Introducción a los conjuntos

Introducción a los conjuntos Olvida todo lo que sabes sobre números. Olvídate de que sabes lo que es un número. Aquí es donde empiezan las matemáticas. En vez de matemáticas con números, vamos a hacer matemáticas con "cosas".

Definición ¿Qué es un conjunto? Bueno, por decirlo de una manera simple es una colección. Primero eliges una propiedad común a unas "cosas" (esto lo definiremos luego) y después reúnes las "cosas" que tienen esa propiedad. Por ejemplo, la ropa que llevas: podrían ser zapatos, calcetines, sombrero, camisa, pantalones y otras cosas. Seguro que a ti se te ocurrirían cien por lo menos. Esto es un conjunto. Otro ejemplo sería tipos de dedos. Este conjunto tendría pulgar, índice, medio, corazón y meñique. Así que son sólo cosas juntas que tienen una misma propiedad.

Notación Hay una notación para conjuntos bastante simple. Los dos ejemplos de arriba son: {calcetines, zapatos, relojes, faldas, ...} {pulgar, índice, medio, corazón, meñique} Fíjate que uno tiene "...". Esto sólo quiere decir que el conjunto sigue indefinidamente. A lo mejor no hay infinitas cosas distintas que ponerse, pero no estoy seguro de eso. Después de pensarlo durante una hora, todavía no estoy seguro. El primer conjunto es un conjunto infinito, el segundo es un conjunto finito.

Conjuntos de números

¿Qué tiene esto que ver con matemáticas? Cuando definimos un conjunto, todo lo que hace falta es una propiedad común. ¿Quién dice que no se puede hacer lo mismo con números? Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...} Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9} Y la lista sigue. Podemos inventar muchos conjuntos distintos. También hay conjuntos de números que no cumplen una propiedad común, simplemente se definen así. Por ejemplo: {2, 3, 6, 828, 3839, 8827} {4, 5, 6, 10, 21} {2, 949, 48282, 42882959, 119484203} Todos estos conjuntos los he escrito aporreando mi teclado sin mirar.

¿Por qué son importantes los conjuntos? Los conjuntos son los ladrillos fundamentales de las matemáticas. Es verdad que los conjuntos, por sí solos, no parecen nada del otro mundo. Pero cuando los aplicas en distintas situaciones es cuando se convierten en los bloques con los que las matemáticas se construyen. Las matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de grafos, álgebra astracta, análises real, análisis complejo, álgebra lineal, teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que todas estas partes de las matemáticas tienen en común: los conjuntos. Las matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de grafos, álgebra astracta, análises real, análisis complejo, álgebra lineal, teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que todas estas partes de las matemáticas tienen en común: los conjuntos.

Conjunto universal Al principio usamos la palabra "cosas" entre comillas. Esto se llama el conjunto universal. Es un conjunto que contiene todo. Bueno, No todo de verdad. Todo lo que tiene que ver con el problema que tienes entre manos.

Hasta ahora, los conjuntos que te he dado contenían números enteros. Así que el conjunto universal aquí serían los enteros. De hecho, cuando uno hace Teoría de Números, casi siempre ese es el conjunto universal, porque la Teoría de Números es la parte de las matemáticas que estudia los enteros. Sin embargo en Análisis Real, el conjunto universal es casi siempre los números reales. Y en Análisis Complejo, el conjunto universal es los números complejos.

Más notación Cuando hablamos de conjuntos, es normal usar letras mayúsculas para llamar al conjunto, y letras minúsculas para los elementos de ese conjunto. Así que por ejemplo A es un conjunto, y a es un elemento de A. Lo mismo con B y b, y con C y c. No pasa nada si no sigues esa regla, puedes usar algo como m para representar un conjunto sin romper reglas matemáticas (ojo, pasarás π años en la cárcel por dividir entre 0), pero esta notación es fácil de seguir, así que ¿por qué no usarla? También, cuando decimos que un elemento a está en un conjunto A, usamos el símbolo para mostrarlo. Y si algo no está en un conjnto usamos . Ejemplo: el conjunto A es {1,2,3}. Como puedes ver 1

A, pero 5

A

Igualdad Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos miembros. Quizás no parezcan iguales a primera vista, ¡tienes que mirarlos bien! Ejemplos: Son A y B iguales si:  

A es el conjunto de los cuatro primeros enteros positivos B = {4, 2, 1, 3}

Vamos a verlo. Los dos contienen 1. Y 2. Y 3, y 4. Y ya hemos comprobado los elementos de los dos conjuntos, así que: ¡Sí, son iguales! Y el signo igual (=) se usa precisamente para indicar igualdades, así que escribimos:

A=B

Subconjuntos Cuando definimos un conjunto, si tomamos partes de él tenemos algo que se llama un subconjunto. Así que por ejemplo tenemos el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Un subconjunto suyo es {1, 2, 3}. Otro subconjunto es {3, 4} y otro es {1}. Sin embargo, {1, 6} no es un subconjunto, porque contiene un elemento (el 6) que no está en el conjunto grande. En general: A es subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A está en B. Así que vamos a usar esta definición en algunos ejemplos.

¿Es A subconjunto de B, si A = {1, 3, 4} y B = {1, 4, 3, 2}? 1 está A, pero 1 también está en B. Por ahora bien. 2 está en B, pero no en A. Pero recuerda que eso no importa, sólo hay que mirar los elementos de A. 3 está en A y también en B. Falta uno más. 4 está A, y en B. Esos son todos los elementos de A, y están todos en B, así que ya está. Vamos a intentar un ejemplo más difícil.

Sean A todos los múltiplos de 4 y B todos los múltiplos de 2. ¿Es A un subconjunto de B? ¿Es B un subconjunto de A? Bueno, no se pueden comprobar todos los elementos de estos conjuntos, porque hay infinitos elementos. Así que tenemos que hacernos una idea de cómo son los elementos en cada uno, y comparar. Para representar un múltiplo de 2, usamos 2n, donde n es un entero. Y hacemos lo mismo con los múltiplos de 4: son 4m, donde m es entero. Así que si tenemos un número 4m, ¿lo podemos escribir como un múltiplo de 2, con la forma 2n? ¡Claro que podemos! Sabemos que 4 = 2*2, así que 4m = 2*2m, o mejor 2(2m). También sabemos que 2m es un entero. Así que vamos a llamar a = 2m, donde a es un entero. Entonces podemos decir que 4m = 2*2m = 2(2m) = 2(a). Como a es un entero, 2a es prácticamente lo mismo que 2n. Quiero decir, lo único que pasa es que usamos otra letra, pero no importa qué letra usemos. Así que A es un subconjunto de B. ¿Pero es B un subconjunto de A? Bueno, podemos probar a hacer lo mismo. Tenemos 2n y queremos que sea como 4m. Una manera de hacer eso sería multiplicarlo por 2 para que tengamos 2*2n o lo que es lo mismo 4n. Pero recuerda lo de arriba, sólo podemos usar el signo igual. Si multiplicas un número por 2, ya no es igual a lo que era. Así que nos hemos

topado con un muro. No parece que 2n se pueda hacer parecido a 4m. ¿A lo mejor lo que queremos es falso? Vamos a probar lo contrario, a ver si es verdad que B no es subconjunto de A. ¿Cómo lo haríamos? Bueno, nos basta encontrar un elemento de B que no esté en A. Todo lo que hay que hacer es buscar un elemento así. Queremos un múltiplo de 2 que no sea múltiplo de 4. Pero de hecho, 2 es múltiplo de 2, pero no es múltiplo de 4. Así que 2 está en B pero no en A, y entonces B no es subconjunto de A.

Subconjuntos propios Si nos fijamos en la definición de subconjunto y dejamos que nuestra mente trabaje un poco, llegamos a una conclusión rara. Digamos que A es un conjunto. ¿Es verdad que todo elemento a de A también es un elemento de A? Bueno, está claro que sí, ¿no? ¿Y eso no significa que A es un subconjunto de A? Esto no parece muy correcto, ¿no? Queremos que nuestros subconjuntos sean propios. Así que introducimos la definición de subconjuntos propios. A es un subconjunto propio de B si y sólo si cada elemento de A está en B, y existe por lo menos un elemento de B que no está en A. Esta pequeña parte del final es la que hace que A no sea un subconjunto propio de sí mismo. Por lo demás, un subconjunto propio es lo mismo que un subconjunto normal. Así que por ejemplo, {1, 2, 3} es un subconjunto de {1, 2, 3}, pero no es un subconjunto propio de {1, 2, 3}. Por otra parte, {1, 2, 3} es un subconjunto propio de {1, 2, 3, 4} porque el elemento 4 no está en el primer conjunto. Fíjate en que si A es un subconjunto propio de B, entonces también es un subconjunto de B.

Más notación Cuando decimos que A es un subconjunto de B, escribimos A O podemos decir que A no es subconjunto de B: A

B.

B ("A no es subconjunto de B")

Cuando hablamos de subconjuntos propios, quitamos la línea de debajo y queda A para decir lo contrario, A B.

Conjunto vacío Probablemente esto es lo más raro que tienen los conjuntos.

Bo

Por ejemplo, piensa en el conjunto de teclas de piano que tiene una guitarra. "¡Pero espera!" seguro que dices, "¡Una guitarra no tiene teclas!" Y tienes toda la razón. Este conjunto no tiene elementos. A este conjunto se le llama conjunto vacío. No tiene elementos. Ni uno. Se representa como Otro ejemplo de conjunto vacío es el conjunto de países al sur del polo sur. ¿Y qué es tan extraño sobre el conjunto vacío? Bueno, esa parte viene ahora.

El conjunto vacío y subconjuntos Volvamos a la definición de subconjunto. Tenemos un conjunto A. No decimos más de él, podría ser cualquier conjunto. ¿El conjunto vacío es subconjunto de A? Volviendo a la definición de subconjunto, si todo elemento del conjunto vacío también está en A, entonces el conjunto vacío es subconjunto de A. ¿Pero y si no hay elementos? Hay falta aprender algo de lógica para entender esto, pero esa frase es verdadera de manera "vacía" o "trivial". Piénsalo de esta manera: no podemos encontrar elementos en el conjunto vacío que no estén en A, así que todos los elementos del conjunto vacío están en A. Así que la respuesta a la pregunta que hicimos es un sonoro sí. El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos, incluído él mismo.

Cardinal Todo conjunto tiene una propiedad asociada llamada cardinal. Es simplemente el tamaño del conjunto. De la misma manera que hay conjuntos finitos e infinitos, estos tienen cardinal finito e infinito. Para conjuntos finitos, lo representamos con un número, el número de elementos. Por ejemplo, {1, 2, 3, 4} tiene cardinal 4. Sobre conjuntos infinitos, sólo podemos decir que tienen cardinal infinito. Aunque parezca raro, hay infinitos más grandes que otros, pero este es un tema avanzado en teoría de conjuntos.

¡No! ¡No más notaciones! Nah, era broma. No hay más notaciones.

Ejercicios Pronto ...

Teoría de conjuntos y elementos

Diferencia entre elemento y subconjunto. El conjunto C está formado por dos elementos. El conjunto A está formado por cinco elementos (cinco figuras geométricas), y C, señalado con línea discontinua, es un subconjunto de A, C ⊆ A. El conjunto B, por el contrario, está formado por cuatro elementos: tres figuras geométricas y un conjunto, a saber, C. Por tanto, C, señalado con línea continua, es un elemento de B, C ∈ B. Al escribir A = {1,2,3,4}, estamos diciendo que los elementos del conjunto A son los números 1, 2, 3 y 4. Un grupo de elementos de A sería, por ejemplo, {1,2}, el cual es un subconjunto de A. Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos el conjunto

B = {1,2,{3,4}}. Los elementos de B no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, B tiene sólo tres elementos: 1, 2 y el conjunto {3,4}. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, C = {rojo, verde, azul}, es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo, verde y azul.

[editar] Notación La relación "es un elemento de", también llamada miembro del conjunto, se denota mediante el símbolo ., y al escribir

estamos diciendo que x es un elemento de A. Equivalentemente, podemos decir o escribir "x es un miembro de A", "x pertenece a A", "x es en A", "x reside en A", "A incluye x", o "A contiene x". La negación de este símbolo se denota

.

Desafortunadamente, los términos "A incluye x" y "A contiene x" son ambiguos, porque algunos autores también los usan para referirse a que "x es un subconjunto de A".1 El lógico George Boolos es enfático al aclarar que la palabra "contiene" debe usarse sólo para pertenencia de elementos, e "incluye" sólo para relaciones de subconjuntos RELACION DE PERTENENCIA Los objetos que forman parte del conjunto se denominan elementos. Si un elemento forma parte de un conjunto se dice que el elemento pertenece ( )al conjunto. Si el elemento no forma parte del conjunto, se dice que no pertenece ( ) al conjunto.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Un conjunto se puede determinar de dosmaneras: A. Determinación por comprensión: Un conjunto está determinado porcomprensión cuando se hace referencia ala propiedad del conjunto. Ejemplo :A = {x / x es una vocal}Se lee: El conjunto A formado por todas las“x” tal que “x” es una vocal. Ejemplo: B = {x/x ∈ N; 2 < x < 8}Se lee: El conjunto B formado por todas las“x”, tal que “x” es un número naturalentre 2 y 8. Ejemplo: C = {x/x ∈ N: 1 ≤ x < 10; x es par}Se lee: El conjunto C formado por todas las“x” tal que “x” es un número natural mayoro igual que 1 y menor que 10, par. B. Determinación por extensión:

Un conjunto está determinado porextensión cuando se nombra o enumeracada uno de sus elementos. Es lo contrarioa la determinación por comprensión. Ejemplos: A = {lunes, martes, miércoles, jueves,viernes, sábado, domingo}B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; …}P = {0; 2; 4; 6; 8; …}I = {1; 3; 5; 7; 9; …} DE COMPRENSIÓN A EXTENSIÓN Para pasar un conjunto que está porcomprensión a extensión, es necesario realizarlos siguientes pasos que veremos en elejemplo: Ejemplo: Dado el siguiente conjunto, determinarlo porextensión.C = {x+2/x ∈ N: 1 ≤ x < 10; x es par}Paso 1:El intervalo siempre es el primer paso.De éste se obtienen los valores de x.1 ≤ x < 10, x: 1; 2; 3;4;5;6;7;8;9Paso 2:De los valores obtenidos en el paso 1,se filtran o se escogen los que sonpares.x es par, x: 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6 ; 7; 8 ; 9 x: 2; 4; 6; 8Paso 3:Finalmente, se reemplazan los valoresen: x+22+2=44+2=66+2=88+2=10Por lo tanto, el conjunto determinado porextensión es: C = {4; 6; 8; 10} Prof. Héctor R. MALLMA ALVARADO Tal que PropiedadPaso 1 Paso 2Paso 3

Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que es una teoría que nos explica el funcionamiento de una colección de elementos cuando realizamos alguna operación con ellos. De la definición anterior observamos la primera dificultad que se encuentra un estudiante al estudiar esta teoría, pues se empieza sin ninguna definición válida. El concepto de conjunto se acepta sin definición. La segunda dificultad a la que una persona se enfrenta cuando estudia la Teoría de Conjuntos es la de las operaciones con conjuntos. Una parte que sin lugar a dudas es muy importante ya que influirá en otras teorías matemáticas. Pues bien, los Diagramas de Venn intentan corregir, de alguna manera, dicha dificultad.

Los Diagramas

Diagrama de Venn

Diagrama de Venn mostrando la intersección de dos conjuntos. Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B. de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la unión, la intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de Conjuntos. Pues bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los Diagramas de Veen. Diagrama de la intersección de dos conjuntos. En teoría la intersección de dos conjuntos podemos definirla como la parte común que tienen dos conjuntos, si es que existe(Ejemplo de inexistencia: la intersección de los números pares con los impares) . Pues el diagrama que viene a continuación representa dicha situación. La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte azul.

En matemáticas la intersección se representa A∩B.

Diagrama de la intercesión vacía (no hay ningún elemento común) En efecto, se observa que ambos conjuntos no tienen ninguna parte común. Esto se le llama en Matemáticas conjunto vacío y se representa: Ø. Diagrama de la unión de dos conjuntos. En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla como una “suma” de un conjunto con otro. Pues el diagrama que se muestra a continuación representa la situación descrita anteriormente. La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han sumado el conjunto A y el B. En matemáticas la unión se representa AUB. Diagrama del complementario de un conjunto. En teoría el complementario de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se entiende mejor con el siguiente diagrama. El conjunto U es el universal(parte amarilla y blanca) y el complementario de A es solo la parte amarilla del dibujo. El complementario de un conjunto se representa Ac. Diagrama de la diferencia de conjuntos. La diferencia B - A es la parte de B que no está en A. La diferencia de conjuntos en matemáticas se expresa B\A, para este caso.

Diagrama de la inclusión de conjuntos. En el diagrama se puede observar como el conjunto B esta contenido (o incluido) en el conjunto A. Esto matemáticamente se expresa BA. Con estos diagramas se pueden representar la gran mayoría de las operaciones con conjuntos. Pero, las aquí expuestas son las fundamentales a partir de ellas se obtienen las demás.

Principio de inclusión-exclusión En combinatoria, el principio de inclusión-exclusión (conocido también como principio de la criba) permite calcular el cardinal de la unión de varios conjuntos, en base a los cardinales de cada uno de ellos y todas sus posibles intersecciones. Si A1, ..., An son conjuntos finitos entonces:

donde |A| denota el cardinal de A. Una escritura más rigurosa pero menos legible es:

Inclusión-exclusión para tres conjuntos. Tomando n=2 tenemos un caso de doble conteo, podemos hallar el tamaño de la unión de dos conjuntos A y B sumando |A| y |B| y restando el tamaño de su intersección. El nombre proviene de la idea en la que el principio se basa: una muy generosa inclusión seguida de una compensadora exclusión. Si n>2 la exclusión de las parejas de intersecciones es (tal vez) demasiado rigurosa y la fórmula correcta es como se muestra, con signos alternados. Esta fórmula se atribuye a Abraham de Moivre aunque a veces se la asocia con Joseph Sylvester o Henri Poincaré. El gráfico de la derecha ilustra el caso de tres conjuntos A, B y C.

RELACIONES DE CONJUNTOS.SUBCONJUNTO: Un conjunto es llamado subcestá contenido en otro; es decisus elementos pertenecen al el SUPERCONJUNTO: Un conjunto es llamado superccontiene a otro u otros dentro d INCLUSIÓN ( ⊂ ) Y NO INCLUSIA. INCLUSIÓN ( ⊂ ): Un conjunto está incluido o esotro conjunto, si todospertenecen, o están contenidconjunto. Prof. Héctor R. MALLMA ¡¡¡Observa!!!A={1;2;3;4;5} yB={3;4}Como podrás ver, todos losB pertenecen también al con 1 2 4 3

5 Subconjunto AB http://Apuntes124.blogspot.com ntes de clase de aritmética de rimaria 2008 PROPIEDADES njunto cuandor, cuando todostro conjunto.onjunto cuandoe sí. N( ⊄ ) subconjunto deus elementosos, en el otroSe lee: B incluido en B. NO INCLUSIÓN ( ⊄ ) Un conjunto no está incluido no es subconjunto de omenos un elemento no pencuentra dentro del otro cFig. 1:Se lee: B no incluFig. 2:Estos dos conjuntosSe lee: B no inclu ALVARADO lementos de junto A. B ⊂ ABB Recuerda qu ⊄ se usan dy no de conjelemento a c Superconjunto B ARITMÉTICA 1 Ao en otro conjuntotro conjunto, si alertenece o no senjunto.ido en Ason disjuntos.ido en A AA los símbolos de ⊂ ye conjunto a conjuntounto a elemento o denjunto. A A BAB

INCLUSIÓN: Propiedades. Subconjunto propio.INCLUSIÓN: Propiedades. En la inclusión de conjuntos podemos destacartres propiedades importantes que enseguidaveremos: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: AA

⊂ Hemos definido que un conjunto estáincluido en otro si todos sus elementospertenecen al otro conjunto. Conmucha más razón, todos los elementosdel conjunto A pertenecen al mismoconjunto A. Es reflexivo. El conjunto vacío es subconjunto detodos los conjuntos: A ∅⊂ El conjunto vacío se representa así ∅ y está incluido en cualquier conjunto. Si un conjunto está incluido en otro yéste en un tercero, entonces elprimero conjunto está incluido en eltercer conjunto. Es transitivo. A B B C A C ⊂∧⊂ ⇒ ⊂ SUBCONJUNTO PROPIO. Si observas los siguientes conjuntos con muchaatención:A={1;2;3} y B={1;2;3;4;5}, te darás cuenta que AB ⊂ . Además, te darás cuenta que elconjunto incluido A tiene menos elementos queel conjunto que incluye. Es por eso que alconjunto incluido A se le llama subconjuntopropio de B.Gráficamente un subconjunto propio se veráasí: CASOS ESPECIALES Hay conjuntos que tienen como elementosotros conjuntos. Estos conjuntos están“funcionando” como elementos.Conjunto Familia:Es aquel conjunto que todos sus elementos sonconjuntos.Ejemplo: A = {{1},{2},{3;4}, ∅ }Podemos COJUNTOS IGUALES Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto. Ejemplo:

D

F

D = F

Los conjuntos D y F son iguales porque tienen el mismo elemento. A veces pueden estar desordenados los elementos cuando son más de uno, en tal caso, debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en que estén los elementos.

Que son los conjuntos diferentes? Dos conjuntos son diferentes si no contienen exactamente los mismos elementos (al menos un elemento de un conjunto no pertenece al otro) son Disjuntos si no tienen un elemento en común.

cojunto finitos un cojunto A es un cojunto finito si existe una biyecion, entre el y el cojunto (1,2,3...n). con n=un numero natural, que representa la cardinalidad del cojunto. es decir (A)=n sin =0 entonces A es un cojunto vacio. todo cojunto fino es ademas un cojunto numerable (pero no todo cojunto numerable es infinito)

cojunto infinito cojunto en que el numero de elementos ilimitado.el cojunto "de los numeros contable" (1,2,3) es un cojunto infinito otro el ejemplo es el numero de cuadros en un plano dado.

ejemplo de cojunto finito M=(X/X es un rio de la tierra) P=(X/X es un pais de la tierra)

ejemplo de cojunto infinito V=(3,6,9,12,15,18,21,24,25...) N=(0,1,2,3,4,5,6,7,8...)

Conjunto vacío El conjunto vacío es el conjunto matemático que no tiene ningún elemento. Se representa con el símbolo ∅ o simplemente como {}. Algunas de sus propiedades son:     

Para cualquier conjunto A, el conjunto vacío es un subconjunto de A: {} ⊆ A. Para cualquier conjunto A, la unión de A y el conjunto vacío es A: A ∪ {} = A. Para cualquier conjunto A, la intersección de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío: A ∩ {} = {}. El único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío. La cardinalidad del conjunto vacío es cero.

CAPITULO I:INTRODUCCION A LOS CONJUNTOS 1. Introducción a la teoría de conjuntos 1.1 Noción de conjunto El concepto de conjunto es de fundamental importancia en matemáticas y en particular en el estudio de estructuras discretas que permiten modelar y resolver problemas en el campo de la computación. Un conjunto es una colección de objetos bien definidos. A los objetos de la colección se les llama miembros o elementos del conjunto. El adjetivo “bien definido”se usa para significar que cualquiera que sea el objeto considerado, se pueda determinar si está o no en el conjunto que se analiza. En consecuencia, se evita tratar con conjuntos como “el conjunto de las frutas más deliciosas”. Entre los ejemplos más importantes de conjuntos en matemáticas se encuentran los sistemas numéricos: el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números reales. Se utilizan letras mayúsculas como A, B, C. . . . para representar conjuntos. Además para los conjuntos numéricos más importantes, utilizaremos la siguiente notación:    

N: El conjunto de números naturales. Z: El conjunto de números enteros. Q: El conjunto de números racionales. I: El conjunto de números irracionales.



R: El conjunto de números reales.

También es usual utilizar letras minúsculas como a,b, c, . . . x, y, z para denotar elementos. Para cualquier objeto x y cualquier conjunto A, si x es un elemento del conjunto A_ escribiremos x Є A; si x no es un elemento del conjunto A, escribiremos x A. Por ejemplo, 3 Є Ny ½ Z. Hay varias formas para describir conjuntos. Cuando sea posible, una forma es listar entre llaves todos los elementos del conjunto y separarlos por comas. En este caso se dice que el conjunto está descrito por extensión. Ejemplo: 

El conjunto V de las vocales puede ser escrito como: V = { a, e, i, o, u }



El conjunto C de números enteros impares positivos menores que diez puede ser expresado por: C = { 1, 3, 5, 7, 9 }



Aún cuando los conjuntos son usados, casi siempre, para agrupar elementos con propiedades comunes, estos pueden estar constituidos por elementos de distinta naturaleza. Por ejemplo {2, Pedro, Colombia, manzana, casa} es el conjunto que contiene los cinco elementos: 2, Pedro, Colombia, manzana, y casa.

Cuando es posible, es costumbre describir un conjunto, cuyos elementos tienen una “característica en común”, escribiendo algunos de sus elementos seguidos por puntos suspensivos. Ejemplo: 

El conjunto de los números naturales puede ser especificado por: N = {1,2,3, . . . }



Elconjunto de los números enteros puede ser especificado por: Z = { . . . , - 2, - 1, 0, 1, 2, . . . }



El conjunto de los números enteros pares no negativos puede ser especificado por:

A = {0, 2, 4, . . . } 

El conjunto de números enteros del 1 al 80 puede ser especificado por: B = {1, 2, 3, . . . }



El conjunto de letras del abecedario castellano se pude escribir: L= {a, b, c, . . . , z, A, B, C, . . . , Z }

Como vimos en los ejemplos anteriores, hay conjuntos que pueden ser especificados escribiendo algunos de sus elementos pero esta no siempre resulta ser la forma más apropiada, además casi ningún conjunto infinito puede ser descrito de esta forma. Por consiguiente, necesitamos una forma para describir estos conjuntos implícitamente. La manera más frecuente como hacemos una especificación implícita es por medio de un predicado o propiedad que cumplen los elementos del conjunto. Por ejemplo, nos podemos referir al conjunto de los números enteros mayores o iguales que 15 escribiendo: { x Є Z │ x ≥ 15 } Es decir, los elementos del conjunto anterior, son aquellos números enteros que hacen verdadero el predicado: p(x) : x ≥ 15 Definición: 1.1.1Conjuntos definidos por comprensión. Un conjunto A está escrito por comprensión si es de la forma,

Donde, p(x) es un predicado sobre el conjunto U. denota el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto U para los cuales el predicado p(x) se convierte en una proposición verdadera. Esto significa lo siguiente: Para un elemento cualquiera

: si, y sólo si p(a) es verdadera.

En consecuencia: 



El conjunto U se llama conjunto universal. En nuestro estudio de conjuntos siempre asumiremos un universo de discursoU, y de acuerdo al contexto en donde estemos trabajando, algunas veces no será especificado explícitamente. El objetivo de fijar un conjunto universal es que cada variable que denote un elemento de un conjuntoes un elemento y sólo un elementodel universo. Ejemplo: 

El conjunto {-6, -5, -4, -2, -} puede ser especificado por:



El conjunto de enteros pares puede ser escrito:

Como 8=2*4, entonces existe

Por lo tanto

En el caso que afirmemos que un elemento que, . 

.

, podemos concluir que existe

tal

El conjunto de enteros cuya raíz cuadrada es mayor que 20 puede ser escrito:

Como Como

, entonces 4, entonces

. .

El conjunto universal en el primer ejemplo es Z en el segundo ejemplo es R, y en el tercer ejemplo se da por entendido que el conjunto universal es R. En general cuando nos estemos refiriendo a un conjunto de números y no se escriba explícitamente el conjunto universal, asumiremos que es R. Otra manera menos formal de especificar conjuntos por comprensión es describir parcialmente el predicado a la izquierda de la barra Ejemplo:

.



El conjunto de enteros múltiplos de 5:

también puede ser descrito por:



El conjunto de números racionales puede ser especificado por:

Al describir conjuntos por comprensión puede suceder que ningún elemento del conjunto universal cumpla la propiedad que describe al conjunto. En este caso decimos que el conjunto es vacío. Definición: 1.1.2 Conjunto Vacío. El conjunto que no contiene elementos se llama conjunto vacío. Se utiliza una de las notaciones, para denotar el conjunto vacío. Hay muchas formas para describir el conjunto vacío, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo:

o o o o o o

1.2 Relaciones entre conjuntos Hay dos relaciones importantes que se tienen entre conjuntos: contenencia e igualdad Definición: 1.2.1 Contenencia entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. A es unsubconjuntode Bsi cada elemento de A es un elemento de B. Si A es subconjunto de B escribimos . En símbolos tenemos que,

si y solamente si Cuando A es subconjunto de B se dice también que, A está contenido en B o que, B contiene a A. Ejemplo:      

El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es decir, En el sistema de los números reales se tienen las siguientes contenencias importantes:

Si A no está contenido en, es decir, si hay un elemento que está en A y no está en B, escribimos

.

Ejemplo:  

El conjunto R de números primos no está contenido en el conjunto M de números naturales impares. Es decir



De acuerdo a la definición de contenencia, cuando la implicación es verdadera. Utilizaremos este hecho en la demostración de las siguientes propiedades sobre contenencia entre conjuntos. Teorema 1.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene que: (i) (ii) (iii) Demostración: 

Como no tiene elementos, la proposición implicación es verdadera 1.

es falsa. Por lo tanto la

 

Puesto que todo elemento pertenece a U, la proposición tanto la implicación es verdadera 2. es verdadera3.

es verdadera. Por lo

Definición: 1.2.2 Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos,es decir,

Ejemplo:   

Cuando se quiere demostrar que A = B teniendo en cuenta la definición anterior, debemos probar que i) y ii) . Ilustraremos esta forma de mostrar la igualdad entre dos conjuntos en la demostración de las siguientes propiedades sobre igualdad entre conjuntos. Teorema 1.2.2 Dados A, B y C conjuntos, se tiene que: 

A =A.



.



.

Demostración: (i)

.

Esto implica que: . . Ejercicio: 

Demostrar las partes (i) y (iii) del teorema anterior.

Negando la definición de igualdad entre conjuntos, deducimos que dos conjuntos no son iguales si no tienen los mismos elementos: 5

Es decir,

Ejemplo:   

Decimos que A es subconjunto propio de B si Utilizamos la notación

.

para indicar que A es subconjunto propio de B. Por ejemplo,

. Contenencia e igualdad entre conjuntos definidos por comprensión En el caso que los conjuntos estén descritos por comprensión, las relaciones de contenencia e igualdad se pueden expresar en términos de los predicados que definen los conjuntos. Sean,

Como:

Entonces,

Por lo tanto,

Como:

Entonces,

. En otros términos,

Por lo tanto,

Ejemplo:     

1.3 Operaciones entre conjuntos En esta sección se estudiaran varias operaciones que combinan conjuntos dados para crear nuevos conjuntos. Definición: 1.3.1 unión entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. La unión de A y B está definida como el conjunto de todos los elementos que están en A, o están en B, o en ambos A y B. En símbolos,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Definición: 1.3.2 Intersección entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. La intersección de A y B está definida como el conjunto de todos los

elementos que están en ambos A y B. En símbolos,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Ejemplo: Sean

. Entonces,

         

.

Ejemplo:      

Definición: 1.3.3 Conjuntos disyuntos. Si dos conjuntos no tienen elementos en común, se dice que son disyuntos. En símbolos,

Ejemplo:    

Las operaciones de intersección y unión entre conjuntos son ejemplos de operaciones binarias: dados dos conjuntos A y B como operandos, los resultados operadores son

son también conjuntos, en este caso los respectivamente.

La siguiente definición del complemento de un conjunto, es un ejemplo de operación unaria: dado un conjunto A como operando esta operación da como resultado un nuevo conjunto es denotado por „.

. El operador “complemento”

Definición: 1.3.4 Complemento de un conjunto. Sea U un universo y A un subconjunto de U. El complemento de A es el conjunto de todos los elementos que no están en A. En símbolos,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Ejemplo: ,   

Ejemplo:

,    

Ejemplo:

   

Operaciones entre conjuntos definidos por comprensión. En el caso particular que los conjuntos estén descritos por comprensión, las operaciones entre ellos se pueden indicar en términos de los predicados que definen los conjuntos. Sean

Como:

Entonces,

En este caso,

En consecuencia:

Como:

Entonces,

En este caso,

En consecuencia:

Como:

Entonces,

En este caso,

En consecuencia:

Ejemplo: Sean    



Entonces,             



    