Introduccion a La Electronic A - Book

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA. El contenido actual de la Electrónica es muy amplio. Parte de la Física de estado sólido y la Microelectrónica, pasa por los Dispositivos y Circuitos básicos, y se extiende en el amplio campo de las aplicaciones de los grandes sistemas electrónicos de comunicación, instrumentación, potencia y control. Todo ello actuando conjuntamente con la Automática y la Informática en un todo en el que a veces es difícil separar fronteras.

1.1

Contenido de la electrónica Si desglosamos la Electrónica podríamos llegar a la tabla siguiente.

Bases

Física de Estado Sólido

Dispositivos electrónicos Áreas

Funciones del área

Electrónica analógica Diseño y utilización de las funciones básicas en tecnología discreta e integrada 1, 2, 3

Tª de Circuitos

Tª de Señales

! Bipolares

MOS

! Electrónica de potencia Diseño y utilización de las funciones básicas en tecnología discreta 1, 4

Tª de Autómatas

Electrónica digital Funciones básicas en tecnología integrada 5

Tabla 1.1. Contenido de la electrónica.

1.2

Funciones básicas de la electrónica.

El conjunto de funciones que realiza la electrónica y que se indicó numéricamente en la tabla anterior se puede organizar de la siguiente manera:

 Martinez Bernia y Asoc.

2 Electrónica analógica

1. Amplificación. Permite obtener, a partir de una señal eléctrica otra señal, rigurosamente idéntica pero de nivel energético más elevado. Como por ejemplo recuérdese el caso de un micrófono o un sensor de temperatura, que producen señales eléctricas tan débiles que es preciso aumentar. 2. Generación y conformación de señales. Contempla la producción de señales tan diversas como: cuadradas, triangulares, sinusoidales o dientes de sierra en todo un amplio espectro de frecuencias. Además se incluye aquí la modulación y demodulación de señales, funciones esenciales para la transmisión de información. 3. Acondicionamiento y conversión de datos. Contempla funciones tales como el filtrado (dónde es posible moldear a voluntad el contenido armónico de una señal), las funciones exponenciales y logarítmicas (base de la electrónica no lineal y por lo tanto de la regulación y el control analógico). Así como las funciones de conversión de señales analógicas en digitales y viceversa. 4. Conmutación. Se efectúa mediante dispositivos que presentan dos estados estables de funcionamiento: un estado de bloqueo en el que no permite el paso de tensión o de corriente y otro estado conductor (o de saturación en algunos casos) en el que permite el paso. Esta función será la base de la lógica conbinacional en electrónica digital y hablaremos de paso o no de información. Peor cuando nos situemos en el ámbito de la electrónica de potencia se hablará de transmisión o no de energía eléctrica. Camino que nos llevará a los sistemas electrónicos de alimentación, conocidos habitualmente como fuentes de alimentación. 5. Procesamiento aritmético-lógico. Basa su carácter distintivo en la naturaleza binaria de las variables que maneja. Partiendo del álgebra de Boole y de la teoría de autómatas finitos, desarrolla las funciones de cálculo básicas: suma, resta, multiplicación y división. Para ello se han construido toda una serie de elementos o células como son: memorias, contadores, registros o unidades aritmético-lógicas. En la actualidad se puede afirmar que para cada función que realiza la electrónica analógica existe su contrapartida digital, mediante la utilización de un programa que trabaja en un microprocesador. Así el procesamiento digital de señales analógicas se ha impuesto.

Sensores

Acondicion. y Conversión A/D

Acondicion. y Conversión A/D

Acondicion. y Conversión A/D

Procesamiento (algoritmos)

Mundo Analógico

Figura 1-1. Flujo generalizado del tratamiento electrónico de la información.

1.3

Clasificación de los semiconductores.

La era moderna de la electrónica de potencia comienza cuando 1956 cuando el Laboratorio Bell desarrolla el tiristor o rectificador controlado de silicio, que se comercializó en 1958 por la General Electric. Poco a poco los tubos de vacío fueron sustituidos por semiconductores, de forma que los equipos redujeron su tamaño y aumentaron su vida media notablemente. Desde entonces la electrónica de potencia ha seguido una evolución dinámica durante las tres últimas décadas en las siguientes direcciones: dispositivos semiconductores de potencia, topologías de los convertidores, simulación y análisis, técnicas de control y estimación, y hardware y software de control. Sin embargo, históricamente, la evolución de los convertidores ha seguido a la de los dispositivos de potencia, (aunque es verdad que algunas topologías existen desde la era del tubo de vacío). Las investigaciones en Física del estado sólido y las técnicas de integración VLSI en la fabricación de los semiconductores de potencia han hecho que se acerquen cada vez más al interruptor ideal. Tal dispositivo debe ser capaz de soportar gradientes de tensión y corriente elevados, con pérdidas en conducción y corriente de pérdidas en bloqueo nulas, excelentes características térmicas, un tiempo medio entre fallos elevado y pasar del bloqueo a la conducción de

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 3

modo instantáneo. Este semiconductor ideal nunca se alcanzará, pero insistimos en que todos los avances que se producen desde las primeras etapas de la electrónica de potencia hacen que se consigan dispositivos con características cada vez más parecidas a las del semiconductor ideal. Los dispositivos electrónicos de conmutación de potencia son esenciales y sus propiedades se ven reflejadas en las características del equipo. El conmutador ideal debería ser una impedancia totalmente controlable de rango infinito en ambas direcciones en tensión y corriente. Los dispositivos prácticos son limitados y están restringidos a una combinación de las siguientes capacidades: unidireccional o bidireccional en corriente., unidireccional o bidireccional en tensión, encendido controlado o sin control, apagado controlado o sin control. Los diodos, por ejemplo están limitados a una corriente y una tensión unidireccional. Los tiristores pueden soportar tensiones bidireccionales, pero están limitados a una corriente unidireccional ( ecepto los TRIAC), tienen encendido controlado pero no el apagado. Los GTO añaden a los anteriores el apagado controlado, pero algunos son asimétricos y no pueden soportar la tensión inversa. Los transitores están generalmente limitados a corrientes y tensiones unidireccionales, pero puede ser controlado su encendido y apagado. Como vemos estos dispositivos se sitúan como factores críticos en el convertidor, es muy común combinar algunos de ellos para obtener características mejoradas, por ejemplo se suelen combinar diodos con transistores o tiristores para proporcionar conducción inversa. Teniendo en cuenta la aparición de cada tipo de dispositivo, podríamos clasificarlos en: •

Dispositivos clásicos, que aparecieron antes de 1980, como el tiristor, GTO ("gate-turn-off thyristors"), el BJT y el MOSFETde potencia

•

Dispositivos modernos, que aparecieron en los ochenta. Pertenecen a este grupo el IGBT ("insulated gate bipolar transistor"),el SIT, el SITH ("static induction thyristors") y el MCT. Estos tres últimos dispositivos son practicamente desconocidos para la comunidad docente.

Para nuestro estudio, hemos agrupado los dispositivos semiconductores de potencia en dos categorías: diodos, tiristores y dispositivos controlables.

1.3.1 Características deseables en un dispositivo controlable. •

Podríamos decir que un dispositivo ideal sería el que presentase las siguientes características:

•

Bloquear cualquier tensión directa o inversa, sin permitir circulación alguna de corriente.

•

Conducir cualquier corriente sin caida alguna de tensión directa.

•

Entrar en conducción y bloqueo instantáneamente al recibir los impulsos de disparo.

•

Debe poseer un control de puerta que requiera una potencia despreciable

De entre los posibles criterios que pueden imponerse en la selección de un determinado dispositivo para una aplicación de potencia, existen algunos especialmente importantes, como la potencia necesaria para el control de puerta, o la disipación de potencia en el dispositivo semiconductor. La disipación de potencia juega un papel decisivo en la elección de un semiconductor de potencia, ya que ésta determina la temperatura de la unión. Para considerar el valor de la potencia disipada en el semiconductor, podemos establecer su modelo como el interruptor de la gráfica., donde el diodo es considerado ideal. Cuando el interruptor está cerrado la corriente total Io circula a través del interruptor, mientras que el diodo está bloqueado. Cuando el interruptor se abre un voltaje igual a Vd se establece en los extremos del interruptor, considerando que el diodo tiene una caida ideal nula. En la figura podemos ver la forma de onda de la corriente y la tensión cuando se opera a una frecuencia repetitiva de f=1/T, siendo T el periodo de encendido. Durante la puesta en conducción de este interruptor generalizado se produce un tiempo de retardo tdc, seguido de un tiempo de subida tri . Solo después que toda la corriente Io circula por el interruptor, puede el diodo bloquearse y caer la tensión a un pequeño valor Vc, después del retraso tfv. La energía disipada durante el transitorio de encendido puede aproximarse por:

 Martinez Bernia y Asoc.

4 Electrónica analógica

Pcon = 1 Vd I o t con ; 2 t con = t ri + t fv ;

( 1-1 )

Conducción

Bloqueo tb

tc T

Vd

Io Vc tdc tri tfv

tdb trv tfi

tcon

tdes

Figura 1-2. Tiempos de conmutación. Donde no se produce ninguna pérdida durante el tiempo de encendido tdc.En el estado de encendido, el dispositivo permanece un tiempo tc, que generalmente es mucho mayor que los transitorios de encendido o apagado. Así la energía disipada será:

Pc = Vd I o t c ; t on !! t con , t des )

( 1-2 )

Al abrir el interruptor igualmente tendremos:

Pdes = 1 Vd I o t des ; 2 t des = t rv + t fi ;

( 1-3 )

La disipación de potencia instantánea pT(t)=vTiT deja claro su gran valor durante los intervalos de encendido y bloqueo, si esto ocurre fs veces nos queda:

Ps = 1 V d I o f s [t con + t des ]; 2

( 1-4 )

Por lo que la pérdida total de potencia será la suma de las anteriores Pon y Ps, debiendo ser lo menor posible. Teniendo en cuenta estas consideraciones, podemos resumir las características deseables de un dispositivo de potencia: •

Corriente inversa pequeña en estado de bloqueo.

•

Caida de tensión directa baja para minimizar las pérdidas en conducción

•

Tiempos de encendido y apagado pequeños. Esto hace que el dispositivo pueda usarse en altas frecuencias.

•

Capacidad alta de bloqueo directo e inverso. Esto evitará la necesidad de conectar dispositivos en serie lo que complica el control y protección de los mismos.

•

Corriente directa de trabajo alta. Se minimiza el uso de dispositivos en paralelo.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 5

•

Coeficiente de temperatura de la resistencia directa positivo. Se consigue de ésta forma que la corriente total se reparta por igual en los dispositivos en paralelo.

•

Potencia necesaria para el control baja. Se reduce la circuitería de control.

•

Gradientes de tensión y corriente elevados. De esta forma se evitarán los circuitos externos de limitación de éstos parámetros.

1.4

Evolución de estos semiconductores.

En general es difícil comparar dispositivos ya que sus características no sólo varían de un dispositivo a otro, sino que presentan un campo de variación considerable dentro del propio dispositivo.

Figura 1-3. Evolución de los Dispositivos de Potencia. La potencia puesta en juego en el control de conducción y bloqueo es generalmente mucho mayor en los dispositivos controlados por corriente que en los controlados por tensión. Si el transistor bipolar es un dispositivo controlado en corriente con una ganancia típica de 10, necesita una potencia de circuito de puerta relativamente alta, esto hace que tengan un circuitería de control más compleja y de mayor coste que el resto de los dispositivos. Por el contrario el MOSFET y el IGBT son dispositivos controlados en tensión con una alta impedancia de entrada, con lo que el circuito de puerta es menos complejo y caro, tendiéndose incluso a incluirlo integrado. En términos de las consideraciones de dispositivo y del equipo, el mejor dispositivo de potencia es aquel que provee de la menor disipación de potencia. Para aplicaciones de 600 y 1200 V., la disipación del IGBT es considerablemente menor que la del MOSFET y la del transistor, incluso a frecuencias tan altas como 100 kHz. Como la tensión de bloqueo es menor a los 300 V., las pérdidas de potencia en el transistor bipolar y el IGBT son comparables, pero menores que las del MOSFET. Cuando la tensión de bloqueo es de 100 V. el comportamiento del transistor bipolar y del MOSFET es mejor que el del IGBT. Como conclusión diremos que para circuitos operando hasta los 200 V. es preferible el MOSFET al transistor bipolar por su baja impedancia de entrada, mientras que para valores superiores es mejor el IGBT. Escepcionalmente para muy altas frecuencias solo disponemos del MOSFET. Los dispositivos de potencia son requeridos en un amplio campo de potencias, desde los cientos de vatios a los megavatios, incluyendo además una amplia gama de frecuencias de conmutación (desde los Hz hasta el MHz). Quizás sea éste junto con la frecuencia el requerimiento más importante en la selección del dispositivo, y por ello la es la característica que más ha evolucionado desde el comienzo de los semiconductores. En la figura siguiente se muestra como han ido evolucionando los

6 Electrónica analógica

 Martinez Bernia y Asoc.

distintos dispositivos tratados en este capítulo, y cuál será el posible futuro de los mismos. En la década de los 70, el tiristor, el GTO y el transistor bipolar constituyeron el eje de la electrónica de potencia; el MOSFET estaba aún en desarrollo como para poder formar parte en muchas aplicaciones. Durante los años 80 se produjeron muchos avances, de entre los que destacan: •

Reducción de la resistencia directa del MOSFET y aumento de las potencias alcanzables.

•

Aumento en las tensiones y corrientes máximas del GTO.

•

Desarrollo de los IGBT.

•

Aumento de la potencia admisible de los CIP y en sus aplicaciones.

Es en esta década donde el MOSFET aparece como principal dispositivo en aplicaciones de alta frecuencia, debido a su precisión y facilidad de control. Los GTO comienzan su expansión en el territorio antes ocupado por el tiristor, demostrando una gran precisión en convertidores de potencia y reduciendo considerablemente el tamaño de éstos equipos. En la actualidad el IGBT se está usando en tensiones y corrientes mayores que el MOSFET, y su frecuencia de conmutación supera ya a los transistores de potencia. Además los IGBT funcionan por debajo de las frecuencias audibles, lo que facilita la reducción del ruido y el control de la salida de los convertidores de potencia. En el futuro, los GTO suplirán a los tiristores en la gran mayoría de los convertidores de potencia. Se dispondran versiones comerciales del MCT que tendrá fácil control; tambien el SITH mejorará en este aspecto. Los transistores bipolares perderán campo de aplicación frente a los IGBT y los MOSFET. La tabla 1 se presenta como estudio comparativo de los dispositivos señalados con anterioridad. Los dispositivos de potencia de la actualidad se fabrican con silicio como material base. El silicio ha tenido el monopolio de los dispositivos de potencia y lo seguirá teniendo en un futuro inmediato. Sin embargo, materiales como el arseniuro de galio, el carburo de silicio, y el diamante, aparecen como fuertes candidatos para desbancar al silicio en las futuras generaciones de dispositivos. El diamante parece ser superior a los demás; como ejemplo un MOSFET de potencia de diamante se podría utilizar en comparación con los dispositivos de silicio, con potencias seis veces superiores, frecuencias cincuenta veces mayores, con menor caida de tensión en conducción, y 600ºC como temperatura máxima de la unión. Tampoco hay que olvidar futuros desarrollos de los materiales superconductores.

1000 V 12 A Tensión

Tensión

-40 a 125

-55 a 150

-55 a 150 º

18

4

1.4

3.2

20.000

70.000

algunos kHz

20.000

100.000

100

Muy alto

Muy alto

900

2.000

Muy alto

4

1.7

0.4

0.25

2

120

90 ns

220

10

5

0.8

0.3

9

750

0.14

3

30

2.5

1

0.1

25

0.1

0.2

Tiristor

GTO

BJT

IGBT

SIT

SITH

2000 V 4800 A

6.000 V 1.200 A

700 V 100 A

1200V 50A

800V 18A

Corrien-te

Corrien-te

Corriente

Tensión

Rango TJ

-40 a 125

-40 a 125

-40 a 150

1.9

4.3

400

6. di/dt (A/ s)


    



   

MOSFET 1000V 65A Corriente -50 a 150

3.0

10.000

300

1.1

8. toff (ns)

Tensión y Corriente

5.Frecuencia Conmutación (Hz)

Tabla 2. Datos comparativos de diferentes semiconductores

.Los datos de ésta tabla provienen de: Tiristor S77R20A de IR, GTO SG3000JX24 de TOSHIBA, IGBT MG50Q1BS1 de TOSHIBA, MCT V65P1100F1 de HARRRIS SEMICONDUCTOR, MOSFET 2SK1489 de TOSHIBA, el resto proviene de la bibliografía.

MCT 1200V 300A Tensión -20 a 150

1.9

2000

200

7. ton (ns)

9. Corriente Inversa (mA)

Tensión en conducción (V)

Impulsos de Disparo

µ

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 7  Martinez Bernia y Asoc.

 Martinez Bernia y Asoc.

8 Electrónica analógica

1.5

Repaso de teoría de circuitos.

A lo largo de esta asignatura emplearemos elementos pasivos como resistencias, condensadores e inductancias combinadas con fuentes de tensión y de corriente así como dispositivos de estado para formar diferentes circuitos. Los teoremas que se exponen a continuación son frecuentemente utilizados en el análisis de tales circuitos electrónicos.

1.5.1 Constitución de un circuito eléctrico Se constituye un circuito eléctrico con la unión mediante conductores de elementos productores de energía eléctrica (activos) y elementos consumidores o de almacenamiento (pasivos). Debiéndose cumplir la siguiente condición, que en la mencionada unión se haya establecido al menos una trayectoria cerrada, por la que pueda fluir continuamente una corriente eléctrica. Elementos activos, son elementos capaces de suministrar energía, llamados fuentes de energía eléctrica, por tanto son la causa que provoca la circulación de la corriente por los circuitos. Elementos pasivos, son aquellos que consumen o almacenan la energía eléctrica, como las resistencias (que consumen la energía disipándola en forma de calor), inductancias (que la almacenan en un campo magnético) y capacidades (que la almacenan en un campo eléctrico). Estos elementos pasivos pueden ser de características constantes (independientes de la tensión y de la intensidad) y se llaman lineales a los circuitos que contienen estos elementos. Los circuitos que contienen algún elemento que varía, en sus características, con la tensión o intensidad, se denominan no lineales. Por ejemplo, la bobina con núcleo de hierro, en la que varía su coeficiente de autoinducción, L, por la saturación de dicho núcleo.

1.5.2 Sentidos y polaridades de corrientes y tensiones Antes de entrar en detalle en el estudio de cada uno de los elementos de un circuito, hay que sentar unas bases de referencia, para designar los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones, en un circuito eléctrico. Para lo cual nos basamos en el circuito de la fig. 1.1. Es el circuito mas simple que se puede formar, uniendo un elemento activo (fuente de tensión continua) con un elemento pasivo cualquiera, estableciendo un único camino cerrado. I A

VAB

V B

El sentido convencional de una corriente continua es el contrario al que seguirían los electrones, es decir, el que seguirían los iones positivos. Como consecuencia de lo anterior la corriente en el interior de un generador sigue el sentido del polo negativo al positivo, y en el circuito exterior, sale por el polo positivo del generador regresando al mismo por el polo negativo, tras recorrer al elemento pasivo. Una tensión o diferencia de potencial se representa mediante una flecha, situando la punta en el punto de mayor potencial. En extremos de una fuente de tensión, el punto de mayor potencial corresponde a la borna positiva de la fuente y la borna negativa para el de menor potencial. En el circuito de la figura anterior, se ve con claridad que la diferencia de potencial en extremos de la fuente es la misma que en extremos del elemento pasivo, comprobando que en este último el punto de mayor potencial se encuentra en el extremo por el que entra la corriente. Decimos por tanto que en el interior de un elemento pasivo la corriente circula del extremo positivo al negativo, en contra de lo que sucede en un generador. La caída de tensión o diferencia de potencial, en el elemento pasivo, se identifica de

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 9

acuerdo con lo dicho anteriormente, una flecha con la punta en el extremo positivo, como se muestra en la figura anterior. En los circuitos con fuentes de tensión alterna sabemos que tanto la tensión como la intensidad cambian de sentido y polaridad tantas veces por segundo como nos indica su frecuencia. Sin embargo, es preciso adoptar un sentido convencional para facilitar la resolución de los circuitos que se nos puedan presentar. Este sentido convencional responderá al que se produce en un determinado instante en el circuito. Por tanto, no es incoherente reflejar en circuitos de corriente alterna flechas de valoración o de referencia para indicar en un instante determinado, las polaridades y sentidos de tensiones y corrientes. Por último, conviene resaltar que en cuanto al sentido de las flechas que nos indican las polaridades de las tensiones, hay disparidad de criterios, puesto que unos (en los que nos incluimos), apoyándonos en el teorema de compensación o sustitución (que más adelante estudiaremos) y en una mayor claridad didáctica (la punta de la flecha siempre apunta al punto de mayor potencial relativo) nos inclinamos por el sentido ya expuesto, otros (incluso con recomendaciones del CEI) le dan en los elementos pasivos, el mismo sentido que a la corriente.

1.5.3 Elementos activos Los elementos activos son las fuentes de energía, las cuales introducen en los circuitos energía eléctrica procedente de la transformación de otras formas energéticas. Pueden ser fuentes de tensión o fuentes de corriente. Así mismo, se les llama independientes si su valor no depende de otras variables del circuito. Serán por tanto dependientes si su valor depende de otra variable del circuito. Para el caso particular de tratarse de fuentes de continua o de alterna, se suelen utilizar los símbolos de la figura siguiente.

v(t )

v(t ) = b ⋅ v(t )

v(t ) = r ⋅ i (t )

V

v(t )

Figura 1-4. Fuentes de tensión: independiente, dependiente controlada por tensión, dependiente controlada por corriente, independiente continua y alterna

i (t )

i (t ) = g ⋅ v(t )

i (t ) = d ⋅ i (t )

I

i (t )

Figura 1-5. Fuentes de corriente: independiente, dependiente controlada por tensión, dependiente controlada por corriente, independiente continua y alterna

1.5.4 Formas de onda Las magnitudes fundamentales que se van a calcular en un circuito son tensiones y corrientes. Estas magnitudes son provocadas por los elementos activos existentes en el circuito y su valor dependerá de la función que siga la tensión en las fuentes de tensión (o la intensidad en las fuentes de intensidad), además del resto de elementos pasivos que constituyan el circuito. A estas magnitudes le llamaremos señales, así tendremos señales de tensión y señales de corriente. Estas señales que pueden tomarse directamente de las fuentes, o de cualquier punto del circuito estarán constituidas por valores de tensión o de corriente que variarán con el tiempo, cuya representación dará lugar a una curva que obedecerá a una función más o menos compleja. A la forma de esa curva es a lo que llamaremos forma de onda de la señal.

 Martinez Bernia y Asoc.

10 Electrónica analógica

Las formas de onda que se pueden presentar en un circuito pueden ser infinitas, pero las podemos agrupar en tres grandes grupos, en los que podremos distinguir las particularidades que aparecen en los circuitos en función del tipo de forma de onda que presenten los generadores del circuito. •

Señales con forma de onda constante. Las fuentes que presentan una señal constante en el tiempo, reciben el nombre de fuentes de continua. Así mismo a los circuitos que solo tengan fuentes de continua, les llamaremos circuitos de continua, en los que todas las corrientes y tensiones serán constantes en el tiempo. En este tipo de circuitos solo tendremos resistencias como elementos pasivos.

•

Señales con forma de onda periódica. A las señales que no son constantes les llamaremos señales variables en el tiempo, las cuales tendrán su correspondiente forma de onda. De las cuales destacaremos en primer lugar las que cumple la condición de ser periódicas, es decir, hay un intervalo de tiempo y por tanto una porción de la onda que se repite continuamente cada cierto intervalo llamado periodo T:

f (t) = f (t +T) = f (t + nT) n = número entero Ejemplos de formas de onda periódicas se muestran a continuación.

Una característica de las señales periódicas es el concepto de alternancia, de modo que diremos que una señal o función es alterna cuando su forma de onda va tomando valores positivos y negativos alternadamente. Por ejemplo, las señales a, b, c, h, i, j y m de la figura anterior. De las señales periódicas, mención especial tienen las que responden a la función seno o coseno. Las fuentes que proporcionan esta forma de onda reciben el nombre de fuentes de alterna o generadores de alterna, llamados también alternadores. Esta señal es la que proporciona la máquina eléctrica generadora básica y su forma se debe al ser generada por un elemento rotativo de la máquina, que estudiaremos en el siguiente tema. En los centros de producción de energía eléctrica se utiliza este sistema, por lo que la forma de onda de la tensión en los sistemas de suministro, transporte y consumo es periódica, alterna y senoidal. Este tipo de señales son la a y la m, aunque de distinta frecuencia. A los circuitos que solo tengan fuentes de alterna, les llamaremos circuitos de alterna, en los que todas las corrientes y tensiones serán de este tipo. Debido a la importancia de este tipo de circuitos, será con estos con los que estudiaremos todos los métodos de análisis. En los circuitos en los que exista una fuente con forma de onda periódica pero no senoidal, aplicaremos un método de análisis en el que la función periódica se puede descomponer en señales senoidales superpuestas, aplicando a cada una de ellas los métodos estudiados. Hay un tema dedicado a este tipo de señales. •

Señales con forma de onda no periódica. Las fuentes que presentan una señal variable pero no periódica, corresponden a formas de onda complejas, de las que se pueden distinguir formas simples, como

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 11

cambios de la señal en un tiempo breve. Estos cambios breves provocaran respuestas en los circuitos que veremos al estudiar el régimen transitorio de los circuitos eléctricos. Como ejemplo de este tipo de señales son: la señal pulso, el escalón, la rampa, etc.

1.5.5 Valor medio y valor eficaz En la clasificación del apartado anterior, hay que añadir en las señales periódicas, que estas se van a caracterizar por los denominados valores medios y eficaces. Valor medio por definición, para una función periódica de periodo T, es la media algebraica de los valores instantáneos durante un periodo: Ymed =

1 T y(t )dt T ∫0

Valor eficaz es la media cuadrática de los valores instantáneos durante un periodo completo:

1 T [y(t )]2 dt T ∫0

Yef =

Se define como factor de forma a la relación entre el valor eficaz y el valor medio. Da idea de la forma de onda. Eef

Factor de forma =

•

Emed

Se define como factor de amplitud o factor de cresta a la relación entre el valor de cresta o máximo y el valor eficaz. Factor de amplitud =

Em Eef

El valor medio es 0 para las formas de ondas que tienen los semiperiodos simétricos respecto al eje de tiempos. Por lo tanto, para salvar esta dificultad el cálculo se hace en la mitad del periodo. En el caso particular de una señal de tensión alterna senoidal cuya función es v(t ) = Vm sen ωt se toma t = ωt y T=π Vmed =

1 π

∫

π

0

Vm sen ω t ⋅ d ω t =

Vm [− cos ω t ]π0 = Vm [(− cos π ) − (− cos 0 )] = 2 Vm = 0.637 ⋅ Vm π π π

Se define el valor eficaz de una corriente alterna, como aquel valor que llevado a corriente continua nos produce los mismos efectos caloríficos. Es un valor característico, que por otra parte es el que proporcionan los instrumentos de medida, ya sean analógicos o digitales. Aunque en la actualidad ya existen instrumentos digitales que proporcionan otros parámetros de la señal alterna.. 2

Vef =

1 2π (Vm senωt )2 dωt = Vm 2π ∫0 2π

∫

2π

0

1 2π  1 − cos(2ωt )  1 ωt sen(2ωt ) 1 dωt = Vm  2 −  = Vm 4π (2π ) π 2π ∫0  2 2 4   0 2π

sen2 ωt ⋅ dωt = Vm

Vef =

Vm

= 0.707⋅ Vm

2

El factor de forma de una señal alterna es: Em

FF= 2E 2 = m

π

El factor de amplitud de una señal alterna es:

π 22

=1.11

 Martinez Bernia y Asoc.

12 Electrónica analógica

FA=

Em Em

= 2 = 1.4142

2

1.5.6 Resistencias. El símbolo utilizado para representar a una resistencia ideal es el mostrado en la figura siguiente. En muchos documentos y bibliografía se ha extendido el uso del símbolo de la figura b sin embargo, este símbolo lo utilizaremos cuando la resistencia tenga una componente inductiva que no se debe despreciar. Esto sucede, por ejemplo, en resistencias que por su diseño constructivo están formadas por un hilo enrollado dando lugar a la aparición de la mencionada componente inductiva, en este caso diremos que se trata de una resistencia no ideal. i (t )

v (t )

a

R

b

Una resistencia es un elemento pasivo que consume energía eléctrica, la cual se disipa en forma de calor. Cuando una resistencia es recorrida por una intensidad de corriente i(t), en extremos de ella se establece una diferencia de potencial v(t), cumpliendo la ley de Ohm y con la polaridad indicada en la figura anterior. v (t ) = R ⋅ i ( t )

Donde R es una constante que determina el valor de la resistencia en ohmios.

p ( t ) = v ( t ) ⋅ i ( t ) = v (t ) ⋅

La potencia entregada a una resistencia es: O bien:

v ( t ) v 2 (t ) = R R

p (t ) = v (t ) ⋅ i (t ) = R ⋅ i (t ) ⋅ i (t ) = R ⋅ i 2 (t )

Por tanto, la potencia se expresa como una función no lineal de la corriente que pasa por la resistencia o de la tensión en la misma. La energía consumida por una resistencia será por tanto: t

t

t0

t0

W = ∫ p(t) ⋅ dt = ∫ R ⋅ i 2 (t) ⋅ dt J

Como i2(t) es siempre positiva, la energía siempre será positiva y por tanto consumida. En el caso de tratarse de una corriente continua, i(t ) = I , siendo la potencia y la energía en la resistencia: p(t) = R ⋅ I 2 W

t

W = ∫ R ⋅ I 2 ⋅ dt = R ⋅ I 2 ⋅ (t − t0 ) = R ⋅ I 2 ⋅ t

J

t0

Generalmente se selecciona t0 = 0 .

1.5.7 Inductancias. El símbolo utilizado para representar a una inductancia ideal con núcleo de aire, es el mostrado en la fig. a, aunque también se utiliza el de la fig..b. Si la inductancia tiene núcleo de material ferromagnético (también llamado núcleo de hierro), se indica con una o dos líneas a lo largo del símbolo, fig. c y d. Estas bobinas reciben el nombre de choque y su función es suavizar las variaciones de

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 13

la corriente que circula a través suyo. Si la inductancia no es ideal (inductancia real), es decir, tiene una componente de resistencia, se utiliza el símbolo de la fig. 1.6.b.

a

b

c

d

Una inductancia es un solenoide o bobina, construido con un hilo conductor arrollado con un número N de vueltas. Cada vuelta es una espira, por lo que la bobina estará constituida por N espiras conectadas en serie. Al ser recorrida la bobina por una corriente eléctrica i(t), el campo magnético creado dará lugar a un flujo que recorre el interior del solenoide, atravesando todas las espiras. Según las leyes del electromagnetismo y en concreto la ley de Faraday, en extremos de la bobina se induce una diferencia de potencial por el flujo creado en la propia bobina, que recibe el nombre de fuerza electromotriz autoinducida, con una polaridad tal que se opone al paso de la corriente, como se indica en la figura siguiente. i (t )

v (t )

L

e(t) = N

dΦ dt

Según esta ecuación, si el flujo es constante no habrá tensión inducida. Esto justifica que una bobina en un circuito de corriente continua no tenga efecto alguno, ya que al ser constante la corriente, también será constante el flujo en el interior del solenoide. Toda inductancia queda determinada por el valor de la constante L, que se mide en Henrios (H) y recibe el nombre de “coeficiente de autoinducción” de la bobina. Este coeficiente, relaciona el flujo creado en la bobina con la corriente eléctrica que la recorre, según la ecuación: L = N

d Φ (t ) di ( t )

Podemos expresar la f.e.m. autoinducida en la inductancia, sustituyendo en la ecuación valor N ⋅ dΦ (t ) , despejado de la ecuación: e(t) = L

(1)

el

di ( t ) dt

Según se indica en la figura anterior, la diferencia de potencial v(t) establecida en una inductancia coincide con el valor de la f.e.m. autoinducida, por tanto: v (t ) = L

di ( t ) dt

Por otro lado, despejando la corriente de la ecuación anterior, tenemos: di (t ) =

1 v (t )dt L

i(t ) =

1 v (t )dt L∫

 Martinez Bernia y Asoc.

14 Electrónica analógica

 di (t )  p ( t ) = v (t ) ⋅ i (t ) =  L  ⋅ i (t ) dt  

La potencia en una inductancia es:

La energía en la inductancia se encuentra almacenada en el campo magnético. t

i(t )

t0

i (t 0 )

W = ∫ p(t )dt = L ∫ i(t )di(t )

Integrando entre i(t0) e i(t), se tiene:

W=

[ ]

[

L 2 i (t ) L 2 i (t ) i (t0 ) = i (t ) − i 2 (t 0 ) 2 2

]

Generalmente se selecciona t 0 = −∞ y a menudo la corriente i(−∞) = 0 . Entonces, se tiene: W =

1 Li 2 ( t ) 2

J

En este caso la energía también será siempre mayor o igual a cero. Una inductancia es un elemento pasivo que no genera ni disipa energía, sólo la almacena.

1.6

Condensador

El símbolo utilizado para representar a un condensador ideal es el mostrado en la fig..a, aunque también se utiliza el de la fig.b. Algunos condensadores tienen polaridad, la cual debe ir indicada en el símbolo, como se muestra en la fig..c y d. Un caso particular de este tipo de condensadores son los electrolíticos, siendo su símbolo el de la fig.e. i(t)

v(t)

a

b

c

d

C

e

Un condensador está constituido por dos placas conductoras enfrentadas, separadas por un material que recibe el nombre de dieléctrico. Cuando se aplica al condensador una diferencia de potencial, las placas quedan cargadas con cargas de polaridad contraria, estableciéndose un campo eléctrico entre las placas. La relación entre la cantidad de carga acumulada y la diferencia de potencial que ha provocado dicha acumulación, determinan una constante que caracteriza a todo condensador, denominada capacidad C, que se mide en Faradios (F). C =

q (t ) v (t )

La tensión que presenta un condensador dependerá por tanto de la carga acumulada:

v (t ) =

1 q (t ) C

Durante el tiempo que tarda en acumularse la carga se establece una intensidad de corriente eléctrica, igual a la cantidad de carga desplazada en la unidad de tiempo:

i( t ) = De donde la cantidad de carga acumulada será:

dq ( t ) dt q( t ) = ∫−∞ i( t )dt t

Sustituyendo, tenemos la tensión del condensador en función de la intensidad de corriente:

 Martinez Bernia y Asoc.

v (t ) =

1 C

∫

t

−∞

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 15

i (t )dt =

1 C

∫

t0

−∞

i (t )dt +

1 C

∫

t

t0

i (t )dt = v (t 0 ) +

1 C

∫ i (t )dt t

t0

Si el circuito del que forma parte el condensador se ha establecido en el instante t0, el término v(t0) corresponde al valor inicial de la tensión en el condensador, debido a una carga acumulada en el condensador en instantes anteriores a t0. Si el condensador no tiene carga acumulada v(t0)=0, y la tensión será: v(t ) =

1 t i (t )dt C ∫0

Cuando se utiliza un condensador en un circuito de corriente continua, como la intensidad tiene un único sentido, las placas del condensador se cargarán hasta alcanzar un valor de carga constante y el condensador presentará una tensión constante entre sus placas: V=

1 q C

Despejando i(t) de la ecuación, tenemos:

i (t ) = C

dv(t ) dt

De la cual deducimos que si la tensión en un condensador se mantiene constante, la intensidad es nula, lo que demuestra el comportamiento de un condensador en continua, anulando la corriente en la rama donde está conectado. La potencia en un condensador es:  dv(t )  p(t ) = v(t ) ⋅ i(t ) = v(t ) ⋅  C  dt  

La energía en el condensador se encuentra almacenada en el campo eléctrico. t

v (t )

t0

v ( t0 )

W = ∫ p (t ) dt = C

Integrando entre v(t0) y v(t), se tiene:

W=

∫ v (t ) dv (t ) [

]

[

C 2 v(t ) C 2 v (t ) v ( t0 ) = v (t ) − v 2 (t 0 ) 2 2

]

Generalmente se selecciona t 0 = −∞ y a menudo la tensión v (−∞) = 0 . Entonces, se tiene: 1 W = Cv 2 (t ) 2

J

En este caso la energía también será siempre mayor o igual a cero. Un condensador es un elemento pasivo que no genera ni disipa energía, sólo la almacena.

1.6.1

Leyes de Kirchhoff.

En un circuito, se denomina nudo al punto donde confluyen tres o más conductores de una red. La primera ley de Kirchhoff afirma: dado un nudo, en una red y asignando flechas de valoración concordantes (todas concurrentes o divergentes con relación al nudo), la suma algebraica de las corrientes es nula I1 I2

I5 I4

I3 I1 + I2 + I 3 + I 4 + I5 = 0

∑I

i

=0

 Martinez Bernia y Asoc.

16 Electrónica analógica

Esta ley se justifica teniendo en cuenta que en un nudo no se pueden acumular cargas eléctricas. También se podría enunciar de otra manera: si a los conductores que se unen en un nudo les imponemos un determinado sentido de la corriente, en cada uno de ellos, se puede expresar que la suma de las intensidades que llegan al nudo ha de ser igual a la suma de las que salen. Esto se verifica tanto en corriente continua, como en corriente alterna (teniendo en cuenta los valores instantáneos o bien los fasoriales). E2 B

I1 E1

G

R2

I2

C G

G

E3

R3

R1

I3

A

D

I6 R6 R4 E6

G I4 F

I5

G E5

R5

E

En un circuito se denomina rama, al conjunto de elementos activos y pasivos conectados en serie entre dos nudos adyacentes. En un circuito, se denomina malla, al circuito o camino cerrado que se logra partiendo de un nudo y volviendo a él, sin pasar dos veces por un mismo elemento o nudo. En un circuito y siguiendo una línea cerrada (malla o lazo), la segunda ley de Kirchhoff nos indica que la suma de las tensiones instantáneas es igual a cero. Esto es aplicable, tanto en corriente continua, como en corriente alterna. En un caso tendremos como elementos pasivos resistencias y en otro impedancias. Vamos a demostrar esta segunda ley dándole, en la figura anterior, unos sentidos arbitrarios a las f.e.m.s. y a las intensidades y considerando positivo el sentido de las agujas del reloj. E1 = (VB − VA ) + R1 I1 E2 = (VC − VB ) + R2 I 2 − E3 = (VD − VC ) − R3 I 3

∑V

i

=0

0 = (VE − VD ) + R4 I 4 − E5 = (VF − VE ) + R5 I 5 E6 = (VA − VF ) − R6 I 6

∑E = ∑ R I

i i

Por lo tanto, también podríamos enunciar esta segunda ley de Kirchhoff diciendo que la suma algebraica de las f.e.m.s. es igual a la suma algebraica de las caídas de tensión, a lo largo de una línea cerrada o malla de un circuito. En corriente alterna se puede utilizar la notación fasorial, sustituyendo las resistencias por impedancias:

∑E = ∑Z ⋅ I

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 17

1.6.2 Fuente de tensión Ya sabemos que los elementos que aportan la energía a un circuito reciben el nombre de elementos activos, también llamados generadores o fuentes. El símbolo utilizado para representar una fuente de tensión continua ideal se muestra en la figura siguiente e A

Ic Ri

Generador de tensión real

K=constante

V

Rc

E i

B

a

b

Una fuente de tensión ideal es la que nos suministra una tensión constante independientemente del valor de la intensidad que suministra. Sin embargo, en la realidad, la fuente de tensión tiene una resistencia interna que se puede considerar asociada en serie con la propia fuente, constituyendo lo que llamamos fuente de tensión real. Si utilizamos una fuente de tensión real para alimentar a una resistencia de carga Rc, como se muestra en la figura, la ecuación de la malla es: E = Ri I c + Rc I c = Ri I c + V E = I c (Ri + Rc )

Ic =

V = E − Ri I c

E Ri + Rc

En función del valor de la resistencia de carga Rc, la tensión a la salida de una fuente real no va a permanecer constante. Cuando disminuye la resistencia de carga, aumenta la corriente Ic que ha de entregar la fuente, decimos que aumenta la carga de la fuente. Al aumentar la corriente se eleva la tensión en la resistencia interna Ri, provocando una disminución de la tensión a la salida de la fuente. La energía disipada en Ri, se entiende como energía perdida en el interior de la fuente, que será mayor cuanto mayor sea la carga a la que se someta la fuente. Existen dos valores extremos que conviene estudiar: Cuando Rc = ∞

es decir el generador tiene la conexión entre sus bornes abierta (circuito abierto), no se genera energía, Ic=0, y se verifica que V=E.

Cuando

es decir el generador está en cortocircuito y sus bornes están unidas mediante una conexión de resistencia despreciable Rc=0:

Rc = 0

I c = I cc =

E Ri

y

V = Rc I c = 0

la corriente de cortocircuito es la máxima posible. Esta situación se ha de evitar en toda fuente de tensión, ya que provocaría la destrucción de la fuente, al tomar la corriente valores muy elevados. El valor de Ri suele ser pequeño. En la figura siguiente podemos observar que la curva es asintótica con el eje de abcisas (Rc) en el infinito. Prolongando imaginariamente el sentido negativo a las (Rc), esta curva sería asintótica con una perpendicular al eje de Rc y paralela al eje de ordenadas (Ic) por el punto igual a -Ri, es decir obtendríamos un valor infinito para Ic cuando, idealmente pudiéramos anular el valor de la resistencia interna del generador.

 Martinez Bernia y Asoc.

18 Electrónica analógica

V

IC

vacío cortocircuito vacío cortocircuito IC

RC

-Ri

a

a

1.6.3 Fuente de corriente Además de fuentes de tensión, tenemos también fuentes de corriente. Una fuente de corriente ideal es la que nos suministra una intensidad constante independientemente del valor de la tensión en sus bornes (fig. 1.18). En la realidad esto no se cumple y una fuente de corriente real estará constituida, por una fuente de corriente ideal con una resistencia interna conectada en paralelo. Si utilizamos una fuente de corriente real para alimentar a una resistencia Rc, la corriente a la salida de la fuente real es menor que la corriente entregada por la fuente ideal, ya que parte se pierde por la resistencia interna. Icc = I i + Ic

I cc =

I c = I cc − I i

V V + Ri RC

V =

I cc 1 1 + Ri RC

e A

K=constante

Ic Generador de corriente real

Ii

Icc

i a

Ri

V

Rc

B b

En la comparación entre fuente o generador de tensión real y fuente o generador de intensidad real, podemos apreciar que mientras que en el primero nos interesa que la resistencia interna, Ri, sea muy pequeña para que la caída de tensión interna y, en consecuencia, la pérdida de energía sea pequeña; en el segundo, por el contrario, la resistencia interna, Ri , debe ser muy grande para que la intensidad que se derive por ella, Ii ,sea pequeña para disminuir la perdida de energía interna. Para evitar pérdidas de energía, entre generadores, no debemos acoplar en paralelo fuentes de tensión que tengan distintas fuerzas electromotrices, E, ni acoplar en serie fuentes de intensidad con diferente Icc.

1.6.4 Equivalencia de fuentes Las fuentes ideales no existen y podemos decir que un generador de tensión suministra una tensión útil, en sus bornas, que sí depende de la corriente de carga y un generador de intensidad o corriente nos da una intensidad útil que sí depende de la tensión en sus bornas. En algunos casos nos

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 19

puede interesar hallar la equivalencia entre fuentes de tensión y de intensidad para sustituir una por otra en un circuito para facilitarnos la resolución. A

A

I1

I2

Rg I

R

R

RS

E B

B

Las fuentes de tensión e intensidad en la fig. 1.20 serán equivalentes cuando suministren la misma intensidad a la misma carga, es decir que se cumpla que I1=I2. En la fuente de tensión tenemos:

( I − I 2 )Rs

y en la de intensidad:

I1 =

E R + Rg

IR s = I 2 ( R + R s )

= I2 R

Rs I2 = I R + Rs

haciendo

I1 = I 2 :

ER + ERs = IRs R + IRS R g

R( E − IRs ) = Rs IRg − E

E Rs =I R + Rg R + Rs

(

)

teniendo en cuenta que tanto R como Rs serán diferentes entre sí y distintas de cero, necesitamos, para que se cumpla esta ecuación, que: E − IRs = 0 IRg − E = 0

con lo que

y

Rs = Rg

E = IR g

o

I=

E Rg

Todo lo que hemos estudiado, en corriente continua, se puede aplicar a fuentes reales de onda senoidal, sustituyendo las resistencias por impedancias y teniendo en cuenta que tanto E como I serán vectores giratorios.

1.6.5 Principio de superposición En una red formada por generadores e impedancias, la corriente en una rama o la tensión en un nudo, cuando todos los generadores actúan simultáneamente, es la suma de las corrientes o las tensiones que se producirían si los generadores actuasen uno por uno. Tendremos en cuenta que para que un generador no actúe, éste ha de sustituirse por un cortocircuito, si se trata de un generador de tensión, o por un circuito abierto, si se trata de un generador de intensidad. Supongamos una red de "n" mallas, excitada por generadores senoidales de la misma frecuencia, en las que todos se han transformado en generadores de tensión.

Su ecuación matricial será:

 E 1   Z 11     E 2   Z 21  "  "   =  E k   Z k1     "  "     E n   Z n1

Z 12

" Z 1k

Z 22

" Z 2k

"

"

"

Z k 2 " Z kk " "

"

Z n 2 " Z nk

Z 1n   I 1     " Z 2n   I 2  " "   "  ⋅  " Z kn   I k     " "   "    " Z nn   I n  "

 Martinez Bernia y Asoc.

20 Electrónica analógica

Donde E 1 , E 2 , ## , E n , son las sumas de f.e.m.s. de los generadores que contienen cada una de las mallas. Si queremos calcular una corriente cualquiera I k :

Ik =

Z 11 Z 21 " Z k1 " Z n1

Z 12 Z 22 " Z k2 " Z n2

" " " " " "

E1 E2 " Ek " En

" " " " " "

Z 1n Z 2n " Z kn " Z nn

∆Z

desarrollando por los adjuntos de la columna k: I k = E1

∆ 1k ∆ k ∆ kk ∆ nk + E 2 2 +""+ E k +""+ E n ∆Z ∆Z ∆Z ∆Z

Donde cada una de las E puede ser suma de varias que están en la misma malla. Si cortocircuitamos todas las fuentes de tensión, excepto las de la malla 1, tendremos:

Si cortocircuitamos todas las fuentes, excepto las de la malla 2: si realizamos lo mismo, dejando las de la malla k:

I ′k = E1

∆ 1k ∆Z

I ′′ k = E 2

∆ 2k ∆Z

k

Ik = Ek

∆ kk ∆Z

y así sucesivamente. k

En conclusión, podemos establecer que:

n

I k = I ′ k + I ′′ k +""+ I k +""+ I k

Que nos demuestra el enunciado de este teorema de superposición. Si en lugar de tener una red de mallas, tuviéramos una red de nudos, también podríamos decir que la tensión en un nudo es la suma de las tensiones que nos producen en ese nudo las distintas fuentes de intensidad (o tensión) repartidas por el circuito. Igualmente, se podría demostrar siguiendo los mismos pasos que en la red de mallas.

1.6.6 Teorema de Thevenin. El teorema de Thevenin establece que un circuito activo es equivalente respecto de dos terminales A y B, a un generador de tensión E 0 , en serie con una impedancia Z 0 , siendo E 0 , la tensión existente entre A y B, y Z 0 la impedancia equivalente del circuito respecto de A y B. Z0 A Circuito activo

A E0 B

B

Hemos dicho anteriormente que dos circuitos son equivalentes si al conectar la misma carga (impedancia Z e ), circula por ellos la misma intensidad I . En estos dos circuitos se cumple que E 0 = U AB con el circuito abierto y como Z 0 es la impedancia equivalente a la que tiene el primer circuito entre los terminales A y B: I=

U AB E0 = Z0 + Ze Z0 + Ze

Es decir, que para calcular el circuito equivalente de Thevenin hemos de calcular la tensión que aparece entre los terminales A y B, que será el valor de la fuente de tensión, así como la impedancia

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 1. Introducción a la Electrónica. 21

equivalente del circuito, visto desde A y B, cortocircuitando las fuentes de tensión, o abriendo las fuentes de intensidad, para considerar solamente los elementos pasivos, en los que se incluyen las impedancias internas de los generadores. De esta manera, calculamos la impedancia asociada en serie con la fuente de tensión.

1.6.7 Teorema de Norton. Este es el teorema dual al de Thevenin y nos indica que un circuito activo puede sustituirse por una fuente de intensidad con una impedancia en paralelo. A

A

Circuito activo

Zo

Io

B

B

El valor de la fuente de intensidad será el que corresponde a la corriente de cortocircuito del circuito activo y la impedancia será la misma del circuito equivalente de Thevenin. Por lo tanto, podemos expresar que: I0 =

E 0 U AB = Z0 Z0

Si consideramos una impedancia exterior, Z e , conectada a los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton, tendremos que la intensidad que circula por ella (que ha de ser la misma en los dos casos) es: I=

E0 Z0 + Ze

I ⋅ Ze = I 0 ⋅

Z0 ⋅Ze Z0 + Ze

I = I0 ⋅

Z0 Z0 + Ze

igualando ambas expresiones, obtenemos: E0 = I0 ⋅Z0

Como habíamos indicado anteriormente.

1.6.8 Teorema de Miller En la mayoría de los circuitos electrónicos basándose en amplificadores operacionales, transistores bipolares, transistores de efecto campo, etc., existen conexiones entre el circuito de entrada y el circuito de salida, produciendo una realimentación que en la mayoría de los casos produce oscilaciones del circuito electrónico. Para analizar los circuitos electrónicos, cuya realimentación se realiza a través de una impedancia Z , es conveniente trasladar los efectos introducidos por la impedancia a los circuitos de entrada y de salida. La traslación anterior es posible apoyándose en el teorema de Miller. Si se considera un circuito eléctrico o electrónico lineal de “n” nudos y en él las tensiones de dos nudos, unidos por una impedancia, las corrientes de estos nudos y las tensiones V 1 y V 2 de los nudos respecto a otro nudo de referencia, no varían si se introduce entre los nudos dados y el de referencia impedancias de valor: Z1 =

siendo:

AV =

Z 1 − AV

y

Z2 =

Z 1 − A1V

V2 V1

y se elimina del circuito la impedancia Z . Si se considera el circuito de la figura siguiente, al aplicar la ley de Ohm, resulta:

 Martinez Bernia y Asoc.

22 Electrónica analógica

I1 =

V1 −V 2 Z

e

I2 =

V 2 −V1 Z

Aplicando la ley de Ohm al circuito de la figura siguiente, resulta: I '1 =

V1 Z1

e

I '2 =

V2 Z2

Z

I1

I'1

I2

V1

V1

V2

I'2

Z1

Z2

V2

Para que las corrientes de entrada y de salida sean iguales, puesto que ya hemos supuesto que las tensiones lo son, deberán cumplirse las igualdades: I 1 = I '1 ⇒

V1 −V 2 V1 = Z Z1

I 2 = I '2 ⇒

V 2 −V1 V 2 = Z Z2

de donde:

Z1 =

Z ⋅V 1 Z = V1 −V 2 1− V2 V1

Z1 =

Z 1 − AV

y

Z2 =

Z ⋅V 2 Z = V 2 −V 1 1− V1 V

Z2 =

Z 1 − A1V

2

Por tanto, si se cumplen las ecuaciones anteriores, los circuitos de las figuras 1 y 2 son equivalentes, que es lo que se deseaba demostrar.

Capítulo 2

SEMICONDUCTORES. Aquella sustancia que conduce mal la corriente eléctrica es conocida como aislante, mientras que un excelente conductor es conocido como metal. Así, las sustancias cuya conductividad esta entre estos dos extremos son denominadas semiconductores. El material básico para la construcción de los dispositivos electrónicos son los cristales semiconductores (Si, AsGa,...). Las propiedades eléctricas de los sólidos cristalinos dependen en gran medida de la periodicidad de la red y de las alteraciones locales de la misma. En un metal o en un aislante, la densidad de portadores libres es una constante del material y no se puede cambiar. Sin embargo, en un semiconductor la densidad de portadores libres se puede cambiar mediante la adición de impurezas en el material. Esta facilidad de regulación de la conductividad mediante la manipulación la densidad de portadores libres es lo que hace del semiconductor un material único.

2.1

Modelo de electrones libres.

Es posible pensar en un cristal como una distribución regular de núcleos “eficaces” y un conjunto de electrones más o menos ligados, moviéndose en el espacio intermedio, sometidos al potencial que crean estos núcleos. Sólo los electrones de valencia modifican considerablemente su configuración de estados energéticos con respecto a la que poseían en el átomo aislado. La evolución se describirá mediante le ecuación de Schrödinger. Para resolver esta ecuación se suele reducir el problema al caso monoelectrónico. Ignoraremos, en esta aproximación, la fluctuación periódica de la energía potencial, sustituyéndolo por un potencial constante. Además, para simplificar consideraremos una red lineal suficientemente grande para que no nos afecten los problemas de contorno. La ecuación de Schrödinger unidimensional es: −

$ d 2 Ψ (x, t ) dΨ (x, t ) + U ( x )Ψ (x, t ) = i$ 2 2m dx dt

Cuando la energía potencia U(x)≠f(t), se puede simplificar la ecuación de Schrödinger escribiendo la función de onda en la forma: Ψ( x, t ) = ψ ( x )e − iωt El segundo miembro de la ecuación toma entonces la forma:

 Martinez Bernia y Asoc.

24 Electrónica analógica

i$

dΨ (x, t ) = i$(− iω )ψ ( x )e −iωt = $ωψ ( x )e −iωt = Eψ ( x )e −iωt dt E = $ω

Realizando la misma sustitución en el resto de la ecuación y suprimiendo el factor exponencial común quedará: −

$ 2 d 2ψ (x ) + U ( x )ψ (x ) = E ( x )ψ (x ) 2m dx 2

Consideremos el caso de una partícula confinada en un pozo rectángular infinito, tal que: U( x ) = 0

0 V0

( 2-12 )

Es posible simplificar la expresión sin una pérdida notable de generalidad haciendo tender a infinito el volumen, mientras b tiende a cero y mantenemos constante el producto de ambas magnitudes, es decir: V0 → ∞ b→0

β2 = b→0⇒a→L

Para pequeños argumentos:

V0 ⋅ b = cte

2m (V0 − E ) 2mV0 ≈ >> α 2 2 2 $ $ V0 ⋅ b = cte ⇒ β 2 ⋅ b = cte

sen βb → βb

2 βb = 0

cos âb → 1

Aplicando esto podemos hacer: −

α2 − β2 ⋅ βb ⋅ senαL + cos αL = cos kL 2αβ

( 2-13 )

Y como β 2>>α2, resulta:

β 2b senαL + cos αL = cos kL 2α O bien haciendo:

( 2-14 )

β 2ab =P β →∞ 2 b →0 lim

quedaría P senαL + cos αL = cos kL αL

( 2-15 )

Esta última ecuación es la condición para que exista una onda propagándose en el sólido con energía E. Admitiendo un valor finito de P (potencia de la barrera) y representando ambos miembros de la ecuación frente a αa, o lo que es lo mismo, frente a la energía, solo aquellos valores de α que satisfagan ambas expresiones serán funciones de onda posibles. Si k es real, cos(kL) está limitado entre ±1 y por consiguiente el requerimiento de números de ondas reales correspondientes a ondas no alternadas que se propagan en el cristal hace que la energía αL esté limitada a ciertos rangos de valores llamados bandas permitidas separadas por otros rangos de energías prohibidas.

 Martinez Bernia y Asoc.

28 Electrónica analógica

Este modelo nos permite extraer las siguientes conclusiones: 1) El ancho de las bandas de energía permitidas aumenta con αL (energía). Esto es consecuencia de que disminuye P senαL + cos αL αL O sea, para un valor de P constante la barrera de potencial se va haciendo más permeable a medida que aumenta la energía de los electrones. 2) Al variar P, variamos la energía con que los electrones están ligados al núcleo. En el caso extremo, tendiendo P a infinito las regiones permitidas se reducen a los niveles del modelo de electrones libres. La distinción entre semiconductor, aislante y conductor se presenta en la figura siguiente, sabiendo que

α2 =

2mE $2

Si la banda de valencia está llena de electrones y la de conducción vacía, no puede haber corriente. Es posible que por aplicación de una energía térmica, luminosa o de campo eléctrico externo, los electrones pueden saltar a la banda de conducción y producir corriente. La probabilidad de

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 2. Semiconductores. 29

que esto ocurra es tanto menor cuanto mayor sea Eg y en consecuencia, a mayor Eg más carácter de aislante ofrecerá el material.

2.2.1 Concepto de masa efectiva. En una partícula libre: E=

p2 2m

( 2-16 )

Para una partícula en un cristal p=hk luego dE $ 2 k 1 dE $k $ 2k 2 ⇒ = ⇒ = =v dk m m 2m $ dk dv $ dk 1 d  dE  1 d 2 E dk a= = =  = dt m dt $ dt  dk  $ dk 2 dt E=

donde:

k=

( 2-17 )

m dE $ 2 dk

En definitiva: $ dk 1 dk d 2E $2 = ⇒ = = m* m m dt $ dt dk 2 d 2E dk 2

( 2-18 )

En este caso m* representa la masa efectiva de la partícula en una red cristalina periódica perfecta, y puede ser positiva y negativa.

En general m* varía con k. Cuando en el diagrama E-K la curva es cóncaa (banda de conducción EC) m*>0 y si es inversa (banda de valencia EV) m*> 0 ⇒ f (E ) → ∞ E = E f ⇒ f (E ) =

( 2-28 )

E = 0 ⇒ f (E ) → 1 E >> E f ⇒ f (E ) =

2.4

1 E −Ef e kT

Concentración de portadores.

Sabemos que a distribución de niveles energéticos en los bordes de la B.C. y la B.V. no es uniforme y se rige por las expresiones N(E) calculadas anteriormente. Por otra parte que la probabilidad de que a una temperatura T se encuentre ocupado un determinado nivel U de energía E viene dada por la función de Fermi-Dirac. Así, el nº de partículas por unidad de volumen en el nivel energético comprendido entre E y E+dE es:

dn = n(E)∙f(E)dE

( 2-29 )

En general, el nº de electrones por unidad de volumen en la B.C. viene dado por:

n(E) =

Emax

∫ N ( E ) f ( E )dE

( 2-30 )

Ec

Se suele sustituir el límite superior por ∞. ∞

n = ∫ NC Ec

(E − Ec )1 / 2 1+ e

n = N C∙e

E − EF kT

∞

dE = ∫ N C Ec

− ( Ec − E F ) ∞ kT

∫ (E − E

Ec

c

(E − Ec )1 / 2 1+ e

)1 / 2∙e

E − Ec + Ec − EF kT

− ( E − Ec ) kT

dE

d(E − Ec )

( 2-31 )

( 2-32 )

 Martinez Bernia y Asoc.

32 Electrónica analógica

x=

haciendo:

( E − Ec ) kT

( E − Ec ) = kT ∙ x ( E − Ec )1/ 2 = (kT ) ∙ x1/ 2 1/ 2

d ( E − Ec ) = kT ∙dx n = N C∙(kT ) e 3/ 2

− ( Ec − EF ) ∞ kT

∫x

∙e − x dx

1/ 2

( 2-33 )

0

∞

Teniendo en cuenta que

∫x

1/ 2

π 2

∙e − x dx =

0

n = N C∙(kT ) ∙e 3/ 2

− ( Ec − E F ) kT

ð 2

( 2-34 )

21 / 2 ∙mn3 / 2 (kT ) ð 1 / 2 n = ð 2∙$ 3∙2 3/ 2

3/ 2

 m kT  n = 2 n 2  ∙e  2ð $ 

( 2-35 )

− ( Ec − EF ) kT

( 2-36 )

 mn kT  2   2ð $ 

3/ 2

con N C = 2

Para la concentración de huecos puede establecerse una expresión análoga, considerando que la probabilidad de que exista un estado vacante en la B.V. es 1-f(E). La integral se extiende entre –∞ y EV.

p=

EV

∫ [1 − f(E)]∙N(E)dE = N ∙e

− ( EF − EV kT

)

( 2-37 )

V

−∞

 m p kT  con NV = 2  2   2π$ 

3/ 2

( 2-38 )

La cantidad NC es la densidad efectiva de estados en la B.C. y como representa el límite clásico de ocupación del nivel de energía del fondo de la B.C. EC el numero n de la B.C. es el mismo que si hubiera NC niveles por unidad de volumen, todos con energía EC reemplazando la banda. Igual ocurrirá con NV y p. NV y NC variarán con la temperatura y su magnitud es del mismo orden, aunque NV y NC no son iguales porque las masas efectivas mn y mp no coinciden. A temperatura ambiente en el silicio NC = 2,8∙ 1019cm-3 y NV = 1019cm-3.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 2. Semiconductores. 33

Multiplicando las dos expresiones obtenidas anteriormente se logra eliminar EF:

n∙ p = N C ∙ NV ∙e

− ( Ec − EV kT

)

− Eg

= N C ∙ NV ∙e kT

donde Eg es la energía de la banda prohibida. Eg = Ego – αT Ego = Eg(0ºK) En el silicio Ego = 1,21eV y α = 2,8∙ 10-4eV/ºK. Sustituyendo en la ecuación anterior: á

n∙p = N C∙NV ∙e k ∙e

− Ego kT

= A0T3∙e

− Ego kT

Expresión que depende de la temperatura y del tipo de semiconductor, y no de la concentración de portadores. Además se verifica para cualquier semiconductor que el producto n∙ p es constante.

2.5

Semiconductores.

Atendiendo a la teoría de bandas, podemos definir un material semiconductor como aquel elemento que presenta una banda de energía prohibida mucho menor que los aislantes y mayor que la que presentan los conductores. Frente a valores de 6 eV. en un aislante, en un semiconductor la energía EG de la banda prohibida puede tener un valor de aproximadamente 1 eV. Esta energía tiene una gran dependencia con la temperatura, algo que no ocurre con los aislantes ni con los conductores y viene dada por la expresión: EG = EGO − αT

( 2-39)

Siendo EGO la energía prohibida a cero grados Kelvin, β un coeficiente característico del material y T la temperatura en grados Kelvin. Los materiales semiconductores más generalizados en la industria de la Electrónica son el Germanio (Ge), Z=32 y el Silicio (Si), Z=14, ambos pertenecientes al grupo IV de la tabla periódica. En principio se utilizó el Germanio (Ge) pues presentaba muy buenas características, pero pronto se asentó el Silicio (Si) como elemento base para la fabricación de semiconductores, ya que éste se encontraba en abundancia y disponía de la propiedad de oxidarse formando un aislante perfecto, algo de gran importancia en los procesos de integración.

2.5.1 Semiconductores intrínsecos. Se denominan así aquellos semiconductores que poseen una estructura cristalina homogénea sin que en ella existan impurezas o dopado alguno. Por tanto, puede explicarse la conducción eléctrica

 Martinez Bernia y Asoc.

34 Electrónica analógica

en un semiconductor intrínseco, según el modelo de bandas, como el paso de un electrón que ha superado la barrera de energía prohibida EG, de la banda de valencia a la banda de conducción. De esta forma se dice que se ha generado un par electrón-hueco; este hueco en la banda de valencia podrá ser ocupado por otro electrón de otros subniveles. La estructura cristalina de estos semiconductores está formada por una repetición regular tridimensional de una célula unitaria que tiene el aspecto de un tetraedro con un átomo en cada vértice. El Silicio (Si) tiene un total de 14 electrones en su estructura atómica. Cada átomo del cristal tiene cuatro electrones de valencia y por tanto es tetravalente. El núcleo iónico inerte de Silicio (Si) tiene una carga positiva de +4 medida en unidades de carga electrónica. La fuerza de enlace entre átomos vecinos resulta como consecuencia de que cada electrón de valencia de un átomo de Silicio (Si) es compartido por uno de sus cuatro vecinos más próximos, llegando así a completar los 6 posibles de la subcapa p. La circunstancia de que los electrones de valencia sirvan de unión entre un átomo y el próximo determina que los electrones de valencia estén ligados a los núcleos. Por lo tanto, a pesar de la disponibilidad de cuatro electrones de valencia el cristal tiene baja conductividad. A temperaturas bajas el cristal se constituye en aislante, puesto que no hay disponible ningún portador libre. En cambio, a la temperatura ambiente algunos de los enlaces covalentes se romperán debido al suministro de energía térmica al cristal, y en consecuencia resulta posible la conducción. En este caso, un electrón que en un período de tiempo anterior había formado parte de un enlace covalente, se encuentra fuera de su enlace, y por tanto libre para circular al azar dentro del cristal. La ausencia del electrón en el enlace covalente da lugar a que el enlace sea incompleto dando como resultado la aparición de un hueco. La importancia del hueco es primordial, ya que puede servir como portador de electricidad comparable en su efectividad con el electrón libre. Como se ha mencionado, cuando un enlace queda incompleto aparece un hueco, y al electrón de valencia del átomo vecino le resulta relativamente fácil dejar su enlace covalente y llenar este hueco. Todo electrón que deja su enlace para llenar un hueco deja a su vez otro hueco en su posición inicial. Por lo tanto, el hueco se mueve efectivamente en dirección contraria al electrón. Este hueco en esta nueva posición puede ser llenado por un electrón de otro enlace covalente, y por lo tanto el hueco se moverá un lugar en sentido contrario al movimiento del electrón. He aquí un nuevo mecanismo de conducción de la electricidad que no implica electrones libres. A medida que fluye la corriente eléctrica, los huecos se comportan como cargas positivas de igual valor que la carga del electrón. Podemos considerar que los electrones son entidades físicas cuyo movimiento constituye un flujo de corriente. En un semiconductor puro (intrínseco), el número de huecos p es igual al número de electrones libres n. La agitación térmica produce continuamente nuevos pares de electrón-hueco, mientras que otros pares desaparecen como resultado de la combinación. La conducción eléctrica en un semiconductor viene dada por el movimiento de electrones y de huecos cuyas concentraciones respectivas son: n=p=ni=pi .Por lo tanto la conductividad intrínseca vendrá dada por la suma de la movilidad de electrones y de huecos: donde µp y µn corresponde a la movilidad de huecos y electrones:

σ i = ni q( µ p + µ n )

( 2-40)

Esta conductividad es muy reducida dada la alta resistividad de los semiconductores intrínsecos. La conductividad es proporcional a la concentración de electrones libres ni. Para un buen conductor, ni es muy elevado (del orden de 1028 electrones/m3); para un aislante, ni es muy pequeño (aproximadamente 107); y para un semiconductor, ni está situado entre estos dos valores. Los electrones de valencia de un semiconductor no están libres en el mismo sentido en que lo están para los conductores, sino que están ligados por los enlaces entre iones adyacentes.

2.5.2 Semiconductores extrínsecos. Son aquellos que necesitan una transformación química o impurificación, que consiste en introducir átomos de distinta valencia en su estructura cristalina, sin que ésta deje de ser homogénea. O sea, si a un semiconductor intrínseco, como el Silicio (Si) o el Germanio (Ge), se le añade un

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 2. Semiconductores. 35

pequeño porcentaje de átomos trivalentes o pentavalentes, se transforma en un semiconductor dopado, impuro o extrínseco. Podremos distinguir dos tipos de semiconductores extrínsecos según el dopado de impurezas, los semiconductores extrínsecos tipo p y los tipo n. Si introducimos átomos dopantes de algún elemento del grupo III en una proporción de 1 por 108 en dicha estructura cristalina, habrá electrones de átomos de Silicio (Si) que no estén ligados a otro, ya que existe un hueco procedente del átomo dopante. Estos elementos dopantes pueden ser Bo, Al, Ga e In, principalmente. Por lo tanto, si en la estructura cristalina aparece un exceso de huecos, se producirá una banda o nivel de energía de 0.01 eV. por encima de la de valencia que acepta electrones con suma facilidad. Así, cuando se aplique un campo eléctrico la circulación de corriente se producirá por el movimiento de huecos; no obstante existe una reducida corriente de portadores minoritarios (electrones), debido a que éstos consiguen saltar de la banda de valencia a la banda de conducción. Para hacer un dopado tipo n se recurre a impurificar o dopar el semiconductor intrínseco con impurezas donadoras, o lo que es lo mismo con elementos del grupo V como son el P, As y Sb. De esta forma al introducir átomos con cinco electrones de valencia en la estructura cristalina, queda un electrón débilmente ligado al átomo y por consiguiente aparece un nivel donador de electrones 0.01 eV. por debajo de la banda de conducción. Por lo tanto, al aplicar un campo eléctrico al semiconductor se produce una corriente electrónica debido a que los electrones saltan fácilmente a la conducción. Al igual que en los semiconductores tipo p, existe una pequeña corriente de huecos debido a la propia naturaleza intrínseca del semiconductor.

2.5.3 Ley de acción de masas. Se ha visto anteriormente como al añadir impurezas de tipo n, disminuye el número de huecos. De la misma forma, al drogar con impurezas de tipo p disminuye la concentración de electrones libres a un valor inferior a la del semiconductor intrínseco. Se puede demostrar que, en condiciones de equilibrio térmico, el producto de la concentración de las cargas positivas y negativas libres es una constante independiente de la cantidad de donador o aceptador. Esta ley se denomina de acción de masas y viene dada por:

np = ni2 (T )

( 2-41)

La concentración intrínseca ni es función de la temperatura y viene dada por la expresión:

n ≈ Ce 2 i

 − Eg     KT 

( 2-42)

Donde Eg energía prohibida del semiconductor (1.1 eV para el Si), q es la magnitud de la carga del electrón, K es la constante de Boltzman, T es la temperatura en grados Kelvin y C es una constante de proporcionalidad. A temperatura ambiente (300° K), ni = 1010 cm3 en el Silicio (Si). De esta forma podremos concluir que las impurezas en un semiconductor intrínseco no sólo aumentan la conductividad, sino que sirven también para producir un conductor en el que los portadores sean predominantemente huecos o electrones. En un semiconductor de tipo n, los electrones se denominan portadores mayoritarios, y los huecos portadores minoritarios. En un material del tipo p, los huecos son portadores mayoritarios, y los electrones portadores minoritarios.

2.6

Densidad de carga.

En un semiconductor en equilibrio, que no está perturbado en su entorno térmico, no debe haber corrientes ni flujos netos de huecos o electrones. Si existen cuatro clases de partículas cargadas en el semiconductor, la densidad de carga positiva total será ND+p. Igualmente, si NA es la concentración de iones aceptadores, éstos contribuyen al suministro de NA cargas negativas por metro cúbico. La densidad de carga total negativa será NA+n. El valor de la densidad de carga positiva deberá ser igual a la concentración de la negativa, o sea:

ND + p = N A + n

( 2-43)

 Martinez Bernia y Asoc.

36 Electrónica analógica

Considérese un material tipo n que tenga NA=0. Como el número de electrones es mucho mayor que el de huecos (n>>p), entonces la ecuación anterior se reduce a:

n ≈ ND

( 2-44)

En un material tipo n la concentración de electrones libres es aproximadamente igual a la densidad de átomos donadores. La concentración p de huecos en el semiconductor de tipo n se obtiene a partir de la ley de acción de masas. O sea:

p=

ni2 ND

( 2-45)

De igual manera, en un semiconductor tipo p:

p ≈ NA

( 2-46)

ni2 NA

( 2-47)

n=

Cabe añadir donadores a un cristal tipo p o, inversamente, agregar aceptadores a un material tipo n. Si se igualan las concentraciones de aceptadores y donadores en el semiconductor, éste permanece intrínseco. Los huecos de los aceptadores se combinan con los electrones de conducción del donador para no dar ningún portador libre adicional. Es decir, ND=NA, se observa que p=n, y n2=ni.2, o sea n=ni=concentración intrínseca. Ampliando los argumentos anteriores, cabe indicar que si la concentración de átomos donadores añadidos a un semiconductor del tipo p excede a la concentración de aceptadores (ND>NA), cambia del tipo p al tipo n. Quedando:

n ≈ ND - NA p=

2.7

ni2 ND − NA

( 2-48)

Generación y recombinación de cargas.

Se ha visto que en un semiconductor puro el número de huecos es igual al número de electrones libres. La agitación térmica genera continuamente nuevos pares de electrón-huecos, g por unidad de volumen y por segundo, mientras que otros desaparecen como resultado de la recombinación; dicho de otra manera, los electrones libres caen en enlaces covalentes vacíos, con el resultado de la pérdida de un par de portadores móviles. Por término medio, un hueco (o un electrón) existen durante τp (τn) segundos antes de la recombinación. Este tiempo se denomina vida media de un hueco o de un electrón, respectivamente. Por lo tanto el decrecimiento de la concentración de huecos por segundo debido a la recombinación será: p/τp (n/τn). Estos parámetros son muy importantes en los sistemas semiconductores porque indican el tiempo requerido para que las concentraciones de huecos o electrones que hayan cambiado vuelvan a sus concentraciones de equilibrio. Como ninguna carga puede ser creada o destruida, la variación de la concentración vendrá por: dn n =g− τn dt

En equilibrio térmico:

( 2-49)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 2. Semiconductores. 37

n n dn =0=g− o →g = o τn τn dt

( 2-50)

Y por lo tanto: dn no − n = τn dt

( 2-51)

El valor de la vida media de los portadores en exceso tiene efectos importantes en las características de los dispositivos de portadores minoritarios. Valores mayores de la vida media minimizarían las pérdidas en conducción pero tendería a hacerse más lenta la transición de la conmutación del encendido al apagado y viceversa. De ahí que los fabricantes de dispositivos se esfuercen por un control bastante preciso de la vida media durante el proceso de fabricación. Dos métodos usados comúnmente para el control de la vida media son el uso del dopado de oro y el uso de la irradiación de electrones. El oro es un impureza en los dispositivos de Silicio que actúa como una fuente de recombinación. La densidad de dopado del oro será más alta cuanto más pequeñas sean las vidas medias. Cuando se usa la irradiación de electrones, los electrones con alta energía (unos cuantos millones de eV de energía cinética) penetran profundamente (la profundidad de penetración es función de la energía) en un semiconductor antes de que choquen con el látice cristalino. Cuando se produce una colisión, las imperfecciones en el látice cristalino actúan como centros de recombinación y, de este modo, la vida media esta bajo un buen control.

2.8

Deriva y difusión.

El flujo de corriente en un semiconductor es la suma del flujo neto de huecos en la dirección de la corriente y el flujo neto de electrones en la dirección opuesta. Los portadores libres pueden moverse mediante dos mecanismos: desplazamiento o deriva y difusión. Cuando se imprime un flujo de corriente a través de un semiconductor, los huecos libres se aceleran por el campo y por una componente de velocidad paralela al campo mientras que los electrones adquieren una componente de velocidad antiparalela al campo. Esta velocidad se denomina velocidad de deriva y es proporcional a la fuerza del campo eléctrico. La componente de deriva de la corriente viene dada por:

J deriva = qµ n nE + qµ p pE

( 2-52)

donde E es el campo aplicado, µn es la movilidad de los electrones, µp la de los huecos y q es la carga en un electrón. A temperatura ambiente, en un Si dopado moderadamente (menos de 1015 cm-3), µn ≈ 1500 cm2/Vs y µp ≈ 500 cm2/Vs. La movilidad de los portadores disminuye con el aumento de la temperatura T (aproximadamente T-2).

Si hay una variación en la densidad espacial de los portadores libres, habrá un movimiento de portadores desde las regiones de concentración más alta y se debe a la fortuita velocidad térmica que tiene cada portador libre. Esta variación en la densidad de portadores se podría obtener mediante varios métodos que incluyen una variación en la densidad del dopado. La existencia de este gradiente implica que, si se traza una línea imaginaria que represente una superficie en el semiconductor, la

 Martinez Bernia y Asoc.

38 Electrónica analógica

densidad de huecos en las inmediaciones de un lado de la superficie es mayor que la densidad en el otro lado. Los huecos tienen un movimiento al azar como resultado de la agitación térmica. De acuerdo con esto, los huecos se moverían continuamente de un lado a otro a través de esta superficie y cabe esperar que durante un cierto intervalo de tiempo mayor número de ellos crucen la superficie desde el lado de mayor densidad al de menor que en sentido contrario. Este transporte de huecos a través de la superficie constituye una corriente en la dirección x positiva. Debe tenerse en cuenta que este transporte medio de cargas no es el resultado de una repulsión mutua por cargas de igual signo sino que es, simplemente, el resultado de un fenómeno estadístico. Igualmente se podría hablar de electrones. Esta difusión es exactamente análoga a la que existe en un gas neutro si hay un gradiente de concentración en el continente del gas. El movimiento de los portadores por difusión producirá una componente de la densidad de corriente que viene dada por:

J difusión

= J n + J p = qD n

dn dp − qD p dx dx

( 2-53)

donde Dn (m2/s) es la constante de difusión de los electrones y Dp (m2/s) es la constante de difusión de los huecos. Ya que p disminuye con el aumento de x, dp/dx es negativa y se precisa el signo menos en la ecuación anterior, de manera que Jp sea positiva en la dirección positiva de las x.

2.8.1 Relación de Einstein. Ya que tanto la difusión como la movilidad son fenómenos estadísticos termodinámicos, D y µ no son independientes. Entre ellas se cumple la relación de Einstein:

Dp

µp

=

Dn = VT µn

( 2-54)

en la que VT es el potencial equivalente de temperatura, definido por: VT ≡

kT T = q 11 .600

( 2-55)

donde k es la constante de Boltzmann en julio por grado Kelvin. A temperatura ambiente, VT=0.0259V.

2.8.2 Corriente total Es posible que existan simultáneamente un gradiente de potencial y un gradiente de concentración dentro del semiconductor. En tal situación, la corriente de huecos total es la suma de la corriente de desplazamiento y la corriente de difusión o sea:

J p = qµ p pE − qD p

dp dx

( 2-56)

De forma similar, la corriente neta de electrones será:

J n = qµ n nE + qDn

2.9

dn dx

( 2-57)

Variación de potencial en equilibrio térmico.

Considérese un semiconductor en el que la concentración de huecos p es función de x; es decir, un semiconductor no uniformemente drogado. Supóngase una situación de equilibrio y excitación cero, o sea, sin inyectar portadores al semiconductor desde ninguna fuente exterior. En ausencia de excitación no puede haber movimiento de cargas estable en la barra, aunque los portadores

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 2. Semiconductores. 39

tengan movimiento aleatorio debido a la agitación térmica. Por lo tanto, la corriente total de huecos debe ser cero así como el total de corriente de electrones. Al estar ante una contaminación no uniforme, para que la corriente total de huecos desaparezca, deberá existir una corriente de desplazamiento de huecos que será igual y opuesta a la corriente de difusión. Puesto que una conducción de corriente requiere un campo eléctrico, de ello se sigue que un drogado no uniforme trae como consecuencia un campo eléctrico generado en el interior del semiconductor. V1

V2

• p1

• p2

x1

x2

Haciendo Jp = 0 y empleando la relación de Einstein Dp=µpVT, se obtiene el campo eléctrico:

E=

VT dp p dx

( 2-58)

De E = -dV/dx se puede calcular la variación de potencial. Por lo tanto:

dV = −VT

dp p

( 2-59)

Si esta ecuación se integra entre x1, donde la concentración es p1 y el potencial es V1, y x2, donde p=p2 y V=V2, el resultado será: V2

V21 = ∫ dV = −VT V1

p2

dp ; p p1

∫

( 2-60)

p V21 = V2 − V1 = VT l 1 ; p2

Obsérvese que la diferencia de potencial entre los dos puntos sólo depende de las concentraciones en estos dos puntos y es independiente de su separación x2-x1. La ecuación anterior puede plantearse de la forma: p1 = p 2 e

+ V 21 / V T

( 2-61)

Haciendo Jn=0 y, procediendo como anteriormente, se obtiene la ecuación de Boltzmann para los electrones: n1 = n 2 e

− V 21 / V T

( 2-62)

Multiplicando los resultados anteriores se obtiene:

n1 p1 = n2 p2

( 2-63)

Esta ecuación indica que el producto np es un constante independiente de x y, por tanto, del drogado, en equilibrio térmico. Para un semiconductor intrínseco, n=p=ni y , por lo tanto:

np = ni

2

( 2-64)

 Martinez Bernia y Asoc.

40 Electrónica analógica

que es la ley de acción de masas estudiada anteriormente.

2.9.1 Unión abrupta. Considérese el caso especial siguiente: la mitad izquierda de la barra es del tipo p con una concentración constante NA, mientras que la mitad derecha es del tipo n con una densidad uniforme ND. El plano frontera a trazos es una unión metalúrgica (PN) que separa dos secciones con diferente concentración. V2

V1

• p2 x2

• p1 x1

ZONA P

ZONA N

A este tipo de drogado, en el que la densidad cambia bruscamente del tipo p al tipo n, se le denomina drogado en escalón. La teoría indicada anteriormente indica que existe un potencial Vo entre las dos secciones (denominado diferencial de potencial de contacto) igual a:

Vo = V21 = VT ln

p po

( 2-65)

p no

ya que p1=ppo (concentración de huecos en equilibrio térmico en el lado p) y p2=pno (concentración de electrones en el lado n). Se puede avanzar más, sabiendo que: ppo = NA y pno= ni2/ND, por lo que: V o = V T ln

N AND n i2

( 2-66)

La misma ecuación para Vo se obtiene del análisis correspondiente dado anteriormente y basado en que la ecuación de la corriente total de electrones In sea cero.

2.10 Ecuación de continuidad. Como se ha estudiado, si se altera el equilibrio de la concentración de portadores en un material semiconductor, la concentración de huecos o electrones variará respecto al tiempo. Se va a estudiar a continuación además la existencia de una variación espacial de esta concentración. Para ello considerese un elemento infinitesimal de volumen, cuya area sea A y su longitud dx, en el que la concentración media de huecos fuera p. p Huecos/m 3

Ip

Ip+dIp

Área A

Supóngase el problema unidimensional y que la corriente Ip=f(x). Si la corriente que entra por “x” en el tiempo “t” es Ip y la que sale por “x+dx” es “Ip+dIp” en el mismo tiempo “t”. Habrá dIp más Culombs por segundo que abandonarán el volumen que los que entran. La disminución de huecos por unidad de volumen en el tiempo “t” debido a la corriente Ip será:

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 2. Semiconductores. 41

1 dI p 1 dJ p = ; qA dx q dx

( 2-67)

Si la generación y recombinación vienen dados por:

p − p dp = o τ p dt

( 2-68)

Como la carga debe conservarse, el incremento de huecos por unidad de volumen deberá ser igual a la suma algebraicade las dos ecuaciones anteriores:

∂p p o − p 1 ∂J p = − ; τp ∂t q ∂x

( 2-69)

Esta ecuación anterior es conocida como ecuación de continuidad. Igualmente se debe definir para el caso de electrones: ∂n n o − n 1 ∂J n = + ; ∂t τn q ∂x

( 2-70)

Si se llama pno a la pequeña concentración de huecos generados térmicamente en el equilibrio y se sustituyen los valores de la densidad de corriente vistos anteriormente quedará:

∂p n p no − p n ∂( pn E ) ∂ 2 pn = − µp + Dp ; τp ∂t ∂x ∂x 2 ∂n p ∂t

=

n po − n p

τn

+ µn

∂ (n p E ) ∂x

+ Dn

∂ 2n p ∂x 2

( 2-71)

( 2-72)

;

Primero, si se considera el caso específico de una concentración independiente de “x” y campo nulo: ∂p n p − pn = no ; ∂t τp

∂n p ∂t

=

n po − n p

τn

( 2-73)

( 2-74)

;

Segundo, cuando la concentración es independiente del tiempo y campo nulo:

d 2 p n pn − p no = ← L p = D pτ 2 dx 2 Lp d 2np dx

2

=

n p − n po Ln

2

← Ln = Dnτ n

p

( 2-75)

( 2-76)

El parámetro Lp se denomina longitud o distancia de difusión de los huecos y está relacionado con la constante de difusión Dp y con la vida media τp. Se puede demostrar que Lp es también igual a la distancia media que recorre un hueco inyectado antes de recombinarse con un electrón. Por tanto, Lp es el recorrido medio libre de los huecos. Igualmente se define Ln para los electrones.

 Martinez Bernia y Asoc.

42 Electrónica analógica

P (x) n

P' (0) n

P (x) = P +P'(0)e-x/L p n no

P no

P' n (x)

Distancia

x

Si se llama pno la concentración de portadores minoritarios en el equilibrio térmico (lejos de la unión), se tendrá que la concentración inyectada o en exceso p'n será p'n = pn - pno. La ecuación diferencial para la concentración de huecos inyectados será:

d 2 p'n p' = n2 2 dx Lp

( 2-77)

Al difundirse los huecos en el lado n encontrarán abundancia de electrones y se recombinarán con ellos. Por tanto, pn(x) decrece con la distancia x en el material n. Integrando la ecuación anterior, se puede decir que la densidad de huecos en exceso cae exponencialmente con x:

p'n ( x) = p 'n (0)e

n' p ( x) = n' p (0)e

− x / Lp

− x / Ln

= p n ( x) − pno = n p ( x) − n po

( 2-78)

Por lo tanto las densidades de corriente de difusión serán: J p = − qD p J n = qD n

qD p p ' ( 0 ) − x / L p dp n = e dx Lp

dn p dx

=

qD n n ' ( 0 ) − x / L n e Ln

( 2-79)

Capítulo 3

DIODO. Un diodo de unión se forma cuando una región tipo n en un cristal de Silicio es adyacente o linda con una región tipo p en el mismo cristal. Dicha unión se puede formar, por ejemplo, al difundir impurezas aceptoras en el cristal de Silicio tipo n. Pudiéndose dar también la secuencia opuesta (difusión de donadores en el Silicio tipo p). La unión se caracteriza con frecuencia por cómo cambia el dopado del tipo n al tipo p cuando se cruza la unión. Se puede establecer la unión en escalera o abrupta. Un cambio más gradual en la densidad de dopado dará lugar a la unión graduada linealmente. La unión se caracteriza también por las densidades relativas de dopado en cada cara de la unión. Si la densidad de aceptores en el lado de tipo p es muy grande en comparación con la densidad de donadores en el lado de tipo n, la unión se denomina a veces una unión p+n. En cambio, si la densidad de donadores no es mucho mayor de ni en el ejemplo previo, la unión podría llamarse una unión p+n-.

3.1

Región de carga espacial.

Debido a la existencia de un gradiente de concentración a través de la unión, los huecos se difunden hacia la derecha atravesando la unión y los electrones, hacia la izquierda. Se ve, pues, que los huecos que neutralizaban los iones aceptadores en las proximidades de la unión en el Silicio tipo p, han desaparecido como resultado de la combinación con los electrones que se han difundido a través de la unión. De forma parecida, los electrones neutralizantes del Silicio tipo n se combinan con los huecos que atraviesan la unión desde el material tipo p. Los iones no neutralizados en las cercanías de la unión se conocen con el nombre de cargas descubiertas. La forma general de la densidad de carga ρ depende de la forma en que el diodo esté drogado. Como la región de la unión no contiene cargas móviles, se denomina región de desviación, de carga espacial o de transición. La anchura de esta región es del orden de la longitud de onda de la luz visible (0.5 micras = 0.5 µm). En el interior de esta sumamente estrecha franja de carga espacial no existen portadores móviles. A la izquierda de esta región, la concentración de portadores es de p≈NA y a la derecha es de n≈ND.

3.1.1 Potencial eléctrico. La densidad de carga espacial es cero en la unión, a la derecha es positiva y a la izquierda negativa. Esta distribución constituye una capa eléctrica dipolar, que tiene líneas de flujo de derecha a izquierda y que corresponde a una intensidad de campo negativa E. El equilibrio se establece cuando el campo es lo suficientemente fuerte como para contrarrestar el proceso de difusión. Planteando alternativamente, en las condiciones de equilibrio la corriente de desplazamiento de huecos (electrones)

 Martínez Bernia y Asoc.

2 Electrónica analógica

deberá ser igual y opuesta a la corriente de difusión de los huecos (electrones), de tal manera que el total de la corriente de huecos (electrones) se reduce a cero como debe ser en un sistema en circuito abierto. En otras palabras, no hay un estado de movimiento permanente de cargas en la unión.

Figura 3-1. La curva de intensidad de campo es proporcional a la integral de la curva de la densidad de carga. Esta condición se deduce de la ecuación de Poisson:

ρ d 2V =− 2 ε dx

( 3-1)

en la que ε es la permitividad. Si εr es la constante dieléctrica relativa y εo es la permitividad en el vacío entonces ε = εrεo. Integrando la ecuación anterior y recordando que E = -dV/dx, se tiene:

E=∫

x

−wp

ρ dx ε

( 3-2)

en la que E = 0 a x = -wp. La variación del potencial electrostático en la región de transición es la integral negativa de la función E. Esta variación constituye una barrera de energía potencial opuesta a la prosecución de la difusión de huecos a través de la barrera. Es similar a la que aparece contra la fluencia de electrones pero invertida ya que la carga de los electrones es negativa. Aparece, en la zona de transición, el potencial de contacto Vo. En resumen, en un circuito abierto, la corriente total de huecos debe ser cero. Si esta condición no fuese cierta, la densidad de huecos en un extremo del semiconductor debería seguir creciendo indefinidamente con el tiempo, lo cual es, desde luego, físicamente imposible. Puesto que la

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 3. Diodo. 3

concentración de huecos en el lado p es mucho mayor que en el lado n, una gran corriente de difusión de huecos tiende a atravesar la unión desde el material tipo p al n. Como aparece un campo eléctrico en la unión, hay una corriente de desplazamiento de huecos del lado N al P que equilibra la situación. Esta condición de equilibrio permite calcular la altura de la barrera de potencial Vo en función de las concentraciones de donadores y aceptadores. El valor númerico de Vo es de un orden de magnitud de unas pocas décimas de voltio.

3.2

La unión PN como diodo rectificador.

La característica esencial de una unión pn es la de que constituye un rectificador que permite un flujo fácil de cargas en una dirección, pero se opone a la circulación en dirección opuesta.

3.2.1 Polarización inversa. Si se conecta una batería, se dice que la unión pn está polarizada en inversa cuando el terminal negativo de la batería se conecta al lado p de la unión y el positivo al lado n. La polaridad de la unión es tal que tiende a llevar los huecos del tipo p y los electrones del tipo n a alejarse de la unión. En consecuencia, la región de densidad de cargas negativas se extiende hacia la derecha de la unión, y la región de la densidad de las cargas positivas se desplaza hacia la izquierda. No obstante, este proceso no puede continuar indefinidamente, ya que para tener una afluencia de huecos hacia la izquierda, estos huecos deberían alimentarse de la región tipo n del Silicio, y hay muy pocos huecos en el lado n. Por lo tanto, en principio resultará una corriente cero. Sin embargo, fluye una pequeña corriente debida a los pocos pares de electrones huecos que se generan en el cristal como resultado de la energía térmica. Los huecos así formados en el Silicio de tipo n atraviesan la unión. Algo similar les ocurre a los electrones generados térmicamente en el Silicio tipo p. Esta pequeña corriente, como se verá más adelante, es la corriente inversa de saturación del diodo y su valor se designa por Io. Esta corriente inversa del diodo aumentará a medida que crece la temperatura. Por lo tanto, se ve que Io es independiente de la tensión inversa aplicada.

Figura 3-2. Distribución de cargas en diodo polarizado inversamente. El mecanismo de la conducción en sentido inverso puede también describirse de la siguiente forma: cuando no se aplica tensión a un diodo pn, la barrera de potencial en la unión es la la de contacto qVo. Cuando el diodo se le aplica la tensión V con la polaridad señalada la altura de la barrera de potencial aumenta hasta un valor de qV. Este incremento reduce el vacío de los portadores mayoritarios. No obstante, como los portadores minoritarios están por debajo de la altura de la barrera de potencial, no son afectados en absoluto por este incremento de la barrera. A la tensión aplicada en el sentido indicado se le denomina polarización inversa o de bloqueo.

3.2.2 Polarización directa. Si ahora se aplica el terminal negativo de la batería al lado n de la unión y el positivo al lado p estamos ante la polarización directa. En un diodo ideal pn, la caída óhmica de tensión en el cristal es nula. Al aplicar una tensión directa V al diodo, se reducirá la barrera de potencial en la unión. Por lo tanto, con polarización directa, los huecos atravesarán la unión desde la región tipo p hasta la tipo n, lo que constituirá un inyección de portadores minoritarios. De forma similar, los electrones atraviesan la unión en sentido inverso y se transforman en una corriente minoritaria inyectada hacia el lado p. Los huecos que circulan de izquierda a derecha constituyen una corriente en la misma dirección que los

 Martínez Bernia y Asoc.

4 Electrónica analógica

electrones que se mueven de derecha a izquierda. Por lo tanto, la corriente resultante que atraviesa la unión es la suma de la corriente de los huecos y de los electrones minoritarios.

Figura 3-3. Distribución de cargas en diodo polarizado directamente.

3.3

Las corrientes en un diodo PN.

Ya se ha visto que cuando se polariza un diodo de manera directa se inyectan huecos en el lado n y electrones en el p. En este apartado se va a considerar una inyección a bajo nivel, de tal forma que la corriente de minoritarios sea debida exclusivamente al fenómeno de difusión, despreciando por tanto la corriente de desplazamiento de minoritarios. Corrien t e Reg ión de transición Corriente total,

I I nn, corri ente de electrones

I pp, corri ente de huecos

I

pn, corri ente de difusión de h uuecos

I np, corri ente de difusión de e lectrones

Reg ión p

Dis ta nc ia

Reg ión n

Figura 3-4. Así la corriente minoritaria huecos en la unión (x=0) será:

I pn (0) =

AqD p Lp

[ pn (0) − pno ] ( 3-3)

Además, en estas condiciones de polarización directa, se puede aplicar la ecuación de Boltzmann. Si se llama pno la concentración de portadores minoritarios en el equilibrio térmico (lejos de la unión) y la tensión externa aplicada es V. Se puede establecer la siguiente ley de la unión: p (0) = p e n no

V /V

T

( 3-4)

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de la corriente quedará:

I pn (0) =

AqD p p no  V / VT − 1 e Lp  

Igualmente ocurrirá con la corriente de electrones en el lado p.

( 3-5)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 3. Diodo. 5

I np (0) =

AqDn n po  V / VT − 1 e Ln  

( 3-6)

Los electrones que atraviesan la unión en x=0 de derecha a izquierda, constrituyen una corriente en la misma dirección que los huecos que la atraviesan de izquierda a derecha. Por lo tanto la corriente total será la suma de las dos anteriores:  AqDn n po AqD p pno I = I pn (0 ) + I np (0 ) =  +  Ln Lp 

3.4

 V / V  V / VT   T  e − 1 ( 3-7) − 1 = I o  e     

Características tensión corriente.

En el estudio de componentes se pueden diferenciar dos tipos de características: las características estáticas (en las que se ve la interrelación de las magnitudes implicadas) y las características dinámicas (en las que se estudia la variación de una magnitud en función del tiempo, ante un determinado estímulo). El diodo es un dipolo pasivo en el cual la diferencia de potencial entre sus bornes y la corriente que lo atraviesa están ligados por la ecuación:

I = I o (eV

ηVT

− 1)

( 3-8)

Este dipolo es disipativo, absorbe siempre potencia ya que V e I son siempre del mismo signo. El diodo está polarizado en sentido directo si V es positiva, indicando que el lado p de la unión es positivo con respecto al n. En este caso tendremos un valor positivo de I, o sea que la corriente circulará del lado p al lado n. La constante experimental η es conocida como el coeficiente de emisión, vale la unidad para el Ge y aproximadamente 2 para el Silicio, con corrientes moderadas. El coeficiente VT es el potencial térmico y viene dado por la ecuación:

VT =

kT T = ≈ 25.8mV q 11600

( 3-9)

Donde q es la carga del electrón, k es la constante de Boltzmann en J/ºK y T la temperatura absoluta. Se denomina característica estática del diodo a la representación gráfica de la curva V = f (I). Esta característica no es lineal y pone en evidencia el comportamiento unidireccional del dispositivo.

Figura 3-5. Característica del diodo I-V. En la característica directa de un diodo semiconductor se pueden apreciar 3 zonas netamente diferenciadas:

 Martínez Bernia y Asoc.

6 Electrónica analógica

1. La zona inferior a la tensión de umbral (V0) corresponde a una zona de la característica en la cual

los valores de la corriente son muy pequeños (por ejemplo inferiores al 1% de la corriente nominal del diodo) y casi despreciables. Por debajo de esta tensión el diodo no actúa realmente como elemento unidireccional. Los diodos disponibles en el mercado son de Ge o de Si. Ambos diodos son comparables en cuanto a sus corrientes, pero V0 es aproximadamente 0.2V para el Ge y 0.6V para el Silicio.

2. Por encima de la tensión de umbral, la corriente crece rápidamente según una exponencial que podemos aproximar:

(

I = I o eV

ηVT

)

− 1 ≈ I o eV

ηVT

( 3-10)

3. Cuando la corriente directa a través del diodo es importante, ya no es posible despreciar la caída de tensión óhmica en las regiones p y n así como en los accesorios conductores (contraelectrodos, shunts, terminales) del dispositivo. Cuando estas caídas de tensión óhmicas son preponderantes, la característica se confunde con una recta.

En cuanto V alcanza un valor de varias décimas negativas de voltio, entramos en la característica inversa del diodo.

(

I = I o eV

ηVT

)

− 1 ≈ −I o

( 3-11)

La corriente inversa es pues muy pequeña con relación a la corriente directa. Sin embargo, el diodo puede soportar en polarización inversa una elevada tensión inversa. El límite de dicha tensión es la llamada tensión de perforación, que según los diodos puede variar de varias centenas a varios miles de voltios. La expresión "perforación" debe tomarse en sentido figurado ya que el fenómeno que se produce no es forzosamente destructivo, si lo será cuando las potencias en juego vi⋅ii alcanzan valores superiores a los admisibles en la unión.

3.5

Resistencia del diodo.

La resistencia estática R de un diodo se define como la relación entre la tensión y la corriente V/I. En un punto cualquiera de la característica i-v del diodo, la resistencia R es igual a la inversa de la pendiente de la línea que une el punto de funcionamiento con el origen. La resistencia estática varía extraordinariamente con V e I y no es útil su empleo como parámetro. Las propiedades de rectificación de un diodo se indican en el catálogo o especificaciones técnicas del fabricante, dando la tensión directa necesaria VF para tener una corriente directa dada IF, y también la corriente inversa IR a una tensión inversa dada VR. Los valores típicos para un diodo de Silicio son VF = 0.8 V, a IF=10 mA (que corresponde a una RF=80 Ω) e IR=0.05 µA, a VR=50 V (correspondiente a RR = 1000 M). Para el funcionamiento con pequeñas señales, la resistencia dinámica, o incremental r, es un parámetro importante y se define como la inversa de la pendiente de la característica i-v r ≡ dV/dI. La resistencia dinámica no es una constante, sino que depende de la tensión de trabajo. Por ejemplo, para un diodo semiconductor resulta que la conductancia dinámica g ≡ 1/r es:

dI I o eV ηVT I + I o g≡ = = ηVT ηVT dV

( 3-12)

Para una polarización inversa superior a unas décimas de voltio (para queV/ηVT >> 1), g es extremadamente pequeño y r muy grande. Por otra parte, para una polarización directa superior a unas décimas de voltio I >> Io, y r viene dada aproximadamente por:

r≈

ηVT I

( 3-13)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 3. Diodo. 7

La resistencia dinámica varía inversamente con la corriente: a la temperatura ambiente y para η = 2, r = 52/I, donde I se expresa en miliamperios y r en ohm. Para una corriente directa de 52 mA, la resistencia dinámica es de 1 ohm. La resistencia óhmica del cuerpo del semiconductor puede ser del mismo orden de magnitud o a veces mucho mayor. Aunque r varíe con la corriente, en un modelo para pequeña señal es razonable emplear el parámetro como constante.

3.6

Polarización y recta de carga.

En general polarizar un dispositivo, es llevarlo a su punto de funcionamiento estático. En el caso de un dipolo, como puede ser un diodo, este punto estará caracterizado por los valores de la tensión-corriente. La representación gráfica de la ecuación del circuito es conocida como recta de carga. Esta ecuación del circuito es insuficiente para determinar las dos incógnitas VD e I. Por tanto, una segunda relación de estas dos variables se encuentra en la ecuación del diodo. La intersección de ambas determinará el punto de trabajo y los valores VD e I. V  a) I =    R VD =0 b) VD = (V )I =0

a

VD

V

I I

VR

R

VD

b

3.6.1 Ejemplo Determinar si conduce o no corriente el diodo del circuito anterior siendo V=10V., y R=1kΩ. ¿Cuál es la tensión entre los extremos del diodo, la corriente que pasa a través de él y VR ? Solución Representando la recta de carga en la curva característica del diodo, se obtiene el punto de trabajo(Q): VD=0.78V; ID=9.25mA I

10mA 9.25mA

(0.78V, 9.25mA)

0.78V

10V

V

VR= ID∗R= 0.00925∗1000= 9.25 V ! VR=9.25V Si observamos el potencial del diodo VD>0.7 que es normalmente el voltaje de codo a partir del cual el diodo permite el paso de corriente. Por lo tanto: sí conduce corriente el diodo.

 Martínez Bernia y Asoc.

8 Electrónica analógica

3.7

Dependencia de la temperatura.

La función i-v contiene implícita la temperatura en los símbolos VT e Io. Teóricamente, la variación de Io respecto a T es de 8%/°C para el Si y de 11%/°C para el Ge. En los diodos comerciales, estos valores son sólo aproximados. La razón de esta discrepancia es que, en un diodo físico, existen componentes de la corriente inversa de saturación que son debidas a las fugas por la superficie. Se ha observado experimentalmente que la corriente inversa de saturación crece aproximadamente un 7%/°C, tanto en el Si como en el Ge. Ya que 1.0710≈ 2.0, deducimos que la corriente inversa de saturación se duplica aproximadamente por cada 10°C de aumento de temperatura. Si Io = Io1 a T = T1, cuando la temperatura es T, Io viene dado por:

I o (T ) = I o1 2(T −T1 ) /10

( 3-14)

Si la temperatura aumenta manteniéndose la tensión, la corriente aumenta, pero si ahora se reduce V, I puede volver a su valor primitivo. Tanto para el Si como para el Ge (a la temperatura ambiente) se tiene:

dV ≈ −2.5mV / °C dT

( 3-15)

para mantener un valor constante de I. Se debe observar que dV/dT disminuye cuando aumenta la temperatura.

3.8

Capacidad de transición.

Cuando el diodo de unión es sometido a una polarización inversa, los portadores mayoritarios se alejan de la unión aumentando la zona en la que existen cargas fijas no compensadas (iones positivos de átomos dadores en el lado n e iones negativos de átomos aceptadores en el lado p). De ahí que el grueso de la capa espacial aumente con la tensión inversa. La capacidad de transición se puede definir como:

CT =

dQ dV

( 3-16)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 3. Diodo. 9

Vd

p

n

Densidad de carga, ρ N p -W p

Wn

0

x

N A >> N D

-Np

Intensidad de campo,ε W 0

−W p

W

x n

W p > ND, entonces Wp R2, presentándose ahora el problema de que los valores altos de resistencia no tienen buena estabilidad. Para corregir este problema, y poder utilizar resistencias de valores más bajos, sin disminuir la impedancia de entrada, se utiliza el circuito mostrado en la figura siguiente.

Figura 9-14. Esquema mejorado para polarización del JFET. Donde R3 puede tener un valor elevado para obtener un Zi muy alta, sin afectar a la polarización.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 15

Para este circuito se tiene que

Z i = R 3 + (R 2 || R1 ) ≅ R 3

( 9-50)

Con lo que los valores de R1 y R2 pueden ser mucho más bajos.

9.3

Amplificadores con JFET.

Cualquier circuito típico de amplificador con FET incluye no solo las resistencias de polarización, sino que además incluye unos condensadores denominados de desacoplo. El circuito equivalente c.a. puede emplearse para el análisis de las diferentes configuraciones de amplificadores con FET, también tendremos que sustituir todos los condensadores por un cortocircuito (impedancia del condensador = 0 para c.a.) y conectar todas las fuentes de alimentación de continua a tierra.

9.3.1 Amplificador en fuente común. La figura siguiente muestra un circuito de este tipo en el que se incluye una resistencia de autopolarización RS para ajustar la polarización, también se incluye en la misma figura el circuito equivalente en c.a. La resistencia RS cortocircuitada mediante el condensador CS y no aparece en el circuito equivalente, y la resistencia RD conectada a VDD aparece conectada ahora a tierra. El FET se ha sustituido por su modelo en c.a.

Figura 9-15. Circuito amplificador en fuente común. Circuito equivalente en c.a. La tensión de salida en c.a. es

v S = −i D R D = − g m v GS

rd R D rd + R D

( 9-51)

teniendo en cuenta que vE = vGS, la ganancia en tensión del circuito es

AV =

vS rd R D = − gm vE rd + R D

( 9-52)

La impedancia de entrada en c.a. vista hacia el amplificador es

Z E = RG y la impedancia de salida vista desde la carga es

( 9-53)

 Martinez Bernia y Asoc.

16 Electrónica analógica

ZS =

rd R D rd + RD

( 9-54)

9.3.2 Ejemplo. Calcule la ganancia en tensión, la impedancia de entrada y la de salida de un amplificador autopolarizado con los siguientes datos: VDD = 9V., RD = 2.2kOhm, RG = 10Mohm, RS = 750 Ohm, Vp = -4V, IDSS = 8mA, Yd = 40µS, C1 = C2 = C3 = 0.05μF Solución: g mo

=

2IDSS 2 ⋅ 8 ⋅ 10 −3 = = 4mS Vp −4

El punto de trabajo es: VGS + ID RS = 0 VGS = -ID RS Llevando esto a la ecuación del JFET 2

2

 2mA IDRS  ID ⋅ 750   2 −3  I D = I DSS 1 +  ⇒ I D − 500 ⋅ I D + 1 = 0; I D =   = 8 ⋅ 10 1 + VP  −4    499mA VGS = I D RG = 2 ∙10 - 3 ∙ 750 = -1,5 V  VGS  g m = g m o 1 −  = 2.5 mS Vp   rd =

1 1 = = 25kΩ Yd 4 ⋅ 10 −6

En el modelo en pequeña señal de la figura anterior la ganancia en tensión es:  Rdrd    Vo − gmVgs  Rd +rd  = = 5.05 Av = Vgs Vi

Y las impedancias de entrada y de salida respectivamente: Zo =

Rdrd = 2.0 KΩ Rd + rd

Zj = RG = 10MΩ

9.3.3 Amplificador con resistencia en el terminal de fuente. Si el amplificador se construye con parte de la resistencia de fuente sin condensador la ganancia en tensión puede determinarse empleando el circuito equivalente en c.a. de la figura siguiente. Después de convertir la fuente de corriente en fuente de tensión, el circuito de salida quedaría como se indica en la figura.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 17

Figura 9-16. Circuito amplificador con resistencia de fuente. Modelo en c.a. La tensión de salida sería entonces

vS = −

RD g r v rd + RS1 + R D m d GS

( 9-55)

puesto que v GS = v E − v RS 1

vS = −

(

RD g r v − v RS 1 rd + R S1 + R D m d E

)

De la figura anterior se desprende que v RS 1 = i D R S1 = −

vS = −

  g m rd R D vS RS1  vE + rd + R D + RS1  RD 

( 9-56)

vS R , por lo tanto: R D S1 ( 9-57)

Figura 9-17. Circuito equivalente para el circuito de salida.

Operando puede obtenerse la expresión de la ganancia en tensión de la forma

 Martinez Bernia y Asoc.

18 Electrónica analógica

AV =

vS =− vE

g m RD R D + RS1 1 + g m R S1 + rd

( 9-58)

9.3.4 Amplificador en drenaje común. Una segunda configuración de amplificador es la de drenaje común o seguidor de fuente que se muestra en la figura siguiente. El circuito es semejante a la configuración seguidor de emisor del BJT. La ganancia en tensión es también menor que la unidad sin inversión de polaridad, y proporciona una elevada resistencia de entrada y una resistencia de salida más baja que en la configuración de fuente común.

Figura 9-18. Circuito amplificador en drenador común. Circuito equivalente en c.a. Si se toma la salida desde el terminal de la fuente, no hay inversión de polaridad, y la amplitud de la tensión se reduce. La ganancia en tensión se determina como sigue

v GS = v E − v S

( 9-59)

Puesto que

v S = g m v GS

RS rd R S + rd

( 9-60)

la ecuación puede expresarse

RS rd R S + rd

( 9-61)

 RS rd  v v E = 1 + g m R S + rd  GS 

( 9-62)

v GS = v E − g m v GS despejando

La ganancia en tensión del montaje es entonces

gm

AV =

R S rd RS + rd

vS = vE  RS rd  1 + g m  RS + rd  

( 9-63)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 19

La ganancia en tensión no se invierte y es menor que la unidad, acercándose a la unidad a medida que el paralelo de RS y rd se hace mayor. La impedancia de entrada del amplificador es

Z E = RG

( 9-64)

en tanto que la impedancia de salida se obtiene de la siguiente expresión

ZS =

9.4

vS vS + gmvS rd || RS

=

rd || R S 1 + g m rd || RS

( 9-65)

Transistor MOSFET.

El transistor de efecto campo puede construirse con el terminal de puerta aislado del canal, este dispositivo es conocido entonces como MOSFET. Existen fundamentalmente dos tipos el MOSFET de deplexión y el MOSFET de acumulación. En el modo de deplexión se construye un canal y la corriente entre drenaje y fuente será el resultado de la tensión aplicada entre el drenaje y fuente. Sin embargo, el MOSFET de acumulación no tiene canal formado cuando se construye. La tensión debe aplicarse en la puerta para generar un canal de portadores de carga, de modo que se produzca una corriente cuando se aplique una tensión entre drenaje y fuente.

9.4.1 MOSFET de deplexión. La estructura de un MOSFET de deplexión canal n es la mostrada en la figura siguiente.

Figura 9-19. Construcción y símbolo del MOSFET de deplexión canal n. Se forma sobre un sustrato de tipo p, y los terminales de fuente y drenaje se conectan mediante un metal (aluminio) a las regiones de fuente y drenaje con impurezas de tipo n, las cuales son conectadas internamente con un canal de impurezas tipo n. Por último se deposita encima del canal un contacto metálico sobre una capa de dióxido de silicio (SiO2). Esta combinación de puerta metálica sobre una capa de óxido y sobre un sustrato semiconductor forma el dispositivo MOSFET de deplexión. Las tensiones negativas puerta-fuente expulsan los electrones de la región del canal, y una tensión suficientemente elevada debe cerrar el canal. Sin embargo una tensión positiva puerta-fuente originará un aumento de la conductividad del canal, atrayendo más portadores de carga, y por tanto, una corriente más elevada en el canal. En la figura siguiente se muestra la característica de transferencia del dispositivo, como puede observarse opera con tensiones positivas y negativas de puerta, los valores negativos de VGS reducen la corriente de drenaje hasta que a un nivel VP se llega a la oclusión.

 Martinez Bernia y Asoc.

20 Electrónica analógica

Figura 9-20. Características del MOSFET de deplexión canal n. La característica de transferencia es la misma que la del JFET para valores negativos de VGS, pero a diferencia de ésta continua para valores positivos de VGS. La relación entre ID y VGS viene definida por la expresión:

 VGS   I D = I DSS  1 − VP  

2

( 9-66)

Pero ahora VGS pude tomar valores positivos. Puesto que la puerta se encuentra aislada del canal tanto para valores positivos como negativos de VGS la corriente de puerta es despreciable. El símbolo se muestra en la primera figura de este apartado, y se observa un terminal de sustrato, sobre el que se indica el dispositivo, la flecha indica un sustrato p y, por tanto, se trata de un dispositivo de canal n. Para el MOSFET de canal p, es aplicable todo lo anterior, salvo que las tensiones y corrientes tiene signos opuestos.

9.4.2 MOSFET de acumulación. El MOSFET de acumulación no tiene canal entre el drenaje y la fuente como parte de la construcción del dispositivo. La aplicación de una tensión positiva puerta-fuente expulsará los huecos en la región del sustrato bajo la puerta dejando una zona de transición. Cuando la tensión de puerta VGS es suficientemente elevada y se hace mayor que una tensión Vt umbral, se produce una inversión local de la capa en material N. Aumentar VGS por encima de este valor proporciona electrones adicionales reduciendo la resistencia del canal y aumentando la corriente.

Figura 9-21. Canal formado en un MOSFET de acumulación canal n. Símbolo. Si ahora se contempla la tensión VDS, los valores altos de VDS reducen la tensión en canal en las cercanías del drenador, con lo que se reduce la conductividad y por lo tanto disminuye la pendiente de la curva ID VGS=k= f (VDS). En último extremos llegará al estrangulamiento del canal. Esto ocurrirá cuando: VDS ≥ VGS - Vt ; -VDS ≤ Vt VGD ≥ Vt ; VDG ≥ -Vt Así los estados serán:

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 21

Corte ⇒ VGS ≤ Vt > 0    Ohmico ⇒ VDG ≤ −Vt NMOSFET  Conducción ⇒ VGS ≥ Vt ⇒   Saturación ⇒ VDG > −Vt  Para los dispositivos de canal P invertimos las desigualdades. La característica de transferencia del MOSFET de acumulación de canal n se muestra en la figura siguiente, en ella se observa que no hay corriente de drenaje hasta la tensión de puerta-fuente supera el valor umbral VT. Las tensiones positivas sobre este valor de umbral producen un incremento de la corriente de drenaje, la cual viene dada por la expresión anterior.

Figura 9-22. Característica de transferencia del MOSFET de acumulación canal n. En el MOSFET de acumulación no puede asociarse ningún valor de IDSS, ya que no existe corriente para VGS = 0 V. A pesar de que el MOSFET de acumulación está más restringido que el de deplexión en el intervalo de operación, el primero resulta muy útil en los circuitos integrados. El símbolo esquemático está representado en la primera figura de este apartado y muestra una línea interrumpida entre le drenador y fuente, así mismo, la flecha del terminal de sustrato muestra un sustrato p y un canal n.

9.4.3 Característica de transferencia del MOSFET de acumulación. VGS VG VDS D

S

y

x N+

N+ Q'(x)

dx V(x)

x L

x

Recordando que: dR = ρ ( x )

1/ρ = qµnN dx dx 1 = ⋅ S qµ n n( x ) zy ( x )

( 9-67)

 Martinez Bernia y Asoc.

22 Electrónica analógica

Donde S = z y(x) es el área de la sección transversal y q n(x)y(x)=QI(x) es la carga de inversión contenida en el canal x. A una distancia x a lo largo del canal, la tensión respecto a la fuente es V(x) y en dicho punto la tensión puerta-canal es VGS-V(x). Si esta tensión supera a Vt umbral: QI(x)= Cox [VGS-V(x)-Vt ], siendo Cox la capacidad asociada a la estructura MOS. Por tanto: dR =

dx zì nQI(x)

( 9-68)

Luego la caída de tensión a lo largo del canal de longitud “dx”. Es: dV = I D dR = I D

dx zµnQI (x )

( 9-69)

Integrando: VDS

L

∫I

D

dx = zµn C0 x

0

∫ (V

− V − Vt )dV

GS

( 9-70)

0

2   VDS ( ) V V V − −   GS t DS 2  

ID =

zµ nC0 x L

ID =

zµ nC0 x 2 2 VGS −Vt VDS − VDS 2L

[(

ID =

)

[

( 9-71)

]

k 2 2(VGS − Vt )VDS − VDS 2

( 9-72)

]

( 9-73)

Región óhmica: Si VDS se mantiene tan pequeña que el término cuadrado es despreciable: ID = k(VGS-Vt)VDS, expresión que define la zona óhmica del MOSFET de acumulación, siendo la resistencia lineal controlada por tensión:

R NMOS =

1

k (VGSS − Vt ) )

( 9-74)

D

IDS = f(VGS ,VDS)

G VGS

S

Figura 9-23. Circuito equivalente región ohmica Región Activa : En este caso se verifica que VDG = -Vt, lo que implica que VDS = VGS-Vt, luego la expresión de la intensidad quedaría:

ID =

k 2 VGS − Vt ) ( 2

( 9-75)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 23

D ID G VGS

S

Vt

VGS

Figura 9-24. Circuito equivalente región activa. Como en el caso del JFET o del MOSFET de deplexión, también puede obtenerse un valor de transconductancia para un MOSFET de acumulación, siendo la relación en este caso:

gm =

K (VGS − VT ) 2

( 9-76)

9.4.4 Polarización del MOSFET de acumulación. El MOSFET de acumulación requiere una tensión puerta-fuente mayor que la tensión umbral necesaria para activar el dispositivo. Un circuito común de polarización se muestra en la figura siguiente. La resistencia RG cumple la misión de proporcionar una tensión adecuada para llevar el MOSFET a conducción. La corriente de drenador se incrementa hasta que se alcance el equilibrio entre la tensión drenador-fuente (puerta-fuente) y la corriente de drenador.

Figura 9-25. Circuito de polarización de un MOSFET de acumulación canal n. La tensión de puerta determina la corriente de drenaje del MOSFET, que viene dada por la expresión

ID =

K (VGS − VT )2 2

( 9-77)

la corriente ID también produce una caída de tensión a través de RD, por lo que

V DS = V DD − I D R D

( 9-78)

Ya que la corriente de puerta es despreciable, la tensión VGS = VDS, de modo que puede escribirse:

ID =

K (VDS − VT )2 2

( 9-79)

La característica de drenaje del MOSFET puede obtenerse gráficamente para valores determinados de VT y K, se eligen los valores de VDS calculando el valor resultante de ID.

 Martinez Bernia y Asoc.

24 Electrónica analógica

Figura 9-26. Característica del MOSFET y recta de carga. La figura anterior muestra una característica de drenaje típica de un MOSFET, junto a la recta de carga. La intersección de las dos curvas proporciona los valores de polarización. Si por razones de linealidad se desea que VGS ≠ VDS, puede emplearse el circuito de la figura siguiente.

Figura 9-27. Circuito de polarización para MOSFET canal n con VGS ≠ VDS. Para este caso la tensión de puerta será

VGS =

ID =

VDS R R1 + R f 1

K  VDS  R1 − VT 2  R1 + Rf

( 9-80)

  

2

( 9-81)

para la malla de salida tendremos como en el caso anterior

V DS = V DD − I D R D

( 9-82)

Con ambos circuitos de obtiene un efecto de estabilidad debido a la realimentación a través de la resistencia que une el drenador con la puerta.

9.4.5 Ejemplo 1 Determinar las tensiones y corrientes del MOSFET en el circuito polarizado con realimentación de drenador ( apartado de polarización del MOSFET de acumulación) si está activo. Con los siguientes datos: VDD = 10V., RD = 160 kOhm, RG = 10Mohm, RS = 0 Ohm, VEE = -10V. K = 0.05 mA/V² y Vt = 2V.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 25

Solución Siempre se tendrá que para la compuerta del FET la corriente IG será prácticamente nula. Es por eso que la magnitud de RG será de MΩ, puesto que lo que interesa es sólo el voltaje que induce la compuerta. Debido a esta consideración se puede escribir que VG = VD. Por otro lado, suponiendo estado activo: ID = (VGS - Vt)² ∙ K/2 VDD = IDRD + VDS +VEE; Como VG = VD → VDS = VD – VS = VG – VS = VGS ; VDS = VGS De manera que: VDD = IDRD+ VGS+VEE ; ID = ( VGS – Vt)² ∙ K/2 ; VDD = (VGS-Vt)² RDK/2 + VGS + VEE → V²GS K RD/2 + V²t RD K/2 + VGS(1-2Vt RDK/2 + VEE = VDD → V²GS –15VGS – 4 = 0 → VGS = - 0.25V, 4V Como el mosfet está activo, la solución correcta es aquella que verifique VGS>Vt. Como Vt = 2V, la solución correcta es VGS = 4V. De esta forma: ID = (VGS – Vt)²K/2 = 0.1mA VD = VG = -6V Observamos que VDS = VD – VS = VD –VEE = -6-(-10) = 4V. O sea, se tiene que VDS>0 para el fet. Veamos si VDS>VDSsat. VDSsat = VGS –Vt = 4 –2 = 2V Efectivamente, se verifica que VDS>VDSsat, lo cual nos indica que nuestra consideración inicial de que el mosfet estaba en la suposición correcta.

9.4.6 Ejemplo 2. Determinar las tensiones y corrientes del MOSFET en polarización por divisor de tensión si está activo. Téngase en cuenta que VDD=12V, R1=3.3Mohm, R2=1.5Mohm, RD=3.9kOhm, RS=3.9kOhm, K = 0.5mA/V² y Vt = 2V. Solución Como la corriente de compuesta debe considerarse nula, la corriente que pasa por la RG y Rl se considera la misma y, por tanto, se llega a que: VDD = I ( RG + Rl) ; VG = I R1 = VDD Rl/(RG + R1) = 8V =VG Como IS = ID, podemos hallar VS, pero hallaremos en primer lugar ID. Si suponemos que el transistor está en estado activo: ID = (VGS – Vt)² 3K/2; VDD= IDRD + VDS + ISRS ; VG = VGS + ISRS VDD = ID(RD + RS) + VDS ; ID =(VGS – Vt)² 3K/2; VG = VGS + ISRS→ VG =(VGS – Vt)² RS K/2 + VGS → V²GS K RS/2 + V²t RS K/2 + VGS(1 –2VtRSK) = VG→ → V²GS – 3VGS –4 =0 → VGS = -1V,4V La solución correcta si suponemos que el mosfet está en estado activo es: VGS> Vt = 2V→ VGS = 4V VGS = VG – VS → VS = VG – VGS = 8V – 4V = 4V= VS ID = VS/RS = 4/4000 = 1mA VDD – VD = IDRD → VD = VDD – IDRD = 20 . 0.01 ∙ 10000 = 10V = VD

 Martinez Bernia y Asoc.

26 Electrónica analógica

Comprobamos que VDS = VD – VS = 10 – 4 = 6V> 0, por lo que el mosfet está encendido. Veamos ahora si se encuentra en estado óhmico o activo. VDsat = VGS – Vt = 4 – 2 = 2V Como VDS> VDSsat, está en estado activo.

9.4.7 Ejemplo 3 Para el MOSFET de acumulación en configuración autopolarizada, calcular la ganancia en tensión en los casos: a)

con Rs con condensador

b)

con Rs sin condensador

con los siguientes datos: VDD = 9V., RD = 1.5kOhm, RG = 10Mohm, RS = 750 Ohm, Vp = 3.5 V, IDSS = 10 mA, , IDQ = 1.3mA y VGSQ =-1.8V.Yd = 40µS, C1 = C2 = C3 = 0.05μF Solución: gm =

2I DSS  VGSQ 1− Vp Vp 

 2 ⋅ 10 ⋅ 10 −3  1.8  =  = 5.7ms ⋅ 0.486 = 2.77ms 1 −  3 .5 3.5   

Los circuitos en pequeña señal son: D

G D

G

gm Vgs RG

RD

RG

RD

Rs

gm Vgs

Fig. 1: Correspondiente al apartado a).

Fig. 2: Correspondiente al apartado b).

a) La ganancia en tensión cuando tenemos una Rs con condensador es: Av = -gm RD = - 2.77ms ∙ 1.5 KΩ = -4.155 b) Mientras que la ganancia en tensión cuando tenemos una Rs sin condensador: Vds = -gm Vgs ∙ RD = V0 Vi = Vgs (1 + Rs ∙ gm)

AV = −

g m RD − 4.155 = = −135 . 1 + RS ⋅ g m 1 + 2.77ms ⋅ 0.75kΩ

9.4.8 Ejemplo 4 Calcúlese la tensión de salida para el circuito de la figura Datos: Vts=-3 V Yd=20μS VGSP=-6.1 V ID=2.9mA K=0.6 10-3 A/V2

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 27

-12 V PMOS

2K

10 M

D

V i =10 mV

Calculemos el punto de trabajo: VD=VDD-ID RD VGS = VDS = VD = VDD – IDR D= -12 + 2 ID Como I D =

k (V − Vt ) 2 ,tenemos: 2 GS

VGS + 12 = 0.3 10-3(VGS+3)2 2000 Expresión de la que despejamos VGS: VGS=-6.1V Una vez conocida VGS, podemos calcular ID: ID=

VGS + 12 − 6.1 + 12 = =2.9 mA 2000 2000

Calculamos rd y gm: rd =

1 1 = =50KΩ yd 20

gm=K(VGSQ-Vt)=1.86 10-3S Y como el modelo en pequeña señal: RG

Vgs

Vo

gm Vgs

Vi

rd

RD

Y calculando la ganancia en tensión:

 V 0 − Vi  RDrd + gmvgs   RG  RD + rd

V0=-  como Vgs = Vi, tenemos:



V0  1



+

R Drd R D + rd

 RDrd  (1 − gmRG )  V0 RD + rd   = = [gmRG Vi RG + RDrd RD + rd

  

 1  RDrd − gm   RG  RD + rd

=Vi 

RDrd RD + rd =  RG >>> rd  = >>> 1]=  RG >>> RD  RDrd   RG + RD + rd − gmRG

 Martinez Bernia y Asoc.

28 Electrónica analógica

RDrd RD + rd 2 ⋅ 50 AV = 186 . ⋅ 10 − 3 = −3.6 2 + 50 =-gm

Obtenemos fácilmente la tensión de salida, que es lo que nos pedían. V0=Av Vi=-36mV

9.5

MOSFET de potencia.

El transistor de efecto campo puede construirse con el terminal de puerta aislado del canal, este dispositivo es conocido entonces como MOSFET. Un MOSFET de potencia está orientado verticalmente en una estructura de cuatro capas alternando dopados tipo p y tipo n como se muestra en la figura siguiente para una celda simple de las muchas que componen un dispositivo completo. La estructrura n+pn-n+ se denomina MOSFET de canal n. Evidentemente, también se puede fabricar una estructura con el perfil de dopado opuesto, denominándose MOSFET canal p. El dopado de las dos capas n+ extremas, denominadas fuente y drenador, es prácticamente el mismo en ambas capas y es bastante grande, normalmente de 1019 cm-3. La capa media tipo p se llama cuerpo y es la región en la que se establece el canal entre fuente y drenador siendo su dopado del orden de 1016 cm-3. La capa nes la región de deriva del drenador y se dopa entre 1014 y 1015 cm-3. Esta región de deriva va a determinar la tensión de ruptura del MOSFET.

Figura 9-28. Estructura vertical del MOSFET de potencia. En un primer momento, parecería que no hay ninguna forma de que la corriente pueda fluir entre los terminales de drenador y fuente del dispositivo ya que una de las uniones pn (bien la unión cuerpo-fuente bien la drenador-cuerpo) estará polarizada en inverso por la polaridad de la tensión aplicada entre el drenador y la puerta. No puede haber inyección de portadores minoritarios en la región de cuerpo por el terminal de puerta ya que esta está aislada del cuerpo mediante una capa de dióxido de Silicio que es un buen aislante y de ahí que no haya funcionamiento del BJT parásito. Sin embargo, una aplicación de tensión que polarizara la puerta positiva respecto a la fuente convertirá la superficie de Si por debajo del dióxido de puerta en una capa tipo n o canal, conectando así la fuente al drenador y permitiendo el flujo apreciable de corrientes. El espesor del óxido de puerta, la anchura de ésta y el número de regiones puerta/fuente conectadas eléctricamente en paralelo son importantes al determinar cuánta corriente fluirá para una tensión puerta-fuente dada. La estructura mostrada en las figuras anteriores se llama VDMOS por la doble difusión del MOSFET verticalmente. El nombre describe la secuencia de fabricación del dispositivo: el sustrato inicial es normalmente el drenador n+ en el que la región de deriva n- de espesor específico crece epitaxialmente, entonces el cuerpo central tipo p se difunde en la oblea desde el lado de la fuente de la oblea seguido de la difusión de la fuente n+. Estas dos difusiones se enmascaran lo que significa que partes de la oblea se protegen mediante el dióxido de Si para que los dopantes no puedan alcanzar la oblea donde se ha puesto el SiO2. Los pasos que quedan incluyen el depósito de las metalizaciones de puerta y fuente, siendo el paso final el empaquetamiento. Un MOSFET VDMOS es una pastilla simple de silicio formada por un gran número de celdas hexagonales apiñadas muy cerca unas de otras. El número de celdas varía de acuerdo con las dimensiones de la pastilla. Por ejemplo, una pastilla de 120 mm2 contiene alrededor de 5000 celdas; mientras que una de 240 mm2 tiene más de 25000 celdas. En la estructura se muestran otros aspectos importantes del MOSFET:

 Martinez Bernia y Asoc.

•

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 29

Se construye la fuente formada por numerosas áreas en forma de polígono que se conectan en paralelo y rodean la región de puerta. Uno de los fines de la construcción de múltiples celdas es minimizar el parámetro característico del MOSFET rDS(on) o resistencia de drenador a fuente cuando el dispositivo está en estado conductor. La forma geométrica de estas regiones influye de alguna manera en la resistencia en estado de conducción del MOSFET. La razón básica de las numerosas regiones de fuente de reducido tamaño es maximizar la anchura de la región de puerta comparada con su longitud. La anchura de puerta W del MOSFET es la periferia de cada célula por el número de células que forman el dispositivo. Cuando rDS(on) es mínima, el dispositivo proporciona un funcionamiento superior en la potencia de conmutación debido a que la caída de tensión de drenador a fuente es también mínima para un valor dado de la corriente de drenador a fuente. Se puede suponer que cada celda del dispositivo contribuye en una cantidad RN a la resistencia total, a mayor número de celdas puestas en paralelo, menor será el valor de rDS(on) tal y como se ve en la expresión: =R N r DS(ON) N

( 83 )

Donde N es el número de celdas. • Hay un BJT parásito entre los contactos de fuente y drenador como se muestra en las figuras con el cuerpo central tipo p sirviendo como base del BJT parásito. Para minimizar la posibilidad de que este transistor se encienda, el cuerpo central se reduce a la región de fuente mediante solapamiento de la metalización de fuente en el cuerpo central. Como consecuencia de esta reducción del cuerpo hay un diodo parásito conectado entre en drenador y la fuente del MOSFET como se muestra. Este diodo se puede usar en los convertidores de medio puente y puente completo. • Hay un solapamiento de la metalización de puerta a través de la región de deriva n- que sobresale de la superficie de la oblea. Este solapamiento sirve para dos fines: primero, tiende a intensificar la conductividad de la región de deriva en la entre cara n--SiO2 al formar una capa de acumulación, de modo que ayude a minimizar la resistencia en estado de conducción. Segundo, la metalización tiende a actuar como un campo cuando el MOSFET está bloqueado que mantiene el radio de curvatura de la región de deplexión de la unión pn drenador-cuerpo pequeño y, así, reduce la tensión de ruptura del dispositivo.

9.6

El MOSFET en conmutación

En aplicaciones de electrónica de potencia, el MOSFET se usa como un conmutador para controlar el flujo de corriente a la carga de manera análoga a la usada por el BJT. En estas aplicaciones, el MOSFET atraviesa las características ID - VDS desde la región de corte a través de la región activa hasta la región óhmica cuando el dispositivo es puesto en conducción y vuelve de nuevo cuando se bloquea. La región de corte, la activa y la óhmica de las características se muestran en la figura siguiente. El MOSFET está en corte cuando la tensión puerta-fuente es menor que la tensión umbral VP ó V GS(TH), que es de unos pocos voltios en la mayoría de los MOSFETs. El dispositivo es un circuito abierto y debe esperar a que se suministre una tensión al circuito. Esto significa que toda la tensión es soportada por el semiconductor entre drenador-fuente, por consiguiente el dispositivo debe tener una tensión de ruptura drenador-fuente mayor que la anterior. Cuando el dispositivo está conduciendo por una gran tensión puerta-fuente, lo hace en la región óhmica donde la tensión drenador-fuente (VDS) es pequeña. En esta región la potencia disipada se puede mantener dentro de unos límites razonable al minimizar VDS incluso si la corriente de drenador es relativamente grande.

 Martinez Bernia y Asoc.

30 Electrónica analógica

Figura 9-29. Características tensión intensidad del MOSFET.

VGS − VGS ( TH ) > VDS > 0

( 9-84)

En la región activa, como hemos visto, la corriente de drenador es independiente de la tensión drenador-fuente y depende tan sólo de la tensión puerta-fuente. La corriente se dice algunas veces que está saturada y, en consecuencia, esta región se llama a veces región de saturación. Aquí se denominará a esta región, región activa para evitar confusiones.

9.6.1 Conmutación. Los MOSFETs son intrínsecamente más rápidos que los dispositivos bipolares ya que no tienen exceso de portadores minoritarios que deban moverse dentro o fuera del dispositivo cuando se enciende o se apaga. Las únicas cargas que se deben moverse son las que están en las capacidades parásitas y en las capacidades de la capa de vaciamiento. Estas capacidades se pueden representar en el circuito equivalente de la figura siguiente.

Figura 9-30 Capacidades parásitas en el MOSFET. Variación con VDS. Existen tres tipos de capacidades parásitas: • Capacidad puerta-fuente CGS. Su dieléctrico es la capa aislante de óxido de puerta fuente. Esta capacidad se mantiene relativamente costante con las variaciones de tensión VDS. • Capacidad puerta-drenador CGD. Esta varía considerablemente con la tensión VDS, desde un valor similar a CGS cuando el transistor está en conducción has un valor despreciable cuando el transistor está en corte. • Capacidad drenador-fuente CDS. Esta es menos importante y su efecto es enmascarado por CGD. La suma de CGD y CGS se llama capacidad de entrada Ci. Se examinará el comportamiento de conexión del MOSFET con una carga por la que circulará una corriente IDO, una vez finalizado el transitorio. La puerta se dirige mediante una tensión de fuente ideal, que se supone que es una tensión abrupta entre 0 y VGG en serie con una resistencia de puerta externa RG.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 31

Figura 9-31 Circuito para el estudio de los tiempos de conmutación. Las formas de onda de la puesta en conducción se muestran en la figura siguiente, donde la puerta dirige los cambios de tensión de forma abrupta en t = 0 desde 0 a VGG, que está por encima de VGS(TH) debido a las corrientes que fluyen a través de CGS y CGD. La proporción de subida de VGS en esta región es casi lineal aunque es parte de una curva exponencial, que tiene una constante de tiempo: τ1 = RG(CGS + CGD1). Más allá de VGS(TH), VGS continua elevándose igual que antes, y la corriente de drenador comienza a aumentar. La tensión drenador-fuente permanece en VDD mientras que ID < IDO. El tiempo necesario para que ID se eleve de 0 a IDO es el tiempo de subida de la corriente tRI.

Figura 9-32 Fenómenos de conexión y desconexión. Una vez que el MOSFET está llevando la corriente de carga total IDO pero está aún en la región activa, la tensión puerta-fuente llega a unirse temporalmente a VGSO que es la tensión puertafuente necesaria para mantener ID = IDO. La corriente de puerta IG, fluye a través de CGD , esto hace que la tensión drenador-fuente caiga. La disminución de VGD se produce en dos intervalos de tiempo distintos. El primer intervalo de tiempo corresponde al paso a través de la región activa donde CGD = CGD 1 . El segundo intervalo de tiempo corresponde a la terminación del transitorio en la región óhmica donde CGD = CGD2. Una vez que la tensión drenador-fuente a caído hasta el valor en el estado de conducción IDO rDS(ON) , la tensión puerta-fuente continua su crecimiento exponencial hasta VGG. Esta parte del crecimiento ocurre en un tiempo constante τ2 = RG (CGS + CGD2) y, simultáneamente, la corriente de puerta cae a cero con la misma constante de tiempo. El transitorio de bloqueo del MOSFET, comprende la sucesión inversa de sucesos que ocurren durante el transitorio de encendido. Se puede usar la misma aproximación analítica básica

 Martinez Bernia y Asoc.

32 Electrónica analógica

usada para encontrar las formas de onda en el transitorio de encendido y los intervalos de tiempo asociados para los correspondientes al transitorio de apagado. Para un cambio abrupto en la tensión de puerta para t = 0 desde VGG a 0. Los valores actuales de los tiempos de conmutación variarán dependiendo de si la corriente de puerta se hace cero o si se hace negativa para hacer el transitorio más corto. Además, el valor de RG usado durante el transitorio de apagado puede ser diferente al usado durante el de encendido. Como hemos visto los cambios de nivel de las señales no se producen instantáneamente. Genéricamente estos tiempos se llaman de subida y de bajada y se miden de la siguiente forma: • Tiempo de subida tr : Tiempo que transcurre desde que la señal alcanza el 10 por ciento del valor máximo hasta que alcanza el 90 por ciento del mismo valor. • Tiempo de bajada tf : También llamado tiempo de caída y es el que transcurre desde que la señal toma un valor del 90 por ciento del máximo hasta que alcanza un valor del 10 por ciento. En resumen los tiempos de conmutación se denominan tiempo de conexión y tiempo de desconexión. • Tiempo de conexión tCON que se divide en dos: - Tiempo de retardo td. - Tiempo de subida tr. • Tiempo de desconexión tOFF que también se divide en dos: - Tiempo de retardo td. - Tiempo de bajada tf.

Figura 9-33. Tiempos de conmutación.

9.7

Pérdidas de potencia en el MOSFET.

Excepto para frecuencias de conmutación muy altas, casi toda la potencia disipada en un MOSFET en aplicaciones de potencia en modo de conmutación se produce cuando el dispositivo está en el estado de conducción. La disipación de potencia instantánea en el estado de conducción viene dada por:

Pd = I D2 RDS ( on )

( 85 )

La resistencia en el estado de conducción tiene varias componentes. Para tensiones de ruptura más bajas (unos pocos cientos de voltios o menos), todas estas componentes de la resistencia contribuyen más o menos igual en la resistencia total en estado de conducción. El fabricante del dispositivo debe intentar minimizar todas las contribuciones al usar el dopado más fuerte en cada región pero teniendo en cuenta otros requerimientos del dispositivo tal como la tensión de ruptura. Un ejemplo de la importancia que se da a estas contribuciones de la resistencia total viene dada por la

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 33

extensión de la metalización de puerta sobre la región de deriva del drenador que sobresale a la superficie de Si entre las regiones del cuerpo tipo p. El importante progreso que se ha hecho al reducir las pérdidas en estado de conducción en los MOSFETs con tensión de ruptura baja se pone de manifiesto por el hecho de que, excepto a niveles de corriente muy altos, los MOSFETs pueden tener pérdidas en conducción más bajas que los BJTs para valores de la tensión de ruptura por debajo de unos pocos cientos de voltios. Dos componentes de la resistencia, la resistencia del canal y la de la capa de acumulación, se alteran por la polarización de puerta-fuente, además de por las consideraciones de dopado y dimensionales. En ambas componentes, los valores más grandes de la polarización de puerta-fuente harán más bajas estas componentes. De ahí que, es deseable usar tensiones de mando puerta-fuente de valor tan grande como sea posible siempre y cuando esto sea compatible con otras consideraciones. La resistencia en estado de conducción aumenta significativamente con el aumento de la temperatura en la unión. Esto significa que la disipación de potencia en conducción aumentará con la temperatura en la mayoría de las aplicaciones. El coeficiente de temperatura positivo de la resistencia en estado de conducción se eleva a causa de la disminución de la movilidad de portadores cuando la temperatura del semiconductor aumenta. Entonces las pérdidas en conducción directa se expresan normalmente en términos de su resistencia directa, con la aproximación siguiente: Pd = I

2

D

R ds ( 25 º C ) {1 + α ( T j − 25 º C ) }(W )

( 86 )

Donde α es el coeficiente de temperatura de la resistencia en conducción;

9.7.1 Perdidas producidas durante el estado de bloqueo Durante el estado de no-conducción una pequeña corriente dependiente exponencialmente de la temperatura I1 circula por el semiconductor. La pérdida de potencia será entonces: P1 = I 1U S (1 − δ )(W )

( 87 )

Normalmente su influencia es despreciable en los cálculos globales.

9.7.2 Perdidas debidas a la conmutación Se pueden presentar principalmente dos casos: En el primer caso, la tensión de alimentación continua durante todo el periodo de transición. Este es la peor situación, dando las mayores pérdidas de potencia en la puesta en conducción y en el bloqueo (este es el caso, general con carga inductiva). I CM t  1  t on  Pon = T v s = V S 

i=

ton

∫ 0

1 P ( t ) dt = T

ton

∫I

CM

0

I V t t V dt = f CM S on t on S 2

( 88 )

Durante el bloqueo tendremos igual que antes: Poff = f

I CM V S t off 2

( 89 )

En el segundo caso, la tensión de alimentación cae en la misma proporción en que la corriente de conducción directa sube durante todo el periodo de transición. Este es el caso, general con carga resistiva.

 Martinez Bernia y Asoc.

34 Electrónica analógica

 ton  fI CMVS t on 1   P = ∫ P(t )dt = t T 0 6 v s = VS − VS  t on 

i=

I CM t t on

( 90 )

Durante el bloqueo tendremos igual que antes:

t  ) t t off  fI oVS t off 1 r  ⇒ P = ∫ P(t )dt = t T0 6  v s = VS  t off

i = I CM (1 −

( 91 )

9.7.3 Pérdidas en la unión puerta-cátodo. Una porción de la potencia de puerta es disipada en la unión puerta-cátodo o en el caso del MOSFET o IGBT en la resistencia interna de puerta. En la mayoría de los casos esta pérdida es muy pequeña en comparación con las restantes, por lo que puede ser ignorada. Una excepción cabe en el caso de los transistores de potencia cuando conducen corrientes elevadas, donde la ganancia directa es relativamente pequeña. La elevada corriente de base asociada con la tensión base-emisor en saturación lleva a éste a una situación en la que sea una tensión mayor que la colector-emisor en saturación, por lo tanto habrá que calcular:

Pg = ib v besat δ (W )

9.8

( 92 )

Áreas de trabajo seguro en el MOSFET.

El área de funcionamiento seguro de un MOSFET de potencia se muestra en la Fig.13.6. Hay tres factores que determinan la SOA del MOSFET: la corriente de drenador máxima IDmax, la temperatura interna de la unión Tj, que se regula mediante la disipación de potencia en el dispositivo, y la tensión de ruptura BVDSS. Estos factores de limitación ya se han estudiado en el apartado anterior y son análogos a los del BJT de modo que no es necesaria una mayor profundización en ellos. El MOSFET no tiene limitaciones de la segunda ruptura como el BJT y, por tanto, no se muestra en el área de funcionamiento seguro. Para aplicaciones en modo de conmutación, la SOA del MOSFET es cuadrada, como se indica en la figura. No hay distinción entre la polarización directa y la inversa de las áreas de funcionamiento seguro para el MOSFET; son idénticas.

Figura 9-34. Áreas de funcionamiento seguro.

9.9

El IGBT.

En términos generales el IGBT es un compendio del MOSFET, el transistor bipolar y el GTO. El dispositivo, cuyo símbolo se ve en la figura, también es conocido como MOSIGT,

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 35

COMFET ó GEMFET, pero su nombre original fue IGT ("Insulated Gate Transistor"). El IGBT presenta en la actualidad marcadas ventajas frente al transistor bipolar y el MOSFET en convertidores de frecuencias (hasta los 50 KHz.) y potencias medias ( entre el kilovatio y los cientos de kilovatios). Si la tensión puerta-emisor es positiva (G-E), entre +10 y +15 V, el dispositivo entra en conducción; mientras que si esta tensión es nula, el disposivo no conduce, provocando una caída de tensión significativa, que para convertidores alimentados en tensión es inadmisible, siendo necesario conectar un diodo en antiparalelo con el dispositivo. El tiempo de puesta en conducción del dispositivo es similar, aunque algo más lento, al del MOSFET, pero el tiempo de bloqueo es complejo y marcadamente superior al resto de los dispositivos. La impedancia de la puerta del IGBT presenta valores tan elevados como en un MOSFET, por lo que se requiere muy poca tensión para ponerlos en conducción. Como el transistor bipolar, el IGBT presenta una caída de tensión pequeña en conducción incluso cuando se trabaja con tensiones altas. Al igual que los GTO los IGBT pueden soportar tensiones de bloqueo inverso altas. Un convertidor con IGBT puede utilizar un control de puerta en circuito integrados, donde las señales de lógicas de entradan suelen ser controladas con disparadores de Schmitt. Las aplicaciones del IGBT son recientes y entre ellas destacan: control de motores de CC y CA, fuentes de alimentación y controladores para solenoides, relés y contactores. Se espera que en el futuro el IGBT supere y reemplaze al transitor bipolar en todos los campos de potencia. Los módulos actuales llegan hasta los 1700 V. y 1200 A.

Figura 9-35. Estructura del IGBT

9.9.1 Estructura básica del IGBT. La sección vertical de un IGBT de canal n se muestra en las figuras anteriores. Esta estructura es similar a la del MOSFETs difundido verticalmente (VDMOSFET), con la excepción de que un sustrato. p+ altamente dopado sustituye al drenador n- del VDMOSFET convencional. De esta manera se forma una unión pn, llamada J1 en la Figura anterior, que inyecta portadores minoritarios, huecos en este caso, en la zona n- (región de deriva) que aparecería como drenador del supuesto MOSFET. Se puede decir que el IGBT funciona como un MOSFET cuya zona de deriva del drenador fuera modulada en conductividad mediante la inyección de portadores minoritarios. También es posible hacer un IGBT de canal p cambiando el tipo de dopado en cada capa del dispositivo. La región de deplexión de la unión J2 se extiende principalmente en la región de deriva n-, ya que la región de cuerpo tipo p se dopa mucho más fuertemente que la región de deriva. Si el espesor de la región de deriva es lo suficientemente grande como para alojar la capa de deplexión de modo que el límite de esta capa no toque la capa de inyección p+, no es necesaria la capa amortigüadora n+ mostrada en la figura anterior. Este tipo de IGBT se llama a veces simétrico y puede bloquear en inversa tensiones tan grandes en magnitud como las tensiones directas que se diseñan para bloquear. Sin embargo, es posible reducir el espesor necesario de la región de deriva a un factor aproximadamente de 2 si se usa una estructura asimétrica similar al diodo de potencia. En esta geometría, la capa de deplexión se puede extender en todas las direcciones a través de la región de deriva con tensiones significativamente por debajo del límite de la tensión de ruptura deseada. El contacto de la capa de deplexión a la capa p+ se evita insertando una capa amortiguadora n+ entre la región de deriva y la región p+ como se muestra en la figura. Este tipo de estructura del IGBT se denomina a veces IGBT asimétrico. La longitud de la región de deriva más corta, significa pérdidas más bajas en conducción pero la presencia de esta capa amortiguadora trae como consecuencia que la capacidad de bloqueo inverso de esta geometría asimétrica sea bastante baja (unas pocas decenas de voltio) y, por consiguiente, no existe hasta que interese en los circuitos de aplicación.

36 Electrónica analógica

 Martinez Bernia y Asoc.

El IGBT está diseñado para tener la alta impedancia de entrada de puerta del MOSFET de potencia. Esto permite controlar tanto el tiempo de encendido como el de bloqueo. Se han diseñado dispositivos con tiempos de apagado (turn-off) entre los 0.2 y los 20 µs. La disminución del tiempo de apagado exige el sacrificio de disminuir la densidad de corriente.

9.9.2 Funcionamiento físico del IGBT. En el bloqueo, la inyección de portadores reduce la resistencia de la zona de deriva y por tanto su caída de tensión en estado de conducción, aumentando significativamente la densidad de corriente de portadores sobre los MOSFET de potencia o los transistores bipolares. Para una caída directa de 2 V, la densidad de corriente es cinco veces mayor que la del BJT y veinte veces superior a la del MOSFET. Puesto que el IGBT es básicamente un MOSFET, la tensión puerta-fuente controla el estado del dispositivo. Cuando vGS es menor que VGS(th), no hay inversión en la capa creada al conectar el drenador a la fuente y, por tanto, el dispositivo está en el estado de bloqueo. La tensión drenadorfuente aplicada cae a través de la unión denominada J2 y sólo fluye una muy pequeña corriente de fuga. Este funcionamiento en bloqueo es prácticamente idéntico al del MOSFET. Cuando se aplica una tensión negativa al drenador con respecto a la fuente, la unión J1 se polarizará inversamente estando el dispositivo bloqueado. Cuando se aplica una tensión positiva al drenador respecto a la fuente, la unión J1 estará directamente polarizada, pasando a soportar la tensión inversa fuente-drenador la unión J2 circulando una ligera corriente. Si en estos términos vGS es menor que VGS(th)no hay zona de inversión que conecte el drenador y la fuente, por lo que el dispositivo seguirá bloqueado. Debido al intenso dopado de la zona P central, la zona de deplexión de la unión J2 se extiende a la zona n- de deriva.

Figura 9-36. Sección vertical del IGBT mostrando las corrientes. Para la conducción, cuando la tensión puerta-fuente excede a la de umbral, se forma una inversión de capa debajo de la puerta del IGBT. Esta inversión de capa une la región de deriva n- a la región de fuente n+ como en el MOSFET, A través de esta inversión de capa fluye una corriente de electrones como se ve en las figuras anteriores que vuelve a producir una inyección de huecos importante de la capa del contacto de drenador p+ a la región de deriva n-, como se indica también en estas figuras, y se extiende al cuerpo central tipo p que rodea la región de fuente n+. Tan pronto como los huecos están en el cuerpo central tipo p, su carga espacial atrae a los electrones de la fuente que están en contacto con el cuerpo central recombinándose rápidamente los huecos en exceso. La unión formada por el cuerpo central tipo p y la zona n- de deriva actúa como el colector de un transistor pnp. Este transistor, dibujado en la figura anterior, estará formado por la zona p de drenador como emisor, la zona n- de deriva como base y la zona p+ del cuerpo central como colector. De este modo, se podrá establecer el IGBT como el modelo equivalente de la figura en el que se encuentra un transistor principal conducido por el MOSFET.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 37

Figura 9-37. Circuito equivalente del IGBT

9.9.3 Curvas características del IGBT. La característica i-v de un IGBT de canal n se muestra en la figura siguiente. En directa son similares a las de un transistor de unión bipolar básico excepto que el parámetro que se controla es una tensión de salida, la tensión puerta-fuente, en vez de una corriente de salida. Las características de un IGBT de canal p serían lo mismo pero las polaridades de las tensiones y corrientes estarían invertidas.

Figura 9-38. Características estáticas del IGBT. La unión denominada J2 bloquea cualquier tensión directa cuando el IGBT está bloqueado. La tensión inversa de bloqueo indicada en la característica i-v se puede hacer tan grande como la tensión directa de bloqueo si el dispositivo se fabrica sin la capa amortiguadora n+. Esta capacidad de bloqueo inverso es útil en algunos tipos de aplicaciones. La unión denominada J1 es la unión de bloqueo inverso. Sin embargo, si la capa amortiguadora n+ se usa en la construcción del dispositivo, la tensión de ruptura de esta unión se reduce significativamente a unas pocas decenas de voltio debido al fuerte dopado que presentan ahora las caras de esta unión y el IGBT no tiene ninguna capacidad de bloqueo inverso. La curva de transferencia iD - vGS mostrada en la figura anterior es idéntica a la del MOSFET de potencia. La curva es prácticamente lineal para la corriente de drenador donde la tensión puertafuente se aproxima a la umbral. Si vGS es menor que la tensión umbral VGS(th), el IGBT está en el estado de bloqueo. La tensión máxima que se aplicaría a los terminales puerta-fuente estará normalmente limitada por la corriente de drenador máxima que se permite que fluya en el IGBT.

9.9.4 Tiristor parásito en el IGBT. Como se ve en la estructura del IGBT los transistores NPN y PNP un tiristor parásito. El encendido de este tiristor es indeseable y, para evitar su activación, se han estudiado diversas estructuras, basadas principalmente en la modificación de la zona central p que forma las uniones J2 y J3 de manera que la resistencia base emisor del NPN, conocida como resistencia lateral, sea lo menor posible. En esta linea, como en el MOSFET de potencia, se conserva la extensión de la metalización de la fuente sobre la región central p. La unión cuerpo-fuente en el IGBT ayuda a minimizar el posible encendido del tiristor parásito, como se explicará más adelante. No obstante desde el punto de vista del diseñador para un IGBT con una geometría específica, hay un valor crítico de la corriente de deriva que producirá una caída de tensión lateral lo suficientemente grande como para activar el tiristor. Por tanto, los fabricantes de dispositivos especifican el pico permisible de la corriente de Colector ICM que

38 Electrónica analógica

 Martinez Bernia y Asoc.

puede fluir sin que se produzca la falta de control. También hay una tensión puerta-fuente que permite que este flujo de corriente no se exceda.

9.9.5 Corriente de cola en el IGBT. Como la sección de MOSFET está bloqueada y no hay tensión inversa aplicada en los terminales del IGBT, la cual podría originar una corriente de drenador negativa, no hay posibilidad de traslado de la carga almacenada. La única forma de que estos portadores en exceso se puedan trasladar, por lo menos en un IGBT sin la capa amortiguadora n+ mostrada en la geometría del IGBT, es por recombinación dentro de la región de deriva n-. Como es deseable que la vida media de los portadores en exceso en esta región sea grande para que la caída de tensión en el estado de conducción sea baja, la duración del intervalo de apagado será largo. Sin embargo, un largo intervalo es indeseable porque la disipación de energía en este intervalo será más grande ya que la tensión de drenador-fuente está en su valor en estado de bloqueo. Este tiempo aumenta con la temperatura, como el tiempo de cola en un BJT de potencia. Así, se debe establecer una relación entre las pérdidas en el estado de conducción y los tiempos de apagado más rápidos en el IGBT, lo cual es bastante similar a las hechas con dispositivos de portadores minoritarios como los BJTs, los tiristores, los diodos. Con frecuencia, se utiliza la irradiación de electrones del IGBT para que la vida media en la región de deriva tenga el valor deseado. El traslado de la carga almacenada desde la región de deriva por difusión de huecos a la capa p+ puede reducir significativamente el intervalo de bloqueo si el flujo de difusión de huecos se puede hacer grande. En la estructura de un IGBT sin la capa amortiguadora n+, tal difusión no puede producirse ya que el gradiente de la distribución de huecos está en la dirección equivocada, es decir, la densidad de huecos en el lado p+ es mayor que la densidad de huecos en exceso en la región de deriva. De ahí que, los huecos en exceso se quedan en la región de deriva. Sin embargo, la presencia de una capa amortiguadora n+ diseñada convenientemente, modifica notablemente esta situación. Esta capa tiene una vida media de portadores mucho menor y, de este modo actúa como sumidero para los huecos en exceso. La mayor proporción de recombinación de huecos en la capa amortiguadora eleva el gradiente de la densidad de huecos en la región de deriva durante el apagado el cual produce un gran flujo de difusión de huecos hacia la capa amortiguadora. Esta eleva enormemente la proporción de huecos trasladados desde la región de deriva y, por tanto, se reduce el intervalo de bloqueo. Los IGBTs están disponibles comercialmente con tensiones de bloqueo de 1000 V y capacidades de corriente en estado de conducción de 200 A con tiempos de apagado de 1 µs o menos. Se han presentado dispositivos prototipo con tiempos de apagado similares pero con tensiones de bloqueo y corrientes en estado de conducción mayores (1800 - 2000 V). Se observará que este método para reducir el tiempo de apagado no necesita la reducción de la vida media del portador en la región de deriva, por lo que no hay un aumento significativo en las pérdidas por conducción en el estado de conducción.

9.9.6 Áreas de trabajo seguro del IGBT. Las áreas de funcionamiento seguro o SOAs, son un método muy conveniente y compacto para resumir los valores máximos de corriente y tensión que el transistor no sobrepasaría en ningún caso. Se usan dos áreas de funcionamiento seguras distintas en las hojas de características: •

Área de trabajo segura en directa FBSOA Se activan varios mecanismos físicos diferentes al determinar los límites de este área. La corriente es la máxima corriente de drenador y está relacionada con la corriente que pueden soportar las metalizaciones de la oblea. La temperatura interna de la unión TJ, que se regula mediante la máxima potencia disipada permitida en el dispositivo. El límite impuesto por la segunda ruptura que solo se presenta en dispositivos de portadores minoritarios como el BJT. La parte final del límite del FBSOA es el límite de la tensión de ruptura. La expansión del SOA se da para el funcionamiento en el modo de conmutación ya que la oblea de silicio y su empaquetamiento tiene una capacidad térmica y, por tanto, una habilidad para absorber una cantidad finita de energía sin que la temperatura de la unión se eleve a niveles excesivos. Si el transistor se enciende en unos pocos microsegundos o menos, la cantidad de energía que se absorbe es demasiado pequeña para causar cualquier aumento apreciable en la

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 9. Transistores de efecto campo. 39

temperatura de la unión y, como resultado, la FBSOA es prácticamente cuadrada, estando limitada sólo por I D y V DS .

Figura 9-39. Areas de trabajo seguro: directa e inversa. •

De forma similar, se construye el área de funcionamiento seguro en inversa RBSOA. Esta comprende la máxima corriente (después del bloqueo) Este área es algo diferente a la FBSOA, como se ilustra en la Fig.7.b. La esquina superior derecha de la RBSOA se corta progresivamente y la RBSOA se hace más pequeña cuando el valor del cambio de la tensión de drenador a fuente dvDS/dt reaplicada se hace más grande. La razón de esta restricción en la RBSOA como función de la dvDS/dt reaplicada es para evitar la falta de control en el IGBT.

Capítulo 10

AMPLIFICADOR OPERACIONAL El Amplificador Operacional es un amplificador con realimentación que se encuentra en el mercado como una pastilla de circuito integrado. Es difícil enumerar la totalidad de las aplicaciones de este circuito. De modo general, podemos decir que sus aplicaciones están presentes en los sistemas electrónicos de control industrial, en instrumentación nuclear, en instrumentación médica, en los equipos de telecomunicaciones y de audio, etc. El que utilizaremos normalmente será el LM741.

10.1 Generalidades La figura siguiente muestra las funciones de cada una de las patillas del A. O. integrado, indicar que la alimentación se hará a ±15V como valor normal pudiéndose alimentar entre ±3V y ±22V.

Figura 10-1. LM741. Simbología de un Operacional. En la siguiente figura se presenta el circuito equivalente de un amplificador operacional, con ella se pueden ver las características más importantes de los amplificadores operacionales:

Figura 10-2. Circuito equivalente de un A.O. •

La ganancia en tensión que en cualquier circuito se define como la relación entre las tensiones de salida y entrada se puede considerar Av=Vs/Ve≈-∞.

 Martinez Bernia y Asoc.

2 Electrónica analógica

•

El ancho de banda también se puede considerar como infinito. Aunque en la realidad en lazo abierto la ganancia cae con una pendiente de 20db/década y para cada frecuencia existe un valor máximo de Vs (Slewrate).

•

La impedancia de entrada Re≈∞ por lo que no actúa como carga (no consume corriente) y V1-V2=Ve.

•

La impedancia de salida es Rs≈0 por lo que la tensión Vs es independiente de la existencia de carga y Vs=AvVe.

•

Puede trabajar en un amplio margen de temperaturas.

10.2 Circuitos básicos con A. Operacionales. A continuación se verán las configuraciones más empleadas con los Amplificadores Operacionales.

10.2.1 Configuración en lazo abierto. También es conocida como sin realimentación. En ella la ganancia viene determinada por el propio fabricante y sobre ella no se tiene ningún control. Esta configuración se utiliza para circuitos comparadores.

Figura 10-3. Montaje en lazo abierto.

10.2.2 Configuración con realimentación positiva. Este tipo de configuración se denomina en bucle cerrado y tiene el inconveniente de desestabilizar el circuito. Una aplicación práctica de la realimentación positiva se da en los circuitos osciladores, que se verán más adelante.

Figura 10-4. Montaje con realimentación positiva.

10.2.3 Configuración con realimentación negativa Es la configuración en bucle cerrado más importante en circuitos con operacionales, y sus aplicaciones más comunes pueden ser: amplificador no inversor, amplificador inversor, sumador amplificador diferencial, diferenciador, integrador, filtros activos, etc.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 3

Figura 10-5. Montaje con realimentación negativa. Las corrientes de polarización son del orden de nA, por lo que se pueden considerar nulas y podremos escribir I1+I2=0. Aplicando Kirchhoff tenemos:

V1 − Va AvVe − Va + =0 R1 Rs + R2

( 10-1)

Sustituyendo Ve = Vb-Va en la ecuación anterior obtendremos:

V1 (Rs + R2 ) − Va (Rs + R2 ) + AvVb R1 − AvVa R1 − Va R1 =0 R1 (Rs + R2 )

( 10-2)

V (A R + Rs + R1 + R2 ) − V1 (Rs + R2 ) Vb = a v 1 Av R1

Tomando el límite de Vb para Av tendiendo a infinito

lim(Vb ) A

v →∞

= Va

⇒ Ve = 0

( 10-3)

Hemos llegado a la conclusión de que existe un cortocircuito virtual entre las entradas inversora y no inversora en el montaje con realimentación negativa, es decir, que en dicho montaje las dos entradas se encuentran a la misma tensión. Dentro de esta configuración podemos distinguir las siguientes.

10.2.4 Configuración inversora En este montaje R3 es igual al paralelo de R1 y R2. La ganancia de este amplificador es:

Ve − V2 Vs − V2 + = 0; R1 R2

( 10-4)

V2 = 0; Av =

Vs R =− 2 Ve R1

( 10-5)

Así, si introducimos una señal senoidal de amplitud B por la patilla inversora y medimos la señal de salida, veremos que esta es también senoidal de amplitud BR2/R1 y desfasada 1800 con la de entrada.

Figura 10-6. Montaje inversor.

10.2.5 Configuración no inversora: Al igual que en el anterior R3 es igual al paralelo de R1 y R2. Para el análisis debemos de tener en cuenta que en el circuito de entrada inversora lo que existe es un circuito serie de dos resistencias alimentadas a la tensión Vs, ya que no se desvía ninguna corriente por el operacional:

 Martinez Bernia y Asoc.

4 Electrónica analógica

Figura 10-7. Montaje no inversor.

I=

Vs R1 + R2

( 10-6)

Por otro lado sabemos que la tensión en la entrada inversora es Ve ya que por la no inversora no existe corriente y por tanto en R3 no hay c.d.t., luego:

Ve = IR1

( 10-7)

La ganancia del montaje será:

Ve =

Vs R R1 + R2 1

⇒

Av =

Vs R1 + R2  R2  = = 1 +  Ve R1 R1  

( 10-8)

10.2.6 Seguidor de tensión. si para la configuración anterior hacemos R1=∞ y R2=0 obtenemos el seguidor de tensión o Buffer. Este circuito presenta las características de impedancia de entrada y salida más próximas a las ideales

Figura 10-8. Buffer o seguidor de tensión. En algunos casos, el seguidor de tensión recibe la señal a través de una resistencia en serie, con el terminal no inversor. Entonces, con el fin de equilibrar la ganancia y las corrientes, se coloca otra resistencia del mismo valor en el circuito de realimentación. Esto no es necesario cuando la tensión de entrada es relativamente alta. Este montaje se utiliza como adaptador de impedancias, como por ejemplo entre un generador de señal y un amplificador de baja impedancia de entrada.

10.2.7 El amplificador sumador inversor. Partiendo de los montajes con realimentación negativa se obtiene el montaje sumador:

Figura 10-9. Sumador inversor. Para este montaje Re=Rs//R1//R2//R3. Aplicando las leyes de Kirchhoff en el punto a

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 5

V1 V2 V3 Vs + + + =0 R1 R2 R3 Rs

( 10-9)

 V1 V2 V3  V s = − Rs  + +   R1 R2 R3 

( 10-10)

es decir

Podemos considerar los siguientes casos particulares: a) Si R1=R2=R3=Rs obtendríamos el sumador inversor

Vs = −(V1 + V2 + V3 )

( 10-11))

b) Si R1=R2=R3=3Rs podríamos obtener un circuito que proporciona la media aritmética negativa

 V1 + V2 + V3  Vs = −    3

( 10-12)

10.2.8 El amplificador sumador no inversor. R´

R

V0

V´ 1

+

R´ 1 V´ 2 R´ 2

. . . . V´ N R´ N

Figura 10-10. Sumador no inversor.

V0 =

R + R´ V R

La tensión V la obtenemos por superposición de las tensiones parciales. Supongamos que V2´ ´

a V N son cero, por lo tanto la situación quedará: R´

R

V1

V´ 1 R´ 1

R´ 2

. . . .

R´ N

+

V0

 Martinez Bernia y Asoc.

6 Electrónica analógica

Figura 10-11. Sumador no inversor. La tensión V1 debida a V1´ será:

V1 =

V1´ R ´p1 R1´ + R ´p1

´

siendo R p1 el paralelo de todas las resistencias ahora a tierra. Si todas las resistencias son iguales:

R

´ p1

R1` = N −1

V1 =

´ 1

V R

´ p1

R1´ + R ´p1

R1` V1´ R1` V1´ 1 − N = = ` = R1` R1 ( N − 1) + R1` N ´ R1 + N −1 V1´

Procediendo lo mismo para las otras:

1 ´ (V1 + V2´ + .... + V N´ ) N R + R´ R + R´ 1 ´ (V1 + V2´ + .... + V N´ ) V0 = V= R R N V=

Si R1=R2=R3 y Rs=0, aplicando las leyes de Kirchhoff en el punto b de la figura siguiente y despejando de la ecuación Vb obtendríamos un circuito que proporciona la media aritmética

Figura 10-12. Sumador no inversor.

V1 − Vb V2 − Vb V3 − Vb + + =0 R1 R2 R3  V + V2 + V3  Vs =  1    3

( 10-13)

( 10-14)

10.2.9 Amplificador sustractor. Este circuito permite obtener en la salida una tensión igual a la diferencia de las señales aplicadas multiplicada por una ganancia.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 7

Figura 10-13. Montaje sustractor o diferencial. Aplicando al igual que antes las leyes de Kirchhoff en el punto a y b:

V1 − Va Vs − Va + =0 R1 R2

( 10-15)

V2 − Vb Vb R3 − = 0 ⇒ Vb = R4 R3 R3 + R4

( 10-16)

En este circuito como ya se expuso anteriormente las tensiones Va y Vb son iguales, luego podemos sustituir Vb en la anterior

 R3   R3  V2 Vs −  V V1 −   R3 + R4   R3 + R4  2 + =0 R1 R2

( 10-17)

Si en esta ecuación hacemos R1=R4 y R2=R3 la tensión de salida tendrá la expresión.

Vs = 10.2.10

R2 (V − V1 ) R1 2

( 10-18)

Convertidor corriente tensión.

El circuito permite obtener una tensión que es proporcional a una corriente, presentando una impedancia de entrada nula (es decir, no perturba el camino de la corriente). R

-

V0

i +

Obsérvese que se cumple V0=-iR El cortocircuito virtual hace que la caida de tensión entre los terminales de entrada sea nula como otras veces. Por tanto, la impedancia de entrada vista desde el terminal de entrada es nula.

10.2.11

Convertidor tensión corriente.

La corriente en la carga ZL es i=V1/R independientemente del valor de ZL.

 Martinez Bernia y Asoc.

8 Electrónica analógica

A

i

ZL

R

V1

B

-

i +

El circuito se comporta, por tanto, como una fuente de corriente constante entre los terminales A y B. El convertidor tensión corriente puede también construirse con un A.O. no inversor. El circuito sería: R

i ZL

i

-

+

Una vez más, debido a la tierra virtual la corriente i es independiente de la carga ZL. La impedancia de entrada es muy alta debido a la configuración no inversora.

10.2.12

Amplificador de C. Alterna

10.2.13

Integrador

Este circuito, utilizado generalmente como regulador, realiza una integración de la tensión de entrada. Si analizamos el circuito llegamos a la expresión donde v es la tensión inicial en el condensador. V0 =

∫

Idt V Q 1 Vi = − i t + v =− =− C C RC RC

∫

( 10-19)

I

Fig.1.11 Regulador “I”

Si nos trasladamos al campo frecuencial, la función de transferencia de este circuito es la expresada en 1.5, su módulo se exprea en 1.6. Esta última se representa en la Fig.1.13. donde f1 corresponde a la frecuencia en que la ganancia es de 0db. La frecuencia f2 corresponde a la frecuencia en que el regulador se encuentra saturado y su ganancia vale 20log(15).

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 9

V0 ( s ) 1 =− Vi ( s ) RCs 1 G( s) = wRC

G( s) =

10.2.14

( 10-20) ( 10-21)

Regulador Proporcional-Integral.

Como su nombre indica este regulador se comporta inicialmente como un escalón, y superpuesto a el una componente integral como en el caso anterior. Seguidamente en Fig.1.14 se muestra su esquema eléctrico: ,

Fig.1.14 Regulador “PI”

Si se realiza un estudio detallado del circuito, su respuesta a una entrada escalón viene dada por la expresión 1.7 y es representada en Fig.1.15 t   R' V0 = − + Vi  R RC 

G( s) = −

( 10-22)

1 + Tn s V0 ( s ) 1 + R ' Cs =− =− Vi ( s ) Ti s RCs

 R'   1   G( s) =   +   R   RCw  2

( 10-23)

2

( 10-24)

La frecuencia f0 es la frecuencia de corte, en la que la ganancia es 3db superior a la ganancia constante 20logR’/R. El valor de dicha frecuencia de corte es:

f0 = 10.2.15

1 1 = 2πTi 2πRC

( 10-25)

Derivador

Un circuito derivador sería el representado en figura siguiente. A continuación se representan sus respuestas temporal y frecuencial.

 Martinez Bernia y Asoc.

10 Electrónica analógica

Fig1.17 Regulador “D”

Las expresiones que definen estos comportamientos se indican a continuación:

V0 = − RC

dVi dt

G( s ) = − RCs

( 10-26)

( 10-27)

G( s ) = RCw El derivador práctico es el del esquema siguiente:

La función de transferencia del circuito es:

G ( s) =

G( s ) =

R2 C1 s ( R2 C2 s + 1) * ( R1C1s + 1)

( 10-28)

R2 C1 w R C w + 1 * R12 C12 w 2 + 1 2 2

2 2

2

( 10-29)

Los valores aconsejables para el mejor funcionamiento son: R2C1 > R1C1 > R2C2. La respuesta en frecuencia de este circuito viene dada por Fig.1.21 donde las pusaciones que determinan los extremos de funcionamiento son (w=2πf):

w1 =

1 , R2 C1

w2 =

1 , R1 C1

w3 =

1 , R2 C2

w4 =

1 R1 C2

( 10-30)

La ganancia en amplificador será 20logR2/R1.

10.2.16

Regulador Proporcional-Derivador.

El funcionamiento de este regulador se muestra en las siguientes figuras y ecuaciones:

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 11

Fig.1.22: Regulador “PD”.

 R' dVi   V0 = − Vi + R ' C R dt 

( 10-31)

 R'  G( s ) = − + R ' Cs  R 

( 10-32)

 R'  2 G( s ) =   + ( R ' Cw ) R 2

f0 = 10.2.17

1 2πR ' C

( 10-33)

Regulador Proporcional-Integral-Derivador.

Las ecuaciones de este regulador son:

 t Tn + Tv   t RC + R ' C2  RC1R ' C2 dVi  Tn Tv dVi  V0 = − + 1 Vi + Vi +  = − +  ( 10-34) RC2 dt  Ti  Ti dt  RC2   RC2  Ti G(s) =

G(s) = G0

T1 =

RR ' C1C2 RC1 + R ' C2

( R' C2 s + 1)( RC1s + 1)

( 10-35)

RC2 s  1  1 +  T1 w −  T2 w   T2 = RC1 + R ' C2

2

( 10-36)

G0 =

R ' C1 + R C2

( 10-37)

 Martinez Bernia y Asoc.

12 Electrónica analógica

Fig.1.25: Regulador “PID”.

10.2.18

Resolución de ecuaciones diferenciales con A. Operacionales.

Como ejemplo vamos a resolver alguna ecuacion diferencial utilizando los circuitos vistos. Deseamos diseñar un circuito capaz de resolver la ecuación diferencial

d2y dy m 2 +C + ky = f (t ) dt dt

( 10-38)

dividiendo por m la escribimos en la forma

d2y 1 C dy k = f (t ) − − y 2 m m dt m dt

( 10-39)

El circuito que resuelve el problema y que pasamos a analizar es el siguiente:

C

R

A

-

B

A1

2

dy (t) /d t 2

R

C

C

-

A2

+

R

+

m

+

1/m

A4

E

R

1/C -

1

+

f(t)

A3

D

Supongamos que en el punto A se introduce una tensión V A que varía con el tiempo en la forma:

VA =

d2y dt 2

( 10-40)

El integrador A1 integra V A y obtiene a la salida:

−

1 1 dy (t ) V A dt = − ∫ RC RC dt

Si hacemos que su constante RC valga 1 quedará a la salida

( 10-41)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 13

VB = −

dy (t ) dt

( 10-42)

a la salida de A2 se obtiene la integral de V B con RC también igual a 1, luego,

VC = y (t ) A3 es un sumador donde se suma la señal VB que es la primera derivada dy (t )

dt

con la

señal externa f(t). Si se toman para las resistencias los valores indicados la señal de salida V D de A3 es:

VD = −

1 C dy f (t ) + m m dt

( 10-43)

y en A4 se suman VC y V E de modo que tenemos:

VE =

1 C dy k f (t ) − − y m m dt m

( 10-44)

Vemos que esta tensión es el segundo miembro de la ecuación diferencial, es decir:

d2y dt 2

VE =

( 10-45)

Los puntos E y A deben unirse para resolver el problema. La señal f(t) es una señal de excitación según se quiera (sinusoide, escalón, etc). Las condiciones iniciales se fijan mediante las baterías que aparecen en los integradores.

10.3 Circuitos no lineales con A. Operacionales. 10.3.1 Amplificador logarítmico. i D = I S (eVD / VT − 1) ≈ I S eVD / VT VD = VT (ln i D − ln I S )

( 10-46)

VT ≈ 26mV Vd Id D Vi

R -

Vo

+

V0 = −VD = −VT (ln i D − ln I S ) = −VT (ln

Vi − ln I S ) R

( 10-47)

 Martinez Bernia y Asoc.

14 Electrónica analógica

10.3.2 Amplificador exponencial. R

Vd

Vi

-

Id

Vo

Vd

D

+

vi = v D iD = I S e

vi

VT

v0 = − RI S e

( 10-48) vi

VT

10.3.3 Amplificador multiplicador.

R1

V1

-

R

R3

SUMADOR NO IN VERSOR gananci a 1

-

-

+

+

R2

R

+ A. ANTILOGARITMICO

-

R

R

+ A. LOGARITMOS

v0 = v1 ⋅ v 2 ln(v1 ⋅ v 2 ) = ln v1 + ln v 2

( 10-49)

10.3.4 Rectificador de precisión. Un diodo rectificador común no consigue rectificar señales de niveles muy bajos ya que no conduce cuando está polarizado con tensiones inferiores a su tensión umbral. Sin embargo, en ocasiones, se necesita rectificar señales de decenas de milivoltios o menos, por ejemplo cuando éstas provienen de sensores o transductores utilizados en instrumentación industrial o bioelectrónica. Estudiaremos a continuación los rectificadores de precisión de media onda y onda completa. En la figura siguiente se encuentra el rectificador de onda completa.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 15

Fig.4.2: Rectificador onda completa de precisión.

El circuito anterior consta, en realidad, de un rectificador de media onda al que se le asocia un sumador. Pasemos a analizar el circuito considerando al A.O. ideal.

Fig.4.3: Señales en un rectificador de onda completa.

Cuando Ve0 sucede todo lo contrario, D1 está bloqueado al tener entre ánodo y cátodo una tensión prácticamente igual a -Ve; luego V0=-Ve. El segundo operacional esta en montaje sumador para dos señales: una de ellas es la tensión de entrada a rectificar y la otra señal es V0. Se puede comprobar que por la red de resistencias utilizadas que la tensión V0 está siendo amplificada al doble. En la Fig.4.3 se puede comprobar que Vs=(Ve+2V0) =-(Ve-2Ve)=Ve.

10.3.5 Comparadores A veces se necesita comparar dos magnitudes, o sea, dos tensiones, para obtener dos estados perfectamente definidos, que nos determinen si la señal a comparar es mayor o menor que la tensión o señal llamada de referencia. Como muestra podemos pensar en la siguiente aplicación práctica: por medio de sensores de nivel podemos detectar el estado de un recipiente de combustible líquido. Tomamos como referencia el nivel normal y ajustamos una señal de tensión correspondiente al mismo. Cuando el nivel esté por encima (o por debajo) de lo normal (referencia), el comparador deberá dar una señal de salida al sistema controlador, de forma que se

 Martinez Bernia y Asoc.

16 Electrónica analógica

restablezca de inmediato el nivel normal. Evidentemente, la señal de referencia se conecta a una de las entradas del comparador recibiendo la otra la señal de la variable controlada (en este caso, el nivel del recipiente). Al igual que en otros montajes descritos tendremos comparadores inversores y no inversores, en las figuras se muestra sencillos comparadores llamados “detectores de paso por cero”. El funcionamiento de este comparador es bastante sencillo: la ganancia del A.O. será la máxima al estar en lazo abierto, luego en el caso de existir una diferencia de potencial entre las entradas la salida del comparador pasará al estado de saturación independientemente de que la citada diferencia sea pequeña.  + V sat , Vs =   − V sat ,

cuando cuando

Ve > 0 Ve < 0

( 10-50)

Figura 10-14. Comparador no inversor .

Figura 10-15. Comparador inversor.  + V sat , Vs =   − V sat ,

cuando V e < 0 cuando V e > 0

( 10-51)

En los dos tipos de comparadores estudiados la señal de referencia era nula por estar conectada a masa; ahora mostraremos un circuito en el que podemos variar la tensión de referencia. Se observará que en este caso la conmutación de estados de saturación tiene lugar cuando el nivel de la señal que se quiere comparar alcanza el valor de referencia.

Figura 10-16. Comparador con tensión de referencia variable.  + V sat , Vs =   − V sat ,

cuando

V e < V ref

cuando

V e > V ref

( 10-52)

En este montaje no existe una relación obligada entre las resistencias R1 y R2, si bien es aconsejable que sean de igual valor para la compensación de las corrientes de polarización. Por la misma razón, se ha de procurar que la resistencia del potenciómetro sea mucho menor que R2, al menos diez veces menor, ya que de lo contrario influiría excesivamente en la resistencia equivalente apoyada en la patilla no inversora. A la hora de proyectar un comparador suele ser habitual la utilización de dos diodos en antiparalelo, colocados entre los terminales de entrada, para proteger contra posibles sobretensiones o sobrecorrientes que puedan dañar el integrado.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 17

También se suele conectar a la salida una red formada por una resistencia y dos diodos zener en serie con el ánodo o el cátodo común, esta disposición nos permitirá ajustar la tensión de salida al valor que deseemos (de lo contrario Vs=±Vsat). Si se eligen los diodos zener de distintos valores las amplitudes positiva y negativa de salida serán diferentes. La diferencia entre la tensión de los zener y la de saturación del comparador será absorbida en la resistencia de salida R2.

Figura 10-17.Montaje con protección y limitación de salida.

10.3.6 Comparador realimentado, regenerativo o de Schmitt. Uno de los problemas que presentan los comparadores en lazo abierto es que los cambios de su salida se producen ante cualquier variación (por pequeña que sea) en la entrada. Si los cambios en la entrada son debidos a una señal de ruido superpuesta a la entrada, la salida nos puede una información falsa sobre los citados cambios. Con los comparadores realimentados conseguimos fijar un intervalo de valores entre los cuales no se consideran los cambios habidos a la entrada, a este fenómeno se le denomina histéresis. A continuación se muestran los resultados de los comparadores sin y con realimentación.

a)

b)

c)

Figura 10-18. a) Señal de entrada, b) salida comparador sin realimentación, c) salida comparador con realimentación. Para la construcción de un comparador regenerativo se deben establecer dos niveles de referencia, denominados tensión de disparo superior (VDS) e inferior (VDI), separados por una cierta banda de tensión que

 Martinez Bernia y Asoc.

18 Electrónica analógica

dependerá del valor de pico estimado para la señal de ruido. La diferencia entre estos dos niveles se denomina margen de tensión de histéresis (VH). Las conmutaciones de salida se producen cuando la señal a comparar alcanza los citados niveles de disparo. En primer lugar analizaremos el comparador inversor regenerativo, representado en la figura siguiente.

Figura 10-19. Comparador de Schmitt inversor con referencia ajustable. Curva de histéresis. Si los diodos zener son del mismo valor, la tensión de salida será igual a la tensión zener de uno de ellos más la tensión directa del otro: ±Vs=±(Vz+Vd). En el caso de que VeVDS. La tensión en el terminal no inversor será ahora:

Vb = VR −

R2 (V + VR ) ≡ VDI R1 + R2 s

( 10-54)

En la figura anterior se muestra la característica de histéresis de este montaje para el caso particular de VR=0. En dicha característica se puede ver que para valores negativos de Ve superiores en módulo a VDI , la salida del comparador estará en +Vs y la tensión de disparo (referencia) será VDS. Al alcanzar Ve a VDS, la salida cambia de +Vs a -Vs y la tensión de disparo para la próxima conmutación pasa a ser VDI, situación que se mantiene mientras Ve sea superior a VDS. Si Ve toma valores comprendidos entre VDI y VDS (margen de histéresis), la salida permanecerá inalterada. No obstante, si Ve disminuye hasta alcanzar VDI, la salida conmutará nuevamente a +Vs volviendo a ser VDS la tensión de disparo. Vemos, pues, que existe un cierto retardo de conmutación cuando la señal de entrada se halla dentro del margen de histéresis (VH ).

Figura 10-20. Comparador no inversor. En el caso de querer construir un comparador no inversor, bastaría con intercambiar la localización de Ve y VR en Fig.3.6. En este caso las tensiones de disparo serían:

Vb = Ve +

R2 (V − Ve ) R1 + R2 s

( 10-55)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 19

R1 + R2 R2  V DI = R V R − R V s  1 1 para Vb = V R ⇒  + R R R 2 V = 1 V R − 2 Vs  DS R1 R1

 =V sat )    (Vs = −V sat ) 

(V

s

( 10-56)

Para terminar, indicar unas relaciones importantes para el diseño de los comparadores: VDS - VDI representa el ancho de la histéresis y la semisuma representa el valor central de la histéresis.

10.4 Amplificador diferencial. El par de emisor acoplado o diferencial se muestra en la siguiente figura y es la configuración de transistores más importante que se emplea en C.I. (circuitos integrados). V cc +

RC

Ic 1

V0

+ +

RC

V 01

-

Ic 2 +

V 02 -

Q1

Q2

+

+

V1

V2

I EE

El circuito utiliza una fuente de corriente constante que puede ser como la que hemos visto anteriormente o similar. Q1 y Q2 son dos transistores idénticos y las dos resistencias también son iguales. Vamos a ver que este circuito puede emplearse como amplificador o como interruptor. Para ello vamos a obtener la característica de transferencia en c.d. a partir de las mallas de base se puede poner:

V1 = VBE1 − VBE 2 + V2

(*)

( 10-57)

Si el transistor va a polarizarse en la zona activa, vamos a despreciar la corriente inversa de saturación en la unión colector-base. De las ecuaciones de Ebbers-Moll podemos escribir para IC1 e IC2:

(1) I c1 = α F I ES eVBE1 / VT (2) I c 2 = α F I ES eVBE 2 / VT

( 10-58)

donde hemos supuesto para estas ecuaciones (diodo en directa) que:

eVBE1 / VT >> 1 Dividiendo (1) y (2) queda:

 Martinez Bernia y Asoc.

20 Electrónica analógica

(3)

I c1 = e (VBE1 −VBE 2 ) / VT = eVd / VT I c2

( 10-59)

Siendo Vd=VBE1-VBE2=V1-V2 de (*). Aplicando Kirchoff al nudo de emisor se tiene,

(4) I E1 + I E 2 = I EE =

I C1 I C 2 + αF αF

dividiendo ambos miembros de (4) por

(5)

( 10-60)

I C1 queda: αF

α F I EE I C 2 = +1 I C1 I C1

( 10-61)

sustituyendo (3) en (5):

α F I EE = 1 + e −Vd / VT I C1 (6) I C1 =

( 10-62)

α F I EE 1 + e −Vd / VT

Procediendo igual para Ic2 se obtiene:

(7 ) I C 2 =

α F I EE 1 + eVd / VT

( 10-63)

El objetivo para obtener la característica de transferencia ha sido expresar IC1 e IC2 en función de la tensión diferencia Vd.

I c2

I c1 α F I EE I c1

I c2

1 α F I EE 2

Vd - 44V T

-3VT

- 2V T

- VT

0

VT

2V T

3V T

Vemos que aumentando Vd alrededor de 4VT entonces,

I C1 → α F I EE IC2 → 0

( 10-64)

4V T

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 21

y simultaneamente si hacemos Vd < -4VT,

I C 2 → α F I EE I C1 → 0

( 10-65)

Se puede obtener la característica de transferencia utilizando las tensiones de salida V01 y V02. V01 = VCC – IC1RC V02 = VCC – IC2RC en donde basta sustituir IC1 e IC2 por sus expresiones (6) y (7). Asimismo se puede obtener la característica V0 = V01 – V02. Estas gráficas se muestran a continuación y pueden interpretarse de la forma siguiente:

 I C1 ≈ α F I EE I C 2 ≈ 0

Si Vd > 4VT ⇒  por tanto quedará,

V02 = Vcc V01 = Vcc − α F I EE RC La salida de V01 puede hacerse pequeña eligiendo adecuadamente RC. V0 = V01 – V02 = α FIEERC. Podemos aproximar la salida de Q1 a un interruptor cerrado y Q2 a uno abierto. El estado de Q1 y Q2 se invierte evidentemente si hacemos Vd < -4VT. La salida diferencial V0 tendrá también dos niveles distintos, uno positivo y otro negativo al variar Vd alrededor de 4VT. Una observación importante es que en la zona –4VT < Vd < 4VT, IC1, IC2,V01, V02 y V0 tienen una dependencia paracticamente lineal con Vd. En esta zona el circuito puede funcionar como un amplificador (diferencial). Estas propiedades de funcionamiento hacen que este circuito se emplee ampliamente como interruptor en circuitos integrados digitales y como amplificador en circuitos analógicos.

 Martinez Bernia y Asoc.

22 Electrónica analógica

V02

V01 V0 Vcc

V02

V01

α F I EE RC

Vd - 44V T

-3V T

--2V T

- VT

0

VT

2V T

3V T

4V T

VCC − α F I EE RC

V0

- 2V T

- 4V T

4V T

2V T

V 0 = f (V d )

− α F I EE RC

10.4.1 Ganancia en modo común y modo diferencial. La función de un Amplificador diferencial es en general amplificar la diferencia entre dos señales de entrada V1 y V2. Sin embargo en un amplificador práctico la salida depende en alguna medida de la suma de estas entradas. Considerese el A.D. de la figura siguiente: v1 v0 A. D.

v2

La salida V0 será igual a: V0 = Ad(v1 – v2) Siendo Ad la ganancia en modo diferencial. Cualquier señal común a ambas entradas no afectará a la salida. Pero como se ha dicho ya, en los A.D. prácticos la salida no solo dependerá de la señal diferencia Vd sino que en cierta medida depende del valor medio, denominado señal de modo común vC donde:

vd = v1 − v2 vC =

v1 + v 2 (2) 2

( 10-66)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 23

Con el objetivo de valorar esta situación ha sido defino un parámetro de mérito del A.D. conocido como: “factor de rechazo en modo común”. La salida de la figura anterior puede ser expresada como: V0 = A1v1 + A2v2 Donde A1 (A2) son las ganancias en tensión de las entradas 1 (2) a la salida, con la condición de que la entrada 2 (1) esté conectada a tierra. De (2):

1 / 2Vd = 1 / 2V1 − 1 / 2V2 Vc = 1 / 2V1 + 1 / 2V2

( 10-67)

Vc + 1 / 2Vd = V1 V1 = VC + 1 / 2Vd V2 = VC − 1 / 2Vd

( 10-68)

V0 = A1(VC + 1/2Vd) + A2(VC -1/2Vd) = VC(A1 + A2) + 1/2Vd(A1 – A2) con lo que: V0 = ACVC+AdVd Siendo la ganancia diferencial y común: Ad = 1/2 (A1 – A2) AC = (A1 + A2) Para medir Ad se puede hacer V1= V2 = 0.5 V de manera que Vd = 1V y VC = 0, así el valor medido en la salida V0 es la ganancia Ad. Igualmente para medir AC se hace V1 = V2 = 1V, entonces Vd = 0, VC = 1V y V0 = AC. Evidentemente lo que se quiere es que Ad sea grande y Ac idealmente nulo. Se define por tanto el factor de rechazo en modo común como: F.R.M.C. = ρ =

Ad Ac

( 10-69)

Volviendo a la ecuación de salida V0 = AcVc + AdVd quedará:

V0 = Ad Vd (1 +

1 Vc ) ρ Vd

( 10-70)

10.4.2 Análisis en pequeña señal. Obtengamos el valor del F.R.M.C. en un amplificador diferencial real en función de sus parámetros. Sea el circuito de la figura.

 Martinez Bernia y Asoc.

24 Electrónica analógica

V cc

RC

RC

V 01

V 02

V1 V2

RE

Estudiemos primero el modo común, para ello vi=v2=vc. Como las dos entradas son iguales y los transistores idénticos, las tensiones base emisor serán iguales. Por tanto las corrientes de colector deben ser idénticas. Como las corrientes de emisor son iguales, no hay corriente entre ambas partes del circuito. Entonces, siguiendo el teorema de Barttet, se puede analizar solo la mitad del circuito. Nótese que la resistencia en el emisor se duplica, ya que la corriente real en esa resistencia es el doble. VC C

V0

RC

h fe

h ie V0

Vi

RC

V 1 =V 2= V i

2R E 2R E

-V EE

v0 = − h fe ib Rc

( 10-71)

Como:

ib =

vi hie + 2(h fe + 1) RE

( 10-72)

Queda:

v0 = − h fe

AC =

vi RC hie + 2(h fe + 1) RE

− h fe RC v0 − RC = ≈ 2 RE vi hie + 2(h fe + 1) RE

( 10-73)

( 10-74)

Para estudiar la ganancia en modo diferencial se utiliza otra vez el teorema de Barttet para dividir el circuito en dos partes y analizar solo el semicircuito de la figura siguiente. Como la entrada es simétrica v1=-v2=vd/2 las corrientes entre ambas partes del circuito son iguales y contrarias por lo que las tensiones entre nodos comunes serán nulas.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 25

V CC

V0

RC

h fe

h ie Vi V0

RC

V 1=-V 2=V d/2 -V EE

v0 = Ad =

Como v1=

vd/2 ⇒ Ad =

− Rc h fe vi hie v0 − Rc h fe = vi hie

( 10-75)

v0 − Rc h fe = 2hie vd

( 10-76)

También podemos expresar la FRMC en forma logarítmica (por definición) como sigue:

FRMC = 20 log10 =

Ad Ac

( 10-77)

10.5 Parámetros característicos en un A.O. Tensión offset de salida: el hecho de que los transistores de la etapa diferencial de entrada no sean idénticos provoca un desequilibrio interno del que resulta una tensión (del orden de mV) en la salida, denominada tensión de Offset de salida, aun cuando las entradas estén puestas a tierra. Para la corrección de esta tensión de offset se coloca un potenciómetro entre las patillas 1 y 5 del LM741 y el cursor se lleva a la patilla 4. La importancia de este ajuste se aprecia en las aplicaciones en que se trabaja con señales pequeñas como en instrumentación (en el área petroquímica, nuclear, electromedicina, etc). Tensión offset de entrada (Veo): es la tensión que debe aplicarse entre los terminales de entrada para que la tensión de salida sea cero Corriente offset de entrada (Ieo): es la diferencia entre las corrientes de entrada de un amplificador equilibrado:

I eo = I b1 − I b 2

cuando Vs = 0

Es importante conseguir, para un funcionamiento correcto de los montajes, que las corrientes de polarización sean iguales para poderse compensar. Para ello es necesario que el paralelo de las resistencias conectadas a cada una de las entradas sean iguales. Corriente de polarización de entrada (Ib): se define como la semisuma de las corrientes de entrada en un amplificador equilibrado:

Ib =

Ib1 + Ib 2 2

cuando VS = 0

Tensión de saturación: es la tensión máxima que puede dar un operacional a la salida. Este valor máximo es del orden del 90% del valor de la tensión de alimentación. Así, si alimentamos a ±15V la tensión de saturación será ±13,5V.

 Martinez Bernia y Asoc.

26 Electrónica analógica

10.6 Amplificador operacional práctico. Como hemos dicho el amplificador operacional es un amplificador directamente acoplado de gran ganancia para llevar a cabo una gran variedad de funciones.

V0 = − AvVi R2

I

R1

V1

+

-

V1

-

V 0= -A v V i

V0

+

I

Av>0

-

+

V 1 =0

Vi V2

-

+

Etapa de Amplificador Operacional inversora La siguiente figura (A) representa el circuito equivalente de una etapa inversora empleando Amp-Op practicos. Para demostrar los efectos de las desviaciones respecto al ideal, hallaremos el equivalente Thevenin de la etapa vista por la resistencia de carga RL (B). Obsérvese que cuando Ri>>R1 , como es usual, estas magnitudes se reducen a V1 y R1 respectivamente. Así pues el efecto de la resistencia de entrada del Amp-Op puede despreciarse supuesto que Ri>>R1. En lo que queda del análisis supondremos que este es el caso. R1

R2

+

+

V1

-

Vi

R0

Ri

-

RL

-A VV 1

+

Etapa Inversora Práctica: R' 1

R2

+

-

R0

V' 1

RL -A vV 1 +

v 0 = − A v v i + IR v i = IR

2

0

+ v0

v1 = I ( R1 + R 2 + R 0 ) − Av v i

( 10-78)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 10. Amplificadores Operacionales. 27

Esta tercera ecuación sale aplicando Kirchhoff

v 0 = − Av ( IR 2 + v 0 ) + IR 0 ⇒ v 0 (1 + Av ) = I ( R 0 − Av R 2 ) v1 = I ( R1 + R 2 + R 0 ) − Av ( IR 2 + v 0 ) ⇒ v1 = I ( R1 + R 2 (1 − Av ) + R 0 ) − Av v 0

( 10-79)

Combinaremos las ecuaciones y despejaremos V0/V1

I =

v 0 (1 + Av ) ( R 0 − Av R 2 )

( 10-80)

v 1 + Av v 0 v (1 + Av ) = 0 I = ( R1 + R 2 (1 − Av ) + R 0 ) ( R 0 − Av R 2 )

 − Av 1 + Av  v1 = v0  +  ( R1 + R 2 (1 − Av ) + R 0 )  ( R1 + R 2 (1 − Av ) + R 0 ) R 0 − Av R 2  1 ( R1 + R 2 (1 − Av ) + R 0 ) v0 1 = = − Av 1 + Av ( R + R 2 (1 − Av ) + R 0 )(1 + Av ) v1 + − Av + 1 ( R1 + R 2 (1 − Av ) + R 0 ) R 0 − Av R 2 R 0 − Av R 2 Operando la ganancia nos queda:

Av =

v0 R0 − Av R2 = v1 R1 (1 + Av ) + R0 + R2

( 10-81)

Haciendo las aproximaciones:Av>>1; AvR1>>R2+R0:

Av = −

R2 R1

( 10-82)

Si Av es suficientemente grande tendrá el mismo valor que en el caso ideal. El efecto de R0 es despreciable siempre que AvR1 y AvR2 sean cada una de ellas mayor que R0. Podemos llegar a la conclusión de que si Av es muy grande, la tensión de Thévenin es virtualmente independiente de las desviaciones respecto al ideal del Amp-Op.

Capítulo 11

RESPUESTA EN FRECUENCIA. Se puede definir sistema como un conjunto de componentes físicos, unidos o relacionados de tal manera que forman y/o actúan como una unidad completa. Un sistema de regulación es un sistema cuyos componentes físicos mandan, dirigen o regulan al mismo sistema o a otro. Es importante señalar que los sistemas de regulación o control incluyen también los existentes en la naturaleza, los que se componen de componentes fabricados y naturales, y aquellos formados por componentes exclusivamente fabricados.

11.1 Definiciones básicas. En todo sistema de control se distinguen dos partes fundamentales: la entrada o estímulo y la salida o respuesta. Existen modelos de control con varias entradas y salidas; mientras que es posible que un sistema tenga entradas no definidas introducidas por agentes externos.

Entradas

Sistema

Salidas

Figura 1.Sistema genérico. De otro lado, según la naturaleza del control se pueden distinguir dos tipos de sistemas: sistemas de control en lazo abierto y en lazo cerrado. En el primer caso la acción de control es independiente de la salida, mientras que el segundo ésta influye de alguna forma en la salida. El sistema de control en lazo abierto genera menos problemas de estabilidad y los criterios de diseño necesarios para hacer el sistema estable son mucho más sencillos. Además no requieren las señales de realimentación tan precisas de los sistemas en lazo cerrado. Sin embargo, el control en lazo cerrado presenta otras ventajas. Al depender la señal de referencia de la salida, la respuesta del sistema es más sensible a variaciones de los parámetros y se atenúan los efectos de los ruidos y las distorsiones. Otro concepto importante es la realimentación. La realimentación es la propiedad de los sistemas de control en lazo cerrado que permite que la salida (o alguna variable controlada) se compare con la entrada del sistema (o una entrada de algún otro componente o subsistema) de tal forma que la acción de control apropiada se puede formar como alguna función de la entrada y la salida.

 Martinez Bernia y Asoc.

2 Electrónica analógica

Regulador

Planta

Figura 2. Sistema regulado en lazo abierto. Por último, las señales de un sistema de control son funciones de alguna variable independiente, generalmente el tiempo. Bajo este punto de vista se distinguen entre sistemas de control continuos o discretos. El primer caso las señales del sistemas serán dependientes en todo momento de la variable independiente t; la señal se denomina continua o analógica. Los sistemas de control discretos poseen señales de interés sólo en instantes determinados de la variable independiente t; tales señales se denominan discretas en el tiempo, de datos discretos, de datos muestreados o digital. Existen también sistemas híbridos de ambos sistemas de control

11.2 Terminología de los sistemas regulados. Generalmente los sistemas de control se representan haciendo uso de los llamados diagramas de bloques. Un diagrama de bloques es una representación gráfica de la relación causa-efecto entre la entrada y la salida de un sistema físico. La forma más simple de un diagrama de bloques es un sólo bloque con una entrada y una salida, tal y como se muestra en la figura siguiente.

R(s) +

-

E(s)

G(s)

C(s)

Regulador+Planta R'(s)

H(s)

Transductor Figura 3. Sistema regulado en lazo cerrado Usualmente en el interior del bloque contiene la descripción o el símbolo de la operación matemática que se va a efectuar sobre la entrada para producir la salida, las flechas representan la dirección de la información o flujo de la señal. De otro lado, las operaciones de adición y substracción tienen una representación especial: se representa con un círculo al que se le añaden a las flechas que entran en el círculo su correspondiente signo + ó -.En general el diagrama de bloques representa un sistema de una única entrada y una única salida, en el dominio de la transformada de Laplace. La señal de entrada es R(S), la salida C(S), la señal de realimentación R’(S) y la señal de error es E(S). La función de transferencia del sistema es G(S) y la función de transferencia de la realimentación H(S).Esto significa que el lazo de realimentación se considera abierto a su entrada. La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es: C(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s)H(s)). A la ecuación 1+G(S)H(S) = 0 se la denomina ecuación característica del sistema y sus raíces determinan la respuesta transitoria del sistema en lazo abierto. A continuación se exponen algunas definiciones relacionadas con los sistemas de control en lazo cerrado: •

Planta, proceso o sistema controlado: es el sistema, subsistema, proceso u objeto comandado por el sistema de control.

•

Salida controlada: es la variable de salida de la Planta.

•

Trayectoria directa: es la trayectoria seguida del punto de suma a la salida controlada.

•

Elementos anticipativos: son los componentes de la trayectoria directa que generan las señales de control aplicadas a la planta. Suelen ser controladores, compensadores y/o amplificadores.

•

Señal de control: es la salida de los elementos anticipativos.

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 3

•

Trayectoria de realimentación: es la ruta de transmisión de la salida controlada al punto de suma.

•

Elementos de realimentación: son los que se disponen en la trayectoria de realimentación estableciendo la relación funcional entre la salida controlada y la señal primaria de realimentación. Son sensores, compensadores y/o elementos controladores.

•

Entrada de referencia: es una señal externa aplicada al sistema de control con realimentación, usualmente situada en el primer punto de suma, para ordenar una acción específica a la planta.

•

Error: es la señal de entrada de referencia más o menos la señal primaria de realimentación.

•

Realimentación positiva o negativa: simboliza que la entrada de la señal de realimentación en el punto de suma es positiva o negativa respectivamente. Otros conceptos suplementarios:

•

Transductor: es un dispositivo que convierte una forma de energía en otra.

•

Estímulo o entrada de prueba: es cualquier señal de entrada introducida externamente que afecta a la salida controlada.

•

Perturbación o ruido de entrada: es un estímulo no deseado que afecta al valor de la salida controlada. Puede entrar en la planta, en el primer punto de suma o en cualquier punto intermedio.

•

Respuesta en el tiempo: es la salida de un sistema, subsistema o elemento en función del tiempo.

•

Sistema multivariante: es aquel que tiene más de una entrada (multientrada), más de una salida (multisalida) o ambas.

•

Servomecanismo: es un sistema de control con realimentación de amplificación de potencia, en el cual la variable controlada es una posición mecánica o una derivada respecto al tiempo, tal como la velocidad o la aceleración.

•

Regulador: es un sistema de control con realimentación en el cual la entrada de referencia es constante por largos períodos de tiempo. Un regulador se diferencia de un servomecanismo en que la función primaria de un regulador es generalmente mantener una salida controlada constante, mientras que la de un servomecanismo es, casi siempre, hacer que una entrada variable en el sistema ocasione una salida.

11.3 La transformada de Laplace. La resolución de los problemas en ingeniería utiliza técnicas para reemplazar las funciones de variable real por ciertas representaciones dependientes de la frecuencia o por funciones de una variable compleja que depende de la frecuencia. Un ejemplo típico es el uso de las series de Fourier para resolver ciertos problemas eléctricos. En esta sección se presenta la transformada de Laplace, cuya misión es relacionar funciones de tiempo con funciones dependientes de la frecuencia de una variable compleja. El empleo de la transformada de Laplace, reduce considerablemente los cálculos en los sistemas de control, produciendo además diagramas de bloques sencillos que se aproximan en gran medida al modelo real del sistema.

11.3.1 Definición matemática. Sea f(t) una función real de variable real t, definida para t>0. Entonces la transformada de Laplace de f se define como: F ( s) =

T ∞ lim ∫ f ( t ) e − st d t = ∫ f ( t )e − st d t T→∞ ε 0+ ε→ 0

(1)

donde s es una variable compleja definida por: s = σ + jω . Definición: Existe la transformada de Laplace de f(t) siempre que se cumple la condición de convergencia:

 Martinez Bernia y Asoc.

4 Electrónica analógica

∞

∫ / f (t ) / e

− rt

dt < ∞

0

Siendo r real y positiva. Si se cumple que f(t) es de orden exponencial, y existe una función oscilante, con rc real y positiva tal que: e-rt/f(t)/ < M ∀ t>0 La integral convergerá para r>rc. La región de convergencia será rc T 0, t ≤ T

L [ f ] = e − sT F ( s )

Función f(t) Impulso unitario Escalón unitario 1(t) Rampa unitaria t Polinomio tn Exponencial e-at Senoidal senωt Cosenoidal cosωt Senoidal Amortiguada e-at senωt

Transformada de Laplace 1 1/s 1/s2 n!/sn+1 1/(s+a) ω/(s2+ω2) s/(s2+ω2) ω (s + a) 2 + ω 2

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 5

Cosenoidal Amortiguada e-at cosωt

s+a (s + a) 2 + ω 2

Tabla 1. Valores resumidos de la Transformada de Laplace

11.4 Representación interna. Un sistema lineal e invariante en el tiempo puede ser representado mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, que puestas en forma matricial podrían expresarse como:

x& = Ax + Bu y = Cx + Du

(3)

donde: u es el vector de señales de entrada. x es el vector de variables de estado. y es el vector de señales de salida.

11.5 Función de transferencia. Se define la función de transferencia, como la relación de la transformada de Laplace de la salida (función respuesta) con la transformada de Laplace de la entrada (función excitadora), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son nulas.

Entradas

Sistema

Salidas

Figura 4.Sistema genérico. Si existe un sistema lineal invariable en el tiempo, del que sólo se conoce los valores de su salida para cada valor de la entrada, su respuesta se puede representar por una ecuación de términos derivativos (o integrales) como: (n)

(n−1)

•

(m)

(m−1)

•

a0 y+ a1 y +...+ an−1 y+ an y =b0 x + b1 x +...+ bm−1 x+ bmx

(4)

Con n≥m, siendo ”y” la salida del sistema, “x” la entrada y los coeficientes “ai” y “bi” constantes. Si se aplica transformada de Laplace a ambos miembros y suponiendo las condiciones iniciales nulas:

(a

0

s n + a 1 s n −1 + ...+ a n −1 s + a n ) Y ( s) = ( b0 s m + b1 s m −1 + ...+ bm −1 s + bm ) X ( s)

(5)

La función de transferencia será: G (s) =

Y ( s ) b 0 s m + b1 s m − 1 + ...+ b m − 1 s + b m = X ( s ) a 0 s n + a 1 s n − 1 + ...+ a n − 1 s + a n

(6)

 Martinez Bernia y Asoc.

6 Electrónica analógica

Esta expresión expresa la relación entre la entrada y la salida de un sistema independientemente de su estructura física, luego puede servir para analizar un sistema distinto pero con igual relación entrada-salida y trabajando sólo con relaciones algebraicas en ”s”. Si partimos de la representación interna se tendrá que: G ( s ) = C ( sI − A ) −1 B + D

(7)

En el caso más general H(s) es una matriz tridimensional, estaremos hablando de un sistema MIMO.

11.5.1 Representación factorizada. Otra forma de interés para los sistemas SIMO y SISO es la factorizada, es decir, ganancia, polos y ceros: H ( s) = K

( s + z (1)) + ( s + z ( 2 )) + ....+ ( s + z ( n )) ( s + p (1)) + ( s + p ( 2 )) + ...+ ( s + p ( n ))

En general se pueden encontrar los siguientes casos: 1.

f (s) A B C ⇒ + + ( s + a)( s + b)( s + c) s+a s+b s+c

2.

f ( s) A B C N ⇒ + + + ... + n 2 3 s + a (s + a) ( s + a) ( s + a) ( s + a) n

3.

f (s) As + b ⇒ 2 as + bs + c as + bs + c 2

Factores cuadráticos con raíces imaginarias en el denominador

f ( s) As + B C ⇒ 2 + (as + bs + c)( s + d ) as + bs + c s + d

a)

2

Si hay además algún factor lineal en el denominador:

11.5.2 Ejercicio1 Calcular la antitransformada de Laplace de la función:

s+5 →→→ s = −2, s = −1 s + 3s + 2 s+5 A B A(s + 2) + B(s + 1) = + = (s + 2)(s + 1) s + 1 s + 2 (s + 2)(s + 1) 2

(8)

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 7

A(s + 2) + B(s + 1) = s + 5 ( A + B )s + 2 A + B = s + 5 A+B =1 2A + B = 5 A = 4, B = −3 4 3 − s +1 s + 2 4 3 L−1( ) − L−1( ) = 4e −t − 3e −2t s +1 s+2

11.5.3 Ejercicio 2 Calcular la transformada inversa de Laplace de:

F (s ) =

s 2 + 2s + 3 A B C → F (s ) = + + 3 3 2 s +1 (s + 1) (s + 1) (s + 1)

A + B(s + 1) + C(s + 1)2 = A + B(s + 1) + C (s 3 + 2s + 1) = s 2 + 2s + 3 C =1 B + 2C = 2 〉 → A = 2, B = 0,C = 1 A+B +C = 3 F (s ) =

2 1 + → Antitransformadas : 3 s +1 (s + 1)

 2  1 L−1  = 2 t 2 e −t = t 2 e −t 3 2  (s + 1)   1  −t L−1  =e s 1 +   f (t ) = (t 2 e −t + e −t )u o (t ) = (1 + t 2 )e −t u o (t )

11.5.4 Ejercicio 3 Calcular la transformada inversa de Laplace de:

F (s ) =

s +1 − 1± 1− 4 − 1 3 = ± j ;s = 2 2 2 s(s + s + 1) 2

A Bs + C + 2 s s + s +1  A + B = 0   B = −1 2 2 , donde.As + As + A + Bs + Cs = s + 1 A + C = 1  A =1 C =0   F (s ) =

F (s ) = −

wn = 1 , s2 + s + 1 s 1 − 2 ; 2 ⇒ 2 s s + s + 1 s + 2ξw n + w n = 0 , ξ = 1/ 2 s

s + 2ξw n + w n 2

2

=−

s +1 s + 2ξw n + w n 2

2

+

1 s + 2ξw n + w n 2

2

 Martinez Bernia y Asoc.

8 Electrónica analógica

1− 1 1− 2 • 1 • 1− 1 −1 t s +1  4) 2 2 1 L  2 e sen( 1 − t + φ );φ = arctg ( = 4  s + s + 1 1− 1 1− 1 4 2 1 1   L−1  2 ; L−1( 1 ) = 1 → Escalon − Unitario. → s  s + s + 1 1− 1 4 −1 

11.6 Impedancias complejas. En las redes eléctricas se define la impedancia como la relación entre la tensión en extremos y la corriente que circula; en cambio, hablaremos de impedancia compleja como la relación antes mencionada se de mediante la transformada de Laplace. Como ejemplo las impedancias complejas de los elementos pasivos más usuales serán:

a) Resistencia R

e( t ) = Ri( t )

E ( s) = RI ( s)

⇒

Z ( s) =

1 1  I ( s) i(t )dt ⇒ E ( s) =  + ∫ C C s

(∫ i(t )dt )

⇒

E ( s) =R I ( s)

(9)

b) Capacidad C

e(t ) =

E ( s) 1  ⇒ Z ( s) = =  t =0  I ( s) Cs

( 10 )

siempre y cuando las condiciones iniciales sean nulas.

c) Inductancia L

e( t ) = L

di( t ) dt

⇒

[

E ( s) = L sI ( s) + i ( 0)

]

⇒

Z ( s) =

E ( s) I ( s)

= Ls

( 11 )

con condiciones iniciales nulas. Con esta nueva herramienta el cálculo de la función de transferencia de un circuito podrá realizarse bien por el empleo de ecuaciones diferenciales o de impedancias complejas.

Figura 5. Circuito en cascada y equivalente complejo. Así, en un circuito como el representado, de dos circuitos RC en cascada, las ecuaciones diferenciales que lo definirían serían:

    1 1  ( ) i i dt R i i dt e − + = − = − 2 1 2 2 2 o ∫ ∫  C1 C2 1 C1

∫ (i

1

− i2 )dt + R1i1 = ei

( 12 )

Tomando transformadas de Laplace en ambas y suponiendo nulas las condiciones iniciales, se obtienen las expresiones:

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 9

 1 [I1 (s ) − I 2 (s )] + R1 I1 (s ) = Ei (s )  C1 s   1 [I 2 (s ) − I1 (s )] + R2 I 2 (s ) = − Eo (s ) C1 s   1 I 2 (s ) = E o (s )  C2 

( 13 )

Si de estas tres igualdades despejamos en dos de ellas las corrientes y sustituimos en la tercera obtendremos:

  1  C + R1  ⋅ I 1 (s ) − 2 E o (s ) = Ei (s )   C1  C1 s     1  1 + R 2  ⋅ C 2 s ⋅ E o (s ) − I 1 (s ) = − E o (s )  C1 s  C1 s  

( 14 )

Si se desarrolla la inferior y se sustituye en la superior:

 1   + R2  ⋅ C 2 s + 1 ⋅ E o (s ) = C1C 2 R2 s 2 + C 2 s + C1 s ⋅ E o (s ); ( 15 ) I 1 (s ) = C1 s ⋅    C1 s 

(

)

 1  C + R1  ⋅ C1C 2 R2 s 2 + C 2 s + C1 s ⋅ E o (s ) − 2 E o (s ) = Ei (s );  C1  C1 s 

(

)

( 16 )

Quedará finalmente:

Eo ( s) 1 = 2 Ei ( s) R1C1 R2 C2 s + ( R1C1 + R2 C2 + R1C2 ) s + 1

( 17 )

En el caso de operar con impedancias complejas el planteamiento que haremos será el siguiente:

Eo ( s) E2 ( s) Eo ( s) Z5 ( s) Z4 ( s) = ⋅ = ⋅ Ei ( s) Ei ( s) E2 ( s) Z1 ( s) + Z5 ( s) Z2 ( s) + Z4 ( s)

(

( 18 )

)

siendo Z5 = Z2 ( s) + Z4 ( s) Z3 ( s) . Operando nos resulta la misma ecuación 7.9 con lo que nos hemos ahorrado el paso de 7.7 a 7.8 y el planteamiento de 7.7. En 7.9 se muestra que el hecho de estar en cascada hace que la función de transferencia total no sea igual al producto de las funciones de transferencias parciales de cada una de las redes RC:

Eo ( s) 1 1 ≠ ⋅ Ei ( s) R1C1s + 1 R2 C2 s + 1

( 19 )

Esto es debido a que el segundo circuito actúa como carga del primero, esto no sucedería si el acoplamiento de los dos circuitos se hiciera por medio de un amplificador (de ganancia unidad). En este caso la igualdad de 7.11 si sería correcta.

 Martinez Bernia y Asoc.

10 Electrónica analógica

11.7 Conexión de sistemas. Existe una serie de reglas que es necesario utilizar para simplificar los diagramas de bloques formados por las funciones de transferencia de los sistemas. Se resumen en la siguiente tabla.

Transformación 1. Combinación de bloques en cascada

Diagrama original

Diagrama equivalente

2. Movimiento de un punto de suma anterior a un bloque 3. Movimiento de un punto de separación posterior a un bloque 4. Movimiento de un punto de separación anterior a un bloque 5. Movimiento de un punto de suma posterior a un bloque 6. Eliminación de un circuito de retroalimentación Tabla 2. Transformación de diagramas de bloques.

11.8 Respuesta temporal. Un sistema genérico de primer orden presenta un diagrama de bloques como el representado en la figura siguiente.

E(s) +

−

E(s)

1 Ts

S(s)

1 Ts + 1

S(s)

Figura 6. Sistema genérico de primer orden.

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 11

La relación entre la entrada y la salida vendrá dada por la expresión: S (s) 1 = E ( s ) Ts + 1

( 20 )

Físicamente este sistema puede representar un circuito RC, con T=RC. A continuación, analizaremos la respuesta de este tipo de sistemas ante las diversas señales aperiódicas de prueba.

11.8.1 Respuesta impulso unitario. Como la transformada de Laplace del impulso unitario es 1, reemplazando E(s) por 1 en la ecuación anterior se obtiene: S (s) =

1 1/ T = Ts + 1 s + 1 / T

( 21 )

Tomando Transformadas inversas en la ecuación anterior: S (t ) =

1 −t/T e T

( t ≥ 0)

( 22 )

1 0.9 0.8

Amplitud

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1

2

3 Tiempo (s) 1/T

4

5

Figura 7. Respuesta impulso unitario.

11.8.2 Respuesta al escalón unitario. Como la transformada de Laplace del escalón unitario es 1/s, se obtiene: S (s) =

1 1 Ts + 1 s

( 23 )

Desarrollando S(s) en fracciones parciales podemos expresar: S (s) =

1 T 1 1 − = − s Ts + 1 s s + (1 / T )

( 24 )

 Martinez Bernia y Asoc.

12 Electrónica analógica

Tomando transformadas inversas en la ecuación anterior: S (t ) = 1 − e − t/T

( t ≥ 0)

( 25 )

La función temporal deducida establece que inicialmente la salida, S(t), es nula y alcanza un valor final unitario. Para un instante t=T el valor de S(t) será: S ( t ) = 1 − e − 1 = 0 .6 3 2

( 26 )

De lo que se deduce que la constante de tiempo del sistema, es el tiempo que tarda la salida S(t) en alcanzar el 63% de su valor final. Cuanto más pequeña es la constante del tiempo del sistema, mas rápida es la respuesta de este. Análogamente, puede demostrarse que la pendiente de la tangente en t=0 es 1/T.

Figura 8. Respuesta al escalón unitario. Sólo se alcanza el estado estacionario tras un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica una estimación razonable de la respuesta temporal es el tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la banda del 2% del valor final, o sea, cuatro veces la constante de tiempo.

11.8.3 Respuesta a la rampa unitaria. Como la transformada de Laplace de la rampa unitaria es la 1/s2, tendremos: S (s) =

1 1 Ts + 1 s 2

( 27 )

Desarrollando S(s) en fracciones parciales: S (s) =

A B C 1 1 = 2 + + ⇒ A = 1; B = − T ; C = T 2 2 Ts + 1 s s Ts + 1 s

( 28 )

es decir:

S ( s) =

1 T T2 1 T T − + = 2 − + 2 s Ts + 1 s s s + 1/ T s

Tomando transformadas inversas en la ecuación anterior:

( 29 )

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 13 S (t ) = t − T + Te −t/T

t≥0

( 30 )

Figura Capítulo 11-9 Respuesta a la rampa unitaria. En la figura anterior se representa la entrada rampa unitaria E(t) y la salida S(t), expresada anteriormente. El error D(t), es la diferencia instantánea entre las señales de entrada y salida, será: D ( t ) = E ( t ) − S ( t ) = t − ( t − T + Te − t / T ) = T − Te − t / T = T (1 − e − t / T )

( 31 )

Conforme t tiende a infinito, e-t/T tiende a cero, y de este modo la señal de error D(t) tiende a T:

D (∞ ) = T

( 32 )

El error en seguir a la entrada rampa unitaria es igual a T para t suficientemente grande. Es decir, cuanto menor es la constante de tiempo T, menor será el error estacionario o permanente al seguir la entrada rampa. Establecíamos que la respuesta S(t) ante una entrada rampa unitaria era de la forma: S ( t ) = t − T + Te − t / T ( t ≥ 0)

( 33 )

Análogamente, para una entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada en rampa unitaria, la salida S(t), era: S ( t ) = 1 − e − t/T

( t ≥ 0)

( 34 )

Finalmente, para una entrada impulsiva unitaria, que es la derivada de la entrada escalón unitarios, la salida S(t), era: S (t ) =

1 −t/T e ( t ≥ 0) T

( 35 )

Comparando estas respuestas del sistema ante tres entradas, se deduce una propiedad importante de los sistemas lineales invariantes en el tiempo, pues puede comprobarse que la respuesta a la derivada de una señal entrada, puede obtenerse derivando la respuesta del sistema a la señal original.

 Martinez Bernia y Asoc.

14 Electrónica analógica

11.9 Transitorio de Sistemas de segundo orden. Considerando el circuito representado en la figura siguiente formado por una inductancia L (henrios), una resistencia R (ohmios) y una capacidad C (faradios).

Figura 10 Circuito RLC. Aplicando las leyes de Kirchhoff al sistema se obtiene: L

1 di + Ri + dt C 1 C

∫ idt = V

∫ id t = V

s

e

(36)

(37)

Tomando transformadas de Laplace en ambos miembros de las ecuaciones anteriores, y suponiendo nulas las condiciones iniciales se establecen las expresiones: L sI ( s ) + R I ( s ) +

1 1 I (s) = Ve (s) C s (38)

1 1 I ( s) = Vs ( s) C s (39)

De ambas se deduce: V e ( s ) − V s ( s ) = I ( s )( R + Ls ) ⇒ I ( s ) =

Vs (s) = I (s)

Ve (s) − Vs (s) R + Ls (40)

1 C s ( 41)

Considerando Ve como entrada y Vs como salida, el diagrama de bloques del sistema será el representado en la figura siguiente. E (s) +

1 R + Ls

−

E (s) +

−

1 Cs

S(s)

1 S (s) ( R + Ls ) Cs

Figura 11 Diagrama de bloques del circuito RLC. Operando en el bloque representado en la figura anterior:

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 15

1 1 1 LC LC = = Cs ( R + Ls ) s ( s + R / L )  R C s s + 2 2 L 

  LC  1

(42)

En bucle cerrado la función de transferencia quedaría: Vs (s) = Ve (s)

 R s2 + 2  2

1 LC 1  1 C s + L LC LC 

(43)

Si designamos: 1

ωn = ε =

LC

R 2

=

frecuencia natural no amortiguada.

C = L coeficiente de amortiguamiento.

Simbología cuya relación es evidente en electrotecnia, se obtiene los diagramas de bloques genéricos de un sistema de segundo orden, esquematizados en la figura siguiente. V e ( s )+

ωn2 ( 2 εω n + s ) s

−

V e(s)

V s(s)

ωn2 s 2 + 2 εω n s + ω n 2

V s(s)

Figura 12 Diagrama de bloques de un sistema genérico de segundo orden.

11.9.1 Respuesta al escalón unitario. Según hemos establecido, el diagrama de bloques genérico de un sistema de segundo orden será el indicado en la figura anterior. Las raíces del denominador de la función de transferencia en cadena cerrada son: s 2 + 2 εω n s + ω n2 = 0 ⇒ ⇒ s = −ω n ε ±

(εω ) − ω 2 n

2 n

(

= ωn − ε ±

ε2 −1

)

( 44)

De acuerdo con el valor de ε comprendido en tres categorías:

•Sistemas subamortiguados, correspondientes a valores de ε comprendidos en el rango 01 Þ s1>>s2 Þ e decrece − s2 t

mucho más rápidamente que e , pudiendo despreciarse el efecto del término correspondiente a s1 para una solución aproximada. Es decir, una vez desaparecido el término exponencial de caída más rápida, la respuesta es similar a la de un sistema de primer orden. Por tanto, puede escribirse como sigue: V s ( t ) = 1 − e − s2 t

( t ≥ 0) ( -66)

Las curvas obtenidas correspondientes a los distintos valores de ε, se representan de forma conjunta en la figura siguiente. De esta última figura y del estudio realizado para las diferentes formas de funcionamiento, pueden deducirse, a modo de resumen, las siguientes conclusiones:

•

Si el amortiguamiento es nulo el sistema es oscilatorio no amortiguado y su frecuencia se denomina frecuencia natural.

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 19

•

Si el sistema es subamortiguado presenta una respuesta oscilatoria con amplitud exponencialmente de creciente con el tiempo. La frecuencia es ahora menor que la natural, tanto menor cuanto mayor es el amortiguamiento, y se denomina frecuencia natural amortiguada.

•

Si el amortiguamiento toma el valor 1, el sistema presenta una respuesta no oscilatoria. Este valor ε=1, marca la frontera entre las respuestas oscilatorias y no oscilatorias, de ahí la denominación de amortiguamiento crítico.

•

Si el sistema es sobreamortiguado la respuesta es no oscilatoria, siendo progresivamente mas lenta conforme aumenta el valor de e. Si ε >> 1 el sistema puede aproximarse por uno de primer orden, el correspondiente a la raíz dominante.

1.8

0.1

Amplitud

1.6 1.4

0.3

1.2

0.5 0.7 0.9

1 0.8 0.6

1.9

0.4 0.2 0

0

5

10 Tiempo (s)

15

20

Figura 13 Respuesta temporal para distintos valores de ε.

11.10

Especificaciones de respuesta transitoria.

Aunque los sistemas de control pueden someterse a entradas muy diversas dependiendo de su cometido, pueden juzgarse sus características de funcionamiento, con suficiente exactitud, si se conocen determinados parámetros de su respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario. En la figura siguiente se muestra una respuesta típica ante una entrada escalón unitario.

 Martinez Bernia y Asoc.

20 Electrónica analógica

Figura 14 Especificaciones de la respuesta temporal. En general, la respuesta se caracteriza mediante las siguientes especificaciones:

•

Tiempo de retardo, td, es el tiempo invertido por la salida hasta alcanzar el 50% de su valor final.

•

Tiempo de crecimiento o tiempo de subida, tr, es el transcurre desde que la respuesta pasa de un valor del 10% al 90% de su valor final. A veces, estos limites se toman entre el 5% y el 95%, o bien, entre el 0 y el 100%, dependiendo de los sistemas. Para sistemas de segundo orden subamortiguados, frecuentemente se emplea el criterio de 0 al 100%, utilizándose los límites inicialmente definidos (10-90%) para los sobreamortiguados.

•

Tiempo de pico, tp, es el tiempo requerido por la señal para alcanzar la primera cresta de sobreimpulso.

•

Tiempo de establecimiento, ts, es el tiempo que precisa la respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de un porcentaje determinado (usualmente 5% ó 2%) de su valor final. Este parámetro se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema.

•

Máximo sobreimpulso, Mp, también denominado sobreelongación o rebase, indica la máxima diferencia existente entre la respuesta y su valor estacionario. Usualmente se expresa porcentualmente en la forma: M p = 100

V s ( t p ) − V s (∞ ) V s (∞ )

Evidentemente el conocimiento de estos parámetros determina la curva de respuesta y, por otra parte no todos ellos son aplicables a cualquier sistema. Así, un sistema sobreamortiguado no presenta sobreelongaciones y no se aplican las especificaciones tp y Mp. Las especificaciones de respuesta transitoria para un sistema subamortiguado son las siguientes:

•

Tiempo de crecimiento, tr: corresponderá al tiempo en que la salida alcanza su valor final.

  ε C (t r ) = 1 = 1 − e − ε ⋅ω n ⋅t r  cos ω d t r + sen ω d t r    1− ε 2   ε e − ε ⋅ω n ⋅t r  cos ω d t r + sen ω d t r  = 0   1− ε 2 Como e − ε ⋅ω n ⋅t r no es cero, tenemos:

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 21

ε

cos ω d t r +

1− ε 2

sen ω d t r = 0

sen ω d t r 1− ε 2 =− cos ω d t r ε 1− ε 2

tg ω d t r = −

tr =

 1− ε 2 nπ − arctg  ε

tr =

   

ωd

 1− ε 2 si β = arctg  ε

•

ε

   

tr =

⇒

π − arctg ωd

1− ε

nπ − β

ωd

2

ε

Tiempo de pico, tp: puede estimarse derivando Vs(t) con respecto al tiempo e igualando a cero la derivada.

dc ∈ ∈ −∈w t ∈w t = 0 =∈ wn e n p (cos wd t p + sen wd t p ) − e n p ( − wd sen wd t p + wd cos wd t r ) 2 dt t = t p 1− ∈ 1− ∈2 como → wd = wn 1− ∈2 2 wn −∈w t e n p (∈2 + 1− ∈2 ) sen wd t p = 0 1− ∈2 wn −∈w t e n p sen wd t p = 0 2 1− ∈ w → es0 ⇒ sen wd t p = 0 wd t p = nπ → t p =

π wd

con n=0,1,2,.....

•

Máximo sobreimpulso, Mp:

M p = c( t p ) − 1 = − e tp =

π wd

−∈wn t p

→ M p = −e

(cos wd t p +

−∈wn π w

d

(cos π +

∈ 1− ∈2 ∈ 1− ∈

∀0 ≤∈≤ 0.6 t = tp =

π ωd

con lo que el sobreimpulso porcentual será.

2

sen wd t p ) sen π ) = e

−∈wn

π wd

=e

−

∈ 1−∈2

π

≈ 1 − ∈0.6

 Martinez Bernia y Asoc.

22 Electrónica analógica

•Tiempo de establecimiento, ts: Para e comprendido entre 0 y 0.9 los valores de ts son: 4 criterio 2%: t s ≈ 4T =

εω n

criterio 5%:

11.10.1

t s ≈ 3T =

3

εω n

Ejemplo

Para el sistema de la figura, determinar k y kh para que el máximo sobreimpulso Mp ante una entrada en escalón sea 0.2, y el tiempo de pico sea 1 s. Con estos valores de k y kh obténgase el tiempo de crecimiento tr y el de establecimiento ts.

Mp = e

ε ⋅π 1− ε2

 ε −   1− ε 2

  ⋅π  

= 0.2

= 161 .

⇒

ε = 0.456

R(S) K/ S ( S + 1 ) +

C(S)

-

1 + KnS

tp =

π =1 ωd

ωd = 314 .

ωn =

⇒

ωd 1− ε2

= 353 .

k C ( s) k k s ⋅ ( s + 1) = = = 2 k ⋅ ( s + k h ⋅ s) s ⋅ ( s + 1) + k ⋅ (1 + k h ⋅ s) s + ( k ⋅ k h + 1) ⋅ s + k R ( s) 1+ s ⋅ ( s + 1)

2ε ⋅ ωn = k ⋅ k h + 1

⇒

kh =

2ε ⋅ k n − 1 k

= 0178 .

ωn 2 = k = 12.5 11.11

Respuesta de la variable regulada.

A pesar de que todos los sistemas están diseñados para realizar diferentes funciones, todos ellos tienen requerimientos comunes. Las principales características de un sistema típico de control son la estabilidad, precisión, velocidad de respuesta y sensibilidad de las salidas ante variaciones en el medio ambiente y en los componentes de sistema. La prioridad de cada una de estas características las establece el diseñador en función de la naturaleza del sistema y su aplicación. Veamos más detenidamente cada una de estas características:

•

Estabilidad: Un sistema se dice estable si sus salidas alcanzan un cierto valor en un tiempo finito después de aplicarle una entrada. Una vez que la salida del sistema permanece constante y no

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 23

cambia en función del tiempo, se dice que ha alcanzado el valor de régimen permanente. Un sistema se dice inestable si nunca alcanza este valor. En general los sistemas con tiempos de retardo y tiempos muertos tienden a ser inestables, por lo que se suele usar sistemas con realimentación.

•

Precisión: Estudia la desviación entre la salida real del sistema y su valor deseado. La exactitud se suele obtener mediante métodos de control basados en reguladores proporcionales o PI. Además, los sistemas en lazo cerrado son en general más exactos que los sistemas en lazo abierto.

•

Velocidad de respuesta: Es la medida de la rapidez con que las salidas alcanzan el régimen permanente después de aplicar la entrada. En la práctica la respuesta de un sistema en el dominio del tiempo consta de una parte transitoria y otra permanente. Los sistemas de más de segundo orden son difíciles de analizar, por lo que se aproximan a uno de segundo orden y se analiza su respuesta al escalón.

•

Sensibilidad: Mide lo sensibles que son las respuestas del sistema ante cambios en los valores de sus componentes físicos o en las condiciones ambientales.

Los sistemas controlados presentan una respuesta temporal, esto es, si se aplica una señal cualquiera en función del tiempo en la entrada, el sistema responderá con una salida temporal dependiente de la entrada, aunque diferente. Se pueden encontrar seis tipos diferentes de respuestas:

Respuesta Estable

I) Periódica

II) Aperiódica

Límite de estabilidad

Inestable

11.12

Criterios de estabilidad 1  2 ⋅ s +  b(s) 2 2s + 1  = H (s) = = 2 a (s) s + 3 s + 2 (s + 1 )⋅ (s + 2 )

•

Raices que hacen que H(s) → ∞ son aquellos a(s) = 0 , se denominan polos.

s = -1,

•

Raíces que hacen que H(s) → 0 son aquellos b(s) = 0 , se denominan ceros.

s = -1/2

s = -2

Excepto las constantes multiplicadoras (2) los polos y los ceros proporcionan una completa descripción de H(s).

 Martinez Bernia y Asoc.

24 Electrónica analógica

Si atacamos H(s) por una entrada impulso, la respuesta temporal será la F-1(s) de H(s), estaremos ante la respuesta natural del sistema. Si hacemos la expansión en fracciones parciales:

2s + 1 3 −1 + = 2 s + 3s + 2 s + 1 s + 2 h ( t ) = − e − t + 3e − 2 t b ≥ 0

H ( s) =

h(t) = 0

t0, 8-1/4 > 0, 8 > ¼ K , 32>k

0 < k < 32

11.13

Sistemas de orden superior.

Cualquier sistema de orden superior se puede establecer por la siguiente función de transferencia. Nos encontramos con los ceros, los polos reales y los complejos conjugados genéricos. G ( s) =

K ( s − z1 )( s − z 2 )... ( s − z m )

(1 − p )(1 − p )... (1 − p ) 1

=

=

n

2

K mj =1 Π ( s − z j )

(67)

s ( qj = 1 Π ( s − p j ) rk =1 Π ( s 2 + 2 ξk ω k s + ω 2 k ))

La respuesta al escalón unitario del sistema sería entonces: q

r

j =1

k =1

c(t ) = A + ∑ B j e − pjt + ∑ Bk e −ξω k t cosω k 1 − ξ k2 t + r

+ ∑ C k e −ξω k t sen ω k 1 − ξ k2 t ;(t ≥ 0) k =1

Para que las exponenciales sean decrecientes, la parte real de los polos debe ser negativa, esto definiría la estabilidad absoluta. Además las raíces más próximas al eje jω se amortiguan más lentamente en el periodo transitorio que las más alejadas, por esto se llaman raíces dominantes. En muchos casos se puede simplificar el orden de un sistema despreciando las raíces menos dominantes.

11.14

Régimen permanente.

La medida de la respuesta de un sistema en régimen permanente es el error estacionario, que se define como la diferencia entre las magnitudes de las variables de referencia y controlada, en instantes alejados del momento de variación de la magnitud de referencia.

 Martinez Bernia y Asoc.

26 Electrónica analógica

11.14.1

Coeficientes de error.

Sería deseable que este error fuese nulo, pero esto no podrá cumplirse totalmente y existirá en todo sistema de regulación una desviación entre el valor real de la variable controlada y el valor deseado para ella en régimen permanente. Supongamos el diagrama de la figura siguiente, se podrá decir que el error es : R( s)

+

E(s)

E ( s ) = R ( s ) − C ( s ) H ( s); E ( s) C ( s) H ( s) = 1− ; R ( s) R ( s) E ( s) G ( s) H ( s) = 1− ; R ( s) 1 + G ( s) H ( s) E ( s) 1 = ; R ( s) 1 + G ( s) H ( s)

C( s) G (s)

− R'(s)

H (s)

Figura 1 Sistema realimentado Así según esta definición y aplicando el teorema del valor final: e ss = lim e ( t ) = lim E ( s ) = lim t→ ∞

s→ 0

s→ 0

sR (s) 1 + G ( s ) H ( s ) ( 1)

 Martínez Bernia y Asoc.

Entradas Escalón

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 27

s 1 = s→ 0 1 + G ( s) H ( s) s 1 = 1 + l im G ( s ) H ( s )

e s s = li m

1 R (s) = s

Coeficientes estáticos de error. De Posición: K p = lim G ( s ) H ( s ) s→ 0

s→ 0

Rampa

s 1 2 = s→ 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 = lim s G ( s ) H ( s )

De velocidad :

1 s 3 = s→ 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 = 2 lim s G ( s ) H ( s )

De aceleración :

e s s = lim

1 R ( s) = 2 s

K v = lim s G ( s ) H ( s ) s→ 0

s→ 0

Parábola

e ss = lim

1 R ( s) = 3 s

K a = lim s 2 G ( s ) H ( s ) s→ 0

s→ 0

Para un sistema genérico será:

G ( s) H ( s) =

 1  1  1   1 + s   1 + s  ...  1 + s  z1   z2   zm    1  1   1   1 + s  ...  1 + s  s i 1 + s p1   p2   pn   (2)

donde -z1,-z2,....-zn son los ceros de la fracción en s y -p1,-p2,....-pn los polos de la misma. Con independencia del valor de los polos y los ceros, el tipo del sistema coincide con el nº de polos en el origen, es decir sólo depende del exponente i . Así un sistema es de tipo 0 si i=0, si i=1 es de tipo 1, sucesivamente. Si atacamos con una señal genérica: R ( s) =

1 s j + 1 ( 3)

El error estacionario será :

s 1 j +1 = s→ 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 = j +1 lim s G ( s ) H ( s )

e ss = lim

s→ 0

( 4) El coeficiente de error : K

j

= lim s jG ( s ) H ( s ) s→ 0

( 5)

Si se tiene en cuenta la expresión general de la función de transferencia, la constante de error estática, agrupando los ceros y los polos en G1(s), valdrá:

 Martinez Bernia y Asoc.

28 Electrónica analógica

K

j

= lim s j G ( s ) H ( s ) = lim s s→ 0

s→ 0

j

1 G ( s ) = lim s s→ 0 si 1

j−i

( 6)

En resumen:

i,j ij

Kj ess 0 ∞ K 1/K 0 ∞ Es obvio que los valores de los coeficientes estáticos de error son números de mérito, siendo el sistema tanto más preciso cuanto mayores sean, ya que menores serán los errores estáticos originados. Ejemplo 1º.-El Coeficiente de error de Posición para el sistema definido será:

2 ; H ( s) = 30 ( s + 3 ) ( s + 1 )( s + 4 ) 2 K p = lim × 30 = 5 s → 0 ( s + 3 )( s + 1 ) ( s + 4 ) 1 1 e ss = = 1+ 5 6

G ( s) =

Ejemplo 2º.-Los Coeficientes de error para el sistema definido será:

5( s + 2 ) 2 ; H ( s) = ( s + 3 )( s + 1 ) s 5( s + 2 ) 2 = lim × = ∞ s → 0 ( s + 3 )( s + 1 ) s 5( s + 2 ) 2 20 = lim s × = s→ 0 s ( s + 3 )( s + 1 ) 3

G ( s) = K

p

Kv

Ejemplo 3º.-Los Coeficientes de error para el sistema definido será:

3( s + 2 ) 20 ; H ( s) = s ( s + 5 )( s + 1 )( S + 6 ) s+ 4 3( s + 2 ) 20 = lim × = ∞ s → 0 s ( s + 5 )( s + 1 )( S + 6 ) s+ 4 3( s + 2 ) 20 3 = lim s × = s→ 0 s ( s + 5 )( s + 1 )( S + 6 ) s+ 4 2 3( s + 2 ) 20 = lim s 2 × = 0 s→ 0 s ( s + 5 )( s + 1 )( S + 6 ) s+ 4

G ( s) = K

p

Kv Ka

Por lo tanto si se supone una entrada de excitación genérica como la siguiente, se podrá obtener el error estacionario. r (t ) = 3 + 2 t + 2 t 2 3 2 4 e ss = + + = ∞ 3 1+ ∞ 0 2

11.15

Dominio del tiempo y de la frecuencia.

La descripción del comportamiento de un sistema en función del tiempo corresponde a la representación en el “dominio del tiempo”. Si dicho sistema se alimenta con una variable de entrada

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 29

sinusoidal cualquiera, la descripción de su comportamiento en función de la frecuencia corresponde a la representación en el “dominio de la frecuencia”. Así, la tensión que aparece en una inductancia L recorrida por una corriente, es: u (t ) = L

di ( t ) ( 7 ) dt

Si i(t) es la corriente alterna senoidal, la tensión será: ) i ( t ) = I e jw t (8) ) u ( t ) = jw L I e jw t Si se represe la corriente en su notación compleja, quedará:

) I = Ie

jw t

(9)

U = jw L I

Igualmente para un condensador: t

u(t ) =

∫ i ( t ) dt 0

u(t ) =

1

jω C 1 U = I jω C

) ( 10 ) I e jω t

Con lo que se puede decir:

Dominio del tiempo

Dominio de la frecuencia

d dt

∫ dt

jω

1

t

0

jω Para un elemento de retardo de primer orden, formado por un circuito RL: di ( t ) dt L di ( t ) ( 11 ) = i (t ) + R dt di ( t ) L = i (t ) + T ⇐ =T dt R

u ( t ) = Ri ( t ) + L u(t ) R u(t ) R

Si se vuelve al plano fasorial:

) i ( t ) = I e jw t ) ) ) u(t ) = I e jw t + jw T I e jw t = I e jw t (1 + jw T ) ( 12 ) R U = I R (1 + jw T ) Se podrá obtener la función de transferencia:

 Martinez Bernia y Asoc.

30 Electrónica analógica

Función de transferencia I F ( jω ) = = U 1 = R(1 + jwT )

Parte real, imaginaria

Módulo

Re[ F( jω)] =

ωT R(1+ω2T2)

Im[ F( jω)] =

1 R(1+ω2T2)

Argumento

1

ϕ (ω ) = arctg

R (1 + ω 2 T 2 )

Im[ F ( jω )]

Re[ F ( jω )]

=

= arctg(−ωT ) = − arctg(ωT )

A partir de estas ecuaciones se puede obtener el diagrama de Bode. Consiste en presentar las salidas que un sistema físico continuo va a generar, en función de una entrada dependiente de la frecuencia f o w. Los diagramas del Bode constan de dos gráficas: el módulo o amplitud, que se calcula

Ganancia dB

como 20log F ( jω ) (dB), y la fase o argumento del sistema. A parte del reconocimiento de la respuesta ante una entrada determinada las diagramas de Bode son útiles en el cálculo de la estabilidad de un sistema de control.

0 -10 -20 -30 -1 10

0

10

1

0

10

1

10 Frequencia (rad/seg)

Fase º

0 -30 -60 -90 10

-1

10 Frecuencia (rad/seg)

Figura 2. Diagrama de Bode, ganancia y fase.

11.16

Respuesta en frecuencia.

En el apartado anterior se ha mostrado como se llega al cálculo de la función de transferencia que caracteriza a un sistema. Mediante dicha función se puede conocer la respuesta del sistema ante diferentes entradas tipo. Un camino alternativo para el análisis y diseño de sistemas es el método de la respuesta en frecuencia. Definición: “La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta del sistema en estado estacionario a una señal sinusoidal de entrada”. Ventajas: Disponibilidad de señales de prueba sinusoidales para diversos intervalos de frecuencia y amplitud. Desventaja: El vínculo entre el dominio del tiempo y de la frecuencia.

F (s) = L{ f (t )} =

∞

∫ f (t ) ⋅ e

− st

dt

0

F ( jω ) = F { f (t )} =

∞

∫ f (t ) ⋅ e

−∞

− jωt

dt

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 31

Si f(t) ∃ ∀ t ≥ 0 los límites inferiores coinciden . Las dos ecuaciones sólo difieren en la variable compleja. Si

Lf1(t) = F1(t)

La transformada de Fourier será haciendo S = jω F f1(t) = F1(jω)

11.16.1

Diagrama de bode

Supónganse el circuito RC. Vo(s) = R⋅ I(s)

Z ( s) =

1 +R cs

I ( s) =

Vj ( s) 1 +R cs

Supongamos que RC = ¼

V0 (s) R RCS = = 1 Vi (s) 1 + RCS +R cs V0 ( jω ) jωRC jω = G ( jω ) = = Vi ( jω ) 1 + jωRC jω + 4

ω jω = 2 jω + 4 ω + 16

Amplitud

A(ω ) = G ( jω ) =

Fase

ω φ (ω ) = G ( jω ) = 90º − arctg   4

Si la entrada al sistema es vi(t) = 3cos(7t+30º) , su salida es una sinusoide de la misma frecuencia 7 rad/s, pero con amplitud y fase diferente.

A(ω ) ω = 7 =  7  4

7 72 + 16

=

7 = 0,87 65

φ (ω ) ω = 7 = 90º − arctg  = 90º −60º = 30º

⇒

vo= 2,6 cos(7t+60º)

En general para un sistema:

bm sm + bm− 1sm−1 + bm − 2 sm− 2 +...+b1s + bO G ( s) H ( s ) = an sn + an − 1sn −1 + an − 2 sn − 2 +...+ a1s + aO Su respuesta en alta frecuencia será:

b  lim G ( jω )H ( jω ) =  m  ⋅ j m− n ⋅ ω m − n ω →∞  am 

 Martinez Bernia y Asoc.

32 Electrónica analógica

G ( s) H ( s) =

Por ejemplo si

6s 3 + 2s 2 + 3s s 5 + 4s 4 + 2s 3 + s 2 + 10

6 G ( jω ) 3 lim G ( jω ) H ( jω ) = 5 ⇒ A(ω ) = G ( jω ) H ( jω ) ≈ ω →∞ ( jω ) ω2

φ (ω ) = G ( jω )H ( jω ) ≈ −180º Su respuesta en baja frecuencia será:

3ω  3 jω  A(ω ) = G ( jω )H ( jω ) = 10 G ( jω )H ( jω ) ≈ ⇒ 10  φ (ω ) = G ( jω )H ( jω ) ≈ 90º  En este apartado veremos la respuesta de los sistemas ante entradas periódicas para conocer su poder de amplificación y de desfase con respecto a la entrada. Para ello veremos los factores básicos que pueden presentarse.

11.16.2

Ganancia K

Si la ganancia es mayor que la unidad su magnitud en decibelios es positiva, correspondiendo los valores negativos a las inferiores a uno. El variar la ganancia en una función de transferencia sólo significa desplazar ésta hacia arriba o hacia abajo, sin influir en el argumento. G ( s) = K

G ( s ) = 20 log K = constante

⇒

θ = arg K = 0

(K

> 0)

( 1)

Ganancia dB

30 20 10 0 2 10

3

10 Frequencia (rad/seg)

10

4

Fase º

1

0

Figura 1 Respuesta en frecuencia de S ( s ) = K

11.16.3

Factores derivativos e integral.

Estos términos se diferencian entre si por el signo de las pendientes y del argumento, que respectivamente tomarán valores múltiplos de 20 db/década y 900. G (s) =

( jw T ) ± n ±n arg ( w T ) =

⇒

G ( s ) = ± n ⋅ 2 0 lo g w T

θ =

± n ⋅ 90

( 2)

 Martínez Bernia y Asoc.

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 33

Ganancia dB

100 50 0 -50 -1 10

10

0

1

2

1

2

10 10 Frequencia (rad/seg)

10

3

10

4

Fase º

91

90

89 -1 10

10

0

10 10 Frecuencia (rad/seg)

10

3

10

4

Figura 2 Respuesta en frecuencia de S ( s ) = Ts Igualmente se pueden obtener las siguientes gráficas del factor integral, donde hemos representado también las asíntotas

Ganancia dB

20

0

-20 -1 10

0

10

1

0

10

1

10 Frequencia (rad/seg)

Fase º

-89

-90

-91 -1 10

10 Frecuencia (rad/seg)

Figura 3 Respuesta en frecuencia de S ( s ) = 1

Ts

En estos términos se denomina pulsación de corte a la pulsación de ganancia 0db, es decir, cuando la curva corta al eje de pulsaciones.

11.16.4

Factores de primer orden.

(

 n  (1 + j w T ) ⇒ n 2 0 l o g (1 + j w T ) = n 2 0 l o g 1 + w T     −n  1+ jw T ⇒ − n 2 0 l o g (1 + j w T ) = − n 2 0 l o g 1 + 

(

)

)

2

0db si w T >1

(w T )

2

0d b si w T >1

( 3)

 Martinez Bernia y Asoc.

34 Electrónica analógica

Figura 4 Respuesta en frecuencia de S ( s ) =

1 Ts + 1

Figura 5 Respuesta en frecuencia de S ( s ) = Ts + 1 La pulsación de corte será la intersección entre las asíntotas de ganancia 0db y de pendiente 20db/déc. En la curva real este punto corresponde al punto de ganancia ±3db. El cálculo del argumento será:  n ⇒  (1 + jw T )   −n  ⇒  (1 + jw T ) 

 wT  θ = a rg    1 

n

 1  θ = a rg    wT 

= n a rc tg w T

( 4)

−n

= − n a rc tg w T

Como en el caso anterior, los términos se diferencian entre sí por el signo de las pendientes y del argumento, que respectivamente tomarán valores múltiplos de 20 db/déc. y 900. Como resumen, un polo establece en la ganancia una transición negativa de pendiente de +1 a 0, de 0 a -1, de -1 a -2 o de -2 a -3. Asociado con un retraso de fase en cada caso de 90º por década. Los ceros por su lado causan una transición positiva de pendiente de -1 a 0, de 0 a +1, de +1 a +2 o de +2 a +3. Asociado con un adelanto de fase en cada caso de 90º por década.

 Martínez Bernia y Asoc.

11.16.5

Capítulo 11. Respuesta en frecuencia. 35

Factores cuadráticos.

 jw   jw  ± 20 log 1 + 2 δ   +   wc   wc 

2

2

2

 w 2   2 δw   + = ± 20 log  1 −  ( 5) 2 w   wc  c 

 2   jw   jw     20 log 1 2 δ + +      =  wc   wc           2 −1    jw   jw    20 log 1 + 2 δ   +    w c   w c     

 0 db si w > w c c 

( 6)

 0 db si w > w c c 

Al igual que en el caso anterior la representación está formada por dos asíntotas, una nula y otra de una pendiente de ±40db/déc. La intersección de ambas define la pulsación de corte, en la curva real dicho pulsación será la que haga la ganancia igual a ±3db. Los argumentos para estos términos serán:     2 δw   2 wc  1 + 2δ  jw  +  jw  ⇒ θ = arctg     2    wc   wc   1 −  w    ( 7)  wc          2 δw  2 −1   jw   jw   wc    1 + 2δ   +    ⇒ θ = − arctg 2   w c   w c      w    1 −    w c    

Las asíntotas son independientes del valor de δ pero la curva real tiene una forma distinta en los puntos próximos a ω=ωc debido a los diferentes valores que puede tomar el factor de amortiguamiento. Para 02 R4

1 R4 1 →  − A  3 R3 + R4

 1 R4 R4 1 1 1  = → = − → < R3 + R4 3 A R3 + R4 3  A

R3 debe ser algo superior a 2R4 para que se autodispare el oscilador.

  Im(β ( jw)) = 0 → Im  3 + 

  1 =0  w w0     j  −  w0 w  

w = w0 El circuito final se presenta en la figura siguiente donde los diodos llevan a cabo el control automático de la ganancia. Si la tensión de salida aumenta, la resistencia del diodo que esté conduciendo disminuye por incrementarse la corriente instantánea que circula por él. En consecuencia, el factor de realimentación negativa disminuye y la ganancia toma un valor inferior a 3, amortiguando la amplitud de la oscilación. En la situación contraria (si disminuye la salida) la resistencia del diodo aumentará y la ganancia sobrepasará el valor de 3, provocando en la salida oscilaciones de amplitud creciente.

Fig.5.5: Generador senoidal práctico.

 Martinez Bernia y Asoc.

24 Electrónica analógica

Por último haremos algunas consideraciones de orden práctico. Según la expresión anterior el ajuste de la frecuencia de oscilación puede hacerse a través de R o de C. Normalmente es preferible variar las dos resistencias R de forma continua e idéntica mediante un potenciómetro doble. La variación de C debe hacerse con valores discretos dentro de los disponibles en el comercio, evitando utilizar condensadores electrolíticos. Es habitual la colocación de un BUFFER a la salida del oscilador para proteger el circuito de posibles sobrecargas y permitir la alimentación de cargas de baja impedancia de entrada. Señalar por último que utilizando un operacional más rápido se conseguirían mejorar los resultados y ampliar el margen de frecuencias con que diseñar los circuitos.

12.12

Multivibrador astable (onda cuadrada).

Un multivibrador es un circuito que presenta solamente dos estados de salida: alto y bajo. El primero de una cierta amplitud en relación al segundo, que normalmente está en el nivel cero, o sea, en la tensión de referencia. La forma de la señal de salida tiene como patrón un impulso rectangular (o cuadrado). Los multivibradores se clasifican en tres tipos:

•

monoestable: posee un único estado estable de salida al que siempre vuelve

•

biestable: conmuta entre dos estados estables si se cumplen ciertas condiciones

•

astable: conmuta constantemente de estado entre los dos posibles, dando lugar a un tren de impulsos de determinada frecuencia, es decir, no existen estados estables. El multivibrador astable que veremos será el representado en Fig.5.1:

Fig.5.1: Generador onda cuadrada y señales de salida. El circuito anterior genera una señal cuadrada cuya amplitud varia entre ±Vsat y cuya frecuencia puede ser seleccionada a través de R1. Al alimentar el operacional a ±V su salida se encontrará inicialmente en uno de los estados de saturación. En la entrada no inversora existe una frácción de esta tensión de salida:

Vi = Vc − Vb = Vc −

R3 Vsat = Vc − βVsat R2 + R3

Si Vi < 0 ⇒ V S = +Vsat Si Vi > 0 ⇒ VS = −Vsat Consideremos un instante en el que Vi < 0 o bien Vc < βV sat . El condensador se va cargando exponencialmente hacia Vsat . La salida VS = Vsat hasta que Vc = βVsat , momento en el que la salida VS = −Vsat , y Vc se carga hacia Vsat .

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 12. Realimentación y estabilidad. 25

t −   R1C Vc = Vsat 1 − (1 + β )e   

Se cumple que VS = Vsat cuando t=T/2 :

βVsat

T /2 −   1+ β = Vsat 1 − (1 + β )e R1C  ⇒ T = 2 R1CLn   1− β

  

 2R  T = 2 R1CLn1 + 3  R2  

R E

C

Figura 12.9.3.2

E = Ri +

1 idt C∫

RI ( S ) +

q I (S ) U 0 E 1 + = donde U 0 = ∫ idt = 0 , y q0 es la carga inicial. t = 0 CS S S C C

E/S resulta de hacer la transformada de Laplace al potencial escalón.

1  E −U0 C  I ( S ) R + ⇒ I ( S ) = (E − U 0 ) = CS  S RCS + 1 

I (S ) =

E −U0 R

1 S+

1 RC

Haciéndole la transformada inversa:

E − U 0 − RC e R t

i (t ) =

U R = R·i (t ) = (E − U 0 )e

−

t RC

U C = E − U R = E − (E − U 0 )e

−

t RC

En este caso:

U 0 = − βVsat  ⇒ E = Vsat 

t −   RC U C = Vsat 1 − (1 + β )e   

 Martinez Bernia y Asoc.

26 Electrónica analógica

Para obtener una salida de un valor distinto al de ±Vsat podemos utilizar a la salida la red de resistencia y diodos zener mostrada en la Fig.3.4, aunque también podemos reducir la tensión de alimentación al valor que nos convenga.

12.13

Generador de onda triángular.

Mostramos a continuación un generador de onda triángular que requiere dos A.O.: uno para generar una rampa mediante la carga de un condensador (generador de rampa o integrador) y otro que conmute el signo de la tensión de carga (un comparador). El primero se encuentra en configuración inversora y el segundo en no inversora, esto significa que en cada semiperiodo cada una de las salidas evolucionan a signo opuestos.

Fig.5.2: Generador de onda triángular y señales de salida. Como ya se vio cuando estudiamos el comparador, éste se encuentra siempre en uno de los estados de saturación. Y dependiendo de dicho estado, el condensador del integrador se cargará a una tensión positiva o negativa. Con los valores de resistencias nos podemos ir a la ecuación 3.7 y calcular las tensiones de disparo o márgenes de la histéresis:

 1 1  V DI =  1 +  V R − ( + V sat )   n n nR '   siendo n = R 1 1  V DS =  1 +  V R − ( − V sat )   n n 

(5.6)

Estas expresiones son las generales para el caso de que se aplicase una tensión de referencia en la entrada no inversora del integrador. En este montaje estamos en el caso particular de VR=0. Partiendo de los primeros instantes de funcionamiento del circuito podemos suponer que inicialmente la salida del comparador VS2 está en saturación positiva, y que el condensador esta descargado. En estas condiciones VS1 tendería a -Vsat (por ser un montaje en inversor), el condensador se cargará a dicha tensión pero sólo lo podrá hacer hasta el valor VDI, pues al alcanzar dicho valor el comparador basculará a +Vsat, e igualmente basculará el sentido de carga del condensador. Para el cálculo de la frecuencia estudiamos la señal de salida del integrador representada en la figura 5.2, considerando el origen de estudio t0=0:

V S1 (t ) = −

1 V 1 t t  Vsat dt = − sat t + V DS = Vsat  −  ∫ R1C t 0 = 0 R1C  n R1C 

(5.7)

junto con 5.6 y 5.7 obtenemos que para t1 :

1 1 t1  t1  1  = V DI ⇒ Vsat  −  = − Vsat V S 1 (t 1 ) = Vsat  − n  n R1C   n R1C  simplificando :

2 R1C t1 2 1 n = ⇒ t1 = ⇒ f = = (5.9) 2t 1 4 R1C R1C n n

(5.8)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 12. Realimentación y estabilidad. 27

En este mismo montaje podemos obtener simultáneamente ondas cuadradas (VS2) y ondas triangulares (VS1).

12.14

El C. Integrado 555.

Para aplicaciones tales como: osciladores, generadores de pulso, generadores de rampa u onda cuadrada, multivibradores de un disparo, y alarmas de robo, requieren circuitos capaces de producir señales a intervalos de tiempo concretos. El circuito temporizador integrado más popular es el 555. Este es en realidad una aplicación de los A.O., ya que su circuito interno consta: de dos comparadores, un transistor de descarga, un biestable RS, una etapa de potencia y tres resistencias de 5KΩ (de ahí su nombre). La Fig.6.1 muestra su diagrama de bloques.

Fig.6.1: Diagrama de bloques funcional del 555. Terminales de suministro de alimentación (1-8): El terminal 1 es el de tierra, y el terminal 8 es el de suministro de tensión positiva Vcc, dicha tensión puede estar comprendida entre +5V y +18V (apreciar que con estos valores la salida de los comparadores sólo puede ser positiva). La circuitería interna requiere cerca de 0.7mA por voltio suministrado para establecer las corrientes internas de polarización. La disipación máxima de la pastilla es de 600mW. Terminal de salida (3): El terminal de salida puede actuar como fuente o drenador de corriente según la salida esté a alta o a baja. Tolera corrientes de salida de hasta 200mA y por tanto puede accionar diversas cargas TTL, así como pequeños altavoces y relés conectados directamente. El nivel alto de tensión de salida es (Vcc−0.5) y el nivel bajo es de 0.1V para cargas de corriente de 25mA. Terminal de restablecimiento o reset (4): Este terminal permite poner a cero el 555. Cuando dicho terminal no se utiliza debe conectarse a Vcc, para poner la salida a baja independientemente del valor de entrada es necesario reducir el potencial de este terminal por debajo de 0.4V. Terminal de descarga (7): permite la descarga de un condensador externo durante el tiempo que la salida está a baja. Cuando la salida esta a alta, dicho terminal actúa como un circuito abierto y permite que el mencionado condensador se cargue. Terminales de disparo y de umbral (2-6): El 555 posee dos estados posibles de operación y de memoria. Están determinados tanto por la entrada de disparo (2), como por la entrada de umbral (6). La entrada de disparo es comparada con una tensión igual a Vcc/3. Por otro lado la entrada de umbral es comparada con una tensión 2Vcc/3. Cada salida tiene dos niveles posibles de tensión, ya sea por encima o por debajo de su referencia. Por tanto, con dos entradas hay cuatro combinaciones posibles que causarán cuatro estados diferentes.

 Martinez Bernia y Asoc.

28 Electrónica analógica

Estado de Oeración A B C D

Terminal 2

Terminal 6

1/3Vcc

2/3Vcc 2/3Vcc

Estado de terminales Salida 3 Descarga 7 alta abierta recuerda el último estado recuerda el último estado baja tierra

Se puede apreciar viendo los estados A y D que el 555 actúa como un inversor. También se aprecia que existen dos estados de memoria : B y C. Terminal tensión de control (5): generalmente se le suele conectar un condensador de 0.01µF entre dicho terminal y tierra, con el se deriva a tierra el posible ruido. También puede utilizarse para cambiar ambos niveles de umbral y disparo. Por ejemplo, la conexión de una resistencia de 5KΩ entre los terminales 5 y 8 cambia la tensión de umbral a 0,8Vcc y la tensión de disparo a 0.4Vcc. Una tensión externa aplicada a este terminal cambiará tanto la tensión umbral como la de disparo y también puede usarse para modular la forma de onda de salida. Para comprender mejor los diferentes montajes que se expondrán describiremos brevemente el funcionamiento interno del 555: La existencia de las tres resistencias internas de 5KΩ fija unos valores de tensión de referencia para cada uno de los comparadores: COM-1 bascula en 2/3Vcc y COM-2 en 1/3Vcc. Dicho basculamiento hace que sus salidas estén a Vcc o a 0V, es decir a 1 o a 0, lo que hará que el biestable cambie su salida y con ello cambiará también el estado del transistor pasando de corte a saturación y viceversa. A continuación mostramos la tabla correspondiente al biestable RS: R 0 0 0 0 1 1 1 1

12.14.1

Q( t )

S 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

Q( t + 1)

Q( t + 1)

0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 indeterminación indeterminación

Funcionamiento como monoestable.

En este modo de funcionamiento el circuito tiene un único estado estable y mediante una señal de disparo el circuito realiza una transición desde dicho estado a otro inestable en el que se mantiene durante un periodo de tiempo controlable con una red exterior, transcurrido este vuelve al estado estable por si sólo. Un circuito igual al descrito se representa a continuación.

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 12. Realimentación y estabilidad. 29

Fig.6.2: Montaje monoestable con el 555. Analizando conjuntamente las figuras 6.1 y 6.2 se puede ir analizando el funcionamiento: Si la señal aplicada en el terminal 2 es una tensión 1/3Vcc antes de que le tensión del condensador sea 2/3Vcc. Si la carga del condensador es muy lenta puede que entre dos flancos de bajada consecutivos el condensador no llegue a cargarse hasta 2/3Vcc, con lo que no se produce ninguna variación a la salida, hasta que llegue el tercer flanco. Esto quiere decir que la señal de salida no será de la misma frecuencia que la de entrada y habremos obtenido un divisor de frecuencia.

12.14.2

Funcionamiento como astable.

Para este modo de funcionamiento el 555 oscila permanentemente, para analizar su comportamiento trabajaremos con las figuras 6.1 y 6.3:

 Martinez Bernia y Asoc.

30 Electrónica analógica

Fig.6.3: 555 en modo astable. Supongamos que para un instante inicial (t=0) el condensador C se encuentra cargado a una tensión >2/3Vcc, en estas condiciones la salida de COM-1 es Vcc y la de COM-2 0V, es decir, R=1 y S=0 lo que corresponde a una salida Q=0. El transistor conduce y C se descarga a través de RB. Salida en baja. Para t=T1 (desde que comenzó la descarga) la tensión del condensador habrá decrecido hasta 1/3Vcc, lo que hace que COM-2 cambie a Vcc y COM-1 a 0V. R=0 y S=1 siendo por tanto Q=1, el transistor entra en corte y C puede volver a cargarse. La salida pasa a alta. Analizando matemáticamente la descarga tenemos : −t

2 Vc = Vcc e RB C 3

− T1

para t = T1 ⇒

1 2 Vcc = Vcc e RB C 3 3

T1 ( descarga) = R B C ln 2 = 0.693R B C

(6.3) (6.4)

Para t=T2 C habrá llegado a 2/3Vcc y con ello COM-2 estará a 0V y COM-1 a Vcc, encontrándonos como al comienzo. En la carga influye RA y RB, y en la descarga RB, dependiendo de los valores de dichas resistencias y evidentemente del valor de C, se puede variar el periodo, y los tiempos en nivel alto T2 y bajo T1. Para calcular el tiempo de carga t=T2-T1=∆T tendremos que plantear la ecuación que representa dicha carga, para ello debemos considerar que el condensador está inicialmente cargado a una tensión igual a 1/3Vcc. Por tanto la carga será la superposición de un efecto de carga entre [0, Vcc] (primer sumando de 6.5)y otro de descarga entre [1/3Vcc, 0] (segundo sumando): −t −t   1 R A + RB ) C  R A + RB ) C ( (  Vc = Vcc 1 − e + V e   3 cc  

(6.5)

tomando como origen de tiempos t=T1, cuando t=∆T Vc=2/3Vcc: − ∆T − ∆T   1 2 R R C R + ( ) ( Vcc = Vcc  1 − e A B  + Vcc e A + RB ) C   3 3  

(6.6)

∆T = T2 − T1 = ( R A + R B )C ln 2 = 0.693( R A + R B )C

(6.7)

por otro lado nos puede ser útil saber las siguientes relaciones entre niveles:

T1 RB = ; ∆T R A + R B

T1 RB = ; T R A + 2 RB

RB ∆T =1− T R A + 2 RB

(6.8)

la frecuencia de la señal será:

T = T1 + ∆T = ( R A + 2 R B )C ln 2 ⇒ f =

144 .

( R A + 2 R B )C

(6.9)

 Martinez Bernia y Asoc.

Capítulo 12. Realimentación y estabilidad. 31

Fig.6.4: Un periodo del 555 como astable.

CAPÍTULO 13

FILTROS ACTIVOS 8.0. OBJETIVOS. • Proyecto y análisis del funcionamiento de filtros paso alta, baja, banda y rechazo de banda.

8.1. CONCEPTO DE FILTRO, VENTAJAS DE LOS FILTROS ACTIVOS. Un filtro eléctrico es un cuadripolo capaz de atenuar determinadas frecuencias del espectro de la señal de entrada y permitir el paso de las demás. Se denomina espectro a la representación de las amplitudes de los armónicos de una señal en función de la frecuencia. Experimentalmente se puede obtener mediante un analizador de espectros. Obsérvese que mientras el osciloscopio es un instrumento que analiza la señal en relación con el tiempo, el analizador lo hace con relación a la frecuencia. En el presente tema estudiaremos los filtros activos que están construidos con circuitos electrónicos basados en los amplificadores operacionales. Las ventajas que se pueden enumerar de los filtros activos sobre los pasivos serían: • Permiten eliminar las inductancias que, en bajas frecuencias, son voluminosas, pesadas y caras. • Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación de etapas simples. • Proporcionan una amplificación de la señal de entrada (ganancia), lo que es importante al trabajar con señales de niveles muy bajos. • Permiten mucha flexibilidad en los proyectos. Por otro lado se podrían enumerar una serie de inconvenientes: • Exigen una fuente de alimentación. • Su respuesta de frecuencia está limitada por la capacidad de los A.O.’s utilizados. • Es imposible su aplicación en sistemas de medida y alta potencia (por ejemplo, en los filtros que emplean los convertidores e inversores construidos con tiristores que se utilizan en la industria).

8.2. CLASIFICACIÓN. La clasificación de los filtros dependerá del aspecto diferenciador elegido, así, podemos considerar aspectos como: - frecuencias atenuadas - tecnología empleada - función matemática o aproximación utilizada para proyectar el filtro Según las frecuencias atenuadas, nos encontramos con:

58 AMPLIFICADORES OPERACIONALES • Filtros paso bajo: sólo permite el paso de las frecuencias inferiores a una determinada fc (frecuencia de corte). Las frecuencias superiores resultan atenuadas. • Filtro paso alto: deja pasar las frecuencias inferiores a una determinada fc, atenuando las inferiores. • Filtro pasabanda: permite el paso de las frecuencias situadas dentro de una banda delimitada por una frecuencia de corte inferior y otra superior. Las frecuencias que están fuera de esta banda son atenuadas. • Filtro de rechazo de banda: permite el paso de las frecuencias que se encuentren fuera de la banda delimitada por dos frecuencias de corte, atenuando las que se encuentren dentro de la banda.

Fig.8.1: Respuesta ideal de los diferentes filtros: a) paso bajo, b) paso alto, c) paso banda, d) rechazo de banda. Si consideramos la tecnología empleada, tenemos: • Filtros pasivos: están construidos exclusivamente con elementos pasivos como resistencias, condensadores y bobinas. Estos filtros son inviables en bajas frecuencias al exigir inductancias muy grandes. • Filtros activos: constan de elementos pasivos asociados a otros activos (A.O.). • Filtros digitales: estos filtros llevan componentes digitales. La señal analógica es convertida en digital mediante un sistema de conversión A/D. La señal binaria resultante se trata en el filtro digital y a continuación se convierte en analógica en un conversor D/A. Estos filtros son útiles para procesar simultáneamente muchos canales de transmisión. Se pueden definir como programas software. En el caso de la función matemática utilizada, no creemos interesante entrar en el análisis matemático y nos limitaremos a exponer las funciones de transferencia de los tipos más comunes: Butterworth y Chebyshev.

FILTROS PASIVOS
Filtros pasa-baja La figura 1 representa el esquema de un filtro eléctrico pasa-baja utilizando una resistencia y un condensador. Suponiendo que la impedancia de carga del condensador el elevada, se puede suponer que i2 ≈0,

R + i2

i1 V1

C

V2

-

FILTROS ACTIVOS 59

Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y de salida, se obtienen las ecuaciones:

V

1

V

2

 =  R +  I = jω C

1 jω C

  I 

La ganancia de tensión introducida por el filtro es:

1 V2 1 jωC = = 1 V1 jωC (R + 1) R+ jωC 1 G( jω ) = (ωCR )2 + 1 Tomando los valores crecientes a la frecuencia, se obtiene la curva de variación de la tensión de salida V2 del filtro, figura 2. Como se observa, al crecer f la tensión de salida disminuye y con ella disminuye la ganancia de tensión del sistema, es decir, la atenuación introducida por el filtro aumenta. Se denomina frecuencia de corte del filtro, al valor de f que hace que la tensión de salida V2 V1 V 2 =Ψ(f)

V1 2 BP

V2 del filtro sea igual a 1

f

fc

0

2

de la tensión de entrada V1.

Por consiguiente, para que el filtro eléctrico actúe como un filtro pasa-baja de banda pasante:

∆f = f c − 0

es necesario diseñar la resistencia y el condensador de tal manera que cumplan las ecuaciones:

V2 1 = V1 2 fc =

1 Hz 2πRC

Ejemplo 1: Diseñar un filtro pasa-baja de frecuencia de corte fc = 100 Hz.

Solución: Adoptando como resistencia el valor R = 1 k, la capacidad que debe tener el condensador viene dada por la ecuación

60 AMPLIFICADORES OPERACIONALES 1 2π 1000C 10 C= µF 2π

100 =

Ahora presentamos la configuración de un filtro eléctrico pasabaja utilizando como componentes una resistencia y una bobina: L +

+ i1 R

V1

i 2 =0 -

Las ecuaciones del filtro son:

V2

-

V1 = I (R + jωL ) V2 = IR V2 R = = V1 R + jωL

1 jωL 1+ R

La ganancia de tensión introducida por el filtro es:

1

G( jω ) =

 ωL  1+    R 

2

La frecuencia de corte será aquella que haga G(jω) = 1/√2

ωc =

R L

Ejemplo 2: Diseñar un filtro pasa-baja de frecuencia de corte 100 Hz, a base de una resistencia y una bobina. Solución: tomando como resistencia el valor R= 1k, el valor de la inductancia de la bobina viene dada por la ecuación:

100 =

L=

1000 2πL

5 H π


Filtros pasa-alta disipativos.

La figura siguiente representa el esquema de un filtro eléctrico pasa-alta utilizando como componentes una resistencia y un condensador:

FILTROS ACTIVOS 61

C + i1

i 2 =0

V1

V2

R

Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y salida, se obtienen las ecuaciones:

 1  I V1 =  R + jωC   V2 = IR

La ganancia de tensión introducida por el filtro es: V2 R jωCR = = 1 V1 1 + jωCR R+ jωC Dando valores crecientes a la frecuencia, se obtiene la curva de variación de la tensión de salida V2 del filtro, figura 5:

V2 V1 V 2 = Ψ( f )

V1 2 BP 0

f

fc

Como se observa, al crecer la frecuencia, la tensión de salida crece hasta alcanzar el valor de V1 para f=∞. La frecuencia de corte del filtro eléctrico será aquella que hace que la tensión de salida V2 sea igual a 1/√2 de la tensión V1. Por consiguiente, para que el filtro eléctrico actúe como un filtro pasa-alta, de banda pasante

∆f = ∞ − fc

es necesario diseñar la resistencia y el condensador de tal manera que cumpla la ecuación:

V2 1 = V1 2 de forma que la frecuencia de corte será:

ωc =

1 RC

Ejemplo 3: Para diseñar un filtro eléctrico pasa-alta, se han elegido los componentes R= 500Ω, C =

10 µF. Determinar la frecuencia de corte del filtro. 2π

Solución: La frecuencia de corte del filtro pasa-alta es:

62 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

fc =

1 = 200 Hz 10 −6 2π 500 10 2π

Si se adoptan como componentes del filtro una resistencia y una bobina, la composición del filtro pasaalta será la representada en la figura 6.

R +

+ i1 L

V1

V2

i 2 =0 -

-

Las tensiones del filtro son:

V1 = I (R + jωL ) V2 = IjωL V2 jωL = = V1 R + jωL

jωL R jωL 1+ R

de forma que la frecuencia de corte será:

fc =

R 2πL

EJEMPLO 4: Supongamos que el filtro de la figura 6 disipa 100 vatios, que el amperímetro mide una corriente I1= 1 A y que L=1/2π H, determinar la frecuencia de corte y la tensión v1. Solución: Como I2 ≈0 e I1= 1ª, el valor de la resistencia viene dado por la ecuación:

RI 2 = 100 R = 100Ω

Al ser L=1/2π H, la frecuencia de corte será:

fc =

R 100 = = 100 Hz 1 2πL 2π 2π

El valor eficaz de la tensión v1 es: 2

1   2 V1 = 1 (100 ) +  2π 100  = 100 2V 2π   El valor instantáneo de la tensión v1 a la frecuencia de corte es:

v 1 = 200sen100t


Filtros pasa-banda disipativos.

FILTROS ACTIVOS 63

La figura 7 representa el esquema de un filtro eléctrico pasa-banda, utilizando una resistencia, una bobina y un condensador. L +

+ i1 R

V1

V2

i 2 =0 -

-

Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y de salida, se obtienen las ecuaciones:

  1 V1 = I  jωL + + R  jωC   V2 = IR V2 R = V1 jωL + 1 + R jωC Dando valores crecientes a la frecuencia, se obtiene la curva de variación de la tensión de salida V2 del filtro, figura 8. V2 V1

V 2 = Ψ( f )

V1 2 BP 0

f c1

fr

f c2

f

Como se observa, a medida que crece la frecuencia, la tensión de salida crece hasta alcanzar el valor de V1 para una frecuencia, denominada frecuencia de resonancia, que haga

2πf r L − 2πf r =

1 =0 2πf r C 1 LC

Para valores de f>fr, la tensión de salida del filtro comienza a disminuir hasta hacerse cero para f=∞. Se denominan frecuencias de corte inferior fc1 y superior fc2, a los valores de f que hacen que la tensión de salida sea igual a 1/√2 de la tensión de entrada. Por consiguiente, para que el filtro actúe como un filtro pasa-baja, de banda pasante

∆f = fc 2 − fc1

es necesario diseñar sus componentes de tal manera que se cumpla la ecuación

64 AMPLIFICADORES OPERACIONALES V2 1 = V1 2 Hora bien, como para fc1 2πfc1L 2πfc1C se debe resolver la ecuación

1  1  R 2 +  − 2πfc1L   2πfc1C 

2

=

1 2

La expresión de la frecuencia de corte inferios es:

fc1 = −

2

4 R   + LC L

1 R + 4πL 4π

ahora bien, como para fc2>fr

1 < 2πf c 2 L 2πfc 2C La expresión de la frecuencia de corte superior es:

f c1

2

4 R    + LC L

1 R = + 4πL 4π

El ancho de banda del filtro eléctrico pasa-baja es:

∆f = f c 2 − f c1 =

R 2πL

Hz

Al suponer que la corriente i2 es despreciable, el filtro eléctrico pasa-banda se comporta como un circuito serie resonante RLC. El factor de calidad o de sobretensión del filtro, tiene por valor:

Qs =

ωr L 1 = R ω r RC

EJEMPLO 5: Diseñar un filtro eléctrico pasa-banda que tenga un factor de sobretensión Qs= 50, entre en resonancia a la frecuencia de 1000 Hz, sabiendo que las lecturas del amperímetro y del vatímetro en la resonancia son A=0.25 A W=50 W. Determinar las frecuencias de corte, el ancho de anda y las tensiones de salida a las frecuencias de corte. Solución:

L

C +

+

V1

V2

R A

-

-

De las expresiones

2π 1000L 1 = 2π 1000RC R 2 50 = R 0.25

50 =

FILTROS ACTIVOS 65 se obtiene:

R = 400 Ω 10 L= H π 1 C= µF 40π

Las frecuencias de corte son: 2

fc1 = −

400 4π

10 π

1 + 4π

 400    + 4 10 = 900 10 1  10  π 40π  π  2

fc 2 =

400 4π

10 π

1 + 4π

 400    + 4 10 = 1010 10 1  10  π 40π  π 

El ancho de banda es:

∆f = fc 2 − fc11010 − 900 = 20 Hz A la frecuencia de resonancia

ωr L =

1 ωr C

se tiene

V1 = V2 = RI1 4000.25 = 100 V Por consiguiente, a las frecuencias de corte tendremos:

V2fc 2 = V2fc 1 =

100 2

= 50 2 V

8.3. RESONANCIA, FACTOR QO Y SELECTIVIDAD. Utilizando el circuito serie RLC veremos algunos puntos que nos van a ser de utilidad para el estudio de filtros activos. En dicho circuito la relación (o función de transferencia) entre la tensión en la resistencia y la de entrada vendrá dada por la expresión :

G( s) =

VR IR R = = Ve IZ Z

(8.1)

Donde Z (impedancia compleja) viene dada por la expresión:

1   Z i = R + j  wL −   wC 

(8.2)

Se dice que el circuito está en resonancia cuando en al anterior expresión sólo existe parte real, es decir:

wL −

1 =0 ⇒ wC

w = w0 =

1

(8.3)

LC

y tendremos la máxima corriente en el circuito. En Fig.8.2 se muestra la variación de fase y de ganancia de este circuito. Nótese que se produce una atenuación de la ganancia por encima y por debajo de la frecuencia de resonancia w0. Si consideramos los puntos en los que la ganancia a descendido en 0,707 o 3db (pulsaciones de corte), tendremos una banda cuyo ancho viene dado:

66 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

BW = w c 2 − w c1 o BW = f c2 − f c1

(8.4)

Para el cálculo de estos puntos partiremos de :

G( s) =

R 1   R 2 +  wL −   wC 

2

=

1 2

= 0.707 (8.5)

Fig.8.2: Ganancia y fase del circuito RLC serie.

Se define el factor de calidad para el circuito RLC serie cuando está en resonancia, como Q0=w0L/R. o Q0=1/(w0CR) Ahora las pulsaciones de corte pueden expresarse en términos de los elementos del circuito, o de w0 y Q0, de la manera siguiente:

  1 1   wc 2 = w0  1 + + 2  2 Q 4 Q   0 0    1 1   − wc1 = w0  1 + 4Q02 2Q0   

(8.6)

Restando miembro a miembro las anteriores expresiones se tiene:

BW =

w0 2πf 0 = Q0 Q0

(8.7)

lo que indica que cuando mayor sea el factor de calidad, tanto más estrecho será el ancho de banda, o sea, mayor será la selectividad del circuito. Adviértase que Q0 es un factor adimensional.

8.4. DISEÑO DE FILTROS. El diseño o cálculo de filtros consiste en calcular los valores de los componentes que asociados a un A.O. nos permitirán realizar un filtrado a partir de una frecuencia de corte predeterminada. Las operaciones para calcular dichos componentes dependerán : de la utilización de células (o circuitos base) de 1º o 2º orden; que dicha célula sea de Rauch o de Sallen y Key; y por último de las características que se desea que tenga la respuesta del filtro, por lo que nos encontraremos con filtros : Butterwoth, Chebyshev, Thomson, elípticos, Cauer, etc. La célula de 2º orden de un filtro paso bajo posee la siguiente expresión :

FILTROS ACTIVOS 67

H ( s) =

2

donde si consideramos la relación w0 escribir la anterior ecuación del modo :

H ( s) =

H0 s

(8.8)

2

s + 2δ +1 2 w0 w0

= bwc2 (siendo wc la pulsación de corte deseada) podríamos

H0 s

2

bw c2

+ 2δ

s bw c

(8.9)

+1

El parámetro “b” determinará que el filtro sea Butterworth o Chebyshev si b=1 o b≠1 respectivamente. En la anterior ecuación el polinomio en “s” del denominador es el que caracteriza a los filtros y define su comportamiento, operando sobre 8.9 quedaría :

H ( s) =

H 0 bwc2 s 2 + 2δ bwc s + bwc2

(8.10)

Para el punto en que wc=1rad/s el polinomio del denominador queda :

s 2 + 2δ bs + b ≡ s 2 + as + b

(8.11)

polinomio al que se le conoce como polinomio normalizado. Existen tablas de polinomios normalizados donde se dan para cada orden de filtro los parámetros a y b. Por otro lado 2δ=1/Q0 que nos relaciona el factor de amortiguamiento y de calidad. Si deseamos construir un filtro de 3er orden utilizaremos uno de 1º y otro de 2º en serie; para construir uno de 4º orden conectaremos dos de 2º orden en serie. Esto quiere decir que para el diseño de un filtro de cualquier orden nos basta conocer dos montajes básicos o células, una de 1º y otra de 2º orden. Para el cálculo de cada una de estás células deberemos conocer los polinomios de su denominador, para esto nos serviremos de las tablas 8.1 y 8.2. Para un filtro Butterworth de 3er orden su denominador sería: [(s+1)(s2+1s+1)]. Si deseamos construir un filtro Chebyshev de 4º orden y amplitud de rizado de 0.1db, su denominador sería: [(s2+0.528313s+1.330031)(s2+1.275460s+0.622925)]. Con estos coeficientes podremos calcular los componentes de cada una de las células.

68 AMPLIFICADORES OPERACIONALES Tabla 8.1: Parámetros a y b para filtros Butterworth hasta el octavo orden.

Tabla 8.2: Parámetros a y b para filtros Chebyshev hasta el sexto orden con rizado de 0.1db, 0.5db, 1db, 2db y 3db de amplitud. Pueden encontrarse tablas más completas en textos específicos sobre filtros activos.

n γ 2 0.1 0.5 1.0 2.0 3.0

a 2.372356 1.425625 1.097734 0.803816 0.644900

b 3.314037 1.516203 1.102510 0.823060 0.707948

n γ 5 0.1

3 0.1

0.969406 1/w0 0.626456 1/w0 0.494171 1/w0 0.368911 1/w0 0.298620 1/w0

1.689747 0.969406 1.142448 0.626456 0.994205 0.494171 0.886095 0.368911 0.839174 0.298620

1.0

0.528313 1.275460 0.350706 0.846680 0.279072 0.673739 0.209775 0.506440 0.170341 0.411239

1.330031 0.622925 1.063519 0.356412 0.986505 0.279398 0.928675 0.221568 0.903087 0.195980

n 2

a 1.414214

b 1

3

1 1/w0

1 1

0.765367 1.847759

1 1

0.618034 1.618034 1/w0

1 1 1

0.5

0.517638 1.414214 1.931852

1 1 1

2.0

0.445042 1.246980 1.801938 1/w0

1 1 1 1

0.390181 1.111140 1.662939 1.961571

1 1 1 1

4

5

6

7

8

1.0

3.0

0.5

2.0

3.0

6 0.1 4 0.1 0.5 1.0 2.0 3.0

0.5

1.0

2.0

3.0

8.5. FILTROS DE BUTTERWORTH.

a 0.333067 0.871982 1/w0 0.223926 0.586245 1/w0 0.178917 0.468410 1/w0 0.134922 0.353230 1/w0 0.109720 0.287250 1/w0

b 1.194937 0.635920 0.538914 1.035784 0.476767 0.362320 0.988315 0.429298 0.289493 0.952167 0.393150 0.218308 0.936025 0.377009 0.177530

0.229387 0.626696 0.856083 0.155300 0.424288 0.579588 0.124362 0.339763 0.464125 0.093946 0.256666 0.350613 0.076459 0.208890 0.285349

1.129387 0.696374 0.263361 1.023023 0.590010 0.156997 0.990732 0.557720 0.124707 0.965952 0.532939 0.099926 0.954830 0.521818 0.088805

FILTROS ACTIVOS 69

En general se cumple que el módulo de la función de transferencia de un filtro paso bajo Butterworth viene dado por :

G0   G( jw) = 2n  w  1+     wc   n = 1,2,3,... 

(8.12)

Dicho módulo nos sirve para conocer su representación de Bode, consta de un factor constante G0 que nos indica la ganancia ante una señal de entrada continua (w=0), el valor wc es la pulsación de corte y n el orden del filtro (cuanto mayor sea el orden del filtro, más se aproximará a la curva ideal a) de la Fig.8.1). Si en la ecuación 8.12 w>>wc tendremos: n   wc   G( jw) ≈ G0    w  (8.13)    w  20 log G( jw) ≈ 20 log G0 − 20n log w  c 

donde el segundo término nos permite saber su grado de atenuación en la banda de corte [wc, +∞]. Así un filtro Butterworth de paso bajo y de primer orden (n=1) tendría una pendiente de atenuación de 20db/década en dicho intervalo; uno de segundo orden de 40db/década, etc. Otra característica de los filtros que nos ocupa es la forma plana de su banda pasante debido a que al ser b=1 todas las células colocadas en serie poseen la misma pulsación.

8.6. FILTROS DE CHEBYSHEV. Un filtro de Butterworth para frecuencias próximas a la de corte comienza a atenuar, pero de modo progresivo; si deseamos una respuesta que se acerque más a la ideal podemos recurrir a los filtros de Chebyshev. Este filtro siendo de igual orden que el de Butterworth, posee una respuesta mejor, presentando una mayor pendiente decreciente. Sin embargo presenta un rizado en la banda pasante. El módulo de la función de transferencia de un filtro paso bajo Chebyshev es:

G( jw) =

G0 1 + E 2 Cn2

( ) w

wc

n = 1,2,3,... (8.14)   ( 0 < E ≤ 1)

donde G0 es la ganancia del filtro paso bajo para señal de entrada continua (w=0), wc es la pulsación de corte, E es una constante que determina la amplitud del rizado en la banda pasante, n el orden del filtro y Cn(w/wc) el polinomio de Chebyshev definido de la siguiente forma :

Cn

( ) w

wc

   w  w ≤1 cos n arccos   para 0 ≤ wc  wc     =   w  w      para n cosh arccosh >1  wc  wc    

(8.15)

70 AMPLIFICADORES OPERACIONALES Se puede comprobar fácilmente en la expresión anterior que para una entrada continua (w=0), la función G(jw) tomará el valor G0 si el orden es impar y en el caso de ser par el valor alcanzado será G0/ 1 + E 2 . De la ecuación 8.15 se desprende que en la banda de paso existe un rizado a diferencia de la banda de paso en los filtros Butterworth que es plano, como ya se ha comentado. Dicho rizado posé los valores máximos y mínimos indicados en el párrafo anterior, de donde se puede deducir su amplitud en decibelios :

 G0   = γ (db) = 20 log G0 − 20 log  1+ E2 

(

)

= 20 log 1 + E 2 ⇒ E = 10

γ

10

(8.16)

−1

Tras estas expresiones se puede concluir que la amplitud del rizado sólo depende del parámetro E; que el rizado en la banda de paso depende del orden del filtro, y que dicho número de orden indicará el número de máximos y mínimos que se alcanzan en la banda de paso. El valor de γ caracteriza al filtro, su valor máximo permitido es de 3db y se da para un valor de E≈0.99763. El diseño de un filtro Chebyshev tiene la particularidad de que a mayor amplitud del rizado, mayor atenuación en la banda de corte. Por lo que el diseñador se ve en la necesidad de elegir lo que mejor se adapte a sus necesidades dependiendo de la repercusión en el circuito de tal amplitud de rizado en la banda de paso. La razón de dicho rizado se encuentra en que al tener dos o más valores distintos de “b” en un filtro, ocasiona que existan dos o más pulsaciones distintas. El porcentaje de atenuación del filtro Chebyshev en decibelios es, en la mayoría de los casos, superior a n20db/década. Su valor aproximado viene dado por la expresión:

 w 20 log G( jw) ≈ 20 log G0 − 20 log( E ) − 6(n − 1) − n20 log   wc 

(8.17)

FILTROS ACTIVOS 71

72 AMPLIFICADORES OPERACIONALES Fig.8.3: Bode de filtros Chebyshev para diferentes ordenes y 1db de rizado. Detalle para n=3.

8.7. CÉLULAS DE 1ER Y 2º ORDEN PARA FILTROS PASO BAJO Y ALTO. 8.7.1. Célula de 1er orden para filtros paso bajo. La estructura de la célula, es la representada en la siguiente figura:

Fig.8.4: Filtro de 1er orden, paso-bajo.

Su función de transferencia es :

R3 R2 H ( s) = R1Cs + 1 1+

(8.18)

de esta expresión se desprende :

• ganancia del circuito:

H0 = 1 +

R3 R2

• pulsación de corte: wc = 2πf c ; w 0 =

1 = bwc . El valor de C deberá de ser fijado por el R1C

diseñador. • para anular los efectos de la tensión de offset es necesario que R1 sea igual al paralelo de R2 y R3: R1

=

R2 R3 R2 + R3

• se puede deducir R2 y R3: R2 =

H 0 R1 ; R = H 0 R1 . H0 − 1 3

En el caso de H0=1 las ecuaciones serían otras: la pulsación de corte sería la misma pero R2 sería un circuito abierto y R3 sería un cortocircuito.

8.7.2. Células de 2º orden para filtros paso bajo. Podemos utilizar dos tipos de células, ambas con buena estabilidad, baja impedancia de salida, facilidad de ajuste de la ganancia y frecuencia, necesidad de pocos componentes externos, etc. CÉLULA DE RAUCH O DE REALIMENTACIÓN MULTIPLE

FILTROS ACTIVOS 73

Fig.8.5: Filtro de 2º orden paso-bajo (de Rauch).

Con una función de transferencia:

H ( s) = −

R2 R1  1 1 1 s R2 R3 C1C2 + sR2 R3 C1  + +  +1  R1 R2 R3 

(8.19)

2

equivalente a

H ( s) = −

H0 2

  s   1 1 1   s  + +   +  w0 R2 R3 C1     + 1 R R R  w0      w0  1 2 3 

(8.20)

de esta expresión se desprende :

• el signo negativo indica que la salida está invertida respecto de la entrada • ganancia del circuito: • del

termino

H0 =

R2 R1

independiente

de

8.17

deducimos

que

la

pulsación

de

corte

es :

1 = bwc2 ⇒ wc = 2πf c w 02 = R2 R3 C1C2 1 • de la expresión anterior : R3 = bwc2 C1C2 R2 • para calcular R2 conocemos la relación: 2δ

 1 1 1 b = a = bwc R2 R3 C1  + +   R1 R2 R3 

( H 0 + 1)  a  a ±   −4 bC1 bC1C2  bC1  2

• operando : R2 =

2 wc

• deberá comprobarse que el radicando de R2 es ≥0, de lo contrario deberán variarse los valores que no deban ser fijos CÉLULA DE SALLEN Y KEY

74 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

Fig.8.6: Filtro de 2º orden paso-bajo (de Sallen y Key).

Función de transferencia:

H ( s) =

1+

R4 R3

  C R C R  R1 R2 C1C2 s 2 + R1C2 1 + 1 + 2 1 −  1 + 4   s + 1 R3    C2 R1C2 

(8.21)

equivalente a :

H ( s) =

H0 2

 s    s  C1 R2 C1 + − H0    + 1   + w0 R1C2  1 + C2 R1C2   w0    w0 

(8.22)

de esta expresión se desprende :

• entrada y salida tienen igual signo • ganancia del circuito: H 0 •

w 02 =

•

R2 =

=1+

R4 R3

1 = bwc2 ⇒ wc = 2πf c R1 R2 C1C2 1

bwc2 C1C2 R1

  C R C 2δ b = a = bwc R1C2  1 + 1 + 2 1 − H 0  C2 R1C2   2 • operando : R1 =  C  a ± a 2 − 4b 1 + 1 − H 0   wc C2  C2    • para calcular R1 tenemos la relación:

• para anular los efectos de la tensión de offset es necesario que R1 mas R2 sea igual al paralelo de R3 y R4: R3

•

=

H 0 ( R1 + R2 ) H0 − 1

R4 = H 0 ( R1 + R2 )

(H 0 > 1)

FILTROS ACTIVOS 75

• deberá comprobarse que el radicando de R1 es ≥0, de lo contrario deberán variarse los valores que no deban ser fijos Con la combinación de las tres células vistas de filtros paso bajo, se puede construir un filtro paso bajo de orden cualquiera.

8.7.3. Célula de 1er orden para filtros paso alto. Su estructura sería la vista en Fig.8.5 pero intercambiando las posiciones de R1 y C, como se representa a continuación :

Fig.8.7: Filtro paso-alto de 1er orden.

Función de transferencia :

H ( s) =

 R3   R Cs 1 + R2  1  R1Cs + 1

(8.23)

Ecuaciones :

H0 = 1 +

R3 R2 R3 H 0 R1 1 1 ; w0 = bwc = ; R1 = = ; R3 = H 0 R1 ; R2 = ( H > 1) R2 R1C w0 C R2 + R3 H0 − 1 0

8.7.4. Células de 2º orden para filtros paso alto. Como en los filtros paso-bajo nos encontramos con dos células posibles, que para el caso de filtros paso alto se diferenciaran de los de paso bajo: en cambiar las resistencias por condensadores y viceversa, en la rama de entrada de la señal a filtrar.

Fig.8.8: Filtro de 2º orden paso alto (de Rauch).

76 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

Función de transferencia :

H ( s) = −

s 2 R1 R2 C1C3

s 2 R1 R2 C2 C3 + sR1 ( C1 + C2 + C3 ) + 1

(8.24)

Equivalente a :

H ( s) = −

donde:

H0 = −

C1  s    C 2  w0  2

2

 s   s    + w0 R1 (C1 + C2 + C3 )   + 1  w0   w0 

[

]

C1 C + C2 + C3 a ; R1 = ; R2 = 1 ; w0 = C2 aC2 C3 wc (C1 + C2 + C3 )bwc

(8.25)

1 R1 R2 C2 C3

= bwc

Fig.8.9: Filtro de 2º orden paso alto (de Sallen y Key).

Función de transferencia :

H ( s) =

 R  s 2 R1 R2 C1C2  1 + 4  R3  

[

]

s 2 R1 R2 C1C2 + s R2 ( C1 + C2 ) + R1C2 (1 − H 0 ) + 1

(8.26)

Equivalente a :

H ( s) =

donde

 R  s  1 + 4    R3   w0   2

2

 s   s    + w0 R2 (C1 + C2 ) + R1C2 (1 − H 0 )   + 1  w0   w0 

[

]

(8.27)

FILTROS ACTIVOS 77

 R4 ; R1 = H0 = 1 + R3     1  = R ; 2  bwc2 C1C2 R1 

2(C1 + C2 )

 (C + C2 )( H 0 − 1)  a ± a 2 + 4b 1  wc C1C2 C1     H R R3 = 0 1 ( H 0 > 1); R4 = H 0 R1 ; w0 = H0 − 1

;

1 R1 R2 C1C2

= bwc

8.8. FILTROS PASO-BANDA. Este tipo de filtro se obtendrá colocando en cascada un filtro paso bajo de orden n y un filtro paso alto de igual orden. Sus frecuencias de corte deberán guardar la siguiente relación:

f c2

filtro paso − bajo

> f c1

filtro paso − alto

8.9. FILTROS RECHAZO DE BANDA. Este tipo de filtro se obtendrá colocando en paralelo un filtro paso bajo de orden n y un filtro paso alto de igual orden. Las frecuencias de corte de dichos filtros deberán guardar la siguiente relación:

f c1

filtro paso − bajo

< f c2

filtro paso − alto

8.10. RECOMENDACIONES. Pasamos a dar una serie de recomendaciones para el diseño de filtros:

• En cada una de las células descritas, el valor de uno de los condensadores debe de ser fijado por el proyectista, una norma práctica aconseja que el valor elegido sea próximo a 10/fc(Hz), siendo dicho valor en µF. • En filtros de orden superior a dos, cada célula se proyectará individualmente atendiendo a los valores de a y b para dicho orden. • Las células a conexionar podrán ser MFB o de Sallen y Key pero evitando mezclarlas entre sí. • En un filtro de m etapas, la ganancia es el resultado de multiplicar las ganancias parciales de cada una de las células que lo componen. Es conveniente que dicha ganancia esté repartida por igual entre ellas. Por ello si la ganancia del filtro final es de KT, la ganancia parcial de cada etapa será: K

8.11. EJERCICIO EXPERIMENTAL. 8.11.1. Material.

=

m

KT

78 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

- Fuente de alimentación- Osciloscopio - 1 LM741

- 1 resistencia de 1KΩ - 1 resistencia de 10KΩ - 2 condensadores de 10nF

8.11.2. Proceso I. 1.- Se desea diseñar un filtro paso alto con célula de Sallen y Key de 2º orden y ganancia 1. Banda de paso plana y frecuencia de corte de 5KHz. Escribir polinomio, calcular componentes y dibujar el filtro indicando los valores calculados.

2.- Montarlo y representar su diagrama de Bode utilizando la siguiente tabla :

f

Ve

Vs

G=

Vs Ve

20Log|G|

θ

FILTROS ACTIVOS 79

8.11.3. Proceso II. 1.- Se desea construir un filtro de 5º orden paso bajo para una fc=6.6KHz, una H0=8 repartida por igual entre las distintas células, dichas células darán una banda pasante lo más plana posible y no originarán inversión del signo. Indicar el número, tipo, ganancia (en db) y pulsación de corte de cada etapa o célula.

2.- Escribir los polinomios de los denominadores de las distintas células que componen el filtro, así como la función de transferencia total del filtro de 5º orden. 1er polinomio: 2º polinomio: 3er polinomio:

80 AMPLIFICADORES OPERACIONALES 3.- Calcular los componentes de la primera célula sabiendo que sólo se dispone del siguiente material : 1 condensador de 10nF y resistencias de 1.5KΩ, 1.8KΩ, 2.2KΩ, 3.9KΩ, 4.7KΩ. Indicar su pulsación de corte real.

4.- Calcular los componentes de la segunda célula con las mismas consideraciones que en el apartado 3. Indicar su pulsación de corte real.

5.- Calcular los componentes de la tercera célula con las mismas consideraciones que en el apartado 3. Indicar su pulsación de corte real.

6.- Con ayuda de los aparados anteriores dibujar el esquema completo del filtro, indicando el valor de los componentes.

7.- A continuación representar el Bode ideal de este filtro. Señalar la escala en db.

FILTROS ACTIVOS 81

8.11.4. Proceso III. 1.- Se desea construir un filtro rechazo de banda de 3º orden Chebyshev, para aproximadamente fc1=1KHz y fc2=30KHz, con ganancia 1, amplitud de rizado de 1db y con células de Rauch. Indicar el número y características de las etapas que compondrán el filtro, la ganancia de cada una de ellas.

2.- Escribir los polinomios de los denominadores de las distintas células que componen el filtro, así como la función de transferencia total del filtro. filtro paso bajo 1er polinomio: 2º polinomio:

filtro paso alto 1er polinomio: 2º polinomio:

3.- Calcular las células que componen el filtro de paso bajo sabiendo que se dispone para el montaje total del filtro de : 5 condensadores de 470pF y otros dos de 47nF, la resistencia R1 de la célula de primer orden del filtro paso bajo (fig.8.4) debe ser igual a 6.8KΩ.

82 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

4.- Calcular las células que componen el filtro de paso alto con el material que reste del apartado anterior.

5.- Con ayuda de los apartados anteriores dibujar el esquema completo del filtro, indicando los valores de los componentes. Representar su respuesta frecuencial aproximada:

6.- Si se desea un filtro de rechazo de banda de 2º orden, de ganancia 4db, ¿cuál será la ganancia de cada una de las células ? ¿ Por qué?

PROBLEMAS: TEMA 1. PROBLEMA 1 Dado la malla siguiente averiguar su equivalente Thevenin.

-j5

5 50|0º j5

1) Hallamos la impedancia thevenin Z´, que es la impedancia de entrada entre los terminales AB con todas las fuentes internas iguales a cero: Z´ =

(5 + j 5)(− j 5) = 5-5j 5+5j −5j

2) Hallamos la tensión equivalente thevenin V´, que es la tensión entre los terminales AB con todas las fuentes internas iguales a cero: Necesitamos la intensidad en la malla: I =

50∠0° = 10∠0° (5 + j 5 − j 5)

V´ = VAB = I (5+j5) = 10∠0° 7,07∠45° = 70,7∠45°

PROBLEMA 2 Sustituir la malla dada por su equivalente Norton.

-j5

5 50|0º j5

1) La fuente de corriente I´ es la corriente de cortocircuito aplicado a los terminales del circuito activo AB: I´ =

50∠0° = 10∠90° (− j 5)

2) L impedancia Z´ es como antes: Z´ = 5-j5

PROBLEMA 3 Resolver el siguiente circuito.

R1=1k

R2=9k R3=2k

1

6V

2

-14V

Aplicando las leyes de Kirchhoff: 1) Elijo (n-1) nodos, siendo n el número total de nodos de nuestro circuito y aplico a 1ª Ley de Kirchhoff obteniendo (n-1) ecuaciones linealmente dependientes. Como criterio consideramos las corrientes que entran en el nodo señalado positivas: I1 + I2 + I3 =0 ; I3 = -( I1 + I2 ) 2) Necesitamos r – (n-1) ecuaciones más que obtenemos de la 2ª Ley de Kirchoff, siendo r el número de ramas del circuito. Como criterio consideramos el signo positivo como el de las flechas semicirculares del circuito y para las fuentes si la corriente entra por su cátodo: 1ª malla: I1 - 2I3 – 6 = 0 2ª malla: 9I2 -2I3 + 14 = 0 Junto con la anterior se forma un sistema de 3 ecuaciones de cuya resolución se obtiene que las intensidades son: I1 = 0.758 mA;

I2 = 1.83 mA;

I3 = - 2.588 mA

Si resolvemos ahora el mismo circuito con el método de mallas con el signo positivo para las intensidades el indicado en el dibujo y para las fuentes si entran por el cátodo:

R1=1k

1

R2=9k

2

3

R3=2k +

I1

6V

I2

-14V

-

+ 4

-6 + I1 R1 + ( I1 - I2 ) R3 = 0

-6 + 3I1 - 2I2 = 0

6 I1 - 4I2 = 12

-14 + ( I2 - I1 ) R3 + I2 R2 = 0

-14 + 11I2 +2I1 = 0

-6 I1 + 33I2 = 42

Resolviendo este sistema por reducción obtenemos los mismos resultados que antes. Para hallar I3 restamos ambas intensidades, siendo su dirección la de la intensidad mayor.

PROBLEMA 4 Resuélvase el siguiente circuito, utilizando el principio de superposición.

6V

1

I1

I2

2

R 1 =1kΩ I3

R 2 =9kΩ

3

-14V

R 3 =2kΩ 4

Tomamos primero la fuente de 6V. La resistencia equivalente a R2 y R3 en paralelo es: R2∙ R3 9⋅2 = = 1.636kΩ R2 + R3 9 + 2

Las intensidades que circulan por cada rama son: 6 I '1 = = 2.276mA 1 + 1.636 I '2 =

− I '1∙ R3 − 2.276 ⋅ 2 = = −0.414mA R2 + R3 9+2

I '3 =

− I '1∙ R2 − 2.276 ⋅ 9 = = −1.862mA R2 + R3 9+2

Por otro lado, tomamos la fuente de -14V. La resistencia equivalente a R1 y R3 en paralelo es: R1 ∙ R3 1⋅ 2 2 = = kΩ R1 + R3 1 + 2 3 Las intensidades que circulan por cada rama son: 1.448 ⋅ 2 I ' '1 = = 0.9655mA 1+ 2 − 14 I ' '2 = = −1.448mA 9 + 0.667 1.448 ⋅1 I ' '3 = = −0.4826mA 1+ 2 Así, finalmente: I1 = I’1 + I’’1 = 2.276 + 0.9655 = 3.2415 mA I2 = I’2 + I’’2 = -0.414 - 1.448 = -1.862 mA I3 = I’3 + I’’3 = -1.862 + 0.4826 = -1.3794 mA

PROBLEMAS: TEMA 3. PROBLEMA 5 Obtener la corriente de colector en la figura siguiente. +5V

8kΩ

+1V

5kΩ

βF=10

-10V

Transistor en estado desconocido.

Suponemos el caso en que el transistor está funcionando en activo directo dado que hay tensión positiva en serie con la base y negativa en serie con el emisor, con lo que probablemente el transistor esté conduciendo. En este caso la figura es la siguiente +5V

8kΩ C 5kΩ +1V IB

B

0.7

10IB

E -10V

Circuito equivalente suponiendo el estado activo directo.

Aplicando Kirchhoff al circuito de base obtenemos IB: 1 – ( 5 K ) ( I B ) – 0.7 = -10

→

IB = 2.06 mA

Dado que la corriente de base es positiva, lo único que queda por comprobar es VCE VC = 5 – ( 8 K ) ( 10 ) ( 2,06 mA) = -159.8 V VCE = -159.8 – ( -10 ) = -149.8 V

como VC = -10 V

( solución en el 2º cuadrante )

Vemos que la suposición hecha no es válida pues VCE < 0.2 V.

La posibilidad de soluciones incorrectas como son debidas a que usamos modelos lineales simples para representar dispositivos no lineales. Probemos la saturación. La siguiente figura es el circuito a que obliga la saturación

+5V

8kΩ C 5kΩ +1V IB

B

0.7

0.2

E

-10V

Circuito equivalente suponiendo saturación.

La corriente de base es todavía 2.06 mA. La corriente de colector es IC =

5 − (−10 + 0.2) = 1.85 mA 8K

La inecuación βF IB = 20.6 mA > 1.85 mA = IC

( funcionamiento en el 1º cuadrante )

confirma que el transistor está saturado.

PROBLEMA 6 Probar que el transistor del problema anterior permanece saturado cuando la resistencia de base cambia a 50 kΩ Ω. Obtener entonces la resistencia de base RB que lleva el transistor al borde del funcionamiento activo. Respuesta: βF IB = 2.06 mA > 1.85 mA = IC ; RB = 55.7 kΩ.

PROBLEMA 7 Hallar el estado del transistor de la siguiente figura

+15V

8kΩ

551kΩ βF=10 10kΩ

VBB=11V

0.2

Circuito original.

Debido a la elevada tensión positiva en el circuito de base, suponemos que el transistor está saturado. Sin embargo, cuando sustituimos el transistor por su modelo de saturación y aplicamos el teorema de Thèvenin, obtenemos la siguiente figura

+15V

IC

8kΩ 9.82kΩ IB 0.196

C B

0.7

0.2

E

Circuito suponiendo el transistor saturado.

En este circuito es obvio que IB es negativa, contradiciendo la hipótesis de saturación y sugiriendo el corte. La siguiente figura muestra el circuito con el modelo de corte sustituyendo al transistor. Se observa que VBE = 0.196 V, un valor considerablemente menor que la tensión de codo. Por lo tanto, el transistor está en corte.

PROBLEMA 8 Si se incrementa lentamente VBB en la figura del anterior problema a valores mayores que 11 V, el transistor comienza a dejar el corte. Obtener el valor de VBB donde esto ocurre. Solución. VBB = 28.1 V.

PROBLEMA 9 Uno de los transistores de la siguiente figura está cortado y el otro activo directo. Verificar el corte del primero y obtener el punto de trabajo para el último.

300Ω

-1.0V

300Ω

Q1

-1.3V

Q2 β=80 1.2kΩ -5.2V

Circuito original.

Excepto por las fuentes de tensión aplicadas a las bases, el circuito es simétrico respecto a un eje que pase por el centro del diagrama. Como la tensión de base de Q1 es más positiva que la de Q2 , suponemos que Q1 está activo y Q2 cortado y dibujamos la siguiente figura

+ 300Ω

-1.0V

B1 0.7 IB1

300Ω

C1 C2

80IB1

E2

E1

B2

-1.3V

1.2kΩ

IE1

-5.2V

Circuito equivalente suponiendo Q1 activo y Q2 cortado.

El diagrama muestra que IE1 = ( 80 +1 ) IB1 , por lo tanto IB1 = 36 µA. Como la corriente de base es positiva, establecemos que Q1 conduce; sin embargo podrá estar saturado. Como IC1 = 80 IB1 = 2.88 mA VC1 = 0 – ( 300 ) ( 2,88⋅10-3 ) = -0.864 V por lo tanto VCE1 = -0.864 – (- 1.7 ) = 0.836 Como VCE > 0.2 V, Q1 está activo, no saturado.

PROBLEMA 10 Realizar los siguientes apartados: a) Dibuje la salida y determine el nivel de cd de la salida para la red de la figura. b) Repita el inciso a) si el diodo se sustituye por un diodo de silicio. c) Repita los incisos a) y b) si se incrementa a 200 V y compare las soluciones usando las ecuaciones: Vcd = 0.318∙Vm

Vcd = 0.318∙(Vm - VT)

vi 20V R

vi T 2

0

2kΩ

t

T

a) En esta situación, el diodo conducirá durante la parte negativa de la entrada, como se ilustra en la figura de abajo, y v0 aparecerá como se muestra en la misma figura. Para el periodo completo, el nivel de cd es: Vcd = -0.318∙Vm = -0.318 ∙ 20 V = -6.36 V El signo negativo indica que la polaridad de la salida es opuesta a la polaridad definida en la figura anterior.

vi +

20

vi 0

T 2

t

T

2kΩ

I

v

o

+

20 v0

T 2

0

T

t 20V

b) Al emplear un diodo de silicio, la salida tiene la apariencia de la figura siguiente, y: Vcd = -0.318∙(Vm - 0.7 V) = -0.318 ∙ 19.3 V = -6.14 V La caída resultante en el nivel de cd es de 0.22 V o de aproximadamente 3.5%. v0

0

T 2

T 20V-0.7V=19.3V

t

c) Las ecuaciones en nuestro caso son: Vcd = -0.318∙Vm = -0.318 ∙ 200 V = -63.6 V Vcd = -0.318∙(Vm - VT) = -0.318∙(200 V - 0.7 V) = -0.318 ∙ 199.3 V = -63.38 V Esta diferencia puede, sin duda, despreciarse para la mayoría de las aplicaciones. Para la parte c), el desplazamiento y la caída en la amplitud debida a VT no serían perceptibles en un osciloscopio común y corriente si se visualizara el patrón completo.

PROBLEMA 11 Determínese la forma de onda de salida para la red de la figura, y calcule el nivel de salida de cd y el VPI requerido para cada diodo.

Vi 10 2kΩ vi

0

v0

T

T 2

t

2kΩ

2kΩ

La red aparecerá como se presenta en la figura siguiente para la región positiva del voltaje de entrada. Al redibujar la red, se obtendrá la configuración de la figura, donde v0 = ½ vi ó Vomax = ½ Vimax = ½ ∙10 V = 5 V. En la parte negativa de la entrada se intercambiarán los papeles de los diodos, y v0 aparecerá como se indica.

Vi 10V

2kΩ vi

0

T 2

v0

t 2kΩ

2kΩ

+

+

v0

2KΩ vi

-

v0

2KΩ

5V

5V

2KΩ

t

T 2

0

-

0

T 2

T

t

El efecto de eliminar los dos diodos de la configuración puente consistió, por tanto, en la reducción del nivel de cd disponible al valor siguiente: Vcd = 0.636 ∙ 5 V = 3.18 V o al nivel disponible de un rectificador de media onda con la misma entrada. Sin embargo, el VPI determinado es igual al voltaje máximo en R, que es de 5 V o la mitad del que se requiere para el rectificador de media onda con la misma entrada.

PROBLEMA 12 Determinar la tensión de salida v0 en el circuito de la figura con las tensiones de entrada siguientes: a) v1 = v2 = 5 V b) v1 = 5 V; v2 = 0 c) v1 = v2 = 0 Se usa un diodo de silicio que tiene Rt = 30 Ω, Vγγ = 0.6 V, It = 0 y Rt → ∞. +5V D1 4.7kΩ

D2 270Ω

270Ω

D1

v1

270Ω

V0 + V1 270Ω

v2

D2

+

V0

4.7Ω +

V2

5V

Observemos que en la figura no están señaladas las referencias (tierra). Todas las tensiones indicadas están medidas respecto a la referencia con caídas de tensión consideradas positivas. El circuito de la figura está reproducido a la derecha con el punto de referencia incluido. a) Con v1 = v2 = 5 V, supondremos que D1 y D2 están en corte. Podemos sustituir los diodos de manera que quede el circuito de la figura siguiente. La observación de este circuito pone en evidencia que no circula corriente alguna. En consecuencia, la caída de tensión a través de cualquier resistencia es nula, y por la ley de Kirchhoff, VD1 = VD2 = 0, confirmando así la primera suposición.. Por tanto, v0 = 5 V. V D1

+ + +

V D2 270kΩ

270kΩ

4.7kΩ +

+

5V

VO +

5V

5V

b) Supongamos que D1 está en corte y D2 en conducción, con v1 = 5 V y v2 = 0. Obtenemos el circuito: V D1

+ +

270kΩ

I D2 270kΩ

30Ω

+

0.6V 4.7kΩ

+ 5V

VO +

5V

Aplicando la ley de Kirchhoff al lazo interior, tendremos que: de donde, despejando ID2:

4700∙ID2 + 30∙ID2 + 270∙ID2 = 5 - 0.6

I D2 =

5 − 0.6 = 0.88mA 4700 + 30 + 270

Como ID2 es positiva (en sentido directo), la suposición de que D2 está en conducción es correcta. En el lazo exterior no hay corriente, por lo que: v0 = 5 - 4700∙ID2 = 5 - 4700 ∙ 0.00088 = 0.864 V También puede calcularse de: v0 = 0.6 + 270∙ID2 + 30∙ID2 = 0.6 + 300 ∙ 0.00088 = 0.864 V

Al no existir corriente en el exterior: VD1 = v0 - 5 = 0.864 - 5 = -4.136 V El valor negativo de VD1 confirma nuestra suposición de que D1 está en corte. Así, el último circuito representa las condiciones del circuito y el valor calculado de v0 = 0.864 V es la tensión de salida. Si en lugar de suponer que D2 está en conducción hubiéramos supuesto que está en corte, ID2 hubiera sido cero. Sin corriente en ningún diodo, v0 = 5 V, haciendo que VD2 = 5 V. Como este valor es mayor que Vγ = 0.6 V, nuestra suposición hubiera sido errónea. De igual forma, si se considera D1 en conducción y D2 en corte, la ley de Kirchhoff aplicada al lazo exterior nos daría un valor negativo de ID1, y el supuesto sería falso. c) El circuito equivalente que sigue es aplicable cuando v1 = v2 = 0, suponiendo ambos diodos D1, D2, en conducción. Por razones de simetría, en ambos diodos existe la misma corriente I. La ley de Kirchhoff exige suministrar una corriente 2I a estas ramas. 30Ω

5V

0.6V

+

I 270kΩ

+

270kΩ

I

30Ω

+

0.6V 2I

4.7kΩ

+ 5V

VO

+

Para el lazo interior, la expresión es: 4700 ∙ 2I + (30 + 270)∙I = 5 - 0.6 de donde, despejando la I: I=

5 − 0.6 = 0.454mA 9400 + 300

El valor positivo indica que la suposición es correcta, y por tanto: v0 = 0.6 + (30 + 270)∙I = 0.6 + 300 ∙ 0.000454 = 0.736 V Hemos observado, en este ejercicio, que existen valores dispares de V0 que dependen del estado de los diodos. Cuando ambas entradas son “altas” (por ejemplo, de 5 V), la salida también es alta. La salida es “baja” cuando una o las dos entradas son también bajas. Los circuitos con este tipo de comportamiento se denominan “puertas AND”.

PROBLEMA 13 Necesitamos un medidor analógico para medir tensiones senoidales con valores de pico entre 0 y 400 V. El circuito es el de la figura, con R = Rx + rm, donde rm es la resistencia de 10 kΩ Ω de un mecanismo de medida disponible y Rx es una resistencia en serie desconocida. El diodo es ideal. Hallar el valor de R, si la senoide de 400 V genera una medida de corriente continua de 2 mA. +

+ v i (t)

v o (t)

R

-

v i (t)=V M senω o t

Cuando aplicamos una senoide de VM = 400 V, aplicando la ecuación: 1 Vdc = T

T /2

∫V

M

sen ϖ 0tdt +

0

T

∫ 0dt =

T /2

VM π

la tensión continua en R es 400 / π = 127.3 V. La corriente medida de 2 mA viene de: 0.002 =

127.3 Rx + 10000

De donde despejamos Rx = 53.7 kΩ

PROBLEMA 14 Diseñar un cargador de baterías para entregar IDC = 4 A a una batería de 12 V. Diseñar implica hallar las especificaciones de los diodos, TIP y corriente de pico, además de R y VM. Suponer que nuestras ecuaciones basadas en un diodo ideal son suficientemente precisas. R + v i (t)

-

+ i(t)

-

V BB

Si conociésemos θ1 y θ2, podríamos usar la ecuación VM sen θi = VBB para hallar VM, ya que VBB = 12 V. Así, con los valores conocidos para VM e IDC, podríamos resolver la ecuación: θ 1 2 VM sen θ − VBB I DC = dθ 2π θ∫1 R

y hallar R. La siguiente figura muestra que θ1 y θ2 son simétricos respecto a 90º: i(t) I pico

I DC

θ2 π

θ1

ωt=θ

2π

Así que podemos seleccionar arbitrariamente θ1 = 20º y θ2 = 160º, por ejemplo. Con VBB = 12V nos queda: VM sen 20º = 12 de donde obtenemos VM = 35.1 V. Para una corriente de carga 4A, tenemos que: R=

1 4∙ 2π

2.79

1

∫ (35.1sen θ − 12)dθ =8π (−35.1cosθ − 12θ )

2.79 0.349

= 1.46Ω

0.349

con los ángulos expresados en radianes. Este valor es menor que el que encontramos normalmente en circuitos electrónicos, pero razonable para una aplicación de potencia. A continuación, hallamos las especificaciones para el diodo rectificador. Vemos que el pico de la corriente por el diodo ocurre cuando vi es máxima, a 35.1 V. Con el diodo ideal en cortocircuito: I pico =

35.1 − 12 = 15.8 A 1.46

La siguiente figura muestra que en este circuito, el diodo debe resistir una tensión inversa de VM + VBB = 35.1 + 12 = 47.1 V. Un diseñador prudente añade un 20% o más a los valores de TIP e Ipico como factor de seguridad. Esto completa el diseño inicial: A

E +

C

R +

-

V BB

Examinemos ahora la decisión arbitraria que hicimos acerca de los ángulos de conducción. Como la corriente debe ser de 4A, elegir un intervalo de conducción menor incrementa la corriente de pico ya que el área encerrada por la curva de la corriente debe ser la misma. Pero con VBB = 12 V esto implica un valor mayor de VM, incrementando el TIP que debe soportar el diodo. En general, un intervalo de conducción menor necesita diodos más caros. El ángulo de conducción original parece ser un compromiso satisfactorio.

PROBLEMA 15 Diseñar el regulador básico de la figura, para una salida de 10 V y 20 A. R

21+1V -

Z

C

10V 20mA

a) Funcionamiento del circuito. El circuito es el regulador básico con diodo zener. Omitiendo el rizado, por la resistencia R circula una corriente constante I. Dicha corriente se divide en dos, la que circula por la carga, IL, y la que circula por el zener, IZ, de forma que en todo momento se cumple: IL + IZ = I Así pues, el zener proporciona tensión constante a la salida del regulador y ello obliga a que absorba la corriente que no quiere la carga. Omitiendo el condensador C, el rizado a la salida del regulador, VRS, vale: VRS =

VRe ∙ rz R + rz

siendo VRe el rizado a la entrada y rz la resistencia dinámica del diodo zener.. El papel del condensador C aparece, pues, claro; forman junto con R y rz un filtro de paso bajo para rechazar el rizado. El valor de C puede calcularse teóricamente para una atenuación del rizado deseada. Sin embargo, en un diseño práctico suele tomarse C = 2.500 µF o mayor. b) Método de diseño. Se trata de elegir la resistencia R y diodo zener conforme a las especificaciones deseadas. La tensión de ruptura del zener debe ser la tensión de salida deseada. La corriente que como mínimo deberá poder soportar será la máxima corriente que circule por R, y la potencia que debe de ser capaz de disipar será la máxima corriente por R multiplicada por la tensión de ruptura. R debe diseñarse de forma que con las condiciones más desfavorables de funcionamiento (tensión mínima de entrada y máxima corriente a la carga), provea la corriente de carga y la necesaria para polarizar al zaner (del orden de 1 mA).

c) Diseño. De lo que precede, R se calcula por la fórmula: R=

Vemin − Vz 20 − 10 = = 470Ω I Lmax + I zmin 21

El zener será uno de tensión de ruptura Vz = 10 V que deberá poder soportar una corriente Iz max dada por: I zmax =

Vemax − Vz 22 − 10 = = 25.5mA R 470

y una potencia Pz: Pz = Iz max ∙ Vz = 255 mW Finalmente, se elige C = 2.500 µF. d) Tabla de valores estándar. R = 470 Ω

Vz = 10 V

C = 2.500 µF

PROBLEMA 16 Determine V0 para la red de la figura. D1

E=10V

D2 R=1kΩ

Note en primer término que sólo hay un potencial aplicado (10 V en la terminal 1). La terminal 2 con una entrada de 0 V se encuentra en esencia en un potencial de conexión a tierra, como se muestra en la red dibujada. Esta figura “sugiere” que es probable que D1 esté en el estado “encendido” debido a los 10 V aplicados, en tanto que es posible que D2, con su lado “positivo” en 0 V, esté en estado “apagado”. La suposición de estos estados dará como resultado la configuración siguiente:

VD=0,7V

V0=E; VD=VR=IR E=10V

I

R=1kΩ

El siguiente paso consiste sólo en verificar que no hay contradicciones en nuestras suposiciones. Esto es, note que la polaridad en D1 es tal que debe “encender” y que la polaridad en D2 es mantenerlo apagado. En D1 el estado “encendido” establece V0 a: V0 = E - VD = 10 V - 0.7 V = 9.3 V Con 9.3 V en el lado cátodo (-) de D2 y 0V en el lado del ánodo (+), D2 se encuentra definitivamente en el estado “apagado”. La dirección de la corriente y la trayectoria continua que resulta para la conducción confirman aún más nuestra suposición de que D1 está conduciendo. Nuestras suposiciones parecen confirmarse por los voltajes y la corriente resultantes, y puede considerarse correcto nuestro análisis inicial. El nivel de voltaje de salida no es de 10 V como se definió para una entrada de 1, pero el valor de 9.3 es lo suficientemente grande como para considerarse un nivel 1. La salida, por tanto, se encuentra en un nivel 1, con sólo una entrada, lo que sugiere que la compuerta es una compuerta OR. Un análisis de la misma red con dos entradas de 10 V dará como resultado que ambos diodos estén en el estado de conducción y que la salida sea de 9.3 V. La entrada de 0 V en ambas entradas no brindará los 0.7 V que se requieren para que conduzcan los diodos y la salida será igual a 0 al nivel de salida de 0 V. En la red de la figura 2, el nivel de corriente se determina mediante: I=

E − VD 10V − 0.7V = = 9.3mA R 1kΩ

PROBLEMA 17 Determine el nivel de salida para la compuerta AND de lógica positiva de la figura. D1

D2 R=1kΩ E=10V

Observe en este caso que una fuente independiente aparece en la conexión a tierra de la red. Por razones que pronto serán obvias, se elige al mismo nivel que el nivel lógico de entrada. La red se encuentra redibujada abajo, con nuestras suposiciones iniciales en cuanto al estado de los diodos. Con 10 V en el lado del cátodo de D1 se supone que éste se encuentra en el estado “encendido”, aun cuando haya una fuente de 10 V conectada al ánodo de D1 a través del resistor. Sin embargo, recuerde que señalamos que el empleo de un modelo aproximado sería una ayuda para el análisis. Para D1, ¿de dónde provendrán los 0.7 V si la entrada y los voltajes de la fuente se encuentran al mismo nivel y crean “presiones” opuestas? Se supone que D2 se encuentra en el estado “encendido” debido al bajo voltaje en el cátodo y a la disponibilidad de la fuente de 10 V a través del resistor de 1 kΩ.

VD=0,7V -

+

E=10V

V0=VD=0,7V R=1kΩ

I E=10V

En esta red, el voltaje en V0 es 0.7 V a causa del diodo D2 polarizado directamente. Con 0.7 V en el ánodo de D1 y 10 V en el cátodo, D1 se encuentra definitivamente en el estado “apagado”. La corriente I tendrá la dirección indicada, y una magnitud igual a: I=

E − VD 10V − 0.7V = = 9.3mA R 1kΩ

De este modo se confirma el estado de los diodos y nuestro análisis anterior fue correcto. Aunque no se definió el valor de 0 V para el nivel 0 como antes, el voltaje de salida es suficientemente pequeño como para considerarse un nivel 0. Para la compuerta AND, en consecuencia, una sola entrada producirá una salida de nivel 0.

PROBLEMA 18 El diodo de la figura es ideal. Obtener VA. +12V R=10kΩ VA

-8V La figura introduce un tipo de circuito ampliamente utilizado en electrónica. Las flechas indican el sentido de las tensiones respecto a una referencia de masa de cero voltios. Esta referencia es explícita, pero a menudo se omite en el diagrama. La figura que viene a continuación es la notación más convencional del mismo circuito. La notación compacta muestra cómo se conectan los componentes a los terminales de alimentación y masa.

R=10kΩ

+12V

VA R=10kΩ

+12V 8V

A C

ID

VA

-8V Se espera que la corriente fluya del terminal de +12 V a través del diodo, en sentido positivo, hacia la fuente de -8 V; por lo tanto suponemos que el diodo está en conducción. A la derecha se muestra el modelo del circuito resultante. De este circuito equivalente se obtiene:

iD =

12 − (−8) = 2mA 10000

Vemos que nuestra suposición inicial era correcta. Podemos concluir que: VA = -8 V

PROBLEMA 19 El diodo de la figura es ideal. Hallar VC. +10V R=5kΩ

R=2,5kΩ A C

VC ID R=5kΩ R=5kΩ

VC R=5kΩ

5V 6V

6V

Supongamos el diodo en conducción. Se obtiene la figura de la derecha. Está claro que iD es negativa, así que la suposición inicial es incorrecta. Suponer que el diodo está cortado genera la figura de abajo. Como circula corriente nula por el circuito, vA = 5 V y vC = 6 V; por lo tanto vD = vA - vC = -1 V. Del diagrama, VC = 6 V. R=2,5kΩ

A C + VD -

VC R=5kΩ

5V 6V

PROBLEMA 20 Hallar Ii en la figura de la izquierda cuando: a) Vi = +12 V b) Vi = -6 V Suponer ideales los diodos. ID

D1 A

C D1

Ii

Ii

5kΩ

+

+ 2kΩ

Vi

5kΩ 2kΩ

D2 12V

-

D2

A C

-

a) Cuando Vi > 0, esperamos una corriente positiva Ii que se divide en dos partes, una por el diodo y otra por la resistencia de 5 kΩ, así que suponemos el diodo D1 en conducción. Esta corriente continuaría a través de la resistencia de 2 kΩ, con D2 cortado, puesto que la conducción inversa es imposible. La figura de la derecha muestra nuestro modelo de circuito. Como D1 cortocircuita la resistencia de 5 kΩ, Ii = 12 / 2000 = 6 mA. Para D1, iD1 = +6 mA porque la tensión en la resistencia de 5 kΩ es cero. D2 está cortado porque vD2 = -12 V. Por lo tanto, las suposiciones iniciales se verifican. b) Cuando Vi = -6 V, esperamos una corriente negativa en nuestro circuito. Esto sugiere que D1 está cortado y D2 conduce, dando la figura siguiente. De este circuito, Ii = -6/5 mA. Como iD2 es positiva y vD1 negativa, no hay contradicción. A

C D1

Ii +

5kΩ 2kΩ

6V -

A D2

C

PROBLEMAS DIODOS ZENER. Procedimiento sugerido: Similar al de diodos semiconductores normales. 1) Se determina el estado del diodo. 2) Se sustituye por un modelo apropiado y una determinación de las otras cantidades desconocidas de la red. Análisis para el caso de Vi y R fijas: 1) Determinar el estado del diodo Zener extrayéndolo del circuito y calculando el voltaje a lo largo del circuito abierto resultante. 2) Sustituir el circuito equivalente apropiado y resolver para las incógnitas deseadas.

PROBLEMA 21 (a) Para la red de diodo Zener de la siguiente figura, determinar VL, VR, IZ y PZ. (b) Repita la parte (a) con RL = 3 kΩ Ω. + VR R

-

-

1 ΚΩ

V 16 V

i

Z

=10 V

RL

1.2 KΩ

V L +

V

PZM =30 mW

(a) Calculamos el voltaje a través del circuito abierto: V=

RLVi 1.2kΩ(16V ) = = 8.73 V R + RL 1kΩ + 1.2kΩ

Dado que V = 8.73 V es menor que VZ = 10V, el diodo está en estado de no conducción, como se ve en la representación de iz frente a VZ que se muestra a continuación; con lo que lo sustituimos por un circuito abierto: I R

i

R

(mA) Z

I

L

I

1 KΩ

Z

+

V

V Z -

L

+

16 V V -

R

L

1 KΩ

V =10 V Z V 8.73 V

Z

Donde hallamos que: VL = V = 8.73 V

dado que estamos en paralelo

VR = Vi - VL = 16 V – 8.73 V = 7.27 V IZ = 0 A y

PZ = VZ IZ = VZ ( 0 A ) = 0 W

(b) Hallamos la tensión en vacío del diodo Zener: V=

RLVi 3kΩ(16V ) = = 12 V R + RL 1kΩ + 3kΩ

Dado que V = 12 V es mayor que VZ = 10 V, el diodo está en el estado de conducción y se tendrá la red de la siguiente figura: +

VR

-

R IZ

1 KΩ

+ V

i

16 V

V

Z

10 V

R

3 kΩ L

V

L

-

Dado que los voltajes a través de los elementos en paralelo deben ser los mismos, encontramos que: VL = VZ = 10 V y

VR = Vi – VL = 16 V – 10 V = 6 V

con

IL =

VL 10V = = 3.33 mA RL 3kΩ

y

IR =

VR 6V = = 6 mA R 1kΩ

de modo que mediante la ley de corrientes de Kirchhoff IZ = IR - IL = 6 mA – 3.33 mA = 2.67 mA La potencia disipada es PZ = VZ IZ = (10 V ) ( 2.67 mA ) = 26.7 mW La cual es menor que el valor especificado de PZM = 30 mW

Análisis para el caso de Vi fijo, RL variable: Por causa del voltaje VZ, hay un intervalo de valores del resistor y, por tanto, de la corriente de carga, que asegurarán que el Zener esté en estado de conducción. Una resistencia de carga demasiado pequeña RL originará un voltaje VL en el resistor de carga menor que VZ y el dispositivo Zener se encontrará en el estado de corte.

PROBLEMA 22 (a) Para la red de la figura siguiente, determinar el rango de RL e IL que dará como resultado a VRL mantenido a 10 V. (b) Determinar el voltaje nominal del diodo. IR

1 KΩ R

+

V

= 50 V

I I

i

V = 10V Z

-

I

ZM

L

Z

R L

=32 mA

(a) Para determinar el valor de RL que llevará el diodo Zener al estado de conducción, basta con calcular RL tal que produzca un voltaje de carga VL = VZ. Esto es, VL = VZ =

RLVi ; R + RL

RLmín =

RVZ (1kΩ)(10V ) 10kΩ = = = 250 Ω Vi − VZ 50V − 10V 40

El voltaje en el resistor R, que permanece fijo ahora que estamos en el estado de conducción, se determina mediante VR = Vi – VZ = 50 V – 10 V = 40 V e IR permanece fijo en IR =

VR 40V = = 40 mA R 1kΩ

Dado que la corriente Zener IZ = IR - IL , vemos que IZ mínimo cuando IL es máximo, y viceversa, dado que IR es constante. Con lo que el nivel mínimo de IL viene dado por ILmín = IR - IZM = 40 mA- 32 mA = 8 mA

y la resistencia de carga máxima RLmáx =

VZ 10V = = 1.25 kΩ ILmín 18mA

En las siguientes figuras se muestra una gráfica de VL versus RL y VL versus IL. V

VL

L

10 V

0

250 Ω

1.25 kΩ

R L

0

8 mA

40 mA

IL

(b) Pmáx = VZ IZM = (10 V ) ( 32 mA ) = 320 mW

Análisis para el caso de RL fijo, Vi variable:

PROBLEMA 23 Determinar el intervalo de valores de Vi que mantendrán en el estado de conducción al diodo Zener de la siguiente figura. IR

R +

I I

220 KΩ

L

Z +

V

i

V = 20V Z

-

I

ZM

R L

1.2 KΩ

V L -

=60 mA

El mínimo voltaje para activar Vi = Vimín se determina mediante VL = VZ =

IL =

RLVi ( RL + R)VZ (1200Ω + 220Ω)(20V ) ; Vimín = = = 23.67 V R + RL RL 1200Ω

VL VZ 20V = = = 16.67 mA RL RL 1.2kΩ

El valor máximo de Vi está limitado por la corriente Zener máxima IZM. Puesto que IZM = IR – IL IRmáx = IZM + IL = 60 mA + 16.67 mA = 76.67 mA Como IL se fija a VZ/RL e IZM es el valor máximo de IZ, el Vi máximo se define mediante Vimáx = VRmáx + VZ = IRmáx R + VZ = ( 76.67 mA ) ( 0.22 kΩ ) + 20 V = = 16.87 V + 20 V = 36.87 V En la siguiente figura se presenta una gráfica de VL versus Vi V

L

20 V

0

10

20 23.67 V

40

V

i

36.87 V

PROBLEMA 24 En el circuito de la figura: Determinar la tensión en la resistencia RL, La caída de tensión en el diodo VD y la resistencia en continua equivalente del diodo. Suponer el modelo lineal con Vr = 0.7 V, Rd = 30 Ω.

D

+ E=20V -

i

RL=2kΩ

Sustituyendo el diodo por un modelo equivalente

Vγ +

E

Rd -

+ -

RL

i

i=

E − Vr 20 − 0.7 = = 9.5 mA Rd + RL 2030

VL = RLi = 19 V La tensión en los bornes del diodo es: VD = Vr + Rd id = 0.7 + 9.5⋅10-3 30 = 0.98 V Rcc =

VD 0.98 = = 103 Ω ID 0.0095

PROBLEMA 25 Determinar la tensión de salida VL utilizando el modelo equivalente del diodo anterior y ( ¿? ) un diodo ideal. Vi = 5 sen wt.

D

Ω002=L R

Vi

VL

En directo tendremos el siguiente circuito:

Vγ

Vi

Rd

i

RL

La conducción comienza a partir de Vi = Vr 5 sen X1 = 0.7

i=

Vi − Vr Rd + RL

i=

5senwt − 0.7 ; 230

Las gráficas i, VL (

0.7 = 8.04° 5

X1 = arcsen

cuando Vi >Vr

VL = i RL = 4.34 sen wt –0.6 ¿?

) se muestra a continuación: Vi

VL=i∙RL

π x1=8,04º

0,7

2π

x=ωt

x1

En el ciclo negativo, más exactamente en X = π - X1 el diodo se polariza inversamente siendo un circuito abierto Rr = ∞ y VL = 0

PROBLEMA 26 Obtener la tensión Vd en los extremos del diodo, con el montaje de la figura. Vr = 0.7 V, Rd = 4Ω Ω, Vpp = 0.026 sen wt, E = 2V.

R=100Ω

Vpp=26mV Vd

i

E=2V

Sustituimos el diodo por su modelo para polarización directa R Vγ

Vpp E

i

Vd Rd

Para que comience la conducción deberá ser: E + Vpp ≥ Vr Vd = VAC = VA – VC = Σ Ri - Σ ε = Rd i + Vr i =

E + Vpp − Vr 2 + 0.026 senwt − 0.7 = = ( 0.0125 + 2.5⋅10-4 sen wt ) A R + Rd 104

Vd = Vr + Rd I = 0.7 + (0.0125 + 2.5⋅10-4 sen wt ) 4 = 0.75 +1⋅10-3 sen wt = = 0.75 V + 1 sen wt (mV)

Vd 0,75V

1mV

x

PROBLEMA 27 En el circuito de la figura. Calcular: a) Corriente en el diodo. b) Tensión en el diodo y a la salida. Vi = Vm sen wt, Vr = 0 V. Rf finita, Rr = ∞

D Vm

RL

Vi

a) 0 < X < π ;

VS

i=

π < X < 2π;

VmsenX Im senX Vm = = RL + Rf RL + Rf ¿?

i =0

El valor medio de la corriente será Imedia =

1 2π

π

∫I

m

senXdX =

0

b) VL = VS = RL i = Im RL sen X VL = VS = 0

π Im Im − cos X ]0 = [ π 2π

0 < X< π π < X < 2π

π

2π

x=ωt

Media VLmedia = Imedia RL =

Im RL π

La tensión en bornes del diodo será conducción

0 100.

VCC=10V

RL CB + Vi

R1

R2 RE

Para que el amplificador trabaje en clase A, se debe cumplir: ½ VCC = ICQ (RL + RE) y para que la ganancia de tensión valga -4, se debe verificar: Av = -4 = -RL / RE ⇒ RL = 4RE Sustituyendo en la primera ecuación, y fijando ICQ = 1 mA, inmediatamente se obtiene: ½ VCC = ICQ 5RE ⇒ 5V = 1 mA∙5RE ⇒ RE = 1 kΩ con lo que: RL = 4 kΩ Con los valores de RE e ICQ anteriores, la tensión en el emisor vale VE = 1 V, y en consecuencia, la tensión en la base es VB = 1.7 V. Eligiendo la corriente ID por el divisor R1 - R2 igual a ID = 0.1 mA >> IB, fácilmente se determina: R2 = VB / ID = 17 kΩ R1 = (VCC - VB) / ID = 83 kΩ La impedancia que ve el condensador CB es igual a la impedancia de entrada Zinp del amplificador, que vale: Zinp = R1 || R2 || (β + 1)RE = 12.38 kΩ y, en consecuencia: Zinp = (CBω1)-1 = 12.38 kΩ ⇒ CB = (12.38 kΩ ∙ 2π∙50 Hz)-1 = 257 nF

Veamos cuál es la máxima amplitud posible de la señal de entrada. El BJT se cortará cuando en su emisor la tensión valga cero voltios o, lo que es lo mismo, cuando en la base la tensión valga VB = 0.7 V. En consecuencia, la máxima amplitud de la señal de entrada es de 1 V.

PROBLEMA 69 En el circuito de la figura, hallar R1 y R2 para que el circuito trabaje en clase A de alterna. Con los valores de R1 y R2 obtenidos, ¿cuál es la máxima amplitud de la salida sin distorsión? El BJT es de Ge (VBE ≈ 0) y con β > 100.

VCC=10V

RL=150Ω CB→∞

R1

R2

RE 100Ω

CE→∞

La ecuación de la recta estática de carga es: VCC = ICQ (RL + RE) + VCEQ

y de la recta dinámica:

(iC - ICQ)RL = -(vCE - vCEQ) Para una excursión máxima simétrica se debe verificar: vCE = 0 ⇒ ic = 2ICQ ⇒ ICQ = VCEQ / RL Sustituyendo el este valor en VCC: VCC = ICQ(RL + RE) + ICQRL I CQ =

VCC 10V = = 25mA 2 RL + RE 2 ⋅ 150Ω + 100Ω

Es decir, para que el circuito trabaje en la clase A de alterna, el transistor debe polarizarse mediante R1 y R2 para que la corriente de colector en el punto Q valga ICQ = 25 mA. En ese caso, la tensión en el emisor valdrá VE = ICQ∙RE = 2.5 V, tensión que será igual a la que hay en la base VB por ser VBE = 0. Fijando la corriente ID por el divisor en ID = 2.5 mA, inmediatamente se determina: R1 =

VCC − VB 10V − 2.5V = = 3kΩ ID 2.5mA R2 =

VB 2.5V = = 1kΩ I D 2.5mA

La máxima amplitud de salida, dado que el punto Q está centrado en alterna, vale: ICQRL = 3.75 V

PROBLEMA 70 En el amplificador de la figura, hallar: a) R2 de modo que ICQ = 5 mA. b) El máximo valor de la amplitud de la tensión de salida sin distorsión con ICQ = 5mA c) El valor de R2 que hace que el amplificador trabaje en clase A de alterna y calcular en ese caso el máximo valor de la amplitud de la salida sin distorsión.

VCC=12V BJT R2

hfb=-0.99 hib=14.3Ω hie=1kΩ

CB CE + Vi

RE 1k

RL 2k

a) Si ICQ = 5 mA, la tensión en la base debe valer: VB = VE = ICQRE = 5 V

Como la corriente continua de base vale IB = ICQ / β = 0.1 mA, resulta: R2 =

VCC − VB 12V − 5V = = 70kΩ IB 0.1mA

b) La tensión VCEQ es igual a: VCEQ = VCC - ICQRE = 12 V - 5 mA ∙ 1 kΩ = 7 V por tanto, el punto Q está más próximo a la zona de corte que a la de saturación, y será precisamente el corte del BJT la causa que limite la amplitud de la oscilación. La ecuación de la recta dinámica de carga es: (iC - ICQ)R = -(vCE - VCEQ) siendo R = RE || RL. Cuando el transistor se corta (iC = 0) la tensión vCE vale: vCE = VCEQ + ICQR = 7 V + 5 mA ∙ 2/3 kΩ = 10.33 V por lo que, en ese instante, la tensión en el emisor vale: vE = vC - 10.33 V = VCC - 10.33 V = 12 V - 10.33 V = 1.67 V de donde, la máxima amplitud V0 de la señal de salida es: V0 = VE - vE = 5 V - 1.67 V = 3.33 V c) Para que el seguidor trabaje en clase A de alterna, vCE = 0 y iC = 2ICQ por lo que nos queda: (iC - ICQ)R = -(vCE - VCEQ) ⇒ ICQR = VCEQ Por otro lado, la ecuación de la recta estática de carga es: VCC = ICQRE + VCEQ Combinando estas dos últimas ecuaciones: I CQ =

VCC 12V = = 7.2mA RE + R 1kΩ + 0.67 kΩ

Con el valor anterior de ICQ, la tensión en la base es VB = 7.2 V, de donde: R2 =

VCC − VB 12V − 7.2V = = 33kΩ IB 0.144mA

La amplitud máxima V0 de la oscilación de salida vale en este caso: V0 = ICQR = 7.2 mA ∙ 0.67 kΩ = 4.8 V

PROBLEMA 71 Determínese el punto Q para el circuito mostrado en la figura si R1 = 1.5 kΩ Ω y R2 = 6 kΩ Ω. Se utiliza un transistor 2N3903, con β = 140, RE = 100 Ω y RC = RL = 1kΩ Ω.

VCC=5V

RC=1kΩ C→∞

R2

2N3903 VBE=0.7V

+

v0 Vi

RE 100Ω

R1

C→∞

RL 1kΩ

-

VBB =

R1VCC 1500Ω ⋅ 5V = = 1V R1 + R2 1500Ω + 6000Ω RB =

R1 R2 = 1200Ω R1 + R2

Se determina si el amplificador tiene estabilidad con cambios en β mediante a verificación de RB < 0.1βRE = 0.1(140)(100 Ω) = 1400 Ω. Como la desigualdad se cumple, se tiene estabilidad. Se encuentra el punto Q como sigue: I CQ =

VBB − V BE 1V − 0.7V = = 2.76mA RB / β + RE 1200Ω / 140 + 100Ω

Se encuentran Rca = RC || RL = 500 Ω, y Rcd = RC + RE = 1.1 kΩ

Calculamos VCEQ: VCEQ = VCC - ICQRcd = 5 V - 2.76 mA ∙ 1.1 kΩ = 1.96 V Entonces: V’CC = VCEQ + ICQRac = 1.96 V + 2.76 mA ∙ 500 Ω = 3.34 V Como el punto Q se halla en la mitad inferior de la línea de carga de ca, la máxima excursión simétrica en la tensión de salida es: 2ICQ(RC || RL) = 2(2.76 mA)(500 Ω) = 2.76 V En este ejemplo, el punto Q no se encuentra en la mitad de la línea de carga, de manera que la excursión en la salida no es máxima. Sin embargo, si la señal de entrada es pequeña y no se requiere máxima salida, se puede utilizar una ICQ pequeña para reducir la potencia disipada en el circuito.

PROBLEMA 72 Selecciónese R1 y R2 para máxima excursión en la tensión de salida en el circuito del ejemplo anterior. Determinamos la ICQ: I CQ =

VCC 5V = = 3.13mA Rca + Rcd 500Ω + 1100Ω pues Rca = RC || RL = 500 Ω, y Rcd = RE + RC = 1100 Ω.

Para máxima excursión: V’CC = 2VCEQ Entonces, VCEQ está dado por: VCEQ = (3.13 mA)(500 Ω) = 1.56 V La intersección de la línea de carga de ca con el eje vCE es V’CC. Así: V’CC = 2VCEQ = 3.12 V De las especificaciones del fabricante, β = 140, luego: RB = 0.1(140)(100) = 1400 Ω VBB = 3.13 mA (1400 / 140 + 100) + 0.7 = 1.044 V

Con esto, se encuentra R1 y R2: R1 =

RB 1 − VBB / VCC

R2 =

=

1400Ω = 1.77 kΩ 1 − 1.044 / 5

RBVCC 1400Ω ⋅ 5V = = 6.7 kΩ VBB 1.044V

La máxima excursión en la tensión de salida, ignorando las no linealidades de saturación y corte, sería entonces: 2ICQ(RC || RL) = 2(3.13 mA)(500 Ω) = 3.13 V