Introducción a las Onditas - D'Attellis

t

. 1 i,

' Una ptCKnUt. La modulación que ft.t) produce sobre·1· x"'·l.S:l/256:3861256; ..\ · · 2 815 e1* qrt(pl); gl l=g1(322;450}; e-1""'.

expresarse como

1.

o

3

u Filtrado de una sella! con tres frecuencias

b) Como

.t

15

= w(t) e'""

entonces

j(ro,n)

j(ro,11 )=e..."" ! u( n- t) f ( t) e~·-•> = e-s...( f donde ahora

-

w( t)

puede

* g )( n )

1

modula a e

Q)I.

pause ·

Puede interpretarse el l'esultado corno el filtrado de la señal j(t) con un filtre caracterizado en el úempo por w(t) ( la respuesta del filtro a la excitacion impulso unitario ) pero con la respuesta en frecuencia centrada en la frecuencia ro. Como la

gal=gl .•et; gal 1.. ga1(322:450); al=conv(h,gal 1); a=al(-65:leoglh(al)-64); c2.=exp(i*2•pi*16*x);_ g~gl .*c2; ga12=ga2(322:450); 12=conv(h,ga12); b=a2(4S:lenglh(a2)-64); sobplot(221) · plot(t,h). xlabel('tiempo') ,ylabel('sel'ial') subplot(222) plol(rcaI(gal)), xlabcl('tiempo') ,ylabcl('ventana modulada a 32 Hz') S=(O:lenglh(gal)-1)*641255; S-abs(fn(gal)); subplot(223) plol(s.S) ,xlabel('Crecueocia') ,ylabcl('fill!O psabanda. 32 Hz') subplol(224) · plot(l,real(a)) ,xfabcl('tiempo') ,ylabel('seilal fill:rada')

.1

subplot(22 l) Plot(rcal(ga2)) ,xlabcl('tiempo1 ,ylabcl('veutana modulada a 16 Hi') lJ:oabs(rrt(ga2)); subplo t(222) Plot(1,real(b)) ,xlabcl('tiempo') ,ylabel('setlal filtrada')

l

16 •

l!UCCION A LAS ONDITAS

.f

J

"'

.¡

Jl\'TRODUCCION A LAS Ot\'DJT/\.S

19 .· · ·r.

Actividad M18 Considerar ahora como ventana la función

1:

sen( t) w(t) =sin e( I) = -1

Modificar Ja frecuencia de la señal senoidal que es modulada y representar gráficamente el banco de filtros ( división en bandas del eje de frecuencias ) que se obtiene · A continuación se muestra el ejemplo en un archivo .m para MAT LAB :

'J

1;

1,¡

.3.1 Escalas y bancos de filtros De las actividades y ejemplos presentados en seccion~ anteriores , se pueden extraer varias conclusíones:

¡

!'L1

I' ,

3. DE LA TRANSFORMADA DE GABOR A LA TRANSFORMADA 1 ONDITA

%BANCODEFJLTR OS CON SINC(T)

t

% escala de tiempos que no incluye al cero % F es la escala de frecuencias

t=· 20: 1/16 + eps:20;

L=lengtl1(t) ; F=(O:(L-1))/L;

for J=1: 12 % va variando la frecúencia cen.tral del pasabanda f=sln(pi*l)./(pi* t).*exp(i*2*pi*j*t) ; ff=abs(ffi(O);

subplot(221),plot(F.ff),hold ou; end;

1] Una vez elegida la ventana para el análisis de una señal queda fijada la resolución en y frecuencia. tiempo ~ ¡ 2] Conocida previamente la banda de frecuencias que se desea fütrar se puede elegir el t ancho de la ventana aqecuado para el caso , pero : .

'

t

ll

a) si la banda de frecuencias es muy angosta ( con lo cual resulta una buena Jocalizaci6n en frecuencia) no se obtiene una buena localización en el tiempo b] si se desea una buena localización en el tiempo ( disminuyendo el ancho de la ventana en el tiempd) se empeora la resolución en las frecuencias.

,¡

xlabel('frec/frec de muestreo') ~u~·1~Ie~('b~a~n~co~d~e~fi~1l~uo~s~c~o~n¿s~in~c(~0U)~__:.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~--' banco de filtros con sinc(t)

15

!! •

o

¡

h( t) = 0.5 + 0.5 sin(IOrt( t;... I)) 1

t:;; i -o.o5 1- 0.055.t5.1+0..05 1.05 5, t

' con una ventana de Gabor de parámetro ex =1/64 y 13 =l.

· 1·

5

o o

·i .f

En la actividad M16 se consideró una señal que presenta un salto en un intervalo de tiempo muy corto. En l.ª figura 12 se representa la señal h :

1i

10

[ Í¡ !

. 1

0.5

free/free de muestreo

Flg 11 Banco de filtros obten ido considerando la ventana sin (t) I t . Es ~nteresante recordar el fenómeoo de Gibbs para explicar porqut en este gráfico no se obuene el banco de filtros ideales, como el que muestra la fig 10.

Actividad M19 Filtrar las señales de las actividades anteriores ( M12 y M16 ) si la ventana considerada es sinc(t) = sin (t) ¡t. Realizar gráficos y consideraéiones similares a las comentadas Y mostradas en las actividades mencionadas.

,

µna rapida trans1c1on

1

.1

l

2

1 .5

·t

t

0.5

-o . s----~-~-----.J

1

o

J

,,

:1

"'

t

Flg 12 "" ' ""'

'1

0.5

1.S

tiempo

=•'" dpld> """'ciOo y "''

2

vM>~•

d<

º"'' '"' ='"""

Resulta evidente que la localización temporal del trans.itorio no puede ser mejor que la da por el ancho de la ventana. ~í se disminuye demasiado el ancho de la ventana en el

.

.

~

tiem.po para localizar transiciones de este tipo se corre el ries~~ de no m~ar frecuencias d cadas debido al aumenlo del ancho de la ventana en el dominio frecuencial : esLa figura 13 muestra el proceso de filtrado de Ja sel\al h con la ventana de par~metr~ a:: 1164 y modulada en las frecuencias de 4 Hz y 8 ~~ . Estas frecuen~ias detennman e : centro de la banda de frecuencias de la ventana de análisis en las frecuencias. . . .

I~

l!

0.5

!:

~'

r¡·

-0.1!

3

200

300

400

puede reescribirse como

o

400

600

aoo ""ºo

I__ f(t)h(t-11)=(f(t),h(t-~))

Jro.>,n)= ,

Considerando su escalamiento resulta h((t - n)la)=w((t-n)la)e"••/• finalmente, si la ventana w(t) es la ventana gaussialla ,

1 1

.

200 ..

,___

j(ITA:i

Hemos guardado las senales mencionadas en archlvos de extensión .mal a través de la instrucción save . El programa MATLAB cuyo listado sigue a continuación que fue guardado como un a.rchlvo de extensión •m» solicita la escala, la sei\al a procesar y devuelve el gráfico de la seflal, la ventana correspondiente a la escala indicada, en un mismo gráfico las traruformadas de la ventana y la se.ñal, y por último, la sei\al filtrada. banco de filtros

!¡ i

•

~

I" # • '

JNTRODUCCJON A LAS ONDITAS

25

1

4

0.1

1

~ e:

para ta ventaña·c1e Gabor

f

200

400

-0.1

o

600

50

100 liempo

150

200

.. e

~ 0.8

.a

> ~0.6

~

.,

~ 0.4

.."

!0.2

o o

""

10

)~ 0.2

i

0.4

0.6

free/ free de muestreo

-10

o

200

400 tiempo

Flg 17 Ejemplo correspondiente a la seílal j(t) ª 3 stn(2

16 t ) +

600

.

:

(2 1t .20 t ) y para la escala pueden observarse el espectro de la setlal J(t) y el de ventana utilizada ; la componente de 20 Hz de jít) es prácticamente eliminada .Los defectos presentes en los bordes en Ja se!lal filtrada pueden ser eliminados haciendo una extensión conveniente del cuadro analizado de la se(!.al propuesta. 11

se11

a• 16 usando el programa anterior .En el gráfico en las Crecueocias

Fig 16 b Banco de filtros obtenido al considerar escalamientos de Ja ventana de Gabor .

NOTA: % ESCALANDO LA VENTANA DE GABOR a:input(' ingrese la escala: ' );

Haciendo en F(a,n) el cambio de variables t ~ at , resulta

1 -

.F(a,n) = .,fa,~ f{at)h(t-n/a)

c.:-5*a:l:.5*a;

g=-(1/(2•sqrt(pi•a)))*eitp(·L"2/(a"2*4)).•cxp(l*2*pi*t/a); r-ínpul('iogrue la seilal : '); b--conv(g,0 ; b lcb((length(l)+1)12:1englh{b)·leogth{t)f2+1); xzal:length(O ; xl•l:Jeogth(0/6; al •abs(ífl(O) ; a11=al(ltl); gl•[g u:ros(siie(l:lengú1(0-lengtb(g)))] ; a2=abs(fft(g 1)) ;

Podemos ver ahora que cuando.awnenta la escala (cambia el valor de a ), se tiene una versión contraída de la señal, que es filtrada por un filtro de longitud constante .Es en este sentido que el factor de escala "a"_tiene una interpretación similar a la escala en un mapa: las grandes escalas muestran una vista global, miéntras las pequefias escalas revelan los detalles.

a22-a2(d); subplo1(221), plot(!), ylabel('sellal') subplot(222) ,plot(reaJ(g)); xlabel{'tiempo');ylabel('venta.ua') · subplot(223), plot(x 1/2,al l/inax(al 1), xl/2,a22/max(a22),'--') ,xlabel('frecuencla'),ylabel('espectros seftal ventana') subplot(224) ,plot(x,real(bl),'black'),xlabel('tiernpo'),ylabel('señal fJ.ltrada')

l

:1

Actividad M23

Considerar las señales de la actividad M22 , y el escalamiento JIat) de las mismas .Filtrar esas señales escaladas con la vevr;i,na de Gabor. Generar una función MATLAB donde las entradas sean la sef'lal , el parámetro de escala .a y el ancho característico de la ventana de Gabor.

3.2 Resoiución , escalamiento y submuestreo ~ = 150

La resolución de una seí'lal está vinculada con su contenido en frecuencias.En una señal de tiempo continuo, si se cambia Ja escala, no varía Ja resolución ya que con solo revertir la escala, se recobra la seí'lal original. No sucede lo mismo en las señales de tiempo discreto, en las cuales un escalamiento involucra un submuest.reo: por ejemplo considerandoftt) con factor de escala 2, hacemosft2t), que significa considerar solamente las muestras que están en los lugares de subíndice par. Este submuestreo, automáticamente reduce la resolución.Recíprocamente, si reducimos la escala (por ejemplo se hace g(t) = f(t/2)), queda determinado un sobremuestreo, que sin embargo no cambia la ~olución.

~

"'

{1100

e o

2:.

:l .5.___...._ _...__......__ _....'-'

o

50 o.._.,...__..._..~~-~~..J

o

0.5 llempo

0.2

o.~

o.s

free I free de muestreo

Actividad M24

1 1

•

' f

Dada la seflal j(t)=sen( 2rtl6t ) + 2cos ( 2ttt ) con r e { O, 21t ] , e intervalo de muestreo 1/32 , hacer un cambio de escala de factor 2 y observar el cambio de resolución en el espectro. Realizar con la misma sef'lal un sobremuestreo de factor 2 ) paraj =0,1,2,...5. .

c) Representar gráficamente las transformadas de Fourier discretas correspondientes en valor absoluto: F ($;) =abs( fft( $¡)).Superponer los gráficos llevando las frecuencias al intervalo [0 , I] , utilizar la instrucción hold on para lograr la superposición. Observar que el máximo de cada una de ellas es el doble del de la función anterior. c) Dividir cada una de las F($¡) por su valor máximo y comparar con la figura 22 gráf. a). Guardar todo en un archivo.ro. : escal.m (será utilizado luego). '

=

Actividad M29

Acl atacl6n : la función de variable continua sine ( x t), no dCcae rápidamente a cero en el Infinito • Y ya que la predsiÓn que se lograrla tomando SOO pontós no es mucho me~or que la que hemos considerado ¡i

a) Gráficamente se observa que el filtro pasabanila buscado se puede obtener por diferenc,ia entre dos escalamientos sucesivos de sine( t ): 1 $1 ( t) = 2 ., sinc(1t td) j = 0.1,. ..5, t= -20•2!: 1 : 20*J.Í

resolvimos simplillcar los cálculos para obtener resultados máS lhmediatos .

:¡,s

1.5

~

..

j

,,

1 ----11_,.,.,,..,~--

0.5

Representar gráficamente una de estas diferencias con j = O y cuenta dividir la correspondiente a j = 1 por 2 : emonces definir

0.5

'V ( t)

\.

o

o

ol.l.A.a...¿.i..~~-~-----'

o

0.5

•

J. = 1 ,

teniendo en

=sine ( 1tf) - 112 sine ( 7tt / 2 )

siempre muestreada en los~nteros. Editarlo en un archivo.ro , nosotros lo hemos llamado psinc.m

·0.5 b

2 . 5~--------.,

function y .. psinc(l) y,. 2*sinc(2• i*t) • slnc(pi•t);

2

1.5

3

b) Representar gráficamente F(lj! )= abs{jft( \V (t) )) •

Comparar con el grafico de la figura 21. 0.5

~'

o

eje::

ºo

()Clavas

.s1

o.5 .

~puesta

Flg 22: La d:visidn del frecuencias en real.izada cou la en frecuencia de kJg Ciltros.obtenidos con sine ( itt J Ysus diferencias ( graficos a) Yb)) . En c) Yd) se muestran ¡uperposlciones de los pares de gráficos de a) y b)

1.5j

~-.tvv\~t{\'\f"'.1"'""-"i j¡ • /

·

L

M28

·20

a) Generar como archivo .m la función sinc(t) .; tener.~º. cuenta que dará error ~, evaluarla en t 0 ,para eso UJl muestreo que evita la d~~lSl(µ\ por 0 es PO!" ejemplo • t ·20: l + eps : 20 , donde eps es la menor díferencta entre dos ntimeros en punto

=

=

flotante en MA1LAB: . . . -J+I • i) b) Representar gráfiéamente el ~uestreo de las ~nc1ones $1 ( t ) = 2 smc(n t 1 j 0,1, .. :5 y para t -20*2': 1+eps: 20*2'

=

=

·:1

. ·10

o

I

··1 1 e

1

1·

• :s Activid~d

/'""

ºr'

10

20

0.5, ot

o

~·

0.5

rl/V•'

¡

•

r==

o

1 •

0.5

Flg 23: (de lu¡ a der.) 1) la fuacíón 'l' ( t)

·

2) la transformada discreta de Fourier de lfl ( t) 3) la t.ransformada discreta de Fourier de dos escal¡unientos de 1ff ( L)

F.stamos ahora en condicíones ·de efectuar los cálculos pendientes. ,, Sea fjw) Ja resuicción de F(w), la transformada de Fourier def(t), a los intervalos

34

JPO"llODUCCION A LASONDITAS

r-i 1t' _¡ Pi.testo que

1

con je. z

rii-1 7t' 2Í.1t)

1t) u

R = ( UJ

{-Í 7t, -f'

1

.. .

J-

Si se define

1t)) U (u; [2J·l 1t • 211t))

•resulta•

I

2J \V(X)dx =o 3J Í" (13( 'VXxJl 2.tixlJdx = 2ln2 < -

L,

b¡.1 txp(-ikwl2Í)

4] 11