Introduccion a Las Vibraciones Mecanicas

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Índice Introducción………………………………………………………………………………………..…………………………… 2 1. Vibraciones sin amortiguamiento amortiguamiento……………………………………………………………………………….6

1.1. Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple……………………… simple……………………………. …….7 7 1.2. Péndulo simple (solución aproximada)………………………………………………………………...9 1.3. Péndulo simple (solución exacta)………………………………………………………………………..10 exacta)………………………………………………………………………. .10 1.4. Vibraciones libres de cuerpos rígidos………………………………………………………………….12 1.5. Aplicación del principio de la conservación de la energía………………………………… energía……………………………………14 …14 1.6. Vibraciones forzadas………………………………………………………………………………………… ..15

2. Vibraciones amortiguadas amortiguadas…………………………………………………………………………………………20

2.1. Vibraciones libres amortiguadas…………………………………………………………………………21 amortiguadas………………………………………………………………………… 21 2.2. Vibraciones forzadas amortiguadas………………………………………………………………….…24 amortiguadas………………………………………………………………….… 24 Conclusión……………………………………………………………………………………………………………………….26 Conclusión……………………………………………………………………………………………………………………….26 Bibliografía………………………………………………………………………………………………………………………27

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El aumento permanente de las potencias en máquinas, junto con una disminución simultánea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad industrial, hacen que el análisis dinámico de las vibraciones mecánicas en máquinas e instalaciones industriales sea cada vez más exacto. El estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniería mecánica ya que el buen funcionamiento de maquinaria mecánica está relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio. Es importante conocer la clasificación de las vibraciones mecánicas ya que nos presentan un panorama de los diferentes estudios. Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecánicas es el modelo matemático. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores producen información errónea. El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de las vibraciones, es una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.

Vibración: es el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una excitación. Existe una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado está estrechamente relacionado con la vibración mecánica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al número de ciclos por segundo de vibración. Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer características potenciales y cinéticas. Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no INGENIERIA ELECTROMECANICA ELECTROMECAN ICA

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tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características energéticas potenciales. Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un extremo donde la masa nuevamente forma la parte cinética y el cambio de posición la parte potencial.

Vibración mecánica: es el movimiento de vaivén de las moléculas de un cuerpo o sistema debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en maquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. Como ejemplos de excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueó de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformación inicial de un sistema masa resorte, etc. Como ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc. Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecánicas.

Vibración libre: es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea. Vibración forzada: es cuando un sistema vibra debida a una excitación constante.

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Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libre mente solo y solo si existen condiciones iniciales, ya sea que suministremos la energía por medio de un pulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte. Esta energía es disipada por el fenómeno llamado amortiguación, en ocasiones es despreciable. Aun cuando la energía es disipada durante la vibración, en el caso de la vibración forzada esta descompensada por la excitación constante.

Vibración amortiguada: es cuando la vibración de un sistema es disipada. Vibración no amortiguada: es cuando la disipación de energía se puede disipar para su estudio. El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.

Vibración lineal: si los componentes básicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.

Vibración no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta como no lineal. El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en su mayoría, a los realizados si se consideran como elementos lineales.

Cuando, aplicando una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un cuerpo rígido que estaba en equilibrio estable, aparece una vibración mecánica:

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1. Oscilación horizontal de un cuerpo unido a un resorte (fig. (fig. a) cuando se aparta de su posición de equilibrio y luego se suelta.

2. Oscilación vertical de un trampolín o de una varilla (fig. b) cuando se desplaza de su posición de equilibrio y luego se suelta.

3. Oscilación circular de la lenteja de un péndulo suspendida por un hilo inextensible de peso despreciable (fig. c) cuando se desplaza por su posición de equilibrio y luego se suelta.

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Veamos la siguiente situación:

Cuando se agrega una masa M en un resorte, sabemos que este tendera a un alargamiento



y después quedando nuevamente en equilibrio. En este

momento y según el diagrama estático:

    Suponiendo ahora que la partícula se desplaza una distancia



desde su

posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Tomando como positiva la distancia abajo del punto de equilibrio y negativo desde el punto de equilibrio hacia arriba.

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Después de esta acción, se va a generar una amplitud xm. Para el análisis, se estudiara cuando la masa se encuentre por la posición x, en ese momento y según el diagrama de equilibrio:

                                   El movimiento que define la ecuación anterior se llama Movimiento Armónico

Simple. Se caracteriza por que la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. La solución general para la ecuación

                           

      

, es:

Los valores de A y B, dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Se obtiene que:

   

  

Después de análisis vectoriales:

                                 p: se le llama velocidad angular; xm: es el desplazamiento máximo o amplitud y Φ:

ángulo fase.

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Por otro lado tenemos que: Periodo = τ = 2π / p Frecuencia = f = 1 / τ = p /2π Los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son:

  

  

La mayor parte de las vibraciones encontradas en aplicaciones de ingeniería se representan

mediante

un

movimiento

armónico

simple. Muchas otras, aunque de un tipo diferente, se aproximan  por medio de un movimiento simple, siempre que su amplitud permanezca pequeña. Considera,

por

ejemplo,

un

péndulo  simple ,

consistente en una plomada de masa m unida a una cuerda de longitud l , que tiene la posibilidad de oscilar en un plano vertical (fig. 1.2  – 1a). En un tiempo dado t , la cuerda forma un ángulo θ con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la plomada con su peso W  y la fuerza T  ejercida por la cuerda (fig. 1.2  – 1b). Al descompensar al vector

m a  a  de

las

componentes tangencial y normal, con m a t t  dirigida hacia la derecha, esto es, en la dirección que corresponde a valores crecientes de θ, y observar

 ̈

que at = lα = l  , se escribe

∑    

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Figura 1.2  – 1

       ̈ Pág. 9

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Si se observa que W = mg y se divide entre ml , se obtiene

  ̈              

Para oscilaciones de amplitud pequeña, puede sustituirse sen  θ  por θ , expresado en radianes, y se escribe

  ̈             ̈    

La comparación con la ecuación

⁄

muestra que la ecuación diferencial

1.2 – 2 es la de un movimiento armónico simple con una frecuencia circular natural

w n  n  igual a

. La solución general de la ecuación 1.2  – 2 puede, por

consiguiente. Expresarse como

donde

Φ m  m  es

           

la amplitud de las oscilaciones y

en la ecuación

Φ  es

el ángulo de paso. Al sustituir

el valor obtenido por w n  n,  se obtiene la

siguiente expresión por el periodo de las oscilaciones pequeñas de un péndulo de longitud l 

                       La ecuación 1.2  – 3 es solo aproximada. Para obtener una expresión exacta relativa al periodo de las oscilaciones de un péndulo simple, se debe volver a la ecuación 1.2  – 1. Multiplicando ambos términos por

  ̈

e integrando desde una

posición inicial correspondiente a la máxima desviación, esto es se escribe INGENIERIA ELECTROMECANICA ELECTROMECAN ICA

    ̇   y

,

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                  ∫  √ ⁄   ⁄

Si se sustituye cos

por 1

 –

2 sen2 ( /2) y cos

m

por una expresión similar,

resolviendo para dt , y se integra sobre un cuarto de periodo desde t = 0, hasta t =

/ 4,

=

m,

se tiene



= 0

La integral en el miembro del lado derecho se conoce como una integral elíptica; ésta no puede expresarse en términos de las funciones algebraicas o trigonométricas usuales. Sin embargo,

  ⁄   ⁄  se puede escribir

⁄         ∫ √  ⁄            Donde la integral que se obtiene, denotada comúnmente por K , puede calcularse utilizando métodos de integración numérica. También puede encontrase en tablas de integrales elípticas para diversos valores de



m / 2. Para comparar el resultado

que acaba de obtenerse con el de la sección anterior, se escribe la ecuación 1.3  – 1 en la forma

                    INGENIERIA ELECTROMECANICA ELECTROMECAN ICA

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Un cuerpo rígido que oscile en torno a un eje fijo (fig. 1.4  – 1a) y una rueda que oscile sobre una superficie plana (fig. 1.4  – 1b) constituyen sistemas vibrantes de un solo grado de libertad. El análisis de estos sistemas de cuerpos rígidos es igual, en esencia al de un punto material. Primero, se dibuja el diagrama de cuerpo libre correspondiente a una posición arbitraria del cuerpo rígido. Después, se escriben las ecuaciones del movimiento. Por último, se utilizan los principios de la cinemática para reducir las ecuaciones del movimiento a una sola ecuación diferencial que contenga una sola variable que describa la posición y movimiento del cuerpo rígido.

Figura 1.4  – 1a y 1.4  – 1b INGENIERIA ELECTROMECANICA ELECTROMECAN ICA

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El análisis de las vibraciones de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que posee un solo grado de libertad es similar al de las vibraciones de una sola partícula. Una variable apropiada, como una distancia a un ángulo



, se elige

para definir la posición del cuerpo o sistema de cuerpos, y se escribe una ecuación que relacione esta variable y su segunda derivada con respecto a t. Si la ecuación que se obtiene es de la misma forma que la ecuación 1.2  – 1, esto es, si se tiene

  ̈  

  ̈       



La vibración considerada es un movimiento armónico simple. El periodo y la frecuencia natural de la vibración pueden obtenerse entonces identificando wn y sustituyendo

su

valor

en

las

      

ecuaciones

   

y

.

En general, una forma simple de obtener una de las ecuaciones 1.3  – 1 consiste en expresar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas dibujando una ecuación de diagramas de cuerpo libre para un valor arbitrario de la variable y escribiendo la ecuación de movimiento apropiada. Recordando que el objetivo debe ser variable x o



,

no  la

la determinación del coeficiente 

̈   ̈  

determinación de la variable misma o de la derivada

  

igualar este coeficiente a es posible determinar a

, se obtiene la frecuencia circular natural

  y

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.

de la

o . Al

de la cual

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La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor.

El principio de conservación de la energía proporciona una forma conveniente de determinar el periodo de vibración de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que poseen un solo grado de libertad, una vez que se ha establecido que el movimiento del sistema es un movimiento armónico simple o que puede aproximarse mediante un movimiento armónico simple. Al elegir una variable apropiada, como la distancia x o el ángulo particulares del sistema:



, se consideran dos posiciones

Figura 1.5  – 1a y 1.5  – 1b

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1. El desplazamiento del sistema es máximo; se tiene T1 = 0, y V1 puede expresarse en términos de la amplitud x m  m  o posición de equilibrio).



m 

(al elegir V = 0 en la

2. El sistema pasa por su posición de equilibrio; se tiene V2 = 0, y T2 puede expresarse en términos de la velocidad máxima máxima

 ̇ 

.

 ̇ 

o la velocidad angular

Se expresa entonces que la energía total del sistema se conserva y se escribe T1

+ V1 = T2 + V2. Si viendo la ecuación

     

que para un

movimiento armónico simple la velocidad máxima es igual al producto de la amplitud y de la frecuencia circular normal w n  n,  se encuentra que se obtiene puede resolverse para w n  n. 

Consideremos el sistema mecánico Amortiguador – Masa – Resorte

Figura 1.6  – 1

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Utilizando la segunda Ley de Newton de movimiento translacional: La aceleración de cualquier cuerpo rígido es directamente proporcional a la fuerza que actúe sobre él e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, es decir F = ma. Haciendo el diagrama de cuerpo libre del la masa en el modelo

Figura 1.6  – 2 nos damos cuenta de que sobre dicha masa actúan tres fuerzas: la fuerza del resorte (FR), la fuerza del amortiguador ( FR) y posiblemente alguna fuerza externa (peso, fricción, etc.). Podemos establecer las siguientes relaciones para modelar las fuerzas tanto del resorte como del amortiguador

donde k es la constante del resorte y b es la constante de amortiguamiento. INGENIERIA ELECTROMECANICA ELECTROMECAN ICA

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El modelo mecánico más simple de un solo grado de libertad con excitación externa, es el masa-resorte-amortiguador, identificado mediante sus constantes características equivalentes mEQ , cEQ , kEQ  y la fuerza F(t) , el cual se ilustra en la siguiente figura 1.6  – 3:

Figura 1.6  – 3 Luego, para este tipo de sistemas, la ecuación diferencial que rige su movimiento está representada por:

   ̈     ̇        Para los sistemas de un grado de libertad, cuando la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural ocurre resonancia, es decir, cuando 1 = r. Para este caso se tendrán como consecuencia oscilaciones de grandes magnitudes, más allá de los límites tolerables. Con respecto a la excitación, los sistemas desbalanceados representan una excitación de tipo oscilatorio, la cual depende del momento de desbalance ( m·e ) y de la frecuencia de la excitación ( Ω).

Además de las definiciones efectuadas para los sistemas vibrantes sin excitación externa (libres), en los sistemas forzados se hace necesario definir otras variables para el análisis de los mismos. INGENIERIA ELECTROMECANICA ELECTROMECAN ICA

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La relación de frecuencias asocia la frecuencia natural del sistema con la frecuencia de excitación. Se designa con el símbolo r, es adimensional y se expresa según la ecuación

  

El factor de amplificación dinámico se designa con el símbolo y se expresa por:

Κ y

es adimensional

  √         

El retraso de fase se designa con el símbolo φ y se expresa en grados o radianes

y se expresa según la ecuación:

   

En el estudio de vibraciones forzadas son muy útiles los gráficos de factor de amplificación dinámico y retraso de fase contra la relación de frecuencias. Para el caso de sistemas que presentan desbalance, es útil graficar r 2  * K  contra r  debido a que la excitación depende de la frecuencia de operación del sistema.

Figura 1.6  – 4 Factor de amplificación vs vs Relación de frecuencias frecuencias para diferentes constantes de amortiguación INGENIERIA ELECTROMECANICA ELECTROMECAN ICA

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Figura 1.6 Retraso de fase vs Relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación. Un cuerpo experimenta un movimiento vibratorio u ondulatorio cuando se desplaza varias veces a uno y otro lado de la posición fija que tenia inicialmente. Vibración mecánica, oscilación, movimiento periódico, etc. son conceptos utilizados para describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una máquina. Una forma simple de definir vibración.

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En las situaciones anteriores se notaban que las vibraciones estaban libres de amortiguamientos. La realidad es que todas las vibraciones son amortiguadas, especialmente por las fuerzas de rozamiento. Un tipo de amortiguamiento de especial interés es el amortiguamiento viscoso causado por la fricción fluida a velocidades

bajas

y

moderadas.

Este

tipo

de

amortiguamiento

está

caracterizado por el hecho de que la fuerza de fricción o rozamiento es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo en movimiento. Para el análisis supondremos que un cuerpo está unido al émbolo de un amortiguador. La magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre el émbolo por el fluido que rodea al mismo es igual a Cx`, donde C es una constante expresada en N.s/m

0 Lb sg/ft conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso.

Figura 2.1  – 1 La ecuación del movimiento es:

  ∑ ∑              INGENIERIA ELECTROMECANICA ELECTROMECAN ICA

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Sustituyendo a x = e  λt  y dividiendo entre e  λt escribimos la ecuación característica: 2 

mλ + Cλ + k = 0 

De la solución de la ecuación anterior obtenemos raíces: Donde p es la frecuencia circular del sistema en ausencia de amortiguación.

Figura 2.1  – 2 Podemos distinguir tres casos de amortiguamiento, dependiendo del valor del coeficiente C:

1. Sobreamortiguamiento: C > C c, las raíces de  λ1 y λ2  son reales y distintas; la solución general de la ecuación diferencial del movimiento es:

      

Esta solución corresponde a un movimiento no vibratorio. Como

 λ1 y  λ2  son

negativas, x tiende a cero conforme t aumenta; pero el sistema regresa a su posición de equilibrio después de un tiempo finito.

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2. Amortiguamiento critico: C = Cc, la ecuación característica tiene una solución  λ = - p y la solución general es:

    

El movimiento obtenido es nuevamente no vibratorio. Pero con la peculiaridad que estos sistemas regresan a su posición de equilibrio en el tiempo más corto posible sin oscilaciones.

3. Subamortiguamiento o amortiguamiento débil: C < Cc las raíces de  λ son complejas y conjugadas y la solución general es la forma:

   ⁄             [  ⁄]⁄

Donde q está definida por la relación:

Donde la constante C / C c se conoce como factor de amortiguamiento. Podemos escribir una solución general para:

  ̈  ̇

m  + C  + kx = 0 

    ⁄       El movimiento descrito es vibratorio con amplitud decreciente. Aunque este movimiento en realidad no se repite, el intervalo de tiempo

τ

= 2p / q,

correspondiente a dos punto consecutivos de la curva toca a una de ellas en los limites mostrados, se llama comúnmente Período de la Vibración Amortiguada .

Figura 2.1  – 2 INGENIERIA ELECTROMECANICA ELECTROMECAN ICA

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Si el sistema considerado en la sección anterior está sujeto a una fuerza periódica

P de magnitud P = Pm sen wt , la ecuación de movimiento se transforma en:

  ̈   ̇          ̈   ̇    

La solución general se obtiene sumando una solución particular a la función complementaria:

La función complementaria está dada por los tres casos vistos anteriormente; el interés está centrado en la vibración estacionaria representada por la solución particular:

             ⁄       ( )  ( )

Después de varios cálculos:

Recordando que p 2  = k / m , donde p es la frecuencia circular de la vibración libre no amortiguada y de C c  c = 2 mp , escribimos:

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La formula anterior expresa el factor de amplificación en términos de la razón de frecuencia

w / p  y el factor de amortiguamiento C / C c  c . Puede utilizarse para

determinar la amplitud de la vibración estacionaria producida por una fuerza aplicada de magnitud P m  m  sen wt o por un movimiento producido por el soporte

δ m  m 

sen t . La formula de la tangente define en términos de los mismos parámetros la m diferencia de fase

φ

entre la fuerza aplicada o el movimiento producido por el

soporte y la vibración estacionaria resultante del sistema amortiguado.

Figura 2.2  – 1

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El Ingeniero debe ser capaz de trabajar sobre vibraciones, calcularlas, medirlas, analizar el origen de ellas y aplicar correctivos. Hace más o menos 40 años, la temática de vibraciones mecánicas se constituyó en parte integral de la formación de ingenieros mecánicos en los países industrializados. El fenómeno de las vibraciones mecánicas debe ser tenido en cuenta para el diseño, la producción y el empleo de maquinaria y equipos de automatización. Así lo exige un rápido desarrollo tecnológico del país. Aunque este artículo se enfoca hacia las vibraciones en sistemas mecánicos, el texto y los métodos analíticos empleados son compatibles con el estudio de vibraciones en sistemas no mecánicos.

Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas dependiendo de: a) la excitación, b) la disipación de energía, c) la linealidad de los elementos y las características de la señal.

Dependiendo de la excitación



Vibración Forzada



Vibración libre

Una Vibración libre es cuando un sistema vibra debido a una excitación del tipo instantánea, mientras que la vibración forzada se debe a una excitación del tipo permanente.

Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energía por medio de un impulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte.

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DINAMICA

VIBRACIONES VIBRACIONE S MECANICAS

Dependiendo de la disipación de energía

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No amortiguada

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Amortiguada

El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios y se manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la fricción, o bien, o como un elemento físico llamado precisamente amortiguador. Por lo tanto, la vibración amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilación de un sistema se ve afectada por la disipación de la energía, pero cuando la disipación de energía no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilación entonces la vibración es del tipo no amortiguada.

Mecánica Vectorial para Ingenieros “DINÁMICA” 7ª Edición E. Russell Johnston, Jr. Ingeniería Mecánica DINÁMICA 2ª Edición William F. Riley and Leroy D. Sturges http://www.wikipedia.org http://www.monografias.com http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trab http://www.sc.ehu.es/sbweb/ fisica/dinamica/trabajo/energia/en ajo/energia/en ergia.htm http://www.vagos.es

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