Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las

Ecuaciones Diferenciales

Tema 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden Tema 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior Tema 3. Sistemas de ecuaciones diferenciales

www.fonemato.com Autor: Rafael Cabrejas

Tema 1:

Ecuaciones diferenciales de primer orden 1.01 Concepto Concepto de ecuaci ecuación ón diferencial diferencial ................................................... 2 1.02 1.02 Ecuac cuacion iones es de primer primer orden orden ........ ............ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ....... ... 5 1.03 1.03 Ecuac cuación ión de variab variables les sepa separab rables les ........ ............ ........ ........ ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..... 15 15 1.04 Ecuac cuación ión hom homogén ogénea ea de primer primer orden orden ...... ......... ...... ..... ..... ...... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ...... ..... .. 40 1.05 1.05 Ecuac cuación ión reduc reducible ible a hom homogén ogénea ea ....... ........... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ....... ... 47 1.06 1.06 Ecua Ecuación ción diferenc diferencial ial exac exacta ta ........ ............ ........ ........ ........ ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ...... .. 52 1.07 1.07 Ecuac cuación ión line lineal al de primer primer orden orden ....... .......... ....... ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ........ ....... ..... .. 63 63 1.08 Ecua cuación ción de Berno rnouilli ................ ........................ ................ ................. ................. ................ ................ .......... .. 72 1.09 Ecua cuación ción de Ricatti icatti ................. ......................... ................ ................. ................. ................ ................ .............. ...... 76 1.10 1.10 Ecua Ecuación ción de Lagra Lagrang nge e ....... ........... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ...... .. 78 1.11 Ecua cuación ción de Clairau lairaut ................ ........................ ................ ................. ................. ................ ................. ............. .... 82

Las ecuaciones diferenciales te las encontrarás hasta en la sopa, porque son imprescindibles para poder hincarle el diente al estudio de infinidad de fenómenos de la vida cotidiana

Tema 1:

Ecuaciones diferenciales de primer orden 1.01 Concepto Concepto de ecuaci ecuación ón diferencial diferencial ................................................... 2 1.02 1.02 Ecuac cuacion iones es de primer primer orden orden ........ ............ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ....... ... 5 1.03 1.03 Ecuac cuación ión de variab variables les sepa separab rables les ........ ............ ........ ........ ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..... 15 15 1.04 Ecuac cuación ión hom homogén ogénea ea de primer primer orden orden ...... ......... ...... ..... ..... ...... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ...... ..... .. 40 1.05 1.05 Ecuac cuación ión reduc reducible ible a hom homogén ogénea ea ....... ........... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ....... ... 47 1.06 1.06 Ecua Ecuación ción diferenc diferencial ial exac exacta ta ........ ............ ........ ........ ........ ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ...... .. 52 1.07 1.07 Ecuac cuación ión line lineal al de primer primer orden orden ....... .......... ....... ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ........ ....... ..... .. 63 63 1.08 Ecua cuación ción de Berno rnouilli ................ ........................ ................ ................. ................. ................ ................ .......... .. 72 1.09 Ecua cuación ción de Ricatti icatti ................. ......................... ................ ................. ................. ................ ................ .............. ...... 76 1.10 1.10 Ecua Ecuación ción de Lagra Lagrang nge e ....... ........... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ...... .. 78 1.11 Ecua cuación ción de Clairau lairaut ................ ........................ ................ ................. ................. ................ ................. ............. .... 82

Las ecuaciones diferenciales te las encontrarás hasta en la sopa, porque son imprescindibles para poder hincarle el diente al estudio de infinidad de fenómenos de la vida cotidiana

1.1 CONCEPTO DE ECUACIÓN DIFERENCIAL  Sea f : ℜ  ℜ la función que gobierna uno de esos fenómenos que a nuestra especie le gusta analizar; o sea, "f" es una ley o función que a cada número real independiente ; puede tomar el valor que queramos y sufrir las "x" (x ≡ variable independiente; varia riacion iones qu que qu queram ramos) le le as asocia un un nú número ero rea reall "y "y" (y = f (x )≡ variable dependiente; o sea, el valor de "y" depende del valor que se elija para la variable independiente "x"). Sean:

nf ( x ) df ( x ) d2f ( x ) d y ' = ; y ' ' = ; . . . . . ; y n ) = dx dx 2 dx n f 

ℜ

 ⎯ →

x

Por ejemplo , la

ℜ y 

y = f (x )

variable independiente "x" expresa la cantidad de capital que emplea una empresa y la variable dependiente "y" expresa la correspondiente producción de acero de la empresa.

Ideilla fun fundame dament ntaal Como la vida es muy dura, con frecuencia es IMPOSIBLE establecer directamente la expresión matemática de la función "f" que liga a la variable independiente "x" con la dependiente "y" ...... Y EN TAN DRAMÁTICO TRANCE, a veces ES POSIBLE determinar una ecuación

F x ; y ; y ' ; y '' ; .. .... ; yn)

0

que debe ser satisfecha por "x", "y" y las derivadas sucesivas de "y" (derivadas sucesivas de "f") hasta la n-ésima inclusive. De la ecuación Fc x ; y ; y ' ; y ' ' ; . . . . ; y n  ) h = 0 se dice que es una

ECUACIÓN

DIFERENCIAL (ED) ....... ... y nuestro trabajo consi sti stirá rá en resolverla; es decir, a partir de de la ecuación F x ; y ; y ' ; y '' ;.... ; yn) 0 , deberemos obtener la expresión matemática de la función "f" que liga a "x" con "y".

2

 Al hablar de ecuaciones diferenciales es habitual usar el verbo integrar como integrar  como sinónimo de resolver; o sea, si te piden que integres la ecuación diferencial Fc x ; y ; y ' ; y ' ' ; . . . . ; y n )  h = 0 , te están pidiendo que la resuelvas; o sea, que obtengas la expresión matemática de la función "f" que liga a "x" con "y".

¡Cazado al vuelo!

Satisfagamos la natural curiosidad del lector: 

Pregunta: ¿es muy difícil integrar una ED? Respuesta: unas veces no, otras sí; a veces es imposible, ni los japoneses más

listos son capaces de resolver la papeleta. No obstante, para tu tranquilidad diremos que los casos que estudiaremos son los más fáciles y famosos. 

Pregunta: ¿hay alguna regla mágica que siempre resuelva el problema? Respuesta: no.



Pregunta: ¿qué haremos entonces?, ¿cuál es la receta? Respuesta: la única receta se resume en el verbo comparar .



Pregunta: ¿qué hay que comparar? Respuesta: hay que comparar la estructura de la ED que hemos de integrar

con las estructuras de referencia que tendremos archivadas en la cabeza. Asi, por ejemplo, si la "estructura" de nuestra ED encaja con la estructura de referencia 36, para resolver el problema bastará hacer lo prescrito por las Matemáticas para dicha estructura de referencia .... y búscate la vida como puedas si hay mala suerte y la "estructura" de tu ED no encaja con ninguna de las de referencia. No muchas

¿Cuántas estructuras de referencia hay que archivar en el "coco"?

Iré haciendo sitio

3

Orden y grado de una ED Llamamos orden de una ED al orden de la derivada de mayor orden que haya en ella. Llamamos grado de una ED de orden "n" al mayor exponente que afecte a la derivada de orden "n". Por ejemplo: 

• x. y + y '. x − 3 y ' =  0 es de orden 1 y grado 1 • x − y '+12.( y '' )3 + y'' = 0  es de orden 2 y grado 3 • y''+ x − 7.(y' '' )5 + ( y' '' )3 =  0 es de orden 3 y grado 5

Solución de una ED Llamamos solución ó integral de una ecuación diferencial "Pepa" a toda función que transforme a "Pepa" en una identidad. Por ejemplo, la función y = 5.cos x es solución de la ecuación diferencial

y ''+ y = 0 pues siendo

y ' = −5. sen x y '' = −5.cos x

sucede que

( −5.cos x) + (5.cos x) ≡ 0  

  

y ''

y

 

La función y = 7. sen x también es solución de la ecuación y''+ y  = 0 , pues siendo y ' = 7.cos x y '' = −7. sen x sucede que

( −7.sen x) + (7.sen x) ≡ 0   

  

y ''

y

 

Siendo "A" y "B" constantes arbitrarias, la función y = A. sen x + B.cos x también es solución de la ecuación y''+ y = 0 , pues

y ' = A.cos x − B.sen x y '' = − A.sen x − B.cos x sucede que

( − A.sen x − B.cos x) + (A.sen x + B.cos x) ≡ 0  

  

y ''

y

  4

1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN La estructura de una ED de primer orden es de la forma

F(x ; y ; y ')

0

Diremos que la ED de primer orden F (x ; y ; y ' ) = 0 es resoluble respecto a y ' o que está expresada en forma normal si a partir de F( x ; y ; y ' ) = 0 puede explicitarse (despejarse) la derivada y ' ...... en caso contrario diremos que la ED no es resoluble respecto de y' o que está expresada en forma implícita.

+ y '.sen x = 0 es resoluble respecto a y' , pues puede explicitarse y', ya que x.y 2 + y '.sen x = 0 ⇒ y ' = −x.y 2 /(sen x) . Por ejemplo, la ecuación y ' + x.y 2 + Ln y ' = 0 no es resoluble respecto a y' , pues a partir de y '+x . y 2 + Ln y ' = 0 ni los japoneses pueden explicitar y'. Por ejemplo, la ecuación x.y 2

Cuando " algo" no lo sepas, no debes decir la primera chorrada que se te ocurra, pues la probabilidad de acertar es muy pequeña, y el ridículo que puedes hacer es espantoso ..... eres dueñ@ de lo que callas y prisioner@ de lo que dices

O sea .... mejor estar callad@ y parecer tont@ que abrir la boca y acreditar indubitadamente tu estupidez

Muy bien, las cazas al vuelo

5

Teorema de existencia y unicidad de solución Siendo y ' = h( x ; y ),  si las funciones "h" y  ∂h/∂y  son continuas en todo punto ( x ; y ) del conjunto cerrado D ⊆ ℜ 2 y ( a ; b) es un punto interior a "D", existe una única función y = φ( x) que es solución de la ecuación diferencial y' = h( x ; y ) y  satisface la condición φ( a ) = b ; o sea, la gráfica de y = φ( x ) pasa por el punto (a ; b ) .

y 

D • (a;b) y = φ(x) x

La exigencia de que y = φ( x ) sea tal que φ(a ) = b suele llamarse condición inicial.

Recuerda: una función g:

de las variables " x " e " y " es 2 si la superficie representativa de " g " no continua en el punto (a ;b) está rota en (a ;b) .... o de otro modo: " g " es continua en (a ;b) si para todo ε 0 es posible encontrar r 0 tal que g( x ; y) g(a ; b) ε en todo punto ( x ; y) tal que x a r  y y b r . 2 

6

Solución general. Solución particular Se llama solución general de una ED de primer orden a la función y = ϕ( x ; C) que depende de una constante arbitraria "C" y satisface la ecuación diferencial para cualquier valor de "C"; además, sea cual sea la condición inicial que se imponga, puede encontrarse un valor concreto de "C" (C = C *) tal que y = ϕ( x ; C*) satisface dicha condición inicial. Si y = ϕ( x ; C ) es la solución general de una ED de primer orden, se llama solución particular de la ED a toda función obtenida al asignar a "C" un valor concreto. Por ejemplo, si y = C/x es la solución general de la ecuación F( x ; y ; y ' )  = 0, al hacer C = 20, se obtiene la solución particular y = 20/ x; y al hacer C = −13, se obtiene la solución particular y = −13/ x.

Integral general. Integral particular  Al buscar la solución general de una ED de primer orden, a veces se llega a una ecuación G( x ; y ; C) = 0 en la que "y" no está explicitada. Para obtener la solución general basta despejar "y", lo que no siempre es posible; en tal caso, la solución general queda definida en forma implícita, y de G( x ; y ; C ) = 0 se dice que es la integral general de la ecuación diferencial. Siendo G( x ; y ; C) = 0 la integral general de una ED de primer orden, se llama integral particular de la ecuación diferencial a toda ecuación obtenida al asignar a "C" un valor concreto.

+ sen y  = 0 es la integral general de una ED de primer orden, al hacer C = 2 se obtiene la integral particular 2. x. y + sen y =  0; y  haciendo C = −3 se obtiene la integral particular −3. x . y + sen y =  0. Por ejemplo, si C. x. y

Interpretación geométrica En términos geométricos, la integral general es una familia de curvas (dependiente de una constante arbitraria "C") del plano; de cada curva de la familia se dice que es una curva integral, y cada curva integral es la gráfica de una integral particular.

Problema inverso Te dan una familia de curvas G( x ; y ;C) 0 y te piden que determines la ED de primer orden cuya integral general es dicha familia. Para resolver la papeleta debes eliminar la constante "C" en el siguiente sistema de dos ecuaciones:

G( x ;y ;C) = 0 ∂G( x ; y ; C)/ ∂x = 0

Por ejemplo, la ED de primer orden cuya integral general es la familia de parábolas y − C. x 2 = 0 se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones:

y − C.x2 = 0 ⎫ y − C.x 2 = 0 ⇒ ⎬ y '− 2.C.x = 0 ∂(y − C.x2 )/∂x = 0 ⎭

{

C = y '/(2.x)

7

y −

y ' 2 .x = 0 2. x

y ' = 2. y/x

Por ejemplo, la ED de primer orden cuya integral general es la familia de

hipérbolas equiláteras x. y − C = 0 se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones: x.y − C = 0 x.y − C = 0 C = x.y   ⇒ ∂(x.y − C)/∂x = 0 y + x.y ' = 0 y + x.y ' = 0

} {

Solución singular

y  Se llama solución singular de una ED de primer orden a aquélla función de "x" que siendo solución de la ED no está recogida en la solución general; es decir, no puede obtenerse al asignar un valor concreto a la constante arbitraria "C" que aparece en la solución general. x Una ED de primer orden puede no tener solución singular. Si existe solución singular, su gráfica es la envolvente de la familia formada por la solución general; o sea, la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una curva de la familia. Para hallar la envolvente de la familia G( x ; y ; C) = 0 basta eliminar la constante "C" en el siguiente sistema de dos ecuaciones:

G( x ; y ; C) = 0 ; ∂G( x ; y ; C)/∂C = 0 envolvente de la familia de parábolas y2 − 2. C. x + C2 = 0 se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones: Por ejemplo, la

y 2 − 2. C. x + C 2 = 0 U Ry 2 − 2. C. x + C 2 = 0 ⇒ C=x ∂( y 2 − 2. C. x + C 2 )/∂C = 0VW ST−2. x + 2. C = 0 y 2 − 2. x 2 + x 2 = 0

y2 = x2

Así, y 2 = x 2 es la solución singular de la ED de primer orden cuya solución general es y 2 − 2. C. x + C2 = 0.

envolvente de la familia de circunferencias x 2 + y2 − C = 0 se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones: Por ejemplo, la

x 2 + y 2 − C = 0 U Rx 2 + y 2 − C = 0 ⇒ ∂( x 2 + y 2 − C)/∂C = 0VW ST−1 = 0 ⇒ absurdo El absurdo indica que la familia de circunferencias x2 + y2 − C = 0 carece de envolvente; es decir, carece de solución singular la ED de primer orden cuya solución general es la familia x2 + y2 − C = 0.

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Por ejemplo, la envolvente de la familia de circunferencias ( x

− C) 2 + y 2 − 4 = 0

se obtiene eliminando "C" en el sistema de ecuaciones: ( x − C )2 + y 2 − 4 = 0 U R( x − C )2 + y 2 − 4 = 0 V⇒S ∂(( x − C )2 + y 2 − 4 )/∂C = 0W T−2.( x − C ) = 0 C=x y2 − 4 = 0

y = ±2

  Así, y = ±2 es la solución singular de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia de circunferencias ( x − C) 2 + y 2 − 4 = 0 . y  2 x

−2 FONEMATO 1.2.1

Determínese la ecuación diferencial cuya solución general es la siguiente familia de curvas: 1) y = C. x ; 2 ) y = 2. C. x 2 + C 2 ; 3 ) y = C. e x 3 4 ) y = e x + C ; 5) y = C. x 2 + C 2 ; 6) y = x  + C C 4 SOLUCIÓN Para determinar la ecuación diferencial de primer orden cuya integral general es la familia de curvas G( x ; y ; C ) = 0 , basta eliminar la constante "C" en el sistema formado por las ecuaciones G(x ; y ; C) = 0 y ∂G(x ; y ; C)/∂x = 0. 1) Para la familia y − C. x = 0 , se tiene que: y − C.x = 0 y − C.x = 0 ⇒ ∂(y − C.x)/ ∂x = 0 y '− C = 0

} {

C = y'

y − y '.x = 0

2) Para la familia y − 2. C. x 2 − C 2 = 0 , se tiene que: y − 2.C.x 2 − C2 = 0 ⎫ y − 2.C.x 2 − C2 = 0 ⇒ ⎬ y ' − 4.C.x = 0 C = y '/(4.x) ∂( y − 2.C.x 2 − C2 )/∂x = 0 ⎭

{

2

y ' 2 F  y ' I  =0 y − 2. .x − G 4. x H 4. x J  K 

16. x 2 . y − 6. x 3 . y '−( y' )2  = 0

3) Para la familia y − C. e x = 0 , se tiene que: y − C.e x = 0 ⎫ ⎧ y − C.e x = 0 ⇒ ∂(y − C.e x )/∂x = 0 ⎬⎭ ⎩⎨y ' − C.e x = 0

C = y '.e −x

y '− y = 0

9

4) Para la familia y − e x + C = 0, se tiene que: y − ex + C = 0 ⎫ ⎧y − ex + C = 0 ⇒ ∂( y − e x + C )/∂x = 0 ⎬⎭ ⎩⎨ y ' − e x + C = 0

ex +C = y '

y − y' = 0

5) Para la familia y − C. x 2 − C 2 = 0 , se tiene que: y − C.x 2 − C2 = 0 ⎫ y − C.x 2 − C2 = 0 ⇒ y '− 2.C.x = 0 C = y '/(2.x) ∂( y − C.x 2 − C2 )/∂x = 0 ⎬⎭

{

2

y ' 2 F  y ' I  y − .x − G =0 2. x H 2. x J  K 

4. x 2 . y − 2. x 3 . y '−( y' )2  = 0

6) Para la familia y − ( x/C ) − ( C 3 /4 ) = 0 , se tiene que: y − (x/C) − (C3 /4) = 0 ⎫ y − (x/C) − (C3 /4) = 0 ⇒ ⎬ y ' − (1/C) = 0 C = 1/y ' ∂( y − (x/C) − (C3 /4))/∂x = 0⎭

{

y − x. y' − 1 .( y ' )−3  = 0 4

¿Serías tan amable de decirme algo sobre lo lineal ?

4. y.( y' )3 − 4. x .( y ' )4  − 1 = 0

¡Pues no ... para qué vamos a engañarnos!

10

Tendríamos que meditar  el asunto

¿Medi ... qué?

11

FONEMATO 1.2.2 Determínese la envolvente de cada una de la familia de curvas: 1) y = C. x + C 2 ; 2 ) y = ( x /C ) + C 2 ; 3 ) ( x /C ) − (y /C 3 ) = 2 4 ) C 2 . x + C. y − 1 = 0 ; 5 ) ( x − C )2 + ( y − C )2 = 4 ; 6 ) C. x 2 + C 2 . y = 1  

SOLUCIÓN Para determinar la envolvente de la familia G( x ; y ; C) = 0 , basta eliminar la constante "C" en el siguiente sistema de dos ecuaciones: G( x ; y ; C ) = 0 ; ∂G( x ; y ; C )/∂C = 0 1) Para la familia G( x ; y ; C) = y − C. x − C2 = 0 , se tiene que: y − C. x − C 2 = 0 U Ry − C. x − C 2 = 0 ⇒ ∂( y − C. x − C 2 )/∂C = 0 VW ST− x − 2. C = 0

C = −x /2

2 2 y − ( − x ). x − ( − x )2 = 0 y  + x − x = 0 4. y + x 2 = 0 2 2 2 4 Por tanto, 4.y + x 2 = 0 es la solución singular  de la ecuación diferencial de

primer orden cuya solución general es la familia y − C. x − C2 = 0 = 0. 2) Para la familia G( x ; y ; C) = y − ( x/C) − C2 = 0 , se tiene que: y − ( x/C ) − C 2 = 0 U Ry − ( x/C ) − C 2 = 0 ⇒ ∂( y − ( x/C ) − C 2 )/∂C = 0VW ST( x/C 2 ) − 2. C = 0 y −

C = ( x /2 )1/3

x y − 21/3 . x 2/3 − 2 −2/3 . x 2/3 = 0 − ( x/2 )2/3 = 0 1 / 3 ( x/2 ) y − ( 21/ 3 + 2 −2/3 ). x 2/ 3 = 0 y=

3 . x 2/ 3

y 3 = 27 . x 2 4

2 2 /3 Por tanto, y 3 = 27. x 2 /4 es la solución singular  de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia y − ( x/ C) − C2 = 0. 3) Para la familia G( x ; y ; C) = ( x/C) − ( y/C3 ) − 2 = 0 , se tiene que:

U R x − y  − 2 = 0 x − y  − 2 = 0 | || C C3 C C3 V⇒S 1/2 y  F  I  3 . y  3 . y  x F  I  x ∂ − 3 − 2 /∂C = 0| |− + C= =0 H C C K  H  x K  W |T C 2 C 4 y  x x 3/2 − x 3/2 − − =2 2=0 1 / 2 3/2 1 / 2 1 / 2 3/2 1 / 2 ( 3. y/x ) (3. y/x ) 3 . y  3 . y  2. x 3/2 = 2 33/2 . y 1/2

x 3/2 = 1 33/2 . y 1/2

x 3 = 27. y 

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Por tanto, x 3 = 27. y   es la solución singular  de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia (x /C ) − (y /C 3 ) − 2 = 0 . 4) Para la familia G( x ; y ; C) = C2 . x + C. y  − 1 = 0 , se tiene que: C 2 . x + C. y − 1 = 0 U RC 2 . x + C. y − 1 = 0 ⇒ C = − y/(2. x ) ∂cC2 . x + C. y − 1h/∂C = 0VW ST2. C. x + y = 0

F − y  I 2 . x + F − y  I . y − 1 = 0 H  2. x K  H  2. x K 

y 2 − =1 4. x

4. x + y 2 = 0

Por tanto, 4.x + y 2 = 0 es la solución singular  de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia C2 . x + C. y − 1 = 0. 5) Para la familia G( x ; y ; C) = ( x − C)2 + ( y − C)2 − 4 = 0, se tiene que: ( x − C )2 + ( y − C )2 − 4 = 0 U R( x − C )2 + ( y − C )2 − 4 = 0 ⇒ ∂c( x − C )2 + ( y − C )2 − 4 h/∂C = 0 VW ST( x − C ) + ( y − C ) = 0

F x − x + y I 2 + F y − x + y I 2 − 4 = 0 H  2 K  H  2 K  C = ( x + y )/2

F x − y I 2 + F y − x I 2 = 4 H  2 K  H  2 K  y 

( x − y )2 = 8

x − y = − 8

8

− 8 8

x − y = 8 x

− 8

Rx − y = 8 S Tx − y = − 8

( x − C )2 + ( y − C )2 = 4 es la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (C ; C ) de la bisectriz del primer cuadrante y radio 2

Por tanto, ( x − y )2 = 8 es la solución singular  de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia (x − C )2 + (y − C )2 − 4 = 0 . 6) Para la familia G( x ; y ; C) = C. x 2 + C2 . y  − 1 = 0, se tiene que: C. x 2 + C 2 . y −  1 = 0 U RC. x 2 + C 2 . y −  1 = 0 ⇒ ∂cC. x 2 + C 2 . y − 1h/∂C = 0 VW STx 2 + 2. C. y = 0 C = − x 2 /(2. y ) 2 4 − x . x 2 + x 2 . y − 1 = 0

2. y 

4. y 

4 − x =1

4. y 

 

4. y + x 4 = 0

Por tanto, 4.y + x 4 = 0 es la solución singular  de la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia C. x2 + C2 . y − 1 = 0.

13

A continuación describiremos la secuencia de trabajo para obtener la integral general de las más famosas ecuaciones diferenciales de primer orden; a saber:

• • • • • • • • •

Ecuación de variables separables Ecuación homogénea de primer orden Ecuación reducible a homogénea Ecuación diferencial exacta Ecuación lineal de primer orden Ecuación de Bernouilli Ecuación de Ricatti Ecuación de Lagrange Ecuación de Clairaut

Los que son unos mataos calculando primitivas las pasan canutas con las ecuaciones diferenciales de primer orden

La primera en la frente

14

1.3 ECUACIÓN DE VARIABLES SEPARABLES Se dice que una ED de primer orden F( x ; y ; y ' ) = 0 es de variables separables si la derivada y' puede expresarse como producto de una función que sólo depende de "x" por otra que sólo depende de "y"; es decir:

y ' = p(x).q(y) Para calcular su integral general basta separar  las variables y calcular dos primitivas:

dy  dy  y ' = p( x ). q( y ) ⇒   = p( x ). q( y )  ⇒ = p( x ). dx ⇒ dx q( y ) dy  ⇒ = p( x ). dx + C q( y )

z

z 

 

Integral General Si la ecuación se presenta con las variables ya separadas; es decir, de la forma M( x ). dx + N( y ). dy =  0 , su integral general es

z M( x ). dx + z N( y ). dy = C Una ecuación de la forma M1 ( x ). N1 ( y). dx + M2 ( x ). N2 ( y ). dy =   0 se reduce a una de variables separables dividiendo los dos miembros por N1 ( y ). M 2 ( x ).

15

FONEMATO 1.3.1 Determínese la integral general de 2. x . y '= y , calculando la integral particular que pasa por el punto (2 ; 3 ).

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma y ' = p( x ).q( y );   en efecto: 2. x. y ' = y ⇒ y ' = y. 1  2. x Por tanto, en nuestro caso es p( x) = 1/( 2. x) y q( y ) = y .El  cálculo de la integral general de la ecuación se reduce al cálculo de dos primitivas:

dy  dy  = y . 1 ⇒ = dx ⇒ y ' = y . 1 ⇒ 2. x dx 2. x y  2. x dy  ⇒ = dx + C ⇒ Ln y = 1 . Ln x + C ( I) y  2. x 2

z

z 

 Al exigir que la integral general (I) pase por el punto (2 ; 3 ), se obtiene:

Ln 3 = 1 . Ln 2 + C ⇒ C = Ln 3 − 1 . Ln 2 = Ln ( 3/ 2 ) 2 2 Al hacer C = Ln ( 3/ 2 ) en (I), obtenemos la integral particular que pasa por el punto (2 ; 3) ; resulta ser:

Ln y = 1 . Ln x + Ln ( 3/ 2 ) 2

16

FONEMATO 1.3.2 Determínese la integral general de x 2 . dx + ( sen y). dy = 0 , calculando la integral particular que pasa por el punto (3 ;0 ).

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma m( x ). dx + n( y ). dy =  0; en nuestro caso es m( x ) = x 2 y n( y ) = sen y.  El cálculo de la integral general de la ecuación s e reduce al cálculo d e dos primiti vas:

x 2 . dx + (sen y ). dy =  0 ⇒

⇒ z x 2 . dx + z (sen y ). dy = C ⇒ ⇒ 1 . x 3 − cos y = C ( I) 3

 Al exigir que la integral general (I) pase por el punto (3 ; 0 ), se obtiene: 33 − cos 0 = C ⇒ C = 8 3   Al hacer C = 8 en (I), obtenemos la integral particular que pasa por el punto ( 3 ; 0 ) ; resulta ser: 1 . x 3 − cos y = 8 3

17

El Congreso Universal de Sabios ha decidido poner un nombre más significativo a la derivada, porque con el nombre actual la gente no se entera de nada ...... ¿Qué nuevo nombre ele irías tú?

¡Eso me lo he preguntado yo 100000 veces!

Yo de bautizos no entiendo .... y te estás pasando 100 pueblos, como sigas preguntando gilipolleces acabaremos mal

Me gana por  goleada .... 100000 a 0

18

FONEMATO 1.3.3 Determínese la integral general de y ' =

3. x + 4 . x 2 − 2. x + 5

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma y ' = p( x ).q( y ).   El cálculo de la integral general de la ecuación se reduce al cálculo de dos primitivas: y ' =

3. x + 4 ⇒ dy = 3. x + 4 . dx ⇒ dy =  3. x + 4 . dx + C ⇒ x 2 − 2. x + 5 x 2 − 2. x + 5 x 2 − 2. x + 5 ⇒ y = 7 . arc tg ( x − 1 ) + 3 . Ln ( x − 1 )2 + 1 + C 2 2 2 2

z

z

3. x + 4 . dx = x 2 − 2. x + 5

z 

z  ( x −3.1x)2+ +4 2 2 . dx =

Nuestro cociente de polinomios ya está descompuesto en fracciones simples; el que las dos raíces del denominador sean x = 1 ± 2. i nos indica que x 2 − 2. x + 5 = ( x − 1)2 + 2 2 . x − 1 = 2.z ⇒ x = 1 + 2.z ⇒ dx = 2.dz 3.(1 + 2.z) + 4 .2.dz = 7 .∫ dz + 3.∫  z.dz = 2 2 2.z2 + 2 2 z2 + 1 z2 + 1 = 7 .arc tg z + 3 .Ln z2 + 1 = 2 2 = 7 .arc tg ( x − 1 ) + 3 .Ln ( x − 1 )2 + 1 2 2 2 2 deshacemos el cambio de variable: x − 1 = 2.z ⇒ z = x − 1 2

=∫

19

FONEMATO 1.3.4 4 3 2 Determínese la integral general de y ' = x − 7. x + 17. x − 22. x + 14 x 3 − 7. x 2 + 14. x − 8

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma y ' = p( x ). q( y ).  4 3 2 dy = x − 7. x + 17. x − 22. x + 14 . dx ⇒ x 3 − 7. x 2 + 14. x − 8 4 3 2 ⇒ dy = x − 7. x + 17. x − 22. x + 14 . dx + C ⇒ x 3 − 7. x 2 + 14. x − 8

z

z 

• Como el numerador es de grado ≥ que el denominador, dividimos: x 4 − 7. x 3 + 17. x 2 − 22. x + 14 − x 4 + 7. x 3 − 14. x 2 + 8. x 3. x 2 − 14. x + 14

x 3 − 7. x 2 + 14. x − 8 x

4 3 2 2  Así, es: x − 7. x + 17. x − 22. x + 14 − 8 = x + 3. x − 14. x + 14 − 7.  x 3 − 7. x 2 + 14. x − 8 x 3 x 2+  14. x − 8  k( x )

 Ahora descomponemos en fracciones simples el cociente k(x), cuyo numerador es de grado inferior al denominador. • Determinamos las raíces del denominador: x 3 − 7. x 2 + 14. x − 8 ⇒ x = 1, 2 , 4 • Ninguna de las raíces del denominador anula al numerador de k(x). • La descomposición de k(x) en fracciones simples: 3. x 2 − 14. x + 14 =  A + B + C ( I) x 3 − 7. x 2 + 14. x − 8 x − 1 x − 2 x − 4

Cálculo de las const antes • Reducimos a común denominador en el segundo miembro de (I) e igualamos los numeradores: 3. x 2 −14. x +14 = A .( x −2 ).( x −4 )+B.( x −1).( x −4 )+C.(x −1).(x −2 ) (II)

• • • •

Al hacer x = 1 en (II): 3 − 14 + 14 = A.(1 − 2 ).(1 − 4 ) + 0 + 0 ⇒ A = 1 Al hacer x = 2 en (II): 12 − 28 + 14 = 0 + B.( 2 − 1).(2 − 4 ) + 0 ⇒ B = 1 Al hacer x = 4 en (II): 48 − 56 + 14 = 0 + 0 + C.( 4 − 1).(4 − 2 ) ⇒ C = 1 En definitiva: x 4 − 7. x 3 + 17. x 2 − 22. x + 14 − 8 = x + 1 + 1 + 1 x −1 x − 2 x − 4 x 3 − 7. x 2 + 14. x − 8

⇒ y = 1 . x 2 + Ln x − 1 + Ln x − 2 + Ln x − 4 + C 2

20

FONEMATO 1.3.5 Determínese la integral general de y ' =

3. x + 1 x 2 − 2. x + 1

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma y ' = p( x ).q( y ).  

El cálculo de la integral general de la ecuación se reduce al cálculo de dos primitivas: dy  = 3. x + 1 ⇒ dx x 2 − 2. x + 1 ⇒ dy = 2 3. x + 1 . dx ⇒ x − 2. x + 1 ⇒ z dy = z  2 3. x + 1 . dx + C ⇒ x − 2. x + 1 ⇒ y = − 4 + 3. Ln x − 1 + C x −1 z x 2 3−. x2+. x1+ 1 . dx = z  b ( x −41)2 + x 3− 1 g. dx =

• El numerador es de grado inferior al denominador • Determinamos las raíces del denominador: x 2 − 2. x + 1 = 0 ⇒ x = 1 (doble ) ⇒ x 2 − 2. x + 1 = ( x − 1)2 • Ninguna de las raíces del denominador lo es también del numerador. • Descomposición en fracciones simples: 3. x + 1 =  A B ( I) + x 2 − 2. x + 1 ( x − 1)2 x − 1 Cálculo de las constantes • Reducimos a común denominador en el segundo miembro de (I): 3. x + 1 = A + B.( x − 1) ( II) x 2 − 2. x + 1 ( x − 1)2 • Al igualar los numeradores de (II), resulta: 3. x + 1 = A + B.( x − 1) ( III) • Al hacer x = 1 en (III): 3 .1 + 1 = A + 0 ⇒ A = 4 • Para calcular la segunda constante ("B") introducida por la raíz doble x = 1, damos a "x" un valor arbitrario en (III). Por ejemplo, al hacer x = 0, resulta: 3.0 + 1 = 4 + B.( 0 − 1) ⇒ B = 3 • En definitiva: 2 3. x + 1 = 4 2 + 3 x −1 x − 2. x + 1 ( x − 1)

= − 4 + 3. Ln x − 1 x −1

21

En tu casa hay artilugios cuyo trabajo consiste efectuar procesos de integración ... ¿Qué me dices de ellos?

¡Habría que preguntarle al Ministro de Educación!

Pues que aquí no están, porque esto está vacío

Seguro que es de Letras y de esto no entiende mucho

22

FONEMATO 1.3.6 2 Determínese la integral general de y. y ' = 3. x + 9. x + 4 x 3 − 4 . x 2 + 4. x

SOLUCIÓN La ecuación dada es de variables separables, pues puede expresarse de la forma y ' = p( x ).q( y ).   2 dy  y . = 3. x + 9. x + 4 ⇒ dx x 3 − 4. x 2 + 4. x 2 ⇒ y. dy = 33. x + 92. x + 4 . dx ⇒ x − 4. x + 4 . x 2 ⇒ y. dy = 3. x + 9. x + 4 . dx + C ⇒ x 3 − 4. x 2 + 4 . x ⇒ 1 . y 2 = − 1 + 2. Ln x + 2 + Ln x + C 2 x+2

z

z

z 

3. x 2 + 9. x + 4 . dx = x 3 − 4. x 2 + 4 . x

z  b ( x +12 )2 + x +2 2 + x −1 0 g. dx =

• El numerador es de grado inferior al denominador. • Determinamos las raíces del denominador: x 3 − 4. x 2 + 4. x = 0 ⇒ x = −2 (doble ), 0 • Descomposición en fracciones simples: 3. x 2 + 9. x + 4 =  A B + C ( I) + x 3 − 4 . x 2 + 4 . x ( x + 2 )2 x + 2 x − 0 Cálculo de las constantes • Reducimos a común denominador en el segundo miembro de (I): 3. x 2 + 9. x + 4 = A. x + B.( x + 2 ). x + C.( x + 2 )2 (II) x 3 − 4 . x 2 + 4. x ( x + 2 )2 . x • Al igualar los numeradores de (II), resulta: 3. x 2 + 9. x + 4 = A . x + B.( x + 2 ). x + C.( x + 2 )2 (III)

• Al hacer x = 0 en (III): 4 = 0 + 0 + C.( 0 + 2 )2 ⇒ C = 1 • Al hacer x = − 2 en (III): −2 = −2. A + 0 + 0 ⇒ A = 1 • Para calcular la segunda constante ("B") introducida por la raíz doble x = − 2, damos a "x" un valor arbitrario en (III). Por ejemplo, al hacer x = 1, resulta: 16 = 1 + B.(1 + 2 ) + (1 + 2 )2 ⇒ B = 2 2 1 2 + 1 • En definitiva: 33. x + 92. x + 4 = + x − 4 . x + 4 . x ( x + 2 )2 x + 2 x − 0

= − 1 + 2. Ln x + 2 + Ln x x+2

23

FONEMATO 1.3.7 Determínese la integral general de las siguientes ecuaciones diferenciales 1) y. sen y. dy = x 2 . e x . dx ; 2 ) y 2 . Ln y. dy = e x . sen x. dx

SOLUCIÓN  Ambas ecuaciones son de variables separables.

z

y. sen y. dy = x 2 . e x . dx ⇒ y. sen y. dy =

1)

z x 2 . e x . dx + C ⇒

⇒ y.cos y + cos y = x 2 . e x − 2. x. e x + 2. e x + C •

z y.sen y. dy = y.sen y − z sen y. dy = y.cos y + cos y

 

∗ u = y ⇒ du = dy   ∗ dv = sen y.dy ⇒ v = ∫ sen y.dy = − cos y   •

z x 2 . e x . dx = x 2 . e x − 2. z x.e x . dx = x 2 .e x − 2.(x .e x − z e x .dx ) =

∗ u = x 2 ⇒ du = 2.x.dx ∗ dv = e x .dx ⇒ v = ∫ e x .dx = e x =

2

x

−

∗ u = x ⇒ du = dx ∗ dv = e x .dx ⇒ v = ∫ e x .dx = ex x

x

Sin el Cálculo Integral yo no sería nada

D 24

2)

z

z 

y 2 . Ln y. dy = e x . sen x. dx ⇒ y 2 . Ln y. dy = e x . sen x. dx + C ⇒ y 3 . Ln y y 3 e x . sen x − e x .cos x ⇒ − = +C 3 9 2

•

z

y 3 . Ln y   1 y 3 . Ln y 2 2 y . Ln y. dy =   − . y . dy  =

z 

3 3 ∗ u = Ln y ⇒ du = dy/y  

3

y3   − 9

∗ dv = y 2 .dy ⇒ v = ∫ y 2 .dy = y 3 /3 • ∫ e x .sen x.dx = e x .sen x − ∫ ex .cos x.dx = ∗ u = sen x ⇒ du = cos x.dx ∗ dv = e x .dx ⇒ v = ∫ e x .dx = e x = e x .sen x − (e x .cos x + ∫ ex .sen x.dx) ⇒ ∗ u = cos x ⇒ du = −sen x.dx ∗ dv = e x .dx ⇒ v = ∫ e x .dx = e x ⇒ ∫ e x .sen x.dx = e x .sen x − ex .cos x − ∫ ex .sen x.dx ⇒ ⇒ 2.∫ e x .sen x.dx = e x .sen x − e x .cos x ⇒ e x .sen x − e x .cos x x e .sen x.dx =

⇒ ∫ 

2

25

FONEMATO 1.3.8 Determínese la integral general de las siguientes ecuaciones diferenciales 1) y. arc sec y .dy = dx/cos4 x ; 2 ) y ' = (1 − sen y )/(3 − cos x )

SOLUCIÓN  Ambas ecuaciones son de variables separables. y. arc sec y. dy = dx/cos4 x ⇒

1)

⇒ z y. arc sec y. dy = z dx/cos4 x + C ⇒

F  tg x I  y 2 . arc sec y   1 ⇒ − . y 2 − 1 = 1 . G 2 + 2. tg x J  2 2 3 H cos x K  •

∫

y 2 .arc sec y   1 − .∫  y.arc sec y.dy = 2 2

∗ u = arc sec y ⇒ du =

y  y2

−1

.dy =  

dy  y. y 2 − 1

∗ dv = y.dy ⇒ v = ∫ y.dy = y 2 /2 y 2 .arc sec y   1 = − . y2 − 1 2 2 tg x 2.sen x • ∫ dx4 = ∫  12 . dx2 = − .tg x.dx = ∫  2 3 cos x cos x cos x cos x cos x 2.sen x ∗ u = 1 ⇒ du = .dx cos2 x cos3 x ∗ dv = 12 .dx ⇒ v = ∫  12 .dx = tg x cos x cos x tg x sen 2 x tg x 1 − cos 2 x = − 2.∫  4 .dx = − 2.∫  .dx = 2 2 4 cos x cos x cos x cos x sen 2 x = 1 − cos 2 x tg x cos2 x 1 = − 2. ∫  4 .dx + 2.∫  4 .dx ⇒ cos2 x cos x cos x 

Es la primitiva que buscamos tg x cos2 x dx ⇒ 3. = + 2. . dx ⇒ 4 2 4 cos x cos x cos x dx = tg x + 2. dx = tg x + 2. tg x ⇒ ⇒ 3. cos4 x cos2 x cos2 x cos2 x dx = 1 . F  tg x + 2. tg x I  ⇒ G J  cos4 x 3 H cos2 x K 

z

z 

z

z 

z 

26

1 − sen y  dy  1 − sen y  ⇒ = ⇒ 3 − cos x dx 3 − cos x 1 1 ⇒ . dy = . dx ⇒ 1 − sen y  3 − cos x 1 1 ⇒ . dy = . dx + C ⇒ 1 − sen y  3 − cos x 2 ⇒− = 1 . arc tg ( 2 . tg ( x/2 )) + C 1 − tg ( y /2 ) 2 y ' =

2)

z

z 

1 1 dz . dy = . 2. dz = 2. = 2 2 − 2. z + 1 1 − sen y  2 . z + 1 z z 1− 1 + z2 tg (y/2) = z ⇒ sen y = 2.z/(1 + z2 ) y dy = 2.dz/(1 + z2 )

•z

z

z 

2 = 2.∫  dz = 2 = − 1 − tg ( y/2)   (z − 1)2 1 − z deshacemos el cambio de variable: z = tg ( y/2) 1 . 2.dt = ∫  dt = 2 2 1 + 2.t 2 3 − 1−t 1+t 1 + t2 tg (x/2) = t ⇒ cos x = (1 − t 2 )/(1 + t 2 ) y dx = 2.dt/(1 + t 2 ) = 1 .arc tg 2.t = 1 .arc tg ( 2.tg ( x/2)) 2 2 deshacemos el cambio de variable: t = tg ( x/2 )

•

1 ∫ 3 − cos x .dx = ∫

27

FONEMATO 1.3.9 Determínese la integral general de

sen y .cos y   sen x .cos x . dy = . dx 2 2 1 + sen y   1 + cos x

SOLUCIÓN La ecuación es de variables separables. sen y .cos y sen x.cos x .dy = .dx ⇒ 2 2 1 + sen y 1 + cos x sen y .cos y sen x .cos x ⇒∫ .dy = ∫  .dx + C ⇒ 2 2 1 + sen y 1 + cos x sen y = z ⇒ cos y.dy = dz ; cos x = t ⇒ sen x.dx = −dt z .dz = − t .dt + C ⇒ ∫ 1 + t 2 1 + z2 ⇒ 1 .Ln 1 + z 2 = − 1 .Ln 1 + t 2 + C ⇒ 2 2 z = sen y ; t = cos x

⇒∫

⇒ 1 .Ln 1 + sen 2 y = − 1 .Ln 1 + cos2 x + C 2

2

Trátala con mimo, que tiene el récord galáctico .... su dueño, mal estratega, tardó once años en descubrir  que se había equivocado de Carrera

Habría que pasearla a diario en procesión por  el campus, para que la gente se entere de lo que vale un peine

28

FONEMATO 1.3.10 1) En el instante t = 0 el pato Lucas dispone de un capital 100 $, y decide gastarlo de modo que la velocidad del gasto sea directamente proporcional al capital disponible en cada instante. Determínese el capital disponible en cada ins-tante y el tiempo que transcurre hasta que el capital se reduce a la mitad. 2) Repítase el ejercicio si la velocidad del gasto es inversamente proporcional al capital disponible en cada instante.

SOLUCIÓN 1) Siendo "K" el capital disponible en el instante "t", la velocidad o rapidez con que Lucas gasta su capital en dicho instante es dK/ dt; así, si la velocidad del gasto es directamente proporcional al capital disponible en cada instante , entonces

dK/dt = − p.K  

donde p > 0 es la constante de proporcionalidad, y el signo negativo se escribe porque el capital disminuye a medida que pasa el tiempo. La ecuación dK/dt = − p.K   es de variables separables:

dK = −p.K ⇒ dK = − p.dt ⇒ dt K  ⇒ ∫ dK  = − ∫ p.dt + C ⇒ Ln K = −p.t + C K   Al exigir que sea K = 100 cuando t = 0 (es decir, al exigir que la integral general Ln K = − p. t + C pase por el punto (0 ;100 )), resulta C = Ln 100: Ln 100 = − p. 0 + C ⇒ C = Ln 100 La solución general se obtiene haciendo C = 100 en Ln K = − p. t + C : Ln K = − p. t + Ln 100 ⇒ ⇒ Ln K  = − p. t ⇒ K  = e − p.t ⇒ K = 100. e − p.t 100 100 El tiempo "t" que pasa hasta que el capital se reduce a 50 (la mitad de 100) es la solución de la ecuación 100. e − p.t = 50 ; o sea: t = − ( Ln 0'5)/ p. 2) Siendo la velocidad del gasto inversamente proporcional al capital disponibl e en cada instante, es:

dK/dt = − p/K   que también es de variables separables:

dK  = − p ⇒ K.dK = − p.dt + C ⇒ ∫  dt K  ∫ ⇒ K 2 /2 = −p.t + C

29

 Al exigir que sea K = 100 cuando t = 0 (es decir, al exigir que la integral general K 2 /2 = − p. t + C pase por el punto (0 ;100 )), resulta C = 5000: 100 2 /2 = − p. 0 + C ⇒ C = 5000 La solución general se obtiene haciendo C = 5000 en K 2 /2 = − p. t + C :

K 2 /2 = − p. t + 5000 ⇒ K = 10000 − 2. p. t El tiempo "t" que pasa hasta que el capital se reduce a 50 es la solución de la ecuación 10000 − 2. p. t = 50 ; o sea: t = 3750/ p.

FONEMATO 1.3.11 Determínese la integral general de las siguientes ecuaciones diferenciales Ln y  1) 3. x 2 . y. dx − x . dy = 0 ; 2 ) . dy = y  Ln x

x 4 . dx y 2

3) y '.(1 + tg x ) = tg x + tg 3 x

SOLUCIÓN Las tres ecuaciones son de variables s eparables. 1) 3. x 2 . y. dx − x . dy = 0 ⇒ 3. x . dx − 1 . dy = 0 ⇒ y  y 2 2 dy  ⇒ 3. x. dx − 2 = C ⇒ 3. x + 1 = C 2 y  y  4 Ln y  2) . dy = x . dx ⇒ y 2 . Ln y. dy = x 4 . Ln x. dx ⇒ Ln x y 2

z

z 

⇒ ∫ y 2 .Ln y.dy  = ∫ x4 .Ln x.dx + C ⇒ ⇒ 1 .y 3 .Ln y − 1 .y 3  = 1 .x5 .Ln x − 1 .x5 + C 3

9

5 25 • ∫ y 2 .Ln y.dy = 1 .y 3 .Ln y − 1 .∫ y 2 .dy = 1 .y3 .Ln y − 1 .y3  3 3 3 9 ∗ u = Ln y ⇒ du = dy/y  

∗ dv = y 2 .dy ⇒ v = ∫ y 2 .dy = y 3 /3 • ∫ x 4 .Ln x.dx = 1 .x5 .Ln x − 1 .∫ x 4 .dx = 1 .x5 .Ln x − 1 .x5 5

5

5 ∗ u = Ln x ⇒ du = dx/x

25

∗ dv = x 4 .dx ⇒ v = ∫ x 4 .dx = x5 /5

30

3)

+ tg 3 x . dx ⇒ 1 + tg x

tg x y '.(1 + tg x ) = tg x + tg 3 x ⇒ dy = 

tg x + tg 3 x ⇒ ∫ dy = ∫  .dx + C ⇒ 1 + tg x ⇒ y = tg x − Ln 1 + tg x + C ⇒ 3 tg x + tg 3 x t.(1 + t 2 ) dt t + t dt t.dt ∫ 1 + tg x .dx = ∫ 1 + t . 1 + t 2 = ∫ 1 + t . 1 + t 2 = ∫ 1 + t =

tg x = t ⇒ x = arc tg t ⇒ dx =

(

 

dt 1 + t2

)

= ∫  1 − 1 .dt = t − Ln 1 + t = tg x − Ln 1 + tg x  1+ t t

=1− 1 1+ t 1+ t

t = tg  x

31

Proceso de Integración Unidimensional

LA EXPROPIACIÓN DE RUMASA

En el año 1959 (t = 0 ) , el valor real del grupo de empresas "Rumasa" ascendía a 99 millones de dólares. Hasta 1968, la política comercial y financiera practicada por Rumasa hizo que el ritmo f ( t) de obtención de beneficios fuera creciente; concretamente f ( t ) = t millones de $/año .  A partir de 1968, el holding inició una fuerte expansión mediante la absorción de empresas "cadáver", lo que quebró la tendencia creciente de f( t), que pasó a ser f ( t ) = 12 − t millones de $/año . 1) Represéntese f ( t ) y coméntese el fenómeno. 2) Calcúlese el beneficio acumulado en la primera etapa. 3) Calcúlese el ritmo medio de obtención de beneficios durante la primera etapa. 4) Calcúlese el beneficio acumulado hasta el instante en que comienzan las pérdidas y el ritmo medio de obtención de beneficios hasta ese instante. 5) Calcúlese el instante en que se anula el beneficio acumulado. 6) Si las leyes mercantiles vigentes prescriben que las empresas cuyas pérdidas acumuladas superan el 50 % de su valor real deben ser expropiadas, ¿en qué año se expropiará el holding?

32

Proceso de Integración Unidimensional

POLÍTICA MONETARIA

La reserva de divisas que el Gobierno de Barataria tiene a su disposición en el instante t = 0 es de 25 millones de dólares. El ritmo de importaciones y exportaciones de bienes y servicios, y de importaciones y exportaciones de capital, es el que se indica a continuación, donde el tiempo "t" está expresado en meses. f (t )

Ritmo de importación de bienes y servicio s (millones de $/mes)

R| 5 f ( t ) = S8 − ( 3. t/2 ) |T 2

5 2 2 g(t ) 5 4

si 0 ≤ t < 2 si 2 ≤ t < 4 si t ≥ 4

t

4

Ritmo de exportación de bienes y servicios (millones de $/mes)

R 4+t | 5 g(t ) = S |14 2− 3. t T

2 1

3

si 0 ≤ t < 1 si 1 ≤ t < 3 si 3 ≤ t < 4 si t ≥ 4

t

4

Ritmo de importación capit al (millones de $/mes) h( t ) 5

R 5 − 15' . t | 2 h( t ) = S |2. t 5− 10 T

2 2 k( t )

4

5

si 0 ≤ t < 2 si 2 ≤ t < 4 si 4 ≤ t < 5 si t ≥ 5

t

Ritmo de exportación capital (millones de $/mes) 2 si 0 ≤ t < 2 T 3 si t ≥ 2

k( t ) = R S

3 2 2

t

En secreto, el Gobierno ha decidido devaluar su moneda si el nivel de divisas llega a ser de 20 millones de dólares, y revaluarla si las reservas de divisas alcanzan los 30 millones de dólares. Un ministro corrupto filtra la decisión a un grupo de especuladores que no tienen ni idea de Cálculo Integral y te contratan para que les digas si se tomará alguna de estas medidas, y en qué instante.

33

Proceso de Integración Unidimensional

JUEGOS PELIGROSOS

La figura representa una trampa mortal para cazar hormigas peligrosas. La trampa está situada en el kilómetro 49'5 de una carretera muy transitada por las hormigas, y en el kilómetro 0 hay un observador encargado de vigilar la trampa. TRAMPA

−∞

+∞ 0 49'5 99 Las hormigas utilizan la mortal trampa como instrumento de un juego temerario: a cada jugador se le asigna una función f( t), donde "t" mide el tiempo en horas, y el jugador se compromete a desplazarse durante 24 horas por la carretera a la velocidad de f( t) km/ h . Las reglas del juego establecen que el jugador se desplazará hacia +∞ si f ( t ) > 0 , y lo contrario si f ( t) < 0. En el instante t = 0 inicia el juego la hormiga Ug, que está situada en el kilómetro 99 y le ha correspondido jugar con la función f( t) definida como:

R t si 0 ≤ t ≤ 9 f (t ) = S T12 − t si t > 9 1) Represéntese f ( t ) y coméntese el fenómeno. 2) Determínese la posición de la hormiga respecto al observador en cada instante. 3) Calcúlese el tiempo que tarda la hormiga en caer en la trampa. 4) Calcúlese la distancia que recorre la hormiga hasta caer en la trampa. 5) Calcúlese el instante en que la distancia entre Ug y el observador es máxima, y  la velocidad media de la hormiga hasta ese instante.

Proceso de Integración Unidimensional

AVITUALLAMIENTO DE CICLISTA

Un ciclista pesa 80 kg. al iniciar una etapa contra reloj de 200 km. A lo largo de la carrera pierde peso a un ritmo de f( x) = 10 −6 . x2 kg/ km , donde "x", medido en kilómetros, expresa la distancia recorrida. 1) Determínese la función que expresa el peso del ciclista a lo largo de la carrera. 2) ¿Cuál es el peso al final de la carrera? 3) ¿Cuánto peso pierde el ciclista entre los kilómetros 100 y 150? 4) ¿Cuál es el ritmo medio de pérdida de peso en los últimos 100 kilómetros? 5) Si el ciclista debe comer cuando ha perdido el 2 % de su peso inicial, ¿dónde debe ubicarse el avituallamiento?

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Proceso de Integración Unidimensional

LANZAMIENTO DE UN COHETE

La gravedad en el Mar Menor es de 10 m/sg 2 . En el instante t = 0 un yellow  submarine que navega en superficie lanza verticalmente un cohete cuyo sistema propulsor consume combustible a un ritmo c( x) = 7/ 1 + x m3 / km , donde "x" expresa en kilómetros la altura del artilugio respecto del nivel de mar. La velocidad inicial del cohete es de 1 m/sg  y la aceleración que en el instante "t" le proporciona su sistema propulsor es A( t) = 12.(1 + t2 ) m/sg2  . 0) Calcúlese su velocidad en cada instante. 1) ¿Cuál es la velocidad en el instante t = 5? 2) ¿Qué variación sufre la velocidad entre t = 2 y t = 7? 3) ¿Cuál es la aceleración media en los primeros 10 segundos? 4) Calcúlese la altitud alcanzada por el cohete en cada instante. 5) ¿Qué altitud alcanza a los 5 segundos del lanzamiento? 6) ¿Cuánto varía la altitud entre t = 1 y t = 6? 7) ¿Cuánto tarda en alcanzar una altitud de 10.110 metros? 8) ¿Cuál es la velocidad media en los diez primeros segundos? 9) Si el metro cúbico de combustible cuesta 10000 $, ¿cuánto cuesta el combustible gastado en los 9 primeros segundos de vuelo?

Proceso de Integración Unidimensional

COSTES MARGINALES

La empresa "Tomatito Madurito", que se dedica a la producción de ferrines valigerables, tiene un coste fijo de 9 dólares y un coste marginal CMg( x) = 3/ 1 + x , siendo "x" la producción (medida en toneladas) y CMg(x) el coste marginal (medido en $/ Tm ) cuando la producción es "x". Calcúlese: 1) La función de coste variable de la empresa. 2) El coste variable de producir 5 toneladas. 3) El incremento de coste al pasar de 8 a 35 toneladas de producción. 4) La función de coste medio variable. 5) La función de coste total. 6) La función de coste total medio.

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Proceso de Integración Bidimensional

PLANTACIÓN DE PROBABILIDAD En la vega del río Urubamba las hormigas Corleone tienen una plantación de probabili-dad cuyo plano es el de la figura, con las dis-tancias medidas en kilómetros.

y  5

Debido a la distinta calidad de la tierra, el ren3 dimiento de la plantación no es el mismo en uniforme en todos los puntos, y tras concienzudos estudios de carácter empírico, las hormi−1 −4 gas han llegado a la conclusión de que el rendimiento de la plantación en el punto (x ; y ) es f ( x ; y ) = y. x 2 Tm/km 2

x

1) Calcúlese la producción de probabilidad. 2) ¿Qué proporción de cosecha se pierde si el pedrisco arrasa la región x + y ≥ 0? 3) Repítanse los apartados anteriores si f( x ; y) = y/24 Tm/ km2

Proceso de Integración Bidimensional

PRODUCCIÓN DE ELECTRICIDAD En el cauce del río Segura va a construirse una presa que cierre un profundo y  angosto valle cuyo perfil de alturas y cuya base son las representadas en las siguientes figuras (distancias expresadas en metros) y  z Gráfica de la base Gráfica del perfil 200 de alturas 150 C presa D  AGUA  100 100  A 50 0

B 100 150 200

x

0

100

200

x

Suponiendo que la presa se llena hasta su borde y que con cada metro cúbico de agua embalsada pueden instalarse 0'1 kilovatios de potencia eléctrica, ¿cuál es la máxima potencia eléctrica que puede instalarse en la presa?.

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Proceso de Integración Bidimensional

YACIMIENTO DE GAS

Las siguientes figuras representan el perfil de profundidades y la base de un yacimiento de gas recientemente descubierto en el subsuelo del Mar Menor (distancias expresadas en hectómetros) z x 2 3 4 y  0

GAS −

2 1

−3

0 Perfil de profundidades

D 2 4 Gráfica de la base

y 

Calcúlese el beneficio obtenido hasta agotar las reservas si el gas se vende a 2 $/m 3 y el coste de extracción, transporte y distribución es de 1' 3 $/m 3 .

Al que no entiende los procesos de integración, lo desintegro Hemos dicho que con el cambio de variable tg (x /2 ) = z siempre podemos transformar el problema de calcular la primitiva de una función R (sen x ;cos x ) en el problema de calcular la primitiva de un cociente de polinomios; no obstante, vamos a estudiar otros cambios de variable que, en ciertos casos, son más eficaces (menos petardos) que el cambio tg ( x/2 ) = z

¡Vaya coñazo!, ¡más casos!

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FONEMATO 1.3.12 1) Determínese la integral general de y' = 5. sen (5. x + y  + 4 ) mediante la sustitución 5. x + y + 4 = u , siendo "u" la nueva variable dependiente. 2) Determínese la integral general de x.( y + x. y' ) + 1 − x2 . y2  = 0 mediante la sustitución x. y = sen u, siendo "u" la nueva variable dependiente. 3) Determínese la integral general de y + x. y' = ( 3. cot g x. y)/ x mediante la sustitución x. y = u , siendo "u" la nueva variable dependiente.

SOLUCIÓN Las tres ecuaciones se transforman en ecuaciones de variables separables. dy  = 5. sen (5. x + y +  4 ) ⇒ 1) Se tiene que: dx siendo 5.x + y + 4 = u, al derivar respecto de "x" los dos miembros, es: dy du dy   = ⇒ = du − 5 5+ dx dx dx dx ⇒ du − 5 = 5.sen u ⇒ du = 5.(1 + sen u) ⇒ dx dx   Variables separables

⇒

du = 5.dx ⇒ ∫ du = ∫ 5.dx + C ⇒ 1 + sen u 1 + sen u 2.dz/(1 + z2 ) ⇒ ∫  = 5.x + C ⇒ 2 1 + (2.z/(1 + z ))

⎧sen u = 2.z/(1 + z2 ) tg (u/2) = z ⇒ ⎨ ⎩ du = 2.dz/(1 + z2 ) 2.dz = 5.x + C ⇒ 1 + 2.z + z 2 ⇒ ∫  2.dz 2 = 5.x + C ⇒ ( 1 + z ) ⇒ − 2 = 5.x + C ⇒ 1+ z 5.x + y + 4 z = tg u = tg   2 2 u = 5.x + y + 4

⇒ ∫ 

⇒−

2 = 5.x + C 5.x + y + 4 1 + tg  2

38

2) Se tiene que: dy  ) + 1 − x 2 . y 2 = 0 ⇒ dx siendo x.y = sen u, al derivar respecto de "x" los dos miembros, es: dy  y + x. = (cos u). du dx dx ⇒ x.(cos u). du + 1 − sen 2 u = 0 ⇒ dx x .( y + x .

cos u = 1 − sen 2 u

⇒ x. du + 1 = 0 ⇒ dx du = − 1 dx x   

⇒

⇒

 Variables separables

⇒ ∫ du = − ∫ 1 .dx + C ⇒ x ⇒ u = −Ln x + C ⇒

x.y = sen u ⇒ u = arcsen (x.y)  

⇒ arcsen (x.y ) = − Ln x + C 3) Se tiene que: dy  3.cot g ( x . y ) = ⇒ dx x siendo x.y = u, al derivar respecto de "x" los dos miembros, es: dy  y + x. = du dx dx 3.cot g u ⇒ du ⇒ ∫ (tg u).du = 3.∫ 1 .dx + C ⇒ dx  x  x  y + x.

 Variables separables

⇒ −Ln cos u = 3.Ln x + C ⇒ x.y = u ⇒ − Ln cos ( x.y) = 3.Ln x + C  

39

1.4 ECUACIÓN HOMOGÉNEA DE PRIMER ORDEN Recuerda: se dice que la función g :ℜ 2  ℜ es homogénea de grado "k" si para todo valor positivo de λ sucede que g( λ. x ; λ. y ) = λk . g( x ; y )  . Por ejemplo, si g ( x ; y ) = x. y 2 /( 3. x

+ 2. y ) ,  la función "g" es homogénea de grado 2, pues g( λ. x ; λ. y ) = ( λ. x ).( λ. y )2 /(3. λ . x + 2. λ . y ) = λ2 . g ( x ; y ) .   Por ejemplo, si g ( x ; y ) = x. y /( x + y ) ,  la función "g" es homogénea de grado 0, pues g( λ. x ; λ. y ) = (λ . x ).(λ . y )/(λ . x + λ . y ) = λ0 .g (x ; y ) .

 

Se dice que la ecuación diferencial de primer orden dy/ dx = g( x; y ) es homogénea si la función "g" es homogénea de grado cero. En tal caso, la ecuación se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución

y = x. u

donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto: dy  = g(x; y ) ⇒ u + x. du = g(x; x.u) ⇒ dx dx dy  = u + x. du Si y = x.u ⇒ dx dx ⇒ u + x. du = g(1; u ) ⇒ dx g( x; x.u ) = g( x.1; x.u) = x 0 .g(1; u ) pues "g" es homogénea de grado 0 g(1; u) u du du ⇒ = dx ⇒ ∫ = ∫ dx + C dx x  g(1; u) − u x g(1; u) − u x  

⇒ du =

ecuación de variables separables La integral general de la ecuación homogénea dy/ dx = g( x ; y ) se obtiene tras calcular las dos últimas primitivas y sustituir "u" por "y /x ".

Observa:

como el cociente de dos funciones homogéneas de igual grado es una función homogénea de grado 0, la ecuación M(x ,y).dx + N(x; y).dy = 0 es homogénea siempre que M( x , y ) y N( x ; y )  sean homogéneas de igual grado: dy  M( x ; y ). dx + N( x ; y ). dy = 0 ⇒ M( x ; y ) + N( x ; y ).   = 0 ⇒ dx dy  M( x ; y ) ⇒ =− ≡ función homogénea de grado 0 dx N( x ; y )

40

FONEMATO 1.4.1 Determínese la integral general de x. y. y'+ x2 − y 2 = 0 , calculando la integral particular que pasa por el punto (1 ; 2 ).

SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy/dx = g( x ; y ) , siendo "g" una función homogénea de grado cero. En efecto: dy  dy  y2 − x2 2 2 x. y . + x − y  = 0 ⇒ = g ( x ; y ) = dx dx x. y  siendo ( λ. y )2 − ( λ. x )2 y 2 − x 2 g ( λ . x ; λ. y ) = = = λ0 . g (x ; y ) . ( λ. x ).( λ. y ) x . y  La ecuación se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución y = x. u , donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto: dy y 2 − x 2 (x.u)2 − x 2 du = ⇒ u + x. = ⇒ dx x.y dx x.(x.u) dy  y = x.u ⇒ = u + x. du dx dx 2 ⇒ u + x. du = u − 1 ⇒ dx u 2 ⇒ du = ⎛⎜ u − 1 − u ⎞⎟ . 1 ⇒ dx ⎝ u ⎠ x du = 1 ⇒ dx u .x     Variables separab les

⇒ ∫ u.du = − ∫ dx + C ⇒ x

⇒ 1 .u 2 = −Ln x + C ⇒ 2 y = x.u ⇒ u = y/x

⇒ 1 .(y/x )2 = −Ln x + C (I ) 2

 Al exigir que la integral general (I) pase por el punto (1 ; 2 ) resulta C = 2 : 1 . 2/1 2 = − Ln 1 + C ⇒ C = 2 b g 2  Al hacer C = 2 en (I) obtenemos la integral particular que pasa por (1 ; 2 ) :

1 .( y/x )2 = − Ln x + 2 2 41

FONEMATO 1.4.2 Determínese la integral general de y .dx + d2. x .y − x i.dy  = 0 , calculando la integral particular que pasa por el punto ( 1; 1).

SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy /dx = g ( x ; y ) , siendo "g" una función homogénea de grado cero. En efecto: dy  y  = g ( x ; y ) = y. dx + d2. x . y − x i. dy = 0 ⇒ dx x − 2. x . y  λ. y  y  siendo g ( λ . x ; λ. y ) = = = λ0 . g (x ; y ) . λ. x − 2. ( λ. x ).( λ. y ) x − 2. x . y  La ecuación se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución y = x. u , donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto: dy y  x.u = ⇒ u + x. du = ⇒ dx x − 2. x.y dx x − 2. x.(x.u) dy  = u + x. du dx dx u ⇒ u + x. du = ⇒ dx 1 − 2. u y = x.u ⇒

⎛ ⎞ u ⇒ du = ⎜ − u ⎟. 1 ⇒ dx ⎝ 1 − 2. u ⎠ x ⇒ du = 2.u. u . 1 ⇒ dx 1 − 2. u x     Variables separable s

⇒ 1 − 2. u .du = dx ⇒

x 2.u. u ⇒ ∫ 1 − 2. u .du = ∫ dx + C ⇒ x 2.u. u

(2

)

⇒ ∫  1 .u −3/ 2 − 1 .du = Ln x + C ⇒ −u −1/ 2 − Ln u = Ln x + C ⇒ u

y = x.u ⇒ u = y/x

⇒ −(x/y)1/ 2 − Ln y/x = Ln x + C (I)  Al exigir que la integral general (I) pase por el punto (1; 1) resulta C = − 1:

−(1/1)1/2 − Ln 1/1 = Ln 1 + C ⇒ C = −1   Al hacer C = − 1 en (I) obtenemos la integral particular  que pasa por el punto (1 ; 1) ; resulta ser:

1 − ( x/y )1/ 2 − Ln y/x = Ln x 42

FONEMATO 1.4.3 Determínese la integral general de y ' = (y − x )/(y + x ), calculando la integral particular que pasa por el punto ( 1; 1).

SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy /dx = g ( x ; y ) , siendo "g" homogénea de grado cero. En efecto, si dy /dx = g (x ; y ) = (y − x )/(y + x ) , es : λ. y − λ . x y − x = = λ0 . g ( x ; y ) g ( λ . x ; λ. y ) = λ. y + λ. x y + x La ecuación se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución y = x . u , donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto: dy y − x = ⇒ u + x. du = x.u − x ⇒ dx y + x dx x.u + x dy  y = x.u ⇒ = u + x. du dx dx ⇒ u + x. du = u − 1 ⇒ du = u − 1 − u . 1 ⇒ dx u + 1 dx u +1 x 2 ⇒ du = − ⎛⎜ 1 + u ⎞⎟ . 1 ⇒ dx ⎝  1 + u  ⎠ x

(

)

   

 Variables separable s

⇒ 1 + u2 .du = − dx ⇒ x 1+ u ⇒ ∫ 1 + u2 .du = − ∫ dx + C ⇒ x 1+ u ⇒ arc tg u + 1 .Ln 1 + u 2 = −Ln x + C ⇒

2 ⇒ arc tg (y/x) + 1 .Ln 1 + (y/x)2 = −Ln x + C ( I)  2 y = x.u ⇒ u = y/x  Al exigir que la integral general (I) pase por (1; 1) resulta C = π + Ln 2 : 4 arc tg 1 + 1 . Ln 2 = −Ln 1 + C ⇒ C = π + Ln 2 2 4 Al hacer C = π +Ln 4

2 en (I) obtenemos la integral particular pedida.

43

FONEMATO 1.4.4 Determínese la integral general de x . y .y ' =

x2 + y 2 . Ln y − Ln x

SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy /dx = g ( x ; y ) , siendo "g" una función homogénea de grado cero. En efecto, si dy  dy  y  x2 x x. y . = + y 2 ⇒ = g ( x ; y ) = + dx Ln ( y/x ) dx y. Ln ( y/x ) x y  λ. y  x λ. x es g ( λ . x ; λ. y ) = + = + = λ0 . g (x ; y ) . La ecuaλ. y. Ln ( λ. y/λ . x ) λ. x y. Ln ( y/x ) x ción se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución y = x. u , donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto: dy y  x x = + ⇒ u + x. du = + x.u ⇒ dx y .Ln ( y/x) x dx x.u.Ln ( x.u/x)   x dy  y = x.u ⇒ = u + x. du dx dx ⇒ u + x. du = 1 + u ⇒ dx u.Ln u ⇒ du = 1 . 1 ⇒ dx u.Ln u x    

 Variables separables

⇒ u.Ln u.du = dx ⇒ ∫ u.Ln u.du = ∫ dx + C ⇒ x

x

u 2 .(Ln u) − 1 . u.du = u 2 .(Ln u) − u 2 u.Ln u.du = ∫ 2 2 ∫  2 4 ξ = Ln u ⇒ dξ = du/u dω = u.du ⇒ ω = ∫ u.du = u2 /2 2

2

2

4

⇒ u .(Ln u) − u = Ln x + C ⇒ y = x.u ⇒ u = y/x

y2 y 2 ⇒ 2 .Ln ( y/x) − 2 = Ln x + C 2.x 4.x

44

FONEMATO 1.4.5 Determínese la integral general de c x.sen b y/x g − y.cos by/x gh.dx + x .cos by/x g.dy =  0

SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy /dx = g ( x ; y ) , siendo "g" una función homogénea de grado cero. En efecto: c x.sen b y/x g − y.cos by/x gh.dx + x .cos by/x g.dy =  0 ⇒

⇒

y.cos b y/ x g − x. sen b y/x g dy  = g( x ; y ) = ⇒ dx x.cos b y/x g

⇒ g( λ . x ; λ. y ) =

( λ. y ).cos bλ. y/λ. x g − λ. x .sen b λ. y /λ. x g = λ0 . g (x ; y ) ( λ. x ).cos bλ. y/λ. x g

La ecuación se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución y = x. u , donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto: dy  y.cos ( y/x ) − x.sen ( y/x ) = ⇒ dx x. cos ( y/x ) dy  = u + x. du dx dx u.x.cos ( x.u/x ) − x.sen ( x.u/x ) ⇒ u + x. du = dx x.cos ( x.u/x ) u.cos u − sen u ⇒ u + x. du = ⇒ dx cos u ⎛ u.cos u − sen u ⎞ ⇒ du = ⎜ − u ⎟. 1 ⇒ dx ⎝ cos u ⎠ x y = x.u ⇒

   

 Variables separables

sen u 1 cos u . ⇒∫ .du = − ∫ dx + C ⇒ cos u x sen u x ⇒ Ln sen u = −Ln x + C ⇒

⇒ du = − dx

y = x.u ⇒ u = y/x

⇒ Ln sen ( y/x) = −Ln x + C ⇒ ⇒ Ln x.sen ( y/x) = C ⇒ ⇒ x.sen (y/x) = eC ⇒ x.sen (y/x) = K   eC = K 

45

FONEMATO 1.4.6 Determínese la integral general de y .dx +

e

j

y 2 − x 2 − x .dy  = 0 .

SOLUCIÓN La ecuación es homogénea, pues puede expresarse dy dy /dx = g ( x ; y ) , siendo "g" una función homogénea de grado cero. En efecto: dy  y  = g ( x ; y ) = ⇒ y. dx + y 2 − x 2 − x . dy =  0 ⇒ dx 2 2 x− y −x λ. y  ⇒ g ( λ . x ; λ. y ) = = λ0 . g ( x ; y ) λ. x − ( λ. y )2 − ( λ. x )2

e

j

La ecuación se transforma en una de variables separables sin más que hacer la sustitución y = x. u , donde "u" es la nueva variable dependiente. En efecto: dy y  u.x = ⇒ u + x. du = ⇒ dx x − y 2 − x 2 dx x − x 2 .u 2 − x 2 dy  = u + x. du dx dx u ⇒ u + x. du = ⇒ dx 1 − u 2 − 1 y = x.u ⇒

⎛ ⎞ u ⇒ du = ⎜ − u ⎟. 1 ⇒ dx ⎝ 1 − u 2 − 1 x  ⎠     Variables separables 2 2 ⇒ du = u. u − 1 . 1 ⇒ ∫ 1 − u − 1 .du = ∫ dx + C ⇒ dx 1 − u 2 − 1 x x u. u 2 − 1 du ⇒∫ − ∫ du = ∫ dx + C ⇒ arc sec u − Ln u = Ln x + C ⇒ u x u. u2 − 1 y = x.u ⇒ u = y/x ⇒ arc sec ( y/x ) − Ln y/x = Ln x + C

46

1.5 ECUACIÓN REDUCIBLE A HOMOGÉNEA Siendo constantes "a", "b", "c", "m", "n" y "p", se llama reducible a homogénea a toda ecuación diferencial de la forma

dy  a. x + b. y + c = dx m. x + n. y + p

La ecuación es homogénea si c = p = 0; por tanto, consideraremos que "c" ó "p" ó ambos son no nulos. a b ≠ 0 , la ED se transforma en una homogénea al hacer • Si m n

x =t+α ; y=z+β donde "t" es la nueva variable independiente y "z" es la nueva variable dependiente, siendo α y  β los respectivos valores de "x" e "y" que son solución del sistema a.x + b.y + c = 0 ; m. m.x + n.y + p = 0 En tal caso:

dy  d( z + α ) dz = = dx d( t + β ) dt

a b = 0 , la ED pasa a una de variables separables al hacer • Si m n

a. x + b. y = z donde "z" es la nueva variable dependiente. Al derivar respecto de "x" los dos miembros de a. x + b. y = z, se obtiene

dz − a dy  dz dy  dx a + b. = ⇒ = dx dx dx b

El uso us o de " ventana ventanas" s" , asun sunto to esenci esenciaal Debes aprender a usar ventanas vent anas,, porq porque ue como facilitan f acilitan muchoo la lectu much lectura ra de lo escrito, escri to, el el profesor pro fesor que corrija corri ja tu examen exa men te lo agradecerá agradecerá con su cariño y simpatía s impatía Pedrusco " A"

Pedrusco "B" "B "

En esta esta ventana ventana escri escribimos bimos los razonamientos razonamientos o los l os cálculos que permiten permiten pasar de un lado al otro del signo de igualdad igualdad o de d e la flecha flecha de implicación

Pedrusco Pe drusco " A" Pe Pedrusco drusco " B"

Pedrusco " C" Pedrusco "D" 47

FONEMATO 1.5.1 Determínese la integral general de y' = ( x + y − 3)/( x − y  − 1) .

SOLUCIÓN La ecuación es reducible homogénea, pues puede expresarse dy  a. x + b. y + c = dx m. x + n. y + p Como las rectas x + y − 3 = 0 y  x − y − 1 =  0 se cortan en el punto (2 ;1 ), la ecuación se transforma en una homogénea al hacer x = t + 2 e y = z + 1 , siendo "t" la nueva variable independiente y "z" la nueva variable dependiente. Así, siendo dx = dt y dy = dz, es dy/dx = dz/dt . dy x + y − 3 ( t + 2 ) + ( z + 1) − 3 = ⇒ dz = ⇒ dx x − y − 1 dt ( t + 2 ) − ( z + 1) − 1 x = t + 2 ⎫ dy  dz ⇒ = y = z + 1⎬ ⎭ dx dt

⇒ dz = t + z ⇒ dt t − z     

Homogénea

la homogénea pasa a variables separables haciendo z = t. t.u, u, siendo "u" la nueva variable dependiente; así, es: z = t.u ⇒ dz = u + t. du dt dt ⇒ u + t. du = t + t.u ⇒ dt t − t.u ⇒ u + t. du = 1 + u ⇒ dt 1 − u 2 1 d u 1 u 1 d u 1 u + + . ⇒ ⇒ = −u . ⇒ = d t 1 u t d t 1 u t − −     

(

)

 Variables separable s

⇒ ∫ 1 − u2 .du = ∫ dt + C ⇒ t 1+ u ⇒ ( arc tg u ) − 1 .Ln 1 + u 2 = Ln t + C ⇒

2 ⇒ ( arc tg ( z/t )) − 1 .Ln 1 + ( z/t )2 = Ln t + C ⇒ 2 z = t.u ⇒ u = z/t 2 y −1⎞ 1 y −1⎞ ⎛ ⎛ ⇒ ⎜ arc tg − . Ln 1 + ⎜ ⎟ = Ln x − 2 + C x − 2 ⎟⎠ 2 ⎝ ⎝x −2⎠ x = t + 2 ⎫ ⎧t = x − 2 ⇒⎨ y = z + 1⎬ ⎭ ⎩z = y − 1

48

FONEMATO 1.5.2 Determínese la integral general de y' = ( y − x)/( x + y  − 2 ) .

SOLUCIÓN La ecuación es reducible homogénea, pues puede expresarse dy  a. x + b. y + c = dx m. x + n. y + p Como las rectas y − x = 0 y  x + y − 2  = 0 se cort cortan an en el punt punto o (1 ;1 ), la ecuación se transforma en una homogénea al hacer x = t + 1 e y = z + 1 , siendo "t" la nueva variable independiente y "z" la nueva variable dependiente. Así, siendo dx = dt y dy = dz, es dy/dx = dz/dt . dy y−x ( z + 1) − ( t + 1) = ⇒ dz = ⇒ dx x + y − 2 dt ( t +  1) + ( z + 1 ) − 2 x = t + 1⎫ dy  dz ⇒ = y = z + 1⎬ ⎭ dx dt

⇒ dz = z − t ⇒ dt t + z     

Homogénea

la homogénea pasa a variables separables haciendo z = t. t.u, u, siendo "u" la nueva variable dependiente; así, es: z = t.u ⇒ dz = u + t. du dt dt ⇒ u + t. du = t.u − t ⇒ dt t + t.u ⇒ u + t. du = u − 1 ⇒ dt 1 + u 2 1 d u u 1 1 d u 1 u − + . ⇒ ⇒ = −u . ⇒ =− d t 1 u t d t 1 u t + +     

(

)

 Variables separables

⇒ ∫ 1 + u2 .du = −∫ dt + C ⇒ t 1+ u ⇒ ( arc tg u ) + 1 .Ln 1 + u 2 = −Ln t + C ⇒

2 ( z/t )) + 1 .Ln 1 + ( z/t )2 = −Ln t + C ⇒ ⇒ ( arc tg (z 2 z = t.u ⇒ u = z/t 2 y − 1⎞ 1 y − 1⎞ ⎛ ⎛ ⇒ ⎜ arc tg + .Ln 1 + ⎜ ⎟ = −L n x − 1 + C x − 1 ⎟⎠ 2 ⎝ ⎝ x − 1⎠ x = t + 1⎫ ⎧ t = x − 1 ⇒⎨ y = z + 1⎬ ⎭ ⎩z = y − 1

49

FONEMATO 1.5.3 Determínese la integral general de y' = ( 2. x + y − 1)/( 4. x + 2 y +   5)

SOLUCIÓN La ecuación es reducible homogénea, pues puede expresarse dy  a. x + b. y + c = dx m. x + n. y + p Las rectas 2. x + y − 1 = 0 y 4. x + 2. y + 5 = 0  son paralelas; así, la ecuación se transforma en una de variables separables al hacer 2. x + y = z , siendo "z" la nueva variable dependiente: dy 2.x + y − 1 = ⇒ dz − 2 = z − 1 ⇒ dx 4.x + 2.y + 5 dx 2.z + 5 dy dz dy   = ⇒ = dz − 2 2.x + y = z ⇒ 2 + dx dx dx dx ⇒ dz = 5.z + 9 ⇒ 2.z + 5 .dz = dx dx 2.z + 5 5.z + 9   Variables separables

⇒ ∫ 2.z + 5 .dz = ∫ dx + C ⇒ 2 .z + 7 .Ln (5.z + 9) = x + C ⇒ 5.z + 9 5 25 2.z + 5 = 2 + 7 5.z + 9 5 5.(5.z + 9) ⇒ 2 .(2.x + y) + 7 .Ln 10.x + 5.y + 9) = x + C 5

25 z = 2.x + y 

50

FONEMATO 1.5.4 Determínese la integral general de y' = b( x − y − 1)/(2. x − 2. y) g

2

SOLUCIÓN Las rectas x − y − 1 = 0 y 2. x − 2. y =  0 son paralelas; así, la ecuación se transforma en una de variables separables al hacer x − y = z , siendo "z" la nueva variable dependiente: 2 2 2 dy ⎛ x − y − 1 ⎞ − − dz z 1 dz z 1 = ⇒1− = ⇒ =1 − ⇒ dx ⎜⎝ 2.x − 2.y ⎠⎟ dx 2.z dx 2.z dy dz dy   x − y = z⇒1− = ⇒ = 1 − dz dx dx dx dx 2 4.z2 −1⇒ .dz = dx ⇒ ⇒ dz = 3.z + 2.z 2 2 + 2.z − 1 dx 4. z 3.z    

(

)

(

)

 Variables separable s 4.z2 ⇒ .dz = dx + C ⇒ 3.z2 + 2.z − 1

∫

∫ 

4.z2 4 + 4 . 1 − 2.z = 3.z2 + 2.z − 1 3 3 3.z2 + 2.z − 1 1 − 2.z ⇒ 4 .z + 4 . .dz = x + C ⇒ 3 3 3.z2 + 2.z − 1 1 − 2.z 1 . ⎛ 1/4 − 9/4 ⎞ = ⎜ ⎟ 3.z2 + 2.z − 1 3 ⎝ z − (1/3) z + 1 ⎠

∫ 

1 − 2.z 1 .⎛ A B ⎞⇒ = + ⎜ ⎟ 3.z2 + 2.z − 1 3 ⎝ z − (1/3) z + 1 ⎠

⎧1/3 3.z2 + 2.z − 1 = 0 ⇒ z = ⎨ ⎩ −1 para calcular "A" y "B" reducimos a común denominador e igualamos los nuneradores A = 1/4 ⇒ 1 − 2.z = A.(z + 1) + B.(z − (1/3)) ⇒ ⎧⎨ ⎩B = −9/4 el valor de "A" se obtiene al hacer z = 1/3 el valor de "A" se obtiene al hacer z = − 1

⇒ 4 .z + 1 .∫ ⎛⎜ 1 − 9 ⎞⎟ .dz = x + C ⇒ 3 9 ⎝ z − (1/3) z + 1 ⎠ ⇒ 4 .z + 1 .Ln z − (1/3) − Ln z + 1 = x + C ⇒ 3

9 ⇒ 4 .(x − y) + 1 .Ln x − y − (1/3) − Ln x − y + 1 = x + C 3 9 z = x − y 

51

1.6 ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA • Se dice que la ecuación M(x ,y ).dx + N(x; y).dy = 0 es diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función F( x ; y ); es decir, si ∂F(x; y) ∂F(x; y) = M(x; y ) ; = N(x; y ) . En existe una función F(x;y) tal que ∂x ∂y  tal caso, la ecuación M( x , y). dx + N( x ; y ). dy  = 0 puede escribirse así:

∂F(x; y) ∂F(x; y ) .dx + .dy = 0 ∂x ∂y  o lo que es igual, dF(x; y) = 0 . Por tanto, la integral general es F(x; y) = C.

• Puedes apostar la vida a que M(x , y ). dx + N( x ; y ). dy =  0 es diferencial exacta si ∂M( x ; y )/∂y = ∂N( x ; y )/∂x . En tal caso, la determinación de la función F( x ; y ) tal que ∂F( x ; y )/∂x = M( x ; y ) y ∂F( x ; y )/∂y = N( x ; y )  es inmediata: ∂F(x;y) = M(x; y ) ⇒ F(x; y ) = ∫ M(x; y ).dx + g( y) (I) ∂x ∂F( x ; y ) = N( x ; y ) : Para calcular g ( y ) basta exigir que ∂y  ∂ ( ∫ M( x; y ).dx + g( y)) ∂F(x;y) = N(x; y) ⇒ = N(x; y) ⇒ ∂y ∂y  ∂ ( ∫ M(x; y ).dx + g(y )) ∂ ( ∫ M(x; y).dx ) dg(y  ) = + ∂y ∂y dy

 

∂ ( ∫ M(x; y).dx ) dg( y) ∂ ( ∫ M(x; y ).dx ) dg( y) ⇒ + = N(x; y ) ⇒ = N(x; y ) − ⇒ ∂y ∂y dy dy   ⎛ ∂ ( ∫ M(x;y).dx ) ⎞ ⎟ .dy   ⇒ g(y ) = ∫ ⎜ N( x;  y) − ∂ y  ⎜ ⎟ ⎝ ⎠  Al sustituir g( y ) en (I) se obtiene la expresión matemática de F( x ; y ) :

⎛ ∂ ( ∫ M(x;y).dx ) ⎞ ⎟ .dy   F(x; y) = ∫ M(x; y ).dx + ∫ ⎜ N(x ; y ) − ∂y  ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante, la integral general de la ecuación diferencial exacta M( x , y). dx + N( x ; y). dy  = 0 es

⎛ ∂ ( ∫ M(x;y).dx ) ⎞ ⎟ .dy = C ∫ M(x; y ).dx + ∫ ⎜⎜ N(x; y ) − ∂y  ⎟ ⎝ ⎠  

F(x;y)

52

¡Qué bien! ..... tenemos una formulita que nos da la integral general de una ecuación diferencial exacta

¡Ojo! ..... usar la fórmula no es elegante

Factor integrante Si la ecuación M( x , y ). dx + N( x ; y ). dy  = 0 no es diferencial exacta, se intenta encontrar un mágico factor integrante μ( x ; y ) tal que la ecuación

μ( x ; y ). M( x ; y ). dx + μ(x ; y ).N(x ; y ).dy =  0 sea diferencial exacta. Salvo en casos muy especiales, no hay un criterio que permita la determinación del factor integrante:

• Si

∂M(x; y ) ∂N(x; y) − ∂y ∂x

= u(x) ⇒ e ∫ u(x).dx es factor integrante

N(x;y) ∂M(x; y ) ∂N(x; y) − ∂y ∂x • Si = v( y) ⇒ e − ∫  v(y).dy  es factor integrante M(x;y)

53

FONEMATO 1.6.1 Determínese la integral general de (3. x 2 + 6. x .y 2 ).dx + (6 .x 2 .y + 4 .y 3 ).dy = 0  .

SOLUCIÓN • La ecuación es diferencial exacta, pues siendo de la forma M( x , y ). dx + N( x ; y ). dy =  0 ocurre que ∂M( x ; y )/∂y = 12. x . y = ∂N( x ; y )/∂x ...... y eso garantiza que existe una función F( x ; y ) tal que ∂F( x ; y )/∂x = M( x ; y ) y ∂F( x ; y )/∂y = N( x ; y ).  Así, ( .3 x 2 +.6 .x y).2 dx +( .6 x.2 y + .4 y).3 dy es  la diferencial total de "F", y la integral general de la ecuación diferencial es F( x ; y) = C, siendo "C" una constante arbitraria.

• Determinemos la expresión matemática de "F": ∂F( x ; y ) = M( x ; y ) ≡ 3. x 2 + 6. x . y 2 ⇒ F( x ; y ) = z (3. x 2 + 6. x . y 2 ).dx + g (y ) ⇒  ∂x ⇒ F( x ; y ) = x 3 + 3. x 2 . y 2 + g ( y ) (I) Para calcular g ( y ) basta exigir que

∂F( x ; y ) = N( x ; y ) ≡ 6. x 2 . y + 4. y 3 :   ∂y 

∂F(x;y) = 6.x 2 .y + 4.y 3  ⇒ ∂y  F(x; y ) = x 3 + 3.x 2 .y 2 + g(y ) ∂ ( x3 + 3.x 2 .y 2 + g(y )) ⇒ = 6.x 2 .y + 4.y 3  ⇒ ∂y  ⇒ 6.x 2 .y + ⇒

dg(y) = 6.x2 .y + 4.y 3  ⇒ dy 

dg(y) = 4.y 3 ⇒ g( y ) = 4.y 3 .dy = y 4 dy 

∫ 

 Al sustituir g( y ) en (I) se obtiene la expresión matemática de "F": F( x ; y ) = x 3 + 3. x 2 . y 2 + y 4   Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante arbitraria, la integral general de la ecuación dada es x 3 + 3. x 2 . y2 + y4 = C .

• ¡Ojo! ..... el enunciado podría camuflar la ecuación presentándola así:

dy  3. x 2 + 6. x. y 2 =− 2 dx 6. x . y + 4. y 3

54

FONEMATO 1.6.2

F  I  F  I  Determínese la integral general de G 1 + cos x J .dx + G sen x − x .cos x J .dy = 0. y K  H  H  y  y  y K  SOLUCIÓN • La ecuación es diferencial exacta, pues siendo de la forma M( x , y ). dx + N( x ; y ). dy =  0 ocurre que ∂M( x ; y )/∂y =  x .sen x = ∂N( x ; y )/∂x . Así, podemos garantizar y  y 2 que existe F( x ; y ) tal que ∂F(x; y)/∂x = M(x; y) y ∂F(x; y)/∂y = N(x; y) ; o sea, M(x , y ). dx + N( x ; y ). dy  es la diferencial total de "F", y la integral general de la ecuación es F( x ; y ) = C, siendo "C" una constante arbitraria.

• Determinemos la expresión matemática de "F": ∂F( x ; y ) = M( x ; y ) ≡ 1 + cos x ⇒ ∂x y  ⇒ F( x ; y ) = z (1 + cos x ). dx + g ( y )  ⇒ y  ⇒ F( x ; y ) = x + y.sen x + g ( y ) y 

Para calcular g ( y ) basta exigir que

( I)

∂F( x ; y ) = N( x ; y ) ≡ sen x − x .cos x : y  y  y  ∂y 

∂F(x;y) = sen x − x .cos x ⇒ y y y   ∂y F(x; y ) = x + y.sen x + g(y) y 

∂ ⎛⎜ x + y.sen x + g( y) ⎞⎟ y  ⎠ = sen x − x .cos x ⇒ ⇒ ⎝ y y y ∂y ⇒ sen x − x .cos x +

 

dg(y) = sen x − x .cos x ⇒ dy y y  y 

y y y dg(y) ⇒ = 0 ⇒ g(y ) = K (K ≡ constan te) dy 

 Al sustituir g( y ) en (I) se obtiene la expresión matemática de "F":

F( x ; y ) = x + y.sen x + K  y  Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante arbitraria, la integral general de la ecuación dada es x + y.sen x + K = C ⇒ x + y.sen x = H y  y  . siendo H = C − K 

55

FONEMATO 1.6.3 Determínese la integral general de

F  I  ( 2. e x + sen y ). dx + G x.cos y +  1 J . dy = 0 1 + y K  H  SOLUCIÓN • La ecuación es diferencial exacta, pues siendo de la forma M( x , y ). dx + N( x ; y ). dy =  0 ocurre que ∂M( x ; y )/∂y = cos y = ∂N( x ; y )/∂x . Por tanto, podemos garantizar la existe F( x ; y ) tal que ∂F( x ; y )/∂x = M( x ; y ) ; ∂F( x ; y )/∂y = N( x ; y ) ;   o sea, Así, M( x , y ). dx + N(x ; y ). dy   es la diferencial total de "F", y la integral general de la ecuación es F( x ; y ) = C, siendo "C" una constante arbitraria.

• Determinemos la expresión matemática de "F": ∂F( x ; y )   = M( x ; y ) ≡ 2. e x + sen y ⇒ F( x ; y ) = z (2. e x + sen y ). dx + g ( y ) ⇒ ∂x ⇒ F( x ; y ) = 2. e x + x.sen y + g ( y ) (I) ∂F( x ; y ) = N( x ; y ) ≡ x.cos y +   1 : Para calcular g ( y ) basta exigir que 1 + y  ∂y  ∂F(x;y) = x.cos y + 1 ⇒ 1 + y  ∂y

F(x; y ) = 2.e x + x.sen y  + g ( y )

∂ 2.e x + x.sen y + g( y ) ⇒ = x.cos y + 1 ⇒ 1 + y  ∂y ⇒ x.cos y +

dg(y) = x.cos y +  1 ⇒ dy 1+ y  

dg(y) ⇒ = 1 ⇒ g(y) = Ln 1 + y   dy  1 + y   Al sustituir g( y ) en (I) se obtiene la expresión matemática de "F": F( x ; y ) = 2. e x + x.sen y + Ln 1 + y   Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante arbitraria, la integral general de la ecuación dada es

2. e x + x. sen y + Ln 1 + y = C

56

FONEMATO 1.6.4 Determínese la integral general de (x + y 2 ).dx − 2 . x .y .dy =  0 sabiendo que admite un factor integrante que sólo depende de "x".

SOLUCIÓN • Si μ( x ) es factor integrante, la ecuación

μ( x ).( x + y 2 ). dx − 2. μ( x ). x. y. dy = 0 es diferencial exacta; por tanto, ha de ser:

∂ (μ(x).(x + y 2 )) ∂ ( −2.μ(x).x.y ) = ⇒ ∂y ∂x ⇒ 2.μ(x).y = −2.y.(μ(x) + x.μ '(x)) ⇒ ⇒ μ(x) = − (μ(x) + x.μ '(x)) ⇒ x.μ '(x) = − 2.μ( x) ⇒ dμ(x) dμ(x) = −2.μ(x) ⇒ = − 2. dx ⇒ dx x μ(x) dμ(x) ⇒ = −2. dx ⇒ x μ(x) ⇒ Ln μ(x) = −2.Ln x ⇒ μ(x) = x−2

⇒ x.

∫

∫ 

 Así, la ecuación

x −2 .( x + y 2 ). dx − 2. x −2 . x. y. dy =  0 es diferencial exacta; en efecto:

∂c x −2 .( x + y 2 )h ∂c−2. x −2 . x . y h = 2. y/x 2 = ∂y  ∂x El que así sean las cosas garantiza la existencia de una función F( x ; y ) tal que ∂F( x ; y ) −2 ∂F( x ; y ) = x .( x + y 2 ) ; = −2. x −2 . x. y . ∂x ∂y  y la integral general de la ecuación diferencial es F (x ;y ) = C , siendo "C" una constante arbitraria. • Determinemos la expresión matemática de "F":

∂F(x;y) −2 = x .(x + y 2 ) ⇒ ∂x ⇒ F(x; y) = ∫ x−2 .(x + y 2 ).dx + g( y ) ⇒ ⇒ F(x; y ) = ∫ dx + y 2 .∫ dx2 + g( y ) ⇒ x

x

y 2 ⇒ F(x; y ) = Ln x − + g( y ) (I) x

57

Para calcular g ( y ) basta exigir que

2. y  ∂F( x ; y ) = −2. x −2 . x. y = − : ∂y  x

∂F(x;y) 2.y  =− ⇒ ∂y x

⇒

y 2 F(x; y) = Ln x − + g( y ) x ⎛ ⎞ y 2 ∂ ⎜ Ln x − + g( y) ⎟ x 2.y  ⎝ ⎠

∂y

⇒− ⇒

=−

x

⇒

2.y dg( y) 2.y   + =− ⇒ x dy x

dg(y) = 0 ⇒ g( y ) = K (K ≡ cons tan te ) dy 

 Al sustituir g( y ) en (I) se obtiene la expresión matemática de "F": y 2 + K  F( x ; y ) = Ln x − x Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante arbitraria, la integral general de la ecuación dada es y2 y 2 Ln x − + K = C ⇒ Ln x − = H . x x siendo H = C − K  

58

FONEMATO 1.6.5 Determínese la integral general de (y + x .y 2 ).dx − x .dy =  0 .

SOLUCIÓN • La ecuación dada no es de variables separables, ni homogénea, ni reducible a homogénea. Tampoco es diferencial exacta, pues siendo M( x ; y) = ( y + x. y 2 ) y N( x ; y ) = − x , no sucede que ∂M( x ; y )/∂y = ∂N( x ; y )/∂x . Gracias a la portentosa capacidad de observación que desarrollamos cuando paseábamos con los apaches chiricauas por las aterciopeladas praders de  Wyoming, vemos que el valor del pedrusco

∂M(x; y) ∂N(x; y) − (1 + 2.x.y) − ( −1) 2.(1 + x.y ) 2 ∂y ∂x = = = M(x; y) y.(1 + x.y) y   y + x.y 2 M(x ; y ) = (y + x.y 2 ) ; N(x; y) = −x sólo depende del valor de "y", y eso garantiza que la ecuación dada admite un factor integrante que sólo depende de "y". Así, si μ( y ) es dicho factor, la ecuación

μ( y ).( y

+ x.y 2 ).dx − μ( y ).x.dy = 0

es diferencial exacta, por lo que ha de ser:

∂ (μ(y ).( y + x.y 2 )) ∂ ( −μ(y).x ) = ⇒ ∂y ∂x ⇒

dμ( y ) .( y + x.y 2 ) + μ( y ).(1 + 2.x.y ) = −μ(y ) ⇒ dy  dμ(y ) .y.(1 + x.y ) = −2.μ( y ).(1 + x.y ) ⇒ ⇒ dy  dμ(y ) . .y = −2.μ(y ) ⇒ ⇒ dy  dμ( y) dy   ⇒ = −2. ⇒ μ( y ) y   dμ( y ) dy   ⇒ = −2. ⇒ μ( y ) y   ⇒ Ln μ(y ) = −2.Ln y  ⇒ ⇒ μ( y) = y − 2

∫

∫ 

Por tanto, la ecuación y−2 .( y + x. y2 ). dx − y−2 . x. dy =   0 es diferencial exacta; en efecto: ∂ y −2 .( y + x . y 2 )   ∂ − y −2 . x = −1/y 2 = ∂y  ∂x

c

h

c

h

59

El que así sean las cosas garantiza la existencia de una función F( x ; y ) tal que ∂F( x ; y ) −2 ∂F( x ; y ) = y .( y + x . y 2 )  ; = − y −2 . x ∂x ∂y  y la integral general de la ecuación diferencial es F( x; y) = C, siendo "C" una constante arbitraria.

• Determinemos la expresión matemática de "F": ∂F(x;y) −2 = y .(y + x.y 2 ) ⇒ F(x; y ) = ∫ y −2 .( y + x.y 2 ).dx + g( y) ⇒ ∂x ⇒ F(x; y ) = ∫ ( 1 + x).dx + g(y ) ⇒ y 

⇒ F(x; y ) = x + 1 .x 2 + g( y ) (I) y

2

∂F( x ; y ) = − y −2 . x : ∂y  ∂ ⎛⎜ x + 1 .x 2 + g( y) ⎞⎟ y 2 ∂F(x;y) ⎠ = −y −2 .x ⇒ = −y −2 .x ⇒ ⎝ ∂y ∂y 

Para calcular g ( y ) basta exigir que

F(x; y ) = x + 1 .x 2 + g(y ) y 2 dg( y) dg( y ) ⇒ − x2 + = −y −2 .x ⇒ =0 ⇒ dy dy   y  ⇒ g(y ) = K (K ≡ constan te)  Al sustituir g( y ) en (I) se obtiene la expresión matemática de "F": F( x ; y ) = x + 1 . x 2 + K  y  2 Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante arbitraria, la integral general de la ecuación dada es x + 1 .x 2 + K = C ⇒ x + 1 .x 2 = H y 2 y 2 siendo H = C − K  

• Si tienes prisa, puedes determinar μ( y ) aplicando la receta: ∂M(x; y ) ∂N(x; y) − ∂y ∂x M(x;y)

= v(y ) ⇒e − ∫  v(y).dy es factor integrante

En nuestro caso, siendo v( y) = 2/ y  , el factor integrante μ( y ) es μ(y ) = e − ∫ v( y ).dy

= e− ∫ 2.dy / y  = e−2.Ln y = e−Ln y 2  = y −2 e − Ln (Pepe) =

 

1 Pepe

60

FONEMATO 1.6.6 Determínese la integral general de (x 2 . y 3 + 2 . y ).dx + (2 .x − 2 .x 3 .y 2 ).dy = 0  sabiendo que admite un factor integrante que depende de z = x. y .

SOLUCIÓN • Si μ(z) es el factor integrante, la ecuación μ( z).( x 2 . y 3 + 2. y ). dx + μ(z).(2. x − 2. x 3 . y 2 ). dy = 0  es diferencial exacta; por tanto, ha de ser:

∂cμ( z).( x 2 . y 3 + 2. y )h   ∂cμ(z).(2. x − 2. x 3 . y 2 )h   = ⇒ ∂y  ∂x ∂cμ(z).( x 2 . y 3 + 2. y )h   ∂μ( z) .( x 2 . y 3 + 2. y ) + μ(z ).(3. x 2 . y 2 + 2  ) = • = ∂y  ∂y  dμ(z) ∂μ(z) dμ(z) ∂z z = x.y ⇒ . = x. = dz ∂y   dz ∂y z = x.y ⇒ ∂z/∂y = x dμ(z) 2 3 .(x .y + 2.y ) + μ(z).(3.x 2 .y 2 + 2) dz ∂ μ( z).(2. x − 2. x 3 . y 2 )   ∂μ( z) • = .( 2. x − 2. x 3 . y 2 ) + μ(z ).(2 − 6. x 2 . y 2 ) =   ∂x ∂x ∂μ(z) dμ(z) ∂z dμ(z) = z = x.y ⇒ . = y.   ∂x dz ∂x dz z = x.y ⇒   ∂z/∂x = y 

= x.

c

h

= y.

dμ(z) .(2.x − 2.x3 .y 2 ) + μ(z).(2 − 6.x 2 .y 2  ) dz

dμ( z) 2 3 .( x . y + 2. y ) + μ(z).(3. x 2 . y 2 + 2  ) = dz dμ( z) .( 2. x − 2. x 3 . y 2 ) + μ(z ).(2 − 6. x 2 . y 2 )   = y . dz

⇒ x. Simplificando:

dμ(z) ⇒ dz dμ(z) dμ(z) ⇒ 3.μ(z) = −x.y. ⇒ 3.μ(z) = −z. ⇒ dz dz x.y = z 9.x 2 .y 2 .μ(z) = −3.x3 .y 3 .

dμ(z) dμ(z) ⇒ 3. dz = − ⇒ μ(z) μ(z) z z ⇒ 3.Ln z = −Ln μ(z) ⇒ μ(z) = z−3 = 1/(x.y )3 

⇒ 3. dz = −

∫

∫ 

z = x.y 

61

x 2 . y 3 + 2. y  2. x −2. x 3 . y 2 . dx + . dy = 0 es diferencial exacta, pues: La ecuación x 3 . y 3 x 3 . y 3

F  x 2 . y 3 + 2. y I  ∂G H  x 3 . y 3 J K  = − ∂y 

4 x 3 . y 3

F  2. x − 2. x 3 . y 2 I  ∂G J K  x 3 . y 3 H  = ∂x

El que así sean las cosas garantiza la existencia de una función F( x ; y ) tal que

∂F( x ; y ) x 2 . y 3 + 2. y  1 2 = = + ∂x x x 3 . y 2 x 3 . y 3 . ∂F( x ; y ) 2. x − 2. x 3 . y 2 2+ 2 = = − y  x 2 . y 3 ∂y  x 3 . y 3 y la integral general de la ecuación diferencial es F( x ; y) = C, siendo "C" una constante arbitraria.

• Determinemos la expresión matemática de "F": ∂F( x ; y ) 1 = + 32 2 ⇒ F( x ; y ) = ( 1  + 32 2 ). dx + g ( y )  ⇒ ∂x x x . y  x x . y  ⇒ F( x ; y ) = Ln x − 21 2 + g( y ) ( I)

z 

x . y  ∂F( x ; y ) Para calcular g ( y ) basta exigir que = − 2 + 22 3 : y  x . y  ∂y ∂F(x;y) = − 2 + 22 3 ⇒ ∂y y  x .y  F(x; y) = Ln x − 1 + g(y ) x 2 .y 2

⎛ ⎞ ∂ ⎜ Ln x − 21 2 + g( y) ⎟ x .y  ⎝ ⎠ =−2 + 2 ⇒ ⇒ y  x 2 .y 3 ∂y ⇒ 22

+

dg(y) = − 2 + 22 3 ⇒ dy y  x .y  

x .y 3 dg(y) ⇒ = − 2 ⇒ g( y) = − 2 .dy = −2.Ln y   dy y y  

∫ 

 Al sustituir g( y ) en (I) se obtiene la expresión matemática de "F": F( x ; y ) = Ln x −

1 − 2. Ln y  x 2 . y 2

Por tanto, como queda dicho, siendo "C" una constante arbitraria, la integral general de la ecuación dada es Ln x − 1 − 2. Ln y = C x 2 . y 2

62

1.7 ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN Se llama lineal de primer orden a toda ecuación de la forma

dy  + P( x ). y = Q( x ) dx

(I)

Para resolverla expresamos su solución como producto de dos funciones de "x": y = u( x ). v( x ) ( II) donde u( x ) ó v( x ) , no ambas, puede elegirse de modo arbitrario, y la otra se determinará al exigir que se satisfaga (I). Siendo y = u( x ). v( x ), es: dy  du( x ) dv( x ) . v( x ) + u( x ). ( III) = dx dx dx Sustituyendo (II) y (III) en (I), resulta:

F G du( x ) . v( x ) + u( x ). dv( x )I J + P( x ).bu( x ). v( x )g = Q(x ) ⇒ dx K  H  dx ⇒ u( x ). F  GH dvdx( x ) + P( x ). v( x )I J K + dudx( x ) . v( x ) = Q( x ) (IV )   Elegimos v( x ) de modo que dv( x ) + P( x ). v( x ) = 0 ( V )   dx Como (V) es de variables separables, la determinación de v( x ) es inmediata: dv( x ) dv( x ) + P( x ). v( x ) = 0 ⇒ = −P( x ). dx ⇒ dx  v( x ) dv( x ) ⇒ = − P( x ). dx ⇒ Ln v( x ) − Ln C1 = − P( x ). dx ⇒  v( x )  v( x )  v( x ) ⇒ Ln = − P( x ). dx ⇒ = e − z P( x ).dx ⇒ v( x ) = C1 . e − z P( x ).dx C1 C1

z

z

z 

z 

Puesto que basta tener una solución cualquiera de (V), que no sea la v( x) = 0 , consideramos que C1 = 1, por lo que v( x ) = e − z P( x ). dx ( VI)  Al sustituir (V) y (VI) en (IV), resulta: du( x ) − P( x ).dx du( x ) .e z = Q( x ) ⇒ = Q( x ). e z P( x ).dx ⇒ dx dx ⇒ du( x ) = Q( x ). e z P( x ).dx . dx ⇒ du( x ) = Q( x ). e z P( x ).dx . dx ⇒

z 

z

z 

⇒ u( x ) = Q( x ). e z P( x ).dx . dx + C ( VII)  Al sustituir (VI) y (VII) en (II) obtenemos la solución general de (I):

y=

dz Q( x ). e z P( x ).dx . dx + Ci. e − z P( x ).dx 63

Método de variación de constantes  También podemos obtener la solución general de (I) trabajando así: 1) Calculamos la solución general de la llamada ecuación homogénea asociada a (I), que es la ecuación

dy  + P( x ). y = 0 dx

( VIII)

Como la ecuación (VIII) es de variables separables, el cálculo de su solución general es asunto fácil: dy dy dy   + P(x).y = 0 ⇒ = −P(x).y ⇒ = −P(x).dx ⇒ dx dx y   dy  ⇒ + Ln 1 = − P(x).dx ⇒ Ln y + Ln 1 = − P(x).dx ⇒ y C C y y  ⇒ Ln = − P(x).dx ⇒ = e − ∫ P(x).dx ⇒ C C ⇒ y = C.e − ∫ P(x).dx (IX)

∫

∫

∫ 

∫ 

2) Consideramos que la constante "C" que aparece en (IX) es una función de "x" (o sea, C = C( x )) y  exigimos que la solución general de (I) sea y = C( x ). e − z P( x ).dx ( X )

 

 A la vista de (X), derivando, es: dy  = C '( x ). e − z P( x ).dx + C( x ). e − z P( x ).dx . −P( x ) dx

b

g

( XI)

 Al sustituir (X) y (XI) en (I), resulta: C'(x).e − ∫ P(x).dx + C(x).e − ∫ P(x).dx . ( −P(x) ) + P(x).C(x).e − ∫ P(x).dx = Q(x) ⇒

⇒ C'(x).e − ∫ P(x).dx = Q(x) ⇒ ⇒ C'( x) = Q( x).e ∫ P(x).dx ⇒ dC(x) = Q(x).e∫ P(x).dx ⇒ dx ⇒ dC(x) = Q(x).e ∫ P(x).dx .dx ⇒

⇒

⇒ C(x) = ∫ Q(x).e ∫ P(x).dx .dx + K ⇒  sustituimos C( x) en (X)

⇒ y = ( ∫ Q(x).e ∫ P( x).dx .dx + K ) .e − ∫ P( x).dx

64

FONEMATO 1.7.1 Determínese la integral general de y '− 2 . y = ( x + 1)3 . x +1

SOLUCIÓN La ecuación es lineal de primer orden, pues puede expresarse dy  + P( x ). y = Q( x ) dx Para resolverla escribimos su solución como producto de dos funciones de "x"; es decir y = u( x ). v( x ) (I) donde u( x ) ó v( x ) , no ambas, puede elegirse de modo arbitrario, y la otra se determinará al exigir que se satisfaga la ecuación dada. Siendo y = u( x). v( x), es: dy  du( x ) dv( x ) = . v( x ) + u( x ). dx dx dx

( II)

Sustituyendo (I) y (II) en la ecuación dada, resulta:

F G du( x ) . v( x ) + u( x ). dv( x )I J − 2 .bu( x ). v( x )g = ( x + 1)3 ⇒ dx K  x + 1 H  dx dv( x ) 2 . v( x )I + du( x ) . v( x ) = ( x + 1)3 ( III) ⇒ u( x ). F  − GH  dx x + 1 J K  dx y elegimos v( x ) de modo que dv( x ) − 2 . v( x ) = 0 (IV )   dx x +1 La ecuación (IV) es de variables separables y fácil de integrar: dv( x ) dv( x ) − 2 . v( x ) = 0 ⇒ = 2 . dx ⇒ dx x +1 v( x ) x + 1 dv( x ) ⇒ = 2 . dx ⇒ Ln v( x ) = 2. Ln x + 1 ⇒ v( x ) x +1 ⇒ v( x ) = ( x + 1)2 ( V )  

z

z 

 Al sustituir (IV) y (V) en (III), resulta: du( x ) .( x + 1)2 = ( x + 1)3 ⇒ dx du( x ) ⇒ = x +1⇒ dx ⇒ u( x ) = 1 .( x + 1)2 + C ( VI) 2  Al sustituir (V) y (VI) en (I) obtenemos la solución general: y = 1 .( x + 1)2 + C .( x + 1)2 2

e

j

65

FONEMATO 1.7.2 Determínese la integral general de x. y'+ x2 . y + x2 = 0 .

SOLUCIÓN Dividiendo por "x" los dos miembros, resulta y'+ x. y = − x , que es una ecuación lineal de primer orden, pues puede expresarse dy  + P( x ). y = Q( x ) dx Para resolverla escribimos su solución como producto de dos funciones de "x"; es decir y = u( x ). v( x ) (I) donde u( x ) ó v( x ) , no ambas, puede elegirse de modo arbitrario, y la otra se determinará al exigir que se satisfaga la ecuación dada. Siendo y = u( x ). v( x ), es: dy  du( x ) dv( x ) . v( x ) + u( x ). = dx dx dx

( II)

Sustituyendo (I) y (II) en la ecuación dada, resulta:

F G du( x ) . v( x ) + u( x ). dv( x )I J + x.bu( x ). v( x )g = −x ⇒ dx K  H  dx ⇒ u( x ). F  GH dvdx( x ) + x. v( x )I J K + dudx( x ) . v( x ) = − x (III) y elegimos v( x ) de modo que dv( x ) + x. v( x ) = 0 (IV )   dx La ecuación (IV) es de variables separables y fácil de integrar: dv( x ) dv( x ) + x . v( x ) = 0 ⇒ = −x. dx ⇒ dx  v( x ) dv( x ) ⇒ = − x. dx ⇒ Ln v( x ) = −x 2 /2 ⇒  v( x ) ⇒ v( x ) = e− x 2 /2 ( V )  

z

z 

 Al sustituir (IV) y (V) en (III), resulta: du( x ) − x 2 /2 du( x ) = −x ⇒ = −x. e x 2 /2 ⇒ .e dx dx 2 ⇒ u( x ) = − x. e x /2 . dx + C ⇒

z 

⇒ u( x ) = −e x 2 /2 + C ( VI)  Al sustituir (V) y (VI) en (I) obtenemos la solución general:

e

j

y = −e x 2 /2 + C . e − x 2 /2 = C. e − x 2 /2 − 1

66

FONEMATO 1.7.3 Determínese la integral general de y'− x. y = 4. x .

SOLUCIÓN La ecuación es lineal de primer orden, pues puede expresarse dy  + P( x ). y = Q( x ) dx Para resolverla escribimos su solución como producto de dos funciones de "x"; es decir y = u( x ). v( x ) (I) donde u( x ) ó v( x ) , no ambas, puede elegirse de modo arbitrario, y la otra se determinará al exigir que se satisfaga la ecuación dada. Siendo y = u( x ). v( x ), es: dy  du( x ) dv( x ) . v( x ) + u( x ). = dx dx dx Sustituyendo (I) y (II) en la ecuación dada, resulta:

( II)

F du( x ) . v( x ) + u( x ). dv( x )I − x.au( x ). v( x )f = 4. x ⇒ H  dx dx K  dv( x ) du( x ) ⇒ u( x ). F  − x. v( x )I + H  dx K  dx . v( x ) = 4. x (III) y elegimos v( x ) de modo que dv( x ) − x. v( x ) = 0 (IV )   dx La ecuación (IV) es de variables separables y fácil de integrar: dv( x ) dv( x ) − x. v( x ) = 0 ⇒ = x. dx ⇒ dx  v( x ) dv( x ) ⇒ = x. dx ⇒ Ln v( x ) = x 2 /2 ⇒  v( x )

z

z 

⇒ v( x ) = e x 2 /2 ( V )    Al sustituir (IV) y (V) en (III), resulta: du( x ) x 2 /2 du( x ) .e = 4. x ⇒ = 4. x . e − x 2 / 2 ⇒ dx dx ⇒ u( x ) = −4. e − x 2 /2 + C ( VI)  Al sustituir (V) y (VI) en (I) obtenemos la solución general:

e

j

y = −4. e x 2 /2 + C . e x 2 /2 ⇒

⇒ y = C. e x 2 /2 − 4 67

FONEMATO 1.7.4 Determínese la integral general de y'− y. tg x = cos x .

SOLUCIÓN La ecuación es lineal de primer orden, pues puede expresarse y '+ P( x ). y = Q( x ) Para resolverla emplearemos el método de variación de const antes 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a y '−y . tg x = cos x , que es la ecuación y'− y. tg x = 0. La ecuación y'− y. tg x = 0 es de variables separables y fácil de integrar: dy  dy  dy  − y. tg x = 0 ⇒ = y. tg x ⇒ = tg x .. dx ⇒ dx dx y  dy  ⇒ − Ln C = tg x . dx ⇒ Ln y − Ln C = −Ln cos x ⇒ y  y  y  ⇒ Ln = −Ln cos x ⇒ = 1 ⇒ C C cos x ⇒ y = C/cos x (I)

z

z 

2) Consideramos que la constante "C" que hay en (I) es una función de "x" (es decir, C = C( x )) y  exigimos que la solución general de la ecuación dada sea y =

C( x ) (II) cos x

 A la vista de (II), derivando, es: y ' =

C'( x ).cos x + C( x ).sen x ( III) 2 (cos x )

Al sustituir (II) y (III) en y '−y .tg x = cos x , resulta: C'( x ).cos x + C( x ).sen x C( x ) . tg x = cos x ⇒ − cos x (cos x )2 C'( x ) C( x ).sen x C( x ) sen x ⇒ + − = cos x ⇒ . cos x cos x cos x (cos x )2 C'( x ) ⇒ = cos x ⇒ C'( x ) = cos2 x ⇒ cos x sen 2. x ⇒ C( x ) = cos2 x . dx + K =  x + + K  2 4

z 

 Al sustituir C( x ) en (I) obtenemos la solución general:

x + sen 2. x + K  4 y = 2 cos x 68

FONEMATO 1.7.5 Determínese la integral general de x. y'+ y = x. sen x .

SOLUCIÓN Dividiendo por "x" los dos miembros, resulta y'+( y/ x) = sen x , que es una ecuación lineal de primer orden, pues puede expresarse y '+ P( x ). y = Q( x ) Para resolverla emplearemos el método de variación de const antes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspon-diente a y '+( y/ x ) = sen x , que es la ecuación y'+( y/ x ) = 0. La ecuación y'+( y/x ) = 0 es de variables separables y fácil de integrar: dy  y  dy  y  dy  + = 0 ⇒ = − ⇒ = − dx ⇒ dx x dx x y  x

⇒

z

z 

dy  − Ln C = − dx ⇒ Ln y − Ln C = −Ln x ⇒ y  x y  y  ⇒ Ln = −Ln x ⇒ = 1 ⇒ C C x ⇒ y = C/x (I)

2) Consideramos que la constante "C" que hay en (I) es una función de "x" (es decir, C = C( x )) y  exigimos que la solución general de la ecuación dada sea y = C( x )/x ( II)  A la vista de (II), derivando, es: y ' =

C'( x ). x − C( x ) ( III) x2

Al sustituir (II) y (III) en y '+( y/x ) = sen x , resulta: C'( x ). x − C( x ) C( x ) + 2 = sen x ⇒ 2 x x C'( x ) ⇒ = sen x ⇒ C'( x ) = x .sen x ⇒ x ⇒ C( x ) = x .sen x. dx + K = −x .cos x + sen x + K  

z 

u = x ⇒ du = dx dv = sen x.dx ⇒ v = − cos x  Al sustituir C( x ) en (I) obtenemos la solución general:

y =

− x.cos x + sen x + K   x 69

FONEMATO 1.7.6 Determínese la integral general de y'− y.cos x = sen x.cos x.

SOLUCIÓN La ecuación es lineal de primer orden, pues puede expresarse

y '+ P( x ). y = Q( x ) Para resolverla emplearemos el método de variación de const antes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspon-diente a y '− y.cos x = cos x que es la ecuación y'− y.cos x = 0. La ecuación y'− y.cos x = 0 es de variables separables y fácil de integrar: dy  dy  dy  − y.cos x = 0 ⇒ = y.cos x ⇒ = cos x. dx ⇒ dx dx y  dy  ⇒ − Ln C = cos x . dx ⇒ Ln y − Ln C = sen x ⇒ y  y  y  ⇒ Ln = sen x ⇒ = esen x ⇒ C C ⇒ y = C. esen x ( I)

z

z 

2) Consideramos que la constante "C" que hay en (I) es una función de "x" (es decir, C = C( x )) y  exigimos que la solución general de la ecuación dada sea y = C( x ). esen x ( II)  A la vista de (II), derivando, es: y ' = C'( x ). esen x + C( x ).cos x . e sen x (III ) Al sustituir (II) y (III) en y '−y .cos x = sen x .cos x , resulta: C'(x).esen x + C(x).cos x.esen x − C(x).esen x .cos x = sen x.cos x ⇒

⇒ C'(x).esen x = sen x.cos x ⇒ ⇒ C'(x) = e −sen x .sen x.cos x ⇒ ⇒ C(x) = ∫ e −sen x .sen x.cos x.dx + K  = u = sen x ⇒ du = cos x.dx dv = e −sen x .cos x.dx ⇒ v = e −sen x .cos x.dx = −e −sen x

∫  = −e −sen x .sen x + ∫ e −sen x .cos x.dx + K   = −e −sen x .sen x − e−sen x + K  

 Al sustituir C( x ) en (I) obtenemos la solución general:

c

h

y = −e −sen x . sen x − e −sen x + K . esen x ⇒ ⇒ y = −sen x − 1 + K. esen x

70

FONEMATO 1.7.7 Siendo P( t ) el precio de un bien en el instante "t", sean respectivamente D( t) y  S(t ) la demanda y la oferta de dicho bien en dicho instante. Determínese la trayectoria temporal del precio sabiendo que D( t ) = 6 − 2. P( t ) ; S(t ) = −2 + 4 . P(t ) ; P'(t ) = 3 .(D(t ) − S(t )) ; P(0 ) = 3 4

SOLUCIÓN

P '(t ) = 3 .(D(t ) − S( t))   = 3 . ((6 − 2.P(t)) − ( −2 + 4.P(t))) ⇒ 4 4 D(t) = 6 − 2.P(t ) ; S(t ) = −2 + 4.P(t )

⇒ P'(t) + 9 .P(t) = 6 (I) 2

La ecuación (I) es lineal de primer orden, y para resolverla emplearemos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a (I), que es la ecuación P'( t) + 9. P( t)/2 = 0 , de variables separables:

z

z 

dP( t ) 9 dP( t ) dP( t ) + . P(t ) = 0 ⇒ = − 9 . dt ⇒ − Ln C = − 9 . dt ⇒ dt 2 P( t ) 2 P( t ) 2 P( t ) ⇒ Ln P( t ) − Ln C = − 9 . t ⇒ Ln = − 9 .t ⇒ 2 C 2 9 . t / 2 − ( II) ⇒ P( t ) = C.e 2) Consideramos que la constante "C" que hay en (II) es una función de "t" (es decir, C = C( t )) y  exigimos que la solución general de la ecuación dada sea P( t ) = C( t ). e −9.t / 2

( III)

 A la vista de (III), derivando, es: P'( t ) = C'( t ). e −9.t / 2 − 9 . C(t ). e −9.t /2 (IV )   2 Sustituyendo (III) y (IV) en P'( t ) + 9. P( t )/2 = 0 , resulta:

eC'(t ). e −9.t/2 − 29 . C(t ). e −9.t/2 j + 29 . C(t ). e −9.t/2 = 6 ⇒

⇒ C'( t ). e −9.t /2 = 6 ⇒ C'(t ) = 6. e 9.t /2 ⇒ C(t ) = 4 . e 9.t /2 + K 3

 

 Al sustituir C( t) en (II), resulta P( t ) = 4 . e9.t /2 + K . e −9.t /2 = 4 + K. e −9.t / 2 3 3  Al exigir que se satisfaga la condición inicial P(0 ) = 3 resulta K = 5/3:

e

j

3 = 4 + K. e −9.0/ 2 ⇒ K  = 5/3 3  Así, la trayectoria temporal del precio es P( t) = 4 + 5. e−9.t /2 /3.

c

h

Observa:

c

h

lim. P(t ) = lim. 4 + 5. e −9.t /2 /3 = 4 /3 t → +∞ t → +∞

71

1.8 ECUACIÓN DE BERNOUILLI La estructura de la ecuación de Bernouilli es la siguiente:

dy  + P( x ). y = Q( x ). y n ; n ≠ 0 ,1 dx La ecuación de Bernouilli puede transformarse en una lineal de primer orden. En efecto, al dividir por y n los dos miembros, resulta: dy  − n . y + P( x ). y1− n = Q( x ) (I) dx Si hacemos el cambio

z = y1− n

( II)

es dz = (1 − n). y − n . dy  ⇒ dx dx dy  ⇒ . y − n = 1 . dz (III) dx 1 − n dx  Al sustituir (II) y (III) en (I), resulta: 1 . dz + P( x ). z = Q( x ) ⇒ 1 − n dx ⇒ dz + (1 − n ). P( x ). z = Q( x ) dx que es una ecuación lineal de primer orden.

72

FONEMATO 1.8.1 Determínese la integral general de y '−4. y/x = x . y .  

SOLUCIÓN La ecuación es de Bernouilli, pues puede expresarse

y '+P( x ). y = Q( x ). y n , n ≠ 0 ,1 En nuestro caso es P( x ) = −4/x , Q( x ) = x , n = 1/2. Al dividir por y1/2 ≡ y n   los dos miembros de la ecuación, resulta y '. y −1/2 − 4. y1/ 2 / x = x ( I) que pasa a lineal de primer orden al hacer z = y1/2 ≡ y1− n ( II) Derivando respecto de "x" los dos miembros de (II), resulta: dz = 1 . y −1/2 . dy  ⇒ dy . y −1/ 2 = 2. dz ( III) dx 2 dx dx dx Sustituyendo (II) y (III) en (I), es: 2. dz − 4 .z = x ⇒ dz − 2 .z = x (IV) dx x dx x 2     lineal primer orden

Para resolver (IV) usamos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a (IV), que es la ecuación z'−2. z/ x = 0 , de variables separables: dz − 2 . z = 0 ⇒ dz = 2 . z ⇒ dz = 2. dx ⇒ dx x dx x z x ⇒ dz − Ln C = 2. dx ⇒ Ln z − Ln C = 2. Ln x ⇒ z x ⇒ Ln z = 2. Ln x ⇒ z = x 2 ⇒ z = C. x 2 ( V )   C C 2) Consideramos que la constante "C" que hay en (V) es una función de "x" (es decir, C = C( x )) y  exigimos que la solución general de la ecuación (IV) sea

z

z 

z = C( x ). x 2 ( VI) A la vista de (VI), derivando, es: z ' = C '(x ).x 2 + 2.x .C (x ) (VII ) Sustituyendo (VI) y (VII) en (IV), resulta:

cC'( x ). x 2 + 2. x. C(x )h − 2x . C( x ). x 2 = x2 ⇒

C'( x ). x 2 = x ⇒ C'( x ) = 1 ⇒ C( x ) = 1 . Ln x + K   2 2. x 2 Sustituyendo C( x ) en (VI) obtenemos la solución general:

(

)

(

)

z = 1 .Ln x + K .x 2 ⇒ y = 1 .Ln x + K  .x 2 2 2 z = y 

73

FONEMATO 1.8.2 Determínese la integral general de 2. x. y. y '− y 2 + x = 0.

SOLUCIÓN Dividiendo por 2. x . y los dos miembros, se obtiene y  y '− = − 1 . y −1 ( I) 2. x 2 que es una ecuación de Bernouilli, pues puede expresarse y '+P( x ). y = Q( x ). y n , n ≠ 0 ,1 Al dividir por y −1 ≡ y  n los dos miembros de la (I), resulta dy  . y − 1 . y 2 = − 1 (II) dx 2. x 2 que pasa a lineal de primer orden al hacer z = y 2 ≡ y1− n ( III) Derivando respecto de "x" los dos miembros de (III), resulta: dz = 2. y . dy  ⇒ dy . y = 1 . dz ( IV ) dx dx dx 2 dx Sustituyendo (III) y (IV) en (II), es: 1 . dz − 1 .z = −1 ⇒ 2 dx 2.x 2

dz − z = −1 dx x 

( V)

lineal primer orden

Para resolver (V) usamos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a (V), que es la ecuación z'− z/ x = 0 , de variables separables: dz − z = 0 ⇒ dz = z ⇒ dz = dx ⇒ dx x dx x z x ⇒ z = C. x ( VI) 2) Consideramos que la constante "C" que hay en (VI) es una función de "x" (es decir, C = C( x )) y  exigimos que la solución general de la ecuación (V) sea z = C( x ). x ( VII) A la vista de (VII), derivando, es: z ' = C '(x ).x + C (x ) (VIII ) Sustituyendo (VII) y (VIII) en (V), resulta: C( x ). x = −1 ⇒ C'( x ). x + C( x ) − x C'( x ). x = −1 ⇒ C'( x ) = − 1 ⇒ C( x ) = K − Ln x x

b

g

Sustituyendo C( x ) en (VII) obtenemos la solución general: z = ( K − Ln x ) .x ⇒ y 2 = ( K − Ln x ) .x z = y 2

74

FONEMATO 1.8.3 Determínese la integral general de y'− y. tg x = y4 .cos x .

SOLUCIÓN La ecuación es de Bernouill i, pues puede expresarse

y '+P( x ). y = Q( x ). y n , n ≠ 0 ,1 Al dividir por y 4 ≡ y  n los dos miembros de la ecuación, resulta: y '. y −4 − y −3 . tg x = cos x ( I) que pasa a lineal de primer orden al hacer z = y −3 ≡ y1− n ( II) Derivando respecto de "x" los dos miembros de (II), resulta: dz = −3. y −4 . dy  ⇒ dy . y −4 = − 1 . dz ( III) dx dx dx 3 dx Sustituyendo (II) y (III) en (I), es:

− 1 . dz − z.tg x = cos x ⇒ dz + 3.z.tg x = −3.cos x (IV) 3 dx

dx

   

lineal primer orden

Para resolver (IV) usamos el método de variación de constantes. 1) Calculamos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a (IV), que es la ecuación z'+3. z. tg x = 0 , de variables separables: dz + 3. z. tg x = 0 ⇒ dz = −3. z. tg x ⇒ dz = −3. tg x ⇒ dx dx z ⇒ dz − Ln C = − 3. tg x. dx ⇒ Ln z − Ln C = 3. Ln cos x ⇒ z ⇒ Ln z = 3. Ln cos x ⇒ z = cos3 x ⇒ z = C.cos3 x ( V )   C C

z

z 

2) Consideramos que la constante "C" que hay en (V) es una función de "x" (es decir, C = C( x )) y  exigimos que la solución general de la ecuación (IV) sea z = C( x ).cos3 x ( VI) A la vista de (VI), derivando, es: z ' = C '(x ).cos3x − 3.C (x ).cos2x .sen x

(VII )

Sustituyendo (VI) y (VII) en (IV), resulta:

cC'( x ).cos3 x − 3. C(x ).cos2 x .sen x h + 3.C(x ).cos3 x .tg x = −3.cos x ⇒ C'( x ).cos3 x = −3.cos x ⇒ C'( x ) = −

3 ⇒ C( x ) = K − 3. tg x cos2 x

Sustituyendo C( x ) en (VI) obtenemos la solución general: z = ( K − 3.tg x ) .cos3 x ⇒ y −3 = ( K − 3.tg x  ) .cos3 x z = y −3

75

1.9 ECUACIÓN DE RICATTI La estructura de la ecuación de Ricatti es la siguiente:

dy  + P( x ). y 2 + Q( x ). y + R ( x ) = 0 ( I) dx La ecuación de Ricatti puede transformarse en una de Bernouilli si se conoce una solución particular de aquélla. En efecto, siendo y 1 una solución particular de (I), hacemos el cambio y = u + y1 ⇒ y ' = u'+ y1'   derivando los dos miembros respecto de "x", y denotando dy/dx ≡ y ' ; du/dx ≡ y ' ; dy1' /dx ≡ y1'    Al sustituir en (I), resulta

b

u'+ y1' + P( x ). u + y1

g2 + Q( x ). b u + y1 g + R ( x ) = 0

operando: u ' + y1' + P(x).u 2 + P(x).y12 +2.P(x).u.y1 +Q(x).u +Q(x).y1 + R(x) = 0 ⇒ y1' + P(x).y12 + Q(x).y1 + R(x) = 0, pues y1 es solución particular de ( I ) ⇒ u '+ P(x).u 2 + 2.P(x).u.y1  + Q(x).u = 0 ⇒ ⇒ u '+ u. ( 2.P(x).y1 + Q(x)) = −P(x).u 2 que es una ecuación de Bernouilli (con n = 2).

76

FONEMATO 1.9.1 Determínese la integral general de y'+ x −3 . y2 + x −1 . y − 4. x = 0 sabiendo que y = x 2 es una solución particular.

SOLUCIÓN Ecuación es de Ricatti, pues puede expresarse y'+ P( x ). y 2 + Q( x ). y + R( x ) = 0 . Sabiendo que y = x 2 es una solución particular, al hacer y = u + x2 (por tanto y ' = u'+2. x ) la ecuación pasa a una de Bernouilli. Al sustituir en la ecuación dada, resulta: u ' + 2.x + x −3 .(u + x 2 )2 + x −1.(u + x 2 ) − 4.x = 0 ⇒ .... ⇒ 2 ⇒ u '+ 3 .u = − u3 (I) x x  Ecuación de Bernouilli

 Al dividir por u 2 los dos miembros de (I), resulta: u'. u −2 + 3 . u −1 = − 1 ( II) x x3 La ecuación (II) pasa a lineal de primer orden al hacer z = u−1 ( III) Derivando respecto de "x" los dos miembros de (III), resulta: dz = − u −2 . du ⇒ du . u −2 = − dz ( IV ) dx dx dx dx Sustituyendo (III) y (IV) en (II), es:

− dz + 3 .z = − 13 ⇒ dz − 3 .z = 13 dx

x

( V)

dx x x 

x

lineal primer o rden

Como la solución geneal de la ecuación z'+ M( x). z = N( x) es z=

dz N( x ). e z M( x ).dx . dx + K i. e − z M( x ).dx

si M( x ) = − 3/x y N( x ) = x −3 , es: z=

( ∫ x−3 .e−∫ 3.dx / x .dx + K ) .e∫ 3.dx / x =

= ( ∫ x −3 .e −3.Ln x .dx + K ) .e3.Ln x =

)

(

= ( ∫ x −3 .x −3 .dx + K ) .x 3 = − 1 .x −5 + K .x 3 ⇒ 5 z = u −1 = ( y −  x 2 )−1

y = u + x2 ⇒ u = y − x2

(

)

⇒ (y − x2 )−1 = − 1 .x −5 + K .x3 5

77

1.10 ECUACIÓN DE LAGRANGE La estructura de la ecuación de Lagrange es la siguiente:

y = x . g ( y ' ) + h( y ' )

( I)

Al hacer y' = p, resulta: y = x. g ( p) + h( p)

(II)

Derivando respecto de "x" los dos miembros de (II), se obtiene: dy dg(p) dp dh(p) dp = g(p) + x. . + . ⇒ dx dp dx dp dx dy dg(p) dh(p) =p ; = g '(p) ; = h '(p) dx dp dp dp ⇒ p = g(p) + ( x.g '(p) + h '(p) ) . ⇒ dx dp x.g '(p) + h '(p) ⇒ p − g(p) = ( x.g '(p) + h '(p) ) . ⇒ dx = ⇒ dx dp p − g(p) g '(p) h '(p) ⇒ dx − x. = (III) dp p − g(p) p − g( p)  La ecuación (III) es lineal de primer orden si consideramos que "p" es la variable independiente y "x" la dependiente. Una vez integrada (III), obtendremos x = w( p ; C )

( IV )  

La integral general de (I) se obtiene al eliminar "p" entre (II) y (IV) .... y si la eliminación no es posible, la integral general queda expresada en forma paramétrica:

x = w( p ; C ) ; y = w( p ; C ). g ( p) + h( p)

78

FONEMATO 1.10.1 Determínese la integral general de y = x.( y' )2 + ( y' )2 .

SOLUCIÓN La ecuación es de Lagrange, pues puede expresarse y = x. g( y' ) + h( y'  ). Haciendo y' = p, resulta: y = x. p2 + p2

( I)

Derivamos respecto de "x" los dos miembros de (I): dy dp dp = p2 + x.(2.p). + 2.p. ⇒ dx dx dx dy /dx = p dp dp dp dp + 2.p. ⇒ 1 = p + 2.x. + 2. ⇒ dx dx dx dx dp 2.(x + 1) ⇒ 2.(x + 1). = 1 − p ⇒ dx = ⇒ dx dp 1− p ⇒ dx − x. 2 = 2 (II) dp 1− p 1− p

⇒ p = p2 + 2.x.p.

La ecuación (II) es lineal de primer orden si consideramos que "p" es la variable independiente y "x" la dependiente. Como la solución general de la ecuación dx + x . M (p) = N( p) dp es x = N( p). e z M( p). dp . dp + K . e − z M( p).dp

dz 

i

si M( p) = −2 y N( p) = 2 , resulta ser: 1− p 1− p

F z  2 . e − z 2.dp/(1− p) . dx + KI . e z 2.dp/(1− p) = H  1 − p K  = F z  2 . e 2.Ln (1− p) . dp + KI . e −2.Ln (1− p) = H  1 − p K  = F z  2 .(1 − p)2 . dp + KI .  1 2 = H  1 − p K  (1 − p) = c z 2.(1 − p). dp + K h.  1 2 = (1 − p) = c −(1 − p)2 + K h. 1 = K  − 1 (1 − p)2 (1 − p)2

x=

La integral general es

F G H 

I J  K 

K  − 1 . p2 + p2 x = K  − 1 ; y = (1 − p)2 (1 − p)2 79

FONEMATO 1.10.2 Determínese la integral general de y = 2. x. y'+( y' )2 .

SOLUCIÓN La ecuación es de Lagrange, pues puede expresarse y = x. g( y' ) + h( y'  ). Haciendo y' = p, resulta: y = 2. x. p + p2

( I)

Derivamos respecto de "x" los dos miembros de (I): dy dp dp = 2.p + 2.x. + (2.p). ⇒ dx dx dx dy/dx = p dp dp ⇒ p = 2.p + 2.x. + 2.p. ⇒ dx dx dp ⇒ ( 2.x + 2.p ) . = − p ⇒ dx 2.x + 2.p ⇒ dx = − ⇒ dp p ⇒ dx + x. 2 = −2 (II) dp p La ecuación (II) es lineal de primer orden si consideramos que "p" es la variable independiente y "x" la dependiente. Como la solución general de la ecuación dx + M( p). x = N( p) dp es x = N( p). e z M( p). dp . dp + K . e − z M( p).dp

dz 

i

siendo M( p) = 2/p y N( p) = − 2 , es: x=

( ∫ −2.e ∫ 2.dp/ p .dx + K ) .e−∫ 2.dp/ p =

= ( ∫ − 2.e 2.Ln p .dp + K ) .e−2.Ln p =

(

)p

= ( ∫ −2.p2 .dp + K ) . 12 = K − 2 .p3 . 12 p

3

La integral general es

x = K − 2 . p3 . 1 ; y = 2. K − 2 . p3 . 1 + p2 3 3 p p2

e

j

e

j

80

FONEMATO 1.10.3 Determínese la integral general de y = 2. x. y'+(1/ y' ) .

SOLUCIÓN La ecuación es de Lagrange, pues puede expresarse y = x. g( y' ) + h( y' ). Haciendo y' = p, resulta: y = 2. x . p + (1/p)

( I)

Derivamos respecto de "x" los dos miembros de (I): dy dp dp = 2.p + 2.x. − 12 . ⇒ dx dx p dx dy/dx = p

⇒ p = 2.p + 2.x.

dp 1 dp − . ⇒ dx p2 dx

⎛ ⎞ dp ⇒ ⎜ 2.x − 12 ⎟ . = −p ⇒ p ⎠ dx ⎝ 1 − 2.x.p 2 dx ⇒ = ⇒ 3 dp p ⇒ dx + x. 2 = 1 (II) dp p p3

La ecuación (II) es lineal de primer orden si consideramos que "p" es la variable independiente y "x" la dependiente. Como la solución general de la ecuación dx + M( p). x = N( p) dp es x = N( p). e z M( p). dp . dp + K . e − z M( p).dp

dz 

i

siendo M(p ) = 2/p y N( p) = 1/p3 , es:

F G 1 . e z 2.dp/p . dx + KI J . e z −2.dp/p = H z p3 K  F  I  = G z  13 . e 2.Ln p . dp + K J . e −2.Ln p = H  p K  dp F  I  = G z 13 . p2 . dp + K J .  12 = F z  + K I . 12 = H  p K  p H  p K  p x=

= La integral general es x=

K + Ln p p2

K + Ln p K + Ln p 1 ; y = 2. + p p p2

81

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