Introducción A Los Problemas

 

Introducción a los Problemas  



Movimiento: 

Tomando como referencia un punto fijo, un cuerpo está en movimiento cuando cambia de lugar. Si permanece en el mismo lugar, está en reposo. Al recorrido entre el punto de partida del cuerpo y el punto final se le llama trayectoria; al cuerpo que se mueve, móvil .  



Rectilíneo: 

El movimiento se clasifica según el tipo de trayectoria, por ejemplo, es rectilíneo si la trayectoria es una línea recta, o circular si es una circunferencia o un arco. Rectilíneo:

Circular:

 



Uniforme: 

 

El movimiento es uniforme si la velocidad (que veremos ahora) es siempre la misma, es decir, si la velocidad es constante. Si no es uniforme, el movimiento es acelerado  (aunque la aceleración  puede ser uniforme, o sea, constante).  



Velocidad: 

La velocidad es el espacio recorrido por unidad de tiempo. En otras  palabras, lacantidad  lacantidad  de  de espacio que se recorre en un tiempo determinado. En un movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad es v=xtv=xt 

donde v  es la velocidad, x velocidad, x  la distancia o espacio recorrido y t  el   el tiempo necesario para recorrer la distancia x distancia x.. su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo, m/s m/s.. Esto es, el recorrido o espacio se mide en metros metros y  y el tiempo en segundos en segundos.. La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente proporcional al tiempo, lo que quiere decir que, fijado el tiempo t , cuanto mayor es la velocidad, mayor es la distancia recorrida; o  bien, fijada la distancia re recorrida, corrida, cuanto menor es el tiempo, mayor es la velocidad.  



Gráfica v(t) : velocidad en función del tiempo 

La siguiente gráfica muestra la velocidad de dos móviles: un móvil que se mueve de forma uniforme y otro que se mueve de forma acelerada.

 

  Según esta gráfica, el móvil A móvil  A,, con movimiento uniforme tiene una velocidad constante de 2m/s 2 m/s por  por lo que su gráfica es una recta horizontal. Si la gráfica de v(t) v(t)  no es una recta horizontal, el movimiento no es rectilíneo uniforme. En el movimiento acelerado del otro móvil, B móvil, B,, la velocidad no es constante, sino que va decreciendo hasta llegar a 0, es decir, hasta que el móvil se detiene en el tiempo t = 6s. 6s. En el movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante), la gráfica v(t) siempre es una recta horizontal. 

Si consideremos el rectángulo que forma la gráfica v(t) v(t)  

Sus lados son: la base es el tiempo transcurrido, t ; y la altura es la velocidad, v(t) v(t).. El área del rectángulo es área=v⋅tárea=v⋅t 

 

Y sabemos que el espacio recorrido es la velocidad por el tiempo. Por tanto, el área del rectángulo es el espacio recorrido.  



Gráfica  x(t  x( t) : distancia en función del tiempo 

La siguiente gráfica muestra el espacio recorrido por dos movimientos rectilíneos uniformes: móvil A,, con velocidad 5km/h 5km/h;; y el del móvil B móvil B,, con velocidad 7 km/h.. el del móvil A 7km/h

Podemos observar que en ambos casos la gráfica x(t) gráfica x(t)  es una recta no horizontal. Esto se debe a que la ecuación de la distancia es x=v tx=v t  ⋅

⋅

siendo v una constante. La pendiente de la recta depende del valor de la velocidad v. Cuando mayor es v, más rápido crece la recta. rec ta. Por esta razón, la pendiente de la gráfica del móvil B móvil  B es  es mayor que la del móvil A móvil A.. Este hecho es bastante lógico puesto que la gráfica indica la distancia recorrida y, por tanto, cuando mayor sea la velocidad, mayor es la distancia recorrida. Si la gráfica  x(t  x( t)  no es una recta, el movimiento no es rectilíneo uniforme.

 

A cvamos a resolver problemas de movimiento rectilíneo uniforme .

10 Problemas resueltos

Problema 1 

Un camión se mueve a velocidad constante de 90km/h por una autopista recta. a.  ¿qué distancia recorre en 2 horas?  b.  ¿qué distancia recorre por segundo? c.  ¿cuánto tardará en recorrer 10km? Ver solución

La velocidad del camión es

expresada en kilómetros (espacio) por hora (tiempo). Apartado a: 

La ecuación del movimiento es

donde conocemos la velocidad y el tiempo. Queremos obtener la distancia recorrida: aislamos la x la x antes  antes de sustituir en la ecuación:

Ahora sustituimos los datos

 

Hemos escrito las unidades de tiempo para tratarlas como factores, de este modo, como el tiempo, h, está multiplicando y dividiendo, desaparece, quedando únicamente la unidad de distancia, km km.. Por tanto, el camión recorre 180 kilómetros en 2 horas. Apartado b: 

De nuevo tenemos que calcular la distancia, pero ahora, en un tiempo de 1 segundo. Sabemos que la distancia recorrida es

 Notemos que en el denominador ttenemos enemos el ti tiempo empo en horas y en el numerador en segundos. Necesitamos la misma unidad. Para ello, pasaremos las horas a segundos. Una hora son

Entonces, escribimos 3600s donde tenemos la h:

Como las unidades del tiempo son la misma, se han anulado. El espacio recorrido obtenido está en kilómetros, por lo que si queremos evitar los decimales podemos pasarlo a metros:

Por tanto, el camión recorre 25 metros cada segundo. Apartado c : 

Ahora sabemos la distancia, x distancia, x = 10km , y tenemos que calcular el tiempo. Aislamos el tiempo en la ecuación:

 

  y sustituimos los datos

 Notemos que las horas están dividiendo en el denominador, por lo que pasan multiplicando al numerador. Escribimos el tiempo en minutos para evitar los decimales:

Para ser más exactos,

Por tanto, el camión tarda unos 6 minutos y 40 segundos en recorrer 10km.

Problema 2 

La velocidad de la luz en el vacío es c = 300 000 km/s. La luz del Sol tarda en llegar a la Tierra 8 minutos y 19 segundos. Calcular la distancia entre el Sol y la Tierra. Ver solución

Problema 3 

Dibujar la gráfica del espacio recorrido en función del tiempo y la gráfica de la velocidad en función del tiempo del movimiento rectilíneo uniforme de una aeronave que vuela a 1200 km/h.

 

Ver solución

La ecuación del movimiento rectilíneo uniforme es

Sustituimos la velocidad y obtenemos

Como la velocidad está en kilómetros por hora, la unidad de medida del tiempo, t , será horas y la del espacio, x espacio, x,, en kilómetros. Para dibujar la gráfica del espacio recorrido en función del tiempo, damos dos valores a t  y  y dibujamos el par (x,t) (x,t).. Escogemos, por ejemplo,

Una vez dibujados los puntos

Sólo tenemos que unirlos en línea recta ya que sabemos que en este tipo de movimiento el espacio es una recta con pendiente la velocidad (la ecuación es una ecuación lineal):

Como la velocidad es constante, la gráfica de v(t) v(t) será  será una recta horizontal, una recta paralela al eje de abscisas:

 

 

Problema 4 

La siguiente gráfica representa la velocidad (km/h) en función del tiempo de un automóvil. Calcular la distancia que recorre el automóvil sin hacer uso de las ecuaciones del movimiento ya que se trata de un movimiento con velocidad no constante.

Ver solución

Sabemos que el espacio recorrido es

y que, por tanto, el área que se encuentra por debajo de la gráfica de la velocidad en función del tiempo es el espacio recorrido. Para calcular el área tenemos que dividirla en tres polígonos:

 

  El primer polígono lo dividimos en un rectángulo y un triángulo: El área del rectángulo es

El área del triángulo es

Procedemos de igual modo con el segundo polígono: El área del rectángulo es:

Y la del triángulo es

El último polígono es un rectángulo de base 1 y altura 3. Su área es

Ahora sumamos todas las áreas y tendremos la distancia recorrida:

 

Por tanto, el espacio recorrido son 17 km. Sabemos Sab emos que son kilómetros porque en la gráfica el tiempo está en horas y la velocidad en kilómetros por hora.

Problema 5  En un movimiento rectilíneo con velocidad no constante, la velocidad media es

donde x donde  x es  es la distancia recorrida final y t  el  el tiempo transcurrido. La velocidad media es la velocidad que el móvil debería tener para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo realizando un movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante. Sabemos que un cohete espacial recorre 120km a una velocidad constante de 500km/h. Cuando alcanza los 120km, su velocidad pasa a ser, de forma instantánea, 900km/h. A esta velocidad recorre otros 120km. Calcular la velocidad media del cohete. Ver solución

Problema 6 

Las siguientes tablas recogen los tiempos y las distancias recorridas por dos ciclistas que parten en el mismo instante desde el mismo origen y en el mismo sentido en línea recta:

 

  Dibujar las gráficas que corresponden a los datos para responder a las siguientes  preguntas: a.  ¿las velocidades son constantes o los movimientos son acelerados?  b.  calcular la velocidad media de cada ciclista. c.  ¿qué ciclista habrá recorrido una distancia mayor transcurridas 3 horas desde el instante de la salida? Ver solución Apartado a: 

Sabemos que en el movimiento rectilíneo uniforme la gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo tiene que ser una recta. Por tanto, la velocidad del ciclista 2 no puede ser constante. Podemos comprobar que la velocidad del ciclista 1 es constante

Y obtenemos esta velocidad para cualquier para de datos de la tabla que tomemos. En cambio, para el ciclista 2 tenemos que, para el tiempo t = 10 min, min, la velocidad es

Mientras que para el tiempo t = 20 min 20 min la velocidad es

 

Y cada vez obtenemos una velocidad mayor. La velocidad no es constante, es un movimiento acelerado.

Apartado b: 

La velocidad media es la velocidad que debería tener el móvil para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo con velocidad constante. Como la velocidad del ciclista 1 es constante, su velocidad media es dicha velocidad, es decir,

La velocidad del ciclista 2 no es constante. Su velocidad media es la distancia recorrida entre el tiempo empleado, esto es,

Apartado c  

 

Puesto que no sabemos exactamente cómo es el movimiento del ciclista 2, no  podemos estar seguro de quién recorrerá más distancia. Pero a partir de los 80 minutos, la gráfica del ciclista 2 crece más rápidamente que la del ciclista 1. Si suponemos que las gráficas siguen con el mismo crecimiento, transcurridas las 3 horas, la gráfica del ciclista 2 crecerá por encima de la otra gráfica y, por tanto, la distancia recorrida será mayor.

Problema 7 

En el mismo instante, una motocicleta sale de la ciudad A y otra de la ciudad B, con la intención de encontrarse en el e l camino recto de 60 kilómetros que une ambas ciudades. Sabiendo que las velocidades de las motocicletas son 70km/h y 55km/h, calcular cuánto tardarán en encontrarse. Ver solución

El diagrama de la situación es

Como cada motocicleta circula a una velocidad, no se encuentran en la mitad del camino. La que tiene una velocidad menor habrá recorrido x kilómetros y, por tanto, la otra habrá recorrido 60-x, ya que la suma de ambas distancias ha de ser la distancia que hay entre las ciudades. En efecto,

Por otro lado, el tiempo es el mismo para ambas motocicletas ya que salen en el mismo instante. La ecuación del movimiento rectilíneo uniforme es

 

Para la motocicleta que circula a 55km/h tenemos

Y, para la otra

Tenemos un sistema de ecuaciones:

Sustituimos la primera ecuación en la segunda:

Resolvemos la ecuación de primer grado:

Por tanto, las motocicletas se encuentran transcurridos unos 29 minutos desde su salida.

Problema 8 

En una persecución policial, el automóvil a la fuga lleva una velocidad de 140km/h cuando pasa por un determinado punto de una carretera. Tres minutos después, el automóvil oficial que sigue al anterior pasa por dicho punto a una velocidad de tan solo 230km/h para evitar causar un accidente con los demás vehículos de la carretera a causa de un exceso de velocidad. Se supone que las velocidades indicadas son constantes y la carretera es recta. Calcular cuánto tardará la policía en alcanzar al delincuente. Ver solución

 

Puesto que las velocidades son en kilómetros por hora, para el tiempo usaremos horas. Tres minutos son 3/60 h = 0.05 h . El determinado punto de la carretera es el punto de referencia que usaremos. Este  punto será x será x = 0.  0.  El punto donde se encuentran, que no sabemos cuál es, lo llamaremos z  llamaremos z . Usaremos la siguiente notación:  x1 , v1 son el espacio recorrido y la velocidad, respectivamente, del automóvil a la fuga.  x2 , v2  son el espacio recorrido y la velocidad, respectivamente, del automóvil  policial Por tanto, tenemos que

Sin embargo, la ecuación para la policía es

Ya que la policía comienza el movimiento 0.05 horas después (consideramos que el movimiento comienza cuando el vehículo pasa por el punto x punto x = 0). 0). Por tanto,

La policía alcanzará al delincuente cuando ambos automóviles hayan recorrido la misma distancia, dicho matemáticamente, cuando

Esto ocurrirá en el punto que hemos llamado anteriormente anteriormente z   z . La igualdad x igualdad x1 = x2 es la misma que (sustituyendo las ecuaciones)

Tenemos una ecuación de primer grado. La resolvemos:

 

  Despejamos el tiempo t=11.590 0.13ht=11.590 0.13h  ≃

≃

0.13h 60=7.8min0.13h·60=7.8min  ⋅

Por tanto, la policía tardará aproximadamente 8 minutos en alcanzar al delincuente.

Problema 9 

Las ciudades A y B distan 600 kilómetros. Hay un tren de alta velocidad que circula entre ambas ciudades a 320km/h. En otra ciudad, C, a 150 kilómetros en línea recta de la ciudad A y a 512 kilómetros en línea recta de la ciudad B, un motorista tiene que decidir qué ruta tomar para llegar a la ciudad B. Las posibilidades son las siguientes: a.  viajar desde C hasta B en su motocicleta  b.  viajar desde C hasta A en su motocicleta y desde A hasta B en tren Encontrar más rápida sabiendo que en la cuanto velocidad a la que circula la motocicletalaesruta 120km/h. ¿Es la ruta más corta a distancia? Ver solución

La situación de las ciudades es la siguiente

 

Los movimientos son rectilíneos uniformes, por lo que usaremos la ecuación

Calculamos el tiempo que requiere la primera pr imera ruta:

La otra ruta la tenemos que descomponer en dos movimientos (rectilíneos uniformes):  

Para el tramo de la ciudad C a la A:

 

Y de la ciudad A a la B:

 

Ahora sumamos ambos tiempos:







Por tanto, la ruta más rápida es la segunda, es decir, de C a A y de A a B. Sin embargo, es la ruta más larga puesto que se recorren 750km.

Problema 10 

Dos caminos rectos, A y B, terminan en el mismo punto, que es el punto de encuentro de dos amigos: Félix y Erika. La longitud del camino A y B es 25km y 35km, respectivamente.

 

Félix circula por el camino B a una velocidad de 50km/h y Erika circula por el camino A. Calcular la velocidad a la que tiene que viajar Erika para que ambos amigos lleguen al punto de encuentro en el mismo instante sabiendo que Erika comenzó su viaje 6 minutos más tarde que Félix. Ver solución

El movimiento de cada amigo es rectilíneo r ectilíneo y uniforme. Para Félix tenemos la ecuación:

Como Erika parte 6 minutos más tarde, su tiempo lleva un retraso de 6 minutos, su ecuación es

Ya que 6 minutos son 0.1h Tenemos un sistema de dos ecuaciones ec uaciones y dos incógnitas. De la primera ecuación obtenemos el tiempo, t :

Sustituimos en la segunda ecuación para obtener la velocidad:

 

  Matesfacil.com by  by J. Llopis is licensed under a  a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License. License .