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INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD

LUIS ANTONIO CERVANTES ORTEGA RAFAEL EDUARDO PEDROZA MANGA MIGUEL ÁNGEL SEGURA GAZCÓN RAFAEL RICARDO VERLÁSQUEZ HERNÁNDEZ

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA CARTAGENA - BOLIVAR 2013

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TABLA DE CONTENIDO Pág. 1. Reseña histórica de la teoría de probabilidad……………………….... 2

2. Axiomas relacionados con la teoría de la probabilidad…………… 2 3. Sucesos o eventos …………………………………………………………………. 4 4. Teoremas relacionados con la teoría de la probabilidad………... 5 5. Reglas de la teoría de probabilidad………………………………………… 7 6. Terminología de uso frecuente en probabilidad…………………….. 8 7. Espacio muestral……………………………………………………………………. 8 8. Operaciones con sucesos o eventos………………………………………. 9 9. Eventos disjuntos ………………………………………………………………….. 11 10. Eventos estadísticamente independientes……………………………. 12 11. Probabilidad marginal…………………………………………………………… 13 12. Probabilidad conjunta…………………………………………………………… 13 13.Probabilidad condicional……………………………………………………….. 14 14. La regla de bayes………………………………………………………………….. 14 15. Técnicas de conteo……………………………………………………………….. 15 16. Ejercicios de aplicación…………………………………………………………. 17

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RESEÑA HISTÓRICA DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD El concepto de la probabilidad y el azar siempre ha estado en la mente del ser humano ejemplo de esto tenemos a los Sumerios y Asirios que utilizaban un hueso extraído de animales como ovejas llamado astrágalo o talus el cual tallaban para que pudieran caer en cuatro posiciones distintas; los egipcios, en algunas pinturas encontradas en las tumbas de los faraones muestran tanto astrágalos como tableros para el registro de los resultados; los romanos practicaba juegos de dados. La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar; Después de esto Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance. Durante el siglo XVIII, debido a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Por eso en 1713se crea el teorema de Bernoulli y la distribución binomial además en 1738 se ve el primer caso particular estudiado por De Moivre el cual fue llamado teorema central del límite. En 1809 Gauss inició el estudio de la teoría de errores la cual en 1810 Laplace continuo y completó el desarrollo de esta teoría; dos años después Pierre Laplace publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar. En el siglo XIX un fraile, Gregor Mendel creo su obra, La matemática de la Herencia la cual fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales. A comiensos del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov la definió la probabilidad de forma axiomática estableciendo las bases para la moderna teoría de la probabilidad.

AXIOMAS RELACIONADOS CON LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD En 1933 Kolmogórov formulo los axiomas de probabilidad que son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. “Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas”

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Primer axioma La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.

( )

Segundo axioma ( )

La probabilidad del total Ω es igual a 1 es decir: Tenemos es rultado x1

Tercer axioma Si A1,A2,…… son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:

(

)

∑ ( )

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

SUCESOS O EVENTOS Evento o suceso, es un subconjunto de un espacio muestral o un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Los sucesos o eventos son resultados que se dan o que se pueden dar en un experimento. Los sucesos son un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Hay diferentes tipos de sucesos: 

Suceso elemental: que es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento además Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero, cero, no definidas o cualquier combinación de estas.



Un suceso compuesto es un subconjunto

4

.

 

Los sucesos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama también evento seguro o cierto, y al segundo, evento imposible. Sucesos excluyentes son dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos.

Propiedades Dados dos eventos

y

, entonces:



El evento

ocurre si



El evento

ocurre si por lo menos ocurre

y

ocurren a la vez. ,

o ambos.

TEOREMAS RELACIONADOS CON LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Teorema (Probabilidad compuesta)

Sea

una colección de sucesos aleatorios. Entonces:

Esto lo podemos ver en:

Figura 1

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Ya que

Y

Teorema (Probabilidad total) Sea

un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Entonces

Esto lo podemos ver en:

Figura 2

Teorema (Bayes)

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Sea

un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Sea

suceso del que conocemos todas las cantidades denominamos verosimilitudes. Entonces se verifica:

,

un

, a las que

REGLAS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD Regla de la adición La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B.

Regla de la multiplicación La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes.

Regla de Laplace La regla de Laplace establece que:

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  

La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0. La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1. Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.  La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así: P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles Esto significa que, probabilidad es igual al número de casos favorables sobre o dividido el número de resultados total de resultados posibles.

TERMINOLOGÍA DE USO FRECUENTE EN PROBABILIDAD        

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar. Espacio maestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio Punto maestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento maestral Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muéstrales Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultáneamente. Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio maestral Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

ESPACIO MUESTRAL Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

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Tipos De Espacios Muestral Tipo Discretos

Definición Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es finito o infinito numerable. Es aquel cuyo espacio muestral es discreto.

Espacio Probabilístico discreto Espacio Probabilístico Discreto Equiprobable



Su espacio muestral es finito de tamaño n.



La probabilidad de cualquier suceso elemental E es

, de aquí se deduce que para todo suceso A la probabilidad es

Espacio Probabilistico Finito



Su espacio muestral es discreto finito.



Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen.

Espacio Probabilistico Infinito Contable

Aquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es infinito incontable

Continuos

OPERACIONES CON SUCESOS O EVENTOS Inclusión e igualdad de sucesos Un suceso está incluido (o contenido) en otro suceso si todo suceso elemental perteneciente a , pertenece también a . Esta inclusión se representa por .

Dos sucesos Ocurre que:

y

son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. y . Se representa por:

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Unión de sucesos Si tenemos dos sucesos y de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de y al suceso que se realiza cuando lo hacen o . Se representa por .

Intersección de sucesos La intersección de dos eventos A y B es el evento formado por los sucesos comunes de A y B. La representación de estos sucesos se realiza de la siguiente manera: A ∩ B, y se representa gráficamente como lo podemos apreciar en la figura 3:

Figura 3

Sucesos contrarios Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el suceso imposible (conjunto vacío), decimos que ambos sucesos son complementarios o contrarios.

Para un suceso cualquiera de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso al suceso que se verifica cuando no se verifica , y viceversa. Se representa por .

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En cualquier espacio muestral, obtenido de la realización de un experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las propiedades más significativas de los sucesos contrarios son:

Donde representa el suceso seguro, compuesto por todos los sucesos elementales del espacio muestral.

Suceso complementario. Dado un suceso cualquiera A, se llama suceso complementario al formado por todos aquellos sucesos elementales que no están en A y se nota por Ac. Si en el experimento "lanzar un dado" se define el suceso A = "salir un múltiplo de tres" A={3,6}, entonces Ac = {1,2,4,5}.

De la definición de suceso complementario se deduce inmediatamente que: - A U Ac = - A Ac = Ø

EVENTOS DISJUNTOS Dos sucesos o eventos son disjuntos cuando entre los dos no hay ningún elemento en común; es decir la intersección de los dos es igual al sujeto vacío. En la figura 4 podemos apreciar dos eventos disjuntos:

Figura 4

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EVENTOS ESTADISTICAMENTE INDEPENDIENTES Si tenemos dos eventos A y B con probabilidades positivas, en general la probabilidad condicional del evento B dado un evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Pero si tenemos la siguiente igualdad: P(B/A) = P(B) nos da a entender que el evento B es independiente del evento A. Ósea hecho de que ocurra o no el evento A no implica o afecta al evento B. Para esto tenemos dos proposiciones:

Proposición 1: Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B. Demostrando: (

( | )

) ( )

Si se despeja tenemos

( | )

Y (

)

(

) ( )

( | ) ( )

Como el evento B es independiente del evento A tenemos:

(1) tenemos: ( Por lo tanto,

)

( | ) ( )

( | ) ( )

( | ) ( ) (1) ( | )

( ) al sustituir en

( ) ( )

( ) ( ), de donde

( | )

( ).

Esto nos indica que el evento A es totalmente independiente del evento B.

Proposición 2: A y B son independientes si y sólo si

(

)

Demostrando: Si A y B son independientes tenemos:

( | )

( )

( | )

( ) (2)

Tomando la definición de probabilidad condicional obtenemos la ecuación (3)

(

)

( | ) ( )

( | ) ( ) (3)

Si sustituimos (2) en (3) tenemos:

(

)

( ) ( )

( ) ( ) por tanto:

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( ) ( )

( | ) ( | )

(

)

( ) ( ) ( )

( )

)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ( )

Con lo que se concluye que el evento A es independiente del evento B y B es independiente del evento A.

PROBABILIDAD MARGINAL Considerese dos eventos Aj y Bj la probabilidad marginal de un evento Bj es igual a la suma de probabilidades conjuntas del evento Bj y los eventos Aj , la suma se realiza sobre los eventos Aj. Tambien puede hallarse la probabilidad marginal de un evento Aj, ésta sería igual a la suma de probabilidades conjuntas del evento Aj y los eventos Bj , la suma se realiza sobre los eventos Bj. Representando lo dicho anteriormente a través de fórmulas tenemos:

Ai: P(Ai)=Ʃj=1nP(Ai∩Bj)

y

Bi: P(Bi)=Ʃj=1nP(Bi∩Aj)

respectivamente.

PROBABILIDAD CONJUNTA La probabilidad conjunta se considera como la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos. Se tiene la expresión

( | )

( | )

(

) ( )

despejando ( | ) tenemos:

( ) ( | ) a esta expresión se le conoce como la Ley de multiplicación de

probabilidades.

A (

) se le conoce como probabilidad conjunta, la cual indica la probabilidad que se

encuentren resultados comunes entre los eventos A y B.

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PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de que ocurra un evento B cuando sabemos que un evento A ocurrió, es conocida como probabilidad condicional y se representa con el símbolo

( | ).

Se puede realizar la lectura de este simbolo como “la probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A” ó “la probabilidad de B dado A”. Esta probabilidad se define como:

( | )

(

) ( )

( )

LA REGLA DE BAYES La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió primero dado lo que ocurrió después. Para llegar a establecer tan útil regla vamos a estudiar una proposición previa.

Proposición 3.8: Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S, esto es

AiÇ Aj = Æ , y . Entonces para cualquier evento B se tiene que: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + ¼ + P(Ak)P(B/Ak)

Demostración: Considérese el siguiente diagrama

P(B) = P(BÇ S) = P[BÇ (A1 È A2 È ¼ È Ak )] = P[(BÇ A1)È (BÇ A2)È ¼ È (BÇ Ak )] (unión de eventos mutuamente excluyentes) = P(BÇ A1) + P(BÇ A2) +¼ +P(BÇ Ak) (por el axioma 3)

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= P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ ¼ +P(Ak)P(B/Ak) (por ecuación [3.3])

=

TÉCNICAS DE CONTEO Si un evento puede suceder o realizarse de n maneras diferentes y si, continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse de n1 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el numero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1*n2*n3

Notación Factorial El producto de números enteros positivos desde 1 hasta n se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y lo denotaremos por el símbolo n!

( ( ( ( (

) )

)( ) )(

) ) (

(

) ( (

)( )

)

(

) )

Permutaciones Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Una ordenación de numero r de dichos objetos r