Introducción a Matlab (Ajuste de Datos) (1)

1

1. MODELAMIENTO EN BASE A DATOS EXPERIMENTALES 1. Ajustar datos a un modelo Lineal Se propone los siguientes pares de valores medidos, para la variable independiente x y el correspondiente valor de la variable dependiente y. XI 1.0 1.8 2.0 3.0

YI 1.0 3.0 1.8 2.9

Solución 1. Ingreso de datos >> x=[1.0; 1.8; 2.0; 3.0]; >> y=[1.0; 3.0; 1.8; 2.9];

2. Ingreso del grado del polinomio >> n=1;

3. Ajuste de los datos (x, y) a un polinomio (p) de grado (n) >> p=polyfit(x,y,n) p = 0.8547

0.5084

Son los coeficientes del polinomio, por lo que la recta que representa los datos tiene la ecuación: y = 0.8547 x + 0.5084 4. Cálculo de los valores ajustados de y >> yaj = polyval(p,x) yaj = 1.3631 2.0468 2.2177 3.0724

5. Diferencia entre valores ajustados y datos reales (error) >> error= y-yaj ans = -0.3631 0.9532 -0.4177 -0.1724

6. Suma del los errores >> sum(error) ans = 1.1102e-015

1

2

7. Grafica de los puntos representando a los datos reales >> plot(x,y) >> plot(x,y,'r+') 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

8. Gráfica de los valores ajustados 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4

1

1.2

1.4

1.6

2.6

2.8

3

9. Graficando la recta >> xvar=1:0.1:3; >> yvar=0.8547*xvar + 0.5084; >> plot(xvar,yvar)

2

3

10. Graficando los valores reales en la misma gráfica >> hold Current plot held >> plot(x,y,'r+')

3.5

3

2.5

2

1.5

1

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

11. Arreglando la figura: malla, eje x, eje y, leyenda, título >> >> >> >> >>

grid ylabel('y') xlabel('x') legend('Valores ajustados','Datos experimentales') title('AJUSTE A MODELO LINEAL')

3

4

AJUSTE A MODELO LINEAL 3.5 Valores ajustados Datos experimentales 3

y

2.5

2

1.5

1

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2 x

2.2

2.4

2.6

2.8

3

Programa MATLAB para ajustar datos: ajuste.m clear all disp(' ') disp('Este programa calcula los coeficientes de un polinomio') disp('P(x) de grado n que se ajusta a los datos p (x(i)~=y(i))') disp('en el sentido de mínimo error cuadrático') disp('Los coeficientes son dados en orden decreciente de potencia') disp('*************************************************************') disp(' ') x=input('Ingrese los valores de x entre [ ]:'); y=input('Ingrese los valores de y entre [ ]:'); n=input('Ingrese el grado del polinomio:'); p=polyfit(x,y,n) disp('Son los coeficientes del polinomio de la forma') disp(' Cn x^n + Cn-1 x^(n-1) + ... + Co = 0') disp('Desea comparar los datos ajustados con experimentales') d=input(' si(1) no(0): '); if d==1 f = polyval(p,x); yc=[x; y; f; y-f]'; disp(' x y f y-f') fprintf(' %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f\n',yc) %mla = [x; y; f; y-f]'; %dsply(mla,' x y f y-f') disp(' ') g=input('Desea graficar los datos si(1) no(0): '); if g==1 figure l=length(x); xfit=x(1):l/50:x(l); yfit = polyval(p,[xfit]); plot(x,y,'o', xfit,yfit); grid on ylabel('y') xlabel('x')

4

5 legend('Datos experimentales','Valores ajustados') elseif g==0 end elseif d==0 end

Uso de las Herramientas Graficas de MATLAB >> x=[1.0 1.8 2.0 3.0]' x = 1.0000 1.8000 2.0000 3.0000 >> y=[1.0 3.0 1.8 2.9]' y = 1.0000 3.0000 1.8000 2.9000 >> plot(x,y)

5

6

6

7

7

8

2. Cinética de Michaelis Menten Michaelis y Menten propusieron un modelo simple para explicar la mayoría de las reacciones catalizadas por enzimas. En este modelo la enzima se combina reversiblemente con su substrato para formar el complejo enzima-sustrato (ES) que subsecuentemente se rompe para formar el producto, hecho que regenera a la enzima. El modelo para una molécula de sustrato se muestra a continuación:

ES en donde:

k1 k2 ES EP k 1

(1)

S es el substrato E es la enzima ES es el complejo enzima substrato o complejo de Michaelis y Menten k1,k-1 y k2 son las constantes de velocidad de la reacción.

La ecuación de Michaelis y Menten describe como varía la velocidad de reacción con la concentración de sustrato:

V0 

en donde:

Vmax S  K m  S 

(2)

v0 es la velocidad inicial de la reacción Vmax es la velocidad máxima Km es la constante de Michaelis y Menten=

k 1  k 2 k1

S es la concentración de sustrato

Determine los Parámetros de Michaelis-Menten Vmax y Km para la reacción de hidrólisis de urea a dióxido de carbono y amoníaco. (NH2)2CO + H2O → CO2 + 2NH3 La ureasa es una enzima que cataliza la hidrólisis de urea a dióxido de carbono y amoníaco. La reacción ocurre de la siguiente manera

urea + ureasa

k1

[urea•ureasa]* + H2O

k-1

[urea•ureasa]* + H2O

k2

CO2 + 2NH3 + ureasa

La velocidad de reacción es dada como una función de la concentración de urea en la siguiente tabla

8

9

Concentración de urea Curea (kmol/m3) 0.6 0.4 0.2 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001

Vurea (kmol/m3 · seg) 1.80 1.45 1.07 0.54 0.36 0.19 0.085 0.06

Solución Usando la Ecuación 2 VO 

Vmax  Curea K m  Curea

(3)

y reacomodando se tiene:

K 1 1 1   m  VO Vmax Vmax Curea

(4)

Una gráfica del reciproco de la velocidad de reacción versus el reciproco de la concentración de urea debería dar una línea recta con una intersección 1/Vmax y la pendiente Km/Vmax. Solución 1. Ingreso de datos >> x=1./[0.6 0.4 0.2 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001]'; >> y=1./[1.8 1.45 1.07 0.54 0.36 0.19 0.085 0.06]';

2. Ajuste a un polinomio de primer orden >> p=polyfit(x,y,1) p = 0.0167

1.1741

3. Intersección en el punto x=0 >> Intersec=polyval(p,0) Intersec = 1.17410

4. Cálculo de la velocidad máxima >> Vmax=1/Intersec Vmax = 0.8517

9

10

5. Cálculo de la pendiente >> pend= (polyval(p,x(n))-polyval(p,x(1)))/(x(n)-x(1)) pend = 0.01673

6. Càlculo de Km >> Km=pend*Vmax Km = 0.0143 7. Graficando datos >> xo=min(x); >> xn=max(x); >> xs=xo:(xn-xo)/10:xn; >> ys=polyval(p,xs); >> plot(x,y,'ro',xs,ys) >> legend('Valores Observados','Valores Estimados') >> grid >> xlabel('1/Concentración') >> ylabel('1/Velocidad') >> title('CINETICA DE MICHAELIS MENTEN') >>

CINETICA DE MICHAELIS MENTEN 18 Valores Observados Valores Estimados

16 14

1/Velocidad

12 10 8 6 4 2 0

0

100

200

300

400 500 600 1/Concentración

700

800

900

1000

10

11

2. Ejercicios 1. Se propone los siguientes pares de valores medidos, para la variable independiente x y el correspondiente valor de la variable dependiente y. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 148.00 1487.00 3807.00 10498.00 17551.00 34057.00 48905.00 76987.00 109193.00 147413.00

Ajustar los datos a un polinomio de 2, 3, 4 y 5to grado Solución: Polinomio de grado 2

11

12

Polinomio de grado 3

12

13

Polinomio grado 4

13

14

Polinomio grado 5

14

15

2. En la ingeniería de abastecimiento de aguas, el tamaño del reservorio depende de la estimación exacta del flujo de agua en el río del cual se toma. Para algunos ríos es difícil obtener registros históricos de muchos años atrás de tales datos de flujo. Por el contrario, datos meteorológicos sobre precipitación de muchos años atrás están a menudo disponibles. Por tanto, con frecuencia es útil determinar una relación entre el flujo y precipitación. Esta relación se puede entonces usar para estimar flujos por años pero solo cuando se hicieron dichas mediciones de precipitación. Para un río que se va a encauzar a un dique, se tienen los siguientes datos: Precipitación, cm Flujo, m3/s 88.9 114.7 101.6 172.0 104.1 152.9 139.7 269.0 132.1 206.4 94.0 161.4 116.8 175.8 121.9 239.0 99.1 130.0 a) Grafique los datos b) Ajuste a una línea recta. Sobreponga la línea de su gráfica c) Use la mejor línea de ajuste para predecir el flujo de agua anual si la precipitación es de 120 cm. Solución:

15

16

Flujo para 120 cms. >> 2.563*120-104.1332 ans = 203.4268 m3/s

16

17

3. La concentración de fósforo total (p en mg/cm3) y clorofila (c en mg/m3) para cada uno de los grandes lagos es:

Lago Superior Lago Michigan Lago Hurón Lago Erie Cuenca oeste Cuenca central Cuenca este Lago Ontario

P 4.5 8.0 5.5

C 0.8 2.0 1.2

39.0 19.5 17.5 21.0

11.0 4.4 3.8 5.5

La clorofila c es un parámetro que indica cuanta vida de plantas está suspendida en el agua. Como tal, indica qué tan turbia y opaca aparece el agua. Use los datos anteriores para determinar una relación c como una función de p. Use esta ecuación para predecir el nivel de clorofila que puede esperarse si el tratamiento de desechos es usado para disminuir la concentración de fósforo en la cuenca oeste del Lago Erie a 15 mg/m3. Solución:

17

18

4. Tres organismos portadores de enfermedades decaen de manera exponencial en las aguas de un lago de acuerdo con el siguiente modelo: p(t) = Ae-1.5t + Be- 0.3t + Ce-0.05t Calcule la población inicial de cada organismo (A, B y C) dadas las siguientes mediciones: Solución: T, HR

P(T)

0.5

7

1

5.2

2

3.8

3

3.2

4

2.5

5

2.1

6

1.8

7

1.5

8

1.2

9

1.1

f(A,B,C)=

-1.95E-14

p corrgido

g(A,B,C)=

-0.4338

A

B

C

7.00

h(A,B,C)=

-0.86758

7.77368547

2.171017

1.496303

4.77

i(A,B,C)=

-0.943092

2.93

j(A,B,C)=

-0.601764

2.26

k(A,B,C)=

-0.445959

1.90

l(A,B,C)=

-0.331685

1.65

m(A,B,C)=

-0.179504

1.47

n(A,B,C)=

0

1.32

o(A,B,C)=

0

1.20 1.10

y=

2.533537

18

19

2. POLINOMIOS 1. Ejemplo1. El balance de energía para la hoja de una planta cuya temperatura no se altera con el tiempo puede estar escrito como

QA = hc(T – A) + σєT 4 + LE,

(1)

donde QA = radiación solar y térmica total absorbida por la hoja he = coeficiente de transferencia por convección T , A= temperatura de la hoja y del aire respectivamente (Kelvin) σ = constante de Stephan-Boltzmann є = emisividad de la hoja para la radiación térmica de onda larga L = calor latente de vaporización del agua E = densidad de flujo de perdida de agua evaporativa. Si los poros de la hoja fueran cerrados, entonces E debería estar cerca de cero. Encontremos la temperatura de la hoja para tal caso, cuando f(T) = QA – hc(T – A) – σєT 4 - LE, o f(T) = –QA + hc(T – A) + σєT 4 = 0

(2)

QA = 80 mW cm–2, hc = 4 mW cm –2 deg –1 , A = 300 °K, σ = 5.67 x 10–9 mW cm-2 deg -1, y є = 0.97.

f(T) = 5.5 x 10 –9 T 4 + 4 T – 1280 = 0,

(3)

>> enbal=@(x)(5.5e-9)*x^4 +4*x - 1280; >> Tsteady=fzero(enbal,300) Tsteady = 307.6778 (El 300 en fzero es opcional, pero proporciona un valor inicial a Matlab en la búsqueda de la raíz.) Como la presente función es cuadrática, podemos usar la función “roots” de MATLAB para encontrar las raíces >> func =[5.5e-9 0 0 4 -1280]; >> roots(func) ans = 1.0e+002 * -9.8749 3.3991 + 8.0650i 3.3991 - 8.0650i 3.0768

19

20

Notar que solamente la última de las raíces es de interés físico en este caso 2. Ejemplo 2. El déficit de oxígeno en una corriente debido a una descarga de aguas residuales es a menudo modelado usando la solución de las ecuaciones de Streeter-Phelps. Una forma es:

D(t ) 





kB0 kt e  e rt  D0 e rt rk

Donde D = déficit de oxígeno (relativo a saturación) [mg L-1] D0 = valor inicial de D en el punto de descarga [mg L-1] B0 = valor inicial de la concentración de DBO en el punto de descarga [mg L-1] k = coeficiente de velocidad de oxidación [dia-1] r = coeficiente de aeración [dia-1] Supongamos que para una descarga particular: D0 = 1.59 mg L-1 B0 = 6.75 mg L-1 k = 0.607 dia-1 r = 0.76dia-1 a) Graficar D(t) para t entre 0 y 3 días. b) Suponer que un determinado tipo de pez no puede sobrevivir en la corriente si el déficit de oxígeno D > 2 mg L -1 . También suponga que la corriente fluye e una velocidad de 1.5 ft s-1 Luego determine el rango de distancia corriente abajo desde el punto de descarga donde este pescado no puede sobrevivir.

D(t ) 

0.607  6.75 0.607t e  e 0.76t  1.59e 0.76t 0.76  0.607





D(t )  26.7794  e 0.607t  26.7794  e 0.76t  1.59e 0.76t D(t )  26.7794  e 0.607t  25.1894  e 0.76t Solución >> t=0:1/24:3; >> D=26.7794*(exp(-0.607*t))-25.1894*(exp(-0.76*t)); >> plot(t,D)

Graficando y usando las herramientas: Insert y Data Cursor

20

21

Tiempo transcurrido desde el punto instante de descarga = 2.667 dias Luego, el rango de distancia es Velocidad x tiempo Distancia es = 2.667 dias x 1.5 pies/s x 3600 s/h x 24h/dia = 345640 pies (2.667*1.5*3600*24)/(3.28*1000) = 105.38 Km

ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES Las ecuaciones lineales surgen: 

Como modelos matemáticos naturales de situaciones reales, a menudo como resultado de una cantidad variando en proporción con uno o más variables



Como aproximaciones para los modelos no lineales, al usar las primeras dos condiciones de una serie Taylor



Como etapas en solucionar otros problemas, incluyendo ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y en el ajuste de curvas (regresión)



Como una manera de encontrar la solución de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales en los balances al estado estacionario.

21

22

Ejemplos 3. Contenido calórico de insectos en peces a) Modelamiento Supongamos que las truchas de un lago se están alimentando de dos especies de insectos, por decir mosquitos y polillas, si estamos interesados en determinar el valor calórico suministrado al pez por cada una de las dos especies de insectos, si atrapamos dos peces y examinamos sus contenidos del estomago, podríamos determinar el número de cada tipo de insectos comido por cada pez y usar una bomba calorimétrica para medir el contenido calórico de cada estomago. Supongamos que encontramos: Pescado A B

No. De No. De Contenido calorico mosquitos polillas del estomago 18 12 660 14 8 480

Si ahora denominamos x1 al contenido calórico promedio de cada mosquito comido y x2 al contenido calórico promedio de las polillas comidas 18x1 + 12x2 = 660 14x1 + 8x2 = 480 La verificación de unidades es simple,

 cal   = cal. mosquitos x   mosquito  b) Solución del Modelo En notación matricial, el sistema anterior se escribe:

A x  b 18 12  x1  660 14 8    x   480    2   >> A=[18

12; 14

8]

A = 18 14

12 8

>> b=[660; 480] b = 660 480 >> x=A\b

22

23

x = 20.0000 25.0000

x1 = 20 cal/mosquito y x2 = 25 cal/polilla 4. Proceso de tratamiento de metales Las superficies de metal son a menudo limpiadas usando solventes orgánicos en un tanque desengrasador abierto por el tope. Uno de los solventes ampliamente usados para tales operaciones es 1,1,1 – tricloroetano (TCE). El TCE pertenece a un grupo de productos químicos altamente estables conocido como agotadores de ozono. La Figura 3.2 bosqueja una operación típica que desengrasa. El factor de emisión para el proceso mostrado es estimado a ser 0.6 lb/lb de TCE entrando en el desengrasador. F13 F01

F12

Desengrasador (1)

Recuperación de Solvente (2)

F24

F21

Figura 3.2. Esquema de una operación típica de desengrasado. El solvente del desengrasador es enviado a una unidad de recuperación de solvente donde 80 % del solvente es recobrado y 20 % del solvente es evacuado con el lodo. 1. Para averiguar la viabilidad de la instalación de un sistema de recuperación de vapor, determinar la cantidad de TCE enviado a la atmósfera por la libra de TCE nuevo usado. 2. Si el sistema de recuperación de vapor es 90 % eficiente, determine la fracción de tricloroetano perdido a la atmósfera y la fracción yendo con el lodo. Solución a. Modelamiento del sistema Asumiendo una base de 1 lb para F01. Las ecuaciones de balance de masa alrededor de las dos unidades para el proceso sin la unidad de recuperación de vapor es: 1 + F21 = F12 + F13

(1)

F12 = F21 + F24

(2)

La Ecuación para la cantidad de emisiones de TCET en términos de la cantidad de TCE entrando al desengrasador es: F13 = 0.6 ( 1 + F21 )

(3) 23

24

En adición, la cantidad de TCE recuperado en términos de la cantidad de solvente entrante a la unidad de recuperación es F21 = 0.8F12

(4)

Tomando las Ecs (1), (3) y (4) se tiene el sistema: F12 + F13 F21 F13 - 0.6 F21 0.8F12 F21

=1 = 0.6 =0

(1) (3) (4)

En notación matricial, el sistema anterior se escribe:

A x  b

(3.3)

 1 1 1  A   0 1  0.6 , 0.8 0  1 

 F12  x   F13  ,  F21 

1  b   0  0.6

b. Solución Del Modelo: Usando Matlab >> A=[1 1 -1; 0 1 -0.6; 0.8 0 -1] A = 1.0000 0 0.8000

1.0000 1.0000 0

-1.0000 -0.6000 -1.0000

>> b=[1; 0.6; 0] b = 1.0000 0.6000 0 >> x=A\b x = 0.5882 0.8824 0.4706

Con lo cual se tiene: F12 = 0.5882 lbs F13 = 0.8824 lbs F21 = 0.476 lbs Además: F24 = 0.2 (F12) = 0.2* 0.5882 = 0.1176 lbs

24

25

Problemas Propuestos 1. Efectuar los cálculos para el proceso de tratamiento de metales cuando se adiciona una unidad de recuperación de vapor. F35

Recuperación de vapor (3) F31

F01

F13

Desengrasador (1)

F12

Recuperación de Solvente (2)

F24

F21

Figura 3.3. Esquema de la operación de desengrasado con una unidad de recuperación de vapor

25