Introduccion a La Fisica Cuantica

February 17, 2017 | Author: Dairo AC | Category: N/A

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Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica, segunda parte 1.00 Joaqu´ın Retamosa Granado(*)

´ Alvaro Tejero Cantero(**)

Pablo Ruiz M´ uzquiz(***) 23 de mayo de 2002

alqua.com, la red en estudio

*

[email protected] [email protected] *** [email protected] **

Ayuda a mantener el proyecto alqua (http://alqua.com)

Índice general 1. Pre´ ambulo te´ orico 1.1. Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias . . . . . . . . . . . 1.2.1. Teor´ıa de perturbaciones: caso no degenerado . . . 1.2.2. Teor´ıa de perturbaciones: caso degenerado . . . . . 1.3. Método variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Método variacional en un sistema de dos part´ıculas 1.3.3. Aplicación del método al átomo de hidrógeno . . . 1.4. Suma de momentos angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Energ´ıas en cm−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Cantidades u ´tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Estructura fina del ´ atomo de Hidr´ ogeno 2.1. Experimentos que condujeron al esp´ın . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Interacción con el campo magnético: el hamiltoniano . 2.1.2. Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Experimento Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . 2.2. Introducción del esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Propiedades del esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Determinaci´ © on de gs y s ª . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. La base E, L2 , S2 , J2 , Jz . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Estructura fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Corrección relativista a la energ´ıa cinética: V T . . . . 2.3.2. Interacción esp´ın-órbita: V s−o . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Término de Darwin: V D . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Correción total a la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. El efecto Zeeman anómalo . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Reglas de selección en transiciones electromagnéticas. 2.4. Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Part´ıculas id´ enticas 79 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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Índice general . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Sistemas con pocos electrones 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2. Atomo de Helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Hamiltoniano no relativista para el He . . . . . . . . 4.2.2. Aproximación de part´ıcula independiente . . . . . . 4.2.3. Efectos de la repulsión electrón-electrón . . . . . . . 4.2.4. Aplicación del método variacional . . . . . . . . . . 4.2.5. Reglas de selección: Orto y Parahelio . . . . . . . . . 4.3. La molécula de H2+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Introducción: la aproximación de Born-Oppenheimer 4.3.2. Niveles electrónicos del ión H2+ . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Enlace covalente vs. enlace iónico . . . . . . . . . . . 4.3.4. El movimiento de los n´ ucleos . . . . . . . . . . . . . 4.3.5. Tipos básicos de moléculas . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Introducci´ on a la f´ısica estad´ıstica: distribuci´ on de Maxwell-Boltzmann 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. F´ısica estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Hipótesis ergódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Equilibrio en f´ısica estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Definición estad´ıstica de entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Paso a la Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Distribución de Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. El parámetro β y el equilibrio térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. El gas ideal clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6. 3.7.

4

3.1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . 3.1.2. Part´ıculas cl´ asicas . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Part´ıculas cuánticas . . . . . . . . . . . . Sistemas de dos part´ıculas idénticas . . . . . . . 3.2.1. Afirmación fuerte . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Afirmación débil . . . . . . . . . . . . . . Caso general. Postulado de simetrización . . . . . Zoolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Part´ıculas fundamentales . . . . . . . . . 3.4.2. Part´ıculas compuestas . . . . . . . . . . . Antisimetrización de funciones de onda producto Repulsión efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . .

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Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

Índice general 5.9. Entrop´ıa y primer principio 5.10. Problemas . . . . . . . . . . 5.10.1. Enunciados . . . . . 5.10.2. Algunas soluciones .

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6. Estad´ısticas Cu´ anticas 6.1. Indistinguibilidad y estad´ıstica . . . . . . . 6.2. Distribución de Fermi-Dirac . . . . . . . . 6.2.1. Distribución de FD a T = 0 . . . . 6.3. El gas ideal en la esFD . . . . . . . . . . . . 6.3.1. El n´ ucleo como gas ideal . . . . . . . 6.4. Sistema de bosones: BE . . . . . . . . . . . 6.5. El cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. El l´ımite clásico de las estad´ısticas cuánticas 6.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . .

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7. Transiciones electromagn´ eticas 7.1. Teor´ıa fenomenológica de transiciones . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Transiciones espontáneas e inducidas . . . . . . . . . 7.1.3. Transiciones en presencia de un campo de radiación 7.2. Análisis cuántico de los fenómenos de transición . . . . . . . 7.2.1. Expresión de la probabilidad de transición . . . . . . 7.2.2. Llega la perturbación: radiación electromagnética . . 7.2.3. La aproximación dipolar eléctrica . . . . . . . . . . . 7.2.4. Relación entre las prediciones cuánticas y las clásicas 7.3. Reglas de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A. Manifiesto de alqua B. GNU Free Documentation License B.1. Applicability and Definitions . . . . . B.2. Verbatim Copying . . . . . . . . . . . B.3. Copying in Quantity . . . . . . . . . . B.4. Modifications . . . . . . . . . . . . . . B.5. Combining Documents . . . . . . . . . B.6. Collections of Documents . . . . . . . B.7. Aggregation With Independent Works B.8. Translation . . . . . . . . . . . . . . .

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Índice general B.9. Termination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 B.10.Future Revisions of This License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 C. Comentario a la bibliograf´ıa.

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Bibliograf´ıa

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Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

Descripci´ on del documento Este libro se rige por la licencia GNU GFDL 1.1. Dado que alqua mantiene actualizado este documento en http://alqua.com/IFC2 puedes visitar periódicamente esa dirección con objeto de disponer de la versión más actual. Un equipo de editores se encarga del ´ mantenimiento del documento: Joaqu´ın Retamosa Granado ([email protected]), Alvaro Tejero Cantero ([email protected]), Pablo Ruiz M´ uzquiz ([email protected]).

Copyright ´ c 2000, 2002. Joaqu´ın Retamosa Granado, Alvaro Copyright (°) Tejero Cantero, Pablo Ruiz M´ uzquiz. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with the Invariant Sections being ”Manifiesto de alqua”, with the FrontCover texts being ”Ayuda a mantener el proyecto alqua (http://alqua.com)”, and with no BackCover Texts. A copy of the license is included in the section entitled ”GNU Free Documentation License”.

Ficha bibliogr´ afica Descripci´ on Un segundo curso de f´ısica cuántica, dirigido a introducir los sistemas con pocos electrones, las transiciones electromagnéticas y la f´ısica estad´ıstica cuántica. Contiene ejercicios resueltos. Requisitos ´ Algebra y cálculo de primero de carrera. Una introducción a la f´ısica cuántica que cubra el átomo de hidrógeno.. Palabras clave Método variacional, perturbaciones, transiciones electromagnéticas, reglas de selección, part´ıculas idénticas, zeeman, darwin, esp´ın órbita, molécula, helio, maxwellboltzmann, estad´ıstica, bose-einstein, fermi-dirac, cuerpo negro, bosones, fermiones. Clasificaci´ on

udc:539.1.

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Índice general Ubicaci´ on en la red En la dirección http://alqua.com/IFC2 podrás encontrar la versión más reciente de este documento y, si lo deseas, apuntarte para recibir notificaciones de nuevas versiones. Caracter´ısticas contenido intro. cap´ıtulos, ejemplos, comentario bib., ejercicios, ejercicios resueltos, comentario not.. figuras descritas. indexado normal. colaboraci´ on cvs. estructura micro, matemáticas, secciones. referencias intratextuales, bibliográficas, ecuaciones.

Historia Las siguientes tareas merecen atención, a juicio de los editores y autores: Mejorar la visibilidad del texto en las figuras. Homogeneizar el tratamiento notacional de los operadores. Incorporar una buena explicación del concepto de masa reducida. Explicar el cálculo del hamiltoniano de una part´ıcula en un campo magnético. Explicar detalladamente en qué situaciones es ventajoso considerar un conjunto de part´ıculas idénticas como una sola entidad a efe3ctos de interacción. He aqu´ı los cambios más importantes sufridos por el documento. La versión indica cambios de contenido, mientras que la generación alude al grado de terminación del documento. Para saber más sobre las terminaciones, visita la ubicación en la red del documento. ver. 1.00

23 de mayo de 2002

A˜ nadidas referencias a la bibliograf´ıa para numerosas figuras ausentes –JRG. Comentarios a la bibliograf´ıa –JRG, ATC. Mejoras generalizadas en el documento –JRG y PRM. Retoques en la sección de abreviaturas y convenios –ATC.

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Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

Índice general Movido el cap´ıtulo de transiciones electromagnéticas al final. –ATC Cambio notacional, para adecuarse a lo indicado en ”Abreviaturas y Convenios”. La reescritura ha topado con algunas dificultades que han de salvarse en próximas versiones. –JRG ver. 0.01

2 de junio de 2000

Primera versión p´ ublica –JRG y ATC. Agradecemos las notas del primer cap´ıtulo a Teresa Marrodán Undagoitia. Agradecemos la colaboración en las figuras de Cristina Borrero del Pino.

http://alqua.com/IFC2

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Índice general

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Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

Abreviaturas y convenios Abreviaturas ecS

ecuaci´ on de Schr¨ odinger

esMB

estad´ıstica Boltzmann

ecD

ecuaci´ on de Dirac

ecO

ecuaci´ on de ondas

ecM

de

Maxwell-

esBE

estad´ıstica de Bose–Einstein

ecuaciones de Maxwell

esFD

estad´ıstica de Fermi–Dirac

CG

coeficientes Clebsch-Gordan

sr

sistema de referencia

exSG

experimento Stern-Gerlach

CM

centro de masas

Unidades y terminolog´ıa Se utilizará de modo preferente el sistema cgs. Atención a las constantes en las ecuaciones del electromagnetismo. estacionaria se dice de una magnitud que es constante en el tiempo (con derivada parcial respecto al tiempo nula). homog´ enea se dice de una magnitud que no es función de punto (las derivadas parciales respecto a coordenadas espaciales son nulas).

Notaci´ on Operadores En modo matemático LATEX (y por tanto LYX) utiliza por defecto n´ umeros tipo Roman mientras qye los caracteres son tipo Italic. Para caracterizar las magnitudes f´ısicas escalares utilizaremos letras de tipo Italic, en cursiva. Ejemplos son la distancia al origen r, la frecuencia ω o la energ´ıa E. Las magnitudes vectoriales vendrán escritas en Roman negrita como, por ejemplo, B y p que son respectivamente la inducción magnética y el momento lineal. Para los operadores se utilizarán letras Roman (r, H respectivamente el operador asociado a la coordenada radial y el hamiltoniano) excepto si son operadores vectoriales en los que emplearemos letras rectas y sencillas mediante la font Sans Serif (L, p, r son el momento angular orbital, el momento lineal y el operador asociado al vector de posición).

11

Índice general En el cuadro 0.2 situamos juntas para su comparación algunas magnitudes f´ısicas y el observable asociado.

Magnitud Posición Distancia M. lineal M. angular Energ´ıa S´ımbolo Mag. r r p L H S´ımbolo Oper. r r p L H Cuadro 0.2: Notaci´ on para operadores.

Nota: la aplicación de este convenio notacional condujo a algunos conflictos, por lo que no es completa a lo largo del documento.

Aproximaciones, igualdades formales Haremos dos tipos de cálculos aproximados: De precisión “orden de magnitud” (s´ımbolo ≈). Estos cálculos pueden ser inexactos hasta en un orden de magnitud. Cálculos más finos, pero, por supuesto y como muchas veces en f´ısica, no totalmente precisos (para ellos utilizaremos el s´ımbolo '). . Por otra parte, el s´ımbolo = se utilizará para denotar igualdades formales, es decir, igualdades que no deben entenderse matemáticamente del modo convencional estricto (porque no tendr´ıan sentido). Un ejemplo de esto lo constituye la regla mnemotécnica del producto . vectorial que lo “iguala” (en el sentido de =) a un determinante, algunos de cuyos elementos son escalares y otros de los cuales son vectores.

Clasificaci´ on de los problemas Es conveniente saber cuál es el propósito de cada problema y sobre qué puntos merece la pena incidir a la hora del estudio de la resolución de problemas. Por eso se han clasificado los ejercicios utilizando los siguientes códigos. [T]

Problema de naturaleza teorica que complementa las clases de teor´ıa.

[TS]

Problema teórico suplementario.

[A]

Problema de aplicación de la teor´ıa.

[X*]

Los problemas marcados con un asterisco presentan una mayor dificultad.

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Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1 Pre´ ambulo te´ orico 1.1.

Postulados

Primer postulado El estado de un sistema f´ısico viene caracterizado por una función de onda ψ(r)(1) , definida en el espacio de posiciones, que es de cuadrado sumable. Es decir, su norma al cuadrado Z 2 N 2 (ψ) = dr |ψ(r)| , es una cantidad positiva y finita. La interpretación de Born de la mecánica cuántica asocia a la cantidad |ψ(r)| N 2 (ψ) la interpretación de una densidad de probabilidad de la part´ıcula en la posición dada por r. Podr´ıamos restringir el espacio de funciones de manera que la norma N = 1, o de forma que sólo contuviese funciones tipo C α . Sin embargo desde el punto de vista del desarrollo del formalismo no suponen una gran simplificación de modo que leventaremos estas restricciones. Si introducimos el producto escalar de dos funciones φ y ψ como Z hφ|ψi = drφ∗ (r)ψ(r), el espacio funcional anterior es un espacio de Hilbert F que satisface las siguientes propiedades: 1. Todas las propiedades de un espacio lineal de dimensión finita con producto escalar en él. 2. Completitud y Separabilidad. Definimos un conjunto ortonormal y completo de funciones {φ1 , φ2 , · · · φi , · · · }(2) , que no pertenece necesariamente al espacio de Hilbert, y que verifica 1 Para

simplificar el formalismo admitiremos que el sistema consta de una sola part´ıcula que se trata de un conjunto numerable para poder simplifcar el formalismo

2 Considero

13

1 Preámbulo teórico R 1. hφi |φj i = drφ∗i (r)φj (r) = δij P P ∗ 2. φi (r)φ∗i (r0 ) = φi (r)φi (r0 ) = δ(r − r0 ) Cualquier función de onda puede escribirse entonces como Z ψ(r) =

dr0 δ(r − r0 )ψ(r0 ) =

X

Z φi (r)

dr0 φ∗i (r0 )ψ(r0 ) =

X

hφi |ψi φi (r) =

X

ci φi (r),

y su norma es Z N 2 (ψ) =

¯X ¯2 X X X 2 ¯ ¯ dr ¯ ci φi ¯ = ci cj hφi |φj i = |ci | i

Estos resultados tienen un gran valor ya que nos indican que cualquier función de onda de nuestro espacio F puede caracterizarse por un conjunto de valores (en este caso los coeficientes ci ) diferentes a los valores de la función de onda en los distintos puntos r del espacio. No es de extra˜ nar que se piense en los elementos del espacio F más como vectores abstractos que como funciones. Por ello, en los sucesivo llamaremos a F espacio de estados y representaré a sus elementos en numerosas ocasiones con la notación de Dirac |ψi. Segundo postulado A toda magnitud f´ısica medible O le corresponde un cierto operador O que act´ ua sobre los estados del espacio F. El operador asociado O debe satisfacer dos propiedades esencialemente: 1. Es autoadjunto 2. Sus vectores propios constituyen un sistema ortonormal completo que permite desarrollar cualquier función de onda. Un operador que satisface estas propiedades se dice que es un observable. Tercer postulado El resultado de cualquier operación de medida de la magnitud O es uno de los valores propios del operador O correspondiente. Cuarto postulado (principio de descomposici´ on espectral) Supongamos que el observable O tiene un espectro discreto y no degenerado. Si denotamos los autovalores y autovectores de O por Oi y |vi i respectivamente tenemos O |vi i = Oi 6=

14

Oi |vi i ←− discreto Oj i 6= j ←− no degenerado

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.1 Postulados Los autovectores |vi i constituyen una base ortonormal en la que podemos desarrollar cualquier estado ∞ X |ψi = ci |vi i i=1

Entonces, la probabilidad de que una medida de la magnitud O dé como resultado el autovalor Oi es 2

2

P (Oi ) =

|hvi |ψi| |ci | = hψ|ψi hψ|ψi

Si la norma hψ|ψi = 1 entonces la expresión toma la forma particular 2

2

P (Oi ) = |ci | = |hvi |ψi|

Un hecho de extraordinaria importancia es que toda medida sobre un sistema tiene carácter destructivo y altera profundamente la estructura del estado que caracteriza al sistema. Se produce la llamada reducci´ on del paquete de ondas: independientemente de cuál fuera el estado previo, a partir del momento inmediatamente posterior a una medida con resultado Oi el estado del sistema es |vi i, el autovector correspondiente al autovalor medido. Ejemplo |ri caracteriza a una part´ıcula que se encuentra en la posición dada por el vector r, es decir son autoestados del operador posición r |ri = r |ri , y constituyen una base ortonormal generalizada, esto es 0 R hr|r i dr |ri hr|

= =

δ(r − r0 ) 1

Si el sistema se encuentra en un estado normalizado |ψi, la amplitud de probabilidad de encontrar la part´ıcula en la posición r, es decir la función de onda ψ(r), vendrá dada por ψ(r) = hr|ψi , y podremos escribir Z |ψi =

Z dr |ri hr|ψi =

drψ(r) |ri .

expresion en la que se observa que las componentes del vector de estado en la base |ri son precisamente los valores de la función de onda en los distintos puntos del espacio. Analogamente |pi representa el estado de una part´ıcula con momento bien definido, o formalmente

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15

1 Preámbulo teórico

p |pi = p |pi . Estos estados también constituyen una base ortonormal y por tanto tenemos que 0 R hp|p i dp |pi hp|

= =

δ(p − p0 ) 1

La amplitud de probabilidad de encontrar la part´ıcula con momento p si el estado normalizado del sistema es |ψi viene dada por φ(p) = hp|ψi , es decir, la función de onda en el espacio de momentos es la proyección del estado del sistema sobre el bra hp|. También podemos escribir Z Z |ψi = dr |pi hp|ψi = drφ(r) |pi . Quinto postulado (evoluci´ on en el tiempo) La evolución del estado del sistema esta gobernada por la ecuación de Schr¨ odinger H |ψ(t)i = i~

∂ |ψ(t)i ∂t

Consideremos, a modo de ejemplo, dos casos particulares en los que la evolución temporal es muy distinta. 1. Si el estado |ψ(t)i del sistema posee energ´ıa bien definida (es autoestado de H) entonces H |ψ(t)i = E |ψ(t)i y la solución a la ecuación de Schr¨ odinger viene trivialmente dada por E

|ψ(t)i = e−i ~ t |φi donde |φi es independiente del tiempo y al igual que |ψ(t)i satisface H |φi = E |φi que es la denominada Ecuación de schr¨ odinger independiente del tiempo. Por tanto la evolución temporal de un estado de energ´ıa bien definida es trivial, ya que toma la forma de una fase. 2. Vamos a considerar ahora un caso distinto. Para simplificar, admitiremos que el espacio de estados tiene dimension 2 y que una base del mismo está formada por los estados independientes del tiempo |φ1 i , |φ2 i. Podr´ıa (solo podr´ıa) tratarse de los

16

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.1 Postulados ci 1 0.8 0.6 0.4 0.2 5

10

15

20

t

Figura 1.1: Valor de los coeficientes en funci´ on del tiempo

autoestados de un cierto H. Entonces el vector |ψ (t)i que define el estado del sistema siempre puede descomponerse como |ψ (t)i = c1 (t) |φ1 i + c2 (t) |φ2 i 2

2

donde |c1 (t)| + |c2 (t)| = 1 si el estado está conveneientemente normalizado. Supongamos que en el instante inicial t = 0 |ψ (0)i = |φ1 i; entonces para t = 0 se tiene c1 (0) = 1 y c2 (0) = 0. A medida que t crece los valores de los coeficientes evolucionaran (más o menos) como se muestra en la figura 1.1. La probabilidad de que al efectuar una medida en un instante posterior t se encuentre en el el estado 2 viene dada por 2 2 P1→2 (t) = |c2 (t)| = |hφ2 |ψ(t)i| en donde simplemente hemos utilizado el postulado 4. Ya que el sistema se encontraba inicialmente en el estado 1, esta expresión también se conoce como probabilidad de transici´ on del estado 1 al 2 en el intervalo de tiempo t. Consideremos un n´ umero enorme N de sistemas que sólo poseen dos estados que denotaremos como 1 y 2, tales que E1 > E2 . Supongamos que realizamos un experimento en el que en el instante t = 0 de tiempo los N sistemas se hallan en el estado 1. A medida que el tiempo transcurre algunos sistemas transicionan al segundo estado. Llamemos n(t) al n´ umero de sistemas que se encuentran en 2 justo en el instante de tiempo t. Normalmente los dispositivos experimentales que se dise˜ nan para medir n(t) lo que hacen es detectar y contar las part´ıculas que se emiten en las transiciones desde 1 a 2 (si E1 < E2 se absorber´ıan part´ıculas). Habitualmente por cada sistema que transiciona se emite una sóla part´ıcula. Por ejemplo si se trata de transiciones de tipo electromagnético dichas part´ıculas son fotones. Desde tiempos históricos se sabe que la función n(t) satisface n(t) = λt, y por tanto

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17

1 Preámbulo teórico

n(t) λ dP1→2 (t) = t −→ = λ, N N dt es decir, que la probabilidad de transición por unidad de tiempo es una constante. P1→2 (t) =

Reglas de correspondencia Al actuar sobre la función de ondas en el espacio de posiciones asociamos a los vectores r, p, dados en coordenadas cartesianas, los siguientes operadores r p

=⇒ =⇒

r p = −i~∇

Es conveniente recordar ahora la definición exacta de momento lienal. Si L es el lagrangiano del sistema, el momento lineal de la part´ıcula viene dado por p=

∂L ∂v

En sistemas sencillos donde el potencial no depende de las velocidades, momento lineal p y cantidad de movimiento mv coinciden. Sin embargo pueden existir diferencia apreciables en sistemas más complejos Ejemplo Cuando la part´ıcula interacciona con un campo electromagnético externo caracterizado por sus potenciales escalar y vector, el momento lineal no coincide con mv, y viene dado por q p = mv + A c ya que el lagrangiano de este sistema es de la forma L=

1 q mv 2 + v · A + qφ 2 c

donde φ y A son el potencial escalar y vector respectivamente. El hamiltoniano correspondiente a L es 2

(mv) 1 mv 2 + qφ = + qφ, 2 2m y teniendo en cuenta que mv = p − qc A toma la forma 1 ³ q ´2 H= p − A + qφ 2m c H =p×v−L=

Queremos insistir finalmente en que es el momento lineal el que lleva asociado el operador−i~∇ y no la cantidad de movimiento, salvo que ambos coincidan. Por el contrario es la cantidad de movimiento mv = p − qc A la que aparece en el hamiltoniano.(3) . Aplicando las reglas de correspondencia tenemos 3 Para

el resto del curso conviene fijarse muy bien en el signo entre p y confusiones derivadas del hecho de que la carga del electr´ on es q = −e.

18

q A, c

porque a veces se producen

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias

H→H=

1.2.

´2 1 ³ q ´2 1 ³ q p − A + qφ = −i~∇ − A(r, t) + qφ(r, t) 2m c 2m c

Teor´ıa de perturbaciones estacionarias

En esta sección, as´ı como en la siguiente, vamos a introducir métodos para obtener de forma aproximada los estados propios y autoenerg´ıas de la ecuación de Schr¨ odinger independiente del tiempo. Este tipo de desarrollos son muy importantes porque, en general, no resulta posible resolver de forma exacta la ecuación de Schr¨ odinger. Supongamos que el hamiltoniano del sistema puede escribirse como H = H0 + λW donde H0 es el hamiltoniano no perturbado cuyas autoenerg´ıas y vectores propios son bien conocidos H0 |ni = εn |ni Puesto que H0 es un observable sus vectores propios forman un conjunto ortonormal completo, esto es = Phn|mi |ni hn| =

δnm 1

El segundo término del hamiltoniano es lo que llamamos la perturbación (de H0 ). En un problema f´ısico concreto el parámetro λ toma un valor determinado en ciertas unidades. Ahora, para desarrollar el método, admitiremos que es un parámetro libre. El problema que queremos resolver es la ecS independiente del tiempo correspondiente a H, H |ψn i = En |ψn i

(1.1)

Proponemos una solución en forma de serie de potencias del parámetro λ ¯ ¯ ¯ E E E ¯ (0) ¯ (1) ¯ (2) |ψn i = ¯ψn + λ ¯ψn + λ2 ¯ψn + . . . (0)

(1)

(2)

En = En + λEn + λ2 En

(1.2)

La idea que subyace en este método es que en aquellos problemas concretos donde λ toma un valor muy peque˜ no podremos truncar el desarrollo y quedarnos sólo con sus primeros términos. Desde un punto de vista más amplio, aunque los primeros términos del desarrollo nos porporcionen valores razanables, no está garantizado que las series anteriores converjan. Introduciendo las soluciones 1.2 en nuestra ecuación de partida tenemos ¯ ¯ h¯ E E E i h i h¯ E i ¯ ¯ ¯ ¯ (H0 + λW) ¯ψn(0) + λ ¯ψn(1) + λ2 ¯ψn(2) + . . . = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + . . . ¯ψn(0) + . . . ,

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19

1 Preámbulo teórico e identificando en esta igualdad los términos de igual orden en λ obtenemos ¯ ¯ ³ ´¯ E ³ ´¯ E E E ¯ ¯ ¯ ¯ H0 − En(0) ¯ψn(k) = En(1) − W ¯ψn(k−1) + En(2) ¯ψn(k−2) + En(3) ¯ψn(k−3) + . . . As´ı, para los valores de k mas peque˜ nos resultan las siguientes igualdades k=0

k=1

k=2

´¯ E ¯ H0 − En(0) ¯ψn(0) = 0

(1.3)

´¯ E ³ ´¯ E ¯ ¯ H0 − En(0) ¯ψn(1) = En(1) − W ¯ψn(0)

(1.4)

¯ E E ´¯ ´¯ E ³ ¯ ¯ ¯ H0 − En(0) ¯ψn(2) = En(1) − W ¯ψn(1) + En(2) ¯ψn(0)

(1.5)

³

³

³

Vamos a introducir ahora el convenio de la normalizaci´ on intermedia que se utiliza bastante en teor´ıa de perturbaciones y consiste en imponer D E (0) (0) ψn |ψn = 1 E D (0) = 1 ψn |ψn A partir del desarrollo previo (véase 1.2) tendremos E E D E D E D D ψn(0) |ψn = 1 =⇒ ψn(0) |ψn(0) + λ ψn(0) |ψnm(1 + λ2 ψn(0) |ψn(2) + . . . = 1, E D (0) (0) = 1, entonces y como ψn |ψn D E D E λ ψn(0) |ψnm(1 + λ2 ψn(0) |ψn(2) + . . . = 0 con λ libre lo que nos deja el siguiente conjunto de igualdades E D ψn(0) |ψn(k) = 0 k ≥ 1 ¯ ® ´ Estas nos indican que las sucesivas correcciones ¯ψ (k) , k ≥ 1, que vamos a˜ nadiendo a la (0) función de onda de orden cero ψ , son independientes de la misma.

1.2.1.

Teor´ıa de perturbaciones: caso no degenerado

En este caso tenemos que εn

6=

εm n 6= m

y por lo tanto a cada autovalor le corresponde un u ńico autovector.

20

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias (0)

Volviendo a ?? concluimos que En correspondiente. Por lo tanto

(0)

es autovalor de H0 y que ψn

E (0) ¯ nE ¯ (0) ¯ψn

=

εn

=

|ni

es el autoestado

¯ E ¯ (0) Si el espectro fuese degenerado ¯ψn ser´ıa en general una combinación lineal de todos los autoestados |ni asociados al mismo autovalor. Dado que ¯ losE autoestados de H0 forman una base del espacio de estados siempre podemos ¯ (1) expresar ¯ψn como ¯ E X ¯ (1) am |mi , = ¯ψ n m

y usando la normalización intermedia E D E D n|ψn(1) = ψn(0) |ψn(1) = 0 =⇒ an = 0 con lo que

¯ E X ¯ (1) = am |mi ¯ψ n m6=n

Vamos ahora a proyectar ?? sobre un bra hk| lo que da ¯ E D ¯³ ´¯ E D ¯ P ¯ ¯ (1) ¯ (0) ¯ k ¯En − W¯ n = En(1) δkn − hk |W| ni , ¯ m am = m6=n k ¯ H0 − En y en consecuencia (εk − εn ) ak = En(1) δkn − hk |W| ni ∀k, n Es conveniente distinguir los dos casos siguientes k=n 0=

(1)

En − hn |W| ni =⇒

(1)

En = hn |W| ni

k 6= n (εk − εn ) ak hk |W| ni =⇒ ak = − εk − εn ¯ E X ¯ =⇒ ¯ψn(1) = ak |ki k6=n

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= hk |W| ni =⇒ hk |W| ni = =⇒ εn − εk X hk |W| ni = εn − εk k6=n

21

1 Preámbulo teórico Por lo tanto el caso k = n nos proporciona la corrección de orden 1 (en λ) a la energ´ıa y el segundo caso nos da la expresión de la función de onda hasta primer orden |ψn i = |ni +

X hk |W| ni |ki + · · · εn − εk

k6=n

Nuestro siguiente paso consistirá en obtener la corrección de orden 2 a la energ´ıa del estado. Para ello consideramos la ecuación ?? y la proyectamos sobre hn| ¯ E D E D D E D ¯ E ¯ ¯ n ¯H0 − En(0) ¯ ψn(2) = En(1) n|ψn(1) − n |W| ψ (1) + En(2) n|ψn(0) , y como ¯ E D ¯ ¯ (0) ¯ (2) = n ¯H0 − En ¯ ψn D E (1) (1) En n|ψn

³

(0)

´D

εn − En

(2)

E

n|ψn

=0

=

0

podemos despejar trivialmente

=

En(2)

=

D E n |W| ψn(1) =

X hn |W| ki hk |W| ni εn − εk

=

X |hk |W| ni|2 εn − εk

k6=n

k6=n

En resumen, las expresiones aproximadas que hemos obtenido para la energ´ıa y la funci´ on de onda son En

=

εn + hn |λW| ni +

X |hk |λW| ni|2 + ... εn − εk

k6=n

|ψn i =

X hk |λW | ni |ni + |ki + . . . εn − εk k6=n

Si las correcciones que vamos obteniendo son peque˜ nas puede tener sentido retener sólo los primeros términos. Para ello será necesario que |hn |λW| ni| ¿ |hk |λW| ni| ¿

1.2.2.

εn |εn − εk |

Teor´ıa de perturbaciones: caso degenerado

Tal y como puede observarse, las ecuaciones anteriores no son válidas cuando εn = εm , n 6= m. Incluso cuando εn ' εm el desarrollo puede tener problemas de convergencia. Sin embargo, el sistema de ecuaciones ??, ?? y ?? sigue siendo válido y, en particular, la propia (0) asignación En = εn .

22

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias Lo que ya no es necesariamente válido es la identificación de los autoestados debido a que ahora n no identifica un solo autovector sino un conjunto de ellos. Por eso cambiaremos la notación como sigue H |n, ri = εn |n.ri r = 1, 2, . . . d donde el nuevo ´ındice r diferencia entre estados con la misma energ´ıa . Las soluciones perturbativas expresadas como un desarrollo en serie son ahora ¯ ¯ ¯ E E E ¯ (0) ¯ (1) ¯ (2) |ψn,r i = ¯ψn,r + λ ¯ψn,r + λ2 ¯ψn,r + . . . (1.6) (0) (1) (2) En,r = En,r + λEn,r + λ2 En,r + · · · ya que cada nivel n puede desdoblarse en d estados al introducir la perturbación. La forma más general de los d autoestados de orden cero correspondientes al nivel n es d ¯ E X ¯ (0) αrs0 |n.s0 i ¯ψn,r =

r = 1, 2, . . . , d

s0 =1

Los coeficientes αrs0 no pueden ser cualesquiera sino que vienen fijados por la perturbación. En efecto, proyectando ?? sobre los estados hn, s| , s = 1, 2, . . . , d ¯ ¯ D E ¯ ¯ (1) n, s ¯H0 − En(0) ¯ ψn,r = 0

=

D

³ É (1) (0) n, s| En,r − W ψn,r ¯ ¯ E XD ¯ (1) ¯ n, s ¯En,r − W¯ n, s0 αrs0 s0

que queda finalmente reducido a d X

(1) αrs, hn, s |W | n, s0 i αrs = En,r

r, s ∈ {1, . . . , d}

s0 =1

o {

z

}| hn, 1 |W | n, 1i hn, 1 |W | n, 2i   hn, 2 |W | n, 1i hn, 2 |W | n, 2i    

..

.

 αr1     αr2    αrd hn, d |W | n, di





 αr1     = En,r  α2     αrd

Esta ecuación de autovalores nos proporciona las d energ´ıas en que se separa el nivel n y los d conjuntos de coeficientes {αrs , s = 1 . . . d} que definen los correspondientes autovectores. Como casi todos los sistemas f´ısicos tienen niveles degenerados podr´ıa parecer que siempre hay que utilizar teor´ıa de perturbaciones degenerada y resolver la ecuación anterior. En ocasiones la matriz hn, r |W | n, si es diagonal en los estados |n, ri y entonces podemos recuperar la expresión del caso no degenerado a orden 1.

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23

1 Preámbulo teórico Si hnr |W | nsi ∝ δrs entonces  hn, 1 |W | n, 1i  hn, 2 |W | n, 2i   



..

.

  αr1 αr1   α2   αr2   = En      αrd αrd hn, d |W | n, di

   

y nos queda E (1) = ¯ nrE ¯ (0) = ¯ψn,r

hn, r |W| n.ri

r = 1...d

|n, ri

En los casos de aplicación de la teor´ıa de perturbaciones en este curso se dará habitualmente esta situación por lo que utilizaremos teor´ıa de perturbaciones no degenerada. Ejemplo: perturbación cuadrática en x del oscilador armónico Consideremos una part´ıcula de masa m que realiza un movimiento unidimensional sometida al hamiltoniano p2 1 1 1 H= + mω 2 x2 + λmω 2 x2 = H0 + λmω 2 x2 2m 2 2 2 que es la suma de un oscilador m´ as un término cuadr´ atico en x. El objetivo de este ejemplo es calcular las autoenerg´ıas de este hamiltoniano de dos formas diferentes. Recordemos que los autovalores de H0 son 1 En0 = ~ω n + 2

1. Primero procederemos al cálculo de los nuevos autovalores de forma exacta. Para ello observamos que H = H0 +

1 p2 1 p2 1 λmω 2 x2 = + mω 2 (1 + λ) x2 = + mω 02 x2 2 2m 2 2m 2

√ donde ω 0 = ω 1 + λ. Por lo tanto podemos escribir que

En = ~ ω 0 n +

1 2

= ~ω n +

1 2

1+

λ λ2 − + ... 2 8

2. Como estrategia alternativa procederemos utilizando teor´ıa de perturbaciones. Introducimos los operadores de aniquilaci´ on A y de destrucci´ on A+ definidos como sigue A = (2m~ω)− 2 (mωx + ip) 1 A+ = (2m~ω)− 2 (mωx − ip) 1

que poseen conmutador A, A+ = 1. Se introduce también el operador n´ umero N = A+ A cuyos autovalores son simplemente los n´ umeros naturales N |ni = n |ni , n = 0, 1, 2, ...

24

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias El hamiltoniano no perturbado se expresa en funci´ on de este nuevo operador como

H0 = ~ω N + de manera que

H0 |ni = ~ω N +

1 2

1 2

|ni = ~ω n +

1 2

|ni

Algunas propiedades de los autoestados de N son

a) ortogonalidad hn|n0 i = δnn0 √ b) aniquilación A |ni = n |n − 1i √ c) creación A+ |ni = n + 1 |n + 1i d ) φ(0) n = Hn (x) = hx|ni Expresando W en términos de los operadores de creaci´ on y aniquilaci´ on resulta W=

2 2 1 1 1 mω 2 x2 = ~ω A + A+ = ~ω A2 + A+ + 2N + 1 2 4 4

Las energ´ıas aproximadas (hasta segundo orden en λ ) se escriben En = En0 + λ hn |W| ni + λ2

X |hn0 |W| ni|2 n6=n0

En0 − En0 0

Los u ńicos elementos de matriz no nulos de la perturbaci´ on son hn |W| ni hn |W| n + 2i

= =

hn |W| n − 2i

=

1 4 1 4

1 4

~ω hn |2N + 1| ni ~Dω n A2 n + 2 E

~ω

2

n A+ n − 2

= = =

1 4

~ω(2n + 1) ~ω[(n + 1)(n + 2)]1/2 1 ~ω[n(n − 1)]1/2 4 1 4

Verifiquemos expl´ıcitamente el primero de ellos p

2 √ n A n = hn |AA| ni = n hn |A| n − 1i = n (n − 1) hn|n − 2i D 2 E n A+ n

hn |2N + 1| ni = (2n + 1) hn|ni

=

0

=

0

=

2n + 1

Substituyendo en la expresi´ on superior llegamos a En = En0 + λ

~ω (2n + 1) + λ2 (~ω)2 (n + 1)(n + 2) + 4

16

0 En0 − En+2

n(n + 1) 0 En0 − En−2

0 y teniendo en cuenta que En0 − En±2 = ∓2~ω, obtenemos nuevamente

En = ~ ω n +

1 2

1+

λ λ2 − + ... 2 8

Ejemplo: Teor´ıa de perturbaciones (no degenerada) en un sistema de dos niveles

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25

1 Preámbulo teórico Admitamos que el hamiltoniano del sistema, H, tiene la siguiente forma: H = H0 + λW donde H0 es tal que conocemos sus autoenerg´ıas y autoestados

E

(0)

H 0 φ i

E (0) φ i

(0)

= Ei

Para reducir el formalismo a un m´ınimo admitiremos que on 2 y n el espacio Eo de estados tiene dimensi´ (0) por tanto el ´ındice anterior toma valores i = 1, 2 . Como φi es una base de autofunciones i=1,2

ortonormales, se verifican las siguientes relaciones D

(0)

(0)

φ1 |φ1

E

D

(0)

(0)

= φ2 |φ2 D

(0)

(0)

φ1 |φ2

E E

=

1

=

0

El objetivo que perseguimos es resolver la ecS correspondiente al hamiltoniano completo H |φi = E |φi cuando λ ¿ 1 (perturbaci´ on peque˜ na ). Cualesquiera que sean los autoestados exactos |φi, podemos desarrollarlos como |φi = α1 |φ1 i + α2 |φ2 i Sustituyendo esta expresi´ on en la ecS tenemos H |φi

(0)

E

=

β1 φ1

=

E |φi

=

Eα1 φ1

(0)

(0)

+ β 2 φ 2 E

E

(0)

+ Eα2 φ2

E D

(0)

D

(0)

Podemos poner los coeficientes β en funci´ on de los α. Proyectando sobre φ1 y por φ2 para aprovechar las relaciones de ortogonalidad se obtiene, respectivamente D D

E

(0)

φ1 |H| φ

=

β1

(0) φ2

=

β2

E

|H| φ

Luego β1

= =

β2 D

D D

E

(0)

φ1 |H| φ

(0)

D

(0)

(0)

(0)

α1 φ1 |H| φ1

=

α1 φ2 |H| φ1

(0)

D

(0)

D

(0)

(0)

=

Si al elemento de matriz φi |H| φj (0)

E

E E

E

(0)

+ α2 φ2 D

EE

(0)

(0)

+ α2 φ1 |H| φ2 D

(0)

(0)

+ φ2 |H| φ2

E

E

lo llamamos Hij tenemos una matriz 2 × 2 que cumple (0)

H21 = φ2 |H| φ1

26

φ1 |H| α1 φ1

E

D

(0) (0) = φ1 H+ φ2

E∗

∗ = H12

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias por ser H herm´ıtico (H = H+ ). As´ı, las ecuaciones anteriores que expresan los β en funci´ on de los α se escriben de forma m´ as compacta:

o bien

β1

=

α1 H11 + α2 H12 = Eα1

β2

=

α1 H21 + α2 H22 = Eα2

H11 H21

H12 H22

α1 α2

!

α1 =E α2

!

Los autovalores de esta matriz se obtienen a partir de la f´ ormula 0

s

1 E = @H11 + H22 ± |H11 − H22 | 2

1

4 |H12 |2 A 1+ (H11 − H22 )2

(1.7)

Vamos a proceder a calcular los diferentes términos de esta expresi´ on de la energ´ıa para el hamiltoniano perturbado en funci´ on de los datos del problema, es decir, de la perturbaci´ E on λW , del (0) (0) hamiltoniano no perturbado y de las energ´ıas y autofunciones de éste, Ei y φi respectivamente.

H11

=

H22

=

H12

=

D

(0)

E

(0)

φ1 |H0 + λW| φ1

D

(0)

(0)

(0)

= E1 + λ φ1 |W| φ1

E

(0)

= E1 + λW11

(0)

E2 + λW22 D

(0)

(0)

φ1 |H0 + λW| φ2

E

= λW12

D

(0)

(0)

la u ´ltima igualdad se verifica en virtud de φ1 |H0 | φ2 4 |H12 |2 (H11 − H22 )2

=

=

'

h

E

= 0. Ahora necesitamos el término

4λ2 |W12 |2 (0)

(0)

E1 − E2 + λ (W11 − W22 )2

4λ2 |W12 |2 (0)

(0)

2

2

(0)

(0)

E1 − E2

4λ |W12 | E1 − E2

i2 12

0 2 @

1 11 −W22 1 + λ W(0) (0)

E1

A

−E2

2

Donde la u ´ ltima expresi´ ermino de un desarrollo en serie cuya exactitud depen on es el primer t´ (0) (0) de de que E1 − E2 À λ |W11 − W22 |, por lo que no puede haber degeneraci´ on. La ra´ız la desarrollamos: s 1+

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4 |H12 |2 2λ2 |W12 |2 3 =1+ 2 + o λ H11 − H22 (0) (0) E1 − E2

27

1 Preámbulo teórico alqua.com/figuras

Figura 1.2: Tres niveles de energ´ıa por debajo del 0 y un continuo de ellos por encima. Si enchufamos todo esto en la ecuaci´ on 1.7 E1

=

H11 +

E2

=

H22 +

λ2 |W12 |2 (0) − E1 λ |W12 |2 (0) (0) E2 − E1 (0) E2 2

|W21 |2

(0)

+ O λ3 = E1 + λW11 + λ2

(0)

+ O λ3 = E2 + λW22 +

(0) − E2 |W12 |2 λ2 (0) (0) E2 − E1 (0) E1

+ O λ3 + O λ3

o, por ejemplo, para la primera autoenerg´ıa: (0)

D

(0)

(0)

E1 = E1 + φ1 |λW| φ1

1.3.

M´ etodo variacional

1.3.1.

Descripci´ on

E

+

D E 2 (0) (0) φ2 |λW| φ1 (0)

(0)

E1 − E2

+ O(λ3 )

El objetivo que perseguimos en esta sección es el cálculo (aproximado) de las energ´ıas y autofunciones del espectro discreto, y en particular del estado fundamental del sistema, que supondremos no degenerado. Denotemos por E1 a su energ´ıa, que es la más baja del sistema, y por |φ1 i al estado correspondiente. El método variacional se basa en un teorema debido a Ritz que afirma: Sea H un operador herm´ıtico con espectro discreto y acotado inferiormente. Si introducimos el funcional E E : |ψi ∈ F → E [ψ] =

hψ |H| ψi hψ|ψi

entonces E [ψ] ≥ E1 ∀ |ψi ∈ F, E[ψ] = E1 sys |ψi = |φ1 i La minimización del funcional anterior o, para ser más precisos, la busqueda de los extremos del mismo conduce a una solución formal que nos indica que dichos extremos locales corresponden a estados |ψi que son autoestados de |Hi. En otras palabras, la minimizaci´ on formal nos conduce a la ecS.

28

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.3 Método variacional

Figura 1.3: Esquema de un espacio de Hilbert

Este resultado, aunque teóricamente muy elegante, no es de gran ayuda si no sabemos resolver la ecS. En tanto y cuanto deseemos buscar soluciones aproximadas de la misma conviene proceder de otra forma. En concreto, escogemos, basandonos en argumentos de tipo f´ısico, una familia de estados (de prueba) |ψp (b)i y calculamos el funcional E correspondiente a estas funciones. En esta u ´ltima expresión b representa un conjunto de parámetros de los que dependen las funciones de prueba. Por supuesto, que esta familia no cubre completamente el espacio de estados (ver 1.3), pero basta que contenga el m´ınimo absoluto para que el método funcione. Cuando nos restringimos a nuestras funciones de prueba hψ (b) |H| ψ (b)i E [ψ (b)] = =⇒ E [b] hψ (b) |ψ (b)i el funcional se reduce simplemente a una funci´ on de los parámetros b.

1.3.2.

M´ etodo variacional en un sistema de dos part´ıculas

Sea un sistema de dos part´ıculas de masas m1 , m2 cuyas posiciones en un sr fijo son r1 , r2 y cuyo hamiltoniano se escribe como H=

p21 p2 + 2 + V (|r1 − r2 |) 2m1 2m2

Se consigue una simplificación notable del problema realizando el siguiente cambio de variables m1 r1 + m2 r2 m1 r1 + m2 r2 ˙ R= = −→ P = M R m1 + m2 M r = r2 − r1 −→ p = m˙r m1 m2 M

siendo m = la masa reducida del sistema. Tras el cambio de coordenadas el hamiltoniano queda reducido a H=

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P2 p2 + + V (|r|) 2M 2m

29

1 Preámbulo teórico De esta forma hemos reducido un problema de dos part´ıculas en interacción en dos problemas de una sóla part´ıcula. Una de ellas, con coordenada R , es una part´ıcula libre y la otra cuya coordenada es r < >el potencial V . En el sistema de referencia inercial asociado al CM se cumple que P = 0, con lo cual el hamiltoniano queda reducido a H=

p2 + V (r) r = |r| 2m

Hasta ahora todo son cantidades clásicas. Para construir el operador asociado aplicamos las reglas de correspondencia de Schr¨ odinger p −→ p = −i~∇r r −→ r = r de forma que H −→ H = − Substituyendo ∇2 =

1 ∂2 r ∂r 2 r

−

L2 ~2 r2

~2 2 ∇ + V (r) 2m

tenemos que

H=−

~2 1 ∂ 2 L2 r + + V (r) 2m r ∂r2 2mr2

Cuando se resuelve el problema de autovalores correspondiente a este hamiltoniano se encuentra que las funciones de onda de los estados ligados del espectro discreto son φnlm = φnlm (r, θ, ϕ) = Rnl (r) Yml (Ω) donde Rnl es la función radial y los armónicos esféricos Yml que obtenemos son los autoestados del momento angular orbital y cumplen L2 Yml Lz Yml Z ³ 0 ´∗ dΩ Yml 0 Yml

= =

~2 l (l + 1) Yml ~mYml

=

δll0 δmm0

De los casos simples que ya conocemos (átomo de hidrógeno, oscilador tridimensional. . . ) parece deducirse que el estado fundamental siempre posee l = 0, y en consecuencia una función de onda Rn0 (r) φn00 (r) = √ 4π ya que Y00 = √14π . Dado que estamos interesados en buscar aproximaciones al estado fundamental, podemos proponer funciones de prueba que sólo dependan de la coordenada radial, esto es φ = φ (r) ,

30

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.3 Método variacional y entonces el funcional de la energ´ıa será R E [φ] =

1.3.3.

drφ∗ (r) Hφ (r) = R 2 dr |φ (r)|

R

n 2 o ~ 1 d2 dr · r2 φ∗ (r) − 2m φ (r) r dr 2 r + V R 2 dr · r2 |φ(r)|

Aplicaci´ on del m´ etodo al ´ atomo de hidr´ ogeno

Apliquemos estas expresiones al ejemplo t´ıpico de sistema a dos cuerpos: el átomo de H1 . En este caso m=

me mπ me +mπ

≈ me es la masa reducida

2

V (r) = − er

Conviene introducir la variable adimensional ρ =

r a0 ,

a0 =

~2 me2

' 0,5A

As´ı el funcional se escribe E [φ] =

EI

R

o n ~2 1 d2 e2 1 φ(ρ) dρρ2 φ∗ (ρ) − 2ma 2 ρ dρ2 + − a ρ 0 0 R 2 dρρ2 |φ(ρ)|

Ahora bien 1 me4 ~2 = = EI , 2 2ma0 2 ~2 y me4 e2 = 2 = 2EI a0 ~ con lo cual llegamos a la forma final del funcional n 2 o R d 2 dρρ2 φ∗ (ρ) ρ1 dρ φ(ρ) 2 + ρ E [φ] = −EI R 2 2 dρρ |φ(ρ)| Ya estamos en disposición de proponer una forma para las funciones de prueba para lo cual acudimos, como siempre, a argumentos f´ısicos. De los distintos ejemplos ya conocidos parece deducirse que en el caso de potenciales que decaen a cero muy suavemente las función de onda tienen la forma asintótica φ(ρ) → e−bρ , ρ → ∞. Precisamente por ello es razonable proponer funciones de prueba que tengan la forma de un polinomio por la exponencial anterior. En el caso que nos ocupa investigaremos la función más sencilla posible, que es la propia exponencial.

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31

1 Preámbulo teórico E 15 12.5 10 7.5 5 2.5 -2

2

4

b

Figura 1.4: E [b]

φ (b, ρ) = e−bρ . Para obtener la función de la energ´ıa E(b) debemos calcular primero las siguientes integrales µ

Z dρ ρ2 e−2bρ =

1 2b

¶3 Z

∞

x2 e−x dx =

0

Γ(3) 1 = 3, 8b3 4b

donde hemos efectuado el cambio de variable x = 2bρ y los l´ımites de integración son antes como después del cambio. Además hemos tenido en cuenta que Γ (p) = R0, ∞ tanto dx xp−1 e−x = (p − 1)!. Por su parte la integral que aparece en el numerador es ½ ¾ Z Z © ª d2 2 b−2 dρρ2 e−bρ − 2 − e−bρ = dρ (2b − 2) ρe−2bρ − b2 ρ2 e−2bρ = . . . = , dρ ρ 4b2 donde se ha utilizado el mismo cambio de variable x = 2bρ. Finalmente llegamos a la siguiente expresión E [b] = EI

b−2 4b2 1 4b3

= b2 − 2b

Ahora sólo tenemos que minimizar E[b] respecto a b. El u ńico m´ınimo se obtiene para b = 1 y el valor de la función en el mismo es E [1] = −EI ' −13,6eV . La función de onda, que no está normalizada, es φEF = e−ρ . Como puede observarse los resultados obtenidos coinciden con los que se obtienen al resolver directamente la ecS. Ello es debido a que la familia de funciones propuestas contiene el verdadero estado fundamental. Es conveniente estudiar otras propiedades además de la energ´ıa para valorar la exactitud del la solución. Vamos a calcular, por ejemplo, el tama˜ no del átomo. Para estimarlo usaremos el radio cuadrático medio (la ra´ız cuadrada del valor medio del cuadrado de la distancia electrón–n´ ucleo) p rqm = hr2 i ,

32

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.4 Suma de momentos angulares utilizando la función de onda que hemos obtenido, es decir, φ(1, r): R R 2® dr φ∗ r2 φ dρ ρ4 e−2ρ Γ (5) 2 R = a = a20 r = R = 3a20 0 ∗ 2 −2ρ 4Γ (3) dr φ φ dρ ρ e As´ı el radio cuadrático medio vale rqm =

p

hr2 i =

√

3a0

valor que es bastante razonable (el máximo de la función de onda para b = 1 está precisamente en a0 ). En este caso la familia de funciones de prueba da lugar a un valor de la energ´ıa y del tama˜ no del átomo que son adecuados, pero podr´ıamos encontrar funciones de prueba que reproduciendo muy bien la energ´ıa proporcionen valores desastrosos para otras magnitudes. ρ Utilizemos, por ejemplo, φ(b, ρ) = ρ2 +b 2 E [b] = cuyo m´ınimo ocurre en b =

π 4

π − 8b EI, 2πb2

lo que implica que la energ´ıa del estado fundamental vale E=−

8 EI ≈ −0,81EI . π2

Este valor tiene un error del 20 %, lo que puede ser considerado aceptable en una primera aproximación. Pero ahora viene la gran desilusión: si calculamos el rqm obtenemos Z ∞ 2® ρ4 r = a20 dρ 2 = ∞. (b2 + ρ2 ) 0 Este resultado es debido a que la función de onda no decae suficientemente deprisa cuando nos alejamos del origen. De hecho φ(ρ) → ρ1 ρ → ∞. Podemos dar la siguiente moraleja: cuando utilizamos el método variacional, no basta con calcular la energ´ıa, sino que hay que estudiar otras cantidades.

1.4.

Suma de momentos angulares(4)

El momento angular de una part´ıcula en la mecánica newtoniana es L=r∧p Es una función de las magnitudes r y p al que podemos asociar el siguiente herm´ıtico L=r∧p y aunque r y p no conmutan se verifica que L = −p ∧ r 4 El

objetivo de esta secci´ on es que se sepa que existen los CG y qu´ e tipo de estados relacionan. El libro donde mejor se habla de momento angular es el [?].

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33

1 Preámbulo teórico

Figura 1.5: La determinaci´ on completa del momento angular es accesible en la mec´ anica cl´ asica (izquierda) pero no en mec´ anica cu´ antica (derecha), donde s´ olo el m´ odulo y una componente del vector pueden ser conocidos simult´ aneamente con m´ axima exactitud.

Ejemplo Lz = rx py − ry px = − (px ry − py rx ) = − (p ∧ r)z De las propiedad de conmutación de r y p se deduce que [Lx , Ly ] [Lz , Lx ] [Ly , Lz ]

= = =

i~Lz i~Ly i~Lx

A partir de estas relaciones deducimos que las componentes del momento angular no se pueden medir simultáneamente. Sin embargo £ ¤ Lα , L2 = 0 α = x, y, z £ ¤ Probemos, por ejemplo, con Lx , L2 £ ¤ £ ¤ £ ¤ Lx , L2 = Lx , L2y + Lx , L2z = = [Lx , Ly ] Ly + Ly [Lx , Ly ] + (y ←→ z) = = i~ {Lz Ly + Ly Lz − Ly Lz − Lz Ly } = 0 En consecuencia, podemos medir simultáneamente L2 y Lz ó Ly ó Lx . Habitualmente se escoge Lz Nuestro problema de autovalores es en este caso L2 |lmi = ~2 l (l + 1) |lmi Lz |lmi = ~m |lmi hlm|l0 m0 i = δll0 δmm0

l ∈ {0, 1, 2, . . .} m ∈ {−l, −l + 1, . . . , 0, 1, . . . l} ∀l

En Mecánica Cuántica decimos que un estado posee buen momento angular si conocemos simultáneamente su módulo y una de sus componentes. Esto es, si conocemos |L| y Lα . Las otras dos componentes no toman valores bien definidos. Todo ocurre como el momento angular precediese alrededor del eje z definidendo un cono.

34

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.4 Suma de momentos angulares z Lz

L

Figura 1.6: Representaci´ on gr´ afica de L y Lz para un sistema.

Supongamos que el momento angular del sistema se puede descomponer como L = La + Lb Podemos intepretar que La,b son los momentos angulares de dos partes del sistema y admitiremos que pueden medirse simultáneamente, es decir £ ¤ Laα , Lbβ = 0 Denotaré por |la , ma ; lb mb i = |la ma i |lb mb i a los estados del sistema en los que está bien definido el módulo y la tercera componente del momento angular de cada parte L2a |la ma ; lb mb i Laz |la ma ; lb mb i hla ma lb mb |la0 m0a ; lb0 m0b i

= ~2 la (la + 1) |la ma ; lb mb i = ~mb la (la + 1) |la ma ; lb mb i = δla la0 δlb lb0 δma m0b δmb m0b

Ahora podemos interrogarnos sobre c´ ual es la información que realmente podemos obtener sobre el momento angular suma. En Mecánica Clásica donde conocemos realmente los vectores La y Lb su suma también se encuentra bien definida. En Mecánica Cuántica las cosas son mucho más complicadas. Si pensamos en la imagen geométrica sencilla de los vectores precediendo, tendr´ıamos una situación como la de la figura 1.7 en donde las u ńicas constantes del movimiento son |La | ,

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|Lb | , Laz ,

Lbz y

Lz = Laz + Lbz

35

1 Preámbulo teórico

Figura 1.7: Suma de momentos angulares en mec´ anica cu´ antica.

Para investigar de una manera más formal este problema estudiemos algunos conmutadores. Se cumple que [Lx , Ly ] = £ ¤ Lz , L2 = £ 2 2¤ La , L = sin embargo

i~Lz , . . . £ ¤ £ ¤ Lx , L2 = Ly , L2 = 0 ¤ £ 2 La , Lz = 0 (a −→ b)

£ ¤ Laz , L2 = [Laz , La · Lb ] 6= 0

Demostremos alguna de las propiedades anteriores, por ejemplo £ 2 2¤ £ 2 2 ¤ X£ 2 ¤ La , L = La , La + L2b + 2La · Lb = La , Lai Lbi = 0, i

o por ejemplo, £ 2 ¤ £ ¤ £ ¤ La , Lz = L2a , Laz + Lbz = L2a , Laz = 0. De las expresiones anteriores se deduce, que en cualquier caso, el n´ umero máximo de operadores que conmutan entre s´ı es siempre igual a 4. En concreto, tenemos {L2a ↓ |la

L az ↓ ma ;

L2b ↓ lb

Lbz } | {L2a ↓ | ↓ mb > | |la

L2b ↓ lb ;

L2 ↓ l

Lz } ↓ m>

Los elementos de una base son combinaciones lineales de los de la otra X |la ma , lb mb i = Clm |la lb lmi lm

La probabilidad de encontrar al efectuar una medida sobre el estado del primer miembro p un valor ~ l (l + 1) del momento total y un valor ~m para Lz es 2

P (l, m) = |hla lb lm|la ma lb mb i| = |Clm |

36

2

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.5 Energ´ıas en cm−1 Puede demostrarse que los coeficientes Clm son reales ∗

Clm = hla lb lm|la ma lb mb i = hla ma lb mb |la lb lmi = hla ma lb mb |la lb lmi Precisamente para recordar que Clm es este elemento de matriz se utiliza en el desarrollo anterior la notación X hla ma lb mb |lmi |la lb lmi |la ma lb mb i = lm

donde los coeficientes de mezcla reciben el nombre de coeficientes de clebsch-gordan y se demuestra que son cero excepto quizá si l m

∈ {|la − lb | , |la − lb | + 1, . . . , la + lb } = ma + mb

Por ello se suele escribir de forma explicita |la ma lb mb i =

lX a +lb

hla ma lb mb |lma + mb i |la lb lma + mb i

l=|la −lb |

La transformación inversa viene dada por los mismos coeficientes, aunque ahora se suma sobre las variables ma , mb X |la lb lmi = hla ma lb mb |lmi |la ma , lb mb i ma ,mb

siendo m = ma + mb .

1.5.

Energ´ıas en cm−1

Los experimentales utilizan en numerosas ocasiones un sistema de unidades en el que las energ´ıas vienen dadas en cm−1 . En esta sección buscaremos que relación existe entre dicho sistema de unidades y el cgs. Recordemos que ~ = 1,0545 × 10−27 erg × s = 1,0545 × 10−34 J × s en el MKS = 6,582 × 10−16 eV × s en el MKS c = 2,9979 × 1010 cm × s−1 ~c = 1973,21eV × A · ¸ ~c = [L] [E] Vamos a expresar en distintos sistemas de unidades naturales (“un”, numerados del uno al ~c (ver tabla 1.1). tres) la cantidad 1eV

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37

1 Preámbulo teórico cantidad

~c

1eV

cgs 1,973 × 10−5 cm

un 1 1 unacc×unvel unenerg

un 2 eV −1

un3 1 eV −1 2π

Cuadro 1.1: En las “un 1” (te´ orico I), ~ es la unidad natural de acci´ on, c es la unidad natural de velocidad y 1eV es la unidad natural de energ´ıa. En “un 2” (te´ orico II) ~ = 1, c = 1 y eV es la unidad natural de energ´ıa . En “un 3” (las que vamos a utilizar) h = 1 c = 1 y eV es la unidad natural de energ´ıa. alqua.com/figuras

Figura 1.8: Estructura fina de los niveles n = 2 y n=3 del hidr´ ogeno. La distancia energética entre niveles est´ a dada en cm−1 .

Tenemos, entonces, la siguiente equivalencia entre el cgs a la izquierda y un3 a la derecha 1,973 × 10−5 cm 1eV

1 eV −1 , 2π 1 ≡ cm−1 , 2π × 1,973 × 10−5 ' 8066cm−1 . ≡

Podemos hablar, por tanto, de 1eV o de 8066cm−1 seg´ un lo que nos resulte más comodo. En un experimento donde se miden las longitudes de onda de los fotones emitidos/absorbidos en transiciones entre estados puede parecer natural medir también las energ´ıas en cm−1 . En este sistema la energ´ıa de ionización del H vale EI ≈ 110000cm−1

1.6.

Cantidades u ´tiles La constante de estructura fina α =

e2 ~c

=

1 137 .

~c = 1,973 eV cm

38

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.7 Problemas y ejercicios Energ´ıa de ionizaci´ on EI = 13,6eV Radio de B¨ oHR a0 =

1.7.

~2 me2

1 me4 2 ~2

=

4

≡ 12 mc2 ~e2 c2 =

(~c)2 mc2 e2

=

~c 1 mc2 α

1 2

¡

¢ mc2 α2 =

1 2

¡

¢ 1 2 137

0,5 · 106 eV '

' 0,53 A

Problemas y ejercicios

1. Considere una part´ıcula que efect´ ua un movimiento unidimensional sometida al siguiente potencial 1 V (x) = mω 2 x2 − q²x 2 El primer término es un oscilador armónico, mientras que el segundo término representa la interacción de la part´ıcula (de carga q) con un campo eléctrico estacionario 2 y homogéneo ². Obtenga valores aproximados de la energ´ıa hasta orden (qε) . 2. Obtenga la energ´ıa del estado fundamental del hidrógeno suponiendo que el n´ ucleo es una peque˜ na esfera de radio r0 uniformemente cargada. 3. Aplique el método variacional para obtener la energ´ıa y la función de onda del estado fundamental de un oscilador armónico. 4. Deduzca la energ´ıa y la función de onda del primer estado excitado del oscilador, utilizando el método variacional. 5. Obtenga una aproximación al estado fundamental del oscilador utilizando la siguiente familia de funciones de prueba. Ψ(b, x) =

x2

1 +b

6. Un sistema se encuentra formado por dos part´ıculas que poseen momento angular bien definido y caracterizado por los n´ umeros cuánticos l1 m1 l2 m2

= 1 = 0 = 1 = 0

a) Deduzca los posibles valores de L asociado al momento angular total b) Escriba el estado anterior como una combinación lineal de estados con buen momento angular.

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39

1 Preámbulo teórico

Algunas soluciones Ejercicio 1 (perturbaci´ on de un oscilador arm´ onico mediante un campo el´ ectrico) Vamos a afrontar el problema primero utilizando la teor´ıa de perturbaciones y después aplicando un desarrollo en serie para dar una solución exacta. M´ etodo perturbativo. Las correcciones a la energ´ıa a orden uno y a orden dos son sendas integrales. Para aprovechar las condiciones de ortonormalidad sobre las funciones de onda del oscilador armónico, vamos a utilizar los operadores A y A+ , intentando expresar el operador X en función de ellos. Para ello, recordemos la expresión de A y A+ en términos de operadores conocidos A = A+

=

(2~mω)

− 21

(mωX + iP)

(2~mω)

− 12

(mωX − iP)

de donde, resolviendo el sistema para X µ ¶ 12 ¡ ¢ ~ X = A + A+ 2mω Sólo queda calcular las correcciones. La primera es D E (0) E (1) = φ(0) n |−qεX | φn ¶ 12 D µ E ¯ ¯ ~ ¯A + A+ ¯ φ(0) φ(0) = −qε n n 2mω ³D E D E´ ¯ ¯ (0) (0) ¯ + ¯ (0) = cte × φ(0) |A| φ + φ A φ n n n n Las dos integrales se anulan, porque sabemos que √ ¯¯ (0) E A |φn i = n ¯φn−1 ¯ E √ ¯ (0) A+ |φn i = n + 1 ¯φn+1 R (0) (0) y φi φj dq = δij si las autofunciones del oscilador armónico están convenientemente normalizadas. Por tanto E (1) = 0. Tendremos que a˜ nadir más términos al desarrollo. La segunda corrección a la energ´ıa supone más engorro pero ning´ un principio nuevo ¯D E¯2 ¯ (0) (0) ¯ X ¯ φj |−qεX | φn ¯ (2) E = (0) (0) En − Ej n6=j ¯D E¯2 ¯ (0) (0) ¯ + 2 X ¯ φ |A + A | φ ¯ n j ~ (qε) = (0) (0) 2mω n=j±1 En − E j

40

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

1.7 Problemas y ejercicios V 0.06

0.04

0.02

-0.02

0.02

0.04

0.06

x

Figura 1.9: La curva que pasa por el 0, 0 corresponde al potencial no perturbado.

para n = j − 1 sólo es no nula la integral con A+ como operador, y para n = j + 1 la que tiene a A como operador.  ¯D ¯D E¯2  E¯2 ¯ (0) ¯ (0) (0) ¯ (0) ¯ 2 ¯ φj |A| φj−1 ¯  ~ (qε)  ¯ φj |A| φj+1 ¯ E (2) = +   (0) (0) (0) (0) 2mω −E −E E E j+1

j

j−1

j

2

= =

(qε) (n − (n + 1)) 2mω 2 2 (qε) − 2mω 2

donde he utilizado en los denominadores la expresión de la energ´ıa del oscilador ¡ ¢ (0) arm´ onico, En = n + 21 ~ω. M´ etodo exacto. Otra forma de resolver el problema consiste en darse cuenta que V (x) = ¡ ¢ 2 2 qε 2 1 1 1 1 (qε) d . d 2 2 2 2 02 x − mω − 21 (qε) 2 2 mω x − qεx = 2 mω mω 2 = 2 mω x − 2 mω 2 Como dx = dx0 se puede escribir 2 ~2 d2 1 (qε) 2 02 H=− + mω x − 2m dx02 2 2mω 2 que no es más que el hamiltoniano de un oscilador armónico idéntico al no perturbado 2 pero cuyo origen de potenciales ha sido desplazado en − 21 (qε) mω 2 . Por tanto En

=

µ ¶ 2 1 1 (qε) ~ω n + − 2 2 mω 2

=

En0 −

2

1 (qε) 2 mω 2

Interpretaci´ on El potencial antes y después de la perturbación se encuentra representado en la figura 1.9. La caracter´ıstica esencial del oscilador armónico es que sus niveles de energ´ıa son equiespaciados. Esto se mantiene al aplicar el campo eléctrico, pero 2 nalar que el método exacto lo es todos ellos se desplazan 12 (qε) mω 2 hacia abajo. Cabe se˜ porque su validez no depende de la peque˜ nez del campo aplicado, ε. Sin embargo,

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41

1 Preámbulo teórico las fórmulas del método aproximado no ser´ıan válidas si ε fuera grande. Por otra parte, nos damos cuenta de que los términos E (3) y sucesivos se anulan, pues con un desarrollo truncado a orden 2 se obtiene la solución exacta. Finalmente, se puede decir que para cualquier perturbación que dependa de una potencia impar de X , la primera corrección a la energ´ıa es nula. ¿Por qué?.

42

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

2 Estructura fina del ´ atomo de Hidr´ ogeno Supondremos en este cap´ıtulo que en los anteriores tratamientos que ha seguido el lector se usó una ecS no relativista, asumiendo que la velocidad del electrón es despreciable frente a la de la luz. Veremos que esto no es totalmente cierto, por lo que cabe esperar la existencia de efectos relativistas apreciables. El esp´ın juega un papel importante en este problema y por ello empezaremos repasando la fenomenolog´ıa que dió lugar al descubrimiento del mismo.

2.1.

Experimentos que condujeron al esp´ın

Fueron de dos tipos esencialmente Interacción del átomo con un campo magnético B estacionario y homogéneo (efectos Zeeman y Paschen-Back, que se diferencian en la intensidad de campo aplicado y de los que estudiaremos sólo el primero). Interacción con un campo B estacionario pero con un gradiente espacial relativamente débil (experimento de Stern-Gerlach).

2.1.1.

Interacci´ on con el campo magn´ etico: el hamiltoniano

El hamiltoniano de una part´ıcula libre en un campo magn´ etico Como siempre, la clave para empezar a abordar el problema es identificar el hamiltoniano que gobierna el sistema. Empecemos por considerar la expresión de H para una part´ıcula de masa m y carga q sumergida en un campo B (no hay campo eléctrico). En el cgs H=

1 ³ q ´2 p− A 2m c

si B es homogéneo se puede escribir el potencial vector como 1 A=− r∧B 2 si tiene un peque˜ no gradiente será válido sólo aproximadamente 1 A'− r∧B 2

43

2 Estructura fina del átomo de Hidrógeno aun as´ı, lo utilizaremos. En estas condiciones H

= =

´2 1 ³ q p+ r∧B 2m 2c p2 q q2 2 + [p · (r ∧ B) + (r ∧ B) · p] + |r ∧ B| 2m 4mc 8mc2

con |r ∧ B| = Br sin θ = Br⊥ . Vamos a aplicar las relaciones del producto mixto, pero teniendo en cuenta que cuando cuantizemos H los operadores p y r no conmutan, de manera que conviene mantener el orden de los productos. p · (r ∧ B) = B · (p ∧ r) Como el momento angular es(1) L = r ∧ p.

H

= =

p2 q q2 2 − B·L + B 2 r⊥ 2m 2mc 8mc2 T + W1 + W2

Interpretaci´ on: el primer término es proporcional a B · L y se le llama paramagnético porque orienta el momento angular del sistema (favorece que L sea paralelo/antiparalelo 2 a B seg´ un el signo de q). El otro, mucho más débil, es proporcional a B 2 r⊥ y se le llama diamagnético (no tiene influencia sobre L). Simplificaci´ on del hamiltoniano La estimación de los órdenes de magnitud de los términos perturbativos W1 y W2 nos permitirá desechar el segundo con cierta tranquilidad. Para una part´ıcula de carga y masa las del electrón, |q| = e y m = me se tiene, en virtud del orden de magnitud de |L| ≈ ~ (ver ecuación de autovalores de L2 ), |hW1 i| ∝

e e~ B~ = = µB B 2me c 2me c

donde µB se conoce con el nombre de magnet´ on de Bohr y su valor en unidades cgs es µB = 9,273×10−21 ergG−1 = 5,792×10−9 eV G−1 . El orden de magnitud del B que aplicar´ıa un experimental es t´ıpicamente B f 2 = |hf |r| ii| dt ~c3 E −E

donde ωf i = i ~ f . En cualquiera de los dos casos la probabilidad de transición por unidad de tiempo es proporcional al módulo cuadrado del elemento de matriz del vector r. Si este elemento se anula la probabilidad de que ocurra la transición entre dichos estados es cero. El cálculo explicito de estos elementos de matriz entre los estados nljm del átomo de hidrógeno es extraordinariamente farragoso pero se llega a que son necesariamente cero si no se cumplen las condiciones siguientes lf ∈ {li ± 1} , jf ∈ {ji , ji ± 1} , mf ∈ {mi , mi ± 1} Podemos convencernos de que las reglas que afectan a los n´ umeros cuánticos j y m son verdad utilizando otra vez la regla de Lande. hnf lf jf mf |r| ni li ji mi i ∝ hnf lf jf mf |J| ni li ji mi i Ahora bien las componentes del operador J solo pueden conectar estados que tengan el mismo n´ umero c´ uantico j ó j ± 1 y donde los n´ umeros cuánticos m asociados a los estados inicial y final sólo pueden diferir a lo sumo en una unidad. Claro que el elemento de matriz también podr´ıa ser cero si el factor de proporcionalidad fuese cero, y es precisamente esto lo que justifica la tercera regla. En definitiva, tenemos un conjunto de condiciones que deben satisfacer los numeros cuánticos de los estados involucrados en la transición para que la probabilidad de que la misma ocurra no sea cero. A este conjunto lo llamamos reglas de selecci´ on.

2.4.

Problemas y ejercicios

2.4.1.

Enunciados

1. [A] Estudie el efecto que tiene la aplicación de un campo magnético estacionario y homogéneo B = Bk sobre las l´ıneas de emisión asociadas a la transición n = 2 → n = 1. Suponga que el electrón no posee esp´ın. 2. [A] Considere los subniveles 4f y 3d del átomo de hidrógeno en presencia de un campo magnético estacionario y homogéneo. Demuestre que en la transición de una subcapa a otra tan sólo se observan tres l´ıneas espectrales. Si el campo aplicado es de 0.5 T, ¿podremos resolverlas en un espectrómetro con resolución 10−11 m?

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2 Estructura fina del átomo de Hidrógeno 3. [A] Un haz bien colimado de átomos de hidrógeno emerge de un horno en cuyo interior ´ los átomos se encuentran en equilibrio a la temperatura T . Esta es lo suficientemente baja, de modo que todos se encuentran en el estado fundamental. El haz entra en un imán de longitud l que genera un campo B = Bk con gradiente ∂z B ortogonal al haz. Cuando sale del imán a´ un recorre una distancia horizontal l0 hasta llegar a la placa fotográfica. Demuestre que la distancia entre marcas en la placa es D=

0 µB ∂z B(l2 + 2ll ) 2kT

4. [A] Se hace pasar un haz de átomos de hidrógeno, provenientes de un horno que trabaja a una temperatura T = 400K, por un gran imán de longitud X = 1m. El gradiente caracter´ıstico del imán es de 10 Tesla/m. Calcule la deflexión transversal de un átomo del haz justo en el momento en que abandona el imán. 5. [A] Determine el gradiente de campo del imán de un Stern--Gerlach de unos 50cm de longitud, que es capaz de producir 1mm de separación entre las dos componentes de una haz de hidrógeno proveniente de un horno a 960o C. 6. [A] Verifique la relación A = − 12 r ∧ B en el caso de un campo B = (0, 0, B). 7. [T*] Supongamos que una part´ıcula de carga q y masa m se mueve en una órbita circular de radio r. Su desplazamiento sobre la órbita es equivalente a una corriente eléctrica. Determine la relación que existe entre el momento magnético asociado a dicha corriente y el momento angular de la part´ıcula. 8. [T] Demuestre que los estados |lsjmi son autoestados de L2 y S2 . 9. [T*] Demuestre que la corrección a la energ´ıa causada por V T es, a primer orden de teor´ıa de perturbaciones: 2

∆E T = −

(Zα) 0 En n2

µ

3 n − 4 l + 21

¶

10. [T] Verifique para l = 0 que la suma de las tres correciones ∆E T + ∆E s−o + ∆E D da lugar a la expresión dada en la teor´ıa. 11. Estudie el efecto de los términos de estructura fina en la transición n = 2 → n = 1. 12. [TS*] Justifique que el hamiltoniano asociado a una part´ıcula de masa m y carga q, en interacción con un campo electromagnético externo, viene dado por H=

70

1 ³ q ´2 P − A + qφ 2m c

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

2.4 Problemas y ejercicios

Figura 2.11: Diagrama de niveles de 3d y 4f sin considerar el esp´ın del electr´ on.

2.4.2.

Algunas soluciones

Problema 2 Al aplicar el campo la situación será aproximadamente la que se muestra en la figura Vemos en el diagrama cuales son las transiciones permitidas en virtud de las reglas de selección. Como mucho, de uno de los estados de n = 4 puede haber 3 transiciones a estados del nivel n = 3. En efecto, desde un estado puedo acceder |43mi −→ |32m + ∆mi con ∆m = 0, ±1. Como en presencia de un campo B los estados anteriores poseen energ´ıas diferentes los fotones emitidos están caracterizados por diferentes longitudes de onda. Las energ´ıas de los fotones emitidos son µ ¶ µ ¶ EI EI ∆Em,∆m = − 2 + µB Bm − − 2 + µB B (m + ∆m) 4 3 7 = EI − µB B∆m 144 Las energ´ıas de los fotones son una constante más un término que depende de la diferencia del n´ umero m entre el estado inicial y el final. Puesto que ∆m puede tomar a lo sumo, 3 valores, observaremos, a lo sumo, 3 fotones diferentes. Como las energ´ıas dependen de ∆m vamos a etiquetar las longitudes de onda de los fotones correspondientes como λ∆m . λ∆m = π

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~c hc = 2π 7 ∆E∆m E − µB B∆m 144 I

71

2 Estructura fina del átomo de Hidrógeno

Figura 2.12: El dibujo del problema. Al eje a lo largo del cual se monta el experimento lo llamaremos y. El vertical es z y hacia fuera del papel viene x.

el término en ∆m en el denominador es muy peque˜ no as´ı que está justificado hacer un desarrollo en serie: µ ¶ 2π~ 1 288 ~c 144µB B∆m λ∆m = 7 ≈ 1 + µB Bm 7 EI 7EI 144 EI 1 − 7EI 144

Calculamos la diferencia entre las longitudes de onda de un fotón y otro en valor absoluto (porque no sabemos cuál es mayor). µ ¶ 288π ~c 144µB B |λ1 − λ0 | = 7 EI 7EI µ ¶2 144 = 2π~c µB B 7EI haciendo n´ umeros |λ1 − λ0 | = 0,82A > 0,1A por lo tanto la diferencia entre las longitudes de onda de uno y otro es claramente detectable usando el espectrómetro a nuestra disposición. Problema 3 Velocidad de salida de los átomos v = vy j fuerza que act´ ua sobre ellos Fz = −gs µB ∂z Bms puede tomar dos valores, seg´ un sea ms = ± 12 . A esa fuerza pueden corresponder las aceleraciones Fz Fz µB az = = =± ∂z B M mπ + me 2M el desplazamiento respecto a la horizontal, a la salida del imán, es d± =

72

µ B ∂z B 2 1 2 az t = ± t 2 4M

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

2.4 Problemas y ejercicios

Figura 2.13:

el tiempo de vuelo dentro del imán es t =

dn dvy

[vy ]

l vy

d± = ±

µB ∂z B l2 4M vy2

∂z B l fuera del imán el movimiento será rectil´ıneo, con vz = az t = µBM on vy . La separaci´ vertical del punto de salida del imán, en el punto de impacto, será

d0± = vz t0 =

µB ∂z B ll0 M vy2

finalmente, D+ = d+ + d0+ y D− = d− + d0− y D = D+ − D− . Lo que distingue este problema de uno de primer curso es que 1. Hay que saber la expresión para la fuerza cuantizada 2. Para estimar la vy hay que conocer la distribución de velocidades de MB. La velocidad más probable (mp) dentro del horno es r vy |mp =

2kT M

de ah´ı que D=

¢ µ B ∂z B ¡ 2 l + 2ll0 2kT

corresponda a la mancha más intensa, aunque es verdad que estará rodeada de manchas que se deben a la dispersión de velocidades de los átomos en el horno. Sabemos que en el experimento de verdad hay una extensión seg´ un el eje x de la mancha, debido al peque˜ no ∂x B que es inevitable.

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2 Estructura fina del átomo de Hidrógeno

Figura 2.14: La espira est´ a en el plano xy; el momento de la cantidad de movimiento y el momento magnético son colineales con el vector k.

Problema 4 Utilizamos la expresión obtenida en el problema anterior ∂z B kT D

T m = 3,452 × 10−2 eV = 0,84cm = 10

El exSG cabe en una mesa de escritorio, puesto que con una longitud de 1m la separación entre impactos es ya apreciable. Problema 5

D

=

∂z B

= '

µB ∂z Bl2 2kT 2kT D µB l2 G 1463 cm

Problema 7 Sea la situación que se muestra en la figura. El momento magnético asociado a la espira es

iS k c donde i es la intensidad de corriente y S es el área de la superficie encerrada por la espira M=

v 2πr = πr2

i = q S

74

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

2.4 Problemas y ejercicios de donde M = se buscaba:

q 2c rvk.

Por otro lado, r ∧ mv = mrvk con lo que se llega al resultado que q l 2mc

M=

Este resultado es completamente general (es decir, vale en la F´ısica Cuántica). El momento magnético de una part´ıcula sin esp´ın es directamente proporcional al momento de la cantidad de movimiento. En los casos simples en los que el momento lineal coincide con la cantidad de movimiento (ausencia de campo externo), el momento magnético es proporcional al momento angular. Si p = mv entonces L = r ∧ mv = r ∧ p y M = externo, entonces

q 2mc L.

Pero si sumergimos la part´ıcula en un campo

q p = mv + A c

y en particular para un cem estacionario y razonablemente homogéneo p = mv −

q r∧B 2c

q y entonces L = r ∧ P = r ∧ mv − 2c r ∧ (r ∧ B). El momento de la cantidad de movimiento (a no confundir con el momento lineal) es

r ∧ mv = L +

q r ∧ (r ∧ B) 2c

de donde se extrae la siguiente expresión para el momento magnético en presencia de un cem externo (estacionario y homogéneo) M = = = =

q r ∧ mv 2mc ³ ´ q q L + r ∧ (r ∧ B) 2mc 2c q q2 L+ r ∧ (r ∧ B) 2mc 4mc2 ¢ q2 ¡ q L+ (r · B) r − r2 B 2 2mc 4mc

el segundo término es muy peque˜ no, pero no conviene perder de vista la diferencia entre l y L y que M es proporcional a la primera de estas cantidades. La energ´ıa de interacción entre el campo externo y el momento M se escribe como la integral curvil´ınea Z

B

W =−

M (B0 ) · dB0 = −

0

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´ q q2 ³ 2 2 2 B·L − (r · B) − r B 2mc 8mc2

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2 Estructura fina del átomo de Hidrógeno Problema 9 Reexpresamos el potencial: VT =−

1 P4 1 =− 3 2 8 me c 2

µ

m me

¶2

1 me c2

µ

P2 2m

¶2

El hamiltoniano no perturbado es µ 2 ¶2 P2 P2 P 2 c c H0 = T + V = +V → = (H0 − V ) → = (H0 − V c ) 2m 2m 2m ¯ ® entonces, y adoptando la notación ¯nl 12 jm = |ξi para aligerar las expresiones: ¯ ¯ ® ∆E T = ξ ¯VT ¯ ξ µ ¶2 ¯ E 1 m 1 D ¯¯ c 2¯ = − ξ (H − V ) ¯ ¯ξ 0 2 me me c2 µ ¶2 ¯ E 1 m 1 D ¯¯ 2 ¯ c 2 c c = − ξ H + (V ) − H V − V H ¯ ¯ξ 0 0 0 2 me me c2 c

como hξ |H0 V c | ξi = En0 hξ |Vc | ξi se tiene µ ¶2 ¯ E 1 m 1 D ¯¯¡ 0 ¢2 c 2 c 0¯ ∆ET = − ξ E + (V ) − 2V E ¯ ¯ξ n n 2 me me c2 µ ¶2 ¯ E´ D ¯ 1 ³¡ 0 ¢2 1 m ¯ c 2¯ 0 c E − 2E hξ |V | ξi + ξ = − (V ) ¯ ¯ξ n n 2 me me c2 que depende de dos elementos de matriz que calculamos a continuación: ¿ ¯ ¯ À ¯1¯ hξ |Vc | ξi = −Ze2 ξ ¯¯ ¯¯ ξ r Z 1 2 = −Ze2 dr r2 Rnl (r) r Z 2 e2 = − 2 n a0 Z ¯ ¯ D E ¡ 2 ¢2 1 ¯ c 2¯ 2 ξ ¯(V ) ¯ ξ = Ze dr r2 Rnl (r) 2 r 4

=

(Ze) ¡ ¢ n3 l + 12 a20

teniendo en cuenta que 2

2

(Ze) (Ze) 2 = ~2 = (Zα) mc2 = 2EI = −2n2 En0 a0 me2

76

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

2.4 Problemas y ejercicios 2

2

2

I y como En0 = − ZnE = − (Zα)2nmc reescribimos los productos escalares: 2

hξ |V c | ξi ¯ E D ¯ ¯ 2¯ ξ ¯(V c ) ¯ ξ

= 2En0 ¡ ¢2 4n En0 ¡ ¢ = l + 12

y, por fin ∆E

si consideramos

¡ ¢2 ! ¡ 0 ¢2 ¡ 0 ¢2 4n En0 En − 4 En + l + 12 µ ¶2 ¶ µ 1 m 1 4n 0 = − E −3 + En0 2 me me c2 n l + 12 Ã !µ µ ¶2 ¶ 2 1 m (Zα) mc2 4n 1 = − − −3 + En0 2 me me c2 2n2 l + 12 µ ¶2 ¶ 2 µ m (Zα) 3 n = − − En0 me n2 4 l + 12 µ

m me

¶2

1 me c2

Ã

T

1 = − 2

m me

' 1 − 5 × 10−4 Z −1 ' 1 podemos dejarlo en ∆E T ' −

(Zα) n2

2

µ

3 n − 4 l + 12

¶ En0

estamos listos para afrontar el problema 10.

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2 Estructura fina del átomo de Hidrógeno

78

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

3 Part´ıculas id´ enticas 3.1.

Introducci´ on

3.1.1.

Planteamiento del problema

Part´ıculas id´ enticas son aquellas que tienen iguales todas sus propiedades y caracter´ısticas f´ısicas tales como masa, carga, esp´ın, etc (nuevas propiedades que a´ un no has sido introducidas en este curso). El problema esencial que se plantea al trabajar con part´ıculas idénticas es determinar si son distinguibles o no. Dicho de otra manera, si podemos asociarles etiquetas alfanuméricas. En el primer caso será posible distinguir las coordenadas, momentos, espines de estas part´ıculas en cualquier función en la que intervengan. Podremos entonces trabajar con una función de onda de argumentos bien etiquetados: ψ (r1 , r2 , . . .) y el estudio de sistemas constitu´ıdos por varias part´ıculas idénticas, aunque más farragoso, no contendrá aspectos esencialmente nuevos. Si, por el contrario, resulta que son indistinguibles no podemos hablar sin más de la función ψ (r1 , r2 , . . .) y nos enfrentamos a un problema verdaderamente nuevo al que tendremos que dar solución.

3.1.2.

Part´ıculas cl´ asicas

Consideremos brevemente el problema de part´ıculas idénticas en mecánica clásica. En este paradigma posición y momento son simultáneamente determinables para todo t con precisión arbitraria y sin perturbar el sistema. Por lo tanto el experimental puede trazar las trayectorias que siguen las part´ıculas sin ninguna ambiguedad, y si éste es el caso, también puede asociarles etiquetas. Tomemos en consideración la situación ilustrada en la figura. Dos part´ıculas poseen momentos opuestos en el instante inicial t = 0 y asintóticamente alcanzan un estado en el que los momentos finales se han modificado, debido al proceso de interacción que han experimentado, pero siguen siendo opuestos por conservación del momento total del sistema. Si en t = 0 asociamos la etiqueta 1 a la part´ıcula de la izquierda y 2 a la de la derecha, ¿podremos saber quienes son 1 y 2 en el instante final?. Como en la mecánica cl´ asica podemos medir sucesivamente la posición de una part´ıcula sin perturbar el estado del sistema también podremos trazar, a medida que el tiempo avanza, la trayectoria de cada una de las dos part´ıculas, y por tanto distinguir entre los dos casos que se dan en la figura. Existe, no obstante, una cierta ambig¨ uedad en la elección de las etiquetas. Si un observador llama 1 a una de las part´ıculas, otro puede asociarle la etiqueta 2. Sin embargo, esta ambig¨ uedad no afecta al valor de las magnitudes f´ısicas puesto que todas ellas son

79

3 Part´ıculas idénticas

Figura 3.1: Hay dos part´ıculas que convergen (iniciales) y un tiempo después dos que divergen (finales). ¿Podemos saber qué pas´ o entre medias?. Hay dos casos posibles en lo que concierne a la identificaci´ on de las part´ıculas, que se muestran en las figuras de debajo.

Figura 3.2: Hasta t0 podemos a˜ nadir etiquetas, y en t0 las pierden para inmediatamente después recuperarlas. Con un instrumento m´ as exacto puedo anular la indistinguibilidad en t0 .

simétricas bajo el intercambio de coordenadas. En efecto, para cualquier magnitud f´ısica Q dependiente de las coordenadas, momentos, etc. se verifica que : Q (r1 , p1 ; r2 , p2 , t) = Q (r2 , p2 ; r1 , p1 , t) Obsérvese que el problema de la indistinguibilidad no se plantea nunca en la mecánica clásica sean las part´ıculas idénticas o no. Existe un caso, bastante académico, para el que aparece un peque˜ no problema. Este caso singular corresponde a dos part´ıculas idénticas puntuales que coinciden exactamente en el mismo punto del espacio en un instante t0 , instante en el que son indistinguibles. Posteriormente, las dos trayectorias se distinguen perfectamente y podemos asociarles nuevamente etiquetas. Por supuesto que aparece nuevamente la ambiguedad sobre a quien asociarle la etiqueta 1 (o 2), pero ello no tiene consecuencia alguna en el valor de las distintas cantidades f´ısicas (energ´ıa, momento lineal total, etc.) del sistema debido a la simetr´ıa de las mismas bajo intercambio de etiquetas. De todas formas se trata de un problema extraordinariamente académico. Sabemos, por ejemplo, que el potencial efectivo de Coulomb en una dimensión tiene una forma tal que para cualquier E > 0 existe un r0 (par´ ametro de impacto) que nos da la distancia de máxima aproximación de las dos part´ıculas . Es decir, éstas no pueden situarse a una distancia menor que r0 y en consecuencia

80

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

3.1 Introducción

Figura 3.3: Se representan funci´ on de onda ψ1 y ψ2 normalizadas y con probabilidad significativa s´ olo en una peque˜ na regi´ on (el solapamiento de las dos funciones de onda es cero).

Figura 3.4: Merced a la evoluci´ on guiada por el potencial atractivo, los dos paquetes se ensanchan y aparece solapamiento.

nunca se encontrarán en le mismo punto del espacio(1)

3.1.3.

Part´ıculas cu´ anticas

Como vamos a ver inmediatamente la situación cambia radicalmente en la mecánica cuántica donde el estado del sistema no viene dado por las posiciones y velocidades de las part´ıculas, si no por su función de onda. Para simplificar la discusión consideremos dos part´ıculas idénticas, inicialmente muy alejadas la una de la otra y cada una de ellas descrita por su paquete de ondas (figura 3.3). En esta situación existen dos regiones del espacio claramente separadas, esto es, sin solapamiento, en cada una de las cuales existe probabilidad uno de encontrar una part´ıcula. Dado que las dos regiones de probabilidad no nula aparecen claramente separadas, podemos distinguir las dos part´ıculas. No podemos hablar de trayectorias, como en la mecánica clásica, sino de regiones distinguibles y por lo tanto etiquetables. Supongamos que las dos part´ıculas forman un estado ligado bajo la acción de un cierto potencial atractivo, es decir, la energ´ıa total del sistema es E < 0. Debido al caracter atractivo del potencial, los dos paquetes de ondas (part´ıculas) se mueven hacia el centro del mismo a la vez que se ensanchan y, finalmente las dos regiones de probabilidad comienzan a solaparse. El problema de la distinguibilidad se plantea cuando los dos paquetes de onda se solapan apreciablemente. Podemos, en general, determinar la probabilidad de encontrar una part´ıcula, pero no saber cu´ al de las dos part´ıculas es, ya que a esa amplitud de probabilidad contribuyen ambos paquetes de onda. Como son idénticas, no hay criterios 1 En

la pr´ actica r0 puede ser tan peque˜ no que nuestro instrumento de medida no sea capaz de resolverlo y parecer´ a que las dos part´ıculas se superponen.

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3 Part´ıculas idénticas

Figura 3.5: Part´ıculas como regiones de probabilidad. Detectores formando un ´ angulo θ con el eje x por el que convergen las part´ıculas.

para diferenciar cuál se ha encontrado. Además, como E < 0 las dos part´ıculas forman un sistema ligado y quedan atrapadas en la zona donde el potencial toma valores apreciables, que normalmente suele ser peque˜ na. As´ı el solapamiento continua siendo alto de forma indefinida. Otro ejemplo que describiremos más cualitativamente, si cabe, es el proceso de dispersión de dos part´ıculas idénticas en mecánica cuántica. En el momento inicial t = 0, las dos part´ıculas vienen descritas igual que antes por sus paquetes de onda, aunque en la práctica se trabaje con ondas planas. Argumentos muy generales utilizados con la ecS permiten deducir que la función de onda lejos de la zona de interacción (donde se emplazan los detectores) es de la forma f (Ω)

exp ik · r , r 2

y por tanto la densidad de part´ıculas va como f (Ω) actica la región de probabilidad r 2 . En la pr´ no nula forma un frente de onda (que en la figura hemos supuesto que es esférico) y al llegar a los detectores es absolutamente imposible diferenciar entre las part´ıculas.

3.2.

Sistemas de dos part´ıculas id´ enticas

En esta sección estudiaremos como influyen las ideas anteriores en la función de onda de un sistema formado por dos part´ıculas idénticas. Denotaremos esta función de forma simplificada como ψ (1, 2, t) . . donde 1 = {r1 , S1z , . . .} y 2{= r2 , S2z , · · · } son en sentido amplio las coordenadas de cada part´ıcula. Obsérvese que se presenta la siguiente contradicción: por un lado indistinguibilidad no permite asociar etiquetas a las coordenadas de las part´ıculas , pero por otro las necesitamos para poder construir funciones multivariable. Existen caminos diversos para sortear este problema que conducen al mismo resultado.

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Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

3.2 Sistemas de dos part´ıculas idénticas

3.2.1.

Afirmaci´ on fuerte

Una forma de proceder consiste en afirmar que la permutación de las coordenadas de las dos part´ıculas que forman el sistema no modifican el estado del mismo. Por lo tanto ψ (1, 2, t) y ψ (2, 1, t) caracterizan exactamente el mismo estado del sistema. Por ello debe cumplirse que ψ (2, 1, t) = eiα ψ (1, 2, t) , es decir, la diferencia entre ambas funciones de onda es una fase global. Entonces ¡ ¢ ¡ ¢2 ψ(2, 1, t) = eiα ψ (1, 2, t) = eiα eiα ψ (2, 1, t) = eiα ψ (2, 1, t) , o sea

¡

eiα

¢2

= 1 → eiα = ±1

Esta forma de introducir en el formalismo de la FC la indistinguibilidad conduce a que el intercambio de los argumentos de la función de onda produce, a lo sumo, un cambio de signo. Seg´ un estos argumentos, la función de onda del sistema solo puede ser simétrica o antisimétrica. Se trata de una conclusión extraordinariamente fuerte y debemos preguntarnos ahora si es compatible con la experiencia. La respuesta es afirmativa. Todos los resultados experimentales conocidos hasta el presente son consistentes con el hecho de que la funci´ on de onda sea simétrica o antisimétrica bajo el intercambio de coordenadas. No menos importante es que el car´ acter de la funci´ on de onda (su simetr´ıa o antisimetr´ıa ante el intercambio de coordenadas) s´ olo depende del esp´ın que poseen las part´ıculas del sistema. En concreto tenemos: 1. Fermiones, part´ıculas de esp´ın semientero que tan sólo poseen estados antisimétricos. 2. Bosones, part´ıculas de esp´ın entero que sólo poseen estados simétricos. 3. No existen estados de simetr´ıa mezclada.

3.2.2.

Afirmaci´ on d´ ebil

El argumento que conduce a la invariancia del estado bajo el intercambio de las coordenadas de dos part´ıculas idénticas a partir de su indistiguibilidad, es en realidad falso. Lo u ńico que realmente podemos deducir es que dicho intercambio no puede dar lugar a diferencias observables. En concreto, los posibles resultados de cualquier medida deben permanecer inalterados. Sea P12 el operador que al actuar sobre un estado intercambia todas las coordenadas asociadas a las dos part´ıculas. P12 ψ(1, 2) = ψ(2, 1) Algunas propiedades de este operador son

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3 Part´ıculas idénticas 1.

P212 P212 ψ(1, 2)

= 1 → P12 = P−1 12 , = P12 (P12 ψ(1, 2)) = P12 ψ(2, 1) = ψ(1, 2)

2. P†12 = P−1 on). 12 (sin demostraci´ 3. P†12 O(1, 2)P12 = O(2, 1), donde O es un operador cualquiera que depende (en general) de las coordenadas de las dos part´ıculas. La demostración de esta propiedad requiere estudiar los elementos de matriz del operador entre estados φ, ψ cualesquiera. As´ı Z hφ |O| ψi = d1d2φ∗ (1, 2)O(1, 2)ψ(1, 2) y Z hP12 φ |O| P12 ψi =

Z d1d2φ∗ (2, 1)O(1, 2)ψ(2, 1) =

d1d2φ∗ (1, 2)O(2, 1)ψ(1, 2).

Ahora bien ¯ E Z D ¯ ³ ´ ¯ † ¯ hP12 φ |O| P12 ψi = φ ¯P12 OP12 ¯ ψ = d1d2φ∗ (1, 2) P†12 O(1, 2)P12 ψ(1, 2), y puesto que esto es cierto para cualquier par de función de onda llegamos a la identidad superior entre operadores. Como dec´ıamos al principio los resultados de cualquier medida no deben verse alterados porque realicemos un intercambio de coordenadas. Por tanto para cualquier estado |ψidebe cumplirse que ¯ E D ¯ ¯ ¯ hψ |O| ψi = ψ ¯P†12 OP12 ¯ ψ → O(1, 2) = P†12 O(1, 2)P12 = O(2, 1), es decir, que el observable sea simétrico bajo el intercambio de todas las coordenadas de las dos part´ıculas. Esta es la primera gran consecuencia de la indistinguibilidad, que en la práctica no produce un gran efecto porque las magnitudes f´ısicas (clásicas) suelen poseer esta propiedad. Por otro lado la energ´ıa (el hamiltoniano) es un observable y debe cumplir que P†12 HP12 = H → [H, P12 ] = 0, lo que automaticamente nos lleva a que los autoestados del hamiltoniano también los son del operador de permutación, o a que los autoestados de H vienen etiquetados con los

84

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

3.3 Caso general. Postulado de simetrización autovalores de P12 . Ahora bien, este operador solo posee dos autovalores λ = ±1 ya que P212 = 1. En efecto, sea φ(1, 2) una de sus autofunciones, es decir P12 φ(1, 2) = λφ(1, 2) φ(1, 2) = P212 φ(1, 2) = λP12 φ(1, 2) = λ2 φ(1, 2) → λ = ±1 Por lo tanto las autofunciones del operador de permutación deben ser simétricas ó antisimétricas ya que φ(2, 1) = P12 φ(1, 2) = ±φ(1, 2), y seg´ un toda la argumentación anterior también lo deben ser las del hamiltoniano. Esto no plantea dificultad ya que si ψ(1, 2) es autofunción de H con autovalor E, H(1, 2)ψ(1, 2) = Eψ(1, 2), también se cumple que H(2, 1)ψ(2, 1) = H(1, 2)ψ(2, 1) = Eψ(2, 1), o en general H(1, 2) (aψ(1, 2) + bψ(2, 1)) = E (aψ(1, 2) + bψ(2, 1)) . Cualquier combinación lineal de ψ(1, 2) y ψ(2, 1) es autofunción con energ´ıa E. Indistinguibilidad impone que sólo dos de ellas son f´ısicamente aceptables: la simétrica y la antisimétrica(2) . ψ (S) (1, 2) = ψ (A) (1, 2) =

√1 2 √1 2

(ψ(1, 2) + ψ(2, 1)) (ψ(1, 2) − ψ(2, 1))

Las consecuencias asociadas a la indistinguibilidad de las part´ıculas idénticas llegan hasta aqu´ı. En principio nada impedir´ıa que en un mismo sistema de part´ıculas idénticas coexistiesen los dos tipos de solución. La experiencia demuestra que esto no ocurre; el estado fundamental del átomo de helio no está degenerado, por ejemplo. Un sistema viene caracterizado solo por estados de una clase y ésta viene determinada u ńica y exclusivamente por el esp´ın de las part´ıculas.

3.3.

Caso general. Postulado de simetrizaci´ on

Postulamos las propiedades de la función de onda que caracteriza un sistema de N > 1 part´ıculas idénticas. ∀ 1 ≤ i, j ≤ N , tenemos ψ (1, 2, . . . , i − 1, i.i + 1, . . . , j − 1, j, j + 1, . . . , N ) = ψ (1, 2, . . . , i − 1, j.i + 1, . . . , j − 1, i, j + 1, . . . , N ) 2 N´ otese

que las fases internas de una fdo son esenciales. Cambiar o eliminar dichas fases significa cambiar radicalmente la naturaleza de dicha fdo. Por el contrario las fases globales son irrelevantes y pueden ser eliminadas de la fdo sin afectar a ning´ un proceso de medida.

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85

3 Part´ıculas idénticas para los bosones y ψ (1, 2, . . . , i − 1, i.i + 1, . . . , j − 1, j, j + 1, . . . , N ) = −ψ (1, 2, . . . , i − 1, j.i + 1, . . . , j − 1, i, j + 1, . . . , N ) para los fermiones. En estas expresiones la negrita subraya las etiquetas que se intercambian. Las dos relaciones anteriores constituyen el postulado de (anti)simetrizaci´ on de la funci´ on de onda. En el caso de los fermiones se le llama también principio (fuerte) de exclusión de Pauli. Este postulado tiene validez general excepto en unos pocos casos, entre los que destacaremos cuando las part´ıculas se encuentran muy alejadas y sus paquetes de onda jamás solapan. cuando inicialmente las dos part´ıculas tienen proyecciones de su esp´ın opuestas y la interacción entre ellas no modifica este hecho, lo cual permite considerarlas como distinguibles. Podemos escribir el postulado de forma más compacta como ψ (1, 2, . . . , N, t) = (±1)

Np

ψ (i1 , i2 , i3 , . . . , iN , t)

donde {i1 , i2 , i3 , . . . , iN } es una permutación de la secuencia {1, 2, 3 . . . , N } y Np es el n´ umero de transposiciones de dos ´ındices necesarias para pasar de una a otra. Ejemplo {1, 2, 3} → {3, 1, 2} se puede escribir como {1, 2, 3} → {3, 2, 1} → {3, 1, 2} (dos transposiciones). Es decir, que

ψ (1, 2, 3) = (±1)2 ψ (3, 1, 2)

que también se puede hallar efectuando las dos transposiciones una después de otra seg´ un la regla particular para una transposici´ on escrita m´ as arriba.

Una función de onda que no satisface los requisitos anteriores es errónea excepto que nos encontremos en uno de los pocos casos en los que el postulado no se aplica. Aunque en la mecánica cuántica la (anti)simetrización de la función de onda se ha introducido como un postulado, en la Teor´ıa Cuántica de Campos surge como un teorema conocido como teorema esp´ın–estad´ıstica. Principio d´ ebil de exclusi´ on de Pauli Determinemos la probabilidad de que dos fermiones se encuentren en la misma posición r y con proyección del esp´ın Sz . La función de onda verifica que ψ (r, Sz ; r, Sz ; t) = −ψ (r, Sz ; r, Sz ; t) = 0 y, en consecuencia, la probabilidad de dicho suceso es cero. La afirmación de que es imposible encontrar dos fermiones idénticos en la misma posición, con la misma proyecci´ on ´ del esp´ın se conoce con el nombre de forma débil del principio de exclusión. Este mismo principio se puede enunciar de otra forma cuando consideramos función de onda determinantales(3) que introduciremos a continuación. 3 Esto

86

ocurre normalmente en f´ısica at´ omica o molecular

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

3.4 Zoolog´ıa La forma débil del principio de exclusi´ on introduce una pregunta bastante interesante. De acuerdo con lo que hemos estudiado hasta ahora no hay ninguna restricción para que dos bosones con la misma proyección del esp´ın (y quiza otros n´ umeros cuánticos iguales) se situen en el mismo punto del espacio r. ¿Se trata de una situación realista o un es artefacto de la teor´ıa? . De todas formas no existe capacidad experimental (técnica) para distinguir esta situación de otra en la que las dos part´ıculas se encuentran infinitesimalmente cerca. Tened en cuenta que un experimento no determina nunca |ψ(r)|2 , sino 2

|ψ (r)| ∆r es decir el valor medio de la densidad de probabilidad en una región muy peque˜ na, pero finita.

3.4.

Zoolog´ıa

3.4.1.

Part´ıculas fundamentales

Llamamos as´ı a aquellas part´ıculas que son puntuales y por tanto no tienen estructura interna, esto es que no están compuestas de otras (al menos con el grado de conocimiento actual). Distinguimos entre aquellas part´ıculas que son los ladrillos básicos de toda la materia conocida y las part´ıculas portadoras, que transmiten las diversas interacciones. Las primeras son siempre fermiones con esp´ın s = 1/2. En la tabla 3.1 sólo hemos incluido la mitad ya que faltan las antipart´ıculas correspondientes donde cada una de ellas posee todas sus caracteri´sticas f´ısicas iguales a las de su part´ıcula excepto la carga eléctrica, que resulta ser opuesta. Tampoco aparece su clasificación en tres familias ni se detallan todos los n´ umeros cuánticos que son necesarios para su perfecto etiquetado. Las part´ıculas portadoras conocidas son todas bosones de esp´ın s = 1. El gravitón que a´ un no ha sido detectado posee sin duda alguna esp´ın s = 2. Algunas de estas part´ıculas, como el fotón, no poseen masa, otras como los gluones son capaces de interaccionar consigo mismas, etc.(4)

3.4.2.

Part´ıculas compuestas

Las part´ıculas compuestas se comportan como fermiones o como bosones, seg´ un sea su esp´ın, en procesos en los que su estructura interna es irrelevante. Por ejemplo, un sistema formado por dos positronios (átomo exótico y de vida extraordinariamente breve formado por un electrón y un positrón y cuyo esp´ın es s = 0) puede funcionar como dos part´ıculas fundamentales que se comportan como bosones si las part´ıculas individuales de un positronio no “ven” a las de otro. Otro ejemplo es el de los átomos de He. A energ´ıas t´ıpicas de 4A

diferencia de lo que ocurre con las ondas electromagn´ eticas que son f´ aciles de detectar y de generar, hasta ahora no ha sido posible detectar ondas gravitacionales. De la misma manera que las ecuaciones del electromagn´ etismo predec´ıan la existencia de ondas electromagn´ eticas ya antes de ser observadas, la relatividad general predice la existencia de este tipo de ondas y la part´ıcula asociada a este campo debe poseer esp´ın dos.

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87

3 Part´ıculas idénticas

! "#!$ 9"2! WX2 !

% &')( +*-,/.021

43543536357835

:8 2!-( +*-,/.021 ;36@A;A3 =?B3DCE;#> = G#F CKJ >

4; :"P

4P :"S

= G OH N #G E B= H E H G N =BH M >F H = > AON F N = >G CKA#H = > H M A#H =>H >N M = > H#H > A

4S

= > H#H >#>

4P :G J

=BJ NOC

= > A >

Cuadro 4.1: Expectro experimental del He. Comparaci´ on con los resultados te´ oricos en la aproximaci´ on de part´ıcula independiente.

106

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

´ 4.2 Atomo de Helio

4.2.3.

Efectos de la repulsi´ on electr´ on-electr´ on

Vamos a proceder a refinar nuestras predicciones incorporando la interacción entre los electrones como una perturbación a la interacción atractiva con el n´ ucleo. Haremos los cálculos con mucho detalle para el estado fundamental y de forma meramente descriptiva para los estados excitados. Estado fundamental Estimemos primero la magnitud de la interacción entre los electrones por comparación a la que mantienen electrón y n´ ucleo (suponiendo que la distancia t´ıpica entre los electrones es del orden de la distancia t´ıpica electrón-n´ ucleo, aZ0 ) * + µ 2¶ ¿ À ¿ À Ze 1 e2 e2 1 Ze2 1 2e2 ≈ = ≈ = a0 a0 2 Z Z r 2 r |r1 − r2 | Z Z Por tanto la repulsión culombiana entre los dos electrones es del orden de la mitad de la interacción electrón–n´ ucleo. A pesar de que no es muy peque˜ na utilizamos la teor´ıa de perturbaciones para modificar EEF D E Z e2 (A)∗ (A) (A) (A) ∆EEF = Φ11 |V (12)| Φ11 = d1d2 Φ11 (1, 2) Φ (1, 2) = . . . |r1 − r2 | 11 y recordando que (A)

Φ11 (1, 2) = ϕ100 (r1 ) ϕ100 (r2 ) Ξs=0 ms =0

® s=0 y que Ξs=0 ms =0 |Ξms =0 = 1, se tiene Z

∆EEF

e2 dr1 dr2 ϕ∗100 (r1 ) ϕ∗100 (r2 ) ϕ100 (r1 ) ϕ100 (r2 ) |r1 − r2 | Z 1 2 2 = e2 dr1 dr2 |ϕ100 (r1 )| |ϕ100 (r2 )| , |r1 − r2 |

=

integral que representa la interacción electrostática entre las nubes de carga asociadas a los electrones. Para avanzar con rapidez en la resolución de las integrales de la interacción entre electrones se utiliza habitualmente la siguiente expresión: k ∞ k X X 1 4π (r< ) q k = (−1) Y−q (Ω1 ) Yqk (Ω2 ) |r1 − r2 | 2k + 1 (r> )k+1 k=0

q=−k

donde r< = m´ın (r1 , r2 ) y r> = máx (r1 , r2 ), los ángulos sólidos son Ωi = θi , ϕi y donde )k . Este tipo de expresiones la convergencia en k est´ a garantizada por el cociente (r(r reciben el nombre de desarrollos en ondas parciales ya que expresamos una función que depende de la diferencia r1 −r2 como una suma de productos de funciones de una part´ıcula

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107

4 Sistemas con pocos electrones con buen momento angular. Cada sumando corresponde a funciones con momento angular orbital k y tercera componente ±q. Para visualizar mejor esta idea supongamos que r1 > r2 y reescribamos el desarrollo como µ ¶ ∞ k X ¡ k k ¢ 1 4π X 1 q k = (−1) Y (Ω ) r2 Yq (Ω2 ) 1 −q k+1 |r1 − r2 | 2k + 1 r1 k=0

q=−k

El hecho de que la serie sea infinita puede asustar un poco pero al insertarla en la integral anterior solo contribuye un n´ umero finito de términos. Al proceder as´ı obtenemos ∆EEF = e2

Z

∞

dr1 r12

Z

0

∞

dr2 r22

Z

Z

∞ X

dΩ2 |ϕ100 |2 |ϕ100 |2

dΩ1

0

k=0

k (r< )k X 4π k (Ω1 ) Yqk (Ω2 ) (−1)q Y−q 2k + 1 (r> )k+1 q=−k

Hay una parte que sólo depende de los radios y que se extrae hasta las integrales radiales y otra que interviene sólo en las angulares. ∆EEF

e2

=

∞ X k=0

4π 2k + 1

k X

···

Z

(−1)q

∞

2 dr1 r12 R10 (r1 )

Z

0

Z

∞

2 dr2 r22 R10 (r2 )

0 k (Ω1 ) Y00 (Ω1 ) dΩ1 Y00∗ (Ω1 ) Y−q

Z

(r< )k ··· (r> )k+1

k (Ω2 ) Y00 (Ω2 ) dΩ2 Y00∗ (Ω2 ) Y−q

q=−k

√1 4π

Como Y00 (Ω1 ) =

Z

1 k dΩY00∗ Y−q Y00 = √ 4π

Z

δk0 δq0 k dΩY00∗ Y−q = √ 4π

se llega a Z ∆EEF

=

e

∞

2 0

½Z =

Z 2 dr1 r12 R10

∞

e2 0

∞

(r1 ) 0

Z

2 dr1 r12 R10 (r1 )

0

2 dr2 r22 R10 (r2 )

r1 0

µ R10 (r) = 2

µ ∆EEF = 16e2

2Z a0

Z a0

1

(r> ) ¾ Z ∞ Z ∞ 1 1 2 2 2 dr2 r22 R10 (r2 ) + dr1 r12 R10 (r1 ) dr2 r22 R10 (r2 ) r1 r2 0 r1

Ahora, usando que

y llamando ζ =

(r< )

Z a0

¶ 32

Zr

e− a0 ,

tenemos ¶6 ·Z 0

∞

Z dr1 r1 e−ζr1 0

r1

Z dr2 r22 e−ζr2 +

0

∞

Z dr1 r12 e−ζr1

∞

¸ dr2 r2 e−ζr2

r1

Los dos sumandos que aparecen en el corchete anterior dan lugar al mismo resultado 5 8ζ 5

108

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

´ 4.2 Atomo de Helio As´ı que µ 2

∆EEF = 16e

Z a0

¶6

5 5 = · · · = ZEI 4ζ 5 4

¡ ¢ E 1s2 1 S = −Z 2 EI + ∆EEF = −20,4eV exp = −24,58eV . Un cálculo a orden superior en la Este resultado debe compararse con EEF perturbación puede mejorar la concordancia con el resultado experimental, pero el camino a seguir es aplicar el método variacional. Eso lo haremos más adelante.

Estados excitados: regla de Hund Vamos a trabajar con los niveles excitados, pero sin resolver explicitamente las integrales, que son más complicadas(4) . Cuando na = 1 y nb = n tenemos varios subniveles posible caracterizados por l y s: Z e2 (A)∗ (A) ∆E1n;ls = d1d2 Φ1n;ls (1, 2) Φ (1, 2) |r1 − r2 | 1n,ls (A)

con Φ1n,ls = √12 (ϕ100 (r1 ) ϕnlm (r2 ) ± ϕ100 (r2 ) ϕnlm (r1 )) Ξsms y donde el signo + va con s = 0 (parte espacial simétrica y de esp´ın antisimétrica) y el signo − con s = 1 (función espacial antisimétrica y de esp´ın simétrica) de modo que la función en su conjunto sea antisimétrica. Desarrollando Z

∆E1n;ls

(A)∗

=

d1d2 Φ1n,ls (1, 2) e2 2

=

Z

e2 (A) Φ (1, 2) |r1 − r2 | 1n,ls

dr1 dr2 (ϕ100 (r1 ) ϕnl0 (r2 ) ± ϕ100 (r2 ) ϕ2l0 (r1 ))∗

1 (ϕ100 (r1 ) ϕnl0 (r2 ) ± ϕ100 (r2 ) ϕnl0 (r1 )) |r1 − r2 |

Donde hemos utilizado dos hechos: 1. La interacción (el operador) no depende del esp´ın (queda sólo la integración en las coordenadas espaciales). 1 ) 2. No depende de m porque el hamiltoniano (en este caso, la perturbación |r1 −r 2| conmuta con el momento angular. Por eso hemos elegido el valor arbitrario m = 0.

Proseguimos: ∆E1n,ls = e2

Z

dr1 dr2 |ϕ100 (r1 )|2 |ϕnl0 (r2 )|2

1 ±e2 |r1 − r2 |

Z

dr1 dr2 ϕ∗100 (r1 ) ϕ∗nl0 (r2 )

1 ϕ100 (r2 ) ϕnl0 (r1 ) |r1 − r2 |

Lo que se puede poner, utilizando una notación extendida, como suma (s = 0)/diferencia(s = 1) de dos integrales: 4 El

probelma 5 trata de forma aproximada estas integrales

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109

4 Sistemas con pocos electrones

∆E1n;ls = Jnl + (1 − 2s)Knl, s = 0, 1 donde Jnl Knl

= =

R 2 2 1 e2 dr1 dr2 |ϕ100 (r1 )| |ϕnl0 (r2 )| |r1 −r 2| R 1 ∗ e2 dr1 dr2 ϕ∗100 (r1 ) ϕnl0 (r1 ) |r1 −r ϕ (r ) ϕ 100 2 nl0 (r2 ) 2|

Por lo tanto la corrección consta de dos términos diferentes. 1. El primero representa la repulsión electrostática de las dos densidades (nubes) de carga. A esta integral se la conoce con el nombre de término directo. 2. La segunda integral, denominada término de intercambio, no tiene una interpretación clásica sencilla y es consecuencia directa del principio de exclusión. Su nombre es debido a que proviene de la parte de la función de onda en la que intercambiamos las coordenadas de las part´ıculas. Tal como puede observarse en su definición depende de alguna forma del overlap de las funciones ϕ100 y ϕnl0 . La energ´ıa de todos los estados del He se escribe de esta forma con la excepción de los casos en que na = nb , s = 0, casos en los que sólo hay integral directa. Ahora bien, de todos estos estados con na = nb , sólo el fundamental forma parte del espectro discreto mientras que los demás corresponden a resonancias del continuo. As´ı, ∆E11,00 = ∆EEF = J00 . La primera integral Jnl es siempre positiva ya que el integrando es una cantidad definida positiva. Adem´ as, aparece con signo positivo por lo que su efecto fundamental es reducir la atracción que genera la carga central del n´ ucleo sobre los electrones (reduce la energ´ıa con la que los electrones están ligados al n´ ucleo). Otro hecho (esta vez no obvio) es que el valor de la integral directa se reduce a medida que aumentamos n Más complicado, ya que no se puede ver directamente, es que Knl también es positiva, y en general menor que Jnl . Su efecto, al igual que el de la integral directa también disminuye con n. Ahora bien, esta integral aparece con signo menos para estados de esp´ın s = 1 y con signo positivo para estados de esp´ın s = 0. As´ı, para una configuración y l dados, los estados s = 1 tienen menor energ´ıa que los s = 0. Este hecho se conoce con el nombre de regla de Hund. Justificaci´ on cualitativa: Apantallamiento Con el objetivo de obtener una justificación cualitativa de los resultados anteriores intentemos hacernos una idea de como son las densidades de carga asociadas a los dos electrones. La figura de probabilidad radial indica que la zona donde es más probable encontrar al segundo electrón (la nube de carga del mismo) tiende a situarse fuera de la región que ocupa el primer electrón a medida que crece el n´ umero cuántico n. Podemos decir que la función de onda del segundo electrón es menos penetrante en la zona donde es muy probable encotrar al electron 1s seg´ un crece n. Por ello la interacción entre las dos nubes de carga es menor a medida que el segundo electrón se situa en niveles superiores. Existe, además un peque˜ no efecto por el cual para n la repulsión crece ligeramente con l. Es decir, para n dado la distribución de carga del segundo electrón está globalmante más cerca

110

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

´ 4.2 Atomo de Helio

Figura 4.2: (derecha) part´ıculas independientes. (izquierda) repulsi´ on e− − e− .

cuanto mayor es l. Esto permitir´ıa explicar porque el valor de Jnl se reduce con n, y as´ı las discrepancias entre los resultados experimentales y la aproximación de part´ıculas no interactuantes se reducen a medida que pasamos a niveles superiores. También permite explicar cualitativamente porque dentro de los niveles con n fijo están menos ligados los subniveles de mayor l. El origen de la regla de Hund está en que las funciones de onda con esp´ın s = 0 y s = 1 tienen partes espaciales con simetr´ıa de intercambio distinta. Dado que las funciones de onda con s = 1 tienen su parte espacial antisimétrica, los dos electrones están más separados (3.6) que en las funciones de onda con s = 0 cuya parte orbital es simétrica bajo intercambio. Precisamente por esta razón la repulsión electrostática que experimentan los dos electrones es mayor en este segundo caso, y por tanto, los estados con s = 0 (a igual configuración y valor de l) se encuentran menos ligados. Otra forma distinta de mirar la repulsión entre los electrones consiste en introducir la idea de apantallamiento. A medida que la distribución de carga del electrón externo se desplaza hacia el exterior seg´ un crece n, el electrón interior apantalla más la carga nuclear. Podemos pensar que el electrón exterior viese una carga Zef < Z = 2. Entonces su energ´ıa de ligadura ser´ıa 2

E1n = −

(Zef ) EI Z 2 EI >− 2 2 n n

De alguna manera hemos substituido el efecto del término directo por una carga apanta-

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111

4 Sistemas con pocos electrones 0.6 nl=1,0 nl=2,0 nl=2,1 nl=3,0 nl=3,1 nl=3,2

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

Figura 4.3:

Pnl Z a0

15

20

vs. ar0 para 1s, 2s, 2p Z

llada. Cuanto m´ as externo se encuentra el segundo electrón más efectivo será el apantallamiento, esto es Zef → 1 n → ∞ Seg´ un esta discusión las energ´ıas de los niveles del He deber´ıan parecerse cada vez más a las del H. ¿Es ésto cierto?.

4.2.4.

Aplicaci´ on del m´ etodo variacional

Hemos visto en la sección precedente 4.2.3 que después de efectuar un cálculo en teor´ıa de perturbaciones a primer orden todav´ıa subsiste una clara discrepancia entre el valor experimental de la energ´ıa del fundamental y la predicción teórica. En lugar de acudir a ordenes superiores vamos a mejorar nuestra predicción utilizando una aproximación variacional. Hablar de este método implica proponer una familia de función de onda de prueba. Para ello vamos a tener en cuenta los siguientes argumentos: 1. La función de onda Φ11,00 da lugar a una energ´ıa aceptable cuando se tiene en cuenta el hamiltoniano no relativista completo. 2. El efecto del apantallamiento es reducir la carga que ve el electrón más externo. As´ı podemos proponer una familia de soluciones de la forma Φv (Q; 1, 2) = ϕ100 (Q; r1 ) ϕ100 (Q r2 ) Ξs=0 ms =0 donde µ ¶3/2 ½ ¾ 2 Q Qr √ ϕ100 (Q; r) = exp − , a0 4π a0 es la función de onda del fundamental de un átomo hidrogenoide con carga Q. Si Q = Z esta función de onda ser´ıa la del electrón en el ion He+ y por tanto la que hemos utilizado en el cálculo perturbativo. Por ello cumple

112

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

´ 4.2 Atomo de Helio alqua.com/figuras

Figura 4.4: Gr´ afico de niveles del ´ atomo de Helio (izquierda) desglosado seg´ un n y l. Se compara con los nivéles del hidr´ ogeno. El cero de energ´ıa es distinto en los dos casos y correponde siempre a la energ´ıa del ´ atomo ionizado. Woodgate pag. 85

µ

p2 Qe2 − 2m r

¶ ϕ100 (Q; r) = −Q2 EI ϕ100 (Q; r)

El parámetro que barre la familia de funciones de onda propuestas es la carga efectiva Q y el funcional de la energ´ıa se reduce, en realidad, a una función de dicho parámetro. Z E[Q] = d1d2Φ∗v (Q; 1, 2)HΦv (Q; 1, 2) Como el hamiltoniano no depende del esp´ın la integral anterior puede desarrollarse como µ

Z E[Q] =

dr1 dr2 ϕ∗100 (Q; r1 ) ϕ∗100 (Q; r2 )

p21 Ze2 p2 Ze2 e2 − + 2 − + 2m r1 2m r2 |r1 − r2 |

¶ ϕ100 (Q; r1 ) ϕ100 (Q; r2 )

Vamos a separar el cálculo de la integral en tres partes: ³ 2 ´ R 2 p1 I1 = dr1 dr2 ϕ∗100 (Q; r1 ) ϕ∗100 (Q; r2 ) 2m − Ze ϕ100 (Q; r1 ) ϕ100 (Q; r2 ) r´ 1 ³ 2 1. R 2 p 1 = dr1 ϕ∗100 (Q; r1 ) 2m − Ze ϕ100 (Q; r1 ) , r1 pero ³ 2 ´ ³ 2 ´ 2 p p Qe2 Ze2 ϕ (Q; r) = ϕ100 (Q; r) + (Q−Z)e − − ϕ100 (Q; r) 100 2m r 2m r r1 =

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−Q2 EI ϕ100 (Q; r) +

(Q−Z)e2 ϕ100 r1

(Q; r)

113

4 Sistemas con pocos electrones y teniendo en cuenta las relaciones ®de ortonormalización de las funciones de onda ϕ100 (Q) y que el valor esperado 1r = aQ0 obtenemos que I1 donde hemos utilizado que

= =

e2 a0

Q 2 −Q2 E ¡ I + e (Q 2− ¢ Z) a0 − 2QZ − Q EI

= 2EI

¢ ¡ 2. Analogamente se tiene que I2 = I1 = − 2QZ − Q2 EI 3. El cálculo de la integral asociado al término repulsivo es idéntico al que hicimos en la sección4.2.3salvo que substituimos Z por Q. Z 5 e2 ϕ100 (Q; r1 ) ϕ100 (Q; r2 ) = QEI I3 = dr1 dr2 ϕ∗100 (Q; r1 ) ϕ∗100 (Q; r2 ) |r1 − r2 | 4 Reuniendo las tres contribuciones tenemos que la energ´ıa en función de la carga efectica Q es µ ¶ ¡ ¢ 5 E[Q] = − 2 2QZ − Q2 − Q EI , 4 5 cuyo m´ınimo ocurre para Q0 = Z − 16 = 1,69. Substituyendo este resultado en la ecuación anterior nos queda 2

E[Q0 ] = −2Q20 EI = −2 (Z − 5/16) EI = −77,68eV. Si a esta energ´ıa le sumamos EI (He) para obtener el cero habitual nos queda (T heor.)

EEF

= −23,29eV.

La tabla que se muestra a continuación hace evidente el avance que hemos conseguido utilizando el método variacional en vez de la teor´ıa de perturbaciones. Para llegar a un resultado equivalente usando perturbaciones habr´ıa que incluir ordenes muy superiores al primero. Además, nuestra familia de funciones de onda variacionales es la más sencilla posible por lo que con peque˜ nas extensiones a´ un mejorar´ıamos notablemente el resultado. E(eV )

T.P. −20,4

M.V. −23,29

Exp. −24,58

Más que en la bondad del acuerdo con el dato experimental quiero ahondar en lo que significa la solución variacional que hemos obtenido. Dicha función de onda Φv (Q; 1, 2) = ϕ100 (Q; r1 ) ϕ100 (Q r2 ) Ξs=0 on del siguiente hamiltoniano de part´ıcula inms =0 es autofunci´ dependiente µ 2 ¶ p1 Q0 e2 p22 Q0 e2 − + − Φv (Q0 ; 1, 2) = −E[Q0 ]Φv (Q0 ; 1, 2), 2m r1 2m r2

114

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

´ 4.2 Atomo de Helio lo cual nos sugiere que (de forma aproximada) todo ocurre como si los dos electrones se moviesen independientemente en un potencial Coulombiano asociado a una carga distinta de la real. Se cumple que Q0 < Z = 2 por lo que el efecto fundamental de un electrón sobre otro puede verse como un apantallamiento de la carga del n´ ucleo. En este caso el apantallamiento es muy peque˜ no porque los dos electrones están en un nivel 1s, y por tanto, muy próximos entre s´ı. Si repitiesemos este cáculo para algun estado excitado la carga efectiva resultante ser´ıa menor. En general es posible substituir de forma aproximada el hamiltoniano real de una sistema de part´ıculas que interact´ uan entre s´ı por otro de part´ıcula independiente donde el potencial que ve cada part´ıcula recoge de forma promediada las interacciones que ejercen las otras part´ıculas. La forma de obtener este hamiltoniano efectivo es utilizar (como hemos hecho en este caso) el método variacional con funciones de onda de prueba que sean productos antisimetrizados de funciones de onda de una part´ıcula .

4.2.5.

Reglas de selecci´ on: Orto y Parahelio

La probabilidad de transición por unidad de tiempo entre los estados i y f mediada por la emisión/absorción de un fotón tiene una expresión totalmente análoga a la que hemos visto en el átomo de hidrógeno. dPi−>f 8π 2 e2 2 = |Wf i | dt ~2 donde Wf i

= = =

hΦf (1, 2) |r1 + r| Φi (1, 2)i ® s φf (r1 , r2 ) χmfsf |r1 + r2 | φi (r1 , r2 ) χsms D E s hφf (r1 , r2 ) |r1 + r2 | φi (r1 , r2 )i χmfsf |χsmi sf

=

hφf (r1 , r2 ) |r1 + r2 | φi (r1 , r2 )i δsf si δmsf msi

Aparece, por tanto, una nueva regla de selección asociada al esp´ın: sf = si . No puede haber transiciones entre estados que tienen esp´ın distinto. El resto de las reglas de selección se puede probar que siguen inalteradas: La nueva regla de selección no es exacta debido a que las correcciones relativistas dependen del operador de esp´ın y mezclan funciones de onda con diferente valor de s. Sin embargo, como son correcciones extraordinariamente peque˜ nas podemos considerarla a todos los efectos como válida. Por ello no se se˜ nalan transiciones (espontáneas) entre los estados s = 0 y s = 1. La probabilidad de las mismas es tan peque˜ na que los estados del He con s dado, decaen siempre a otros con el mismo esp´ın. Todo ocurre como si existiesen dos gases distintos, uno formado por los estados s = 0 llamado parahelio y, otro formado por los estados s = 1 denominado ortohelio. De hecho durante mucho tiempo, antes de la introducción de la FC, se creyó en la existencia real de dos formas de helio.

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115

4 Sistemas con pocos electrones alqua.com/figuras

Figura 4.5: Transiciones permitidas. Hay dos conjuntos de niveles impermeables entre s´ı. Cada uno da lugar a un espectro. Ambos espectros difieren poco entre s´ı, salvo por el primer nivel con S = 0.

Un fenómeno importante en espectroscop´ıa es la existencia de estados distintos al fundamental y casi estables. Se llaman estados metaestables. En el He el estado (1s2s)3 S sólo puede acceder al estado (1s2 )1 S que posee menor energ´ıa. Como esta transición viola las reglas de selección ∆l = ±1, ∆s = 0, la probabilidad correspondiente sera muy peque˜ na y, la vida media del estado, por el contrario, muy larga. Otro ejemplo es el del estado (1s2s)1 S que solo puede acceder al fundamental violando la regla ∆l = ±1.

4.3.

La mol´ ecula de H2+

4.3.1.

Introducci´ on: la aproximaci´ on de Born-Oppenheimer

Si los átomos pueden considerarse como agregados formados por un n´ ucleo y varios electrones, las moléculas pueden considerarse como agregados de varios n´ ucleos y electrones. Las moléculas son estables en su estado de energ´ıa más bajo. Es decir, es necesario aportar una cierta cantidad de energ´ıa para producir su disociación. Dado que la disociación en a´tomos es el proceso más com´ un cuando aportamos suficiente energ´ıa al sistema, podr´ıamos pensar que son estados ligados de varios átomos. Sin embargo, esta descripción deja fuera aspectos muy importantes de la estructura molecular. La descripción mecanocuántica de una molécula es mucho más compleja que la de un a´tomo. Las moléculas más simples son aquellas que poseen dos n´ ucleos (moléculas diat´ omicas) y entre ellas la más sencilla es el ión H2+ , que sólo contiene un electrón ligado. Pero

116

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

4.3 La molécula de H2+ incluso este sistema tan simple posee seis grados de libertad espaciales después de haber fijado su CM. Un ataque frontal del problema buscando soluciones numéricas de la ecS es posible en esta molécula, e incluso en otras más complejas, pero en este tema buscaremos soluciones aproximadas que nos permiten profundizar más en los aspectos f´ısicos del problema. Si despreciamos todos los efectos relativistas el hamiltoniano de una molécula con Ne electrones y Nn n´ ucleos es

H=

Nn X a=1

Ta +

Ne X

Ti +

i=1

N

X 1≤a 0.

a1 a4

experimento 16MeV 24MeV

modelo 2 V0 − 2− 3 ξ ' 10.5MeV

Cuadro 6.1: Valores predichos y experimentales

De una figura a otra perdemos energ´ıa de ligadura (el n´ ucleo se hace menos ligado) que podemos cuantificar como, ∆E

=

F −nF p εF + np (εF + δε)

=

nF p δε > 0

La conclusión es que que el ppo de exclusión favorece, dentro de los nucleos con un mismo n´ umero másico A, a aqule con D = 0. Esto es debido a que si pasamos de un n´ ucleo con N = Z a otro vecino transformando protones en neutrones, estos deber´ an situarse en niveles de energ´ıa más altos, ya que los inferiores se encuentran todos ocupados. 5. Término de apareamiento. Proviene de la peculiar forma que tiene la parte de corto alcance de la interacción nuclear y, claro está, no puede surgir de un potencial estacionario y homogéneo V0 . Ahora nos interesa ver si el valor numérico de los coeficientes cuya forma hemos reproducido con el modelo se parece al valor real. Por comparación con el valor experimental para a1 , nuestro modelo predice que la energ´ıa promedio de un nucleón es V0 = −35M eV , lo que es aproximadamente correcto. Por lo que al segundo coeficiente se refiere, existe una fuerte discrepancia con el dato experimental, lo cual se debe a que el ppo de exclusión de Pauli no es el u ńico que favorece que N = Z. La forma de la interacción fuerte favorece a´ un más que N = Z y ello justifica este sultado tan malo.

172

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

6.4 Sistema de bosones: BE alqua.com/figuras

Figura 6.8: Diagrama de Segré alqua.com/figuras

Figura 6.9: Par´ abolas de masa.

El diagrama de Segré es una representación de los n´ ucleos conocidos en el plano N, Z. Los n´ ucleos ligéros (A peque˜ no), donde el efecto de coulomb no es importante, tienden a concentrarse sobre la recta N = Z. Por el contrario, los n´ ucleos más pesados se desv´ıan hacia la zona con N > Z para contrarestar el efecto de la interacción coulombiana.

6.4.

Sistema de bosones: BE

Sea un conjunto enorme de N À 1 bosones idénticos que no interaccionan entre s´ı o, donde las interacciones reales entre part´ıculas pueden aproximarse por una interacción promedio que, cada part´ıcula siente debido a todas las demás. Se encuentran contenidas en una vasija de volumen V que no permite intercambios de energ´ıa o materia con el entorno. El postulado de simetrización no impone restricción alguna sobre los n´ umeros de ocupación cuando trabajamos con bosones lo cual influye notablemente en la determinación de σ ({ni }). Al igual que en el caso de los fermiones, solo podemos seleccionar de una forma distinguible n de entre el total de part´ıculas N . Sin embargo, la distribución de esas n part´ıculas en un nivel de energ´ıa es más complicada. Un razonamiento ingenuo da lugar a una expresión muy complicada µ ¶ gi − 1 gi + gi (gi − 1) + gi (gi − 1) + gi + ... 2 donde gi es la degeneración del nivel en que distribuimos los bosones. Como la suma anterior es muy complicada procedemos de forma radicalmente distinta. La separación entre dos

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173

6 Estad´ısticas Cuánticas

Figura 6.10: Diagrama de bolitas. [Sanchez]

estados de un mismo nivel se caracteriza por una barra vertical, y las part´ıculas, por puntos. En total debemos tener gi −1 separadores y ni part´ıculas. Cambiar las ocupaciones corresponde a permutar barras y puntos simultáneamente. Todas las formas distinguibles de reparto las podemos conseguir construyendo todas permutaciones posibles de puntos y paredes. Pero al hacer esto estamos incluyendo las permutas de dos o más paredes entre s´ı o, de part´ıculas entre s´ı, lo que no corresponde a cambiar las ocupaciones.. De modo que las formas de reparto diferentes son µ ¶ (ni + gi − 1)! ni + gi − 1 = ni ! (gi − 1)! ni Y para el conjutno de niveles se tiene σ ({ni }) =

Y µni + gi − 1¶ ni

i

Los pasos a seguir para encontrar la distribución de ocupaciones en el equilibrio son los habituales .Calculamos el logaritmo de la función anterior X log σ ({ni }) = (log (ni + gi − 1)! − log ni ! − log (gi − 1)!) i

y admitiremos que ni , gi À 1 lo que nos autoriza a usar ni como variable continua y aplicar la fórmula de Stirling, log x! = x log x − x para x À 1. As´ı X log σ ({ni }) '= (ni + gi − 1) log (ni + gi − 1) − ni log ni − (gi − 1) log (gi − 1) Hallamos el máximo por el método de Lagrange. Introducimos la función auxiliar Ã ! Ã ! X X Φ ({ni } , α, β) = log σ + α N − ni + β E − ni εi i

i

y derivamos. ∂Φ ∂α ∂Φ ∂β

174

= 0 = 0.

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

6.4 Sistema de bosones: BE

Figura 6.11:

ni gi

vs. ε: distribuci´ on de BE para dos temperaturas T ¿ 1 y T À 1.

corresponden a la conservación del n´ umero de part´ıculas y de la energ´ıa respectivamente. De ∂Φ =0 ∂nk deducimos la expresión de las neq k . En efecto, eq log (neq k + gk − 1) − log nk − α − βεk neq k + gk − 1 neq k

= 0 = eα+βεk

y, por tanto neq k =

gk − α+βε k e

1 −1

como las degeneraciones gk son grandes se suele tirar a la basura el −1 del denominador. Los dos parámetros tienen valores en el equilibrio que se relacionan con las cantidades conservadas. Procediendo como siempre β

=

α

=

1 kT α (T )

Para α sólo existen expresiones anal´ıticas sencillas en los l´ımites de temperaturas muy altas o muy bajas. En cualquier caso, para que las ocupaciones de todos los niveles sean n´ umeros positivos, el parámetro α debe ser una cantidad positiva, hecho que, por ejemplo, no es cierto en la esFD. Las ocupaciones de los niveles de mayor energ´ıa crecen con la temperatura. Como puede observarse, el comportamiento es cualitativamente parecido al de la esMB. La peque˜ na diferencia es que la esBE favorece ligeramente las ocupaciones de niveles de menor energ´ıa B nM i = 1 − e−α−βεi < 1 BE ni a α y β iguales. Para energ´ıas altas (βεi ) À 1 la exponencial se hace casi cero.

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175

6 Estad´ısticas Cuánticas

6.5.

El cuerpo negro

Como ejemplo de aplicación de la esBE estudiaremos este sistema. Se trata de un sistema ideal capaz de absorber toda la energ´ıa que incide sobre él. No existe ning´ un cuerpo negro real en la naturaleza. Una buena aproximación ser´ıa una cavidad con un peque˜ no orificio en su pared. La posibilidad de que parte de la radiación que entra por el orificio, vuelva a salir por él, es muy peque˜ na si se satisvacen ciertas condiciones. La más importante es que las paredes interiores de la cavidad tengan un poder absorbente grande. Estas paredes además de absorber y reflejar la radiación incidente, emiten radiación. Los átmos de las mismas forma una red cristalina que oscila de modo colectivo. La red puede intercambiar energ´ıa con el campo electromagnético y, también, cada átomo individual mediante transiciones de unos niveles atómicos a otros(7) . Trataremos el campo electromagnético en el interior de la cavidad como un gas de fotones. Es un gas ideal ya que no hay interacción entre los fotones. Los intercambios de energ´ıa entre el campo y la pared se producen mediante creación o destrucción de fotones. Por ello, y a diferencia de otros gase ideales, on impodremos ligadura alguna sobre el n´ umero de part´ıculas. Veremos más adelante que en el equilibrio el n´ umero de fotones depende de T . La energ´ıa electromagnética en la cavidad, sin embargo, es una cantidad conservada. Como se sabe desde 1889, la potencia radiada, por unidad de superficie, por el orificio es R (T ) = σT 4 lo que permite deducir la densidad de energ´ıa electromagnética a esa temperatura dentro de la cavidad como 4σ 4 ρ (T ) = T c Los fotones son bosones (s = 1) y obedecen la esBE. Las ocupaciones en el equilibrio son neq i =

gi e

εi kT

−1

ya que cuando el n´ umero de part´ıculas no se conserva α = 0. Dado que la cavidad tiene un tam˜ no macroscópico los niveles de energ´ıa que pueden ocupar los fotones forman casi un continuo. Por ello procedemos a transformar las expresiones de la esBe para un espectro continuo. La función de onda que caracteriza a un fotón dentro de la cavidad(8) es radicalmente diferente a la de una part´ıcula no relativista con masa. Ahora bien, su función de onda debe anularse en las paredes, lo que s´ı da lugar a la cuantización del momento k=

π (nx , ny , nz ) , nα ∈ N , α = x, y, z L

7 Como

ya sabemos los niveles de energ´ıa at´ omicos est´ an cuantizados y, por tanto, el intercambio de energ´ıa con el campo se realizan de manera discreta. Los cu´ antos de energ´ıa del campo se llaman fotones. Tambi´ en las oscilaciones de la red se hallan cuantizadas. Los cu´ antos de energ´ıa asociados a dichas oscilaciones se llaman fonones. 8 Por simplicidad suponemos una caja c´ ubica de lado L.

176

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

6.5 El cuerpo negro Lo que cambia radicalmente con respecto pPa casos anteriores es la relación entre la energ´ıa de la part´ıcula y su momento. Si k = kα2 ε

= c |p| = c~ |k| = c~k

ε de donde k = ~c , por contraposición al gas de MB (part´ıculas no relativistas de masa m), 2 2 k que tiene por relación ε = ~2m . Nos preguntamos cuántos estados tienen energ´ıa entre ε y dε (o bien, momento entre k y k + dk): g (ε) dε.

dΩ (E) = gs ¡ ¢3 π

g (ε) dε

=

L 1 2 4πk dk gs 8 ¡ ¢3 π L 2

= gs V

ε dε 2π 2 ~3 c3

Una segunda diferencia con el gas de part´ıculas no relativistas es la degeneración de esp´ın. En principio, dado que el fotón posee esp´ın s = 1 ser´ıa gs = 2s + 1 = 3. Pero esto no es verdad debido a la forma que tiene la ecO relativista que satisface la función de onda del fotón. La función de onda con proyección de esp´ın 0 no satisface dicha ecuación , por lo que sólo puede tener proyección ±1(9) .Este hecho está relacionado con las dos polarizaciones transversales independientes de una onda plana. . Por estas consideraciones obtenemos: g (ε) dε = V

ε2 dε π 2 ~3 c3

Por tanto las ocupaciones serán dn (ε)

= =

g (ε) dε ε e kT − 1 V ε2 dε ε 2 3 3 π ~ c e kT − 1

Para relacionar estos resultados con los ya conocidos los reescribimos en términos de frecuencias. Como ε = hν 8πV ν 2 dν dn (ν) = 3 hν c e kT − 1 9 El

neutrino es una part´ıcula de esp´ın s = antipart´ıcula solo existe con proyecci´ on 12 .

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1 2

que solo aparece en la naturaleza con proyecci´ on − 12 . Y su

177

6 Estad´ısticas Cuánticas resultado a partir del cual podemos obtener la densidad espectral de la radiación en la cavidad hν dn (ν) V dν 8πh ν 3 hν c3 e kT −1

ρ (ν, T ) = =

Esta expresión es la Ley de Planck para la radiación del cuerpo negro.La densidad de energ´ıa electromagnética se deduce de la fórmula anterior como Z ∞ ρ (T ) = ρ (ν, T ) dν 0 2

4

=

π (kT ) 15 (~c)3

=

aT 4

En cuanto al n´ umero de part´ıculas por unidad de volumen n

= = =

N V Z 1 ∞ dn (ν) V 0 Z 8π ∞ ν 2 dν hν c3 0 e kT −1 3

=

1 (kT ) 3 (~c)3

= bT 3 Este resultado es muy interesante ya que muestra que el n´ umero de part´ıculas no es realmente una constante, sino que, var´ıa con la temperatura al cubo. Ahora bien, una vez alcanzado el equilibrio a una cierta temperatura n permanece constante. Además podemos calcular la energ´ıa media que porta cada fotón ε = = '

ρ (T ) n π2 kT 5 2kT

El principio de equipartición de la energ´ıa establece que la energ´ıa media por grado de libertad del sistema es 21 kT (menos los osciladores unidimensionales, que llevan kT ). Cada fotón no lleva en media una energ´ıa 32 kT como las part´ıculas puntuales no relativistas, sino una cantidad pr´ oxima a 2kT .

178

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

6.6 El l´ımite clásico de las estad´ısticas cuánticas

Figura 6.12: Ley de Planck y las aproximaciones de Raleigh y de Wien. hν L´ımite de frecuencia baja kT → 0

En este caso, desarrollando en serie la exponencialtenemos la siguiente fórmula ρ (ν, T ) '

8π kT ν 2 c3

a la que también se llega en la teor´ıa cl´ asica suponiendo que cada modo de oscilación a cada frecuencia ν lleva una energ´ıa de kT . Es as´ı como Rayleigh y Jeans obtuvieron una solución errónea para el conjunto del problema. L´ımite de frecuencias alta

hν kT

→ ∞

En este caso

8πh 3 − hν ν e kT c3 expresi´ on que se denomina ley de Wien y, que fue obtenida admitiendo que los modos de oscilación del campo electromagnético en la cavidad segu´ıan la esMB. ρ (ν, T ) '=

6.6.

El l´ımite cl´ asico de las estad´ısticas cu´ anticas

Aqu´ı haremos una comparación de las tres estad´ısticas. En orden de aparición: neq i neq k neq k

= gk e−α+−βεk gk = eα+βεk + 1 gk − 1 = eα+βεk − 1

y de forma unificada podemos escribirlas as´ı εk gi + δ = eα+ kT ni

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179

6 Estad´ısticas Cuánticas con δ valiendo 0 para MB, −1 para FD y 1 para BE. Si se cumple que ∀εi

gi ni

À 1, entonces

gi gi +δ ' = eα+βεi ni ni es decir, las dos estad´ısticas cuánticas se confunden con la esMB. La u ńica posibilidad de que se de la condición expuesta ∀εk es que eα sea un n´ umero muy grande. eα À 1 Se trata de un resultado muy interesante ya que nos permite predecir, por ejemplo, que las propiedades del gas de fotones no tienden bajo ninguna circunstancia a las de un gas clásico. Para un gas de part´ıculas relativistas con masa m a utilizamos la expresión hallada en MB (puesto que es el u ńico caso en que hemos deducido α). Z V e = = N N

µ

α

mkT 2π~2

¶ 32

1 = n

µ

mkT 2π~2

¶ 32

Reuslta obvio que la condición eα À 1 sólo se alcanza cuando la densidad de part´ıculas es muy peque˜ na o la temperatura es muy elevada. n¿1oT À1 Hemos deducido, por tanto, las condiciones en que se alcanza el l´ımite clásico de las dos estad´ısticas cuánticas. Ahora bien, podemos preguntarnos por qué son precisamente esas. Debemos recordar que la diferencia primordial entre la esMB y las esCU radica en la distinguibilidad de las part´ıculas idénticas. En la primera hemos tratado éstas como distinguibles, lo que es falso en general. Existen, sin embargo, unos pocos casos en los que este principio no se aplica y, el más importante, es cuando las part´ıcuals se encuentran, en media, suficientemente alejadas de manera que sus funciones de onda no solapan (apreciablemente). Si llamamos λ a la longitud de onda del paquete de ondas asociado a una part´ıcula, dos part´ıculas estarán suficientemente alejadas si la razón del volumen del paquete de ondas y el volumen medio atribu´ıdo a cada part´ıcula es muy peque˜ na. λ3 = λ3 n ¿ 1 (V /N ) Utilizando la fórmula de De Broglie: λ

∼ = =

180

2π~ |p| 2π~ √ 2mE r 2π 2 ~2 mε

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

6.7 Problemas y substituyendo en la ecuaci´ on ε por ε ' kT llegamos a la condición µ 2 2¶ 2π ~ n ¿1 mkT es decir n¿1oT À1 Cuando se da alguna de estas condiciones el solapamiento de las funciones de onda es muy peque˜ no y, en consecuencia, podemos tratar las part´ıculas como distinguibles. En efecto, cuando crece la temperatura, el tama˜ no del paquete de ondas asociado a cada part´ıcula se reduce y, finalmente, se hace muy peque˜ no comparado con el volumen medio por part´ıcula. Si la densidad es muy baja, éste es tan grande, que las funciones de onda tampoco solapan.

6.7.

Problemas

6.7.1.

Enunciados

1. a) Deduzca la distribución de velocidades para un sistema de fermiones a temperatura T muy baja, de forma que podamos aproximar µ(T ) ' ²f . b) Calcule la velocidad media y la velocidad cuadrática media. 2. Obtenga la velocidad media de los electrones de un gas ideal cuya densidad es n = N 22 −3 . V = 10 cm 3. a) Demuestre que la entrop´ıa de un sistema aislado, en equilibrio y, formado por un N fermiones que no interaccionan entre s´ı es X £ ¤ S=k gi ln 1 + e−α−β²i + αkN + βkE i

Verifique que en un proceso reversible el cambio de entrop´ıa es dS = kβ (dE + dW ) b) Demuestre que β =

1 kT

.

4. Repita el problema anterior para un sistema de part´ıculas que obedece la estad´ıstica de BE. 5.

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181

6 Estad´ısticas Cuánticas ¡ ∂E ¢ a) Utilice la relación termodinámica P = − ∂V para demostrar que la presi´ on S que ejerce un gas ideal es 2E P = 3V b) Deduzca nuevamente la ecuación de estado de un gas ideal clásico. c) Determine la presión que ejerce un gas ideal de FD a T = 0. 6. Obtenga de forma breve y razonada las expresiones de las dos estad´ısticas cuánticas para sistemas en los que el n´ umero de part´ıculas no es constante (gas de fotones). Nota: En los problemas siguientes utilizaremos densidades de niveles, g(²), por unidad de volumen. Datos: Γ(n) = (n − 1), ζ(3) =

π2 6 ,

ζ(4) =

π4 90

7. El neutrino ν y su antipart´ıcula ν˜ tienen masa nula (por tanto se mueven a la velocidad de la luz) y esp´ın s = 1/2. En la explosión de una supernova se producen, en un corto periodo de tiempo, numerosas reacciones en las que se generan y destruyen este tipo de part´ıculas. Podemos asimilar la población de neutrinos a la radiación del cuerpo negro con la salvedad de su esp´ın. a) Obtenga la densidad de neutrinos en función de la temperatura. b) Encuentre la densidad de energ´ıa por unidad de volumen. c) Suponga que 1) la supernova se encuentra a 1015 Km (1000 a˜ nos luz) 2) el radio y temperatura efectivos de la explosión son 1000 Km y 106 K y que 3) todos los neutrinos se dispersan de manera isótropa. ¿Cuántos de ellos llegarán a la Tierra?. Datos: g(²)d² =

²2 d² , 2 π (~c)3

Z 0

∞

· ¸ xs−1 dx 1 = 1 − Γ(s)ζ(s) ex + 1 2s−1

k = 8 10−5 eV K, RT ierra = 6 103 Km 8. Deduzca la llamada ley del desplazamiento de Wien. λm T = cte 9. a) Obtenga la densidad media de fotones por unidad de volumen que componen la radiación del cuerpo negro a una cierta temperatura. b) Determine la densidad media de energ´ıa por unidad de volumen a la misma temperatura.

182

Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002)

6.7 Problemas Utilice

Z

∞ 0

xs−1 dx = Γ(s)ζ(s) ex + 1

10. Determine la ley que obedece la potencia total radiada, por unidad de área, por un cuerpo negro.

6.7.2.

Algunas soluciones

Ejercicio 8 λm T = 0,3cmK Vamos a introducir una densidad espectral no en términos de ν sino de λ. ρ (λ, T ) dλ = −ρ (ν, T ) dν dν el signo − aparece porque ν = λc de manera que dλ = − λc2 . Como las densidades se definen siempre sobre un intervalo positivo conviene hacer esto.

ρ (λ, T ) = = =

−ρ (ν (λ) , T )

dν dλ

8πh ν 3 hν c3 e kT −1 ¡ c ¢3 8πh c λ hc c3 e λkT λ −1 2

simplificando ρ (λ, T ) =

8πhc 1 hc λ5 e λkT

hc λkT

(como λ ∈

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