la cerca utilizada es de 91 metros, determine las dimensiones de cada cuadro.

b) Si planea pasar los próximos 20 años en esa casa, ¿ahorraría dinero al refinanciar? 32. Comidas para seminarios Ana Torres, una planificadora financiera, promueve comidas para seminarios. Debe pagar de su propio bolsillo las comidas de los asistentes. Para su próxima comida, eligió un restaurante en donde caben 40 personas y le cobran $9.50 por cubierto. Si gana 12% de comisión por ventas, ¿cuánto debe vender a estas 40 personas a) para no perder ni ganar; b) para obtener una ganancia de $500? 33. Perímetro de un triángulo Julián está desarrollando un juego que contiene un tablero triangular. El perímetro del tablero es de 36 pulgadas. Determine la longitud de los tres lados del triángulo si uno es 3 pulgadas mayor que el lado más pequeño y el tercer lado es 3 pulgadas menor que el doble de la longitud del lado más pequeño.

39. Dimensiones de un estante José Murray desea construir un estante con cuatro repisas (incluyendo la parte superior) como se muestra en la figura siguiente. El ancho del estante será 3 veces mayor que su altura. Si José cuenta sólo con 30 pies de madera para construir el estante, ¿qué dimensiones tendrá éste?

40. Dimensiones de una cerca Demetrio Larios tiene un terreno junto al río, y quiere dividirlo en tres áreas rectangulares, como se ilustra en la siguiente figura. Cada rectángulo tendrá las mismas dimensiones, y el largo de cada rectángulo será 1 metro mayor que su ancho (a lo largo del río). Determine el largo y ancho de cada rectángulo si la cantidad total de cerca utilizada es de 114 metros. 34. Jardín triangular El perímetro de un jardín triangular es de 60 pies. Determine la longitud de los tres lados, si uno es 4 pies mayor que el doble de la longitud del lado más pequeño y el tercer lado es 4 pies menor que 3 veces la longitud del lado más pequeño. 35. Ángulos de un triángulo Una pieza de papel de 8.5 por 11 pulgadas se corta desde esquinas opuestas para formar un triángulo. Uno de sus ángulos mide 12° más que el ángulo más pequeño. El tercer ángulo mide 27° menos que el triple del ángulo más pequeño. Si la suma de los ángulos interiores de un triángulo mide 180°, determine las medidas de los tres ángulos. 36. Barandal de escalera Un barandal de escalera tiene un diseño con forma de triángulos. Uno de sus ángulos mide 20° menos que el doble del ángulo menor. El tercer ángulo mide 25° más que el doble del ángulo menor. Determine las medidas de los tres ángulos. 37. Corralito Ernesto Olguín planea construir un corral rectangular para que jueguen sus hijos. Desea que su largo

41. Ofertas Durante la primera semana de ofertas por liquidación, el almacén de Samuel reduce todos sus precios en 10%. En la segunda semana de ofertas, Samuel reduce 5 dólares más al precio de todos sus artículos. Si Silvia Gómez compró una calculadora por $49 durante la segunda semana de oferta, determine su precio original. 42. División de una granja La granja de Minerva Bonilla está dividida en tres regiones. El área de una región es dos veces más larga que el área de la región más pequeña, y el área de la tercera región es 4 acres menor que el triple del área de la región más pequeña. Si el total de acres de la granja es de 512, determine el área de cada una de las tres regiones.

Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 79 43. Comparación de venta de juguetes Joel Morales quiere comprar una cocina de juguete para su sobrina, y sabe que el almacén Niños Felices y la cadena Tiendas de Descuento ofrecen este artículo al mismo precio. El 26 de diciembre, Niños Felices ofrece la cocina con 37% de descuento sobre el precio original, y Tiendas de Descuento la vende con $50 de ahorro. Después de visitar ambas tiendas, Joel descubre que el precio que ofrecen sigue siendo igual. a) Determine el precio original de la cocina. b) Determine el precio de la cocina, con el descuento incluido. 44. Venta de pinturas El artista plástico Pablo Basurto vende cada una de sus pinturas por $500. La galería en donde expone su trabajo le cobra $1350 al mes, más una comisión de 10% sobre las ventas. ¿Cuántas pinturas debe vender Pablo al mes para no ganar ni perder dinero? 45. Bombillas eléctricas El costo de las bombillas incandescentes con duración de 9750 horas es de $9.75. El costo de la energía eléctrica necesaria para que las bombillas funcionen durante ese periodo es de $73. El costo de una bombilla fluorescente equivalente que dura aproximadamente 9750 horas es de $20. Utilizando una bombilla fluorescente en vez de una incandescente durante 9750 horas, el ahorro total (el precio de la bombilla más el costo de la energía eléctrica) es de $46.75. ¿Cuál es el costo de la energía eléctrica utilizando la bombilla fluorescente durante este periodo?

de 15%. Si la cuenta total, incluido 15% de propina, es de $184.60, ¿cuánto pagará cada familia? 47. Plantas y animales En el mundo existen aproximadamente 1,500,000 especies, clasificadas en categorías como plantas, animales e insectos. Los insectos, a su vez, se dividen en escarabajos e insectos que no son escarabajos. Existen aproximadamente 100,000 especies de plantas más que de animales. Existen 290,000 más insectos que no son escarabajos que animales. El número de escarabajos es 140,000 menos que dos veces el número de animales. Encuentre el número de animales, plantas, insectos que no son escarabajos y escarabajos. 48. La mejor calificación Para calcular el promedio de un conjunto de calificaciones, sumamos las notas, y dividimos el resultado entre el número de calificaciones. En sus primeros exámenes de álgebra, las calificaciones de Pamela Chacón fueron 87, 93, 97 y 96. a) Escriba una ecuación que pueda usarse para determinar la calificación que necesita obtener Pamela en su quinto examen para lograr un promedio de 90. b) Explique cómo determinó su ecuación. c) Resuelva la ecuación y determine la calificación.

49. Promedio en examen de física Las calificaciones que obtuvo Felipe Enríquez en cinco exámenes de física fueron: 70, 83, 97, 84 y 74. a) Si el examen final contara el doble que los demás, ¿qué calificación necesita obtener Felipe en él para lograr un promedio de 80? b) Si la calificación más alta que se puede obtener en el examen final es 100, ¿es posible para Felipe lograr un promedio de 90? Explique. 50. a) Cree su propio problema verbal que incluya porcentajes, y represéntelo como una ecuación. 46. Costo de cena Los cinco miembros de la familia Narváez van a cenar con tres miembros de la familia Luján. Antes 5 de la cena, deciden que los Narváez pagarán 8 de la cuenta 3 (sin la propina) y los Luján pagarán 8 más toda la propina

b) Resuelva la ecuación y responda el problema. 51. a) Plantee verbalmente un problema realista que involucre dinero. Represéntelo como una ecuación. b) Resuelva la ecuación y responda el problema.

Reto 52. Mercado de dinero El lunes, Sonia Maldonado compró acciones en un fondo del mercado de dinero. El martes, el valor de las acciones subió 5%, y el miércoles cayó 5%. ¿Cuánto pagó Sonia el lunes por las acciones, si las vendió el jueves por $59.85?

53. Renta de un camión La agencia Alquiler de Camiones, S.A. cobra $28 por día más $0.15 por milla. Si Denise Téllez rentó un pequeño camión por tres días y el cobro total fue de $121.68, incluyendo 4% de impuesto, ¿cuántas millas condujo?

80 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Actividad en equipo Analice y responda en equipo el ejercicio 54. 54. a) Cada miembro del equipo seleccione un número. Luego multiplíquelo por 2, sume 33, reste 13, divida entre 2 y reste el número con que inició. Registre cada respuesta.

b) Ahora comparen las respuestas. Si no obtuvieron la misma respuesta, verifiquen cada uno el trabajo del otro. c) Expliquen en equipo por qué este procedimiento tiene como resultado una respuesta de 10 para cualquier número real n seleccionado.

Ejercicios de repaso acumulativo Resuelva. 55. 2 + ` -

3 ` 5

56. - 6.4 - 1 -3.72

57. ` -

5 ` , ƒ -2 ƒ 8

58. 5 - ƒ -3 ƒ - ƒ 7 ƒ

59. Simplifique 12x 4y - 62 . -3

2.4 PROBLEMAS ADICIONALES DE APLICACIÓN 1

Resolver problemas de movimiento

2

Resolver problemas de mezclas

En esta sección analizaremos dos tipos adicionales de problemas de aplicación: problemas de movimiento y de mezcla. Los hemos colocado en la misma sección, porque se resuelven utilizando procedimientos similares.

1

Resolver problemas de movimiento Una fórmula con muchas aplicaciones útiles es cantidad  velocidad  tiempo

La “cantidad” en esta fórmula puede ser una medida de muchas cantidades diferentes, dependiendo de la tasa de cambio (o velocidad). Por ejemplo, si la tasa se mide en distancia por unidad de tiempo, la cantidad será la distancia. Si la tasa se mide en volumen por unidad de tiempo, la cantidad será volumen, etcétera. Cuando aplique esta fórmula, asegúrese de que las unidades son consistentes. Por ejemplo, cuando hablamos acerca de una copiadora, si la velocidad está dada en copias por minuto, el tiempo debe estar dado en minutos. Los problemas que pueden resolverse con esta fórmula se denominan problemas de movimiento, ya que incluyen movimiento, a una tasa constante, durante cierto periodo. Una enfermera que aplica a su paciente un suero vía intravenosa puede utilizar esta fórmula para determinar la tasa de goteo del fluido que está siendo inyectado. Una compañía de perforación de pozos petroleros o de agua puede emplear esta fórmula para determinar la cantidad de tiempo necesaria para alcanzar su meta. Cuando la fórmula de movimiento se utiliza para calcular distancia, la palabra cantidad se reemplaza con el término distancia, y la fórmula se denomina fórmula de distancia.

Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 81

La fórmula de distancia es distancia  velocidad · tiempo o d = rt

Cuando un problema de movimiento tiene dos velocidades diferentes, con frecuencia es útil poner la información en una tabla para analizar mejor la situación.

EJEMPLO 1 34.5 mph 20.2 mph 100 millas

FIGURA 2.6

Solución

Barcos en el mar El portaviones USS John F Kennedy y el submarino nuclear USS Memphis partieron al mismo tiempo de la estación naval Puget Sound, y se dirigieron al mismo destino en el océano Índico. El portaviones viaja a su velocidad máxima, 34.5 millas por hora, y el submarino se mueve sumergido a su velocidad máxima, 20.2 millas por hora. Estos vehículos mantienen la velocidad durante cierto tiempo, hasta que se encuentran a 100 millas de distancia uno del otro; en ese momento, reciben nuevas instrucciones de la base naval. ¿Cuánto tiempo pasará para que el portaviones y el submarino estén separados 100 millas? (Vea la figura 2.6) Entienda el problema Deseamos determinar cuánto tiempo pasa hasta que ambos vehículos están separados por una distancia de 100 millas. Para resolver este problema, usaremos la fórmula de distancia, d  vt. Cuando presentamos el procedimiento para resolver problemas, indicamos que, a veces, colocar la información en una tabla puede ayudarnos a comprender el problema, y eso es lo que haremos a continuación. Sea t  tiempo.

Traduzca

Velocidad

Tiempo

Distancia

Portaviones

34.5

t

34.5t

Submarino

20.2

t

20.2t

Los vehículos están separados por una distancia de 100 millas. Por lo

tanto,

distancia del portaviones  distancia del submarino  100 34.5t - 20.2t = 100 Realice los cálculos

14.3t = 100 t L 6.99

Escuela

Casa

Pedro 4 mph

Juan 6 mph

Juan llega a casa 1/2 hora antes que Pedro

FIGURA 2.7

El portaviones y el submarino estarán separados entre sí por una distancia de 100 millas cuando hayan transcurrido alrededor de 7 horas. ✺

Responda

EJEMPLO 2 Corriendo a casa Para estar en forma para la próxima carrera de la temporada, Juan y Pedro Santiago corren a casa después de la escuela. Juan corre a una velocidad de 6 mph y Pedro corre a 4 mph. Cuando salen de la misma es1 cuela al mismo tiempo, Juan llega a casa 2 hora antes que Pedro. Vea la figura 2.7. a) ¿Cuánto tiempo le toma a Pedro llegar a casa? b) ¿A qué distancia viven Juan y Pedro de la escuela?

82 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Solución

a) Entienda el problema Ambos niños correrán la misma distancia; sin embargo, como Juan corre más rápido que Pedro, el tiempo de Juan será menor que el de Pedro 1 por 2 hora.

sea t  tiempo de Pedro para llegar a casa entonces t -

1 = Tiempo de Juan para llegar a casa 2

Corredor Pedro Juan

Velocidad

Tiempo

Distancia

4

t

4t

6

t -

1 2

6At -

1 2

B

Traduzca Cuando los niños llegan a casa, ambos han corrido la misma distancia desde la escuela. De modo que

distancia de Pedro = distancia de Juan 1 4t = 6at - b 2 Realice los cálculos

4t = 6t - 3 - 2t = - 3 3 t = 2

Pedro llegará a casa en 1.5 horas. b) La distancia puede determinarse usando la velocidad y el tiempo de Pedro o de Juan. Multiplicaremos la velocidad de Pedro por el tiempo de Pedro para determinar la distancia.

Responda

3 12 d = rt = 4a b = = 6 millas 2 2 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 9

Por lo tanto, Juan y Pedro viven a 6 millas de su escuela.

✺

En el ejemplo 2, ¿cambiaría la respuesta si representáramos con t el tiempo que corre Juan, en lugar del tiempo que corre Pedro? Inténtelo y determine la respuesta.

EJEMPLO 3

Producción de jugo Una máquina llena botellas con jugo y las sella. La máquina puede trabajar a dos velocidades diferentes; a la velocidad más rápida, la máquina llena y sella 600 botellas más por hora que a la velocidad más lenta. La máquina trabaja a la velocidad más lenta durante 4.8 horas, y luego a la velocidad más rápida durante 3.2 horas. Durante estas 8 horas se llenó y selló un total de 25,920 botellas. Determine la tasa de ambas velocidades.

Solución Entienda el problema Este problema menciona un número de botellas, es decir, una cantidad, en lugar de una distancia; sin embargo, utilizaremos un método similar al que ya conocemos para resolverlo: la fórmula cantidad  velocidad  tiempo. Se nos ha dicho que la máquina puede trabajar a dos velocidades diferentes, y se nos pidió que determináramos esas dos velocidades. Usaremos el dato de que la cantidad de botellas llenadas a la velocidad más lenta más la cantidad de botellas llenadas a la velocidad más rápida es igual a la cantidad total de botellas llenadas. sea r = velocidad más lenta entonces r + 600 = velocidad más rápida

Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 83

Velocidad

Tiempo

r

4.8

4.8r

r + 600

3.2

3.21r + 6002

Velocidad más lenta Velocidad más rápida

Cantidad

Traduzca cantidad de botellas llenadas a la velocidad másamount lenta  filled cantidad de botellas a la velocidad más rápida at slower ratellenadas + amount filled at faster rate = 25,920

4.8r



4.8r

+

Carry Out Realice los cálculos

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11

2

3.21r + 6002 = 4.8r + 3.2r + 1920 = 8r + 1920 = 8r = r =

25,920 25,920 25,920 24,000 3000

Responda A la velocidad más lenta se llenan 3000 botellas por hora. La velocidad más rápida es r  600 o 3000  600  3600 botellas por hora. ✺

Resolver problemas de mezclas Cualquier problema en donde dos o más cantidades se combinan para producir una cantidad diferente, o en donde una cantidad simple se divide en dos o más cantidades diferentes, puede considerarse un problema de mezcla. Igual que cuando trabajamos con problemas de movimiento, usaremos tablas para ayudar a organizar la información. Los ejemplos 4 y 5 son problemas de mezcla que incluyen dinero.

EJEMPLO 4

Dos inversiones Bernardo Sepúlveda vendió su bote en $15,000, y le prestó una parte de ese dinero a su amiga Elena Cárdenas. El préstamo fue por 1 año, con una tasa de interés simple de 4.5%. Bernardo invirtió el resto del dinero en una cuenta de ahorro que producía 3.75% de interés simple. Un año más tarde, mientras calculaba sus impuestos, Bernardo determinó que había ganado un total de $637.50 por las dos inversiones, pero no podía recordar cuánto dinero le había prestado a Elena. Determine la cantidad que Bernardo le prestó a Elena.

Solución

Entienda el problema y traduzca Para resolver este problema usaremos la fórmula para calcular el interés simple: interés  capital  tasa  tiempo. Sabemos que parte de la inversión produjo 4.5% y el resto 3.75% de interés simple; se nos pide determinar la cantidad que Bernardo prestó a Elena.

sea p  cantidad prestada a Elena a 4.5% entonces 15,000  p  cantidad invertida a 3.75% Observe que la suma de las dos cantidades es igual a la cantidad total invertida, $15,000. Determinaremos cuánto se le prestó a Elena con la ayuda de una tabla.

Inversión

Capital

Tasa

Tiempo

Interés

Préstamo a Elena

p

0.045

1

0.045p

Cuenta de ahorro

15,000 - p

0.0375

1

0.0375115,000 - p2

Como el interés total producido es igual a $637.50, escribimos:

interés del préstamo a 4.5% + interés de la cuenta a 3.75% = 0.0375115,000 - p2 0.045p + =

interés total 637.50

84 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades Realice los cálculos

0.045p + 0.0375115,000 - p2 0.045p + 562.50 - 0.0375p 0.0075p + 562.50 0.0075p p

= = = = =

637.50 637.50 637.50 75 10,000

Responda Por lo tanto, el préstamo fue de $10,000, y $15,000  p o $15,000  $10,000  $5000 fue lo que Bernardo invirtió en la cuenta de ahorro. ✺

EJEMPLO 5

Solución

Comida rápida Mateo tiene un puesto de comida rápida; en él, vende cada hamburguesa a $2.00, y cada salchicha a $2.25. Si la venta total del día fue de $585.50 y se vendieron 278 productos, ¿cuántos de cada uno se vendieron? Entienda el problema y traduzca

Se nos pide determinar el número de ham-

burguesas y de salchichas vendidas.

sea x  número de hamburguesas vendidas entonces 278  x  número de salchichas vendidas

Producto

Costo del producto Número de productos

Venta total

Hamburguesas

2.00

x

2.00x

Salchichas

2.25

278 - x

2.251278 - x2

venta total de hamburguesas  venta total de salchichas  venta total 2.00x + 2.251278 - x2 = 585.50 Realice los cálculos

Responda

2.00x + 625.50 - 2.25x = 585.50 -0.25x + 625.50 = 585.50 -0.25x = - 40 - 40 x = = 160 -0.25

Por lo tanto, se vendieron 160 hamburguesas y 278  160  118 sal-

✺

chichas.

En el ejemplo 5 podríamos haber multiplicado ambos lados de la ecuación por 100 para eliminar los números decimales, y luego resolver la ecuación. El ejemplo 6 es un problema de mezcla que incluye la mezcla de dos soluciones.

EJEMPLO 6

Solución

Mezcla de medicamentos Javier Reynosa, un químico, tiene dos soluciones de citrato de litio, con concentraciones de 6% y 15%, y desea obtener 0.5 litros de una solución de citrato de litio con concentración de 8%. ¿Qué cantidad de cada solución debe utilizar en la mezcla? Entienda el problema y traduzca

Se nos pide determinar la cantidad de cada so-

lución necesaria para la mezcla.

sea x  número de litros de solución al 6% entonces 0.5  x  número de litros de solución al 15% La cantidad de citrato de litio en una solución se determina multiplicando el porcentaje de citrato de litio en la solución por el volumen de la misma. Haremos un bosquejo gráfico del problema (vea la figura 2.8), y luego organizaremos los datos en una tabla.

Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 85 Solución 1

Número de litros

FIGURA 2.8



x

Porcentaje de concentración

Solución 2

0.5  x

6%

Mezcla



0.5

15%

8%

Solución

Concentración de la solución

1

0.06

x

0.06x

2

0.15

0.5 - x

0.1510.5 - x2

Mezcla

0.08

0.5

0.0810.52

cantidad de £ citrato de litio en ≥ + la solución al 6% 0.06x

+

Realice los cálculos

Número de litros

Cantidad de citrato de litio

cantidad de cantidad de citrato de litio £ citrato de litio en ≥ = ¢ ≤ en la mezcla la solución al 15% 0.1510.5 - x2

=

0.06x + 0.1510.5 - x2 0.06x + 0.075 - 0.15x 0.075 - 0.09x -0.09x

= = = =

0.0810.52

0.0810.52 0.04 0.04 - 0.035 redondeo

x =

-0.035 = 0.39 £ al centésimo ≥ -0.09 más cercano

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21

Jaime debe mezclar 0.39 litros de la solución con concentración de 6% y 0.5  x o 0.5  0.39  0.11 litros de la solución con concentración de 15% para obtener 0.5 litros de una solución con concentración de 8%. ✺

Conjunto de ejercicios 2.4 Problemas de aplicación y resolución de problemas En los ejercicios 1 a 14, escriba una ecuación que pueda usarse para resolver el problema de movimiento. Resuelva la ecuación y responda las preguntas. 1. Una excursión a las Montañas Rocallosas Dos amigos, Fausto Cabañas y Rita Maldonado, van de excursión a las Montañas Rocallosas; durante el paseo, llegan hasta el lago del Oso y se sorprenden al ver su tamaño, así que deciden determinar cuánto mide. Fausto sabe que camina a 5 mph, y Rita sabe que lo hace a 4.5 mph. Si comenzaron a caminar al mismo tiempo en direcciones opuestas alre-

dedor del lago y se encontraron después de 1.2 horas, ¿cuál es el diámetro del lago? 2. Ondas de choque de un terremoto Un terremoto ocurre en un desierto de California. Las ondas de choque viajan alejándose en una trayectoria circular, similar a cuando se lanza una piedra a un lago. Si la ondaP (una clase de onda de choque) viaja a 2.4 millas por segundo, ¿cuánto tar-

86 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades daría la onda en tener un diámetro de 60 millas? (Vea la figura.)

organiza cada año una carrera de bicicletas. Lina Mora viaja al doble de la velocidad de Francisco Parra; Lina y Francisco empiezan la carrera al mismo tiempo; después de 3 horas, Lina está 18 millas adelante de Francisco. a) ¿Cuál es la velocidad de Francisco? b) ¿Cuál es la velocidad de Lina?

60 millas

3. Vuelo en globo En Albuquerque, Nuevo México, se celebra todos los años un festival de globos aerostáticos, en el que la gente puede pasear en ellos. Suponga que parte de la familia Díaz viaja en un globo y el resto en otro globo. Como los globos vuelan a diferentes alturas y llevan diferentes pesos, uno viaja a 16 millas por hora y el otro a 14 millas por hora en la misma dirección. ¿En cuántas horas estarán a 4 millas de distancia uno del otro?

8. Snooty, el manatí En un museo del sur de Florida, un manatí llamado Snooty vive en un tanque con capacidad para 60,000 galones de agua. Una vez al año limpian el tanque y cambian el agua. El tanque cuenta con dos válvulas que tienen la misma velocidad de flujo. Para llenarlo, la primera válvula se abre durante 17 horas, y la segunda durante 7 horas. Determine, en galones por hora, la velocidad de llenado de las 2 válvulas.

9. Paseo por el cañón Marcia Cepeda desciende por el cañón Bryce, acampa una noche en el fondo, y escala para salir de él al día siguiente. En el descenso, su velocidad promedia 3.6 millas por hora, y en su viaje de regreso promedia 1.2 millas por hora. Si dedicó un total de 16 horas al descenso y al ascenso, determine a) ¿cuánto tiempo necesitó para llegar al fondo del cañón? 4. Trenes Un tren de pasajeros parte de Norfolk, Virginia, 1.2 horas después que parte un tren de carga. El tren de pasajeros viaja 18 millas por hora más rápido que el de carga, y ambos transitan en vías paralelas. Los trenes viajan en la misma dirección, y estarán en el mismo punto 3 horas después de la salida del tren de pasajeros. Calcule la velocidad de cada tren.

b) ¿cuál fue la distancia total que recorrió?

5. Maizal Roberto Nieto y Armando Preciado están cosechando maíz de un campo que mide 1.5 millas de largo. Roberto empieza a cosechar a una velocidad de 0.15 millas por hora. Armando empieza del lado opuesto al de Roberto y cosecha a 0.10 millas por hora. Si los dos empiezan al mismo tiempo y continúan trabajando a esas velocidades, ¿en cuánto tiempo se encontrarán? 6. Fotocopias Para sacar un gran número de copias, Sandra Gil utiliza dos fotocopiadoras. Una puede producir 35 copias por minuto; la otra saca 40 copias por minuto. Si Sandra empieza a sacar copias al mismo tiempo en ambas máquinas, ¿cuánto tiempo se necesitará para que las dos fotocopiadoras produzcan un total de 1050 copias? 7. Carrera de beneficencia Un club femenino trata de obtener dinero para una casa de beneficencia; para ello,

10. Olvido Nicolás Ruiz empieza una larga caminata a 4 mph; 45 minutos después, Guadalupe, su esposa, se da cuenta

Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 87 de que olvidó su cartera. Entonces, sube a su bicicleta y va a buscarlo a una velocidad de 24 mph. a) ¿Cuánto tiempo necesitará Guadalupe para alcanzar a Nicolás? b) ¿Qué tan lejos de su casa se encontrarán Guadalupe y Nicolás? 11. Empacado de espagueti Dos máquinas de distinto tamaña empacan espagueti. La máquina más pequeña puede empacar 400 cajas por hora, y la máquina más grande puede empacar 600 cajas por hora. Si la máquina más grande comienza a trabajar 2 horas antes que la más pequeña, ¿cuánto tiempo después de que empiece a funcionar esta última se habrán empacado 15,000 cajas de espagueti? 12. Carreras de caracoles Como proyecto de ciencias en su clase de preescolar, la profesora Graciela Farías organiza una carrera de caracoles. El primer caracol se llama Veloz, y se mueve a 5 pies por hora. El segundo caracol, Lucecita, se mueve a 4.5 pulgadas por hora. Si los caracoles siguen un camino recto y Veloz termina la carrera 0.25 horas antes que Lucecita, a) determine el tiempo que necesitó Lucecita para terminar la carrera. b) determine el tiempo que necesitó Veloz para terminar la carrera. c) ¿qué distancia recorrieron los dos caracoles? 13. Viaje al aeropuerto Lidia Marín se dirige al aeropuerto, conduciendo su automóvil a una velocidad de 35 millas por hora; 15 minutos después de su salida, sus padres se dan cuenta de que olvidó sus boletos, así que tratan de alcanzarla en un automóvil que va a 50 millas por hora. ¿Cuánto tiempo se tardarán en alcanzar a Lidia? 14. Alcance de la señal Un equipo de radiocomunicación tiene un alcance de aproximadamente 2 millas.Alicia Robledo y Delia García llevan sus radios cuando inician una caminata en direcciones opuestas a lo largo de un sendero natural. Si Alicia camina a una velocidad de 3.5 mph y Delia lo hace a una velocidad de 4.5 mph, ¿cuánto tiempo pasará hasta que ya no puedan comunicarse con sus radios? En los ejercicios 15 a 28, plantee una ecuación que pueda usarse para resolver problemas de mezcla. Resuelva cada ecuación y responda las preguntas. 15. Dos inversiones Vicente Sanabria invirtió $30,000 en dos cuentas diferentes; una paga 3% y la otra 4.1% de interés simple anual. Si Vicente ganó un total de $1091.73 por las dos inversiones, ¿cuánto invirtió en cada cuenta?

18. Mezcla de nueces Jacinto Pedraza es propietario de una tienda de semillas; en ella, vende las almendras a $6 por libra, y las nueces a $5.20 por libra. Cierto día, recibe un pedido especial de un cliente que quiere comprar 30 libras de una mezcla de almendras y nueces, pero no quiere pagar más que $165. Jacinto utilizó el álgebra para determinar la cantidad de cada semilla, tomando en cuenta que sólo puede utilizar una cantidad de almendras tal, que el valor total de la mezcla no exceda $165. Determine cuántas libras de almendras y de nueces mezcló Jacinto. 19. Inversión de una herencia Bartolomé Velasco heredó $250,000, y desea invertirlos en acciones de las empresas Johnson & Johnson y AOL Time Warner. Bartolomé desea comprar el doble de acciones de AOL que de acciones de Johnson & Johnson. El 11 de febrero de 2002, el precio de las acciones de Johnson & Johnson era de $56.88 cada una, y el de las acciones de AOL era de $27.36 cada una. a) Si Bartolomé desea comprar acciones en bloques de 100, ¿cuántas acciones de cada compañía puede comprar? b) ¿Cuánto dinero le quedaría después de realizar la compra? 20. Solución de ácido acético César León, un maestro de química, necesita una solución de ácido acético con concentración de 10% para su próxima clase. Cuando revisa el almacén, se da cuenta de que sólo tiene 16 onzas de una solución de ácido acético con concentración de 25%. No hay suficiente tiempo para solicitar más, de modo que decide hacer una solución de ácido acético con concentración de 10% agregando agua a la solución de que dispone. Como sabe álgebra, hace cálculos para determinar cuánta agua debe agregar. Haga lo mismo y cálcule cuánta agua debe agregar César a la solución con concentración de 25% para reducirla a una solución con concentración de 10%.

16. Dos inversiones Teresa Solórzano invirtió $10,000 durante un año, una parte a 7% y otra a 6.25%. Si ganó un total de $656.50 por concepto de intereses, ¿cuánto invirtió a cada tasa?

21. Solución de vinagre Por lo común, el vinagre blanco des-

17. Mezcla de café Juana Gaytán es propietaria de la cafetería La Tacita. En ella, ofrece muchas variedades de café, incluyendo un mezcla llamada Kona que vende a $6.20 por libra, y otra de Amaretto que vende a $5.80 por libra. Juana descubrió que, si mezcla ambas variedades, obtiene un nuevo sabor que se vende muy bien. Si utiliza 18 libras de Amaretto en la mezcla y desea vender el nuevo sabor a $6.10 por libra, ¿cuántas libras del café Kona debe mezclar con el café Amaretto?

tilado que se vende en los supermercados tiene un nivel de acidez de 5%. Para preparar un platillo, la chef Julia Palacios marina carne de ternera durante toda la noche, en un vinagre especial, destilado al 8%, que ella creó. Para lograr su solución al 8%, Julia mezcla una solución normal de vinagre al 5% con otra al 12% que compra en un almacén especializado. ¿Cuántas onzas de vinagre al 12% debe agregar a 40 onzas de vinagre al 5% para obtener una solución de vinagre al 8%?

88 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades 22. Solución de peróxido de hidrógeno Arturo Godínez trabaja como ingeniero químico para la compañía Peróxido, S. A., y tiene 2500 galones de solución de peróxido de hidrógeno de clase comercial, con 60% de peróxido de hidrógeno puro. ¿Cuánta agua destilada (que tiene 0% de peróxido de hidrógeno) necesitará agregar a esa solución para crear una nueva mezcla con 25% de peróxido de hidrógeno puro? 23. Salsa de rábanos Angélica Garduño tiene una receta para la que requiere una salsa de rábanos con 45% de rábanos puros. En la tienda encuentra una salsa de rábanos que tiene 30% de rábanos puros, y otra con 80%. ¿Cuántas cucharadas de cada una de estas salsas debe mezclar Angélica para obtener 4 cucharadas de salsa de rábano con 45% de rábanos puros? 24. Mezcla de semillas El vivero Siempre Verde vende dos tipos de semillas de césped a granel. La semilla de baja calidad tiene una tasa de germinación de 76%, pero se desconoce la tasa de germinación de la semilla de alta calidad. Doce libras de la semilla de alta calidad se mezclan con 16 libras de la semilla de baja calidad. Si un análisis posterior de la mezcla revela que la tasa de germinación de la mezcla fue de 82%, ¿cuál es la tasa de germinación de la semilla de alta calidad? 25. Solución ácida Un químico tiene dos soluciones de ácido sulfúrico. Una tiene una concentración de 20%, pero la etiqueta que indica la concentración de la otra está perdida. Cierto día, se hace una mezcla con 200 ml de la solución con concentración de 20% y 100 ml de la solución con la concentración desconocida. Después de un análisis, se determinó que la mezcla tiene una concentración de 25%. Determine la concentración de la solución sin etiqueta. 26. Estrategia fiscal Algunos estados permiten que cada cónyuge presente su declaración de impuestos estatales de manera individual aunque den cuenta de sus ingresos en conjunto. Por lo regular, ésta es una ventaja para los contribuyentes cuando marido y mujer trabajan, ya que deberán una menor cantidad de impuestos (o tendrán derecho a una devolución mayor) cuando los ingresos gravables de ambos cónyuges sean iguales. El año pasado, el ingreso gravable del señor Junco fue de $28,200, y el de la señora de Junco fue de $32,450. La deducción total de impuestos de los Junco fueron de $6400. Esta deducción puede dividirse entre el señor y la señora Junco como ellos deseen. ¿Cómo deben dividir los $6400 entre ellos para que tengan el mismo ingreso gravable?

gasolina, y tiene 150 galones de gasolina con 87 octanos. ¿Cuántos galones de gasolina con 97 octanos debe mezclar con la gasolina de 87 octanos para obtener gasolina con 89 octanos?

Vea ejercicio 27 En los ejercicios 29 a 46, escriba una ecuación que pueda usarse para resolver problemas de mezcla o de movimiento. Resuelva cada ecuación y responda las preguntas. 29. Ruta 66 La famosa Ruta 66, una carretera de Estados Unidos, comunica a Chicago con Los Ángeles y tiene una extensión de 2448 millas. Judy Kasabian sale de Chicago y conduce a una velocidad promedio de 45 mph por la Ruta 66 hacia Los Ángeles. Al mismo tiempo, Kamilia Nemri sale de Los Ángeles y conduce por la Ruta 66 a una velocidad de 50 mph con dirección a Chicago. Si Judy y Kamilia mantienen estas velocidades promedio, ¿cuánto tardarán en encontrarse? 30. Reunión en un restaurante Mateo Coria y Simón Cerdeña viven a 225 millas uno del otro. Ellos se reúnen con frecuencia para comer en un restaurante que está entre ambos puntos. Partiendo al mismo tiempo de sus respectivas casas, Mateo necesita 1 hora y 45 minutos para llegar al restaurante, y Simón tarda 1 hora y 15 minutos en llegar. Si cada uno de ellos maneja a la misma velocidad, a) determine sus velocidades. b) ¿a qué distancia de la casa de Simón está el restaurante? 31. Bombas de agua Gregorio Álvarez necesita vaciar su alberca de 15,000 galones, de modo que pide ayuda al departamento de bomberos. El jefe del escuadrón accede a prestarle dos bombas para desaguar la alberca. Una bomba saca 10 galones de agua por minuto y la otra 20 galones por minuto. Si las bombas comienzan a trabajar al mismo tiempo y permanecen encendidas hasta que la alberca está vacía, ¿cuánto tiempo tarda en vaciarse la alberca?

27. Mezcla de semilla de girasol El vivero Alameda vende dos tipos de semilla de girasol; la semilla rayada cuesta $1.20 por libra, mientras que la semilla de girasol de aceite negro cuesta $1.60 por libra. ¿Cuántas libras de cada una debe utilizar el vivero para obtener una mezcla de 20 libras que se venda a $30? 28. Niveles de octano El nivel de octano de una gasolina indica el porcentaje de octano puro que contiene. Por ejemplo, casi todas las gasolinas comunes tienen un nivel de octano de 87, lo que significa que está compuesta por 87% de octano (y 13% de algún otro combustible, como pentano). Orlando Troncoso es propietario de una estación de

32. Dos inversiones Jesús Carrión invirtió $8000 durante un año, una parte a 6% y otra a 10% de interés simple. ¿Cuánto invirtió en cada cuenta, si recibió la misma cantidad de intereses por cada una?

Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 89 33. Solución anticongelante ¿Cuántos cuartos de galón de anticongelante puro debe agregar Doris Quezada a 10 cuartos de una solución de anticongelante con concentración de 20% para obtener una solución con concentración de 50%? 34. Viaje a Hawai Un avión voló de Chicago a Los Ángeles a una velocidad promedio de 500 millas por hora. Después continuó su trayecto sobre el océano Pacífico hacia Hawai a una velocidad promedio de 550 millas por hora. Si el viaje completo cubrió 5200 millas y el vuelo sobre el océano es el doble del vuelo sobre tierra, ¿cuánto tiempo duró el viaje completo? 35. Reabastecimiento de un jet Un jet de la fuerza aérea realizará un largo vuelo, así que necesitará reabastecerse de combustible en pleno vuelo sobre el océano Pacífico. Un avión de reabastecimiento que transporta combustible puede viajar mucho más lejos, pero vuela a una velocidad menor. El avión de reabastecimiento y el jet saldrán de la misma base, pero el primero partirá 2 horas antes que el jet. Éste volará a 800 mph y el otro volará a 520 millas por hora.

a) ¿Cuánto tiempo después del despegue del jet se encontrarán los aviones? b) ¿A qué distancia de la base tendrá lugar el reabastecimiento? 36. Dos empleos Anselmo Ramírez tiene dos empleos de medio tiempo. En uno le pagan $7.00 por hora, y en el otro $7.75 por hora. La semana pasada Anselmo ganó un total de $190.25 y trabajó un total de 26 horas. ¿Cuántas horas dedicó a cada empleo? 37. Venta de pinturas Leonardo Casillas, un artista, vende pinturas de todo tamaño en una galería de Madrid. Las pinturas más pequeñas tienen un precio de $60, y las grandes valen $180.Al final de la semana, Leonardo determinó que el monto total por la venta de 12 pinturas fue $1200. Determine el número de pinturas pequeñas y grandes que vendió.

38. Viaje de trabajo José Luis Guerra vive a 28 millas de su trabajo. Debido a irregularidades en el camino, él debe manejar los primeros 20 minutos a una velocidad 14 mph más lenta que en el resto del trayecto. Si el viaje completo le toma 35 minutos, determine la velocidad de José Luis en cada parte de su trayecto. 39. Solución de alcohol Heriberto Sosa tiene una solución de alcohol metílico con concentración de 80%, y desea obtener un galón de solución para el limpiaparabrisas de su auto, mezclando su solución de alcohol metílico con agua. Si 128 onzas, o un galón, de fluido para el limpiaparabrisas debe contener 6% de alcohol metílico, ¿qué proporción de la solución con concentración de 80% y cuánta agua debe mezclar? 40. Podadora de jardines Sergio Rivera utiliza una tractor para arreglar su jardín. Utilizándola para podar parte de su jardín en segunda velocidad y otra parte en tercera velocidad, tardó 2 horas en terminar y el odómetro de su tractor muestra que cubrió 13.8 millas mientras cortaba el pasto. Si promedió 4.2 millas por hora en segunda velocidad y 7.8 millas por hora en tercera velocidad, ¿cuánto tardó en cada velocidad? 41. Pastel de carne Silvana Garza hace un pastel de carne combinando trozos de carne de solomillo con carne de cordero. El solomillo contiene 1.2 gramos de grasa por onza y el cordero contiene 0.3 gramos de grasa por onza. Si Silvana quiere que su mezcla de 64 onzas sólo tenga 0.8 gramos de grasa por onza, determine cuánto solomillo y cuánto cordero debe usar. 42. Mezcla de leche El restaurante Buen Provecho tiene 400 cuartos de galón de leche entera que contiene 5% de crema. ¿Cuántos cuartos de galón de leche baja en grasa con 1.5% de crema deben agregarse para producir leche que contenga 2% de crema? 43. Comparación de transporte Emilio Silva puede ir en su bicicleta al trabajo, y tarda 3/4 hora en el trayecto. Si utiliza su automóvil, el viaje dura 1/6 hora. Si Emilio conduce su automóvil a un promedio de 14 millas por hora más rápido que la velocidad que alcanza con su bicicleta, determine la distancia que recorre al trabajo. 44. Máquina envasadora Una antigua máquina que dobla y sella cajas para leche puede producir 50 cajas por minuto. Una máquina nueva puede producir 70 cajas por minuto. La máquina antigua ha fabricado 200 cajas de cartón cuando se enciende la máquina nueva. Si ambas máquinas continúan trabajando, ¿cuánto tiempo después de comenzar a trabajar la máquina nueva producirá la misma cantidad de cajas que la máquina antigua? 45. Salinidad del océano La salinidad (contenido de sal) del océano Atlántico promedia 37 partes por millar. Si se colocan al sol 64 onzas de agua, ¿cuántas onzas de agua pura se tendrían que evaporar para que la salinidad del líquido restante se elevara a 45 partes por millar? (Sólo el agua se evapora; la sal queda sedimentada.) 46. Dos cohetes Dos cohetes se lanzan al espacio desde el centro espacial Kennedy; el primero, lanzado a mediodía, viajará a 8000 millas por hora; el segundo será lanzado poco tiempo después y viajará a 9500 millas por hora.

90 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades ¿a qué hora debe lanzarse el segundo cohete si ambas naves deben reunirse a una distancia de 38,000 millas de la Tierra.

a) Explique cómo encontró la solución para este problema. b) Determine la solución del problema. 47. a) Invente su propio problema de movimiento que pueda representarse como una ecuación. b) Escriba la ecuación que representa a su problema. c) Resuelva la ecuación y luego determine la respuesta a su problema. 48. a) Invente su propio problema de mezclas que pueda representarse como una ecuación. b) Escriba la ecuación que represente su problema. c) Resuelva la ecuación y luego determine la respuesta a su problema.

Reto 49. Distancia a Calais El Eurotúnel (túnel submarino que comunica Folkestone, Inglaterra, con Calais, Francia) tiene 31 millas de longitud. Una persona puede abordar el tren bala en París, viajar sin parar a través del Eurotúnel y llegar a Londres en 3 horas. El tren bala recorre la distancia entre París y Calais en un promedio de 130 millas por hora; después reduce su velocidad a un promedio de 90 millas por hora a lo largo del trayecto de 31 millas del Eurotúnel. Cuando sale del Eurotúnel, cubre el trayecto de 68 millas entre Folkestone y Londres a un promedio de 45 millas por hora, debido a que transita por vías obsoletas. Con esta información, determine la distancia que hay entre París y Calais.

50. Automóviles de carreras Dos automóviles, A y B, participan en una carrera de 500 vueltas; cada vuelta cubre una distancia de 1 milla. El automóvil que va adelante, A, promedia 125 millas por hora cuando llega a la mitad de la carrera; el automóvil B está exactamente 6.2 vueltas detrás.

B

A

a) Determine la velocidad promedio del automóvil B. b) Cuando el automóvil A llega a la mitad de la carrera, ¿qué tan lejos de él, en segundos, está el automóvil B? 51. Solución anticongelante El radiador de un automóvil tiene una capacidad de 16 cuartos de galón. En este momento está lleno con una solución anticongelante con concentración de 20%. ¿Cuántos cuartos deben drenarse y reemplazarse con anticongelante puro para hacer que el radiador contenga una solución anticongelante con concentración de 50%?

Ejercicios de repaso acumulativo 52. Exprese el cociente en notación científica.

2.7 * 1015 4.5 * 104

Resuelva [2.1]

53. 0.6x + 0.22 = 0.41x - 2.32 54.

1 2 x + 3 = x + 9 5

[2.2] 55. Despeje y en la ecuación para y.

3 2 1x - 22 = 12x + 3y2 5 7

[2.3] 56. Renta de un camión La agencia de renta de camiones Transportes, S. A. cobra $30 por día más $0.14 por milla recorrida. Por su parte, la agencia Camiones, S. A. cobra $16 por día más $0.24 por milla recorrida. ¿Qué distancia debería conducir en 1 día para que el precio de Transportes, S. A. sea igual al de Camiones, S. A.?

Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 91

2.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES

1

1

Resolver desigualdades.

2

Representar soluciones gráficamente en la recta numérica, notación de intervalo y conjuntos solución.

3

Resolver desigualdades compuestas que incluyan “y”.

4

Resolver desigualdades compuestas que incluyan “o”.

Resolver desigualdades Los símbolos de desigualdad se presentan a continuación.* Símbolos de desigualdad 7

es mayor que

Ú

es mayor o igual que

6

es menor que

…

es menor o igual que

Una expresión matemática con uno o más de estos símbolos es una desigualdad. La dirección del símbolo de desigualdad a veces se denomina orden o sentido de la desigualdad.

Ejemplos de desigualdades con una variable 2x + 3 … 5

4x 7 3x - 5

1.5 … - 2.3x + 4.5

1 x + 3 Ú 0 2

Para resolver una desigualdad, debemos aislar la variable en un lado del símbolo de desigualdad. Para aislar la variable, utilizamos las mismas técnicas básicas utilizadas para resolver ecuaciones. Propiedades utilizadas para resolver desigualdades 1. Si a 7 b, entonces a + c 7 b + c. 2. Si a 7 b, entonces a - c 7 b - c. 3. Si a 7 b, y c 7 0, entonces ac 7 bc. 4. Si a 7 b, y c 7 0, entonces

b a 7 . c c

5. Si a 7 b, y c 6 0, entonces ac 6 bc. a b 6. Si a 7 b, y c 6 0, entonces 6 . c c

Las primeras dos propiedades establecen que podemos sumar o restar el mismo número en ambos lados de una desigualdad. La tercera y cuarta propiedades establecen

* Z , es distinto de, también es una desigualdad; Z significa 6 o 7. Así, 2 Z 3 significa 2 6 3 o 2 7 3.

92 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

que ambos lados de una desigualdad pueden multiplicarse o dividirse por cualquier número real positivo. Las dos últimas propiedades indican que cuando ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo, la dirección de la desigualdad se invierte.

Ejemplo de multiplicación por un número negativo

Ejemplo de división entre un número negativo

4 7 -2

10 Ú -4 -4 10 … -2 -2 -5 … 2

- 1 142 6 -1 1- 22 -4 6 2

SUGERENCIA

No olvide invertir la dirección del símbolo de desigualdad cuando multiplique o divida ambos lados de la desigualdad por un número negativo. Dirección del símbolo de la desigualdad

Desigualdad

7 -3

-

EJEMPLO 1 Solución

-3

x 1- 22 a - b 6 1- 22 152 2

x 7 5 2

Resuelva la desigualdad 5t - 7 Ú - 22.

5t - 7 Ú - 22 5t - 7 + 7 Ú - 22 + 7 5t Ú - 15 5t - 15 Ú 5 5 t Ú -3

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17

6

-3x

- 3x 6 6

Sume 7 en ambos lados.

Divida ambos lados entre 5.

El conjunto solución es 5t ƒt Ú - 36. Cualquier número real mayor que o igual a 3 satisface la desigualdad. ✺

2 Representar soluciones gráficamente en la recta numérica, notación de intervalo y conjuntos solución La solución de una desigualdad puede representarse gráficamente sobre una recta numérica, o escribirse como un conjunto solución. La solución también puede escribirse en notación de intervalo, como se ilustra a continuación. Casi todos los profesores tienen preferencia por alguna de estas formas para indicar la solución de una desigualdad. Recuerde que en la recta numérica, un círculo relleno indica que el punto extremo es parte de la solución, y un círculo vacío indica que el punto extremo no es parte de la solución. En notación de intervalos se utilizan los corchetes, [ ], para indicar que los puntos extremos son parte de la solución, y los paréntesis, ( ), para indicar que los puntos extremos no son parte de la solución. El símbolo q, que se lee “infinito”, indica que el conjunto solución continúa indefinidamente. Cada vez que se utilice el símbolo q en notación de intervalo, debemos usar un paréntesis del lado correspondiente de esta notación de intervalo.

Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 93

Solución de desigualdad

Conjunto solución indicado en la recta numérica

x 7 a

a

x Ú a

a

1a, q 2 3a, q 2

x 6 a

a

x … a

a

1- q , a2 1- q , a4

a 6 x 6 b

a

b

a … x … b

a

b

a 6 x … b

a

b

a … x 6 b

a

b

x Ú 5 x 6 3 2 6 x … 6 -6 … x … - 1

1

0

1

2

1a, b2 3a, b4

1a, b4

3a, b2

4

5

6

7

8

9 10 11

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

3 2 1

3

4

5

6

7

8

9

9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

0

3

Conjunto solución representado en notación de intervalo

1

2

35, q 2

1- q , 32 12, 64

3-6, -14

En el siguiente ejemplo resolveremos una desigualdad que tiene fracciones.

EJEMPLO 2

Resuelva la siguiente desigualdad y dé la solución tanto en la recta numérica como en notación de intervalo.

1 1 2z z - 6 + 2 4 2 3

Solución

Podemos eliminar las fracciones de una desigualdad al multiplicar ambos lados de la desigualdad por el mínimo común denominador, MCD, de las fracciones. En este caso multiplicamos ambos lados de la desigualdad por 12. Luego resolvemos la desigualdad resultante, tal como hicimos en el ejemplo anterior.

1 2z 1 + 2 z - 6 4 2 3 1 1 2z 12 a z - b 6 12 a + 2b 4 2 3 3z - 6 6 8z + 24 3z - 8z - 6 6 8z - 8z + 24 - 5z - 6 6 24 - 5z - 6 + 6 6 24 + 6 - 5z 6 30 - 5z 30 7 -5 -5 z 7 -6

Multiplique ambos lados por el MCD, 12. Propiedad distributiva. Reste 8z en ambos lados. Sume 6 en ambos lados. Divida ambos lados entre 5 y cambie la dirección del símbolo de desigualdad.

94 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Recta numérica 8 7 6 5 4 3 2 1

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25

0

1

2

Notación de intervalo 3

1-6, q 2

4

El conjunto solución es 5z ƒz 7 - 66.

✺

En el ejemplo 2 ilustramos la solución en la recta numérica, en notación de intervalo y como un conjunto solución. Su profesor le puede indicar cuál forma prefiere.

EJEMPLO 3

Resuelva la desigualdad 213p - 42 + 9 … 81p + 12 - 21p - 32.

Solución

213p - 42 + 9 … 81p + 12 - 21p - 32 6p - 8 + 9 … 8p + 8 - 2p + 6 6p + 1 … 6p + 14 6p - 6p + 1 … 6p - 6p + 14 1 … 14 Como 1 siempre es menor que o igual a 14, la desigualdad es verdadera para todos los números reales. Cuando una desigualdad es verdadera para todos los números reales, el conjunto solución es el conjunto de todos los números reales, . El conjunto solución para este ejemplo, también puede indicarse en la recta numérica o en notación de intervalo. 6 5 4 3 2 1

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23

0

1

2

3

4

5

6

o

1- q , q 2

✺

Si en el ejemplo 3 hubiera resultado la expresión 1  14, la desigualdad nunca sería verdadera, ya que 1 nunca es mayor que o igual a 14. Cuando una desigualdad nunca es verdadera, no tiene solución; su conjunto solución es el conjunto vacío o conjunto nulo, ¤ o { }. En la recta numérica, el conjunto vacío se representa como . 0

SUGERENCIA

Por lo general, cuando se escribe la solución de una desigualdad, la variable se coloca a la izquierda. Por ejemplo, cuando resolvemos una desigualdad, si obtenemos 5  y, escribiríamos la solución como y  5.

Por ejemplo,

EJEMPLO 4

6 x

significa a x 6 (el símbolo de desigualdad apunta a 6 en ambos casos)

3 x

significa a x 3 (el símbolo de desigualdad apunta a x en ambos casos)

a x

significa a x a (el símbolo de desigualdad apunta a a en ambos casos)

a x

significa a x a (el símbolo de desigualdad apunta a x en ambos casos)

Transporte aéreo Un pequeño avión monomotor puede transportar un peso máximo de 1500 libras. Milagros Pruneda, la piloto, tiene que transportar cajas que pesan 80.4 libras cada una. a) Plantee una desigualdad que pueda usarse para determinar el número máximo de cajas que Milagros puede transportar de forma segura en su aeroplano, tomando en cuenta que ella pesa 125 libras. b) Determine el número máximo de cajas que Milagros puede transportar.

Solución

a) Entienda el problema y traduzca

Sea n  número de cajas.

peso de Milagros + peso de n cajas … 1500 125

 80.4n

 1500

Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 95

125 + 80.4n … 1500 80.4n … 1375 n … 17.1

b) Realice los cálculos

Por lo tanto, Milagros puede transportar hasta 17 cajas en cada viaje.

Responda

EJEMPLO 5

✺

Boliche En el boliche Bolarama, el alquiler de zapatos para boliche cuesta $2.50, y cada línea vale $4.00. a) Escriba una desigualdad que pueda usarse para determinar el número máximo de líneas que Ricardo Zurbarán puede jugar si sólo tiene $20. b) Determine el número máximo de líneas que puede jugar Ricardo.

Solución

a) Entienda el problema y traduzca

Sea g  número de líneas jugadas entonces 4.00g  costo de jugar g líneas costo del alquiler de zapatos  costo de jugar g líneas  dinero que tiene Ricardo 2.50 b) Realice los cálculos

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65





4.00g 2.50 + 4.00g 4.00g 4.00g 4.00 g

20

… 20 … 17.50 17.50 … 4.00 … 4.375

Responda y compruebe Como Ricardo no puede jugar sólo parte de una línea, el número máximo de juegos que puede permitirse es 4. Si Ricardo jugara 5 líneas, su cuenta sería de $2.50  5($4.00)  $22.50, cantidad superior a los $20 que tiene. ✺

EJEMPLO 6

Utilidad Para que un negocio logre una utilidad, su ingreso, R, debe ser mayor que los costos en que incurre, C. Esto es, se obtendrá una utilidad cuando R C (el punto de equilibrio de un negocio es cuando R  C). Una empresa que fabrica naipes tiene una ecuación de costo semanal de C  1525  1.7x, y una ecuación de ingresos semanales de R  4.2x, en donde x es el número de mazos de naipes fabricados y vendidos en una semana. ¿Cuántos mazos de naipes deben fabricarse y venderse en una semana para que la empresa tenga una utilidad?

Solución

Entienda el problema y traduzca La empresa tendrá una utilidad cuando R C, o Realice los cálculos

4.2x 7 1525 + 1.7x 2.5x 7 1525 1525 x 7 2.5 x 7 610

Responda La empresa tendrá una utilidad cuando fabrique y venda más de 610 maAHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69

EJEMPLO 7

zos de naipes en una semana.

✺

Tablas de impuestos Gracias a una ley aprobada en 2001, la tasa fiscal que pagan casi todos los estadounidenses se redujo. a) Escriba, en notación de intervalo, las cantidades de ingresos gravables que conforman cada uno de los cinco rangos de impuestos listados en la siguiente tabla, esto es, los rangos de 15%, 27.5%, 30.5%, 35.5% y 39.1%.

96 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

LISTA Y1 Utilice si su estado civil es Casado por bienes mancomunados o viudo(a) Si la cantidad en la forma 1040, línea 39, es: mayor que—

Pero no mayor que—

Escriba la forma 1040, línea 40

de la cantidad por encima de—

$0

$45,200

15%

$0

45,200

109,250

$6,780.00 + 27.5%

45,200

109,250

166,500

24,393.75 + 30.5%

109,250

166,500

297,350

41,855.00 + 35.5%

166,500

88,306.75 + 39.1%

297,350

297,350

b) Determine el impuesto que debe pagar una pareja casada por bienes mancomunados, si sus ingresos gravables son de $36,000. c) Determine el impuesto que debe pagar una pareja casada por bienes mancomunados, si sus ingresos gravables son de $136,000.

Solución

a) Las palabras “Pero no mayor que” significa “menor que o igual a”. Los ingresos gravables que conforman los cinco son: 10, 45,2004 para el rango de 15%

145,200, 109,2504 para el rango de 27.5%

1109,250, 166,5004 para el rango de 30.5%

1166,500, 297,3504 para el rango de 35.5% 1297,350, q 2 para el rango de 39.1%

b) El impuesto que debe pagar una pareja casada por bienes mancomunados con un ingreso gravable de $36,000 es 15% de $36,000. Por lo tanto,

impuesto = 0.15136,0002 = $5400 El impuesto a pagar es de $5400. c) Un ingreso gravable de $136,000 coloca a la pareja en el rango de impuestos de 30.5%. El impuesto es de $24,393.75  30.5% del ingreso gravable mayor a $109,250. El ingreso mayor a $109,250 es $136,000  $109,250  $26,750. Por lo tanto,

impuesto = 24,393.75 + 0.305126,7502 = 24,393.75 + 8158.75 = 32,552.50

✺

El impuesto a pagar es de $32,552.50.

3

Resolver desigualdades compuestas que incluyan “y” Una desigualdad compuesta está formada por dos desigualdades ligadas con la palabra y o la palabra o. En ocasiones la palabra y está implícita, aunque no esté escrita. Ejemplos de desigualdades compuestas

3 6 x y x + 4 7 3 o 4x - 6 Ú - 3 y

x 6 5 2x - 3 6 6 x - 6 6 5

Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 97

En esta parte analizaremos las desigualdades compuestas que utilizan o implican la palabra y. La solución de una desigualdad compuesta que utiliza la palabra y son todos los números que hacen ambas partes de la desigualdad verdaderas. Por ejemplo, en

3 6 x y

x 6 5

¿cuáles números satisfacen ambas desigualdades? Los números que satisfacen ambas desigualdades pueden determinarse con facilidad si representamos gráficamente la solución de cada desigualdad en una recta numérica (vea la figura 2.9). Ahora observe que los números que satisfacen ambas desigualdades son los números entre 3 y 5. El conjunto solución es {x|3 x 5}. 3 x (o x 3) x 5

FIGURA 2.9

Solución: 3 x 5

3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Recuerde que la intersección de dos conjuntos es el conjunto de elementos comunes a ambos. Para determinar el conjunto solución de una desigualdad que contenga la palabra y tome la intersección de los conjuntos solución de las dos desigualdades.

EJEMPLO 8 Solución

Resuelva x  2  5 y 2x  4 2. Comience por resolver cada desigualdad por separado.

x + 2 … 5

y

2x - 4 7 - 2

x … 3

2x 7 2 x 7 1

Ahora tome la intersección de los conjuntos {x|x  3} y {x|x 1}.Cuando encontramos {x|x  3} ¨ {x|x 1}, determinamos los valores de x comunes a ambos conjuntos. La figura 2.10 ilustra que el conjunto solución es {x|1 x  3}. En notación de intervalo, la solución es (1, 3]. x3 x 1

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57

FIGURA 2.10

Solución: 1 x  3

3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

✺

A veces es posible escribir en una forma más corta las desigualdades compuestas que utilizan la palabra y. Por ejemplo, podemos escribir 3 x y x 5 como 3 x 5. La palabra y no aparece cuando la desigualdad se escribe de esta manera, pero está implícita. La desigualdad compuesta 1 x  5 y x  5  7 puede escribirse como 1 x  5  7.

EJEMPLO 9 Solución

Resuelva 1 x  5  7. 1 x  5  7, significa 1 x  5 y x  5  7. Resuelva cada desigualdad por separado.

1 6 x + 5 -4 6 x

y

x + 5 … 7 x … 2

98 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Recuerde que 4 x significa x 4. La figura 2.11 ilustra que el conjunto solución es {x|4 x  2}. En notación de intervalo, la solución es (4, 2]. 4 x (o x 4) x2

FIGURA 2.11

Solución: 4 x  2

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

✺

La desigualdad del ejemplo 9, 1 x  5  7, puede resolverse de otra forma. Podemos seguir utilizando las propiedades analizadas anteriormente para resolver desigualdades compuestas. Sin embargo, cuando trabajamos con tales desigualdades, lo que hagamos para una parte lo debemos hacer para las tres partes. En el ejemplo 9 podríamos restar 5 de las tres partes para aislar la variable de enmedio y resolver la desigualdad.

1 6 x + 5 … 7 1 - 5 6 x + 5 - 5 … 7 - 5 -4 6 x … 2 Observe que ésta es la misma solución que obtuvimos en el ejemplo 9.

EJEMPLO 10 Solución

Resuelva la desigualdad 3  2x  7 8. Queremos aislar la variable x. Comenzamos por sumar 7 a las tres partes de la desigualdad.

-3 … 2x - 7 6 8 - 3 + 7 … 2x - 7 + 7 6 8 + 7 4 … 2x 6 15 Ahora divida las tres partes de la desigualdad entre 2.

2x

4 … 2

15 6

2

2 15 2 … x 6 2

La solución también puede ilustrarse en una recta numérica, escribirse en notación de intervalo, o presentarse como un conjunto solución. A continuación mostramos cada forma. 15 2

2 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

La respuesta en notación de intervalo es c2, AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35

EJEMPLO 11 Solución

ex ` 2 … x 6

7

8

9

15 b. El conjunto solución es 2

15 f. 2

✺

Resuelva la desigualdad -2 6

4 - 3x 6 8. 5

Multiplique las tres partes por 5 para eliminar el denominador.

4 - 3x 6 8 5 4 - 3x -2 152 6 5 a b 6 8 152 5 -2 6

Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 99

-10 6 4 - 3x 6 40 -10 - 4 6 4 - 4 - 3x 6 40 - 4 -14 6 - 3x 6 36 Ahora divida las tres partes de la desigualdad entre 3. Recuerde que cuando multiplicamos o dividimos una desigualdad por un número negativo, la dirección del símbolo de desigualdad se invierte.

-14

36

-3x 7

7

-3 -3 -3 14 7 x 7 - 12 3 Aunque 143 7 x 7 - 12 es correcto, por lo general escribimos desigualdades compuestas con el valor más pequeño a la izquierda. Por lo tanto, rescribiremos la solución como

-12 6 x 6

14 3

La solución también puede ilustrarse en la recta numérica, escribirse en notación de intervalo, o presentarse como un conjunto solución. 14 3

12 16 14 12 10 8

6

4

2

La solución en notación de intervalo es AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43

SUGERENCIA

Ex ƒ - 12 6 x 6 F .

0

2

4

6

8

A - 12, 143 B . El conjunto solución es

✺

14 3

Debe tener cuidado al escribir la solución de una desigualdad compuesta. En el ejemplo 11, podemos cambiar la solución de 14 7 x 7 - 12 a 3

-12 6 x 6

14 3

Esto es correcto, ya que ambas expresiones indican que x es mayor que 12 y menor que Observe que el símbolo de la desigualdad en ambos casos apunta al número menor. En el ejemplo 11, si hubiéramos escrito la respuesta 143 6 x 6 - 12, habríamos dado una solución incorrecta. Recuerde que la desigualdad 143 6 x 6 - 12 significa que 143 6 x y x 6 - 12. No existe un número que sea al mismo tiempo mayor que 143 y menor que 12. Además, si examinamos la desigualdad 143 6 x 6 - 12, nos daremos cuenta de que parece como si dijéramos que 12 es un número mayor que 143 , lo que obviamente es incorrecto. También sería incorrecto escribir la respuesta como 14 3 .

-12 6 x 7

EJEMPLO 12

Solución

14 3

o

14 3

6 x 7 - 12

Cálculo de calificaciones En un curso de anatomía y fisiología, una calificación promedio mayor que o igual a 80 y menor que 90 tiene como resultado una nota de B. Moisés Landeros recibió calificaciones de 85, 90, 68 y 70 en sus primeros exámenes. Para que Moisés reciba una nota final de B en el curso, ¿entre cuáles dos calificaciones debe estar su quinto (y último) examen? Sea x  calificación de Moisés en el último examen. 80  promedio de los cinco exámenes 90 80 …

85 + 90 + 68 + 70 + x 6 90 5

100 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

313 + x 6 90 5 400 … 313 + x 6 450 400 - 313 … 313 - 313 + x 6 450 - 313 87 … x 6 137 80 …

Moisés necesitaría una calificación mínima de 87 en su último examen para obtener una nota final de B. Si la calificación más alta que se puede alcanzar en el examen es 100, ¿Moisés podría obtener una nota final de A (promedio de 90 o más)? Explique. ✺

4

Resolver desigualdades compuestas que incluyan “o” La solución de una desigualdad compuesta que utiliza la palabra o, son todos los números que hacen verdadera cualquiera de las desigualdades. Por ejemplo, en la desigualdad compuesta

x 7 3 o x 6 5 ¿cuáles números satisfacen la desigualdad compuesta? Representemos gráficamente la solución de cada desigualdad mediante la recta numérica (vea la figura 2.12). Observe que todo número real satisface al menos una de las dos desigualdades. Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad compuesta es el conjunto de todos los números reales, . x 3 x 5

FIGURA 2.12

Solución: 

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

Recuerde que, la unión de dos conjuntos es el conjunto de elementos que pertenecen a cualquiera de ellos. Para determinar el conjunto solución de la desigualdad que contenga la palabra o, tome la unión de los conjuntos solución de las dos desigualdades que conforman la desigualdad compuesta.

EJEMPLO 13 Solución

Resuelva x  3  1 o 4x  3 5. Resuelva cada desigualdad por separado.

x + 3 … - 1 or x … -4

-4x + 3 6 - 5 -4x 6 - 8 x 7 2

Ahora represente gráficamente cada solución en rectas numéricas y después determine la unión (vea la figura 2.13). La unión es x  4 o x 2. x  4 x 2

FIGURA 2.13

Solución: x  4 o x 2

7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

El conjunto solución es {x|x  4} ´{x|x 2}, que podemos escribir como {x|x  4

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59 o x 2}. En notación de intervalo, la solución es (q,4] ´ (2, q).

✺

Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 101

Con frecuencia encontramos desigualdades en nuestra vida diaria. Por ejemplo, en una carretera la velocidad mínima puede ser de 45 millas por hora, y la máxima de 65 millas por hora; un restaurante puede ostentar un letrero en donde se establezca que su capacidad máxima es de 300 personas, y la velocidad mínima de despegue de un aeroplano puede ser de 125 millas por hora.

SUGERENCIA

Existen varias formas de escribir la solución de un problema de desigualdad. Asegúrese de indicar la solución en la forma solicitada por su profesor. A continuación proporcionamos ejemplos de varias formas. Recta numérica

Desigualdad

Notación de intervalo

f

5 x 6 3 -4 6 x …

6 5 4 3 2 1

5 3

0

1

2

3

4

5

6

3

4

5

6

f

4 6 5 4 3 2 1

0

1

2

Conjunto solución

5 a - q, b 3

ex ` x 6

5 a - 4, d 3

e x ` -4 6 x …

5 f 3 5 f 3

Conjunto de ejercicios 2.5 Ejercicios conceptuales 1.

Al resolver una desigualdad, ¿cuándo es necesario cambiar la dirección del símbolo de la desigualdad? 2. Explique la diferencia entre x 7 y x  7. 3. a) Al indicar la solución de un problema en una recta numérica, ¿cuándo se utilizan círculos vacíos? b) ¿Cuándo se utilizan círculos llenos? c) Proporcione un ejemplo de una desigualdad cuya solución en una recta numérica contendría un círculo vacío.

d) Proporcione un ejemplo de una desigualdad cuya solución en una recta numérica contendría un círculo lleno. 4. ¿Qué es una desigualdad compuesta? Dé un ejemplo. 5. ¿Qué significa la desigualdad a x b? 6. Explique por qué {x|5 x 3} no es un conjunto solución aceptable para una desigualdad.

Problemas de aplicación Exprese cada desigualdad a) utilizando una recta numérica, b) en notación de intervalo, y c) como un conjunto solución (utilice la notación de construcción de conjuntos) 8. x 7

7. x 7 - 2 9. w … p 11. -3 6 q …

5 2

10. - 2 6 x 6 3

3 4

13. -7 6 x … - 4

12. x Ú 14. -2

6 5

7 2 … k 6 -1 8 3

Resuelva cada desigualdad y represente gráficamente la solución en la recta numérica. 15. x - 7 7 - 4

16. 2x + 3 7 4

17. 3 - x 6 - 4

18. 9b - 5 … 5b + 7

19. 4.7x - 5.48 Ú 11.44

20. 1.4x + 2.2 6 2.6x - 0.2

102 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades 21. 41x - 22 … 4x - 8

22. 15.3 7 31a - 1.42

23. 5b - 6 Ú 31b + 32 + 2b

24. - 71d + 22 6 - 9d + 21d - 42

25.

y 2 + … 4 3 5

26. 2y - 6y + 10 … 21-2y + 32

Resuelva cada desigualdad y dé la solución en notación de intervalo.

4x 6 6 3 v - 5 - v Ú - 31v - 12 29. 3 t 4t - t + 2 … + 3 31. 3 3 27. 4 +

33. - 3x + 1 6 331x + 22 - 2x4 - 1

28. 4 - 3x 6 7 + 2x + 4

5 7 h 6 + h 2 6 8 512 - x2 31x - 22 7 32. 5 3 30.

34. 43x - 13x - 224 7 31x + 22 - 6

Resuelva cada desigualdad y dé la solución en notación de intervalo.

35. - 2 … q + 3 6 4

36. -7 6 p - 5 … - 5

37. - 15 … - 3z … 12

38. -16 6 5 - 3n … 10

39. 4 … 2x - 4 6 7

40. -12 6 3x - 5 … - 4

41. 14 … 2 - 3g 6 20

42.

1 6 3x + 4 6 6 2

44.

-x - 5 3 6 6 6 5 3

Resuelva cada desigualdad y proporcione el conjunto solución.

43. 5 …

3x + 1 6 11 2

45. 6 … - 312x - 42 6 12 47. 0 …

31u - 42 7

… 1

4 - 3x 2 6 2 3 31x - 22 … 0 48. -15 6 5 46. - 6 6

Resuelva cada desigualdad e indique el conjunto solución. 49. c … 2 y c 7 - 3 51. x 6 2 y x 7 4 53. x + 1 6 3 y x + 1 7 - 4

50. d 7 0 o d … 5 52. w … - 1 o w 7 5 54. 5x - 3 … 7 o -x + 3 6 - 5

Resuelva cada desigualdad e indique la solución en notación de intervalo. 55. 2s + 3 6 7 o - 3s + 4 … - 17 56. 57. 4x + 5 Ú 5 y 3x - 4 … 2 58. 59. 4 - x 6 - 2 o 3x - 1 6 - 1 60. 61. 2k + 5 7 - 1 y 7 - 3k … 7 62.

2a + 3 7 7 y - 3a + 4 … - 17 5x - 3 7 10 y 5 - 3x 6 - 3 -x + 3 6 0 o 2x - 5 Ú 3 2q - 7 … - 3 o 2 - 3q 6 11

Resolución de problemas 63. Servicio de mensajería Para poder enviar un paquete por mensajería, es necesario que la suma de su largo más su circunferencia no sea mayor de 130 pulgadas. a) Plantee una desigualdad que exprese esta información; utilice l para representar el largo y g para la circunferencia.

b) Un servicio de mensajería definió el término circunferencia como el doble del ancho más el doble del grosor. Escriba una desigualdad que use las variables largo, l, ancho, w, y el grosor, d, para indicar las dimensiones permitidas para los paquetes que pueden enviarse por mensajería.

Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 103 c) Si el largo de un paquete es de 40 pulgadas y su ancho es de 20.5 pulgadas, determine el grosor máximo que puede tener. 64. Equipaje Desde el 8 de octubre de 2001, muchas aerolíneas han limitado el tamaño del equipaje que los pasajeros pueden llevar consigo en los vuelos que se realizan en territorio estadounidense. La longitud, l, más el ancho, w, más el grosor, d, del equipaje que puede acompañar al pasajero no debe exceder 45 pulgadas. a) Escriba una desigualdad que describa esta restricción; utilice las letras l, w y d como se describió antes. b) Si el equipaje de Héctor Zúñiga mide 26 pulgadas de largo y 12 de ancho, ¿cuál es el grosor máximo que puede tener para que pueda llevarlo consigo en el avión?

En los ejercicios 65 a 79, plantee una desigualdad que pueda usarse para resolver cada problema. Resuélvala y determine el valor solicitado.

71. Correo de primera clase El 1 de julio de 2002, el costo por enviar un paquete por correo de primera clase era de $0.37 por la primera onza y $0.23 por cada onza adicional. ¿Cuál es el peso máximo que debe tener un paquete para poderlo enviar por primera clase gastando solamente $10.00? 72. Correo de primera clase prepagado Una empresa puede enviar piezas de correo que pesen hasta una onza usando el correo prepagado de primera clase. La compañía debe adquirir primero un permiso que cuesta $150 y tiene vigencia de un año, y luego pagar $0.275 por cada pieza enviada. Sin el permiso, enviar cada pieza costaría $0.37. Determine el número mínimo de piezas de correo que esta empresa tendría que enviar para que valiera la pena utilizar este servicio postal. 73. Comparación de planes de pago Linda Ochoa aceptó hace poco un puesto como vendedora, en donde le ofrecieron elegir entre dos planes de pago. El plan 1 es un salario de $300 por semana más una comisión de 10% sobre las ventas. El plan 2 es un salario de $400 por semana más 8% de comisión sobre las ventas. ¿Cuánto tendría que vender semanalmente Linda para ganar más con el plan 1?

65. Límite de peso Néstor Pedroza, un conserje, debe trasladar varias cajas con libros del primero al quinto piso. El letrero del elevador dice “Peso máximo: 800 libras”. Si cada caja de libros pesa 70 libras, calcule el número de cajas que Néstor puede subir al elevador. 66. Límite en un elevador Si el conserje del ejercicio 65, que pesa 170 libras, debe subir al elevador junto con las cajas de libros, calcule el número máximo de cajas que puede subir al elevador. 67. Larga distancia Una compañía telefónica que ofrece servicio de larga distancia, cobra a sus clientes $0.99 por los primeros 20 minutos y luego $0.07 por cada minuto (o fracción) posterior. Si Patricia Lanz es una de sus clientes, ¿cuánto tiempo puede hablar por $5.00? 68. Estacionamiento Un estacionamiento del centro de la ciudad cobra $1.25 por la primera hora y $0.75 por cada hora o fracción adicional. ¿Cuál es el tiempo máximo que alguien puede estacionar su auto ahí si no desea pagar más de $3.75?

69. Utilidad de un libro Miriam Landeta piensa escribir y

74. Empleo para estudiantes Si quiere seguir recibiendo una beca universitaria, Norma Díaz no puede ganar más de $2000 durante las 8 semanas que dura el verano. En este momento ella gana $90 a la semana como asistente doméstica; además, está pensando trabajar por la tarde en un restaurante de comida rápida, en donde ganaría $6.25 por hora. ¿Cuántas horas por semana puede trabajar como máximo en el restaurante sin arriesgar su beca? 75. Calificación para aprobar Para aprobar un curso, María Matute necesita obtener un promedio de 60 o más. Si sus calificaciones son 65, 72, 90, 47 y 62, determine la calificación mínima que María debe obtener en su sexto y último examen para aprobar el curso. 76. Calificación mínima Para recibir una A en un curso, Raymundo Rentería debe obtener un promedio de 90 o más en cinco exámenes. Si las primeras cuatro calificaciones de Raymundo son 90, 87, 96 y 79, ¿cuál es la calificación mínima que debe obtener en el quinto examen para lograr una A?

publicar su propio libro. Para calcular sus ingresos, Miriam desarrolló la ecuación R  6.42x y, para determinar sus costos, la ecuación C  10,025  1.09x, en donde x es el número de libros que vende. Determine el número mínimo de libros que debe vender para obtener una ganancia.Vea el ejemplo 6.

77. Calificación promedio Las calificaciones de Camila Andrade en sus primeros cuatro exámenes son 87, 92, 70 y 75. Un promedio mayor que o igual a 80 y menor que 90 le daría una nota final de B. ¿Cuál es el rango de calificaciones que debe obtener Camila en su quinto y último examen para lograr una calificación final de B? Suponga que la calificación máxima es 100.

70. Utilidades de una tintorería Patricio Suárez va a inaugurar una tintorería. Para calcular sus costos, desarrolló la ecuación C  8000  0.08x y, para calcular sus ingresos, la ecuación R  1.85x, en donde x es el número de prendas lavadas en un año. Determine el número mínimo de prendas que se deben lavar en un año para que Patricio obtenga una ganancia.

78. Aire limpio Para que el aire se considere “limpio”, tres contaminantes deben tener una concentración promedio menor que 3.2 partes por millón (ppm). Si los primeros dos contaminantes tienen una concentración de 2.7 y 3.42 ppm, ¿en qué rango de valores debe estar la concentración del tercer contaminante para que el aire se considere limpio?

104 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades 79. Acidez del agua Gabriel Ángel quiere verificar la acidez del agua en una alberca; ésta se considera normal cuando el promedio de tres lecturas diarias de pH es mayor que 7.2 y menor que 7.8. Si las dos primeras lecturas del pH son de 7.48 y 7.15, encuentre el rango de valores de pH que debe tener la tercera lectura para que resulte un nivel de acidez normal.

a) ¿En qué años, entre 1991 y 2000, los vehículos Porsche vendidos en todo el mundo fueron menos de 20,000, y los vendidos en Estados Unidos fueron menos de 10,000? Explique cómo determinó su respuesta. b) ¿En qué años, entre 1991 y 2000, se vendieron más de 30,000 vehículos Porsche en todo el mundo o los vendidos en Estados Unidos fueron más de 20,000? Explique cómo determinó su respuesta. 83. Comparación de deudas Fannie Mae y Freddie Mac son compañías auspiciadas por el gobierno estadounidense, con el propósito de prestar dinero a la gente que desea comprar bienes inmuebles. Debido a las bajas tasas de interés y al aumento del poder adquisitivo, desde 1995 la deuda de Fannie Mae y Freddie Mac ha aumentado de manera abrupta.Al mismo tiempo, la deuda pública de Estados Unidos ha disminuido bruscamente. La siguiente gráfica muestra las deudas proyectadas de Fannie Mae y Freddie Mac, así como la deuda pública estimada para los años 2001 a 2005.

Rebasando al Tío Sam

a) $78,221. b) $301,233. 81. Impuesto sobre la renta Consulte el ejemplo 7, página 119. José y Mildred Batista presentan un ingreso mancomunado en su declaración de impuestos. Determine el impuesto sobre la renta de 2001 que deben pagar José y Mildred si su ingreso gravable es

Deuda pública de EE.UU.

4

$2.76 billones 3

$3.6 billones

2 $419 miles de 1 millones 1995

Fannie Mae/ Freddie Mac $2.21 billones

2000

2005

Año

Nota: Las cifras de 2001-2005 son estimadas (Departamento del Tesoro) y proyectadas (Fannie Mae/Freddie Mac). Fuente: Subcomité de Servicios Financieros para Vivienda en Mercados de Capitales.

a) $128,479. b) $175,248. 82. Ventas de Porsche Desde mediados de los años noventa, las ventas de automóviles Porsche han tenido un rápido incremento. La siguiente gráfica ilustra el número de vehículos Porsche vendidos (en miles) entre 1991 y 2000.

Ventas de Porsche Vehículos vendidos (miles)

Según se estima, la deuda de Fannie Mae y Freddie Mac sobrepasará la deuda pública de Estados Unidos en 2005.

Deuda (en billones de dólares)

80. Impuesto sobre la renta Consulte el ejemplo 7, página 119. Manuel y María González presentan un ingreso mancomunado en su declaración de impuestos. Determine el impuesto de 2001 que deben pagar Manuel y María si su ingreso gravable es

60

En todo el mundo

50

a) ¿Durante qué años, entre 1995 y 2005, se estima que la deuda de Fannie Mae/Freddie Mac es menor de $1 billón y la deuda pública está por encima de los $3 billones? Explique cómo determinó su respuesta. b) ¿Durante qué años, entre 1995 y 2005, se estima que la deuda de Fannie Mae/Freddie Mac es superior a $1 billón o la deuda pública está por debajo de $3 billones? Explique cómo determinó su respuesta.

40

84. Si a b, ¿a2 siempre será mayor que b2? Explique y proporcione un ejemplo que respalde su respuesta.

30 20

En Estados Unidos

10 0

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Año Fuente: Revistra Fortune, 19 de febrero de 2001.

85. Póliza de seguros Una póliza de seguro para gastos médicos tiene un deducible de $100; por las cantidades superiores a ese monto, la aseguradora paga 80% del total de gastos médicos, c. El cliente paga el 20% restante, pero si sus gastos superan los $500, la aseguradora paga el 100%. Podemos describir esta póliza como sigue:

Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 105 La aseguradora paga 0, 0.801c - 1002, c - 500,

si c … $100 si $100 6 c … $2100 si c 7 $2100

Explique por qué este conjunto de desigualdades describe el plan de pago de la aseguradora. 86. Explique por qué no puede despejarse x en la desigualdad a bx  c d, a menos que se proporcione información adicional

Reto 87. Calificaciones calculadas Las primeras cinco calificaciones de Rubén Aguirre en un curso de historia europea fueron 82, 90, 74, 76 y 68. El examen final del curso cuenta una tercera parte del promedio final. Un promedio final mayor que o igual a 80 y menor que 90 daría como resul-

tado una nota final de B. ¿Cuál es el rango de calificaciones que debe obtener Rubén en el último examen para lograr una calificación final de B? Suponga que la calificación máxima posible es 100.

En los ejercicios 88 a 90, a) explique cómo resolver cada desigualdad, y b) resuelva y proporcione la solución en notación de intervalo. 90. x + 3 6 x + 1 6 2x

88. x 6 3x - 10 6 2x 89. x 6 2x + 3 6 2x + 5

Ejercicios de repaso acumulativo 91. Para A  {1, 2, 6, 8, 9} y B  {1, 3, 4, 5, 8}, determine a) A ´ B. b) A ¨ B. 29 5 f , liste los ele92. Para A = e - 3, 4, , 17 , 0, 2 80 mentos que son a) b) c) d)

números para contar. enteros no negativos. números racionales. números reales.

Indique el nombre de cada propiedad.

93. 13x + 62 + 4y = 3x + 16 + 4y2 94. 3x + y = y + 3x

[2.2] 95. Despeje V en la fórmula R  L  (V  D)r.

2.6 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS

1

1

Entender la interpretación geométrica del valor absoluto.

2

Resolver ecuaciones de la forma |x| a, a 0.

3

Resolver desigualdades de la forma |x| a, a 0.

4

Resolver desigualdades de la forma |x| a, a 0.

5

Resolver desigualdades de la forma |x| a o |x| a, cuando a 0.

6

Resolver desigualdades de la forma |x| 0 o |x| 0.

7

Resolver ecuaciones de la forma |x|  |y|.

Entender la interpretación geométrica del valor absoluto El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia (sin signo) respecto del número 0 en la recta numérica. El valor absoluto de 3, escrito |3|, es 3, ya que

106 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

está a 3 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica. De igual manera, el valor absoluto de 3, escrito |3|, también es 3, ya que está a 3 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica. En |x|  3, ¿qué valores de x hacen verdadera esta ecuación? Sabemos que |3|  3 y |3|  3. Las soluciones de |x|  3 son 3 y 3. Cuando resolvemos la ecuación |x|  3, queremos encontrar los valores que están exactamente a una distancia de 3 unidades respecto del 0 en la recta numérica (vea la figura 2.14a). x  3 3 unidades 3

2

1

x 3 menor que menor que 3 uni3 unidades dades

3 unidades 0

(a)

1

2

3

3

2

1

0

1

2

x 3 mayor que 3 unidades 3

3

mayor que 3 unidades 2

1

(b)

0

1

2

3

(c)

FIGURA 2.14

Ahora considere la desigualdad |x| 3. Para resolver esta desigualdad, necesitamos determinar el conjunto de valores cuya distancia respecto del 0 es menor que 3 unidades en la recta numérica. Éstos son los valores de x entre 3 y 3 (vea la figura 2.14b). Para resolver la desigualdad |x| 3, necesitamos determinar el conjunto de valores cuya distancia respecto del 0 es mayor que 3 unidades en la recta numérica. Éstos son los valores que son menores que 3 o mayores que 3 (vea la figura 2.14c). En esta sección resolveremos ecuaciones y desigualdades como las siguientes:

ƒ 2x - 1 ƒ = 5

ƒ 2x - 1 ƒ … 5

ƒ 2x - 1 ƒ 7 5

La interpretación geométrica de |2x  1|  5 es similar a |x|  3. Cuando resolvemos |2x  1|  5, estamos determinando el conjunto de valores para los que 2x  1 está exactamente a 5 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica. La interpretación geométrica de |2x  1|  5 es similar a la interpretación geométrica de |x|  3. Cuando resolvemos |2x  1|  5, estamos determinando el conjunto de valores para los que 2x  1 es menor que o igual a 5 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica. La interpretacion geométrica de ƒ 2x - 1 ƒ 7 5 es similar a la de ƒ x ƒ 7 3. Cuando resolvemos ƒ 2x - 1 ƒ 7 5, estamos determinando el conjunto de valores para los que 2x - 1 es mayor que 5 unidades de distancia respecto de 0 en la recta númerica. En el resto de esta sección resolveremos ecuaciones y desigualdades con valor absoluto de manera algebraica. Primero resolveremos ecuaciones con valor absoluto, y después desigualdades con valor absoluto. Terminaremos la sección resolviendo ecuaciones con valores absolutos en ambos lados de la ecuación, por ejemplo, |x  3|  |2x  5|.

2

Resolver ecuaciones con la forma |x|  a, a 0 Cuando resolvemos una ecuación con la forma |x|  a, a  0, estamos determinando los valores que están exactamente a a unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica. Podemos utilizar el siguiente procedimiento para resolver este tipo de problemas. Para resolver ecuaciones de la forma |x| 5 a Si |x|  a y a 0, entonces x  a o x  a.

Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 107

EJEMPLO 1 Solución

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva cada ecuación

a) ƒ x ƒ = 7

b) ƒ x ƒ = 0

c) ƒ x ƒ = - 7

a) Al usar el procedimiento, obtenemos x  7 o x  7. El conjunto solución es {7, 7}. b) El único número real cuyo valor absoluto es igual a cero es 0. Así, el conjunto solución para |x|  0 es {0}. c) El valor absoluto de un número nunca es negativo, así que no existen soluciones para esta ecuación. El conjunto solución es ¤. ✺ Resuelva la ecuación |2w  1|  5. A primera vista, esta ecuación no responde a la forma |x|  a; sin embargo, si hacemos que 2w 1 sea x y 5 sea a, entonces veremos que la ecuación sí tiene esa forma. Estamos buscando los valores de w tales que 2w  1 esté exactamente a 5 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica. Así, la cantidad 2w  1 debe ser igual a 5 o 5.

2w - 1 = 5 o 2w = 6 w = 3

2w - 1 = - 5 2w = - 4 w = -2

Compruebe

w = 3

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21

ƒ 2w - 1 ƒ ƒ 2132 - 1 ƒ ƒ6 - 1ƒ ƒ5ƒ

= ? = ? = ? = 5 =

5 w = -2 ƒ 2w - 1 ƒ ƒ21-22 - 1ƒ 5 5 ƒ -4 - 1 ƒ 5 ƒ -5 ƒ 5 Verdadero 5

= ? = ? = ? = =

5 5 5 5 5 Verdadero

Cada una de las soluciones 3 y 2 en 2w – 1, dan como resultado una distancia de 5 unidades respecto del 0 en la recta numérica. El conjunto solución es {2, 3}. ✺ Considere la ecuación |2w  1|  3  2. El primer paso para resolverla es aislar el término con el valor absoluto. Hacemos esto sumando 3 en ambos lados de la ecuación; esto resulta en la ecuación que resolvimos en el ejemplo 2.

3

Resolver desigualdades con la forma |x| a, a 0 Ahora enfoquemos nuestra atención en las desigualdades con la forma |x| a. Considere |x| 3. Esta desigualdad representa al conjunto de valores que están a menos de 3 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica (vea la figura 2.14b). El conjunto solución es {x|3 x 3}. El conjunto solución de una desigualdad con la forma |x| a es el conjunto de valores que están a menos o igual distancia que a unidades respecto del 0 en la recta numérica. Podemos utilizar el mismo proceso de razonamiento para resolver problemas más complicados, como se muestra en el ejemplo 3.

EJEMPLO 3 Solución

Resuelva la desigualdad |2x  3| 5. La solución de esta desigualdad será el conjunto de valores tales que la distancia entre 2x  3 y 0 en la recta numérica sea menor que 5 unidades (vea la figura 2.15). Utilizando la figura 2.15, podemos ver que 5 2x  3 5. 2x  3

FIGURA 2.15

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

108 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Resolviendo, obtenemos

-5 6 2x - 3 6 5 -2 6 2x 6 8 -1 6 x 6 4 El conjunto solución es {x|1 x 4}. Cuando x es cualquier número entre 1 y 4, la expresión 2x  3 representará un número que está a menos de 5 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica (es decir, un número entre 5 y 5). ✺ Para resolver desigualdades con la forma |x| a, podemos utilizar el procedimiento siguiente. Para resolver desigualdades de la forma |x| a

Si |x| a y a 0, entonces a x a.

EJEMPLO 4 Solución

Resuelva la desigualdad |3x  4|  5 y represente gráficamente la solución en la recta numérica. Como esta desigualdad tiene la forma |x|  a, escribimos

-5 … 3x - 4 … 5 -1 … 3x … 9 -

1 … x … 3 3 a

6 5 4 3 2 1

3

0

1

2

3

4

5

6

1

Cualquier valor de x mayor o igual que - 3 y menor o igual que 3 da como resultado que 3x  4 esté a 5 unidades o menos de distancia respecto del 0 en la recta numérica. ✺

EJEMPLO 5

Resuelva la desigualdad |5.3  2x|  8.1 9.4, y represente gráficamente la solución en la recta numérica.

Solución

Primero aísle el valor absoluto sumando 8.1 en ambos lados de la desigualdad. Después resuelva como en los ejemplos anteriores.

ƒ 5.3 - 2x ƒ - 8.1 6 9.4 ƒ 5.3 - 2x ƒ 6 17.5 -17.5 6 5.3 - 2x 6 17.5 -22.8 6 - 2x 6 12.2 - 22.8 -2x 12.2 7 7 -2 -2 -2 11.4 7 x 7 - 6.1 o

-6.1 6 x 6 11.4

6.1 7 6 5 4 3 2 1

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37

11.4 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

El conjunto solución es {x|6.1 x 11.4}. El conjunto solución en notación de intervalo es (6.1, 11.4). ✺

Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 109

4

Resolver desigualdades con la forma |x| a, a 0 Ahora veamos las desigualdades con la forma |x| a. Considere |x| 3. Esta desigualdad representa el conjunto de valores que están a más de 3 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica (vea la figura 2.14c). El conjunto solución es {x|x 3 o x 3}. El conjunto solución para |x| a es el conjunto de valores que están a más distancia que a unidades respecto del 0 en la recta numérica.

EJEMPLO 6

Resuelva la desigualdad |2x  3| 5 y represente gráficamente la solución en la recta numérica.

Solución

La solución para |2x  3| 5 es el conjunto de valores tales que la distancia entre 2x 3 y 0 en la recta numérica será mayor que 5. La cantidad 2x 3 debe ser menor que 5 o mayor que 5 (vea la figura 2.16). 2x  3

FIGURA 2.16

2x  3

8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Como 2x 3 debe ser menor que 5 o mayor que 5, establecemos y resolvemos la siguiente desigualdad compuesta:

2x - 3 6 - 5 or 2x - 3 7 5 2x 6 - 2 2x 7 8 x 6 -1 x 7 4 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

El conjunto solución para |2x  3| 5 es {x|x 1 o x 4}. Cuando x es cualquier número menor que 1 o mayor que 4, la expresión 2x  3 representará un número que está a más de 5 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica (es decir, un número menor que 5 o mayor que 5). ✺ Para resolver desigualdades con la forma |x| a, podemos usar el procedimiento siguiente. Para resolver desigualdades con la forma |x| a

Si |x| a y a 0, entonces x a o x a.

EJEMPLO 7 Solución

Resuelva la desigualdad |2x 1 |  7 y represente gráficamente la solución en la recta numérica. Como esta desigualdad tiene la forma |x|  a, utilizamos el procedimiento que se planteó antes.

2x - 1 … - 7 or 2x - 1 Ú 7 2x … - 6 2x Ú 8 x … -3 x Ú 4 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

Cualquier valor de x menor o igual que 3, o mayor o igual que 4, daría como resultado que 2x  1 represente un número mayor o igual que 7 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica. El conjunto solución es {x|x  3 o x  4}. En notación de intervalo, la solución es (q , 3] ´ [4, q). ✺

EJEMPLO 8

Resuelva la desigualdad ` recta numérica.

3x - 4 ` Ú 9 y represente gráficamente la solución en la 2

110 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

Solución

Como la desigualdad tiene la forma |x|  a, escribimos

3x - 4 … -9 o 2

3x - 4 Ú 9 2

Ahora multiplique ambos lados de cada desigualdad por el mínimo común denominador, 2. Después, resuelva cada desigualdad.

2a

3x - 4 b … -9 # 2 2 3x - 4 … - 18 3x … - 14 14 x … 3 

SUGERENCIA

3x - 4 b Ú 9#2 2 3x - 4 Ú 18 3x Ú 22 22 x Ú 3 22 3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

✺

9 10

A continuación se ofrece alguna información general acerca de las ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Para números reales a, b y c, en donde a 0 y c 0: Forma de la ecuación o desigualdad

La solución será:

ƒ ax + b ƒ = c

Dos números distintos, p y q.

ƒ ax + b ƒ 6 c

El conjunto de números entre dos números, p x q

ƒ ax + b ƒ 7 c

5

2a

14 3

7 6 5 4 3 2 1

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53

o

Solución en la recta numérica:

El conjunto de números menores que un número o mayores que un segundo número, x p o x q

p

q

p

q

p

q

Resolver desigualdades con la forma |x| a o |x| a, cuando a 0 Hemos resuelto desigualdades con la forma |x| a en donde a 0. Ahora analicemos lo que sucede en una desigualdad con valor absoluto cuando a 0. Considere la desigualdad |x| 3; como |x| siempre tendrá un valor mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta desigualdad nunca puede ser verdadera, así que la solución es el conjunto vacío, ¤. Siempre que tengamos una desigualdad con valor absoluto de este tipo, la solución será el conjunto vacío.

EJEMPLO 9 Solución

Resuelva la desigualdad |3x  8|  3 2. Comience restando 3 en ambos lados de la desigualdad.

ƒ 3x - 8 ƒ + 3 6 2 ƒ 3x - 8 ƒ 6 - 1 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41

Como |3x  8| siempre será mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta desigualdad nunca puede ser verdadera. Por lo tanto, la solución es el conjunto vacío, ¤. ✺ Ahora considere la desigualdad |x| 3. Como |x| siempre tendrá un valor mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta desigualdad siempre será verdadera.

Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 111

Como todo valor de x hará de esta desigualdad una proposición verdadera, la solución es el conjunto de todos los números reales, . Siempre que tengamos una desigualdad con valor absoluto de este tipo, la solución será el conjunto de todos los números reales, .

EJEMPLO 10 Solución

Resuelva la desigualdad |2x  3|  4  7. Comience por restar 4 en ambos lados de la desigualdad.

ƒ 2x + 3 ƒ + 4 Ú - 7 ƒ 2x + 3 ƒ Ú - 11

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59

6

Como |2x  3| siempre será mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta desigualdad es verdadera para todos los números reales; por lo que la solución es el conjunto de todos los números reales, . ✺

Resolver desigualdades con la forma |x| 0 o |x| 0 Ahora analicemos las desigualdades en las que uno de sus lados es 0. El único valor que satisface la ecuación |x  5|  0 es 5, ya que 5 hace que la expresión dentro del valor absoluto sea 0. Ahora considere |x 5|  0. Como el valor absoluto nunca es negativo, esta desigualdad es cierta sólo cuando x  5. La desigualdad |x  5| 0 no tiene solución. ¿Puede explicar por qué? ¿Cuál es la solución de |x  5|  0? Como cualquier valor de x dará como resultado que el valor absoluto sea mayor que o igual a 0, la solución es el conjunto de todos los números reales, R. ¿Cuál es la solución para |x  5| 0? La solución es todos los números reales excepto 5. ¿Puede explicar por qué el 5 se excluye de la solución?

EJEMPLO 11 Solución

Resuelva cada desigualdad. a) |x  3| 0

b) |3x  4|  0.

a) La desigualdad será verdadera para todo valor de x excepto 3. El conjunto solución es {x|x 3 o x 3}. b) Determine el número con el que el valor absoluto es igual a 0, haciendo que la expresión dentro del valor absoluto sea igual a 0 y despejando x.

3x - 4 = 0 3x = 4 4 x = 3 La desigualdad será cierta sólo cuando x = 43 . El conjunto solución es

7

E 43 F .

✺

Resolver ecuaciones con la forma |x|  |y| Analicemos ahora las ecuaciones en las que hay un valor absoluto en cada lado. Para resolver ecuaciones con la forma |x|  |y|, utilice el procedimiento siguiente. Para resolver ecuaciones con la forma |x|  |y| Si |x|  |y| , entonces x  y o x  y.

Cuando resolvamos una ecuación con una expresión de valor absoluto a cada lado del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones deben ser iguales entre sí o ser opuestas entre sí.

112 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

EJEMPLO 12 Solución

Resuelva la ecuación |z  3|  |2z  7|. Si hacemos que z  3 sea x y 2z  7 sea y, esta ecuación tiene la forma |x|  |y|. Utilizando el procedimiento indicado anteriormente, obtenemos las dos ecuaciones

z + 3 = 2z - 7

o

Ahora resuelva cada ecuación.

z + 3 = - 12z - 72 - 12z - 72 - 2z + 7 7 4 4 z = 3

z + 3 = 2z - 7 o z + 3 = 3 = z - 7 z + 3 = 10 = z 3z + 3 = 3z =

Compruebe

z = 10

ƒ z + 3 ƒ = ƒ 2z - 7 ƒ

z =

?

ƒ 10 + 3 ƒ = ƒ 21102 - 7 ƒ ?

ƒ 13 ƒ = ƒ 20 - 7 ƒ ?

ƒ 13 ƒ = ƒ 13 ƒ

El conjunto solución es E 10, 43 F .

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63

Resuelva la ecuación |4x  7|  |6  4x|.

4x - 7 = 6 - 4x o 8x - 7 = 6 8x = 13 13 x = 8

ƒ z + 3 ƒ = ƒ 2z - 7 ƒ

`

4 4 ? + 3 ` = ` 2a b - 7 ` 3 3

`

13 ? 8 21 ` = ` ` 3 3 3

`

13 ? 13 ` = `` 3 3 13 13 = 3 3

13 = 13 Verdadero

EJEMPLO 13 Solución

4 3

Verdadero

✺ 4x - 7 = - 16 - 4x2 4x - 7 = - 6 + 4x Falso -7 = -6

Como la ecuación 4x  7  (6  4x) tiene como resultado una proposición falsa, la ecuación con valor absoluto tiene una única solución. Una verificación mostrará que el conjunto solución es E 138 F . ✺ Resumen de los procedimientos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto Para a 0,

Si |x|  a, entonces x  a o x  a. Si |x| a, entonces a x a. Si |x| a, entonces x a o x a. Si |x|  |y|, entonces

x  y o x  y.

Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 113

Conjunto de ejercicios 2.6 Ejercicios conceptuales 1. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones con la forma |x|  a, a 0? 2. Determine el conjunto solución para cada una de las siguientes ecuaciones, y explique cómo lo hizo. a) ƒ x ƒ = - 2 b) ƒ x ƒ = 0 c) ƒ x ƒ = 2 3. ¿Cómo se resuelven las desigualdades de la forma |x| a, a 0? 4. ¿Cómo podemos comprobar si 7 es una solución para |2x  3|  11? ¿7 es una solución? 5. ¿Cómo se resuelven las desigualdades de la forma |x| a, a 0? 6. ¿Cuál es la solución de |x| 0? Explique su respuesta. 7. ¿Cuál es la solución de |x| 0? Explique su respuesta. 8. Suponga que m y n (m n) son dos soluciones distintas para la ecuación |ax  b|  c. Indique las soluciones para cada desigualdad, usando símbolos de desigualdad y la recta numérica. (Vea la Sugerencia de la página 110.) a) ƒ ax + b ƒ 6 c b) ƒ ax + b ƒ 7 c

a) ƒ ax + b ƒ = k b) ƒ ax + b ƒ 6 k c) ƒ ax + b ƒ 7 k 12. Relacione cada una de las siguientes ecuaciones o desigualdades con valor absoluto con la gráfica de su conjunto solución correspondiente. a) ƒ x ƒ = 4 A. b) ƒ x ƒ 6 4 c) ƒ x ƒ 7 4 d) ƒ x ƒ Ú 4 e) ƒ x ƒ … 4

b) k = 0 c) k 7 0 11. ¿Cuántas soluciones tendrán las siguientes ecuaciones o desigualdades, si a 0 y k 0?

D. E.

1

2

3

4

5

6

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

o x Ú 56 a) ƒ x ƒ = 5 A. 5xƒx … - 5 or c) ƒ x ƒ 7 5 d) ƒ x ƒ … 5 e) ƒ x ƒ Ú 5

a) k 6 0

C.

0

13. Relacione cada una de las siguientes ecuaciones o desigualdades con valor absoluto con su conjunto solución correspondiente. b) ƒ x ƒ 6 5

9. Explique cómo resolver una ecuación de la forma |x|  |y|. 10. ¿Cuántas soluciones tendrá |ax  b|  k, a 0, si

B.

6 5 4 3 2 1

B. 5xƒ -5 6 x 6 56

C. 5xƒ -5 … x … 56 D. 5- 5, 56

E. 5xƒ x 6 - 5 or o x 7 56

14. Suponga que |x| |y| y x 0 y y 0. a) ¿Cuál de las siguientes expresiones debe ser verdadera? x y, x y, o x  y. b) Dé un ejemplo que apoye su respuesta a la parte a)

Problemas de aplicación Determine el conjunto solución para cada ecuación. 15.

ƒaƒ = 2

16.

ƒ b ƒ = 13

18.

ƒxƒ = 0

19.

ƒdƒ = -

21. ƒ x + 5 ƒ = 7

22.

ƒ3 + yƒ =

25.

ƒ 5 - 3x ƒ =

24.

ƒ 4.7 - 1.6z ƒ = 14.3

27. `

x - 3 ` = 5 4 5x - 3 ` + 2 = 6 30. ` 2

28. `

33.

ƒ w ƒ 6 11 ƒq + 5ƒ … 8

3 5 1 2

3z + 5 ` - 3 = 6 6

Determine el conjunto solución para cada desigualdad. 31.

3 4

32. ƒ p ƒ … 7 34. ƒ 7 - x ƒ 6 5

1 2

17.

ƒcƒ =

20.

ƒl + 4ƒ = 6

23.

ƒ 4.5q + 22.5 ƒ = 0

26.

ƒ 31y + 42 ƒ = 12

29. `

x - 3 ` + 4 = 4 4

114 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades 35. ƒ 5b - 15 ƒ 6 10 37. ƒ 2x + 3 ƒ - 5 … 10 39. ƒ 3x - 7 ƒ + 5 6 11 41.

ƒ 2x - 6 ƒ + 5 … 2

43. ` j + 3 ` 6 6

1 2 3 7 k 45. ` - ` 6 4 8 16

ƒx - 3ƒ - 2 6 3 ƒ 4 - 3x ƒ - 4 6 11 40. ƒ 2x - 3 ƒ 6 - 4

36.

38.

42. `

5 2x - 1 ` … 3 3 x - 3 ` - 4 … -2 44. ` 2 46.

ƒ 2x + 3 ƒ 6 0

Determine el conjunto solución para cada desigualdad. 47.

ƒyƒ 7 7

49. ƒx + 4ƒ 7 5 51.

ƒ 7 - 3b ƒ 7 5

52. `

6 + 2z ` 7 2 3

53. `

54.

ƒ 2x - 1 ƒ - 4 Ú 8

55.

56.

ƒ 3.7d + 6.9 ƒ - 2.1 7 - 5.4

57.

59. 61.

2h - 5 ` 7 1 3 ƒ 0.1x - 0.4 ƒ + 0.4 7 0.6 x ` + 4` Ú 5 2 ƒ 7w + 3 ƒ - 6 Ú - 6 ƒ 4 - 2x ƒ 7 0

ƒaƒ Ú 9 50. ƒ 2b - 7 ƒ 7 3 48.

58. ` 4 -

3x ` Ú 9 5 60. ƒ 3 - 2x ƒ Ú 0 62. ƒ 4c - 16 ƒ 7 0

Determine el conjunto solución para cada ecuación.

63. ƒ 3p - 5 ƒ = ƒ 2p + 10 ƒ 65. ƒ 6x ƒ = ƒ 3x - 9 ƒ 2r 5 r + ` = ` - 3` 67. ` 3 6 2 3 3m ` 69. ` - m + 8 ` = ` 7 4 4

66.

ƒ 6n + 3 ƒ = ƒ 4n - 13 ƒ ƒ 5t - 10 ƒ = ƒ 10 - 5t ƒ

68.

ƒ 3x - 5 ƒ = ƒ 3x + 5 ƒ

64.

70. ` r + 2 ` = ` r - 3 `

3 2

1 2

Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad. 71. 73. 75. 77.

ƒhƒ = 1 ƒq + 6ƒ 7 2 ƒ 2w - 7 ƒ … 9 ƒ 5a - 1 ƒ = 9 79. ƒ 5 + 2x ƒ 7 0 81. ƒ 4 + 3x ƒ … 9 83. ƒ 3n + 8 ƒ - 4 = - 10

72. 74. 76. 78.

85. `

86. `

w + 4 ` - 1 6 3 3 3x - 2 ` + 5 Ú 5 87. ` 4 1 89. ƒ 2x - 8 ƒ = ` x + 3 ` 2 5 91. ƒ 2 - 3x ƒ = ` 4 - x ` 3

ƒyƒ … 5 ƒ 9d + 7 ƒ … - 1 ƒ 2z - 7 ƒ + 5 7 8 ƒ 2x - 4 ƒ + 2 = 10 80. ƒ 7 - 3b ƒ = ƒ 5b + 15 ƒ 82. ƒ 2.4x + 4 ƒ + 4.9 7 1.9 84. ƒ 4 - 2x ƒ - 5 = 5 5t - 10 5 ` 7 6 3 2x - 4 ` = 12 88. ` 5 1 2 90. ` y + 3 ` = ` y - 1 ` 3 3 -2u + 3 ` … 5 92. ` 7

Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 115

Resolución de problemas b) ¿Entre qué distancias verticales (o profundidades), medidas respecto del nivel del mar, puede moverse el submarino?

93. Grosor del vidrio Ciertos tipos de vidrio tienen, idealmente, un grosor de 0.089 pulgada. Sin embargo, debido a las limitaciones en el proceso de fabricación, se permite que el grosor varíe en 0.004 pulgada respecto del grosor ideal. Si t representa el grosor real del vidrio, entonces el rango de grosor permitido puede representarse por medio de la desigualdad |t  0.089|  0.004. Fuente: www.ppg.com a) Resuelva esta desigualdad para t (utilice la notación de intervalo). b) ¿Cuál es el menor grosor permitido para el vidrio? c) ¿Cuál es el mayor grosor permitido para el vidrio? 94. Garantía de calidad El grosor de cierto tipo de madera laminada está garantizado en 85 de pulgada con una tolerancia de hasta 561 de pulgada. Si t representa el grosor real de la madera laminada, entonces el rango permitido puede representarse por medio de la desigualdad ƒ t - 58 ƒ … 561 . Fuente: www.sticktrade.com a) Resuelva esta desigualdad para t (utilice la notación de intervalo). b) ¿Cuál es el menor grosor permitido para la madera laminada? c) ¿Cuál es el mayor grosor permitido para la madera laminada?

160 pies 28 pies 28 pies

96. Rebote de resorte Un resorte sujeto al techo describe un movimiento de rebote hacia arriba y hacia abajo, de modo que su distancia, d, respecto del piso satisface la desigualdad |d  4|  12 pie (vea la figura). a) Resuelva esta desigualdad para d. Escriba su respuesta en notación de intervalo. b) ¿Entre qué distancias, medidas respecto del piso, rebota el resorte?

95. Exploración submarina Un submarino está 160 pies por debajo del nivel del mar. Arriba y a los lados del mismo hay una formación rocosa, así que no debe modificar su profundidad en más de 28 pies. La profundidad a que se encuentra respecto del nivel del mar, d, puede describirse por medio de la desigualdad |d  160|  28. a) Resuelva la desigualdad para d. Escriba su respuesta en notación de intervalo.

q pies q pies

4 pies

En los ejercicios 97 a 100, determine una ecuación o una desigualdad con conjunto solución indicado. 97. 98. 99. 100.

5- 5, 56 5xƒ -5 6 x 6 56 5xƒx … - 5 o x Ú 56 5xƒ - 5 … x … 56

101. ¿Para qué valor de x será verdadera la desigualdad |ax  b|  0? Explique. 102. ¿Para qué valor de x no será verdadera la desigualdad |ax  b| 0? Explique.

104. a) Explique cómo determinar la solución para la desigualdad |ax  b| c. (Suponga que a 0 y c 0.) b) Resuelva esta desigualdad para x. 105. a) Explique cómo determinar la solución para la desigualdad |ax  b| c. (Suponga que a 0 y c 0.) b) Resuelva esta desigualdad para x. 106. a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la desigualdad 2|3x  5|  6? b) Resuelva esta desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalo.

103. a) Explique cómo determinar la solución para la ecuación |ax  b|  c. (Suponga que c 0 y a 0.) b) Resuelva esta ecuación para x.

Determine qué valores de x harán verdadera cada ecuación. Explique su respuesta. 107. 108.

ƒx - 3ƒ = ƒ3 - xƒ ƒx - 3ƒ = - ƒx - 3ƒ

109. 110.

ƒxƒ = x ƒx + 2ƒ = x + 2

116 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades Resuelva. Explique cómo determinó su respuesta. 111.

ƒ x + 1 ƒ = 2x - 1

112.

ƒ 3x + 1 ƒ = x - 3

113.

ƒ x - 2 ƒ = - 1x - 22

Reto Resuelva considerando los signos posibles para x. 114.

ƒxƒ + x = 6

115. x + ƒ - x ƒ = 6

116.

ƒxƒ - x = 6

117. x - ƒ x ƒ = 6

Actividad en equipo Analice y responda el ejercicio 118 en equipo. 118. Considere la ecuación |x  y|  |y  x|.

b) Determinen en equipo para qué valores de x y y es verdadera la ecuación. Expliquen su respuesta.

a) Cada miembro del equipo seleccione un valor para x y uno para y, y determine si la ecuación se cumple. Repita con otros dos valores para x y y.

c) Ahora consideren |x  y|  |y  x|. ¿Bajo qué condiciones será verdadera esta ecuación?

Ejercicios de repaso acumulativo Evalúe. 119.

1 1 2 1 2 + , a b 3 4 5 3

gresa, promediando esta vez 1.6 millas por hora. Si el tiempo total de su recorrido es 1.5 horas, ¿cuál es el ancho del lago?

120. 41x + 3y2 - 5xy cuando x = 1, y = 3 [2.4] 121. Natación Raúl Sánchez cruza a nado un lago, promediando 2 millas por hora. Luego da vuelta y re-

RESUMEN

[2.5] 122. Determine el conjunto solución para la desigualdad 3(x  2)  4(x  3) 2.

DEL CAPÍTULO

Términos y frases importantes 2.1 Coeficiente (o coeficiente numérico) Ecuación condicional Constante Contradicción Grado de un término Ecuación Ecuaciones equivalentes Identidad Mínimo común denominador (MCD)

HECHOS

Mínimo común múltiplo (MCM) Términos semejantes Ecuaciones lineales con una variable Simplificar una expresión Conjunto solución Soluciones de una ecuación Términos Términos no semejantes

2.2

2.4

Fórmula Modelo matemático Fórmula de interés simple Subíndices

Fórmula de la distancia Problema de mezcla Problema de movimiento

2.5 2.3 Ángulos complementarios Ángulos suplementarios

Y; intersección Desigualdad compuesta Desigualdad O; unión Orden (o sentido) de una desigualdad

IMPORTANTES

Propiedades de la igualdad Propiedad reflexiva: a  a. Propiedad de simetría: si a  b, entonces b  a. Propiedad transitiva; si a  b y b  c, entonces a  c. (continúa en la página siguiente)

Ejercicios de repaso del capítulo • 117

Propiedad de suma (o aditiva) a  b, entonces a  c  b  c. Propiedad de multiplicación (o multiplicativa) de la igualdad: si a  b, entonces ac  bc; c 0

Para resolver ecuaciones lineales 1.

Elimine las fracciones.

2.

Simplifique cada lado de forma separada.

3.

Aísle el término con la variable en un lado.

4.

Despeje la variable.

5.

Compruebe.

Procedimiento para la resolución de problemas 1.

Entienda el problema.

2.

Traduzca el problema a lenguaje matemático.

3.

Realice los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema.

4.

Compruebe la respuesta obtenida en el paso 3.

5.

Responda la pregunta.

Fórmula de distancia

Fórmula de interés simple

distancia  velocidad  tiempo o d  vt.

interés  capital  tasa  tiempo o i  prt

Propiedades usadas para resolver desigualdades b a 7 . c c

1.

Si a b, entonces a  c b  c.

4.

Si a b y c 0, entonces

2.

Si a b, entonces a  c b  c.

5.

Si a b y c 0, entonces ac bc.

3.

Si a b y c 0 entonces ac bc.

6.

Si a b y c 0, entonces

a b 6 . c c

Valor absoluto para a 0 Si |x|  a, entonces x  a o x  a.

Si |x| a, entonces x a o x a.

Si |x| a, entonces a x a.

Si |x|  |y|, entonces x  y o x  y.

Ejercicios de repaso del capítulo [2.1] Indique el grado de cada término. 1. 23a 3b5

3. -4xyz5

2. 6x

Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, especifíquelo. 4. a1a + 32 - 41a - 12

5. x 2 + 2xy + 6x 2 - 4

6. b2 + b - 7

7. 23 - 1x - y2 + 3x4 - 5y + 6

Resuelva cada ecuación. Si una ecuación no tiene solución, especifíquelo. 8. 51c + 42 - 2c = - 1c - 42

9. 31x + 22 - 6 = 41x - 52

10. 3 +

x 5 = 2 6

118 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades

11.

1 1 13t + 42 = 14t + 12 2 3

12. 2 a

14. 21x - 62 = 5 - 52x - 341x - 32 - 546

x 1 - 4b = 3ax + b 2 3

13. 3x - 4 = 6x + 4 - 3x

[2.2] Evalúe cada fórmula para los valores dados. 15. m =

17. h =

y2 - y1 x2 - x1

cuando y 2 = 5, y 1 = - 2, x 2 = - 8, x 1 = 6

1 2 at + v 0 t + h 0 cuando a = - 32, v 0 = 0, h 0 = 80, t = 1 2

16. x =

18. z =

- b + 2b2 - 4ac cuando a = 8, b = 10, c = - 3 2a x - m cuando x = 60, m = 64, s = 5, n = 25 s 1n

Despeje la variable indicada en cada ecuación. 19. E = IR, para R

20. A = pr2 h, para h

21. P = 2l + 2w, para w

22. A =

23. y = mx + b, para m

24. 2x - 3y = 5, para y

25. R T = R 1 + R 2 + R 3 , para R 2

26. S =

1 bh, para h 2

3a + b , para a 2

27. K = 21d + l2, para l [2.3] En los ejercicios 28 a 32, escriba una ecuación que pueda utilizarse para resolver cada problema. Resuelva el problema y verifique su respuesta. 28. Venta de calendarios El 1 de febrero, un almacén pone a la venta todos los calendarios con 75% de descuento sobre el precio original. Si María Cristina Solís aprovecha la oferta para comprar un calendario por $5.50, ¿cuál era el precio original del calendario? 29. Aumento poblacional La población de un pequeño pueblo se incrementa a razón de 350 personas por año. Si la población actual es de 4750, ¿en cuánto tiempo el poblado alcanzará 5800 habitantes? 30. Comisión El salario de Damián Alcocer es de $300 por semana más 6% de comisión por las ventas que realice. ¿Cuánto debe vender Damián para ganar $650 en una semana? 31. Comparación de precios En el aeropuerto de la ciudad de Kansas, una empresa ofrece el alquiler de un Ford Focus por $24.99 diarios con millaje ilimitado. El costo por alquilar el mismo automóvil en otra compañía es de $19.99 diarios más $0.10 por milla. Si Andrea Ojeda necesita alquilar un automóvil durante 3 días, determine el número de millas que necesitaría conducir para que el costo del alquiler sea igual en ambas compañías

32. Venta En una venta por liquidación, los muebles se venden con 40% de descuento sobre su precio normal.Además, a los artículos con etiqueta verde se les descuentan $20 adicionales. Si Eduardo Brambila adquirió un artículo con etiqueta verde y pagó $120, determine cuál era su precio normal. [2.4] En los ejercicios 33 a 37, resuelva los problemas de movimiento y de mezcla. 33. Inversión en bonos Cuando Gonzalo Brizuela recibió un bono en el trabajo, invirtió parte del dinero en una cuenta del mercado de valores que produce 3.5% de interés simple, y el resto en un certificado de depósito que produce 4.0% de interés simple. Si la cantidad total de interés que el señor Brizuela ganó durante el año fue de $187.15, determine el monto total invertido en cada cuenta. 34. Soluciones de fertilizante Enrique Castillo tiene soluciones de fertilizante líquido que contienen 20% y 60% de nitrógeno. ¿Cuántos galones de cada una de estas soluciones debe mezclar Enrique para obtener 250 galones de una solución que contenga 30% de nitrógeno? 35. Dos trenes Dos trenes parten de Portland, Oregón, al mismo tiempo y en direcciones opuestas. Un tren viaja a 60 millas por hora y el otro a 90 millas por hora. ¿En cuántas horas estarán a 400 millas de distancia uno del otro? 36. Transbordadores espaciales El transbordador espacial 2 despega 0.5 hora después de que despega el transbordador espacial 1. Si el transbordador 2 viaja 300 millas por hora más rápido que el transbordador 1 y lo rebasa exactamente 5 horas después de haber despegado, determine a) la velocidad del transbordador espacial 1. b) la distancia que hay entre el lugar de lanzamiento y el punto en donde el transbordador 2 rebasa al transbordador 1.

Ejercicios de repaso del capítulo • 119 de solución al 6% para que la mezcla tenga 12% de solución de tinte azul? 44. Dos inversiones Luis Saldaña invierte $12,000 en dos cuentas de ahorro. Una cuenta paga 10% de interés simple, y la otra 6% de interés simple. Si en un año Luis gana el mismo interés en cada cuenta. ¿cuánto invirtió a cada tasa? 45. Centro de salud El gimnasio Deltoides tiene dos planes de membresía. Con el primer plan se pagan $40 al mes más un cargo de $1.00 por visita. El segundo plan exige $25 mensuales más un pago de $4.00 por visita. ¿Cuántas visitas al mes debe hacer Eric Mendoza para que le convenga el primer plan?

37. Mezcla de café El señor Santiago Negrete, propietario de un café gourmet, vende dos tipos de café, uno a $6.00 la libra y el otro a $6.80 la libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de café debe mezclar para producir 40 libras de café que pueda vender a $6.50 la libra?

46. Trenes en Alaska Dos trenes parten de Anchorage al mismo tiempo, en vías paralelas, viajando en direcciones opuestas. El tren más rápido viaja 10 millas por hora más rápido que el más lento. Determine la velocidad de cada tren, si entre ambos hay una distancia de 270 millas después de 3 horas.

[2.3, 2.4] Resuelva. 38. Venta de electrónicos El precio de un teléfono inalámbrico se redujo en 20%. Si el precio de venta actual es de $24, determine el precio original. 39. Trote Nidia Reyes trota cierta distancia; luego da vuelta y camina de regreso hasta su punto de partida. Mientras trota, su velocidad promedia 7.2 millas por hora; al caminar, su velocidad promedia 2.4 millas por hora. Si el tiempo total que emplea en su recorrido es de 4 horas, determine a) el tiempo total que trotó, y b) la distancia total que recorrió. 40. Medidas de ángulos Determine las medidas de tres ángulos de un triángulo si uno de ellos mide 25° más que el ángulo más pequeño, y el otro ángulo mide 5° menos que el doble del ángulo más pequeño. 41. Alberca Dos mangueras se utilizan para llenar una alberca. La manguera con mayor diámetro suministra 1.5 veces más agua que la de menor diámetro. La manguera más grande se abre 2 horas antes que la manguera más pequeña. Si después de 5 horas de haber abierto la primera hay 3150 galones de agua en la alberca, determine la velocidad de flujo de cada manguera. 42. Ángulos complementarios Un ángulo complementario tiene una medida que es 15° menos que el doble de la medida del otro ángulo. Determine las medidas de los dos ángulos. 43. Tinte azul Un fabricante de telas tiene dos soluciones de tinte azul, ambas hechas con el mismo concentrado. Una solución tiene 6% de tinte azul y la otra tiene 20%. ¿Cuántas onzas de la solución al 20% debe mezclar con 10 onzas

[2.5] Resuelva cada desigualdad y responda las preguntas. Represente gráficamente las soluciones en una recta numérica. 47. 3z + 7 … 13 48. 5 - 2w 7 - 7 49. 2x + 4 7 9 50. 16 … 4x - 5

51.

4x + 3 7 -3 5

52. 21x - 32 7 3x + 4

53. -41x - 22 Ú 6x + 8 - 10x

54.

x 3 x + 7 x + 1 2 4 2

120 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades Escriba una desigualdad que pueda usarse para resolver cada problema. Resuelva las desigualdades y responda las preguntas. 55. Límite de peso Una canoa puede transportar de manera segura un total de 500 libras. Si Joel Bañuelos pesa 180 libras, ¿cuál es el número máximo de cajas con 40 libras de alimento que puede transportar de manera segura en su canoa?

56. Caseta telefónica Javier Cabrera, un operador telefónico, le informa a un cliente que el cargo por realizar una llamada a Omaha, Nebraska, es de $4.50 por los primeros 3 mi-

nutos y 95 centavos por cada minuto o fracción de minuto adicional. ¿Cuánto tiempo puede hablar el cliente si tiene $8.65? 57. Gimnasio Un gimnasio garantiza a sus clientes la pérdida de peso por un mínimo de 3 libras la primera semana y 1.5 libras cada semana adicional. Determine el tiempo máximo necesario para perder 27 libras.

58. Calificaciones Las primeras cuatro calificaciones de Jazmín Alatorre son 94, 73, 72 y 80. Si para recibir una nota final de B, es necesario que alcance un promedio final mayor que o igual a 80 y menor que 90, ¿qué rango de calificaciones debe obtener Jazmín en el quinto y último examen para recibir una B en el curso? Suponga que la calificación máxima que puede obtener es 100.

Resuelva cada desigualdad. Escriba la solución en notación de intervalo. 59. 1 6 x - 4 6 7

60. 7 6 p + 10 … 15

62. - 12 6 6 - 3x 6 - 2

63. - 1 6

61. 3 6 2x - 4 6 8

5 2 11 x + … 9 3 9

64. - 8 6

4 - 2x 6 0 3

Determine el conjunto solución para cada desigualdad compuesta. 65. h … 2 y 7h - 4 7 - 25

66. 2x - 1 7 5 o 3x - 2 … 7

67. 4x - 5 6 11 y - 3x - 4 Ú 8

68.

7 - 2g 3

… -5 o

3 - g 8

7 1

[2.5, 2.6] Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad. 69. ƒ a ƒ = 2

70. ƒ x ƒ 6 3

71. ƒ x ƒ Ú 4

72. ƒ l + 5 ƒ = 11

73. ƒ x - 2 ƒ Ú 5

74. ƒ 4 - 2x ƒ = 5

75. ƒ - 2q + 9 ƒ 6 7

76. `

77. `

78. ƒ 4d - 1 ƒ = ƒ 6d + 9 ƒ

79. ƒ 2x - 3 ƒ + 4 Ú - 10

2x - 3 ` = 1 5

x - 4 ` 6 6 3

Resuelva cada desigualdad. Proporcione la solución en notación de intervalo. 80. ƒ 3c + 8 ƒ - 5 … 2 82. - 6 …

3 - 2x 6 5 4

84. x - 3 … 4 o 2x - 5 7 9

81. 3 6 2x - 5 … 9 83. 2p - 5 6 7 y 9 - 3p … 12 85. - 10 6 31x - 42 … 12

Examen de práctica del capítulo 1. Diga cuál es el grado del término 4a2bc4. Simplifique

En los ejercicios 4 a 8, resuelva las ecuaciones. 4. 71d + 22 = 312d - 42

2. 2p - 3q + 2pq - 6p1q - 32 - 4p 3. 7q - 5233 - 41q + 724 + 5q6 - 6

5.

2 8 r + = 6 3 9

Examen de repaso acumulativo • 121 6. - 21x + 32 = 4533x - 13x + 724 + 26 7. 7x - 612x - 42 = 3 - 15x - 62 8. -

1 1 14x - 62 = 13 - 6x2 + 2 2 3

9. Determine el valor de Sn para los valores dados.

Sn =

a111 - rn2 1 - r

10. Despeje b en c =

1 , a 1 = 3, r = , n = 3 3

a - 3b . 2

11. Despeje b2 en A =

1 h1b 1 + b 22. 2

En los ejercicios 12 a 16, escriba una ecuación que pueda usarse para resolver cada problema. Resuelva las ecuaciones y responda las preguntas planteadas.

15. Solución salina ¿Cuántos litros de solución salina con concentración de 12% deben añadirse a 10 litros de solución salina con concentración de 25% para obtener una solución con concentración de 20%? 16. Dos inversiones Juana Blanco tiene $12,000 para invertir, así que coloca parte de su dinero en una cuenta de ahorros que paga 8% de interés simple y el resto en una cuenta de ahorros que paga el 7% de interés simple. Si el total de intereses de las dos cuentas al final de un año es de $910, determine cuánto dinero invirtió Juana en cada cuenta. Resuelva cada desigualdad y represente gráficamente las soluciones en una recta numérica. 17. 312q + 42 6 51q - 12 + 7 18.

12. Para jugar al golf Determine el costo de un equipo de palos de golf, sin impuestos, si su costo total incluyendo 7% de impuestos es $668.75.

6 - 2x Ú - 12 5

Resuelva cada desigualdad y escriba la solución en notación de intervalo. 19. x - 3 … 4 y 2x - 4 7 5 20. 1 …

2u - 5 6 7 3

Determine el conjunto solución para las siguientes ecuaciones.

13. Membresía El precio a pagar para ser miembro de un gimnasio es de $240 por año más $2 por visita (para el lavado de toallas y la compra de artículos de tocador). Si Leopoldo López desea gastar un total de $400 al año en el gimnasio, ¿cuántas visitas puede hacer? 14. Paseo en bicicleta Gabriel Fonseca y Roberto Fernández inician un paseo en bicicleta en el mismo punto, pero en direcciones opuestas. La velocidad de Gabriel es de 15 millas por hora, y la de Roberto es de 20 millas por hora. ¿En cuántas horas habrá una distancia de 147 millas entre los dos?

21.

ƒ 2b + 5 ƒ = 9

22.

ƒ 2x - 3 ƒ = ` x - 10 ` 1 2

Determine el conjunto solución para las siguientes desigualdades. 23. 24.

ƒ 4z + 12 ƒ = 0 ƒ 2x - 3 ƒ + 1 7 6

25. `

2x - 3 1 ` … 4 2

Examen de repaso acumulativo Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indica después de cada respuesta. 1. Si A = 51, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 156 y B = 52, 3, 5, 7, 11,136, determine a) A ´ B.

a) 4x + y = y + 4x b) 12x2y = 21xy2 c) 21x + 32 = 2x + 6 Resuelva. 3. - 42 + 1 - 622 , 123 - 22

4. a 2 b 3 + ab 2 - 3b cuando a = - 1 y b = - 2

b) A ¨ B. 2. Indique el nombre de cada propiedad.

2

5.

8 - 1 3 27 # 3 , 9

ƒ - 5 ƒ - 35 - 112 , 4242

122 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades En los ejercicios 6 y 7, simplifique 6. 12x 4y 32 7. a

15. Resuelva la desigualdad - 4 6

-2

3m2n - 4 b m-3n2

5x - 2 6 2 y propor3

cione la respuesta: 2

a) en una recta numérica, b) como un conjunto solución, y

8. Comparación de territorios Rhode Island tiene un área territorial de aproximadamente 1.045 103 millas cuadradas.Alaska tiene un área territorial de casi 5.704 105 millas cuadradas. ¿Cuántas veces es más grande el área territorial de Alaska que la de Rhode Island?

En los ejercicios 9 a 11, resuelva las ecuaciones. 9. - 31y + 72 = 21- 2y - 82 10. 1.21x - 32 = 2.4x - 4.98

2m 1 4 - = m 11. 3 6 9 12. Explique la diferencia entre una ecuación lineal condicional, una identidad y una ecuación inconsistente. Proporcione un ejemplo de cada una. - b + 2b2 - 4ac 13. Evalúe la fórmula x = para a  3, b  2a 8 y c  3. 14. Despeje x de la fórmula y – y1  m(x  x1).

c) en notación de intervalo. En los ejercicios 16 y 17, determine el conjunto solución. 16. ƒ 3h - 1 ƒ = 8 17. ƒ 2x - 4 ƒ - 6 Ú 18 18. Serie de beisbol Una semana después de la serie mundial, una tienda de artículos deportivos marca el precio de todos sus mercancías relacionadas con el béisbol con un descuento de 40%. Si Martín Garduño compra un bate de béisbol en $21, ¿cuál era el precio original del bate? 19. Dos automóviles Dos autos parten de Caldwell, Nueva Jersey, al mismo tiempo viajando en direcciones opuestas. El auto que viaja hacia el norte se mueve 10 millas por hora más rápido que el auto que viaja hacia el sur. Si entre los dos autos hay 270 millas de distancia después de 3 horas, determine la velocidad de cada uno. 20. Mezcla de nueces Mónica Quintero, propietaria de La Casa de las Nueces, tiene castañas que cuestan $6.50 por libra y cacahuates que cuestan $2.50 la libra. Si desea producir 40 libras de una mezcla de castañas y cacahuates para venderlas a $4.00 cada una, ¿cuántas libras de castañas y cuántas de cacahuates debe mezclar?

Respuestas al examen de repaso acumulativo 1. a) {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} b) {3, 5, 7, 11, 13} 2. a) propiedad conmutativa de la adición; b) propiedad asociativa de 1 9m10 la multiplicación; c) propiedad distributiva 3. 15 4. 6 5. 7 6. 7. 12 8.≠545.8 veces; 9. 5 [Sec. 2.1, Obj. 3] 8 6 n 4x y 3 10. 1.15; [Sec. 2.1, Obj. 3] 11. ; [Sec. 2.1, Obj. 4] 12. La ecuación lineal condicional es verdadera sólo para un valor, 4 una ecuación lineal que es una identidad siempre es verdadera, una ecuación lineal inconsistente nunca es verdadera; y - y1 + mx1 ; [Sec. 2.2, Obj. 2] 15. a) [Sec. 2.1, Obj. 5] 13. 3; [Sec. 2.2, Obj. 1] 14. x = m 8 –2 8 b) e x ` - 2 6 x 6 f 5

5

8 7 c) a -2, b ; [Sec. 2.5, Obj. 3] 16. e - , 3 f ; [Sec. 2.6, Obj. 2] 5 3

17. {x|x  10 o x  14}; [Sec. 2.6, Obj. 4] 18. $35; [Sec. 2.3, Obj. 2] 19. 40 millas por hora, 50 millas por hora; [Sec. 2.4, Obj. 2] 20. Castañas: 15 libras; cacahuates: 25 libras.

Capítulo 3

Gráficas y funciones 3.1 Gráficas 3.2 Funciones 3.3 Funciones lineales: gráficas y aplicaciones 3.4 La forma pendiente intersección de una ecuación lineal 3.5 La forma punto pendiente de una ecuación lineal 3.6 Álgebra de funciones 3.7 Graficación de desigualdades lineales Resumen del capítulo Ejercicios de repaso del capítulo Examen de práctica del capítulo Examen de repaso acumulativo

P

ara muchas personas, ser propietarias de su propio negocio constituye una gran oportunidad de progreso. Si su negocio va bien, sus esfuerzos podrían verse recompensados con generosidad. Sin embargo, las empresas nuevas enfrentan permanentemente el riesgo de desaparecer, muchas veces debido a que sus propietarios no saben cómo calcular apropiadamente sus ganancias. En la página 161 usamos una función para determinar cuál debe ser el salario del propietario de una tienda de juguetes. Siguiendo este ejemplo, en los ejercicios de las páginas 165 y 166, utilizamos algunas otras funciones para solucionar otras situaciones de la vida real.

123

124 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Avance de la lección

U

no de los principales objetivos de este libro, es ayudarle a comprender cómo graficar y a trabajar con funciones. La graficación es un elemento clave en éste y en muchos otros cursos de matemáticas. Por ello, aquí analizaremos la graficación y utilizaremos lo aprendido para crear modelos a partir de los datos de la vida real que aparecen todos los días en periódicos y revistas. Las funciones están estrechamente relacionadas con la graficación, y la graficación de funciones es un elemento primordial en muchos cursos de matemáticas; utilizaremos la información de ambos temas en el resto del libro.Además, hablaremos de graficación de ecuaciones lineales y no lineales, y de desigualdades lineales; revisaremos cada uno de estos temas en capítulos posteriores.

3.1 GRÁFICAS

1

1

Localizar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas.

2

Trazar gráficas por medio de puntos.

3

Graficar ecuaciones no lineales.

4

Usar una calculadora graficadora.

5

Interpretar gráficas.

Localizar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas. Muchas relaciones algebraicas son más fáciles de entender con la ayuda de una representación visual. Las gráficas son, precisamente, representaciones visuales que muestran la relación entre dos o más variables en una ecuación. Antes de aprender cómo trazar una gráfica, es preciso conocer el sistema de coordenadas cartesianas. El sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), llamado así en honor del matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), consiste en el trazo de dos ejes (o rectas numéricas), perpendiculares uno respecto del otro, sobre un plano (vea la figura 3.1). Observe cómo la intersección de los dos ejes determina la formación de cuatro cuadrantes, señalados con numerales romanos: I, II, III y IV. y 6

Segundo cuadrante II

René Descartes

5

Primer cuadrante I

4 3 2

Origen

1 6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

2

Tercer cuadrante III

FIGURA 3.1

3 4 5

Cuarto cuadrante IV

6

El eje horizontal se denomina eje x. El eje vertical se denomina eje y. El punto de intersección de los dos ejes se llama origen. Del origen y hacia la derecha, los números crecen; del origen hacia la izquierda, los números decrecen. Del origen hacia arriba, los números crecen; del origen hacia abajo, los números disminuyen. Observe que el eje x y el eje y son simplemente rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical.

Sección 3.1 • Gráficas • 125

Un par ordenado (x, y) se utiliza para señalar las dos coordenadas de un punto. Si, por ejemplo, la coordenada x de un punto es 2 y su coordenada y es 3, el par ordenado que representa ese punto es (2, 3). La coordenada x siempre es la primera que se indica en el par ordenado. Para trazar un punto, encuentre la coordenada x en el eje x y la coordenada y en el eje y; luego imagine que una recta vertical sale de la coordenada x siguiendo una trayectoria paralela al eje y, y que una recta horizontal sale de la coordenada y siguiendo una trayectoria paralela al eje x. El punto se coloca en donde se intersectan las dos rectas imaginarias. Por ejemplo, el punto correspondiente al par ordenado (2,3) aparece en la figura 3.2. Con frecuencia, abreviamos la frase “el punto correspondiente al par ordenado (2, 3)” como “el punto (2, 3)”. Por ejemplo, si escribimos “el punto (1, 5)”, nos referimos al par ordenado (1, 5). En la figura 3.3 aparecen los pares ordenados A en (2, 3), B en (0, 2), C en (4, 1) y D en (4, 0). y

y

5

5

4

(2, 3)

3

4

A

3

2

2

1 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

x

5 4 3 2 1 1

2

2

3

3

4

4

5

5

FIGURA 3.2

EJEMPLO 1

Solución

1

D 1

B

1

2

3

4

5

x

C

FIGURA 3.3

Localice cada uno de los siguientes puntos en el mismo plano. a) A11, 42

b) B14, 12

c) C10, 22

d) D1 -3, 02

e) E1-3, -12

f) F12, -42

Vea la figura 3.4. Observe que el punto (1, 4) es diferente del punto (4, 1). Fíjese también en que, cuando la coordenada x es 0, como en la parte c), el punto está sobre el eje y. Cuando la coordenada y es 0, como en la parte d), el punto está sobre el eje x. y 5

A(1, 4)

4 3 2

D(3, 0)

B(4, 1)

1

5 4 3 2 1 1

E(3, 1)

C(0, 2)

1

2

3

4

5

x

2 3 4 5

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 7

2

FIGURA 3.4

F(2, 4)

✺

Trazar gráficas por medio de puntos En el capítulo 2 resolvimos ecuaciones con una variable. En éste analizaremos ecuaciones con dos variables. Si una ecuación tiene dos variables, sus soluciones son pares de números.

126 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

EJEMPLO 2

Determine si los siguientes pares ordenados son soluciones de la ecuación y  2x  3. b) a , -2b

a) 11, -12

1 2

c) 13, 42

Solución

d) 1-1, -52

Sustituimos por x el primer número del par ordenado, y por y el segundo. Si al hacerlo obtenemos una afirmación verdadera, el par ordenado es una solución para la ecuación. Si la sustitución da por resultado una afirmación falsa, el par ordenado no es una solución de la ecuación. a)

y -1 -1 -1

= ? = ? = =

2x - 3 2112 - 3 2 - 3 -1

b)

?

Verdadero

c) y = 2x - 3

-2 = 1 - 3 -2 = - 2 d)

?

4 = 2132 - 3 ? 4 = 6 - 3 4 = 3

y = 2x - 3 1 ? -2 = 2a b - 3 2

Falso

Por lo tanto, los pares ordenados 11, - 12,

y -5 -5 -5

= ? = ? = ? =

Verdadero

2x - 3 21-12 - 3 -2 - 3 Verdadero -5

A 12 , - 2 B y 1 - 1, - 52 son soluciones para la

ecuación y  2x  3; el par ordenado (3, 4) no es una solución.

✺

La ecuación del ejemplo 2 tiene muchas otras soluciones; de hecho, una infinidad de soluciones. Un método que puede utilizarse para determinar soluciones de una ecuación como y  2x  3, consiste en sustituir valores para x y determinar los valores correspondientes de y. Por ejemplo, para determinar la solución para la ecuación y  2x  3 cuando x  0, sustituimos x por 0 y despejamos a y.

y = 2x - 3 y = 2102 - 3 y = 0 - 3 y = -3 Así, otra solución para la ecuación es (0, 3). Una gráfica es una representación visual del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Algunas veces, cuando trazamos una gráfica, listamos en una tabla algunos puntos que satisfacen la ecuación, luego los localizamos y después dibujamos una línea que pase por esos puntos para obtener la gráfica. En la figura 3.5 se muestra tanto la tabla en donde se listan algunos de los puntos que satisfacen la ecuación y  2x  3, como la gráfica resultante. Observe que la ecuación y  2x  3 tiene un número infinito de soluciones, y que la recta trazada en la gráfica continúa de manera indefinida en ambas direcciones (como indican las flechas). En la figura 3.5, los cuatro puntos conforman una línea recta. Cuando esto ocurre, se dice que los puntos son colineales, y la gráfica resultante se denomina lineal, ya que es una línea recta. Cualquier ecuación cuyas soluciones graficadas den lugar a una línea recta, se denomina ecuación lineal (la ecuación y  2x  3 es un ejemplo); a este tipo de ecuaciones también se les denomina ecuaciones de primer grado, ya que el exponente más grande que aparece en cualquier variable es 1. En los ejemplos 3 y 4 graficaremos ecuaciones lineales.

Sección 3.1 • Gráficas • 127 y 5 4 3

x

y

-1

-5

0

-3

1 2

-2

1

-1

SUGERENCIA

CONSEJO PARA ESTUDIAR

EJEMPLO 3 Solución

2

(x, y)

1 -1, -52 10, -32

y  2x  3

1 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

x

5

2

A -2 B

3

1 2,

11, -12

5

FIGURA 3.5

En este capítulo, y en varios de los siguientes, graficaremos puntos y trazaremos gráficas usando el sistema de coordenadas cartesianas. Algunas veces los estudiantes tienen problemas para trazar gráficas precisas. Las siguientes son algunas sugerencias para mejorar la calidad de sus gráficas. 1. Cuando haga su tarea, utilice papel cuadriculado para dibujar sus gráficas. Esto le ayudará a mantener una escala consistente en ellas. Pregunte a su profesor si puede utilizar este tipo de papel también en sus exámenes. 2. Utilice una regla para trazar los ejes y las rectas; de esta manera se verán mucho mejor y serán más precisos. 3. Si no utiliza papel cuadriculado, emplee la graduación de una regla para que la escala de sus ejes sea consistente. Es imposible obtener una gráfica precisa cuando los ejes están marcados con una escala desigual. 4. Utilice un lápiz en lugar de bolígrafo, ya que, si comete errores al trazar sus gráficas, podrá corregirlos más rápido con una goma en lugar de tener que volver a empezar. 5. Necesitará de práctica para mejorar sus habilidades en la creación de gráficas. Trabaje todos los problemas que se le asignen. Para verificar sus gráficas de los ejercicios con número par, puede usar una calculadora graficadora.

Grafique y = x. Primero determinamos los pares ordenados que son soluciones para los valores seleccionados de x y los valores correspondientes de y. Para x seleccionaremos 0, algunos valores positivos y algunos valores negativos. También seleccionaremos números cercanos a 0, de modo que los pares ordenados se ajusten en los ejes. La gráfica resultante se ilustra en la figura 3.6. y

x

y

-2

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

1. Seleccionar valores para x.

(x, y)

1- 2, -22

1 -1, -12 10, 02 11, 12 12, 22

5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

yx

1 2 3 4 5

x

FIGURA 3.6

2. Calcular y. 3. Pares ordenados. 4. Determinar los puntos y trazar la gráfica.

✺

128 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

EJEMPLO 4 Solución

1 3

Grafique y = - x + 1. Seleccionaremos algunos valores para x, determinaremos los valores correspondientes de y, y luego haremos la gráfica. Cuando elijamos valores para x, seleccionaremos algunos valores positivos, algunos valores negativos y 0. La gráfica resultante se ilustra en la figura 3.7. (Para ahorrar espacio, en las tablas no siempre listaremos una columna para los pares ordenados.)

y 6 5 4 3 2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35

x

y

1

-6

3

6 5 4 3 2 1 1

-3

2

2

0

1

3

0

5

6

-1

6

y  a x  1 1

2

3

4

5

6

x

3 4

FIGURA 3.7

1. Seleccionar valores para x. 2. Calcular y. 3. Determinar los puntos y trazar la gráfica.

✺

En el ejemplo 4, observe que para los valores de x seleccionamos múltiplos de 3, de tal manera que no tuviéramos que trabajar con fracciones. Si nos piden graficar una ecuación en la que no se ha despejado la y, tal como x  3y  3, nuestro primer paso será hacerlo. Por ejemplo, si despejamos a y de x  3y  3 utilizando el procedimiento estudiado en la sección 2.2, obtenemos

x + 3y = 3 3y = - x + 3 y =

-x + 3 3

y =

-x 3 1 + = - x + 1 3 3 3

Reste x en ambos lados. Divida ambos lados entre 3.

La ecuación resultante, y = - 13 x + 1, es la misma que graficamos en el ejemplo 4. Por lo tanto, la gráfica de x  3y  3 también está ilustrada en la figura 3.7.

3

Graficar ecuaciones no lineales Hay muchas ecuaciones cuyas gráficas no son líneas rectas; este tipo de ecuaciones se denomina ecuaciones no lineales. Para graficarlas determinando puntos se sigue el mismo procedimiento empleado para graficar ecuaciones lineales. Sin embargo, como las gráficas resultantes no son líneas rectas, podríamos necesitar más puntos para trazarlas.

Sección 3.1 • Gráficas • 129

EJEMPLO 5 Solución

Grafique y = x 2 - 4. Seleccionamos algunos valores para x y determinamos los valores correspondientes de y. Luego determinamos esos puntos y los unimos por medio de una curva suave. Cuando sustituimos valores para x y evaluamos el lado derecho de la ecuación, seguimos el orden de las operaciones que se mencionó en la sección 1.4. Por ejemplo, si x  3, entonces y  (3)2  4  9  4  5. La gráfica resultante se muestra en la figura 3.8.

y 6 5

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41

EJEMPLO 6 Solución

x

y

4

-3

5

2

-2

0

1

-1

-3

6 5 4 3 2 1 1

0

-4

2

1

-3

2

0

3

5

y  x2  4 1

2

3

4

5

6

x

3 4 5 6

FIGURA 3.8

Si sustituimos x por 4, y sería igual a 12. Cuando x  5, y  21. Observe que esta gráfica crece de manera consistente alejándose del origen. ✺ Grafique y =

1 . x

Iniciamos por seleccionar valores para x y determinar los valores correspondientes de y. Luego determinamos los puntos y trazamos la gráfica. Observe que si sustituimos x 1 1 por 0, obtenemos y = 0 . Como 0 es un número indefinido, no podemos utilizar el 0 como primer coordenada. El punto x  0 no existirá en la gráfica. Determinaremos puntos a la izquierda de x  0 y puntos a la derecha de x  0, de forma separada. Seleccione puntos cercanos a 0 para ver qué le sucede a la gráfica cuando x es cer1 1 cana a x  0. Por ejemplo, observe que cuando x = - 2 , y = - 1>2 = - 2. Esta gráfica tiene dos ramas, una a la izquierda y otra a la derecha del eje y, como se muestra en la figura 3.9.

x

y

-3

- 13

-2

- 12

-1

-1

1 2

-2

-

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51

3

1 2

2

1

1

2

1 2 1 3

3

y 5 4

y

3 2

1 x

1 5 4

1 1

1

2

3

4

5

x

4 5

FIGURA 3.9

✺

130 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

En la gráfica resultante del ejemplo 6, observe que para los valores de x más lejanos de 0 hacia la derecha, o más lejanos de 0 hacia la izquierda, la curva se aproxima al eje x, pero no lo toca. Por ejemplo, cuando x  1000, y  0.001, y cuando x  1000, y  0.001. ¿Puede explicar por qué y nunca puede tener un valor de 0?

EJEMPLO 7 Solución

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

Grafique y = ƒ x ƒ . Recuerde que |x| se lee “valor absoluto de x”. Para graficar esta ecuación con valor absoluto, seleccionamos algunos valores para x y determinamos los valores correspondientes para y. Por ejemplo, si x  4, entonces y  |4|  4. Luego determinamos los puntos y trazamos la gráfica. Observe que esta gráfica tiene forma de V, como se muestra en la figura 3.10.

x

y

-4

4

-3

3

-2

2

3

-1

1

2

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

y 5 4

y  x

1 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

x

5

2 3 4 5

FIGURA 3.10

✺

Cuando grafican ecuaciones lineales, muchos estudiantes no determinan los puntos suficientes para obtener una imagen real de la gráfica. Por ejemplo, cuando se grafica y =

1 muchos x

estudiantes sólo consideran valores enteros para x. A continuación se muestra una tabla de valores para esta ecuación, y dos gráficas que contienen los puntos indicados en la tabla.

x

-3

-2

y

1 3

1 2

-

-

-1 -1

Correcta

3

1

1 2

1 3

y

4

4

1 y x

3 2

3 2

1 1 1

2

Incorrecta

y

4

1

y

1 1

2

3

4

x

4

1 1

1

2

3

1 x 4

x

2 3 4

FIGURA 3.11

4

FIGURA 3.12 (continúa en la siguiente página)

Sección 3.1 • Gráficas • 131

Si usted selecciona y traza valores fraccionarios de x cercanos a 0, como se hizo en el ejemplo 6, obtendrá la gráfica de la figura 3.11. La gráfica de la figura 3.12 es incorrecta, ya que la ecuación no está definida cuando x es 0 y, por lo tanto, la curva no puede cruzar el eje y. Siempre que trace una gráfica que contenga una variable en el denominador, seleccione para ella valores muy cercanos a aquel que hace el denominador igual a 0, y observe qué sucede. Por ejemplo, al graficar y =

1 debe utilizar valores de x cercanos a 3, tales como 2.9 y x - 3

3.1 o 2.99 y 3.01, y ver qué valores para y obtiene. Asimismo, cuando grafique ecuaciones no lineales, es recomendable que tome en cuenta valores positivos y valores negativos. Por ejemplo, si sólo utiliza valores positivos de x cuando grafica y  |x|, la curva sería una línea recta que pasa por el origen, en lugar de la curva en forma de V que se mostró en la figura 3.10.

4

Use una calculadora graficadora Si una ecuación es compleja, determinar los pares ordenados de puntos puede llevar algún tiempo. En esta sección presentamos un procedimiento general que puede usarse para graficar ecuaciones por medio de una calculadora graficadora. Uno de los principales usos de las calculadoras graficadoras consiste en graficar ecuaciones. En ellas, la pantalla rectangular en donde se muestran las gráficas recibe el nombre de ventana de graficación. La figura 3.13 muestra la ventana de graficación de una calculadora TI83 Plus con alguna información; la figura 3.14 ilustra su significado. Ymax Xmin

Xscl

Yscl

Xmax

Ymin

FIGURA 3.13

10, 10, 1, 10, 10, 1

FIGURA 3.15

FIGURA 3.14

En la pantalla estándar de la calculadora, el eje x va desde 10 (el valor mínimo de x, Xmin) hasta 10 (el valor máximo de x, Xmax) en una escala de 1. Por lo tanto, cada marca de división representa 1 unidad (Xscl  1). El eje y va desde 10 (el valor mínimo de y, Ymin) hasta 10 (el valor máximo de y, Ymax) en una escala de 1 (Yscl  1). Como la ventana es rectangular, la distancia entre las marcas de división son mayores en el eje horizontal que en el eje vertical. Al graficar, con frecuencia usted necesitará cambiar los valores de esta ventana. Lea el manual de su calculadora graficadora para aprender cómo hacerlo. En la TI83 Plus, se tiene que presionar la tecla  WINDOW  para cambiar los parámetros. Como la graficadora no muestra los valores de x y y en la ventana, ocasionalmente listaremos un conjunto de valores debajo de la pantalla. La figura 3.15 muestra 1 la ventana de una calculadora TI83 Plus con la ecuación y = - 2 x + 4 graficada. Debajo de la ventana se muestran seis números que representan, en orden: Xmin, Xmax, Xscl, Ymin, Ymax y Yscl, es decir, la escala en los ejes x y y, respectivamente. Cuando mostremos la ventana estándar de la calculadora, por lo general estos valores no se ilustrarán debajo de la pantalla. 1 Para graficar la ecuación y = - 2 x + 4 en la TI83 Plus, presione

 Y =   1-2   1  1  ,  2  2   X, T, ™, n   + 

4

132 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Luego, cuando presione  GRAPH  , la ecuación será graficada. La tecla  X, T, ™, n  puede usarse para introducir cualquiera de los símbolos con que está etiquetada. En este libro, esta tecla siempre se usará para introducir la variable x. Casi todas las calculadoras graficadoras ofrecen una característica TRACE (rastreo) que le permite investigar puntos individuales después de que se mostró la gráfica. Para tener acceso a esta característica, muchas veces lo único que hay que hacer es presionar la tecla  TRACE  . Después de hacerlo, puede mover el cursor a lo largo de la línea presionando las teclas de flecha. Cuando el cursor se mueve a lo largo de la línea, los valores de x y y cambian de acuerdo con su posición. La figura 3.16 muestra FIGURA 3.16

la gráfica de la figura 3.15, después que se presionó la tecla  TRACE  y el cursor se movió hacia la derecha utilizando la tecla de flecha. Muchas calculadoras graficadoras también proporcionan una característica TABLE (tabla), con la cual es posible desplegar una tabla de pares ordenados para cualquier función introducida. En la TI83 Plus, la característica TABLE comparte la tecla  GRAPH  , así que, para obtener una tabla, hay que presionar  2 nd   GRAPH . 1

FIGURA 3.17

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 93

5

La figura 3.17 muestra una tabla de valores para la ecuación y = - 2 x + 4. Para desplazarse hacia arriba y hacia abajo de la tabla, utilice las teclas de flecha. Con la tecla TBLSET (cuya función consiste en modificar los parámetros de la característica TABLE), usted puede controlar los valores de x que aparezcan en la tabla. Por ejemplo, si quiere que la tabla muestre los valores de x en décimos, puede determinarlo mediante TBLSET. Esta sección brinda solamente una breve introducción a la graficación de ecuaciones, a la característica TRACE y a la característica TABLE de las calculadoras graficadoras. Usted debe leer el manual de su calculadora para aprender a utilizar todas las funciones de estas características.

Interpretar gráficas Diariamente vemos muchos tipos diferentes de gráficas en periódicos, revistas, televisión, etcétera. Incluso en este mismo libro se presentan diversas clases de gráficas. En vista de que poder trazar e interpretar gráficas es una habilidad muy importante, la estudiaremos con mayor profundidad en la sección 3.2. Por lo pronto, en el ejemplo 8 usted debe entender e interpretar las gráficas para responder la pregunta. Para visitar a su madre en Montevideo, Uruguay, Juan Hernández abordó un avión de Aerolíneas Argentinas. El avión estuvo en la puerta de salida durante 20 minutos, avanzó por la pista de salida y despegó; después, voló a casi 600 millas por hora durante más o menos 2 horas. Luego redujo su velocidad a 300 millas por hora y voló en círculos alrededor del aeropuerto de Montevideo durante casi 15 minutos antes de aterrizar. Una vez en tierra el avión avanzó hacia la puerta de salida y se detuvo. ¿Cuál de las siguientes gráficas (figuras 3.18a a 3.18d) ilustra mejor esta situación?

700

Velocidad (mph)

Velocidad (mph)

EJEMPLO 8

600 500 400 300 200 100 0

600 500 400 300 200 100 0

0

FIGURA 3.18 (La figura continúa en la página siguiente).

700

50

100

150

200

Tiempo (minutos) (a)

250

0

50

100

150

200

Tiempo (minutos) (b)

250

700

Velocidad (mph)

Velocidad (mph)

Sección 3.1 • Gráficas • 133

600 500 400 300 200 100 0

700 600 500 400 300 200 100 0

0

50

100

150

200

250

0

FIGURA 3.18

Solución

100

50

Tiempo (minutos) (c)

150

200

250

Tiempo (minutos) (d)

La gráfica que representa mejor la situación descrita es (c), misma que se reproduce con anotaciones en la figura 3.19. La gráfica muestra la velocidad en relación con el tiempo (éste se representa en el eje horizontal). Mientras el avión espera su salida durante 20 minutos, su velocidad es de 0 millas por hora (la recta horizontal en 0 durante 20 minutos); después, el avión despegó y su velocidad aumentó hasta 600 millas por hora (la recta casi vertical que va de 0 a 600 mph); luego el avión voló durante 2 horas a más o menos 600 millas por hora (la recta horizontal próxima a las 600 mph); más tarde, desciende a 300 millas por hora (la recta casi vertical que va de 600 mph a 300 mph); a continuación el avión da vueltas en círculo a más o menos 300 millas por hora durante 15 minutos (la recta horizontal próxima a las 300 mph); entonces, el avión aterrizó (lo cual se representa mediante la recta casi vertical que va de aproximadamente 300 mph a casi 20 mph), avanzó hacia la puerta de salida (la recta horizontal próxima a las 20 mph); por último, la aeronave se detuvo (la recta casi vertical que cae hasta 0 mph).

El avión despega y aumenta su velocidad hasta 600 mph

Velocidad (mph)

El avión vuela a 600 mph

El avión disminuye su velocidad hasta 300 mph El avión vuela en círculos a 300 mph

700 600

El avión inicia su aterrizaje

500 400

El avión se detiene

300 200 100 0 0

50

100

150

200

250

Tiempo (minutos)

FIGURA 3.19

El avión está detenido

El avión se dirige a la puerta

✺

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 81

Conjunto de ejercicios 3.1 Ejercicios conceptuales 1. a) ¿Cómo es la gráfica de cualquier ecuación lineal? b) ¿Cuántos puntos son necesarios para graficar una ecuación lineal? Explique. 2. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos variables?

3. ¿Qué podemos concluir cuando un conjunto de puntos es colineal? 4. Cuando se grafica la ecuación y = se puede sustituir a x? Explique.

1 , ¿con qué valor no x

134 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Problemas de aplicación Liste los pares ordenados que corresponden a los puntos indicados. 5.

6.

y 4 3

D E G

2

F

A

1

B

8 7 6 5 4 3 2 1 1 2

D

y

1

2

3

4

x

10

A

F

7. Grafique los siguientes puntos en un solo plano.

B

10 8 6 4 2 5

2

10 15

C

4

15 5

G

3

20

20

4

6

x

8 10 12 14

C E

8. Grafique los puntos siguientes en un solo plano.

A14, 22 B1 -6, 22 C10, -12 D1 -2, 02

A1- 4, -22 B13, 22 C12, -32 D1-3, 32

Determine en qué cuadrante está cada punto. 9. 13, 52

10. 1 - 3, 12

13. 1-35, 182

14. 1 - 24, - 82

11. 14, -22

15. 1-6, - 192

12. 136, 412

16. 18, - 1202

Determine si el par ordenado es una solución para la ecuación dada. 17. 12, 212; y = 2x - 5 19. 1- 4, - 22; y = ƒ x ƒ + 2 21. 1 -2, 52; 23. 12, 12;

18. 11, 12; 2x + 3y = 6 20. 11, 12; y = x 2 + x - 1

-a2 + 2b2 = - 2

25. a ,

1 3 b; 2 2

1 5 b; y = ƒ x - 3 ƒ 2 2 24. 1 -10, - 22; ƒ p ƒ - 3 ƒ q ƒ = 4 11 b; 2n2 + 3m = 2 26. a -3, 2 22. a ,

s = 2r2 - r - 5

2x2 + 4x - y = 0

Grafique cada ecuación.

1 x 2 - 3x - 5 1 - x - 3 2 - x2 - ƒxƒ

1 x 3 - 2x + 2 1 - x + 4 3 - x2 + 4 ƒxƒ - 2 1 x

30. y = -

27. y = x

28. y = 3x

29. y =

31. y = 2x + 4

32. y = x + 2

33. y =

1 35. y = x - 1 2 39. y = x 2 43. y = ƒ x ƒ + 1

1 36. y = - x + 2 3 2 40. y = x - 4 44. y = ƒ x ƒ + 2

41. y = 45. y =

47. y = x 3

48. y = - x 3

49. y = x 3 + 1

50. y =

52. x 2 = 1 + y

53. x = ƒ y ƒ

54. x = y 2

51. y = -

1 x

37. y =

34. y = 38. y = 42. y = 46. y =

En los ejercicios 55 a 62, utilice una calculadora para obtener al menos ocho puntos que sean soluciones para cada ecuación. Luego grafique la ecuación trazando los puntos. 55. y = x 3 - x 2 - x + 1

56. y = - x 3 + x 2 + x - 1

57. y =

1 x + 1

58. y =

59. y = 1x

60. y = 1x + 4

61. y =

1 x2

62. y =

1 + 1 x ƒ x2 ƒ 2

Sección 3.1 • Gráficas • 135

Resolución de problemas 1 1 b 3 12

x2 ? Explique. x + 1 1 3 64. ¿El punto representado por el par ordenado a - , - b 2 5

está en la gráfica de la ecuación y =

2 está en la gráfica de la ecuación y = x + 1 ? Explique. x2 - 1

65. a) Trace los puntos A(2, 7), B(2, 3), C(6, 3), y luego trace AB, AC, y BC. ( AB representa el segmento de recta de A a B.) b) Determine el área de la figura. 66. a) Trace los puntos A(4, 5), B(2, 5), C(2, 3) y D(4, 3); después, trace AB, BC, CD, y DA. b) Determine el área de la figura. 67. Ventas de computadoras personales La siguiente gráfica muestra las ventas de computadoras personales en todo el mundo entre 1999 y 2003 (en millones).

Ventas de computadoras personales en todo el mundo Computadoras (millones)

200

Área total de cultivos modificados genéticamente Área (millones de hectáreas)

63. ¿El punto representado por el par ordenado a ,

50

Total

40 30

Países industrializados Naciones en vías de desarrollo

20 10

1995

1996

1997

1998

1999

2000

Año Fuente: www.isaaa.org

a) Calcule el área que las naciones en vías de desarrollo dedicaron a los cultivos modificados genéticamente en 1999. b) Calcule el área que los países industrializados dedicaron a los cultivos modificados genéticamente en 1999. c) ¿En qué años, entre 1995 y 2000, el área total dedicada a cultivos modificados genéticamente fue menor a 20 millones de hectáreas? d) ¿En qué años, entre 1995 y 2000 el área total dedicada a cultivos modificados genéticamente fue mayor a 35 millones de hectáreas?

160 120

En la sección 3.4 analizaremos muchos de los conceptos que se presentan en los ejercicios 69 a 76.

80 40

’99 ’00 ’01 ’02 ’03 0 Año

Fuente: International Data Corporation.

a) Calcule las ventas de computadoras en todo el mundo en 1999. b) Calcule las ventas de computadoras en todo el mundo en 2003. c) ¿En qué años las ventas de computadoras en todo el mundo excedieron 140 millones de unidades? d) ¿El aumento en la venta de computadoras en todo el mundo entre 1999 y 2003 parece casi lineal? Explique. 68. Cultivos modificados genéticamente En todo el mundo, la producción de cultivos modificados genéticamente — tanto en naciones en vías de desarrollo como en países industrializados— está creciendo con rapidez. La siguiente gráfica muestra el área del terreno dedicado a este tipo de cultivos en las naciones en vías de desarrollo, en los países industrializados, y en todo el mundo entre 1995 y 2000. El área está dada en millones de hectáreas; según el sistema métrico, cada hectárea equivale más o menos a 2.741 acres.

69. Grafique y  x  1, y  x  3 y y  x  1 en el mismo plano. a) ¿Qué nota respecto de las ecuaciones y los valores en donde las gráficas intersectan al eje y? b) ¿Todas las gráficas que resultan de estas ecuaciones parecen tener la misma inclinación (o pendiente)?

1 1 1 x, y = x + 3, y y = x - 4 en el 2 2 2

70. Grafique y = mismo plano.

a) ¿Qué nota respecto de las ecuaciones y los valores en donde las gráficas intersectan al eje y? b) ¿Todas las gráficas que resultan de estas ecuaciones parecen tener la misma inclinación (o pendiente)? 71. Grafique y  2x. Determine la razón de cambio de y respecto de x; esto es, ¿en cuántas unidades cambia y en comparación con cada unidad que cambia x? 72. Grafique y  3x. Determine la razón de cambio de y respecto de x. 73. Grafique y  3x  2. Determine la razón de cambio de y respecto de x. 1

74. Grafique y = 2 x. Determine la razón de cambio de y respecto de x.

136 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones 75. El par ordenado (3, 6) representa un punto en la gráfica de una ecuación lineal. Si en la gráfica y aumenta 4 unidades por cada unidad que aumenta x, determine otras dos soluciones para la ecuación.

76. El par ordenado (1, 4) representa un punto en la gráfica de una ecuación lineal. Si en la gráfica y aumenta 3 unidades por cada unidad que aumenta x, determine otras dos soluciones para la ecuación.

Relacione cada uno de los ejercicios 77 a 80 con la gráfica correspondiente de altura respecto del nivel del mar, identificadas con los incisos a) a d). 77. María Andrade caminó durante cinco minutos a nivel del suelo; luego, escaló una colina durante 5 minutos; después caminó una vez más a nivel del suelo durante cinco minutos; durante los siguientes cinco minutos, escaló una colina inclinada y, finalmente, los siguientes 10 minutos descendió de manera uniforme hasta alcanzar la altura a la que había iniciado su recorrido.

300

80. Jaime Canales comenzó su caminata ascendiendo una colina durante cinco minutos; los siguientes 10 minutos descendió una colina hasta llegar a la misma elevación a la que inició el recorrido; los siguientes 10 minutos caminó a nivel del suelo; por último, descendió la colina en una caminata de cinco minutos.

Elevación (pies)

Elevación (pies)

78. Danilo Guzmán caminó a nivel del suelo durante cinco minutos; después descendió una colina empinada durante 10 minutos; los siguientes cinco minutos caminó nuevamente a nivel del suelo; luego siguió caminando por cinco minutos hasta volver a la altura en donde inició su recorrido; los últimos cinco minutos caminó una vez más a nivel del suelo.

79. Nancy González inició su caminata ascendiendo por una colina empinada durante cinco minutos; los siguientes cinco minutos caminó descendiendo una colina empinada hasta llegar a una elevación menor a la que tenía el punto en donde inició su recorrido; los siguientes 10 minutos caminó a nivel del suelo; luego ascendió una colina un poco inclinada durante 10 minutos; en ese momento alcanzó la misma elevación a la que inició su recorrido.

250 200 150 100 50 0

300 250 200 150 100 50 0

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15

20

25

30

25

30

Tiempo (minutos) (c)

300

Elevación (pies)

Elevación (pies)

Tiempo (minutos) (a)

250 200 150 100 50 0

300 250 200 150 100 50 0

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15

20

Tiempo (minutos)

Tiempo (minutos)

(b)

(d)

Relacione cada uno de los ejercicios 81 a 84 con la gráfica correspondiente de velocidad contra tiempo, entre las identificadas con los incisos a) a d) en la página 137.

81. Para llegar hasta su trabajo, Cleotilde Manzano caminó durante tres minutos, esperó el tren durante cinco minutos, viajó en él durante 15 minutos, y caminó durante 7 minutos más. 82. Para llegar hasta su trabajo, Timoteo Pérez condujo entre un pesado tránsito (que lo obligaba a avanzar y parar repetidamente) durante cinco minutos; luego manejó en una autopista durante 20 minutos, y finalmente volvió a circular entre tránsito pesado durante cinco minutos.

83. Para llegar hasta su trabajo, Silvia Gámez manejó por una carretera rural durante 10 minutos; después condujo por una autopista durante doce minutos, y luego entre el tránsito pesado durante ocho minutos. 84. Para llegar hasta su trabajo, Brenda Pinzón condujo su bicicleta colina arriba durante 10 minutos, después colina abajo durante 15 minutos, y luego en una calle plana durante cinco minutos.

70

Velocidad (mph)

Velocidad (mph)

Sección 3.1 • Gráficas • 137

60 50 40 30 20 10 0

60 50 40 30 20 10 0

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15

20

25

30

Tiempo desde que salió (minutos)

Tiempo desde que salió (minutos)

(a)

(c)

70

Velocidad (mph)

Velocidad (mph)

70

60 50 40 30 20 10

70 60 50 40 30 20 10 0

0 0

5

10

15

20

25

0

30

5

10

15

20

25

30

Tiempo desde que salió (minutos)

Tiempo desde que salió (minutos)

(b)

(d)

Relacione cada uno de los ejercicios 85 a 88 con la gráfica correspondiente de velocidad contra tiempo, entre las identificadas con los incisos a) a d). 85. Cristina Maldonado realizó durante cinco minutos una caminata de calentamiento, trotó durante 20 minutos, y después caminó otra vez durante cinco minutos hasta disminuir su ritmo cardiaco.

5

Velocidad (mph)

Velocidad (mph)

86. Ana Domínguez decidió pasear en bicicleta, y la condujo a una velocidad constante durante 30 minutos.

87. Miguel Orduña dio un paseo a pie por su vecindario durante 30 minutos; durante el trayecto, se detuvo brevemente en siete ocasiones para levantar basura. 88. Ricardo Dávalos caminó por su vecindario y se detuvo tres veces para platicar con sus vecinos; estuvo fuera de su casa durante 30 minutos.

4 3 2 1

5 4 3 2 1 0

0 0

5

10

15

20

25

0

30

5

5

Velocidad (mph)

Velocidad (mph)

10

15

20

25

30

25

30

Tiempo (minutos) (c)

Tiempo (minutos) (a)

4 3 2 1

5 4 3 2 1 0

0 0

5

10

15

20

Tiempo (minutos) (b)

25

30

0

5

10

15

20

Tiempo (minutos) (d)

138 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones Relacione cada uno de los ejercicios 89 a 92 con la gráfica correspondiente de distancia contra tiempo, entre las identificadas con los incisos a) a d). Recuerde que en el capítulo 2 se dijo que distancia  velocidad  tiempo. Las distancias seleccionadas se indican en las gráficas. 89. El tren A viajó a una velocidad de 40 mph durante una hora, luego durante dos horas a 80 mph, y luego a 60 mph durante tres horas. 90. El tren C viajó a una velocidad de 80 mph durante dos horas, luego permaneció parado en una estación durante una hora, y después viajó a 40 mph durante tres horas.

91. El tren B viajó una velocidad de 20 mph durante dos horas, luego a 60 mph durante tres horas, y después a 80 mph durante una hora. 92. El tren D viajó a 30 mph durante una hora, después a 65 mph durante dos horas, y luego a 30 mph durante tres horas.

280

300 250 200

160

150

160

100

350 300 200 100 50 0

2

3

4

5

160

150

0 1

250

250

50 0

6

30 0

1

2

3

4

5

Tiempo (horas)

Tiempo (horas)

(a)

(c)

400

Distancia (millas)

Distancia (millas)

400

350

350 300 250 200

200

150 100 50

6

400

380

Distancia (millas)

Distancia (millas)

400

350 300

300

250 220

200 150 100 50

40

0

40

0 0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

Tiempo (horas)

Tiempo (horas)

(b)

(d)

6

Utilice una calculadora graficadora para graficar cada función. Asegúrese de seleccionar valores que muestren la curvatura de la gráfica en la ventana. Luego, si su calculadora puede mostrar tablas, despliegue una tabla de valores de x, en unidades de 0 a 6.

93. y = 2x - 3 96. y = - x 2 + 16

1 x + 2 3 3 97. y = x - 2x + 4

95. y = x 2 - 2x - 8

94. y =

98. y = 2x 3 - 6x 2 - 1

Reto Grafique cada ecuación. 99. y = ƒ x - 2 ƒ

100. x = y 2 + 2

Actividad en equipo Analice y resuelva en equipo los ejercicios 101 y 102. 101. a) Miembro uno del equipo: en una gráfica trace los puntos ( 2, 4) y (6, 8). Determine el punto medio del segmento de línea que conecta estos puntos. Miembro dos del equipo: siga las instrucciones anteriores para los puntos (3, 2) y (5, 6). Miembro tres del equipo: siga las instrucciones anteriores para los puntos (4, 1) y (2, 4). b) Determinen en equipo una fórmula para localizar el punto medio de un segmento de línea que conecta los puntos (x1, y1) y (x2, y2).

102. Tres puntos que conforman los vértices de un paralelogramo son: A(3, 5), B(8, 5) y C(1, 3). a) De forma individual, determinen un cuarto punto, D, que complete el paralelogramo. b) De forma individual, calculen el área de su paralelogramo. c) Comparen sus respuestas. ¿Todos obtuvieron la misma respuesta? De no ser así, ¿por qué? d) ¿Se puede usar más de un punto para completar el paralelogramo? De ser así, indiquen los puntos y determinen el área de cada uno de los paralelogramos.

Sección 3.2 • Funciones • 139

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 103. Evalúe

- b + 2b2 - 4ac para a = 2, b = 7, 2a

durante un día para que el costo de renta fuera igual con ambas compañías?

y c = - 15. [2.3] 104. Renta de un camión La agencia Renta de Camiones cobra una cuota diaria de $60 más $0.10 por milla. La agencia Automóviles Nacionales cobra una cuota diaria de $50 más $0.24 por milla por el mismo camión. ¿Qué distancia tendría que conducir

[2.5] 105. Resuelva la desigualdad -4 …

4 - 3x 6 5. Es 2

criba la solución en notación de construcción de conjuntos. [2.6] 106. Determine el conjunto solución para la desigualdad |3x  2|  5.

3.2 FUNCIONES

1

1

Entender las relaciones.

2

Reconocer funciones.

3

Utilizar la prueba de la recta vertical.

4

Entender la notación de funciones.

5

Aplicaciones de funciones en la vida diaria.

Entender las relaciones En la vida diaria, con frecuencia descubrimos relaciones entre dos cantidades. Por ejemplo, la cantidad que usted gasta al comprar naranjas está relacionada con el número de naranjas que le entregan a cambio; la velocidad a la que viaja un bote de vela está relacionada con la velocidad del viento; y el impuesto que usted paga está relacionado con los ingresos que obtiene. Suponga que las naranjas cuestan 30 centavos cada una. Entonces, una naranja cuesta 30 centavos, dos naranjas cuestan 60 centavos, tres naranjas cuestan 90 centavos, y así sucesivamente. Podemos organizar esta información, o relación, como un conjunto de pares ordenados, listando primero el número de naranjas y luego su costo en centavos. En este caso, los pares ordenados serían (1, 30), (2, 60), (3, 90), etcétera. Una ecuación que representa esta situación es c  30n, en donde c es el costo en centavos, y n es el número de naranjas. Como el costo depende del número de naranjas, decimos que el costo es la variable dependiente y el número de naranjas es la variable independiente. Ahora pensemos en la ecuación y  2x  3. En ella, el valor obtenido para y depende del valor seleccionado para x. Por lo tanto, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Observe que, a diferencia del caso de las naranjas, en este ejemplo no existe una relación física entre x y y. La variable x es la variable independiente y y es la variable dependiente simplemente a consecuencia del lugar que ocupan en la ecuación. Para una ecuación con las variables x y y, si el valor de y depende del valor de x, entonces y es la variable dependiente y x es la variable independiente. Ya que las cantidades relacionadas pueden representarse como pares ordenados, el concepto de relación puede definirse como sigue.

DEFINICIÓN 2

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados.

Reconocer funciones A continuación analizaremos el concepto de función, uno de los más importantes en matemáticas. Una función es un tipo especial de relación en el que a cada elemento de un conjunto (llamado dominio) le corresponde exactamente un elemento de un segundo conjunto (llamado rango).

140 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Volvamos al ejemplo de las naranjas que cuestan 30 centavos cada una. Podemos ilustrar el número de naranjas y su costo por medio de la figura 3.20. Número de naranjas, n

Correspondencia c  30n

Costo de naranjas, c (centavos)

30

1

60

2 90

3

120

4 150

FIGURA 3.20

…

…

5

Observe que cada cifra del conjunto Número de naranjas corresponde a (o tiene relación con) exactamente un número en el conjunto Costo de naranjas. Por consiguiente, esta correspondencia es una función. El conjunto conformado por los números de naranjas, {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, se denomina dominio. El conjunto conformado por los costos en centavos, {30, 60, 90, 120, 150, . . .}, se denomina rango. En general, el conjunto de valores para la variable independiente es el dominio, y el de valores para la variable dependiente es el rango (vea la figura 3.21). Correspondencia Dominio

Rango

FIGURA 3.21

EJEMPLO 1

Determine si cada una de las siguientes correspondencias es una función. a) 1

1

b) mariquita

c) Español

2

4

grillo

insecto

3

9

jilguero

ave

España México

Inglés

Irlanda

halcón

Solución

a) Para que una correspondencia sea una función, cada elemento del dominio debe corresponder exactamente a un elemento del rango. Aquí el dominio es {1, 2, 3} y el rango es {1, 4, 9}. Como cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del rango, esta correspondencia es una función. b) Aquí el dominio es {mariquita, grillo, jilguero, halcón} y el rango es {insecto, ave}. Aunque el dominio tiene cuatro elementos y el rango tiene dos, cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del rango. Por lo tanto, esta correspondencia es una función.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17

c) Aquí el dominio es {idioma español, idioma inglés} y el rango es {España, México, Irlanda}. Observe que idioma español corresponde tanto a España como a México. En este caso, uno de los elementos del dominio corresponde a dos elementos del rango (es decir, no hay una correspondencia exacta uno a uno). En consecuencia, esta correspondencia es una relación, pero no una función. ✺ A continuación definiremos de manera formal el concepto de función.

DEFINICIÓN

Una función es una correspondencia entre un primer conjunto de elementos (dominio), y un segundo conjunto de elementos (rango), de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del rango.

Sección 3.2 • Funciones • 141

EJEMPLO 2

¿Cuáles de las siguientes relaciones es una función? a) 511, 42, 12, 32, 13, 52, 1-1, 3210, 626

b) 51 -1, 3214, 22, 13, 12, 12, 62, 13, 526

Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23

a) El dominio es el conjunto de las primeras coordenadas en el conjunto de pares ordenados, {1, 2, 3, 1, 0}, y el rango es el conjunto de segundas coordenadas, {4, 3, 5, 6}. Observe que cuando listamos el rango sólo incluimos el número 3 una vez, aunque aparece en (2, 3) y (1, 3). Al examinar el conjunto de pares ordenados, vemos que cada número del dominio corresponde exactamente a un número del rango. Por ejemplo, el 1 del dominio corresponde solamente al 4 del rango, y así sucesivamente. Ningún valor de x corresponde a más de un valor de y. Por lo tanto, esta relación es una función. b) El dominio es {1, 4, 3, 2} y el rango es {3, 2, 1, 6, 5}. Observe que el 3 aparece como la primera coordenada de dos pares ordenados, aunque está listado sólo una vez en el conjunto de elementos que representa el dominio. Como los pares ordenados (3, 1) y (3, 5) tienen la misma primera coordenada y una segunda coordenada diferente, no todos los valores del dominio corresponden exactamente a un valor del rango. Por lo tanto, esta relación no es una función. ✺ El ejemplo 2 conduce a una definición alternativa de función.

DEFINICIÓN

Una función es un conjunto de pares ordenados, en donde no se repite una primera coordenada. Si la segunda coordenada en un conjunto de pares ordenados se repite, el conjunto todavía puede ser una función, como en el ejemplo 2 a). Sin embargo, si dos o más pares ordenados tienen la misma primera coordenada, como en el ejemplo 2 b), el conjunto no es una función.

3

Utilizar la prueba de la recta vertical La gráfica de una función o relación es la gráfica de su conjunto de pares ordenados. Los dos conjuntos de pares ordenados del ejemplo 2 se grafican en las figuras 3.22a y 3.22b. Observe que, en la función de la figura 3.22a, no es posible trazar una recta vertical que intersecte dos puntos de la curva. Esto es normal, ya que, en una función, cada valor de x debe corresponder exactamente a un valor de y. En la figura 3.22b podemos trazar una recta vertical que intersecte dos puntos de la curva (3, 1) y (3, 5). Esto demuestra que no todos los valores de x corresponden exactamente a un valor de y; por lo tanto, la gráfica no representa una función. Este método para determinar si una gráfica representa una función se denomina prueba de la recta vertical. Sí es una función

y

y

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

3 2 1 1

FIGURA 3.22

No es una función

1

2

3

4

5

x

(a) Primer conjunto de pares ordenados

3 2 1 1

1

2

4

5

x

(b) Segundo conjunto de pares ordenados

142 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Prueba de la recta vertical Si en cualquier parte de la gráfica es posible trazar una recta vertical que intersecte a más de un punto de la curva, la gráfica no representa una función. Si no es posible trazar una recta vertical que intersecte a más de un punto de la curva, la gráfica representa una función.

Utilizaremos la prueba de la recta vertical para demostrar que la figura 3.23b representa una función, mientras que las figuras 3.23a y 3.23c no. No es una función

Sí es una función

y

No es una función

y

y

x

FIGURA 3.23

EJEMPLO 3

x

(a)

x

(b)

(c)

Utilice la prueba de la recta vertical para determinar si las gráficas siguientes representan funciones. También determine el dominio y el rango de cada función o relación. y

y

4

4

3

3

2 1 4 3 2 1 1

1 1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

1

2

3

4

x

2 3

3

4

4

FIGURA 3.24

Solución

FIGURA 3.25

a) No es posible trazar una recta vertical que intersecte más de un punto de la curva de la figura 3.24. Por lo tanto, ésta es la gráfica de una función. Como la curva se extiende de manera indefinida en ambas direcciones, cada valor de x estará incluido en el dominio. El dominio es el conjunto de los números reales. Dominio:



1- q, q2

o

El rango también es el conjunto de los números reales, ya que todos los valores de y están incluidos en la gráfica. Rango:



o

1- q, q2

b) Como sí se puede trazar una recta vertical que intersecte más de un punto de la curva en la figura 3.25, ésta no es la gráfica de una función. El dominio de esta relación es el conjunto de valores mayores que o iguales a 3. Dominio: 5x ƒ x Ú - 36

o

3 - 3, q 2

El rango es el conjunto de valores de y, que puede ser cualquier número real. Rango:



o

1- q, q2

✺

Sección 3.2 • Funciones • 143

EJEMPLO 4

En la gráfica que se muestra en la figura 3.26, a) ¿qué elemento del rango forma el par de 4 en el dominio? b) ¿qué elementos del dominio forman el par de 2 en el rango?

y

c) ¿cuál es el dominio de la función?

3

d) ¿cuál es el rango de la función?

2 1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

2

Solución a) El rango es el conjunto de valores de y. El valor de y que tiene como par el valor de x 4 es 3. b) El dominio es el conjunto de valores de x. Los valores de x que tienen como par el valor de y igual 2 son 2 y 6.

3

c) El dominio es el conjunto de valores de x, del 0 al 7. Por lo tanto, el dominio es

FIGURA 3.26

5xƒ0 … x … 76 o 30, 74

d) El rango es el conjunto de valores y, de 2 a 3. Así, el rango es

5yƒ -2 … y … 36 o 3-2, 34

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33

EJEMPLO 5

✺

La figura 3.27 ilustra una gráfica de velocidad contra tiempo de un hombre que salió a caminar y trotar. Escriba una historia que describa el paseo de este hombre y que corresponda a esta función.

Velocidad (mph)

El hombre sale a caminar y trotar 6 5 4 3 2 1 0 0

FIGURA 3.27

Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65

4

5

10

15

20

25

30

Tiempo (minutos)

El eje horizontal es el tiempo y el eje vertical es la velocidad. Cuando la curva es horizontal, significa que la persona está trasladándose a la velocidad constante indicada en el eje vertical. Las rectas casi verticales que aumentan con el tiempo (o que tienen una pendiente positiva, como se estudiará más adelante), indican un aumento en la velocidad, mientras que las rectas casi verticales que disminuyen con el tiempo (o que tienen pendiente negativa), indican una disminución en la velocidad. Entienda el problema

Responda Ésta es una posible interpretación de la gráfica. El hombre camina durante más o menos cinco minutos a una velocidad de casi dos millas por hora; después, el hombre aumenta su velocidad hasta casi cuatro millas por hora, y camina o trota a esa velocidad durante más o menos 10 minutos; luego disminuye su velocidad hasta detenerse, y después descansa durante cinco minutos; finalmente, el hombre aumenta su velocidad hasta casi cinco millas por hora, y trota a esa velocidad durante más o menos 10 minutos. ✺

Entender la notación de funciones En la sección 3.1 graficamos varias ecuaciones, tal como se resume en la tabla 3. 1. Si examina cada ecuación de la tabla, verá que todas ellas son funciones, ya que sus gráficas pasan la prueba de la recta vertical.

144 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

TABLA 3.1 Ejemplo Sección 3.1 ejemplo

Ecuación graficada

¿La gráfica representa una función?

Gráfica y

3

y = x

Sí x

y

4

1 y = - x + 1 3

Sí x

y

5

x

y = x2 - 4

Sí

y

6

y =

1 x

Sí x

y

7

y = ƒxƒ

Sí x

y 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3

FIGURA 3.28

y  3x  2 or f (x)  3x  2 1 2 3 4 5

x

Como la gráfica de cada una de estas ecuaciones representa una función, podemos referirnos a ellas como funciones. Cuando nos referimos a un ecuación en las variables x y y como una función, significa que la gráfica de la ecuación satisface el criterio para ser función. Esto es, cada valor de x corresponde exactamente a un valor de y, y la gráfica de la ecuación pasa la prueba de la recta vertical. No todas las ecuaciones son funciones. Sin embargo, todas las ecuaciones que estudiaremos a partir de aquí serán funciones. Analicemos la ecuación y  3x  2. Al aplicar la prueba de la recta vertical a su gráfica (figura 3.28), podemos ver que ésta representa una función. Cuando una ecuación en las variables x y y es una función, con frecuencia la escribimos utilizando notación de funciones, o f(x), expresión que se lee “f de x”. Como la ecuación y  3x  2 es una función, y el valor de y depende del valor de x, decimos que y es una función de x. Cuando se nos da una ecuación lineal en las variables x y y, en la que y está despejada, podemos escribir la ecuación en notación de funciones como f(x)  3x  2. La notación f(x) representa la variable dependiente y no significa f por x. Además de f pueden usarse otras letras para indicar funciones. Por ejemplo, g(x) y h(x) también representan funciones de x, y en la sección 5.1 utilizaremos P(x) para representar funciones polinomiales.

Sección 3.2 • Funciones • 145

Las funciones escritas en notación de funciones también son ecuaciones, ya que contienen un signo de igual. Podemos referirnos a y  3x  2 ya sea como una ecuación o como una función. De manera análoga, podemos referirnos a f(x)  3x  2 como una función o como una ecuación. Si y es una función de x, la notación f(5), que se lee “f de 5”, hace referencia al valor de y cuando x es 5. Para evaluar una función para un valor específico de x, sustituya x con ese valor en la función. Por ejemplo, si f(x)  3x  2, entonces f(5) se determina como sigue:

f1x2 = 3x + 2 f152 = 3152 + 2 = 17 Por lo tanto, cuando x es 5, y es 17. El par ordenado (5, 17) aparecería en la gráfica de y  3x  2.

SUGERENCIA

EJEMPLO 6

Las ecuaciones lineales en las que y no está despejada, pueden escribirse usando notación de funciones, despejando y en la ecuación, y luego reemplazando y con f(x). Por ejemplo, la ecuación 9x  3y  6 se convierte en y  3x  2, cuando se despeja y. Por lo tanto, podemos escribir f(x)  3x  2.

Si f1x2 = - 4x 2 + 3x - 2, determine a) f122

Solución

b) f1-12

c) f1a2

2

a) f1x2 = - 4x + 3x - 2

f122 = - 41222 + 3122 - 2 = - 4142 + 6 - 2 = - 16 + 6 - 2 = - 12 b) f1-12 = - 41-122 + 31- 12 - 2 = - 4112 - 3 - 2 = - 4 - 3 - 2 = - 9 c) Para evaluar la función en a, reemplazamos cada x de la función con una a.

f1x2 = - 4x2 + 3x - 2 f1a2 = - 4a2 + 3a - 2

EJEMPLO 7

✺

Determine cada valor indicado de la función. a) g1 - 22 para g1t2 =

1 t + 5

b) h152 para h1s2 = 2 ƒ s - 6 ƒ c) j1 - 32 para j1r2 = 16 - r

Solución

En cada parte, sustituya el valor indicado en la función y resuélvala. a) g1 - 22 =

1 1 = -2 + 5 3

b) h152 = 2 ƒ 5 - 6 ƒ = 2 ƒ - 1 ƒ = 2112 = 2 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45

5

c) j1 - 32 = 26 - 1 - 32 = 16 + 3 = 19 = 3

✺

Aplicaciones de funciones en la vida diaria Muchas de las aplicaciones que se estudiaron en el capítulo 2 eran funciones. Sin embargo, no habíamos definido el concepto en ese momento.A continuación analizaremos algunas aplicaciones adicionales de funciones.

EJEMPLO 8

El torneo Masters de golf En abril de cada año se celebra el torneo Masters de golf. La gráfica de la figura 3.29 muestra los puntos del nivel de audiencia que tuvo este

146 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones Audiencia del torneo de golf

Puntos de nivel de audiencia

16

14.1 14 12

13.3

10

10.0

8 6

7.0

4 2 0 1980

1985

1990

1995

2000

Año

FIGURA 3.29

Fuente: NTI, Nielsen.

torneo en televisión entre 1980 y 2001. Un punto de nivel de audiencia representa 1% de los hogares que cuentan con televisión. Por ejemplo, si un programa de televisión recibe una puntuación de 14.1, significa que 14.1% de los hogares con televisión sintonizaron ese programa. a) Explique por qué la gráfica en la figura 3.29 representa una función. b) Determine el nivel de audiencia que tuvo este torneo en 1993. c) Determine el porcentaje de aumento de audiencia entre 1993 y 1997. d) Determine el porcentaje de disminución de audiencia entre 1997 y 2000.

Tiger Woods*

Solución

a) Esta gráfica representa una función, porque cada año corresponde a un número específico de puntos de nivel de audiencia. Observe que la gráfica pasa la prueba de la recta vertical. b) En 1993, el torneo tuvo más o menos siete puntos de nivel de audiencia. Si llamamos a la función f, entonces f(1993)  7. c) Seguiremos nuestro procedimiento para responder esta pregunta Se nos pidió que determináramos el porcentaje de aumento de audiencia entre 1993 y 1997. Para hacerlo, usamos la fórmula

Entienda el problema y traduzca

porcentaje de cambio = (aumento o disminución)

a

cantidad en el cantidad en el b-a último periodo periodo anterior b cantidad en el periodo anterior

El último periodo es 1997, y el periodo anterior es 1993. Al sustituir los valores correspondientes, obtenemos porcentaje de cambio = Realice los cálculos

=

14.1 - 7.0 7.0

7.1 L 1.0143 L 101.4% 7.0

Nuestros cálculos parecen correctos. Entre 1993 y 1997 hubo aproximadamente 101.4% de aumento en el nivel de audiencia para el torneo.

Compruebe y responda

*Debe hacerse notar que el altísimo nivel de audiencia de 1997 se debió, principalmente, a que Tiger Woods ganó el evento.

Sección 3.2 • Funciones • 147

d) Para determinar el porcentaje de disminución de audiencia entre 1997 y 2000, seguimos el mismo procedimiento que en la parte c). porcentaje de cambio = (aumento o disminución)

aumento en el aumento en el a último periodo b - aperiodo anterior b aumento en el periodo anterior

- 4.1 10.0 - 14.1 = L - 0.291 L - 29.1% 14.1 14.1 El signo negativo que precede a 29.1% indica una disminución porcentual. Por lo tanto, hubo una disminución de aproximadamente 29.1% en los puntos del nivel de audiencia para el torneo Masters entre 1997 y 2000. ✺ =

EJEMPLO 9

Inmigración En la actualidad, el número de extranjeros naturalizados que habitan en Estados Unidos es el más alto de todos los tiempos. En 1890 la población de extranjeros naturalizados que habitaba en Estados Unidos era de nueve millones de personas; en 1910 era de 14 millones; en 1930 era de 14 millones; en 1950 era de 10 millones; en 1970 era de 10 millones; en 1990 era de 20 millones; en 2000 era de 28 millones de personas, y se pronostica que en 2005 será de 31 millones de personas. a) Represente esta información en una gráfica. b) Por medio de su gráfica, explique por qué este conjunto de puntos representa una función. c) Por medio de su gráfica, calcule el número de extranjeros naturalizados que vivían en Estados Unidos en 2003. Número de extranjeros naturalizados en Estados Unidos

Número de extranjeros naturalizados en Estados Unidos 35

Población (millones)

Población (millones)

35 30 25 20 15 10 5 0 1890

1910

1930

1950

1970

Año Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.

FIGURA 3.30

Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 75

30 25 20 15 10 5 0 1890

1990

1910

2005

1930

1950

1970

Año

1990 2005

Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.

FIGURA 3.31

a) El conjunto de puntos se muestra en la figura 3.30. Colocamos el año en el eje horizontal y el número de extranjeros naturalizados que habitan en Estados Unidos, en millones de personas, en el eje vertical. b) Como cada año corresponde exactamente a un número de extranjeros naturalizados, este conjunto de puntos representa una función. Observe que esta gráfica pasa la prueba de la recta vertical. c) Podemos conectar los puntos con segmentos de línea recta, como se muestra en la figura 3.31. Después, a partir de la gráfica es posible calcular que en 2003 había aproximadamente 30 millones de extranjeros naturalizados en Estados Unidos. Si llamamos f a la función, entonces f(2003)  30. ✺ En la sección 2.2 aprendimos a usar fórmulas. Pensemos por ejemplo en la fórmula para considerar el área del círculo, A = pr 2. En la fórmula, p es una constante con un valor aproximado de 3.14. Para cada valor específico del radio, r, corresponde exactamente un área, A. Por lo tanto, el área del círculo es una función de su radio. En consecuencia, podemos escribir

A1r2 = pr 2 Con frecuencia, las fórmulas se escriben usando notación de funciones como ésta.

148 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

EJEMPLO 10

La temperatura Celsius, C, es una función de la temperatura Fahrenheit, F.

C1F2 =

5 1F - 322 9

Determine la temperatura Celsius que corresponde a 50°F.

Solución

Necesitamos determinar C(50). Lo haremos por medio de sustitución.

5 1F - 322 9 5 C1502 = 150 - 322 9 C1F2 =

=

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 55

5 1182 = 10 9

Por lo tanto, 50°F  10°C. En el ejemplo 10, F es la variable independiente y C es la variable dependiente. 9 Si despejáramos F en la función, obtendríamos F1C2 = 5 C + 32. En esta fórmula, C es la variable independiente y F es la variable dependiente. ✺

Conjunto de ejercicios 3.2 Ejercicios conceptuales 1. ¿Qué es una función?

9. Considere la función y =

2. ¿Qué es una relación? el rango? Explique

3. ¿Todas las funciones son también relaciones? Explique. 4. ¿Todas las relaciones son también funciones? Explique. 5. Explique cómo usar la prueba de la recta vertical para determinar si la relación es una función. 6. ¿Qué es el dominio de una función?

1 , ¿cuál es el dominio y cuál es x

10. ¿Cuáles son el dominio y el rango de una función con la forma f(x)  ax  b, a  0? Explique su respuesta. 11. Considere la función del valor absoluto y  |x|, ¿cuál es el dominio y cuál es el rango? Explique 12. ¿Qué es una variable dependiente?

7. ¿Qué es el rango de una función? 8. ¿Cuál es el dominio y cuál es el rango de la función f(x)  2x  1? Explique su respuesta.

13. ¿Qué es una variable independiente? 14. ¿Cómo se lee “f(x)”?

Problemas de aplicación En los ejercicios 15 a 20, a) determine si la relación ilustrada es una función; b) indique cuál es el dominio y cuál es el rango de cada función o relación. 15.

el doble de un número 3

6

5

10

10

20

17. número de descendientes

16. Sobrenombres

Roberto

Beto Rober

Margarita

Marga

Rogelio

1

Carlos

2

Andrea

Margo 18. un número al cuadrado

19. costo de una estampilla

4

16

1990

20

5

25

2001

34

6

36

2002

37

20. valor absoluto

3

0

Sección 3.2 • Funciones • 149 En los ejercicios 21 a 28, a) determine cuáles de las siguientes relaciones también son funciones; b) indique cuál es el dominio y cuál es el rango de cada relación o función. 21. 511, 42, 12, 22, 13, 52, 14, 32, 15, 126

22. 511, 12, 14, 22, 19, 32, 11, -12, 14, - 22, 19, - 326

23. 513, - 12, 15, 02, 11, 22, 14, 42, 12, 22, 17, 526

24. 51 -1, 12, 10, -32, 13, 42, 14, 52, 1- 2, - 226

25. 511, 42, 12, 52, 13, 62, 12, 22, 11, 126

26. 516, 32, 1 - 3, 42, 10, 32, 15, 22, 13, 52, 12, 526

27. 510, 32, 11, 32, 12, 22, 11, - 12, 12, - 726

28. 513, 52, 12, 52, 11, 52, 10, 52, 1- 1, 526

En los ejercicios 29 a 40, a) determine si la gráfica ilustrada representa una función; b) indique cuál es el dominio y cuál es el rango de cada función no relación; c) calcule el valor o valores de x en donde y  2. 29.

30.

y

y

4

4

3

3

2 1

1 4

31.

2 1 1

1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

2

2

3

3

4

4

32.

y

1

2

3

4

x

1

2

3

4

x

1

2

3

4

x

1

2

3

4

x

y

4

4

3

3

2 1

1 4 3 2 1 1

1

3

4

x

4 3 2 1 1

2

33.

3

3

4

4

y

4

4

3

3

2

2

1

1

4 3 2 1 1

35.

34.

y

1

2

3

4

x

4 3

1 1

2

2

3

3

4

4

36.

y

y

4

4

3

3

2

2

1

1

4 3 2 1 1

1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

2

2

3

3

4

4

150 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones 37.

38.

y

4

3

3

2

2

1

1

4 3 2 1 1

39.

y

4

1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

2

2

3

3

4

4

40.

y

1

4

3

3

2

2

1

1 1

2

3

4

x

3

4

x

10

x

y

4

4 3 2 1 1

2

20 15 10 51

5

2 3

3

4

4

Evalúe cada función en los valores indicados. 41. f1x2 = - 2x + 5; determine

42. f1a2 =

1 a + 2; determine 3

43. h1x2 = x 2 - x - 6; determine

a) f122.

a) f102.

a) h102.

b) f1 -32.

b) f1 -62.

b) h1- 12.

44. g1x2 = - 2x 2 + x + 2; determine a) g122. b) g a b.

1 2

47. h1z2 = ƒ 5 - 2z ƒ ; determine

45. r1t2 = - t3 - 2t2 + t + 4; determine

46. g1t2 = 4 - 5t + 16t2 - 2t3; determine

a) r112.

a) g102.

b) r1 - 22.

b) g132.

48. q1x2 = - 2 ƒ x + 3 ƒ - 3; determine

49. s1t2 = 1t + 2; determine

a) h162.

a) q102.

a) s1-22.

b) h a b .

b) q1-42.

b) s172.

5 2

50. f1t2 = 15 - 2t; determine

51. g1x2 =

x3 - 2 ; determine x - 2

52. h1x2 =

x2 + 4x ; determine x + 6

a) f1 -22.

a) g102.

a) h1- 32.

b) f122.

b) g122.

b) ha b.

2 5

Sección 3.2 • Funciones • 151

Resolución de problemas 53. Área de un rectángulo La fórmula para determinar el área de un rectángulo es A  lw. Si la longitud de un rectángulo es de 6 pies, entonces el área es una función de su ancho, A(w)  6w. Determine el área cuando el ancho es a) 2 pies. b) 4.5 pies. 54. Interés simple La fórmula para calcular el interés simple generado durante un 1 año es i  pr, en donde p es el capital invertido y r es la tasa de interés simple. Si se invierten $1000, el interés simple generado en un año es una función de la tasa de interés simple, i(r)  1000r. Determine el interés simple generado en un año si la tasa de interés es a) 3%.

b) 4.25%.

55. Área de un círculo La fórmula para determinar el área de un círculo es A  πr2. El área es una función del radio. a) Escriba esta función en notación de funciones. b) Determine el área cuando el radio mide 10 yardas. 56. Perímetro de un cuadrado La fórmula para determinar el perímetro de un cuadrado es P  4s, en donde s representa la longitud de cualquiera de los lados del cuadrado. a) Escriba esta función en notación de funciones. b) Determine el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 3 metros de longitud cada uno. 57. Temperatura La fórmula para convertir temperaturas en grados Fahrenheit a temperatura en grados Celsius es 5 C = 1F - 322. La temperatura Celsius es una función de 9 la temperatura Fahrenheit. a) Escriba esta función en notación de funciones. b) Determine la temperatura Celsius que corresponde a 40°F.

a) 50 km> h

b) 25 km> h

61. Aire acondicionado Cuando un aparato de aire acondicionado se enciende al máximo en una habitación que está a 80°, la temperatura, T, de la habitación después de A minutos, puede calcularse por medio de la función T(A)  0.02A2  0.34A  80, 0  A  15. a) Calcule la temperatura de la habitación cuatro minutos después de que se encendió el aparato de aire acondicionado. b) Calcule la temperatura de la habitación 12 minutos después de que se encendió el aparato de aire acondicionado. 62. Accidentes Durante un mes, el número de accidentes, n, en que intervienen conductores de x años de edad, puede calcularse por medio de la función n(x)  2x2  150x  4000. Determine el número aproximado de accidentes en que, durante un mes, intervienen conductores de a) 18 años. b) 25 años. 63. Naranjas El número total de naranjas, T, en una pirámide cuadrada cuya base es de n por n naranjas, está dada por medio de la función

T1n2 =

1 3 1 1 n + n2 + n 3 2 6

Determine el número total de naranjas, si la base es de

58. Volumen de un cilindro La fórmula para determinar el volumen de un cilindro circular recto es V  pr2h. Si la altura, h, es de tres pies, entonces el volumen es una función del radio, r. a) Escriba esta fórmula en notación de funciones, teniendo en cuenta que la altura del cilindro es de tres pies. b) Determine el volumen si el radio del cilindro es de dos pies. 59. Temperatura en un sauna La temperatura de un sauna (T) en grados Celsius, n minutos después de haberlo encendido, está dada por la función T(n)  0.03n2  1.5n  14. Determine la temperatura del sauna después de a) 3 minutos.

b) 12 minutos.

60. Distancia para detenerse La distancia en metros, d, necesaria para que un automóvil que viaja a v km/h se detenga, está dado por la función d(v)  0.18v  0.01v 2. Determine la distancia necesaria para que el auto se detenga si viaja a las velocidades siguientes:

a) 6 por 6 naranjas. b) 8 por 8 naranjas. 64. Concierto de rock Si el costo de un boleto para asistir a un concierto de rock se aumenta a x dólares, el aumento estimado en el ingreso, R, en miles de dólares está dado por medio de la función R(x)  24  5x  x2, x 8. Determine el aumento en los ingresos, si el costo del boleto se aumenta en a) $1.

b) $4.

152 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones Revise el ejemplo 5 antes de resolver los ejercicios 65 a 70.

65. Frecuencia cardiaca La siguiente gráfica muestra el ritmo

66. Nivel de agua La siguiente gráfica muestra el nivel de agua en un momento dado durante una inundación. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica. 3.0

130 120 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

2.5

Pies de agua

Frecuencia cardiaca (pulsaciones por minuto)

cardiaco de una persona mientras está haciendo ejercicio. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica.

2.0 1.5 1.0 0.5 0

0

5

10

15

20

25

30

1

0

35

2

3

60 50 40 30 20 10 0 5

10

15

20

25

30

70 60 50 40 30 20 10 0 10

15

20

25

Tiempo (minutos)

7

8

9

10

1.5 1.0 0.5 0 0

10

5

15

30

20

25

30

35

40

Tiempo (minutos)

70. Distancia recorrida La siguiente gráfica muestra la distancia recorrida por una persona en un automóvil durante cierto tiempo. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica.

Distancia (millas)

Velocidad (mph)

69. Velocidad de un automóvil La siguiente gráfica muestra la velocidad de un automóvil a lo largo de cierto tiempo. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica.

5

6

2.0

Tiempo (minutos)

0

5

68. Nivel de agua en una tina La siguiente gráfica muestra el nivel de agua en una tina a lo largo de un periodo. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica. Nivel de agua (pies)

Elevación sobre el nivel del mar (pies)

67. Altura sobre el nivel del mar La siguiente gráfica muestra la altura sobre el nivel del mar a lo largo de un periodo, cuando un hombre sale de su casa y va a caminar. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica.

0

4

Tiempo (horas)

Tiempo (minutos)

350

310

300 250 200 150

150

150

100 30

50 0 0

1

2

3

4

5

Tiempo (horas)

6

Sección 3.2 • Funciones • 153 71. Ventas de computadoras La siguiente gráfica muestra la cantidad de dinero que las empresas estadounidenses gastaron en la compra de computadoras y equipo relacionado entre 1995 y 2000.

Gasto en computadoras y equipo relacionado

Aumento en el déficit comercial estadounidense

120 115

La importación de productos chinos a Estados Unidos ha aumentado súbitamente, mientras que la importación de productos estadounidenses a China lo ha hecho a un ritmo mucho más lento:

100

120 80

Miles de millones de dólares

Miles de millones de dólares

73. Déficit comercial La siguiente gráfica muestra que la importación de productos chinos a Estados Unidos ha aumentado con rapidez, mientras que la importación de productos estadounidenses a China se ha elevado a una velocidad mucho más lenta.

80 60 40 20

80 60 40 Importaciones de China

20 0

0 1995 ’96 ’97 ’98 ’99 ’00

Año

100 Importaciones de Estados Unidos

1990

1995

2000

Año Fuente: Newsweek, 26 de abril de 2001.

Fuente: Fortune, 18 de diciembre de 2000.

b) En esta gráfica,¿cuál es la variable independiente? c) Si f representa la función, determine f(2000). d) Determine el porcentaje de aumento en la cantidad que las empresas estadounidenses gastaron en la compra de computadoras y equipo relacionado entre 1997 y 2000. 72. Exportación de computadoras La siguiente gráfica muestra la cantidad de dinero que Estados Unidos recibió por concepto de exportación de computadoras y equipo relacionado, entre 1995 y 2000.

Exportación de computadoras y equipo relacionado

Miles de millones de dólares

120 100 86 80 60 60 40 20 0 1995 ’96 ’97 ’98 ’99 ’00

Año Fuente: Fortune, 18 de diciembre de 2000.

a) ¿Esta gráfica representa una función? Explique. b) ¿Cuál es la variable independiente en esta gráfica?

a) ¿La gráfica de importaciones de productos chinos a Estados Unidos representa una función? Explique. b) ¿La gráfica de importaciones de productos estadounidenses a China representa una función? Explique. c) ¿La gráfica de importaciones de productos chinos a Estados Unidos parece más o menos lineal? Explique. d) ¿La gráfica de importaciones de productos estadounidenses a China parece más o menos lineal? Explique. e) Si f representa la función de importaciones de productos chinos a Estados Unidos y si t es el año, determine t si f(t)  $80 mil millones. f) Si g representa la función de importaciones de productos estadounidenses a China y si t es el año, determine t si g(t)  $18 mil millones. 74. Agencias de viaje en línea La cantidad total de reservaciones para viajar (en miles de millones de dólares) que se realizan en Estados Unidos a través de Internet se muestra en la siguiente gráfica de barras.

Las reservaciones en línea han crecido rápido Miles de millones de dólares

a) ¿Esta gráfica representa una función? Explique.

35

31

30

23

25 20

14

15 10

7

5 1999

2000

2001

2002*

0

Reservaciones en línea en Estados Unidos Fuente: Business Week, 11 de junio de 2001.

* Estimación

c) Si g representa la función, determine g(2000).

a) Trace una gráfica de líneas que muestre esta información.

d) Determine el porcentaje de aumento en la exportación de computadoras y equipo relacionado entre 1998 y 2000.

b) ¿La gráfica que trazó en la parte a) parece más o menos lineal? Explique.

154 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones c) Suponiendo que esta tendencia continúa, calcule con base en la gráfica que trazó qué monto alcanzarán las reservaciones realizadas a través de Internet en el año 2003. d) ¿La gráfica de barras representa una función? e) ¿La gráfica de líneas que trazó en la parte a) representa una función?

75. Publicidad en el Súper Tazón El precio promedio de un mensaje comercial de 30 segundos transmitido por televisión durante el Súper Tazón ha aumentado con el paso de los años. En la siguiente tabla se proporciona el costo aproximado de un comercial de 30 segundos en distintos años, entre 1981 y 2001.

Año

Costo (miles de dólares)

1981

280

1985

500

1989

740

1993

970

1997

1300

2001

2300

a) Trace una gráfica de líneas que muestre esta información. b) ¿La gráfica parece más o menos lineal? Explique. c) Con base en la gráfica, calcule el costo de un comercial de 30 segundos en el año 2000.

76. Gasto familiar El promedio anual del gasto familiar es una función del ingreso familiar promedio anual. El gasto promedio puede calcularse por medio de la función

f1i2 = 0.6i + 5000 $3500 … i … $50,000 en donde f(i) es el gasto familiar promedio e i es el ingreso familiar promedio. a) Trace una gráfica que muestre la relación entre el ingreso familiar promedio y el gasto familiar promedio. b) Calcule el gasto familiar promedio para una familia con un ingreso promedio de $30,000. 77. Oferta y demanda El precio de las mercancías (por ejemplo, del maíz), se determina por medio de la oferta y la demanda. Si se produce demasiado maíz, la oferta será mayor que la demanda y el precio disminuirá; si no se produce suficiente maíz, la demanda será mayor que la oferta y el precio aumentará. Por lo tanto, el precio del maíz es una función del número de búshels (medida inglesa de capacidad que se utiliza para granos) de maíz producidos. El precio de un búshel de maíz puede estimarse por medio de la función

f1Q2 = - 0.00004Q + 4.25, 10,000 … Q … 60,000 en donde f(Q) es el precio de un búshel de maíz y Q es el número anual de búshels de maíz producidos. a) Trace una gráfica que muestre la relación entre el número de búshels de maíz producidos y el precio por búshel. b) Calcule el costo de un búshel de maíz, si se producen 40,000 búshels de maíz en un año dado.

Actividad en equipo En muchas situaciones de la vida real, para representar un problema puede ser necesario utilizar más de una función. Con frecuencia esto ocurre en aquellas situaciones en que intervienen dos o más tasas diferentes. Por ejemplo, cuando hablamos del tema fiscal, sabemos que hay diferentes tasas de impuestos. Cuando se utilizan dos o más funciones para representar un problema, la función se denomina función definida por partes. A continuación se dan dos ejemplos de funciones definidas por partes, incluyendo sus gráficas.

f1x2 = b

- x + 2, 2x - 10,

0 … x 6 4 4 … x 6 8

f1x2 = b

-2 … x 6 2 2 … x 6 4

2x - 1, x - 2,

y

y

6

3

5

2

4

1

3 3 2 1 1

2

1

2

3

4

5

x

1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

3

x

4

2

5

Grafiquen en equipo las siguientes funciones definidas por partes. 78. f1x2 = b

x + 3, 7 - x,

-1 … x 6 2 2 … x 6 4

79. g1x2 = b

2x + 3, - 3x + 1,

-3 6 x 6 0 0 … x 6 2

Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 155

Ejercicios de repaso acumulativo [2.1]

80. Resuelva la ecuación 3x - 2 =

1 13x - 32. 3

3 1 1x - 32 7 13 - x2 e 5 4 indique la solución a) en la recta numérica; b) en notación de intervalos, y c) en notación de construcción de conjuntos. x - 4 [2.6] 83. Resuelva la ecuación ` ` + 2 = 4. 3

[2.5] 82. Resuelva la desigualdad

[2.2] 81. Despeje p2 de la siguiente fórmula.

E = a1 p1 + a2 p2 + a3 p3

3.3 FUNCIONES LINEALES: GRÁFICAS Y APLICACIONES

1

1

Graficar funciones lineales.

2

Graficar funciones lineales usando las intersecciones.

3

Graficar ecuaciones con la forma x = a y y = b.

4

Analizar aplicaciones de funciones.

5

Resolver de manera gráfica ecuaciones lineales con una variable.

Graficar funciones lineales En la sección 3.1 graficamos ecuaciones lineales. Para graficar la ecuación lineal y  2x  4, podemos construir una tabla de valores, determinar los puntos y trazar la gráfica, como se muestra en la figura 3.32. Observe que está gráfica representa una función, ya que pasa la prueba de la recta vertical.

y

x

y

-2

0

5

0

4

4

1

6

6

y  2x  4

2 1 6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

2 3 4 5

FIGURA 3.32

6

Utilizando la notación de funciones, podemos escribir la ecuación que se graficó en la figura 3.32 como f(x)  2x  4. Éste es un ejemplo de una función lineal, es decir, una función con la forma f(x)  ax  b. Al graficar cualquier función lineal, se obtiene una línea recta. El dominio de todas las funciones lineales es el conjunto de números reales para los que la función es un número real; por lo tanto, el dominio de cualquier función lineal es el conjunto de todos los números reales, : al sustituir x con cualquier número real en una función lineal, resultará que f(x) es un número real. Estudiaremos con más profundidad el tema dominios de funciones en la sección 3.6. Para graficar una función lineal, tratamos a f(x) como si fuera y y seguimos el mismo procedimiento utilizado para graficar ecuaciones lineales.

156 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

EJEMPLO 1 Solución

Grafique f1x2 =

1 x - 1. 2

Construimos una tabla de valores sustituyendo valores para x y determinando los valores correspondientes de f(x) (o y). Luego determinamos los puntos y trazamos la gráfica, como se ilustra en la figura 3.33.

y

x

f(x)

5

-2

-2

4

0

-1

2

2

0

1

3

5 4 3 2 1 1

f (x)  qx  1

1

2

3

4

5

x

2 3 4 5

FIGURA 3.33

✺

Observe que el eje vertical de la figura 3.33 también puede denominarse f(x), en lugar de y, aunque en este libro continuaremos llamándolo y.

2

Graficar funciones lineales usando las intersecciones Las ecuaciones lineales no siempre tienen la forma y  ax  b. La ecuación 2x  3y  6 es un ejemplo de un ecuación lineal con una forma general.

DEFINICIÓN

La forma general de una ecuación lineal es

ax + by = c en donde a, b y c son números reales, y a y b son distintos de cero. Ejemplos de ecuaciones lineales en la forma general AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13

2x + 3y = 4

-x + 5y = - 2

Algunas veces, cuando una ecuación está dada en la forma general, puede ser más fácil trazar la gráfica usando las intersecciones con el eje x y con el eje y. Examine los dos puntos en la gráfica que se muestra en la figura 3.32. Observe que la gráfica cruza el eje x en el punto (2, 0). Por lo tanto, (2, 0) se denomina intercepción x o intersección con el eje x. En ocasiones decimos que la intersección con el eje x está en 2, la coordenada x del par ordenado. La gráfica cruza el eje y en el punto (0, 4). Por consiguiente, (0, 4) se denomina intercepción y o intersección con el eje y. En ocasiones decimos que la intersección con el eje y está en 4, la coordenada y del par ordenado. A continuación se explica cómo las intersecciones con el eje x y con el eje y pueden determinarse de manera algebraica. Para determinar las intersecciones con el eje x y con el eje y Para determinar la intersección con el eje y, determine x  0 y despeje y. Para determinar la intersección con el eje x, determine y  0 y despeje x.

Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 157

Para graficar una ecuación lineal utilizando las intersecciones del eje x y el eje y, primero encontramos las intercepciones y trazamos los puntos, para después dibujar una línea recta que pase por ellos. Debe ser muy cuidadoso cuando grafique ecuaciones lineales por medio de las intersecciones. Si traza erróneamente alguno de sus puntos, su gráfica será incorrecta.

EJEMPLO 2 Solución

Grafique la ecuación 5x  10y  20 trazando las intersecciones del eje x y del eje y. Para localizar la intersección del eje y (el punto en donde la gráfica cruza el eje y), determine x  0 y despeje y.

5x 5102 0 20 2

= = = = =

10y - 20 10y - 20 10y - 20 10y y

La gráfica cruza el eje y en y  2. El par ordenado que representa la intersección y es (0, 2). Para localizar la intersección del eje x (el punto en donde la gráfica cruza el eje x), determine y  0 y despeje x.

5x 5x 5x x

= = = =

10y - 20 10102 - 20 - 20 -4

La gráfica cruza el eje x en x  4. El par ordenado que representa la intersección del eje x es (4, 0). Ahora trace las intercepciones y dibuje la gráfica (vea la figura 3.34). y 5

5x  10y  20

4 3 2

(4, 0)

(0, 2)

1

4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

x

2 3 4 5

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23

EJEMPLO 3 Solución

✺

FIGURA 3.34

Grafique f1x2 = -

1 x - 1 por medio de las intersecciones del eje x y del eje y. 3

Trate a f(x) como si fuera y. Para localizar la intersección del eje y, determine x  0 y despeje f(x).

1 f1x2 = - x - 1 3 f1x2 = La intersección del eje y es (0, 1).

1 102 - 1 = - 1 3

158 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Para determinar la intersección del eje x, determine f(x)  0 y despeje x.

1 f1x2 = - x - 1 3 1 0 = - x - 1 3 1 3102 = 3a - x - 1b 3

Multiplique ambos lados por 3.

0 = -x - 3

Propiedad distributiva.

x = -3

Sume x en ambos lados.

La intersección del eje x es (3, 0). La gráfica se muestra en la figura 3.35.

y 5 4 3 2

(3, 0)

1

5 4 3 2 1

1

(0, 1)

2

3

4

5

x

2 3 4

f (x)  ax  1

5

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17

✺

FIGURA 3.35

Las gráficas de la forma ax  by  0 pasan por el origen y tienen la misma intersección en los ejes x y y, (0, 0). Para graficar tales ecuaciones podemos usar la intersección como un punto, sustituir valores para x y determinar los valores correspondientes de y para obtener otros puntos en la gráfica.

EJEMPLO 4 Solución

Grafique 6x  4y  0. Si sustituimos x  0, encontramos que y  0. Por lo tanto, la gráfica pasa a través del origen. Seleccionaremos x  2 y x  2, y sustituimos estos valores en la ecuación, uno a la vez, para determinar otros dos puntos en la gráfica.

Sea x = - 2.

Sea x = 2.

-6x + 4y = 0

- 6x + 4y = 0

-61 -22 + 4y = 0

-6122 + 4y = 0

12 + 4y = 0

-12 + 4y = 0

4y = - 12

4y = 12

y = -3

y = 3

pares ordenados: 1- 2, -32

12, 32

Hemos encontrado otros dos puntos en la gráfica: (2, 3) y (2, 3). La gráfica de 6x  4y  0 se muestra en la figura 3.36.

Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 159 y

6x  4y  0

5 4 3

(2, 3)

2 1 5 4 3 2 1 1

(2, 3)

1

2

3

4

5

x

2 3 4 5

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35

✺

FIGURA 3.36

Cómo utilizar su calculadora graficadora En ocasiones puede ser difícil calcular con precisión las intersecciones de una gráfica. Cuando esto ocurra, puede utilizar una calculadora graficadora; a continuación se muestra cómo.

EJEMPLO Determine las intersecciones de los ejes x y y de la gráfica de y  1.3(x  3.2). Solución

Presione la tecla Y= y luego asigne el valor 1.3(x  3.2) a y. Luego presione la tecla GRAPH

para graficar la función y1  1.3(x  3.2), como se muestra en la figura 3.37a. Puede ser difícil determinar las intersecciones a partir de la gráfica. Una manera de lograrlo consiste en utilizar la característica TRACE, que fue analizada en la sección 3.1. La figura 3.37b muestra la pantalla de una TI83 Plus después de presionar la tecla TRACE Observe que la intersección del eje y está en 4.16.

FIGURA 3.37a

FIGURA 3.37b

Algunas calculadoras graficadoras son capaces de determinar las intersecciones del eje x de una función, con tal sólo presionar unas cuantas teclas. Un cero (o raíz) de una función es un valor de x tal que f(x)  0. Un cero (o raíz) de una función, es la coordenada x de la intersección del eje x de la gráfica de la función. Lea el manual de su calculadora para aprender cómo determinar los ceros o raíces de una función. En la TI83 Plus se nd

TRACE para obtener el menú CALC (calcular). Luego hay que seleccionar deben presionar las teclas 2 la opción 2, zero, entonces, la calculadora mostrará Left bound? En este momento, se debe mover el cursor a lo largo de la curva hasta que esté a la izquierda del cero, y presionar ENTER . Ahora la calculadora mostrará Right bound? En ese momento hay que mover el cursor a lo largo de la curva hasta que esté a la derecha del cero, y presionar ENTER . Ahora la calculadora mostrará Guess? Se deberá presionar ENTER por tercera vez para que aparezca el cero en la parte inferior de la pantalla, como se muestra en la figura 3.38. Así, la intersección del eje x de la función está en 3.2. Para practicar la localización de intersecciones en su calculadora, resuelva los ejercicios 69 a 72.

FIGURA 3.38

160 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

3

Graficar ecuaciones con la forma x = a y y = b Los ejemplos 5 y 6 ilustran cómo se grafican las ecuaciones con la forma x  a y y  b, en donde a y b son constantes.

EJEMPLO 5 Solución y 5 4

1 2 3 4 5

x

2 3 4 5

Cualquier ecuación con la forma y  b o f(x)  b, en donde b representa una constante, es una función constante.

y

5 4 3

EJEMPLO 6 Grafique la ecuación x  2. Solución Esta ecuación puede escribirse como x  2  0y. Por lo tanto, para

5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5

cada valor seleccionado de y, x tendrá un valor de 2 (figura 3.40). 1 2 3 4 5

x

FIGURA 3.40 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41

4

Observe que la gráfica de y  3 es una función, ya que pasa la prueba de la recta vertical. Para cada valor seleccionado de x, el valor de y, o valor de la función, es 3. Éste es un ejemplo de una función constante. Podemos escribir

f1x2 = 3

FIGURA 3.39

x  2

Esta ecuación puede escribirse como y  3  0x. Así, para cualquier valor seleccionado de x, y es 3. La gráfica de y  3 se ilustra en la figura 3.39. ✺ La graficación de cualquier ecuación con la forma y  b siempre dará por resultado una línea horizontal para cualquier número real b.

y3

2 1 5 4 3 2 1 1

Grafique la ecuación y  3.

✺

La graficación de cualquier ecuación con la forma x  a dará siempre por resultado una recta vertical para cualquier número real a.

Observe que la gráfica de x  2 no representa una función, ya que no pasa la prueba de la recta vertical. Para x  2 hay más de un valor de y. De hecho, cuando x  2, hay un número infinito de valores para y.

Analizar aplicaciones de funciones Con frecuencia las gráficas se utilizan para mostrar la relación entre variables. No es indispensable que los ejes de una gráfica se etiqueten siempre como x y y; puede designárseles con cualquier variable, como en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7

Utilidades La utilidad anual, p, de una tienda de neumáticos puede calcularse por medio de la función p(n)  20n  30,000, en donde n es el número de neumáticos vendidos por año. a) Trace una gráfica de la utilidad en relación con la venta de hasta 6000 neumáticos. b) Calcule el número de neumáticos que deben venderse para que la compañía no pierda ni gane (punto de equilibrio). c) Calcule el número de neumáticos vendidos si la compañía tiene un utilidad de $40,000.

Solución

a) Entienda el problema La utilidad, p, es una función del número de neumáticos vendidos, n. Por lo tanto, el eje horizontal será Número de neumáticos vendidos (la variable independiente), y el eje vertical será Utilidad (la variable dependiente). Como el número mínimo de neumáticos que pueden venderse es 0, no es necesario listar valores negativos en el eje horizontal. Por consiguiente, el eje horizontal irá de 0 a 6000 neumáticos.

Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 161

Graficaremos esta ecuación determinando y trazando las intersecciones. Para localizar la intersección p, determinaremos n  0 y despejaremos p(n). Traduzca y realice los cálculos

p1n2 = 20n - 30,000 p1n2 = 20102 - 30,000 = - 30,000 p

p(n)  20n  30,000

Utilidad (miles de dólares)

90

Por lo tanto, la intersección p es (0, 30,000). Para localizar la intersección n, determinamos p(n)  0 y despejamos n.

80

p1n2 0 30,000 1500

70 60 50 40

Utilidad $40,000

30 20

= = = =

20n - 30,000 20n - 30,000 20n n

Por lo tanto, la intersección n es (1500, 0).

10 0 1

10 20

2

3

4

5

6

n

Punto de equilibrio

30 40

Número de neumáticos vendidos (miles)

Responda

Ahora utilizaremos las intersecciones p y n para trazar la gráfica (vea

la figura 3.41). b) El punto de equilibrio es el número de neumáticos que la empresa debe vender para no tener ganancias ni pérdidas. En la gráfica, este punto se da en donde la gráfica intersecta al eje n, en este caso, en donde la utilidad, p, es 0. Para alcanzar el punto de equilibrio deben venderse aproximadamente 1500 neumáticos. c) Para tener una utilidad de $40,000, deben venderse aproximadamente 3500 neumáticos, tal como ilustra la línea punteada en la gráfica de la figura 3.41. ✺

FIGURA 3.41

Algunas veces es difícil obtener una respuesta exacta a partir de una gráfica. En el ejemplo 7, para determinar el número exacto de neumáticos que se debe vender para alcanzar el punto de equilibrio, sustituya p(n) por 0 en la función p(n)  20n  30,000 y despeje n. Para determinar el número exacto de neumáticos que se debe vender para obtener una utilidad de $40,000, sustituya p(n) por 40,000 y despeje n.

EJEMPLO 8

a) Escriba una función que exprese su salario mensual, m, en relación con las ventas de la tienda, s.

s

m

0

200

b) Trace una gráfica de su salario mensual para ventas de $20,000 y superiores.

10,000

1200

20,000

2200

c) Si en abril las ventas de la tienda fueron de $15,000, ¿cuál será el salario de Andrés en ese mes?

Solución m

Salario mensual

Ventas en una juguetería Andrés Fernández es propietario de una juguetería, y se ha fijado un salario mensual de $200 más 10% de las ventas.

m(s)  200  0.10s

$2500 $2000 $1500 $1000 $500 0

s 0 5 10 15 20 Ventas (miles de dólares)

FIGURA 3.42

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53

a) El salario mensual de Andrés es una función de las ventas. Su salario mensual, m, es de $200 más 10% de las ventas, s. En decimales, 10% de s es 0.10s. Así que la función para determinar el salario de Andrés es

m1s2 = 200 + 0.10s b) Como el salario mensual es una función de las ventas, Ventas estará representado en el eje horizontal y Salario mensual estará representado en el eje vertical. Dado que las ventas no pueden ser negativas, el salario mensual tampoco. Por lo tanto, ambos ejes tomarán en cuenta sólo números positivos. Para trazar esta gráfica comenzaremos por determinar los puntos. Seleccionaremos valores para s, determinaremos los valores correspondientes de m, y luego trazaremos la gráfica. Para s podemos seleccionar valores entre $0 y $20,000 (vea la figura 3.42). c) Al interpretar cuidadosamente nuestra gráfica, podemos calcular que, cuando las ventas de la tienda son de $15,000, el salario mensual de Andrés es de más o menos $1700. ✺

162 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Matemáticas en acción Contaminación atmosférica

La relación entre la contaminación y el aumento de enfermedades respiratorias y cardiopulmonares se ha hecho más evidente en los últimos años. La gente que vive en áreas urbanas con altos niveles de contaminación tienen un mayor riesgo de muerte que aquellas que viven en ciudades con menos contaminación. Los contaminantes relacionados más directamente con el aumento de la incidencia de enfermedades y muertes incluyen el ozono, partículas suspendidas, monóxido de carbono, dióxido de azufre, compuestos orgánicos volátiles y óxidos de nitrógeno. Las partículas —materia suspendida en el aire— con los rangos más bajos en diámetro (10 micras o

5

menos) se denominan partículas finas, y son capaces de pasar a través del sistema de filtración natural de la nariz y de la garganta, llegando a penetrar profundamente en los pulmones y causando serios daños. En el este de Estados Unidos, el porcentaje más grande de partículas finas son los aerosoles de sulfato que provienen del dióxido de azufre producido por la combustión de carbono y petróleo. Los aerosoles de nitrato, que constituyen alrededor de una tercera parte de las partículas finas en la atmósfera de Los Ángeles, provienen de las emisiones de vehículos automotrices. Un estudio realizado durante 16 años por investigadores de la universidad de Harvard en seis ciudades, llevó un registro de la salud de más de 8,000 personas. Los resultados, publicados en 1993, mostraron una relación casi lineal entre las concentraciones de partículas y el aumento de las tasas de mortalidad; incluso niveles relativamente bajos de contaminación por partículas finas tuvieron un efecto medible en la salud. Las investigaciones que correlacionan las enfermedades y la mortalidad con factores causales como la contaminación atmosférica en todas sus formas, brindan información de gran importancia para el público y para los legisladores, cuando se formulan leyes para limitar las emisiones de los automóviles y de la industria. Una gráfica que muestre una línea recta, en esencia está relacionando miles de muertes con toneladas de partículas en el aire, enviando un mensaje muy difícil de ignorar.

Resolver de manera gráfica ecuaciones lineales con una variable En una sección anterior analizamos la graficación de f(x)  2x  4. En la figura 3.43 se ilustran las gráficas de f(x) y de g(x)  0. Observe que, en las dos gráficas, la recta intersecta el punto (2, 0). Podemos obtener la coordenada x del par ordenado resolviendo la ecuación f(x)  g(x). Recuerde que tanto f(x) como g(x) representan a y, y despejando x de esta ecuación obtendremos el valor de x en donde las y son iguales.

f1x2 $'%'& 2x + 4 2x x

= g1x2 $%& = 0 = -4 = -2

Observe que obtenemos 2, la coordenada x del par ordenado en el punto de intersección. Ahora localicemos la coordenada x del punto en donde las gráficas de f(x)  2x  4 y g(x)  2 se intersectan. Primero resolvemos la ecuación f(x)  g(x).

f1x2 $'%'& 2x + 4 2x x

= g1x2 $%& = 2 = -2 = -1

Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 163 y

y

6

6

5

f(x)  2x  4

5

4

g(x)  2

2

g(x)  0

1

6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

6 5 4 3 2 1 1 2

3

3

1

2

3

4

5

6

x

FIGURA 3.44

La coordenada x del punto de intersección de las dos gráficas es 1, como se muestra en la figura 3.44. Observe que f(1)  2(1)  4  2. En general, si se nos da una ecuación en una variable, podemos considerar cada lado de la ecuación como una función separada. Para obtener la solución, podemos graficar las dos funciones. La coordenada x del punto de intersección será la solución de la ecuación.

y 24 20 16 12 8

f (x)  3x  2 4 4 2 4

1

2

FIGURA 3.43

f (x)  2x  4

4

2

4

6

8 10

x

g(x)  4x  4

FIGURA 3.45 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65

EJEMPLO 9

Determine gráficamente la solución de la ecuación 3x  2  4x  4.

Sea f(x)  3x  2 y g(x)  4x  4. La gráfica de estas funciones se ilustra en la figura 3.45. La coordenada x del punto de intersección es 6. Por lo tanto, la solución de la ecuación es 6. Compruébela. ✺

Solución

Cómo utilizar su calculadora graficadora En el ejemplo 9 resolvimos una ecuación en una variable por medio de la graficación de dos funciones. En el siguiente ejemplo se explica cómo determinar el punto de intersección de dos funciones en una calculadora graficadora.

1 EJEMPLO Utilice una calculadora graficadora para determinar la solución de 21x + 32 = x + 4. 2 1 Solución Asigne el valor 2(x  3) a Y1 y el valor x + 4 a Y2 para obtener 2 Y1 = 21x + 32 1 Y2 = x + 4 2 Ahora presione la tecla GRAPH para graficar las funciones. La gráfica de las funciones se muestra en la figura 3.46. Examinando la gráfica, ¿puede determinar la coordenada x del punto de intersección? ¿Es 1, 1.5 o algún otro valor? Podemos determinar el punto de intersección de varias maneras. Una de ellas consiste en utilizar las características TRACE y ZOOM de su calculadora. La figura 3.47 muestra la ventana de una TI83 Plus después de utilizar la característica TRACE y mover el cursor hasta un punto muy cercano al punto de intersección. (Para cambiar de una función a otra puede presionar las teclas de flecha hacia arriba y hacia abajo.)

FIGURA 3.46

FIGURA 3.47 (continúa en la página siguiente)

164 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

En la parte inferior de la pantalla de la figura 3.47, vemos las coordenadas x y y junto al cursor. Para obtener una vista más cercana alrededor del área del cursor, podemos realizar un acercamiento (zoom in) por medio de la tecla ZOOM . Después de hacerlo puede acercar más el cursor al punto de intersección para obtener una mejor lectura (vea la figura 3.48). Puede hacer esto una y otra vez hasta lograr tanta precisión como necesite para su respuesta. De acuerdo con la figura 3.48, aparentemente la coordenada x de la intersección está más o menos en 1.33. Utilizando ciertas teclas, las calculadoras graficadoras también pueden mostrar la intersección de dos gráficas . Depende de su calculadora qué teclas deberá presionar; lea el manual para saberlo. Por lo general este procedimiento es el más rápido y fácil para determinar el punto de intersección de dos gráficas.

FIGURA 3.48

FIGURA 3.49

En la TI83 Plus, seleccione la opción 5:INTERSECT del menú CALC para determinar la intersección. Una vez que haya seleccionado la característica INTERSECT, la calculadora mostrará First curve? En ese momento, mueva el cursor a lo largo de la primera línea hasta que esté cerca del punto de intersección. Luego presione la tecla ENTER . Ahora la calculadora mostrará Second curve? El cursor aparecerá entonces en la segunda línea. Si el cursor no está cerca del punto de intersección, muévalo a lo largo de esta línea hasta colocarlo ahí. Ahora presione ENTER . A continuación la calculadora mostrará Guess? Presione ENTER otra vez; el punto de intersección aparecerá en la pantalla. La figura 3.49 muestra la ventana después de que se ha realizado este procedimiento. Vemos que la coordenada 1 1 x del punto de intersección es 1.333. . . o -1 3, y que la coordenada y del punto de intersección es 3.333. . . o 3 3 . Para practicar el uso de una calculadora graficadora en la resolución de ecuaciones en una variable, resuelva los ejercicios 65 a 68.

Conjunto de ejercicios 3.3 Ejercicios conceptuales 1. ¿Cuál es la forma general de un ecuación lineal? 2. Si le dan una ecuación lineal en forma general y desea escribirla por medio de notación de funciones, ¿cómo lo haría? 3. Explique cómo localizar las intersecciones de los ejes x y y en la gráfica de una ecuación. 4. ¿Qué términos utiliza una calculadora graficadora para indicar la intersección del eje x? 5. ¿Cómo es la gráfica que se obtiene de x  a para cualquier número real a?

6. ¿Cómo es la gráfica que se obtiene de y  b para cualquier número real b? 7. ¿Cómo es la gráfica que se obtiene de f(x)  b para cualquier número real b? 8. ¿La gráfica de x  a es una función? Explique. 9. Explique cómo resolver gráficamente una ecuación en una variable. 10. Explique cómo resolver gráficamente la ecuación 2(x  1)  3x  5.

Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 165

Problemas de aplicación Escriba cada ecuación en la forma general. 11. y = - 2x + 4

12. 2x = 3y - 6

13. 31x - 22 = 41y - 52

14.

1 y = 21x - 32 + 4 3

Grafique cada ecuación por medio de las intersecciones de los ejes x y y. 15. y = - 2x + 4

16. y = x - 5

19. 2y = 4x + 6

20. x + 2y = 4

23. 15x + 30y = 60

24. 0.2x - 0.3y = 1.2

27. 120x - 360y = 720

28. 125 = 25x - 25y

17. f1x2 = 2x + 3 4 x = y - 3 21. 3 25. 0.25x + 0.50y = 1.00 1 1 x + y = 12 29. 3 4

18. f1x2 = - 6x + 5

1 x + 2y = 4 2 26. -1.6y = 0.4x + 9.6 1 1 x + y = -1 30. 6 2 22.

Grafique cada ecuación. 31. y = - 2x

35. 2x + 4y = 0

1 x 2 36. - 6x + 3y = 0

32. y =

1 x 3 37. 4x - 6y = 0

33. f1x2 =

34. g1x2 = 4x 38. 15x + 5y = 0

Grafique cada ecuación. 39. y = 4

40. x = 4

43. y = - 1.5

44. f1x2 = - 3

47. x = 0

48. x = - 3.25

41. x = - 4 5 45. x = 2

42. y = - 4 46. g1x2 = 0

Resolución de problemas 49. Distancia Por medio de la fórmula de distancia distancia  velocidad  tiempo, o d  rt trace una gráfica de distancia contra tiempo para una velocidad constante de 30 millas por hora. 50. Interés simple Por medio de la fórmula interés simple interés  capital  tasa  tiempo, o i  prt trace una gráfica de interés contra tiempo para un capital de $500 y una tasa de 3%. 51. Utilidades La utilidad de un fabricante de bicicletas puede calcularse por medio de la función p(x)  60x  80,000, en donde x es el número de bicicletas producidas y vendidas. a) Trace una gráfica de utilidad contra el número de bicicletas vendidas (hasta 5000). b) Calcule el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía alcance el punto de equilibrio. c) Calcule el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía tenga una utilidad de $150,000.

52. Costo de operación de un taxi El costo semanal de operación del taxi de Raúl López es de $75 más 15 centavos por milla. a) Escriba una función que exprese el costo semanal de Raúl, c, en términos del número de millas, m. b) Trace una gráfica que ilustre el costo semanal contra el número de millas, hasta 200, recorridas por semana. c) Si durante una semana Raúl conduce el taxi 150 millas, ¿cuál sería su costo? d) ¿Cuántas millas tendría que conducir Raúl para que su costo semanal fuese de $147? 53. Salario más comisión El salario semanal de Jimena Olguín es de $500 más 15% de comisión sobre sus ventas semanales. a) Escriba una función que exprese el salario semanal de Jimena, s, en términos de sus ventas semanales, x. b) Trace una gráfica del salario semanal de Jimena contra sus ventas semanales (hasta $5000). c) ¿Cuál es el salario semanal de Jimena si sus ventas son de $2500? d) Si en una semana Jimena recibe $1025 de salario, ¿de cuánto fueron sus ventas? 54. Salario más comisión Luisa Pineda, una agente de bienes raíces, gana $150 por semana más 1% de comisión sobre la venta de cada propiedad. a) Escriba una función que exprese su salario semanal, s, en términos de las ventas, x.

166 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones b) Trace una gráfica de su salario contra sus ventas semanales (hasta de $100,000). c) Si Luisa vende cada semana una propiedad con valor de $80,000, ¿cuál será su salario semanal?

1600

1200

Dólares

55. Peso La siguiente gráfica muestra el peso, en kilogramos, de un grupo de niñas (de hasta 36 meses de edad) contra su estatura, en centímetros. La línea más gruesa representa el peso promedio de todas las niñas de la estatura dada, y las líneas más delgadas representan los límites superior e inferior del rango normal.

Crecimiento exponencial ($1000 invertidos a 7% de interés anual)

800

Crecimiento lineal ($10 cada año en su alcancía)

400

Crecimiento físico de un grupo de niñas (desde recién nacidas hasta los 36 meses de edad)

0

0

10

20

20 18 16

Peso (kilogramos)

30

40

50

60

Años

14 12 10 8 6 4 2 0 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105

Estatura (centímetros) Fuente: Centro Nacional de Estadísticas de Salud de Estados Unidos.

a) Explique por qué la línea gruesa representa una función. b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?

Si un niño guarda en su alcancía $10 cada año, sus ahorros crecerán linealmente, como muestra la línea inferior. Si, al cumplir diez años el niño invierte $100 en una cuenta con un interés compuesto de 7% anual, sus ahorros crecerán de manera exponencial. a) Explique por qué ambas gráficas representan funciones. b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente? c) Por medio de la curva de crecimiento lineal, determine cuánto tiempo necesitaría el niño para ahorrar $600. d) Por medio de la curva de crecimiento exponencial, la cual inicia en el año 10, determine ¿cuánto tiempo después de abrir la cuenta los ahorros del niño llegarían a $600? e) A partir del año 20 ¿cuánto tiempo pasaría para que el dinero se duplicara si creciera a una tasa lineal? f) A partir del año 20 ¿cuánto tiempo pasaría para que el dinero se duplicara si creciera a una tasa exponencial? 57. ¿Cuándo, si sucede, las intersecciones de los ejes x y y de una gráfica serán iguales? Explique.

c) ¿La gráfica del peso contra la estatura es más o menos lineal?

58. Escriba dos funciones lineales cuyas intersecciones de los ejes x y y sean (0, 0).

d) ¿Cuál es el peso, en kilogramos, de la niña promedio con una estatura de 85 centímetros?

59. Escriba una función cuya gráfica no tenga intersección del eje x, pero sí intersección del eje y en (0, 4).

e) ¿Cuál es la altura, en centímetros, de la niña promedio con un peso de 7 kilogramos?

60. Escriba una ecuación cuya gráfica no tenga intersección del eje y, pero sí intersección del eje x en 2.

f) ¿Qué rango de peso se considera normal para una niña de 95 centímetros de estatura?

61. Si las intersecciones de los ejes x y y de una función lineal están en 1 y 3, respectivamente, ¿cuáles serán las nuevas intersecciones de los ejes x y y si la gráfica se mueve (o traslada) tres unidades hacia arriba?

g) ¿Qué le sucede al rango normal conforme aumenta la estatura? ¿Esto es lo esperaba que sucediera? Explique. 56. Interés compuesto La siguiente gráfica ilustra el efecto del interés compuesto.

62. Si las intersecciones de los ejes x y y de una función lineal son 1 y 3, respectivamente, ¿cuáles serán las nuevas intersecciones de los ejes x y y, si la gráfica se mueve (o traslada) cuatro unidades hacia abajo?

En los ejercicios 63 y 64 se dan dos pares ordenados que son las intersecciones de los ejes x y y de una gráfica. a) Trace los puntos y dibuje una línea para unirlos. b) Determine el cambio en y, o cambio vertical, entre las intersecciones. c) Determine el cambio en x, o cambio horizontal, entre las intersecciones. d) Determine la razón del cambio vertical al cambio horizontal entre estos dos puntos. ¿Sabe lo que representa esta razón? (Estudiaremos esto con más detalle en la sección 3.4.) 63. 10, 22 y 1 -4, 02

64. 13, 52 y 1- 1, -12

Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 167 Despeje x en cada ecuación como se hizo en el ejemplo 9. Si cuenta con ella, utilice una calculadora graficadora; de lo contrario trace la gráfica usted mismo.

65. 3x + 2 = 2x + 3

66. -21x - 22 = 31x + 62 + 1

67. 0.31x + 52 = - 0.61x + 22

68. 2x +

1 1 = 5x 4 2

Con ayuda de su calculadora graficadora, localice las intersecciones de los ejes x y y de la gráfica de cada ecuación. 69. y = 21x + 3.22

70. 5x - 2y = 7

71. -4x - 3.2y = 8

72. y =

3 1 x 5 2

Ejercicios de repaso acumulativo 73. Evalúe 452 - 3311 - 42 - 546 - 2.

[2.1] 74. Resuelva

1 y - 3y = 61y + 22. 3

[2.6] En los ejercicios 75 a 77 a) explique el procedimiento para despejar x en cada ecuación o desigualdad (suponga que b  0), y b) resuelva la ecuación o desigualdad. 75. 77.

ƒx - aƒ = b ƒx - aƒ 7 b

ƒx - aƒ 6 b

76.

78. Resuelva la ecuación ƒ x - 4 ƒ = ƒ 2x - 2 ƒ .

3.4 LA FORMA PENDIENTE INTERSECCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL 1 2 3 4 5 6

1

Entender la traslación de gráficas. Determinar la pendiente de una recta. Reconocer la pendiente como una razón de cambio. Escribir ecuaciones lineales en la forma pendiente intersección. Graficar ecuaciones lineales por medio de la pendiente y la intersección del eje y. Usar la forma pendiente–intersección para construir modelos a partir de gráficas.

Entender la traslación de gráficas En esta sección estudiaremos la traslación de gráficas, el concepto de pendiente, y la forma pendiente intersección de una ecuación lineal. Considere estas tres ecuaciones

y = 2x + 3 y = 2x y = 2x - 3 La gráfica de cada una de estas ecuaciones aparece en la figura 3.50. y  2x

y 6

3 unidades hacia arriba

5 4 3

3 unidades hacia abajo

1 6 5 4 3 2 1

y  2x  3

2 3 5 6

FIGURA 3.50

1

2

3

4

y  2x  3

5

6

x

168 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

¿Cuáles son las intersecciones del eje y de y  2x  3, y  2x (o y  2x  0), y y  2x  3? Las intersecciones del eje y están en (0, 3), (0, 0) y (0, 3), respectivamente. Observe que la gráfica de y  2x  3 es también la gráfica de y  2x desplazada, o trasladada, 3 unidades hacia arriba, y que y  2x  3 es la gráfica de y  2x trasladada 3 unidades hacia abajo. Las tres rectas son paralelas; esto es, no se intersectan sin importar cuánto se extiendan. A partir de esta información, ¿podría conjeturar cuál es la intersección del eje y de y  2x  4? ¿Y la intersección del eje y de y = 2x - 53 ? Si respondió (0, 4) y A 0, - 53 B , respectivamente, es correcto. En efecto, la gráfica de una ecuación con la forma y  2x  b, tendrá una intersección del eje y en (0, b). Ahora considere las gráficas de las ecuaciones y = - 13 x + 4, y = - 13 x y y  1 - 3 x - 2, mismas que se muestran en la figura 3.51. Las intersecciones del eje y de las tres rectas son (0, 4), (0, 0) y (0, 2), respectivamente. La gráfica de y = - 13 x + b tendrá una intersección del eje y en (0, b). y y  ax  4

7 6 5 4

y  ax

3 2 1

7 6 5

3 2 1 1

y  ax  2

1

3

4

5

x

2 3 4 5

FIGURA 3.51

Al observar las ecuaciones anteriores, sus gráficas e intersecciones del eje y, ¿podría determinar la intersección del eje y de la gráfica que se obtiene de y  mx  b, en donde m y b son números reales? Si su respuesta es (0, b), contestó correctamente. En general, la gráfica de y  mx  b, en donde m y b son números reales, tiene una intersección del eje y en (0, b). Si observamos las gráficas de la figura 3.50, nos daremos cuenta de que la pendiente (o inclinación) de las tres parece igual, y lo mismo ocurre con la pendiente de las gráficas de la figura 3.51, aunque de manera diferente. Si consideramos la ecuación y  mx  b, en donde la b determina la intersección del eje y de la recta, podemos concluir que la m es responsable de la pendiente (o inclinación) de la recta.

2

Determinar la pendiente de una recta Ahora hablemos acerca de la pendiente. La pendiente de una recta es la razón del cambio vertical (o elevación) respecto del cambio horizontal (o desplazamiento) entre cualesquiera dos puntos de la recta. Considere la gráfica que se obtiene de y  2x (la recta central entre las que aparecen en la figura 3.50, y que se repite en la figura 3.52a). Dos puntos en esta línea son (1, 2) y (3, 6). Determinemos la pendiente de la recta a partir de estos puntos. Si dibujamos una línea paralela al eje x de tal manera que pase por el punto (1, 2), y una línea paralela al eje y que pase por el punto (3, 6), ambas se intersectarán en el punto (3, 2), tal como muestran las líneas punteadas en la figura 3.52b. Con la gráfica de la figura 3.52b podemos determinar la pendiente de la recta. El cambio vertical (a lo largo del eje y) es 6  2, o 4 unidades. El cambio horizontal (a lo largo del eje x) es 3  1, o 2 unidades. pendiente =

cambio vertical 4 = = 2 cambio horizontal 2

Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 169 y 7 6

y 7

(3, 6)

5

6 5

y  2x

4

y y  2x

7 1 a la derecha

5 2 arriba 4 3 2 1 2

1

2

3

(3, 2) Cambio horizontal, 3  1  2 x 1 2 3 4 5 6

1 4

5

x

6

2 1

(a)

FIGURA 3.52

1

2

(1, 2)

1

2 1

Cambio vertical, 624

3

2

6

(3, 6) (1, 2)

4

3

2 1

y  2x

3

4

5

6

x

FIGURA 3.53

(b)

Por lo tanto, la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, 6) y (1, 2) es 2. Al examinar la recta que conecta estos dos puntos, podemos ver que por cada 2 unidades que la gráfica se desplaza hacia arriba en el eje y, se mueve 1 unidad hacia la derecha en el eje x (vea la figura 3.53). Hemos determinado que la pendiente de la gráfica que se obtiene de y  2x es 2. Si calculáramos la pendiente de las otras dos rectas de la figura 3.50, veríamos que las gráficas que se obtienen de y  2x  3 y y  2x  3 también tienen una pendiente de 2. ¿Puede conjeturar cuál es la pendiente de las gráficas de las ecuaciones y  3x  2, y  3x y y  3x  2? La pendiente de las tres rectas es 3. En general, la pendiente de una ecuación con la forma y  mx  b es m.* Ahora determinemos el procedimiento para encontrar la pendiente de una recta que pasa por los dos puntos (x1, y1) y (x2, y2). Observe la figura 3.54. Podemos determinar el cambio vertical restando y1 de y2, y el cambio horizontal restando x1 de x2. y

Punto 2 (x2, y2)

y2

y1

(x2, y1)

x1

FIGURA 3.54

DEFINICIÓN

Cambio vertical, y2  y1

Punto 1 (x1, y1)

x2

x

Cambio horizontal, x2  x1

La pendiente de una recta que pasa por los puntos distintos (x1 y1)y (x2, y2) es pendiente =

cambio en y (cambio vertical) cambio en x (cambio horizontal)

=

y2 - y1 x2 - x1

siempre y cuando x1  x2. Al determinar la pendiente de una recta, no importa cuáles sean los dos puntos que elijamos, ni a cuál de ellos denominemos (x1, y1) o (x2, y2). Como se mencionó antes, la letra m se utiliza para representar la pendiente de una recta. La letra griega mayúscula delta, , se utiliza para representar las palabras “el cambio en”.

*La letra m se usa tradicionalmente para representar la pendiente. Se cree que m proviene de la palabra francesa monter, que significa escalar.

170 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Así, en ocasiones la pendiente se indica como

y 5 4 3 2 1

m =

5 4 3 2 1 1

1 2 3 4 5

x

2 3 4 5

¢y y2 - y1 = x2 - x1 ¢x

EJEMPLO 1 Determine la pendiente de la recta de la figura 3.55. Solución Dos puntos de la recta son (2, 3) y (1, 4). Sea (x2, y2)  (2, 3) y

(x1,y1)  (1, 4). Entonces

m =

FIGURA 3.55 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35

3 - 1- 42 y2 - y1 3 + 4 7 = = = x2 - x1 -2 - 1 -3 3

La pendiente de la recta es - 73 . Observe que si hubiéramos determinado (x1, y1)  (2, 3) y (x2, y2)  (1, 4), la pendiente seguiría siendo - 73 . Compruébelo. ✺ Una recta que se eleva de izquierda a derecha (figura 3.56a) tiene una pendiente positiva. Una recta que no se eleva ni desciende de izquierda a derecha (figura 3.56b) tiene pendiente cero. Una recta que desciende de izquierda a derecha (figura 3.56c) tiene una pendiente negativa. Pendiente positiva

Pendiente negativa

Pendiente cero

y

y

4

4

3

3

y 4 2

2

1 1

1 4 3 2 1 1

1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

2

2

3

3

4

4

1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

1

2

3

4

x

2 3 4

Pendiente indefinida (a)

y 6 5

2

FIGURA 3.56 x3 (3, 2)

1 2 1 1

(c)

(3, 5)

4 3

(b)

1

2

4

5

6

x

Considere la gráfica que se obtiene de x  3 (figura 3.57). ¿Cuál es su pendiente? La gráfica es una recta vertical que pasa por los puntos (3, 2) y (3, 5). Sea (3, 5) el punto correspondiente a (x2, y2) y sea (3, 2) el punto correspondiente a (x1, y1). Entonces, la pendiente de la recta es

2

m = FIGURA 3.57 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19

SUGERENCIA

y2 - y1 5 - 2 3 = = x2 - x1 3 - 3 0

Como no tiene sentido dividir entre 0, decimos que la pendiente de esta recta es indefinida. La pendiente de cualquier recta vertical es indefinida. Cuando se pide a los estudiantes que determinen la pendiente de una recta horizontal o vertical, con frecuencia responden de manera incorrecta. En el primer caso, su respuesta debería ser “la pendiente es 0”. Si usted responde “no tiene pendiente”, su profesor podría considerar que su contestación es incorrecta, ya que esa frase puede tener varias interpretaciones. Cuando se le pida determinar la pendiente de una recta vertical, su respuesta debe ser “la pendiente es indefinida”. Nuevamente, si usted utiliza la frase “no tiene pendiente”, su profesor podría interpretarla en otro sentido y calificar su respuesta como incorrecta.

Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 171

3

Reconocer la pendiente como una razón de cambio En ocasiones es útil describir la pendiente como una razón de cambio. Considere una 5 pendiente de 3 . Esto significa que el valor de y aumenta 5 unidades por cada aumento de 3 unidades en x. De forma equivalente, podemos decir que el valor de y aumen5 ta 3 unidades, o 1.6 unidades por cada aumento de 1 unidad en x. Cuando establecemos el cambio en y en relación con el cambio en unidades en x, estamos determinando la pendiente como una razón de cambio. Esto puede ser de utilidad cuando analizamos situaciones de la vida real o al crear modelos matemáticos.

EJEMPLO 2

Deuda pública La siguiente tabla de valores y la gráfica correspondiente (figura 3.58) ilustran la deuda interna de Estados Unidos en miles de millones de dólares, entre 1910 y 2002.

Año

Deuda interna de Estados Unidos (miles de millones de dólares)

1910

1.1

1930

16.1

1950

256.1

1970

370.1

1990

3323.3

2002

5957.2

Fuente: Departamento del Tesoro de Estados Unidos, Oficina de Deuda Interna.

Deuda pública (mil millones de dólares)

Deuda interna de Estados Unidos (miles de millones de dólares) 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 1910 1930 1950 1970 1990 2010

Año

FIGURA 3.58

a) Determine la pendiente de los segmentos de recta entre 1910 y 1930, y entre 1970 y 2002. b) Compare las dos pendientes determinadas en la parte a) y explique qué significa esto en términos de la deuda interna de Estados Unidos.

Solución

a) Entienda el problema Para determinar la pendiente entre cualesquiera par de años, calcule la razón del cambio en la deuda en relación al cambio en los años. Pendiente de 1910 a 1930

m =

16.1 - 1.1 15 = = 0.75 1930 - 1910 20

La deuda pública de Estados Unidos aumentó a razón de $0.75 miles de millones por año entre 1910 y 1930. Pendiente de 1990 a 2002

m =

5957.2 - 3323.3 2633.9 = L 219.49 2002 - 1990 12

La deuda pública de Estados Unidos aumentó a razón de más o menos $219.49 miles de millones por año entre 1990 y 2002.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67

b) La pendiente mide una razón de cambio. Al comparar las pendientes de los dos periodos, se observa un incremento mucho mayor en la razón de cambio promedio de la deuda interna entre 1990 y 2002 que entre 1910 y 1930. La pendiente del segmento de recta de 1990 a 2002 es mayor que la pendiente de cualquier otro segmento de recta de la gráfica. Esto indica que la deuda interna creció entre 1990 y 2002 en una razón mayor que en cualquier otro de los periodos ilustrados. ✺

172 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

4

Escribir ecuaciones lineales en la forma pendiente intersección Ya hemos mostrado que para una ecuación con la forma y  mx  b, m representa la pendiente y b la intersección del eje y. Por esta razón, se dice que las ecuaciones lineales escritas en la forma y  mx  b están en la forma pendiente intersección (o forma pendiente ordenada al origen).

DEFINICIÓN

La forma pendiente intersección de una ecuación lineal es

y = mx + b en donde m es la pendiente de la recta y (0, b) es la intersección del eje y de la recta.

Ejemplos de ecuaciones en forma pendiente intersección y =

y = 3x - 6

1 3 x + 2 2

La intersección del eje y es (0, b)

Pendiente

y = mx + b Ecuación

Pendiente

y = 3x - 6 1 3 y = x + 2 2

3

Intersección del eje y

10, - 62 3 a0, b 2

1 2

Para escribir una ecuación en la forma pendiente intersección, despeje y en la ecuación.

EJEMPLO 3 Solución

Determine la pendiente y la intersección del eje y de la ecuación 5x  2y  6. Escriba la ecuación en la forma pendiente intersección, despejando y.

- 5x + 2y = 6 2y = 5x + 6 5x + 6 2 6 5x + y = 2 2

y =

y = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45

5 x + 3 2

5 La pendiente es ; la intersección del eje y es (0, 3). 2

✺

5 Graficar ecuaciones lineales por medio de la pendiente y la intersección del eje y Una razón para estudiar la forma pendiente intersección de una recta es que puede ser útil al trazar la gráfica de una ecuación lineal, como se ilustra en el ejemplo 4.

Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 173

EJEMPLO 4 Solución

Grafique 2y  4x  6 por medio de la pendiente y la intersección del eje y. Empiece por despejar y para obtener la ecuación en la forma pendiente intersección.

y

2y + 4x = 6 2y = - 4x + 6 y = - 2x + 3

5 3

2y  4x  6

2 1 3 2 1 1

2

3

4

5

x

2 3

FIGURA 3.59 y

En el ejemplo 4 elegimos movernos hacia abajo y a la derecha para obtener el segundo y tercer puntos. También podríamos haber decidido movernos hacia arriba y hacia la izquierda para lograrlo.

6 5 4 3 2 1

EJEMPLO 5

3 2 1 1

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4

f(x)  dx  3

x

FIGURA 3.60 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51

Grafique f1x2 =

sección del eje y.

4 x - 3 por medio de la pendiente y la inter3

Solución

Ya que f(x) es lo mismo que y, esta función está en la forma pendiente intersección. La intersección del eje y es (0, 3), y la pendiente es 4/3. Coloque en el eje y un punto en 3. Luego, como la pendiente es positiva, obtendrá el segundo y tercer puntos moviéndose cuatro unidades hacia arriba y tres unidades hacia la derecha; la gráfica resultante se muestra en la figura 3.60. ✺

Usar la forma pendiente–intersección para construir modelos a partir de gráficas Con frecuencia podemos utilizar la forma pendiente intersección de una ecuación lineal para determinar una función que represente (o modele) una situación de la vida real. El ejemplo 6 muestra cómo.

EJEMPLO 6

Periódicos Observe la gráfica de la figura 3.61, la cual muestra la disminución del número de adultos estadounidenses que leen el periódico todos los días. Observe que la gráfica es casi lineal. a) Escriba una función lineal cuya gráfica sea semejante a la que se muestra. b) Suponiendo que esta tendencia continúa, calcule el porcentaje de adultos que leerán diariamente un periódico en 2005; utilice la función determinada en la parte a). Porcentaje de adultos estadounidenses que leen diariamente un periódico 80

Porcentaje (%)

6

La pendiente es 2, y la intersección del eje y es (0, 3). En el eje y coloque un punto en 3 (figura 3.59). Luego utilice la pendiente para obtener un segundo punto. La pendiente es negativa; por lo tanto, la gráfica debe descender conforme va de izquierda a derecha. Como la pendiente es 2, la razón del cambio vertical respecto del cambio 2 horizontal debe ser de 2 a 1 (recuerde, 2 significa 1 ). Por lo tanto, si comenzamos en y  3 y nos movemos dos unidades hacia abajo y una unidad hacia la derecha, obtendremos un segundo punto en la gráfica. Continúe este proceso, moviéndose 2 unidades hacia abajo y 1 unidad a la derecha para obtener un tercer punto.Ahora trace una recta que pase por los tres puntos. ✺

70

PROYECTADO 60 50 40 1965

’70

’75

’80

’85

’90

’95

2000

Año

FIGURA 3.61

Fuente: NAA Market & Business Analysis; proyecciones de la revista Newsweek.

’05

’10

’15

174 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Solución

a) Para facilitar el trabajo con los números, seleccionaremos 1965 como año de referencia. Entonces podemos reemplazar 1965 con 0, 1966 con 1, 1967 con 2, y así sucesivamente; de acuerdo con ello, 2001 sería 36 (vea la figura 3.62). Porcentaje de adultos estadounidenses que leen diariamente un periódico

Porcentaje (%)

80 70

PROYECTADO 60 50 40 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Número de años desde 1965

FIGURA 3.62

Fuente: NA Market & Business Analysis; proyecciones de la revista Newsweek.

Si denominamos al eje vertical y y al eje horizontal x, entonces la intersección del eje y es 80. El par ordenado que representa la intersección del eje y es (0, 80). Aparentemente en 2001 alrededor de 57% de la población estadounidense adulta leía diariamente un periódico. Seleccionemos (36, 57) como un segundo punto en la gráfica que trazamos en la figura 3.62. Designamos (36, 57) como (x2, y2) y (0, 80) como (x1, y1). pendiente =

cambio en porcentaje cambio en año

=

y2 - y1 23 57 - 80 = = L - 0.64 x2 - x1 36 - 0 36

Como la pendiente es aproximadamente 0.64 y la intersección del eje y es (0, 80), la ecuación de la línea recta es y  0.64x  80. En notación de funciones, esta ecuación es f(x)  0.64x  80. Para usar esta función recuerde que x  0 representa a 1965, x  1 representa a 1966, etcétera. Observe que f(x), el porcentaje, es una función de x, el número de años a partir de 1965. b) Para determinar el porcentaje aproximado de lectores de diarios que habrá en 2005, y como 2005  1965  40, sustituimos x por 40 en la función.

f1x2 = - 0.64x + 80 f1402 = - 0.641402 + 80 = - 25.6 + 80 = 54.4 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 71

Por lo tanto, si la tendencia actual continúa, alrededor de 54% de los adultos estadounidenses leerán el periódico todos los días en 2005 (figura 3.62). ✺

Conjunto de ejercicios 3.4 Ejercicios conceptuales 1. Explique cómo determinar la pendiente de una línea a partir de su gráfica. 2. Explique qué significa que la pendiente de una recta sea negativa. 3. Explique qué significa que la pendiente de una recta sea positiva. 4. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal? Explique. 5. ¿Por qué la pendiente de una recta vertical es indefinida?

6. a) Por medio de la fórmula para calcular la pendiente, y2 - y1 m = , determine la pendiente de la recta forx2 - x1 mada a partir de los puntos (3, 4) y (4, 6). Utilice (3, 4) como (x1, y1). b) Calcule la pendiente nuevamente, pero esta vez utilice (4, 6) como (x1, y1). c) Al determinar la pendiente por medio de la fórmula, ¿su respuesta será la misma sin importar cuál de los puntos designe como (x1, y1)? Explique.

Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 175 7. Explique cómo se escribe en forma pendiente intersección una ecuación dada en forma general. 8. En la ecuación y  mx  b, ¿qué representa m? ¿Qué representa b? 9. a) ¿Qué significa trasladar una gráfica tres unidades hacia abajo? b) Si la intersección del eje y de una gráfica es (0, 3) y la gráfica se traslada tres unidades hacia abajo, ¿cuál será la nueva intersección del eje y?

10. a) ¿Qué significa trasladar una gráfica cuatro unidades hacia arriba? b) Si la intersección del eje y de una gráfica es (0, 2) y la recta se traslada cuatro unidades hacia arriba, ¿cuál será la nueva intersección del eje y? 11. ¿Qué significa que la pendiente esté dada como una razón de cambio? 12. Explique cómo graficar una ecuación lineal por medio de su pendiente y su intersección del eje y.

Problemas de aplicación Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados. Si la pendiente de la recta es indefinida, indíquelo. 13. 12, 52 y 10, 92

14. 12, 32 y 15, 42

19. 14, 22 y 14, -12

20. 18, -42 y 1-1, -22

16. 1 -3, 52 y 15, - 32 22. 12, 32 y 1 -5, 32

15. 15, 22 y 11, 42

17. 1 -3, 52 y 12, 02

18. 12, 32 y 12, -32

23. 1 - 2, 32 y 17, - 32

24. 12, - 42 y 1-5, - 32

21. 1- 3, 42 y 1-1, 42

Despeje la variable dada si la recta que pasa por los dos puntos indicados tiene la pendiente que se señala. 25. 13, 22 y 14, b2, m = 1

26. 1 - 4, 32 y 1- 2, b2, m = - 3

29. 1x, 22 y 13, -42, m = 2

30. 1- 2, - 32 y 1x, 42, m =

27. 15, 32 y 11, k2, m =

28. 15, d2 y 19, 22, m = - 4

1 2

3

31. 12, -22 y 1r, -12, m = -

1 2

1 2

32. 1- 4, -12 y 1x, 22, m = -

3 5

Determine la pendiente de la recta en cada una de las gráficas. Si la pendiente de la recta es indefinida, indíquelo. Luego escriba una ecuación de la recta dada. 33.

34.

y

y

4 3 2 1 4 3 2 1 1

4 3 2 1 1 2 3 4

x

4 3 2 1 1

2 3 4

35.

36.

y

x

1 2 3 4

x

y 4 3

4 3

1

1 1 1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

1 2 3 4 5 6 7

x

4 3

1 1 2 3 4

176 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones 37.

38.

y

y 4 3 2 1

4 3 2 1 4 3

1 1 2 3 4

39.

1 2 3 4

4 3 2 1 1

x

40.

1 2

4

x

10

20

x

y 4 3 2 1

4 2 1 1 2 3 4

4 3 2 1 1

x

2 3 4

2 3 4

41.

x

3 4

y

4 3 2 1 1

1 2 3 4

42.

y

y 20 10

10

20

10

10

20

x

10

10

10

20

20

Escriba cada ecuación en la forma pendiente intersección (si no está dada en esa forma). Determine la pendiente y la intersección del eje y; utilícelas para trazar la gráfica de la ecuación lineal. 43. y = - x + 2 46. -2x = 3y + 6

44. - 3x + y = 6 47. - 50x + 20y = 40

45. 5x + 15y = 30 48. 60x = - 30y + 60

Utilice la pendiente y la intersección del eje y para graficar cada función. 50. g1x2 =

49. f1x2 = - 2x + 1

2 x - 4 3

3 51. h1x2 = - x + 2 4

52. h1x2 = -

2 x + 4 5

Resolución de problemas 53. Dada la ecuación y  mx  b, para los valores de m y b señalados, relacione las partes a) a d) con las gráficas apropiadas entre las numeradas del 1 al 4. a) m 7 0, b 6 0

b) m 6 0, b 6 0

c) m 6 0, b 7 0

d) m 7 0, b 7 0

1.

2.

3.

4.

y

x

y

x

y

x

y

x

Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 177 54. Dada la ecuación y  mx  b, para los valores de m y b señalados, relacione las partes a) a d) con las gráficas apropiadas entre las numeradas del 1 al 4. c) m es indefinida, d) m es indefinida, a) m = 0, b 7 0 b) m = 0, b 6 0 intersección del eje x intersección del eje x  0

1.

2.

y

x

y 4 3 2 1 1

3 4 5 6

2

3

4

5

6

x

(0, 5)

60. En la siguiente gráfica, la recta superior (en rojo) es una traslación de la recta inferior. a) Determine la ecuación de la recta inferior. b) Utilice la ecuación de la recta inferior para determinar la ecuación de la recta superior. y 5

(0, r)

3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

x

4.

y

y

x

x

55. En la siguiente sección estudiaremos las rectas paralelas. Con base en lo que ha leído en esta sección, explique cómo podría determinar (sin graficar) que las rectas de dos ecuaciones son paralelas. 56. ¿Cómo podría determinar si dos rectas son paralelas? 4 57. Si un punto de la gráfica es (6, 3) y su pendiente es 3 , determine la intersección del eje y. 58. Si un punto de la gráfica es (6, 1) y su pendiente es m = 23 , determine la intersección del eje y. 59. En la siguiente gráfica, la recta de la derecha es una traslación de la recta de la izquierda. a) Determine la ecuación de la recta de la izquierda. b) Utilice la ecuación de la recta de la izquierda para determinar la ecuación de la recta de la derecha.

6 5 4 3 2 1

3.

y

x

61. La recta que se obtiene al graficar y  x  1 se traslada tres unidades hacia arriba. Determine a) la pendiente de la gráfica trasladada. b) la intersección del eje y de la gráfica trasladada. c) la ecuación de la gráfica trasladada. 62. La recta que resulta al graficar y = - 32 x + 3 se traslada cuatro unidades hacia abajo. Determine a) la pendiente de la gráfica trasladada. b) la intersección del eje y de la gráfica trasladada. c) la ecuación de la gráfica trasladada. 63. La recta que resulta al graficar 3x  2y  6 se traslada cuatro unidades hacia abajo. Determine la ecuación de la gráfica trasladada. 64. La recta que resulta al graficar 3x  5y  10 se traslada dos unidades hacia arriba. Determine la ecuación de la gráfica trasladada. 65. Si una línea pasa por los puntos (6, 4) y (4, 2), determine el cambio de y respecto del cambio de una unidad en x. 66. Si una línea pasa por los puntos (3, 4) y (5, 2), determine el cambio de y respecto del cambio de una unidad en x. 67. Gastos de Amtrak La compañía de transporte estadounidense National Railroad and Passenger Corporation, mejor conocida como Amtrak, continúa enfrentando problemas económicos. Desde 1985, sus gastos han crecido mucho más rápido que sus ingresos. En la siguiente tabla se listan los gastos, en millones de dólares, en que incurrió Amtrak en años seleccionados.

Año

Gastos de Amtrak (en millones de dólares)

1985

$1600

1990

$2012

1995

$2257

2000

$2876

Fuente: Amtrak, año fiscal 2000 (Informe Anual).

a) Trace estos puntos en una gráfica. b) Conecte estos puntos utilizando segmentos de recta.

178 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones c) Determine la pendiente de cada uno de los tres segmentos de recta. d) ¿En qué periodo tuvo lugar la razón de cambio promedio más grande? Explique. 68. Computadoras veloces Cada año las computadoras se vuelven más rápidas y poderosas. En la siguiente tabla se registra la velocidad, en miles de millones de operaciones por segundo, de las llamadas “súper computadoras” en años seleccionados.

70. Umbral de pobreza El gobierno estadounidense define el umbral de pobreza en relación al ingreso familiar anual necesario para gozar lo que la sociedad define como estándar de vida mínimo aceptable. La siguiente gráfica de barras muestra el umbral de pobreza para una familia de cuatro integrantes entre 1995 y 2000.

Umbral de pobreza en Estados Unidos para una familia de cuatro integrantes

Año

Operaciones por segundo (miles de millones)

1994

143

1996

303

1997

1070

2001

7226

Ingreso familiar anual

19,000 17,603

18,000 17,000 16,000

15,569

15,000 14,000 13,000 0

Fuente: Departamento de energía de Estados Unidos.

1995

1996

1997

1998

1999

2000

Año Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.

a) Trace estos puntos en una gráfica. b) Conecte los puntos utilizando segmentos de rectas. c) Determine la pendiente de cada uno de los tres segmentos de recta. d) ¿En qué periodo la razón de cambio promedio fue más grande? Explique. 69. Ritmo cardiaco La siguiente gráfica de barras muestra el ritmo cardiaco máximo recomendado bajo presión, en latidos por minuto, para hombres de diferentes edades. Las barras están conectadas por medio de una línea recta. a) Utilice la línea recta para determinar una función que pueda usarse para calcular el ritmo cardiaco máximo recomendado, h, para 0  x  50, en donde x es la edad a partir de los 20 años. b) Usando la función de la parte a), determine el ritmo cardiaco máximo recomendado para un hombre de 34 años de edad.

200

c) Suponiendo que esta tendencia continúa, determine el umbral de pobreza para una familia de cuatro integrantes en el año 2005. d) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿en qué año el umbral de pobreza para una familia de cuatro integrantes será de $20,000? 71. Debajo del umbral de pobreza El umbral de pobreza se definió en el ejercicio 70. La siguiente gráfica muestra el número de estadounidenses, en millones, que se encuentran debajo del umbral de pobreza entre 1996 y 2000.

190

200

180

Personas debajo del umbral de pobreza

170

180

160

160

150

140 120 100 80 60 40

40 35 30

36.5 31.1

25 20

20 0

b) Utilizando la función de la parte a), determine el umbral de pobreza en 1997. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponden.

Número de personas (millones)

Ritmo cardiaco máximo recomendado (latidos por minuto)

Ritmo cardiaco vs. edad

a) Determine una función lineal que pueda usarse para calcular el umbral de pobreza de una familia de cuatro integrantes, P, entre 1995 y 2000. Sea t el número de años desde 1995. (En otras palabras, 1995 corresponde a t  0, 1996 corresponde a t  1, y así sucesivamente).

20

30

40

50

Edad Fuente: Sociedad Estadounidense de Geriatría.

60

70

1996

1997

1998

1999

Año Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.

2000

Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 179 a) Con 1996 como año de referencia, determine una función lineal que pueda usarse para estimar el número de personas, N, debajo del umbral de pobreza entre 1996 y 2000. En la función, t representa el número de años desde 1996. b) Utilizando la función de la parte a), estime el número de personas que estaban debajo del umbral de pobreza en 1998. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponden. c) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿cuántas personas estarán debajo del nivel de pobreza en 2005? d) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿en qué año habrá 25 millones de personas debajo del nivel de pobreza? 72. Poder adquisitivo del dólar El poder adquisitivo del dólar se mide comparando el precio actual de ciertos artículos con los precios de esos mismos artículos en 1982. A partir de la gráfica siguiente, verá que el poder adquisitivo del dólar ha descendido de manera constante entre 1990 y 2000. Esto significa que cada año el dólar tiene menos valor.

1.0

Dólares

b) Utilice la función de la parte a) para calcular el número de hospitales que había en Estados Unidos en 1995. c) Si esta tendencia continúa, calcule el número de hospitales que habrá en Estados Unidos en 2005. d) Si esta tendencia continúa, ¿en qué año el número de hospitales será de 5,000 en Estados Unidos? 74. Disminución del tétanos Debido principalmente a amplias campañas de vacunación, la incidencia del tétanos ha disminuido rápidamente en Estados Unidos. Esta disminución ha sido casi lineal desde 1990. En 1990 hubo 64 casos reportados; en 2000, 26. Sea C el número de casos de tétanos en Estados Unidos y t el número de años desde 1990. Fuente: Centros de Control y Prevención de Enfermedades. a) Determine una función lineal C(t) que se ajuste a estos datos. b) Utilice la función de la parte a) para calcular el número de casos reportados en 1998. c) Si esta tendencia continúa, calcule el número de casos de tétanos que se reportarán en 2005. d) Si esta tendencia continúa, determine en qué año se habrá erradicado esta enfermedad en Estados Unidos.

Poder adquisitivo del dólar

0.8

a) Determine una función lineal n(t) que se ajuste a estos datos.

0.766 0.581

0.6 0.4

75. Precios en bienes raíces El precio de las casas de tipo medio en Estados Unidos se ha elevado de forma lineal desde 1995. El precio en 1995 era de $110,500, mientras que en 2000 era de $139,000. Sea P el precio de las casas de tipo medio y t el número de años desde 1995. Fuente: Asociación Nacional de Vendedores de Bienes Raíces. a) Determine una función P(t) que se ajuste a los datos.

0.2 0

b) Utilice la función de la parte a) para estimar el precio de las casas de tipo medio en 1997. 1990

1992

1994

1996

1998

2000

Año Fuente: Oficina de Análisis Económico de Estados Unidos.

c) Si esta tendencia continúa, estime el precio de venta de las casas de tipo medio en 2010. d) Si esta tendencia continúa, ¿en qué año el precio de las casas de tipo medio será de $200,000?

a) Con 1990 como año de referencia, determine una función lineal que pueda usarse para calcular el poder adquisitivo, P, entre 1990 y 2000. Haga que t represente el número de años desde 1990 en la función. b) Utilizando la función de la parte a), estime el poder adquisitivo del dólar en 1994. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponde. c) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿cuál será el poder adquisitivo del dólar en 2006? d) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿cuándo tendrá el dólar un poder adquisitivo de $0.45? 73. Hospitales estadounidenses El número de hospitales en Estados Unidos, ha disminuido de manera casi lineal desde 1975. En 1975 había 7,156 hospitales. En 2000 había 5,890. Sea n el número de hospitales en Estados Unidos y t el número de años desde 1975. (Haga que t  0 corresponda a 1975 y t  25 corresponda a 2000). Fuente: Asociación Estadounidense de Hospitales.

76. Seguridad Social El número de trabajadores por beneficiario de seguridad social ha disminuido de manera casi lineal en Estados Unidos desde 1970. En 1970 había 3.7 trabajadores por beneficiario, y se cree que en 2050 habrá 2.0 trabajadores por beneficiario. Sea W los trabajadores por beneficiario de seguridad social y t el número de años desde 1970. a) Determine la función W(t) que se ajuste a los datos. b) Calcule el número de trabajadores por beneficiario que habrá en 2020.

180 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones Suponga que intenta graficar las ecuaciones que se muestran y que obtiene las pantallas que se muestran. Explique cómo sabe que cometió un error al introducir cada ecuación. En cada gráfica se utilizó la ventana estándar. 77. y = 3x + 6

78. y = - 2x - 4

79. y =

1 x + 4 2

80. y = - 4x - 1

Reto 81. En la siguiente fotografía se muestra la construcción conocida como El Castillo o Templo de Kukulcán en Chichén Itzá, México. Cada lado del edificio tiene una escalera de 91 escalones. Éstos son muy estrechos y empinados, por lo que subir a la cima del edificio resulta difícil. La distancia vertical total de los 91 escalones es de 1292.2 pulgadas. Si se dibujara una línea recta que conectara los bordes de los escalones, el valor absoluto de la pendiente de la recta sería 2.21875. Determine la altura y el ancho promedio de un escalón.

82. Una recta tangente es una línea recta que toca a una curva en un solo punto (si se prolonga, la recta tangente puede cruzar la curva en un punto diferente). La figura 3.63 muestra tres rectas tangentes a la curva en los puntos a, b, y c. Observe que la recta tangente del punto a tiene una pendiente positiva, la recta tangente del punto b tiene una pendiente de 0 y la recta tangente del punto c tiene una pendiente negativa. Ahora considere la curva que se muestra en la figura 3.64. Imagine que se dibujan rectas tangentes en todos los puntos de la curva, excepto en los extremos a y e. ¿Cuál de esas líneas tangentes tendrían una pendiente positiva, cuál una pendiente de 0 y cuál una pendiente negativa?

a

b

a

c

b

c

d

FIGURA 3.64

FIGURA 3.63

Actividad en equipo

a) Miembro uno del equipo: determine el periodo de un año en el que un automóvil se deprecia más. Calcule el porcentaje de depreciación durante ese periodo de acuerdo con la gráfica. b) Miembro 2 del equipo: determine entre qué años la depreciación parece lineal o casi lineal. c) Miembro 3 del equipo: determine entre qué par de años la depreciación es la más baja. d) Calculen en equipo la pendiente del segmento de recta del año 0 al año 1. Expliquen qué significa esto en términos de la razón de cambio.

Curva típica de depreciación Porcentaje del precio de compra inicial

83. La siguiente gráfica, tomada de una publicación estadounidense llamada Consumer Reports, muestra la depreciación de un automóvil común. El precio de compra inicial se representa como 100%.

Precio de compra inicial

100

75

Liquidación de préstamo o arrendamiento

50

Valor 25

0

1

2

3

4

Años

5

6

7

e

Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 181

Ejercicios de repaso acumulativo 84. Resuelva

- 62 - 16 , 2 , ƒ - 4 ƒ 5

- 3#2

- 4 , 2

Resuelva cada ecuación. [2.1]

1 2 3 x + = 1x - 22 4 5 3

85.

86. 2.6x - 1- 1.4x + 3.42 = 6.2

2

.

[2.4] 87. Trenes Dos trenes parten de Chicago, Illinois, viajando en la misma dirección a lo largo de vías paralelas. El primer tren sale tres horas antes que el segundo, y su velocidad es de 15 millas por hora más rápido que el segundo. Determine la velocidad de cada tren, si tres horas después de que el segundo tren sale de Chicago entre ambos trenes hay una distancia de 270 millas. [2.6] 88. Resuelva a) ƒ 2x + 1 ƒ 7 3,

b) ƒ 2x + 1 ƒ 6 3.

3.5 LA FORMA PUNTO PENDIENTE DE UNA ECUACIÓN LINEAL

1

1

Entender la forma punto pendiente de una ecuación lineal.

2

Utilizar la forma punto pendiente para construir modelos a partir de gráficas.

3

Reconocer rectas paralelas y perpendiculares.

Entender la forma punto pendiente de una ecuación lineal En la sección anterior aprendimos a utilizar la forma pendiente intersección para determinar la ecuación de una recta cuando se conocen su pendiente y su intersección del eje y. En esta sección aprendemos a usar la forma punto pendiente para determinar la ecuación de una recta cuando se conocen su pendiente y uno de sus puntos. La forma punto pendiente puede desarrollarse a partir de la expresión para la pendiente entre cualesquiera dos puntos (x, y) y (x1, y1) de la recta, como se muestra en la figura 3.65.

y (x, y)

y

y  y1 y1

x  x1

(x, y1)

(x1, y1) x1

x

x

m =

y - y1 x - x1

Multiplicando ambos lados de la ecuación por x  x1, obtenemos

FIGURA 3.65

y - y1 = m1x - x12

DEFINICIÓN

La forma punto pendiente de una ecuación lineal es

y - y1 = m1x - x12 en donde m es la pendiente de la recta y (x1, y1) es un punto en la recta.

EJEMPLO 1

Escriba, en la forma pendiente intersección, la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 4) y que tiene una pendiente de 2.

Solución

Ya que se nos dio la pendiente de la recta y un punto en ella, podemos escribir la ecuación en la forma punto pendiente. Entonces podremos despejar y de la ecuación para escribirla en la forma pendiente intercepción. La pendiente, m, es 2. El punto en la recta, (x1, y1), es (1, 4). Sustituya m por 2, x1 por 1 y y1 por 4 en la forma punto pendiente.

182 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

y - y1 y - 4 y - 4 y AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 5

= = = =

m1x - x12 - 21x - 12 - 2x + 2 - 2x + 6

Forma punto pendiente. Forma pendiente intercepción.

La gráfica resultante de y  2x  6 tiene una pendiente de 2 y pasa por el punto (1, 4). ✺ En el ejemplo 1 usamos la forma punto pendiente para obtener la ecuación de una recta cuando se nos ha dado uno de sus puntos y su pendiente. La forma punto pendiente también puede usarse para encontrar la ecuación de una recta cuando se nos dan dos de sus puntos. En el ejemplo 2 mostramos cómo hacerlo.

EJEMPLO 2

Escriba, en la forma pendiente intersección, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (1, 4).

Solución

Aunque no se nos dio la pendiente de la recta, podemos usar los dos puntos para determinarla, y después proceder como se hizo en el ejemplo 1. Determinemos que (2, 3) sea (x1, y1) y (1, 4) sea (x2, y2).

m = y 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 1

La pendiente, m, es 1. Ahora debemos elegir uno de los dos puntos dados para utilizarlo como (x1, y1) en la forma punto pendiente de la ecuación; seleccionaremos (2, 3) para ese propósito. Sustituya m por 1, x1 por 2 y y1 por 3 en la forma punto pendiente.

y - y1 = m1x - x12

(1, 4) (2, 3)

y - 3 = - 11x - 22

y  x  5 1 2 3 4 5 6 7

x

y - 3 = -x + 2 y = -x + 5

2 3

FIGURA 3.66

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11

2

y2 - y1 4 - 3 1 = = = -1 x2 - x1 1 - 2 -1

La gráfica de y  x  5 se muestra en la figura 3.66. Observe que la intersección del eje y de esta recta está en 5, la pendiente es 1, y la recta pasa por los puntos (2, 3) y ( 1, 4). También podríamos haber seleccionado el punto (1, 4) para sustituir en la forma punto pendiente. De haberlo hecho habríamos obtenido de cualquier manera la ecuación y  x  5.Verifíquelo. ✺

Utilizar la forma punto pendiente para construir modelos a partir de gráficas Ahora veamos una aplicación en donde se utiliza la forma punto pendiente para determinar una función que nos permita modelar una situación dada.

EJEMPLO 3

Quema de calorías Los especialistas en acondicionamiento físico recomiendan a quienes desean quemar calorías y perder peso, que hagan ejercicio consistentemente durante largos periodos. El número de calorías que se queman al conducir una bicicleta durante una hora, es una función lineal de la velocidad a la que se realiza el ejercicio. En promedio, una persona que conduce a 12 millas por hora quemará alrededor de 564 calorías en una hora, y si conduce a 18 mph quemará más o menos 846 calorías en el mismo tiempo. Esta información se muestra en la siguiente gráfica (figura 3.67). a) Determine una función lineal que pueda utilizarse para calcular el número de calorías, C, que se queman en una hora cuando se conduce una bicicleta a r mph, para 6  r  24.

Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 183

Calorías que se queman al conducir una bicicleta Calorías quemadas por hora

C 1200 1000

846

800 564

600 400 200 0

0

3

6

9

12

15

18

21

24

r

Millas por hora

FIGURA 3.67

Fuente: Asociación Cardiaca de Estados Unidos.

b) Utilice la función determinada en la parte a) para calcular el número de calorías que se queman en una hora cuando se conduce una bicicleta a 20 mph. c) Utilice la función determinada en la parte a) para calcular la velocidad a la que se tiene que conducir una bicicleta para quemar 1000 calorías en una hora.

Solución

a) Entienda el problema y traduzca En este ejemplo, en lugar de utilizar las variables x y y como en los ejemplos 1 y 2, empleamos las variables r (para velocidad) y C (para calorías). Sin importar las variables que se utilicen, el procedimiento para determinar la ecuación de la recta es el mismo. Para determinar la función necesaria, usaremos los puntos (12, 564) y (18, 846) y procederemos como en el ejemplo 2. Primero calcularemos la pendiente y después utilizaremos la forma punto pendiente para determinar la ecuación de la recta. Realice los cálculos

m = =

C2 - C1 r2 - r1 846 - 564 282 = = 47 18 - 12 6

Ahora escribimos la ecuación por medio de la forma punto pendiente. Seleccionaremos el punto (12, 564) para (r1, C1).

C - C1 C - 564 C - 564 C

= = = =

m1r - r12 471r - 122 47r - 564 47r

Forma punto pendiente. Forma pendiente intersección.

Responda Como el número de calorías quemadas, C, es una función de la velocidad, r, la función que buscamos es

C1r2 = 47r b) Para calcular el número de calorías que se queman en una hora mientras se conduce a 20 mph, sustituimos r por 20 en la función.

C1r2 = 47r C1202 = 471202 = 940 Por lo tanto, cuando se conduce a 20 millas por hora durante una hora, se queman 940 calorías.

184 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

c) Para calcular la velocidad a la que debe conducirse una bicicleta para quemar 1000 calorías en una hora, sustituimos C(r) por 1000 en la función.

C1r2 = 47r 1000 = 47r 1000 = r 47 r L 21.28 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53

Por lo tanto, para quemar 1000 calorías en una hora es necesario conducir la bicicleta a más o menos 21.28 mph. ✺ En el ejemplo 3, la función que se obtuvo fue C(r)  47r. La línea resultante al graficar esta función tiene una pendiente de 47 y una intersección del eje y en (0, 0). Si la recta de gráfica que se muestra en la figura 3.67 se prolongase hacia la izquierda, intersectaría el origen. Esto tiene sentido, ya que si se condujera la bicicleta a una velocidad de cero millas por hora, se quemarían cero calorías en una hora.

3

Reconocer rectas paralelas y perpendiculares En la figura 3.68 se ilustran dos rectas paralelas.

Rectas paralelas

y

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. l1 x l2

Todas las rectas verticales son paralelas aunque sus pendientes sean indefinidas. En la figura 3.69 se ilustran rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan entre sí en ángulos rectos (es decir, de 90°). Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocos de signo contrario.

FIGURA 3.68 Rectas perpendiculares

El recíproco de signo contrario de cualquier número a distinto de cero es

y l1

-1 o a

1 -1 1 - . Por ejemplo, el recíproco negativo de 2 es o - . El producto de cualquier núa 2 2 mero distinto de cero multiplicado por su recíproco negativo es 1. x

1 aa- b = - 1 a

l2

Observe que cualquier recta vertical es perpendicular a cualquier recta horizontal, aun cuando no se pueda aplicar la regla del recíproco negativo, debido a que es imposible dividir entre cero.

FIGURA 3.69

EJEMPLO 4 Solución

Dos puntos de la recta l1 son (6, 3) y ( 2, 3). Dos puntos de la recta l2 son (0, 2) y (6, 2). Determine si l1 y l2 son rectas paralelas o perpendiculares. Determine las pendientes de l1 y l2.

m1 =

3 - 1- 32 6 - 2

=

6 3 = 4 2

m2 =

2 - 1-22 0 - 6

=

2 4 = -6 3

Como sus pendientes son diferentes, l1 y l2 no son paralelas. Para ver si son perpendiculares, necesitamos determinar si sus pendientes son recíprocos negativos.

Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 185

Si m1m2  1, las pendientes son recíprocos de signo contrario y, por lo tanto, las rectas son perpendiculares.

m1 m2 = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15

3 2 a- b = - 1 2 3

Como el producto de las pendientes es igual a 1, las rectas son perpendiculares.

✺

EJEMPLO 5

Considere la ecuación 2x  4y  8. Determine la ecuación de la recta que tiene una intersección del eje y de 5 y es a) paralela a la recta dada y b) perpendicular a la recta dada.

Solución

a) Si conocemos la pendiente de una recta y su intersección del eje y, podemos utilizar la forma pendiente intersección, y  mx  b, para escribir la ecuación. Empezaremos por despejar y de la ecuación dada.

2x + 4y = 8 4y = - 2x + 8 -2x + 8 y = 4 1 y = - x + 2 2 Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente 1 1 de la recta paralela a la línea dada debe ser - 2. Como su pendiente es - 2 y su intersección y es 5, su ecuación debe ser

1 y = - x + 5 2 Las gráficas resultantes de 2x  4y  8 y y = - 12 x + 5 se muestran en la figura 3.70.

y 7

y  2x  5

6 5

y  qx  5

3 2 1 4 3 2 1 1 2 3

1

2

3

4

6

7

8

9 10 11 12

x

2x  4y  8

FIGURA 3.70

b) Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocos negativos. Sabemos que la pendiente de la recta dada es - 12 . Por lo tanto, la pendiente de la recta perpendicular debe ser - 1> A - 12 B o 2. La recta perpendicular a la línea dada tiene una intersección del eje y de 5. Así, la ecuación es

y = 2x + 5 En la figura 3.70 se muestra también la gráfica resultante de y  2x  5.

✺

186 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

EJEMPLO 6

Considere la ecuación 5y = - 10x + 7.

a) Determine la ecuación de la recta que pasa por A 4, 3 B , y que es perpendicular a la 1

recta que resulta al graficar la ecuación dada. Escriba la ecuación en la forma general. b) Escriba la ecuación que determinó en la parte a) por medio de la notación de funciones.

Solución

a) Determine la pendiente de la recta dada despejando y de la ecuación.

5y = - 10x + 7 y =

-10x + 7 5

y = - 2x +

7 5

Como la pendiente de la recta dada es 2, la pendiente de una recta perpendicular a 1 ella debe ser el recíproco negativo de 2, que es 2 . La recta que buscamos debe pasar 1 por el punto A 4, 3 B . Por medio de la forma punto pendiente, obtenemos

y - y1 = m1x - x12 y -

1 1 = 1x - 42 3 2

Forma punto pendiente.

Ahora multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, 6, para eliminar las fracciones.

6ay -

y 4 3 2 1

6y - 2 = 31x - 42

3x  6y  10 (4, a)

2 1 1

3

3

4

6y - 2 = 3x - 12 5

6

x

Después escribimos la ecuación en la forma general.

-3x + 6y - 2 = - 12

5y  10x  7

4

1 1 b = 6c 1x - 42 d 3 2

-3x + 6y = - 10

FIGURA 3.71

Forma general.

Observe que 3x  6y  10 también es una respuesta aceptable (vea la figura 3.71). b) Para escribir la ecuación utilizando la notación de funciones, despejamos y de la ecuación determinada en la parte a), y luego la reemplazamos por f(x).

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 39

SUGERENCIA

Dejaremos que usted demuestre que la función es f1x2 =

1 5 x - . 2 3

✺

En la siguiente tabla se resumen las tres formas en que se puede presentar una ecuación lineal, de acuerdo con lo que hemos estudiado, y se menciona cuándo puede ser útil cada una de ellas. Forma general:

Útil cuando se quieren determinar las intersecciones de una gráfica

ax + by = c

La usaremos en el capítulo 4, Sistemas de ecuaciones y desigualdades

(continúa en la página siguiente)

Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 187

Forma pendiente intersección:

Se emplea para determinar la pendiente y la intersección del eje y de una recta

y = mx + b

Se utiliza para determinar la ecuación de una recta a partir de su pendiente y su intersección del eje y Se usa para determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares Se utiliza para graficar una ecuación lineal

Forma punto pendiente:

Se emplea para determinar la ecuación de una recta a partir de su pendiente y de uno de sus puntos

y - y1 = m1x - x12

Se utiliza para determinar la ecuación de una recta a partir de dos de sus puntos

Conjunto de ejercicios 3.5 Ejercicios conceptuales 1. Indique la forma punto pendiente de una ecuación lineal. 2. ¿Cómo se puede determinar si dos rectas son paralelas? 3. ¿Cómo se puede determinar si dos rectas son perpendiculares?

4. ¿Por qué no puede utilizarse la prueba del recíproco negativo para determinar si una recta vertical es perpendicular a una recta horizontal?

Problemas de aplicación Utilice la forma punto pendiente para determinar la ecuación de una recta con las propiedades dadas. Luego escriba la ecuación en la forma pendiente intersección.

5. Pendiente  2, pasa por (1 , 1)

6. Pendiente  1, pasa por (2 , 3)

1 7. Pendiente  - , pasa por (4, 1) 2

7 8. Pendiente  - , pasa por (8, 2) 8

1 9. Pendiente  , pasa por (1, 5) 2

2 10. Pendiente  - , pasa por (1, 2) 3

11. Pasa por (4, 6) y (4, 6).

12. Pasa por (4, 2) y (1, 9).

13. Pasa por (4, 3) y (6, 2).

14. Pasa por (4, 3) y (1, 2).

Se dan dos puntos de l1 y dos puntos de l2. Determine si l1 es paralela a l2, si l1 es perpendicular a l2, o si ninguna de estas condiciones se cumple.

15. l1 : 12, 02 y 10, 22; l2 : 15, 02 y 10, 52

16. l1 : 13, 22 y 1- 1, 52; l2 : 15, -12 y 19, -42

19. l1 : 13, 22 y 1 -1, - 22; l2 : 12, 02 y 13, - 12

20. l1 : 10, 22 y 16, -22; l2 : 14, 02 y 16, 32

17. l1 : 11, 12 y 15, 72; l2 : 1- 1, - 12 y 11, 42

18. l1 : 1- 3, 42 y 14, -32; l2 : 1- 5, -62 y 16, -52

Determine si las dos ecuaciones representan líneas paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas.

1 x + 1 5 y = - 5x + 2

21. y =

25. 4x + 2y = 6

- x + 4y = 4

22. 2x + 3y = 6

2 y = - x + 5 3 26. 6x + 2y = 8

4x - 9 = - y

23. 4x + 2y = 8

8x = 4 - 4y 1 x - 6 2 -3y = 6x + 9

27. y =

24. 2x - y = 4

2x + 4y = 8 28. 2y - 6 = - 5x

5 y = - x - 2 2

188 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones 1 x + 3 2 - 2x + 4y = 8

29. y =

30. - 4x + 6y = 12

2x - 3y = 6

31. x - 3y = - 9

y = 3x + 6

32.

1 3 x - y = 1 2 4 3 2 x + y = -1 5 5

Determine la ecuación de una recta con las propiedades dadas. Escriba la ecuación en la forma indicada. 33. Pasa por (2, 5) y es paralela a la gráfica de y  2x  4 (forma pendiente intersección). 34. Pasa por (3, 2) y es paralela a la gráfica de 4x  2y  6 (forma pendiente intersección). 35. Pasa por (3, 5) y es paralela a la gráfica de 2x  5y  7 (forma general). 36. Pasa por (1, 3) y es perpendicular a la gráfica de y  2x  1 (forma general). 37. Con intersección del eje x en (3, 0) e intersección del eje y en (0, 5) (forma pendiente intersección). 38. Pasa por (2, 1) y es perpendicular a la gráfica de

39. Pasa por (5, 1) y es perpendicular a la gráfica de

y =

1 x + 1 (notación de funciones). 3

40. Pasa por (3, 4) y es perpendicular a la recta con intersección del eje x en (2, 0) e intersección del eje y en (0, 2) (forma general). 41. Pasa por (6, 2) y es perpendicular a la recta con intersección del eje x en (2, 0) e intersección del eje y en (0, 3) (forma pendiente intersección). 42. Pasa por el punto (2, 1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (3, 5) y (2, 3) (notación de funciones).

1 f1x2 = - x + 1 (notación de funciones). 5

Resolución de problemas 43. Rutina en una caminadora El número de calorías que se queman en una hora de ejercicio en una caminadora es una función de la velocidad que se emplea. Una persona promedio que se ejercita en una caminadora (con una inclinación de 0°) a una velocidad de 2.5 millas por hora, quemará alrededor de 210 calorías.A 6 millas por hora, esta persona quemará más o menos 370 calorías. Sea C las calorías que se queman en una hora y s la velocidad de la caminadora. a) Determine una función lineal C(s) que se ajuste a los datos. b) Calcule las calorías que quema una persona promedio ejercitándose 1 hora en la caminadora a una velocidad de 5 millas por hora.

44. Caminadora inclinada El número de calorías que se queman por hora al hacer ejercicio en una caminadora a velocidad constante, es una función de la inclinación de la misma. A 4 mph por hora y con una inclinación de 5°, una persona promedio quemará 525 calorías; a 4 mph y con una inclinación de 15°, la misma persona quemará 880 calorías. Sea C las calorías quemadas y d los grados de inclinación de la caminadora. a) Determine una función lineal C(d) que se ajuste a los datos. b) Calcule el número de calorías que quema una persona promedio al ejercitarse durante una hora en una caminadora a 4 millas por hora y con una inclinación de 7°.

45. Demanda de reproductores de DVD La demanda de un producto se refiere al número de ejemplares de ese producto que el público está dispuesto a comprar a un precio dado. Suponga que la demanda, d, de reproductores de DVD vendidos en un mes es una función lineal del precio, p, para $150  p  $400. Si el precio es $200, entonces se venderán 50 aparatos de DVD por mes. Si el precio es $300, sólo se venderán 30. a) Usando los pares ordenados de la forma (p, d), escriba una ecuación en que la demanda, d, sea una función del precio, p. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la demanda cuando el precio de los reproductores de DVD es $260. c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el precio de los reproductores de DVD si su demanda es 45. 46. Demanda de comida rápida El gerente de mercadotecnia de un restaurante de comida rápida determina que la demanda, d, de una nueva ensalada de pollo es una función lineal de su precio, p, para $0.80  p  $4.00. Si el precio es $1.00, entonces cada mes se venderán 530 ensaladas de pollo; si el precio es $2.00, sólo se venderán 400 ensaladas al mes. a) Usando los pares ordenados de la forma (p, d), escriba una ecuación en que la demanda, d, sea una función del precio, p. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la demanda cuando el precio de las ensaladas de pollo es $1.50. c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el precio de las ensaladas de pollo si su demanda es 205. 47. Oferta de yoyos La oferta de un producto se refiere al número de ejemplares de ese producto que un vendedor está dispuesto a vender a un precio dado. La empresa que fabrica un nuevo tipo de yoyo para niños determina que el número de yoyos que está dispuesta a proveer, s,

Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 189

a) Usando los pares ordenados de la forma (p, s), escriba una ecuación en donde la oferta, s, sea una función del precio, p. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la oferta cuando el precio de una carriola es de $206.00. c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el precio a pagar si la oferta es de 35 carritos. 49. Gasto de gasolina La cantidad de millas por galón de gasolina, m, que puede recorrer un automóvil, es una función lineal de la velocidad, s, a la que éste se conduce, para 40  s  90. Si el automóvil se conduce a 45 mph, el rendimiento de la gasolina es de 40 millas por galón. Si el automóvil se conduce a 90 mph, el rendimiento de la gasolina es de 25 millas por galón. Fuente: htp://physics.nadn.navy.mil/physics/faculty/ schneider/buick.htm a) Utilice esta información para escribir el rendimiento, en millas por galón de gasolina, m, como una función de la velocidad, s del automóvil. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el rendimiento, en millas por galón, del automóvil conducido a una velocidad de 60 mph. c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la velocidad a la cual se debe conducir el automóvil para obtener un rendimiento de 30 millas por galón de gasolina. 50. Gasto de gasolina La cantidad de millas por galón de gasolina, m, de otro automóvil es una función lineal de la velocidad, s, a la que éste se conduce, para 40  s  90. Si este automóvil se conduce a 45 mph, su rendimiento es de 50 millas por galón; si el automóvil se conduce a 90 mph, su rendimiento es de 20 millas por galón.

a) Utilice esta información para escribir el rendimiento de este automóvil, en millas por galón de gasolina, m, como una función de la velocidad, s. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el rendimiento, en millas por galón de gasolina, si el automóvil se conduce a una velocidad de 60 mph. c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la velocidad a la que debe conducirse este automóvil para obtener un rendimiento de 30 millas por galón de gasolina. 51. Salario oficial El pago mensual que recibe un oficial del ejército, es una función lineal de los años que ha dedicado al servicio. Un oficial con diez años de servicio recibe $3477 al mes, mientras que otro con 20 años de servicio recibe $4168 al mes. a) Utilice estos datos para escribir el pago mensual, p, como una función de los años de servicio, s. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el salario mensual que recibe un oficial con 18 años de servicio. c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el número de años de servicio necesarios para que un oficial gane un salario mensual de $4000. 52. Salario magisterial El salario anual de un profesor universitario es una función lineal del número de años que se ha dedicado a la docencia. Un profesor con nueve años de experiencia recibe $26,350; un profesor con 15 años de experiencia recibe $31,687. a) Utilice estos datos para escribir el salario anual, s, de un profesor, como una función del número de años de experiencia como docente, n. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el salario anual de un profesor con diez años de experiencia. c) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule el número de años de experiencia que debe tener un profesor para ganar un salario anual de $30,000. 53. Esperanza de sobrevida Cómo puede verse en la siguiente gráfica, la esperanza de sobrevida de una persona, en número de años, y, es casi una función lineal. La esperanza de sobrevida es una función de la edad actual, a, de la persona, para 30  a  80. Por ejemplo, con base en la gráfica vemos que una persona de 50 años tiene un esperanza de sobrevida de 36.0 años más.

Esperanza de sobrevida y Años adicionales

es una función lineal de su precio de venta p, para $2.00  p  $4.00. Si un yoyo se vende a $2.00, entonces se pondrán a la venta 130 al mes; si se venden a $4.00, entonces se pondrán a la venta 320 al mes. a) Usando los pares ordenados de la forma (p, s), escriba una ecuación en donde la oferta, s, sea una función del precio, p. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la oferta cuando el precio de los yoyos es de $2.80 cada uno. c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el precio a pagar si la oferta es de 225 yo-yos. 48. Oferta de carriolas El fabricante de carreolas para bebé determina que la oferta, s, es una función lineal de su precio de venta, p, para $200  p  $300. Si una carreola se vende a $210.00, entonces se pondrán a la venta 20 al mes. Si una carreola se vende a $230.00, entonces se pondrán a la venta 30 al mes.

60 50 36.0

40 30

18.7

20 10 0

30

40

50

60

Edad actual Fuente: TIAA/CREF.

70

80

a

190 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Valor de un violín Gesù

Percentiles de estatura y peso por edad

V 20 15 10.5 10 5 0

3.5

261

275

290

a

Edad del violín (años) Fuente: Machold Rare Violins, LTD.

Peso

Valor proyectado (millones)

Niños: 0 a 36 meses

Estatura

c) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule la edad actual de una persona que tiene un esperanza de sobrevida de 25 años. 54. Los violines Gesù Los violines Gesù fabricados a mano alrededor de 1735 por el italiano Giuseppe Antonio Guarneri, son extremadamente raros y valiosos. La siguiente gráfica muestra que el valor proyectado, v, de un violín Gesù, es una función lineal de su antigüedad en años, a, para 261  a  290.

cm 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 8 7 6 5 4 3 kg

95°

(18, 87)

50° 5° 95°

(18, 14) 50° 5°

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

(36, 102) cm 100 95 90 (36, 17.4) 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 kg 30

33

Estatura

b) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule la esperanza de sobrevida de una persona que actualmente tiene 37 años de edad.

55. Peso El siguiente diagrama muestra la altura y peso de un grupo de niños varones desde el nacimiento hasta los 36 meses de edad, en percentiles. En general, las gráficas que lo integran no son resultado de funciones lineales; sin embargo, ciertas partes de ellas pueden calcularse mediante una función lineal. Por ejemplo, la gráfica que representa el percentil 95 del peso de los niños (la línea superior de la sección Peso,) entre 18 y 36 meses de edad, es más o menos lineal.

Peso

a) A partir de los dos puntos indicados en la gráfica, determine la función y(a) que puede usarse para obtener la gráfica.

36

Edad (meses)

a) Determine la función v(a) representada por esta línea. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el valor proyectado de un violín Gesù con 280 años de antigüedad. c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la edad de un violín Gesù con un valor proyectado de $15 millones.

Fuente: Centro Nacional para Estadísticas de Salud

a) Utilice los puntos que se muestran en la gráfica del percentil 95 para escribir el peso, w, como una función lineal de la edad, a, para niños entre 18 y 36 meses. b) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule el peso de un niño de 22 meses que forma parte del percentil 95 de peso. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponden. 56. Estatura El diagrama del ejercicio 55 muestra que la gráfica del percentil 95 de estaturas (la línea superior) de los niños en edad de 18 a 36 meses, es más o menos lineal. a) Utilice los puntos que se muestran en la gráfica del percentil 95 para escribir la estatura, l, como una función lineal de la edad, a, para niños entre 18 y 36 meses. b) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule la estatura de un niño de 21 meses que forma parte del percentil 95. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponden.

Guarneri del Gesù, “Sainton”, 1741.

Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 191

Actividad en equipo 57. La siguiente gráfica muestra el crecimiento de la circunferencia de la cabeza de un grupo de niñas. La línea central representa la circunferencia promedio de la cabeza de todas las niñas para la edad dada, mientras que las líneas inferior y superior representan los límites respecto del rango normal. Analice y responda en equipo las siguientes preguntas.

g) Esta gráfica es casi lineal. Determine una ecuación o función que pueda usarse para calcular la línea central entre (2, 48) y (18, 55).

Circunferencia de la cabeza 58

a) Explique por qué la gráfica de la circunferencia promedio de la cabeza representa una función.

c) ¿Cuál es el dominio de la gráfica de la circunferencia promedio de la cabeza? ¿Cuál es el rango?

Centímetros

b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?

56

d) ¿Cuál es el intervalo considerado como normal para niñas de 18 años?

52 50 48 46

e) En esta gráfica, ¿la circunferencia de la cabeza es una función de la edad, o la edad es una función de la circunferencia de la cabeza? Explique su respuesta. f) Calcule la circunferencia promedio de la cabeza de las niñas a los 10 y a los 14 años.

54

44

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Edad (años) Fuente: Centro Nacional para Estadísticas de Salud de Estados Unidos

Ejercicios de repaso acumulativo b) ¿Qué es una función?

[2.5] 58. Resuelva la desigualdad 4 - 12 x 7 2x + 3 e indique la solución en notación de intervalos. 59. Cuando ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo, ¿qué debe hacer?

c) Dibuje una gráfica que represente una relación pero que no sea una función. 61. Determine el dominio del rango de la función {(4, 3), (5, 2), (3, 2) (6, 1)}.

[3.2] 60. a) ¿Qué es una relación?

3.6 ÁLGEBRA DE FUNCIONES

1

1

Determinar la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones.

2

Representar gráficamente la suma de funciones.

Determinar la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones A continuación analizaremos algunas formas en las que se pueden combinar las funciones. Si determinamos que f(x)  x  2 y g(x)  x2  2x, podemos encontrar f(5) y g(5) como sigue.

f1x2 = x + 2 f152 = 5 + 2 = 7 Si sumamos f(x)  g(x), obtenemos

g1x2 = x2 + 2x g152 = 52 + 2152 = 35

f1x2 + g1x2 = 1x + 22 + 1x2 + 2x2 = x2 + 3x + 2

192 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Esta nueva función, conformada por la suma de f(x) y g(x), se designa como (f  g) (x). Por lo tanto, podemos escribir

1f + g21x2 = x2 + 3x + 2 Determinamos (f  g)(5) como sigue.

1f + g2152 = 52 + 3152 + 2 = 25 + 15 + 2 = 42 Observe que

f152 + g152 = 1f + g2152 7 + 35 = 42

Verdadero

De hecho, para cualquier número real con que sustituya x, encontraremos que

f1x2 + g1x2 = 1f + g21x2 Existe una notación similar para la resta, la multiplicación y la división de funciones. Operaciones sobre funciones Si f(x) representa una función, g(x) representa una segunda función y x está en el dominio de ambas, entonces pueden realizarse las siguientes operaciones sobre funciones. Suma de funciones: (f  g)(x)  f(x)  g(x) Diferencia de funciones: (f  g)(x)  f(x)  g(x) Producto de funciones: (f  g)(x)  f(x)  g(x) Cociente de funciones: 1f>g21x2 =

EJEMPLO 1

g1x2

, siempre que g(x)  0.

Si f(x)  x2  x  6 y g(x)  x  2, determine a) 1f + g21x2

b) 1f - g21x2

c) 1g - f21x2

Solución

f1x2

d) ¿Cuándo 1f - g21x2 = 1g - f21x2?

Para responder las partes de a) a c), realizamos las operaciones indicadas. a) 1f + g21x2 = f1x2 + g1x2

= 1x2 + x - 62 + 1x - 22 = x2 + x - 6 + x - 2 = x2 + 2x - 8

b) 1f - g21x2 = f1x2 - g1x2

= 1x2 + x - 62 - 1x - 22 = x2 + x - 6 - x + 2 = x2 - 4

c) 1g - f21x2 = g1x2 - f1x2

= 1x - 22 - 1x2 + x - 62 = x - 2 - x2 - x + 6 = - x2 + 4

d) Al comparar las respuestas de las partes b) y c), vemos que AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11

EJEMPLO 2

1f - g21x2 Z 1g - f21x2

Si f(x)  x2  4 y g(x)  x  2, determine a) 1f - g2162 b) 1f # g2142 c) 1f>g2182

✺

Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 193

Solución

a) 1f - g21x2 = f1x2 - g1x2

= 1x2 - 42 - 1x - 22 = x2 - x - 2

1f - g2162 = 62 - 6 - 2

= 36 - 6 - 2 = 28

También podríamos haber encontrado la solución como sigue:

f1x2 = x2 - 4 f162 = 62 - 4 = 32

g1x2 = x - 2 g162 = 6 - 2 = 4

1f - g2162 = f162 - g162 = 32 - 4 = 28

b) Encontraremos (f  g)(4) utilizando el hecho de que 2

1f # g2142 = f142 # g142

f1x2 = x - 4 f142 = 42 - 4 = 12

g1x2 = x - 2 g142 = 4 - 2 = 2

Así f(4)  g(4)  12  2  24. Por lo tanto, (f  g)(4)  24. También podríamos haber encontrado (f  g)(4) multiplicando f(x)  g(x) y sustituyendo luego 4 en el producto. Analizaremos cómo hacer esto en la sección 5.2. c) Determinaremos (f/g)(8) por medio del hecho de que 2

1f>g2182 = f182>g182

f1x2 = x - 4 f182 = 82 - 4 = 60

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31

g1x2 = x - 2 g182 = 8 - 2 = 6

Entonces f(8)/g(8)  60/6  10. Por lo tanto, (f/g)(8)  10.También podríamos haber encontrado (f/g)(8) dividiendo f(x)/g(x) y sustituyendo luego 8 en el cociente. Analizaremos cómo hacer esto en el capítulo 5. ✺ Observe que hemos incluido la frase “y x está en el dominio de ambas funciones” en el cuadro Operaciones sobre funciones de la página 192. Como se mencionó anteriormente, el dominio de una función es el conjunto de valores que pueden ser usados por la variable independiente. Por ejemplo, el dominio de la función f(x)  2x2  6x  5 es todos los números reales, ya que cuando x es cualquier número real, f(x) también será un número real. El dominio de g1x2 =

1 es todos los números reales excepto x - 3

3, ya que cuando x es cualquier número real excepto 3, la función g(x) es un número 1 real. Cuando x es 3, la función no es un número real, ya que 0 es indefinido. Estudiaremos el dominio de funciones con mayor detalle en la sección 6.1.

2

Representar gráficamente la suma de funciones Ahora explicaremos cómo podemos representar gráficamente la suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos funciones. La figura 3.72 en la página 194, muestra dos funciones, f(x) y g(x). Para graficar la suma de f(x) y g(x), o (f  g)(x), utilizamos (f  g)(x)  f(x)  g(x). La siguiente tabla proporciona los valores enteros de x desde 2 hasta 4, los valores de f(2) a f(4) y los valores de g(2) a g(4). Estos valores se tomaron directamente de la figura 3.72. Los valores de (f  g)(2) a (f  g)(4) se determinaron sumando los valores de f(x) y g(x). La gráfica de (f  g)(x)  f(x)  g(x) se ilustra como línea discontinua en la figura 3.73.

194 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones y

y

5

5

4

4

(f  g)(x) g(x)

g(x)

3

2

1

1

2

3

4

5

x

3

1

2

1

1

2

3

4

5

x

1

2

2

f(x)

3

f (x)

3

FIGURA 3.73

FIGURA 3.72

( f  g)(x)

x

f (x)

-2

1

-3 + 1 = -2

-1

-3 0

1

0 + 1 = 1

0

3

1

3 + 1 = 4

1

3

-2

2

3

0

3

-2

0

-2 + 0 = -2

4

-3

3

-3 + 3 = 0

g(x)

3 + 1- 22 = 1 3 + 0 = 3

Podríamos graficar la diferencia, el producto o el cociente de dos funciones usando una técnica similar. Por ejemplo, para graficar la función producto (f  g)(x), podríamos evaluar (f  g)(2) como sigue:

1f # g21 -22 = f1-22 # g1-22 = 1- 32112 = - 3

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43

EJEMPLO 3

Así, la gráfica de (f  g)(x) tendría un par ordenado en (2, 3). Otros pares ordenados se determinarían siguiendo el mismo procedimiento. En periódicos y revistas encontramos con frecuencia gráficas que muestran la suma de dos funciones; este tipo de gráficas por lo general se ilustra de dos formas. En el ejemplo 3 se muestra una de ellas, y la otra en el ejemplo 4. Cuentas en fondos mutualistas El número de cuentas en fondos mutualistas se ha elevado de manera importante desde 1980. La siguiente gráfica muestra las cuentas en tres categorías de fondos mutualistas, y el total de estas tres categorías para años seleccionados entre 1980 y 2000. a) ¿Cómo se determina la gráfica del número total de cuentas, T, a partir de las gráficas de las cuentas en acciones, S, en bonos/híbridos, B, y en mercado de valores, M? b) ¿En qué periodo de cinco años aumentó más el número de cuentas en acciones? c) Si y representa el año, describa qué representa la función (B  M)(y).

Solución

a) En la figura 3.74, las gráficas para cuentas en acciones, bonos/híbridos y mercado de valores se muestran de forma separada en los mismos ejes. La gráfica para el total de estas cuentas se obtiene sumando el número de cuentas en acciones, bonos/híbridos y en mercado de valores. Por ejemplo, en 1995 había alrededor de 70 millones de cuentas en acciones, casi 30 millones de cuentas en bonos/híbridos y alrededor de

Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 195

Número de cuentas (millones)

Cuentas en fondos mutualistas 250

Total (T ) 200

Acciones (S ) 150 100

Mercado de valores (M )

50

Bonos/híbridos (B ) 0 1980

1985

1990

2000

1995

Año

FIGURA 3.74

Fuente: Instituto de Compañías de Inversión de Estados Unidos.

25 millones de cuentas en mercado de valores. La suma de estos números es igual a 125 millones, que es el número total de cuentas que se muestra en la gráfica para 1995. Otros puntos en la gráfica del total de cuentas se determinan de la misma manera. b) De 1980 a 1985 y de 1985 a 1990, el aumento del número de cuentas en acciones fue mucho menor que 50 millones. De 1990 a 1995 el aumento en el número de cuentas en acciones fue de más o menos 50 millones. Entre 1995 y 2000 el aumento fue mucho mayor que 50 millones. Por lo tanto, el aumento más grande en el número de cuentas de acciones tuvo lugar de 1995 a 2000.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57

c) Si y representa el año, entonces B(y) representa el número de cuentas en bonos/ híbridos y M(y) representa el número de cuentas en mercado de valores en el año y. La función (B  M)(y) es igual a B(y)  M(y). Por consiguiente, (B  M)(y) se refiere a la suma del número de cuentas en bonos/híbridos y el número de cuentas en mercado de valores en el año y. ✺ En el ejemplo 4 también se muestra la suma de funciones; esta vez, las categorías “se apilan” una encima de la otra. Uso del gas natural La gráfica de la figura 3.75 muestra el uso de gas natural en Estados Unidos, de acuerdo con tres categorías: residencial/comercial, industrial y servicio público/transporte para años seleccionados entre 1950 y 2000. La cantidad de gas natural que se emplea en cada categoría es una función del año. La cantidad total de gas natural que se utiliza, indicada por la línea superior, también es una función del año. Uso del gas natural en Estados Unidos 40

Pies cúbicos (billones)

EJEMPLO 4

30

Servicio público/transporte 20

Industrial

10

Residencial/comercial 0 1950

1960

1970

1980

1990

Año

FIGURA 3.75

Fuente: Departamento de Energía de Estados Unidos.

2000

196 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

a) Calcule la cantidad de gas natural destinado al uso residencial/comercial en 2000. b) Calcule la cantidad de gas natural destinado al uso industrial en 2000. c) Calcule la cantidad de gas natural destinado al uso en servicio público/transporte en 2000. d) Calcule la cantidad total de gas natural utilizado en 2000.

Solución

a) Al leer la gráfica, vemos que la cantidad de gas natural destinado al uso residencial en 2000 (indicada por el área inferior de la gráfica) fue de más o menos 8 billones de pies cúbicos. b) La siguiente área de la gráfica representa la cantidad de gas natural destinado al uso industrial. En 2000, esta área inicia en 8 billones y termina aproximadamente en 19 billones. La diferencia entre estos dos valores, 19 billones8 billones, es 11 billones. Por lo tanto, más o menos 11 billones de pies cúbicos de gas natural fueron destinados al uso industrial en 2000. c) La siguiente área de la gráfica representa la cantidad de gas natural destinada al servicio público/transporte. En 2000, esta área inicia en 19 billones y termina en aproximadamente 39 billones. La diferencia entre estos dos valores, 39 billones19 billones, es 20 billones. Por lo tanto, alrededor de 20 billones de pies cúbicos de gas natural se destinaron al uso de servicio público/transporte en 2000.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59

d) En 2000, la cantidad total de gas natural utilizado en Estados Unidos fue de casi 39 billones de pies cúbicos. Esto puede interpretarse directamente a partir de la gráfica. Observe también que 39 billones es el resultado de sumar las cantidades determinadas en las partes a), b) y c). ✺ En el ejemplo 4, la cantidad total de gas natural utilizado en cualquier año es la suma del gas natural destinado a las tres categorías. Por ejemplo, si sumamos las respuestas obtenidas en las partes a), b) y c), obtenemos 8  11  20  39. Así, en 2000 se utilizaron alrededor de 39 billones de pies cúbicos de gas natural. La línea superior de la gráfica muestra la cantidad total de gas natural usado.

Cómo utilizar su calculadora graficadora Las calculadoras graficadoras pueden graficar las sumas, diferencias, productos y cocientes de las funciones. Una manera de lograrlo es introducir las funciones de forma individual. Luego, siguiendo las instrucciones que vienen con su calculadora, puede sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas. Por ejemplo, la pantalla de la figura 3.76 muestra una TI83 Plus preparada para graficar Y1  x  3, Y2  2x  4, y la suma de las funciones, Y3  Y1  Y2. Para obtener Y3  Y1  Y2 en la TI83 Plus, presione la tecla VARS . Luego mueva el cursor a YVARS y seleccione 1: Function. Ahora presione: Function. Ahora presione: presione

1 para introducir Y1; luego

, presione VARS y vaya a YVARS para seleccionar 1:Function. Por último, presione 2 para

introducir Y2. La figura 3.77 muestra las gráficas de las dos funciones y la gráfica de la suma de las funciones. Y1  Y2 Y1 Y2

FIGURA 3.76

FIGURA 3.77

Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 197

Conjunto de ejercicios 3.6 Ejercicios conceptuales 1. Para todos los valores de x, ¿f(x)  g(x)  (f  g)(x)? 2. Para todos los valores de x, ¿f(x)  g(x)  (f  g)(x)? 3. ¿Qué restricción se impone a la propiedad f(x)/g(x)  (f/g)(x)? Explique. 4. Para todos los valores de x, ¿(f  g)(x)  (g  f)(x)? Explique y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta. 5. Para todos los valores de x, ¿(f  g)(x)  (g  f)(x)? Explique y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta. 6. Si f(2)  9 y g(2)  3, determine

a) 1f + g2122

b) 1f - g2122

c)

d)

1f # g2122

1f>g2122

7. Si f1- 22 = - 3 y g1 -22 = 5, determine a) 1f + g21 -22

b)

c)

d)

1f # g21 - 22

1f - g21 -22 1f>g21 -22

8. Si f172 = 6 y g172 = 0, determine a) 1f + g2172 c)

b) 1f - g2172

1f # g2172

d) 1f>g2172

Problemas de aplicación Para cada par de funciones, determine a) (f  g)(x), b) (f  g)(a) y c) (f  g)(2). 9. f1x2 = x + 1, g1x2 = x 2 + x

10. f1x2 = x 2 - x - 2, g1x2 = x 2 + 1

11. f1x2 = - 3x 2 + x - 4, g1x2 = x 3 + 3x2

12. f1x2 = 4x 3 + 2x 2 - x - 1, g1x2 = x 3 - x 2 + 2x + 3

13. f1x2 = 4x 3 - 3x 2 - x, g1x2 = 3x 2 + 4

14. f1x2 = 3x 2 - x + 4, g1x2 = 6 - 4x 2

Sea f(x)  x2  4 y g(x)  5x  3. Determine: 15. f132 + g132

16. f172 + g172

17. f1-22 - g1-22

18. fa b - g a b

19. f132 # g132

20. f1- 42 # g1- 42

22. f1 -22>g1 - 22

23. g1 -32 - f1- 32

25. g102>f102

26. f122>g122

1 4

21.

f A 35 B

1 4

g A 35 B

24. g162 # f162

Sea f(x)  2x2  x y g(x)  x  6. Determine: 27. 1f + g21x2

28. 1f + g21a2

29. 1f + g2102

30. 1f + g21 - 12

31. 1f - g21 - 32

32. 1f - g2112

36. 1f>g2162

37. 1g>f2152

38. 1g - f2132

33. 1f # g2102

34. 1f # g21 - 52

39. 1g - f21x2

35. 1f>g21 - 12

40. 1g - f21r2

Resolución de problemas y

Por medio de la gráfica, determine el valor de: 41. 1f + g2102

43. 1f # g2122

45. 1g - f21 - 12

47. 1g>f2142

42. 1f - g2102 44. 1f>g2142

46. 1g + f21 -32 48. 1g # f21 -32

4

g

3

f

2 1 3 2 1 1 2

1

2

3

4

5

x

198 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones Por medio de la gráfica siguiente, determine el valor de:

b) ¿Durante qué periodo de diez años la cantidad de electricidad generada a partir de fuentes nucleares aumentó más?

y

c) ¿Cuál de las cuatro categorías indicadas aumentó menos de 1960 a 2000?

g

2 1 1

2

2

3

4

5

f

3

49. 1f + g2132

50. 1f - g2132

51. 1f # g2112

52. 1g - f2122

53. 1f>g2142

54. 1g>f2152

55. 1g>f2122

56. 1g # f2102

57. Gastos en salud La siguiente gráfica muestra los gastos de salud en instituciones privadas y públicas en Estados Unidos, así como el total para años seleccionados entre 1970 y 2000.

4000 3500 3000

Total

2500 2000

Fósiles

1500

Nuclear

1000

Otras

500 0 1960

1970

1980

1990

2000

Año Fuente: Departamento de Energía de Estados Unidos.

59. Beneficiarios de seguridad social La siguiente gráfica

Gasto en salud en Estados Unidos

muestra el número de beneficiarios de seguridad social con derecho a tratamiento hospitalario en dos categorías: discapacidad por invalidez y discapacidad por vejez, para años entre 1980 y 2000.

1400 1200

Total 1000

Beneficiarios de seguridad social

800

Instituciones privadas

600

10,000

400

Instituciones públicas

200 0 1970

Tratamiento hospitalario

1980

1990

2000

Año Fuente: Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.

a) ¿Cómo se determinó la gráfica para los gastos totales a partir de las rectas de los gastos en instituciones privadas e instituciones públicas? b) ¿Durante qué periodo de 10 años el monto total de gastos en salud aumentó menos? c) ¿Durante qué periodo de 10 años el monto total de gastos en salud aumentó más? 58. Fuentes de electricidad La siguiente gráfica muestra las fuentes de la electricidad generada en Estados Unidos para años seleccionados entre 1960 y 2000. a) ¿Cómo se determinó la gráfica de la electricidad total generada a partir de las gráficas de la electricidad generada utilizando fuentes fósiles, nucleares y otras?

Beneficiarios (en miles)

Gastos (en miles de millones)

Kilowatt-horas (en miles de millones)

3 2 1 1

Fuentes de electricidad x

Discapacidad por invalidez 8000 6000

Discapacidad por vejez 4000 2000 0 1980

1985

1990

1995

2000

Año Fuente: Administración Financiera de Seguridad Social, División de Presupuesto.

a) Calcule el número de personas con derecho a tratamiento hospitalario en la categoría discapacidad por vejez en 2000. b) Calcule el número de personas con derecho a tratamiento hospitalario en la categoría discapacidad por invalidez en 2000. c) Calcule el número total de personas con derecho a tratamiento hospitalario en 2000.

Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 199 60. Asistencia alimentaria La gráfica de la derecha muestra el número de participantes en los programas de asistencia alimentaria, clasificada de acuerdo con estas categorías: vales para alimentos, programas escolares (incluyendo almuerzo, desayuno y programas de alimentación en guarderías infantiles) y mujeresrecién nacidosniños (MRN).

Programas de asistencia alimentaria

Participantes (en millones)

80

a) Calcule el número de participantes en el programa de vales para alimentos en 2000. b) Calcule el número de participantes en los programas escolares en 2000. c) Calcule el número de participantes en los programas MRN en 2000.

MRN 60

Programas escolares 40

20

Vales de alimentos 0 1970

d) Calcule el número total de todos los programas de asistencia de alimentación en 2000.

1980

1990

2000

Año Fuente: Departamento de Agricultura de Estados Unidos.

Para los ejercicios 61 a 66, sean f y g dos funciones graficadas en los mismos ejes. 61. Si, en a, (f  g)(a)  0, ¿qué condición deben cumplir f(a) y g(a)? 62. Si, en a, (f  g)(a)  0, ¿qué condición deben cumplir f(a) y g(a)? 63. Si, en a, (f  g)(a)  0, ¿qué condición deben cumplir f(a) y g(a)?

64. Si, en a, (f  g)(a) 0, ¿qué condición deben cumplir f(a) y g(a)? 65. Si, en a, (f/g)(a) 0, ¿qué condición deben cumplir f(a) y g(a)? 66. Si, en a, (f  g)(a) 0, ¿qué condición deben cumplir f(a) y g(a)?

Grafique las siguientes funciones en su calculadora graficadora. 67.

y1 = 2x + 3 y2 = - x + 4 y3 = y1 + y2

68.

y1 = x - 3

69.

y1 = x

70.

y2 = 2x

y2 = x + 5

y3 = y1 - y2

y3 = y1 # y2

y1 = 2x2 - 4 y2 = x

y3 = y1>y2

Actividad en equipo Tendencia durante 10 años en calificaciones de pruebas de aptitud

Calificación

71. Calificaciones La siguiente gráfica muestra las calificaciones promedio que obtuvo un grupo de estudiantes en las pruebas de aptitud en matemáticas y en habilidades verbales para los años 1992 a 2002. Suponga que f representa las calificaciones en matemáticas y g las calificaciones en habilidades verbales, y que t representa el año.Tracen en equipo una gráfica que represente (f  g)(t).

525 520 515 510 505 500 495 490

516

Matemáticas 501 Habilidades verbales

504

500

1992

1994

1996

1998

Año Fuente: USA Today, 28 de agosto de 2002.

2000

2002

200 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Ejercicios de repaso acumulativo 72. 73. [2.2] 74. [2.3] 75.

Evalúe (3)3. Exprese 1,630,000 en notación científica. 1 Despeje h en A = 2 bh. Lavadora El precio de una lavadora, incluyendo 6% de impuesto, es de $477. Determine su precio sin tomar en cuenta el impuesto.

[3.1]

76. Grafique y = ƒ x ƒ -2.

[3.3] 77. Grafique 3x - 4y = 12.

3.7 GRAFICACIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES 1

1

Representar gráficamente desigualdades lineales con dos variables.

Representar gráficamente desigualdades lineales con dos variables Una desigualdad lineal resulta cuando, en una ecuación lineal, el signo de igual se reemplaza con un signo de desigualdad.

Ejemplos de desigualdades lineales con dos variables 2x + 3y 7 2 -x - 2y … 3

3y 6 4x - 6 5x Ú 2y - 3

Una recta divide un plano en tres regiones: la recta misma y los dos semiplanos uno a cada uno de sus lados. En este caso, la recta se denomina frontera. Al graficar la ecuación lineal 2x  3y  6, la recta resultante, llamada recta frontera, divide el plano en el conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad 2x  3y 6 y el conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad 2x  3y  6. Como la desigualdad 2x  3y  6 significa 2x  3y 6 o 2x  3y  6, la desigualdad 2x  3y  6 contiene a la recta frontera. Lo mismo ocurre con la desigualdad 2x  3y  6. La gráfica de las desigualdades 2x  3y 6 y 2x  3y  6 no contiene la recta frontera. A continuación analizaremos cómo graficar desigualdades lineales. Para representar gráficamente una desigualdad lineal con dos variables 1. Reemplace el símbolo de desigualdad con un signo igual. 2. Trace la gráfica de la ecuación en el paso 1. Si la desigualdad original contiene un símbolo  o , trace la gráfica utilizando una línea sólida. Si la desigualdad original contiene un símbolo  o , trace la gráfica utilizando una línea punteada o discontinua.

3. Seleccione un punto que no esté sobre la línea y determine si éste es una solución de la desigualdad original. Si el punto seleccionado es una solución, sombree el área de la gráfica que esté del lado de la línea que contiene este punto. Si el punto seleccionado no satisface la desigualdad, sombree el área de la gráfica que esté del lado de la línea que no contiene este punto.

En el paso 3 decidimos cuál conjunto de puntos cumple con la desigualdad dada.

Sección 3.7 • Graficación de desigualdades lineales • 201

EJEMPLO 1 Solución y 5 4 3 2 1 3 2 1 1

1 2 3 4 5 6 7

Grafique la desigualdad y 6

Primero graficamos la ecuación y = 23 x - 3. Como la desigualdad original contiene un signo menor que, , utilizamos una línea punteada al trazar la gráfica (vea la figura 3.78). La línea punteada indica que los puntos de esta línea no son soluciones de la desigualdad y 6 23 x - 3. Seleccione un punto que no esté en la línea y determine si éste satisface la desigualdad. Muchas veces lo más sencillo es utilizar como referencia el punto origen, (0, 0).

Punto de prueba (0, 0) 2 y 6 x - 3 3 ? 2 0 6 102 - 3 3 ? 0 6 0 - 3 Falso 0 6 -3

x

2 3 4 5

FIGURA 3.78

y 5 4 3 2 1

Como 0 no es menor que 3, el punto (0, 0) no satisface la desigualdad. La solución serán todos los puntos del lado de la línea opuesto al punto (0, 0). Sombree esta área (figura 3.79). Cada punto que esté en el área sombreada satisface la desigualdad dada. Comprobemos con los puntos A, B y C. (0, 0)

3 2 1 1 2 3 4 5

2 x - 3. 3

A

1 2 3 4 5 6 7

Punto A

x

B C

y

FIGURA 3.79

0

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15

EJEMPLO 2 Solución y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

FIGURA 3.80

(3, 1) 2 3 4 5

x

0 0

16, 02 2 6 x - 3 3 ? 2 6 162 - 3 3 ? 6 4 - 3 6 1 Verdadero

Punto B

y -3 -3 -3

Grafique la desigualdad y Ú -

13, -32 2 6 x - 3 3 ? 2 6 132 - 3 3 ? 6 2 - 3 6 - 1 Verdadero

Punto C

y -4 -4 -4

10, - 42 2 6 x - 3 3 ? 2 6 102 - 3 3 ? 6 0 - 3 6 - 3 Verdadero

✺

1 x. 2

Primero graficamos la ecuación y = - 12 x. Como la desigualdad es , utilizamos una línea sólida para indicar que los puntos de la línea son soluciones de la desigualdad (figura 3.80). Como el punto (0, 0) está sobre la línea, no podemos utilizarlo como referencia para determinar la solución; en su lugar, elegimos el punto (3, 1) de manera arbitraria.

Punto de prueba (3, 1) 1 y Ú - x 2 ? 1 1 Ú - 132 2 3 1 Ú Verdadero 2

202 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Como el punto (3, 1) satisface la desigualdad, todo punto que esté en el mismo 1 lado de la línea que (3, 1) también satisfará la desigualdad y Ú - 2 x. Sombree esta área como se indica. Todo punto que se encuentre en el área sombreada, así como todo punto sobre la recta, satisface la desigualdad. ✺

EJEMPLO 3

Solución Primero graficamos la ecuación 3x  2y  6. Como la desigualdad es , utilizamos una línea punteada para trazar la gráfica (vea la figura 3.81). Al sustituir el punto de prueba (0, 0) en la desigualdad, obtenemos una afirmación falsa.

y 5 4 3 1

Grafique la desigualdad 3x  2y 6.

Punto de prueba (0, 0) 3x - 2y 6 - 6 ? 3102 - 2102 6 -6 0 6 - 6 Falso

(0, 0)

5 4 3 2 1 1

1 2 3 4 5

x

2 3 4 5

FIGURA 3.81

Por lo tanto, la solución es la parte del plano que no contiene al origen.

✺

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23

Cómo utilizar su calculadora gráfica Las calculadoras graficadoras también pueden mostrar gráficas de desigualdades. El procedimiento para lograrlo varía según el modelo. En la figura 3.82 se muestra la gráfica de y  2x  3. Lea el manual de su calculadora graficadora para aprender cómo mostrar gráficas de desigualdades.

FIGURA 3.82

Conjunto de ejercicios 3.7 Ejercicios conceptuales 1. Cuando se grafica una desigualdad que contiene  o , ¿por qué los puntos de la línea no son soluciones de la desigualdad? 2. Cuando se grafica una desigualdad que contiene  o , ¿por qué los puntos de la línea sí son soluciones de la desigualdad?

3. Cuando se grafica una desigualdad lineal, ¿cuándo no puede utilizarse el punto (0, 0) como un punto de prueba? 4. Cuando se grafica una desigualdad lineal con la forma y  ax  b, en donde a y b son números reales, ¿la solución siempre estará por arriba de la recta? Explique.

Problemas de aplicación Grafique cada desigualdad.

9. y Ú -

3 4 1 10. y 6 x 2 6. x Ú

5. x 7 1

1 x 2

13. y 7 2x - 1

14. y … - x + 2

7. y 6 - 2

8. y 6 x

11. y 6 2x + 1

12. y Ú 3x - 1

1 x - 3 2

16. y 6 3x + 5

15. y Ú

Sección 3.7 • Graficación de desigualdades lineales • 203

17. 2x - 3y Ú 12

18. 2x + 3y 7 6

19. y … - 3x + 5

21. 2x + y 6 4

22. 3x - 4y … 12

23. 10 Ú 5x - 2y

2 x + 3 3 24. -x - 2y 7 4

20. y …

Resolución de problemas 25. Seguro de vida La tarifa mensual por un seguro de vida de $100,000 para mujeres aumenta de forma casi lineal para las edades de 35 a 50. La tarifa para una mujer de 35 años de edad es de $10.15 al mes, y para una mujer de 50 años es de $16.45 al mes. Fuente: R.K. Reynolds Insurance Service. a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos. b) Marque el área de la gráfica en donde la tarifa es menor o igual a $15 al mes. c) Calcule la edad a la que la tarifa excede, por primera vez, $15 al mes. 26. Índice de Precios al Consumidor El Índice de Precios al Consumidor (IPC) es una medida de la inflación. Desde 1990, el IPC ha crecido de manera casi lineal. El IPC en 1990 fue de 130.7, y en 2000 el IPC fue de 172.2. Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos. a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos. b) Marque el área de la gráfica en donde el IPC es mayor que o igual a 150. c) Calcule el primer año en el que el IPC fue mayor que o igual a 150. 27. Remuneración por hora La remuneración por hora es el monto anual total de los gastos requeridos para emplear a un individuo, dividido entre el número de horas al año que éste trabaja. En Estados Unidos, la remuneración promedio por hora para todos los empleados ha aumentado de manera más o menos lineal desde 1975. En ese año, la remuneración promedio por hora era de $6.36; en 2000, la remuneración promedio por hora era de $19.86. Fuente: Oficina de Estadísticas Laborales de Estados Unidos. a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos. b) Marque el área de la gráfica en donde la remuneración promedio por hora es mayor que o igual a $10 por hora.

c) Calcule el primer año en que la remuneración promedio por hora excedió los $10 por hora. 28. Tierras de cultivo en California La cantidad de terreno de cultivo en California ha disminuido de manera casi lineal desde 1980. En ese año, California tenía alrededor de 34 millones de acres de tierras de cultivo; en 2000 eran 28 millones de acres. Fuente: Departamento de Agricultura de Estados Unidos.

a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos. b) Marque el área de la gráfica en donde la cantidad de tierras de cultivo es menor que o igual a 30 millones de acres. c) Calcule el primer año en que la cantidad de tierras de cultivo fue menor que o igual a 30 millones de acres. 29. a) Grafique f(x)  2x  4. b) Marque el área de la gráfica acotada por f(x), x  2, x  4 y el eje x. 30. a) Grafique g(x)  x  4. b) Marque el área de la gráfica acotada por g(x), x  1 y los ejes x y y.

Reto Grafique cada desigualdad. 31. y 6 ƒ x ƒ

32. y Ú x 2

33. y 6 x 2 - 4

Ejercicios de repaso acumulativo [2.1]

34. Resuelva la ecuación 4 -

[2.2]

35. Si C = xq + Z

5x = - 6. 3

s , determine C cuando x q = 80, 1n Z = 1.96, s = 3, y n = 25.

[2.3] 36. Ofertas musicales Una tienda de discos está a punto de cerrar sus puertas para siempre. La primera semana, el precio de todos los artículos se ha reducido en 10%; la segunda semana se da un descuento adicional de $2. Si durante la segunda semana Antonio

Sánchez compra un CD por $12.15, determine el precio original del CD. [3.2] 37. f(x)  x2  3; determine f(1). [3.3] 38. Escriba una ecuación de la línea que pasa por el punto (6, 2) y es perpendicular a la línea cuya ecuación es 2x  y  4. [3.4] 39. Determine la pendiente de la recta que pasa por (4, 7) y (2, 1).

204 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

RESUMEN

DEL CAPÍTULO

Términos y frases importantes 3.1 Sistema de coordenadas cartesianas Puntos colineales Coordenadas Ecuación de primer grado Gráfica Calculadora graficadora Ecuación lineal Punto medio Ecuación no lineal Par ordenado Origen Cuadrante Sistema rectangular de coordenadas Característica TABLE Característica TRACE Ventana de una calculadora graficadora

HECHOS

3.3

Eje x Eje y

3.2 Variable dependiente Dominio Función Notación de funciones Gráfica de una función o de una relación Variable independiente Función definida por partes Rango Relación Oferta y demanda Prueba de la recta vertical y es una función de x

Recta tangente Gráfica trasladada Pendiente cero

Función constante Función lineal Raíz Forma general de una ecuación lineal Intersección del eje x Intersección del eje y Cero o raíz Característica ZOOM

3.5 Recíproco negativo Recta perpendicular Forma punto pendiente de una ecuación lineal

3.6 3.4

Diferencia de funciones Producto de funciones Cociente de funciones Suma de funciones

Pendiente negativa Rectas paralelas Pendiente positiva Razón de cambio Pendiente de una recta Forma pendiente intersección de una ecuación lineal

3.7 Desigualdad lineal

IMPORTANTES

Pendiente de una recta

¢y y2 - y1 = x2 - x1 ¢x

m =

Formas de una ecuación lineal Forma general: ax  by  c Forma pendiente intersección: y  mx  b Forma punto pendiente: y  y1  m(x  x1) Para determinar la intersección del eje x, determine y  0 y despeje y en la ecuación. Para determinar la intersección y, determine x  0 y despeje x en la ecuación. Para escribir una ecuación en la forma pendiente intersección, despeje y en la ecuación. Pendiente positiva

Pendiente cero

Pendiente negativa

Pendiente indefinida

y

y

y

y

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

4 3 2 1 1

1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

1

3

4

x

(continúa en la página siguiente)

Ejercicios de repaso del capítulo • 205

Operaciones sobre funciones Suma de funciones: (f  g)(x)  f(x)  g(x) Diferencia de funciones: (f  g)(x)  f(x)  g(x) Producto de funciones: (f  g)(x)  f(x)  g(x) f1x2 Cociente de funciones: 1f>g21x2 = , g1x2 Z 0 g1x2

Ejercicios de repaso del capítulo [3.1]

1. Trace los pares ordenados en los mismos ejes. a) A 15, 32

b) B 10, 42

c) Ca 5,

1 b 2

d) D1- 4, 32

e) E1- 6, - 12

f) F1- 2, 02

Grafique cada ecuación.

1 x 2 7. y = x 2 - 1 2. y =

3. y = - 2x - 1 8. y = ƒ x ƒ

1 x + 3 2 9. y = ƒ x ƒ - 1 4. y =

5. y = -

3 x + 1 2

10. y = x 3

6. y = x 2 11. y = x 3 + 4

[3.2] 12. Defina qué es una función. 13. ¿Toda relación es una función? ¿Toda función es una relación? Explique. Determine si las siguientes relaciones son funciones; explique sus respuestas. 14. a

1

b

2

c

3

15. 512, 52, 13, -42, 15, 112, 16, - 12, 12, -526

En los ejercicios 16 a 19, a) determine si las gráficas representan funciones; b) determine el dominio y el rango de cada una. 16.

17.

y

y

4

4

3

3

2

2

1 4 3 2 1 1

18.

1

2

3

4

x

4 3 2 1

2

2

3

3

4

4

19.

y

4

3

3

2

2

1

1 1

2

3

4

x

2

3

4

x

1

2

3

4

x

y

4

4 3 2 1 1

1

4

2 1 1

2

2

3

3

4

4

206 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Velocidad (mph)

20. Si f1x2 = - x 2 + 3x - 5, determine a) f122 y b) f1h2. 21. Si g1t2 = 2t3 - 3t2 + 1, determine a) g1 - 12 y b) g1a2. 22. Velocidad de un automóvil Jaime González transita a bordo de un automóvil. La siguiente gráfica muestra la velocidad del automóvil como una función del tiempo. Idee una historia que corresponda a esta gráfica.

23. Huerto El número de canastas de manzanas, N, que producen x árboles en un pequeño huerto (x  100), está dado por la función N(x)  40x  0.2x2. ¿Cuántas canastas de manzanas producen a) 20 árboles? b) 50 árboles? 24. Pelota en descenso Si una pelota se deja caer desde lo alto de un edificio de 100 pies, su altura respecto del suelo, h, en cualquier tiempo, t, puede determinarse por medio de la función h(t)  16t2  100, 0  t  2.5. Determine la altura de la pelota

70 60 50

a) 1 segundo después de dejarla caer.

40 30

b) 2 segundos después de dejarla caer.

20 10 0 5

0

10

15

20

25

30

Tiempo (minutos)

[3.3] Grafique cada ecuación usando intersecciones. 25. 3x - 4y = 6

26.

1 2 x = y + 20 3 4

Grafique cada ecuación o función. b) Calcule el número de rosquillas que deben venderse para que la compañía alcance el punto de equilibrio (es decir, que no gane ni pierda). c) Calcule el número de rosquillas vendidas si la compañía tiene una ganancia de $20,000. 30. Interés Trace una gráfica que ilustre el interés sobre un préstamo de $12,000 por un periodo de un año para diferentes tasas de interés hasta de 20%. Utilice la fórmula interés  capital  tasa  tiempo.

27. f1x2 = 4 28. x = - 2 29. Compañía de rosquillas La utilidad al año, p, de una compañía que se dedica a producir rosquillas puede calcularse por medio de la función p(x)  0.1x  5000, en donde x es el número de rosquillas que se venden al año. a) Trace una gráfica de utilidades contra rosquillas vendidas hasta 250,000.

[3.4] Determine la pendiente y la intersección del eje y de la gráfica representada por cada ecuación. 31. y =

1 x - 3 2

34. 3x + 4y = 10

32. f1x2 = - 2x + 1

33. 3x + 5y = 12

35. x = - 2

36. f1x2 = 6

Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados. 37. 12, 52, 1- 2, 72

38. 1- 2, 3214, 12

Determine la pendiente de cada recta. Si la pendiente es indefinida, indíquelo. Luego escriba la ecuación de la recta. 39.

40.

y 4

4 3 2 1

2 1 4 3 2 1 1 2 3 4

41.

y

1 2 3 4

x

4 3 2 1 1 2 3 4

y 4 3 2 1

1

3 4

x

3 2 1 1 2 3 4

1 2 3 4

x

Ejercicios de repaso del capítulo • 207

Año

Número de casos de fiebre tifoidea reportados

1970

346

1980

510

1990

552

2000

317

45. Seguridad social La siguiente gráfica muestra el número de beneficiarios de seguridad social desde 1980, y proyectados hasta 2070. Utilice la forma pendiente intersección para determinar la función n(t) (representada por la línea recta punteada) que puede usarse para representar estos datos.

Beneficiarios de seguridad social 100

Beneficiarios (millones)

42. Si la gráfica que se obtiene de y  2x  3 se traslada 4 unidades hacia abajo, determine a) la pendiente de la gráfica trasladada. a) la intersección del eje y de la gráfica trasladada. a) la ecuación de la gráfica trasladada. 43. Si un punto de una gráfica es (6, 8) y su pendiente es 4 3 , determine la intersección del eje y de la gráfica. 44. Fiebre tifoidea La siguiente tabla muestra el número de casos reportados de fiebre tifoidea en Estados Unidos para años seleccionados entre 1970 y 2000. a) Determine cada punto y trace los segmentos de recta entre ellos. b) Calcule la pendiente de los segmentos de recta. c) ¿Durante qué periodo de diez años el número de casos reportados de fiebre tifoidea aumentó más?

98.2 80

60

35.6 40 0 1980

2000

2020

2040

2060

Año

Fuente: Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.

[3.5] Determine si las dos rectas dadas son paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas. 46. 2x - 3y = 10

2 y = x - 4 3

47. 2x - 3y = 9

-3x - 2y = 6

48. 4x - 2y = 10

-2x + 4y = - 8

Determine la ecuación de la recta con las propiedades indicadas. Escriba sus respuestas en la forma pendiente intersección. 1 Pendiente  , pasa por (4, 5). 2 51. Pasa por (0, 4) y es paralela a la recta que se obtiene al 2 graficar y = - x + 1 3

50. Pasa por (3, 1) y ( (2, 4).

53. Pasa por (3, 1) y es perpendicular a la recta cuya ecua3 ción es y = x + 5 5

54. Pasa por (4, 2) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 4x  2y  8.

49.

52. Pasa por (2, 3) y es paralela a la recta cuya ecuación es 5x  2y  7.

Se dan dos puntos en l1 y dos puntos en l2. Determine si l1 es paralela a l2, si l1 es perpendicular a l2, o ninguna de ellas. 55. l1 : 14, 32 y 10, - 32; l2 : 11, - 12 y 12, -22

56. l1 : 13, 22 y 12, 32; l2 : 14, 12 y 11, 42

59. Tarifas de seguros Las tarifas mensuales por un seguro de vida de $100,000 para hombres aumenta de manera casi lineal de los 35 a los 50 años de edad. La tarifa para un hombre de 35 años es de $10.76 al mes, y la tarifa para un hombre de 50 años es de $19.91 al mes. Sea r la tarifa y a la edad de un hombre entre 35 y 50 años edad. a) Determine una función lineal r(a) que se ajuste a estos datos. b) Utilizando la función resultante de la parte a), calcule la tarifa mensual para un hombre de 42 años de edad.

60. Quema de calorías El número de calorías que se queman al practicar natación durante una hora, cuando se nada a una velocidad entre 20 y 50 yardas por minuto, es una función lineal de la velocidad del nadador. Una persona que nada a 30 yardas por minuto quemará alrededor de 489 calorías en una hora, mientras que nadando a 50 yardas por minuto quemará más o menos 525 calorías en una hora. Esta información se muestra en la siguiente gráfica.

57. l1 : 14, 02 y 11, 32; l2 : 15, 22 y16, 32

58. l1 : 1- 3, 52 y 12, 32; l2 : 1- 4, -22 y 1-1, 22

208 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones

Calorías quemadas

Calorías que se queman al nadar 600

525

489

400

200

0

10

20

30

40

50

Yardas por minuto Fuente: Health Magazine, sitio Web www.health.com

a) Determine una función lineal que pueda usarse para calcular el número de calorías, C, que se queman en una hora cuando una persona nada a y yardas por minuto. b) Utilice la función obtenida en la parte a), para determinar el número de calorías que se queman en una hora cuando una persona nada a 40 yardas por minuto. c) Utilice la función obtenida en la parte a), para determinar la velocidad a la que una persona necesita nadar para quemar 600 calorías en una hora.

a) Calcule el número de periódicos matutinos que había en 1960. b) Calcule el número de periódicos matutinos que había en 2000. c) Calcule el número de periódicos vespertinos que había en 1960. d) Calcule el número de periódicos vespertinos que había en 2000. e) Calcule el número total de periódicos que había en 1960. f) Calcule el número total de periódicos que había en 2000. 70. Registros de vehículos automotores La siguiente gráfica muestra el número de automóviles registrados en todo el mundo, el número de camiones y autobuses registrados en todo el mundo, y el número total de vehículos automotores registrados en todo el mundo, para años seleccionados entre 1970 y 2000. Sea c el número de automóviles registrados y t el número de camiones y autobuses registrados. Con base en estos datos, calcule: a) c120002 b) t120002

[3.6] Dadas f(x)  x2  3x  4 y g(x)  2x  5, determine: 61. 1f + g21x2 62. 1f + g2132

c) 1c + t2120002

Registros de vehículos automotores en el mundo

63. 1g - f21x2

64. 1g - f21 -12

800

66. 1f # g2152 67. 1f>g2112 68. 1f>g2122

69. Periódicos La siguiente gráfica muestra el número de periódicos que han circulado en Estados Unidos para años seleccionados entre 1960 y 2000.

Periódicos en Estados Unidos

600

Automóviles 400

Camiones y autobuses

200

0 1970

1980

1990

Año Fuente: Departamento de Energía de Estados Unidos.

2000

Número de diarios

Registros (millones)

Total

65. 1f # g21 -12

1500 Matutinos Vespertinos 1000

[3.7] Grafique cada desigualdad.

500 0 1960

1970

1980

1990

2000

71. y Ú - 3

72. x 6 4

73. y … 4x - 3

74. y 6

Año Fuente: Asociación Estadounidense de Periódicos.

1 x - 2 3

2000

Examen de práctica del capítulo • 209

Examen de práctica del capítulo 1. 2. 3. 4.

Grafique y Grafique y Grafique y Grafique y

= = = =

- 2x + 1. 1x. x2 - 4. ƒxƒ.

5. Defina qué es una función. 6. ¿El siguiente conjunto de pares ordenados es una función? Explique su respuesta.

513, 12, 1 -2, 62, 14, 62, 15, 22, 16, 326

En los ejercicios 7 y 8, determine si las gráficas representan funciones. Proporcione el dominio y el rango de cada relación o función. 7.

8.

y

y

5

4

4

3

3 1

2 1 4 3

1 1

1

2

3

4

x

4 3 2 1 1

2

3

3

4

1

2

3

4

x

9. Si f1x2 = 3x 2 - 6x + 2, determine f1 - 22. En los ejercicios 10 y 11, grafique la ecuación usando las intersecciones de los ejes x y y. 10. -10x + 5y = 20

y x = 1 5 4 12. Grafique f1x2 = - 3. 11.

18. Proyección de la población de Estados Unidos Determine la función representada por la recta en la gráfica, que pueda utilizarse para calcular la población que se estima habrá en Estados Unidos, p, entre 2000 y 2050. Sea 2000 el año de referencia, de modo que 2000 está representado por t  0. Proyecciones de población en Estados Unidos para 2000-2050

13. Grafique x = 4.

15. Determine la pendiente y la intersección del eje y de la recta que se obtiene al graficar la ecuación 4x  3y  9. 16. Determine la ecuación, en la forma pendiente intersección, de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (3, 4). 17. Determine la ecuación, en la forma pendiente intersección, de la recta que pasa por el punto (5, 3) y que es perpen1 dicular a la recta que se obtiene al graficar y = x + 1. 2

393.931

400

Población (millones)

14. Gráfica de utilidad La utilidad anual, p, que le reportó cierto libro a una compañía editorial, puede calcularse por medio de la función p(x)  10.2x  50,000, en donde x es el número de libros impresos y vendidos. a) Trace una gráfica de utilidad contra libros vendidos (hasta 30,000 libros). b) Utilice la función p(x) para calcular el número de libros que deben venderse para que la compañía alcance el punto de equilibrio. c) Utilice la función p(x) para calcular el número de libros que la compañía debe vender para obtener una utilidad de $100,000.

350 300

274.634

250 200 150 100 50 0

2000

2010

2020

2030

2040

2050

Año Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.

19. Determine si las rectas que resultan al graficar estas dos ecuaciones son paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas. Explique su respuesta.

2x - 3y = 6 4x + 8 = 6y 20. Enfermedad cardiaca Aunque el índice de muertes a consecuencia de enfermedades cardiacas es más alto en Estados Unidos que en muchos otros países, éste ha disminuido de

210 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones manera casi lineal desde más o menos 1970. La siguiente gráfica de barras indica el número de muertes provocadas por enfermedades cardiacas, por cada 100,000 decesos, en años seleccionados desde 1970. a) Sea r el número de muertes provocadas por enfermedades cardiacas por cada 100,000 decesos, y sea t los años desde 1970. Escriba una función lineal r(t) que represente esta información. b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el índice de muertes provocadas por enfermedades cardiacas en 1995. c) Suponiendo que esta tendencia continúa, determine la tasa de muertes provocadas por enfermedades cardiacas en 2010.

21. 1f + g2132 22. 1f>g21 -12 23. f1a2

24. Uso del papel La siguiente gráfica muestra el uso del papel en Estados Unidos en 1995 y el uso del papel proyectado de 1995 a 2015. a) Calcule el número total de toneladas de papel que se usará en 2010. b) Calcule el número de toneladas de papel que usarán las empresas en 2010. c) Calcule el número de toneladas de papel que se usará en 2010 en referencias, medios de comunicación impresos y uso en el hogar.

Uso del papel 400

362

300

266

200

100

1970

1980

1990

Toneladas de papel (millones)

Muertes por enfermedad cardiaca (por cada 100,000 decesos)

Índice de muertes por enfermedades cardiacas

En los ejercicios 21 a 23, si f(x)  2x2  x y g(x)  x  5, determine:

50 40 30 20

Referencia, medios de comunicación impresos y uso en el hogar

10 0 1995

Empresas: uso en promoción, papelería y almacenamiento 2000

Año Fuente: Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.

2005

2010

2015

Año

2000 Fuente: CAP Ventures.

25. Grafique y 3x  2.

Examen de repaso acumulativo Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta. 1. Para A  {1, 3, 5, 7, 9} y B  {2, 3, 5, 7, 11, 13}, determine: a) A ¨ B. b) A ´ B.

2. Considere el conjunto E - 6, - 4, 13 , 0, 13 , 4.67, 372 , - 12 F Liste los elementos del conjunto que son a) números naturales. b) números reales. 3. Evalúe 2  {3[6  4(62 4)]}. Simplifique. 4. ¢ 5. ¢

4x2 ≤ y -3

4xy3

Origen del dinero (1576 millones) Subvenciones federales 14.2% Cobro por servicios 15.6%

2

2x4y -2

a) ¿Cuánto dinero se obtuvo a partir de impuestos prediales? b) ¿Cuánto dinero se obtuvo a partir de subvenciones federales? c) ¿Cuánto más se obtuvo a partir de impuestos estatales que a partir de subvenciones estatales?

Otras fuentes 5.2%

Impuesto predial 30.7%

3

≤

6. Ingresos municipales En 2001, el monto total de los ingresos disponibles en cierto municipio fue de $1.576  109. La siguiente gráfica muestra un desglose de las fuentes de ese dinero.

Otros impuestos locales 5.0% Impuestos estatales compartidos 10.3%

Subvenciones estatales 9.4%

Impuesto sobre la renta 9.6%

Fuente: Departamento de Finanzas municipales de la ciudad de Baltimore.

Respuestas al examen de repaso acumulativo • 211 En los ejercicios 7 y 8, resuelva las ecuaciones. 7. 21x + 42 - 5 = - 33x - 12x + 124 8.

17. a) Determine si la siguiente gráfica representa una función. b) Determine el dominio y el rango de la gráfica.

4 x = 10 5 3

y 4

9. Simplifique 5x  {4  [2(x  4)]  5}.

3 2

1 10. Despeje b1 de A = h1b 1 + b 22. 2

1 4 3 2 1 1

11. Soluciones de peróxido de hidrógeno ¿Cuántos galones de solución de peróxido de hidrógeno con una concentración de 15% deben mezclarse con 10 galones de una solución del mismo compuesto con concentración de 4% para obtener una solución con concentración de 10%?

1

2

3

4

x

2 3 4

18. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (5, 3) y (4, 1).

12. Resuelva la desigualdad 3(x  4) 6(2x  3). 13. Resuelva la desigualdad 4 3x  7 8.

19. Determine si las rectas que resultan al graficar las siguientes ecuaciones son paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas.

14. Determine el conjunto solución de |3x  5|  |2x  10|. 15. Determine el conjunto solución de |2x  1|  3.

2x - 5y = 6 5x - 2y = 9

3 16. Grafique y = - x - 4. 2

20. Si f(x)  x2  3x  2 y g(x)  4x  6, determine (f  g)(x).

Respuestas al examen de repaso acumulativo 1 37 x9 2. a) Ninguno b) -6, -4, , 0, 13, 4.67, , - 12 3. 92 4. 16x4y6 5. 15 3 2 8y 6. a) $4.83832 * 108 o $483,832,000 b) $2.23792 * 108 o $223,792,000 c) $1.4184 * 107 o $14,184,000 2A 138 ; [Sec. 2.1, Obj. 4] 9. 7x - 7; [Sec. 2.1, Obj. 2] 10. b1 = - b2; [Sec. 2.2, Obj. 2] 7. 0; [Sec. 2.1, Obj. 3] 8. 5 h 10 11. 12 gal; [Sec. 2.4, Obj. 2] 12. x 7 - ; [Sec. 2.5, Obj. 1] 13. 1 6 x 6 5; [Sec. 2.5, Obj. 3] 14. 5 -15, 16; [Sec. 2.6, Obj. 7] 3 y 15. 5xƒ -1 … x … 26; [Sec. 2.6, Obj. 3] 16. [Sec. 3.1, Obj. 2] 1. a) 53, 5, 76 b) 51, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 136

2 2

–6 –4

x

3 y=– – x-4 2 –4

–6

4 17. a) No es una función b) Dominio: 5x ƒ x … 26; rango: ; [Sec. 3.2, Obj. 3] 18. - ; [Sec. 3.4, Obj. 2] 9 19. Ninguna; [Sec. 3.5, Obj. 3] 20. x 2 + 7x - 8; [Sec. 3.6, Obj. 1]

Capítulo 4

Sistemas de ecuaciones y desigualdades 4.1 Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables

4.2 Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables

4.3 Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas

4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices

4.5 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes y la regla de Cramer

4.6 Resolución de sistemas de desigualdades lineales

Resumen del capítulo Ejercicios de repaso del capítulo Examen de práctica del capítulo Examen de repaso acumulativo

L

os empresarios se esfuerzan para que sus compañías funcionen a toda su capacidad, maximizando la utilidad de sus recursos. Las matemáticas pueden usarse para determinar la forma más efectiva de distribuir esos recursos. En las páginas 238 a 240, resolveremos un sistema de ecuaciones relacionado con la construcción de botes inflables. Posteriormente, en los ejercicios que inician en la página 241, se presentan problemas similares a partir de situaciones en las industrias de producción de muebles, alimento para animales y metalurgia, entre otros productos. El campo de las matemáticas que analiza este tipo de problemas, se denomina investigación de operaciones.

212

Section 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 213

Avance de la lección

E

n este capítulo resolveremos sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de graficación, sustitución, suma, matrices y determinantes y la regla de Cramer. También resolveremos sistemas de desigualdades lineales. A lo largo de este capítulo, en especial en la sección 4.3, se plantean muchas aplicaciones de estos temas en la vida real, además de otras cuestiones esenciales que las empresas emplean para analizar las relaciones entre las variables involucradas en su operación cotidiana.

4.1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES 1

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante graficación.

2

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante sustitución.

3

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de la suma.

Con frecuencia es necesario determinar una solución común a dos o más ecuaciones lineales. A este conjunto de ecuaciones se le denomina sistema de ecuaciones lineales (o ecuaciones lineales simultáneas). Por ejemplo,

112 y = x + 5 r 122 y = 2x + 4

Sistema de ecuaciones lineales.

La solución de un sistema de ecuaciones es un par ordenado (o pares ordenados) que satisface todas las ecuaciones del sistema. La única solución del sistema del ejemplo anterior es (1, 6). Verificación en la ecuación (1)

Verificación en la ecuación (2)

11, 62

11, 62

y = x + 5

y = 2x + 4

?

= + 5 6 = 6

= 21 2 + 4 6 = 6 ?

Verdadero

Verdadero

El par ordenado (1, 6) satisface ambas ecuaciones y es, por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones puede estar conformado por más de dos ecuaciones. Si un sistema consta de tres ecuaciones con tres variables, como x, y y z, la solución será una terna ordenada de la forma (x, y, z). Para que la terna ordenada (x, y, z) sea una solución del sistema, debe satisfacer las tres ecuaciones que lo constituyen. Los sistemas con tres ecuaciones y tres variables se estudian en la sección 4.2. Los sistemas de ecuaciones pueden tener más de tres variables, pero en este libro no analizaremos este tipo de sistemas.

1

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante graficación Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables mediante la graficación, debemos graficar ambas ecuaciones del sistema en los mismos ejes. La solución del sistema será el par o pares ordenados comunes a ambas rectas, o el punto de intersección de las rectas del sistema. Cuando graficamos dos rectas pueden presentarse tres posibilidades, como se ilustra en la figura 4.1. En la figura 4.1a, las rectas 1 y 2 se intersecan exactamente en un punto; por lo tanto, este sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución. Éste es un ejemplo de un sistema de ecuaciones consistente. Un sistema de ecuaciones consistente es aquel que tiene solución.

214 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Las rectas 1 y 2 de la figura 4.1b son diferentes pero paralelas. Las rectas no se intersecan, así que este sistema de ecuaciones no tiene solución. Éste es un ejemplo de un sistema de ecuaciones inconsistente. Un sistema de ecuaciones inconsistente es aquel que no tiene solución. En la figura 4.1c, las rectas 1 y 2 son, en realidad, la misma. En este caso, todo punto de la recta satisface ambas ecuaciones y es una solución del sistema de ecuaciones. Este sistema tiene un número infinito de soluciones. Éste es un ejemplo de un sistema de ecuaciones dependiente. En un sistema de ecuaciones lineales dependiente, ambas ecuaciones representan la misma recta. Un sistema de ecuaciones dependiente es aquel que tiene un número infinito de soluciones. Observe que un sistema dependiente también es un sistema consistente, ya que tiene solución.

Exactamente 1 solución (las rectas se intersecan)

Número infinito de soluciones (la misma recta)

Sin solución (rectas paralelas)

y

y

y

Recta 2 Recta 1

Recta 1

Solución x

Recta 2

Recta 1

x

x

Recta 2

FIGURA 4.1

Consistente

Inconsistente

(a)

(b)

Dependiente (c)

Podemos determinar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o dependiente escribiendo cada ecuación en forma pendiente intersección (o forma ordenada al origen) y comparando las pendientes y las intersecciones del eje y de sus rectas; si las pendientes de las rectas son diferentes (figura 4.1a), el sistema es consistente. Si las pendientes son las mismas pero sus intersecciones del eje y son diferentes (figura 4.1b), el sistema es inconsistente; si las dos pendientes y las intersecciones del eje y son las mismas (figura 4.1c), el sistema es dependiente.

EJEMPLO 1

Sin graficar las ecuaciones, determine si el siguiente sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente.

3x - 4y = 8 -6x + 8y = - 16

Solución

Escriba cada ecuación en la forma pendiente intersección.

3x - 4y = 8 -4y = - 3x + 8 3 y = x - 2 4

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19

-6x + 8y = - 16 8y = 6x - 16 3 y = x - 2 4

Como ambas ecuaciones tienen la misma pendiente, 34 , y la misma intersección y (0, 2), las ecuaciones representan a la misma recta. Por lo tanto, el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. ✺

Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 215

EJEMPLO 2

Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.

y = x + 2 y = -x + 4 y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

yx2 (1, 3)

1 2 3 4 5

x

Solución Grafique ambas ecuaciones en los mismos ejes (figura 4.2). La solución es el punto en que se intersecan las dos rectas (1, 3).

✺

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25

El sistema de ecuaciones del ejemplo 2 podría representarse en notación de funciones como

f1x2 = x + 2 g1x2 = - x + 4

y  x  4

FIGURA 4.2

Cómo utilizar su calculadora graficadora En el recuadro Cómo utilizar su calculadora graficadora de la página 163, sección 3.3, analizamos el uso de una calculadora graficadora para determinar la intersección de dos gráficas. Ahora utilizaremos esa información para resolver un sistema de ecuaciones. EJEMPLO Utilice su calculadora graficadora para resolver el sistema de ecuaciones. Redondee la solución al centésimo más cercano.

-2.6x - 5.2y = - 15.3 Solución

- 8.6x + 3.7y = - 12.5

Primero despeje y de cada ecuación.

-2.6x - 5.2y = - 15.3 -2.6x = 5.2y - 15.3

- 8.6x + 3.7y = - 12.5 3.7y = 8.6x - 12.5

-2.6x + 15.3 = 5.2y -2.6x + 15.3 = y 5.2 Ahora, determine y1 =

y =

8.6x - 12.5 3.7

- 2.6x + 15.3 8.6x - 12.5 y y2 = . Las gráficas de y1 y y2 se ilustran en la figura 4.3. 5.2 3.7 y1

FIGURA 4.3

y2

FIGURA 4.4

Redondeando al centésimo más cercano, en la figura 4.4 se muestra que la intersección de las dos gráficas ocurre en (2.24, 1.82). Utilice su calculadora graficadora para determinar la solución de cada sistema. Redondee sus respuestas al centésimo más cercano. 1. 2x + 3y = 8

2. 5x - 6y = 9

- 3x + 4y = - 5 3. 3.4x - 5.6y = 10.2 5.8x + 1.4y = - 33.6

4. -2.3x + 7.9y = 88.3

-3x + 5y = 8 -5.3x - 2.7y = - 16.5

216 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

2

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante sustitución Con frecuencia resulta difícil determinar una solución exacta para un sistema de ecuaciones mediante graficación. Incluso puede ocurrir que una calculadora graficadora no proporcione una respuesta exacta. Cuando se requiere una respuesta exacta, el sistema debe resolverse de manera algebraica, ya sea por el método de sustitución o por el de suma (o de eliminación) de ecuaciones. Analizaremos primero el método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución 1. Despeje una variable en cualquier ecuación. (De ser posible, despeje una variable con un coeficiente numérico igual a 1 para no trabajar con fracciones). 2. Sustituya la variable en la otra ecuación, con la expresión determinada en el paso 1. Con esto obtendrá una ecuación con una sola variable. 3. Resuelva la ecuación obtenida en el paso 2 para determinar el valor de esta variable. 4. Sustituya la variable en la ecuación del paso 1, con el valor determinado en el paso 3. Resuelva la ecuación para determinar la variable restante. 5. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.

EJEMPLO 3

Resuelva el sistema de ecuaciones mediante sustitución.

y = 3x - 13 y = - 4x + 1

Solución

Como en ambas ecuaciones y ya está despejada, podemos sustituir esa variable por 3x  13 en la segunda ecuación, para después despejar la variable restante, x.

3x - 13 7x - 13 7x x

= = = =

- 4x + 1 1 14 2

Ahora determinamos y sustituyendo x  2 en cualquiera de las ecuaciones originales. Utilicemos la primera ecuación.

y = 3x - 13 y = 3122 - 13 y = 6 - 13 = - 7 Si verifica, comprobará que la solución del sistema de ecuaciones es (2, 7).

EJEMPLO 4

✺

Resuelva por sustitución el siguiente sistema de ecuaciones.

2x + y = 11 x + 3y = 18

Solución

Comience por despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. Puede elegir cualquiera de ellas; sin embargo, si despeja una variable con coeficiente numérico 1, puede evitar trabajar con fracciones. En este sistema, el término y en 2x  y  11 y el término x en x  3y  18 tienen coeficiente numérico 1. Despejemos y en 2x  y  11.

2x + y = 11 y = - 2x + 11

Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 217

Ahora sustituyamos y por 2x  11 en la otra ecuación, x  3y  18, y despejemos la variable restante, x.

x + 3y = 18 $'%'& x + 31-2x + 112 x - 6x + 33 - 5x + 33 -5x x

= = = = =

18 18 18 - 15 3

Sustituya -2x + 11 por y.

Por último, sustituimos x  3 en la ecuación y  2x  11 y despejamos y.

y = - 2x + 11 y = -2132 + 11 = 5 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41

La solución es el par ordenado (3, 5). Compruébelo.

✺

Si, al resolver un sistema de ecuaciones ya sea por sustitución o por el método de la suma, se llega a una ecuación falsa como 5  6 o 0  3, significa que el sistema es inconsistente y no tiene solución. Si se obtiene una ecuación que siempre es verdadera, como 6  6 o 0  0, significa que el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones.

SUGERENCIA

3

Es frecuente que los estudiantes obtengan bien el valor de una de las variables y se olviden de obtener el valor de la otra. Recuerde que una solución debe contener un valor numérico para cada variable del sistema.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de la suma Un tercer método para resolver un sistema de ecuaciones, y con frecuencia el más sencillo, es el método de la suma (o de eliminación). El objetivo de este procedimiento consiste en obtener dos ecuaciones cuya suma dé por resultado una ecuación con una sola variable. Tenga en mente que su meta inmediata es obtener una ecuación con una sola incógnita.

EJEMPLO 5

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones con el método de la suma.

2x + 5y = - 1 3x - 5y = 11

Solución

Observe que una ecuación incluye 5y y la otra 5y. Sumando las ecuaciones, podemos eliminar la variable y y obtener una ecuación con una sola incógnita, x.

2x + 5y = - 1 3x - 5y = 11 5x = 10 Ahora despejamos la variable que queda, x.

5x 10 = 5 5 x = 2

218 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Por último, despejamos y sustituyendo x por 2 en cualquiera de las ecuaciones originales.

2x + 5y = 2122 + 5y = 4 + 5y = 5y = y =

-1 -1 -1 -5 -1

✺

Si verifica, comprobará que la solución es (2, 1). Para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de la suma (o eliminación) 1. En caso necesario, reescriba cada ecuación en la forma general, es decir, de modo que los términos con variables queden al lado izquierdo del signo igual y la constante al lado derecho. 2. Si es necesario, multiplique una o ambas ecuaciones por una constante (o constantes) para que, al sumarlas, el resultado contenga sólo una variable.

3. Sume los lados respectivos de las ecuaciones. Con esto obtendrá una sola ecuación con una variable. 4. Despeje la variable en la ecuación obtenida en el paso 3. 5. Sustituya la variable en cualquiera de las ecuaciones originales con el valor determinado en el paso 4. Resuelva esa ecuación para determinar el valor de la variable restante. 6. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.

En el paso 2 del procedimiento, se indica que puede ser necesario multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante. Para evitar confusión, numeraremos nuestras ecuaciones mediante paréntesis, como (ec. 1) o (ec. 2). En el ejemplo 6, resolveremos el mismo sistema resuelto en el ejemplo 4, pero esta vez usaremos el método de la suma.

EJEMPLO 6

Solución

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.

2x + y = 11

(ec. 1)

x + 3y = 18

(ec. 2)

El objetivo del proceso de suma es obtener dos ecuaciones cuya suma dé por resultado una ecuación con una sola variable. Para eliminar la variable x, multiplicaremos la (ec. 2) por 2 y sumaremos las dos ecuaciones.

2x + y =

11 (ec. 1)

- 2x - 6y = - 36 (ec. 2)

Multiplicada por 2.

Ahora sumamos,

2x + y -2x - 6y -5y y

= 11 = - 36 = - 25 = 5

Ahora despejamos x, sustituyendo y por 5 en cualquiera de las ecuaciones originales.

Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 219

2x + y 2x + 5 2x x

11 11 6 3

= = = =

Sustituir y por 5.

La solución es (3, 5). Observe que podríamos haber eliminado la variable y multiplicando la (ec. 1) por 3 y después sumando. ✺ A veces cada ecuación debe multiplicarse por números diferentes para eliminar una de las variables. El ejemplo 7 ilustra este procedimiento.

EJEMPLO 7

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.

4x + 3y =

Solución

7

(ec. 1)

3x - 7y = - 3

(ec. 2)

La variable x puede eliminarse multiplicando la (ec. 1) por 3, y la (ec. 2) por 4.

-12x - 9y = - 21

(ec. 1)

Multiplicada por 3.

12x - 28y = - 12

(ec. 2)

Multiplicada por 4.

-37y = - 33

Suma de las ecuaciones.

33 37

y =

Ahora podemos determinar x sustituyendo y por 33 37 en una de las ecuaciones originales, y despejando x. Si usted lo intenta verá que, aunque es posible hacerlo, esto no es fácil. Un método más sencillo para obtener el valor de x consiste en regresar a las ecuaciones originales y eliminar la variable y.

28x + 21y = 49

(ec. 1)

Multiplicada por 7.

9x - 21y = - 9

(ec. 2)

Multiplicada por 3.

37x

= 40 x =

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67

La solución es A 37 , 37 B .

Suma de las ecuaciones.

40 37

40 33

✺

En el ejemplo 7 podría obtenerse la misma solución multiplicando la (ec. 1) por 3 y la (ec. 2) por –4, para después sumarlas. Inténtelo para comprobarlo.

EJEMPLO 8

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.

0.2x + 0.1y = 1.1 (ec. 1) y x + = 1 18 6

Solución

(ec. 2)

Cuando un sistema de ecuaciones incluye fracciones o números decimales, en general es mejor eliminarlos. En la (ec. 1), si multiplicamos por 10 ambos lados de la ecuación, obtenemos

10 10.2x2 + 10 10.1y2 = 10 11.12 2x + y = 11

(ec. 3)

220 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

En la (ec. 2), si multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, 18, obtenemos

18 a

y x b + 18 a b = 18 112 18 6 x + 3y = 18

(ec. 4)

Ahora, el sistema de ecuaciones se ha simplificado a

2x + y = 11 x + 3y = 18

(ec. 3) (ec. 4)

Éste es el mismo sistema de ecuaciones que se resolvió en el ejemplo 6. Por lo tanto, la solución es (3, 5), la mismo que se obtuvo en el ejemplo 6. ✺

EJEMPLO 9

Solución

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método de la suma.

x - 3y = 4 -2x + 6y = 1

(ec. 1)

2x - 6y = 8

(ec. 1)

- 2x + 6y = 1

(ec. 2)

(ec. 2)

0 = 9 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59

EJEMPLO 10

Multiplicada por 2.

Falso

Como 0  9 es una proposición falsa, este sistema no tiene solución. El sistema es inconsistente y las gráficas de estas ecuaciones son rectas paralelas. ✺ Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.

1 y = 2 2 y = 2x - 4 x -

Solución

Primero alineamos los términos x y y del lado izquierdo de la ecuación.

1 y = 2 (ec. 1) 2 2x - y = 4 (ec. 2)

x -

Ahora procedemos como en los ejemplos anteriores.

-2x + y = - 4 2x - y = 4 0 = 0

(ec. 1)

Multiplicada por 2.

(ec. 2) Verdadero

Como 0  0 es una proposición verdadera, el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. Ambas ecuaciones representan la misma recta. Observe que si multiplica ambos lados de la (ec. 1) por 2, obtendrá la (ec. 2). ✺ Hemos ilustrado tres métodos que pueden utilizarse para resolver un sistema de ecuaciones lineales: graficación, sustitución y suma. ¿Qué método debe utilizar cuando le pidan resolver un sistema de ecuaciones? Cuando necesite una solución exacta, la graficación no es el método apropiado. De los dos métodos algebraicos, el de la suma puede ser el más sencillo de utilizar si no hay coeficientes numéricos 1 en el sistema. Si al menos una de las ecuaciones tiene un coeficiente igual a 1, puede utilizar cualquier método. En la sección 4.4 se presentará un cuarto método con matrices, y en la sección 4.5, un quinto método, con determinantes.

Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 221

Conjunto de ejercicios 4.1 Ejercicios conceptuales 7. Explique cómo se puede determinar, sin graficar ni resolver, si un sistema de dos ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o dependiente.

1. ¿Cuál es una solución para un sistema de ecuaciones lineales? 2. ¿Cómo se denomina la solución para un sistema de ecuaciones lineales con tres variables?

8. ¿Cuál es el objetivo del método de la suma cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales?

3. ¿Qué es un sistema de ecuaciones dependiente?

9. ¿Cómo puede saberse si un sistema lineal es dependiente mediante el método de la suma?

4. ¿Qué es un sistema de ecuaciones inconsistente? 5. ¿Qué es un sistema de ecuaciones consistente? 6. Explique cómo determinar de manera gráfica la solución de un sistema de ecuaciones.

10. ¿Cómo puede saberse si un sistema lineal es inconsistente mediante el método de la suma?

Problemas de aplicación Determine cuáles, si los hay, de los pares ordenados o ternas ordenadas satisfacen el sistema de ecuaciones lineales. 11. y = 2x + 4

13. x + y = 25

12. 3x - 5y = 12

y = 2x - 1 a) 10, 42 b) 13, 102

0.25x + 0.45y = 7.50

3 y = x - 3 4 a) 14, 02 b) 18, 32

x 7 3 3 5x - 35 = 15y

a) 15, 202

b) 118.75, 6.252 16. 4x + y - 3z = 1

15. x + 2y - z = - 5

14. y =

2x - 2y + 6z = 11 -6x + 3y + 12z = - 4 a) 12, - 1, - 22 1 b) a , 2, 1b 2

2x - y + 2z = 8 3x + 3y + 4z = 5 a) 11, 3, - 22 b) 11, - 2, 22

a) 11, - 22 b) 14, -12

Escriba cada ecuación en forma pendiente intersección. Sin graficar las ecuaciones, determine si el sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente. También indique si el sistema tiene exactamente una solución, no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. 17. - 6x + 3y = 1

4y + 12 = - 6x

21. 3x - 3y = 9

2x - 2y = - 4

1 y = 5 2 2x - y = 7

y x + = 1 3 4 4x + 3y = 12

18. x -

19.

22. 2x = 3y + 4

23. y =

6x - 9y = 12

1 3 x + 2 2

3x - 2y = -

20.

y x + = 1 3 4 4x - y = 12

24. x - y = 3

1 2

1 x - 2y = - 6 2

Determine gráficamente la solución de cada sistema de ecuaciones. Indique si el sistema es inconsistente o dependiente. 25. y = x + 5

26. y = 2x + 4

y = -x + 3

y = - 3x - 6

29. 2x + 3y = 6

30. y = - 2x - 1

4x = - 6y + 12

33. y = - 5x + 5

y = 2x - 2

x + 2y = 4

34. 4x - y = 9

x - 3y = 16

27. y = 4x - 1

2y = 8x + 6 31. x + 3y = 4

x = 1

35. 2x - y = - 4

2y = 4x - 6

28. x + y = 1

3x - y = - 5 32. 2x - 5y = 10

y =

2 x - 2 5

1 x - 1 3 3y = 4x - 18

36. y = -

222 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades Determine por sustitución la solución de cada sistema de ecuaciones. 37. x + 3y = - 1

y = x + 1 41. a + 3b = 5 2a - b = 3

1 b = 2 2 b = 2a - 4

45. a -

49. 5x - 4y = - 7

x -

3 y = -2 5

38. 3x - 2y = - 7

39. x = 2y + 3

y = 2x - 3 42. 6s + 3t = 4

1 x = 0 2 x + 4y - 1 = 0

m +

y =

51.

1 n = 4 2

44. x = 0.5y + 1.7

10x - y = 1

2 x - 1 3 2x - 3y = 5

47. 5x - 2y = - 7

1 2 y = - x 3 3 50. m + 2n = 4

x = y

43. y +

1 s = t 2 46. x + 3y = - 2

40. y = 3x - 14

y = x

48. y =

5 x + 1 2

1 1 x - y = 2 2 3 2 1 x + y = 6 4 3

52.

1 1 x + y = 13 2 3 1 1 x + y = 5 5 8

Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma. 53. x + y = 7

54. - x + y = 4

x - y = -3 56. 2x - 5y = 6

55. 4x - 3y = 1

x - 2y = 6

5x + 3y = - 10 58. 4r - 3s = 2

57. 10m - 2n = 6

2r + s = 6

- 5m + n = - 3

- 4x + 10y = - 1 59. 2c - 5d = 1 -4c + 10d = 6

60. 2v - 3w = 8

61. 3p - 2q = 1

3v - 6w = 1

2p + 5q = 7

62. 5a - 10b = 15

63. 5s - 3t = 7

a = 2b + 3 65. 2x - y = 8

69. 0.2x + 0.5y = 1.6

1 1 x = 4 - y 3 4 3x = 4y

70. 0.15x - 0.40y = 0.65

- 0.3x + 0.4y = - 0.1 72. - 0.25x + 0.10y = 1.05

- 1.5m - 0.3n = - 6.0

74.

67. 3x - 4y = 5 2x = 5y - 3

2x = - 5y - 1

2x - 3y = 4 71. 2.1m - 0.6n = 8.4

-5x + 3y = 7

66. 3x + 4y = 2

3x + y = 6 68. 4x + 5y = 3

64. 2x - 7y = 3

t = s + 1

0.60x + 0.25y = - 1.1 73.

- 0.40x - 0.625y = - 0.675

75.

1 1 x + y = 4 5 2 2 8 x - y = 3 3

76.

1 1 x - y = 1 2 3 1 1 2 x - y = 4 9 3 1 2 x - 4 = y 3 2 1 x - 3y = 3

Resolución de problemas 77. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sea más fácil de resolver por sustitución. b) Explique por qué la sustitución sería el método más fácil de usar. c) Resuelva el sistema por sustitución.

78. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sea más fácil de resolver por el método de la suma. b) Explique por qué el método de suma sería el más fácil de usar. c) Resuelva el sistema por el método de suma.

Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 223 79. Edad de los recién casados De acuerdo con información censal, los hombres y las mujeres esperan cada vez más para casarse. La siguiente gráfica muestra la edad promedio a la que hombres y mujeres contraen matrimonio por primera vez.

Edad

2x - 6y = - 13

a) ¿Cuántas soluciones más tiene el sistema? Explique.

Hombres

25

b) Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (6, 11). Determine una ecuación de la recta que contenga esos puntos, y luego establezca la intersección del eje y.

20

Mujeres

15

-x + 3y = 5

83. Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales incluye los pares ordenados (4, 3) y (6, 11).

Edad promedio en el primer matrimonio 30

82. Explique, basándose sólo en la observación, cómo puede decir que este sistema es inconsistente.

10

c) ¿Esta recta representa una función?

5 0 1960

1970

1980

1990

2000

Año

84. Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales incluye los pares ordenados (5, 1) y (5, 4). a) ¿Cuántas soluciones más tiene el sistema? Explique.

La edad promedio a la que las mujeres contraen matrimonio por primera vez, puede calcularse mediante la función W(t)  0.12t  20.3, y la edad promedio a la que los hombres lo hacen puede calcularse por medio de la función M(t)  0.1t  22.8, en donde t es años desde 1960. Si esta tendencia continúa, determine el año en que la edad promedio a la que hombres y mujeres contraerán matrimonio por primera vez será la misma. 80. Periódicos La siguiente gráfica muestra que el número de periódicos vespertinos editados en Estados Unidos ha disminuido de forma casi lineal desde 1980, mientras que el número de periódicos matutinos ha aumentado casi linealmente.

b) Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (5, 1) y (5, 4). Obtenga una ecuación de la recta que contiene esos puntos. ¿Esta gráfica tiene una intersección del eje y? Explique. c) ¿Esta recta representa una función? 85. Construya un sistema de ecuaciones dependiente. Explique cómo creó su sistema. 86. Construya un sistema de ecuaciones inconsistente. Explique cómo creó su sistema.

Número de periódicos

Periódicos 1400

En los ejercicios 87 y 88, a) cree un sistema de ecuaciones lineales con la solución indicada, y b) explique cómo determinó su solución.

Vespertinos

1200 1000

87. (2, 5).

800

88. (3, 4).

600

Matutinos

400

89. La solución para el siguiente sistema de ecuaciones es (2, 3). Determine A y B.

200 0 1980

Ax + 4y = - 8 1990

2000

Año

El número de periódicos vespertinos, E(t), puede calcularse mediante la función E(t)  33.05t  1388, y el número de periódicos matutinos por medio de la función M(t)  18.95t  387, en donde t representa el número de años desde 1980. Con base en estas funciones, determine en qué año el número de periódicos vespertinos era igual al número de periódicos matutinos. 81. Explique, basándose sólo en la observación, cómo puede decir que este sistema es dependiente.

2x + 3y = 1 4x + 6y = 2

3x - By = 21 90. La solución para el siguiente sistema de ecuaciones es (5, 3). Determine A y B.

3x + Ay = - 3 Bx - 2y = - 16 91. Si (2, 6) y (1, 6) son dos soluciones de f(x)  mx  b, determine m y b. 92. Si (3, 5) y (2, 10) son dos soluciones de f(x)  mx  b, determine m y b. 93. Suponga que usted grafica un sistema de dos ecuaciones lineales en su calculadora graficadora, pero sólo se ve una recta en la ventana. ¿Cuáles son dos posibles explicaciones para esto?

224 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades 94. Suponga que usted grafica un sistema de ecuaciones lineales en su calculadora graficadora y obtiene lo siguiente. a) Observando la ventana, ¿puede usted asegurar que este sistema es inconsistente? Explique. b) ¿Qué puede hacer en su calculadora graficadora para determinar si el sistema es inconsistente?

Reto Resuelva cada sistema de ecuaciones. 95.

y + 4 x + 2 = 4 2 3 x + y x - y 1 = + 2 2 3

96.

Resuelva cada sistema de ecuaciones. (Pista: 97.

9 5x + 3y = + y 2 2 1 1 x - y = 6x + 12 4 2

1 3 1 = 3 # = 3x si x = ). a a a

4 3 + = -1 a b 1 6 + = 2 a b

98.

1 6 + = -1 x y 2 3 = -3 x y

Despejando x y y, determine la solución para cada sistema de ecuaciones. En todas las ecuaciones a  0 y b  0. La solución incluirá las literales a, b, o ambas. 99. 4ax + 3y = 19

100. ax = 2 - by

- ax + y = 4

-ax + 2by - 1 = 0

Actividad en equipo Analice y responda en equipo el ejercicio 101. 101. Tendencia La siguiente gráfica apareció en las revistas médicas Journal of the American Medical Association y Scientific American. La línea inferior indica la tendencia a largo plazo de las muertes provocadas por armas de fuego, y la línea superior la tendencia a largo plazo de las muertes provocadas por accidentes automovilísticos. Las líneas delgadas negras indican la tendencia a corto plazo en ambas situaciones.

b) Analice la tendencia a largo plazo de las muertes provocadas por armas de fuego. c) Compare las tendencias a corto y largo plazo de las muertes provocadas por accidentes automovilísticos. d) Compare las tendencias a corto y largo plazo de las muertes provocadas por armas de fuego. e) Utilice las tendencias a largo plazo para calcular el momento en que el número de muertes provocadas por armas de fuego será igual al número de muertes provocadas por accidentes automovilísticos.

Tendencias de mortalidad

Muertes anuales (por cada 100,000 personas)

a) Analice la tendencia a largo plazo de las muertes provocadas por accidentes automovilísticos.

30

f) Repita la parte e) utilizando las tendencias a corto plazo. 25

g) Determine una función, M(t), que pueda usarse para calcular el número de muertes provocadas por accidentes automovilísticos (a largo plazo) en un universo de 100,000 personas, entre 1965 y 2010.

20 15 10

Por arma de fuego Por accidentes automovilísticos

5 0

1970

1980

1990

Año

2000

2010

h) Determine una función, F(t), que pueda usarse para calcular el número de muertes provocadas por armas de fuego (a largo plazo) en un universo de 100,000 personas, entre 1965 y 2010. i) Resuelva los sistemas de ecuaciones determinados en las partes g) y h). ¿La solución coincide con la solución de la parte e)? Si no, explique por qué.

Sección 4.2 • Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables • 225

Ejercicios de repaso acumulativo 102. Explique la dif erencia entre un número racional y uno irracional. 103. a) ¿Todos los números racionales son números reales? b) ¿Todos los números irracionales son números reales? [2.1] 104. Resuelva la ecuación

3 1 1x - 72 = 12x + 12. 2 4

[2.2] 106. Evalúe A = p a 1 +

r t b , cuando p  500, r  0.08, n

n  2 y t  1. [3.5] 107. ¿La relación {(3, 4), (7, 2), (4, 5), (5, 0), (3, 2)} es una función? Explique su respuesta. [3.6] 108. Sea f(x)  x  3 y g(x)  x2  9. Determine (f/g)(3).

[2.2] 105. Encuentre todos los números tales que |x  4|  |4  x|.

4.2 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES VARIABLES

1

1

Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables.

2

Aprender a interpretar geométricamente un sistema de ecuaciones con tres variables.

3

Reconocer sistemas inconsistentes y dependientes.

Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables La ecuación 2x  3y  4z  8 es un ejemplo de una ecuación lineal con tres variables. La solución de este tipo de ecuaciones lineales es una terna ordenada de la forma (x, y, z). Una solución para la ecuación dada es (1, 2, 3). Compruébelo. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables, podemos usar los métodos de sustitución o de la suma que analizamos en la sección 4.1.

EJEMPLO 1

Resuelva el siguiente sistema por sustitución.

x = -3 3x + 4y = 7 -2x - 3y + 5z = 19

Solución

Como sabemos que x  3, sustituimos x por –3 en la ecuación 3x  4y  7, y despejamos y.

3x + 4y = 7 31-32 + 4y = 7 -9 + 4y = 7 4y = 16 y = 4 Ahora sustituimos x  3 y y  4 en la última ecuación, y despejamos z.

-2x - 3y -21-32 - 3142 6 - 12 -6

+ + + +

5z 5z 5z 5z 5z z

= = = = = =

19 19 19 19 25 5

226 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades Comprobación

x  3, y  4, z  5. La solución debe verificarse en las tres ecua-

ciones originales.

x = -3 -3 = -3 Verdadero

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 3

3x + 4y = 7 ? 31 -32 + 4142 = 7 7 = 7 Verdadero

-2x - 3y + 5z = 19 ? -21-32 - 3142 + 5152 = 19 19 = 19 Verdadero

La solución es la terna ordenada (3, 4, 5). Recuerde que la terna ordenada lista primero el valor x, después el valor y y por último el valor z. ✺ No todos los sistemas lineales con tres variables pueden resolverse por sustitución de forma tan directa como en el ejemplo 1. Cuando un sistema de tercer orden no puede resolverse fácilmente por sustitución, podemos encontrar la solución utilizando el método de la suma, como se ilustra en el ejemplo 2.

EJEMPLO 2

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de la suma.

3x + 2y + z =

Solución

4

(ec. 1)

2x - 3y + 2z = -7 x + 4y - z = 10

(ec. 2) (ec. 3)

Para resolver este sistema de ecuaciones, debemos obtener primero dos ecuaciones con las mismas dos variables. Esto se hace eligiendo dos ecuaciones y utilizando el método de la suma para eliminar una de las variables. Por ejemplo, sumando la (ec. 1) y la (ec. 3) eliminamos la variable z. Después utilizamos un par diferente de ecuaciones [ya sea (ec. 1) y (ec. 2) o (ec. 2) y (ec. 3)] y empleamos el método de la suma para eliminar la misma variable que fue eliminada con anterioridad. Si multiplicamos (ec. 1) por 2 y la sumamos a (ec. 2), la variable z será eliminada nuevamente. Entonces tendremos dos ecuaciones con sólo dos incógnitas. Comencemos por sumar (ec. 1) y (ec. 3).

3x + 2y + z = 4 x + 4y - z = 10 4x + 6y = 14

(ec. 1) (ec. 3) Suma de las ecuaciones, (ec. 4).

Utilicemos ahora un conjunto diferente de ecuaciones y eliminemos de nuevo la variable z.

-6x - 4y - 2z = - 8 (ec. 1) Multiplicada por 2. 2x - 3y + 2z = - 7 (ec. 2) - 4x - 7y = - 15 Suma de las ecuaciones, (ec. 5). Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, (ec. 4) y (ec. 5). Si sumamos estas dos ecuaciones, eliminaremos la variable x.

4x + 6y -4x - 7y -y y

= 14 = - 15 = -1 = 1

(ec. 4) (ec. 5) Suma de las ecuaciones.

Luego sustituimos y  1 en cualquiera de las dos ecuaciones con sólo dos variables [(ec. 4) o (ec. 5)] y despejamos x.

4x + 6y 4x + 6112 4x + 6 4x x

= = = = =

14 14 14 8 2

(ec. 4) Sustituya y por 1 en la (ec. 4).

Sección 4.2 • Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables • 227

Por último, sustituimos x  2 y y  1 en cualquiera de las ecuaciones originales, y despejamos z.

3x + 2y + z =

4

(ec. 1)

3122 + 2112 + z =

4

Sustituya x por 2 y y por 1 en (ec. 1).

6 + 2 + z =

4

8 + z =

4

z = -4 La solución es la terna ordenada (2, 1, 4). Compruebe esta solución en las tres ecuaciones originales. ✺ En el ejemplo 2 elegimos eliminar primero la variable z utilizando las ecuaciones (ec. 1) y (ec. 3), y después las ecuaciones (ec. 1) y (ec. 2). Podríamos haber optado por eliminar primero la variable x o la variable y. Por ejemplo, podríamos haber eliminado la variable x multiplicando (ec. 3) por 2 y después sumándola a (ec. 2). También podríamos eliminar la variable x multiplicando (ec. 3) por 3 y después sumándola a (ec. 1). Resuelva el sistema del ejemplo 2 eliminando primero la variable x.

EJEMPLO 3

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

2x - 3y + 2z = -1 (ec. 1) x + 2y x

Solución

= 14 (ec. 2) - 3z = - 5 (ec. 3)

La tercera ecuación no incluye la variable y. Por lo tanto, trabajaremos para obtener otra ecuación que tampoco la contenga. Para hacerlo, utilizaremos (ec. 1) y (ec. 2).

4x - 6y + 4z = - 2 (ec. 1) Multiplicada por 2. 3x + 6y 7x

= 42 (ec. 2) Multiplicada por 3. + 4z = 40 Suma de las ecuaciones (ec. 4).

Ahora tenemos dos ecuaciones que incluyen sólo las variables x y z.

7x + 4z = 40

(ec. 4)

x - 3z = - 5

(ec. 3)

Eliminemos la variable x.

7x + 4z = 40 (ec. 4) -7x + 21z = 35 (ec. 3) Multiplicada por 7. 25z = 75 Suma de las ecuaciones. z = 3 Ahora despejemos x utilizando una de las ecuaciones que incluyen sólo las variables x y z. Sustituimos z por 3 en (ec. 3).

x - 3z = - 5 x - 3132 = -5 x - 9 = -5 x =

4

(ec. 3) Sustituya z por 3 en (ec. 3).

228 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Por último, despejamos y utilizando cualquiera de las ecuaciones originales que incluyen la variable y.

x + 2y = 14 4 + 2y = 14 2y = 10

(ec. 2) Sustituya x por 4 en la (ec. 2).

y = 5 La solución es la terna ordenada (4, 5, 3). Comprobación

(ec. 1)

2x - 3y + 2z = - 1 ?

2142 - 3152 + 2132 = -1 ?

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11

SUGERENCIA

(ec. 2)

x + 2y = 14 ?

4 + 2152 = 14 ?

(ec. 3)

x - 3z = - 5 ?

4 - 3132 = -5 ?

8 - 15 + 6 = -1

4 + 10 = 14

4 - 9 = -5

-1 = -1

14 = 14

-5 = - 5

Verdadero

Verdadero

Verdadero

✺

Si una de las ecuaciones de un sistema contiene fracciones, elimínelas multiplicando cada término de la ecuación por el mínimo común denominador. Después continúe resolviendo el sistema. Por ejemplo, si una ecuación del sistema es 34 x - 58 y + z = 12 , multiplique ambos lados de la ecuación por 8 para obtener la ecuación equivalente, 6x  5y  8z  4.

2 Aprender a interpretar geométricamente un sistema de ecuaciones con tres variables z

3

(4, 5, 3)

4

x

FIGURA 4.5

3

5

y

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, podemos determinar gráficamente su solución utilizando el sistema de coordenadas cartesianas. Una ecuación lineal con tres variables, x, y y z, puede graficarse en un sistema de coordenadas con tres ejes perpendiculares entre sí (vea la figura 4,5). Un punto trazado en este sistema de tres dimensiones aparecería como un punto en el espacio. Si graficáramos una ecuación como x  2y  3z  4, encontraríamos que su gráfica sería un plano, y no una recta. En el ejemplo 3 indicamos que la solución era la terna ordenada (4, 5, 3). Esto significa que los tres planos, uno por cada una de las ecuaciones dadas, se intersecan en el punto (4, 5, 3). La figura 4.5 muestra la localización de este punto de intersección de los tres planos. La gráfica del ejercicio 39 ilustra tres planos que se intersecan en un punto.

Reconocer sistemas inconsistentes y dependientes En la sección 4.1 analizamos los sistemas de ecuaciones inconsistentes y dependientes. Los sistemas de ecuaciones lineales con tres variables también pueden ser inconsistentes o dependientes.Al resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, si se obtiene una proposición falsa como 3  0, significa que el sistema es inconsistente y no tiene solución. Esto significa que los planos no son concurrentes, es decir, no existe punto en que coincidan los tres planos, por lo que no se pueden intersecar. (Vea los ejercicios 37 y 38). Al resolver un sistema lineal con tres variables, si se obtiene una proposición verdadera, 0  0, significa que el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. Esto puede suceder cuando las tres ecuaciones representan al mismo plano o cuando la intersección de los planos es una recta, como en la gráfica del ejercicio 40. Los ejemplos 4 y 5 ilustran un sistema inconsistente y uno dependiente, respectivamente.

Sección 4.2 • Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables • 229

EJEMPLO 4

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

-3x + 5y + z = - 3 (ec. 1) 6x - 10y - 2z =

1 (ec. 2)

7x - 4y + 11z = - 6 (ec. 3)

Solución

Comenzaremos por eliminar la variable x de (ec. 1) y de (ec. 2).

-6x + 10y + 2z = - 6 (ec. 1) Multiplicada por 2. 6x - 10y - 2z =

1 (ec. 2)

0 = -5 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31

EJEMPLO 5

Falso

Como hemos obtenido la proposición falsa 0  5, este sistema es inconsistente y no tiene solución. ✺ Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

x - y + z = 1 (ec. 1) x + 2y - z = 1 (ec. 2) x - 4y + 3z = 1 (ec. 3)

Solución

Comenzaremos eliminando la variable x de (ec. 1) y de (ec. 2), para después hacerlo de (ec. 1) y de (ec. 3).

-x + y - z = - 1 (ec. 1) Multiplicada por 1. x + 2y - z = 3y - 2z = x - y + z =

1 (ec. 2) 0 Suma de las ecuaciones (ec. 4). 1 (ec. 1)

- x + 4y - 3z = - 1 (ec. 3) Multiplicada por 1. 3y - 2z =

0 Suma de las ecuaciones (ec. 5).

Ahora eliminamos la variable y utilizando (ec. 4) y (ec. 5).

-3y + 2z = 0 (ec. 4)

Multiplicada por 1.

3y - 2z = 0 (ec. 5) 0 = 0

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33

Verdadero

Como obtuvimos la proposición verdadera 0  0, este sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. Recuerde que en la sección 4.1 se mencionó que los sistemas de ecuaciones dependientes también son consistentes, ya que tienen una solución. ✺

Conjunto de ejercicios 4.2 Ejercicios conceptuales 1. ¿Cuál será la gráfica de una ecuación como 3x  4y  2z  1?

2. Suponga que la solución para un sistema de ecuaciones lineales con tres variables es (1, 3, 5). Geométricamente, ¿qué significa esto?

230 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Problemas de aplicación Resuelva por sustitución.

3. x = 1 2x - y = 4 - 3x + 2y - 2z = 1

4. - x + 3y - 5z = 7

6. 2x - 5y = 12

7. x + 2y = 6

5. 5x - 6z = - 17

3x - 4y + 5z = - 1 2z = - 6

2y - z = 4 z = 2

8. x - y + 5z = - 4

3y = 9 x + 2z = 12

3x - 2z = 6 4z = 2

10. 2x + y - 8 = 0

11. 2y + 4z = 6 x + y + 2z = 0 2x + y + z = 4

- 3y = - 9 2x - 3y + 4z = 8 Resuelva utilizando el método de la suma. 9. x - 2y = - 3

3x + 2y = 7 2x - 4y + z = - 6

3x - 4z = - 3 2x - 3z = 1

12. x - y + 2z = 1

13. 3p + 2q = 11

y - 4z = 2 - 2x + 2y - 5z = 2 15. p + q + r = 4

2t - 2u = 2 -s + 6u = - 2

16. x - 2y + 3z = - 7

p - 2q - r = 1 2p - q - 2r = - 1

19. r - 2s + t = 2

x - 3y - 4z = 2 x + y + 2z = - 1

22. x - 2y + 2z = 3

20. 3a - 3b + 4c = - 1

a - 2b + 2c = 2 2a - 2b - c = 3 23. -x + 3y + z = 0

-2x + 4y - z = 0 3x - y + 2z = 0

2x - 3y + 2z = 5 x + y + z = -1

3a + 4b + c = - 4 5a - 2b - 3c = 5

1 1 x + y 4 2 1 1 x + y 2 3 1 1 x - y + 2 2

24. x + y + z = 0

25. -

-x - y + z = 0 -x + y + z = 0

-2 1 3 =

2x + y - 2z = - 1 4x - y - 3z = 0

2r + 2s - t = - 2 2r - s - 2t = 1

21. 2a + 2b - c = 2

27. x -

17. 2x - 2y + 3z = 5

2x - y - z = 7 - x + 3y + 2z = - 8

18. 2x - y - 2z = 3

2 2 y - z = 3 3 2 2 x + y - z = 3 3 1 1 - x + y - z 4 4

14. -4s + 3t = 16

4q - r = 6 2p + 2r = 2

3 4

28.

-

1 z = -2 2

1 z = 2 4 1 z = 1 4

1 1 x + y + z = 3 4 2 17 1 1 x + y + z = 3 4 6 1 1 5 1 - x + y - z = 4 3 2 6

26.

2 1 1 x + y - z = 3 3 3 5 1 x + y + z = 2 2 1 1 1 3 x - y + z = 4 4 4 2

29. 0.2x + 0.3y + 0.3z = 1.1

0.4x - 0.2y + 0.1z = 0.4 -0.1x - 0.1y + 0.3z = 0.4

30. 0.3x - 0.4y + 0.2z = 1.6

-0.1x - 0.2y + 0.3z = 0.9 - 0.2x - 0.1y - 0.3z = - 1.2 Determine si los siguientes sistemas son inconsistentes, dependientes, o ninguna de estas posibilidades.

31. 2x + y + 2z = 1 x - 2y - z = 0 3x - y + z = 2

32. 5a - 4b + 2c = 5

34. 2p - 4q + 6r = 8

35. x + 3y + 2z = 6

-p + 2q - 3r = 6 3p + 4q + 5r = 8

-5a + 4b - 2c = - 5 - 7a - 4b + c = 7 x - 2y - z = 8 - 3x - 9y - 6z = - 4

33. x - 4y - 3z = - 1 2x - 10y - 7z = 5 - 3x + 12y + 9z = 3 36. 2x - 2y + 4z = 2

- 3x + y = - 9 2x - y + z = 5

Sección 4.2 • Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables • 231

Resolución de problemas Una ecuación con tres variables, x y y z, representa un plano. Considere un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones con tres variables. Responda las siguientes preguntas. 37. Si los tres planos son paralelos entre sí, como se ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común los tres planos? ¿El sistema es consistente o inconsistente? Explique su respuesta.

40. Si los tres planos muestran una disposición como la que se ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común? ¿El sistema es dependiente? Explique su respuesta.

I

I II

III

III II

38. Si dos de los planos son paralelos entre sí y el tercer plano interseca cada uno de los otros dos planos, ¿cuántos puntos tendrán en común los tres planos? ¿El sistema es consistente o inconsistente? Explique su respuesta. 41. ¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tenga exactamente I

a) cero soluciones, II

b) una solución, c) dos soluciones? Explique su respuesta.

III

42. En un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, si las gráficas de dos ecuaciones son planos paralelos, ¿es posible que el sistema sea a) consistente, 39. Si los tres planos muestran una disposición como la que se ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común? ¿El sistema es consistente o inconsistente? Explique su respuesta.

II III I

b) dependiente, c) inconsistente? Explique su respuesta. 43. Tres soluciones para la ecuación Ax  By  Cz  1 son (1, 2, 1), (1, 1, 2) y (1, 2, 2). Determine los valores de A, B y C, y escriba la ecuación utilizando los valores numéricos encontrados. 44. Tres soluciones para la ecuación Ax  By  Cz  14 son (3, 1, 2), (2, 2, 1) y (5, 3, 24). Determine los valores de A, B y C, y escriba la ecuación utilizando los valores numéricos encontrados.

Escriba un sistema de ecuaciones lineales con tres variables que tenga la solución dada. Explique cómo determinó su respuesta. 45. (3, 1, 6).

46. (2, 5, 3).

47. a) Determine los valores de a, b y c tales que los puntos (1, 1), (1, 5) y (3, 11) pertenezcan a la gráfica de y  ax2  bx  c.

48. a) Determine los valores de a, b y c tales que los puntos (1, 7), (2, 5) y (3, 5) pertenezcan a la gráfica de y  ax2  bx  c.

b) Determine la ecuación cuadrática cuya gráfica pasa por los tres puntos indicados. Explique cómo determinó su respuesta.

b) Determine la ecuación cuadrática cuya gráfica pasa a través de los tres puntos indicados. Explique cómo determinó su respuesta.

232 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Reto Determine la solución para los siguientes sistemas de ecuaciones. 49. 3p + 4q = 11

50. 3a + 2b - c = 0

2p + r + s = 9 q - s = -2 p + 2q - r = 2

2a + 2c + d = 5 a + 2b - d = - 2 2a - b + c + d = 2

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 51. Esquí a campo traviesa Margarita Suárez empieza a esquiar a 3 millas por hora. Diez minutos después, A 16 hora B , su esposo, David, comienza a esquiar por el mismo camino a cinco 5 por hora. a) ¿Cuánto tiempo después de que David comienza a esquiar alcanzará a Margarita? b) ¿A qué distancia desde el punto inicial se encontrarán? [2.6] Determine cada conjunto solución. 52. ` 4 -

2x ` 7 5 3

53. `

3x - 4 ` - 1 6 5 2

54. ` 2x -

1 ` = -5 2

4.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: APLICACIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1

1

Utilizar sistemas de ecuaciones para resolver problemas de aplicación.

2

Utilizar sistemas lineales con tres variables para resolver problemas de aplicación.

Utilizar sistemas de ecuaciones para resolver problemas de aplicación Mujeres y hombres en la fuerza de trabajo (Porcentaje de población en la fuerza de trabajo civil)

Muchos de los problemas de aplicación que se resolvieron en capítulos anteriores usando una sola variable pueden resolverse usando dos variables. En seguida se presentan algunos ejemplos que muestran cómo pueden describirse los problemas de aplicación mediante sistemas de ecuaciones.

100

Porcentaje

80

Hombres

60

Mujeres

40 20 0

EJEMPLO 1

Cambios en la fuerza de trabajo La gráfica de la figura 4.6 indica que, en Estados Unidos, el porcentaje de hombres en la fuerza de trabajo está disminuyendo de manera constante, mientras que el porcentaje de mujeres está aumentando gradualmente. La función m(t)  0.25t  85.4, en donde t  años desde 1955, puede usarse para calcular el porcentaje de hombres que participa en la fuerza de trabajo, y la función w(t)  0.52t  35.7 puede usarse para calcular el porcentaje de mujeres. Si esta tendencia continúa, determine en qué año el porcentaje de mujeres que participa en la fuerza de trabajo será igual al porcentaje de hombres.

’60 ’70 ’80 ’90 ’00

Año Fuente: Departamento de Trabajo de Estados Unidos.

FIGURA 4.6

Solución

Entienda el problema y traduzca Considere las dos funciones dadas anteriormente como el sistema de ecuaciones. Para determinar en qué año el porcentaje de mujeres será igual al porcentaje de hombres, podemos establecer las dos funciones de tal manera que sean iguales, y despejar el tiempo, t.

Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 233 Realice los cálculos porcentaje de mujeres = porcentaje de hombres

0.52t + 35.7 = - 0.25t + 85.4 0.77t = 49.7 t L 64.5 Por lo tanto, el porcentaje de mujeres que participa en la fuerza de trabajo será igual al porcentaje de hombres aproximadamente 64.5 años a partir de 1955. Como 1955  64.5  2019.5, el porcentaje será igual en el año 2019. ✺

Responda AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37

EJEMPLO 2

Velocidad de una canoa La familia Vázquez viaja en canoa por un río, a una velocidad promedio de 4.75 millas por hora cuando reman con la corriente a favor, y 2.25 millas por hora cuando lo hacen a contracorriente. Determine la velocidad de la canoa con la corriente a su favor, y la velocidad de la corriente.

Solución

Entienda el problema Cuando los Vázquez viajan con la corriente a su favor, la velocidad de la canoa es igual a su velocidad más la velocidad de la corriente. Cuando viajan a contracorriente, la velocidad de la canoa es igual a su velocidad menos la velocidad de la corriente.

Traduzca

Sea s  velocidad de la canoa con la corriente a favor

c  velocidad de la corriente El sistema de ecuaciones es: velocidad de la canoa viajando con la corriente a favor: velocidad de la canoa viajando a contracorriente:

s  c  4.75 s  c  2.25

Usaremos el método de la suma, analizado en la sección 4.1, para resolver este sistema de ecuaciones.

Realice los cálculos

s + c = 4.75 s - c = 2.25 2s = 7 s = 3.5 La velocidad de la canoa con la corriente a favor es de 3.5 millas por hora. Ahora determinaremos la velocidad de la corriente.

s + c = 4.75 3.5 + c = 4.75 c = 1.25 La corriente tiene una velocidad de 1.25 millas por hora, y la velocidad de la canoa con la corriente a favor es de 3.5 millas por hora. ✺

Responda

EJEMPLO 3

Salario Yamil Bermúdez, un vendedor de electrónicos, recibe un salario semanal más una comisión porcentual sobre sus ventas. Una semana en que vendió mercancía por $3000, su paga total fue de $850; la semana siguiente, en que vendió mercancía por $4000, su pago total fue de $1000. Determine cuál es su salario semanal y cuál su porcentaje de comisión.

Solución

Entienda el problema El pago de Yamil consiste de su salario semanal más la comisión. Se nos da información acerca de dos semanas específicas que podemos usar para determinar su salario semanal y su porcentaje de comisión. Traduzca

sea s  su salario semanal

r  su porcentaje de comisión

234 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

En la semana 1, su comisión sobre $3000 es 3000r, y en la semana 2, su comisión sobre $4000 es 4000r. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es

salario + comisión = pago Primera semana s + 3000r = 850 r Segunda semana s + 4000r = 1000 -s - 3000r = - 850 s + 4000r = 1000 1000r = 150

Realice los cálculos

Sistema de ecuaciones. Primera semana multiplicada por 1. Segunda semana. Suma de ecuaciones.

150 r = 1000 r = 0.15 La comisión de Yamil es de 15% sobre sus ventas. Ahora determinaremos su salario semanal, sustituyendo r por 0.15 en cualquiera de las ecuaciones.

s + 3000r = 850 s + 300010.152 = 850

Sustituya r por 0.15 en la ecuación de la primera semana.

s + 450 = 850 s = 400 Responda El salario semanal de Yamil es de $400, y su porcentaje de comisión so-

EJEMPLO 4

✺

bre ventas es de 15%.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11

Paseo en caballo Benjamín Aceves sale de su rancho montando su caballo a 5 millas por hora. Media hora más tarde, José Domínguez sale del mismo rancho y se dirige por la misma ruta montando su caballo a ocho millas por hora. a) ¿Cuánto tiempo tardará José en alcanzar a Benjamín? b) Cuando José alcance a Benjamín, ¿a que distancia del rancho estarán?

Solución a) Entienda el problema Cuando José alcance a Benjamín, ambos habrán recorrido la misma distancia, aunque José la habrá cubierto en 12 hora menos, ya que él salió 12 hora después que Benjamín. Usaremos la fórmula distancia  velocidad  tiempo, para resolver este problema. Traduzca

sea b = tiempo del recorrido de Benjamín j = tiempo del recorrido de José

Construiremos una tabla para organizar la información.

Velocidad Tiempo Distancia Benjamín

5

b

5b

José

8

j

8j

Tanto Benjamín como José recorrieron la misma distancia, así que escribimos

distancia de Benjamín = distancia de José 5b = 8j

Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 235

Nuestra segunda ecuación proviene del hecho que José ha viajado 12 hora menos que Benjamín. Por lo tanto, j = b - 12 . Así, nuestro sistema de ecuaciones es:

5b = 8j j = b -

1 2

Resolvemos este sistema de ecuaciones usando el método de la sustitución. Como j = b - 12 , sustituimos j por b - 12 en la primera ecuación y despejamos b.

Realice los cálculos

5b = 8j 1 b 2 5b = 8b - 4 - 3b = - 4 -4 1 b = = 1 -3 3 5b = 8ab -

Por consiguiente, el tiempo que Benjamín ha estado viajando es 113 horas. Para obtener el tiempo que José ha viajado, restaremos 12 hora del tiempo de Benjamín.

j = b -

1 2

1 1 3 2 4 1 8 3 5 j = - = - = 3 2 6 6 6 j = 1

José alcanzará a Benjamín 56 de una hora (o 50 minutos) después de que el primero haya salido del rancho. b) Puede utilizar ya sea la distancia recorrida por Benjamín o la recorrida por José para determinar la distancia recorrida desde el rancho. Utilizaremos la distancia recorrida por José.

Responda

5 8 5 20 2 d = 8j = 8a b = # = = 6 6 1 6 3 3 2

Así, José alcanzará a Benjamín cuando estén a 6 3 millas del rancho.

EJEMPLO 5

Solución

✺

Mezcla de soluciones La ingeniera química Alicia Hernández desea crear un nuevo limpiador para el hogar con una concentración de 30% de fosfato trisódico (TSP). Para obtener 6 litros de dicho limpiador,Alicia necesita mezclar una solución con concentración de 16% de TSP con otra cuya concentración es de 72%. ¿Cuántos litros de cada una de estas soluciones necesita mezclar? Para resolver este problema partiremos del hecho de que la cantidad de TSP en una solución se determina multiplicando el porcentaje de concentración de la solución por el número de litros (el volumen) de la misma. Alicia necesita mezclar dos soluciones, con concentración de 16% y 72%, respectivamente, para obtener 6 litros de una solución con una concentración de 30%.

Entienda el problema

Traduzca

sea x = número de litros de la solución de 16%

y = número de litros de la solución de 72% Dibujaremos un diagrama (figura 4.7) y después haremos una tabla que nos ayude a analizar el problema.

236 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades 16% Solución

Volumen

FIGURA 4.7

x

72% Solución



Mezcla



y

Concentración 16%

72%

Solución

Concentración de solución

6

30%

Número de litros

Cantidad de TSP

solución de 16%

0.16

x

0.16x

solución de 72%

0.72

y

0.72y

Mezcla

0.30

6

0.30162

Como la suma de los volúmenes de la solución de 16% y la solución de 72% da por resultado 6 litros, nuestra primera ecuación es

x + y = 6 Deducimos la segunda ecuación a partir del hecho de que ambas soluciones se mezclan.

a

cantidad de TSP cantidad de TSP cantidad de TSP b = a b b + a en la solución de 16% en la solución de 72% en la mezcla 0.16x + 0.72y = 0.30162

Por lo que, el sistema de ecuaciones es

x + y = 6 0.16x + 0.72y = 0.30162 Al despejar y en x  y  6, obtenemos y = - x + 6. Al sustituir y por x  6 en la segunda ecuación, obtenemos

Realice los cálculos

0.16x + 0.72y 0.16x + 0.721-x + 62 0.16x - 0.72x + 4.32 -0.56x + 4.32 -0.56x

= 0.30162 = 0.30162 = 1.8 = 1.8 = - 2.52

x =

-2.52 = 4.5 -0.56

Por lo tanto, Alicia debe utilizar 4.5 litros de la solución con concentración de 16%. Como las dos soluciones deben sumar 6 litros, hay que utilizar 6  4.5 o 1.5 litros de la solución con concentración de 72%. ✺ En el ejemplo 5, la ecuación 0.16x  0.72y  0.30(6) podría simplificarse multiplicando ambos lados de la ecuación por 100. Esto daría por resultado la ecuación 16x  72y  30(6) o 16x  72y  180. Entonces, el sistema de ecuaciones sería x  y  6

Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 237

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13

y 16x  72y  180. Si resuelve este sistema, deberá obtener la misma solución. Compruébelo.

2 Utilizar sistemas lineales con tres variables para resolver problemas de aplicación Ahora veamos algunas aplicaciones que implican el uso de ecuaciones con tres variables.

EJEMPLO 6

Solución

Préstamos bancarios La juguetería Diversión para chicos debe pedir un préstamo de $25,000 para pagar una ampliación. En vista de que no puede obtener todo ese dinero de un solo banco, pedirá tres préstamos a igual número de bancos diferentes. El primero cobra 8% de interés. En el segundo banco pedirá un préstamo de $2000 más que la mitad de la cantidad solicitada al primer banco. La tasa de interés del segundo banco es de 10%. El resto de los $25,000 se obtendrá mediante un préstamo de un tercer banco que cobra 9% de interés. El interés anual total que paga Diversión para chicos por el préstamo de los tres bancos es de $2220. ¿Cuánto dinero pidió prestado esta juguetería a cada tasa? Nos piden determinar cuánto se pide prestado a cada una de las tres tasas de interés. Por lo tanto, este problema tendrá tres variables, una para cada monto que se pidió prestado. En vista de lo anterior, tendremos que determinar tres ecuaciones para nuestro sistema de ecuaciones.

Entienda el problema

sea x = cantidad prestada por el primer banco y = cantidad prestada por el segundo banco z = cantidad prestada por el tercer banco

Traduzca

Como la cantidad total prestada es de $25,000, sabemos que

x + y + z = 25,000

La cantidad total prestada es $25,000.

En el segundo banco, Diversión para chicos pidió prestado $2000 más que la mitad del dinero solicitado al primer banco. Por lo tanto, la segunda ecuación es

y =

1 x + 2000 El segundo préstamo, y, es $2000 más que 21 del primero, x. 2

Para obtener nuestra última ecuación, partimos del hecho de que el monto total que cobran los tres bancos por concepto de interés es de $2220. El porcentaje de interés de cada banco se determina multiplicando la tasa de interés por la cantidad prestada.

0.08x + 0.10y + 0.09z = 2220

El pago total por interés es $2220.

Así, nuestro sistema de ecuaciones es

x + y + z = 25,000 y =

(1)

1 x + 2000 2

(2)

0.08x + 0.10y + 0.09z = 2220

(3)

Ambos lados de la ecuación (2) pueden multiplicarse por 2 para eliminar las fracciones.

1 2 1y2 = 2 a x + 2000b 2 2y = x + 4000 -x + 2y = 4000

Propiedad distributiva. Restar x en ambos lados.

238 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Podemos eliminar los decimales de la ecuación (3) multiplicando ambos lados de la ecuación por 100, para obtener

8x + 10y + 9z = 222,000 Nuestro sistema de ecuaciones simplificado es, entonces

x +

y + z = 25,000

- x + 2y

(ec. 1)

= 4000

(ec. 2)

8x + 10y + 9z = 222,000 (ec. 3) Realice los cálculos Existen varias formas de resolver este sistema. Utilicemos (ec. 1) y (ec. 3) para eliminar la variable z.

-9x - 9y - 9z = - 225,000 (ec. 1) Multiplicada por 9. 8x + 10y + 9z = -x +

y

222,000 (ec. 3) - 3000 Suma de las ecuaciones (ec. 4).

=

Ahora usamos (ec. 2) y (ec. 4) para eliminar la variable x y despejar y.

x - 2y = - 4000 (ec. 2)

Multiplicada por 1.

-x + y = - 3000 (ec. 4) - y = - 7000 Suma de las ecuaciones. y =

7000

Ahora que conocemos el valor de y, podemos despejar x.

- x + 2y = 4000

(ec. 2)

-x + 2170002 = 4000

Sustituya y por 7000 en (ec. 2).

-x + 14,000 = 4000 -x = - 10,000 x =

10,000

Por último, despejamos z.

x + y + z = 25,000 (ec. 1) 10,000 + 7000 + z = 25,000 17,000 + z = 25,000 z =

8000

La juguetería Diversión para chicos pidió prestados $10,000 a 8%, $7000 a 10% y $8000 a 9% de interés. ✺

Responda

EJEMPLO 7

Botes inflables Cierta empresa tiene una pequeña planta que fabrica tres tipos de botes inflables: para una, dos y cuatro personas. La fabricación de cada bote requiere de tres departamentos: corte, ensamblaje y empaque. Los departamentos de corte, ensamblaje y empaque pueden utilizar un total de 380, 330 y 120 horaspersona por semana, respectivamente. El tiempo que cada departamento requiere para fabricar un

Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 239

bote aparece en la siguiente tabla. Determine cuántos botes de cada tipo deben producirse por semana para que la planta opere a toda su capacidad.

Tiempo (personahora) Departamento

Solución

Bote para una persona

Bote para dos personas

Bote para cuatro personas

Corte

0.6

1.0

1.5

Ensamblaje

0.6

0.9

1.2

Empaque

0.2

0.3

0.5

Entienda el problema Nos dicen que se fabrican tres tipos de botes diferentes, y nos piden determinar la cantidad que se produce de cada uno. Como este problema incluye tres cantidades por determinar, el sistema tendrá tres ecuaciones con tres variables. Traduzca

Usaremos la información proporcionada en la tabla.

sea x = el número de botes para una persona y = número de botes para dos personas z = número de botes para cuatro personas El número total de horas que se requiere para cortar los tres tipos de botes debe ser igual a 380 horaspersona.

0.6x + 1.0y + 1.5z = 380 El número total de horas que se requiere para ensamblar debe ser igual a 330 horaspersona.

0.6x + 0.9y + 1.2z = 330 El número total de horas que se requiere para empacar debe ser igual a 120 horas persona.

0.2x + 0.3y + 0.5z = 120 Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es

0.6x + 1.0y + 1.5z = 380 0.6x + 0.9y + 1.2z = 330 0.2x + 0.3y + 0.5z = 120 Al multiplicar cada ecuación del sistema por 10, se eliminan los números decimales y se obtiene un sistema de ecuaciones simplificado.

6x + 10y + 15z = 3800 (ec. 1) 6x + 9y + 12z = 3300 (ec. 2) 2x + 3y + 5z = 1200 (ec. 3) Realice los cálculos Primero eliminaremos la variable x utilizando (ec. 1) y (ec. 2), y después (ec. 1) y (ec. 3).

6x + 10y + 15z =

3800

-6x - 9y - 12z = - 3300 y + 3z =

500

(ec. 1) (ec. 2) Multiplicada por 1. Suma de las ecuaciones, (ec. 4).

240 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

6x + 10y + 15z =

3800 (ec. 1)

-6x - 9y - 15z = - 3600 (ec. 3) Multipliccada por 3. y

=

200 Suma de las ecuaciones (ec. 5).

Observe que al sumar las dos últimas ecuaciones, las variables x y z se eliminaron simultáneamente. Ahora que conocemos el valor de y, podemos despejar z.

y + 3z = 500 (ec. 4) 200 + 3z = 500

Sustituya y por 200.

3z = 300 z = 100 Por último, determinamos x.

6x + 10y + 15z = 3800

(ec. 1)

6x + 1012002 + 1511002 = 3800 6x + 2000 + 1500 = 3800 6x + 3500 = 3800 6x = 300 x = 50 La planta debe producir 50 botes para una persona, 200 botes para dos personas y 100 botes para cuatro personas por semana. ✺

Responda AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51

Matemáticas en acción ¡Zap! ¡Ping! ¡Bang! ¡Mate! Aunque pueden parecer muy serias, las matemáticas tienen mucho que ver con una divertida actividad que disfrutan millones de personas en todo el mundo, los videojuegos. Cuando usted apunta su arma de rayos mortales hacia el mutante que intenta destruir su estación de energía neutrónica interestelar, el éxito o fracaso depende de un gran número de ecuaciones inmersas en miles de líneas de código de programación que controlan la acción.

Un grupo de ecuaciones puede determinar el movimiento del mutante, que consiste de desplazamientos básicos, determinados por variables como el tiempo, la proximidad de otros objetos y la puntuación actual. De manera similar, la trayectoria que sigue el rayo mortal es controlada por ecuaciones cuyas variables dependen de la posición del arma, de si usted ha comprado energía láser adicional, y de si el mutante ha levantado un escudo deflector con energía solar. En fin... Al final todo depende de ecuaciones expresadas como algoritmos de computadora. Algunas ecuaciones pueden resolverse de manera simultánea, como un grupo, en sistemas de ecuaciones; otras pueden resolverse en rápida sucesión a partir de valores calculados que pasan de una ecuación a la siguiente. Cientos de miles de cálculos dan por resultado la posición de los objetos que vemos en la pantalla de video que funciona, a su vez, como un plano de coordenadas cartesianas. Cuando los números determinan que el mutante y el rayo mortal que usted dispara ocupen las mismas coordenadas en el mismo instante,¡adiós mutante!

Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 241

Conjunto de ejercicios 4.3 Problemas de aplicación y resolución de problemas 1. Parques temáticos Los dos parques temáticos más visitados en Estados Unidos en 2001 fueron el Reino Mágico de Walt Disney, en Florida, y Disneylandia, en California. El número total de visitantes a estos parques fue de 27.1 millones de personas. Al Reino Mágico acudieron 2.5 millones de personas más que a Disneylandia. ¿Cuántas personas visitaron cada uno de estos parques en 2001? Fuente: www.saferparkz.org

5. Ángulos complementarios Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma da por resultado 90°. (Vea la sección 2.3.) Si la medida del más grande de los dos ángulos complementarios es 15° más que dos veces la medida del ángulo más pequeño, determine las medidas de los dos ángulos. 6. Ángulos complementarios La diferencia entre las medidas de dos ángulos complementarios es de 58°. Determine las medidas de los dos ángulos. 7. Ángulos suplementarios Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma da por resultado 180°. (Vea la sección 2.3.) Determine las medidas de dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide 28° menos que el triple del otro. 8. Ángulos suplementarios Determine las medidas de dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide tres veces y media más que el otro.

2. Espectadores de televisión por cable En la semana que finalizó el 23 de marzo de 2002, dos de los programas de televisión por cable más populares fueron The Osbournes y Bob Esponja. Casi 150,000 personas más vieron The Osbournes que Bob Esponja. El número total de televidentes para ambos programas fue de 5,842,000. ¿Cuántas personas vieron cada uno de estos programas esa semana? Fuente: www.tv.zap2it.com

9. Velocidad al remar Durante sus sesiones de entrenamiento, un equipo de remo alcanzó un promedio de 15.6 millas por hora con la corriente a su favor, y de 8.8 millas por hora con la corriente en contra. Determine la velocidad de remo del equipo con la corriente a su favor, y la velocidad de la corriente.

3. Contenido de grasa Un nutriólogo determinó que una orden grande de papas fritas tiene más grasa que una hamburguesa de un cuarto de libra (quarterpound). Las papas fritas tienen cuatro gramos más que tres veces la cantidad de grasa de la hamburguesa. La diferencia en cantidad de grasa entre las papas fritas y la hamburguesa es de 46 gramos. Determine el contenido de grasa de la hamburguesa y de las papas fritas. 4. Gastos en el béisbol El llamado Índice del Costo por Aficionado (ICF, por sus siglas en inglés) es una medida para calcular los gastos en que incurren los aficionados del béisbol al acudir a los partidos de sus equipos favoritos. En general, incluye: el costo de 4 boletos promedio, dos cervezas pequeñas, 4 refrescos pequeños, 4 hot dogs, estacionamiento, dos programas y dos gorras. En 2001, el equipo de las ligas mayores con el ICF más bajo fueron los Expos de Montreal, y el equipo con el ICF más alto fueron los Medias Rojas de Boston. El ICF de los Medias Rojas fue de $25.92 menos que tres veces el ICF de los Expos. La diferencia entre el ICF de los Medias Rojas y el ICF de los Expos fue de $134.24. Determine el ICF de los Medias Rojas y el ICF de los Expos.

10. Velocidad de vuelo Un aeroplano voló a un promedio de 121 millas por hora con el viento a favor, y a 87 millas por hora con el viento en contra. Determine la velocidad del aeroplano sin viento y la velocidad del viento.

11. Salario más comisión Ricardo Téllez, representante de una empresa que alquila equipo para oficina, gana un salario semanal más una comisión sobre sus ventas. Una semana, su salario total fue de $660, incluyendo su comisión sobre la venta de $4000. La siguiente semana, su salario total fue de $740, incluyendo su comisión sobre la venta de $6000. Determine el salario semanal de Ricardo y su porcentaje sobre las ventas. 12. Alquiler de un camión Una agencia de alquiler de camiones cobra una cuota diaria más un costo por millas recorridas. A Julia le cobraron $85 por dos días y 100 millas recorridas, y a Cristina $165 por tres días y 400 millas. ¿Cuál es la cuota diaria que cobra la agencia, y cuál es el costo por cada milla?

242 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades 13. Aceite de lavanda Paulina Rivas, una masajista, necesita tres onzas de una solución de aceite de lavanda con concentración de 20%, pero sólo tiene soluciones de 5% y 30%. ¿Cuántas onzas de cada una debe mezclar para obtener la solución deseada? 14. Soluciones de fertilizantes Damián Gómez necesita aplicar una solución líquida de nitrógeno con concentración de 10% a su jardín de rosas, pero sólo tiene una solución con concentración de 4% y otra de 20%. ¿Qué cantidad de cada una de ellas debe mezclar para obtener 10 galones de solución con concentración de 10%? 15. Eliminador de maleza Un líquido para eliminación de maleza consiste de 18% de glifosfato, un ingrediente activo (y 82% de ingredientes inactivos). A este líquido se le agregará agua, y la mezcla se aplicará sobre la maleza. Si la mezcla final contendrá 0.9% de ingrediente activo, ¿qué cantidad del líquido original y qué cantidad de agua deben mezclarse para producir 200 galones del líquido final? 16. Fertilizante para césped Un fertilizante para césped contiene 22% de nitrógeno. Otro contiene 4% de nitrógeno. Miguel Soto, propietario de un vivero, desea mezclar estos dos fertilizantes para producir 400 libras de una mezcla con concentración de 10% de nitrógeno para abonar el césped. ¿Cuánto de cada fertilizante debe mezclar?

20. Carne de búfalo La Casa del Búfalo vende órdenes tamaño regular y tamaño gigante de carne de búfalo. La orden regular cuesta $5.99 y la orden gigante $8.99. El sábado se vendieron 134 órdenes por un total de $1024.66. ¿Cuántas órdenes de tamaño regular y cuántas de tamaño gigante se vendieron? 21. Cuentas de ahorro El señor y la señora Allende invierten un total de $10,000 en dos cuentas de ahorro. Una cuenta paga 5% de interés y la otra 6%. Determine el monto colocado en cada cuenta, si por las dos se recibe un total de $540 por concepto de intereses después de un año. Utilice la fórmula interés  capital  tasa  tiempo. 22. Inversiones Luis Ordoñez invirtió $30,000 en dos partes, una a 9% y otra a 5%. Si hubiera invertido el monto total a 6.5%, su interés total sería el mismo que la suma de los intereses recibidos por las dos cuentas. ¿Cuánto invirtió a cada tasa de interés? 23. Leche Berta Silva trabaja en una planta productora de leche, y desea mezclar leche entera, que tiene 3.25% de grasa, y leche descremada, que no tiene grasa, para obtener 260 galones de leche que contenga 2% de grasa. ¿Cuántos galones de leche entera y cuántos de leche descremada debe mezclar para obtener el tipo de leche que desea?

17. Alpiste El alpiste cuesta $0.59 por libra y la semilla de girasol cuesta $0.89 por libra. La tienda de mascotas de Ángela Leinenbachs desea producir 40 libras de una mezcla de alpiste y semillas de girasol que se venda a $0.76 por libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de semilla debe usar?

24. Repostería Una receta para pastel requiere 2 tazas (16 onzas) de crema ligera que tiene 20% de grasa de leche. Con frecuencia es difícil encontrar crema con estas características en el supermercado, ya que casi siempre sólo tienen crema pesada, con 36% de grasa de leche, o crema media, con 10.5% de grasa de leche. ¿Qué cantidades de cada una de estas cremas se deben mezclar para obtener el tipo de crema que requiere la receta?

18. Café Juan Bañuelos tiene una tienda de abarrotes y desea mezclar 30 libras de café que tenga un costo total de $170. Para obtenerlas, Juan mezcla un café que cuesta $5.20 por libra, con otro que cuesta $6.30 por libra. ¿Cuántas libras de cada café debe utilizar?

25. Aves hambrientas Las maestras de un jardín de niños desean comprar 20 libras de alpiste para atraer a las aves hasta el patio de su escuela. Para atraer tantas aves como sea posible, los maestras desean comprar dos variedades de alpiste, una que cuesta $1.79 la libra y otra de $1.19 la libra. Si las maestras quieren gastar $28 en alpiste, ¿cuántas libras de cada tipo deben comprar?

19. Ligas menores Los boletos de admisión para el juego de estrellas de las ligas menores cuestan $4.00 para los adultos y $1.50 para los niños. Se vendieron 225 boletos, por los que se recaudaron $500. ¿Cuántos boletos para adulto y cuántos boletos para niño se vendieron?

26. Jugo Una empresa vende jugo de manzana a 8.3 centavos la onza, y jugo de frambuesa a 9.3 centavos la onza. La empresa desea vender botes de ocho onzas de jugo de manzanaframbuesa a 8.7 centavos la onza. ¿Cuántas onzas de cada jugo debe mezclar?

Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 243 27. Recorrido en automóvil Dos automóviles inician su recorrido en el mismo punto, pero viajan en direcciones opuestas. Un automóvil viaja a 5 millas por hora más rápido que el otro. Después de cuatro horas, entre ambos automóviles hay una distancia de 420 millas. Determine la velocidad de cada automóvil. 28. Construcción de un camino Manuel Sandoval conduce su automóvil a lo largo de una ruta de 430 millas. Debido a que están construyendo un camino y al tránsito pesado, durante la primera parte de su viaje Manuel conduce a una velocidad promedio de 50 millas por hora. Durante el resto del trayecto conduce a una velocidad promedio de 70 millas por hora. Si el recorrido total tomó siete horas, ¿cuántas horas condujo a cada velocidad?

para la pintura. ¿Cuántas sillas de cada modelo pueden fabricarse?

Modelo

Tiempo de ensamblaje Tiempo de pintura

Modelo A

1 hora

0.5 hora

Modelo B

3.2 hora

0.4 hora

33. Aleación de latón En peso, una aleación de latón consta de 70% de cobre y 30% de zinc. Otra aleación es 40% de cobre y 60% de zinc. ¿Cuántos gramos de cada una de estas aleaciones se necesita combinar para obtener 300 gramos de una aleación de latón que tenga 60% de cobre y 40% de zinc? 34. Aleación de plata La plata sterling tiene 92.5% de plata pura. ¿Cuántos gramos de plata pura (100%) y cuántos gramos de plata sterling deben mezclarse para obtener 250 gramos de una aleación de plata de 94%?

30. Ejercicio Para su rutina de ejercicios, Rita Sánchez conduce una bicicleta durante hora y media y luego trota durante hora y media. Rita conduce la bicicleta a una velocidad que es cuatro veces la velocidad a la que trota. Si la distancia total que cubre Rita es de 12.5 millas, determine la velocidad a la que conduce la bicicleta y la velocidad a la que trota. 31. Dieta para animales En un experimento, se ha impuesto una dieta estricta a un grupo de animales. Cada uno de ellos recibe, entre otros nutrientes, 20 gramos de proteína y 6 gramos de carbohidratos. El científico a cargo del experimento sólo tiene dos mezclas de alimento, cada una con la composición que se detalla en la siguiente tabla. ¿Cuántos gramos de cada mezcla debe usar para obtener la dieta correcta para cada animal?

Mezcla

Proteína (%)

Carbohidratos (%)

Mezcla A

10

6

Mezcla B

20

2

32. Fabricación de sillas Una compañía fabrica dos modelos de sillas. La información acerca del tiempo que se requiere para fabricar cada modelo se indica en la siguiente tabla. En un día específico, la compañía asignó 46.4 horaspersona para el ensamblaje y 8.8 horaspersona

36. Caminar y correr Gerardo Jáuregui se ejercita todos los días, caminando a 3 millas por hora y luego corriendo a 5 millas por hora. Si tarda 0.9 horas en recorrer un total de 3.5 millas, ¿cuánto tiempo corre?

37. Devolución de impuestos La siguiente gráfica muestra el porcentaje de impuestos federales que se devolvió a los estadounidenses por medios electrónicos o mediante cheque entre 1996 y 2001. Si t representa el número de años desde 1996, el porcentaje de impuestos que se devolvieron por medios electrónicos puede calcularse con la función E(t)  3.62t  12.6, y el porcentaje de impuestos que se devolvieron mediante cheque puede calcularse con la función P(t)  3.62t  87.4. Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿en qué año el porcentaje de devolución por medios electrónicos será igual al porcentaje de devolución mediante cheque?

Medios de devolución de impuestos federales Porcentaje de todos los impuestos devueltos

29. Conferencistas Las representantes de ventas Sabrina Dávila y Diana Mendoza asistieron a una conferencia fuera de sus respectivas ciudades de residencia. Después de la conferencia, Sabrina regresa a su casa conduciendo a una velocidad promedio de 65 millas por hora, mientras que Diana lo hace a una velocidad promedio de 50 millas por hora. Si la suma de sus tiempos de recorrido es igual a 11.4 horas, y si la suma de las distancias recorridas es igual a 690 millas, determine el tiempo que cada una de ellas necesitó para llegar a casa.

35. Conductores intrépidos Tomás Álvarez y Melissa Acino empiezan a manejar al mismo tiempo en diferentes automóviles, pero en la misma dirección. Cuando Melissa había recorrido una distancia de 150 millas, el trayecto de Tomás sólo había sido de 120 millas. Si Melissa condujo a un promedio de 15 millas por hora más rápido que Tomás, determine la velocidad promedio de cada automóvil.

100 Devolución mediante cheque 80 60 40

Devolución por medios electrónicos

20 0 1996

1997

1998

1999

Año Fuente: Servicio de Ingresos Internos.

2000

2001

244 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades 38. Doctorado El número de hombres que recibieron doctorado, M, en miles, en Estados Unidos, puede calcularse por medio de la función M(t)  0.86t  27.1, en donde t es el número de años desde 1999. El número de mujeres que recibieron el mismo grado, W, en miles, puede determinarse mediante la función W(t)  0.43t  17.5. Determine en qué año recibirán el grado de doctor el mismo número de mujeres que de hombres.

a) Sea C el costo mensual total y t el número de minutos de uso. Escriba un sistema de ecuaciones en el que las ecuaciones representen estos planes de pago por llamadas telefónicas de larga distancia. b) Grafique este sistema de ecuaciones para valores de t de 0 a 180 minutos. c) Con base en la gráfica, calcule el número de minutos necesarios para que el costo de ambos planes sea igual. d) Resuelva el sistema de manera algebraica. Si su respuesta no coincide con la que dio en la parte c), explica por qué. 40. Costo de fotocopias Un centro de fotocopiado ofrece dos planes de pago. Plan 1: $0.10 por copia. Plan 2: una cuota anual de $120 más 4 centavos por copia. a) Represente esta información como un sistema de ecuaciones. b) Grafique el sistema de ecuaciones hasta 4000 copias.

39. Planes de larga distancia Un plan de pago por llamadas telefónicas de larga distancia incluye una cuota mensual de $8.95 más 5 centavos por minuto de uso. Otro plan incluye un costo mensual de $5.95 más 7 centavos por minuto.

c) Con base en la gráfica, calcule el número del copias que se tendría que hacer en un año para que los dos planes tuvieran el mismo costo total. d) Resuelva el sistema de manera algebraica.

En los ejercicios 41 a 52, a) exprese el problema como un sistema lineal con tres variables, y b) resuelva el problema. 41. Volumen de correo Una familia estadounidense promedio recibe 24 piezas de correo cada semana. El número de estados de cuenta es de 2 piezas menos que el doble del número de piezas de correo personal. El número de anuncios es de 2 piezas más que cinco veces el número de piezas de correo personal. ¿Cuántas piezas de correo personal, estados de cuenta y anuncios recibe cada semana la familia promedio? Fuente: Arthur D. Little, Inc. tely

dia

me

SPE CIA

L OF

FER

n im

ope

10,000.0

00 MILL

ION DO

LLARS

WINNER

42. Personal de submarino En un submarino trabajan 141 hombres. El número de contramaestres (enlistados) es cuatro veces más que el número de oficiales comisionados. El resto de la tripulación está constituido por tres hombres menos que ocho veces el número de oficiales comisionados. Determine el número de oficiales comisionados, de contramaestres y del resto de la tripulación del submarino.

43. Zona minera Los países que tienen el mayor número de zonas mineras son, en orden descendente: Irán, Angola e Irak. Se calcula que el número total de zonas mineras en estos tres países es de 41 millones. En Irán hay aproximadamente 14 millones menos que tres veces las que hay en Irak. EnAngola hay alrededor de 5 millones menos que el doble de las que hay en Irak. Determine el número estimado de zonas mineras que hay en Irak, Angola e Irán. 44. Boletos de concierto Hay tres clases de boletos para asistir a un concierto de rock: luneta, piso principal y palco. Los boletos más caros, los de luneta, son dos veces más caros que los boletos de palco. Los boletos de palco cuestan $10 menos que los boletos del piso principal y $30 menos que los boletos de luneta. Determine el precio de cada tipo de boleto. 45. Triángulo La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°. El ángulo más pequeño del triángulo mide 23 de lo que mide el segundo ángulo. El ángulo más grande mide 30° menos que tres veces lo que mide el segundo ángulo. Determine cuánto mide cada ángulo.

Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 245 46. Otro triángulo El ángulo más grande de un triángulo mide 10° menos que tres veces lo que mide el segundo ángulo. El ángulo más pequeño es igual a la diferencia entre lo que mide el ángulo más grande y el doble de lo que mide el segundo ángulo. Determine cuánto miden los tres ángulos del triángulo. 47. Inversiones María Maldonado recibió un cheque de $10,000 y decidió dividir el dinero (no equitativamente) en tres cuentas de inversión diferentes. Colocó parte de su dinero en una cuenta de ahorros que paga 3% de interés; la segunda cantidad, que fue el doble del primer monto, fue colocada en un certificado de depósito que paga 5% de interés. María invirtió el resto en un fondo del mercado de valores que paga 6% de interés. Si el interés total que recibió María en un periodo de un año, fue de $525.00, ¿cuánto invirtió en cada cuenta? 48. Bonos Mauricio Cortés, un abogado, dividió su bono de Navidad en tres inversiones diferentes. Con parte del dinero compró un bono municipal que paga 5.5% de interés simple; después, invirtió el doble del monto del dinero que pagó por el bono municipal en un certificado de depósito que paga 4.5% de interés simple. Mauricio colocó el resto del dinero en una cuenta del mercado de valores que paga 3.75% de interés simple. Si el interés total que recibió Mauricio por un año fue de $692.50, ¿cuánto invirtió en cada cuenta? 49. Peróxido de hidrógeno Tres soluciones de peróxido de hidrógeno con concentraciones de 10%, 12% y 20%, respectivamente, se mezclaron para obtener ocho litros de una solución con concentración de 13%. ¿Cuántos litros de cada una se mezclaron, si el volumen de la solución de 20% debía ser de dos litros menos que el volumen de la solución de 10%? 50. Ácido sulfúrico Tres soluciones de ácido sulfúrico con concentraciones de 8%, 10% y 20%, respectivamente, se mezclan para obtener 100 ml de una solución con concentración de 12%. Si el volumen de ácido de la solución de 8% es igual a la mitad del volumen de ácido proveniente de las otras dos soluciones, ¿qué cantidad de cada solución se necesita?

51. Fabricación de muebles Una fábrica de muebles produce tres tipos de mecedora: el modelo para niños, el modelo estándar y el modelo ejecutivo. La fabricación de cada mecedora consta de tres etapas: corte, construcción y acabado. El tiempo que se dedica a cada etapa de la fabricación de las mecedoras se indica en la siguiente tabla. Durante una semana específica, la fábrica dispone de un máximo de 154 horas para corte, 94 horas para construcción y 76 horas para acabado. Determine cuántas mecedoras de cada tipo deben producirse para que la fábrica opere a su máxima capacidad.

Etapa

Para niños

Estándar

Ejecutiva

Cortes

5 horas

4 horas

7 horas

Construcción

3 horas

2 horas

5 horas

Acabado

2 horas

2 horas

4 horas

52. Fabricación de bicicletas Una compañía de bicicletas produce tres modelos de bicicletas: Dakar, Komodo y Aragón. La fabricación de cada bicicleta consta de tres etapas: soldadura, pintura y ensamblaje. El tiempo que se dedica a cada etapa de fabricación se indica en la siguiente tabla. Durante una semana específica, la compañía dispone de un máximo de 133 horas para soldadura, 78 horas para pintura y 96 horas para ensamblaje. Determine cuántas bicicletas de cada tipo deben producirse para que la compañía opere a su máxima capacidad.

Etapa Soldadura Pintura Ensamblaje

Dakar

Komodo

Aragón

2

3

4

1

2

2.5

1.5

2

3

53. Flujo de corriente En electrónica es necesario analizar el flujo de corriente a través de las redes de un circuito. En tres redes (A, B y C) de un circuito, las relaciones son las siguientes:

IA + IB +

IC = 0

- 8IB + 10IC = 0 4IA - 8IB

= 6

en donde IA, IB e IC representan la corriente en las redes A, B y C, respectivamente. Determine la corriente en cada red del circuito. 54. Fuerzas en una viga En física se analizan con frecuencia las fuerzas que actúan sobre un objeto. Para tres fuerzas, F1, F2 y F3, que actúan sobre una viga, se obtuvieron las ecuaciones siguientes.

3F1 + F2 - F3 = 2 F1 - 2F2 + F3 = 0 4F1 - F2 + F3 = 3 Determine las tres fuerzas.

246 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Actividad en equipo Analicen y respondan en equipo el ejercicio 55.

Velocidad

55. Dos automóviles Un sistema no lineal de ecuaciones es aquel que contiene al menos una ecuación que no es lineal. La gráfica muestra un sistema no lineal de ecuaciones. Las curvas representan velocidad contra tiempo para dos automóviles. a) ¿Las dos curvas son funciones? Expliquen. b) Analicen el significado de esta gráfica. c) En el momento t  0.5 h, ¿cuál de los automóviles está viajando a mayor velocidad? Expliquen su respuesta. d) Supongan que los dos automóviles inician en la misma posición y viajan en la misma dirección. ¿Cuál automóvil, A o B, viaja más lejos en una hora? Expliquen su respuesta.

Automóvil A Automóvil B

t0

t1 Tiempo (horas)

Ejercicios de repaso acumulativo 1

2

1

58. Explique cómo determinar si una gráfica representa una función. 59. Escriba una ecuación para la recta que pasa por los puntos (6, 4) y (2, 8).

56. Evalúe 2 x + 5 xy + 8 y cuando x = - 2, y = 5. 57. Resuelva 4  2[(x  5)  2x]  (x  6).

4.4 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR MEDIO DE MATRICES

1

1

Escribir una matriz aumentada.

2

Resolver sistemas de ecuaciones lineales.

3

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.

4

Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes.

Escribir una matriz aumentada Una matriz es un arreglo rectangular de números dentro de corchetes. Ejemplos de matrices son

B

4 9

6 R -2

B

5 -1

7 3

2 R 4

Los números dentro de los corchetes se denominan elementos de la matriz. La matriz de la izquierda contiene 2 filas y 2 columnas; por lo tanto, se le llama matriz de 2 por 2 (2  2). La matriz de la derecha contiene 2 filas y 3 columnas; por lo tanto, es una matriz de 2 por 3 (2  3). Al escribir las dimensiones de una matriz, siempre se indican primero las filas y luego las columnas de que consta. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.Así, la matriz de la izquierda es una matriz cuadrada. En esta sección utilizaremos matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, primero hay que escribir cada ecuación en la forma ax  by  c. El

Sección 4.4 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices • 247

siguiente paso consiste en escribir la matriz aumentada, es decir, una matriz conformada por dos matrices pequeñas separadas por una barra vertical. Los números a la izquierda de la línea vertical son los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones, y los números a la derecha son las constantes. Para el sistema de ecuaciones

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 la matriz aumentada se escribe

B

a1 a2

b1 c ` 1R b2 c2

A continuación tenemos un sistema de ecuaciones y su matriz aumentada.

Sistema de ecuaciones

Matriz aumentada

1 y = 4 2 1 - 3x - 5y = 2

-1

-x +

D -3

1 2 4 -5

4 1 2

T

Observe que la barra vertical de la matriz aumentada separa los coeficientes numéricos de las constantes. Como la matriz es sólo una forma abreviada de escribir el sistema de ecuaciones, podemos resolver un sistema lineal utilizando matrices de una manera similar a como lo hacemos mediante el método de la suma.

2

Resolver sistemas de ecuaciones lineales Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante matrices, reescribimos la matriz aumentada en forma triangular,

B

1 0

a p ` R 1 q

en donde a, p y q son constantes. A partir de este tipo de matriz aumentada podemos escribir un sistema de ecuaciones equivalente. Esta matriz representa al sistema lineal

1x + ay = p 0x + 1y = q

o

x + ay = p y = q

Por ejemplo,

B

1 0

3 4 ` R 1 2

representa

x + 3y = 4 y = 2

Observe que el sistema del lado derecho puede resolverse fácilmente por sustitución. Su solución es (2, 2). Para reescribir la matriz aumentada en forma triangular, utilizamos transformaciones de fila, mismas que pueden realizarse mediante tres procedimientos.

248 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Procedimientos para la transformación de filas 1. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por (o dividirse entre) cualquier número real distinto de cero. (Esto es lo mismo que multiplicar ambos lados de una ecuación por un número real distinto de cero). 2. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por cualquier número real distinto de cero. Los productos resultantes pueden sumarse a los números correspondientes en cualquier otra fila. (Esto es equivalente a eliminar una variable del sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma). 3. Dos filas de una matriz pueden intercambiarse. (Esto es lo mismo que intercambiar dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones).

Por lo general, al cambiar un elemento de la matriz aumentada por 1 se utiliza el primero de los procedimientos descritos, y al cambiar uno de los elementos por 0 utilizamos el segundo procedimiento. Se trabaja por columnas, comenzando por la de la izquierda; en otras palabras, inicie con la primera fila de la primera columna.

EJEMPLO 1

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando matrices.

2x - 3y = 10 2x + 2y = 5

Solución

Primero escribimos la matriz aumentada.

B

2 2

-3 10 R ` 2 5

Nuestro objetivo es obtener una matriz de la forma B

1 0

a p ` R . Para ello, comenza1 q

mos por utilizar el procedimiento 1 de las transformaciones de fila para cambiar el 2 en la primera fila de la primera columna por 1. Para hacerlo, multiplicamos la primera fila de números por 21 . (Abreviamos esta multiplicación como 12 R 1 y colocamos la expresión a la derecha de la matriz, en la misma fila en donde se realizó la operación. Esto puede ayudarle a seguir el procedimiento con más claridad).

B

2 A 12 B 2

- 3 A 12 B 10 A 12 B R ` 2 5

1 2 R1

Con esto se obtiene

B

1 2

- 32 5 ` R 2 5

El paso siguiente es obtener 0 en la segunda fila de la primera columna, donde por el momento se encuentra un 2. Lo haremos multiplicando por –2 los números de la primera fila, y sumamos los productos a los números de la segunda fila. (Esto se abrevia -2R1 + R2). Los números de la primera fila, multiplicados por 2 son

11-22

3 - 1-22 51-22 2

Ahora sumamos estos productos a sus números respectivos de la segunda fila. Con esto obtenemos

- 32

1 C

2 + 11- 22

2 +

A - 32 B 1-22

3

5 5 + 51- 22

S

-2R1 + R2

Sección 4.4 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices • 249

Ahora tenemos

B

- 32 5 R ` 5 -5

1 0

Para obtener 1 en la segunda fila de la segunda columna, multiplicamos la segunda fi1 la de números por5 .

B

- 32 5 R ` 5 A 15 B -5 A 15 B

1 0 A 15 B

B

1 5 R2

- 32 5 R ` 1 -1

1 0

La matriz se encuentra ahora en la forma que buscábamos. El sistema de ecuaciones triangular equivalente es

x -

3 y = 5 2 y = -1

Ahora podemos despejar x mediante sustitución.

x -

3 y = 5 2

3 x - 1-12 = 5 2 3 x + = 5 2 7 x = 2 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19

3

Compruebe que la solución del sistema es

A 72 , -1 B .

✺

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables Ahora utilizaremos las matrices para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. Usaremos el mismo procedimiento de transformaciones de filas que empleamos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales. Nuestro objetivo es obtener una matriz aumentada en forma triangular

1 C0 0

a b p 1 c 3 qS 0 1 r

donde a, b, c, p, q y r son constantes. Esta matriz representa el siguiente sistema de ecuaciones.

1x + ay + bz = p 0x + 1y + cz = q 0x + 0y + 1z = r

x + ay + bz = p y + cz = q o z = r

Al construir una matriz aumentada, trabaje por columnas, comenzando por la del extremo izquierdo y finalizando con la del extremo derecho. Siempre termine las operaciones en una columna antes de pasar a la siguiente. En cada columna, primero ob-

250 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

tenga 1 en la posición indicada, y después obtenga los ceros. El ejemplo 2 ilustra este procedimiento.

SUGERENCIA

CONSEJO PARA ESTUDIAR

Al usar matrices, tenga cuidado de mantener todos los números alineados de forma apropiada en filas y columnas. Un pequeño error al copiar números de una matriz a otra provocará que nuestro intento de resolver un sistema de ecuaciones sea incorrecto. x - 3y + z = 3 Por ejemplo, el sistema de ecuaciones, 4x + 2y - 5z = 20 , cuando se representa - 5x - y - 4z = 13 de manera correcta con la matriz aumentada, C

1 4 -5

-3 2 -1

1 3 - 5 3 20 S , da lugar a la -4 13

solución (1, 2, 4). Sin embargo, una matriz que parece muy similar, C conduce a la terna ordenada incorrecta a -

EJEMPLO 2

25 130 206 ,,b. 53 53 53

1 4 -5

-3 -1 2

1 3 - 5 3 20 S , -4 13

Utilice matrices para resolver el siguiente sistema de ecuaciones

x - 2y + 3z = - 7 2x - y - z = 7 - x + 3y + 2z = - 8

Solución

Primero escriba la matriz aumentada.

1 C 2 -1

-2 -1 3

3 -7 3 -1 7S 2 -8 1

Después utilice las transformaciones de filas para cambiar la primera columna a 0. 0

Como el número de la primera fila de la primera columna ya es 1, trabajaremos con el número 2 de la segunda fila, primera columna. Multiplique los números de la primera fila por 2 y sume los productos a los números respectivos de la segunda fila, con lo que cambiará el 2 por 0. Ahora la matriz es

1 C 0 -1

-2 3 3

3 -7 -7 3 21 S -2R1 + R2 2 -8

Continúe hacia abajo en la primera columna y cambie el número 1 de la tercera fila por 0. Multiplique los números de la primera fila por 1, y sume los productos a la tercera fila para obtener

1 C0 0

-2 3 1

3 -7 -7 3 21 S 5 -15

1R1 + R3

Ahora trabajaremos con la segunda columna. Queremos cambiar los números de esa

ta columna a la forma 1, donde a representa un número. Como hay un 1 en la tercera 0

Sección 4.4 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices • 251

fila de la segunda columna, y queremos un 1 en la segunda fila de la segunda columna, intercambiamos la primera y segunda filas de la matriz. Esto da

1 C0 0

-2 1 3

3 -7 5 3 -15 S -7 21

Intercambiar R1 y R2.

Continuando el trabajo hacia abajo en la segunda columna, ahora cambiaremos el número 3 de la tercera fila por 0, multiplicando los números de la segunda fila por 3 y sumando los productos a la tercera fila. Esto da por resultado

1 C0 0

-2 1 0

3 -7 5 3 -15 S -3R2 + R3 -22 66

Ahora trabajaremos con la tercera columna. Queremos cambiar los números de b

esta columna a la forma c , donde b y c representan números. Debemos cambiar el 1

número 22 de la tercera fila por 1. Podemos lograrlo multiplicando los números de 1 la tercera fila por - 22 . Esto da como resultado

1 -2 3 -7 C 0 1 5 3 - 15 S 0 0 1 - 3 - 221 R3 Ahora esta matriz tiene la forma deseada. A partir de ella obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

x - 2y + 3z = - 7 y + 5z = - 15 z = -3 La tercera ecuación nos da el valor de z en la solución.Ahora podemos despejar y, sustituyendo z por –3 en la segunda ecuación.

y + 5z = - 15 y + 51-32 = -15 y - 15 = - 15 y =

0

Ahora despejamos x, sustituyendo y por 0 y z por –3 en la primera ecuación.

x - 2y + 3z = - 7 x - 2102 + 31-32 = -7 x - 0 - 9 = -7 x - 9 = -7 x = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33

2

La solución es (2, 0, 3). Compruébelo sustituyendo los valores apropiados en cada una de las ecuaciones originales. ✺

252 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

4

Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes Al resolver un sistema de dos ecuaciones, si usted obtiene una matriz aumentada en la que todos los números de una fila al lado de la barra vertical son ceros, pero no hay ceros que les correspondan en el otro lado, significa que el sistema es inconsistente y no tiene solución. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones con el que se obtiene la siguiente matriz aumentada es un sistema inconsistente.

B

1 2 5 ` R 0 0 4

— Sistema inconsistente.

La segunda fila de la matriz representa la ecuación

0x + 0y = 4 que nunca es verdadera. Si obtiene una matriz con ceros en toda una fila, el sistema de ecuaciones es dependiente. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones que produce la siguiente matriz aumentada es un sistema dependiente.

B

-3 -2 R ` 0 0

1 0

— Sistema dependiente.

La segunda fila de la matriz representa la ecuación

0x + 0y = 0 que siempre es verdadera. Los sistemas de ecuaciones con tres ecuaciones cumplen reglas similares.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 27

1 C0 0 1 C0 0

2 0 1 3 0 4

4 5 3 0 -1 S -2 3 -1 2 0 3 0S 1 -3

— Sistema inconsistente.

— Sistema dependiente.

Cómo utilizar su calculadora graficadora Muchas calculadoras graficadoras pueden trabajar con matrices y realizar operaciones en las filas. Por consiguiente, estas calculadoras graficadoras pueden utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones mediante matrices. Lea el manual de instrucciones que viene con su calculadora graficadora para ver si puede manipular matrices. Si es así, aprenda a utilizarla para resolver sistemas de ecuaciones mediante matrices.

Conjunto de ejercicios 4.4 Ejercicios conceptuales 1. ¿Qué es una matriz cuadrada? 2. Explique cómo construir una matriz aumentada.

3. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para completar el procedimiento? Explique.

B

1 0

3 6 ` R -1 4

Sección 4.4 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices • 253 4. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para completar el procedimiento? Explique su respuesta.

1 C0 2

3 7 -1 3 -1 5 3S 4 6 8

1 C0 0

5. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para completar el procedimiento? Explique su respuesta.

1 C0 0

6. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para completar el procedimiento? Explique su respuesta.

4 5 1

-7 7 3 2 -1 S 4 2

3 1 0

-2 1 3 2 -3 S 4 -12

7. Al resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices, si dos filas son idénticas, ¿el sistema será consistente, dependiente o inconsistente? 8. Al resolver un sistema de ecuaciones mediante matrices, ¿cómo se sabe si el sistema es a) dependiente, b) inconsistente?

Problemas de aplicación Realice cada una de las transformaciones de fila indicadas y escriba la nueva matriz. 9. B

5 3

- 15 -10 R Multiplique por 15 los números de la primera fila. ` -4 1

10. B

1 0

8 3 R Multiplique por ` 4 -3

4

7 2 1 1 1 5 12. C 0 6 0 1 11. C 3

13. B

1 2

los números de la segunda fila.

2 -1 1 3 -5 S Intercambie las filas 1 y 3. 3 -8 7 2 - 1 3 5 S Intercambie las filas 2 y 3. 3 -4 3 12 ` R Multiplique por 3 los números de la primera fila, y sume los productos a la segunda fila. 8 -6

1 -3

14. B 1

1 4

5 6 R Multiplique los números del primer renglón por - 12 y sume los productos al segundo renglón. ` 10 -4

1 15. C 5 6

1 0 8 4 3 - 2 S Multiplique por 5 los números de la primera fila, y sume los productos a la segunda fila. 2 2 0 -3 1

1 C 0 16. 0

2 1 0

-1 6 1 5 3 0 S Multiplique por los números de la tercera fila. 2 2 4

Resuelva cada sistema utilizando matrices. 17. x + 3y = 3

-x + y = -3 20. 3x - 6y = 15

2x - y = 4 23. 2x - 5y = - 6

- 4x + 10y = 12

18. x + 2y = 5

3x - y = 1 21. 5a - 10b = - 10

2a + b = 1 24. -2m - 4n = 7

3m + 6n = - 11

19. x + 3y = 4 -4x - y = 6 22. 3s - 2t = 1

-2s + 4t = - 6 25. 12x + 10y = - 14

4x - 3y = - 11

254 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades 26. 4r + 2s = - 10

28. 6x - 3y = 9

27. - 3x + 6y = 5 2x - 4y = 8

- 2r + s = - 7 29. 9x - 8y = 4

30. 2x - 3y = 3

- 3x + 4y = - 1

-2x + y = - 3 31. 10m = 8n + 15

- 3x + 9y = - 3

32. 8x = 9y + 4

24x + 6y = 1

16n = - 15m - 2

Resuelva cada sistema utilizando matrices.

33. x - 3y + 2z = 5 2x + 5y - 4z = - 3 -3x + y - 2z = - 11

34. a - 3b + 4c = 13

36. 4a + 3c = - 12

37. x - 2y + 4z = 5

35. x + 2y = 5

4a + b + c = - 4 - 2a - 3b - 5c = - 2

a + 2b = - 1 7b - 4c = 7

y - z = -1 2x - 3z = 0 38. 3x - 5y + 2z = 8

-x - y - z = - 3 3x - 2y + 4z = 10

-3x + 4y - 2z = - 8 4x + 5y - 4z = - 3

41. 4p - q + r = 4

40. x + 2y + 3z = 1

39. 2x - 5y + z = 1

- 6p + 3q - 2r = - 5 2p + 5q - r = 7

4x + 5y + 6z = - 3 7x + 8y + 9z = 0

3x - 5y + z = 2 - 4x + 10y - 2z = - 2 42. - 4r + 3s - 6t = 14

43. 2x - 4y + 3z = - 12

4r + 2s - 2t = - 3 2r - 5s - 8t = - 23

3x - y + 2z = - 3 - 4x + 8y - 6z = 10

45. 5x - 3y + 4z = 22

44. 3x - 2y + z = - 1

12x - 10y - 3z = 2 -9x + 8y - 4z = 5

46. 9x - 4y + 5z = - 2

-x - 15y + 10z = - 15 - 3x + 9y - 12z = - 6

- 9x + 5y - 10z = - 1 9x + 3y + 10z = 1

Resolución de problemas 47. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices, si se intercambian dos filas de la matriz, ¿cambiará la solución del sistema? Explique.

48. ¿Puede decir si un sistema de tres ecuaciones con tres variables es consistente, dependiente o inconsistente sin resolverlo? Explique.

Resuelva los ejercicios 49 a 51 mediante matrices. 49. Ángulos de un tejado En una sección triangular de un tejado, el ángulo más grande es 55° mayor que el ángulo más pequeño que es 20° mayor que el ángulo restante. Determine la medida de cada ángulo.

z x

y

51. Plátanos Sesenta y cinco por ciento de la producción mundial de plátano es controlada por las empresas Chiquita, Dole y Del Monte (todas de Estados Unidos). Chiquita, la empresa más grande, controla 12% más de la producción que Del Monte. Dole, la segunda empresa en tamaño, controla 3% menos que el doble del porcentaje que controla Del Monte. Determine los porcentajes que corresponden a cada sector del círculo de la gráfica que se muestra.

Producción mundial de plátanos

50. Ángulo recto Un ángulo recto se divide en tres ángulos más pequeños. El más grande de los tres ángulos mide el doble del más pequeño. El tercer ángulo mide 10° más que el ángulo más pequeño. Determine la medida de cada ángulo.

Otras

Dole

Del Monte z y x

Chiquita

Sección 4.5 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes… • 255 52. Navegadores Web La siguiente gráfica muestra que en 2002, Microsoft y Netscape controlaron la mayor parte del mercado de navegadores Web. Microsoft controló alrededor de 49% más mercado que Netscape, y Netscape controló alrededor de ocho veces la cantidad que controlaban todos los demás productores de este tipo de programas. Determine el porcentaje que corresponde a cada sector de la gráfica que se muestra.

Distribución del mercado de navegadores Web Otras Netscape Microsoft

Fuente: www.webreview.com

Ejercicios de repaso acumulativo 53. A  {1, 2, 4, 6, 9}; B  {3, 4, 5, 6, 10}. Determine a) A ´ B; b) A ¨ B. [2.5] 54. Indique la desigualdad 2  x  4 a) en una recta numérica,

b) como un conjunto solución, y c) en notación de intervalo. [3.2] 55. ¿Qué representa una gráfica? [3.4] 56. 56. Si f(x)  2x2  4x  6, determine f(5).

4.5 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR MEDIO DE DETERMINANTES Y LA REGLA DE CRAMER

1

1

Evaluar un determinante de una matriz 2  2.

2

Utilizar la regla de Cramer.

3

Evaluar un determinante de una matriz 3  3.

4

Utilizar la regla de Cramer con sistemas de tres variables.

Evaluar un determinante de una matriz 2  2 Hemos estudiado varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: graficación, sustitución, el método de la suma (o eliminación) y matrices. Los sistemas de ecuaciones lineales también pueden resolverse mediante determinantes. Todas las matrices cuadradas tienen un número asociado que se conoce como su determinante. En el caso de una matriz de 2  2, el determinante se define como sigue.

DEFINICIÓN

El determinante de una matriz de 2  2 B

a a1 b1 R se denota por ` 1 a2 a2 b2

evalúa como

`

EJEMPLO 1

b1 ` = a1 b2 - a2 b1 b2

Evalúe cada determinante.

`

a)

Solución

a1 a2

2 3

-1 ` 5

b)

`

-2 -1

a) a 1 = 2, a 2 = 3, b1 = - 1, b2 = 5

`

2 3

-1 ` = 2152 - 1321- 12 = 10 + 3 = 13 5

3 ` 4

b1 ` y se b2

256 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 7

2

b)

`

-2 -1

3 ` = 1-22142 - 1- 12132 = - 8 + 3 = - 5 4

✺

Utilizar la regla de Cramer Si comenzamos con las ecuaciones

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 podemos utilizar el método de la suma para mostrar que

x =

c1 b2 - c2 b1 a1 b2 - a2 b1

y y =

a1 c2 - a2 c1 a1 b2 - a2 b1

(vea el problema 61 de la sección Reto). Observe que los denominadores de x y y son ambos a1b2  a2b1. A continuación está el determinante, D, que produce este denominador.

D = `

a1 b1 ` = a1 b2 - a2 b1 a2 b2

Los numeradores de x y y son diferentes. A continuación se encuentran dos determinantes, Dx y Dy con los que se obtienen los numeradores de x y y.

Dx = `

c1 c2

b1 ` = c1 b2 - c2 b1 b2

Dy = `

a 1 c1 ` = a1 c2 - a2 c1 a 2 c2

Los determinantes D, Dx y Dy se utilizan en la regla de Cramer, que se puede emplear para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Regla de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales Para un sistema de ecuaciones lineales con la forma

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2

x =

SUGERENCIA

`

c1 c2

a ` 1 a2

b1 ` b2 b1 ` b2

=

Dx D

y

y =

`

a1 a2

c1 ` c2

a b ` 1 1` a2 b2

Dy =

D

, D Z 0

Los elementos del determinante D son los coeficientes numéricos de los términos x y y en las dos ecuaciones dadas, listados en el mismo orden en que aparecen dentro de las ecuaciones. Para obtener el determinante Dx a partir del determinante D, reemplace los coeficientes de los términos de x (los valores de la primera columna) con las constantes de las dos ecuaciones dadas. Para obtener el determinante Dy a partir del determinante D, reemplace los coeficientes de los términos de y (los valores de la segunda columna) con las constantes de las dos ecuaciones dadas.

Sección 4.5 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes… • 257

EJEMPLO 2

Utilice la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema.

3x + 5y = 7 4x - y = - 6

Solución

Ambas ecuaciones están en la forma deseada, ax  by  c. Con a, b y c nos referimos a 3x  5y  7 como la ecuación 1, y 4x  y  6 como la ecuación 2 (en los subíndices). a1 p

b1 p

c1 p

3x + 5y = 7 4x - 1y = - 6 q a2

q b2

q c2

Ahora determinamos D, Dx y Dy.

D = `

a1 b1 3 ` = ` a2 b2 4

Dx = `

c1 c2

Dy = `

a1 c1 3 ` = ` a2 c2 4

b1 7 ` = ` b2 -6

5 ` = 31- 12 - 4152 = - 3 - 20 = - 23 -1 5 ` = 71- 12 - 1- 62152 = - 7 + 30 = 23 -1 7 ` = 31- 62 - 4172 = - 18 - 28 = - 46 -6

Ahora encontramos los valores de x y de y.

Dx 23 = = -1 D -23 Dy -46 y = = = 2 D -23

x =

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15

Así, la solución es x  1, y  2, o el par ordenado (1, 2). Compruebe que este par ordenado satisface ambas ecuaciones. ✺ Cuando el determinante D  0, la regla de Cramer no se puede aplicar, ya que la división entre cero es indefinida. Entonces deberá utilizar un método diferente para resolver el sistema, o evaluar Dx y Dy para determinar si el sistema es dependiente o inconsistente. Si D  0, Dx  0, Dy  0, entonces el sistema es dependiente. Si D  0, y Dx  0 o Dy  0, entonces el sistema es inconsistente.

3

Evaluar un determinante de una matriz 3  3 Para el determinante

a1 3 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 3 c3

el determinante menor de a1 se encuentra tachando los elementos de la misma fila y la misma columna donde aparece el elemento a1. Los demás elementos forman el de-

258 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

terminante menor de a1. Los determinantes menores de los demás elementos se localizan de manera similar.

a1 b1 3 a2 b2 a3 b3

c1 c2 3 c3

`

b2 c2 ` b3 c3

Determinante menor de a1.

a1 b1 3 a2 b2 a3 b3

c1 c2 3 c3

`

b1 c1 ` b3 c3

Determinante menor de a2.

a1 b1 3 a2 b2 a3 b3

c1 c2 3 c3

`

b1 c1 ` b2 c2

Determinante menor de a3.

Para evaluar los determinantes de una matriz de 3  3, utilizamos los determinantes menores. En el siguiente recuadro se muestra cómo evaluarlos por el desarrollo de menores de la primera columna.

Desarrollo de los determinantes mediante los menores de la primera columna Determinante Determinante Determinante menor menor menor de a2 de a3 de a1 p p p a1 3 a2 a3

4

EJEMPLO 3

Evalúe 3 3

1

-2 5 -3

b1 c1 b c b b2 c2 3 = a1 ` 2 2 ` - a2 ` 1 b3 c3 b3 b3 c3

c1 b c ` + a3 ` 1 1 ` c3 b2 c2

6 0 3 utilizando el desarrollo del determinante mediante los meno-1

res de la primera columna.

Solución

Seguiremos el procedimiento indicado en el cuadro.

4 33 1

-2 5 -3

6 5 03 = 4` -3 -1

0 -2 ` - 3` -1 -3

6 -2 ` + 1` -1 5

6 ` 0

= 4351-12 - 1- 3204 - 331 - 221 -12 - 1- 3264 + 131 -220 - 51624 = 41-5 + 02 - 312 + 182 + 110 - 302 = 41-52 - 31202 + 11-302 = - 20 - 60 - 30 = - 110

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13

El determinante tiene un valor de 110.

✺

Sección 4.5 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes… • 259

4

Utilizar la regla de Cramer con sistemas de tres variables La regla de Cramer puede aplicarse también a los sistemas de ecuaciones con tres variables como sigue. Regla de Cramer para un sistema de ecuaciones con tres variables Para evaluar el sistema

a 1 x + b1 y + c1 z = d1 a 2 x + b2 y + c2 z = d2 a 3 x + b3 y + c3 z = d3 con

a1 D = 3 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 3 c3

d1 Dx = 3 d2 d3

b1 c1 b2 c2 3 b3 c3

a1 Dy = 3 a2 a3

d1 d2 d3

c1 c2 3 c3

a1 Dz = 3 a2 a3

b1 b2 b3

d1 d2 3 d3

entonces

x =

Dx D

y =

Dy D

z =

Dz D

,

D Z 0

Observe que los denominadores de las expresiones para x, y y z son todos el mismo determinante, D. Las constantes d reemplazan a las a, los coeficientes numéricos de los términos x en Dx; a las b, los coeficientes numéricos de los términos y en Dy, y a las c, los coeficientes numéricos de los términos z en Dz.

EJEMPLO 4

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando determinantes.

3x - 2y - z = - 6 2x + 3y - 2z =

1

x - 4y + z = - 3

Solución

a1 = 3 a2 = 2 a3 = 1

b1 = - 2 b2 = 3 b3 = - 4

c1 = - 1 c2 = - 2 c3 = 1

d1 = - 6 d2 = 1 d3 = - 3

Utilizaremos el desarrollo de los determinantes menores de la primera columna para evaluar D, Dx, Dy y Dz.

3 3 D = 2 1

-2 3 -4

-1 3 -2 3 = 3 ` -4 1

-2 -2 ` - 2` 1 -4

= 31-52 - 21-62 + 1172 = - 15 + 12 + 7 = 4

-1 -2 ` + 1` 1 3

-1 ` -2

260 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

-6 3 Dx = 1 -3

-2 3 -4

-1 3 -2 3 = - 6 ` -4 1

-2 -2 ` - 1` 1 -4

-1 -2 ` + 1- 32 ` 1 3

-1 ` -2

= - 61-52 - 11-62 - 3172 = 30 + 6 - 21 = 15 3 3 Dy = 2 1

-6 1 -3

-1 1 -2 3 = 3 ` -3 1

-2 -6 ` - 2` 1 -3

-1 -6 ` + 1` 1 1

-1 ` -2

-6 -2 ` + 1` -3 3

-6 ` 1

= 31-52 - 21-92 + 11132 = - 15 + 18 + 13 = 16 3 Dz = 3 2 1

-2 3 -4

-6 3 13 = 3` -4 -3

1 -2 ` - 2` -3 -4

= 31- 52 - 21-182 + 11162 = - 15 + 36 + 16 = 37 Encontramos que D  4, Dx  15, Dy  16 y Dz  37. Por lo tanto,

x =

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33

Dx 15 = D 4

y =

Dy D

16 = 4 4

=

z =

Dz D

=

37 4

A 154 , 4, 374 B .Observe que la terna ordenada lista a x, y y z en

La solución del sistema es este orden.

✺

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones con tres variables en donde una o más ecuaciones no tienen una variable, insertamos la variable con el coeficiente 0. Así,

2x - 3y + 2z = - 1 2x - 3y + 2z = - 1 x + 2y = 14 se escribe x + 2y + 0z = 14 x - 3z = - 5 x + 0y - 3z = - 5

SUGERENCIA

Al evaluar los determinantes, si cualesquiera dos filas (o columnas) son idénticas, excepto por signos opuestos, el determinante tiene un valor de 0. Por ejemplo,

` 5 32 5

5 5

-2 ` =0 y -2

-3 4 6 53 = 0 y -3 4

`

5 -5

5 3 -5 6

-2 ` =0 2 -3 3 8

4 -4 3 = 0 2

Como en el caso de los determinantes de una matriz de 2  2, cuando el determinante D  0, no se puede utilizar la regla de Cramer, ya que la división entre cero es indefinida. Entonces, hay que utilizar un método distinto para resolver el sistema, o evaluar Dx, Dy y Dz para determinar si el sistema es dependiente o inconsistente. Si D  0, Dx  0, Dy  0 o Dz  0, entonces el sistema es dependiente. Si D  0, Dx  0, Dy  0 o Dz  0, entonces el sistema es inconsistente.

Sección 4.5 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes… • 261

Cómo utilizar su calculadora graficadora En la sección 4.4 mencionamos que algunas calculadoras graficadoras pueden manejar matrices. Estas calculadoras también pueden evaluar determinantes de matrices cuadradas. Lea el manual de su calculadora graficadora para saber si ésta puede evaluar determinantes. Si es así, aprenda cómo hacerlo.

Conjunto de ejercicios 4.5 Ejercicios conceptuales 1. Explique cómo evaluar un determinante de 2  2. 2. Explique cómo evaluar un determinante de 3  3, mediante el desarrollo de menores de la primera columna. 3. Explique cómo se puede saber si un sistema de tres ecuaciones lineales es inconsistente usando determinantes. 4. Explique cómo se puede saber si un sistema de tres ecuaciones lineales es dependiente usando determinantes.

5. Al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer, se determina que D  4, Dx  8 y Dy  2. ¿Cuál es la solución para este sistema? 6. Al resolver un sistema de tres ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer, se determina que D  2, Dx  6, Dy  10 y Dz  2. ¿Cuál es la solución para este sistema?

Problemas de aplicación Evalúe cada determinante. 7.

`

11. 3

2 1 3 0 -1

3 ` 5

8.

2 5 4

0 33 2

`

5 ` -1

3 -1 4

12. 3 0

2

1 0 2

1 33 7

`2 1

9.

2

2 13. 3 1 -4

3 ` -4 3 -3 5

`

5 -1

- 23 ` 0

14. 3

5 3 -5

-8 6 0 43 -2 1

10.

1 -6 3 9

Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes.

15. x + 3y = 1 -2x - 3y = 4

16. 2x + 4y = - 2

19. 5p - 7q = - 21

20. 6x + 3y = - 4

- 4p + 3q = 22

9x + 5y = - 6

-2x = y + 4

24. 9x + 6y = - 3

25. 3r = - 4s - 6

6x + 4y = - 2

3s = - 5r + 1

23. x + 5y = 3

2x + 10y = 6 27. 5x - 5y = 3

x - y = -2

28. 2x - 5y = - 3

18. 2r + 3s = - 2

17. x - 2y = - 1

- 5x - 2y = 13

3r + 5s = - 2

x + 3y = 9

22. 4x = 3y + 5

21. 4x = - 5y - 2

8x - 2 = - 2y 26. x = y - 1

3y = 2x + 8

29. 6.3x - 4.5y = - 9.9

- 4x + 10y = 1

-9.1x + 3.2y = - 2.2

30. - 1.1x + 8.3y = 36.5

3.5x + 1.6y = - 4.1

Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes. 31. x + y + z = 2

-3y + 4z = 11 - 3x + 4y - 2z = - 11 34. 2x + 8y + 3z = 1

6x - 9y = 5 - 3y + z = 2

32. 2x + 3y = 4

3x + 7y - 4z = - 3 x - y + 2z = 9 35. x + 4y - 3z = - 6

2x - 8y + 5z = 12 3x + 4y - 2z = - 3

33. 3x - 5y - 4z = - 4 4x + 2y = 1 6y - 4z = - 11 36. 2x + y - 2z = 4

2x + 2y - 4z = 1 6x + 8y - 4z = 1

262 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades 38. 2x + y - 2 = 0

37. a - b + 2c = 3

a - b + c = 1 2a + b + 2c = 2

41. 1.1x + 2.3y - 4.0z = - 9.2

40. 4x - 2y + 6z = 2

- 6x + 3y - 9z = - 3 2x - 7y + 11z = - 5

42. 4.6y - 2.1z = 24.3

- 5.6x + 1.8y = - 5.8 2.8x - 4.7y - 3.1z = 7.0

-2.3x + 4.6z = 6.9 - 8.2y - 7.5z = - 6.8

1 y - 3z = 5 2 - 3x + 2y + 2z = 1 1 4x - y - 7z = 4 4

44. x - 2y + z = 2

43. -6x + 3y - 9z = - 8

45. 2x +

4x - 6y + 2z = 1 2x - 3y + z = 0

5x + 2y - 3z = 1 2x - y + 3z = - 5

46.

39. a + 2b + c = 1

3x + 2y + z = 3 x - 3y - 5z = 5

a - b + c = 1 2a + b + 2c = 2

1 1 x - y + 3z = - 3 4 2 2x - 3y + 2z = - 1 1 1 1 x + y - z = 1 6 3 3

47. 0.2x - 0.1y - 0.3z = - 0.1

48. 0.6u - 0.4v + 0.5w = 3.1

0.2x - 0.1y + 0.1z = - 0.9 0.1x + 0.2y - 0.4z = 1.7

0.5u + 0.2v + 0.2w = 1.3 0.1u + 0.1v + 0.1w = 0.2

Resolución de problemas 49. Dado un determinante de la forma `

b1 ` , ¿cómo camb2

a1 a2

biará el valor del determinante si se intercambian entre sí las a y se intercambian entre sí las b, `

a2 a1

b2 ` ? Explique b1

su respuesta. a b1 50. Dado un determinante de la forma ` 1 ` , ¿cómo cama2 b2 biará el valor del determinante si las a son intercambiab a1 das con las b, ` 1 ` ? Explique su respuesta. b2 a2 51. Si las dos filas de un determinante de 2  2 son iguales, ¿cuál es el valor del determinante?

52. Si todos los elementos de una fila o de una columna de un determinante de 2  2 son 0, ¿cuál es el valor del determinante? 53. Si todos los elementos de una fila o de una columna de un determinante 3  3 son 0, ¿cuál es el valor del determinante? 54. Dado un determinante de 3  3, si todos los elementos de una fila se multiplican por 1, ¿cambiará el valor del determinante? Explique. 55. Dado un determinante de 3  3, si la primera y segunda filas se intercambian, ¿cambiará el valor del determinante? Explique. 56. En un determinante de 3  3, si cualesquiera dos filas son iguales, ¿puede hacer una generalización acerca del valor del determinante?

Determine el valor de la letra dada.

57.

`

4 -2

6 ` = 32 y

58.

`

b - 2 b + 3

-4 ` = 14 -6

4 59. 3 3

4

7 -1 1

y 2 3 = - 35 5

60. 3

3 0 -1

x 5 4

-2 - 6 3 = - 31 -7

Reto 61. Utilice el método de la suma para resolver el siguiente sistema para a) x, y b) y.

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2

Ejercicios de repaso acumulativo [2.5] 62. Resuelva la desigualdad 31x - 22 6 45 1x - 42 e indique la solución en notación de intervalo. Grafique 3x  4y  8, mediante el método indicado. [3.2] 63. Por medio del trazo de puntos. 64. Utilizando las intersecciones de los ejes x y y.

[3.3] 65. Utilizando la pendiente y la intersección del eje y.

Sección 4.6 • Resolución de sistemas de desigualdades lineales • 263

4.6 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES

1

1

Resolver sistemas de desigualdades lineales.

2

Resolver problemas de programación lineal.

3

Resolver sistemas de desigualdades lineales con valor absoluto.

Resolver sistemas de desigualdades lineales En la sección 3.7 se explicó cómo graficar desigualdades lineales con dos variables. En la sección 4.1 aprendimos a resolver gráficamente sistemas de ecuaciones. En esta sección analizaremos cómo resolver gráficamente sistemas de desigualdades lineales. Para resolver un sistema de desigualdades lineales Grafique todas las desigualdades del sistema en los mismo ejes. La solución es el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen todas las desigualdades del sistema.

EJEMPLO 1

Determine la solución del sistema de desigualdades.

1 y 6 - x + 2 2 x - y … 4

Solución

1

Primero grafique la desigualdad y 6 - 2 x + 2 (vea la figura 4.8).Ahora, en los mismos ejes, grafique la desigualdad x  y ≤ 4 (vea la figura 4.9). La solución es el conjunto de puntos comunes a las gráficas de ambas desigualdades. Ésta es la parte de la gráfica que tiene ambos sombreados. La línea punteada no es parte de la solución, pero la parte de la línea sólida que satisface ambas desigualdades sí lo es.

y

y

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

FIGURA 4.8

EJEMPLO 2

1 2 3 4 5

y  qx  2

x

5 4 3 2 1 1

Solución

2 3 4 5

xy 4

1 2 3 4 5

x

y  q x  2

FIGURA 4.9

✺

Determine la solución del sistema de desigualdades.

3x - y 6 6 2x + 2y Ú 5

Solución

Grafique 3x  y  6 (vea la figura 4.10). Grafique 2x  2y ≥ 5 en los mismos ejes (figura 4.11). La solución es la parte de la gráfica con ambos sombreados y la parte de la línea sólida que satisface ambas desigualdades.

264 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

3x  y  6

y

y

3 2 1

3 2 1

5 4 3 2 1 1

1 2 3 4 5

x

5 4 3 2 1 1

2 3 4 5 6 7

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 7

EJEMPLO 3

3x  y 

Solución

2x  2y  5 1 2 3 4 5

x

2 3 6 4 5 6 7

FIGURA 4.11

FIGURA 4.10

✺

Determine la solución del sistema de desigualdades.

y 7 -1 x … 4

Solución

La solución se ilustra en la figura 4.12. y

Solución

5 4 3 2 1 3 2 1 2 3 4 5

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15

2

y 1

1 2 3

5 6 7

x

x 4

FIGURA 4.12

✺

Resolver problemas de programación lineal Existe un proceso matemático llamado programación lineal, en el que, con frecuencia, hay que graficar más de dos desigualdades lineales en los mismos ejes. Estas desigualdades se llaman restricciones. Los siguientes dos ejemplos ilustran cómo determinar la solución de un sistema de más de dos desigualdades.

EJEMPLO 4

Determine la solución del siguiente sistema de desigualdades.

x Ú 0 y Ú 0 2x + 3y … 12 2x + y … 8

Solución

Las primeras dos desigualdades, x ≥ 0 y y ≥ 0, indican que la solución debe estar en el primer cuadrante, ya que es el único en donde x y y son positivas. La figura 4.13 ilustra las gráficas de las cuatro desigualdades.

Sección 4.6 • Resolución de sistemas de desigualdades lineales • 265 y

y

y

8

8

8

8

7

7

7

7

6

6

6

6

5

5

5

5

4

4

x 0

4

y 0

4

y

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

2 1 1

2

1

2

3

4

5

6

x

2

2 1 1 2

1

x 1

2

3

4

5

2 1 1

6

2x  3y 12

2

1

2

3

4

5

6

x

2x  y 8

FIGURA 4.13

y 8

La figura 4.14 ilustra las gráficas en los mismos ejes y la solución del sistema de desigualdades. Observe que todos los puntos que están en el área sombreada y todos los puntos sobre las rectas que forman la región poligonal forman parte de la respuesta. ✺

7 6 5 4 3

(3, 2)

2

EJEMPLO 5

Determine la solución del siguiente sistema de desigualdades.

1 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x y x 8x + 8y 4x + 12y

x

2

FIGURA 4.14

Solución

Ú Ú … … …

0 0 15 160 180

Las primeras dos desigualdades indican que la solución debe estar en el primer cuadrante. La tercera desigualdad indica que x debe ser un valor menor o igual que 15. La figura 4.15a muestra las gráficas de las tres últimas restricciones. La figura 4.15b indica la solución del sistema de desigualdades. y

y

30

30

x  15

20

20

4x  12y  180

10

Solución

10

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29 10

20

30

40

x

10

20

30

40

x

8x  8y  160

FIGURA 4.15

(a)

(b)

✺ 3

Resolver sistemas de desigualdades lineales con valor absoluto Ahora graficaremos sistemas de desigualdades lineales con valor absoluto en el sistema de coordenadas cartesianas. Antes de dar algunos ejemplos, recordemos las reglas para las desigualdades con valor absoluto que aprendimos en la sección 2.6. Recuerde que Si |x|  a y a 0, entonces a  x  a. Si |x| a y a 0, entonces x  a o x a.

266 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

EJEMPLO 6 Solución

Grafique |x|  3 en el sistema de coordenadas cartesianas.

y

Tomando en cuenta las reglas de valor absoluto, sabemos que |x|  3 significa 3  x  3. Trazamos líneas punteadas verticales que pasen por 3 y 3, y sombreamos el área entre las dos (figura 4.16).

5 4 3 2 1 5 4

2 1 1

x  3

1 2

4 5

x

2 3 4 5

FIGURA 4.16

✺ EJEMPLO 7 Solución

Grafique |y  1| 3 en el sistema de coordenadas cartesianas. Tomando en cuenta las reglas de valor absoluto, sabemos que |y  1| 3 significa que y  1  3 o y  1 3. Primero resolvemos cada desigualdad.

y + 1 6 -3 y 6 -4

o

y 5 4 3

y + 1 7 3 y 7 2

Ahora graficamos ambas desigualdades y consideramos la unión de las dos gráficas. La solución es el área sombreada de la figura 4.17.

1 5 4 3 2 1 1

1 2 3 4 5

x

2 3 5

FIGURA 4.17

✺ EJEMPLO 8

Grafique el sistema de desigualdades.

ƒxƒ 6 3 ƒy + 1ƒ 7 3

Solución

y

Graficamos ambas desigualdades en los mismos ejes. Por lo tanto, combinamos la gráfica del ejemplo 6 con la del ejemplo 7 (vea la figura 4.18). Los puntos comunes a ambas desigualdades forman la solución del sistema.

Solución

5 4 3 1 5 4

2 1 1

1 2

4 5

x

2 3 5

FIGURA 4.18 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41

Solución

✺

Conjunto de ejercicios 4.6 Ejercicios conceptuales 1. Explique cómo determinar gráficamente la solución para un sistema de desigualdades lineales. 2. Si en un sistema de dos desigualdades, una contiene  y la otra ≥, ¿el punto de intersección de las dos rectas frontera de las desigualdades está en el conjunto solución? Explique. 3. Si en un sistema de dos desigualdades, una contiene ≤ y la otra ≥, ¿el punto de intersección de las dos rectas fronte-

ra de las desigualdades está en el conjunto solución? Explique. 4. Si en un sistema de dos desigualdades, una contiene  y la otra , ¿el punto de intersección de las dos rectas frontera de las desigualdades está en el conjunto solución? Explique.

Sección 4.6 • Resolución de sistemas de desigualdades lineales • 267

Problemas de aplicación Determine la solución de cada sistema de desigualdades. 5. 2x - y 6 4

6. y … - 2x + 1

y Ú -x + 2 9. y 6 x

y 7 - 3x 10. - 2x + 3y 6 - 5

y Ú 3x + 2 13. -4x + 5y 6 20

2 x + 1 3 y 7 -4

14. y Ú -

18. 3x + 2y 7 8

y … - 4x + 7

22.

6x Ú 2y + 8

8. y Ú 2x - 5

y 7 - 3x + 5 12. - 4x + 3y Ú - 4

y 7 - 3x + 3

15. x … 4 y Ú -2

16. x Ú 0

19. -2x 7 y + 4

20. y … 3x - 2

1 -x 6 y - 1 2

1 y 6 x + 1 3

x - 5y 6 5

3x - y 7 3 21. y 6 3x - 4

11. - 3x + 2y Ú - 5

3x - 8y 7 4

x Ú -3 17. 5x + 2y 7 10

7. y 6 3x - 2 y … - 2x + 3

x - 3y 6 6

1 1 x + y Ú 2 2 2 2x - 3y … - 6

Determine la solución de cada sistema de desigualdades. Utilice el método analizado en los ejemplos 4 y 5. 23. x Ú 0

24. x Ú 0

y Ú 0 2x + 3y … 6 4x + y … 4 27. x Ú 0

28. x Ú 0

y Ú 0 3x + 2y … 18 2x + 4y … 20 31. x Ú 0

25. x Ú 0

y Ú 0 2x + 3y … 8 4x + 2y … 8

y Ú 0 5x + 4y … 16 x + 6y … 18

26. x Ú 0

y Ú 0 x + y … 6 7x + 4y … 28 29. x y x x x

Ú Ú … + +

0 0 4 y … 6 2y … 8

y Ú 0 3x + y … 9 2x + 5y … 10 30. x Ú 0

y Ú 0 x … 4 2x + 3y … 18 4x + 2y … 20

32. x Ú 0

y Ú 0 x … 15 40x + 25y … 1000 5x + 30y … 900

y Ú x … 30x 10x

0 15 + 25y … 750 + 40y … 800

Determine la solución de cada sistema de desigualdades. 33.

ƒxƒ 7 1 y 6 x

34.

ƒxƒ 7 2 ƒyƒ … 4

35.

ƒxƒ Ú 1 ƒyƒ Ú 2

36.

ƒxƒ 6 2 ƒyƒ Ú 3

37.

ƒyƒ 7 2 y … x + 3

38.

ƒxƒ 7 1 y … 3x + 2

39.

ƒyƒ 6 4 y Ú - 2x + 2

40.

ƒx - 2ƒ … 3 x - y 7 2

42.

ƒx - 2ƒ 7 1

43.

ƒx - 3ƒ … 4 ƒy + 2ƒ … 1

41. ƒ x + 2 ƒ 6 3 ƒyƒ 7 4

y 7 -2

44.

ƒx + 1ƒ … 2 ƒy - 3ƒ … 1

Resolución de problemas 45. ¿Es posible que un sistema de desigualdades lineales no tenga solución? Explique. Construya un ejemplo para apoyar su respuesta.

46. ¿Es posible que un sistema de dos desigualdades lineales tenga exactamente una solución? Explique. Si contesta sí, construya un ejemplo para apoyar su respuesta.

268 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sin graficar, determine el número de soluciones para cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades. Explique sus respuestas. 47. 2x + y 6 6

48. 3x - y … 4

49. 5x - 2y … 3

2x + y 7 6

3x - y 7 4

5x - 2y Ú 3

50. 2x - y 6 7

51. 5x - 3y 7 5

52. x + y … 0

3x - y 6 4

5x - 3y 7 6

x - y Ú 0

Reto Determine la solución para cada sistema de desigualdades. 53. y Ú x 2

54. y 6 4 - x 2

y … 4

55. y 6 ƒ x ƒ

y 7 -5

56. y Ú ƒ x - 2 ƒ

y 6 4

y … - ƒx - 2ƒ

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 57. En física, una fórmula para palancas es f1 d1 + f2 d2 = f3 d3 . Despeje f2 de esta fórmula. [3.2] Establezca el dominio y rango de cada función. 58. 514, 32, 15, - 22, 1- 1, 22, 10, -526

60.

y

2

59. f1x2 = 3 x - 4

2

2

4 2

RESUMEN

x

(2, 1)

DEL CAPÍTULO

Términos y frases importantes 4.1 Método de la suma (o eliminación) Sistema de ecuaciones consistente Sistema de ecuaciones dependiente Sistema de ecuaciones inconsistente Terna ordenada Solución de un sistema de ecuaciones Sustitución

Sistema de ecuaciones lineales

4.2 Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables

4.4

4.6

Matriz aumentada Elementos Matriz Transformación de filas Matriz cuadrada Forma triangular

Restricciones Programación lineal Sistema de desigualdades lineales Sistema de desigualdades lineales con valor absoluto

4.5 4.3 Ángulos complementarios Ángulos suplementarios

Regla de Cramer Determinante Desarrollo del determinante por menores Determinante menor (continúa en la página siguiente)

Resumen del capítulo • 269

HECHOS

IMPORTANTES

Matrices aumentadas La matriz B

1 0

1 La matriz C 0 0

a p x + a = p ` R representa al sistema 1 q y = q a 1 0

b p x + ay + bz = p c 3 q S representa al sistema y + cz = q 1 r z = r

`

Valor de un determinante de segundo orden

b1 ` = a1 b2 - a2 b1 b2

a1 a2

Regla de Cramer: a1 x + b1 y = c1

Para un sistema con la forma:

a2 x + b2 y = c2

x =

`

b1 ` b2

c1 c2

a ` 1 a2

b1 ` b2

=

Dx D

y

y =

`

a1 a2

a ` 1 a2

c1 ` c2

Dy =

b1 ` b2

D

,

D Z 0

Valor de un determinante de tercer orden Determinante Determinante Determinante menor menor menor de a2 de a3 de a1 p

a1 3 a2 a3

p

b1 c1 b c b b2 c2 3 = a1 ` 2 2 ` - a2 ` 1 b3 c3 b3 b3 c3

p

c1 b ` + a3 ` 1 c3 b2

c1 ` c2

Regla de Cramer: Para un sistema con la forma

a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a 3 x + b3 y + c3 z = d3 d1 3 d2 x =

d3

b1 c1 b2 c2 3 b3 c3

a1 3 a2 =

a1 3 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 3 c3

Dx , D

y =

a3

d1 d2 d3

c1 c2 3 c3

Dy =

a1 3 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 3 c3

D

,

z =

a1 b1 3 a2 b2 a3 b3

d1 d2 3 d3

Dz =

a1 3 a2 a3

b1 c1 b2 c2 3 b3 c3

D

,

D Z 0

270 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Ejercicios de repaso del capítulo [4.1] Escriba cada ecuación en la forma pendiente intersección. Sin graficar ni resolver, determine si el sistema de ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o dependiente. También indique si el sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones. 1. 2x - 3y = - 1

2. 2x - 5y = 8

- 4x + 6y = 1

3x + 4y = 9

1 x + 4 2 x + 2y = 8

4. 6x = 4y - 8

3. y =

4x = 6y + 8

Determine gráficamente la solución de cada sistema de ecuaciones. Si el sistema es inconsistente o dependiente, indíquelo. 5. y = x + 3

y = 2x + 5

6. x = - 2

7. 2x + 2y = 8

y = 3

8. 2y = 2x - 6

2x - y = - 4

1 1 3 x - y = 2 2 2

Determine la solución de cada sistema de ecuaciones mediante sustitución. 9. y = - 4x + 2

y = 3x - 12

10. 4x - 3y = - 1

12. 3x + y = 17

11. a = 2b - 8

y = - 3x - 4

2b - 5a = 0

1 3 x - y = 1 2 4

Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma. 13. x - 2y = 5

2x + 2y = 4 16. 0.4x - 0.3y = 1.8

- 0.7x + 0.5y = - 3.1 2 9 y = 5 5 3 x - y = -2 2

19. x +

14. - 2x - y = 5

2x + 2y = 6 17. 4r - 3s = 8

2r + 5s = 8 20. 2x + 2y = 8

y = 4x - 3

22. 2x - 5y = 12

23. 2x + y = 4

4 x - y = -2 3

1 x + y = 2 2

15. 2a + 3b = 7

a - 2b = - 7 18. - 2m + 3n = 15

3m + 3n = 10 3 5 x + 4 2 5 7 x + y = 4 2

21. y = -

24. 2x = 4y + 5

2y = x - 6

[4.2] Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución o el de la suma. 25. x - 2y - 4z = 13

26. 2a + b - 2c = 5

3y + 2z = - 2 5z = - 20

3b + 4c = 1 3c = - 6

28. - x - 4y + 2z = 1

2x + 2y + z = 0 - 3x - 2y - 5z = 5 31. x - y + 3z = 1

-x + 2y - 2z = 1 x - 3y + z = 2

29. 3y - 2z = - 4

3x - 5z = - 7 2x + y = 6 32. -2x + 2y - 3z = 6

4x - y + 2z = - 2 2x + y - z = 4

27. x + 2y + 3z = 3

- 2x - 3y - z = 5 4x + 2y + 5z = - 8 30. 3a + 2b - 5c = 19

2a - 3b + 3c = - 15 5a - 4b - 2c = - 2

Ejercicios de repaso del capítulo • 271 [4.3] Exprese cada problema como un sistema de ecuaciones lineales y utilice el método de su elección para determinar la solución. 33. Edades Jorge Valdés es 10 años mayor que su sobrina Jennifer. Si la suma de sus edades es 66, determine la edad de Jorge y la edad de Jennifer. 34. Velocidad del viento Un avión puede viajar a 560 millas por hora con el viento a favor y a 480 millas por hora con el viento en contra. Determine la velocidad del viento y la velocidad del avión sin viento.

Porcentaje de concentración

35. Mezcla de soluciones Jaime Cervantes tiene dos soluciones ácidas con las características que se muestran en la siguiente figura. ¿Qué cantidad de cada una debe mezclar para obtener 6 litros de una solución de ácido con concentración de 40%?

70 60

50%

50 40 30 20

20%

36. Fútbol La admisión a un partido de fútbol cuesta $15 por adulto y $11 por niño. Si se vendió un total de 650 boletos por un monto de $8790, determine cuántos boletos para niños y cuántos boletos para adultos se vendieron. 37. Regresó al espacio John Glenn fue el primer astronauta estadounidense en dar la vuelta a la Tierra. Muchos años después de esta hazaña, Glenn regresó al espacio. Esta vez tenía cinco años menos que el doble de su edad cuando hizo el primer viaje. La suma de la edad que tenía en cada ocasión es 118. Determine qué edad tenía en cada uno de sus viajes. 38. Cuenta de ahorros Marcia Torres tiene un total de $40,000 invertidos en tres cuentas de ahorro diferentes. Parte del dinero está invertido en una cuenta que otorga 7% de interés; en la segunda cuenta tiene $5,000 menos que en la primera, y recibe 5% de interés; la tercera cuenta le da 3% de interés. Si el monto total que recibe Marcia al año por concepto de interés es de $2300, determine cuánto dinero tiene invertido en cada cuenta.

10

Solución A

Solución B

[4.4] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando matrices. 39. x + 5y = 1

42. 2x - y - z = 5

41. y = 2x - 4

40. 2x - 3y = 3

4x = 2y + 8

2x + 4y = 10

- 2x - 8y = - 6

44. x + y + z = 3

43. 3a - b + c = 2

3x + 2y = 1 y - 3z = - 10

2a - 3b + 4c = 4 a + 2b - 3c = - 6

x + 2y + 3z = - 2 3x - 2y + z = 2

[4.5] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes. 45. 7x - 8y = - 10

48. p + q + r = 5

47. 4m + 3n = 2

46. x + 4y = 5

- 5x + 4y = 2

7m - 2n = - 11

-2x - 2y = 2

50. y + 3z = 4

49. - 2a + 3b - 4c = - 7

- x - y + 2z = 0 x + 2y + z = 1

a + b + c = 4 -2a - 3b + 4c = 3

2p + q - r = - 5 - p + 2q - 3r = - 4

[4.6] Determine gráficamente la solución de cada sistema de desigualdades. 51. -x + 3y 7 6

2x - y … 2

52. 5x - 2y … 10

53. y 7 2x + 3

54. x 7 - 2y + 4

1 3 y 6 - x 2 2

y 6 -x + 4

3x + 2y 7 6

Determine la solución de cada sistema de desigualdades. 55. x Ú 0

y Ú 0 x + y … 6 4x + y … 8

56. x Ú 0

y Ú 0 2x + y … 6 4x + 5y … 20

57.

ƒxƒ … 3 ƒyƒ 7 2

58.

ƒxƒ 7 4 ƒy - 2ƒ … 3

272 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Examen de práctica del capítulo 1. Defina a) un sistema de ecuaciones consistente, b) un sistema de ecuaciones dependiente, y c) un sistema de ecuaciones inconsistente. Determine, sin resolverlo, si cada sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente. Establezca si el sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución, o un número infinito de soluciones. 2. 5x + 2y = 4

4. 5x - 4y = 6

3. 5x + 3y = 9

5x = 3y - 7

-10x + 8y = - 10

10 2y = - x + 6 3

Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante el método indicado. 5. y = 3x - 2

6. y = - x + 6

7. y = - 3x + 4

8. 2a + 4b = 2

y = - 2x + 8

y = 2x + 3

y = 5x - 4

5a + b = - 13

gráficamente

gráficamente

por sustitución

por sustitución

9. 4x + 3y = 10

10. 0.3x = 0.2y + 0.4

6x + y = 1

- 1.2x + 0.8y = - 1.6

por suma

por suma

11.

3 a + b = 6 2 5 a - b = -4 2

12. x + y + z = 2

- 2x - y + z = 1 x - 2y - z = 1 por suma

por suma 13. Escriba la matriz aumentada para el siguiente sistema de ecuaciones.

- 2x + 3y + 7z = 5 3x - 2y + z = - 2 x - 6y + 5z = - 13

14. Considere la siguiente matriz aumentada.

6 C4 2

-2 4 4 3 5 3 6S -1 4 -3

Muestre los resultados obtenidos al multiplicar los elementos de la tercera fila por 2 y sumando los productos a sus elementos correspondientes en la segunda fila. Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante matrices. 15. x - 3y = 7

3x + 5y = 7

16. x - 2y + z = 7

-2x - y - z = - 7 3x - 2y + 2z = 15

Evalúe cada determinante. 17.

`

3 4

-1 ` -2

8 18. 3 3

6

2 0 -3

-1 53 4

Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante determinantes y la regla de Cramer. 19. 4x + 3y = - 6

- 2x + 5y = 16

20. 2r - 4s + 3t = - 1

-3r + 5s - 4t = 0 -2r + s - 3t = - 2

Utilice el método de su elección para determinar la solución de cada problema. 21. Cacahuates y almendras Roberto Romero vende almendras a $7 la libra, y cacahuates a $5.50 la libra. ¿Qué cantidad de cada semilla debe utilizar para obtener 20 libras de una mezcla que se venda a $6.00 la libra?

Examen de repaso acumulativo • 273 22. Mezcla de soluciones Teresa Muñoz, una química, tiene soluciones con concentración de 6% y 15% de ácido sulfúrico. ¿Qué cantidad de cada solución debe mezclar para obtener 10 litros de una solución con concentración de 9%?

23. Suma de números La suma de tres números da por resultado 25. El número más grande es tres veces el número más pequeño, y el tercer número es uno más que el doble del número más pequeño. Determine los tres números.

Determine la solución para cada sistema de desigualdades. 24. 3x + 2y 6 9

ƒxƒ 7 3 ƒyƒ … 1

25.

- 2x + 5y … 10

Examen de repaso acumulativo Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta. 1. Evalúe 16 , b 4 B 3 + a

5 + 10 2 b R - 32 r . 5

13. Determine cuáles de las gráficas siguientes representan funciones. Explique.

2. Considere el siguiente conjunto de números.

1 e , - 4, 9, 0, 13, - 4.63, 1 f 2 Indique los elementos del conjunto que sean a) números naturales; b) números racionales; c) números reales. 3. Escriba los siguientes números de menor a mayor.

3 5 - 1, ƒ - 4 ƒ , , , - ƒ - 8 ƒ , ƒ - 10 ƒ 4 8

a)

b)

y

y 2

2 2

2

x 2

2

14. Si f1x2 =

2

x

2

2

x

2

x + 3 , determine a) f1- 42 b) f1h2 y x2 - 9

c) f132 Resuelva cada sistema de ecuaciones. 15. 3x + y = 6

Resuelva.

y = 2x + 1

4. - 33 - 21x - 424 = 31x - 62

16. 2p + 3q = 11

5.

5 2 x - = 2 3 6

17. x - 2y = 0

6.

ƒ 2x - 3 ƒ - 4 = 5

7. Despeje x de la fórmula M =

1 1a + x2 por x 2

8. Determine el conjunto solución de la desigualdad.

0 6 2 -2

9. Simplifique ¢

c)

y

2

3x y y3

3x - 2 … 8 4 -2

≤ .

10. Grafique 2y  3x  8 11. Escriba en forma pendiente intersección la ecuación de la recta paralela a la recta 2x  3y  8 y que pasa por el punto (2, 3). 12. Grafique la desigualdad 6x  3y  12.

- 3p - 5q = - 16 2x + z = 7 y - 2z = - 5 18. Ángulos de un triángulo Si el ángulo mayor de un triángulo mide nueve veces lo que el ángulo menor, y el ángulo mediano mide 70° más que el más pequeño, determine la medida de los tres ángulos. 19. Caminar y trotar Dolores Castro camina a una velocidad de 4 millas por hora, y Judit Páez trota a 6 millas por hora. Dolores comienza a caminar 12 hora antes de que Judit comienza a trotar. Si Judit trota siguiendo la misma ruta que Dolores, ¿en cuánto tiempo Judit alcanzará a Dolores? 20. Concierto de rock Las entradas a un concierto de rock tienen dos precios diferentes. Las más caras se venden a $20 y las más baratas a $16. Si se vende un total de 1000 boletos por un monto de $18,400, ¿cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

274 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Respuestas al examen de repaso acumulativo 1 1 5 3 , - 4, 9, 0, - 4.63, 1 c) , - 4, 9, 0, 13, - 4.63, 1 3. - ƒ -8 ƒ , - 1, , , ƒ -4 ƒ , ƒ -10 ƒ 4. 7; [Sec. 2.1, Obj. 3] 2 2 8 4 17 2 34 f ; [Sec. 2.5, Obj. 3] 5. ; [Sec. 2.1, Obj. 4] 6. 6, - 3; [Sec. 2.6, Obj. 2] 7. x = 2M - a; [Sec. 2.2, Obj. 2] 8. e x ` 6 x … 4 3 3 10 y 2 5 9. 4 10. ; [Sec. 3.3, Obj. 2] 11. y = x + ; [Sec. 3.5, Obj. 3] 12. ; y y 3 3 9x 1. 1 2. a) 9, 1 b)

4

4

2

2

–4 –2 –2 –4

4

x

–4 –2 –2

2y=3x-8

4

x

–4

[Sec. 3.7, Obj. 1] 13. a) función b) función c) no es función; [Sec. 3.2, Obj. 3] 14. a) c) indefinido; [Sec. 3.2, Obj. 4] 15. 11, 32; [Sec. 4.1, Obj. 2]

2

1 7

b)

h + 3 h2 - 9

16. 17, -12; [Sec. 4.1, Ob. 3] 17. 12, 1, 32; [Sec. 4.2, Obj. 1]

18. 10°, 80°, 90°; [Sec. 2.3, Obj. 2] 19. 1 hora; [Sec. 2.4, Obj. 1]

20. 600 a $20, 400 a $16; [Sec. 4.3, Obj. 1]

Capítulo 5

Polinomios y funciones polinomiales 5.1 Suma y resta de polinomios 5.2 Multiplicación de polinomios 5.3 División de polinomios y división sintética

5.4 Factorización del factor común de los términos de un polinomio y factorización por agrupación

5.5 Factorización de trinomios 5.6 Fórmulas especiales de factorización

5.7 Repaso general de factorización

5.8 Ecuaciones polinomiales Resumen del capítulo Ejercicios de repaso del capítulo Examen de práctica del capítulo Examen de repaso acumulativo

I

nternet está cambiando la forma en que se realizan las reservaciones de viaje y la compra de boletos para avión. A fin de satisfacer las necesidades de sus clientes en un ambiente de rápida expansión, las agencias de viajes utilizan modelos matemáticos para predecir el número de clientes que solicitarán sus servicios a través de Internet. En la página 278 evaluamos una función polinomial que predice el monto de los ingresos anuales que puede obtener una agencia de viajes por sus transacciones en línea. Conforme aumenta ese monto, el tipo de empleados que requiere la agencia también se modifica. ¿Cuáles cree que serían las cualidades que las agencias de viajes buscan al contratar nuevos empleados?

275

276 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Avance de la lección

E

n este capítulo estudiaremos los polinomios, las funciones polinomiales y la factorización. En las primeras secciones sumaremos, restaremos, multiplicaremos y dividiremos polinomios y funciones polinomiales. Puesto que la graficación es una parte muy importante de este curso, es recomendable que se asegure de entender las gráficas de funciones polinomiales. Después de analizar los polinomios, enfocaremos nuestra atención en la factorización. Para resolver los problemas de muchos de los capítulos siguientes, será necesario que usted haya comprendido bien el tema de factorización. En la sección 5.8 se explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización, y se muestra cómo resolver problemas de aplicación a partir de ella. Ponga particular atención a cómo utilizar la factorización para determinar las intersecciones del eje x de las funciones cuadráticas. Más adelante volveremos a hablar de este tema.

5.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

1

1

Determinar el grado de un polinomio.

2

Evaluar funciones polinomiales.

3

Entender las gráficas de funciones polinomiales.

4

Suma y resta de polinomios.

Determinar el grado de un polinomio Recuerde que, según se explicó en el capítulo 2, las partes que se suman o restan en una expresión matemática se denominan términos. El grado de un término con exponentes enteros no negativos es la suma de los exponentes de las variables, si las hay. Las constantes distintas de cero tienen grado 0, y al término 0 no se le asigna grado. Un polinomio es una suma finita de términos en la que todas las variables tienen exponentes enteros no negativos, y en donde los denominadores no incluyen variables. La expresión 3x2  2x  6 es un ejemplo de un polinomio con una variable, x. La expresión x2y  2x  3 es un ejemplo de un polinomio con dos variables, x y y. Las ex 1 presiones x1/2 y 1o x -12 no son polinomiales, ya que los exponentes de las variables no x 1 son enteros, ni no negativos. La expresión no es un polinomio, ya que el denox - 1 minador incluye una variable. El término principal de un polinomio es el término de grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal.

EJEMPLO 1

Indique el número de términos, el grado, el término principal y el coeficiente principal de cada polinomio. b) 2x 2y 4 - 6xy 3 + 3xy 2z4

a) 2x 5 - 3x 2 + 6x - 4

Solución

Organizaremos las respuestas en una tabla.

Polinomio a) 2x5 - 3x2 + 6x - 4 b) 2x2y4 - 6xy3 + 3xy2z4 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29

Número de términos

Grado del polinomio

4 3

5 (de 2x5) 7 (de 3xy2z4)

Término Coeficiente principal principal 2x5 2 4

3xy z

2 3

✺

Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 277

Los polinomios se clasifican de acuerdo con el número de términos de que constan, tal como se indica en la siguiente tabla.

Tipo de polinomio

Descripción

Ejemplos 2

2

Monomio

Un polinomio con un término

4x , 6x y, 3, -2xyz5, 7

Binomio

Un polinomio con dos términos

x2 + 1, 2x2 - y, 6x3 - 5y2

Trinomio

Un polinomio con tres términos

x3 + 6x - 4, x2y - 6x + y2

A los polinomios que constan de más de tres términos no se les da un nombre específico, ya que el prefijo poli significa muchos. Se considera que un polinomio es lineal si es de grado 0 o 1; cuando el polinomio tiene una variable se le denomina cuadrático si es de grado 2, y cúbico si es de grado 3. Tipo de polinomio

Ejemplos

Lineal Cuadrático Cúbico

2x - 4, 5 3x + x - 6, 4x2 - 6 -4x3 + 3x2 + 5, 2x3 + 6x 2

2x3  4x2  6x  3 y 4x2  3xy  5y2 son ejemplos de polinomios en orden descendente de la variable x, ya que los exponentes de la variable x descienden (o van decreciendo) al recorrer los términos de izquierda a derecha. Por lo general, los polinomios se escriben en orden descendente respecto de alguna variable.

EJEMPLO 2 Solución

2

Escriba cada uno de los siguientes polinomios en orden descendente de la variable x. a) 5x + 4x 2 - 6 b) xy - 6x 2 + 3y 2 a) 5x + 4x 2 - 6 = 4x 2 + 5x - 6 b) xy - 6x2 + 3y 2 = - 6x 2 + xy + 3y 2

✺

Evaluar funciones polinomiales La expresión 2x3  6x2  3 es un polinomio, y si escribimos P(x)  2x3  6x2  3, tenemos una función polinomial. En una función polinomial, la expresión utilizada para describir la función es un polinomio. Para evaluar una función polinomial se utiliza la sustitución, tal como se hizo para evaluar otras funciones en el capítulo 3.

EJEMPLO 3 Solución

Para la función polinomial P(x)  4x3  6x2  2x  8, determine a) P(0) b) P(3) c) P1-22 a)

b)

P1x2 = 4x 3 - 6x2 - 2x + 8 P102 = 41023 - 61022 - 2102 + 8 = 0 - 0 - 0 + 8 = 8 P132 = 41323 - 61322 - 2132 + 8 = 41272 - 6192 - 6 + 8 = 56

c) P1 -22 = 41-223 - 61-222 - 21-22 + 8 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35

= 41-82 - 6142 + 4 + 8 = - 44

✺

Con frecuencia las empresas, los gobiernos y otras organizaciones necesitan llevar registros y hacer proyecciones de ventas, utilidades, cambios en la población, efectividad de nuevas drogas, etcétera. Para realizar estas tareas, muchas veces se utilizan gráficas y funciones; el ejemplo 4 ilustra precisamente uno de esos casos.

278 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Dólares (miles de millones)

EJEMPLO 4

Ingresos de agencias de viajes La gráfica de barras de la figura 5.1 muestra el ingreso que reciben las agencias de viajes estadounidenses por transacciones en línea (servicios a través de Internet), en miles de millones de dólares, entre 1996 y 2002. Una función polinomial que puede usarse para calcular estos ingresos es R(t) 0.18t2  0.37t  0.28, en donde t representa los años desde 1996, 0  t  6, y R es el ingreso en miles de millones de dólares. a) Por medio de la función, calcule el monto de los ingresos que recibieron las agencias de viajes en 1996, por transacciones en línea. b) Mediante la función, calcule el monto de los ingresos por el mismo concepto en 2002.

8

6

4

Solución

a) Entienda el problema Primero necesitamos determinar con qué valor sustituiremos a t en la función. Ya que t es los años desde 1996, el año 1996 corresponde a t  0. Así, para calcular el monto de los ingresos en 1996, evaluamos R(0).

2

0

Traduzca y realice los cálculos 1996 97 98 99 00 01 02

R1t2 = 0.18t2 + 0.37t + 0.28 R102 = 0.181022 + 0.37102 + 0.28 = 0 + 0 + 0.28 = 0.28

Año Fuente: Asociación de la Industria de Turismo de Estados Unidos.

FIGURA 5.1

Por lo tanto, el monto de los ingresos que recibieron las agencias de viaje en 1996 es de más o menos $0.28 miles de millones (280 millones de dólares). La gráfica sustenta esta respuesta. b) Entienda el problema Entre 1996 y 2002 hay 6 años de diferencia (2002  1996  6). Por lo tanto, para calcular el monto de los ingresos obtenidos en 2002, evaluamos R(6). Compruebe y responda

Traduzca y realice los cálculos

R1t2 = 0.18t2 + 0.37t + 0.28 R162 = 0.181622 + 0.37162 + 0.28 = 6.48 + 2.22 + 0.28 = 8.98

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 97

Compruebe y responda El monto de los ingresos fue de más o menos $8.98 miles de millones, lo cual es consistente con la información correspondiente en la gráfica. ✺

3

Entender las gráficas de funciones polinomiales Al graficar cualquier función polinomial se obtienen curvas suaves y continuas. En la figura 5.2 se muestra la gráfica de una función polinomial cuadrática. Las gráficas de todas las funciones polinomiales cuadráticas con un coeficiente principal positivo, tendrán la forma de la gráfica ilustrada en la figura 5.2.

y  x 2  2x  8

y 8

y

y

6

6

10

4

8

2

6

4

Función decreciente

Función creciente

2 5 4 3 2 1 2 4

1

2

3

x

4 3 2 1 2 4

6

FIGURA 5.2

1

2

3

4

x

y  x3  x  5

4 2 4 3 2 1 2

8

8

4

10

10

6

FIGURA 5.3

1

3

4

x

y  x 3  6x  2

FIGURA 5.4

La gráfica de una función polinomial cúbica con un coeficiente principal positivo, puede tener la forma de las gráficas que se ilustran en las figuras 5.3 o 5.4.

Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 279

Observe que siempre que su coeficiente principal sea positivo, la función polinomial crecerá (o se moverá hacia arriba conforme aumente el valor de x, tal como muestra la parte en negro de la curva) hacia la derecha para algún valor de x. Por ejemplo, en la figura 5.2, la gráfica continúa creciendo hacia la derecha de x  1. En la figura 5.3, la gráfica crece de manera continua, y en la figura 5.4 lo hace hacia la derecha a partir del punto x  1.4. Las funciones polinomiales con un coeficiente principal negativo decrecerán (o se moverán hacia abajo conforme el valor de x aumente, tal como muestra la parte roja de la curva) hacia la derecha de algún valor de x. En la figura 5.5 se muestra una función polinomial cuadrática con coeficiente principal negativo; en las figuras 5.6 y 5.7 se ilustran funciones polinomiales cúbicas con coeficientes principales negativos. En la figura 5.5, la función cuadrática está decreciendo hacia la derecha de x  2, mientras que en la figura 5.6, la función cúbica decrece de manera continua, y en la figura 5.7 la función cúbica disminuye hacia la derecha a partir del punto x  1.2, aproximadamente. y

y

y

10

8

8

8

y  x 2  4x  4

6 4

6

Función creciente 2

Función decreciente

4

1

2

3

4

6

x

6

y  x 3  2

2 4 3 2 1 2

1

2

3

4

x

4 3 2

2

4

4

4

6

6

6

8

8

2

FIGURA 5.5

y  x 3  4x  2

4

FIGURA 5.6

1

2

3

4

x

FIGURA 5.7

¿Por qué el coeficiente principal determina si una función crecerá o decrecerá hacia la derecha de algún valor de x? El coeficiente principal es el coeficiente del término con el exponente de la variable con el valor más alto. Conforme el valor de x aumenta, este término terminará por dominar a todos los demás de la función. Por lo tanto, si el coeficiente de este término es positivo, en algún momento la función comenzará a crecer a medida que el valor de x aumente. Si el coeficiente principal es negativo, en algún momento la función comenzará a decrecer a medida que el valor de x disminuya. Esta información, junto con la verificación de la intersección del eje y de la gráfica, puede ser útil para determinar si una gráfica es correcta o si está completa. Lea el siguiente recuadro Cómo utilizar su calculadora graficadora, incluso si usted no emplea una, y luego resuelva los ejercicios 93 a 96.

Cómo utilizar su calculadora graficadora Siempre que grafique una función polinomial en su calculadora graficadora, asegúrese de que su pantalla muestre todos los cambios de dirección en su gráfica. Por ejemplo, suponga que grafica y  0.1x3  2x2  5x  8 en su calculadora graficadora. Si emplea la ventana estándar, obtendrá la gráfica que se muestra en la figura 5.8. Sin embargo, a partir de lo que acabamos de analizar debe darse cuenta de que, como el coeficiente principal (0.1) es positivo, la gráfica debe crecer hacia la derecha de algún valor de x. Esto no resulta claro en la gráfica de la figura 5.8, pero si usted ajusta su ventana para que aparezca como en la figura 5.9, logrará una mejor visualización.Ahora es posible ver cómo crece la gráfica hacia la derecha más o menos a partir de x  12.Al graficar, muchas veces determinar la intersección del eje y es útil para establecer qué valores se deben usar en un rango. Recuerde que para determinar la intersección del eje y, establecemos x  0 y despejamos y. Por ejemplo, si se grafica y  4x3  6x2  x  180 la intersección del eje y estará en 180, es decir el punto (0, 180). (continúa en la página siguiente)

280 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

y  0.1x 3  2x 2  5x  8

y  0.1x 3  2x 2  5x  8

FIGURA 5.8

[10, 30, 2, 100, 60, 10]

FIGURA 5.9

Ejercicios Utilice su calculadora para graficar cada polinomio. Asegúrese que su ventana muestre todos los cambios de dirección de la gráfica. 1. y = 0.2x 3 + 5.1x 2 - 6.2x + 9.3 2. y = 4.1x 3 - 19.6x 2 + 5.4x - 60.2

4

Suma y resta de polinomios Cuando determinamos sumas y diferencias de funciones en la sección 3.6, sumamos y restamos polinomios, aunque en ese momento no los llamábamos así. Para sumar o restar polinomios, primero quitamos los paréntesis (si los hay), y después reducimos los términos semejantes.

EJEMPLO 5 Solución

Simplifique 14x 2 - 6x + 32 + 12x 2 + 5x - 12.

14x2 - 6x + 32 + 12x2 + 5x - 12 = 4x2 - 6x + 3 + 2x2 + 5x - 1 2 2 +)' 2x'* - ('' 6x + 5x'* + 3(' -)' 1'* = 4x ('' )' ' =

EJEMPLO 6 Solución

SUGERENCIA

6x2

-x

+2

Eliminar paréntesis. Reacomodar términos.

Reducir términos semejantes. ✺

Simplifique 13x 2y - 4xy + y2 + 1x 2y + 2xy + 3y - 22.

13x2y - 4xy + y2 + 1x2y + 2xy + 3y - 22 = 3x2y - 4xy + y + x2y + 2xy + 3y - 2 Eliminar paréntesis. 2 2 Reacomodar términos. 3x y + x y - 4xy + 2xy + y + 3y - 2 ('')''* ('' ')'' '* (' ')' '* = 4x2y -2xy +4y - 2 Reducir términos semejantes. ✺

Recuerde que x significa 1  x. Así (2x2  4x  6) significa 1(2x2  4x  6) y se aplica la propiedad distributiva. Cuando usted resta un polinomio de otro, los signos de cada término del polinomio que se resta deben cambiarse. Por ejemplo

x2 - 6x + 3 - 12x2 - 4x + 62 = x2 - 6x + 3 - 112x2 - 4x + 62 = x2 - 6x + 3 - 2x2 + 4x - 6 = - x2 - 2x - 3

EJEMPLO 7 Solución

Reste 1-x 2 - 2x + 32 de 1x 3 + 4x + 62.

= = = =

1x3 + 4x + 62 - 1-x2 - 2x + 32 1x3 + 4x + 62 - 11-x2 - 2x + 32 x3 + 4x + 6 + x2 + 2x - 3 x3 + x2 + 4x + 2x + 6 - 3 x3 + x2 + 6x + 3

Insertar 1. Propiedad distributiva. Reacomodar los términos. Reducir términos semejantes.

✺

Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 281

EJEMPLO 8 Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45

Simplifique x2 y - 4xy2 + 5 - 12x2 y - 3y2 + 42.

x2y - 4xy2 + 5 - 112x2y - 3y2 + 42 = x2y - 4xy2 + 5 - 2x2y + 3y2 - 4 = x2y - 2x2y - 4xy2 + 3y2 + 5 - 4 = - x2y - 4xy2 + 3y2 + 1

Insertar 1. Propiedad distributiva. Reacomodar los términos. Reducir términos semejantes.

Observe que x2y y 4xy2 no son términos semejantes, ya que las variables tienen exponentes diferentes. Tampoco 4xy2 y 3y2 son términos semejantes, ya que 3y2 no incluye la variable x. ✺

EJEMPLO 9

Perímetro Encuentre una expresión para determinar el perímetro del cuadrilátero de la figura 5.10.

Solución

El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de la figura. En el caso de un cuadrilátero, el perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados.

3x  2 x2  1

5x  3 x2  2x  3

FIGURA 5.10

Perímetro = = = =

1x2 + 2x + 32 + 1x2 + 12 + 15x + 32 + 13x + 22 Suma de los lados. Eliminar los paréntesis. x2 + 2x + 3 + x2 + 1 + 5x + 3 + 3x + 2 2 2 Reacomodar términos. x + x + 2x + 5x + 3x + 3 + 1 + 3 + 2 2x2 + 10x + 9 Reducir términos semejantes.

✺

El perímetro del cuadrilátero es 2x2  10x  9.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 79

Matemáticas en acción Comercio entre Estados Unidos y China Estados Unidos tiene muchos acuerdos comerciales con países de todo el mundo. Los beneficios vendidos a esos países se denominan exportaciones, mientras que los beneficios traídos de esos países se llaman importaciones. Estos acuerdos tienden a facilitar la importación entre las naciones. El siguiente diagrama representa el comercio entre China y Estados Unidos en el periodo 19902000. Brecha comercial entre Estados Unidos y China 100

Dólares (miles de millones)

80 60 40

Importaciones Importación Estados Unidos-China Importación China-Estados Unidos

20 0

’90 ’91 ’92 ’93 ’94 ’95 ’96 ’97 ’98 ’99 ’00

–20 –40

Balanza comercial

–60 –80

Año Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, División de Comercio Exterior.

Las barras superiores muestran las importaciones de productos chinos a Estados Unidos, mientras que las barras grises muestran las importaciones de pro-

ductos estadounidenses a China. Las barras inferiores representan la diferencia entre ambas importaciones. Los números negativos del lado izquierdo del diagrama indican que las importaciones de China a Estados Unidos exceden a las importaciones de Estados Unidos a China, creando lo que se denomina una balanza comercial negativa, o déficit comercial. El aumento en la longitud de las barras inferiores confirma lo que se ve claramente en la parte superior de la gráfica: las importaciones de China a Estados Unidos tuvieron un alza vertiginosa en el periodo, mientras que las importaciones de Estados Unidos a China aumentaron sólo ligeramente. Las importaciones de productos chinos a Estados Unidos, I(t), en miles de millones de dólares, pueden calcularse mediante la función

I1t2 = 0.37t2 + 3.97t + 15.35 en donde t es el número de años desde 1990. La balanza comercial, B(t), en miles de millones de dólares, puede calcularse por medio de la función

B1t2 = - 10.386t2 + 3.07t + 8.382 en donde t es el número de años desde 1990. El signo de menos al frente de la función cuadrática B(t) indica una balanza comercial negativa. Podemos distribuir el signo de menos para expresar B(t) como

B1t2 = - 0.386t2 - 3.07t - 8.38 (continúa en la página siguiente)

282 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

La información comercial puede representarse en una hoja de cálculo electrónica, con diagramas circulares (o de pastel) y cualesquiera otros tipos de formatos gráficos. Sin embargo, la captura de la información relativa a las importaciones entre dos países abre un camino de análisis más complejo, que las personas que toman las decisiones al negociar acuerdos comerciales deben tomar en cuenta. Si esto se hace de manera correcta, el resultado podría ser una balanza comercial más equitativa entre Estados Unidos y China, o entre cualesquiera otros países que mantengan un acuerdo comercial.

Conjunto de ejercicios 5.1 Ejercicios conceptuales 1. ¿Qué son los términos de una expresión matemática? 2. ¿Cuál es el grado de una constante diferente de cero? 3. ¿Qué es un polinomio?

10. a) ¿Cuándo es cuadrático un polinomio? b) Proporcione un ejemplo de un polinomio cuadrático. 11. a) ¿Cuándo es cúbico un polinomio?

4. ¿ Qué es el término principal de un polinomio?

b) Proporcione un ejemplo de un polinomio cúbico.

5. ¿ Qué es el coeficiente principal de un polinomio?

12. Cuando se resta un polinomio de otro, ¿qué les sucede a los signos de todos los términos del polinomio que será restado?

6. a) ¿Cómo se determina el grado de un término? b) ¿Cuál es el grado de 6x4y3z? 7. a) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio? b) ¿Cuál es el grado de 4x4  6x3y4  z5? 8. ¿Qué significa que un polinomio esté en orden descendente en la variable x? 9. a) ¿Cuándo es lineal un polinomio? b) Proporcione un ejemplo de un polinomio lineal.

13. Escriba un trinomio en x de grado cinco, en orden descendente de x que carezca de términos de cuarto, tercero y segundo grados. 14. Escriba un polinomio en y de grado siete en orden descendente de y que carezca de términos de quinto, tercero y segundo grados.

Problemas de aplicación Determine si cada expresión es un polinomio. Si el polinomio tiene un nombre específico, por ejemplo, “monomio” o “binomio”, indíquelo. Si la expresión no es un polinomio, explique por qué. 15. - 6

16. 2x -1

2

19. 5x -3

18. 5x - 6x + 9 21. 3x

1>2

+ 2xy

22. 2xy + 5y

17. 5y 20. 8x 2 - 2x + 8y 2 2

Escriba cada polinomio en orden descendente de la variable x. Si el polinomio ya está en orden descendente, indíquelo. Proporcione el grado de cada polinomio. 23. - 5 + 4x - x 2 2

25. 9y + 3xy + 10x 27. - 2x 4 + 5x 2 - 4

24. 3x - 4 - x 2 2

26. - 2 + x - 8x 2 + 4x 3 28. 5xy 2 + 3x 2y - 6 - 2x 3

Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 283 Indique a) el grado de cada polinomio y b) su coeficiente principal.

29. x4 + 3x6 - 2x - 10 31. 4x 2y 3 + 6xy 4 + 9xy 5 1 3 5 33. - m4n5p8 + m3p6 - n4p6q 3 5 9

30. -2x 4 + 6x 5 - x 7 + 5x 3 32. -a 4b3c2 + 7a 8b9c4 - 5a 7c20 34. -0.6x 2y 3z2 - 2.9xyz9 - 1.3x 8y 4

Evalúe cada función polinomial en el valor dado.

35. Determine P(2), si P(x)  x2  6x  1. 1 37. Determine P a b , si P(x)  2x2  3x  6. 2

36. Determine P(1), si P(x)  4x2  6x  12. 38. Determine Pa b si P1x2 =

39. Determine P(0.4), si P(x)  0.2x3  1.6x2  2.3.

40. Determine P(1.2), si P(x)  1.6x3  4.6x2  0.1x.

1 3

1 3 x - x2 + 6. 2

Simplifique. 41. 1x 2 + 3x - 72 + 16x - 52

42. 15b2 - 4b + 72 - 12b2 - 3b - 52

45. 14y + 9y - 12 - 12y + 102 5 2 1 47. a - a + 8 b + a - a 2 - a - 1 b 9 3 4 49. 11.4x 2 + 1.6x - 8.32 - 14.9x 2 + 3.7x + 11.32 1 1 1 51. a - x 3 + x 2y + 8xy 2 b + a - x 3 - x 2y + xy 2 b 3 4 2 53. 13a - 6b + 5c2 - 1- 2a + 4b - 8c2 55. 13a 2b - 6ab + 5b22 - 14ab - 6b2 - 5a 2b2 57. 18r 2 - 5t2 + 2rt2 + 1 - 6rt + 2t2 - r 22 59. 6x 2 - 2x - 33x - 14x 2 - 924 61. 5w - 6w 2 - 313w - 2w 22 - 14w + w 224

46. 15n2 - 72 + 12n2 + 3n + 122

43. 1x - 8x + 22 - 15x + 92 2

2

2

63. Reste (4x  11) de (7x  3).

65. Sume 2x2  4x  12 y x2  2x.

44. 12x - 52 - 13x 2 - 4x + 162

48. 16y 2 - 9y + 42 - 1- 2y 2 - y - 82

50. 1-12.4x 2y - 6.2xy + 9.3y 22 - 1- 5.3x 2y + 1.6xy - 10.4y 22 52. a 54. 56. 58. 60. 62.

3 2 5 1 3 xy + b - a - xy2 + b 5 8 2 5 16r + 7s - t2 + 1 -2r - 2s - 5t2 13x2 - 5y2 - 2xy2 - 14x2 + 8y2 - 9xy2 1a2 - b2 + 5ab2 + 1 -3b2 - 2ab + a22 3xy2 - 2x - 3-14xy2 + 3x2 - 5xy4 -3- 15r2 - 3r2 - 12r - 3r22 - 2r24

64. Reste (x2  3x  5) de (4x2  6x  2). 66. Reste (5x2  6) de (2x2  4x  8).

67. Reste 0.2a  3.9a  26.4 de 4.2a  9.6a.

68. Sume 6x2  3xy y 2x2  4xy  3y.

69. Reste a 5x 2y +

70. Reste (6x2y  3xy) de (2x2y  12xy).

2

2

5 3 1 b de a - x2y + xy2 + b . 9 2 5

Simplifique. Suponga que todos los exponentes representan números naturales. 71. 13x 2r - 7x r + 12 + 12x 2r - 3x r + 22

72. 16x 2r - 5x r + 42 + 12x 2r + x r + 32

75. 17b

76. 1-3r 3a + r a - 62 - 1- 2r 3a - 5r 2a + 62

73. 1x 2s - 8x s + 62 - 12x 2s - 4x s - 92 4n

- 5b

2n

+ 12 - 13b

3n

- b 2 2n

74. 15a 2m - 6a m + 42 - 12a 2m + 72

Resolución de problemas En los ejercicios 77 a 82, determine una expresión para el perímetro de cada figura. Véase el ejemplo 9. 77.

78. Cuadrado

Rectángulo

x2  2x  5

x2  x  7

3x  11

284 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales 79.

80. Triángulo

8x  7

x2  x  13

81.

x2  3

x2  2x  5

x2  3x  1

4x  1

5x  1

84. ¿La suma de dos binomios siempre da por resultado un binomio? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su respuesta.

89. Altura Cuando un objeto se deja caer desde el edificio Empire State (altura  1250 pies), la altura del objeto, h, en pies, respecto del piso en el instante t, en segundos, después de que se ha soltado, puede determinarse mediante

h = P1t2 = - 16t2 + 1250

85. ¿La suma de dos polinomios cuadráticos siempre da por resultado un polinomio cuadrático? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su respuesta. 86. ¿La diferencia de dos polinomios cúbicos siempre da por resultado un polinomio cúbico? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su respuesta. 87. Área El área de un círculo es una función de su radio, en donde A(r)  pr2. Determine el área de un círculo si su radio mide 6 pulgadas. Utilice la tecla  p  de su calculadora.

x2  2x  3 Pentágono regular (todos los lados de la misma longitud)

x2  3x  1

83. ¿La suma de dos trinomios siempre da por resultado un trinomio? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su respuesta.

Cuadrilátero x2  x  6

82.

x2  8

7x  9

Determine a qué distancia del piso se encuentra un objeto 6 segundos después de que se ha dejado caer. 90. Concurso de ortografía El número de maneras en que puede seleccionarse a los ganadores del primero, segundo y tercer lugares en un concurso de ortografía entre n participantes, está dado por P(n)  n3  3n2  2n. Si hay seis participantes, ¿de cuántas maneras pueden seleccionarse el primero, segundo y tercero lugares?

88. Globo El volumen de una esfera es una función de su radio, en donde V1r2 = 43 pr3. Determine el volumen de un globo esférico cuando su radio mide 4 pulgadas.

Utilidad La utilidad de una compañía se determina restando sus costos de sus ingresos. En los ejercicios 91 y 92, R(x) representa el ingreso de la compañía cuando se venden x artículos, y C(x) representa el costo de la compañía cuando se producen x artículos. a) Determine una función de la utilidad P(x). b) Evalúe P(x), cuando x  100. 91.

R1x2 = 2x2 - 60x, C1x2 = 8050 - 420x

92.

R1x2 = 5.5x2 - 80.3x C1x2 = 1.2x2 + 16.3x + 12,040.6

Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 285 En los ejercicios 93 a 96, determine cuáles de las gráficas a), b) o c) corresponde a la gráfica de la ecuación dada. Explique cómo determinó su respuesta. 93. y = x 2 + 3x - 4 a) y

b)

8

c)

y 2

2

4

y 2

x

2

4

2

4

4

x

2

x

4

2

2

2

4

x

94. y = x 3 + 2x 2 - 4 a) y

b)

c)

y

y

2

2

4

2

x

8

2

2

6

x

2

2

4

4

4

2

6

6

8

8

95. y = - x 3 + 2x - 6 a) 10

10

4

c)

10

10

10

2 2

b)

10

10

10

10

10

10

10

2

96. y = x + 4x - 5 a) 10

10

b)

10

10

c)

10

10

10

10

10

10

97. Robo de automóviles El diagrama de la derecha, tomado del New York Times del 1 de enero de 2002, muestra que el número de robos de automóviles en la ciudad de Nueva York ha descendido desde 1993. La función f(t)  1.55t2  22.03t  113.65, en donde t es el número de años desde 1993, 0  t  10, puede usarse para estimar el número de robos de automóviles, en miles. a) Utilice esta función para estimar el número de robos de automóviles en la ciudad de Nueva York en 2001. b) Compare su respuesta de la parte a) con la gráfica de barras. ¿La gráfica apoya su respuesta?

10

10

Robo de automóviles en Nueva York 120

Robos (en miles)

3

2 2

100 80 60 40 20 0

’93 ’94 ’95 ’96 ’97 ’98 ’99 ’00 ’01

Año Fuente: Departamento de Policía de Nueva York.

286 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales 98. Plano inclinado Una bola rueda hacia abajo por un plano inclinado. La distancia, d(t), en pies, que la bola ha recorrido está dada por la función

99. Inflación La inflación afecta el poder de compra. A consecuencia de la inflación, pagaremos más por los mismos bienes en el futuro que lo que pagamos por ellos ahora. La función C(t)  0.31t2  0.59t  9.61, en donde t es años desde 1997, sirve para calcular cuánto costará en el futuro, en miles de dólares, lo que en 1997 se compraba con $10,000. Esta función está basada en una tasa de inflación anual de 6% y 0  t  25. Calcule el costo que tendrán en 2012 los bienes que en 1997 costaban $10,000.

d1t2 = 2.36t2 en donde t es el tiempo en segundos, 0  t  5. Determine la distancia que la bola ha recorrido hacia abajo por el plano inclinado en a) 1 segundo,

100. Escuelas sin drogas La función f(a)  2.32a2  76.85a  559.87 puede utilizarse para calcular el porcentaje de estudiantes que afirman que en su escuela hay tráfico de drogas. En esta función, a representa la edad del estudiante, en donde 12  a  17. Utilice esta función para calcular el porcentaje de estudiantes de 13 años que dicen que en sus escuelas hay tráfico de drogas.

b) 3 segundos, c) 5 segundos,

Si cuenta con una calculadora graficadora, responda los ejercicios 101 y 102 con ayuda de ella. Si no tiene calculadora graficadora, dibuje la gráfica de la parte a) por medio del trazo de puntos. Luego responda las partes de b) a e). 101. a) Grafique

102. a) Grafique

y1 = x

3 3

y1 = x4 2

y2 = x4 - 6x2

y2 = x - 3x - 3 b) En ambas gráficas, para valores de x  3, ¿la función crece o decrece conforme aumenta el valor de x?

b) En ambas gráficas, para valores de x  3, ¿la función crece o decrece cuando aumenta el valor de x?

c) Cuando el término principal de una función polinomial es x3, el polinomio debe aumentar para x  a, en donde a es algún número real mayor que 0. Explique por qué. d) En ambas gráficas, para valores de x  3, ¿la función crece o decrece cuando disminuye el valor de x?

c) Cuando el término principal de una función polinomial es x4, el polinomio debe aumentar para x  a, en donde a es algún número real mayor que 0. Explique por qué. d) En ambas gráficas, para valores de x  3, ¿la función crece o decrece cuando disminuye el valor de x?

e) Cuando el término principal de una función polinomial es x3, el polinomio debe disminuir para x  a, en donde a es algún número real menor que 0. Explique por qué.

e) Cuando el término principal de una función polinomial es x4, el polinomio debe disminuir para x  a, en donde a es algún número real menor que 0. Explique por qué.

Reto Determine cuál de las gráficas, a), b) o c), corresponde a la ecuación dada. Explique cómo determinó su respuesta. 103. y = - x 4 + 3x 3 - 5 a)

b)

y

c)

y

y

4 2 6

2

2

2 2

4

x

2

2

2

2

2

2

x

4 6

x

Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 287 104. y = 2x 4 + 9x 2 - 5 a)

b)

y

c)

y

y

4 4 2

2

2

3

3

2

x

x

2

2

x

4 4 6

6

Actividad en equipo Analicen y respondan en equipo los ejercicios 105 y 106. 105. Si el término principal de una función polinomial es 3x3, ¿cuál de las siguientes podría ser la gráfica del polinomio? Expliquen. Consideren lo que sucede cuando x tiene valores positivos grandes, y cuando x tiene valores negativos grandes. a)

b)

c)

106. Si el término principal de un polinomio es 2x4, ¿cuál de las siguientes podría ser la gráfica del polinomio? Explique. a)

b)

c)

Ejercicios de repaso acumulativo 50 cubetas en una hora. ¿Cuánto tiempo les tomará a las dos máquinas producir un total de 540 cubetas? [3.4] 110. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (8, 4) y (1, 2). [4.2] 111. Resuelva el sistema de ecuaciones.

4 81 . 107. Evalúe 1 [2.1] 108. Resuelva

1 4 1 = x - . 2 5 4

[2.4] 109. Máquinas de modelado Una vieja máquina de modelado puede producir 40 cubetas de plástico en una hora. Una máquina más nueva puede fabricar

-4s + 3t = 16 2t - 2u = 2 - s + 6u = - 2

5.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 1

Multiplicar un monomio por un polinomio.

2

Multiplicar un binomio por un binomio.

3

Multiplicar un polinomio por un polinomio.

4

Determinar el cuadrado de un binomio.

5

Determinar el producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (producto de binomios conjugados).

6

Determinar el producto de funciones polinomiales.

288 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

1

Multiplicar un monomio por un polinomio En la sección 3.6 sumamos y restamos funciones, pero no multiplicamos funciones polinomiales. Después de estudiar esta sección, usted será capaz de determinar el producto de funciones, esto es, (f  g)(x). Para multiplicar polinomios, hay que recordar que cada término de un polinomio debe multiplicarse por cada término del otro. En otras palabras, se está multiplicando un monomios por otro.

SUGERENCIA CONSEJO PARA ESTUDIAR

En este capítulo trabajaremos con exponentes. Las reglas de los exponentes que necesitará para resolver los problemas de este capítulo se presentan de nueva cuenta al lado de cada ejemplo. A continuación explicaremos la regla del producto para exponentes, y en la sección 5.3 se analizarán las reglas del cociente para exponentes y del exponente cero.

Regla del producto para exponentes: am  an  amn. En el ejemplo 1 mostramos cómo multiplicar monomios utilizando la regla del producto para exponentes; al hacerlo, mencionamos la palabra factores. Recuerde que cualesquiera expresiones que se multipliquen se denominan factores.

EJEMPLO 1 Solución

Multiplique.

a) 14x 2215x62

b) 13x2 y214x5 y32

c) 1 - 2a4 b721 - 3a8 b3c2

Se emplea la regla del producto para exponentes para multiplicar los factores. a) 14x 2215x 62 = 4 # 5 # x 2 # x 6

= 20x

2+6

Eliminar paréntesis y reacomodar términos. Regla del producto, x2  x6  x26.

= 20x8 b) 13x 2y214x 5y 32 = 3 # 4 # x 2 # x 5 # y # y 3

= 12x

2+5 1+3

y

Eliminar paréntesis y reacomodar términos. Regla del producto.

7 4

= 12x y

c) 1 -2a 4b721 -3a 8b3c2 = 1-221-32a 4 # a 8 # b7 # b3 # c

= 6a 4 + 8b7 + 3c

Eliminar paréntesis y reacomodar términos. Regla del producto.

12 10

= 6a b c

✺

En el ejemplo 1a), 4x2 y 5x6 son factores del producto 20x8. En el ejemplo 1b), 3x2y y 4x5y3 son factores del producto 12x7y4. Al multiplicar un monomio por un binomio, podemos utilizar la propiedad distributiva. Al multiplicar un monomio por un polinomio (que tiene más de dos términos), podemos usar la forma desarrollada de la propiedad distributiva.

Propiedad distributiva, forma desarrollada a1b + c + d + Á + n2 = ab + ac + ad + Á + an

Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 289

EJEMPLO 2

Multiplique. a) 3x 2 a x 3 - 5x 2b

1 6

Solución

b) 2xy13x 2y + 6xy 2 + 42

a) 3x2 a x3 - 5x2 b = 3x2 a x3 b - 3x215x22 =

1 6

1 6

c) 0.4x10.3x 3 + 0.7xy 2 - 0.2y 42

1 5 x - 15x4 2

b) 2xy13x2y + 6xy2 + 42 = 12xy213x2y2 + 12xy216xy22 + 12xy2142

= 6x3y2 + 12x2y3 + 8xy

c) 0.4x10.3x3 + 0.7xy2 - 0.2y42 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13

2

= 10.4x210.3x32 + 10.4x210.7xy22 - 10.4x210.2y42 = 0.12x4 + 0.28x2y2 - 0.08xy4

✺

Multiplicar un binomio por un binomio En la multiplicación (a  b)(c  d), si consideramos a (a  b) como un solo término y utilizamos la propiedad distributiva, obtenemos

1a + b) b21c + d2 = 1a + b) b2c + 1a + b) b2d (a  (a  (a  = ac + bc + ad + bd Al multiplicar un binomio por un binomio, cada término del primer binomio debe multiplicarse por cada término del segundo binomio, para después sumar todos los términos semejantes. Los binomios pueden multiplicarse tanto vertical como horizontalmente.

EJEMPLO 3 Solución

Multiplique (3x  2)(x  5). Multiplicaremos de manera vertical. Escriba los binomios de acuerdo con sus variables en orden descendente, uno debajo del otro. No importa cuál de ellos se coloque en la parte superior. Después multiplique cada término del binomio de la parte superior; luego multiplique cada término del binomio de la parte superior por cada término de abajo, como se muestra. Recuerde alinear los términos semejantes para poder sumarlos.

-5 13x + 22 x 13x + 22

3x x - 15x 3x2 + 2x 3x2 - 13x

+ 2 - 5 - 10 Multiplicar el binomio superior por -5. Multiplicar el binomio superior por x. - 10 Sumar los términos semejantes en columnas.

✺

En el ejemplo 3, los binomios 3x  2 y x  5 son factores del trinomio 3x2  13x  10.

El método PIES Un método sencillo para multiplicar dos binomios es el denominado método PIES. Para multiplicar dos binomios mediante este método, liste los binomios uno a continuación del otro. La palabra PIES indica que usted multiplica los Primeros términos, los términos I nternos, los términos E xternos y los S egundos términos de los dos binomios. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 4, en donde multiplicamos los dos binomios del ejemplo 3.

290 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

EJEMPLO 4

Multiplique (3x  2)(x  5) utilizando el método PIES.

Solución

S P 13x + 221x - 52 I E P I E S 13x21x2 + 1221x2 + 13x21-52 + 1221-52

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21

=

3x 2

+

2x

-

15x

-

10

= 3x2 - 13x - 10

✺

Realizamos la multiplicación siguiendo el orden PIES. Sin embargo, es posible hacerlo siguiendo cualquier orden, siempre que cada término de un binomio se multiplique por cada término del otro. Utilizamos PIES en lugar de EISP o de cualquier otro orden de letras, ya que éste es fácil de recordar.

3

Multiplicar un polinomio por un polinomio Al multiplicar un trinomio por un binomio o un trinomio por un trinomio, cada término del primer polinomio debe ser multiplicado por cada término del segundo. Es útil alinear los términos colocando cada polinomio en orden descendente, si no están dados de esa manera.

EJEMPLO 5 Solución

Multiplique x2  1  4x por 2x2  3. Ya que el trinomio no está en orden descendente, rescríbalo como x2  4x  1. Antes de multiplicar, coloque el polinomio más largo en la parte superior. Asegúrese de alinear los términos semejantes conforme multiplique, de modo que pueda sumarlos con más facilidad.

-3 1x2 - 4x + 12 2x2 1x2 - 4x + 12

EJEMPLO 6

x2 - 4x 2x2 2 - 3x + 12x 4 3 2x - 8x + 2x2 2x4 - 8x3 - x2 + 12x

+ 1 El trinomio escrito en orden descendente. - 3 - 3 Multiplique la expresión superior por 3. Multiplique la expresión superior . por 2x2.

- 3 Sume los términos semejantes en columnas.

✺

Multiplique 3x2  6xy  5y2 por x  3y.

Solución

3y 13x2 + 6xy - 5y22 x 13x2 + 6xy - 5y22 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31

3x2 + 6xy x 9x2y + 18xy2 3x3 + 6x2y - 5xy2 3x3 + 15x2y + 13xy2

- 5y2 + 3y - 15y3

Multiplique la expresión superior por 3y. Multiplique la expresión superior por x.

- 15y3 Sume los términos semejantes en columnas.

✺

Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 291

4

Determinar el cuadrado de un binomio Ahora estudiaremos algunas fórmulas especiales. Con frecuencia necesitamos calcular el cuadrado de un binomio, así que contamos con fórmulas especiales para hacerlo. Cuadrado de un binomio 1a + b22 = a2 + 2ab + b2 1a - b22 = a2 - 2ab + b2

Si usted olvida las fórmulas, puede deducirlas fácilmente multiplicando (a  b)(a  b) y (a  b)(a  b). Los ejemplos 7 y 8 ilustran el uso de la fórmula para el cuadrado de un binomio.

EJEMPLO 7 Solución

Desarrolle. a) 13x + 522

b) 14x 2 - 3y2

2

a) 13x + 522 = 13x22 + 213x2152 + 1522

= 9x2 + 30x + 25

b) 14x2 - 3y22 = 14x222 - 214x2213y2 + 13y22

✺

= 16x4 - 24x2y + 9y2

El cuadrado de los binomios, como en el ejemplo 7, también se puede calcular mediante el método PIES.

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

Siempre recuerde el término de enmedio al calcular el cuadrado de un binomio.

CORRECTO 1x + 22 = = 2 1x - 32 = = 2

EJEMPLO 8 Solución

1x x2 1x x2

+ + -

221x 4x + 321x 6x +

INCORRECTO + 22 4 - 32 9

1x + 222 = x2 + 4 1x - 322 = x2 + 9

Desarrolle [x  (y  1)]2. Este problema parece más complicado que los ejemplos anteriores, pero se resuelve de la misma forma que los otros cuadrados de binomios. Considere a x como el primer término y a (y 1) como el segundo. Utilice dos veces la fórmula.

3x + 1y - 1242 = 1x22 + 21x21y - 12 + 1y - 122 = x2 + 12x21y - 12 + y2 - 2y + 1 = x2 + 2xy - 2x + y2 - 2y + 1

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51

Ninguno de los seis términos son términos semejantes, por lo que no se pueden reducir. Observe que (y 1)2 también es el cuadrado de un binomio, y fue desarrollado como tal. ✺

5 Determinar el producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (binomios conjugados) A continuación multiplicaremos (x  6)(x  6) utilizando el método PIES.

1x + 621x - 62 = x2 - 6x + 6x - 162162 = x2 - 62

Observe que los productos externos e internos suman cero. Al examinar este ejemplo, vemos que el producto de la suma y la diferencia de los mismos dos términos es la diferencia de los cuadrados de los dos términos.

292 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (binomios conjugados) 1a + b21a - b2 = a2 - b2

En otras palabras, para multiplicar dos binomios que sólo difieren en el signo entre sus dos términos, reste el cuadrado del segundo término del cuadrado del primero. Observe que a2  b2 representa una diferencia de dos cuadrados.

EJEMPLO 9 Solución

a) a 3x +

Multiplique.

2 2 b a 3x - b 5 5

b) 10.2x + 0.3z2210.2x - 0.3z22

Cada uno es un producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos , es decir, son binomios conjugados. Por lo tanto, a) a3x +

2 2 2 2 4 b a 3x - b = 13x22 - a b = 9x2 5 5 5 25

b) (0.2x  0.3z2) (0.2x  0.3z2)  (0.2x)2  (0.3z2)2

= 0.04x2 - 0.09z4

EJEMPLO 10 Solución EJEMPLO 11 Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 55

EJEMPLO 12 x

4

Multiplique 15x + y 3215x - y 32.

15x + y3215x - y32 = 15x22 - 1y322 = 25x2 - y6

✺ ✺

Multiplique [4x + 13y + 22][4x - 13y + 22].

Tratamos a 4x como el primer término y a 3y  2 como el segundo. En consecuencia, obtenemos la suma y la diferencia de los mismos dos términos.

34x + 13y + 22434x - 13y + 224 = 14x22 - 13y + 222 = 16x2 - 19y2 + 12y + 42 = 16x2 - 9y2 - 12y - 4

✺

Área La figura 5.11 consiste de un cuadrado y dos rectángulos. Determine una expresión polinomial para calcular el área total de la figura.

Solución

x

Para determinar el área total, encuentre las áreas de las tres regiones y luego súmelas. Área del cuadrado  x  x  x2

Área del rectángulo de la derecha  x  4  4x

5

Área del rectángulo inferior  x  5  5x FIGURA 5.11

El área total es la suma de estas tres cantidades.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 85

6

✺

Área total  x2  4x  5x  x2  9x.

Determinar el producto de funciones polinomiales Antes se mencionó que para funciones f(x) y g(x), (f  g)(x)  f(x)  g(x). Ahora resolveremos un ejemplo que incluye multiplicación de funciones polinomiales.

EJEMPLO 13

Sea f(x)  x  4 y g(x)  x  2. Determine a) f132 # g132

Solución

b) 1f # g21x2

c) 1f # g2132

a) f(x) y g(x) son funciones polinomiales, ya que las expresiones a la derecha de los signos de igual son polinomios.

Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 293

f1x2 = x + 4 f132 = 3 + 4 = 7

g1x2 = x - 2 g132 = 3 - 2 = 1

f132 # g132 = 7 # 1 = 7 b) De la sección 3.6, sabemos que

1f # g21x2 = = = =

f1x2 # g1x2 1x + 421x - 22 x2 - 2x + 4x - 8 x2 + 2x - 8

c) Para evaluar (f  g)(3), sustituimos cada x por 3 en (f  g)(x).

1f # g21x2 = x 2 + 2x - 8 1f # g2132 = 32 + 2132 - 8 = 9 + 6 - 8 = 7

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 79 f (x)  x  4

Observe que en la parte c) encontramos (f  g)(3)  7, y en la parte a) f(3)  g(3)  7. Por lo tanto, (f  g)(3)  f(3)  g(3), justo lo que esperábamos con base en lo analizado en la sección 3.6. ✺ En el ejemplo 13, encontramos que si f(x)  x  4 y g(x)  x  2, entonces (f  g)(x)  x2  2x  8. Las gráficas de y  f(x)  x  4, y  g(x)  x  2 y y  (f  g)(x)  x2  2x  8 se muestran en la figura 5.12. A partir de las gráficas vemos que f(3)  7, g(3)  1 y (f  g)(3)  7, tal como supusimos con base en el ejemplo 13. Todos los puntos de y  x2  2x  8 pueden determinarse de la misma manera. Por ejemplo, f(4)  0 y g(4)  6. Como 0(6)  0, (f  g)(4)  0. También f(2)  6 y g(2)  0; por lo tanto, (f  g)(2)  6  0  0. Observe en la figura 5.12 que al multiplicar dos funciones lineales, el producto es una función cuadrática.

(f  g)  x 2  2x  8 y 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1

1

3

4

5

x

2 3 4 5 6 7 8

FIGURA 5.12

Conjunto de ejercicios 5.2 Ejercicios conceptuales 1. a) Explique cómo multiplicar dos binomios utilizando el método PIES. b) Elabore dos binomios y multiplíquelos utilizando el método PIES. c) Multiplique los mismos dos binomios utilizando el orden SIEP (segundos, internos, externos, primeros). d) Compare los resultados de las partes b) y c). Si son diferentes, explique por qué. 2. a) Explique cómo multiplicar un monomio por un polinomio.

b) Multiplique 3x(4x2  6x  5) mediante su procedimiento de la parte a). 3. a) Explique cómo multiplicar un polinomio por un polinomio. b) Utilizando su procedimiento de la parte a), multiplique 4  x por x2  6x  3. 4. a) Explique cómo desarrollar (2x  3)2 mediante la fórmula para el cuadrado de un binomio. b) Mediante su procedimiento de la parte a), desarrolle (2x  3)2.

294 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales 5. a) ¿Qué se entiende por el producto de la suma y la diferencia de los mismos dos términos (producto de binomios conjugados)? b) Proporcione ejemplo de un problema que sea producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (binomios conjugados). c) ¿Cómo se multiplica el producto de la suma y la diferencia de los mismos dos términos (binomios conjugados)?

6. ¿El producto de dos binomios siempre da por resultado un a) binomio? b) ¿Trinomio? Explique. 7. ¿El producto de dos polinomios de primer grado siempre será un polinomio de segundo grado? 8. a) Dadas f(x) y g(x), explique cómo determinaría (f  g)(x). b) Si f(x)  x  2 y g(x)  x  2, determine (f  g)(x).

d) Multiplique el ejemplo que dio en la parte b) mediante el procedimiento de la parte c).

Problemas de aplicación Multiplique. 10. 1 -2xy 4213x 4y 62

9. 14xy216xy 42

11. a x 2y 5 b a x 5y 3z2 b

5 9

12. 2y 313y 2 + 2y - 62

1 5

13. -3x2y1 - 2x4y2 + 3xy3 + 42 15.

2 yz13x + 4y - 9y22 3

14. 3x 412xy 2 + 5x 7 - 6y2 16.

17. 0.312x 2 - 5x + 7y2

19. 0.3a 5b419.5a 6b - 4.6a 4b3 + 1.2ab52

1 2 x y14x5y2 + 3x - 6y22 2

18. 0.810.2a + 0.9b - 1.3c2

20. 4.6m2n11.3m4n2 - 2.6m3n3 + 5.9n42

Multiplique los siguientes binomios.

21. 14x - 6213x - 52 23. 14 - x213 + 2x 2

22. 12x - 1215x + 72

24. 15x + y216x - y2

2

25. a x + 2yb a 2x -

1 2

26. a a +

1 yb 3

1 3

27. 10.3a + 5b212a - 0.7b2

1 1 b b a a - bb 4 2

28. 14.6r - 5.8s210.2r - 2.3s2

Multiplique los siguientes polinomios. 29. 1x 2 + 3x + 121x - 22

31. 1a - 3b212a - ab + 2b 2 33. 1x 3 - x 2 + 3x + 721x + 12 35. 15x 3 + 4x 2 - 6x + 221x + 52 37. 13m2 - 2m + 421m2 - 3m - 52 39. 12x - 123 41. 15r 2 - rs + 2s 2212r 2 - s 22 2

2

30. 1x + 3212x 2 - x - 92 32. 17p - 321 - 2p2 - 4p + 12

34. 12x - 121x 3 + 3x 2 - 5x + 62

36. 1a 3 - 2a 2 + 5a - 6212a 2 - 5a - 22 38. 12a 2 - 6a + 3213a 2 - 5a - 22 40. 13x + y23

42. 14x 2 - 5xy + y 221x 2 - 2y 22

Multiplique mediante la fórmula para el cuadrado de un binomio o bien utilizando la del producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (producto de binomios conjugados). 43. 1x + 221x + 22

44. 1y - 421y - 42

47. 14x - 3y22

48. 12a + 5b22

45. 12x - 3212x - 32 49. 15m2 + 2n215m2 - 2n2

51. 3y + 14 - 2x24 53. 35x + 12y + 3242 55. 3a + 1b + 2243a - 1b + 224 2

46. 13z + 5213z + 52 50. 15p2 + 6q 2215p2 + 6q 22

52. 31a + b2 + 942

54. 34 - 1p - 3q242

56. 32x + 1y + 52432x - 1y + 524

Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 295 Multiplique. 58. 3a 2b2 a ab -

57. 2xy1x 2 + xy + 3y 22 59.

1 3

1 2 xy 14x2 + 3xy - 7y22 2

61. -

3 3 2 1 xy z a - xy2 z5 - 5xy + xz7 b 5 6

60. 62.

1 4 b b 9

1 3 2 2 x y a - xy4 + xy + 3b 5 3 9

2 2 4 3 3 1 x y a xy - x4y + 2xy3z5 b 3 5 4

63. 13a + 4217a - 62

64. 15p - 9q214p - 11q2

65. a8x +

66. a7a -

1 1 b a7a + b 6 6

67. 12x - 9y22

68. a 2x +

1 3 b 3

71. 12p - 3q213p2 + 4pq - 2q 22

72. 12m + n213m2 - mn + 2n22

1 1 b a 8x - b 4 4

69. 1x + 3212x 2 + 4x - 32

70. 15a + 421a 2 - a + 42

73. [13x + 22 + y][13x + 22 - y]

74. 3a + 13b + 4243a - 13b + 424

75. 1a + b21a - b21a - b 2 2

2

77. 1x - 4216 + x212x - 82

76. 12a + 3212a - 3214a2 + 92 78. 13x - 5215 - 2x213x + 82

Para las funciones dadas, determine a) (f  g)(x) y b) (f  g)(4).

79. f1x2 = x - 5, g1x2 = x + 4

80. f1x2 = 2x - 3, g1x2 = x - 6

81. f1x2 = 2x 2 + 6x - 4, g1x2 = 5x + 3

82. f1x2 = 4x 2 + 7, g1x2 = 2 - x

83. f1x2 = - x 2 + 3x, g1x2 = x 2 + 2

84. f1x2 = - x 2 + 2x + 7, g1x2 = x 2 - 1

Resolución de problemas En los ejercicios 85 a 88, determine una expresión polinomial para calcular el área total de cada figura.

85.

x

3

86.

x

y

7

y

2 6

87.

y

88. z x

y x x

x

y

x

296 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales En los ejercicios 89 y 90, a) determine el área del rectángulo estableciendo el área de las cuatro secciones y sumando los resultados, y b) multiplique los dos lados y compare el producto con su respuesta a la parte a). 89.

x

90.

5

x

x

x

3

5

6

Escriba una expresión polinomial para calcular el área de cada figura. Todos los ángulos son rectos. 91.

92. 6x

5x

6x

10  2x

En los ejercicios 93 y 94, a) escriba una expresión polinomial para calcular el área de la parte sombreada de la figura. b) El área de la parte sombreada se indica arriba de cada figura. Determine el área de los rectángulos pequeño y grande. 93.

94.

Área de la región sombreada = 67 pulgadas cuadradas

x4

Área de la región sombreada = 139 pulgadas cuadradas

2x 2x  4

x

2x  1 3x  1

2x  3

3x  6

95. Escriba dos binomios cuyo producto sea x2  25. Explique cómo determinó su respuesta.

b) Con ayuda de la figura, determine (a  b)2 estableciendo el área de cada una de sus cuatro partes, y luego sumándolas.

96. Escriba dos binomios cuyo producto sea 4x2  9. Explique cómo determinó su respuesta.

c) Simplifique (a  b)2 multiplicando (a  b)(a  b).

97. Escriba dos binomios cuyo producto sea x2  12x  36. Explique cómo determinó su respuesta.

d) Compare las respuestas de las partes b) y c), ¿cómo son? Si no son iguales, explique por qué.

98. Escriba dos binomios cuyo producto sea 4y2  12y  9. Explique cómo determinó su respuesta.

102. Volumen La expresión (a  b)3 puede representarse con la siguiente figura.

99. Considere la expresión a(x  n)3. Escriba esta expresión como producto de factores. 100. Considere la expresión P(1  r)4. Escriba esta expresión como producto de factores.

a

101. Área La expresión (a  b)2 puede representarse con la siguiente figura.

b a

a

b

b

b

a

a) Explique por qué esta figura representa (a  b)3. a

b

a) Explique por qué esta figura representa (a  b)2.

b) Determine (a  b)3 sumando el volumen de cada una de las ocho partes de la figura. c) Simplifique (a  b)3 multiplicando. d) Compare las respuestas de las partes b) y c), ¿cómo son? Si no son iguales, explique por qué.

Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 297 103. Interés compuesto La fórmula para calcular el interés compuesto es

A = P a1 +

r nt b n

donde A es el monto, P es el capital invertido, r es la tasa de interés anual, n es el número de veces que el interés se paga cada año y t es el tiempo en años. a) Simplifique esta fórmula para n  1.

b) Determine el valor de A, si P  $1000, n  1, r  6% y t  2 años. 104. Interés compuesto Utilice la fórmula indicada en el ejercicio 103 para determinar A, si P  $4000, n  2, r  8% y t  2 años. 105. Si f(x)  x2  3x  5, determine f(a  b) sustituyendo cada x de la fórmula por (a  b). 106. Si f(x)  2x2  x  3, determine f(a  b).

En los ejercicios 107 a 112, simplifique. Suponga que todas las variables representan números naturales. 107. 3x t15x 2t - 1 + 6x 3t2

108. 5kr + 214kr + 2 - 3kr - k2

111. 1y

112. 1a m + n2

109. 16x m - 5212x 2m - 32

110. 1x 3n - y 2n21x 2n + 2y 4n2

2

a-b a+b

m+n

En los ejercicios 113 y 114, realice la multiplicación polinomial. 113. 1x - 3y24

114. 12a - 4b24

115. a) Explique cómo puede verificarse por medio de una calculadora graficadora una multiplicación en una variable, tal como (x2  2x  3)(x  2)  x3  4x2  7x  6. b) Compruebe la multiplicación indicada en la parte a) con ayuda de su calculadora graficadora.

116. a) Con ayuda de su calculadora graficadora, muestre que la multiplicación (x2  4x  5)(x  1) x3  6x2  5x  5. b) Multiplique (x2  4x  5)(x  1). c) Compruebe en su calculadora graficadora la respuesta que dio en la parte b).

Reto Multiplique. 117. 31y + 12 - 1x + 2242

118. 31a - 22 - 1a + 1242

Ejercicios de repaso acumulativo 4 3 2 - a - b. 5 4 3 2r4s5 3 [1.5] 120. Simplifique ¢ 2 ≤ . r

[2.5] 121. Resuelva la desigualdad 12  3x  5  4, e indique la solución en notación de intervalo.

[1.3] 119. Evalúe

[3.2] 122. Si g(x)  x2  2x  3, determine ga b.

1 2

5.3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y DIVISIÓN SINTÉTICA

1

1

Dividir un polinomio entre un monomio.

2

Dividir un polinomio entre un binomio.

3

Dividir polinomios mediante la división sintética.

4

Utilizar el teorema del residuo.

Dividir un polinomio entre un monomio En la división de polinomios, la división entre 0 no está permitida. Cuando se nos da un problema de división con una variable en el denominador, siempre supondremos que el denominador es diferente de 0.

298 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Para dividir un polinomio entre un monomio, partimos del hecho de que

A + B A B = + C C C Si el polinomio tiene más de dos términos, ampliamos este procedimiento. Para dividir un polinomio entre un monomio Divida cada término del polinomio entre el monomio.

Para dividir un polinomio entre un monomio, necesitamos utilizar dos de las reglas de los exponentes: la regla del cociente para exponentes y la regla del exponente cero. A continuación se indican ambas reglas, y luego se proporcionan ejemplos para revisarlas. Regla del cociente para exponentes: Regla del exponente cero:

EJEMPLO 1 Solución

Divida a)

x7 x4

b)

5x3y5 2xy2

am = am - n, a Z 0 an a0 = 1, a Z 0

.

Utilizaremos la regla del cociente para dividir.

x7 = x7 - 4 Regla del cociente. x4 = x3 5x3y5 5 # x3 # y5 = b) 2 x y2 2xy2 5 = x3 - 1y5 - 2 Regla del cociente. 2 5x2y3 = 2 a)

EJEMPLO 2 Solución

Divida a)

p

4

p

4

✺

5 7

b)

8r s . 3rs7

Utilizaremos la regla del cociente y la regla del exponente cero para dividir. a)

b)

p4 p4

= p4 - 4

Regla del cociente.

= p0 = 1

Regla del exponente cero.

8r5s7 8 r5 s7 = # # 7 7 3 r s 3rs 8 = r5 - 1s7 - 7 Regla del cociente. 3 8 = r4s0 3 8 = r4112 Regla del exponente cero. 3 8 8r4 = r4 o 3 3

✺

Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 299

8 3

En el ejemplo 2, tanto r 4 como

8 r4 son respuestas aceptables. Ahora estamos prepa3

rados para dividir un polinomio entre un monomio.

EJEMPLO 3

Divida

4x2 - 8x - 3 . 2x 4x2 - 8x - 3 4x2 8x 3 = 2x 2x 2x 2x

Solución

= 2x - 4 -

EJEMPLO 4

Divida

4y - 6x4y3 - 3x5y2 + 5x 2xy2

2xy

= AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17

2

6x4y3

4y =

2

✺

.

4y - 6x4y3 - 3x5y2 + 5x

Solución

3 2x

2

2xy

-

2xy

2

3x5y2 -

2

2xy

+

2 3x4 5 - 3x3y + xy 2 2y2

5x 2xy2

✺

Dividir un polinomio entre un binomio Para dividir un polinomio entre un binomio se sigue un procedimiento muy semejante al que se usa para realizar una división larga. En un problema de división, la expresión que vamos a dividir se denomina dividendo, y la expresión que divide se llama divisor.

EJEMPLO 5 Solución

Divida

x2 + 7x + 10 . x + 2

Reescriba el problema de división como

x + 2  x2 + 7x + 10 Divida x2 (el primer término del dividendo x2  7x  10) entre x (el primer término del divisor x  2).

x2 = x x Coloque el cociente, x, arriba del término del dividendo que incluye x.

x x + 2  x2 + 7x + 10 Ahora multiplique x por x  2, tal como lo haría en una división larga, y coloque el producto debajo del dividendo, alineando los términos semejantes.

Por

x x + 2  x2 + 7x + 10 Igual a x2 + 2x x1x + 22

300 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Ahora reste x2  2x de x2  7x.

x x + 2  x + 7x + 10 -1x2 + 2x2 5x 2

Baje el término siguiente, 10.

x x + 2  x2 + 7x + 10 x2 + 2x 5x + 10 Divida 5x entre x.

5x = +5 x Coloque 5 arriba de la constante del dividendo, y multiplique 5 por x  2. Por último, reste.

Por x x + 2  x + 7x x2 + 2x 5x Igual a 5x 2

Por lo tanto,

+ 5 + 10 + 10 + 10 0

51x + 22 residuo

x2 + 7x + 10 = x + 5. No hay residuo. x + 2

✺

En el ejemplo 5 no hubo residuo. Así que x2  7x  10  (x  2)(x  5). Observe que x  2 y x  5 son factores de x2  7x  10. En un problema de división, si no hay residuo, el divisor y el cociente son factores del dividendo. Cuando la respuesta de un problema de división tenga residuo, escriba el residuo sobre el divisor y sume esta expresión al cociente. Por ejemplo, suponga que en el ejemplo 5 tuviéramos un residuo de 4; la respuesta se escribiría x + 5 + el residuo fuera 7, la respuesta se escribiría x + 5 + se como x + 5 -

EJEMPLO 6 Solución

Divida

7 . x + 2

4 . Si x + 2

-7 , que puede reescribirx + 2

6x2 - 7x + 3 . 2x + 1

En este ejemplo restaremos mentalmente y no mostraremos el cambio de signo en las restas.

Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 301

3x 2x + 1  6x2 - 7x 6x2 + 3x - 10x - 10x

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31

- 5 + 3 — 3x12x + 12

+ 3 - 5 — - 512x + 12 8 — Residuo 8 6x2 - 7x + 3 = 3x - 5 + . Por lo tanto, 2x + 1 2x + 1

✺

Al dividir un polinomio entre un binomio, la respuesta puede verificarse multiplicando el divisor por el cociente, y luego sumando el residuo. El resultado debe ser el polinomio con el que se empezó. Para comprobar el ejemplo 6, hacemos lo siguiente:

12x + 1213x - 52 + 8 = 6x2 - 10x + 3x - 5 + 8 = 6x2 - 7x + 3 Como obtuvimos el polinomio con el que empezamos, nuestra división es correcta. Al dividir un polinomio entre un binomio, debe listarse primero el polinomio y luego el binomio, en orden descendente. Si un término de cualquier grado no aparece, con frecuencia es útil incluir ese término con un coeficiente numérico de 0. Por ejemplo, cuando tenemos (6x2  x3  4) (x  2), reescribimos el problema como (x3  6x2  0x  4) (x  2) antes de iniciar la división.

EJEMPLO 7 Solución

Divida (4x2  12x  3x5  17) entre (2  x2). Escriba el dividendo y el divisor en potencias descendentes de la variable x. Esto da (3x5  4x2  12x  17) (x2  2). Si una potencia de x no aparece, sume esa potencia de x con un coeficiente de 0; luego divida.

3x3 + 2 5 4 3 2 x + 0x - 2  3x + 0x + 0x + 4x 3x5 + 0x4 - 6x3 6x3 + 4x2 6x3 + 0x2 4x2 + 4x2 +

6x + 4 12x - 17 12x 12x 0x - 17 0x - 8 - 9

3x3 1x2 + 0x - 2) 6x1x2 + 0x - 22 41x2 + 0x - 22 Residuo

Para obtener la respuesta, realizamos las divisiones

3x5 = 3x3 x2

6x3 = 6x x2

4x2 = 4 x2

Los cocientes 3x3, 6x y 4 fueron colocados arriba de sus términos semejantes en el dividendo. La respuesta es 3x 3 + 6x + 4 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45

9 . Verifique la respuesta usted misx2 - 2

mo, multiplicando el divisor por el cociente y sumando el residuo.

✺

302 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

3

Dividir polinomios mediante la división sintética Cuando se divide un polinomio entre un binomio con la forma x  a, el procedimiento se puede reducir mucho gracias a un método llamado división sintética. Considere los siguientes ejemplos. En el de la derecha sólo utilizamos los coeficientes numéricos.

2x2 x - 3  2x - x2 2x3 - 6x2 5x2 5x2 3

+ 5x - 4 - 19x + 15 - 19x - 15x -4x + 15 -4x + 12 3

2 1 - 3 2 - 1 2 - 6 5 5

+ 5 - 4 - 19 + 15 - 19 - 15 -4 + 15 -4 + 12 3

Observe que las variables no desempeñan un papel en la determinación de los coeficientes numéricos del cociente. Este problema de división puede realizarse con mayor rapidez y facilidad mediante la división sintética. A continuación se explica cómo utilizar la división sintética. Analicemos nuevamente la división

2x3 - x2 - 19x + 15 x - 3 1. Escriba el dividendo en potencias descendentes de x. Luego liste los coeficientes numéricos de cada término en el dividendo. Si falta el término de cualquier grado, sustitúyalo con 0 en la posición apropiada. En el problema anterior, los coeficientes numéricos del dividendo son

2

-1

-19

15

2. Al dividir entre un binomio con la forma x  a, coloque a a la izquierda de la fila de números que se obtuvo en el paso 1. En este problema, dividimos entre x  3; por lo tanto, a  3, así que escribimos

3

2

-1

-19

15

3. Deje un espacio debajo de la fila de los coeficientes; luego trace una recta horizontal. Copie debajo de ésta el primer coeficiente de la izquierda, como sigue:

3

2

-1

-19

15

2 4. Multiplique 3 por el número que colocó debajo de la línea, 2, para obtener 6. Escriba el 6 debajo del siguiente coeficiente, 1. Luego sume 1  6 para obtener 5.

3

2 2

-1 6 5

-19

15

5. Multiplique 3 por el resultado de la suma anterior, 5, para obtener 15. Escriba 15 debajo de 19. Luego sume ambos números para obtener 4. Repita este procedimiento como se ilustra.

3

2 2

-1 6 5

-19 15 - 4

15 -12 3

Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 303

Los primeros tres números de la última fila son los coeficientes numéricos del cociente, como se mostró en la división larga. El último número, 3, es el residuo que se obtiene en la división larga. El cociente debe ser de un grado una unidad menor al del dividendo, ya que estamos dividiendo entre x  3. El dividendo original era un polinomio de tercer grado; por lo tanto, el cociente debe ser un polinomio de segundo grado. Utilice los primeros tres números de la última fila como coeficientes de un polinomio de segundo grado de x. Esto da por resultado 2x2  5x  4, que es el cociente. El último número, 3, es el residuo. Por lo tanto,

3 2x3 - x2 - 19x + 15 = 2x2 + 5x - 4 + x - 3 x - 3

EJEMPLO 8

Utilice la división sintética para dividir

16 - x2 + x32 , 1x + 22

Solución

Primero liste los términos del dividendo en orden descendente de x.

1x3 - x2 + 62 , 1x + 22 Cómo no hay término de primer grado, ocupe su lugar con un 0 cuando liste los coeficientes numéricos. Ya que x  2  x  (2), a  2.

-2 

1 1

-1 -2 -3

0 6 6

6 -12 - 6

; Residuo

Como el dividendo es un polinomio de tercer grado, el cociente debe ser un polinomio de segundo grado. La respuesta es x2 - 3x + 6 -

EJEMPLO 9

✺

Utilice división sintética para dividir.

13x4 + 11x3 - 20x2 + 7x + 352 , 1x + 52 -5 

Solución

3 3

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 61

6 . x + 2

11 -15 -4

-20 20 0

7 0 7

35 -35 0 ; Residuo

Como el dividendo es de cuarto grado, el cociente debe ser de tercer grado. El cociente es 3x3  4x2  0x  7, sin residuo. Esto puede simplificarse como 3x3  4x2  7. ✺ Ya que no hubo residuo en el ejemplo 9, x  5 y 3x3  4x  7 son factores de 3x  11x3  20x2  7x  35. Además, como ambos son factores, 4

1x + 5213x3 - 4x2 + 72 = 3x4 + 11x3 - 20x2 + 7x + 35

4

Utilizar el teorema del residuo En el ejemplo 8, cuando dividimos x3  x2  6 entre x  2, encontramos que el residuo fue 6. Si escribimos x  2 como x  (2) y evaluamos la función polinomial P(x)  x3  x2  6 en 2, obtenemos 6.

P1x2 = x 3 - x2 + 6

P1-22 = 1-223 - 1-222 + 6 = -8 - 4 + 6 = -6

¿Es una simple coincidencia que P(2), el valor de la función en 2, sea igual al residuo cuando la función P(x) se divide entre x  (2)? La respuesta es no.

304 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Puede demostrarse que para cualquier función polinomial P(x), el valor de la función en a, P(a), tiene el mismo valor que el residuo cuando P(x) se divide entre x – a. Para obtener el residuo cuando un polinomio P(x) se divide entre un polinomio con la forma x  a, podemos usar el teorema del residuo. Teorema del residuo Si el polinomio P(x) se divide entre x  a, el residuo es igual a P(a).

EJEMPLO 10

Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo cuando 3x4  6x3  2x  4 se divide entre x  4.

Solución

Primero escribimos el divisor x  4 en la forma x  a. Como x  4  x  (4), evaluamos P(4).

P1x2 = 3x 4 + 6x3 - 2x + 4 P1-42 = 31-424 + 61-423 - 21-42 + 4 = 312562 + 61-642 + 8 + 4 = 768 - 384 + 8 + 4 = 396 Así, cuando 3x4  6x3  2x  4 se divide entre x  4, el residuo es 396.

✺

Mediante la división sintética, mostraremos que la respuesta del ejemplo 10 es correcta.

-4 

3

6 0 -12 24 3 -6 24

-2 4 -96 392 -98 396

; Residuo

Si graficáramos el polinomio P(x)  3x4  6x3  2x  4, el valor de P(x), o y, en x  4 sería 396.

EJEMPLO 11

Utilice el teorema del residuo para determinar si x  5 es un factor de 6x2  25x  25.

Solución

Sea P(x)  6x2  25x  25. Si P(5)  0, entonces el residuo de (6x2  25x  25)/(x  5) es 0, y x  5 es un factor del polinomio. Si P(5) 0, existe un residuo y x  5 no es un factor.

P1x2 = 6x 2 - 25x - 25 P152 = 61522 - 25152 - 25 = 61252 - 25152 - 25 = 150 - 125 - 25 = 0 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 79

Como P(5)  0, x  5 es un factor de 6x2  25x  25. Observe que 6x2  25x  25  (x  5)(6x  5).

✺

Conjunto de ejercicios 5.3 Ejercicios conceptuales 1. a) Explique cómo dividir un polinomio entre un monomio. b) Utilizando el procedimiento que explicó en la parte a), divida

5x4 - 6x3 - 4x2 - 12x + 7 . 3x

2. a) Explique cómo dividir un trinomio en x entre un binomio en x. b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a), divida 2x2  12  5x entre x  4.

Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 305

3. Un trinomio dividido entre un binomio tiene un residuo de 0. ¿El cociente es un factor del trinomio? Explique.

7. a) Describa cómo se divide un polinomio entre (x  a) mediante la división sintética.

4. a) Explique cómo puede verificarse la respuesta cuando se divide un polinomio entre un binomio.

b) Utilizando el procedimiento que indicó en la parte a), divida x2  3x  4 entre x  5. 8. a) Establezca el teorema del residuo con sus propias palabras.

b) Utilice la explicación que dio en la parte a) para comprobar si la siguiente división es correcta.

8x2 + 2x - 15 = 2x + 3 4x - 5 c) Verifique si la siguiente división es correcta.

6x 2 - 23x + 14 8 = 2x - 5 3x - 4 3x - 4 5. Cuando se divide un polinomio entre un polinomio, ¿qué hay que hacerle a los polinomios antes de comenzar? 6. Explique por qué

b) Mediante el procedimiento que indicó en la parte a), determine cuál es el residuo cuando x2  6x  4 se divide entre x  1. x 2 + 11x + 21 3 =x+9+ , 9. En el problema de división x+2 x+2 2 ¿x  9 es un factor de x  11x  21? Explique. 10. En el problema de división

x - 1 no es un polinomio. x

¿x  7 es un factor de x2  3x  28? Explique.

Problemas de aplicación Divida.

4x + 18 2 4x 2 + 2x 13. 2x 5y3 + 6y2 - 9y 15. 3y 5 4x - 6x4 + 12x3 - 8x2 17. 4x2 2 2 8x y - 10xy3 - 5y 11.

19.

2y2 9x y - 12x3y2 + 7y3

9x + 17 3 12x2 - 8x - 20 14. 4 18y5 + 12y2 12.

16.

18. 20.

2

21.

2xy2 3xyz + 6xyz2 - 9x3y5z7 23. 6xy

22. 24.

6y4 15x3y - 25xy3 5xy 4x13 + 12x9 - 7x7 4x6 a2b2c - 6abc2 + 5a3b5 2abc2 3 6abc - 5a2b3c4 + 8ab5c 3ab2c3

Divida por medio de la división larga. 25. 27. 29.

31. 33. 35. 37.

x2 + 3x + 2 x + 1 2x2 + 11x + 12 x + 4 6x2 + x - 2 2x - 1 x2 + 6x + 7 x + 1 2b2 + b - 9 b - 2 8x2 + 6x - 25 2x - 3 4x2 - 25 2x - 5

x2 - 3x - 28 = x - 7, x + 4

26. 28. 30. 32. 34. 36. 38.

x2 + 2x - 15 x + 5 6x2 + 16x + 8 3x + 2 12x2 + 25x + 7 3x + 1 a 2 - a - 13 a + 3 2c2 + c - 1 2c + 5 8z2 - 18z - 9 4z + 1 16p2 - 9 4p + 3

306 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

39.

x3 + 3x2 + 5x + 4 x + 1

40.

- a3 - 6a2 + 2a - 3 a - 1

41.

9b3 - 3b2 - 3b + 4 3b + 2

42.

4y3 + 12y2 + 7y - 8 2y + 3

44. 14a 3 - 5a2 , 12a - 12

43. 12x 3 + 6x - 42 , 1x + 42

45.

3x5 + 4x2 - 12x - 8 x2 - 2

46.

47.

3x4 + 4x3 - 32x2 - 5x - 20 3x3 - 8x2 - 5

48.

49.

2c4 - 8c3 + 19c2 - 33c + 15 c2 - c + 5

50.

4b5 - 18b3 + 8b2 + 18b - 12 2b2 - 3 3a4 - 9a3 + 13a2 - 11a + 4 a2 - 2a + 1 5 2y + 2y4 - 3y3 - 15y2 + 18 2y2 - 3

Divida por medio de la división sintética. 51. 1x2 + 7x + 62 , 1x + 12

52. 1x 2 - 7x + 62 , 1x - 12

55. 1x - 11x + 282 , 1x - 42

56. 1x 2 + x - 722 , 1x + 92

53. 1x2 + 5x + 62 , 1x + 22

54. 1x 2 - 5x + 62 , 1x - 22

2

57. 1x2 + 5x - 122 , 1x - 32

58. 1x 2 - 2x - 372 , 1x + 52

59. 13x 2 - 7x - 102 , 1x - 42

60. 12b2 - 9b + 152 , 1b - 62

61. 14x3 - 3x2 + 2x2 , 1x - 12

62. 1z3 - 7z2 - 13z + 152 , 1z - 22

63. 13c3 + 7c2 - 4c + 182 , 1c + 32

64. 13y 4 - 25y 2 - 292 , 1y - 32

65. 1y 4 - 12 , 1y - 12

66. 1a 4 - 162 , 1a - 22 68.

z4 + 81 z + 3

x5 + x4 - 10 x + 1

70.

a7 - 2a6 + 19 a - 2

b5 + 4b4 - 12 b + 1

72.

z5 - 3z3 - 7z z - 2

67.

x4 + 16 x + 4

69. 71.

73. 13x 3 + 2x 2 - 4x + 12 , a x -

74. 18x 3 - 6x 2 - 5x + 32 , ax +

1 b 3

75. 12x 4 - x 3 + 2x 2 - 3x + 12 , a x -

1 b 2

76. 19y 3 + 9y 2 - y + 22 , ay +

3 b 4

2 b 3

Determine el residuo de las siguientes divisiones mediante el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indíquelo. 77. 14x 2 - 5x + 42 , 1x - 22

79. 1x - 2x + 4x - 82 , 1x - 22 3

78. 1- 2x2 + 3x - 22 , 1x + 32

2

81. 1 -2x 3 - 6x 2 + 2x - 42 , ax -

1 b 2

80. 1-3x 3 + 4x - 122 , 1x + 42 82. 1- 5x 3 - 62 , ax -

1 b 5

Resolución de problemas 83. Área El área de un rectángulo es 6x2  8x  8. Si su longitud es 2x  4, determine su ancho.

84. Área El área de un rectángulo es 15x2  29x  14. Si su ancho es 5x  2, determine su longitud.

Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 307 En los ejercicios 85 y 86, ¿cuántas veces es mayor el área o volumen de la figura de la derecha que el de la figura de la izquierda? Explique cómo determinó su respuesta. 85.

En los ejercicios 97 y 98, divida. Las respuestas contienen fracciones. 97.

2x2 + 2x - 2 2x - 3

98.

3x3 - 5 3x - 2

qx  4

x8 12x  24

99. Volumen El volumen de la siguiente caja es 2r3  4r2  2r. Determine w en términos de r.

2x  4

86. x1 4x  4

x

x2

r

w 3x  6 2x

2r  2

100. Volumen El volumen de la siguiente caja es 6a3  a2  2a. Determine b en términos de a.

87. ¿Es posible dividir un binomio entre un monomio y obtener un monomio como cociente? Explique. 88. a) ¿La suma, diferencia y producto de dos polinomios es siempre un polinomio?

a

b) ¿El cociente de dos polinomios es siempre un polinomio? Explique. 89. Explique cómo puede determinarse, mediante la división sintética, si una expresión con la forma x  a es un factor de un polinomio en x.

b

101. Cuando un polinomio se divide entre x  3, el cociente es

x2 - 3x + 4 +

90. Dados P(x)  ax  bx  c y un valor d tal que P(d)  0, explique por qué d es una solución de la ecuación ax2  bx  c  0. 2

91. Si

92. Si

93. Si

94. Si

= x + 5 +

x + 4 P1x2 2x - 3

2

5 . ¿Cuál es el polinomio? Ex2x - 3

= x - 3, determine P(x).

2x + 4 P1x2

es 2x 2 + 6x - 5 +

plique cómo determinó su respuesta.

P1x2

= 2x - 1 -

4 , determine P(x). x + 4

2

En los ejercicios 103 y 104, divida. Suponga que todas las variables de los exponentes son números naturales. 103.

4xn + 1 + 2xn - 3xn - 1 - xn - 2 2xn

104.

3xn + 6xn - 1 - 2xn - 2 2xn - 1

7 , determine P(x). 2x - 3

2x - x y - 7xy + 2y x - 2y

x3 + y3 96. x + y

mo determinó su respuesta.

= x + 2, determine P(x).

x - 4

En los ejercicios 95 y 96, divida.

95.

2 . ¿Cuál es el polinomio? Explique cóx-3

102. Cuando un polinomio se divide entre 2x  3, el cociente

P1x2

3

3a  2

105. ¿Es x  1 factor de x100  x99    x1  1? Explique. 3

106. ¿Es x  1 factor de x100  x99    x1  1? Explique. 107. ¿Es x  1 factor de x99  x98    x1  1? Explique. 108. Divida 0.2x3  4x2  0.32x  0.64 entre x  0.4.

308 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales 109. La división sintética puede utilizarse para dividir polinomios entre binomios con la forma ax  b, a 1. Para realizar b esta operación, divida ax  b entre a para obtener x - . a b Luego coloque a la izquierda de los coeficientes numéria cos del polinomio. Resuelva el problema como se explicó

previamente. Después de sumar los valores numéricos debajo de la línea, divida todos ellos, excepto el residuo, entre a. Después escriba el cociente del problema utilizando esos números. a) Utilice este procedimiento para dividir 9x3  9x2  5x  12 entre 3x  5. b) Explique por qué no dividimos el residuo entre a.

Ejercicios de repaso acumulativo 8.45 * 1025 y exprese la respuesta en no4.225 * 1015 tación científica.

110. Divida

[2.3] 111. Triángulo Determine los tres ángulos de un triángulo, si uno de ellos mide el doble del ángulo más pequeño, y el tercero mide 60° más que el ángulo más pequeño.

[2.6] 112. Determine el conjunto solución para 5x - 3 ` ` + 3 = 7. 2 [3.6] 113. Sea f(x)  x2  4 y g(x)  5x  3. Determine f(6)g(6). [5.1] 114. Sume (6r  5s – t)  (3r – 2s – 5t).

5.4 FACTORIZACIÓN DEL FACTOR COMÚN DE LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO Y FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN 1

Determinar el máximo factor común.

2

Factorizar un monomio de un polinomio (factorizar el factor común).

3

Factorizar un factor binomial común.

4

Factorizar por agrupación.

La factorización es la operación opuesta a la multiplicación. Factorizar una expresión significa escribirla como un producto de otras expresiones. Por ejemplo, en la sección 5.2 aprendimos a realizar las siguientes multiplicaciones:

3x216x + 3y + 5x32 = 18x3 + 9x2y + 15x5 y

16x + 3y212x - 5y2 = 12x2 - 24xy - 15y2 En esta sección, aprenderemos a determinar los factores de una expresión dada. Por ejemplo, aprenderemos cómo realizar cada una de las siguientes factorizaciones.

18x3 + 9x2y + 15x5 = 3x216x + 3y + 5x32 y

12x2 - 24xy - 15y2 = 16x + 3y212x - 5y2

1

Determinar el máximo factor común Para factorizar un monomio de un polinomio, factorizamos al máximo factor común (MFC)) de cada término del polinomio. El MFC es el producto de los factores comunes a todos los términos del polinomio. Por ejemplo, el MFC para 6x  15 es 3, ya que

Sección 5.4 • Factorización del factor común de los términos de un polinomio... • 309

3 es el número más grande que es factor tanto de 6x como de 15. Para factorizar, utilizamos la propiedad distributiva.

6x + 15 = 312x + 52 El 3 y el 2x  5 son factores del polinomio 6x  15. Considere los términos x3, x4, x5 y x6. El MFC de estos términos es x3, ya que x3 es la potencia de x más alta que divide a los cuatro términos.

EJEMPLO 1

Determine el MFC de los siguientes términos. a) y 12, y 4, y 9, y 7

Solución

b) x 3y 2, xy 4, x 4y 5

c) 6x 2y 3z, 9x 3y 4, 24x 2z5

a) Observe que y4 es la potencia de y más alta común a los cuatro términos. Por lo tanto, el MFC es y4. b) La potencia de x más alta común a los tres términos es x (o x1). La potencia de y más alta común a los tres términos es y2. Así, el MFC de los tres términos es xy2. c) El MFC es 3x2. Como y no aparece en 24x2z5, no es parte del MFC; como z no aparece en 9x3y4, no es parte del MFC. ✺

EJEMPLO 2

Determine el MFC de los siguientes términos.

61x - 322, 51x - 32, 181x - 324

Solución

2

Los tres números, 6, 5 y 18, no tienen factor común distinto de 1. La potencia más alta de (x  3) común a los tres términos es (x  3). Así, el MFC de los tres términos es (x  3). ✺

Factorizar un monomio de un polinomio Cuando factorizamos un monomio de un polinomio, estamos factorizando el máximo factor común. El primer paso en cualquier problema de factorización consiste en determinar y luego factorizar el MFC. Para factorizar un monomio de un polinomio 1. Determine el máximo factor común de todos los términos del polinomio. 2. Escriba cada término como el producto del MFC y otro factor. 3. Use la propiedad distributiva para factorizar el MFC.

EJEMPLO 3 Solución

Factorice 15x4  5x3  20x2. El MFC es 5x2. Escriba cada término como producto del MFC y otro producto. Luego factorice el MFC.

15x4 - 5x3 + 20x2 = 5x2 # 3x2 - 5x2 # x + 5x2 = 5x 213x2 - x + 42

#4 ✺

Para comprobar el procedimiento de factorización, multiplique los factores mediante la propiedad distributiva. El producto debe ser la expresión con la que se inició. Por ejemplo, en el ejemplo 3 Comprobación

5x213x2 - x + 42 = 5x213x22 + 5x21-x2 + 5x2142 = 15x4 - 5x3 + 20x2

310 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

EJEMPLO 4 Solución

Factorice 20x3y3  6x2y4 – 12xy5. El MFC es 2xy3. Escriba cada término como producto del MFC y otro producto. Luego factorice el MFC.

20x3y3 + 6x2y4 - 12xy5 = 2xy3 # 10x2 + 2xy3 # 3xy - 2xy3 # 6y2 = 2xy3110x2 + 3xy - 6y22

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19

Comprobación

2xy3(10x2  3xy – 6y2)  20x3y3  6x2y4 – 12xy5

✺

Cuando el coeficiente principal de un polinomio es negativo, por lo general factorizamos un factor común con un coeficiente negativo. Esto da como resultado que el polinomio restante tenga un coeficiente principal positivo.

EJEMPLO 5 Solución

EJEMPLO 6

Factorice a) –12a  18

b) –2b3  6b2 – 18b

Como los coeficientes principales en las partes a)) y b)) son negativos, factorizamos factores comunes con un coeficiente negativo. a) -12a - 18 = - 612a + 32

Factorizar 6.

b) -2b3 + 6b2 - 18b = - 2b1b2 - 3b + 92

Factorizar 2b.

✺

Lanzamiento de una pelota Cuando se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 32 pies por segundo desde la parte más alta de un edificio de 160 pies de altura, su distancia, d, respecto del piso en cualquier instante t, puede determinarse mediante la función d(t)  16t2  32t  160. a) Determine la distancia de la pelota respecto del piso después de 3 segundos; es decir, determine d(3). b) Factorice el MFC del lado derecho de la función. c) Evalúe d(3) en la forma factorizada. d) Compare sus respuestas de las partes a) y c).

Solución

a) d1t2 = - 16t2 + 32t + 160

d132 = -161322 + 32132 + 160 = - 16192 + 96 + 160 = 112

Sustituya t por 3.

La distancia es 112 pies. b) Factorice 16 de los tres términos a la derecha del signo igual.

d1t2 = - 161t2 - 2t - 102 c) d1t2 = - 161t2 - 2t - 102

d132 = -16332 - 2132 - 104 = - 1619 - 6 - 102

Sustituya t por 3.

= - 161- 72 = 112 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65

3

d) Las respuestas son iguales. Puede determinar los cálculos de la parte c) con mayor facilidad que los cálculos de la parte a). ✺

Factorizar un factor binomial común Algunas veces la factorización exige factorizar un binomio como el máximo factor común, como se ilustra en los ejemplos 7 a 9.

Sección 5.4 • Factorización del factor común de los términos de un polinomio... • 311

EJEMPLO 7 Solución

Factorice 3x(5x  2)  4(5x  2). El MFC es (5x  2). Al factorizar el MFC se obtiene

3x 15x - 22 + 4 15x - 22 = 15x - 2213x + 42

✺

En el ejemplo 7, también podríamos haber colocado el factor común a la derecha para obtener

3x 15x - 22 + 4 15x - 22 = 13x + 4215x - 22 Las formas factorizadas (5x  2)(3x  4) y (3x  4)(5x  2) son equivalentes de acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, y ambas son correctas. Por lo general, cuando listamos la respuesta a un ejemplo o ejercicio, colocamos el término común que se ha factorizado a la izquierda.

EJEMPLO 8 Solución

Factorice 9(2x  5)  6(2x  5)2. EL MFC es 3(2x  5). Reescriba cada término como producto del MFC y otro factor.

912x - 52 + 612x - 522 = 312x - 52 # 3 + 312x - 52 # 212x - 52

EJEMPLO 9 Solución

= 312x - 5233 + 212x - 524

Factorizar 3(2x  5).

= 312x - 5233 + 4x - 104

Propiedad distributiva.

= 312x - 5214x - 72

Simplificar.

Factorice (2x  5)(a  b)  (x  1)(a  b). El binomio a  b es el MFC de los dos terrenos. Por lo tanto, lo factorizamos.

12x - 521a + b2 - 1x - 121a + b2 = 1a + b2312x - 52 - 1x - 124

= 1a + b212x - 5 - x + 12

= 1a + b21x - 42

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43

EJEMPLO 10 A  7x(2x  9)

A  3(2x  9)

4

Factorizar (a  b). Simplificar. Factores.

✺

Área En la figura 5.13, el área del rectángulo grande es 7x(2x  9), y el área del rectángulo pequeño es 3(2x  9). Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre las áreas de estos dos rectángulos.

Solución Para determinar la diferencia entre las áreas, reste el área del rectángulo pequeño del área del rectángulo grande. 7x12x + 92 - 312x + 92 Restar las áreas.

= 12x + 9217x - 32

FIGURA 5.13

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59

✺

Factorizar (2x  9).

La diferencia de las áreas para los dos rectángulos es (2x  9)(7x  3).

✺

Factorizar por agrupación Cuando un polinomio contiene cuatro términos, es posible factorizarlo por agrupación. Para factorizar por agrupación, quitamos los factores comunes de grupos de términos. Este procedimiento se ilustra en el siguiente ejemplo.

312 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

EJEMPLO 11 Solución

Factorice ax  ay  bx  by. No hay factor común (diferente de 1) para todos los términos. Sin embargo, a es común a los primeros dos términos, y b es común a los últimos dos. Factorice a de los primeros dos términos y b de los últimos. a x  a y  b x  b y  a (x  y)  b (x  y) Ahora (x  y) es común a ambos términos. Factorice (x  y).

a 1x + y2 + b 1x + y2 = 1x + y21 a + b 2

Así, ax  ay  bx  by  (x  y)(a  b) o (a  b)(x  y).

✺

Para factorizar términos por agrupación 1. Acomode los cuatro términos en dos grupos de dos términos cada uno. Cada grupo debe tener un MFC. 2. Factorice el MFC de cada grupo de dos términos. 3. Si los dos términos formados en el paso 2 tienen un MFC, factorícelo.

EJEMPLO 12 Solución

Factorice por agrupación x3  5x2  2x  10. No hay factores comunes a los cuatro términos. Sin embargo, x2 es común a los primeros dos términos, y 2 es común a los últimos dos.

x3 - 5x2 + 2x - 10 = x21x - 52 + 21x - 52 = 1x - 521x2 + 22

✺

En el ejemplo 12, (x2  2)(x  5) también es una respuesta aceptable. ¿Cambiaría la respuesta del ejemplo 12 si intercambiamos el orden de 2x y 5x2? Intentémoslo en el ejemplo 13.

EJEMPLO 13 Solución AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51

Factorice x3  2x  5x2  10. Factorice x de los primeros dos términos y 5 de los últimos dos.

x3 + 2x - 5x2 - 10 = x1x2 + 22 - 51x2 + 22 = 1x2 + 221x - 52

✺

Observe que obtuvimos resultados equivalentes en los ejemplos 12 y 13.

SUGERENCIA

Cuando utilizamos la agrupación para factorizar cuatro términos, si los términos primero y tercero son positivos debemos factorizar una expresión positiva tanto de los primeros dos términos como de los segundos dos términos para obtener un factor común para los dos términos restantes (vea el ejemplo 12). Si el primer término es positivo y el tercero es negativo, debemos factorizar una expresión positiva de los primeros dos términos y una expresión negativa de los últimos dos términos para obtener un factor común para los dos términos restantes (vea el ejemplo 13).

El primer paso para resolver cualquier problema de factorización consiste en determinar si todos los términos tienen un factor común. Si es así, empiece por factorizar el factor común. Por ejemplo, para factorizar x4  5x3  2x2  10x, primero factorizamos x de cada término. Luego factorizamos los cuatro términos restantes por agrupación, como se hizo en el ejemplo 12.

x4 - 5x3 + 2x2 - 10x = x1x3 - 5x2 + 2x - 102 = x1x - 521x2 + 22

Factorizar el MFC, x, de los cuatro términos. Factores del ejemplo 12.

Sección 5.4 • Factorización del factor común de los términos de un polinomio... • 313

Conjunto de ejercicios 5.4 Ejercicios conceptuales 1. ¿Cuál es el primer paso en cualquier problema de factorización?

5. a) Explique cómo factorizar por agrupación un polinomio de cuatro términos. b) Factorice 6x3  2xy3  3x2y2  y5 mediante el procedimiento que indicó en la parte a). 6. ¿Cuál es el primer paso para factorizar x2  8x  15? Explique su respuesta. 7. Determine el MFC de los siguientes términos:

2. ¿Qué es el máximo factor común de los términos de una expresión? 3. a) Explique cómo determinar el máximo factor común de los términos de un polinomio. b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a), determine el máximo factor común del polinomio

x4y 6, x3y5, xy6, x2y4 Explique cómo determinó su respuesta. 8. Determine el MFC de los siguientes términos:

6x2y5 - 2x3y + 12x9y3 c) Factorice el polinomio de la parte b).

121x - 423, 61x - 424, 31x - 425

4. Si uno de los términos de un polinomio es también el MFC, ¿qué se escribe en lugar de ese término cuando se factoriza el MFC? Explique.

Explique cómo determinó su respuesta.

Problemas de aplicación Factorice el máximo factor común.

13. 12y 2 - 16y + 24

12. 6x 2 - 12x + 21 4

11. 2x 2 - 4x + 8

10. 15p + 25

9. 7n + 7 3

15. 9x - 3x + 11x

2

16. 45y

18. - 16c5 - 12c4 + 6c3 21. 80a 5b4c - 16a 4b2c2 + 8a 2c

12

+ 30y

10

14. 12x 3 - 8x 2 - 6x 17. -24a 7 + 9a 6 - 3a 2

19. 3x2y + 6x2y2 + 3xy

20. 24a 2b2 + 16ab4 + 64ab3

22. 36xy 2z3 + 36x 3y 2z + 9x 2yz

23. 9p4q 5r - 3p2q 2r 2 + 6pq 5r 3

25. -52p q - 16pq + 26r

26. -14y 3z5 - 28y 3z6 + 9xy 2z2

27. - 8x + 4

28. -20a - 10

29. - x 2 + 4x - 12

30. - y 5 - 6y 2 - 4

31. - 3r 2 - 6r + 9

32. -12t2 + 48t - 36

34. -5p6q 3 - 10p4q 4 + 25pq 7

35. -a 4b2c + 5a 3bc2 + a 2b

6

4

2 2

3

24. 24m + 8m - 4m n

3

Factorice un factor con un coeficiente negativo.

33. - 6r 4s 3 + 4r 2s 4 + 2rs 5 5 3

4

2

2 5

36. - 20x y z - 4x yz - 8x y

Factorice. 37. x1a + 32 + 11a + 32

38. y1b - 22 - 51b - 22

39. 3c1x - 42 + 21x - 42

40. 4d1y + 12 - 71y + 12

41. 1x - 2213x + 52 - 1x - 2215x - 42

43. 12a + 421a - 32 - 12a + 4212a - 12 2

45. x + 3x - 5x - 15

42. 1z + 421z + 32 + 1z - 121z + 32 2

44. 16b - 121b + 42 + 16b - 1212b + 52

46. a + 3a - 2a - 6

47. 8y 2 - 4y - 20y + 10

48. 18m2 + 30m + 9m + 15

49. ax + ay + bx + by

50. cx - cy - dx + dy

51. x3 - 3x2 + 4x - 12

52. 2z3 + 4z2 - 5z - 10

53. 10m2 - 12mn - 25mn + 30n2

54. 12x 2 + 9xy - 4xy - 3y 2

55. 5a 3 + 15a 2 - 10a - 30

56. 2r 4 - 2r 3 - 7r 2 + 7r

57. c5 - c4 + c3 - c2

58. b4 - b3 - b + b2

314 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Resolución de problemas En los ejercicios 59 a 62, A representa una expresión para el área de la figura. Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre las áreas de las figuras geométricas. Vea el ejemplo 10.

59. A  6x(2x  1)

A  5(2x  1)

66. Tiro en movimiento Cuando un basquetbolista lanza un tiro mientras salta, la altura, h, en pies, del balón por encima del piso en cualquier instante t, bajo ciertas circunstancias, puede determinarse mediante la función h(t)  16t2  20t  8. a) Determine la altura del balón en el segundo 1. b) Exprese la función con el lado derecho en forma factorizada.

60.

c) Evalúe h(1) utilizando la forma factorizada en la parte b). A  7x(3x  4)

A  2(3x  4)

61. A  3x2  12x

A  2x  8

62.

A  6x2  2x

A  3x  1

En los ejercicios 63 y 64, V representa una expresión para el volumen de la figura. Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de los sólidos geométricos. 63.

67. Pista de patinaje El área de la pista de patinaje con extremos semicirculares que se muestra es A  pr2  2rl.

r V  9x(3x  2)

V  5(3x  2)

64.

V  18x 2  24x

V  3x  4

65. Bengala Cuando se dispara hacia arriba una bengala con una velocidad de 128 pies por segundo, su altura, h, en pies, respecto del piso a los t segundos, puede determinarse mediante la función h(t)  16t2  128t. a) Determine la altura de la bengala tres segundos después de ser disparada. b) Exprese la función con el lado derecho en forma factorizada. c) Evalúe h(3) mediante la forma factorizada de la parte b).

r l

a) Determine A cuando r  20 pies y l  40 pies. b) Escriba el área, A, en forma factorizada. c) Determine A cuando r  20 pies y l  40 pies; utilice la forma factorizada que indicó en la parte b). 68. Área La fórmula para determinar el área de un trapecio puede escribirse como A = 12 hb 1 + 12 hb 2 . Exprese esta fórmula en forma factorizada. 69. Precio de automóviles Cuando salieron a la venta los automóviles modelo 2003, su precio de lista era superior en 6% respecto del de los modelos 2002. Más tarde, el precio de todos los automóviles 2003 se redujo en 6%. El precio de venta puede representarse mediante (x  0.06x)  0.06 (x  0.06x), en donde x es el precio de lista del modelo 2002. a) Factorice (x  0.06x) de cada término. b) ¿El precio es mayor o menor que el precio del modelo 2002?

Sección 5.4 • Factorización del factor común de los términos de un polinomio... • 315 Lea el ejercicio 69 antes de resolver los ejercicios 70 a 72. 70. Precio de un vestido El precio de un vestido se reduce en 10%, y luego se le aplica un nuevo descuento de 10%. a) Escriba una expresión para calcular el precio final del vestido. b) Compare el precio final con el precio normal del vestido; ¿cómo son? Utilice factorización para obtener su respuesta. 71. Precio de una segadora El precio de una segadora aumentó 15%. Más tarde, en una venta especial, su precio se redujo en 20%.

a) Escriba una expresión para calcular el precio final de la segadora. b) Compare el precio final con el precio normal; ¿cómo son? Utilice factorización para obtener su respuesta. 72. Determinación de precio ¿En cuál de las siguientes partes, a) o b), el precio final será menor y por cuánto? a) Disminuya el precio de un artículo en 6% y luego auméntelo en 8%. b) Aumente el precio de un artículo en 6% y luego disminúyalo en 8%.

Factorice. 73. 5a13x - 225 + 413x - 224 75. 4x 21x - 323 - 6x1x - 322 + 41x - 32 77. ax 2 + 2ax - 3a + bx 2 + 2bx - 3b

74. 4p12r - 327 - 312r - 326 76. 121p + 2q24 - 401p + 2q23 + 121p + 2q22 78. 6a 2 - a 2c + 18a - 3ac + 6ab - abc

Factorice. Suponga que todas las variables de los exponentes representan números naturales. 79. x 6m - 2x 4m 81. 3x 4m - 2x 3m + x 2m 83. a rbr + crbr - a rd r - crd r

80. x 2mn + x 4mn 82. r y + 4 + r y + 3 + r y + 2 84. 6a kbk - 2a kck - 9bk + 3ck

85. a) ¿6x3  3x2  9x  3x(2x2  x  3)?

y graficamos cada función, ¿qué debería suceder? Explique. b) En su calculadora graficadora, grafique y1 y y2 como se dieron en la parte a). c) ¿Obtuvo los resultados que esperaba? d) Al verificar un procedimiento de factorización mediante esta técnica, ¿qué significa si las gráficas no se intersecan? Explique. 88. Considere la factorización 2x4  6x3  8x2  2x2(x2  3x  4). a) Introduzca

b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser el valor de 6x3  3x2  9x  [3x(2x2  x  3)] para cualquier valor de x? Explique. c) Seleccione un valor para x y evalúe la expresión de la parte b). ¿Obtuvo lo que esperaba? Si no, explique por qué. 86. a) Determine si la siguiente factorización es correcta.

31x - 222 - 61x - 22 = 31x - 2231x - 22 - 24 = 31x - 221x - 42 b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser el valor de 3(x  2)2  6(x  2)  [3(x  2)(x  4)] para cualquier valor de x? Explique. c) Seleccione un valor para x y evalúe la expresión de la parte b). ¿Obtuvo lo que esperaba? Si no, explique por qué. 87. Considere la factorización 8x3  16x2  4x  4x(2x2  4x  1). a) Si determinamos

y1 = 8x3 - 16x2 - 4x y2 = 4x12x2 - 4x - 12

y1 = 2x4 - 6x3 - 8x2 y2 = 2x21x2 - 3x - 42 en su calculadora. b) Si utiliza la característica TABLE de su calculadora, al comparar la tabla de valores para y1 con la tabla de valores para y2, ¿qué esperaría? Explique. c) Utilice la característica TABLE para mostrar los valores de y1 y y2 para valores de x de 0 a 6. d) ¿Obtuvo los resultados que esperaba? e) Cuando comprueba un proceso de factorización mediante la característica TABLE, ¿qué significa que los valores de y1 y y2 sean diferentes?

Ejercicios de repaso acumulativo 89. Evalúe

A ƒ 12 ƒ - ƒ - 13 ƒ B 2 - ƒ 13 ƒ

# ƒ - 25 ƒ

.

[2.1]

90. Resuelva 3(2x  4)  3(x  1)  9.

[3.1]

91. Grafique y  x2  1.

[4.3] 92. Ejercicio Javier Bernal hace ejercicio todos los días: camina a 3 mph y luego trota a 5 mph. Si tarda 0.9 horas en recorrer un total de 3.5 millas, ¿cuánto tiempo trota? [5.2] 93. Multiplique (7a  3)(2a2  4a  1).

316 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

5.5 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

1

1

Factorizar trinomios con la forma x2  bx  c.

2

Factorizar un factor común.

3

Factorizar trinomios con la forma ax2  bx  c, a 1, mediante prueba y error.

4

Factorizar trinomios con la forma ax2  bx  c, a 1 mediante agrupación.

5

Factorizar trinomios mediante sustitución.

Factorizar trinomios con la forma x2  bx  c En esta sección aprenderemos a factorizar trinomios con la forma ax2  bx  c, a 0. Trinomios

Coeficientes

3x2 + 2x - 5 1 - x2 - 4x + 3 2

a = 3, b = 2, c = - 5 1 a = - , b = - 4, c = 3 2

Para factorizar trinomios con la forma x2  bx  c (nota: a  1) 1. Determine dos números (o factores) cuyo producto sea c y cuya suma sea b. 2. Los factores del trinomio tendrán la forma 1x + . 21x + . 2 q q Un factor Otro factor determinado determinado en el paso 1 en el paso 1

Si los números determinados en el paso 1 son, por ejemplo, 3 y 5, los factores se escribirían (x  3)(x  5). Este procedimiento se ilustra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1 Solución

Factorice x2  x  12. a  1, b  1, c  12. Debemos determinar dos números cuyo producto sea c, que es –12, y cuya suma es b, que es 1. Iniciamos listando los factores de 12 para encontrar un par cuya suma sea 1.

Factores de 12 1121 -122 1221 -62 1321 -42 1421 - 32 1621 - 22 11221 -12

Suma de factores 1 + 1- 122 = - 11 2 3 4 6 12

+ + + + +

1- 62 1- 42 1- 32 1- 22 1- 12

= = = = =

-4 -1 1 4 11

Los números que estamos buscando son 3 y –4, ya que su producto es 12 y su suma es 1. Ahora factorizamos el trinomio utilizando estos números.

Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 317

x2 - x - 12 = 1x (+)*321x (-)*42 æ Un factor de 12

æ Otro factor de 12

✺

Observe que, en el ejemplo 1, listamos todos los factores de –12. Sin embargo, después de que se han encontrado dos factores cuyo producto es c y cuya suma es b, no hay necesidad de listar los demás factores. Los factores se listaron para mostrar, por ejemplo, que (2)(6) es un conjunto de factores diferente que (2)(6). Observe que conforme el factor positivo aumenta, también lo hace la suma de los factores.

SUGERENCIA

Considere los factores (2)(6) y (2)(6) y sus sumas.

Factores

Suma de factores

21-62

2 + 1- 62 = - 4

- 2162

-2 + 6 = 4

Observe que si se cambia el signo de cada número del producto, el signo de la suma de los factores se modifica. Podemos utilizar este hecho para determinar con más rapidez los factores que estamos buscando. Si al buscar una suma específica obtiene el opuesto de esa suma, cambie el signo de cada factor para obtener la suma que está buscando.

EJEMPLO 2 Solución

Factorice p2  7p  6. Debemos determinar dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea 7. Puesto que la suma de dos números negativos es un número negativo, y el producto de dos números negativos es un número positivo, ambos números deben ser negativos. Los factores negativos de 6 son (1)(6) y (2)(3). Como se muestra a continuación, los números que estamos buscando son 1 y 6.

Factores de 6 1-121 -62 1- 221 -32 Por lo tanto,

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23

SUGERENCIA

Suma de factores -1 + 1- 62 = - 7 -2 + 1- 32 = - 5

p2 - 7p + 6 = 1p - 121p - 62

Como los factores pueden colocarse en cualquier orden, (p  6)(p  1) también es una respuesta aceptable. ✺

Comprobación de la factorización Las respuestas a problemas de factorización pueden verificarse multiplicando los factores que se obtuvieron. Si la factorización es correcta, usted obtendrá el polinomio con el que inició. Para comprobar el ejemplo 2, multiplicaremos los factores utilizando el método PIES.

1p - 121p - 62 = p2 - 6p - p + 6 = p2 - 7p + 6 Como el producto de los factores es el trinomio con el que empezamos, nuestra factorización es correcta. No olvide verificar siempre su factorización.

El procedimiento utilizado para factorizar trinomios con la forma x2  bx  c puede utilizarse con otros trinomios, como en el siguiente ejemplo.

318 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

EJEMPLO 3 Solución

Factorice x2  2xy  15y2. Debemos determinar dos números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 2. Los dos números son 5 y 3.

Factores de 15

Suma de los factores 5 + 1-32 = 2

51-32 2

Como el último término del trinomio contiene a y , el segundo término de cada factor debe contener a y. Comprobación

2

x2 + 2xy - 15y2 = 1x + 5y21x - 3y2 1x + 5y21x - 3y2 = x2 - 3xy + 5xy - 15y2 = x2 + 2xy - 15y2

✺

Factorizar un factor común El primer paso para factorizar cualquier trinomio consiste en determinar si los tres términos tienen un factor común. Si es así, factorice ese factor común y luego el polinomio restante.

EJEMPLO 4 Solución

Factorice 3x4  6x3  72x2. El factor 3x2 es común a los tres términos del trinomio. Primero factorícelo.

3x4 - 6x3 - 72x2 = 3x21x2 - 2x - 242 Factorizar 3x2.

El término 3x2 que se factorizó es parte de la respuesta, pero ya no desempeña papel alguno en el procedimiento de factorización. Ahora continúe factorizando x2  2x  24. Determine dos números cuyo producto sea 24 y cuya suma sea 2. Los números son 6 y 4.

3x21x2 - 2x - 242 = 3x21x - 621x + 42

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33

3

Por lo tanto, 3x4  6x3  72x2  3x2(x  6)(x  4).

✺

Factorizar trinomios con la forma ax2  bx  c, a 1, mediante prueba y error A continuación analizaremos algunos ejemplos de factorización de trinomios con la forma

ax2 + bx + c, a Z 1 Se ilustrarán dos métodos para factorizar este tipo de trinomios. El primer método, llamado de prueba y error, implica ensayar diferentes combinaciones hasta encontrar la correcta. El segundo método hace uso de la factorización por agrupación, un procedimiento que se presentó en la sección 5.4. Analicemos primero el método de prueba y error para factorizar trinomios. En ocasiones, a este procedimiento se le denomina el método PIES (o PIES inverso). Para facilitar nuestra explicación, multiplicaremos (2x  3)(x  1) mediante el método PIES. Producto de primeros términos Producto de segundos

P I E S 12x + 321x + 12 = 2x1x2 + 31x2 + 2x112 + 3112 = 2x2 + 5x + 3 Suma de los productos de los términos externos e internos

Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 319

Por lo tanto, si usted factoriza el trinomio 2x2  5x  3, se dará cuenta de que el producto de los primeros términos de los factores debe ser 2x2, el producto de los segundos términos debe ser 3, y la suma de los productos de los términos externos e internos debe ser 5x. Para factorizar 2x2  5x  3, empezamos como se muestra aquí.

2x2 + 5x + 3 = 12x

21x

2El producto de los primeros términos es 2x2.

Ahora completamos los segundos términos utilizando enteros positivos cuyo producto sea 3. Sólo tomaremos en cuenta enteros positivos, ya que el producto de los últimos términos es positivo y la suma de los productos de los términos externos e internos también lo es. Las dos posibilidades son

12x + 121x + 32 El producto del r 12x + 321x + 12 último término es 3. Para determinar cuál factorización es correcta, determinamos la suma de los productos de los términos externos e internos. Si alguna de las sumas da por resultado 5x, el término central del trinomio, la factorización es correcta.

12x + 121x + 32 = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3 Término central incorrecto. 12x + 321x + 12 = 2x2 + 2x + 3x + 3 = 2x2 + 5x + 3 Término central correcto.

Por consiguiente, los factores de 2x2  5x  3 son 2x  3 y x  1. Así,

2x2 + 5x + 3 = 12x + 321x + 12

Observe que si hubiésemos empezado la factorización escribiendo

2x 2 + 5x + 3 = 1x

212x

2

también habríamos obtenido los factores correctos. A continuación se indican algunas directrices para utilizar el método de prueba y error de factorización de un trinomio, en donde a 1 y los tres términos carecen de factores comunes. Para factorizar trinomios con la forma ax2  bx  c, a 1, mediante prueba y error 1. Escriba todos los pares de factores del coeficiente del término cuadrático, a. 2. Escriba todos los pares de factores de la constante, c. 3. Intente diferentes combinaciones con estos factores hasta encontrar el término central correcto, bx.

EJEMPLO 5 Solución

Factorice 3t2  13t  10. Primero comprobamos si los tres términos carecen de factor común. Luego, determinamos que a es 3 y que los únicos factores de 3 son 1 y 3. Por consiguiente, escribimos

3t2 - 13t + 10 = 13t

21t

2

El número 10 tiene factores positivos y negativos. Sin embargo, ya que el producto de los segundos términos debe ser positivo (10) y la suma de los productos de los términos exterior e interior debe ser negativa (13), los dos factores del 10 deben ser negativos. (¿Por qué?) Los factores negativos de 10 son (1)(10) y (2)(5). A continuación se ofrece una lista de los factores posibles. Buscamos los factores que nos proporcionen el término central correcto, 13t.

320 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Factores posibles

Suma de productos de términos externos e internos

13t - 121t - 102

-31t

13t - 1021t - 12

-13t — Término central

13t - 221t - 52 13t - 521t - 22

-17t -11t

correcto.

Por lo tanto, 3t2  13t  10  (3t  10)(t  1).

✺

La siguiente sugerencia es muy importante. Estúdiela cuidadosamente.

SUGERENCIA

Factorización por prueba y error Al factorizar un trinomio con la forma ax2  bx  c, el signo del término constante, c, es muy útil para determinar la solución. Si a  0, entonces: 1. Cuando el término constante, c, es positivo y el coeficiente numérico del término x, b, es positivo, ambos factores numéricos serán positivos.

x2 + 7x + 12 = 1x + 321x + 42 q q q q Positivo Positivo Positivo Positivo

Ejemplo

2. Cuando c es positivo y b es negativo, ambos factores numéricos serán negativos.

x2 - 5x + 6 = 1x - 221x - 32 q q q q Negativo Positivo Negativo Negativo

Ejemplo

Siempre que la constante c sea positiva (como en los dos ejemplos anteriores) el signo en ambos factores será igual que el signo del término x del trinomio. 3. Cuando c es negativo, uno de los factores numéricos será positivo y el otro será negativo.

x2 + x - 6 = 1x + 321x - 22 q q q Negativo Positivo Negativo

Ejemplo

EJEMPLO 6 Solución

Factorice 8x2  8x  30. Primero verificamos si los tres términos tienen un factor común. Observe que 2 puede factorizarse como tal.

8x2 + 8x - 30 = 214x2 + 4x - 152 Los factores de 4, el coeficiente principal, son 4  1 y 2  2. Por lo tanto, la factorización será de la forma (4x )(x ) o (2x )(2x ). No importa si inicia con el primer conjunto de factores o con el segundo. Por lo general, iniciamos primero con factores de tamaño medio, por lo que comenzaremos con (2x )(2x ). Si al emplear estos factores no se obtiene la respuesta, trabajaremos con el otro conjunto. Los factores de 15 son (1)(15), (3)(5), (5)(3) y (15)(1). Necesitamos que el término central sea 4x.

Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 321

Factores posibles

Suma de productos de los términos externos e internos

12x + 1212x - 152 12x + 3212x - 52

- 28x - 4x

12x + 5212x - 32

4x

Como encontramos el conjunto de factores que proporcionan el término correcto para x, podemos detenernos. Así,

✺

8x2 + 8x - 30 = 212x + 5212x - 32

En el ejemplo 6, si comparamos el segundo y tercer conjuntos de factores, vemos que están constituidos por los mismos números, excepto por los signos de los segundos términos. Observe que cuando los signos del segundo término de cada factor se intercambian, la suma de los productos de los términos externos e internos también cambia de signo.

Cómo utilizar su calculadora graficadora La calculadora graficadora puede utilizarse para comprobar problemas de factorización. Para verificar la factorización del ejemplo 6,

8x2 + 8x - 30 = 212x + 5212x - 32 determinamos y1  8x2  8x  30 y y2  2(2x  5)(2x  3). Luego utilizamos la característica TABLE para comparar resultados, como se muestra en la figura 5.14.

FIGURA 5.14

Como y1 y y2 tienen los mismos valores para cada valor de x, no se han cometido errores. Este procedimiento sólo puede indicarle si se han cometido equivocaciones, pero no si ha factorizado por completo. Por ejemplo, 8x2  8x  30 y (4x  10)(2x  3) darán el mismo conjunto de valores.

Ejercicios Utilice su graficadora para determinar si cada trinomio se ha factorizado correctamente. 1. 30x 2 + 37x - 84 = 16x - 7215x + 122

2. 72x 2 + 20x - 35 = 19x - 5218x + 72

?

EJEMPLO 7 Solución

?

Factorice 6x2  11xy  10y2. Los factores de 6 son 6  1 o 2  3. Por lo tanto, los factores del trinomio pueden ser de 21x 2 o 12x 213x 2. Comenzaremos con los factores la forma 16x de tamaño medio; escribimos

6x2 - 11xy - 10y2 = 12x

213x

2

Los factores de 10 son (1)(10), (1)(10), (2)(5) y (2)(5). Como hay ocho factores de 10, habrá ocho parejas de posibles factores por probar. ¿Puede enumerarlos? La factorización correcta es

6x2 - 11xy - 10y2 = 12x - 5y213x + 2y2

✺

322 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

En el ejemplo 7 fuimos afortunados de encontrar los factores correctos usando la forma (2x )(3x ). Si no hubiésemos encontrado los factores correctos empleando esa forma, tendríamos que haber probado (6x )(x ). Al factorizar un trinomio cuyo coeficiente principal es negativo, empezamos factorizando un número negativo. Por ejemplo,

-24x3 - 60x2 + 36x = - 12x12x2 + 5x - 32 Factorizar 12x. = - 12x12x - 121x + 32 y

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 49

- 3x2 + 8x + 16 = - 113x2 - 8x - 162 = - 13x + 421x - 42

EJEMPLO 8

Área de una región sombreada Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada en la figura 5.15.

Solución

Para calcular el área de la región sombreada, necesitamos restar el área del rectángulo pequeño del área del rectángulo grande. Recuerde que el área del rectángulo es largo  ancho.

1

x2

2 x3

Área del rectángulo grande = 1x + 321x + 22 = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6

Área del rectángulo pequeño = 122112 = 2

FIGURA 5.15

Área de la región sombreada = = = = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 89

4

Factorizar 1.

área grande - área pequeña x2 + 5x + 6 - 2 x2 + 5x + 4 Simplificar. Factorizar. 1x + 421x + 12

El área de la región sombreada es (x  4)(x 1).

✺

Factorizar trinomios con la forma ax2  bx  c, a 1 mediante agrupación Ahora estudiaremos el método por agrupación para factorizar trinomios con la forma ax2  bx  c, a 1. Para factorizar trinomios con la forma ax2  bx  c a 1 mediante agrupación 1. Determine dos números cuyo producto sea a  c, y cuya suma sea b. 2. Rescriba el término central, bx, mediante los números determinados en el paso 1. 3. Factorice por agrupación.

EJEMPLO 9 Solución

Factorice 2x2  5x  12. Vemos que a  2, b  5 y c  12. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea a  c o 2(12)  24, y cuya suma sea b, 5. Los dos números son 8 y 3, ya que (8)(3)  24, y 8  3  5. Ahora reescriba el término central, 5x, utilizando 8x y 3x.

-5x '& $' '%' 2x2 - 5x - 12 = 2x2 - 8x + 3x - 12

Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 323

Factorice por agrupación como se explicó en la sección 5.4; factorice 2x de los primeros dos términos, y 3 de los últimos dos.

2x2 - 5x - 12 = 2x1x - 42 + 31x - 42 = 1x - 4212x + 32 Factorizar (x  4).

✺

Observe que en el ejemplo 9 escribimos 5x como 8x  3x. Como se demuestra en seguida, se tendrían los mismos factores si escribiéramos 5x como 3x  8x. Por lo tanto, cuando se factoriza por agrupación no importa cuál factor se liste primero.A continuación factorizamos x de los primeros dos términos y 4 de los últimos dos.

-5x '& $' '%' 2x2 - 5x - 12 = 2x2 + 3x - 8x - 12 = x12x + 32 - 412x + 32 = 12x + 321x - 42

EJEMPLO 10 Solución

Factorice 12a2  19ab  5b2. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea (12)(5)  60, y cuya suma sea 19. Como el producto de los números es positivo y su suma es negativa, los dos números deben ser negativos. (¿Por qué?) Los dos números son 15 y 4 ya que (15)(4)  60 y 15  (4)  19. Ahora reescribimos el término central, 19ab, utilizando 15ab y 4ab. Luego factorizamos por agrupación.

-19ab $''%''& 12a - 19ab + 5b = 12a - 15ab - 4ab + 5b2 = 3a14a - 5b2 - b14a - 5b2 = 14a - 5b213a - b2 2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37

Factorizar (2x  3).

2

2

✺

Resuelva nuevamente el ejemplo 10, pero esta vez escribiendo 19ab como 4ab  15ab. Si lo hace de manera correcta, obtendrá los mismos factores. Es importante que sepa que no todos los trinomios pueden factorizarse por los métodos que se presentaron en esta sección. En las secciones 8.1 y 8.2 se explicarán algunos procedimientos para factorizar polinomios que no pueden factorizarse usando sólo enteros (o sobre el conjunto de enteros). Un polinomio que no puede factorizarse (sobre un conjunto específico de números) se denomina polinomio primo.

EJEMPLO 11 Solución

5

Factorice 2x2  6x  5. Cuando intente factorizar este polinomio, verá que no es posible hacerlo por los métodos de prueba y error o agrupación. Éste es un polinomio primo sobre el conjunto de enteros. ✺

Factorizar trinomios mediante sustitución En ocasiones un trinomio más complicado puede factorizarse sustituyendo una variable por otra. Los siguientes tres ejemplos ilustran la factorización mediante sustitución.

EJEMPLO 12 Solución

Factorice y4  y2  6. Si podemos reescribir esta expresión en la forma ax2  bx  c, será más fácil factorizarla. Como (y2)2  y4, si sustituimos y2 por x, el trinomio se convierte en

y4 - y2 - 6 = 1y22 - y2 - 6 = x2 - x - 6 2

Sustituir x por y2.

324 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Ahora factorice x2  x  6.

= 1x + 221x - 32

Finalmente, sustituya x con y2 para obtener

= 1y2 + 221y2 - 32

Sustituir y2 por x.

Así, y4  y2  6  (y2  2)(y2  3). Observe que y2 se sustituyó por x, y después x se sustituyó nuevamente por y2. ✺

EJEMPLO 13 Solución

Factorice 3z4  17z2  28. Sea x  z2. Entonces el trinomio puede escribirse

3z4 - 17z2 - 28 = 31z22 - 17z2 - 28 = 3x2 - 17x - 28 = 13x + 421x - 72 2

Ahora sustituya x por z2. AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69

EJEMPLO 14 Solución

= 13z2 + 421z2 - 72

Así, 3z  17z  28  (3z  4)(z  7). 4

2

2

2

Sustituir z2 por x. Factorizar. Sustituir x por z2.

✺

Factorice 2(x  5)2  5(x  5)  12. Nuevamente usaremos una sustitución, como en los ejemplos 12 y 13. Al sustituir a  x  5 en la ecuación, obtenemos

21x + 522 - 51x + 52 - 12 = 2a2 - 5a - 12 Ahora factorice 2a  5a  12.

Sustituir (x  5) por a.

2

= 12a + 321a - 42

Por último, reemplace a con x  5 para obtener

= 321x + 52 + 3431x + 52 - 44 = 32x + 10 + 343x + 14

Sustituir a por (x  5).

= 12x + 1321x + 12

Así, 2(x  5)  5(x  5)  12  (2x  13)(x  1). Observe que x  5 se sustituyó por a, y luego a por x  5. ✺ 2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 73

En los ejemplos 12 y 13 usamos x en nuestra sustitución, mientras que en el ejemplo 14 utilizamos a. La letra seleccionada no afecta la respuesta final.

Conjunto de ejercicios 5.5 Ejercicios conceptuales 1. ¿Cuál debe ser siempre el primer paso para factorizar un trinomio?

3. a) Explique paso a paso el procedimiento para factorizar 6x2  x  12.

2. En un examen, Luis González escribió la siguiente factorización, pero el profesor la consideró incompleta. Explique por qué.

b) Factorice 6x2  x  12 mediante el procedimiento que explicó en la parte a).

15x2 - 21x - 18 = 15x + 3213x - 62.

4. a) Explique paso a paso el procedimiento para factorizar 8x2  26x  6.

Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 325 b) Factorice 8x2  26x  6 mediante el procedimiento que explicó en la parte a). 5. El polinomio 2x2  8x  6  (x  3)(2x  2), ¿se ha factorizado completamente? Si no es así, proporcione la factorización completa. Explique. 6. El polinomio x3  3x2  10x  (x2  2x)(x  5), ¿se ha factorizado completamente? Si no es así, proporcione la factorización completa. Explique.

7. El polinomio 3x3  6x2  24x  x(x  4)(3x  6), ¿se ha factorizado completamente? Si no es así, proporcione la factorización completa. Explique. 8. El polinomio x4  11x3  30x2  x2(x  5)(x  6), ¿se ha factorizado completamente? Si no es así, proporcione la factorización completa. Explique.

Al factorizar un trinomio con la forma ax2  bx  c, ¿cuál será el signo entre los términos de los factores binomiales, si: 9. a 7 0, b 7 0, y c 7 0

10. a 7 0, b 7 0, y c 6 0

11. a 7 0, b 6 0, y c 6 0

12. a 7 0, b 6 0, y c 7 0

Problemas de aplicación Factorice de forma completa cada trinomio. Si el polinomio es primo, indíquelo. 13. x 2 + 7x + 12

15. b2 - 10b + 9

14. a 2 - 2a - 15

2

16. y - 9y + 20

2

18. z2 + 4z + 4

2

17. c - 12c + 36

2

19. y - 18y + 81

20. r + 22r + 121

21. x 2 - 34x + 64

22. x 2 + 11x - 210

23. x2 - 13x - 30 26. - x 2 - 15x - 56 29. m2 - 7mn + 10n2

24. p2 - 6p - 19

2

25. - a + 18a - 45 28. a 2 + 6ab + 8b2 2

2

32. b - 12bc - 45c

31. 4r + 12r - 16 3

2

38. - 3b2 - 14b + 5

37. 3x - 3x - 6 40. 30z2 - 71z + 35

41. 8b2 - 2b - 3 44. 5z2 - 11z + 6

2

43. 6c + 11c - 10

47. 4x 2 + 4xy + 9y 2

46. 6r 4 + 5r 3 - 4r 2

3 5

2

2 5

55. a b - a b - 12ab 3 2

33. x3 - 3x2 - 18x 36. 4w 2 + 13w + 3 39. 6c2 - 13c - 63 42. 4a 2 + 43a + 30 45. 16p2 - 16pq - 12q 2 48. 32x 2 - 22xy + 3y 2 51. 9y 2 - 104y - 48 54. x 5y - 3x 4y - 18x 3y

35. 5a - 8a + 3

2

49. 18a + 18ab - 8b 52. 8x 2 + 30xy - 27y 2

30. -3x 2 - 12x - 9

2

2

34. x + 14x + 33x

2

27. x 2 + xy + 6y 2

50. 6r 2 + 7rs + 8s 2 53. 100b2 - 90b + 20 5

2 3

58. 6p q - 24p q - 30pq

56. a 3b + 2a 2b - 35ab 4

61. 30x 2 - x - 20 64. 8b3c2 + 28b2c3 + 12bc4

57. 3b4c - 18b3c2 + 27b2c3

59. 8m n + 4m n - 24m n

60. 18x 2 + 9x - 20

62. 36x 2 - 23x - 8

63. 8x 4y 4 + 24x 3y 4 - 32x 2y 4

8 3

7 4

6 5

Factorice de forma completa cada trinomio. 65. x 4 + x 2 - 6 4

2

67. b + 9b + 20 4

2

69. 6a + 5a - 25 71. 41x + 122 + 81x + 12 + 3 73. 61a + 222 - 71a + 22 - 5 75. x 2y 2 + 9xy + 14 2 2

77. 2x y - 9xy - 11

79. 2y 15 - y2 - 7y15 - y2 + 515 - y2 2

81. 2p21p - 32 + 7p1p - 32 + 61p - 32 6

3

83. a - 7a - 30

85. x 1x + 32 + 3x1x + 32 + 21x + 32 2

87. 5a 5b2 - 8a 4b3 + 3a 3b4

66. y 4 + 7y 2 + 12 68. c4 - 8c2 + 12

70. 12x + 122 + 212x + 12 - 15 72. 12y + 322 - 12y + 32 - 6

74. 61p - 522 + 111p - 52 + 3 76. a 2b2 + 6ab - 27 78. 3b2c2 - bc - 2

80. 2y21y + 22 + 13y1y + 22 + 151y + 22 82. 3x 21x - 22 + 5x1x - 22 - 21x - 22 84. 2y6 - 9y 3 - 5

86. x 21x + 62 - x1x + 62 - 301x + 62 88. 2x 2y 6 + 3xy 5 - 9y 4

326 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Resolución de problemas En los ejercicios 89 a 92, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de cada región sombreada.Vea el ejemplo 8.

89.

90. 2 2

x2

x2

1 3

x5

x4

91.

92. 1 1

x4

x3

3

2 x5 x5

93. Si los factores de un polinomio son (2x  3y) y (x  4y), encuentre el polinomio. Explique cómo determinó su respuesta. 94. Si los factores de un polinomio son 3, (4x  5) y (2x  3), encuentre el polinomio. Explique cómo determinó su respuesta. 95. Si sabemos que un factor del polinomio x2  3x  18 es x  3, ¿cómo podemos determinar el otro factor? Determine el otro factor. 96. Si sabemos que un factor del polinomio x2  xy  6y2 es x  3y, ¿cómo podemos determinar el otro factor? Determine el otro factor. 97. a) De los siguientes trinomios, ¿cuál será más difícil de factorizar por el método de prueba y error? Explique su respuesta.

98. a) De los siguientes trinomios, ¿cuál será más difícil de factorizar por el método de prueba y error? Explique su respuesta.

48x2 + 26x - 35 o 35x2 - 808x + 69 b) Factorice ambos trinomios. 99. Determine todos los valores enteros de b para los que 2x2  bx  5 es factorizable. 100. Determine todos los valores enteros de b para los que 3x2  bx  7 es factorizable. 101. Si x2  bx  5 es factorizable, ¿cuáles son los únicos dos valores posibles de b? Explique. 102. Si x2  bx  c es factorizable y c es un número primo, ¿cuáles son los únicos dos factores posibles de b? Explique.

30x2 + 23x - 40 o 49x2 - 98x + 13 b) Factorice ambos trinomios.

Considere el trinomio ax2  bx  c. Más adelante en el curso aprenderá que si la expresión b2  4ac, denominada el discriminante, no es un cuadrado perfecto, el trinomio no puede factorizarse en el conjunto de enteros. Cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, 49, etcétera. La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es un número entero no negativo. En los ejercicios 103 a 106, a)) determine el valor de b2  4ac. b)) Si b2  4ac es un cuadrado perfecto, factorice el polinomio; si b2  4ac no es un cuadrado perfecto, indique que el polinomio no puede factorizarse. 103. x 2 - 8x + 15 2

105. x - 4x + 6 107. Construya un trinomio factorizable con la forma x2  (c  1)x  c, en donde c es un número real.

104. 6y 2 - 5y - 6 106. 3t2 - 6t + 2 108. Construya un trinomio factorizable con la forma x2  (c  1)x  c, en donde c es un número real.

Factorice completamente. Suponga que las variables en los exponentes representan enteros positivos. 109. 4a 2n - 4a n - 15

110. a 21a + b2 - 2ab1a + b2 - 3b21a + b2

113. x 2n + 3x n - 10

114. 9r 4y + 3r 2y - 2

111. x 21x + y22 - 7xy1x + y22 + 12y 21x + y22

112. 3m21m - 2n2 - 4mn1m - 2n2 - 4n21m - 2n2

Sección 5.6 • Fórmulas especiales de factorización • 327 115. Considere x2  2x  8  (x  4)(x  2). a) Explique cómo puede comprobar esta factorización mediante gráficas en su calculadora graficadora. b) Compruebe si la factorización es correcta siguiendo el procedimiento que explicó en la parte a).

116. Considere 6x3  11x2  10x  x(2x  5)(3x  2). a) Explique cómo puede comprobar esta factorización utilizando la característica TABLE de una calculadora graficadora. b) Compruebe si la factorización es correcta siguiendo el procedimiento que explicó en la parte a).

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 117. Resuelva F =

9 C + 32 para C. 5

3 -2 3 [4.5] 119. Evalúe el determinante 3 2 1 -4 [5.2] 120. Multiplique 31x + y2 + 542. [5.3] 121. Factorice 2x3  4x2  5x  10.

[3.3] 118. Grafique y  3x  4.

-1 -2 3 . 1

5.6 FÓRMULAS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN

1

1

Factorizar la diferencia de dos cuadrados.

2

Factorizar trinomios cuadrados perfectos.

3

Factorizar la suma y la diferencia de dos cubos.

Factorizar la diferencia de dos cuadrados En esta sección se presentan algunas fórmulas especiales para factorizar la diferencia de dos cuadrados, trinomios cuadrados perfectos, y la suma y diferencia de dos cubos. Le será de utilidad memorizar estas fórmulas. La expresión x2  9 es un ejemplo de la diferencia de dos cuadrados.

x2 - 9 = 1x22 - 1322

Para factorizar la diferencia de dos cuadrados, es conveniente usar la fórmula para la diferencia de dos cuadrados, misma que se analizó en la sección 5.2 cuando hablamos del producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (binomios conjugados). Diferencia de dos cuadrados a2 - b2 = 1a + b21a - b2

EJEMPLO 1

Factorice las siguientes expresiones mediante la fórmula de la diferencia de dos cuadrados. a) x 2 - 16

Solución

b) 25x 2 - 9y 2

Reescriba cada expresión como una diferencia de dos cuadrados. Luego utilice la fórmula. a) x2 - 16 = 1x22 - 1422

= 1x + 421x - 42

b) 25x2 - 9y2 = 15x22 - 13y22

= 15x + 3y215x - 3y2

EJEMPLO 2

Factorice las siguientes diferencias de cuadrados. a) x 6 - y 4

Solución

✺

b) 2z4 - 162x 6

Reescriba cada expresión como una diferencia de dos cuadrados. Luego utilice la fórmula. a) x6 - y4 = 1x32 - 1y22 2

2

= 1x3 + y221x3 - y22

328 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

b) 2z4 - 162x 6 = 21z4 - 81x 62

= 231z22 - 19x32 4 = 21z2 + 9x321z2 - 9x32 2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17

EJEMPLO 3 Solución

2

✺

Factorice x  16y . 4

4

x4 - 16y4 = 1x22 - 14y22 = 1x2 + 4y221x2 - 4y22 2

2

Observe que (x2  4y2) también es una diferencia de dos cuadrados. Utilice la fórmula de la diferencia de dos cuadrados una segunda vez para obtener

= 1x2 + 4y2231x22 - 12y224 = 1x2 + 4y221x + 2y21x - 2y2

EJEMPLO 4 Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25

✺

Factorice (x  5)2  49 mediante la fórmula para la diferencia de dos cuadrados. Primero expresamos (x  5)2  49 como una diferencia de dos cuadrados.

1x - 522 - 49 = 1x - 522 - 72 = 31x - 52 + 7431x - 52 - 74 = 1x + 221x - 122

✺

Observación: No es posible factorizar la suma de dos cuadrados con la forma a2  b2 en el conjunto de los números reales. Por ejemplo, no es posible factorizar x2  4, ya que x2  4  x2  22, es una suma de dos cuadrados (y no una diferencia de cuadrados).

2

Factorizar trinomios cuadrados perfectos En la sección 5.2, vimos que

1a + b22 = a2 + 2ab + b2 1a - b22 = a2 - 2ab + b2

Si invertimos los lados izquierdo y derecho de estas dos fórmulas, obtenemos dos fórmulas especiales de factorización. Trinomios cuadrados perfectos a2 + 2ab + b2 = 1a + b22 a2 - 2ab + b2 = 1a - b22

Estos dos trinomios se denominan trinomios cuadrados perfectos, ya que cada uno es el cuadrado de un binomio. Para ser un trinomio cuadrado perfecto, el primero y el último términos debe ser el cuadrado de alguna expresión, y el término central debe ser el doble del producto del primero y último términos. Cuando se le pida factorizar un trinomio, determine si es un trinomio cuadrado perfecto antes de intentar factorizarlo mediante los procedimientos explicados en la sección 5.5. Si es un trinomio cuadrado perfecto, puede factorizarlo mediante las fórmulas indicadas con anterioridad. Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos

y2 + 6y + 9 o y2 + 21y2132 + 32 9a2b2 - 24ab + 16 o 13ab22 - 213ab2142 + 42 2 1r + s2 + 101r + s2 + 25 o 1r + s22 + 21r + s2152 + 52 Ahora factoricemos algunos trinomios cuadrados perfectos.

Sección 5.6 • Fórmulas especiales de factorización • 329

EJEMPLO 5 Solución

Factorice x2  8x  16. Como el primero y último términos, x2 y 42, son cuadrados, este trinomio podría ser un trinomio cuadrado perfecto. Para determinar si lo es, tome el doble del producto de x y 4 para ver si obtiene 8x.

21x2142 = 8x Como 8x es el término central, y como su signo es negativo, factorice como sigue:

x2 - 8x + 16 = 1x - 422

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29

EJEMPLO 6 Solución

Factorice 9x4  12x2  4. El primer término es un cuadrado, (3x2)2, lo mismo que el último término, 22. Como 2(3x2)(2)  12x2, factorizamos como sigue:

9x4 - 12x2 + 4 = 13x2 - 22

EJEMPLO 7 Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 39

EJEMPLO 8 Solución

✺

2

✺

Factorice (a  b)2  6(a  b)  9. El primer término, (a  b)2, es un cuadrado. El último término, 9 o 32, también. El término central es 2(a  b)(3)  6(a  b). Por lo tanto, éste es un trinomio cuadrado perfecto. Así,

1a + b22 + 61a + b2 + 9 = 31a + b2 + 342 = 1a + b + 322

✺

Factorice x2  6x  9  y2. Como x2  6x  9 es un trinomio cuadrado perfecto que puede expresarse como (x  3)2, escribimos

1x - 322 - y2

Ahora (x  3)2  y2 es una diferencia de cuadrados; por lo tanto

1x - 322 - y2 = 31x - 32 + y431x - 32 - y4 = 1x - 3 + y21x - 3 - y2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45

Así, x2  6x  9  y2  (x  3  y)(x  3  y).

✺

El polinomio del ejemplo 8 tiene cuatro términos. En la sección 5.4 aprendimos a factorizar por agrupación los polinomios con cuatro términos. Si analiza el ejemplo 8, verá que sin importar cuánto se trate, los cuatro términos no pueden acomodarse de modo que tanto los primeros dos términos como los últimos dos tengan un factor común. Siempre que un polinomio con cuatro términos no pueda factorizarse por agrupación, intente reescribir tres de los términos como el cuadrado de un binomio, y luego factorice mediante la fórmula de la diferencia de dos cuadrados.

EJEMPLO 9 Solución

Factorice 4a2  12ab  9b2  25. Primero comprobamos que este polinomio de cuatro términos no puede factorizarse por agrupación. Después, lo analizamos para determinar si tres de los términos que lo conforman pueden expresarse como el cuadrado de un binomio. Ya que esto es posible, escribimos los tres términos como el cuadrado de un binomio. Para completar la factorización, utilizamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados.

4a2 + 12ab + 9b2 - 25 = 12a + 3b22 - 52

= 312a + 3b2 + 54312a + 3b2 - 54 = 12a + 3b + 5212a + 3b - 52

✺

330 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

3

Factorizar la suma y la diferencia de dos cubos Al principio de esta sección factorizamos la diferencia de dos cuadrados. Ahora factorizaremos la suma y la diferencia de dos cubos. Considere el producto de (a  b) (a2  ab  b2).

a2 - ab + b2 a + b 2 a b - ab2 + b3 3 a - a2b + ab2 a3 + b3 Así, a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2). También mediante la multiplicación podemos mostrar que a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2). Las fórmulas para factorizar la suma y la diferencia de dos cubos aparecen en los siguientes recuadros.

Suma de dos cubos a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22

Diferencia de dos cubos a3 - b3 = 1a - b21a2 + ab + b22

EJEMPLO 10 Solución

Factorice x3  64. Reescriba x3  64 como una suma de dos cubos, x3  43. Determine que x corresponda a a y 4 a b. Luego factorice mediante la fórmula de la suma de dos cubos.

a 3 + b3 = p p x3 + 43 = =

1a + b21a2 - a b + b22 p p p pp p 1x + 423x2 - x142 + 424 1x + 421x2 - 4x + 162

✺

Así, x3  64  (x  4)(x2  4x  16).

EJEMPLO 11 Solución

Factorice 27x3  8y6. Primero observamos que 27x3 y 8y6 no tienen factores comunes distintos de 1. Como podemos expresar a 27x3 y a 8y6 como cubos, podemos factorizar mediante la fórmula para la diferencia de dos cubos.

27x3 - 8y6 = 13x23 - 12y22

3

= 13x - 2y22313x22 + 13x212y22 + 12y22 4 2

= 13x - 2y2219x2 + 6xy2 + 4y42

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57

EJEMPLO 12 Solución

Así, 27x3  8y6  (3x  2y2)(9x2  6xy2  4y4). Factorice 8y3  64x6. Primero factorice 8, que es común a los dos términos.

8y3 - 64x6 = 81y3 - 8x62 Ahora factorice y3  8x6 escribiéndolo como una diferencia de dos cubos.

✺

Sección 5.6 • Fórmulas especiales de factorización • 331

81y3 - 8x62 = 831y23 - 12x22 4 2 = 81y - 2x223y2 + y12x22 + 12x22 4 = 81y - 2x221y2 + 2x2y + 4x42 3

Así, 8y2  64x6  8(y  2x2)(y2  2x2y  4x4).

EJEMPLO 13 Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65

SUGERENCIA

✺

Factorice (x  2)3  125. Escriba (x  2)3  125 como una suma de dos cubos; luego factorice utilizando la fórmula para la suma de dos cubos.

1x - 223 + 1523 = 31x - 22 + 5431x - 222 - 1x - 22152 + 15224 = 1x - 2 + 521x2 - 4x + 4 - 5x + 10 + 252 = 1x + 321x2 - 9x + 392

✺

El cuadrado de un binomio tiene un 2 como parte del término central del trinomio.

1a + b22 = a2 + 2ab + b2 1a - b22 = a2 - 2ab + b2

La suma o la diferencia de dos cubos tiene un factor similar al del trinomio en el cuadrado del binomio. Sin embargo, el término central no incluye un 2.

a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22

a 3 - b3 = 1a - b21a2 + ab + b22 $'%'& no es 2ab

EJEMPLO 14

Volumen Utilizando los cubos de la figura 5.16, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre sus volúmenes.

4x 3 4x

FIGURA 5.16

Solución

4x Cubo grande

3

3

Cubo pequeño

Para encontrar la diferencia entre los volúmenes, reste el volumen del cubo pequeño del volumen del cubo grande. Volumen del cubo grande  (4x)3 Volumen del cubo pequeño  33 Diferencia entre los volúmenes  (4x)3 – 33

Restar volúmenes.

 (4x – 3)[(4x)2  (4x)3  32] Factorizar.  (4x – 3)(16x2  12x  9) AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 87

Simplificar.

La diferencia entre los volúmenes de los dos cubos es (4x  3)(16x2  12x  9).

✺

332 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Conjunto de ejercicios 5.6 Ejercicios conceptuales 1. a) Explique cómo factorizar la diferencia de dos cuadrados. b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a), factorice x2  16. 2. Explique por qué una suma de dos cuadrados, a2  b2, no puede factorizarse en el conjunto de los números reales. 3. Explique cómo se determina si un trinomio es un trinomio cuadrado perfecto. 4. a) Explique cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto. b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a), factorice x2  12x  36.

5. Proporcione la fórmula para factorizar la suma de dos cubos. 6. Proporcione la fórmula para factorizar la diferencia de dos cubos. 7. El polinomio x2  14x  49  (x  7)(x  7), ¿está factorizado de manera correcta? Explique. 8. El polinomio x2  14x  49  (x  7)2, ¿está factorizado de manera correcta? Explique. 9. El polinomio x2  81  (x  9)2, ¿está factorizado de manera correcta? Explique. 10. El polinomio x2  64  (x  8)(x  8), ¿está factorizado de manera correcta? Explique.

Problemas de aplicación Utilice la fórmula para la diferencia de dos cuadrados o la fórmula del trinomio cuadrado perfecto para factorizar cada polinomio. 11. x 2 - 81 14. 1 - 4x 2

12. x 2 - 25 15. 1 - 36b2

13. a 2 - 100 16. x 2 - 81y 2

17. 25 - 16y4

18. a 6 - 144b4

19.

21. x 2y 2 - 121c2

22. 4a 2c2 - 16x 2y 2

20. 23. 26.

29. 32. 35. 38. 41. 44. 47. 50.

1 - z2 49 0.04x2 - 0.09 144 - 1a + b22 x2 + 10x + 25 b2 - 18b + 81 0.81x2 - 0.36x + 0.04 b4 - 12b2 + 36 1y - 322 + 81y - 32 + 16 p2 + 2pq + q2 - 16r2 9 - 1c2 - 8c + 162 z6 - 14z3 + 49

24. 27. 30. 33. 36.

39. 42.

45. 48.

0.16p2 - 0.81q2 a2 - 13b + 22 49 - 14t + t2 4x2 - 20xy + 25y2 0.25x2 - 0.40x + 0.16 1x + y22 + 21x + y2 + 1 a4 - 2a2b2 + b4 25 - 1x2 + 4x + 42 14a - 3b22 - 12a + 5b22

1 - y2 25

25. 36 - 1x - 622 28. 12c + 322 - 9 31. 4 + 4a + a 2 34. 36p2q 2 + 12pq + 1 37. y 4 + 4y 2 + 4 40. 1a + 122 + 61a + 12 + 9 43. x 2 + 6x + 9 - y 2 46. 9a 2 - 12ab + 4b2 - 9 49. y 4 - 6y 2 + 9

Factorice mediante la fórmula para la suma o diferencia de dos cubos. 51. x 3 - 27 54. 8 - b3

57. 27y3 - 8x 3 60. x 6 + y 9 63. 1x + 123 + 1 66. 12x + y23 - 64

52. 55. 58. 61. 64. 67.

a3 + 125 p3 - 27a3 5x3 + 40y3 2b3 - 250c3 1a - 323 + 8 b3 - 1b + 323

64 - a3 w3 - 216 32a3 - 108b3 16x6 - 250y3 65. 1a - b23 - 27 68. 1m - n23 - 1m + n23 53. 56. 59. 62.

Factorice usando una de las fórmulas especiales para factorizar. 69. 121y 4 - 49x 2 72. 49 - 64x 2y 2 75. x 3 - 64

70. a 4 - 4b4 73. 25x 4 - 81y 6 76. 2a 2 - 24a + 72

71. 16y 2 - 81x 2 74. 1x + y22 - 16 77. 9x 2y 2 + 24xy + 16

Sección 5.6 • Fórmulas especiales de factorización • 333 78. a 4 + 12a 2 + 36 2

81. x - 2x + 1 - y 2

80. 8y 3 - 125x 6

79. a 4 + 2a 2b2 + b4 2

2

83. 1x + y23 + 1

2

82. 4r + 4rs + s - 9

85. 1m + n2 - 12m - n2 2

2

84. 9x - 6xy + y - 4

86. 1r + p23 + 1r - p23

2

Resolución de problemas En los ejercicios 87 a 90, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de cada pareja de cubos. Vea el ejemplo 14. 88.

87.

3x

5y 4

2 3x

2

3x

5y

89.

4

5y

2

4

90.

6a

7p

2r

b 6a

7p

b

6a

2r

7p

b

2r

En los ejercicios 91 y 92, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la suma de los volúmenes de cada pareja de cubos. 91.

92.

4x

8b 3a

4x

3a

4x

5c 8b

3a

5c

8b

5c

En los ejercicios 93 a 97, a) determine el área o volumen de la figura sombreada mediante la sustracción del área o volumen más pequeño del más grande. La fórmula para encontrar el área o volumen se indica debajo de cada figura. b) Escriba la expresión obtenida en la parte a) en forma factorizada. Parte del MFC de los ejercicios 94, 96 y 97 es p. 93.

94.

Cuadrados

95.

96.

97.

Sólido rectangular

Círculos

h

R b b

a

A  s2

R

r a

a A  pr2

Esfera

Cilindro

r

b 6a

b

R r

a V  lwh

V  pr2h

V  dpr 3

334 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales 98. Área y volumen Se hace un agujero circular en un cubo de madera, tal como se muestra en la figura.

104. Área La fórmula para calcular el área de un círculo es A  pr2, donde r es el radio. Suponga que el área de un círculo es la que se indica a continuación. A(x)  9px2  12px  4p

x

r(x)

x x

a) Escriba una expresión en forma factorizada, en términos de x, para calcular el área de la sección transversal de la madera restante. b) Escriba una expresión en forma factorizada, en términos de x, para calcular el volumen de la madera restante. 99. Determine dos valores de b que hagan de 4x2  bx  9 un trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su respuesta. 100. Determine dos valores de c que hagan de 16x2  cx  4 un trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su respuesta. 101. Determine el valor de c que hace de 25x  20x  c un trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su respuesta.

105. 106. 107. 108. 109.

a) explique cómo determinar el radio, r(x), b) determine r(x), c) determine r(4). Factorice x4  64 escribiendo la expresión como (x4  16x2  64)  16x2, que es una diferencia de dos cuadrados. Factorice x4  4 sumando y restando 4x2. (Vea el ejercicio 105). Si P(x)  x2, utilice la diferencia de dos cuadrados para simplificar P(a  h)  P(a). Si P(x)  x2, utilice la diferencia de dos cuadrados para simplificar P(a  1)  P(a). Suma de áreas La figura muestra cómo completar el cuadrado. La suma de las áreas de las tres partes del cuadrado que están sombreadas en gris es

x2 + 4x + 4x o x2 + 8x

2

x x

102. Determine el valor de d que hace de 49x2  42x  d un trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su respuesta. 103. Área Una fórmula para calcular el área de un cuadrado es A  s2, donde s es la longitud de un lado. Suponga que el área de un cuadrado es la que se indica a continuación. A(x)  25x2  30x  9

s(x)

a) explique cómo determinar la longitud del lado x, s(x), b) determine s(x),

4

4

a) Determine el área de la cuarta parte (en rojo) para completar el cuadrado. b) Determine la suma de las áreas de las cuatro partes del cuadrado. c) Este procedimiento ha dado como resultado un trinomio cuadrado perfecto en la parte b). Escriba el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio. 110. Factorice (m  n)3  (9  n)3.

c) determine s(2). Factorice completamente. 111. 64x 4a - 9y 6a 113. a 2n - 16a n + 64 115. x 3n - 8

112. 16p8w - 49p6w 114. 144r 8k + 48r 4k + 4 116. 27x 3m + 64x 6m

En los ejercicios 117 y 118, utilice su calculadora graficadora para comprobar la factorización. Indique si la factorización es correcta o no. Explique sus respuestas. ?

117. 2x 2 - 18 = 21x + 321x - 32

?

118. 8x 3 + 27 = 2x14x 2 + 5x + 92

Sección 5.7 • Repaso general de factorización • 335

Reto 119. La expresión x6  1 puede factorizarse usando la diferencia de dos cuadrados o la diferencia de dos cubos. Al principio los factores no parecen ser los mismos, pero con un poco de manipulación algebraica puede demostrarse que son iguales. Factorice x6  1 mediante a) la

diferencia de dos cuadrados, y b) la diferencia de dos cubos. c) Muestre que ambas respuestas son iguales, factorizando completamente las respuestas obtenidas en la parte a). Luego multiplique los dos binomios por los dos trinomios.

Actividad en equipo Analice y responda en equipo el ejercicio 120. 120. Más adelante en el curso necesitaremos construir trinomios cuadrados perfectos. Examinen algunos trinomios cuadrados perfectos con coeficiente principal 1. a) Expliquen cómo están relacionados b y c, si el trinomio x2  bx  c es un trinomio cuadrado perfecto.

b) Construyan un trinomio cuadrado perfecto, si los primeros dos términos son x2  6x. c) Construyan un trinomio cuadrado perfecto, si los primeros dos términos son x2  10x. d) Construyan un trinomio cuadrado perfecto, si los primeros dos términos son x2  14x.

Ejercicios de repaso acumulativo [2.1] 121. Simplifique 2[3x  (2y  1)  5x]  y. [3.6] 122. Si f(x)  x2  3x  4 y g(x)  2x  5, determine (g  f)(1).

[5.4] 124. Factorice el máximo factor común de 45y12  30y10. 125. Factorice 12x2  9xy  4xy  3y2.

[4.4] 123. Ángulos Un ángulo recto se divide en tres ángulos más pequeños. El más grande de los tres mide el doble del más pequeño. El ángulo restante mide 10° más que el ángulo más pequeño. Determine la medida de cada ángulo.

5.7 REPASO GENERAL DE FACTORIZACIÓN 1

1

Factorizar polinomios mediante una combinación de técnicas.

Factorizar polinomios mediante una combinación de técnicas Hemos presentado varios métodos para factorizar. Ahora combinaremos problemas y técnicas de las secciones anteriores. Un procedimiento general para factorizar cualquier polinomios es el siguiente. Para factorizar un polinomio 1. Determine si todos los términos del polinomio tienen un máximo factor común distinto de 1. Si es así, factorice el MFC. 2. Si el polinomio tiene dos términos, determine si es una diferencia de dos cuadrados o una suma o diferencia de dos cubos. En cualquiera de estos casos, factorice utilizando la fórmula adecuada.

(continúa en la página siguiente)

336 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

3. Si el polinomio tiene tres términos, determine si es un trinomio cuadrado perfecto. Si lo es, factorícelo como corresponde. De lo contrario, factorice el trinomio utilizando el método de prueba y error, por agrupación o por sustitución, como se explicó en la sección 5.5. 4. Si el polinomio tiene más de tres términos, intente factorizarlo mediante agrupación. Si eso no funciona, vea si tres de los términos son el cuadrado de un binomio. 5. Como paso final, examine el polinomio factorizado para ver si los factores enumerados tienen un factor común y se pueden factorizar más. Si encuentra un factor común, factorícelo.

Los siguientes ejemplos ilustran cómo utilizar este procedimiento.

EJEMPLO 1 Solución

Factorice 3x4  48x2. Primero verifique si existe un máximo factor común distinto de 1. Como 3x2 es común a ambos términos, factorícelo.

3x4 - 48x2 = 3x21x2 - 162 = 3x21x + 421x - 42

Observe que x2  16 se factoriza como una diferencia de dos cuadrados.

EJEMPLO 2 Solución

✺

Factorice 3x2y2  24xy2  48y2. Comience factorizando el MFC, 3y2, de cada término.

3x2y2 - 24xy2 + 48y2 = 3y21x2 - 8x + 162 = 3y21x - 422 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 27

EJEMPLO 3 Solución

Observe que x2  8x  16 es un trinomio cuadrado perfecto. Si no lo reconoce, también podrá obtener la respuesta correcta factorizando el trinomio en (x  4)(x  4). ✺ Factorice 24x2  6xy  16xy  4y2. Como siempre, comience por determinar si todos los términos del polinomio tienen un factor común. En este ejemplo, el número 2 es común a todos los términos. Factorice el 2; después factorice el polinomio de cuatro términos resultante mediante agrupación.

24x2 - 6xy + 16xy - 4y2 = 2112x2 - 3xy + 8xy - 2y22 = 233x14x - y2 + 2y14x - y24 = 214x - y213x + 2y2

EJEMPLO 4 Solución

Factorice 10a2b  15ab  20b.

10a2b - 15ab + 20b = 5b12a2 - 3a + 42 Como 2a2  3a  4 no puede factorizarse, concluimos aquí.

EJEMPLO 5 Solución

✺

Factorice 2x4y  54xy.

2x4y + 54xy = 2xy1x3 + 272 = 2xy1x + 321x2 - 3x + 92

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19 Observe que factorizamos x3  27 como una suma de dos cubos.

EJEMPLO 6 Solución

✺

Factorice 6x2  3x  6y2  9. Primero factorizamos el 3 de los cuatro términos.

6x2 - 3x + 6y2 - 9 = 312x2 - x + 2y2 - 32

✺

Sección 5.7 • Repaso general de factorización • 337

Ahora veremos si podemos factorizar los cuatro términos dentro de los paréntesis mediante agrupación. Como puede ver, esto no es posible, así que analizaremos si podemos escribir tres de los términos como el cuadrado de un binomio. Sin importar cómo los reordenemos, esto tampoco es posible. Concluimos que esta expresión no se puede factorizarse más. Por lo tanto,

6x 2 - 3x + 6y2 - 9 = 312x2 - x + 2y2 - 32

EJEMPLO 7 Solución

✺

Factorice 3x2  18x  27  3y2. Factorizamos el 3 de los cuatro términos.

3x2 - 18x + 27 - 3y2 = 31x2 - 6x + 9 - y22

Ahora intentaremos factorizar por agrupación. Como los cuatro términos entre paréntesis no pueden factorizarse por este método, veamos si podemos escribir tres de los términos como el cuadrado de un binomio. Ya que esto sí es posible, expresamos x2  6x  9 como (x  3)2 y después utilizamos la fórmula para la diferencia de dos cuadrados. Así,

3x2 - 18x + 27 - 3y2 = 331x - 322 - y24 = 331x - 3 + y21x - 3 - y24 = 31x - 3 + y21x - 3 - y2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43

SUGERENCIA CONSEJO PARA ESTUDIAR

✺

En esta sección hemos repasado todas las técnicas para la factorización de expresiones. Si todavía tiene problemas para factorizar, vuelva a estudiar el material de las secciones 5.4 a 5.6.

Conjunto de ejercicios 5.7 Ejercicios conceptuales 1. Explique los procedimientos que pueden utilizarse para factorizar un polinomio de a) dos términos, b) tres términos, y c) cuatro términos.

2. ¿Cuál es el primer paso en el procedimiento de factorización?

Problemas de aplicación Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios. 3. 3x 2 - 75

4. 3x 2 - 24x + 48 6. 6x 3y 2 + 10x 2y 3 + 8x 2y 2

2

5. 10s + 19s - 15 2

8. 4x 3 - 16x 2 - 48x

7. -8r + 26r - 15 9. 0.4x 2 - 0.036

10. 0.5x 2 - 0.08 12. 7x 2y 2z2 - 28x 2y 2

5

11. 6x - 54x 6

5

5

13. 3x - 3x + 12x - 12x

4

15. 5x 4y 2 + 20x 3y 2 + 15x 3y 2 + 60x 2y 2 4

2 2

17. x - x y 7 2

4 2

19. x y - x y 21. x 5 - 16x 23. 2x 6 + 16y 3 25. 21a + b22 - 50 27. 6x2 + 36xy + 54y2 29. 1x + 222 - 4

14. 2x 2y 2 + 6xy 2 - 10xy 2 - 30y 2 16. 6x 2 - 15x - 9 18. 6x 3 + 162 20. x 4 - 81 22. 12x 2y 2 + 33xy 2 - 9y 2 24. 8x 4 - 4x 3 - 4x 3 + 2x 2 26. 12x 3y 2 + 4x 2y 2 - 40xy 2 28. 3x 2 - 30x + 75 30. 4y 4 - 36x 6

338 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales 31. 12a + b212a - 3b2 - 12a + b21a - b2

32. pq - 6q + pr - 6r

35. 45a 4 - 30a 3 + 5a 2

36. 1x + 122 - 1x + 12 - 6

33. 1y + 52 + 41y + 52 + 4 2

37. x 3 +

34. b4 + 2b2 + 1

1 64

1 27

38. 8y 3 -

40. 6y 3 + 14y 2 + 4y

39. 3x 3 + 2x 2 - 27x - 18 3

41. a b - 64ab

42. x 6 + y 6

3

43. 81 - 1x2 + 2xy + y22

44. x 2 - 2xy + y 2 - 49

45. 24x 2 - 34x + 12

46. 40x 2 + 52x - 12 48. 71a - b22 + 41a - b2 - 3

2

47. 16x + 34x - 15

50. 1x + 222 - 121x + 22 + 36

49. x 4 - 16 51. 5bc - 10cx - 7by + 14xy

52. 16y 4 - 9y 2

53. 3x 4 - x 2 - 4

54. x 2 + 16x + 64 - 100y 2

55. y 2 - 1x 2 - 12x + 362

56. 4a 3 + 32

2

57. 21y + 42 + 51y + 42 - 12

58. x 6 + 11x 3 + 30

59. a 2 + 12ab + 36b2 - 16c2

60. y - y 3

61. 6x 4y + 15x 3y - 9x 2y

62. 4x 2y 2 + 12xy + 9

4

2 2

63. x - 2x y + y

4

64. 6r 2s 2 + rs - 1

Resolución de problemas Relacione cada ejercicio del 65 al 72 con las expresiones etiquetadas con los incisos del a) a h) a la derecha de ellos. 65. a 2 + b2

69. a 3 - b3

2

66. a + 2ab + b

2

2

70. a - 2ab + b

2

a) 1a + b21a 2 - ab + b22

e) no es factorizable

b) 1a - b22

f) 1a - b21a 2 + ab + b22 g) a 2 + ab + b2

67. a 3 + b3

71. un factor de a3  b3.

c) a 2 - ab + b2

68. a 2 - b2

72. un factor de a3  b3.

d) 1a + b22

h) 1a + b21a - b2

En los ejercicios 73 y 74, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el perímetro de cada figura. 73.

74. 5x  3 x2  3

7x  13

5x  12

x2  11

En los ejercicios 75 a 78, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada de cada figura. 76.

75. x

77.

78.

4

x

3 3

y

3

x4

5

y 3

5

5 x

4 5

4

5

5

5

x5 x

5

Sección 5.7 • Repaso general de factorización • 339 En los ejercicios 79 y 80, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de cada par de cubos. 79.

80.

5x

4x

2y

3 5x

4x

3

5x

2y

4x

3

2y

En los ejercicios 81 a 84, a) escriba una expresión para calcular el área sombreada de la figura, y b) escriba la expresión en forma factorizada. 81.

82.

b

b a a

ab

a a

a

83.

84.

a

xy a

x

y

x

y

b 2b

85.

b

Área de la superficie a) Escriba una expresión para calcular el área de la superficie de los cuatro lados de la caja que se ilustra a continuación (no tome en cuenta la tapa ni la base). b) Escriba la expresión en forma factorizada.

86. Explique cómo puede utilizarse la fórmula de factorización de la diferencia de dos cubos para factorizar x3  27. 87. a) Explique cómo construir un trinomio cuadrado perfecto. b) Construya un trinomio cuadrado perfecto y luego muestre sus factores.

ab b

a

Reto En este capítulo sólo hemos trabajado con exponentes enteros; sin embargo, en una expresión también pueden factorizarse los exponentes fraccionarios. Las siguientes expresiones no son polinomios. a) En cada expresión factorice la variable con el exponente menor (o más negativo). (Los exponentes fraccionarios se analizarán en la sección 7.2). b) Factorice completamente. 88. x2  5x3  6x4, factorice x4.

89. x3  2x4  3x5, factorice x5.

90. x5/2  3x3/2  4x1/2, factorice x1/2.

91. 5x1/2  2x1/2  3x3/2, factorice x3/2.

340 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Ejercicios de repaso acumulativo [2.1]

92. Resuelva 6(x  4)  4(3x  3)  6.

[2.6] 93. Determine el conjunto solución para `

6 + 2z ` 7 2. 3

[4.3] 94. Mezcla de cafés Juan Morales piensa abrir una tienda de abarrotes, y desea mezclar 30 libras de café

para vender a un costo total de $170. Por obtener la mezcla, utilizará café que vende a $5.20 por libra y café que vende a $6.30 por libra. ¿Cuántas libras de cada café debe utilizar? [5.2] 95. Multiplique (5x  4)(x2  x  4). [5.4] 96. Factorice 2x3  4x2  5x  10.

5.8 ECUACIONES POLINOMIALES 1

Usar la propiedad del factor nulo para resolver ecuaciones.

2

Usar la factorización para resolver ecuaciones.

3

Usar la factorización para resolver problemas de aplicación.

4

Usar la factorización para determinar las intersecciones del eje x de una función cuadrática.

Siempre que se establece que dos polinomios son iguales entre sí, tenemos una ecuación polinomial. Ejemplos de ecuaciones polinomiales

x2 + 2x = x - 5 y3 + 3y - 2 = 0 4x4 + 2x2 = - 3x + 2 El grado de una ecuación polinomial es el mismo que el del término con mayor grado. Por ejemplo, las tres ecuaciones anteriores tienen grados 2, 3 y 4, respectivamente. Con frecuencia, una ecuación de segundo grado con una variable se denomina ecuación cuadrática. Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

3x2 + 6x - 4 = 0 5x = 2x2 - 4 1x + 421x - 32 = 0 Cualquier ecuación cuadrática puede escribirse en la forma general. Forma general de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, a Z 0 donde a, b y c son números reales.

Antes de continuar, asegúrese de que puede convertir cada una de las tres ecuaciones cuadráticas dadas anteriormente a su forma general, con a  0.

1

Usar la propiedad del factor nulo para resolver ecuaciones Para resolver ecuaciones utilizando factorización, empleamos la propiedad del factor nulo. Propiedad del factor nulo Para todos los números reales a y b, si a  b  0, entonces a  0 o b  0, o bien a y b  0.

Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 341

La propiedad del factor nulo indica que, si el producto de dos factores es igual a cero, uno o ambos factores deben ser cero.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva la ecuación (x  5)(x  2)  0. Como el producto de los factores es igual a 0, según la propiedad del factor nulo, uno o ambos factores deben ser iguales a cero. Igualamos cada factor a 0 y resolvemos cada ecuación por separado.

x + 5 = 0 x = -5

o

x - 2 = 0 x = 2

Por lo tanto, si x es 5 o 2, el producto de los factores es 0.

x = -5 1x + 521x - 32 = ? 1 - 5 + 521 -5 - 32 = ? 01- 82 = 0 =

Compruebe

2

0 0 0 0

Verdadero

x = 2 1x + 521x - 22 = ? 12 + 5212 - 22 = ? 7102 = 0 =

0 0 0 0

Verdadero

✺

Usar la factorización para resolver ecuaciones A continuación se indica un procedimiento que puede utilizarse para obtener la solución de una ecuación mediante factorización. Para resolver una ecuación mediante factorización

EJEMPLO 2 Solución

1.

Utilice la propiedad de la suma para eliminar todos los términos de un lado de la ecuación. Con esto se obtendrá un lado de la ecuación igual a 0.

2.

Sume los términos semejantes en la ecuación y después factorice.

3.

Iguale a cero cada factor que contenga una variable. Resuelva las ecuaciones y determine las soluciones.

4.

Verifique las soluciones en la ecuación original.

Resuelva la ecuación 2x2  12x. Primero igualamos a cero el lado derecho de la ecuación, restando 12x en ambos lados. Después factorizamos el lado izquierdo de la ecuación.

2x2 - 12x = 0 2x1x - 62 = 0 Ahora igualamos a cero cada factor y despejamos x.

2x = 0 x = 0

o x - 6 = 0 x = 6

Una verificación mostrará que los números 0 y 6 satisfacen la ecuación 2x2  12x.

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

✺

La propiedad del factor nulo sólo puede utilizarse cuando un lado de la ecuación es igual a 0.

CORRECTO

INCORRECTO

1x - 421x + 32 = 0 x - 4 = 0 o x + 3 = 0 x = 4 x = -3

1x - 421x + 32 = 2 o x + 3 = 2 x - 4 = 2 x = 6 x = -1 (continúa en la página siguiente)

342 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

En el procedimiento incorrecto, ilustrado a la derecha, no se puede utilizar la propiedad del factor nulo, ya que el lado derecho de la ecuación no es igual a 0. El ejemplo 3 muestra cómo resolver estos problemas correctamente.

EJEMPLO 3 Solución

Resuelva la ecuación (x  1)(3x  2)  4x. Como el lado derecho de la ecuación no es igual a 0, no podemos utilizar aún la propiedad del factor nulo; en lugar de eso comenzamos por multiplicar los factores del lado izquierdo de la ecuación. Después restamos 4x en ambos lados para obtener 0 del lado derecho. Luego factorizamos y resolvemos la ecuación.

1x - 1213x + 22 = 4x 3x2 - x - 2 = 4x 2

3x - 5x - 2 = 0

13x + 121x - 22 = 0 3x + 1 = 0

o

x - 2 = 0

Multiplicar los factores. Hacer un lado igual a 0. Factorizar el trinomio. Propiedad del factor nulo.

x = 2 Resolver las ecuaciones.

3x = - 1 1 x = 3 1

Las soluciones son - 3 y 2. Compruebe estos valores en la ecuación original.

EJEMPLO 4 Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45

SUGERENCIA

✺

Resuelva la ecuación 3x2  2x  12  7x.

3x2 + 2x - 12 = - 7x 3x2 + 9x - 12 = 0 Haga un lado igual a 0. Factorizar 3. 31x 2 + 3x - 42 = 0 Factorizar el trinomio. 31x + 421x - 12 = 0 x + 4 = 0 x - 1 = 0 Propiedad del factor nulo. o x = -4 x = 1 Despejar x. Como el factor 3 no contiene una variable, no tenemos que igualarlo a cero. Sólo los números 4 y 1 satisfacen la ecuación 3x2  2x 12  7x. ✺ Al resolver una ecuación cuyo término principal tiene un coeficiente negativo, por lo general lo convertimos en positivo multiplicando ambos lados de la ecuación por 1. Esto facilita el procedimiento de factorización, como se muestra en el siguiente ejemplo.

-x2 + 5x + 6 = 0 - 11 -x2 + 5x + 62 = - 1 # 0 x2 - 5x - 6 = 0 Ahora podemos resolver la ecuación x2  5x  6  0 factorizando.

1x - 621x + 12 = 0 x - 6 = 0 x = 6

o

x + 1 = 0 x = -1

Los números 6 y –1 satisfacen la ecuación original: x2  5x  6  0.

Todas las ecuaciones de los ejemplos 1 a 4 fueron ecuaciones cuadráticas que se reescribieron en la forma ax2  bx  c  0 y se resolvieron por factorización. Otros

Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 343

métodos que pueden usarse para resolver ecuaciones cuadráticas son: completar el cuadrado y la fórmula cuadrática; analizaremos estos métodos en el capítulo 8. La propiedad del factor nulo puede extenderse a tres o más factores, como se muestra en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5 Solución

Resuelva la ecuación 2p3  7p2  3p  0. Primero factorizamos, y después igualamos a 0 cada factor que tenga p.

p = 0

2p3 + 7p2 + 3p = 0 Factorizar p. p12p2 + 7p + 32 = 0 Factorizar el trinomio. p12p + 121p + 32 = 0 o 2p + 1 = 0 o p + 3 = 0 Propiedad del factor nulo. p = - 3 Despejar p. 2p = - 1 1 p = 2

✺

Los números 0, - 12 , y 3 son soluciones de la ecuación.

Observe que la ecuación del ejemplo 5 no es una ecuación cuadrática, ya que el exponente del término principal es 3, no 2. Ésta es una ecuación cúbica o de tercer grado.

EJEMPLO 6

En la función f(x)  2x2  13x  16, determine todos los valores de a para los que f(a)  8.

Solución

Primero reescribimos la función como f(a)  2a2 – 13a – 16. Como f(a)  8, escribimos

2a2 - 13a - 16 = 8 Determine f(a) igual a 8. 2a2 - 13a - 24 = 0 Haga que un lado sea igual a 0. 12a + 321a - 82 = 0 Factorice el trinomio. 2a + 3 = 0 a - 8 = 0 Propiedad del factor nulo. o 2a = - 3 a = 8 Despeje a. 3 a = 2 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69

3

3 Si revisa estas respuestas, encontrará que f a - b = 8 y f182 = 8. 2

✺

Usar la factorización para resolver problemas de aplicación Ahora veamos algunos problemas de aplicación para cuya solución se utiliza la factorización.

EJEMPLO 7

Solución

Triángulo Una gran tienda de campaña tendrá una entrada en forma triangular (vea la figura 5.17). Determine la base y la altura de la entrada, si la altura medirá 3 pies menos que el doble de la base, y el área total de la entrada es de 27 pies cuadrados. Entienda el problema

Haga un dibujo de la entrada e incluya la información in-

dicada (figura 5.18). Área = 27 pies2 2x  3

FIGURA 5.17

FIGURA 5.18

x

344 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales Traduzca

Para resolver el problema, usaremos la fórmula para calcular el área de

un triángulo.

1 1base21altura2 2 1 27 = 1x212x - 32 2 A =

Realice los cálculos

Sustituir la base, la altura y el área con expresiones.

Multiplicar ambos lados 1 1x212x - 32 d por 2 para eliminar frac2 ciones. 54 = x12x - 32 54 = 2x2 - 3x Hacer que un lado sea igual a 0. o 2x2 - 3x - 54 = 0 12x + 921x - 62 = 0 Factorizar el trinomio. 2x + 9 = 0 x - 6 = 0 Propiedad del factor nulo. o Despejar x. 2x = - 9 x = 6 9 x = 2

21272 = 2 c

Como las dimensiones de una figura geométrica no pueden ser negativas, podemos eliminar x = - 92 como una respuesta para nuestro problema. Por lo tanto,

Responda

base  x  6 pies altura  2x  3  2(6)  3  9 pies.

EJEMPLO 8

✺

Altura Un cañón se coloca en la cima de un risco cuya altura es de 288 pies sobre el nivel de un lago que se encuentra junto a su base. Tras apuntar el cañón hacia arriba, se dispara una bala con una velocidad de 112 pies por segundo. La altura, h, en pies, en que se encuentra la bala de cañón respecto del nivel del lago en cualquier instante, t, se determina mediante la función

h1t2 = - 16t2 + 112t + 288 Determine el tiempo que le toma a la bala de cañón golpear el agua después de haber sido disparada.

Solución

Necesitamos hacer un dibujo para analizar mejor el problema (vea la figura 5.19). Cuando la bala golpea el agua, su altura respecto del lago es de 0 pies.

Entienda el problema

Valor máximo de h(t) 288 pies h(t)  16t2  112t  288

h(t)  0

FIGURA 5.19

Para resolver el problema necesitamos determinar el tiempo, t, cuando h(t)  0. Para ello establecemos que la función indicada sea igual a cero y despejamos t.

Traduzca

-16t2 + 112t + 288 - 161t2 - 7t - 182 -161t + 221t - 92 t + 2 = 0 t o t = -2

= 0 = 0 = 0 9 = 0 t = 9

Determinar h(t)  0. Factorizar 16. Factorizar el trinomio. Propiedad del factor nulo. Despejar t.

Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 345 Responda Como t es el número de segundos, 2 no es una respuesta posible. La AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 105 usa

ten

po Hi

bala de cañón golpeará el agua 9 segundos después de haber sido disparada.

✺

Teorema de Pitágoras Cateto

El siguiente problema de aplicación utiliza el teorema de Pitágoras. Los dos lados más

Ángulo cortos de un triángulo rectángulo (vea la figura 5.20) se denominan catetos, y el lado recto opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. El teorema de Pitágoras expresa la rela-

Cateto

ción entre los catetos y la hipotenusa del triángulo.

FIGURA 5.20

Teorema de Pitágoras El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus dos catetos; esto es cateto2  cateto2  hipotenusa2 Si a y b representan las longitudes de los catetos, y c representa la longitud de la hipotenusa, entonces c

b

a 2 + b2 = c 2 a

EJEMPLO 9

Alambre para un árbol Para ayudarle a crecer recto, Javier Andrade coloca un cable tirante en un árbol. La localización de los puntos de donde se amarra el cable (una estaca sobre el suelo y la parte superior e inferior del árbol), se indica en la figura 5.21. Determine la longitud del cable. Observe que la longitud del cable es la hipotenusa del triángulo imaginario.

Solución

Para resolver este problema utilizamos el teorema de Pitágoras. De acuerdo con la figura, vemos que los catetos son x y x  1, y que la hipotenusa es x  2. Entienda el problema

Traduzca

cateto2  cateto2  hipotenusa2

x + 1x + 12 = 1x + 22 2

x2

x1

x

FIGURA 5.21

2

Teorema de Pitágoras. Sustituir expresiones para los catetos y la hipotenusa.

Realice los cálculos x 2 + x 2 + 2x + 1 = x 2 + 4x + 4

Elevar al cuadrado los términos. 2x2 + 2x + 1 = x2 + 4x + 4 Simplificar. Hacer que un lado sea igual a 0. x2 - 2x - 3 = 0 1x - 321x + 12 = 0 Factorizar. x + 1 = 0 Resolver. x - 3 = 0 o

x = 3

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 99

2

x = -1

Responda Con base en la figura, sabemos que x no puede tener un valor negativo. Por lo tanto, la única respuesta posible es 3. La estaca está colocada a tres pies de distancia respecto del árbol. En la parte superior, el cable se sujeta al árbol a x  1 o 4 pies de altura respecto del piso. La longitud del cable es igual a x  2 o 5 pies. ✺

Cómo utilizar su calculadora graficadora Tanto los problemas de aplicación comentados en esta sección como el conjunto de ejercicios que sigue, se han escrito de modo que las ecuaciones cuadráticas sean factorizables. En la vida real, las ecuaciones cuadráticas por lo general no se pueden factorizar (en el conjunto de los números enteros), y necesitan resolverse de otras formas. Analizaremos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas que no son factorizables en las secciones 8.1 y 8.2. (continúa en la página siguiente)

346 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Puede determinar soluciones aproximadas a ecuaciones cuadráticas que no son factorizables por medio de su calculadora graficadora. Considere el siguiente ejemplo de la vida real.

EJEMPLO Antenas de celulares En Estados Unidos, el número de antenas repetidoras de señales de telefonía celular ha estado creciendo; entre 1996 y 2002, el número de estas antenas, N, en miles, puede calcularse por medio de la función N1t2 = - 1.45t2 + 21.88t + 25.44 en donde t es el número de años desde 1996. Determine el año en que el número de antenas repetidoras llegó a 80,000.

Solución Entienda el problema y traduzca Para responder esta pregunta necesitamos que la función N(t) sea igual a 80, y despejar t. -1.45t2 + 21.88t + 25.44 = 80 Determinar N(t)  80. No podemos resolver esta ecuación mediante factorización, pero sí utilizando una calculadora graficadora. Para hacerlo, denominamos a un lado de la ecuación y1 y al otro y2.

y1 = - 1.45x2 + 21.88x + 25.44 y2 = 80

Realice los cálculos

Ahora grafique las dos funciones en su calculadora grafica-

dora y utilice las teclas TRACE y ZOOM u otras teclas (por ejemplo la tecla

CALC con la opción 5, intersect, en la TI83 Plus) para obtener su respuesta. La [0, 6, 1, 0, 120, 30]

FIGURA 5.22

figura 5.22 ilustra la pantalla de una TI83 Plus, mostrando que la coordenada x de la intersección de las ecuaciones está aproximadamente en x  3.1520. Por consiguiente, en 1999 (3 años a partir de 1996) había casi 80,000 antenas repetidoras.

Responda

4 Utilizar la factorización para determinar las intersecciones del eje x de una función cuadrática Considere la gráfica de la figura 5.23. En las intersecciones del eje x, el valor de la función, o y, es 0. Así, si deseamos determinar las intersecciones del eje x de una gráfica, podemos establecer la función  0 y despejar x.

EJEMPLO 10

Determine las intersecciones del eje x de la gráfica que se obtiene al graficar y  x2  2x 8.

Solución

En las intersecciones del eje x, y tiene un valor de 0. Por lo tanto, para determinar las intersecciones del eje x escribimos

y

x2 - 2x - 8 = 0

y  f (x)

1x - 421x + 22 = 0

x - 4 = 0 x

FIGURA 5.23

x = 4

o

x + 2 = 0 x = -2

Las soluciones de x2  2x  8  0, son 4 y 2. Las intersecciones del eje x de la gráfica que se obtiene de y  x2  2x  8 son (2, 0) y (4, 0), como se ilustra en la figura 5.24.

Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 347 y

y  x2  2x  8

3 2

intersección del eje x en –2

intersección del eje x en 4

1 6 5 4 3

1 1

1

2

3

5

6

x

2 3 4 5

FIGURA 5.24

8 9

✺

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 75

Si conocemos las intersecciones del eje x de una gráfica, podemos determinar la ecuación de la gráfica. Lea el siguiente recuadro para aprender cómo hacerlo con ayuda de su calculadora graficadora.

Cómo utilizar su calculadora graficadora En el ejemplo 10 vimos que la gráfica que se obtuvo de y  x2  2x  8 tenía las intersecciones del eje x en 2 y 4. Si conocemos las intersecciones del eje x de una gráfica, podemos determinar ecuaciones cuyas gráficas sean esas intersecciones. Por ejemplo, Intersecciones del eje x en

Factores

Ecuación

1x + 221x - 42

-2 y 4

y = 1x + 221x - 42

o y = x2 - 2x - 8

Tenga en cuenta que otras ecuaciones pueden tener gráficas con las mismas intersecciones del eje x. Por ejemplo, la gráfica de y  2(x2  2x 8) o y  2x2  4x  16 da por resultado gráficas que también tienen intersecciones del eje x en 4 y 2. De hecho, la gráfica de y  a(x2  2x  8), para cualquier número real distinto de cero a, tendrá intercepciones del eje x en 4 y 2. Considere la gráfica de la figura 5.25.

[10, 10, 1, 10, 20, 2]

FIGURA 5.25

FIGURA 5.26

Si suponemos que las intersecciones son valores enteros, las intersecciones del eje x están en 2 y 8. Por consiguiente, Intersecciones del eje x en 2y8

Factores 1x - 221x - 82

Ecuación y = 1x - 221x - 82

o y = x2 - 10x + 16

Si cambiamos la ventana, vemos que la intersección del eje y de la gráfica está en 16 (vea la figura 5.26). Por lo tanto, y  x2  10x  16 podría ser la ecuación que dio lugar a la gráfica. Si, por ejemplo, la intersección del eje y de la gráfica estuviese en 32, entonces la ecuación de la gráfica podría ser y  2(x2  10x  16) o y  2x2  20x  32. (continúa en la página siguiente)

348 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Ejercicios Escriba una ecuación para cada gráfica que se ilustra. Suponga que todas las intersecciones del eje x tienen valores enteros y que se muestra la ventana estándar.

1.

2.

3.

Conjunto de ejercicios 5.8 Ejercicios conceptuales 1. 2. 3. 4.

5.

6.

7.

8.

¿Cómo se determina el grado de una función polinomial? ¿Qué es una ecuación cuadrática? ¿Cuál es la forma general de una ecuación cuadrática? a) Explique la propiedad del factor nulo. b) Resuelva la ecuación (3x  7)(2x  3)  0 por medio de la propiedad del factor nulo. a) Explique por qué la ecuación (x  3)(x  4)  2 no puede resolverse escribiendo x  3  2 o x  4  2 b) Resuelva la ecuación (x  3)(x  4)  2. Cuando se factoriza una constante de una ecuación, ¿por qué no es necesario determinar que la constante sea igual a 0 al resolver la ecuación? a) Explique cómo resolver una ecuación polinomial mediante factorización. b) Resuelva la ecuación x  20  12x2 mediante el procedimiento explicado en la parte a). a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la ecuación x2  2x  35  0? b) Resuelva la ecuación de la parte a).

9. a) ¿Cómo se denominan los lados más cortos de un triángulo rectángulo? b) ¿Cómo se denomina al lado más largo de un triángulo rectángulo? 10. Exprese el teorema de Pitágoras y explique su significado. 11. Si la gráfica de y  x2  10x  16 tiene intersecciones del eje x en 8 y 2, ¿cuál es la solución de la ecuación x2  10x  16  0? Explique. 12. Si las soluciones para la ecuación 2x2  15x  18  0 son 3 2 y 6, ¿cuáles son las intersecciones del eje x de la gráfica que se obtiene de y  2x2  15x  18? Explique. 13. ¿Es posible que una función cuadrática no tenga intersecciones del eje x? Explique. 14. ¿Es posible que una función cuadrática tenga sólo una intersección del eje x? Explique. 15. ¿Es posible que una función cuadrática tenga dos intersecciones del eje x? Explique. 16. ¿Es posible que una función cuadrática tenga tres intersecciones del eje x? Explique.

Problemas de aplicación Resuelva. 17. x1x - 42 = 0

18. x1x + 22 = 0

19. 3x1x - 12 = 0

20. 5x1x + 62 = 0

21. 21x + 121x - 72 = 0

22. 31a - 521a + 22 = 0

23. x1x - 921x + 42 = 0

24. 2a1a + 321a + 82 = 0

26. 13x - 2217x - 12 = 0 29. x 2 + 5x = 0 2

25. 12x + 3214x + 52 = 0 28. 3y 2 = - 24y

27. 4x 2 = 12x 30. 2a 2 - 8a = 0

31. -x 2 + 6x = 0

32. - 3x - 9x = 0

33. 3x = 15x

34. 9a 2 = - 18a

35. x 2 - 6x + 5 = 0

36. a 2 + 6a + 5 = 0

37. x 2 + x - 12 = 0

2

2

38. b + b - 72 = 0

39. x + 8x + 16 = 0

40. c2 - 10c = - 25

41. x1x - 122 = - 20

42. b1b - 22 = 48

43. 2x 2 = - 14x - 12

44. 3a 2 = - a + 2

45. 3x2 - 6x - 72 = 0

46. 4a 2 + 36a + 80 = 0

3

2

47. x - 3x = 18x

2

3

2

48. x = - 19x + 42x

49. 12a 2 = 16a + 3

Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 349 50. 3b3 - 8b2 - 3b = 0

51. 4c3 + 4c2 - 48c = 0 2

52. 18z3 = 15z2 + 12z

53. x - 36 = 0

54. 6y = 16y

55. 4x 2 = 9

56. 49c2 = 25

57. 25x 3 - 16x = 0

58. 3x 4 - 48x 2 = 0

2

2

61. 1x + 422 - 16 = 0

2

60. - x + 16x = 63

59. - x = 2x - 99

62. 1x - 42 - 4 = 0

63. 12x + 52 - 9 = 0

2

2

66. 41a 2 - 32 = 6a + 41a + 32

65. 6a 2 - 12 - 4a = 19a - 32 68. 1a - 1213a + 22 = 4a

64. 1x + 122 - 3x = 7

67. 2b3 + 16b2 = - 30b

69. Para f(x)  3x2  7x  9, determine todos los valores de a para los que f(a)  7. 70. Para f(x)  4x2  11x, determine todos los valores de a para los que f(a)  6. 71. Para g(x)  10x2  31x  19, determine todos los valores de a para los que g(a)  4. 72. Para g(x)  6x2  x  3, determine todos los valores de a para los que g(a)  2. 73. Para r(x)  x2  x, determine todos los valores de a para los que r(a)  30. 74. Para r(x)  10x2  19x  2, determine todos los valores de a para los que r(a)  4. Utilice factorización para determinar las intersecciones del eje x de las gráficas de cada ecuación (vea el ejemplo 10).

75. y = x2 + 2x - 24 77. y = x 2 + 16x + 64 79. y = 6x 3 - 23x 2 + 20x

76. y = x 2 - 13x + 42 78. y = 15x 2 - 14x - 8 80. y = 12x 3 - 39x 2 + 30x

En los ejercicios 81 a 86, utilice el teorema de Pitágoras para determinar x. 81.

82. x4

83.

x8

x3

x7

x

x  11

x  10

x2 x3

84.

85.

x1

x8

86.

x3 x  10

x7

x9

x9 x  12

x

Resolución de problemas En los ejercicios 87 a 90, determine las intersecciones del eje x de cada gráfica; luego relacione la ecuación con la gráfica apropiada, marcada con los incisos a) a d). 87. y = x 2 - 5x + 6 a)

88. y = x 2 - x - 6 b)

89. y = x 2 + 5x + 6 c)

90. y = x 2 + x - 6 d)

350 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales Escriba una ecuación cuya gráfica tenga intersecciones del eje x en los valores dados. 91. 2 y 5

103. Hortaliza Una hortaliza rectangular mide 20 pies por 30 pies. Además para cubrir el terreno con mantillo, se quiere hacer un pasillo de ancho uniforme alrededor. Si se tiene suficiente mantillo para cubrir un área de 936 pies cuadrados, ¿cuál debe ser el ancho del pasillo?

92. 3 y - 7 104. Jardín cuadrado Daniel Dávila tiene un jardín cuadrado, a cuyo alrededor agrega un pasillo de 2 pies de ancho. Si el área total del pasillo y el jardín es de 196 pies cuadrados, determine las dimensiones del jardín.

93. 4 y - 1 94.

3 2

y6 5

95. - 6 y 2 96. - 0.4 y 2.6

105. Esculturas de agua En un edificio de Chicago, una fuen-

97. Mesa rectangular para café Una mesa para café es rectangular; si el largo de su área superficial mide 1 pie más que el doble de su ancho, y el área superficial de la tabla superior mide 10 pies cuadrados, determine su largo y ancho. 98. Cobertizo rectangular El piso de un cobertizo tiene un área de 54 pies cuadrados. Determine el largo y ancho, si el largo mide tres pies menos que el doble de su ancho.

te de agua dispara pequeños chorros sobre un pasillo. Los chorros de agua alcanzan una altura máxima, y luego caen en un estanque al otro lado del pasillo. La altura respecto del disparador, h, de un chorro de agua t segundos después de que sale puede determinarse mediante la función h(t)  16t2  32t. Determine el tiempo que le toma al chorro de agua regresar a la altura del disparador; esto es, cuando h(t)  0.

99. Vela triangular La vela de un bote es triangular y su altura mide seis pies más que su base. Si el área de la vela es 80 pies cuadrados, determine su base y su altura. 100. Tienda triangular Una tienda de campaña triangular tiene una altura que mide 4 pies menos que su base. Si el área de un lado es 70 pies cuadrados, determine la base y la altura de la tienda. 101. Marco de una pintura El marco de una pintura mide 28 cm por 23 cm. El área de la pintura es de 414 centímetros cuadrados. Determine el ancho del marco. x x

23 cm

28 cm

102. Rectángulo Un jardín está rodeado por un pasillo de ancho uniforme. El jardín y el pasillo juntos cubren un área de 320 pies cuadrados. Si el jardín mide 12 pies por 16 pies, determine el ancho del pasillo.

12 pies 16 pies

106. Proyectil Un modelo de cohete será lanzado desde una colina que se encuentra a 80 pies sobre el nivel del mar. El lugar del lanzamiento está cercano al océano (nivel del mar) y el cohete caerá en él. La distancia del cohete, s, por encima del nivel del mar en cualquier instante, t, se determina mediante la ecuación s(t)  16t2  64t  80. Determine el tiempo que le toma al cohete para caer en el océano.

Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 351 107. Paseo en bicicleta Dos ciclistas, Andrés y Antonio, inician su paseo en el mismo punto. Andrés conduce hacia el oeste y Antonio hacia el norte. En algún momento, se encuentran separados entre sí por una distancia de 13 millas. Si Andrés recorrió 7 millas más que Antonio, determine la distancia que recorrió cada uno de ellos.

113. Fabricación de una caja Para fabricar una caja de dos pulgadas de altura se cortan piezas de 2 por 2 pulgadas de un cartón cuadrado, y se doblan hacia arriba los lados. 2 pulgadas

108. Marco para pintura Augusto está haciendo un marco para una pintura rectangular que le regalará a su mamá. La diagonal del marco es de 10 pulgadas. Determine las dimensiones del marco, si su longitud mide 2 pulgadas más que su ancho. 109. Cables de una tienda de campaña Una tienda de campaña se estabiliza mediante cables. Un cable se sujeta al suelo a 12 pies de distancia de la tienda. La longitud del cable utilizado mide 8 pies más que la altura a donde se sujeta el otro extremo del cable. ¿Cuál es la longitud del cable?

x8

x

12

110. Bocinas En el punto donde se unen el techo y las paredes en las esquinas de un cuarto rectangular se colocarán una bocinas. Los cables irán pegados al techo y se conectarán en el punto A, como se muestra en la figura. El ancho del cuarto es de 12 pies, y la distancia entre una esquina y el punto A es de 3 pies menos que el doble de la distancia del punto A a la pared. Determine la longitud del cable desde el punto A a una de las esquinas opuestas de la habitación (una de las líneas que se muestran en la figura). 2x  3 12

2 pulgadas

¿Cuál es el tamaño del cartón necesario para fabricar una caja de 2 pulgadas de altura con un volumen de 162 pulgadas cúbicas? 114. Fabricación de una caja Una caja rectangular se formará cortando cuadrados de cada esquina de una pieza rectangular de hojalata y doblando hacia arriba los lados. La caja tendrá 3 pulgadas de altura, el largo será el doble del ancho, y el volumen será de 96 pulgadas cúbicas. Determine el largo y el ancho de la caja. 115. Cubo A un cubo sólido con dimensiones a3, se le quita un sólido rectangular con dimensiones ab2.

a b b a a

a) Escriba una fórmula para determinar el volumen que queda, V. b) Factorice el lado derecho de la fórmula de la parte a).

x A

c) Si el volumen es de 1620 pulgadas cúbicas y a es igual a 12 pulgadas, determine b. 116. Hoja de una sierra circular Una sierra circular de acero tiene un agujero en su centro, como se muestra en la figura.

111. Tienda de bicicletas Una tienda de bicicletas utiliza una ecuación para calcular sus ingresos mensuales, R(x)  60x  x2, y otra para determinar sus costos mensuales, C(x)  7x  150, en donde x es el número de bicicletas vendidas y x ≥ 10. Determine el número de bicicletas que debe vender la tienda para alcanzar el punto de equilibrio (no ganar ni perder); esto es, el punto en donde los ingresos son iguales a los costos. 112. Flores de seda Edith Rodríguez fabrica flores de seda y las vende a diferentes tiendas. Edith tiene una ecuación para calcular sus ingresos, R(x)  30x  x2, y otra para determinar sus costos, C(x)  4x  25, en donde x es el número de flores vendidas y x  5. Determine el número de flores que debe vender Edith para alcanzar el punto de equilibrio.

R r

a) Escriba una fórmula para calcular el área de la hoja. b) Factorice el lado derecho de la fórmula de la parte a). c) Determine A, si R  10 cm y r  3 cm.

352 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales 117. Considere la gráfica siguiente de una función cuadrática.

a) ¿Cuántas intersecciones del eje x tiene la gráfica? b) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x2  4  0? Explique su respuesta.

y 4 3 2 1 7 6

4 3

1 1 2 3 4

119. Considere la función cuadrática

P1x2 = ax 2 + bx + c, a 7 0. x

1

a) Escriba una función cuadrática que tenga las intersecciones del eje x indicadas. b) Escriba una ecuación cuadrática con una variable cuya solución sea 2 y 5. c) ¿Cuántas funciones cuadráticas diferentes pueden tener intersecciones del eje x de 2 y 5? Explique. d) ¿Cuántas ecuaciones cuadráticas diferentes con una variable pueden tener soluciones de 2 y 5? Explique. 118. La gráfica de la ecuación y  x2  4 se ilustra a continuación. y

b) ¿Cuántas posibles soluciones reales puede tener la ecuación ax2  bx  c  0, a  0? Explique su respuesta a la parte b) utilizando los bosquejos de la parte a). 120. Distancia para detenerse La distancia, d en pies, para detener un automóvil común que viaja sobre pavimento seco puede calcularse mediante la función d(s)  0.034s2  0.56s  17.11, en donde s es la velocidad del automóvil antes de frenar y 60  s  80 millas por hora. Si un automóvil requiere de 190 pies para detenerse después de aplicar los frenos, ¿qué tan rápido va el automóvil? 121. Distancia para detenerse La distancia, d en pies, para detener un automóvil común que viaja sobre pavimento mojado puede calcularse mediante la función d(s)  0.031s2  59.82s  2180.22, en donde s es la velocidad del automóvil antes de frenar y 60  s  80 millas por hora. Si un automóvil requiere de 545 pies para detenerse después de aplicar los frenos, ¿qué tan rápido va el automóvil?

8 6 4 2

4

a) La gráfica de este tipo de función puede no tener intersecciones del eje x, una intersección del eje x o dos intersecciones del eje x. Bosqueje cada una de estas posibilidades.

2

2

x

4

2

Reto Resuelva. 122. x 4 - 5x 2 + 4 = 0

124. x 6 - 9x 3 + 8 = 0

123. x 4 - 13x 2 = - 36

Actividad en equipo En cursos más avanzados de matemáticas podría necesitar despejar y (se lee “y prima”) en una ecuación. Cuando esto ocurra, trate a y como una variable diferente de y. De forma individual despeje y de cada ecuación. En equipo, compare sus respuestas y obtenga las respuestas correctas. 125. xy¿ + yy¿ = 1

126. xy - xy¿ = 3y¿ + 2

127. 2xyy¿ - xy = x - 3y¿

Ejercicios de repaso acumulativo 128. Simplifique 14x -2 y 32 . -2

[4.1] 130. Resuelva el sistema de ecuaciones

[2.5] 129. Resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica.

-1 6

413x - 22 3

… 5

3x + 4y = 2 2x = - 5y - 1 [5.2] 131. Si f(x)  x2  3x y g(x)  x2  2, determine (f  g)(4). [5.7] 132. Factorice (x  1)2  (x  1)  6.

Resumen del capítulo • 353

RESUMEN

DEL CAPÍTULO

Términos y frases importantes 5.1 Suma de polinomios Polinomio cúbico Grado de un término Orden descendente Coeficiente principal Término principal Polinomio lineal Polinomio Función polinomial Polinomio cuadrático Resta de polinomios Términos

5.2 Diferencia de dos cuadrados Forma desarrollada de la propiedad distributiva

HECHOS

Factores de un trinomio Método PIES Multiplicación de polinomios Cuadrado de un binomio

5.3 División de polinomios Teorema del residuo División sintética

5.5

5.8

Factorización por agrupación Factorización por ensayo y error Factorizar trinomios Factorización mediante sustitución Polinomio primo

Ecuación cúbica Grado de una ecuación polinomial Ecuaciones en forma cuadrática Hipotenusa de un triángulo rectángulo Cateto de un triángulo rectángulo Ecuación polinomial Teorema de Pitágoras Ecuación cuadrática Solución para una ecuación polinomial Forma general de una ecuación cuadrática Intersecciones del eje x de una gráfica Propiedad del factor nulo

5.6 5.4 Factorizar un monomio de un polinomio Factorización por agrupación Máximo factor común

Diferencia de dos cubos Diferencia de dos cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Fórmulas especiales para factorizar Suma de dos cubos

IMPORTANTES

Método PIES para multiplicar binomios S P 1a + b21c + d2

I E

P — Multiplique los Primeros términos. I — Multiplique los términos Internos. E— Multiplique los términos Externos. S— Multiplique los Segundos términos.

ac + ad + bc + bd

Fórmulas especiales para el producto

1a + b22 = a2 + 2ab + b2 v Cuadrado de un binomio. 1a - b22 = a2 - 2ab + b2 1a + b21a - b2 = a2 - b2 Producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (diferencia de dos cuadrados o producto de binomios conjugados).

Teorema del residuo Si el polinomio P(x) se divide entre x  a, el residuo es igual a P(a).

Fórmulas especiales de factorización a2 a2 a2 a3 a3

+ + -

b2 = 1a + b21a - b2 2ab + b2 = 1a + b22 r 2ab + b2 = 1a - b22 b3 = 1a + b21a2 - ab + b22 b3 = 1a - b21a2 + ab + b22

Diferencia de dos cuadrados. Trinomio cuadrado perfecto. Suma de dos cubos. Diferencia de dos cubos.

Nota: La suma de dos cuadrados, a  b2, no puede factorizarse en el conjunto de los números reales. 2

(continúa en la página siguiente)

354 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Forma general de una ecuación cuadrática:

ax2  bx  c  0, a 0.

Si a  b  0, entonces a  0 o b  0, o ambos a y b  0.

Propiedad del factor nulo: Teorema de Pitágoras:

cateto2  cateto2  hipotenusa2 o a2  b2  c2. c

b

a

Ejercicios de repaso del capítulo [5.1] Determine si cada expresión es un polinomio. Si la expresión es un polinomio, a) proporcione el nombre especial del polinomio, si lo tiene, b) escriba el polinomio en orden descendente de la variable x, y c) indique el grado del polinomio. 2. 5x + 4x 3 - 9 4. -3 - 10x 2y + 6xy 3 + 2x 4

1. 3x 2 + 2 3. 8x - x -1 + 6 Realice cada operación indicada. 5. 7. 9. 11.

1x2 - 5x + 62 + 12x + 32 12a - 3b - 22 - 1 - a + 5b - 82 13x2y + 6xy - 5y22 - 14y2 + 3xy2

6. 8. 10. 12.

Sume x2  3x  5 con 4x2 2  10x  9.

13. Determine P(2), si P(x)  2x2  3x  13.

17x2 + 2x - 52 - 12x2 - 9x - 12 14x3 - 4x 2 - 2x2 + 12x 3 + 4x2 - 7x + 102 1- 8ab + 2b2 - 3a2 + 1-b2 + 5ab + a2 Reste 3a2b  5ab de 7a2b  ab.

14. Determine P(3), si P(x)  x3  3x2  4x  9.

En los ejercicios 15 y 16, determine una expresión polinomial para calcular el perímetro de cada figura. 15.

16.

x2  x  7 x 1

x2  7

2

13x  8

9x  5

x  x  19 2

x2  2x  3

En los ejercicios 17 y 18 de la página 355, utilizamos la siguiente gráfica, en donde se muestran los ingresos y egresos de la Administración de Seguridad Social de Estados Unidos entre 1997 y 2025.

Ingresos y egresos de seguridad social

Dólares (miles de millones)

$2000 $1600

Ingresos Egresos

$1200 $800 $400

0

97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 10 15 20 25

Año Fuente: Administración de Seguridad Social de Estados Unidos.

Ejercicios de repaso del capítulo • 355 17. Ingresos en seguridad social La función R(t)  0.78t2  20.28t  385.0, en donde t representa los años desde 1997 y 0  t  28, sirve para calcular los ingresos aproximados que genera la industria de la seguridad social en Estados Unidos, R(t), en miles de millones de dólares. a) Mediante la función proporcionada, estime los ingresos en 2010. b) Compare su respuesta en la parte a) con la gráfica en la página 354. ¿La gráfica apoya su respuesta?

18. Egresos en seguridad social La función G(t)  1.74t2  7.32t  383.91, en donde t representa años desde 1997 y 0  t  28, sirve para calcular los egresos de la industria de seguridad social, G(t), en miles de millones de dólares. a) Mediante la función proporcionada, estime los egresos en 2010. b) Compare su respuesta de la parte a) con la gráfica en la página 354. ¿La gráfica apoya su respuesta?

[5.2] Multiplique. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35.

2x13x2 - 7x + 52 13x - 5212x + 12 1x + 8y22 12xy - 1215x + 4y2 12a + 9b22 17x + 5y217x - 5y2 15xy + 6215xy - 62 31x + 3y2 + 242 13x2 + 4x - 6212x - 32

20. 22. 24. 26. 28. 30. 32. 34. 36.

- 3xy21x3 + xy4 - 6y52 15a + 92110a - 32 1a - 11b22 12pq - r213pq + 7r2 13x - 2y22 12a - 5b2212a + 5b22 19a2 - 2b2219a2 + 2b22 312p - q2 - 542 14x3 + 6x - 521x + 32

En los ejercicios 37 y 38, determine una expresión para calcular el área total de cada figura. 37.

x

38.

3

x

x

y

z

x

4

5 2

Para cada par de funciones, determine a) (f  g)(x) y b) (f  g)(3). 39. f1x2 = x + 2, g1x2 = x - 3 41. f1x2 = x 2 + x - 3, g1x2 = x - 2

40. f1x2 = 2x - 4, g1x2 = x 2 - 3 42. f1x2 = x 2 - 2, g1x2 = x 2 + 2

[5.3] Divida.

6x2 + 9x + 12 3 21y3 + 6y + 2 45. 3y 4x3y2 + 8x2y 3 + 12xy4

7a2 - 16a + 20 4 45pq - 25q2 - 10q 46. 5q

43.

44.

47.

48. 18x2 + 14x - 152 , 12x + 52

8xy3 4 49. 12x - 3x 3 + 4x 2 + 17x + 72 , 12x + 12 51. 1x 2 + x - 182 , 1x - 32

50. 14a 4 - 7a 2 - 5a + 42 , 12a - 12 52. 14x 3 + 12x 2 + x - 102 , 12x + 32

Utilice la división sintética para obtener el cociente de cada expresión. 53. 13x 3 - 2x 2 + 102 , 1x - 32 55. 1x 5 - 202 , 1x - 22

54. 12y 5 - 10y 3 + y - 12 , 1y + 12 56. 12x 3 + x 2 + 5x - 32 , ax -

1 b 2

Determine el residuo de cada división mediante el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indíquelo. 57. 1x 2 - 4x + 112 , 1x - 32 59. 13x 3 - 62 , a x -

1 b 3

58. 12x 3 - 6x 2 + 3x2 , 1x + 42 60. 12x 4 - 6x 2 - 82 , 1x + 22

356 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales [5.4] En cada expresión, factorice el máximo factor común. 62. 15x 4 + 6x 3 - 12x 4y 3 64. 12xy 4z3 + 6x 2y 3z2 - 15x 3y 2z3

61. 4x 2 + 8x + 24 63. 10a 3b3 - 12a 2b6 Factorice por agrupación. 65. 5x 2 - xy + 20xy - 4y 2 67. 12x - 3212x + 12 - 12x - 321x - 82

66. 12a2 - 8ab + 15ab - 10b2 68. 7x13x - 52 + 313x - 522

En los ejercicios 69 y 70, A representa el área de la figura. Determine una expresión en forma factorizada, para calcular la diferencia entre las áreas de las figuras geométricas. 70.

69. A  13x(5x  2)

A  7(5x  2) A  14x2  18x

A  7x  9

En los ejercicios 71 y 72, V representa el volumen de la figura. Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de las figuras geométricas. 71.

72.

V  9x(17x  3)

V  7(17x  3)

V  20x2  25x

V  8x  10

[5.5] Factorice cada trinomio. 73. 75. 77. 79. 81. 83. 85. 87.

x2 + 8x + 12 x2 - 4x - 21 -x2 + 12x + 45 2x3 + 13x2 + 6x 4a3 - 9a2 + 5a x2 - 15xy - 54y2 x4 + 8x2 + 15 1x + 522 + 101x + 52 + 24

74. 76. 78. 80. 82. 84. 86. 88.

x2 + 2x - 15 x2 - 10x + 16 - x2 + 13x - 12 8x3 + 10x2 - 25x 12y4 + 61y3 + 5y2 6p2 - 19pq + 10q2 x4 + 2x2 - 63 1x - 222 - 1x - 22 - 20

En los ejercicios 89 y 90, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada en cada figura. 90.

89. 4

2

x2

3 4

x9 x8

[5.6] Utilice una fórmula especial de factorización para factorizar las siguientes expresiones. 91. x 2 - 49

92. x 2 - 100

93. x 4 - 16

94. x 4 - 81

2

95. 4a + 4a + 1 97. 1x + 22 - 9 2

96. 4y 2 - 12y + 9

98. 13y - 122 - 25

x4

Ejercicios de repaso del capítulo • 357 99. p4 + 16p2 + 64 2

100. b4 - 14b2 + 49

101. x + 8x + 16 - y 2

103. 9x + 6xy + y

2

102. a 2 + 6ab + 9b2 - 4c2

2

104. 36b2 - 60bc + 25c2 106. y 3 + 64

3

105. x - 27 107. 125x 3 - 1

108. 8a 3 - 27b3

109. 1x + 12 - 8

110. 1x - 223 - 27

3

3

111. y - 64z

112. 1a + 323 + 1

3

En los ejercicios 113 y 114, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada en cada figura. 113.

114.

b

b

b 3

3

b

b

x

b

a

b b

x a

115. Volumen Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de estos dos cubos.

116. Volumen Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el volumen de la región sombreada de esta figura.

2x y 2x

a y

2x

c c

y

4a

a

[5.4–5.7] Factorice completamente. 117. 119. 121. 123. 125. 127. 129. 131. 133.

x2y2 - 2xy2 - 15y2 3x3y4 + 18x2y 4 - 6x2y4 - 36xy4 2x 3y + 16y 6x3 - 21x2 - 12x 3x3 + 24y3 412x + 322 - 1212x + 32 + 5 1x - 12x2 - 1x - 12x - 21x - 12 6p2q2 - 5pq - 6 4y2 - 1x2 + 4x + 42

135. 6x 4y 4 + 9x 3y 4 - 27x 2y 4

3x3 - 18x2 + 24x 3y5 - 27y 5x4y + 20x3y + 20x2y x2 + 10x + 25 - y2 x21x + 42 + 3x1x + 42 - 41x + 42 4x4 + 4x2 - 3 9ax - 3bx + 12ay - 4by 9x4 - 12x2 + 4 612a + 322 - 712a + 32 - 3 8 6 y 136. x 3 27 118. 120. 122. 124. 126. 128. 130. 132. 134.

Área En los ejercicios 137 a 142, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada de cada figura. 137.

138. 6

x6

2

x5

3 2

y8

y7

358 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales 139.

140.

b

b b a

b b

b

b b b b

b

b

b

b

a

a

b b

141.

a

b

a

142.

b

a a

a  3b a

a

b b b

[5.8] Resuelva.. 143. 1x - 3214x + 12 = 0

146. 15x 2 + 20x = 0 2

144. 12x + 5213x + 72 = 0

145. 2x 2 = 4x

147. x 2 + 7x + 12 = 0 3

148. a 2 + a - 30 = 0

2

149. x = 8x - 7

150. c - 6c + 8c = 0

151. 12d 2 = 13d + 4

152. 20p2 - 6 = 7p

153. 5x2 = 20

154. x1x + 32 = 21x + 42 - 2

Utilice factorización para determinar las intersecciones del eje x de la gráfica de cada ecuación. 155. y = 2x 2 - 2x - 60

156. y = 20x 2 - 49x + 30

Escriba una ecuación cuya gráfica tenga las intersecciones del eje x en los valores dados. 157. - 3 y 6

158.

-

3 5 y 6 2

En los ejercicios 159 a 163, responda la pregunta. 159. Alfombra El área de una alfombra rectangular es de 99 pies cuadrados. Determine el largo y ancho de la alfombra, si el largo es 2 pies mayor que el ancho. 160. Anuncio triangular La base de un anuncio triangular mide 3 pies más que el doble de la altura. Determine la base y la altura, si el área del triángulo es 22 pies cuadrados. 161. Cuadrado Un cuadrado tiene un lado de 4 pulgadas mayor que el lado de un segundo cuadrado. Si el área del cuadrado más grande es de 49 pulgadas cuadradas, determine la longitud de cada lado de ambos cuadrados. 162. Velocidad Un proyectil es lanzado hacia arriba, desde la parte más alta de un edificio de 144 pies de altura, con una velocidad de 128 pies por segundo. La distancia del proyectil respecto del suelo en cualquier instante t, en segundos, está dada mediante la fórmula s(t)  16t2  128t  144. Determine el tiempo que tarda el proyectil en estrellarse contra el suelo.

163. Postes telefónicos Se sujetan dos cables tensados a un poste telefónico para ayudar a estabilizarlo. El cable se sujeta a x pies de la base del poste, sobre el suelo. La altura del poste es x  31 y el largo del cable es x  32. Determine x.

x  31 x  32

x

Examen de práctica del capítulo • 359

Examen de práctica del capítulo 1. a) Proporcione el nombre específico del siguiente polinomio.

c) Indique el grado del polinomio. d) ¿Cuál es el coeficiente principal del polinomio?

- 4x2 + 2x - 6x4 b) Escriba el polinomio en potencias descendentes de la variable x. Realice cada operación. 2. 17x 2y - 5y 2 + 2x2 - 13x 2y + 9y 2 - 6y2

3. 2x3y 21- 4x 5y + 10x 3y 2 - 6x2

6. 112x6 - 15x 2y + 212 , 3x 2

7. 12x 2 - 7x + 102 , 12x + 32

4. 12a - 3b215a + b2

8. Utilice la división sintética para obtener el cociente.

13x4 - 12x3 - 60x + 42 , 1x - 52

5. 12x 2 + 3xy - 6y 2212x + y2

9. Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo cuando 2x3  6x2  5x  4 se divide entre x  3.

Factorice completamente. 10. 12x 3y + 10x 2y 4 - 8xy 3

11. x 3 - 2x 2 - 3x

12. 2a 2 + 4ab + 3ab + 6b2

13. 2b4 + 5b2 - 18

15. 1x + 522 + 21x + 52 - 3

14. 41x - 322 + 201x - 32 3 6

16. 27p q - 8q

6

17. Si f(x)  3x 4 y g(x)  x  5, determine a) (f  g)(x) y b) (f  g)(2).

En los ejercicios 18 y 19, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada. 18.

19.

y

y

y

y

x7 2x 4

y

y

y

3

y x8

2x

Resuelva. 20. 7x 2 + 25x - 12 = 0 21. x 3 + 3x 2 - 4x = 0 22. Utilice factorización para determinar las intersecciones del eje x de la gráfica de la ecuación y  8x2  10x  3. 23. Determine una ecuación cuya gráfica tenga intersecciones del eje x en 2 y 6. 24. Área El área de un triángulo es de 28 metros cuadrados. Si la base del triángulo es 2 metros mayor que 3 veces la altura, determine la base y la altura del triángulo.

25. Béisbol Una pelota de béisbol es lanzada hacia arriba, desde la parte más alta de un edificio de 448 pies de altura, con una velocidad inicial de 48 pies por segundo. La distancia, s, de la pelota de béisbol respecto del suelo en cualquier instante t, en segundos, está dada por la ecuación s(t)  16t2  48t  448. Determine el tiempo que tarda la pelota de béisbol en golpear el suelo.

360 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales

Examen de repaso acumulativo Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta. 1. Determine A ´ B para A  {2, 4, 6, 8} y B  {3, 5, 6, 8}.

10. Promedio de calificaciones Las primeras cuatro calificaciones que obtuvo Luis Ruiz en sus exámenes son 68, 72, 90 y 86. ¿Qué rango de calificaciones de su quinto examen producirá un promedio mayor o igual que 70 y menor que 80? 11. ¿(4, 1) es una solución de la ecuación 3x  2y  9? 12. Escriba la ecuación 2  6x  3y en la forma general. 13. Determine la pendiente de la línea que pasa por los puntos (8, 4) y (1, 2).

2. Ilustre {x|x  5} en la recta de los números reales. 3. Divida `

3 ` , 1 - 22. 8

4. Evalúe 1 - 323 - 22 - 1 - 222 + 17 - 722. 5. Simplifique a

3

2r4 s5 b . r2

14. Si f(x)  2x3  4x2  x  16, determine f(4). 15. Grafique la desigualdad 2x  y  6. 16. Resuelva el sistema de ecuaciones.

6. Resuelva 4(2x  2)  3(x  7)  4. 7. Resuelva k  2(d  e) para e.

1 1 x + y = 4 5 2 2 8 x - y = 3 3

8. Terreno Un arquitecto desea cercar dos áreas iguales, como se ilustra en la figura. Si ambas áreas son cuadrados y el largo total de la cerca utilizada es de 91 metros, determine las dimensiones de cada cuadrado.

17. Resuelva el sistema de ecuaciones.

x - 2y = 2 2x + 3y = 11 - y + 4z = 7 18. Evalúe el determinante.

9. Copias Cecilia Sánchez tiene un manuscrito y necesita obtener 6 copias del mismo antes de enviárselo a un editor en Argentina. La primera copia cuesta 15 centavos por página y cada copia adicional cuesta 5 centavos por página. Si el pago total es de $248, ¿cuántas páginas tiene el manuscrito?

`

7 -2

3 ` 1

19. Divida (2x3  9x  15) (x  6). 20. Factorice 64x3  27y3.

Respuestas al examen de repaso acumulativo 1. A ´ B = 52, 3, 4, 5, 6, 86 2. 6. 5; [Sec. 2.1, Obj. 3] 7. e =

3. –5

3 16

4. -35 5. 8r6s15

k - 2d ; [Sec. 2.2, Obj. 2] 8. 13 metros por 13 metros; [Sec. 2.3, Obj. 2] 2

9. 620 páginas; [Sec. 2.3, Obj. 2] 10. 34 … x 6 84; [Sec. 2.5, Obj. 3] 11. No; [Sec. 3.1,Obj. 2] 2 12. 6x - 3y = 2; [Sec. 3.3, Obj. 2] 13. - ; [Sec. 3.4, Obj. 2] 14. -212; [Sec. 3.6, Obj. 1] 15. 9 [Sec. 3.7, Obj. 1] 16. 110 , 42; [Sec. 4.1, Obj. 3] 17. 14, 1, 22; [Sec. 4.2, Obj. 1] 393 ; [Sec. 5.3, Obj. 2] 18. 13; [Sec. 4.5, Obj. 1] 19. 2x2 + 12x + 63 + x - 6 20. 14x - 3y2116x 2 + 12xy + 9y22; [Sec. 5.6, Obj. 3]

y 2 –4 –2 –2 –4 –6

2

4

x

Capítulo 6

Expresiones racionales y ecuaciones 6.1 Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones racionales 6.2 Suma y resta de expresiones racionales 6.3 Fracciones complejas 6.4 Resolución de ecuaciones racionales 6.5 Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas 6.6 Variación Resumen del capítulo Ejercicios de repaso del capítulo Examen de práctica del capítulo Examen de repaso acumulativo

E

n ocasiones un problema parece más difícil de lo que es en realidad, a causa del contexto en que se presenta. Cuando esto le suceda, intente escribir un problema similar usando un contexto que le sea más conocido. Por ejemplo, en la página 413 se pide determinar qué tan lejos está una estación espacial respecto de las oficinas generales de la NASA, por medio de una ecuación basada en el tiempo que le toma a dos transbordadores, que viajan a velocidades diferentes, llegar a la estación. Aunque los números específicos serán diferentes, el problema es el mismo que si se le pidiera determinar la distancia que hay entre su colegio y su casa con base en el tiempo relativo que necesitarían usted y sus padres para llegar a la escuela, si condujeran hacia ella por separado, a diferentes velocidades.

361

362 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

Avance de la lección

E

n este capítulo se explicará cómo sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones racionales, es decir, expresiones que contienen fracciones. También se hablará de cómo resolver ecuaciones con expresiones racionales. Las ecuaciones con expresiones racionales también se conocen como ecuaciones racionales. En la sección 6.1 se presentan las expresiones racionales, y se analizan los dominios de las expresiones y las funciones racionales. En los cursos más avanzados de matemáticas se analizan las funciones racionales y su graficación con más detalle. Para comprender a cabalidad las secciones 6.1 y 6.2, es necesario utilizar las técnicas de factorización que se presentaron en el capítulo 5. En el capítulo 2 resolvimos algunas ecuaciones con fracciones. En la sección 6.4 presentaremos y resolveremos muchos tipos de ecuaciones con expresiones racionales. En las secciones 6.4 y 6.5 se incluyen problemas de aplicación con ecuaciones que incluyen expresiones racionales. Conocer el concepto de variación es importante en muchos cursos de ciencias y, por supuesto, lo mismo ocurre en las matemáticas. Por ello, en la sección 6.6 se analizarán diversos tipos de variaciones, incluyendo la directa, la inversa, la conjunta y la combinada.

6.1 DOMINIOS DE FUNCIONES RACIONALES Y MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

1

1

Determinar el dominio de funciones racionales.

2

Reducir expresiones racionales.

3

Multiplicar expresiones racionales.

4

Dividir expresiones racionales.

Determinar el dominio de funciones racionales Para entender las expresiones racionales, es preciso comprender las técnicas de factorización que se analizaron en el capítulo 5. Una expresión racional es una expresión de la forma p/q, donde p y q son polinomios y q  0. Ejemplos de expresiones racionales

2 , x

x + 3 , x

x2 + 4x , x - 3

a , 2 a - 4

t2 - 5t + 7 t3 + t2 - 3t

Observe que el denominador de una expresión racional no puede ser igual a 0, x + 3 ya que la división entre 0 no está definida. En la expresión , x no puede ser igual x x2 + 4x a 0, ya que el denominador tendría un valor 0. En x no puede ser igual a 3, ya x - 3 que el denominador tendría un valor 0. ¿Qué valores de a no pueden utilizarse en la a expresión 2 . Si respondió 2 y 2, contestó correctamente. a - 4 Al escribir una expresión racional con una variable en el denominador, siempre suponemos que el valor o valores de la variable que hacen el denominador igual a 5 cero quedan excluidos. Por ejemplo, si escribimos , suponemos x  3, aunque x  3 esto no se indique de manera específica. En la sección 5.1 estudiamos las funciones polinomiales; a continuación analizaremos las funciones racionales. Una función racional es aquella con la forma f(x)  p/q o y  p/q, donde p y q son polinomios y q  0.

Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 363

Ejemplos de funciones racionales

f1x2 =

5 x

y =

x2 + 9 x + 3

T1a2 =

a + 1 a2 - 4

h1x2 =

7x - 3 2x + 1

El dominio de una función racional será el conjunto de valores que pueden utilizarse x + 2 , el dopara reemplazar la variable. Por ejemplo, en la función racional f1x2 = x - 3 minio será el conjunto de todos los números reales, excepto el 3, lo que se escribe {x|x  3}. Si x fuera 3, el denominador sería 0, y la división entre 0 no está definida.

EJEMPLO 1

f Para las funciones dadas f(x) y g(x), determine el dominio de a b 1x2. g a) f1x2 = x 2, g1x2 = x 2 - 4 b) f1x2 = x - 2, g1x2 = x 2 + 3x - 10 c) f1x2 = x, g1x2 = x 2 + 6

Solución

a) Como f(x) y g(x) son funciones polinomiales, el dominio de cada una es el conjunto de todos los números reales. Por lo tanto, el dominio del cociente de las funciones (f/g)(x) será el conjunto de todos los números reales para los que el denominador del cociente sea diferente de 0. Con base en lo aprendido en la sección 3.6 sabemos que

f1x2 f a b1x2 = . g g1x2 Por lo tanto,

f x2 a b1x2 = 2 g x - 4 =

x2 1x + 221x - 22

Sustituir expresiones para f(x) y g(x). Factorizar el denominador.

Con base en esta forma factorizada, vemos que x no puede ser 2 ni 2. Así, el dominio está formado por todos los números reales excepto 2 y –2, y puede expresarse como {x|x  2 y x  2}. b)

f1x2 f a b1x2 = g g1x2 =

x - 2 x2 + 3x - 10

Sustituir expresiones para f(x) y g(x).

=

x - 2 1x - 221x + 52

Factorizar el denominador.

Observe que x  2 en el numerador se cancelaría con x  2 en el denominador. Sin embargo, cuando determinamos el dominio del cociente de funciones, lo hacemos antes de simplificar la expresión. Como el denominador no puede ser 0, x no puede tener valores de 2 ni de 5. El dominio es {x|x  2 y x  5}. c)

f1x2 f a b1x2 = g g1x2 =

x x + 6 2

364 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21

Como ningún valor de x puede resultar en un denominador 0, el dominio está formado por todos los números reales y puede escribirse como {x|x es un número real}. ✺

Cómo utilizar su calculadora graficadora Si usted tiene una calculadora graficadora, sería recomendable que practicara en ella la graficación de algunas funciones racionales. Esto le dará una idea de la gran variedad de gráficas que pueden producir las funciones racionales. x2 Si graficara en su calculadora la expresión y = 2 del ejemplo 1a), la pantalla podría verse como la x - 4 de la figura 6.1.

FIGURA 6.1

FIGURA 6.2

El dominio de esta función está formado por todos los números reales, excepto 2 y 2. Observe lo que parecen ser líneas verticales en x  2 y x  2, los valores de x en donde la función no está definida. Esta calculadora está en un modo llamado modo de conexión, lo cual significa que conectará todos los puntos que grafique, pasando del punto con la coordenada x más pequeña al siguiente mayor. Justo a la izquierda de 2, el valor de y es un número positivo grande, y justo a la derecha de 2, el valor de y es un número negativo grande. La recta vertical es el intento de la calculadora para conectar estos dos puntos de x y y. Una situación similar ocurre en x  2. En algunas ocasiones es preferible que la calculadora esté en modo de puntos, de tal manera que muestre desconectados los puntos que se han calculado. Lea el manual que acompaña a su calculadora para aprender cómo cambiar de modo de conexión a modo de puntos y viceversa. En la figura 6.2 se muestra la misma gráfica de la figura 6.1, pero esta vez en una calculadora en modo de puntos.

2

Reducir expresiones racionales Al resolver problemas que incluyen expresiones racionales, debemos asegurarnos de escribir la respuesta en los términos mínimos. Una expresión racional está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes, salvo el 1. La fracción 69 no está simplificada, ya que 6 y 9 tienen como factor común el número 3. Cuando se factoriza el número 3, la fracción simplificada es 23 . 1

2 6 3 #2 = # = 9 3 3 3 1

ab - b2 La expresión racional no está simplificada, ya que el numerador y el denomi2b nador tienen un factor, b. Para simplificar este expresión, factorice b en cada término del numerador; luego, divida.

b 1a - b2 ab - b2 a - b = = 2b 2b 2

Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 365

Así,

ab - b2 a - b se convierte en cuando se simplifica. 2b 2

Para simplificar expresiones racionales 1. Factorice tanto como sea posible el numerador y el denominador. 2. Divida el denominador y el numerador entre los factores comunes.

EJEMPLO 2 Solución

Simplifique.

a)

x2 + 4x + 3 x + 3

b)

3x3 - 3x2 x3 - x

a) Factorice el numerador; luego divídalo entre el factor común.

1x + 32 1x + 12 x2 + 4x + 3 = = x + 1 x + 3 x + 3

La expresión racional se simplifica a x  1. b) Factorice el numerador y el denominador. Luego divida entre los factores comunes.

3x21x - 12 3x3 - 3x2 = x3 - x x1x2 - 12

3 x2 1x - 12 = x 1x + 12 1x - 12 3x = x + 1 x

Factorizar x2  1.

3x . ✺ x + 1 Cuando los términos de un numerador sólo difieren en el signo respecto de los términos de un denominador, podemos factorizar 1 del numerador o bien del denominador. Cuando se factoriza –1 en un polinomio, los signos de todos los término del polinomio cambian. Por ejemplo, La expresión racional se simplifica a

- 2x + 3 = -112x - 32 = -12x - 32 6 - 5x = -11- 6 + 5x2 = - 15x - 62

-3x2 + 5x - 6 = -113x2 - 5x + 62 = - 13x2 - 5x + 62

EJEMPLO 3 Solución

Simplifique

27x3 - 8 . 2 - 3x

13x23 - 1223 27x3 - 8 = 2 - 3x 2 - 3x =

=

= AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41

Escriba el numerador como una diferencia de dos cubos.

13x - 2219x2 + 6x + 42 2 - 3x

Factorice; recuerde que a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2).

13x - 22 19x2 + 6x + 42 Factorice 1 del denominador y -1 13x - 22 divida entre los factores comunes.

9x2 + 6x + 4 - 1

= - 19x2 + 6x + 42

o

- 9x2 - 6x - 4

✺

366 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

INCORRECTO

INCORRECTO

x 2

2

x + 6 x

x + 8 4

1

1

Recuerde que sólo se puede dividir entre factores comunes. Solamente cuando las expresiones están multiplicadas pueden factorizarse. Por lo tanto, ninguna de las expresiones anteriores puede simplificarse.

3

CORRECTO

INCORRECTO

1x + 22 1x - 22 x2 - 4 = x - 2 x - 2 = x + 2

x2 - 4 x - 2

x

2

1

1

Multiplicar expresiones racionales Ahora que sabemos cómo simplificar una expresión racional, podemos analizar la multiplicación de expresiones racionales. Para multiplicar expresiones racionales Para multiplicar expresiones racionales, utilice la siguiente regla:

a#c a#c = # , b Z 0, d Z 0 b d b d Para multiplicar expresiones racionales, siga estos pasos: 1. 2. 3. 4.

Factorice tanto como sea posible todos los numeradores y los denominadores. Divida entre los factores comunes. Multiplique usando la regla anterior. Cuando sea posible, simplifique la respuesta. (Este paso no es necesario si se realiza correctamente el paso 2).

Si dividió entre todos los factores comunes en el paso 2, no podrá reducir la respuesta en el paso 4. Sin embargo, si olvidó un factor común en el paso 2, puede factorizarlo en el paso 4 para obtener una respuesta más simplificada.

EJEMPLO 4 Solución

Multiplique. a)

a)

x - 5# x2 - 2x 2 6x x - 7x + 10

x - 5# x2 - 2x x - 5 = 2 6x 6x x - 7x + 10 =

b)

1 6

#

b)

2x - 5 # x2 - 8x + 16 x - 4 5 - 2x

x 1x - 22 1x - 22 1x - 52

2x - 5 # x2 - 8x + 16 2x - 5 # 1x - 421x - 42 = x - 4 5 - 2x x - 4 5 - 2x 2x - 5 # 1x - 42 1x - 42 = x - 4 -1 12x - 52 x - 4 -1 = - 1x - 42 o

Factorice; divida entre los factores comunes.

Factorice. Factorice 1 del denominador; divida entre los factores comunes.

=

-x + 4 o 4 - x

✺

Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 367

EJEMPLO 5

Multiplique

x2 - y2 # x + 2y . x + y 2x2 - xy - y2

x2 - y2 x + 2y divida entre # 2 x + 2y 2 = 1x + y2 1x - y2 # x + y 2x - xy - y x + y 12x + y2 1x - y2 los factores Factorice:

Solución

comunes.

x + 2y = 2x + y

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 55

EJEMPLO 6 Solución

Multiplique

✺

ab - ac + bd - cd # b2 + bc + bd + cd . ab + ac + bd + cd b2 + bd - bc - cd

Factorice los numeradores y denominadores mediante agrupación. Luego divida entre los factores comunes.

ab - ac + bd - cd # b2 + bc + bd + cd ab + ac + bd + cd b2 + bd - bc - cd =

4

a1b - c2 + d1b - c2 b1b + c2 + d1b + c2 # a1b + c2 + d1b + c2 b1b + d2 - c1b + d2

Propiedad distributiva.

=

Factorice completamente; divida entre los factores comunes.

1b - c2 1a + d2 1b + c2 1a + d2

# 1b +

c2 1b + d2 = 1 1b + d2 1b - c2

✺

Dividir expresiones racionales A continuación analizaremos la división de expresiones racionales. Para dividir expresiones racionales Para dividir expresiones racionales, utilice la siguiente regla:

a c a d a#d , = # = # , b d b c b c

b Z 0, c Z 0, d Z 0

Para dividir expresiones racionales, invertimos el divisor (la segunda fracción, o fracción inferior) y procedemos como cuando multiplicamos expresiones racionales.

EJEMPLO 7

Divida

12x4 3x5 . , 25y 5y3 5

4

12x4 3x5 12 x 4 # 25 y , = 3 25y 5y 5 y23 3 x5

Solución

y

=

Invierta el divisor; divida entre los factores comunes.

x

4#5 20 = 2 yx xy2

✺

En el ejemplo 7 todos los numeradores y denominadores fueron monomios. Cuando los numeradores o denominadores son binomios o trinomios, los factorizamos, si es posible, para dividir entre factores comunes. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 8.

EJEMPLO 8

Divida. a)

x2 - 25 x - 5 , x + 4 x + 4

b)

12a2 - 22a + 8 3a2 + 2a - 8 , 3a 2a2 + 4a

368 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

Solución

x2 - 25 x - 5 x2 - 25 # x + 4 , = x + 4 x + 4 x + 4 x - 5

a)

1x + 52 1x - 52 x + 4 = x + 5 =

b)

+ 4 x - 5

Factorice; divida entre los factores comunes.

=

12a2 - 22a + 8 # 2a2 + 4a 3a 3a2 + 2a - 8

Invierta el divisor.

=

216a2 - 11a + 42 # 2a1a + 22 3a 13a - 421a + 22

Factorice.

=

Solución

#x

12a2 - 22a + 8 3a2 + 2a - 8 , 3a 2a2 + 4a

=

EJEMPLO 9

Invierta el divisor.

Divida

2 13a - 42 12a - 12 # 2 a 1a + 22 3a 13a - 42 1a + 22

Factorice una vez más; divida entre los factores comunes.

412a - 12 3

✺

x4 - y4 x2 + xy , 2 . x - y x - 2xy + y2

x2 + xy x4 - y4 , 2 x - y x - 2xy + y2 =

x4 - y4 x2 - 2xy + y2 # x - y x2 + xy

Invierta el divisor.

1x2 + y221x2 - y22 1x - y21x - y2 # x - y x1x + y2 1x2 + y22 1x + y2 1x - y2 1x - y21x - y2 # = x - y x 1x + y2 =

=

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69

SUGERENCIA CONSEJO PARA ESTUDIAR

Factorice. Factorice una vez más; divida entre los factores comunes.

1x2 + y221x - y22 x

✺

A lo largo de este capítulo necesitaremos factorizar polinomios. Es importante que usted entienda las técnicas de factorización que se trataron en el capítulo 5. Si tiene dificultad al factorizar, repase ahora ese tema.

Conjunto de ejercicios 6.1 Ejercicios conceptuales

2

1. a) ¿Qué es una expresión racional? b) Proporcione su propio ejemplo de una expresión racional.

4. Explique por qué f1x2 =

1x no es una expresión racional. x + 1 3. a) ¿Qué es una función racional? b) Proporcione su propio ejemplo de una función racional.

5. a) ¿Qué es el dominio de una función racional?

1x + 1

2. Explique por qué

b) ¿Cuál es el dominio de f1x2 =

no es una función racional.

3 x 2 - 16

?

6. a) Explique cómo simplificar una expresión racional.

Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 369 8. a) Explique cómo multiplicar expresiones racionales. b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a)), multiplique

b) Mediante el procedimiento que estableció en la parte a)), simplifique

6x2 + 23x + 20 4x2 - 25

6a2 + a - 1 # 3a2 + 4a + 1 3a2 + 2a - 1 6a2 + 5a + 1

7. a) Explique cómo simplificar una expresión racional en donde el numerador y el denominador sólo difieren en el signo.

9. a) Explique cómo dividir expresiones racionales. b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a)), divida

1r + 222 r + 2 , r2 + 9r + 18 r2 + 5r + 6

b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a)), simplifique

x 10. Considere f1x2 = . ¿Será f(x)  1 para todos los valox res de x? Explique.

3x2 - 2x - 8 - 3x2 + 2x + 8

Problemas de aplicación Determine los valores que deben excluirse en las siguientes expresiones. 11.

4x 3x - 12

12.

x + 2 x2 - 64

13.

4 2x - 15x + 25

14.

15.

x - 3 x2 + 4

16.

-2 16 - r2

17.

x2 + 36 x2 - 36

18.

2

2 1x - 522 x2 - 36 x2 + 36

Determine el dominio de cada función.

p + 1 p - 2

20. f1z2 =

3 -8z + 4

21. y =

x - 3 x2 + 4x - 21

23. f1a2 =

3a2 - 6a + 4 2a2 + 3a - 2

24. f1x2 =

4 - 2x x3 + 8x

26. h1x2 =

x3 - 64x x2 + 100

27. m1a2 =

a2 + 49 a2 - 49

19. f1p2 = 22. y =

25. g1x2 =

x2 - x + 2 x2 + 1

28. k1b2 =

b2 - 49 b2 + 49

5 x2 + x - 6

Simplifique cada expresión racional. 29.

x - xy x

30.

x2 - 2x x

31.

32.

x2 + 3x x2 - 2x

33.

x3 - x x2 - 1

34.

35. 38. 41. 44. 47.

5r - 4 4 - 5r 4x2 - 16x4 + 6x5y 8x3y2 8x3 - 125y3 2x - 5y

12x - 521x + 42 - 12x - 521x + 12 312x - 52

a 3 - b3 a 2 - b2

4x2 - 9 2x2 - x - 3

37.

39.

a2 - 3a - 10 a2 + 5a + 6

40.

x1x - 32 + x1x - 42 2x - 7

43.

2

45.

a + 3a - ab - 3b a2 - ab + 5a - 5b

48.

x2 + x - 6 x3 + 27

4x2y + 12xy + 18x3y 3 8xy2 2

36.

42.

5x2 - 10xy 15x

46.

p - 2p - 24 6 - p y2 - 10yz + 24z2 y2 - 5yz + 4z2

1x + 521x - 32 + 1x + 521x - 22 21x + 52

xy - yw + xz - zw xy + yw + xz + zw

370 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones Multiplique o divida como se indica. Simplifique todas las respuestas. 49.

2x # y3 3y 6

9x3 3 , 4 16y2 3 - r#r - 6 53. r - 3 6 - r p2 + 7p + 10 # 1 55. p + 5 p + 2 51.

57.

r2 + 10r + 21 , 1r2 - 5r - 242 r + 7

x2 + 12x + 35 x2 + 3x - 28 , 2 x - 1 x + 4x - 5 a 2 - b2 a - b , 2 61. 9a + 9b a + 2a + 1 59.

2

2

3x - x - 4 # 2x - 5x - 12 4x2 + 5x + 1 6x2 + x - 12 2 x + 2 # 1x - 22 65. 3 x - 8 x2 + 4 63.

4

67.

x - y

8

x2 + y4 4

2

x - y ,

#

62.

x2 + 4xy + 4y2 6x3 - x2 - x # 64. 2x2 + x - 1 x3 x2 - y2 , 66. 2 x - 2xy + y2 1x - y 2 2

68.

x4 2

x2 + 3x - 10 # x2 - 3x 4x x2 - 5x + 6 2 x + 3x - 18 58. 1x - 32 , x2 x + 1 3x + 3 , 2 60. 2 x - 17x + 30 x + 7x - 18 2x2 + 8xy + 8y2 2x2 + 7xy + 6y2 56.

4

2

x + 2 2x + 4x , 2 6x + 14x + 4 3x2 + x 3 2 2 1a - b2 a - b # 71. a3 - b3 1a - b22 4x + y 10x2 - xy - 2y2 # 73. 5x + 2y 8x2 - 2xy - y2 ac - ad + bc - bd # pc + pd - qc - qd 75. ac + ad + bc + bd pc - pd + qc - qd 69.

77.

16x2 # 5x3 y4 4y2 80m4 # 14x12y5 52. 49x5y 7 25m5 7a + 7b a 2 - b2 , 54. 3 a - b 50.

x3 - 4x2 + x - 4 # 2x3 + 2x2 + x + 1 x4 - x3 + x2 - x 2x3 - 8x2 + x - 4

70. 72. 74. 76. 78.

2 2

2

4x2 + 14xy + 12y2 x2 - 1 - 2x2 + x 1x + y22

1x - y22

x + y2

3 x4 - y4 1x2 - y22 3 a2 - 2a + 1 8a - 1 , 4a2 + 2a + 1 1a - 122 2 2 r + 6r + 9 r - 9 , 2 r3 - 27 r + 3r + 9 2x3 - 7x2 + 3x # x2 + 3x x2 + 2x - 3 1x - 322 3r2 + 17rs + 10s2 6r2 + rs - 2s2 , 6r2 + 13rs - 5s2 6r2 - 5rs + s2 2 2 2p + 2pq - pq - q3 p3 + p + p2 q + q , 3 3 2 2 2 p + p + pq + q p + p + p2 + 1

,

Resolución de problemas 79. Construya una expresión racional que no esté definida en x  2 y x  3. Explique cómo determinó su respuesta. 80. Construya una expresión racional que no esté definida en x  4 y x  2. Explique cómo determinó su respuesta. 1 . Explique por x qué esta función nunca puede ser igual a 0.

81. Considere la función racional f1x2 =

2 . Explique x + 3 por qué esta función nunca puede ser igual a 0.

82. Considere la función racional g1x2 =

x - 4 . ¿Para x2 - 4 cuáles valores de x, si los hay, esta función a) es igual a 0? b) no está definida? Explique. x - 2 84. Considere la función f1x2 = 2 . ¿Para cuáles valox - 81 res de x, si los hay, esta función a) es igual a 0; b) no está definida? Explique. 85. Proporcione una función que no esté definida en x  3 y x  1, y que tenga un valor de 0 en x  2. Explique cómo determinó su respuesta. 86. Proporcione una función que no esté definida en x  4 y x  2, y que tenga un valor de 0 en x  5. Explique cómo determinó su respuesta.

83. Considere la función racional f1x2 =

Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 371 Determine el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó su respuesta.

1 = x - 3 x2 + 2x - 15 y2 - y - 20 y + 4 = 89. ........ y + 1 87.

.........

88.

.....

90.

.........

3x + 4

= x - 3

6p2 + p - 15

=

2p - 1 2p - 3

Determine el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó su respuesta.

x2 - x - 12 # ........ = 1 x2 + 2x - 3 x2 - 2x - 8 2x2 - 9x + 9 x2 - 9 x + 3 93. , = 2 ......... 2x - 1 2x + 3x - 2

x2 - 4 # 2x2 + x - 6 x - 2 = 1x + 222 ........ 2x + 5 31r - 12 4r2 - r - 18 4r3 - 9r2 94. = , 2 ........ 6r - 9r + 3 r2

91.

92.

95. Considere el siguiente rectángulo. Su área es 3a2  7ab  2b2, y su longitud es 2a  4b. Determine su ancho, w, en términos de a y b, dividiendo su área entre su longitud.

96. Considere el siguiente rectángulo. Su área es a2  2ab  b2, y su longitud es 3a  3b. Determine su ancho, w, en términos de a y b, dividiendo su área entre su longitud. w

w 3a 3b

2a  4b

97. Considere el siguiente triángulo. Si su área es a2  2ab  3b2 y su base es a  3b, determine su altura, h. Utilice la fórmula área  1_2 (base)(altura).

98. Considere el siguiente trapecio. Si su área es a2  2ab  b2 determine su altura, h. Utilice la fórmula área  1_2 h(a  b). b

h

h

a  3b

a

Realice cada operación indicada. 99. ¢

6x2 + x - 15 # 6x2 - 7x - 3 2x2 - 3x - 14 , ≤ 2 2x - 9x + 7 3x2 + 2x - 5 2x2 - x - 3

5x21x - 12 - 3x1x - 12 - 21x - 12

10x 1x - 12 + 9x1x - 12 + 21x - 12 1x - p2n 1x - p22n , 103. -2 x x -4 101.

2

# 2x +

1 x + 3

100. ¢

2 2 2 a 2 - b2 # 2a - 2 7ab + 3b ≤ , 2 ab - 3b 2 2 2a - 3ab + b a + ab a + 2ab + b 2

102.

x213x - y2 - 5x13x - y2 - 2413x - y2 x - 1 # x213x - y2 - 9x13x - y2 + 813x - y2 x + 3

104.

x -3 x -5 r , 1a - b2 1a - b2r + 2

106.

m2x - mx - 2 m2x - 4

Simplifique. 105.

x5y + 3x4y 3x3y + x4y

En los ejercicios 107 a 110,

a) b) c) d)

Determine el dominio de la función. Grafique la función en modo de conexión. ¿La función crece, decrece o permanece igual conforme x se aproxima a 2, acercándose a 2 por el lado izquierdo? ¿La función crece, decrece o permanece igual conforme x se aproxima a 2, acercándose a 2 por el lado derecho?

107. f1x2 =

1 x - 2

108. f1x2 =

x x - 2

109. f1x2 =

x2 x - 2

110. f1x2 =

x - 2 x - 2

372 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

111. Con base en la función racional f1x2 =

1 . x

1 . Indique qué le sucede a x la función conforme x se aproxima a 0, tanto por la izquierda como por la derecha.

c) Trace la gráfica de f1x2 =

a) Determine el dominio de la función. b) Complete la siguiente tabla.

x

- 10

-1

d) ¿Esta gráfica puede tener un valor de 0? Explique su respuesta.

- 0.5 - 0.1 - 0.01 0.01 0.1 0.5 1 10

y

Actividad en equipo x2 - 4 . x - 2 a) Determinen en equipo su dominio. b) De manera individual cada miembro del equipo complete la siguiente tabla para la función.

112. Analicen la función racional f1x2 =

x

-2

-1

0 1 1.9 1.99 2.01 2.1 3 4

c) Comparen sus respuestas a la parte b), y pónganse de acuerdo acerca de cuáles son los valores correctos de la tabla. d) Tracen en equipo la gráfica de f1x2 =

x2 - 4 . ¿La x - 2

función está definida cuando x  2?

5 6

e) ¿Esta gráfica puede tener algún valor de 0? Si es así, ¿para qué valor o valores de a es f(a)  0?

y

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 113.

Despeje y de 3(x  2)  3y  6x.

[2.5] 114. Resuelva 4 +

[3.2] 116. Sea f(x)  |6  3x|  2. Determine f(1.3).

4x 6 6 y proporcione la respuesta 3

[4.1] 117. Resuelva el sistema de ecuaciones.

3x + 4y = 2 2x + 5y = - 1

en notación de intervalo. [2.6] 115. Resuelva `

2x - 4 ` = 12. 5

[5.6] 118. Factorice 9x2  6xy  y2  4.

6.2 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES

1

1

Sumar y restar expresiones con un denominador común.

2

Determinar el mínimo común denominador (MCD).

3

Sumar y restar expresiones sin denominadores comunes.

4

Analizar aplicaciones de expresiones racionales.

Sumar y restar expresiones con un denominador común Al sumar (o restar) dos expresiones racionales con un común denominador, sumamos (o restamos) los numeradores y conservamos el denominador común. Para sumar o restar expresiones racionales Para sumar o restar expresiones racionales, utilice las siguientes reglas. Suma

Resta

a b a + b + = , c Z 0 c c c

b a - b a = , c Z 0 c c c (continúa en la página siguiente)

Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 373

Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador común: 1. Sume o reste los numeradores, tal como indican las reglas de la página anterior. 2. Si es posible, simplifique las expresiones.

EJEMPLO 1 Solución

Sume.

a)

3 x - 4 + x + 2 x + 2

b)

x2 + 3x - 2 4x + 12 + 1x + 521x - 32 1x + 521x - 32

a) Como los denominadores son iguales, sumamos los numeradores y conservamos el denominador común.

3 + 1x - 42 3 x - 4 + = x + 2 x + 2 x + 2 x - 1 = x + 2 b)

Sumar numeradores.

x2 + 3x - 2 + 14x + 122 Sumar x2 + 3x - 2 4x + 12 + = 1x + 521x - 32 1x + 521x - 32 1x + 521x - 32 numeradores. =

x2 + 7x + 10 1x + 521x - 32

=

1x + 52 1x + 22 1x + 52 1x - 32

=

x + 2 x - 3

Reducir términos semejantes. Factorizar; dividir entre los factores comunes.

✺

Al restar expresiones racionales, asegúrese de restar todo el numerador de la fracción. Lea con atención el recuadro Cómo evitar errores comunes.

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

En ocasiones, los estudiantes cometen el siguiente error. Estudie la información que se presenta para evitarlo. ¿Cómo simplificaría este problema?

4x 2x + 1 x - 2 x - 2 CORRECTO

4x - 12x + 12 4x 2x + 1 = x - 2 x - 2 x - 2 =

4x - 2x - 1 x - 2

=

2x - 1 x - 2

INCORRECTO

4x 2x + 1 4x - 2x + 1 = x - 2 x - 2 x - 2 =

2x + 1 x - 2

El procedimiento del lado derecho es incorrecto, ya que hay que restar todo el numerador, 2x  1, de 4x, y no sólo 2x. Observe que debe cambiar el signo de cada término del numerador de la fracción restada (no sólo el signo del primer término). Además, tenga en cuenta que, de acuerdo con la propiedad distributiva, (2x  1)  2x  1.

374 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

EJEMPLO 2

Reste

a a2 - 4a - 6 . a - 6 a - 6

a - 1a2 - 4a - 62 a a2 - 4a - 6 = a - 6 a - 6 a - 6 2 a - a + 4a + 6 = a - 6 2 - a + 5a + 6 = a - 6 - 1a2 - 5a - 62 = a - 6 - 1a - 62 1a + 12 = a - 6

Solución

.

Reducir términos semejantes. Factorizar 1. Factorizar; dividir entre los factores comunes.

= - 1a + 12 o -a - 1

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13

2

Restar numeradores.

✺

Determinar el mínimo común denominador (MCD) Para sumar o restar dos fracciones numéricas con denominadores distintos, primero debemos obtener un denominador común. Para obtener el denominador común, muchas veces es necesario escribir los valores numéricos como productos de números primos. Un número primo es un número mayor que 1 que sólo tiene dos divisores, él mismo y 1. Algunos números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. A continuación se muestra cómo los números 36 y 48 se escriben como un producto de números primos:

36 = 2 # 2 # 3 # 3 = 2 2 # 32 48 = 2 # 2 # 2 # 2 # 3 = 2 4 # 3 Para determinar el mínimo común denominador de una expresión racional, también podría ser necesario escribir coeficientes numéricos como productos de números primos. Para determinar el mínimo común denominador (MCD) de expresiones racionales 1. Escriba como producto de números primos cada coeficiente no primo (distinto de 1) de los monomios del denominador. 2. Factorice cada denominador completamente. Cualquier factor que aparezca más de una vez debe expresarse como potencia. Por ejemplo, (x  5)(x  5) debe expresarse como (x  5)2. 3. Liste todos los factores diferentes (distintos de 1) que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cuando el mismo factor aparezca en más de un denominador, escríbalo con la mayor potencia. 4. El mínimo común denominador es el producto de todos los factores encontrados en el paso 3.

EJEMPLO 3

Determine el MCD de cada expresión. a)

Solución

3 2 - 2 5x x

b)

1 5 + 18x3y 27x2y3

c)

2y 3 x x +5

d)

7 3z + x21x + 12 x1x + 123

a) Los factores que aparecen en el denominador son 5 y x. Liste cada factor con su máxima potencia. El MCD es el producto de estos factores. Mayor potencia de x

MCD = 5 # x2 = 5x2

Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 375

b) Los coeficientes numéricos escritos como productos de números primos son 18  2  32 y 27  33. Los factores variables que aparecen son x y y. Utilizamos las máximas potencias de los factores para obtener el MCD. MCD  2  33  x3y3  54x3y3 c) Los factores son x y x  5. Observe que la x del segundo denominador, x  5, no es un factor del denominador, ya que la operación es una suma y no una multiplicación. MCD  x(x  5) d) Los factores son x y x  1. La mayor potencia de x es 2, y la mayor potencia de x  1 es 3. MCD  x2(x  1)3

✺

En ocasiones es necesario factorizar todos los denominadores para obtener el MCD. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 4

Determine el MCD de cada expresión. a)

Solución

3 7x + 2 2x - 4x x - 4x + 4 2

b)

5x 6x2 - 2 x - x - 12 x - 7x + 12 2

a) Factorice ambos denominadores.

3 7x 3 7x + 2 = + 2x1x - 22 2x2 - 4x x - 4x + 4 1x - 222 Los factores son 2, x y x 2. Multiplique los factores elevados a la mayor potencia a la que aparezca cada uno.

MCD = 2 # x # 1x - 222 = 2x1x - 222 b) Factorice ambos denominadores.

5x 6x2 5x 6x2 = 1x + 321x - 42 1x - 321x - 42 x2 - x - 12 x2 - 7x + 12 MCD = 1x + 321x - 421x - 32

Observe que aunque x  4 es un factor común a cada denominador, la máxima potencia de ese factor que aparece en cada denominador es 1. ✺

3

Sumar y restar expresiones sin denominadores comunes El procedimiento que se usa para sumar o restar expresiones racionales sin denominadores comunes, se explica a continuación. Para sumar o restar expresiones racionales con denominadores distintos 1. Determine el MCD. 2. Reescriba cada fracción como una fracción equivalente con el MCD. Esto se hace multiplicando el numerador y el denominador de cada fracción por los factores necesarios para obtener el MCD. 3. Conserve el denominador en forma factorizada, pero desarrolle el numerador. 4. Sume o reste los numeradores, conservando el MCD. 5. Cuando sea posible reducir la fracción mediante factorización del numerador, hágalo.

376 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

EJEMPLO 5 Solución

Sume.

a)

2 7 + x y

b)

5 3 + 2 14ab3 4a

a) Primero determinamos el MCD.

MCD = xy A continuación escribimos cada fracción con el MCD. Para esto, multiplicamos tanto el numerador como el denominador de cada fracción por los factores necesarios para obtener el MCD. y En este problema, la primera fracción debe multiplicarse por , y la seguny x da por . x

y 2 7 + = x y y

#2

x

+

2y 7# x 7x = + y x xy xy

Al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo factor, en realidad estamos multiplicando por 1, lo cual no cambia el valor de la fracción, pero sí su apariencia. Así, la nueva fracción es equivalente a la fracción original. Ahora sumamos los numeradores y dejamos solo al MCD.

2y + 7x 2y 7x + = xy xy xy Por lo tanto,

o

7x + 2y xy

7x + 2y 2 7 + = . x y xy

b) El MCD de 4 y 14 es 28. El MCD de las dos fracciones es 28a2b3. Debemos escribir cada fracción con el denominador 28a2b3. Para esto, multiplicamos la fracción de la izquierda por

7b3 2a . y la fracción de la derecha por 2a 7b3 5 3 7b3 # 5 3 # 2a + = + 2 3 3 2 4a 14ab 7b 4a 14ab3 2a

=

35b3 6a + 2 3 28a b 28a2b3

Multiplicar para obtener el MCD.

Sumar numeradores.

3

= AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 39

EJEMPLO 6 Solución

Reste

35b + 6a 28a2b3

✺

x + 2 x + 5 . x - 4 x + 4

El MCD es (x  4)(x  4). Escribimos cada fracción con el denominador (x  4)(x  4).

x + 2 x + 5 x + 4#x + 2 x + 5#x - 4 = x - 4 x + 4 x + 4 x - 4 x + 4 x - 4 =

1x + 521x - 42 1x + 421x + 22 1x + 421x - 42 1x + 421x - 42

=

x2 + 6x + 8 x2 + x - 20 1x + 421x - 42 1x + 421x - 42

Multiplicar para obtener el MCD.

Multiplicar los binomios en el numerador.

Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 377

x2 + 6x + 8 - 1x2 + x - 202 1x + 421x - 42 x2 + 6x + 8 - x2 - x + 20 = 1x + 421x - 42 5x + 28 = 1x + 421x - 42 =

EJEMPLO 7 Solución

Sume

Restar numeradores.

Reducir términos semejantes.

✺

2 x + 5 + . x - 3 3 - x

Observe que cada denominador es el opuesto, o inverso aditivo, del otro. (Los términos de los denominadores sólo difieren en el signo). Cuando surge esta situación especial, podemos multiplicar el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones por 1 para obtener el MCD.

2 x+5 2 - 1 # 1x + 52 + = + x - 3 3 - x x -3 -1 13 - x2 2 -x - 5 + x - 3 x - 3 2 - x - 5 = x - 3 -x - 3 = x - 3

Multiplicar para obtener el MCD.

=

Sumar denominadores. Reducir términos semejantes.

Ya que no hay factores comunes en el numerador y en el denominador, AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43

EJEMPLO 8 Solución

-x - 3 no x - 3

puede simplificarse más.

✺

2x - 3 3x + 4 . Reste 2 2x - 5x - 12 5x2 - 18x - 8 Factorice el denominador de cada expresión.

3x + 4 2x - 3 3x + 4 2x - 3 = 12x + 321x - 42 15x + 221x - 42 2x2 - 5x - 12 5x2 - 18x - 8

El MCD es 12x + 321x - 4215x + 22.

2x - 3 3x + 4 12x + 321x - 42 15x + 221x - 42 =

=

=

=

=

5x + 2 # 3x + 4 2x - 3 # 2x + 3 5x + 2 12x + 321x - 42 15x + 221x - 42 2x + 3

15x2 + 26x + 8 4x2 - 9 15x + 2212x + 321x - 42 15x + 2212x + 321x - 42

Multiplicar para obtener el MCD. Multiplicar los numeradores.

15x2 + 26x + 8 - 14x2 - 92 15x + 2212x + 321x - 42

Restar los numeradores.

11x2 + 26x + 17 15x + 2212x + 321x - 42

Reducir términos semejantes.

15x2 + 26x + 8 - 4x2 + 9 15x + 2212x + 321x - 42

✺

378 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

EJEMPLO 9

Realice las operaciones indicadas.

x - 1 x + 1 x - 6 + 2 x - 2 x + 2 x - 4

Solución

Primero factorizamos x2  4. El MCD de las tres fracciones es (x  2)(x  2).

x - 1 x + 1 x - 6 + 2 x - 2 x + 2 x - 4 x - 1 x + 1 x - 6 = + x - 2 x + 2 1x + 221x - 22 =

=

=

= =

= = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67

x + 2#x - 1 x + 1#x - 2 x- 6 + x + 2 x - 2 x + 2 x - 2 1x + 221x - 22

x2 + x - 2 x2 - x - 2 x-6 + 1x + 221x - 22 1x + 221x - 22 1x + 221x - 22

Multiplicar para obtener el MCD. Multiplicar numeradores.

x2 + x - 2 - 1x2 - x - 22 + 1x - 62 1x + 221x - 22

Restar y sumar numeradores.

3x - 6 1x + 221x - 22

Reducir términos semejantes.

x2 + x - 2 - x2 + x + 2 + x - 6 1x + 221x - 22

3 1x - 22 1x + 22 1x - 22 3 x + 2

Factorizar; dividir entre factores comunes.

✺

Cómo utilizar su calculadora graficadora En el ejemplo 9, encontramos que

x + 1 x - 6 x - 1 3 + 2 = x - 2 x + 2 x + 2 x - 4 Suponga que definimos

x - 1 x + 1 x - 6 + 2 x - 2 x + 2 x - 4 3 y2 = x + 2 y1 =

Si utilizamos la característica TABLE de su calculadora graficadora, ¿cómo son los valores de y1 y y2? La función y1 no está definida en x  2 y x  2. La función y2 no está definida en x  2. Para todos los valores de x distintos de 2 y 2, los valores de y1 y y2 deben ser iguales, a menos que hayamos cometido algún error. La siguiente es una tabla de valores de y1 y y2, para valores de x de 3 a 3.

(continúa en la página siguiente)

Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 379

Las gráficas de y1 y y2 se muestran en las figuras 6.3 y 6.4, respectivamente. Ilustramos las gráficas en este formato (en lugar de la pantalla de una calculadora graficadora) para mostrar más detalles; por ejemplo, el círculo vacío de la gráfica de la figura 6.3 no es visible en una graficadora. Observe que la gráfica de y1 tiene un círculo vacío en 2, ya que y1 no está definida en x  2. Como y2 sí está definida en ese punto, la gráfica de la figura 6.4 no incluye este círculo abierto. Ninguna de las dos funciones está definida en x  2. y

y

6

6

5

5

4

4

3

3

x1 x1 x6   2 y1  x2 x2 x 4

1 5 4 3

1 1

1

2

3

4

5

6

x

1 1 2

3

3

4

4

5

5

6

6

CONSEJO PARA ESTUDIAR

1

2

3

3 x2 4

5

6

x

FIGURA 6.4

FIGURA 6.3

4

5 4 3

2

SUGERENCIA

y2 

1

Ahora que hemos analizado las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de expresiones racionales, resumamos rápidamente los procedimientos. Para sumar o restar expresiones racionales, obtenga el MCD. Exprese cada fracción con el MCD. Luego sume o reste los numeradores y escriba el resultado sobre el MCD. Para multiplicar expresiones racionales, factorice cada expresión completamente, divida entre los factores comunes, multiplique los numeradores, y multiplique los denominadores. Para dividir expresiones racionales, multiplique la primera fracción (la superior) por el recíproco de la segunda fracción (la inferior). Luego factorice cada expresión por completo, divida entre los factores comunes, multiplique los numeradores, y multiplique los denominadores.

Analizar aplicaciones de expresiones racionales En la sección 6.5 se abordará el tema de las aplicaciones de expresiones racionales pero, por el momento presentaremos una aplicación que implica la suma y resta de expresiones o funciones racionales. En economía se estudian conceptos como el ingreso, el costo y la utilidad. Si R(x) es una función del ingreso y C(x) es una función del costo, entonces la función de la utilidad, P(x), es P(x)  R(x)  C(x) en donde x es el número de artículos fabricados y vendidos por una compañía. Usaremos esta información en el ejemplo 10.

EJEMPLO 10

Botes de vela semana. Suponga que

Una compañía de botes de vela fabrica al menos seis botes cada

R1x2 =

6x - 7 x + 2

y

C1x2 =

4x - 13 x + 3

en donde x es el número de botes de vela vendidos. Determine la función de la utilidad.

380 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

Solución

Para determinar la función de la utilidad, restamos la función del costo de la función del ingreso.

Entienda el problema y traduzca

P1x2 = R1x2 - C1x2 4x - 13 6x - 7 P1x2 = x + 2 x + 3 El MCD es (x  2)(x  3). Realice los cálculos

x + 3 # 6x - 7 4x - 13 # x + 2 x + 3 x + 2 x + 3 x + 2 6x2 + 11x - 21 4x2 - 5x - 26 = 1x + 321x + 22 1x + 321x + 22

=

= = =

Responda

Multiplicar para obtener el MCD. Multiplicar los numeradores.

16x2 + 11x - 212 - 14x2 - 5x - 262 1x + 321x + 22

Restar los numeradores.

2x2 + 16x + 5 1x + 321x + 22

Reducir términos semejantes.

6x2 + 11x - 21 - 4x2 + 5x + 26 1x + 321x + 22

La función de utilidad es P1x2 =

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 81

2x2 + 16x + 5 . 1x + 321x + 22

✺

Conjunto de ejercicios 6.2 Ejercicios conceptuales 1. a) ¿Qué es el mínimo común denominador de dos o más expresiones racionales? b) Explique cómo determinar el MCD. c) Por medio del procedimiento que indicó en la parte b), determine el MCD de

5 64x2 - 121

y

2. a) Explique cómo sumar o restar dos expresiones racionales. x 4 + siguiendo el procedix + 2 3x 2 - 4x - 20 miento que indicó en la parte a).

b) Sume

1 8x2 - 27x + 22

En los ejercicios 3 y 4, a) explique por qué la resta no es correcta, y b) realice la resta correcta.

x2 + x - 2 x2 - 4x - x2 + x - 2 x2 - 4x Z 1x + 321x - 22 1x + 321x - 22 1x + 321x - 22 2 x - 5 x - 6x + 5 x - 5 - x2 - 6x + 5 Z 4. 1x + 421x - 32 1x + 421x - 32 1x + 421x - 32 3.

Problemas de aplicación Sume o reste.

3x 5 + x + 2 x + 2 10x 50 8. x - 5 x - 5 2x - 5 5x - 6 + 11. x - 2 x - 2 5.

3x 6 + x + 2 x + 2 x 9 2 + 9. x + 3 x + 3 x + 3 5x - 3 - 4x + 6 + 2 12. 2 x + x - 6 x + x - 6 6.

2 7x x - 5 x - 5 9 3 2x + 10. x + 3 x + 3 x + 3 7.

Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 381 - 4x + 19 x2 - 2 - 2 x + 6x - 7 x + 6x - 7 2r2 + 5r 3r2 + 15r + 15. 3 r + 2r2 - 8r r3 + 2r2 - 8r 2 3x - x 3x - 8 x2 - x + 27 + 17. 2 2 2x - x - 21 2x - x - 21 2x2 - x - 21 13.

2

x2 + xy + 7y2 - x2 + 2 2 x + 5xy - 14y x + 5xy - 14y2 3 2 x - 12x + 45x x2 + 5x 16. x1x - 82 x1x - 82 2 3x + 10 3x - 5 2x + 9x - 15 18. 2x2 - 13x + 20 2x2 - 13x + 20 2x2 - 13x + 20 14.

2

Determine el mínimo común denominador. 19. 22. 25. 28. 31. 33.

1 5 7 9 + 20. 2 2 3 9x 6x3 2a 3a 2 x x + 3 7 2 + 23. 16x2y 3x3 3a4b2 2a3b5 r+8 4 4x 6 + 26. 1r - 721r + 32 r-7 x + 3 x + 2 x x + 9 b2 + 3 b - 7 - 2 29. 4 18b 121b + 52 x 1x - 22 x 1x - 223 3x - 5 3 a - 2 + 2 32. 6x2 + 13xy + a2 - 5a - 24 a + 11a + 24 3 4 x + 2 x + 34. x2 + 3x - 4 4x2 + 5x - 9 4x2 + 25x + 36 2x2 - 7x + 3

-4 7 + 2 2 8x y 5x4y 5 x 1 24. x + 1 x - 3 9z 27. 5z2 + z - 4 x-7 x+2 + 30. 3 2 1x - 32 1x + 42 1x + 4241x - 52 3 + 6y2 3x2 + 5xy + 2y2 x - 3 x2 + 1 + 4x2 + 4x - 3 2x2 - 3x - 9 21.

Sume o reste. 35. 38. 41. 44. 47. 49. 51. 53. 55. 57. 59. 61. 63.

2 5 + 3r r 7 3x + 4y 6xy 8 3b + b - 2 2 - b b a + b a - b b 3 a + 1 + 2 a + 2 a + 4a + 4 x x + 3 + 2 2 x + 2x - 8 x - 3x + 2 31x + 22 5x - 2 x2 - 9x + 8 x - 6x - 16 x - 1 5 - 2 x + 3x - 10 3a - 4 3a + 6 + 4a + 1 4a2 + 9a + 2 x - y x - 3y + 2 x2 - 4xy + 4y2 x - 4y2 2r 64 2r + 2 r - 4 r + 4 r - 16 1 -4 1 + x + 3 x - 1 x2 + 2x - 3 1 3 + 5 3x - 2 x - 4

6 3 + 2x x2 5 1 + 39. 8x4y 5x2y 3 4x + 2 42. 3xy x + 3 4x + 45. x - 4 x + 1 36.

1 7 12x 4x2 1 3 + 40. 4xy3 6x2y a a 43. a - b b - a 41x - 32 x 46. 2 x+3 x -9 4 2m + 1 - 2 m - 5 m - 3m - 10 x + 1 - x2 + 5x + 2 x - 5 1x - 52 3 4 12p - 321p + 42 1p + 421p - 42 3x + 6 3x + 2x - 3 2x2 + x - 6 9q + 2 7 + 2 2 3q + q - 4 3q - 2q - 8 x + 2y y - 2 x2 - xy - 2y2 x - 3xy + 2y2 p + 4 3 4 + + 2 p + 1 p - 1 p - 1 x + 1 3 2 + 2 + x - 4 x2 - 16 x + 8x + 16 3x + 2 7x2 + 24x + 28 x + 3x + 4 x - 5 3x2 - 11x - 20 37.

48. 50. 52. 54. 56. 58. 60. 62. 64.

382 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones r + 2 1 + 4r - 5 8r + 2r - 15 4 x2 - x 3 + 5x + 6 x - 2 5x2 - 4x - 12 m 2m + 6m2 + 13mn + 6n2 4m2 + 8mn + 3n2 5r - 2s 2r - s 2 2 2 25r - 4s 10r - rs - 2s2 2 - 6xy + 9y2 4x 2 2x + 3y 8x3 + 27y3

65. 3 67. 69. 71. 73.

66.

2

68. 70. 72. 74.

x 3 + 1 x - 6 x - 10x + 24 4 1 3 + + x2 - 13x + 36 2x2 - 7x - 4 2x2 - 17x - 9 1x - y22 2 + 2 x3 - y3 x + xy + y2 6 2 + - 5 2 2r - 1 12r - 12 3x2 + 2y2 4 4x - 5y 64x3 - 125y3 2

Resolución de problemas 75. Cuando dos expresiones racionales se suman o restan, ¿sus numeradores deben factorizarse? Explique.

a) el dominio de f(x).

x-3 x-3 76. ¿Las expresiones y son equivalentes? 5-x x-5 Explique.

c) (f  g)(x).

77. ¿Las expresiones

x - 8 8 - x y son equivalentes? 3 - x x - 3

b) el dominio de g(x). d) el dominio de (f  g)(x). 80. Si f1x2 =

Explique.

y g1x2 =

x , determine x - 3

a) el dominio de f(x).

78. Si f(x) y g(x) son funciones racionales, ¿(f  g)(x) siempre será una función racional? 79. Si f1x2 =

x + 1 x2 - 9

b) el dominio de g(x). c) (f  g)(x).

x x + 2 y g1x2 = , determine x - 3 x + 4

d) el dominio de (f  g)(x).

En los ejercicios 81 a 84, determine la función de la utilidad, P(x). (Vea el ejemplo 10.)

4x - 5 2x - 7 y C1x2 = x + 1 x + 2 8x - 3 5x - 8 83. R1x2 = y C1x2 = x + 2 x + 3

5x - 2 3x - 4 y C1x2 = x + 2 x + 1 7x - 10 5x - 8 84. R1x2 = y C1x2 = x + 3 x + 4

81. R1x2 =

82. R1x2 =

En las siguientes figuras, las líneas punteadas de color rojo se denominan asíntotas. Las asíntotas no son parte de la gráfica pero se utilizan para mostrar valores a los que ésta se aproxima, pero no toca. En los ejercicios 85 y 86, determine el dominio y el rango de la función racional que se muestra. 85.

86.

y

y

6

3

5 4

2

3 2

6 5 4 3 2 1 1

1

1

3

4

5

x

6

3

2

1

3 1

3 4

2

5 6

En los ejercicios 87 a 90, utilice f1x2 = 87. (f  g)(x).

3

x 2

x - 4

y g1x2 =

2 . para determinar lo siguiente. x2 + x - 6 88. (f  g)(x).

x

Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 383 89. (f  g)(x). 91. Demuestre que

90. (f/g)(x). a c ad + bc + = . b d bd

92. Demuestre que x -1 + y -1 =

x + y xy

.

Observe los siguientes rectángulos. Determine a) su perímetro; b) su área. 93.

ab a

94.

a  2b b a  2b b

ab a

Determine el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó su respuesta. 95.

-2x2 + 6x - 12 5x2 - 6 ....... = x2 - x - 1 x2 - x - 1 x2 - x - 1

96.

1 r2 - 6 ........ - 2 = 2 r - 2 r - 5r + 6 r - 5r + 6

Realice las operaciones indicadas. 97. a3 + 99. a 101. a

1 x + 3 ba b x + 3 x - 2

98. a

4 r - 2 3 ba b r + 1 r - 2 r + 10

2 5 b , 13a + 252 a - 5 a + 3

100. ¢

x2 + 4x - 5 # 2x + 3 2 ≤ x + 2 2x2 + x - 3 x + 1

1 x + 5 - xb , x - 3 x - 3

102. ¢

1 x + 5 2x2 - 13x + 15 + ≤¢ ≤ 2 x + 5 x - 25 4x2 - 6x

103. El promedio ponderado de dos valores a y b está dado por x n - x x aa b + ba b , en donde es el peso dado a a y n n n n - x es el peso dado a b. n a) Exprese esta suma como una sola fracción. b) En un examen a usted recibió una calificación de 60, y en un examen b obtuvo 92. Si el examen a cuenta 25 de su calificación final y el examen b cuenta 35 , determine su promedio ponderado. y -1 x2 + y2 + 1 x -1 . 104. Demuestre que a b + a b + 1xy2 -1 = y x xy

En los ejercicios 105 y 106, realice la operación indicada. 105. 1a - b2-1 + 1a - b2-2 106. a

a - b -1 a + b -1 b - a b a a

Utilice su calculadora graficadora para determinar si las siguientes sumas son correctas.

x - 3 + 2 x + 4 x x-2 + 108. x2 - 25 2x2 107.

2 x  x - 10x + 18 1x + 421x - 62 2x - 24 x-2 3x 2 - 4x - 4  1x + 521x - 5212x + 72 + 17x + 35

Reto 109. Exprese cada suma como una sola fracción.

1 a) 1 + x 1 1 + 2 b) 1 + x x 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 c) 1 + x x x x

d) 1 +

1 1 1 + 2 + Á + n x x x

110. Sea f1x2 =

1 . Determine f(a  h)  f(a). x

111. Sea g1x2 =

1 . Determine g(a  h)  g(a). x + 1

384 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

Ejercicios de repaso acumulativo [2.4] 112. Llenado de botellas Una máquina embotelladora llena y tapa 80 botellas por minuto. Después, la máquina baja su velocidad a 60 botellas por minuto. Si la suma de los dos periodos fue de 14 minutos y el número de botellas llenadas y tapadas a alta velocidad fue el mismo que el número resultante a baja velocidad, determine a) el tiempo que trabajó la máquina a alta velocidad, y b) cuántas botellas llenó y tapó durante los 14 minutos.

[2.6] 113. Resuelva x y proporcione la solución en notación de conjuntos. | x  3 |  2  3. [3.4] 114. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (7, 3). [4.5] 115. Evalúe el determinante ` [5.3] 116. Divida

-1 5

3 `. 6

6x2 - 5x + 6 . 2x + 3

[5.8] 117. Resuelva 3p2  22p  7.

6.3 FRACCIONES COMPLEJAS

1

1

Reconocer fracciones complejas.

2

Simplificar fracciones complejas multiplicando por un denominador común.

3

Simplificar fracciones complejas simplificando el numerador y el denominador.

Reconocer fracciones complejas Una fracción compleja es aquella que contiene una expresión fraccionaria en su numerador, en su denominador, o en ambos. Ejemplos de fracciones complejas

2 3 , 5

x + 1 x , 3x

x y , x + 1

a + b a , a - b b

1 x 1 3 + x x2 3 +

La expresión que se encuentra sobre la línea principal de la fracción es el numerador, y la expresión que está debajo de ella es el denominador.

a + b a

numerador de la fracción compleja línea principal de la fracción

a - b b

denominador de la fracción compleja

Sección 6.3 • Fracciones complejas • 385

A continuación se explicarán dos métodos que pueden utilizarse para simplificar las fracciones complejas, es decir, para escribirlas eliminando las fracciones de su numerador y de su denominador.

2

Simplificar fracciones complejas multiplicando por un denominador común El primer método implica la multiplicación del numerador y del denominador de la fracción compleja por un denominador común.

Para simplificar una fracción compleja multiplicando por un denominador común 1. Determine el mínimo común denominador de todas las fracciones que aparecen en la fracción compleja. Éste es el MCD de la fracción compleja. 2. Multiplique el numerador y el denominador de la fracción compleja por el MCD que se determinó en el paso 1. 3. Simplifique lo más posible.

MCD

En el paso 2, en realidad se multiplica la fracción compleja por MCD , lo cual es equivalente a multiplicarla por 1.

EJEMPLO 1

Solución

2 3 x x2 . Simplifique x2 5 Los denominadores de la fracción compleja son x2, x y 5. Por lo tanto, el MCD de la fracción compleja es 5x2. Multiplicamos el numerador y el denominador por 5x2.

2 3 2 3 5x2 ¢ 2 - ≤ 2 x x x x = 2 x2 2 x 5x ¢ ≤ 5 5 5 x2 ¢

x2 5 x2 ¢ ≤ 5

3 b . Simplifique 3 b + a a +

EJEMPLO 2

y el denominador por 5x2.

x 2 3 - 5 x2 a b 2 ≤ x x

=

=

Multiplicar el numerador

10 - 15x x4

Propiedad distributiva.

Simplificar.

✺

386 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

Solución

Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción compleja por su MCD, ab.

3 3 ab aa + b b b = 3 3 b + ab ab + b a a a +

a 2b + 3a ab2 + 3b a 1ab + 32 a = = b 1ab + 32 b

=

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13

EJEMPLO 3 Solución

Simplifique

Multiplicar el numerador y el denominador por ab.

Propiedad distributiva. Factorizar y simplificar.

✺

a -1 + ab -2 . ab -2 - a -2 b -1

Primero reescribimos cada expresión sin exponentes negativos.

a 1 + 2 a a -1 + ab-2 b = a 1 ab -2 - a -2b-1 - 2 b2 ab a2b2 ¢

a 1 + 2≤ a b

= a2b2 ¢

a 1 - 2 ≤ 2 b ab

a2 b2 a

Multiplicar el numerador y el denominador por a2b2, el MCD de la fracción compleja.

1 a b + a2 b2 ¢ 2 ≤ a b Propiedad distributiva.

= b a 1 a b ¢ 2 ≤ - a2 b2 ¢ 2 ≤ b a b 2 2

= AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37

ab2 + a3 a3 - b

✺

Aunque en el ejemplo 3 podríamos factorizar una a de ambos términos en el numerador de la respuesta, no seríamos capaces de simplificar más la respuesta dividiendo entre los factores comunes. De modo que conservaremos la respuesta hasta ese punto.

3

Simplificar fracciones complejas simplificando el numerador y el denominador Las fracciones complejas también pueden simplificarse como sigue: Para simplificar una fracción compleja simplificando el numerador y el denominador 1. Sume o reste, lo que sea necesario, para obtener una expresión racional en el numerador. 2. Sume o reste, lo que sea necesario, para obtener una expresión racional en el denominador. 3. Invierta el denominador de la fracción compleja y multiplique por el numerador de la fracción compleja. 4. Simplifique lo más posible.

Sección 6.3 • Fracciones complejas • 387

El ejemplo 4 ilustra cómo puede simplificarse la fracción compleja del ejemplo 1 mediante este segundo método.

EJEMPLO 4

Solución

2 3 x x2 . Simplifique x2 5 Restamos las fracciones del numerador para obtener una expresión racional en él. El denominador común de las fracciones del numerador es x2.

2 3 3 x 2 - # 2 2 x x x x x = x2 x2 5 5 2 3x - 2 2 x x = x2 5 2 - 3x x2 = x2 5 2 - 3x # 5 = x2 x2 512 - 3x2 = x4 10 - 15x o x4

Obtener el denominador común en el numerador.

Invertir el denominador y multiplicar.

Ésta es la misma respuesta que se obtuvo en el ejemplo 1.

SUGERENCIA

✺

Algunos estudiantes prefieren el segundo método cuando la fracción compleja consiste de una sola fracción sobre una sola fracción, tal como

x + 3 18 x - 8 6 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 7

Para fracciones más complejas, muchos estudiantes optan por el primer método, ya que de esta manera no tienen que sumar fracciones.

Conjunto de ejercicios 6.3 Ejercicios conceptuales 1. ¿Qué es una fracción compleja?

2. Hemos indicado dos procedimientos para trabajar con fracciones complejas. ¿Cuál procedimiento prefiere? ¿Por qué?

388 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

Problemas de aplicación Simplifique

10x2y4

15a b2 3. b3 5

3z3 5xy

4.

1 5.

x2y 4 6. 2 x

x y

3x

9z5

36x4 5y4z5

7 y 8. x 1 + y

x y 9. 3 + x y

4 2 + 2 x x 10. 1 2 + x

1 2 + a 2a 11. a a + 2

1 y 12. 1 2 y

y x y x 13. x + y x

2 1 + 2 m m 15. 1 2 + 2 m

a - 5 b 16. -a + 5 b

4x + 8 3x2 17. 4x3 6

a2 - b b 14. 2 b - a a x2 - y2 x 18. x + y

a - 1 a + 1 19. 2a + 1 a - 1

1 x 4 x 20. x + 4 1 + x

21.

a a 23. a a

a a 24. a a

5 6 + 5 - x x - 5 25. 2 3 + x x - 5

7.

9xy2 15z5

+ + -

1 a - 1 + 1 a + 1 a - 1 1 1 a + 1

x +

4 -

+ +

2 a + 2 2 a - 2 a + 2 2 + 2 a - 2

x3

x x + 1 2x + 1 x - 1

2 + 2 x - 1 22. 2 - 2 x + 1

1 +

2 1 3 + 2 + m m - 1 m 26. 2 m - 1

2 2 + 2 a - 3a + 2 a - a - 2 28. 2 2 + 2 a2 - 1 a + 4a + 3

1 2 3 + 2 x x - 2 x 27. 1 x 2 + 2 x2 + x - 20 x 29. 2 + 2 x2 + 3x - 10 x +

x -

2

3 6x + 8 3 2x - 24

2 1 + 2 x2 + 5x + 4 x + 2x - 8 30. 1 2 + 2 x2 - x - 2 x - 5x + 6

Simplifique 33. 1a -1 + b -12

-1

31. 3a -2 + b

32. 2a -2 + b -1

a -1 + 1 35. -1 b - 1

2a + a -1 b 36. b + a -1 a

37.

a -1 + b-1 39. 1a + b2-1

3a -1 - b-1 40. 1a - b2-1

41. 2x -1 - 13y2-1

x -1 - y -1 x -1 + y -1

34.

a -1 + b-1 4 ab x -2 +

38.

42.

3 x

3x -1 + x -2 4 1 + x y

1x - y2-1

Sección 6.3 • Fracciones complejas • 389

43.

3 5 2 + xy y x

44.

3x -1 - 4y -2

4m-1 + 3n-1 + 12mn2-1 5 9 + m n

Resolución de problemas En los ejercicios 45 a 48 se da el área y el ancho de cada rectángulo. En cada caso, determine la longitud, l, mediante la división del área, A, entre el ancho, w. 45.

46. A

x2  12x  35 x3

w

x2  6x  5 x2  5x  6

x2  10x  16 x4 (x  1) A

l

w

x2  11x  24 x2  3x  4

w

x2  11x  18 x2  x  6

l

47.

48. x  11x  28 x5 (x  1) A

2

w

x  8x  7 x2  4x  5

x2  17x  72 x3 (x  2)

2

A

l

l

49. Gato mecánico La eficiencia de un gato mecánico, E, está dada por la fórmula

1 h 2

E =

h +

50. Resistores Si se conectan en paralelo dos resistores con resistencia R1 y R2, podemos determinar su resistencia combinada, RT, mediante la fórmula:

RT = 1 2

donde h está determinada por el paso de la rosca del gato mecánico.

1 1 1 + R1 R2

Simplifique el lado derecho de esta fórmula. 51. Resistores Si se conectan en paralelo tres resistores con resistencia R1, R2 y R3, podemos determinar su resistencia combinada mediante la fórmula:

RT =

Paso

1 1 1 1 + + R1 R2 R3

Simplifique el lado derecho de esta fórmula. 52. Óptica Una fórmula que se utiliza en el estudio de la óptica es

f = 1p-1 + q -12

Determine la eficiencia de un gato mecánico cuyo valor de h es: a)

2 3

b)

4 5

-1

donde p es la distancia del objeto respecto de una lente, q es la distancia de la imagen respecto de la lente, y f es la longitud focal de la lente. Exprese el lado derecho de la fórmula sin exponentes negativos. 1 , determine f(f(a)). x 2 54. If f1x2 = , determine f(f(a)). x + 2 53. Si f1x2 =

Reto Para cada función, determine 55. f1x2 =

1 x

58. f1x2 =

4 x - 1

f1a + h2 - f1a2 h

.

7 x 1 59. f1x2 = 2 x 56. f1x2 =

1 x + 1 5 60. f1x2 = 2 x 57. f1x2 =

390 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones Simplifique.

1

61.

2a +

1

62.

1

x +

1 2a + 2a

1

63.

1

2 +

1 x + x + 1

1 2 +

1 2

Ejercicios de repaso acumulativo ` - ` - a- b # ` - ` 3 9

64. Evalúe

5 9

3 8

ƒ - 5 - 1 - 32 ƒ

.

-x - 5 3 6 6 6 y proporcione la solu5 3 ción en la notación de intervalos.

[2.5] 65. Resuelva

[3.5] 67. Determine si las dos rectas representadas por las siguientes ecuaciones son paralelas, perpendiculares o ninguna de éstas. 6x  2y  8 4x – 9  y

[2.6] 66. Resuelva |x  1|  |2x  4|.

6.4 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES RACIONALES

1

1

Resolver ecuaciones racionales.

2

Verificar soluciones.

3

Resolver proporciones.

4

Resolver problemas que incluyen funciones racionales.

5

Resolver problemas de aplicación mediante expresiones racionales.

6

Despejar una variable en una fórmula con expresiones racionales.

Resolver ecuaciones racionales En las secciones 6.1 a 6.3 se presentaron técnicas para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones racionales. En esta sección analizaremos un método para resolver ecuaciones racionales. Una ecuación racional es aquella que contiene al menos una expresión racional. Para resolver ecuaciones racionales 1. Determine el MCD de todas las expresiones racionales de la ecuación. 2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el MCD. Esto dará por resultado que todos los términos de la ecuación queden multiplicados por el MCD. 3. Elimine los paréntesis existentes y reduzca los términos semejantes de cada lado de la ecuación. 4. Resuelva la ecuación utilizando las propiedades analizadas en secciones anteriores. 5. Verifique la solución en la ecuación original.

En el paso 2 se multiplican ambos lados de la ecuación por el MCD para eliminar fracciones. En algunos de los siguientes ejemplos no se mostrará la verificación para ahorrar espacio.

Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 391

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva

3x 1 x - 1 + = . 4 2 2

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 4. Después utilizamos la propiedad distributiva, con la cual cada término de la ecuación quedará multiplicado por el MCD.

4a 4a

3x 1 x - 1# + b = 4 4 2 2

3x 1 b + 4a b = 21x - 12 4 2

Multiplicar ambos lados por 4.

Propiedad distributiva.

3x + 2 = 2x - 2 x + 2 = -2

✺

x = -4

2

Verificar soluciones Siempre que aparezca una variable en algún denominador, usted deberá verificar su probable solución en la ecuación original. Si al hacerlo resulta que la solución probable da por resultado que un denominador sea igual a 0, ese valor no es solución de la ecuación. Estos valores son las raíces extrañas o soluciones extrañas. Una raíz extraña es un número que se obtiene al resolver una ecuación, pero que no es solución de la ecuación original.

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva 2 -

4 1 = . x 3

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 3x.

1 4 b = a b x 3

3x a2 3x122 - 3 x a

#

3x Multiplicar ambos lados por 3x.

4 1 b = a b 3 x Propiedad distributiva. x 3

6x - 12 = x 5x - 12 = 0 5x = 12 x =

2 -

Comprobar

2 -

12 5

1 4 = x 3

4 ? 1 = 112>52 3 2 -

Sustituir x por

12 . 5

20 ? 1 = 12 3 1 1 = 3 3

Verdadero

✺

392 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

EJEMPLO 3

Resuelva x +

6 = - 7. x

x # ax +

Solución

x1x2 + x a

6 b = - 7 # x Multiplicar ambos lados por el MCD, x. x

6 b x x2 + 6 x2 + 7x + 6 1x + 121x + 62 x + 1 = 0 o x = -1

= - 7x

Propiedad distributiva.

= - 7x = 0 = 0 x + 6 = 0 x = -6

Al comprobar 1 y 6 se mostrará que ambos números son soluciones para la ecuación. ✺

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35

EJEMPLO 4

Resuelva

1 3x 2 + = . x - 2 x + 2 x2 - 4

Factorice el denominador, x2  4, y luego determine el MCD.

Solución

3x 1 2 + = 1x + 221x - 22 x - 2 x + 2 El MCD es (x  2)(x 2). Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, y después utilizamos la propiedad distributiva. Este proceso eliminará las fracciones de la ecuación.

1x + 221x - 22 # c

3x 1 + d 1x + 221x - 22 x - 2 3x 1 1x + 22 1x - 22 # + 1x + 22 1x - 22 # 1x + 22 1x - 22 x - 2 3x + 1x + 22 4x + 2 2x + 2 2x x

= = = = = = =

2 # 1x + 221x - 22 x + 2 2 # 1x + 22 1x - 22 x + 2 21x - 22 2x - 4 -4 -6 -3

Una verificación mostrará que 3 es la solución.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 39

EJEMPLO 5

Resuelva la ecuación

Solución

✺

3 22 2 = . 2p + 1 p - 5 2p - 9p - 5 2

Factorizamos el denominador y después determinamos el MCD.

22 3 2 = 12p + 121p - 52 2p + 1 p - 5 Multiplique ambos lados de la ecuación por el MCD (2p  1)(p  5).

12p + 12 1p - 52

#

22 3 2 - 12p + 12 1p - 52 # = 12p + 12 1p - 52 # 12p + 12 1p - 52 2p + 1 p - 5 22 - 31p - 52 = 212p + 12

Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 393

22 - 3p + 15 37 - 3p 35 5

= = = =

4p + 2 4p + 2 7p p

Al parecer, la solución es 5. Sin embargo, hay que verificarlo, ya que aparece una variable en un denominador.

22 3 2 = 2p + 1 p - 5 2p - 9p - 5

Comprobar

2

22 3 2 ? = 2152 + 1 5 - 5 2152 - 9152 - 5 2

Indefinido ¡

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43

Sustituir 5 por p.

3 2 22 = — Indefinido 0 11 0

Como 5 hace que el denominador sea 0 y la división entre 0 no está definida, 5 es una solución extraña. Por lo tanto, debe escribir como respuesta “no existe solución”. ✺ En el ejemplo 5, la única posible solución es 5. Sin embargo, cuando p  5, el denominador 2/(p  5) es 0. Por lo tanto, 5 no puede ser solución. En realidad no teníamos que mostrar la comprobación completa, pero por claridad lo hicimos así en este ejemplo.

SUGERENCIA

3

Recuerde: siempre que resuelva una ecuación en donde aparezca una variable en algún denominador, debe verificar si la solución es o no una solución extraña. Si la solución da por resultado algún denominador 0, entonces es una solución extraña y no es una verdadera solución de la ecuación.

Resolver proporciones Las proporciones son un tipo especial de ecuaciones racionales con la forma Pueden resolverse por medio de multiplicación cruzada como sigue. Si A

A

B

C B (a)

C

B A

C B A D (b)

FIGURA 6.5

C D

a c = . b d

a c = , entonb d

ces ad  bc, b  0, d  0. Las proporciones también pueden resolverse multiplicando ambos lados de la proporción por el mínimo común denominador. En los ejemplos 6 y 7 resolveremos proporciones multiplicando ambos lados por el MCD. Luego se le pedirá que determine las soluciones, si es posible, mediante la multiplicación cruzada. Cuando resuelva una proporción en donde el denominador de una o más razones contenga una variable, deberá verificar la solución para asegurarse de que no es extraña. Las proporciones se utilizan con frecuencia para trabajar con figuras semejantes. Las figuras semejantes son aquellas cuyos ángulos correspondientes son iguales y cuyos lados correspondientes son proporcionales. La figura 6.5 ilustra dos conjuntos de figuras semejantes. En la figura 6.5a, la razón de la longitud del lado AB respecto de la longitud del lado BC es igual a la razón de la longitud del lado A’B’ respecto de la longitud del lado B’C’. Es decir,

AB A¿ B¿ = BC B¿ C¿ Si en un par de figuras semejantes se desconoce la longitud de un lado, éste puede determinarse utilizando proporciones, como se ilustra en el ejemplo 6.

394 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

EJEMPLO 6

Triángulos semejantes Los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura 6.6 son figuras semejantes. Determine la longitud de los lados AB y B’C’.

Solución

Podemos establecer una proporción y despejar x, para después determinar las longitudes.

A

AB BC x - 1 5 x 1 5x # 5 x1x - 12 x2 - x x2 - x - 30 1x - 621x + 52 x - 6 = 0 o x = 6

x1 B

5

C

A

6

B

x

C

FIGURA 6.6

=

A¿ B¿ B¿ C¿

=

6 x

6# Multiplicar ambos 5x lados por el MCD, 5x. x # = 6 5 = 30 = 0 = 0 Factorizar el trinomio. x + 5 = 0 x = -5

=

Como la longitud del lado de un triángulo no puede ser un número negativo, 5 no es una respuesta posible. Al sustituir x por 6, vemos que la longitud del lado B’C’ es 6 y la longitud del lado AB es 6  1 o 5.

AB A¿ B¿ = BC B¿ C¿

Comprobar

5 ? 6 = 5 6 1 = 1

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 49

Verdadero

✺

La respuesta del ejemplo 6 también podría haberse obtenido mediante multiplicación cruzada. Trate de hacerlo.

EJEMPLO 7 Solución

Resuelva

x2 16 = . x - 4 x - 4

Esta ecuación es una proporción. La resolveremos multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD, x  4.

x2 x - 4 x2 x2 - 16 1x + 421x - 42 o x + 4 = 0 or x = -4 1x - 42

Comprobar

x = -4 x 16 = x - 4 x - 4 2

#

16 # 1x - 42 x - 4 = 16 = 0 = 0 x - 4 = 0 x = 4 =

x = 4 2

x 16 = x - 4 x - 4

Factorizar la diferencia de dos cuadrados.

Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 395

1-422 ? 16 = -4 - 4 -4 - 4 16 ? 16 = -8 -8 -2 = - 2

42 ? 16 = 4 - 4 4 - 4 16 ? 16 = 0 0

— Indefinida

Verdadera

Como x  4, el denominador es 0, así que 4 no es solución de la ecuación, sino una raíz extraña. La única solución de la ecuación es 4. ✺ En el ejemplo 7, ¿qué se obtendría si se comenzara con la multiplicación cruzada? Resuélvalo así y observe.

4

Resolver problemas que incluyen funciones racionales Ahora resolveremos un problema que implica una función racional.

EJEMPLO 8

Considere la función f1x2 = x -

2 . Determine todos los valores de a para los que x

f(a)  1.

Solución

Como f1a2 = a -

2 , necesitamos encontrar todos los valores para los que a

2 = 1, a Z 0. Empezaremos por multiplicar ambos lados de la ecuación por a, a el MCD.

a -

2 b = a#1 a a2 - 2 = a 2 a - a - 2 = 0 1a - 221a + 12 = 0 a - 2 = 0 or a + 1 = 0 o a = -1 a = 2 a # aa -

2 x 2 f122 = 2 - = 2 - 1 = 1 2 2 f1- 12 = - 1 = -1 + 2 = 1 1-12

Comprobar f1x2 = x -

Para a  2, o a  1, f(a)  1. y

En el ejemplo 8, usamos f1x2 = x f(x)  1

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

FIGURA 6.7

2

3

4

f (x)  x 

5

2 x

x

2 La figura 6.7 muestra la gráfica de x

2 . En este curso no tendremos que graficar funciones como ésta, pero x aquí se ilustra para reforzar la respuesta obtenida en el ejemplo 8. Observe que la función está indefinida en x  0, y que cuando x  1 o x  2, parece que f(x)  1. Esto es lo que esperamos con base en los resultados obtenidos en el ejemplo 8. El ejemplo 8 también podría haber sido resuelto por medio de una calculadora 2 graficadora, estableciendo y1 = x - y y2  1 y determinando la coordenada x de las x intersecciones de las dos rectas. f1x2 = x -

2

✺

396 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

5

Resolver problemas de aplicación mediante expresiones racionales Ahora veamos un problema de aplicación que involucra ecuaciones racionales.

EJEMPLO 9

Resistencia total En electrónica, la resistencia total RT, de los resistores conectados en un circuito paralelo, se determina mediante la fórmula

1 1 1 1 1 = + + + Á + RT R1 R2 R3 Rn donde R1, R2, R3,...Rn son las resistencias de los resistores individuales (medidos en ohms, con el símbolo æ) del circuito. Determine la resistencia total si dos resistores, uno de 100 ohms y el otro de 300 ohms, se conectan en un circuito paralelo.

Solución 



Como sólo hay dos resistencias, utilizamos la fórmula

1 1 1 = + RT R1 R2 R1

Sea R1  100 ohms y R2  300 ohms; entonces

1 1 1 = + RT 100 300

100 R3

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 300RT.

300

300RT # 300 RT

#

1 1 1 = 300RT a + b RT 100 300 3 1 1 1 = 300 RT a b + 300 RT a b RT 100 300

300 = 3RT + RT 300 = 4RT RT =

300 = 75 4

Así, la resistencia total del circuito paralelo es de 75 ohms. Tenga en cuenta que hay menos resistencia cuando los resistores se conectan en paralelo que cuando están en forma separada. ✺

6

Despejar una variable en una fórmula con expresiones racionales En ocasiones se puede dar la necesidad de despejar una variable en una fórmula en donde dicha variable aparece en más de un término. Cuando esto sucede, es posible despejar la variable mediante factorización. Para hacerlo agrupe en un lado de la ecuación todos los términos que contienen a la variable que quiere despejar, y todos los demás términos en el otro lado. Luego factorice la variable. Este proceso se ilustra en los ejemplos 10 a 12.

EJEMPLO 10

1 1 1 + = . donde p representa la p q f distancia a la que está un objeto respecto de una lente o espejo, q representa la distancia de la imagen respecto de la lente o espejo, y f la longitud focal de la lente o espejo. En el caso de las personas que utilizan anteojos, la distancia de la imagen es la distancia que hay entre las lentes y su retina. Despeje f de esta fórmula. Óptica Una fórmula que se utiliza en óptica es

Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 397

Solución

p

Nuestro objetivo es aislar la variable f. Comenzaremos por multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, pqf, para eliminar fracciones.

1 1 1 + = p q f 1 1 1 pqf a + b = pqf a b Multiplicar ambos lados por el MCD, pqf. p q f

q

p qfa

1 1 1 b + p q fa b = pq f a b Propiedad distributiva. p q f qf + pf = pq f1q + p2 = pq f 1q + p2 pq = q + p q + p pq f = q + p

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69

Simplificar. Factorizar f. Dividir ambos lados entre q  p.

o f =

pq p + q

✺

EJEMPLO 11

Banca Una fórmula que se utiliza en la banca es A  P  Prt, en donde A representa la cantidad que debe pagarse al banco cuando se prestan P dólares a una tasa de interés simple, r, durante el tiempo, t, en años. Despeje P de esta ecuación.

Solución

Como los dos términos que contienen la variable P están en el lado derecho de la ecuación, factorizamos P en ambos términos.

A = P + Prt P está en ambos términos. A = P11 + rt2 Factorizar P. A = 1 + rt

P11 + rt2 Dividir ambos lados entre 1  rt 1 + rt

para aislar a P.

A = P 1 + rt Así, P =

EJEMPLO 12

A . 1 + rt

✺

Física Una fórmula que se usa para calcular la fuerza de las palancas es d =

fl . f + w

Despeje f de esta fórmula.

Solución

Empezamos por multiplicar ambos lados de la fórmula por f  w para eliminar fracciones. Luego reescribimos la expresión con todos los términos que contienen f a un lado del signo igual, y todos los términos que no incluyen dicha variable al otro lado del signo igual.

fl f + w fl d1f + w2 = 1f + w2 1f + w2 d =

d1f + w2 = fl df + dw = fl df - df + dw = fl - df

Multiplicar por f  w para eliminar fracciones.

Propiedad distributiva. Aislar en el lado derecho de la ecuación los términos que contengan a f.

398 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

dw = fl - df dw = f1l - d2 f 1l - d2 dw = l - d l - d AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 79

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

Así, f =

Factorizar f. Aislar f dividiendo ambos lados entre l  d.

dw . l - d

✺

Después de resolver ecuaciones, como se hizo en esta sección, algunos estudiantes olvidan conservar su denominador común cuando suman o restan expresiones racionales. Recuerde: multiplicamos ambos lados de una ecuación por el MCD para eliminar el denominador común. Si sumamos o restamos expresiones racionales, escribimos las fracciones con el MCD y luego sumamos o restamos los numeradores, pero conservamos el denominador común. Por ejemplo, considere el problema de suma

x 3 + x + 7 x + 7 CORRECTO

INCORRECTO

x 3 x + 3 + = x + 7 x + 7 x + 7

3 x 3 x + = 1x + 72a + b x + 7 x + 7 x + 7 x + 7 = x + 3

Matemáticas en acción El efecto Doppler

Todos lo hemos percibido. El sonido de la sirena de una ambulancia parece tener un tono más alto cuando el vehículo se aproxima, y un tono más bajo cuando se aleja. Este cambio es resultado de una variación del sonido sobre la frecuencia de las ondas sonoras. Este fenómeno, denominado efecto Doppler, puede representarse mediante la ecuación racional

fd = fo

v ; vo v ; vs

donde fd es la frecuencia (percibida) del efecto Doppler, fo es la frecuencia original (real), v es la velocidad del sonido, vo es la velocidad del observador, y vs es la velocidad de la fuente. La elección del signo más () o menos () se hace de acuerdo con la convención de que si la fuente y el observador se están moviendo uno hacia el otro, la frecuencia percibida es mayor que la frecuencia real. Si la fuente y el observador se mueven

alejándose uno del otro, la frecuencia percibida es menor que la frecuencia real. Esta fórmula (en diferentes formas) está presente en muchas tecnologías y dispositivos, algunos de los cuales afectan nuestra vida diaria. Éste es un pequeño listado de sus aplicaciones: Radar de tránsito: Un dispositivo al que muchas veces llamamos “pistola de radar”, envía una onda de radio de una longitud de onda conocida. Cuando la onda de radio rebota contra un auto en movimiento, se da una variación en la longitud. Por medio de cálculos Doppler, una computadora incluida en el dispositivo es capaz de calcular la velocidad a la que viaja el automóvil. Radar de clima: La precipitación de partículas como las gotas de lluvia o los copos de nieve, describe un corrimiento de fase diferente cuando se mueve alejándose del radar, que cuando se aproxima a éste. Tomar medidas Doppler de este fenómeno da por resultado pronósticos más precisos y visualizaciones más vívidas, tales como las que vemos en los informes climatológicos que transmiten por televisión. Mediciones astronómicas: Los astrónomos utilizan corrimientos Doppler para calcular qué tan rápido se mueven (o se alejan) hacia la Tierra las estrellas y otros objetos astronómicos. Para lograrlo, miden las longitudes de onda de la luz que emiten esos objetos. Un aumento en la longitud de onda indica que el objeto astronómico se está alejando de la Tierra, mientras que una disminución significa que se está acercando a ella.

Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 399

Conjunto de ejercicios 6.4 Ejercicios conceptuales 1. ¿Qué es una raíz extraña?

b) Resuelva la ecuación.

2. ¿En qué circunstancias es necesario verificar las respuestas que dan por resultado raíces extrañas?

c) ¿Cuál es el primer paso para simplificar la expresión? Explique qué efecto tendrá este primer paso sobre la expresión.

3. Analice la ecuación

x x x x = 2 y la expresión + 2. 4 3 4 3

a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la ecuación? Explique qué efecto tendrá el primer paso sobre la ecuación. b) Resuelva la ecuación.

d) Simplifique la expresión. 5. ¿Qué son las figuras semejantes? 6. a) Explique con sus palabras cómo resolver una ecuación racional. 3 1 4 siguiendo el + = 2 x - 4 x + 4 x - 16 procedimiento indicado en la parte a).

c) ¿Cuál es el primer paso para simplificar la expresión? Explique qué efecto tendrá este primer paso sobre la expresión. d) Simplifique la expresión. 4. Considere la ecuación

b) Resuelva

7 x - 3 se obtuvo la respuesta x  3. ¿Esta respuesta es correcta? Explique. 21x 8. Al resolver una ecuación que contenía el término 2 x - 16 se obtuvo la respuesta x  4. ¿Esta respuesta puede ser correcta? Explique.

7. Al resolver una ecuación que contenía el término

x x x x - = 3 y la expresión - + 3. 2 3 2 3

a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la ecuación? Explique qué efecto tendrá el primer paso sobre la ecuación.

Problemas de aplicación Resuelva cada ecuación y compruebe su solución.

4x + 5 7 = 6 2 y y = 6 16. 10 5

7 = 1 x

10.

2 = 3 x

11.

10 = 2 b

13.

z + 2 1 = 4 12

14.

a + 2 a - 3 = 7 2

15.

6x + 7 2x + 9 = 5 3

17.

z 3z 5z =3 4 12

18.

1 w 5 = 4 5 4

19.

3 - x = 2x 4

20.

1 5 2 + = y 2 2y

22.

x x 1 = 2 6 6

23.

x-1 4 = x-5 x-5

24.

3 c + 3 = c + 1 2

26.

3 2 = x + 1 x - 2

27.

2 5.6 = -p - 6.2 p

28.

6.9 4.5 = y - 3 y + 3

x - 3 x - 6 = x + 1 x + 5

31. x -

4 1 = 3x 3

32. b -

3 19 = x x

35. x +

6 = -5 x

36.

9.

3 5 + = 1 r 3r 5y - 2 15y - 2 = 25. 7 28 21.

29.

m + 1 m - 2 = m + 10 m + 4

30.

33.

2x - 1 x 7.4 = 3 4 6

34. x +

37. 2 -

2b 5 = 2b b + 1

38.

2 8 4 = x - 3 x + 3 x2 - 9 y 2y - 16 2y - 3 + = 43. 2y + 2 4y + 4 y + 1 41.

3z - 2 z + 2 = 4 z + 1 z - 1

12.

8 = -7 b

9x - 7 15 + = 9 x x + 2

1 1 -5 a a + = + = 19 40. a w - 3 w + 3 w2 - 9 4 5 3 22 2 = 42. w - 5 2w + 1 2w2 - 9w - 5 3 5 12x + 15 + = 2 44. x + 3 x + 4 x + 7x + 12 39.

400 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones 1 1 4 + = 2 x + 2 x - 2 x - 4 2 3 5 + 2 = 2 47. 2 x + 4x + 3 x + x - 6 x - x - 2 45.

1 2 4r - 1 = r - 2 r + 7 r + 5r - 14 1 4 2 - 2 = 2 48. 2 x + 2x - 8 x + 9x + 20 x + 3x - 10 46.

2

Determine la longitud de los dos lados desconocidos de cada par de figuras semejantes (es decir, la longitud de los lados que incluyen a la variable x). 49.

50. x2 5 6x

x1

14 6

4

51.

x

52.

8 2x  10

7x  1

x3

3

6 20

2x

Determine todos los valores para los que f(a) tiene el valor indicado en cada función racional. 53. f1x2 = 2x 56. f1x2 =

4 , f1a2 = - 2 x

6 6 + , f1a2 = 6 x 2x

54. f1x2 =

x - 2 3 , f1a2 = x + 5 5

55. f1x2 = 3x -

57. f1x2 =

x + 3 5 , f1a2 = x + 5 7

58. f1x2 =

5 , f1a2 = -14 x

4 3 , f1a2 = 4 x 2x

Despeje la variable indicada en cada fórmula. 59.

V1 P2 = , para P2 (química). V2 P1

60. T a =

61.

V1 P2 = , para V2 (química). V2 P1

62. S =

63. m = 65. z =

, para y (pendiente).

x - x , para x (estadística). s fl

64. m = 66. z =

, para f (fórmula de inversión).

a , para r (matemáticas). 1 - r y - y1 x - x1

, para x1 (pendiente).

x - x , para s (estadística). s

, para w (física).

68.

1 1 1 + = , para p (óptica). p q f

1 1 1 + = , para q (óptica). p q f

70.

1 1 1 = + , para RT (electrónica). RT R1 R2

67. d = 69.

y - y1 x - x1

Tf 1 - f

f + w

71. at2 - at1 + v 1 = v 2 , para a (física).

72. 2P 1 - 2P 2 - P 1 P c = P 2 P c , para Pc (economía).

73. an = a1 + nd - d, para d (matemáticas).

74. S n - S n r = a1 - a1 rn, para Sn (matemáticas).

75. F =

Gm 1 m 2 d2

, para G (física).

76.

P1 V1 P2 V2 = , para T2 (física). T1 T2

Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 401

77.

P1 V1 P2 V2 = , para T1 (física). T1 T2

78. A =

79.

S - S0 = t, para V0 (física). V0 + gt

80.

1 h1a + b2, para h (matemáticas). 2

E R + r = , para e (ingeniería). e r

Simplifique la expresión en a) y resuelva la ecuación en b).

2 3 + 2 x - 2 x - 4 2 3 = 0 + 2 b) x - 2 x - 4

81. a)

b + 3 b + 4 15 - 2 b b + 5 b + 5b b + 3 b + 4 15 = 2 b) b b + 5 b + 5b

83. a)

82. a)

4 5 1 + + x - 3 2x - 6 2

b)

5 1 4 + = x - 3 2x - 6 2

84. a)

3 4x + 3 2 + x + 6 x + 5 x + 11x + 30

b)

3 4x + 3 2 = x + 6 x + 5 x + 11x + 30

2

2

Resolución de problemas 85. ¿Qué restricción debe agregarse al enunciado “Si ac  bc, entonces a  b”? Explique. x - 2 3 = . 86. Considere x - 5 x - 5 a) Resuelva la ecuación. 3 b) Si usted resta de ambos lados de la ecuación, x - 5 3 x - 2 = 0. Simplifique la diferencia obtiene x - 5 x - 5 del lado izquierdo de la ecuación y resuelva la ecuación. c) Utilice la información obtenida en las partes a) y b) para construir otra ecuación que no tenga solución. 87. A continuación se presentan dos gráficas. Una es la gráfica x2 - 9 de f1x2 = y la otra es la gráfica de g(x)  x  3. x-3 Determine cuál gráfica corresponde a f(x) y cuál a g(x). Explique cómo determinó su respuesta. a)

b)

y

6

4

4

89. Seguro Cuando el propietario de una casa compra una póliza de seguros para asegurar su propiedad por un monto mínimo de 80% sobre su valor de reemplazo, la compañía de seguros no reembolsará al propietario el total de su pérdida. La siguiente fórmula se utiliza para determinar cuánto pagará la compañía de seguros, I, cuando la propiedad está asegurada por menos de 80% sobre el valor de reemplazo.

I =

AC 0.80R

En la fórmula, A es el monto asegurado, C es el costo de reparar el área dañada y R es el valor de reemplazo de la propiedad. (El uso de esta fórmula tiene ciertas excepciones). a) Suponga que un incendio en la propiedad de Juana Beltrán causó daños con valor de $10,000. Si ella contrató un seguro por $50,000 para una propiedad con valor de reemplazo de $100,000, ¿cuánto pagaría la compañía de seguros por las reparaciones?

y

6

b) Resuelva esta ecuación para Tf. c) Determine el rendimiento libre de impuestos equivalente a una inversión gravable de 5%.

b) Resuelva esta fórmula para R, el valor de reemplazo. 2

2 2

4

x

2

2

4

x

2

Tf puede 1-f usarse para determinar el rendimiento gravable equivalente, Ta, de una inversión libre de impuestos, Tf. En esta fórmula, f es el rango de impuesto federal sobre los ingresos. Si una persona está en el rango de impuestos sobre los ingresos de 26%.

88. Inversión libre de impuestos La fórmula T a =

a) Determine el rendimiento gravable equivalente a una inversión libre de impuesto de 8%.

90. Velocidad promedio La velocidad promedio se define como un cambio en la distancia dividido entre el cambio en el tiempo, o

v =

d2 - d1 t2 - t1

Esta fórmula puede usarse cuando un objeto a la distancia d1 en el instante t 1 viaja a la distancia d 2 en el instante t2. a) Suponga que t1  2 horas, d1  118 millas, t2  9 horas y d2  412 millas. Determine la velocidad promedio. b) Resuelva la fórmula para t2.

402 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones 91. Aceleración promedio La aceleración promedio se define como el cambio en la velocidad, dividido entre el cambio en el tiempo, o

a =

v2 - v1 t2 - t1

Esta fórmula puede usarse cuando un objeto a la velocidad v1 en el instante t1 acelera (o desacelera) a la velocidad v2 en el instante t2.

Consulte el ejemplo 9 para resolver los ejercicios 94 a 96. 94. Resistencia total ¿Cuál es la resistencia total de un circuito si se conectan en paralelo resistores de 200 y 600 ohms? 95. Resistencia total ¿Cuál es la resistencia total de un circuito si se conectan en paralelo resistores de 300, 500 y 3000 ohms? 96. Resistencia total Tres resistores idénticos se conectan en paralelo. ¿Cuál debe ser la resistencia de cada uno si el circuito resultante tiene una resistencia total de 700 ohms? Consulte el ejemplo 10 para resolver los ejercicios 97 y 98.

a) Suponga que v1  20 pies por minuto, t1  20 minutos, v2  60 pies por minuto y t2  22 minutos. Determine la aceleración promedio. Las unidades serán pies/min2. b) Resuelva la fórmula para t1. 92. Tasa de descuento La tasa de descuento, P, expresada como una fracción o decimal, puede determinarse por medio de la fórmula

P = 1 -

R - D R

97. Longitud focal En un proyector de películas o diapositivas, la película actúa como el objeto cuya imagen se proyecta sobre una pantalla. Si una lente con longitud focal de 100 mm (0.10 metros) se utiliza para proyectar una imagen sobre una pantalla ubicada a una distancia de 7.5 metros, ¿a qué distancia deben colocarse las lentes respecto de la película?

Diapositiva

Lente Pantalla

en donde R es el precio regular de un artículo y d es el descuento (la cantidad que se ahorra respecto del precio normal). a) Determine la tasa de descuento en un bolso con un precio normal de $39.99 que se vende en $30.99. b) Resuelva la fórmula anterior para D. c) Resuelva la fórmula anterior para R. 93. Economía Una fórmula para analizar el punto del equilibrio es

Q =

F + D R - V

Esta fórmula se usa para determinar el número de unidades (o apartamentos), Q, que un inversionista debe alquilar en un edificio para alcanzar el punto de equilibrio (es decir, no ganar ni perder). En la fórmula, F son los gastos mensuales fijos de todo el edificio, D es el pago mensual de las deudas del edificio, R es el alquiler por unidad y V son los gastos variables por unidad. Suponga que una persona está considerando invertir en un edificio con 50 unidades (o apartamentos). Cada apartamento de dos habitaciones puede alquilarse en $500 al mes. Se estima que los gastos variables son de $200 al mes por unidad, los gastos fijos son de $2500 al mes, y el pago mensual de la deuda es de $8000. ¿Cuántos apartamentos deben alquilarse para que el inversionista alcance el punto de equilibrio?

98. Espejo cóncavo Un anillo de diamante se coloca a 20.0 cm de un espejo cóncavo (curvado hacia adentro) cuya longitud focal es 15.0 cm. Determine la posición de la imagen (o la distancia de la imagen). 99. Inversiones Algunas inversiones, como ciertos bonos municipales y fondos sobre bonos municipales, no sólo están libres de impuestos federales, sino también de impuestos municipales. Cuando se desea comparar una inversión gravable, Ta, con una inversión libre de impuesto federal, estatal y municipal, Tf, se puede utilizar la fórmula

Ta =

Tf

1 - 3f + 1s + c211 - f24

En la fórmula, s es el rango de impuesto estatal a pagar, c es el rango de impuestos municipales o locales a pagar, y f es el rango de impuestos federales. Humberto Cortés está a 4.6% el rango de impuesto estatal, a 3% el rango de impuesto municipal, y en el rango de impuesto federal de 33%, y está eligiendo entre invertir en un portafolio bursátil libre de los tres impuestos, que produce 6.01%, y un fondo bursátil gravable que produce 7.68%. a) Tomando en cuenta su rango de impuestos, determine el equivalente gravable a 6.01% de rendimiento libre de impuestos.

Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 403 b) ¿Por cuál inversión debe optar Humberto? Explique su respuesta. 100. Periodo sinódico El periodo sinódico de Mercurio es el tiempo que dicho planeta necesita para llevar una vuelta de ventaja a la Tierra en sus órbitas alrededor del Sol. Si los periodos orbitales (en días terrestres) de los dos planetas son Pm y Pe, se verá que Mercurio se mueve en promedio a 1/Pm de una revolución por día, mientras que la Tierra se mueve al 1/Pe de una revolución por día detrás de aquél. La ventaja diaria de Mercurio respecto de la Tierra es (1/Pm)  (1/Pe) de una revolución, de modo que el tiempo que tarda en aventajar a la Tierra en una revolución completa (periodo sinódico), s, puede determinarse mediante la fórmula

Si Pe es 365 días y Pm es 88 días, determine el periodo sinódico en días terrestres.

1 88

de la órbita total

Día Día 0 1

1 365

de la órbita total

Tierra

Día 1

Mercurio

Sol

1 1 1 = s Pm Pe

Reto 101. Construya una ecuación que no pueda tener a 4 ni a 2 como soluciones. Explique cómo determinó su respuesta. 102. Construya una ecuación que contenga la suma de dos expresiones racionales en la variable x, y cuya solución sea el conjunto de número reales. Explique cómo determinó su respuesta.

103. Construya una ecuación que contenga dos expresiones racionales en la variable x, y cuya solución sea el conjunto de números reales excepto 0. Explique cómo determinó su respuesta.

Actividad en equipo 104. Longitud focal Una lente con longitud focal de 80 mm se utiliza para enfocar una imagen y fotografiarla con una cámara. La distancia máxima permitida entre la lente y la película plana es de 120 mm. a) Miembro 1 del equipo: Determine qué tan lejos debe estar la lente respecto de la película, si el objeto que será fotografiado está a 10 metros de distancia. b) Miembro 2 del equipo: Repita la parte a) para una distancia de 3 metros.

c) Miembro 3 del equipo: Repita la parte a) para una distancia de 1 metro. d) Determinen de manera individual cuál es la distancia más corta a la que debe estar un objeto para poder fotografiarlo claramente. e) Compare sus respuestas para ver si parecen razonables y consistentes.

Ejercicios de repaso acumulativo [2.5] 105. Resuelva la desigualdad 2 4  2x  6. [3.4] 106. Determine la pendiente y la intersección del eje y de la recta que resulta al graficar la ecuación 3(y  4)  (x  2). [5.1] 107. Simplifique 3x2y – 4xy  2y2 – (3xy  6y2  2x).

[5.8] 108. Jardinería Se colocará un pasillo de ancho uniforme alrededor de un jardín. El jardín y el pasillo juntos cubren un área de 320 pies cuadrados. Si el jardín mide 12 por 16 pies, determine el ancho del pasillo.

6.5 ECUACIONES RACIONALES: APLICACIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1

Resolver problemas de trabajo.

2

Resolver problemas numéricos.

3

Resolver problemas de movimiento.

En la sección 6.4 se explicó cómo resolver algunos problemas de aplicación que contienen ecuaciones con expresiones racionales. En esta sección examinaremos algunas aplicaciones más. En primer lugar analizaremos problemas de trabajo.

404 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

1

Resolver problemas de trabajo Por problemas de trabajo nos referimos a aquellos que involucran a dos o más máquinas o personas que trabajan juntas para realizar alguna tarea. Para resolver este tipo de problemas, partimos del hecho de que la parte del trabajo realizado por la persona 1 (o máquina 1) más la parte del trabajo realizado por la persona 2 (o máquina 2) es igual a la cantidad de trabajo total realizado por ambas personas (o máquinas) o 1 (para 1 tarea completa terminada).

parte de la tarea hecha parte de la tarea hecha 1 £ por la primera persona ≥ + £ por la segunda persona ≥ = £ (tarea completa ≥ o máquina o máquina terminada) Para determinar la parte de la tarea realizada por cada persona o máquina, utilizamos la fórmula parte de la tarea concluida  velocidad  tiempo Esta fórmula es muy similar a la fórmula cantidad  velocidad • tiempo que analizamos en la sección 2.4. Veamos ahora cómo determinar la velocidad. Si, por ejemplo, Juan puede realizar cierta tarea en 5 horas, podría concluir 51 tarea en 1 hora. De este modo, su velocidad es 15 de la tarea por hora. Si Roberto completa un trabajo en 6 horas, su velocidad es 61 del trabajo por hora. De igual manera, si María realiza un trabajo en x minutos, su velocidad es x1 del trabajo por minuto. En general, si una persona o máquina puede concluir una tarea en x unidades de tiempo, la velocidad es x1 .

EJEMPLO 1

Sembrando flores Susana y Gerardo Landeta trabajan en un jardín botánico, alrededor de cuyos terrenos se agregarán varios diseños florales. Susana, quien tiene más experiencia, puede plantar las flores y hacer el diseño en 3 horas. Gerardo necesita 5 horas de trabajo para realizar el mismo diseño. Si Susana y Gerardo trabajan juntos, ¿cuánto tardarán en realizar el diseño?

Solución

Entienda el problema Necesitamos cuánto tiempo necesitan Susana y Gerardo, trabajando juntos, para hacer el diseño floral. Sea x  tiempo, en horas, en que Susana y Gerardo hacen juntos el diseño floral. Construiremos una tabla para ayudarnos a determinar la parte de la tarea completada por cada persona.

Velocidad de trabajo

Tiempo trabajado

Parte de la tarea realizada

Susana

1 3

x

x 3

Gerardo

1 5

x

x 5

Trabajador

Traduzca

a

parte del diseño floral hecho parte del diseño floral hecho b + a b = 11diseño floral completo2 por Susana en x horas por Gerardo en x horas

x 3

+

x 5

= 1

Realice los cálculos Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 15. Luego despejamos x, el número de horas.

Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 405

15 a

x x + b 3 5 x x 15a b + 15a b 3 5 5x + 3x 8x

= 15 # 1

Multiplicar por el MCD, 15.

= 15

Propiedad distributiva.

= 15 = 15 15 x = 8

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11

1.88 horas (redondeado al centésimo más cercano).

Responda Susana y Gerardo pueden hacer el diseño floral en más o menos 1.88 horas. Este tiempo es razonable, ya que es menor al que necesita cualquiera de las dos personas para hacer el diseño de manera individual. ✺

En ocasiones un problema puede incluir decimales, como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2

Solución

Llenado de una bañera Recientemente, Mario y Guadalupe López se mudaron a una casa con bañera, pero descubrieron que, al abrir el grifo para llenarla, el agua que salía estaba turbia. Por lo tanto, decidieron dejarla correr hasta que saliera lo más clara posible; para ello, abren el grifo del agua fría y dejan abierto el desagüe de la bañera. El grifo del agua fría puede llenar la bañera en 7.6 minutos, y el desagüe puede vaciarla en 10.3 minutos. Si tanto el desagüe como el grifo de agua fría están abiertos, ¿cuánto tiempo transcurre antes de que el agua llene la bañera y comience a derramarse? Mientras el grifo llena la bañera, el desagüe la vacía, así el grifo y el desagüe están trabajando uno en contra del otro. Sea x  la cantidad de tiempo necesaria para llenar la bañera.

Entienda el problema

Grifo llenando la bañera Desagüe vaciando la bañera

Parte de la bañera que se llena o se vacía

Velocidad de trabajo

Tiempo trabajado

1 7.6

x

x 7.6

1 10.3

x

x 10.3

Traduzca Como el grifo y el desagüe están trabajando uno contra el otro, restamos la parte de la bañera que se está vaciando de la parte de la bañera que se va llenando.

a

bañera completaparte de la bañera llenada parte de la bañera vaciada b b - a b = 1a mente llena en x minutos en x minutos

x 7.6

x 10.3

-

= 1

Con ayuda de una calculadora, podemos determinar que el MCD es (7.6)(10.3)  78.28. Ahora multiplicamos ambos lados de la ecuación por 78.28 para eliminar las fracciones.

Realice los cálculos

78.28 a

x x b = 78.28 112 7.6 10.3 10.3 7.6 x x 78.28 a b - 78.28 a b = 78.28112 7.6 10.3

406 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

10.3x - 7.6x = 78.28 2.7x = 78.28 x L 28.99 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21

✺

La bañera se llenará en más o menos 29 minutos.

Responda

EJEMPLO 3

Trabajo en un viñedo Cristóbal Benítez y Manuel Cárdenas trabajan en un viñedo. Cuando trabajan juntos, pueden revisar todas las plantas de un terreno determinado en 24 minutos. Para hacer ese trabajo solo, Cristóbal necesita 36 minutos. ¿Cuánto tardará Manuel en revisar las plantas él solo?

Solución

Entienda el problema Sea x  cantidad de tiempo que necesita Manuel para revisar las plantas él solo. Sabemos que cuando trabajan juntos, Manuel y Cristóbal pueden hacer ese trabajo en 24 minutos. Organicemos esta información en una tabla.

Trabajador

Velocidad de trabajo

Tiempo trabajado

Parte de las plantas revisadas

Cristóbal

1 36

24

2 24 = 36 3

Manuel

1 x

24

24 x

Traduzca

a

terreno completo b parte de las plantas parte de las plantas b + a b = 1a revisadas por Cristóbal revisadas por Manuel revisado 2 3

Realice los cálculos

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19

Responda

24 x

+ 3x a

2 24 b = 3x # 1 + x 3 2x + 72 = 3x 72 = x

= 1 Multiplicar ambos lados por el MCD, 3x.

Manuel puede revisar las plantas, él solo, en 72 minutos.

✺

Observe que en el ejemplo 3 usamos 23 en lugar de 24 36 para indicar la parte de las plantas revisada por Cristóbal. Utilice siempre fracciones simplificadas cuando plantee y resuelva ecuaciones.

2

Resolver problemas numéricos Veamos ahora un problema numérico, en donde se debe encontrar un número relacionado con uno o más números.

EJEMPLO 4 Solución

Problema numérico Cuando el recíproco del triple de un número se resta de 5, el resultado es el recíproco del doble del número. Determine de qué número se trata. Sea x  el número desconocido. Entonces 3x es el triple del 1 1 número, y es el recíproco del triple del número. El doble del número es 2x, y 3x 2x es el recíproco del doble del número.

Entienda el problema

Traduzca

5 -

1 1 = 3x 2x

Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 407

Realice los cálculos

6x a5 -

1 b 3x 1 6x152 - 6xa b 3x 30x - 2 30x

= = =

x = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29

3

1 2x 1 6xa b 2x 3 5 5 1 = 30 6

= 6x #

Multiplicar por el MCD, 6x.

1

Verifique el resultado para comprobar que el número es 6 .

Responda

✺

Resolver problemas de movimiento El último tipo de problema que veremos son los problemas de movimiento. Recuerde que estudiamos problemas de movimiento en la sección 2.4, en donde aprendimos que distancia  velocidad  tiempo. En ocasiones es conveniente despejar el tiempo cuando resolvemos este tipo de problemas tiempo =

distancia velocidad

EJEMPLO 5

Vuelo en aeroplano Martha Morales pilotea un monoplano marca Cessna. Cuando hace su plan de vuelo, determina que hay un viento de 20 millas por hora moviéndose de este a oeste a la misma altura a la que volará. Si Martha viaja hacia el oeste (con el viento a favor), puede recorrer 400 millas en el mismo tiempo en que podría recorrer 300 millas volando hacia el este (con el viento en contra). Suponiendo que, si no hubiese viento, el monoplano volaría a la misma velocidad viajando hacia el este o hacia el oeste, determine la velocidad a la que vuela con el viento en calma.

Solución

Entienda el problema Sea x  velocidad del monoplano con el viento en calma. Construyamos una tabla que nos ayude a responder la pregunta.

Viento (20mph) Oeste

Este

Aeroplano

Volando con el viento a favor 400 millas

Volando con el viento en contra 300 millas

Distancia

Velocidad

Con el viento en contra

300

x - 20

Con el viento a favor

400

x + 20

Tiempo 300 x - 20 400 x + 20

Traduzca Como los tiempos son los mismos, planteamos y resolvemos la siguiente

ecuación:

400 300 = x - 20 x + 20 Realice los cálculos

Responda AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37

3001x + 202 300x + 6000 6000 14,000 140

= = = = =

4001x - 202 400x - 8000 100x - 8000 100x x

Multiplicación cruzada.

La velocidad del monoplano con el viento en calma es de 140 millas por hora. ✺

408 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

EJEMPLO 6

Paseo en bicicleta acuática Una pareja pasea en una bicicleta acuática. Cuando viajan en contra de la corriente (alejándose de la costa), promedian 2 millas por hora. De regreso (acercándose a la costa), viajan con la corriente a favor y promedian 3 1 millas por hora. Si tardan 4 de hora más de ida que de vuelta a la costa, ¿qué tanto se alejaron de la costa durante su paseo?

Solución

Entienda el problema En este problema, el tiempo de ida y de regreso no son igua1 les. La pareja necesitó 4 de hora más para alejarse de la costa que para el regreso. 1 Por lo tanto, para igualar los tiempos podemos sumar 4 de hora al tiempo que les tomó 1 el regreso (o restar 4 de hora del tiempo de ida). Sea x  la distancia que les llevó alejarse de la costa.

NOW TRY EXERCISE 37

Bicicleta

Distancia

Velocidad

Viaje de ida

x

2

Viaje de regreso

x

3

Traduzca tiempo del viaje de regreso +

Realice los cálculos

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 49

EJEMPLO 7

Solución

Responda

Tiempo x 2 x 3

1 de hora = tiempo del viaje de ida 4

x 1 + 3 4 x 1 12 a + b 3 4 1 x 12a b + 12a b 3 4 4x + 3 3 1.5

=

x 2

= 12 # x x = 12a b 2 = 6x = 2x = x

Multiplicar por el MCD, 12. Propiedad distributiva.

Por lo tanto, la pareja se alejó 1.5 millas de la costa.

✺

De viaje Roberto Rodríguez vive en una ciudad y estudia en un poblado cercano. En algunas carreteras, la velocidad límite es de 55 millas por hora, y en otras es de 65 millas por hora. La distancia total que recorre Roberto para llegar a su escuela es de 490 millas. Si a Roberto le toma 8 horas el recorrido, ¿cuánto tiempo maneja a 55 millas por hora y cuánto a 65 millas por hora? Sea x  número de millas recorridas a 55 mph, entonces 490  x  número de millas recorridas a 65 mph

Entienda el problema y traduzca

Límite de velocidad

Distancia

Velocidad

55 mph

x

55

65 mph

490 - x

65

Como el recorrido total dura 8 horas, escribimos

x 490 - x + = 8 55 65

Tiempo x 55 490 - x 65

Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 409

El MCD de 55 y 65 es 715.

Realice los cálculos

715 a 715a

x 490 - x + b = 715 # 8 55 65

490 - x x b + 715a b = 5720 55 65 13x + 111490 - x2 = 5720 13x + 5390 - 11x = 5720 2x + 5390 = 5720 2x = 330 x = 165

Responda

El número de millas recorridas a 55 mph es 165. Por lo tanto, el

tiempo recorrido a 55 mph es 490 - 165 325 = = 5 horas. 65 65

165 = 3 horas, y el tiempo recorrido a 65 mph es 55

✺

En el ejemplo 7, observe que la respuesta a la pregunta no fue el valor obtenido para x, ya que se refiere a distancia y lo que nos pidieron determinar fue el tiempo. Al trabajar con problemas expresados con palabras, lea con atención y resuélvalos con mucho cuidado, asegurándose de responder la pregunta planteada.

Conjunto de ejercicios 6.5 Problemas de aplicación 1. Pintando una pared De manera individual, dos hermanos necesitan exactamente el mismo tiempo para pintar una pared. Si hacen juntos el trabajo, el tiempo total que 1 1 necesitarán ¿será menor que 2 del tiempo, igual a 2 del 1 tiempo o mayor que 2 del tiempo que requieren de manera individual? Explique. 2. Tractores Dos tractores, uno grande y uno pequeño, trabajan juntos para nivelar un terreno. En la misma cantidad de tiempo, el tractor grande nivela más tierra que el pequeño. Trabajando solo, ¿le tomará más o menos tiempo al tractor pequeño realizar la labor que a los dos trabajando juntos? Explique. 3. a) Trabajo en equipo Pedro y Pablo están planeando hacer una tarea juntos. Pedro puede hacerla en siete horas, y Pablo puede realizarla en 8 horas. Sea x  el tiempo que Pedro y Pablo hacen juntos la tarea. Complete la siguiente tabla.

Trabajador

Velocidad de trabajo

Tiempo Parte de la trabajado tarea terminada

Pedro

x

Pablo

x

b) Analice los ejemplos que se explicaron en esta sección. Luego escriba la ecuación que puede usarse para despejar x. (No la resuelva). c) Si Pedro y Pablo trabajan en equipo, ¿les tomará más o menos de siete horas terminar la tarea? Explique. 4. a) Trabajo en equipo Sofía y Teresa planean hacer una tarea juntas. Sofía puede hacerla en 3.6 horas, y Teresa puede realizarla en 5.2 horas. Sea x  el tiempo en que Sofía y Teresa realizan la tarea juntas. Complete la siguiente tabla.

Trabajador

Velocidad de trabajo

Tiempo Parte de la trabajado tarea terminada

Sofía

x

Teresa

x

b) Analice los ejemplos que se explicaron en esta sección. Luego escriba la ecuación que puede usarse para despejar x. (No la resuelva). c) Si Sofía y Teresa trabajan juntas, ¿les tomará más o menos de 3.6 horas completar la tarea? Explique.

410 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones Los ejercicios 5 a 26 se refieren a problemas de trabajo. Responda la pregunta que se hace en cada uno. Cuando sea necesario, redondee las respuestas al centésimo más cercano. 5. Escultura Un artista requiere dos meses para tallar una escultura en madera, y otro necesita 6 meses para hacer el mismo trabajo. Si ambos escultores trabajan juntos, ¿en cuánto tiempo tallarán la escultura?

12. Pintura Una persona puede pintar la sala de una casa en 6 horas, y otra puede hacer el mismo trabajo en 4.5 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en pintar la sala si trabajan juntas? 13. Llenado de una alberca Una manguera de 12 pulgada de diámetro puede llenar una alberca en 8 horas, mientras que una manguera de 45 pulgada de diámetro puede hacerlo en 5 horas. ¿Cuánto tiempo se necesitará para llenar la alberca si se usan ambas mangueras?

6. Limpiaventanas Un trabajador puede lavar todas las ventanas de un edificio en 3 horas, y otro puede hacer el mismo trabajo en 4 horas. ¿Cuánto tardarán en lavar todas las ventanas del edificio si trabajan juntos? 7. Servicio de limpieza Una persona puede lavar la alfombra del piso principal de un edificio en 3 horas, y otra puede hacer el mismo trabajo en 6 horas. Si trabajan juntas, ¿cuánto tiempo les tomará lavar la alfombra? 8. Impresión de cheques Una empresa tiene dos computadoras para imprimir los cheques de nómina de sus empleados; una lo hace en 3 horas, y la otra en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la impresión de los cheques si ambas computadoras trabajan juntas? 9. Granja lechera En una pequeña granja lechera, un peón puede ordeñar 10 vacas en 30 minutos, mientras que otro requiere 50 minutos para realizar la misma tarea. ¿Cuánto tardarán ambos peones si ordeñan juntos las 10 vacas? 10. Jardinería Miguel utiliza una podadora manual para recortar el césped de un terreno en 5 horas. Por su parte, Mauricio emplea una podadora eléctrica para realizar el mismo trabajo en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en podar el césped del terreno si trabajan juntos?

14. Tanque de leche En una planta lechera, una tanque de leche puede llenarse en 6 horas usando la válvula de llenado. Mediante una válvula de salida, el tanque puede vaciarse en 8 horas. Si ambas válvulas se abren al mismo tiempo ¿cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque? 15. Refinería Una refinería tiene grandes tanques para almacenar petróleo. Cada tanque tiene una válvula de entrada y una válvula de salida. El tanque puede llenarse en 20 horas cuando la válvula de entrada está totalmente abierta y la válvula de salida está cerrada. Cuando la válvula de salida está abierta completamente, el tanque puede vaciarse en 25 horas, si la válvula de entrada está cerrada. Si se pone en operación un nuevo tanque y se abren completamente las dos válvulas, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque? 16. Fabricantes de armarios Laura y Marcia son fabricantes de muebles. Laura puede fabricar una alacena para cocina en 10 horas. Si Laura y Marcia trabajan juntas, pueden fabricar la misma alacena en seis horas.¿Cuánto tiempo tardará Marcia en fabricar la alacena? 17. Arqueología Dos arqueólogos están haciendo una excavación cerca del Foro romano. Trabajando juntos, estos arqueólogos pueden revisar un terreno específico en 2.6 meses. De manera individual, uno de ellos puede realizar el mismo trabajo en 3.9 meses. ¿Cuánto tiempo tardará el otro en revisar el área completa él solo?

11. Arado de un campo Además de ser amigas, Sandra González y Andrea Ojeda son propietarias de unos ranchos vecinos. Sandra puede arar su maizal en 4 horas, y Andrea hace el mismo trabajo en 6 horas. Cierto día, Sandra está a punto de salir de viaje, así que tiene prisa por arar su maizal; para lograrlo, le pide ayuda a Andrea. ¿Cuánto tiempo necesitarán para arar el maizal si trabajan juntas?

18. Excavación de una zanja Arturo y Salomón trabajan en una empresa de telefonía. Juntos tardan 2.7 horas en cavar una zanja en donde se colocarán ciertos cables. Si Arturo puede excavar la zanja en 3.2 horas, ¿cuánto tiempo tardará Salomón en excavarla él solo?

Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 411 19. Tanque de medusas Julián y Marcela trabajan en un acuario. Julián tarda 50 minutos en limpiar los tanques de las medusas, pero como Marcela está aprendiendo a hacerlo, requiere más tiempo para realizar el mismo trabajo. Cuando trabajan juntos, pueden realizar la tarea en 30 minutos. ¿Cuánto tiempo necesita Marcela para hacer la tarea ella sola?

22.

23.

24.

25.

20. Irrigación Un gran tanque se utiliza en una granja para irrigar las cosechas. El tanque tiene dos tubos de entrada y un tubo de salida. Los dos tubos de entrada pueden llenar el tanque en 8 y 12 horas, respectivamente. El tubo de salida puede vaciar el tanque en 15 horas. Si el tanque está vacío, ¿cuánto tardará en llenarse cuando las tres válvulas están abiertas? 21. Llenado de una tina Cuando sólo está abierto el grifo de agua fría, una tina se llena en 8 minutos. Cuando sólo está abierto el grifo de agua caliente, la tina se llena en 12 minutos. Cuando el desagüe de la tina está abierto, la tina

26.

se vacía completamente en 7 minutos. Si están abiertos los dos grifos, el de agua caliente y el de agua fría, y también lo está el desagüe, ¿cuánto tardará la tina en llenarse? Instalación de ventanas Andrés, Francisco y Guillermo son expertos en instalación de ventanas.Andrés puede instalar cinco ventanas en 10 horas. Francisco puede hacer el mismo trabajo en 8 horas, y Guillermo puede hacerlo en 6 horas. Si los tres trabajan juntos, ¿cuánto tardarán en instalar las ventanas? Bombeo de agua Después de una inundación, el departamento de bomberos de una ciudad utiliza tres bombas para drenar agua de los sótanos inundados. Las tres bombas pueden drenar toda el agua de un sótano inundado en 6 horas, 5 horas y 4 horas, respectivamente. Si las tres bombas trabajan juntas, ¿cuánto tardarán en vaciar el sótano? Plantar flores Julio y Augusto plantan petunias en su jardín de flores. Julio tarda el doble de tiempo que Augusto en plantar las flores. Trabajando juntos pueden plantar las flores en 10 horas. ¿Cuánto tardará Augusto en plantar las flores él solo? Techado de una casa Jaime Gómez requiere 15 horas para poner un nuevo techo en una casa. De manera individual, su aprendiz, Cristina Campos, puede colocar el techo de la casa en 20 horas. Después de trabajar solo en un techo durante 6 horas, Jaime interrumpe la labor; Cristina la retoma y la completa. ¿Cuánto tiempo le tomará a Cristina completar el trabajo? Llenado del tanque Dos tubos se usan para llenar un tanque de petróleo. Cuando se utiliza sólo el tubo más grande, el tanque se llena en 60 horas; cuando se utiliza sólo el tubo más pequeño, el tanque se llena en 80 horas. Un día, se abre el tubo más grande para empezar a llenar el tanque; después de 20 horas, se cierra el tubo más grande y se abre el más pequeño. ¿Cuánto tiempo más se necesitará para terminar de llenar el tanque?

Los ejercicios 27 a 36 incluyen problemas numéricos. Responda la pregunta que se hace en cada uno. 27. ¿Que número multiplicado por el numerador y sumado 4 al denominador de la fracción 3 da por resultado la frac5 ción 2 ? 28. ¿Que número sumado al numerador y multiplicado por 4 el denominador de la fracción 5 da por resultado la frac1 ción 15 ? 29. Un número es el doble de otro. La suma de sus recíprocos 3 es 4 . Determine ambos números. 30. La suma de los recíprocos de dos enteros consecutivos da 11 por resultado 30 . Determine los dos enteros. 31. La suma de los recíprocos de dos enteros pares consecu5 tivos es 12 . Determine los dos enteros.

32. Cuando un número se suma al numerador y al denomina7 5 dor de la fracción 9 , la fracción resultante es 6 . Determine el número que se sumó. 33. Cuando el número 3 se suma al doble del recíproco de otro 31 número, el resultado es 10 . Determine el número. 34. El recíproco de 3 menos que un cierto número es el doble del recíproco de 6 menos que el doble del número. Determine el o los números. 35. Si el triple de un número se suma al doble del recíproco del número, el resultado es 5. Determine el o los números. 36. Si el triple del recíproco de un número se resta del doble del recíproco del cuadrado del número, la diferencia es 1. Determine el o los números.

Los ejercicios 37 a 57 son problemas de movimiento. Responda la pregunta que se hace en cada uno. Cuando sea necesario, redondee las respuestas al centésimo más cercano. 37. Canotaje Cuando Armando Suárez y su alumno, José Torres, reman en canoa por aguas tranquilas, recorren 4 millas por hora. Cuando reman con la misma intensidad en

un río, les toma el mismo tiempo viajar 4.2 millas con la corriente a favor que recorrer 3.5 millas río con la corriente en contra. Determine la velocidad de la corriente del río.

412 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones 38. Transporte por tren Luisa Rodríguez desea transportar por tren uno de sus automóviles mientras conduce el otro en la misma dirección. El tren recorre una distancia de 600 kilómetros en el mismo tiempo que Luisa recorre 400 kilómetros. Si la velocidad promedio del tren es 40 kilómetros mayor que la velocidad del automóvil que conduce Luisa, determine las velocidades del tren y del automóvil. 39. Banda sinfín Una banda sinfín se utiliza para transportar a los usuarios de un aeropuerto. La banda se mueve a una velocidad de 2.0 pies por segundo. Utilizando la banda, una persona recorre una distancia de 120 pies en el mismo tiempo que le tomaría recorrer 52 pies caminando. ¿Qué tan rápido camina esta persona?

Véase el ejercicio 43. La fotografía muestra a Allen Angel, el autor de este libro. 44. Viaje en bote Rafael Prado inició un viaje en bote a las 8 a.m. El bote de Rafael puede viajar a 20 millas por hora en aguas tranquilas. ¿Qué tan lejos río abajo puede ir Rafael, si la corriente es de 5 millas por hora y él desea ir y regresar en 4 horas? 45. Partido de fútbol americano En un partido de fútbol americano, los Empacadores de Green Bay tienen el balón en la yarda 20 de su propio terreno. Brett Favre pasa el balón a Terry Glenn, quien lo atrapa y corre hacia la zona de anotación. Suponga que el balón viajó a 14.7 yardas por segundo en el pase, y que una vez que lo atrapó, Terry corrió a 5.8 yardas por segundo hasta la zona de anotación. Si la jugada completa, desde el momento en que Brett soltó el balón hasta el momento en que Terry llegó a la zona de anotación, duró 10.6 segundos, ¿qué tan lejos lanzó el balón Brett para que Terry lo atrapara? Suponga que toda la jugada se llevó a cabo en el centro del campo.

40. Banda sinfín Una banda sinfín se mueve a una velocidad de 1.8 pies por segundo. Una persona recorre 100 pies sobre la banda sinfín, después da la vuelta sobre la misma banda y recorre 40 pies a la misma velocidad en dirección opuesta. Si el tiempo utilizado en el recorrido en cada dirección fue el mismo, determine la velocidad a la que camina la persona. 41. Esquí Blanca y Román darán un paseo en esquí a campo traviesa. Román es un esquiador experto, capaz de recorrer 10 millas por hora, mientras que Blanca promedia 6 millas por hora. Si Blanca necesita 1/2 hora más que Román para recorrer el mismo tramo, ¿cuál es la longitud del camino? 42. Excursión Ruth y Javier Sosa salen a dar un paseo por el campo. Ruth trota y Javier va en patines. Javier patina a 2.9 millas por hora más rápido de lo que Ruth trota. Cuando Javier ha patinado 5.7 millas, Ruth ha trotado 3.4 millas. Determine la velocidad de trote de Ruth. 43. Visita a un centro turístico Ángel condujo 60 millas hasta un centro turístico, y empleó el doble de tiempo en recorrerlo que lo que necesitó para llegar a él. El tiempo total utilizado en conducir hasta el centro turístico y recorrerlo fue de 5 horas. Determine la velocidad promedio a la que condujo hacia el centro turístico.

Terry Glenn Recorrido

Zona de anotación

Pase

Línea de yarda 80 yardas

Brett Favre

Zona de anotación

46. Viaje Cierto día, Paulina Sierra recorrió en su automóvil una distancia de 492 millas. Parte del viaje, Paulina condujo a una velocidad constante de 50 millas por hora, y en otra manejó a una velocidad constante de 35 millas por hora. Si el tiempo total del viaje fue de 11.13 horas, ¿qué distancia recorrió Paulina a cada velocidad? 47. Trenes subterráneos En cierta ciudad dos trenes subterráneos, uno expreso y el otro normal, recorren una distancia de 24.2 millas por vías paralelas. Suponga que ambos trenes inician su recorrido al mismo tiempo; cuando el tren expreso llega al final de la ruta, el tren normal se encuentra a 7.8 millas de distancia. Si el tren expreso es más rápido que el normal en 5.2 millas promedio, determine las velocidades de los dos trenes.

Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 413 48. Equitación Cada mañana, Rolando Núñez monta su caballo, Belleza, y cabalga al trote una distancia de 5.4 millas; luego, deja que Belleza camine a su propio ritmo 2.3 millas. La velocidad del caballo al trotar es 4.2 veces su velocidad al caminar. Si todo el paseo dura 1.5 horas, determine la velocidad a la que camina Belleza.

total del viaje fue de dos horas. Determine la velocidad promedio a la que voló el helicóptero en su recorrido hacia el monte.

49. Viaje Un tren y un automóvil inician su recorrido hacia un poblado al mismo tiempo y desde el mismo punto. En promedio, el automóvil se mueve a una velocidad de 50 millas por hora, y el tren a 70 millas por hora. Si el tren llega al poblado dos horas antes que el automóvil, determine a qué distancia está el poblado respecto del punto de partida.

54. Veleros Dos veleros, el Serendipity y el Zerwilliker, inician su recorrido en el mismo punto y al mismo instante. El Serendipity navega a un promedio de 5.2 millas por hora, y el Zerwilliker lo hace a un promedio de 4.6 millas por hora. Si el Serendipity llega a su destino 0.4 horas antes que el Zerwilliker, determine la distancia que hay entre el punto en que iniciaron el recorrido y su destino final.

50. Viaje Un automóvil y un tren inician su recorrido hacia un poblado al mismo tiempo y desde el mismo punto; su destino está a 390 millas de distancia. Si la velocidad del automóvil promedia el doble de la velocidad del tren y el automóvil llega 6.5 horas antes que el tren, determine la velocidad del automóvil y la velocidad del tren.

55. Puente colgante Un puente colgante tiene una longitud de 450 pies. Felipe y Germán empiezan a cruzarlo a pie al mismo tiempo. La velocidad de Germán fue 2 pies por minuto más rápida que la de Felipe. Si Germán terminó 1 de cruzar el puente 2 2 minutos antes que Felipe, determine la velocidad promedio a la que lo cruzó Felipe en pies por minuto.

51. Viaje Dos amigos recorren, cada uno por su lado, una distancia de 600 millas. Horacio viaja por autopista y llega a su destino dos horas antes que Carla, quien tomó una ruta diferente. Si la velocidad promedio del automóvil de Horacio fue 10 millas por hora más rápida que la del automóvil de Carla, determine la velocidad promedio a la que viajó el automóvil de Horacio. 52. Carrera en velero Bucanero, el velero ganador de una competencia, completó su recorrido de 30 millas 10 minutos antes que el segundo lugar, Cuervo. Si la velocidad promedio de Bucanero fue de dos millas por hora más rápida que la de Cuervo, determine la velocidad promedio del velero ganador. 53. Viaje en helicóptero Bárbara Díaz viajó en helicóptero hasta la cima del monte Cook, en Nueva Zelanda. El recorrido fue de 60 kilómetros. Bárbara permaneció en la 1 cima del monte 2 hora, y después voló a la ciudad de Te Anu, a 140 kilómetros de distancia. El helicóptero voló en promedio 20 kilómetros por hora más rápido al ir a Te Anu que durante el vuelo hacia la cima del monte. El tiempo

56. Vía de tren inclinada Un paseo por el monte Pilatos, cerca de Lucerna, Suiza, incluye un recorrido a lo largo de una vía de tren inclinada que sube hacia la cima; después, se pasa algún tiempo ahí, y luego se regresa por el lado opuesto del monte, a bordo de un teleférico. La distancia que se recorre hacia la cima del monte es de 7.5 kilómetros, y la distancia del descenso es de 8.7 kilómetros. La velocidad del teleférico es 1.2 veces la velocidad del tren sobre la vía inclinada. Si una familia permaneció en la cima del monte durante 3 horas, y el tiempo total del paseo fue de 9 horas, determine la velocidad del recorrido por la vía inclinada. 57. Lanzamiento de cohetes Dos cohetes serán lanzados al mismo tiempo desde el principal centro de operaciones de la NASA en Houston, Texas, y se encontrarán en una estación espacial a muchas millas de distancia de la Tierra. El primer cohete viaja a 20,000 millas por hora, y el segundo a 18,000 millas por hora. Si el primer cohete llegará a la estación espacial 0.6 horas antes que el segundo, ¿qué tan lejos se encuentra la estación espacial del centro de operaciones de la NASA?

414 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones 60. Construya su propio problema numérico y determine la solución.

58. Construya su propio problema de aplicación y determine la solución. 59. Construya su propio problema de movimiento y determine la solución.

Reto 61. Una oficial que pilotea una aeronave de patrullaje determina que un automóvil que está a una distancia de 10 millas está siendo conducido a una velocidad de 90 millas por hora. a) Si la aeronave viaja a 150 millas por hora, ¿cuántos minutos tardará en alcanzar al automóvil?

b) ¿Qué distancia recorrerá el automóvil antes de que la aeronave le dé alcance? c) Si la oficial desea alcanzar al automóvil en exactamente 8 minutos, ¿qué tan rápido debe volar la aeronave?

Ejercicios de repaso acumulativo 12x -1 y -22

-3

. 13x y 2 63. Exprese 5,260,000,000 en notación científica. 62. Simplifique

lumen de sus ventas totales. ¿Cuál debe ser su volumen de ventas en una semana para ganar $540?

-1 3 2

[2.3] 64. Salario semanal Samuel Santos recibe un salario semanal de $240, más 12% de comisión sobre el vo-

[3.1]

65. Grafique y  |x|  2.

[5.4] 66. Factorice 2a4  2a3  5a2  5a.

6.6 VARIACIÓN 1

Resolver problemas de variación directa.

2

Resolver problemas de variación inversa.

3

Resolver problemas de variación conjunta.

4

Resolver problemas de variación combinada.

En las secciones 6.4 y 6.5 analizamos muchas aplicaciones de ecuaciones que contienen expresiones racionales. En esta sección veremos algunas más.

1

Resolver problemas de variación directa Muchas fórmulas científicas se expresan como variaciones. Una variación es una ecuación que relaciona una variable con una o más variables distintas, utilizando las operaciones de multiplicación y/o división. Esencialmente, existen tres tipos de problemas de este tipo: de variación directa, de variación inversa y de variación conjunta. En la variación directa, las dos variables relacionadas aumentan o disminuyen juntas; esto es, conforme una aumenta la otra también, y a medida que una disminuye la otra también lo hace. Piense, por ejemplo, en un automóvil que viaja a 30 millas por hora; el automóvil recorre 30 millas en una hora, 60 millas en 2 horas y 90 millas en 3 horas. Observe que al aumentar el tiempo, la distancia recorrida también aumenta. La fórmula utilizada para calcular la distancia recorrida es distancia = velocidad # tiempo Como la velocidad es constante, 30 millas por hora, la fórmula puede escribirse como

d = 30t

Sección 6.6 • Variación • 415

Decimos que la distancia varía directamente respecto del tiempo, o que la distancia es directamente proporcional al tiempo. Éste es un ejemplo de variación directa. y

Variación directa Si una variable y varía directamente respecto de una variable x, entonces

y = kx

y  kx, k  0 x

donde k es la constante de proporcionalidad (o la constante de variación).

La gráfica de y  kx, k  0, siempre da por resultado una recta que pasa por el origen (vea la figura 6.8). La pendiente de la recta depende del valor de k: entre mayor sea el valor de k, mayor será la pendiente.

FIGURA 6.8

EJEMPLO 1

Círculo La circunferencia de un círculo, C, es directamente proporcional a (o varía directamente respecto de) su radio, r. Escriba la ecuación de la circunferencia de un círculo si la constante de proporcionalidad, k, es 2p. C = kr 1C varía directamente respecto de r2

Solución

C = 2pr 1la constante de proporcionalidad es 2p2

EJEMPLO 2

✺

Administración de medicamentos La cantidad, a, de cierto medicamento que se administra a un paciente es directamente proporcional a la masa corporal del paciente, m, en kilogramos. a) Escriba esta variación como una ecuación. b) Si se le dan 150 mg a un muchacho cuya masa corporal es de 30 kg, determine la constante de proporcionalidad. c) ¿Qué cantidad de este medicamento debe administrarse a un paciente cuya masa corporal es de 62 kg?

Solución

a) Dijimos que ésta es una variación directa. Es decir, a mayor masa corporal del paciente, mayor cantidad de medicamento tendrá que administrársele. Por lo tanto, planteamos una variación directa,

a = km b) Entienda el problema y traduzca Para determinar el valor de la constante de proporcionalidad, sustituimos los valores dados por la cantidad del medicamento y la masa corporal del paciente. Después despejamos k.

a = km 150 = k1302 Realice los cálculos

Sustituir los valores dados.

5 = k

Así, k  5 mg. Se deben administrar 5 miligramos del medicamento por cada kilogramo de masa corporal de un paciente.

Responda

c) Entienda el problema y traduzca Ahora que conocemos la constante de proporcionalidad, podemos usarla para determinar la cantidad de medicamento que se debe administrar según la masa corporal de un paciente. Planteamos la variación y sustituimos los valores para k y m.

a = km a = 51622 Realice los cálculos

a = 310

Sustituir los valores dados.

416 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones Responda Así, a un paciente con una masa corporal de 62 kg, se le deben administrar 310 mg del medicamento. ✺

EJEMPLO 3

La variable y varía directamente respecto del cuadrado de z. Si y es 80 cuando z es 20, determine y cuando z es 45.

Solución

Como y varía directamente respecto del cuadrado de z, comenzamos con la fórmula y  kz2. En vista de que no se indica cuál es la constante de proporcionalidad, primero debemos determinar k con la información dada.

y 80 80 80 400

= kz2 = k12022 = 400k 400k = 400

Sustituir los valores dados. Despejar k.

0.2 = k Ahora utilizamos k  0.2 para determinar y cuando z es 45.

y = kz2 y = 0.214522 y = 405

Sustituir los valores dados.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35 De este modo, cuando z es igual a 45, y es igual a 405.

2

✺

Resolver problemas de variación inversa Un segundo tipo de variación es la variación inversa. Cuando dos cantidades varían inversamente, significa que conforme una cantidad aumenta, la otra disminuye, y viceversa. Utilicemos una vez más la fórmula distancia  velocidad  tiempo para explicar la variación inversa. Si despejamos el tiempo, obtenemos tiempo  distancia/velocidad. Suponga que la distancia se determina en 120 millas; entonces tiempo =

120 velocidad

A 120 millas por hora, sería necesaria 1 hora para recorrer la distancia; a 60 millas por hora, serían necesarias 2 horas; a 30 millas por hora, serían necesarias 4 horas. Observe que cuando la velocidad (o rapidez) disminuye el tiempo aumenta, y viceversa. La ecuación anterior puede escribirse como

t =

120 r

Esta ecuación es un ejemplo de variación inversa. El tiempo y la velocidad son inversamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es 120. Variación inversa Si una variable y varía inversamente respecto de una variable x, entonces k 1o xy = k2 x donde k es la constante de proporcionalidad. y =

Sección 6.6 • Variación • 417

Dos cantidades varían inversamente, o son inversamente proporcionales, si una de ellas aumenta a medida que la otra disminuye. La gráfica de y  k/x, para k  0 y x  0, tendrá la forma que se ilustra en la figura 6.9. La gráfica de una variación inversa no está definida en x  0, ya que 0 no está en el dominio de la función y  k/x.

y k , x k  0, x  0 y

x

EJEMPLO 4 Hielo derretido El tiempo, t, que tarda en derretirse un bloque de hielo cuando se le sumerge en agua es inversamente proporcional a la temperatura del agua, T. a) Escriba esta variación como una ecuación.

FIGURA 6.9

b) Si un bloque de hielo tarda 15 minutos en derretirse cuando se le sumerge en agua con una temperatura de 75°F, determine la constante de proporcionalidad. c) Determine en cuánto tiempo se derretirá un bloque de hielo del mismo tamaño si la temperatura del agua es de 90°F.

Solución

a) Entre más caliente esté el agua, más rápido se derretirá el hielo. La variación inversa es

t =

k T

b) Entienda el problema y traduzca Para determinar la constante de proporcionalidad, sustituimos los valores para la temperatura y el tiempo y despejamos k.

t = 15 =

k 75

Sustituir los valores dados.

1125 = k

Realice los cálculos Responda

k T

La constante de proporcionalidad es 1125.

c) Entienda el problema y traduzca Ahora que conocemos la constante de proporcionalidad, podemos usarla para determinar en cuánto tiempo se derretirá un bloque de hielo del mismo tamaño si se le sumerge en agua con una temperatura de 90°F. Para ello, establecemos la proporción, sustituimos los valores para k y T, y despejamos t.

t =

k T

t =

1125 90

Sustituir los valores dados.

t = 12.5

Realice los cálculos

Responda El bloque de hielo sumergido en el agua con temperatura de 90°F se derretirá en 12.5 minutos. ✺

EJEMPLO 5

Iluminación La iluminación, I, que produce una fuente de luz varía inversamente respecto del cuadrado de la distancia, d, a la que se esté de la fuente. Suponiendo que la iluminación es de 75 unidades a una distancia de 6 metros, determine la ecuación que expresa la relación entre iluminación y distancia.

Solución

Entienda el problema y traduzca Como la iluminación varía inversamente respecto del cuadrado de la distancia, la forma general de la ecuación es

I =

k d2

1o Id2 = k2

418 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

Para determinar k, sustituimos los valores dados para I y d.

75 =

k 36 17521362 = k 2700 = k 75 =

Realice los cálculos

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63

3

Responda

La fórmula es I =

k 62

Sustituir los valores dados. Despejar k.

2700 . d2

✺

Resolver problemas de variación conjunta Una cantidad puede variar en relación al producto de dos o más cantidades distintas. Este tipo de variación se llama variación conjunta. Variación conjunta Si y varía conjuntamente respecto de x y z, entonces

y = kxz donde k es la constante de proporcionalidad.

EJEMPLO 6

Área de un triángulo El área, A, de un triángulo varía conjuntamente respecto de su base b, y su altura h. Si el área de un triángulo mide 48 pulgadas cuadradas cuando su base mide 12 pulgadas y su altura 8 pulgadas, determine el área de un triángulo cuya base mide 15 pulgadas y cuya altura mide 40 pulgadas.

Solución

Entienda el problema y traduzca Primero escribimos la variación conjunta; después sustituimos los valores conocidos y despejamos k.

A = kbh 48 = k1122182 48 = k1962 48 = k 96 1 k = 2

Realice los cálculos

Sustituir los valores dados. Despejar k.

Ahora despejamos el área del triángulo dado.

A = kbh 1 = 11521402 2 = 300 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67 Responda

Sustituir los valores dados.

El área del triángulo mide 300 pulgadas cuadradas.

Resumen de variaciones Directa y = kx

Inversa y =

k x

Conjunta y = kxz

✺

Sección 6.6 • Variación • 419

4

Resolver problemas de variación combinada En situaciones de la vida real, muchas veces una variable varía respecto de una combinación de variables. Los siguientes ejemplos ilustran el uso de las variaciones combinadas

EJEMPLO 7

Tienda de galletas Los propietarios de una tienda de galletas determinan que su venta semanal, S, varía directamente respecto de su presupuesto de publicidad, A, e inversamente respecto del precio de las galletas, P. Cuando el presupuesto de publicidad es de $400 y el precio de las galletas es de $1, se venden 6200 galletas. a) Escriba una ecuación de variación que exprese a S en términos de A y P. Incluya el valor de la constante. b) Determine las ventas esperadas, si el presupuesto de publicidad es de $600 y el precio de las galletas es de $1.20.

Solución

a) Entienda el problema y traduzca

Comenzamos con la ecuación

S = 6200 = Realice los cálculos

Responda

kA P k14002 1

6200 = 400k 15.5 = k

Sustituir los valores dados. Despejar k.

Por lo tanto, la ecuación para calcular las ventas de galletas es S =

15.5A . P

b) Entienda el problema y traduzca Ahora que conocemos la ecuación de la variación combinada, podemos usarla para determinar las ventas según los valores dados.

S =

15.5A P 15.516002

= Realice los cálculos Responda

EJEMPLO 8

1.20

Sustituir lo valores dados.

= 7750

La tienda puede vender 7750 galletas.

✺

Fuerza electrostática La fuerza electrostática, F, de repulsión entre dos cargas eléctricas positivas, es conjuntamente proporcional respecto de las dos cargas q1 y q2, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, d, entre las dos cargas. Exprese F, en términos de q1, q2 y d.

Solución AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69

F =

kq1 q2 d2

✺

Conjunto de ejercicios 6.6 Ejercicios conceptuales 1. a) Explique qué significa cuando dos elementos varían en proporción directa. b) Proporcione su propio ejemplo de dos cantidades que varíen directamente. c) Escriba la variación directa para su ejemplo de la parte b).

2. a) Explique qué significa cuando dos elementos varían en proporción inversa. b) Proporcione su propio ejemplo de dos cantidades que varíen inversamente. c) Escriba la variación inversa para su ejemplo de la parte b).

420 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones 3. ¿Qué se entiende por variación conjunta? 4. ¿Qué se entiende por variación combinada? 17 5. a) En la ecuación y = , cuando x aumenta, ¿el valor x de y aumenta o disminuye?

b) ¿Éste es un ejemplo de variación directa o inversa? Explique. 6. a) En la ecuación z  0.8x3, cuando x aumenta, ¿el valor de z aumenta o disminuye? b) ¿Éste es un ejemplo de variación directa o inversa? Explique.

Utilice su intuición para determinar si la variación entre las cantidades indicadas es directa o inversa. 7. La velocidad y la distancia recorrida por un ciclista. 8. El número de páginas que puede leer una persona en un periodo de dos horas, y su velocidad de lectura.

19. La abertura del obturador de una cámara fotográfica y la cantidad de luz que llega a la película.

9. La velocidad de un atleta y el tiempo en que recorre una distancia de 10 kilómetros. 10. El salario semanal de un empleado, y la cantidad de dinero que se le retiene por concepto de impuesto sobre los ingresos. 11. El radio de un círculo y su área. 12. El lado de un cubo y su volumen. 13. El radio de un globo y su volumen. 14. El diámetro de un círculo y su circunferencia. 15. El diámetro de una manguera y el volumen de agua que pasa por ella.

20. El desplazamiento de pulgadas cúbicas expresado en litros producido por una máquina y los caballos de fuerza de la máquina. 21. La longitud de una tabla y la fuerza necesaria para romperla en el centro. 22. El número de calorías ingeridas y la cantidad de ejercicio necesario para quemarlas.

16. El peso de un cohete y la distancia que recorre desde la Tierra (debido a la gravedad terrestre).

23. La luz que ilumina un objeto y la distancia entre la luz y el objeto.

17. El tiempo que tarda en deshacerse un cubo de hielo sumergido en agua y a la temperatura del agua.

24. El número de calorías que hay en una hamburguesa y el tamaño de la hamburguesa.

18. La distancia entre dos ciudades en un mapa, y la distancia real entre ambas.

Problemas de aplicación En los ejercicios 25 a 32, a) escriba la variación, y b) determine la cantidad que se pide. 25. x varía directamente respecto de y. Determine x cuando y  12 y k  6. 26. C varía directamente respecto del cuadrado de Z. Determine C cuando Z  9 y k = 34 . 27. y varía directamente respecto de R. Determine y cuando R  180 y k  1.7 28. x varía inversamente respecto de y. Determine x cuando y  25 y k  5. 29. R varía inversamente respecto de W. Determine R cuando W  160 y k  8.

30. L varía inversamente respecto del cuadrado de P. Determine L cuando P  4 y k  100. 31. A varía directamente respecto de B, e inversamente respecto de C. Determine A cuando B  12, C 4 y k  3. 32. A varía conjuntamente respecto de R1 y R2, e inversamente respecto del cuadrado de L. Determine A cuando 3 R1  120, R2  8, L  5 y k = 2 .

En los ejercicios 33 a 40, a) escriba la variación, y b) determine la cantidad indicada. 33. x varía directamente con y. Si x es 12 cuando y es 3, determine x cuando y es 5.

36. S varía inversamente con G. Si S es 12 cuando G es 0.4, determine S cuando G es 5.

34. Z varía directamente con W. Si Z es 7 cuando W es 28, determine Z cuando W es 140.

37. C varía inversamente con J. Si C es 7 cuando J es 0.7, determine C cuando J es 12.

35. y varía directamente con el cuadrado de R. Si y es 5 cuando R  5, determine y cuando R es 10.

38. x varía inversamente con el cuadrado de P. Si x  4, cuando P es 5, determine x cuando P  2.

Sección 6.6 • Variación • 421 39. F varía conjuntamente con M1 y M2, e inversamente con d. Si F es 20 cuando M1  5, M2  10 y d  0.2, determine F cuando M1  10, M2  20 y d  0.4.

40. F varía conjuntamente con q1 y q2, e inversamente con el cuadrado de d. Si F es 8 cuando q1  2, q2  8 y d  4, determine F cuando q1  28, q2  12 y d  2.

Resolución de problemas 41. Suponga que a varía directamente con b. Si b se duplica, ¿cómo afectará a a? Explique.

43. Suponga que y varía inversamente con x. Si x se duplica, ¿cómo afectará a y? Explique.

42. Suponga que a varía directamente con b2. Si b se duplica, ¿cómo afectará a a? Explique.

44. Suponga que y varía inversamente con a2. Si a se duplica, ¿cómo afectará a y? Explique.

En los ejercicios 45 a 50, utilice la fórmula F =

km 1 m 2 d2

.

45. Si m1 se duplica, ¿cómo afectará a F? 46. Si m1 se cuadruplica y d se duplica, ¿cómo afectará a F? 47. Si m1 se duplica, y m2 se divide entre dos, ¿cómo afectará a F?

48. Si d se divide entre dos, ¿cómo afectará a F? 49. Si m1 se divide entre dos, y m2 se cuadriplica, ¿cómo afectará a F? 50. Si m1 se duplica, m2 se cuadriplica y d se cuadriplica, ¿cómo afectará a F?

En los ejercicios 51 y 52, determine si la variación es de la forma y  kx o y = 51.

k , y determine k. x

52.

x

y

x

y

2

5 2

5

1

9

3

10

1 2 1 4

15

5

27

9

20

53. Utilidad La utilidad por la venta de lámparas es directamente proporcional al número de lámparas vendidas. Cuando se venden 150 lámparas, la utilidad es de $2542.50. Determine la utilidad cuando se venden 520 lámparas.

6

2

albañiles necesitan 8 horas para construir un muro, ¿cuánto tardarán 4 albañiles en realizar la misma tarea?

54. Utilidad La utilidad por la venta de estéreos es directamente proporcional al número de estéreos vendidos. Cuando se venden 65 estéreos, la utilidad es de $4056. Determine la utilidad cuando se venden 80 estéreos. 55. Antibiótico La dosis recomendada, d, de un medicamento antibiótico es directamente proporcional al peso de la persona. Si a Raúl Martínez, quien pesa 132 libras, se le administran 2376 miligramos, determine la dosis recomendada para Nicolás Fernández, quien pesa 172 libras. 56. Dólares y pesos La conversión de dólares estadounidenses a pesos mexicanos es una variación directa. Entre más dólares convierta más pesos recibe. La semana pasada, Carlos Manuel convirtió 275 dólares en 2433.75 pesos. Ahora su tía le dio 400 dólares. Si el tipo de cambio sigue siendo el mismo que cuando convirtió los 400 dólares, ¿cuántos pesos recibirá? 57. Construcción de un muro de ladrillos El tiempo, t, requerido para construir un muro de ladrillos varía inversamente con el número de personas, n, que trabajen en él. Si 5

58. Distancia Cuando un automóvil viaja a una velocidad constante, la distancia recorrida, d, es directamente proporcional al tiempo, t. Si un automóvil recorre 130 millas en 2.5 horas, ¿qué tan lejos viajará el mismo automóvil en 4 horas? 59. Presión y volumen El volumen de un gas, V, varía inversamente con su presión, P. Si el volumen, V, es de 800 centímetros cúbicos cuando la presión es de 200 milímetros (mm) de mercurio, determine el volumen cuando la presión es de 25 mm de mercurio.

422 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones 60. Ley de Hooke La ley de Hooke establece que la longitud que un resorte se estira, S, varía directamente con la fuerza (o peso), F, que se le aplica. Si un resorte se estira 1.4 pulgadas cuando se aplica un peso de 20 libras, ¿cuánto se estirará cuando se aplique un peso de 15 libras? 61. Carrera El tiempo, t, que necesita un corredor para cubrir una distancia específica es inversamente proporcional a su velocidad. Si Armando Reyes corre a un promedio de 6 millas por hora, terminará una carrera en 2.6 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará Rubén Domínguez, quien corre a 5 millas por hora, para terminar la misma carrera? 62. Lanzamiento de una bola Cuando se lanza una bola en un juego profesional de béisbol, el tiempo, t, que tarda en llegar al home varía inversamente con la velocidad, s, del lanzamiento.* Una bola lanzada a 90 millas por hora tarda 0.459 segundos en llegar al home. ¿Cuánto tardará una bola lanzada a 75 millas por hora en llegar al home?

gundos. Si la roca cae 4 pies en 1/2 segundos, ¿qué distancia caerá en 3 segundos? 67. Pago de hipoteca El pago mensual de una hipoteca, P, varía conjuntamente con la tasa de interés, r, y el monto de la hipoteca, m. Si el pago mensual de la hipoteca sobre un monto de $50,000 a 7% de tasa de interés es $332.50, determine el pago mensual sobre una hipoteca de $66,000 a 7%. 68. Peso de un objeto El peso, w, de un objeto en la atmósfera de la Tierra varía inversamente respecto del cuadrado de la distancia, d, entre el objeto y el centro de la Tierra. Una persona que pesa 140 libras se encuentra aproximadamente a 4000 millas de distancia del centro de la Tierra. Determine el peso (o fuerza de atracción gravitacional) de esta persona si estuviera a una distancia de 100 millas sobre la superficie de la Tierra. 69. Alquiler de vídeos El alquiler semanal de videocintas, R, en una tienda especializada varía directamente respecto de su presupuesto de publicidad, A, e inversamente respecto del precio diario de alquiler, P. Cuando el presupuesto de publicidad es de $400 y el precio diario del alquiler es de $2, la tienda alquila 4600 cintas por semana. ¿Cuántas cintas alquilaría por semana si aumentara su presupuesto de publicidad a $500 y subieran su precio de alquiler a $2.50? 70. Consumo de energía El consumo de energía, en watts, de un aparato, W, varía conjuntamente respecto del cuadrado de la corriente, I, y la resistencia, R. Si esta tasa es de 3 watts cuando la corriente es de 0.1 amperes y la resistencia es de 100 ohms, determine el consumo de energía cuando la corriente es de 0.4 amperes y la resistencia es de 250 ohms.

63. Pelota de tenis Cuando un tenista sirve una pelota, el tiempo que le toma a la pelota golpear el piso de la caja de servicio es inversamente proporcional a la velocidad a la que viaja. Si Andrés Gómez sirve a 122 millas por hora, la pelota necesita 0.21 segundos para pegar en el piso. ¿Cuánto tardará la pelota en pegar en el piso, si Andrés sirve a 80 millas por hora? 64. Intensidad de la luz La intensidad, I, de la luz emitida por una fuente de energía varía inversamente con el cuadrado de la distancia, d, a la que está dicha fuente. Si la intensidad de la luz es de 20 pies-bujías a 15 pies, determine la intensidad de la luz a 10 pies. 65. Distancia para detenerse Suponga que la distancia que una camioneta necesita para detenerse varía directamente con el cuadrado de su velocidad. Una camioneta que viaja a 40 millas por hora puede detenerse en 60 pies. Si la camioneta está viajando a 56 millas por hora, ¿qué distancia necesita para detenerse? 66. Rocas que caen Una roca se deja caer desde la parte alta de un risco. La distancia que recorre al caer, en pies, es directamente proporcional al cuadrado del tiempo en se-

71. Resistencia eléctrica La resistencia eléctrica de un cable, R, varía directamente respecto de su longitud, L, e inversamente respecto del área de su sección transversal, A. Si la resistencia de un cable es de 0.2 ohms cuando la longitud es de 200 pies, y el área de su sección transversal mide 0.05 pulgadas cuadradas, determine la resistencia de un cable cuya longitud mide 5000 pies, y el área de su sección transversal mide 0.01 pulgadas cuadradas. 72.

Llamadas telefónicas El número de llamadas telefónicas entre dos ciudades durante un periodo dado, N, varía directamente respecto del número de habitantes, p1 y p2, de las dos ciudades, e inversamente respecto de la distancia, d, entre ellas. Si se realizan 100,000 llamadas entre dos ciudades que se encuentran a una distancia de 300 millas, y el número de habitantes de las ciudades es de 60,000 y 200,000, respectivamente, ¿cuántas llamadas se realizan entre dos ciudades con poblaciones de 125,000 y 175,000 que se encuentran a 450 millas de distancia?

73. Cobro por consumo de agua En una región específica del país, el monto de la factura por consumo de agua de un cliente, W, es directamente proporcional a la temperatura diaria promedio durante el mes, T, el área del jardín, A, y la raíz cuadrada de F, el tamaño de la familia, e inversamente proporcional al número de pulgadas de lluvia, R. En un mes, la temperatura promedio es 78°F, y el número de pulgadas de lluvia es 5.6. Si una familia pro-

*Una bola se va deteniendo poco a poco a lo largo de su camino al home, debido a la resistencia al viento. Para un lanzamiento de 95 mph, la bola es alrededor de 8 mph más rápida cuando sale de la mano del lanzador que cuando cruza el home.

Resumen del capítulo • 423 medio de cuatro integrantes tiene un jardín de 1000 pies cuadrados y paga $68 por consumo de agua, calcule cuánto pagará en el mismo mes una familia de seis miembros, cuyo jardín mide 1500 pies cuadrados.

76. Presión sobre un objeto La presión P, en libras por pulgadas cuadradas (psi), que se ejerce sobre un objeto a x pies bajo el nivel del mar es de 14.70 psi más el producto de una constante de proporcionalidad, k y el número de pies, x, al que el objeto se encuentra por debajo del nivel del mar (vea la figura). La cifra 14.70 representa el peso, en libras, de la columna de aire (a partir del nivel del mar y hasta la parte superior de la atmósfera) que está sobre un área de 1 pulgada por 1 pulgada de agua de mar. El producto kx representa el peso, en libras, de una columna de agua de 1 pulgada por 1 pulgada por x pies. a) Escriba una fórmula para calcular la presión que se ejerce sobre un objeto que se encuentra a x pies por debajo del nivel del mar.

74. Intensidad de iluminación En un artículo periodístico sobre fotografía se establece que: “Si un objeto se ilumina mediante una fuente de luz puntual (un flash), la intensidad de la iluminación producida es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre la fuente de luz y el objeto”. Si usted quiere fotografiar un objeto que está a 4 pies de distancia del flash, y la iluminación en su objetivo 1 es 16 de la luz del flash, ¿cuál es la intensidad de iluminación sobre un objeto que está a 7 pies de distancia del flash? 75. Fuerza de atracción Una de las leyes de Newton establece que la fuerza de atracción, F, entre dos masas, es directamente proporcional a las masas de los dos objetos, m1 y m2, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, d, entre ambos objetos. a) Escriba la fórmula que representa la ley de Newton. b) ¿Qué le sucede a la fuerza de atracción si una masa se duplica, la otra se triplica, y la distancia entre los objetos se divide entre dos?

b) Si el barómetro de un submarino que se ubica a 60 pies de profundidad registra 40.5 psi, determine la constante k. c) Si un submarino está construido para soportar una presión de 160 psi, ¿hasta qué profundidad puede descender? Cuadrado de 1 pulgada por una pulgada Esta columna de aire pesa 14.70 libras.

x pies Esta columna de agua pesa kx libras.

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 77. Despeje h de la fórmula V =

4 2 pr h. 3

[3.6] 78. Sea f(x)  x2  4 y g(x)  5x  3. Determine f(4)  g(4).

RESUMEN

[5.2] 79. Multiplique (7x  3)(2x2  4x  1). [5.7]

80. Factorice (x  1)2  (x  1)  6.

DEL CAPÍTULO

Términos y frases importantes 6.1 Dominio Expresión racional Función racional Simplificada (o reducida a sus términos más simples)

6.2 Mínimo común denominador (MCD)

Número primo

6.3 Fracción compleja Línea principal de la fracción

6.4 Soluciones o raíces extrañas Proporción

Ecuación racional Figuras semejantes

6.5 Problemas de movimiento Problemas numéricos Problemas de trabajo

Constante de proporcionalidad Variación directa Variación inversa Variación conjunta Variación

6.6 Variaciones combinadas (continúa en la página siguiente)

424 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones

HECHOS

IMPORTANTES

Tipos de variación Directa

Inversa

y = kx

y =

Conjunta

k x

y = kxz

Ejercicios de repaso del capítulo [6.1] Determine el valor o valores de la variable que debe excluirse en cada expresión racional. 1.

3 x - 5

2.

x x + 2

3.

-2x x2 + 9

Determine el dominio de cada función racional. 4. y =

5 1x + 122

5. f1x2 =

x + 6 x2

6. f1x2 =

x2 - 2 x + 3x - 10 2

Simplifique cada expresión. 7. 11.

x2 + xy x + y 2x2 - 6x + 5x - 15 2x2 + 7x + 5

8.

x2 - 49 x + 7

9.

12.

a3 - 8b3 a2 - 4b2

13.

6 - 5x 5x - 6 27x3 - y3 2

9x - y

2

10.

x2 + 3x - 4 x2 + 2x - 8

14.

2x 2 + x - 6 x3 + 8

[6.2] Determine el mínimo común denominador de cada expresión. 7x - 2y 3x + 1 6x 3 + 2 15. 16. x + 2y x + 1 x x - 4y2 17.

3x - 2 19x - 5 + 2 x2 + 2x - 35 x + 9x + 14

18.

61x + 32 4x 3 x + 1 1x + 222 x2 - 4

[6.1, 6.2] Realice la operación indicada. 15x 2y 3 6z3 # 3 3z 5xy 7 2 + 2 22. 3x x 19.

25.

3y 2 + xy 5x2

28. 3 + 31.

x + 2 # x2 + 3x - 4 x - 1 x2 + 6x + 8

3 1 , a + 5 a + 8a + 15 a2 - 2ab - 3b2 a - 3b

16x2y 4

2x2y 4 ,

x4z10 xz5 2 4x - 11x + 4 x2 - 4x + 10 24. x - 3 x - 3 x2 + 2x + 9 3x2 - 7x + 4 2 3x - 14x - 5 3x2 - 14x - 5

b + 1 b - 1

30.

a2 - b2 # a2 + 2ab + b2 a + b a3 + a2b

32.

a - c a + c c a

33.

x+1 4x2 + 8x - 5 # 2x + 5 4x2 - 4x + 1

35.

x2 - 3xy - 10y2 x + 2y , 6x 12x2

36.

a + 1 3 + 2a 4a + 8

x + 4 3 x - 2 x2 - 4

39.

x + 1 # x2 + 2x - 15 x - 3 x2 + 7x + 6

42.

a2 + 5a + 6 # 3a + 6 a2 + 4a + 4 a4 + 3a3

29. 7 -

2

21.

27.

26.

a + 2 a + 1

34. 1a + b2 ,

x #7 - x x - 7 4 4x - 4y y3 # 23. 8x x2y 20.

37.

x - 4 3 x - 5 x + 5

38.

40.

1 1 - 2 2 x - x - 6 x - 4

41.

1x + 2y22 4x2 - 16y2 , 9 12

Ejercicios de repaso del capítulo • 425

43.

x + 5 x - 2 - 2 x - 15x + 50 x - 25

44.

x - 3 x + 2 + 2 x - x - 6 x - 8x + 15

45.

2 6 1 + 2 x + 3 x - 3 x - 9

46.

a - 4 3 10 - 2 a - 5 a + 5 a - 25

47.

x2 - 4x + 16 x3 + 64 , 2x + 12 2x2 - 32

48.

3a - 3b2 a 2 - b4 , a2 + 2ab2 + b4 a2 + 3ab2 + 2b4

2

49. ¢

x2 - x - 56 # x2 + 4x - 21 3 ≤+ 2 x2 + 14x + 49 x2 - 9x + 8 x + 8x - 9

51. Si f1x2 = a) b) c) d)

x + 1 x , determine y g1x2 = x + 2 x + 4

2

50. ¢

x2 - 8x + 16 # 2x2 - 7x - 15 x2 - 9x + 20 ≤ , 2 2 2 2x - x - 6 x - 2x - 24 x + 2x - 8 x + 4 x , determine y g1x2 = x - 3 x2 - 9 el dominio de f(x). el dominio de g(x). (f  g)(x). el dominio de (f  g)(x).

52. Si f1x2 = a) b) c) d)

el dominio de f(x). el dominio de g(x). (f  g)(x). el dominio de (f  g)(x).

[6.3] Simplifique cada fracción compleja. 9a2b 2c 53. 6ab4 4c3

1 1 + x y 54. x + y2 y

3 1 - 2 y y 55. 1 5 + 2 y

a -1 + 2 56. 1 a -1 + a

1 x 57. 1 1 x x2

2 1 + 2 x - 3x - 18 x - 2x - 15 58. 1 3 + 2 x2 - 11x + 30 x - 9x + 20

x -2 +

2

En los ejercicios 59 y 60 se indica el área y el ancho de cada rectángulo. Determine la longitud, l, dividiendo el área, A, entre el ancho, w. 59.

60. A

x  5x  6 x4 2

w

x  8x  15 x2  5x  4 2

A

l

x2  10x  24 x5

w

x2  9x  18 x2  7x  10

l

[6.4] En los ejercicios 61 a 70, resuelva cada ecuación. 5 2 = x 9 x x + = 1.7 64. 4.8 2 2 4 x + = 67. 2 x + 3 x - 3 x - 9 x+1 x+2 2x 2 - 18 + = 70. x + 3 x - 4 x2 - x - 12 61.

71. Despeje b de

x x - 4 = 1.5 4.5 1 3 2 + = 65. y 5 y 7 3 4 + = 68. 2 x + 5 x - 5 x - 5 62.

1 1 1 + = . a b c

73. Resistores Tres resistores de 100, 200 y 600 ohms se conectan en paralelo. Determine la resistencia total del circuito. 1 1 1 1 Utilice la fórmula = + + . RT R1 R2 R3

3x + 4 2x - 8 = 5 3 2 3 -11 = 2 66. x + 4 x - 4 x - 16 x+1 2x2 + x + 1 x-3 + = 2 69. x-2 x+3 x +x-6 63.

72. De la ecuación z =

x - x despeje x. s

74. Longitud focal ¿Cuál es la longitud focal, f, de un espejo cóncavo, si la distancia respecto del objeto, p, es 6 centímetros y la distancia respecto de la imagen, q, es 2 centímetros? 1 1 1 Utilice la fórmula + = . p q f

426 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones En los ejercicios 75 y 76, los triángulos de cada par son semejantes. Determine las longitudes de los lados desconocidos. 75. Triángulos

76. 2x

7

2x  1

4

x 2 2

x3 5

9

[6.5] En los ejercicios 77 a 82, responda la pregunta. Cuando sea necesario, redondee las respuestas al centésimo más cercano. 77. Recolección de frijol Samuel y Jerónimo trabajan en una granja. Samuel puede recolectar una canasta de frijol en 40 minutos, mientras que Jerónimo puede hacer la misma tarea en 30 minutos. Si trabajan juntos, ¿en cuánto tiempo recolectarán una canasta de frijol? 78.

Jardín Margarita y Fernando quieren plantar un jardín de flores. Juntos pueden hacerlo en 4.2 horas. Si Margarita puede plantar sola el mismo jardín en 6 horas, ¿cuánto tiempo le tomará a Fernando hacerlo solo?

79. Fracciones ¿Qué número sumado al numerador y restado al denominador de la fracción 111 da por resultado 12 ? 80. Fracciones Cuando el recíproco del doble de un número se resta de 1, el resultado es el recíproco del triple del número. Determine el número.

81. Recorrido en bote El bote de motor de Gilberto puede viajar a 15 millas por hora en aguas tranquilas. Viajando con la corriente de un río, el bote puede viajar 20 millas en el mismo tiempo que necesita para recorrer 10 millas en contra de la corriente. Determine la velocidad de la corriente. 82. Vuelo en un aeroplano Un pequeño aeroplano y un automóvil inician su recorrido hacia la misma ciudad, que está a 450 millas de distancia, desde la misma posición y al mismo tiempo. La velocidad del aeroplano es el triple de la velocidad del automóvil, así que llega a la ciudad 6 horas antes que el automóvil. Determine la velocidad del automóvil y del aeroplano.

[6.6] Determine cada cantidad solicitada. 83. x es directamente proporcional al cuadrado de y. Si x  45 cuando y  3, determine x cuando y  2. 84. W es directamente proporcional al cuadrado de L e inversamente proporcional a A. Si W  4 cuando L  2 y A  10, determine W cuando L  5 y A  20. 85. z es conjuntamente proporcional a x y y e inversamente proporcional al cuadrado de r. Si z  12 cuando x  20, y  8 y r  8, determine z cuando x  10, y  80 y r  3. 86. Cargo extra En sus facturas de electricidad, una compañía de energía eléctrica coloca un espacio para el cargo extra, s; dicho cargo es directamente proporcional a la cantidad de energía usada, e. Si el cargo extra es de $7.20 cuando se usan 3600 kilowatt-hora, ¿cuál es el cargo extra cuando se usan 4200? 87. Caída libre La distancia, d, que recorre un objeto durante una caída libre es directamente proporcional al cuadrado del tiempo, t. Si una persona cae 16 pies en 1 segundo, ¿qué distancia caerá en 10 segundos? No tome en cuenta la resistencia del viento.

Véase el ejercicio 87. 88. Área El área, A, de un círculo varía directamente con el cuadrado de su radio, r. Si el área es 78.5 cuando el radio es 5, determine el área cuando el radio es 8. 89. Fusión de un cubo de hielo El tiempo, t, para que un cubo de hielo se derrita es inversamente proporcional a la temperatura del agua en la que se le sumerge. Si un cubo de hielo tarda 1.7 minutos en derretirse en agua con una temperatura de 70°F, ¿cuánto tardará en derretirse un cubo de hielo del mismo tamaño en agua con una temperatura de 50°F?

Examen de práctica del capítulo • 427

Examen de práctica del capítulo 2. Determine el dominio de la función x2 + 7 f1x2 = 2 2x + 7x - 4

1. Determine los valores que deben excluirse en la exprex + 4 sión 2 x + 3x - 28

Simplifique cada expresión. 3.

8x7y2 + 16x2y + 18x3y3

4.

2

2x y

x2 - 3xy - 10y2 x2 + 3xy + 2y2

En los ejercicios 5 a 14, realice la operación indicada.

5.

3xy4 2x2y4 6x2y

# 3

x5y7

6.

x2 - x - 56 x + 1 # x2 - 7x - 8 x2 + 9x + 14

8.

x3 + y3 x2 - xy + y2 , x + y x2 + y2

7.

5a + 10b a3 + a2b , 2 2 2 a - 4b a - 2ab

9.

2 3 + 2 x + 1 x

10.

x x - 1 - 2 2 x - 9 x - 2x - 3

11.

m 2m + 12m2 + 4mn - 5n2 12m2 + 28mn + 15n2

12.

x + 1 3 + 4x2 - 4x + 1 2x2 + 5x - 3

13.

x2 + 2x + 4 x3 - 8 , x2 + 5x - 14 x2 + 10x + 21

14. Si f1x2 =

x - 3 x , determine a) (f  g)(x). y g1x2 = x + 5 2x + 3

15. Si el área de un rectángulo es

b) el dominio de (f  g)(x).

x 2 + 11x + 30 x 2 + 9x + 18 , determine su ancho. y su longitud es x + 2 x + 3

Simplifique.

a 2 - b2 ab 17. a + b b2

1 1 + x y 16. 1 1 x y

3 4 - 2 x x 18. 1 5 x

Resuelva cada ecuación. 19.

x x = -1 6 5

20.

6 x2 x + = 2 x - 8 x - 2 x - 10x + 16

21. Despeje C de A =

2b . C - d

22. Consumo de energía El consumo de energía, en watts, de un aparato, W, varía conjuntamente respecto del cuadrado de la corriente, I, y la resistencia, R. Si esta tasa es de 10 watts cuando la corriente es de 1 ampere y la resistencia es de 1000 ohms, determine el consumo de energía cuando la corriente es de 0.5 amperes y la resistencia es de 300 ohms. 23. R varía directamente con P e inversamente con el cuadrado de T. Si R  30 cuando P  40 y T  2, determine R cuando P  50 y T  5.

428 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones 24. Lavado de ventanas Pablo puede lavar las ventanas de una casa en 10 horas. Su amiga, Nancy, puede hacer el mismo trabajo en 7 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán si lavan juntos las ventanas de la casa? 25. Paseo Claudia y Mónica, dos patinadoras, comienzan su recorrido por un camino al mismo tiempo. Claudia promedia 8 millas por hora, mientras que Mónica promedia 5 1 millas por hora. Si Mónica necesita 2 hora más que Claudia para llegar al final del camino, ¿cuál es la longitud del camino?

Examen de repaso acumulativo Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta. 1. Ilustre el conjunto b x ` -

5 19 6 x … r en la recta numé3 4

rica. 2. Evalúe - 3x 3 - 2x 2y +

1 1 2 xy cuando x  2 y y = . 2 2

3. Resuelva la ecuación 21x + 32 =

1 1x - 52 2

4. Aprendizaje a distancia Internet ha hecho posible la educación a distancia. El siguiente diagrama muestra los tipos de cursos que más se ofrecen en línea en 2003.

8. Interés simple Dolores Castro invirtió $5000 en un certificado de depósito por 1 año. Cuando redimió el certificado, recibió $5300; ¿cuál fue la tasa de interés simple? 9. Reunión para un día de campo Darío y Patricia hicieron una cita para pasar un día de campo en un punto intermedio respecto de sus casas, para lo cual salieron, cada uno por su lado, a las 8 a.m. Si Darío viaja a 60 millas por hora y Patricia a 50 millas por hora, y viven a 330 millas de distancia uno de la otra, ¿en cuánto tiempo se encontrarán?

10. Resuelva `

3x + 5 ` - 3 = 6. 3

11. Grafique y  x2  2. Negocios 20%

Otros

12. Sea f1x2 = 12x + 7 . Evalúe f(9).

Ciencias sociales 15%

Salud 13%

Educación 7%

Ciencias de la computación 7%

Vocacional 10%

13. Determine la pendiente de la recta que pasa por (2, 4) y (5, 3). 14. Determine una ecuación de la recta que pasa por A 12 , 3 B

y que es paralela a la recta que resulta al graficar 2x  3y  9  0. Escriba la ecuación en la forma general.

15. Resuelva el sistema de ecuaciones: 2x  y  2 4x  3y  11

Fuente: Foro CEO e Investigación de datos de mercado.

a) ¿Qué porcentaje corresponde a la categoría “Otros”? b) Si se ofrecieron aproximadamente 220,000 cursos a través de programas en línea, ¿cuántos correspondieron a la categoría “Negocios”? 5. Evalúe 4x2  3y  5 cuando x  4 y y  2. 6. Simplifique ¢

3x 5 y 6 6x 4 y

7. Despeje m de F =

3

≤ . 7 mv2 . r

16. Multiplique (3x2  4y)(3x2  4y). 17. Factorice 3x2  30x  75. 18. Grafique y  |x|  2. 19. Sume

7 9x + 2 + . 3x 2 + x - 4 3x 2 - 2x - 8

20. Resuelva

3y - 2 y + 1

= 4 -

y + 2 y - 1

.

Respuestas al examen de repaso acumulativo • 429

Respuestas al examen de repaso acumulativo 7 x3 2. - 27 34 3. ; [Sec. 2.1, Obj. 4] 4. a) 28% b) L44,000 5. 65 6. 3 3 8y

1. 5

19 4

–3

7. m = 11.

rF ; [Sec. 2.2, Obj. 2] 8. 6%; [Sec. 2.2, Obj. 1] v2 ; [Sec. 3.1, Obj. 3]

y 4

y=x2-2

2 –4 –2 –2

2

4

x

32 22 9. 11 A.M. [Sec. 2.4, Obj. 1] 10. E - 3 , 3 F ; [Sec. 2.6, Obj. 2]

1 12. 5; [Sec. 3.2, Obj. 4] 13. - 7 ; [Sec. 3.4, Obj. 2]

14. 2x + 3y = 10; [Sec. 3.5, Obj. 3] 15.

A 12 , 3 B ; [Sec. 4.1, Obj. 3]

16. 9x 2 - 16y2; [Sec. 5.2, Obj. 5] 17. 31x - 522; [Sec. 5.6, Obj. 2]

–4

18.

; [Sec. 3.1, Obj. 3]

y 4 2 –4 –2 –2 –4

y=|x|+2 2

4

x

19.

3x - 4 ; [Sec. 6.2, Obj. 3] 20. 4; [Sec. 6.4, Obj. 2] 1x - 121x - 22

Capítulo 7

Raíces, radicales y números complejos 7.1 Raíces y radicales 7.2 Exponentes racionales 7.3 Simplificación de radicales 7.4 Suma, resta y multiplicación de radicales 7.5 División de radicales 7.6 Resolución de ecuaciones con radicales 7.7 Números complejos Resumen del capítulo Ejercicios de repaso del capítulo Examen de práctica del capítulo Examen de repaso acumulativo

M

uchas fórmulas científicas, incluyendo gran parte de aquellas que tienen que ver con situaciones de la vida real, incluyen expresiones con radicales. Por ejemplo, cuando un agente de tránsito investiga las causas de un accidente automovilístico, puede calcular la velocidad a que circulaba el auto antes de frenar mediante una expresión radical. De igual manera, la velocidad que alcanza un objeto en caída libre y la altura de las olas pueden determinarse por medio de fórmulas que contienen radicales. En la página 439, por ejemplo, determinaremos la velocidad del mazo de una grúa de percusión y la altura que alcanzan las olas durante una tormenta.

430

Sección 7.1 • Raíces y radicales • 431

Avance de la lección

E

n este capítulo se explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones con radicales; también se ofrece una introducción a los números imaginarios y a los números complejos. En la sección 7.1 graficaremos funciones con raíces cuadradas y cúbicas. En la sección 7.2 cambiaremos expresiones de forma radical a forma exponencial, y viceversa. Las reglas de los exponentes se aplican también a los exponentes racionales. En las secciones 7.3 y 7.4 estudiaremos la simplificación de radicales. En la sección 7.5 se analiza la racionalización del denominador, una acción mediante la cual se eliminan los radicales del denominador; asegúrese de comprender los tres requisitos para simplificar expresiones radicales, que se mencionan en esta sección. En la sección 7.6 se explica cómo resolver ecuaciones que contienen expresiones radicales, procedimientos que se utilizarán de nuevo en el capítulo 8. En la sección 7.6 también se ilustran algunas aplicaciones de las ecuaciones radicales. Finalmente, en la sección 7.7 hablaremos de los números imaginarios y complejos. Además de utilizarlos en el capítulo 8, estos números desempeñan un papel muy importante en cursos de matemáticas de nivel superior.

7.1 RAÍCES Y RADICALES 1

Determinar raíces cuadradas.

2

Determinar raíces cúbicas.

3

Entender raíces pares e impares.

4

Evaluar radicales mediante el valor absoluto.

En este capítulo analizaremos el concepto de radicales. En la expresión 1x, el 1 es el signo radical. La expresión que está dentro del signo radical recibe el nombre de radicando. Radical sign

1x Radicand

La expresión completa, el signo radical y el radicando, se denomina expresión radical. La expresión radical incluye también un índice, que indica su “raíz”. Las raíces cuadradas tienen un índice de 2. Por lo general, el índice de las raíces cuadradas no se especifica por escrito. Por lo tanto,

1x significa

1

1 2x

Determinar raíces cuadradas Todos los números positivos tienen dos raíces cuadradas: una positiva o principal, y una negativa. Para cualquier número positivo x, escribimos la raíz cuadrada positiva como 1x, y la raíz cuadrada negativa como - 1x. Número 25

10

DEFINICIÓN

Raíz cuadrada principal o positiva

Raíz cuadrada negativa

125 110

- 125 - 110

La raíz cuadrada principal de un número positivo a, escrita como 1a, es el número positivo b tal que b2  a.

432 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

Ejemplos 125 = 5 10.49 = 0.7 4 2 = A9 3

ya que 52 = 5 # 5 = 25

ya que 10.722 = 10.7210.72 = 0.49 2

ya que a b = a b a b =

2 3

2 3

2 3

4 9

Recuerde que - 125 significa el opuesto de 125 . Como 125 = 5, - 125 = - 5. En este libro, siempre que se haga referencia al concepto raíz cuadrada nos estaremos refiriendo a la raíz cuadrada principal o positiva. Así, si se le pide determinar el valor de 125 , su respuesta debe ser 5. Un número racional es aquel que puede representarse como un número decimal finito o cuyos dígitos se repiten en series.. Si usted utiliza la tecla de raíz cuadrada de una calculadora  1  , para determinar las soluciones de los tres ejemplos anteriores, descubrirá que todos son números decimales finitos o con series de dígitos que se repiten. Por lo tanto, son números racionales. Muchos radicales, tal como 12 y 110 , no son números racionales. Cuando se busca la solución de 12 y 110 en una calculadora, los resultados son números decimales que no son finitos y que no repiten series de dígitos. Así, 12 y 110 son números irracionales. Radical

Resultados en la calculadora

12

1.414213562

Decimales que no son finitos y que no repiten series de dígitos.

110

3.16227766

Decimales que no son finitos y que no repiten series de dígitos.

Ahora piense en la expresión radical 1-25. Como el cuadrado de cualquier número real siempre será mayor que o igual a 0, no existe ningún número real tal que, elevado al cuadrado, sea igual a 25. Por esta razón, 1-25 no es un número real. Como ningún número real elevado al cuadrado puede dar por resultado un número negativo, la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Si evalúa 1-25 en una calculadora, obtendrá un mensaje de error. Analizaremos las expresiones como 1-25 más adelante en este capítulo.

SUGERENCIA

Radical

Resultados en la calculadora

1-25 1-2

Error Error

1-25 no es un número real. 1-2 no es un número real.

No confunda - 136 con 1-36. Ya que 136 = 6, - 136 = - 6. Sin embargo, 1-36 no es un número real y, tal como se mencionó antes, la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

136 = 6 - 136 = - 6 1-36 no es un número real.

La función raíz cuadrada Cuando representemos gráficamente funciones raíz cuadrada, es decir, funciones con la forma f1x2 = 1x , debemos recordar siempre que el radicando, x, no puede ser negativo. Así, en notación de intervalo el dominio de f1x2 = 1x es 5x ƒ x Ú 06, o 30, q 2. Para graficar f1x2 = 1x , podemos seleccionar algunos valores convenientes de x y determinar los valores correspondientes de f(x) o y, para luego trazar los puntos determinados por los pares ordenados, como se muestra en la figura 7.1.

Sección 7.1 • Raíces y radicales • 433 y

x

y

0

0

1

1

4

2

6

L 2.4 3

9

4

f (x)  x

3 2 1 2 1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

x

2 3 4

FIGURA 7.1

Como el valor de f(x) nunca puede ser negativo, el rango de f1x2 = 1x es {yœy  0} o [0, q) en notación de intervalo. Después de analizar la figura 7.1, ¿cree que pueda graficar g1x2 = - 1x ? La gráfica de g1x2 = - 1x sería similar a la gráfica de la figura 7.1, pero la gráfica resultante estaría debajo del eje x. ¿Puede explicar por qué? ¿Qué ocurriría al graficar la expresión h1x2 = 1x - 4 ? Para graficarla sólo seleccionaríamos valores de x  4, ya que el radicando no puede ser negativo. El dominio de h1x2 = 1x - 4 es {xœx  4} o [4, q). Para evaluar funciones con radicales, podría ser necesario utilizar una calculadora.

EJEMPLO 1

Determine el o los valores que se indican en cada función. a) f1x2 = 112x + 4, f152

Solución

b) g1r2 = - 1-3r + 1, g1-52 y g172

a) f152 = 212152 + 4

Sustituir x por 5.

= 164 = 8 b) g1 -52 = - 2 - 31-52 + 1

Sustituir r por –5.

= - 116 = -4 g172 = - 2 -3172 + 1

Sustituir r por 7.

= - 1- 20

No es un número real.

Por lo tanto, g(7) no es un número real.

✺

2 Determinar raíces cúbicas

DEFINICIÓN

3 a, es el número b tal que b2  a. La raíz cúbica de un número a, escrita 1 Ejemplos 1 38 = 2 1 3 - 27 = - 3

ya que 2 3 = 8

ya que 1-323 = - 27

Sólo existe una raíz cúbica para cada número real. La raíz cúbica de un número positivo es positiva, y la raíz cúbica de un número negativo es negativa. La función 3 x, tiene a todos los números reales como dominio. raíz cúbica, f1x2 = 1

434 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

EJEMPLO 2

Determine el o los valores que se indican en cada función.

3 10x + 34, f132 a) f1x2 = 1

Solución

a) f132 = 2 3 10132 + 34

3 12r - 20, g1-42 y g112 b) g1r2 = 1 Sustituir x por 3.

= 4 b) g1 -42 = 2 3 121-42 - 20

= 1 3 -68 L - 4.081655102 g112 = 2 3 12112 - 20

Sustituir r por 4. Resultado con una calculadora. Sustituir r por 1.

= 1 3 -8 = - 2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 71

✺

La función raíz cúbica 3 x. Para obtenerla sustituimos los vaEn la figura 7.2 se muestra la gráfica de y = 1 lores para x y determinamos los valores correspondientes de f(x) o y.

4

x

y

3

-2

-8 -1

-1

0

0

1

1

8

2

3

f (x)  x

2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

2 3 4

FIGURA 7.2

Observe que tanto el dominio como el rango están compuestos por números reales, . En el conjunto de ejercicios se le pedirá que grafique funciones raíz cúbica en su calculadora graficadora.

3

Entender raíces pares e impares Hasta el momento hemos analizado raíces cuadradas y cúbicas, pero las expresiones ra5 xy, (se lee “raíz quindicales pueden tener otros índices. Por ejemplo, en la expresión 1 ta de xy”), el índice es 5 y el radicando es xy. Las expresiones radicales que tiene índices 2, 4, 6, . . . , o cualquier número entero par, reciben el nombre de raíces pares. Las raíces cuadradas son raíces pares, ya que su índice es 2. Las expresiones radicales que tienen índices 3, 5, 7, . . ., o cualquier número entero impar, se denominan raíces impares. Índices pares n

La raíz n-ésima de a, 1a, en donde n es un índice par y a es un número real no negativo, es un número real no negativo b tal que bn  a.

Ejemplos de raíces pares 19 = 3 1 4 16 = 2 1 6 729 = 3

ya que 32 = 3 # 3 = 9 ya que 2 4 = 2 # 2 # 2 # 2 = 16 ya que 36 = 3 # 3 # 3 # 3 # 3 # 3 = 729

Sección 7.1 • Raíces y radicales • 435

Cualquier número real elevado a una potencia par, da por resultado un número real no negativo. Así, cuando un radical tiene índice par, el radicando debe ser no negativo para que el resultado sea un número real.

SUGERENCIA

4 16 es el 4 16 y 1 4 -16. El número - 1 Existe una diferencia importante entre - 1 4 16 = 2, - 1 4 16. Como 1 4 - 16 no es un nú4 16 = - 2. Sin embargo, 1 opuesto de 1 mero real, ya que ningún número real elevado a la cuarta potencia da por resultado 16. -1 4 16 = - 11 4 162 = - 2 1 4 - 16 no es un número real.

Índices impares n

La raíz n-ésima de a, 1a, en donde n es un índice impar y a es cualquier número real, es el número real b tal que bn  a.

Ejemplos de raíces impares 1 38 = 2 1 3 -8 = - 2 1 5 243 = 3 1 5 -243 = - 3 1 7 128 = 2

ya que 2 3 = 2 # 2 # 2 = 8

ya que 1-223 = 1- 221 - 221 - 22 = - 8 ya que 35 = 3 # 3 # 3 # 3 # 3 = 243

ya que 1-325 = 1- 321 - 321 - 321 -321 - 32 = - 243 ya que 2 7 = 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 = 128

La raíz impar de un número positivo es un número positivo, y la raíz impar de un número negativo es un número negativo. Es importante tener en cuenta que los radicales con índice par deben tener radicandos no negativos para que dé por resultado un número real. Un radical con un índice impar será un número real con cualquier número real como radicando. Obsern ve que 1 0 = 0, sin importar si n es un índice par o impar.

EJEMPLO 3

Indique si la expresión radical es o no un número real. Si el número es un número real, determine su valor.

4 -81 a) 1

Solución

4 81 b) - 1

5 -32 d) - 1

5 -32 c) 1

a) No es un número real. Las raíces pares de números negativos no son números reales.

4 81 = - 11 4 812 = - 132 = - 3 b) Número real, - 1

5 - 32 = - 2 ya que 1- 225 = - 32 c) Número real, 1 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21

5 - 32 = - 1-22 = 2 d) Número real, - 1

✺

En la tabla 7.1 se resume la información acerca de las raíces pares e impares.

TABLA 7.1 n es par n

n es impar n

a 6 0

1a es un número real positivo. 1a es un número real positivo n n 1a es un número real negativo. 1a no es un número real.

a = 0

10 = 0

a 7 0

n

n

10 = 0

436 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

4

Evaluar radicales mediante el valor absoluto Se podría pensar que 2a 2 = a, pero esto no necesariamente es cierto.A continuación evaluamos 2a 2 para a  2 y a  2. Verá que cuando a = - 2, 2a 2 Z a.

a = 2: a = - 2:

2a2 = 222 = 14 = 2 2a2 = 21 -222 = 14 = 2

Observe que 222 = 2. Observe que 21 -222 Z - 2.

Al analizar éste y otros ejemplos, podemos concluir que 2a 2 siempre será un número real positivo para cualquier número real, a, distinto de cero. Recuerde que el valor absoluto de cualquier número real a, o œaœ, es también un número real positivo para cualquier número real distinto de cero. Por lo tanto, Para cualquier número real a, 2a2 = ƒ a ƒ

Esto indica que la raíz cuadrada principal de a2 es el valor absoluto de a.

EJEMPLO 4 Solución

Utilice el valor absoluto para evaluar.

EJEMPLO 5 Solución

Simplifique.

a) 292

c) 2112.822

b) 202

a) 292 = ƒ 9 ƒ = 9 b) 202 = ƒ 0 ƒ = 0 c) 2112.822 = ƒ 12.8 ƒ = 12.8 ✺ Si el radicando contiene una variable y usted no está seguro de que su valor sea positivo, deberá utilizar los signos de valor absoluto para simplificar. a) 21x + 722

c) 225y 6

b) 29x 2

d) 2a 2 - 6a + 9

Los radicandos de todas estas raíces cuadradas incluyen una variable. Como no sabemos el valor de la variable, ignoramos si ésta es positiva o negativa. Por lo tanto, debemos utilizar los signos de valor absoluto para simplificar, a) 21x + 722 = ƒ x + 7 ƒ b) Escriba 9x2 como (3x)2, y luego simplifique.

29x2 = 213x22 = ƒ 3x ƒ c) Escriba 25y6 como (5y3)2, y luego simplifique.

225y6 = 315y32 = ƒ 5y3 ƒ 2

d) Observe que a2  6a  9 es un trinomio cuadrado perfecto. Escriba el trinomio como el cuadrado de un binomio; después simplifique.

2a2 - 6a + 9 = 21a - 322 = ƒ a - 3 ƒ

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63

✺

Si usted tiene una raíz cuadrada cuyo radicando contiene una variable, y se le da una instrucción como “Suponga que todas las variables representan valores positivos y que el radicando es no negativo”, no será necesario que utilice el signo de valor absoluto para simplificar.

EJEMPLO 6

Simplifique. Suponga que todas las variables representan valores positivos y que el radicando es no negativo. a) 225x 2

Solución

b) 281p4

c) 236x 6

a) 225x 2 = 215x22 = 5x

b) 281p4 = 319p22 = 9p2 2

c) 236x 6 = 316x 32 = 6x 3 2

d) 24x 2 - 12xy + 9y 2

Escriba 25x2 como (5x)2. Escriba 81p4 como (9p2)2. Escriba 36x6 como (6x3)2.

d) 24x 2 - 12xy + 9y 2 = 212x - 3y22 Escriba 4x2 - 12xy  9y2 como (2x  3y)2.

= 2x - 3y

✺

Sección 7.1 • Raíces y radicales • 437

Agregar signos de valor absoluto es necesario cuando se trabaja con raíces cuadradas (y otras raíces pares), pero no cuando el índice es impar.

Conjunto de ejercicios 7.1 Ejercicios conceptuales 1. a) ¿Cuántas raíces cuadradas tienen los números positivos reales? b) Determine todas las raíces cuadradas del número 49. c) Cuando se mencione el concepto “raíz cuadrada” en este libro, ¿a qué se estará haciendo referencia? d) Determine la raíz cuadrada de 49. 2. a) ¿Qué son las raíces pares? Proporcione un ejemplo. b) ¿Qué son las raíces impares? Proporcione un ejemplo. 3. Explique por qué 1 - 81 no es un número real. 4. Una expresión radical con índice par y un número real como radicando, ¿siempre será un número real? Explique su respuesta.

5. Una expresión radical con índice par y un número real como radicando, ¿siempre será un número real? Explique su respuesta. 6. a) ¿A qué es igual 2a 2? b) ¿A qué es igual 2a 2, si sabemos que a  0? 7. a) Evalúe 2a 2 para a  1.3. b) Evalúe 2a 2 para a  -1.3. 8. a) Evalúe 2a 2 para a  5.72. b) Evalúe 2a 2 para a  -5.72. 3 27 . 9. a) Evalúe 1 3 27. b) Evalúe - 1 3 -27. c) Evalúe 1 4 81 . 10. a) Evalúe 1 4 81. b) Evalúe - 1 4 -81. c) Evalúe 1

Problemas de aplicación Evalúe la expresión radical si es un número real. Utilice una calculadora para redondear los números irracionales hasta el centésimo más cercano. Si la expresión no es un número real, indíquelo. 11. 164

12. - 164

3 -64 13. 1

3 125 14. 1

3 - 125 15. 1

3 -125 16. - 1

51 17. 1

5 -1 18. 1

5 -1 19. - 1

6 64 20. 1

6 -64 21. 1

3 343 22. 1

3 - 343 23. 1

24. 1100

25. 1-36

26. 145.3

27. 1- 45.3

28. 153.9

29.

1 A 25

30.

A

-

33.

4 A9

34.

3

1

A 27

3

1

31.

A8

35.

A 27

3 -

32.

8

3 -

1

A 8

4 - 6.2 36. 1

1 25

4 18.2 37. - 1

5 93 38. 1

Utilice el valor absoluto para evaluar. 39. 292

40. 21- 922

41. 21 -1922

42. 219 2

43. 2152 2

44. 21- 15222

45. 21235.2322

46. 21 -201.522

47. 210.0622

48. 21- 0.1922

49.

11 2 b B 13 a

50.

B

a-

101 2 b 319

438 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos Escriba como un valor absoluto. 51. 21x - 922

52. 21a + 722 2

53. 21x - 322

55. 313x 2 - 22

54. 219a - 11b22

57. 316a 3 - 5b 2

2

58. 317y 4 - 2z32

4 2

56. 317y 2 - 3y2

2

Utilice el valor absoluto para simplificar. Tal vez necesite factorizar primero. 59. 2a 10

60. 2y 18

61. 2z30

63. 2a - 8a + 16

64. 2x + 12x + 36

65. 29a + 12ab + 4b

2

2

62. 2x 102

2

66. 24x 2 - 20xy + 25y 2

2

Determine el valor indicado en cada función. Utilice su calculadora para calcular los números irracionales. Redondéelos al centésimo más cercano. 67. f1x2 = 15x - 6, f122

68. f1a2 = 114a - 36, f142

69. g1x2 = 164 - 8x , g1 -32

3 8x + 9, p122 70. p1x2 = 1

3 9x2 + 4, h142 71. h1x2 = 2

4 16c - 5, k142 72. k1c2 = 1

3 -2x2 + x - 6, f1 - 32 73. f1a2 = 2

4 2x3 - 3x2 + 6x, t122 74. t1x2 = 2

Resolución de problemas 75. Determine f1812 si f1x2 = x + 1x + 5.

86. ¿Para qué valores de x, 214x - 822 = 4x - 8? Explique cómo determinó su respuesta.

76. Determine g1252 si g1x2 = x + 1x - 3. 2

77. Determine t1182 si t1x2 =

87. a) ¿Para qué valores de a es 2a 2 = ƒ a ƒ ?

x + 12x - 1. 2

b) ¿Para qué valores de a es 2a 2 = a?

x + 14x + 2. 78. Determine m1362 si m1x2 = 3

3 a 3 = a? c) ¿Para qué valores de a es 2 n

88. ¿En qué circunstancias la expresión 1x no es un número real?

x - 11. 79. Determine k182 si k1x2 = x + A2 2

n

89. Explique por qué la expresión 2x n es un número real para cualquier número real x.

x x + + 21. 80. Determine r1452 si r1x2 = 9 A5

n

90. ¿En qué circunstancias la expresión 2x m no es un número real?

81. Seleccione un valor para x, para el cual 212x + 122 Z

2x + 1. 82. Seleccione un valor para x, para el cual 215x - 322 Z

91. Determine el dominio de

5x - 3. 83. ¿Para qué valores de x, 21x - 122 = x - 1? Explique cómo determinó su respuesta.

terminó su respuesta.

84. ¿Para qué valores de x, 21x + 322 = x + 3? Explique cómo determinó su respuesta.

92. Determine el dominio de terminó su respuesta.

85. ¿Para qué valores de x, 212x - 622 = 2x - 6? Explique cómo determinó su respuesta.

1x + 5 1 3x + 5 1 3x - 2 1 6x + 1

. Explique cómo de-

. Explique cómo de-

Considere los dominios de las funciones de los ejercicios 93 a 96, y relacione cada función con su gráfica correspondiente.. 93. f1x2 = 1x a)

94. f1x2 = 2x 2 b)

y

95. f1x2 = 1x - 5 c)

y

4

y

4

2

2

2 2

4

6

8

x

6

4

2

2 2

4

x

96. f1x2 = 1x + 5 d)

4

y

4

4

2

2

2

2 2

4

x

2

2 2

4

6

8

x

Sección 7.1 • Raíces y radicales • 439 97. Proporcione una función radical cuyo dominio sea {x|x  6}.

con la altura h, en pies, de las olas que se producen en ciertas áreas del océano. Esta fórmula es

98. Proporcione una función radical cuyo dominio sea {xœx  5}.

u =

99. Si f1x2 = - 1x, ¿puede f1x2 ser a) mayor que 0, b) igual a 0, c) menor que 0? Explique. 100. Si f1x2 = 1x + 5, ¿puede f1x2 ser a) mayor que 0, b) igual a 0, c) menor que 0? Explique. 101. Velocidad de un objeto La velocidad, V, que alcanza un objeto, en pies por segundo, después de que ha caído cierta distancia, h en pies, puede determinarse mediante la fórmula V = 164.4h. Una grúa de percusión cuenta con un gran mazo que se usa como martillo para enterrar pilotes en una superficie suave, a fin de que sirvan de soporte para edificios u otras estructuras.

H A 0.026

H

Si las olas producidas por una tormenta alcanzan una altura de 15 pies, ¿cuál es la velocidad del viento? 103. Grafique f1x2 = 1x + 1. 104. Grafique g1x2 = - 1x. 105. Grafique g1x2 = 1x + 1. 106. Grafique f1x2 = 1x - 2. Utilice su calculadora graficadora para resolver los ejercicios 107 a 112. 107. Compruebe la gráfica que trazó en el ejercicio 103. 108. Compruebe la gráfica que trazó en el ejercicio 105.

¿A qué velocidad el mazo golpeará al pilote si cae desde una altura de a) 20 pies b) 40 pies? 102. Oleaje Un instituto de oceanografía desarrolló una fórmula para relacionar la velocidad del viento, u, en nudos,

109. Determine si el dominio que dio en el ejercicio 91 es correcto. 110. Determine si el dominio que dio en el ejercicio 92 es correcto.

3 x + 4. 111. Grafique y = 1 3 2x - 3. 112. Grafique f1x2 = 1

Actividad en equipo En esta actividad determinarán las condiciones en que ciertas propiedades de los radicales son verdaderas. Estudiaremos estas propiedades más adelante en este capítulo. Analice y responda en equipo los siguientes ejercicios. n

n

n

113. La propiedad 1a # 1b = 1ab, denominada propiedad de multiplicación para radicales, es verdadera para ciertos números reales a y b. Por medio de sustitución de valores para a y b, determine en qué condiciones esta propiedad es verdadera.

n

1a

n a , denominada propiedad de diviA b 1b sión para radicales, es verdadera para ciertos números reales a y b. Por medio de sustitución de valores para a y b, determine en qué condiciones esta propiedad es verdadera.

114. La propiedad

n

Ejercicios de repaso acumulativo Factorice. [5.4] 115. 9ax - 3bx + 12ay - 4by [5.5] 116. 3x 3 - 18x 2 + 24x 117. 4x 4 + 4x 2 - 3

[5.6] 118. x 3 -

8 3 y 27

=

440 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

7.2 EXPONENTES RACIONALES

1

1

Convertir una expresión radical en una expresión exponencial.

2

Simplificar expresiones radicales.

3

Aplicar las reglas de los exponentes a los exponentes racionales y a los exponentes negativos.

4

Factorizar expresiones con exponentes racionales.

Convertir una expresión radical en una expresión exponencial En esta sección analizaremos la conversión de las expresiones radicales en expresiones exponenciales, y viceversa. Es importante que usted sepa que las expresiones con exponentes racionales pueden escribirse como expresiones radicales mediante este procedimiento: n

1a = a1>n Cuando a es un número no negativo, n puede ser cualquier índice. Cuando a es un número negativo, n debe ser un número impar.

A menos que se indique lo contrario, en el resto de este capítulo supondremos que todas las variables en el radicando representan números reales no negativos, y que el radicando es un número no negativo. De esta manera no será necesario establecer que la variable es no negativa siempre que tengamos un radical que tenga como índice un número par; esto nos permitirá escribir muchas respuestas sin signos de valor absoluto.

EJEMPLO 1

Escriba cada expresión con exponentes racionales. a) 17

Solución

7 - 4x2y 5 c) 2

3 13ab b) 1

a) 17 = 71>2

5x7 B 2z11

d) 8

Recuerde que el índice de cualquier raíz cuadrada es 2.

5x7 5x7 1>8 = ¢ ≤ B 2z11 2z11

b) 1 3 13ab = 113ab21>3 c) 2 7 -4x2y5 = 1- 4x2y52

1>7

d) 8

✺

Las expresiones exponenciales pueden convertirse en expresiones radicales invirtiendo el procedimiento.

EJEMPLO 2

Escriba cada expresión sin exponentes racionales. a) 91>2

Solución AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33

2

b) 1- 821>3

a) 91>2 = 19 = 3 c) y1>4 = 1 4y

d) 16x 2y2

1>7

c) y 1>4

b) 1-821>3 = 1 3 -8 = -2 d) 16x2y2

1>7

= 2 7 6x2y

e) 5rs 1>2

✺

e) 5rs1>2 = 5r1s

Simplificar expresiones radicales n

Podemos ampliar la regla anterior, de modo que los radicales con la forma 2 am puedan escribirse como expresiones exponenciales. Por ejemplo, a2/3 puede escribirse como (a1/3)2 o (a2)1/3. Esto sugiere que a2>3 = 11 3 a22 = 2 3 a2 . Para cualquier número a no negativo, y enteros m y n, Potencia

n

2a

m

= A2a B n

m

= am>n

Índice

Sección 7.2 • Exponentes racionales • 441

Podemos usar esta regla para cambiar una expresión de la forma radical a la forma exponencial, y viceversa. Cuando cambiamos una expresión radical a forma exponencial, la potencia se coloca en el numerador y el índice o raíz en el denominador del exponente racional. Así, por ejemplo, 2 3 x4 puede escribirse como x4/3. También 11 5 y22 2/5 puede escribirse como y . A continuación se dan algunos ejemplos más. Ejemplos

2y = y 3

2 3 z2 = z2>3

3>2

11p23 = p3>2

2 5 2 8 = 2 8>5

11 4 x23 = x3>4

11 4 723 = 73>4

De acuerdo con esta regla, para valores no negativos de la variable podemos escribir

2x5 = 11x25

EJEMPLO 3

Escriba cada expresión con exponentes racionales; después simplifique.

3 y215 b) 11

4 x16 a) 2

Solución

11 4 p23 = 2 4 p3

6 x212 c) 11

b) 11 3 y215 = y15>3 = y5

4 x16 = x16>4 = x4 a) 2

c) 11 6 x212 = x12>6 = x2

✺

Las expresiones exponenciales con exponentes racionales pueden convertirse en expresiones radicales invirtiendo el procedimiento. El numerador del exponente racional es la potencia, y el denominador del exponente racional es el índice o raíz de la expresión radical. Éstos son algunos ejemplos.

Ejemplos x

1>2

51>3 = 1 35

= 1x

62>3 = 2 3 62 o A1 3 6B

x9>5 = 2 5 x9 o A1 5 xB

2 9

y3>10 = 2 A y3 o A2 A yB z10>3 = 2 3 z10 o A1 3 zB

3

10

3 62 o A 1 3 6B . Observe que puede seleccionar, por ejemplo, escribir 62/3 como 2 2

EJEMPLO 4

Escriba cada expresión sin exponentes racionales. a) x 2>5

Solución EJEMPLO 5 Solución

b) 16ab25>4

a) x2>5 = 2 5 x2 o A1 5 xB Simplifique.

a) 253>2

2

6 14923 b) 2

b) 16ab25>4 = 2 4 16ab25 o A 1 4 6ab B

4 1xy220 c) 2

d)

5

F zB A2

✺ 5

a) Algunas veces una expresión con un exponente racional puede simplificarse con más facilidad escribiéndola como un radical, como se ilustra.

253>2 = A125 B = 1523 = 125

3

Escribir como un radical.

b) Algunas veces una expresión radical puede simplificarse con más facilidad escribiéndola con exponentes racionales, como se ilustra en las partes b) a d).

2 6 14923 = = = =

493>6 491>2 149 7

Escribir con un exponente racional. Reducir el exponente. Escribirlo como un radical. Simplificar.

442 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

4 1xy220 = 1xy220>4 = 1xy25 c) 2 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51

d)

F z B = z5>15 = z1>3 o 1 3z A2 5

✺

5 x5 . Al escribirla en forma exponencial, se obtieVeamos ahora la expresión 2 1 ne x  x  x. Esto conduce a la siguiente regla. 5/5

Para cualquier número no negativo a,

2an = A1a B = an>n = a n

n

n

En el recuadro anterior se especifica que a es un número no negativo. Si n es un n 6 1 -526 = índice par y a es un número real negativo, 2a n = ƒ a ƒ y no a. Por ejemplo, 2 ƒ -5 ƒ = 5. De acuerdo con lo que se dijo antes en el sentido de que, a menos que se indique lo contrario, las variables en los radicandos representan números reales no nega6 x6 = x y no œxœ. Esta suposición también nos permite escribir tivos, podemos escribir 2 4 2 4 z2 = z. 2x = x y 11 Ejemplos

23 = 3 2 6 1xy26 = xy 2

2 4 y4 = y 11 5 z25 = z

3 Aplicar las reglas de los exponentes a los exponentes racionales y a los exponentes negativos Aunque utilizamos como exponentes sólo números enteros no negativos, las reglas de los exponentes siguen siendo válidas cuando los exponentes son números racionales. Veamos dichas reglas. Reglas de los exponentes Para todos los números reales a y b y todos los números racionales m y n,

am # an = am + n

Regla del producto

am = a m - n, an

Regla del cociente

a -m =

Regla del exponente negativo

a Z 0

1 , a Z 0 am

a 0 = 1, a Z 0 n # 1am2 = am n

Regla del exponente cero Elevar una potencia a una potencia

1ab2m = ambm

Elevar un producto a una potencia

a m am a b = m, b Z 0 b b

Elevar un cociente a una potencia

Utilizaremos estas reglas para resolver algunos problemas en donde hay exponentes con números racionales.

EJEMPLO 6 Solución

Evalúe.

a) 8-2>3

b) 1-272-5>3

c) 1-322-6>5

a) Comience por utilizar la regla del exponente negativo.

8-2>3 =

1 82>3

Regla del exponente negativo.

Sección 7.2 • Exponentes racionales • 443

1

=

b) 1 -272-5>3 = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 81

c) 1 -322-6>5 =

11 3 822

=

1 22

=

1 4

Escribir el denominador como un radical. Simplificar el denominador.

1 1 1 1 = = = 5 5>3 5 243 1-32 1-272 11 3 -272 1 1 1 1 = = = 6 6>5 6 64 1-22 1-322 11 5 -322

✺

Observe que podríamos haber resuelto el ejemplo 6a) como sigue:

8-2>3 =

1 1 1 1 = = = 2>3 2 4 8 1 3 64 2 3 8

Sin embargo, por lo general es más fácil evaluar la raíz antes de aplicar la potencia. 4 -1623. Considere la expresión (16)3/4; esta expresión puede rescribirse como 11 3 3/4 4 -162 no es un número real, la expresión (16) no es un número real. Ya que 11 Recuerde que

a -n b n a b = a b a b Utilizaremos esta información en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7 Solución AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 83

SUGERENCIA

Evalúe. a) a

a) a

b) a

9 -1>2 b 25

27 -1>3 b 8

9 -1>2 25 1>2 25 5 b = a b = = 25 9 A9 3

b) a

27 -1>3 8 1>3 8 2 b = a b = 3 = 8 27 A 27 3

✺

¿En que difieren las expresiones -251/2 y (-25)1/2? Recuerde que x2 significa -(x2). El mismo principio se aplica aquí.

- 251>2 = - 12521>2 = - 125 = - 5

1- 2521>2 = 1- 25, que no es un número real.

EJEMPLO 8

Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos. b) 17x 2y -42

a) a 1>2 # a -2>3

Solución

a) a 1>2 # a -2>3 = a 11>22 - 12>32

= a =

-1>6

1 a1>6

-1>2

c) 3.2x 1>312.4x 1>2 + x -1>42

d) ¢

Regla del producto. Determinar el MCD y restar los exponentes. Regla del exponente negativo.

5x -4z2>5 1>8 ≤ z-3>5

444 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

b) 17x 2y -42

= 7-1>2x21-1>22y -41-1>22

-1>2

= 7

-1>2 -1 2

x y

y =

2

1>2

7 x

Elevar el producto a una potencia. Multiplicar los exponentes.

2

y

¢o

x17

≤

Regla del exponente negativo.

c) Comience aplicando la propiedad distributiva.

3.2x1>312.4x1>2 + x -1>42 = 13.2x1>3212.4x1>22 + 13.2x1>321x -1>42 Propiedad distributiva. = 13.2212.421x11>32+11>222 + 3.2x11>32 - 11>42 Regla del producto. = 7.68x5>6 + 3.2x1>12

d) ¢

5x -4z2>5 1>8 1>8 ≤ = 15x -4z12>52 - 1-3>522 z-3>5 = 15x -4z2

1>8

Restar los exponentes.

1>8 -411>82 1>8

= 5 x z = 51>8x -4>8z1>8 = 51>8x -1>2z1>8 51>8z1>8 = x1>2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 105

EJEMPLO 9 Solución

Simplifique.

F 16y25 a) 2

F 16y25 = 16y25>15 a) 2

Elevar el producto a una potencia. Multiplicar los exponentes.

Regla del exponente negativo.

b)

20 4 a 2 b3 c B A2

4 a 2 b3 c B b) A2

= 16y2 = 1 3 6y

Escribir como un radical.

= 1a2b3c2

Escribir con un exponente racional.

= 1a b c2 = a10b15c5

4

3x = 2 4 x c) 21

5

Elevar el producto a una potencia. 3 x como x1>3. Escribir 1

1>3

= 1x 2 = x1>12 = 2 Cx

1>3 1>4

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53

4

3x c) 21

Simplificar el exponente. 20>4

2 3

✺

Escribir con un exponente racional.

1>3

20

Regla del cociente.

Escribir con un exponente racional. Elevar la potencia a una potencia. Escribir como radical.

✺

Cómo utilizar su calculadora Determinación de raíces o expresiones con exponentes racionales en una calculadora graficadora o en una calculadora científica 5 84523 u 8453/5 en una calculadora. El procediEn general hay muchas formas de evaluar una expresión como 11 miento varía según el modelo. Un método general consiste en escribir la expresión con un exponente racional y x x utilizar las teclas y o a o ¿ junto con las teclas de paréntesis, como se muestra continuación.*

Calculadora científica 3/5

Para evaluar 845 , presione Respuesta que se obtiene

845 y

x

1 3 , 5 1

= 57.03139903 (continúa en la página siguiente)

Sección 7.2 • Exponentes racionales • 445

Para evaluar 8453/5, presione Respuesta que se obtiene.

845 yx 1 3

±/ –

, 5 1

= 0.017534201

Calculadora graficadora 3/5

Para evaluar 845 , presione las siguientes teclas. Respuesta que se obtiene.

845 ¿

1 3 , 5 1 ENTER 57.03139903

Para evaluar 8453/5, presione las siguientes teclas. Respuesta que se obtiene.

845 ¿

1 1-2 3 , 5 1 ENTER .0175342008

* La secuencia de teclas que se utiliza varía según el modelo de cada calculadora. Lea el manual de su calculadora para aprender a evaluar expresiones exponenciales con ella.

4

Factorizar expresiones con exponentes racionales En cursos de matemáticas de nivel superior, muchas veces es necesario factorizar variables con exponentes racionales. Para factorizar una expresión racional, factorice el término con el exponente más pequeño (o más negativo).

EJEMPLO 10 Solución

Factorice x 2>5 + x -3>5. El más pequeño de los dos exponentes es 3/5. Por lo tanto, factorizaremos x-3/5 en ambos términos. Para determinar el nuevo exponente en la variable que tenía el exponente más grande, restamos el exponente que fue factorizado del exponente original. Exponente original

2

x5 + x

-

3 5

= x

-

= x

-

= =

3 5

ax5 2

3 5 1x 1

3 x 5 1x

3 - a- b 5

Exponente factorizado

+ 1b

+ 12 + 12

x + 1 x3>5

Podemos comprobar las factorización por medio de la multiplicación.

x -3>51x + 12 = x -3>5 # x + x -3>5 # 1 = x1-3>52 + 1 + x -3>5 = x2>5 + x -3>5

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 139

Como obtuvimos la expresión original, la factorización es correcta.

✺

446 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

Matemáticas en acción Brrrrr... Afuera hace frío El factor de congelación es un concepto importante, especialmente para quienes viven en regiones en donde hay bajas temperaturas y fuertes vientos durante el invierno. La exposición a estas condiciones sin contar con la ropa de protección apropiada, puede provocar congelación, pérdida de miembros, o incluso de la vida.

Observe que ambas fórmulas tienen exponentes decimales. La fórmula anterior 01v2, tiene el exponente decimal en v0.5, y la fórmula nueva, N1v2, lo tiene en v0.16. Si usted vive en un clima frío, es posible que la temperatura exterior descienda a 35°F cuando el viento sopla a 20 mph.Aplicando la fórmula anterior, el factor de congelación habría sido 11°F; utilizando la nueva fórmula es 24°F. A continuación se presenta una comparación del factor de congelación usando ambas fórmulas, en donde la temperatura exterior se fijó en 5°F y la velocidad del viento varía desde 1 mph hasta 105 mph.

Antes del 1 de noviembre de 2001, la fórmula para calcular el factor de congelación era

01v2 = 0.081713.71v0.5 + 5.8121t - 91.42 + 91.4 en donde t es la temperatura exterior, en grados Fahrenheit, y v es la velocidad del viento, en millas por hora. Sin embargo, con base en investigaciones médicas, estudios científicos y tecnología meteorológica, se determinó que esta fórmula no reflejaba realmente el factor de congelación.A partir de esa fecha, el Servicio Nacional del Clima de Estados Unidos adoptó una nueva fórmula para determinar este factor:

N1v2 = 35.74 + 0.6215t - 35.75v0.16 + 0.4275tv0.16

Temperatura (°F)

10 0 10

N (v)

20 30 40

O (v)

50 60

1

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 110

Velocidad del viento (mph) Fuente: Servicio Nacional del Clima de Estados Unidos, NOAA.

El Servicio Nacional del Clima ha establecido un sitio Web en www.nws.noaa.gov/om/windchill, en donde se informará el factor de congelación usando la nueva fórmula. Para obtener este valor, haga las sustituciones necesarias, escribiendo la temperatura exterior en °F y la velocidad del viento en mph.

Conjunto de ejercicios 7.2 Ejercicios conceptuales n

1. a) ¿En qué condiciones 1a es un número real? n

b) Cuando 1a es un número real, ¿cómo puede expresarse con exponentes racionales? n 2. a) ¿En qué condiciones 2a m es un número real? b) ¿En qué condiciones 11a2m es un número real? n

n

c) Cuando 2a m es un número real, ¿cómo puede expresarse con exponentes racionales? n 3. a) ¿En qué condiciones 2a n es un número real? b) Cuando n es un número par y a  0, ¿a qué es igual n 2an ? n

c) Cuando n es un número impar, ¿a qué es igual 2a n ?

d) Cuando n es un número par y a es cualquier número n real, ¿a qué es igual 2a n ? 4. a) Explique la diferencia entre 161/2 y (16)1/2. b) Evalúe cada expresión de la parte a) si esto es posible. 5. a) ¿(xy)1/2  xy1/2? Explique. b) ¿1xy2-1>2 =

x1>2 ? Explique. y -1>2

6 13y23 = 13y26>3? Explique. 6. a) ¿ 2 b) ¿ 21ab24 = 1ab22? Explique.

Sección 7.2 • Exponentes racionales • 447

Problemas de aplicación En este conjunto de ejercicios supondremos que todas las variables representan números reales positivos. Escriba cada expresión en forma exponencial. 8. 2y 7

7. 2a 3

3 z 11. 2

3 x 12. 2

5

3 710 13. 2

16. 11x27

4 97 15. 2

3 xy 20. 2

4 ab 19. 2 3 5x6y7 23. 2

5 711 14. 2

3 y213 17. 11

4

3

3y 10. 1

9. 295

11

18. 2ab5

4 xz 21. 2

6 y 11z 22. 2

6 3a + 5b 25. 1

9 3x + 7z4 26. 2

29. c5>2

30. 151>2

9 5

4 7a 5b3 24. 2

Escriba cada expresión en forma radical. 27. a 1>2

28. b2>3

35. 17b c2

39. 1b3 - c2

1>2

36. 19x y 2

3>5

2

33. 124x32

32. y 17>6

31. 175>3

-1>3

40. 17x 2 + 2y 32

34. 185a 32

5>2

37. 16a + 5b2

3 2 7>4

1>5

38. 18x - 9y2

7>3

2

-1>6

Simplifique cada expresión radical, cambiándola a forma exponencial. Cuando sea apropiado, escriba la respuesta en forma radical. 41. 2a 4

4 a8 42. 2

3 x9 43. 2

6 y 45. 2

46. 2y

8 b 47. 2

2

49. 1118.122

8 xyz24 53. 11

6

4 16.8324 50. 2 54.

3 9 a 2bc4 B A2

4y 57. 21

31 4b 58. 2

5 a7 61. 32

51 4 ab 62. 2

51.

4 x12 44. 2

4

5 xy B A2

2 15

C z4 48. 2 52.

40 4 a 4bc3 B A2

55. 2 1x

3a 56. 2 1

32 3 x2y 59. 3

41 3 5y 60. 2

65. 64 1>3

66. 811>4

Evalúe, si es posible. Si la expresión no es un número real, indíquelo. 63. 91>2

64. 1001>2

67. 163>2 71. a

68. 272>3 1>2

16 b 9

75. - 361>2 79. 64

83. a

72. a

36 b 49

76. 1 -3621>2

80. 100

-1>3

64 -1>3 b 27

87. 811>2 + 1691>2

1>2

-1>2

69. 1- 2521>2

73. a b

1 8

1>3

77. -64 1>3

81. 64

70. 1- 6421>4

74. a

1 1>5 b 32

78. 1- 6421>3 82. 16-3>2

-2>3

84. 1 -8123>4

85. 1- 10023>2

86. - a

4 -1>2 b 49

88. 49-1>2 + 36-1>2

89. 343 -1>3 + 4 -1>2

90. 16-1>2 - 256-3>4

Simplifique. Escriba la respuesta en forma exponencial sin exponentes negativos.

x1>2 x1>3

91. x 4 # x 1>2

92. x 2>3 # x 3>8

93.

95. 1x 1>22

96. 1a -1>32

97. 17 -1>32

99.

-2

5y -1>3 60y -2

103. a

8 1>3 b 64x

-1>2

100. x -1>2x -2>5 104. ¢

108 1>3 ≤ 4x4

94. x -4>5 0

101. 4x 5>3 2x -7>2

105. ¢

22x3>7 2 ≤ 2x1>2

98.

x5 x -1>2

102. 1x -4>52

1>3

106. ¢

x -1>3 2 ≤ x -2

448 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

107. ¢

-3 a4 ≤ 5a -2>5

108. ¢

Multiplique.

81z1>4y3 9z1>4

≤

1>2

109. ¢

x3>4y -2 x1>2y2

≤

4

110. ¢

250a -3>4b5 2>3 ≤ 2a -2b2

111. 3z -1>212z4 - z1>22

112. - 3a -4>912a 1>9 - a 22

113. 5x -11x -4 + 4x -1>22

114. - 9z3>21z3>2 - z -3>22

115. - 4x 5>31- 2x 1>2 + 7x 1>32

116.

1 -2 x 110x4>3 - 18x -1>22 2

Utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Redondee la respuesta al centésimo más cercano. 117. 1140 121. 45

2>3

3 168 118. 1 3>2

122. 69.1

5 402.83 119. 1

4 1096 120. 1

123. 1000

124. 8060 -3>2

-1>2

Resolución de problemas 125. ¿En qué condiciones se cumple 2 an = 11 a2n = a? n

n

126. Elija valores para a y b para demostrar que (a2  b2)1/2 no es igual a a  b. 127. Elija valores para a y b para demostrar que (a1/2  b1/2)2 no es igual a  b.

128. Elija valores para a y b para demostrar que (a3  b3)1/3 no es igual a a  b. 129. Elija valores para a y b para demostrar que (a1/3  b1/3)3 no es igual a  b. 3 130. Determine si 2 1x = 2 1 3 x , x Ú 0.

Factorice. Escriba la respuesta sin exponentes negativos. 131. x 5>2 + x 1>2

132. x 1>4 - x 5>4

133. y 1>3 - y 7>3

134. x -1>2 + x 1>2

135. y -2>5 + y8>5

136. a 6>5 + a -4>5

En los ejercicios 137 a 142, utilice una calculadora en donde sea apropiado. 137. Cultivo de bacterias La función B(t)  210  2t, sirve para calcular el número de bacterias que hay en cultivo después de t horas. a) El número inicial de bacterias se determinó cuando t  0. ¿Cuál es el número inicial de bacterias? 1 b) ¿Cuántas bacterias hay después de 2 hora? 138. Determinación de antigüedad Los científicos emplean un método denominado “carbono 14” para determinar la antigüedad de fósiles, huesos y otros objetos. La fórmula que se usa es P  P02-t/5600, en donde P0 representa la cantidad original de carbono 14 (C14) en un objeto, y P representa la cantidad de C14 que hay en él después de t años. Si en un hueso de un animal recientemente desenterrado están presentes 10 mg de C14, ¿cuántos mg estarán presentes dentro de 5000 años?

139. Planes de retiro Cada año es mayor el número de estadounidenses que contribuyen al plan de retiro denominado 401(k). El total de activos, A(t), de los planes 401(k), en miles de millones de dólares, puede calcularse mediante la función A(t)  2.69t3/2, en donde t es años desde 1993, y 1  t  14. (Por lo tanto, esta función aplica para los años 1994 a 2007). Calcule el total de activos que habrá en los planes 401(k) en a) 2000 y b) 2007. 140. Ventas por Internet Las ventas por Internet han aumentado cada año. La cantidad total, I(t), en miles de millones de dólares, de ventas realizadas por Internet, puede calcularse mediante la función I(t)  0.25t5/3, en donde t son los años desde 1999, y 1  t  8. Determine la cantidad total producida por ventas realizadas por Internet en a) 2000 y b) 2007. 141. Evalúe A 322 B 22. Explique cómo determinó su respuesta. 142. a) Evalúe en su calculadora 3p. b) Explique por qué el valor que indicó en la parte a) tiene sentido o no. 143. Determine el dominio de f(x)  (x  5)1/2(x  3)-1/2. 144. Determine el dominio de f(x)  (x  4)1/2(x  2)-1/2. 145. Suponga que x puede ser cualquier número real. Simplifin que 2 1x - 422n , si a) n es un número par. b) n es un número impar.

Sección 7.3 • Simplificación de radicales • 449 Determine el índice que debe colocarse en el área sombreada para que la expresión sea verdadera. Explique cómo determinó su respuesta. ● b) Utilizando su calculadora graficadora, compruebe que 146. 3 4 2 1x = x1>24 la respuesta que dio en la parte a) es correcta; para ello, 4 ● 3 147. 43 5 2 1z = z1>120 grafique f(x) tanto en su forma original como en la for148. a) Escriba f1x2 = 12x + 3 en forma exponencial. ma exponencial que usted determinó.

Ejercicios del repaso acumulativo [3.2] 149. Determine cuál de las siguientes relaciones también es una función. a)

b)

y

c)

y

x

[6.3] 150. Simplifique

y

x

a -2 + ab -1 ab -2 - a -2 b -1

x

[6.4] 151. Resuelva la ecuación

2x + 1 3x - 2 = . x + 4 3x - 2

[6.5] 152. Piloteando un avión Una persona puede pilotear su aeroplano en un trayecto de 500 millas con el viento en contra, en el mismo tiempo que le toma pilotearlo en un trayecto de 560 millas con el viento a favor. Si el viento sopla a 25 millas por hora, determine la velocidad del aeroplano con viento en calma.

.

7.3 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

1

1

Entender potencias perfectas.

2

Simplificar radicales mediante la regla del producto para radicales.

3

Simplificar radicales mediante la regla del cociente para radicales.

Entender potencias perfectas En esta sección simplificaremos radicales mediante la regla del producto para radicales y la regla del cociente para radicales, pero antes se presentará un concepto que nos ayudará a comprenderlas: las potencias perfectas. Un número o expresión es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de una expresión. Los siguientes son ejemplos de cuadrados perfectos.

Cuadrados perfectos Cuadrado de un número

1, p 12,

4, p 2 2,

9, p 32,

16, p 4 2,

25, p 52,

36, Á p 62, Á

Tal como se ilustra a continuación, las variables con exponentes también puede ser cuadrados perfectos.

x2, p Cuadrado de una expresión 1x22, Cuadrados perfectos

x4, p 2 1x 22 ,

x6, p 2 1x32 ,

x 8, p 2 1x42 ,

x10, Á p 2 1x52 , Á

Observe que todos los exponentes de las variables de los cuadrados perfectos son múltiplos de 2. Al igual que existen cuadrados perfectos, también hay cubos perfectos. Un número o expresión es un cubo perfecto si puede escribirse como el cubo de una expresión. Los siguientes son algunos ejemplos.

450 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

Cubos perfectos Cubo de un número

1, p 13,

8, p 2 3,

x3, p Cubo de una expresión 1x23,

27, p 33,

x6, p 3 1x 22 ,

Cubos perfectos

64, p 4 3,

125, p 53,

216, Á p 63, Á

x 9, p 3 1x32 ,

x12, p 3 1x 42 ,

x15, Á p 3 1x52 , Á

Observe que todos los exponentes de las variables de los cubos perfectos son múltiplos de 3. Lo anterior también es cierto respecto de potencias perfectas de una variable para cualquier radicando. En general, el radicando xn es una potencia perfecta cuando n es un múltiplo del índice del radicando (o en donde n es divisible entre el índice).

Ejemplo Potencias perfectas de xn para el índice n xn,

x 2n,

x3n,

x4n,

x5n, Á

Por ejemplo, si el índice de una expresión radical es 5, entonces x5, x10, x15, x20, etcétera, son potencias perfectas del índice.

SUGERENCIA

Un método rápido para saber si un radicando xn es una potencia perfecta para un índice, consiste en determinar si el exponente n es divisible entre el índice del radical. Por ejemplo, 5 x20, como el exponente, 20, es divisible entre el índice, 5, x20 es una quinta potencia en 2 6 x20, el exponente, 20, no es divisible entre el índice, 6; entonperfecta. En cambio, en 2 20 ces, x no es una sexta potencia perfecta. Sin embargo, x18 y x24 sí lo son, ya que 6 divide a 18 y a 24.

Observe que la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto simplifica a una expresión sin signo radical; la raíz cúbica de un cubo perfecto simplifica a una expresión sin signo radical, y así sucesivamente.

Ejemplos 116 = 24 2 = 4 2>2 = 4 1 3 27 = 2 3 33 = 33>3 = 3 2x6 = x6>2 = x3 2 3 z12 = z12>3 = z4 2 5 n30 = n30>5 = n6 Estamos listos para analizar la regla del producto para radicales.

2

Simplificar radicales mediante la regla del producto para radicales Para comprender la regla del producto para radicales, empezaremos por observar que 14 # 19 = 2 # 3 = 6 , que 14 # 9 = 136 = 6 , y que 14 # 19 = 14 # 9 . Éste es un ejemplo de la regla del producto para radicales. Regla del producto para radicales Para números reales no negativos a y b, n

n

n

1a # 1b = 1ab

Sección 7.3 • Simplificación de radicales • 451

Ejemplos de la regla del producto para radicales 11 # 120 120 = c 12 # 110 14 # 15

1 31# 1 3 20 1 3 20 = c 1 32# 1 3 10 # 1 34 1 35

120 puede factorizarse en cualquiera de estas formas.

1 3 20 puede factorizarse en cualquiera de estas formas.

1x # 2x6 2x = c 2x2 # 2x5 2x3 # 2x4

1 3x# 2 3 x6 2# 2 3 x = c2 3 x 2 3 x5 2 3 x3 # 2 3 x4

2x7 puede factorizarse en

2 3 x7 puede factorizarse en

cualquiera de estas formas.

cualquiera de estas formas.

7

7

Ahora que conocemos la regla del producto para radicales, la usaremos para simplificar radicales. El procedimiento general que puede usarse para simplificar radicales mediante la regla del producto es el siguiente. Para simplificar radicales mediante la regla del producto 1. Si el radicando contiene un coeficiente distinto de 1, escríbalo como el producto de dos números, uno de los cuales es la máxima potencia perfecta del índice. 2. Escriba cada factor variable como el producto de dos factores, donde uno de los cuales sea la máxima potencia perfecta de la variable del índice. 3. Utilice la regla del producto para escribir la expresión radical como un producto de radicales. Coloque todas las potencias perfectas (números y variables) bajo el mismo radical. 4. Simplifique el radical que contiene las potencias perfectas.

Si simplificamos una raíz cuadrada, debemos escribir el radicando como el producto del cuadrado perfecto más grande por otro número. Si simplificamos una raíz cúbica, debemos escribir el radicando como el producto del cubo perfecto más grande por otro número, y así sucesivamente.

EJEMPLO 1 Solución

Simplifique.

a) 132

b) 160

3 54 c) 1

4 80 d) 1

En este ejemplo los radicandos no tienen variables. Seguiremos el paso 1 del procedimiento. a) Como estamos evaluando una raíz cuadrada, buscamos el cuadrado perfecto más grande que divida a (o sea un factor de) 32, en este caso, 16.

132 = 116 # 2 = 116 12 = 412 b) El cuadrado perfecto más grande que es factor de 60 es 4.

132 = 14 # 15 = 14 115 = 2115 c) El cubo perfecto más grande que es factor de 54 es 27.

1 3 54 = 1 3 27 # 2 = 1 3 27 1 3 2 = 31 32 d) La cuarta potencia perfecta más grande que es factor de 80 es 16. AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19

1 4 80 = 1 4 16 # 5 = 1 4 16 1 4 5 = 21 4 5

✺

452 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

SUGERENCIA

En el ejemplo 1 a), si primero pensó que 4 era el cuadrado perfecto más grande que dividía a 32, podría proceder como sigue

132 = 14 # 8 = 14 18 = 218 = 214 # 2 = 214 12 = 2 # 212 = 412 Observe que el resultado final es el mismo, pero debe realizar más pasos. La explicación de potencias perfectas de las páginas 473 y 474 puede ayudarle a determinar el cuadrado perfecto o el cubo perfecto más grandes que son factores de un radicando. El ejemplo 1 b) también 115 puede factorizarse como 15 # 3 ; sin embargo, como ni 5 ni 3 son cuadrados perfectos, 115 no puede simplificarse.

Cuando el radicando es una potencia perfecta del índice, el radical puede simplificarse escribiéndolo en forma exponencial, como en el ejemplo 2.

EJEMPLO 2 Solución EJEMPLO 3 Solución

Simplifique.

a) 2x 4

a) 2x 4 = x 4>2 = x 2

Simplifique.

a) 2x 9

3 x12 b) 2

5 z35 c) 2

3 x12 = x12>3 = x4 b) 2 5 x23 b) 2

5 z35 = z35>5 = z7 c) 2

✺

4 y33 c) 2

Como los radicandos tienen coeficiente 1, iniciamos con el paso 2 del procedimiento. a) El cuadrado perfecto más grande menor o igual a x9 es x8.

2x9 = 2x8 # x = 2x8 # 1x = x8>2 1x = x4 1x b) La quinta potencia perfecta más grande menor o igual a x23 es x20.

2 5 x23 = 2 5 x20 # x3 = 2 5 x20 2 5 x3 = x20>5 2 5 x3 = x4 2 5 x3 c) La cuarta potencia más grande menor o igual a y33 es y32. AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35

2 4 y33 = 2 4 y32 # y = 2 4 y32 1 4 y = y32>4 1 4 y = y8 1 4y

✺

Si observa las respuestas al ejemplo 3, verá que el exponente de la variable del radicando siempre es menor que el índice. Cuando un radical se simplifica, el radicando no tiene una variable con un exponente mayor o igual al índice. En el ejemplo 3 b) simplificamos 2 5 x23 . Si dividimos 23, el exponente en el radicando, entre 5, el índice, obtenemos

4 — Cociente 5  23 20 3 — Residuo Observe que 2 5 x23 se simplifica a x4 2 5 x3 y Cociente ¡x4 2 5 x3 — Residuo

Cuando simplificamos un radical, si dividimos el exponente dentro del radical entre el índice, el cociente será el exponente de la variable fuera del signo radical, y el residuo será el exponente de la variable dentro del signo radical. Simplifique el ejemplo 3 c) mediante esta técnica.

Sección 7.3 • Simplificación de radicales • 453

EJEMPLO 4 Solución

Simplifique.

4 x6y 23 b) 2

a) 2x 12y 17

a) x12 es un cuadrado perfecto. El cuadrado perfecto más grande que es factor de y17 es y16. Escriba y17 como y16  y.

2x12y17 = 2x12 # y16 # y = 2x12y16 1y = 2x12 2y16 1y = x12>2y16>2 1y = x6y8 1y b) Empezamos por encontrar la cuarta potencia perfecta más grande que sea factor de x6 y y23. Para un índice de 4, la potencia perfecta más grande que es factor de x6 es x4. La potencia perfecta más grande que es factor de y23 es y20.

2 4 x6y23 = 2 4 x4 # x2 # y20 # y3 = 2 4 x4y20 # x2y3 = 2 4 x4y20 2 4 x2y3 = xy5 2 4 x2y3

✺

Con frecuencia los pasos en donde cambiamos la expresión radical a forma exponencial se realizan de forma mental y, por lo tanto, esos pasos no se ilustran. En el

4 x4y20 a xy5 mentalmente, así que no se mostraron los paejemplo 4 b), cambiamos 2 sos intermedios.

EJEMPLO 5 Solución

Simplifique.

a) 280x 5y 12z3

3 54x17y 25 b) 2

a) El cuadrado perfecto más grande que es factor de 80 es 16. El cuadrado perfecto más grande que es un factor de x5 es x4. La expresión y12 es un cuadrado perfecto. El cuadrado perfecto más grande que es factor de z3 es z2. Coloque todos los cuadrados perfectos bajo el mismo radical y luego simplifique.

280x5y12z3 = 216 # 5 # x4 # x # y12 # z2 # z = 216x4y12z2 # 5xz = 216x4y12z2 # 15xz = 4x2y6z15xz b) El cubo perfecto más grande que es factor de 54 es 27. El cubo perfecto más grande que es factor de x17 es x15. El cubo perfecto más grande que es factor de y25 es y24.

2 3 54x17y25 = 2 3 27 # 2 # x15 # x2 # y24 # y = 2 3 27x15y24 # 2x2y = 2 3 27x15y24 # 2 3 2x2y = 3x5y8  2 3 2x2y

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57

SUGERENCIA

✺

En el ejemplo 4b), se mostró que

2 4 x6y 23 = xy5 2 4 x2y3 Como se menciona en la página 476, este radical también puede simplificarse dividiendo los exponentes de las variables dentro del radicando, 6 y 23, entre el índice, 4, y observando los cocientes y los residuos.

(continúa en la página siguiente)

454 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

Cociente

Cociente

6 , 4

23 , 4

Residuo

Residuo

6 , 4

23 , 4

2 4 x6y23 = x1y5 2 4 x2y3 ¿Puede explicar por qué este procedimiento también funciona? Tal vez quiera usar este procedimiento para resolver o comprobar ciertos problemas.

A continuación se presentan las reglas del cociente para radicales.

3

Simplificar radicales mediante la regla del cociente para radicales A veces es necesario simplificar un cociente de dos radicales; para hacerlo se utiliza la regla del cociente para radicales. Regla del cociente para radicales Para números reales no negativos a y b, n

1a n a = , n Ab 1b

b Z 0

Ejemplos de la regla del cociente para radicales 118 18 = A2 12

9 19 = A 16 116

2x3 x3 = Ax 1x

x4 2x4 = A y2 2y2

2 3 y5

z9 2 3 z9 3 = B 27 1 3 27

y5 = 3 2 By 2 3 y2

Los ejemplos 6 y 7 ilustran cómo utilizar la regla del cociente para simplificar expresiones radicales.

EJEMPLO 6 Solución

Simplifique: a)

b)

1 3 24x 1 3 3x

c)

2 3 x4y7 2 3 xy -2

En cada parte utilizamos la regla del cociente para escribir el cociente de radicales como un solo radical. Luego simplificamos. a) b)

c)

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 93

175 13

175 75 = = 125 = 5 A3 13 1 3 24x 1 3 3x 2 3 x4y7 2 3 xy -2

24x = 1 38 = 2 A 3x

= 3

x4y7 = 3 B xy -2 = 2 3 x3y9 = xy3

Regla del cociente para radicales. Simplificar el radicando.

✺

Sección 7.3 • Simplificación de radicales • 455

Cuando se presentaron los radicales en la sección 7.1, se indicó que

4 2 = , ya que A9 3

2#2 4 = . La regla del cociente puede ser útil en la evaluación de raíces cuadradas 3 3 9 que tienen fracciones, como se ilustra en el ejemplo 7 a).

EJEMPLO 7 Solución

Simplifique.

b) 3

8x4y

B 27xy10

c) 4

15xy5

B 3x9y

144 1144 12 = = A 25 5 125

b) 3

8x4y

B 27xy

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

144 A 25

En cada parte, primero simplificamos el radicando, si esto es posible. Luego utilizamos la regla del cociente para escribir el radical dado como cociente de radicales. a)

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 97

a)

10

8x3 2 3 8x 3 2x = 3 = = 9 3 9 B 27y 3y 2 3 27y

2 4 5y4 2 4 y4 1 y1 45 5y4 45 = 4 = = = 9 8 2 8 B 3x y B x x x2 2 4 x

c) 4

15xy5

✺

Las siguientes simplificaciones son correctas, ya que los números y variables cancelados no están dentro de raíces cuadradas. Correcto

Correcto

2

6 12 = 212 3

x 12 = 12 x

1

Cuando una expresión está dentro de una raíz cuadrada, no puede dividirse entre una expresión que está fuera de ella.

CORRECTO 12 2

INCORRECTO

No puede simplificarse más

1

2x 2x 1x x 1x = = = 1x x x x 3

221 = 11 = 1 2

2

2

2x 3 = 2x2 = x x

Conjunto de ejercicios 7.3 Ejercicios conceptuales 1. a) ¿Cómo se obtienen los números que son cuadrados perfectos? b) Liste los primeros seis cuadrados perfectos. 2. a) ¿Cómo se obtienen los números que son cubos perfectos?

5. Al establecer la regla del producto, se mencionó que para n n n números reales no negativos a y b, 1a # 1b = 1ab. ¿Por qué es necesario especificar que a y b son números reales no negativos? 6. Establezca, con sus propias palabras, la regla del cociente para radicales.

b) Liste los primeros seis cubos perfectos. 3. a) ¿Cómo se obtienen números que sean quintas potencias perfectas?

7. Al establecer la regla del cociente, se mencionó que para n

números reales no negativos a y b,

1a n a = , b Z 0. n Ab 1b

b) Liste los primeros cinco números que son quintas potencias perfectas.

¿Por qué es necesario especificar que a y b son números reales no negativos?

4. Establezca, con sus propias palabras, la regla del producto para radicales.

8. En la regla del cociente que se analizó en el ejercicio 7, ¿por qué el denominador nunca puede ser igual a cero?

456 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

Problemas de aplicación En este conjunto de ejercicios, suponga que todas las variables representan números reales positivos. Simplifique. 9. 18

10. 124

11. 128

12. 118

13. 112

14. 148

16. 1300

17. 175

18. 172

3 16 21. 1

3 24 22. 1

3 32 25. 1

3 40 26. 1

4 162 29. 1

4 48 30. 1

33. 2x

34. - 2x

53. - 220x 6y 7z12

54. 224x 15y 20z27

3 81a b 57. 2 4 81a8b9 61. 2

3 128a b c 58. 2

15. 150 19. 140 3 54 23. 1 3 108 27. 1 5 64 31. - 1 35. 2a11 3 a7 39. 2 4 x5 43. 2 5 y 23 47. 32 51. 28x 4y 7 3 x3y7 55. 2 4 32x 8y9z19 59. 2

4 32x y 62. - 2

5 32a b 63. 2

3

37. - 2z

3 b 41. 2

21

5 z7 45. 2 49. 224x

3 x 38. 2

6

3 z 42. 7 2

13

5

32

6 x9 46. 2 3

6 8

50. 2 250y

9

10 11 12 18 31

20. 1500

3 81 24. 1 4 80 28. 1 5 243 32. - 1 36. 42y 12

3 b9 40. 2 4 b23 44. 2 7 y 15 48. 2 52. 275a 7b11

3 16x 3y6 56. 2 4 48x 11y21 60. 2 6 64x 12y23z50 64. 2

10 12

Simplifique.

36 A4 127 69. 13 2 73. 3 A 16

65.

77.

4

3

A 48

75 A3 198 70. 12 2 74. 3 A 54

4 A 25 13 71. 148 1 33

66.

78.

4

1 4 243 1 43

81 A 100 115 72. 160 1 3 64

67.

68.

75.

76.

1 3 81 96 79. 5 A3

80. 4

1 5 128

81.

r A 25

82.

81a A 49b6

83.

36x A 25y10

84.

81a8b10 A 121c14

85.

c6 3 B 27

86.

64x6 3 12 B y

87.

a8b12 4 -4 B b

88.

16x16y32 4 B 81x - 4

89.

124 13

90.

93. 97.

240x6y9 25x2y4 25x2y 9 3 B 5x8y 2

8

1 38 1 54

94.

98.

264x5 22x3 2150a10b11 22ab2 54xy4z17 3 B 18x13z

91.

95.

99.

227x6

92.

23x2 3

7xy

A 8x13 20x4y 4 B 81x -8

272x2y5 28x2y7

96.

64a5b12 3 B 27a14b5

100.

3a6b5 4 B 16a - 2b13

Resolución de problemas n

a 1a n a a forma expo= n convirtiendo Ab A b 1b

101. Pruebe que 1a # b = 1a 1b convirtiendo 1a # b a forma exponencial.

104. Pruebe que

102. El producto de dos radicales, ¿siempre será un radical? Proporcione un ejemplo para apoyar su respuesta.

105. a) La expresión

n

nencial. n

103. El cociente de dos radicales, ¿siempre será un radical? Proporcione un ejemplo para apoyar su respuesta.

1x

, ¿siempre será igual a 1? n 1x b) Si su respuesta a la parte a) fue no, ¿en qué condicion 1x nes n será igual a 1? 1x

Sección 7.4 • Suma, resta y multiplicación de radicales • 457

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 106. Despeje C de la fórmula F = [2.6] 107. Resuelva para x: `

9 C + 32 for C. 5

[5.3] 108. Divida

15x 12 - 5x 9 + 30x 6 5x 6

.

[5.6] 109. Factorice 1x - 323 + 8.

2x - 4 ` = 12 5

7.4 SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

1

1

Sumar y restar radicales.

2

Multiplicar radicales.

Sumar y restar radicales Los radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo radicando y el mismo índice. Los radicales no semejantes son los que difieren en el radicando o en el índice. Ejemplos de radicales semejantes

Ejemplos de radicales no semejantes

15, 315

15, 1 35

Los índices difieren.

517, -217

15, 17

Los radicandos difieren.

1x, 51x

1x, 12x

Los radicandos difieren.

1 3 2x, -41 3 2x

1x, 1 3x

Los índices difieren.

2 4 x y , -2 4 xy

1 3 xy, 2 3 xy

2 5

2 5

2

Los radicandos difieren.

Los radicales semejantes se suman y restan de manera similar a como se suman y restan los términos semejantes. Para sumar o restar radicales semejantes, se suman o restan sus coeficientes numéricos y se multiplica el resultado por el radical semejante. Ejemplos de sumas y restas de radicales semejantes

315 + 215 51x - 71x 2 3 4x2 + 52 3 4x2 4 15x - y 15x

EJEMPLO 1 Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15

Simplifique.

= = = =

13 15 11 14

+ + -

a) 6 + 412 - 12 + 3

2215 = 515 721x = - 21x 522 3 4x2 = 62 3 4x2 y215x 3 x + 5x + 41 3x - 3 b) 21

a) 6 + 412 - 12 + 3 = 6 + 3 + 412 - 12 Coloque juntos los términos semejantes.

= 9 + 14 - 1212

= 9 + 312 1o 3 12 + 92 3 x + 5x + 41 3 x - 3 = 61 3 x + 5x - 3 b) 21

✺

Como se mencionó en la sección 7.3, a veces es posible convertir radicales no semejantes en radicales semejantes simplificando uno o más de ellos.

458 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

EJEMPLO 2 Solución

Simplifique. 13 + 127 . Como 13 y 127 son radicales no semejantes, no se pueden sumar. Sin embargo, podemos simplificar 127 para obtener radicales semejantes.

13 + 127 = 13 + 19 13 = 13 + 313 = 413

✺

Para sumar o restar radicales 1. Simplifique cada expresión radical. 2. Combine (sume o reste) los radicales semejantes (si existen).

EJEMPLO 3 Solución

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23

EJEMPLO 4 Solución

Simplifique. a) 4 124 + 154

b) 2 145 - 180 + 120

c) 1 3 27 + 1 3 81 - 4 1 33

a) 4124 + 154 = 4 # 14 # 16 + 19 # 16

= 4 # 216 + 316 = 816 + 316 = 1116 b) 2145 - 180 + 120 = 2 # 19 # 15 - 116 # 15 + 14 # 15 = 2 # 315 - 415 + 215 = 615 - 415 + 215 = 415 3 27 + 1 3 81 - 41 33 = 3 + 1 3 27 # 1 3 3 - 41 33 c) 1 = 3 + 31 3 3 - 41 33 = 3 - 1 33

✺

3 x10y2 - 2 3 x4y8 b) 2

Simplifique. a) 2x 2 - 2x 2y + x1y

a) 2x 2 - 2x 2y + x1y = x - 2x 2 # 1y + x1y

= x - x1y + x1y = x 10 2 4 8 3 x y - 2 3 xy = 2 3 x9 # 2 3 xy2 - 2 3 x3y6 # 2 3 xy2 b) 2 3 3 = x3 2 xy2 - xy2 2 xy2

3 xy2 . Ahora factorice el factor común, 2

= 1x3 - xy222 3 xy2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35

SUGERENCIA

✺

La regla del producto y la regla del cociente para radicales que se presentaron en la sección 7.3 son n

n

n

1a n a = n Ab 1b

n

1a # 1b = 1ab

Con frecuencia los estudiantes suponen, erróneamente, que existen propiedades semejantes para la suma y la resta, pero esto no es así. Para comprobarlo, sea n una raíz cuadrada (índice 2), a  9 y b  16. n

n

n

1a + 1b Z 1a + b 19 + 116 Z 19 + 16 3 + 4 Z 125 7 Z 5

A continuación se analiza la multiplicación de radicales.

Sección 7.4 • Suma, resta y multiplicación de radicales • 459

2

Multiplicar radicales Para multiplicar radicales se utiliza la regla del producto que se indicó anteriormente. Después de la multiplicación, con frecuencia se simplifica el nuevo radical (vea los ejemplos 5 y 6).

EJEMPLO 5 Solución

Multiplique y simplifique. a) 26x3 28x6 b) 1 3 2x 2 3 4x2 c) 2 4 8x11 y 2 4 8x6 y22 a) 26x 3 28x 6 = 26x 3 # 8x 6

Regla del producto para radicales.

= 248x = 216x8 13x = 4x4 13x 9

16x8 es un cuadrado perfecto.

3 2x2 3 4x2 = 2 3 2x # 4x2 b) 1 = 2 3 8x

Regla del producto para radicales.

3

8x3 es un cubo perfecto.

= 2x 4 8x11y 2 4 8x6y22 = 2 4 8x11y # 8x6y22 c) 2

Regla del producto para radicales.

= 2 4 64x y Las raíces cuartas perfectas más grandes = 2 4 16x16y20 2 4 4xy3 que son factores, son 16, x16 y y20. 17 23

= 2x4y5 2 44x y3

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 47

✺

Recuerde que, como se indicó antes, cuando un radical está simplificado, el radicando no tiene ninguna variable con un exponente mayor o igual al índice.

EJEMPLO 6 Solución

Multiplique y simplifique 12x 118x - 1322. Empiece por utilizar la propiedad distributiva.

12x 118x - 1322 = = = =

112x2118x2 + 112x21 - 1322 216x2 - 164x 4x - 164 1x 4x - 81x

✺

En el ejemplo 6, observe que podría haberse obtenido el mismo resultado simplificando primero 18x y 132, y después multiplicando. Intente resolver dicho ejemplo de esta manera. A continuación multiplicaremos dos factores que son binomios. Para multiplicar factores que son binomios, cada término de un factor debe multiplicarse por cada término del otro. Esto puede lograrse mediante el método PIES que analizamos con anterioridad.

EJEMPLO 7 Solución

Multiplique 11x - 1y211x - y2. Empiece por utilizar la propiedad distributiva.

= =

EJEMPLO 8 Solución

P

I

p 11x211x2

p + 1- 1y211x2 +

2x 1xy x - 1xy - y 1x + y 1y 2

Simplifique.

a) 1316 - 1322

E

p 11x21 - y2 y 1x

-

b)

S

+ +

p 1 - 1y21 - y2 y 1y

3 2y2 B A 2 3 x2 - 1 3 8y B A 13 x - 2

a) 1316 - 1322 = 1316 - 13213 16 - 132

✺

460 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

Ahora multiplique los factores usando el método PIES. P

I

E

S

13 16213 162 + 1- 13213 162 + 131621 - 132 + 1- 1321 - 132 = 9162 - 3 118 - 3118 + 3 = 54 - 3118 - 3118 + 3 = 57 - 6118 = 57 - 619 12 = 57 - 1812 b) Ahora multiplique los factores usando el método PIES. P

I

E

S

3 2y2 B A2 3 x2 - 1 3 8y B = 11 3 x2 A2 3 x2 B + A - 2 3 2y2 B A2 3 x2 B + 11 3 x21 - 1 3 8y2 + A - 2 3 2y2 B 1 - 1 3 8y2 A13 x - 2 = 2 3 x3 - 2 3 2x2y2 - 1 3 8xy + 2 3 16y3

= 2 3 x3 - 2 3 2x2y2 - 1 3 81 3 xy + 2 3 8y3 1 32 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 99

EJEMPLO 9 Solución

= x - 2 3 2x2y2 - 21 3 xy + 2y 1 32

✺

Multiplique 13 + 18213 - 182. Multiplique los factores mediante el método PIES.

13 + 18213 - 182 = = = =

P

I

E

S

3132 + 1182132 + 31- 182 + 11821 - 182 9 + 318 - 318 164 9 - 164 9 - 8 = 1

✺

En el ejemplo 9, observe que multiplicamos la suma y la diferencia de los mismos dos términos. Recuerde que en la sección 5.6 se dijo que (a  b)(a – b)  a2 – b2. Si establecemos a  3 y b = 18 , podemos multiplicar como sigue.

1a + b21a - b2 = a2 - b2

13 + 18213 - 182 = 32 - 11822 = 9 - 8 = 1 Cuando multiplicamos la suma y la diferencia de los mismos dos términos, podemos obtener la respuesta mediante la diferencia de los cuadrados de los dos términos. Veremos multiplicaciones de este tipo en la sección 7.5.

EJEMPLO 10 Solución

3 x2 y g1x2 = 2 3 x4 + 2 3 x2 , determine Si f1x2 = 2 a) 1f # g21x2

y

b) 1f # g2152.

a) A partir de lo que se analizó en la sección 3.6, sabemos que 1f # g21x2 = f1x2 # g1x2.

1f # g21x2 = f1x2 # g1x2

= 2 3 x2 A2 3 x4 + 2 3 x2 B

Sustituir los valores dados.

= 2 3 x2 2 3 x4 + 2 3 x2 2 3 x2

Propiedad distributiva.

= 2 3 x + 2 3 x

Regla del producto para radicales.

6

= x2 + x1 3x

4

Simplificar radicales.

Sección 7.4 • Suma, resta y multiplicación de radicales • 461

b) Para calcular (f  g)(5), sustituya x por 5 en la respuesta que obtuvo en la parte a).

1f # g21x2 = x 2 + x1 3x 2 # 1f g2152 = 5 + 51 35 = 25 + 51 35

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 77

EJEMPLO 11

Sustituir x por 5.

✺

Simplifique f1x2 if a) f1x2 = 1x + 2 1x + 2, x Ú - 2 y b) f1x2 = 23x 2 - 30x + 75, suponga que las variables pueden ser cualesquiera números reales.

Solución

a) f1x2 = 1x + 2 1x + 2

= 21x + 221x + 22 = 21x + 222 = x + 2

Regla del producto para radicales

Como se nos dijo que x  2, podemos utilizar la regla del producto. Observe que el radicando será un número no negativo para cualquier x  2, y la respuesta se puede escribir como x  2 en lugar de œx  2œ. b) f1x2 = 23x 2 - 30x + 75

= = = =

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 105

231x2 - 10x + 252 231x - 522 13 21x - 522 13 ƒ x - 5 ƒ

Factorizar 3. Escribir como el cuadrado de un binomio. Regla del producto para radicales.

Como las variables podrían ser cualquier número real, escribimos nuestra respuesta con signos de valor absoluto. Si nos hubieran dicho que x – 5 eran no negativo, podríamos haber escrito nuestra respuesta como 13 1x - 52. ✺

Conjunto de ejercicios 7.4 Ejercicios conceptuales 1. ¿Cuáles son los radicales semejantes? 2. a) Explique cómo sumar radicales semejantes. b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a), 3 5 sume 15 + 15 . 5 4

3. Utilice una calculadora para determinar 13 + 3 12 . 4. Utilice una calculadora para determinar 2 13 + 15 . 5. ¿ 1a + 1b = 1a + b ? Explique su respuesta y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta. 6. Como 64  36  100, ¿ 164 + 136 = 1100 ? Explique su respuesta.

Problemas de aplicación En este conjunto de ejercicios, suponga que todas las variables representan números reales positivos, Simplifique. 7. 15 - 15 9. 6 13 - 2 13

8. 216 - 16 10. 512 + 712 - 11

11. 2 13 - 2 13 - 413 + 5

3 5 - 81 35 12. 61

4 y - 91 4y 13. 3 1

5 a + 7 + 51 5a - 6 14. 31

3 x + 4 15 + 31 3x 15. 3 15 - 1 17. 5 1x - 41y + 31x + 21y - 1x

4 a - 71 4a + 5 16. 6 + 41 3 b + 21a - 121 3b 18. 31a + 41

462 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos Simplifique. 19. 18 - 112

20. 175 + 1108

21. -6 175 + 41125

22. 3 1250 + 5 1160

23. - 4 190 + 3140 + 2110 26. 5 18 + 2 150 - 3172 29. 3 250a 2 - 3272a 2 - 8a118 3 16 + 1 3 54 32. 2 1 3 a 4b2 + 3a2 3 ab2 35. 2 2 3 27x5y2 - x2 2 3 x2y 2 + 22 3 x8y2 38. x 2

24. 3240x 2y + 2x1490y

41. 150 12

321 34 42. 1

321 3 28 43. 1

331 3 54 44. 1

45. 29m n 23mn

25. 2500xy + y 1320x 2

28. 3 227c2 - 22108c2 - 248c2

3 108 + 2 1 3 32 31. 1 34. 3 245x 3 + 15x 37. 24r 7s 5 + 3r 2 2r 3s 5 - 2rs 2r 5s 3

27. 215x - 3120x - 4145x

3 5 - 51 3 40 30. 41 3 27 - 51 38 33. 1 4 48x5 - x2 4 3x5y4 36. 3y 2 3 128x 9y10 - 2x2y 2 3 16x3y7 39. 2

3 320x y + 2x 2 3 135x y 40. 5 2 5 8

2 8

Simplifique.

3 7

3 2x y B A2

3 5ab2 2 3 25a 4b12 46. 2

4

3 4 2

3 9x7y10 2 3 6x4y 3 47. 2

48.

5 x y z 2 5 x yz 50. 2

4 8x yz 2 4 2x y z 51. 2

24 30 9

13 8 7

4

53. 15 115 - 132

3

4 3x 9y12 2 4 54x4y 7 49. 2 52. 12 116 + 122

2 3 7

54. 13 1112 + 162

56. 13y A227y 2 - 1y B

3 x4y5 A2 3 8x12y 4 + 2 3 16xy9 B 57. 2 2

59. 15 + 15215 - 152

60. 17 - 15217 + 152

62. 11x + y211x - y2

71. 1215 - 322

69. 1413 + 122113 - 122

70. 113 + 422

34 - 1 3 6211 32 - 1 3 362 75. 11

3 4x - 1 3 2y211 3 4x + 1 3 102 76. 11

72. 11y + 16z2112z - 18y2

39 + 1 3 2211 33 + 1 3 42 74. 11

61. 116 + x2116 - x2

67. 13 - 12214 - 182

66. 11 + 15216 + 152

68. 15 16 + 3214 16 - 22

5 2x6y9 - 2 5 10x3y7 B 5 16x7y6 A2 58. 2 64. 13 1a - 71b213 1a + 71b2

63. 115 - 1z2115 + 1z2

65. 113 + 42113 + 52

3 y A 21 3y - 2 3 y8 B 55. 1

73. 12 13x - 1y213 13x + 1y2

En los ejercicios 77 a 82, f(x) y g(x) están dadas. Determine (f  g)(x).

77. f1x2 = 12x, g1x2 = 18x - 132

78. f1x2 = 15x, g1x2 = 15x - 110x

3 x , g1x2 = 2 3 x + 2 3 x 79. f1x2 = 1

3 2x 2 , g1x2 = 1 3 4x + 2 3 32x2 80. f1x2 = 2

5

4

4 3x 2 , g1x2 = 2 4 9x 4 - 2 4 x7 81. f1x2 = 2

4 2x 3 , g1x2 = 2 4 8x 5 - 2 4 3x6 82. f1x2 = 2

Simplifique. Estos ejercicios son una combinación de los que se presentaron antes en esta sección. 83. 124

84. 1200

87. 13 12 - 42112 + 52

86. 3 17 + 2 163 - 2 128 89. 16 14 - 122

6 128ab c 95. 2

5 14x y 2 5 3x y 96. 2

11 4 2

4

3 3ab2 A2 3 4a 4b3 - 2 3 8a5b4 B 101. 2

99. 102.

91. 175 16

3 x 9y11z 94. 2

3 80x 93. 2

17 9

3 24a y + 4a 2 3 81y 98. 2 2

88. 115 + 122112 + 1202

3 81 + 41 3 24 90. 2 1

481 4 10 92. 1

3 4

85. 1125 + 120

4 3

3 x - 1 3 y B A1 3 x - 22 3 y B A2 2 5 6 9 2 2 4 4st A2 4 2s t + 2 4 5s t B 2

2

4 a 4b + ab 1 4 16b 97. 2b 2

3 a + 52 A2 3 a2 - 3 B 100. 11

Simplifique las siguientes expresiones. En los ejercicios 105 y 106, suponga que las variables pueden ser cualesquiera números reales. Vea el ejemplo 11. 103. f1x2 = 12x + 5 12x + 5, x Ú -

105. h1r2 = 24r2 - 32r + 64

5 2

104. g1a2 = 13a + 4 13a + 4, a Ú 106. f1b2 = 220b2 + 60b + 45

4 3

Sección 7.4 • Suma, resta y multiplicación de radicales • 463

Resolución de problemas Determine el perímetro y el área de las siguientes figuras. Dé su respuesta en forma radical con los radicales simplificados. 108.

107.

45

54

109.

24

245

96

150

80

111. ¿La suma de dos radicales siempre dará por resultado un radical? Proporcione un ejemplo para apoyar su respuesta. 112. ¿La resta de dos radicales siempre dará por resultado un radical? Proporcione un ejemplo para apoyar su respuesta. 113. Marca de derrape A veces los agentes de tránsito utilizan la fórmula s = 130FB para determinar la velocidad a que circulaba un automóvil, s, en millas por hora, con base en las marcas de derrape que dejó sobre el camino. En la fórmula, la letra F representa “el factor del camino”, que se determina según el material y las condiciones de la superficie del camino, y la letra B representa la distancia de frenado, en pies. Determine la velocidad del automóvil si las marcas de derrape son de 80 pies de longitud, y a) el camino era asfalto seco (factor de camino  0.85), y b) el camino era grava mojada (factor de camino  0.52).

DIAL 911

114. Manguera contra incendios La velocidad a la que fluye el agua a través de una manguera contra incendios, R, en galones por minuto, puede calcularse mediante la fórmula R = 28d 2 1P , en donde d es el diámetro de la boquilla de la manguera, en pulgadas, y P es la presión de salida, en libras por pulgada cuadrada. Si la boquilla de una manguera tiene un diámetro de 2.5 pulgadas y la presión de salida es de 80 libras por pulgada, determine la velocidad del flujo de agua.

110. 40 18

80

45

180

8

18

160

115. Altura de niñas La función f1t2 = 31t + 19 puede usarse para calcular la altura promedio, f(t), en pulgadas, de niñas de edad t, en meses, en donde 1  t  60. Calcule la altura promedio de niñas de a) 36 meses, b) 40 meses. 116. Desviación estándar En estadística, la desviación estándar , también llamada “sigma” (), es una medida de dispersión de un conjunto de datos respecto de su valor medio. Entre mayor sea la dispersión, mayor será la desviación estándar. Una fórmula que se utiliza para determinar sigma es s = 1npq , en donde n representa el tamaño de la muestra, p representa el porcentaje (o probabilidad) de que algo específico ocurra, y q el porcentaje (o probabilidad) de que no ocurra. En una muestra de 600 personas que compraron boletos para viajar en avión, el porcentaje que se presentó a su vuelo, p, fue 0.93, y el porcentaje que no lo hizo, q, fue 0.07. Utilice esta información para determinar . Departure-Arrival Information

117. Ésta es la gráfica de f1x2 = 1x : y 4 3 2 1 1 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7

x

a) Si g(x)  2, trace la gráfica de (f  g)(x). b) ¿Qué sucede si se suma 2 a la gráfica de f(t)?

464 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos 118. Ésta es la gráfica de f1x2 = - 1x:

119. Si f1x2 = 1x y g1x2 = 1x - 2.

y

a) Trace la gráfica de (f – g)(x). Explique cómo determinó su respuesta.

4 3 2 1 1 1 2 3 4

b) ¿Cuál es el dominio de (f  g)(x)? 120. Si f1x2 = 1x y g1x2 = - 1x - 3. 1 2 3 4 5 6 7

x

a) Trace la gráfica de (f – g)(x). Explique cómo determinó su respuesta. b) ¿Cuál es el dominio de (f  g)(x)?

a) Si g(x)  3, trace la gráfica de (f  g)(x). b) ¿Qué sucede si se suma 3 a la gráfica de f(x)?

121. Grafique la función f1x2 = 2x 2 . 122. Grafique la función f1x2 = 2 x 2 - 4.

Ejercicios de repaso acumulativo 123.¿Qué es un número racional?

[2.2] 127. Despeje m de la fórmula E = 12 mv 2.

124.¿Qué es un número real?

[2.5] 128. Resuelva la desigualdad 4 2x – 3  5 e indique la solución a) en la recta numérica; b) en notación de intervalos; c) en notación constructiva de conjuntos.

125.¿Qué es un número irracional? 126.¿Cuál es la definición de œaœ?

7.5 DIVISIÓN DE RADICALES

1

1

Racionalizar denominadores.

2

Racionalizar un denominador mediante el conjugado.

3

Entender cuando un radical está simplificado.

4

Utilizar la racionalización del denominador en un problema de adición.

5

Dividir expresiones radicales con índices diferentes.

Racionalizar denominadores En la sección 7.3 se presentó la regla del cociente para radicales; ahora la usaremos para resolver otros problemas de división y para racionalizar denominadores. Cuando el denominador de una fracción contiene un radical, por lo común simplificamos la expresión racionalizando el denominador. Esto es, eliminando todos los radicales del denominador, como se ilustra en el ejemplo 6. Para racionalizar un denominador Multiplique el numerador y el denominador de la fracción por un radical, de tal manera que el radicando del denominador se convierta en una potencia perfecta.

Cuando el numerador y el denominador se multiplican por la misma expresión radical, en realidad se está multiplicando la fracción por 1, con lo cual no se modifica su valor.

Sección 7.5 • División de radicales • 465

EJEMPLO 1 Solución

Simplifique.

a)

1 15

b)

x 312

3 12x

c)

d)

2 3 16a4 1 3b

Para simplificar cada expresión debemos racionalizar los denominadores. Para ello, multiplicamos el numerador y el denominador por un radical que haga que el denominador se convierta en una potencia perfecta para el índice dado. a)

1 1 # 15 15 15 = = = 5 15 15 15 125

b)

x x # 12 x12 x12 = = # = 3 2 6 312 312 12

c) Hay dos factores en el radicando, 2 y x. Debemos hacer que cada factor sea un cuadrado perfecto. Como 22 o 4 lo son, y x2 también, multiplicamos el numerador y el denominador por 12x .

3 3 # 12x = 12x 12x 12x 312x = 24x2 312x = 2x d) El numerador y el denominador carecen de factores comunes. Antes de racionalizar el denominador, simplifiquemos el numerador.

2 3 16a4 1 3b

= =

2 3 8a3 1 3 2a 1 3b 2a1 3 2a

Regla del producto para radicales. Simplificar el numerador.

1 3b

Ahora racionalicemos el denominador. Como el denominador es una raíz cúbica, necesitamos convertir el radicando en un cubo perfecto. En vista de que el denominador contiene b y requerimos b3, necesitamos dos factores de b. Por lo tanto, multiplicamos el numerador y el denominador por 2 3 b2 .

Solución

3 2a1 3 2a # 2 b2

=

2a2 3 2ab

1 3b

3 2 2 b 2

2 3 b3 2a2 3 2ab2 = b

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25

EJEMPLO 2

=

Simplifique.

a)

3 A5

x A 2y2

b) 3

✺ 9 6

c) 4

32x y

B 3z2

Utilizaremos la regla del cociente para escribir el radical de cada expresión con un cociente de dos radicales.

3 13 # 15 115 115 = = = A5 5 15 15 125 1 3x x = b) 3 A 2y2 2 3 2y2 a)

3 2y 2 y queremos cambiarlo a 2 3 2 3y3 . Ahora multiplicamos el El denominador es 2 numerador y el denominador por la raíz cúbica de una expresión que haga que el radi-

466 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

3 23 y3 . Como 2 # 22 = 23 y y2 # y = y3, multiplicamos el cando del denominador sea 2

3 2 2y. numerador y el denominador por 2 1 3x 2 3 2y2

=

=

=

1 3x

2 3 2 2y

#

2 3 2y2 2 3 2 2y 1 3x1 3 4y 2 3 2 3y3 1 3 4xy 2y

c) Después de usar la regla del cociente, simplificamos el numerador.

2 4 32x9y6 32x9y6 4 = Regla del cociente para radicales. B 3z2 2 4 3z2 2 4 16x8y4 2 4 2xy2 = Regla del producto para radicales. 2 4 3z2 2x2y2 4 2xy2 = Simplificar el numerador. 2 4 3z2 Ahora racionalizaremos el denominador. Para que el radicando del denominador sea una cuarta potencia perfecta, necesitamos convertir cada factor en una potencia de 4. Como el denominador contiene un factor de 3, necesitamos tres factores de 3, o 33 . Ya que hay dos factores de z, necesitamos dos factores más de z, o z2 . Por lo tanto, mul4 3 3 z2 . tiplicaremos el numerador y el denominador por 2

=

2x2y 2 4 2xy2

=

2x2y 2 4 2xy2 2 4 27z2

=

2x2y 2 4 54xy2z2

2 4 3z2

#

2 4 3 3 z2 2 4 3 3 z2

2 4 3z2 2 4 3 3 z2 Regla del producto para radicales.

2 4 3z 2x y 2 4 54xy2z2 = 3z 4 4

2

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53

2

Nota: No hay factores de 54 que sean cuartas potencias perfectas, y cada exponente del radicando es menor que el índice. ✺

Racionalizar un denominador mediante el conjugado Cuando el denominador de una expresión racional es un binomio que contiene un radical, racionalizamos el denominador. Para hacerlo, multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado del denominador. El conjugado de un binomio es un binomio que tiene los mismos dos términos, pero con el signo del segundo término cambiado. Expresión

Conjugado

3 + 12 213 - 15 1x + 1y a + 1b

3 - 12 213 + 15 1x - 1y a - 1b

Sección 7.5 • División de radicales • 467

Cuando un binomio se multiplica por su conjugado, los productos externo e interno sumarán 0. En la sección 7.4 se multiplicaron radicales con factores binomiales. Resolveremos un ejemplo más de multiplicación de expresiones radicales en seguida.

EJEMPLO 3 Solución

Multiplique 12 + 13212 - 132. Multiplique mediante el método PIES. P

I

E

S

12 + 13212 - 132 = 2122 + 21132 + 21- 132 + 13 1- 132 = 4 + 2 13 - 2 13 - 19

= 4 - 19 = 4 - 3

✺

= 1

En el ejemplo 3 se obtendría el mismo resultado utilizando la fórmula para el producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos. El producto resulta en la diferencia de dos cuadrados, (a  b)(a – b)  a2 – b2. Si determinamos a  2 y b = 13, usando la fórmula obtenemos lo siguiente.

1a + b21a - b2 = a2 b2 p p p p p p 12 + 13212 - 132 = 2 2 - 11322 = 4 - 3 = 1 Ahora resolvamos un ejemplo en donde racionalizaremos un denominador con dos términos.

EJEMPLO 4 Solución

Simplifique.

a)

5 2 + 13

b)

6 15 - 12

c)

x - 1y x + 1y

Racionalizamos el denominador de cada expresión multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. a)

5 5 # 2 - 13 = 2 + 13 2 + 13 2 - 13 512 - 132

=

12 + 13212 - 132

512 - 132 4 - 3 512 - 132 = o 10 - 513 1 =

b)

6 6 # 15 + 12 = 15 - 12 15 - 12 15 + 12 =

6115 + 122 5 - 2

6 115 + 122 = 3 2

1

= 2115 + 122 o 215 + 212

468 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

x - 1y

c)

x + 1y

x - 1y x - 1y =

#

x + 1y x - 1y x2 - x1y - x1y + 2y2

=

x2 - y x2 - 2x1y + y

=

x2 - y

Recuerde que no se puede dividir x2 o y, ya que se trata de términos, no de factores.

✺

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65

Ahora que se ha mostrado cómo racionalizar denominadores, analicemos los criterios que debe cumplir un radical para considerar que está simplificado.

3

Entender cuando un radical está simplificado Después de simplificar una expresión radical, usted deberá comprobar que la ha simplificado tanto como es posible. Una expresión radical está simplificada cuando se cumplen todas estas condiciones 1. No hay potencias perfectas que sean factores del radicando, y todos los exponentes del radicando son menores que el índice. 2. Ningún radicando tiene una fracción. 3. Ningún denominador tiene radicales.

EJEMPLO 5

Determine si las siguientes expresiones están simplificadas. Si es así, explique por qué; de lo contrario, simplifíquelas. a) 227x 5

Solución

b)

1 A2

c)

1 13

a) Esta expresión no está simplificada, ya que 9 es un cuadrado perfecto que es factor de 27, y x4 es un cuadrado perfecto que es factor de x5. Observe que el exponente de la variable del radicando, 5, es mayor que el índice, 2. Siempre que el exponente de la variable del radicando es mayor que el índice, el radicando tiene una potencia perfecta que es factor de la variable y, por lo tanto, es necesario simplificar más el radical. Hagámoslo ahora.

227x5 = 29x4 # 3x = 29x4 # 13x = 3x2 13x 1 . 2 Esto viola la condición 2. Para simplificarla, utilizaremos primero la regla del cociente y luego racionalizamos el denominador. b) Esta expresión no está simplificada, ya que el radicando contiene la fracción

1 11 # 12 12 = = A2 2 12 12 c) Esta expresión no está simplificada, ya que el denominador, 13 , contiene un radical. Esto viola la condición 3. para simplificarla racionalizaremos el denominador.

1 1 # 13 13 = = 3 13 13 13

✺

Sección 7.5 • División de radicales • 469

4

Utilizar la racionalización del denominador en un problema de adición Resolvamos ahora un problema de adición que requiere racionalizar el denominador. En este ejemplo se utilizan los métodos para sumar y restar radicales que analizamos en las secciones 7.3 y 7.4.

EJEMPLO 6 Solución

1 + 132 . 18

Simplifique 4 12 -

Empecemos por racionalizar el denominador y simplificar 132 .

1 1 # 12 + 132 = 412 + 116 12 18 18 12 12 = 412 + 412 116

412 -

= 412 = a4 = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 105

5

1 12 + 412 4

1 + 4b 12 4

Racionalizar el denominador. Regla del producto.

Escribir

12 1 como 12. 4 116

Simplificar.

3112 4

✺

Dividir expresiones radicales con índices diferentes Ahora dividiremos expresiones radicales en donde éstas tienen índices diferentes. Para resolver este tipo de problemas, escriba cada radical en forma exponencial; luego utilice las reglas de los exponentes para simplificar la expresión como se explicó en la sección 7.2. El ejemplo 7 ilustra este procedimiento.

EJEMPLO 7 Solución

Simplifique.

a)

2 5 1m + n27 2 3 1m + n24

b)

2 3 a 5 b4 2a2b

Empiece escribiendo el numerador y el denominador con exponentes racionales. a)

2 5 1m + n27 2 3 1m + n24

=

1m + n27>5

1m + n24>3

= 1m + n217>52 - 14>32 = 1m + n21>15 F m + n = 1

b)

2 3 a 5 b4 2a2b

Escribir con exponentes racionales.

1a5b42

Regla del cociente para exponentes. Escribir como un radical.

1>3

=

1a2b2

1>2

a5>3b4>3 ab1>2 = a15>32 - 1b14>32 - 11>22 =

Escribir con exponentes racionales.

Elevar el producto a una potencia. Regla del cociente para exponentes.

2>3 5>6

= a b

= a4>6b5>6 = 1a b 2

4 5 1>6

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 123

= 2 6 ab

4 5

Escribir las fracciones con denominador 6. Reescribir mediante las leyes de exponentes. Escribir como un radical.

✺

470 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

Conjunto de ejercicios 7.5 Ejercicios conceptuales 1. a) ¿Qué es el conjugado de un binomio? b) ¿Cuál es el conjugado de x - 13 ? 2. ¿Qué significa racionalizar un denominador? 3. a) Explique cómo racionalizar un denominador que contiene una expresión radical de un término. 4 mediante el procedimiento que espe13y cificó en la parte a).

b) Racionalice

b) Racionalice

12 + 15

mediante el procedimiento que 12 - 15 especificó en la parte a).

5. ¿Cuáles son las tres condiciones que debe cumplir una expresión radical para considerarla simplificada? 6. Explique por qué cada una de las siguientes expresiones no está simplificada.

4. a) Explique cómo racionalizar un denominador que contiene un binomio en el que uno de los términos (o ambos) es una expresión radical.

a) 2x 3

b)

1 A3

c)

Simplifique. Suponga que todas las variables representan números reales positivos. 7.

1 13

8.

1 16

9.

3 17

10.

11.

1 117

12.

1 1z

13.

7 17

14.

16.

x 113

17.

14x 1x

21.

25.

15.

p 12

19.

5 13 15

20.

23.

5m A 8

24.

27. 31.

18x4y3

A 2z3 75x6y5

A 3z

3

2 13

2y 5pq4 28. A 2r 32.

3

1y

29.

4 15 y 1y

18.

117 1q

1x 1y

22.

213 1w

2n 118n

26.

120x A 4y3

30.

5xy6 A 6z

15

20y4z3

A 3xy -2

45y12z10 A 2x

Simplifique. 33. 37. 41.

45.

49.

1

34.

1 32 1

38.

1 42 x 2 4 z

42.

2

3 2 7 a

46.

3

5m

50.

1 42 2

53.

3x 3 B 2y2

54.

1

35.

1 34 x

39.

1 44 17 2 4 z 3

3

5x

Ay 3 1 4a 15x6y7 3 B 2z2

43.

3

36.

1 3x z

40.

1 48 13 2 5y

47. 3

2

1

A 4x

48.

2 3 x2 7 1 4z x 2 5 y4 3

5c

A 9y2

5 A 3x3

52.

2x3 4 B 4y2

8xy2 3 B 2z2

56.

r4s9 6 B 2r5

51. 4 55.

44.

2

1 12

Sección 7.5 • División de radicales • 471 Simplifique mediante la racionalización del denominador.

57.

1 13 + 1

58.

5 12 + 1

59.

1 2 + 13

60.

2 5 - 17

61.

4 12 - 7

62.

2 12 + 13

63.

15 215 - 16

64.

1 117 - 18

65.

2 6 + 1x

66.

3 15 1a - 3

67.

41x 1x - y

68.

18x x + 1y

69.

12 - 2 13 12 + 4 13

72.

2 1xy - 1xy 1x + 1y

70.

1c - 12d 1c - 1d

71.

2a3 + 2a7 1a

73.

2 1x + 2 - 3

74.

5 1y - 3 + 6

Simplifique. Estos ejercicios son una combinación de los que se presentaron antes en esta sección. 75.

x A9

79. 115 + 162115 - 162 83.

12xy4

x4 4 B 16

77.

2 A5

78.

a Ab

80.

1 A3

81.

24x3y6 A 5z

82.

6 4 - 1y

85.

1 1a + 3

86.

1x 1x + 51y

89.

3y2 4 B 2x

90.

25x2y5 A 3z

93.

1ar 1a - 21r

94.

97.

4 B

84.

A 2x3y4

87. -

76.

7 1x 198

88.

12 10

91. 95.

3 B

32y z 2x

92.

1 3 6x

96.

1 3 5xy

3

4x 1 3 5y 2xy4

A 18xy

2

13 + 2 12 + 13 2 3 16m2n 2 3 2mn2

2x7y 12z4

98.

3x9

4

2

A 9x 3 1y + 3 - 1y

Simplifique. 99.

1 12 + 2 12

100.

13 1 + 3 13

101. 15 -

102.

16 1 2 16

103.

1 + 124 A6

104. 413 -

106.

1 1 + + 175 3 13

107.

1 + 312 + 118 A2

2 1 - 3150 150 18

110.

13 2 + + 112 3 13

105. 3 12 -

2 + 150 18

108.

1 3 118 - 3150 2 12

109.

111.

3 3 + A8 A2

112. 2

114. - 5x

y

A y2

+ 2x

1 Ay

115.

8 100 - 4 A3 A 6

113. -2

3 9 + 1a Aa 1a

1 15 3 + 2118 13

y x + 3 Ay Ax

116. 41x +

1 1 + Ax 1x

Simplifique. 117.

21a + b24 1 3a + b

118.

1 3c + 2

2 4 1c + 223

119.

2 5 1a + 2b24 2 3 1a + 2b22

120.

2 6 1r + 325 2 3 1r + 325

472 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

121.

2 3 r2s4 1rs

122.

2a2b4 2 3 ab2

123.

2 5 x4y6

124.

2 3 1xy22

2 6 4m8n4 2 4 m4n2

Resolución de problemas 125. Iluminación Bajo ciertas condiciones, la fórmula

d =

72 AI

r = 3

3V

A 4p

en donde V es el volumen del tanque en pulgadas cúbicas. Determine el radio de un tanque esférico cuyo volumen es de 7238.23 pulgadas cúbicas.

se usa para demostrar la relación entre la iluminación sobre un objeto I, en lúmenes por metro, y la distancia en metros, d, que hay entre el objeto y la fuente de luz. Si la iluminación sobre una persona que está cerca de una fuente de luz es de 5.3 lúmenes por metro, ¿a qué distancia de la fuente de luz se encuentra la persona?

128. Números consecutivos Si consideramos el conjunto de números naturales consecutivos 1, 2, 3, 4, ..., n como la población, la desviación estándar, s, que es una medida de dispersión de los datos respecto a la media, puede calcularse mediante la fórmula

s = 126. Resistencia de una tabla Cuando se aplica suficiente presión sobre una tabla, ésta se rompe. Entre mayor sea el grosor de la tabla, mayor será la presión necesaria para que se rompa. La fórmula

T =

A

0.05 LB M

relaciona el grosor de una tabla, T, en pulgadas, su longitud, L, en pulgadas, la presión que se ejerce sobre ella, B, en libras y el módulo de ruptura, M, en libras por pulgadas cuadradas. El módulo de ruptura es una constante que se determina de acuerdo con el tipo específico de tabla.

n2 - 1 A 12

en donde n representa la cantidad de números naturales en la muestra. Determine la desviación típica para los primeros 100 números naturales consecutivos. 129. Granjas en Estados Unidos El número de granjas está disminuyendo anualmente en Estados Unidos (aunque el tamaño de las que quedan ha aumentado). Una función que puede usarse para calcular el número de granjas, N(t), en millones, es

N1t2 =

127. Volumen de una pecera Un restaurante quiere colocar una pecera esférica en su vestíbulo. El radio, r, en pulgadas, de un tanque esférico se determina mediante la fórmula

1 4t

en donde t es años desde 1959 y 1  t  48. Calcule el número de granjas en Estados Unidos en a) 1960, y b) 2007. 130. Tasa de mortalidad infantil La tasa de mortalidad infantil ha disminuido de manera constante en Estados Unidos. La tasa de mortalidad infantil, N(t), definida como muertes por 1000 niños nacidos vivos, puede calcularse mediante la función

N1t2 = Determine el grosor de una tabla de 36 pulgadas de largo, si el módulo de ruptura es 2560 libras por pulgada cuadrada y la tabla se rompe cuando se le aplica una presión de 800 libras.

6.21

28.46 2 3 t2

en donde t es años desde 1969 y 1  t  37. Calcule la tasa de mortalidad infantil en a) 1970, y b) 2006. 131. ¿Cuál es mayor, 132. ¿Cuál es mayor,

2 12

o

3 13

? Explique.

2 13 o ? Explique. 2 13

Sección 7.6 • Resolución de ecuaciones con radicales • 473 1

o 2 + 13 ? (No utilice una 13 + 2 calculadora). Explique cómo determinó su respuesta.

133. ¿Cuál es mayor,

1 2 + 175 o + 148 + 2 13 ? 13 112 (No utilice una calculadora). Explique cómo determinó su respuesta.

134. ¿Cuál es mayor,

135. Considere las funciones f(x)  xa/2 y g(x)  xb/3. a) Liste tres valores para a, de tal manera que xa/2 sea un cuadrado perfecto. b) Liste tres valores para b, de tal manera que xb/3 sea un cubo perfecto. c) Si x  0, determine (f  g)(x). d) Si x  0, determine (f/g)(x).

Racionalice cada denominador. 136.

1 1a + b

137.

3 12a - 3b

En cursos superiores de matemáticas, puede ser necesario racionalizar los numeradores de las expresiones radicales. Racionalice los numeradores de las siguientes expresiones. (Sus respuestas contendrán radicales en los denominadores.) 138.

16 3

139.

5 - 15 6

140.

4 1x - 13 x

141.

1x + h - 1x h

Actividad en equipo Los dos ejercicios siguientes reforzarán muchos de los conceptos que se han presentado en este capítulo. Resuélvalos en equipo. Asegúrese de que todos los miembros del equipo entiendan cada paso para obtener la solución. Las figuras de cada ejercicio son semejantes; utilice una proporción para determinar la longitud del lado x en cada caso. Escriba la respuesta en forma radical con un denominador racionalizado. 142.

143.

5  3 x 12

80

2  25

1  3 6  25

x

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 144. Despeje b2 de la ecuación A = 12 h1b 1 + b 22. [2.4] 145. Vehículos en movimiento Dos automóviles comienzan un recorrido al mismo tiempo y desde el mismo punto, viajando en direcciones opuestas. Uno viaja 10 millas por hora más rápido que el otro.

Si los dos automóviles se separan 270 millas después de 3 horas, encuentre la velocidad de cada uno. [5.2] 146. Multiplique (x  2)(4x2  9x  2). x 4 7 [6.4] 147. Resuelva = - . 2 x 2

7.6 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RADICALES 1

Resolver ecuaciones que contienen un radical.

2

Resolver ecuaciones que contienen dos radicales.

3

Resolver ecuaciones que contienen dos términos radicales y un término no radical.

4

Resolver problemas de aplicación mediante ecuaciones radicales.

5

Despejar una variable en un radicando.

474 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

1

Resolver ecuaciones que contienen un radical Una ecuación radical es aquella que contiene una variable en un radicando. Ejemplos de ecuaciones con radicales

1x = 5,

1 3 y + 4 = 9,

1x - 2 = 7 + 1x + 8

Para resolver ecuaciones radicales 1. Rescriba la ecuación de modo que el radical que contiene a la variable quede solo (aislado) en un lado de la ecuación. 2. Eleve cada lado de la ecuación a una potencia igual al índice del radical. 3. Combine (agrupe y sume) los términos semejantes. 4. Si la ecuación aún contiene un término con una variable en un radicando, repita los pasos 1 a 3. 5. Despeje la variable en la ecuación resultante. 6. Verifique todas las soluciones en las ecuaciones originales, para evitar la presencia de soluciones extrañas.

Recuerde que en la sección 6.4 se dijo que una solución extraña es un número que se obtiene al resolver una ecuación, pero que no es solución de la ecuación original. Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento para resolver ecuaciones radicales.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva la ecuación 1x = 7. La raíz cuadrada que contiene a la variable se encuentra sola en un lado de la ecuación. A continuación elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.

1x = 7 11x22 = 1722 x = 49 Comprobar

EJEMPLO 2 Solución

1x = 7 ? 149 = 7 7 = 7

✺

Verdadero

Resuelva. a) 1x - 4 - 6 = 0

3x + 9 = 7 b) 1

c) 1x + 3 = 0

El primer paso en cada caso consistirá en aislar el término que contiene al radical a)

1x - 4 - 6 = 0 1x - 4 = 6 11x - 422 = 62 x - 4 = 36 x = 40

Aislar el radical que contiene a la variable. Elevar al cuadrado ambos lados. Despejar la variable.

Una verificación mostrará que 40 es la solución. b)

1 3x + 9 = 7 1 3 x = -2

Aislar el radical que contiene a la variable.

11 3 x23 = 1- 223 Elevar al cubo ambos lados. x = -8

Una comprobación mostrará que 8 es la solución.

Sección 7.6 • Resolución de ecuaciones con radicales • 475

1x + 3 = 0

c)

1x = - 3

Aislar el radical que contiene a la variable.

11x22 = 1- 322 Elevar ambos lados al cuadrado. x = 9 Comprobar

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17

SUGERENCIA

1x + 3 = ? 19 + 3 = ? 3 + 3 = 6 =

0 0 0 0 Falso

Una verificación mostrará que 9 no es una solución. La respuesta a la parte c) es “no hay solución real”. Podría haberse dado cuenta de que no hay solución real para el problema cuando obtuvo la ecuación 1x = - 3, ya que 1x no puede ser igual a un número real negativo. ✺ No olvide verificar sus soluciones en la ecuación original. Recuerde que cuando ambos lados de una ecuación se elevan a una potencia, es posible obtener soluciones extrañas. Considere la ecuación x  2. Observe lo que ocurre cuando usted eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

x = 2 x2 = 2 2 x2 = 4 Observe que la ecuación x2  4 tiene dos soluciones, 2 y 2. Como la ecuación original x  2 sólo tiene una solución, 2, hemos obtenido la solución extraña, 2.

EJEMPLO 3 Solución

Resuelva 12x - 3 = x - 3. Como el radical ya está aislado, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación. Luego resolvemos la ecuación cuadrática resultante.

112x - 322 2x - 3 2x - 3 0

= = = =

1x 1x x2 x2

-

322 321x - 32 6x + 9 8x + 12

Ahora factorizamos y utilizamos la propiedad del factor nulo.

x2 - 8x + 12 = 0 1x - 621x - 22 = 0 or x - 2 = 0 x - 6 = 0 o x = 2 x = 6 x = 12x - 3 12162 - 3 19 3

Comprobar

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43

6 = ? = ? = =

x - 3 6 - 3 3 3 Verdadero

x = 12x - 3 12122 - 3 11 1

2 = ? = ? = =

x - 3 2 - 3 -1 - 1 Falso

Por lo tanto, 6 es una solución para la ecuación, pero 2 no lo es. El 2 es una solución extraña, pues satisface la ecuación 112x - 322 = 1x - 322, pero no la ecuación original, 12x - 3 = x - 3. ✺

476 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

Cómo utilizar su calculadora graficadora En el ejemplo 3 encontramos que la solución de 12x - 3 = x - 3 es 6. Si determinamos y1 = 12x - 3 y y2  x  3 y graficamos y1 y y2 en una calculadora graficadora, obtendremos la figura 7.3. Observe que las gráficas parecen intersecarse en x  6, tal como esperábamos. La tabla de valores de la figura 7.4 muestra que la coordenada y en el punto de intersección es 3. En la ta3 bla aparece ERROR en la columna de y1 para los valores 0 y 1 de x. Para cualquier valor menor que 2 , el valor de

2x  3 es negativo y, por lo tanto, 12x - 3 no es un número real. El dominio de la función y1 es E x ƒ x Ú puede encontrarse resolviendo la desigualdad 2x  3  0. Puede utilizar su calculadora graficadora para resolver o comprobar ecuaciones radicales.

3 2

F , que

y1

y2

FIGURA 7.3

FIGURA 7.4

Ejercicios Utilice su calculadora graficadora para determinar si el valor indicado es la solución para la ecuación radical. Si no es la solución, utilice su graficadora para determinar la respuesta correcta. 1. 12x + 9 = 51x - 72, 8

EJEMPLO 4 Solución

2. 13x + 4 = 1x + 12 , 6

Resuelva x - 21x - 8 = 0. En primer lugar, aislamos el término con el radical dejándolo solo en un lado de la ecuación.

x - 21x - 8 = 0 - 21x = - x + 8 21x = x - 8 Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.

121x22 = 1x 4x = x2 0 = x2 0 = 1x x - 16 = 0 x = 16

Comprobar

x = 4 x - 21x - 8 = 0 ?

4 - 214 - 8 = 0 ?

4 - 2122 - 8 = 0

-

822 16x + 20x + 1621x o

64 64 - 42 x - 4 = 0 x = 4 x = 16 x - 21x - 8 = 0 ?

16 - 2116 - 8 = 0 ?

16 - 2142 - 8 = 0

?

4 - 4 - 8 = 0 -8 = 0 Falso

?

16 - 8 - 8 = 0 ?

8 - 8 = 0 0 = 0 Verdadero

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41

La solución es 16. El valor 4 es una solución extraña.

✺

Sección 7.6 • Resolución de ecuaciones con radicales • 477

2

Resolver ecuaciones que contienen dos radicales A continuación analizaremos algunas ecuaciones que contienen dos radicales.

EJEMPLO 5 Solución

Resuelva 29x 2 + 6 = 3 2x2 + x - 2 . Como los dos radicales aparecen en lados diferentes de la ecuación, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.

A29x2 + 6 B 2 = A 32x2 + x - 2 B 2 2

9x + 6 9x2 + 6 6 24 8 3

Una verificación mostrará que

= = = =

Elevar al cuadrado ambos lados.

2

91x + x - 22 9x2 + 9x - 18 9x - 18 9x

Propiedad distributiva. 9x2 se restó de ambos lados.

= x 8 es la solución. 3

✺

En cursos superiores de matemáticas, en ocasiones las ecuaciones utilizan exponentes en lugar de radicales. El ejemplo 6 ilustra una de tales ecuaciones.

EJEMPLO 6

Para f(x)  3(x  2)1/3 y g(x)  (17x - 14)1/3, determine todos los valores de x para los que f(x)  g(x).

Solución

Observe que f(x) y g(x) también se pueden escribir f1x2 = 3 1 3 x - 2 y g(x)  1 3 17x - 14 . Por consiguiente, podríamos resolver este ejemplo mediante radicales; sin embargo, lo haremos con exponentes racionales. Primero igualamos las dos funciones y despejamos x.

f1x2 31x - 221>3 3 331x - 221>34 331x - 22 271x - 22 27x - 54 10x - 54 10x x

= = = = = = = = =

g1x2 117x - 1421>3 3 3117x - 1421>34 17x - 14 17x - 14 17x - 14 - 14 40 4

Elevar al cubo ambos lados.

Una verificación mostrará que la solución es 4. Si sustituye 4 en f(x) y en g(x), descubrirá que ambas ecuaciones se simplifican a 3 1 3 2 . Compruébelo. ✺

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69

3 17x - 14 obtendrá la 3x - 2 = 1 En el ejemplo 6, si resuelve la ecuación 3 1 solución 4. Hágalo para practicar.

3 Resolver ecuaciones que contienen dos términos radicales y un término no radical Cuando una ecuación radical contiene dos términos radicales y un tercer término no radical, a veces es necesario elevar ambos lados de la ecuación a una determinada potencia dos veces para obtener la solución. En primer lugar, aísle un término radical; después eleve ambos lados de la ecuación a una potencia dada. Esto eliminará uno de

478 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

los radicales. A continuación, aísle el radical restante en un lado de la ecuación; después eleve ambos lados de la ecuación a la potencia dada una segunda vez. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 7.

EJEMPLO 7 Solución

Resuelva 15x - 1 - 13x - 2 = 1. Debemos aislar un término radical en un lado de la ecuación. Comenzaremos por sumar 13x - 2 a ambos lados de la ecuación para aislar 15x - 1 . Después elevaremos al cuadrado ambos lados de la ecuación y reduciremos los términos semejantes.

15x - 1 = 1 + 13x - 2 115x - 122 = 11 + 13x - 222 5x - 1 = 11 + 13x - 2211 + 13x - 22

Aislar 15x - 1. Elevar ambos lados al cuadrado. Escribir como un producto.

5x - 1 = 1 + 13x - 2 + 13x - 2 + 113x - 222 Multiplicar. 5x - 1 = 1 + 213x - 2 + 3x - 2 Reducir términos semejantes; simplificar.

5x - 1 = 3x - 1 + 213x - 2 2x = 213x - 2 x = 13x - 2

Reducir términos semejantes. Aislar el término radical. Ambos lados se dividieron entre 2.

Hemos aislado el término radical restante. Después de esto elevaremos al cuadrado ambos lados de la ecuación y despejaremos x.

x = 13x - 2 x2 = 113x - 222

Elevar al cuadrado ambos lados.

x2 = 3x - 2 x2 - 3x + 2 = 0 1x - 221x - 12 = 0 x - 2 = 0 o x - 1 = 0 x = 2 x = 1 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 61

EJEMPLO 8 Solución

Una verificación mostrará que 2 y 1 son soluciones de la ecuación.

✺

En f1x2 = 15x - 1 - 13x - 2 , determine todos los valores de x para los que f(x)  1. Sustituya f(x) por 1. Esto da 1 = 15x - 1 - 13x - 2 Como ésta es la misma ecuación que la que resolvimos en el ejemplo 7, las respuestas son x  2 y x  1. Verifique que f(2)  1 y f(1)  1. ✺

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

En el capítulo 5 establecimos que (a  b)2 a2  b2. Sea cuidadoso cuando eleve al cuadrado un binomio como 1 + 1x . Analice con atención los siguientes cálculos, para que no cometa el error que se muestra a la derecha.

CORRECTO 11 + 1x2 = 11 + 1x211 + 1x2 2

= 1 + 1x + 1x + 1x 1x

= 1 + 2 1x + x

INCORRECTO 11 + 1x22 = 12 + 11x22 = 1 + x

Sección 7.6 • Resolución de ecuaciones con radicales • 479

4

Resolver problemas de aplicación mediante ecuaciones radicales Ahora veremos algunos de los muchos problemas de aplicación que pueden resolverse con ayuda de los radicales.

EJEMPLO 9

Diamante de béisbol El diamante de béisbol reglamentario es un cuadrado con 90 pies entre las bases. ¿A qué distancia se encuentra la segunda base del home?

Solución

Entienda el problema En la figura 7.5 se ilustra el problema. Necesitamos determinar la distancia que hay entre la segunda base y el home, es decir, la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Home 90 Primera base

c 90 Segunda base

FIGURA 7.5 Traduzca Para resolver el problema utilizaremos el teorema de Pitágoras que se comentó anteriormente: cateto2  cateto2  hipotenusa2 o a2  b2  c2.

902 + 902 = c2 Realice los calculos

Sustituir los valores conocidos.

2

8100 + 8100 = c 16,200 = c2 116,200 = 2c2 Tomar la raíz cuadrada de ambos lados. *Vea la nota de pie de página. 116,200 = c 127.28 L c

Responda

La distancia entre la segunda base y el home es de más o menos 127.28 pies. ✺

EJEMPLO 10

Periodo de un péndulo El tiempo que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa se denomina periodo. Vea la figura 7.6. El periodo L de un péndulo, T, en segundos, puede calcularse mediante la fórmula T = 2p , A 32 en donde L es la longitud del péndulo, en pies. Determine el periodo de un péndulo si su longitud es de 6 pies. Sustituya L por 6 y  por 3.14 en la fórmula. Si su calculadora tiene la tecla p , utilícela para introducir .

Solución

T = 2p

L A 32

6 A 32 L 213.14210.1875 L 2.72 L 213.142

FIGURA 7.6 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 103

Así, el periodo es de más o menos 2.72 segundos; es decir, a un péndulo 6 pies le tomará aproximadamente 2.72 segundos completar una oscilación completa. ✺ *c2  16,200 tiene dos soluciones: c = 116,200 y c = - 116,200. Como lo que estamos tratando de determinar es una longitud (que debe ser una cantidad positiva), utilizamos la raíz positiva.

480 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

5

Despejar una variable en un radicando Si se le da una fórmula y se le pide que despeje una variable que está en un radicando, siga el mismo procedimiento general utilizado para resolver una ecuación radical. Empiece por aislar la expresión radical; luego eleve ambos lados de la ecuación a la misma potencia que el índice del radical. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 11 b).

EJEMPLO 11

Error de cálculo Una fórmula estadística para determinar el error de cálculo máximo s es E = Z . 1n a) Determine E si Z  1.28,   10 y n  36. b) Despeje n de esta ecuación.

Solución

s 10 10 = 1.28 a b = 1.28 a b L 2.13 6 1n 136 b) Primero multiplique ambos lados de la ecuación por 1n para eliminar las fracciones. Luego aísle 1n; por último, despeje n elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. a) E = Z

E = Z

s 1n

1n 1E2 = aZ

s b 1n 1n

Eliminar fracciones.

1n 1E2 = Zs 1n =

Zs E Zs 2 b E Zs 2 n = a b E

Aislar el término con radical.

11n22 = a

Elevar ambos lados al cuadrado.

o n =

Z2s2 E2

✺

Conjunto de ejercicios 7.6 Ejercicios conceptuales 1. a) Explique cómo resolver una ecuación radical. b) Utilizando el procedimiento que indicó en la parte a), resuelva 12x + 26 - 2 = 4. 2. Considere la ecuación 1x + 3 = - 12x - 1 . Explique por qué esta ecuación no puede tener soluciones reales. 3. Analice la ecuación - 2x 2 = 21- x22; ¿puede determinar su solución? Explique. 4. Analice la ecuación 2 3 x2 = - 2 3 x2; ¿puede determinar su solución? Explique.

5. Sin resolver la ecuación, explique cómo puede saber que 1x - 3 + 3 = 0 no tiene solución. 6. ¿Por qué es necesario comprobar las soluciones de las ecuaciones radicales? 7. La ecuación 1x = 3, ¿tiene una o dos soluciones? Explique. 8. La ecuación x2  9, ¿tiene una o dos soluciones? Explique.

Problemas de aplicación Resuelva y compruebe su o sus soluciones. Si la ecuación no tiene soluciones reales, indíquelo. 9. 1x = 4

10. 1x = 12

11. 1x = - 9

3x = 4 12. 1

3 x = -4 13. 1

14. 1a - 3 + 6 = 7

Sección 7.6 • Resolución de ecuaciones con radicales • 481 15. - 12x + 4 = - 6

3 5x + 14 = 4 16. 1

18. 2 14x + 5 = 14

3 2x + 29 = 3 19. 1

4x = 2 21. 1

4 x = -2 22. 1

4 3x + 1 = 2 24. 1

4 2x + 1 + 5 = 1 25. 1

27. 1x + 8 = 1x - 8

28. 1r + 5 + 6 = 9

3x - 1 = 2 3 x + 2x 30. 2 1

4x + 8 = 1 4 2x 31. 1

33. 13x + 1 - 4 = 0

34. 2x 2 + 9x + 3 = - x

36. 2x 2 + 3x + 9 = x

37. 16c + 1 - 11 = 0

39. 2z2 + 3 = z + 1

40. 1x + 2x = 1 43. 15x + 6 = 2x - 6 46. 13x + 421>2 - x = - 2 49. 1r + 221>3 = 13r + 821>3 52. 15b + 221>4 = 12b + 1621>4

2

1

42. 14x + 1 = 2 x + 2

45. 12a + 92

1>2

48. 12x + 121>2 51. 15x + 82

1>4

- a + 3 = 0 + 7 = x = 19x + 221>4

54. 2x + x - 1 = - 1x + 3 2

3 3x + 4 = 7 17. 1 20. 18a - 3 = 17a + 3 4x + 5 = 3 23. 1 26. 12x + 3 = 9 3 6t + 1 = 1 3 2t + 5 29. 1 4 3x - 1 + 5 = 0 32. 1 35. 2m2 + 6m - 4 = m 38. 2b2 - 2 = b + 4 41. 12y + 5 = y - 5 44. 18b - 15 + b = 10 47. 12x 2 + 4x + 62

= 12x2 + 62 + 3 = 0 1>2

50. 13x + 621>3

1>2

4 x + 5 = -3 53. 1

Resuelva. Tendrá que elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación dos veces para eliminar todos los radicales. 55. 13x - 5 = 12x - 1

56. 13a + 1 = 1a - 4 + 3

57. 21b - 1 = 1b + 16

58. 1x + 1 = 2 - 1x

59. 1x + 3 = 1x - 3

60. 1y + 2 = 2 + 1y - 6

61. 1x + 7 = 6 - 1x - 5 64. 1r + 10 + 3 + 1r - 5 = 0

62. 1b - 3 = 4 - 12b + 1

63. 14x - 3 = 2 + 12x - 5

65. 1y + 1 = 1y + 5 - 2

66. 3 + 1x + 1 = 13x + 12

Determine todos los valores reales de x en donde f(x)  g(x) en cada par de funciones. 67. f1x2 = 1x + 5, g1x2 = 12x - 2

3 5x - 17, g1x2 = 1 3 6x - 21 69. f1x2 = 1 1>3 f1x2 = 218x + 242 , g1x2 = 412x - 221>3 71.

68. f1x2 = 2x 2 - 6x + 11, g1x2 = 1x - 1 70. f1x2 = 114x - 821>2, g1x2 = 213x + 221>2 72. f1x2 = 2 1x + 7, g1x2 = 10 - 1x + 14

Despeje la variable indicada en cada fórmula. 75. v = 12gh, para g

73. p = 12v, para v

74. l = 14r, para r

2E , para E Am m V0 , para m 79. x = Ak 3V , para V 82. r = 3 A 4p

FR , para F AM L , para L 80. T = 2p A 32 77. v =

76. v =

78. v = 81. r =

a0

A b0

, para b0

A , para A Ap

Resolución de problemas Utilice el teorema de Pitágoras para determinar la longitud del lado desconocido de cada triángulo. Escriba la respuesta como un radical en forma simplificada. 83.

84.

85.

86. 57

x

9

70

5

x

6

x x 4

6

10

482 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos Resuelva. Necesitará elevar al cuadrado dos veces ambos lados de la ecuación. 87. 1x + 5 - 1x = 1x - 3

88. 12x - 1x - 4 = 112 - x

89. 14y + 6 + 1y + 5 = 1y + 1

90. 12b - 2 + 1b - 5 = 14b

91. 1a + 2 - 1a - 3 = 1a - 6

92. 1c + 1 + 1c - 2 = 13c

93. 12t - 1 + 1t - 4 = 13t + 1

94. 1r - 1 - 1r + 6 = 1r - 9

Resuelva. Necesitará elevar al cuadrado dos veces ambos lados de la ecuación. 95. 32 - 1x = 1x

96. 36 + 1x + 4 = 12x - 1

97. 32 + 1x + 1 = 17 - x

98. 31 + 1x - 1 = 1x - 6

99. Poste telefónico Como se muestra en la figura, un poste telefónico forma un ángulo recto (90°) respecto del piso. Determine la longitud del alambre que conecta al poste a 40 pies del piso, y que está anclado al piso a 20 pies desde la base el poste.

cuando el centro de este último está en el centro de aquél?

103. Periodo de un péndulo La fórmula para determinar el periodo de un péndulo es

T = 2p

40 pies

l

en donde T es el periodo en segundos, l es la longitud del péndulo en pies, y g es la aceleración provocada por la gravedad. En la Tierra, la gravedad es de 32 pies/segundo2. A partir de este dato, la fórmula se convierte en

T = 2p 20 pies

100. Escalera de extensión Un ama de casa recarga una escalera de extensión contra una pared de su casa. La base de la escalera está a dos metros de la pared, y su parte superior está recargada contra ella seis metros por arriba del piso. ¿Cuál es la extensión de la escalera? 101. Jardín Conociendo el área de un cuadrado, la longitud de sus lados puede determinarse mediante la fórmula s = 1A . Determine cuánto miden los lados de un jardín cuadrado, si su área mide 144 pies cuadrados. 102. Radio de un aro de baloncesto Si se conoce el área de un círculo, es posible determinar su radio mediante la fórmula r = 1A>p .

l Ag

l A 32

a) Determine el periodo de un péndulo que mide 10 pies de longitud. b) Si la longitud de un péndulo se duplica, ¿qué efecto tiene en el periodo? Explique. c) La gravedad en la Luna es 1/6 de la terrestre. Si un péndulo tiene un periodo de 2 segundos en la Tierra, ¿cuál será el periodo del mismo péndulo en la Luna? 104. Diagonal de un portafolio Una fórmula para determinar la longitud de la diagonal de una caja (es decir la distancia que hay entre su esquina superior y su esquina inferior opuesta) es d = 2L 2 + W 2 + H 2 , en donde L, W y H son el largo, ancho y altura de la caja, respectivamente.

d

H

W

L

a) Determine la longitud de la diagonal de un portafolio que mide 22 pulgadas de largo, 15 pulgadas de ancho y 9 pulgadas de altura. b) Si el largo, ancho y la altura se duplican, ¿cómo cambiará la diagonal? a) Determine el radio de un aro de baloncesto, si su área interior mide 254.57 pulgadas cuadradas. b) Si un balón tiene 9 pulgadas de diámetro, ¿cuál es la distancia mínima posible entre el aro y el balón,

c) Despeje W en la fórmula. 105. Flujo de sangre en una arteria La fórmula

r = 4

8ml

A pR

Sección 7.6 • Resolución de ecuaciones con radicales • 483 fórmula v e = 12gR , en donde g es la fuerza de gravedad del planeta, y R es el radio del planeta. Determine la velocidad de escape de la Tierra, en metros por segundo, en donde g  9.75 m/s2 y R  6,370,000 metros.

se utiliza para determinar el flujo de sangre que pasa a través de las arterias. En la fórmula, R representa la resistencia que ofrece la arteria al paso de la sangre, m es la viscosidad de la sangre, l es la longitud de la arteria, y r es el radio de la arteria. Despeje R de esta ecuación. 106. Objeto que cae La fórmula

t =

119.6s 9.8

puede usarse para establecer el tiempo, t, en segundos, que un objeto ha estado cayendo, si ha caído s metros. Suponga que un objeto se ha dejado caer desde un helicóptero y ha caído 100 metros. ¿Cuánto tiempo ha estado en caída libre? 107. Días terrestres Un “año” es el tiempo que tarda cualquiera de los planetas de nuestro sistema solar en dar una vuelta completa alrededor del Sol. El número de días terrestres a que equivale un año de otro planeta, N, se calcula mediante la fórmula N = 0.211R23, en donde R es la distancia media que hay entre el planeta y el Sol, en millones de kilómetros. Determine el número de días terrestres que dura el año del planeta Tierra, cuya distancia media al Sol es de 149.4 millones de kilómetros.

111. Oleaje Una fórmula que se utiliza para estudiar el movimiento ondulatorio en aguas poco profundas es c = 1gH , en donde c es la velocidad de ola, H es la profundidad del agua, y g es la aceleración provocada por la gravedad. Determine la velocidad de la ola, si la profundidad del agua es de 10 pies. (Utilice g  32 pies/seg2.)

H

112. Diagonal La tapa de una caja rectangular mide 20 por 32 pulgadas. Determine la longitud de su diagonal. 113. Jardín floral Un jardín floral con forma rectangular mide 25 por 32 metros. Determine la longitud de la diagonal del jardín. 114. Velocidad del sonido Cuando el sonido recorre el aire (o cualquier gas), la velocidad de la onda sonora depende de la temperatura del aire (o gas). La velocidad, v, en metros por segundo, a la temperatura del aire, t, en grados Celsius, puede determinarse mediante la fórmula

t v = 331.3 1 + A 273

108. Días terrestres Determine el número de días terrestres que dura el año del planeta Mercurio, cuya distancia media al Sol es de 58 millones de kilómetros. Vea el ejercicio 107. 109. Fuerzas sobre un automóvil Cuando dos fuerzas, F1 y F2, jalan formando un ángulo recto entre sí, como se muestra en la siguiente figura, podemos determinar la fuerza resultante, o fuerza efectiva, R, mediante la fórmula R = 2F 1 2 + F 2 2 . Dos automóviles intentan sacar a otro del fango, como se muestra a continuación. Si el automóvil A ejerce una fuerza de 60 libras y el automóvil B ejerce una fuerza de 80 libras, determine la fuerza resultante sobre el automóvil atascado en el fango.

F1

F2 800

600 F2 F1

R

R

110. Velocidad de escape La velocidad de escape es la velocidad que necesita una nave espacial para escapar del campo gravitacional de un planeta, y se determina mediante la

Determine la velocidad del sonido en aire cuya temperatura es de 20°C (equivalente a 68°F). Una fórmula que ya hemos mencionado y que analizaremos pronto con más detalle, es la fórmula cuadrática

x =

-b ; 2b2 - 4ac 2a

115. Determine x cuando a  1, b  0, c  4. 116. Determine x cuando a  1, b  1, c  12. 117. Determine x cuando a  2, b  5, c  12. 118. Determine x cuando a  -1, b  4,c  5. Dada f(x), determine todos los valores de x para los que f(x) tiene el valor indicado. 119. 120. 121. 122.

f1x2 f1x2 f1x2 f1x2

= = = =

1x - 5, f1x2 = 4 1 3 2x + 3 , f1x2 = 5 23x 2 - 11 + 4, f1x2 = 12 4 + 2 3 x2 + 152, f1x2 = 10

123. a) Considere la ecuación 14x - 12 = x - 3. Si igualamos cada lado de la ecuación con y, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.

y = 14x - 12 y = x - 3

484 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos A continuación se muestran las gráficas de las ecuaciones del sistema. y 5 4 3 2 1 2 1 1 2 3 4 5

y  4x  12

1 2 3 4 5 6 7 8

x

yx3

A partir de la gráfica, determine los valores que parecen soluciones de la ecuación 14x - 12 = x - 3. Explique cómo determinó su respuesta. b) Sustituya los valores determinados en la parte a) en la ecuación original, y determine si son soluciones a la ecuación. c) Resuelva la ecuación 14x - 12 = x - 3 en forma algebraica, e indique si su solución concuerda con los valores obtenidos en la parte a). 124. Si la gráfica de una función radical f(x) no interseca al eje x, entonces la ecuación f(x)  0 no tiene soluciones reales. Explique. 125.

Suponga que se nos da una función racional g(x). Si g(4)  0, entonces la gráfica de g(x) debe intersecar al eje x en 4. Explique por qué. 126. La gráfica de la ecuación y = 1x - 3 + 2 se ilustra en la siguiente figura.

127. Intervalo de confianza En estadística, un “intervalo de confianza” es un rango de valores donde es probable encontrar al valor verdadero de la población. Para un “intervalo de confianza de 95%”, los límites inferior, L1, y superior, L2, del rango pueden determinarse mediante las fórmulas

p11 - p2

L1 = p - 1.96

B

L2 = p + 1.96

n p11 - p2

B

n

en donde p representa el porcentaje obtenido de una muestra, y n es el tamaño de la muestra. Si se realiza una encuesta en una muestra de 36 familias y se determina que 60% de ellas utiliza una máquina contestadora en su casa, podemos estar 95% seguros de que el porcentaje verdadero de familias que utilizan una máquina contestadora está entre L1 y L2. Determine los valores de L1 y L2. Utilice p  0.60 y n  36 en las fórmulas. 128. Media cuadrática La media cuadrática (o raíz cuadrada media, RCM) se utiliza con frecuencia en la solución de problemas de física. En sistemas de distribución de potencia, por ejemplo, muchas veces se hace referencia a los voltajes y las corrientes en términos de sus valores RCM. La media cuadrática de un conjunto de valores se obtiene elevando al cuadrado cada valor y sumando los resultados (representados por ©x 2), para luego dividir el valor obtenido entre el número de valores y tomar la raíz cuadrada del mismo. Podemos expresar esta fórmula como

media cuadrática =

©x2 A n

Determine la media cuadrática de los números 2, 4 y 10.

a) ¿Cuál es el dominio de la función?

En los ejercicios 129 y 130, resuelva las ecuaciones.

b) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación 1x - 3 + 2 = 0 ? Liste todas las soluciones reales. Explique cómo determinó su respuesta.

129. 2x 2 + 9 = 1x 2 + 92

y

130. 2x 2 - 4 = 1x 2 - 42

1>2

En los ejercicios 121 a 134, utilice su calculadora graficadora para resolver las ecuaciones. Redondee sus soluciones al décimo más cercano.

5 4 3 2 1 2 1 1

1>2

131. 1x + 8 = 13x + 5 132. 110x - 16 - 15 = 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

3 5x 2 - 6 - 4 = 0 133. 2 3 5x 2 - 10 = 1 3 4x + 95 134. 2

Reto Resuelva 135. 21x + 25 - 1x = 5

136. 2 1x + 9 + 1x = 3

Sección 7.7 • Números complejos • 485 Despeje n en cada ecuación 137. z =

x - m s 1n

138. z =

p¿ - p pq A n

Actividad en equipo Analicen y respondan en equipo el ejercicio 139. 1

139. Fórmula de Herón El área de un triángulo es A = 2 bh. Si se desconoce la altura pero se sabe cuánto miden sus tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón para determinar el área, A. La fórmula de Herón es

c) Cada miembro del equipo llevará a cabo los siguientes pasos:

1. Dibuje un triángulo en la cuadrícula. Coloque cada vértice del triángulo en la intersección de dos línea de la cuadrícula.

A = 2S1S - a21S - b21S - c2 en donde a, b y c son las longitudes de los tres lados y

S =

a + b + c 2

4

3

5

a) Cada miembro del equipo utilizará la fórmula de Herón para determinar el área de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 pulgadas. b) Comparen las respuestas que dieron a la parte a). Si algún miembro del equipo obtuvo una respuesta incorrecta, discutan en qué consistió el error.

2. Mida con una regla la longitud de cada lado de su triángulo.

3. Utilice la fórmula de Herón para determinar el área de su triángulo.

4. Comparen y analicen sus resultados.

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 140. Despeje P2 de la fórmula P1P2  P1P3  P2P3.

[6.1] 141. Simplifique

x1x - 32 + x1x - 42 2x - 7

Realice cada operación que se indica. [6.1] 142.

2 4a2 - 9b2 # 2 26a b 3 2 4a + 12ab + 9b 8a b - 12ab

[6.2] 144.

2 1 2x + 2 x + 3 x - 3 x - 9

2

143. 1t2 - t - 122 , [6.4] 145. Resuelva 2 +

7.7 NÚMEROS COMPLEJOS 1

Reconocer un número complejo.

2

Sumar y restar números complejos.

3

Multiplicar números complejos.

4

Dividir números complejos.

5

Determinar potencias de i.

t2 - 9 t2 - 3t

8 3x = . x - 1 x - 1

.

486 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

1

Reconocer un número complejo En la sección 7.1 se mencionó que las raíces cuadradas de los números negativos, como 1 - 4, no son números reales. Este tipo de números se denominan números imaginarios, ya que muchos matemáticos rechazaban su existencia.Aunque no pertenecen al conjunto de los números reales, por definición los números imaginarios existen y son muy útiles en matemáticas y ciencias. Todo número imaginario tiene a 1 - 1 como factor. El número 1 - 1, llamado unidad imaginaria, se denota con la letra i. i = 1-1

Para escribir la raíz cuadrada de un número negativo en términos de i, se usa la siguiente propiedad. Para cualquier número real positivo n, 1-n = 1- 1 1n = i 1n

Por lo tanto, podemos escribir

1-4 = 1-1 14 = i2 or o 2i 1-9 = 1-1 19 = i3 or o 3i 1-7 = 1-1 17 = i17 Por lo general, en este libro escribiremos i 17 en vez de 17i, para evitar confusiones con 17i . También 315i se escribirá como 3i 15 .

Ejemplos 1-81 = 9i

1-5 = i15

1-49 = 7i

1-10 = i110

El sistema de los números reales es parte de un sistema de números más grande, denominado sistema de números complejos, el cual analizaremos a continuación.

DEFINICIÓN

Todo número con la forma a  bi en donde a y b son números reales, es un número complejo. Todos los números reales y todos los números imaginarios son también números complejos. Un número complejo tiene dos partes: una parte real, a, y una parte imaginaria, b. Parte real

Parte imaginaria

a + bi Si b  0, el número complejo es un número real. Si a  0, el número complejo es un número imaginario puro.

Sección 7.7 • Números complejos • 487

Ejemplos de números complejos

3 + 7i

a = 3, b = 7

5 - i13

a = 5, b = - 13

6

a = 6, b = 0

(número real, b  0)

8i

a = 0, b = 8

(número imaginario, a  0)

-i17

a = 0, b = - 17

(número imaginario, a  0)

Hemos dicho que todos los números reales e imaginarios son también números complejos. En la figura 7.7 se muestra la relación entre los diversos conjuntos de números.

Números complejos Números reales

Números no reales

Números racionales

Números irracionales

q, E, $

2, 3

6  4i

7, p

2  i3

Enteros 4, 9

2  3i

i5

Enteros no negativos 0, 4, 12

6i

FIGURA 7.7

EJEMPLO 1

Escriba cada uno de los siguientes números complejos en la forma a  bi. a) 3 + 1-36

Solución

b) 5 - 1- 12

c) 19

d) 1-50

e) 6 + 17

a) 3 + 1-36 = 3 + 1- 1 136

o 3 + 6i = 3 + i6 or b) 5 - 1-12 = 5 - 1- 1 112

= 5 - 1- 1 14 13 o 5 - 2i13 = 5 - i12213 or c) 19 = 19 + 0i d) 1-50 = 0 + 1-50

= 0 + 1-1 125 12 o 0 + 5i12 = 0 + i15212 or AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23

e) Tanto 6 como 17 son números reales. Si escribimos la expresión como un número complejo, obtenemos 16 + 172 + 0i. ✺ Los números complejos pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Para realizar estas operaciones, utilizamos el hecho de que i = 1 - 1, y de que i2  1

488 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

2

Sumar y restar números complejos A continuación se explica cómo sumar y restar números complejos. Para sumar y restar números complejos 1. Cambie todos los números imaginarios a la forma bi. 2. Sume (o reste) las partes reales de los números complejos. 3. Sume (o reste) las partes imaginarias de los números complejos. 4. Escriba la respuesta en la forma a  bi.

EJEMPLO 2 Solución

Sume (7  15i)  (-6  2i)  20.

17 + 15i2 + 1-6 - 2i2 + 20 = 7 + 15i - 6 - 2i + 20 = 7 - 6 + 20 + 15i - 2i = 21 + 13i

Reacomodar términos. Reducir los términos semejantes.

✺

EJEMPLO 3 Reste 15 - 1 - 272 - 1 - 3 + 1 - 482. Solución 15 - 1 -272 - 1 -3 + 1-482 = 15 - 1- 1 1272 - 1-3 + 1-1 1482 = = = = =

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35

3

15 - 1- 1 19 132 - 1-3 + 1- 1 116 132 15 - 3i132 - 1-3 + 4i132 5 - 3i13 + 3 - 4i13 5 + 3 - 3i13 - 4i13 8 - 7i13 ✺

Multiplicar números complejos Ahora veamos cómo multiplicar números complejos. Para multiplicar números complejos 1. Cambie todos los números imaginarios a la forma bi. 2. Multiplique los números complejos como si multiplicara polinomios. 3. Sustituya cada aparición de i2 con 1. 4. Sume las partes reales e imaginarias. Escriba la respuesta en la forma a  bi.

EJEMPLO 4 Solución

Multipique. a) 5i13 - 2i2

b) 1 - 9 11 - 3 + 72

a) 5i13 - 2i2 = 5i132 + 5i1-2i2

= 15i - 10i

c) 12 - 1 - 18211 - 2 + 52

Propiedad distributiva.

2

= 15i - 101-12

Reemplazar i2 con 1.

o 10 + 15i = 15i + 10 or

b) 1 -9 11-3 + 72 = 3i1i13 + 72

Cambiar los números imaginarios a la forma bi.

= 3i1i132 + 3i172 Propiedad distributiva. = 3i2 13 + 21i = 31- 1213 + 21i Reemplazar i2 con 1.

Sección 7.7 • Números complejos • 489

= - 313 12 1 1821 1-2 + 52 = c) = =

+ 21i 12 - 1-1 118211-1 12 + 52 12 - 1- 1 19 12211-1 12 + 52 12 - 3i1221i12 + 52

Ahora utilice el método PIES para multiplicar.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

12 - 3i1221i12 + 52 = = = = =

1221i 122 + 1-3i1221i 122 + 122152 + 1-3i122152 2i12 - 3i2122 + 10 - 15i12 2i12 - 31- 12122 + 10 - 15i12 2i12 + 6 + 10 - 15i12 16 - 13i12 ✺

¿Qué es 1 - 4 # 1 - 2 ?

CORRECTO

INCORRECTO

1- 4 # 1-2 = 2i # i12

1- 4 # 1-2 = 18

= 2i 12

= 14 # 12

= 21-12 12

= 212

2

= - 2 12 Recuerde que 1a # 1b =

4

1ab sólo para a y b números reales no negativos.

Dividir números complejos El conjugado de un número complejo, a  bi es a  bi. Por ejemplo, Número complejo

Conjugado

3 + 4i 1 - i13

3 - 4i 1 + i13

2i 1o 0 + 2i2 15 1o 15 + 0i2

-2i 1o 0 - 2i2 15 1o 15 - 0i2

Al multiplicar un número complejo por su conjugado mediante el método PIES, los productos interno y externo sumarán cero y el resultado será un número real. Por ejemplo,

15 + 3i215 - 3i2 = 25 - 15i + 15i - 9i2 = 25 - 9i2

= 25 - 91-12 = 25 + 9 = 34 Ahora veamos cómo dividir números complejos. Para dividir números complejos 1. Cambie todos los números imaginarios a la forma bi. 2. Racionalice el denominador, multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. 3. Escriba la respuesta en la forma a  bi.

490 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos

EJEMPLO 5 Solución

EJEMPLO 6 Solución

Divida

6 + i . i

Comience multiplicando el numerador y el denominador por i, el conjugado de i.

16 + i21- i2 6 + i # -i = i -i -i2 -6i - i2 = -i2 -6i - 1-12 = -1- 12 - 6i + 1 = 1 = 1 - 6i

Divida

Solución

Reemplace i2 con 1.

✺

3 - 2i . 4 - i

Multiplique el numerador y el denominador por 4  i, el conjugado de 4  i.

3 - 2i # 4 + i 12 + 3i - 8i - 2i2 = 4 - i 4 + i 16 - i2 12 - 5i - 21- 12 = 16 - 1- 12 14 - 5i 14 5 = o i 17 17 17

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65

EJEMPLO 7

Propiedad distributiva.

✺

Impedancia Un concepto necesario en el estudio de la electrónica es la impedancia. La impedancia, Z, en un circuito se determina mediante la fórmula Z = VI , en donde V es el voltaje e I es la corriente. Determine Z cuando V  1.6  0.3i e I  0.2i, y i = 1-1. Z =

1.6 - 0.3i V = . Ahora multiplicamos el numerador y el denominador por 0.2i. I - 0.2i

Z =

1.6 - 0.3i # 0.2i 0.32i - 0.06i2 = -0.2i 0.2i -0.04i2 0.32i + 0.06 = 0.04 0.32i 0.06 = + 0.04 0.04 = 8i + 1.5 o 1.5 + 8i

✺

Casi todos los libros de álgebra utilizan i como unidad imaginaria; sin embargo, muchos libros de electrónica utilizan como equivalente la letra j, ya que i suele representar la corriente en ese contexto.

5

Determinar potencias de i Por medio de i = 1 - 1 y de i2  1, podemos determinar otras potencias de i. Por ejemplo,

i3 = i2 # i = - 1 # i = - i i4 = i2 # i2 = 1- 121 -12 = 1 i5 = i4 # i1 = 1 # i = i

i6 = i4 # i2 = 11- 12 = - 1 i7 = i4 # i3 = 11- i2 = - i

i8 = i4 # i4 = 112112 = 1

Sección 7.7 • Números complejos • 491

Observe que las potencias sucesivas de i rotan por los cuatro valores, i, 1, i, 1 (vea la figura 7.8). i n  i si n  1, 5, 9, . . .

i n  1 si n  4, 8, 12, . . .

i n  i si n  3, 7, 11, . . .

FIGURA 7.8

EJEMPLO 8 Solución

i n  1 si n  2, 6, 10, . . .

Evalúe.

a) i35

b) i101

Escribimos cada expresión como un producto de factores tales que el exponente de un factor sea el máximo múltiplo de 4 menor o igual que el exponente dado. Después escribimos este factor como i4 elevado a alguna potencia. Como i4 tiene un valor de 1, la expresión i4 elevada a una potencia también tendrá un valor de 1. a) i 35 = i 32 # i 3 = 1i 42

8

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 101

SUGERENCIA

b) i

101

= i

100

# i1

=

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 115

-i

✺

Una forma rápida para evaluar in consiste en dividir el exponente entre 4 y analizar el residuo. Si el residuo es 0, el valor es 1.

Si el residuo es 2, el valor es 1.

Si el residuo es 1, el valor es i.

Si el residuo es 3, el valor es i.

Para el ejemplo 8 a)

EJEMPLO 9 Solución

# i3 = 1 # i3 = 11- i2 = 25 1i42 # i = 1 # i = i

8 4  35 32 La respuesta 3 — es i.

Sea f(x)  x2. Determine: a) f(5i) a) f1x2 = x

Para el ejemplo 8 b)

25 4  101 8 21 20 La respuesta 1 — es i.

b) f(3  7i)

2

f15i2 = 15i22 = 25i2 = 251-12 = - 25 b) f1x2 = x 2 f13 + 7i2 = 13 + 7i22 = 1322 + 213217i2 + 17i22 = 9 + 42i + 49i2 = 9 + 42i + 491-12 = 9 + 42i - 49 = - 40 + 42i

✺

Conjunto de ejercicios 7.7 1. a) ¿A qué es igual i? b) ¿A qué es igual i2? 2. Escriba 1 -n mediante i.

3. ¿Todos los siguientes son números complejos? Si algunos no lo son, explique por qué. 1 a) 4 b) - 6 c) 3 - 1 -2 d) 5 - 3i e) 4.2i f) 3 + 17

492 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos 4. ¿A qué es igual i4?

9. Liste, si es posible, un número que no sea a) un número racional. b) un número irracional. c) un número real. d) un número imaginario. e) un número complejo. 10. Escriba un párrafo o dos explicando la relación entre los números reales, los números imaginarios y los números complejos. Incluya cómo se relacionan entre sí los distintos conjuntos de números.

5. ¿Todos los números reales y todos los números imaginarios son números complejos? 6. ¿Todos los números complejos son números reales? 7. ¿Cuál es el conjugado de a  bi? 8. a) ¿Es i # i un número real? Explique. b) ¿Es i # i # i un número real? Explique.

Problemas de aplicación Escriba cada expresión como un número complejo en la forma a  bi. 11. 5 15. 21 - 1- 36

12. 2i 16. 13 + 1 -3

13. 149 17. 1-24

14. 1-81 18. 149 - 1- 49

19. 8 - 1- 12

20. 1 - 9 + 1 - 81

21. 1 + 1-98

22. 1-4 + 7i

23. 9 - 1- 25

24. 175 + 1 - 32

25. 2i - 1 -45

26. 1144 + 1- 96

Sume o reste. 27. 119 - i2 + 12 + 6i2 29. 18 - 3i2 + 1-8 + 3i2

28. 122 + i2 - 5111 - 3i2 30. 16 - 1-42 - 1 -1 - 1- 162

33. 113 + 122 + 13 12 - 1 - 82

34. 17 - 122 - 15 + 1- 152

31. 11 + 1-12 + 1- 13 - 1 - 1692

32. 115 - i132 + 117 - 1- 32

35. 13 - 1-722 + 16 + 1 - 82

36. 127 + 1- 752 + 11-1472

37. 114 - 1-452 + 1- 181 + 1 -52

38. 1120 - 1- 122 + 12 15 + 1- 752

Multiplique. 39. 215 - i2

40. - 712 + 3i 152

41. i12 + 9i2

42. 3i14 - i2

43. 1 - 9 17 + 11i2

44.

49. 13 + 2i211 + i2

50. 16 - 2i213 + i2

45. 1 - 16 113 - 5i2

1 1 i a - 16ib 2 3

46. 1 - 27 113 - 1- 32

47. 1 -32 112 + 1- 82

51. 120 - 3i2120 + 3i2

52. 1 - 4 + 3i212 - 5i2

53. 17 + 1-2215 - 1-82

54. 114 - 3i214 + 1 - 42

55. a

56. a

48. - 1-24 116 - 1 - 32

1 1 1 2 - ib a + ib 2 3 4 3

3 1 2 2 - ib a + ib 5 4 3 5

Divida. 57.

2 3i

58.

-7 4i

59.

2 + 3i 2i

60.

4 - 3i 2i

61.

4 2 - i

62.

3 5 + i

63.

9 1 - 2i

64.

11 -3 - 4i

65.

6 - 3i 4 + 2i

66.

4 - 3i 4 + 3i

67.

4 6 - 1-4

68.

5 3 + 1-5

69.

12 5 + 1- 12

70.

16 13 - 1 - 9

71.

110 + 1- 3 5 - 1-20

72.

12 - 1-12 13 + 1- 5

73.

1- 75 1- 3

74.

1 - 60 1-2

75.

1-32 1-18 12

76.

1-80 1-10 1-4

Sección 7.7 • Números complejos • 493 Realice las operaciones indicadas. Estos ejercicios son una combinación de los que se presentaron antes en esta sección. 77. 14 - 2i2 + 13 - 5i2

78. a

81. 5.214 - 3.2i2

82. 1- 6 113 - 1- 102

5 + 4i 85. 2i

86.

1 2 + 3i

88.

5 - 2i 3 + 2i

90.

4 2 a4 - ib 7 5

92.

4 25 4 a b A 9 A 36 A 25

94.

-1 - 2i 2 + 1-5

79. 118 - 122 - 11 - 12 - 1 -482

5 13 - 1- 4

89. a5 91. a 93.

80. 18 - 1- 62 - 12 - 1- 242 84. 113 + 2i2116 - 1- 82

83. 19 + 2i213 - 5i2

87.

1 3 2 + i b - a - ib 2 5 3

5 3 ib - a4 - ib 9 5

2 1 3 3 - ib a - ib 3 5 5 4

1- 96 1- 24

95. 15.23 - 6.41i2 - 19.56 + 4.5i2

96. 11-6 + 3211-15 + 52

Indique si el valor de cada número imaginario es i, 1, i o 1. 97. i 10

98. i 63

99. i 200

100. i 231

101. i93

102. i 103

103. i 807

104. i 1213

Resolución de problemas 105. Considere el número complejo 2  3i.

106. Considere el número complejo 4  5i.

a) Determine su inverso aditivo.

a) Determine su inverso aditivo.

b) Determine su inverso multiplicativo.

b) Determine su inverso multiplicativo. Escriba la respuesta en forma simplificada.

Responda verdadero o falso. Apoye su respuesta con un ejemplo. 107. El producto de dos números imaginarios puros siempre es un número real.

112. ¿Qué valores de n hacen que i2n sea un número real? Explique.

108. La suma de dos números imaginarios puros siempre es un número imaginario puro.

113. Si f(x)  x2, determine f(i).

109. El producto de dos números complejos siempre es un número real.

115. Si f(x)  x4  2x, determine f(2i).

110. La suma de dos números complejos siempre es un número complejo.

114. Si f(x)  x2, determine f(4i).

116. Si f(x)  x3  3x2, determine f(5i). 117. Si f(x)  x2  x, determine f(3  i).

n

111. ¿Qué valores de n hacen que i sea un número real? Explique.

118. Si f1x2 =

x2 , determine f(4  i). x - 2

Evalúe cada expresión para el valor dado de x. 119. x 2 - 2x + 5, x = 1 - 2i

120. x 2 - 2x + 5, x = 1 + 2i

121. x 2 + 2x + 7, x = - 1 + i15

122. x 2 + 2x + 9, x = - 1 - i15

494 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos En los ejercicios 123 a 126, determine si el valor dado de x es solución de la ecuación.

129. Impedancia Bajo ciertas condiciones, la impedancia total, ZT, de un circuito se determina mediante la fórmula

123. x 2 - 4x + 5 = 0, x = 2 - i 124. x 2 - 4x + 5 = 0, x = 2 + i

ZT =

125. x 2 - 6x + 11 = 0, x = - 3 + i 13 126. x 2 - 6x + 15 = 0, x = 3 - i 13

Z1 Z2 Z1 + Z2

Determine ZT cuando Z1  2  i y Z2  4  i

127. Impedancia Determine la impedancia, Z, mediante la fórmula Z  V/I, cuando V  1.8  0.5i e I  0.6i. Vea el ejemplo 7.

130. Impedancia Consulte el ejercicio 129. Determine ZT, cuando Z1  3  i y Z2  5  i.

128. Impedancia Consulte el ejercicio 127. Determine la impedancia cuando V  2.4  0.6i e I  0.4i.

132. Determine por escrito si i3 es igual a i, 1, i o 1.

En el capítulo 8 utilizaremos la fórmula cuadrática x =

131. Determine por escrito si i1 es igual a i, 1, i o 1.

- b ; 2b 2 - 4ac para resolver ecuaciones con la forma ax2  bx  c  0. 2a

a) Utilice la fórmula cuadrática para resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas. (b) Compruebe cada una de las soluciones sustituyendo los valores encontrados para x (uno a la vez) en la ecuación original. En estos ejercicios, el símbolo (se lee “más menos”) da como resultado dos respuestas complejas distintas. 133. x 2 - 4x + 6 = 0

134. x 2 - 2x + 6 = 0

Dados los números complejos a = 5 + 2i 13, b = 1 + i13, evalúe cada expresión. 135. a + b

136. a - b

137. ab

138.

a b

Ejercicios de repaso acumulativo [4.3] 139. Mezcla Un abarrotero tiene dos tipos de café en su almacén; uno lo vende en $5.50 por libra y el otro en $6.30 por libra. ¿Cuántas libras de cada tipo debe mezclar para producir 40 libras de café para vender a $6.00 por libra? [5.3] 140. Divida [6.2] 141. Sume

8c2 + 6c - 25 . 4c + 9

a + b b + . a - b b

[6.4] 142. Resuelva

RESUMEN

Véase el ejercicio 139.

x 1 x - 1 + = . 4 2 2

DEL CAPÍTULO

Términos y frases importantes 7.1 Raíz cúbica Raíces pares Índice Raíces impares

Raíz cuadrada principal Expresión radical Signo radical Radicando Raíz cuadrada

7.2 Exponente racional

7.3 Cubos perfectos Potencias perfectas

Cuadrados perfectos Regla del producto para radicales Regla del cociente para radicales (continúa en la página siguiente)

Ejercicios de repaso del capítulo • 495

7.4

7.5

7.6

Radicales semejantes Radicales no semejantes

Conjugado Racionalización del denominador Radical simplificado

Ecuación radical

HECHOS

7.7 Número complejo

Conjugado de un número complejo Número imaginario Unidad imaginaria Potencias de i

IMPORTANTES

Si n es par y a  0: n

1a = b si b Ú 0 y bn = a Si n es impar: n

1a = b si bn = a Reglas de los radicales: 2a2 = ƒ a ƒ 2a2 = a, a Ú 0 n

2an = a, a Ú 0 n

1a = a1>n,

2am = 11a2m = am>n, a Ú 0 n n n 1a # 1b = 1ab, a Ú 0, b Ú 0 n 1a n a = , a Ú 0, b 7 0 n A b 1b n

n

a Ú 0

Un radical semejante está simplificado cuando se cumplen todas estas condiciones: 1.

No hay potencias perfectas que sean factores de ningún radicando, y todos los exponentes del radicando son menores que el índice.

2. 3.

Ningún radicando tiene fracciones. Ningún denominador tiene un radical.

Potencias de i : i = 1-1, i2 = - 1, i3 = - i, i4 = 1

Ejercicios de repaso del capítulo [7.1] Evalúe. 1. 149

3 - 27 2. 1

4 256 3. 1

3 -125 4. 1

Utilice el valor absoluto para evaluar. 5. 21 -722

6. 21 -93.422

Escriba como un valor absoluto. 7. 2x 2

8. 21x - 222

9. 21x - y22

10. 21x 2 - 4x + 1222 x . Determine k1272. A3

11. Sea f1x2 = 110x + 9 . Determine f142.

12. Sea k1x2 = 2x +

13. Sea g1x2 = 1 3 2x + 3 . Determine g142 y redondee la respuesta al décimo más cercano.

14. El área de un cuadrado mide 121 metros cuadrados. Determine la longitud de sus lados.

Para el resto de estos ejercicios de repaso, suponga que todas las variables representan números reales positivos. [7.2] Escriba en forma exponencial. 15. 2x 5

3 x5 16. 2

4 y215 17. 11

7 52 18. 2

496 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos Escriba en forma radical. 19. x 1>2

21. 13m2n2

22. 1x + 3y2-5>3

7>4

20. a 4>5

Simplifique cada expresión radical cambiándola a forma exponencial. Escriba la respuesta en forma radical cuando sea apropiado.

3 36 23. 2

24. 2x 10

4 728 25. 11

K a5 26. 2

29. a

30. 64 -1>2 + 8-2>3

Evalúe, si es posible. Si la expresión no es un número real, indíquelo. 28. 1- 2521>2

27. - 251>2

64 -1>3 b 27

Simplifique. Escriba la respuesta sin exponentes negativos. 31. x

3>5

64 1>3 32. ¢ 6 ≤ y

# x -1>3

a -6>5 2>3 33. ¢ 1>5 ≤ a

34. ¢

28x5y -3 4y1>2

2

≤

Multiplique. 36. 4x -2>3 ax -1>2 +

35. a 1>215a 3>2 - 2a 22

9 2>3 x b 4

Factorice cada expresión. Escriba la respuesta sin exponentes negativos. 37. x 2>5 + x 7>5

38. a -1>2 + a 5>2

Determine el valor indicado en cada función. Utilice su calculadora para evaluar los números irracionales. Redondee los números irracionales al milésimo más cercano. 40. Si g1x2 = 1 3 9r - 17 , determine g142.

39. Si f1x2 = 17x - 17 , determine f162. Grafique las funciones siguientes. 41. f1x2 = 1x

42. f1x2 = 1x - 4

[7.2–7.5] Simplifique.

3 128 44. 1

43. 175 47. -

81 A 64

48.

51. 28x 2y 3z4 55.

6 x 2 y 3 z5 B A2

3 -

45.

8

A 125

52. 250x 3y 7 42

56.

5 2ab4c6 B A2

15

3 2x4y5 2 3 16x4y4 59. 2

4 8x4y7 2 4 2x5y9 60. 2

63. 32a b

3 xy 64. 32

3 2

5 2

67.

3 A5

68.

71.

6 1x

72.

75.

x3 3 B8

76.

3

7

A4 a 1 3 25 2 3 2x9 2 3 16x 6

49 A4

46.

27 A 125 3

49. 120 15

3 16 1 34 50. 1

3 54a7b10 53. 2

3 125x 8y9z16 54. 2

57. 15x 28x 5

3 2x 2y 2 3 4x9y4 58. 2

61. 13x 1112x - 1202 65. ¢ 69. 73.

4

3r2p1>3 r1>2p4>3

3

≤

2

3 2x 2y A2 3 4x4y7 + 1 3 9x B 62. 2 66. ¢ 70.

A3 9

74.

2 3 y2 2 5

77.

32x y

A 2x4y

78.

4y2>5z1>3 x -1y3>5

-1

≤

x 111 7 1 4z 32x9y 15 4 B 2xy3

Ejercicios de repaso del capítulo • 497

5x4 A y 108x3y7 83. 3 B 2y3 79.

3a2b11 4 5 B ab 91. 1x - 1y21x + 1y2 87.

A 5y

18x4y5 A 3z 4x5y 3 85. 3 B x6

125x2y5 A 3z y6 86. 3 B 2x2

2x2y6 4 B 8x3

89. 13 - 12213 + 122

90. 11x + y211x - y2

80.

12a A 7b

84. 88.

3

3x

92. 113 + 522

3 2x - 1 3 3y211 3 3x - 1 3 2y2 94. 11 97. 100.

81.

95.

a 7 - 1b 1x - 2 1y

98. 101.

1x - 1y 3 x + 31 3 x - 21 3x 103. 1 3 + 150 106. 4 12 132

104.

82.

93. 11x - 13y211x + 15y2

x 3 + 1x 1x 99. 1x + 1y 4 102. 1y + 2 - 3 3 16 - 51 3 54 + 21 3 64 105. 1

5 2 + 15 x 1y - 8 3 1a - 1 - 2 13 + 127 - 1192

96.

3 x7y8 - 2 3 x4y2 + 32 3 x10y2 108. 22

107. 3 2x 5y 6 - 216x 7y 8

En los ejercicios 109 y 110, f(x) y g(x) están dadas. Determine 1f # g21x2.

3 2x 2 , g1x2 = 2 3 4x4 + 2 3 8x5 110. f1x2 = 2

109. f1x2 = 13x, g1x2 = 16x - 110

Simplifique. En el ejercicio 112, suponga que la variable puede ser cualquier número real. 111. f1x2 = 12x + 4 12x + 4, x Ú - 2

112. g1a2 = 220a 2 + 100a + 125

Simplifique. 113.

2 3 1x + 525

114.

21x + 52

3

2 3 a 3 b2 2 4 a4b

Determine a) el perímetro, y b) el área de cada figura. Escriba sus respuestas en forma radical, con los radicales simplificados. 115.

116.

48

125 40

12

45

130

Rectángulo

117. Ésta es la gráfica de f1x2 = 1x + 2.

118. Ésta es la gráfica de f1x2 = - 1x .

y

y 2

4 2

2

2

4

6

8

x

2 2

2

4

6

8

x

2

4

a) Para g(x)  3, trace la gráfica de (f  g)(x).

a) Para g1x2 = 1x + 2, trace la gráfica de (f  g)(x).

b) ¿Cuál es el dominio de (f  g)(x)?

b) ¿Cuál es el dominio de (f  g)(x)?

498 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos [7.6] Resuelva cada ecuación y compruebe sus soluciones. 119. 122. 125. 128.

1x = 8 1 3 x = -5 13x + 4 = 15x + 12 1>2 1x2 + 52 = x + 1

120. 123. 126. 129.

1x = - 8 3 + 1x = 10 2x2 + 2x - 4 = x 1x + 3 = 13x + 9

121. 124. 127. 130.

1 3x = 5 8 + 1 3 x = 12 1 3x - 9 = 1 3 5x + 3 16x - 5 - 12x + 6 - 1 = 0

Para cada par de funciones, determine todos los valores de x para los que f(x)  g(x). 131. f1x2 = 13x + 4, g1x2 = 212x - 4

132. f1x2 = 14x + 321>3, g1x2 = 16x - 921>3

Despeje la variable que se indica. 133. V =

2L , para L Aw

134. r =

A , para A Ap

Determine la longitud del lado desconocido de cada triángulo rectángulo. Escriba la respuesta como un radical en forma simplificada. 135.

136. x

6

101

x

20 26

Resuelva. 137. Poste telefónico ¿Cuánto cable necesita utilizar una compañía telefónica para alcanzar la parte superior de un poste telefónico de 5 metros desde un punto a 2 metros de la base del poste? 138. Velocidad Utilice la fórmula v = 12gh para determinar la velocidad de un objeto después de haber caído 20 pies (g  32 pies/s2). 139. Péndulo Utilice la fórmula

L T = 2p A 32 para determinar el periodo de un péndulo, T, si su longitud, L, es de 64 pies. 140. Energía cinética y energía potencial Existen dos tipos de energía: cinética y potencial. La energía potencial es la energía almacenada que tiene un objeto debido a las posiciones relativas de sus componentes, y la energía cinética se debe al movimiento. Por ejemplo, si sostiene una bola de billar a cierta altura del suelo, ésta tiene energía potencial; si la suelta, la energía potencial se transforma en energía cinética al caer. La fórmula

V =

141. Velocidad de la luz Albert Einstein determinó que si un objeto en reposo, con masa m0, se hace viajar a una velocidad cercana a la de la luz, su masa aumenta a m, en donde

m0

m = B

1 -

v2 c2

En la fórmula, v es la velocidad del objeto en movimiento y c es la velocidad de la luz.* En un acelerador usado para terapia contra el cáncer, las partículas viajan a velocidades de 0.98c, esto es, a 98% de la velocidad de la luz. A una velocidad de 0.98c, determine la masa de la partícula, m, en términos de su masa en reposo, m0. Utilice v  0.98c en la fórmula anterior.

2K Am

puede usarse para determinar la velocidad, V, en metros por segundo, cuando una masa, m, en kilogramos, tiene una energía cinética, K, en joules. Imagine que se lanza una bola de béisbol de 0.145 kg; si la energía cinética de la bola en movimiento es de 45 joules, ¿a qué velocidad se está moviendo? *La velocidad de la luz es 3.00 108 metros por segundo. Sin embargo, no necesitamos esta información para resolver el problema.

Examen del capítulo • 499 [7.7] Escriba cada expresión como un número complejo en la forma a  bi. 143. - 6

142. 5

144. 2 - 1-256

145. 3 + 1-16

Realice cada operación que se indica. 146. 13 + 2i2 + 14 - i2

148. 113 + 1- 52 + 12 13 - 1-72

147. 14 - 6i2 - 13 - 4i2

149. 1-6 116 + 1 - 62

150. 14 + 3i212 - 3i2

2 + 13 153. 2i

2 152. 3i

5 154. 3 + 2i

151. 16 + 1-3214 - 1-152 155.

13 5 - 1-6

Evalúe cada expresión para el valor dado de x. 156. x 2 - 2x + 9, x = 1 + 2i 12

157. x 2 - 2x + 12, x = 1 - 2i

Indique si el valor de cada número imaginario es i, 1, i o 1. 158. i 53

159. i 19

160. i 404

161. i 5326

Examen de práctica del capítulo 1. Escriba 215x - 122 como un valor absoluto.

3. Factorice x2/3  x4/3.

2

2. Simplifique ¢

x2>5 # x -1 ≤. x3>5

4. Grafique g1x2 = 1x + 1.

En los ejercicios 5 a 14, simplifique. Suponga que todas las variables representan números reales positivos. 5. 248x 7y 10

13 9. 3 + 127 4

13. 32x 5y 3

3 4x5y2 2 3 10x6y8 6. 2 10. 2 124 - 516 + 3154 14.

7.

3x6y3 A 8z

8.

3 8x3y5 + 22 3 x6y8 11. 2

2 4 17x + 225

4 1 3x

12. 113 - 5216 - 182

2 3 17x + 222

En los ejercicios 15 a 17, resuelva la ecuación. 15. 13x + 4 = 5 16. 2x 2 - x - 12 = x + 3 17. 1a - 8 = 1a - 2 18. Para f(x)  (9x  37)1/3 y g(x)  2(2x  2)1/3, determine todos los valores de x tales que f(x)  g(x). 19. Despeje g de la fórmula w =

12gh . 4

20. Objeto en caída La velocidad, V, en pies por segundo, después de que un objeto ha caído una distancia, h, en pies, puede determinarse mediante la fórmula V = 264.4 h. Determine la velocidad de una pluma (bolígrafo) después de que ha caído 200 pies. 21. Escalera Una escalera se recarga contra una casa. Si la base de la escalera está a 5 pies de la casa y su parte superior descansa sobre la casa a 12 pies por encima del piso, determine la longitud de la escalera.

Véase el ejercicio 21. 22. Resortes Una fórmula que se emplea en el estudio de resortes es

T = 2p

m Ak

en donde T es el periodo del resorte (el tiempo necesario para que el resorte se alargue y regrese a su punto de reposo), m es la masa en el resorte, en kilogramos, y k es la constante del resorte, en newtons/metro. Una masa de 1400 kilogramos descansa sobre un resorte, determine el

500 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos periodo del resorte si su constante del resorte es de 65,000 newtons/metro.

23. Multiplique 16 - 1 - 4212 + 1 - 92.

5 - i . 7 + 2i 25. Evalúe x2  6x  12, para x  3 i. 24. Divida

Examen de repaso acumulativo 1. Resuelva 15 1x - 32 = 34 1x + 32 - x.

11. Volumen El volumen de la caja que se ilustra a continuación es 6r3  5r2  r. Determine w en términos de r.

2. Resuelva 31x - 42 = 6x - 14 - 5x2. 3. Suéter Cuando su precio se rebaja 60%, un suéter cuesta $20. Determine su precio original. 4. Determine el conjunto solución de ƒ 3 - 2x ƒ 6 7. 5. Grafique y =

r

3 x - 3. 2

6. Determine si las gráficas de las siguientes ecuaciones son rectas paralelas, perpendiculares o ninguna de éstas.

13. Resuelva 22x 2 + 7 + 3 = 8.

6y = 18x + 6 7. Dadas f(x)  x  3x  4 y g(x)  2x  5, determine (f  g)(x). 8. Determine la ecuación de la recta que pasa por (3, 4), y que es perpendicular a la gráfica de 3x  2y  6. 9. Resuelva el sistema de ecuaciones.

x + 2y = 12 4x = 8 3x - 4y + 5z = 20 10. Evalúe el determinante.

3 32 1

-6 1 3

- 1 -2 3 1

3r  1

12. Multiplique (5xy  6)(5xy  6).

y = 3x - 6 2

w

14. Factorice 4x 3 - 9x 2 + 5x. 15. Factorice 1x + 123 - 8.

16. Resuelva 8x 2 - 3 = - 10x. 4x + 4y y 3 # . 17. Multiplique 8x x2 y x - 4 3 10 - 2 . 18. Sume x - 5 x + 5 x - 25 1 1 4 = . 19. Resuelva x 6 x 20. Objeto en caída La distancia, d, un objeto en caída libre es directamente proporcional al cuadrado del tiempo, t. Si un objeto cae 16 pies en 1 segundo, ¿qué distancia caerá un objeto que cae durante 5 segundos?

Respuestas al examen de repaso acumulativo 1.

57 ; [Sec. 2.1, Obj. 4] 9

5.

y

2. - 1; [Sec. 2.1, Obj. 3]

y= 3 x-3 2

4 2 –4 –2 –2

2

4

x

3. $50; [Sec. 2.3, Obj. 2]

4. 5xƒ -2 6 x 6 56; [Sec. 2.6, Obj. 3]

; [Sec. 3.4, Obj. 5] 6. Paralela; [Sec. 3.5, Obj. 3] 7. -x2 + 5x - 9; [Sec. 3.6, Obj. 1] 2 34 8. y = - x - 2; [Sec. 3.5, Obj. 3] 9. a 2, 5, b; [Sec. 4.2, Obj. 1] 10. 40; [Sec. 4.5, Obj. 3] 3 5 11. w = 2r + 1; [Sec. 5.3, Obj. 2] 12. 25x2y2 - 36; [Sec. 5.2, Obj. 5] 13. 3, -3; [Sec. 7.6, Obj. 1] 14. x14x - 521x - 12; [Sec. 5.5, Obj. 3] 3 1 15. 1x - 121x2 + 4x + 72; [Sec. 5.6, Obj. 3] 16. , - ; [Sec. 5.8, Obj. 2] 4 2 1x + y2y2 x + 3 ; [Sec. 6.1, Obj. 3] 18. ; [Sec. 6.2, Obj. 3] 19. 18; [Sec. 6.4, Obj. 2] 17. x + 5 2x3 20. 400 pies; [Sec. 6.6, Obj. 1]

Capítulo 8

Funciones cuadráticas 8.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

8.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática

8.3 Ecuaciones cuadráticas: aplicaciones y resolución de problemas

8.4 Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática

8.5 Graficación de funciones cuadráticas

8.6 Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable Resumen del capítulo Ejercicios de repaso del capítulo Examen de práctica del capítulo Examen de repaso acumulativo

M

uchas situaciones de la vida real pueden representarse o calcularse mediante el uso de ecuaciones cuadráticas, tal como se verá a lo largo de este capítulo. Por ejemplo, en el ejercicio 34 de la página 532, utilizamos una ecuación cuadrática para calcular el promedio de calificación de un estudiante típico con base en el número de horas a la semana que éste dedica al estudio.

501

502 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Avance de la lección

E

n la sección 5.1 se presentaron las funciones cuadráticas; en este capítulo ampliaremos los conceptos correspondientes. En la sección 8.1 se explica cómo completar el cuadrado, y en la sección 8.2 se habla de la fórmula cuadrática. Después de estudiar estas secciones, conoceremos tres técnicas para la resolución de ecuaciones cuadráticas: factorización (cuando esto sea posible), completar el cuadrado y la fórmula cuadrática. En la sección 8.3, estudiaremos aplicaciones de ecuaciones cuadráticas, y en la 8.4 presentaremos ecuaciones que pueden expresarse y resolverse como si fuesen ecuaciones cuadráticas. Tales ecuaciones se denominan ecuaciones reducibles a la forma cuadrática. Además, en la sección 8.5 analizaremos técnicas para representar gráficamente funciones cuadráticas En la sección 8.6 resolveremos desigualdades cuadráticas y otras desigualdades no lineales con una variable, para lo cual recurriremos a lo que aprendimos en la sección 2.5, en donde resolvimos desigualdades con una variable.

8.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETANDO EL CUADRADO 1

Usar la propiedad de la raíz cuadrada para resolver ecuaciones.

2

Entender los trinomios cuadrados perfectos.

3

Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

En esta sección se presentarán dos nuevos conceptos, la propiedad de la raíz cuadrada y cómo completar el cuadrado. La propiedad de la raíz cuadrada se utilizará en varias secciones de este libro. En la sección 5.8 resolvimos ecuaciones cuadráticas, o de segundo grado, mediante la factorización. Las ecuaciones cuadráticas que no pueden resolverse mediante factorización pueden solucionarse completando el cuadrado, o mediante la fórmula cuadrática que se presenta en la sección 8.2.

1

Usar la propiedad de la raíz cuadrada para resolver ecuaciones En la sección 7.1 se dijo que todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Hasta ahora sólo hemos utilizado la raíz cuadrada positiva. En esta sección utilizaremos ambas, tanto la raíz cuadrada positiva como la raíz cuadrada negativa de un número. Raíz cuadrada positiva de 25

Raíz cuadrada negativa de 25

125 = 5

- 125 = - 5

Una manera práctica de indicar las dos raíces cuadradas de un número es utilizado el símbolo más o menos, ; . Por ejemplo, las raíces cuadradas de 25 pueden indicarse mediante ; 5, expresión que se lee “más, menos 5”. La ecuación x2  25, tiene dos soluciones: las dos raíces cuadradas de 25, que son ; 5. Si verifica cada raíz, verá que ambos valores satisfacen la ecuación. La propiedad de la raíz cuadrada puede utilizarse para determinar las soluciones a ecuaciones con la forma x2  a. Propiedad de la raíz cuadrada Si x2  a, donde a es un número real, entonces x = ; 1a.

Sección 8.1 • Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado • 503

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) x2 – 9  0

b) x2  5  80

a) Sume 9 a ambos lados de la ecuación para aislar la variable.

x2 - 9 = 0 x2 = 9 x = ; 19 = ;3

Aislar la variable. Propiedad de la raíz cuadrada.

Compruebe las soluciones en la ecuación original.

x = 3 x - 9 = 0 ? 32 - 9 = 0 0 = 0 2

Verdadero

x = -3 x2 - 9 = 0 ? 1- 322 - 9 = 0 0 = 0

Verdadero

En ambos casos la comprobación nos da un resultado verdadero, lo que significa que tanto 3 como 3 son soluciones de la ecuación.

x2 + 5 = 80 x2 = 75 x = ; 175 = ; 125 13 = ; 513

b)

Aislar la variable. Propiedad de la raíz cuadrada. Simplificar.

✺

Las soluciones son 5 13 y - 5 13 .

No todas las ecuaciones cuadráticas tienen soluciones reales, como se ilustra en el ejemplo 2:

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva la ecuación x2  7  0.

x2 + 7 = 0 x2 = - 7 x = ; 1- 7 = ; i17

Aislar la variable. Propiedad de la raíz cuadrada.

Las soluciones son i 17, y - i 17 , ambos son números imaginarios.

EJEMPLO 3 Solución

Resuelva a) (a  4)2  32

b) (z  3)2  28  0

a) Como el término que incluye la variable ya está aislado, empiece usando la propiedad de la raíz cuadrada.

1a - 422 = 32 a - 4 = ; 132 a = 4 ; 132 = 4 ; 116 12 = 4 ; 412 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33

✺

Propiedad de la raíz cuadrada. Sumar 4 a ambos lados. Simplificar.

Las soluciones son 4 + 4 12 y 4 - 4 12 . b) Inicie restando 28 en ambos lados de la ecuación para aislar el término que contiene la variable.

1z + 322 + 28 = 0 1z + 322 = - 28

504 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Ahora utilice la propiedad de la raíz cuadrada.

z + 3 = ; 1- 28 z = - 3 ; 1-28 = - 3 ; 128 1-1 = - 3 ; i14 17

Restar 3 de ambos lados. Simplificar 128 y reemplazar 1 - 1 con i.

= - 3 ; 2i17 Las soluciones son - 3 + 2i 17 y - 3 - 2i 17 . Observe que las soluciones a la ecuación (z  3)2  28  0 no son números reales, sino números complejos. ✺

2

Entender los trinomios cuadrados perfectos Ahora que conocemos la propiedad de la raíz cuadrada, podemos centrar nuestra atención en otra técnica para resolver ecuaciones cuadráticas: cómo completar el cuadrado. Para entender este procedimiento, es necesario que sepa cómo formar trinomios cuadrados perfectos, información que se presentó en la sección 5.6. Recuerde que un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que puede expresarse como el cuadrado de un binomio. A continuación se ofrecen algunos ejemplos. Trinomios cuadrados perfectos 2

x x2 x2 x2

+ + -

8x + 16 8x + 16 10x + 25 10x + 25

= = = =

Factores

1x 1x 1x 1x

+ + -

421x 421x 521x 521x

+ + -

Cuadrado de un binomio

42 42 52 52

= = = =

1x 1x 1x 1x

+ + -

422 422 522 522

En un trinomio cuadrado perfecto con coeficiente principal de 1, existe una relación entre el coeficiente del término de primer grado y el término constante. En tales trinomios el término constante es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término de primer grado. Examinemos algunos trinomios cuadrados perfectos para los que el coeficiente principal es 1.

x2 + 8 x + 16 = 1x + 422

C 12 182 D 2 = 1422 x2 - 10 x + 25 = 1x - 522

C 12 1-102 D 2 = 1- 522 Cuando un trinomio cuadrado perfecto con coeficiente principal de 1 se escribe como el cuadrado de un binomio, la constante del binomio es la mitad del coeficiente del término de primer grado del trinomio. Por ejemplo,

x2 + 8 x + 16 = 1x + 4 22 1 2 182

x2 - 10 x + 25 = 1x - 5 22 1 2 1-102

Sección 8.1 • Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado • 505

3

Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado Ahora analizaremos la técnica de completar el cuadrado. Para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, sumamos una constante en ambos lados de la ecuación, de modo que el trinomio restante sea un trinomio cuadrado perfecto. Luego utilizamos la propiedad de la raíz cuadrada para resolver la ecuación resultante. Éste es un resumen del procedimiento. Para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado 1. Si es necesario, utilice la propiedad de la multiplicación (o división) de la igualdad para hacer que el coeficiente principal sea 1. 2. Reescriba la ecuación aislando la constante en el lado derecho. 3. Tome la mitad del coeficiente numérico del término de primer grado, elévela al cuadrado y sume la cantidad resultante en ambos lados de la ecuación. 4. Reemplace el trinomio con el cuadrado de un binomio. 5. Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para tomar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación. 6. Despeje la variable. 7. Compruebe sus soluciones en la ecuación original.

EJEMPLO 4 Solución

Resuelva la ecuación x2  6x  5  0 completando el cuadrado. Como el coeficiente principal es 1, el paso uno ya no es necesario. Pase la constante, 5, al lado derecho de la ecuación, restando 5 en ambos lados de la misma.

Paso 2:

x2 + 6x + 5 = 0 x2 + 6x = - 5 Determine el cuadrado de la mitad del coeficiente numérico del término de primer grado, 6.

Paso 3:

1 162 = 3, 2

32 = 9

Sume este valor en ambos lados de la ecuación.

x2 + 6x + 9 = - 5 + 9 x2 + 6x + 9 = 4 Paso 4: Siguiendo este procedimiento, producimos un trinomio cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación. La expresión x2  6x  9 es un trinomio cuadrado perfecto que puede expresarse como (x  3)2. 1 el coeficiente numérico del término 2 1 de primer grado es 162 = +3. 2

1x + 322 = 4 Paso 5:

Utilice la propiedad de la raíz cuadrada.

x + 3 = ; 14 x + 3 = ;2

506 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas Paso 6:

Por último, despeje x restando 3 en ambos lados de la ecuación.

x + 3 - 3 = -3 ; 2 x = -3 ; 2 o x = - 3 + 2 or x = -3 - 2 x = -5 x = -1 Paso 7:

Compruebe ambas soluciones en la ecuación original.

x = -1 x2 + 6x + 5 = 0 ? 1 -122 + 61-12 + 5 = 0 ? 1 - 6 + 5 = 0 0 = 0 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 49

SUGERENCIA

x = -5 x2 + 6x + 5 = 0 ? 1-522 + 61- 52 + 5 = 0 ? 25 - 30 + 5 = 0 0 = 0 Verdadero

Verdadero

Como ambos números cumplen, tanto 1 como 5 son soluciones de la ecuación original. ✺ Cuando resolvemos la ecuación x2  bx  c  0 completando el cuadrado, obtenemos b 2 x 2 + bx + a b en el lado izquierdo y una constante en el lado derecho de la ecuación. 2 b 2 b 2 Luego reemplazamos x 2 + bx + a b con a x + b . En la figura que sigue se muestra 2 2 por qué

b 2 b 2 x2 + bx + a b = a x + b 2 2 b b 2 . Por lo tanto, el área es a x + b . 2 2 El área del cuadrado también puede determinarse sumando las áreas de las cuatro secciones, como sigue: La figura es un cuadrado con lados de longitud x +

x2 +

b b b 2 b 2 x + x + a b = x2 + bx + a b 2 2 2 2

b 2 b 2 Al comparar las áreas, vemos que x 2 + bx + a b = a x + b . 2 2 x

EJEMPLO 5 Solución

b 2

x

x2

b x 2

b 2

b x 2

冢冣 b 2

2

El área de este pedazo representa el término que sumamos en cada lado de la ecuación cuando completamos el cuadrado.

Resuelva la ecuación x2  3x  18 completando el cuadrado. El coeficiente numérico del término elevado al cuadrado debe ser 1, no 1. Por lo tanto, empiece multiplicando ambos lados de la ecuación por 1, para hacer que el coeficiente del término al cuadrado sea igual a 1.

Sección 8.1 • Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado • 507

- x2 = - 3x - 18 - 11-x22 = - 11- 3x - 182 x2 = 3x + 18 Ahora pase todos los términos, excepto la constante, al lado izquierdo de la ecuación.

x2 - 3x = 18 Tome la mitad del coeficiente numérico del término x, elévela al cuadrado y sume el producto en ambos lados de la ecuación. Luego reescriba el lado izquierdo de la ecuación como el cuadrado de un binomio.

3 2 9 a- b = 2 4 9 9 x2 - 3x + = 18 + 4 4

1 3 1-32 = 2 2

ax -

3 2 9 b = 18 + 2 4

ax -

3 2 72 9 b = + 2 4 4

ax -

3 2 81 b = 2 4

Completar el cuadrado. Reescribir el trinomio como el cuadrado de un binomio.

3 81 = ; Propiedad de la raíz cuadrada. 2 A4 3 9 x - = ; Simplificar. 2 2 3 9 x = ; Sumar 32 en ambos lados. 2 2 3 9 3 9 x = + o x = 2 2 2 2 12 6 x = = 6 x = - = -3 2 2 x -

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53

✺

Las soluciones son 6 y 3. En los ejemplos siguientes se obviarán algunos de los pasos intermedios.

EJEMPLO 6 Solución

Resuelva la ecuación x2  6x  17  0.

x2 - 6x + 17 = 0 x2 - 6x = - 17

Pasar el término constante al lado derecho.

x2 - 6x + 9 = - 17 + 9 Completar el cuadrado. 1x - 322 = - 8

Escribir el trinomio como el cuadrado de un binomio.

x - 3 = ; 1- 8 Propiedad de la raíz cuadrada. x - 3 = ; 2i12 Simplificar. x = 3 ; 2i12 Despejar x. AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65

Las soluciones son 3 + 2i 12 y 3 - 2i 12 .

✺

508 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

EJEMPLO 7

Resuelva la ecuación 3m2  6m  24  0 completando el cuadrado.

Solución

-3m2 + 6m + 24 = 0 1

-

1 1 Multiplicar por - para obtener 3 1-3m2 + 6m + 242 = - 102 3 3 un coeficiente principal de 1. m2 - 2m - 8 = 0

Ahora procedemos como antes. Pasar el término constante al lado derecho.

m2 - 2m = 8 m2 - 2m + 1 = 8 + 1

Completar el cuadrado.

1m - 122 = 9

Escribir el trinomio con el cuadrado de un binomio.

m - 1 = ;3 Propiedad de la raíz cuadrada. m = 1 ; 3 Despejar m. m = 1 + 3 o m = 1 - 3 m = 4 m = -2 ✺ Si se le pidiera resolver la ecuación - 14 x2 + 2x - 8 = 0 completando el cuadrado, ¿qué haría primero? Si respondió, “Multiplicar ambos lados de la ecuación por 4 para hacer que el coeficiente principal sea igual a 1”, su contestación es correcta. Para resolver la ecuación 23 x2 + 3x - 5 = 0, multiplicaría ambos lados de la ecuación por 32 para obtener un coeficiente principal de 1. Por lo general, las ecuaciones cuadráticas que no pueden resolverse con facilidad por medio de factorización se resolverán mediante la fórmula cuadrática que se presentará en la siguiente sección. No obstante, hemos presentado el procedimiento para completar el cuadrado porque lo utilizaremos para deducir la fórmula cuadrática en la sección 8.2

EJEMPLO 8

r nt b , n puede usarse para determinar el monto, A, cuando un capital inicial, p, se invierte a una tasa de interés anual, r, capitalizable n veces en un año durante t años. Interés compuesto La fórmula para calcular el interés compuesto: A = p a 1 +

a) En un principio, Josh Adams invirtió $1000 en una cuenta de ahorros cuyo interés compuesto se paga anualmente (una vez al año). Si después de dos años el monto, o saldo, en la cuenta es de $1102.50, determine la tasa de interés anual, r. b) Trisha McDowel invirtió $1000 en una cuenta de ahorros cuyo interés compuesto se paga trimestralmente. Si después de 3 años el monto en la cuenta es $1195.62, determine la tasa de interés anual, r.

Solución

a) Entienda el problema Se nos ha dado la siguiente información:

p = $1000,

A = $1102.50,

n = 1,

t = 2

Se nos pide determinar la tasa anual, r. Para hacerlo, sustituimos los valores apropiados en la fórmula y despejamos r. Traduzca

A = pa1 +

r nt b n

1102.50 = 1000a1 +

r 1122 b 1

Sección 8.1 • Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado • 509

1102.50 = 100011 + r22 1.10250 = 11 + r22

Realice los cálculos

Propiedad de la raíz cuadrada; usar la raíz principal , ya que r debe ser positiva.

11.10250 = 1 + r 1.05 = 1 + r 0.05 = r Responda

Dividir ambos lados entre 1000.

Restar 1 en ambos lados de la ecuación.

La tasa de interés anual es de 0.05 o 5%.

b) Entienda el problema

p = 1000,

Se nos dieron estos datos:

A = $1195.62,

n = 4,

t = 3

Para determinar r, sustituimos los valores apropiados en la fórmula y despejamos r.

A = pa1 +

Traduzca

r nt b n

1195.62 = 1000a1 + Realice los cálculos

1.19562 = a1 + 2 C 1.19562 = 1 +

r 4

1.015 L 1 +

r 4

SUGERENCIA CONSEJO PARA ESTUDIAR

Dividir ambos lados entre 1000. Sacar la raíz 12 en ambos lados (o elevar ambos lados a la potencia

1 ). 12

Calcular 2 C 1.19562 con la ayuda de una calculadora.

r 4

Restar 1 en ambos lados de la ecuación.

0.06 L r

Multiplicar ambos lados por 4.

0.015 L

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 103 Responda

r 12 b 4

r 4132 b 4

La tasa de interés anual es, aproximadamente, de 0.06 o 6%.

✺

En este capítulo trabajaremos con raíces y radicales. Este material se estudió en el capítulo 7. Si no recuerda cómo evaluar o simplificar radicales, repáselo ahora.

Conjunto de ejercicios 8.1 Ejercicios conceptuales 1. Escriba las dos raíces cuadradas de 36. 2. 3. 4. 5.

Escriba las dos raíces cuadradas de 17. Escriba la propiedad de la raíz cuadrada. ¿Cuál es el primer paso para completar el cuadrado? Explique cómo determinar si un trinomio es un trinomio cuadrado perfecto. 6. Escriba un párrafo en el que explique cómo construir un trinomio cuadrado perfecto.

7. a) ¿x = 9 es solución de x - 9 = 0? Si no, ¿cuál es la solución correcta? Explique. b) ¿x = 3 es solución de x 2 - 9 = 0? Si no, ¿cuál es la solución correcta? Explique. 8. a) ¿ x = - 7 es solución de x + 7 = 0? Si no, ¿cuál es la solución correcta? Explique. b) ¿x = ; 17 es solución de x 2 + 7 = 0? Si no, ¿cuál es la solución correcta? Explique.

510 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas 9. De acuerdo con el método de completar el cuadrado, ¿cuál es el primer paso para resolver la ecuación 2x 2 + 3x = 9 ? Explique. 10. De acuerdo con el método de completar el cuadrado, ¿cuál es el primer paso para resolver la ecuación 1 2 x + 12x = - 4? Explique. 5

11. Cuando se resuelve la ecuación x 2 - 6x = 17 completando el cuadrado, ¿qué número sumamos en ambos lados de la ecuación? Explique. 12. Cuando se resuelve la ecuación x 2 + 10x = 39 completando el cuadrado, ¿qué número sumamos en ambos lados de la ecuación? Explique.

Problemas de aplicación Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para resolver cada ecuación. 13. x 2 = 49

14. x 2 - 49 = 0

15. x 2 + 49 = 0

16. x 2 - 48 = 0

17. x 2 + 48 = 0

18. y 2 - 11 = 50

19. y + 11 = - 50

20. 1x - 32 = 49

25. 1a - 422 + 45 = 0

26. 1a + 422 + 45 = 0

2

22. 1x + 322 = 49

23. 1x + 322 + 49 = 0

21. 1p - 422 = 16 24. 1a - 422 = 45 27. ab +

1 2 4 b = 3 9

29. a b -

4 1 2 b + = 0 3 9

30. 1x - 0.222 = 0.64

31. 1x + 1.822 = 0.81

32. ax +

4 1 2 b = 2 9

33. 12a - 522 = 12

34. 14y + 122 = 8

35. a 2y +

28. ab -

1 2 4 b = 3 9

2

1 2 4 b = 2 25

36. a3x -

1 2 9 b = 4 25

Resuelva cada ecuación por el método de completar el cuadrado. 37. x 2 + 3x - 4 = 0

38. x 2 - 3x - 4 = 0

39. x 2 + 2x - 15 = 0

40. x 2 - 2x - 15 = 0

41. x 2 - 6x + 8 = 0

42. x 2 + 6x + 8 = 0

2

2

43. x - 6x + 5 = 0

44. x - 9x + 18 = 0

45. 2x 2 + x - 1 = 0

46. 3c2 - 5c - 2 = 0

47. 2z2 - 7z - 4 = 0

48. 4a 2 + 11a = 3

49. x2 - 11x + 28 = 0

50. x 2 - x - 12 = 0

51. -x 2 + 3x + 4 = 0

52. - a - 5a + 14 = 0

53. - z + 9z - 20 = 0

54. -z2 - 4z + 12 = 0

55. b2 = 3b + 28

56. - x 2 = 4x - 32

57. x 2 + 9x = 10

58. - x 2 + 40 = - 3x

59. x 2 - 4x - 10 = 0

60. x 2 - 6x + 2 = 0

2

2

2

61. r + 8r + 5 = 0

62. a + 4a - 1 = 0

63. c2 - c - 3 = 0

64. p2 - 5p = 8

65. x2 + 3x + 6 = 0

66. z2 - 5z + 7 = 0

67. 2x 2 - 2x = 0

68. 3y 2 + 12y = 0

69. -

71. 18z2 - 6z = 0

72. x 2 =

74. 2x 2 + 2x = 24

75. 2x 2 = 8x + 90

76. 2x 2 + 18x + 4 = 0

77. 3x 2 + 33x + 72 = 0

78.

79. 3w 2 + 2w - 1 = 0

80. 3c2 - 8c + 4 = 0

81. 2x 2 - x = - 5

82. - 3x 2 + 6x = 6

83.

70.

1 2 4 a - a = 0 3 3

73. -

1 2 3 p - p + = 0 2 2

2

3 5 5 2 x + x - = 0 2 2 4

84.

1 2 1 b - b = 0 4 2 3 x 2

2 2 4 x + x + 1 = 0 3 3 x2 2 5 = - x 3 3 3

Sección 8.1 • Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado • 511

Solución de problemas En los ejercicios 85 a 88 se da el área, A, de cada rectángulo. a) Escriba una ecuación para determinar el área. b) Despeje x en la ecuación. 85.

86. A  21

x2

87. A  35

88. A  18

x3

x2

x2

x4

A  23

x3

x1

x5

95. Recámara Robert Thompson diseña una casa. Una de las recámaras es un cuadrado cuya diagonal es 6 pies más larga que la longitud de un lado. Determine las dimensiones de la recámara. 96. Piscina para niños Un hotel planea construir una piscina poco profunda para niños. Si la piscina será un cuadrado cuya diagonal mide 10 pies más que un lado, determine las dimensiones de la piscina. 97. Triángulo inscrito Cuando se inscribe un triángulo en un semicírculo, en donde el diámetro del círculo es igual a un lado del triángulo, éste siempre es un triángulo rectángulo. Si un triángulo isósceles (dos lados iguales) se inscribe en un semicírculo con radio de 10 pulgadas, determine la longitud de los otros dos lados del triángulo.

89. Distancia necesaria para detenerse en la nieve La fórmula para calcular la distancia, d en pies, necesaria para detener un automóvil específico sobre una superficie con nieve es d = 16 x 2, en donde x es la velocidad del automóvil, en millas por hora, antes de que se apliquen los frenos. Si la distancia necesaria para detener un automóvil fue de 24 pies, ¿cuál era la velocidad del automóvil antes de que se aplicaran los frenos? 90. Distancia necesaria para detenerse en el pavimento seco La fórmula para calcular la distancia, d en pies, necesaria para detener un automóvil específico sobre una superficie de pavimento seco es d = 101 x 2, en donde x es la velocidad del automóvil, en millas por hora, antes de que se apliquen los frenos. Si la distancia necesaria para detener un automóvil fue de 90 pies, ¿cuál era la velocidad del automóvil antes de que se aplicaran los frenos? 91. Enteros El producto de dos enteros impares consecutivos es 63. Determine cuáles son esos dos enteros impares. 92. Enteros El más grande de dos enteros es 2 unidades mayor que el doble del más pequeño. Si el producto de ambos enteros es 12, determine ambos números. 93. Jardín rectangular Delia Martínez delimitó un área de su jardín para dedicarla a plantar tomates. Determine las dimensiones del área rectangular, si el largo es 2 pies mayor que el doble del ancho, y el área mide 60 pies cuadrados. 94. Entrada de cochera Manuel Cortés planea asfaltar la entrada de su cochera. Determine las dimensiones de la entrada rectangular, si su área es de 381.25 pies cuadrados y el largo es 18 pies mayor que su ancho.

10 pulg.

98. Triángulo inscrito Consulte el ejercicio 97. Suponga que un triángulo está inscrito en un semicírculo, cuyo diámetro es de 12 metros. Si un lado del triángulo inscrito es de 2 metros, determine cuánto mide el tercer lado. 99. Área de un círculo El área de un círculo es de 24p pies cuadrados. Utilice la fórmula A  pr2 para determinar el radio del círculo. 100. Área de un círculo El área de un círculo es 16.4p metros cuadrados. Determine el radio del círculo.

Para responder los ejercicios 101 a 104, utilice la fórmula A = p a 1 +

r nt b . n

101. Cuenta de ahorros Frank Dipalo invirtió $500 en una cuenta de ahorros cuyo interés se paga anualmente. Si después de 2 años el saldo de la cuenta es de $540.80, determine la tasa de interés anual.

103. Cuenta de ahorros Steve Rodi invirtió inicialmente $1200

102. Cuenta de ahorros Margarita Chávez invirtió inicialmente $800 en una cuenta de ahorros cuyo interés se paga cada año. Si después de 2 años el saldo de la cuenta es de $898.88, determine la tasa de interés anual.

104. Cuenta de ahorros Ángela Reyes invirtió $1500 en una cuenta de ahorros cuyo interés se paga cada semestre. Si después de 4 años el saldo de la cuenta es de $2052.85, determine la tasa de interés anual.

en una cuenta de ahorros cuyo interés se paga semestralmente. Si después de 3 años el saldo de la cuenta es de $1432.86, determine la tasa de interés anual.

512 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas 105. Volumen y área de la superficie El área de la superficie, S, y el volumen, V, de un cilindro circular recto de radio, r, y altura, h, están dados por las fórmulas

a) Determine el área de la superficie del cilindro, si su altura es de 10 pulgadas y su volumen es de 160 pulgadas cúbicas.

S = 2pr2 + 2prh, V = pr2h

b) Determine el radio si la altura es de 10 pulgadas y el volumen es de 160 pulgadas cúbicas. c) Determine el radio si la altura es de 10 pulgadas y el área de la superficie es de 160 pulgadas cuadradas.

h r

Actividad en equipo Analicen y respondan en equipo el ejercicio 106 106. En la cuadrícula siguiente se señalan los puntos (x1, y1), (x2, y2) y (x1, y2). y

y2

(x1, y2) B

(x2, y2) C

d y1

A (x1, y1) x1

x2

x

a) Explique por qué el punto (x1, y2) se colocó en donde está, y no en algún otro lugar de la gráfica. b) Exprese la longitud de la recta punteada en color rojo en términos de y2 y y1. Explique cómo determinó su respuesta. c) Exprese la longitud de la recta punteada en color negro en términos de x2 y x1. Explique cómo determinó su respuesta. d) Mediante el teorema de Pitágoras y el triángulo rectángulo ABC, deduzca una fórmula para determinar la distancia, d, entre los puntos (x1, y1) y (x2, y2). Explique cómo determinó la fórmula. e) Utilice la fórmula que determinó en la parte d) para calcular la distancia del segmento de recta entre los puntos (1, 4) y (3, 7).

Ejercicios de repaso acumulativo [2.1] 107. Resuelva 4(2z  6)  3(z  4)  z.

[2.6] 109. Resuelva |x  3|  |2x  7|.

[2.4] 108. Inversión Thea Prettyman invirtió $10,000 durante un año, parte a 7% y parte a 6.25%. Si ganó un interés total de $656.50, ¿qué cantidad invirtió a cada tasa?

[3.4] 110. Determine la pendiente de la recta que pasa por (3, 4) y (1, 4). [5.2] 111. Multiplique (x  2)(4x2  9x  2).

8.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS MEDIANTE LA FÓRMULA CUADRÁTICA 1

Deducir la fórmula cuadrática.

2

Utilizar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones.

3

Escribir una ecuación cuadrática dadas sus soluciones.

4

Usar el discriminante para determinar el número de soluciones reales para una ecuación cuadrática.

5

Estudiar problemas de aplicación que utilicen ecuaciones cuadráticas.

Sección 8.2 • Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática • 513

1

Deducir la fórmula cuadrática La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación cuadrática. De hecho, es el método más útil y versátil para resolver ecuaciones cuadráticas. Por su eficiencia, por lo general se le utiliza en lugar del método de completar el cuadrado. La forma general de una ecuación cuadrática es ax2  bx  c  0, en donde a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término de primer grado y c es la constante. Forma general de la ecuación cuadrática

x2 - 3x + 4 = 0

Valor de coeficientes

a = 1,

b = - 3, c = 4

1.3x - 4.2 = 0

a = 1.3,

b = 0,

5 3 - x2 + x = 0 6 5

5 a = - , 6

b =

2

3 , 5

c = - 4.2 c = 0

Podemos deducir la fórmula cuadrática empezando con una ecuación cuadrática dada en la forma general y completando el cuadrado, como se estudió en la sección anterior.

ax2 + bx + c = 0 ax 2 b c + x + = 0 a a a x2 + x2 +

Dividir ambos lados entre a.

b c x = a a

b2 b b2 c + x + = a a 4a2 4a2

Restar c>a en ambos lados. Tomar 1/2 de b>a (esto es, b>2a), y elevarlo al cuadrado para obtener b2>4a2, luego sumar esta expresión en ambos lados.

ax +

b 2 b2 c b = 2 a 2a 4a

Reescribir el lado izquierdo de la ecuación como el cuadrado de un binomio.

ax +

b 2 b2 - 4ac b = 2a 4a2

Escribir el lado derecho de un denominador común.

x +

b b2 - 4ac = ; 2a A 4a2

Propiedad de la raíz cuadrada.

x +

b 2b2 - 4ac = ; 2a 2a

Regla del cociente para radicales.

x = x =

b 2b2 - 4ac ; Restar b>2a en ambos lados. 2a 2a

- b ; 2b2 - 4ac 2a

Escribir con un denominador común para obtener la fórmula cuadrática.

2 Utilizar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones Ahora que sabemos cómo deducir la fórmula cuadrática, la utilizaremos para resolver ecuaciones.

514 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Para resolver una ecuación mediante la fórmula cuadrática 1. Escriba la ecuación cuadrática en la forma general, ax2  bx  c  0, y determine los valores numéricos de a, b, and c. 2. Sustituya a, b, y c con los valores correspondientes en la fórmula cuadrática, y luego evalúe la fórmula para obtener la solución.

Fórmula cuadrática -b ; 2b2 - 4ac 2a

x =

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva la ecuación x2  2x  8  0 mediante la fórmula cuadrática. En esta ecuación a  1, b  2 y c  8.

x =

- b ; 2b2 - 4ac 2a

x =

- 122 ; 21222 - 41121 - 82 2112

=

- 2 ; 14 + 32 2

=

-2 ; 136 2

=

-2 ; 6 2

x =

-2 + 6 2

x =

4 = 2 2

o

x =

-2 - 6 2

x =

-8 = -4 2

Una verificación mostrará que tanto 2 como 4 son soluciones para la ecuación. Observe que las soluciones de la ecuación x2  2x  8  0 son dos números reales. ✺ La solución del ejemplo 1 también podría haberse obtenido mediante la factorización, como se ilustra a continuación.

x2 + 2x - 8 = 0

1x + 421x - 22 = 0 x + 4 = 0 x = -4

o

x - 2 = 0 x = 2

Cuando se le pida resolver una ecuación cuadrática sin especificar el método para hacerlo, intente primero mediante factorización (como se estudió en la sección 5.8). Si la ecuación no se puede factorizar con facilidad, utilice la fórmula cuadrática. Al resolver una ecuación cuadrática mediante la fórmula cuadrática, los cálculos pueden ser más sencillos si el coeficiente principal, a, es positivo. Por lo tanto, si tuviera que resolver una ecuación cuadrática como x2  3x  2, sería recomendable que la reescribiera como x2  3x  2  0.

Sección 8.2 • Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática • 515

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva 9x2  6x  1 mediante la fórmula cuadrática. Empiece sumando 9x2 en ambos lados de la ecuación para obtener

0 = 9x2 - 6x + 1 o 9x2 - 6x + 1 = 0 b = - 6, c = 1 a = 9, -b ; 2b2 - 4ac 2a - 1-62 ; 21-622 - 4192112 = 2192

x =

=

6 ; 136 - 36 6 ; 10 6 1 = = = 18 18 18 3 1

Observe que la solución de la ecuación 9x 2  6x  1 es un solo valor, 3 . Algunas ecuaciones cuadráticas tienen como solución un solo valor. Esto sucede cuando b2  4ac  0. ✺

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

Todo el numerador de la fórmula cuadrática debe dividirse entre 2a.

CORRECTO x =

INCORRECTO

- b ; 2b2 - 4ac 2a

x = -b ; x =

EJEMPLO 3 Solución

Resuelva la ecuación p 2 +

2b2 - 4ac 2a

-b ; 2b2 - 4ac 2a

2 1 p + = 0 mediante la fórmula cuadrática. 5 3

No se preocupe por el cambio de la variable. La fórmula cuadrática se utiliza exactamente igual a como se hace cuando la variable es x. Podríamos resolver esta ecuación mediante la fórmula cuadrática con a  1, b = 25 , y c = 13 . Sin embargo, cuando una ecuación cuadrática tiene fracciones, casi siempre es más fácil multiplicar ambos lados de la misma por el mínimo común denominador. En este ejemplo, el mínimo común denominador es 15.

15ap2 +

2 1 p + b = 15102 5 3

15p2 + 6p + 5 = 0 Ahora, podemos utilizar la fórmula cuadrática con a  15, b  6 y c  5.

p =

-b ; 2b2 - 4ac 2a

=

- 6 ; 21622 - 41152152 21152

=

-6 ; 1-264 30

=

- 6 ; 1-4 166 30

516 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

=

- 6 ; 2i166 30

2 1-3 ; i1662 = 30 1

15

=

Las soluciones son AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

-3 ; i166 15

-3 + i166 - 3 - i166 . Observe que ninguna de estas solucioy 15 15

✺

nes es un número real; ambas son números complejos.

Algunos estudiantes aplican correctamente la fórmula cuadrática, pero al llegar al último paso cometen un error por no saber simplificar de la manera apropiada. A continuación se ilustra este problema tanto en su forma correcta como en la incorrecta. Cuando ambos términos del numerador y el denominador tienen un factor común, se puede dividir entre ese factor común, como sigue:

CORRECTO 2 11 + 2132 2 + 413 = = 1 + 213 2 2 1

1

6 + 313 = 6

1

3 12 + 132 6

=

2 + 13 2

2

Los siguientes son algunos errores comunes. Estúdielos con cuidado para no cometerlos. ¿Puede explicar por qué es incorrecto cada uno de los procedimientos siguientes?

INCORRECTo 1

1

3 + 215 3 + 2 15 = 2 2

2 + 3 2 + 3 = 2 2 1

3 + 16 3 + 26 = 2 2

1 2

3

4 + 315 4 + 315 = 2 2

1

1

Observe que (2  3)/2 se simplifica a 5/2. Sin embargo 13 + 2 152>2, 13 + 162>2, y 14 + 3 152>2 no pueden simplificarse más.

EJEMPLO 4 Solución

Dada f(x)  2x2  4x, determine todos los valores reales de x para los que f(x)  5. Queremos determinar todos los valores reales de x para los que

2x2 + 4x = 5 Para ello podemos utilizar la fórmula cuadrática. Primero, escriba la ecuación en la forma general.

2x2 + 4x - 5 = 0

Sección 8.2 • Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática • 517

Ahora, utilice la fórmula cuadrática con a  2, b  4 y c  5.

x =

-b ; 2b2 - 4ac 2a -4 ; 21422 - 41221 - 52

=

=

2122

- 4 ; 156 - 4 ; 2114 = 4 4

Luego factorice el 2 de ambos términos del numerador y divida entre el factor común.

2 1-2 ; 1142 - 2 ; 114 * x = = 4 2 1

2

- 2 + 114 - 2 - 114 y . 2 2 Observe que la expresión del ejemplo 4, 2x2  4x  5, no es factorizable. Por lo tanto, el ejemplo 4 no podría resolverse mediante factorización. ✺ Así, las soluciones son

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69

Si todos los coeficientes numéricos de una ecuación cuadrática tienen un factor común, debe factorizarlo antes de utilizar la fórmula cuadrática. Por ejemplo, considere la ecuación 3x2  12x  3  0. Aquí, a  3, b  12 y c  3. Si utilizamos la fórmula cuadrática, a la larga obtendríamos como soluciones x = - 2 ; 13. Al factorizar la ecuación antes de utilizar la fórmula, obtenemos

3x2 + 12x + 3 = 0 31x2 + 4x + 12 = 0 Si consideramos x2  4x  1  0, entonces a  1, b  4 y c  1. Si usamos estos nuevos valores de a, b y c en la fórmula cuadrática, obtendremos la solución idéntica, x = - 2 ; 13 . Sin embargo, los valores más pequeños de a, b y c permiten que los cálculos sean más simples. Resuelva ambas ecuaciones mediante la fórmula cuadrática para corroborar lo anterior.

3

Escribir una ecuación cuadrática dadas sus soluciones Si nos dan las soluciones, podemos deducir la ecuación correspondiente siguiendo el procedimiento a la inversa. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5

Escriba una ecuación que tenga las siguientes soluciones: a) - 4 y 1

Solución

b) 3 + 2i y 3 - 2i

a) Si las soluciones son 4 y 1, escribimos

x = -4

o

x = 1

x + 4 = 0 x - 1 = 0 1x + 421x - 12 = 0 2

x - x + 4x - 4 = 0 2

x + 3x - 4 = 0

Igualar las ecuaciones a 0. Propiedad del factor nulo. Multiplicar los factores. Reducir términos semejantes.

Así, la ecuación es x2  3x  4  0. Muchas otras ecuaciones tienen soluciones 4 y 1. De hecho, cualquier ecuación de la forma k(x2  3x  4)  0, donde k es una constante, tiene esas soluciones. ¿Puede explicar por qué?

518 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

o x = 3 - 2i x = 3 + 2i x - 13 + 2i2 = 0 x - 13 - 2i2 = 0 3x - 13 + 2i243x - 13 - 2i24 = 0 x # x - x13 - 2i2 - x13 + 2i2 + 13 + 2i213 - 2i2 = 0

b)

x2 - 3x + 2xi - 3x - 2xi + 19 - 4i22 = 0

x2 - 6x + 9 - 4i2 = 0 x2 - 6x + 9 - 41-12 = 0 x2 - 6x + 13 = 0 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 75

Igualar las ecuaciones a O . Propiedad del factor nulo. Multiplicar. Propiedad distributiva; multiplicar. Reducir términos semejantes. sustituir i2 = - 1. Simplificar.

La ecuación x2  6x  13  0 tiene las soluciones complejas 3  2i y 3  2i.

✺

En el ejemplo 5 a), determinamos que la ecuación x2  3x  4  0 tiene las soluciones 4 y 1. Considere la gráfica de f(x)  x2  3x  4. La intersección del eje x de la gráfica de f(x) ocurren cuando f(x)  0 o cuando x2  3x  4  0. Por lo tanto, las intersecciones x de la gráfica f(x)  x2  3x  4 son (4, 0) y (1, 0), como se muestra en la figura 8.1. En el ejemplo 5 b), determinamos que la ecuación x2  6x  13  0 no tiene soluciones reales. Así, la gráfica de f(x)  x2  6x  13 no tiene intersección en el eje x. La gráfica de f(x)  x2  6x  13 se muestra en la figura 8.2. y y

10 9

4

8

3

7

2

6

1

5

6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

4

x

3

2 3 4 5

1

f (x)  x  3x  4 2

4 3 2 1 1

6

FIGURA 8.1

f (x)  x2  6x  13

2

1

2

3

4

5

6

7

8

x

2

FIGURA 8.2

4 Usar el discriminante para determinar el número de soluciones reales para una ecuación cuadrática La expresión bajo el signo radical en la fórmula cuadrática se denomina discriminante.

b2 - 4ac (')'* discriminante El discriminante proporciona el número y la clase de soluciones de una ecuación cuadrática. Soluciones de una ecuación cuadrática Para una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, a Z 0: Si b 2 - 4ac 7 0, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales distintas. Si b 2 - 4ac = 0, la ecuación cuadrática tiene una sola solución real. Si b 2 - 4ac 6 0, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

Sección 8.2 • Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática • 519

EJEMPLO 6

Solución

a) Determine el discriminante de la ecuación x2  8x  16  0. b) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación dada? c) Utilice la fórmula cuadrática para determinar la solución o las soluciones. a) a = 1,

b = - 8,

c = 16

b - 4ac = 1- 822 - 41121162 = 64 - 64 = 0 2

b) Como el discriminante es igual a 0, sólo hay una solución real.

-b ; 2b2 - 4ac 2a - 1-82 ; 10 8 ; 0 8 = = = 4 = 2112 2 2

x =

c)

✺

La única solución es 4.

EJEMPLO 7

Sin proporcionar las soluciones, determine si las ecuaciones siguientes tienen dos soluciones reales y distintas, una solución real o ninguna solución real. a) 2x 2 - 4x + 6 = 0

Solución

c) 4x 2 - 12x = - 9

b) x 2 - 5x - 8 = 0

Utilizamos el discriminante de la fórmula cuadrática para responder estas preguntas. a) b2 - 4ac = 1-422 - 4122162 = 16 - 48 = - 32

Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales. b) b2 - 4ac = 1-522 - 41121 - 82 = 25 + 32 = 57

Como el discriminante es positivo, esta ecuación tiene dos soluciones reales distintas. c) Primero reescriba 4x2  12x  9 como 4x2  12x  9  0.

b2 - 4ac = 1- 1222 - 4142192 = 144 - 144 = 0

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15

✺

Como el discriminante es 0, esta ecuación tiene una sola solución real.

El discriminante puede utilizarse para determinar el número de soluciones reales de una ecuación de la forma ax2  bx  c  0. Como las intersecciones del eje x de una función cuadrática, f(x)  ax2  bx  c, ocurren en donde f(x)  0, el discriminante también puede usarse para determinar el número de intersecciones del eje x de una función cuadrática. La figura 8.3 muestra la relación entre el discriminante y el número de intersecciones del eje x para una función de la forma f(x)  ax2  bx  c. Gráficas de f (x) = ax 2 + bx + c Si b2 - 4ac 7 0, f1x2 tiene dos intersecciones distintas del eje x. y

Si b2 - 4ac = 0, f1x2 tiene una sola intersección del eje x.

y

y

y

x

FIGURA 8.3

y x

o

x (a)

y x

o

x

Si b2 - 4ac 6 0, f1x2 no tiene intersecciones del eje x.

o

x (b)

(c)

En la sección 8.5 analizaremos a detalle la graficación de funciones cuadráticas.

520 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

5

Estudiar problemas de aplicación que utilicen ecuaciones cuadráticas Ahora veremos algunos problemas de aplicación que involucran el uso de ecuaciones cuadráticas.

EJEMPLO 8

Teléfonos celulares María Ortiz es propietaria de un negocio que fabrica y vende teléfonos celulares. El ingreso, R(n), de la venta de teléfonos celulares se determina multiplicando el número de teléfonos celulares por el costo por teléfono. Suponga que el ingreso por la venta de n teléfonos celulares, n  50, es

R1n2 = n150 - 0.2n2 donde (50  0.2n) es el precio por teléfono celular, en dólares. a) Determine el ingreso cuando se venden 40 teléfonos celulares. b) Para tener un ingreso de $480, ¿cuántos teléfonos celulares deben venderse?

Solución

a) Para determinar el ingreso cuando se venden 40 teléfonos celulares, evaluamos la función de ingreso para n  40.

R1n2 = n150 - 0.2n2 R1402 = 40350 - 0.214024 = 40150 - 82 = 401422 = 1680 El ingreso por la venta de 40 teléfonos celulares es de $1680. b) Entienda el problema Queremos determinar el número de teléfonos celulares que deben venderse para tener un ingreso de $480. Así, necesitamos hacer R(n)  480 y despejar n.

R1n2 = n150 - 0.2n2 480 = n150 - 0.2n2 480 = 50n - 0.2n2 0.2n2 - 50n + 480 = 0 Ahora podemos utilizar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación. Traduzca

b = - 50,

a = 0.2,

c = 480

-b ; 2b2 - 4ac 2a - 1-502 ; 21- 5022 - 410.2214802 = 210.22

n =

Realice los cálculos

=

50 ; 12500 - 384 0.4

50 ; 12116 0.4 50 ; 46 = 0.4 50 + 46 50 - 46 n = = 240 o n = = 10 0.4 0.4 =

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 91

Responda Como el problema especificó que n  50, la única solución aceptable es n  10. Así, para obtener un ingreso de $480, María Ortiz debe vender 10 teléfonos celulares. ✺

Sección 8.2 • Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática • 521

Una fórmula importante en física es h = 12 gt2 + v0 t + h0 . Cuando un objeto se lanza hacia arriba desde una altura inicial, h0, con una velocidad inicial v0, esta fórmula puede usarse para determinar la altura, h, respecto del piso en cualquier instante t. En la fórmula, g es la aceleración provocada por la gravedad. Como la aceleración en la Tierra es de 32 pies/seg2, en la fórmula utilizamos 32 para g cuando se hable de la Tierra. Esta fórmula también puede usarse para describir la trayectoria de cualquier objeto proyectado en la Luna y en otros planetas, pero el valor de g tendría que cambiarse de acuerdo con la fuerza de gravedad de cada cuerpo celeste. Utilizaremos esta fórmula en el ejemplo 9.

EJEMPLO 9

Lanzamiento de una pelota Betsy Farber se encuentra parada en la parte superior de un edificio, y lanza una pelota hacia arriba desde una altura de 60 pies, con una velocidad inicial de 30 pies por segundo. Utilice la fórmula h = 12 gt2 + v0 t + h0 para responder las siguientes preguntas. a) A partir de su lanzamiento, ¿cuánto tiempo tardará la pelota en estar a 25 pies respecto del piso? Redondee la respuesta a la décima más cercana. b) A partir de su lanzamiento, ¿cuánto tiempo tardará la pelota en golpear el suelo?

Solución

a) Entienda el problema Ilustraremos este problema con un diagrama (véase la figura 8.4).Aquí g  32, v0  30 y h  60. Se nos pide determinar el tiempo, t, que tarda la pelota en alcanzar una altura, h, de 25 pies respecto del nivel del piso. Sustituimos estos valores en la fórmula y después despejamos t. Traduzca

1 2 gt + v0 t + h0 2 1 25 = 1-322t2 + 30t + 60 2 h =

Realice los cálculos Ahora escribimos la ecuación cuadrática en forma general y despejamos t mediante la fórmula cuadrática.

60 pies

0 = - 16t2 + 30t + 35 o -16t2 + 30t + 35 = 0 a = - 16, b = 30, c = 35 2 -b ; 2b - 4ac t = 2a -30 ; 213022 - 41- 1621352 = 21-162 - 30 ; 13140 = -32 - 30 + 13140 - 30 - 13140 t = o t = -32 -32 L - 0.8 L 2.7

25 pies

FIGURA 8.4

Responda Como el tiempo no puede ser negativo, la única solución razonable es

2.7 segundos. Por lo tanto, alrededor de 2.7 segundos después de su lanzamiento, la pelota estará a 25 pies del piso. b) Entienda el problema Deseamos determinar el momento en que la pelota golpeará el piso. En ese instante, la distancia entre la pelota y el piso es 0. Por lo tanto, sustituimos h  0 en la fórmula y despejamos t. Traduzca

1 2 gt + v0 t + h0 2 1 0 = 1-322t2 + 30t + 60 2

h =

522 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

0 = - 16t2 + 30t + 60 a = - 16, b = 30, c = 60

Realice los cálculos

t =

-b ; 2b2 - 4ac 2a

=

- 30 ; 213022 - 41- 1621602 21-162

=

- 30 ; 14740 -32

- 30 + 14740 -32 L - 1.2

t =

- 30 - 14740 -32 L 3.1

o t =

Como el tiempo no puede ser negativo, la única solución razonable es 3.1 segundos. Por lo tanto, la pelota golpea el piso alrededor de 3.1 segundos después de su lanzamiento. ✺

Responda

Conjunto de ejercicios 8.2 Ejercicios conceptuales 1. Escriba y memorice la fórmula cuadrática.

b) Resuelva 12x 2 - 15x - 6 = 0.

2. Para resolver la ecuación 3x + 2x - 7 = 0 mediante la fórmula cuadrática, ¿cuáles son los valores de a, b, y c?

c) Resuelva 314x 2 - 5x - 22 = 0. 7. a) Explique cómo determinar el discriminante.

3. Para resolver la ecuación 6x - 3x 2 + 5 = 0 mediante la fórmula cuadrática, ¿cuáles son los valores de a, b, y c?

b) ¿Cuál es el discriminante de la ecuación 3x 2 - 6x + 20 = 0? c) Escriba uno o dos párrafos en donde explique la relación entre el valor del discriminante y el número de soluciones reales para una ecuación cuadrática. Aclare por qué el valor del discriminante ayuda a establecer el número de soluciones reales. 8. Escriba uno o dos párrafos para explicar la relación entre el valor del discriminante y el número de intersecciones del eje x-de f1x2 = ax 2 + bx + c. Explique también cuándo la función tendrá 0, 1 y 2 intersecciones del eje x.

2

4. Para resolver la ecuación 4x 2 - 5x = 7 mediante la fórmula cuadrática, ¿cuáles son los valores de a, b, y c? 5. Considere las ecuaciones - 6x 2 + 12 x - 5 = 0 y 6x 2 - 12 x + 5 = 0. ¿Sus soluciones deben ser iguales? Explique su respuesta. 6. Considere 12x 2 - 15x - 6 = 0 y 314x 2 - 5x - 22 = 0. a) ¿Serán iguales las soluciones para las dos ecuaciones? Explique.

Problemas de aplicación Utilice el discriminante para determinar si cada una de las siguientes ecuaciones tiene dos soluciones reales distintas, una sola solución real o ninguna solución real. 9. x 2 + 3x + 2 = 0 2

10. 2x 2 + x + 1 = 0 2

13. 5p + 3p - 7 = 0

14. 2x = 16x - 32

17. x 2 + 10.2x + 26.01 = 0

18.

1 2 1 x + x + 12 = 0 2 3

11. 3z2 + 4z + 5 = 0 2

15. -5x + 5x - 6 = 0 19. b2 = - 3b -

9 4

12. -a 2 + 3a - 6 = 0 16. 4.1x 2 - 3.1x - 5.2 = 0 20.

x2 2x = 3 5

Resuelva cada ecuación mediante la fórmula cuadrática. 21. x 2 - 9x + 18 = 0 24. a 2 + 6a + 8 = 0

22. x 2 + 9x + 18 = 0 25. x 2 = - 2x + 3

23. a 2 - 6a + 8 = 0 26. -a 2 + 3a + 10 = 0

Sección 8.2 • Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática • 523 27. 30. 33. 36. 39. 42. 45.

- b2 = 4b - 20 2x2 = 4x + 1 c2 - 3c = 0 - 3r2 = 9r + 6 x2 - 10x + 25 = 0 - n2 = 3n + 6 2x2 + 5x - 3 = 0

48. 6x 2 = 21x + 27

a2 - 36 = 0 3w2 - 4w + 5 = 0 - t2 - t - 1 = 0 a2 + 2a + 1 = 0 b2 - 20b + 100 = 0 2 - 3r2 = - 4r 12r - 6213r + 42 = - 20 1 2 t + t - 12 = 0 49. 2 28. 31. 34. 37. 40. 43. 46.

51. 9r 2 - 9r + 2 = 0

52. 3x 2 - 6x - 3 = 0

11 10 x = 3 3 6 - c 57. c = c - 4

1 a - = 0 5 3 5y + 6 58. 3y = 2y + 3

60. 3a 2 - 4a = - 5

61. 2y 2 + y = - 3

63. 0.1x 2 + 0.6x - 1.2 = 0

64. 2.3x 2 - 5.6x - 0.4 = 0

54. x 2 -

55. a 2 -

b2 - 49 = 0 x2 - 4x = 0 4s2 - 8s + 6 = 0 y2 + 6y + 9 = 0 x2 - 2x - 1 = 0 -9d - 3d2 = 5 12a + 3213a - 12 = 2 1 2 x = 4x - 9 50. 3 2 1 53. x2 + 2x + = 0 2 3 2 b 56. b2 = - + 2 3 29. 32. 35. 38. 41. 44. 47.

59. 2x 2 - 4x + 3 = 0 62. b2 -

7 2 b + = 0 6 3

Determine todos los valores reales de la variable para los que cada función tiene el valor indicado. 65. f1x2 = x 2 - 2x + 4, f1x2 = 4 67. k1x2 = x 2 - x - 10, k1x2 = 20

66. 68. 70. 72.

69. h1t2 = 2t2 - 7t + 1, h1t2 = - 3 71. g1a2 = 2a2 - 3a + 16, g1a2 = 14

g1x2 = x2 + 3x + 5, g1x2 = 5 p1r2 = r2 + 17r + 84, p1r2 = 12 t1x2 = x2 + 5x - 3, t1x2 = 4 h1x2 = 6x2 + 3x + 1, h1x2 = - 7

Escriba una función que tenga las soluciones dadas. 73. 2, 5

74. - 3, 4

76. - 3, - 5

77.

79. 13, - 13 82. 6i, -6i 85. 2 + 3i, 2 - 3i

80. 83. 86.

3 2 - , 5 3 15, - 15 3 + 12, 3 - 12 5 - 4i, 5 + 4i

75. 4, - 6 2 3 78. - , 3 4 81. 2i, - 2i 84. 5 - 13, 5 + 13

En los ejercicios 87 a 90, a) plantee una función de ingreso, R(n), que pueda usarse para resolver el problema, y b) resuelva el problema. Véase el ejemplo 8.

87. Venta de lámparas Un negocio vende n lámparas, n  65,

a un precio de (10  0.02n) dólares cada una. ¿Cuántas lámparas deben venderse para obtener un ingreso de $450?

88. Venta de pilas Un negocio vende n pilas, n  26, a un precio de (25  0.1n) dólares cada una. ¿Cuántas pilas deben venderse para obtener un ingreso de $460? 89. Venta de sillas Un negocio vende n sillas, n  50, a un precio de (50  0.2n) dólares cada una. ¿Cuántas sillas deben venderse para obtener un ingreso de $1680? 90. Venta de relojes Un negocio vende n relojes, n  75, a un precio de (30  0.15n) dólares cada uno. ¿Cuántos relojes deben venderse para obtener un ingreso de $1365?

91. Proporcione su propio ejemplo de una ecuación cuadrática que pueda resolverse mediante la fórmula cuadrática, pero no por medio de factorización sobre el conjunto de enteros. 92. ¿Existe alguna ecuación cuadrática que a) pueda resolverse mediante la fórmula cuadrática, pero que no pueda resolverse completando el cuadrado; b) pueda resolverse completando el cuadrado pero no factorizando sobre el conjunto de enteros? 93. Al resolver una ecuación cuadrática mediante la fórmula cuadrática, si el discriminante es un cuadrado perfecto, ¿la ecuación debe ser factorizable sobre el conjunto de los enteros? 94. Al resolver una ecuación mediante la fórmula cuadrática, si el discriminante es un número natural, ¿la ecuación debe ser factorizable sobre el conjunto de los enteros?

524 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas En los ejercicios 95 a 100, utilice una calculadora cuando sea necesario para dar la solución en forma decimal. Redondee los números irracionales al centésimo más cercano. 95. Números El doble del cuadrado de un número positivo aumentado en tres veces el número original es igual a 14. Determine el número. 96. Números El triple del cuadrado de un número positivo menos el doble del mismo número es igual a 21. Determine el número. 97. Jardín rectangular El largo de un jardín rectangular es 2 pies menor que el triple de su ancho. Si el área del jardín es de 21 pies cuadrados, determine el largo y el ancho. 98. Área rectangular Lora Wallman desea cercar un área rectangular ubicada en la ribera de un río, como se ilustra en el diagrama. Si sólo tiene 400 pies de cerca y desea encerrar un área de 15,000 pies cuadrados, determine las dimensiones del área rectangular.

99. Fotografía John Williams, un fotógrafo profesional, tiene una fotografía de 6 por 8 pulgadas, y desea reducir la misma cantidad de cada lado, de modo que la fotografía resultante tenga la mitad del área de la fotografía original. ¿En cuánto debe reducir cada lado? 100. Jardín rectangular Bart Simmons tiene un jardín floral de 12 por 9 metros, y quiere construir un camino de grava de ancho uniforme por la parte interior del jardín y a lo largo de cada lado, de modo que el espacio resultante tendrá la mitad del área del jardín original. ¿Qué ancho tendrá el camino de grava?

Río

Cerca

En los ejercicios 101 y 102, utilice la ecuación h = 12 gt2 + v 0 t + h 0 (consulte el ejemplo 9). 101. Lanzamiento de una herradura Una herradura se lanza hacia arriba desde una altura inicial de 80 pies con una velocidad inicial de 60 pies por segundo. ¿Cuánto tiempo después de que se lanza hacia arriba a) estará a 20 pies del suelo? b) pegará contra el suelo? 102. Gravedad en la Luna La gravedad en la Luna equivale más o menos a un sexto de la terrestre. Suponga que Neil Armstrong se encuentra en la Luna, parado sobre una colina de 60 pies de altura. Si salta hacia arriba con una velocidad de 40 pies por segundo, ¿cuánto tardará en tocar el suelo que está al pie de la colina?

Resuelva mediante la fórmula cuadrática. 103. x 2 - 15x - 10 = 0

104. x 2 + 516x + 36 = 0

Reto 105. Calentamiento de un cubo metálico Un cubo de metal se expande cuando se calienta. Si cada lado aumenta 0.20 milímetros después de que se calienta y el volumen total aumenta 6 milímetros cúbicos, determine la longitud original de cada lado del cubo. 106. Seis soluciones La ecuación xn  1 tiene n soluciones (incluyendo las soluciones complejas). Determine las seis soluciones de x6  1. (Sugerencia: Reescriba la ecuación

como x6  1  0; luego factorice mediante la fórmula para la diferencia de dos cuadrados.) 107. Lanzamiento de una piedra Travis Hawley se encuentra en el cuarto nivel de un edificio de ocho pisos, y Courtney Prenzlow está en el techo. Travis se encuentra a 60 pies de distancia respecto del suelo mientras que Courtney está a 120 pies del suelo.

Sección 8.3 • Ecuaciones cuadráticas: aplicaciones y resolución de problemas • 525 a) Si Travis deja caer una piedra desde una ventana, determine el tiempo que tardará ésta en chocar contra el suelo. b) Si Courtney deja caer una piedra desde el techo, determine el tiempo que tardará ésta en chocar contra el suelo.

c) Si Travis lanza una piedra hacia arriba con una velocidad inicial de 100 pies por segundo, y lanza al mismo tiempo una piedra hacia arriba a 60 pies por segundo, ¿cuál de las piedras pegará primero contra el suelo? Explique. d) ¿En algún instante las piedras estarán a la misma distancia respecto del suelo? Si es así, ¿cuándo?

Ejercicios de repaso acumulativo 108. Evalúe

3.33 * 103 . 1.11 * 101

[4.1] 110. Resuelva este sistema de ecuaciones.

3x + 4y = 2 2x = - 5y - 1

[3.2] 109. Si f(x)  x2  2x  5, determine f(3).

[6.3] 111. Simplifique 2x1  (3y)1. [7.6] 112. Resuelva 2x 2 - 6x - 4 = x.

8.3 ECUACIONES CUADRÁTICAS: APLICACIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1

1

Resolver problemas de aplicación adicionales.

2

Despejar una variable de una fórmula.

Resolver problemas de aplicación adicionales Ya hemos analizado unos cuantos problemas de aplicación que involucran el uso de ecuaciones cuadráticas. En esta sección exploraremos varios más. También estudiaremos cómo despejar una variable en una fórmula. Empezamos determinando las utilidades de una compañía nueva.

EJEMPLO 1

Utilidades de una compañía Ya hemos analizado unos cuantos problemas de aplicación que involucran el uso de ecuaciones cuadráticas. En esta sección exploraremos varios más. También estudiaremos cómo despejar una variable en una fórmula. Empezamos determinando las utilidades de una compañía nueva. a) Calcule la utilidad (o pérdida) de la compañía después del primer año. b) Calcule la utilidad (o pérdida) de la compañía después de 8 años. c) Calcule el tiempo necesario para que la compañía alcance el punto de equilibrio.

Solución

a) Para calcular la utilidad después de 1 año, evaluamos la función con 1.

p1n2 = 1.2n2 + 4n - 8 p112 = 1.21122 + 4112 - 8 = - 2.8 Así, al final del primer año la compañía proyecta una pérdida de $2.8 miles, es decir, de $2800. b) p182 = 1.21822 + 4182 - 8 = 100.8 Por lo tanto, al final del octavo año la utilidad proyectada de la compañía es de $100.8 miles, es decir, de $100,800. c) Entienda el problema La compañía alcanzará el punto de equilibrio cuando la utilidad sea 0. Así, para determinar el punto de equilibrio (ni pérdidas ni ganancias) resolvemos la ecuación

1.2n2 + 4n - 8 = 0

526 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Podemos utilizar la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación.

a = 1.2,

Traduzca

n = =

Realice los cálculos

=

b = 4,

c = -8

-b ; 2b2 - 4ac 2a - 4 ; 21422 - 411.221 - 82 211.22 - 4 ; 116 + 38.4 2.4

-4 ; 154.4 2.4 -4 ; 7.376 L 2.4 -4 + 7.376 -4 - 7.376 n L L 1.4 o n L L - 4.74 2.4 2.4 =

Como el tiempo no puede ser negativo, el momento en que la compañía llega al punto de equilibrio es aproximadamente a los 1.4 años. ✺

Responda

Ahora consideremos otro ejemplo en que se utiliza la fórmula cuadrática para resolver una ecuación cuadrática.

EJEMPLO 2

Esperanza de vida La función N(t)  0.0054t2  1.46t  95.11 puede usarse para calcular el promedio de número de años de esperanza de vida restante para una persona de t años de edad, en donde 30  t  100. a) Calcule la esperanza de vida restante para una persona de 50 años de edad. b) Si una persona tiene una esperanza de vida restante de 14.3 años, calcule su edad actual.

Solución

a) Entienda el problema En principio, es lógico que entre mayor sea la persona menor será su esperanza de vida restante. Para determinar la esperanza de vida restante de una persona de 50 años de edad, sustituimos t por 50 en la función y evaluamos. Traduzca

Realice los cálculos

N1t2 = 0.0054t2 - 1.46t + 95.11 N1502 = 0.005415022 - 1.461502 + 95.11 = 0.0054125002 - 73.00 + 95.11 = 13.5 - 73.00 + 95.11 = 35.61

Responda y compruebe La respuesta parece razonable. Así, en promedio, una persona de 50 años puede esperar vivir otros 35.61 años, para llegar a una edad de 85.61 años.

b) Entienda el problema Aquí se nos da la esperanza de vida, N(t), y se nos pide determinar la edad actual de la persona, t. Para resolver este problema, sustituimos N(t) por 14.3 y despejamos t; para ello utilizaremos la fórmula cuadrática. Traduzca

Realice los cálculos

N1t2 = 0.0054t2 - 1.46t + 95.11 14.3 = 0.0054t2 - 1.46t + 95.11 0 = 0.0054t2 - 1.46t + 80.81 a = 0.0054, b = - 1.46, c = 80.81

Sección 8.3 • Ecuaciones cuadráticas: aplicaciones y resolución de problemas • 527

-b ; 2b2 - 4ac 2a - 1- 1.462 ; 21- 1.4622 - 410.00542180.812 = 210.00542 1.46 ; 12.1316 - 1.745496 = 0.0108 1.46 ; 10.386104 = 0.0108 1.46 ; 0.6214 L 0.0108 1.46 + 0.6214 1.46 - 0.6214 t L o t L 0.0108 0.0108 L 192.72 L 77.65 t =

Como 192.72 no es una edad razonable, podemos omitir este resultado. Por lo tanto, en promedio, las personas con una esperanza de vida restante de 14.3 años, tienen alrededor de 77.65 años de edad. ✺

Responda AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31

Problemas de movimiento En la sección 2.4 estudiamos por primera vez los problemas de movimiento; los que analizaremos a continuación se resuelven mediante la fórmula cuadrática.

EJEMPLO 3

Paseo en una lancha de motor Es un día precioso, por lo que Carlos Cortés decide dar un paseo en su lancha de motor. Después de recorrer 12 millas en una dirección, decide regresar. Su paseo tuvo una duración de 5 horas; en el camino vio un cartel que indicaba que la corriente del río se movía a una velocidad de 2 millas por hora. Si Carlos hizo todo el trayecto a la misma velocidad, determine la velocidad de la lancha en aguas tranquilas.

Solución

Nos piden determinar la velocidad de la lancha en aguas tranquilas, por lo que hacemos r  velocidad de la lancha en aguas tranquilas. Sabemos que el paseo duró 5 horas; por lo tanto, el tiempo en que Carlos recorrió el trayecto de ida y el de regreso debe sumar 5 horas. Ya que distancia  velocidad  tiempo, podemos determinar el tiempo dividiendo la distancia entre la velocidad. Entienda el problema

Dirección

Traduzca

Distancia Velocidad

Tiempo

Trayecto de ida (a favor de la corriente)

12

r + 2

12 r + 2

Trayecto de vuelta (en contra de la corriente)

12

r - 2

12 r - 2

trayecto de ida  trayecto de vuelta  tiempo total

12 12 + = 5 r + 2 r - 2

528 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Realice los cálculos

1 r + 2 21r - 22a

1r + 221r - 22 a

12 12 + b = 1r + 221r - 22152 r + 2 r - 2

12 12 b + 1r + 221 r - 2 2a b = 1r + 221r - 22152 r + 2 r - 2

Multiplicar por el MCD. Propiedad distributiva.

121r - 22 + 121r + 22 = 51r2 - 42 12r - 24 + 12r + 24 = 5r2 - 20 2

24r = 5r - 20

Propiedad distributiva. Simplificar.

2

o 5r - 24r - 20 = 0 Si utilizamos la fórmula cuadrática con a  5, b  24 y c  20, obtenemos

r =

24 ; 1976 10

r L 5.5

o

r L - 0.7

Puesto que la velocidad no puede ser negativa, la velocidad o rapidez de la lancha en aguas tranquilas es de alrededor de 5.5 millas por hora. ✺

Responda AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43

Observe que en situaciones de la vida real, la mayoría de las respuestas no son valores enteros.

Problemas de trabajo Los problemas de trabajo se estudiaron en la sección 6.5; ahora resolvemos un ejemplo más de ese tipo. Antes de proseguir sería conveniente que revisara esa sección.

EJEMPLO 4

Solución

A consecuencia de un huracán A consecuencia de un huracán, el sótano de los Duval se inundó. Para drenar el agua, la familia cuenta con una pequeña bomba, pero además pidió prestada una más al departamento de bomberos. El jefe de bomberos informó a los Duval que si ambas bombas trabajaban al mismo tiempo, el sótano quedaría seco en alrededor de 6 horas; además les dijo que la bomba del departamento de bomberos tenía mayor potencia, por lo que si sólo se utilizara ésta, vaciarían el sótano en 2 horas menos que si utilizaran únicamente la otra. Si se usara cada una de estas bombas por separado para drenar el agua, ¿cuánto tiempo necesitaría cada una para vaciar el sótano? Recuerde que en la sección 6.5 se dijo que la velocidad de trabajo multiplicada por el tiempo de trabajo da como resultado la parte de la tarea realizada.

Entienda el problema

Sea t  el número de horas que tarda la bomba más lenta en terminar sola el trabajo. t  2  el número de horas que tarda la bomba más rápida en terminar sola el trabajo.

Bomba

Velocidad del trabajo

Bomba más lenta

1 t

6

6 t

1 t - 2

6

6 t - 2

Bomba más rápida

Tiempo Parte de la tarea trabajando realizada

Sección 8.3 • Ecuaciones cuadráticas: aplicaciones y resolución de problemas • 529

Traduzca ¢

parte de la tarea realizada parte de la tarea realizada ≤ + ¢ ≤ = 1 por la bomba más lenta por la bomba más rápida

6 6 + = 1 t t - 2 Multiplicar

Realice los cálculos

6 6 ambos lados b = t1t - 22112 t1t - 22 a + por el MCD t t - 2 t(t  2).

6 6 t 1t - 22a b + t1 t - 2 2a b = t2 - 2t t t - 2

Propiedad distributiva.

61t - 22 + 6t = t2 - 2t 6t - 12 + 6t = t2 - 2t t2 - 14t + 12 = 0 Usando la fórmula cuadrática, obtenemos

14 ; 1148 2 t L 13.1 o t L 0.9 t =

6 6 + = 1 (con valot t - 2 res redondeados). Sin embargo, si aceptamos a 0.9 como solución, significaría que la bomba más rápida terminaría la tarea en un tiempo negativo (t  2  0.9  2  1.1), lo cual no es posible. Por consiguiente, 0.9 horas no es una solución aceptable. La única solución es 13.1 horas, que es el tiempo aproximado que la bomba más lenta tardaría en vaciar el sótano, mientras que la otra bomba necesitaría de 13.1  2  11.1 horas para realizar la misma tarea. ✺ Responda

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45

2

Tanto 13.1 como 0.9, satisfacen la ecuación

Despejar una variable de una fórmula Cuando en una fórmula aparece una variable elevada al cuadrado, para despejar la variable podría ser necesario utilizar la propiedad de la raíz cuadrada, Sin embargo, en la mayoría de las fórmulas, cuando se usa la propiedad de la raíz cuadrada, sólo se utilizará la raíz principal o raíz positiva, ya que por lo general se busca una cantidad que no puede ser negativa.

EJEMPLO 5

a) La fórmula para determinar el área de un círculo es A  pr2. Despeje r de esta ecuación. b) La ley de Newton de la gravitación universal establece que toda partícula en el universo atrae a otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Podemos representar esta ley como

F = G

m1 m2 r2

Despeje r de la ecuación.

Solución

a)

A = pr2 A = r 2 Aislar r2 dividiendo ambos lados entre p. p A = r Ap

Propiedad de la raíz cuadrada.

530 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

m1 m2 r2 2 r F = Gm1 m2 Gm1 m2 r2 = F F = G

b)

r =

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23

Multiplicar ambos lados por r2. Aislar r2 dividiendo ambos lados entre F.

Gm1 m2 Propiedad de la raíz cuadrada. A F

✺

En el ejemplo 5, como r debe ser mayor que 0, sólo tomamos la raíz cuadrada principal, o positiva, cuando usamos la propiedad de la raíz cuadrada.

EJEMPLO 6

Diagonal de una maleta La diagonal de una caja puede calcularse mediante la fórmula

d = 2L2 + W2 + H 2 d

H

donde L es la longitud, W es el ancho y H es la altura de la caja. Véase la figura 8.5. a) Determine la diagonal de una maleta con longitud de 30 pulgadas, ancho de 15 pulgadas y altura de 10 pulgadas.

W

L

FIGURA 8.5

Solución

b) Resuelva la ecuación para el ancho, W. a) Entienda el problema Para determinar la diagonal, necesitamos sustituir los valores apropiados en la fórmula y realizar los cálculos.

d = 2L2 + W2 + H 2

Traduzca

d = 213022 + 11522 + 11022 Realice los cálculos

Responda

= 1900 + 225 + 100 = 11225 = 35

Por lo tanto, la diagonal de la maleta mide 35 pulgadas.

b) El primer paso para despejar W es elevar al cuadrado ambos lados de la fórmula.

d = 2L2 + W2 + H 2 2 d2 = A2L2 + W2 + H 2 B Elevar al cuadrado ambos lados. d2 = L2 + W2 + H 2 d2 - L2 - H 2 = W2 2d2 - L2 - H 2 = W

EJEMPLO 7

Conos

Utilizar 11a22 = a, a Ú 0. Aislar W2.

Propiedad de la raíz cuadrada. ✺

El área de la superficie de un cono circular recto es

s = pr2r2 + h2

Sección 8.3 • Ecuaciones cuadráticas: aplicaciones y resolución de problemas • 531

a) Como señalamiento, en las carreteras se utilizan conos color naranja; cada uno de ellos mide 18 pulgadas de alto y tiene un radio de 12 pulgadas. Determine el área de la superficie de cada cono. b) Despeje h de la fórmula.

Solución

a) Entienda el problema y traduzca Para determinar el área de la superficie, sustituimos los valores apropiados en la fórmula.

s = pr2r2 + h2 = p1122211222 + 11822 = 12p1144 + 324 = 12p1468 L 815.56

Realice los cálculos

El área de la superficie es de casi 815.56 pulgadas cuadradas. b) Para despejar h, necesitamos aislarla en un lado de la ecuación. Esto se puede hacer de varias formas, una de ellas es la siguiente:

Responda

s = pr2r2 + h2 s = 2r2 + h2 pr a

s 2 2 b = A2r2 + h2 B pr s2 = r2 + h2 p2r2

s2 - r2 = h2 p2r2 s2 - r2 = h A p2r2 Otras respuestas que también son aceptables son h = AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 27

Dividir ambos lados entre pr. Elevar al cuadrado ambos lados. Utilizar 11a22 = a, a Ú 0. Restar r2 en ambos lados.

Propiedad de la raíz cuadrada.

s2 - p 2 r4 2s2 - p 2 r4 yh = . 2 2 A pr pr

✺

Explique por qué.

Conjunto de ejercicios 8.3 Ejercicios conceptuales 1. En general, si utiliza la propiedad de la raíz cuadrada o la fórmula cuadrática para despejar una variable en una fórmula, sólo usará la raíz cuadrada positiva. Explique por qué.

2. Suponga que P =  2 +  2 es una fórmula real. Al despejar  se obtiene  = 2P -  2 . Si  representa un número real, ¿qué relación debe existir entre P y ?

Problemas de aplicación En cada una de las fórmulas siguientes, despeje la variable que se indica. Suponga que la variable que se despeja debe ser mayor que 0. 3. A = s2, para s (área de un cuadrado).

4. A = 1s + 122, para s (área de un cuadrado).

5. A = S 2 - s2, para S (área entre dos cuadrados).

6. d = 4.9t2, para t (distancia que cae un objeto).

7. E = i2 r, para i (corriente en electrónica).

8. A = 4pr2, para r (área de la superficie de una esfera).

532 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

9. d = 16t2, para t (distancia a la que cae un objeto).

11. E = mc2, para c (famosa fórmula de la energía, propuesta por Einstein). 13. V =

1 2 pr h, para r (volumen de un cono circular recto). 3

15. d = 2L 2 + W 2 , para W (diagonal de un rectángulo).

1 2 x , para x (distancia necesaria para detenerse so7 bre pavimento).

10. d =

12. V = pr2 h, para r (volumen de un cilindro circular recto). 14. d = 2L 2 + W 2 , para L (diagonal de un rectángulo). 16. a2 + b 2 = c2, para a (teorema de Pitágoras).

17. a + b = c , para b (teorema de Pitágoras).

18. d = 2L 2 + W 2 + H 2 , para L (diagonal de una caja).

19. d = 2L 2 + W 2 + H 2 , para H (diagonal de una caja).

20. A = P11 + r22, para r (fórmula de interés compuesto).

21. h = - 16t2 + s0 , para t (altura de un objeto).

22. P =

2

2

2

1 mv 2, para v (energía cinética). 2 v 22 - v 21 25. a = , para v1 (aceleración de un vehículo). 2d

23. E =

27. v¿ = 2c2 - v 2 , para c (relatividad; v’ se lee “v prima”).

1 2 kx , para x (energía potencial de un resorte esti2 rado).

24. f 2x + f 2y = f 2, para fx (fuerza que actúa sobre un objeto). 26. A = 4p1R 2 - r22, para R (área de la superficie de dos esferas). 28. L = L 0

A

1 -

v2 , para v (arte, contracción de una c2

pintura).

Resolución de problemas 29. Utilidad La utilidad de una compañía que vende tractores, es P(n)  2.4n2  9n  3, en donde P(n) son cientos de dólares.

N(t)  0.043t2  1.22t  46.0, en millones. En la ecuación t es el número de años desde 1989, 1  t  19.

a) Determine la utilidad cuando se venden 6 tractores. b) ¿Cuántos tractores deben venderse para obtener una utilidad de $20,000? 30. Utilidad La utilidad de la compañía Anderson, que vende refrigeradores, es P(n)  6.2n2  6n  3, en donde P(n) son dólares. a) Determine la utilidad cuando se venden 5 refrigeradores. b) ¿Cuántos refrigeradores deben venderse para obtener una ganancia de $675?

31. Temperatura La temperatura, T, en grados Fahrenheit, del radiador de un automóvil durante los primeros 4 minutos de conducción es una función del tiempo, t. La temperatura puede determinarse mediante la fórmula T  6.3t2  12t  32, 0  t  4. a) Cuando se arranca el automóvil, ¿cuál es la temperatura del radiador? b) Después de 1 minuto de conducir el automóvil, ¿cuál es la temperatura del radiador? c) ¿Cuánto tiempo después de que se arrancó el automóvil la temperatura del radiador alcanza los 120°F? 32. Matrícula escolar Para calcular el total de estudiantes inscritos entre los años 1990 y 2008 en el nivel básico y secundario en Estados Unidos, se puede utilizar la función

a) Calcule el total de niños inscritos en 1995. b) ¿En qué años el total de niños inscritos es de 54 millones de estudiantes? 33. Costo de una casa El costo, C, de una casa de campo en Norkfolk,Virginia, es una función del número de pies cuadrados, s, de la casa. Este costo puede calcularse por medio de la función

C = - 0.01s2 + 80s + 20,000,

1200 … s … 4000

a) Calcule el costo de una casa de 1500 pies cuadrados. b) Si Tomás Bañuelos tiene $150,000 para comprar una casa, ¿qué tan grande puede ser ésta? 34. Calificación promedio En un colegio, los registros muestran que la calificación promedio, G, de un alumno es una función del número de horas que él o ella estudia y destina a realizar tareas por semana. La calificación promedio

Sección 8.3 • Ecuaciones cuadráticas: aplicaciones y resolución de problemas • 533

a) ¿Cuál es la calificación promedio de un alumno que estudia 0 horas a la semana? b) ¿Cuál es la calificación promedio de un alumno que dedica 4 horas a la semana para estudiar? c) Para obtener una calificación promedio de 3.2, ¿cuántas horas a la semana debería dedicar al estudio un alumno? 35. Montaña rusa Una montaña rusa tiene varias bajadas empinadas; una de ellas tiene una distancia vertical de 62 pies. La velocidad, s, del último carro, en pies por segundo, t segundos después de que inició el descenso, puede calcularse con la fórmula s  6.74t  2.3, 0  t  4. La altura del último carro, medida respecto de la parte inferior de la bajada, t segundos después de que inició el descenso, puede determinarse con la fórmula h  3.3t2  2.3t  62, 0  t  4. a) Determine el tiempo que tarda el último carro en ir desde la parte superior hasta la inferior de la bajada.

Gasto en veterinario Miles de millones de dólares

puede calcularse mediante la ecuación G  0.01h2  0.2h  1.2, 0  h  8.

15

Perros Gatos

12 9 6 3 0

1983

1987

1991

1996

2000

Año Fuente: Asociación de Veterinarios de Estados Unidos.

En Estados Unidos, el gasto anual en la atención médico veterinaria de perros, m(t), en miles de millones de dólares, puede calcularse mediante la función m(t)  0.05t2  0.32t  3.15, en donde t representa el número de años desde 1982 y 1  t  28.

b) Determine la velocidad del último carro cuando termina el descenso.

a) Utilice la función para calcular la cantidad destinada a la atención médico veterinaria de perros en 2003.

36. Escuela libre de drogas En la gráfica siguiente se muestra el porcentaje de estudiantes que afirma que en sus escuelas se consumen drogas.

b) ¿En qué año se gastaron $25 mil millones en atención médico veterinaria para perros?

Estudiantes que afirman que en sus escuelas se consumen drogas 80

Porcentaje

70

38. Utilidad La utilidad semanal de una tienda de vídeos, P, en miles de dólares, es una función del precio de alquiler de las cintas, t. La ecuación de la utilidad es P  0.2t2  1.5t  1.2, 0  t  5. a) Si la tienda cobra $1 por cinta, ¿cuál es la utilidad o pérdida semanal de la tienda?

60 50

b) Si cobra $5 por cinta, ¿cuál es la utilidad semanal?

40

c) ¿Cuál debe ser el precio de alquiler de cada cinta para que la utilidad semanal sea de $1,600?

30 20 10 0

12

13

14

15

16

17

39. Patio escolar El área de un patio escolar es de 500 metros cuadrados. La longitud es 5 metros mayor que el ancho; determine la longitud y el ancho del patio.

Edad Fuente: Centro Nacional de Adicciones y Abuso de Sustancias de Estados Unidos.

La función f(a)  2.32a2  76.58a  559.87 puede emplearse para calcular el porcentaje de estudiantes que afirma que en sus escuelas se consumen drogas. En la función, a representa la edad del estudiante, en donde 12  a  17. Utilice la función para responder las siguientes preguntas. a) Calcule el porcentaje de estudiantes de 13 años que afirma que en sus escuelas se consumen drogas. b) ¿A qué edad 70% de los estudiantes afirma que en sus escuelas se consumen drogas? 37. Honorarios de un veterinario En la siguiente gráfica se ilustran los gastos que se realizan en atención médico veterinaria de perros y gatos.

40. Viaje Alejandra Juárez condujo 70 millas en medio de tránsito pesado, hasta llegar a una autopista, en donde viajó 260 millas a una velocidad promedio de 30 millas por hora más que la velocidad promedio en el tránsito pesado. Si el viaje total duró 6 horas, determine su velocidad promedio en tránsito pesado y en la autopista. 41. Perforación de un pozo Pablo y Rosa Torres cavan un pozo en su propiedad, así que contratan una compañía especializada para que lo perfore. La compañía tiene que perforar 64 pies para encontrar agua, e informa a los Torres que acaba de pedir un nuevo equipo que perfora a una velocidad de 1 pie por hora más rápido, lo cual les permitiría llegar al agua 3.2 horas antes que con el equipo que tienen actualmente. Determine la velocidad a la que perfora el equipo actual.

534 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas 47. Vuelo en aeroplano David Ruiz voló su aeroplano monomotor por una distancia de 80 millas a favor del viento, desde Jackson Hole, Wyoming, hasta Blackfoot, Idaho. En ese momento dio vuelta y voló de regreso a Jackson Hole con el viento en contra. Si la velocidad del viento era de 30 millas por hora y el tiempo total del recorrido fue de 1.3 horas, determine la velocidad del aeroplano con viento en calma.

42. Transportación de automóviles Francisco Sierra transportó un lote de automóviles nuevos desde Detroit, Michigan, hasta Indianápolis, Indiana. En su viaje de regreso el camión estaba más ligero, así que la velocidad de Francisco fue, en promedio, 10 millas por hora más rápida que en su viaje de ida. Si la distancia total recorrida fue de 300 millas y el tiempo total empleado en la conducción fue de 11 horas, determine la velocidad promedio de ida y la velocidad promedio de regreso.

43. Corredor Laura, una corredora de fondo, sale de su casa, trota 6 millas y regresa. La mayor parte del recorrido de ida es cuesta arriba, por lo que su velocidad promedio es 2 millas por hora menos que su velocidad de regreso. Si el tiempo total que dura su recorrido es 1 34 horas, determine su velocidad de ida y su velocidad de regreso. 44. Tiempo de viaje Catalina Nieves viajó de una ciudad a otra; la distancia total que recorrió fue de 300 millas. Al llegar a su destino calculó que si hubiera viajado 10 millas por hora más rápido, en promedio, habría llegado a su destino 1 hora antes. Determine la velocidad promedio a la que viajó Catalina.

45. Construcción de un motor Trabajando juntas, dos mecá-

48. Barcos Después de un derrame petrolero, se envían dos barcos para limpiar la bahía de Baffin. El barco más nuevo puede limpiar todo el derrame en 3 horas menos que el barco más antiguo. Si ambos barcos trabajan juntos, pueden limpiar el derrame de petróleo en 8 horas. ¿Cuánto tardaría el barco más nuevo en limpiar el petróleo derramado si trabajara solo? 49. Servicio de limpieza Juan y Cristina ofrecen servicios de 1 limpieza. Si trabaja solo, Juan necesita 2 hora más que Cristina para limpiar un edificio de oficinas. Si trabajan juntos, Juan y Cristina pueden limpiar el mismo edificio en 6 horas. Determine el tiempo que necesita cada uno ellos para limpiar el edificio sin ayuda de su compañero. 50. Calentador eléctrico Un calentador eléctrico pequeño requiere 6 minutos más que un calentador más grande para elevar la temperatura de una cochera hasta alcanzar un clima agradable. Juntos, los dos calentadores pueden elevar la temperatura de la cochera hasta ese nivel en 42 minutos. ¿Cuánto tiempo tardaría en elevar la temperatura de la cochera hasta ese nivel cada uno de los calentadores? 51. Viaje Susana Morales viajó una distancia de 60 millas entre dos poblaciones de Texas, Lubbock y Plainview. Susana se detuvo 2.5 horas en Plainview para visitar a un amigo antes de continuar su viaje a Amarillo, Texas, que se encuentra a una distancia de 100 millas. Si condujo 10 millas por hora más rápido de Lubbock a Plainview y el tiempo total del viaje fue de 5.5 horas, determine la velocidad promedio de Susana entre Lubbock y Plainview. 52. Viaje Luis y su amigo Jorge viajan de Memphis,Tennessee, a Richmond, Virginia. Luis viaja en automóvil y Jorge en

nicas, Bonita y Pamela, tardan 6 horas en reconstruir un motor. Si cada una de ellas trabaja sola, Bonita, la más experimentada, podría completar la tarea 1 hora antes que Pamela. ¿Cuánto tiempo tardaría cada una de ellas en reconstruir el motor por su cuenta? 46. Paseo en bicicleta Ricardo Sánchez disfruta pasear en bicicleta de ida y regreso desde Washington, D. C., hasta Bethesda, Maryland; el trayecto total es de 30 millas. La mayor parte del viaje a Bethesda es cuesta arriba. La velocidad promedio al ir a Bethseda es 5 millas por hora más lenta que la velocidad promedio de regreso a Washington. Si el viaje completo dura 4.5 horas, determine la velocidad promedio en cada dirección.

Graceland en Memphis, TN.

Sección 8.4 • Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática • 535 tren. El tren y el automóvil salen de Memphis al mismo tiempo. Durante el viaje, los amigos hablan por teléfono celular, y Luis le informa a Jorge que se detuvo al anochecer después de haber recorrido 500 millas. Una hora y dos tercios después, Jorge le habla a Luis para informarle que el tren acaba de llegar a Richmond, ciudad que se encuentra a 800 millas de Memphis. Suponiendo que, en

promedio, el tren viaja 20 millas por hora más rápido que el automóvil, determine la velocidad promedio del automóvil y del tren. 53. Escriba su propio problema de movimiento y resuélvalo. 54. Escriba su propio problema de trabajo y resuélvalo.

Reto 55. Área El área de un rectángulo es de 18 metros cuadrados. Cuando la longitud se aumenta en 2 metros y el ancho en 3 metros, el área es de 48 metros cuadrados. Determine las dimensiones del rectángulo más pequeño.

56. Área El área de un rectángulo es de 24 pulgadas cuadradas. Cuando la longitud se disminuye en 1 pulgada y el ancho se aumenta en una pulgada, el área del nuevo rectángulo es de 25 pulgadas cuadradas. Determine las dimensiones del rectángulo original.

Ejercicios de repaso acumulativo [1.4] 57. Evalúe - 3415 - 3234 + 2 3. [2.2] 58. Despeje R de IR + Ir = E . 2r 64 2r + 2 . [6.2] 59. Suma r - 4 r + 4 r - 16

x 3>4 y -2

4

[7.2]

60. Simplifique ¢

[7.6]

61. Resuelva 2x + 3x + 9 = x.

x 1>2 y 2

≤ .

2

8.4 PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES EN FORMA CUADRÁTICA

1

1

Resolver ecuaciones con forma cuadrática.

2

Resolver ecuaciones con exponentes racionales.

Resolver ecuaciones con forma cuadrática En ocasiones se nos presenta la necesidad de resolver ecuaciones que, aunque no son cuadráticas, pueden reescribirse en forma cuadrática para darles solución ya sea mediante factorización, completando el cuadrado o a través de la fórmula cuadrática.

DEFINICIÓN

Una ecuación que puede escribirse en la forma au2  bu  c  0, para a  0, en donde u es una expresión algebraica, está en la forma cuadrática. Cuando le den una ecuación en la forma cuadrática, haga una sustitución para transformarla a au2  bu  c  0. En general, si los exponentes son positivos y la expresión está en orden descendente de la variable, hacemos u igual al término de en medio, sin el coeficiente numérico. Por ejemplo,

Ecuación de la forma cuadrática

Sustitución

y4 - y2 - 6 = 0

u = y2

u2 - u - 6 = 0

u = x + 5

2u2 - 5u - 12 = 0

2

21x + 52 - 51x + 52 - 12 = 0

Ecuación con la sustitución

Para resolver ecuaciones con la forma cuadrática, utilizamos el procedimiento siguiente, ilustrado en el ejemplo 1.

536 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Para resolver ecuaciones con la forma cuadrática 1. Haga una sustitución que tenga como resultado una ecuación de la forma au 2 + bu + c = 0, a Z 0, en donde u es una función de la variable original. 2. Despeje u en la ecuación au 2 + bu + c = 0. 3. Reemplace u con la función de la variable original del paso 1 y resuelva la ecuación resultante para la variable original. 4. Verifique si hay soluciones extrañas, sustituyendo las soluciones aparentes en la ecuación original.

EJEMPLO 1

a) Resuelva la ecuación x4 - 5x2 + 4 = 0. b) Determine las intersecciones del eje x de la función f1x2 = x4 - 5x2 + 4.

Solución

a) Para obtener una ecuación en la forma cuadrática, escribimos x4 como 1x22 . 2

x4 - 5x2 + 4 = 0

1x22 - 5x2 + 4 = 0

Reemplazar x4 con 1x22 para obtener una ecuación en la forma deseada.

2

2

Ahora, haga u = x2. Esto produce una ecuación en la forma cuadrática.

u2 - 5u + 4 = 0 1u - 421u - 12 = 0 u - 4 = 0 o u - 1 u = 4 u 2 x = 4 x2 x = ; 14 x x = ;2 x

Sustituir x2 por u. Despejar u.

= = = = =

0 1 1 ; 11 ;1

Reemplazar u por x2. Despejar x.

Compruebe las cuatro soluciones posibles en la ecuación original.

x = 2 x 4 - 5x2 + 4 = 0

x = -2 x4 - 5x2 + 4 = 0

x = 1 x4 - 5x2 + 4 = 0

24 - 51222 + 4 = 0 ? 16 - 20 + 4 = 0

1 -224 - 51-222 + 4 = 0 ? 16 - 20 + 4 = 0

14 - 51122 + 4 = 0 ? 1 - 5 + 4 = 0

1- 124 - 51- 122 + 4 = 0 ? 1 - 5 + 4 = 0

0 = 0

0 = 0

0 = 0

0 = 0

Verdadero

Verdadero

Verdadero

Verdadero

?

?

?

x = -1 x 4 - 5x2 + 4 = 0 ?

Por lo tanto, las soluciones son 2, 2, 1, 1.

3, 3, 1, 3, 6, 1

FIGURA 8.6

EJEMPLO 2 Solución

b) Las intersecciones del eje x ocurren en donde f(x)  0. Por consiguiente, la gráfica cruzará el eje x en las soluciones de la ecuación x4  5x2  4  0. Con base en la parte a), sabemos que las soluciones son 2, 2, 1 y 1. Así, las intersecciones del eje x son (2, 0), (2, 0), (1, 0) y (1, 0). La figura 8.6 es la gráfica de f(x)  x4  5x2  4, como se ilustra en una calculadora graficadora. Observe que la gráfica cruza el eje x en x  2, x  2, x  1 y x  1. ✺ Resuelva la ecuación p4  2p2  8.

p4 + 2p2 - 8 = 0 Igualar la ecuación a 0. 1p22 + 2p2 - 8 = 0 Escribir p4 como 1p222 para obtener 2

una ecuación en la forma deseada.

Sección 8.4 • Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática • 537

Ahora determine u = p2. Esto da una ecuación en la forma cuadrática.

u2 + 2u - 8 = 0 Sustituir p2 por u. 1u + 421u - 22 = 0 Despejar u en la ecuación. o u - 2 = 0 u + 4 = 0 u = -4 u = 2 2 p = -4 p2 = 2 Reeplazar u con p2. p = ; 1-4 p = ; 12 Despejar p. p = ; 2i Compruebe las cuatro posibles soluciones en la ecuación original.

p = 2i 4

p = 12

p = -2i 2

p + 2p = 8

12i24 + 212i22 = 8 ?

4

2

p + 2p = 8

1 -2i24 + 21-2i22 = 8 ?

4

p = - 12 2

p4 + 2p2 = 8

p + 2p = 8

11224 + 211222 = 8

1 - 1224 + 21- 1222 = 8

4 + 2122 = 8

4 + 2122 = 8

?

?

2 4i4 + 212 221i22 = 8

1 -224i4 + 21 -222i2 = 8

16112 + 81-12 = 8

16112 + 81- 12 = 8

8 = 8

8 = 8

16 - 8 = 8

16 - 8 = 8

Verdadero

Verdadero

Verdadero

Verdadero

Por lo tanto, las soluciones son 2i, - 2i, 12 , y - 12 .

✺

? ?

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17

SUGERENCIA

EJEMPLO 3 Solución

?

?

?

?

Las soluciones para ecuaciones como p4  2p2  8 deben comprobarse. En general, en este tipo de ecuaciones no se introducen soluciones extrañas, a menos que se cometa algún error. Sin embargo, pueden introducirse soluciones extrañas cuando se trabaja con exponentes racionales, como se mostrará en el ejemplo 6.

En ocasiones los estudiantes despejan u en la ecuación, pero luego olvidan terminar el problema despejando la variable original. Recuerde que si la ecuación original está en términos de x debe obtener valores para x. Si la ecuación está en términos de p (como en el ejemplo 2) debe obtener valores para p, y así sucesivamente.

Resuelva la ecuación 412w + 122 - 1612w + 12 + 15 = 0. Si determinamos u = 2w + 1, la ecuación se transforma en

412w + 122 - 1612w + 12 + 15 = 0 4u2 - 16u + 15 = 0

Sustituir 2w + 1 por u.

Ahora podemos factorizar y resolver.

12u - 3212u - 52 = 0 2u - 3 = 0 2u = 3 u =

3 2

o

2u - 5 = 0 2u = 5 u =

5 2

No hemos terminado, ya que la variable original en la ecuación es w, así que debemos despejar w no u. Por lo tanto, ahora sustituimos u por 2w  1 y despejamos w.

538 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

3 2 3 2w + 1 = 2 1 2w = 2 1 w = 4

5 2 5 2w + 1 = 2 3 2w = 2 3 w = 4

u =

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29

EJEMPLO 4 Solución

u =

Sustituir u por 2w + 1.

Una comprobación mostrará que 41 y 34 son soluciones de la ecuación original.

✺

Determine las intersecciones del eje x de la función f(x)  2x2  x1  1. Las intersecciones del eje x ocurren en donde f(x)  0. Por lo tanto, para determinar las intersecciones del eje x debemos resolver la ecuación

2x -2 + x -1 - 1 = 0 Esta ecuación puede expresarse como

21x-122 + x-1 - 1 = 0 Cuando determinamos u = x-1, la ecuación se transforma en

2u2 + u - 1 = 0 12u - 121u + 12 = 0 2u - 1 = 0 u + 1 = 0 o 1 u = u = -1 2

Ahora sustituimos u por x1.

1 2 1 1 = x 2 x = 2

x-1 =

o

x-1 = - 1 1 = -1 x x = -1

Una comprobación mostrará que 2 y 1 son soluciones de la ecuación original. Por lo tanto, las intersecciones del eje x son (2, 0) y (1, 0). ✺ La ecuación del ejemplo 4 también podría expresarse como

2 1 - 1 = 0 + 2 x x Un segundo método para resolver esta ecuación consiste en multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, x2, y luego simplificar.

x2 ¢

2 1 - 1 ≤ = x2 # 0 + x x2 2 + x - x2 = 0 x2 - x - 2 = 0

1x - 221x + 12 = 0

x - 2 = 0 x = 2 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 61

o

x + 1 = 0 x = -1

Las ecuaciones de esta sección pueden resolverse por más de un método.

Sección 8.4 • Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática • 539

2

Resolver ecuaciones con exponentes racionales Al resolver ecuaciones que tienen la forma cuadrática y exponentes racionales, primero debemos eliminar los exponentes elevando ambos lados de la ecuación a alguna potencia. Recuerde que hicimos esto en la sección 7.6, cuando resolvimos ecuaciones con radicales. Al elevar ambos lados de una ecuación a una potencia, podemos introducir soluciones extrañas. Por lo tanto, siempre que elevemos ambos lados de una ecuación a una potencia, debemos verificar todas las soluciones en la ecuación original para asegurarnos de que ninguna es extraña. Ahora resolvamos dos ejemplos para mostrar cómo trabajar con ecuaciones que tienen exponentes racionales. Utilizaremos el procedimiento que ya conocemos.

EJEMPLO 5 Solución

Resuelva la ecuación x2/5  x1/5  6  0. Esta ecuación puede reescribirse como

1x1>522 + x1>5 - 6 = 0

Determine u = x1>5. Entonces, la ecuación se transforma en

u2 + u - 6 = 0 1u + 321u - 22 = 0 u + 3 = 0 u - 2 = 0 o u = -3 u = 2 Ahora sustituimos u por x1/5 y elevamos ambos lados de la ecuación a la quinta potencia para eliminar los exponentes racionales.

x1>5 = -3 o 1>5 5 5 1x 2 = 1- 32 x = - 243

x1>5 = 2 5 1x1>52 = 2 5 x = 32

Las dos posibles soluciones son 243 y 32. Recuerde que siempre que eleve ambos lados de una ecuación a una potencia, como hicimos aquí, necesita comprobar si hay soluciones extrañas. Comprobación

x = -243 2>5

1 -24322>5

x = 32

1>5

x + x - 6 = 0 ? + 1-24321>5 - 6 = 0

11 5 - 24322 + 1 5 - 243 - 6 = 0 ?

1-322 - 3 - 6 = 0 ?

x

13222>5

?

EJEMPLO 6 Solución

+ x1>5 - 6 = 0 ? + 13221>5 - 6 = 0

5 3222 + 1 5 32 - 6 = 0 11

9 - 3 - 6 = 0

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63

2>5

? ?

22 + 2 - 6 = 0 ?

4 + 2 - 6 = 0

0 = 0

0 = 0

Verdadero

Verdadero

Como ambos valores satisfacen la ecuación, las soluciones son 243 y 32. Resuelva la ecuación 2p - 1p - 10 = 0. Podemos expresar esta ecuación como

2p - p1>2 - 10 = 0

21p1>22 - p1>2 - 10 = 0 2

Si determinamos u = p1>2, esta ecuación tiene la forma cuadrática.

2u2 - u - 10 = 0 12u - 521u + 22 = 0

✺

540 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

2u - 5 = 0

o

u + 2 = 0 u = -2

2u = 5 u =

5 2

Sin embargo, como en la ecuación original la variable es p, debemos despejar p. Por lo tanto, sustituimos u por p1/2.

p1>2 =

5 2

p1>2 = - 2

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.

5 2 2 1p1>22 = a b 2 p =

1p1>22 = 1- 222 2

25 4

p = 4

Para terminar, debemos comprobar las dos posibles soluciones en la ecuación original.

p =

Comprobación

2a

25 4

p = 4

2p - 1p - 10 = 0

2p - 1p - 10 = 0

25 25 ? b - 10 = 0 4 A4

2142 - 14 - 10 = 0

25 5 ? - - 10 = 0 2 2

8 - 2 - 10 = 0

0 = 0 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25

?

?

Verdadero

-4 = 0

Falso

Como 4 no satisface la ecuación, es una solución extraña; la única solución es 254 .

✺

El ejemplo 6 también podría resolverse escribiendo la ecuación como 1p = 2p - 10 y elevando ambos lados al cuadrado. Resuélvala de esta manera; si olvidó cómo hacerlo, revise la sección 7.6.

Conjunto de ejercicios 8.4 Ejercicios conceptuales 1. Explique cómo se puede determinar si una ecuación dada puede expresarse como una ecuación en la forma cuadrática. 2. Al resolver una ecuación que está en la forma cuadrática, ¿en qué situaciones es esencial comprobar si hay soluciones extrañas? Explique por qué. 3. Para resolver la ecuación 3x4  5x2  1  0, ¿cuál es la elección correcta para u a fin de transformar la ecuación a la forma cuadrática? Explique.

4. Para resolver la ecuación 2y3/4  9y1/3  7  0, ¿cuál es la elección correcta para u a fin de transformar la ecuación a la forma cuadrática? Explique. 5. Para resolver la ecuación z2  z1  56, ¿cuál es la elección correcta para u a fin de transformar la ecuación a la forma cuadrática? Explique. x+1 2 x+1 6. Para resolver la ecuación 3 a b + a b - 9 = 0, x+3 x+3 ¿cuál es la elección correcta para u a fin de transformar la ecuación a la forma cuadrática? Explique.

Sección 8.4 • Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática • 541

Problemas de aplicación Resuelva cada ecuación. 7. x 4 - 10x 2 + 9 = 0 4

8. x 4 + 10x 2 + 9 = 0

2

4

9. x 4 - 26x 2 + 25 = 0

2

10. x + 26x + 25 = 0

11. x - 13x + 36 = 0

12. x 4 + 13x 2 + 36 = 0

13. a 4 - 7a 2 + 12 = 0

14. b4 + 7b2 + 12 = 0

15. 4x 4 - 5x 2 + 1 = 0

16. 9d - 10d + 1 = 0

17. r - 8r = - 15

18. p4 - 5p2 = - 6

19. z4 - 7z2 = 18

20. a 4 - a 2 = 30

21. -c4 = 4c2 - 5

22. 9b = 57b - 18

23. 1x = 2x - 6

24. 2b + 71b = 22

25. x + 1x = 6

26. 2x - 8 = - 61x

27. 9x + 31x = 2

4

2

4

4

2

28. 8x + 2 1x = 3 31. 61a - 22 = - 191a - 22 - 10

34. 1a - 12 - 51a - 12 - 14 = 0 2

29. 1x + 32 + 21x + 32 = 24 32. 101z - 122 = 31z - 12 + 1 2

2

2

2

2

2

35. 21b + 22 + 51b + 22 - 3 = 0

2

2

37. 181x 2 - 52 + 271x 2 - 52 + 10 = 0 38. 281x 2 - 82 - 231x 2 - 82 - 15 = 0 40. a

-2

+ 6a

+ 9 = 0

-1

41. 6b

43. 2b -2 = 7b -1 - 3 46. 6a 49. x

-2

2>3

= a

+ 12

-1

- 3x

1>3

= -2

52. c2>3 - 16 = 0 55. c

2>5

- 3c

1>5

-2

- 5b

-1

+ 1 = 0

33. 1x 2 - 12 - 1x 2 - 12 - 6 = 0 2

36. 1z - 52 + 31z2 - 52 - 10 = 0 2

2

39. x -2 + 10x -1 + 25 = 0 42. 5x -2 + 4x -1 - 1 = 0

44. 12z -2 - 4z -1 - 1 = 0

45. x -2 + 9x -1 = 10

47. x

-2

48. x 2>3 - 5x 1>3 + 6 = 0

50. x

2>3

= 4x

-1

= 2x

1>3

+ 12

51. b2>3 + 11b1>3 + 28 = 0

+ 3

53. - 2a - 5a 1>2 + 3 = 0 56. x

+ 2 = 0

30. 1x + 222 + 41x + 22 + 3 = 0

2>5

- 5x

1>5

54. r 2>3 - 7r 1>3 + 6 = 0

+ 6 = 0

Determine todas las intersecciones del eje x de cada función. 57. f1x2 = x - 51x + 4

58. g1x2 = x - 13 1x + 36

59. h1x2 = x + 13 1x + 36

60. k1x2 = x + 81x + 15

61. p1x2 = 4x

62. g1x2 = 4x -2 + 12x -1 + 9

-2

- 19x

-1

- 5

63. f1x2 = x2>3 + x1>3 - 6

64. f1x2 = x 1>2 + 4x 1>4 - 5

65. g1x2 = 1x 2 - 3x2 + 21x 2 - 3x2 - 24

66. g1x2 = 1x 2 - 6x2 - 51x 2 - 6x2 - 24

67. f1x2 = x 4 - 20x 2 + 64

68. h1x2 = x 4 - 6x 2 + 5

2

2

Resolución de problemas 69. Indique un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma ax4  bx2  c  0. 70. Indique un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma ax2n  bxn  c  0. 71. Indique un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma ax2  bx1  c  0. 72. Indique un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma a(x  r)2  b(x  r)  c  0. 73. Escriba una ecuación de la forma ax4  bx2  c  0 que tenga como soluciones ; 2 y ; 4. Explique cómo obtuvo su respuesta. 74. Escriba una ecuación de la forma ax4  bx2  c  0 que tenga como soluciones ; 3 y ; 2i. Explique cómo obtuvo su respuesta. 75. Escriba una ecuación de la forma ax4  bx2  c  0 que tenga como soluciones ; 12 y ; 13 . Explique cómo obtuvo su respuesta.

76. Escriba una ecuación de la forma ax4  bx2  c  0 que tenga como soluciones ; 2i y ; 5i. Explique cómo obtuvo su respuesta. 77. ¿Es posible que una ecuación de la forma ax4  bx2  c  0 tenga exactamente una solución imaginaria? Explique. 78. ¿Es posible que una ecuación de la forma ax4  bx2  c  0 tenga exactamente una solución real? Explique. 3 3 = 60 x x2 a) multiplicando ambos lados por el MCD. b) escribiendo la ecuación con exponentes negativos.

79. Resuelva la ecuación

2 2 - 2 x x a) multiplicando ambos lados por el MCD. b) escribiendo la ecuación con exponentes negativos.

80. Resuelva la ecuación 1 =

542 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas Determine todas las soluciones reales de cada ecuación. 81. 151r + 22 + 22 = -

8 r + 2

82. 21p + 32 - 4 =

3 p + 3

83. 4 - 1x - 22-1 = 31x - 22-2

84. 31x - 42-2 = 161x - 42-1 + 12

87. 1x2 + 2x - 22 - 71x 2 + 2x - 22 + 6 = 0

88. 1x 2 + 3x - 22 - 101x 2 + 3x - 22 + 16 = 0

6

3

85. x - 9x + 8 = 0 2

86. x 6 - 3x 3 - 40 = 0 2

Determine todas las soluciones de cada ecuación. 89. 2n4 - 6n2 - 3 = 0

90. 3x 4 + 8x 2 - 1 = 0

Ejercicios de repaso acumulativo 91. Evalúe [2.1]

[3.2] 93. Establezca el dominio y el rango de y  (x  2)2.

3 2 4 - a - b. 5 4 3

92. Resuelva 6(x  4)  4(3x  3)  6.

[7.3]

3 16x 3 y 6 . 94. Simplifique 2

[7.5]

95. Sume 175 + 1108 .

8.5 GRAFICACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS 1

Determinar cuando una parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

2

Determinar el eje de simetría, el vértice y las intersecciones del eje x de una parábola.

3

Graficar funciones cuadráticas por medio del eje de simetría, el vértice y las intersecciones.

4

Resolver problemas de máximos y mínimos.

5

Entender el desplazamiento de las parábolas.

6

Escribir funciones en la forma f1x2 = a1x - h22 + k.

En la sección 3.2 graficamos ecuaciones cuadráticas por medio del trazado de puntos, y en la sección 5.8 hicimos un breve análisis de las intersecciones del eje x de las funciones cuadráticas. En esta sección, estudiaremos con mayor profundidad las gráficas de funciones cuadráticas, denominadas parábolas. En la parte 3 se explica cómo graficar funciones cuadráticas usando el eje de simetría, el vértice y las intersecciones. En la parte 5 estudiaremos patrones en las gráficas de las parábolas, y utilizaremos dichos patrones para determinar traslaciones, o desplazamientos, que pueden usarse para graficar parábolas.

1

Determinar cuando una parábola abre hacia arriba o hacia abajo Las parábolas tienen una forma parecida a la de la letra U, pero su abertura puede estar hacia arriba o hacia abajo. Para una función cuadrática de la forma f(x)  ax2  bx  c, el signo del coeficiente principal, a, determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. Cuando a  0, la parábola abre hacia arriba (vea la figura 8.7a). Cuando a  0, la parábola abre hacia abajo (vea la figura 8.7b).

Sección 8.5 • Graficación de funciones cuadráticas • 543

a  0, a  0, f (x)  ax2  bx  c Parábola con apertura Parábola con apertura hacia abajo hacia arriba y

y Vértice x

x

Vértice Eje de simetría

FIGURA 8.7

Eje de simetría

(a)

(b)

En el caso de las parábolas que abren hacia arriba, el vértice es el punto más bajo de la curva. El valor mínimo de la función es la coordenada y del vértice. El valor mínimo se obtiene cuando la coordenada x del vértice se sustituye en la función. En cuanto a las parábolas que abren hacia abajo, el vértice es el punto más alto de la curva. El valor máximo de la función es la coordenada y del vértice. El valor máximo se obtiene cuando la coordenada x del vértice se sustituye en la función.

2 Determinar el eje de simetría, el vértice y las intersecciones del eje x de una parábola Las gráficas de funciones cuadráticas de la forma f(x)  ax2  bx  c, tienen simetría respecto de una recta vertical que pasa por el vértice. Esto significa que si dobláramos el papel a lo largo de esta línea imaginaria, denominada eje de simetría, los dos lados de la parábola coincidirán (vea la figura 8.7), A continuación se establece la ecuación para determinar el eje de simetría. Para determinar el eje de simetría Para una función de la forma f1x2 = ax 2 + bx + c, la ecuación para determinar el eje de simetría de la parábola es

x = -

b 2a

Ahora deduciremos la fórmula para encontrar el eje de simetría, y determinaremos las coordenadas del vértice de la parábola; comencemos con una función cuadrática de la forma f(x)  ax2  bx  c y completemos el cuadrado con los primeros dos términos.

f1x2 = ax2 + bx + c b = aax2 + xb + c a

Factorizar a.

b b2 , y su cuadrado es 2 . Sumemos y restemos este 2a 4a término dentro del paréntesis; el resultado es cero. Un medio del coeficiente de x es

f1x2 = acx2 +

b b2 b2 x + 2 - 2d + c 2a 4a 4a

544 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Ahora reescribimos la función de la manera siguiente.

f1x2 = a B x2 +

b b2 b2 x + ¢ 2 ≤ R - a ¢ 2≤ + c a 4a 4a

= aax +

b 2 b2 b + c 2a 4a

Reemplazar un trinomio con el cuadrado de un binomio.

= aax +

b 2 b2 4ac b + 2a 4a 4a

Escribir fracciones con un denominador común.

= aax +

b 2 4ac - b2 b + 2a 4a

Combinar los dos últimos términos; escribir con la variable a primero.

= acx - a La expresión c x - a -

2 b 4ac - b2 bd + 2a 4a

2 b b d siempre será mayor o igual a cero, ¿por qué? Si a  0, la 2a

parábola abrirá hacia arriba y tendrá un valor mínimo. Como c x - a un valor mínimo cuando x = -

2 b b d tendrá 2a

b , el valor mínimo de la gráfica se presentará cuando 2a

b . Si a  0, la parábola abrirá hacia abajo y tendrá un valor máximo; éste se 2a b presentará cuando x = - . Para determinar el punto más bajo o el más alto de una 2a b parábola, sustituimos x por en la función, a fin de conocer el valor de y. El par orde2a nado resultante será el punto en que se da el vértice de la parábola. Como el eje de sime-

x = -

tría es la recta vertical que pasa por el vértice de la parábola, su ecuación se determina mediante la coordenada x del par ordenado. Así, la ecuación para determinar el eje b b 4ac - b2 . Observe que cuando x = , el valor de f(x) es . de simetría es x = 2a 2a 4a ¿Puede explicar por qué? Para determinar el vértice de una parábola La parábola representada por la función f1x2 = ax 2 + bx + c tendrá como eje de b simetría x = y como vértice 2a

¢-

b 4ac - b2 , ≤ 2a 4a

Ya que con frecuencia determinamos la coordenada y-del vértice sustituyendo la coordenada x del vértice en f1x2, el vértice también puede designarse como

a-

b b , fa - b b 2a 2a

La parábola dada mediante la función f(x)  ax2  bx  c abrirá hacia arriba cuando a sea mayor que 0, y hacia abajo cuando a sea menor que 0. Recuerde que para determinar la intersección del eje x de la gráfica de f(x)  ax2  bx  c, hacemos f(x)  0 y resolvemos la ecuación

ax2 + bx + c = 0

Sección 8.5 • Graficación de funciones cuadráticas • 545

Esta ecuación puede resolverse por factorización, mediante la fórmula cuadrática o completando el cuadrado. Como se menciona en la sección 8.2, el discriminante, b2  4ac, puede usarse para determinar el número de intersecciones con el eje x. La siguiente tabla resume la información acerca del determinante.

Discriminante, b 2  4ac

Número de intersecciones

Posibles gráficas de f(x)  ax 2  bx  c y

y x

70

Dos x y

y x

=0

Una x y

y x

60

Ninguna x

3 Graficar funciones cuadráticas por medio del eje de simetría, el vértice y las intersecciones En esta parte trazaremos gráficas de funciones cuadráticas.

EJEMPLO 1

Examine la ecuación y  x2  8x  12. a) Determine si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. b) Determine la intersección del eje y. c) Determine el vértice. d) Determine las intersecciones del eje x, si las hay. e) Trace la gráfica.

Solución

a) Como a es 1, es decir, menor que 0, la parábola abre hacia abajo. b) Para determinar la intersección del eje y, hacemos x  0 y despejamos y.

y = - 1022 + 8102 - 12 = - 12

La intersección del eje y se da en el punto (0, 12).

c) Primero determinamos la coordenada x y luego la coordenada y del vértice.

x = y =

b 8 = = 4 2a 21-12

41-121 -122 - 82 4ac - b2 48 - 64 = = = 4 4a 41-12 -4

546 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

El vértice está en (4, 4). La coordenada y del vértice podría haberse obtenido también sustituyendo x por 4 en la función, y determinando el valor de y correspondiente, que es 4.

y 5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Vértice (4, 4)

d) Para determinar las intersecciones del eje x, hacemos y  0. 1 2 3

5 6 7 8 9

0 = - x2 + 8x - 12 or x2 - 8x + 12 = o 1x - 621x - 22 = x - 6 = 0 o x - 2 x = 6 o x

x

0 0 = 0 = 2

Así, las intersecciones del eje x se dan en (2, 0) y (6, 0). Estos valores también podrían determinarse por medio de la fórmula cuadrática (o completando el cuadrado). e) Utilice toda esta información para trazar la gráfica (figura 8.8).

✺

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15

Intersección del eje y

Si al determinar las intersecciones del eje x obtiene valores irracionales para la fórmula cuadrática, utilice su calculadora para estimar estos valores, y luego trace los valores decimales. Por ejemplo, si obtiene x = 12 ; 1102>2, evaluaría 12 + 1102>2 y 12 - 1102>2 en su calculadora para obtener 2.58 y 0.58, respectivamente (resultados redondeados al centésimo más cercano). Por lo tanto, las intersecciones del eje x se darían en (2.58, 0) y (0.58, 0).

Eje de simetría

FIGURA 8.8

EJEMPLO 2

Examine la función f(x)  2x2  6x  5. a) Determine si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. b) Determine la intersección del eje y. c) Determine el vértice. d) Determine las intersecciones del eje x, si las hay. e) Trace la gráfica.

Solución

a) Como a es 2, es decir, mayor que 0, la parábola abre hacia arriba. b) Ya que f(x) es lo mismo que y, para determinar la intersección del eje y hacemos x  0 y despejamos f(x) (o y).

f102 = 21022 + 6102 + 5 = 5 La intersección del eje y se da en (0, 5). c)

y =

y

(w, q)

2

FIGURA 8.9

b 6 6 3 = = - = 2a 2122 4 2

4122152 - 62 40 - 36 4 1 4ac - b2 = = = = 4a 4122 8 8 2

El vértice está en A - 32 , 12 B . La coordenada y del vértice también puede determinarse

8 7 6 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 1

x = -

evaluando f A - 32 B .

d) Para determinar las intersecciones del eje x, hacemos f(x)  0.

0 = 2x2 + 6x + 5 1 2 3 4 5

x

Este trinomio no puede factorizarse. Para determinar si esta ecuación tiene alguna solución real, evaluamos el discriminante

b2 - 4ac = 62 - 4122152 = 36 - 40 = - 4

Sección 8.5 • Graficación de funciones cuadráticas • 547

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 39

4

Como el discriminante es menor que 0, esta ecuación no tiene soluciones reales. Esta respuesta era de suponerse, ya que la coordenada y del vértice es un número positivo y, por lo tanto, se ubica por arriba del eje x; ya que la parábola abre hacia arriba, no puede intersectar al eje x. e) La gráfica se muestra en la figura 8.9. ✺

Resolver problemas de máximos y mínimos Como se ilustra en la figura 8.10a, las parábolas que abren hacia arriba tienen un valor mínimo en su vértice. Por otra parte, como se muestra en la figura 8.10b, las parábolas que abren hacia abajo tienen un valor máximo en su vértice. Si le dan una función de la forma f(x)  ax2  bx  c, debe saber que el valor máximo o mínimo estará en 4ac - b2 b , y será . Existen muchos problemas de la vida real en los que se requiere 2a 4a determinar los valores máximo o mínimo. y  ax2  bx  c a  0, valor mínimo

a  0, valor máximo

y

y

x

b 2a x

y

FIGURA 8.10

EJEMPLO 3

冢 2ab ,

4ac  b2 4a

冢 2ab ,

4ac  b2 y 4a

x

4ac  b2 4a

b 2a

4ac  b2 4a

冣

x

冣

(a)

(b)

Béisbol Tommy Magee juega béisbol con los Cardenales de Yorktown. Durante la séptima entrada en un partido contra los Azulejos de Arlington, Magee batea de hit hacia el jardín (vea la figura 8.11); el contacto entre su bate y la bola se da a 3 pies del suelo. Para este hit en particular, la altura de la bola respecto del suelo, f(t), en pies, en el instante t, en segundos, puede calcularse mediante la fórmula

f1t2 = - 16t2 + 52t + 3 a) Determine la altura máxima que alcanza la bola de béisbol. b) Determine el tiempo que tarda la bola en alcanzar su máxima altura. c) Determine el tiempo que tarda la bola en chocar contra el suelo.

FIGURA 8.11

Solución

a) Entienda el problema La bola de béisbol sigue la trayectoria de una parábola que abre hacia abajo (a  0); a consecuencia de la gravedad, la bola se eleva hasta una altura máxima para luego caer hacia el suelo. Para determinar la altura máxima que alcanza la bola, usamos la fórmula y =

Traduzca

a = - 16, y =

4ac - b2 . 4a b = 52,

4ac - b2 4a

c = 3

548 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Realice los cálculos

=

=

41-162132 - 15222 41-162 - 192 - 2704 -64

-2896 -64 = 45.25

=

Responda

La bola de béisbol alcanza una altura máxima de 45.25 pies.

b) La bola de béisbol llega a su altura máxima en

t = -

b 52 52 13 = = = 2a 21-162 -32 8

o 1

5 8

o 1.625 segundos

c) Entienda el problema y traduzca Cuando la bola de béisbol choca contra el suelo, su altura (y) respecto de éste es 0. Por lo tanto, para determinar cuándo golpea el suelo, resolvemos la ecuación

-16t2 + 52t + 3 = 0 Usaremos la fórmula cuadrática para resolverla.

t =

Realice los cálculos

- b ; 2b2 - 4ac 2a

=

-52 ; 215222 - 41- 162132 21-162

=

- 52 ; 12704 + 192 -32

=

-52 ; 12896 -32

-52 ; 53.81 -32 - 52 + 53.81 -52 - 53.81 t L o t L -32 -32 L - 0.06 segundos L 3.31 segundos L

El único valor aceptable es 3.31 segundos. La bola de béisbol choca contra el suelo después de aproximadamente 3.31 segundos. Observe que en la parte b) el tiempo que tarda la bola en alcanzar su altura máxima, 1.626, no es exactamente la mitad del tiempo total que está en el aire, 3.31 segundos. La razón es que fue golpeada a una altura de 3 pies, y no al nivel del suelo. ✺

Responda

EJEMPLO 4

Área de un rectángulo Considere el rectángulo siguiente, cuya longitud es x  3 y cuyo ancho es 10  x 10  x x3

Sección 8.5 • Graficación de funciones cuadráticas • 549

a) Determine una ecuación para calcular el área, A(x). b) Determine el valor de x que proporciona el área (máxima) más grande. c) Determine el área máxima.

Solución

a) Para calcular el área de un rectángulo hay que multiplicar su longitud por su ancho. Por lo tanto, la función para determinar el área es

A1x2 = 1x + 32110 - x2 = - x2 + 7x + 30

b) Entienda el problema y traduzca La gráfica de la función es una parábola que abre hacia abajo. Así, el valor máximo se alcanza en el vértice. Por lo tanto, el área b máxima se da en x = . 2a Realice los cálculos Responda

x = -

7 b 7 = = = 3.5 2a 21-12 2

El área máxima se alcanza cuando x es 3.5 unidades.

c) Para determinar el área máxima, sustituimos cada x de la ecuación que se obtuvo en la parte a) por 3.5.

A1x2 = - x2 + 7x + 30 A13.52 = -13.522 + 713.52 + 30 = - 12.25 + 24.5 + 30 = 42.25

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 73

Observe que en el rectángulo la longitud es x  3  3.5  3  6.5 unidades, y el ancho es 10  x  10  3.5  6.5 unidades. En realidad el rectángulo es un cuadrado, y su área es (6.5)(6.5)  42.25 unidades cuadradas. Por consiguiente, el área máxima es 42.25 unidades cuadradas. ✺ En el ejemplo 4c), el área máxima pudo haberse determinado también utilizando 4ac - b2 la fórmula y = . Determine el área máxima utilizando dicha fórmula. La res4a puesta debe ser la misma que se mencionó antes, 42.25 unidades cuadradas.

EJEMPLO 5

Solución

Corral rectangular Juan Briones construye un corral rectangular para unos terneros recién nacidos (vea la figura 8.12). Si planea utilizar 100 metros de cerca, determine las dimensiones del corral con la mayor área. Se nos ha informado cuál es el perímetro del corral, 100 metros. La fórmula para determinar el perímetro de un rectángulo es P  2l  2w, así que, en este problema, 100  2l  2w. Por otro lado, se nos piden maximizar el área, A, en donde

Entienda el problema

A = l#w

FIGURA 8.12

Necesitamos expresar el área en términos de una variable, no de dos. Para hacerlo en términos de l, despejamos w en la fórmula del perímetro, 100  2l  2w, y luego hacemos una sustitución. Traduzca

100 = 2l + 2w 100 - 2l = 2w 50 - l = w

550 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Ahora sustituimos 50 - l por w en A = l # w. Esto da

Realice los cálculos

A = lw A = l150 - l2 A = - l2 + 50l En esta ecuación cuadrática, a  1, b  50 y c  0. El área máxima se obtendrá cuando

l = -

b 50 = = 25 2a 21-12

Responda La longitud que dará el área máxima es 25 metros. El ancho, w  50  l, también será igual a 25 metros. Por lo tanto, un cuadrado con dimensiones de 25 por 25 metros dará el área máxima.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 93

El área máxima también puede determinarse sustituyendo l  25 en la fórmula 4ac - b2 A  l(50  l), o mediante A = . En cualquier caso, la respuesta es 625 me4a tros cuadrados. ✺ Cuando obtuvimos la ecuación A = - l2 + 50l, en el ejemplo 5, podríamos haber completado el cuadrado como sigue:

A = = = =

- 1l2 - 50l2 - 1l2 - 50l + 625 - 6252 - 1l2 - 50l + 6252 + 625 - 1l - 2522 + 625

Con base en esta ecuación, podemos determinar que el área máxima, 625 metros cuadrados, se alcanza cuando la longitud es de 25 metros.

5

Entender los desplazamientos de las parábolas Ahora veremos otro método para graficar parábolas. En él, se comienza con una gráfica de la forma f(x)  ax2, y ésta se desplaza, o traslada para obtener la gráfica de la función que se está buscando. Como referencia, la figura 8.13a muestra las gráficas de f(x)  x2, g(x)  2x2 y h1x2 = 12 x2. La figura 8.13b muestra las gráfica de f1x2 = - x2, g1x2 = - 2x2, y h1x2 = - 12 x2. y

y

6

6

5

2

3 2

h(x)  qx2 1

2

2

3

4

5

1 6

x

6 5 4 3 2

h(x)  qx2

3

FIGURA 8.13

4

f (x)  x2

3

6 5 4 3 2 1 1

5

g(x)  2x2

4

2

4

5

6

x

2 3

4

4

5

5

6

6

(a)

3

f (x)  x2 g(x)  2x2

(b)

Trazando los puntos, usted puede verificar que cada una de las gráficas es correcta. Observe que en las figuras 8.13a y b el valor de a en f(x)  ax2 determina el ancho

Sección 8.5 • Graficación de funciones cuadráticas • 551

de la parábola. Conforme |a| aumenta, la parábola se hace más angosta, y conforme |a| disminuye, la parábola se hace más ancha. Ahora consideremos las tres funciones f(x)  x2, g(x)  (x  2)2 y h(x)  (x  2)2. Estas funciones se grafican en la figura 8.14. (Si lo desea, trace los puntos para verificar que éstas son las gráficas de las funciones.) y 8

5

f (x)  x2

4 3

h(x)  (x  2)2

g(x)  (x  2)2

1

6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

2 3 4

FIGURA 8.14

Observe que las gráficas de g(x) y de h(x) son idénticas a la gráfica de f(x), salvo que g(x) se ha trasladado, o desplazado, 2 unidades hacia la derecha, y h(x) se ha trasladado 2 unidades hacia la izquierda. En general, la gráfica de g(x)  a(x  h)2 tendrá la misma forma que la gráfica de f(x)  ax2. La gráfica de una ecuación de la forma g(x)  a(x  h)2 estará desplazada horizontalmente respecto de la gráfica de f(x)  ax2. Si h es un número real positivo, la gráfica de g(x)  a(x  h)2 estará desplazada h unidades hacia la derecha respecto de la gráfica de f(x)  ax2. Si h es un número real negativo, la gráfica de g(x)  a(x  h)2 estará desplazada |h| unidades hacia la izquierda respecto de la gráfica de f(x)  ax2. Ahora considere las gráficas de f(x)  x2, g(x)  x2  3 y h(x)  x2  3, ilustradas en la figura 8.15. Trace los puntos para verificar que estas gráficas corresponden a las tres funciones. y 8 7 6

g(x)  x2  3

5 4

f (x)  x2

3 2

h(x)  x2  3

1 6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

2

FIGURA 8.15

4

Observe que las gráficas de g(x) y de h(x) son idénticas a la gráfica de f(x), salvo que g(x) se ha trasladado 3 unidades hacia arriba y h(x) se ha trasladado 3 unidades hacia abajo. En general, si k es un número real positivo la gráfica de g(x)  ax2  k es la gráfica de f(x)  ax2 desplazada k unidades hacia arriba, y |k| unidades hacia abajo si k es un número real negativo. Ahora considere las gráficas de f(x)  x2 y g1x2 = 1x - 222 + 3, ilustradas en la figura 8.16.

552 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas y

8 7 6 5

g(x)  (x  2)2  3

4

f (x)  x

2

3

(2, 3)

2 1 6 5 4 3 2 1 1

FIGURA 8.16

1

2

3

4

5

6

x

2

Observe que la gráfica de g(x) tiene la misma forma general que la de f(x). La gráfica de g(x) es la gráfica de f(x) trasladada 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba. Esta gráfica y el análisis anterior conducen a las siguientes conclusiones importantes. Para cualquier función f(x)  ax2, la gráfica de g(x)  a(x  h)2  k tendrá la misma forma que la gráfica de f(x). La gráfica de g(x) será la gráfica de f(x), pero desplazada según las siguientes condiciones:

• Si h es un número real positivo, la gráfica se desplazará h unidades hacia la derecha. • Si h es un número real negativo, la gráfica se desplazará |h| unidades hacia la izquierda.

• Si k es un número real positivo, la gráfica se desplazará k unidades hacia arriba. • Si k es un número real negativo, la gráfica se desplazará |k| unidades hacia abajo.

Examine la gráfica de g(x)  (x  2)2  3 en la figura 8.16. Observe que su eje de simetría está en x  2 y su vértice se da en (2, 3). La gráfica de cualquier función de la forma

f1x2 = a1x - h22 + k será una parábola con eje de simetría en x  h y vértice en (h, k).

Ejemplo

f1x2 = 21x - 422 + 5 f1x2 = - 12 1x - 622 - 4

Eje de simetría

x = 4 x = 6

Vértice

(4, 5)

16, - 42

La parábola abre hacia

arriba, a 7 0 abajo, a 6 0

Ahora considere f(x)  2(x  5)2  3. Podemos reescribir esta función como f(x)  2[x  (5)]2  3; por lo tanto, h tiene un valor de 5 y k tiene un valor de 3. La gráfica de esta función tiene su eje de simetría en x  5 y su vértice en (5, 3).

Ejemplo

f1x2 = 31x + 422 - 2 2 f1x2 = - 12 A x + 13 B + 14

Eje de simetría

x = -4 x = - 13

Vértice

1 - 4, - 22 A - 13 , 14 B

La parábola abre hacia

arriba, a 7 0 abajo, a 6 0

Ahora estamos preparados para graficar parábolas utilizando las traslaciones.

Sección 8.5 • Graficación de funciones cuadráticas • 553

EJEMPLO 6

La gráfica de f(x)  2x2 se ilustra en la figura 8.17. Tomándola como guía, grafique g(x)  2(x  3)2  4.

Solución

La función g(x) puede escribirse como g(x)  2[x  (3)]2  4. Por lo tanto, en la función h tiene un valor de 3 y k un valor de 4. Así, la gráfica de g(x) será la gráfica de f(x) desplazada 3 unidades hacia la izquierda (ya que h  3) y 4 unidades hacia abajo (ya que k  4). Las gráficas de f(x) y g(x) se ilustran en la figura 8.18.

y 2 1 4 3 2 1 1 2 3

1

2

3

4

x

f (x)  2x2

y 2

4

1

5 6

6 5 4 3 2 1 1

7

1

2

3

4

5

6

x

2

8

3

(3, 4)

9

f (x)  2x2

4

10

5 6

FIGURA 8.17

7

g(x)  2(x  3)  4 2

8 9

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 49

✺

FIGURA 8.18

En la parte 2 de esta sección iniciamos con una función de la forma f(x)  ax2  bx  c, y completamos el cuadrado para obtener

f1x2 = acx - a -

2 b 4ac - b2 bd + 2a 4a

Además, se mencionó que el vértice de la parábola de esta función es a Suponga que en la función sustituimos h por tenemos

b 4ac - b2 , b 2a 4a

b 4ac - b2 y k por . Entonces ob2a 4a

f1x2 = a1x - h22 + k que sabemos da por resultado una parábola con vértice en (h, k). Por lo tanto, las dos funciones f(x)  ax2  bx  c y f(x)  a(x  h)2  k tienen el mismo vértice y el mismo eje de simetría para cualesquiera funciones dadas.

6

Escribir funciones en la forma f 1x2 = a1x - h22 + k Si queremos graficar parábolas utilizando desplazamientos, necesitamos cambiar la forma de la función de f(x)  ax2  bx  c a f(x)  a(x  h)2  k. Para hacerlo, completamos el cuadrado como se estudió en la sección 8.1. Al completar el cuadrado obtenemos un trinomio cuadrado perfecto, que puede representarse como el cuadrado de un binomio. En los ejemplos 7 y 8 se explica el procedimiento.

EJEMPLO 7

Solución

Dada f(x)  x2  6x  10. a) Escriba f(x) en la forma f(x)  a(x  h)2  k. b) Grafique f(x). a) Utilizamos los términos x2 y 6x para obtener un trinomio cuadrado perfecto.

f1x2 = 1x2 - 6x2 + 10

554 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Ahora tomamos la mitad del coeficiente del término en x y lo elevamos al cuadrado. 2 1 c 1-62 d = 9 2

Luego sumamos este valor, 9, dentro de los paréntesis. Como sumamos 9 dentro del paréntesis, sumamos 9 fuera de los paréntesis. Sumar 9 y 9 a una expresión es como si sumáramos 0, ya que su valor no cambia.

f1x2 = 1x2 - 6x + 92 - 9 + 10 Al hacer esto hemos creado un trinomio cuadrado perfecto dentro de los paréntesis más una constante fuera de los paréntesis. Expresamos el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.

f1x2 = 1x - 322 + 1 Ahora la función está en la forma que buscábamos. b) Como a  1 es mayor que 0, la parábola abre hacia arriba. El eje de simetría de la parábola está en x  3, y su vértices se da en (3, 1). La intersección del eje y puede obtenerse con facilidad sustituyendo x  0 y determinando el valor de f(x). Cuando x  0, f(x)  (3)2  1  10. Por lo tanto, la intersección del eje y se da en 10. Trazando el vértice, la intersección del eje y y unos cuantos puntos más, obtenemos la gráfica de la figura 8.19. Para compararlas, la figura también muestra la gráfica de y  x2. y 11 10 9 8

f (x)  (x  3)2  1

7 6 5

y  x2

4 3 2 1

6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

7

x

2

FIGURA 8.19

EJEMPLO 8

(3, 1)

✺

Dada f(x)  2x2  10x  13. a) Escriba f(x) en la forma f(x)  a(x  h)2  k. b) Grafique f(x).

Solución

a) Cuando el coeficiente principal no es 1, factorizamos los términos que incluyen la variable.

f1x2 = -21x2 + 5x2 - 13 Luego completamos el cuadrado Un medio del coeficiente de término de x al cuadrado p 2 1 25 c 152 d = 2 4

Sección 8.5 • Graficación de funciones cuadráticas • 555

Si sumamos 254 dentro de los paréntesis, en realidad sumamos - 2 A 254 B o - 252 , ya que cada término dentro de los paréntesis se multiplica por 2. Por lo tanto, para compensar, debemos sumar 252 fuera de los paréntesis.

25 25 b + - 13 4 2 5 2 1 = - 2ax + b 2 2

f1x2 = - 2ax2 + 5x +

b) Como a  2, la parábola abre hacia abajo. El eje de simetría está en x = - 52 y el vértice se da en A - 52 , - 12 B . La intersección del eje y está en f(0)  13. Trazamos unos cuantos puntos y dibujamos la gráfica. El resultado debe ser igual al que se muestra en la figura 8.20, en donde también se ilustra la gráfica de y  2x2 para comparar. y

冢e, q冣 8 7 6 5 4

2 1 1 1 2

f (x)  2冢x  e冣2  q

3

1

2

3

4

x

y  2x2

4 5 6 7

FIGURA 8.20

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63

Observe que f1x2 = - 2 A x +

B - 12 no tiene intersecciones con el eje x. Por lo

5 2 2

tanto, no hay valores reales de x para los que f(x)  0

✺

Una segunda manera de cambiar la ecuación de f(x)  ax2  bx  c a la forma b 4ac - b2 f(x)  a(x  h)2  k es hacer h = . Después, se determinan los yk = 2a 4a valores para h y k, y luego se sustituyen los valores obtenidos en f(x)  a(x  h)2  k. Por ejemplo, para la función f(x)  2x2  10x  13 del ejemplo 8, a  2, b  10 y c  13; entonces

b -10 5 = = 2a 21-22 2 2 41-221 -132 - 1- 1022 4ac - b 1 k = = = 4a 41-22 2 h = -

Por lo tanto,

f1x2 = a1x - h22 + k 5 2 1 = - 2cx - a - b d 2 2 5 2 1 = - 2ax + b 2 2 Esta respuesta coincide con la que se obtuvo en el ejemplo 8.

556 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Matemáticas en acción Parábolas y energía En la solución de muchos problemas reales se utiliza el concepto de la parábola bajo la forma de un reflector que emite un haz en tres dimensiones, como si una parábola se hiciera girar alrededor de su eje. Los espejos en los telescopios reflectores, los faros de los automóviles, las antenas receptoras (o platos) de televisión vía satélite, y los enormes dispositivos parabólicos para captar señales del espacio exterior, comparten una propiedad común. Las ondas paralelas dirigidas a una superficie parabólica se intersecarán o se concentrarán en un punto cercano a la superficie del “disco” parabólico. Si las líneas paralelas son ondas de luz, la luz se concentrará; si son ondas de sonido, el sonido se concentrará.

Una variante más interesante del disco parabólico es el colector parabólico. En este caso, la parte inferior del colector parabólico apunta hacia abajo y sus paredes se levantan a ambos lados en forma de curvas

parabólicas. Los colectores parabólicos se utilizan para acumular energía solar y generar electricidad. Entre mediados de la década de 1980 y principios de la década de 1990, la industria privada construyó plantas de generación de energía con esta tecnología en California. Estas plantas son capaces de generar 354 megawatts de electricidad anuales, cantidad suficiente para satisfacer las necesidades de energía de casi 500 mil personas. La primera se construyó en el desierto de Mojave. Los nueve sistemas construidos durante esa época siguen operando de manera exitosa, y produciendo más de 90 por ciento de la energía solar térmica del mundo, con lo cual se ahorra el equivalente a 2.3 millones de barriles de petróleo cada año. El funcionamiento de los sistemas colectores es el siguiente: los colectores solares concentran la luz en un tubo receptor en el que circula un aceite sintético a través de un transmisor de calor, produciendo vapor que, a su vez, hace trabajar una turbina convencional que genera electricidad. Al igual que en el caso de otras tecnologías renovables, con ésta no se emite contaminación al generar electricidad. En vista de que los recursos no renovables como el petróleo y el gas natural se van agotando, y ya que la necesidad de generar energía por métodos no contaminantes se está volviendo un asunto cada vez más serio, la generación de energía mediante colectores solares seguramente se convertirá en una de las grandes áreas de investigación y desarrollo en las próximas décadas.

Conjunto de ejercicios 8.5 Ejercicios conceptuales 1. ¿Cómo se denomina la gráfica de una ecuación cuadrática? 2. ¿Cuál es el vértice de una parábola? 3. ¿Qué es el eje de simetría? 4. ¿Cuál es la ecuación para determinar el eje de simetría de la gráfica de f(x)  ax2  bx  c? 5. ¿Cuál es el vértice de la gráfica de f(x)  ax2  bx  c? 6. ¿Cuántas intersecciones del eje x tiene una función cuadrática si el discriminante es a)  0, b)  0, c)  0? 7. ¿La función f(x)  ax2  bx  c tendrá un máximo o un mínimo si a) a  0, b) a  0? Explique. 8. Explique cómo determinar las intersecciones del eje x de la gráfica de una función cuadrática.

9. Explique cómo determinar las intersecciones del eje y de la gráfica de una función cuadrática. 10. Considere la gráfica de f(x)  ax2. Explique cómo cambia la forma de f(x) conforme |a| aumenta y conforme |a| disminuye. 11. Considere la gráfica de f(x)  ax2. ¿Cuál es la forma general de f(x), si a) a  0, b) a  0? 12. Las gráficas de f(x)  ax2 y de g(x)  ax2, ¿tienen el mismo vértice para cualquier número real, a, distinto de cero? Explique. 13. ¿La función f(x)  3x2  5x  2 tiene un valor máximo o mínimo? Explique. 1 14. ¿La función g1x2 = - x 2 + 2x - 7 tiene un valor má5 ximo o mínimo? Explique.

Sección 8.5 • Graficación de funciones cuadráticas • 557

Problemas de aplicación En cada caso, determine: a) si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo; b) la intersección del eje y; c) el vértice; d) las intersecciones del eje x (si las hay), y e) dibuje la gráfica.

15. f1x2 = x 2 + 8x + 15

16. f1x2 = x 2 - 4x + 3

17. g1x2 = x 2 + 2x - 3

18. h1x2 = x 2 - 2x - 8

19. f1x2 = - x 2 - 2x + 8

20. g1x2 = - x 2 + 4x + 5

21. p1x2 = - x 2 + 8x - 15

22. n1x2 = - x 2 - 2x + 24

23. t1x2 = - x 2 + 4x - 5

24. g1x2 = x 2 + 6x + 13

25. f1x2 = x 2 - 4x + 4

26. r1x2 = - x 2 + 10x - 25

27. r1x2 = x 2 + 2

28. l1x2 = - x 2 + 5

29. g1x2 = - x 2 + 6x

30. f1x2 = x 2 + 4x

31. f1x2 = - 2x 2 + 4x - 8

32. m1x2 = 3x 2 + 4x + 3

33. g1x2 = - 2x 2 - 6x + 4

34. p1x2 = - 2x 2 + 5x + 4

35. y = 3x 2 + 4x - 6

36. y = x 2 - 6x + 4

37. y = 2x 2 - x - 6

38. h1x2 = - 2x 2 + 4x - 5

39. f1x2 = - x 2 + 3x - 5

40. g1x2 = - 4x 2 + 6x - 9

Utilizando como guía las gráficas de las figuras 8.13 a 8.16, grafique cada función y determine el vértice. 41. f1x2 = 1x - 322

42. f1x2 = 1x - 422

43. f1x2 = 1x + 122

44. f1x2 = 1x + 322

49. f1x2 = 1x - 22 + 3

50. f1x2 = 1x - 32 - 4

51. f1x2 = 1x + 42 + 4

52. h1x2 = 1x + 422 - 1

45. f1x2 = x 2 + 3

2

53. g1x2 = - 1x + 322 - 2 2

57. h1x2 = - 21x + 12 - 3

46. f1x2 = x 2 + 6

2

54. g1x2 = 1x - 122 + 4

47. f1x2 = x 2 - 1

2

55. y = - 21x - 222 + 2

2

58. y = - 21x - 32 + 1

48. f1x2 = x 2 - 4

56. f1x2 = - 1x - 522 + 2

En los ejercicios 59 a 68, a) exprese cada función en la forma f(x)  a(x  h)2  k, y b) dibuje la gráfica de cada función y determine el vértice. 59. f1x2 = x 2 - 6x + 8 2

60. g1x2 = x 2 + 6x + 5

61. f1x2 = x - x + 1

62. g1x2 = x 2 - x - 3

63. f1x2 = - x2 - 4x - 6

64. h1x2 = - x 2 + 6x + 2

558 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas 65. g1x2 = x 2 - 4x - 5

66. p1x2 = x 2 - 2x - 15

2

68. k1x2 = 2x 2 + 7x - 4

67. f1x2 = 2x + 5x - 3

Resolución de problemas De las funciones de los ejercicios 69 a 72, identifique cuál corresponde a cada una de las siguientes gráficas.

a)

b)

y 2

6

4

2

2

c)

y

x

2

4

y

6

4

6

4

2

4

2

4

d)

y

2

4 2

4

2

2

4

2

x

x

6

4

2

2

6

69. f1x2 = 21x + 322 - 1

2

x

2

70. f1x2 = - 21x + 322 - 1

71. f1x2 = 21x - 122 + 3

72. f1x2 = - 21x - 122 + 3

Para cada rectángulo, a)) determine el valor de x que da el área máxima, y b)) determine el área máxima.

73.

74.

75. 29  x

18  x

x4

76.

x7

19  x

26  x

x5

x2

77. Venta de pilas La función para calcular el ingreso por la venta de n pilas es R(n)  n(10  0.02n)  0.02n2  10n. Determine a) el número de pilas que deben venderse para obtener el ingreso máximo, y b) el ingreso máximo. 78. Venta de relojes La función para calcular el ingreso por la venta de n relojes es R(n)  n(25  0.1n)  0.1n2  25n. Determine a) el número de relojes que deben venderse para obtener el ingreso máximo, y b) el ingreso máximo. 79. Matrícula El número de alumnos inscritos en una escuela puede calcularse mediante la función

N1t2 = - 0.043t2 + 1.22t + 46.0 donde t es el número de años desde 1989 y 1  t  15. ¿En qué año se obtendrá el máximo de alumnos inscritos? 80. Escuelas sanas En Estados Unidos, el porcentaje de estudiantes que afirman que en sus escuelas se consumen drogas puede calcularse mediante la función

f1a2 = - 2.32a2 + 76.58a - 559.87 donde a es la edad del estudiante y 12  a  20. ¿A qué grupo de edad pertenecen los estudiantes que representan el porcentaje más alto entre los que afirman que en sus escuelas se consumen drogas?

Véase ejercicio 79 81. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f1x2 = 1x - 222 + 52 y g1x2 = 1x - 222 - 32 ? 82. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f(x)  2(x  4)2  3 y g(x)  3(x  4)2  2? 83. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f(x)  2(x  4)2  3 y g(x)  (x  1)2  3? 84. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f1x2 = - 13 1x - 322 - 2 y g1x2 = 21x + 522 - 2? 85. Escriba la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica de f(x)  2x2 y su vértice en (3, 2). 86. Escriba la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica de f1x2 = - 12 x 2 y su vértice en A 23 , - 5 B .

Sección 8.5 • Graficación de funciones cuadráticass • 559

2

I = - x + 24x - 44, 0 … x … 24 en donde x es el costo de un boleto. a) Dibuje una gráfica del ingreso contra el costo de un boleto. b) Determine el costo mínimo de un boleto para que el productor llegue al punto de equilibrio. c) Determine el costo máximo que puede cobrar el productor por cada boleto para llegar al punto de equilibrio. d) ¿Cuánto debe cobrar para recibir el ingreso máximo? e) Determine el ingreso máximo. 92. Lanzamiento de un objeto Un objeto se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 192 pies por segundo. La distancia a la que se encuentra el objeto respecto del piso, d, después de t segundos, puede calcularse mediante la fórmula d  16t2  192t. a) Determine la distancia que habrá entre el objeto y el piso después de 3 segundos. b) Haga una gráfica de la distancia contra el tiempo. c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto? d) ¿En qué momento alcanzará su altura máxima? e) ¿En qué instante el objeto chocará contra el piso? 93. Utilidad Una compañía productora de comida para aves obtiene una utilidad semanal de acuerdo con la función f(x)  0.4x2  80x  200, en donde x es el número de bolsas de comida para aves fabricadas y vendidas. a) Determine el número de bolsas de comida para aves que debe vender la compañía para obtener la utilidad máxima. b) Determine la utilidad máxima. 94. Utilidad Una mueblería especializada en mecedoras obtiene una utilidad semanal de acuerdo con la función f(x)  1.2x2  180x  280, en donde x es el número de mecedoras fabricadas y vendidas. a) Determine el número de mecedoras que la mueblería debe vender en una semana para obtener la utilidad máxima. b) Determine la utilidad máxima.

95. Disparo de un cañón Si un cañón se dispara desde una altura de 9.8 metros por arriba del suelo, a cierto ángulo la altura de la bala respecto del suelo, h, en metros en el instante t, en segundos, se determina por medio de la función

h1t2 = - 4.9t2 + 24.5t + 9.8

9.8 m

a) Determine la altura máxima que alcanza la bala del cañón. b) Determine el tiempo que tarda la bala para llegar a su altura máxima. c) Determine el tiempo que tarda la bala en chocar contra el suelo. 96. Lanzamiento de un balón Ramón López lanza un balón al aire con una velocidad inicial de 32 pies por segundo. La altura del balón en cualquier instante, t, está dada por la fórmula h  32t  16t2. ¿En qué instante el balón llega a su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? 97. Alquiler de oficina La siguiente gráfica indica que el precio de alquiler de una oficina en los 50 mercados principales de Estados Unidos ha aumentado durante los últimos años. La función C(x)  0.19x2  0.657x  16.6 puede usarse para calcular el alquiler anual por pie cuadrado, en donde x es el número de años desde 1991.

Alquiler por pie cuadrado Alquiler por pie cuadrado (dólares)

87. Escriba la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica de f(x)  4x2 y su vértice en A - 35 , - 12 B . 88. Escriba la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica de f1x2 = 35 x 2 y su vértice en 1- 13 , 152. 89. Considere f(x)  x2  8x  12 y g(x)  x2  8x  12. a) Sin graficar, ¿puede comparar las gráficas de las dos funciones? b) ¿Las gráficas tienen las mismas intersecciones del eje x? Explique. c) ¿Las gráficas tienen el mismo vértice? Explique. d) Grafique ambas funciones en los mismos ejes. 90. Analizando el coeficiente principal de una ecuación cuadrática y determinando las coordenadas del vértice de su gráfica, explique cómo se puede determinar el número de intersecciones del eje x que tiene la parábola. 91. Venta de boletos Un productor teatral trata de decidir el precio de los boletos para una obra. Si el precio es muy bajo, no recolectará suficiente dinero para cubrir los gastos, y si es muy alto, tendrá poco público. El productor cree que su ingreso total por representación, I, en cientos de dólares, puede calcularse mediante la fórmula

30 25 20 15 10 5 0

91

92

93

94

95

96

97

98

99

00

Año Fuente: REIS, Inc.

a) Si suponemos que la tendencia continuará, calcule el alquiler anual por pie cuadrado en 2004. b) ¿En qué año se dio el alquiler anual por pie cuadrado más bajo? c) Calcule el alquiler anual mínimo por pie cuadrado. 98. Ropa deportiva El número de piezas de ropa deportiva vendidas en Estados Unidos (excepto gorras), en millones, puede calcularse con la función

A1t2 = - 0.044t2 + 0.163t + 4.865 en donde t es el número de años desde 1992.

560 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas a) ¿En qué año las ventas de ropa deportiva alcanzaron su punto máximo?

101. Producto mínimo ¿Cuál es el producto mínimo de dos números que difieren en 8 unidades? ¿Cuáles son los números?

b) Suponiendo que esta tendencia continúa, calcule las ventas de ropa deportiva en 2003.

102. Producto mínimo ¿Cuál es el producto mínimo de dos números que difieren en 10 unidades? ¿Cuáles son los números?

99. Diseño de interiores Joaquín Fernández está diseñando los planos de su casa. ¿Cuál es el área máxima posible de una habitación si su perímetro será de 60 pies?

103. Producto máximo ¿Cuál es el producto máximo de dos números cuya suma da por resultado 40? ¿Cuáles son los números?

100. Área máxima ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener un jardín para alcanzar su área máxima, si el perímetro será de 70 pies?

104. Producto máximo ¿Cuál es el producto máximo de dos números cuya suma da por resultado 9? ¿Cuáles son los números?

La utilidad de una compañía, en dólares, es la diferencia entre sus ingresos y sus gastos. En los ejercicios 105 y 106 se dan las funciones de gastos, C(x), y de ingresos, R(x). La x representa el número de artículos producidos y vendidos a los distribuidores. Determine a) la utilidad máxima de la compañía, y b) el número de artículos que deben producirse y venderse para obtener la utilidad máxima. 105. C1x2 = 2000 + 40x

106. C1x2 = 5000 + 12x

R1x2 = 800x - x2

R1x2 = 2000x - x2

Reto 107. Béisbol En el ejemplo 3 de esta sección, usamos la función f(t)  16t2  52t  3 para determinar que la altura máxima, f, alcanzada por una bola de béisbol golpeada por Tommy Magee fue de 45.25 pies. La bola alcanzó esta altura 1.625 segundos después de que fue bateada. Repase el ejemplo 3. a) Completando el cuadrado, escriba f(t) en la forma f(t)  a(t  h)2  k.

b) Mediante la función que obtuvo en la parte a), determine la altura máxima que alcanza la bola de béisbol y el tiempo que tarda en llegar a ella a partir de que fue bateada. c) ¿Las respuestas que obtuvo en la parte b), son las mismas que se obtuvieron en el ejemplo 3? Si no es así, explique por qué.

Actividad en equipo Analicen y respondan en equipo el ejercicio 108. 108. a) Miembro 1 del equipo: Escriba dos funciones cuadráticas f(x) y g(x) de modo que no se intersequen. b) Miembro 2 del equipo: Escriba dos funciones cuadráticas f(x) y g(x) de modo que ninguna de ellas tenga intersecciones con el eje x y los vértices de ambas se den en lados opuestos del eje x.

c) Miembro 3 del equipo: Escriba dos funciones cuadráticas f(x) y g(x) de modo que ambas tengan el mismo vértice, pero que la parábola de una abra hacia arriba y la de la otra abra hacia abajo. d) Revisen en equipo sus respuestas a las partes a), b) y c), y decidan si son correctas. Si hay alguna incorrecta, corríjanla.

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 109. Determine el área de la región exterior de la figura. 30 pies 10 pies

[4.2] 111. Resuelva el sistema de ecuaciones.

x - y = -5 2x + 2y - z = 0 x + y + z = 3 [4.5] 112. Evalúe el determinante.

[3.7] 110. Grafique y … 23 x + 3.

1 32

3

2

-4

[6.1] 113. Divida 1x - 32 ,

3.

x 2 + 3x - 18 . x

Sección 8.6 • Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable • 561

8.6 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Y DE OTROS TIPOS CON UNA VARIABLE 1

Resolver desigualdades cuadráticas.

2

Resolver otras desigualdades polinomiales.

3

Resolver desigualdades racionales.

En la sección 2.5 se analizaron las desigualdades lineales con una variable. Ahora estudiaremos las desigualdades cuadráticas con una variable. Cuando el signo de igual en una ecuación cuadrática de la forma ax2  bx  c  0 se reemplaza por un signo de desigualdad, obtenemos una desigualdad cuadrática. Ejemplos de desigualdades cuadráticas

x2 + x - 12 7 0,

2x2 - 9x - 5 … 0

La solución de una desigualdad cuadrática es el conjunto de todos los valores que la hacen verdadera. Por ejemplo, si sustituimos x por 5 en x2  x  12  0, obtenemos

x2 + x - 12 7 0 ? 52 + 5 - 12 7 0 18 7 0 Verdadero La desigualdad es verdadera cuando x es 5, por lo que 5 satisface la desigualdad. Sin embargo, 5 no es la única solución; existen otros valores que satisfacen (o son soluciones de) la desigualdad. ¿El número 4 satisface la desigualdad? ¿El número 2?

1

Resolver desigualdades cuadráticas Para determinar las soluciones de desigualdades cuadráticas pueden usarse diferentes métodos. Empezaremos por analizar el de la graficación de signos. Considere la función f(x)  x2  x  12, cuya gráfica se muestra en la figura 8.21a. La figura 8.21b muestra, en color rojo, que cuando x  4 o x  3, f(x)  0 o x2  x  12  0. La parte de la parábola en color negro muestra que cuando 4  x  3, f(x)  0 o x2  x  12  0.

y

y

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

6 5 4 3 2 1 2

FIGURA 8.21

1

2

3

4

5

6

x

6 5 4 3 2 1 2

4

4

6

6

8

8

10

10

14

14

(a)

1

2

3

4

5

6

x

(b)

La graficación de signos consiste en trazar la gráfica correspondiente a la desigualdad para determinar cuáles valores de la variable la satisfacen, tal como se acaba de mostrar. En muchos casos, sin embargo, trazar la gráfica de una función podría ser

562 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

complicado o tomar demasiado tiempo, por lo que hay métodos alternativos para resolver desigualdades cuadráticas y de otros tipos. En el ejemplo 1 se ilustra cómo se resuelve x2  x  12  0 mediante una recta numérica, y se explica el procedimiento.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva la desigualdad x2  x  12  0. Proporcione la solución a) en una recta numérica, b) en notación de intervalos, y c) en notación constructiva de conjuntos. Haga la desigualdad igual a 0 y resuelva la ecuación.

x2 + x - 12 = 0

1x + 421x - 32 = 0 x + 4 = 0

x - 3 = 0

o

x = -4

A ( , 4)

B (4, 3) 4

C (3, ) 3

FIGURA 8.22

A 5

B 0

4

C 4

x = 3

Los números obtenidos se denominan valores frontera, y se usan para dividir una recta numérica en intervalos. Si la desigualdad original es  o , los valores frontera no son parte de los intervalos; si la desigualdad original es  o ≥ los valores frontera son parte de los intervalos. En la figura 8.22 se identifican los intervalos A, B y C. A continuación, seleccionamos un valor de prueba en cada intervalo. Luego sustituimos cada uno de esos números, de uno en uno, en x2  x  12  0 o en (x  4)(x  3)  0, y determinamos si hacen que la desigualdad sea verdadera. Si el valor de prueba satisface la desigualdad, significa que todos los demás valores de ese intervalo también lo harán. Si el valor de prueba no satisface la desigualdad, ningún número del intervalo lo hará. En este ejemplo usaremos los valores de prueba 5 en el intervalo A, 0 en el intervalo B, y 4 en el intervalo C (vea la figura 8.23).

3

FIGURA 8.23

Intervalo A

Intervalo B

Intervalo C

Valor de prueba, -5

Valor de prueba, 0

Valor de prueba, 4

¿Es x2 + x - 12 7 0?

4

3

FIGURA 8.24

¿Es x2 + x - 12 7 0?

1 -522 - 5 - 12 7 0

02 + 0 - 12 7 0

8 7 0

-12 7 0

8 7 0

Verdadera

Falsa

Verdadera

?

Solución

¿Es x2 + x - 12 7 0? ?

?

42 + 4 - 12 7 0

Como los valores de prueba en los intervalos A y C satisfacen a la desigualdad, la solución es todos los números reales en los intervalos A y C. El símbolo de desigualdad es . Los valores 4 y 3 no se incluyen en la solución, ya que hacen que la desigualdad sea igual a 0. La respuesta a las partes a), b) y c) es la siguiente. a) La solución se ilustra en la recta numérica de la figura 8.24. b) La solución en notación de intervalos es 1- q , - 42 ´ 13, q 2.

c) La solución en notación constructiva de conjuntos es 5x ƒ x 6 - 4 o x 7 36. Observe que todas estas soluciones son consistentes con la gráfica de la figura AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15

8.21b.

✺

Sección 8.6 • Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable • 563

Para resolver desigualdades cuadráticas y de otros tipos 1. Escriba la desigualdad como una ecuación y resuélvala. 2. Si resuelve una desigualdad racional, determine los valores que hacen que el denominador sea igual a 0. 3. Construya una recta numérica. Marque las soluciones obtenidas en los pasos 1 y 2. Marque el valor más pequeño a la izquierda, e incremente hacia la derecha. 4. Seleccione un valor de prueba en cada intervalo y determine si satisface la desigualdad. También pruebe los valores frontera. 5. Escriba la solución en la forma solicitada por su profesor.

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva la desigualdad x2  4x ≥ 4. Proporcione la solución a) en una recta numérica, b) en notación de intervalos, y c) en notación constructiva de conjuntos. Escriba la desigualdad como una ecuación, y resuélvala.

x2 - 4x = - 4 x2 - 4x + 4 = 0

1x - 221x - 22 = 0 x - 2 = 0

o

x - 2 = 0

x = 2 A 1

B 3

x = 2

Como ambos factores son iguales, existe un solo valor frontera, 2 (vea la figura 8.25). Ambos valores de prueba, 1 y 3, hacen que la desigualdad sea verdadera.

2

FIGURA 8.25

Intervalo A

Intervalo B

Valor de prueba, 1

Valor de prueba, 3

x2 - 4x Ú - 4

x2 - 4x Ú - 4

?

?

12 - 4112 Ú -4

32 - 4132 Ú -4 ?

?

1 - 4 Ú -4 -3 Ú -4

Verdadera

9 - 12 Ú -4 -3 Ú - 4

Verdadera

El conjunto solución incluye ambos intervalos y el valor frontera, 2. Por lo tanto, el conjunto solución es el conjunto de los números reales, . La respuesta a las partes a), b) y c) son: y

f (x)  x2  4x

6

a)

5

0

b) 1- q , q 2

c) 5x ƒ - q 6 x 6 q 6

✺

4 3 2 1 4 3 2 1 1 2

g(x)  4 3 5 6

FIGURA 8.26

1

2

3

4

5

x

Podemos comprobar la solución del ejemplo 2 mediante una gráfica. Sea f(x)  x2  4x y g(x)  4. Para que x2  4x ≥ 4 sea verdadero, necesitamos que f(x) ≥ g(x). Las gráficas de f(x) y g(x) se ilustran en la figura 8.26. Observe que f(x)  g(x) en x  2 y f(x)  g(x) para todos los demás valores de x. Por lo tanto, f(x) ≥ g(x) para todos los valores de x, y el conjunto solución es el conjunto de los números reales. En el ejemplo 2, si reescribimos la desigualdad x2  4x ≥ 4 como x2  4x  4 ≥ 0 y luego como (x  2)2 ≥ 0, podemos ver que la solución debe ser el conjunto de los números reales, ya que (x  2)2 debe ser mayor o igual a 0 para cualquier número real x. La solución a x2  4x   4 es el conjunto vacío, ¤. ¿Puede explicar por qué?

564 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

EJEMPLO 3 Solución

Resuelva la desigualdad x2  2x  4  0. Exprese la solución en notación de intervalos. Primero necesitamos resolver la ecuación x2  2x  4  0. Como esta ecuación no se puede factorizar, utilizamos la fórmula cuadrática para resolverla.

-b ; 2b2 - 4ac 2a 2 ; 24 - 41121 - 42 2 ; 120 2 ; 215 = = = = 1 ; 15 2112 2 2

x =

A 2

B 0

1  兹5

C 4

Los valores frontera son 1 - 15 y 1 + 15. El valor de 1 - 15 es aproximadamente 1.24 y el valor de 1 + 15 es alrededor de 3.24. Seleccionaremos como valores de prueba a 2, 0 y 4 (vea la figura 8.27).

1  兹5

Intervalo A

Intervalo B

Intervalo C

Valor de prueba, - 2

Valor de prueba, 0

Valor de prueba, 4

x2 - 2x - 4 … 0

x 2 - 2x - 4 … 0

FIGURA 8.27

x2 - 2x - 4 … 0 1 -222 - 21-22 - 4 … 0

02 - 2102 - 4 … 0

4 + 4 - 4 … 0 4 … 0

0 - 0 - 4 … 0 -4 … 0

16 - 8 - 4 … 0 4 … 0

Falso

Verdadero

Falso

?

?

?

1  兹5

1  兹5

FIGURA 8.28

?

42 - 2142 - 4 … 0

?

?

Como el símbolo de la desigualdad es  y los valores frontera hacen que la desigualdad sea igual a 0, éstos son parte de la solución. Así, la solución en notación de intervalos es 31 - 15 , 1 + 154 y se ilustra en la recta numérica de la figura 8.28. ✺

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19

SUGERENCIA

Si ax2  bx  c  0, con a  0, tiene dos soluciones reales distintas, entonces:

Desigualdad de la forma

La solución es

2

Intervalos de los extremos

2

Intervalo central

ax + bx + c Ú 0 ax + bx + c … 0

Solución en la recta numérica

El ejemplo 1 es una desigualdad de la forma ax2  bx  c  0, y el ejemplo 3 es una desigualdad de la forma ax2  bx  c  0. Como el ejemplo 2 no tiene dos soluciones reales distintas, esta sugerencia no se aplica.

2

Resolver otras desigualdades polinomiales Un procedimiento similar al usado anteriormente puede emplearse para resolver otras desigualdades polinomiales, como se ilustra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 4

Resuelva la desigualdad (3x  2)(x  3)(x  5)  0. Ilustre la solución en una recta numérica y escríbala en notación de intervalos y en notación constructiva de conjuntos.

Solución

Utilizamos la propiedad del factor nulo para resolver la ecuación (3x  2)(x  3) (x  5)  0.

Sección 8.6 • Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable • 565

3x - 2 = 0 2 x = 3 A 6

B 4

5

C

D 0 1

3

s

o

x + 3 = 0

o

x = -3

x + 5 = 0 x = -5

Las soluciones 5, 3 y 23 dividen a la recta numérica en cuatro intervalos (vea la figura 8.29). Los valores de prueba que usaremos son 6, 4, 0 y 1. En la tabla siguiente se muestran los resultados.

FIGURA 8.29

5

3

s

FIGURA 8.30 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 27

EJEMPLO 5 Solución

Intervalo A

Valor de prueba -6

(3x  2)(x  3)(x  5) - 60

B

-4

14

Falso

C

0

-30

Verdadero

D

1

24

Falso

3 - 7p1>3 + 6 = 0

67. 61x - 22-2 = - 131x - 22-1 + 8

68. 101r + 22 =

12 - 7 r + 2

Ejercicios de repaso del capítulo • 575 Determine todas las intersecciones del eje x de cada función dada. 69. f1x2 = x 4 - 29x 2 + 100`

70. f1x2 = 30x + 13 1x - 10

71. f1x2 = x - 6 1x + 10

72. f1x2 = 1x 2 - 6x2 - 51x 2 - 6x2 - 24 2

[8.5] a) Determine si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. b) Determine la intersección del eje y. c) Determine el vértice. d) Determine las intersecciones del eje x (si las hay). e) Trace la gráfica. 73. y = x 2 + 5x

74. y = x 2 - 2x - 8

77. Venta de boletos La compañía teatral de una escuela considera que el ingreso total, I, en cientos de dólares, que obtendrá por su puesta en escena del Rey y yo, puede calcularse con la fórmula I  x2  22x  30, 2  x  20, en donde x es el costo de un boleto.

75. y = - x 2 - 9

76. y = - 2x 2 - x + 15

a) ¿Cuánto deben cobrar para obtener el ingreso máximo? b) ¿Cuál es el ingreso máximo? 78. Lanzamiento de una pelota José Vicente lanza una pelota hacia arriba desde lo alto de un edificio de 60 pies. La altura, s(t), de la pelota en cualquier instante t, puede determinarse mediante la función s(t)  16t2  80t  60. a) ¿En qué instante la pelota llegará a su altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima?

Grafique cada función. 79. f1x2 = 1x - 322

80. f1x2 = - 1x + 222 - 3

81. g1x2 = - 21x + 422 - 1

82. h1x2 =

1 1x - 122 + 3 2

[8.6] Grafique la solución de cada desigualdad en una recta numérica. 83. x 2 + 7x + 6 Ú 0

84. x 2 + 3x - 10 … 0

85. x 2 … 11x - 20

86. 3x 2 + 8x 7 16

87. 4x 2 - 9 … 0

88. 5x 2 - 25 7 0

Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación constructiva de conjuntos.

x + 1 7 0 x - 3 3x + 5 6 0 92. x - 6 89.

90.

x - 5 … 0 x + 2

93. 1x + 321x + 121x - 22 7 0

91.

2x - 4 Ú 0 x + 3

94. x1x - 321x - 52 … 0

Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos. 95. 13x + 421x - 121x - 32 Ú 0 98.

1x - 221x - 52 x + 3

6 0

96. 2x1x + 221x + 52 6 0 99.

x - 3 Ú 0 1x + 221x - 52

97. 100.

x1x - 42 x + 2 x1x - 52 x + 3

Resuelva cada desigualdad y grafique la solución en una recta numérica. 101.

3 Ú -1 x + 4

102.

2x … 1 x - 2

103.

2x + 3 6 4 3x - 5

7 0 … 0

576 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Examen de práctica del capítulo Resuelva completando el cuadrado. 1. x 2 + 2x - 15 = 0

2. x 2 - 4x = - 17

Resuelva utilizando la fórmula cuadrática. 3. x 2 - 5x - 14 = 0

4. a 2 + 8a = - 5

Resuelva utilizando el método de su prefencia. 5. 3r 2 + r = 2 6. p2 + 5 = - 7p 7. Escriba una función cuya intersección del eje x se dé en 2 4, - . 5 8. Despeje v en la fórmula K = 12 mv 2 9. Costo El costo, c, de una casa en Duquoin, Illinois, es una función del número de pies cuadrados, s, de la casa. El costo de la casa puede calcularse mediante

c1s2 = - 0.01s2 + 78s + 22,000, 1300 … s … 3900 a) Calcule el costo de una casa de 2000 pies cuadrados. b) Si Clara Suárez desea gastar $160,000 en una casa, ¿qué tan grande puede ser ésta? 10. Viaje a un parque Tom Ficks condujo su auto desde Anchorage, Alaska, hasta el parque recreativo de Chena River, que se encuentra a 520 millas de distancia. Si hubiera manejado en promedio a 15 millas por hora más rápido, el viaje habría durado 2.4 horas menos. Determine la velocidad promedio a la que condujo Tom.

Parque recreativo de Chena River

17. Considere la ecuación cuadrática y  x2  2x  8.

Resuelva. 11. 2x 4 + 15x 2 - 50 = 0

a) Determine si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

12. 3r 2>3 + 11r 1>3 - 42 = 0

b) Determine la intersección del eje y. c) Determine el vértice.

13. Determine todas las intersecciones del eje x de f1x2 = 16x - 40 1x + 25.

d) Determine las intersecciones del eje x (si las hay). e) Trace la gráfica.

Grafique cada función. 14. f1x2 = 1x - 322 + 2 15. h1x2 = - 2 1x - 222 - 2 1

16. Determine si 5x  4x  3 tiene dos soluciones reales distintas, una sola solución real o no tiene soluciones reales. Explique su respuesta.

18. Escriba una función cuadrática cuyas intersecciones del eje x sean 1 - 6, 02, A 12 , 0 B . Resuelva cada desigualdad y grafique la solución en una recta numérica. 19. x 2 - x Ú 42

2

20.

1x + 321x - 42 x + 1

Ú 0

Examen de repaso acumulativo • 577 Resuelva la desigualdad siguiente. Escriba la respuesta en a) notación de intervalos, y b) en notación constructiva de conjuntos. 21.

x + 3 … -1 x + 2

22. Alfombra La longitud de una alfombra persa es 4 pies mayor que el doble de su ancho. Determine la longitud y el ancho de la alfombra, si su área mide 48 pies cuadrados. 23. Lanzamiento de una pelota José Ramírez lanza una pelota hacia arriba desde lo alto de un edificio. La distancia, d, de la pelota respecto del piso en cualquier instante, t, es d  16t2  64t  80. ¿Cuánto tardará la pelota en chocar contra el piso?

24. Utilidad Una compañía que produce esculturas de madera obtiene una utilidad semanal de acuerdo con la función f(x)  1.4x2  56x  60, en donde x es el número de esculturas que fabrica y vende cada semana. a) Determine el número de esculturas que la compañía debe vender cada semana para maximizar su utilidad. b) ¿Cuál es la utilidad semanal máxima? 25. Venta de escobas Un negocio vende n escobas, n  32, a un precio de (10  0.1n) dólares cada una. ¿Cuántas escobas debe vender para tener un ingreso de $160?

Examen de repaso acumulativo Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta. 1. Evalúe - 4 , 1 - 22 + 16 - 149 .

13. Evalúe el siguiente determinante.

2. Evalúe 2x  3x  1 cuando x  2. 2

3. Exprese 183,000 en notación científica.

4 33

4. Determine el conjunto solución para la ecuación |4  2x|  5.

1

5. Simplifique 4x  {3  [2(x  2)  5x]}.

4x - 3y = 10 2x + y = 5

7. Resuelva la desigualdad - 4 6

8. Determine la pendiente y la intersección del eje y de la gráfica de 9x  7y  15.

15. Factorice (x  5)2  10(x  5)  24. 16. a) Escriba una expresión para determinar el área sombreada de la siguiente figura, y b) escriba la expresión en forma factorizada.

9. Huerto El número de canastas de manzanas, N, que se producen por x árboles en un pequeño huerto está dado por la función N(x)  0.2x2  40x. ¿Cuántas canastas de manzanas producen 50 árboles? 10. Escriba la ecuación, en la forma punto pendiente, de una recta que pasa por los puntos (4, 3) y (2, 1). 11. a) Determine si la gráfica siguiente representa una función. Explique su respuesta.

a a a

b b

4 3 2 1

17. Sume

x + 2 x - 3 + 2 . x2 - x - 6 x - 8x + 15

18. Resuelva la ecuación 1 2 3 4

x

2 3 4

b) Determine el dominio y el rango de la función o relación. 12. Grafique cada una de las ecuaciones siguientes.

2 1 4a - 1 + = 2 a - 2 a + 7 a + 5a - 14 19. Consumo en watts El consumo en watts, w, de un aparato varía conjuntamente con el cuadrado de la corriente, I, y la resistencia, R. Si un aparato consume 12 watts cuando la corriente es de 2 amperes y la resistencia es de 100 ohms, determine su consumo en watts cuando la corriente es de 0.8 amperes y la resistencia es de 600 ohms.

a) x = - 4 b) y = 2

a

b

y

4 3 2 1 1

-2 13 7

14. Resuelva el sistema de ecuaciones.

1 1 6. Resuelva la ecuación - 14x - 62 = 13 - 6x2 + 2. 2 3 x + 4 6 8. Escriba la so2 lución en notación de intervalos.

0 5 -1

20. Simplifique

3 - 4i . 2 + 3i

578 • Capítulo 8 • Funciones cuadráticas

Respuestas al examen de repaso acumulativo 1 9 1. 11 2. 15 3. 1.83 * 105 4. e - , f; [Sec. 2.6, Obj. 2] 2 2 5. x - 7; [Sec. 2.1, Obj. 2] 6. Todos los números reales, ; [Sec. 2.1, Obj. 5] 7. 1-12, 122; [Sec. 2.5, Obj. 3] 9 15 8. m = - , a0, b ; [Sec. 3.4, Obj. 4] 9. 1500; [Sec. 3.2, Obj. 5] 10. y = x - 1; [Sec. 3.5, Obj. 1] 11. a) No, la gráfica no 7 7 pasa la prueba de la recta vertical. b) Dominio: 5xƒ x Ú - 26, Rango: ; [Sec. 3.2, Obj. 3] 12. a)

b)

y 4

y=2

2 –2 –2 –4

2

4

x

; [Sec. 3.3, Obj. 3]

y

13. 160; [Sec. 4.5, Obj. 3]

4

–4 –2 –2

2

4

x

–4

x= –4

5 14. a , 0 b; [Sec. 4.1, Obj. 3] 15. 1x + 921x + 112; [Sec. 5.5, Obj. 5] 16. a) a 2 + 2ab + b2 b) 1a + b22; [Sec. 5.7, Obj. 1] 2 21x - 42 12 17. ; [Sec. 6.2, Obj. 3] 18. ; [Sec. 6.4, Obj. 2] 19. 11.52 watts; [Sec. 6.6, Obj. 3] 1x - 321x - 52 5 - 6 - 17i 20. ; [Sec. 7.7, Obj. 4] 13

Respuestas CAPÍTULO 2 Cómo utilizar su calculadora, 2.1 Conjunto de ejercicios 2.1

1. No

2. Sí 1 4

b) - 1 3 c) 5. a) Los términos semejantes tienen las mismas variables y exponentes b) No; el exponente de x en cada 5 término es diferente 7. No, 4 no hace que la ecuación sea verdadera 9. Si a  b, entonces a  c  b  c 11. a) Un número infinito de soluciones b)  13. a) Las respuestas variarán b) 12 15. Propiedad simétrica 17. Propiedad transitiva 19. Propiedad reflexiva 21. Propiedad de suma de la igualdad 23. Propiedad de multiplicación de la igualdad 25. Propiedad de multiplicación de la igualdad 27. Tres 29. Dos 31. Cero 33. Uno 35. Siete 37. Doce 39. No puede simplificarse 13 8 53. - 17x - 4 41. 5x2  x  5 43. 8.7c2  3.6c 45. No puede simplificarse 47. - pq + p + q 49. 2d + 2 51. x + 3 2 3 55. 6x - 3y 57. - 9b + 93 59. 4r2 - 2rs + 3r + 4s 61. 3 63. 65. 2 67. 16 69. 5 71. 1 73. 1 75. 0 77. 3 79. - 1 2 15 1 81. 5 83. 5 85. - 1 87. 89. 6 91. 2 93. 68 95. - 64 97. - 4 99. 24 101. - 4 103. 105. 1.00 107. 1.18 109. 0.43 2 16 111. 1701.39 113. - 1.85 115. ; contradicción 117. {0}; condicional 119. ; identidad 121. ; identidad 123. ; contradicción 125. a) 10 minutos b) 25 minutos c) La quinta noche d) La séptima noche 127. a) 62.74% b) 2006 129. a) 2219 5 b) 2006 131. Las respuestas variarán. Una posible respuesta es: x = , 2x - 4 = 1, 4x = 10 133. Las respuestas variarán. Una 2 3 posible respuesta es: 2x  4  5x  3(1  x) 135. Las respuestas variarán. Una posible respuesta es: 3x + 3 = x + x + 6 2  - ^ } + n 137. 22, sustituya 2 por x y despeje a n 139. ^ = 141. } = 143. a) Las respuestas variarán n … 27 a si a Ú 0 b) ƒ a ƒ = e 144. a) - 9 b) 9 145. - 4 146. - a si a 6 0 64 1. Los términos de una expresión son las partes que se suman 3. a)

Conjunto de ejercicios 2.2

1. Una ecuación es un modelo matemático de una situación de la vida real P - 2w 3. Entender el problema, traducir, realizar los cálculos, comprobar, responder 5. a) l = 5 b) l = c) No d) Debe 2 7 obtener la misma respuesta 7. 120 9. 300 11. 201.06 13. 80 15. 220 17. 19. 66.67 21. 4 23. 119.10 25. y = - 3x + 5 4 d i 1 13 3 4 P - 2w 27. y = x 29. y = 3x - 8 31. y = x - 1 33. y = x + 2 35. y = - x + 11 37. t = 39. t = 41. l = 4 4 4 3 r pr 2 y - b y - y1 T1 P2 V V 3V 2A 43. h = 45. h = 47. l = 49. m = 51. m = 53. m = x - zs 55. T 2 = 57. h = lw wh x x - x1 P1 b1 + b2 pr2 2 p 2S 9 Fd 59. n = 61. F = C + 32 63. m 1 = 65. a) p = 9.15d b) d = c) Las respuestas variarán 67. $154 69. 6.5 años f + l 5 km 2 9.15 71. a) 3.14 pulgadas cuadradas b) 78.54 pulgadas cuadradas 73. a) 75 pies cúbicos b) 2.78 yardas cúbicas c) $105 75. El cilindro, la diferencia es 0.22 pulgadas cúbicas 77. $11,264.93 79. $4958.41 81. 4.12% 83. a) 7.49% b) 6.30% 85. a) 4 libras por semana rt2 rt2 4 b) 2500 calorías 87. a) S = 100 - a b) 40% 89. a) s = b) u = 90. - 29 91. 1 92. - 125 93. u s 3 1. A  72°, B  18° 3. A  36°, B  144° 5. 40°, 60°, 80° 7. $32 9. 25 viajes 11. 225 millas 13. $623.65 15. 13 veces 17. WMC: L$464.4 millones, SUIL$172 millones 19. TCA: $7.19 mil millones, VEH 21. Acero: 600 libras por pulgada cuadrada; hueso: 24,000 libras por pulgada cuadrada 23. $16.25 25. a) $2.55 b) $1.74 27. Estados Unidos: 97, Rusia: 88, China: 59, Australia: 58, Alemania: 57 29. $1058.25 mensual 31. a) L28 meses o 2.33 años b) Sí 33. 9 pulgadas, 12 pulgadas, 15 pulgadas 35. 39°, 51°, 90° 37. l  7 pies, w  4 pies 39. 3 pies por 6 pies 41. $60 43. a) $135.14 b) $85.14 45. $16 47. Animales: 250,000; plantas: 350,000; insectos que no son escarabajos: 540,000; escarabajos: 13 360,000 49. a) 76 b) No; necesita una calificación de 111 51. a) y b) Las respuestas variarán 53. 220 millas 55. 5 y18 5 56. - 2.7 57. 58. - 5 59. 12 16 8x

Conjunto de ejercicios 2.3

R1

R2 • Respuestas

Conjunto de ejercicios 2.4

1. 11.4 millas 3. 2 horas 5. 6 horas 7. a) 6 millas por hora b) 12 millas por hora 9. a) L3.13 horas b) L21.3 millas 11. 13.8 horas 13. L 0.58 horas o 35 minutos 15. $12,570 al 3%, $17,430 al 4.1% 17. 54 libras 19. a) 2200 acciones de Johnson & Johnson y 4400 acciones de AOL b) $4480 21. 30 onzas 23. 2.8 cucharadas a 30%, 1.2 cucharadas 1 a 80% 25. 35% 27. 5 libras de semilla rayada, 15 libras de semilla de aceite negro 29. L25.77 horas 31. 500 minutos o bien 8 horas 3 33. 6 cuartos 35. a) L3.71 horas b) L2971.43 millas 37. 8 pinturas pequeñas y 4 grandes 39. 9.6 onzas de solución al 80%, 118.4 onzas de agua 41. L35.6 onzas de solomillo, L28.4 onzas de cordero 43. 3 millas 45. L11.4 onzas 47. a), b) y c) Las respuestas x - 42 18 variarán 49. L149 millas 51. 6 cuartos 52. 6.0 * 1010 53. - 5.7 54. 55. y = 56. 140 millas 5 30 Conjunto de ejercicios 2.5 1. Es necesario cambiar el sentido del símbolo de la desigualdad cuando se multiplican o se dividan ambos lados de la desigualdad por un número negativo 3. a) Cuando los puntos extremos no están incluidos b) Cuando los puntos extremos sí están incluidos c) Las respuestas variarán. Un ejemplo es x  4 d) Las respuestas variarán. Un ejemplo es x  4 5. a  x y x  b 7. a) b) 1 - 2, q 2 c) 5x ƒ x 7 - 26 9. a) –2

b) 1 - q , p4

c) 5w ƒ w … p6

11. a) b) 1 - 7, - 44

–4

19.

21.

c) 5x ƒ - 7 6 x … - 46 23.

3.6

31. a - q ,

3 4

–3

13. a) –7

∏

33. 1 - q , q 2

47. e u ` 4 … u …

3 c) e q ` - 3 6 q … f 4

15.

17. 3 54 5

0

35. 3 - 5, 12

37. 3 - 4, 54

7

25.

0

3 d 2

3 b) a - 3, d 4

39. c 4,

11 b 2

41. 1 - 6, - 44

27. a - q ,

43. 5x ƒ 3 … x 6 76

3 b 2

29. 32, q 2

45. 5x ƒ 0 6 x … 16

19 f 49. 5c ƒ - 3 6 c … 26 51. ¤ 53. 5x ƒ - 5 6 x 6 26 55. 1 - q , 22 ´ 37, q 2 57. 30, 24 59. 1 - q , 02 ´ 16, q 2 3

61. 30, q 2 63. a) l + g … 130 b) l + 2w + 2d … 130 c) 24.5 pulgadas 65. 11 cajas 67. 77 minutos 69. 1881 libros 71. 42 onzas 73. Para ventas de más de $5000 a la semana 75. 24 77. 76 x 100 79. 6.97  x  8.77 81. a) $30,258.60 b) $44,960.54 83. a) 1995, 1996, 1997, 1998 y 1999. Durante estos años ambos eventos ocurrieron b) 2000, 2001, 2002, 2003, 2004 y 2005. Durante estos años, al menos uno de los eventos ocurrirá 85. Las respuestas variarán 87. 84 x 100 89. a) Las respuestas variarán 5 29 5 b) 1 - 3, q 2 91. a) A ´ B = 51, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 96 b) A ¨ B = 51, 86 92. a) 4 b) 0, 4 c) - 3, 4, , 0, d) - 3, 4, , 17 , 0, 2 80 2 R - L + Dr 29 93. Propiedad asociativa de la suma 94. Propiedad conmutativa de la suma 95. V = 80 r

Conjunto de ejercicios 2.6

1. Haga x  a o x  a 3. a  x  a 5. x  a o x  a 7. Todos los números

reales, excepto 0; el valor absoluto de todos los números reales, exceptuando al 0, es mayor a 0 9. Haga x  y o x  y 11. a) Dos 1 1 b) Número infinito c) Número infinito 13. a) D b) B c) E d) C e) A 15. 5 - 2, 26 17. e - , f 19. ¤ 21. 5 - 12, 26 23. 5 - 56 2 2 3 11 25. e , f 27. 5 - 17, 236 29. 536 31. 5w ƒ - 11 6 w 6 116 33. 5q ƒ - 13 … q … 36 35. 5b ƒ 1 6 b 6 56 37. 5x ƒ - 9 … x … 66 2 6 39. e x `

1 13 1 13 6 x 6 f 41. ¤ 43. 5j ƒ - 18 6 j 6 66 45. e k ` - 6 k 6 f 47. 5y ƒ y 6 - 7 o y 7 76 49. 5x ƒ x 6 - 9 o x 7 16 3 3 4 4

51. e b ` b 6

2 o b 7 4 f 53. 5h ƒ h 6 1 o h 7 46 55. 5x ƒ x 6 2 o x 7 66 57. 5x ƒ x … - 18 o x Ú 26 59.  61. 5x ƒ x 6 2 o x 7 26 3

63. 5 - 1, 156 65. 5 - 3, 16 67. e - 23, 79. e x ` x 6 -

5 5 ox 7 - f 2 2

93. a) [0.085, 0.093]

8 13 f 69. 5106 71. 5 - 1, 16 73. 5q ƒ q 6 - 8 o q 7 - 46 75. 5w ƒ - 1 … w … 86 77. e - , 2 f 7 5

81. e x ` -

13 5 … x … f 3 3

83. ¤

85. 5w ƒ - 16 6 w 6 86

87. 

89. e 2,

22 f 3

3 9 91. e - , f 2 7

b) 0.085 pulgadas c) 0.093 pulgadas 95. a) [132, 188] b) 132 a 188 pies por debajo del nivel del mar, b inclusive 97. |x|  5 99. |x|  5 101. x = - ; ƒ ax + b ƒ nunca es menor que 0, así que haga |ax  b|  0 y resuelva para x 103. a) Haga a c - b -c - b ax  b  c o ax  b  c y resuelva cada ecuación para x b) x = 105. a) Escriba ax  b  c o ax  b  c y ox = a a c - b -c - b resuelva cada desigualdad para x b) x 6 ox 7 107. ; ya que 3  x  (x  3) 109. {x|x  0}; por definición de a a

Respuestas • R3 valor absoluto 111. {2}; haga x  1  2x  1 o x  1  (2x  1) 113. {x|x 2}; por definición |x  2|  (x  2), si x 2 115. 536 29 117. ¤ 119. 120. 25 121. 1.33 millas 122. {x|x  4} 72 1. Ocho 2. Uno 3. Siete 4. a2  a  4 5. 7x2  2xy  4 6. No 1 13 9 1 puede simplificarse 7. 4x - 3y + 6 8. - 4 9. 20 10. 11. - 10 12. 13. No tiene solución 14.  15. 16. 3 2 2 4 y - b E 2x - 5 A P - 2l 2A 17. 64 18. - 4 19. R = 20. h = 21. w = 22. h = 23. m = 24. y = 2 I 2 b x 3 pr # 2S - b K - 2d 25. R 2 = R T - R 1 - R 3 26. a = 27. l = 28. $22 29. 3 años 30. $5833.33 31. 150 millas 32. $233.33 3 2 2 33. $2570 a 3.5%, $2430 a 4% 34. 187.5 galones del de 20%, 62.5 galones del de 60% 35. 2 horas 36. a) 3000 millas por hora 3 b) 16,500 millas 37. 15 libras de café de $6.00; 25 libras de café de $6.80 38. $30 39. a) 1 hora b) 14.4 millas 40. 40°; 65°; 75° 41. 300 galones por hora; 450 galones por hora 42. 35°; 55° 43. 7.5 onzas 44. $4500 a 10%; $7500 a 6% 45. Más de 5 46. 40 millas por hora, 50 millas por hora 47. 48.

Ejercicios de repaso del capítulo

2

49.

50.

56. 7 minutos 57. 17 semanas 58. 5x ƒ 81 … x … 1006

55. 8 cajas

7 61. a , 6 b 2

8 62. a , 6 b 3

69. 5 - 2, 26

17 27 , d 2 2

76. 5 - 1, 46

71. 5x ƒ x … - 4 o x Ú 46 77. 5x ƒ - 14 6 x 6 226

8. 

9.

59. 15, 112

60. 1 - 3, 54

4 f 5

73. 5x ƒ x … - 3 o x Ú 76 79. 

80. c - 5, -

1 d 3

1 9 74. e - , f 2 2

81. 14, 74

2 83. 3 - 1, 62 84. 1 - q , q 2 85. a , 8 d 3

13 3

10. b =

a - 2c 3

11. b 2 =

$5000 a 7% 17.

2A - hb 1 h

1. Siete

25. e x `

3. 10q + 44

4. - 26

20. 34, 132 21. 5 - 7, 26 22. e -

9 19. a , 7 d 2

33

24. 5x ƒ x 6 - 1 o x 7 46

2. 16p - 3q - 4pq

5.

4 3

6. -

35 11

12. $625 13. 80 visitas 14. 4.2 horas 15. 6.25 litros 16. $7000 a 8%;

18. –10

23. 5 - 36

72. 5 - 16, 66

78. e - 5, -

Examen de práctica del capítulo 7. ¤

0

63. 1 - 3, 14 64. 12, 142 65. 5h ƒ - 3 6 h … 26 66.  67. 5x ƒ x … - 46 68. 5g ƒ g 6 - 5 o g Ú 116

70. 5x ƒ - 3 6 x 6 36

75. 5q ƒ 1 6 q 6 86

53. –10

9

–2

0

82. a -

52.

21 4

5 2

54.

6

51.

14 26 , f 3 5

1 5 … x … f 2 2

CAPÍTULO 3 Conjunto de ejercicios 3.1

1. a) Una línea recta b) Dos; dos puntos determinan de manera única a una recta

3. Están en una línea recta 5. A13, 12, B1- 6, 02, C12, -42, D1-2, - 42, E10, 32, F1-8, 12, Ga , -1 b

3 2

7.

9. I

y

27.

4 B D

2

–4 –2 C2 –2 –4

11. IV

4 4

15. III

17. No 29.

y

A x

13. II

y=x

4

–4

2 2

4

x

21. Sí

23. Sí

–4

25. No

31.

y

2 –4 –2 –2

19. No

y 4

1

y= 2 x 2

4

y=2x+4 x

–4

2

–2

–2

–4

–4

4

x

R4 • Respuestas 33.

35.

y

y=–3x-5

37.

y

y 4

4 4

2

1 y= 2 x-1

2 –4 –2

2

4

2

x –4 –2 –2

–4

2

–2

x

4

2

4

x

–2 1 y=– 2 x-3 –4

–4

39.

41.

y 8

–4 –2 –2

6 2

4

y=x

2

47.

x

4

49.

y 4

–4 –2

2

x

–4

–4 –2 –2

–4

–4

55.

4

2

–8

–2

57.

y

51.

2

4

x

4

59. 1

x

4

–4

2

4

–4 –2 –2

4

2

x 4 y  |x |

–4

53.

y 4

1

y=– x 2

4

2 x

–4 –2

x  |y | 2

4

x

–2 –4

61.

y

y

8

4

6

3

4

x

y=

1 x2

2

y= x

2

–2

1

–4

–4

x

2

–4 –2

y=x+1 2

2

–4

4

–4 –2 –2

y =| x+1 |

y

y=x3+1

y

2

4

y=–x

–4 –2 –2

2

y

4

–6

4

45.

y

x

4

y

y=x3

2

2

–4

2 –4 –2

43.

y

2

4

6

8

x

–2 –1

1

2

x

y=x‹-x¤-x+1

63. Sí, las coordenadas satisfacen la ecuación 65. a) 67. a) 115 millones b) 190 millones c) 2001, 2002, 2003 d) Sí, si conectan los puntos medios de la parte superior de cada barra, se verán casi como una recta 69.

b) 8 unidades cuadradas

y A 6 4 2

B

C

y –2 –2

4

2

4

2

4

6

x

x

y=x+3 y=x+1 y=x-1

–4

a) Cada gráfica cruza al eje y en el punto que corresponde al término constante en la ecuación de la gráfica b) Sí

Respuestas • R5 71.

La tasa de cambio es 2

y

73.

4 2 –4 –2

La tasa de cambio es 3

y 4

y=2x 2

4

2 x

y=3x+2

–4 –2

–4

2

4

x

–4

75. (4, 2), (5, 2), son posibles otras respuestas 93. a)

77. c 79. a

81. d

b)

83. b

85. b

91. d

95. a)

–10, 10, 1, –10, 10, 1

b)

87. d 89. b

–10, 10, 1, –10, 10, 1

97. a)

b)

–10, 10, 1, –20, 20, 2

99.

103.

y 4

3 2

104. L71 millas 105. 5x ƒ - 2 6 x … 46

106. e x ` x 6 -

7 o x 7 1f 3

y  x-2

2 –4 –2 –2

2

4

x

–4

Conjunto de ejercicios 3.2

1. Una correspondencia en donde a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del rango 3. Sí, una relación es cualquier conjunto de pares ordenados 5. Si una recta vertical trazada en alguna parte de la gráfica interseca a la gráfica en más de un punto, la gráfica no es una función 7. El conjunto de valores de la variable dependiente 9. Dominio: {x|x p 0}, Rango: {y|y  0}; x no puede ser 0, ya que no se puede dividir entre 0. y no puede ser 0, ya que el numerador es 1 11. Dominio: , Rango: {y|y  0}; x puede ser cualquier número real, |x| nunca puede ser negativo 13. Si y depende de x, entonces x es la variable independiente 15. a) Función b) Dominio: {3, 5, 10}, Rango {6, 10, 20} 17. a) Función b) Dominio: {Rogelio, Carlos, Andrea}, Rango: {1, 2} 19. a) No es función b) Dominio: {1990, 2001, 2002}; Rango: {20, 34, 37} 21. a) Función b) Dominio: {1, 2, 3, 4, 5}, Rango: {1, 2, 3, 4, 5} 23. a) Función b) Dominio: {1, 2, 3, 4, 5,7}; Rango: {1, 0, 2, 4, 5} 25. a) No es función b) Dominio: {1, 2, 3} c) {1, 2, 4, 5, 6} 27. a) No es función b) Dominio: {0, 1, 2}; Rango: {7, 1, 2, 3} 29. a) Función b) Dominio: ; Rango:  c) 2 31. a) No es función b) Dominio: {x|0 x 2}, Rango: {y|3 y 3} c) L1.5 33. a) Función b) Dominio: , Rango: {y|y  0} c) 1, 3 35. a) Función b) Dominio: {1, 0, 1, 2, 3}, Rango: {1, 0, 1, 2, 3} c) 2 37. a) No es función b) Dominio: {x|x  2, Rango:  c) 3 39. a) Función b) Dominio: {x| 2 x 2}, Rango: {y|1 y 2} c) 2, 2 41. a) 1 b) 11 43. a) 6 b) 4 45. a) 2 b) 2 47. a) 7 b) 0 49. a) 0 b) 3 51. a) 1 b) Indefinida 53. a) 12 pies cuadrados b) 27 pies cuadrados 5 55. a) A(r)  pr2 b) L314.2 yardas cuadradas 57. a) C1F2 = 1F - 322 b) - 40°C 59. a) 18.23°C b) 27.68°C 9 61. a) 78.32° b) 73.04° 63. a) 91 naranjas b) 204 naranjas 65. Las respuestas variarán. Una posible interpretación es: la persona calienta lentamente, quizá caminando durante 5 minutos. Luego empieza a trotar lentamente durante un periodo de 5 minutos. Los siguientes 15 minutos trota. Después camina lentamente durante los siguientes 5 minutos y su ritmo cardiaco disminuye

R6 • Respuestas

Costo ($1000)

a su nivel normal. Este ritmo permanece constante durante los siguientes 5 minutos 67. Las respuestas variarán. Una posible interpretación es: durante 5 minutos, el hombre camina en el piso, que se encuentra 30 pies por encima del nivel del mar. Los siguientes 5 minutos camina colina arriba hasta 45 pies por encima del nivel del mar. Camina durante 5 minutos en terreno plano, luego baja rápidamente colina abajo por 3 minutos hasta un terreno que se encuentra a 20 pies por encima del nivel del mar. Camina en terreno plano durante 7 minutos. Luego sube rápidamente colina arriba durante 5 minutos 69. Las respuestas variarán. Una posible interpretación es: el conductor está en tránsito pesado, en el que avanza y se detiene de forma continua; luego conduce por una autopista durante 15 minutos; luego detiene su automóvil por un par de minutos; a continuación vuelve al tránsito pesado 71. a) Sí, pasa la prueba de la recta vertical b) Año c) L$ 115mil millones d) L43.75% 73. a) Sí, pasa la prueba de la recta vertical b) Sí, pasa la prueba de la recta vertical c) No, no parece que sea lineal d) Sí, parece que es una línea recta e) 1999 f) 2000 75. a) b) No, no es una línea recta c) $2,000,000 2500

b) $2.65 por búshel

f(Q) 5 Precio por búshel de maíz (dólares)

77. a)

y 4 g(x)=2x+3

3

–4

2

2

–2

1

4

x

g(x)=–3x+1

–4 Q 0

1 2

79.

f(Q)=–0.00004Q+4.25

4

0

80.

2000 1500 1000 500 0 1981 1985 1989 1993 1997 2001 Año

81. p 2 =

10 20 30 40 50 60 Número anual de búshels de maíz (1000)

E - a1 p1 - a3 p3

b) 13, q 2

82. a)

a2

3

c) 5x ƒ x 7 36

83. - 2, 10

1. ax  by  c 3. Para determinar la intersección con el eje x, haga y  0 y despeje x. Para determinar la intersección con el eje y, haga x  0 y despeje y 5. Recta vertical 7. Recta horizontal 9. Grafique ambos lados de la ecuación. La solución es la coordenada z del punto de intersección 11. 2x + y = 4 13. 3x - 4y = - 14

Conjunto de ejercicios 3.3

15.

17.

y 4

y 2y=4x+6

f(x)=2x+3

4

2

4

x

–4

–4

21.

y 4

4 3 –2

3 –2

2 –4 –2 –2

19.

y

2

–2

x

4

–4

–4

9 –4

2

4

x

–2

–4 –2 –2

–4

–4

y=–2x+4

23.

25.

y 4 2 –4 –2 –2 –4

27.

y 4

15x+30y=60 2

4

x

2 –4 –2 –2 –4

y 8

0.25x+0.50y=1.00 2

4

x

4 –8 –4 –4 –8

120x-360y=720 4

8

x

4 x=y-3 3

2

4

x

Respuestas • R7 29.

31. y=–2x y

y

33.

35.

y

y

48 1 x+ 1 y=12 3 4

20

x

20

–4 –2 –2

39.

45.

2 x

4

–2

–4 –2 –2

–4

–4

47.

y

2

2

2

x

4

–4 –2 –2

–4

Utilidad ($1000)

(5, 220)

100 x

0 1

2

3

4

5

Bicicletas (1000's)

–4 –2 –2

–4

–4

43.

4

2

2 2

x

4

49.

x=0 2

4

x

d 200 150 100 50 0 0

4

x

2x+4y=0

y

–4 –2 –2

–4

53. b)

p(x)=60x-80,000

x

4

4

–2 –2

b) 1300 bicicletas

200

–100

x

–4

p 400 300

4

4 x= 5

2

51. a)

2

y

4

–4 –2 –2

2

2

–2

y

y=4

4x-6y=0

2

3

–4

41. x=–4

y

2 –4

x

4

–4

y 4

2

4

1 f(x)= – x

2

36

–40

37.

4

Distancia (millas)

–40–20 –20

4

Ventas semanales (dólares)

40

2

x 4 y=–1.5

–4

d=30t

1 2 3 4 5 6 t Tiempo (horas)

c) 3800 bicicletas

53. a) s(x)  500  0.15x c) $875

d) $3500

s s(x)=500+0.15x 1500 (5000, 1250) 1000 500 0 0 2000 4000 x Salario semanal (dólares)

55. a) Sólo existe un valor de y para cada valor de x b) Independiente: altura; dependiente: peso c) Sí d) 11.5 kilogramos e) 65 centímetros f) 12.015.5 kilogramos g) Aumenta; sí, conforme las niñas crecen, sus pesos varían más 57. Cuando la gráfica pasa por el origen, ya que en el origen tanto x como y son iguales a cero 59. Las respuestas variarán. Una posible respuesta es f(x)  4 61. Ambas intersecciones serán en 0 63. a) b) 2 (o 2) unidades y 4

–4 –2 –2 –4

2

4

x

R8 • Respuestas 1 18 ; pendiente 65. 1 67. - 3 69. 1 - 3.2, 02, 10, 6.42 71. 1 - 2, 02, 10, - 2.52 73. 102 74. 2 13 75. a) Las respuestas variarán. b) x = a + b o x = a - b 76. a) Las respuestas variarán. b) a - b 6 x 6 a + b 77. a) Las respuestas variarán. b) x 6 a - b o x 7 a + b 78. 5 - 2, 26 ¢y Conjunto de ejercicios 3.4 1. Seleccione dos puntos en la recta; determine 3. La recta crece al ir de ¢x izquierda a derecha 5. El cambio en x es 0, y no podemos dividir entre cero 7. Despeje y. 9. a) Que se movió 3 unidades 1 hacia abajo b) (0, 6) 11. El cambio en y por un cambio unitario en x 13. - 2 15. 17. - 1 19. Indefinida 21. 0 2 2 1 1 23. 25. b = 3 27. k = 1 29. x = 6 31. r = 0 33. m = - 3, y = - 3x 35. m = - , y = - x + 2 37. m está indefi3 3 3 nida, x  2 39. m = 0, y = 3 c) 4 (0 4) unidades d)

3 3 41. m = - , y = - x + 15 2 2

43.

y = - x + 2, - 1, 10, 22

y 4 y= –x+2

2 –4 –2 –2

2

4

x

–4

45. y = -

1 1 x + 2, - , 10, 22 3 3

47. y =

y

5 5 x + 2, , 10, 22 2 2

4

6 5x+15y=30

–4 –2 –2

2

4 2 –50x+20y=40

x

4

–4 –2 –2

–4

49.

51.

y

4 f(x)=–2x+1 2

4

x

2 –4 –2 –2

Gastos (en millones de dólares)

4

x

4

x

–4

–4

67. a–b)

h(x)=– –3x+2 2

2

53. a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 55. Si las pendientes son iguales y las intersecciones con el eje y son diferentes, las rectas son paralelas. 57. 10, - 52 59. a) y = 3x + 1 b) y = 3x - 5 61. a) 1 b) (0, 2) c) y = x + 2 3 63. y = x - 7 65. 0.2 2

y

4

–4 –2 –2

y

y 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1985

1990 1995 Año

2000 x

Conjunto de ejercicios 3.5

c) 82.4, 49.0, 123.8 d) 19952000, ya que su segmento de recta tiene la mayor pendiente 69. a) h(x)  x  200 b) 186 latidos por minuto 71. a) N(t)  1.35t  36.5 b) 33.8 millones de personas c) 24.35 millones de personas d) 2004 73. a) n(t)  50.64t  7156 b) 6143 hospitales c) 5637 hospitales d) 2017 75. a) P(t)  5700t  110,500 b) $121,900 c) $196,000 d) 2010 77. Es incorrecta la intersección con el eje y 79. La pendiente no es la correcta 81. Altura: 14.2 pulgadas, ancho: 6.4 pulgadas 92 84. 19 85. 86. 2.4 87. Primero: 75 millas por hora; segundo: 60 millas por 5 hora 88. a) x 6 - 2 o x 7 1 b) - 2 6 x 6 1 1. y  y1  m(x  x1)

recíprocos negativos, o si una recta es vertical y la otra es horizontal. 3 11. y = - x 2

3. Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son 1 9 1 5. y = 2x - 1 7. y = - x + 1 9. y = x 2 2 2

Respuestas • R9

13. y =

1 x - 5 2

15. Paralela 17. Ninguna 19. Perpendicular

21. Perpendicular

23. Paralela 25. Ninguna

29. Paralela 31. Ninguna 33. y = 2x + 1

35. 2x - 5y = 19

37. y = -

27. Perpendicular

39. f1x2 = - 3x + 14

41. y = -

2 x + 6 3

43. a) C1s2 = 45.7s + 95.8

b) 324.3 calorías

5 x + 5 3

45. a) d(p)  0.20p  90

b) 38 reproductores de DVD c) $225 47. a) s(p) 95p  60 b) 206 cometas c) $3.00 49. a) m1s2 = -

1 s + 55 3

b) 35 mi-

llas por galón c) 75 millas por hora 51. a) p(s) 69.1s  2786 b) $4029.80 c) L18 años 53. a) y(a) 0.865a  79.25 2 b 59. Invierta el sentido del 5 b) Una correspondencia en donde a cada elemento

b) 47.2 años c) 62.7 años de edad 55. a) w(a)  0.189a  10.6 b) 14.758 kilogramos 58. a - q , símbolo de la desigualdad

60. a) Cualquier conjunto de pares ordenados

del dominio le corresponde un único elemento del rango c) Las respuestas variarán 61. Dominio: {3, 4, 5, 6}; rango: {2, 1, 2, 3}

Conjunto de ejercicios 3.6

1. Sí, así es como está definida la suma de funciones 3. g(x) Z 0, ya que la división entre cero no está definida 5. No, la resta no es conmutativa. Un ejemplo es 5  3  2, pero 3  5  2 7. a) 2 b) 8 c) 15 3 d) 9. a) x 2 + 2x + 1 b) a2 + 2a + 1 c) 9 11. a) x 3 + x - 4 b) a3 + a - 4 c) 6 13. a) 4x 3 - x + 4 5 3 b) 4a3 - a + 4 c) 34 15. - 7 17. - 13 19. - 60 21. Indefinida 23. 13 25. 27. 2x 2 - 6 29. - 6 31. 30 4 3 1 33. 0 35. 37. 39. - 2x 2 + 2x - 6 41. 3 43. 4 45. 1 47. Indefinida 49. 4 51. 0 53. 3 55. 2 7 45 57. a) Total  público  privado b) 1970–1980 c) 1990–2000 59. a) 6,500,000 personas b) 700,000 personas c) 7,200,000 personas 61. f(a) y g(a) deben ser de signos contrarios o bien ambos iguales a 0

63. f(a)  g(a) 65. f(a) y g(a)

deben tener signos contrarios

72. -

67.

69.

2A b

75. $450

76.

77.

y

y

y  | x-2 |

4

4

2

2

–4 –2 –2

2

x

4

73. 1.63 * 106

–10, 10, 1, –10, 10, 1

–10, 10, 1, –10, 10, 1

74. h =

1 27

3x-4y=12

–4 –2 –2

2

x

4

–4

Conjunto de ejercicios 3.7

1. Los puntos en la recta son soluciones para la ecuación correspondiente, y no 3. Si la recta pasa por el origen, el (0, 0) no puede usarse como punto de prueba

son soluciones si el símbolo usado es  o  5.

7.

y

9.

y

11.

y

y

4

4

4

4

2

2

2

2

–4 –2 –2 –4

2

4

x

–4 –2

2

4

x

–4 –2

4

x

–4 –2

–2 –4

–4

–4

2

4

x

R10 • Respuestas 15.

y

y

4

4

4

2

2

2

2

2

x

4

–4 –2 –2

x

2

–2 –2

–4

–4

23.

y

2

–4 –2 –2

2

x

4

2

x

4

–4

–4

x

6

–4 –2 –2

c) 47

–6

27. a)-b)

c) 1982

29. a)

$30.00 $25.00 $20.00 $15.00 $10.00 $5.00 $0.00 1975 1980 1985 1990 1995 2000

x

4

–4

25. a)–b)

2 –4 –2 –2

2

–4

y

4

Remuneración por hora

19.

y

4

–4 –2

21.

17.

y

Tarifa mensual

13.

30 25 20 15 10 5 0 35 40 45 50 Edad y f(x)=2x-4 4 2

–4 –2 –2

2

x

4

–4

Año

29. b)

y f(x)=2x-4

33.

y

y

4

4

4

2

2

2

–4 –2 –2

2

4

x

–4

34. 6

31.

35. 81.176

–4 –2 –2

2

x

4

–4 –2

–4

36. $15.72

37. 2

4

39. -

4 3

x

–4

38. x  2y  2, (son posibles otras respuestas)

Ejercicios de repaso del capítulo

2

1.

2.

y

y

8

4

6 D F E

–4 –2

4

1

y= – x 2

2 B

A

2

–4

C 2

4

2 –2

x

–4

4

x

Respuestas • R11 3.

4.

y 4

x 2 4 y=–2x-1

–4 –2 –2

8.

y

8 3

y=-– x+1 2

2

–4 –2 –2

x

–6 –4 –2 –2

–4

y

4

4

1

y= – x+3 2

6.

y

6

2

7.

5.

y

2

6 2

–4

9.

y

–4 –2

2

10.

y

y

8

4

4

8

6

2

2

4

y=x2-1

–4 –2 –2

2 –4 –2

2

11.

x

4

–4 –2 –2

–4

x

4

2

x

4

y=|x|-1

y=|x|

4

y=x2

4

x

4

2

4

x

–4 –2

–4

y=x3

2

x

4

–8

12. Una función es una correspondencia en donde a cada elemento del dominio le corresponde a exactamente un elemento del rango 13. No, no toda relación es una función. {(4, 2), (4, 2)} es 8 una relación, pero no es una función. Sí, toda función es una relación, ya que es un conjunto de y=x3+4 pares ordenados 14. Sí, a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del rango 15. No, al elemento 2 del dominio le corresponde más de un elemento del rango x –4 2 4 (5 y 5) 16. a) No, la relación no es una función b) Dominio: 5x ƒ - 1 … x … 16; rango: –4 5y ƒ - 1 … y … 16 17. a) No, la relación no es una función b) Dominio: 5x ƒ - 2 … x … 26; –8 rango: 5y ƒ - 1 … y … 16 18. a) Sí, la relación es una función b) Dominio: ; rango: 5y ƒ y … 06 19. a) Sí, la relación es una función b) Dominio: ; rango:  20. a) 3 b) h2  3h  5 21. a) 4 b) 2a3  3a2  1 22. Las respuestas variarán. Ésta es una interpretación posible: la velocidad del automóvil aumenta hasta 50 mph. Permanece en esta velocidad durante casi 11 minutos. Aumenta a 68 mph. Mantiene esa velocidad durante 5 minutos, y luego se detiene rápidamente. Queda detenido durante casi 5 minutos. Luego va en tránsito pesado durante casi 5 minutos 23. a) 720 canastas b) 1500 canastas 24. a) 84 pies b) 36 pies 25. 26. 27. 28. y 2 y y y 1 y

3

4

2

–4

30

x

– –32

–80 –40 –40

40 80

Utilidad ($1000s)

2 x

–4 –2 –2

–80

30. p(x)=0.1x-5000 (250, 20)

10 x

0 50 100 150 200 250 300 –10 Rosquillas vendidas (miles)

2

4

x

–4

c) 250,000 rosquillas 31. m =

1 , 10, - 32 2

32. m = - 2, 10, 12

2000

3 12 33. m = - , a 0, b 5 5

1600 1200 800

3 5 34. m = - , a 0, b 4 2

I=12,000r 400 r

0 0 0.05 0.10 0.15 0.20 Tasa (como un decimal)

–2 –4

I 2400

30

4 2

–4

29. b) 50,000 rosquillas

p 40

20

f(x)=4 x=–2

40

Interés (dólares)

29. a)

4

4

80

3x-4y=6

2 –4 –2

x= y+20

2

4

x

R12 • Respuestas

35. m no está definida, no hay intersección con el eje y definida; x  2 1 1 41. m = - ; y = - x + 2 2 2

42. a) 2 b) 10, - 12

37. -

c) y = - 2x - 1

43. 10, 02

1 2

38. -

1 3

39. m = 0; y = 3 40. m no está

b) 1970–1980: 16.4; 1980–1990: 4.2; 1990–2000: -23.5 c) 1970–1980

Casos

44. a)

36. m = 0, 10, 62

600 500 400 300 200 100 0 1970

1980 1990 Año

2000

45. n(t)  0.7t  35.6 46. Paralela 47. Perpendicular 48. Ninguna 49. y =

2 1 x + 3 50. y = - x - 2 51. y = - x + 4 2 3

5 5 1 x - 2 53. y = - x - 4 54. y = - x + 4 55. Ninguna 56. Paralela 57. Perpendicular 58. Ninguna 2 3 2 59. a) r(a)  0.61a  10.59 b) $15.03 60. a) C(r)  1.8r  435 b) 507 calorías c) 91.7 yardas por minuto 2 61. x 2 - x - 1 62. 5 63. - x 2 + 5x - 9 64. 15 65. 56 66. 70 67. 68. 2 69. a) 300 b) 750 c) 1450 d) 750 3 e) 1750 f) 1500 70. a) 490 millones b) 190 millones c) 680 millones 52. y =

71.

72.

y

73.

y

74.

y

y

4

4

4

4

2

2

2

2

–4 –2 –2

2

4

x

–4 –2 –2

–4

x

2

–4 –2 –2

–4

2

x

4

–4 –2

–4

x

2

–4

Examen de práctica del capítulo 1.

2.

y

3.

y

y

y=x¤-4

4.

y

6

4

4

y=–2x+1

4

2

2

x

2

4

–4 –2 –2

2

4

y= x –4 2

–4

4

6

x

8

–2

2

4

x

–2

–4 –2 –2

–4

–4

y  |x | 2

4

x

5. Una función es una correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del rango. 6. Sí, ya que a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del rango. 7. Sí; Dominio: ; rango:

5y ƒy … 46 8. No; Dominio: 5x ƒ -3 … x … 36; rango: 5y ƒ - 2 … y … 26 11. 12. y y

9. 26

10.

y 6

4

2 –2 –2 –4 –6

2

6

y x –-–=1 4 5

4

2

x –4 –2

–10x+5y=20 2

4

–2 –4 f(x)=–3

x

–6 –4

2 –2

x

Respuestas • R13 13.

14. a)

y

p(x) 300

4 2 –4 –2 –2

Utilidad ($1000s)

x=4 x

2

–4

250

(30, 256) p(x)=10.2x-50,000

200 150 100 50 x

0 5 –50

25.

10

15

20

25

30

Libros vendidos (1000s)

b) 4900 libros c) 14,700 libros 4 15. m = , 10, - 32 16. y  3x  5 3 17. y  2x  7 18. p(t)  2.386t  274.634 19. Paralela, la 2 pendiente de ambas rectas es la misma, 3 20. a) r(t)  3.2t  362 b) 282 muertes/100,000 c) 234 muertes/100,000 21. 13 1 22. 23. 2a2  a 2 24. a) 44 millones de toneladas b) 18 millones de toneladas c) 26 millones de toneladas

y 4 2 –4 –2 –2

2

x

4

–4

CAPÍTULO 4 Cómo utilizar su calculadora graficadora, 4.1 4. 1 -2.25, 10.522

1. 12.76, 0.822 2. 113.29, 9.572 3. 1 - 4.67, -4.662

Conjunto de ejercicios 4.1 1. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el o los puntos que satisfacen todas las ecuaciones del sistema 3. Un sistema dependiente es un sistema que tiene un número infinito de soluciones 5. Un sistema consistente de ecuaciones tiene una solución 7. Compare las pendientes y las intersecciones con el eje y de las ecuaciones. Si las pendientes son diferentes, el sistema es consistente. Si las pendientes y las intersecciones con el eje y son iguales, el sistema es dependiente. Si las pendientes son iguales y las intersecciones con el eje y son diferentes, el sistema es inconsistente 9. Obtendrá una afirmación verdadera, tal como 0  0 11. Ninguna 13. b) 15. b) 17. Consistente; una solución 19. Dependiente; un número infinito de soluciones 21. Inconsistente; ninguna solución 23. Inconsistente; ninguna solución 25. y=–x+3 y 27. 29. 2x+3y=6 y y 6

4

(–1, 4)

4

y=4x-1

2

2 2

–4 –2

–4 –2 –2 y=x+5

2

x

4

–4 –2 –2

x

2

2y=8x+6

–4

Inconsistente

31.

33.

y x+3y=4 4

x=1

–4 –2 –2 –4

2

4

Dependiente

35.

y

y

4 2

(1, 1) x

–4 –2 –2 y=2x-2

x 2 4x=–6y+12

4 2x-y=–4

2y=4x-6

(1, 0) 2

4

x

–4

2 –2

y=–5x+5 Inconsistente

4

x

R14 • Respuestas 19 1 37. 1 - 1, 02 39. 1 -3, - 32 41. 12, 12 43. a -1, b 45. Un número infinito de soluciones 47. Ninguna solución 49. a - , -3 b 2 5 5 51. 18, 62 53. (2, 5) 55. a - 1, - b 57. Un número infinito de soluciones 59. Ninguna solución 61. (1, 1) 63. (5, 6) 3 37 19 14 12 65. a , - b 67. a , b 69. (3, 2) 71. (4, 0) 73. (4, 3) 75. (10, 4) 77. a), b), y c) Las respuestas variarán 79. 2085 5 5 7 7 81. Multiplique la primera ecuación por 2 y observe que la nueva ecuación es idéntica a la segunda ecuación 83. a) Un número infinito, ya que un sistema de ecuaciones puede tener cero soluciones, una solución o un número infinito de soluciones b) m  4, y  4x  13, (0, 13) c) Sí 85. Un ejemplo es: x  y  1, 2x  2y  2; escriba una ecuación y luego multiplíquela por una constante para obtener la segunda ecuación 87. a) Un ejemplo es: x  y  1, x  y  3 b) Elija coeficientes para x y y, y luego utilice las coordenadas dadas para determinar las constantes 89. A  2 y B  5 91. m  4, b  2 1 93. El sistema es dependiente o una gráfica no aparece en la ventana de visualización 95. (8, 1) 97. (1, 2) 99. a , 5b a 102. Los números racionales pueden expresarse como cocientes de dos enteros, en donde el denominador no es 0, mientras que los números irracionales no

103. a) Sí; el conjunto de los números reales incluye al conjunto de los números racionales b) Sí; el 17 conjunto de los números reales incluye al conjunto de los números irracionales 104. 105.  106. 520 107. No, los puntos 4 (3, 4) y (3, 2) tienen la misma primera coordenada pero diferente segunda coordenada 108. Indefinida

Conjunto de ejercicios 4.2 9. 11, 2, 02

11. 1 - 3, 17, - 72

13. 13, 1, - 22

1. La gráfica será un plano

15. 12, - 1, 32

2 1 17. a , - , 1 b 3 3

3. (1, 2, 4) 19. 10, - 1, 02

5. a -7, 21. a -

35 , - 3b 4

7. (0, 3, 6)

11 7 49 , ,- b 17 34 17

23. (0, 0, 0)

25. 14, 6, 82

2 23 37 27. a , , b 29. 11, 1, 22 31. Inconsistente 33. Dependiente 35. Inconsistente 37. Ningún punto es común 3 15 15 a los tres planos. Por lo tanto, el sistema es inconsistente 39. Un punto es común a los tres planos; por lo tanto, el sistema es consistente 41. a) Sí, los 3 planos pueden ser paralelos b) Sí, los 3 planos pueden intersectarse en un punto c) No, los 3 planos

no pueden intersectarse en exactamente dos puntos 43. A  9, B  6, C  2; 9x  6y  2z  1 45. Las respuestas variarán. Un ejemplo es x  y  z  10, x  2y  z  11, x  y  2z  16 47. a) a  1, b  2, c  4 b) y  x2  2x  4, sustituya a por 1, 1 b por 2 y c por 4 en y  ax2  bx  c 49. (1, 2, 3, 4) 51. a) hora o 15 minutos b) 1.25 millas 4 3 27 8 16 f 53. e x ` - 6 x 6 f 54. ¤ 52. e x ` x 6 - o x 7 2 2 3 3

Conjunto de ejercicios 4.3

5. 25°, 65° 7. 52°, 128°

3. Hamburguesa,

9. 12.2 millas por hora, 3.4 millas por hora 11. $500, 4% 13. 1.2 1 2 onzas de 5%, 1.8 onzas de 30% 15. 10 galones de concentrado, 190 galones de agua 17. 17 libras de alpiste, 22 libras de semilla 3 3 de girasol 19. 65 boletos para adultos; 160 boletos para niños 21. $6000 a 5%; $4000 a 6% 23. 160 galones de entera; 100 galones de descremada 25. 7 libras de la que vale $1.7; 13 libras de la que cuesta $1.19 27. 50 millas por hora; 55 millas por hora 29. Sabrina: 8 horas; Diana: 3.4 horas 31. 80 gramos de A; 60 gramos de B 33. 200 gramos de la primera aleación; 100 gramos de la segunda 35. Tomás: 60 millas por hora; Melissa: 75 millas por hora 37. L2006 39. a) C  0.05t  8.95, C  0.07t  5.95 39. b) c c) 150 minutos d) 150 minutos 41. a) x  y  z  24; x  2y  2; z  5y  2 $20.00 c=0.05t+8.95 b) Correo personal, 3; estados de cuenta, 4; anuncios, 17 43. a) x  y  z  41; z  $16.00 3x  14; y  2x  5 b) Irak: 10 millones; Angola: 15 millones; Irán: 16 millones 2 $12.00 45. a) x + y + z = 180; x = y; z = 3y - 30 b) 30°, 45°, 105° 3 $8.00 47. a) x + y + z = 10,000; y  2x; 0.03x  0.05y  0.06z  525 b) $1500 a 3%, c=0.07t+5.95 $4.00 $3000 a 5%, $5500 a 6% 49. a) x  y  z  8; 0.10x  0.12y  0.20 z  0.13(8); z  x  2 b) 4 litros de la solución con concentración de 10%; 2 litros de la solu$0.00 0 30 60 90 120 150 180 t ción con concentración de 12%; 2 litros de la solución con concentración de 20% Minutos 51. a) 5x  4y  7z  154: 3x  2y  5z  94; 2x  2y  4z  76 b) 10 del modelo para niños; 12 del modelo estándar; 8 del modelo ejecutivo 27 15 6 35 53. IA = 56. 57. 4 58. Utilice la prueba de la recta vertical 59. y  x  10 ; I = - ; IC = 38 B 38 19 8 Costo

21 gramos, papas fritas, 67 gramos

1. Reino Mágico: 14.8 millones; Disneylandia: 12.3 millones

Respuestas • R15

Conjunto de ejercicios 4.4 1. Tiene el mismo número de filas y de columnas 3. Cambie el 1 en la segunda fila por 1, multiplicando la fila 2 por 1, o 1R2 5. Intercambie R2 y R3 para obtener un 1 en la segunda fila, segunda columna 7. Dependiente 1 1 0 8 1 1 3 -8 4 -3 12 1 -2 1 3 13 9. B 2 - 38 3 - 4 S 17. (3, 0) 19. (2, 2) R 11. C 3 2 1 3 - 5 S 13. B R 15. C 0 ` ` 3 1 -4 0 17 30 4 7 2 -1 6 -3 1 0 21. (0, 1)

2 1 29. a , b 3 4

23. Sistema dependiente 25. (2, 1) 27. Sistema inconsistente

4 7 31. a , - b 5 8

33. (2, 1, 2)

35. 13, 1, 22

1 1 1 1 37. a 1, - 1, b 39. Sistema dependiente 41. a , 2, 4 b 43. Sistema inconsistente 45. a 5, , - b 47. No; la 2 2 3 2 solución es la misma cuando se intercambia el orden de las ecuaciones 49. l x = 30°, l y = 65°, l z = 85° 51. 26% para Chiquita, 25% para Dole, 14% para Del Monte, 35% para otras b) 5xƒ - 2 6 x … 46 ecuación. 56. 76

c) (2, 4]

b) 54, 66

54. a) –2

4

55. Una gráfica es una ilustración del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una

Conjunto de ejercicios 4.5 1 tente. 5. a - 2, - b 2

53. a) 51, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 106

3. Si D  0 y Dx, Dy o Dz  0, el sistema es inconsis-

1. Las respuestas variarán

7. 7 9. - 8 11. - 12 13. 44 15. 1 - 5, 22 17. 13, 22 19. 1 - 7, - 22 21. 1 - 3, 22 23. Un número infinito

1 1 1 1 33. a , - , 2 b 35. a , - , 2 b 37. 1 - 1, 0, 22 2 2 2 8 39. Un número infinito de soluciones 41. (1, 1, 2) 43. No hay solución 45. (3, 4, 1) 47. (1, 5, 2) 49. Tendrán signos opuestos. Esto puede verse al comparar a1b2  a2b1 con a2b1  a1b2 51. 0 53. 0 55. Sí, tendrán signos opuestos. c1 b2 - c2 b1 a1 c2 - a2 c1 14 57. 5 59. 6 61. a) x = b) y = 62. a - q , b a1 b2 - a2 b1 a1 b2 - a2 b1 11

de soluciones

63.

25. (2, 3)

27. No hay solución

29. 12, 52

64.

y

31. 11, - 1, 22

65.

y

y

3x+4y=8

(–4, 5)

4 3x+4y=8 2 (0, 2) –4 –2 –2

4

6

(0, 2)

x

2 (4, –1)

–4 –2 –2

–4

3x+4y=8

2

4 2 ¢2 , 0 ≤ 3

2

6x

–4 –2

x

–4

Conjunto de ejercicios 4.6

1. Las respuestas variarán 3. Sí; como el punto de intersección satisface ambas desigualdades, también satisface el sistema de desigualdades 5. 7. 9. 11. y y y y 4

4

4

6

2

2

2

4

–4 –2 –2

2

4

x

–4 –2 –2

4

x

–6 –4 –2

–4

13.

2

x

2

–4 –2 –2

–4

15.

y

17.

y

6

4

4

4

2

2

2 –4 –2 –2

–4 –2 2

x –4

2

x

19.

y

–4 –2 –2 –4

x

4

y

2 2

4

x

–4 –2 –4

2

4

x

R16 • Respuestas 21.

23.

y

27.

y

y

4

6

6

8

2

4

4

6

2

2

4

–4 –2 –2

2

x

4

–2 –2

–4

29.

25.

y

31.

y

2

4

x

6

33.

y

8

–2 –2

2

4

6

2

x

2

4

35.

y

8

10 x

2

4

x

4

6

y

4

40

6

6

4

2 20

–4 –2

2

4

x

–4 –2

10

2 6

2

37.

8

x

10

39.

y

–4

x

40

41.

y

43.

y

y 2

4

–2

2

x

4

2

2

2 –4 –2 –2

2

x

4

–4 –2 –2

x 2

4

x –4

–4

–6

45. Sí; si las rectas frontera son paralelas, podría no haber solución. Un ejemplo es y  3x  1; y  3x  2 47. No hay solución. Los lados opuestos de la misma recta están sombreados, pero no la recta en sí. 49. Hay un número infinito de soluciones. Ambas desigualdades incluyen a la recta 5x  2y  3 51. Hay un número infinito de soluciones. Las rectas son paralelas, pero el mismo lado de cada recta está sombreado 53. 55. y y f3 d3 - f1 d1 57. f2 = 8 d2 58. Dominio: {1, 0, 4, 5}; 2 6 rango: {5, 2, 2, 3} x 59. Dominio: ; rango:  –4 –2 2 4 –2 2 60. Dominio:  ; rango: 5y ƒy Ú - 16 –4 –2

2

Ejercicios de repaso del capítulo 3. Consistente; una solución 5.

7.

y (–2, 3)

y=x+3

4

2

4

x

2

–4

4

y

4 (0, 4) 2x+2y=8 2x-y=–4

y=3

2

(–2, 1)

–4

y

8.

y=2x+5

–2 –2

1. Inconsistente; no hay solución 2. Consistente; una solución

4. Consistente; una solución 6.

y

–4

x

4

x

2

–4

–2

–2

x=–2 –4

–4

4

4

2y=2x-6

2

x

–4 –2 –2 3 1 1 –x-–y= – 2 2 2 Dependiente

9. (2, 6) 10. (1, 1) 11. (2, 5)

12. (5, 2) 13. (3, 1)

14. (8, 11) 15. (1, 3)

16. (3, 2)

17. a

32 8 , b 13 13

4

x

Respuestas • R17 18. a -1,

13 b 3

19. 11, 22

solución 25. 11, 2, - 42

7 13 20. a , b 5 5

21. 16, -22

27. 1 -5, 1, 22

78 48 ,- b 7 7

23. Un número infinito de soluciones

24. No hay

8 2 29. a , , 3 b 30. 10, 2, - 32 31. No hay solución 3 3 32. Un número infinito de soluciones 33. Jorge: 38; Jennifer: 28 34. Aeroplano; 520 mph, viento: 40 mph 35. Jaime debe combinar 2 litros de la solución de ácido con concentración de 20% con 4 litros de la solución de ácido con concentración de 50%. 36. Se vendieron 410 boletos para adulto y 240 boletos para niño 37. Sus edades son 41 y 77 años 38. $20,000 invertidos a 7%, $15,000 invertidos a 5% y $5000 invertidos a 3% 39. (11, 2) 40. (3, 1) 41. Un número infinito de soluciones 42. (2, 1, 2) 43. No hay solución 44. (1, 1, 3) 45. (2, 3) 46. (3, 2) 47. (1, 2) 48. (2, 3, 4) 49. (1, 1, 2) 50. No hay solución 51.

26. 1 - 1, 3, - 22

22. a -

52.

y

28. 13, - 2, - 22

53.

y

54. No hay solución

y

y 4

6 2

–6 –4 –2 –2

x

2

–4 –2 –2

4

4 2

4

2

x –4

–4

2

–4

x

4

2

4

x

–2

–2

–4

55.

56.

y 8

6

6

4

4

2

2 2

4

6

x

8

57.

y

–2 –2

58.

y

y

4

4 2

–4 –2 2

2

x

4

x –2

x

4

–4

–4

Examen de práctica del capítulo

1. Las respuestas variarán. 2. Consistente; una solución 3. Dependiente, un número infinito de soluciones 4. Inconsistente; no hay solución 5. y y=3x-2 6. y y=2x+3 6 6

–4

2

y=–x+6

2

(2, 4)

4

(1, 5)

4

–4 –2 –2

x

4

y=–2x+8 2

4

x

–2

7. 11, 12

8. 1 - 3, 22

-2 13. C 3 1

3 -2 -6

1 9. a - , 4b 2

7 5 1 3 -2 S 5 - 13

6 14. C 0 2

10. Un número infinito de soluciones -2 5 -1

4 4 - 3 3 12 S 4 -3

11. a

44 48 , b 19 19

12. 11, - 1, 22

15. 14, - 12 16. 13, - 1, 22 17. - 2 18. 165 19. 1 - 3, 22

2 1 2 1 20. 13, 1, -12 21. 6 libras de almendras; 13 cacahuates 22. 6 litros de solución con concentración de 6%; 3 litros de 3 3 3 3 solución con concentración de 15% 23. 4, 9, y 12 24. 25. y y 4

4 2

–4 –2 –2 –4

2

4

x

–4 –2 –2 –4

2

4

x

R18 • Respuestas

CAPÍTULO 5 Cómo utilizar su calculadora graficadora, 5.1

1.

2.

–50, 50, 5, –100, 1000, 100

–20, 20, 2, –200, 100, 20

Conjunto de ejercicios 5.1

1. Los términos son las partes que se suman 3. Un polinomio es una suma finita de términos en la que todas las variables tienen exponentes que son números enteros no negativos y ninguna variable aparece en el denominador 5. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal 7. a) Es el mismo que el término de mayor grado. b) 7 9. a) Un polinomio es lineal si su grado es 0 o 1. b) Las respuestas variarán. Un ejemplo es x  4 11. a) Un polinomio es cúbico si tiene grado 3 y tiene una variable. b) Las respuestas variarán. Un ejemplo es x3  x  4 13. Las respuestas variarán. Un ejemplo es x5  x  1 15. Monomio 17. Monomio 19. No es un polinomio; hay un exponente 3 1 21. No es un polinomio; hay un exponente 23. x2  4x  5, 2 25. 10x2  3xy  9y2, 2 27. En orden descendente, 4 29. a) 6 2 1 b) 3 31. a) 6 b) 9 33. a) 17 b) 35. 7 37. 7 39. 2.0312 41. x2 + 9x - 12 43. x2 - 13x - 7 45. 2y2 + 9y - 11 3 2 29 4 1 a + 7 49. - 3.5x2 - 2.1x - 19.6 51. - x3 - x2 y + 9xy2 53. 5a - 10b + 13c 55. 8a2 b - 10ab + 11b2 47. - a2 3 36 3 4 57. 7r2 - 4rt - 3t2 59. 10x2 - 5x - 9 61. - 3w2 + 6w 63. 3x + 14 65. - 3x2 + 2x - 12 67. - 4.4a2 - 5.7a - 26.4 11 2 2 x y + xy2 + 69. 71. 5x2r - 10xr + 3 73. - x2s - 4xs + 15 75. 7b4n - 3b3n - 4b2n + 1 77. 4x2 + 8x + 20 2 45 79. 3x2 + 4x + 19 81. 2x2 + 12x + 9 83. No; por ejemplo (x2  x  1)  (x3  2x2  x)  x3  x2  2x  1 85. No; por ejemplo (x2  3x  5)  (x2  4x  2)  x  3 87. A L 113.10 pulgadas cuadradas 89. 674 pies 91. a) P(x)  2x2  360x  8050 b) $47,950 93. c) La intersección del eje y es (0, 4) y el coeficiente principal es positivo 95. c) La intersección del eje y es (0, 6) y el coeficiente principal es negativo 97. a) 36,610 b) Sí 99. $88,210 101. a) b) Creciente c) Las respuestas variarán d) Decreciente e) Las respuestas variarán 103. b) La intersección del eje y es (0, 5) y el coeficiente principal es negativo 15 105. c) Ecuación cúbica, y el coeficiente principal es positivo 107. 3 108. 16 2 109. 6 horas 110. 111. (4, 0, 1) 9 –10, 10, 1, –10, 10, 1

1. a)-d) Las respuestas variarán 3. a) Las respuestas variarán b) x3  2x2  21x  12 5. a) Las respuestas variarán b) Las respuestas variarán Una posible respuesta es (x  4)(x  4). c) Las respuestas variarán d) Las respuestas variarán. Una posible respuesta es x2  16 7. Sí; por ejemplo 1x + 221x - 12 = x2 + x - 2 9. 24x2 y5

Conjunto de ejercicios 5.2

1 8 11. x7 y8 z2 13. 6x6 y3 - 9x3 y4 - 12x2 y 15. 2xyz + y2 z - 6y3 z 17. 0.6x2 - 1.5x + 2.1y 19. 2.85a11 b5 - 1.38a9 b7 + 0.36a6 b9 9 3 23 2 2 3 2 xy - y2 27. 0.6a2 + 9.79ab - 3.5b2 29. x3 + x2 - 5x - 2 21. 12x - 38x + 30 23. - 2x + 8x - 3x + 12 25. x2 + 6 3 31. 2a3 - 7a2 b + 5ab2 - 6b3 39. 8x3 - 12x2 + 6x - 1 49. 25m4 - 4n2

33. x4 + 2x2 + 10x + 7

35. 5x4 + 29x3 + 14x2 - 28x + 10

41. 10r4 - 2r3 s - r2 s2 + rs3 - 2s4

51. y2 + 8y - 4xy + 16 - 16x + 4x2

57. 2x3 y + 2x2 y2 + 6xy3 67. 4x2 - 36xy + 81y2 75. a4 - 2a2 b2 + b4

59. 2x3 y2 +

3 2 3 7 4 x y - xy 2 2

69. 2x3 + 10x2 + 9x - 9

77. 2x3 - 4x2 - 64x + 192

83. a) - x4 + 3x3 - 2x2 + 6x

b) - 72

43. x2 + 4x + 4

45. 4x2 - 12x + 9

53. 25x2 + 20xy + 30x + 4y2 + 12y + 9 61.

3 2 5 7 1 2 3 9 x y z + 3x2 y4 z2 xyz 5 10

71. 6p3 - p2 q - 16pq2 + 6q3 79. a) x2 - x - 20

85. x2 + 5x

37. 3m4 - 11m3 - 5m2 - 2m - 20

87. x2 + y2

b) - 8

47. 16x2 - 24xy + 9y2 55. a2 - b2 - 4b - 4

63. 21a2 + 10a - 24

65. 64x2 -

73. 9x2 + 12x + 4 - y2 81. a) 10x3 + 36x2 - 2x - 12

89. a) y b) x2 + 8x + 15

91. 36 - x2

b) 1196

1 16

Respuestas • R19 93. a) 11x  12 b) 117 pulgadas cuadradas, 50 pulgadas cuadradas 95. (x  5)(x  5), producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos 97. (x  6)(x  6), fórmula del cuadrado de un binomio 99. a(x  n)(x  n)(x  n) 101. a) Las respuestas variarán b) a2  2ab  b2 c) a2  2ab  b2 d) Iguales 103. a) A = P11 + r2t b) $1123.60 2 2 105. a2 + 2ab + b2 - 3a - 3b + 5 107. 15x3t - 1 + 18x4t 109. 12x3m - 18xm - 10x2m + 15 111. ya - b 4 3 2 2 3 4 2 113. x - 12x y + 54x y - 108xy + 81y 115. a) Las respuestas variarán b) Es correcta 117. y  2y  2xy  2x  x2  1 119.

43 60

120. 8r6 s15

7 1 121. a - , d 3 3

122.

7 4

Conjunto de ejercicios 5.3 3. Sí; las respuestas variarán

1. a) Las respuestas variarán

5. Colóquelas en orden descendente de la variable

4 7 5 3 x - 2x2 - x - 4 + 3 3 3x 7. a) Las respuestas variarán

b)

36 5 3 9. No, ya que el residuo es diferente de 0 11. 2x + 9 13. 2x + 1 15. y2 + 2y - 3 17. x3 - x2 + 3x - 2 x - 5 3 2 7y 2 5 9x z 3 - 6x2 + 19. 4x2 - 5xy 21. 23. + z2 - x2 y4 z7 25. x + 2 27. 2x + 3 29. 3x + 2 31. x + 5 + 2y 2y 2x 2 2 x + 1 1 2 1 2 33. 2b + 5 + 35. 4x + 9 + 37. 2x + 5 39. x2 + 2x + 3 + 41. 3b2 - 3b + 1 + b - 2 2x - 3 x + 1 3b + 2 156 43. 2x2 - 8x + 38 45. 3x3 + 6x + 4 47. x + 4 49. 2c2 - 6c + 3 51. x + 6 53. x + 3 55. x - 7 x + 4 12 10 3 12 57. x + 8 + 59. 3x + 5 + 61. 4x2 + x + 3 + 63. 3c2 - 2c + 2 + 65. y3 + y2 + y + 1 x - 3 x-4 x - 1 c + 3 272 10 9 67. x3 - 4x2 + 16x - 64 + 69. x4 71. b4 + 3b3 - 3b2 + 3b - 3 73. 3x2 + 3x - 3 x + 4 x + 1 b + 1 19 o - 4.75 o 4.75 83. 3x  2 85. 3 veces mayor; determine las áreas 75. 2x3 + 2x - 2 77. 10 79. 0; es factor 81. 4 multiplicando los polinomio, luego compare 87. No, el dividendo es un binomio 89. Si el residuo es 0, x  a es un factor 5 11 + 91. x2 - 2x - 8 93. x2 + 9x + 24 95. 2x2 + 3xy - y2 97. x + 99. w = r + 1 2 212x - 32 1 3 105. No es un factor; 101. x3 - 6x2 + 13x - 10, multiplique (x  3)(x2  3x  4) y luego sume 2 103. 2x + 1 2x 2x2 calcule P(1). P(1)  101, que no es 0, por lo que x  1 no es un factor 107. Factor; calcule P(1). Como P(1)  0, 13 entonces x  1 es un factor 109. a) 3x2 - 2x + 5 b) Ya que estamos expresando el residuo en términos de 3x  5 3x + 5 11 f 113. - 864 114. 3r + 3s - 6t 110. 2.0 * 1010 111. 30°, 60°, 90° 112. e - 1, 5 b) x + 8 +

Conjunto de ejercicios 5.4

1. Determinar si todos los términos contienen un máximo factor común y, si es así, factorizarlo 3. a) Las respuestas variarán b) 2x2y c) 2x2y(3y4  x  6x7y2) 5. a) Las respuestas variarán b) (3x2  y2)(2x  y2) 7. xy4; la mayor potencia de x que es común a todos los términos es x, y la mayor potencia de y que es común a todos los términos es y4 9. 71n + 12 11. 21x2 - 2x + 42 13. 413y2 - 4y + 62 15. x219x2 - 3x + 112 17. - 3a218a5 - 3a4 + 12 19. 3xy1x + 2xy + 12 21. 8a2 c110a3 b4 - 2a2 b2 c + 12 23. 3pq2 r13p3 q3 - pr + 2q3 r22 25. - 2126p2 q2 + 8pq3 - 13r2 27. - 412x - 12 29. - 1x2 - 4x + 122 31. - 31r2 + 2r - 32 33. - 2rs313r3 - 2rs - s22 35. - a2 b1a2 bc - 5ac2 - 12 37. 1a + 321x + 12 39. 1x - 4213c + 22 41. - 1x - 2212x - 92 43. - 21a + 221a + 22 o - 21a + 222 45. 1x + 321x - 52 47. 212y - 1212y - 52 49. 1x + y21a + b2 51. 1x - 321x2 + 42 53. 15m - 6n212m - 5n2 55. 51a + 321a2 - 22 57. c21c - 121c2 + 12 59. 12x + 1216x - 52 61. 1x + 4213x - 22 63. 13x + 2219x - 52 65. a) 240 pies b) h(t)  16t(t  8) c) 240 pies 67. a) L2856.64 pies cuadrados b) A  r(pr 2l) c) L2856.64 pies cuadrados 69. a) (1  0.06)(x  0.06x)  0.94(1.06x) b) 0.9964x; un poco menor que el precio del modelo 2002 (99.64% del costo original) 71. a) (x  0.15x)  0.20(x  0.15x)  0.80(x  0.15x) b) 0.80(1.15x)  0.92x; 92% del precio normal 73. 13x - 224115ax - 10a + 42 75. 21x - 3212x4 - 12x3 + 15x2 + 9x + 22 77. 1x2 + 2x - 321a + b2 79. x4m1x2m - 22 81. x2m13x2m - 2xm + 12 83. 1ar + cr21br - dr2 85. a) Sí b) 0; restando la misma cantidad de él mismo

R20 • Respuestas c) Las respuestas variarán

87. a) Deben tener la misma gráfica; representan la misma función

87. b)

c) Las respuestas variarán 91.

d) La factorización es incorrecta 89. -

15 5 = 90. 2 72 24

92. 0.4 horas 93. 14a3  22a2  19a  3

y 8 6

–10, 10, 1, –20, 10, 4

4

y=x2-1

2 –4 –2

2

x

4

Cómo utilizar su calculadora graficadora, 5.5

1. Sí

2. No

Conjunto de ejercicios 5.5

1. Factorizar el máximo factor común, si lo hay 3. a) Las respuestas variarán b) (2x  3)(3x  4) 5. No; 2(x  3)(x  1); (2x  2) tienen como máximo factor común a 2 7. No; 3x(x  4)(x  2); (3x  6) tienen a 3 como máximo factor común 9. Ambos son  11. Uno es ; el otro es  13. 1x + 321x + 42 15. 1b - 121b - 92 17. 1c - 622 19. 1y - 922 21. 1x - 3221x - 22 23. 1x + 221x - 152 25. - 1a - 1521a - 32 27. Primo 29. 1m - 2n21m - 5n2 31. 41r + 421r - 12 33. x1x - 621x + 32 35. 1a - 1215a - 32 37. 31x - 221x + 12 39. 13c + 7212c - 92 41. 12b + 1214b - 32 43. 13c - 2212c + 52 45. 412p - 3q212p + q2 47. Primo 49. 213a + 4b213a - b2 51. 19y + 421y - 122 53. 1015b - 2212b - 12 55. ab51a - 421a + 32 57. 3b2 c1b - 3c22 59. 4m6 n31m + 2n212m - 3n2 61. 16x - 5215x + 42 63. 8x2 y41x + 421x - 12 65. 1x2 + 321x2 - 22 67. 1b2 + 521b2 + 42 69. 12a2 + 5213a2 - 52 71. 12x + 5212x + 32 73. 13a + 1212a + 52 75. 1xy + 721xy + 22 77. 12xy - 1121xy + 12 79. 15 - y21y - 1212y - 52 81. 1p - 3212p + 321p + 22 83. 1a3 - 1021a3 + 32 85. 1x + 321x + 221x + 12 87. a3 b215a - 3b21a - b2 89. 1x + 621x + 12 91. 1x + 621x + 32 93. 2x2 - 5xy - 12y2; multiplique (2x  3y)(x  4y) 95. Divida; x  6 97. a) Las respuestas variarán b) (6x  5)(5x  8); (7x  1)(7x  13) 99. ;3; ;9 101. 6 o 6; b es la suma de los factores de 5 103. a) 4 b) (x  3)(x  5) 105. a) 8 b) No es factorizable 107. Las respuestas variarán. Un ejemplo es x2  2x  1 109. 12an + 3212an - 52 111. 1x + y221x - 4y21x - 3y2 113. 1xn - 221xn + 52 115. a) Las respuestas variarán 5 b) Correcto 117. C = 1F - 322 118. 119. 4 120. x2 + 2xy + y2 + 10x + 10y + 25 y 9 121. 12x2 - 521x + 22 4

y=–3x+4

2 –4 –2 –2

2

4

x

–4

1. a) Las respuestas variarán b) (x  4)(x  4) 3. Las respuestas variarán 7. No, 1x + 721x - 72 = x2 - 49 9. No, 1x - 922 = x2 - 18x + 81 11. 1x + 921x - 92

Conjunto de ejercicios 5.6 5. a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22

1 1 + y b a - y b 21. 1xy + 11c21xy - 11c2 5 5 23. 10.2x + 0.3210.2x - 0.32 25. x112 - x2 27. 1a + 3b + 221a - 3b - 22 29. 1x + 522 31. 12 + a22 33. 12x - 5y22 35. 10.9x - 0.222 37. 1y2 + 222 39. 1x + y + 122 41. 1y + 122 43. 1x + 3 + y21x + 3 - y2 45. 1x + 7213 - x2 47. 1c - 1217 - c2 49. 1y2 - 322 51. 1x - 321x2 + 3x + 92 53. 14 - a2116 + 4a + a22 55. 1p - 3a21p2 + 3ap + 9a22 57. 13y - 2x219y2 + 6xy + 4x22 59. 412a - 3b214a2 + 6ab + 9b22 61. 21b - 5c21b2 + 5bc + 25c22 63. 1x + 221x2 + x + 12 65. 1a - b - 321a2 - 2ab + b2 + 3a - 3b + 92 67. - 91b2 + 3b + 32 69. 111y2 + 7x2111y2 - 7x2 71. 14y + 9x214y - 9x2 73. 15x2 + 9y3215x2 - 9y32 75. 1x - 421x2 + 4x + 162 77. 13xy + 422 79. 1a2 + b222 81. 1x - 1 + y21x - 1 - y2 83. 1x + y + 121x2 + 2xy + y2 - x - y + 12 85. 3m1- m + 2n2 87. 13x - 2219x2 + 6x + 42 89. 16a - b2136a2 + 6ab + b22 91. 14x + 3a2116x2 - 12ax + 9a22 93. a) a2 - b2 b) 1a + b21a - b2 95. a) 6a3 - 6ab2 b) 6a1a + b21a - b2 13. 1a + 1021a - 102

15. 11 + 6b211 - 6b2

17. 15 + 4y2215 - 4y22

19. a

Respuestas • R21 4 4 4 pR3 - pr3 b) p1R - r21R2 + Rr + r22 3 3 3 99. 12; 12 escriba 4x2  bx  9 como (2x)2  bx  (3)2; bx  2(2x)(3) o bx  2(2x)(3) 101. c  4; escriba 25x2  20x  c como (5x)2  20x  (a)2 entonces 20x  2(5x)(a), por lo que a  2, c  4 103. a) Determine una expresión cuyo cuadrado sea 25x2  30x  9 b) s1x2 = 5x - 3 c) 7 105. 1x2 + 4x + 821x2 - 4x + 82 107. h12a + h2 109. a) 16 b) x2 + 8x + 16 c) 1x + 422 111. 18x2a + 3y3a218x2a - 3y3a2 113. 1an - 822 115. 1xn - 221x2n + 2xn + 42 117. Correcto 119. a) 1x3 + 121x3 - 12 b) 1x2 - 121x4 + x2 + 12 121. 4x + 5y - 2 122. - 15 123. 20°, 30°, 40° 124. 15y1013y2 + 22 125. 14x - 3y213x + y2 97. a)

1. Las respuestas variarán 3. 31x + 521x - 52 5. 15s - 3212s + 52 7. - 14r - 3212r - 52 9. 0.41x + 0.321x - 0.32 11. 6x1x2 + 321x2 - 32 13. 3x41x - 121x + 42 15. 5x2 y21x + 421x + 32 17. x21x + y21x - y2 19. x4 y21x - 121x2 + x + 12 21. x1x2 + 421x + 221x - 22 23. 21x2 + 2y21x4 - 2x2 y + 4y22 25. 21a + b + 521a + b - 52 27. 61x + 3y22 29. x1x + 42 31. 12a + b21a - 2b2 33. 1y + 722 35. 5a213a - 122

Conjunto de ejercicios 5.7

1 1 1 b a x2 - x + b 39. 13x + 221x + 321x - 32 41. ab1a + 8b21a - 8b2 43. 19 + x + y219 - x - y2 4 4 16 45. 213x - 2214x - 32 47. 18x - 3212x + 52 49. 1x2 + 421x + 221x - 22 51. 1b - 2x215c - 7y2 53. 13x2 - 421x2 + 12 55. 1y + x - 621y - x + 62 57. 12y + 521y + 82 59. 1a + 6b + 4c21a + 6b - 4c2 61. 3x2 y1x + 3212x - 12 63. 1x + y221x - y22 65. e) 67. a) 69. f) 71. c) 73. 21x + 321x + 22 75. 1x + 621x + 22 77. 1x + 821x + 12 79. 15x - 32125x2 + 15x + 92 81. a) a1a + b2 - b1a + b2 = a2 - b2 b) 1a + b21a - b2 83. a) a2 + 2ab + b2 b) 1a + b22 85. a) a1a - b2 + a1a - b2 + b1a - b2 + b1a - b2 o 2a1a - b2 + 2b1a - b2 b) 21a + b21a - b2 87. a) Las respuestas variarán b) Las respuestas variarán 89. a) x-51x2 - 2x - 32 b) x-51x - 321x + 12 91. a) x-3>215x2 + 2x - 32 b) x-3>215x - 321x + 12 92. 1 93. {z|z  6 o z  0} 94. L17.3 libras del de $5.20; L12.7 libras del de $6.30 95. 5x3  x2  16x  16 96. (x  2)(2x2  5) 37. ax +

Cómo utilizar su calculadora graficadora, 5.8

1. y = x2 - 6x + 5

2. y = x2 - x - 6

3. y = x2 + 4x

Conjunto de ejercicios 5.8

1. El grado de una función polinomial es el mismo que el grado del término principal 3. ax2  bx  c  0 5. a) La propiedad del factor cero sólo se cumple cuando un lado de la ecuación es 0 b) 2 y 5 4 5 7. a) Las respuestas variarán. b) , 9. a) Catetos b) Hipotenusa 11. 8 y 2; en las intersecciones con el eje x se 3 4 tiene que y  0 13. Sí, si la gráfica no cruza al eje x 15. Sí, si la gráfica cruza al eje x dos veces 17. 0, 4 19. 0, 1 21. - 1, 7 3 5 23. 0, - 4, 9 25. - , 27. 0, 3 29. 0, - 5 31. 0, 6 33. 0, 5 35. 1, 5 37. - 4, 3 39. - 4 41. 2, 10 43. -6, - 1 45. -4, 6 2 4 5 4 1 3 3 3 4 4 47. 0, 6, - 3 49. - , 51. 0, - 4, 3 53. 6, -6 55. - , 57. 0, - , 59. - 11, 9 61. 0, - 8 63. - 1, - 4 65. , 6 2 2 2 5 5 2 3 1 3 5 5 4 67. 0, - 3, - 5 69. - 2, 71. , 73. 6, - 5 75. 14, 02, 1- 6, 02 77. 1- 8, 02 79. 10, 02, a , 0 b , a , 0 b 81. x = 1 3 5 2 3 2 83. x = 2

85. x = 8 87. d) 89. b) 91. y = x2 - 7x + 10 93. y = x2 - 3x - 4 95. y = 6x2 - 7x - 10

97. Ancho  2 pies, largo  5 pies 99. Base  10 pies, altura  16 pies 101. 2.5 centímetros 103. 3 pies 105. 2 segundos 107. Andrés: 5 millas; Antonio: 12 millas 109. 13 pies 111. 50 bicicletas 113. 13 pulgadas por 13 pulgadas 115. a) V  a3  ab2 b) V  a(a  b)(a  b) c) 3 pulgadas 117. a) f(x)  x2  7x  10 b) x2  7x  10  0 c) Un número infinito; cualquier función de la forma f(x)  a(x2  7x  10), a  0 d) Un número infinito; cualquier ecuación de la forma a(x2  7x  10)  0, a  0 119. a) Las respuestas variarán. Ejemplos son: y y y

Ninguno

4

4

2

2

–4 –2 –2 –4

2

4

x

–4 –2 –2 –4

4 Uno

2

4

x

Dos

2 –4 –2 –2

2

4

x

–4

b) Ninguna (sin intersecciones con el eje x); una (una intersección con el eje x), o dos (dos intersecciones con el eje x) 121. 73.721949 mph x + xy 1 x4 123. ;2, ; 3 125. y¿ = 127. y¿ = 128. 129. 130. 12, - 12 131. - 72 x + y 2xy + 3 16y6 5 23 12 12 132. 1x + 321x - 22

R22 • Respuestas 1. a) Binomio, b) 3x2  2, c) 2, 2.a) Trinomio, b) 4x3  5x  9, c) 3, 3. No es un polinomio 4.a) Polinomio b) 2x - 10x y + 6xy3 - 3, c) 4 5. x2 - 3x + 9 6. 5x2 + 11x - 4 7. 3a - 8b + 6 8. 6x3 - 9x + 10 9. 3x2 y + 3xy - 9y2 10. -3ab + b2 - 2a 11. 5x2 + 7x - 4 12. -10a2 b + 4ab 13. 15 14. - 75 15. 3x2 + 27 16. 2x2 + 24x + 23 17. a) $789.46 mil millones b) Sí 18. a) $773.13 mil millones b) Sí 19. 6x3 - 14x2 + 10x 20. -3x4 y2 - 3x2 y6 + 18xy7 21. 6x2 - 7x - 5 22. 50a2 + 75a - 27 23. x2 + 16xy + 64y2 24. a2 - 22ab + 121b2 25. 10x2 y + 8xy2 - 5x - 4y 26. 6p2 q2 + 11pqr - 7r2 27. 4a2 + 36ab + 81b2 28. 9x2 - 12xy + 4y2 29. 49x2 - 25y2 30. 4a2 - 25b4 31. 25x2 y2 - 36 32. 81a4 - 4b4 33. x2 + 6xy + 9y2 + 4x + 12y + 4 34. 4p2 - 4pq + q2 - 20p + 10q + 25 35. 6x3 - x2 - 24x + 18 36. 4x4 + 12x3 + 6x2 + 13x - 15 37. x2 + 8x + 10 38. x2 + xy + 4y + xz 39. a) x2 - x - 6 b) 0 40. a) 2x3 - 4x2 - 6x + 12 b) 12 41. a) x3 - x2 - 5x + 6 b) 9 42. a) x4 - 4 b) 77 43. 2x2 + 3x + 4 2 7 44. a2 - 4a + 5 45. 7y2 + 2 + 46. 9p - 5q - 2 3y x2 3 2 4 3y 47. 48. 4x - 3 49. x - 2x + 3x + 7 + x + 2y 2 2 73 6 50. 2a3 + a2 - 3a - 4 51. x + 4 52. 2x2 + 3x - 4 + 53. 3x2 + 7x + 21 + x - 3 2x + 3 x - 3 6 12 54. 2y4 - 2y3 - 8y2 + 8y - 7 + 55. x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 + 56. 2x2 + 2x + 6 57. 8 58. -236 y + 1 x - 2 53 59. o -5.8 60. 0; es un factor 61. 41x2 + 2x + 62 62. 3x315x + 2 - 4xy32 63. 2a2 b315a - 6b32 9 64. 3xy2 z214y2 z + 2xy - 5x2 z2 65. 15x - y21x + 4y2 66. 13a - 2b214a + 5b2 67. 12x - 321x + 92 68. 13x - 52116x - 152 69. 15x + 22113x - 72 70. 17x + 9212x - 12 71. 117x + 3219x - 72 72. 14x + 5215x - 22 73. 1x + 621x + 22 74. 1x - 321x + 52 75. 1x - 721x + 32 76. 1x - 821x - 22 77. - 1x - 1521x + 32 78. - 1x - 1221x - 12 79. x12x + 121x + 62 80. x14x - 5212x + 52 81. a14a - 521a - 12 82. y2112y + 121y + 52 83. 1x - 18y21x + 3y2 84. 12p - 5q213p - 2q2 85. 1x2 + 321x2 + 52 86. 1x2 - 721x2 + 92 87. 1x + 921x + 112 88. 1x - 721x + 22 89. 1x + 1021x + 12 90. 1x + 1021x + 22 91. 1x + 721x - 72 92. 1x + 1021x - 102 93. 1x2 + 421x + 221x - 22 94. 1x2 + 921x + 321x - 32 95. 12a + 122 96. 12y - 322 97. 1x - 121x + 52

Ejercicios de repaso del capítulo 4

2

98. 31y - 2213y + 42 99. 1p2 + 82 100. 1b2 - 72 101. 1x + 4 + y21x + 4 - y2 102. 1a + 3b + 2c21a + 3b - 2c2 103. 13x + y22 104. 16b - 5c22 105. 1x - 321x2 + 3x + 92 106. 1y + 421y2 - 4y + 162 107. 15x - 12125x2 + 5x + 12 108. 12a - 3b214a2 + 6ab + 9b22 109. 1x - 121x2 + 4x + 72 110. 1x - 521x2 - x + 72 111. 1y - 4z21y2 + 4yz + 16z22 112. 1a + 421a2 + 5a + 72 113. 1x + 321x - 32 114. 1a + 2b21a - 2b2 115. 12x - y214x2 + 2xy + y22 116. 4a1a + c21a - c2 117. y21x + 321x - 52 118. 3x1x - 421x - 22 119. 3xy41x - 221x + 62 120. 3y1y2 + 321y2 - 32 121. 2y1x + 221x2 - 2x + 42 122. 5x2 y1x + 222 123. 3x12x + 121x - 42 124. 1x + 5 + y21x + 5 - y2 125. 31x + 2y21x2 - 2xy + 4y22 126. 1x + 4221x - 12 127. 14x + 1214x + 52 128. 12x2 - 1212x2 + 32 2 129. 1x - 121x - 221x + 12 130. 13a - b213x + 4y2 131. 12pq - 3213pq + 22 132. 13x2 - 22 2

133. 12y + x + 2212y - x - 22 137. 1x + 921x + 22 143. 3, -

1 4

153. 2, - 2

134. 213a + 5214a + 32

138. 1y + 1021y + 52

5 7 144. - , 2 3

154. 2, - 3

2

139. 1a + 2b21a - 2b2

145. 0, 2 146. 0, -

155. 1-5, 02, 16, 02

135. 3x2 y41x + 3212x - 32

4 3

147. -4, - 3

140. 2b1a + b2

148. 5, - 6

6 5 156. a , 0 b, a , 0 b 5 4

149. 7, 1

136. ax -

2 4 2 2 y b ax2 + xy2 + y4 b 3 3 9

141. 12a + b21a + 3b2

4 1 150. 0, 2, 4 151. , 3 4

157. y = x2 - 3x - 18

142. 1a + b22 3 2 152. , 4 5

158. y = 12x2 + 28x + 15

159. Ancho  9 pies, longitud  11 pies 160. Altura  4 pies, base  11 pies 161. 3 pulgadas, 7 pulgadas 162. 9 segundos 163. 9

Examen de práctica del capítulo 2

2

2. 4x y - 14y + 2x + 6y

8 3

6 4

1. a) Trinomio

4 2

2

3. - 8x y + 20x y - 12x y

b) - 6x4 - 4x2 + 2x 2

4. 10a - 13ab - 3b

3

2

c) 4

d) -6

2

5. 4x + 8x y - 9xy - 6y3

7 25 79 7. x - 5 + 8. 3x3 + 3x2 + 15x + 15 + 9. - 89 10. 2xy16x2 + 5xy3 - 4y22 2x + 3 x - 5 x2 11. x1x - 321x + 12 12. 1a + 2b212a + 3b2 13. 12b2 + 921b2 - 22 14. 41x - 321x + 22 15. 1x + 821x + 42 6. 4x4 - 5y +

16. q613p - 2219p2 + 6p + 42 21. 0, -4, 1

17. a) 3x2 - 19x + 20

1 3 22. a , 0 b , a - , 0 b 4 2

b) - 6

23. y = x2 - 8x + 12

18. 41x + y21x - y2 19. 1x + 1121x + 42

3 20. , - 4 7

24. Altura  4 metros, base  14 metros 25. 7 segundos

Respuestas • R23

CAPÍTULO 6 Conjunto de ejercicios 6.1

1. a) Una expresión racional es una expresión de la forma

p q

, p y q polinomios y q  0

p

, p y q polinomios, q  0 q b) Las respuestas variarán 5. a) El dominio de una función racional es el conjunto de valores que pueden reemplazar a la variable b) {x|x  4 y x  4} 7. a) Factorice 1 del numerador o del denominador y reduzca b) 1 9. a) Invierta la segunda fracción, factorice todas las expresiones, simplifique y luego multiplique los numeradores y multiplique los denominadores 1 1 5 b) 11. 4 13. 5, 15. Ninguno 17. 6, 6 19. {p|p  2} 21. {x|x  3 y x  2} 23. e a ` a Z y a Z - 2 f r + 6 2 2 x - 2y a - 5 25. {x|x es un número real} 27. 5a ƒ a Z - 7 y a Z 76 29. 1 - y 31. 33. x 35. - 1 37. - 1p + 42 39. 3 a + 3 2 2 2 xy 2x 5 a + 3 a 1 + ab + b 1 41. 4x 2 + 10xy + 25y 2 43. 45. 47. 49. 51. 12x 3 y 2 53. 1 55. 1 57. 59. 2 a + 5 a + b 9 r - 8 x - 4 1x + 221x - 22 1a + 122 1a - b21a + b2 p - q x3 x - 4 61. 63. 65. 2 67. x 4 69. 71. 2 73. 1 75. 2 2 4x + 1 x + 2 p + q 91a + b2 1x + 2x + 421x + 42 a + ab + b2 1 x + 1 ; el denominador es cero en x  2 y x  3 81. El numerador nunca 77. 79. Una respuesta posible es x1x - 12 1x - 221x + 32 3. a) Una función racional es una función de la forma f1x2 =

b) Las respuestas variarán

83. a) 4, hace que el numerador sea 0 b) 2 y 2, cada uno, hacen que el denominador sea 0 85. Una respuesta posible es x - 2 ; el numerador es 0 en x  2, el denominador es 0 en x  3 y x  1 87. x  5; el numerador debe ser f1x2 = 1x - 321x + 12

es 0

x  5 89. y2  4y  5, los factores deben ser (y 5)(y  1) 91. x2  x  2; los factores deben ser (x  1)(x  2) 93. 2x2  x . 6; los factores deben ser (x  2)(2x  3) 107. a) {x|x  2}

95.

3a + b 2

97. 21a + b2

99.

1x + 2213x + 12

12x - 321x + 12

109. a) {x|x  2}

b)

c) Decreciente

c) Decreciente

d) Creciente

d) Creciente

x - 1 x + 3

103.

1

x 21x - p2n

105. x y

b)

–10, 10, 1, –10, 10, 1

–10, 10, 1, –10, 10, 1

111. a) 5x ƒ x Z 06

101.

b) - 0.1, - 1, - 2, - 10, - 100, 100, 10, 2, 1, 0.1

c)

y

d) No; el numerador nunca puede ser 0 113. y = x + 2 116. 0.1

114. a - q ,

117. 12, - 12

3 b 2

4 f(x)= 1 x 2

115. - 28, 32

118. 13x - y + 2213x - y - 22

–4 –2

2

x

4

–4

Conjunto de ejercicios 6.2 3. a) No todo el numerador se restó 15.

5 r - 2

17.

x + 5 x + 3

19. 6a3

31. 1a - 821a + 321a + 82 45.

5x 2 + 3x - 12 1x - 421x + 12

1. a), b) Las respuestas variarán

x 2 - 4x - x 2 - x + 2 b) 1x + 321x - 22

21. 40x 4 y 5

23. 6a 4 b 5

3x + 5 5. x + 2

25. 1x + 321x + 22

33. 1x - 121x + 4214x + 92

35.

17 3r

37.

c) (8x  11)(8x  11)(x  2)

7x - 2 7. x - 5 27. z - 4

7x - 3 12x 2

39.

9.

x + 7 x + 3

11.

7x - 11 x - 2

13.

x - 3 x - 1

29. x 41x - 223

25y 2 + 8x 2 40x 4 y 3

41.

8 - 3b b - 2

43.

2a a - b

R24 • Respuestas

47.

4a + 7 1a + 222

49.

2x 2 + 6x + 12 1x - 121x + 421x - 22

2x + 3 1x - 821x - 12

53.

16 r - 4

61. 0

63.

15x - 70x + 30 13x - 221x - 42

65.

2

5x 2 + 14x - 49 1x + 521x - 22

26r + 13r - 40 14r - 5212r + 32

Conjunto de ejercicios 6.3

3a - 1 4a + 1

57.

2x 2 - 4xy + 4y 2

1x - 2y221x + 2y2

61.

2 7

b)

4 13

4a2 + 1 4a12a 2 + 12

67.

1. Aquella que incluye una expresión fraccionaria en su numerador, en su x1y - 12

21x + 22 x - y m + 2 5 13. 15. 17. y 2m 2 + 1 3a2 x5 1x + 6215x + 112 x 2 + 5x - 6 a2 + 1 x 3 + a2 b 23. 25. 27. 29. 31. 2a 51x - 32 x1x - 22 5x 2 + 13x - 78 a2 2 1a + b22 x 2y - 3xy + 5y 2 6y - x x + 9x + 14 x 2 + 3x - 4 39. 41. 43. 45. 47. 2 y ab 3xy x + 1 x + 1 3y - 4x R1 R2 R3 -1 -1 - 2a - h 51. R T = 53. a 55. 57. 59. 2 R2 R3 + R1 R3 + R1 R2 a1a + h2 1a + 121a + h + 12 a 1a + h22

75a b5 -a + 1 x - 1 19. 21. x + 1 1a + 1212a + 12 b11 + a2 y ab 33. 35. 37. b + a x + a11 - b2 denominador, o en ambos

49. a)

2

55.

8m 2 + 5mn x - 18x - 30 69. 15x + 621x - 22 12m + 3n213m + 2n212m + n2 -1 1 71. 0 73. 75. No 77. Sí, si multiplica cualquier fracción por obtiene la otra fracción 79. a) 5x ƒ x Z 36 2x + 3y -1 2 2 3x 2 + 19x + 7 2x + 3x + 8 2x + 8x - 3 b) 5x ƒ x Z - 46 c) d) 5x ƒ x Z 3 y x Z - 46 81. 83. 1x - 321x + 42 1x + 121x + 22 1x + 221x + 32 x 2 + 5x + 4 ad 2x bc ad + bc + = 85. D: 5x ƒ x Z 26, R: 5y ƒ y Z 16 87. 89. 4 91. 3 2 bd bd bd 1x + 221x - 221x + 32 x + x - 10x - 4x + 24 a2 - b2 3x + 10 93. a) 4 b) 95. 7x 2 - 6x + 6; 5x 2 - 17x 22 = - 2x 2, - 1 - 6x2 = 6x, - 6 - 162 = - 12 97. x - 2 a2 1 ax + bn bx x + 1 a b + 1 99. 101. - x 2 + 4x + 5 103. a) b) 79.2 105. 107. No 109. a) 2 n x 1a - 521a + 32 1a - b2 2 4 3 2 n n-1 n-2 Á -h x + x x + x + 1 x + x + x + x + 1 + x + + 1 b) c) d) 111. 112. a) 6 minutos xn 1a + 121a + h + 12 x2 x4 2 27 1 b) 960 botellas 113. 5x ƒ - 2 6 x 6 86 114. 115. - 21 116. 3x - 7 + 117. , 7 3 2x + 3 3 59.

2

51.

63.

5 12

3.

64.

13 48

5.

y - x 3xy

7.

65. a - 23, -

Conjunto de ejercicios 6.4

12x 3 y6

34 b 5

9.

3 + x

66. e 3,

5 f 3

11.

67. Ninguna

1. Un número obtenido cuando se resuelve una ecuación que no es una solución

verdadera 3. a) Multiplique ambos lados por 12 para eliminar las fracciones b) 24 c) Escriba cada término con el MCD de 12 - x + 24 de modo que pueda sumar y restar d) 5. Las figuras semejantes son aquellas cuyos ángulos correspondientes son 12 7 iguales y cuyos lados correspondientes están en la misma proporción 7. No, x  3 hace que esté indefinida 9. 7 11. 5 x - 3 4 1 14 6 13. 1 15. 3 17. Todos los números reales 19. 21. 23. No hay solución 25. 27. L 1.63 29. 8 31. - , 1 33. 3.76 4 3 5 3 17 5 35. - 2, - 3 37. - 5 39. 41. 5 43. No hay solución 45. No hay solución 47. 49. 12, 2 51. 12, 4 53. 1, - 2 2 4 fl - df V1 P1 V1 P1 1 55. - 5, 57. 2 59. P 2 = 61. V 2 = 63. y = y 1 + m1x - x 12 65. x = zs + x 67. w = 3 V2 P2 d pf S - S 0 - gt2 an - a1 T2 P1 V1 v2 - v1 Fd 2 69. q = 71. a = 73. d = 75. G = 77. T 1 = 79. V 0 = p - f t2 - t1 n - 1 m1 m2 P2 V2 t 4 7 2x + 7 81. a) b) 83. a) b) No hay solución 85. c  0, no puede dividirse entre 0 87. f(x): gráfica 2 b + 5 1x - 221x + 22 v1 - v2 AC b); g(x): gráfica a); f(x) está indefinida cuando x  3 89. a) $ 6250 b) R = 91. a) 20 pies/min2 b) t1 = t2 + 0.80I a 93. 35 unidades 95. L176.47 ohms 97. L0.101 metros 99. a) L9.71% b) Ya que 9.71%  7.68%, debe invertir en el portafolio 1 1 + = 0; 4 y 2 hacen que la fracción esté indefinida bursátil que está libre de impuestos 101. Una respuesta es x - 4 x + 2

Respuestas • R25

103. Una respuesta es

14 1 1 1 2 + = . 105. 1  x  3 106. m = - ; intercepción con el eje y, a 0, b . 107. 3x2y  7xy  4y2  2x x x x 3 3

108. 2 pies

Conjunto de ejercicios 6.5 3. a)

Velocidad Trabajador de trabajo Bill Bob

Tiempo completado

1 7 1 8

x x

1 ya que les toma exactamente el mismo tiempo a cada uno de ellos. 2 x x Parte del trabajo b) + = 1 c) Menos; debe tomar menos tiempo que a 7 8 realizado la persona más rápida, ya que están trabajando juntas. x 5. 1.5 meses 7. 2 horas 9. 18.75 minutos 7 11. 2.4 horas 13. L3.08 horas 15. 100 horas x 17. 7.8 meses 19. 75 minutos 21. 15.27 minutos 8 23. 1.62 horas 25. 12 horas 27. 5 29. 2, 4 31. 4, 6 1. Igual a

2 , 1 37. 0.36 millas por hora 39. 1.53 pies por segundo 41. 7.5 millas 43. 36 millas por hora 45. 30.59 yardas 3 47. Normal: 10.93 millas por hora; expreso: 16.13 millas por hora 49. 350 millas 51. 60 millas por hora 53. 120 kilómetros por hora 55. 18 pies por minuto 57. 108,000 millas 59. Las respuestas variarán 61. a) 10 minutos b) 15 millas x5 c) 690 millas por hora 62. 63. 5.26 * 109 64. $ 2500 65. 66. a12a 2 - 521a - 12 y 72

33. 20

35.

4 2 –4 –2 –2

x 2 4 y  |x | – 2

–4

Conjunto de ejercicios 6.6

1. a) Conforme una cantidad aumenta, la otra también b), c) Las respuestas variarán 3. Una cantidad varía conforme al producto de dos o más cantidades 5. a) Disminuye b) Variación inversa; por definición de variación inversa 7. Directa 9. Inversa 11. Directa 13. Directa 15. Directa 17. Inversa 19. Directa 21. Inversa k 1 kB 23. Inversa 25. a) x = ky b) 72 27. a) y = kR b) 306 29. a) R = b) 31. a) A = b) 9 33. a) x = ky W 20 C kM 1 M 2 k b) 20 35. a) y = kR 2 b) 20 37. a) C = b) L 0.41 39. a) F = b) 40 41. Se duplica 43. Se divide entre dos J d k 45. Se duplica 47. No cambia 49. Se duplica 51. y = ; k = 5 53. $8814 55. 3096 miligramos 57. 10 horas 59. 6400 x centímetros cúbicos 61. 3.12 horas 63. L 0.32 segundos 65. 117.6 pies 67. $438.90 69. 4600 cintas 71. 25 ohms 73. L$124.92 km 1 m 2 3V 75. a) F = b) La fuerza es 24 veces la fuerza original 77. h = 78. 276 79. 14x3  22x2  19x  3 80. (x  3)(x  2) d2 4pr2

Ejercicios de repaso del capítulo 6. 5x ƒ x Z 2 y x Z - 56 7. x

8. x - 7

9. - 1

10.

x - 1 x - 2

1. 5 11.

2. 2

x - 3 x + 1

12.

3. Ninguna 4. 5x ƒ x Z - 16 5. 5x ƒ x Z 06 a 2 + 2ab + 4b 2 a + 2b

13.

9x 2 + 3xy + y 2

3x + y 2x - 3 2 14. 2 15. x1x + 12 16. 1x + 2y21x - 2y2 17. 1x + 721x - 521x + 22 18. 1x + 22 1x - 221x + 12 19. 6xz2 x - 2x + 4 1x - y2y 2 10x + 3y 2 x 7x + 6 2x + 1 4a + 5 6b - 8 20. 21. 8x 3 z5 22. 23. 24. 3x + 2 25. 26. 1 27. 28. 29. 2 3 4 3x + 1 a + 1 b - 1 3x 2x 5x 2 y a2 - b2 x + 1 2a 2 + 9a + 4 x 2 - 2x - 5 1 a2 + c2 30. 31. 32. 33. 34. 1 35. 2x1x - 5y2 36. 37. ac 2x - 1 31a + 32 4a1a + 22 1x + 521x - 52 a2 21x + 12 161x - 2y2 x + 5 1 3 22x + 5 38. - 2 39. 40. 41. 42. 3 43. x + 6 1x + 221x - 221x - 32 31x + 2y2 1x - 521x - 1021x + 52 x - 4 a 21x - 42 44. 1x - 321x - 52

R26 • Respuestas x - 4 1 a + 3 x + 6 a + 2b2 x2 + 6x - 24 46. 47. 48. 49. 50. 51. a) 5x ƒx Z - 26 b) 5xƒ x Z - 46 x - 3 a + 5 x - 4 3 1x - 121x + 92 x - 6 2x2 + 7x + 4 x2 + 8x + 12 c) d) 5xƒx Z - 2 y x Z - 46 52. a) 5x ƒx Z 3 y x Z - 36 b) 5x ƒx Z 36 c) 1x + 221x + 42 1x + 321x - 32

45. -

x + y 3y - 1 3x2 - 29x + 68 2a + 1 3ac2 x + 1 54. 2 55. 2 56. 57. 58. 3 3 -x + 1 2 b 4x2 - 6x - 54 x + xy 5y + 1 2 2 x + 6x + 8 3 x + 3x + 2 18 o3 59. 60. 61. 62. - 2 63. 52 64. 2.4 65. 5 66. - 9 67. -18 68. - 28 69. - 6 x + 5 5 5 x + 3 ac 70. - 10 71. b = 72. x = x - sz 73. 60 ohms 74. 1.5 centímetros 75. 10, 2 76. 21, 3 77. 17.14 minutos a - c 5 78. 14 horas 79. 3 80. 81. 5 millas por hora 82. automóvil: 50 millas por hora; aeroplano: 150 millas por hora 83. 20 6 25 84. 85. L426.7 86. $8.40 87. 1600 pies 88. 200.96 unidades cuadradas 89. 2.38 minutos 2 x - 5y 1 Examen de práctica del capítulo 1. 7 y 4 2. e x ` x Z - 4 y x Z f 3. 4x5y + 8 + 9xy2 4. 2 x + y 2 m16m + n2 + 2x + 2 1 5 1 3x 3x 1 5. 4 2 6. 7. 8. x2 + y2 9. 10. 11. x + 2 a1a + b2 1x - 321x + 321x + 12 16m + 5n212m - n212m + 3n2 x21x + 12 xy d) 5xƒx Z 3 y x Z - 36 53.

x1x + 102

12x - 12 1x + 32 b1a - b2 3x - 4 17. 18. 2 a 5x - x 12.

y + x x + 5 3x2 + 2x - 9 3 b) e x ` x Z - 5 y x Z - f 15. 16. x + 2 y - x 1x + 5212x + 32 2 2b + Ad 2 20. 12 21. C = 22. 0.75 watts 23. 6 24. 4.12 horas 25. 6 millas 3 A

13. x + 3 14. a)

2

19. 30

CAPÍTULO 7 1. a) Dos, positiva y negativa b) 7, 7 c) Raíz cuadrada principal d) 7 3. No existe número real tal que cuando se eleve al cuadrado dé por resultado 81 5. No; si el radicando es negativo, la respuesta no es un número real 7. a) 1.3 b) 1.3 9. a) 3 b) 3 c) 3 11. 8 13. 4 15. 5 17. 1 19. 1 21. No es un número 1 2 2 1 real 23. 7 25. No es un número real 27. No es un número real 29. 31. 33. 35. 37. L - 2.07 39. 9 41. 19 5 3 3 2 11 43. 152 45. 235.23 47. 0.06 49. 51. ƒ x - 9 ƒ 53. ƒ x - 3 ƒ 55. ƒ 3x2 - 2 ƒ 57. ƒ 6a3 - 5b4 ƒ 59. ƒ a5 ƒ 61. ƒ z15 ƒ 63. ƒ a - 4 ƒ 13 1 65. ƒ 3a + 2b ƒ 67. 2 69. L 9.381 71. L5.290 73. - 3 75. 95 77. 14 79. 55 81. Seleccione un valor menor a 2 83. x  1 0; x 1 85. 2x  6 0; x 3 87. a) Todos los números reales b) a 0 c) Todos los números reales

Conjunto de ejercicios 7.1

89. Si n es par, se determina la raíz par de un número positivo. Si n es impar, la expresión es real 95. a

97. Una respuesta es f1x2 = 1x - 6.

91. x  5  0; x  5

93. d

b) Sí, cuando x  0 c) Sí 101. a) 11288 L 35.89 pies por segundo

99. a) No

b) 12576 L 50.75 pies por segundo

103.

105.

y 4

f(x) 

x+1

4

2

2 2

4

6

8

x

g(x)  2

–2

–2

–4

–4

109.

107.

y

4

x +1 6

8

x

–10, 10, 1, –10, 10, 1

115. 13a - b213x + 4y2 116. 3x1x - 421x - 22 117. 12x 2 - 1212x 2 + 32

111.

118. ax -

2 2 4 y b a x2 + xy + y2 b 3 3 9

Conjunto de ejercicios 7.2 –10, 10, 1, –10, 10, 1

–10, 10, 1, –10, 10, 1

1. a) Cuando n es par y a 0 o n es impar b) a1/n 3. a) Siempre es real b) a c) a d) ƒ a ƒ 5. a) No; 1xy21>2 = x1>2y1>2 b) No;

Respuestas • R27 1xy2-1>2 = x-1>2y-1>2 =

1 x y

3 y 47. 1b 49. 18.1 45. 1 69. No es un número real 93. x1>6

95.

1 x

11. z5>3 13. 710>3 15. 97>4 17. y13>3 19. 1a3b2

1>4

9. 95>2

3 175 33. 224x3 35. A2 5 7b2c B 29. 2c5 31. 2

25. 13a + 5b21>6 27. 1a

91. x9>2

7. a3>2

1>2 1>2

97. 1

4 3

73. 99.

1 2

y5>3 12

75. - 6 77. - 4 79. 101.

8 x11>6

103.

1 4

1 2x1>3

23. 15x6y72

1>4

1>3

1

5 6a + 5b 39. 37. 1

A a7 4 x 57. 1 8 y 59. 2 9 x2y 61. 2 55. 1

51. x3y6 53. 1xyz 71.

3

21. 1x9z52

41. a2 2 3 b3 - c 63. 3 65. 4 67. 64

43. x3

1 3 9 83. 85. No es un número real 87. 22 89. 16 4 14 121 125 x 5 20 105. 1>7 107. 66>5 109. 16 111. 6z7>2 - 3 113. 5 + 3>2 x y x a x 81.

115. 8x13>6 - 28x2 117. L 11.83 119. L3.32 121. L 12.65 123. L 0.03 125. n es impar, o n es par u a 0 127. 141>2 + 91>22 Z 4 + 9; 25 Z 13 129. 111>3 + 11>32 Z 1 + 1; 8 Z 2 131. x1>21x2 + 12 133. y1>311 - y211 + y2 1 + y2 135. 137. a) 210  1024 bacterias b) 210 12 L 1448 bacterias 139. a) 2.69 273 L $49.82 mil millones y2>5 2

3

b) 2.69 2143 L $140.91 mil millones 141. 9 143. 5xƒ x Ú 56 145. a) 1x - 422 b) 1x - 422 147. 2; z 3 # z a 1 1 b2 + a3b 151. 0, 3 152. L441.67millas por hora. z 60a = z 120, 60a = 120; a = 2 149. c) Es una función 150. 3 a - b 1

1#1#1 5 4

1

= z 60a ;

Conjunto de ejercicios 7.3

1. a) Elevando al cuadrado los números naturales b) 1, 4, 9, 16, 25, 36 3. a) Elevando los números naturales a la quinta potencia b) 1, 32, 243, 1024, 3125 5. Si n es par y a o b son negativos, los números no son números reales 7. Si n es par y a o b son negativos; los números no son números reales 9. 2 12 11. 217 13. 213

15. 512

17. 513

19. 2110

21. 21 32

23. 3 1 32

25. 2 1 34

27. 3 1 34

29. 3 1 42

31. - 21 52

33. x 1x

35. a5 1a

37. -z10 1z 39. a2 1 3 a 41. b4 1 3 b 43. x 1 4 x 45. z 2 5 z2 47. 3y4 2 5 y3 49. 2x 16x 51. 2x2y3 12y 53. - 2x3y3z6 15y 2 1 1 1 55. xy2 1 69. 3 71. 73. 75. 3 y 57. 3a2b2 2 3 3b2 59. 2x2y2z4 2 4 2yz3 61. 3a2b2 1 4 b 63. 2a2b2 2 5 b2 65. 3 67. 5 4 2 3 2 3 x 1 4 20y 1 3 7y 1 3 5y y r2 c2 6x2 79. 2 81. 83. 5 85. 87. a2b4 89. 212 91. 3x2 93. 2x2y2 12y 95. 97. 99. 5 3 3 5y 2x4 x2

77.

1 2

101. 1a # b21>2 = a1>2b1>2 = 1a 1b 103. No; un ejemplo es 118> 12 = 3. 105. a) No b) Cuando 1 x es un número real y no es 5 igual a 0 106. C = 1F - 322 107. 5-28, 326 108. 3x6 - x3 + 6 109. 1x - 121x2 - 8x + 192 9 n

Conjunto de ejercicios 7.4

1. Los radicales con el mismo radical e igual índice 3. L 5.97 4 y 15. 2 1 3 x + 7 15 5. No: un ejemplo es 19 + 116 Z 19 + 16 , 3 + 4 Z 5, 7 Z 5. 7. 0 9. 413 11. - 413 + 5 13. - 61 17. 7 1x - 21y 19. 2112 - 132 21. - 3013 + 20 15 23. - 4110 25. 18y 15x 27. - 1615x 29. - 27a 12 3 4 33. -7 35. 5a2 3 ab2 37. 3r3s2 1rs 39. 0 41. 10 43. 2 1 3 7 45. 3m2n5 13n 47. 3x3y4 2 3 2x2y 31. 7 1 4 2xy3 51. 2xyz2 2 4 x2z2 53. 5 - 115 55. 2 2 3 y2 - y3 57. 4x5y3 2 3 x + 4xy4 2 3 2x2y2 59. 20 61. 6 - x2 49. 3x3y4 2 63. 5 - z 65. 23 + 913 67. 16 - 10 12 69. 10 - 316 71. 29 - 12 15 73. 18x - 13xy - y 3 18 - 1 3 12 77. 4x - 8 1x 79. x2 + x2 3 x2 81. x 2 4 27x2 - x2 1 4 3x 83. 2 16 85. 7 15 87. - 14 + 1112 75. 8 - 21 3 2 2 5 3 3 10x 95. 2b c 2 6 2ab c 97. 4ab 1 4 b 99. x - 22 3 x2y2 - 1 3 xy + 2y 89. 416 - 213 91. 1512 93. 2x 2 2 2 2 2 3 12a b - 2a b 1 3 3 103. 2x + 5 105. 2 ƒ r - 4 ƒ 107. P = 1415, A = 60 109. P = 17 15, A = 52.5 101. ab 2 111. No, - 12 + 12 = 0 113. a) L 45.17 millas por hora b) L35.33 millas por hora 115. a) 37 pulgadas b) L37.97 pulgadas 117. a) 119. a) 121. y y y 4

4

2 (f+g)(x)= 2+ x

2

2

4

6

8

x –2

–4

–4

b) Subir la gráfica 2 unidades

2 2

–2

4

(f-g)(x)=2, x 0

4

b) 5xƒ x Ú 06

6

8

x

–4 –2 –4

f(x)= x2 2

4

x

R28 • Respuestas 123. Un cociente de dos enteros, con denominador distinto de 0 124. Un número que puede representarse en una recta numérica real a, a Ú 0 2E 125. Un número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros 126. ƒ a ƒ = e 127. m = 2 - a, a 6 0 v 1 1 128. a) b) a - , 4 d c) e x ` - 6 x … 4 f 2 2 1 –

4

2

Conjunto de ejercicios 7.5

1. a) Son los mismos dos términos, con el signo del segundo término cambiado

b) x + 13

4 13y 5. (1) Ninguna potencia perfecta es factor de algún radicando 3y

3. a) Las respuestas variarán,

b)

(2) Ningún radical tiene fracciones. (3) No hay radicales en el denominador 15y 17. 37.

5 1 48 2

19. 115 39.

z1 42 2

13 - 1 57. 2 73.

91.

21. 41.

x2 4 z z

2y z 2 3 2x z 2

x 301 12 109. 20

75.

12n 25. 3

110m 23. 4

y

59. 2 - 13

2 1x + 2 + 6 x - 7 4 3

1xy 2

43.

13 2 5 y3 y

- 4 12 - 28 61. 47

1x 3

77.

110 5

32 7 a a

45.

27.

3x 2 y 1yz

4

47.

2 3 2x 2x

10 + 130 63. 14

79. - 1

81.

2 3 150y a 1r + 2r 1a 95. a - 4r 5y 3 16 2 3 111. 113. a - + b 1xy 4 y x

5z y z2 4 54x 3

93.

97.

2

49.

13 3

3x

83.

9.

3 17 7

2y 3 z 115xz 3x

5m 1 48 2

12 - 2 1x 65. 36 - x

2xy 3 130xz

2

29.

z2

7.

16 x

51.

67.

85.

99. 12

101.

53.

x - y2

103.

b) 2.36 millones

131.

10 15 + 3 15

141.

1 1x + h + 1x

144. b 2 =

2A - b1 h

145. 40 mph, 50 mph

p 12 2

32 3 x2 35. x 2 3 4xy 2 z z 71. a + a3

2 4 24x 3 y 2

105.

125. L3.69 metros 127. L12 pulgadas 129. a) 6.21 millones

139.

55.

2y

13 16 6

F 1a + 2b22 119. 2

b) 9, 18, 27 c) x 13a + 2b2>6

2 3 12x 2 y

89.

3 1a + b25 117. 2

135. a) 4, 8, 12

1 34 33. 2

12x 2

87. -

15.

- 13 + 3 16 69. 23

115. 1a

racionalice los denominadores y compare

13. 17

z2

4x + 4y 1x

4 15 5

117 17

5x 3 y 2 2yz

1 4 135x 3x

1a - 3 a - 9

2

31.

11.

2x 15 12 2

6 rs5 121. 2

107.

13 12 2

F x2 y8 123. 2

2 3 3 ; = 12 , = 13 133. 2 + 13 ; 13 12 13 3 12a - 3b d) x 13a - 2b2>6 137. 2a - 3b

146. 4x 3 + x 2 - 20x + 4

147. - 8, 1

Cómo utilizar su calculadora graficadora, 7.6 1.

2.

–10, 10, 1, –10, 10, 1

–10, 10, 1, –10, 10, 1

Conjunto de ejercicios 7.6

1. a) Las respuestas variarán b) 5 3. 0 5. Las respuestas variarán 7. 1; Las respuestas variarán 9. 16 11. No hay solución real 13. 64 15. 16 17. 9 19. 1 21. 16 23. 76 25. No hay solución real 3 2 27. No hay solución real 29. 1 31. 8 33. 5 35. 37. 20 39. 1 41. 10 43. 6 45. 8 47. 0 49. - 3 51. 53. No hay 3 2 p2 v2 solución real 55. 2 57. 9 59. No hay solución real 61. 9 63. 3, 7 65. - 1 67. 7 69. 4 71. 5 73. v = 75. g = 2 2h x2k Mv 2 2 m = 77. F = 79. 81. A = pr 83. 187 85. 4 12 87. 4 89. No hay solución 91. 7 93. 5 95. 1 97. 3 R V20 l l 99. 12000 L 44.7 pies 101. 12 pies 103. a) L3.51 segundos b) 12 # T; compare con c) 124 L 4.90 segundos A 16 A 32 105. R =

8ml pr4

107. 0.211149.423 L 365.2 días.

109. 110,000 = 100 libras.

111. 1320 L 17.89 pies por segundo

3 119. 21 121. 5, - 5 123. a) 3, 7; puntos de intersección b) Sí 2 c) 3, 7; sí 125. En x  4, g(x) o y  0. Por lo tanto la gráfica debe tener una intersección con el eje x en 4, 127. L 1 L 0.44, L 2 L 0.76

113. 11649 L 40.61 metros

115. 2, - 2

117. - 4,

Respuestas • R29

129. Todos los números reales 131. 1.5 133. L3.7; L 3.7 135. No hay solución real 137. n = 3a 141. x 142. 2b12a + 3b2

3 144. x + 3

143. t1t - 42

z2 s 2

1x - m2

P1 P3 P1 - P3

145. 2

1. a) 1 - 1 b) - 1 3. Sí 5. Sí 7. a - bi 9. a) 12

Conjunto de ejercicios 7.7

140. P2 =

2

b) 1 c) 1 - 3 o 2i

d) 6 e) Todos los números que hemos estudiado son números complejos 11. 5  0i 13. 7 + 0i 15. 21 - 6i 17. 0 + 2i 16 19. 8 - 2i 13 21. 1 + 7i 12 23. 9 - 5i 25. 0 + 12 - 3 152i 27. 21 + 5i 29. 0 31. - 12 - 12i 33. 14 12 + 132 - 2i 12 35. 9 - 4i 12

37. - 7 - 2i 15 39. 10 - 2i 41. - 9 + 2i 43. - 33 + 21i 45. 20 + 4i 13 47. - 16 + 8i 49. 1 + 5i 25 1 2 3 - 2i 8 + 4i 9 + 18i 9 - 12i 3 + i + i 57. - i 59. 51. 409 53. 39 - 9i 12 55. 61. 63. 65. 67. 72 4 3 5 5 10 5 2 15 110 - 2 1152 + 110 12 + 5 132i 2 12 5 12 - 2i 16 69. 71. 73. 5 75. 77. 7 - 7i 79. 12 + 2i 13 37 45 3 1 5 13 + 10i 2 4 - 5i 31 i 91. i 93. 2 95. - 4.33 - 10.91i 97. - 1 81. 20.8 - 16.64i 83. 37 - 39i 85. 87. 89. 1 + 2 7 45 4 50 2 - 3i 99. 1 101. i 103. - i 105. a) - 2 - 3i b) 107. Verdadero; (2i)(2i)  4 109. Falso; (1  i)(1  2i)  1  3i 13 n 111. Valores pares; i donde n es par será 1 o 1 113. - 1 115. 16 - 4i 117. 11 + 7i 119. 0 121. 1 123. Sí

125. No

127. L 0.83 - 3i

139. 15 libras de $5.50, 25 libras de $6.30

Ejercicios de repaso del capítulo 2

10. ƒ x - 4x + 12 ƒ 21. A 2 4 3m 2 n B 31. x 4>15 41.

32.

11. 7

22. a

7

4 y2

y

2

4

x

6

16. x

80.

2121ab 7b y2 4 4x y

x111 11 81.

15>4

51. 2xyz2 12y

2

54. 5x 2 y 3 z5 2 3 x2 z 2

–2

4

f(x) 

58. 2x 3 y 2 3 x2 y2

x

6

18. 5

8. ƒ x - 2 ƒ

20. 2 5 a 3 3 29. 30. 4 8

19. 1x

2>7

9. ƒ x - y ƒ

4

71.

6 1x x

x2y2 16yz z

82.

72.

a1 35 5

91 3y

73.

5xy2 115yz 3z

y

74.

53. 3a2 b 3 1 3 2ab

52. 5xy 3 12xy

55. x 14 y 21 z35

57. 2x 3 110

56. 8a3 b 12 c18

59. 2x 2 y 3 2 3 4x 2

61. 6x - 2 115x

x–4

60. 2x 2 y 4 1 4x

3 y 2 + x1 3 18y 62. 2x 2y 2 2

63. 2 4 a3b2

1>5

y 115 1 3 14 27r9>2 66. 67. 68. 3 5 2 p 4xz1>3 2 2 x 15y 4y x 76. 77. 78. 2x2y3 79. 2 x y

64. 2 6 x5y2 70.

17. y

50. 4

–4

1 4 54 3

5>3

4

x

8

–4

69.

5. 7 6. 93.4 7. ƒ x ƒ

3. 4 4. - 5

5

1

2 –2

5>2

4 a 27. - 5 28. No es un número real b 23. 9 24. x 5 25. 49 26. 1 1 3 x + 3y 1 49x 10 4 1 + a3 33. 14>15 34. 35. 5a 2 - 2a5>2 36. 7>6 + 9 37. x 2>511 + x2 38. 39. 5 40. L 2.668 7 y a x a1>2 9 2 7 3 3 2 45. 42. y 43. 5 13 44. 4 1 46. 47. 48. 49. 10 2 5 8 5

f(x) 

4

1. 7 2. - 3

13. L 2.2 14. 11 metros 15. x

12. 57

137. - 1 + 7i 13

133. 2 + i 12 , 2 - i 12 135. 6 + 3i 13 2 a2 140. 2c - 3 + 141. 142. 4 4c + 9 b1a - b2 131. - i

129. L 1.5 - 0.33i

72 4 z3 z

83. 3xy 1 3 2y

75.

84.

x 2

2 3 75xy2 5y

65.

85.

y2 3 4x2 x

86.

3 4x y2 1 2x

87.

4 3ab2 b2 2 a

3 2

88.

2x

89. 7

90. x - y2

91. x2 - y

94. 2 3 6x2 - 1 3 4xy - 1 3 9xy + 2 3 6y2 100.

x - 1xy - 2y x - y

112. 15 ƒ 2a + 5 ƒ

95. -10 + 5 15 96.

31a - 1 + 6 101. a - 5

107. 13x2y3 - 4x3y42 1x

92. 28 + 1013

102.

108. 12x2y2 - x + 3x32 2 3 xy2

113. 1 6x + 5

C b5 114. 2

3x - x 1x 9 - x

41y + 2 + 12 y - 7

93. x + 15xy - 13xy - y 115 97.

7a + a 1b 49 - b

103. 2 1 3 x 104. - 413

109. 3x 12 - 130x

115. a) 12 13

b) 24

98.

x 1y + 8x y - 64

105. 8 - 131 32

110. 2x2 + 2x2 1 3 2x

99.

x - 1xy x - y

69 12 106. 8

111. 2x + 4

116. a) 8 15 + 1130 b) 10113

R30 • Respuestas 117. a)

b) x Ú 0 118. a)

y 4

(f+g)(x) 

2

2

–2

4

6

4

x–1

(f+g)(x)=2, x  0

2

x

8

2

–2

–4

4

6

8

x

–4

139. 2p 12 L 2.83p L 8.89 segundos 140.

90 L 25 metros por segundo 141. m L 5m0. Así, es L 5 veces su masa original A 0.145

142. 5 + 0i 143. -6 + 0i 144. 2 - 16i 145. 3 + 4i 146. 7 + i 147. 1 - 2i 149. - 6 + 6i 150. 17 - 6i 151. 124 + 3 152 + 1413 - 6 1152i 152. 155.

b) x  0 119. 64 120. No hay solución 121. 125 122. 125 123. 49 124. 64 125. No hay solución 126. 2 127. 3 128. 2 129. 0, 9 130. 5 V2w 131. 4 132. 6 133. L = 2 134. A = pr2 135. 2 114 136. 5 13 137. 129 L 5.39 metros. 138. 11280 L 35.78 pies por segundo

y

513 + 3i12 31

156. 0

158. i 159. - i

157. 7

Examen del capítulo 3 5x2y 7. 6. 2x3y3 2

x3y16yz

8.

4z

1. ƒ 5x - 1 ƒ

42 3 x2 x

9.

3 - 13 6

1

3.

12>5

x

153.

1 - 2 - 132i

154.

2

15 - 10i 13

161. - 1

160. 1

2.

2i 3

148. 3 13 + 115 - 172i

1 + x2

4.

x2>3

10. 8 16

4

3 y2 12. 613 - 216 - 30 + 1012 13. 2 8 x5y3 11. 12xy + 2x2y22 2 2 8w C 17x + 227 15. 7 16. - 3 17. 9 18. 3 19. g = 14. 2 h 20. 112,880 L 113.49 pies por segundo 21. 13 pies 33 - 17i 1400 L 0.92 segundos 23. 18 + 14i 24. 22. 2p A 65,000 53

5. 4x3y5 13x

y

2

g(x)  2

4

x +1 6

x

8

–2 –4

25. 2

CAPÍTULO 8 1. 6 3. Si x2  a, entonces x = ; 1a.

Conjunto de ejercicios 8.1 b) No, 3

25. 4 ; 3i15 45. - 1,

43. 1, 5

63.

1 ; 113 2

83.

- 3 ; 159 10

91. 7, 9

7. a) Sí

6 2 1 para hacer a  1 11. a - b = 9 13. ; 7 15. ; 7i 17. ; 4i13 19. ;i 161 21. 8, 0 2 2 1 ; 2i 5 ; 213 1 1 9 27. - 1, 29. 31. -0.9, - 2.7 33. 35. - , 37. 1, - 4 39. 3, - 5 3 3 2 20 20

9. Multiplique por

23. - 3 ; 7i 41. 2, 4

b 2 5. a b debe ser igual a c 2

65.

1 2

1 47. - , 4 2

- 3 ; i 115 2

67. 0, 1

49. 4, 7

69. 0, - 2

85. a) 21 = 1x + 221x - 22

93. 5 pies por 12 pies

95.

51. -1, 4

b) S

71. 0,

1 3

53. 4, 5 55. 7, - 4 73. 1, - 3

57. 1, - 10

75. 9, -5

87. a) 18 = 1x + 421x + 22

12 + 1288 L 14.49 pies por pies 2

59. 2 ; 114

77. - 8, - 3

1 79. , - 1 3

b) - 3 + 119

A

1 ; i139 4

97. 1200 L 14.14 pulgadas

80 + 25p 1 4 L 2.1 pulgadas 107. 2 108. $4200 al 7%, $5800 al 6 % 109. e 10, f p 4 3

110. 0 111. 4x3  x2  20x  4

81.

89. 12 mph

99. 124 L 4.90 pies 101. 4% 103. L 6% 105. a) S = 32 + 80 1p L 173.80 pulgadas cuadradas b) r = c) r = - 5 +

61. -4 ; 111

4 1p L 2.26 pulgadas p

Respuestas • R31 - b ; 2b2 - 4ac 3. a = - 3, b = 6, c = 5 5. Sí; si multiplica ambos 2a 2 lados de una ecuación por 1, obtendrá la otra ecuación 7. a) b  4ac b) 204 c) Las respuestas variarán 9. Dos soluciones reales 11. No hay solución real 13. Dos soluciones reales 15. No hay solución real 17. Una solución real 19. Una solución 2 ; i 12 2 ; i 111 real 21. 3, 6 23. 2, 4 25. 1, - 3 27. - 2 ; 2 16 29. ; 7 31. 33. 0, 3 35. 37. - 1 39. 5 41. 1 ; 12 3 2 2 ; i 12 1 2 ; 110 1 5 1 2 - 6 ; 2 16 3 ; 1309 3 ; 133 43. 45. - 3, 47. , 49. 4, - 6 51. , 53. 55. 57. 59. 3 2 2 3 3 3 3 30 2 2 - 1 ; i 123 - 0.6 ; 10.84 7 ; 117 o - 3 ; 121 65. 0, 2 67. - 5, 6 69. 61. 63. 71. No hay solución real 4 0.2 4

Conjunto de ejercicios 8.2

1. x =

73. f1x2 = x 2 - 7x + 10 75. f1x2 = x 2 + 2x - 24 77. f1x2 = 15x 2 - x - 6 79. f1x2 = x 2 - 3 81. f1x2 = x 2 + 4 83. f1x2 = x 2 - 6x + 7 85. f1x2 = x 2 - 4x + 13 87. a) n110 - 0.02n2 = 450; b) 50; 89. a) n150 - 0.2n2 = 1680; b) 40 91. Las respuestas variarán 93. Sí 95. 2 97. w  3 pies, l  7 pies 99. 2 pulgadas 101. a) L4.57 segundos b) L4.79 pies 103. 2 15, - 15 105. 1 - 0.12 + 114.39522>1.2 L 3.0618 millimetros 107. a) L1.94 segundos 6y - x b) L2.74 segundos c) La de Courtney d) Sí, a los 1.5 segundos 108. 3.0  102 o 300 109. 10 110. 12, - 12 111. 3xy 112. No hay solución real

Conjunto de ejercicios 8.3 9. t =

1d 4

11. c =

E

Am

13. r =

3V

A ph

1. Las respuestas variarán

15. W = 2d 2 - L 2

3. S = 1A

17. b = 2c2 - a2

5. S = 2A + s2

7. i =

E

Ar

19. H = 2d 2 - L 2 - W 2

2s0 - h 2E 23. v = 25. v 1 = 2v 22 - 2ad 27. c = 21v¿22 + v 2 29. a) $ 13,740 4 Am b) L8 31. a) 32°F b) 50.2°F c) L2.92 minutos 33. a) $117,500 b) L2268 pies cuadrados 35. a) 4 segundos b) 29.26 pies por segundo 37. a) L$18.5 mil millones b) 2006 39. l  25 metros, w  20 metros 41. 4 pies por hora 43. De ida a 6 mph, de regreso 8 mph 45. Bonita L11.53 horas; Pamela L12.52 horas 47. 130 mph 49. Cristina L11.76 horas; Juan 12.26 horas 51. 60 mph 53. Las respuestas variarán 55. 6 metros por 3 metros o 2 metros por 9 metros 57. 24 x E - Ir 16 58. R = 59. 60. 16 61. No hay solución I r - 4 y 21. t =

h - s0

A - 16

o t =

1. Puede escribirse en la forma au2  bu  c  0 3. u  x2; da la ecuación 1 3u2  5u  1  0 5. u  z1; da la ecuación u2  u  56 7. ; 1, ; 3 9. ; 1, ; 5 11. ; 2, ; 3 13. ; 2, ; 13 15. ; , ; 1 2 1 4 1 3 17. ; 13 , ; 15 19. ; 3, ; i 12 21. ; 1, ; i 15 23. 4 25. 4 27. 29. 1, - 9 31. , 33. ; 2, ; i 35. - 5, 9 3 2 2 1 5 16 139 1 1 1 1 1 ,; 37. ; 39. 41. 2, 3 43. 2, 45. 1, 47. - , 49. 1, 8 51. - 64, - 343 53. 55. 1, 32 6 3 5 3 10 2 6 4

Conjunto de ejercicios 8.4

57. 11, 02, 116, 02

59. Ninguna 61. 1 -4, 02, a , 0b

1 5

63. 1 - 27, 02, 18, 02

65. 1 - 1, 02, 14, 02

67. 1 ; 2, 02, 1 ; 4, 02

69. Sea u  x2 71. Sea u  x1 73. x4  20x2  64  0; empiece con (x  2)(x  2)(x  4)(x  4)  0 75. x4  5x2  6  0; inicie con 1x + 1221x - 1221x + 1321x - 132 = 0

1 1 14 8 5 79. a) y b) , 81. 83. 3, ,5 4 5 3 4 93. D: , R: 5y ƒ y Ú 06 94. 2xy 2 2 3 2 95. 11 13

en parejas

Conjunto de ejercicios 8.5

77. No; las soluciones imaginarias siempre ocurren

85. 2, 1 87. - 3, 1, 2, - 4

89. ;

B

3 ; 115 2

91.

43 60

92. 1

1. La gráfica de una ecuación cuadrática se denomina parábola 3. El eje de simetría b 4ac - b 2 , b 7. a) Cuando de una parábola es la recta donde, si la gráfica se dobla, los dos lados quedan uno sobre el otro 5. a 2a 4a a  0, f(x) tendrá un mínimo, ya que la gráfica abre hacia arriba. b) Cuando a 0, f(x) tendrá un máximo, ya que la gráfica abre hacia abajo 9. Se determina x  0 y se despeja y

R32 • Respuestas 11. a)

15. a) Hacia arriba b) 10, 152 c) 1 - 4, - 12 d) 1 -5, 02, 1 - 3, 02 e) 2 y

b)

17. a) Hacia arriba b) 10, - 32 c) 1 - 1, -42 d) 1 -3, 02, 11, 02 e) 2 y

g(x)=x +2x – 3

f(x)=x +8x+15

13. Valor mínimo; la gráfica abre hacia arriba –6

4

4

2

2

–2 –2

2

x

–4

2

–2

4

x

–4

19. a) Hacia abajo b) 10, 82 c) 1 - 1, 92 d) 1-4, 02, 12, 02 e) y

21. a) Hacia abajo b) 10, - 152 c) 14, 12 d) 13, 02, 15, 02 e) y 2

8 6 4

–2 –2

2

–4

–2

4

2

4

2

x

6

–2 –2

27. a) Hacia arriba b) 10, 22 c) 10, 22 d) No hay intersecciones con el eje x e) y r(x)=x¤+2

29. a) Hacia abajo b) 10, 02 c) 13, 92 d) 10, 02, 16, 02 e)

y 8

4

8

6

2

6

4

4

2

4

6

x

2 –4 –2

31. a) Hacia abajo b) 10, -82 c) 11, - 62 d) No hay intersecciones con el eje x e) y 2

4

6

8

x

t(x)=–x2 +4x – 5

6

2

6

–6

p(x)=–x¤+8x-15

25. a) Hacia arriba b) 10, 42 c) 12, 02 d) 12, 02 e) y f(x)=x¤-4x+4

–2 –2

4

–4

–6

x

f(x)=–x¤-2x+8

–2

23. a) Hacia abajo b) 10, - 52 c) 12, -12 d) No hay intersección con el eje x e) y

x

2

b) 10, 42

33. a) Hacia abajo 3 17 c) a - , b 2 2 d) a

- 3 + 117 - 3 - 117 , 0b , a , 0b 2 2

e)

–4 6

–8

4

2

35. a) Hacia arriba 2 22 c) a - , - b 3 3 d) a

–4 –2

b) 10, - 62

- 2 + 122 - 2 - 122 , 0 b, a , 0b 3 3 y –4

–2

2

4

x

–4 y=3x2+4x-6

2

f(x)=–2x2+4x-8

x

4

g(x)=–x¤+6x

e)

y

–6

–2

x

4

2

4

g(x)=–2x2 – 6x+4

x

–8

Respuestas • R33 b) 10, -62

37. a) Hacia arriba 49 1 c) a , - b 4 8 e)

3 d) a - , 0b , 12, 02 2

3 11 c) a , - b 2 4 e)

y

–2

x

4

41.

y

d) No hay intersecciones con el eje x

4

4 6 8 f(x)=–x2+3x – 5

y

47.

(3, 0)

–2

x

2

f(x)=(x-3)2

2

y

2 –4 –2

b) (0, 5)

39. a) Hacia abajo

6

x

8

–4

–4 –6

–6

y=2x2 – x – 6

43. f(x)=(x+1)¤ y

45.

6 4 2

8

8

6

6

f(x)=x2+3

4

(–1, 0)

–6 –4 –2 –2

49.

2

x

2

–4 –2

y

51.

(0, 3) 2

x

4

–4 –2

53.

6 (–4, 4)

2

4

6

55.

y 4 2

x

2

y 2 –4 –2 –2 (–1, –3)

2

61. a) f1x2 = ax -

b)

b)

y

4 ¢

x 6 8 (3, –1) f(x)=x2-6x+8

–2 –4

h(x)=–2(x+1)2-3

63. a) f1x2 = - 1x + 222 - 2 b) y 2

4

x

–4 –2 –2

1 3 , ≤ 2 4

2

x

4

–4

65. a) g1x2 = 1x - 222 - 9 b) y –2

2

4

6

67. a) f1x2 = 2 ax + b)

–6

–6

–8

–8 (2, –9) g(x)=x2 -4x-5

5 2 49 b 4 8

y

x

2

–4

f(x)=–x2 -4x-6

1 2 3 b + 2 4

y f(x)=x¤-x+1

2

–6

–4 –2 (–2, –2) –2

59. a) f1x2 = 1x - 322 - 1

4

x

4

4

6

y=–2(x-2)2+2

g(x)=–(x+3)2 -2

57.

2

–4

x

–8 –6 –4 –2

(2, 2)

–2 –2

2

x

8

x

y

–6 –4 –2 –2 (–3, –2)

4 (2, 3)

(0, –1)

2

8 f(x)=(x-2)2+3

4 2

2

f(x)=(x+4)2+4 y

8 6

y f(x)=x¤-1

–4

–2

2

4

–4 ¢–

5 49 ,– 8≤ 4

f(x)=2x2 +5x-3

x

x

R34 • Respuestas 69. d)

73. a) x = 7

71. b)

b) A = 121

75. a) x = 10.5 b) A = 240.25 77. a) n = 250

3 2 b - 12 5 2 89. a) Las gráficas tendrán las mismas intersecciones con el eje x, pero f(x)  x  8x  12 abrirá hacia arriba y g(x)  x2  8x  12 abrirá hacia abajo b) Sí; ambas en (6, 0) y (2, 0) c) No; vértice de f(x) en (4, 4), vértice de g(x) en (4, 4) d) 91. a) b) $2 c) $22 d) $12 e) $10,000 I y f(x)=x2 – 8x+12 93. a) 100 b) $3800 95. a) 40.425 metros b) 2.5 segundos 120 8 c) L5.37 segundos 80 4 97. a) L$40.17 b) 1992 c) L$16 40 99. 225 pies cuadrados x –8 –4 4 8 101. 16; 4 y 4 x –4 6 12 18 103. 400; 20 y 20 –40 –8 105. a) $142,400 b) 380 b) R = $1250 79. 2003 81. 4 unidades 83. 3 unidades 85. f1x2 = 21x - 322 - 2 87. f1x2 = - 4 ax +

I=–x2+24x-44, 0 x 24

g(x)=–x2+8x-12

107. a) f(t)  16(t  1.625)  45.25 2

110.

b) 45.25 pies, 1.625 segundos c) Iguales x 113. x + 6

111. 1- 2, 3, 22 112. - 8

y

109. 200p pies cuadrados

4 2 –4 –2 –2

2

x

4

–4

1. a) x 2 o x  5 b) 2 x 5 5. Sí, 2 y 1 hace que la fracción sea 0; no, 1 hace que la fracción sea indefinida 7.

Conjunto de ejercicios 8.6 11.

–4

13.

0

–4

35.

–4

6+3 2 2

43. 5x ƒ x 6 - 2 o x 7 46 53. 5y ƒ - 6 6 y … -26 63. 1 -3, 22 ´ 14, q 2 73.

4

8

55. e a ` a … -2 o a 7

65. 1 - 2, 14 ´ 36, q 2 –2

1 f 2

57. ex ` -

4 1 6x6 f 3 2

67. 1 - q , -72 ´ 30, 32 1

31. 1 - q , 02

77.

33.

–9+ 129 4

47. 5x ƒ x … - 1 o x 7 16

–2

–7

5 … x 6 2f 3

69. 1 - q , -42 ´ 11, 64 2

1 5

0

49. 5a ƒ - 5 6 a 6 46

59. ex ` -

79.

–1

5 25. a - 6, - b ´ 12, q 2 2

41. –9- 129 4

–7

–4

23. 1 - q , - 42 ´ 1 - 2, 32 8 29. c , q b 3

9.

4

17.

39.

45. 5x ƒ - 5 6 x 6 36

75.

6

6

–2

1 2

–3

5 27. a - 4, - b ´ 13, q 2 3

37.

0

4

21. 3 - 3, - 14 ´ 32, q 2

19. 6-3 2 2

15.

3. Sí; 

1

3 5 2

0

51. 5c ƒ c 6 4 o c 7 86 61. 1 - q , - 32 ´ 1 - 1, 52

5 71. c - , 3 d ´ 16, q 2 2 81. 4

2

4

85. a) (4, q); y  0 en este intervalo b) (q, 2) ª (2, 4); y 0 en este intervalo 4 2 x + 3 7 3 87. x2 + 2x - 8 7 0 89. Ú 0 91. Todos los números reales; para cualquier valor de x, x - 4 la expresión es  0 93. Todos los números reales excepto 1; para cualquier valor de x excepto 1, la expresión es  0 95. No hay solución; la gráfica abre hacia arriba y no tiene intersección con el eje x, de modo que siempre está por arriba del eje x 97. 99. x2  3x  0; multiplique los factores que tienen a los valores frontera

83.

–9

–5

–1

3

101. x2 0; x2 siempre es  0 103. (q, 3) ª (1, 1) ª (3, q) x - 1 111. 3r + 3s - 6t 112. 113. 38 - 9i x + 1

105. [2, 1] ª [2, q)

109. 6 cuartos

110. -1

Respuestas • R35 5 - 5 ; 2 115 1 3 3. - , 1 4. , 5. 3, 4 6. 7, - 3 2 3 4 4 7. -1 ; 16 8. - 3 ; 119 9. 1 ; 3i 10. 2 ; 2i17 11. a) 32 = 1x + 121x + 52 b) 3 12. a) 63 = 1x + 221x + 42 b) 5 13. 8, 9 14. L16.90 pies por L16.90 pies 15. Dos soluciones reales 16. No hay solución real 17. Una solución real 3 7 9 5 18. No hay soluciones reales 19. Una solución real 20. Dos soluciones reales 21. 0, 22. 5, 6 23. 8, - 1 24. 0, 25. , 3 4 2 3 5 1 - 2 ; 110 3 ; 133 1 ; i 1119 - 5.7 ; 143.53 5 26. , -3 27. 3 ; 12 28. - 2 ; 213 29. 30. 31. 32. 33. , 4 2 3 2 2.4 2 3 3 ; 3 13 1 3 2 3 7 ; 189 34. , 35. 10, - 6 36. , 37. 38. 39. f1x2 = x2 - 3x - 4 40. f1x2 = 3x2 + 4x - 4 4 2 3 2 10 2 41. f1x2 = x2 - 7 42. f1x2 = x2 - 6x + 13 43. 8 pies por 11 pies 44. 1128 L 11.31 45. 5% 46. 7, 9 47. 8 pulgadas por

Ejercicios de repaso del capítulo

12 pulgadas b) 150°C 56. 30

48. $475

49. a) 640 pies

1. 3 ; 216 2.

b) 7 segundos 50. a) 68 pies

52. mayor L 23.51 horas, menor L 24.51 horas 53. 50 mph

57. a = 2c2 - b2

2 3 64. , 2 5

63. ;212 , ; i13

c - h A 4.9

58. t = 65.

1 16

66.

59. vy = 2v2 - v2x

27 ,8 8

67. 4,

4 + 1416 L 3.05 segundos 51. a) 40 mililitros 8 54. 1.6 mph 55. l L 9.6 unidades, w L 7.6 unidades b)

60. v2 = 2v21 + 2ad

6 7 68. - , 5 2

13 8

69. 1 ; 2, 02, 1 ; 5, 02

72. 13 ; 117 , 02, 13 ; 16 , 02 73. a) Hacia arriba b) 10, 02 5 25 74. a) Hacia arriba b) 10, - 82 c) a - , - b d) 10, 02, 1 - 5, 02 2 4 c) 11, - 92 d) 1 - 2, 02, 14, 02 e) y e) y 2

–6 ¢–

–2

–4

x

2

70. a

x

2

4 , 0b 25

4 –8 –4 –4

5 25 ,– ≤ 2 4

–6 y=x¤+5x

–8

(0, –9)

(1, –9)

76. a) Hacia abajo b) 10, 152 1 121 5 b d) 1 - 3, 02, a , 0b c) a - , 4 8 2 e) y

77. a) $11 b) $9100 78. a) 2.5 segundos b) 160 pies 79. 2 y

–8

80.

4

8

y=–x2-9

–6 –4 –2 (–2, –3) –2

6

2

4 8

–4 –2 –4

–6

2

4 2

–2 –2

x

4

(3, 0)

6

–8

x

f(x)=–(x+2)2-3

y=–2x2-x+15

81.

82.

y (–4, –1)

–2 –2

2

x

y

83.

8

85.

6

–4

4

–6

2 (1, 3)

–8 g(x)=–2(x+4)2-1

–4 –2

86.

2

4

h(x)= 1 (x-1)2+3 2

x

87.

–6

84.

–1 11- 41 2

11+ 41 2

–4

4 3

3

3 2

–2

x

y

f(x)=(x-3)

1 121 ¢– , ≤ 4 8

71. Ninguno

75. a) Hacia abajo b) (0, 9) c) (0, 9) d) No hay intersecciones con el eje x e) y

y=x -2x-8

2

62. ; 4, ; 13

61. ; 2, ; 3

–5

2

x

R36 • Respuestas 89. 5x ƒ x 6 - 1 o x 7 36

88. – 5

92. e x ` -

5

5 6 x 6 6f 3

93. 5x ƒ - 3 6 x 6 - 1 o x 7 26

96. 1 - q , -52 ´ 1 - 2, 02 101.

–7

97. 1 - 2, 02 ´ 14, q 2 102.

–4

12.

8. v =

25 343 , - 216 13. a , 0 b 16 27

2K A m

–2

14.

99. 1 - 2, 34 ´ 15, q 2 5 3

23 10

b) L$2712.57 pies cuadrados 10. 50 mph 15.

8

–2 –2

4

–4

2

x

4 6 (2, –2)

(3, 2) 2

4

6

x h(x)=– 1 (x-2)2-2 2

17. a) Hacia arriba b) 10, - 82 c) 1 - 1, -92 d) 1 - 4, 02, 12, 02 e) 18. f1x2 = 2x2 + 11x - 6 20.

–3

–1

5 21. a) c - , - 2b 2

19.

–6

4

5 b) e x ` - … x 6 - 2 f 2

22. w  4 pies, l  12 pies 23. 5 segundos 24. a) 20 b) $500 25. 20

7

11. ;

110 , ;i110 2

‘16. Dos soluciones reales

y

6

–2

100. 1 - q , -32 ´ 30, 54

2 -7 ; 129 1. 3, -5 2. 2 ; i113 3. 7, -2 4. -4 ; 111 5. , - 1 6. 3 2

y f(x)=(x-3)2+2

2

4 95. c - , 1 d ´ 33, q 2 3

103.

2

9. a) $138,000

91. 5x ƒ x 6 - 3 o x Ú 26

94. 5x ƒ x … 0 o 3 … x … 56

98. 1 - q , - 32 ´ 12, 52

Examen de práctica del capítulo 7. f1x2 = 5x2 - 18x - 8

90. 5x ƒ - 2 6 x … 56

y –2 –2

4

x

–4 –6 –8

y=x2+2x-8

Créditos de las fotografías 42. Chuck Savage/Corbis. 54 (izquierda). Laurence Monneret/Getty Images, Inc.-Stone 54. Martyn Goddard/Corbis. 56. AP/Wide World Photos. 65. John P. Kelly/GettyImages, Inc.-Images Bank. 70 Centers for Disease Control and Prevention. 71. Picture Desk, Inc./Kobal Collection. 72. Michael T. Sedam/Corbis. 76. Simon Battensby/Getty Images, Inc.-Stone. 76 (izquierda). Jeff Greenberg/PhotoEdit. 76. Juan Silva Productions/Getty Images Inc.-Image Bank. 77 (izquierda). Allen R. Angel. 77. Giansanti Perrin/Cobis/Sygma. 79. Tom Stewart/Corbis. 86 (izquierda). Barbara Cushman Rowell/Mountain Light Photography, Inc. 86 (superior derecha) Allen R. Angel. 86. J. C. Leancock/ ImageState/International Stock Photography,Ltd. 87. Vincent Dewitt/Stock Boston. 88 (superior). Allen R. Angel. 88. Michael Newman/PhotoEdit. 89 (superior). George Hall/Corbis. 89. Allen R. Angel. 90. NASA Headquarters. 90. Corbis. 95. Getty Images, Inc. 100. Getty Images/Eye Wire,Inc. 104. Allen R. Angel. 118. Ed Bailey/AP/Wide World Photos. 119 (izquierda). Digital Vision 119. Allen R. Angel. 120. Allen R. Angel. 123. Sean Clayton/The Image Works. 124. Sheila Terry/Science Photo Library/Photo Researchers,Inc. 146. Gary Hershorn/TimePix. 151 (superior). Allen R. Angel. 151. Susan Van Etten/Photo Edit. 162. Ted Spiegel/Corbis. 165. Allen R. Angel. 179. Allen R. Angel. 180. Allen R. Angel. 188. Digital Vision. 189. Andy Crawford and Steve Gordon /Dorling Kindarsley Media Library. 190. Arne Hodalic/Corbis. 203. Craig Aurness/Corbis. 212. David Pu’u/Corbis. 232. David Stoecklein/Corbis. 233. Allen R. Angel. 234. Darrell Gulin /Corbis. 240. Bill Varie/Corbis. 241. Michael T. Sedam/Corbis. 241. Frank Siteman/PhotoEdit. 241. Bob Daemmerich/The Image Works. 242. Peter Cade/Getty Images,Inc.-Stone. 243. Allen R. Angel. 272. Bonnie Rauch/Photo Researchers, Inc. 275. Jeff Greenberg/PhotoEdit. 282. Jack Hollingsworth/Corbis. 314. Mug Shots. 350 (superior derecha). Allen R. Angel. 350. Getty Images,Inc. 361. NASA/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. 384. Richard Pasley/Stock Boston. 398. David R. Frazier/Photo Researchers, Inc. 404. G. Biss/ Masterfile Corp. 406. Allen R. Angel. 408. Allen R. Angel. 410 (superior). Allen R. Angel. 410. Dennis Marsico/Corbis. 411. Allen R. Angel. 412 (ambas fotografías). Allen R. Angel. 413 (derecha). Kit Houghton/Corbis. 413. Allen R. Angel. 420. Allen R. Angel. 421. Randi Anglin/The Image Works. 422. Allen R. Angel. 423. Allen R. Angel. 426. Allen R. Angel. 430. Ron Brazil/Corbis. 446. Gary Walts/The Image Works. 448. S. McBrandy/PhotoEdit. 479. Walter Schmid/Getty Images,Inc.-Stone. 482. Tom &Dee McCarthy/Corbis. 483. NOAA/Phil Degginger/Color-Pic.,Inc. 494. Chris Everard/Getty Images,Inc.-Stone. 498. Picture Press Bild und Textagentur GmbH. 499. Hults/Ricke/Photo Researchers,Inc. 401. Jose L. Pelaez/Corbis/Stock Market. 524. NASA/Masterfile Corp. 534. Allen R. Angel/Elvis Presley Enterprises, Inc. 534. Allen R. Angel/Elvis Presley Enterprice, Inc. 556. Allen R. Angel. 558. Allen R. Angel. 574. Michael Melford, Inc./Getty Images, Inc.-Image Bank. 575. Tony Freeman/Photo Edit. 576. Chris Arend/Alaska Stock.

C1

2A INTRO ALGEBRA

13/11/2007

Capítulo 2

18:50

Page 2

Ecuaciones y desigualdades 4. Compruebe la respuesta (usando el planteamiento original del problema).

Propiedad de la suma para la igualdad: Si a=b, entonces a+c=b+c. Propiedad de la multiplicación para la igualdad: Si a=b, entonces a  c=b  c.

5. Responda la pregunta que se hizo. Fórmula de la distancia: d=rt. Desigualdades

Procedimiento de resolución de problemas de aplicación 1. Entienda el problema. Identifique la cantidad o cantidades que se le pide determinar. 2. Traduzca el problema a un lenguaje matemático (exprese el problema como una ecuación). a) Elija una variable para representar una cantidad y escriba exactamente lo que representa. Declare cualquier otra cantidad que se determinará en términos de esta variable. b) Usando la información de la parte a), escriba una ecuación que represente el problema. 3. Realice los cálculos matemáticos (resuelva la ecuación).

Capítulo 3

Si Si Si Si Si Si

a>b a>b a>b a>b a>b a>b

entonces a+c>b+c. entonces a-c>b-c. y c>0 entonces a  c>b  c. y c>0 entonces a/c>b/c. y c0 entonces ac>bc.

Desigualdades

b a 7 . c c Si a>b y c0 entonces

Si a>b y c